இசை வகுத்தி எண்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''இசை வகுத்தி எண்''' (''harmonic divisor number'') அல்லது '''ஓரே எண்''' (''Ore number'') என்பது, தனது [[வகுஎண்]]களின் [[இசைச் சராசரி]]யை ஒரு [[முழு எண்]]ணாகக் கொண்டதொரு [[இயல் எண்]]ணாகும். இவ்வெண்கள் &quot;ஆய்ச்தீன் ஓரே&quot; (Øystein Ore) என்ற நார்வே கணிதவியலாளரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இவர், ஒவ்வொரு [[செவ்விய எண்]]ணும் ஒரு இசை வகுத்தி எண்ணாக இருக்கும் என்பதை நிறுவியுள்ளார். மேலும் 1 ஐத் தவிர வேறெந்ததொரு [[நிகரி (கணிதம்)|ஒற்றை]] இசை வகுத்தி எண்ணும் இல்லை என்ற ஊகத்தையும் முன்வைத்துள்ளார். இக்கணிதயவியலாளரின் பெயரால் இசை வகுத்தி எண்கள், '''ஓரே எண்கள்''' என அழைக்கப்படுகின்றன.
 
 முதல் இசை வகுதி எண்கள் சில:
 :[[1 (எண்)|1]], [[6 (எண்)|6]], 28, 140, 270, 496, 672, 1638, 2970, 6200, 8128, 8190 {{OEIS|id=A001599}}.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 *6 ஒரு இசை வகுத்தி எண். ஏனெனில் அதன் வகுஎண்களின் இசைச் சராசரி 2, ஒரு முழுஎண்.
 
 :6 இன் வகுஎண்கள்:  1, 2, 3, 6.
 :இவற்றின் இசைச் சராசரி:
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \frac{4}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}=2.&lt;/math&gt;
 
 * 140 ஒரு இசை வகுத்தி எண். ஏனெனில் அதன் வகுஎண்களின் இசைச் சராசரி 5, ஒரு முழுஎண்.
 
 :140 இன் வகுஎண்கள்: 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140. 
 : இவற்றின் இசைச் சராசரி:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
  \frac{12}{\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{10}
 +\frac{1}{14}+\frac{1}{20}+\frac{1}{28}+\frac{1}{35}+\frac{1}{70}+\frac{1}{140}}=5.
 &lt;/math&gt;
 
 ==இசைச் சராசரியின் காரணியாக்கம்==
 {{mvar|n}} என்ற எண்ணின் இசைச் சராசரி {{math|''H''(''n'')}}: 
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;H(n) = \frac{n\sigma_0(n)}{\sigma_1(n)}&lt;/math&gt; இதில், {{math|''&amp;sigma;''&lt;sub&gt;''i''&amp;thinsp;&lt;/sub&gt;(''n'')}} =  {{mvar|n}} இன் [[வகுஎண் சார்பு|வகுஎண்களின் {{mvar|i}} ஆவது அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை]]; {{math|''&amp;sigma;''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;}} = வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை; {{math|''&amp;sigma;''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;}} = வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை {{harv|Cohen|1997}}.
 
 மேலேயுள்ள வாய்பாட்டிலுள்ள எல்லா உறுப்புகளும் [[முழுமையான பெருக்கல் சார்பு]] அல்லாத [[பெருக்கல் சார்பு]]களாக இருப்பதால் இசைச் சராசரி {{math|''H''(''n'')}} உம் பெருக்கல் சார்பாக இருக்கும்.
 
 எனவே {{mvar|n}} ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில், {{mvar|n}} இன் காரணியாக்கத்திலுள்ள [[பகா அடுக்கு]]களின் இசைச் சராசரிகளின் பெருக்கற்பலனாக {{math|''H''(''n'')}} ஐ எழுதலாம்:
 
 எடுத்துக்காட்டாக,
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;H(4) = \frac{3}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}=\frac{12}7,&lt;/math&gt;
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;H(5) = \frac{2}{1+\frac{1}{5}} = \frac53,&lt;/math&gt;
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;H(7) = \frac{2}{1+\frac{1}{7}} = \frac74,&lt;/math&gt;
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;H(140) = H(4 \cdot 5 \cdot 7) = H(4)\cdot H(5)\cdot H(7) = \frac{12}{7}\cdot \frac{5}{3}\cdot \frac{7}{4} = 5.&lt;/math&gt;
 
 == இசை வகுத்தி எண்களும் செவ்விய எண்களும் ==
 [[File:Perfect number Cuisenaire rods 6 exact.svg|thumb|[[குசேனைரே கோல்கள்]] மூலம் எண் 6 ஒரு செவ்விய எண் என விளக்கும் படம்]]
 
 எந்தவொரு முழுஎண் ''M'' க்கும் அதன் [[இசைச் சராசரி]], [[கூட்டுச் சராசரி]] ஆகிய இரண்டின் பெருக்கற்பலன் அதே முழுவெண்  ''M'' ஆகவே இருக்குமெனெக் கணிதவியலாளர் &quot;ஓரே&quot; கண்டுபிடித்தார். எனவே தனது வகுஎண்களின் இசைச் சராசரியாக ''k'' ஐ உடைய ஒரு எண் ''M'' இன் வகுஎண்களின் சராசரியானது, ''M'' மற்றும்  [[அலகுப் பின்னம்]] 1/''k''  இன் பெருக்கமாக &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot;,  ''M'' ஒரு இசை வகுத்தி எண்ணாக இருக்கமுடியும்.
 
 ஒவ்வொரு செவ்விய எண்ணும் இசை வகுதி எண்ணாகவும் இருக்கும் என்பதை &quot;ஓரே&quot; நிறுவினார்.
 
