இரு மைய நாற்கரம்
[[File:Bicentric quadrilateral.png|thumb|ஒரு இரு மைய நாற்கரம் -''ABCD'']]
 [[File:Bicentric kite 001.svg|thumb|right|ஒரு செங்கோணப் பட்டம்]]
 [[File:Bicentric quadrilateral 2.png|thumb|ஒரு இரு மைய நாற்கரம் -ABCD, அதன் தொடுபுள்ளி நாற்கரம் -WXYZ]]
 [[யூக்ளீட் வடிவியல்|யூக்ளீடிய வடிவவியலில்]] '''இரு மைய நாற்கரம்''' (''bicentric quadrilateral'') என்பது [[உள்வட்டம் (முக்கோணம்)|உள்வட்டமும்]]  [[சூழ்தொடு வட்டம்|சுற்றுவட்டமும்]] ஆகிய இரண்டும் கொண்ட ஒரு குவிவு [[நாற்கரம்]] ஆகும். இதனால் இந்நாற்கரம் [[தொடு நாற்கரம்|தொடு நாற்கரமாகவும்]] [[வட்ட நாற்கரம்|வட்ட நாற்கரமாகவும்]] அமையும். இந்நாற்கரம் ''நாண்-தொடுகோடு நாற்கரம்'', (chord-tangent quadrilateral)&lt;ref name=Dorrie&gt;Dörrie, Heinrich, ''100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions'', New York: Dover, 1965, pp. 188–193.&lt;/ref&gt;  ''உள்வரையப்பட்ட மற்றும் வெளிவரையப்பட்ட நாற்கரம்'' (inscribed and circumscribed quadrilateral) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 ==சிறப்பு வகைகள்==
 
 இரு மைய நாற்கரங்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகள்:
 *[[சதுரம்|சதுரங்கள்]],  
 *[[பட்டம் (வடிவவியல்)#சிறப்பு வகைகள்|செங்கோணப் பட்டங்கள்]], 
 *[[இணை (வடிவவியல்)|இணைப்பக்கங்களின்]] [[கூட்டுச்சராசரி]]யாக இணையில்லா பக்க நீளங்களைக் கொண்ட [[இருசமபக்க சரிவகம்|இருசமபக்க சரிவகங்கள்]].
 
 ==பண்புகள்==
 *ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் எதிர்ப் பக்கங்கள் [[பீட்டோ தேற்றம்|பீட்டோ தேற்ற]] முடிவை நிறைவு செய்தும், எதிர்க் [[கோணம்|கோணங்கள்]] [[மிகைநிரப்புக் கோணங்கள்|மிகைநிரப்புக் கோணங்களாகவும்]] இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அந்நாற்கரம் ஓர் இரு மைய நாற்கரமாக அமையும். 
 
 அதாவது பக்க நீளங்கள் -''a, b, c, d'' கொண்ட ஒரு குவிவு நாற்கரம் ''ABCD''  எனில்:
 
 : &lt;math&gt;\displaystyle a+c=b+d &lt;/math&gt;  (மற்றும்) 
 : &lt;math&gt;\displaystyle A+C=B+D=\pi. &lt;/math&gt; 
 
 ஆகிய இரண்டு முடிவுகளும் உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே நாற்கரம் ''ABCD''  ஒரு இரு மைய நாற்கரமாக இருக்க முடியும்.
 
 *நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் ''AB, BC, CD, DA'' -க்களை உள்வட்டம் தொடும் புள்ளிகள் முறையே ''W, X, Y, Z''  என்க. பின்வரும் மூன்று முடிவுகளும் உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடு நாற்கரம் ''ABCD''  ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் அமையும்.&lt;ref name=Josefsson&gt;{{citation | last = Josefsson | first = Martin | journal = Forum Geometricorum | pages = 165–173 | title = Characterizations of Bicentric Quadrilaterals | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf | volume = 10 | year = 2010}}.&lt;/ref&gt;
 
 :::&lt;math&gt;WY\bot\, XZ &lt;/math&gt;  (அதாவது தொடுபுள்ளி நாற்கரம் ''WXYZ''  ஒரு [[செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்]].)
 
