அடிப்படை முக்கோணச் சமனின்மை
[[File:TriangleInequality.svg|thumb|பக்க நீளங்கள் {{math|''x''}}, {{math|''y''}}, {{math|''z''}} கொண்ட முக்கோணங்களின் முக்கோணச் சமனிலிக்கு மூன்று எடுத்துக்காட்டுகள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. முதல் படம் சமனின்மைத் தன்மையைத் தெளிவாவாகக் கொண்டுள்ளது. கீழுள்ள இரு படங்களும் மூன்றாவது பக்கமான {{math|''z''}}, மற்ற இரு பக்க நீளங்களின் கூடுதல் {{math|''x'' + ''y''}} க்குக் கிட்டத்தட்ட சமமாகவுள்ள நிலையைக் காட்டுகின்றன.]]
 வடிவவியலில் '''முக்கோணச் சமனின்மை''' அல்லது '''முக்கோணச் சமனிலி''' (''triangle inequality'') ஒரு [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தின்]] பக்கநீளங்களுக்கிடையே அமையக்கூடியத் தொடர்பைத் தருகிறது.
 
 ;கூற்று
 எந்தவொரு முக்கோணத்திலும் அதன் ஏதேனும் இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் கூடுதலானது, மூன்றாவது பக்கநீளத்தைவிட எப்பொழுதும் அதிகமானதாகவோ அல்லது சமமானதாகவோ இருக்கும்.&lt;ref&gt;Wolfram MathWorld - http://mathworld.wolfram.com/TriangleInequality.html&lt;/ref&gt;&lt;ref name=Khamsi&gt;
 {{cite book |title=An introduction to metric spaces and fixed point theory |author=Mohamed A. Khamsi, William A. Kirk |url=http://books.google.com/?id=4qXbEpAK5eUC&amp;pg=PA8 |chapter=§1.4 The triangle inequality in {{math|ℝ&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;}} |isbn=0-471-41825-0 |year=2001 |publisher=Wiley-IEEE}}&lt;/ref&gt;
 
 ;கணிதக் குறியீட்டில்
 {{math|''x''}}, {{math|''y''}}, {{math|''z''}} ஆகியவை ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் எனில் முக்கோணச் சமனிலியின்படி:
 :&lt;math&gt;z \leq x + y ,&lt;/math&gt;
 
 இச் சமனிலியிலுள்ள சமக்குறியானது, பரப்பளவு [[சுழி]]யாகவுள்ள முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே உண்மையாக இருக்கும். (அதாவது, மூன்று உச்சிகளும் ஒரே நேர்கோட்டில் அமையும் பொழுது)
 
 யூக்ளிடிய வடிவவியலிலும் வேறுசில வடிவவியல்களிலும் முக்கோணச் சமனிலியானது, தொலைவு குறித்த தேற்றமாக அமைவதோடு [[திசையன்]] மற்றும் [[நெறிமம்|திசையன் நீளங்கள்]] வாயிலாக எழுதப்படுகின்றது:
 :&lt;math&gt;\|\mathbf x + \mathbf y\| \leq \|\mathbf x\| + \|\mathbf y\| ,&lt;/math&gt;
 
 இதில் மூன்றாம் பக்கநீளமான {{math|''z''}}, திசையன் கூட்டல் {{math|'''x''' + '''y'''}} ஆல் பதிலிடப்படுகிறது. {{math|'''x'''}},{{math|'''y'''}} இரண்டும் [[மெய்யெண்]]கள் எனில் அவற்றை  {{math|ℝ&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;}} இல் அமையும் திசையன்களாகக் கொள்ளலாம். அப்போது முக்கோணச் சமனிலியானது [[தனி மதிப்பு]]களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பாகிறது.
 
 யூக்ளிடிய வடிவவியலில் முக்கோணச் சமனிலியைத் தனிப்பட்ட முறையில் நிறுவதல் முடியுமென்றாலும், [[செங்கோண முக்கோணம்|செங்கோண முக்கோணங்களில்]] [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தகோரசு தேற்றத்தின்]] விளைவாகவும், பொதுவான முக்கோணங்களுக்கு கொசைன் விதியின் விளைவாகவும் முக்கோணச் சமனிலி அமைகிறது.
 
