வரிசைமாற்ற அணி
கணிதத்தில் '''வரிசைமாற்ற அணி''' (''permutation matrix'') என்பது ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும்  ஒரேயொரு உறுப்பு 1 ஆகவும் ஏனைய உறுப்புகள் எல்லாம் 0 ஆகவும் கொண்ட சதுர [[இரும அணி]]யாகும் (binary matrix). இத்தகைய அணி ({{mvar|P}}) ஒவ்வொன்றும் {{mvar|m}} உறுப்புகளின் [[வரிசைமாற்றம்|வரிசைமாற்றத்தைக்]] குறிக்கும். மேலும் மற்றொரு அணி {{mvar|A}} உடன் [[அணிப்பெருக்கல்|பெருக்கப்படும்போது]] முன்பெருக்கத்தில் ({{mvar|PA}}), {{mvar|A}} அணியின் நிரைகளின் வரிசைமாற்றமாகவும் பின்பெருக்கத்தில் ({{mvar|AP}}), {{mvar|A}} அணியின் நிரல்களின் வரிசைமாற்றமாகவும் அமையும்.
 
 == வரையறை ==
 ''m'' உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றம் &amp;pi; என எடுத்துக்கொண்டால்: 
 :&lt;math&gt;\pi : \lbrace 1, \ldots, m \rbrace \to \lbrace 1, \ldots, m \rbrace&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; \cdots &amp; m \\ \pi(1) &amp; \pi(2) &amp; \cdots &amp; \pi(m) \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 வரிசைமாற்றத்தை, ஒரு வரிசைமாற்ற அணியுடன் இருவழிகளில் இணைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக  ''m'' × ''m'' [[முற்றொருமை அணி]], {{math|I&lt;sub&gt;''m''&lt;/sub&gt;}} இன் நிரல்களை {{pi}} இன் படி வரிசைமாற்றம் செய்யலாம் அல்லது நிரைகளை {{pi}} இன் படி வரிசைமாற்றம் செய்யலாம்.
 
 :{{math|I&lt;sub&gt;''m''&lt;/sub&gt;}} இன் நிரல்களை வரிசைமாற்றம் செய்யக்கிடைக்கும் வரிசைமாற்ற  அணி ஒரு ''m &amp;times; m'' அணியாக இருக்கும். இந்த அணியின் குறியீடு ''P''&lt;sub&gt;{{pi}}&lt;/sub&gt; = (''p''&lt;sub&gt;''ij''&lt;/sub&gt;) எனில்: 
 : ஒவ்வொரு ''i'' க்கும், ''j'' = {{pi}}(''i'') எனில்  ''p''&lt;sub&gt;''ij''&lt;/sub&gt; = 1 ஆகவும், அவ்வாறு இல்லாவிட்டால்  ''p''&lt;sub&gt;''ij''&lt;/sub&gt; = 0 ஆகவும் இருக்கும். 
 :அதாவது ''i'' ஆவது நிரையில் {{pi}}(''i'') நிரலில் உள்ள உறுப்பு மட்டும் 1 ஆகவும் மீதமுள்ள உறுப்புகள் எல்லாம் 0 ஆகவும் இருக்கும். 
 :எனவே வரிசைமாற்ற அணி ''P''&lt;sub&gt;{{pi}}&lt;/sub&gt; கீழுள்ளவாறு அமைகிறது: 
 :&lt;math&gt;P_\pi = \begin{bmatrix} \mathbf e_{\pi(1)} \\ \mathbf e_{\pi(2)} \\ \vdots \\ \mathbf e_{\pi(m)} \end{bmatrix},&lt;/math&gt;
 :இதில் செந்தர அடுக்களத் திசையனான &lt;math&gt;\mathbf e_j&lt;/math&gt; என்பது ''m'' நீளமுள்ள ஒரு நிரை திசையனாகும். மேலும் அதன் ''j'' ஆவது இடத்தில் 1 உம் மற்ற இடங்களில் 0 உம் கொண்டிருக்கும்.&lt;ref name=Bru2&gt;Brualdi (2006) p.2&lt;/ref&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt;\pi=\begin{pmatrix} 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 5 \\ 1 &amp; 4 &amp; 2 &amp; 5 &amp; 3 \end{pmatrix},&lt;/math&gt; என்ற வரிசைமாற்றத்துக்குரிய வரிசைமாற்ற அணி:
 :&lt;math&gt;P_\pi 
 = 
 \begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_{\pi(1)} \\
 \mathbf{e}_{\pi(2)} \\
 \mathbf{e}_{\pi(3)} \\
 \mathbf{e}_{\pi(4)} \\
 \mathbf{e}_{\pi(5)} 
 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_{1} \\
 \mathbf{e}_{4} \\
 \mathbf{e}_{2} \\
 \mathbf{e}_{5} \\
 \mathbf{e}_{3} 
 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix} 
 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 \\
 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 \\
 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 
 \end{bmatrix}.
 &lt;/math&gt;
  
 முற்றொருமை அணி {{math|I&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;}} இன் ''j'' ஆவது நிரலானது ''P''&lt;sub&gt;{{pi}}&lt;/sub&gt; அணியின் {{pi}}(''j'') ஆவது நிரலாக அமைவதைக் காணலாம்.
 
