நிகரி (கணிதம்)
[[File:Parity of 5 and 6 Cuisenaire rods.png|275px|thumb|[[குசேனைரே கோல்கள்]]: 5 (மஞ்சள்) ஐ இரண்டு சிவப்பு மற்றும் வேறு இரண்டு ஒரே நிறக் கோல்களாகப் பிரிக்க இயலவில்லை; ஆனால்  6 (ஆழ் பச்சை) ஐ பிரிக்க முடிவதைக் காணலாம்.]]
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''நிகரி''' (''parity'') என்பது  [[முழு எண்]]களுக்கான ஒரு [[கணிதப் பண்பு|கணிதப் பண்பாகும்]]. இப்பண்பின்படி, ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் '''இரட்டை''' (''even'') அல்லது '''ஒற்றை''' (''odd'') எண் எனப் பிரித்து அடையாளப்படுத்தப்படுகிறது. இரண்டின் மடங்காக இருக்கும் முழுஎண்கள், இரட்டை எண்கள் என்றும் இரண்டின் மடங்காக இல்லாத முழுஎண்கள் ஒற்றை எண்கள் எனவும் பிரிக்கப்படுகின்றன.&lt;ref name=&quot;rod&quot;&gt;{{citation|title=Figuring Out Mathematics| last1=Vijaya| first1=A.V.|last2=Rodriguez|first2=Dora |publisher=Pearson Education India|isbn=9788131703571| pages=20–21| url=https://books.google.com/books?id=9ZN9LuHb0tQC&amp;pg=PA20}}.&lt;/ref&gt; 
 
 எடுத்துக்காட்டாக,  −4, 0, 8 ஆகியவை இரட்டையெண்கள். ஏனெனில் இவற்றைப் பின்வருமாறு இரண்டின் மடங்காக எழுதலாம்: 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{align}
 -2 \cdot 2 &amp;= -4 \\
  0 \cdot 2 &amp;= 0 \\
  41 \cdot 2 &amp;= 82
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 மாறாக, −3, 5, 7, 21 என்பவை ஒற்றையெண்கள்.
 
 நிகரியின் இந்த வரையறையானது முழுஎண்களுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்; 1/2, 4.201 போன்ற பின்னங்களுக்கும் தசமபின்னங்களுக்கும் பொருந்தாது. 
 
 இரட்டை மற்றும் ஒற்றை எண்களின் நிகரிகள் ஒன்றுக்கொன்று எதிரானது. எடுத்துக்காட்டாக 22 (இரட்டை எண்), 13 (ஒற்றை எண்) இரண்டும் எதிரெதிர் நிகரிகளைக் கொண்டது. பூச்சியத்தின் நிகரி இரட்டையாகும்.&lt;ref&gt;{{citation|title=A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration and Graph Theory|first=Miklós|last=Bóna|publisher=World Scientific|year=2011|isbn=9789814335232|page=178|url=https://books.google.com/books?id=TzJ2L9ZmlQUC&amp;pg=PA178}}.&lt;/ref&gt; அடுத்தடுத்துள்ள இரு முழுஎண்கள் எதிர் நிகரியுடையன. [[பதின்மம்|பதின்ம]] [[எண்குறி முறைமை]]யில் எழுதப்படும் முழுஎண்களில் ஒன்றினிடத்திலுள்ள எண் இரட்டையாக இருந்தால் அம்முழுஎண் இரட்டையெண்ணாகவும், ஒன்றுகளின் இடத்திலுள்ள எண் ஒற்றையாக இருந்தால் அம்முழுஎண் ஒற்றையெண்ணாகவும் இருக்கும். அதாவது, ஒன்றுகளின் இடத்தில் 1, 3, 5, 7, 9 கொண்ட முழுஎண்கள் ஒற்றையெண்கள்; ஒன்றுகளின் இடத்தில் 0, 2, 4, 6, 8 கொண்ட முழுஎண்கள் இரட்டையெண்கள். 
 