 முக்கோணச் சமனிலியிலுள்ள சமக்குறி உண்மையாக இருக்க வேண்டுமானால், அம் முக்கோணத்தின் கோணங்கள் {{math|180°,}} {{math|0°,}} {{math|0°}} என இருத்தல் அவசியமாகிறது. அதாவது முக்கோணத்தின் மூன்று [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகளும்]] ஒரே கோட்டில் அமையும் புள்ளிகளாக இருக்கும். எனவே யூக்ளிடிய வடிவவியலில், இரு புள்ளிகளுக்கிடைப்பட்ட மிகக்குறைந்த தொலைவு ஒரு நேர்கோடாக அமைகிறது.
 
 கோள வடிவவியலில் இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள மிகக்குறைந்த தொலைவு என்பது [[பெரு வட்டம்|பெரு வட்டத்தின்]] வில்லாக இருக்கும். எனினும் கோள வடிவவியலில் முக்கோணச் சமனிலி உண்மையாக வேண்டுமானால், ஒரு [[கோளம்|கோளத்தின்]] மீதமையும் இரு [[புள்ளி]]களுக்கு இடையேயுள்ள [[தூரம்|தொலைவானது]] அப்புள்ளிகளை ஓரப்புள்ளிகளாகக் கொண்ட சிறு கோள கோட்டுத்துண்டாகக் ({{math|[0, ''π'']}} இடைவெளியில் மையக்கோணம் கொண்டது) கொள்ளப்படல் வேண்டும்.&lt;ref name= Ramos&gt;{{cite book |title=Robotics: Science and Systems IV |author=Oliver Brock, Jeff Trinkle, Fabio Ramos |url=http://books.google.com/?id=fvCaQfBQ7qEC&amp;pg=PA195 |page=195 |isbn=0-262-51309-9 |publisher=MIT Press |year=2009}}
 &lt;/ref&gt;&lt;ref name=Ramsay&gt;{{cite book |title=Introduction to hyperbolic geometry |author=Arlan Ramsay, Robert D. Richtmyer |url=http://books.google.com/?id=0QA_1lKC0dwC&amp;pg=PA17 |page=17 |isbn=0-387-94339-0 |year=1995 |publisher=Springer}}&lt;/ref&gt;
 
 ==யூக்ளிடிய வடிவவியல்==
 [[File:Euclid triangle inequality.svg|thumb|தள வடிவவியலில் முக்கோணச் சமனிலியின் நிறுவலுக்கான யூக்ளிடின் வரைதல்]]
 படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைமுறையைக் கொண்டு தள வடிவவியலில் முக்கோணச் சமனிலியை [[யூக்ளிட்]] நிறுவியுள்ளார்.&lt;ref name=Jacobs&gt;{{cite book |page=201 |author=Harold R. Jacobs |title=Geometry: seeing, doing, understanding |url=http://books.google.com/?id=XhQRgZRDDq0C&amp;pg=PA201 |isbn=0-7167-4361-2 |edition=3rd |publisher=Macmillan |year=2003}}&lt;/ref&gt;
 
 *முக்கோணம் {{math|ABC}}இன் ஒரு பக்கம் {{math|BC}} மற்றும் {{math|AB}} பக்கத்தின் நீட்சியிலமையும் கோட்டுத்துண்டு {{math|BD}} ஐயும் சமபக்கங்களாகக் கொண்டு வரையப்படும் இருசமபக்க முக்கோணம் {{math|BDC}}.
 * &lt;math&gt; {{\overline {BC}}} {{=}} \overline {BD} \quad (1) &lt;/math&gt;  
 *&lt;math&gt; \beta &gt; \alpha &lt;/math&gt; எனக் கொள்ளப்படுகிறது. 
 *எனவே, &lt;math&gt;\overline {AD} &gt; \overline {AC} \quad (2) &lt;/math&gt;
 
 ;நிறுவல்
 :&lt;math&gt;\overline {AD} = \overline {AB} + \overline {BD} \,&lt;/math&gt;
 :::&lt;math&gt;= \overline {AB} + \overline {BC} \,&lt;/math&gt; ----({{EquationRef|1}}) இன்படி
 :&lt;math&gt; \overline {AD} = \overline {AB} + \overline {BC} &gt; \overline {AC} \,&lt;/math&gt; ----({{EquationRef|2}}) இன்படி
 :ஃ&lt;math&gt; \overline {AB} + \overline {BC} &gt; \overline {AC} \,&lt;/math&gt;
 
