கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம்
[[Image:Triangle ABC with bisector AD.svg|thumb|240px|right|இப்படத்தில், BD:DC = AB:AC.]]
 [[வடிவவியல் உருமாற்றம்|வடிவவியலில்]], '''கோண இருசமவெட்டித் தேற்றமானது'''(''Angle bisector theorem'')  [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தின்]] ஒரு [[இருசமக்கூறிடல்#கோண இருசம வெட்டி|கோணத்தின் இரு சமவெட்டியானது]] அக்கோணத்திற்கு எதிரேயுள்ள பக்கத்தினை வெட்டுவதால் கிடைக்கும் கோட்டுத் துண்டுகளின் [[நீளம்|நீளங்களின்]] விகிதங்களைப்பற்றிக் கூறும் [[தேற்றம்|தேற்றமாகும்]]. இத்தேற்றத்தின்படி அக்கோட்டுத் துண்டுகளின் நீளங்களின் விகிதம் முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.
 
 ==தேற்றம்==
 ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் உட்புற கோண இரு சம 
 வெட்டியானது, அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை உட்புறமாக அக்கோணத்தினை அடக்கிய பக்கங்களின் சம விகிதத்தில் பிரிக்கும்.
 
 அதாவது முக்கோணம் &lt;math&gt;\triangle ABC&lt;/math&gt; -ஐ எடுத்துக் கொள்க.
 * &lt;math&gt;\angle A&lt;/math&gt;  -ன் இருசமவெட்டி,  &lt;math&gt;\ BC&lt;/math&gt;  பக்கத்தை &lt;math&gt;\ D&lt;/math&gt;  புள்ளியில் வெட்டட்டும்.
 * கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி,  கோட்டுத் துண்டுகள் &lt;math&gt;\ BD&lt;/math&gt; மற்றும்  &lt;math&gt;\ DC&lt;/math&gt;  -ன் விகிதமானது,  &lt;math&gt;\ AB&lt;/math&gt;  மற்றும் &lt;math&gt;\ AC&lt;/math&gt; பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:
 
 :&lt;math&gt;{\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}. &lt;/math&gt;
 
 * பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி,   &lt;math&gt;\ D&lt;/math&gt; புள்ளியானது பக்கம் &lt;math&gt;\ BC&lt;/math&gt; -ன் மீது அமைந்தால்(அ-து, AD கோண இருசமவெட்டியாக இருக்க வேண்டியதில்லை) :
 
 :&lt;math&gt;{\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB|  \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC}}. &lt;/math&gt;
 
 * இதிலிருந்து, கோணம்  &lt;math&gt; \angle BAC&lt;/math&gt;   -ன் இருசமவெட்டியாக, &lt;math&gt;\ AD&lt;/math&gt;  இருக்கும்போது முதலிலுள்ள தேற்றத்தைப் பெறலாம்.
 
 == [[கணித நிறுவல்|நிறுவல்]] ==
 [[Image:Triangle ABC with bisector AD.svg|thumb|240px|center]]
 
 *மேலேயுள்ள படத்தில், &lt;math&gt;\triangle ABD&lt;/math&gt;  மற்றும்  &lt;math&gt;\triangle ACD&lt;/math&gt;  முக்கோணங்களுக்கு'' சைன் விதியைப்'' பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;{\frac {|AB|} {|BD|}} = {\frac {\sin \angle BDA} {\sin \angle BAD}} &lt;/math&gt;  .....  (சமன்பாடு 1)
 
 :&lt;math&gt;{\frac {|AC|} {|DC|}} = {\frac {\sin \angle ADC} {\sin \angle DAC}} &lt;/math&gt;  .....  (சமன்பாடு 2)
 
 *கோணங்கள்  &lt;math&gt; \angle BDA&lt;/math&gt;  மற்றும்  &lt;math&gt; \angle ADC&lt;/math&gt;   இரண்டும் [[மிகைநிரப்புக் கோணங்கள்]]. எனவே அவற்றின் ''சைன்'' மதிப்புகள் சமம்.
 * கோணங்கள்   &lt;math&gt; \angle BAD&lt;/math&gt; மற்றும்  &lt;math&gt; \angle DAC&lt;/math&gt; இரண்டும் சமமானவை.
 * எனவே [[சமன்பாடு]]கள் (1), (2) -ன் வலதுகைப் பக்கங்கள் சமம். ஆகவே அவற்றின் இடதுகைப் பக்கங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும்:
 
 :&lt;math&gt;{\frac {|AB|} {|BD|}}={\frac {|AC|}{|DC|}} &lt;/math&gt;
 
 எனவே, கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.
 
