பெருக்கச் செவ்விய எண்
[[File:Multiply perfect number Cuisenaire rods 6.png|thumb|{{nowrap|2-செவ்விய}} எண் 6 என்பதைக் [[குசேனைரே கோல்கள்]] மூலம் விளக்கும் படம்.]]
 
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''பெருக்கச் செவ்விய எண்''' அல்லது '''பெருக்க நிறைவெண்''' (''multiply perfect number'', ''multiperfect number'', ''pluperfect number'') என்பது ஒரு பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட [[நிறைவெண் (கணிதம்)|செவ்விய எண்ணாகும்]].
 
 ''k'' ஒரு [[இயல் எண்]] எனில்,  ''n'' என்ற நேர்ம முழுவெண்ணின் அனைத்து நேர்ம [[வகுஎண்]]களின் கூட்டுத்தொகை ([[வகுஎண் சார்பு]]) ''σ''(''n'') = ''kn'' ஆக இருந்தால் ''n'' ஆனது  {{nowrap|''k''-செவ்விய}} அல்லது {{nowrap|''k''-மடி செவ்விய}} எண் என அழைக்கப்படும். ''k'' இன் குறிப்பிட்ட மதிப்பிற்கு   {{nowrap|''k''-செவ்விய}} எண்ணாகவுள்ள எண்கள் &quot;பெருக்கச் செவ்விய எண்கள்&quot; என்ற பொதுப்பெயரால் அழைக்கப்படுகின்றன.. 2014 வரையிலான கணக்கீட்டின்படி, ''k'' = 11 வரையுள்ள  ஒவ்வொரு மதிப்பிற்குமான {{nowrap|''k''-செவ்விய}} எண்கள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன.&lt;ref name=fl/&gt;. 
 
 ஓர் எண்  ''n'', [[நிறைவெண் (கணிதம்)|செவ்விய எண்ணாக]] இருக்கத் தேவையான கட்டுப்பாடு ''σ''(''n'') = ''2n'' என்பதால்,  ''n''  ஆனது {{nowrap|2-செவ்வியதாக}} &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot; அது ஓர் செவ்விய எண்ணாகும்.
 
  ''k'' = 1 தவிர்த்தப் பிற  [[நிகரி (கணிதம்)|ஒற்றையெண்களுக்கான]] பெருக்கச் செவ்விய உள்ளனவா என்பது கண்டறியப்படவில்லை.
 
 சில துவக்க பெருக்கச் செவ்விய எண்கள்:
 :1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920, 33550336, 45532800, 142990848, 459818240, ... {{OEIS|A007691}}.
 
 == எடுத்துக்காட்டு ==
 120, ஒரு  {{nowrap|3-செவ்விய}} எண்ணாகும்.
 
 :120 இன் வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை:
 :''σ''(''120'') = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = ''3 x 120''.
 
 == கண்டறியப்பட்டுள்ள மிகச் சிறிய ''k''-செவ்விய எண்கள் ==
 
 கீழுள்ள அட்டவணை  ''k'' ≤ 11 மதிப்புகளுக்கான கண்டறியப்பட்டுள்ள மிகச் சிறிய ''k''-செவ்விய எண்களைத் தருகிறது {{OEIS|A007539}}:
 
