வர்க்கம் (கணிதம்)
'''வர்க்க எண்''' அல்லது '''சதுர எண்''' (''square number'') என்பது ஒரு [[முழு எண்]]ணின் வர்க்கமாகும். ஒரு முழு எண்ணின் வர்க்கம் என்பது அம்முழு எண்ணை அவ்வெண்ணாலேயே பெருக்கக் ல 
 : எடுத்துக்காட்டாக 9 ஒரு வர்க்க எண். ஏனென்றால் எண் ஒன்பதை 3&amp;nbsp;&amp;times;&amp;nbsp;3 என எழுதலாம். அதாவது 3 -ன் வர்க்கம் 9. 
 ஒரு முழு எண்ணின் வர்க்கமும் ஓர் முழு எண்ணாகவே அமையும். ஒரு வர்க்க எண்ணானது, ''செவ்விய வர்க்கம்'' (perfect square) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;சில எழுத்தாளர்கள் விகிதமுறு எண்களின் வர்க்கங்களையும் முழு வர்க்கங்கள் எனக் குறிக்கின்றனர்&lt;/ref&gt;
 
 வர்க்க எண்கள் [[நேர்ம எண்கள்|நேர்ம எண்களாகவே]] இருக்கும். ஒரு நேர்ம எண் வர்க்க எண்ணாக இருக்க வேண்டுமானால் அதன் வர்க்கமூலம் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கவேண்டும். 
 :எடுத்துக்காட்டாக  √9&amp;nbsp;=&amp;nbsp;3, என்பதால் 9 ஒரு வர்க்க எண்.
 
 எண் 1, முதல் முழு வர்க்கமாகக் கருதப்படுகிறது. எண் 0 -ஐ (0 × 0 = 0) என்று எழுத முடியும் என்பதால் எண் 0 மும் வர்க்க எண் தான் என வாதிடுவோரும் உண்டு.
 
 வர்க்கத்தை வழக்கமாக பெருக்கல் வடிவில் எழுதுவதில்லை. மாறாக ''n''  என்ற எண்ணின் வர்க்கம் ''n''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; என எழுதப்படுகிறது. இதனை &quot;''n'' ஸ்கொயர்ட்&quot; என வாசிக்க வேண்டும்.   ''n''   அளவு பக்கமுடைய ஒரு [[சதுரம்|சதுரத்தின்]] [[பரப்பு]] ''n''&amp;nbsp;&amp;times;&amp;nbsp;''n'' . அதாவது ''n''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. எனவேதான் முழு வர்க்க எண்கள், சதுர எண்கள் என அழைக்கப்பட்டு [[வடிவ எண்]]களில் ஒரு வகையாகின்றன.
 
 வர்க்கம் என்ற கருத்துருவைப் பிற எண் கணங்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். [[விகிதமுறு எண்|விகிதமுறு எண்களை]] எடுத்துக்கொண்டால், ஒரு விகிதமுறு வர்க்க எண் என்பது இரு வர்க்க எண்களின் விகிதமாகும். மறுதலையாக, இரு வர்க்க எண்களின் [[விகிதம்]] ஒரு  விகிதமுறு வர்க்க எண்ணாகும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு: 4/9&amp;nbsp;=&amp;nbsp;(2/3)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;).
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 60&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; -க்கும் கீழுள்ள வர்க்க எண்கள் {{OEIS|id=A000290}}:
 
 &lt;div style=&quot;float:left; padding: 1em;&quot;&gt;
 :0&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 0
 :1&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1
 :2&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
 :3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9
 :4&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 16
 :5&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 25
 :6&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 36
 :7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 49
 :8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 64
 :9&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 81
 &lt;/div&gt;
 
 &lt;div style=&quot;float:left; padding: 1em;&quot;&gt;
 :10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 100
 :11&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 121
 :12&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 144
 :13&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 169
 :14&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 196
 :15&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 225
 :16&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 256
 :17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 289
 :18&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 324
 :19&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 361
 &lt;/div&gt;
 
