பெருக்கல் சராசரித் தேற்றம்
'''பெருக்கல் சராசரித் தேற்றம்''' (''geometric mean theorem''), ஒரு [[செங்கோண முக்கோணம்|செங்கோண முக்கோணத்தில்]] அதன் செம்பக்கத்திற்கு வரையப்பட்ட செங்குத்து உயரத்திற்கும், அந்தக் குத்துயரத்தால் [[செம்பக்கம்]] பிரிக்கப்படும் இரு [[கோட்டுத்துண்டு]]களுக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பைத் தருகிறது. இத்தேற்றத்தின்படி செம்பக்கத்தின் அவ்விரு கோட்டுத்துண்டுகளின் [[பெருக்கல் சராசரி]]யாக செங்குத்துயரம் இருக்கும். இத்தேற்றமானது, '''செங்கோண முக்கோணக் குத்துயரத் தேற்றம்''' (''right triangle altitude theorem'') எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 ==தேற்றமும் பயன்பாடும்==
 [[File:Hoehensatz.svg|thumb|upright=1.5|சாம்பல்நிற சதுரத்தின் பரப்பளவு = சாம்பல்நிற செவ்வகத்தின் பரப்பளவு &lt;br/&gt;&lt;math&gt;h^2=pq \Leftrightarrow h=\sqrt{pq}&lt;/math&gt;]]
 ;தேற்றம்
 செங்கோண முக்கோணத்தின் செங்குத்துயரம் ''h'' ; இந்த செங்குத்துயரமானது, செம்பக்கத்தைப் பிரிக்கும் இரு கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளம் ''p'' , ''q'' எனில் தேற்றத்தின் கூற்று:
 
 ''p'' , ''q'' இன் பெருக்கல் சராசரி ''h''  
 :&lt;math&gt;h=\sqrt{pq} &lt;/math&gt;
 
 அல்லது பரப்பளவுகளாக:
 
 :&lt;math&gt;h^2=pq.&lt;/math&gt;
 
 அதாவது ''p'' , ''q'' அளவுகள் கொண்ட [[செவ்வகம்|செவ்வகத்தின்]] பரப்பளவும் ''h'' அளவு பக்கநீளம் கொண்ட [[சதுரம்|சதுரத்தின்]] பரப்பளவும் சமம்.
 
 ;பயன்பாடு
 தேற்ற முடிவின் இரண்டாவது வடிவைப் பயன்படுத்தி ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமமான பரப்பளவுடைய சதுரத்தை நேர்விளிம்பும் கவராயமும் கொண்டு வரையலாம்.
 
 ;வரைதல்
 * எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட செவ்வகத்தின் நீள அகலங்கள் முறையே ''p'' , ''q'' 
 * செவ்வகத்தின் இடது மேற்புற [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சி]] ''D''
 * ''D'' ஐ மையமாகவும், ''p'' அலகு ஆரமுங்கொண்ட ஒரு வட்டவில் (''AE'') வரைய வேண்டும்.
 * இவ்வட்டவில்  ''q'' கோட்டுத்துண்டின் இடப்பற நீட்சியை ''A'' இல் சந்திக்கும். 
 * ''AD'' இன் நீளம் ''p'' ஆக இருக்கும்.
 * ''AB'' ஐ (''p+q'') விட்டமாகக் கொண்டு ஒரு [[அரைவட்டம்]] வரைய வேண்டும்.
 * இந்த அரைவட்டத்தின் விட்டத்திற்கு (''AB'') ''D'' இல் ஒரு செங்குத்துக்கோடு வரைய வேண்டும்.
 * இச்செங்குத்துக்கோடு வட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி ''C''. 
 * [[தேலேசுத் தேற்றம்|தேலேசுத் தேற்றப்படி]], அரைவட்டத்தின் விட்டம் ''C'' இல் ஒரு செங்கோணத்தை உருவாக்கும்.
 * ''ADC'' ஒரு செங்கோண முக்கோணம். 
 * செங்கோண முக்கோணத்தின் செங்குத்துயரம் ''DC'' . 
 * ''DC'' ஐப் பக்கமாகக் கொண்டு ஒரு சதுரம் வரைய அதன் பரப்பளவு எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட செவ்வகத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.
 
 தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும்:
 
 ஒரு முக்கோணத்தின் ஏதேனுமொரு பக்கத்தின் செங்குத்துயரமானது, அச்செங்குத்துயரத்தால் பிரிக்கப்படும் அப்பக்கத்தின் இரு கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களின் சராசரிக்குச் சமமாக இருந்தால், எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம் ஆகும்.
 
 இத்தேற்றம் [[யூக்ளிட்|யூக்ளிடின்]] (சுமார் கிமு. 360–280) கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்படுகிறது. யூக்ளிடின் புத்தகத்தில் இத்தேற்றம் இடம்பெற்றுள்ளது (கூற்று 8-பகுதி VI; கூற்று 14-புத்தகம் II யூக்ளிடின் எலிமெண்ட்சு).
 
 ==தேற்றத்தின் நிறுவல்==
 
 ===வடிவொப்புமை மூலம் நிறுவல்===
 ;தரப்பட்டது
 &lt;math&gt;\triangle ABC &lt;/math&gt; ஒரு செங்கோண முக்கோணம் : &lt;math&gt;\angle C=90^\circ &lt;/math&gt; செம்பக்கம் ''AB'' இன் குத்துயரம் ''h''; இந்த செங்குத்துயரத்தால் பிரிக்க்கப்படும் பக்கம் ''AB'' இன் இரு கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்கள் ''p'' ''q'' .
 
