களம் (கணிதம்)
'''களம்''' (Field) என்பது [[நுண்புல இயற்கணிதம்|நுண்புல இயற்கணிதத்தில்]] ஒரு [[கணித அமைப்பு]]. அதனில் [[கூட்டல்]], [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]] என இரண்டு [[செயல்முறைகளும்]] அவைகளுக்கு நேர்மாறான [[கழித்தல்]], [[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுத்தல்]] என்ற இரண்டு செயல்முறைகளும் இருக்கும். சாதாரண அடிப்படை [[எண் கணிதத்தில்]] இருப்பது போன்று அவை ஒன்றுக்கொன்று ஒத்துப்போவதாகவும் (compatible) இருக்கும்.
 
 ==வரையறைகள்==
 
 ஒரு களத்தின் இலக்கணத்தை மூன்றுவிதமாக அறிமுகப் படுத்தலாம்.
 
 1. [[முற்றொருமை]] யைக்கொண்ட ஒரு [[பரிமாற்று வளையம்]] F இல் தொடங்குவோம்.  அதனாலேயே அதனில் ‘+’ என்ற ஒரு கூட்டல் செயல்முறையும், ‘*’ என்ற ஒரு பெருக்கல் செயல் முறையும் உள்ளன. மற்றும் கூட்டலுக்கு அது ஒரு [[பரிமாற்றுக் குலம்|பரிமாற்றுக் குலமாகவும்]] பெருக்கல் ஒரு [[பரிமாற்றுப் பண்பு|பரிமாற்றுச் செயல் முறையாகவும்]] உள்ளன. இதைத் தவிர கூட்டலும் பெருக்கலும் ஒழுங்காகப் [[பங்கீட்டுப் பண்பு|பகிர்ந்து]] கொள்கின்றன. இவ்வளவுக்கும் மேல் F இனுள் [[பூச்சியம்|சூனியமல்லாத]] ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு [[பெருக்கல் நேர்மாறு]] இருக்குமானால் , F ஒரு '''களம்''' எனப்படும்.
 
 குறிப்பு: &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; என்ற உறுப்புக்குப் '''பெருக்கல் [[நேர்மாறு உறுப்பு|நேர்மாறு]]''' என்பது கீழ்க்காணும் பண்புடைய &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; என்ற உறுப்பு:
 
 &lt;math&gt;a x =  x a  = 1&lt;/math&gt;.
 
 2. பெருக்கல் பரிமாற்றுச் செயலாக இல்லாமல் இருந்தால், மேற்சொன்ன வரையறையில் தொடங்கப்படும் வளையம் F பரிமாறா வளையமாக இருக்கும். இப்படிப்பட்ட F க்குள் சூனியமல்லாத ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்குமானால் , F ஒரு '''பரிமாறாக்களம்''' (Division ring; Skew Field) எனப்படும். இதற்கும் களத்திற்கும் உள்ள ஒரே வேறுபாடு, பெருக்கலின் பரிமாறல் பண்புதான்.
 
 3. ஒரு களம் (F, +, *) இன் கொற்கோள்கள் எல்லாவற்றையும் அடிமட்டத்திலிருந்து கீழே உள்ளபடி கொடுக்கலாம்( '+': கூட்டல்; '*': பெருக்கல்):
 
 (F1): ''''+' ஓர் [[ஈருறுப்புச் செயலி|ஈருறுப்புச்செயல்]]'''; அ-து, F இல் உள்ள எந்த &lt;math&gt;x, y,&lt;/math&gt; க்கும், &lt;math&gt;x + y  \in  F&lt;/math&gt;
 
 (F2): ''''+' ஒரு [[சேர்ப்பு விதி]]'''; அ-து, F இல் உள்ள எந்த&lt;math&gt; x, y, z&lt;/math&gt; க்கும் &lt;math&gt;(x + y) + z = x + (y + z)&lt;/math&gt;
 
