எண் பிரிவினை
ஒரு [[நேர்ம முழு எண்]] &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; என்ற '''எண்ணின்  பிரிவினை''' என்பது  கீழ்க்கண்ட பண்புடன் கூடிய &lt;math&gt;a, b, c, d, ... ,r&lt;/math&gt; என்ற நேர்ம முழு எண்களாலான  ஒரு முடிவுறுத் [[தொடர்]]:
 
 :: &lt;math&gt;a + b + c + d + ... + r  = n.&lt;/math&gt;
 
 எ.கா.: 4, 3, 3, 2 என்ற தொடர்வு 12 என்ற எண்ணின் பிரிவினை. 4,3,3,2 - இவை அப்பிரிவினையின் ''பாகங்கள்''. 
 இப்பிரிவினையை   பாகங்களுக்கு நடுவில் 'கமா' இல்லாமல்  4332 என்றே எழுதுவது வழக்கம். மற்றும் பிரிவினை எழுதுவதில் இன்னொரு மரபு பாகங்களை இறங்குவரிசையில் எழுதுவது.
 
 : 522111 என்பது 12 இன் இன்னொரு பிரிவினை.
 
 ==முதல் கேள்வி==
 
 &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; என்ற ஒரு எண்ணிற்கு எத்தனை பிரிவினைகள் இருக்கமுடியும்? அப்படி இருக்கக்கூடிய பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை  &lt;math&gt; '' p''(n)&lt;/math&gt;  என்ற குறியீட்டால் காட்டப்படும்.
 
 சில முதல் மதிப்புகள் :
 
 ''p''(1) = 1
 
 ''p''(2) = 2; ஏனென்றால்  2 இன் பிரிவினைகள்  2; 11 மட்டுமே.
 
 ''p''(3) = 3: ஏனென்றால்  3 இன் பிரிவினைகள்  3; 21; 111.
 
 ''p''(4) = 5; ''p''(5) = 7; ''p''(6) = 11; ''p''(7) = 15;  ''p''(8) = 22;  ''p''(9) =  30; ''p''(10) = 42;
 
 ''p''(20) = 627;
 
 ''p''(100) = 190,569,292
 
 ''p''(200) = 397299029388.
 
 ''p''(1000) = 24,061,467,864,032,622,473,692,149,727,991 ≈ 2.4 × 10&lt;sup&gt;31&lt;/sup&gt;
 
 ஆக, p(n) வெகு வேகமாக பெரிய எண்ணிக்கையை எட்டிவிடுகிறது.
 p(n) க்கு ஒரு பொது வரையறை கொடுப்பதற்காக p(0) = 1 என்றும் p(-n) = 0 என்றும் வைத்துக்கொள்வது வழக்கம்.
 
 [[ஹார்டி]] யும் [[இராமானுசன்|இராமானுசனும்]] 1918 இலும் [[உஸ்பென்ஸ்கி]] 1920இலும் கண்டுபிடித்தது: 
  
 :&lt;math&gt;p(n) \sim \frac {\exp \left( \pi \sqrt {2n/3}\right) } {4n\sqrt{3}} \mbox { as } n\rightarrow \infty.&lt;/math&gt;
 
 ==பொதுவான வரையறை==
 
 இப்பொது வரையறையின் மூலம் குறிப்பிட்ட  n   என்ற எண் எவ்வளவு பாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டிருக்கிறது என்பதும் வெளிப்படையாகத் தெரியும்.
 
 எப்பொழுதெல்லாம் λ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, λ&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , λ&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; என்ற நேர்ம முழு எண்கள் கீழ்க்கண்ட இரண்டு பண்புகளுக்குட்பட்டு இருக்கின்றனவோ,
 
 :: λ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; + λ&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; + ...  + λ&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt; = n
 
 :: λ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;≥λ&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;≥ ... ≥ λ&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;≥ 1
 
 அப்பொழுதெல்லாம்  λ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,λ&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , λ&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;  என்ற தொடர்வு  n -இன் பிரிவினை என்று சொல்லப்படும். இதை  λ = (λ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, λ&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ... , λ&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;) என்றோ அல்லது, காற்புள்ளியோ அடைப்போ இல்லாமல் λ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;λ&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ...  λ&lt;sub&gt;m&lt;/sub&gt;  என்றோ எழுதுவது வழக்கம்.
 
