நேர்மாற்றத்தக்க அணி
[[நேரியல் இயற்கணிதம்|நேரியல் இயற்கணிதத்தில்]] ஒரு ''n'' x ''n'' [[சதுர அணி]] '''A''' '''நேர்மாற்றத்தக்கது''' (''invertible'') எனில், கீழ்வரும் கட்டுப்பாட்டை நிறைவுசெய்யும் வகையில் ஒரு ''n'' x -''n'' சதுர அணி '''B''' ஐப் பெற்றிருக்க வேண்டும்:
 
 :&lt;math&gt;\mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}_n, \,  &lt;/math&gt;  '''I'''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; ஒரு ''n''x''n'' [[முற்றொருமை அணி]]
 
 இக்கட்டுப்பாட்டை நிறைவு செய்யும் '''B''' அணியானது '''A''' இன் '''நேர்மாறு''' அல்லது '''நேர்மாறு அணி''' (''inverse'') எனப்படும். மேலும் '''A''' அணியின் நேர்மாறின் குறியீடு '''A'''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;.
 
 நேர்மாற்ற முடியாத சதுர அணி [[வழுவிலா அணி|வழுவுள்ள அணி]] அல்லது வழு அணி எனப்படும். ஒரு சதுர அணியின் [[அணிக்கோவை]]யின் மதிப்பு பூச்சியமாக இருந்தால் மட்டுமே, அச்சதுர அணி வழுவுள்ள அணியாக இருக்கும்.
 
 செவ்வக அணிகளுக்கு (''m‌'' x ''n'' வரிசையுடைய அணிகள்) நேர்மாறு அணி கிடையாது. எனினும் [[அணிகளின் அளவை|முழுத்தரம்]] (full rank) கொண்ட சதுரமில்லா அணிகள் ஒருபக்க நேர்மாறு ([[நேர்மாறு உறுப்பு#அணிகள்|இடது நேர்மாறு]] அல்லது [[நேர்மாறு உறுப்பு#அணிகள்|வலது நேர்மாறு]]) கொண்டவை.&lt;ref&gt;{{Cite web |url=http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture33.htm |title=MIT Professor Gilbert Strang Linear Algebra Lecture #33 - Left and Right Inverses; Pseudoinverse. |access-date=2016-10-21 |archive-date=2010-04-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100419142743/http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture33.htm |url-status=dead }}&lt;/ref&gt;
 : '''A''' ஒரு ''m'' x ''n'' வரிசை அணி; '''A''' இன் [[அணிகளின் அளவை|தரம்]] ''n'' எனில், '''A''' அணிக்கு இடது நேர்மாறு உண்டு. அதாவது '''BA''' = '''I''' என்பதை நிறைவு செய்யும் ''n'' x ''m'' வரிசையுடைய '''B''' அணியைக் காணமுடியும்.
 
 :&lt;math&gt;A:m\times n \mid m&gt;n&lt;/math&gt; என்ற அணியின் இடது நேர்மாறு: 
 ::&lt;math&gt; \underbrace{ (A^{T}A)^{-1}A^{T} }_{ A^{-1}_\text{left} } A = I_{n} &lt;/math&gt;
  
 : '''A''' இன் [[அணிகளின் அளவை|தரம்]] ''m'' எனில், '''A''' அணிக்கு வலது நேர்மாறு உண்டு. அதாவது '''AB''' = '''I''' என்பதை நிறைவு செய்யும் ''n'' x ''m'' வரிசையுடைய '''B''' அணியைக் காணமுடியும்.
 
 :&lt;math&gt;A:m\times n \mid m&lt;n&lt;/math&gt; என்ற அணியின் வலது நேர்மாறு: 
 ::&lt;math&gt; A \underbrace{ A^{T}(AA^{T})^{-1} }_{ A^{-1}_\text{right} } = I_{m} &lt;/math&gt;
 
 வழக்கமாக அணிகள் [[மெய்யெண்|மெய்யெண்களிலும்]] [[சிக்கலெண்|சிக்கலெண்களிலும்]] அமைந்தவை என்றாலும், [[வளையம் (கணிதம்)|பரிமாற்று வளையத்திலமைந்த]] அணிகளுக்கும் மேலுள்ள வரையறைகள் பொருந்தும்.
 