 (F3): ''''+' ஒரு [[பரிமாற்று விதி]]'''; அ-து, F இல் உள்ள எந்த &lt;math&gt;x, y&lt;/math&gt; க்கும், &lt;math&gt;x + y = y + x&lt;/math&gt;
 
 (F4): '''F இல் கூட்டலுக்கு ஒரு முற்றொருமை உள்ளது'''; அ-து, F இல் '0' என்ற ஒரு உறுப்பு கீழேயுள்ள பண்புடன் உள்ளது:
 
 F இல் உள்ள எந்த &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கும், &lt;math&gt;x + 0  =  x  = 0 + x&lt;/math&gt;
 
 (F5): '''F இல் உள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கும் ஒரு (கூட்டல்) நேர்மாறு உளது'''; அ-து, ஒவ்வொரு &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கும் ஒரு &lt;math&gt;(-x)&lt;/math&gt; கீழேயுள்ள பண்புடன் உள்ளது:
 
 &lt;math&gt;x  +  (-x)  =  0  = (-x) + x&lt;/math&gt;
 
 (F6): ''''*' ஓர் ஈருறுப்புச்செயல்'''; அ-து, F இல் உள்ள எந்த &lt;math&gt;x, y,&lt;/math&gt; க்கும், &lt;math&gt;x * y \in F&lt;/math&gt;
 
 (F7): ''''*' ஒரு சேர்ப்பு விதி''': அ-து, F இல் உள்ள எந்த&lt;math&gt; x, y, z&lt;/math&gt; க்கும் &lt;math&gt;(x * y) * z = x * (y * z)&lt;/math&gt;
 
 (F8): ''''*' ஒரு பரிமாற்று விதி''': அ-து, F இல் உள்ள எந்த &lt;math&gt;x, y&lt;/math&gt; க்கும், &lt;math&gt;x * y = y * x&lt;/math&gt;
 
 (F9): '''F இல் பெருக்கலுக்கு ஒரு முற்றொருமை [[கூட்டல் முற்றொருமை]]யைவிட வேறானதாக உள்ளது'''; அ-து, F இல் '1' என்ற ஒரு உறுப்பு ( &lt;math&gt;\neq 0&lt;/math&gt;) கீழேயுள்ள பண்புடன் உள்ளது:
 
 F இல் உள்ள எந்த &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கும், &lt;math&gt;x * 1  =  x  = 1 * x&lt;/math&gt;
 
 (F10): '''F இல் உள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கும் ஒரு (பெருக்கல்) நேர்மாறு உளது'''; அ-து, ஒவ்வொரு &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கும் ஒரு &lt;math&gt;x^{-1}&lt;/math&gt; கீழேயுள்ள பண்புடன் உள்ளது:
 
 &lt;math&gt;x  *  x^{-1}  =  1  = x^{-1} * x&lt;/math&gt;
 
 (F11): '''கூட்டலும் பெருக்கலும் ஒன்றுக்கொன்று [[பங்கீட்டுப் பண்பு|பகிர்ந்து]]கொள்ளக்கூடியவை'''; அ-து,F இல் உள்ள எந்த&lt;math&gt; x, y, z&lt;/math&gt; க்கும்
 
 &lt;math&gt;x * (y + z) = (x * y) + (x * z)&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;(x + y) * z  =  (x * z) + (y * z)&lt;/math&gt;
 
 ==முடிவுறாக்களங்கள்==
 
 &lt;math&gt;\mathbf{Q}&lt;/math&gt; என்ற [[விகிதமுறு எண்|விகிதமுறு எண்களின்]] கணம்.
 
 &lt;math&gt;\mathbf{R}&lt;/math&gt; என்ற [[எண்#மெய்யெண்கள்|மெய்யெண்]]களின் கணம்.
 
 &lt;math&gt;\mathbf{C}&lt;/math&gt; என்ற [[சிக்கலெண்]]களின் கணம்.
 
 இவை மூன்றிலும் கூட்டலும் பெருக்கலும் அவைகளில் இயற்கையாகவே உள்ள கூட்டலும் பெருக்கலும் தான்.
 
 இவை மூன்றும் முடிவுறாக்களங்கள்.
 
