கற்பனை எண்
{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;float: right; margin-left: 1em; text-align: center;&quot;
 |-
 |{{math|...}} (நீலப் பகுதியிலிருந்து ஒரேமாதிரியாக மீள்கிறது)
 |-
 |{{math|1=''i''&lt;sup&gt;−3&lt;/sup&gt; = ''i''}}
 |-
 |{{math|1=''i''&lt;sup&gt;−2&lt;/sup&gt; = −1}}
 |-
 |{{math|1=''i''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = −''i''}}
 |-
 |style=&quot;background:#cedff2;&quot; | {{math|1=''i''&lt;sup&gt;0&lt;/sup&gt; = 1}}
 |-
 |style=&quot;background:#cedff2;&quot; | {{math|1=''i''&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = ''i''}}
 |-
 |style=&quot;background:#cedff2;&quot; | {{math|1=''i''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = −1}}
 |-
 |style=&quot;background:#cedff2;&quot; | {{math|1=''i''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = −''i''}}
 |-
 |{{math|1=''i''&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1}}
 |-
 |{{math|1=''i''&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = ''i''}}
 |-
 |{{math|1=''i''&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = −1}}
 |-
 |{{math|1=''i''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; = ''i''&lt;sup&gt;n([[Modular arithmetic|mod]] 4)&lt;/sup&gt;}}
 |}
 
 
 [[கணிதவியல்|கணிதவியலில்]] '''கற்பனை எண்''' ({{audio|Ta-கற்பனை எண்.ogg|ஒலிப்பு}}) (''Imaginary Number'') என்பது [[சிக்கலெண்]]ணின் ஒரு பகுதி. இது [[கற்பனை அலகு]] {{mvar|i}} ஆல் பெருக்கப்பட்ட [[மெய்யெண்]]ணாக எழுதக்கூடியதாகும்.&lt;ref group=note&gt;''j'' is usually used in Engineering contexts where ''i'' has other meanings (such as electrical current)&lt;/ref&gt; கற்பனை அலகு {{mvar|i}} இன் முக்கியமான பண்பு {{math|1=''i''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = −1}} ஆகும்.&lt;ref&gt;{{cite book
  |title= Fundamentals of waves &amp; oscillations
  |first= K.
  |last= Uno Ingard
  |publisher= Cambridge University Press
  |year= 1988
  |isbn= 0-521-33957-X
  |chapter= Chapter 2
  |page= 38
  |url= https://books.google.com/books?id=SGVfGIewvxkC&amp;pg=PA38}}
 &lt;/ref&gt;. கற்பனை எண் {{mvar|bi}} இன் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கம்]] {{math|−''b''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}}. எடுத்துக்காட்டாக, {{math|5''i''}} ஒரு கற்பனை எண்; இதன் வர்க்கம் {{math|−25}}. [[0 (எண்)|0]] மெய்யெண் மற்றும் கற்பனை எண் இரண்டுமாகக் கொள்ளப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{cite book |last= Sinha |first= K.C. |title= A Text Book of Mathematics XI |url= https://books.google.com/books?id=mqdzqbPYiAUC&amp;pg=SA11-PA2 |publisher= Rastogi Publications |isbn= 8171339123 |page= 11.2}}&lt;/ref&gt;
 
 கற்பனை எண்ணை ரஃவீல் பாம்பெல்லி (Rafael Bombelli) என்பார் 1572 ல் வரையறை செய்தார். அக்காலத்தில் இவ்வகை [[எண்]]கள் உள்ளன என்பதை யாரும் நம்பவில்லை. கணிதவியலில் [[சுழியம்|சுழி]] (0) என்பதை எப்படி உணர்ந்து கொள்ளவில்லையோ அப்படியே இந்த கற்பனை எண்ணும் எளிதாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படவில்லை. புகழ் பெற்ற கணித அறிவியலாளரான [[ரெனே டேக்கார்ட்|டேக்கார்ட்]] போன்றவர்களும் ஏற்றுக்கொள்ளவில்லை. 17 ஆம் நூற்றாண்டில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு பல கணிதவியலாளர்களாலும் பயனற்றதாகக் கருத்தப்பட்ட இந்தக் கருத்துரு, [[லியோனார்டு ஆய்லர்]] மற்றும் [[கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ்]] இருவரின் பங்களிப்புகளைத் தொடர்ந்து பரவலாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டது. 
 
