இசைத் தொடர் (கணிதம்)
[[கணிதம்|கனிதத்தில்]], '''இசைத் தொடர்'''  (''harmonic series'') என்பது, அனைத்து நேர்ம [[அலகுப் பின்னம்|அலகு பின்னங்களின்]] கூடுதலாக அமையும் [[தொடர் (கணிதம்)|கணிதத் தொடராகும்]]:
 &lt;math display=block&gt;\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots.&lt;/math&gt;
 
 இத்தொடரின் முதல்  &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; உறுப்புகளின் கூட்டுதொகை தோராயமாக:
 : &lt;math&gt;\ln n + \gamma.&lt;/math&gt;
 இதில், &lt;math&gt;\ln&lt;/math&gt; [[இயல் மடக்கை]];  &lt;math&gt;\gamma\approx0.577,&lt;/math&gt;  [[ஆய்லரின் மாறிலி]]. மடக்கையின் மதிப்புகள் மிகப்பெரியவையாக இருக்கும் என்பதால் இத்தொடருக்கு முடிவுறு எல்லைமதிப்பு இல்லை. இத்தொடர் ஒரு விரி தொடர். இது ஒரு விரியும் தொடர் என்பது 14 ஆம் நூற்றாண்டில் நிக்கோல் ஓரேசுமே என்ற பிரெஞ்சு மெய்யியலாளரால் நிறுவப்பட்டது.
 
 == வரலாறு==
 [[File:Harmonic series to 32.svg|thumb|ஒரு அலையும் அதன் இசையங்களும்-அலைநீளங்களுடன்: &lt;math&gt;1,\tfrac12,\tfrac13,\dots&lt;/math&gt;]] 
 இசைத் தொடர் என்ற பெயர் [[இசை]]யின் இசையங்களிலிருந்து (மேற்சுரங்கள்)  பெறப்பட்டது. அதிர்கின்ற இழையொன்றின் இசையங்களின் [[அலைநீளம்|அலைநீளங்கள்]], அந்த இழையின் அடிப்படை அலைநீளத்தின் {{nowrap|&lt;math&gt;\tfrac12&lt;/math&gt;,}} {{nowrap|&lt;math&gt;\tfrac13&lt;/math&gt;,}} {{nowrap|&lt;math&gt;\tfrac14&lt;/math&gt;,}} ... பங்குகளாக இருக்கும்.&lt;ref name=rice/&gt;&lt;ref name=kullman&gt;{{cite journal
  | last = Kullman | first = David E.
  | date = May 2001
  | doi = 10.2307/2687471
  | issue = 3
  | journal = The College Mathematics Journal
  | jstor = 2687471
  | pages = 201–203
  | title = What's harmonic about the harmonic series?
  | url = https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2001-05_32_3/page/201 | volume = 32}}&lt;/ref&gt;
 ஒரு இசைத் தொடரின் முதல் உறுப்பு தவிர்த்த ஏனைய உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் அதனதன் அண்டை உறுப்புகளின் [[இசைச் சராசரி]]யாக இருக்கும். எனவே இசைத்தொடரின் உறுப்புகளெல்லாம் ஒரு [[இசைத் தொடர்வரிசை]]யாக அமைகின்றன. &quot;இசைச் சராசரி&quot;, &quot;இசைத் தொடர்வரிசை&quot; ஆகிய இரு சொற்களுமே [[இசை]]யிலிருந்து பெறப்பட்டவையே.&lt;ref name=kullman/&gt;
 
 இசையைத் தாண்டி, கட்டக்கலையிலும் இசைத் தொடர்கள் பரவலாக அறியப்படுகின்றன. குறிப்பாக [[பரோக்]] கட்டிடக் கலைஞர்கள், கட்டிடங்களின் [[கட்டிடக்கலை வரைபடம்#தளக் கிடைப்படம்|தளக் கிடைப்படங்கள்]],  [[கட்டிடக்கலை வரைபடம்#நிலைப்படம்|நிலைப்படங்கள்]] ஆகியவற்றின் அமைப்பு விகிதங்களைக் கணக்கிடுவதற்கும் தேவாலயங்கள், அரண்மனைகளின் வெளிப்பக்க, உட்பக்க அமைப்புகளுக்குள்ள தொடர்பைக் காட்டுவதற்கும் இசைத் தொடர்களைப் பயன்படுத்தினர். &lt;ref name=hersey&gt;{{cite book
  | last = Hersey | first = George L. | author-link = George L. Hersey
  | isbn = 978-0-226-32783-9
  | pages = [https://archive.org/details/architecturegeom0000hers/page/11 11]–12, 37–51
  | publisher = University of Chicago Press
  | title = Architecture and Geometry in the Age of the Baroque
  | url = https://archive.org/details/architecturegeom0000hers | year = 2001}}&lt;/ref&gt;
 
