ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம்
விளிம்பு-கடப்பு, உச்சி-கடப்பு, முகம்-கடப்பு ஆகிய மூன்று கடப்புத்தன்மைகளும் உடைய ஒரு [[பன்முகத்திண்மம்|பன்முகத்திண்மமானது]] '''ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம் அல்லது ஒழுங்கு பன்முகி''' (''regular polyhedron'') எனப்படும். ஒழுங்குப் பன்முகி மிகவும் சமச்சீரானது. ஒழுங்கு பன்முகியின் [[சமச்சீர்மை குலம் (கணிதம்)|சமச்சீர்மை குலமானது]] அந்தப் பன்முகியின் [[கொடி (வடிவவியல்)|கொடிகளின்மீது]] கடப்புத்தன்மையுடன் செயல்படும்.
 
 பின்வருமாறும் ஒழுங்குப் பன்முகி வரையறுக்கப்படுகிறது:
 ஒரு பன்முகியின் எல்லா [[முகம் (வடிவவியல்)|முகங்களும்]] [[சர்வசமம் (வடிவவியல்)|சர்வசமப்]] [[ஒழுங்கு பல்கோணி]]களாக இருந்து, பன்முகியின் ஒவ்வொரு [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சியிலும்]] அதன் முகங்கள் ஒரேவிதமாக அமைக்கப்பட்டிருந்தால் அப்பன்முகியானது ஒழுங்கு பன்முகி என அழைக்கப்படும். 
 
 ஒரு ஒழுங்குப் பன்முகியானது அதன் {''n'', ''m''} வடிவ இசுலாபிலிக் குறியீட்டின் மூலம் அடையாளப்படுத்தப்படுகிறது. இக்குறியீட்டில் ''n'' என்பது ஒழுங்குப் பன்முகியின் ஒவ்வொரு முகத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கையையும் ''m'' என்பது ஒவ்வொரு உச்சியிலும் சந்திக்கும் முகங்களின் எண்ணிக்கையையும் குறிக்கிறது. 5 முடிவுறு குவிவு ஒழுங்குப் பன்முகிகளும் ([[பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்கள்]]), நான்கு ஒழுங்கு [[நாள்மீன் பன்முகி]]களுமாக ([[கெப்ளர்-பாயின்சாட்டு சீர்திண்மங்கள்]]) ஒன்பது ஒழுங்குப் பன்முகிகள் உள்ளன. இவை தவிர ஒழுங்குப் பன்முகிகளின் கூட்டுப் பன்முகிகளாக அமைந்த ஐந்து ஒழுங்கு கூட்டுப் பன்முகிகளும் உள்ளன.
 
 == ஒழுங்கு பன்முகிகள் ==
 
 * ஐந்து ஒழுங்குக் [[குவிவுப் பல்கோணம்|குவிவுப்]] பன்முகிகள்: [[பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்கள்]]
 * நான்கு நாள்மீன் பன்முகிகள்:கெப்ளர்-பாயின்சாட்டு சீர்திண்மங்கள்
 * ஒழுங்கு பன்முகிகளின் கூட்டாகவுள்ள ஐந்து ஒழுங்கு கூட்டுப் பன்முகிகள்
 
 === பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்கள் ===
 {| class=&quot;wikitable&quot; width=640
 |- align=center
 |[[Image:Tetrahedron.jpg|100px]] 	 
 |[[Image:Hexahedron.jpg|100px]] 	 
 |[[Image:Octahedron.jpg|100px]] 	 
 |[[Image:Dodecahedron.jpg|100px]] 	 
 |[[Image:Icosahedron.jpg|100px]] 	 
 |- align=center
 |[[நான்முக முக்கோணகம்]] {3,&amp;nbsp;3}||[[கனசதுரம்]] {4,&amp;nbsp;3}||[[எண்முகி]] {3,&amp;nbsp;4}||[[பன்னிரண்டுமுக ஐங்கோணகம்]] {5,&amp;nbsp;3}||[[இருபதுமுக முக்கோணகம்]] {3,&amp;nbsp;5}
 |- align=center
 |[[ஆய்லர்  பான்மை|''χ'']] = 2||''χ'' = 2||''χ'' = 2||''χ'' = 2||''χ'' = 2
 |}
 
