ஆற்றல்மிகு எண்
[[File:Powerful number Cuisenaire rods 9.png|thumb|200px|[[குசேனைரே கோல்கள்]] மூலம்  1, 4, 8,  9 ஆகியவை ஆற்றல்மிகு எண்களென விளக்கும் படம்.]]
 '''ஆற்றல்மிகு எண்''' (''powerful number'') என்பது, ஒரு [[பகா எண்]]ணையும் அப்பகாஎண்ணின்  [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கத்தையும்]] [[வகுஎண்]]களாகக் கொண்ட [[முழு எண்|நேர் முழு எண்]] ஆகும். அதாவது  ''m'' என்ற நேர் முழுஎண் ஆற்றல்மிகு எண் எனில், அதனை வகுக்கும் ஒவ்வொரு பகாஎண்  ''p'' க்கும், ''p''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;ம் ''m'' ஐ வகுக்கும்.
 
 இதற்குச் சமானமாக, ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்ணானது, ஒரு வர்க்க எண் மற்றும் ஒரு கன எண்ணின் பெருக்கமாக அமையும் எனவும் வரையறுக்கப்படுகிறது. அதாவது, ஆற்றல்மிகு எண் ''m'' 
 :''m'' = ''a''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;''b''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;, (''a'', ''b'' நேர் முழுஎண்கள்) வடிவில் அமையும்.
 
 எடுத்துக்காட்டுகள்:
 
 *4 இன் பகாக்காரணி 2 மற்றும் அதன் வர்க்கம் 4=2&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; இரண்டுமே நான்கின் வகுஎண்களாக உள்ளதால் '''4''' ஒரு ஆற்றல்மிகு எண். 
 *பகாக்காரணிகள் 2, 3 ம் மற்றும் அவற்றின் வர்க்கங்கள் 4=2&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, 9=3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; நான்குமே 36இன் வகுஎண்களாக உள்ளதால் '''36''' ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்.
 
 இரண்டாவது வரையறைப்படி, ஆற்றல்மிகு எண்ணின் பொதுவடிவம்: 
 :''m'' =''a''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;''b''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;, ( ''a'', ''b'' நேர் முழுஎண்கள்)
 :4 = 2&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x 1&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;
 :36 = 6&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x 1&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;
 :200= 25 x 8 = 5&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x 2&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;
 
 1 முதல் 1000 வரையுள்ள ஆற்றல்மிகு எண்களின் பட்டியல்:
 :1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 {{OEIS|id=A001694}}.
 
 == இரு வரையறைகளின் சமானத்தன்மை ==
 {{quote box
 |text=&lt;math&gt;\begin{align}144000&amp;=2^7\times 3^2\times 5^3\\ &amp;=2^3\times 2^4\times 3^2 \times 5^3\\ &amp;=(2\times5)^3 \times (2^2\times 3)^2\end{align} &lt;/math&gt;
 
 &lt;small&gt;144000, ஒரு வலுவான எண். &lt;br&gt;இதன் பகாக் கரணிகளின் ஒவ்வொன்றின் அடுக்கும் '1'விடப் பெரியது. &lt;br&gt;ஒரு [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கம்]] மற்றுமொரு [[கனம் (கணிதம்)|கனத்தின்]] பெருக்கலாகவுள்ளது.&lt;/small&gt;
 |bgcolor=#FFFFFF
 |fontsize = 100%
 }}
 
 :::;''m'' = ''a''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;''b''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; எனில்: 
 *''a'' இன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியும் ''m'' இன் பகாக்காரணியாக்கத்தில் குறைந்தபட்சம் 2 அடுக்கினைக் கொண்டிருக்கும்;
 *அதேபோல ''b'' இன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியும் ''m'' இன் பகாக்காரணியாக்கத்தில் குறைந்தபட்சம் 3 அடுக்கினைக் கொண்டிருக்கும்;
 *இதிலிருந்து  ''m'' இன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியும் குறைந்தபட்சம் அடுக்கு 2ஐக் கொண்டிருக்கும் என அறியலாம். அதாவது ''m'' ஐ வகுக்கும் ஒவ்வொரு பகாஎண்ணின் வர்க்கமும் ''m'' ஐ வகுக்கும், எனவே ''m'' ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்ணாகிறது.
 
