இடைமதிப்புத் தேற்றம்
[[Image:Mvt2.svg|thumb|300 px|right|மூடிய இடைவெளி [''a'',&amp;nbsp;''b'']-ல் தொடர்ச்சியானதும் திறந்த இடைவெளி (''a'',&amp;nbsp;''b'') -ல் வகையிடத்தக்கதுமான ஒருசார்புக்கு [''a'',&amp;nbsp;''b''] இடைவெளியின் முனைகளை இணைக்கும் [[வெட்டுக்கோடு|வெட்டுக்கோட்டிற்கு]] (secant) இணையான தொடுகோடு (tangent), (''a'',&amp;nbsp;''b'') இடைவெளியில் உள்ள ஒரு புள்ளி ''c'' -ல் அமையும்.]]
 [[வகை நுண்கணிதம்|வகைநுண்கணிதத்தில்]] '''இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின்''' (''mean value theorem'') கூற்றின்படி, [[வகையீடு|வகையிடத்தக்கதாகவும்]] [[தொடர்ச்சியான சார்பு|தொடர்ச்சியானதுமான]] ஒரு [[சார்பு|சார்பின்]] [[வளைவரை]]யின் ஒரு வில்லின்மீது, வில்லின் [[சராசரி]] வகைக்கெழுவிற்குச் சமமான வகைக்கெழு ([[சாய்வு]]) கொண்ட [[புள்ளி]] குறைந்தபட்சம் ஒன்றாவது இருக்கும். சுருக்கமாகச் சொன்னால், வில்லின் முனைகளை இணைக்கும் நாணிற்கு [[இணை (வடிவவியல்)|இணையாக]] வில்லின் ஒரு பொருத்தமான நுண்ணிய பகுதி இருக்கும்.
 
 மேலும் துல்லியமாக, சார்பு ''f''(''x'') , மூடிய இடைவெளி [''a'',&amp;nbsp;''b''] -ல் தொடர்ச்சியானதாகவும்; திறந்த இடைவெளி (''a'',&amp;nbsp;''b'') -ல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருந்தால்,  (''a'',&amp;nbsp;''b'') -ல் பின்வரும் முடிவைக் கொண்ட ஒரு புள்ளி ''c'' இருக்கும்.
 :&lt;math&gt; f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \, .&lt;/math&gt;&lt;ref name=mathworld&gt;{{cite web|title=Mean-Value Theorem|last=Weisstein|first=Eric|url=http://mathworld.wolfram.com/Mean-ValueTheorem.html|work=[[MathWorld]]|publisher=[[Wolfram Research]]|accessdate=24 March 2011}}&lt;/ref&gt;
 
 இத்[[தேற்றம்|தேற்றத்தைப்]] பின்வரும் விளக்கத்தின் மூலம் எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்: ஒரு கார் ஒரு மணி நேரத்தில் 100 மைல் தூரம் செல்கிறது என்றால் அக்காரின் சராசரி வேகம் 100 மைல்/மணி ஆகும். இச்சராசரி வேகத்திற்கு கார், பயணநேரம் முழுவதும் மாறாமல் 100 மைல் வேகத்தில் செல்லலாம் அல்லது  சில நேரங்களில் 100 மைலுக்கும் அதிகமான வேகத்திலும் மற்ற நேரங்களில் அதற்கும் குறைவான வேகத்திலும் பயணப்பட்டு சராசரி வேகத்தை 100 மைல்/மணியாக கொண்டிருக்கலாம். இடை மதிப்புப் தேற்றப்படி, பயணத்தின் நடுவில் ஏதேனும் ஒரு இடத்தில் கார் சராசரி வேகமான 100 மைல்/மணி வேகத்தில் பயணம் செய்திருக்கும்.
 
