விகிதமுறு எண்
[[File:Number-systems.svg|thumb|மெய்யெண்கள் கணம் (ℝ), '''விகிதமுறு எண்''' கணத்தை (ℚ) உள்ளடக்கியது; விகிதமுறு எண்களின் கணம் [[முழு எண்]]களின் கணத்தை (ℤ) உள்ளடக்கியது; முழுஎண்களின் கணம் இயலெண்களின் கணத்தை (ℕ) உள்ளடக்கியது.]]
 [[கணிதம்|கணித]]த்தில் இரண்டு [[முழு எண்]]களின் [[விகிதம்|விகித]]மாக {{math|''p''/''q''}} என்ற வடிவில் எழுதப்படக்கூடிய எல்லா எண்களும் '''விகிதமுறு எண்கள்''' எனப்பெயர் பெறும்.&lt;ref name=&quot;Rosen&quot;&gt;{{cite book |last = Rosen |first=Kenneth |year=2007 |title=Discrete Mathematics and its Applications |edition=6th |publisher=McGraw-Hill |location=New York, NY|isbn=978-0-07-288008-3 |pages=105, 158–160}}&lt;/ref&gt; அனைத்து முழு எண்களும் விகிதமுறு எண்கள்தாம்; ஏனென்றால் ஒவ்வொரு முழுஎண் &lt;math&gt; n&lt;/math&gt; ஐயும் &lt;math&gt;n/1&lt;/math&gt; என்று எழுதலாம். 2/3, 355/113, -1/2 இவையெல்லாம் முழுஎண்களல்லாத விகிதமுறு எண்கள்.
 
 &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; என்று எழுதப்படும்போது, b [[சுழி|சூனியமாக]] இருக்கக்கூடாது. ஏனென்றால் சூனியத்தால் வகுப்பதென்பது கணிதத்தின் விதிகளுக்குப் புறம்பான செயல்.
 
 ஒரு விகிதமுறு எண்ணை பலவிதங்களில் விகிதமுறையில் சொல்லலாம்:
 
 எடுத்துக்காட்டு: 
 :&lt;math&gt;\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac {200}{300}  = \frac{2a}{3a}.&lt;/math&gt; இங்கு &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; என்பது ஏதாவது ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்கலாம்.
 
 எல்லா விகிதமுறு எண்களின் கணத்தை &lt;math&gt;\mathbf{Q}&lt;/math&gt; என்று குறிப்பிடுவது வழக்கம்:
 :&lt;math&gt;\mathbf{Q} =  \{\frac{a}{b}: a \in \mathbf{Z}, b \in \mathbf{Z},  b \neq 0 \}&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;{{cite web|last1=Rouse|first1=Margaret|title=Mathematical Symbols|url=http://searchdatacenter.techtarget.com/definition/Mathematical-Symbols|accessdate=1 April 2015}}&lt;/ref&gt;. இங்கு &lt;math&gt;\mathbf{Z}&lt;/math&gt; என்பது எல்லா முழு எண்களின் கணம்.
 
 இரண்டு முழுஎண்களின் விகிதமாக எழுதப்படமுடியாத எண்கள் நிறைய இருக்கின்றன. எ.கா. &lt;math&gt;\surd {2},  \pi  ,&lt;/math&gt; அடுக்குமாறிலி &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, இன்னும் பல. இவைகளெல்லாம் [[விகிதமுறா எண்]]களெனப்படும்.
 
 ஒரு விகிதமுறு எண்ணின் [[பதின்ம உருவகிப்பு|தசம வடிவம்]] முடிவுறு தசமமாகவோ அல்லது [[மீளும் தசமங்கள்|மீளும் தசமமாகவோ]] இருக்கும். அதாவது ஒரு விகிதமுறு எண்ணைத் தசம வடிவிற்கு மாற்றும் போது, தசமபுள்ளிக்குப் பின் வரும் தானங்கள் குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையோடு நின்றுவிடலாம் அல்லது குறிப்பிட்ட எண்கள் மீளலாம். முடிவுறு தசமபின்னங்களும் மீளும் தசமபின்னங்களும் விகிதமுறு எண்களாகும். இக்கூற்று [[பதின்மம்|பத்தடிமான]] எண்களுக்கு மட்டுமில்லாமல், மற்ற [[வேரெண்|அடிமான]] எண்களுக்கும் (ஈரடிமானம், [[பதினறும எண் முறைமை]])பொருந்தும்.
 
