2 × 2 அணியின் வர்க்கமூலம்
'''2 x 2 [[அணி (கணிதம்)|அணியொன்றின்]] வர்க்கமூல அணி'''யானது, (''square root of a 2x2 matrix'') மற்றொரு 2 x 2 அணியாகவும்,  மேலும் அதனை அதனோடு [[அணிப்பெருக்கல்|பெருக்கக்]] கிடைக்கும் அணி மூல அணியாகவும் அமையும். 
 
 :2 x 2 அணி ''R'' இன் [[அணியின் வர்க்கமூலம்|வர்க்கமூல அணி]] ''M'' எனில், அது ஒரு 2 x 2  அணியாகவும் ''M'' = ''R''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; என்பதை நிறைவு செய்யும் அணியாகவும் இருக்கும். 
 
 ஒரு 2 × 2 அணிக்கு வர்க்கமூலங்களே இல்லாமல் இருக்கலாம் அல்லது இரண்டு, நான்கு, ஆறு ... என இரட்டை எண்ணிக்கையிலான எண்ணற்ற வர்க்கமூலங்களும் இருக்கலாம். பூச்சியமற்ற இரு வெவ்வேறான [[ஐகென் மதிப்பு]]களைக் கொண்ட ஒரு 2 × 2 அணிக்கு நான்கு வர்க்கமூலங்கள் இருக்கும். ஒரு [[நேர்ம-வரைவு அணி]]யின் வர்க்கமூலங்களில் ஒன்றுமட்டுமே  நேர்ம-வரைவு அணியாக இருக்கும்.
 
 எல்லா வரிசை அணிகளுக்கும் அவற்றின் வர்க்கமூலங்கள் சோடிகளாக அமையும். ''R'' என்பது ''M'' இன் ஒரு வர்க்கமூலம் எனில்,  –''R'' உம் ''M'' இன் மற்றொரு வர்க்கமூலமாக இருக்கும் ((–''R'')(–''R'') = (–1)(–1)(''RR'') = ''R''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ''M'').
 
 ==வாய்பாடு==
 :&lt;math&gt;M = \left( \begin{array}{cc} A &amp; B \\ C &amp; D \end{array}\right)&lt;/math&gt;
 :''A'', ''B'', ''C'',  ''D'' என்பன [[மெய்யெண்]]களாகவோ [[சிக்கலெண்]]களாகவோ இருக்கலாம்.
 :''τ = A + D'' என்பது ''M'' இன் [[சுவடு (நேரியல் இயற்கணிதம்)|சுவடு]].
 :''δ = AD - BC'' என்பது ''M'' இன் [[அணிக்கோவை]].
 :''s'' என்பது ''s''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ''δ'', 
 :''t''  என்பது ''t''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ''τ'' + 2''s''.  
 :&lt;math&gt;s = \pm\sqrt{\delta} , \quad \quad t = \pm \sqrt{\tau + 2 s}.&lt;/math&gt;
 
 ''t'' ≠ 0 எனில் ''M'' இன் வர்க்கமூல அணி&lt;ref name=Bernard1&gt;Levinger, Bernard W.. 1980. “The Square Root of a 2 × 2 Matrix”. Mathematics Magazine 53 (4). Mathematical Association of America: 222–24. doi:10.2307/2689616.[http://www.jstor.org/stable/2689616]&lt;/ref&gt;&lt;ref name=somayya1&gt;P. C. Somayya (1997), ''[http://mathforum.org/kb/servlet/JiveServlet/download/13-1879293-6653929-548390/A%20Method%20for%20finding%20a%20Square%20Root%20of%20a%202x2%20Matrix.doc Root of a 2x2 Matrix]'', ''The Mathematics Education'', Vol.. XXXI, no. 1. Siwan, Bihar State. INDIA&lt;/ref&gt;:
 
 :&lt;math&gt;
 R = \frac{1}{t} \left( \begin{array}{cc} A + s &amp; B \\ C &amp; D + s \end{array}\right).
 &lt;/math&gt;
 
