பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை''' (''Pythagorean trigonometric identity''), [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தாகரசு தேற்றத்தின்]] முடிவை [[முக்கோணவியல் சார்புகள்|முக்கோணவியல் சார்புகளின்]] வாயிலாகத் தருகிறது. [[சைன் (முக்கோணவியல்)|சைன்]] [[சார்பு]]க்கும் [[கோசைன் (முக்கோணவியல்)|கோசைன்]] சார்புக்கும் இடையிலான அடிப்படைத் தொடர்பினைத் தரும் இம்முற்றொருமை, [[கோணம்|கோணங்களின்]] [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூடுதல்]] (வித்தியாசம்) முற்றொருமைகளோடு சேர்ந்து மற்ற அனைத்து [[முக்கோணவியல்]] முற்றொருமைகளைப் பெறுவதற்குப் பயன்படுகிறது.
 
 ==முற்றொருமை==
 பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமையின் கணித வடிவம்:
 :&lt;math&gt;\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.\!&lt;/math&gt;
 sin&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ''θ'' என்பது (sin ''θ'')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; -வையும் cos&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ''θ'' என்பது (cos ''θ'')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; -வையும் குறிக்கும். சைனுக்கும் கோசைனுக்கும் இடையிலான இத்தொடர்பு சிலசமயங்களில் ''பித்தாகரசின் அடிப்படை முக்கோணவியல் முற்றொருமை'' எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.&lt;ref name= Leff&gt;
 {{Cite book|title=PreCalculus the Easy Way |author=Lawrence S. Leff |url=http://books.google.com/books?id=y_7yrqrHTb4C&amp;pg=PA296 |page=296 |isbn=0764128922 |edition=7th |publisher=Barron's Educational Series |year=2005}}
 &lt;/ref&gt;
 
 ==நிறுவல்==
 [[File:Trig functions.svg|thumb |வடிவொத்த முக்கோணங்களில் sinθ மற்றும் cosθ]]
 
 ===செங்கோண முக்கோணத்தில் நிறுவல்===
 [[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள்|வடிவொத்த முக்கோணங்களில்,]] சமமாகவுள்ள  கோணத்தை எடுத்துக் கொண்டால், அக்கோணத்தின் கரங்களாக அமையும் இருபக்கங்களின் [[விகிதம்]] வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி,  நாம் எடுத்துக்கொண்டுள்ள அனைத்து முக்கோணங்களிலும் சமமாக இருக்கும். வடிவொத்த முக்கோணம் ஒவ்வொன்றுக்கும் பக்க அளவுகள் வெவ்வேறாக இருந்தாலும் இவ்விகிதம் மாறாத ஒன்றாக இருக்கும்.
 
 எனவே படத்திலுள்ள இரு வடிவொத்த [[முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள்|செங்கோண முக்கோணங்களிலும்]]:
 
 செங்குத்தான பக்கம், செம்பக்கத்தின் விகிதம் =  &lt;math&gt;\sin \theta \,&lt;/math&gt;
 
 கிடைமட்டப்பக்கம், செம்பக்கத்தின் விகிதம் =  &lt;math&gt;\cos \theta \,&lt;/math&gt;
 
 *  1 அலகு நீளமுள்ள [[செம்பக்கம்]] கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தில் :
 :செங்குத்தான பக்கம் = &lt;math&gt;\sin \theta \,&lt;/math&gt;
 :கிடைமட்டமான பக்கம் = &lt;math&gt;\cos \theta  \, &lt;/math&gt;
 
 இவற்றை வர்க்கப்படுத்திக் கூட்டி, பித்தாகரசின் தேற்றமுடிவான,
 
 (எதிர்ப்பக்கம்)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + (அடுத்துள்ள பக்கம்)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = (செம்பக்கம்)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; -ஐப் பயன்படுத்த 
 
 : &lt;math&gt;\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.\!&lt;/math&gt;
 
 * செம்பக்கம் 1 அலகில்லாத செங்கோண முக்கோணத்தில் :
 
 :&lt;math&gt;\sin \theta = \frac{b}{c}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\cos \theta  = \frac{a}{c} \ .&lt;/math&gt;
 
 இவற்றை வர்க்கப்படுத்திக் கூட்ட: 
 
 :&lt;math&gt;\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \frac{b^2 + a^2}{c^2}&lt;/math&gt;
 
 பித்தாகரசின் தேற்றமுடிவான &lt;math&gt;b^2 + a^2 = c^2 \,&lt;/math&gt; -ஐ பயன்படுத்த: 
 