 :  ''M'' ஒரு செவ்விய எண் எனில் அதன் வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை = ''2M'';
 :  ''M'' இன் வகுஎண்களின் சராசரி = ''M''(2/τ(''M''));  τ(''M'') =  ''M'' இன் [[வகுஎண் சார்பு|வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை]]
 :  ''M'' ஒரு [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்க எண்ணாக]] &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot;,  τ(''M'')  ஆனது [[நிகரி (கணிதம்)|ஒற்றை]] எண்ணாக இருக்கும். அல்லது τ(''M'')  ஆனது [[நிகரி (கணிதம்)|இரட்டை]] எண்ணாக  இருந்தால்,  ''M'' இன் ஒவ்வொரு வகுஎண் ''d'' ஐ மற்றொரு வகுஎண் ''M''/''d'' உடன் சோடிசேர்க்க முடியும். 
 : ஆனால் எந்தவொரு செவ்விய எண்ணும் வர்க்க எண்ணாக இருக்காது.
 : எனவே ஒரு செவ்விய எண் ''M'' இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை τ(''M''), இரட்டையெண்ணாக இருப்பதோடு ''M'' இன் சாரசரியின் மதிப்பு, அலகுபின்னம் 2/τ(''M'') உடனான பெருக்கற்பலன்ஆகவும் இருக்கும்.
 : ஃ ''M'' ஒரு இசை வகுத்தி எண்.
 
 == கணினி ஆய்வுகள் ==
 டபிள்யூ. ஹெச். மில்ஸ், 1 ஐ விடப் பெரிய ஒற்றை இசை வகுத்தி எண்கள் இருந்தால் அவற்றுக்கு 10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; ஐ விடப்பெரிய ஒரு பகா அடுக்குக் காரணி இருக்கவேண்டுமெனக் கண்டுபிடித்தார். கோகென் அத்தைகைய எண்கள் குறைந்தபட்சமாக  மூன்று வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டுமெனக் கண்டுபிடித்தார். கோகெனும் சொர்லியும்,10&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt; ஐ விடச் சிறிய ஒற்றை இசை வகுத்தி எண்கள் இருக்கமுடியாது என்பதை நிறுவினர். {{harvtxt|Cohen|Sorli|2010}} 
 
 &quot;ஓரே&quot; முதல் கோகென், கோட்டொ வரையிலான கணிதவியலாளர்கள் இசை வகுத்தி எண்களைப் பட்டியலிடுவதற்கு கணினி ஆய்வுகளை மேற்கொண்டனர். இவ்வாய்வுகளின் விளைவாக 2&amp;nbsp;×&amp;thinsp;10&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt; வரையிலான இசை வகுத்தி எண்கள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன. இவ்வெண்களுக்கான அதிகபட்ச இசைச் சராசரி 300 ஆகத்தான் இருக்கவேண்டுமென்பதும் அறியப்பட்டுள்ளது.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 
 *{{cite web
   | author = Bogomolny, Alexander
   | title = An Identity Concerning Averages of Divisors of a Given Integer
   | url = http://www.cut-the-knot.org/proofs/average.shtml
   | access-date = 2006-09-10| author-link = Alexander Bogomolny
  }}
 *{{cite journal
   | last = Cohen | first = Graeme L.
   | url =https://www.ams.org/mcom/1997-66-218/S0025-5718-97-00819-3/S0025-5718-97-00819-3.pdf
   | title = Numbers Whose Positive Divisors Have Small Integral Harmonic Mean
   | journal = [[Mathematics of Computation]]
   | volume = 66
   | pages = 883–891
   | year = 1997
   | doi = 10.1090/S0025-5718-97-00819-3
   | issue = 218
   | doi-access = free
   }}
 *{{cite journal
   | last1=Cohen
   | first1=Graeme L.
   | last2=Sorli
   | first2=Ronald M.
   | year=2010
   | pages=2451
   | title=Odd harmonic numbers exceed 10&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt;
   | volume=79
   | doi= 10.1090/S0025-5718-10-02337-9
   | journal=Mathematics of Computation
   | issn=0025-5718
   | issue=272
   | doi-access=free
   | hdl=10453/13014
   | hdl-access=free
   }}
 *{{cite web
   | author = Goto, Takeshi
   | url = http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/harmonic-e.html
   | title = (Ore's) Harmonic Numbers
   | access-date = 2006-09-10
   | archive-date = 2006-01-06
   | archive-url = https://web.archive.org/web/20060106230537/http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/harmonic-e.html
   | url-status = dead
   }}
 * {{cite book |last=Guy | first=Richard K. | author-link=Richard K. Guy | title=Unsolved problems in number theory |url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr | publisher=[[இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம்]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=978-0-387-20860-2 | zbl=1058.11001 | at=B2 }}
 *{{cite journal
   | title = On Divisors of Odd Perfect Numbers
   | url = https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1966-01_20_93/page/141
   | author = Muskat, Joseph B.
   | journal = Mathematics of Computation
   | volume = 20
   | issue = 93
   | year = 1966
   | pages = 141–144
   | doi = 10.2307/2004277
   | jstor = 2004277| doi-access = free
   }}
 *{{cite journal
   | author = Ore, Øystein
   | author-link = Øystein Ore
   | title = On the averages of the divisors of a number
   | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1948-12_55_10/page/615
   | journal = [[American Mathematical Monthly]]
   | volume = 55
   | year = 1948
   | pages = 615–619
   | doi = 10.2307/2305616
   | issue = 10
   | jstor = 2305616}}
 * {{MathWorld |title=Harmonic Divisor Number |urlname=HarmonicDivisorNumber}}
 
 
 [[பகுப்பு:வகுஎண் சார்பு]]
 [[பகுப்பு:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்]]
 [[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]