சைன் விதி
'''சைன் விதி''' எனப்படுவது [[முக்கோணவியல்|திரிகோண கணிதத்திலும்]] ஏனைய முக்கிய கணிப்புக்களிலும் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு விதியாகும். இது முக்கோணமொன்றின் பக்கங்களுக்கும், அதன் கோணங்களின் [[சைன் (முக்கோணவியல்)|சைன்]] பெறுமதிகளுக்கும் இடையிலான தொடர்பைக் காட்டுகிறது.
 
 == விதி ==
 [[படிமம்:LabeledTriangle.svg|thumb|right|சைன் விதியை விளக்கும் முக்கோணி]]
 யாதுமொரு முக்கோணி ABCயில்,
 :&lt;math&gt; \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} &lt;/math&gt; ஆகும்.
 
 ==நிறுவல்==
 ===கூர்ங்கோண முக்கோணி===
 [[படிமம்:Law of sines proof.svg|thumb|கூர்ங்கோண முக்கோணியில் சைன் விதி]]
 
 இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரம் hஐச் சமப்படுத்தினால்,
 :&lt;math&gt; asinB=bsinA &lt;/math&gt;
 
 ஆகவே,
 :&lt;math&gt; \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,&lt;/math&gt;
 
 ''A'' உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால்
 :&lt;math&gt; csinB=bsinC &lt;/math&gt;
 
 ஆகவே,
 :&lt;math&gt; \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C}\,&lt;/math&gt;
 
 இவை இரண்டையும் இணைத்தால்
 :&lt;math&gt; \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} &lt;/math&gt; என முழுமையான சைன் விதி நிறுவப்படும்.
 
 ===விரிகோண முக்கோணி===
 [[படிமம்:Sine Law - Ambiguous Case.svg|thumb|விரிகோண முக்கோணியில் சைன் விதி]]
 இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரத்தைச் சமப்படுத்தினால்,
 :&lt;math&gt; asin(180-B)=bsinA &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; asinB=bsinA &lt;/math&gt;
 
 ஆகவே,
 :&lt;math&gt; \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,&lt;/math&gt;
 
 ''A'' உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால்
 :&lt;math&gt; csinB=bsinC &lt;/math&gt; எனக் கிடைக்கும். 
 
 ஆகவே,
 :&lt;math&gt; \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C}\,&lt;/math&gt;
 
 இவை இரண்டையும் இணைத்தால்
 :&lt;math&gt; \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} &lt;/math&gt; என முழுமையான சைன் விதி விரிகோண முக்கோணத்துக்கும் நிறுவப்படும்.
 
 == சுற்றுவட்டத்துடன் தொடர்பு ==
 [[File:Sinelaw radius (Greek angles).svg|thumb|upright=1.0|சைன் விதியின் விகிதங்களின் பொதுமதிப்பு சுற்றுவட்டத்தின் விட்டத்திற்குச் சமமென வருவித்தலுக்கான படம்.]]
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}},&lt;/math&gt; என்ற முற்றொருமையின் மூன்று சமவிகிதங்களின் பொதுமதிப்பு முக்கோணத்தின் [[சூழ்தொடு வட்டம்|சுற்றுவட்டத்தின்]] [[விட்டம்|விட்டத்திற்குச்]] சமமாக இருக்கும். இந்த முடிவு கணிதவியலாளர் [[தொலெமி]] காலத்திலேயே அறியப்பட்டிருந்தது.&lt;ref&gt;Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. ''Geometry Revisited''. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 1–3, 1967&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;{{Cite web|url=http://www.pballew.net/lawofsin.html|title=Law of Sines|website=www.pballew.net|access-date=2018-09-18|archive-date=2018-09-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20180910164536/http://www.pballew.net/lawofsin.html|url-status=}}&lt;/ref&gt;
 
 === நிறுவல் ===
 &lt;math&gt; \triangle ABC&lt;/math&gt; இன் சுற்றுவட்டம் வரையப்பட்டுள்ளது. சுற்றுவட்ட மையம் '''O''' வழிச் செல்லும் முக்கோணம் &lt;math&gt; \triangle ADB&lt;/math&gt; இன் சுற்றுவட்டமாகவும் இதே வட்டம் உள்ளது.
 :&lt;math&gt; \angle ABD = 90^\circ&lt;/math&gt; (அரைவட்டக் கோணம்)
 இப்போது &lt;math&gt; \triangle ABD&lt;/math&gt; முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம். எனவே
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \sin{\delta}= \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}= \frac{c}{2R},&lt;/math&gt; &lt;math&gt; R= \frac{d}{2}&lt;/math&gt; = சுற்றுவட்ட ஆரம்&lt;ref name=&quot;:0&quot; /&gt;
 : &lt;math&gt;{\gamma} = {\delta}&lt;/math&gt; (ஒரே வட்ட வில் தாங்கும் கோணங்கள் சமம்) என்பதால்
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \sin{\delta} = \sin{\gamma} = \frac{c}{2R}.&lt;/math&gt;
 
