ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], குறிப்பாக [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டில்]],'''ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு'''  (''Euler's totient function'') ஒரு முக்கியமான சார்பு.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=72}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{harvtxt|Pettofrezzo|Byrkit|1970|p=80}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;See #Euler's theorem.&lt;/ref&gt;
 
 == வரையறை ==
 
 &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; ஒரு [[எண்|நேர்ம முழு எண்]] ணானால், &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ஐ விடப் பெரியதல்லாததாகவும், &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ஐப் [[பகா எண்|பகாத எண்]] ணாகவும் (அ-து,&lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-உடன் 1 ஐத்தவிர வேறு எந்த பொதுக் காரணியையும் கொள்ளாதது) இருக்கும் நேர்ம முழு எண்களின் எண்ணிக்கை &lt;math&gt;\varphi(n)&lt;/math&gt; எனப்படும். &lt;math&gt;\varphi: n\mapsto\varphi(n)&lt;/math&gt; என்ற சார்பிற்கு '''ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு''' அல்லது '''ஆய்லர் &lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;-சார்பு''' எனப் பெயர்.
 
 எ.கா.: 
 :* &lt;math&gt;\varphi(6) = |\{1,5\}| = 2.&lt;/math&gt;
 
 :* &lt;math&gt;\varphi(20) = |\{ 1,3,7,9,11,13,17,19\}| = 8&lt;/math&gt;.
 
 :* சிறப்பு எடுத்துக்காட்டு: &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ஒரு பகா எண்ணானால், &lt;math&gt;\varphi(p) = p - 1&lt;/math&gt;.
 