 :::&lt;math&gt;\frac{AW}{WB}=\frac{DY}{YC} &lt;/math&gt;
 
 :::&lt;math&gt;\frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ} &lt;/math&gt;
 
 *''WX, XY , YZ, ZW'' -ன் [[நடுப்புள்ளி]]கள் முறையே  ''E, F, G, H'' என்க. நாற்கரம் ''EFGH''  ஒரு [[செவ்வகம்|செவ்வகமாக]] இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடு நாற்கரம்  ''ABCD'' ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் இருக்கும்.&lt;ref name=Josefsson/&gt;
 
 *ஒரு தொடு நாற்கரத்தின் உள்வட்டமையம் ''I''  மற்றும் அந்நாற்கரத்தின் எதிரெதிர்ப் பக்கங்களின் நீட்சிகள் சந்திக்கும் புள்ளிகள் ''J''  ,''K'' என்க. [[முக்கோணம்]] ''JIK'' ஒரு [[முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள்|செங்கோண முக்கோணமாக]] இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த தொடு நாற்கரம் ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் இருக்கும்.&lt;ref name=Josefsson/&gt;
 
 *தொடு நாற்கரம் ''ABCD'' -ன் [[நியூட்டன் கோடு]] அந்நாற்கரத்தின் தொடுபுள்ளி நாற்கரம் -''WXYZ'' -ன் நியூட்டன் கோட்டுக்குச் செங்குத்தாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடு நாற்கரம் ஒரு வட்ட நாற்கரமாகவும் இருக்கும். &lt;ref name=Josefsson&gt;&lt;/ref&gt;
 
 ==பரப்பளவு==
 *''a, b, c, d''  -பக்க நீளங்கள் கொண்ட இரு மைய நாற்கரத்தின் பரப்பளவு ''K''&lt;ref name=Weisstein/&gt; &lt;ref name=Josefsson2/&gt; &lt;ref name=Josefsson3/&gt; &lt;ref name=Durell/&gt; &lt;ref name=Yiu/&gt;:
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle K = \sqrt{abcd}.&lt;/math&gt;
 
 இவ்வாய்ப்பாடு [[பிரம்மகுப்தர்|பிரம்மகுப்தரின்]] வாய்ப்பாட்டின் சிறப்பு வகையாகும். இதனைத் தொடு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் [[முக்கோணவியல்]] வாய்ப்பாட்டிலிருந்து தருவிக்கலாம்.
 
 *ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் தொடு நாண்கள் ''k, l'' மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் ''p, q'' எனில், அதன் பரப்பு&lt;ref name=Josefsson2&gt;{{citation
  | last = Josefsson | first = Martin
  | journal = Forum Geometricorum
  | pages = 119–130
  | title = Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral
  | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf
  | volume = 10
  | year = 2010}}.&lt;/ref&gt;:
 
 :&lt;math&gt; K=\frac{klpq}{k^2+l^2}.&lt;/math&gt;
 
 பரப்பு காணும் பிற வாய்ப்பாடுகள்:
 
 *:&lt;math&gt; K=\left|\frac{m^2-n^2}{k^2-l^2}\right|kl &lt;/math&gt;&lt;ref name=Josefsson3&gt;{{citation
  | last = Josefsson | first = Martin
  | journal = Forum Geometricorum
  | pages = 155–164
  | title = The Area of a Bicentric Quadrilateral
  | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf
  | volume = 11
  | year = 2011}}.&lt;/ref&gt;
 
 இங்கு ''m''  மற்றும் ''n''  இரு மைய நாற்கரத்தின் இரு நடுக்கோடுகள்.
 
 *:&lt;math&gt; K=\sqrt[4]{efgh}(e+f+g+h).&lt;/math&gt;&lt;ref name=Josefsson2&gt;&lt;/ref&gt;
 
 இதில் ''e, f, g, h'' -[[தொடுகோடு|தொடுகோட்டு]] நீளங்கள்.
 
 *நாற்கரம் ''ABCD''  -ன் பரப்பளவு:
 
 :&lt;math&gt; K=AI\cdot CI+BI\cdot DI &lt;/math&gt;&lt;ref name=Josefsson3&gt;&lt;/ref&gt;
 
 ''I''  -உள்வட்ட மையம்.
 
