மலரி (கணிதம்)
[[File:Evolute-parab-1-e.svg|thumb|ஒரு வளைகோட்டின் [[வளைவு மையம்|வளைவு மையங்களின்]] [[இயங்குவரை]]யாக (சிவப்பு) அமையும் அவ் [[வளைகோடு|வளைகோட்டின்]] மலரி (நீலப் பரவளைவு).]]
 [[Image:Evolute1.gif|right|thumb|வளைகோட்டின் (இங்கு [[நீள்வட்டம்]]) செங்கோடுகளின் [[சூழ்வு (கணிதம்)|சூழ்வாக]] அமையும் அதன் மலரி.]]
 வளைவரையின் வகையீட்டு வடிவவியலில் ஒரு வளைகோட்டின் '''மலரி''' அல்லது '''அலர் வளைவரை''' (''evolute'') என்பது  அவ் வளைகோட்டின் [[வளைவு மையம்|வளைவு மையங்களின்]] [[இயங்குவரை]]யாக அமையும் வளைகோடாகும். அதாவது, அவ்வளைகோட்டின் மீதுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியின் ஒட்டு வட்டங்களின் மையங்களை இணைக்கும் வளைகோடு அவ்வளைகோட்டின் மலரி என அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு [[வட்டம்|வட்டத்தின்]] மலரி அதன் மையமாகவே, அதவாது ஒற்றைப் புள்ளியாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{MathWorld|title=Circle Evolute|id=CircleEvolute}}&lt;/ref&gt; மேலும், ஒரு வளைகோட்டின் மலரியானது அவ்வளைகோட்டின் செங்கோடுகளின் [[சூழ்வு (கணிதம்)|சூழ்வாக]] இருக்கும்.
 
 == வரலாறு ==
 கணிதவியலாளர் [[அப்போலோனியஸ்]] (சுமாராக: கிமு 200), அவரது &quot;கூம்புவெட்டிகள்&quot; (''Conics'') -இன் புத்தகம் 5 இல் மலரி பற்றிய கருத்துக்களைப் பதிவு செய்திருக்கிறார். எனினும் கணிதவியலாளர் [[கிறித்தியான் ஐகன்சு|ஐகன்சு]] தான் முதன்முதலில் (1673) மலரியைக் குறித்து ஆய்வு செய்தவராகக் கருதப்படுகிறார். ஐகன்சு, சமகால ஊசலின் கட்டமைப்புக்கு உதவிய சமகால வளைகோட்டைக் கண்டறியும்போது மலரி கோட்பாட்டை முறைப்படுத்தினார். சமகால வளைகோடும் அதன் மலரியும் [[வட்டப்புள்ளியுரு]]வாக இருப்பது அவ்வளைகோட்டின் சிறப்பம்சமாகும். பிற்காலத்தில் நுண்கணிதத்தைப் பயன்படுத்திய பல முடிவுகளை ஐகன்சு காண்பதற்கு மலரிக் கோட்பாடு உதவியது. &lt;ref&gt;{{cite book|last=Yoder|first=Joella G.|title=Unrolling Time: Christiaan Huygens and the Mathematization of Nature|publisher=[[கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]]|date=2004}}&lt;/ref&gt;
 
 == சமன்பாடு ==
 எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட சமதளத்திலமைந்த ஒரு ஒழுங்கு வளைகோட்டின் (எந்த வகைக்கெழுவும் பூச்சியமாக இல்லாத வளைகோடு) துணையலகுச் சமன்பாடு:
 :&lt;math&gt;\vec x= \vec c(t),\; t\in [t_1, t_2];&lt;/math&gt; இதன் வளைவு எங்கும் பூச்சியமற்றது; வளைவு ஆரம் &lt;math&gt;\rho(t);&lt;/math&gt; அலகு செங்கோடு &lt;math&gt;\vec n(t)&lt;/math&gt; (வளைவு மையத்தை தோக்கும் திசையில்) எனில் அவ்வளைகோட்டின் மலரி பின்வருமாறு தரப்படுகிறது:
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\vec E(t) = \vec c(t) + \rho (t) \vec n(t)&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\vec c(t)=(x(t),y(t))^\mathsf{T}&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;\vec E=(X,Y)^\mathsf{T}&lt;/math&gt; எனில்:
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; X(t) = x(t) - \frac{y'(t) \Big(x'(t)^2+y'(t)^2\Big)}{x'(t) y''(t) - x''(t) y'(t)}&lt;/math&gt;
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; Y(t) = y(t) + \frac{x'(t) \Big(x'(t)^2+y'(t)^2\Big)}{x'(t) y''(t) - x''(t) y'(t)}.&lt;/math&gt;
 