 === கெப்ளர்-பாயின்சாட்டு சீர்திண்மங்கள் ===
 {| class=&quot;wikitable&quot; width=640
 |- align=center
 |[[Image:SmallStellatedDodecahedron.jpg|100px]] 	 
 |[[Image:GreatDodecahedron.jpg|100px]] 	 
 |[[Image:GreatStellatedDodecahedron.jpg|100px]] 	 
 |[[Image:GreatIcosahedron.jpg|100px]] 	 
 |- align=center
 |[[சிறு நாள்மீன் பன்னிரண்டுமுக ஐங்கோணகம்]]&lt;br&gt;{5/2,&amp;nbsp;5}
 ||[[பெரு பன்னிரண்டுமுக ஐங்கோணகம்]]&lt;br&gt;{5,&amp;nbsp;5/2}
 ||[[பெரு நாள்மீன் பன்னிரண்டுமுக ஐங்கோணகம்]]&lt;br&gt;{5/2,&amp;nbsp;3}
 ||[[பெரு இருபதுமுகத்திண்மம்]]&lt;br&gt;{3,&amp;nbsp;5/2}
 |- align=center
 |''χ'' = −6||''χ'' = −6||''χ'' = 2||''χ'' = 2
 |}
 
 === ஒழுங்கு கூட்டுப் பன்முகிகள் ===
 {| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;width:640px; text-align:center;&quot;
 |-
 | [[Image:Compound of two tetrahedra.png|100px]]
 | [[Image:Compound of five tetrahedra.png|100px]]
 | [[Image:Compound of ten tetrahedra.png|100px]]
 | [[Image:Compound of five cubes.png|100px]]
 | [[Image:Compound of five octahedra.png|100px]]
 |-
 | [[நாள்மீன் எண்முகி]] &lt;br&gt;இரு [[நான்முக முக்கோணகம்|நான்முகிகளின்]] கூட்டுப் பன்முகி&lt;br&gt;2 {3,&amp;nbsp;3}
 | ஐந்து நான்முகிகளின் கூட்டுப் பன்முகி&lt;br&gt;5 {3,&amp;nbsp;3}
 | பத்து நான்முகிகளின் கூட்டுப் பன்முகி&lt;br&gt;10 {3,&amp;nbsp;3}
 | ஐந்து கனசதுரங்களின் கூட்டுப் பன்முகி&lt;br&gt;5 {4,&amp;nbsp;3}
 | ஐந்து எண்முகிகளின் கூட்டுப் பன்முகி&lt;br&gt;5 {3,&amp;nbsp;4}
 |-
 | ''χ'' = 4 || ''χ'' = 10 || ''χ'' = 0 || ''χ'' = −10 || ''χ'' = 10
 |}
 
 == பண்புகள் ==
 === சமானப் பண்புகள் ===
 ஒழுங்குப் பன்முகியின் ஒவ்வொரு உச்சியையும் சுற்றி அமையும் முகங்களின் அமைப்புகள் ஒத்தவையாக இருக்கும் என்ற பண்பிற்குச் சமானமாக கீழுள்ளவற்றைக் கூறலாம்:
 *ஒரு ஒழுங்குக் குவிவுப் பன்முகியின் உச்சிகள் எல்லாம் ஒரு [[கோளம்|கோளத்தின்]] மேல் அமையும்.
 *ஒழுங்குப் பன்முகியின் அனைத்து இருமுகக் கோணங்களும் சமம்
 *ஒழுங்குப் பன்முகயின் ஒவ்வொரு உச்சியிலும் அமையும் முகங்கள் எல்லாம் [[ஒழுங்கு பல்கோணி]]கள்.
 *பன்முகியின் திடக் கோணங்கள் எல்லாம் சர்வசமம்.&lt;ref&gt;{{cite book
   | last = Cromwell | first = Peter R. | title = Polyhedra | title-link = Polyhedra (book) | publisher = Cambridge University Press | year = 1997 | page = [https://archive.org/details/polyhedra0000crom/page/77 77] | isbn = 0-521-66405-5 }}&lt;/ref&gt;
 
 === பொதுமையக் கோளங்கள்===
 ஒரு ஒழுங்கு குவிவுப் பன்முகிக்கு கீழுள்ள மூன்று தொடர்புடைய கோளங்கள் உண்டு:
 * எல்லா முகங்களையும் தொடுகின்ற [[உட்கோளம்]].
 * எல்லா விளிம்புகளையும் தொடுகின்ற [[இடைக்கோளம்]] அல்லது [[நடுக்கோளம்]]
 * எல்லா உச்சிகளையும் தொடுகின்ற [[சுற்றுக்கோளம்]].
 இம்மூன்று கோளங்களும் ஒரே மையமுடையவை.
 
