இருமப் பன்முகி
[[File:Polyhedron pair 6-8.png|thumb|right|upright=1.35|[[கனசதுரம்|கனசதுரத்தின்]] இருமம் ஒரு [[எண்முகி]]யாகும்.]]
 
 [[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]] ஒவ்வொரு [[பன்முகத்திண்மம்|பன்முகிக்கும்]] ஒரு இரும வடிவம் உண்டு. '''இருமப் பன்முகத்திண்மங்கள்''' அல்லது '''இருமப் பன்முகிகள்'''  (''dual polyhedron'', பன்மை: ''dual polyhedra'') இரண்டில் ஒன்றன் [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகளுக்கு]] ஒத்தவையாக மற்றதன் [[முகம் (வடிவவியல்)|முகங்கள்]] இருக்கும். மேலும் ஒன்றன் உச்சிகளின் சோடிகளை இணைக்கும் விளிம்புகளுக்கு ஒத்ததாக மற்றதன் முகங்களின் சோடிகளுக்கு இடையிலுள்ள விளிம்புகள் இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Wenninger|1983}}, &quot;Basic notions about stellation and duality&quot;, p.&amp;nbsp;1.&lt;/ref&gt; இரும வடிவங்கள் கருத்தியலானவை; எல்லா இருமங்களும் வடிவவியல் பன்முகிகளாக இருப்பதில்லை.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Grünbaum|2003}}&lt;/ref&gt; ஒரு பன்முகியின் இருமத்தின் இருமம் அதே பன்முகியாக இருக்கும்.
 
 இருமத்தன்மை ஒரு பன்முகியின் [[சமச்சீர்மை]]யைப் பாதுகாக்கும். இதனால் ஒரு குறிப்பிட்ட சமச்சீர்மை தொகுதியிலுள்ள பன்முகிகளின் இருமங்கள் அதே சமச்சீர்மை தொகுதியைச் சேர்ந்ததாகவே இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக ஒழுங்கு பன்முகிகளான [[பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்கள்|பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்களும்]] [[கெப்ளர்-பாயின்சாட்டு சீர்திண்மங்களும்]] இருமங்களாக இருக்கும். ஒழுங்கு [[நான்முக முக்கோணகம்|நான்முகி]], தனக்குத்தானே இருமம் (தன்-இருமம்) ஆகும்.
 
 சில ஒழுங்குப் பன்முகிகளின் இருமங்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன:
 * [[நான்முக முக்கோணகம்|நான்முகி]] தன்-இருமம் கொண்டது. அதாவது தனக்குத்தானே இருமமாக இருக்கும்.
 * [[கனசதுரம்|கனசதுரமும்]] [[எண்முகி]]யும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள்.
 * [[இருபதுமுக முக்கோணகம்|இருபதுமுகியும்]]  [[பன்னிரண்டுமுக ஐங்கோணகம்|பன்னிருமுகியும்]] ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள்.
 * [[சிறு நாள்மீன் பன்னிருமுகி]]யும் [[பெரு பன்னிருமுகி]]யும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள்
 * [[பெரு நாள்மீன் பன்னிருமுகி]]யும் [[பெரு இருபதுமுகி]]யும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள்.
 
 ஒரு பன்முகியின் இசுலாபிலிக் குறியீடு  {n, m} எனில், அதன் இருமப் பன்முகியின் இசுலாபிலிக் குறியீடு {m, n}.
 
 === குறிப்புகள்===
 {{reflist}}
 
 === ஆதார நூற்பட்டியல் ===
 
 *{{citation
  | last1 = Cundy | first1 = H. Martyn | author1-link = Martyn Cundy
  | last2 = Rollett | first2 = A. P.
  | edition = 2nd
  | location = Oxford
  | mr = 0124167
  | publisher = Clarendon Press
  | title = Mathematical Models
  | title-link = Mathematical Models (Cundy and Rollett)
  | year = 1961}}.
 *{{citation
  | last1 = Gailiunas | first1 = P.
  | last2 = Sharp | first2 = J.
  | doi = 10.1080/00207390500064049
  | issue = 6
  | journal = International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
  | pages = 617–642
  | title = Duality of polyhedra
  | volume = 36
  | year = 2005}}.
 *{{citation
  | last = Grünbaum | first = Branko | author-link = Branko Grünbaum
  | editor1-last = Aronov | editor1-first = Boris | editor1-link = Boris Aronov
  | editor2-last = Basu | editor2-first = Saugata
  | editor3-last = Pach | editor3-first = János | editor3-link = János Pach
  | editor4-last = Sharir | editor4-first = Micha | editor4-link = Micha Sharir
  | contribution = Are your polyhedra the same as my polyhedra?
  | doi = 10.1007/978-3-642-55566-4_21
  | mr = 2038487
  | pages = 461–488
  | publisher = Springer | location = Berlin
  | series = Algorithms and Combinatorics
  | title = Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift
  | volume = 25
  | year = 2003| citeseerx = 10.1.1.102.755| isbn = 978-3-642-62442-1 }}.
 *{{citation
  | last = Grünbaum | first = Branko | author-link = Branko Grünbaum
  | doi = 10.1016/j.disc.2005.09.037
  | issue = 3–5
  | journal = Discrete Mathematics
  | mr = 2287486
  | pages = 445–463
  | title = Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs
  | volume = 307
  | year = 2007| hdl = 1773/2276
  | hdl-access = free
  }}.
 *{{citation
  | last1 = Grünbaum | first1 = Branko | author1-link = Branko Grünbaum
  | last2 = Shephard | first2 = G. C. | author2-link = Geoffrey Colin Shephard
  | editor-last = Senechal | editor-first = Marjorie | editor-link = Marjorie Senechal
  | contribution = Duality of polyhedra
  | doi = 10.1007/978-0-387-92714-5_15
  | isbn = 978-0-387-92713-8
  | mr = 3077226
  | pages = 211–216
  | publisher = Springer | location = New York
  | title = Shaping Space: Exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical imagination
  | year = 2013}}.
 * {{citation| first=Magnus | last=Wenninger | author-link=Magnus Wenninger  | title=Dual Models | publisher=Cambridge University Press | year=1983 | isbn=0-521-54325-8 | mr = 0730208}}.
 *{{citation
  | last1 = Barvinok | first1 = Alexander
  | isbn = 0821829688
  | publisher = American Mathematical Soc. | location = Providence
  | title = A course in convexity
  | year = 2002}}.
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * {{mathworld | urlname = DualPolyhedron | title = Dual polyhedron | mode=cs2}}
 * {{MathWorld|urlname=DualTessellation|title=Dual tessellation | mode=cs2}}
 * {{mathworld | urlname = Self-DualPolyhedron | title = Self-dual polyhedron | mode=cs2}}