வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு
[[வரிசைமாற்றங்கள்]] என்பது [[கணிதம்|கணிதத்]]தில் மாத்திரமல்ல, பற்பல சூழ்நிலைகளிலும் எல்லாப் பயன்பாடுகளிலும்  நேரக்கூடிய ஒரு கணிதக் கருத்து. வரிசை மாற்றங்கள் அவைகளின் [[சேர்வு (கணிதம்)|சேர்வு]] என்ற செயல்பாட்டினால் [[குலம் (கணிதம்)|குலம்]] என்ற கணித அமைப்பாகக் கூடும். அப்படி ஏற்படும் '''வரிசைமாற்றக் குலம்''' (Permutation Group) ஒவ்வொன்றுக்கும் அதைத் தனிப்படுத்திக் காட்டக் கூடிய ஒரு கருத்து தான் அவைகளின் '''சுழற் குறியீடு''' (Cycle Index). ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் ஒரு [[வரிசைமாற்றத்தின் சுழலமைப்பு|சுழலமைப்பு]] உண்டு. ஒரு [[வரிசைமாற்றுக் குலம்|வரிசைமாற்றக்குலத்]] திலுள்ள  வரிசைமாற்றங்களின் சராசரிச் சுழலமைப்பிற்கு அதன் சுழற்குறியீடு  என்று பெயர்.&lt;ref&gt;{{harvnb|Dixon|Mortimer|1996|loc=pg. 2, section 1.2 Symmetric groups}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{harvnb|Cameron|1994|loc=pg. 231, section 14.3}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;This notational style is frequently found in the computer science literature.&lt;/ref&gt;
 
 ==முறையான வரையறை==
 
 &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; குறியீடுகளின் வரிசைமாற்றங்களின் குலம்  &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ஒன்றை எடுத்துக் கொள்வோம்.  &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இனுடைய '''சுழற்குறியீடு''' என்பது கீழே வரையறுக்கப்பட்டபடி நேரும் &lt;math&gt;Z(G)&lt;/math&gt; என்ற ஓர் அடையாளப் [[பல்லுறுப்புக் கோவை]]. அதன் [[மாறி]]களாகத் திகழ்வது &lt;math&gt;s_1, s_2, ..., s_n&lt;/math&gt; என்ற தேரவியலாக் குறியீடுகள்:
 
 :: &lt;math&gt;Z(G) = Z(G: s_1, s_2, ..., s_n) =  \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} s_1^{\lambda_1(g)}s_2^{\lambda_2(g)}... s_n^{\lambda_n(g)}&lt;/math&gt; ; இங்கு,
 
 :: &lt;math&gt;\lambda_k(g)&lt;/math&gt; என்பது  &lt;math&gt; g&lt;/math&gt; -இன் சுழற்பிரிவினையில் உள்ள &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;-சுழல்களின் எண்ணிக்கை.
 
 :&lt;math&gt;s_1^{\lambda_1(g)}s_2^{\lambda_2(g)}... s_n^{\lambda_n(g)}&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; -இன் சுழலமைப்பு.  அதனால் &lt;math&gt;Z(G)&lt;/math&gt; ஐ &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;-இலுள்ள '''வரிசைமாற்றங்களின் சராசரிச் சுழலமைப்பு''' என்று சொல்லலாம்.
 
 ஏதாவதொரு  &lt;math&gt;\lambda_k(g) &lt;/math&gt; வெறும் 1 ஆக இருந்தால், &lt;math&gt;s_k^{\lambda_k(g)}&lt;/math&gt; ஐ  &lt;math&gt;s_k&lt;/math&gt;  என்றே எழுதலாம்.
 
