குறுங்கோண, விரிகோண முக்கோணங்கள்
மூன்று [[கோணம்|கோணங்களையும்]] குறுங்கோணங்களாகக் கொண்ட (&lt;90°)[[முக்கோணம்]] '''குறுங்கோண முக்கோணம்''' (''acute triangle'') ஆகும். இதேபோல ஒரு விரிகோணமும்(&gt;90°), இரண்டு குறுங்கோணங்களையும் (&lt;90°) கொண்ட [[முக்கோணம்]] '''விரிகோண முக்கோணம்''' (''obtuse triangle'') ஆகும். ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணவளவுகளின் கூடுதல் 180° என்பதால் எந்தவொரு முக்கோணமும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட விரிகோணத்தை கொண்டிருக்க முடியாது.
 
 குறுங்கோண முக்கோணங்களும் விரிகோண முக்கோணங்களும் சாய்வு முக்கோண (''oblique triangles'') வகையைச் சேர்ந்தவை.
 
 {| style=&quot;margin:auto; text-align:center&quot;
 |-
 | [[File:Triangle.Right.svg|செங்கோண முக்கோணம்]]
 | width=&quot;185&quot; | [[File:Triangle.Obtuse.svg|விரிகோண முக்கோணம்]]
 | width=&quot;185&quot; | [[File:Triangle.Acute.svg|குறுங்கோண முக்கோணம்]]
 |-
 | செங்கோண முக்கோணம் || விரிகோண முக்கோணம் || குறுங்கோண முக்கோணம்
 |-
 | &amp;nbsp;
 | colspan=&quot;2&quot; | &lt;math&gt;\underbrace{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}_{}&lt;/math&gt;
 |-
 | &amp;nbsp;
 | colspan=&quot;2&quot; | சாய்வு முக்கோணங்கள்
 |}
 
 ==பண்புகள்==
 *அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் அவற்றின் [[திணிவு மையம்|நடுக்கோட்டுச்சந்திகளும்]] [[உள்வட்டமையம்|உள்வட்ட மையங்களும்]], அந்தந்த முக்கோணங்களின் உட்புறத்திலமைகின்றன.
 
 *[[செங்கோட்டுச்சந்தி]]களும் [[சுற்றுவட்டம்|சுற்றுவட்ட மையங்களும்]] விரிகோண முக்கோணங்களுக்கு வெளிப்புறமும், குறுங்கோண முக்கோணங்களுக்கு உட்புறமும் அமைகின்றன.
 
 :முக்கோணத்தின் [[குத்துக்கோடு (முக்கோணம்)|குத்துக்கோடு]] என்பது முக்கோணத்தின் ஒரு [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சியிலிருந்து]] எதிர்ப்பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக வரையப்படும் [[கோட்டுத்துண்டு|கோட்டுத்துண்டாகும்.]] 
 
 :[[Image:Triangle.Orthocenter.svg|right|thumb|200px|செங்கோட்டுச்சந்தி குறுங்கோண முக்கோணத்தில் உட்புறத்தில் உள்ளது]]
 :[[File:Altura.jpg|thumb|200px|left|செங்கோட்டுச்சந்தி (H) விரிகோண முக்கோணத்தில் வெளிப்புறத்தில் உள்ளது]]
 :ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று குத்துக்கோடுகளும் அம்முக்கோணத்தின் உட்புறத்திலமைகின்றன. ஆனால் விரிகோண முக்கோணத்தில் இரு குறுங்கோண உச்சிகளிலிருந்து வரையப்படும் குத்துக்கோடுகள் இரண்டும் முக்கோணத்தின் வெளிப்புறத்தில்தான் எதிர்ப்பக்கங்களின் நீட்சிகளைச் சந்திக்கின்றன.
 
 :எனவே குத்துக்கோடுகள் சந்திக்கும் புள்ளியான செங்கோட்டுச்சந்தி, குறுங்கோண முக்கோணத்திற்கு அதன் உட்புறமும், விரிகோண முக்கோணத்திற்கு அதன் வெளிப்புறமும் அமையும் (செங்கோண முக்கோணத்தில் சுற்றுவட்ட மையமும் செங்கோட்டுச்சந்தியும் முக்கோணத்தின் மேலமைகின்றன).
 