 [[களம் (கணிதம்)|களம்]] '''&lt;math&gt;K&lt;/math&gt;'''  ல் உள்ள உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணி '''&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;'''  ன் [[அணிக்கோவை]]யின் மதிப்பு பூச்சியமாக இல்லாதிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே [[அணி (கணிதம்)|அணி]] '''&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;''' ஆனது ஒரேவரிசையுடைய [[அணி (கணிதம்)#சதுர அணி|சதுர அணிகளின்]] கணத்தில், [[அணி (கணிதம்)#அணிப் பெருக்கல்|அணிகளின் பெருக்கல்]] செயலைப் பொறுத்து நேர்மாற்றத் தக்கதாகும். மேலும் பொதுவாக, பரிமாற்று வளையம் மீதான ஒரு சதுர அணியின் [[அணிக்கோவை]] அவ்வளையத்தில் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அச்சதுர அணியும் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்க முடியும். வளையத்தில் தரம் என்ற கருத்து கிடையாதகையால் ஒருபக்க நேர்மாறுகளின் வரையறை சற்று சிக்கலானது.
 
 '''அணி நேர்மாற்றல்''' என்பது ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் நேர்மாறு காணும் செயலாகும்.
 
 நேர்மாற்றத்தக்க  ''n''×''n'' அணிகளின் [[கணம் (கணிதம்)|கணமானது]] [[அணிப்பெருக்கல்]] செயலியுடன் ஒரு [[குலம் (கணிதம்)|குலமாகும்]] (பொது நேரியல் குலம்).
 
 ==பண்புகள்==
 '''A''' ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணி எனில்:
 * ('''A'''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = '''A''';
 * (''k'''''A''')&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = ''k''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;'''A'''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;  ''k'' ஒரு பூச்சியமில்லாத் திசையிலி;
 * ('''A'''&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = ('''A'''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;;
 * ''n'' x ''n'' வரிசையுடைய அணிகள் '''A''' , '''B''' நேர்மாற்றத்தக்கவை எனில்:
 : ('''AB''')&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = '''B'''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;'''A'''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;.  
 '''A'''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,...,'''A'''&lt;sub&gt;''k''&lt;/sub&gt; என்பவை நேர்மாற்றத்தக்க ''n'' x ''n'' அணிகள் எனில்::('''A'''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;'''A'''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;⋯'''A'''&lt;sub&gt;''k−1''&lt;/sub&gt;'''A'''&lt;sub&gt;''k''&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = '''A'''{{su|b=''k''|p=−1}}'''A'''{{su|b=''k−1''|p=−1}}⋯'''A'''{{su|b=2|p=−1}}'''A'''{{su|b=1|p=−1}};
 * det('''A'''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;) = det('''A''')&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;.
 *தனக்குத்தானே நேர்மாறாக அமையும் அணி [[சுருள்வு அணி]]யாகும். '''A''' ஒரு சுருள் அணியெனில்,
 :'''A''' = '''A'''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; and '''A'''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = '''I'''
 
 ==சேர்ப்பு அணி==
 ஒரு அணியின் [[சேர்ப்பு அணி]]யைப் பயன்படுத்தி அதன் நேர்மாறு காணலாம்:
 :&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க  &lt;math&gt;n\times n&lt;/math&gt; அணி எனில்:
 :: &lt;math&gt;A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)&lt;/math&gt;.
 
