வகுஎண்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] ஒரு [[முழு எண்]]ணின்'''வகுஎண்''' அல்லது '''வகுத்தி''' (''divisor'') என்பது, வேறு ஏதேனுமொரு முழுஎண்ணுடன் பெருக்கப்படும்போது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முழுஎண் கிடைக்குமாறு அமைகின்ற ஒரு முழுஎண்ணாகும். ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண் அம்முழு எண்ணின் ’காரணி’ எனவும் அழைக்கப்படும். எண் [[1 (எண்)|1]] ஆனது அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்ணாக அமையும்.  ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.
 
 எடுத்துக்காட்டுகள்:
 :1 இன் வகுஎண்கள் = {1}
 :2 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2}
 :3 இன் வகுஎண்கள் = {1, 3}
 :4 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 4}
 :......
 :10 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 5, 10}
 
 ==வரையறை==
 பொதுவாக வகுஎண் என்பது இருவிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:
 
 *&lt;math&gt;m,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; ஆகிய இரு முழுஎண்களுக்கு, 
 :&lt;math&gt;mk = n&lt;/math&gt;.&lt;ref&gt;for instance, {{harvnb|Sims|1984|loc=p. 42}} or {{harvnb|Durbin|1992|loc=p. 61}}&lt;/ref&gt; என்றவாறு &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; என்ற முழுஎண் இருக்குமானால்: 
 :&lt;math&gt;m&lt;/math&gt; ஆனது &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;ஐ வகுக்கும் என்றும்; 
 :&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இன் வகுஎண் &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; என்றும்; 
 :&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; ஆனது &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; இன் மடங்கு என்றும் கூறப்படும்.
 :இக்கூற்றின் குறியீடு:
 :&lt;math&gt;m \mid n,&lt;/math&gt;
 
 இந்த வரையறையின்படி &lt;math&gt;0 \mid 0&lt;/math&gt; என்பது உண்மையாகும்.
 
 * மேற்காணும் வரையறையில், &lt;math&gt;m \neq 0&lt;/math&gt;.&lt;ref&gt;{{harvnb|Herstein|1986|loc=p. 26}}&lt;/ref&gt; என்ற கட்டுப்பாட்டைச் சேர்த்தால் &lt;math&gt;0 \mid 0&lt;/math&gt; என்பது உண்மையாகாது.
 
 ==பொதுவானவை==
 *ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண்கள் மிகைமுழுஎண்களாகவோ அல்லது  குறை முழுஎண்களாகவோ இருக்கலாம். ஆனால் பொதுவாக வகுஎண்கள் என்னும்போது மிகைவகுஎண்கள் மட்டுமே குறிக்கப்படுகின்றன.
 
 :எடுத்துக்காட்டு:
 
 வகுஎண்களின் வரையறைப்படி, 1, 2, 4, −1, −2, −4 ஆகிய ஆறு எண்களுமே 4 இன் வகுஎண்கள் ஆகும். ஆனால் 4 இன் வகுஎண்களென 1, 2, 4 ஆகிய  மிகை வகுஎண்கள் மட்டுமே குறிப்பிடப்படுகின்றன.
 
 *1 மற்றும் −1 ஆகிய இரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களையும் வகுக்கும். அதாவது அவையிரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்களாகும்.
 *ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.&lt;ref name=&quot;ReferenceA&quot;&gt;இக்கூற்றுக்கு 0|0 என்பதை உண்மையாகக் கொள்ளும் முதல்வரையறையை எடுத்துக்கொள்ளவேண்டும். அல்லது கூற்றினை பூச்சியமற்ற முழுஎண்களுக்கெனக் கொள்ள வேண்டும்&lt;/ref&gt;
 *ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தினை வகுக்கும். அதாவது ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தின் வகுஎண்ணாகும்.&lt;ref name=&quot;ReferenceA&quot;/&gt;
 *1, −1, ''n'' , −''n'' ஆகியவை ''n'' இன் ’மிகஎளிய வகுஎண்கள்’ அல்லது ”வெளிப்படையான வகுத்திகள்”  (trivial divisors) என அழைக்கப்படும்.
 *ஒரு [[பூச்சியம்|பூச்சியமற்ற]] முழுஎண்ணுக்குக் குறைந்தபட்சம் வெளிப்படையெற்ற, (அ-து ஒன்றையும் அதே எண்ணும் அல்லாத) ஒரு வகுஎண்ணாவது இருக்குமானல் அந்த பூச்சியமற்ற முழுஎண் [[பகு எண்]] எனப்படும்.
 *எண் 2 ஆல் வகுபடும் முழுஎண்கள் இரட்டை எண்கள் எனவும் 2 ஆல் வகுபடாத முழுஎண்கள் ஒற்றை எண்களெனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 *&lt;math&gt;7 \times 6 = 42&lt;/math&gt; என்பதால் 42 இன் வகுஎண் 7. அதாவது, &lt;math&gt;7 \mid 42&lt;/math&gt;. 
 42 ஆனது 7 ஆல் வகுபடும் அல்லது 42 ஆனது 7 இன் மடங்கு அல்லது 42 இன் காரணி 7 என்றும் கூறலாம்.
 *எண் 6 இன் மிகஎளியதற்ற வகுஎண்கள்: 2, &amp;minus;2, 3, &amp;minus;3.
 *42 இன் நேர் வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
 *&lt;math&gt;5 \times 0 = 0&lt;/math&gt; என்பதால் &lt;math&gt;5 \mid 0&lt;/math&gt;.
 *எண் 60 இன் நேர் வகுஎண்களின் கணம்:
 :&lt;math&gt;A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 \}&lt;/math&gt;
 
