ஈருறுப்புச் செயலி
[[File:Binary operations as black box.svg|thumb|ஈருறுப்புச் செயலி &lt;math&gt;\circ&lt;/math&gt; என்பது, &lt;math&gt;x,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; ஆகிய இரு தருமதிப்புகளை ஒன்றிணைத்து &lt;math&gt;x\circ y&lt;/math&gt; என்ற பெறுமதிப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு விதியாகும்.]]
 
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''ஈருறுப்புச் செயலி''' அல்லது '''ஈருறுப்புச் செயல்''' (''Binary operation'') என்பது இரு [[செயலுட்படுத்தி|செயலேற்பிகளைக்]] (operands) கொண்டு கணக்கிடும் ஒரு செயலாகும். [[எண்கணிதம்|எண்கணிதத்தின்]] [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டல்]], [[கழித்தல் (கணிதம்)|கழித்தல்]], [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]] மற்றும் [[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுத்தல்]] ஆகிய செயல்கள் ஈருறுப்புச் செயலிக்கு எளிய உதாரணங்களாகும்.
 
 ஈருறுப்புச் செயலியை இரு தருமதிப்புகளைக் கொண்ட [[செயல் (கணிதம்)|கணிதச் செயலாக]] முறைப்படுத்தலாம். [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களத்தையும்]] [[இணையாட்களம் (கணிதம்)|இணையாட்களத்தையும்]] ஒரே [[கணம் (கணிதம்)|கணமாகக்]] கொண்ட ஈருறுப்புச் செயலியானது அக்கணத்தின் மீதான &quot;உள் ஈருறுப்புச் செயலி&quot; (''internal binary operation'') எனப்படுகிறது. [[எண் கணிதம்|எண் கணிதத்தின்]] [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டல்]], [[கழித்தல் (கணிதம்)|கழித்தல்]], [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]] ஆகியவை உள் ஈருறுப்புச்ச் செயலிக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.  [[திசையன்]], [[அணிப்பெருக்கல்]], [[இணையியத் தொகுதி]] போன்ற கணிதத்தின் பிற கிளைகளிலும் இதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் அமைந்துள்ளன.
 
 வெவ்வேறு கணங்களைக் கொண்டமையும் இரு தருமதிப்புடைய கணிதச் செயல்களும் ஈருறுப்புச் செயல்களென அழைக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, [[திசையன் வெளி]]யின் [[திசையிலி பெருக்கல்|திசையிலிப் பெருக்கலானது]] ஒரு திசையிலியையும் ஒரு திசையனையும் தருமதிப்புகளாகக் கொண்டு மற்றொரு திசையனைப் பெறும் கணிதச் செயலாகும். இதேபோல, [[புள்ளிப் பெருக்கல்]] இரு திசையன்களை தருமதிப்புகளாகக் கொண்டு மற்றொரு திசையனை விளைவாகப் பெறும் கணிதச் செயலாகும். இத்தகு ஈருறுப்புச் செயலிகள் [[ஈருறுப்புச் சார்பு]]கள் எனப்படுகின்றன.
 
 == சொல்லியல் ==
 [[கணம் (கணிதம்)|கணம்]] '''S'''ன் மீதான ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியானது, [[கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்]] '''SxS''' லிருந்து '''S'''க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்புத் தொடர்பாகும்.(binary relation)&lt;ref&gt;{{harvnb|Rotman|1973|loc=pg. 1}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{harvnb|Hardy|Walker|2002|loc=pg. 176, Definition 67}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{harvnb|Fraleigh|1976|loc= pg. 10}}&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;\,f \colon S \times S \rightarrow S.&lt;/math&gt;
 
 '''f'''  பகுதிச்[[சார்பு|சார்பாக]] இருந்தால், இச்செயலானது &quot;பகுதி ஈருறுப்புச் செயலி&quot; எனப்படும். (partial operation) எடுத்துகாட்டாக, எந்த ஒரு [[மெய்யெண்]]ணையும் [[சுழியம்|பூச்சியத்தால்]] வகுக்க முடியாது என்பதால் மெய்யெண்களின் வகுத்தல் செயலானது ஒரு பகுதி ஈருறுப்புச் செயலாகும்.
 