 ==முடிவுறு களங்கள்==
 
 [[முடிவுறு களம்|முடிவுறு களங்களும்]] உள்ளன. இவைகளைப்பற்றிய கோட்பாடு ஒரு தனிப்பிரிவாகவே விரியும். ஒரே ஒரு எளிதான எடுத்துக்காட்டு கீழே ஒரு அட்டவணையாகக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இதனில் ஏழு உறுப்புகளே: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. கூட்டலும் பெருக்கலும் modulo 7 முறைப்படி செய்யப்படுகின்றன. அதாவது, 5 + 3 = 8 = 1(mod 7). 5 &lt;math&gt;\times&lt;/math&gt; 3 = 15 = 1(mod 7).
 
 {| class=&quot;wikitable&quot;
 
 |-
 ! +
 ! 0
 ! 1
 ! 2
 ! 3
 ! 4
 ! 5
 ! 6
 |-
 | 0
 | 0
 | 1
 | 2
 | 3
 | 4
 | 5
 | 6
 |-
 | 1
 | 1
 | 2
 | 3
 | 4
 | 5
 | 6
 | 0
 |-
 | 2
 | 2
 | 3
 | 4
 | 5
 | 6
 | 0
 | 1
 |-
 | 3
 | 3
 | 4
 | 5
 | 6
 | 0
 | 1
 | 2
 |-
 | 4
 | 4
 | 5
 | 6
 | 0
 | 1
 | 2
 | 3
 |-
 | 5
 | 5
 | 6
 | 0
 | 1
 | 2
 | 3
 | 4
 |-
 | 6
 | 6
 | 0
 | 1
 | 2
 | 3
 | 4
 | 5
 |-
 |}
 
 {| class=&quot;wikitable&quot;
 |-
 ! &lt;math&gt;\times&lt;/math&gt;
 ! 0
 ! 1
 ! 2
 ! 3
 ! 4
 ! 5
 ! 6
 |-
 | 0
 | 0
 | 0
 | 0
 | 0
 | 0
 | 0
 | 0
 |-
 | 1
 | 0
 | 1
 | 2
 | 3
 | 4
 | 5
 | 6
 |-
 | 2
 | 0
 | 2
 | 4
 | 6
 | 1
 | 3
 | 5
 |-
 | 3
 | 0
 | 3
 | 6
 | 2
 | 5
 | 1
 | 4
 |-
 | 4
 | 0
 | 4
 | 1
 | 5
 | 2
 | 6
 | 3
 |-
 | 5
 | 0
 | 5
 | 3
 | 1
 | 6
 | 4
 | 2
 |-
 | 6
 | 0
 | 6
 | 5
 | 4
 | 3
 | 2
 | 1
 |}
 
 அட்டவணையைப்பார்த்து நாம் சொல்லி விடலாம். சூனியமல்லாத ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக,  &lt;math&gt;5^{-1} = 3; 6^{-1} = 6&lt;/math&gt;.
 
 சுருங்கச்சொன்னால் ஒவ்வொரு [[பகா எண்]] p க்கும். p உறுப்புகளுள்ள ஒரு தனிப்பட்ட முடிவுறுகளம் உள்ளது.  &lt;math&gt;p^{r}&lt;/math&gt; போன்ற பகா எண்களின் மடக்குகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு களம் உள்ளது. ஆனால் அது அவ்வளவு எளிதானதல்ல. அதற்கு &lt;math&gt;G F(p^{r})&lt;/math&gt; என்ற பெயர். இங்கு GF என்றால் Galois Field. [[எவரிஸ்ட் கால்வா|கால்வா]] (Galois) என்ற இளம் கணித இயலர் 20 வயதுக்குள் பலஆய்வுகள் செய்து தான் துரதிருஷ்டவசமாக ஒரு துப்பாக்கிச் சண்டையில் இறக்கப் போவதை எதிர்பார்த்து இறப்பதற்குமுன் அவர் ஆய்வுகளை எழுதிவைத்துவிட்டுப்போனார்.