 {| class=&quot;wikitable&quot;
 ! ''k'' !! கண்டறியப்பட்டுள்ள மிகச் சிறிய ''k''-செவ்விய எண்கள் !! பகாக் காரணிகள் !! கண்டுபிடித்தவர்
 |-
 | 1 || [[1 (எண்)|1]] || ||''பண்டைக்காலத்தில்''
 |-
 | 2 || [[6 (எண்)|6]] || 2 × 3||''பண்டைக்காலத்தில்''
 |-
 | 3 || 120  || 2&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; × 3 × 5|| ''பண்டைக்காலத்தில்''
 |-
 | 4 || 30240 || 2&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; × 3&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; × 5 × 7 || [[ரெனே டேக்கார்ட்]],  1638
 |-
 | 5 || 14182439040 || 2&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; × 3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; × 5 × 7 × 11&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; × 17 × 19 ||ரெனே டேக்கார்ட் circa 1638
 |-
 | 6 || 154345556085770649600 (21 இலக்கங்கள்) || 2&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt; × 3&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; × 5&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; × 7&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; × 11 × 13 × 17 × 19 × 31 × 43 × 257 || இராபர்ட்டு டேனியல் கார்மிக்கல், 1907
 |-
 | 7 || 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 (57 இலக்கங்கள்)|| 2&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt; × 3&lt;sup&gt;11&lt;/sup&gt; × 5&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; × 7&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; × 11&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; × 13&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; × 17 × 19&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; × 23 × 31 × 37 × 43 × 61 × 71 × 73 × 89 × 181 × 2141 × 599479 || டிஈ மேசன், 1911
 |-
 | 8 || 826809968707776137289924...057256213348352000000000 (133 இலக்கங்கள்) || 2&lt;sup&gt;62&lt;/sup&gt; × 3&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt; × 5&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt; × 7&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; × 11&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; × 13&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; × 17&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; × 19 × 23 × 29 × ... × 487 × 521&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; × 601 × 1201 × 1279 × 2557 × 3169 × 5113 × 92737 × 649657 (38 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள்)|| இசுடீபன் ஃப். கிரேட்டன், 1990&lt;ref name=fl&gt;{{cite web |url=http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/mpn.html |title=The Multiply Perfect Numbers Page |access-date=22 January 2014 |first=Achim |last=Flammenkamp}}&lt;/ref&gt;
 |-
 | 9 || 561308081837371589999987...415685343739904000000000 (287 இலக்கங்கள்) || 2&lt;sup&gt;104&lt;/sup&gt; × 3&lt;sup&gt;43&lt;/sup&gt; × 5&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt; × 7&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt; × 11&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; × 13&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; × 17 × 19&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; × 23&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; × 29 × ... × 17351 × 29191 × 30941 × 45319 × 106681 × 110563 × 122921 × 152041 × 570461 × 16148168401 (66 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள்)|| பிரெடு ஹீலியன்சு, 1995&lt;ref name=fl/&gt;
 |-
 | 10 || 448565429898310924320164...000000000000000000000000 (639 இலக்கங்கள்) || 2&lt;sup&gt;175&lt;/sup&gt; × 3&lt;sup&gt;69&lt;/sup&gt; × 5&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt; × 7&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt; × 11&lt;sup&gt;19&lt;/sup&gt; × 13&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt; × 17&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt; × 19&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; × 23&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt; × 29&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; × ... × 583367 × 1609669 × 3500201 × 119782433 × 212601841 × 2664097031 × 2931542417 × 43872038849 × 374857981681 × 4534166740403 (115 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள்)|| ஜார்ஜ் வோல்ட்மேன், 2013&lt;ref name=fl/&gt;
 |-
 | 11 || 251850413483992918774837...000000000000000000000000 (1907 இலக்கங்கள்) || 2&lt;sup&gt;468&lt;/sup&gt; × 3&lt;sup&gt;140&lt;/sup&gt; × 5&lt;sup&gt;66&lt;/sup&gt; × 7&lt;sup&gt;49&lt;/sup&gt; × 11&lt;sup&gt;40&lt;/sup&gt; × 13&lt;sup&gt;31&lt;/sup&gt; × 17&lt;sup&gt;11&lt;/sup&gt; × 19&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt; × 23&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt; × 29&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; × ... × 25922273669242462300441182317 × 15428152323948966909689390436420781 × 420391294797275951862132367930818883361 × 23735410086474640244277823338130677687887 × 628683935022908831926019116410056880219316806841500141982334538232031397827230330241 (246 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள்)|| ஜார்ஜ் வோல்ட்மேன், 2001&lt;ref name=fl/&gt;
 |}
 
 == பண்புகள் ==
 
 கீழுள்ள பண்புகளை [[கணித நிறுவல்|நிறுவக் கூடியனவாகும்]]:
 
 *  ''p''ஒரு [[பகா எண்]]; ''n'', ஒரு {{nowrap|''p''-செவ்விய எண்}} மற்றும் ''p'' ஆனது ''n'' இன் வகுஎண் அல்ல எனில்,  ''pn'' ஒரு {{nowrap|(''p''&amp;nbsp;+&amp;thinsp;1)-செவ்விய}} எண்ணாக இருக்கும்.   ''n''/2 ஆனது [[நிகரி (கணிதம்)|ஒற்றைச்]] [[நிறைவெண் (கணிதம்)|செவ்விய எண்ணாக]] &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot;, [[முழு எண்|முழுவெண்]] ''n''  ஆனது 2 ஆல் வகுபடக்கூடிய, ஆனால் 4 ஆல் வகுக்கமுடியாத  {{nowrap|3-செவ்விய}} என்ணாக இருக்கும். ஆனால் அத்தகைய எண்கள் எதுவும் கண்டறியப்படவில்லை.
 
 * 3''n'' ஒரு {{nowrap|4''k''-செவ்விய}} எண்ணாகவும், 3 ஆனது ''n'' இன் வகுஎண்ணாக இல்லாமலும் இருந்தால், ''n'', ஒரு is {{nowrap|3''k''-செவ்விய}} எண்ணாக அமையும்.
 
