ஆய்லர்-மெக்லாரின் வாய்பாடு
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''ஆய்லர்-மெக்லாரின் வாய்பாடு'''  (''Euler–Maclaurin formula'') என்பது, ஒரு [[தொகையீடு|தொகையீட்டுக்கும்]] அதனுடன் நெருங்கிய தொடர்புள்ள ஒரு [[கூட்டுகை]]க்கும் இடையேயுள்ள வித்தியாசத்தைக் காணவுதவும் ஒரு வாய்பாடு ஆகும். இவ்வாய்பாடு, முடிவுறு கூட்டுத்தொகைகளைக் கொண்டு தொகையீடுகளை தோராயப்படுத்துவதற்குப் பயன்படுகிறது. மேலும் மறுதலையாக, முடிவுறு கூட்டுத்தொகைகளையும், [[தொடர் (கணிதம்)|முடிவுறா தொடர்களையும்]], தொகையீடுகளையும் [[நுண்கணிதம்|நுண்கணித]]முறைகளையும் கொண்டு கணக்கிடவும் பயன்படுகிறது.  
 
 கணிதவியலாளர்கள் [[லியோனார்டு ஆய்லர்]], காலின் மெக்லாரின் ஆகிய இரு கணிதவியலாளர்களாலும் தனித்தனியாக இவ்வாய்பாடு ஏறக்குறைய 1735 இல் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.  ஆய்லருக்கு இது, மெதுவாக ஒருங்கும் முடிவுறாத் தொடர்களைக் கணக்கிடத் தேவைப்பட்டது. மெக்லாரின் தொகையீடுகளைக் கணிக்கிடுவதற்கு இவ்வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்தினார்.
 
 == வாய்பாடு==
 {{mvar|m,}} {{mvar|n}} இரண்டும் [[இயல் எண்]]கள்;  {{math|[''m'',''n'']}}, என்ற [[இடைவெளி (கணிதம்)|இடைவெளியில்]] {{mvar|x}} இன் மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கு, {{math|''f''(''x''),}} ஒரு [[மெய்யெண்|மெய்]] அல்லது [[சிக்கலெண்|சிக்கலெண்]] மதிப்புக்கொண்ட [[தொடர்ச்சியான சார்பு]] எனில்:
 &lt;math display=block&gt;I = \int_m^n f(x)\,dx&lt;/math&gt;
 என்ற தொகையீட்டைக் கீழ்வரும் கூட்டுதொகையாகவும், (எதிர் மாறாகவும்) தோராயப்படுத்தலாம்.
 &lt;math display=block&gt;S = f(m + 1) + \cdots + f(n - 1) + f(n)&lt;/math&gt;
 
 ஆய்லர்-மெக்லாரின் வாய்பாடானது, கூட்டுத்தொகைக்கும் தொகையீட்டுக்கும் உள்ள வித்தியாசத்தை {{math|[''m'',''n'']}} இடைவெளியின் இறுதிப்புள்ளிகளில் ({{math|''x'' {{=}} ''m'',}} {{math|''x'' {{=}} ''n''}}) காணப்படும் உயர்வரிசை [[வகையிடல்|வகையீடுகளைக்]] கொண்டு  ({{math|''f''&lt;sup&gt;(''k'')&lt;/sup&gt;(''x'')}}) கணக்கிடுகிறது.
 
 {{mvar|p,}} நேர்ம [[முழு எண்]]ணுக்கு, {{math|[''m'',''n'']}} இடைவெளியில், {{math|''f''(''x'')}} சார்பானது {{mvar|p}} தடவைகள் [[வகையிடத்தக்கச் சார்பு|வகையிடத்தக்கதாக]] இருந்தால்:
 &lt;math display=block&gt;S - I = \sum_{k=1}^p {\frac{B_k}{k!} \left(f^{(k - 1)}(n) - f^{(k - 1)}(m)\right)} + R_p,&lt;/math&gt;
 இதில், {{mvar|B&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;}} என்பது {{mvar|k}}ஆவது பெர்னோலி எண் ({{math|''B''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; {{=}} {{sfrac|1|2}}}}); {{mvar|R&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;}} என்பது பிழை உறுப்பு; இப்பிழை உறுப்பின் மதிப்பானது,  {{mvar|n}}, {{mvar|m}}, {{mvar|p}}, {{mvar|f}} ஆகியவற்றைச் சார்ந்தும், {{mvar|p}} இன் பொருத்தமான மதிப்புகளுக்குச் சிறியதாகவும் இருக்கும்.
 
 {{math|''B''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;}} ஐத் தவிர பிற ஒற்றை பெர்னோலி எண்கள் பூச்சியமாக இருக்குமென்பதால், பெரும்பாலும் இவ்வாய்பாடு, இரட்டைக் கீழொட்டுக்களைக் கொண்டு இவ்வாய்பாடு எழுதப்படுகிறது:&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;{{Cite journal| first = T. M. | title = An Elementary View of Euler's Summation Formula | journal = The American Mathematical Monthly | volume = 106 | date = 1 May 1999 | issue = 5 | pages = 409–418  | issn = 0002-9890| last = Apostol | doi = 10.2307/2589145| author-link= Tom M. Apostol| publisher =    Mathematical Association of America| jstor =    2589145}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;DLMF&quot;&gt;{{cite web|url=http://dlmf.nist.gov/2.10|title=Digital Library of Mathematical Functions: Sums and Sequences|publisher=National Institute of Standards and Technology}}&lt;/ref&gt;
 &lt;math display=block&gt;\sum_{i=m}^n f(i) =
     \int^n_m f(x)\,dx + \frac{f(n) + f(m)}{2} +
     \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p,
 &lt;/math&gt;
 :::(அல்லது)
 &lt;math display=block&gt;\sum_{i=m+1}^n f(i) =
     \int^n_m f(x)\,dx + \frac{f(n) - f(m)}{2} +
     \sum_{k=1}^{\left\lfloor \frac{p}{2}\right\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)\right) + R_p.
 &lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 ==மேலதிக வாசிப்புக்கு==
 {{refbegin}}
 * {{cite journal|first1= H. W. |last1=Gould | first2=William | last2=Squire | title = Maclaurin's second formula and its generalization |url= https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1963-01_70_1/page/44 | year=1963| journal=Amer. Math. Monthly | volume=70 | number=1 | pages=44–52| jstor=2312783 | mr=0146551 | doi=10.2307/2312783}}
 * {{cite web|last1=Gourdon | first1=Xavier|last2=Sebah|first2=Pascal |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/bernoulli.html |title= Introduction on Bernoulli's numbers|year=2002}}
 * {{cite journal|first1=Erich | last1=Martensen | title= On the generalized Euler-Maclaurin formula|journal=Z. Angew. Math. Mech. | volume =85 | number=12 | pages=858–863 | doi=10.1002/zamm.200410217 | mr=2184846 | year=2005| bibcode=2005ZaMM...85..858M | s2cid=123419717 }}
 * {{cite book | first1=Hugh L. |last1=Montgomery | author-link=| title=Multiplicative number theory I. Classical theory | series=Cambridge tracts in advanced mathematics | volume=97 | year=2007 | isbn=978-0-521-84903-6 | pages=495–519}}
 {{refend}}
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 * {{MathWorld|title=Euler–Maclaurin Integration Formulas|urlname=Euler-MaclaurinIntegrationFormulas}}
 
 [[பகுப்பு:தொகையீட்டு நுண்கணிதம்]]