 ==மேலதிகக் குறியீடுகளும் கூற்றுகளும்==
 ===சில அடிப்படை விதிகள் === 
 * &lt;math&gt;a \mid b &lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;b \mid c&lt;/math&gt; எனில், &lt;math&gt;a \mid c&lt;/math&gt;, அதாவது வகுபடும்தன்மை ஒரு கடப்பு உறவாகும் (transitive relation).
 * &lt;math&gt;a \mid b&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;b \mid a&lt;/math&gt; எனில்,  &lt;math&gt;a = b&lt;/math&gt; அல்லது &lt;math&gt;a = -b&lt;/math&gt;.
 * &lt;math&gt;a \mid b&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;a \mid c&lt;/math&gt; எனில் &lt;math&gt; a \mid (b + c)&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt; a \mid (b - c)&lt;/math&gt;.&lt;ref&gt;&lt;math&gt;a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b+c=(j+k)a \Rightarrow a \mid (b+c)&lt;/math&gt;. Similarly, &lt;math&gt;a \mid b,\, a \mid c \Rightarrow b=ja,\, c=ka \Rightarrow b-c=(j-k)a \Rightarrow a \mid (b-c)&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;
 
 எனினும் &lt;math&gt;a \mid b&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;c \mid b&lt;/math&gt; எனில், &lt;math&gt;(a + c) \mid b&lt;/math&gt; என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகாது.
 
 எடுத்துக்காட்டு: 
 :&lt;math&gt;2\mid6&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;3 \mid 6&lt;/math&gt; ஆனால் 5 ஆனது 6ஐ வகுப்பதில்லை.
 
 *&lt;math&gt;a \mid bc&lt;/math&gt; மற்றும் [[மீப்பெரு பொது வகுத்தி|மீபொவ]]&lt;math&gt;(a, b) = 1&lt;/math&gt; எனில், &lt;math&gt;a \mid c&lt;/math&gt;. இது ’யூக்ளிடின் முற்கோள்’ (Euclid's lemma) என அழைக்கப்படுகிறது.
 *&lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ஒரு [[பகா எண்]] மற்றும் &lt;math&gt;p \mid ab&lt;/math&gt; எனில், &lt;math&gt;p \mid a&lt;/math&gt; அல்லது &lt;math&gt;p \mid b&lt;/math&gt;.
 
 ===தகு வகுஎண்கள்===
 *&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இன் ’தகு வகுஎண்’ (proper divisor) அல்லது ‘மீதியில்லப் பகுதி’ (aliquot part) என்பது &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; அல்லாத அதன் ஒரு மிகைவகுஎண் ஆகும். &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; ஐ மீதியின்றி வகுக்காத எண் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இன் ‘சரிநேர் கூறாகாத பகுதி’  (aliquant part) எனப்படும்.
 *&lt;math&gt;n &gt; 1&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இன் ஒரேயொரு தகு வகுஎண் 1 மட்டுமேயெனில், &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; ஒரு பகாஎண்ணாகும்.  .
 
 அதாவது, ஒவ்வொரு பகாஎண்ணுக்கும் இரண்டே இரண்டு வகுஎண்கள் மட்டுமே உண்டு. ( எண் 1 மற்றும் அதே எண்)
 
 ===வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை===
 *&lt;math&gt; n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k} &lt;/math&gt; ஆனது &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இன் பகாக் காரணியாக்கம்
 எனில், 
 :&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை (&lt;math&gt;d(n)&lt;/math&gt;):
 :&lt;math&gt; d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_k + 1), &lt;/math&gt;
 *ஒவ்வொரு [[இயல் எண்]] &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; க்கும், &lt;math&gt;d(n) &lt; 2 \sqrt{n}&lt;/math&gt;.
 *&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு பெருக்கல் சார்பாகும் . அதாவது &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இரண்டும் [[சார்பகா முழுஎண்கள்|சார்பகா எண்கள்]] எனில்:
 :&lt;math&gt;d(mn)=d(m)\times d(n)&lt;/math&gt;. 
 :எடுத்துக்காட்டு: 
 :&lt;math&gt;d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)&lt;/math&gt;; (42 இன் எட்டு வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42)
 
 எனினும் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு கிடையாது. அதாவது &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; ஆகிய இரு எண்களுக்கிடையே ஒரு பொது வகுஎண் இருந்தால் &lt;math&gt;d(mn)=d(m)\times d(n)&lt;/math&gt; என்பது உண்மையாகாது. 
 *&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதலுமொரு பெருக்கல் சார்பாகும். இதன் குறியீடு: &lt;math&gt;\sigma (n)&lt;/math&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 &lt;math&gt;\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42&lt;/math&gt;
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 *{{cite book |last=Durbin |first=John R. |title=Modern Algebra: An Introduction |edition=3rd |year=1992 |publisher=Wiley |location=New York |isbn=0-471-51001-7 |url=http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-EHEP000258.html}}
 *[[Richard K. Guy]], ''Unsolved Problems in Number Theory'' (3rd ed), [[Springer Verlag]], 2004 {{ISBN|0-387-20860-7}}; section B.
 *{{citation |first=I. N. |last=Herstein |title=Abstract Algebra |year=1986 |publisher=Macmillan Publishing Company |place=New York |isbn=0-02-353820-1}}
 *[[Øystein Ore]], Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
 *{{citation |first=Charles C. |last=Sims |title=Abstract Algebra: A Computational Approach |year=1984 |publisher=John Wiley &amp; Sons |place=New York |isbn=0-471-09846-9}}