 &lt;div style=&quot;float:left; padding: 1em;&quot;&gt;
 :20&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 400
 :21&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 441
 :22&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 484
 :23&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 529
 :24&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 576
 :25&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 625
 :26&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 676
 :27&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 729
 :28&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 784
 :29&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 841
 &lt;/div&gt;
 
 &lt;div style=&quot;float:left; padding: 1em;&quot;&gt;
 :30&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 900
 :31&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 961
 :32&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1024
 :33&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1089
 :34&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1156
 :35&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1225
 :36&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1296
 :37&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1369
 :38&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1444
 :39&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1521
 &lt;/div&gt;
 
 &lt;div style=&quot;float:left; padding: 1em;&quot;&gt; 
 :40&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1600 
 :41&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1681 
 :42&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1764
 :43&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1849
 :44&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1936
 :45&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2025
 :46&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2116
 :47&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2209
 :48&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2304
 :49&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2401
 &lt;/div&gt;
 
 &lt;div style=&quot;float:left; padding: 1em;&quot;&gt; 
 :50&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2500
 :51&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2601 
 :52&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2704
 :53&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2809
 :54&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 2916
 :55&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 3025
 :56&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 3136
 :57&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 3249
 :58&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 3364
 :59&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 3481
 &lt;/div&gt;
 {{-}}
 
 ==பண்புகள்==
 
 * ''m''  [[புள்ளி]]களை ஒரு சதுரமாக அடுக்க முடிந்தால், முடிந்தால் மட்டுமே எண் ''m'' ஒரு வர்க்க எண்ணாகும்:
 {| cellpadding=&quot;8&quot;
 |-
 |m = 1&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1
 |[[Image:Square number 1.png]]
 |-
 |m = 2&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4
 |[[Image:Square number 4.png]]
 |-
 |m = 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9
 
 |[[Image:Square number 9.png]]
 |-
 |m = 4&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 16
 |[[Image:Square number 16.png]]
 |-
 |m = 5&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 25
 |[[Image:Square number 25.png]]
 |}
 
 இங்கு ''n'' -ஆம் வர்க்க எண் ''n''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. இது முதல் ''n''  ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமம். இக்கூற்றைப் படத்தில் காணலாம். படத்தில் ஒவ்வொரு சதுரமும் அதற்கு முந்தைய சதுரத்துடன் ஒற்றை எண்ணிக்கைப் புள்ளிகளைச் சேர்ப்பதால் உண்டாவதையும் காணலாம்.
 
 :&lt;math&gt;n^2 = \sum_{k=1}^n(2k-1).&lt;/math&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 5&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
 
 * ஒரு வர்க்க எண்ணிற்கும் அதற்கு முந்தைய வர்க்க எண்ணிற்குமுள்ள தொடர்பு:
 
 : &lt;math&gt; n ^ 2 = (n - 1) ^ 2 + (2 n - 1) \, &lt;/math&gt;.
 
 அல்லது:
 
 : &lt;math&gt; n ^ 2 = (n - 1) ^ 2 + (n - 1) + n \, &lt;/math&gt;.
 
 மற்றொரு வாய்ப்பாடு:
 :  &lt;math&gt; n ^ 2 = 2(n - 1) ^ 2 - (n - 2)^2 + 2 \, &lt;/math&gt;.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 : 2 &amp;times; 5&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;4&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;+&amp;nbsp;2 = 2 &amp;times; 25&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;16&amp;nbsp;+&amp;nbsp;2 = 50&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;16&amp;nbsp;+&amp;nbsp;2 = 36 = 6&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;.
 
