தொடுகோட்டு நாற்கரம்
[[படிமம்:Tangential quadrilateral 2.svg|thumb|250px|தொடுகோட்டு நாற்கரம்]]
 [[நாற்கரம்]] அல்லது நாற்கோணம் ஒன்றின் நான்கு பக்கங்களும், அந்த நாற்கரத்தின் உள்ளே வரையப்பட்ட [[வட்டம்]] ஒன்றுக்குத் தொடுகோடுகளாக அமையும் என்றால் அந்த நாற்கரம் '''தொடுகோட்டு நாற்கரம்''' அல்லது '''தொடுநாற்கரம்''' (''Tangential quadrilateral'') எனப்படும். இந்த வட்டமானது நாற்கரத்தின் [[முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும்|உள்வட்டம்]] என்றும் அதன் மையம் உள்வட்டமையம் என்றும் ஆரம் உள்வட்ட ஆரம் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. [[தொடு பல்கோணம்|தொடு பல்கோணங்களின்]] ஒரு வகையாகத் தொடுநாற்கரங்கள் அமையும்.
 
 எல்லா [[முக்கோணம்|முக்கோணங்களுக்கும்]] உள்வட்டம் உண்டு. ஆனால் எல்லா நாற்கரங்களுக்கும் உள்வட்டம் இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, [[செவ்வகம்|செவ்வகத்திற்கு]] உள்வட்டம் கிடையாது. அதாவது செவ்வகம் ஒரு தொடுநாற்கரமல்ல.
 
 == சிறப்பு வகைகள் ==
 தொடு நாற்கரங்களுக்கான எடுத்து [[பட்டம் (வடிவவியல்)|பட்டங்கள்]] தொடு நாற்கரங்களாகும். [[சாய்சதுரம்|சாய்சதுரங்கள்]] பட்டங்களுக்குள் அடங்குவதால் அவையும் தொடுநாற்கரங்கள். சதுரங்கள், சாய்சதுரங்களுக்குள் அடங்கும் என்பதால் சதுரங்களும் தொடுநாற்கரங்கள். [[சதுரம்]]. பட்டங்கள், [[செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்|செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரங்களாகவுமுள்ள]] தொடுநாற்கரங்கள்.&lt;ref name=Josefsson&gt;{{citation
 |last=Josefsson |first=Martin
 |journal=Forum Geometricorum
 |pages=119–130
 |title=Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral
 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf
 |volume=10
 |year=2010}}.&lt;/ref&gt; ஒரு [[செங்கோணப் பட்டம் (வடிவவியல்)|செங்கோணப் பட்டத்துக்குச்]] [[சூழ்தொடு வட்டம்|சுற்றுவட்டமும்]] உண்டு என்பதால் அது தொடுநாற்கரமாகவும் வட்டநாற்கரமாகவும் இருக்கும். தொடுநாற்கரமாகவும் வட்டநாற்கரமாகவுமுள்ள நாற்கரங்கள்  [[இரு மைய நாற்கரம்|இருமைய நாற்கரங்கள்]] எனப்படும். தொடு நாற்கரமாகவும் [[சரிவகம்|சரிவகமாகவுமுள்ள]] நாற்கரம்,  [[தொடு சரிவகம்]] எனப்படும்.
 
 == பண்பாக்கங்கள் ==
 * ஒரு தொடுநாற்கரத்தின் நான்கு [[இருசமக்கூறிடல்|கோண இருசமவெட்டிகளும்]] உள்வட்ட மையத்தில் சந்திக்கும். மறுதலையாக, ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் நான்கு கோண இருசமவெட்டிகளும் ஒரு புள்ளியில் சந்தித்தால் அந்த நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக இருக்கும். மேலும், அந்த சந்திக்கும் புள்ளி நாற்கரத்தின் உள்வட்ட மையமாக இருக்கும்.&lt;ref name=Andreescu/&gt;
 
 *[[பீட்டோ தேற்றம்|பீட்டோ தேற்றத்தின்படி]], ஒரு தொடுநாற்கரத்தின் இரு சோடி எதிர்பக்கங்களின் நீளங்களின் கூடுதல் சமமாகவும் நாற்கரத்தின் [[அரைச்சுற்றளவு|அரைச்சுற்றளவாகவும்]] (''s'') இருக்கும்:
 :&lt;math&gt;a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = s.&lt;/math&gt; (நாற்கரத்தின் பக்கங்கள்: ''a'', ''b'' ''c'', ''d'') 
 
 மறுதலையாக, ஒரு குவிவு நாற்கரத்தில் ''a'' + ''c'' = ''b'' + ''d'' ஆக இருந்தால் அந்நாற்கரம் கண்டிப்பாகத் தொடுநாற்கரமாகும்.&lt;ref name=Josefsson2/&gt;{{rp|p.65}}&lt;ref name=Andreescu/&gt;
 
 *குவிவு நாற்கரம் ''ABCD'' (சரிவகமற்ற) இன் எதிர்பக்கங்கள் வெட்டும் புள்ளிகள் ''E'', ''F'' எனில்:&lt;ref name=Andreescu&gt;{{citation
 |last1=Andreescu|first1=Titu|last2=Enescu|first2=Bogdan
 |title=Mathematical Olympiad Treasures
 |publisher=Birkhäuser
 |year=2006
 |pages=64–68}}.&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle BE+BF=DE+DF&lt;/math&gt; அல்லது &lt;math&gt;\displaystyle AE-EC=AF-FC.&lt;/math&gt; என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக முடியும்.
 