 == முற்றொருமை அணி ==
 [[முற்றொருமை அணி]]யுடனான தொடர்பு:
 '''A''' , '''B''' என்பன இரு முடிவுறு சதுர அணிகள் எனில்:
 : &lt;math&gt;\mathbf{AB} = \mathbf{I} \ &lt;/math&gt; உண்மையானால்,  
 : &lt;math&gt;\mathbf{BA} = \mathbf{I}\ &lt;/math&gt; என்பதும் உண்மையாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{Cite book | last1=Horn | first1=Roger A. | last2=Johnson | first2=Charles R. | title=Matrix Analysis | publisher=[[கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]] | isbn=978-0-521-38632-6 | year=1985 | page=14 | postscript=&lt;!--None--&gt;}}.&lt;/ref&gt;
 
 == நேர்மாறு காணல் ==
 [[கிரமரின் விதி|கிராமரின் விதியைப்]] பயன்படுத்தி நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் நேர்மாறு காணலாம். இம்முறை சிறு அணிகளுக்கே பொருத்தமானது அணிகளின் வரிசை அதிகமாகும்போது இது போதுமானதாக இருக்காது. சேர்ப்பு அணி என அழைக்கப்படும் தரப்பட்ட அணியின் [[இணைக்காரணி அணி]]யின் [[இடமாற்று அணி]]யைக் கொண்டு மூல அணியின் நேர்மாறு காணலாம்:
 
 : &lt;math&gt;\mathbf{A}^{-1}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\mathbf{C}^{\mathrm{T}}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}
 \begin{pmatrix}
 \mathbf{C}_{11} &amp; \mathbf{C}_{21} &amp; \cdots &amp; \mathbf{C}_{n1} \\
 \mathbf{C}_{12} &amp; \mathbf{C}_{22} &amp; \cdots &amp; \mathbf{C}_{n2} \\
 \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\
 \mathbf{C}_{1n} &amp; \mathbf{C}_{2n} &amp; \cdots &amp; \mathbf{C}_{nn} \\
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;\left(\mathbf{A}^{-1}\right)_{ij}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}^{\mathrm{T}}\right)_{ij}={1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}_{ji}\right)&lt;/math&gt;
 : |'''A'''| - '''A''' அணியின் அணிக்கோவை
 : '''C''' - '''A''' அணியின் இணைக்காரணிகள் அணி
 : '''C'''&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; -'''A''' அணியின் இணைக்காரணிகள் அணி '''C''' இன் இடமாற்று அணி
 
 === 2×2 அணியின் நேர்மாறு ===
 மேற்கூறப்பட்ட இணைக்காரணிச் சமன்பாடு 2×2 அணிகளுக்குப் பின்வரும் விளைவைத் தருவதால் இரண்டாம் வரிசை நேர்மாற்றத்தக்க சதுர அணிகளின் நேர்மாறுகளை எளிதாகக் காணமுடியும்:&lt;ref&gt;{{cite book
 |title=Introduction to linear algebra
 |edition=3rd
 |first1=Gilbert
 |last1=Strang
 |publisher=SIAM
 |year=2003
 |isbn=0-9614088-9-8
 |page=71
 |url=https://books.google.com/books?id=Gv4pCVyoUVYC}}, [https://books.google.com/books?id=Gv4pCVyoUVYC&amp;pg=PA71 Chapter 2, page 71]
 &lt;/ref&gt;
 : &lt;math&gt;\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
 a &amp; b \\ c &amp; d \\ 
 \end{bmatrix}^{-1} =
 \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
 \,\,\,d &amp; \!\!-b \\ -c &amp; \,a \\ 
 \end{bmatrix} =
 \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix}
 \,\,\,d &amp; \!\!-b \\ -c &amp; \,a \\ 
 \end{bmatrix}.&lt;/math&gt;
 1/(ad-bc) என்பது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட அணியின் அணிக்கோவையின் தலைகீழ் மதிப்பாகும்.
 