 இதே கூற்று எந்தவொரு இரட்டை எண்முறைமைகளுக்கும் பொருந்தும். எடுத்துக்கட்டாக, இரும எண்களில் (இரண்டடிமான எண்) ஒற்றையெண்ணின் கடைசி இலக்கம் 1 ஆகவும், இரட்டையெண்ணின் கடைசி இலக்கம் 0 ஆகவும் இருக்கும். ஒற்றை எண்முறைமைகளிலுள்ள எண்களின் நிகரி, அவற்றின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைப் பொறுத்தமையும்; இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இரட்டையாகவுள்ளவை இரட்டை எண்களாகவும், ஒற்றையாகவுள்ளவை ஒற்றையெண்களாகவும் இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{citation|title=Divisibility in bases|first=Ruth L.|last=Owen|url=http://www.pentagon.kappamuepsilon.org/pentagon/Vol_51_Num_2_Spring_1992.pdf|pages=17–20|journal=The Pentagon: A Mathematics Magazine for Students|volume=51|issue=2|year=1992|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20150317173427/http://www.pentagon.kappamuepsilon.org/pentagon/Vol_51_Num_2_Spring_1992.pdf|archive-date=2015-03-17}}.&lt;/ref&gt;
 
 == வரையறை ==
 * ஓர் இரட்டை முழுஎண் கீழ்வரும் வடிவிலமையும்:
 :&lt;math&gt;x = 2k&lt;/math&gt;, (''k'' ஒரு முழுஎண்)&lt;ref&gt;{{citation|last=Bassarear|first=Tom|title=Mathematics for Elementary School Teachers| url=https://books.google.com/books?id=RitXafH4_8EC&amp;pg=PA198|page=198|year=2010|publisher=Cengage Learning|isbn=9780840054630}}.&lt;/ref&gt;
 
 * ஓர் ஒற்றை முழுஎண் கீழ்வருமாறமையும்:
 :&lt;math&gt;x = 2k +1&lt;/math&gt;, (''k'' ஒரு முழுஎண்)
 
 மாற்று வரையறை:
 * இரட்டை எண்கள் 2 ஆல் [[வகுஎண்|வகுபடும்]]:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;2 \ | \ x&lt;/math&gt;
 * ஒற்றை எண்கள் 2 ஆல் வகுபடாது:
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;2\not| \ x&lt;/math&gt;
 
 இரட்டை எண்களின் [[கணம் (கணிதம்)|கணம்]] மற்றும் ஒற்றை எண்களின் கணத்தின் வரையறை:&lt;ref&gt;{{citation|last=Sidebotham|first=Thomas H. | title=The A to Z of Mathematics: A Basic Guide|url=https://books.google.com/books?id=VsAZa5PWLz8C&amp;pg=PA181| page=181 | year=2003| publisher=John Wiley &amp; Sons|isbn=9780471461630}}.&lt;/ref&gt;
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\{ 2k: k \in \mathbb{Z} \}&lt;/math&gt;
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\{ 2k+1: k \in \mathbb{Z} \}&lt;/math&gt;
 
 இரட்டையெண்களின் கணம், முழுஎண்கள் கணத்தின் (&lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;) [[இயல்நிலை உட்குலம்|இயல்நிலை உட்குலமாக]] அமைவதோடு, [[ஈவு குலம்|காரணி குலத்தையும்]] (&lt;math&gt;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&lt;/math&gt;) உருவாக்குகிறது. எனவே, &lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; இலிருந்து &lt;math&gt;\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&lt;/math&gt; க்கான [[காப்பமைவியம் (கணிதம்)|காப்பமைவியமாக]] (ஒற்றை எண்கள் 1; இரட்டை எண்கள் 0) நிகரியை வரையறுக்கலாம்.
 
 == பண்புகள் ==
 [[வகுஎண்]]களின் பண்புகளைக்கொண்டு கீழ்வரும் விதிகளைச் சரிபார்க்கலாம். இவ்விதிகள், [[சமானம், மாடுலோ n]] இன் விதிகளின் சிறப்புவகையாக உள்ளன. மேலும் இவை, சமக்குறிக்கு இருபுறமுமுள்ள சமநிலையைச் சோதிப்பதன்மூலம் அச் சமத்தன்மை சரியானதா இல்லையா என்று அறிந்துகொள்வதற்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன. சாதாரண எண்கணிதத்தில் உள்ளதுபோலவே சமானம் மாடுலோ 2 இலும்  [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டலும்]] [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கலும்]] [[சேர்ப்புப் பண்பு]]ம் [[பரிமாற்றுத்தன்மை|பரிமாற்றுப்பண்பும்]] உடையவை; பெருக்கல் கூட்டலைப் பொறுத்து [[பங்கீட்டுப் பண்பு|பங்கீட்டுப் பண்பையும்]] கொண்டுள்ளது. ஆனால் சமானம் மாடுலோ 2 இல் கழித்தலும் மேற்கூறிய பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது. ஆனால் சாதாரண எண்கணிதத்தில் [[கழித்தல் (கணிதம்)|கழித்தலுக்கு]] இப்பண்புகள் கிடையாது.
 