 *:&lt;math&gt; K=2r^2\left(\frac{1}{\sin{A}}+\frac{1}{\sin{B}}\right). &lt;/math&gt;&lt;ref name=Josefsson3&gt;&lt;/ref&gt;
 
 உள்வட்ட [[ஆரம்]] ''r'' மற்றும் A, B நாற்கரத்தின் இரு அடுத்துள்ள கோணங்கள்.
 
 சமனின்மைகள்:
 
 *:&lt;math&gt;\displaystyle 4r^2 \le K \le 2R^2.&lt;/math&gt;&lt;ref name=Alsina&gt;Alsina, Claudi and Nelsen, Roger, ''When less is more: visualizing basic inequalities'', Mathematical Association of America, 2009, pp. 64-66.&lt;/ref&gt;
 
 ''r'' மற்றும் ''R'' முறையே உள்வட்ட, வெளிவட்ட ஆரங்கள்.
 
 நாற்கரம் சதுரமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே இதிலுள்ள சமன் குறி (இருபுறமும்) பொருந்தும்.
 
 *:&lt;math&gt; K \le \tfrac{4}{3}r\sqrt{4R^2+r^2} &lt;/math&gt;&lt;ref name=Crux&gt;Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”, 2007, Problem 1203, p. 39, [http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/ineq.pdf]&lt;/ref&gt;
 
 ==கோணங்களின் வாய்ப்பாடுகள்==
 
 இரு மைய நாற்கரம் ''ABCD'' -ன் பக்கங்கள் ''AB, BC, CD, DA''  ஆகியவற்றின் நீளங்கள் முறையே ''a, b, c, d''  எனில் நாற்கரத்தின் [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிக்]] கோணங்கள்&lt;ref name=Josefsson3&gt;&lt;/ref&gt;:
 
 :&lt;math&gt;\tan{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{bc}{ad}}=\cot{\frac{C}{2}},&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\tan{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{cd}{ab}}=\cot{\frac{D}{2}}.&lt;/math&gt;
 
 இரு மூலைவிட்டங்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணம் ''&lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt;'' காண வாய்ப்பாடு&lt;ref name=Durell&gt;Durell, C. V. and Robson, A., ''Advanced Trigonometry'', Dover, 2003, pp. 28, 30.&lt;/ref&gt;:
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle \tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{\frac{bd}{ac}}.&lt;/math&gt;
 
 ==உள்வட்ட ஆரமும் வெளிவட்ட ஆரமும்==
 
 ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் உள்வட்ட ஆரம் ''r'' காணும் வாய்ப்பாடுகள்:
 
 *:&lt;math&gt;\displaystyle r=\frac{\sqrt{abcd}}{a+c}. &lt;/math&gt;&lt;ref name=Weisstein&gt;Weisstein, Eric, Bicentric Quadrilateral at ''MathWorld'', [http://mathworld.wolfram.com/BicentricQuadrilateral.html], Accessed on 2011-08-13.&lt;/ref&gt;:
 
 இதில் ''a, b, c, d'' -நாற்கரத்தின் பக்க நீளங்கள்.
 
 *:&lt;math&gt;\displaystyle r=\sqrt{eg}=\sqrt{fh}. &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;M. Radic, Z. Kaliman, and V. Kadum, &quot;A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one&quot;, Mathematical Communications, 12 (2007) 33–52.&lt;/ref&gt;{{rp|p. 41}}
 
 இதில் ''e, f, g, h'' -நாற்கரத்தின் தொடுகோட்டு நீளங்கள்
 
 இவ்விரண்டு வாய்ப்பாடுகளும் உள்வட்ட ஆரம் ''r'' -கொண்ட ஒரு தொடு நாற்கரமானது, வட்ட நாற்கரமாகவும் அமைவதற்குத் தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடுகளாகும். 
 
 *கீழே தரப்பட்டுள்ள வெளிவட்ட ஆரம் ''R''  காணும் வாய்ப்பாடு [[இந்தியா|இந்திய]] [[கணிதவியலாளர்]] ''பரமேஷ்வரரின்'' வாய்ப்பாட்டின் ஒரு சிறப்பு வகையாகும்:&lt;ref name=Weisstein&gt;&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle R=\frac{1}{4}\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{abcd}}. &lt;/math&gt;
 
 *உள்வட்ட ஆரம், வெளிவட்ட ஆரம் இரண்டிற்கும் இடையேயுள்ள சமனின்மை:
 
 : &lt;math&gt;R\ge \sqrt{2}r&lt;/math&gt; 
 
 இச்சமனின்மை நாற்கரத்தின் பரப்பின் இரட்டைச் சமனின்மையில் இருந்து பெறப்பட்டுள்ளது.
 