 == எண்கணிதம் ==
 
 === சுருக்கவியலாப் பின்னம் ===
 {{முதன்மை|சுருக்கவியலாப் பின்னம்}}
 '''சுருக்கவியலாப் பின்னம்'''  (''irreducible fraction'') என்பது அதன் பகுதியிலும் தொகுதியிலுமுள்ள [[முழு எண்]]களுக்கிடையே ’1’ அல்லது ’-1’ ஐத் தவிர வேறு பொதுக்காரணிகளற்ற [[பின்னம்|பின்னமாகும்]]. அதாவது சுருக்கவியலாப் பின்னத்தின் பகுதி, தொகுதிகளின் [[மீப்பெரு பொது வகுத்தி|மீ. பொ. வ]] [[1 (எண்)|1]] ஆக இருக்கும்.
 
 :&lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; ஒரு சுருக்கவியலாப் பின்னம் எனில்:
 
 :&lt;math&gt;gcd (a,b) = 1 &lt;/math&gt;
 
 சுருக்கவியாலாப் பின்னம், ''எளிய பின்னம்'' அல்லது ''சுருக்கிய பின்னம்'' (''reduced fraction'') எனவும் அழைக்கப்படும்.
 
 எடுத்துக்காட்டுகள்:
 :&lt;math&gt;\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{113}{131}&lt;/math&gt; ஆகியவை சுருக்கவியலாப் பின்னங்கள்.
 
 மாறாக, &lt;math&gt;\frac{2}{6}&lt;/math&gt; ஒரு சுருக்கவியலாப் பின்னம் அல்ல. இதன் தொகுதி, பகுதிகளான 2, 6 ஆகிய எண்களுக்குப் பொதுக்காரணியாக 2 உள்ளதால் இப் பின்னத்தை மேலும் சுருக்கி இதற்குச் சமமான பின்னத்தைப் சுருக்கவியலா வடிவில் பெறலாம்:
 :&lt;math&gt;\frac{2}{6} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;
 
 சுருக்கக் கூடிய பின்னங்களின் பகுதியையும் தொகுதியையும் அப்பகுதி, தொகுதிகளின் பொதுக் காரணிகளால் படிப்படியாக வகுப்பதன் மூலமாகவோ அல்லது நேரிடையாக அவற்றின் [[மீப்பெரு பொது வகுத்தி]]யால் வகுத்தோ, அப்பின்னத்தின் சுருக்கவியலா வடிவினைக் கொண்ட சமபின்னத்தைக் காணலாம்.
 
 === முழுவெண்களின் உட்பொதிவு ===
 முழுவெண்களின் கணமானது விகிதமுறு எண்களின் கணத்தின் உட்பொதிவாக உள்ளது. எந்தவொரு முழுவெண் {{math|''n''}} என்பதை {{math|''n''/1}} என்ற விகிதமுறு எண்ணாக எழுதலாம்.
 
 === சமத்தன்மை ===
 :&lt;math&gt;ad = bc.&lt;/math&gt; என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே,
 :&lt;math&gt;\frac{a}{b} = \frac{c}{d}&lt;/math&gt; ஆகும்.
 இரு பின்னங்களும் நியமன வடிவில் இருந்தால்: 
 :&lt;math&gt;a = c&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;b = d&lt;/math&gt; என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே,
 :&lt;math&gt;\frac{a}{b} = \frac{c}{d}&lt;/math&gt; ஆகும்.
 
 === வரிசைமுறை ===
 இரு பின்னங்களின் பகுதிகளும் நேர்ம எண்களாகவும் பின்னங்கள் நியமன வடிவிலும் இருந்தால்:
 :&lt;math&gt;ad &lt; bc &lt;/math&gt; என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே
 :&lt;math&gt;\frac{a}{b} &lt; \frac{c}{d}&lt;/math&gt; ஆகும்.
 
 ஏதாவதொரு பின்னத்தின் பகுதி எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால் முதலில் அப்பின்னத்தின் பகுதி மற்றும் தொகுதியின் குறியினை மாற்றுவதன் மூலம், பகுதியை நேர்மமாக கொண்ட சமான பின்னமாக மாற்ற வேண்டும்.
 
 === கூட்டல் ===
 இரு பின்னங்கள் கீழுள்ளவாறு கூட்டப்படுகின்றன:
 :&lt;math&gt;\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.&lt;/math&gt;
 
 கூட்டப்படும் இரு பின்னங்களும் நியமனவடிவிலிருந்தால், {{mvar|b}}, {{mvar|d}} இரண்டும் [[சார்பகா முழுஎண்கள்|சார்பகா முழு எண்களாக]] இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே கூட்டப்படும் பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகைப் பின்னமும் நியமன வடிவில் இருக்கும்.
 
 === கழித்தல் ===
 :&lt;math&gt;\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}.&lt;/math&gt;
 
 கழிக்கப்படும் இரு பின்னங்களும் நியமன வடிவிலிருந்தால், {{mvar|b}}, {{mvar|d}} இரண்டும் [[சார்பகா முழுஎண்கள்|சார்பகா முழு எண்களாக]] இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே கழிக்கப்படும் பின்னங்களின் கழித்தல் வேறுபாட்டுப் பின்னமும் நியமன வடிவில் இருக்கும்.
 