 இசைத் தொடரின் விரிகை முதன்முதலில் 1350 களில்  நிக்கோல் ஓரேசுமே என்ற பிரெஞ்சு மெய்யியலாளரால் நிறுவப்பட்டது.&lt;ref name=kullman/&gt;&lt;ref name=oresme&gt;{{cite book|author-link=Nicole Oresme|first=Nicole|last=Oresme|date=c. 1360|title=Quaestiones super Geometriam Euclidis|trans-title=Questions concerning Euclid's Geometry|language=la}}&lt;/ref&gt; அக்காலத்தில், ஓரேசுமேயின் இசைத் தொடர் ஆய்வுகளும், அவரது சமகாலத்திய ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் &quot;ரிச்சர்டு சுவைன்ஹெட்&quot; என்பாரின் வேறொரு தொடர் குறித்த ஆய்வுகளுமே, [[பெருக்குத் தொடர்]] தவிர, கணிதத்தில் அறியப்பட்ட பிற முடிவுறாத் தொடர்களாக இருந்தன.&lt;ref name=stillwell&gt;{{cite book
  | last = Stillwell | first = John | author-link = John Stillwell
  | doi = 10.1007/978-1-4419-6053-5
  | edition = 3rd
  | isbn = 978-1-4419-6052-8
  | mr = 2667826
  | page = 182
  | publisher = Springer | location = New York
  | series = Undergraduate Texts in Mathematics
  | title = Mathematics and its History
  | year = 2010}}&lt;/ref&gt; எனினும் இந்த ஆய்வுகள் தெளிவற்றவையாயிருந்தன.&lt;ref name=derbyshire&gt;{{cite book
  | last = Derbyshire | first = John | author-link = John Derbyshire
  | isbn = 0-309-08549-7
  | mr = 1968857
  | page = [https://archive.org/details/primeobsessionbe00derb_0/page/10 10]
  | publisher = Joseph Henry Press | location = Washington, DC
  | title = Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics
  | title-link = Prime Obsession
  | year = 2003}}&lt;/ref&gt; 17 ஆம் நூற்றாண்டில், இத்தாலியக் கணிதவியலாளர் பியாட்ரோ மென்கோலி, [[ஜேக்கப் பெர்னெளலி|ஜேக்கப் பெர்னோலி]] இருவரும்   இத்தொடர் குறித்த மேலதிக நிறுவல்களை நிறுவினர்.&lt;ref name=jacob1&gt;{{cite book|author-link=Jacob Bernoulli|first=Jacob|last=Bernoulli|title=Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis earumque summa finita|trans-title=Arithmetical propositions about infinite series and their finite sums|location=Basel|publisher=J. Conrad|date=1689}}&lt;/ref&gt;
 &lt;ref name=jacob2&gt;{{cite book|author-link=Jacob Bernoulli|first=Jacob|last1=Bernoulli|title=Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis|trans-title=Theory of inference, posthumous work. With the Treatise on infinite series…|location=Basel|publisher=Thurneysen|date=1713|url=https://books.google.com/books?id=CF4UAAAAQAAJ&amp;pg=PA250|pages=250–251}}&lt;br&gt;From p. 250, prop. 16:
 :&quot;''XVI. Summa serei infinita harmonicè progressionalium, &lt;math&gt;\tfrac11+\tfrac12+\tfrac13+\tfrac14+\tfrac15&lt;/math&gt; &amp;c. est infinita. Id primus deprehendit Frater:…''&quot;
 :[16.  The sum of an infinite series of harmonic progression, &lt;math&gt;\tfrac11+\tfrac12+\tfrac13+\tfrac14+\tfrac15+\cdots&lt;/math&gt;, is infinite. My brother first discovered this…]&lt;/ref&gt;
 &lt;ref name=dunham&gt;{{cite journal
  | last = Dunham | first = William
  | date = January 1987
  | doi = 10.1080/07468342.1987.11973001
  | issue = 1
  | journal = The College Mathematics Journal
  | jstor = 2686312
  | pages = 18–23
  | title = The Bernoullis and the harmonic series
  | url = https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_1987-01_18_1/page/n21 | volume = 18}}&lt;/ref&gt; பெர்னோலி, அந்நிறுவலைத் தன் சகோதரரான ஜோஹன் பெர்னோலி நிறுவியதாக அறிவித்தார். அந்நிறுவல், பின்னாளில் ஜோஹன் பெர்னோலியின் பணிகளின் சேகரிப்பில் இணைக்கப்பட்டது.&lt;ref name=dunham/&gt;&lt;ref name=johann&gt;{{cite book|author-link=Johann Bernoulli|chapter=Corollary III of ''De seriebus varia''|first=Johann|last=Bernoulli|title=Opera Omnia|location=Lausanne &amp; Basel|publisher=Marc-Michel Bousquet &amp; Co.|date=1742|at=vol. 4, p. 8|chapter-url=https://books.google.com/books?id=sxUOAAAAQAAJ&amp;pg=PA6}}
 
