சைன்
{{Function
 |name = Sine
 |image = Sine_one_period.svg
 |heading1 = 1
 |parity = ஒற்றை
 |domain =  (-∞,∞)
 |codomain = [-1,1]
 |period = 2π
 |heading2 = 1
 |zero = 0
 |plusinf =
 |minusinf =
 |max = ((2k+½)π,1)
 |min = ((2k-½)π,-1)
 |vr1 =
 |f1 =
 |vr2 =
 |f2 =
 |vr3 =
 |f3 =
 |vr4 =
 |f4 =
 |vr5 =
 |f5 =
 |heading3 = 1
 |asymptote =
 |root = kπ
 |critical = kπ-π/2
 |inflection = kπ
 |fixed = 0
 |notes =[[மாறி]] k ஒரு [[முழு எண்]]
 }}
 
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''செவ்வளைவு''' அல்லது '''சைன்''' (''Sine'') [[சார்பு]] என்பது ஒரு [[கோணம்|கோணத்தின்]] சார்பாகும். கோணங்களின் சார்புகளாக அமையும் ஆறு [[முக்கோணவியல் சார்புகள்|முக்கோணவியல் சார்புகளில்]] இது முதல் சார்பாக வரிசைப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு [[முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள்|செங்கோண முக்கோணத்தில்]], ஒரு கோணத்தின் சைன் சார்பு, அக்கோணத்தின் எதிர்ப்பக்கத்திற்கும் செம்பக்கத்திற்குமுள்ள [[விகிதம்|விகிதமாகும்]]. ஓரலகு [[வட்டம்]], [[சாய்வு]], முடிவிலாத்தொடர் முதலியவை வாயிலாகவும் மற்றும் [[வகையீட்டுச் சமன்பாடு|வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின்]] தீர்வாகவும் சைன் சார்பை [[வரையறை|வரையறுக்கலாம்]].
 
 ஒலி, ஒளி அலைகளின் காலமுறைமை, சீரிசை அலையியற்றியின் நிலை மற்றும் திசைவேகம், சூரிய ஒளியின் செறிவு, பகல் பொழுதின் நீளம் மற்றும் ஒரு ஆண்டு முழுவதற்குமான சராசரி வெப்ப அளவு போன்ற கருத்துகளை விளக்க, சைன் சார்பு பயன்படுகிறது.
 
 [[சமஸ்கிருதம்|சமஸ்கிருதத்திலிருந்து]] [[அரபு மொழி]]க்கும் அரபு மொழியிலிருந்து [[இலத்தீன்]] மொழிக்கும் இடம் பெயர்ந்த, [[குப்தப் பேரரசு|குப்தர்கள்]] காலத்து [[இந்தியா|இந்திய]] [[வானவியல்|வானவியலில்]] (ஆர்யபட்டியம், சூரிய சித்தாந்தம்) பயன்படுத்தப்பட்ட ''ஜியா'' மற்றும் ''கோட்டி-ஜியா'' சார்புகள் சைன் சார்பின் மூலங்களாகும்.&lt;ref name=&quot;Boyer, Carl B. 1991 p. 210&quot;&gt;Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics  (Second ed.). John Wiley &amp; Sons, Inc.. {{ISBN|0-471-54397-7}}, p. 210.&lt;/ref&gt; பாதி நாண் எனும் பொருள் கொண்ட ''ஜிய- ஆர்த'' என்ற சமஸ்கிருதச் சொல் அரபு மொழியில் ''ஜிபா'' (''jiba'') என மொழிபெயர்க்கப்பட்டுப் பின் ''ஜிப்'' (''jb'') என சுருக்கமடைந்து பின், ''ஜெய்ப்'' (''jaib'') என திரிந்து, விரிகுடா என்ற பொருளுடைய ''சைனஸ்'' (''sinus'') எனும் வார்த்தையாக [[இலத்தீன்]] மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது. இந்த சைனஸ் வார்த்தையிலிருந்து சைன் என்ற பெயர் ஏற்பட்டது.&lt;ref&gt;Oxford English Dictionary, sine, ''n.''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/ref&gt;,
 
