வெற்றுக் கணம்
[[Image:nullset.png|thumb|upright=0.6|வெற்றுக் கணம் என்பது உறுப்புகளே இல்லாத கணம்.]]
 [[கணக் கோட்பாடு|கணக்கோட்பாட்டில்]], '''வெற்றுக் கணம்'''  (''empty set'') என்பது உறுப்புகளே இல்லாத தனித்ததொரு (unique) கணமாகும். [[அடிக்கோள்]] சார்ந்த கணக்கோட்பாட்டில்  வெற்றுக்கணமானது,  வெற்றுக் கண அடிக்கோள் மூலம் தரப்பட்டுள்ளது. ஏனைய கோட்பாடுகளில் வெற்றுக் கணம் இருப்பதை உய்த்தறிந்து தெரிந்து கொள்ளலாம்.  கணங்களுக்குரிய பண்புகள் எல்லாம் வெற்றுக் கணத்திற்கும் பொருந்தும் என்பதை எளிதாகக் காணலாம்.
 
 ==குறியீடு==
 [[Image:Empty set symbol.svg|thumb|right|upright=0.6|வெற்றுக் கணத்தின் ஒரு குறியீடு]]
 வெற்றுக் கணத்தின் சில குறியீடுகள்:
 
 *'''{}''' 
 * &lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;\emptyset&lt;/math&gt;.
 
 கடைசி இரு குறியீடுகளும் டேனிய மற்றும் நார்வீஜிய எழுத்தான Ø  ன் அடையாளமாக 1939ல் பூர்பாக்கி குழுவால் (Bourbaki group)  அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன. (இந்த எழுத்துக்கும் கிரேக்க எழுத்தான Φ (phi) க்கும் எந்தவொரு தொடர்பு இல்லை).&lt;ref&gt;[http://jeff560.tripod.com/set.html Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic.]&lt;/ref&gt;
 
 வெற்றுக் கணத்தின் பிற குறியீடுகள்&lt;ref&gt;[[John B. Conway]], ''Functions of One Complex Variable'', 2nd ed. P. 12.&lt;/ref&gt;:
 
 *'''Λ'''
 *'''0'''
 
 == பண்புகள்==
 இரு கணங்கள் சமமானதாக இருக்க வேண்டுமெனில் அவற்றிலுள்ள உறுப்புகள் எல்லாம் சமமாக இருக்க வேண்டும்.  எந்தவொரு உறுப்பும் இல்லாமல் ஒரேயொரு கணம் மட்டுமே இருக்க முடியும் என்பதால் வெற்றுக் கணம் தனித்தன்மை கொண்டதாகும்.
 
 '''''A'' என்ற ஏதாவது ஒரு கணத்திற்கு''':
 * வெற்றுக் கணம், ''A'' ன் உட்கணமாகும்.
 * &lt;math&gt;\forall A: \varnothing \subseteq A\, .&lt;/math&gt;
 *''A'' மற்றும் வெற்றுக் கணத்தின் [[சேர்ப்பு (கணக் கோட்பாடு)|சேர்ப்பு]] ''A'' கணமாகும்.
 *:&lt;math&gt;\forall A: A \cup \varnothing = A\, .&lt;/math&gt;
 ''A''  மற்றும் வெற்றுக் கணத்தின் [[கணம் (கணிதம்)#வெட்டுகள்|வெட்டு]] வெற்றுக் கணமாகும்.
 *:&lt;math&gt;\forall A: A \cap \varnothing = \varnothing\, .&lt;/math&gt;
 *''A'' மற்றும் வெற்றுக் கணத்தின் [[கார்டீசியன் பெருக்கற்பலன்]] வெற்றுக் கணமாகும்.
 *:&lt;math&gt;\forall A: A \times \varnothing = \varnothing\, .&lt;/math&gt;
 
 '''வெற்றுக் கணத்தின் பண்புகள்''':
 *வெற்றுக் கணத்தின் ஒரேயொரு [[கணம் (கணிதம்)#உட்கணங்கள்|உட்கணம்]] வெற்றுக் கணம் மட்டுமே.
 *:&lt;math&gt;\forall A: A \subseteq \varnothing \Rightarrow A = \varnothing\, .&lt;/math&gt;
 * வெற்றுக் கணத்தின் [[அடுக்கு கணம்|அடுக்குக் கணத்திலுள்ள]] ஒரேயொரு உறுப்பு வெற்றுக் கணம் மட்டுமே.
 *:&lt;math&gt;2^{\varnothing} = \{\varnothing\}\, .&lt;/math&gt;
 *வெற்றுக் கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை பூச்சியமாகும். அதாவது வெற்றுக் கணத்தின் [[கணம் (கணிதம்)#கணங்களின் எண் அளவை|முதலெண்]] 0.
 *:&lt;math&gt;| \varnothing | = 0\, .&lt;/math&gt;
 