 == ஒற்றைப் பெருக்கச் செவ்விய எண்கள் ==
 
 1 ஐத் தவிர வேறு ஒற்றைப் பெருக்கச் செவ்விய எண்கள் உள்ளனவா என்பது அறியப்படாததாகவே உள்ளது. இருப்பினும் ஒற்றை {{nowrap|''k''-செவ்விய}} (''k'' &gt; 2) எண்ணாக ''n'' இருந்தால், அது பின்வரும் கட்டுப்பாடுகளை நிறைவு செய்ய வேண்டும்:&lt;ref name=&quot;HBI105&quot;&gt;{{harvnb|Sándor|Mitrinović|Crstici|2006|p=105}}&lt;/ref&gt;
 * மிகப்பெரிய பகாக் காரணி ≥&amp;thinsp;100129
 * இரண்டாவது மிகப்பெரிய பகாக் காரணி ≥&amp;thinsp;1009
 * மூன்றாவது மிகப்பெரிய பகாக் காரணி ≥&amp;thinsp;101
 
 == ''k'' இன்சில  குறிப்பிட்ட மதிப்புகள்==
 ===செவ்விய எண்கள்===
 {{முதன்மை|செவ்விய எண்}}
 
 * ''k'' = 2
 : σ(''n'') = 2''n'' எனில் ''n''  ஆனது ஒரு [[செவ்விய எண்]]ணாகும்.
 
 ===முச்செவ்விய எண்கள்===
 *  ''k'' = 3
 
 : σ(''n'') = 3''n'' எனில் ''n''  ஆனது ஒரு முச்செவ்விய எண்ணாகும். ஆறு முச்செவ்விய எண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன:
 
 : 120, 672, 523776, 459818240, 1476304896, 51001180160 {{OEIS|A005820}}
 
 ''m''  என்ற ஒற்றைச் செவ்விய எண் இருக்குமானால் (தீர்வு காணப்படாத கூற்று)  2''m'' ஆனது {{nowrap|3-செவ்விய எண்}}.
 : σ(2''m'') = σ(2)&amp;hairsp;σ(''m'') = 3×2''m''. 
 