 இதனை மாற்றியமைக்க:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt; 2R = \frac{c}{\sin{\gamma}}.&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt; \triangle ADB&lt;/math&gt; முக்கோணத்தைப்போல மற்ற இரு முக்கோண உச்சிகளைக் கொண்டு கண்டுபிடித்தால் சைன் விதியின் மூன்று விகிதங்களும் &lt;math&gt;2R&lt;/math&gt; க்குச் சமமாக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே:
 {{equation box 1|equation=&lt;math&gt; \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}}=2R.&lt;/math&gt;}}
 
 === முக்கோணத்தின் பரப்பளவுடன் தொடர்பு ===
 முக்கோணத்தின் பரப்பளவு வாய்பாடு
 :&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T = \frac{1}{2}ab \sin \theta&lt;/math&gt;; {{math|''a''}}, {{math|''b''}} முக்கோணத்தின் எவையேனும் இரு பக்கங்கள்; அப்பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; . 
 
 &lt;math&gt;\sin\theta&lt;/math&gt; இன் மதிப்பை சைன் விதியின் சுற்றுவட்ட ஆரம் &lt;math&gt;R&lt;/math&gt; உடனுள்ள&lt;ref&gt;{{Citation|last=Mr. T's Math Videos|title=Area of a Triangle and Radius of its Circumscribed Circle|date=2015-06-10|url=https://www.youtube.com/watch?v=t6QNGDPG4Og| archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/t6QNGDPG4Og| archive-date=2021-12-11 | url-status=live|access-date=2018-09-18}}{{cbignore}}&lt;/ref&gt; தொடர்பு வாய்பாட்டிலிருந்து பதிலிட:
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;T=\frac{1}{2}ab \cdot \frac {c}{2R}.&lt;/math&gt;
 :{{equation box 1|equation=&lt;math&gt;T=\frac{abc}{4R}.&lt;/math&gt;}}
 
 இதிலிருந்து மேலும் பெறக்கூடிய வாய்பாடுகள்:
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{align}
 \frac{abc} {2T}
 &amp; = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\[6pt]
 &amp; = \frac {2abc} {\sqrt{{(a^2+b^2+c^2)}^2-2(a^4+b^4+c^4) }},
 \end{align}&lt;/math&gt;; {{math|''T''}} = முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, {{math|''s''}} &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;s = \frac{a+b+c}{2}.&lt;/math&gt; = முக்கோணத்தின் [[அரைச்சுற்றளவு]]
 
 இரண்டாவது வாய்பாட்டை முக்கோணப் பரப்பளவுக்கான [[ஈரோனின் வாய்பாடு|ஈரோனின் வாய்பாடாக]] சுருக்கலாம்.
 
 சைன் விதியைக் கொண்டு கீழ்வரும் முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாட்டைப் பெறலாம்:
 &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;S =\frac {\sin A + \sin B + \sin C}{2}&lt;/math&gt; = முக்கோணத்தின் கோணங்களின் சைன்மதிப்புகளின் அரைக்கூட்டுத்தொகை என்க. இப்பொழுது முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாடு:&lt;ref&gt;Mitchell, Douglas W., &quot;A Heron-type area formula in terms of sines,&quot; ''Mathematical Gazette'' 93, March 2009, 108–109.&lt;/ref&gt;
 
 {{equation box 1|equation=&lt;math&gt;T = 4R^{2} \sqrt{S \left(S - \sin A\right) \left(S - \sin B\right) \left(S - \sin C\right)}&lt;/math&gt;}}. (&lt;math&gt;R&lt;/math&gt; முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம்; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}&lt;/math&gt;.)
 
 == கோள சைன் விதி ==
 ஒரு கோளத்தின் [[பெரு வட்டம்|பெருவட்டங்களின்]] விற்களைப் பக்கங்களாகக் கொண்டு அக்கோளத்தின் மீதமையும் முக்கோணங்கள் கோள முக்கோணங்களாகும்.
 