 &lt;math&gt;s_1^{\lambda_1(g)}s_2^{\lambda_2(g)}... s_n^{\lambda_n(g)} &lt;/math&gt; ஐ  &lt;math&gt; s_{(\lambda)}&lt;/math&gt; என்றும்  எழுதுவதுண்டு.  இங்கு, &lt;math&gt;(\lambda)&lt;/math&gt; என்பது  &lt;math&gt;(1^{\lambda_1} 2^{\lambda_2} ... n^{\lambda_n})&lt;/math&gt; என்ற சுழலமைப்பைக் குறிக்கும்.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 
 *  &lt;math&gt;S_2 = \{e, (12)\}&lt;/math&gt;
 :: &lt;math&gt;Z(S_2: s_1, s_2) =  \frac{1}{2}(s_1^2 + s_2)&lt;/math&gt;
 
 * &lt;math&gt;S_3 = \{e, (1)(23), (2)(31), (3)(12), (123), (132)\}&lt;/math&gt;
 
 ::{| class=&quot;wikitable&quot;
 |-
 ! வரிசைமாற்றம்
 ! அதிலுள்ள சுழல்கள்
 ! சுழலமைப்பு
 |-
 | e
 | மூன்று 1-சுழல்கள்
 | &lt;math&gt;s_1^3&lt;/math&gt;
 |-
 | (1)(23)
 | ஓர் 1-சுழலும் ஓர் 2-சுழலும்
 | &lt;math&gt;s_1 s_2&lt;/math&gt;
 |-
 | (2)(31)
 | ஓர் 1-சுழலும் ஓர் 2-சுழலும்
 | &lt;math&gt;s_1 s_2&lt;/math&gt;
 |-
 | (3)(12)
 | ஓர் 1-சுழலும் ஓர் 2-சுழலும்
 | &lt;math&gt;s_1 s_2&lt;/math&gt;
 |-
 | (123)
 | ஒரு 3-சுழல்
 | &lt;math&gt;s_3&lt;/math&gt;
 |-
 | (132)
 | ஒரு 3-சுழல்
 | &lt;math&gt;s_3&lt;/math&gt;
 |}
 
 ::&lt;math&gt;\therefore Z(S_3: s_1, s_2, s_3) = \frac{1}{6}(s_1^3 + 3s_1s_2 + 2 s_3)&lt;/math&gt;
 
 * இதேபோல்  &lt;math&gt;Z(S_4) =  \frac{1}{24}\left(s_1^4 + 3 s_2^2 + 8 s_1 s_3 + 6 s_1^2 s_2 + 6 s_4\right)&lt;/math&gt;
 
 ==சமச்சீர் குலத்தின் சுழற் குறியீடு==
 
 மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து  &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-கிரமச் சமச்சீர் குலத்தின்  (அதாவது, &lt;math&gt;S_n&lt;/math&gt; இன்) சுழற்குறியீட்டைக் கணிப்பதற்கு நமக்குத்தெரிய வேண்டியதெல்லாம் ஒன்றே ஒன்றுதான்: அ-து, &lt;math&gt;S_n&lt;/math&gt; '''இலுள்ள ஒவ்வொரு சுழலமைப்பு வகையிலும் எத்தனை வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன''', என்பதுதான். இக்கேள்விக்கு விடை [[வரிசைமாற்றத்தைப் பற்றிய கோஷி தேற்றம்|கோஷி தேற்றத்தில்]] இருக்கிறது. அதைப் பயன்படுத்தினால்,
 
 ::&lt;math&gt;Z(S_n: s_1, s_2, ... )  =  \left(\sum_{\lambda_1+2\lambda_2+...+k\lambda_k = n} \frac{s_1^{\lambda_1}s_2^{\lambda_2}...s_k^{\lambda_k}}{1^{\lambda_1} 2^{\lambda_2} ... k^{\lambda_k}\lambda_1! \lambda_2! ...\lambda_k!}\right)&lt;/math&gt;
 
 அல்லது,  &lt;math&gt;Z(S_n) =  \sum_{(\lambda)\vdash n} \frac{s_{(\lambda)}}{\Pi(\lambda)} = \frac{1}{n!}\sum_{(\lambda)\vdash n}  g_{\lambda} s_{\lambda}.&lt;/math&gt;
 
