இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்: டௌ-சார்பின் வளர்வு
{{Unreferenced}}
 கணித மேதை [[இராமானுசன்|இராமானுசனின்]]  சாதனைகளில் மிக முக்கியமானவைகளில் ஒன்று, இராமானுஜனின் [[இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்: டௌ-சார்பு|டௌ-சார்பு]] (Ramanujan's tau Function) என்று பிரசித்தி பெற்ற [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டுச்]] சார்பு. '''இராமானுசன் கணிதத்துளிகளில்''' விந்தை மிக்க பல செய்திகள் உள்ளன. அவைகளில் '''டௌ-சார்பின் வளர்வைப் பற்றிய''' (Growth of tau-Function) இராமானுசனின் யூகத்தைச் சரியென்று நிறுவல் கொடுப்பதற்கு இருபதாம் நூற்றாண்டின் கணிதமேதைகள் பலரின் பங்களிப்புகளும் தேவைப்பட்ட செய்தி மிக்க சுவையானது.
 
 ==டௌ-சார்பு==
 
 &lt;math&gt;\tau(n)&lt;/math&gt;  என்பது  ஒரு [[முடிவுறாச் சரத்தில்]] &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt; இன் [[கெழு]]. இந்த முடிவுறாச் சரமே  ஒரு [[முடிவுறாப் பெருக்கீட்டின்]] விரிபாடு. அதாவது,
 
 &lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty \tau(n)x^n = \{x (1 - x) (1 - x^2) (1 - x^3) ... ...\}^{24}&lt;/math&gt;
 
 ==டௌ-சார்புக்கு சுழிகள் உண்டா?==
 
 டௌ சார்பில் சாரா மாறியாக இருப்பது எண்கள். எந்த எண் &lt;math&gt; n&lt;/math&gt; க்காவது &lt;math&gt;\tau(n)&lt;/math&gt; சூனியமாகுமா என்பது முதல் கேள்வி.  லெமர் என்ற கணித இயலர் 'ஆகாது' என்ற யூகத்தை கணித உலகத்தின் முன் வைத்திருக்கிறார். Serre என்ற கணித இயலரின் ஆய்வுகளிலிருந்து &lt;math&gt;n \leq 10^{15}&lt;/math&gt; க்கு உகந்த எல்லா &lt;math&gt;n-&lt;/math&gt;மதிப்புகளுக்கும் இந்த யூகம் சரியென்றே தெரிகிறது.  ஆனால் முழு யூகம் இன்னும் திறந்த வண்ணமே உள்ளது.
 
 ==டௌ-சார்பின் வளர்வைப்பற்றி இராமானுசன்==
 
 சாராமாறியான &lt;math&gt; n&lt;/math&gt; பெரிதாகப்போகப்போக, &lt;math&gt;\tau(n)&lt;/math&gt; இன் மதிப்புகள் என்ன ஆகும் என்று தெரிந்துகொள்வது அதன் 'வளர்வை'ப்பற்றிய  ஆய்வில் ஒரு முக்கிய குறி. இதைப்பற்றி 1916 இல் இராமானுசன் கணித உலகின் முன்வைத்த யூகம் கணித உலகையே ஒரு ஆட்டு ஆட்டிவைத்துவிட்டது.
 
 '''இராமானுசனின் யூகம்''':
 
 :: மிகப்பெரிதாக உள்ள எல்லா  &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; க்கும் , &lt;math&gt;\tau(n) \leq K n^{\frac{11}{2} + \epsilon}.&lt;/math&gt;
 
 :இதையே வேறுவிதமாகவும் சொல்லலாம்: &lt;math&gt;\tau(n)&lt;/math&gt; இன் வளர்வுக்கிரமம் (Growth-Order), &lt;math&gt;n^{\frac{11}{2} + \epsilon}&lt;/math&gt;.
 
 :இங்கு  &lt;math&gt;\epsilon&lt;/math&gt; என்பது ஒரு நேர்ம எண். அது சிறியதாக இருக்க இருக்க மேற்படி அசம உறவு இன்னும் பலப்படுகிறது.
 
 : &lt;math&gt;K&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; உடன் சம்பந்தப்படாத  ஒரு நிலையான எண்.
 
 &lt;math&gt;\tau(n) \geq n^{\frac{11}{2}}&lt;/math&gt; என்பது மிக எளிதில் நிறுவப்பட்டுவிட்டதால், இராமானுசனின் யூகத்தில் &lt;math&gt;\frac{11}{2}&lt;/math&gt; ஐ மாற்றி அதைவிடச் சிறிய எண்ணைக்கொண்டு இன்னொரு யூகம் சொல்ல முடியாது.
 
 இப்பொழுது பிரச்சினையெல்லாம் இராமானுசனின் யூகத்தை அப்படியே நிறுவல் கொடுத்துத் தீர்மானிப்பதுதான்.
 