 ஓரலகு ஆரமுள்ள கோளத்தின் மீதமைந்த முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}} எனில் இம்மூன்று அளவுகளும் முக்கோணத்தின் அமையும் மூன்று பெருவட்ட விற்களானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோண அளவுகளாக (ரேடியனில்) இருக்கும். இம்மூன்று பக்கங்களுக்கும் எதிருள்ள உச்சிக்கோணங்கள் முறையே {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}} எனில் கோள சைன்விதி:
 :&lt;math&gt;\frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}.&lt;/math&gt;
 
 [[கோள முக்கோணம்|கோள முக்கோணத்தின்]] பக்கங்கள் கோளத்தின் ஆரத்தைவிட மிகச் சிறியதாக இருக்கும்போது இவ்விதியானது கிட்டத்தட்ட தள முக்கோணவியலின் [[சைன் விதி]]யை ஒத்திருக்கும்.
 
 === நிறுவல் ===
 சைன் விதியின் நிறுவல் கீழுள்ளவாறு டோதுந்தேரின் நூலில் உள்ளது.&lt;ref name=todhunter&gt;{{cite book
 |last = Todhunter
 |first = I.
 |author-link = Isaac Todhunter
 |title = Spherical Trigonometry
 |year = 1886
 |publisher = MacMillan
 |edition = 5th
 |url = http://www.gutenberg.org/ebooks/19770
 |access-date = 2013-07-28
 |archive-date = 2020-04-14
 |archive-url = https://web.archive.org/web/20200414233849/http://www.gutenberg.org/ebooks/19770
 |url-status = live
 }}&lt;/ref&gt; (Art.40). 
 
 :&lt;math&gt;\sin^2 A=1-\cos^2 A&lt;/math&gt; முற்றொருமையில் கோள கொசைன் விதியிலிருந்து பெறப்பட்ட &lt;math&gt;\cos A&lt;/math&gt; மதிப்பைப் பதிலிட:
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
    \sin^2 A &amp;=1-\left(\frac{\cos a - \cos b \cos c}{\sin b \sin c}\right)^2\\[5pt]
    &amp;
    =\frac{(1-\cos^2 b)(1-\cos^2 c)-(\cos a  - \cos b\cos c)^2}
           {\sin^2\!b \,\sin^2\!c}\\[5pt]
  \frac{\sin A}{\sin a}&amp;=\frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}.
 \end{align}&lt;/math&gt;
 இம்முடிவின் வலப்பக்க மதிப்பில் &lt;math&gt;a,\;b,\;c&lt;/math&gt; இன் வட்ட வரிசைமாற்றத்தால் எந்தவொரு மாற்றமும் இருக்காது. எனவே 
 :&lt;math&gt;\frac{\sin B}{\sin b} = \frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}&lt;/math&gt;.
 :&lt;math&gt;\frac{\sin C}{\sin c} = \frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}&lt;/math&gt;.
 
 :ஃ&lt;math&gt;\frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}.&lt;/math&gt; என நிறுவப்படுகிறது.
 
 [[File:Spherical trigonometry vectors.svg|thumb|right|200px]]
 
 === திசையன் நிறுவல் ===
 அலகு கோளத்தின் மையம் {{math|'''O'''}} இலிருந்து முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கு வரைப்பட்ட திசையன்கள்: {{math|'''OA'''}}, {{math|'''OB'''}}, {{math|'''OC'''}}. BC வில்லானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோணத்தின் அளவு ''a''. '''OA''' ஐ ''z''-அச்சிலும், ''xz''-தளத்தில் '''OB''' ஆனது ''z''-அச்சுடன் உருவாக்கும் கோணம் ''c'' எனவும் கொண்டு ஒரு கார்ட்டீசியன் அடுக்களத்தை எடுத்துக்கொள்ள, ''xy''- தளத்தில்  '''OC''' இன் வீழல் ON ஆகவும், ON, ''x''-அச்சுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் ''A'' ஆகவும் இருக்கும். எனவே '''OA''', '''OB''', '''OC''' திசையன்களின் கூறுகள் பின்னுள்ளவாறு அமையும்:
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\mathbf{OA} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \quad
 \mathbf{OB} = \begin{pmatrix}\sin c \\ 0 \\ \cos c\end{pmatrix}, \quad
 \mathbf{OC} = \begin{pmatrix}\sin b\cos A \\ \sin b\sin A \\ \cos b\end{pmatrix}.&lt;/math&gt;
 
