பகாச் சீர்மம்
[[File:A portion of the lattice of ideals of Z illustrating prime, semiprime and primary ideals SVG.svg|thumb|right|upright=1.3|முழுஎண்கள் வளையச் [[வளையத்தில் சீர்மம் (கணிதம்)|சீர்மங்கள்]] சில: &lt;br&gt;*பகாச் சீர்மங்கள்: செவ்வூதா நிறம்; &lt;br&gt;*அரைப்பகாச் சீர்மங்கள்: செவ்வூதா மற்றும் பச்சை நிறம்; &lt;br&gt;*முதனிலை சீர்மங்கள்: செவ்வூதா மற்றும் ஊதா நிறம்.]] 
 [[இயற்கணிதம்|இயற்கணிதத்தில்]] '''பகாச் சீர்மம்''' (''prime ideal'') என்பது ஒரு சிறப்பு வகைச் சீர்மமாகும். இவை, ஒரு [[முழு எண்]] வளையத்திலுள்ள ஒரு பகா எண்ணுக்குரிய பண்புகளைக் கொண்டமைகின்ற சீர்மங்களாகும்.&lt;ref&gt;{{cite book | last1=Dummit | first1=David S. | last2=Foote | first2=Richard M. | title=Abstract Algebra | publisher=[[யோன் வில்லி அன் சன்ஸ்]] | year=2004 | edition=3rd | isbn=0-471-43334-9}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite book | last=Lang | first=Serge | author-link=Serge Lang | title=Algebra | publisher=[[இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம்|Springer]] | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | year=2002 | isbn=0-387-95385-X}}&lt;/ref&gt; 
 
 ஒரு வளையத்தின் ({{mvar|R}}) ஏதாவது இரு உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலனானது அவ்வளையத்தின் ஒரு தகு சீர்மம் {{mvar|P}} இன் உறுப்பாக இருந்து, அவ்விரு உறுப்புகளில் ஏதேனுமொன்று {{mvar|P}} இன் உறுப்பாகவும் அமைந்தால், அச்சீர்மம், பகாச் சீர்மம் என அழைக்கப்படுகிறது
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt;R=\Z,&lt;/math&gt; வளையத்தின் ஒரு சீர்மம்:
 :&lt;math&gt;I=3Z = \{\pm 3, \pm6, \pm9....\}&lt;/math&gt;. இது ஒரு பகாச் சீர்மம் ஆகும். ஏனெனில்:
 :&lt;math&gt;2,3 \in Z &lt;/math&gt; எனில், 2, 3 இன் பெருக்குதொகை 6 &lt;math&gt;\in 3Z &lt;/math&gt;. மேலும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட இரு எண்களிலொன்றான &lt;math&gt;3 \in 3Z &lt;/math&gt;.  
 
 முழுஎண்கள் வளையத்தின் பகாச் சீர்மங்கள், ஏதாவதொரு பகாஎண்ணின் [[மடங்கு (கணிதம்)|மடங்குளையும்]] [[சுழியச் சீர்மம்|சுழியச் சீர்மத்தையும்]] உறுப்புகளாகக் கொண்டிருக்கும், பகாச் சீர்மங்கள், [[முதனிலைச் சீர்மம்|முதனிலைச் சீர்மங்களாகவும்]], [[அரைப்பகாச் சீர்மம்|அரைப்பகாச் சீர்மங்களாகவும்]] அமையும்.
 
 ==பரிமாற்று வளையங்களின் பகாச்சீர்மங்கள்==
 
 ===வரையறை===
 {{mvar|R}} என்ற [[பரிமாற்று வளையம்|பரிமாற்று வளையத்தின்]] ஒரு [[வளையத்தில் சீர்மம் (கணிதம்)|சீர்மம்]] {{mvar|P}} ஆனது பகாச்சீர்மமாக இருக்கவேண்டுமெனில் அது கீழுள்ள பண்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்:
 
 * {{mvar|a}}, {{mvar|b}} இரண்டும் {{mvar|R}} இன் இரு உறுப்புகள். மேலும் அவற்றின் பெருக்கற்பலன் {{math|''ab''}} ஆனது {{mvar|P}} இன் ஓருறுப்பு எனில், {{math|''a''}} அல்லது {{math|''b''}}, {{mvar|P}} இன் உறுப்பாக இருக்கும்.
 * {{mvar|P}} ஆனது {{mvar|R}} க்குச் சமமானதாக இருக்காது; அதாவது, {{mvar|P}} ஆனது {{mvar|R}} இன் தகு உட்கணமாக இருக்கும்.
 