 இரண்டாவது முடிவு கிட்டத்தட்ட [[வெளி-தொடு நாற்கரம்#உர்க்கார்ட்டின் தேற்றம்|உர்க்கார்ட்டின் தேற்றத்தின்]] சமனிகளுள் ஒன்றாகும். இருபுறமுமுள்ள குறிகள் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. இரண்டாவது முடிவில் வித்தியாசங்களும், உர்க்கார்ட்டின் தேற்ற முடிவில் கூடுதல்களும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டுள்ளன.
 
 *''ABCD'' நாற்கரம் ஒரு தொடுநாற்கரமாக இருப்பதற்கான மற்றுமொரு தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடு: ''ABC'', ''ADC'' ஆகிய இரு முக்கோணங்களின் உள்வட்டங்கள் இரண்டும் ஒன்றையொன்று [[தொடுகோடு|தொடும் வட்டங்களாக]] இருக்க வேண்டும்.&lt;ref name=Josefsson2&gt;{{citation
 |last=Josefsson |first=Martin
 |journal=Forum Geometricorum
 |pages=65–82
 |title=More Characterizations of Tangential Quadrilaterals
 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201108.pdf
 |volume=11
 |year=2011}}.&lt;/ref&gt;{{rp|p.66}}
 
 * &lt;math&gt;\tan{\frac{\angle ABD}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle BDC}{2}}=\tan{\frac{\angle ADB}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle DBC}{2}}.&lt;/math&gt; என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, குவிவு நாற்கரம் ''ABCD'' ஒரு தொடுநாற்கரமாகும்.&lt;ref name=Minculete&gt;
 {{citation
 |last=Minculete |first=Nicusor
 |journal=Forum Geometricorum
 |pages=113–118
 |title=Characterizations of a Tangential Quadrilateral
 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200910.pdf
 |volume=9
 |year=2009}}.&lt;/ref&gt;
 
 * &lt;math&gt;R_aR_c=R_bR_d&lt;/math&gt; என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே,  ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' ஐ தொடர் பக்கங்களாக்கொண்ட குவிவு நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக இருக்கும். இதிலுள்ள ''R''&lt;sub&gt;''a''&lt;/sub&gt;, ''R''&lt;sub&gt;''b''&lt;/sub&gt;, ''R''&lt;sub&gt;''c''&lt;/sub&gt;, ''R''&lt;sub&gt;''d''&lt;/sub&gt; என்பவை ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றையும், அவற்றின் இரு அயல்பக்கங்களின் நீட்சிகளையும் வெளிப்பக்கமாகத் தொடும் வட்டங்களின் ஆரங்கள்.&lt;ref&gt;{{citation
  |last    = Josefsson
  |first   = Martin
  |journal = Forum Geometricorum
  |pages   = 63–77
  |title   = Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals
  |url     = http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201207.pdf
  |volume  = 12
  |year    = 2012
 }}&lt;/ref&gt;{{rp|p.72}}
 
 == சிறப்பு கோட்டுத்துண்டுகள் ==
 [[File:Tangency chords 2.svg|300px|thumb|தொடுகோட்டு நீளங்களும் தொடுநிலை நாண்களும்]]
 தொடுநாற்கரத்தின் உள்வட்டத்திற்கு எட்டு தொடுகோட்டுத் துண்டுகள் உள்ளன. தொடுநாற்கரத்தின் ஒவ்வொரு [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சியையும்]] அந்த உச்சியைப் பொதுப்புள்ளியாகக் கொண்ட இரு பக்கங்களை உள்வட்டம் தொடும் புள்ளிகளையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகளே தொடுகோட்டுத்துண்டுகளாகும். (''e'', ''f'', ''g'', ''h'' ) ஆகும். ஒவ்வொரு உச்சியிலிருந்தும் அமையும் இரு தொடுகோடுகளும் [[சர்வசமம் (வடிவவியல்)|முற்றொத்தவை]] (சமநீளமுள்ளவை).
 
 தொடுநாற்கரத்தின் எதிரெதிர் பக்கங்களிலுள்ள தொடுபுள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் தொடுநிலை நாண்களாகும் (படத்தில் ''k'', ''l''). நான்கு தொடுபுள்ளிகளால் அமையும் நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களாக இந்நாண்கள் அமையும்.
 
 == பரப்பளவு ==
 === முக்கோணவியலற்ற வாய்பாடுகள் ===
 தொடுநாற்கரத்தின் [[பரப்பளவு]] (''K''):
 *&lt;math&gt;\displaystyle K = r \cdot s,&lt;/math&gt; ''s'' - [[அரைச்சுற்றளவு]]; ''r'' - உள்வட்ட ஆரம்.
 *&lt;math&gt;\displaystyle K = \tfrac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(ac-bd)^2}&lt;/math&gt;&lt;ref name=Durell/&gt; ''p'', ''q'' மூலைவிட்டங்கள்; ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' பக்கங்கள்.
 *&lt;math&gt;\displaystyle K=\sqrt{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)},&lt;/math&gt; தொடுகோட்டு நீளங்கள் ''e'', ''f'', ''g'', ''h''.&lt;ref name=Josefsson/&gt;
 *&lt;math&gt;K=\sqrt{abcd-(eg-fh)^2},&lt;/math&gt; பக்கங்கள் ''a, b, c, d'', தொடுகோட்டு நீளங்கள் ''e, f, g, h'' &lt;ref name=Josefsson/&gt;{{rp|p.128}}
 
 இருமைய நாற்கரங்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ''eg'' = ''fh'' ஆக இருக்கும் என்பதால், தொடுநாற்கரம் ஒரு இருமைய நாற்கரமாக இருந்தால் மட்டுமே, அதன் பரப்பளவு மிகப்பெரியளவாக இருக்கும்.&lt;ref name=Hajja/&gt;
 [[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|பெருமப்]] பரப்பளவு:
 :&lt;math&gt;\sqrt{abcd}&lt;/math&gt;
 