 === கூட்டலும் கழித்தலும் ===
 * இரட்டை ± இரட்டை = இரட்டை;&lt;ref name=&quot;rod&quot;/&gt;
 * இரட்டை ± ஒற்றை = ஒற்றை;&lt;ref name=&quot;rod&quot;/&gt;
 * ஒற்றை ± ஒற்றை = இரட்டை;&lt;ref name=&quot;rod&quot;/&gt;
 
 ===பெருக்கல்===
 * இரட்டை × இரட்டை = இரட்டை;&lt;ref name=&quot;rod&quot;/&gt;
 * இரட்டை × ஒற்றை = இரட்டை;&lt;ref name=&quot;rod&quot;/&gt;
 * ஒற்றை × ஒற்றை = ஒற்றை;&lt;ref name=&quot;rod&quot;/&gt;
 
 ({இரட்டை, ஒற்றை}, +, ×) என்ற அமைப்பு இரண்டு உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு [[களம் (கணிதம்)|களமாகும்]] (GF(2)).
 
 === வகுத்தல் ===
 இரு முழுஎண்களை ஒன்றையொன்று வகுக்கும்போது கிடைக்கும் விடை எப்போதும் முழுஎண்ணாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்றை நான்கால் வகுக்கக்கிடைப்பது 1/4 ஆகும். இரட்டை/ஒற்றை என்பது முழுஎண்களில் மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளதால், 1/4 இரட்டையுமில்லை; ஒற்றையுமில்லை. வகுக்கும்போது கிடைக்கும் [[ஈவு]] முழுஎண்ணாக இருந்தால், வகுஎண்ணைவிட வகுபடுஎண்ணுக்கு இரண்டின் காரணிகள் அதிகமாக &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot; அந்த ஈவுஎண் இரட்டையெண்ணாகும்.&lt;ref&gt;{{citation|title=Notes on Introductory Combinatorics|first1=George|last1=Pólya| first2=Robert E.|last2=Tarjan|author2-link=Robert Tarjan|first3=Donald R.|last3=Woods|publisher=Springer| year=2009| isbn=9780817649524 |pages=21–22|url=https://books.google.com/books?id=y6KmsI0Icp0C&amp;pg=PA21}}.&lt;/ref&gt;
 
 ==எண் கோட்பாடு==
 இரட்டையெண்களின் கணம், முழுஎண்கள் [[வளையம் (கணிதம்)|வளையத்தின்]] [[வளையத்தில் சீர்மம் (கணிதம்)|சீர்மமாகும்]]&lt;ref&gt;{{citation|title=Elements of Number Theory|first=John|last=Stillwell|publisher=Springer|year=2003 |isbn=9780387955872|page=199 |url=https://books.google.com/books?id=LiAlZO2ntKAC&amp;pg=PA199}}.&lt;/ref&gt; ஆனால் ஒற்றையெண்கள் அவ்வாறு முழுஎண்கள் வளையத்தின் சீர்மமாக இருக்காது. இரட்டை எண்கள் கணத்தில் கூட்டல் செயலுக்கான [[முற்றொருமை (கணிதம்)|முற்றொருமை உறுப்பு]] ('0', இரட்டையெண்) இருப்பதும் ஒற்றையெண்கள் கணத்தில் அது இல்லாததுமே இதற்குக் காரணமாகும். ஒரு முழுஎண்ணானது சமானம் மாடுலோ 2 இல் '0' விற்குச் சமானமாக இருந்தால் அது இரட்டையெண்; '1' க்குச் சமானமாக இருந்தால் ஒற்றையெண்.
 
 '2' ஐத் தவிர மற்ற [[பகா எண்]]கள் அனைத்துமே ஒற்றையெண்கள்.&lt;ref&gt;{{citation |last1=Lial |first1=Margaret L. |title=Basic College Mathematics |url=https://archive.org/details/basiccollegemath00lial/page/128/mode/2up |page=128 |year=2005 |edition=7th |publisher=Addison Wesley |isbn=9780321257802 |last2=Salzman |first2=Stanley A. |last3=Hestwood |first3=Diana}}.&lt;/ref&gt; அறியப்பட்ட அனைத்து [[நிறைவெண் (கணிதம்)|நிறையெண்களும்]] இரட்டையெண்கள். ஒற்றை நிறையெண்கள் எதுவும் உள்ளனவா என்று இன்னும் அறியப்படவில்லை.&lt;ref&gt;{{citation|title=Mathematical Cranks|title-link=Mathematical Cranks|series=MAA Spectrum| first=Underwood| last=Dudley|author-link=Underwood Dudley|publisher=Cambridge University Press|year=1992|contribution=Perfect numbers| pages=242–244| contribution-url=https://books.google.com/books?id=HqeoWPsIH6EC&amp;pg=PA242|isbn=9780883855072}}.&lt;/ref&gt;
 