 மேலுள்ள பகாச் சீர்மத்துக்கான பண்புகள், கீழ்வரும் பகாஎண்களுக்கானப் பண்பினைப் (யூக்ளிடிய முற்கோள்) பொதுமைப்படுத்தலாக அமைவதைக் காணலாம்:
 :{{math|''p''}} ஒரு பகாஎண். {{math|''a''}}, {{math|''b''}} ஆகிய இரு முழுவெண்களின் பெருக்கற்பலனான {{math|''ab''}} ஐ, {{math|''p''}} [[வகுஎண்|வகுக்கிறது]] எனில், {{math|''p''}} ஆனது {{math|''a''}} அல்லது {{math|''b''}} ஐ வகுக்கும்.
 
 எனவே இதிலிருந்து பெறப்படும் முடிவு:
 :&lt;math&gt;\Z.&lt;/math&gt; இன் பகாச் சீர்மமாக &lt;math&gt;n\Z&lt;/math&gt; 'இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே', {{mvar|n}} (நேர்ம முழுவெண்) ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கும்.
 
 அதாவது:
 : &lt;math&gt;n\Z&lt;/math&gt; ஒரு பகாச்சீர்மம் &lt;math&gt; \Leftrightarrow &lt;/math&gt; &lt;math&gt;n,&lt;/math&gt; ஒரு பகா எண்.
 
 ===எடுத்துக்காட்டுகள்===
 * &lt;math&gt;R=\Z,&lt;/math&gt; வளையத்தில் [[நிகரி (கணிதம்)|இரட்டை எண்களின்]] உட்கணமானது ஒரு பகாச் சீர்மம்.
 * &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; என்ற [[முழு ஆட்களம்|முழு ஆட்களத்தின்]] [[பகா உறுப்பு]] &lt;math&gt;p \in R&lt;/math&gt; ஆனது, [[முதன்மை சீர்ம ஆட்களம்|முதன்மை]] பகாச் சீர்மத்தைப் (&lt;math&gt;(p)&lt;/math&gt;) பிறப்பிக்கும்.
 * [[சிக்கலெண்]] [[கெழு]]க்களுடன் இரு மாறிகளிலமைந்த [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]களின் வளையம் &lt;math&gt;\Complex[X,Y]&lt;/math&gt; என்பதை {{mvar|R}} குறிக்குமானால், {{math|''Y''&lt;sup&gt;&amp;thinsp;2&lt;/sup&gt; − ''X''&lt;sup&gt;&amp;thinsp;3&lt;/sup&gt; − ''X'' − 1}} என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையால் பிறப்பிக்கப்படும் சீர்மம், பகாச் சீர்மமாக இருக்கும்.
 *&lt;math&gt;\Z[X]&lt;/math&gt; என்ற முழுஎண் கெழுக்களைக்கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தில், {{math|2}} மற்றும் {{mvar|X}} ஆல் பிறப்பிக்கப்படும் சீர்மம், பகாச்சீர்மமாக இருக்கும். அப்பகாச்சீர்மத்திலுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எல்லாவற்றிலும் மாறிலிக் கெழு இரட்டையெண்ணாக இருக்கும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{Reflist}}
 
 ==மேலதிக வாசிப்புக்கு==
 *{{citation|author1=Goodearl, K. R.|author2=Warfield, R. B., Jr.|title=An introduction to noncommutative Noetherian rings| series=London Mathematical Society Student Texts |volume=61 |edition=2 |publisher=Cambridge University Press | place=Cambridge  |year=2004  |pages=xxiv+344&lt;!--|isbn=0-521-83687-5--&gt;|isbn=0-521-54537-4 |mr=2080008 |doi=10.1017/CBO9780511841699}}
 *{{citation|author=Jacobson, Nathan|title=Basic algebra. II|edition=2|publisher=W. H. Freeman and Company |place=New York|year=1989 |pages=xviii+686   |isbn=0-7167-1933-9 |mr=1009787}}
 *{{citation|author=Kaplansky, Irving |title=Commutative rings |publisher=Allyn and Bacon Inc. |place=Boston, Mass.|year=1970   |pages=x+180   |mr=0254021 }}
 *{{citation|author=Lam, T. Y.|author-link=Tsit Yuen Lam |title=A first course in noncommutative rings |series=Graduate Texts in Mathematics|volume=131 |edition=2nd |publisher=Springer-Verlag |place=New York |year=2001 |pages=xx+385 |isbn=0-387-95183-0   |mr=1838439 | zbl=0980.16001 |doi=10.1007/978-1-4419-8616-0}}
 *{{citation|author1=Lam, T. Y. | author1-link=Tsit Yuen Lam  |author2=Reyes, Manuel L. |title=A prime ideal principle in commutative algebra |journal=J. Algebra |volume=319 |year=2008 |number=7 |pages=3006–3027 |issn=0021-8693 |mr=2397420 | zbl=1168.13002 |doi=10.1016/j.jalgebra.2007.07.016|doi-access=free }}
 * {{springer|title=Prime ideal|id=p/p074510}}