காசிய முழுவெண்
[[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டில்]] '''காசிய முழுவெண்''' (''Gaussian integer'') என்பது, மெய், கற்பனைப் பகுதிகள் இரண்டையும் [[முழு எண்|முழுவெண்களாகக்]] கொண்ட ஒரு [[சிக்கலெண்]] ஆகும். காசிய முழுவெண்கள் சாதாரணக் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டல்]],  [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]] செயல்களுடன் இணைந்து [[முழு ஆட்களம்|முழு வளையத்தை]] உருவாக்குகின்றன. இந்த வளையமானது &lt;math&gt;\mathbf{Z}[i]&lt;/math&gt; அல்லது &lt;math&gt;\Z[i].&lt;/math&gt; எனக் குறிக்கப்படுகிறது.&lt;ref name=&quot;Fraleigh 1976 286&quot;&gt;{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=286}}&lt;/ref&gt;
 
 காசிய முழுவெண்கள், முழுவெண்களின் பல பண்புகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. இவை [[யூக்ளிடிய ஆட்களம்|யூக்ளிடிய வளையத்தை|]] உருவாக்குகின்றன. இதன் விளைவாக, காசிய முழு எண்கள் [[யூக்ளிடிய வகுத்தல்]], [[யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வு]], [[தனித்துவக் காரணிப்படுத்தல்]] ஆகியவற்றுடன் மேலும் பல தொடர்புள்ள பண்புகளையும் கொண்டுள்ளன. இருப்பினும் இவற்றுக்கு எண்கணிதத்தின் [[முழு வரிசை|முழு வரிசைப்படுத்தல்]] பண்பு கிடையாது.
 
 காசிய முழுவெண்கள், [[இயற்கணித முழுவெண்]]களாகும். இவை [[இருபடி முழுவெண்]]களின் மிக எளிய [[வளையம் (கணிதம்)|வளையத்தை]] உருவாக்குகின்றன. இவ்வெண்கள் கணிதவியலாளர் [[கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ்|கார்ல் பிரீடிரிக் காசின்]] பெயரால் அழைக்கப்படுகின்றன.
 
 == அடிப்படை வரையறைகள் ==
 காசிய முழுவெண்கள் பின்வரும் சிக்கலெண்கள் [[கணம் (கணிதம்)|கணமாகும்:&lt;ref name=&quot;Fraleigh 1976 286&quot;/&gt;
 :&lt;math&gt;\mathbf{Z}[i]=\{a+bi \mid a,b\in \mathbf{Z} \}, \qquad \text{ where } i^2 = -1.&lt;/math&gt;
 
 அதாவது காசிய முழுவெண் என்பது, தனது [[சிக்கலெண்|மெய்ப்பகுதி]], [[சிக்கலெண்|கற்பனைப் பகுதி]] இரண்டையும் [[முழு எண்|முழுவெண்களாகக்]] கொண்டதொரு [[சிக்கலெண்]]ணாகும்.
 காசிய முழுவெண்கள் கூட்டலுக்கும் பெருக்கலுக்கும் அடைவு பெற்றதென்பதால், அவை ஒரு [[பரிமாற்று வளையம்|பரிமாற்று வளையமாக]] அமையும். இந்த வளையமானது, சிக்கலெண்கள் [[களம் (கணிதம்)|களத்தின்]] உள்வளையமாக இருக்கும். எனவே காசிய முழுவெண்கள் ஒரு முழுமை வளையமாகும்.
 
 {{math|''a'' + ''bi''}} என்ற காசிய முழுவெண்ணின் இணையிய காசிய முழுவெண் {{math|''a'' – ''bi''}} ஆகும்.
 
 ஒரு காசிய முழுவெண்ணின் &quot;கள நெறிமம்&quot; (field norm), அவ்வெண் மற்றும் அதன் இணையிய எண் ஆகியவற்றின் பெருக்கமாக இருக்கும். அதாவது {{math|''a'' + ''bi''}} இன் கள நெறிமம்:
 :&lt;math&gt;N(a+bi) = (a+bi)(a-bi) = a^2+b^2.&lt;/math&gt;
 
 ஒரு காசிய முழுவெண்ணின் கள நெறிமம் (&lt;math&gt;N&lt;/math&gt;) அவ்வெண்ணின் [[தனி மதிப்பு|தனி மதிப்பின்]] (சிக்கலெண்ணின் தனிமதிப்பு) [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கமாகும்]]. இரு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருப்பதால் கள நெறிமத்தின் மதிப்பு எதிர்மமற்றது. மேலும் [[இரு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகைத் தேற்றம்|இரு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகைத் தேற்றத்தின்படி]] கள நெறிமம் {{math|4''k'' + 3}} ({{math|''k''}} ஒரு முழுவெண்) என்ற வடிவில் அமையாது.
 
 {{math|''z'', ''w''}} இரு காசிய முழுவெண்களெனில்,
 :&lt;math&gt;N(zw) = N(z)N(w),&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=289}}&lt;/ref&gt;
 
 சிக்கலெண்களின் மட்டு மதிப்புகளின் பெருக்கற்பண்பைப் பயன்படுத்தி இம்முடிவை நிறுவலாம்.
 
 காசிய முழுவெண்களின் வளையத்தின் [[அலகு (வளையக் கோட்பாடு)|அலகு உறுப்புகள்]] ([[பெருக்கல் நேர்மாறு]]ம் காசிய முழுவெண்களாகவேக் கொண்ட உறுப்புகள்) நெறிமம் &quot;1&quot; உள்ள காசிய முழுவெண்களாக இருக்கும் (அதாவது 1, –1, {{math|''i''}} and {{math|–''i''}}).&lt;ref&gt;{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=288}}&lt;/ref&gt;
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{Reflist}}
 == சான்றுகள் ==
 {{Cite book|last=Guy|first=Richard K.|author-link=Richard K. Guy|year=2004|title=Unsolved problems in number theory|url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr|pages=[https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr/page/55 55]–57|edition=3rd|publisher=[[இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம்]]|isbn=978-0-387-20860-2}}
 
 [[பகுப்பு:துப்புரவு முடிந்த விழுப்புரம் மாவட்ட ஆசிரியர்கள் தொடங்கிய கட்டுரைகள்]]
 [[பகுப்பு:சிக்கலெண்கள்]]
 [[பகுப்பு:முழு எண்கள்]]