பிரம்மகுப்தர் முற்றொருமை
இயற்கணிதத்தில், '''பிரம்மகுப்தர்-ஃபிபனாச்சி முற்றொருமை''' அல்லது '''ஃபிபனாச்சி முற்றொருமை''' (''Brahmagupta–Fibonacci identity'', ''Fibonacci's identity'') என்பது இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகைகள் இரண்டின் பெருக்குத்தொகையும்  இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும்  என்பதுதான்.  அதாவது இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக அமையும் [[முழு எண்]]களின் [[கணம் (கணிதம்)|கணம்]] பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்து [[அடைவுப் பண்பு]]டையது.
 
 இந்த முற்றொருமை, [[லெக்ராஞ்சியின் முற்றொருமை]]யின் சிறப்புவகையாக (''n''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;2) உள்ளது. கணிதவியலாளர் [[டையோபண்டஸ்|டையோபண்டசால்]] இம் முற்றொருமை கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. [[பிரம்மகுப்தர்]] அதனை நிரூபித்து அதற்குச் சமானமான, அதைவிடப் பொதுமையான முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தினார்.
 
 ;பிரம்மகுப்தரின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட முற்றொருமை 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 \left(a^2 + nb^2\right)\left(c^2 + nd^2\right) &amp; {}= \left(ac-nbd\right)^2 + n\left(ad+bc\right)^2 &amp; &amp; &amp; (3) \\
                                                &amp; {}= \left(ac+nbd\right)^2 + n\left(ad-bc\right)^2, &amp; &amp; &amp; (4)
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 இதிலிருந்து, &lt;math&gt;x^2 + ny^2&lt;/math&gt; வடிவிலமையும் எண்களின் கணம் பெருக்கலைப் பொறுத்து அடைவுப் பண்புடையதாக இருப்பதைக் காணலாம்.
 
 (1), (2) சமன்பாடுகளை அவற்றின் இருபுறமுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளை விரிவுபடுத்தி சுருக்குவதன் மூலம் சரிபார்க்கலாம். மேலும் இரு சமன்பாடுகளிலும் ''b'' க்குப் பதில் &amp;nbsp;&amp;minus;''b'' ஐப் பதிலிடுவதன் மூலம் ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றைப் பெறலாம்.
 
 இந்த முற்றொருமை [[முழு எண்]]களின் [[வளையம் (கணிதம்)|வளையத்திலும்]], [[விகிதமுறு எண்]]கள் வளையத்திலும் உண்மையாகும். மேலும் பொதுவாக எந்தவொரு பரிமாற்று வளையத்திலும் இந்த முற்றொருமை உண்மையாக இருக்கும்.
 
 ==வரலாறு==
 கிபி மூன்றாம் நூற்றாண்டு வெளியீடான டயபாண்டசின் அரித்மெட்டிக்காவில் (III, 19) இந்த முற்றொருமை முதன்முதலாக காணப்பட்டது. பின் இந்தியக் கணிதவியலாளர் பிரம்மகுப்தரால் (598&amp;ndash;668) மீண்டும் கண்டறியப்பட்டது. அவர் இந்த முற்றொருமையை மேலும் பொதுமைப்படுத்தி அதனைத் தன் ஆய்விற்குப் (தற்போது [[பெல்லின் சமன்பாடு]]) பயன்படுத்தினார். அவரது ’பிரம்மஸ்புடசித்தாந்தம்’ சமசுகிருதத்திலிருந்து அரபுமொழியில் மொகமது அல்-ஃபசாரியால் மொழிபெயர்க்கப்பட்டு, அதன் பின்னர் 1126 இல் லத்தீன் மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது  &lt;ref&gt;George G. Joseph (2000). ''The Crest of the Peacock'', p. 306. Princeton University Press. {{ISBN|0-691-00659-8}}.&lt;/ref&gt;  1225 இல்  [[ஃபிபனாச்சி]] யின் ’புக் ஆஃப் ஸ்கொயர்ஸ்’ (Book of Squares) இல் இடம் பெற்றது. ஃபிபனாச்சியின் நூலினால் தான் இது மேற்கத்திய கணித உலகத்திற்கு அறிமுகமானதால் '''ஃபிபனாச்சி முற்றொருமை''' என்று வழங்கப் பெற்றது.
 
