முழுமையான பெருக்கல் சார்பு
[[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டில்]] '''முழுமையான பெருக்கல் சார்பு''' (''completely multiplicative functions'' அல்லது ''totally multiplicative functions'') என்பது ஒரு [[எண்கணிதம்|எண்கணிதச்]] [[சார்பு]] ஆகும். ''n'' ஒரு [[முழு எண்|நேர்ம முழுஎண்]] எனில், முழுமையான பெருக்கல் சார்பு ''f''(''n'') இன் மதிப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
 
 :&lt;math&gt; f(1) = 1 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; f(ab) = f(a) f(b)&lt;/math&gt;,  (a, b இரு நேர்ம முழுவெண்கள்)
 
 முழுமையான பெருக்கல் சார்பின் சிறப்புவகையாக, சார்பகா எண்களுக்கு [[பெருக்கல் சார்பு]] அமைகிறது. அதன் வரையறை: 
 :''n'' ஒரு [[முழு எண்|நேர்ம முழுஎண்]] எனில், பெருக்கல் சார்பு ''f''(''n'') இன் மதிப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
 
 :&lt;math&gt; f(1) = 1 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; f(ab) = f(a) f(b)&lt;/math&gt;,   (a, b [[சார்பகா முழுஎண்கள்]])
 
 ==வரையறை==
 முழுமையான பெருக்கல் சார்பு என்பது [[இயல் எண்]]களின் [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தை]] [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களமாகக்]]கொண்ட எண்கணிதச் சார்பாகும். இச்சார்பு ''f'' இன் கீழ் ''f''(1) = 1 ; ''f''(''ab'') = ''f''(''a'')''f''(''b'') ( ''a'', ''b'' இரு நேர்ம முழ்வெண்கள்) என அமையும்..&lt;ref&gt;{{cite book|last=Apostol|first=Tom|title=Introduction to Analytic Number Theory|year=1976|publisher=Springer|isbn=0-387-90163-9|pages=[https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0/page/30 30]|url-access=registration|url=https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0/page/30}}&lt;/ref&gt; அதாவது:
 
 : &lt;math&gt;f(1) = 1&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;\forall a, b \in \text{domain}(f), f(ab) = f(a)(b)&lt;/math&gt;.
 
 ''f''(1) = 1 என்ற கட்டுப்பாடு தரப்படாவிடில்,  ''f''(1) = 0 எனவும் எடுத்துக்கொள்ளலாம். ஆனால் அவ்வாறு கொள்ளும்போது  ''a'' இன் எல்லா நேர்ம முழுவெண்மதிப்புகளுக்கும்  ''f''(''a'') = 0 ஆகிவிடும். இது ஒரு வலுவான கட்டுப்பாடாக அமையாது.  &lt;math&gt;f(1) = 1&lt;/math&gt; என நிலைப்படுத்திக்கொள்ளாவிட்டால், &lt;math&gt;0,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;1&lt;/math&gt; ஆகிய இரண்டுமே &lt;math&gt;f(1)&lt;/math&gt; இன் மதிப்பாக அமைந்யும்:
 
 : &lt;math&gt;f(1) = f(1 \cdot 1) \iff f(1) = f(1)f(1) \iff f(1) = f(1)^2 \iff f(1)^2 - f(1) = 0 \iff f(1)\left(f(1) - 1\right) = 0 \iff f(1) = 0 \lor f(1) = 1&lt;/math&gt;.
 
 &lt;math&gt;(\mathbb Z^+,\cdot)&lt;/math&gt; (நேர்ம முழுஎண்களின் கணம், பெருக்கல் செயலியின் கீழ்) என்ற [[ஒற்றைக்குலம்|ஒற்றைக்குலத்திலிருந்து]] மற்றொரு ஒற்றைக்குலத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட  [[காப்பமைவியம் (கணிதம்)|காப்பமைவியமாகவும்]] முழுமையான பெருக்கல் சார்பைக் கருதலாம்.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 *முழுமையான பெருக்கல் சார்புக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாக [[கெழு|தலைக்கெழு]] 1 ஆகக்கொண்ட ஓருறுப்புக்கோவை அமையும்:
 : ''n'' என்ற நேர்ம முழுவெண்ணுக்கு, ''f''(''a'') = ''a''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; என வரையறுத்துக் கொண்டால்,
 :''f''(''bc'') = (''bc'')&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; = ''b''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;''c''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; = ''f''(''b'')''f''(''c''), and ''f''(1) = 1&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; = 1.
 
