சதுர முக்கோண எண்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''சதுர முக்கோண எண்''' அல்லது '''வர்க்க முக்கோண எண்''' (''Square triangular number'') என்பது [[முக்கோண எண்]] மற்றும் [[சதுர எண்]]ணாகவும் (முழு [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கம்]]) உள்ள ஒரு [[வடிவ எண்]]ணாகும். சதுர முக்கோண எண்ணை ''முக்கோண சதுர எண்'' எனவும் அழைக்கலாம். எண்ணிலடங்கா சதுர முக்கோண எண்கள் உள்ளன. அவற்றுள் முதலிலுள்ள சில:
 : 0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 {{OEIS|id=A001110}}.
 
 ==வாய்ப்பாடுகள்==
 
 ''k'' -ஆம் சதுர முக்கோண எண், &lt;math&gt;N_k \,&lt;/math&gt; என்க. இதற்குரிய [[சதுரம்]] மற்றும் [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தின்]] பக்கங்கள் முறையே &lt;math&gt;s_k \,&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;t_k \,&lt;/math&gt; எனில்:
 :&lt;math&gt;N_k = s_k^2 = \frac{t_k(t_k+1)}{2}. \,&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;N_k \,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;s_k \,&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;t_k \,&lt;/math&gt; தொடர் வரிசைகள் முறையே, [[OEIS]] தொடர் வரிசைகளான {{OEIS2C|id=A001110}}, {{OEIS2C|id=A001109}}, மற்றும் {{OEIS2C|id=A001108}} ஆகும்.
 
 சதுர முக்கோண எண்கள் காண 1778 -ல் [[ஆய்லர்]] உருவாக்கிய வாய்ப்பாடு:&lt;ref name=Dickson&gt;
 {{cite book | last1 = Dickson | first1 = Leonard Eugene | authorlink1 = Leonard Eugene Dickson |title = History of the Theory of Numbers |url=http://books.google.com/?id=eNjKEBLt_tQC&amp;pg=PA16 | accessdate = 2009-05-10 | volume = 2 | publisher = American Mathematical Society | location = Providence | year = 1999 |origyear = 1920 | page = 16 | isbn = 9780821819357 }}
 &lt;/ref&gt;&lt;ref name=Euler&gt;
 {{cite journal |last=Euler |first=Leonhard |authorlink=Leonhard Euler |year=1813 |title=Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (An easy rule for Diophantine problems which are to be resolved quickly by integral numbers)  |journal=Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg |volume= 4 |pages=3–17 |url=http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E739.html |language=Latin |accessdate=2009-05-11 |quote=According to the records, it was presented to the St. Petersburg Academy on May 4, 1778.}}
 &lt;/ref&gt;{{Rp|12–13}}
 :&lt;math&gt;N_k = \left( \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} \right)^2.\,&lt;/math&gt;
 
 இவ்வாய்ப்பட்டையே வேறுவிதமாக மாற்றியமைக்கக் கிடைப்பது:
 :&lt;math&gt;\begin{align} 
 N_k &amp;= {1 \over 32} \left( ( 1 + \sqrt{2} )^{2k} - ( 1 - \sqrt{2} )^{2k} \right)^2 = {1 \over 32} \left( ( 1 + \sqrt{2} )^{4k}-2 + ( 1 - \sqrt{2} )^{4k} \right) \\
 &amp;= {1 \over 32} \left( ( 17 + 12\sqrt{2} )^k -2 + ( 17 - 12\sqrt{2} )^k \right).
 \end{align}&lt;/math&gt;
 இதற்குரிய &lt;math&gt;s_k \,&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;t_k \,&lt;/math&gt; காணும் வாய்ப்பாடுகள்:&lt;ref name=Euler /&gt;{{Rp|13}}
 
 :&lt;math&gt; s_k = \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; t_k = \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k + (3 - 2\sqrt{2})^k - 2}{4}. &lt;/math&gt;
 