 சில சமயங்களில், குறிப்பாக [[கணினி]] [[அறிவியல்|அறிவியலில்]], ஈருறுப்புச்செயலி என்பது ஈருறுப்புச் சார்பினைக் குறிக்கும்.  '''f''' இன் மதிப்பானது '''S''' கணத்தின் உறுப்பாகவே அமைவதால் ஈருறுப்புச் செயலி [[அடைவுப் பண்பு]] கொண்டதாக அமைகிறது.&lt;ref&gt;{{harvnb|Hall|1959|loc=pg. 1}}&lt;/ref&gt;
 
 [[நுண்புல இயற்கணிதம்|நுண்புல இயற்கணித்தில்]], [[இயற்கணித அமைப்பு]]களான [[குலம் (கணிதம்)|குலங்கள்]], [[ஒற்றைக்குலம்]], [[அரைக்குலம்]], [[வளையம் (கணிதம்)|வளையம்]] போன்றவற்றில் ஈருறுப்புச் செயலி முக்கியப் பங்கு வகிக்கிறது. பல ஈருறுப்புச் செயலிகள் [[சேர்ப்புப் பண்பு|சேர்ப்பு]] மற்றும் [[பரிமாற்றுப் பண்பு]]களைக் கொண்டுள்ளன. மெய்யெண் கூட்டல் மற்றும்  பெருக்கல் இரண்டும் சேர்ப்பு மற்றும் பரிமாற்றுப் பண்புகள் கொண்ட ஈருறுப்புச் செயலிகள் ஆகும். மெய்யெண் கழித்தல் மற்றும் வகுத்தல் இரண்டும் சேர்ப்பு மற்றும் பரிமாற்றுப் பண்புகள் இல்லாத ஈருறுப்புச் செயலிகள். பல ஈருறுப்புச் செயலிகள் [[முற்றொருமை உறுப்பு]]களைம் [[நேர்மாறு உறுப்பு]]களையும்  கொண்டிருக்கும்.
 
 == பண்புகளும் எடுத்துக்காட்டுகளும் ==
 [[எண்]]கள் மற்றும் [[அணி (கணிதம்)|அணிகளின்]] [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டல்]] (&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;), [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]], ஒரே கணத்தின் மீதமையும்  [[சார்புகளின் தொகுப்பு]] ஆகிய செயல்கள் ஈருறுப்புச் செயலிக்கு நல்ல எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.
 
 * இரு [[மெய்யெண்]]களின் கூட்டுத்தொகையானது மீண்டுமொரு மெய்யெண்ணாகவே இருக்குமென்பதால், மெய்யெண்களின் கணம் &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; இன் மீதான &lt;math&gt;f(a,b)=a+b,&lt;/math&gt; என்பது ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாகும்
 * இரு [[இயல் எண்|இயலெண்களின்]] கூட்டுத்தொகையானது மீண்டுமொரு இயலெண்ணாகவே இருக்குமென்பதால், இயலெண்களின் கணம் &lt;math&gt;\mathbb N&lt;/math&gt; இன் மீதான &lt;math&gt;f(a,b)=a+b,&lt;/math&gt; என்பது ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாகும். 
 * &lt;math&gt;2 \times 2&lt;/math&gt; அணிகளில் &lt;math&gt;M(2,\mathbb R)&lt;/math&gt; என்ற மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட அணிகளின் கணத்தின் மீதான &lt;math&gt;f(A,B)=A+B&lt;/math&gt; ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி (ஏனெனில் மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட இரு &lt;math&gt;2 \times 2&lt;/math&gt; அணிகளின் கூடுதலாகப் பெறப்படும் அணியும் மெய்யெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட &lt;math&gt;2 \times 2&lt;/math&gt; அணிகளாகவே இருக்கும்).
 * &lt;math&gt;2 \times 2&lt;/math&gt; அணிகளில் &lt;math&gt;M(2,\mathbb R)&lt;/math&gt; என்ற மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட அணிகளின் கணத்தின் மீதான &lt;math&gt;f(A,B)=AB&lt;/math&gt; ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி (ஏனெனில் மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட இரு &lt;math&gt;2 \times 2&lt;/math&gt; அணிகளின் பெருக்கலாகப் பெறப்படும் அணியும் மெய்யெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட &lt;math&gt;2 \times 2&lt;/math&gt; அணிகளாகவே இருக்கும்).
 * &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; கணத்தின் மீதான &lt;math&gt;h \colon C \rightarrow C&lt;/math&gt; என வரையறுக்கப்படும் சார்புகளின் கணத்தை &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; எனக் கொண்டு, &lt;math&gt;f \colon S \times S \rightarrow S&lt;/math&gt; என்ற சார்பை &lt;math&gt;f(h_1,h_2)(c)=(h_1 \circ h_2)(c)=h_1(h_2(c)), \forall c \in C&lt;/math&gt; என வரையறுக்க, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாக இருக்கும் (ஏனெனில் &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; மீது வரையறுக்கப்பட்ட இரு சார்புகளின் தொகுப்பும் &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; மீதான மற்றொரு சார்பாக இருக்கும்).
 
