இசுட்டெர்லிங் எண்கள்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''இசுடர்லிங் எண்கள்''' (''Sterling numbers'') இருவகைப்படும். ஒரு ''n''-[[கணம்|கணத்தை]] எத்தனை விதமாகச் [[சுழல்]]களாகப் பிரித்துக் காட்டலாம் என்ற பிரச்சினையை [[முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்]]களாலும்,எத்தனை விதமாக [[கணம் (கணிதம்)|உட்கணங்களாக]]ப் பிரித்துக் காட்டலாம் என்ற பிரச்சினையை [[இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்]]களாலும்  ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. [[ஜேம்ஸ் ஸ்டர்லிங்]] (1692 - 1770) என்ற [[ஸ்காட்லாந்து]] நாட்டுக் கணிதவியலர் 1730 இல் தன்னுடைய நூலில் இவைகளை அறிமுகப்படுத்தினார்.  [[ஆய்லர் எண்]]கள், [[ஈருறுப்புக் கெழு]]க்கள், [[பெல் எண்]]கள் -- இவைகளுடன் ஸ்டர்லிங் எண்கள் நெருங்கிய தொடர்பு கொண்டவை.&lt;ref&gt;Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) ''Concrete Mathematics'', Addison-Wesley, Reading MA. {{isbn|0-201-14236-8}}, p.&amp;nbsp;244.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Cite journal |last=Knuth |first=Donald E. |date=1992 |title=Two Notes on Notation |url=https://www.jstor.org/stable/2325085 |journal=American Mathematical Monthly |volume=99 |issue=5 |pages=403–422 |doi=10.2307/2325085 |jstor=2325085 |via=JSTOR}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite book |last=Aigner |first=Martin |title=A Course in Enumeration |url=https://archive.org/details/courseenumeratio00aign_007 |url-access=limited |publisher=Springer |year=2007 |pages=[https://archive.org/details/courseenumeratio00aign_007/page/n563 561] |chapter=Section 1.2 - Subsets and binomial coefficients |isbn=978-3-540-39032-9}}&lt;/ref&gt;
 
 ==முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள்==
 
 ஒரு'' n''-கணத்தை ''k'' சுழல்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய  வழிகளின் எண்ணிக்கை '''முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்''' எனப் பெயர் பெறும்.அதாவது எத்தனை [[திரிபு (கணிதம்)|''n''-திரிபுகள்]] ''k'' சுழல்களாலானவை என்ற கேள்விக்கும் இதே எண்ணிக்கைதான் விடை. இதற்கு ஒரு குறியீடு  '''''s(n,k).''''' இக்கட்டுரையில் 
 &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 n\\
 k
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்.இதை  n-cycle-k என்றோ n-சுழல்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம்.  1930 இல் [[காராமாடா]]  என்பவரால் இக்குறியீடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு தற்காலத்தில் பரவலாக எங்கும் புழக்கத்திலுள்ளது.
 
 எடுத்துக்காட்டாக, &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 4\\
 2
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; = 11
 
 ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இருசுழற்பிரிவுகள்:
 
 : '''''a/bcd;  a/bdc;  b/cda;  b/cad;  c/dab;  c/dba;  d/abc;  d/acb;  ab/cd;  ac/db;  ad/bc'''''
 
 அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் '''ஸ்டர்லிங் சுழல் எண்''' என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.
 
 ==முதல்வகை எண்அட்டவணை==
 
 &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 n\\
 k
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
 
 {| class=&quot;wikitable&quot;
 |-
 ! &lt;math&gt;n \downarrow
 
 k \rightarrow&lt;/math&gt;
 ! 1
 ! 2
 ! 3
 ! 4
 ! 5
 ! 6
 ! 7
 |-
 | '''1'''
 | 1
 | 
 |
 |
 |
 |
 |
 |-
 | '''2'''
 | 1
 | 1
 |
 |
 |
 |
 |
 |-
 |''' 3'''
 | 2
 | 3
 | 1
 |
 |
 |
 |
 |-
 | '''4'''
 | 6
 | 11
 | 6
 | 1
 |
 |
 |
 |-
 | '''5'''
 | 24
 | 50
 | 35
 | 10
 | 1
 |
 | 
 |-
 | '''6''' 
 | 120
 | 274
 | 225
 | 85
 | 15
 | 1
 |
 |-
 | '''7''' 
 | 720
 | 1764
 | 1624
 | 735
 | 175
 | 21
 | 1
 |-            
 |}
 
 ==இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள்==
 
 ஒரு ''n''-கணத்தை ''k'' உட்கணங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய  வழிகளின் எண்ணிக்கை '''இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்''' எனப் பெயர் பெறும். இதற்கு ஒரு குறியீடு '''''S(n,k)'''''. இக்கட்டுரையில்
 &lt;math&gt;\left\{\begin{matrix}
 n\\
 k
 \end{matrix}\right\}&lt;/math&gt;  என்ற் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம். இதை n-subset-k என்றோ    n-உட்கணம்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டாக, &lt;math&gt;\left\{\begin{matrix}
 4\\
 2
 \end{matrix}\right\}&lt;/math&gt; =  7
 
 ஏனென்றால்,  {a, b, c, d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இரு-உட்கணப்பிரிவுகள்:
 
 : ''''' {a}/{b,c,d};  {b}/{c,d,a};  {c}{d,a,b}; {d}{a,b,c}; {a,b}/{c,d};  {a,c}/{b,d};  {a,d}/{b,c}.'''''
 
 அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் '''ஸ்டர்லிங் உட்கண எண்''' என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.
 