 ===முக்கோணவியல் வாய்பாடுகள் ===
 :&lt;math&gt;\displaystyle K = \sqrt{abcd} \sin \frac{A+C}{2} = \sqrt{abcd} \sin \frac{B+D}{2}.&lt;/math&gt; பக்கங்கள் ''a'', ''b'', ''c'', ''d''; கோணங்கள்: ''A'', ''B'', ''C'', ''D''&lt;ref name=Durell/&gt;&lt;ref&gt;{{citation
 |last1=Siddons|first1=A.W.|last2=Hughes|first2=R.T.
 |title=Trigonometry
 |publisher=Cambridge Univ. Press
 |year=1929
 |page=203}}.&lt;/ref&gt;&lt;ref name=Grinberg/&gt;&lt;ref name=Yiu/&gt;
 
 தொடுநாற்கரம் ஒரு இருமைய நாற்கரமாக இருந்தால் மட்டுமே, அதன் பரப்பளவு மிகப்பெரியளவாக இருக்கும். மேலும், இருமைய நாற்கரம் ஒரு வட்டநாற்கரமுங்கூட என்பதால் எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் 180°. எனவே பெருமப் பரப்பளவு: &lt;math&gt;K = \sqrt{abcd}&lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;K=\left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin\frac{A+C}{2}&lt;/math&gt;&lt;ref name=Grinberg/&gt;{{rp|p.19}}, உள்வட்ட மையம்: ''I''..
 * &lt;math&gt;K=ab\sin{\frac{B}{2}}\csc{\frac{D}{2}}\sin \frac{B+D}{2}.&lt;/math&gt;&lt;ref name=Durell/&gt;
 * &lt;math&gt;K=\tfrac{1}{2}|(ac-bd)\tan{\theta}|,&lt;/math&gt;&lt;ref name=Durell&gt;{{citation
 |last1=Durell|first1=C.V.|last2=Robson|first2=A.
 |title=Advanced Trigonometry
 |publisher=Dover reprint
 |year=2003
 |pages=28–30}}.&lt;/ref&gt; இரு மூலைவிட்டங்களுக்கு இடைப்பட்ட ஒரு கோணம் ''θ''. பட்டங்களில் ''θ'' = 90° ஆக இருக்கும் என்பதால் இவ்வாய்பாடு பட்டங்களுக்குப் பொருந்தாது.
 
 === சமனிலிகள் ===
 *&lt;math&gt;K\le\sqrt{abcd},&lt;/math&gt; தொடுநாற்கரத்தின் பக்கங்கள் ''a'', ''b'', ''c'', ''d''. இருமைய நாற்கரங்களுக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.
 
 *அரைச்சுற்றளவு ''s''; உள்வட்ட ஆரம் ''r'' எனில் &lt;math&gt;s\ge 4r.&lt;/math&gt; (சதுரங்களுக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்)&lt;ref&gt;{{Cite web |url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&amp;t=466538 |title=Post at ''Art of Problem Solving'', 2012 |access-date=2022-05-29 |archive-date=2014-02-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140220001255/http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&amp;t=466538 |url-status= }}&lt;/ref&gt; இதனைத் தொடுநாற்கரத்தின் பரப்பளவு வாய்பாடு ''K'' = ''rs'' இல் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும் சமனிலி
 :&lt;math&gt;K\ge 4r^2&lt;/math&gt; (சதுரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்)
 
 ===பிரிப்பு பண்புகள் ===
 [[File:Tangentenviereck.png|200px|thumb|தொடுநாற்கரம், உள்வட்ட ஆரம் ''r'']]
 *உள்வட்ட மையத்தையும், உள்வட்டம் தொடுநாற்கரத்தின் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகளையும் இணைக்கும் நான்கு கோட்டுத்துண்டுகளும் நாற்கரத்தை நான்கு [[நேர் பட்டம் (வடிவவியல்)|நேர் பட்டங்களாகப்]] பிரிக்கும்.
 * தொடு நாற்கரத்தை சமபரப்பளவும் சம சுற்றளவுமுள்ள இரு பல்கோணங்களாகப் பிரிக்கும் கோடு உள்வட்ட மையத்தின் வழியாகச் செல்லும்.&lt;ref name=Andreescu/&gt;
 
