பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள்
'''பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள் ''' (Burnside-Frobenius Lemma) என்பது [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] [[சேர்வியல் (கணிதம்)|சேர்வியலில்]] உள்ள ஓர் அடிப்படையான கொற்கோள்.
 
 இக் கொற்கோளை விளங்கிக்கொள்ள சில அடிப்படையான கேள்விகளைக் கேட்கலாம். ஒருவர் அணியும் முத்துமாலையில், ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிகையான பல [[நிறம்|நிற]] முத்துக்கள் இருந்தால், இருக்கும் நிறமுத்துக்களை வேறுவேறு அடுக்கில் கோத்து எத்தனை வேறு வேறு மாலைகள் உருவாக்க முடியும்? மாலையின் சுழற்சியால் ஒன்றுக்கொன்றாய் மாற்றக்கூடிய மாலைகள் வேறாகக் கருதப்படுவதில்லை.
 
 ஒரு கனசதுரத்தின் பக்கங்களை  n நிறங்களால் எத்தனை விதமாக நிறப்படுத்தலாம்? நிறப்படுத்தப்பட்ட கனசதுரங்கள்  சுழற்சியாலோ அல்லது எதிர்வுகளினாலோ அல்லது இவைகளின் கலவையினாலோ மாற்றக்கூடியதாக இருந்தால அவை வேறாகக் கருதப்படுவதில்லை.
 
 ஆறு [[கரிமம்|கரிம]] அணுக்கள் கொண்ட [[பென்சீன்]] மூலக்கூறுகள் எத்தனை இருக்கமுடியும்?
 
 சமச்சீர் இருக்குமிடத்திலெல்லாம் இதுபோன்ற கேள்விகள் எழுகின்றன. இவைகளை [[சேர்வியல் (கணிதம்)|சேர்வியலி]]ல் அலசி ஆராய்ந்து பல வழிமுறைகள் கண்டுபிடித்திருக்கின்றனர். அம்முறைகளுக்கெல்லாம் தலையாயத் தேற்றமாக இருந்தது [[குலக்கோட்பாடு|குலக்கோட்பாட்]]டில் [[ஃப்ரொபீனியஸ்]] (1849 - 1917) கண்டுபிடித்த ஒரு சுவையான தேற்றம். இது முதன் முதலில் [[பர்ன்ஸைட்]] (1852 - 1927)  எழுதிய கணித நூலில் பிரபலமானது. இதனால் இதற்கு '''பர்ன்ஸைட் கொற்கோள்''' என்றோ '''பர்ன்ஸைட்-ஃப்ரொபீனியஸ் கொற்கோள் ''' (Burnside-Frobenius Lemma) என்றோ பெயர் வழங்குகிறது.
 
 ==சுற்றுப்பாதைகள்==
 
 &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; என்றொரு குலத்தை எடுத்துக்கொள்வோம். இது &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; என்றொரு கணத்தின்மேல் [[வரிசைமாற்றுக் குலம்|வரிசைமாற்றுக்குலமாக]] செயல்படுகிறதாகக் கொள்வோம். அதாவது &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; யிலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; யும் &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;s&lt;/math&gt;  ஐ &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; யிலுள்ள  &lt;math&gt;gs&lt;/math&gt; என்றொரு உறுப்புக்கு எடுத்துச்செல்கிறது என்று பொருள். இதை வைத்துக்கோண்டு &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; இல் உள்ள உறுப்புகளுக்குள் ஒரு உறவு  (' &lt;math&gt;\sim&lt;/math&gt; ') ஏற்படுத்தமுடியும். அதாவது,
 
 :: &lt;math&gt;s_1 \sim s_2&lt;/math&gt;  என்றால்  &lt;math&gt;gs_1 = gs_2&lt;/math&gt; என்றிருக்கும்படி  &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இல்  &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; என்றொரு உறுப்பு உள்ளது என்று பொருள்.
 
