எல்லை (கணிதம்)
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''எல்லை''' (''limit'') என்பது ஒரு [[சார்பு]] அல்லது [[தொடர்வரிசை]]யில், சார்பின் உள்ளீடு அல்லது தொடர்வரிசையின் சுட்டெண்ணானது ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை அணுகும்போது அச்சார்பு அல்லது தொடர்வரிசை அணுகும் மதிப்பைக் குறிக்கிறது.&lt;ref&gt;{{cite book |last=Stewart |first=James |author-link=James Stewart (mathematician) |year=2008 |title=Calculus: Early Transcendentals |edition=6th |publisher=[[Brooks/Cole]] |isbn=978-0-495-01166-8 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 }}&lt;/ref&gt; [[நுண்கணிதம்]] மற்றும் [[பகுவியல் (கணிதம்)|பகுவியலில்]] எல்லைகள் முக்கியமானவை. மேலும் [[தொடர்ச்சியான சார்பு]], [[வகையிடல்]] மற்றும் [[தொகையீடு]] ஆகியவற்றை வரையறுப்பதற்கும் எல்லைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
 
 பொதுவாக சார்பின் எல்லை கீழுள்ளவாறு குறிக்கப்படுகிறது:
 :&lt;math&gt; \lim_{x \to c} f(x) = L,&lt;/math&gt;
 இது, {{mvar|x}} மாறியின் மதிப்பானது {{mvar|c}} ஐ நெருங்கும்போது சார்பு  {{math|''f''}} சார்பின் மதிப்பு = {{math|''L''}}&quot; என வாசிக்கப்படுகிறது.
 
 உண்மையில் {{mvar|x}} மாறியின் மதிப்பானது {{mvar|c}} ஐ நெருங்கும்போது சார்பு  {{math|''f''}} ஆனது {{math|''L''}}&quot; ஐ நோக்கி நெருங்குவதால் சில சமயங்களில் சார்பின் எல்லை வலப்பக்க அம்புக்குறிகொண்டும் குறிக்கப்படுகிறது:
 :&lt;math&gt;f(x) \to L \text{ as } x \to c&lt;/math&gt; 
 
 இது, {{mvar|x}} மாறியின் மதிப்பானது {{mvar|c}} ஐ நெருங்கும்போது சார்பு  {{math|''f''}} சார்பின் மதிப்பு {{math|''L''}}&quot; ஐ நெருங்குகிறது என வாசிக்கப்படுகிறது.&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;{{Cite web|date=2020-05-11|title=List of Calculus and Analysis Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/calculus-analysis-symbols/|access-date=2020-08-18|website=Math Vault|language=en-US}}&lt;/ref&gt;
 
 == சார்பின் எல்லை ==
 [[File:Límite 01.svg|thumb|ஒரு புள்ளி {{mvar|x}} இன் மதிப்பு {{mvar|c}} இலிருந்து {{mvar|δ}} தொலைவுக்குள் இருக்கும்போது {{math|''f''(''x'')}} இன் மதிப்பு {{mvar|L}} இலிருந்து {{mvar|ε}} தொலைவுக்குள் இருக்கும்.]]
 [[File:Limit-at-infinity-graph.png|thumb|{{math|''x'' &gt; ''S''}} ஆகவுள்ள அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் {{math|''f''(''x'')}} இன் மதிப்பு {{math|''L''}} இலிருந்து {{mvar|ε}} தொலைவுக்குள் இருக்கும்.]]
 
 {{math|''f''}} ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு மற்றும் {{mvar|c}} ஒரு [[மெய்யெண்]] எனில்,
 :&lt;math&gt; \lim_{x \to c}f(x) = L &lt;/math&gt; 
 
 {{mvar|x}} ஐத் தேவையான அளவு {{mvar|c}} க்கு மிகஅருகில் நெருங்கினால், {{math|''f''(''x'')}} இன் மதிப்பு தேவையான அளவு {{math|''L''}} க்கு மிகஅருகாமையில் நெருங்கும் என்பது இதன் பொருளாகும்.&lt;ref&gt;{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Epsilon-Delta Definition|url=https://mathworld.wolfram.com/Epsilon-DeltaDefinition.html|access-date=2020-08-18|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}&lt;/ref&gt; 
 &quot;{{mvar|x}} இன் மதிப்பு {{mvar|c}} ஐ நெருங்கும்போது {{math|''f''(''x'')}} இன் எல்லைமதிப்பு {{math|''L''}}&quot; என இவ்வரையறை வாசிக்கப்படும்.
 
