காரணித் தேற்றம்
[[இயற்கணிதம்|இயற்கணிதத்தில்]] '''காரணித் தேற்றம்''' (''factor theorem'') என்பது ஒரு [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]யின் காரணிகளையும் [[சார்பின் மூலம்|மூலங்களையும்]] இணைக்கும் [[தேற்றம்|தேற்றமாகும்]]. இத்தேற்றமானது [[பல்லுறுப்புக் கோவை மீதியத் தேற்றம்|பல்லுறுப்புக்கோவை மீதியத் தேற்றத்தின்]] சிறப்பு வகையாகும்.&lt;ref&gt;{{citation|first=Michael|last=Sullivan|title=Algebra and Trigonometry|page=381|publisher=Prentice Hall|year=1996|isbn=0-13-370149-2}}.&lt;/ref&gt;
 
 காரணித் தேற்றத்தின் கூற்று:
 :&lt;math&gt;f(k)=0&lt;/math&gt; என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே &lt;math&gt;(x - k)&lt;/math&gt; ஆனது பல்லுறுப்புக்கோவை &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; இன் ஒரு காரணியாகும் (அதாவது, &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; ஒரு மூலம்).&lt;ref&gt;{{citation|first1=V K|last1=Sehgal|first2=Sonal|last2=Gupta|title=Longman ICSE Mathematics Class 10|page=119|publisher=Dorling Kindersley (India)|isbn=978-81-317-2816-1}}.&lt;/ref&gt;
 
 == பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் காரணிப்படுத்தல் ==
 பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் காரணிகளையும் மூலங்களையும் கண்டுபிடிப்பதற்கு காரணித் தேற்றம் பயன்படுகிறது. மேலும் இத்தேற்றத்தைக் கொண்டு, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் தெரிந்த காரணியை அப்பல்லுறுப்புக்கோவையிலிருந்து நீக்கி அதனைச் சிறிய படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையாக மாற்றியபின்னர் அப்புதுக்கோவையின் மூலங்களை எளிதாகக் கண்டுபிடிக்க முடியும். இம்முறையை செயற்படுத்தும் படிகள்:&lt;ref&gt;{{citation|first=R. K.|last=Bansal|title=Comprehensive Mathematics IX|page=142|publisher=Laxmi Publications|isbn=81-7008-629-9}}.&lt;/ref&gt;
 #  முதலில் பல்லுறுப்புக்கோவை &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இன் ஒரு மூலம் &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; ஊகிக்கப்படுகிறது. 
 # அடுத்து காரணித் தேற்றத்தில் மூலம் &lt;math&gt;(x-a)&lt;/math&gt; ஆனது &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; இன் காரணி என உறுதிசெய்யப்படுகிறது.
 # [[பல்லுறுப்புக்கோவை நெடுமுறை வகுத்தல்]] அல்லது [[தொகுமுறை வகுத்தல்]] முறைகளைப் பயன்படுத்தி &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt; g(x) = \frac{f(x)}{(x-a)} &lt;/math&gt; பல்லுறுப்புக்கோவை காணப்படுகிறது.
 # பல்லுறுப்புக்கோவை &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; இன் [[பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி|படி]] &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இன் படியைவிட ஒன்று குறைவு என்பதால் அதன் மூலங்களை எளிதாகக் கண்டுபிடிக்க முடியும்.
 
 === எடுத்துக்காட்டு ===
 : &lt;math&gt;x^3 + 7x^2 + 8x + 2.&lt;/math&gt; இன் காரணிகளைக் காணல்:
 
 சில முயற்சிகள் மூலம் இக்கோவையின் மதிப்பை பூச்சியமாக்கக் கூடிய ''x'' இன் ஒரு மதிப்பைக் கண்டுபிடித்துக் கொள்ளவேண்டும். 
 &lt;math&gt;(x - 1)&lt;/math&gt; ஒரு காரணியா என்பதைச் சோதிக்க பல்லுறுப்புக்கோவையில் &lt;math&gt;x = 1&lt;/math&gt; எனப் பிரதியிட:
 : &lt;math&gt;\begin{align}
 x^3 + 7x^2 + 8x + 2 &amp;= (1)^3 + 7(1)^2 + 8(1) + 2\\
 &amp;= 1 + 7 + 8 + 2\\
 &amp;= 18
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 கிடைக்கும் மதிப்பு பூச்சியமாக இல்லாமல் 18 ஆக இருப்பதால் தரப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் காரணி &lt;math&gt;(x - 1)&lt;/math&gt; இல்லை. அடுத்ததாக &lt;math&gt;(x + 1)&lt;/math&gt; காரணியா என்று சோதித்துப் பார்ப்பதற்கு &lt;math&gt;x = -1&lt;/math&gt; எனப் பிரதியிட:
 : &lt;math&gt;(-1)^3 + 7(-1)^2 + 8(-1) + 2 = 0&lt;/math&gt;
 
 எனவே &lt;math&gt;x-(-1) = x+1&lt;/math&gt; ஒரு காரணி; &lt;math&gt;-1&lt;/math&gt; ஒரு மூலம்
 
 இப்பொழுது &lt;math&gt;x^3 + 7x^2 + 8x + 2&lt;/math&gt; கோவையை &lt;math&gt;(x+1)&lt;/math&gt; காரணியால் வகுக்க:
 
 : &lt;math&gt;{x^3 + 7x^2 + 8x + 2 \over x + 1} = x^2 + 6x + 2 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x^2 + 6x + 2 &lt;/math&gt; ஒரு இருபடிக்கோவை என்பதால் [[இருபடி வாய்பாடு]] கொண்டு இதன் மூலங்களை &lt;math&gt;-3\pm \sqrt{7}.&lt;/math&gt; எனக் காணலாம்.
 எனவே &lt;math&gt;x^3 + 7x^2 + 8x + 2&lt;/math&gt; இன் மூன்று காரணிகள்:
 :&lt;math&gt;x+1, &lt;/math&gt; &lt;math&gt;x-(-3+\sqrt{7}),&lt;/math&gt; &lt;math&gt;x-(-3-\sqrt{7}).&lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}