நான்முகிக் குலம்
{{unreferenced}}
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''நான்முகிக் குலம்''' என்பது ஒரு நான்முகியின் சமச்சீர் திருப்பங்களின் [[குலம்]] ஆகும். இது 12 உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு [[பரிமாறாக்குலம்]].
 
 ==வரையறை==
 
 நான்முகிக்குலத்தின் 12 உறுப்புகள்:
 
 ::நான்முகியின் நான்கு உச்சிகளிலிருந்தும் எதிர்முகத்தை நோக்கிப்பாயும் செங்குத்துக் கோடுகளை அச்சாகக் கொண்டு இடமாகவோ வலமாகவோ சுற்றிச் செல்லும் 8 சுழற்சிகள்;
 
 ::எதிரெதிர் ஓரக்கோடுகளின் மையப்புள்ளிகளைச் சேர்க்கும் கோடுகளைச் சுற்றிச் செல்லும்  3 அரைத் திருப்பங்கள் ; 
 [[படிமம்:நான்முகி சுண்டப்படல்.png|600px]]
 ::மற்றும், எந்த திருப்பமோ சுழற்சியோ இல்லாத ஒரு முற்றொருமை.
 
 ==முகங்களின் வரிசைமாற்றங்களாக ஒரு மாற்று வரையறை==
 
 முகங்களை &lt;math&gt; a, b, c, d &lt;/math&gt; என்று பெயரிடுவோம். இப்பொழுது, நான்முகியின் முகங்களின் 12 [[வரிசைமாற்றம்|வரிசைமாற்றங்களின்]] பட்டியல்:
 
 :: &lt;math&gt; (b c d), (b d c), (a c d), (a d c), (a b d), (a d b), (a b c), (a c b),&lt;/math&gt;   மற்றும்
 
 :: &lt;math&gt; (b c)(a d), (c a)(b d), (a b)(c d), &lt;/math&gt;  
 :: மற்றும், முற்றொருமை.
 
 ==மூலைப்புள்ளிகளின் வரிசைமாற்றங்களாக மற்றொரு வரையறை==
 [[படிமம்:நான்முகியின் சுழற்சி.png|600px]]
 
 மூலைப்புள்ளிகளை 1, 2, 3, 4 என்று பெயரிடுவோம். இவைகளின் வரிசைமாற்றங்கள் பின்வருமாறு:
 
 ::(2 3 4), (2 4 3), (1 4 3), (1 3 4), (1 2 4), (1 4 2), (1 2 3), (1 3 2), மற்றும்
 
 :: (1 4)(2 3), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4) மற்றும்
 
 :: முற்றொருமை.
 
 ==மாறிசைக்குலம்==
 
 மேலேயுள்ள {1, 2, 3, 4} இன் 12 வரிசைமாற்றங்களும் சமச்சீர் குலம் '''S&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;''' இன் 12 இரட்டை வரிசைமாற்றங்கள். அதனால் நான்முகிக்குலமும் [[மாறிசைக்குலம்]] '''A&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;''' ம் ஒன்றே.
 
 ==இதற்குள் ஓர் இயல்நிலை உட்குலம்==
 
 இப்பன்னிரு வரிசைமாற்றங்களில் கடைசி நான்கும் அவைகளுக்குள் ஒரு குலமாகின்றன. அவைகளில் முற்றொருமையைத்தவிர இதர மூன்றில் ஒவ்வொன்றுக்கும் கிரமம் 2; ஏனென்றால்,
 
 :: {(14)(23)}&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = e = {(12)(34)}&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = {(13)(24)}&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;.
 
 ஆகையால் இந்நான்கும் சேர்ந்த உட்குலம் [[கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம்]] தான். இது ''A&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;''இல் ஓர் [[இயல்நிலை உட்குலம்]] ( Normal subgroup) ஆகும். காரணம், இதனில் அடங்கும் உறுப்புக்களுக்கெல்லாம் இணையியங்கள் இதற்குள்ளேயே உள்ளன.
 
 இது மாத்திரமல்ல.  இவ்வுட்குலத்தைத்தவிர  ''A&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;'' இல் வேறொரு இயல்நிலை உட்குலம் இருக்கவே முடியாதென்பதையும் நாம் தீர்மானிக்க முடியும். ஏனென்றால், அப்படி இன்னொரு இயல்நிலை உட்குலம் ஒன்று இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம்.  அதை ''K'' என்று அழை. இதனில், (234), (243)= (234)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, இவையிரண்டில் ஏதாவதொன்று ''K''இல் இருந்தால் மற்றதும் ''K'' இல் இருந்தாகவேண்டும். (காரணம் ''K'' ஒரு குலம்). மேலும்,இதைத் தொடர்ந்து,
 
 ::(2 3 4), (2 4 3), (1 4 3), (1 3 4), (1 2 4), (1 4 2), (1 2 3), (1 3 2)
 
 இவை எட்டில், ஏதாவதொன்று ''K'' இல் இருந்தால் மற்ற அனைத்தும் ''K'' இல் இருந்தாகவேண்டும். ஏனென்றால் அவை ஒன்றுக்கொன்று இணையியங்கள் (எல்லாம் ஒரே பொதுவான சுழலமைப்புள்ளவை).
 அதனால் ''K''இன் கிரமம் ≥ 8. ஆனால் [[லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம்|லாக்ராஞ்சியின் தேற்றப்படி]] ''K'' இன் கிரமம் ''A&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;'' இன் கிரமமான 12 ஐ வகுத்தாகவேண்டும். இதனால் ''K'' = ''A&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;''.  ஆக, ''A&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;'' இன் இயல்நிலை உட்குலம் நான்குறுப்புக்குலம் ஒன்று மட்டும் தான்.
 
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
 
 [[வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு]]
 
 [[வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல்]]
 
 [[பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு]]