 :: இங்கு  &lt;math&gt;\Pi(\lambda) = 1^{\lambda_1} 2^{\lambda_2} ... k^{\lambda_k}\lambda_1! \lambda_2! ...\lambda_k!&lt;/math&gt;.  மற்றும்  &lt;math&gt;g_{\lambda} =  \frac{n!}{\Pi({\lambda})}&lt;/math&gt;
 
 ==நான்முகியின் சமச்சீர்கள்==
 [[படிமம்:நான்முகியின் சுழற்சி.png|left|600px]][[படிமம்:நான்முகி சுண்டப்படல்.png|right|600px]] 
 ஓர் ஒழுங்கு நான்முகியின்  சுழற்சிச் சமச்சீர் குலத்தில்  இவை  பன்னிரண்டும் அடக்கம்:
 * நான்கு உச்சிப் புள்ளிகளிலிருந்து போகும் நடு அச்சுகளைச் சுற்றி  வலச்சுற்றாக &lt;math&gt;120^{\circ}&lt;/math&gt; சுழற்சிகள், இடச்சுற்றாக &lt;math&gt;120^{\circ}&lt;/math&gt; சுழற்சிகள்; ஆக 8 சுழற்சிகள்; 
 * எதிரெதிர் ஓரக்கோடுகளின் மையங்களைச் சேர்க்கும்  அச்சைச் சுற்றிய &lt;math&gt;180^\circ&lt;/math&gt; சுழற்சிகள்; இவை மூன்று;
 * ஒரு முற்றொருமைச் செயல்பாடு.
 
 இவைகளின் செயல்பாட்டினால்  ஏற்படும் பாதிப்புகளை மாதிரிக்காக கீழ்க்கண்டபடி அட்டவணைப் படுத்தலாம்:(குறிப்பு: உச்சிகளை 1,2,3,4 என்றும், ஓரக்கோடுகளை 1-2, 1-3, 3-4, .. என்றும் முகங்களை 1-2-3, 2-3-4, .. என்றும் குறிப்போம்).
 
 {| class=&quot;wikitable&quot;
 |-
 ! முதல் வகைச் சுழற்சியால் பாதிப்பு:
 ! மாதிரிச் செயற்பாடு
 ! சுழல்
 ! சுழலமைப்பு
 |-
 | உச்சிகளில்
 | &lt;math&gt;1\rightarrow 1; 2\rightarrow3\rightarrow4\rightarrow2&lt;/math&gt;
 | (1)(234)
 | &lt;math&gt;s_1 s_3&lt;/math&gt;
 |-
 | ஓரக்கோடுகளில்
 | &lt;math&gt;1-2 \rightarrow 1-3\rightarrow 1-4\rightarrow 1-2; 
  2-3\rightarrow 3-4\rightarrow4-2\rightarrow 2-3&lt;/math&gt;
 | (1-2 1-3 1-4)(2-3 3-4 4-2)
 | &lt;math&gt;s_3^2&lt;/math&gt;
 |-
 | முகங்களில்
 |&lt;math&gt;1-2-3\rightarrow1-3-4\rightarrow1-4-2;
  2-3-4\rightarrow2-3-4&lt;/math&gt;
 | (1-2-3 1-3-4 1-4-2)(2-3-4)
 | &lt;math&gt;s_1 s_3&lt;/math&gt;
 |-
 |}
 