 [[கோட்டுத்துண்டு]] &lt;math&gt;\ AD&lt;/math&gt; கோண இருசமவெட்டி இல்லையென்றால்
 
 * கோணங்கள்   &lt;math&gt; \angle BAD&lt;/math&gt; மற்றும்  &lt;math&gt; \angle DAC&lt;/math&gt;  இரண்டும் சமமில்லை.
 * சமன்பாடுகள் (1), (2) இரண்டையும் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:
 
 :&lt;math&gt; {\frac {|AB|} {|BD|} \sin \angle\ BAD = \sin \angle BDA}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; {\frac {|AC|} {|DC|} \sin \angle\ DAC = \sin \angle ADC}&lt;/math&gt;
 
 கோணங்கள்  &lt;math&gt; \angle BDA&lt;/math&gt;  மற்றும்  &lt;math&gt; \angle ADC&lt;/math&gt;  இரண்டும் இப்பொழுதும் மிகைநிரப்பு கோணங்கள். எனவே இரு சமன்பாடுகளின் வலதுபுறங்களும் சமம். ஆகவே இடதுபுறங்களும் சமமாக அமையும்:
 
 :&lt;math&gt; {\frac {|AB|} {|BD|} \sin \angle\ BAD = \frac {|AC|} {|DC|} \sin \angle\ DAC}&lt;/math&gt;
 
 இது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தேற்றத்தை நிறுவுகிறது.
 
 ===நிறுவல்-மாற்றுமுறை===
 [[Image:Bisekt.svg|400px|right]]
 
 * &lt;math&gt;\triangle ABD&lt;/math&gt;  -க்கு, [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சி]] &lt;math&gt;\ B&lt;/math&gt; வழியே வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் அடி  '''''B''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;'''  என்க. &lt;math&gt;\triangle ACD&lt;/math&gt; -க்கு, உச்சி  &lt;math&gt;\ C&lt;/math&gt;  வழியே வரையப்பட்ட [[குத்துக்கோடு (முக்கோணம்)|குத்துக்கோட்டின்]] அடி '''''C''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;'''  என்க.
 * &lt;math&gt;\triangle &lt;/math&gt; '''''DB''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;''B'''''  மற்றும் &lt;math&gt;\triangle&lt;/math&gt; '''''DC''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;''C'''''  இரண்டும் [[செங்கோண முக்கோணம்|செங்கோண முக்கோணங்கள்]].
 * &lt;math&gt;\ D&lt;/math&gt;  புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு  &lt;math&gt;\ BC&lt;/math&gt; -ன் மேல் இருந்தால், கோணங்கள்  &lt;math&gt; \angle&lt;/math&gt;'''''B''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;''DB'''''  மற்றும்
 &lt;math&gt; \angle&lt;/math&gt;'''''C''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;''DC'''''   இரண்டும் சர்வசமமாகவும்
 
 * &lt;math&gt;\ D&lt;/math&gt; புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு  &lt;math&gt;\ BC&lt;/math&gt; -ன்  மேல் இல்லையெனில் அவ்விரு கோணங்களும் முற்றுமொத்தவையாகவும் அமையும்.
 *எனவே முக்கோணங்கள்,  &lt;math&gt;\triangle &lt;/math&gt;'''''DB''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;''B'''''   மற்றும் &lt;math&gt;\triangle &lt;/math&gt; '''''DC''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;''C'''''  இரண்டும் [[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள்|வடிவொத்த முக்கோணங்களாகும்]] (AAA).
 
 :&lt;math&gt;{\frac {|BD|} {|CD|}}= {\frac {|BB_1|}{|CC_1|}}=\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}.&lt;/math&gt;
 
 எனவே பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 * [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/AngleBisectorRatio.shtml A Property of Angle Bisectors] at [[cut-the-knot]]
 * [http://planetmath.org/?op=getobj&amp;from=objects&amp;id=6487 Proof of angle bisector theorem] at [[PlanetMath]]
 *[http://planetmath.org/?op=getobj&amp;from=objects&amp;id=6488 Another proof of angle bisector theorem] at [[PlanetMath]]
 
 [[பகுப்பு:முக்கோணங்கள் பற்றிய தேற்றங்கள்]]