இசுடர்லிங் உட்கண எண்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] [[இசுட்டெர்லிங் எண்கள்|இசுடர்லிங் எண்]] என்பது இரண்டு வகையாகப் புழங்குகிறது. அவைகளில் ஒரு'' n''-கணத்தை ''k'' [[உட்கணம்|உட்கணங்களாக]]ப் பிரிக்கக்கூடிய  வழிகளின் எண்ணிக்கை '''இர ண்டாவது வகை இசுடர்லிங் எண்'''  அல்லது '''இசுடர்லிங் உட்கண எண்''' (Stirling Subset Number) எனப் பெயர் பெறும். இதற்குக் குறியீடு  ''S(n,k)'' என்றோ அல்லது  
 &lt;math&gt;\left\{\begin{matrix}
 n\\
 k
 \end{matrix}\right\}&lt;/math&gt; என்றோ பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதை  ''n''-subset-''k'' என்றோ ''n''-உட்கணம்-''k'' என்றோ உச்சரிக்கலாம். 
 
 எடுத்துக்காட்டாக, &lt;math&gt;\left\{\begin{matrix}
 4\\
 2
 \end{matrix}\right\}&lt;/math&gt; = 7&lt;ref&gt;Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) ''Concrete Mathematics'', Addison–Wesley, Reading MA. {{isbn|0-201-14236-8}}, p.&amp;nbsp;244.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Cite web|url=https://discrete.openmathbooks.org/more/mdm/sec_adv-stirling.html|title=Stirling Numbers of the Second Kind, Theorem 3.4.1|last=|first=|date=|website=|publisher=|access-date=}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Confusingly, the notation that combinatorialists use for ''falling'' factorials coincides with the notation used in [[சிறப்பு சார்புகள்]]s for ''rising'' factorials; see Pochhammer symbol.&lt;/ref&gt;
 
 ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இரண்டு உட்கணங்கள் கொண்ட   பிரிவுகள்:
 
 : '''{a,b}/{c,d};  {a,c}/{b,d}; {a,d}/{b,c};  {a}/{b,c,d}; {b}/{a,c,d};  {c}/{a,b,d};  {d}/{a,b,c}'''
 
 இவ்வெண்களின் முதல் சில மதிப்புகளின் அட்டவணையை [[ஸ்டர்லிங் எண்கள்]] என்ற கட்டுரையில் பார்க்கவும்.
 
 ==மீள்வரு தொடர்பு==
 
 n &gt; 0 என்றால்,
 
 :&lt;math&gt;\left\{\begin{matrix}
 n\\
 k
 \end{matrix}\right\} =  k \left\{\begin{matrix}
 n - 1\\
 k
 \end{matrix}\right\} + \left\{\begin{matrix}
 n - 1\\
 k - 1
 \end{matrix}\right\}&lt;/math&gt;
 
 ''n'' பொருட்களை உட்கணங்களாகப்பிரிக்கும்போது, ஏதாவதொரு குறிப்பிட்ட பொருளை (&lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt; என்று சொல்லலாமே) கவனித்தால் அது ஒற்றையாகவே ஓர் உட்கணமாக இருந்தாலும் இருக்கலாம்; அல்லது ஏதாவது மற்றோர் உட்கணத்தோடு அதில் ஒன்றாக இருந்தாலும் இருக்கலாம். முதல் பட்சத்தில், மற்ற ''n-1'' பொருள்கள் &lt;math&gt;\left\{\begin{matrix}
 n - 1\\
 k - 1
 \end{matrix}\right\}&lt;/math&gt; வழிகளில் உட்கணங்களாகப் பிரிகின்றன. இரண்டாவது பட்சத்தில் மற்ற ''n-1'' பொருள்கள் &lt;math&gt;\left\{\begin{matrix}
 n - 1\\
 k 
 \end{matrix}\right\}&lt;/math&gt; வழிகளில் உட்கணங்களாகப்பிரிவதால், அவை ஒவ்வொன்றின் ''k''  உட்கணங்களில் ஏதாவதொன்றில் &lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt; சேர்ந்துகொள்ளலாம். இதனுடைய உருவாக்கம்தான் மீள்வரு தொடர்பு (Recurrence Relation).
 
