மீள்வரு தொடர்பு
கணிதத்தில் '''மீள்வரு தொடர்பு''' (''recurrence relation'') என்பது, ஒரு தொடர்முறையின் ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சில தொடக்க உறுப்புகள் தரப்பட்ட நிலையில், அத்தொடர்முறையின் பிற உறுப்புகள் அனைத்தையும் தருகின்ற மீள்வரு வரையறையாகவுள்ள [[சமன்பாடு]] ஆகும். இதில், முந்தைய உறுப்புகளின் [[சார்பு|சார்பாக]] ஒரு தொடர்முறையின் உறுப்புகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 ===பிபனாச்சி எண்கள்===
 {{முதன்மை|பிபனாச்சி எண்கள்}}
 பிபனாச்சி எண்கள்:
 &lt;math&gt;1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, ....&lt;/math&gt;
 
 [[பிபனாச்சி எண்கள்|ஃபிபனாச்சி எண்களின்]] மீள்வரு தொடர்பு:
 :&lt;math&gt;F_n = F_{n-1}+F_{n-2}&lt;/math&gt;
 
 தரப்படும் தொடக்க எண்கள்:
 :&lt;math&gt;F_0 = 0&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;F_1 = 1&lt;/math&gt;
 
 மீள்வரு தொடர்பைப் பயன்படுத்த:
 :&lt;math&gt;F_2 = F_1 + F_0 = 1+0 = 1&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;F_3 = F_2 + F_1 = 1+1 = 2&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;F_4 = F_3 + F_2 = 2+1 = 3....&lt;/math&gt;
 என பிபனாச்சி எண்கள் ஒவ்வொன்றும் அதன் முந்தைய இரு எண்களின் சார்பாக அமைவதைக் காணலாம்
 
 ===ஈருறுப்புக் கெழுக்கள்===
 [[ஈருறுப்புத் தேற்றம்|ஈறுப்புத் தேற்றத்தின்]] விரிவிலுள்ள உறுப்புகளின் கெழுக்கள் [[ஈருறுப்புக் குணகம்|ஈருறுப்புக் கெழுக்கள்]] எனப்படும். அவை வழக்கமாக &lt;math&gt; \tbinom nk &lt;/math&gt;எனக் குறிப்படுகின்றன. ''n'' பொருட்களிலிருந்து ''k'' பொருட்களைத் தேர்ந்தெடுக்கக் கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கையை &lt;math&gt;\tbinom{n}{k}&lt;/math&gt;, தருகிறது.
 
 ஈருறுப்புக் கெழுக்களின் மீள்வரு தொடர்பு:
 :&lt;math&gt;\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k},&lt;/math&gt;
 
 தரப்படுள்ள தொடக்க மதிப்பு:
 &lt;math&gt;\tbinom{n}{0}=\tbinom{n}{n}=1&lt;/math&gt;. 
 [[Image:PascalTriangleAnimated2.gif|right|பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் ஒரு வரிசையிலுள்ள ஒரு உறுப்பானது முந்தைய வரிசையின் முன்னிரு உறுப்புகளைக் கூட்டிப் பெறப்படுகிறது]]
 இதனைப் பயன்படுத்தி &lt;math&gt; k = 1, 2, ... &lt;/math&gt; எனப் பதிலிட்டு ஈருறுப்புக் கெழுக்களைக் காண, அவை [[பாஸ்கலின் முக்கோணம்|பாஸ்கலின் முக்கோணத்தை]] அமைக்கும்.
 
