இருபடி விகிதமுறுஎண்
[[File:Dyadic rational.svg|thumb|upright=1.2|0-1 இடைவெளியிலுள்ள இருபடி விகிதமுறுஎண்கள்.|alt=ஓரலகு இடைவெளி 1/128 பாகங்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது]]
 கணிதத்தில் '''இருபடி விகிதமுறுஎண்''' (''dyadic rational'' அல்லது ''binary rational'') என்பது பகுதியை [[இரண்டின் வலு|இரண்டின் அடுக்குகளாகக்]]கொண்ட [[பின்னம்|பின்னமாக]] எழுதக்கூடிய எண்ணாகும். 
 
 எடுத்துக்காட்டு: 1/2, 3/2, 3/8 ஆகியவை இருபடி விகிதமுறுஎண்கள்.
 :&lt;math&gt;\frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{3}{2} = \frac{3}{2^1}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{3}{8} = \frac{3}{2^3}&lt;/math&gt;
 
 இரண்டு இருபடி விகிதமுறு எண்களின் கூடுதல், வித்தியாசம், பெருக்குத்தொகை மூன்றுமே மற்றொரு இருபடி விகிதமுறுஎண்ணாக இருக்கும். ஆனால் இரண்டு இருபடி விகிதமுறுஎண்களில் ஒன்றை மற்றதால் வகுக்குக் கிடைப்பது எப்போதும் இருபடி விகிதமுறு எண்ணாக இருக்காது. இதனால், இருபடி விகிதமுறுஎண்களின் கணம், ஒரு [[வளையம் (கணிதம்)|வளையமாக]] இருக்கும். இவ்வளையமானது [[முழு எண்]]களின் வளையத்திற்கும் விகிதமுறு எண்களின் [[களம் (கணிதம்)|களத்திற்கும்]] இடையே அமையும். மேலும் இவ்வளையத்தின் குறியீடு: &lt;math&gt;\Z[\tfrac12]&lt;/math&gt;.
 
 ==வரையறைகளும் கணக்கீடும்==
 இருபடி விகிதமுறு எண் என்பது, ஒரு [[முழு எண்]]ணை ஏதாவதொரு இரண்டின் அடுக்கினால் வகுக்கக் கிடைக்கும் விகிதமுறு எண்ணாகும்.&lt;ref name=ko&gt;{{citation
  | last = Ko | first = Ker-I
  | doi = 10.1007/978-1-4684-6802-1
  | isbn = 0-8176-3586-6
  | location = Boston, Massachusetts
  | mr = 1137517
  | pages = 41–43
  | publisher = Birkhäuser Boston, Inc.
  | series = Progress in Theoretical Computer Science
  | title = Complexity Theory of Real Functions
  | url = https://books.google.com/books?id=QJnVBwAAQBAJ&amp;pg=PA41
  | year = 1991
  }}&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;p/q&lt;/math&gt; என்ற எளியவடிவிலமைந்த விகிதமுறு எண்ணானது இருபடி விகிதமுறு எண்ணாக இருக்கவேண்டுமென்றால்  &lt;math&gt;q&lt;/math&gt; ஆனது இரண்டின் அடுக்காக இருக்க வேண்டும்.&lt;ref name=uit-bar&gt;{{citation
  | last1 = Uiterwijk | first1 = Jos W. H. M.
  | last2 = Barton | first2 = Michael
  | arxiv = 1506.03949
  | doi = 10.1016/j.tcs.2015.05.017
  | journal = [[Theoretical Computer Science (journal)|Theoretical Computer Science]]
  | mr = 3367582
  | pages = 72–86
  | title = New results for Domineering from combinatorial game theory endgame databases
  | volume = 592
  | year = 2015
  }}&lt;/ref&gt;
 
 இருபடி விகிதமுறு எண்களை, முடிவுறு இரும உருவகிப்புகொண்ட (binary representation) [[மெய்யெண்]]களாகவும் வரையறுக்கலாம்.&lt;ref name=ko/&gt;
 
 இரண்டு இருபடி விகிதமுறு எண்களின் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூடுதல்]], [[கழித்தல் (கணிதம்)|வித்தியாசம்]], [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்குத்தொகை]] மூன்றும் இருபடி விகிதமுறு எண்களாக இருக்கும்:&lt;ref name=kreb-spit&gt;Equivalent formulas to these, written in the language of the [[Coq]] interactive theorem prover, are given by {{citation
  | last1 = Krebbers | first1 = Robbert
  | last2 = Spitters | first2 = Bas
  | arxiv = 1106.3448
  | doi = 10.2168/LMCS-9(1:1)2013
  | issue = 1
  | journal = Logical Methods in Computer Science
  | mr = 3029087
  | page = 1:01, 27
  | title = Type classes for efficient exact real arithmetic in Coq
  | volume = 9
  | year = 2013 }}&lt;/ref&gt;
 
