எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள்
[[கணிதம்|கணிதத்தின்]] ஒரு முக்கியப் பிரிவான [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டில்]]  '''முற்றிசைவுப்பகுதிகள்''' (Congruence classes) என்பது ஒரு அடிப்படைக்கருத்து. 1801 இல் [[காஸ்]] என்ற [[ஜெர்மானிய]]க்கணித வல்லுனர் எழுதிய 'Disquistiones Arithmeticae' என்ற அவருடைய நூலில் விவரிக்கப்பட்டது.
 
 ==வரையறை==
 
 &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; என்பதை ஒரு [[முழு எண்]] ணாகவும், &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; என்பதை ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாகவும் கொள். அப்பொழுது, &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; (mod &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;) க்கு சமானமான (பார்க்க: [[சமானம், மாடுலோ n]]) எல்லா எண்களின் [[கணம்|கணத்]]திற்கு &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; (mod &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;) சமானப்பகுதி (Congruence class of a(mod n)) என்று பெயர். அதற்கு குறியீடு: &lt;math&gt;[a]_n&lt;/math&gt;. ஆக,
 
 *:: &lt;math&gt;[a]_n  = \{x \in \mathbf{Z}: x \equiv a(mod n)\}&lt;/math&gt;
 
 ==முக்கிய விளைவு==
 
 கணிதத்தில் 'சமானம்' ( Mathematical Equivalence) என்ற கருத்து நிகழும்போதெல்லாம் [[எதிர்வு உறவு|எதிர்வு]], [[சமச்சீர் உறவு|சமச்சீர்]] , [[கடப்பு உறவு|கடப்பு]] ஆகிய மூன்று உறவுகளும் அதனில் அடக்கம். பொதுவாக கணிதத்தில் எந்தெந்த கணத்தில்  'சமானம்' இம்முறையில் வரையறுக்கப் படுகிறதோ அங்கெல்லாம் அந்த கணம் சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும். எடுத்துக்காட்டைப் பார்த்தால் இது நன்கு விளங்கும்.
 
 ==எடுத்துக்காட்டு==
 
 7 என்ற மட்டு (modulus)ஒன்றை எடுத்துக்கொள்வோம். மாடுலோ 7 என்ற அடிப்படையில் எல்லா முழு எண்களையும் பிரித்தால் &lt;math&gt;\mathbf{Z}&lt;/math&gt; பின்வரும் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும்:
 
 : &lt;math&gt;[0]_7&lt;/math&gt;  = { ..., -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, ...}
 : &lt;math&gt;[1]_7&lt;/math&gt;  = { ..., -20, -13, -6, 1, 8, 15, 22, ...} 
 : &lt;math&gt;[2]_7&lt;/math&gt;  = { ..., -19, -12, -5, 2, 9, 16, 23, ...} 
 : &lt;math&gt;[3]_7&lt;/math&gt;  = { ..., -18, -11, -4, 3, 10, 17, 24, ...} 
 : &lt;math&gt;[4]_7&lt;/math&gt;  = { ..., -17, -10, -3, 4, 11, 18, 25, ...} 
 : &lt;math&gt;[5]_7&lt;/math&gt;  = { ..., -16, -9, -2, 5, 12, 19, 26, ...} 
 : &lt;math&gt;[6]_7&lt;/math&gt;  = { ..., -15, -8, -1, 6, 13, 20, 27, ...}
 
 ==முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம்==
 
 இப்பொழுது நமக்கு ஒரு புதிய கணம் கிடைத்திருக்கிறது. அதாவது:
 : &lt;math&gt;\{[0]_7, [1]_7, [2]_7, [3]_7, [4]_7, [5]_7, [6]_7\}&lt;/math&gt;
 இதை '''மாடுலோ 7 முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம்''' என்று சொல்வோம். குறியீடு &lt;math&gt;\mathbf{Z}_7&lt;/math&gt;.
 இதனில் முக்கியமாகக்குறிப்பிடப்படவேண்டியது:
 
 2 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதி, &lt;math&gt;[2]_7&lt;/math&gt;. இதையே 9 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதியாகவும் சொல்லலாம். அதாவது &lt;math&gt;[2]_7 = [9]_7&lt;/math&gt;. உண்மையில் அம்முற்றிசைவுப் பகுதியில் எந்த உறுப்பையும் ஒரு பிரதிநிதியாக எடுத்துக்கொள்ளலாம். இதனால்
 :... &lt;math&gt;[-5]_7 = [2]_7 = [9]_7&lt;/math&gt; = .....
 :... &lt;math&gt;[-21]_7 = ... = [0]_7  ....&lt;/math&gt;
 
 இவ்விதமே ஒவ்வொரு முழு எண் n ஐ வைத்தும் ஒரு &lt;math&gt;\mathbf{Z}_n&lt;/math&gt; என்ற ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதிகணம் உண்டு பண்ணலாம். இதைச் சுருக்கமாக n-மாடுலோ எண்களின் கணம் (Set of integers modulo n) என்றும் சொல்வதுண்டு.
 
 இப்பொழுது &lt;math&gt;\mathbf{Z}_n&lt;/math&gt; இல் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டல்]], [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]] செயலிகளை வரையறுப்போம்.
 