 == பண்புகள் ==
 (கட்டுரையின் இப்பிரிவு முழுவதும் வரிசைமாற்ற அணியின் நிரல் உருவகிப்புப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சில இடங்களில் நிரை உருவகிப்பு பயன்படுத்தப்படும்போது அது குறிப்பிடப்படும்)
 
 *&lt;math&gt;P_{\pi}&lt;/math&gt; ஆல் நிரல் திசையன் '''g''' ஐப் முன்பெருக்கும்போது கிடைக்கும் அத்திசையனின் நிரைகளின் வரிசைமாற்றம்:
 :&lt;math&gt;P_\pi \mathbf{g} 
 = 
 \begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_{\pi(1)} \\
 \mathbf{e}_{\pi(2)} \\
 \vdots \\
 \mathbf{e}_{\pi(n)}
 \end{bmatrix}
 
 \begin{bmatrix}
 g_1 \\
 g_2 \\
 \vdots \\
 g_n
 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}
 g_{\pi(1)} \\
 g_{\pi(2)} \\
 \vdots \\
 g_{\pi(n)}
 \end{bmatrix}.
 &lt;/math&gt;
 
 மேலுள்ள முடிவினை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன்மூலம் {{mvar|M}} ஒரு பொருத்தமான வரிசையுடைய அணியாக இருக்கும்போது, பெருக்கல் அணியான &lt;math&gt;P_{\pi} M&lt;/math&gt; ஆனது {{mvar|M}} இன் நிரைகளின் வரிசைமாற்றமாக அமைவதைக்  காணலாம்.
 
 எனினும் ஒவ்வொரு {{mvar|k}} க்கும்,
 :&lt;math&gt;P_{\pi} \mathbf{e}_k^{\mathsf T} = \mathbf{e}_{\pi^{-1} (k)}^{\mathsf T}&lt;/math&gt; என்பதால் நிரைகளின் வரிமாற்றம் {{pi}}&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; ஆகும். ({{mvar|M}} அணியின் [[இடமாற்று அணி]] &lt;math&gt;M^{\mathsf T}&lt;/math&gt;)
 
 *வரிசைமாற்ற அணிகளெல்லாம் [[செங்குத்து அணி]]கள் (i.e., &lt;math&gt;P_{\pi}P_{\pi}^{\mathsf T} = I&lt;/math&gt;) என்பதால் அவற்றுக்கு நேர்மாறு அணிகள் உண்டு. அந்நேர்மாறு அணியைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:
 :&lt;math&gt;P_{\pi}^{-1} = P_{\pi^{-1}} = P_{\pi}^{\mathsf T}.&lt;/math&gt;
 
 *ஒரு நிரை திசையன் '''h''' ஐ &lt;math&gt;P_{\pi}&lt;/math&gt; ஆல் பெருக்குவதால் அந்நிரை திசையனின் நிரல்களின் வரிசைமாற்றம்:
 :&lt;math&gt;\mathbf{h}P_\pi
 = 
 \begin{bmatrix} h_1 \; h_2 \; \dots \; h_n \end{bmatrix}
 
 \begin{bmatrix}
 \mathbf{e}_{\pi(1)} \\
 \mathbf{e}_{\pi(2)} \\
 \vdots \\
 \mathbf{e}_{\pi(n)}
 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix} h_{\pi^{-1}(1)} \; h_{\pi^{-1}(2)} \; \dots \; h_{\pi^{-1}(n)} \end{bmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 மேலுள்ள முடிவினை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன்மூலம் {{mvar|M}} அணியை வரிசைமாற்ற அணியான  {{math|''P''&lt;sub&gt;{{pi}}&lt;/sub&gt;}} ஆல் பின்பெருக்கம் செய்தால் {{math|''M P''&lt;sub&gt;{{pi}}&lt;/sub&gt;}}  ஆனது {{mvar|M}} இன் நிரல்களின் வரிசைமாற்றமாக அமைவதை  காணலாம். மேலும்,
 :&lt;math&gt;\mathbf{e}_k P_{\pi} = \mathbf{e}_{\pi (k)}.&lt;/math&gt;
 