 [[கேரளா|கேரள]] [[வானவியலாளர்]] மற்றும் [[கணிதவியலாளர்]] ''பரமேஷ்வரரால்'' (1370-1460) பண்டைய கணிதவியலாளர்கள் ''கோவிந்தசுவாமி'' மற்றும் [[இரண்டாம் பாஸ்கரர்]]  பற்றிக் விவாதிக்கும்போது முதலாவதாக இத்தேற்றத்தின் சிறப்புவகை விளக்கப்பட்டுள்ளது.&lt;ref&gt;J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Paramesvara.html Paramesvara] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150402163744/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Paramesvara.html |date=2015-04-02 }}, ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''.&lt;/ref&gt;  [[பிரெஞ்சு]] கணிதவியலாளர் ''அகஸ்டின் லூயிஸ் கோஷியால்'' (1789-1857) தற்போதைய இடைமதிப்புத் தேற்றம் வடிவமைக்கப்பட்டது. வகை நுண்கணித்திலும் கணித பகுப்பியலிலும் இத்தேற்றம் முக்கியம் வாய்ந்ததாகும். [[நுண்கணிதத அடிப்படைத் தேற்றம்|நுண்கணித அடிப்படைத் தேற்றத்தின்]] [[கணித நிறுவல்|நிறுவலுக்கு]] இத்தேற்றம் அவசியமான ஒன்றாகும்.
 
 ==முறையான கூற்று==
 
 &lt;math&gt;f\colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt; என்ற சார்பு, 
 * மூடிய இடைவெளி [''a'', ''b'']-ல் தொடர்ச்சியானது, 
 * திறந்த இடைவெளி (''a'', ''b'') -ல் வகையிடத்தக்கது எனில்,  (''a'' &lt; ''b'')
 
 ::&lt;math&gt;f ' (c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.&lt;/math&gt;
 
 என்றவாறு (''a'', ''b'') -ல் ''c''  என்ற ஒரு மதிப்பு இருக்கும்.
 
 இடைமதிப்புத் தேற்றம், [[ரோலின் தேற்றம்|ரோலின் தேற்றத்தின்]] பொதுமைப்படுத்தலாகும். ரோலின் தேற்றத்தில் ''f''(''a'') = ''f''(''b'') என எடுத்துக் கொள்ளப்படுவதால் மேலேயுள்ள கூற்றின் வலதுபுற மதிப்பு [[பூச்சியம்|பூச்சியமாகும்]].
 
 மேலும் சிறிது பொதுவான அமைப்பிலும் இத்தேற்றம் பொருந்தும்:
 
 &lt;math&gt;f\colon [a,b] \rightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt; என்ற சார்பு, 
 * மூடிய இடைவெளி [''a'', ''b''] -ல் தொடர்ச்சியானதாகவும், 
 * திறந்த இடைவெளி   (''a'', ''b'') -லுள்ள ஒவ்வொரு ''x'' -க்கும்:
 
 :&lt;math&gt;\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}&lt;/math&gt;
 
 என்ற எல்லை மதிப்பு இருந்து அது ஒரு முடிவுறு எண், +∞ அல்லது −∞ என இருந்தால் இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் முடிவு உண்மை.
 
 இந்த எல்லை மதிப்பு ஒரு முடிவுறு எண்ணாக இருந்தால் அது &lt;math&gt;f '(x)&lt;/math&gt; -க்குச் சமம்.
 
 ''x'' → ''x''&lt;sup&gt;1/3&lt;/sup&gt; க்கு இணைக்கும் கனமூலம் காணும் மெய்மதிப்புச் சார்பு இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் இக்கூற்றுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இச்சார்பின் வகைக்கெழு, ஆதிப்புள்ளியில் முடிவிலியை (∞) அணுகும்.
 
 [[சிக்கலெண்]] மதிப்புச் சார்புகளுக்கு இத்தேற்றம் உண்மையாகாது.
 
 {{nowrap|''f''(''x'') {{=}} ''e&lt;sup&gt;ix&lt;/sup&gt;''}}  (அனைத்து [[எண்#மெய்யெண்கள்|மெய்யெண்]] ''x'' -க்கும்) எனில்:
 
 :''f''(2π) − ''f''(0) = 0 = 0(2π − 0)
 
 ஆனால், |f′(x)| = 1
 
 ==நிறுவல்==
 f -ன் வளைவரைமேல் அமையும் (''a'',&amp;nbsp;''f''(''a'')), (''b'',&amp;nbsp;''f''(''b'')) புள்ளிகளை இணைக்கும் நாணின் சாய்வு:
 :&lt;math&gt;\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.&lt;/math&gt;
  
 வளைவரை மீதுள்ள (''x'',&amp;nbsp;''f''(''x'')) புள்ளியில் வளைவரைக்கு வரையப்படும் தொடுகோட்டின் சாய்வு.
 :&lt;math&gt;\ f '(c).&lt;/math&gt;
 
 இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின்படி நாணின் சாய்வும் தொடுகோட்டின் சாய்வும் சமமாக இருக்குமாறு ஒரு புள்ளி காணமுடிய வேண்டும்.
 
