லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம்
[[File:Left cosets of Z 2 in Z 8.svg|thumb|G = &lt;math&gt;\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, கூட்டல் (மாடுலோ 8) ஐப் பொறுத்த முழு எண்களின் குலம். அதன் உட்குலம்  H = {0, 4},  &lt;math&gt;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&lt;/math&gt; உடன் சம அமைவியம் கொண்டது. H இற்கு 4 இடது இணைக்கணங்கள் உள்ளன: H , 1+H, 2+H, and 3+H. இந்நான்கும்  குலம் G ஐ நான்கு சம அளவுள்ள, ஒன்றுக்கொன்று மேல்படியாத சமானப்பகுதிகளாகப் பிரிக்கின்றன. எனவே குறியெண் [G : H] = 4.]]
 '''லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம்''' (''Lagrange's theorem'') [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] [[குலக் கோட்பாடு|குலக் கோட்பாட்டு]]ப் பிரிவில் ஒரு அடிப்படைத் தேற்றம். [[இத்தாலி]]யக் [[கணிதவியலாளர்]] [[லாக்ராஞ்சி]] (1736-1813) இதைக் கண்டுபிடித்தார். இத்தேற்றத்தின்படி ஒரு [[முடிவுறு குலம்|முடிவுறு குலத்தின்]] [[குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)|வரிசையை]] (கிரமம்) அதன் ஒவ்வொரு [[உட்குலம்|உட்குலத்தின்]] வரிசையும் சரியாக வகுக்கும்.
 
 ==தேற்றம்==
 ;லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தின் கூற்று:
 
 ஒரு [[முடிவுறு குலம்|முடிவுறு குலத்தின்]] வரிசையை அதன் ஒவ்வொரு [[உட்குலம்|உட்குலத்தின்]] வரிசையும் சரியாக வகுக்கும் (மீதமின்றி வகுக்கும்).
 
 ;விளக்கம்
 ஏதேனும் ஒரு முடிவுறு குலம் &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;; அதன் உட்குலம் &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; எனில், 
 :&lt;math&gt;H&lt;/math&gt;இன் வரிசை &lt;math&gt;|H|&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இன் வரிசை &lt;math&gt;|G|&lt;/math&gt;
 
 லாக்ராஞ்சியின் தேற்றப்படி, &lt;math&gt;|G|&lt;/math&gt; ஐ &lt;math&gt;|H|&lt;/math&gt; மீதமின்றி வகுக்கும். அதனால் &lt;math&gt;\frac{|G|}{|H|}&lt;/math&gt; இன் மதிப்பு ஒரு [[முழு எண்]]ணாகும். இம்மதிப்பு, &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இல் &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; இன் [[உட்குலத்தின் குறியெண்|குறியெண்]] எனப்படும். இக்குறியெண்ணின் குறியீடு &lt;math&gt;[G : H].&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;[G : H] = \frac{|G|}{|H|} &lt;/math&gt;   Associative law, closure property, Existence of Identity, Existence of Inverse these are staying it's [G]
 
 == நிறுவல் ==
 வலது [[இணைக்கணம்]] என்ற கருத்தைப் பயன்படுத்தி இத்தேற்றத்தை நிறுவலாம்.
 
 &lt;math&gt; G&lt;/math&gt; இன் உறுப்புக்களிடையே &lt;math&gt;x  \mathcal{R} y  \Leftrightarrow xy^{-1} \in H&lt;/math&gt; என்ற உறவை ஏற்படுத்தினால், இவ்வுறவு [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவாகும்]]. மேலும் இது &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ஐ [[சமானப் பகுதி]]களாகப் பிரிக்கும். இச்சமானப் பகுதிகள் &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; இன் வலது இணைக்கணங்கள் எனப்படும். உட்குலம் &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; ம் ஒரு சமானப் பகுதிதான் -- அது [[முற்றொருமை உறுப்பு]] &lt;math&gt;e&lt;/math&gt; ஐ உள்ளடக்கியிருக்கும் சமானப் பகுதி. இச்சமானப் பகுதிகள் ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை சமம் என்று காட்டிவிட்டால், லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் நிறுவப்பட்டு விடும்.
 
 &lt;math&gt;Ha, Hb&lt;/math&gt; என்ற ஏதாவது இரு வலது இணைக்கணங்களை எடுத்துக்கொண்டு அவற்றுக்கிடையே,
 
 :&lt;math&gt;f : Ha \rightarrow Hb,&lt;/math&gt;    &lt;math&gt;f(x) = xa^{-1}b&lt;/math&gt;
 
 என்ற [[சார்பு|கோப்பினை]] வரையறுக்க,  &lt;math&gt;\forall y\in&lt;/math&gt; &lt;math&gt;Hb,&lt;/math&gt;    &lt;math&gt;f^{-1}(y) = yb^{-1}a&lt;/math&gt; என்பதும் உண்மையாவதால் இக்கோப்பு ஓர் [[இருவழிக்கோப்பு|இருவழிக் கோப்பாக]] அமையும். இந்த இருவழிக்கோப்பின் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களம்]] &lt;math&gt;Ha&lt;/math&gt; மற்றும் [[இணையாட்களம் (கணிதம்)|இணை ஆட்களம்]] &lt;math&gt; Hb&lt;/math&gt; இரண்டின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைகளும் சமமாக இருக்கும். எனவே &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இன் அனைத்து சமானப்பகுதிகளின் (&lt;math&gt; H&lt;/math&gt; உட்பட) உறுப்புகளின் எண்ணிக்கைகளும் சமமாக இருக்கும். மேலும் அவை ஒவ்வொன்றும் &lt;math&gt;|H|&lt;/math&gt; க்குச் சமமாகவும் இருக்கும்.
 
 :&lt;math&gt;\Rightarrow |G| = |H| \times [G : H]&lt;/math&gt; ([G : H] = சமானப் பகுதிகளின் எண்ணிக்கை.) 
 :&lt;math&gt;\Rightarrow  |G|&lt;/math&gt; ஐ &lt;math&gt;|H|&lt;/math&gt; மீதியின்றி வகுக்கும். லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.
 
 == விளைவுகள் ==
 
 * குலத்தின் ஓர் உறுப்பால் பிறப்பிக்கப்பட்ட உட்குலத்தின் [[குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)|கிரமம்]] அவ்வுறுப்பின் கிரமத்திற்குச் சமமாக இருக்குமாதலால் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கிரமமும் குலத்தின் கிரமத்தை சரியாக வகுக்கும்.
 * இன்னொரு முக்கியமான விளைவு: ஒரு குலத்தின் கிரமம் [[பகா எண்]]ணாக இருக்குமானானால் அது [[சுழற் குலம்|சுழற்குலமாகத்தான்]] இருக்கவேண்டும்.
 * லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தை 
 :: &lt;math&gt;|G| = [G : H] \times |H|&lt;/math&gt;
 என்று எழுதினால், முடிவுறாக் குலங்கள் &lt;math&gt;G, H&lt;/math&gt; க்கும் [[எண்ணளவை]] என்ற கருத்தடிப்படையில் இச்சமன்பாடு உண்மை பயக்கும்.
 
 == இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
 * [[பர்ன்ஸைடின் பிரச்சினைகள்]]
 * [[லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம் (எண்கோட்பாடு)]]
 * [[லாக்ராஞ்சியின் நான்கு வர்க்கத் தேற்றம்]]
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 http://dogschool.tripod.com/lagrange.html
 
 [[பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு]]