 Johann Bernoulli's proof is also by contradiction. It uses a telescopic sum to represent each term &lt;math&gt;\tfrac1n&lt;/math&gt; as 
 &lt;math display=block&gt;\frac1n = \Big(\frac1n - \frac1{n+1}\Big) + \Big(\frac1{n+1} - \frac1{n+2}\Big) +  \Big(\frac1{n+2} - \frac1{n+3}\Big)\cdots&lt;/math&gt;
 &lt;math display=block&gt;=\frac1{n(n+1)}  + \frac1{(n+1)(n+2)}  + \frac1{(n+2)(n+3)} \cdots&lt;/math&gt; 
 Changing the order of summation in the corresponding double series gives, in modern notation 
 &lt;math display=block&gt;S = \sum_{n=1}^\infty \frac1n= \sum_{n=1}^\infty\sum_{k=n}^\infty \frac1{k(k+1)}= \sum_{k=1}^\infty\sum_{n=1}^k  \frac1{k(k+1)}&lt;/math&gt;
 &lt;math display=block&gt;=\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^\infty \frac1{k+1}=S - 1&lt;/math&gt;.&lt;/ref&gt;
 
 1968 இல் [[டொனால்ட் குனுத்]], இசைத் தொடரின் பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகளுக்கு &quot;இசை எண்கள்&quot; என்ற பெயரளித்து, அவற்றுக்கு &lt;math&gt;H_n&lt;/math&gt; என்ற குறியீட்டையும் வழங்கினார் .{{r|knuth}}
 
 ==வரையறையும் விரிகையும்==
 இசைத்தொடரானது அனைத்து உறுப்புகளையும் நேர்ம அலகு பின்னங்களாகக் கொண்ட முடிவிலாத் தொடர்:
 
 :&lt;math display=block&gt;\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots&lt;/math&gt;
 
 இதன் பெரும்பாலான உறுப்புகள்  தொடரின் [[பகுதிக் கூட்டுத்தொகை]]களில் உள்ளன; மேலும் இப்பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகளின் மதிப்பு, முடிவுறு எல்லையில்லாமல் அதிகரிக்குமாதலால் இது ஒரு விரிதொடராக இருக்கும். இது ஒரு விரிதொடரென நிறுவ, பல வேறுபட்ட நிறுவல்கள் உள்ளன. அவற்றுள் &quot;ஒப்பீட்டு தேர்வு&quot;, தொகையீடு தேர்வு&quot; ஆகிய இரண்டும் சிறந்ததாகும்.&lt;ref name=rice&gt;{{cite book
  | last = Rice | first = Adrian
  | editor1-last = Jardine | editor1-first = Dick
  | editor2-last = Shell-Gellasch | editor2-first = Amy | editor2-link = Amy Shell-Gellasch
  | contribution = The harmonic series: A primer
  | isbn = 978-0-88385-984-1
  | location = Washington, DC
  | pages = 269–276
  | publisher = Mathematical Association of America
  | series = MAA Notes
  | title = Mathematical Time Capsules: Historical Modules for the Mathematics Classroom
  | volume = 77
  | year = 2011}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=kifowit&gt;{{cite journal
  | last1 = Kifowit | first1 = Steven J.
  | last2 = Stamps | first2 = Terra A.
  | date = Spring 2006
  | issue = 2
  | journal = AMATYC Review
  | pages = 31–43
  | publisher = American Mathematical Association of Two-Year Colleges
  | title = The harmonic series diverges again and again
  | url = https://stevekifowit.com/pubs/harmapa.pdf
  | volume = 27}} See also unpublished addendum, &quot;[https://stevekifowit.com/pubs/harm2.pdf More proofs of divergence of the harmonic series]&quot; by Kifowit.&lt;/ref&gt;
 
