அதிபரவளையச் சார்பு
[[Image:Hyperbolic functions-2.svg|thumb|296px|right|அலகு அதிபரவளையம் &lt;math&gt;\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1&lt;/math&gt; இன் மையத்தின் வழியே செல்லும் கதிர், அதிபரவளையத்தை சந்திக்கும் புள்ளி &lt;math&gt;\scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a).&lt;/math&gt; இதில் &lt;math&gt;\scriptstyle a&lt;/math&gt; இன் மதிப்பு கதிர், அதிபரவளையம், &lt;math&gt;\scriptstyle x&lt;/math&gt;-அச்சு இவற்றுக்கு இடைப்பட்ட பரப்பின் இருமடங்கு ஆகும்.]]
 
 கணிதத்தில் '''அதிபரவளைவுச் சார்பு'''கள் அல்லது '''அதிபரவளையச் சார்பு'''கள் (''hyperbolic functions'') என்பன வட்டச் சார்புகள் என அழைக்கப்படும் [[முக்கோணவியல் சார்புகள்|முக்கோணவியல் சார்புகளுடன்]] ஒத்த [[சார்பு]]கள் ஆகும்.
 
 அடிப்படை அதிபரவளையச் சார்புகள்&lt;ref&gt;[http://www.mathcentre.ac.uk/resources/workbooks/mathcentre/hyperbolicfunctions.pdf tanh]&lt;/ref&gt;:
 
 *அதிபரவளைவு சைன்: &quot;sinh&quot; 
 *அதிபரவளைவு கொசைன்: &quot;cosh&quot; 
 *அதிபரவளைவு டேன்ஜெண்ட்: &quot;tanh&quot; 
 *அதிபரவளைவு கொசீக்கெண்ட்: &quot;csch&quot; அல்லது &quot;cosech&quot; 
 *அதிபரவளைவு சீக்கெண்ட்: &quot;sech&quot; 
 *அதிபரவளைவு கோடேன்ஜெண்ட்: &quot;coth&quot;
 
 ஒவ்வொரு அதிபரவளையச் சார்பின் [[நேர்மாறுச் சார்பு|நேர்மாறுச் சார்பினைக்]] குறிப்பதற்கு அச்சார்போடு ''area hyperbolic'' (அ) &quot;ar&quot; (அ) &quot;a&quot; (அ) &quot;arc&quot; என்ற முன்னொட்டுகளைச் சேர்த்து எழுதப்படுகிறது.&lt;ref&gt;[http://www.google.com/books?q=arcsinh+-library Some examples of using '''arcsinh'''] found in [[Google Books]].&lt;/ref&gt; (cos&amp;nbsp;''t'',&amp;nbsp;sin&amp;nbsp;''t'') என்ற புள்ளிகள் அலகு வட்டத்தை உருவாக்குவது போல, புள்ளிகள் (cosh&amp;nbsp;''t'',&amp;nbsp;sinh&amp;nbsp;''t''), சமபக்க அதிபரவளைவின் வலப்பாதிப் பகுதியை உருவாக்குகின்றன.
 
 அதிபரவளையச் சார்புகள், வின்சென்சோ ரிக்கட்டி மற்றும் ஜோகன் கெயின்ரிச் லாம்பெர்டு எனும் இரு கணிதவியலாளர்களால் தனித்தனியே 1760 களில் கண்டறியப்பட்டது.&lt;ref&gt;Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. ''Euler at 300: an appreciation.'' Mathematical Association of America, 2007. Page 100.&lt;/ref&gt; ரிக்கட்டி, வட்டச் சார்புகளைக் குறிப்பதற்கு ''Sc.'' மற்றும் ''Cc.'' (''[co]sinus circulare'') குறியீடுகளையும், அதிபரவளையச் சார்புகளுக்கு ''Sh.'' மற்றும் ''Ch.'' (''[co]sinus hyperbolico'') ம் பயன்படுத்தினார். லாம்பெர்டு அதே பெயர்களை அப்படியே எடுத்துக் கொண்டு குறியீடுகளை மட்டும் தற்போது பயன்படுத்தப்படும் குறியீடுகளுக்கு மாற்றினார்.&lt;ref&gt;Georg F. Becker. ''Hyperbolic functions.'' Read Books, 1931. Page xlviii.&lt;/ref&gt; சுருக்கக் குறியீடுகள் ''sh'' , ''ch'' இன்றளவும் பிரெஞ்சு, உருசியா போன்ற சில மொழிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறன.
 