 வெற்றுக் கணத்துக்கும் [[பூச்சியம்|பூச்சியத்துக்கும்]] இடையேயுள்ள இணைப்பு, [[இயல் எண்களின் கணக் கோட்பாட்டு வரையறை]]யிலும் தொடர்கிறது. இதில் இயல் எண்களைக் குறிப்பதற்கு கணங்கள் ஒப்புருக்களாகப் (model) பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அதில், பூச்சியத்துக்கு வெற்றுக் கணம் ஒப்புருவாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
   
 எந்தவொரு [[பண்பு (மெய்யியல்)|பண்பிற்கும்]]:
 * &lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt; கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் அப்பண்பு பொருந்தும்;
 * அப்பண்பு பொருந்தாத எந்தவொரு உறுப்பும் &lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt; கணத்தில் இல்லை.
 
 மறுதலையாக, ஏதேனும் ஒரு பண்பு மற்றும் ஏதேனும் ஒரு கணம் ''V'' க்கு:
 * ''V'' கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் அப்பண்பு பொருந்தும்;
 * அப்பண்பு பொருந்தாத எந்தவொரு உறுப்பும்  ''V''  கணத்தில் இல்லை.
 :என்ற இரு கூற்றுகளும் பொருந்தினால்,
 : &lt;math&gt;V = \varnothing&lt;/math&gt;
 
 உட்கணத்தின் வரையறைப்படி, வெற்றுக் கணமானது எந்தவொரு கணம்,  ''A''   -க்கும் உட்கணமாகும். ஏனென்றால் &lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt; கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பு ''x''  -ம், கணம் ''A''  -ல் இருக்கும். இது உண்மை இல்லையென்றால் ''A'' -ல் இல்லாத ஒரு உறுப்பு (குறந்தபட்சம் ஒன்றாவது) &lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt; -ல் இருக்க வேண்டும். அப்படி ஒரு உறுப்பு &lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt; _ல் இருக்குமானால் அது வெற்றுக் கணத்தின் வரையறையான உறுப்புகளே இல்லாத கணம் என்பதற்கு முரண்பாடாக அமையும். எனவே &lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt; கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ''A'' -ல் இருக்கும் என்பதும் அதன் விளைவாக வெற்றுக் கணமானது, ''A'' கணத்தின் உட்கணமாகும் என்பதும் மெய்யாகிறது. எனினும்  ''&lt;math&gt;\varnothing&lt;/math&gt;  கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பும்'' என்ற கூற்றானது, ஆணித்தரமான கருத்து கிடையாது, இது ஒரு பொருத்தமற்ற உண்மையாகும். பெரும்பாலும் இக்கூற்று, ''வெற்றுக் கணத்தின் உறுப்புகளுக்கு அனைத்தும் மெய்யாகும்'' என்றவாறு புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது.
 
 ===வெற்றுக் கணத்தின் மீதான செயல்கள்===
 
 வெற்றுக் கணத்தின் மீதான செயல்கள் வழக்கமான செயல்கள் போன்றவை அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக,
 
 * வெற்றுக் கணத்தின் உறுப்புகளின் கூட்டுத் தொகை [[பூச்சியம்|பூச்சியமாகும்]].
 * வெற்றுக் கணத்தின் உறுப்புகளின் பெருக்குத் தொகை 1 ஆகும்.
 
 இம்முடிவுகள் வெற்றுக் கணத்தின் உறுப்புகளை விட [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டல்]] மற்றும் [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]] செயல்களின் தன்மையைத்தான் கூறுகின்றன. உதாரணமாக, [[கூட்டல் முற்றொருமை|கூட்டலின் முற்றொருமை உறுப்பு]] 0, பெருக்கலின் முற்றொருமை 1 என்ற கருத்துதான் இச்செயல்களைப் பற்றிக் கூறும்போது முன்னிற்கிறது.
 
 ==குறிப்பு==
 {{reflist}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 *Paul Halmos, ''Naive set theory''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. {{ISBN|0-387-90092-6}} (Springer-Verlag edition).
 *Jech, Thomas, 2003. ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''.  Springer.  {{ISBN|3-540-44085-2}}.