 == செங்கோண முக்கோணத்தில் வரையறை ==
 [[படிமம்:Trigono sine en2.svg|right|thumb|&lt;math&gt;\sin \alpha = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{hypotenuse}} &lt;/math&gt;]]
 [[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள்|வடிவொத்த முக்கோணங்களின்]] ஒத்தபக்கங்களின் [[விகிதம்|விகிதங்கள்]] சமமாக இருக்கும் என்ற உண்மையிலிருந்து, ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க [[நீளம்|நீளங்களுக்கும்]] கோண அளவுகளுக்கும் தொடர்பு இருக்கும் என்ற கருத்து அறியப்படுகிறது. இரு செங்கோண முக்கோணங்களில் ஒன்றின் [[செம்பக்கம்]] மற்றதன் செம்பக்க நீளத்தைப் போல இருமடங்கு எனில் மற்ற பக்கங்களும் அவ்வாறே அமையும். இந்த பக்க விகிதங்களைத்தான் முக்கோணவியல் சார்புகள் தருகின்றன.
 
 ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கோணம் ''A'' -ன் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்க அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைப் பின்வருமாறு அழைக்கலாம்:
 
 * ''செம்பக்கம்'' (அல்லது கர்ணம்) (''hypotenuse''):
 
 செங்கோணத்திற்கு எதிர்ப்பக்கம். இதன் அளவு &amp;nbsp;'''h'''. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செம்பக்கந்தான் மூன்று பக்கங்களிலும் நீளமானது.
 
 * ''எதிர்ப்பக்கம்'' (''opposite''):
 
 நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் ''A'' -க்கு எதிரில் அமையும் பக்கம். இதன் நீளம் &amp;nbsp;'''a'''.
 
 * ''அடுத்துள்ள பக்கம்'' (''adjacent''):
 
 [[செங்கோணம்]] மற்றும் நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் இரண்டிற்கும் ( ''A'' மற்றும் ''C'') பொதுவான பக்கம். இதன் நீளம் &amp;nbsp;'''b'''.
 
 '''சைன் சார்பு''':
 
 செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் சைன் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம் மற்றும் செம்பக்கத்தின் விகிதமாகும்.
 :&lt;math&gt;\sin A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {a} {h}.&lt;/math&gt;
 
 ''A'' கோணத்தைக் கொண்ட அனைத்து செங்கோண முக்கோணங்களிலும் இவ்விகிதத்தின் மதிப்பு ஒரே மதிப்புடையதாய் அமையும். அச்செங்கோண முக்கோணங்கள் எல்லாம் வடிவொத்த முக்கோணங்கள் என்பதால் அவற்றின் பக்க அளவுகள் வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அவற்றின் அவ்வேறுபாடு இவ்விகிதத்தின் மதிப்பைப் பாதிப்பதில்லை.
 
 == வரையறை- சாய்வு வாயிலாக ==
 செங்கோண முக்கோணங்களின் மூலம் வரையறுப்பது போல ஒரு கிடைமட்டக்கோட்டுடன் தொடர்புடைய ஒரு கோட்டுத்துண்டின் ''எழுச்சி'' (rise), ''ஓட்டம்''(run), [[சாய்வு]] ஆகியவற்றின் மூலமாகவும் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்கலாம்.
 
 எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 1 அலகு என்க. அக்கோட்டுத்துண்டு ஒரு குறிப்பிட்ட கிடைமட்டக்கோட்டுடன் உருவாக்கும் கோணம் ''A'' என்க. இக்கோணத்தின்:
 
 * சைன் மதிப்பு, கோட்டுத்துண்டின் செங்குத்தான எழுச்சியின் அளவுக்குச் சமம். 
 :SinA = எழுச்சி
 
 கோட்டுத்துண்டின் [[நீளம்]] சாய்வின் மதிப்பை பாதிப்பதில்லை. ஆனால் எழுச்சி மற்றும் ஓட்டத்தின் மதிப்புகள் கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தைச் சார்ந்துள்ளன. கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 1 அலகாக இல்லையென்றால் குறிப்பிட கோணத்தில் அக்கோட்டுத்துண்டின்
 
 * எழுச்சியைக் காண அக்கோணத்தின் சைன் மதிப்பை கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தால் பெருக்கிக் கொள்ள வேண்டும்.
 