 [[இயற்கணிதம்]], முறைசார் [[ஏரணம்]] இரண்டிலுமுள்ள பல ஈருறுப்புச் செயலிகள்,
 * [[பரிமாற்றுத்தன்மை|பரிமாற்றுப் பண்பு]] 
 :&lt;math&gt;f(a,b)=f(b,a), \forall a, b \in S&lt;/math&gt; அல்லது 
 * [[சேர்ப்புப் பண்பு]]
 :&lt;math&gt;f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)) \forall a, b, c \in S&lt;/math&gt; உள்ளவையாக இருக்கும்.
 
 மேலும் பல ஈருறுப்புச் செயலிகள் அவற்றுக்குரிய [[முற்றொருமை உறுப்பு]]களையும் [[நேர்மாறு உறுப்பு]]களையும் கொண்டிருக்கும். முதல் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளும் பரிமாற்றுப் பண்பும் அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளும் சேர்ப்புப் பண்பும் கொண்டவை.
 
 மெய்யெண்களின் கணம் &lt;math&gt;\mathbb R&lt;/math&gt; இன் மீதான [[கழித்தல் (கணிதம்)|கழித்தல்]]  &lt;math&gt;f(a,b)=a-b&lt;/math&gt; செயலானது ஈருறுப்புச் செயலி. ஆனால் இச்செயலிக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் கிடையாது.
 :&lt;math&gt;a-b \neq b-a&lt;/math&gt;;
 :&lt;math&gt;2-3=-1&lt;/math&gt; ஆனால் &lt;math&gt;3-2=1&lt;/math&gt;.  
 :&lt;math&gt;a-(b-c) \neq (a-b)-c&lt;/math&gt;;
 :&lt;math&gt;1-(2-3)=2&lt;/math&gt; ஆனால் &lt;math&gt;(1-2)-3=-4&lt;/math&gt;.
 
 இயலெண்களின் கணம் &lt;math&gt;\mathbb N&lt;/math&gt; மீதான &lt;math&gt;f(a,b)=a^b&lt;/math&gt; என்ற  [[அடுக்கேற்றம்|அடுக்கேற்றச் செயலி]] ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாகும். ஆனால் இச்செயலிக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் கிடையாது.
 :&lt;math&gt;a^b \neq b^a&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;f(f(a,b),c) \neq f(a,f(b,c))&lt;/math&gt;;
 :&lt;math&gt;a=2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b=3&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;c=2&lt;/math&gt;:
 : &lt;math&gt;f(2^3,2)=f(8,2)=8^2=64&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;f(2,3^2)=f(2,9)=2^9=512&lt;/math&gt;.
 
 [[முழு எண்]]களின் கணம் &lt;math&gt;\mathbb Z&lt;/math&gt; மீதான &lt;math&gt;f(a,b)=a^b&lt;/math&gt; என்ற  [[அடுக்கேற்றம்|அடுக்கேற்றச் செயலி]] ஒரு பகுதி ஈருறுப்புச் செயலியாகும். ஏனென்றால் &lt;math&gt;a=0,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; ஏதேனுமொரு எதிர்ம எண் என்ற நிபந்தனையில் இச்செயலி வரையறுக்கப்படவில்லை.
 