 {{math|''bi''}} என்ற கற்பனை எண்ணை {{mvar|a}} என்ற மெய்யெண்ணுடன் சேர்த்து {{math|''a'' + ''bi''}} என்ற சிக்கலெண் உருவாக்கப்படுகிறது. இச்சிக்கலெண்ணுக்கு {{mvar|a}} மெய்ப்பகுதி என்றும், {{mvar|b}} கற்பனைப்பகுதி என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.&lt;ref&gt;{{cite book |title= College Algebra: Enhanced Edition |edition= 6th |first1= Richard |last1= Aufmann |first2= Vernon C. |last2= Barker |first3= Richard |last3= Nation |publisher= Cengage Learning |year= 2009 |isbn= 1-4390-4379-5 |page= 66 |url= https://books.google.com/books?id=fjRa8Koq-RgC&amp;pg=PA66}}&lt;/ref&gt;&lt;ref group=note&gt;Both the real part and the imaginary part are defined as real numbers.&lt;/ref&gt; கற்பனை எண்ணைச் ''முழுவதுமாகக் கற்பனை எண்'' என்றும், பூச்சியமற்ற கற்பனைப்பகுதி கொண்ட சிக்கலெண்களைக் கற்பனை எண்கள் என்றும் சில நூலாசிரியர்கள்  குறிப்பிடுகின்றனர்.&lt;ref&gt;C.L. Johnston, J. Lazaris, ''Plane Trigonometry: A New Approach'', Prentice Hall, 1991, p. 247.&lt;/ref&gt;
 
 == வரையறை ==
 எந்த ஒரு [[சிக்கலெண்]]ணையும் &lt;math&gt;a+bi&lt;/math&gt;, என எழுதலாம். இதில் &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; யும் &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; யும் மெய்யெண்கள். &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; என்பது கீழ்க்காணும் பண்பு உள்ள [[கற்பனை அலகு]]:
 
 :&lt;math&gt;i^2 = -1.\,&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; என்பது மெய்ப்பகுதி, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; என்பது கற்பனைப்பகுதி.
 
 == வரலாறு ==
 [[File:Complex conjugate picture.svg|right|thumb|சிக்கலெண் தளத்தின் படவிளக்கம். கற்பனை எண்கள் செங்குத்து அச்சில் குறிக்கப்படுகின்றன.]]
 கிரேக்கக் கணிதவியலாளரும் பொறியியல் வல்லுநருமான அலெக்சாண்டிரியாவின் ஏரோன் என்பவர்தான் முதன்முதலாக கற்பனை எண்களைக் கண்டுபிடித்தாலும்,&lt;ref&gt;{{cite book |title= Fivefold symmetry |edition= 2nd |first= István |last= Hargittai |publisher= World Scientific |year= 1992 |isbn= 981-02-0600-3 |page= 153 |url= https://books.google.com/books?id=-Tt37ajV5ZgC&amp;pg=PA153}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite book |title= Complex numbers: lattice simulation and zeta function applications |first= Stephen Campbell |last= Roy |publisher= Horwood |year= 2007 |isbn= 1-904275-25-7 |page= 1 |url= https://books.google.com/books?id=J-2BRbFa5IkC}}&lt;/ref&gt; கணிதவியாலாளர் ரஃவீல் பாம்பெல்லி என்பவரே 1572 இல் சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் விதிகளை வரையறுத்தவராவார். இக்கருத்துருக்கள் முன்னதாக [[கார்டானோ]]வின் படைப்புகள் போன்ற அச்சுப்பதிப்புகளில் இடம்பெற்றன. ஒருகாலத்தில் பூச்சியத்தின் சிறப்பினை எவரும் உணராது இருந்தவாறு, கற்பனை எண்களும் பயனற்றவையாக [[ரெனே டேக்கார்ட்]] உட்பட்ட பல அறிஞர்களால் கருதப்பட்டது. &lt;ref&gt;Descartes, René, ''Discourse de la Méthode'' … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: ''La Géométrie'', book three, p. 380. [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b86069594/f464.item.zoom From page 380:]  ''&quot;Au reste tant les vrayes racines que les fausses ne sont pas tousjours reelles; mais quelquefois seulement imaginaires; c'est a dire qu'on peut bien tousjours en imaginer autant que jay dit en chasque Equation; mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité, qui corresponde a celles qu'on imagine, comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle cy, x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; – 6xx + 13x – 10 = 0, il n'y en a toutefois qu'une reelle, qui est 2, &amp; pour les deux autres, quoy qu'on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires.&quot;'' (Moreover, the true roots as well as the false [roots] are not always real; but sometimes only imaginary [quantities]; that is to say, one can always imagine as many of them in each equation as I said; but there is sometimes no quantity that corresponds to what one imagines, just as although one can imagine three of them in this [equation], x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; – 6xx + 13x – 10 = 0, only one of them however is real, which is 2, and regarding the other two, although one increase, or decrease, or multiply them in the manner that I just explained, one would not be able to make them other than imaginary [quantities].)&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;Martinez&quot;&gt;{{Citation |first= Albert A. |last= Martinez |title= Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent |location= Princeton |publisher= Princeton University Press |year= 2006 |isbn= 0-691-12309-8}}, discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.&lt;/ref&gt; [[லியோனார்டு ஆய்லர்]] (1707–1783) மற்றும் [[கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ்]] (1777–1855) இருவரின் பங்களிப்புகள் வரை கற்பனை எண்களின் பயன்பாடு பரவலாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படவில்லை. சிக்கலெண் தளத்தில் அமைந்த புள்ளிகளாகச் சிக்கலெண்களின் வடிவவியல் முக்கியத்துவத்துவத்தை, முதன்முதலில் கணிதவியலாளர் காசுப்பர் வெஸ்சல்  (1745–1818) விளக்கினார்.&lt;ref&gt;{{cite book
  |title= A history of non-euclidean geometry: evolution of the concept of a geometric space
  |first= Boris Abramovich
  |last= Rozenfeld
  |publisher= Springer
  |year= 1988
  |isbn= 0-387-96458-4
  |chapter= Chapter 10
  |page= 382
  |url= https://books.google.com/books?id=DRLpAFZM7uwC&amp;pg=PA382}}
 &lt;/ref&gt;
 
