வகையிடலின் பெருக்கல் விதி
[[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] '''வகையிடலின் பெருக்கல் விதி''' அல்லது '''பெருக்கல் விதி''' (''product rule'') என்பது, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட [[சார்பு]]களின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை [[வகைக்கெழு|வகையிடும்]] வழிமுறையைத் தருகின்ற ஒரு விதியாகும்.
 
 இவ்விதியின் கூற்று:
 
 ''f'' , ''g'' [[வகையிடத்தக்கச் சார்பு]]கள் எனில்:
 
 :&lt;math&gt;(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g' \,\! &lt;/math&gt;
 
 [[லைப்னிட்சின் குறியீடு|லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்]] இவ்விதி:
 
 :&lt;math&gt;\dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u\cdot \dfrac{dv}{dx}+v\cdot \dfrac{du}{dx}&lt;/math&gt;.
 
 [[வகையீடு]]களின் குறியீட்டில் இவ்விதியைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
 
 :&lt;math&gt; d(uv)=u\,dv+v\,du&lt;/math&gt;.
 
 இவ்விதியின்படி மூன்று சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் [[வகைக்கெழு]]:
 
 :&lt;math&gt;\dfrac{d}{dx}(u\cdot v \cdot w)=\dfrac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \dfrac{dv}{dx} \cdot w + u\cdot v\cdot \dfrac{dw}{dx}&lt;/math&gt;.
 
 == லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பு ==
 
 இந்தப் பெருக்கல் விதி [[கோட்பிரீட் லைப்னிட்ஸ்|லைப்னிட்சின்]] கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்படுகிறது (மாற்றுக் கருத்தும் உள்ளது). லைப்னிட்ஸ் இவ்விதியை வகையீடுகளைக் கொண்டு விளக்கியுள்ளார்.
 
 ''u''(''x'') , ''v''(''x'') இரு வகையிடக்கூடிய சார்புகள் எனில் ''uv'' இன் வகையீடு:
 
 : &lt;math&gt;
 \begin{align}
 d(u\cdot v) &amp; {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\
 &amp; {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 ''du''·''dv'' மதிப்புத் தவிர்க்கத்தக்க அளவு சிறியதாகையால் அதை விட்டுவிடக் கிடைப்பது,
 
 :&lt;math&gt;d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,\! &lt;/math&gt;
 
 இது பெருக்கல் விதியின் வகையீட்டு வடிவமாகும்.
 
 ''dx'' ஆல் வகுக்க,
 
 :&lt;math&gt;\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot  \frac{dv}{dx} \,\!  &lt;/math&gt;
 
 இதனைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்:
 
 :&lt;math&gt;(u\cdot v)' = v\cdot  u' + u\cdot  v'. \,\! &lt;/math&gt;
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 
 *வகையிட வேண்டிய சார்பு
 
 :&lt;math&gt; f(x) = x^2 sinx &lt;/math&gt; எனில் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த,
 
 :&lt;math&gt;(f(x))' = sinx (x^2)' + x^2 (sinx)' \,\! &lt;/math&gt;
 
 :::&lt;math&gt; = sinx (2x) + x^2 (cosx) \,\! &lt;/math&gt;
 
 :::&lt;math&gt; = 2xsinx  + x^2cosx \,\! &lt;/math&gt;
 
 *பெருக்கல் விதியின் ஒரு சிறப்பு வகையாக [[வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதி]]யை அடையலாம்.
 
 பெருக்குத்தொகையில் உள்ள இரு சார்புகளில் ஒன்று [[மாறிலி]]யாக இருந்தால் பெருக்கல் விதியானது மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாக மாறிவிடும்.
 
 பெருக்கல் விதிப்படி,
 :&lt;math&gt;(cf(x))' = c(f(x))' + f(x)(c)' \,\! &lt;/math&gt;
 
 மாறிலி c இன் வகைக்கெழு [[பூச்சியம்]] என்பதால்,
 
 ::&lt;math&gt; (cf(x))' = cf'(x) \,\! &lt;/math&gt; இது வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாகும்.
 
 == பொதுவான பிழை ==
 
 பொதுவாக வகையிடும்போது நிகழக்கூடிய ஒரு பிழை (''uv'') இன் வகைக்கெழுவை (''u''&amp;nbsp;&amp;prime;)(''v''&amp;nbsp;&amp;prime;) எனக் கருதிவிடுவது ஆகும். லைப்னிட்சுக்கும் இத்தவறு நேர்ந்ததுண்டு&lt;ref&gt;{{cite journal |author=Michelle Cirillo |journal=The Mathematics Teacher |volume=101 |issue=1 |pages=23&amp;ndash;27 |year=2007 |month=August |title=Humanizing Calculus |url=http://www.nctm.org/uploadedFiles/Articles_and_Journals/Mathematics_Teacher/Humanizing%20Calculus.pdf |access-date=2012-09-09 |archive-date=2012-07-22 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120722081453/http://www.nctm.org/uploadedFiles/Articles_and_Journals/Mathematics_Teacher/Humanizing%20Calculus.pdf |url-status=dead }}&lt;/ref&gt; ஆனால் இவ்வாறு உண்மையில் அமையாது என்பதற்கு எளிதாக மாற்று எடுத்துக்காட்டுகளைத் தரமுடியும்.
 
 == நிறுவல் ==
 
 பெருக்கல் விதியை எல்லைகளின் பண்புகளையும் வகையிடலின் வரையறையும் பயன்படுத்தி நிறுவுதல்.
 
