லெஜாண்டர் குறியீடு
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] [[எண் கோட்பாடு]] என்ற பிரிவில் [[ஆய்லர்]] (1707-1783), [[லெஜாண்டர்]](1752-1833) முதலியோர் தொடங்கிவைத்த [[இருபடிய எச்சம்]] என்ற கருத்துக்கு '''லெஜாண்டர் குறியீடு''' (Legendre Symbol) மிக்க பயனளிப்பது.
 
 == இருபடிய எச்சம் ==
 
 : &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; என்ற எண் &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; என்ற எண்ணின் '''இருபடிய எச்சம்''' என்பதற்கு இலக்கணம்:
 
 : ஏதாவதொரு எண் &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கு, &lt;math&gt;a \equiv x^2 (mod p)&lt;/math&gt; என்ற [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவு]].
 
 : '&lt;math&gt;a&lt;/math&gt; என்ற எண் &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; என்ற எண்ணின் இருபடிய எச்சம்'
 
 என்பதை வேறுவிதமாக, அதாவது,
 
 : 'மாடுலோ &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; க்கு, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; ஒரு இருபடிய எச்சம்'
 
 என்றும் சொல்வதுண்டு:
 
 எடுத்துக்காட்டாக,
 
 : &lt;math&gt;2 \equiv 3^2 (mod 7) \therefore 2, 7&lt;/math&gt; இனுடைய இருபடிய எச்சம். அல்லது, மாடுலோ 7 க்கு 2 ஒரு இருபடிய எச்சம்.
 
 == லெஜாண்டர் உண்டாக்கிய குறியீடு ==
 
 a, p இரண்டும் '''பரஸ்பரப்பகாதனிகள்''' (coprime) என்று கொள்வோம். இப்பொழுது,லெஜாண்டர்
 
 ::&lt;math&gt;\left(\frac{a}{p}\right)&lt;/math&gt;
 
 என்ற குறியீட்டுக்கு கீழ்க்கண்டபடி பொருள் கற்பித்தார். அதாவது
 
 மாடுலோ &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; க்கு, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; ஒரு '''இருபடிய எச்சம்''' என்பதை &lt;math&gt;\left(\frac{a}{p}\right)  =  +1 &lt;/math&gt; என்றும்
 
 மாடுலோ &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; க்கு, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; ஒரு '''இருபடிய எச்சமல்லாதது''' என்பதை &lt;math&gt;\left(\frac{a}{p}\right)  = -1&lt;/math&gt; என்றும்
 
 குறிகாட்டுவோம்.
 
 == எடுத்துக்காட்டு ==
 
 &lt;math&gt;{25}^2 = 13(mod 17)  \therefore  \left(\frac{13}{17}\right) = +1.&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;x^2 = 5(mod 17)&lt;/math&gt; க்கு தீர்வு கிடையாது. &lt;math&gt; \therefore \left(\frac{5}{17}\right) = -1.&lt;/math&gt;
 
 == லெஜாண்டர் குறியீட்டின் சில பண்புகள் ==
 
 *&lt;math&gt;a \equiv b(mod p),&lt;/math&gt; என்றால்
 &lt;math&gt;\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)
 &lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;
 \left(\frac{1}{p}\right) = 1
 &lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;a, p&lt;/math&gt; இரண்டும் பரஸ்பரப்பகாதனிகள் என்றால், &lt;math&gt;\left(\frac{a^2}{p}\right)  = +1&lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;a, p&lt;/math&gt; பரஸ்பரப்பகாதனிகளகவும், &lt;math&gt;b, p&lt;/math&gt; பரஸ்பரப்பகாதனிகளகவும் இருந்தால்,
 : &lt;math&gt;\left(\frac{ab}{p}\right) =  \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)&lt;/math&gt;
 
 * &lt;math&gt;
 \left(\frac{-1}{p}\right)&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;(-1)^{(p-1)/2}&lt;/math&gt; =&lt;math&gt;\begin{cases}
 1  &amp; if p \equiv 1(mod 4)\\
 -1 &amp; if p \equiv 3(mod 4) 
 \end{cases}&lt;/math&gt;
 
 **&lt;math&gt;
 \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{(p^2-1)/8}=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }7 \pmod{8} \\-1\mbox{ if }p \equiv 3\mbox{ or }5 \pmod{8}  \end{cases}&lt;/math&gt;
 
 *&lt;math&gt;
 \left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{(p^2-1)/8}=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }7 \pmod{8} \\-1\mbox{ if }p \equiv 3\mbox{ or }5 \pmod{8}  \end{cases}&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;
 \left(\frac{3}{p}\right)=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }11 \pmod{12} \\-1\mbox{ if }p \equiv 5\mbox{ or }7 \pmod{12}  \end{cases}&lt;/math&gt;
 * p &gt; 2 ஒரு பகாதனி என்றால்
 
 &lt;math&gt;\left(\frac{5}{p}\right)=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }4 \pmod5 \\-1\mbox{ if }p \equiv 2\mbox{ or }3 \pmod5  \end{cases}&lt;/math&gt;
 
 == இருபடிய நேர் எதிர்மையின் லெஜாண்டர் குறியீட்டு வாசகம் ==
 
 [[கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்|காஸி]]ன் ''' [[இருபடிய நேர் எதிர்மை]] ''' இப்பொழுது ஒரு எளிதான வாசகத்தைக்கொள்கிறது:
 
 ::p &gt; 2, q &gt; 2 இரண்டும் பகாதனிகள் என்றால்,
 
 :&lt;math&gt;
 \left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{ ((p-1)/2) ((q-1)/2) }
 &lt;/math&gt;
 
 == குறியீட்டின் பயன்பாடு ==
 
 எ.கா.: &lt;math&gt;-70 , 93&lt;/math&gt; இன் ஒரு இருபடிய எச்சமா அல்லவா என்பதைப்பார்ப்போம்:
 
 ::&lt;math&gt;\left(\frac{-70}{93}\right) = \left(\frac{(-1)(7)(2)(5)}{93}\right)&lt;/math&gt;
 
 = &lt;math&gt; \left(\frac{-1}{93 }\right)\left(\frac{7}{93}\right)\left(\frac{2}{93}\right)\left(\frac{5}{93}\right)&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;= (-1)^{46} \left(\frac{93}{7 }\right) (-1)^{1081} \left(\frac{93}{5}\right)
 
 =(-1)\times \left(\frac{2}{7}\right)\left(\frac{3}{5}\right)
 
 = (-1) \times (+1)(-1)  = +1 &lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\therefore  -70, 93&lt;/math&gt; இன் இருபடிய எச்சமே.
 
 == இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
 *[[சமானம், மாடுலோ n]]