நேரியல் சார்பின்மை
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] [[நேரியல் இயற்கணிதம்|நேரியல் இயற்கணிதப்பிரிவில்]] '''நேரியல் சார்பின்மை'''(Linear independence) யும் ''நேரியல் சார்புடைமையும்'' (Linear dependence) அடிப்படைக் கருத்துகள். V என்ற [[திசையன் வெளி]] யில் &lt;math&gt;S =  \{u_1, u_2, ..., u_n\}&lt;/math&gt; என்ற [[திசையன்]]களின் [[கணம்]] நேரியல் சார்புடையது என்பதற்குப் பொருள், அவைகளில் ஏதாவதொன்று மற்றவைகளின் [[நேரியல் சேர்வு]] என்பதே. எடுத்துக்காட்டாக, &lt;math&gt;V_3&lt;/math&gt; இல்
 
 {(1,0,0), (1,2,-3), (0,1,-3/2)} என்ற கணம் நேரியல் சார்புடையது. ஏனென்றால்,
  
 (1,2,-3) = 1(1,0,0) + 2(0,1,-3/2).
 
 S இல் எதுவுமே மற்றவைகளின் நேரியல் சேர்வாக இல்லையானால், அது ''நேரியல் சார்பின்மை'' என்ற பண்பை உடையது  அல்லது ''நேரியல் சார்பற்றது'' எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, &lt;math&gt;V_3&lt;/math&gt; இல்
 
 {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)} என்ற கணம் நேரியல் சார்பற்றது.
  
 அதாவது, இதனில் எதுவும் மற்ற இரண்டின் நேரியல் சேர்வாக இருக்கமுடியாது. துல்லியமான மாதிரி நிறுவலுக்குக் கீழே பார்க்கவும்.
 
 ==வரையறை==
 
 &lt;math&gt;V = V^{\mathbf{F}}&lt;/math&gt; என்பது ஒரு திசையன் வெளி. அதனில்  &lt;math&gt;S =  \{u_1, u_2, ..., u_n\}&lt;/math&gt; என்பது ஒரு உட்கணம், அல்லது திசையன்களின் குழு. இக்குழு '''நேரியல் சார்பின்மை உடையது''' என்பதன் இலக்கணம் பின்வருமாறு:
 
 '''(*):&lt;math&gt;\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + ... + \alpha_n u_n&lt;/math&gt; சூனியத்திசையன் ஆகவேண்டுமானால்  &lt;math&gt;\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n&lt;/math&gt;  என்ற எல்லா [[அளவெண்]]களும்  சூனியங்களாக இருக்கவேண்டும்.'''
 
 (*) என்ற நிபந்தனைக்குக் கட்டுப்படவில்லையானால், S '''நேரியல் சார்புடையது''' எனப்படும்.
 
 '''குறிப்பு''': நேரியல் சார்பின்மை, நேரியல் சார்புடைமை ஆகிய பண்புகள்  திசையன்களைக்கொண்ட ஒரு உட்கணம் அல்லது குழுவைப்பற்றியது. தனிப்பட்ட ஒரு திசையனின் பண்பல்ல.
 
 '''விளக்கம்''': S நேரியல் சார்புடையது என்றால் (*) என்ற நிபந்தனைக்குக் கட்டுப்படவில்லை என்று பொருள். அதாவது, ஏதாவது ஒரு, அல்லது சில, அளவெண்கள்  &lt;math&gt;\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n&lt;/math&gt; சூனியமல்லாததாகவே  இருக்க,
 
 &lt;math&gt;\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + ... + \alpha_n u_n  = \mathbf{0}&lt;/math&gt;
 
 என்ற சமன்பாடும் உண்மையாக இருக்கும். இதனால் நமக்குக் கிடைப்பது, &lt;math&gt;u_1, u_2, ..., u_n&lt;/math&gt;  என்ற திசையன்களில் ஏதாவதொன்று மற்ற திசையன்களின் நேரியல் சேர்வு என்பதுதான்.
 
