சதுர பிரமிடு எண்
[[Image:Square pyramidal number.svg|thumb|360px|சதுர பிரமிடு எண் {{nowrap|1=1 + 4 + 9 + 16 = 30.}}: ஒரு வடிவியல் விளக்கம்.]]
 [[File:Musée historique de Strasbourg-Boulets en pierre.jpg|thumb|ஸ்ட்ராஸ்பர்க் வரலாற்று அருங்காட்சியகத்தில் உள்ள பீரங்கிக் குண்டு பிரமிடு. இந்தப் பிரமிடிலுள்ள பந்துகளின் எண்ணிக்கை ஐந்தாம் சதுர பிரமிடு எண்.]]
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''வர்க்கப் பிரமிடு எண்''' அல்லது '''சதுரப் பிரமிடு எண்''' என்பது [[வடிவ எண்]]களில் ஒரு வகையாகும். [[சதுரம்|சதுர]] அடிப்பாகமுடைய ஒரு [[பிரமிட்டு|பிரமிடின்]] வடிவில் அடுக்கப்பட்ட [[கோளம்|கோளங்களின்]] மொத்த எண்ணிக்கை ஒரு சதுர பிரமிடு எண்.  ''n'' &amp;times; ''n'' -சதுர கம்பி வலையில் உள்ள மொத்த சதுரங்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறிய சதுர பிரமிடு எண்கள் பயன்படுகின்றன..
 
 == வாய்ப்பாடு ==
 முதல் சதுர பிரமிடு எண்கள் சில:
 
 :1, 5, 14, 30 , 55 , 91, 140 , 204 , 285, 385, 506, 650, 819,..... {{OEIS|id=A000330}}.
 
 சதுர பிரமிடு எண்களைக் காணப் பயன்படும் வாய்ப்பாடு:
 
 :&lt;math&gt;P_n = \sum_{k=1}^nk^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} = \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{6}.&lt;/math&gt;
 
 இந்த வாய்ப்பாடு, பால்ஹேபரின் வாய்ப்பாட்டின் ([[ஜெர்மனி|ஜெர்மானிய]] [[கணிதவியலாளர்]] ''பால்ஹேபர்'') சிறப்பு வகையாகும்.  இதை எளிதாக கணித்தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவலாம். இதற்குச் சமானமான வாய்ப்பாடு பிபனாச்சியின் ''லிபர் அபாச்சி'' -ல்  (1202, ch. II.12) தரப்பட்டுள்ளது.
 
 நவீன கணிதத்தில் ''எரார்ட் பல்லுறுப்புக்கோவை''கள் மூலம் வடிவ எண்கள் முறைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. ஒரு பன்முகத்திண்மம் ''P'' -ன் எரார்ட்  பல்லுறுப்புக்கோவை ''L''(''P'',''t'').  இந்த [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]யானது, [[பன்முகி]] ''P'' -ன் அனைத்து ஆயதொலைவுகளும் [[எண்]] ''t'' -ஆல் பெருக்கப்படுவதால் கிடைக்கும் விரிவடைந்த ''P'' -ன் புதுவடிவில் உள்ள முழுஎண் புள்ளிகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. [[முழு எண்]] ஆயதொலைவுகளுடைய ஓரலகு சதுரத்தை அடிப்பாகமாகவும்,  அடியிலிருந்து ஓரலகு உயரத்திலுள்ள முழுஎண் புள்ளியை [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சியாகவும்]] கொண்ட பன்முகியின்  எரார்ட் பல்லுறுப்புக்கோவை:
 
 &lt;math&gt;\frac{(t+1)(t+2)(2t+3)}{6} &lt;/math&gt; = P&lt;sub&gt;t+1&lt;/sub&gt;.
 &lt;ref&gt;{{citation
  | last1 = Beck | first1 = M.
  | last2 = De Loera | first2 = J. A.
  | last3 = Develin | first3 = M.
  | last4 = Pfeifle | first4 = J.
  | last5 = Stanley | first5 = R. P. | author5-link = Richard Stanley
  | contribution = Coefficients and roots of Ehrhart polynomials
  | location = Providence, RI
  | mr = 2134759
  | pages = 15–36
  | publisher = Amer. Math. Soc.
  | series = Contemp. Math.
  | title = Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization
  | volume = 374
  | year = 2005}}.&lt;/ref&gt;
 
 ==பிற வடிவ எண்களுடனான தொடர்பு==
 சதுர பிரமிடு எண்களை இரு [[ஈருறுப்புக் கெழு|ஈருறுப்புக் கெழுக்களின்]] கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்:
 :&lt;math&gt;P_n = {{n + 2} \choose 3} + {{n + 1} \choose 3}.&lt;/math&gt;
 
 இதிலுள்ள [[ஈருறுப்புக் கெழு]]க்கள் இரண்டும் [[நான்முக எண்]]களாகும். எனவே ஒரு சதுர எண் அடுத்தடுத்த இரு [[முக்கோண எண்]]களின் கூட்டுத்தொகையாக அமைவது போல ஒரு சதுர பிரமிடு எண் இரு நான்முக எண்களின கூட்டுத்தொகையாக அமைகிறது. இவ்விரண்டு நான்முக எண்களில் ஒன்று, பிரமிடின் அடிச்சதுரத்தின் ஒரு [[மூலைவிட்டம்|மூலைவிட்டத்திற்கு]] நேர் மேல் அல்லது  ஒருபக்கத்தில் அடுக்கப்பட்டுள்ள பந்துகளின் எண்ணிக்கைக்கும் மற்றது அந்த மூலைவிட்டத்தின் அடுத்த பக்கத்தில் அடுக்கப்பட்டுள்ள பந்துகளின் எண்ணிக்கைக்கும்  சமமாக இருக்கும்.
 