 :&lt;math&gt; h(x) = f(x)g(x),\,&lt;/math&gt;
 
 ''&amp;fnof;'' , ''g'' -என்பவை  ''x'' இல் வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்,
 
 :&lt;math&gt;h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x} \qquad\qquad(1)&lt;/math&gt;
 
 இதிலுள்ள &lt;math&gt; f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2) &lt;/math&gt; என்பது பெரிய [[செவ்வகம்|செவ்வகத்தின்]] பரப்புக்கும் சிறிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்குமுள்ள வித்தியாசம் ஆகும்.
 
 [[Image:Regladelproducte.png|center|500px]]
 
 இவ்விரண்டு செவ்வகங்களுக்கு இடையேயுள்ள பகுதியை இரு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கலாம். இவ்விரு பகுதிகளின் பரப்புகளின் கூடுதல்:&lt;ref&gt;The illustration disagrees with some special cases, since – in actuality – ''&amp;fnof;''(''w'') need not be greater than ''&amp;fnof;''(''x'') and ''g''(''w'') need not be greater than ''g''(''x'').  Nonetheless, the equality of (2) and (3) is easily checked by algebra.&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt; f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3) &lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\qquad(2)&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\qquad(3)&lt;/math&gt; என்பதால்,
 
 :&lt;math&gt; f(w)g(w) - f(x)g(x) = f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg)\qquad\qquad(4) &lt;/math&gt;
 
 இதை  (1) இல் பயன்படுத்த,
 
 :&lt;math&gt;\lim_{w\to x}\left( f(x) \left( {g(w) - g(x) \over w - x} \right) + g(w)\left( {f(w) - f(x) \over w - x} \right) \right)\qquad(4)&lt;/math&gt;
 
 இதிலுள்ள அனைத்து எல்லைகளின் மதிப்பையும் காண முடியும் என எடுத்துக்கொண்டால்,
 
 :&lt;math&gt; \left(\lim_{w\to x}f(x)\right) \left(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\right)
 + \left(\lim_{w\to x} g(w)\right) \left(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \right)
 \qquad(5)  &lt;/math&gt;
 
 இப்பொழுது
 
 *&lt;math&gt;\lim_{w\to x}f(x) = f(x),&lt;/math&gt; (&amp;nbsp;''w''&amp;nbsp;→&amp;nbsp;''x'' எனும்போது ''f''(''x'') மாறுவதில்லை)
 *&lt;math&gt;\lim_{w\to x} g(w) = g(x),\, &lt;/math&gt; (வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் இது உண்மை)
 *&lt;math&gt; \lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x) &lt;/math&gt; &amp;nbsp;&amp;nbsp; and &amp;nbsp;&amp;nbsp;  &lt;math&gt; \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x) &lt;/math&gt; (''f'' , ''g'' இரண்டும் ''x'' இல் வகையிடத்தக்கதாய் இருப்பதால்)
 
 இம்முடிவுகளை (5) இல் பயன்படுத்த,
 
 :&lt;math&gt; h'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,&lt;/math&gt; எனவே வகையிடலின் பெருக்கல் விதி நிறுவப்பட்டது.
 
 வேறுபல முறைகளிலும் இவ்விதியை நிறுவ முடியும்.
 
 == பொதுமைப்படுத்துதல் ==
 === இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கு ===
 
 பெருக்கல் விதியை இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கும் விரிவுபடுத்தலாம்:
 
 *மூன்று சார்புகளுக்கு:
 
 :&lt;math&gt;\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}\,\! &lt;/math&gt;.
 
 * &lt;math&gt;f_1, \dots, f_k&lt;/math&gt; ஆகிய ''k''-சார்புகளுக்கு:
 
 :&lt;math&gt;\frac{d}{dx} \left [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \right ]
  = \sum_{i=1}^k \left(\frac{d}{dx} f_i(x) \prod_{j\ne i} f_j(x) \right)
 = \left(  \prod_{i=1}^k f_i(x) \right) \left( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \right).&lt;/math&gt;
 
 === உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள் ===
 
 பெருக்கல் விதியை இரு சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் ''n'' ஆம் வரிசை வகையிடலுக்குப் பொதுமைப்படுத்தலாம்:
 
 :&lt;math&gt;(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot  v^{(k)}(x).&lt;/math&gt;
 
 பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி, [[பொது லைப்னிட்ஸ் விதி]] அல்லது லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.
 
 === உயர்வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்கள் ===
 
 உயர்வரிசை பகுதி வகையிடலுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி:
 
 :&lt;math&gt;{\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv)
 = \sum_S {\partial^{|S|} u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}&lt;/math&gt;
 
 மூன்றாம் வரிசைப் பகுதி வகையிடல்:
 
 :&lt;math&gt;\begin{align} &amp;{}\quad {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv)  \\  \\
 &amp;{}= u \cdot{\partial^3 v \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_1}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_2\,\partial x_3} +  {\partial u \over \partial x_2}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_3}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_2} \\  \\
 &amp;{}\qquad + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_3}
 + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_2}
 + {\partial^2 u \over \partial x_2\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1}
 + {\partial^3 u \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot v. \end{align}&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 {{refbegin}}
 *Child, J. M. (2008) &quot;The early mathematical manuscripts of Leibniz&quot;, Gottfried Wilhelm Leibniz, translated by J. M. Child; page 29, footnote&amp;nbsp;58.
 {{refend}}
 *கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 79. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121120103542/http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm |date=2012-11-20 }}