 1821 இல் [[அகுஸ்டின்-லூயி கோசி]]யும்&lt;ref name=Larson&gt;{{cite book |last1=Larson |first1=Ron |author-link1=Ron Larson (mathematician) |last2=Edwards |first2=Bruce H. |year=2010 |title=Calculus of a single variable |edition=Ninth |publisher=[[Brooks/Cole]], [[Cengage Learning]] |isbn=978-0-547-20998-2}}&lt;/ref&gt; அவரைத் தொடர்ந்து [[கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராஸ்|கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராசும்]] ஒரு சார்பின் எல்லைக்கான வரையறையை (எல்லையின் (ε, δ) வரையறை) ஏதேனுமொரு சிறிய நேர்ம எண்ணைக் குறிக்க {{mvar|ε}} ஐப் பயன்படுத்தி முறைப்படுத்தினர்.&lt;ref name=&quot;:0&quot; /&gt;
 
 &quot;{{math|''f''(''x'')}} ஆனது {{math|''L''}} க்கு மிக அருகாமையில் அமைகிறது&quot; என்ற சொற்றொடரை இடைவெளியைப் பயன்படுத்தி, 
 *{{math|(''L'' − ''ε'', ''L'' + ''ε'')}} இடைவெளியில் {{math|''f''(''x'')}} அமைகிறது எனவும், 
 
 தனிமதிப்பைப் பயன்படுத்தி,
 *|''f''(''x'') − ''L''| &lt; ''ε''.&lt;ref name=Larson/&gt; எனவும் கூறலாம்.
 
 {{mvar|x}} ஆனது {{mvar|c}} ஐ நெருங்குகும்போது&quot; என்ற சொற்றொடரைக் கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்: 
 *{{mvar|x}} இன் மதிப்பானது {{math|(''c'' − ''δ'', ''c'')}} அல்லது {{math|(''c'', ''c'' + ''δ'')}} இடைவெளிகளில் அமையும்.
 *0 &lt; |''x'' − ''c''| &lt; ''δ''. 
 
 இதிலுள்ள முதல் சமனிலியானது {{mvar|x}}, {{mvar|c}} இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு {{math|0}} விட அதிகம் மற்றும் {{math|''x'' ≠ ''c''}} என்பதையும், இரண்டாவது சமனிலியானது {{mvar|x}} ஆனது  of {{mvar|c}} இலிருந்து {{mvar|δ}} அளவு தொலைவுக்குள் இருக்குமென்பதையும் சுட்டுகின்றன.&lt;ref name=Larson/&gt;
 
 {{math|''f''(''c'') ≠ ''L''}} என்றாலுங்கூட மேற்கண்ட சார்பின் எல்லை வரையறை உண்மையாக இருக்கும். மேலதிகமாக, சார்பு {{math|''f''}} ஆனது {{mvar|c}} புள்ளியில் வரையறுக்கப்படாவிட்டாலுங்கூட இவ்வரையறை பொருந்தும்..
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt; f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} &lt;/math&gt;
 
 {{math|''f''(1)}} வரையறுக்கப்படவில்லை ([[தேரப்பெறா வடிவம்]]). எனினும் {{mvar|x}} இன் மதிப்பானது 1 ஐ நெருங்கும்போது  அதனையொத்து {{math|''f''(''x'')}} இன் மதிப்பு 2 ஐ நெருங்குகிறது:&lt;ref&gt;{{Cite web|title=limit {{!}} Definition, Example, &amp; Facts|url=https://www.britannica.com/science/limit-mathematics|access-date=2020-08-18|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}&lt;/ref&gt;
 
 {| class=&quot;wikitable&quot;
 |''f''(0.9)||''f''(0.99)||''f''(0.999)|| ''f''(1.0) ||''f''(1.001)||''f''(1.01)||''f''(1.1)
 |-
 |    1.900 ||     1.990 ||      1.999 ||  வரையறுக்கப்படாதது ||      2.001 ||     2.010 ||    2.100
 |}
 
