பெல் எண்
[[சேர்வியல் (கணிதம்)|சேர்வியல் கணிதத்தில்]], '''பெல் எண்'''ணானது (''Bell number'') [[ஒரு கணத்தின் பிரிவினை]]களின் எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. 19 ஆம் நூற்றாண்டிலிருந்து கணிதவியலாளர்களால் மேற்கொள்ளப்பட்ட இவ்வெண்கள் பற்றிய ஆய்வின் துவக்கம் சப்பானின் நடுக்காலமாக (1185-1600) அறியப்பட்டாலும், 1930 களில் இவ்வெண்கள் பற்றிய குறிப்புகளைத் தந்த கணிதவியலாளர் எரிக் டெம்பிள் பெல் என்பாரின் பெயராலேயே அழைக்கப்படுகின்றன.
 
 ''B''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = ''B''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 1 என்பதில் தொடங்கியமையும் பெல் எண்கள்::
 :1, [[1 (எண்)|1]], [[2 (எண்)|2]], [[5 (எண்)|5]], [[15 (number)|15]], [[52 (number)|52]], [[203 (number)|203]], 877, 4140, 21147, 115975, 678570, 4213597, 27644437, 190899322, 1382958545, 10480142147, 82864869804, 682076806159, 5832742205057, ... {{OEIS|id=A000110}}.
 
 ''n'' உறுப்புகள் கொண்ட பிரிவினைகளாக ஒரு கணத்தை எத்தனை வெவ்வேறு வழிகளில் பிரிக்கலாம் என்பதை, ''n'' ஆவது பெல் எண் ''B&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' தருகிறது. அதாவது அக்கணத்தின் மீதான [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவுகளின்]] எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. கணிதத்தில் மட்டுமல்லாது கவிதைகளில் ''n''- வரிசைகள் கொண்ட கவிதைகளில் எத்தனை வேறுபட்ட ஒலி இயைபு அமைவுகள் இருக்க முடியும் என்ற எண்ணிக்கையைத் தருகிறது.&lt;ref name=&quot;mg&quot;&gt;{{harvtxt|Gardner|1978}}.&lt;/ref&gt;
 
 [[நிகழ்தகவுப் பரவல்]]களின் விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகளாகவும் (moments of probability distributions) பெல் எண்கள் உள்ளன. குறிப்பாக, [[கூட்டுச்சராசரி]] 1 கொண்ட [[பாய்சான் பரவல்|பாய்சான் பரவலின்]] ''n'' ஆம் விலக்கப் பெருக்குத்தொகை ''B&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' ஆகும்.
 
 ==கணப் பிரிவினைகள்==
 {{main|ஒரு கணத்தின் பிரிவினை}}
 [[File:Set partitions 5; circles.svg|thumb|5 உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் 52 பிரிவினைகள்.]]
 பொதுவாக ஒரு கணத்தின், ''n'' உறுப்புகள் கொண்ட  [[ஒரு கணத்தின் பிரிவினை|பிரிவினைகளின்]] எண்ணிக்கையை ''B''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; குறிக்கிறது. ஒரு கணத்தின் (''S'') பிரிவினை என்பது, அக்கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரேயொரு உட்கணத்தில் மட்டும் உள்ளவாறு பிரிக்கப்படுகின்ற மூலகணத்தின் (''S'') வெற்றில்லா உட்கணங்களின் கணமாகும். இப்பிரிவினை கணங்களின் சேர்ப்பு, மூலகணம் (''S'') ஆக அமையும்.
 
 எடுத்துக்காட்டாக, 3-உறுப்பு கணத்தை ( {''a'',&amp;nbsp;''b'',&amp;nbsp;''c''}) 5 வெவ்வேறான வகைகளில் பிரிக்கலாம் என்பதால்  ''B''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;=&amp;nbsp;5:
 :{ {''a''}, {''b''}, {''c''} }
 :{ {''a''}, {''b'', ''c''} }
 :{ {''b''}, {''a'', ''c''} }
 :{ {''c''}, {''a'', ''b''} }
 :{ {''a'', ''b'', ''c''} }.
 