 [[கோல்டுபேக்கின் அனுமானம்|கோல்டுபேக்கின் அனுமானத்தின்படி]] 2 ஐ விடப்பெரியதாகவுள்ள ஒவ்வொரு இரட்டையெண்ணையும் இரு பகா எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம். தற்காலக் [[கணினி]] கணக்கீடுகள் 4 &amp;times; 10&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt; மதிப்பு வரையுள்ள முழுஎண்களுக்கு இந்த அனுமானம் சரியானதெனக் காட்டுகின்றன. எனினும் இந்த அனுமானத்திற்கு பொதுவான [[கணித நிறுவல்|நிறுவல்]] கண்டறியப்படவில்லை.&lt;ref&gt;{{citation|title=Empirical verification of the even Goldbach conjecture, and computation of prime gaps, up to 4&amp;middot;10&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;|url=https://www.ams.org/editflow/editorial/uploads/mcom/accepted/120521-Silva/120521-Silva-v2.pdf|first1=Tomás|last1=Oliveira e Silva|first2=Siegfried|last2=Herzog|first3=Silvio|last3=Pardi|journal=Mathematics of Computation|volume=83|issue=288|pages=2033–2060|year=2013|doi=10.1090/s0025-5718-2013-02787-1|doi-access=free}}. In press.&lt;/ref&gt;
 
 ==குலக் கோட்பாடு==
 [[File:Rubiks revenge solved.jpg|thumb|left|4×4×4 ரூபிக்கின் கனசதுரம் தீர்வுநிலையில்.]]
 ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் [[ஒற்றை, இரட்டை வரிசைமாற்றங்கள்|ஒற்றையா இரட்டையா]] என்பது அம் வரிசைமாற்றத்தினை மேலும் பிரிக்கக்கூடிய [[வட்ட வரிசைமாற்றம்#இடமாற்றங்கள்|இடமாற்றங்களின்]] எண்ணிக்கையின் நிகரியைப் பொறுத்தது. அந்த எண்ணிக்கை ஒற்றையெண்ணாக இருந்தால் அது ஒற்றை வரிசைமாற்றம்; மாறாக அவ்வெண்ணிக்கை இரட்டை எண்ணாக இருந்தால் இரட்டை வரிசைமாற்றம்&lt;ref&gt;{{citation|title=Permutation Groups|volume=45|series=London Mathematical Society Student Texts|first=Peter J.|last=Cameron|publisher=Cambridge University Press|year=1999|isbn=9780521653787|pages=26–27|url=https://books.google.com/books?id=4bNj8K1omGAC&amp;pg=PA26}}.&lt;/ref&gt; 
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 (ABC) ----&gt; (BCA) வரிசைமாற்றமானது ஒரு இரட்டை வரிசைமாற்றம். ஏனெனில் இவ்வரிசைமாற்றத்தை,  A, B ஐ ஒன்றுக்கொன்று இடமாற்றியபின்னர், C, A ஐ ஒன்றுக்கொன்று இடமாற்றிப் பெறலாம். அதாவது இரு இடமாற்றங்களை மேற்கொண்டு இந்த வரிசைமாற்றத்தைப் பெறலாம். 
 
 ஒரே வரிசைமாற்றத்தை  ஒற்றைக் கூறுகளாகவும் இரட்டைக் கூறுகளாகவும் பிரிக்க இயலாது என்பதால் மேலே தரப்பட்ட வரிசைமாற்றத்தின் நிகரியின் வரையறை பொருந்தக்கூடியது. [[ரூபிக்கின் கனசதுரம்]] போன்ற புதிர்களில் இரட்டை வரிசைமாற்றங்களை மட்டுமே கொண்டு நகர்வுகளை மேற்கொள்ளமுடியும். எனவே இப்புதிர்களின் அமைப்புகளைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் நிகரி முக்கியமான பண்பாக உள்ளது.&lt;ref&gt;{{citation|title=Adventures in Group Theory: Rubik's Cube, Merlin's Machine, and Other Mathematical Toys|first=David|last=Joyner|publisher=JHU Press|year=2008|isbn=9780801897269|contribution=13.1.2 Parity conditions|pages=252–253|url=https://books.google.com/books?id=iM0fco-_Ri8C&amp;pg=PA252}}.&lt;/ref&gt;
 
