கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் (கோட்டுருவியல்)
[[File:Cartesian product graph.svg|thumb|upright=1.35|இரு கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்]]
 [[File:Graph-Cartesian-product.svg|thumb|upright=1.35|இரு கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்]]
 [[கோட்டுருவியல்|கோட்டுருவியலில்]] ''G'' மற்றும் ''H'' ஆகிய இரு [[கோட்டுரு (கணிதம்)|கோட்டுருக்களின்]] '''கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்''' (''Cartesian product'') ''G'' &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; ''H''{{sfnp|Hahn|Sabidussi|1997}} என்பது பின்வருமாறு அமையும் கோட்டுருவாகும்
 * ''G'' &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; ''H'' இன் [[முனை (கோட்டுருவியல்)|முனை]]களின் [[கணம் (கணிதம்)|கணமானது]] ''G'' மற்றும் ''H'' கோட்டுருக்களின் முனை கணங்களின் [[கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்]].  
 ::''V''(''G'' &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt;) = ''H'' ''V''(''G'') × ''V''(''H''); 
  
 * ''u'' = ''v'' மற்றும் ''u' '' , ''v' '' இரண்டும் ''H'' இல் அடுத்துள்ள முனைகளாக
 :::'''அல்லது'''
 :''u' '' = ''v' '' மற்றும் ''u'' , ''v'' இரண்டும் ''G'' இல் அடுத்துள்ள முனைகளாக 
 :::இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே
 * (''u,u' '') , (''v,v' '') இரண்டும் ''G'' &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; ''H''  இல் அடுத்துள்ள முனைகளாக இருக்கும்.
 
 சிலசமயங்களில் கோட்டுருக்களின் பெருக்கற்பலன் &quot;பெட்டிப் பெருக்கம்&quot; (''box product'') எனவும் அழைக்கப்படுகிறது [Harary 1969].
 
 (''F'' &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; ''G'') &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; ''H'' மற்றும் ''F'' &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; (''G'' &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; ''H'') கோட்டுருக்கள் இரண்டும் இயல்பாகவே சம அமைவியமுடையது என்பதால் அவற்றின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் [[சேர்ப்புப் பண்பு]] உடையது.  
 :: (''F'' &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; ''G'') &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; ''H'' = ''F'' &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; (''G'' &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; ''H'')   
 
 கோட்டுருக்களின் சம அமைவிய [[சமானப் பகுதி]]களின் மீது வரையறுக்கப்படும்போது கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் செயலி [[பரிமாற்றுத்தன்மை]] கொண்டது; ''G'' &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; ''H''  மற்றும் ''H'' &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; ''G'' இரண்டும் வலிமையாக சம அமைவியமுடையது. ஆனால் பெயரிடப்பட்ட கோட்டுருக்களின் மீது வரையறுக்கப்படும் செயலியாக இது பரிமாற்றுத்தன்மையற்றது.
 
 == வரலாறு ==
 {{harvtxt|Imrich|Klavžar|2000}} இன் கூற்றுப்படி கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் 1912 ஆம் ஆண்டில் [[ஆல்பிரட் நார்த் வொய்ட்ஹெட்]] மற்றும் [[பெர்ட்ரண்டு ரசல்|ரசலால்]] வரையறுக்கப்பட்டது.  பின்னர் ஆஸ்திரேலியக் கணிதவியலாளர் &quot;ஜெர்த் சபிதுசு&quot;வால் ({{harvs|first=Gert|last=Sabidussi|authorlink=Gert Sabidussi|year=1960|txt}}) மீண்டும் கண்டறியப்பட்டது.
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 * இரு விளிம்புகளின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் நான்கு முனைகளுடைய [[சுழற்சி கோட்டுரு]]
 ::K&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; K&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = C&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;.
 *  K&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; மற்றும் பாதை கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் ஒரு [[ஏணி கோட்டுரு]].
 ::K&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; P&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;
 * இரு [[பாதை கோட்டுரு]]க்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் ஒரு [[கட்டக் கோட்டுரு]]
 * ''n'' விளிம்புகளின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் ஒரு மீகனசதுரம்
 :: &lt;math&gt;(K_2)^{\square n} = Q_n.&lt;/math&gt;
 : இரு மீகனசதுரக் கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் மற்றொரு மீகனசதுரக் கோட்டுரு.
 ::Q&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; Q&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt; = Q&lt;sub&gt;i+j&lt;/sub&gt;. 
 * இரு [[இடைநிலைமுனை கோட்டுரு]]க்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் மற்றொரு இடைநிலைமுனை கோட்டுரு.
 * K&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; மற்றும் C&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; இரண்டின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் n-பட்டகத்தின் முனைகள் மற்றும் விளிம்புகளின் கோட்டுரு 
 * இரு [[முழுக்கோட்டுரு]]க்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கல் ரூக்கின் கோட்டுரு.
 