 ==திட்ட இயற்கணித வடிவம்==
 அதிபரவளையச் சார்பு:
 
 * அதிபரவளைய சைன் (Hyperbolic sine):
 ::&lt;math&gt;\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \frac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}}&lt;/math&gt;
 
 * அதிபரவளைய கொசைன் (Hyperbolic cosine):
 ::&lt;math&gt;\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \frac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}}&lt;/math&gt;
 
 * அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட் (Hyperbolic tangent):
 ::&lt;math&gt;\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = \frac{1 - e^{-2x}} {1 + e^{-2x}}&lt;/math&gt;
 
 * அதிபரவளைய கோடேன்ஜெண்ட் (Hyperbolic cotangent):
 ::&lt;math&gt;\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = \frac{1 + e^{-2x}} {1 - e^{-2x}}&lt;/math&gt;
 
 * அதிபரவளைய சீக்கெண்ட் (Hyperbolic secant):
 ::&lt;math&gt;\operatorname{sech}\,x = \left(\cosh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1} = \frac{2e^{-x}} {1 + e^{-2x}}&lt;/math&gt;
 
 * அதிபரவளைய கொசீக்கெண்ட் (Hyperbolic cosecant):
 ::&lt;math&gt;\operatorname{csch}\,x = \left(\sinh x\right)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1} = \frac{2e^{-x}} {1 - e^{-2x}}&lt;/math&gt;
 
 கற்பனை வட்டக் கோணங்கள் மூலமாகவும் அதிபரவளையச் சார்புகளை எழுதலாம்:
 
 * அதிபரவளைய சைன்:
 ::&lt;math&gt;\sinh x =  - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!&lt;/math&gt;
 
 * அதிபரவளைய கொசைன்:
 ::&lt;math&gt;\cosh x = \cos {\rm{i}}x \!&lt;/math&gt;
 
 * அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட்:
 ::&lt;math&gt;\tanh x = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \!&lt;/math&gt;
 
 * அதிபரவளைய கோடேன்ஜெண்ட்:
 ::&lt;math&gt;\coth x = {\rm{i}}  \cot {\rm{i}}x \!&lt;/math&gt;
 
 * அதிபரவளைய சீக்கெண்ட்:
 ::&lt;math&gt;\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \!&lt;/math&gt;
 
 * அதிபரவளைய கொசீக்கெண்ட்:
 ::&lt;math&gt;\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!&lt;/math&gt;
 
 இங்கு ''i'' என்பது [[கற்பனை அலகு]]; ''i''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = −1.
 
 ==பயனுள்ள தொடர்புகள்==
 *ஒற்றை மற்றும் இரட்டைச் சார்புகள்:
 :&lt;math&gt;\begin{align}
   \sinh (-x) &amp;= -\sinh x \\
   \cosh (-x) &amp;=  \cosh x
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 எனவே:
 :&lt;math&gt;\begin{align}
                 \tanh (-x) &amp;= -\tanh x \\
                 \coth (-x) &amp;= -\coth x \\
   \operatorname{sech} (-x) &amp;=  \operatorname{sech} x \\
   \operatorname{csch} (-x) &amp;= -\operatorname{csch} x
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 cosh ''x'' மற்றும் sech ''x'' இரண்டும் [[இரட்டைச் சார்பு]]களாகவும் மற்ற அதிபரவளையச் சார்புகள் [[ஒற்றைச் சார்பு]]களாகவும் இருப்பதைக் காணலாம்.
 
 *நேர்மாறுச் சார்புகள்
 :&lt;math&gt;\begin{align}
   \operatorname{arsech} x &amp;= \operatorname{arcosh} \frac{1}{x} \\
   \operatorname{arcsch} x &amp;= \operatorname{arsinh} \frac{1}{x} \\
   \operatorname{arcoth} x &amp;= \operatorname{artanh} \frac{1}{x}
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 *அதிபரவளைய சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகள் இரண்டும் பின்வரும் முற்றொருமையை நிறைவு செய்கின்றன:
 :&lt;math&gt;\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,&lt;/math&gt;
 
 இம்முற்றொருமை [[பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை]]யை ஒத்துள்ளது.
 
