ஒற்றை, இரட்டை வரிசைமாற்றங்கள்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], [[வரிசைமாற்றங்கள்]] '''ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றங்கள்''', (Odd permutations) '''இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் ''' (Even permutations) என இருவகைப்படும்.ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றமும் அது எத்தனை இடமாற்றங்களின் சேர்வையாக இருக்கிறது என்பதைப் பொருத்து அது ஒற்றைப்படையாகவோ இரட்டைப்படையாகவோ வகைப்படுத்தப்படும். எடுத்துக்காட்டாக
 
 &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 1 &amp;2 &amp;3 &amp; 4 &amp; 5\\
 2&amp; 4 &amp; 3 &amp; 5 &amp; 1
 \end{pmatrix} = (3) (1245)= (15)(14)(12)=&lt;/math&gt; மூன்று இடமாற்றங்களின் சேர்வை
 
 இதனால் இது ஒரு ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றம்.
 
 மாறாக,
 
 &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 5\\
 4 &amp; 2 &amp; 5 &amp; 1 &amp; 3
 \end{pmatrix} =  (14)(235)  = (2)(14)(35) =&lt;/math&gt; இரண்டு இடமாற்றங்களின் சேர்வை
 
 இதனால் இது ஒரு இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றம்.
 
 == வரிசைமாற்றத்தின் குறி ==
 
 ஒரு வரிசைமாற்றம் &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;-இன் குறி (Sign, Signature)என்பது +1 ஆகவோ -1 ஆகவோ வரையறுக்கப்படும். ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமயிருந்தால் அதன் குறி -1. இரட்டைப்படையாயிருந்தால், +1. இதற்குக் குறியீடு: &lt;math&gt;sgn(A)&lt;/math&gt; அல்லது &lt;math&gt;\epsilon (A).&lt;/math&gt;
 
 :: &lt;math&gt;\chi: S_n \rightarrow \{+1, -1\}&lt;/math&gt;
 
 :: &lt;math&gt;A \mapsto  sgn(A)&lt;/math&gt;
 
 '''தேற்றம்''': '''[[சமச்சீர்குலம்]] ''' &lt;math&gt;S_n&lt;/math&gt; '''க்கும் 2-ஆவது கிரம [[சுழற்குலம்]] ''' &lt;math&gt;C_2 = \{+1, -1\}&lt;/math&gt; '''க்கும் இடையில் ''' &lt;math&gt;\chi &lt;/math&gt; '''என்ற மேற்சொன்ன கோப்பு, ஒரு [[காப்பமைவியம் (கணிதம்)|காப்பமைவியம்]] (homomorphism).'''
 
 == மாறிசைக்குலம் ==
 
 இதனால் இக்காப்பமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) &lt;math&gt;S_n&lt;/math&gt; இன் உட்குலமாகும். இந்த உட்குலத்திற்கு &lt;math&gt; n&lt;/math&gt; பொருள்களின் [[மாறிசைக்குலம்]] (Alternating Group on n objects) எனப் பெயர். இதற்குக் குறியீடு: &lt;math&gt;A_n&lt;/math&gt; . இதனுடைய கிரமம்: &lt;math&gt;n!/2.&lt;/math&gt; இவ்வுட்குலத்தில் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் மட்டுமே உள்ளன; &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் இதனில் அடக்கம்.
 
 == எடுத்துக்காட்டு ==
 
 &lt;math&gt;S_4&lt;/math&gt; இல் 24 உறுப்புகள் உள்ளன. &lt;math&gt;A_4&lt;/math&gt; இன் 12 உறுப்புகள் (அ-து, 4-கிரம இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம்) பின்வருமாறு:
 
 :: &lt;math&gt;e&lt;/math&gt; ; &lt;math&gt;(1)(234); (1)(243); &lt;/math&gt;
 
 :: &lt;math&gt;(2)(341);  (2) (314);  (3)(124) ; (3)(142);  (4)(123); (4)(132&lt;/math&gt;
 
 :: &lt;math&gt;(12)(34);  (13)(24);  (14)(23)&lt;/math&gt;.
 
 == விளைவுகள் ==
 
 * இரட்டைப்படை நீளமுள்ள சுழல் ஓர் ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றம்.
 * ஒற்றைப்படை நீளமுள்ள சுழல் ஓர் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றம்.
 * ஒரு வரிசைமாற்றம் அதனுடைய வெட்டில்லாத சுழல் வடிவத்தில் இரட்டைப்படை நீளமுள்ள சுழல்கள் ஓர் ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் இருந்தால், இருந்தால்தான், அது ஒற்றைப்படை வரிசைமாற்றமாக இருக்கும்.
 
 எ.கா.: &lt;math&gt;S_{16}:&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;\sigma  = (1\quad 3\quad 5)(7\quad 2\quad 4)(10\quad  6)(8\quad  11\quad  16\quad  15\quad  9) (14)(12 \quad 13)&lt;/math&gt;
 
 இதனில் 2 இரட்டைப்படை நீளமுள்ள சுழல்கள் இருப்பதால், &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; ஓர் இரட்டைப்படை வரிசைமாற்றம்.
 
 == இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
 
 * [[மாறிசைக் குலம்]]
 
 [[பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு]]
 [[பகுப்பு:வரிசைமாற்றங்கள்]]