பதின்ம உருவகிப்பு
கணிதத்தில் ஒரு எதிர்மமிலா [[மெய்யெண்]] ''r'' இன் '''பதின்ம உருவகிப்பு''' (''decimal representation'' [[தொடர் (கணிதம்)|தொடராக]] அமைகின்ற ஒரு கோவையாகும்:
 
 :&lt;math&gt; r=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_i}{10^i}&lt;/math&gt;
 
 இதில் 
 :''a''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; ஒரு எதிர்மமிலா [[முழு எண்]].
 :''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... என்பன 0&amp;nbsp;≤&amp;nbsp;''a&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;''&amp;nbsp;≤&amp;nbsp;9 என்ற கட்டுப்பாட்டுக்குட்பட்ட முழுஎண்கள். இவை பதின்ம உருவகிப்பின் இலக்கங்கள் எனப்படும். இந்த இலக்கங்களின் தொடர் ஒரு முடிவுறு தொடராக இருக்கலாம். அவ்வாறு முடிவுறு தொடராக இருந்தால், ஏனைய ''a''&lt;sub&gt;''i''&lt;/sub&gt;கள், பூச்சியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும்.
 
 சில கணிதவியலாளர்கள் ஒரு பதின்ம உருவகிப்பை நீளும் &quot;9&quot;களைக் கொண்ட முடிவுறா தொடராக எழுதுவதை ஏற்பதில்லை.&lt;ref&gt;{{citation
 | last=Knuth | first = D. E. | author-link = Donald Ervin Knuth
 | title = The Art of Computer Programming
 | contribution = Volume 1: Fundamental Algorithms | publisher = Addison-Wesley | year = 1973
 | pages = 21}}&lt;/ref&gt;. இவர்களது கருத்தால், ஒவ்வொரு எதிர்மமில்லா மெய்யெண்ணுக்கும் ஒரு தனித்த பதின்ம உருவகிப்புக் கொண்டதாக இருக்கும்.
 
 பதின்ம உருவகிப்பில் ஒரு எண்ணைக் கீழுள்ளவாறும் சுருக்கமாக எழுதலாம்:
 :&lt;math&gt;r=a_0.a_1 a_2 a_3\dots.\,&lt;/math&gt;
 
 இதில், 
 :''r'' இன் முழுஎண் பகுதி ''a''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;. இதன் மதிப்பு 0 இலிருந்து 9 வரைக்குள் இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை. 
 :''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;, ... இலக்கங்கள்  ''r'' இன் பின்னப் பகுதியைக் குறிப்பவை ஆகும். இவற்றின் மதிப்பு 0 இலிருந்து 9 வரைக்குள் மட்டுமே இருக்கும்.
 
 மேலே தரப்பட்டுள்ள இருவகைகளும் ஒரு [[தொடர்வரிசை]]யின் எல்லையாக அமைகின்றன:
 :&lt;math&gt; r=\lim_{n\to \infty} \sum_{i=0}^n \frac{a_i}{10^i}&lt;/math&gt;.
 
 ==முடிவுறு பதின்மத் தோராயங்கள்==
 எந்தவொரு மெய்யெண்ணையும், முடிவுறு பதின்ம உருவகிப்புகள் கொண்ட [[விகிதமுறு எண்]]கள் மூலம் தேவையான துல்லிய அளவுக்குத் தோராயப்படுத்தலாம்.
 
 &lt;math&gt;x\geq 0&lt;/math&gt; ஒரு மெய்யெண்; முழுஎண் &lt;math&gt;n\geq 1&lt;/math&gt; எனில்,
 
 :&lt;math&gt;r_n\leq x &lt; r_n+\frac{1}{10^n}.\,&lt;/math&gt; என்பதை நிறைவு செய்யும் வகையில் &lt;math&gt;r_n=a_0.a_1a_2\cdots a_n&lt;/math&gt; என்ற ஒரு முடிவுறு பதின்மம் இருக்கும்.
 
