இருபடிய எச்சம்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டில்]] '''இருபடிய எச்சம்''' (Quadratic Residue) என்ற கருத்து ஒரு அடிப்படைக் கருத்து. ஓர் முழுஎண்ணானது சமானம் மாடுலோ கருத்துருவின்கீழ் மற்றொரு முழுஎண்ணின் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|முழுவர்க்கத்திற்குச்]]  சமானமாக இருந்தால் அது இருபடிய எச்சம் எனப்படும்.
 
 [[சமானம், மாடுலோ n|சமானம் மாடுலோ ''n'']] இருபடிய எச்சம் [[முழு எண்|முழுஎண்]] ''q'' எனில் பின்வரும் கூற்றை நிறைவு செய்யும் வகையில் ''x'' என்ற முழுஎண்ணைக் காணலாம்:
 
 :&lt;math&gt;x^2\equiv q \pmod{n}.&lt;/math&gt; (0 &lt; ''x'' &lt; ''n'')
 
 இரண்டு இருபடிய எச்சங்களின் பெருக்குத்தொகையும் ஒரு இருபடிய எச்சமாக இருக்கும்.
 
 எடுத்துக்காட்டாக, 
 ::&lt;math&gt;3^2 \equiv 2(mod 7)&lt;/math&gt; என்றால், மாடுலோ 7 இனுடைய ஒரு இருபடிய எச்சம் 2  என்று சொல்லப்படும். மாடுலோ எண் கணிதத்தில் இருபடிய எச்சங்கள் வர்க்க மூலம் உள்ள எண்களாக இருக்கும். இங்கு மாடுலோ 7 என்ற மாடுலோ எண் கணிதத்தில் 2 இன் வர்க்கமூலம் 3.
 
 ==வரலாறு==
 [[பியரே டி பேர்மட்|பெர்மா]], [[ஆய்லர்]], [[ஜோசப் லூயி லாக்ராஞ்சி|லாக்ராஞ்சி]], லெஜாண்டர் மற்றும் பல 17 ஆம், 18 ஆம் நூற்றாண்டின் கோட்பாட்டாளர்கள் இருபடிய எச்சம் குறித்த பல தேற்றங்கள், அவற்றின் நிறுவல்கள் மற்றும் அனுமானங்களைக் கண்டறிந்திருந்தாலும்&lt;ref&gt;Lemmemeyer, Ch. 1&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Lemmermeyer, pp 6&amp;ndash;8, p. 16 ff&lt;/ref&gt; ஜெர்மானிய கணித வல்லுனர் [[கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்|காஸினால்]] அவர் அறிமுகப்படுத்திய  மாடுலோ எண் கணிதம் மூலம் விவரமாக ஆய்வு செய்யப்பட்டது. இருபடிய எச்சம் குறித்த முறைப்படுத்தப்பட்ட அணுகுமுறை முதன்முதலில் கணிதவியலாளர் [[கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்|காசின்]] புத்தகத்தில் (§ IV ''Disquisitiones Arithmeticae'' (1801)) காணப்பட்டது. &quot;இருபடிய எச்சம் (quadratic residue)&quot; என்ற சொல் இப்புத்தகத்தில் பிரிவு 95 இல் தரப்பட்டுள்ளது. சிலசமயங்களில் ’இருபடிய’ என்ற அடைமொழியின்றி ’எச்சம்’ என்று மட்டும்கூட குறிப்பிடப்படலாம்.
 
 == முறையான அறிமுகம்==
 
 ஒரு [[பகா எண்]] &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ஐயும், ஒரு [[முழு எண்]] &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; ஐயும்  எடுத்துக்கொள்வோம். ஏதாவது ஒரு முழு எண்  &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கு
 
 ::&lt;math&gt;x^2 \equiv a (mod p)&lt;/math&gt; (இதையே  &lt;math&gt;a \equiv x^2 (mod p)&lt;/math&gt; என்றும் எழுதலாம்)
 
 என்பது உண்மையானால், '''மாடுலோ''' &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; '''க்கு'''   &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; '''ஒரு இருபடிய எச்சம் ''' என்று கூறப்படும். இதையே &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; '''என்ற எண்''' &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; '''இனுடைய இருபடிய எச்சம்''' என்றும் சொல்வதுண்டு.
 
 இக்கட்டுரை முழுவதும் மாடுலோ எண்கணிதத்தைப்பற்றியே இருப்பதால்  '&lt;math&gt;\equiv&lt;/math&gt;' இருக்கவேண்டிய இடத்தில் '=' குறியையே பயன்படுத்துவோம்.
 
 எந்த முழுஎண் &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கும்
 
 ::&lt;math&gt;x^2 \neq a (mod p)&lt;/math&gt; (இதையே  &lt;math&gt;a \neq x^2 (mod p)&lt;/math&gt; என்றும் எழுதலாம்)
 
 என்பது உண்மையானால், '''மாடுலோ''' &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; '''க்கு'''   &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; '''ஒரு இருபடிய எச்சமல்லாதது ''' (quadratic non-residue) என்று கூறப்படும். இதையே &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; '''என்ற எண்''' &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; '''இனுடைய இருபடிய எச்சமல்லாதது''' என்றும் சொல்வதுண்டு.
 