 இந்த உறவு ஒரு [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவு]]. அதனால் &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; பற்பல [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமானப் பகுதி]]களாகப்பிரிகிறது. இச்சமானப்பகுதிகளை &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;-சுற்றுப்பாதைகள் என்றோ அல்லது (&lt;math&gt;G&lt;/math&gt; என்ற குலத்தைச் சுட்டிக்காட்ட அவசியமில்லாதபோது) '''சுற்றுப்பாதைகள்''' (Orbits) என்று மட்டுமோ  அழைப்போம். ஒவ்வொரு &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;-சுற்றுப்பாதையையும்
 
 : &lt;math&gt;G_s = \{t \in S | G&lt;/math&gt; இலுள்ள ஏதோவொரு  &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; க்கு, &lt;math&gt;t = g(s)\}&lt;/math&gt;
 
 என்று குறிக்கலாம்.
 
 ==நிலையாக்கிகள்==
 
 &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; க்கும்  &lt;math&gt;\{g \in G | g(s) = s\}&lt;/math&gt; என்ற கணம்  &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; இன் '''நிலையாக்கி''' (Stabilizer) எனப்பெயர் பெறும். அதாவது அதிலுள்ள  எல்லா  &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; யும்  &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ஐ நிலைபெறுத்துகிறது. இது  &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;  இன் ஒரு உட்கணம்தான் என்று உடனே நிறுவிவிடலாம். இதை  &lt;math&gt;Stab_G(s)&lt;/math&gt; என்றும் குறிப்பதுண்டு. இதிலுள்ள &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; க்களின் எண்ணிக்கையை  &lt;math&gt;\eta(s)&lt;/math&gt; என்ற குறியீட்டால் குறிப்போம்.
 
 ==மாறாமிகள்==
 
 &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; க்கும்  &lt;math&gt;\{s \in S | gs = s\}  = S_g &lt;/math&gt; என்ற கணம்  &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; இனால் '''மாற்றமுறாத கணம்''' எனப்படும். இதில் உள்ள ஒவ்வொரு  &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ம்  &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; க்கு ஒரு '''மாறாமி''' (Invariance).  &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; இனுடைய மாறாமிகளின் எண்ணிக்கை  &lt;math&gt;|S_g|.&lt;/math&gt; இதை &lt;math&gt;\psi(g)&lt;/math&gt; என்ற குறியீட்டால் குறிப்போம்.
 
 ==பர்ன்ஸைட் கொற்கோள்==
 
 G என்பது வெற்றில்லாத  கணம் S ஒன்றின்மேல் வரிசைமாற்றுக் குலமாக செயல்பட்டுக்கொண்டிருக்கும் ஒரு [[முடிவுறு குலம்]] என்றால், G-சுற்றுப்பாதைகளின் எண்ணிக்கை =
 
 :: (*) &lt;math&gt;\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \psi(g)&lt;/math&gt;
 
 ==நிறுவலின் முதல் படி ==
 
 கீழேயுள்ள  &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; என்ற கணத்தைப்பார்.
 
 ::&lt;math&gt;\{(g,s) | g \in G, s \in S  \ni  gs = s\}&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; யின் எண்ணளவையை இரண்டுவிதமாக எண்ணலாம்.
 
 முதலில்  &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; க்கும் &lt;math&gt; gs = s&lt;/math&gt; என்ற பண்புடன் கூடிய  &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ஐக்கணக்கிடு. இவ்வெண்ணிக்கை = &lt;math&gt;\psi(g).&lt;/math&gt; இதனால்
 
 :: &lt;math&gt;|A|  = \sum_{g\in G} \psi(g).&lt;/math&gt;
 
 இரண்டாவதாக &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு  &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; க்கும்  &lt;math&gt;gs = s&lt;/math&gt; என்ற பண்புடன் கூடிய &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; ஐக் கணக்கிடு. இவ்வெண்ணிக்கை = &lt;math&gt;\eta(s).&lt;/math&gt; இதனால்
 
