யூக்ளிடிய ஆட்களம்
கணிதத்தில், குறிப்பாக வளையக் கோட்பாட்டில், '''யூக்ளிடிய ஆட்களம்''' (''Euclidean domain'') என்பது, பொருத்தமான [[#வரையறை|யூக்ளிடியச் சார்புடன்]] கூடிய [[முழு ஆட்களம்|முழு ஆட்களமாகும்]]. யூக்ளிடிய சார்பானது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட [[முழு எண்|முழுவெண்களின்]] [[யூக்ளிடிய வகுத்தல்|யூக்ளிடிய வகுத்தலை]] அனுமதிக்கும். முழுவெண்களில் சாதாரண [[யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வு|யூக்ளிடியப் படிமுறைத் தீர்வைப்]] பயன்படுத்துவது போலவே இந்தப் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வையும் முழுவெண் [[வளையம் (கணிதம்)|வளையங்களில்]] பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக, யூக்ளிடிய ஆட்களத்தின் ஏதாவது இரு உறுப்புகளின் [[மீப்பெரு பொது வகுத்தி]]யை யூக்ளிடியப் படிமுறைத்தீர்வைப் பயன்படுத்திக் காணலாம். இவ்வாறு மீப்பெரு பொதுவகுத்தியைக் காணமுடியும் என்பதோடு, அதனை அவ்விரு உறுப்புகளின் நேரியல் சேர்க்கையாகவும் எழுதலாம். 
 
 மேலும் யூக்ளிடிய ஆட்களத்தின் ஒவ்வொரு  [[வளையத்தில் சீர்மம் (கணிதம்)|சீர்மமும்]] [[முதன்மைச் சீர்மம்|முதன்மைச் சீர்மமாக]] இருக்கும். இந்த முதன்மைச் சீர்மப் பண்பிலிருந்து &quot;ஒவ்வொரு யூக்ளிடிய ஆட்களமும் ஒரு [[தனித்துவ காரணிப்படுத்தல் ஆட்களம்&quot; ஆக இருக்குமென்ற [[எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம்|எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின்]] பொதுமைப்படுத்தல் கிடைக்கிறது.
 
 யூக்ளிடிய ஆட்களமானது &quot;யூக்ளிடிய வளையம்&quot; என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 == வரையறை ==
 {{mvar|R}} ஒரு முழு ஆட்களம் எனில், {{mvar|R}} இன் மீதான &quot;யூக்ளிடிய சார்பு&quot;  (&quot;யூசா&quot; எனச் சுருக்கமாகக் கீழே தரப்படுகிறது) {{mvar|f}} என்பது {{math|''R''&amp;thinsp;\&amp;hairsp;{0} }} இலிருந்து எதிரற்ற முழுவெண்களுக்கு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும். இச்சார்பு, அடிப்படைச்செயலான  &quot;மீதியுடன் கூடிய வகுத்தல்&quot; பண்பை நிறைவு செய்யும் [[சார்பு|சார்பாக]]]] இருக்கும்:
 
 *(யூசா1): {{mvar|a,}} {{mvar|b}} இரண்டும் {{mvar|R}} இன் உறுப்புகள்; {{mvar|b}} பூச்சியமற்றது எனில்,
 ::{{math|''a'' {{=}} ''bq'' + ''r''}} மற்றும் {{math|1=''r'' = 0}} அல்லது {{math|''f''&amp;thinsp;(''r'') &lt; ''f''&amp;thinsp;(''b'')}} என்ற முடிவுகளை நிறைவுசெய்யும் {{mvar|q,}} {{mvar|r}} மதிப்புகள் {{mvar|R}} இல் இருக்கும்.
 
 இதில், {{mvar|q,}} {{mvar|r}} இரண்டும் முறையே {{mvar|a}} ஐ {{mvar|b}} ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ''ஈவு''ம், ''மீதி''யும் ஆகும். [[முழு எண்]]கள், [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]களில் ஈவு தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படுவதுபோல, இங்கு ஈவு தனித்துவமாக வரையறுக்கப்படுவதில்லை; ஆனால் ஒரு ஈவு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டுவிட்டால் அதற்குரிய &quot;மீதி&quot; தனித்துவமாக வரையறுக்கப்பட்டதாக இருக்கும். 
 