 மேலும் பிற சார்புகளுக்கு:
 :&lt;math&gt;\begin{align}
   \operatorname{sech} ^{2} x &amp;= 1 - \tanh^{2} x \\
   \operatorname{csch} ^{2} x &amp;= \coth^{2} x - 1
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{1}{2} f'' = f^3 - f ; \quad f(0) = f'(\infty) = 0&lt;/math&gt; இன் தீர்வாக tanh அமைகிறது.&lt;ref&gt;
 {{cite web
  | url = http://mathworld.wolfram.com/HyperbolicTangent.html
  | title = Hyperbolic Tangent
  | author = [[Eric W. Weisstein]]
  | publisher = [[MathWorld]]
  | date =
  | accessdate = 2008-10-20
 }}&lt;/ref&gt;
 
 *cosh&amp;nbsp;(''x'') இன் கீழமையும் பரப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வில்லின் நீளத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:&lt;ref&gt;
 {{cite book
  |title=Golden Integral Calculus
  |first1=Bali
  |last1=N.P.
  |publisher=Firewall Media
  |year=2005
  |isbn=81-7008-169-6
  |page=472
  |url=http://books.google.com/books?id=hfi2bn2Ly4cC}}, [http://books.google.com/books?id=hfi2bn2Ly4cC&amp;pg=PA472 Extract of page 472]
 &lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;\text{area} = \int_a^b{ \cosh{(x)} } \ dx = \int_a^b\sqrt{1 + \left(\frac{d}{dx} \cosh{(x)}\right)^2} \ dx = \text{வில்லின் நீளம்}&lt;/math&gt;
 
 *கோணங்களின் கூட்டல்:
 :&lt;math&gt;\begin{align}
   \cosh (x + y) &amp;= \sinh x \sinh y + \cosh x \cosh y \\
   \sinh (x + y) &amp;= \cosh x \sinh y + \sinh x \cosh y
 \end{align}&lt;/math&gt;
 குறிப்பாக,
 :&lt;math&gt;\begin{align}
   \cosh (2x) &amp;= \sinh^2{x} + \cosh^2{x} = 2\sinh^2 x + 1 = 2\cosh^2 x - 1\\
   \sinh (2x) &amp;= 2\sinh x \cosh x
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 *cosh மற்றும்  sinh இன் கூடுதலும் வித்தியாசமும்:
 :&lt;math&gt;\begin{align}
   \cosh x + \sinh x &amp;= e^x \\
   \cosh x - \sinh x &amp;= e^{-x}
 \end{align}&lt;/math&gt;
 ==மடக்கைகளாக-நேர்மாறுச் சார்புகள்==
 :&lt;math&gt;\begin{align}
   \operatorname {arsinh} (x) &amp;= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\
 
   \operatorname {arcosh} (x) &amp;= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 \\
 
   \operatorname {artanh} (x) &amp;= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right| &lt; 1 \\
 
   \operatorname {arcoth} (x) &amp;= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right); \left| x \right| &gt; 1 \\
 
   \operatorname {arsech} (x) &amp;= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 &lt; x \le 1 \\
 
   \operatorname {arcsch} (x) &amp;= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\left| x \right|} \right); x \ne 0
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 ==வகைக்கெழுக்கள்==
 :&lt;math&gt; \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,&lt;/math&gt; &lt;!-- from: http://www.pen.k12.va.us/Div/Winchester/jhhs/math/lessons/calculus/tableof.html  and http://thesaurus.maths.org/mmkb/entry.html?action=entryById&amp;id=2664 --&gt;
 
 :&lt;math&gt; \frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \frac{d}{dx}\ \operatorname{csch}\,x = - \coth x \ \operatorname{csch}\,x \,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \frac{d}{dx}\ \operatorname{sech}\,x = - \tanh x \ \operatorname{sech}\,x \,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\left| x \right|\sqrt{1+x^{2}}}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}&lt;/math&gt;
 
 ==தொகையீடுகள்==
 அனைத்து அதிபரவளையச் சார்புகளின் தொகையீடுகளுக்கு [[அதிபரவளைவுச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல்]] பார்க்கவும்.
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
   \int \sinh (ax)\,dx &amp;= a^{-1} \cosh (ax) + C \\
   \int \cosh (ax)\,dx &amp;= a^{-1} \sinh (ax) + C \\
   \int \tanh (ax)\,dx &amp;= a^{-1} \ln (\cosh (ax)) + C \\
   \int \coth (ax)\,dx &amp;= a^{-1} \ln (\sinh (ax)) + C \\
   \int \operatorname{sech} (ax)\,dx &amp;= a^{-1} \arctan (\sinh (ax)) + C \\
   \int \operatorname{csch} (ax)\,dx &amp;= a^{-1} \ln \left( \tanh \left( \frac{ax}{2} \right) \right) + C
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
    \int {\frac{du}{\sqrt{a^2 + u^2}}} &amp; = \sinh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
    \int {\frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}}} &amp;= \cosh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
    \int {\frac{du}{a^2 - u^2}} &amp; =  a^{-1}\tanh ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C; u^2 &lt; a^2 \\
    \int {\frac{du}{a^2 - u^2}} &amp; =  a^{-1}\coth ^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C; u^2 &gt; a^2 \\
    \int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 - u^2}}} &amp; = -a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\left( \frac{u}{a} \right) + C \\
    \int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 + u^2}}} &amp; = -a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\left| \frac{u}{a} \right| + C
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 இவற்றில் ''C'' -தொகையீட்டு மாறிலி.
 
