உட்குலத்தின் குறியெண்
[[குலக் கோட்பாடு|குலக் கோட்பாட்டில்]] ''G'' என்ற [[குலம் (கணிதம்)|குலத்தின்]] [[உட்குலம் (கணிதம்)|உட்குலம்]] ''H'' இன் '''குறியெண்''' (Index) என்பது ''G'' இல் இருக்ககூடிய ''H'' இன் [[இணைக்கணம்|இணைக்கணங்களின்]] எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். ''G'' இல் ''H'' இன் குறியெண்ணின் குறியீடு: |''G''&amp;nbsp;:&amp;nbsp;''H''| அல்லது &lt;nowiki&gt;[&lt;/nowiki&gt;''G''&amp;nbsp;:&amp;nbsp;''H''&lt;nowiki&gt;]&lt;/nowiki&gt; அல்லது (''G'':''H''). ஒரு உட்குலத்தின் குறியெண் முடிவுறு அல்லது முடிவுறா எண்ணாக அமையலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:   
 '''Z''' , [[முழு எண்]]களின் கணம் கூட்டல் செயலியைப் பொறுத்து ஒரு குலம். அதன் ஒரு உட்குலம் 2'''Z''' (இரட்டை முழு எண்களின் கணம்).  '''Z''' இல் உட்குலம் 2'''Z''' க்கு இரண்டு இணைக்கணங்கள் உள்ளன. (ஒன்று இரட்டை முழு எண்கள் கணம். மற்றது ஒற்றை எண்களின் கணம்).
 
 எனவே  '''Z''' இல் 2'''Z''' இன் குறியீடு:
 :&lt;math&gt;|\mathbf{Z}:2\mathbf{Z}| = 2&lt;/math&gt;
 
 பொதுவாக, 
 :&lt;math&gt;|\mathbf{Z}:n\mathbf{Z}| = n&lt;/math&gt;, இங்கு ''n'' ஏதேனும் ஓர் நேர் முழு எண்.
 
 ''N'' என்பது குலம் ''G'' இன் [[இயல்நிலை உட்குலம்]] எனில், ''G'' இல் ''N'' இன் குறியெண் [[காரணி குலம்]] ''G''&amp;nbsp;/&amp;nbsp;''N'' இன் [[குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)|வரிசைக்குச்]] சமமாக இருக்கும்.
 
 ''G'' ஒரு முடிவுறா குலம் எனில் அதன் ஒரு உட்குலம் ''H'' இன் குறியெண் ஒரு பூச்சியமில்லா முதல் எண் (cardinal number). மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டிலுள்ளபடி அம் முதல் எண் ஒரு முடிவுறு எண்ணாகவும் இருக்கலாம்.
 
 ''G'' , ''H'' இரண்டும் [[முடிவுறு குலம்|முடிவுறு குலங்கள்]] எனில் ''G'' இல் ''H'' இன் குறியெண்:
 :&lt;math&gt;|G:H| = \frac{|G|}{|H|}.&lt;/math&gt;
 இது [[லாக்ராஞ்சியின் தேற்றம்|லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தின்]] முடிவாகும். இக்குறியெண் கண்டிப்பாக ஒரு நேர் முழுஎண்.
 
 ==பண்புகள்==
 உட்குலத்தின் குறியெண்ணின் சில பண்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.
 * ''G'' இன் உட்குலம் ''H'' ; ''H''  இன் உட்குலம் ''K'' எனில்
 ::&lt;math&gt;|G:K| = |G:H|\,|H:K|.&lt;/math&gt;
 
 * ''H'' ,''K'' இரண்டும் ''G'' இன் உட்குலங்கள் எனில்:
 ::&lt;math&gt;|G:H\cap K| \le |G : H|\,|G : K|,&lt;/math&gt;
 :இங்கு ''HK''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''G'' எனில் சமன்பாட்டுக்குறி பொருந்தும். (|''G''&amp;nbsp;:&amp;nbsp;''H''&amp;nbsp;&amp;cap;&amp;nbsp;''K''| முடிவுறு எண் எனில், ''HK''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''G'' என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே சமன்பாட்டுக் குறி பொருந்தும்.)
 