 ===கூட்டல் வரையறை===
 
 ::&lt;math&gt;[a]_n  + [b]_n  =  [a + b]_n&lt;/math&gt;
 
 அதாவது, இரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளில்  ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஏதாவதொரு உறுப்பை (பிரதிநிதியை) எடுத்து அவைகளைக் கூட்டினால், அந்த கூட்டுத்தொகையின் முற்றிசைவுப் பகுதிதான் அவ்விரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை. ஆக, உதாரணமாக, 
 :   &lt;math&gt;[2]_7  +  [6]_7  =  [2 + 6]_7  = [8]_7  = [1]_7&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;[2]_7&lt;/math&gt; க்கு பதிலாக, &lt;math&gt;[9]_7&lt;/math&gt; ஐயும், &lt;math&gt;[6]_7&lt;/math&gt; க்கு பதிலாக &lt;math&gt;[-15]_7&lt;/math&gt; ஐயும் எடுத்தாலும்,
 : &lt;math&gt;[9]_7 + [-15]_7 = [9 - 15] = [-6]_7 =[1]_7&lt;/math&gt; என்ற அதே விடைதான் வரும்.
 
 ===பெருக்கல் வரையறை===
 
 ::  &lt;math&gt; [a]_n \times [b]_n  =  [a \times b]_n&lt;/math&gt;
 அதாவது, இரண்டு முற்றிசைவுப்பகுதிகளில்  ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஏதாவதொரு உறுப்பை (பிரதிநிதியை) எடுத்து அவைகளைப் பெருக்கினால், அந்த பெருக்குத்தொகையின் முற்றிசைவுப் பகுதிதான் அவ்விரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் பெருக்குத்தொகை. ஆக, உதாரணமாக,
 :   &lt;math&gt;[2]_7 \times [6]_7 =  [2 \times 6]_7  = [12]_7 = [5]_7.&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;[2]_7&lt;/math&gt; க்கு பதிலாக, &lt;math&gt;[9]_7&lt;/math&gt; ஐயும், &lt;math&gt;[6]_7&lt;/math&gt; க்கு பதிலாக &lt;math&gt;[-15]_7&lt;/math&gt; ஐயும் எடுத்தாலும்,
 : &lt;math&gt;[9]_7 \times [-15]_7 = [9 \times (-15)]_7 = [-135]_7 = [-2]_7 = [5]_7&lt;/math&gt;  என்ற அதே விடைதான் வரும்.
 
 ==சுழி வகுப்பான் சுழி==
 
 &lt;math&gt;\mathbf{Z}_n&lt;/math&gt; இலுள்ள &lt;math&gt;[a]_n&lt;/math&gt; என்ற உறுப்பு (முற்றிசைவுப் பகுதி) பின்வரும் பண்பைப் பெற்றதானால்,
 :: ஏதோ ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதி &lt;math&gt;[b]_n&lt;/math&gt; க்கு, &lt;math&gt;[a]_n \times [b]_n = [0]_n&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;[a]_n&lt;/math&gt;  (அதனால் &lt;math&gt;[b]_n&lt;/math&gt; ம்) ஒரு '''சுழி வகுப்பான் சுழி மாடுலோ n'''  (Divisor of Zero modulo n) எனப்பெயர் பெறும்.
 
 எடுத்துக்காட்டாக, &lt;math&gt;[2]_6 \times [3]_6 = [0]_6&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;\therefore [2]_6&lt;/math&gt; ம் &lt;math&gt;[3]_6&lt;/math&gt; ம் சுழிவகுப்பான் சுழிகள் மாடுலோ 6 ஆகும்.
 
 ==பெருக்கல் நேர்மாறு==
 
 &lt;math&gt;[a]_n \times [b]_n = [1]_n&lt;/math&gt; ஆக இருக்குமானால்,
 &lt;math&gt;[a]_n&lt;/math&gt; ம் &lt;math&gt;[b]_n&lt;/math&gt; ம் ஒன்றுக்கொன்று '''பெருக்கல் நேர்மாறு''' எனப்படும்.
 
 எடுத்துக்காட்டாக, &lt;math&gt;[3]_7 \times [5]_7 = [1]_7 &lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;\therefore [3]_7&lt;/math&gt; ம் &lt;math&gt;[5]_7&lt;/math&gt; ம் பெருக்கல் [[நேர்மாறு உறுப்பு|நேர்மாறு]]களாகும்.
 
 ==சில விளைவுகள்==
 
 * ((a, n) = 1 அதாவது, a, n இரண்டுக்கும் 1 ஐத்தவிர வேறு பொதுக் [[காரணி]] கிடையாது என்றால், என்றால் தான்,
 :[&lt;math&gt;a]_n&lt;/math&gt; க்கு ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.
 
 * &lt;math&gt;\mathbf{Z}_n&lt;/math&gt; இலுள்ள சூனியமல்லாத ஓர் உறுப்பு பெருக்கல் நேர்மாறு பெற்றிருக்கும்; அல்லாவிட்டால் அது சுழிவகுப்பான் சுழியாக இருக்கும்.
 * &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; ஒரு நேர்ம முழுஎண் என்றால், பின்வரும் மூன்று வாசகங்களும் சமானம்:
 :: &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; ஒரு [[பகா எண்]] (prime number).
 :: &lt;math&gt;\mathbf{Z}_n&lt;/math&gt; இல் &lt;math&gt;[0]_n&lt;/math&gt; ஐத்தவிர வேறு சுழிவகுப்பான் சுழி இருக்காது.
 :: &lt;math&gt;\mathbf{Z}_n&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு சூனியமல்லாத உறுப்புக்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.
 
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
 *[[சமான உறவு (கணிதம்)]]
 
 [[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]