 {| class=&quot;wikitable&quot;
 |-
 ! 2-வது சுழற்சியால் பதிப்பு
 ! மாதிரிச்செயற்பாடு
 ! சுழல்
 ! சுழலமைப்பு
 |-
 | உச்சிகளில்
 | &lt;math&gt;1\rightarrow3\rightarrow1;
  2\rightarrow4\rightarrow2&lt;/math&gt;
 | (13)(24)
 | &lt;math&gt;s_2^2&lt;/math&gt;
 |-
 | ஓரக்கோடுகளில்
 | &lt;math&gt;1-2\rightarrow3-4\rightarrow1-2;1-4\rightarrow3-2\rightarrow1-4;
  1-3\rightarrow 1-3; 2-4\rightarrow2-4&lt;/math&gt;
 | (1-2 3-4)(1-4 3-2)(1-3)(2-4)
 | &lt;math&gt;s_1^2 s_2^2&lt;/math&gt;
 |-
 | முகங்களில்
 | &lt;math&gt;1-2-3 \rightarrow 1-3-4\rightarrow 1-2-3;
  1-2-4\rightarrow 2-3-4\rightarrow 1-2-4&lt;/math&gt;
 | (1-2-3 1-3-4)(1-2-4 2-3-4)
 | &lt;math&gt;s_2^2&lt;/math&gt;
 |}
 
 *'''உச்சிகளினிடையில்''' இழைக்கப்படும்  வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:
 
 ::&lt;math&gt;\frac{1}{12}\left(s_1^4 + 8s_1s_3 + 3 s_2^2\right)&lt;/math&gt;.
 
 * '''ஓரக்கோடுகளினிடையில்''' இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:
 
 ::&lt;math&gt;\frac{1}{12}\left(s_1^6 + 8s_3^2 + 3 s_1^2 s_2^2 \right)&lt;/math&gt;.
 
 * '''முகங்களினிடையில்''' இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:
 
 ::&lt;math&gt;\frac{1}{12}\left(s_1^4 + 8s_1 s_3 +  3 s_2^2\right)&lt;/math&gt;
 
 ==கன சதுரத்தின் சமச்சீர்கள்==
 
 முதற்கண் '''சுழற்சிச் சமச்சீர்களை''' கவனிப்போம். இவை 24. அதாவது:
 
 * எதிரெதிர் உச்சிகளைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச்சுற்றி &lt;math&gt;120^{\circ}&lt;/math&gt; வலச்சுற்றுச்சுழற்சிகள், &lt;math&gt;120^{\circ}&lt;/math&gt; இடச்சுற்றுச் சுழற்சிகள்; ஆக 8.
 * எதிரெதிர் ஓரக்கோடுகளின் மையங்களைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச் சுற்றி &lt;math&gt;180^{\circ}&lt;/math&gt; சுழற்சிகள்; இவை 6.
 * எதிர் முகங்களின் மையங்களைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச் சுற்றி  &lt;math&gt;90^{\circ}&lt;/math&gt; வலச்சுற்றுச் சுழற்சிகள், &lt;math&gt;90^{\circ}&lt;/math&gt; இடச்சுற்றுச் சுழற்சிகள்; இவை 6.
 * அதே அச்சுகளைச்சுற்றி  &lt;math&gt;180^{\circ}&lt;/math&gt; சுழற்சிகள்; இவை 3.
 * ஒரு முற்றொருமைச் சுழற்சி.
 
 இவைகளின் செயல்பாட்டினால்
 
 *'''உச்சிகளினிடையில்''' இழைக்கப்படும்  வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:
 
 ::&lt;math&gt;\frac{1}{24}\left(s_1^8 + 6s_4^2 + 9 s_2^4 + 8s_1^2s_3^2\right)&lt;/math&gt;.
 
 * '''ஓரக்கோடுகளினிடையில்''' இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:
 
 ::&lt;math&gt;\frac{1}{24}\left(s_1^{12} +6s_4^3 + 3 s_2^6 + 8s_3^4 + 6 s_1^2 s_2^5 \right)&lt;/math&gt;.
 
 * '''முகங்களினிடையில்''' இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:
 
 ::&lt;math&gt;\frac{1}{24}\left(s_1^6 +6 s_1^2 s_4 + 3 s_1^2 s_2^2 + 8 s_3^2 +  6 s_2^3\right)&lt;/math&gt;
 
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
 
 [[போல்யா எண்ணெடுப்புத் தேற்றம்]]
 
 [[சமச்சீர் பல்லுறுப்பு]]
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 [[பகுப்பு:சேர்வியல்]]