 ===ஒப்பீட்டு தேர்வு===
 [[File:visual_proof_harmonic_series_diverges.svg|thumb|There are infinite blue rectangles each with area 1/2, yet their total area is exceeded by that of the grey bars denoting the harmonic series]]
 
 ஒரு உறுப்பின் பகுதியிலுள்ள [[இரண்டின் வலு|இரண்டின் அடுக்கைவிட]] அடுத்தப் பெரிய இரண்டின் அடுக்கைப் பகுதியாக கொண்டு பெறப்படும் உறுப்பை அடுத்தடுத்த உறுப்பாக எடுத்துக்கொண்ட மற்றொரு விரிதொடரோடு ஒப்பிடுவதன் மூலம், இசைத்தொடரின் விரிகையை நிறுவலாம். 
 
 &lt;math display=block&gt;\begin{alignat}{8}
    1 &amp; + \frac{1}{2} &amp;&amp; + \frac{1}{3} &amp;&amp; + \frac{1}{4} &amp;&amp; + \frac{1}{5} &amp;&amp; + \frac{1}{6} &amp;&amp; + \frac{1}{7} &amp;&amp; + \frac{1}{8} &amp;&amp; + \frac{1}{9} &amp;&amp; + \cdots \\[5pt]
 
    {} \geq 1 &amp; + \frac{1}{2} &amp;&amp; + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{4}}} &amp;&amp; + \frac{1}{4} &amp;&amp; + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} &amp;&amp; + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} &amp;&amp; + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} &amp;&amp; + \frac{1}{8} &amp;&amp; + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{16}}} &amp;&amp; + \cdots \\[5pt]
  \end{alignat}&lt;/math&gt;
 
 இரண்டாவது தொடரின் சமமான உறுப்புகளைத் தொகுக்க, அத்தொடர் ஒரு விரிதொடராக அமைவதைக் காணலாம்:
 
 &lt;math display=block&gt;\begin{align}
    &amp; 1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16}\right) + \cdots \\[5pt]
    {} = {} &amp; 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots.
  \end{align}&lt;/math&gt;
 
 இசைத்தொடரின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒப்பீட்டுக்கு எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட தொடரின் ஒத்த உறுப்புகளைவிடப் பெரியவையாக உள்ளன; மேலும் இரண்டாவது தொடர் ஒரு விரி தொடராக உள்ளது. எனவே இசைத்தொடரும் விரிதொடராக இருக்குமென்பதை அறியலாம். இதே விவாதத்தைக்கொண்டு, கீழ்வரும் முடிவும் உண்மை என்பதை வலுவாக நிறுவலாம்:
 
 &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;, ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில்:
 &lt;math display=block&gt;\sum_{n=1}^{2^k} \frac{1}{n} \geq 1 + \frac{k}{2}&lt;/math&gt;
 
 இதுவே, 1350 களில் நிக்கோலெ ஒரேசேமே அளித்த நிறுவலாகும்.&lt;ref name=kifowit/&gt;
 