 ;நிறுவவேண்டியது
 &lt;math&gt;h^2=pq&lt;/math&gt;
 
 ;நிறுவல்  
 :&lt;math&gt;\angle ADC=\angle CDB&lt;/math&gt; 
 : &lt;math&gt;\angle CAD=90^\circ -\angle DBC=\angle BCD&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;\triangle ADC,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\triangle BDC &lt;/math&gt; எனும் இரு முக்கோணங்களில் இருசோடி ஒத்த கோணங்கள் சமம். எனவே அவையிரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ஆகும்.
 : &lt;math&gt;\triangle ADC \sim\triangle BDC &lt;/math&gt; 
 [[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)|வடிவொத்த முக்கோணங்களின்]] பண்பின்படி அவற்றின் ஒத்தபக்கங்களின் விகிதங்கள் சமம்.
 :: ஃ&lt;math&gt; \frac{h}{p}=\frac{q}{h}\,\Leftrightarrow\,h^2=pq\,\Leftrightarrow\,h=\sqrt{pq}\qquad (h,p,q&gt; 0)&lt;/math&gt;
 
 ;மறுதலை
 ;தரப்பட்டது
 : &lt;math&gt;\triangle ABC &lt;/math&gt; இன் பக்கம் AB இன் குத்துயரம் h; இந்த செங்குத்துயரத்தால் பிரிக்க்கப்படும் பக்கம் ''AB'' இன் இரு கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்கள் ''p'' ''q'' ; &lt;math&gt;h^2=pq&lt;/math&gt;
 
 ;நிறுவ வேண்டியது
 &lt;math&gt;\triangle ABC &lt;/math&gt; ஒரு செங்கோண முக்கோணம்.
 
 ;நிறுவல்  
 : &lt;math&gt;h^2=pq \Rightarrow \tfrac{h}{p}=\tfrac{q}{h} &lt;/math&gt;. 
 : &lt;math&gt;\angle ADC=\angle CDB = 90^\circ&lt;/math&gt; 
 &lt;math&gt;\triangle ADC &lt;/math&gt; , &lt;math&gt;\triangle BDC &lt;/math&gt; ஆகிய இரு முக்கோணங்களில் ஒரு சோடிக் கோணவளவுகள் சமமாகவும் ஒத்தபக்கங்கள் விகிதசமத்திலும் உள்ளன. எனவே அவையிரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ஆகும்.
 : ஃ &lt;math&gt;\triangle ADC \sim \triangle BDC &lt;/math&gt;
 வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி, ஒத்த கோணங்கள் சமம்.
 : ஃ &lt;math&gt;\angle DAC=\angle DCB &lt;/math&gt;
 ::&lt;math&gt;\angle ACB=\angle ACD +\angle DCB &lt;/math&gt;
 ::&lt;math&gt;=\angle ACD +\angle DAC &lt;/math&gt;
 ::&lt;math&gt;=\angle ACD+(90^\circ-\angle ACD)=90^\circ&lt;/math&gt;
 
 ===வெட்டி, ஒட்டுவதன் மூலம் நிறுவல்===
 [[File:Geometrischer Höhensatzbeweis.svg]]
 
 :எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட செங்கோண முக்கோணத்தை அதன் செங்குயரத்தில் (''h'') இரு தனித்தனி முக்கோணங்களாக வெட்டிக்கொள்ள வேண்டும்.
 
 :அவ்வாறு கிடைக்கும் இரு முக்கோணங்களும் செங்கோண முக்கோணங்களாக இருக்கும்.
 
 படத்திலுள்ளவாறு,
 :அவையிரண்டும் ''p+h'' , ''q+h'' நீளமுள்ள தாங்கு பக்கங்களைக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குமாறு இரு வெவ்வேறு விதங்களில் பொருத்தப்படுகின்றன.
 
 :தேவைப்படும் பெரிய செங்கோண முக்கோணம் முழுமைபெற ஒரு படத்தில் ''h'' பக்கமுள்ள சதுரம் தேவைப்படுவதையும், மற்றொன்றில் ''p'' , ''q'' அளவுகள் கொண்ட செவ்வகம் தேவைப்படுவதையும் காணலாம்.
 
 :இரண்டு படங்களுமே ஒரேயளவுள்ள செங்கோண முக்கோணத்தை உருவாக்குவதால் முழுமையாவதற்கு ஒன்றில் தேவைப்படும் சதுரத்தின் பரப்பளவும், மற்றொன்றில் தேவைப்படும் செவ்வகத்தின் பரப்பளவும் சமமாக இருக்கும். அதாவது,
 :: ''h&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;'' = ''pq''.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 *Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images''. MAA 2011, {{ISBN|9780883853528}}, pp.&amp;nbsp;31–32 ({{Google books|4DavMl7-aFgC|online copy|page=31}})
 *Ilka Agricola, Thomas Friedrich: ''Elementary Geometry''. AMS 2008, {{ISBN|9780821843475}}, p.&amp;nbsp;25  ({{Google books|Ts20OwbWfPkC|online copy|page=25}})
 *[[Euclid]]: ''Elements'',  book II – prop. 14, book VI – prop. 8, ([http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html online copy])
 
 [[பகுப்பு:பல்கோணிகள் பற்றிய தேற்றங்கள்]]
 [[பகுப்பு:நிறுவலடங்கிய கணிதத்தேற்றங்கள்]]