 ==வரலாறு==
 
 [[ஹார்டி]] மிகப்பெரிதாக உள்ள எல்லா  &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; க்கும் , &lt;math&gt;\tau(n) \leq K n^8.&lt;/math&gt; என்று நிறுவல் கொடுத்தார். இதன் பொருள் இரமானுசனின் யூகத்தில் &lt;math&gt;\frac{11}{2} +\epsilon&lt;/math&gt; இன் இடத்தில்  8 இருப்பதாக நிறுவப்பட்டது.
 
 இராமானுசனே அதை 7 வரையில் கொண்டு வரக்கூடிய நிறுவல் கொடுத்தார்.
 
 இதற்குப்பிறகு 1918 இல், ஹார்டியும் [[லிட்டில்வுட்]]டும் சேர்ந்து, [[வாரிங் பிரச்சினை]] என்று பிரசித்திபெற்ற ஒரு எண்கோட்பாட்டுப் பிரச்சினைக்காக அவர்கள் பயன்படுத்திய மிக சிடுக்கான வழிகளின் மூலம், 7 ஐ 6 ஆக்கி நிறுவலளித்தனர்.
 
 1927 இல் க்ளூஸ்டர்மன் என்பவர் அந்த எண்ணை &lt;math&gt;\frac{47}{8} + \epsilon&lt;/math&gt; க்கு இறக்கிக்கொண்டு வந்தார். &lt;math&gt;\epsilon&lt;/math&gt; ஐ ஒதுக்கிவிட்டுப் பார்த்தால், இது இராமானுசன் யூகித்த &lt;math&gt;(6 - 1/2&lt;/math&gt;)க்கும் மேலேயே &lt;math&gt;(6 -1/8)&lt;/math&gt; இல் நிற்கிறது.
 
 1933இல் டாவன்போர்ட்டும் ஸாலீ யும் சேர்ந்து இதை இன்னும் கீழே &lt;math&gt;\frac{35}{6},&lt;/math&gt; அதாவது, &lt;math&gt;(6 - 1/6)&lt;/math&gt; க்குக் கொண்டுவந்தனர்.
 
 1939இல் ரான்கின் இதை &lt;math&gt;\frac{29}{5}&lt;/math&gt; அதாவது &lt;math&gt;(6 - 1/5)&lt;/math&gt;க்கு இறக்கிக் கொண்டுவந்தனர்.
 
 ஆனால் இரமானுசனின் யூகம் &lt;math&gt;(6 - 1/2).&lt;/math&gt; இந்தக் கடினமான கடைசிச் சாதனை 1974 இல் [[டெலீன்]] (Deligne) என்பவரால் சாதிக்கப்பட்டது. இந்த நிறுவல் வெறும் எண்கோட்பாட்டு  சாதனங்களைக்கொண்டு செய்யப்படவில்லை. [[இயற்கணித வடிவியல்]] என்ற 20ம் நூற்றாண்டின் புதிய கணிதப்பிரிவில் [[ஆண்டர் வைல்]] என்பவர் 1946 இல் முன்மொழிந்திருந்த மூன்று யூகங்களைப் பற்றிய டெலீனின் ஆய்வுகளிலிருந்து வந்தது. இதில் [[ரீமான் ஜீட்டா சார்பின்]] நுண்புலப் பெயர்ப்பும் அடக்கம். [[இயற்கணித இடவியல்]], இயற்கணித வடிவியல், [[இயற்கணித எண்கோட்பாடு]] என்ற மூன்று பெரிய பிரிவுகளை ஒன்றுசேர்க்கும் சாதனையாக மிளிர்ந்த   இந்த ஆய்வுக்காக டெலீனுக்கு [[பீல்ட்ஸ் பதக்கம்]] என்ற பதக்கம் 1978 இல் [[ஹெல்ஸின்கி]]யில் நடந்த [[பன்னாட்டுக் கணித காங்கிரஸில்]] வழங்கப்பட்டது.
 
 இராமானுசனின் யூகத்தின் உண்மையை நிறுவவதில் மேற்சொன்ன கணித இயலர்களல்லாது [[பீடர்ஸன்]], [[ஸெல்பர்க்]], [[ஸெர்]], [[ஐக்லர்]] ஆகிய மற்றவர்களுடைய பங்களிப்பும் அடக்கம்.
 
 இதில் சிறப்பு என்னவென்றால், இவ்வளவு மேதைகளும், இவ்வளவு உயர்தர கணிதச் சாதனங்களும் தேவைப்பட்ட ஒரு யூகம் இராமானுசன் மனதில் எப்படித் தோன்றியது என்பதுதான்!
 
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
 
 *[[இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்]]
 *[[:W:en:Ramanujan-Petersson conjecture|இராமானுசன் பீட்டர்ஸன் யூகம்]]
 
 [[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]
 [[பகுப்பு:இராமானுசன்]]
 [[பகுப்பு:பீல்ட்ஸ் பதக்கம்]]