 [[வெற்றுக் கணம்|வெற்றுக் கணத்திற்கு]] ஒரெயொரு பிரிவினை மட்டுமே உள்ளதால், ''B''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = 1. வெற்றுக் கணத்தின் ஒவ்வொரு உட்கணமும் வெற்றற்ற கணமாகவும் அவற்றின் சேர்ப்பு வெற்று கணமாகவும் கொள்ளப்படுவதால், வெற்றுக் கணத்திற்கு அது மட்டுமே பிரிவினையாக அமையும்.
 பிரிவினைகள் அல்லது உறுப்புகளின் வரிசை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படவில்லை. அதாவது கீழ்வருபவை முற்றொத்தவைகளாகும்:
 :{ {''b''}, {''a'', ''c''} }
 :{ {''a'', ''c''}, {''b''} }
 :{ {''b''}, {''c'', ''a''} }
 :{ {''c'', ''a''}, {''b''} }.
 
 மாறாக, கணங்களின் வரிசையைக் கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டால் அவை வெவ்வேறான பிரிவினைகளைத் தரும். இந்த வரிசைப்படுத்தப்பட்ட பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை ''வரிசைப்படுத்தப்பட்ட பெல் எண்கள்'' எனப்படும்.
 
 ==காரணியாக்கம்==
 ''N'' ஒரு [[வர்க்கக்காரணியற்ற முழுஎண்]] (வெவ்வேறான ''n'' [[பகா எண்]]களின் பெருக்கலாக அமையும் எண்) எனில், அதன் வெவ்வேறான [[பெருக்கல் பிரிவினை|பெருக்கல் பகிர்வு]]களின் எண்ணிக்கையை ''B&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' குறிக்கும். ''N'' இன் இப்பெருக்கல் பகிர்வுகள் [[1 (எண்)|ஒன்றை]]விடப் பெரிய எண்களைக் காரணிகளாகக் கொண்டிருக்கும்; மேலும் ஒரே கார
 ணிகளை வெவ்வேறான வரிசையில் கொண்ட பெருக்கல் பகிர்வுகள் முற்றொத்தவையாகக் கருதப்படும்.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Williams|1945}} credits this observation to Silvio Minetola's ''Principii di Analisi Combinatoria'' (1909).&lt;/ref&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டாக, எண் 30 ஆனது பகா எண்கள் 2, 3, 5 இன் பெருக்குத்தொகையாகும். அதன் ஐந்துவிதமான காரணியாக்கங்கள்:
 :&lt;math&gt;30\times 1=2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5&lt;/math&gt;
 
 ==ஒலியியைபு அமைப்புகள்==
 ''n''-வரிகள் கொண்ட [[கவிதை]]களில்ல் அமையக்கூடிய ஒலியியைபு அமைப்புகளின் எண்ணிக்கையை பெல் எண்கள் குறிக்கின்றன. ஒன்றோடொன்று ஒலியியைபுடைய வரிகளை ஒலியியைபு அமைப்பு குறிப்பதால், வரிகளை உறுப்புகளாகக் கொண்ட கணத்தின் பிரிவினையாக இருக்கும். இப்பிரிவினை ஒலியியைபுகளை உறுப்புகளாகக் கொண்ட உட்கணங்களாகும். ஒரு வரிக்கு ஒரு ரோம எழுத்துவீதமாக, ஒன்றுக்கொன்று ஒத்த ஒலியியைபுடைய வரிகளுக்கு ஒரே ரோம எழுத்து குறிக்கப்பட்ட ரோம எழுத்துக்களின் தொடர்வரிசையாக  ஒலியியைபு அமைப்புகள் அமைகின்றன.
 