 ==[[இறங்கும் தொடர்பெருக்கம்|இறங்குமுகக் காரணியத்துடன்]] உறவு==
 
 : ''n &gt; 0'' ஆக இருக்குமானால்,
 
 :(*): &lt;math&gt;x^n =  \sum_k \left\{\begin{matrix}
 n\\
 k
 \end{matrix}\right\} x(x - 1)(x - 2) ... (x - k + 1)&lt;/math&gt;
 
 இதற்கு இரண்டுவிதமாக நிறுவல் அளிக்கலாம். [[கணிதத் தொகுத்தறிதல்|உய்த்தறிதல்]] முறை ஒரு முறை. இன்னொன்று [[சேர்வியல்]] முறை.
 
 '''சேர்வியல் முறையில் நிறுவல்''': ''x'' ஒரு  நேர்ம முழுஎண்  என்று கொள். ''|X| = x, |N| = n'' இருக்கும்படி இரண்டு கணங்கள் ''X, N'' இருப்பதாகக் கொள்.  ''N'' இலிருந்து   ''X'' க்குப்போகும் எல்லாக் கோப்புகளின் எண்ணிக்கை  &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt;. இதே எண்ணிக்கையை இப்பொழுது வேறுவிதமாகக் கணிப்போம்.
 
 ஒரு குறிப்பிட்ட கோப்பைக் கவனி. இதனுடைய வீச்சில் (Range)அடங்கிய உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை ''k'' என்று கொள். இந்த குறிப்பிட்ட மதிப்புள்ள 'k'க்கு, &lt;math&gt;\left\{\begin{matrix}
 n\\
 k
 \end{matrix}\right\}&lt;/math&gt; வழிகளில் '' N'' இன் உறுப்புக்களை ''X'' இலுள்ள ஓர் உறுப்புக்குக் கோப்பிடலாம் (may be mapped).இவ்வழிகளில் ஒவ்வொன்றும் ''N'' ஐ உட்கணங்களால் பிரிக்கும் ஒரு பிரிவினை. ஒவ்வொரு பிரிவினையிலும் உள்ள ஒவ்வொரு பிரிவுக்கும் (அ-து. உட்கணத்திற்கும்)'' X'' இல் ஒரு பிம்பம் (Image) -- வெவ்வேறு பிரிவுக்கு வெவ்வேறு பிம்பம்--குறிப்பிடப்பட வேண்டும். இதற்குள்ள  வழிகள்:
 :  ''x(x - 1)(x - 2)    ...   (x - k +1).'' இப்படிச் செய்துவிட்டால் எல்லாக் கோப்புகளையும் கணக்கிட்டாய்விடும்.ஆக, ''k'' என்ற வீச்சையுடைய எல்லாக் கோப்புகளின் எண்ணிக்கை:
 :  &lt;math&gt;\left\{\begin{matrix}
 n\\
 k
 \end{matrix}\right\}x (x-1)... (x-k+1).&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாக இருக்கும்போது (*)இன் உண்மைக்கு இது நிறுவலாகிறது. ஆனால் இதனாலேயே,  &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ஐ மாறியாகக் கொண்டால், (*) இன் இருபக்கங்களிலும் உள்ள பல்லுருப்புகள்  &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; இன் முடிவிலா எண்ணிக்கையுள்ள   மதிப்புகளுக்கு உண்மையான சமன்பாடாகின்றன. இதன்பொருள் (*) ஒரு முற்றொருமைச் சமன்பாடு.
 
 ==[[ஏறும் தொடர்பெருக்கம்|ஏறுமுகக் காரணியத்துடன்]] உறவு==
 
 : (**)  n &gt; 0  ஆக இருக்குமானால்
 
 :&lt;math&gt;x^n  = \sum_k \left\{\begin{matrix}
 n\\
 k
 \end{matrix}\right\} (-1)^{n-k} x (x + 1)(x + 2) ... (x + k - 1)&lt;/math&gt;
 
 இறங்குமுகக்காரணியத்துடன் உறவு (*) இல் காட்டப்பட்டது. அதனில்  &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ஐ  &lt;math&gt;(-x)&lt;/math&gt; ஆக மாற்றினால்  (**) கிடைத்துவிடும்.
 
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
 * [[ஸ்டர்லிங் சுழல் எண்]]
 
 [[பகுப்பு:சேர்வியல்]]
 [[பகுப்பு:குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்]]
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}