 === சமச்சீர்மை ===
 எல்லாவகைப் பன்முகிகளுக்குள்ளும் மிகவும் [[சமச்சீர்மை|சமச்சீரானவை]] ஒழுங்குப் பன்முகிகளாகும். பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்களின் பெயர்கொண்ட பின்வரும் மூன்று சமச்சீர்மை குலங்களில் ஒழுங்குப் பன்முகிகள் அடங்கும்:
 *நான்முகச் சமச்சீர்மை
 *எண்முகச் சமச்சீர்மை 
 *இருபதுமுகச் சமச்சீர்மை
 
 இருபதுமுக அல்லது எண்முகச் சமச்சீர்மை கொண்ட வடிவங்கள் நான்முகச் சமச்சீர்மை கொண்டவையாகவும் இருக்கும்.
 
 === ஆய்லர் பான்மை===
 ஐந்து பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்களின் [[ஆய்லர் பான்மை]] 2 ஆகும்.
 
 === உள்ளமை புள்ளிகள் ===
 ஒரு ஒழுங்குப் பன்முகியின் உட்புறத்திலுள்ள ஏதாவது ஒரு புள்ளியிலிருந்து பன்முகியின் பக்கங்களுக்கு கணக்கிடப்படும் தொலைவுகளின் கூட்டுத்தையானது அப்புள்ளி இருக்குமிடத்தைச் சார்ந்தது அல்ல (இக்கூற்று, [[விவியானியின் தேற்றம்|விவியானியின் தேற்றத்தின்]] நீட்டிப்பாகும். ஆனால் இதன் மறுதலை [[நான்முக முக்கோணகம்|நான்முகி]] உட்பட்ட எந்தவொரு ஒழுங்குப் பன்முகிக்கும் உண்மை ஆகாது.&lt;ref&gt;Chen, Zhibo, and Liang, Tian. &quot;The converse of Viviani's theorem&quot;, ''The College Mathematics Journal'' 37(5), 2006, pp. 390–391.&lt;/ref&gt;
 
 == ஒழுங்குப் பன்முகியின் இருமைத்தன்மை ==
 இரு பன்முகிகளில், ஒன்றன் உச்சிகள் மற்றதன் முகங்களுக்கு ஒத்ததாக இருந்தால் (இதன் எதிர்-எதிர் கூற்றும் உண்மையாக இருந்தால்) அவை ஒன்றுக்கொன்று [[இருமப் பன்முகி|இருமப் பன்முகிகள்]] எனப்படும்.
 
 சில ஒழுங்குப் பன்முகிகளின் இருமங்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன:
 * [[நான்முக முக்கோணகம்|நான்முகி]] தன்-இருமம் கொண்டது. அதாவது தனக்குத்தானே இருமமாக இருக்கும்.
 * [[கனசதுரம்|கனசதுரமும்]] [[எண்முகி]]யும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள்.
 * [[இருபதுமுக முக்கோணகம்|இருபதுமுகியும்]]  [[பன்னிரண்டுமுக ஐங்கோணகம்|பன்னிருமுகியும்]] ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள்.
 * [[சிறு நாள்மீன் பன்னிருமுகி]]யும் [[பெரு பன்னிருமுகி]]யும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள்
 * [[பெரு நாள்மீன் பன்னிருமுகி]]யும் [[பெரு இருபதுமுகி]]யும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள்.
 
 ஒரு பன்முகியின் இசுலாபிலிக் குறியீடு  {n, m} எனில், அதன் இருமப் பன்முகியின் இசுலாபிலிக் குறியீடு {m, n}.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 * Joseph Louis François Bertrand (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, ''Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences'', '''46''', pp.&amp;nbsp;79–82.
 * Haeckel, E. (1904). ''Kunstformen der Natur''. Available as Haeckel, E. ''Art forms in nature'', Prestel USA (1998), {{isbn|3-7913-1990-6}}, or online at http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html |date=2009-06-27 }}
 *Smith, J. V. (1982). ''Geometrical And Structural Crystallography''. John Wiley and Sons.
 * Sommerville, D. M. Y. (1930). ''An Introduction to the Geometry of n Dimensions.'' E. P. Dutton, New York. (Dover Publications edition, 1958). Chapter X: The Regular Polytopes.
 *Coxeter, H.S.M.; Regular Polytopes (third edition). Dover Publications Inc. {{isbn|0-486-61480-8}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * {{MathWorld |urlname=RegularPolyhedron |title=Regular Polyhedron}}