 == டோஷண்ட் சார்பின் முதல் 100 மதிப்புகள் ==
 
 {| border=&quot;1&quot; cellpadding=&quot;5&quot; width=&quot;200&quot; align=&quot;center&quot;
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;n\,&lt;/math&gt; 
 | align=&quot;center&quot; | 1
 | align=&quot;center&quot; | '''2'''
 | align=&quot;center&quot; | '''3'''
 | align=&quot;center&quot; | 4
 | align=&quot;center&quot; | '''5'''
 | align=&quot;center&quot; | 6
 | align=&quot;center&quot; | '''7'''
 | align=&quot;center&quot; | 8
 | align=&quot;center&quot; | 9
 | align=&quot;center&quot; | 10
 | align=&quot;center&quot; | '''11'''
 | align=&quot;center&quot; | 12
 | align=&quot;center&quot; | '''13'''
 | align=&quot;center&quot; | 14
 | align=&quot;center&quot; | 15
 | align=&quot;center&quot; | 16
 | align=&quot;center&quot; | '''17'''
 | align=&quot;center&quot; | 18
 | align=&quot;center&quot; | '''19'''
 | align=&quot;center&quot; | 20
 |-
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;\varphi(n)&lt;/math&gt;
 | align=&quot;center&quot; | 1
 | align=&quot;center&quot; | '''1'''
 | align=&quot;center&quot; | '''2'''
 | align=&quot;center&quot; | 2
 | align=&quot;center&quot; | '''4'''
 | align=&quot;center&quot; | 2
 | align=&quot;center&quot; | '''6'''
 | align=&quot;center&quot; | 4
 | align=&quot;center&quot; | 6
 | align=&quot;center&quot; | 4
 | align=&quot;center&quot; | '''10'''
 | align=&quot;center&quot; | 4
 | align=&quot;center&quot; | '''12'''
 | align=&quot;center&quot; | 6
 | align=&quot;center&quot; | 8
 | align=&quot;center&quot; | 8
 | align=&quot;center&quot; | '''16'''
 | align=&quot;center&quot; | 6
 | align=&quot;center&quot; | '''18'''
 | align=&quot;center&quot; | 8
 |-
 | border=&quot;0&quot; | 
 |-
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;n\,&lt;/math&gt; 
 | align=&quot;center&quot; | 21
 | align=&quot;center&quot; | 22
 | align=&quot;center&quot; | '''23'''
 | align=&quot;center&quot; | 24
 | align=&quot;center&quot; | 25
 | align=&quot;center&quot; | 26
 | align=&quot;center&quot; | 27
 | align=&quot;center&quot; | 28
 | align=&quot;center&quot; | '''29'''
 | align=&quot;center&quot; | 30
 | align=&quot;center&quot; | '''31'''
 | align=&quot;center&quot; | 32
 | align=&quot;center&quot; | 33
 | align=&quot;center&quot; | 34
 | align=&quot;center&quot; | 35
 | align=&quot;center&quot; | 36
 | align=&quot;center&quot; | '''37'''
 | align=&quot;center&quot; | 38
 | align=&quot;center&quot; | 39
 | align=&quot;center&quot; | 40
 |-
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;\varphi(n)&lt;/math&gt;
 | align=&quot;center&quot; | 12
 | align=&quot;center&quot; | 10
 | align=&quot;center&quot; | '''22'''
 | align=&quot;center&quot; | 8
 | align=&quot;center&quot; | 20
 | align=&quot;center&quot; | 12
 | align=&quot;center&quot; | 18
 | align=&quot;center&quot; | 12
 | align=&quot;center&quot; | '''28'''
 | align=&quot;center&quot; | 8
 | align=&quot;center&quot; | '''30'''
 | align=&quot;center&quot; | 16
 | align=&quot;center&quot; | 20
 | align=&quot;center&quot; | 16
 | align=&quot;center&quot; | 24
 | align=&quot;center&quot; | 12
 | align=&quot;center&quot; | '''36'''
 | align=&quot;center&quot; | 18
 | align=&quot;center&quot; | 24
 | align=&quot;center&quot; | 16
 |-
 | border=&quot;0&quot; | 
 |-
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;n\,&lt;/math&gt; 
 | align=&quot;center&quot; | '''41'''
 | align=&quot;center&quot; | 42
 | align=&quot;center&quot; | '''43'''
 | align=&quot;center&quot; | 44
 | align=&quot;center&quot; | 45
 | align=&quot;center&quot; | 46
 | align=&quot;center&quot; | '''47'''
 | align=&quot;center&quot; | 48
 | align=&quot;center&quot; | 49
 | align=&quot;center&quot; | 50
 | align=&quot;center&quot; | 51
 | align=&quot;center&quot; | 52
 | align=&quot;center&quot; | '''53'''
 | align=&quot;center&quot; | 54
 | align=&quot;center&quot; | 55
 | align=&quot;center&quot; | 56
 | align=&quot;center&quot; | 57
 | align=&quot;center&quot; | 58
 | align=&quot;center&quot; | '''59'''
 | align=&quot;center&quot; | 60
 |-
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;\varphi(n)&lt;/math&gt;
 | align=&quot;center&quot; | '''40'''
 | align=&quot;center&quot; | 12
 | align=&quot;center&quot; | '''42'''
 | align=&quot;center&quot; | 20
 | align=&quot;center&quot; | 24
 | align=&quot;center&quot; | 22
 | align=&quot;center&quot; | '''46'''
 | align=&quot;center&quot; | 16
 | align=&quot;center&quot; | 42
 | align=&quot;center&quot; | 20
 | align=&quot;center&quot; | 32
 | align=&quot;center&quot; | 24
 | align=&quot;center&quot; | '''52'''
 | align=&quot;center&quot; | 18
 | align=&quot;center&quot; | 40
 | align=&quot;center&quot; | 24
 | align=&quot;center&quot; | 36
 | align=&quot;center&quot; | 28
 | align=&quot;center&quot; | '''58'''
 | align=&quot;center&quot; | 16
 |-
 | border=&quot;0&quot; | 
 |-
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;n\,&lt;/math&gt; 
 | align=&quot;center&quot; | '''61'''
 | align=&quot;center&quot; | 62
 | align=&quot;center&quot; | 63
 | align=&quot;center&quot; | 64
 | align=&quot;center&quot; | 65
 | align=&quot;center&quot; | 66
 | align=&quot;center&quot; | '''67'''
 | align=&quot;center&quot; | 68
 | align=&quot;center&quot; | 69
 | align=&quot;center&quot; | 70
 | align=&quot;center&quot; | '''71'''
 | align=&quot;center&quot; | 72
 | align=&quot;center&quot; | '''73'''
 | align=&quot;center&quot; | 74
 | align=&quot;center&quot; | 75
 | align=&quot;center&quot; | 76
 | align=&quot;center&quot; | 77
 | align=&quot;center&quot; | 78
 | align=&quot;center&quot; | '''79'''
 | align=&quot;center&quot; | 80
 |-
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;\varphi(n)&lt;/math&gt;
 | align=&quot;center&quot; | '''60'''
 | align=&quot;center&quot; | 30
 | align=&quot;center&quot; | 36
 | align=&quot;center&quot; | 32
 | align=&quot;center&quot; | 48
 | align=&quot;center&quot; | 20
 | align=&quot;center&quot; | '''66'''
 | align=&quot;center&quot; | 32
 | align=&quot;center&quot; | 44
 | align=&quot;center&quot; | 24
 | align=&quot;center&quot; | '''70'''
 | align=&quot;center&quot; | 24
 | align=&quot;center&quot; | '''72'''
 | align=&quot;center&quot; | 36
 | align=&quot;center&quot; | 40
 | align=&quot;center&quot; | 36
 | align=&quot;center&quot; | 60
 | align=&quot;center&quot; | 24
 | align=&quot;center&quot; | '''78'''
 | align=&quot;center&quot; | 32
 |-
 | border=&quot;0&quot; | 
 |-
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;n\,&lt;/math&gt; 
 | align=&quot;center&quot; | 81
 | align=&quot;center&quot; | 82
 | align=&quot;center&quot; | '''83'''
 | align=&quot;center&quot; | 84
 | align=&quot;center&quot; | 85
 | align=&quot;center&quot; | 86
 | align=&quot;center&quot; | 87
 | align=&quot;center&quot; | 88
 | align=&quot;center&quot; | '''89'''
 | align=&quot;center&quot; | 90
 | align=&quot;center&quot; | 91
 | align=&quot;center&quot; | 92
 | align=&quot;center&quot; | 93
 | align=&quot;center&quot; | 94
 | align=&quot;center&quot; | 95
 | align=&quot;center&quot; | 96
 | align=&quot;center&quot; | '''97'''
 | align=&quot;center&quot; | 98
 | align=&quot;center&quot; | 99
 | align=&quot;center&quot; | 100
 |-
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;\varphi(n)&lt;/math&gt;
 | align=&quot;center&quot; | 54
 | align=&quot;center&quot; | 40
 | align=&quot;center&quot; | '''82'''
 | align=&quot;center&quot; | 24
 | align=&quot;center&quot; | 64
 | align=&quot;center&quot; | 42
 | align=&quot;center&quot; | 56
 | align=&quot;center&quot; | 40
 | align=&quot;center&quot; | '''88'''
 | align=&quot;center&quot; | 24
 | align=&quot;center&quot; | 72
 | align=&quot;center&quot; | 44
 | align=&quot;center&quot; | 60
 | align=&quot;center&quot; | 46
 | align=&quot;center&quot; | 72
 | align=&quot;center&quot; | 32
 | align=&quot;center&quot; | '''96'''
 | align=&quot;center&quot; | 42
 | align=&quot;center&quot; | 60
 | align=&quot;center&quot; | 40
 |}
 