 யூக்ளிடின் ”கூறுகள்” புத்தகத்தில் இந் நிறுவல் உள்ளது (புத்தகம் 1 கூற்று 20).&lt;ref name=Joyce&gt;{{cite web
 | url         = http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI20.html
 | title       = Euclid's elements, Book 1, Proposition 20
 | first       = 
 | last        = 
 | author      = David E. Joyce
 | authorlink  = 
 | coauthors   = 
 | date        = 
 | month       = 
 | year        = 1997
 | work        = Euclid's elements
 | publisher   = Dept. Math and Computer Science, Clark University
 | location    = 
 | page        = 
 | pages       = 
 | at          = 
 | language    = 
 | trans_title = 
 | doi         = 
 | archiveurl  = 
 | archivedate = 
 | accessdate  = 2010-06-25
 | quote       = 
 | ref         = 
 | separator   = 
 | postscript  = 
 }}&lt;/ref&gt;
 
 ===முடிவுகளின் கணிதவடிவம்===
 ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}} (மூன்றும் நேர் எண்கள்) எனில், முக்கோணச் சமனிலியின்படி கிடைக்கக்கூடிய முடிவுகளின் கணிதவடிவ விளக்கம்:
 
 *&lt;math&gt;a + b &gt; c , b + c &gt; a , c + a &gt; b .&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;|a - b| &lt; c &lt; a + b .&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;\max(a, b, c) &lt; a + b + c - \max(a, b, c)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\Rightarrow 2 \max(a, b, c) &lt; a + b + c&lt;/math&gt;
 அதாவது முக்கோணத்தின் மிக நீளமான பக்கம், அம் முக்கோணத்தின் அரைச் சுற்றளவைவிடச் சிறியதாக இருக்கும்.
 
 ===செங்கோண முக்கோணம்===
 [[File:Isosceles triangle made of right triangles.svg|thumb|இருசமபக்க முக்கோணத்தின் சமபக்கங்கள்: {{math|{{overline|AB}} {{=}} {{overline|AC}}}}. அடிப்பக்கக் கோணங்கள் ஒன்றிலிருந்து வரையப்படும் [[குத்துக்கோடு (முக்கோணம்)|குத்துக்கோட்டால்]] இம் முக்கோணம் இரு செங்கோண முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது.]]
 
 செங்கோண முக்கோணத்திற்கானச் சமனிலி:&lt;ref name=Palmer&gt;{{cite book |title=Practical mathematics for home study: being the essentials of arithmetic, geometry, algebra and trigonometry |author=Claude Irwin Palmer |url=http://books.google.com/?id=EAmgAAAAMAAJ&amp;pg=PA422 |page=422 |publisher=McGraw-Hill |year=1919}}&lt;/ref&gt;
 
 :''ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் [[செம்பக்கம்|செம்பக்கத்தின் நீளம்]] 
 #முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களைக் காட்டிலும் அதிகமானதாகவும், 
 #அவற்றின் கூடுதலைவிடச் சிறியதாகவும் இருக்கும்.''
 
 *இக் கூற்றின் இரண்டாவது பகுதி பொதுவான முக்கோணங்களுக்கு ஏற்கனவே நிறுவப்பட்டுள்ள முக்கோணச் சமனிலி என்பதால் செங்கோண முக்கோணத்திற்கும் அது உண்மையாகும்.
 *முதற்பகுதியின் நிறுவல்:
 
 ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம் {{math|ABC}} இன் சமபக்கங்கள் {{math|{{overline|AB}} {{=}} {{overline|AC}}}}. அடிப்பக்க கோணங்கள் ஒன்றிலிருந்து வரையப்படும் குத்துக்கோட்டால் இம் முக்கோணம் இரு செங்கோண முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அவ்விரு செங்கோண முக்கோணங்களில் முக்கோணம் {{math|ADC}} கொண்டு
 
 நிறுவல்: 
 எந்தவொரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180 பாகைகள் என்ற பண்பின்படி,
 
 முக்கோணம் {{math|ADC}} இல்,
 :&lt;math&gt; \alpha + \gamma = \pi /2 \ . &lt;/math&gt;
 
 இதேபோல முக்கோணம் {{math|ABC}} இல்,
 :&lt;math&gt;2\beta + \gamma = \pi \ . &lt;/math&gt;
 
 எனவே, 
 :&lt;math&gt; \alpha = \pi/2 - \gamma ,\ \mathrm{while} \ \beta= \pi/2 - \gamma /2  \ ,&lt;/math&gt;
 