 இயல் எண்கள் கணத்திலும் முழு எண்கள் கணத்திலும் அடுக்கேற்றம் எனும் ஈருறுப்புச் செயலிக்கு  வலது முற்றொருமை உறுப்பு (&lt;math&gt;1&lt;/math&gt;) உண்டு:
 :&lt;math&gt;f(a,1)==a^1=a, \forall a \in \mathbb N, \mathbb Z &lt;/math&gt; 
 
 எனினும், பொதுவாக &lt;math&gt;f(1,b)=1^b \neq b&lt;/math&gt; என்பதால் &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; என்பது முற்றொருமை உறுப்பு (இருபக்க முற்றொருமை) அல்ல.
 
 மெய்யெண்கள் மற்றும் விகிதமுறு எண்களில் [[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுத்தல்]] (&lt;math&gt;\div&lt;/math&gt;) செயலானது ஒரு பகுதி ஈருறுப்புச் செயலாகும். மேலும் இதற்கு பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் கிடையாது.
 
 == வெளி ஈருறுப்புச் செயலிகள் ==
 &quot;வெளி ஈருறுப்புச் செயலி&quot; (''external binary operation'') என்பது &lt;math&gt;K \times S&lt;/math&gt; இலிருந்து &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாகும். வெளி ஈருறுப்புச் செயலியின் ஆட்களமும் இணையாட்களமும் ஒரெ கணமாக இருக்க வேண்டியதில்லை. அதாவது, &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; ஆனது &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; ஆக இருக்கவேண்டியதில்லை.
 
 இயற்கணிதம்|நேரியல் இயற்கணிதத்தின்]] [[திசையிலி பெருக்கல்]] செயலானது வெளி ஈருறுப்புச் சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டாகும். திசையிலி பெருக்கலில் &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; ஒரு களம்; &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; ஆனது அந்தக் களத்தின் மீதான [[திசையன் வெளி]].
 
 இரு திசையன்களின் [[புள்ளிப் பெருக்கல்]] செயலானது &lt;math&gt;S \times S&lt;/math&gt; கணத்தை &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; உடன் கோர்க்கிறது. இங்கு &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; ஒரு களம்; அக்களத்தின் மீதான திசையன் வெளி &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;. புள்ளிப்பெருக்கல் செயலியானது ஈருறுப்புச் செயலியாக கொள்ளப்படுகிறதா என்பது நூலறிஞர்களைப் பொறுத்து அமைகிறது.
 
 == குறியீடுகள் ==
 பொதுவாக ஈருறுப்புச்செயலிகள், '''''a'' ∗ ''b'', ''a'' + ''b'', ''a'' · ''b''''' ... என உள்ளொட்டுக் குறியீட்டுமுறையில் (infix notation) எழுதப்படுகின்றன. சில சமயங்களில் செயலி இல்லாமல் '''ab''' எனவும் எழுதப்படுகின்றன.  வழக்கமாக அடுக்குகள், இரண்டாவது செயலுட்படுத்தியை மேல் குறியீடாகக் கொண்டு,  அதற்கான செயலி ('''^''') இல்லாமல்தான்  எழுதப்படுகின்றன. சில சமயங்களில் ஈருறுப்புச்செயலிகளில் முன்னொட்டு (''prefix'') அல்லது பின்னொட்டுக் (''postfix'') குறியீட்டு முறைகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{சான்று}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 * {{citation|last=Fraleigh|first=John B.|title=A First Course in Abstract Algebra|edition=2nd|publisher=Addison-Wesley|place=Reading|year=1976|isbn=0-201-01984-1}}
 * {{citation|last=Hall|first= Marshall Jr.|title=The Theory of Groups|publisher=Macmillan|place=New York|year=1959}}
 * {{citation|last1=Hardy|first1=Darel W.|last2=Walker|first2=Carol L.|author2-link=Carol Walker|title=Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms|publisher=Prentice-Hall|place=Upper Saddle River, NJ|year=2002|isbn=0-13-067464-8}}
 * {{citation|last=Rotman|first=Joseph J.|title=The Theory of Groups: An Introduction|publisher=Allyn and Bacon|place=Boston|year=1973|edition=2nd}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * {{MathWorld|title=Binary Operation|urlname=BinaryOperation}}
 
 
 
 [[பகுப்பு:இயற்கணிதம்]]