 === 3×3 அணிகள் ===
 
 : &lt;math&gt;\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}
 a &amp; b &amp; c\\ d &amp; e &amp; f \\ g &amp; h &amp; i\\
 \end{bmatrix}^{-1} =
 \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
 \, A &amp; \, B &amp; \,C \\ \, D &amp; \, E &amp; \, F \\ \, G &amp; \, H &amp; \, I\\
 \end{bmatrix}^T =
 \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix}
 \, A &amp; \, D &amp; \,G \\ \, B &amp; \, E &amp; \,H \\ \, C &amp; \,F &amp; \, I\\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
 :திசையிலி ''A'' , உறுப்பு a இன் இணைக்காரணி;
 :திசையிலி ''B'' , உறுப்பு b இன் இணைக்காரணி;
 :திசையிலி ''C'' , உறுப்பு c இன் இணைக்காரணி;
 :...
 
 அணிக்கோவை மதிப்பு பூச்சியமில்லை எனில் '''A''' நேர்மாற்றத்தக்கது. அணிக்கோவையின் மதிப்பை [[சாரசு விதி]]மூலம் கணக்கிட்டுக் கொள்ளலாம்.
 
 அணியின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் இணைக்காரணிகள்:
 : &lt;math&gt;\begin{matrix}
 A = (ei-fh)  &amp; D = -(bi-ch) &amp; G = (bf-ce)  \\
 B = -(di-fg) &amp; E = (ai-cg)  &amp; H = -(af-cd) \\
 C = (dh-eg)  &amp; F = -(ah-bg) &amp; I = (ae-bd)  \\
 \end{matrix}&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;\det(\mathbf{A}) = aA+bB+cC.&lt;/math&gt;
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{Reflist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 * Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990]. &quot;28.4: Inverting matrices&quot;. Introduction to Algorithms (2nd ed.). MIT Press and McGraw-Hill. pp.&amp;nbsp;755–760. {{ISBN|0-262-03293-7}}.
 
 == மேலதிக வாசிப்புக்கு ==
 * {{springer|title=Inversion of a matrix|id=p/i052440}}
 *[https://books.google.se/books?id=jgEiuHlTCYcC&amp;printsec=frontcover Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas] at [[கூகுள் புத்தகங்கள்]]
 *[http://www2.imm.dtu.dk/pubdb/views/edoc_download.php/3274/pdf/imm3274.pdf The Matrix Cookbook]
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 *[http://www.khanacademy.org/video/inverse-matrix--part-1?playlist=Linear+Algebra Lecture on Inverse Matrices by Khan Academy] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20111103045802/http://www.khanacademy.org/video/inverse-matrix--part-1?playlist=Linear%20Algebra |date=2011-11-03 }}
 *[http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-3-multiplication-and-inverse-matrices/ Linear Algebra Lecture on Inverse Matrices by MIT]
 *[http://netlib.org/lapack/ LAPACK] is a collection of FORTRAN subroutines for solving dense linear algebra problems
 *[http://www.alglib.net/eigen/ ALGLIB] includes a partial port of the LAPACK to C++, C#, Delphi, etc.
 *[http://www.jimmysie.com/maths/matrixinv.php Online Inverse Matrix Calculator using AJAX] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061017232454/http://www.jimmysie.com/maths/matrixinv.php |date=2006-10-17 }}
 *[http://www.emathhelp.net/calculators/linear-algebra/inverse-of-matrix-calculator/ Symbolic Inverse of Matrix Calculator with steps shown]
 *[http://www.vias.org/tmdatanaleng/cc_matrix_pseudoinv.html Moore Penrose Pseudoinverse]
 *[http://numericalmethods.eng.usf.edu/mws/gen/04sle/mws_gen_sle_bck_system.pdf Inverse of a Matrix Notes]
 *[http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/InverseMatrixMod.html Module for the Matrix Inverse]
 *[http://mjollnir.com/matrix/demo.html Calculator for Singular or Non-Square Matrix Inverse] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090203145124/http://mjollnir.com/matrix/demo.html |date=2009-02-03 }}
 *[http://engineerjs.com/doc/ejs/engine/linalg-1/_inv.html Inverse calculator online]
 *{{planetmath reference|title=Derivative of inverse matrix|id=6362}}
 
 [[பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்]]
 [[பகுப்பு:அணிகள்]]