 நான்கு வரிகளில் அமையக்கூடிய 15 விதமான ஒலியியைபு அமைப்புகள்:
 :AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC, ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC, ABCD.&lt;ref name=&quot;mg&quot;/&gt;
 
 ==முக்கோண வடிவமைப்பு மூலம் கணக்கிடல்==
 {{main|பெல் முக்கோணம்}}
 [[Image:BellNumberAnimated.gif|right|thumb|வலதுபுற மூலைவிட்ட தொடர்வரிசையில் பெல் எண்களைக் கொண்ட முக்கோண அமைப்பு]]
 [[பெல் முக்கோணம்]] மூலம் பெல் எண்களைக் காணமுடியும். அலெக்சாண்டர் அயிட்கென் மற்றும் சார்லசு சாண்டர்சு பியர்சு என்ற கணிதவியலாளர்களின் பெயரால் பெல் முக்கோணம் ''அயிட்கென்னின் வரிசை'' (''Aitken's array'') அல்லது ''பியர்சு முக்கோணம்'' என அழைக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{SloanesRef|A011971|name=Aitken's array}}&lt;/ref&gt;
 
 :முதல் வரிசையில் எண் 1 எழுதிக்கொள்ளப்படுகிறது:
 :&lt;math&gt; x_{0,1} = 1 &lt;/math&gt;
 :அடுத்த வரிசையின் இடதுகோடி உறுப்பாக முந்தைய வரிசையின் வலதுகோடி உறுப்பு எழுதப்படுகிறது: 
 :&lt;math&gt;x_{i,1} \leftarrow x_{i-1, r}&lt;/math&gt; இதில் (''i''-1)-th வரிசையின் கடைசி உறுப்பு ''r''.
 :இடதுகோடி உறுப்பையும் அதற்கு மேலுள்ள முந்தைய வரிசையின் உறுப்பையும் கூட்டக்கிடைக்கும் எண் இந்த வரிசையின் அடுத்த உறுப்பாகும்:
 :&lt;math&gt;( x_{i,j} \leftarrow x_{i,j-1} + x_{i-1,j-1} )&lt;/math&gt; .
 :அதாவது, 
 :இரண்டாவது வரிசையின் இடதுகோடி உறுப்பு 1. அதற்கடுத்த உறுப்பு 1+1 = 2.
 : முதல் வரிசையை விட ஒரு உறுப்பு அதிகமாக இருக்கும்வரை இச்செயல் தொடரப்படுகிறது.
 :இவ்வாறு அடுத்தடுத்த வரிசைகள் உருவாக்கப்படுகின்றன.
 :ஒவ்வொரு வரிசையின் இடதுகோடி எண்ணும் பெல் எண்ணாக இருக்கும்:
 :&lt;math&gt;B_i \leftarrow x_{i,1}&lt;/math&gt;
 
 இம்முறைப்படி உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் முதல் ஐந்து வரிசைகள்:
 
   1
   1   2
   2   3   5
   5   7  10  15
  15  20  27  37  52
 
 முக்கோணத்தின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் பெல் எண்கள் உள்ளன.
 
 ==பண்புகள்==
 
 ===கூட்டுத்தொகை வாய்பாடுகள்===
 *[[ஈருறுப்புக் குணகம்|ஈருறுப்புக் குணகங்களைக்]] கொண்ட கீழ்வரும் [[மீள்வரு தொடர்பு|மீள்வரு தொடர்பை]] பெல் எண்கள் நிறைவு செய்யும்:&lt;ref&gt;{{harvtxt|Wilf|1994}}, p.&amp;nbsp;23.&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.&lt;/math&gt;
 
 *ஒவ்வொரு பெல் எண்ணும் [[இசுடர்லிங் உட்கண எண்]]களின் கூடுதலாக அமையும்:
 :&lt;math&gt;B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}.&lt;/math&gt;
 
 இவ்விரு வாய்பாடுகளும் இணைந்த வாய்பாடு ({{harvtxt|Spivey|2008}}):
 :&lt;math&gt;B_{n+m} = \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m \left\{{m\atop j}\right\} {n \choose k} j^{n-k} B_k.&lt;/math&gt;
 