 == உள்வட்ட ஆரம் ==
 தொடர்ச்சியான பக்கங்கள் ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' கொண்ட தொடுநாற்கரத்தின் உள்வட்ட ஆரத்திற்கான வாய்பாடு:&lt;ref name=Durell/&gt;
 *&lt;math&gt;r=\frac{K}{s}=\frac{K}{a+c}=\frac{K}{b+d},&lt;/math&gt; பரப்பளவு ''K''; அரைச்சுற்றளவு ''s''. இருமைய நாற்கரமாக இருக்கும்போது உள்வட்ட ஆரம் பெரும மதிப்பு கொண்டிருக்கும்.
 *&lt;math&gt;\displaystyle r=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}},&lt;/math&gt; தொடுகோட்டு நீளங்கள் ''e'', ''f'', ''g'', ''h''.&lt;ref name=Hajja&gt;{{citation
 |last=Hajja |first=Mowaffaq
 |journal=Forum Geometricorum
 |pages=103–106
 |title=A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic
 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf
 |volume=8
 |year=2008}}.&lt;/ref&gt;{{rp|Lemma2}}&lt;ref&gt;{{citation
 |last=Hoyt |first=John P.
 |journal=[[Mathematics Magazine]]
 |pages=239, 242
 |title=Quickies, Q694
 |volume=57
 |number=4
 |year=1984}}.&lt;/ref&gt;
 *நாற்கரம் ''ABCD'' இன் உள்வட்டமையம் ''I''; ''u = AI'', ''v = BI'', ''x = CI'', ''y = DI'' எனில்:
 :&lt;math&gt;r=2\sqrt{\frac{(\sigma-uvx)(\sigma-vxy)(\sigma-xyu)(\sigma-yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma=\tfrac{1}{2}(uvx+vxy+xyu+yuv)&lt;/math&gt;.&lt;ref&gt;{{citation
 |last=Josefsson |first=Martin
 |journal=Forum Geometricorum
 |pages=27–34
 |title=On the inradius of a tangential quadrilateral
 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201005.pdf
 |volume=10
 |year=2010}}.&lt;/ref&gt;
 *''ABC'', ''BCD'', ''CDA'', ''DAB'' முக்கோணங்களின் உள்வட்ட ஆரங்கள் முறையே &lt;math&gt;r_1, r_2, r_3, r_4&lt;/math&gt; எனில்:
 :&lt;math&gt;r=\frac{G+\sqrt{G^2-4r_1r_2r_3r_4(r_1r_3+r_2r_4)}}{2(r_1r_3+r_2r_4)},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;G=r_1r_2r_3+r_2r_3r_4+r_3r_4r_1+r_4r_1r_2&lt;/math&gt;.&lt;ref&gt;[[Alexander Bogomolny|Bogomolny, Alexander]]  (2016), An Inradii Relation in Inscriptible Quadrilateral, ''Cut-the-knot'', [https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/BorislavMirchev.shtml].''&lt;/ref&gt;
 
 == கோணங்களின் வாய்பாடு ==
 தொடு நாற்கரம் ''ABCD'' இன் உச்சிகள் ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' களிலிருந்து உள்வட்டத்துக்குத் தொடுகோட்டு நீளங்கள் முறையே  ''e'', ''f'', ''g'', ''h'' எனில் நாற்கரத்தின் கோணங்களின் வாய்பாடுகள்:&lt;ref name=Josefsson/&gt;
 :&lt;math&gt; \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(e + f)(e + g)(e + h)}},&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; \sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(f + e)(f + g)(f + h)}},&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; \sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(g + e)(g + f)(g + h)}},&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; \sin{\frac{D}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(h + e)(h + f)(h + g)}}.&lt;/math&gt;
 
 தொடுநிலை நாண்கள் ''k'', ''l'' இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம்:&lt;ref name=Josefsson/&gt;
 :&lt;math&gt; \sin{\varphi}=\sqrt{\frac{(e + f + g + h)(efg + fgh + ghe + hef)}{(e + f)(f + g)(g + h)(h + e)}}.&lt;/math&gt;
 
 == மூலைவிட்டங்கள் ==
 தொடுகோட்டு நீளங்கள் ''e'', ''f'', ''g'', ''h'' எனில், மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் ''p = AC'', ''q = BD'' இன் மதிப்புகள்:&lt;ref name=Hajja/&gt;{{rp|Lemma3}}
 :&lt;math&gt;\displaystyle p=\sqrt{\frac{e+g}{f+h}\Big((e+g)(f+h)+4fh\Big)},&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\displaystyle q=\sqrt{\frac{f+h}{e+g}\Big((e+g)(f+h)+4eg\Big)}.&lt;/math&gt;
 
 == தொடுநிலை நாண்கள்==
 தொடுநாற்கரத்தின் தொடுகோட்டு நீளங்கள் ''e'', ''f'', ''g'', ''h'' எனில், அதன் தொடுநிலை நாண்களின் நீளங்கள்:&lt;ref name=Josefsson/&gt;
 :&lt;math&gt;\displaystyle k=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}},&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\displaystyle l=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}&lt;/math&gt;
 
 இதில், தொடுநாற்கரத்தின் ''a'' = ''e'' + ''f'', ''c'' = ''g'' + ''h'' பக்கங்களை இணைக்கும் நாண் ''k''; ''b'' = ''f'' + ''g'', ''d'' = ''h'' + ''e'' பக்கங்களை இணைக்கும் நாண்  ''l''.
 
 தொடுநிலை நாண்களின் வர்க்கங்களின் விகிதங்கள் பின்னுள்ளவாறு அமையும்:&lt;ref name=Josefsson/&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{k^2}{l^2} = \frac{bd}{ac}.&lt;/math&gt;
 
 தொடுநாற்கரத்துக்கு சுற்றுவட்டம் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே (இருமைய நாற்கரமாக) அதன் தொடுநிலை நாண்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை.&lt;ref name=Josefsson/&gt;{{rp|p.124}}
 
 தொடுநாற்கரம் ஒரு பட்டமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதன் தொடுநிலை நாண்கள் சமநீளமுள்ளவை.&lt;ref name=Josefsson3/&gt;{{rp|p.166}}
 
 தொடுநாற்கரம் ''ABCD'' இன் ''AB'', ''CD'' பக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள இருநடுக்கோட்டைவிட, ''BC'', ''DA'' பக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள இருநடுக்கோடு நீளமானதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ''AB'', ''CD'' பக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடுநிலை நாணானது ''BC'', ''DA'' பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட தொடுநிலை நாணைவிட நீளமானது.&lt;ref&gt;{{citation
 |last=Josefsson |first=Martin
 |journal=Forum Geometricorum
 |pages=155–164
 |title=The Area of a Bicentric Quadrilateral
 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf
 |volume=11
 |year=2011}}.&lt;/ref&gt;{{rp|p.162}}
 