 இதற்கு சுருக்கமான குறியீடு  λ &lt;math&gt;\vdash&lt;/math&gt; n.
 
 : எ.கா.  எண் 14 இன் ஒரு பிரிவினை, கீழ்க்கண்டபடி பலவிதமாக எழுதப்படலாம்:
 
 :: 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1
 
 :: 4,3,3,2,1,1
 
 :: 433211
 
 :: 43&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;21&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
 
 ==பிரிவினையைக்காட்ட ஃபெற்றர்ஸ் படிமங்கள்==
 
 ஓர் எண் பிரிவினை λ &lt;math&gt;\vdash&lt;/math&gt; n  இன் '''ஃபெற்றர்ஸ் படிமம்''' என்பது i-ஆவது ''நிரலில்'' λ&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; புள்ளிகள் கொண்ட ஒரு செங்கோண வரிசை.
 
 {|
 |- style=&quot;vertical-align:top; text-align:left;&quot;
 | [[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]]
 |- style=&quot;vertical-align:top; text-align:center;&quot;
 | 6 4 3 1
 |}
 இது 14 இன் பிரிவினை. 14 புள்ளிகள், 4 நிரல்களில் காட்டப்பட்டிருக்கின்றன. ஒவ்வொரு நிரலின் அளவும் பிரிவினையின் ஒரு பாகமே.
 
 இதே முறையில் 4 இன் ஐந்து பிரிவினைகளும்  கீழே படிமங்களாகக் காட்டப்பட்டிருக்கின்றன 
 {|
 |- style=&quot;vertical-align:top; text-align:left;&quot;
 | [[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]] ||
 | [[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]] ||
 | [[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]] ||
 | [[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]] ||
 | [[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]
 |- style=&quot;vertical-align:top; text-align:center;&quot;
 | 4 || 
 | 31 || 
 | 22 || 
 | 211 || 
 | 1111
 |}
 :: '''முக்கிய குறிப்பு''': ஃபெற்றர்ஸ் படிமத்தை சிலர் ' i-ஆவது ''வரிசையில்'' λ&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; புள்ளிகள் கொண்ட ஒரு செங்கோண வரிசை' என்றும் வரையறுப்பதுண்டு.
 
 ==இணைப்பிரிவினை==
 
 ஒரு எண் பிரிவினையின் ஃபெற்றர்ஸ் படிமத்தில் நிரல்களை வரிசைகளாக மாற்றினால் கிடைக்கும் படிமமும் அதே எண்ணின் மற்றொருபிரிவினையின் ஃபெற்றர்ஸ் படிமம் ஆகும். இவ்விரண்டு பிரிவினைகளும் ஒன்றுக்கொன்று '''இணைப்பிரிவினை''' (Conjugate partition) என்று சொல்லப்படும்.
 
 :: எ.கா.
  {|
 |- style=&quot;vertical-align:top; text-align:left;&quot;
 | [[File:RedDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:RedDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:RedDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]]
 | style=&quot;vertical-align:middle;&quot;| ↔
 | [[File:RedDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:RedDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:RedDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]]
 |- style=&quot;vertical-align:top; text-align:center;&quot;
 | 6 4 3 1
 | =
 | 4 3 3 2 1 1
 |}
 : ஆக, 6431 ம்  433211 ம்  14 இன் இணைப்பிரிவினைகள்.
 