 ===பிறப்பாக்கிச் சார்பு===
 பெல் எண்களின் படிக்குறி பிறப்பாக்கிச் சார்பு:
 :&lt;math&gt;B(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{B_n}{n!} x^n = e^{e^x-1}.&lt;/math&gt;
 
 ===நிகழ்தகவுப் பரவல்களின் விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள்===
 :&lt;math&gt;B_n=\frac{1}{e}\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n}{k!}.&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;{{harvtxt|Dobiński|1877}}; {{harvtxt|Rota|1964}}; {{harvtxt|Bender|Williamson|2006}}.&lt;/ref&gt;
 
 [[படிக்குறிச் சார்பு|படிக்குறிச் சார்பின்]] [[டெய்லர் தொடர்|டெய்லர் தொடரைப்]] பயன்படுத்தி பிறப்பாக்கிச் சார்பை விரிவாக்கியபின் அவ்விரிவிலுள்ள ஒரே அடுக்குள்ள உறுப்புகளை சேகரிப்பதன் மூலம் இவ்வாய்பாடைப் பெறலாம்.&lt;ref name=&quot;analco&quot;&gt;{{harvtxt|Flajolet|Sedgewick|2009}}.&lt;/ref&gt; இதன் மூலம் பெல் எண் ''B&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' [[எதிர்வுப் பெறுமதி]] 1 கொண்ட [[பாய்சான் பரவல்|பாய்சான் பரவலின்]] ''n'' ஆவது விலக்கப் பெருக்குத்தொகையாகும்.
 
 ''n'' ஆவது பெல் எண், ''n'' ஆவது பெல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகையாக அமையும். மேலும் ''n'' ஆவது பெல் எண், ஏதேனுமொரு [[நிகழ்தகவுப் பரவல்|நிகழ்தகவுப் பரவலின்]] ''n'' ஆவது விலக்கப் பெருக்குத்தொகையை, முதல் ''n'' [[குவிப்பெருக்கம்|குவிப்பெருக்கங்களின்]] சார்பாகத் தரும்.
 
 ===சமான எண்கணிதம்===
 ''p'' ஒரு [[பகா எண்]] எனில்{{sfnp|Becker|Riordan|1948}}:
 :&lt;math&gt;B_{p+n} \equiv B_n+B_{n+1} \pmod p&lt;/math&gt;
 பொதுவடிவம்{{sfnp|Hurst|Schultz|2009}}:
 :&lt;math&gt;B_{p^m+n} \equiv mB_n+B_{n+1} \pmod p.&lt;/math&gt;
 
 ஒவ்வொரு பகா எண் ''p'' க்கும், பெல் எண்கள் மாடுலோ ''p'' காலமுறை கொண்டது. எடுத்துக்காட்டாக ''p''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;2 எனில், பெல் எண்கள் ஒற்றை-ஒற்றை-இரட்டை என்ற வடிவில் காலமுறையளவு மூன்றுடையதாக மீள்கின்றன. ஏதேனுமொரு பகாஎண் ''p'' எனில் இம்மீளலின் காலமுறையளவு &lt;math&gt;\frac{p^p-1}{p-1}&lt;/math&gt;-இன் வகுஎண்ணாக இருக்கும். மேலும், ''p'' ≤ 101 எனும் அனைத்துப் பகாஎண்கள் மற்றும் ''p'' = 113, 163, 167, 173 ஆகியவற்றுக்கு இதே எண்ணாக இருக்கும் {{OEIS|id=A001039}}.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Williams|1945}}; {{harvtxt|Wagstaff|1996}}.&lt;/ref&gt;
 
 மாடுலோ ''n'' இன் பெல் எண்களின் காலமுறையளவு:
 :1, 3, 13, 12, 781, 39, 137257, 24, 39, 2343, 28531167061, 156, 25239592216021, 411771, 10153, 48, 51702516367896047761, 39, 109912203092239643840221, 9372, 1784341, 85593501183, 949112181811268728834319677753, 312, 3905, 75718776648063, 117, 1647084, 91703076898614683377208150526107718802981, 30459, 568972471024107865287021434301977158534824481, 96, 370905171793, 155107549103688143283, 107197717, 156, ... {{OEIS|id=A054767}}
 
