அலகுநிலை வகுஎண்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] ஒரு [[இயல் எண்]] a ஆனது மற்றொரு எண்  ''b'' இன் '''அலகுநிலை வகுஎண்'''ணாக (''unitary divisor'', ''Hall divisor'') இருக்கவேண்டுமானால், ''a'' ஆனது  ''b''  இன் [[வகுஎண்]]ணாகவும் ''a'', &lt;math&gt;\frac{b}{a}&lt;/math&gt; இரண்டும் [[சார்பகா முழுஎண்கள்|சார்பகா எண்களாகவும்]] இருக்க வேண்டும் (அதாவது அவையிரண்டுக்கும் 1 ஐத் தவிர வேறு பொதுக்காரணி இருக்காது).
 
 இந்த வரையறைக்குச் சமானமானதாக, &quot;''a'' இன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியின் [[மடங்கெண்]]ணும் அக்காரணிக்கு  ''b'' இலுள்ள மடங்கெண்ணுக்குச் சமமாக &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot;  ''a'' ஆனது ''b'' இன் அலகுநிலை வகுஎண்ணாக இருக்கும்&quot; எனக் கூறலாம்.
 
 அலகுநிலை வகுஎண் என்ற கருத்துரு ஆர். வைத்தியநாதசாமி (1931) என்பவரால் துவக்கப்பட்டது. இதற்கு அவர் பயன்படுத்திய பெயர் &quot;தொகுதி வகுஎண்&quot; (''block divisor'') ஆகும்.&lt;ref&gt;{{cite journal |author=R. Vaidyanathaswamy |title=The theory of multiplicative arithmetic functions |journal=Transactions of the American Mathematical Society |volume=33 |issue=2 |pages=579-662 |year=1931 |doi=10.1090/S0002-9947-1931-1501607-1|doi-access=free }}&lt;/ref&gt;
 
 == எடுத்துக்காட்டு ==
 *60 இன் அலகுநிலை வகுஎண் 5. ஏனெனில்:
 : &lt;math&gt;\frac{60}{5}=12&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;5, 12&lt;/math&gt; இரண்டும் சார்பகா எண்கள். அதாவது அவற்றின் ஒரேயொரு பொதுக்காரணி 1. 
 
 மாறாக 6 ஐ எடுத்துக்கொண்டால் அது  60 இன் வகுஎண் மட்டுமே; அலகுநிலை வகுஎண்ணல்ல. ஏனெனில்:
 :&lt;math&gt;\frac{60}{6}=10,&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;6, 10&lt;/math&gt; இரண்டிற்கு  1 ஐத் தவிர மற்றொரு பொதுக்காரணி 2 உள்ளது.
 
 ==பண்புகள்==
 * ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும் [[1 (எண்)|1]], ஒரு அலகுநிலை வகுஎண்ணாகும்.
 
 * ''n'' இன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை = 2&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;, இதில்  ''k'' ஆனது,  ''n'' இன் வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. 
 
 *  ''n'' ஆனது [[இரண்டின் வலு|இரண்டின் அடுக்காக]]  (1 உட்பட) இருந்தால், அதன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுத்தையானது [[நிகரி (கணிதம்)|ஒற்றையெண்ணாகவும்]], 
 ** ''n'' ஆனது [[இரண்டின் வலு|இரண்டின் அடுக்காக]] இல்லாவிட்டால், அதன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுத்தையானது [[நிகரி (கணிதம்)|டைரட்டையெண்ணாக]] இருக்கும்.
 
 * ''n'' இன் அலகுநிலை வகுஎண்களின் எண்ணிகையும் கூட்டுத்தொகையும் [[பெருக்கல் சார்பு]]களாக இருக்கும். ஆனால் அவை [[முழுமையான பெருக்கல் சார்பு]]களாக இருக்காது. டிரிழ்ச்லெட்டின் பிறப்பிக்கும் சார்பு:
 :&lt;math&gt;\frac{\zeta(s)\zeta(s-k)}{\zeta(2s-k)} = \sum_{n\ge 1}\frac{\sigma_k^*(n)}{n^s}.&lt;/math&gt;
 
 * ''n'' ஒரு [[வர்க்கக்காரணியற்ற முழுஎண்]]ணாக &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot;,   ''n'' இன் ஒவ்வொரு வகுஎண்ணும் அலகுநிலை வகுஎண்ணாக இருக்கும்.
 
 == ஒற்றை அலகுநிலை வகுஎண்கள் ==
 ஒற்றை அலகுநிலை வகுஎண்களின்  ''k''-ஆவது அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை:
 :&lt;math&gt;\sigma_k^{(o)*}(n) = \sum_{{d \,\mid\, n \atop d \equiv 1 \pmod 2} \atop \gcd(d,n/d)=1} \!\! d^k.&lt;/math&gt;
 
 இதுவும் ஒரு பெருக்கல் சார்பாக இருக்கும்; மேலும் இதன் டிரிழ்ச்லெட்டின் பிறப்பிக்கும் சார்பு:
 :&lt;math&gt;\frac{\zeta(s)\zeta(s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta(2s-k)(1-2^{k-2s})} = \sum_{n\ge 1}\frac{\sigma_k^{(o)*}(n)}{n^s}.&lt;/math&gt;
 