 எடுத்துக்காட்டாக:
 
 கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 5 அலகுகள் எனில் 7° கோணத்தில் அக்கோட்டுத்துண்டின்:
 
 எழுச்சி = 5&amp;nbsp;sin(7°)
 
 == வரையறை- ஓரலகு வட்டம் வாயிலாக ==
 ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளையும் ஓரலகு வட்டத்தைக் கொண்டு வரையறுக்கலாம். [[ஓரலகு வட்டம்]] என்பது ஆதிப்புள்ளியை மையமாகவும் [[ஆரம்]] 1 அலகும் கொண்ட வட்டமாகும். நடைமுறைக் கணக்கீடுகளுக்கு ஓரலகு வட்டத்தின் மூலமான வரையறை அவ்வளவாகப் பொருந்தாவிடினும், (0, π/2 ) -ல் அமையும் கோணங்களுக்கு மற்றுமல்லாது அனைத்து மெய்யளவு கோணங்களுக்கும் பொருத்தமாக அமையும்.
 
 ''x''-அச்சின் நேர்மப் பகுதியோடு, ஆதிப்புள்ளியில் ''θ'' கோணம் உண்டாக்கும் ஒரு [[கோடு]] ஓரலகு வட்டத்தை சந்திக்கிறது என்க. அந்த சந்திக்கும் புள்ளியின் ''x''- மற்றும் ''y''-அச்சுதூரங்கள் முறையே cos&amp;nbsp;''θ'' மற்றும் sin&amp;nbsp;''θ'' -க்குச் சமம். செங்கோண முக்கோண முறை வரையறைப்படியும் இதை உணரலாம். வெட்டும் புள்ளியின் அச்சுதூரங்கள்: (x, y) என்க. ஓரலகு வட்டத்தின் ஆரம் செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம். எனவே செம்பக்கத்தின் அளவு 1 அலகு.
 
 &lt;math&gt;\sin\theta\ = \frac{y}{1} = y \,&lt;/math&gt;
 
 {|
 |valign=&quot;top&quot;| [[படிமம்:Unit circle 3.svg|right|thumb|ஓரலகு வட்டம்.]]
 |valign=&quot;top&quot;| [[படிமம்:Unit circle.svg|Unit circle|right|thumb|ஓரலகு வட்டத்தின் ஆரம் 1 அலகு. [[மாறி]] ''t'' ஒரு கோண அளவு.]]
 |valign=&quot;top&quot;| [[படிமம்:Trig functions on unit circle.svg|thumb|புள்ளி ''P''(x,y) ஓரலகு வட்டத்தின் விரிகோணத்தில் (θ &amp;gt; π/2) அமையும் ஆரத்தின்  முனையாக அமைகிறது.]]
 |}
 
 [[படிமம்:Sin drawing process.gif|thumb|left|711px|ஓரலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி y = sin x -சார்பின் [[வரைபடம்]] வரைதலின் அசைப்படம். (கோணம் x - ரேடியனில்)]]
 {{clr}}
 
 == முடிவிலாத் தொடரின் வாயிலாக ==
 [[படிமம்:Taylorsine.svg|300px|thumb|right|ஆதியை மையமாகக் கொண்ட முழு வட்டத்திற்கு, சைன் சார்பு (நீலம்), அதன் டெயிலரின் பல்லுறுப்புக்கோவையால் (படி-7) (பிங்க்)  தோராயப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.]]
 