 :&lt;math&gt;\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.\!&lt;/math&gt;
 
 * சைன் மற்றும் கோசைனின் இந்த செங்கோண முக்கோண-[[வரையறை]],  0 &lt;''θ'' &lt; π/2   இடைவெளிக்குள் ([[ரேடியன்]]) அமையும் கோணங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். 0 மற்றும் π/2  கோணங்களுக்கு சைன், கோசைன் மதிப்புகளை நேரிடையாகக் கண்டுபிடித்து முற்றொருமையை எளிதாகச் சரிபார்த்துக் கொள்ளலாம்.
 * முழுவட்டத்தில் அமையும் பிற கோணங்களுக்கு சமச்சீர், பெயர்வு மற்றும் காலமுறைமை முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி நிறுவ வேண்டும். −π &lt; ''θ'' ≤ π இடைவெளியில் பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமையை உண்மையென நிறுவினால் போதும், காலமுறைமைப்படி, இம்முற்றொருமை மற்ற அனைத்து மெய்க்கோண அளவுகளுக்கும் உண்மையாக இருக்கும்.
 
 * முதலில் π/2 &lt; ''θ'' ≤ π என அமையும் கோணங்களுக்கு நிறுவலாம்:
 
 ''t'' = ''θ'' − π/2, என்க. இப்பொழுது ''t'' , (0  π/2] இடைவெளியில் அமையும்.
 
 : &lt;math&gt;\sin^2\theta+\cos^2\theta = \sin^2\left(t+\frac{1}{2}\pi\right) + \cos^2\left(t+\frac{1}{2}\pi\right) = \cos^2t+\sin^2t = 1.&lt;/math&gt;
 
 * அடுத்து −π &lt; ''θ'' &lt; 0 இடைவெளியில் அமையும் கோணங்களுக்கு [[கணித நிறுவல்|நிறுவலாம்]].
 
 ''θ'' கோணம், 0 &lt; ''θ'' &lt; π இடைவெளியில் அமைகிறது என்க. இப்பொழுது, -''θ'' கோணம்,  (-π, 0) இடைவெளியில் அமையும்.
 
 முக்கோணவியல் சமச்சீர் முற்றொருமைகளின்படி:
 :&lt;math&gt;\sin(-\theta)\ = -\sin \theta \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\cos(-\theta)\ = +\cos \theta \,&lt;/math&gt; 
 
 வர்க்கப்படுத்த:
 :&lt;math&gt;\sin^2\theta=\sin^2(-\theta) \,&lt;/math&gt; 
 
 :&lt;math&gt;\cos^2\theta\ =\cos^2(-\theta).\,&lt;/math&gt;
 
 இரண்டையும் கூட்ட:
 :&lt;math&gt;\sin^2(-\theta) + \cos^2(-\theta) = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.\!&lt;/math&gt; (ஏற்கனவே பித்தகாரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை [0, π] இடைவெளியில் அமையும் கோணங்களுக்கு நிறுவப்பட்டுள்ளது.)  
 
 ====தொடர்புள்ள முற்றொருமைகள்====
 [[File:Trig functions2.svg|thumb|இரு வடிவொத்த செங்கோண  முக்கோணங்களில் [[டேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்)|டேன்ஜெண்ட்]] மற்றும் [[சீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்)|சீக்கெண்ட்]]]]
 
 :&lt;math&gt;1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\,&lt;/math&gt;
 
 ஆகிய இரண்டு முற்றொருமைகளுங்கூட பித்தாகரசின் முற்றொருமைகள் என அழைக்கப்படுகின்றன.&lt;ref name= Leff/&gt; 
 
 ஒரு பக்க (செம்பக்கம் அல்லாதது) அளவு &amp;nbsp;1 அலகு கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தில்:
 
 * 1 அலகு நீளமுள்ள பக்கத்திற்கும் செம்பக்கத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் θ இன் டேன்ஜெண்ட், முக்கோணத்தின் மூன்றாவது பக்கத்திற்குச் சமமாகவும், சீக்கெண்ட் செம்பக்கத்திற்குச் சமமாகவும் இருக்கும்.
 