 ==டெய்லர் தொடர்கள்==
 அதிபரவளையச் சார்புகளை [[டெய்லர் தொடர்]]களாக எழுத முடியும்:
 :&lt;math&gt;\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}&lt;/math&gt;
 
 sinh மற்றும் cosh தொடர்களின் கூடுதல், படிக்குறிச் சார்பின் டெய்லர் தொடராக (முடிவிலாத் தொடராக) இருக்கும்.
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 
                    \tanh x &amp;= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | &lt; \frac {\pi} {2} \\
 
                    \coth x &amp;= x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 &lt; \left |x \right | &lt; \pi \\
 
   \operatorname {sech}\, x &amp;= 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | &lt; \frac {\pi} {2} \\
 
   \operatorname {csch}\, x &amp;= x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 &lt; \left |x \right | &lt; \pi
 
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 இங்கு,
 
 :&lt;math&gt;B_n, \,&lt;/math&gt;  ''n'' ஆவது பெர்னொலி எண் (Bernoulli number)
 :&lt;math&gt;E_n, \,&lt;/math&gt; ''n'' ஆவது ஆய்லர் எண் (Euler number)
 
 ==வட்டச் சார்புகளுடன் ஒப்பீடு==
 [[File:Circular and hyperbolic angle.svg|right|250px|thumb|வட்டம்:&lt;math&gt;x^2+y^2=2&lt;/math&gt; வட்டமும் &lt;math&gt;xy=1&lt;/math&gt; அதிபரவளையமும் (1,1) புள்ளியில் தொடுகின்றன.]]
 வட்டச் சார்புகளையும் தாண்டிய [[முக்கோணவியல்|முக்கோணவியலின்]] நீட்டிப்பாக அதிபரவளையச் சார்புகள் அமைகின்றன. இருவகையான சார்புகளுமே முறையே, [[கோணம்|வட்டக் கோணம்]] மற்றும் [[அதிபரவளையக் கோணம்|அதிபரவளையக் கோணத்தைச்]] சார்ந்திருக்கின்றன. வட்டத்தின் ஆரம் ''r'' = √2 இன் வர்க்கமூலமாக இருக்கும் போது, [[வட்டக்கோணப்பகுதி#பரப்பளவு|வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு]] &lt;math&gt;\frac {r^2 u} {2} = u.&lt;/math&gt;. இத்தகைய வட்டம் (''r'' = √2) அதிபரவளையம் ''x y'' = 1 ஐ (1,1) புள்ளியில் தொடுகிறது.(படத்தில் காண்க.) மஞ்சள் பகுதி வட்டக் கோணப்பகுதியின் கோணம் மற்றும் பரப்பையும் தருகிறது. சிவப்புப் பகுதி [[அதிபரவளையத் துண்டு|அதிபரவளையப் பகுதியின்]] கோணத்தையும் பரப்பையும் தருகிறது.
 
 ''u'' கோணத்தை வரையறுக்கும் [[கதிர் (வடிவவியல்)|கதிரை]], [[செம்பக்கம்|செம்பக்கமாகக்]] கொண்ட இரு [[செங்கோண முக்கோணம்|செங்கோண முக்கோணங்களின்]] தாங்கு பக்கங்கள் முறையே, வட்டச் சார்புகள்  மற்றும் அதிபரவளையச் சார்புகளின் √2 மடங்குகளாக, அதாவது √2cosu, √2sinu மற்றும் (√2coshu, √2sinhu) என உள்ளன. (படத்தில் காண்க)
 