 ==உட்கணத்தின் அளாவல்==
 
 V என்ற திசையன் வெளியில் S என்ற உட்கணத்தின் '''அளாவல்'''  (Span) என்பது S இலுள்ள உறுப்புகளின் எல்லாமுடிவுறு நேரியல் சேர்வுகளும் கொண்ட கணம். அதற்குக் குறியீடு [S]. விரித்துச்சொன்னால்,
 
 [S] = {&lt;math&gt;\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + ... + \alpha_n u_n: \alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n&lt;/math&gt; ஏதாவது அளவெண்கள்,  ''n'' ஒரு இயல்பெண், மற்றும், &lt;math&gt;u_1, u_2, ..., u_n \in S&lt;/math&gt;}.
 
 [S] ஒரு உள்வெளி. அது மட்டுமல்ல. அது   '''Sஐ உள்ளடக்கிய மிகச்சிறிய உள்வெளி'''.
 
 n = 1:  [S] = {&lt;math&gt;\alpha_1 u_1: \alpha_1 \in \mathbf{F}&lt;/math&gt;}. வடிவியல் பாங்கில் சொன்னால், இது தொடக்கப்புள்ளி வழியாகவும், &lt;math&gt;u_1&lt;/math&gt; வழியாகவும் செல்லும் நேர்கோடு.
 
 n = 2:  [S] = {&lt;math&gt;\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2: \alpha_1, \alpha_2 \in \mathbf{F}&lt;/math&gt;}.  வடிவியல் பாங்கில் சொன்னால், இது தொடக்கப்புள்ளி வழியாகவும், &lt;math&gt;u_1, u_2&lt;/math&gt; வழியாகவும் செல்லும் தளம்.
 
 ==நேரியல் சார்பின்மையின் இதர பண்புகள்==
 
 V என்ற திசையன் வெளியில்
 
 * &lt;math&gt;u = \mathbf{0}&lt;/math&gt; ஆக இருந்தால், இருந்தால் தான், &lt;math&gt;\{u\}&lt;/math&gt; நேரியல் சார்புடையதாக இருக்கும்.
 * இரண்டு திசையன்கள் &lt;math&gt;u_1, u_2&lt;/math&gt; களில் ஒன்று மற்றொன்றின் அளவெண் பெருக்கலாக இருந்தால், இருந்தால் தான், &lt;math&gt;\{u_1, u_2\} &lt;/math&gt; நேரியல் சார்புடையதாக இருக்கும்.
 * n திசையன்கள் &lt;math&gt;u_1, u_2, ... , u_n&lt;/math&gt; களில் ஏதாவதொன்று மற்றவைகளின் அளாவலில் இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை நேரியல் சார்புடையதாய் இருக்கும்.
 * ஒரு கணம் நேரியல் சார்பற்றதாயிருந்தால், அதனுடைய எந்த வெற்றற்ற உட்கணமும் நேரியல் சார்பற்றது.
 * ஒரு கணம் நேரியல் சார்புடையதாயிருந்தால், அதனுடைய எந்த மேற்கணமும் நேரியல் சார்புடையது.
 * {&lt;math&gt;u_1 \neq 0, u_2,..., u_n&lt;/math&gt;} என்பது திசையன்களின் ஒரு வரிசையுள்ள கணமானால், அது நேரியல் சார்புடையதாக இருந்தால், இருந்தால் தான், &lt;math&gt;u_2, u_3, ..., u_n&lt;/math&gt; களில் ஏதாவதொன்று (&lt;math&gt;u_k&lt;/math&gt; என்று சொல்லலாமே) அதற்கு முந்தினவைகளின், அதாவது, &lt;math&gt;u_1, u_2,  ..., u_{k-1}&lt;/math&gt; களின் அளாவலில் இருக்கும். குறியீட்டில் சொன்னால் &lt;math&gt;u_k \in [u_1, u_2, ..., u_{k-1}]&lt;/math&gt;
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 
 1. &lt;math&gt;V_3&lt;/math&gt;: S = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.
 
 &lt;math&gt;\alpha (1,0,0) + \beta (0,1,0) + \gamma (0,0,1) = \mathbf{0} =(0,0,0)&lt;/math&gt; 
 என்று கொண்டால், 
 நமக்குக்கிடைப்பது: &lt;math&gt;\alpha = 0, \beta = 0, \gamma = 0&lt;/math&gt;.
 
 ஆக, S  நேரியல் '''சார்பற்றது'''.
 