 :: &lt;math&gt;|A|  = \sum_{s\in S} \eta(s).&lt;/math&gt;
 
 இவ்விரண்டும் சமமானதால்,  நாம் (*) ஐ நிறுவிக் காட்டுவதற்குப் பதில்
 
 &lt;math&gt;p = \frac{1}{|G|}\sum_{s\in S}\eta(s)&lt;/math&gt;
 
 என்று காண்பித்துவிட்டால் போதும்; பர்ன்ஸைட் கொற்கோள் நிறுவப்பட்டதாய்விடும்.
 
 ==பர்ன்ஸைட் கொற்கோளின் நிறுவல்==
 
 &lt;math&gt;S_0&lt;/math&gt; என்றொரு  &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;-சுற்றுப்பாதையை எடுத்துக் கொள்வோம். இதில் &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; உறுப்புகள் இருப்பதாகவும் கொள்வோம். அவைகளை &lt;math&gt;s_1, s_2, ..., s_k&lt;/math&gt; என்று பெயரிடு. அவைகளில் ஏதாவதொன்றை  &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; என்ற குறியீட்டால் குறிப்போம்.
 
 &lt;math&gt;s \sim  s_1&lt;/math&gt; . &lt;math&gt;\therefore G&lt;/math&gt; இல் &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; என்றொரு  உறுப்பு &lt;math&gt;g(s) = s_1&lt;/math&gt; என்ற பண்புடன் உள்ளது.
 
 இந்த &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; இனுடைய நிலையாக்கி  &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இல் இருக்கும். அதில்  &lt;math&gt;\eta (s)&lt;/math&gt; உறுப்புகள் இருப்பதாகக் கொண்டால், அவைகளை
 
 ::  &lt;math&gt;\{ g_1, g_2, ... , g_{\eta(s)}\}&lt;/math&gt; என்று குறிக்கலாம்.
 
 இப்பொழுது, &lt;math&gt; B = \{gg_1, gg_2, ... , gg_{\eta(s)}\}&lt;/math&gt; என்ற கணத்தைப்பார். இதிலிலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் வெவ்வேறான உறுப்பு. ஏனென்றால்,  &lt;math&gt;gg_i = gg_j&lt;/math&gt; யாக இருந்தால், &lt;math&gt;g_i, g_j&lt;/math&gt; இரண்டும் ஒன்றாகிவிடும்.
 
 &lt;math&gt;g_i&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;  s&lt;/math&gt; ஐ  &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; க்கே கொண்டு செல்கிறது.   &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;  s&lt;/math&gt; ஐ &lt;math&gt;s_1&lt;/math&gt; க்குக்கொண்டு செல்கிறது.  ஆக  &lt;math&gt;gg_i&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt; s&lt;/math&gt; ஐ  &lt;math&gt;s_1&lt;/math&gt; க்குக்கொண்டு செல்கிறது. அதாவது, &lt;math&gt;gg_1, gg_2, gg_3, ... gg_{\eta (s)}&lt;/math&gt; எல்லாம்  &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ஐ &lt;math&gt;s_1&lt;/math&gt; க்குக்கொண்டு செல்கிறது.
 
 &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ஐ &lt;math&gt;s_1&lt;/math&gt; க்கு இழுத்துச் செல்லும் &lt;math&gt; G&lt;/math&gt; இன் உறுப்புகள் இவ்வளவேதான்; ஏனென்றால், &lt;math&gt;g_0&lt;/math&gt;  என்றொரு உறுப்பு &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இல்  இருந்துகொண்டு &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ஐ &lt;math&gt;s_1&lt;/math&gt; க்கு இழுத்துச் செல்லுமானால், அதை  &lt;math&gt;g(g^{-1}g_0)&lt;/math&gt; என்று எழுதலாம். இங்கு &lt;math&gt; g^{-1}g_0&lt;/math&gt;  என்பது  &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ஐ  நிலைபெறச் செய்யும். அதனால்  அது  &lt;math&gt;g_i&lt;/math&gt; இல் ஏதாவதொன்றே.அதனால் &lt;math&gt;g_0&lt;/math&gt; ம்  &lt;math&gt;gg_i&lt;/math&gt; என்ற உருவத்தில்தான்  இருக்கிறது. அதாவது  அது  B இல் ஓருறுப்பு.
 