 இந்த அட்டவணையிலிருந்து {{mvar|x}} இன் மதிப்பு {{math|1}} க்கு அருகாமையில் நெருங்க நெருங்க {{math|''f''(''x'')}} இன் மதிப்பு {{math|2}} க்கு அருகே நெருங்குவதைக் காணலாம். அதாவது,
 :&lt;math&gt; \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 2. &lt;/math&gt;
 
 இயற்கணிதமுறையிலும் இதனைக் காணலாம்:
 :&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = x+1&lt;/math&gt; ({{math|''x'' ≠ 1}})
 
 {{math|''x'' + 1}} சார்பானது {{mvar|x}} = 1 புள்ளியில் தொடர்ச்சியானது. எனவே {{mvar|x}} = 1 என உள்ளிட,
 :&lt;math&gt;\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 1+1 = 2.&lt;/math&gt;
 
 முடிவுறு மதிப்புகளில் மட்டுமன்றி முடிவுறா மதிப்புகளிலும் சார்புகளுக்கு எல்லை மதிப்புகள் உண்டு.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt;f(x) = \frac{2x-1}{x}&lt;/math&gt;
 
 * ''f''(100) = 1.9900
 * ''f''(1000) = 1.9990
 * ''f''(10000) = 1.9999
 
 {{mvar|x}} இன் மதிப்பு மிகமிக அதிகமாகும்போது {{math|''f''(''x'')}} இன் மதிப்பு 2 ஐ நெருங்குகிறது. தேவையான அளவு {{mvar|x}} இன் மதிப்பைப் பெரிதாக்குவதன் மூலம் {{math|''f''(''x'')}} இன் மதிப்பை 2 க்கு மிகவருகில் வரவைக்கலாம். எனவே {{mvar|x}} இன் மதிப்பு முடிவிலியை நெருங்கும்போது இச்சார்பின் எல்லை 2 ஆகும். அதாவது,
 
 :&lt;math&gt; \lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{x} = 2. &lt;/math&gt;
 
 == தொடர்வரிசையின் எல்லை ==
 
 1.79, 1.799, 1.7999,&amp;nbsp;… என்ற தொடர்வரிசையிலுள்ள எண்கள் 1.8 ஐ நெருங்குவதைக் காணலாம்.
 
 {{math|''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, …}} என்பது [[மெய்யெண்]]களில் அமைந்த ஒரு [[தொடர்வரிசை]] எனில்:
 
 :ஒவ்வொரு [[மெய்யெண்]] {{math|''ε'' &gt; 0}} எனும் ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும், 
 |''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; − ''L''}} &lt; ''ε'' (அனைத்து {{math|''n'' &gt; ''N''}} க்கும்) என்றவாறு ஒரு [[இயல் எண்]] {{math|''N''}} இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே: 
 
 :&lt;math&gt; \lim_{n \to \infty} a_n = L &lt;/math&gt; ஆகும் (இத்தொடர்வரிசையின் எல்லை {{math|''L''}}).&lt;ref&gt;{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Limit|url=https://mathworld.wolfram.com/Limit.html|access-date=2020-08-18|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}&lt;/ref&gt;
 
 :இவ்வரையறையானது, &quot;''n'' இன் மதிப்பு முடிவிலியை நெருங்கும்போது ''a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' தொடர்வரிசையின் எல்லை மதிப்பு ''L''&quot; என வாசிக்கப்படுகிறது.
 
 அனைத்து தொடர்வரிசைகளுக்கும் எல்லை இருக்காது. எல்லை மதிப்புகொண்ட தொடர்வரிசைகள் ''ஒருங்கும் தொடர்வரிசைகள்'' என்றும் எல்லை மதிப்புகளற்ற தொடர்வரிசைகள் ''விரி தொடர்வரிசைகள்'' என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. ஒவ்வொரு ஒருங்கு தொடர்வரிசைக்கும் ஒரேயொரு எல்லை மதிப்பு மட்டுமே இருக்கும்.
 
 == அடிக்குறிப்புகள் ==
 {{reflist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 * {{ citation | last1 = Apostol | first1 = Tom M. | year = 1974 | lccn = 72011473 | title = Mathematical Analysis | edition = 2nd | publisher = Addison-Wesley | location = Menlo Park }}