 :ஃ&lt;math&gt; \alpha &lt; \beta \ &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\Rightarrow \overline{\mathrm{AD}} &lt; \overline{\mathrm{AB}} &lt;/math&gt;
 
 ஆனால் {{math|{{overline|AB}} {{=}} {{overline|AC}}}} என்பதால்,
 :&lt;math&gt;\overline{\mathrm{AD}} &lt; \overline{\mathrm{AC}} \  &lt;/math&gt;
 அதாவது செம்பக்கம் {{math|AC}}, பக்கம் {{math|AD}} ஐ விடப் பெரியதாகும்:
 :&lt;math&gt;\overline{\mathrm{AC}} &gt; \overline{\mathrm{AD}} \  &lt;/math&gt;
 
 இதேபோல,
 :&lt;math&gt;\overline{\mathrm{AC}} &gt; \overline{\mathrm{DC}} \  &lt;/math&gt; என்பதையும் நிறுவலாம்.
 
 ===பயன்பாடுகள்===
 ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் [[கூட்டுத் தொடர்|கூட்டுத் தொடரில்]] அமைகிறது என்க. அதன் பக்க நீளங்கள் {{math|''a''}}, {{math|''a'' + ''d''}}, {{math|''a'' + 2''d''}}.
 
 எனவே முக்கோணச் சமனிலியின் படி முக்கோணத்தின் ஒரு பக்க நீளம் மற்ற இருபக்கங்களின் கூடுதலைவிடச் சிறியது என்பதால்,
 *&lt;math&gt;
 0&lt;a&lt;2a+3d \,&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;
 0&lt;a+d&lt;2a+2d \,&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;
 0&lt;a+2d&lt;2a+d. \,&lt;/math&gt; ஆகிய மூன்று சமனிலிகள் கிடைக்கின்றன.
 
 இம் மூன்றும் நிறைவு செய்யப்பட வேண்டுமெனில் கீழ்வரும் முடிவு உண்மையாக இருக்க வேண்டும்:
 :&lt;math&gt; a&gt;0, -\frac{a}{3}&lt;d&lt;a. &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal|title=input: ''solve 0&lt;a&lt;2a+3d, 0&lt;a+d&lt;2a+2d, 0&lt;a+2d&lt;2a+d,'' |last=Wolfram{{!}}Alpha|journal=Wolfram Research|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%200%3Ca%3C2a%2B3d%2C%200%3Ca%2Bd%3C2a%2B2d%2C%200%3Ca%2B2d%3C2a%2Bd&amp;t=ff3tb01|accessdate=2010-09-07}}&lt;/ref&gt;
 
 {{math|''d'' {{=}} ''a''/3}} எனும்போது கிடைக்கும் செங்கோண முக்கோணம் [[பித்தகோரசு மும்மை]]யான ({{math|3}}, {{math|4}}, {{math|5}}) பக்க நீளங்கள் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தை ஒத்ததாக அமையும்.
 
 ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் [[பெருக்குத் தொடர்|பெருக்குத் தொடராக]] அமைகிறது என்க. அதன் பக்க நீளங்கள் {{math|''a''}}, {{math|''ar''}}, {{math|''ar''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;.}}
 
 எனவே முக்கோணச் சமனிலியின்படி முக்கோணத்தின் ஒரு பக்க நீளம் மற்ற இருபக்கங்களின் கூடுதலைவிடச் சிறியது என்பதால்,
 *&lt;math&gt; 0&lt;a&lt;ar+ar^2 \,&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt; 0&lt;ar&lt;a+ar^2 \,&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt; 0&lt;ar^2&lt;a+ar. \,&lt;/math&gt; ஆகிய மூன்று சமனிலிகள் கிடைக்கின்றன.
 
 {{math|''a'' &gt; 0}}, {{math|''r'' &gt; 0}} எனில் முதல் மற்றும் மூன்றாவது சமனிலிகளிலிருந்து 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 r^2+r-1 &amp; {} &gt;0 \\
 r^2-r-1 &amp; {} &lt;0.
 \end{align}
 \,&lt;/math&gt; என்ற இரண்டு இருபடிச் சமனிலிகள் கிடைக்கின்றன.
 