 ==குறியீடு==
 இருபடிய எச்சமாக இருப்பதைக் குறிக்க '''R''' ம் இல்லாததைக் குறிக்க '''N''' ம் காசால் பயன்படுத்தப்பட்டது&lt;ref&gt;Gauss, DA, art. 131&lt;/ref&gt; 
 :p இன் இருபடிய எச்சம் q என்பதன் குறியீடு: &lt;math&gt;_qR_p &lt;/math&gt; 
 :p இன் இருபடிய எச்சம் q இல்லையென்பதின் குறியீடு: &lt;math&gt;_qN_p &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;11 = 2^2 (mod 7)&lt;/math&gt;   &lt;math&gt;\therefore&lt;/math&gt; 11, 7இனுடைய இருபடிய எச்சம். அதாவது குறியீட்டில் &lt;math&gt;_{11}R_7 &lt;/math&gt;
 
 ஆனால்  7, மாடுலோ 11 க்கு ஒரு இருபடிய எச்சமல்லாதது.  குறியீட்டில் &lt;math&gt;_7R_{11} &lt;/math&gt;
 
 11 இன் எல்லா எச்சங்களையும் வர்க்கப்படுத்தி பட்டியலிட்டால் இதைச் சரிபார்க்கலாம்.
 
 :&lt;math&gt;1^2 = 1(mod 11)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;2^2 = 4(mod 11)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;3^2 = 9(mod 11)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;4^2 = 5(mod 11)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;5^2 = 3(mod 11)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;6^2 = 3(mod 11)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;7^2 = 5(mod 11)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;8^2 = 9(mod 11)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;9^2 = 4(mod 11)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;10^2 = 1(mod 11)&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\therefore&lt;/math&gt; 1,3,4,5,9  இவ்வைந்து எண்கள்தான் 11 இன் இருபடிய எச்சங்கள். 2, 6, 7, 8, 10 இவ்வைந்தும் இருபடிய எச்சமல்லாதவை.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 ''a''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ≡ (''n'' &amp;minus; ''a'')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; (மாடுலோ ''n'') என்பதால் 1 முதல் ''n'' &amp;minus; 1 வரையிலான முழு எண்களை வர்க்கப்படுத்தி, மாடுலோ ''n'' இன் இருபடிய எச்சங்களைக் காணலாம்.
 
 *மாடுலோ 4
 :&lt;math&gt;1^2\equiv 1 \pmod{4}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;2^2\equiv 0 \pmod{4}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;3^2\equiv 1 \pmod{4}&lt;/math&gt;
 
 மாடுலோ 4 இன் இருபடிய எச்சம்: 1
 
 *மாடுலோ 5
 :&lt;math&gt;1^2\equiv 1 \pmod{5}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;2^2\equiv 4 \pmod{5}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;3^2\equiv 4 \pmod{5}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;4^2\equiv 1 \pmod{5}&lt;/math&gt;
 
 மாடுலோ 5 இன் இருபடிய எச்சங்கள்: 1, 4
 
 *மாடுலோ 10:
 :&lt;math&gt;1^2\equiv 1 \pmod{10}&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;2^2\equiv 4 \pmod{10}&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;3^2\equiv 9 \pmod{10}&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;4^2\equiv 6 \pmod{10}&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;5^2\equiv 5 \pmod{10}&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;6^2\equiv 6 \pmod{10}&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;7^2\equiv 9 \pmod{10}&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;8^2\equiv 4 \pmod{10}&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;9^2\equiv 1 \pmod{10}&lt;/math&gt;
 
 மாடுலோ 10 இன் இருபடிய எச்சங்கள்: 1, 4, 5, 6, 9
 
 ==எண்ணிக்கை==
 மாடுலோ ''n'' இன் இருபடிய எச்சங்களின் எண்ணிக்கையானது, 
 *''n'' இரட்டையெண்ணாக இருக்கும்போது ''n''/2 + 1 க்கு மிகாமலும்
 *''n'' ஒற்றையெண்ணாக இருக்கும்போது (''n'' + 1)/2  க்கு மிகாமலும் இருக்கும்.&lt;ref&gt;Gauss, DA, art. 94&lt;/ref&gt;
 
 மேலேதரப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளின்படி:
 *மாடுலோ 4 இன் எச்சங்களின் எண்ணிக்கை 1. (4/2+1 = 3ஐ விடக் குறைந்த எண்ணிக்கை)
 *மாடுலோ 5 இன் எச்சங்களின் எண்ணிக்கை 2 ((5+1)/2+1=4ஐ விடக் குறைந்த எண்ணிக்கை)
 *மாடுலோ 10 இன் எச்சங்களின் எண்ணிக்கை 5 (10/2+1=6ஐ விடக் குறைந்த எண்ணிக்கை)
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
 *[[கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்]]
 *[[எண் கோட்பாடு]]
 *[[இருபடிய நேர் எதிர்மை]]
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 *http://mathworld.wolfram.com/QuadraticResidue.html