அரைக்குலம்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''அரைக்குலம்''' (''Semigroup'') என்பது ஓர் [[இயற்கணிதஅமைப்பு|இயற்கணித அமைப்பாகும்]]. ஒரு [[கணம் (கணிதம்)|கணமும்]] [[சேர்ப்புப் பண்பு]] கொண்ட ஓர் [[ஈருறுப்புச் செயலி]]யும் சேர்ந்து ஒரு அரைக்குலமாக அமையும். ஆனால் ஒரு கணம், [[குலம் (கணிதம்)|குலமாக]] அமைய சேர்ப்புப் பண்புடன் சேர்த்து அந்த ஈருறுப்புச் செயலியின் [[முற்றொருமை உறுப்பு]]ம் மற்றும் கணத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் [[நேர்மாறு உறுப்பு]]ம் அக்கணத்தில் இருக்க வேண்டும்.
 
 ஓர் அரைக்குலத்தின் ஈருறுப்புச் செயலியானது பெரும்பாலும் [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]] குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது. &lt;math&gt;x \cdot y&lt;/math&gt;, அல்லது சுருக்கமாக &lt;math&gt;xy&lt;/math&gt;, என்பது [[வரிசைச் சோடி]]  &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; யை அரைக்குலத்தின் ஈருறுப்புச் செயலிக்குட்படுத்துவதைக் குறிக்கும்.&lt;ref name=&quot;KilpKilʹp2000&quot;&gt;{{Cite book|first1=Mati |last1=Kilp |first2=U. |last2=Knauer |first3=Aleksandr V. |last3=Mikhalev |title=Monoids, Acts, and Categories: With Applications to Wreath Products and Graphs : a Handbook for Students and Researchers |url=https://books.google.com/books?id=4gPhmmW-EGcC&amp;pg=PA25 |year=2000 |publisher=Walter de Gruyter |isbn=978-3-11-015248-7 |page=25 |zbl=0945.20036}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;Li͡apin1968&quot;&gt;{{Cite book|first=E. S. |last=Li͡apin|title=Semigroups|url=https://books.google.com/books?id=G8pWKPp4tKwC&amp;pg=PA96|year=1968|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-8641-0|page=96}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite book|last1=Pin|first1=Jean-Éric|title=Mathematical Foundations of Automata Theory|date=November 30, 2016|page=19|url=http://www.liafa.jussieu.fr/~jep/PDF/MPRI/MPRI.pdf}}&lt;/ref&gt;
 
 அரைக்குலத்தின் ஈருறுப்புச் செயலி சேர்ப்புப் பண்புடையதாக இருக்கும் என்பதால் அரைக்குலத்தின் கணத்திலுள்ள அனைத்து ''x'', ''y'' மற்றும் ''z''  உறுப்புகளுக்கும்
 
 &lt;math&gt;(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)&lt;/math&gt; என்பது மெய்யாகும்.
 
 ஆனால் ஒரு அரைக்குலத்தின் ஈருறுப்புச் செயலியானது [[பரிமாற்றுப் பண்பு]] கொண்டிருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை என்பதால்  பொதுவாக,
 
 :&lt;math&gt;x \cdot y \neq y \cdot x&lt;/math&gt;
 
 அரைக்குலத்தின் வரையறைப்படி அது ஒரு [[சேர்ப்புப் பண்பு|சேர்ப்பு]]க் [[குலமன் (இயற்கணிதம்)|குலமன்]] ஆகும். ஈருறுப்புச் செயலிக்குரிய [[முற்றொருமை உறுப்பு]]ம் அரைக்குலத்தில் இருக்குமேயானால் அந்த அரைக்குலம் [[அலகுள்ள அரைக்குலம்]] அல்லது [[ஒற்றைக்குலம்]] என அழைக்கப்படும்
 
 ==வரையறை== 
 ஒரு கணம்  &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, ஈருறுப்புச் செயலி &quot;&lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;&quot; உடன் சேர்ந்து பின்வரும் [[அடிக்கோள்]]களை நிறைவு செய்யுமானால் அக்கணம் ஒரு அரைக்குலம் எனப்படும்.
 
 '''[[அடைவுப் பண்பு]]''': ''S'' ல் உள்ள அனைத்து ''a'', ''b''   க்கும்  ''a'' · ''b''ன் மதிப்பும் ''S''ன் ஒரு உறுப்பாக இருக்கும்.
 
 '''சேர்ப்புப் பண்பு''': ''S'' அனைத்து ''a'', ''b'' மற்றும் ''c''க்கும்  (''a'' · ''b'') · ''c'' = ''a'' · (''b'' · ''c'') .
 
 அதாவது [[கணிதக் குறியீடுகள்|கணிதக் குறியீட்டில்]],
 
 : &lt;math&gt;a \cdot b \in S \, \forall a,b \in S&lt;/math&gt; மற்றும்
 : &lt;math&gt;(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \, \forall a,b,c \in S&lt;/math&gt;.
 சுருக்கமாக அரைக்குலமென்பது ஒரு சேர்ப்புக் குலமன் ஆகும்.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 *[[இயல் எண்]]களின் கணம் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டல்]] செயலியுடன் சேர்ந்து ஒரு அரைக்குலமாகும்.
 ஏனெனில்.
 
 ** எந்த இரு இயல் எண்களின் கூட்டுத்தொகையும் ஒரு இயல் எண் ஆகும்.
 **கூட்டல் செயலுக்குச் சேர்ப்புப் பண்பு உண்டு.
 
 அதாவது,
 
 '''(x + y) + z = x + (y + z)''', இங்கு x,y,z இயல் எண்கள்
 
 *எதிர்மமற்ற உறுப்புகளை உடைய [[அணி#சதுர அணிகள்|சதுர அணி]]களின் கணம் [[அணி#அணிகளின் பெருக்கல்|அணிப்பெருக்கல்]] செயலுடன் ஒரு அரைக்குலமாக அமையும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}