 தொடு நாற்கரம் ''ABCD'' இல் ''AB'' பக்கத்தின் தொடுநிலை புள்ளி ''W''; ''CD'' பக்கத்தின் மீதான தொடுநிலை புள்ளி ''Y''. மேலும் ''WY'' நாண், ''BD'' மூலைவிட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி ''M'' எனில்:
 :&lt;math&gt;\tfrac{BW}{DY} = \tfrac{BM}{DM}&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Gutierrez, Antonio, &quot;Circumscribed Quadrilateral, Diagonal, Chord, Proportion&quot;, [http://gogeometry.com/problem/p152_circumscribed_quadrilateral_diagonal_chord.htm], Accessed 2012-04-09.&lt;/ref&gt;
 
 == ஒருகோட்டுப் புள்ளிகள்==
 தொடுநாற்கரம் ''ABCD'' இன் மூலைவிட்டங்கள் ''AC'', ''BD'' இன் [[நடுப்புள்ளி]]கள் முறையே ''M&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;'', ''M&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;''; உள்வட்டமையம் ''I''; எதிர்பக்க சோடிகள் சந்திக்கும் புள்ளிகள் ''J'', ''K''; ''JK'' இன் நடுப்புள்ளி ''M&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;'' எனில், ''M&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;'', ''M&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;'', ''I'', ''M&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;'' ஆகிய நான்கு புள்ளிகளும் [[நேர்கோட்டமைவு|ஒரே கோட்டின் மீதமையும்]].&lt;ref name=Andreescu/&gt;{{rp|p.42}} அவை அமையும் கோடு, தொடுநாற்கரத்தின் [[நியூட்டன் கோடு]] ஆகும்.
 
 தொடுநாற்கரத்தின் எதிர்பக்கங்களின் நீட்சிகள் ''J'', ''K'' புள்ளிகளிலும், தொடுநிலை புள்ளிகளாலான நாற்கரத்தின் எதிர்பக்கங்களின் நீட்சிகள் ''L'', ''M'' புள்ளிகளிலும் சந்தித்தால், ''J'', ''L'', ''K',' ''M'' நான்கும் ஒருகோட்டுப் புள்ளிகள்&lt;ref name=Josefsson4&gt;{{citation
  |last=Josefsson |first=Martin
  |journal=Forum Geometricorum
  |pages=165–173
  |title=Characterizations of Bicentric Quadrilaterals
  |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf
  |volume=10
  |year=2010}}.&lt;/ref&gt;{{rp|Cor.3}}
 
 தொடுநாற்கரத்தின் ''AB'', ''BC'', ''CD'', ''DA'' பக்கங்களை உள்வட்டம் தொடும்புள்ளிகள் முறையே ''T&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;'', ''T&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;'', ''T&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;'', ''T&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;''. மேலும் இப்புள்ளிகளின் [[சமவியல்பு இணையியம்|சமவியல்பு இணையியங்கள்]] முறையே ''N&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;'', ''N&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;'', ''N&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;'', ''N&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;'' (அதாவது, ''AT&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;'' = ''BN&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;'' ...) எனில், ''N&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;N&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;'', ''N&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;N&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;''. கோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளியானது தொடுநாற்கரத்தின் ''நாகெல் புள்ளி''யென வரையறுக்கப்படுகிறது. இவ்விரு கோடுகளும் நாற்கரத்தின் [[சுற்றளவு|சுற்றளவை]] இரு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கின்றன.நாகெல் புள்ளி ''N'', நாற்கரத்தின் பரப்பளவு திணிவுமையம் ''G'', உள்வட்டமையம் ''I'' மூன்றும் இதே வரிசையில் ஒரே கோட்டிலமையும். மேலும் ''NG'' = 2''GI''. இக்கோடு தொடுநாற்கரத்தின் ''நாகெல் கோடு'' எனப்படும்.&lt;ref name=Myakishev&gt;{{citation
  | last = Myakishev | first = Alexei
  | journal = Forum Geometricorum
  | pages = 289–295
  | title = On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral
  | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200634.pdf
  | volume = 6
  | year = 2006}}.&lt;/ref&gt;
 
 தொடுநாற்கரம் ''ABCD'' இன் உள்வட்டமையம் ''I''. அதன் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளி ''P''. ''AIB'', ''BIC'', ''CID'', ''DIA'' முக்கோணங்களின் [[குத்துக்கோடு (முக்கோணம்)|செங்குத்து மையங்கள்]] ''H&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt;'', ''H&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt;'', ''H&lt;sub&gt;Z&lt;/sub&gt;'', ''H&lt;sub&gt;W&lt;/sub&gt;'' எனில், ''P'', ''H&lt;sub&gt;X&lt;/sub&gt;'', ''H&lt;sub&gt;Y&lt;/sub&gt;'', ''H&lt;sub&gt;Z&lt;/sub&gt;'', ''H&lt;sub&gt;W&lt;/sub&gt;'' நேர்கோட்டிலமையும்.&lt;ref name=Grinberg/&gt;{{rp|p.28}}
 
 == ஒருபுள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகளும் செங்குத்துக்கோடுகளும் ==
 தொடுநாற்கரத்தின் இரு மூலைவிட்டங்களும் இரு தொடுநிலை நாண்களும் ஒருபுள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகள்.&lt;ref name=Yiu&gt;Yiu, Paul, ''Euclidean Geometry'', [http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf], 1998, pp. 156–157.&lt;/ref&gt;&lt;ref name=Grinberg&gt;[http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/CircumRev.pdf Grinberg, Darij, ''Circumscribed quadrilaterals revisited'', 2008]&lt;/ref&gt;{{rp|p.11}}
 