 டெயிலரின் விரிவுக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்திப் பின்வரும் முற்றொருமையை, எல்லா [[எண்#மெய்யெண்கள்|மெய்யெண்கள்]] ''x'' -க்கும் உண்மையெனக் காட்டலாம்.&lt;ref&gt;See Ahlfors, pages 43–44.&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \sin x &amp; = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\
 &amp; = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \\
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 == வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வாயிலாக ==
 
 சைன் சார்பு பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் தீர்வாக அமையும்:
 
 : &lt;math&gt;y'' = -y.\,&lt;/math&gt;
 
 * &lt;math&gt;\scriptstyle \left( y'(0),   y(0) \right) = (1, 0)\,&lt;/math&gt; என்ற ஆரம்ப நிபந்தனையை நிறைவு செய்யும் தனித்த தீர்வு சைன் சார்பாகும்.
 
 == முற்றொருமைகள் ==
 
 &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் [[முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல்|முற்றொருமைகள்]] மெய்யாகும்:
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \sin \theta &amp; = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \\
 &amp; = \frac{1}{\csc \theta}
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;   \sin \theta \!&lt;/math&gt;
 
 :  =  &lt;math&gt;\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\! &lt;/math&gt;
 
 :  =  &lt;math&gt;\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\! &lt;/math&gt;
 
 :  =  &lt;math&gt;   \frac{1}{\csc \theta}\! &lt;/math&gt;
 
 :  =  &lt;math&gt;\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\! &lt;/math&gt;
 
 :  =  &lt;math&gt;\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\! &lt;/math&gt;
 
 === தலைகீழி ===
 சைன் சார்பின் [[தலைகீழிச் சார்புகள் (முக்கோணவியல்)|தலைகீழிச் சார்பு]] [[கோசீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்)|கோசீக்கெண்ட்]] சார்பு.
 
 sin(''A'') -ன் தலைகீழி csc(''A''), அல்லது cosec(''A''):
 
 :&lt;math&gt;\csc A = \frac {1}{\sin A} = \frac {\textrm{hypotenuse}} {\textrm{opposite}} = \frac {h} {a}. &lt;/math&gt;
 
 == நேர்மாறு ==
 [[படிமம்:Arcsine.svg|thumb|180px|arcsin(x) -ன் முதன்மை மதிப்புகள் கார்ட்டீசியன் தளத்தில் வரைபடமாக்கப்பட்டுள்ளது.]]
 சைன் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு arcsine (arcsin) அல்லது(sin{{sup|&amp;minus;1}}).
 
 :&lt;math&gt;\theta = \arcsin \left( \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \right) = \sin^{-1} \left( \frac {a} {h} \right).&lt;/math&gt;
 
 k ஏதாவதொரு [[முழு எண்]]:
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 \sin(y) = x \ \Leftrightarrow\ &amp; y = \arcsin(x) + 2k\pi , \text{ or }\\
  &amp; y = \pi - \arcsin(x) + 2k\pi
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 மேலும்:
 
 :&lt;math&gt;\sin(\arcsin x) = x\!&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\arcsin(\sin \theta) = \theta\quad\text{for }-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2.&lt;/math&gt;
 
 == காற்பகுதிகள் தொடர்பான பண்புகள் ==
 [[படிமம்:Quadrants 01 Pengo.svg|thumb|150px|கார்ட்டீசியன் தளத்தில் நான்கு காற்பகுதிகள்.]]
 நான்கு காற்பகுதிகளிலும் சைன் சார்பு அமையும் விதத்தைப் பின்வரும் அட்டவணை தருகிறது.
 
