இரட்டைச் சார்பு
கணிதத்தில் '''இரட்டைச் சார்பு''' (''even functions''), என்பது கூட்டல் [[நேர்மாறு (கணிதம்)|நேர்மாறைப்]] பொறுத்து [[சமச்சீர் (கணிதம்)|சமச்சீர்]] உறவுகளுடைய [[சார்பு]] ஆகும். 
 
 தனது [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களத்திலும்]] [[வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு|வீச்சிலும்]] கூட்டல் நேர்மாறுடைய சார்புகளுக்கு மட்டுமே ஒற்றை மற்றும்  இரட்டைத்தன்மை வரையறுக்கப்படுகிறது. கூட்டல் [[குலம் (கணிதம்)|குலங்கள்]], [[வளையம் (கணிதம்)|வளையங்கள்]], [[களம் (கணிதம்)|களங்கள்]] ஆகியவை இத்தகைய [[கணம் (கணிதம்)|கணங்களாக]] அமையும். இரட்டைச் சார்பு [[மெய்யெண்]]களில் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்மதிப்புச் சார்பாக இருக்கும்.
 
 :&lt;math&gt;f(x) = x^n&lt;/math&gt; என்ற சார்பு  ''n'' இரட்டை [[முழு எண்]]ணாக இருக்கும்போது இரட்டைச் சார்பாகவும், ''n'' ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும்போது ஒற்றைச் சார்பாகவும் இருக்கும்.
 
 ==வரையறையும் எடுத்துக்காட்டுகளும்==
 ===இரட்டைச் சார்புகள்===
 [[Image:Function x^2.svg|right|thumb|{{nowrap|''&amp;fnof;''(''x'') {{=}} ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}}, இரட்டைச் சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு.]]
 
 ''f''(''x'') , [[மெய்யெண்]] [[மாறி]]யில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு, இரட்டைச் சார்பு எனில் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
 
 ''f'' இன் ஆட்களத்திலுள்ள அனைத்து ''x'' களுக்கும்,
 :&lt;math&gt;
 f(x) = f(-x). \,&lt;/math&gt; 
 
 இரட்டைச் சார்பின் [[சார்பின் வரைபடம்|வரைபடம்]] ''y''-அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது.
 
 எடுத்துக்காட்டுகள்:
 
 *[[தனிமதிப்புச் சார்பு]]: &lt;math&gt; f(x) = |x|&lt;/math&gt;  
 *&lt;math&gt; f(x) = x^2&lt;/math&gt;, 
 *&lt;math&gt; f(x) = x^4&lt;/math&gt;
 *[[முக்கோணவியல் சார்புகள்|முக்கோணவியல் சார்பு]]: &lt;math&gt; f(x) = cosx,&lt;/math&gt; 
 *[[அதிபரவளையச் சார்பு]]: &lt;math&gt; f(x) = coshx,&lt;/math&gt;
 
 ===பண்புகள்===
 *ஒரு சார்பு இரட்டைச் சார்பாக இருப்பதால் அது தொடர்ச்சியான சார்பாகவோ வகையிடத்தக்க சார்பாகவோ இருக்கும் என்று சொல்ல முடியாது.
 * &lt;math&gt;f(x) = 0 &lt;/math&gt; என்ற மெய்யெண்களில் வரையறுக்கப்பட்ட [[மாறிலிச் சார்பு]] மட்டுமே ஒற்றை மற்றும் இரட்டைச் சார்பாக உள்ளதொரு சார்பு.&lt;ref&gt;For a description of the family of functions which are both odd and even, see http://studentpersonalpages.loyola.edu/zmpisano/www/ {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160305171424/http://studentpersonalpages.loyola.edu/zmpisano/www/ |date=2016-03-05 }}&lt;/ref&gt;
 *இரு இரட்டைச் சார்புகளின் கூடுதல் ஒரு இரட்டைச் சார்பு.
 *ஏதேனுமொரு மாறிலியால் பெருக்கப்பட்ட இரட்டைச் சார்பு. மீண்டுமொரு இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.
 *இரு இரட்டைச் சார்புகளின் வித்தியாசம் ஒரு இரட்டைச் சார்பு.
 *இரு இரட்டைச் சார்புகளின் பெருக்கற்பலன் ஒரு இரட்டைச் சார்பு.
 *ஒரு இரட்டைச் சார்பு மற்றும் ஒரு ஒற்றைச் சார்பின் பெருக்கற்பலன் ஒரு ஒற்றைச் சார்பு.
 *இரு இரட்டைச் சார்புகளின் ஈவு இரட்டைச் சார்பாகும்.
 *இரட்டைச் சார்பின் [[வகைக்கெழு]] ஒரு ஒற்றைச் சார்பு.
 *ஒரு இரட்டை மற்றும் ஒரு ஒற்றைச் சார்புகளின் ஈவு ஒரு ஒற்றைச் சார்பு.
 *இரு இரட்டைச் [[சார்புகளின் தொகுப்பு]]ச் சார்பு ஒரு இரட்டைச் சார்பு.
 *ஒரு இரட்டை மற்றும் ஒரு ஒற்றைச் சார்புகளின் தொகுப்பு ஒரு இரட்டைச் சார்பு.
 * f(x) ஒரு இரட்டைச் சார்பு எனில்
 ::&lt;math&gt;\int_{-a}^a \! f(x)\,dx = 2 \int_0^a \! f(x)\,dx \,&lt;/math&gt;
 