 &lt;math&gt;\ g(x) = f(x)-rx&lt;/math&gt;, ''r'' ஒரு மாறிலி என ''g'' சார்பை வரையறுத்துக் கொள்க.
 
 ''f'', மூடிய இடைவெளி [''a'', ''b'']-ல் தொடர்ச்சியானது, திறந்த இடைவெளி (''a'', ''b'') -ல் வகையிடத்தக்கது என்பதால் ''g'' -ம் அவ்வாறே அமையும்.
 
 ''r'' -ன் மதிப்பை &lt;math&gt;\ g(a) = g(b)&lt;/math&gt; என இருக்குமாறு எடுத்துக்கொள்ள:
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}g(a)=g(b)&amp;\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\ &amp;\iff r(b-a)=f(b)-f(a) \\&amp;\iff r=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot\end{align}&lt;/math&gt;.
 
 ''g'' சார்புக்கு ரோலின் தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் பொருந்துவதால் அத்தேற்றத்தின்படி:
 
 &lt;math&gt;g'(c) = 0&lt;/math&gt; என்றவாறு (''a'',&amp;nbsp;''b'') -ல் ஒரு ''c'' மதிப்பைக் காணமுடியும்.
 
 &lt;math&gt;\ g(x) = f(x)-rx&lt;/math&gt; என்பதால்:
 
 :&lt;math&gt;f '(c)=g '(c)+r=0+r= \ r&lt;/math&gt;
 
 : ஃ &lt;math&gt;f '(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}&lt;/math&gt;
 
 இடைமதிப்புத் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.
 
 == எளிய பயன்பாடு ==
 
 மெய்யெண் கோட்டின் மீதான இடைவெளி  &lt;math&gt;\ I &lt;/math&gt; -ல் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்பு &lt;math&gt;\ f, &lt;/math&gt; தொடர்ச்சியானது; இடைவெளியினுள் அமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும்  இச்சார்புக்கு வகைக்கெழு உள்ளது;  மேலும் அதன் மதிப்பு [[பூச்சியம்]] எனில் சார்பு &lt;math&gt;\ f, &lt;/math&gt; ஒரு [[மாறிலிச் சார்பு]].
 
 நிறுவல்:
 
 இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் நிபந்தனைகள் அனைத்தும்  சார்பு &lt;math&gt;\ f &lt;/math&gt; -க்குப் பொருந்துவதால், தேற்ற முடிவின்படி இடைவெளி &lt;math&gt;\ (a, b)&lt;/math&gt; -ல் உள்ள ஒரு மதிப்பு ''c'' -க்கு:
 
 :&lt;math&gt;0 = f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\ (a, b)&lt;/math&gt; -ல்: 
 :&lt;math&gt;\ f(a) = f(b).&lt;/math&gt;
 
 எனவே &lt;math&gt;\ f, &lt;/math&gt;,  இடைவெளிக்குள் மாறிலிச் சார்பு. சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையினால் இடைவெளி முழுவதும் மாறிலிச் சார்பாக இருக்கும்.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 * [http://planetmath.org/encyclopedia/MeanValueTheorem.html PlanetMath: Mean-Value Theorem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091118061831/http://planetmath.org/encyclopedia/MeanValueTheorem.html |date=2009-11-18 }}
 * {{MathWorld|Mean-ValueTheorem|Mean value theorem}}
 * {{MathWorld|CauchysMean-ValueTheorem|Cauchy's Mean-Value Theorem}}
 * [http://www.khanacademy.org/video/mean-value-theorem &quot;Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem&quot;] at the [[Khan Academy]]
 
 [[பகுப்பு:வகையீட்டு நுண்கணிதம்]]