அரைமுப்படிப் பரவளைவு
[[File:Neil-parab-3.svg|250px|thumb|{{mvar|a}} இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு அரைமுப்படிப் பரவளைவு.]]
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''அரைமுப்படிப் பரவளைவு''' , ''அரைக்கனவடிவப் பரவளைவு'' அல்லது '''நுதிக்குரிய கனவடிவடிம்''' (''semicubical parabola'', ''cuspidal cubic'') என்பது உள்ளுறைச் சமன்பாடுடையதொரு இயற்கணிதத் தள வளைவரையாகும். அதன் உள்ளுறைச் சமன்பாடு [[காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை]]களில்: &lt;math&gt; y^2 - a^2 x^3  =  0 &lt;/math&gt; ({{math|''a'' ≠ 0}}).
 
 {{mvar|y}} -க்குத் தீர்வு காண, அதன் &quot;வெளிப்படை வடிவச் சமன்பாடு&quot; கிடைக்கிறது.
 :&lt;math&gt; y = \pm a x^{\frac{3}{2}},&lt;/math&gt;. இதிலிருந்து ஒவ்வொரு [[மெய்யெண்]] புள்ளியும் 
 {{math|''x'' ≥ 0}} என்பதை நிறைவுசெய்யும் என்பதையும், சமன்பாட்டிலுள்ள {{math|''x'' }} இன் அடுக்கானது இவ்வளைகோட்டிற்கான பெயரிலுள்ள &quot;அரைமுப்படி&quot; என்பதற்கானக் காரணத்தையும்  அறியலாம்.([[பரவளைவு|பரவளைவின்]] சமன்பாடு: {{math|1=''y'' = ''ax''{{sup|2}}}}.)
 
 உள்ளுறைச் சமன்பாட்டை {{mvar|x}} -க்குத் தீர்வு காண இரண்டாவதாக ஒரு வெளிப்படைச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது:
 :&lt;math&gt;x = \left(\frac{y}{a}\right)^{\frac{2}{3}}.&lt;/math&gt;
 
 &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;t = \frac{y}{ax}.&lt;/math&gt; என உள்ளுறை சமன்பாட்டில் பதிலிடுவதன் மூலம் அரைமுப்படிப் பரவளைவிற்குப் பின்வரும் துணையலகுச் சமன்பாட்டையும் பெறலாம்:&lt;ref name=&quot;pickover&quot;&gt;{{citation|title=The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics|first=Clifford A.|last=Pickover|author-link=Clifford Pickover|publisher=Sterling Publishing Company, Inc.|year=2009|isbn=9781402757969|page=148|url=https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&amp;pg=PA148|contribution=The Length of Neile's Semicubical Parabola}}.&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt; \quad x = t^2, \quad y = a t^3&lt;/math&gt;
 
 ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் வில்லியம் நெயில் என்பவர் இவ்வளைகோட்டின் வில்லின் நீளத்தைக் கணக்கிட்டு, 1657 இல் வெளியிட்டார்.&lt;ref&gt;August Pein: ''Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten '',p.2&lt;/ref&gt;
 
 == பண்புகள் ==
 === வடிவொப்புமை ===
 &lt;math&gt;(t^2,at^3)&lt;/math&gt; -துணையலகு உருவகிப்பைக் கொண்ட எந்தவொரு அரைமுப்படிப் பரவளைவும் {{nowrap|&lt;math&gt;(u^2,u^3)&lt;/math&gt;.}} என்ற அரைமுப்படி அலகு பரவளவுடன் [[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)|வடிவொத்ததாக]] இருக்கும்.
 
 ''நிறுவல்:'' &lt;math&gt; (x,y) \rightarrow (a^2x,a^2y) &lt;/math&gt; என வரையறுக்கப்பட்ட வடிவொப்புமையானது ([[அளவுமாற்றம் (வடிவவியல்)|சீரான அளவுமாற்றம்]], &lt;math&gt;(t^2,at^3)&lt;/math&gt; என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவை முழுவதுமாக &lt;math&gt;((at)^2,(at)^3) = (u^2,u^3)&lt;/math&gt; ({{nowrap|&lt;math&gt;u=at &lt;/math&gt;.}}) என்ற வளைவரையோடு இணைக்கிறது.
 