 {| class=&quot;wikitable&quot;
 |--class=&quot;hintergrundfarbe8&quot;
 !காற்பகுதி
 ![[பாகை (அலகு)|பாகை]]
 ![[ரேடியன்]]
 !மதிப்பு
 !குறி
 ![[ஓரியல்புச் சார்பு|ஓரியல்புத் தன்மை]]
 !குவிவுத்தன்மை
 |-
 |முதல் காற்பகுதி
 |&lt;math&gt;0^\circ&lt;x&lt;90^\circ&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;0&lt;x&lt; \pi/2 &lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;0&lt;\sin x&lt;1&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;
 |[[ஓரியல்புச் சார்பு#கூடும் சார்பு|கூடும் சார்பு]]
 |குழிவு
 |-
 |இரண்டாம் காற்பகுதி 
 |&lt;math&gt;90^\circ&lt;x&lt;180^\circ&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\pi/2&lt;x&lt;\pi&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;0&lt;\sin x&lt;1&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;
 |[[ஓரியல்புச் சார்பு#குறையும் சார்பு|குறையும் சார்பு]]
 |குழிவு
 |-
 |மூன்றாம் காற்பகுதி
 |&lt;math&gt;180^\circ&lt;x&lt;270^\circ&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\pi&lt;x&lt;3\pi/2&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;-1&lt;\sin x&lt;0&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;-&lt;/math&gt;
 |குறையும் சார்பு
 |குவிவு
 |-
 |நான்காம் காற்பகுதி
 |&lt;math&gt;270^\circ&lt;x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;3\pi/2&lt;x&lt;2\pi&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;-1&lt;\sin x&lt;0&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;-&lt;/math&gt;
 |கூடும் சார்பு
 |குவிவு
 |}
 
 காற்பகுதிகளுக்கு இடைப்பட்ட [[புள்ளி]]களில், k ஒரு முழு எண்.
 [[படிமம்:Sine quads 01 Pengo.svg|thumb|390px|கார்ட்டீசியன் தளத்தில் ஓரலகு வட்டம் மற்றும் ''sin x'' -ன் காற்பகுதிகள்.]]
 
 {| class=&quot;wikitable&quot;
 |--class=&quot;hintergrundfarbe8&quot;
 !பாகை
 !ரேடியன்
 0 ≤ ''x'' &amp;lt; 2π
 !ரேடியன்
 !sin ''x''
 !|புள்ளி வகை
 |-
 |&lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt;
 |0
 ||&lt;math&gt;2 \pi k&lt;/math&gt;
 |0
 |sin ''x'' = 0, [[சமன்பாடு|சமன்பாட்டின்]] மூலம், [[வளைவுமாற்றுப் புள்ளி]]
 |-
 |&lt;math&gt;90^\circ&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\pi/2&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;2 \pi k + \pi/2 &lt;/math&gt;
 |1
 |[[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|பெரும மதிப்பு]]
 |-
 |&lt;math&gt;180^\circ&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;2 \pi k - \pi&lt;/math&gt;
 |0
 |sin ''x'' = 0, [[சமன்பாடு|சமன்பாட்டின்]] மூலம், வளைவுமாற்றுப் புள்ளி
 |-
 |&lt;math&gt;270^\circ&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;3\pi/2&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;2 \pi k - \pi/2 &lt;/math&gt;
 | -1
 |[[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|சிறும மதிப்பு]]
 |}
 
 அட்டவணையில் இல்லாத கோணங்களுக்கு, சைன் சார்பு 360° (2π rad) அளவு கால முறைமை கொண்டது என்ற கூற்றினைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:
 
 &lt;math&gt;\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin(\alpha)&lt;/math&gt;,
 
 அல்லது
 
 &lt;math&gt;\sin(\alpha + 180^\circ) = -\sin(\alpha)&lt;/math&gt; -ஐப் பயன்படுத்தலாம்.
 
 மேலும்
 
 &lt;math&gt;\sin(180^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)&lt;/math&gt;
 
 == நுண்கணிதம் ==
 
 சைன் சார்பு:
 
 :&lt;math&gt; f(x) = \sin x \,&lt;/math&gt;
 
 [[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] இச்சார்பின்:
 
 * [[வகைக்கெழு]]:
 
 :&lt;math&gt; f'(x) = \cos x \,&lt;/math&gt;
 
 * [[தொகையீடு]]:
 
 :&lt;math&gt;\int f(x)\,dx = -\cos x + C &lt;/math&gt;
 
 ''C'', தொகையீட்டு மாறிலி.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 
 [[பகுப்பு:முக்கோணவியல் சார்புகள்]]