 * &amp;nbsp;1 அலகு நீளமல்லாத மற்றொரு பக்கத்திற்கும் செம்பக்கத்திற்கும் இடைப்பட்ட கோணம் (π/2 − θ). இக்கோணத்தின் [[கோடேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்)|கோடேன்ஜெண்ட்]] &amp;nbsp;1 அலகு நீளமில்லாத பக்கத்தின் நீளத்திற்கும், [[கோசீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்)|கோசீக்கெண்ட்]] செம்பக்க நீளத்திற்கும் சமமாக இருக்கும். 
 
 எனவே பித்தாகரசின் தேற்றமுடிவின்படி:
 
 (எதிர்ப்பக்கம்)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + (அடுத்துள்ள பக்கம்)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = (செம்பக்கம்)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; 
 
 :&lt;math&gt;1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta\,&lt;/math&gt; 
 
 மற்றும்
 
 :&lt;math&gt;1 + \cot^2(\frac{ \pi }{2}-\theta ) = \csc^2(\frac{ \pi }{2}-\theta ) \,&lt;/math&gt;
 
 ஆனால் சமச்சீர் முற்றொருமைகளின்படி:
 
 &lt;math&gt;\cot(\frac{ \pi }{2}-\theta) = \cot \theta \,&lt;/math&gt;,&lt;math&gt;\csc(\frac{ \pi }{2}-\theta) = \csc \theta \,&lt;/math&gt;,
 
 எனவே &lt;math&gt;1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\,&lt;/math&gt;
 
 ஒருபக்கத்தின் அளவு 1 ஆக இல்லாத செங்கோண முக்கோணத்தில்:
 :&lt;math&gt; \tan \theta =\frac{b}{a} \ , &lt;/math&gt;  &lt;math&gt; \sec \theta = \frac{c}{a} \,  &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \cot \theta =\frac{a}{b} \ , &lt;/math&gt;  &lt;math&gt; \csc \theta = \frac{c}{b} \, &lt;/math&gt;
 
 பித்தாகரசு தேற்றமுடிவு, &lt;math&gt;b^2 + a^2 = c^2 \,&lt;/math&gt; -ஐ பயன்படுத்த: 
 
 :&lt;math&gt;1 + \tan^2 \theta=1+\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=\frac{c^2}{a^2}= \sec^2 \theta\,&lt;/math&gt;
 
 இதேபோல,
 
 : &lt;math&gt;1 + \cot^2(\frac{ \pi }{2}-\theta ) = \csc^2(\frac{ \pi }{2}-\theta ) \,&lt;/math&gt; 
 
 அதாவது
 
 :&lt;math&gt;1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\,&lt;/math&gt; என்ற முற்றொருமையையும் நிறுவலாம்
 
 * இவ்விரண்டு முற்றொருமைகளைப் பின்வரும் அட்டவணையில் உள்ளவாறும் பெறலாம்: 
 
 {| class=&quot;wikitable sortable&quot;
 !மூல முற்றொருமை
 !வகுத்தி
 !வகுக்கப்பட்ட முற்றொருமை
 !பெறப்பட்ட முற்றொருமை
 !முற்றொருமையின் வேறொரு தோற்றம்
 |-
 | &lt;math&gt;\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\!&lt;/math&gt; ||  ||  ||  ||
 |-
 | &lt;math&gt;\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\!&lt;/math&gt; || &lt;MATH&gt; \cos^2 \theta \!&lt;/MATH&gt; || &lt;math&gt;  \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}  + \frac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{1}{\cos^2 \theta}\!&lt;/math&gt;
 || &lt;math&gt; \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta\!&lt;/math&gt; || &lt;math&gt; 1 + \tan^2 \theta  = \sec^2 \theta\!&lt;/math&gt;
 |-
 | &lt;math&gt;\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\!&lt;/math&gt; || &lt;MATH&gt; \sin^2 \theta \!&lt;/MATH&gt; || &lt;math&gt;  \frac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta}  + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta}\!&lt;/math&gt;
 || &lt;math&gt; 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta\!&lt;/math&gt; || &lt;math&gt; \cot^2 \theta + \ 1 = \csc^2 \theta\!&lt;/math&gt;
 |-
 |}
 