 *முக்கோணம் ''ABC'' இல் ''A'' , ''B'' கோணங்களின் எதிர்ப்பக்கங்கள் முறையே ''a'' , ''b'' எனில்&lt;ref name=PL&gt;[[Alfred Posamentier|Posamentier, Alfred S.]] and Lehmann, Ingmar. ''The Secrets of Triangles'', Prometheus Books, 2012.&lt;/ref&gt;{{rp|p. 264}:}
 
 :&lt;math&gt;A&gt;B \quad \text{if and only if} \quad a &gt; b.&lt;/math&gt;
 
 :எனவே விரிகோண முக்கோணத்தில், விரிகோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம் மிகஅதிக நீளமான பக்கமாக இருக்கும்.
 
 *ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்துக்குள் மூன்று [[சதுரம்|சதுரங்கள்]] வரையலாம். இவ்வாறு வரையப்படும் ஒரு சதுரத்தின் பக்கமொன்று, முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் பகுதியாகவும், சதுரத்தின் மற்ற இரு உச்சிகள் முக்கோணத்தின் மீதமுள்ள இரு பக்கங்களின் மீதும் அமைந்திருக்கும்.
 
 :ஒரு விரிகோண முக்கோணத்துக்குள் ஒரு சதுரம் மட்டுமே வரையமுடியும். இச்சதுரத்தின் ஒரு பக்கம் முக்கோணத்தின் மிகநீளமான பக்கத்தின் (விரிகோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம்) ஒரு பகுதியாகவும், சதுரத்தின் மற்ற இரு உச்சிகள் முக்கோணத்தின் மீதமுள்ள இரு பக்கங்களின் மீதும் அமைந்திருக்கும்.&lt;ref name=Ox&gt;Oxman, Victor,  and Stupel, Moshe. &quot;Why are the side lengths of the squares inscribed in a triangle so close to each other?&quot; ''Forum Geometricorum'' 13, 2013, 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html&lt;/ref&gt;{{rp|p. 115}}
 
 :செங்கோண முக்கோணத்துக்குள் வரையக்கூடிய மூன்று சதுரங்களில் இரண்டு ஒன்றுபடும் என்பதால் இரு சதுரங்கள் மட்டுமே வரையலாம்.
 
 ==சமனிலிகள்==
 
 ===பக்கங்கள்===
 
 முக்கோணம் ''ABC'' இல் கோணம் ''C'' விரிகோணம்; பக்கநீளங்கள் ''a'', ''b'',  ''c'' எனில்&lt;ref name=Crux&gt;''Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”'', [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].&lt;/ref&gt;{{rp|p.1,#74}}:
 :&lt;math&gt;\frac{c^2}{2} &lt; a^2+b^2 &lt; c^2,&lt;/math&gt;
 
 குறுங்கோண முக்கோணம் எனில்:
 
 :&lt;math&gt;a^2+b^2 &gt; c^2, \quad b^2+c^2 &gt; a^2, \quad c^2+a^2 &gt; b^2.&lt;/math&gt;
 
 ===செங்குத்துயரம்===
 முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய கோணம் C; ''C'' உச்சியிலிருந்து வரையப்படும் செங்குத்துயரம் ''h''&lt;sub&gt;''c''&lt;/sub&gt;.
 
 கோணம் C குறுங்கோணம் எனில்:&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.135,#3109}}
 :&lt;math&gt;\frac{1}{h_c^2} &lt; \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2},&lt;/math&gt;
 
 கோணம் C விரிகோணம் எனில்:
 :&lt;math&gt;\frac{1}{h_c^2} &gt; \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2},&lt;/math&gt;
 
 ===நடுக்கோடுகள்===
 முக்கோணத்தின் மிகநீளமான பக்கநீளம் ''c'' . மற்ற இரு பக்கங்களின் நடுக்கோடுகளின் நீளங்கள் ''m''&lt;sub&gt;''a''&lt;/sub&gt; , ''m''&lt;sub&gt;''b''&lt;/sub&gt; எனில்&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.136,#3110}}:
 