 ஆக, B இல் உள்ள  &lt;math&gt;\eta(s)&lt;/math&gt;   உறுப்புகள்தான் &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ஐ &lt;math&gt;s_1&lt;/math&gt; க்குக்கொண்டு செல்பவை.
 
 மேலேயுள்ள வாதத்தைல் &lt;math&gt;s_1&lt;/math&gt; இன் இடத்தில், &lt;math&gt;s_2, s_3, ... s_k&lt;/math&gt; ஆகியவற்றில் எதையும் சொல்லியிருக்கலாம். ஆகையால், G இல்,
 
 &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ஐ &lt;math&gt;s_1&lt;/math&gt; க்குக்கொண்டு செல்லும்  உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை  &lt;math&gt;\eta(s)&lt;/math&gt; ;
 
 &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ஐ &lt;math&gt;s_2&lt;/math&gt; க்குக்கொண்டு செல்லும்  உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை  &lt;math&gt;\eta(s)&lt;/math&gt; ;
 
 ..........
 
 &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ஐ &lt;math&gt;s_k&lt;/math&gt; க்குக்கொண்டு செல்லும்  உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை  &lt;math&gt;\eta(s)&lt;/math&gt; ;
 
 &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இன் உறுப்புகள் &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; ஐ வேறு எதற்கும் கொண்டு செல்ல முடியாது; ஏனென்றால்  &lt;math&gt;s \in G&lt;/math&gt;-சுற்றுப் பாதை &lt;math&gt;S_0 = \{s_1, s_2, ... s_k\}.&lt;/math&gt;
 
 ஆகையால், &lt;math&gt;|G| =  k \times \eta(s)&lt;/math&gt;
 
 இதையே வேறுவிதமாகச் சொன்னால், &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; இன் சமானப் பகுதி &lt;math&gt;S_0&lt;/math&gt; இல்  உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை = k =
 
 ::= &lt;math&gt; \frac{|G|}{ \eta(s)}  = \frac{|G|}{|Stab_G(s)|}.&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\therefore  \sum_{s\in S_{0}}\eta(s) =  \frac{|G|}{k} + \frac{|G|}{k} + ... k times  = |G|&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\therefore  G&lt;/math&gt;-சுற்றுப்பாதைகளின் எண்ணிக்கை  &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; யானால்,   &lt;math&gt;\sum_{s\in S}\eta(s) = |G| + |G| + ... p times. = p|G|.&lt;/math&gt;
 
 இதிலிருந்து   &lt;math&gt;p = \frac{1}{|G|}\sum_{s\in S}\eta(s)&lt;/math&gt;. Q.E.D.
 
 ==பயன்பாடுகள்==
 பயன்பாடுகளுக்கு தனிக்கட்டுரைகளைப்பார்க்கவும்:
 
 * திண்மங்களை நிறப்படுத்தும் வகைகள்
 * வேதியியலில் மாற்றியங்களை எண்ணல்
 * பலநிற மணிகள் கோக்கப்பட்ட மாலைகள்
 * இதர பயன்பாடுகள்
 
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
 
 *[[போல்யா எண்ணெடுப்புத் தேற்றம்]]
 *[[:W:en:Burnside's lemma|பர்ன்சைடின் மெய்க்கோள்]]
 
 [[பகுப்பு:சேர்வியல்]]
 [[பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு]]