 *ஜேக்கோபி குறியீடுகள், [[லெஜாண்டர் குறியீடு]], [[லியோவில் சார்பியம்]] ஆகியவை முழுமையான பெருக்கல் சார்புகளாகும்.
 
 ==பண்புகள்==
 *[[எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம்|எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின்]] விளவாக, ஒரு நேர்ம முழுஎண்ணின் முழுமையான பெருக்கல் சார்பானது அவ்வெண்ணின் பகாக்காரணிகளுக்கான சார்பு மதிப்புகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
 
 : ''n'' = ''p''&lt;sup&gt;''a''&lt;/sup&gt; ''q''&lt;sup&gt;''b''&lt;/sup&gt; ... எனில்,
 : ''f''(''n'') = ''f''(''p'')&lt;sup&gt;''a''&lt;/sup&gt; ''f''(''q'')&lt;sup&gt;''b''&lt;/sup&gt; ...
 
 *இரு பெருக்கல் சார்புகளின் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவும் ஒரு பெருக்கல் சார்பாக இருக்கும்; ஆனால் இரு முழுமையான பெருக்கல் சார்புகளின் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவானது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாக இருக்கவேண்டியதில்லை.
 
 *ஒரு பெருக்கல் சார்பானது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாக இருப்பதற்குச் சமானமான பல கூற்றுகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக,  
 :''f'' ஒரு  பெருக்கல் சார்பு எனில் அதன்  டிரிழ்ச்லெட் நேர்மாறானது &lt;math&gt;\mu\cdot f&lt;/math&gt;  (&lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; என்பது [[மோபியஸ் சார்பு]]) என &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot;,  ''f'' ஆனது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாகவும் இருக்கும்.&lt;ref&gt;Apostol, p. 36&lt;/ref&gt;
 
 *முழுமையான பெருக்கல் சார்புகள் பங்கீட்டு விதியை நிறைவுசெய்யும்.
 
 :&lt;math&gt;f \cdot (g*h)=(f \cdot g)*(f \cdot h)&lt;/math&gt; 
 
 இதில் ''*'' குறியீடானது டிரிழ்ச்லெட் பெருக்கத்தையும்,  &lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt; குறியீடு [[ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்)|உறுப்புவாரியான பெருக்கலையும்]] குறிக்கின்றன.&lt;ref&gt;Apostol  pg. 49&lt;/ref&gt;
 
 இப்பண்பின் ஒரு விளைவு: 
 
 ''f''  ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு எனில், :&lt;math&gt;f*f = \tau  \cdot f&lt;/math&gt;
 
 இம்முடிவை, மேலே தரப்பட்டள்ள பண்பில் &lt;math&gt;g = h = 1&lt;/math&gt; எனப்பிரதியிட்டுப் பெறலாம். &lt;math&gt;1(n) = 1&lt;/math&gt; என்பது [[பெருக்கல் சார்பு#எடுத்துக்காட்டுகள்|மாறிலிச் சார்பு]]; &lt;math&gt; \tau&lt;/math&gt; என்பது [[வகுஎண் சார்பு]].
 
 ===பங்கீட்டு விதியின் நிறுவல்===
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 f \cdot \left(g*h \right)(n) &amp;= f(n) \cdot \sum_{d|n} g(d) h \left( \frac{n}{d} \right) = \\
 &amp;= \sum_{d|n} f(n) \cdot (g(d) h \left( \frac{n}{d} \right)) = \\
 &amp;= \sum_{d|n} (f(d) f \left( \frac{n}{d} \right)) \cdot (g(d) h \left( \frac{n}{d} \right)) \text{ (since } f \text{ is completely multiplicative) } = \\
 &amp;= \sum_{d|n} (f(d) g(d)) \cdot (f \left( \frac{n}{d} \right) h \left( \frac{n}{d} \right)) \\
 &amp;= (f \cdot g)*(f \cdot h).
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 &lt;references /&gt;
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * [https://mathworld.wolfram.com/CompletelyMultiplicativeFunction.html Weisstein, Eric W. &quot;Completely Multiplicative Function.&quot; ]