 == சார்பின் பண்புகள் ==
 
 === பெருக்குச்சார்பு ===
 
 &lt;math&gt;m, n&lt;/math&gt; என்ற இரண்டு நேர்ம முழு எண்கள் (1 ஐத்தவிர) பொதுக்காரணியற்றதானால்,
 
 :: &lt;math&gt;\varphi(m)\times \varphi(n)= \varphi(m \times n).&lt;/math&gt;
 
 எ.கா.: &lt;math&gt;\varphi(4)\times \varphi(15) = 2 \times 8 = 16 = \varphi(60)&lt;/math&gt;
 
 === பகா எண்ணின் அடுக்குகள் ===
 
 &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ஒரு பகா எண்ணாகவும், &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; ஓர் இயல்பெண்ணாகவும் இருக்குமானால், &lt;math&gt;p^k&lt;/math&gt; உடன் காரணிகளைப் பங்கு போட்டுக்கொள்ளும் எண்கள் &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-இனுடைய அடுக்குகள் மட்டுமே. அவைகளில் &lt;math&gt;p^k&lt;/math&gt; ஐவிடப் பெரியதல்லாதவை : &lt;math&gt;1.p, 2.p, 3.p, ..., p^{k-1}.p&lt;/math&gt;. இதனால்,
 
 ::&lt;math&gt;\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1}(p - 1) = p^k\left(1 - \frac{1}{p}\right)&lt;/math&gt;
 
 எ.கா.: &lt;math&gt;\varphi(81) = \varphi(3^4) = 3^4 - 3^3 = 3^4\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 54&lt;/math&gt;
 
 === சார்பிற்குப் பொது வாய்பாடு ===
 
 ::&lt;math&gt;n = \prod_{p|n} p^{k_p}&lt;/math&gt;
 
 ::&lt;math&gt;\varphi(n) = \prod_{p|n}p^{k_p - 1}(p - 1) = n \prod_{p|n}\left(1 - \frac{1}{p}\right)&lt;/math&gt;
 
 === கணிப்பு ===
 
 &lt;math&gt;\varphi(60) = \varphi(5.2^2.3) = 60.\left(1 - \frac{1}{5}\right)\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(1 - \frac{1}{3}\right) = 16&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 [[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]
 [[பகுப்பு:பெருக்கல் சார்புகள்]]
 [[பகுப்பு:இயற்கணிதம்]]