 == வடிவவியல் விளக்கம் ==
 [[File:Rotations on the complex plane.svg|thumb|சிக்கலெண் தளத்தில் 90-பாகை சுழற்சிகள்]]
 வடிவவியல் வரைபடங்களில், சிக்கலெண் தளத்தின் செங்குத்து அச்சில் கற்பனை எண்கள் கணப்படுகின்றன. இதனால் சிக்கலெண் தளத்தின் மெய்யச்சிற்கு செங்குத்தாக அவை அமைகின்றன. வலப்புறத்தில் எண்ணளவில் நேர்மமாக அதிகரிப்பதும், இடப்புறத்தில் எதிர்மமாக அதிகரிப்பதுமான [[எண் கோடு]] மெய் அச்சு; இந்த மெய்யச்சின் மீது ({{mvar|x}}-அச்சு) 0 இல், நேர்மமாக மேற்புறமாக அதிகரிப்பதாகவும், எதிர்மமாக கீழ்ப்புறமாகவும் கொண்ட செங்குத்து அச்சு ({{mvar|y}}-அச்சு) கற்பனை எண்கள் குறிக்கப்படும் கற்பனை அச்சு. இக்கற்பனை அச்சின் குறியீடு: {{math|''i''ℝ}}, &lt;math&gt;\scriptstyle\mathbb{I}&lt;/math&gt;, அல்லது {{math|ℑ}}.
 
 இவ்வகையான உருவகிப்பில், 
 :&amp;nbsp;{{math|–1}} ஆல் ஒரு சிக்கலெண்ணைப் பெருக்குவது, [[ஆதி (கணிதம்)|ஆதியைப்]] பொறுத்த 180 பாகைகள் [[சுழற்சி]]க்கு ஒத்தது;  
 :&amp;nbsp;{{math|i}} ஆல் ஒரு சிக்கலெண்ணைப் பெருக்குவது, [[ஆதி (கணிதம்)|ஆதியைப்]] பொறுத்து 90 பாகைகள் எதிர்க்கடிகாரத்திசைச் [[சுழற்சி]]க்கு ஒத்தது; 
 :சமன்பாடு {{math|1=''i''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = −1}} என்பது, ஆதியைப் பொறுத்து இரு 90-பாகை சுழற்சிகளாகக் கொள்ளப்படுகிறது. அவ்விரு சுழற்சிகளின் இறுதி விளைவு, ஒரு 180-பாகை சுழற்சியாக அமையும்.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 == குறிப்புகள் ==
 {{reflist|group=note}}
 
 == ஆதார நூல்கள் ==
 * {{Cite book |first= Paul |last= Nahin |title= An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1 |url= https://archive.org/details/imaginarytales00nahi |location= Princeton |publisher= Princeton University Press |year= 1998 |isbn= 0-691-02795-1}}, explains many applications of imaginary expressions.
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * [http://www.math.toronto.edu/mathnet/answers/imagexist.html How can one show that imaginary numbers really do exist?] – an article that discusses the existence of imaginary numbers.
 * [http://www.bbc.co.uk/programmes/b00tt6b2 In our time: Imaginary numbers] Discussion of imaginary numbers on BBC Radio 4.
 * [http://www.bbc.co.uk/radio4/science/5numbers4.shtml 5Numbers programme 4] BBC Radio 4 programme
 * [http://www2.dsu.nodak.edu/users/mberg/Imaginary/imaginary.htm Why Use Imaginary Numbers?] Basic Explanation and Uses of Imaginary Numbers