 *{{math|''m''}} உறுப்புகளின் இரு வரிசைமாற்றங்கள் {{pi}}, {{math|&amp;sigma;}} எனில் நிரல் திசையன் '''g''' மீது செயற்படும் அவற்றின் வரிசைமாற்ற அணிகள் {{math|''P''&lt;sub&gt;{{pi}}&lt;/sub&gt;}}, {{math|''P''&lt;sub&gt;&amp;sigma;&lt;/sub&gt;}} இரண்டின் தொகுப்பு:
 :&lt;math&gt;P_{\sigma} P_{\pi}\, \mathbf{g}  = P_{\pi\,\circ\,\sigma}\, \mathbf{g}. &lt;/math&gt;
 
 *{{math|''m''}} உறுப்புகளின் இரு வரிசைமாற்றங்கள் {{pi}}, {{math|&amp;sigma;}} எனில் நிரை திசையன் '''h''' மீது செயற்படும் அவற்றின் வரிசைமாற்ற அணிகள் {{math|''P''&lt;sub&gt;{{pi}}&lt;/sub&gt;}}, {{math|''P''&lt;sub&gt;&amp;sigma;&lt;/sub&gt;}} இரண்டின் தொகுப்பு:
 :&lt;math&gt; \mathbf{h} P_{\sigma} P_{\pi}  = \mathbf{h} P_{\pi\,\circ\,\sigma}. &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\pi\,\circ\,\sigma (k) = \pi \left(\sigma (k) \right).&lt;/math&gt;
 
 *{{pi}} வரிசைமாற்றத்துக்குரிய வரிசைமாற்ற அணியின் நிரை உருவகிப்பு &lt;math&gt;Q_{\pi}&lt;/math&gt; எனில், &lt;math&gt;Q_{\pi} = P_{\pi}^{\mathsf T} = P_{{\pi}^{-1}}.&lt;/math&gt; என்பதால் இந்த உருவகிப்புக்கான பண்புகளை வரிசைமாற்ற அணியின் நிரல்  உருவகிப்புக்குரிய பண்புகளிலிருந்து பெறலாம்.
 :குறிப்பாக, 
 :&lt;math&gt;Q_{\pi} \mathbf{e}_k^{\mathsf T} = P_{{\pi}^{-1}} \mathbf{e}_k^{\mathsf T} = \mathbf{e}_{(\pi^{-1})^{-1} (k)}^{\mathsf T} = \mathbf{e}_{\pi (k)}^{\mathsf T}.&lt;/math&gt;
 :இதிலிருந்து, 
 :&lt;math&gt;Q_{\sigma} Q_{\pi}\, \mathbf{g} = Q_{\sigma\,\circ\,\pi}\, \mathbf{g}.&lt;/math&gt;
 :இதேபோல,
 :&lt;math&gt;\mathbf{h}\, Q_{\sigma} Q_{\pi} = \mathbf{h}\, Q_{\sigma\,\circ\,\pi}.&lt;/math&gt;
 
 == அணிக் குலம் ==
 (1) என்பது முற்றொருமை வரிசைமாற்றம் எனில் {{math|''P''&lt;sub&gt;(1)&lt;/sub&gt;}} ஆனது [[முற்றொருமை அணி]]யாகும்.
 
 :{1,2,...,{{math|''n''}}} மீதான [[சமச்சீர் குலம்]] அல்லது [[வரிசைமாற்றுக் குலம்]] என்க. மொத்தம் {{math|''n''}}{{math|}}! வரிசைமாற்றங்கள் இருப்பதால், {{math|''n''}}! வரிசைமாற்ற அணிகள் இருக்கும்.  இந்த {{math|''n'' × ''n''}} வரிசைமாற்ற அணிகள், அணிப்பெருக்கலின் கீழ் முற்றொருமை அணியை [[முற்றொருமை உறுப்பு|முற்றொருமை உறுப்பாகக்]] கொண்ட குலமாக அமையும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 * {{cite book | last=Brualdi | first=Richard A. | title=Combinatorial matrix classes | series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications | volume=108 | location=Cambridge | publisher=[[கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]] | year=2006 | isbn=0-521-86565-4 | zbl=1106.05001 }}
 *{{Citation
 | last1=Joseph
 | first1=Najnudel
 | last2=Ashkan
 | first2=Nikeghbali
 | title=The Distribution of Eigenvalues of Randomized Permutation Matrices
 | url=https://arxiv.org/pdf/1005.0402.pdf
 | year=2010 }}
 
 [[பகுப்பு:அணிகள்]]