 இணைப்பிரிவினையை ஃபெர்ரர்ஸ் படிமத்தின் மூலமே மூன்று விதமாகக் கண்டுபிடிக்கலாம்:
 
 ::  நிரல்களை வரிசையாக்கலாம்
 
 ::  வரிசைகளை நிரல்களாக்கலாம்
 
 ::  படிமத்தின் குறுக்கு மையக்கோட்டில் கீழுள்ளதை மேலும் மேலுள்ளதைக் கீழுமாக பிரட்டிப்போடலாம். இதையே வேறுவிதமாகச் சொன்னால், குறுக்குக் கோட்டை கண்ணாடியாகக் கொண்டு எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் எதிர்வு காணலாம். மேலேயுள்ள எடுத்துக்காட்டில் குறுக்குக்கோட்டிலுள்ள புள்ளிகள் சிவப்பாகக் காண்பிக்கப்பட்டிருக்கின்றன.
 
 ==படிம அமைப்பைக்கொண்டே சில தேற்றங்கள்==
 
 ஒரு முழு எண்   n  இன் ஒரு பிரிவினையின்  ஃபெற்றர்ஸ் படிமத்தில்  m   நிரல்கள் இருந்தால் அப்பிரிவினையின் பாகங்களின் எண்ணிக்கையும்  m தான்.   இதே படிமத்தை அதன் வரிசைகளை பிரிவினையின் பாகங்களாகக் கொண்டால் அதுவும் அதே  n இன் மற்றொரு பிரிவினையாகும்.(சொல்லப்போனால் இது முதல் பிரிவினையின் இணைப் பிரிவினையாகும்). ஆனால் இப்பொழுது  m  என்பது பிரிவினையின் மீப்பெரு பாகத்தைக் குறிக்கும். இதனால் நமக்குக் கிடைப்பது கீழே யுள்ள தேற்றம்:
 
 :: '''தேற்றம் 1'''. ''ஒரு முழு எண்ணுக்கு, m  பாகங்கள் உள்ள பிரிவினைகள் எத்தனையோ அத்தனைதான் மீப்பெருபாகம்   m  ஆகவுள்ள பிரிவினைகள்.''
 
 :: எ.கா. எண் 10 என்று கொள். நான்கு பாகங்கள் உள்ள இதன் 9 பிரிவினைகளையும் மீப்பெரு பாகம் 4 ஆகவுள்ள இதன் 9 பிரிவினைகளையும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாகவுள்ளபடி கீழே சோடி சேர்க்கப் பட்டிருக்கின்றன :
 
 :: 4321  &lt;math&gt;\leftrightarrow&lt;/math&gt; 4321
 
 :: 4411  &lt;math&gt;\leftrightarrow&lt;/math&gt; 4222
 
 :: 4222  &lt;math&gt;\leftrightarrow&lt;/math&gt; 4411
 
 :: 5311  &lt;math&gt;\leftrightarrow&lt;/math&gt; 42211
 
 :: 5221  &lt;math&gt;\leftrightarrow&lt;/math&gt; 43111
 
 :: 6211  &lt;math&gt;\leftrightarrow&lt;/math&gt; 421111
 
 :: 7111  &lt;math&gt;\leftrightarrow&lt;/math&gt; 4111111
  
 :: 3331  &lt;math&gt;\leftrightarrow&lt;/math&gt; 433
 
 :: 3322  &lt;math&gt;\leftrightarrow&lt;/math&gt; 442
 
 :குறிப்பு: மேலேயுள்ள  9 சோடிகளில் முதல்  சோடியில் உள்ள பிரிவினை ஒவ்வொன்றும் தனக்கே இணையாக உள்ளன.  இவ்விதம் தனக்கே இணையாகவுள்ள பிரிவினையை '''தன்னிணைப்பிரிவினை''' (self-conjugate partition) என்று சொல்வோம்.
 
 ::'''தேற்றம் 2''': ஒரு முழு எண்ணுக்கு தன்னிணைப் பிரிவினைகள் எத்தனையோ அத்தனைதான் வெவ்வேறு ஒற்றைப்படை பாகங்களைக்கொண்ட பிரிவினைகள்.
 