 ===தொகையீட்டு உருவகிப்பு===
 : &lt;math&gt; B_n = \frac{n!}{2 \pi i e} \int_{\gamma} \frac{e^{e^z}}{z^{n+1}} \, dz. &lt;/math&gt;
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{Reflist|30em}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{refbegin|30em}}
 *{{cite journal
  | last1 = Asai | first1 = Nobuhiro
  | last2 = Kubo | first2 = Izumi
  | last3 = Kuo | first3 = Hui-Hsiung
  | arxiv = math/0104137
  | doi = 10.1023/A:1010738827855
  | issue = 1-3
  | journal = Acta Applicandae Mathematicae
  | mr = 1831247
  | pages = 79–87
  | title = Bell numbers, log-concavity, and log-convexity
  | volume = 63
  | year = 2000
  | ref = harv}}
 *{{cite journal
  | last = Aitken | first = A. C. | author-link = Alexander Aitken
  | doi = 10.1017/S1757748900002334
  | journal = Edinburgh Mathematical Notes
  | pages = 18–23
  | title = A problem in combinations
  | volume = 28
  | year = 1933|ref=harv }}
 *{{cite journal|ref=harv|first1=H. W.|last1=Becker|first2=John|last2=Riordan|author2-link=John Riordan (mathematician)|title=The arithmetic of Bell and Stirling numbers|url=https://archive.org/details/sim_american-journal-of-mathematics_1948_70/page/385|journal=American Journal of Mathematics|volume=70|year=1948|pages=385–394|jstor= 2372336|doi=10.2307/2372336}}.
 *{{cite journal|first=E. T.|last=Bell|authorlink=Eric Temple Bell|title= Exponential polynomials|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1934-04_35_2/page/258|journal=Annals of Mathematics|volume=35|year=1934|pages=258–277|ref=harv|jstor=1968431|doi=10.2307/1968431}}.
 *{{cite journal|first=E. T.|last=Bell|authorlink=Eric Temple Bell|title= The iterated exponential integers|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1938-07_39_3/page/539|journal=Annals of Mathematics|volume=39|year=1938|pages=539–557|ref=harv|jstor=1968633|doi=10.2307/1968633}}.
 *{{cite book
  | last1 = Bender | first1 = Edward A.
  | last2 = Williamson | first2 = S. Gill
  | contribution = Example 11.7, Set Partitions
  | isbn = 0-486-44603-4
  | pages = 319–320
  | publisher = Dover
  | title = Foundations of Combinatorics with Applications
  | url = http://www.math.ucsd.edu/~ebender/CombText/ch-11.pdf
  | year = 2006
  | ref = harv}}
 *{{cite journal
  | last1 = Berend | first1 = D.
  | last2 = Tassa | first2 = T.
  | issue = 2
  | journal = Probability and Mathematical Statistics
  | pages = 185–205
  | title = Improved bounds on Bell numbers and on moments of sums of random variables
  | volume = 30
  | year = 2010
  | ref = harv}}
 *{{cite journal
  | last = Berndt | first = Bruce C.
  | issue = 2
  | journal = Asia Pacific Mathematics Newsletter
  | pages = 8–13
  | title = Ramanujan Reaches His Hand From His Grave To Snatch Your Theorems From You
  | url = http://www.asiapacific-mathnews.com/01/0102/0008_0013.pdf
  | volume = 1
  | year = 2011
  | ref = harv}}
 *{{cite book
  | last = de Bruijn | first = N.G. | author-link = Nicolaas_Govert_de_Bruijn
  | page = 108
  | title = Asymptotic methods in analysis
  | publisher = Dover
  | edition = 3rd
  | year = 1981
  | ref = harv}}
 *{{cite journal
  | last = Callan | first = David
  | arxiv = math/0507169
  | issue = 1
  | journal = Journal of Integer Sequences
  | mr = 2193154
  | page = 06.1.4