 ஒற்றை முச்செவ்விய எண் இருந்தால், அது 10&lt;sup&gt;70&lt;/sup&gt; ஐ விடப் பெரிய [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்க எண்]]ணாக இருக்கும்; மேலும் அதற்குக் குறைந்தபட்சமாக  12 வெவ்வேறான பகாக் காரணிகள் இருக்கும்; அப்பகாக்காரணிகளுள் மிகப்பெரியது 10&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; ஐ விடப் பெரியதாகவும் இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{harvnb|Sándor|Mitrinović|Crstici|2006|pp=108–109}}&lt;/ref&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 ===ஆதாரங்கள்===
 *{{cite journal
 |first1=Kevin A.
 |last1=Broughan
 |first2=Qizhi
 |last2=Zhou
 |title=Odd multiperfect numbers of abundancy 4
 |journal= Journal of Number Theory
 |doi=10.1016/j.jnt.2007.02.001
 |year=2008
 |mr=2419178
 |volume=126
 |number=6
 |pages=1566–1575
 |url=https://researchcommons.waikato.ac.nz/bitstream/10289/1796/1/Odd%20multiperfect%20numbers%20of%20abundancy%204.pdf
 |hdl=10289/1796
 |hdl-access=free
 }}
 * {{cite book |last=Guy | first=Richard K. | author-link=Richard K. Guy | title=Unsolved problems in number theory |url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr | publisher=[[இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம்]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 | zbl=1058.11001 | at=B2 }}
 *{{cite journal
 |first1=Pentti
 |last1=Haukkanen
 |first2=V. 
 |last2=Sitaramaiah 
 |title=Bi-unitary multiperfect numbers, I
 |journal= Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
 |doi=10.7546/nntdm.2020.26.1.93-171
 |year=2020a
 |volume=26
 |number=1
 |pages=93–171
 |url=http://nntdm.net/papers/nntdm-26/NNTDM-26-1-093-171.pdf
 |doi-access=free
 }}
 *{{cite journal
 |first1=Pentti
 |last1=Haukkanen
 |first2=V. 
 |last2=Sitaramaiah 
 |title=Bi-unitary multiperfect numbers, II
 |journal= Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
 |doi=10.7546/nntdm.2020.26.2.1-26
 |year=2020b
 |volume=26
 |number=2
 |pages=1–26
 |url=http://nntdm.net/papers/nntdm-26/NNTDM-26-2-001-026.pdf
 |doi-access=free
 }}
 *{{cite journal
 |first1=Pentti
 |last1=Haukkanen
 |first2=V. 
 |last2=Sitaramaiah 
 |title=Bi-unitary multiperfect numbers, III
 |journal= Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
 |doi=10.7546/nntdm.2020.26.3.33-67
 |year=2020c
 |volume=26
 |number=3
 |pages=33–67
 |url=http://nntdm.net/papers/nntdm-26/NNTDM-26-3-033-067.pdf
 |doi-access=free
 }}
 *{{cite journal
 |first1=Pentti
 |last1=Haukkanen
 |first2=V. 
 |last2=Sitaramaiah 
 |title=Bi-unitary multiperfect numbers, IV(a)
 |journal= Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
 |doi=10.7546/nntdm.2020.26.4.2-32
 |year=2020d
 |volume=26
 |number=4
 |pages=2–32
 |url=https://nntdm.net/papers/nntdm-26/NNTDM-26-4-002-032.pdf
 |doi-access=free
 }}
 *{{cite journal
 |first1=Pentti
 |last1=Haukkanen
 |first2=V. 
 |last2=Sitaramaiah 
 |title=Bi-unitary multiperfect numbers, IV(b)
 |journal= Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
 |doi=10.7546/nntdm.2021.27.1.45-69
 |year=2021a
 |volume=27
 |number=1
 |pages=45–69
 |url=https://nntdm.net/papers/nntdm-27/NNTDM-27-1-045-069.pdf
 |doi-access=free
 }}
 *{{cite journal
 |first1=Pentti
 |last1=Haukkanen
 |first2=V. 
 |last2=Sitaramaiah 
 |title=Bi-unitary multiperfect numbers, V
 |journal= Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
 |doi=10.7546/nntdm.2021.27.2.20-40
 |year=2021b
 |volume=27
 |number=2
 |pages=20–40
 |url=https://nntdm.net/papers/nntdm-27/NNTDM-27-2-020-040.pdf
 |doi-access=free
 }}
 * {{cite journal | zbl=0612.10006 | last=Kishore | first=Masao | title=Odd triperfect numbers are divisible by twelve distinct prime factors | journal= Journal of the Australian Mathematical Society, Series A | volume=42 | issue=2 | pages=173–182 | year=1987 | issn=0263-6115 | doi=10.1017/s1446788700028184| doi-access=free }}
 * {{cite journal
 |first1=Richard
 |last1=Laatsch
 |title=Measuring the abundancy of integers
 |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1986-04_59_2/page/84
 |journal=Mathematics Magazine
 |jstor=2690424
 |year=1986
 |volume=59
 |number=2
 |pages=84–92
 |mr=0835144| issn=0025-570X | zbl=0601.10003
  |doi=10.2307/2690424}}
 * {{cite journal
 |first1=James G.
 |last1=Merickel
 |title= Divisors of Sums of Divisors: 10617
 |journal= The American Mathematical Monthly
 |year=1999
 |jstor=2589515
 |volume=106
 |number=7
 |page=693
 |mr=1543520
 |doi=10.2307/2589515
 }}
 * {{cite journal
 |first1=Richard F.
 |last1=Ryan
 |title=A simpler dense proof regarding the abundancy index
 |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2003-10_76_4/page/299
 |journal= Mathematics Magazine
 |year=2003
 |volume=76
 |number=4
 |pages=299–301
 |doi=10.1080/0025570X.2003.11953197
 |jstor=3219086
 |mr=1573698
 |s2cid=120960379
 }}
 * {{cite book | editor1-last=Sándor | editor1-first=Jozsef | editor2-last=Crstici | editor2-first=Borislav | title=Handbook of number theory II | url=https://archive.org/details/handbooknumberth00sand_741 | url-access=limited | location=Dordrecht | publisher=Kluwer Academic | year=2004 | isbn=1-4020-2546-7 | pages=[https://archive.org/details/handbooknumberth00sand_741/page/n33 32]–36 | zbl=1079.11001 }}
 * {{cite book | editor1-last=Sándor | editor1-first=József | editor2-last=Mitrinović | editor2-first=Dragoslav S. | editor3-last=Crstici |editor3-first=Borislav | title=Handbook of number theory I | location=Dordrecht | publisher=[[இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம்]] | year=2006 | isbn=1-4020-4215-9 | zbl=1151.11300 }}
 * {{Cite thesis|degree=PhD
 |first1= Ronald M.
 |last1=Sorli
 |title=Algorithms in the study of multiperfect and odd perfect numbers
 |year=2003
 |hdl=10453/20034
 |publisher=University of Technology|location= Sydney
 }}
 * {{cite journal
 |first1= Paul A.
 |last1=Weiner
 |title=The abundancy ratio, a measure of perfection
 |url= https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2000-10_73_4/page/307
 |journal= Mathematics Magazine
 |year=2000
 |jstor=2690980
 |volume=73
 |number=4
 |pages=307–310
 |mr=1573474
 |doi=10.1080/0025570x.2000.11996860
 |s2cid=119773896
 }}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * [http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/mpn.html The Multiply Perfect Numbers page]
 * [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=MultiplyPerfect The Prime Glossary: Multiply perfect numbers]
 * {{YouTube|id=DhPtIf-hpuU|title=The Six Triperfect Numbers}}
 
 [[பகுப்பு:வகுஎண் சார்பு]]