 ===தொகையீட்டுத் தேர்வு===
 [[File:Integral Test.svg|thumb|இசைத்தொடரில் அமையும் பரப்பளவுகள் கொண்ட செவ்வகங்களும், இச்செவ்வகங்களின் இடது மேல்வரம்புகளின் வழிச்செல்லும் [[அதிபரவளைவு]], &lt;math&gt;y=1/x&lt;/math&gt;]]
 ஒரு இசைத்தொடரின் கூட்டுத்தொகையை ஒரு முறையிலாத் தொகையீட்டுடன் ஒப்பிட்டுவதன் மூலம் அத்தொடர், ஒரு விரிதொடரென நிறுவமுடியும். வலப்பக்கப் படத்திலுள்ள செவ்வக வரிசையமைப்பிலுள்ள ஒவ்வொரு செவ்வகமும் ஓரலகு அகலமும்  &lt;math&gt;\tfrac1n&lt;/math&gt; அலகுகள் உயரமுமுள்ளவை. எனவே இசைத்தொடரானது ஒருங்குதொடராக இருக்குமானால், இச்செவ்வகங்களின் பரப்பளவுகளின் கூட்டுத்தொகையானது, இசைத்தொடரின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும். &lt;math&gt;y=\tfrac1x&lt;/math&gt; எனும் வளைவரையானது முழுவதுமாக, செவ்வகங்களின் மேல்வரம்புக்குக் கீழாகவே அமைகிறது. எனவே இவ்வளைவரைக்குக் கீழமையும் பரப்பளவு செவ்வகங்களின் பரப்பளவைவிடச் சிறியதாகும். மேலும் வளைவரைக்குக் கீழமையும் பரப்பளவு கீழ்வரும் முறையிலாத் தொகையீட்டுக்குச் சமமானதாக இருக்கும்:
 
 &lt;math display=block&gt;\int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx = \infty.&lt;/math&gt;
 இந்தத் தொகையீடு ஒருங்காததென்பதால், இசைத்தொடரின் கூட்டுத்தொகையும் ஒருங்காது.&lt;ref name=kifowit/&gt;
 
 ==பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகள்==
 
 {| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;margin:0 0 0 1em; text-align:right; float:right;&quot;
 ! rowspan=&quot;2&quot; style=&quot;padding-top:1em;&quot;|&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; !! colspan=&quot;4&quot;|இசைத்தொடரின் பகுதிக் கூட்டுதொகை: &lt;math&gt;H_n&lt;/math&gt;
 |-
 ! colspan=&quot;2&quot;|பின்ன வடிவில் !! தசம பின்னவடிவில் !! ஒப்பளவு
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|1 || style=&quot;text-align:center;&quot; colspan=&quot;2&quot;|1 || {{0|~}}{{bartable|1||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|2 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|3 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/2 || {{bartable|1.5||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|3 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|11 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/6 || ~{{bartable|1.83333||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|4 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|25 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/12 || ~{{bartable|2.08333||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|5 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|137 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/60 || ~{{bartable|2.28333||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|6 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|49 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/20 || {{bartable|2.45||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|7 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|363 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/140 || ~{{bartable|2.59286||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|8 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|761 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/280 || ~{{bartable|2.71786||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|9 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|7129 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/2520 || ~{{bartable|2.82897||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|10 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|7381 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/2520 || ~{{bartable|2.92897||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|11 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|83711 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/27720 || ~{{bartable|3.01988||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|12 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|86021 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/27720 || ~{{bartable|3.10321||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|13 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|1145993 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/360360 || ~{{bartable|3.18013||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|14 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|1171733 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/360360 || ~{{bartable|3.25156||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|15 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|1195757 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/360360 || ~{{bartable|3.31823||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|16 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|2436559 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/720720 || ~{{bartable|3.38073||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|17 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|42142223 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/12252240 || ~{{bartable|3.43955||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|18 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|14274301 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/4084080 || ~{{bartable|3.49511||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|19 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|275295799 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/77597520 || ~{{bartable|3.54774||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|20 || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|55835135 || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/15519504 || ~{{bartable|3.59774||20}}
 |}
 &lt;!-- Python script to generate n from 2 to 30:
 import fractions
 numerator = 1; denominator = 1
 for i in range(2, 30 + 1):
  numerator = numerator * i + denominator; denominator *= i; gcd = fractions.gcd(numerator, denominator); numerator /= gcd; denominator /= gcd
  decimal   = ('{}' if (i &lt; 3 or i == 6) else '{:.5f}').format(float(numerator) / denominator); exact = '' if (i &lt; 3 or i == 6) else '~'
  print('|-\n| style=&quot;text-align:right;&quot;|{} || style=&quot;border-right:none;text-align:right;padding-right:0;&quot;|{:,} || style=&quot;border-left:none;text-align:left;padding-left:0;&quot;|/{:,} || {}{{{{bartable|{}||20}}}}'.
        format(i, numerator, denominator, exact, decimal).replace(',', ''))
 --&gt;
 ஒரு இசைத் தொடரின் முதல் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; உறுப்புகளைக் கூட்ட, அத்தொடரின் [[தொடர் (கணிதம்)|பகுதிக் கூட்டுத்தொகை]] கிடைக்கிறது. இப்பகுதிக் கூட்டுத்தொகை, &quot;[[இசை எண்]]&quot; என அழைக்கப்படுகிறது; அதன் குறியீடு, &lt;math&gt;H_n&lt;/math&gt;:&lt;ref name=knuth&gt;{{cite book
  | last = Knuth | first = Donald E. | author-link = Donald Knuth
  | contribution = 1.2.7 Harmonic numbers
  | edition = 1st
  | pages = 73–78
  | publisher = Addison-Wesley
  | title = The Art of Computer Programming, Volume I: Fundamental Algorithms
  | title-link = The Art of Computer Programming
  | year = 1968}} Knuth writes, of the partial sums of the harmonic series &quot;This sum does not occur very frequently in classical mathematics, and there is no standard notation for it; but in the analysis of algorithms it pops up nearly every time we turn around, and we will consistently use the symbol &lt;math&gt;H_n&lt;/math&gt; ... The letter &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; stands for &quot;harmonic&quot;, and we call &lt;math&gt;H_n&lt;/math&gt; a &quot;harmonic number&quot; because [the infinite series] is customarily called the harmonic series.&quot;&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}.&lt;/math&gt;
 