 :144000 = 12&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 
 :12 இன் பகாக்காரணியாக்கம் = 2&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x 3
 :10 இன் பகாக்காரணியாக்கம் = 2 x 5
 :144000 இன் பகாக்காரணியாக்கம் =2&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; x 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x 5&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;
 
 14400 இன் பகாக்காரணிகளான 2, 3, 5 இன் வர்க்கங்களும் அதன் காரணிகளாக உள்ளன; அதாவது 144000ஐ வகுக்கும் ஒவ்வொரு பகாஎண்ணின் வர்க்கமும் 144000ஐ வகுக்கும் என்பதால்  12&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; x 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; வடிவிலமையும் 144000 ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்ணாகிறது
 
 :::;''m'' ஆற்றல்மிகு எண் எனில்:
 ''m'' இன் பகாக்காரணியாக்கம்:
 :&lt;math&gt;m = \prod p_i^{\alpha_i},&lt;/math&gt; ,  α&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; ≥ 2
 
 α&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; ஒற்றையெண் எனில் γ&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; = 3 எனவும் மற்றபடி γ&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; = 0 எனவும்,
 :&lt;math&gt;\beta_i =\alpha_i - \gamma_i &lt;/math&gt; எனவும் வரையறுத்தால்,  β&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; இன் மதிப்புகள் அனைத்தும் எதிரில்லா இரட்டை முழுஎண்களாக இருக்கும்.
 
 :&lt;math&gt;m =\prod p_i^{\alpha_i} = \prod p_i^{\beta_i + \gamma_i} = (\prod p_i^{\beta_i})(\prod p_i^{\gamma_i}) = (\prod p_i^{\beta_i/2})^2(\prod p_i^{\gamma_i/3})^3&lt;/math&gt;
 
 எனவே ஆற்றல்மிகு எண்ணான ''m'' , ஒரு வர்க்கஎண் மற்றும் கனஎண்ணின் பெருக்க வடிவிலுள்ளது.
 
 எனவே இருவிதமான வரையறைகளின் சமானத்தன்மை நிறுவப்படுகிறது.
 
 ==அடுத்தடுத்த எண்களாய் அமையும் ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகள்==
 அடுத்தடுத்த எண்களாய் அமையும் ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகள்:
 :(8, 9), (288, 289), (675, 676), (9800, 9801), ... (Sloane's A060355 and A118893)&lt;ref&gt;http://mathworld.wolfram.com/PowerfulNumber.html&lt;/ref&gt;
 
 ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;8''y''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;=&amp;nbsp;1 என்ற [[பெல்லின் சமன்பாடு|பெல்லின் சமன்பாட்டிற்கு]] முடிவிலா முழுஎண்கள் தீர்வுகள் இருப்பதால், அடுத்தடுத்த ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகளும் முடிவிலா எண்ணிக்கையில் உள்ளன (Golomb, 1970). மேலும் பொதுவாக,
 
 ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;''ny''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;=&amp;nbsp;±1 (''n'' ஏதேனுமொரு கனஎண்) என்ற [[பெல்லின் சமன்பாடு|பெல்லின் சமன்பாட்டினைத்]] தீர்ப்பதன் மூலம் ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகளைக் காணலாம். இவ்வாறு பெறப்படும் ஒவ்வொரு ஆற்றல்மிகு எண்சோடியிலும் ஒரு எண் முழுவர்க்கமாக இருக்கும்.
   
 இரண்டில் எந்த எண்ணும் முழுவர்க்க எண்ணாக இல்லாத ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகள் (23&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;, 2&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;13&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;) முடிவிலா எண்ணைக்கையில் உள்ளனவா என்ற கேள்வி கணிதவியலாளர் [[பால் ஏர்டோசு|ஏர்டோசுவால்]] எழுப்பப்பட்டு,  3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;+1=7&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;d&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; என்ற சமன்பாட்டின் முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான தீர்வுகள் அவ்வாறு அமைகின்றன என கணிதவியலாளர் ஜாரொஸ்லா வ்ரொபிலெஸ்கியால் (Jaroslaw Wroblewski)) நிறுவப்பட்டது. அடுத்தடுத்தமையும் தொடர்ச்சியான மூன்று ஆற்றல்மிகு எண்கள் கிடையாதென கணிதவியலாளர்களான ஏர்டோசு, மோலின், வால்ஷ்  ஆகியோரின் அனுமானம் கூறுகிறது.
 