 பியத்&amp;ndash;தாம்ப்சன் தேற்றப்படி ஒற்றை வரிசையுடைய [[முடிவுறு குலம்|முடிவுறு குலங்கள்]] எப்பொழுதுமே தீர்வு காணக்கூடியவையாக இருக்கும். இது, உயர்கணிதத்திலும் ஒற்றை என்ற பண்பு பயன்பாடு கொண்டுள்ளதைக் காட்டுகிறது.&lt;ref&gt;{{citation
  | last1 = Bender | first1 = Helmut
  | last2 = Glauberman | first2 = George
  | isbn = 978-0-521-45716-3
  | location = Cambridge
  | mr = 1311244
  | publisher = Cambridge University Press
  | series = London Mathematical Society Lecture Note Series
  | title = Local analysis for the odd order theorem
  | volume = 188
  | year = 1994}}; {{citation
  | last = Peterfalvi | first = Thomas
  | isbn = 978-0-521-64660-4
  | location = Cambridge
  | mr = 1747393
  | publisher = Cambridge University Press
  | series = London Mathematical Society Lecture Note Series
  | title = Character theory for the odd order theorem
  | volume = 272
  | year = 2000}}.&lt;/ref&gt;
 
 ==பகுவியல்==
 ஒரு [[சார்பு|சார்பின்]] தருமதியின் மதிப்புகளை எதிர்மறையாக மாற்றும்போது சார்பின் மதிப்புகள் எவ்வறு மாறுகின்றன என்பதை [[இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள்|இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள்]] விளக்குகின்றன.
 
 ஒரு மாறியின் இரட்டை அடுக்காகவுள்ள சார்பில் அடுக்கினை எதிர்மறையாக மாற்றினாலும் சார்பின் மதிப்பில் எந்தவொரு மாற்றமும் இராது. இச்சார்பு இரட்டைச் சார்பாகும்.
 ஆனால் அடுக்கு ஒற்றையெண்ணாக இருக்கும்போது அடுக்கின் மதிப்பை எதிர்மறையாக்கும்போது சார்பின் மதிப்பும் எதிர்மறையாகும். இது ஒற்றைச் சார்பாகும். அதாவது:
 
 :''n'' இரட்டை முழுவெண் எனில்,&lt;math&gt;f(x) = x^n&lt;/math&gt; இரட்டைச் சார்பு.
 ::''n'' = 2, &lt;math&gt;f(x) = x^2&lt;/math&gt;; ''n'' = -2 என்றாலும்,&lt;math&gt;f(x) = x^{-2} = x^2&lt;/math&gt;  
 :''n'' ஒற்றை முழுஎண் எனில்,&lt;math&gt;f(x) = x^n&lt;/math&gt; ஒற்றைச் சார்பு
 ::''n'' = 3, &lt;math&gt;f(x) = x^3&lt;/math&gt;; ''n'' = -3 எனில்,&lt;math&gt;f(x) = x^{-3} = -x^3&lt;/math&gt;
 
 ஒரு சார்பானது ஒற்றையாகவோ அல்லது இரட்டையாகவோ இல்லாமலும் இருக்கலாம். ''f''(''x'')&amp;nbsp;=&amp;nbsp;0, என்ற சார்பு ஒற்றையாகவும் இரட்டைச் சார்பாகவும் இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{citation|title=College Algebra|edition=11th|first1=Roy David|last1=Gustafson|first2=Jeffrey D.|last2=Hughes|publisher=Cengage Learning|year=2012|isbn=9781111990909|page=315|url=https://books.google.com/books?id=sxZpddk1fTIC&amp;pg=PA315}}.&lt;/ref&gt;
 
 ஒரு இரட்டைச் சார்பின் [[டெய்லர் தொடர்|டெய்லர் தொடரிலுள்ள]] எல்லா உறுப்புகளிலும் மாறியின் அடுக்கும் இரட்டையெண்ணாகவே இருக்கும். ஓர் ஒற்றைச் சார்பின் [[டெய்லர் தொடர்|டெய்லர் தொடரிலுள்ள]] எல்லா உறுப்புகளிலும் மாறியின் அடுக்கும் ஒற்றையெண்ணாகவே இருக்கும்&lt;ref&gt;{{citation|title=Advanced Engineering Mathematics|first1=R. K.|last1=Jain|first2=S. R. K.|last2=Iyengar|publisher=Alpha Science Int'l Ltd.|year=2007|isbn=9781842651858|page=853|url=https://books.google.com/books?id=crOxJNLE5psC&amp;pg=PA853}}.&lt;/ref&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டுகள்:
 :&lt;math&gt;\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}  \cdots&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots &lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{சான்று}}
 
 [[பகுப்பு:நிகரி (கணிதம்)| ]]