 தொடுநாற்கரத்தின் எதிர்பக்கங்களின் நீட்சிகள் ''J'', ''K'' புள்ளிகளிலும் மூலைவிட்டங்கள் ''P'' இலும் சந்தித்தால், ''JK'', ''IP'' இன் நீட்சிக்குச் செங்குத்தானது (''I'' உள்வட்டமையம்).&lt;ref name=Josefsson4/&gt;{{rp|Cor.4}}
 
 == உள்வட்ட மையம் ==
 தொடுநாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் [[நியூட்டன் கோடு|நியூட்டன் கோட்டின்மீது]] உள்வட்டமையம் அமையும்.&lt;ref&gt;{{citation
 |last1=Dergiades |first1=Nikolaos |last2=Christodoulou|first2=Dimitris M.
 |journal=Forum Geometricorum
 |pages=245–254
 |title=The two incenters of an arbitrary convex quadrilateral
 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201727.pdf
 |volume=17
 |year=2017}}.&lt;/ref&gt;{{rp|Thm. 3}}
 
 தொடுநாற்கரத்தின் எதிர்பக்கங்களின் விகிதத்தை அதன் உச்சிகளுக்கும் உள்வட்டமையத்துக்கும் இடைப்பட்ட தூரங்களின் வாயிலாக எழுதலாம்:&lt;ref name=Grinberg/&gt;{{rp|p.15}}
 :&lt;math&gt;\frac{AB}{CD}=\frac{IA\cdot IB}{IC\cdot ID},\quad\quad \frac{BC}{DA}=\frac{IB\cdot IC}{ID\cdot IA}.&lt;/math&gt;
 
 தொடுநாற்கரம் ''ABCD'' இன் அடுத்துள்ள பக்கநீளங்களின் பெருக்குத்தொகை:&lt;ref&gt;{{citation
 |last1=Andreescu|first1=Titu|last2=Feng|first2=Zuming
 |title=103 Trigonometry Problems From the Training of the USA IMO Team
 |publisher=Birkhäuser
 |year=2005
 |pages=176–177}}.&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;AB\cdot BC=IB^2+\frac{IA\cdot IB\cdot IC}{ID}.&lt;/math&gt;
 
 தொடுநாற்கரம் ''ABCD'' இல்&lt;ref name=Grinberg/&gt;{{rp|p.16}}
 :&lt;math&gt;IA\cdot IC+IB\cdot ID=\sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}.&lt;/math&gt;
 
 The incenter ''I'' in a tangential quadrilateral தொடுநாற்கரம் ''ABCD'' இன் உச்சி திணிவுமையத்துடன் உள்வட்டமையம் ஒன்றுபடுவதற்குத் தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடு:&lt;ref name=Grinberg/&gt;{{rp|p.22}}
 :&lt;math&gt;IA\cdot IC=IB\cdot ID.&lt;/math&gt;
 
 ''AC'', ''BD'' மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் முறையே ''M&lt;sub&gt;p&lt;/sub&gt;'' and ''M&lt;sub&gt;q&lt;/sub&gt;'' எனில்:&lt;ref name=Grinberg/&gt;{{rp|p.19}}&lt;ref&gt;[http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&amp;t=455293 &quot;Determine ratio OM/ON&quot;, Post at ''Art of Problem Solving'', 2011]{{Dead link|date=நவம்பர் 2022 |bot=InternetArchiveBot }}&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{IM_p}{IM_q}=\frac{IA\cdot IC}{IB\cdot ID}=\frac{e+g}{f+h}&lt;/math&gt;
 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' உச்சிகளிலிருந்தமையும் தொடுகோட்டு நீளங்கள் முறையே ''e'', ''f'', ''g'', ''h''.
 
 ஒரு [[நான்கு தண்டு இயங்கமைவு]] தொடுநாற்கர வடிவிலமைக்கப்பட்டிருந்தால், இணைப்புகளை நெகிழ்த்தினாலும் குவிந்ததாக இருக்கும்வரை தொடுநாற்கரமாகவே இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{citation |first=Helen |last=Barton |title=On a circle attached to a collapsible four-bar |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=33 |issue=9 |year=1926 |pages=462–465 |jstor=2299611 |doi=10.2307/2299611}}.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Bogomolny, Alexander, &quot;When A Quadrilateral Is Inscriptible?&quot;, ''Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles'', [http://www.cut-the-knot.org/proofs/InscriptibleQuadrilateral.shtml#anotherProof].&lt;/ref&gt; (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சதுரத்தின் வடிவை சாய்சதுரமாக்கினாலும் தொடுவட்டம் சிறிதாவதைத் தவிர,அதன் தொடுநாற்கரத்தன்மை மாறுவதில்லை). ஒரு பக்கத்தை நிலையாக வைத்துக்கொண்டு நாற்கரத்தை நெகிழ்த்தும்போது அதன் உள்வட்டமைய வழிப்பாதை &lt;math&gt;\sqrt{abcd}/s&lt;/math&gt; ஆரமுள்ள ஒரு வட்டமாக இருக்கும். இதில் ''a, b, c, d'' நாற்கரத்தின் தொடர்பக்கங்கள்; ''s'' அரைச்சுற்றளவு.
 