 ==பெல்லின் சமன்பாடு==
 சதுர முக்கோண எண்களைக் காணும் முறையானது [[பெல்லின் சமன்பாடு|பெல்லின் சமன்பாடாகப்]] (Pell's equation) பின்வருமாறு மாற்றமடைகிறது:&lt;ref&gt;
 {{cite book | last1 = Barbeau | first1 = Edward | title = Pell's Equation | pages = 16–17 | url=http://books.google.com/?id=FtoFImV5BKMC&amp;pg=PA16 | accessdate = 2009-05-10 |series = Problem Books in Mathematics | publisher = Springer | location = New York | year = 2003 | isbn = 9780387955292 }}
 &lt;/ref&gt;
 
 ஒரு முக்கோண எண்ணின் வடிவம்: 
 :&lt;math&gt;\frac{t(t+1)}{2}.&lt;/math&gt;
 
 இந்த எண் சதுர எண்ணாகவும் இருந்தால்
 
 :&lt;math&gt;\frac{t(t+1)}{2} = s^2.&lt;/math&gt; என்றபடி ஒரு &lt;math&gt;s,&lt;/math&gt; இருக்க வேண்டும்.
 
 இதை சற்றே மாற்றியமைக்க:
 
 :&lt;math&gt;(2t+1)^2 = 8s^2+1,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; x = (2t+1) &lt;/math&gt;; &lt;math&gt; y = 2s,&lt;/math&gt; எனப் பிரதியிட:
 
 :&lt;math&gt;x^2 - 2y^2 =1&lt;/math&gt;
 
 இச்[[சமன்பாடு]] ஒரு பெல்லின் சமன்பாடாகும். இச்சமன்பாடு [[பெல் எண்]]களான ''P''&lt;sub&gt;''k''&lt;/sub&gt; மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;
 {{cite book |last1=Hardy |first1=G. H. |authorlink1=G. H. Hardy |last2=Wright |first2=E. M. |authorlink2 = E. M. Wright |title=An Introduction to the Theory of Numbers |edition=5th |year=1979 |publisher=Oxford University Press |isbn=0198531710 |page=210|quote= Theorem 244 }}
 &lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;x = P_{2k} + P_{2k-1}, \quad y = P_{2k};&lt;/math&gt;
 
 :  ஃ &lt;math&gt; s_k = \frac{P_{2k}}{2}, \quad t_k = \frac{P_{2k} + P_{2k-1} -1}{2}, \quad N_k = \left( \frac{P_{2k}}{2} \right)^2.&lt;/math&gt;
 
 ==மீள்வரு தொடர்புகள்==
 
 சதுர முக்கோண எண்கள், அவற்றுக்குரிய சதுரம் மற்றும் முக்கோணங்களின் பக்கங்களுக்கான மீள்வரு தொடர்பு:&lt;ref&gt;{{MathWorld|title=Square Triangular Number|urlname=SquareTriangularNumber}}&lt;/ref&gt;{{Rp|(12)}}&lt;ref name=Dickson /&gt;&lt;ref name=Euler /&gt;{{Rp|13}}
 
 :&lt;math&gt;N_k = 34N_{k-1} - N_{k-2} + 2,\,&lt;/math&gt;  &lt;math&gt;N_0 = 0 \,&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt; N_1 = 1.\,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;N_k = \left(6\sqrt{N_{k-1}} - \sqrt{N_{k-2}}\right)^2, \,&lt;/math&gt;  &lt;math&gt;N_0 = 1 \,&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;N_1 = 36.\,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;s_k = 6s_{k-1} - s_{k-2},\,&lt;/math&gt;  &lt;math&gt;s_0 = 0 \,&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;s_1 = 1;\,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;t_k = 6t_{k-1} - t_{k-2} + 2,\,&lt;/math&gt;  &lt;math&gt;t_0 = 0 \,&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;t_1 = 1.\,&lt;/math&gt;
 