 ===ஓரலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்===
 [[File:Trig functions on unit circle.svg|thumb|ஓரலகு வட்டத்தின் மீது ஒரு விரிகோணத்தில் (θ &gt; π/2 ) அமையும் புள்ளி ''P''(x,y).]]
 [[File:Periodic sine.svg|thumb|சைன் சார்பு - ஓரலகு வட்டத்தில்(மேலே), வரைபடத்தில்(கீழே).]]
 [[யூக்ளிட்|யூக்ளிடின்]] [[தளம் (வடிவவியல்)|தளத்தில்]] அமையும் ஓரலகு [[வட்டம்|வட்டத்தின்]] [[சமன்பாடு]]:&lt;ref name=&quot;circle&quot;&gt;This result can be found using the distance formula &lt;math&gt;d = \sqrt{x^2 +y^2}\,&lt;/math&gt; for the distance from the origin to the point &lt;math&gt;(x,\ y)\,&lt;/math&gt;. See {{Cite book|title=Algebra and Trigonometry |author=Cynthia Y. Young |url=http://books.google.com/books?id=ARmvHS83xf0C&amp;pg=PA210 |page=210 |isbn=0470222735 |year=2009 |edition=2nd |publisher=Wiley}} This approach assumes Pythagoras' theorem. Alternatively, one could simply substitute values and determine that the graph is a circle.&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;x^2 + y^2 = 1.\,&lt;/math&gt;
 
 ''x'' -அச்சிலிருந்து θ, அளவுள்ள ஒரு கோணத்திற்கு ஓரலகு வட்டத்தின் மீது அமையும் ஒரு தனித்த புள்ளி ''P'' -ன் அச்சு தூரங்கள்:&lt;ref name=Shaw&gt;{{Cite book|title=Contemporary Precalculus: A Graphing Approach |author=[[Thomas W. Hungerford]], Douglas J. Shaw |url=http://books.google.com/books?id=esexVzMJwIMC&amp;pg=PA442 |chapter=§6.2 The sine, cosine and tangent functions |page=442 |edition=5th |year=2008 |publisher=Cengage Learning |isbn=0495108332}}&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;x = \cos \theta \ &lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt; y = \sin \theta \ &lt;/math&gt;
 
 இதனை ஓரலகு வட்டச் சமன்பாட்டில் பயன்படுத்த பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை கிடைக்கிறது. 
 :&lt;math&gt; \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1 \ , &lt;/math&gt;
 
 படத்தில் புள்ளி ''P''  இரண்டாம் காற்பகுதியில் அமைவதால் அதன் x-அச்சுதூரம் எதிர்மமாக இருக்க வேண்டும். cos''θ'' = −cos(π−''θ'' ). என்பதால் ''x'' = cos''θ'' எதிர்ம எண்ணாகும். ''P'' -ன் ''y''-அச்சுதூரம் நேர்ம எண். (sin''θ'' = sin(π−''θ'' ) &gt; 0). கோணம் ''θ'', பூச்சியத்திலிருந்து முழுவட்டக்கோணம் ''θ'' = 2π -ஆக அதிகரிக்கும்போது, நான்கு காற்பகுதிகளிலும் புள்ளி ''P'' -ன் ''x'' மற்றும் ''y''  அச்சுதூரங்களின் குறிகள் சரியானதாக அமையும் வகையில் சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளின் மதிப்புகளின் குறிகள் மாறுகின்றன. படத்தில் கோணம் வெவ்வேறு காற்பகுதிகளில் அமையும்போது சைன் மதிப்பின் குறி மாறும் விதம் காட்டப்பட்டுள்ளது.
 ''x''- மற்றும் ''y''-அச்சுக்கள் இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானதாக அமைவதால் பித்தாகரசின் முற்றொருமை, செம்பக்க நீளம் 1 அலகாகக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணங்களின் பித்தாகரசின் தேற்றத்துக்குச் சமானமானதாக அமையும். (வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின் மூலம் பிற செங்கோண முக்கோணங்களின் பித்தாகரசு தேற்றத்திற்குச் சமானமானதாகும் எனக் காணலாம்.)
 
 ===அடுக்குத் தொடர்களைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்===
 முக்கோணவியல் சார்புகளை அடுக்குத் தொடர்கள் மூலமாகவும் வரையறுக்கலாம். (கோணம் ''x''  ரேடியனில் அளக்கப்பட்டுள்ளது):&lt;ref name=Hamilton&gt;{{Cite book|title=Time series analysis |author=James Douglas Hamilton |url=http://books.google.com/books?id=B8_1UBmqVUoC&amp;pg=PA714 |page=714 |chapter=Power series
 |isbn=0691042896 |year=1994 |publisher=Princeton University Press}}&lt;/ref&gt;
 &lt;ref name=Krantz&gt;{{Cite book|title=Real analysis and foundations |author=Steven George Krantz |url=http://books.google.com/books?id=oWao9tYvYXAC&amp;pg=PA269 |pages=269–270
 |isbn=1584884835 |chapter=Definition 10.3 |year=2005 |publisher=CRC Press |edition=2nd}}&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
   \sin x &amp;= \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!} x^{2n + 1},\\
   \cos x &amp;= \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}.
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 அடுக்குத் தொடர்களின் [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]] விதியைப் பயன்படுத்த:
 