 யூக்ளிடிய ஆட்களம், குறைந்தபட்சம் ஒரு யூக்ளிடிய சார்புடைய ஒரு முழு ஆட்களமென்றாலும் அது பல வெவ்வேறு யூக்ளிடிய சார்புகளையும் கொண்டிருக்கலாம்.
 
 பெரும்பாலான இயற்கணித நூல்கள் யூக்ளிடிய சார்புக்கு பின்வரும் கூடுதல் பண்புகள் வேண்டுமெனக் கூறுகின்றன:
 
 *(யூசா2): {{mvar|R}} இலுள்ள அனைத்து பூச்சியமற்ற {{mvar|a,}} {{mvar|b}} உறுப்புகளுக்கும் {{math|''f''&amp;thinsp;(''a'') ≤ ''f''&amp;thinsp;(''ab'')}}.
 
 யூக்ளிடிய ஆட்களத்தை வரையறுப்பதற்கு ஒரு யூக்ளிடிய சார்பு மட்டும் போதுமானதென்றாலும், {{mvar|R}} என்ற முழு ஆட்களத்துக்கு (யூசா1) ஐ நிறைவுசெய்யும் சார்பு {{mvar|g}} தரப்பட்டு, (யூசா1), (யூசா2) இரண்டையும் ஒருங்கே நிறைவுசெய்யும் மற்றொரு சார்பும் தரப்படலாம்:
 :{{math|''R''&amp;thinsp;\&amp;hairsp;{0} }} இன் உறுப்பு {{mvar|a}} எனில், புதுச்சார்பு {{math|''f''&amp;thinsp;(''a'')}} பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:&lt;ref&gt;{{Citation | last = Rogers | first = Kenneth | title = The Axioms for Euclidean Domains | journal = [[American Mathematical Monthly]] | volume = 78 | issue = 10 | pages = 1127–8 | year = 1971 | doi = 10.2307/2316324 | jstor = 2316324 | zbl=0227.13007 }}&lt;/ref&gt;
 ::&lt;math&gt;f(a) = \min_{x \in R \setminus \{0\}} g(xa)&lt;/math&gt; அதாவது, {{mvar|a}} ஆல் பிறப்பிக்கப்பட்ட முதன்மைச் சீர்மத்தின் பூச்சியமற்ற உறுப்புகளின் மீது {{mvar|g}} சார்பு பெறும் மதிப்புகளுக்குள் மீச்சிறுமதிப்பாக {{math|''f''&amp;thinsp;(''a'')}} ஆனது வரையறுக்கப்படுகிறது.
 
 {{math|''f''&amp;thinsp;(''ab'') {{=}} ''f''&amp;thinsp;(''a'')&amp;thinsp;''f''&amp;thinsp;(''b'')}} ஆகவும், {{math|''f''&amp;thinsp;(''a'')}} எப்பொழுதுமே பூச்சியமற்றதாகவும் இருந்தால் யூக்ளிடிய சார்பு {{mvar|f}}  &quot;பெருக்கத்தக்கது&quot; எனப்படும். 
 
 இதிலிருந்து கிடைக்கக்கூடிய இரு முடிவுகள்:
 *{{math|''f''&amp;thinsp;(1) {{=}} 1}}
 * {{mvar|a}} ஆனது வளையத்தின் பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்து நேர்மாற்றத்தக்கதாக &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot; {{math|''f''&amp;thinsp;(''a'') {{=}} 1}} ஆக இருக்கும்..
 