 == பண்புகள் ==
 [[File:Evolute-parab-2-e.svg|thumb|P இல் அமையும் செங்கோடு, வளைவு மையத்திலமையும் (C) தொடுகோடாக இருக்கும்.]]
 &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\left|\vec c'\right| = 1&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec n' = -\vec c'/\rho&lt;/math&gt; என்பதால், மலரியின் பண்புகளைக் காண்பதற்கு வளைகோட்டின் சமன்பாட்டை அதன் வில்லின் நீளத்தைத் (&lt;math&gt;s&lt;/math&gt;)  துணையலகாகக் கொண்ட சமன்பாடுகளாக எடுத்துக்கொள்வது நல்லது. 
 மலரியின் தொடுகோட்டுத் திசையன் &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\vec E=\vec c +\rho \vec n &lt;/math&gt; பின்வருமாறு அமையும்: 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\vec E' = \vec c' +\rho'\vec n + \rho\vec n' = \rho'\vec n\ .&lt;/math&gt;
 
 இச்சமன்பாட்டிலிருந்து மலரியின் பின்வரும் பண்புகள் கிடைக்கின்றன:
 
 *&lt;math&gt;\rho' = 0&lt;/math&gt; என்றுள்ள புள்ளிகளின் மலரியாகவுள்ள வளைகோடு ஒழுங்கு வளைகோடாக இருக்காது. அதாவது, வளைவு பெருமம் அல்லது சிறுமமாகவுள்ள புள்ளிகளில் ([[உச்சி (வளைவரை)|வளைகோட்டின் உச்சிகள்]]) மலரி கூர்முனைகளைக் கொண்டிருக்கும் (எ.கா:பரவளைவு, நீள்வட்டம், வட்டப்புள்ளியுரு ஆகியவற்றின் மலரிகள்).
 *ஒரு மலரியின் கூர்முனையை உள்ளடக்காத அதன் ஏதாவதொரு வில்லின் நீளமானது அவ் வில்லின் முனைப்புள்ளிகளுக்குரிய வளைவு ஆரங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{cite journal|last1=Ghys| first1=Étienne|author1-link=Étienne Ghys| last2=Tabachnikov|first2=Sergei|author2-link=Sergei Tabachnikov| last3=Timorin| first3=Vladlen| arxiv=1207.5662| doi=10.1007/s00283-012-9336-6| issue=1| journal=The Mathematical Intelligencer| mr=3041992|pages=61–66| title=Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-intelligencer_spring-2013_35_1/page/61| volume=35|year=2013}}&lt;/ref&gt;
 *வளைகோட்டின் மீது, பூச்சியமற்ற வளைவுடைய புள்ளிகளிலமையும் செங்கோடுகள் அவ் வளைகோட்டிற்குத் தொடுகோடுகளாகவும், பூச்சிய வளைவுடைய புள்ளிகளிலமையும் செங்கோடுகள் மலரியின் அணுகு தொடுகோடுகளாகவும் இருக்கும். எனவே, வளைகோட்டின் செங்கோடுகளின் சூழ்வாக அதன் மலரி இருக்கும். 
 *வளைகோட்டில் &lt;math&gt;\rho' &gt; 0&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;\rho' &lt; 0&lt;/math&gt; எனவுள்ள பகுதிகளில் வளைகோடானது அதன் மலரியின் [[கூம்பி (வளைவரை)|கூம்பியாக]] இருக்கும் (படம்: சிவப்பு அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கூம்பியாக நீலப் பரவளைவு உள்ளது; நீலப் பரவளைவின் மலரி சிவப்பு அரைமுப்படிப் பரவளைவு)
 * இணையான வளைகோடுகள் ஒரே மலரியைக் கொண்டிருக்கும்
 :''நிறுவல்:'' 
 :எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வளைகோட்டிலிருந்து &lt;math&gt;d&lt;/math&gt; தொலைவில் அமைந்த இணை வளைகோட்டிற்கு,
 :துணையலகு உருவகிப்பு: &lt;math&gt;\vec c_d = \vec c + d\vec n&lt;/math&gt; 
 :வளைவு ஆரம்: &lt;math&gt;\rho_d=\rho -d&lt;/math&gt;.
 :எனவே இணை வளைகோட்டின் மலரி: &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\vec E_d = \vec c_d +\rho_d \vec n =\vec c +d\vec n +(\rho -d)\vec n=\vec c +\rho \vec n = \vec E\;.&lt;/math&gt;
 :அதாவது இணை வளைகோடுகளின் மலரிகள் ஒரே வளைகோடாக இருக்கும்.
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 === பரவளைவின் மலரி ===
 &lt;math&gt;(t,t^2)&lt;/math&gt; என்ற துணையலகு உருவகிப்பால் தரப்படும் பரவளைவின் மலரியின் சமன்பாடுகள்:
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;X=\cdots=-4t^3&lt;/math&gt;
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;Y=\cdots=\frac{1}{2} + 3t^2 \, ,&lt;/math&gt;
 இச்சமன்பாடுகள் ஒரு [[அரைமுப்படிப் பரவளைவு|அரைமுப்படிப் பரவளைவைத்]] தரும்.
 
