யூக்ளிடிய வகுத்தல்
[[File:Euclidean division example.svg|thumb|ஐந்தைந்து கொண்ட மூன்று கூறுகாளாக 17 பிரிக்கப்படும்போது இரண்டு மீதியாகிறது. இதில் வகுபடுஎண்: 17; வகுஎண் 5; ஈவு 3; மீதி 2.&lt;br/&gt;17 = 5 &amp;times; 3 + 2]]
 [[எண்கணிதம்|எண்கணிதத்தில்]] '''யூக்ளிடிய வகுத்தல்''' (''Euclidean division'') என்பது இரு [[முழு எண்]]களின் [[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுத்தலைக்]] குறிக்கிறது. இரு முழுஎண்களின் வகுத்தலின் விளைவாக ஒரு [[ஈவு]]ம் [[மீதி (கணிதம்)|மீதியும்]] கிடைக்கின்றன. இவ்வாறு பெறப்படும் ஈவும் மீதியும் தனித்தவை என்பதையும், அவற்றுக்கான சில பண்புகளையும் தருகின்ற தேற்றமொன்று உள்ளது. முழுஎண் வகுத்தலின் படிமுறைத் தீர்வுகள், இரு முழுஎண்களை வகுத்து ஈவையும் மீதியையும் கணக்கிட உதவுகின்றன. அவற்றுள் [[நெடுமுறை வகுத்தல்]] மிகவும் அறியப்பட்ட ஒன்றாகும். முழுஎண்கள் குறித்த பல கேள்விகளுக்கு, யூக்ளிடிய வகுத்தலும் அதைச் செய்வதற்கான படிமுறைத்தீர்வுகளும் அடிப்படையாக உள்ளன. இரு முழுஎண்களின் [[மீப்பெரு பொது வகுத்தி]] காண்பதற்குப் பயன்படும்  [[யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வு|யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வையும்]], மீதியை மட்டுமே கருத்தில் கொள்ளும் [[சமானம், மாடுலோ n]]ஐயும் இதற்கு எடுத்துக்காட்டாகக் கூறலாம்.
 
 ==உள்ளுணர்வுவழியான எடுத்துக்காட்டு==
 [[File:Pie division.svg|thumb|படத்தில் காணும் உணவுப்பண்டம் 9 துண்டுகளைக் கொண்டுள்ளது. ஒருவருக்கு 2 துண்டுகள் வீதம் 4 பேருக்குத் தந்தபின் 1 மீதியாக உள்ளது.]]
 
 9 துண்டுகள் கொண்ட ஒரு உணவுப்பண்டத்தை 4 பேருக்குச் சமமாகப் பிரிக்கவேண்டுமெனில், யூக்ளிடிய வகுத்தலின் படி, 9 ஐ 4 ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவு = 2; மீதி = 1. எனவே ஒருத்தருக்கு 2 துண்டுகள் வீதம் நால்வருக்கும் பகிர்ந்தளித்த பின்னர் 1 துண்டு மீதியிருக்கும்.
 
 வகுத்தலின் எதிர்மாறுச் செயலான பெருக்கலைக் கொண்டு இதைச் சரிபார்க்கலாம்:
 ஒருவருக்கு 2 துண்டுகள் வீதம் 4 பேருக்குக் கொடுக்கப்பட்டது எனில், 4 &amp;times; 2 = 8 துண்டுகள் அளிக்கப்பட்டு விட்டன; ஒன்று மீதமுள்ளது. எனவே மொத்தத் துண்டுகள் 4 &amp;times; 2 = 8 + 1 = 9. அதாவது 9 = 4 × 2 + 1.
 
 இதனைப் கீழுள்ளவாறு பொதுமைப்படுத்தலாம்:
 
 ''a'' எண்ணிகையிலான துண்டுகளை ''b'' நபர்களுக்குச் சமமாகப் பகிர்ந்தளிக்கும்போது ஒவ்வொருவருக்கும்  ''q'' துண்டுகள் (ஈவு) கிடைத்தது போக ''r'' (&lt; ''b'') துண்டுகள் மீதமிருக்கும்.
 
 :''a'' = ''bq'' + ''r'' .
 9 துண்டுகள் கொண்ட ஒரு உணவுப்பண்டத்தை 4 பேருக்குப் பதில் 3 பேருக்குச் சமமாகப் பிரித்தால்,  ஒவ்வொருவருக்கும் 3 துண்டுகள் கிடைக்கும். மீதியிருக்காது. இங்கு மீதி = 0. இந்த வகுத்தலில் 3 ஆனது 9 ஐச் சரியாக வகுக்கிறது எனப்படும். மேலும், 3 ஆனது 9 இன் வகுஎண் எனப்படும்.
 