 ===அதிகரிப்பு வீதம்===
 இசை எண்கள், மடக்கை அதிகரிப்புடன் மிக மெதுவாக அதிகரிக்கின்றன. தொகையீட்டுத் தேர்வில் இதனைக் காணலாம்.&lt;ref name=bressoud&gt;{{cite book
  | last = Bressoud | first = David M. | author-link = David Bressoud
  | edition = 2nd
  | isbn = 978-0-88385-747-2
  | mr = 2284828
  | pages = 137–138
  | publisher = Mathematical Association of America | location = Washington, DC
  | series = Classroom Resource Materials Series
  | title = A Radical Approach to Real Analysis
  | url = https://books.google.com/books?id=YSe4hUBM7uEC&amp;pg=PA137
  | year = 2007}}&lt;/ref&gt;
 
 மேலும் நுட்பமாக [[ஆய்லர்-மெக்லாரின் வாய்பாடு|ஆய்லர்-மெக்லாரின் வாய்பாட்டின்]]படி:
 &lt;math display=block&gt;H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \varepsilon_n&lt;/math&gt;
 இதில். &lt;math&gt;\gamma\approx 0.5772,&lt;/math&gt; [[ஆய்லரின் மாறிலி]];  &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; முடிவிலியை அணுகும்போது, &lt;math&gt;0\le\varepsilon_n\le 1/8n^2&lt;/math&gt; இன் மதிப்பு '0' ஐ அணுகும்.&lt;ref name=boawre&gt;{{cite journal
  | last1 = Boas | first1 = R. P. Jr. | author1-link = Ralph P. Boas Jr.
  | last2 = Wrench | first2 = J. W. Jr. | author2-link = John Wrench
  | doi = 10.1080/00029890.1971.11992881
  | journal = The American Mathematical Monthly
  | jstor = 2316476
  | mr = 289994
  | pages = 864–870
  | title = Partial sums of the harmonic series
  | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1971-10_78_8/page/864 | volume = 78
  | year = 1971| issue = 8 }}&lt;/ref&gt;
 
 ===வகுபடும்தன்மை===
 {{nowrap|&lt;math&gt;H_1=1&lt;/math&gt;}} ஐத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் ஒரு [[முழு எண்]] அல்ல.&lt;ref name=havil&gt;{{cite book
  | last = Havil | first = Julian
  | contribution = Chapter 2: The harmonic series
  | contribution-url = https://books.google.com/books?id=-fuxDwAAQBAJ&amp;pg=PA21
  | isbn = 978-0-691-14133-6
  | pages = 21–25
  | publisher = Princeton University Press
  | title = Gamma: Exploring Euler's Constant
  | year = 2003}}&lt;/ref&gt;
 &lt;ref name=osler&gt;{{cite journal
  | last = Osler | first = Thomas J. | author-link = Thomas J. Osler
  | date = November 2012
  | doi = 10.1017/S0025557200005167
  | issue = 537
  | journal = [[The Mathematical Gazette]]
  | jstor = 24496876
  | pages = 515–519
  | title = 96.53 Partial sums of series that cannot be an integer
  | volume = 96| s2cid = 124359670 }} See in particular Theorem 1, p. 516.&lt;/ref&gt;
 