 ''R'' இன் வர்க்கம் ''M'' ஆகவுள்ளதைக் காணலாம்: 
 :&lt;math&gt;
 \begin{array}{rcl}
   R^2 
     &amp;=&amp;
     \displaystyle \frac{1}{t^2} 
       \left( \begin{array}{cc} (A + s)^2 + B C &amp; (A + s)B + B(D + s) \\ C(A + s) + (D + s)C &amp; (D + s)^2 + B C \end{array}\right)\\[3ex]
   {}
     &amp;=&amp;
     \displaystyle \frac{1}{A + D + 2 s} 
       \left( \begin{array}{cc} A(A + D + 2s) &amp; (A + D + 2s)B \\ C(A + D + 2 s) &amp; D(A + D + 2 s) \end{array}\right) \;=\;
   M.
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 ''M'' இன் உறுப்புகள் எல்லாம் மெய்யெண்களாக இருந்தாலும் ''R'' இன் உறுப்புகள் சிக்கலெண்களாகவும் இருக்கலாம். அணிக்கோவை ''δ'' இன் மதிப்பு எதிர்மமாக இருக்கும்போது இவ்வாறு அமையக்கூடும். ''s&gt;0'' , ''t&gt;0'' எனில் ''R'' நேர்மமாக இருக்கும்.
 
 ===சிறப்பு நிலைகள்===
 *''M'' ஒரு [[தன்னடுக்கு அணி]] அணியாக இருந்து (''MM'' = ''M''), அதேசமயம் முற்றொருமை அணியாக இல்லையெனில், அதன் அணிக்கோவை மதிப்பு பூச்சியமாகவும், அதன் சுவட்டின் மதிப்பும் [[அணிகளின் அளவை|தரமும்]] சமவளவினவையாக 1 ஆக இருக்கும் (பூச்சிய அணி தவிர்த்து). இந்நிலையில் மேலுள்ள வாய்பாட்டில் ''s'' = 0 &lt;math&gt;\tau&lt;/math&gt; = 1 ஆக அமையும். இதனால்,  அணி ''M'' இன் வர்க்கமூலங்களாக ''M'' , -''M'' இரண்டு மட்டுமே கிடைக்கும்.
 
 * ''s'' மற்றும் ''t'' இன் குறிகள் ஒவ்வொன்றைக்கும் நான்கு வெவ்வேறான வர்க்கமூலங்கள் (''R'') கிடைக்கும்.  
 * அணிக்கோவை ''δ'' இன் மதிப்பு பூச்சியமாகவும், சுவடு ''τ'' பூச்சியமற்றதாகவும் இருந்தால் மேற்படி வாய்ப்பாட்டின் மூலம் வெவ்வேறான இரு வர்க்கமூலங்கள் மட்டுமே கிடைக்கும்.
 *  ''δ'' பூச்சியமற்றதாகவும் ''τ''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 4''δ'' எனவும் இருக்கும்போதும் வெவ்வேறான இரு வர்க்கமூலங்கள் மட்டுமே கிடைக்கும். இதில்  ''s'' இன் ஏதேனும் ஒரு குறிக்கு வாய்பாட்டின் பகுதியான ''t'' இன் மதிப்பு பூச்சியமாகிவிடும்.
 * ''δ'' , ''τ'' இரண்டின் மதிப்புகளும் பூச்சியமாக இருக்கும்போது மேற்காணும் வாய்பாடு பயனற்றதாகிவிடும். அதாவது, ''D'' = −''A'' மற்றும் ''A''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = −''BC'' ஆக இருந்தால் அணிக்கோவை ''δ'' மற்றும் சுவடு ''τ'' இரண்டின் மதிப்பும் பூச்சியமாக இருக்கும். இந்நிலையில்
 
 ''M'' ஒரு [[சூனிய அணி|பூச்சிய அணியாக]] இருந்தால் (''A'' = ''B'' = ''C'' = ''D'' = 0): 
 :''b'' , ''c'' இரண்டின் ஏதேனும் மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு
 :&lt;math&gt;R = \left( \begin{array}{cc} 0 &amp; 0 \\ c &amp; 0 \end{array}\right) \quad  \text{and} \quad R = \left( \begin{array}{cc} 0 &amp; b \\ 0 &amp; 0 \end{array}\right)
 &lt;/math&gt;  ஆகிய இரு வர்க்கமூலங்களோடு பூச்சிய அணியும் ''M'' இன் வர்க்கமூலமாக இருக்கும்.
 
 மற்றபடி, ''M'' அணிக்கு வர்க்கமூலம் இருக்காது.
 