 2. &lt;math&gt;V_4&lt;/math&gt; : S = {A=(1,1,0,2), B=(0,1,1,2), C=(0,0,1,1), D=(1,0,0,1)}
 
 &lt;math&gt;\alpha (1,1,0,2) + \beta (0,1,1,2) + \gamma (0,0,1,1) +\delta (1,0,0,1) = (0,0,0,0)&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\alpha = 1, \beta = -1, \gamma = 1, \delta = -1&lt;/math&gt;  இதை சரியாக்குகிறது.
 
 ஆக, S நேரியல் '''சார்புடையது'''. இதை உறுதிப்படுத்தும் வழியில் ஏதாவதொன்றை மற்றவைகளின் சேர்வாகச்சொல்லலாம்:
 
 (1,0,0,1) = 1(1,1,0,2) -1(0,1,1,2) +1(0,0,1,1)
 
 இதற்கு வடிவியற்பொருள் குறிப்பிடத்தக்கது:  D என்ற புள்ளி A, B, C, ஆகிய மூன்று புள்ளிகளால் ஆக்கப்பட்ட  தளத்தில் இருக்கிறது.
 
 ==அணிக்கோட்பாட்டிலிருந்து ஒரு தேற்றம்==
 
 பார்க்கவும்: [[அணிகளின் அளவை]]
 
 '''&lt;math&gt;{V_n}^\mathbf{R}&lt;/math&gt; இலிருந்து m திசையன்கள் எடுத்து  அவைகளை ஒரு  &lt;math&gt;n \times m&lt;/math&gt; அணி M இன் நிரல் திசையன்களாகக்கொண்டு, அவ்வணியைக்  [[அணிகளின் அளவை|குறுவரிசைப்படி]](row-reduced echelon form) ஆக்கினதும், வெற்றில்லாத  நிரல்களின் எண்ணிக்கை   ''r''  என்று கண்டால்,முதலில் எடுத்த m திசையன்களில் நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் மிகப்பெரிய எண்ணிககை  ''r''  ஆகும்.'''
 
 இதன் கிளைத்தேற்றம்: '''&lt;math&gt;{V_n}^\mathbf{R}&lt;/math&gt; இலிருந்து  எடுக்கப்பட்ட  ''n'' திசையன்களை நிரல் திசையன்களாகக்கொண்ட ஒரு  ''n''-பரிமாண சதுர அணி ''M'' இன் [[அணிக்கோவை]]யின் மதிப்பு சூனியமானால், ஆனால் தான்,  அவை நேரியல் சார்புடையவை'''.
 
 இதனால், எ.கா. #2 க்கு, அணிக்கோவை கருத்து மூலம் மாற்று வழி:
 
 அணிக்கோவை    &lt;math&gt;\begin{vmatrix}
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1\\
 1 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0\\
 0 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 0\\
 2 &amp; 2 &amp; 1 &amp; 1
 \end{vmatrix}&lt;/math&gt;
 
 இதைச்சுருக்கி மதிப்பு கணித்தால், கிடைப்பது 0.  ஆக நான்கு நிரல் திசையன்களும் நேரியல் சார்புடையது என்பது தேற்றத்திலிருந்து அறிகிறோம்.
 
 ==முடிவுறாக்கணங்களின் நேரியல் சார்பின்மை==
 
 திசையன் வெளி  ''V'' இன் ஒரு [[முடிவுறாக்கணம்]]  ''S''  நேரியல் சார்பற்றது என்று  சொல்லப்பட வேண்டுமென்றால், அதன் ஒவ்வொரு முடிவுள்ள உட்கணமும் நேரியல் சார்பற்றதாக இருத்தல் வேண்டும்.
 
 எ.கா.: பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வெளியான &lt;math&gt;\mathcal{P}&lt;/math&gt; ஐ எடுத்துக்கொள்வோம்.  இதனில்  S = {1, x, x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, x&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;, .... }  ஒரு நேரியல் சார்பற்ற முடிவுறாக்கணம்.
 
 &lt;math&gt;\mathcal{P}&lt;/math&gt; என்ற குறியீட்டுக்கு [[திசையன் வெளி]] கட்டுரையைப் பார்க்கவும்.
 
 ==துணை நூல்கள்==
 * Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. {{ISBN|0-387-96205-0}}.
 * V. Krishnamurthy, V.P. Mainra &amp; J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. {{ISBN|81-85095-15-9}}
 
 [[பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்]]