 ===இரட்டை மற்றும் ஒற்றைச் சார்புகளின் கூடுதல்===
 * ஒவ்வொரு சார்பையும் ஒரு இரட்டை மற்றும் ஒரு ஒற்றைச் சார்பின் கூடுதலாக எழுதலாம்.
 விளக்கம்:
 
 அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு &lt;math&gt;f{(x)}&lt;/math&gt; எனில் அதனை பின்வருமாறு எழுதலாம்:
 :&lt;math&gt; \frac{f{(x)}}{2}+\frac{f{(x)}}{2}+\frac{f{(-x)}}{2}-\frac{f{(-x)}}{2}&lt;/math&gt;.
 :&lt;math&gt;\frac {f{(x)}+f{(-x)}}{2} + \frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2} &lt;/math&gt;.
 
 :&lt;math&gt; g{(x)} = \frac {f{(x)}+f{(-x)}}{2}, \,&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt; h{(x)} = \frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2}&lt;/math&gt; என எடுத்துக் கொண்டால்,
 :&lt;math&gt; f{(x)}=g{(x)}+h{(x)}&lt;/math&gt;.
 
 இதில் 
 :&lt;math&gt; g{(-x)}=\frac {f{(-x)}+f{(x)}}{2}=g{(x)}&lt;/math&gt; என்பதால் &lt;math&gt;g{(x)}&lt;/math&gt; இரட்டைச் சார்பாகவும்,
 :&lt;math&gt; h{(-x)}=\frac {f{(-x)}-f{(x)}}{2}=-\frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2}=-h{(x)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;h{(x)}&lt;/math&gt; ஒற்றைச் சார்பாகவும் இருப்பதைக் காணலாம்.
 * ஒரு இரட்டை மற்றும் ஒற்றைச் சார்புகளின் கூடுதல் இரட்டைச் சார்போ  அல்லது ஒற்றைச் சார்போ அல்ல. இரண்டில் ஒன்று அதன் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களம்]] முழுவதும் பூச்சியமாக இருந்தால் மட்டுமே இக்கூடுதல் சார்பு, இரட்டை அல்லது ஒற்றைச் சார்பாக இருக்கும்.
 
 ===தொடர்கள்===
 *இரட்டைச் சார்புகளின் [[மெக்லாரின் தொடர்]], இரட்டை அடுக்குகளை மட்டுமே கொண்டிருக்கும்.
 *[[காலமுறைச் சார்பு|காலமுறை]] இரட்டைச் சார்புகளின் [[வூரியே தொடர்]] [[கோசைன் (முக்கோணவியல்)|கொசைன்]] உறுப்புகளை மட்டுமே கொண்டிருக்கும்.
 
 ===இயற்கணித அமைப்பு===
 * இரட்டைச் சார்புகளின் [[நேரியல் சேர்வு]] ஒரு இரட்டைச் சார்பு. மேலும் இந்த இரட்டைச் சார்புகள் மெய்யெண்களின் மீதான ஒரு [[திசையன் வெளி]]யை அமைக்கும்.
 
 அனைத்து மெய்மதிப்புச் சார்புகளின் திசையன் வெளிகளும் இரட்டை மற்றும் ஒற்றைச் சார்புகளின் நேரியல் உள்வெளிகளின் [[நேரிடைக் கூடுதல்|நேரிடைக் கூடுதலாக]] (Direct Sum) அமைகின்றன.
 
 எந்தவொரு சார்பு ''f''(''x'') ஐ இரட்டை மற்றும் ஒற்றைச் சார்புகளின் தனித்ததொரு கூடுதலாகப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
 ::
 :: &lt;math&gt;f(x)=f_\text{e}(x) + f_\text{o}(x)\, ,&lt;/math&gt;
 : இதில்,
 :: &lt;math&gt;f_\text{e}(x) = \tfrac12[f(x)+f(-x)]&lt;/math&gt; ஓர் இரட்டைச் சார்பு;
 
 :: &lt;math&gt;f_\text{o}(x) = \tfrac12[f(x)-f(-x)]&lt;/math&gt; ஓர் ஒற்றைச் சார்பு.
 
 எடுத்துக்காட்டாக,  ''f'' [[படிக்குறிச் சார்பு]] எனில்,  ''f''&lt;sub&gt;e&lt;/sub&gt; என்பது cosh ஆகவும் ''f''&lt;sub&gt;o&lt;/sub&gt; என்பது &amp;nbsp;sinh ஆகவும் இருக்கும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 &lt;references/&gt;
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *[http://mathworld.wolfram.com/EvenFunction.html இரட்டைச் சார்பு]
 
 [[பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்]]