 ==இரண்டாவது வகை எண் அட்டவணை==
 
 &lt;math&gt;\left\{\begin{matrix}
 n\\
 k
 \end{matrix}\right\}&lt;/math&gt;
 
 {| class=&quot;wikitable&quot;
 |-
 ! &lt;math&gt;n \downarrow
 
 k \rightarrow&lt;/math&gt;
 
 ! 1
 ! 2
 ! 3
 ! 4
 ! 5
 ! 6
 ! 7
 |-
 | '''1'''
 | 1
 | 
 |
 |
 |
 |
 |-
 | '''2'''
 | 1
 | 1
 |
 |
 |
 |
 |
 |-
 | '''3'''
 | 1
 | 3
 | 1
 |
 |
 |
 |
 |-
 | '''4'''
 | 1
 | 7
 | 6
 | 1
 |
 |
 |
 |-
 | '''5'''
 | 1
 | 15
 | 25
 | 10
 | 1
 |
 |
 |-
 | '''6'''
 | 1
 | 31
 | 90
 | 65
 | 15
 | 1
 |
 |-
 | '''7'''
 | 1
 | 63
 | 301
 | 350
 | 140
 | 21
 | 1
 |-
 |}
 
 ==சில எளிதான பொதுவிளைவுகள்==
 
 :* &lt;math&gt;n\geqslant 2&lt;/math&gt; ஆக இருந்தால் &lt;math&gt;\left\{\begin{matrix}
 n\\
 2
 \end{matrix}\right\}&lt;/math&gt; =  &lt;math&gt;2^{n-1} - 1&lt;/math&gt;.
 
 :* &lt;math&gt;n\geqslant 1&lt;/math&gt; ஆக இருந்தால் &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 n\\
 1
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;(n - 1)!&lt;/math&gt;
 
 :* &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 n\\
 n
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left\{\begin{matrix}
 n\\
 n
 \end{matrix}\right\}&lt;/math&gt; = 1
 
 :* &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 n\\
 n - 1
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\left\{\begin{matrix}
 n\\
 n - 1
 \end{matrix}\right\}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\binom{n}{2}&lt;/math&gt;
 
 ==செங்குத்துத்தன்மை உறவுகள்==
 
 முதல் வகை, இரண்டாவது வகை ஆகிய இரண்டு ஸ்டர்லிங் எண்களுக்கும், [[இறங்குமுகக் காரணியத்துடன்]] உறவுகள் உள்ளன. [[முதல்வகை ஸ்டர்லிங் எண்]]ணில்  கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து,
 
 : (*) &lt;math&gt;x(x - 1)(x - 2) ... (x - n + 1) = \sum_{k} \begin{bmatrix}
 n\\
 k
 \end{bmatrix} (-1)^{n-k} x^k&lt;/math&gt;.
 
 [[இரண்டாவதுவகை ஸ்டர்லிங் எண்]]ணில்  கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து,
 
 : (**) &lt;math&gt; x^n = \sum_k \left\{\begin{matrix}
 n\\
 k
 \end{matrix}\right\}x(x-1)(x-2) ... (x-k+1)&lt;/math&gt;
 
 (*)ஐ (**) இல் பொருத்தினால் நமக்குக் கிடைப்பது:
 
 :&lt;math&gt;x^n = \sum_k \left\{\begin{matrix}
 n\\
 k
 \end{matrix}\right\} \sum_m \begin{bmatrix}
 k\\
 m
 \end{bmatrix} (-1)^{k-m} x^m&lt;/math&gt;
 
 = &lt;math&gt;\sum_m \biggl(\sum_k\left\{\begin{matrix}
 n\\
 k
 \end{matrix}\right\}\begin{bmatrix}
 k\\
 m
 \end{bmatrix} (-1)^{k-m}\biggr)x^m&lt;/math&gt;
 
 ஆனால்  &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt; பல்லுறுப்புகளெல்லாம் சேர்வியல் சார்பற்றவை.
 
 :::ஃ ('''செ.உ.1'''): &lt;math&gt;\sum_k \left\{\begin{matrix}
 n\\
 k
 \end{matrix}\right\}\begin{bmatrix}
 k\\
 m
 \end{bmatrix}(-1)^{k-m} = \delta_{nm}&lt;/math&gt;. இங்கு  &lt;math&gt;\delta_{nm} = \begin{cases}
 1 , n=m \\
 0 , n\neq m
 \end{cases}&lt;/math&gt;.
 
 மாற்றாக, (**)ஐ (*) இல் பொருத்தி, பல்லுறுப்புகள்  x(x-1)(x-2)...(x-n+1) சேர்வியல் சார்பற்றவை என்பதைப் பயன்படுத்தினால், நமக்குக்கிடைப்பது, இதற்கு இணையான் இன்னொரு செங்குத்துத்தன்மை உறவு (Orthogonality Relation):
 
 :::ஃ ('''செ.உ.2'''):&lt;math&gt;\sum_k\begin{bmatrix}
 n\\
 k
 \end{bmatrix}\left\{\begin{matrix}
 k\\
 m
 \end{matrix}\right\} (-1)^{n-k}  = \delta_{nm}&lt;/math&gt;
 
 ஸ்டர்லிங் எண்களைப்பற்றிய மற்ற தேற்றங்களையும் [[மீள்வரு தொடர்பு]]களையும் [[முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்]], [[இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்]] என்ற தனிக்கட்டுரைகளில் பார்க்கவும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 [[பகுப்பு:சேர்வியல்]]
 [[பகுப்பு:குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்]]