 === தொடுகோடுகள் ===
 &lt;math&gt;y = \pm x^{3/2}&lt;/math&gt; என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கார்ட்டீசியன் சமன்பாட்டை வளைவரையின் மேற்கிளையிலுள்ள புள்ளி &lt;math&gt;(x_0,y_0)&lt;/math&gt; இல் வகையிட, அப்புள்ளியிலமையும் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு கிடைக்கும்:
 :&lt;math&gt; y = \frac{\sqrt{x_0}}{2}\left(3x-x_0\right)  .&lt;/math&gt;
 
 இத்தொடுகோடு வளைவரையின் கீழ்க்கிளையைப் பின்வரும் ஒரேயொரு புள்ளியில் சந்திக்கும்:&lt;ref&gt;August Pein: ''Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten '',p.26&lt;/ref&gt; 
 :&lt;math&gt; \left(\frac{x_0}{4}, -\frac{y_0}{8}\right) .&lt;/math&gt;
 
 === வில்லின்நீளம் ===
 &lt;math&gt;(x(t),y(t))&lt;/math&gt; என்ற வளைவரையின் வில்லின் நீளத்தைப் பின்வரும் [[தொகையீடு|தொகையிடல்]] மூலம் காணலாம்:
 :&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt; \int \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \;dt .&lt;/math&gt;
 அரைமுப்படிப் பரவளைவு &lt;math&gt;(t^2,at^3), \; 0\le t\le b ,&lt;/math&gt; இன் வில்லின் நீளம்: 
 :&lt;math&gt; \int^b_0\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} \;dt = \int^b_0 t\sqrt{4+9a^2t^2}\; dt = \cdots = \left[\frac{1}{27a^2} \left(4 + 9a^2t^2\right)^\frac{3}{2}\right]^b_0\; .&lt;/math&gt;
 ( {{nowrap|&lt;math&gt;u=4+9a^2t^2&lt;/math&gt; என்ற பதிலீட்டு முறையில் இத்[[தொகையீடு]] கணக்கிடப்படுகிறது.)}}
 
 ''எடுத்துக்காட்டு:''
 {{math|1=''a'' = 1}} (அரைமுப்படி அலகு பரவளைவு) மற்றும் {{math|1=''b'' = 2}} எனில், பரவளைவின் மீதுஅமையும் (0, 0),  (4,8) ஆகிய இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் வில்லின் நீளம் 9.073 ஆகக் கிடைக்கும்.
 
 === மலரி ===
 &lt;math&gt; (t^2,t)&lt;/math&gt; என்ற பரவளைவின் [[மலரி (கணிதம்)#பரவளைவின் மலரி|மலரியானது]] மூலப் பரவலைவிலிருந்து ''x''-அச்சு திசையில் 1/2 அளவு நகர்த்தப்பட்ட அரைமுப்படிப் பரவளைவாகும்:
 : &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\left(\frac{1}{2}+t^2,\frac{4}{\sqrt{3}^3}t^3\right).&lt;/math&gt;
 
 === கோண-தூர ஆயதொலைவுகள் ===
 &lt;math&gt;(t^2,at^3)&lt;/math&gt; என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவின் உருவகிப்பைப் கோணதூர ஆயதொலைவுகளில் காண்பதற்கு, &lt;math&gt; y=mx&lt;/math&gt; என்ற கோடானது அரைமுப்படிப் பரவளைவை வெட்டும் புள்ளியைக் காண வேண்டும். இவை இரண்டும் வெட்டும் புள்ளிகள்:
 :&lt;math&gt; m\ne 0&lt;/math&gt; எனில், &lt;math&gt;(0, 0)&lt;/math&gt; மற்றும்  &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt; \left(\frac{m^2}{a^2}, \frac{m^3}{a^2}\right).&lt;/math&gt; 
 :இவ்விரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட தூரம்: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{m^2}{a^2}\sqrt{1+m^2}&lt;/math&gt; 
 : &lt;math&gt; m=\tan \varphi,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sec^2 \varphi = 1 + \tan^2\varphi &lt;/math&gt; என்ற பதிலிடலை மேற்கொள்ளக் கிடைப்பது:&lt;ref&gt;August Pein: ''Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten '',p. 10&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt; r=\left(\frac{\tan\varphi}{ a}\right)^2 \sec \varphi \; ,\quad -\frac{\pi}{2} &lt; \varphi &lt; \frac{\pi}{2} . &lt;/math&gt;
 :இதுவே அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கோணதூர ஆயதொலைவுகள்.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 *August Pein: ''Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten '', 1875, [https://books.google.de/books?hl=de&amp;lr=&amp;id=wFxaAAAAYAAJ&amp;oi=fnd&amp;pg=PA9&amp;dq=neilsche+parabel&amp;ots=fAht0kQVES&amp;sig=CscgUFFbNiUO-svYa7T0qAeYA6s#v=onepage&amp;q=neilsche%20parabel&amp;f=false Dissertation]
 *[https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&amp;pg=PA148  Clifford A. Pickover: ''The Length of Neile's Semicubical Parabola'']
 
 == வெளியிணைப்புகள்==
 *{{MacTutor|class=Curves|id=Neiles|title=Neile's Semi-cubical Parabola}}