 == பண்புகள் ==
 *ஒரு இணைப்புள்ள கோட்டுருவானது கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலாக இருந்தால் அதனை பகாக் கோட்டுருக்களின் (மேற்கொண்டு கோட்டுருக்களின் பெருக்கலாகப் பிரிக்க முடியாத கோட்டுருக்கள்) பெருக்கலாகத் தனித்த முறையில் காரணிப்படுத்த முடியும். &lt;ref&gt;{{harvtxt|Sabidussi|1960}}; {{harvtxt|Vizing|1963}}.&lt;/ref&gt;  ஒரு இணைப்பில்லா கோட்டுருவையும் இரு வேறுபட்ட வழிகளில் பகாக் கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலாக எழுத முடியும் என விளக்கப்பட்டது{{harvtxt|Imrich|Klavžar|2000}}:
 :(K&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + K&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + K&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;) &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; (K&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + K&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;) = (K&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + K&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + K&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;) &lt;math&gt;\square&lt;/math&gt; (K&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + K&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;),
 
 இதிலுள்ள + குறியானது இணப்பில்லா ஒன்றிப்பையும் மேலொட்டுகள் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலின் அடுக்கையும் குறிக்கின்றன.
 
 * கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலிலுள்ள ஒவ்வொரு கோட்டுருவும் [[முனை-கடப்புக் கோட்டுரு]]வாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனாகக் கிடைக்கும் கோட்டுருவும் முனை-கடப்புடையதாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Imrich|Klavžar|2000}}, Theorem&amp;nbsp;4.19.&lt;/ref&gt;
 
 *கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கலிலுள்ள ஒவ்வொரு கோட்டுருவும் [[இருகூறு கோட்டுரு]]வாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனாகக் கிடைக்கும் கோட்டுருவும் இருகூறு கோட்டுருவாக இருக்கும். 
 
 *[[அலகு தொலைவு கோட்டுரு]]க்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனும் மற்றொரு [[அலகு தொலைவு கோட்டுரு]].{{sfnp|Horvat|Pisanski|2010}}
 
 == இயற்கணித கோட்டுருவியல் ==
 
 கோட்டுரு &lt;math&gt;G_1&lt;/math&gt; இன் முனைகளின் எண்ணிக்கை &lt;math&gt;n_1&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;n_1\times n_1&lt;/math&gt; [[அண்மை அணி]] &lt;math&gt;\mathbf A_1&lt;/math&gt;. கோட்டுரு &lt;math&gt;G_2&lt;/math&gt; இன் முனைகளின் எண்ணிக்கை &lt;math&gt;n_2&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;n_2\times n_2&lt;/math&gt; அண்மை அணி &lt;math&gt;\mathbf A_2&lt;/math&gt; எனில்:
 &lt;math&gt;G_1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;G_2&lt;/math&gt; கோட்டுருக்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் கோட்டுருவின் அண்மை அணி:
 : &lt;math&gt;\mathbf A_{1\square 2} = \mathbf A_1 \otimes \mathbf I_{n_2} + \mathbf I_{n_1} \otimes \mathbf A_2&lt;/math&gt;,
 