 == நான்கு உள்முக்கோணங்களில் பண்பாக்கங்கள் ==
 [[Image:Chao tangentual quad radii.svg|thumb|240px|மூலைவிட்டங்கள் வெட்டுவதால் கிடைக்கும் நான்கு முக்கோணங்களும் அவற்றின் உள்வட்டங்களும் ஆரங்களும்]]
 குவிவு நாற்கரம் ''ABCD'' இன் முக்கோணங்கள் ''P'' புள்ளியில் வெட்டிக்கொள்கின்றன. இதனால் நாற்கரம் ஒன்றுக்கொன்று பொதுப்பகுதிகள் இல்லாத ''APB'', ''BPC'', ''CPD'', ''DPA'' ஆகிய நான்கு முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கப்படுகிறது. இந்நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக அமைவதற்கான பண்பாக்கங்கள்:
 
 ''APB'', ''BPC'', ''CPD'', ''DPA'' முக்கோணங்களின் உள்வட்ட ஆரங்கள் முறையே ''r''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''r''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ''r''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;,  ''r''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; எனில் கீழுள்ள முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடுநாற்கரமாக இருக்கும்:&lt;ref&gt;{{citation
 |last1=Chao |first1=Wu Wei |last2=Simeonov |first2=Plamen
 |title=When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698)
 |journal=[[American Mathematical Monthly]]
 |year=2000
 |volume=107
 |issue=7
 |pages=657–658
 |doi=10.2307/2589133}}.&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}.&lt;/math&gt;&lt;ref name=Josefsson3/&gt;{{rp|p.169}}&lt;ref name=Vaynshtejn&gt;{{citation
 |last1=Vaynshtejn |first1=I. |last2=Vasilyev |first2=N. |last3=Senderov |first3=V.
 |title=(Solution to problem) M1495
 |journal=Kvant
 |year=1995
 |issue=6
 |pages=27–28.}}&lt;/ref&gt;
 
 மேலே தரபட்ட அதே நான்கு முக்கோணங்களின் [[குத்துக்கோடு (முக்கோணம்)|குத்துக்கோடுகள்]] ''h''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''h''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ''h''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;, ''h''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; எனில் கீழேயுள்ள முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடுநாற்கரமாக இருக்க முடியும்.&lt;ref name=Minculete/&gt;&lt;ref name=Vaynshtejn/&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_3}=\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_4}.&lt;/math&gt;
 
 அந்நான்கு முக்கோணங்களின் [[முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும்|வெளிவட்ட ஆரங்கள்]] முறையே ''r''&lt;sub&gt;''a''&lt;/sub&gt;, ''r''&lt;sub&gt;''b''&lt;/sub&gt;, ''r''&lt;sub&gt;''c''&lt;/sub&gt;, ''r''&lt;sub&gt;''d''&lt;/sub&gt; எனில் பின்வரும் முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடுநாற்கரமாகும்.&lt;ref name=Josefsson2/&gt;{{rp|p.70}}
 :&lt;math&gt;\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_d}.&lt;/math&gt;
 
 ''APB'', ''BPC'', ''CPD'', ''DPA'' முக்கோணங்களின் [[சூழ்தொடு வட்டம்|சுற்றுவட்ட ஆரங்கள்]] முறையே  ''R''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''R''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ''R''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;, ''R''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; எனில் கீழுள்ள முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, நாற்கரம் ''ABCD'', தொடுநாற்கரமாகும்&lt;ref&gt;{{citation
  | last = Josefsson | first = Martin
  | journal = Forum Geometricorum
  | pages = 13–25
  | title = Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals
  | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf
  | volume = 12
  | year = 2012}}.&lt;/ref&gt;{{rp|pp. 23–24}}
 :&lt;math&gt;R_1+R_3=R_2+R_4.&lt;/math&gt;
 
 ''APB'', ''BPC'', ''CPD'', ''DPA'' முக்கோணங்களின் உள்வட்ட மையங்கள் ஒரு வட்டநாற்கரத்தை (செங்குத்து மூலைவிட்ட வட்ட நாற்கரம்) அமைத்தால், அமைத்தால் மட்டுமே நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக இருக்கும்.&lt;ref name=Josefsson2/&gt;{{rp|pp. 72–73}}&lt;ref name=Josefsson2/&gt;{{rp|p.74}} இதேபோல மேலுள்ள நான்கு முக்கோணங்களின் வெளிவட்ட மையங்கள் ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் உச்சிகளாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக இருக்கும்.&lt;ref name=Josefsson2/&gt;{{rp|p. 73}}
 
 தொடுநாற்கரமாக இருப்பதற்கான மற்றுமொரு தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடு:&lt;ref name=Minculete/&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{a}{\triangle(APB)}+\frac{c}{\triangle(CPD)}=\frac{b}{\triangle(BPC)}+\frac{d}{\triangle(DPA)},&lt;/math&gt; இதில் ∆(''APB'') = முக்கோணம் ''APB'' இன் பரப்பளவு.
 
 ''AP'' = ''p''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''PC'' = ''p''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ''BP'' = ''q''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''PD'' = ''q''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; எனில், பின்வரும் முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே தொடுநாற்கரமாகும்:&lt;ref&gt;{{citation
  | last = Hoehn | first = Larry
  | journal = Forum Geometricorum
  | pages = 211–212
  | title = A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral
  | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201122.pdf
  | volume = 11
  | year = 2011}}.&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;ap_2q_2 + cp_1q_1 = bp_1q_2 + dp_2q_1&lt;/math&gt;
 ::: (அல்லது)
 :&lt;math&gt;\frac{(p_1+q_1-a)(p_2+q_2-c)}{(p_1+q_1+a)(p_2+q_2+c)}=\frac{(p_2+q_1-b)(p_1+q_2-d)}{(p_2+q_1+b)(p_1+q_2+d)}&lt;/math&gt;&lt;ref name=Josefsson2/&gt;{{rp|p. 74}}
 ::: (அல்லது)
 :&lt;math&gt;\frac{(a+p_1-q_1)(c+p_2-q_2)}{(a-p_1+q_1)(c-p_2+q_2)}=\frac{(b+p_2-q_1)(d+p_1-q_2)}{(b-p_2+q_1)(d-p_1+q_2)}.&lt;/math&gt;&lt;ref name=Josefsson2/&gt;{{rp|p. 77}}
 