 == பொதுமைப்படுத்தல் ==
 ஒரு நேர் முழுஎண்ணின் அனைத்துப் பகாஎண்காரணிகளும் குறைந்தபட்சம் ''k'' அடுக்குடையதாய் இருந்தால் அந்த எண் ''k''-ஆற்றல்மிகு எண் (''k''-powerful number, ''k''-ful number, ''k''-full number) என்றழைக்கப்படும்.
 
 :(2&lt;sup&gt;''k''+1&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;1)&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;,&amp;nbsp;&amp;nbsp;2&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;''k''+1&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;1)&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;,&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;(2&lt;sup&gt;''k''+1&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;1)&lt;sup&gt;''k''+1&lt;/sup&gt;-இவை மூன்றும் [[கூட்டுத் தொடர்வரிசை]]யில் அமையும் ''k''-ஆற்றல்மிகு எண்கள் ஆகும்.
 
 ''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ..., ''a''&lt;sub&gt;''s''&lt;/sub&gt; என்பவை கூட்டுத் தொடரில் அமையும் ''k''-ஆற்றல்மிகு எண்கள். இத்தொடரின் பொதுவித்தியாசம் ''d'' எனில்: 
 :''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(''a''&lt;sub&gt;''s''&lt;/sub&gt; + ''d'')&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;, &amp;nbsp;&amp;nbsp;
 ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;(''a''&lt;sub&gt;''s''&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''d'')&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;, ..., ''a''&lt;sub&gt;''s''&lt;/sub&gt;(''a''&lt;sub&gt;''s''&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''d'')&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;, (''a''&lt;sub&gt;''s''&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;+&amp;nbsp;d)&lt;sup&gt;''k''+1&lt;/sup&gt;
 
 ஆகிய ''s'' + 1 எண்கள் கூட்டுத் தொடரில் அமையும்  ''k''-ஆற்றல்மிகு எண்கள் ஆகும்.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 * {{cite journal
   | author = Cohn, J. H. E.
   | title = A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers
   | journal = Math. Comp.
   | volume = 67
   | year = 1998
   | pages = 439–440
   | url = http://www.ams.org/mcom/1998-67-221/S0025-5718-98-00881-3/  | doi = 10.1090/S0025-5718-98-00881-3
   | issue = 221
 }}
 * {{cite journal
   | author = Paul Erdős and George Szekeres
   | title = Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem
   | journal = Acta Litt. Sci. Szeged
   | volume = 7
   | year = 1934
   | pages = 95–102}}
 * {{cite journal
   | author = Solomon W. Golomb
   | title = Powerful numbers
   | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1970-10_77_8/page/848
   | journal = American Mathematical Monthly
   | volume = 77
   | issue = 8
   | year = 1970
   | pages = 848–852
   | doi = 10.2307/2317020
   | jstor = 2317020}}
 * {{cite book
   | author = Richard K. Guy
   | pages = Section B16
   | title = Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition
   | url = https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr
   | publisher = Springer-Verlag
   | year = 2004
   | isbn = 0-387-20860-7
   }}
 * {{cite conference
   | author = Roger Heath-Brown]]
   | title = Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers
   | booktitle = Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7
   | publisher = Birkhäuser
   | location = Boston
   | pages = 137–163
   | year = 1988}}
 * {{cite conference
   | author = Heath-Brown, Roger
   | title = Sums of three square-full numbers
   | booktitle = Number Theory, I (Budapest, 1987)
   | publisher = Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51
   | year = 1990
   | pages = 163–171}}
 * {{cite book | last=Ivić | first=Aleksandar | title=The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications | series=A Wiley-Interscience Publication | location=New York etc. | publisher=John Wiley &amp; Sons | year=1985 | isbn=0-471-80634-X | zbl=0556.10026 | pages=33–34,407–413 }}
 * {{cite journal
   | author = McDaniel, Wayne L.
   | title = Representations of every integer as the difference of powerful numbers
   | url = https://archive.org/details/sim_fibonacci-quarterly_1982-02_20_1/page/85
   | journal = Fibonacci Quarterly
   | volume = 20
   | year = 1982
   | pages = 85–87}}
 * {{cite journal
   | author = Nitaj, Abderrahmane
   | title = On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers
   | journal = Bulletin of the London Mathematical Society
   | volume = 27
   | year = 1995
   | pages = 317–318
   | doi = 10.1112/blms/27.4.317
   | issue = 4}}
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 * [http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html The abc conjecture] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20000819203144/http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html |date=2000-08-19 }}
 
 [[பகுப்பு:எண்கள்]]