 === நீள்வட்டத்தின் மலரி ===
 [[File:Evolute-elli.svg|thumb|நீள்வட்டத்தின் மலரி (சிவப்பு)]]
 
 &lt;math&gt;(a\cos t, b\sin t)&lt;/math&gt; என்ற துணையலகு உருவகிப்பு கொண்ட நீள்வட்டத்தின் மலரியின் சமன்பாடுகள்:&lt;ref&gt;R.Courant: ''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung.'' Band 1, Springer-Verlag, 1955, S. 268.&lt;/ref&gt;
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;X= \cdots = \frac{a^2-b^2}{a}\cos ^3t&lt;/math&gt;
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;Y= \cdots = \frac{b^2-a^2}{b}\sin ^3t \; .&lt;/math&gt;
 :இச்சமன்பாடுகள் சமச்சீரற்றதொரு [[உடுவுரு]]வைத் தரும். இச்சமன்பாடுகளிலிருந்து &lt;math&gt;t&lt;/math&gt; ஐ நீக்கக் கிடைக்கும் உள்ளார்ந்த உருவகிப்பு:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;(aX)^{\tfrac{2}{3}} +(bY)^{\tfrac{2}{3}} = (a^2-b^2)^{\tfrac{2}{3}}\ .&lt;/math&gt;
 
 === வட்டப்புள்ளியுருவின் மலரி ===
 [[File:Cycloid osculating circle evolute 2.gif|upright=1.2|thumb|வட்டப்புள்ளியுரு (நீலம்), ஒட்டு வட்டம் (சிவப்பு), மலரி (பச்சை).]]
 
 [[வட்டப்புள்ளியுரு]] &lt;math&gt;(r(t - \sin t), r(1 - \cos t))&lt;/math&gt; என்ற துணையலகு உருவகிப்பைக் கொண்ட [[வட்டப்புள்ளியுரு]]வின் மலரி:&lt;ref&gt;{{MathWorld |title=Cycloid Evolute |id=CycloidEvolute}}&lt;/ref&gt;
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;X=\cdots=r(t + \sin t)&lt;/math&gt;
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;Y=\cdots=r(\cos t - 1)&lt;/math&gt;
 :இச்சமன்பாடுகள் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வட்டப்புள்ளியுருவின் இடம் மாற்றப்பட்ட வட்டப்புள்ளியுருவாகவே இருக்கும்.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 * {{MathWorld|title=Evolute|urlname=Evolute}}
 * {{springer|title=Evolute|id=E/e036670|last=Sokolov|first=D.D.}}
 * Yates, R. C.: ''A Handbook on Curves and Their Properties'', J. W. Edwards (1952), &quot;Evolutes.&quot; pp.&amp;nbsp;86ff
 * [http://www.2dcurves.com/derived/curvature.html#evolute Evolute on 2d curves.]
 
 [[பகுப்பு:வகையீட்டு வடிவவியல்]]