 இதில் &lt;math&gt;\otimes&lt;/math&gt; - அணிகளின் கிரொனேகேர் பெருக்கத்தின் (Kronecker product) குறியீடு; &lt;math&gt;\mathbf I_n&lt;/math&gt; - [[முற்றொருமை அணி]].{{sfnp|Kaveh|Rahami|2005}}
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{reflist|30em}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 *{{citation
  | last1 = Aurenhammer | first1 = F. | author1-link = Franz Aurenhammer
  | last2 = Hagauer | first2 = J.
  | last3 = Imrich | first3 = W. 
  | doi = 10.1007/BF01200428
  | issue = 4
  | journal = Computational Complexity
  | mr = 1215316
  | pages = 331–349
  | title = Cartesian graph factorization at logarithmic cost per edge
  | volume = 2
  | year = 1992}}.
 *{{citation
  | last1 = Feigenbaum | first1 = Joan | author1-link = Joan Feigenbaum
  | last2 = Hershberger | first2 = John | author2-link = John Hershberger
  | last3 = Schäffer | first3 = Alejandro A.
  | doi = 10.1016/0166-218X(85)90066-6
  | issue = 2
  | journal = [[Discrete Applied Mathematics]]
  | mr = 808453
  | pages = 123–138
  | title = A polynomial time algorithm for finding the prime factors of Cartesian-product graphs
  | volume = 12
  | year = 1985}}.
 *{{citation
  | last1 = Hahn | first1 = Geňa
  | last2 = Sabidussi | first2 = Gert | author2-link = Gert Sabidussi
  | isbn = 978-0-7923-4668-5
  | page = 116
  | publisher = Springer
  | series = NATO Advanced Science Institutes Series
  | title = Graph symmetry: algebraic methods and applications
  | url = https://books.google.com/books?id=-tIaXdII8egC&amp;pg=PA116
  | volume = 497
  | year = 1997}}.
 *{{citation
  | last1 = Horvat | first1 = Boris
  | last2 = Pisanski | first2 = Tomaž | author2-link = Tomaž Pisanski
  | doi = 10.1016/j.disc.2009.11.035
  | issue = 12
  | journal = [[Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]]
  | mr = 2610282
  | pages = 1783–1792
  | title = Products of unit distance graphs
  | volume = 310
  | year = 2010}}.
 *{{citation
  | last1 = Imrich | first1 = Wilfried |authorlink = Wilfried Imrich 
  | last2 = Klavžar |  first2 = Sandi
  | isbn = 0-471-37039-8
  | publisher = Wiley
  | title = Product Graphs: Structure and Recognition
  | year = 2000}}.
 *{{citation
  | last1 = Imrich | first1 = Wilfried 
  |authorlink = Wilfried Imrich | last2 = Klavžar | first2 = Sandi
  | last3 = Rall | first3 = Douglas F.
  | isbn = 1-56881-429-1
  | publisher = A. K. Peters
  | title = Graphs and their Cartesian Products
  | year = 2008}}.
 *{{citation
  | last1 = Imrich | first1 = Wilfried |
 authorlink = Wilfried Imrich | last2 = Peterin | first2 = Iztok
  | doi = 10.1016/j.disc.2005.09.038
  | issue = 3-5
  | journal = [[Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]]
  | mr = 2287488
  | pages = 472–483
  | title = Recognizing Cartesian products in linear time
  | volume = 307
  | year = 2007}}.
 *{{citation
  | last1 = Kaveh | first1 = A.
  | last2 = Rahami | first2 = H.
  | doi = 10.1002/cnm.753
  | issue = 7
  | journal = Communications in Numerical Methods in Engineering with Biomedical Applications
  | mr = 2151527
  | pages = 377–388
  | title = A unified method for eigendecomposition of graph products
  | volume = 21
  | year = 2005}}.
 *{{citation
  | last = Sabidussi | first = G. | authorlink = Gert Sabidussi
  | doi = 10.4153/CJM-1957-060-7
  | journal = [[Canadian Journal of Mathematics]]
  | mr = 0094810
  | pages = 515–525
  | title = Graphs with given group and given graph-theoretical properties
  | volume = 9
  | year = 1957}}.
 *{{citation
  | last = Sabidussi | first = G. | authorlink = Gert Sabidussi
  | doi = 10.1007/BF01162967
  | journal = [[Mathematische Zeitschrift]]
  | mr = 0209177
  | pages = 446–457
  | title = Graph multiplication
  | volume = 72
  | year = 1960| hdl = 10338.dmlcz/102459
  | hdl-access = free
  }}.
 *{{citation
  | last = Vizing | first = V. G. | author-link = Vadim G. Vizing
  | journal = Vycisl. Sistemy
  | mr = 0209178
  | pages = 30–43
  | title = The Cartesian product of graphs
  | volume = 9
  | year = 1963}}.
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 *{{mathworld | title = Graph Cartesian Product | urlname = GraphCartesianProduct}}