சமன் (கணிதம்)
கணிதத்தில் '''சமன்''' அல்லது '''சமம்''' (''equality'') என்பது இரண்டு கணியங்கள் அல்லது இரண்டு [[கோவை (கணிதம்)|கோவைகளுக்கு]] இடையேயான ஒரு உறவாகும். ஒரே மதிப்புடைய இரண்டு கணியங்கள் ''சமன்'' உறவால் இணைக்கப்படுகின்றன. அதேபோல ஒரே கணிதப் பொருளைக் குறிக்கும் இரு கோவைகள் ''சமன்'' உறவால் இணைக்கப்படுகின்றன.
 
 ''A'' , ''B'' இரண்டும் சமம் என்பது  '''''A''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''B''''' என எழுதப்பட்டு, ''''A'' சமம் ''B'''' என வாசிக்கப்படுகிறது.  '''&quot;=&quot;''' என்பது [[சமக் குறி]] என அழைக்கப்படுகிறது.
 
 ==சொற்பிறப்பியல்==
 ''aequālis'' என்ற இலத்தின் மொழிச் சொல்லில் இருந்து தோன்றியது சமன் என்பதன் ஆங்கிலச் சொல்லான &quot;equality&quot; .
 
 ==சமனின் வகைகள்==
 ===முற்றொருமைகள்===
 {{முதன்மை|முற்றொருமை (கணிதம்)}}
 ''A'' , ''B'' இரண்டும் [[சார்பு]]களைக் குறிக்கும்போது ''A''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''B'' எனில், ''A'' , ''B'' இரண்டும் ஒரே சார்பைக் குறிக்கும். சார்புகளுக்கு இடையேயான இந்த சமத்தன்மை சில சமயங்களில் [[முற்றொருமை (கணிதம்)|முற்றொருமை]] என அழைக்கப்படுகிறது.
 
 முற்றொருமைக்கான எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt;(x+1)^2 = x^2+2x+1&lt;/math&gt;
 
 ===சர்வசமங்கள்===
 சில சமயங்களில் சமானமான இரு கணிதப் பொருட்கள்,  சமமானவையாகக் கொள்ளப்படுகின்றன. குறிப்பாக [[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]], ஒன்றின் மீது மற்றொன்று முற்றாகப் பொருந்தக் கூடிய இரு வடிவவியல் வடிவங்கள் சமமானவை எனப்படுகின்றன. இத்தகைய சமனைக் குறிப்பதற்கு ''சர்வசமம்'' (''congruence'') என்ற சொல்லும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
 
 ===சமன்பாடுகள்===
 ஒரு சமன்பாட்டில் உள்ள மாறிகளின், சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் மதிப்புகளைக் காண்பதே [[சமன்பாடு|அச்சமன்பாட்டின்]] தீர்வு ஆகும். மாறிகளின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளை மட்டுமே நிறைவு செய்யும் சம உறவாகவும் ஒரு சமன்பாடு அமையலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''y''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;=&amp;nbsp;1 என்பது [[ஓரலகு வட்டம்|அலகு வட்டத்தின்]] சமன்பாடாகும். முற்றொருமையையும் சமன்பாட்டையும் பிரித்தறிவதற்கான தனிப்பட்டக் குறியீடு எதுவும் இல்லை, பொருளையும் சந்தர்ப்பத்தையும் கொண்டு அவற்றைப் பிரித்தறிந்து கொள்ளலாம்.
 
 ===சமான உறவுகள்===
 {{main|சமான உறவு (கணிதம்)}}
 சமனை ஒரு உறவாக எடுத்துக்கொள்ளும்போது, அது ஒரு கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவுக்]] கருத்துருவின் முன்மாதிரியாகும்.
 முற்றொருமை உறவு (சமன்) ஒரு சமான உறவாகும். மறுதலையாக ''R'' ஒரு சமான உறவு; ''x R z'' என்றமையும் அனைத்து ''z'' களைக் கொண்ட ''x'' இன் [[சமானப் பகுதி]] ''x&lt;sup&gt;R&lt;/sup&gt;'' எனில்,  ''x&lt;sup&gt;R&lt;/sup&gt;''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''y&lt;sup&gt;R&lt;/sup&gt;'' உடன் ''x R y'' என்பது சமானமானதாக இருக்கும். எனவே எந்தவொரு கணத்தின் மீதும் வரையறுக்கப்பட்ட, மிகச்சிறிய சமானப் பகுதிகளைக் கொண்ட(ஒவ்வொரு சமானப் பகுதியும் ஓருறுப்பு கணமாகச் சுருங்கும்), சிறந்த சமான உறவாக, ''சமன்'' உறவு அமையும்.
 
 ==பண்புகள்==
 பதிலிடல் பண்பு:
 * ''a'' , ''b'' இரு கணியங்கள்; ''F''(''x'') ஒரு கோவை என்க:
 :&lt;math&gt; a = b&lt;/math&gt; எனில்,  &lt;math&gt;F(a) = F(b) &lt;/math&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டுகள்:
 ''a'', ''b'',  ''c'' மூன்று மெய்யெண்கள்,  ''a'' = ''b'' எனில்:
 
 :* ''a'' + ''c'' = ''b'' + ''c''    (''F''(''x'') = ''x'' + ''c'')
 :* ''a'' − ''c'' = ''b'' − ''c''    (''F''(''x'') = ''x'' − ''c'')
 :* ''ac'' = ''bc''            (''F''(''x'') = ''xc'')
 :* ''c'' ≠  [[0 (எண்)|0]], ''a''/''c'' = ''b''/''c''     (''F''(''x'') = ''x''/''c'').
 
 எதிர்வுப் பண்பு:
 :&lt;math&gt;\forall a, \quad a=a &lt;/math&gt;
 
 இப்பண்பு [[கணித நிறுவல்]]களில் இடைநிலைப் படியாக இப்பண்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது.
 
 சமச்சீர் பண்பு:
 :&lt;math&gt;\forall a, b, \quad a=b \Rightarrow b=a  &lt;/math&gt;
 
 கடப்புப் பண்பு:
 :&lt;math&gt;\forall a, b, c \quad  a = b \quad and \quad b = c \Rightarrow a = c &lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{Reflist}}
 {{Refbegin}}
 * {{Citation | first = Barry | last = Mazur | authorlink = Barry Mazur | title = When is one thing equal to some other thing? | date = 12 June 2007 | url = http://www.math.harvard.edu/~mazur/preprints/when_is_one.pdf }}
 * {{Cite book
  | authorlink = Saunders Mac Lane
  | first = Saunders
  | last = Mac Lane
  |author2=Garrett Birkhoff 
  | title = Algebra
  | publisher = American Mathematical Society
  | year = 1967}}
 {{Refend}}