 == அலகுநிலை வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை ==
 
 அலகுநிலை வகுஎண்-கூட்டுதொகைச் சார்பின் குறியீடு: σ*(''n''); அலகுநிலை வகுஎண்களின் ''k''-ஆவது [[அடுக்கேற்றம்|அடுக்குகளின்]] கூட்டுத்தொகையின் குறியீடு: σ*&lt;sub&gt;''k''&lt;/sub&gt;(''n''):
 
 :&lt;math&gt;\sigma_k^*(n) = \sum_{d \,\mid\, n \atop \gcd(d,\,n/d)=1} \!\! d^k.&lt;/math&gt;
 
 ஒரு எண்ணின் [[வகுஎண்|தகு வகுஎண்களின்]] கூட்டுத்தொகையானது அதே எண்ணாக இருக்குமானால், அந்த எண் [[அலகுநிலை செவ்விய எண்]] அல்லது [[அலகுநிலை நிறைவெண்]] என அழைக்கப்படும்.
 
 ==[[நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியம்|நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியத்]] தொடர்வரிசைகள்==
 
 : &amp;nbsp;{{OEIS2C|A034444}} = σ&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;(''n'')&amp;nbsp;
 : &amp;nbsp;{{OEIS2C|A034448}} = σ&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(''n'')&amp;nbsp;
 : &amp;nbsp;{{OEIS2C|A034676}} முதல் {{OEIS2C|A034682}} வரை = σ&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;(''n'') முதல் σ&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt;(''n'')&amp;nbsp; வரை
 : &amp;nbsp;{{OEIS2C|A068068}} = σ&lt;sup&gt;(o)*&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;(''n'')&amp;nbsp;
 : &amp;nbsp;{{OEIS2C|A192066}} = σ&lt;sup&gt;(o)*&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(''n'')&amp;nbsp;
 : &amp;nbsp;{{OEIS2C|A064609}} = &lt;math&gt;\sum_{i=1}^{n}\sigma_{1}(i)&lt;/math&gt;
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 * {{cite book|author=Richard K. Guy|authorlink=Richard K. Guy|title=Unsolved Problems in Number Theory|url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr|publisher=[[இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம்]]|year=2004|isbn=0-387-20860-7 | page=[https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr/page/84 84]}}  Section B3.
 * {{cite book | title=My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory | author=Paulo Ribenboim | authorlink=Paulo Ribenboim | publisher=Springer-Verlag | year=2000 | isbn=0-387-98911-0 | page=352 }}
 * {{cite journal|first1=Eckford|last1=Cohen|title=A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion|journal=Pacific J. Math.|volume=9|number=1 |pages=13–23|year=1959|mr=0109806|doi=10.2140/pjm.1959.9.13|doi-access=free}}
 * {{cite journal|first1=Eckford|last1=Cohen|title=Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer|journal=[[Mathematische Zeitschrift]]|volume=74|year=1960|pages=66–80|mr=0112861 |doi=10.1007/BF01180473|s2cid=53004302}}
 * {{cite journal|first1=Eckford|last1=Cohen|title=The number of unitary divisors of an integer|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1960-11_67_9/page/879|volume=67|number=9|pages=879–880|mr=0122790|year=1960|journal=[[American Mathematical Monthly]]|doi=10.2307/2309455|jstor=2309455}}
 * {{cite journal|first1=Graeme L.|last1=Cohen|title=On an integers' infinitary divisors|volume=54|number=189 |pages=395–411|mr=0993927|doi=10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5|journal=Math. Comp.|year=1990|bibcode=1990MaCom..54..395C|doi-access=free}}
 * {{cite journal|first1=Graeme L.|last1=Cohen|title=Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer|volume=16|number=2|pages=373–383|doi=10.1155/S0161171293000456|journal=Int. J. Math. Math. Sci.|year=1993|doi-access=free}}
 * {{cite web|first1=Steven|last1=Finch|title=Unitarism and Infinitarism|url=http://oeis.org/A007947/a007947.pdf|year=2004}}
 * {{cite book | last=Ivić | first=Aleksandar | title=The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications | series=A Wiley-Interscience Publication | location=New York etc. | publisher=John Wiley &amp; Sons | year=1985 | isbn=0-471-80634-X | zbl=0556.10026 | page=395 }}
 * {{cite arXiv|eprint=1106.4038 | first1=R. J.|last1=Mathar|year=2011|title=Survey of Dirichlet series of multiplicative arithmetic functions| class=math.NT}} Section 4.2
 * {{cite book | editor1-last=Sándor | editor1-first=József | editor2-last=Mitrinović | editor2-first=Dragoslav S. | editor3-last=Crstici |editor3-first=Borislav | title=Handbook of number theory I | location=Dordrecht | publisher=[[இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம்]] | year=2006 | isbn=1-4020-4215-9 | zbl=1151.11300 }}
 * {{cite journal| first1=L. | last1=Toth|title=On the bi-unitary analogues of Euler's arithmetical function and the gcd-sum function| url=https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL12/Toth2/toth5.html | year=2009 | journal=J. Int. Seq. | volume=12}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * {{MathWorld |urlname=UnitaryDivisor |title=Unitary Divisor}}
 * [https://mathoverflow.net/questions/369751/boolean-ring-of-unitary-divisors-structure-of-unitary-divisors Mathoverflow | Boolean ring of unitary divisors]