 பல ஆசிரியர்கள் &quot;யூக்ளிடிய சார்பு&quot; என்பதற்குப் பதில் &quot;அடுக்கெண் சார்பு&quot;, &quot;மதிப்பீட்டுச் சார்பு&quot;, &quot;நெறிமச் சார்பு&quot; போன்ற பிற சொற்களையும் பயன்படுத்துகின்றனர்.&lt;ref name=&quot;DummitAlgebra&quot;&gt;{{Cite book|title=Abstract Algebra|last1=Dummit|first1=David S.|last2=Foote|first2=Richard M.|publisher=Wiley|year=2004|isbn=9780471433347 |page=270}}&lt;/ref&gt; வேறு சிலர் யூக்ளிடிய சார்பின் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களமானது]] {{mvar|R}} வளையம் முழுவதுமாக இருக்கவேண்டுமென்கின்றனர்.&lt;ref name=&quot;DummitAlgebra&quot;/&gt; ஆனால் (EF1) ஆனது {{math|''f''&amp;thinsp;(0)}} இன் மதிப்பை எடுத்துக்கொள்ளாததால், மேலுள்ள நிபந்தனை யூக்ளிடிய சார்பின் வரையறையை முக்கியமாகப் பாதிக்காது.
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 யூக்ளிடிய ஆட்களத்திற்குச் சில எடுத்துக்காட்டுகள்::
 
 *அனைத்து பூச்சியமற்ற {{mvar|x}} -க்கு {{math|''f''&amp;thinsp;(''x'') {{=}} 1}} என வரையறுக்கப்பட்ட யூக்ளிடிய சார்புடன் கூடிய ஏதேனுமொரு [[களம் (கணிதம்)|களம்]]
 *{{math|''f''&amp;thinsp;(''n'') {{=}} {{!}}''n''{{!}}}}, the [[தனி மதிப்பு]] of ({{mvar|n}} இன் [[தனி மதிப்பு]]) என வரையறுக்கப்பட்ட யூக்ளிடிய சார்புடன் கூடிய முழுவெண்கள் வளையம் {{math|'''Z'''}}.&lt;ref&gt;{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=377, Example 1}}&lt;/ref&gt;
 *{{math|''f''&amp;thinsp;(''a'' + ''bi'') {{=}} ''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}}}}, ({{math|''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}}}} என்பது {{math|''a'' + ''bi''}}என்ற காசிய முழுவெண்ணின் கள நெறிமம்) என வறையறுக்கப்பட்ட யூக்ளிடிய சார்புடன் கூடிய [[காசிய முழுவெண்]]களின் வளையம் &lt;math&gt;\mathbf{Z}[i]&lt;/math&gt;.
 * {{math|''f''&amp;thinsp;(''a'' + ''b''ω) {{=}} ''a''{{sup|2}} − ''ab'' + ''b''{{sup|2}}}}, ([[ஐன்ஸ்டீன் முழுவெண்]] {{math|''a'' + ''b''ω}} இன் நெறிமம்) என வரையறுக்கப்பட்ட யூக்ளிடிய சார்புடன் கூடிய ஐன்ஸ்டீன் முழுவெண்கள் வளையம் {{math|'''Z'''[ω]}} (இங்கு {{math|ω}} என்பது மெய்யெண்ணில்லாத [[ஒன்றின் படிமூலம்]]).
 *ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற [[பல்லுறுப்புக்கோவை]] {{mvar|P}} -க்கும் {{math|''f''&amp;thinsp;(''P'')}} {{=}}  {{mvar|P இன் [[பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி|அடுக்கெண்]]}} என வரையறுக்கப்பட்ட யூக்ளிடிய சார்புடன் கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வளையம் {{math|''K''[''X'']}}.&lt;ref&gt;{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=377, Example 2}}&lt;/ref&gt;
 
 == குறிப்புகள் ==
 &lt;references/&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 *{{cite book |first1=John B. |last1=Fraleigh |first2=Victor J. |last2=Katz |title=A first course in abstract algebra |publisher=Addison-Wesley |edition=5th |year=1967 |isbn=0-201-53467-3 }}
 *{{cite journal |first=Pierre |last=Samuel |title=About Euclidean rings |journal=Journal of Algebra |volume=19 |issue=2 |pages=282–301 |year=1971 |doi=10.1016/0021-8693(71)90110-4 |url=https://core.ac.uk/download/pdf/82126785.pdf |doi-access=free |access-date=2023-02-06 |archive-date=2021-05-06 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210506122835/https://core.ac.uk/download/pdf/82126785.pdf |url-status= }}