 * ஒரு வர்க்க எண் அடுத்தடுத்த இரு [[முக்கோண எண்]]களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
 * அடுத்தடுத்த இரு வர்க்க எண்களின் கூடுதல் ஒரு [[மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்]].
 * ஒவ்வொரு ஒற்றை வர்க்க எண்ணும் ஒரு [[மையப்படுத்தப்பட்ட எண்கோண எண்]]ணாகவும் இருக்கும்
 * ஒரு வர்க்க எண்ணின் வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றை யெண்ணாக இருக்கும். பிற எண்களின் வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை இரட்டை யெண்ணாக இருக்கும்.
 * பத்தடிமானத்தில், ஒரு வர்க்க எண்  0,1,4,6,9, அல்லது 25  ஆகிய இலக்கங்களைக் கொண்டு பின்வருமாறு முடிவடையும்:
 ** 0 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், இரட்டை எண்ணிக்கை கொண்ட 0 -க்களைக் கொண்டு முடிவடையும். மேலும்  கடைசியில் உள்ள 0-க்களுக்கு முந்தைய இலக்கங்கள் ஒரு முழு வர்க்க எண்ணைத் தரும்.
 : 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = '''1'''00; 20&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = '''4'''00;....
 ** 1 அல்லது 9 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம்,  1-ஐக் கொண்டு முடிவடையும். மேலும்  கடைசியில் உள்ள 1-க்கு முந்தைய இலக்கங்கள் குறிக்கும் எண் நான்கால் வகுபடும்.
 : 11&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = '''12'''1; 21&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;= '''44'''1;......
 : 9&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=81; 29&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = '''84'''1;.....  
 ** 2 அல்லது 8 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 4 -ஐக் கொண்டு முடியும். மேலும்  கடைசியில் உள்ள 4-க்கு முந்தைய இலக்கம் இரட்டை எண்ணாக இருக்கும்.
 : 12&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1'''4'''; 22&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4'''8'''4;.... 
 : 8&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;='''6'''4; 18&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=3'''2'''4;.... 
 ** 3 அல்லது 7 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 9 -ஐக் கொண்டு முடியும். மேலும்  கடைசியில் உள்ள 9-க்கு முந்தைய இலக்கங்கள் குறிக்கும் எண் நான்கால் வகுபடும்.
 : 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=9; 13&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;='''16'''9;....
 : 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;='''49'''; 17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;='''28'''9;....
 ** 4 அல்லது 6 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 6 -ஐக் கொண்டு முடியும்.மேலும்  கடைசியில் உள்ள 6-க்கு முந்தைய இலக்கம் ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும்.
 : 4&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;='''1'''6; 14&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=1'''9'''6; 24&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=5'''7'''6;....
 : 6&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;='''3'''6; 16&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=2'''5'''6; 26&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=6'''7'''6....
 ** 5 -ஐக்  கொண்டு முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 25 -ஐக் கொண்டு முடியும்.மேலும்  கடைசியில் உள்ள 25-க்கு முந்தைய இலக்கங்கம் 0, 2, 6, 25 -ஆக இருக்கும்.
 : 5&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=25; 25&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;='''6'''25; 35&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=1'''2'''25;.....
 
 * பொதுவாக ஒரு [[பகா எண்]] ''p'' , வர்க்க எண் ''m'' -ஐ வகுக்குமானால் ''p''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; -ம்  ''m'' -ஐ வகுக்கும்.
 * வர்க்க எண் ஒரு [[செவ்விய எண்]] அல்ல.
 * வர்க்க எண்களின் கூடுதல் காணும் வாய்ப்பாடு:
 : &lt;math&gt;\sum_{n=0}^N n^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \cdots + N^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.&lt;/math&gt; -தொடரின் உறுப்புகள் ([[வர்க்கப் பிரமிடு எண்]]கள்):
 &lt;blockquote&gt;
 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201... {{OEIS|id=A000330}}.
 &lt;/blockquote&gt;
 
 ==சிறப்பு வகைகள்==
 * ''m''5  வடிவில் உள்ள எண்ணின் வர்க்கத்தின் வடிவம் ''n''25  இதில் ''n''&amp;nbsp;= ''m'' × (''m'' + 1)  
 : '''6'''5&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4225 
 : ''m'' = 6; ''n''&amp;nbsp;= 6 × (6 + 1)&amp;nbsp;= 42 
 * ''m''0  வடிவில் உள்ள எண்ணின் வர்க்கத்தின் வடிவம் ''n''00  இதில் ''n''&amp;nbsp;= ''m''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. 
 : '''7'''0&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4900. ''m'' = 7; ''n''&amp;nbsp;= 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;= 49
 *  ஈரிலக்க 5''m''  (''m''  -ஒன்றினிடம்) வடிவில் உள்ள எண்ணின் வர்க்கத்தின் வடிவம்  ''AABB''  இதில் ''AA''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;25&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''m'' மற்றும் ''BB''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''m''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;.
 