 :&lt;math&gt;4c^2 +9a^2b^2 &gt; 16m_a^2m_b^2&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)
 :&lt;math&gt;4c^2 +9a^2b^2 &lt; 16m_a^2m_b^2&lt;/math&gt; (விரிகோண முக்கோணம்)
 
 முக்கோணத்தின் மிகநீளமான பக்கதிற்கான நடுக்கோட்டின் (''m''&lt;sub&gt;''c''&lt;/sub&gt;) நீளம் ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்தில் சுற்றுவட்ட ஆரத்தைவிட அதிகமானதாகவும், விரிகோண முக்கோணத்தில் குறைவானதாகவும் இருக்கும்&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.136,#3113}.}
 
 :&lt;math&gt;m_c &gt; R&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)
 :&lt;math&gt;m_c &lt; R&lt;/math&gt; (விரிகோண முக்கோணம்)
 
 ===பரப்பளவு===
 [[ஓனோவின் சமனிலி]]யின்படி, முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ''A'' எனில்:
 
 :&lt;math&gt;27 (b^2 + c^2 - a^2)^2 (c^2 + a^2 - b^2)^2 (a^2 + b^2 - c^2)^2 \leq (4 A)^6,&lt;/math&gt;
 
 இச்சமனிலி குறுங்கோண முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும். விரிகோண முக்கோணங்களுக்குப் பொருந்தாது.
 
 ===முக்கோணவியல் சார்புகள்===
 
 முக்கோணத்தின் கோணங்கள் முறையே ''A'', ''B'', ''C'' எனில்&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.26,#954}}:
 
 :&lt;math&gt;\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C &lt; 1,&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)
 :&lt;math&gt;\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C &gt; 1,&lt;/math&gt; (விரிகோண முக்கோணம்)
 
 :&lt;math&gt;\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C &gt; 2,&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.115,#2874}} 
 :&lt;math&gt;\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 C &lt; 2,&lt;/math&gt; (விரிகோண முக்கோணம்)
 
 :&lt;math&gt;\sin A \cdot \sin B +\sin B \cdot \sin C + \sin C \cdot \sin A \leq (\cos A+\cos B+\cos C)^2.&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p178,#241.1}}
 
 முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம் ''R'' எனில்&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.141,#3167}}&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.155,#S25}}:
  
 :&lt;math&gt;a\cos^3 A+b\cos^3 B +c\cos^3 C\leq\frac{abc}{4R^2}&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)
 :&lt;math&gt;\cos^3A+\cos^3B+\cos^3C+\cos A\cos B\cos C\geq\frac{1}{2}.&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)
 
 :&lt;math&gt;\tan A+\tan B+\tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C &gt; 0&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)
 :&lt;math&gt;\tan A+\tan B+\tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C &lt; 0&lt;/math&gt; (விரிகோண முக்கோணம்)
 
 :&lt;math&gt;\tan A +\tan B+\tan C \geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)&lt;/math&gt;(குறுங்கோண முக்கோணம்)&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.26,#958}}
 :&lt;math&gt;\tan A +\tan B+\tan C \leq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)&lt;/math&gt;(விரிகோண முக்கோணம்)
 
 :&lt;math&gt;(\tan A+\tan B+\tan C)^2 \geq (\sec A+1)^2+(\sec B+1)^2+(\sec C+1)^2.&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.40,#1210}}
 
 முக்கோணத்தின் உள்வட்ட ஆரம், சுற்றுவட்ட ஆரம் ''r'' , ''R'' எனில்&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.53,#1424}}:
 
 :&lt;math&gt;a\tan A+ b\tan B+c\tan C \geq 10R-2r.&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)
 
 ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ''K'' &lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.103,#2662}} எனில்:
 :&lt;math&gt;(\sqrt{\cot A}+\sqrt{\cot B}+\sqrt{\cot C})^2 \leq \frac{K}{r^2}.&lt;/math&gt;
 
 ===சுற்றுவட்ட ஆரம், உள்வட்ட ஆரம், வெளிவட்ட ஆரம்===
 
 முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம் ''R'' ; உள்வட்ட ஆரம் ''r'' எனில்:
 