 == தொடுநாற்கரம் மற்றொரு வகை நாற்கரமாக இருப்பதற்கான கட்டுப்பாடுகள் ==
 === சாய்சதுரம் ===
 ஒரு தொடுநாற்கரத்தின் எதிர்கோணங்கள் சமமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது ஒரு [[சாய்சதுரம்|சாய்சதுரமாகும்]].&lt;ref&gt;{{citation
 |last=De Villiers|first=Michael
 |journal=[[Mathematical Gazette]]
 |pages=102–107
 |title=Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons
 |volume=95
 |issue=March
 |year=2011}}.&lt;/ref&gt;
 
 === பட்டம் ===
 பின்வரும் முடிவுகளுள் ஏதாவது ஒன்று உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ஒரு தொடுநாற்கரம் [[பட்டம் (வடிவவியல்)|பட்டமாக]] இருக்க முடியும்:&lt;ref name=Josefsson3&gt;{{citation
 |last=Josefsson |first=Martin
 |journal=Forum Geometricorum
 |pages=165–174
 |title=When is a Tangential Quadrilateral a Kite?
 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201117.pdf
 |volume=11
 |year=2011}}.&lt;/ref&gt;
 *மூலைவிட்ட நீளங்களின் பெருக்குத்தொகையில் பாதியாக நாற்கரப் பரப்பளவு இருக்க வேண்டும்.
 *மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும்.
 * எதிரெதிர் தொடுநிலைப் புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் (தொடுநிலை நாண்கள்) சமநீளமுள்ளவை
 *ஒரு சோடி எதிர் தொடுகோட்டு நீளங்கள் சமம்
 *தொடுநாற்கரத்தின் இருநடுக்கோடுகள் சமநீளமுள்ளவை.
 *தொடுநாற்கரத்தின் எதிர்பக்க நீளங்களின் பெருக்குத்தொகைகள் சமம்.
 *சுழற்சி அச்சாகவுள்ள மூலைவிட்டத்தின் மீது உள்வட்டமையம் அமையும்.
 
 ===இருமைய நாற்கரம் ===
 நாற்கரம் ''ABCD'' இன் பக்கங்களை (''AB'', ''BC'', ''CD'', ''DA'') உள்வட்டம் தொடும் புள்ளிகள் முறையே, ''W'', ''X'', ''Y'', ''Z'' எனில், கீழுள்ள முடிவுகளில் ஏதாவது ஒன்று உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, நாற்கரம் [[இரு மைய நாற்கரம்|இருமைய நாற்கரமாக]] இருக்கும்:&lt;ref name=Bryant&gt;{{citation
 |last1=Bryant|first1=Victor|last2=Duncan|first2=John
 |journal=[[The Mathematical Gazette]]
 |pages=502–505
 |title=Wheels within wheels
 |volume=94
 |issue=November
 |year=2010}}.&lt;/ref&gt;&lt;ref name=Josefsson/&gt;{{rp|p.124}}&lt;ref name=Josefsson4/&gt; 
 *''WY'', ''XZ'' க்கு செங்குத்து.
 *&lt;math&gt;AW\cdot CY=BW\cdot DY&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;\frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ}&lt;/math&gt;
 
 முதல் முடிவிலிருந்து நாற்கரம் ''WXYZ'', ஒரு [[செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்]] என அறியலாம்.
 
 சமமான தொடர் பக்க நீளங்களுடைய தொடுநாற்கரங்களில், மிக அதிக உள்வட்ட ஆரமுள்ள நாற்கரமே இரு மைய நாற்கரமாக இருக்கும்.&lt;ref name=Hess&gt;{{citation
 |last=Hess |first=Albrecht
 |journal=Forum Geometricorum
 |pages=389–396
 |title=On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals
 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201437.pdf
 |volume=14
 |year=2014}}.&lt;/ref&gt;{{rp|pp.392–393}}
 
 === சரிவகம் ===
 தொடுநாற்கரத்தின் ''AB'', ''CD'' பக்கங்களை உள்வட்டம் தொடும்புள்ளிகள் முறையே ''W'', ''Y'' எனில், கீழுள்ள முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடுநாற்கரம் ''ABCD'' ஆனது ''AB'', ''CD'' பக்கங்களை இணைபக்கங்களாகக் கொண்ட [[சரிவகம்|சரிவகமாக]] இருக்கும்:&lt;ref name=J2&gt;{{citation
 |last=Josefsson |first=Martin
 |journal=Forum Geometricorum
 |pages=381–385
 |title=The diagonal point triangle revisited
 |url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201435.pdf
 |volume=14
 |year=2014}}.&lt;/ref&gt;{{rp|Thm. 2}}
 :&lt;math&gt;AW\cdot DY=BW\cdot CY&lt;/math&gt;
 
 ''AD'', ''BC'' இணைபக்கங்களாகக் கொண்ட சரிவகமாக இருப்பதற்கு:
 :&lt;math&gt;AW\cdot BW=CY\cdot DY.&lt;/math&gt;
 
 == இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
 *[[வட்ட நாற்கரம்]]
 *[[சூழ்தொடு வட்டம்]]
 *[[வெளி-தொடு நாற்கரம்]]
 
 == உசாத்துணை ==
 {{reflist}}
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 {{Commons category|Tangential quadrilaterals}}
 *{{MathWorld |title=Tangential Quadrilateral |urlname=TangentialQuadrilateral}}