 எதிர்ம முழுஎண்களுக்கும் யூக்ளிடிய வகுத்தலை நீட்டிக்கலாம்:
 : −9 = 4 × (−3) + 3. எனவே −9 ஐ  4 ஆல் வகுத்தால் ஈவு = ; மீதி = 3
 
 ==தேற்றம்==
 தரப்பட்ட இரு முழுஎண்கள் {{math|''a''}}, {{math|''b''}},  {{math|''b'' ≠ 0}} எனில்,
 :{{math|1=''a'' = ''bq'' + ''r''}} 
 என்ற முடிவை நிறைவுசெய்யும் இரு [[தனித்தன்மை அளவாக்கம்|தனித்த]] இரு முழுஎண்கள் {{math|''q''}}, {{math|''r''}} இருக்கும். மேலும்,
 :{{math|0 ≤ ''r'' &lt; {{!}}''b''{{!}}}},  {{math|{{!}}''b''{{!}}}} என்பது {{math|''b''}} இன் [[தனி மதிப்பு|தனிமதிப்பைக்]] குறிக்கும்&lt;ref&gt;{{cite book |title=Elementary Number Theory |url=https://archive.org/details/elementarynumber0000burt_q2a6 |last=Burton |first=David M. |year=2010 |publisher=McGraw-Hill |isbn=978-0-07-338314-9 |pages=[https://archive.org/details/elementarynumber0000burt_q2a6/page/17 17]–19}}&lt;/ref&gt;
 
 இத்தேற்றத்திலுள்ள நான்கு முழுஎண்களில், {{math|''a''}} வகுபடுஎண்;  {{math|''b''}} வகுஎண்;  {{math|''q''}} ஈவு; {{math|''r''}} மீதி.
 
 வகுபடுஎண், வகுஎண் கொண்டு ஈவையும் மீதியையும் கண்டுபிடிக்கும் செயலானது, வகுத்தல் அல்லது யூக்ளிடிய வகுத்தல். {{math|1=''b'' = 0}} எனில் வகுத்தல் வரையறுக்கப்படவில்லை ([[பூச்சியத்தால் வகுத்தல்]] வரையறுக்கப்படாத ஒன்று)
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 * ''a'' = 7, ''b'' = 3, எனில், ''q'' = 2, ''r'' = 1,  (7 = 3 × 2 + 1).
 * ''a'' = 7, ''b'' = −3, எனில், ''q'' = −2, ''r'' = 1, (7 = −3 × (−2) + 1).
 * ''a'' = −7, ''b'' = 3, எனில், ''q'' = −3, ''r'' = 2, (−7 = 3 × (−3) + 2).
 * ''a'' = −7, ''b'' = −3, எனில், ''q'' = 3, ''r'' = 2, (−7 = −3 × 3 + 2).
 
 ==நிறுவல்==
 இத்தேற்றத்தின் நிறுவல் இரு பகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது:
 # ''q'' , ''r'' உள்ளமைக்கான நிறுவல்
 # ''q'' , ''r'' இன் தனித்தன்மையை நிறுவல்
 
 ===முதற்பகுதி===
 ;வகை 1  
 :&lt;math&gt;a \ge 0 , b &gt; 0 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;a = bq_1 + r_1 &lt;/math&gt; என்பதை நிறைவு செய்யக்கூடிய இரு எதிர்மமில்லா எண்கள்  &lt;math&gt;q_1 , r_1 &lt;/math&gt; என்க. (எடுத்துக்காட்டாக, &lt;math&gt;q_1 = 0 , r_1 = a&lt;/math&gt;)
 :இதில் &lt;math&gt;r_1 &lt; b &lt;/math&gt; ஆக இருந்தால் தேற்ற முடிவு உண்மை.
 :மாறாக &lt;math&gt;r_1 &gt; b &lt;/math&gt; எனில்,
 :&lt;math&gt;a = bq_2 + r_2 , 0 \le r_2 &lt; r_1 &lt;/math&gt; நிறைவு செய்யும் வகையில் &lt;math&gt;q_2 = q_1 + 1 , r_2 = r_1 - b &lt;/math&gt; ஐக் காணலாம்.
 :இதிலும் &lt;math&gt;r_2 &gt; b &lt;/math&gt; எனில்,
 :மேலுள்ள முறையில் தொடர்ந்தோமானால், ஒருநிலையில்  
 :&lt;math&gt;a = bq + r , 0 \le r &lt; b &lt;/math&gt; என்பதை நிறைவு செய்யக்கூடிய &lt;math&gt;q = q_k , r = r_k &lt;/math&gt; இரண்டையும் காண முடியும்.
 