 உள்வட்டம், வெளிவட்டம் இரண்டும் பொதுமைய [[வட்டம்|வட்டங்களாக]] இருந்தால் மட்டுமே இதிலுள்ள சமக்குறி உண்மையாக அமையும். அப்பொழுது நாற்கரம் ஒரு சதுரமாக இருக்கும்.
 
 *இரு மைய நாற்கரம்  ''ABCD''  -ன் உள்வட்ட, வெளிவட்ட ஆரங்களுக்கு இடையேயுள்ள மற்றொரு சமனின்மை:
 
 :&lt;math&gt; 4r^2 \le IA\cdot IC+IB\cdot ID \le 2R^2 &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Post at ''Art of Problem Solving'', 2009, [http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&amp;t=260539]{{Dead link|date=அக்டோபர் 2022 |bot=InternetArchiveBot }}&lt;/ref&gt;
 
 இங்கு ''I'' -உள்வட்ட மையம்.
 
 *ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் ''p'' மற்றும் ''q'' எனில்:
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle \frac{pq}{4r^2}-\frac{4R^2}{pq}=1&lt;/math&gt;&lt;ref name=Yiu/&gt;
 
 ==ஃபஸ்ஸின் தேற்றமும் கார்லிட்ஸின் முற்றொருமையும்==
 
 ஃபஸ்ஸின் தேற்றம், ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் உள்வட்ட ஆரம், வெளிவட்ட ஆரம் மற்றும் உள்வட்ட, வெளிவட்ட மையங்கள்  ''I'' , ''O''  இரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட தூரம்  ''x''  ஆகிய மூன்றுக்கும் இடைப்பட்ட தொடர்பைத் தருகிறது&lt;ref name=Dorrie&gt;&lt;/ref&gt; &lt;ref name=Yiu&gt;Yiu, Paul, ''Euclidean Geometry'', [http://www.math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeomeryNotes.pdf]{{Dead link|date=ஆகஸ்ட் 2021 |bot=InternetArchiveBot }}, 1998, pp. 158-164.&lt;/ref&gt; &lt;ref&gt;{{citation|last=Salazar|first=Juan Carlos|title=Fuss's Theorem|journal=Mathematical Gazette| volume=90 (July)|pages=306–307|year=2006}}.&lt;/ref&gt;:
 
 :&lt;math&gt; \frac{1}{(R-x)^2}+\frac{1}{(R+x)^2}=\frac{1}{r^2},&lt;/math&gt;
 
 அல்லது
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle 2r^2(R^2+x^2)=(R^2-x^2)^2 &lt;/math&gt;.
 
 1792 -ல் ''நிக்கோலஸ் ஃபஸ்'', இதனைக் கண்டறிந்தார்.
 
 இதிலிருந்து ''x'' -ன் மதிப்பு:
 
 :&lt;math&gt; x=\sqrt{R^2+r^2-r\sqrt{4R^2+r^2}}. &lt;/math&gt; 
 
 ஃபஸ் தேற்றத்தின் கூற்றின்படி:
 
 : ஒரு நாற்கரம் இரு மைய நாற்கரமாக இருந்தால் அதன் உள்வட்டமும் வெளிவட்டமும் மேலேயுள்ளவாறு தொடர்பு கொண்டிருக்கும். 
 