 :&lt;math&gt;R+r &lt; \frac{a+b}{2}&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.105,#2690}}
 :&lt;math&gt;R+r &gt; \frac{a+b}{2}&lt;/math&gt; (விரிகோண முக்கோணம்)
 
 ''m''&lt;sub&gt;''a''&lt;/sub&gt; , ''m''&lt;sub&gt;''b''&lt;/sub&gt; , ''m''&lt;sub&gt;''c''&lt;/sub&gt; முக்கோணத்தின் நடுக்கோடுகளின் நீளங்கள்; ''R'' சுற்றுவட்ட ஆரம் எனில்:
 
 :&lt;math&gt;m_a^2+m_b^2+m_c^2 &gt; 6R^2&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.26,#954}}
 :&lt;math&gt;m_a^2+m_b^2+m_c^2 &lt; 6R^2&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)
 
 ''r''&lt;sub&gt;''a''&lt;/sub&gt; , ''r''&lt;sub&gt;''b''&lt;/sub&gt; , ''r''&lt;sub&gt;''c''&lt;/sub&gt; முக்கோணத்தின் வெளிவட்ட ஆரங்கள்; ''R'' சுற்றுவட்ட ஆரம் எனில்:
 
 :&lt;math&gt;r^2+r_a^2+r_b^2+r_c^2 &lt; 8R^2,&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்) &lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.26,#954}}
 :&lt;math&gt;r^2+r_a^2+r_b^2+r_c^2 &lt; 8R^2,&lt;/math&gt; (விரிகோண முக்கோணம்) 
 
 முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு ''s'' எனில்:
 
 :&lt;math&gt;s-r &gt; 2R, &lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.115,#2874}}
 :&lt;math&gt;s-r &lt; 2R, &lt;/math&gt; (விரிகோண முக்கோணம்)
 
 முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ''K'' எனில்:
 
 :&lt;math&gt;ab+bc+ca \geq 2R(R+r)+\frac{8K}{\sqrt{3}}.&lt;/math&gt; (குறுங்கோண முக்கோணம்)&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.185,#291.6}}
 
 ===முக்கோண மையங்களைக் கொண்ட தூரங்கள்===
 
 சுற்றுவட்ட மையம் ''O'' ; செங்கோட்டுச்சந்தி ''H'' எனில்:
 
 :&lt;math&gt;OH &lt; R,&lt;/math&gt;&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.26,#954}} (குறுங்கோண முக்கோணம்)
 :&lt;math&gt;OH &gt; R,&lt;/math&gt; (விரிகோண முக்கோணம்)
 
 
 உள்வட்ட மையம் ''I'' ; செங்கோட்டுச்சந்தி ''H'' ; உள்வட்ட ஆரம் ''r'' எனில்:
 
 :&lt;math&gt;IH &lt; r\sqrt{2},&lt;/math&gt;  (குறுங்கோண முக்கோணம்)&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.26,#954}}
 :&lt;math&gt;IH &gt; r\sqrt{2},&lt;/math&gt; (விரிகோண முக்கோணம்)
 
 ===உட்சதுரம்===
 ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்தினுள் வரையப்பட்ட இரு [[சதுரம்|சதுரங்களின்]] பக்கங்கள் ''x''&lt;sub&gt;''a''&lt;/sub&gt; , ''x''&lt;sub&gt;''b''&lt;/sub&gt;; மேலும் ''x''&lt;sub&gt;''a''&lt;/sub&gt; &lt; ''x''&lt;sub&gt;''b''&lt;/sub&gt;, எனில்&lt;ref name=Ox/&gt;{{rp|p. 115}}:
 
 :&lt;math&gt;1 \geq \frac{x_a}{x_b} \geq \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0.94.&lt;/math&gt;
 
 ===இரு விரிகோண முக்கோணங்கள்===
 இரண்டு விரிகோண முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் (''a, b, c''), (''p, q, r''); இரு முக்கோணங்களின் மிகநீளமான பக்கங்கள் ''c'' , ''r'' எனில்:&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.29,#1030}}
 
 :&lt;math&gt;ap+bq &lt; cr.&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 *{{mathworld |urlname=AcuteTriangle |title=Acute triangle}}
 *{{mathworld |urlname=ObtuseTriangle |title=Obtuse triangle}}