 சதுர பிரமிடு எண்கள் நான்முக எண்களுடன் கொண்டுள்ள மற்றொரு தொடர்பு:
 
 :&lt;math&gt;P_n=\frac14\binom{2n+2}{3}.&lt;/math&gt;
 
 அடுத்தடுத்த இரு சதுர பிரமிடு எண்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு [[எண்முக எண்]]ணாகும்.
 
 அடிப்பாகத்தின் விளிம்பில் ''n'' பந்துகளுடைய ஒரு பிரமிடின் [[முக்கோணம்|முக்கோண]] முகங்களுள் ஒன்றோடு அடிப்பாக விளிம்பில் ''n''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;1 பந்துகள் கொண்ட நான்முகியைச் சேர்த்து அந்தப் பிரமிடை பெரிதுபடுத்தினால் ஒரு முக்கோணப் [[பட்டகம்]] கிடைக்கும். இதேபோல் ஒரு முக்கோணப் பட்டகத்திலிருந்து ஒரு நான்முகியை நீக்க, பிரமிடு கிடைக்கிறது என்றும் கொள்ளலாம். இத்தொடர்பு பின்வருமாறு தரப்படுகிறது:
 
 :&lt;math&gt;P_n = n\binom{n+1}{2}-\binom{n+1}{3}.&lt;/math&gt;
 
 எண் ஒன்றைத் தவிர சதுர எண் மற்றும் சதுர பிரமிடு எண்ணாகவும் உள்ள மற்றொரு ஒரேயொரு எண் 4900. இது 24 -ஆவது சதுர பிரமிடு எண் மற்றும் 70&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. இந்த உண்மை [[ஆங்கிலம்|ஆங்கில]] கணிதவியலாளர் ''ஜி. என். வாட்சனால்'' 1918ல் நிறுவப்பட்டது.
 
 அடுத்தடுத்த இரு [[சதுர எண்]]களின் கூடுதல் ஒரு சதுர பிரமிடு எண்.
 
 ==சதுரத்துக்குள் சதுரங்கள்==
 [[File:Squares in a square grid.svg|thumb|150px|ஒரு 5 &amp;times; 5 சதுர கம்பிவலையில் அமையும் மொத்த சதுரங்கள் 55 -ல் மூன்று வகைச் சதுரங்கள் வண்ணமிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளன.]]
 ஒரு பெரிய  n x n சதுர கம்பி வலையிலுள்ள மொத்த சதுரங்களின் எண்ணிக்கை காணும் கணிதப் புதிரின் விடை:
 
 * 1 x 1 சதுர கட்டங்கள் = &lt;math&gt;n^2&lt;/math&gt;.
 * 2 x 2 சதுர கட்டங்கள் = &lt;math&gt;(n-1)^2&lt;/math&gt;.
 * k x k (1 ≤ ''k'' ≤ ''n'') சதுர கட்டங்கள் =  &lt;math&gt;(n-k+1)^2&lt;/math&gt;.
 * n x n  சதுர கம்பி வலைக்குள் அமையும் மொத்த சதுரங்களின் எண்ணிக்கை:
 
 :&lt;math&gt;n^2 + (n-1)^2 + (n-2)^2 + (n-3)^2 + \ldots + 1^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.&lt;/math&gt;
 
 எனவே இப்புதிருக்கான விடை சதுர பிரமிடு எண்களாக அமைகின்றன
 
 சதுர வலைக்குள் உள்ள [[செவ்வகம்|செவ்வகங்களின்]] எண்ணிக்கை [[வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண்]]களாக அமையும்.
 
 ==குறிப்பு==
 {{reflist}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 *{{cite book
  | author = Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (Eds.)
  | title = Handbook of Mathematical Functions
  | publisher = National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55
  | year = 1964
  | pages = 813
  | isbn = 0486612724}}
 *{{cite book
  | author = Beiler, A. H.
  | title = Recreations in the Theory of Numbers
  | url = https://archive.org/details/recreationsinthe00beil
  | publisher = Dover
  | year = 1964
  | pages = [https://archive.org/details/recreationsinthe00beil/page/194 194]
  | isbn = 0486210960}}
 *{{cite journal
  | author = Goldoni, G.
  | title = A visual proof for the sum of the first ''n'' squares and for the sum of the first ''n'' factorials of order two
  | url = https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_fall-2002_24_4/page/67
  | journal = The Mathematical Intelligencer
  | volume = 24
  | issue = 4
  | year = 2002
  | pages = 67–69}}
 *{{cite book
  | title = Fibonacci's Liber Abaci
  | author = Sigler, Laurence E. (trans.)
  | publisher = Springer-Verlag
  | year = 2002
  | isbn = 0-387-95419-8
  | pages = 260–261}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *{{MathWorld | urlname = SquarePyramidalNumber | title = Square Pyramidal Number}}
 {{வடிவ எண்கள்}}