 ==பிற பண்புகள்==
 
 சதுர முக்கோண எண்கள் எண்ணற்றவை என்பதற்கான [[கணித நிறுவல்|நிறுவலை]] ''எ. வி. சில்வெஸ்டர்'' தந்துள்ளார்:&lt;ref name=Sylwester&gt;
 {{cite journal |last=Pietenpol |first=J. L. |coauthors=A. V. Sylwester, Erwin Just, R. M Warten |year=1962 |month=February |title=Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1962-02_69_2/page/168 |journal=American Mathematical Monthly |volume=69 |issue=2 |pages=168–169 |ISSN=00029890  |jstor=2312558|publisher=Mathematical Association of America }}
 &lt;/ref&gt;
 ''n''(''n''+1)/2  என்ற முக்கோண எண் ஒரு வர்க்கம் எனில் மிகப்பெரிய முக்கோண எண்ணும் அவ்வாறே வர்க்கமாக அமையும்:
 
 :&lt;math&gt;\frac{\bigl( 4n(n+1) \bigr) \bigl( 4n(n+1)+1 \bigr)}{2} = 2^2 \, \frac{n(n+1)}{2} \,(2n+1)^2.&lt;/math&gt;
 
 ஒரு சதுர முக்கோண எண்ணைப் பிறப்பிக்கும் சார்பு:&lt;ref&gt;{{cite web |first=Simon |last=Plouffe |authorlink=Simon Plouffe |title=1031 Generating Functions |url=http://www.lacim.uqam.ca/%7Eplouffe/articles/FonctionsGeneratrices.pdf |publisher=University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique |page=A.129 |format=PDF |month=August |year=1992 |accessdate=2009-05-11 |archive-date=2013-02-06 |archive-url=https://www.webcitation.org/6EEFLpSDH?url=http://www.plouffe.fr/simon/articles/FonctionsGeneratrices.pdf |url-status=dead }}&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{1+z}{(1-z)(z^2 - 34z + 1)} = 1 + 36z + 1225 z^2 + \cdots.&lt;/math&gt;
 
 ==எண் தரவு==
 
 ''k'' -ன் மதிப்பு அதிகமாக அதிகமாக ''t''&lt;sub&gt;''k''&lt;/sub&gt; / ''s''&lt;sub&gt;''k''&lt;/sub&gt; [[விகிதம்]] &lt;math&gt;\sqrt{2} \approx 1.41421&lt;/math&gt; -யும் தொடர்ந்து அமையும் இரு சதுர முக்கோண எண்களின் விகிதம் &lt;math&gt;17+12\sqrt{2} \approx 33.97056&lt;/math&gt; -யும் நெருங்கும்..
 
 :&lt;math&gt; \begin{array}{rrrrll} 
 k &amp; N_k &amp; s_k &amp; t_k &amp; t_k/s_k &amp; N_k/N_{k-1} \\
 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; &amp; \\
 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; \\
 2 &amp; 36 &amp; 6 &amp; 8 &amp;  1.33333 &amp; 36\\
 3 &amp; 1\,225 &amp; 35 &amp; 49 &amp;  1.4 &amp; 34.02778\\
 4 &amp; 41\,616 &amp; 204 &amp; 288 &amp;  1.41176 &amp; 33.97224\\
 5 &amp; 1\,413\,721 &amp; 1\,189 &amp; 1\,681 &amp;  1.41379 &amp; 33.97061\\
 6 &amp; 48\,024\,900 &amp; 6\,930 &amp; 9\,800 &amp;  1.41414 &amp; 33.97056\\
 7 &amp; 1\,631\,432\,881 &amp; 40\,391 &amp; 57\,121 &amp;  1.41420 &amp; 33.97056\\
 \end{array} &lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml Triangular numbers that are also square] at [[cut-the-knot]]
 * {{MathWorld|title=Square Triangular Number|urlname=SquareTriangularNumber}}
 
 [[பகுப்பு:வடிவ எண்கள்]]