 ===சிறப்புவகை அணிகளுக்கான வாய்பாடுகள்===
 ====மூலைவிட்ட அணி====
 ''M'' ஒரு மூலைவிட்ட அணியாக (''B'' = ''C'' = 0) இருந்தால் கீழ்க்காணும் எளிதாக்கப்பட்ட வாய்ப்பாட்டின் மூலம் அதன் வர்க்கமூலத்தைக் காணலாம்:
 :&lt;math&gt;
 R = \left( \begin{array}{cc} a &amp; 0 \\ 0 &amp; d \end{array}\right)
 &lt;/math&gt;
 :''a'' = ±√''A'' 
 :''d'' = ±√''D''
 
 ''a'' , ''d''  இன் மதிப்புகளுக்கு எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குறிகளைப் பொறுத்து, ''A'' மற்றும் ''D'' இரண்டில் எதுவுமே பூச்சியமில்லை அல்லது ஏதேனும் ஒன்று மட்டும் பூச்சியம் அல்லது இரண்டுமே பூச்சியம் எனில் முறையே, நான்கு அல்லது இரண்டு அல்லது ஒரு வெவ்வேறான வர்க்கமூல அணிகள் கிடைக்கும்.
 
 ====முற்றொருமை அணி====
 2 × 2 [[முற்றொருமை அணி]] &lt;math&gt;\bigl( \begin{smallmatrix}\\ 1&amp;0\\ 0&amp;1\end{smallmatrix} \bigr)&lt;/math&gt; முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான கீழ்வரும் [[சமச்சீர் அணி|சமச்சீர்]] விகிதமுறு வர்க்கமூலங்கள் கொண்டுள்ளது: 
 :&lt;math&gt;\tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\s&amp;r\\ r&amp;-s\end{smallmatrix} \bigr),&lt;/math&gt; &lt;math&gt; \tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\ s&amp;-r\\- r&amp;-s\end{smallmatrix} \bigr),&lt;/math&gt; &lt;math&gt; \tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\ -s&amp;r\\ r&amp;s\end{smallmatrix} \bigr),&lt;/math&gt; &lt;math&gt; \tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\ -s&amp;-r\\ -r&amp;s\end{smallmatrix} \bigr),&lt;/math&gt; &lt;math&gt; \bigl( \begin{smallmatrix}\\ 1&amp;0\\ 0&amp;\pm 1\end{smallmatrix} \bigr),&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;\bigl( \begin{smallmatrix}\\ -1&amp;0\\ 0&amp; \pm 1\end{smallmatrix} \bigr),&lt;/math&gt; 
 {{math|(''r, s, t'')}} என்பன [[பித்தகோரசு மும்மை]]களாகும். அதாவது, &lt;math&gt;r^2 + s^2 = t^2.&lt;/math&gt; என்ற முடிவை நிறைவு செய்யும் நேர்ம முழுஎண்களாகும்.&lt;ref&gt;Mitchell, Douglas W. &quot;Using Pythagorean triples to generate square roots of ''I''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&quot;. ''The Mathematical Gazette'' 87, November 2003, 499-500.&lt;/ref&gt; மேலும் &lt;math&gt;r^2 + s^2 = t^2&lt;/math&gt; முடிவை நிறைவு செய்யும்  ''r, s, t'' -இன் முழுஎண்கள் அல்லாத விகிதமுறா, சிக்கலெண் மதிப்புகளும் முற்றொருமை அணியின் வர்க்கமூலங்களைத் தரும். முற்றொருமை அணிக்கு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான சமச்சீரற்ற வர்க்கமூலங்களும் உண்டு.
 
 ====முதன்மையற்ற மூலைவிட்ட உறுப்பொன்றைப் பூச்சியமாகக்கொண்ட அணி====
 முதன்மையற்ற மூலைவிட்ட உறுப்பொன்றைப் பூச்சியமாகக்கொண்ட 2 x 2  அணி (''B'' = 0; ''A'' , ''D'' ≠ 0) எனில் கீழ்வரும் வாய்ப்பாட்டின் மூலம் அதன் வர்க்கமூலம் காணலாம்:
 
 :&lt;math&gt;
 R = \left( \begin{array}{cc} a &amp; 0 \\ C/(a + d) &amp; d \end{array}\right).
 &lt;/math&gt;
 
 இவ்வாய்ப்பாட்டின் மூலம் ''A'' = ''D'' எனும்போது இரு வர்க்கமூலங்களும் மற்றபடி நான்கு வர்க்கமூலங்களும் கிடைக்கும். ''C'' = 0; ''A'' , ''D'' ≠ 0 எனும்போதும் இதுபோன்ற வாய்ப்பாட்டின் மூலம் வர்க்கமூலங்களைக் காணலாம்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}