 இவ்விரண்டிலிருந்து {{math|''r''}} இன் மதிப்பு அமையும் வீச்சு
 :&lt;math&gt;\varphi - 1 &lt; r &lt;\varphi\, , a &gt;0\,&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal|title=input: ''solve 0&lt;a&lt;ar+ar&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, 0&lt;ar&lt;a+ar&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, 0&lt;ar&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;a+ar'' |last=Wolfram{{!}}Alpha|journal=Wolfram Research|url=http://wolframalpha.com/input?i=solve+0%3Ca%3Car%2Bar^2%2C+0%3Car%3Ca%2Bar^2%2C+0%3Car^2%3Ca%2Bar|accessdate=2010-09-07}}&lt;/ref&gt; என அமைகிறது. இதில் {{math|''φ''}} [[தங்க விகிதம்]] ஆகும்.
 
 {{math|''r'' {{=}} {{sqrt|''φ''}}}} எனும்போது கிடைக்கும் முக்கோணம் [[கெப்லர் முக்கோணம்]] ஆகும்.
 
 ===பல்கோணத்திற்குப் பொதுமைப்படுத்தல்===
 கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில், முக்கோணச் சமனிலியை எந்தவொரு பல்கோணத்திற்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம்:
 
 ஒரு பல்கோணத்தின் எந்தவொரு பக்கத்தின் நீளமும் அதன் பிற பக்கங்களின் நீளங்களின் கூடுதலைவிட எப்பொழுதும் சிறியதாகவே இருக்கும்.
 
 ==== நாற்கரத்தில் ====
 ஒரு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் பெருக்குத் தொடரில் அமைகிறது என்க. அதன் பக்க நீளங்கள் {{math|''a''}}, {{math|''ar''}}, {{math|''ar''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}}, {{math|''ar''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;}} ஆகும். முக்கோணச் சமனிலியை இந்த நாற்கரத்துக்குப் பொதுமைப்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt; 0&lt;a&lt;ar+ar^2+ar^3 \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; 0&lt;ar&lt;a+ar^2+ar^3 \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; 0&lt;ar^2&lt;a+ar+ar^3 \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; 0&lt;ar^3&lt;a+ar+ar^2. \,&lt;/math&gt;
 
 {{math|''a'' &gt; 0}} எனில், மேலுள்ள சமனிலிகளை ''a'' ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது:
 :&lt;math&gt; r^3+r^2+r-1&gt;0 \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; r^3-r^2-r-1&lt;0. \,&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal|title=input: ''solve 0&lt;a&lt;ar+ar&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+ar&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;,  0&lt;ar&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;a+ar+ar&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;'' |last=Wolfram{{!}}Alpha|journal=Wolfram Research|url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%20{0%3Ca%3Ca*r%2Ba*r^2%2Ba*r^3%2C%200%3Ca*r^3%3Ca%2Ba*r%2Ba*r^2}&amp;t=ff3tb01|accessdate=2012-07-29}}&lt;/ref&gt;
 
 இந்த இரு சமனிலியின் இடப்புறமுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்கள் டிரைபனொச்சி மாறிலி (tribonacci constant) மற்றுமதன் தலைகீழியாக அமைகின்றன. எனவே {{math|''r''}} இன் வீச்சு:
 ::{{math|1/''t'' &lt; ''r'' &lt; ''t''}}
 
 இதில் {{math|''t''}} என்பது டிரைபனொச்சி மாறிலி (&lt;math&gt; \tfrac{1+\sqrt[3]{19+3\sqrt{33}}+\sqrt[3]{19-3\sqrt{33}}}{3} &lt;/math&gt;, தோராய மதிப்பு = 1.83929 {{OEIS|A058265}}
 
 ==எதிர் முக்கோணச் சமனிலி==
 தள வடிவவியலில் எதிர் முக்கோணச் சமனிலியின் கூற்று:&lt;ref name=inequality&gt;{{cite book |title=The popular educator; fourth volume |url=http://books.google.com/?id=lTACAAAAQAAJ&amp;pg=PA196 |page=196 |chapter=Exercise I. to proposition XIX |year=1854 |publisher=John Cassell |location=Ludgate Hill, London |author=Anonymous}}&lt;/ref&gt;
 
 :''முக்கோணத்தின் ஒரு பக்க நீளமானது மற்ற இரு பக்க நீளங்களின் வித்தியாசத்தைவிட அதிகமானதாக அல்லது சமமானதாக இருக்கும்''.
 
 ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் {{math|''x''}}, {{math|''y''}}, {{math|''z''}} எனில்,
 
 :&lt;math&gt;z \geq x - y \,&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}