 &lt;math&gt;H_n&lt;/math&gt; முழுவெண் அல்ல என்பதை நிரூபிக்க, &lt;math&gt;2^k&lt;/math&gt; என்ற {{nowrap|1 முதல் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.}} வரையிலமைந்த மிகப்பெரிய [[இரண்டின் வலு|இரண்டின் அடுக்கை]] எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்; {{nowrap|1 முதல் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;}} எண்களின் [[மீச்சிறு பொது மடங்கு]] &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; எனில், &lt;math&gt;H_k&lt;/math&gt; ஐ சம பகுதிகளைக் கொண்ட பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்:
 
 &lt;math display=block&gt;H_n=\sum_{i=1}^n \tfrac{M/i}{M}&lt;/math&gt;
 இப்பின்னங்களின் தொகுதிகளில்  {{nowrap|&lt;math&gt;M/2^k&lt;/math&gt;,}} என்ற ஒன்றுமட்டுமே [[நிகரி (கணிதம்)|ஒற்றைப்படை]] எண்ணாகவும் மற்றவையெல்லாம் இரட்டைப்படை எண்ணாகவும் இருக்கும். மேலும் {{nowrap| &lt;math&gt;n&gt;1&lt;/math&gt;}} எனில்,  &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; என்பதே இரட்டைப்படையாக இருக்கும். எனவே இப்பின்னங்கள் அனைத்தும் ஒற்றைப்படைத் தொகுதிகளையும் இரட்டைப்படைப் பகுதிகளையும் கொண்டிருக்கும். எனவே   &lt;math&gt;H_n&lt;/math&gt; முழுஎண்ணாக இருக்காது.&lt;ref name=havil/&gt; 
 
 மேலும் வலுவாக, தொடர்ந்த முழுஎண்களைக்கொண்ட எந்தவொரு தொடர்வரிசையிலும், அதன் மற்றெந்த உறுப்புகளையும் விடப் பெரிய இரண்டின் அடுக்கால்  வகுபடக்கூடிய தனித்ததொரு உறுப்பு இருக்கும். மேற்கண்ட விதத்திலேயே விவாதிக்க, எந்தவிரு இசையெண்களின் வித்தியாசமும் ஒரு முழுஎண்ணாக இருக்காது என்பதை அறியலாம்.&lt;ref name=osler/&gt;
 
 இசையெண்கள் முழுஎண்களாக இருக்காது என்ற கூற்றை நிறுவும் மற்றொரு நிறுவல், &lt;math&gt;H_n&lt;/math&gt; பின்னத்தின் பகுதியானது  &lt;math&gt;n/2&lt;/math&gt; ஐ விடப் பெரிய [[பகா எண்]]களால் வகுபடும் என்பதையும், இப்பகா எண்களின் கணம் வெற்றுக்கணமாக இருக்காதென்பதற்கு [[பெர்ட்ரான்டின் எடுகோள்|பெர்ட்ரான்டின் எடுகோளையும்]] பயன்படுத்துகிறது. இந்நிறுவல் முறையானது  &lt;math&gt;H_1=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;H_2=1.5&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;H_6=2.45&lt;/math&gt; ஆகியவற்றைத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் முடிவுறு தசமமாக இருக்காது என்பதை வலுவாகக் காட்டுகிறது.&lt;ref name=havil/&gt; &quot;ஒவ்வொரு பகாஎண்ணும் இசை எண்களின் முடிவுறு கண உறுப்புகளின் தொகுதிகளை மட்டுமே வகுக்கின்றன&quot; என்ற கூற்று அனுமான நிலையில் உள்ளது; நிறுவப்படவில்லை.&lt;ref name=sanna&gt;{{cite journal
  | last = Sanna | first = Carlo
  | doi = 10.1016/j.jnt.2016.02.020
  | journal = Journal of Number Theory
  | mr = 3486261
  | pages = 41–46
  | title = On the &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-adic valuation of harmonic numbers
  | volume = 166
  | year = 2016| hdl = 2318/1622121
  | hdl-access = free
  }}&lt;/ref&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{சான்று}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 {{Commons category|Harmonic series (mathematics)|இசைத் தொடர் (கணிதம்)}}
 * {{MathWorld|title=Harmonic Series|urlname=HarmonicSeries}}