 :  5'''7'''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=3249.
 ''AA'' = 25+7 =32 மற்றும் 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=49,
 
 ==ஒற்றை மற்றும் இரட்டை எண்கள்==
 
 இரட்டை எண்களின் வர்க்கங்கள் இரட்டை எண்களாகும். அவை நான்கால் வகுபடும் எண்களாகவும் இருக்கும்.
 
 :&lt;math&gt;(2n)^2 = 4n^2 \,&lt;/math&gt;
 
 ஒற்றையெண்களின் வர்க்கங்கள் ஒற்றையெண்கள்.
 
 : &lt;math&gt;(2n + 1)^2 = 4(n^2 + n) + 1 \,&lt;/math&gt;
 
 இதிலிருந்து இரட்டை எண்களின் வர்க்க மூலங்கள் இரட்டை எண்களாகவும் ஒற்றை எண்களின் வர்க்க மூலங்கள் ஒற்றை எண்களாகவும் இருக்கும் என்பதை அறியலாம்.
 
 ==பயன்பாடு==
 இரு நேர்ம [[எண்#மெய்யெண்கள்|மெய்யெண்களின்]] பெருக்குத்தொகை ஒரு நேர்ம மெய்யெண்ணாகவும் இரு எதிர்ம மெய்யெண்களின் பெருக்குத்தொகையும் ஒரு நேர்ம மெய்யெண்ணாகவும் இருக்கும் என்பதால் எந்தவொரு வர்க்க எண்ணும் எதிர்ம எண்ணாக இருக்க முடியாது. எனவே மெய்யெண்களின் [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தில்]] ஒரு எதிர்ம மெய்யெண்ணின் வர்க்க மூலத்தைக் காணமுடியாது. இதனால் மெய்யெண்கள் கணத்தில் ஒரு பற்றாக்குறை ஏற்பட்டு கணிதவியலாளர்கள் கற்பனை மூலம் ''i'' -ஐ &amp;nbsp;&amp;minus;1 -ன் வர்க்க மூலங்களில் ஒன்றாக எடுத்துக் கொண்டு கலப்பெண்களை உருவாக்கினர்.
 
 [[புள்ளியியல்|புள்ளியியலில்]] ஒரு தரவின் [[திட்ட விலக்கம்]] காண்பதற்கு வர்க்கம் (வர்க்க மூலம்) பயன்படுகிறது
 
 ==குறிப்பு==
 {{reflist}}
 == மேற்கோள்கள் ==
 *{{MathWorld|urlname=SquareNumber|title=Square Number}}
 
 == மேலும் படிக்க ==
 *[[J.H. Conway|Conway, J. H.]] and [[R.K. Guy|Guy, R. K.]] ''The Book of Numbers''. New York: Springer-Verlag, pp.&amp;nbsp;30–32, 1996.  {{ISBN|0-387-97993-X}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * [http://www.learntables.co.uk/square_numbers/ Learn Square Numbers] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080211150318/http://www.learntables.co.uk/square_numbers/ |date=2008-02-11 }}. Practice square numbers up to 144 with this children's multiplication game
 * Dario Alpern, [http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM Sum of squares]. A Java applet to decompose a natural number into a sum of up to four squares.
 *[https://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Fibonacci and Square Numbers]at
 * [http://www.naturalnumbers.org/psquares.html The first 1,000,000 perfect squares] Includes a program for generating perfect squares up to 10^15.
 * [http://www.alpertron.com.ar/FSQUARES.HTM எந்த ஒரு Positive integerஐயும் நான்கு அல்லது அதற்கு குறைந்த வர்க்க எண்களின் கூட்டுத் தொகையாக மாற்ற உதவும் நிரல்]
 {{வடிவ எண்கள்}}
 [[பகுப்பு:எண்கள்]]
 [[பகுப்பு:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்]]