 * இதற்கு சமானமாக:
 ''H'' ,''K'' இரண்டும் ''G'' இன் உட்குலங்கள் எனில்:
 ::&lt;math&gt;|H:H\cap K| \le |G:K|,&lt;/math&gt;
 :இங்கும் ''HK''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''G'' எனில் சமன்பாட்டுக்குறி பொருந்தும். (|''G''&amp;nbsp;:&amp;nbsp;''H''&amp;nbsp;&amp;cap;&amp;nbsp;''K''| முடிவுறு எண் எனில், ''HK''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''G'' என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே சமன்பாட்டுக் குறி பொருந்தும்.)
 
 * If ''G'' , ''H'' இரண்டும் குலங்கள்; ''φ'':&amp;nbsp;''G''&amp;nbsp;→&amp;nbsp;''H'' ஒரு [[காப்பமைவியம் (கணிதம்)|காப்பமைவியம்]] எனில்:
 ::&lt;math&gt;|G:\operatorname{ker}\;\varphi|=|\operatorname{im}\;\varphi|.&lt;/math&gt;
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 * [[சமச்சீர் குலம்]] &lt;math&gt;S_n,&lt;/math&gt; இல் [[மாறிசைக்குலம்]] &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt; இன் குறியெண் 2. எனவே &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt; ஒரு [[இயல்நிலை உட்குலம்]] ஆகும்.
 * [[செங்குத்துக் குலம்]] ''O''(''n'') இல் அதன் உட்குலமான சிறப்பு செங்குத்து குலம் ''SO''(''n'') இன் குறியெண் 2. எனவே அது ஒரு இயல்நிலை உட்குலம்.
 * [[கட்டற்ற ஏபெல் குலம்]] '''Z'''&amp;nbsp;⊕&amp;nbsp;'''Z''' -க்கு குறியெண் 2 கொண்ட மூன்று உட்குலங்கள் உள்ளன:
 ::&lt;math&gt;\{(x,y) \mid x\text{ is even}\},\quad \{(x,y) \mid y\text{ is even}\},\quad\text{and}\quad
 \{(x,y) \mid x+y\text{ is even}\}&lt;/math&gt;.
 
 * பொதுவாக, ''p'' ஒரு [[பகா எண்]] எனில்,  '''Z'''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; குலத்திற்கு, குறியெண் ''p'' கொண்ட (''p''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;1) / (''p''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;1) எண்ணிக்கையிலான உட்குலங்கள் உள்ளன.
 * இதேபோல் [[கட்டற்ற குலம்]] ''F''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; க்கு, குறியெண் ''p'' உடைய ''p''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;1 எண்ணிக்கையிலான உட்குலங்கள் உள்ளன.
 * ஒரு முடிவுறா [[இருமுகக் குலங்கள்|இருமுகக் குலத்திற்கு]] குறியெண் 2 கொண்ட ஒரு [[சுழற் குலம்|சுழல் உட்குலம்]] இருக்கும், மேலும் அது இயல்நிலை உட்குலமாக இருக்கும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 * {{ Citation | title = On Subgroups of Prime Index | first = T. Y. | last = Lam | journal = [[The American Mathematical Monthly]] | volume = 111 | number = 3 | month = March | year = 2004 | pages = 256–258 | jstor = 4145135 | postscript =, [http://math.berkeley.edu/~lam/html/index-p.ps alternative download] }}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * {{PlanetMath | urlname = NormalityOfSubgroupsOfPrimeIndex | title = Normality of subgroups of prime index }}
 * &quot;[http://groupprops.subwiki.org/wiki/Subgroup_of_least_prime_index_is_normal Subgroup of least prime index is normal]&quot; at [http://groupprops.subwiki.org/wiki/Main_Page Groupprops, The Group Properties Wiki]