 : &lt;math&gt;
 \begin{align}
 \sin^2 x &amp; = \sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{(2i + 1)!} \frac{(-1)^j}{(2j + 1)!} x^{(2i + 1) + (2j + 1)} \\
 &amp; = \sum_{n = 1}^\infty \left(\sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{(-1)^{n - 1}}{(2i + 1)!(2(n - i - 1) + 1)!}\right) x^{2n} \\
 &amp; = \sum_{n = 1}^\infty \left( \sum_{i = 0}^{n - 1} {2n \choose 2i + 1} \right) \frac{(-1)^{n - 1}}{(2n)!} x^{2n},\\
 \cos^2 x &amp; = \sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{(2i)!} \frac{(-1)^j}{(2j)!} x^{(2i) + (2j)} \\
 &amp; = \sum_{n = 0}^\infty \left(\sum_{i = 0}^n \frac{(-1)^n}{(2i)!(2(n - i))!}\right) x^{2n} \\
 &amp; = \sum_{n = 0}^\infty \left( \sum_{i = 0}^n {2n \choose 2i} \right) \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 sin&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;-ன் விரிவில், ''n'' -ன் குறைந்தபட்ச மதிப்பு 1ஆகவும், cos&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; -ன் விரிவில், மாறிலி உறுப்பு 1 ஆகவும் உள்ளது. 
 
 இவற்றின் இதர உறுப்புகளின் கூடுதல் (பொதுக் காரணிகளை நீக்கியபின்):
 
 :&lt;math&gt;\sum_{i = 0}^n {2n \choose 2i} - \sum_{i = 0}^{n - 1} {2n \choose 2i + 1}
 = \sum_{j = 0}^{2n} (-1)^j {2n \choose j}
 = (1 - 1)^{2n}
 = 0 &lt;/math&gt; ([[ஈருறுப்புத் தேற்றம்|ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின்படி]])
 
 எனவே:
 :&lt;math&gt;\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \ , &lt;/math&gt; (பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை)
 
 ===வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டினைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்===
 சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளைப் பின்வரும் [[வகையீட்டுச் சமன்பாடு|வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின்]] தீர்வுகளாக வரையறுக்கலாம்:&lt;ref name=Debnath&gt;{{Cite book|title=Linear partial differential equations for scientists and engineers |author=Tyn Myint U., Lokenath Debnath |url=http://books.google.com/books?id=Zbz5_UvERIIC&amp;pg=PA316 |page=316 |chapter=Example 8.12.1 |isbn=0817643931 |edition=4rth |publisher=	Springer |year= 2007}}&lt;/ref&gt;
 
 ::&lt;math&gt;y'' + y = 0\,&lt;/math&gt;
 
 ''y''(0) = 0, ''y''′(0) = 1 நிபந்தனைகளை சைனும் ''y''(0) = 1, ''y''′(0) = 0 நிபந்தனைகளை கோசைனும் நிறைவு செய்யும். 
 
 :&lt;math&gt;z = \sin^2 x + \cos^2 x\,&lt;/math&gt; என்ற சார்பை எடுத்துக் கொள்க.
 
 [[வகையீடு|வகையிட]]:
 
 :&lt;math&gt; \frac{d}{dx} z = 2 \sin x \ \cos x + 2 \cos x \ (-\sin x) = 0 \ , &lt;/math&gt;
 
 எனவே ''z'' மாறிலியாக இருக்க வேண்டும்.
 
 ''z''(0) = 1 என்பதைக் காணலாம். 
 
 ''z''  மாறிலி மற்றும் ''z''(0) = 1 என்பதால் ''x''  -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் ''z'' = 1 ஆக இருக்கும்.
 
 எனவே &lt;math&gt;\sin^2 x + \cos^2 x = 1. \  &lt;/math&gt; (பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை)
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * [http://sympl.org/book/examples/interactive-plots/pythagorean-identity/ An interactive illustration of Pythagorean identity] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20141101042902/http://sympl.org/book/examples/interactive-plots/pythagorean-identity |date=2014-11-01 }}