 இதன் மறுதலையும் உண்மையாகும்: 
 
 :ஒன்றுக்குள் மற்றொன்றாக அமையும் இரு வட்டங்களின் ஆரங்கள் ''R'' , ''r'' , அவற்றின் மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் ''x'' -இவை மூன்றும் ஃபஸ்ஸின் தேற்றத்தில் உள்ள சமன்பாட்டை நிறைவு செய்தால் வெளியேயுள்ள வட்டத்துக்குள்ளாகவும், உள்ளேயுள்ள வட்டத்தைத் தொட்டுக்கொண்டும் ஒரு நாற்கரம் அமையும்.&lt;ref&gt;{{citation|last=Byerly|first=W. E.|title=The In- and-Circumscribed Quadrilateral|journal=The Annals of Mathematics|volume=10|pages=123–128|year=1909}}.&lt;/ref&gt;
 
 கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை:
 
 [[உள்வட்ட மையம்]], வெளிவட்ட மையங்களுக்கு இடையேயுள்ள தூரம் ''x'', உள்வட்ட ஆரம் ''r''  , வெளிவட்ட ஆரம் ''R'' -மூன்றுக்கும் இடையேயான மற்றொரு  தொடர்பு அமெரிக்க கணிதவியலாளர் ''லென்னார்ட் கார்லிட்ஸால்'' (1907–1999) தரப்பட்டுள்ளது&lt;ref&gt;Calin, Ovidiu, ''Euclidean and Non-Euclidean Geometry a metric approach'', [http://math.emich.edu/~ocalin/Math341/Newpdf/driver13GeomB.pdf], pp. 153–158.&lt;/ref&gt;:
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle x^2=R^2-2Rr\cdot \mu&lt;/math&gt;
 
 இங்கு
 :&lt;math&gt;\displaystyle \mu=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^2(ac+bd)}} = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^2(ac+bd)}}&lt;/math&gt;
 
 ''a, b, c, d''  -இரு மைய நாற்கரத்தின் பக்க நீளங்கள். 
 
 கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை, வடிவவியலில் முக்கோணத்திற்கான [[வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம்|ஆய்லர் தேற்றத்தை]]  இரு மைய நாற்கரத்திற்குப் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.
 
 ==பிற பண்புகள்==
 [[File:PonceletQuad.png|thumb|இரு மைய நாற்கரங்களுக்கான பான்ஸிலெட்டின் தேற்றம்]]
 
 *ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் வெளிவட்ட மையம், உள்வட்ட மையம் மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி மூன்றும் ஒரே நேர் கோட்டின் மீது அமையும் புள்ளிகளாகும்.&lt;ref&gt;Bogomolny, Alex, ''Collinearity in Bicentric Quadrilaterals'' [https://web.archive.org/web/20040426060201/http://www.maa.org/editorial/knot/BicentricQuadri.html], 2004.&lt;/ref&gt;
 
 *ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் ''p, q'' எனில்:
 
 ::&lt;math&gt;\displaystyle 8pq\le (a+b+c+d)^2&lt;/math&gt;
 
 இதில் ''a, b, c, d''  நாற்கரத்தின் பக்கங்கள். இது முர்ரே கிளாம்கின்னால்  1967 -ல் நிறுவப்பட்டது.&lt;ref name=Alsina&gt;&lt;/ref&gt;
 
 *ஒன்றுக்குள் மற்றொன்றாக அமையும் இரு வட்டங்கள், ஒரு இரு மைய நாற்கரத்தின் வெளிவட்டம் மற்றும் உள்வட்டங்களாக அமைந்தால், வெளிவட்டத்தின் மீதுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் இவ்விரு வட்டங்களையே வெளி மற்றும் உள் வட்டங்களாகக் கொண்ட இரு மைய நாற்கரத்தின் உச்சியாக இருக்கும்.&lt;ref&gt; Weisstein, Eric W. &quot;Poncelet Transverse.&quot; From MathWorld--A Wolfram Web Resource, [http://mathworld.wolfram.com/PonceletTransverse.html] &lt;/ref&gt; [[பிரான்சு|பிரெஞ்சு]] கணிதவியலாளர் ''ஜான்-விக்டர் பான்ஸ்லெட்'' (1788–1867) இதனை நிரூபித்துள்ளார்.
 
 *&lt;math&gt; 2\sqrt{K} \le s \le r + \sqrt{4R^2+r^2} &lt;/math&gt;&lt;ref name=Crux&gt;&lt;/ref&gt;
 
 இதில் இரு மைய நாற்கரத்தின் 
 :[[அரைச்சுற்றளவு]] -''s''  
 : பரப்பு  -''K''   
 :''r, R''  -உள்வட்ட ஆரம் மற்றும் வெளிவட்ட ஆரம்.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 
 {{reflist}}