 
 திசையிலி முப்பெருக்க அணிக்கோவையின் வர்க்கம் காண:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;	\begin{align}
 \bigl(\mathbf{OA} \cdot (\mathbf{OB} \times \mathbf{OC})\bigr)^2
 &amp; = \left(\det \begin{pmatrix}\mathbf{OA} &amp; \mathbf{OB} &amp; \mathbf{OC}\end{pmatrix}\right)^2 \\[4pt]
 &amp; =  \begin{vmatrix} 
 0 &amp; 0 &amp; 1 \\ 	 	
 \sin c &amp; 0 &amp; \cos c \\ 	
 \sin b \cos A &amp; \sin b \sin A &amp; \cos b 	
 \end{vmatrix} ^2
 = \left(\sin b \sin c \sin A\right)^2.
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 {{math|'''OA''' ⋅ ('''OB''' × '''OC''')}} [[திசையிலி முப்பெருக்கம்|திசையிலி முப்பெருக்கத்தின்]] மதிப்பு, {{math|'''OA''', '''OB''', '''OC'''}} திசையன்களை ஒருமுனை விளிம்புகளாகக் கொண்ட [[இணைகரத்திண்மம்|இணைகரத்திண்மத்தின்]] கனவளவுக்குச் ({{math|'''V'''}}) சமம். மேலும் {{math|'''OA'''}}, {{math|'''OB'''}}, {{math|'''OC'''}} திசையன்களைக் குறிக்க  எடுத்துக்கொள்ளும் ஆயமுறையைப் பொறுத்து இந்த கனவளவு  மாறாத அளவாக இருக்கும். எனவே 
 
 {{math|''z''}}-அச்சை {{math|'''OB'''}} வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையன் முப்பெருக்கம் கண்டுபிடித்தால் {{math|(sin ''c'' sin ''a'' sin ''B'')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}} எனவும், {{math|''z''}}-அச்சை {{math|'''OC'''}} வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையிலி முப்பெருக்கம் காண {{math|(sin ''a'' sin ''b'' sin ''C'')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}} எனவும் கிடைக்கும். மூன்று விடைகளையும் சமப்படுத்தி, {{math|(sin ''a'' sin ''b'' sin ''c'')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}} ஆல் வகுக்க:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;
 \frac{\sin^2 A}{\sin^2 a}
 = \frac{\sin^2 B}{\sin^2 b}
 = \frac{\sin^2 C}{\sin^2 c}
 = \frac{V^2}{\sin^2 (a) \sin^2 (b) \sin^2 (c)},
 &lt;/math&gt;
 இதிலிருந்து சைன்விதியின் வாய்பாட்டைப் பெறலாம்.
 
 === வடிவவியல் நிறுவல் ===
 *கோளத்தின் ஆரம் ஓரலகு எனில், &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;OA = OB = OC = 1&lt;/math&gt;: 
 
 * &lt;math&gt;\angle ADO = \angle AEO = 90^\circ&lt;/math&gt; என்றவாறு &lt;math&gt;D,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; புள்ளிகளை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.
 
 *&lt;math&gt;\angle A'DO = \angle A'EO = 90^\circ&lt;/math&gt; என்றவாறு &lt;math&gt;A'&lt;/math&gt; புள்ளியை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.
 
 * இதிலிருந்து &lt;math&gt;\angle ADA' = B,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\angle AEA' = C&lt;/math&gt; ஆக இருக்கும்.
 
 *&lt;math&gt;A'&lt;/math&gt; ஆனது, &lt;math&gt;OBC&lt;/math&gt; தளத்தில் &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; இன் வீழலாகும். எனவே:
 :&lt;math&gt;\angle AA'D = \angle AA'E = 90^\circ&lt;/math&gt;
 
 *முக்கோணவியலின் அடிப்படைப் பண்புகளின்படி:
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;AD = \sin c &lt;/math&gt;
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;AE = \sin b&lt;/math&gt;
 
 *ஆனால் &lt;math&gt;AA' = AD \sin B = AE \sin C &lt;/math&gt;
 
 *இவற்றை இணைக்க:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\sin c \sin B = \sin b \sin C&lt;/math&gt;
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} &lt;/math&gt;
 
 * இதேபோன்று மற்ற உச்சிகளுக்கும் பெறப்படும் முடிவுகளைக் கொண்டு முழுமையான சைன் விதியைப் பெறலாம்:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\frac{\sin A}{\sin a} =\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} &lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{Reflist}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * {{springer|title=Sine theorem|id=p/s085520}}
 * [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml#law The Law of Sines] at [[cut-the-knot]]
 * [http://mysite.du.edu/~jcalvert/railway/degcurv.htm Degree of Curvature]
 * [https://web.archive.org/web/20160815080014/http://www.efnet-math.org/Meta/sine1.htm Finding the Sine of 1 Degree]
 * [http://mathworld.wolfram.com/GeneralizedLawofSines.html Generalized law of sines to higher dimensions]
 
 
 [[பகுப்பு:முக்கோணவியல்]]
 [[பகுப்பு:கோணங்கள்]]