 &lt;math&gt;\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.&lt;/math&gt; வாய்பாட்டின் மூலமும் ஈருறுப்புக் கெழுக்களைக் காணலாம்.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 
 == உசாத்துணை ==
 * {{cite book|first1=Paul M. | last1=Batchelder
 |title=An introduction to linear difference equations
 |url=https://archive.org/details/introductiontoli0000paul |year=1967
 |publisher=Dover Publications
 }}
 * {{cite book|first1=Kenneth S. | last1=Miller
 |title=Linear difference equations
 |year=1968 | publisher=W. A. Benjamin
 }}
 * {{cite article|first1=Jay P. | last1=Fillmore | first2=Morris L. | last2=Marx
 |title=Linear recursive sequences | journal= SIAM Rev. | volume=10|number=3
 |pages=324-353 | jstor=2027658| year=1968}}
 * {{cite book| first1=Alfred | last1=Brousseau
 |title=Linear Recursion and Fibonacci Sequences
 |year=1971
 |publisher=Fibonacci Association
 |url=http://www.fq.math.ca/linear.html
 }}
 * Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein. ''Introduction to Algorithms'', Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 1990. {{ISBN|0-262-03293-7}}. Chapter 4: Recurrences, pp.&amp;nbsp;62–90.
 *{{cite book| first1=Ronald L. | last1=Graham |
 first2=Donald E. | last2=Knuth
 |first3=Oren | last3=Patashnik
 |title=Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science
 |edition=2
 |publisher=Addison-Welsey
 |year=1994 |isbn=0-201-55802-5
 }}
 *{{cite book
 |year=2010
 |url=http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000338.html
 |first1=Walter
 |last1=Enders
 |title=Applied Econometric Times Series
 |edition=3
 |access-date=2015-08-06
 |archivedate=2014-11-10
 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20141110221941/http://eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000338.html
 }}
 *{{cite book| first1=Paul | last1=Cull | first2=Mary | last2=Flahive
 |first3=Robbie | last3=Robson
 |title=Difference Equations: From Rabbits to Chaos
 | url=https://archive.org/details/differenceequati0000cull |publisher=Springer | year=2005 | isbn=0-387-23234-6 }} chapter 7.
 * {{cite book| first1=Ian | last1=Jacques
 |title=Mathematics for Economics and Business
 | url=https://archive.org/details/mathematicsforec0000jacq_b5a4 |edition=Fifth
 |publisher=Prentice Hall
 |year=2006
 |isbn=0-273-70195-9
 |pages=[https://archive.org/details/mathematicsforec0000jacq_b5a4/page/551 551]–568
 }} Chapter 9.1: Difference Equations.
 * {{cite web | first1=Tang | last1=Minh | first2=Tan | last2=Van To | 5= | title=Using generating functions to solve linear inhomogeneous recurrence equations | pages=399-404 | url=http://www.wseas.us/e-library/conferences/2006lisbon/papers/517-481.pdf | year=2006 | work=Proc. Int. Conf. Simulation, Modelling and Optimization, SMO'06 | access-date=2015-08-06 | archive-date=2016-03-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20160304035925/http://www.wseas.us/e-library/conferences/2006lisbon/papers/517-481.pdf | url-status=dead }}
 * {{cite web| first1=Andrei D. | last1=Polyanin
 |title=Difference and Functional Equations: Exact Solutions
 |url=http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/fe.htm}} at EqWorld - The World of Mathematical Equations.
 * {{cite web| first1=Andrei D. | last1=Polyanin
 |title=Difference and Functional Equations: Methods
 |url=http://eqworld.ipmnet.ru/en/education/edu-fe.htm}} at EqWorld - The World of Mathematical Equations.
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * {{springer|title=Recurrence relation|id=p/r080150}}
 * {{MathWorld | urlname= RecurrenceEquation | title= Recurrence Equation}}
 * {{cite web |first1= John H. |last1=Mathews |url=http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ZTransformDEMod.html
 |title= Homogeneous Difference Equations}}
 * [http://books.google.com/books?id=pOBXUoVZ9EEC&amp;pg=PA95&amp;lpg=PA95&amp;dq=%22difference+equation%22+%22recurrence+relation%22&amp;source=web&amp;ots=1kZStOrPh5&amp;sig=VYKkC__C9AfmfrhjFhhLg_Q5YPk&amp;hl=en&amp;sa=X&amp;oi=book_result&amp;resnum=5&amp;ct=result Introductory Discrete Mathematics]
 * {{cite web |title= OEIS Index Rec|url=http://oeis.org/wiki/Index_to_OEIS:_Section_Rec}} [[OEIS]] index to a few thousand examples of linear recurrences, sorted by order (number of terms) and signature (vector of values of the constant coefficients)
 
 [[பகுப்பு:கணிதம்]]