 '''நிறுவல்''':
 :&lt;math&gt;r_n = \textstyle\frac{p}{10^n},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;p = \lfloor 10^nx\rfloor&lt;/math&gt;.
 :&lt;math&gt;p \leq 10^nx &lt; p+1&lt;/math&gt;,
 &lt;math&gt;10^n&lt;/math&gt; ஆல் வகுக்க:
 :&lt;math&gt;\frac{p}{10^n} \leq x &lt; \frac{p+1}{10^n}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{p}{10^n} \leq x &lt; \frac{p}{10^n} + \frac{1}{10^n}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{p}{10^n} = r_n &lt;/math&gt; எனப் பதிலிட:
 :&lt;math&gt;r_n\leq x &lt; r_n+\frac{1}{10^n}.\,&lt;/math&gt;
 
 ==பதின்ம உருவகிப்பு தனித்தன்மை கொண்டதல்ல==
 {{Main|0.999...}}
 சில மெய்யெண்கள் இருவிதமான முடிவுறா பதின்ம உருவகிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு: 
 1 = 1.000... = [[0.999...]]
 
 9களைக் கொண்ட அமைப்பைவிட, பூச்சிய இலக்கங்கள் கொண்ட உருவகிப்பே அதிகம் கையாளப்படுகிறது.
 ==முடிவுறு பதின்ம உருவகிப்புகள்==
 
 ஒரு எதிர்மமிலா மெய்யெண் ''x'' ஆனது, ஒரு விகிதமுறு எண்ணாகவும் அதன் பகுதி 2&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;5&lt;sup&gt;''m''&lt;/sup&gt; ஆகவும் (''m'' , ''n'' எதிர்மமிலா முழுஎண்கள்) இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ''x'' இன் பதின்ம உருவகிப்பானது பூச்சியங்கள் அல்லது 9 களைக் கொண்டு முடிவடையும்.
 
 '''நிறுவல்''':
 ''x'' இன் பதின்ம விரிவு பூச்சியங்களில் முடிவடைகிறது எனில்:
 :&lt;math&gt;x=\sum_{i=0}^n\frac{a_i}{10^i}=\sum_{i=0}^n10^{n-i}a_i/10^n&lt;/math&gt;
 
 இதில் ''x'' இன் பகுதியான 10&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; = 2&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;5&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; வடிவில் அமைகிறது.
 
 மறுதலையாக ''x'' இன் பகுதி 2&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;5&lt;sup&gt;''m''&lt;/sup&gt; வடிவில் அமைந்தால் அதன் பதின்ம விரிவு பூச்சியங்களில் முடிவடையும் என்பதையும் நிறுவலாம்.
 ==மீளும் பதின்ம உருவகிப்புகள்==
 {{Main|மீளும் தசமங்கள்}}
 சில மெய்யெண்களின் பதின்ம உருவகிப்புகள் முடிவில்லாத, ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட மீளும் இலக்கங்களைக் கொண்டதாக அமையும்.
 
 எடுத்துக்காட்டுகள்:
 :&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;/&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = 0.33333...
 :&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;/&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt; = 0.142857142857...
 :&lt;sup&gt;1318&lt;/sup&gt;/&lt;sub&gt;185&lt;/sub&gt; = 7.1243243243...
 
 இவ்வாறு மீளும் பதின்ம அமைப்புடைய மெய்யெண்கள், விகிதமுறு எண்களாக இருக்கும். இதன் மறுதலையும் மெய்யாகும். அதாவது எந்தவொரு விகிதமுறு எண்ணின் பதின்ம வடிவமானது முடிவுறு பதின்மம் அல்லது முடிவிலா, மீளும் பதின்மமாகும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 *[http://mathworld.wolfram.com/DecimalExpansion.html Decimal Expansion], From MathWorld
 *{{cite book|author=Tom Apostol|title=Mathematical analysis|url=https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm|edition=Second|publisher=Addison-Wesley|year=1974}}
 &lt;references/&gt;
 
 ==இவற்றையும் பார்க்க==
 *[[பதின்மம்]]
 *[[தொடர் (கணிதம்)]]
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 *[http://sierra.nmsu.edu/morandi/CourseMaterials/DecimalRep.html Decimal Representation of Rational Numbers] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160307145210/http://sierra.nmsu.edu/morandi/CourseMaterials/DecimalRep.html |date=2016-03-07 }}