 எனவே தேற்றமானது  &lt;math&gt;a \ge 0 , b &gt; 0 &lt;/math&gt; எனில் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது. அத்துடன் ஈவு மற்றும் மீதியைக் கணிக்கடுவதற்கான ஒரு எளிய வகுத்தல் படிமுறைத் தீர்வும் கிடைக்கிறது. எனினும் இத்தீர்வுமுறைக்கு ''q'' படிகள் தேவைப்படும்.
 
 ;வகை 2:
 :&lt;math&gt;b &lt; 0 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;b' = -b, q' = -q &lt;/math&gt; என எடுத்துக்கொண்டால்,
 :&lt;math&gt; a = bq + r &lt;/math&gt; ஆனது &lt;math&gt;a = b'q' + r &lt;/math&gt; எனவும், &lt;math&gt; 0 \le r &lt; |b| &lt;/math&gt; ஆனது &lt;math&gt; 0 \le r &lt; |b'|&lt;/math&gt; ஆகவும் மாறும். எனவே, ''b'' &lt; 0 இன் வகை, ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட முதல் வகையாக மாறிவிடுகிறது.
 
 ;வகை 3
 :&lt;math&gt;a &lt; 0 , b &gt; 0 &lt;/math&gt;, 
 :&lt;math&gt; a' = -a, q' = -q - 1, r' = b - r &lt;/math&gt; என எடுத்துக்கொண்டால்,
 :&lt;math&gt; a = bq + r &lt;/math&gt; ஆனது &lt;math&gt;a' = bq' + r' &lt;/math&gt; எனவும், &lt;math&gt; 0 \le r &lt; |b| &lt;/math&gt; ஆனது &lt;math&gt; 0 \le r' &lt; |b|&lt;/math&gt; ஆகவும் மாறும். எனவே இந்த வகை ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட முதல் வகையாகிவிடுகிறது.
 
 ===தனித்தன்மை===
 :&lt;math&gt;a = bq + r, \quad 0 \le r &lt; b &lt;/math&gt; ஐ நிறைவு செய்யும் &lt;math&gt;q, r &lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;a = bq' + r', \quad 0 \le r' &lt; b &lt;/math&gt; ஐ  நிறைவு செய்யும் &lt;math&gt;q' , r' &lt;/math&gt; உள்ளன என்க.
 
 : &lt;math&gt; 0 \le r &lt; |b|, &lt;/math&gt; &lt;math&gt;-|b| &lt; -r' \le 0 \quad&lt;/math&gt;  இரண்டையும் கூட்ட,
 : &lt;math&gt;-|b| &lt; r - r' &lt; |b| \quad&lt;/math&gt;  எனக் கிடைக்கிறது. அதாவது, 
 : &lt;math&gt; |r - r'| &lt; |b| &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;a = bq + r  &lt;/math&gt; , &lt;math&gt;a = bq' + r' &lt;/math&gt; இரண்டையும் கழிக்க,
 : &lt;math&gt;b(q - q') = (r -r') &lt;/math&gt; கிடைக்கிறது. 
 : எனவே &lt;math&gt; |r - r'| &lt;/math&gt; ஐ &lt;math&gt;|b|&lt;/math&gt; வகுக்கும். 
 : &lt;math&gt;|r - r'| \not =  0 &lt;/math&gt; எனில் &lt;math&gt; |b| \le |r - r'| &lt;/math&gt;ஆகும். இது முந்தைய சமனிலியோடு முரண்படுகிறது.
 : எனவே &lt;math&gt;r = r' &lt;/math&gt; ; &lt;math&gt;b(q - q') = 0 &lt;/math&gt; 
 : &lt;math&gt;b \not =  0 &lt;/math&gt; என்பதால், &lt;math&gt;q = q' &lt;/math&gt;
 
 எனவே ''q'', ''r'' இன் தனித்தன்மை நிறுவப்படுகிறது.
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 * {{citation|first=John B.|last=Fraleigh|title=A First Course in Abstract Algebra|edition=5th|year=1993|publisher=Addison-Wesley|isbn=978-0-201-53467-2}}
 * {{citation|first=Joseph J.|last=Rotman|title=A First Course in Abstract Algebra with Applications|edition=3rd|year=2006|publisher=Prentice-Hall|isbn=978-0-13-186267-8}}
 
 [[பகுப்பு:எண்கணிதம்]]