 : &lt;math&gt;\begin{align}
 \frac{a}{2^b}+\frac{c}{2^d}&amp;=\frac{2^{d - \min(b,d)}a + 2^{b - \min(b,d)}c} {2^{\max(b,d)} } \\[6px]
 \frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}&amp;=\frac{2^{d - \min(b,d)}a - 2^{b - \min(b,d)}c} {2^{\max(b,d)} } \\[6px]
 \frac{a}{2^b}\cdot \frac{c}{2^d} &amp;= \frac{ a c}{2^{b+d}}
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 எனினும் ஒரு இருபடி விகிதமுறு எண்ணை மற்றொரு இருபடி விகிதமுறு எண்ணால் [[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுக்கக்]] கிடைக்கும் எண்ணானது இருபடி விகிதமுறு எண்ணாக இருக்கவேண்டியதில்லை.&lt;ref name=oconnor&gt;{{citation
  | last = O'Connor | first = Russell
  | doi = 10.1017/S0960129506005871
  | issue = 1
  | journal = Mathematical Structures in Computer Science
  | mr = 2311089
  | pages = 129–159
  | title = A monadic, functional implementation of real numbers
  | volume = 17
  | year = 2007
  }}&lt;/ref&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டாக, 1, 3 ஆகிய இரண்டும் இருபடி விகிதமுறு எண்கள். ஆனால் 1/3 இருபடி விகிதமுறு எண்ணல்ல.
 
 ==கூடுதல் பண்புகள்==
 [[File:Dyadic sqrt2 approximation.svg|thumb|[[2-இன் வர்க்கமூலம்|2 இன் வர்க்கமூலத்தின்]] (&lt;math&gt;\sqrt{2}\approx 1.4142&lt;/math&gt;) இருபடி விகிதமுறுஎண்களைக்கொண்டு தோராயமாக்கல்; இது, &lt;math&gt;1/2^i&lt;/math&gt;  (&lt;math&gt;i=0,1,2,\dots&lt;/math&gt;) என்பதன் மிகச்சிறிய முழுஎண் மடங்கிற்கு நெருக்கமாக தோராயப்படுத்துவதன் மூலம் பெறப்பட்டது. ஒவ்வொரு தோராயத்திற்கும் மேலுள்ள இளங்சிவப்பு நிறப்பகுதியின் உயரம், அத்தோராயத்தின் பிழையளவைத் தரும்.]]
 *ஒவ்வொரு முழுவெண்ணும் ஒவ்வொரு [[அரை-முழுவெண்]]ணும் இருபடி விகிதமுறு எண்ணாக இருக்கும்.&lt;ref name=sabin&gt;{{citation
  | last = Sabin | first = Malcolm
  | isbn = 9783642136481
  | page = 51
  | publisher = Springer
  | series = Geometry and Computing
  | title = Analysis and Design of Univariate Subdivision Schemes
  | url = https://books.google.com/books?id=18UC7d7h0LQC&amp;pg=PA51
  | volume = 6
  | year = 2010}}&lt;/ref&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :முழுஎண்: &lt;math&gt;2=\frac{2}{1}=\frac{2}{2^0}&lt;/math&gt;
 :அரை-முழுவெண்: &lt;math&gt;4\frac{1}{2}=\frac{9}{2}=\frac{9}{2^1}&lt;/math&gt;
 *ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணையும் இருபடி விகிதமுறு எண்களைக்கொண்டு நெருக்கமாக தோராயப்படுத்தலாம். &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; என்ற மெய்யெண்ணுக்கு, {{nowrap|&lt;math display=inline&gt;\lfloor 2^i x \rfloor / 2^i&lt;/math&gt;,}} வடிவ இருபடி விகிதமுறு எண்களை எடுத்துக்கொள்ளலாம். இங்கு &lt;math&gt;i,&lt;/math&gt; ஏதாவதொரு முழுஎண்ணையும் &lt;math&gt;\lfloor\dots\rfloor&lt;/math&gt; என்பது தருமதிப்பை முழுஎண்ணாக முழுமைப்படுத்தும் [[மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு|தரைச் சார்பையும்]] குறிக்கும்.
 
 இவ்வெண்கள் &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ஐக் கீழிருந்து   &lt;math&gt;1/2^i&lt;/math&gt; என்ற பிழையளவுக்குள் தோராயப்படுத்துகின்றன. இந்தப் பிழையளவை, &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; இன் மதிப்பை மிக அதிகப்படுத்துவதன் மூலம் மிகவும் சிறியதாக்கலாம்.
 
 *இருபடி விகிதமுறு எண்கள் மட்டுமே முடிவுறு இரும உருவகிப்புடையவை.&lt;ref name=ko/&gt; பூச்சியம் தவிர்த்த பிற இருபடி விகிதமுறு எண்களுக்கு ஒரு முடிவுறு இரும உருவகிப்பும், ஒரு முடிவுறா இரும உருவகிப்பும் உண்டு. எடுத்துக்காட்டாக:
 :3/4 = 0.11&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = 0.10111...&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; (3/4 இன் இரண்டு இரும உருவகிப்புகள்.&lt;ref name=ko/&gt;&lt;ref name=kac&gt;{{citation
  | last = Kac | first = Mark | author-link = Mark Kac
  | mr = 0110114
  | pages = 2–3
  | publisher = John Wiley &amp; Sons for the Mathematical Association of America | location = New York
  | series = Carus Mathematical Monographs
  | title = Statistical Independence in Probability, Analysis and Number Theory
  | volume = 12
  | year = 1959}}&lt;/ref&gt;)
 இருபடி விகிதமுறு எண்கள் மட்டுமே ஒரேயொரு இரும உருவகிப்பு கொண்டிராதவை.&lt;ref name=ko/&gt;
 
 == மேற்கோள்கள்  ==
 {{reflist}}
 
 [[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]