 === பெருக்கல் ===
 பின்னங்களின் பெருக்கல் விதி:
 :&lt;math&gt;\frac{a}{b} \cdot\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.&lt;/math&gt;
 
 இரு பின்னங்களும் நியமன வடிவில் இருந்தாலும் அவற்றின் பெருக்குத்தொகைப் பின்னம் [[சுருக்கவியலாப் பின்னம்|சுருக்கவியலும் பின்னமாக]] இருக்கலாம்.
 
 === நேர்மாறு ===
 ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண் {{math|''a''/''b''}} க்கும் ஒரு [[கூட்டல் நேர்மாறு]] உண்டு; இக்கூட்டல் நேர்மாறு மூல பின்னத்தின் &quot;எதிரெண்&quot; எனப்படும்,
 :&lt;math&gt; - \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}.&lt;/math&gt;
 {{math|''a''/''b''}} நியமன வடிவில் இருந்தால், அதன் கூட்டல் நேர்மாறும் நியமன வடிவில் இருக்கும்.
 
 ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற விகிதமுறு எண் {{math|''a''/''b''}} க்கும் ஒரு [[பெருக்கல் நேர்மாறு]] இருக்கும்; இந்தப் பெருக்கல் நேர்மாறு மூல பின்னத்தின் &quot;தலைகீழி&quot; எனப்படும்.
 :&lt;math&gt; \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}. &lt;/math&gt;
 {{math|''a''/''b''}} நியமன வடிவிலிருந்தால், அதன் தலைகீழியின் நியமன வடிவம் {{tmath|\frac{b}{a} }} அல்லது {{tmath|\frac{-b}{-a} }} ஆக இருக்கும் ({{mvar|a}} இன் குறியைப் பொறுத்து).
 
 === வகுத்தல் ===
 {{math|''b''}} இரண்டும் {{math|''c''}} பூச்சியமில்லை எனில், வகுத்தல் விதி: 
 :&lt;math&gt;\frac{\frac{a}{b}} {\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}.&lt;/math&gt;
 
 {{math|''a''/''b''}} ஐ {{math|''c''/''d''}} ஆல் வகுத்தலானது {{math|''a''/''b''}} ஐ {{math|''c''/''d''}} இன் [[பெருக்கல் நேர்மாறு|தலைகீழி]]யால் பெருக்குவதற்குச் சமனாகும்:
 :&lt;math&gt;\frac{ad}{bc} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}.&lt;/math&gt;
 
 === முழுவெண் அடுக்கேற்றம் ===
 {{math|''n''}} ஒரு எதிர்மமில்லா முழுவெண் எனில், 
 :&lt;math&gt;\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}.&lt;/math&gt;
 :{{math|''a''/''b''}} நியமனவடிவில் இருந்தால் முழுவெண் அடுக்கேற்ற விடையும் நியமன வடிவில் இருக்கும்.
 :&lt;math&gt;\left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1.&lt;/math&gt;
 
 {{math|''a'' ≠ 0}} எனில்,
 :&lt;math&gt;\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{b^n}{a^n}.&lt;/math&gt;
 
 {{math|''a''/''b''}} நியனம வடிவம் எனில் விடையின் நியமன வடிவம்:
 *{{math|''a'' &gt; 0}} அல்லது {{mvar|n}} இரட்டை எண் எனில்:
 ::&lt;math&gt;\frac{b^n}{a^n}&lt;/math&gt;  
 *மற்றபடி, 
 ::&lt;math&gt;\frac{-b^n}{-a^n}.&lt;/math&gt;
 
 == தொடரும் பின்னம் ==
 ஒரு முடிவுறு தொடரும் பின்னம்:
 :&lt;math&gt;a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}},&lt;/math&gt;
 இதில் ''a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' முழு எண்கள். ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண் ''a''/''b'' ஒரு முடிவுறு தொடரும் பின்னமாக உருவகிக்கலாம். அத்தொடரும் பின்னத்தின் [[கெழு]]க்களான ''a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' களை (''a'',''b'') க்கு [[யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வு]] மூலம் காணலாம்.
 
 ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணையும் ஒரு முடிவுறு [[தொடரும் பின்னம்|தொடரும் பின்ன]]மாக்கலாம் என்பதை [[ஆய்லர்]] நிறுவினார். ஒரு முடிவுறா தொடரும் பின்னம் ஒரு விகிதமுறா எண்ணைத்தான் குறிக்கும்.
 
 == இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
 * [[எண்]]
 * [[பை]]
 * [[அடுக்குமாறிலி e]]
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{Reflist}}
 
 [[பகுப்பு:எண்கள்]]
 [[பகுப்பு:பகுவியல்]]
 [[பகுப்பு:பின்னங்கள்]]