 ==சிக்கலெண்களுடன் தொடர்பு==
 ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' [[மெய்யெண்]]கள் எனில்:
 :&lt;math&gt;  | a+bi |  | c+di | = | (a+bi)(c+di) | \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;  | a+bi |  | c+di | = | (ac-bd)+i(ad+bc) |,\,&lt;/math&gt;
 
 இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த:
 :&lt;math&gt;  | a+bi |^2  | c+di |^2 = | (ac-bd)+i(ad+bc) |^2,\,&lt;/math&gt;
 
 [[தனி மதிப்பு|தனி மதிப்பின்]] வரையறைப்படி:
 :&lt;math&gt;  (a^2+b^2)(c^2+d^2)= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2. \,&lt;/math&gt;
 
 ==நெறிம வழித் தொடர்பு==
 விகிதமுறு எண்களின் களத்தை  &lt;math&gt;\mathbf{Q}&lt;/math&gt; என்றும்  அத்துடன் &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; என்ற உறுப்பை சேர்த்து களத்தை விரிவாக்கினால் ஏற்படும் விரிவாக்கப்பட்ட களத்திற்ற்கு  &lt;math&gt;\mathbf{Q}(i)&lt;/math&gt; என்றும் குறிப்பது வழக்கம்.  &lt;math&gt;\mathbf{Q}(i)&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு  &lt;math&gt;(a+ib)&lt;/math&gt; க்கும் ஒரு [[நெறிமம் (கணிதம்)|நெறிமம்]] உளது. அதாவது 
 :&lt;math&gt;N(a + ib) = \sqrt{(a^2 + b^2)}.&lt;/math&gt;
 
 இப்பொழுது பிரம்மகுப்தர் முற்றொருமையை கீழே கண்டபடி உருவகப்படுத்தலாம்:
 : &lt;math&gt;N(a+bi) = a^2 + b^2 , N(c+di) = c^2 + d^2, \,&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;N((a+bi)(c+di)) = N((ac-bd)+i(ad+bc)) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2. \,&lt;/math&gt;
 
 ::&lt;math&gt;N(a+ib) N(c+id) = N((a+ib)(c+id))&lt;/math&gt;
 
 == பெல்லின் சமன்பாடு ==
 பிரம்மகுப்தர் தான் கண்டறிந்த முற்றொருமையைப் [[பெல்லின் சமன்பாடு|பெல்லின் சமன்பாட்டைத்]] தீர்ப்பதற்குப் பயன்படுத்தினார்:
 
 :பெல்லின் சமன்பாடு:
 :&lt;math&gt;x^2 - Ny^2 = 1 &lt;/math&gt;
 :பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிரம்மகுப்தர் முற்றொருமை:
 :&lt;math&gt;(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2) = (x_1x_2 + Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2, \, &lt;/math&gt;
 
 இந்த முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி பெல்லின் சமன்பாட்டின் தீர்வாக அமையும் (''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''y''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''k''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) மும்மைகளை உருவாக்கி அதன் மூலம் &lt;math&gt;(x_1x_2 + Ny_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2)&lt;/math&gt; என்ற புது மும்மையையும் அவர் உருவாக்கினார். இது பெல்லின் சமன்பாட்டிற்கு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான தீர்வுகளைக் காண வழிவகுத்தது.
 
 1150 இல் [[இரண்டாம் பாஸ்கரர்|இரண்டாம் பாஸ்கரரால்]] கண்டறியப்பட்ட பெல்லின் சமன்பாட்டின் தீர்வு காணும்முறையும் இந்த முற்றொருமையை அடிப்படையாகக் கொண்டே அமைந்துள்ளது.&lt;ref name=stillwell&gt;{{citation | year=2002 | title = Mathematics and its history | author1=[[John Stillwell]] | edition=2 | publisher=Springer | isbn=978-0-387-95336-6 | pages=72–76 | url=http://books.google.com/books?id=WNjRrqTm62QC&amp;pg=PA72}}&lt;/ref&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *[http://planetmath.org/encyclopedia/BrahmaguptasIdentity.html Brahmagupta's identity at PlanetMath] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121129133237/http://planetmath.org/encyclopedia/BrahmaguptasIdentity.html |date=2012-11-29 }}
 *[http://mathworld.wolfram.com/BrahmaguptaIdentity.html Brahmagupta Identity] on MathWorld
 *[http://sites.google.com/site/tpiezas/005b/  A Collection of Algebraic Identities]
 
 [[பகுப்பு:கணித முற்றொருமைகள்]]
 [[பகுப்பு:அடிப்படை இயற்கணிதம்]]