 ==முற்றொருமைகள்==
 முக்கோணவியல் சார்புகளின் முற்றொருமைக்களுக்கு ஒத்த பல முற்றொருமைகளை அதிபரவளையச் சார்புகள் நிறைவு செய்கின்றன: 
 * &lt;math&gt;\begin{align}
   \sinh(x + y) &amp;= \sinh (x) \cosh (y) + \cosh (x) \sinh (y) \\
   \cosh(x + y) &amp;= \cosh (x) \cosh (y) + \sinh (x) \sinh (y) \\
   \tanh(x + y) &amp;= \frac{\tanh (x) + \tanh (y)}{1 + \tanh (x) \tanh (y)}
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 * &lt;math&gt;\begin{align}
   \sinh 2x &amp;= 2\sinh x \cosh x \\
   \cosh 2x &amp;= \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \\
   \tanh 2x &amp;= \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x}
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 *அரைக்கோண முற்றொருமைகள்:&lt;ref&gt;
 {{cite book
  |title=Technical mathematics with calculus
  |edition=3rd
  |first1=John Charles
  |last1=Peterson
  |publisher=Cengage Learning
  |year=2003
  |isbn=0-7668-6189-9
  |page=1155
  |url=http://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC}}, [http://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC&amp;pg=PA1155 Chapter 26, page 1155]
 &lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;\sinh \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{1}{2}(\cosh x - 1)} \,&lt;/math&gt; :&lt;math&gt;\cosh \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{1}{2}(\cosh x + 1)} \,&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt; \tanh \frac{x}{2} = \sqrt \frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1} = \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x - \operatorname{csch}x.&lt;/math&gt;
 
 ==சிக்கலெண்களுக்கு அதிபரவளையச் சார்புகள்==
 [[ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு]]:
 :&lt;math&gt;\begin{align}
    e^{i x} &amp;= \cos x + i \;\sin x \\
   e^{-i x} &amp;= \cos x - i \;\sin x
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 எனவே:
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
     \cosh ix &amp;= \frac{1}{2} \left(e^{i x} + e^{-i x}\right) = \cos x \\
     \sinh ix &amp;= \frac{1}{2} \left(e^{i x} - e^{-i x}\right) = i \sin x \\
  \cosh(x+iy) &amp;= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \\
  \sinh(x+iy) &amp;= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \\
     \tanh ix &amp;= i \tan x \\
      \cosh x &amp;= \cos ix \\
      \sinh x &amp;= - i \sin ix \\
      \tanh x &amp;= - i \tan ix
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 அதிபரவளையச்ச் சார்புகள், காலமுறையளவு &lt;math&gt;2 \pi i&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\pi i&lt;/math&gt; -அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட் மற்றும் கோடேன்ஜெண்ட் சார்புகளுக்கு) கொண்ட காலமுறைச் சார்புகளாக உள்ளன. .
 
 {|  style=&quot;text-align:center&quot;
 |+ சிக்கலெண் தளத்தில் அதிபரவளயச் சார்புகள்
 |[[Image:Complex Sinh.jpg|1000x140px|none]]
 |[[Image:Complex Cosh.jpg|1000x140px|none]]
 |[[Image:Complex Tanh.jpg|1000x140px|none]]
 |[[Image:Complex Coth.jpg|1000x140px|none]]
 |[[Image:Complex Sech.jpg|1000x140px|none]]
 |[[Image:Complex Csch.jpg|1000x140px|none]]
 |-
 |&lt;math&gt;\operatorname{sinh}(z)&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\operatorname{cosh}(z)&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\operatorname{tanh}(z)&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\operatorname{coth}(z)&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\operatorname{sech}(z)&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\operatorname{csch}(z)&lt;/math&gt;
 |}
 
 ==வரைபடங்கள்==
 [[Image:sinh cosh tanh.svg|thumb|200px|left|&lt;span style=&quot;color:#b30000;&quot;&gt;sinh&lt;/span&gt;, &lt;span style=&quot;color:#00b300;&quot;&gt;cosh&lt;/span&gt;, &lt;span style=&quot;color:#0000b3;&quot;&gt;tanh&lt;/span&gt;]]
 [[Image:csch sech coth.svg|thumb|200px|right|&lt;span style=&quot;color:#b30000;&quot;&gt;csch&lt;/span&gt;, &lt;span style=&quot;color:#00b300;&quot;&gt;sech&lt;/span&gt;, &lt;span style=&quot;color:#0000b3;&quot;&gt;coth&lt;/span&gt;]]
 [[Image:Hyperbolic and exponential; cosh.svg|thumb|200px|left|  ''e&lt;sup&gt;x&lt;/sup&gt;'' மற்றும் ''e&lt;sup&gt;−x&lt;/sup&gt;'' இன் [[சராசரி]] cosh(''x'').]]
 [[Image:Hyperbolic and exponential; sinh.svg|thumb|200px|right| ''e&lt;sup&gt;x&lt;/sup&gt;'' மற்றும் ''e&lt;sup&gt;−x&lt;/sup&gt;'' இரண்டின் வித்தியாசத்தில் பாதி sinh(''x'').]]
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}