  | title = A combinatorial interpretation of the eigensequence for composition
  | url = https://eudml.org/doc/52955
  | volume = 9
  | year = 2006
  | ref = harv|bibcode = 2005math......7169C}}
 *{{cite journal
  | last = Canfield | first = E. Rodney
  | doi = 10.1016/0097-3165(95)90033-0
  | issue = 1
  | journal = Journal of Combinatorial Theory
  | mr = 1354972
  | pages = 184–187
  | series = Series A
  | title = Engel's inequality for Bell numbers
  | volume = 72
  | year = 1995
  | ref = harv}}
 *{{cite journal
  | last = Claesson | first = Anders
  | doi = 10.1006/eujc.2001.0515
  | issue = 7
  | journal = European Journal of Combinatorics
  | mr = 1857258
  | pages = 961–971
  | title = Generalized pattern avoidance
  | volume = 22
  | year = 2001
  | ref = harv}}
 *{{cite book|last1=Conway|first1=John Horton|author1-link=John Horton Conway|last2=Guy|first2=Richard K.|author2-link=Richard K. Guy|title=The Book of Numbers|series=Copernicus Series|publisher=Springer|year=1996|isbn=9780387979939|contribution=Famous Families of Numbers: Bell Numbers and Stirling Numbers|pages=91–94|ref=harv}}
 *{{cite journal|first=G.|last=Dobiński|title=Summirung&lt;!-- &quot;Summirung&quot; is an archaic spelling, and it is the spelling that was used in this title. --&gt; der Reihe &lt;math&gt;\textstyle\sum\frac{n^m}{n!}&lt;/math&gt; für ''m''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;1,&amp;nbsp;2,&amp;nbsp;3,&amp;nbsp;4,&amp;nbsp;5,&amp;nbsp;…|journal=Grunert's Archiv|volume=61|year=1877|pages=333–336|url=http://www.archive.org/stream/archivdermathem88unkngoog#page/n346|ref=harv}}
 *{{cite journal
  | last = Engel | first = Konrad
  | doi = 10.1016/0097-3165(94)90038-8
  | issue = 1
  | journal = Journal of Combinatorial Theory
  | mr = 1255264
  | pages = 67–78
  | series = Series A
  | title = On the average rank of an element in a filter of the partition lattice
  | volume = 65
  | year = 1994
  | ref = harv}}
 *{{cite book
  | last1 = Flajolet | first1 = Philippe | author1-link = Philippe Flajolet
  | last2 = Sedgewick | first2 = Robert | author2-link = Robert Sedgewick (computer scientist)
  | contribution = II.3 Surjections, set partitions, and words
  | pages = 106–119
  | publisher = Cambridge University Press
  | title = Analytic Combinatorics
  | url = http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/book.pdf
  | year = 2009
  | ref = harv}}
 *{{cite journal
  | last = Gardner | first = Martin | author-link = Martin Gardner
  | doi = 10.1038/scientificamerican0578-24
  | journal = [[சயன்டிஃபிக் அமெரிக்கன்]]
  | pages = 24–30
  | title = The Bells: versatile numbers that can count partitions of a set, primes and even rhymes
  | volume = 238
  | year = 1978|ref=harv}} Reprinted with an addendum as &quot;The Tinkly Temple Bells&quot;, Chapter 2 of ''Fractal Music, Hypercards, and more ... Mathematical Recreations from Scientific American'', W. H. Freeman, 1992, pp.&amp;nbsp;24–38
 * {{springer|title=Bell numbers|id=p/b110240}}
 *{{cite arXiv|title=An elementary (number theory) proof of Touchard's congruence|first1=Greg|last1=Hurst|first2=Andrew|last2=Schultz|eprint=0906.0696|year=2009|class=math.CO|ref=harv}}