 : இதனுடைய நிறுவலில் துருப்புச்சீட்டு என்னவென்றால் படிமத்தில்  ஒவ்வொரு ஒற்றைப்படை பாகத்தையும்
 மையத்தில் 'மடித்தால்' ஒரு தன்னிணைப் பிரிவினையின் படிமம் கிடைக்கும்.
 
 {|
 |-
 | style=&quot;vertical-align:bottom;&quot;| [[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:RedDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]]
 | style=&quot;vertical-align:middle;&quot;| ↔
 | style=&quot;vertical-align:bottom;&quot;| [[File:RedDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]][[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|*]]
 |}
 அதனால்  வெவ்வேறு ஒற்றைப்படை பாகங்களாலேற்பட்ட  பிரிவினைகளைக் கொண்ட கணத்திற்கும், தன்னிணைப் பிரிவினைகளைக் கொண்ட கணத்திற்கும் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு உண்டாக்கமுடியும். கீழே இதற்கு ஓர் எடுத்துக்காட்டு: 
 {|
 |-
 | valign=&quot;top&quot; | [[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:RedDot.svg|16px|*]][[File:BlackDot.svg|16px|x]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:RedDot.svg|16px|*]][[File:BlackDot.svg|16px|x]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:RedDot.svg|16px|*]][[File:BlackDot.svg|16px|x]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:RedDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:RedDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:RedDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:RedDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|o]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|o]]
 | style=&quot;vertical-align:middle;&quot;| ↔
 | valign=&quot;top&quot; | [[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:GrayDot.svg|16px|o]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:RedDot.svg|16px|*]][[File:RedDot.svg|16px|*]][[File:RedDot.svg|16px|*]][[File:RedDot.svg|16px|*]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:RedDot.svg|16px|*]][[File:BlackDot.svg|16px|x]][[File:BlackDot.svg|16px|x]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:RedDot.svg|16px|*]][[File:BlackDot.svg|16px|x]]&lt;br /&gt;[[File:GrayDot.svg|16px|o]][[File:RedDot.svg|16px|*]]
 |- style=&quot;vertical-align:top; text-align:center;&quot;
 | 9 7 3
 | &lt;math&gt;\leftrightarrow&lt;/math&gt;
 | 5 5 4 3 2
 |- style=&quot;vertical-align:top; text-align:center;&quot;
 | வெவ்வேறு ஒற்றைப்படை பாகங்கள்
 |
 | தன்னிணைப்பிரிவினையின் பாகங்கள்
 |}
 தேற்றம் 2 க்கு ஒரு முழு எடுத்துக்காட்டாக, எண் 10 க்குள்ள 42 பிரிவினைகளுள் இரண்டேஇரண்டு தான் வெவ்வேறு ஒற்றைப்ப்படை பாகங்களையுடையவை. இவை
 
 ::  9 1      மற்றும் 7 3.
 
 இவை ஒவ்வொன்றுக்கும் ஃபெற்றர்ஸ் படிமம் நிறுவி, ஒவ்வொரு நிரலையும் மையப் புள்ளியில் மடித்தால், கிடைக்கும் படிமங்களுக்குரிய பிரிவினைகள் முறையே
 
 ::  52111  மற்றும்  4321.
 
 இவையிரண்டும் தன்னிணைப் பிரிவினைகள்.  அது மாத்திரமல்ல, இதர 40 பிரிவினைகளும் தன்னிணைப் பிரிவினைகளல்ல.
 
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
 
 * [[இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்: பிரிவினைச் சார்பு]]
 
 ==துணை நூல்கள்==
 
 * G.H. Hardy &amp; E.M. Wright. The Theory of Numbers. Oxford Clarendon Press 1971
 * V. Krishnamurthy. Combinatorics. Theory and Applications.Ellis Horwood. 1986
 
 [[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]
 [[பகுப்பு:சேர்வியல்]]
 [[பகுப்பு:இயற்கணிதம்]]
 [[பகுப்பு:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்]]