 * {{cite book|contribution=Two thousand years of combinatorics|first=Donald E.|last=Knuth|authorlink=Donald Knuth|pages=7–37|title=Combinatorics: Ancient and Modern|publisher=Oxford University Press|year=2013|editor1-first=Robin|editor1-last=Wilson|editor2-first=John J.|editor2-last=Watkins|ref=harv}}
 *{{Cite book |authorlink=László Lovász| last=Lovász | first=L. |title=Combinatorial Problems and Exercises |edition=2nd |place=Amsterdam, Netherlands |publisher=North-Holland |year=1993|zbl=0785.05001|contribution=Section 1.14, Problem 9|page=17|url=http://books.google.com/books?id=e99fXXYx9zcC&amp;pg=PA17|ref=harv}}
 *{{cite journal
  | last1 = Moser | first1 = Leo | author1-link = Leo Moser
  | last2 = Wyman | first2 = Max
  | journal = Transactions of the Royal Society of Canada, Section III
  | mr = 0078489
  | pages = 49–54
  | title = An asymptotic formula for the Bell numbers
  | volume = 49
  | year = 1955
  | ref = harv}}
 *{{cite journal
  | last = Peirce | first = C. S. | author-link = Charles Sanders Peirce
  | issue = 1
  | journal = American Journal of Mathematics
  | jstor = 2369442
  | pages = 15–57
  | title = On the algebra of logic
  | volume = 3
  | year = 1880|ref=harv | doi=10.2307/2369442}}. 
 *{{citation
  | last = Rota | first = Gian-Carlo | author-link = Gian-Carlo Rota
  | doi = 10.2307/2312585
  | issue = 5
  | journal = American Mathematical Monthly
  | mr = 0161805
  | pages = 498–504
  | title = The number of partitions of a set
  | volume = 71
  | year = 1964
  | ref = harv}}
 *{{cite journal
  | last = Spivey | first = Michael Z.
  | issue = 2
  | journal = Journal of Integer Sequences
  | mr = 2420912
  | page = Article 08.2.5, 3
  | title = A generalized recurrence for Bell numbers
  | url = http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL11/Spivey/spivey25.pdf
  | volume = 11
  | year = 2008
  | ref = harv}}
 *{{cite journal
  | last = Wagstaff | first = Samuel S. | author-link = Sam Wagstaff
  | bibcode = 1996MaCom..65..383W
  | doi = 10.1090/S0025-5718-96-00683-7
  | issue = 213
  | journal = Mathematics of Computation
  | mr = 1325876
  | pages = 383–391
  | title = Aurifeuillian factorizations and the period of the Bell numbers modulo a prime
  | url = http://homes.cerias.purdue.edu/~ssw/bell/bell.ps
  | volume = 65
  | year = 1996
  | ref = harv}}
 * {{cite book | last=Wilf | first=Herbert S. | authorlink=Herbert Wilf | title=Generatingfunctionology | edition=2nd | location=Boston, MA | publisher=Academic Press | year=1994 | isbn=0-12-751956-4 | zbl=0831.05001 |ref=harv}}
 *{{cite journal
  | last = Williams | first = G. T.
  | journal = American Mathematical Monthly
  | jstor = 2305292
  | mr = 0012612
  | pages = 323–327
  | title = Numbers generated by the function ''e''&lt;sup&gt;''e''&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;1&lt;/sup&gt;
  | volume = 52
  | year = 1945
  | ref = harv}}
 {{refend}}
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 * {{Cite web
 |author=Robert Dickau
 |url=http://mathforum.org/advanced/robertd/bell.html
 |title=Diagrams of Bell numbers
 }}
 * {{MathWorld|urlname=BellNumber|title=Bell Number
 }}
 * {{Cite web
 |author=Gottfried Helms
 |url=http://go.helms-net.de/math/binomial/04_5_SummingBellStirling.pdf
 |title=Further properties &amp; Generalization of Bell-Numbers
 }}
 
 [[பகுப்பு:குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்]]