சுழற்சி மேற்பரப்பு
[[File:Surface of revolution illustration.png|thumb|{{math|1=''x'' = 2 + cos ''z''}} வளைகோட்டின் ஒரு பகுதியை {{mvar|z}}-அச்சைப் பொறுத்து சுழற்றப்படும்போது உருவாகும் மேற்பரப்பு.]]
 [[யூக்ளிடிய வெளி]]யில் ஒரு அச்சைப் பொறுத்து, ஒரு [[வளைகோடு|வளைகோட்டைச்]] சுழற்றும்போது உருவாகும் மேற்பரப்பானது '''சுழற்சி மேற்பரப்பு'''  (''surface of revolution'') எனப்படும்.&lt;ref&gt;{{cite book|title=Analytic Geometry|last1=Middlemiss|last2=Marks|last3=Smart|edition=3rd|chapter=15-4. Surfaces of Revolution|LCCN=68015472|page=378}}&lt;/ref&gt; 
 
 எடுத்துக்காட்டாக,
 *சுழற்சி அச்சுக்கு இணையாகவுள்ள ஒரு நேர்கோட்டினைச் சுழற்றுவதால் [[உருளை (வடிவவியல்)|உருளை]] உருவாகிறது.
 *சுழற்சி அச்சுக்கு இணையற்ற நேர்கோட்டினை சுழற்றுவதால் [[கூம்பு வெட்டு|கூம்புவெட்டு]]கள் உருவாகின்றன.
 *ஒரு [[வட்டம்|வட்டத்தை]] அதன் ஏதாவது ஒரு [[விட்டம்|விட்டத்தைப்]] பொறுத்து சுழற்றும்போது [[கோளம்]] உருவாகிறது.
 
 == பண்புகள் ==
 *ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சின் வழியாகச் செல்லும் [[தளம் (வடிவவியல்)|தளங்களால்]] வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் ''நெடுவரை வெட்டுகள்'' (meridional sections) என அழைக்கப்படுகின்றன&lt;ref&gt;{{citation|first1=W.A.|last1=Wilson|first2=J.I.|last2=Tracey|title=Analytic Geometry|edition=Revised|year=1925|publisher=D.C. Heath and Co.|page=227}}&lt;/ref&gt;
 *சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சுக்குச் செங்குத்தான தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் வட்டங்களாக இருக்கும்.
 *சில சிறப்புவகை [[அதிபரவளைவுரு]]க்களும் [[பரவளையவுரு]]க்களும் சுழற்சி மேற்பரப்புகளாக அமைகின்றன.
 
 == பரப்பளவு வாய்பாடு ==
 சுழற்றப்படும் வளைகோட்டின் 
 #துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: {{math|''x''(''t'')}}, {{math|''y''(''t'')}}, ({{mvar|t}} இன் மதிப்பு {{math|[''a'',''b'']}} இடைவெளியில் அமையும்);
 #சுழற்சி அச்சு: {{mvar|y}}-அச்சு
 #சுழற்சி மேற்பரப்பின் பரப்பளவு ({{mvar|A&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt;}}) எனில்:
 :&lt;math&gt; A_y = 2 \pi \int_a^b x(t) \, \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt, &lt;/math&gt;
 
 இவ்வாய்பாட்டில் {{mvar|a}}, {{mvar|b}} ஆகிய இரு இறுதிப்புள்ளிகளுக்கு இடையே எவ்விடத்திலும் {{math|''x''(''t'')}} ஆனது எதிர்மமாக இருக்காது என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இவ்வாய்பாடு, [[பாப்பசின் திணிவுமையத் தேற்றம்|பாப்பசின் திணிவுமையத் தேற்றத்தின்]] நுண்கணிதச் சமானமாக உள்ளது.&lt;ref&gt;{{cite book|title=Calculus|first=George B.|last=Thomas|edition=3rd|chapter=6.7: Area of a Surface of Revolution; 6.11: The Theorems of Pappus|pages=206–209, 217–219|LCCN=69016407}}&lt;/ref&gt;
 
 [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தகோரசு தேற்றத்திலிருந்து]] வரும் வாய்பாட்டின் பகுதி &lt;math&gt;\sqrt{ \left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2 }&lt;/math&gt; ஆனது வளைகோட்டின் வில்லின் ஒரு சிறுபகுதியைக் குறிக்கிறது. மேலும் {{math|2π''x''(''t'')}} ஆனது இச்சிறுபகுதியின் பாதை ஆகும்.
 
 இதேபோல சுழற்சி அச்சு {{mvar|x}}-அச்சாக இருந்து {{math|''y''(''t'')}} ஒருபோதும் எதிர்மம் இல்லையென்றும் இருந்தால், பரப்பளவின் வாய்பாடு:&lt;ref&gt;{{cite book
 |title=Engineering Mathematics
 |edition=6
 |author=Singh
 |first=R.R.
 |publisher=Tata McGraw-Hill
 |year=1993
 |isbn=0-07-014615-2
 |page=6.90
 |url=https://books.google.com/books?id=oQ1y1HCpeowC&amp;pg=SA6-PA90}}&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt; A_x = 2 \pi \int_a^b y(t) \, \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt. &lt;/math&gt;
 
 
 வளைகோடானது {{math|1=''y'' = ''f''(''x'')}}, {{math|''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''}} ({{math|''a'' ≥ 0}}) என்ற சார்பாகத் தரப்பட்டால், மேலுள்ள வாய்பாடுகளிலிருந்து பெறப்படும் பரப்பளவின் வாய்பாடு:&lt;ref&gt;{{citation|last=Swokowski|first=Earl W.|year=1983|title=Calculus with analytic geometry|edition=Alternate|page=[https://archive.org/details/calculuswithanal00swok/page/617 617]|publisher=Prindle, Weber &amp; Schmidt|isbn=0-87150-341-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/calculuswithanal00swok/page/617}}&lt;/ref&gt;
 
 *சுழற்சி அச்சாக {{mvar|x}}-அச்சு இருக்கும்போது:
 :&lt;math&gt;A_x = 2\pi\int_a^b y \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx = 2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2} \, dx&lt;/math&gt;
 
 *சுழற்சி அச்சாக ''y''-அச்சு இருக்கும்போது:
 :&lt;math&gt;A_y =2\pi\int_a^b x \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx&lt;/math&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டாக,
 
 {{math|1=''y''(''t'') = sin(''t'')}}, {{math|1=''x''(''t'') = cos(''t'')}}, ({{mvar|t}} இன் மதிப்பு {{math|[0,π]}} இல் அமையும்) என்ற வளைகோட்டின் சுழற்சியால் ஓரலகு ஆரங்கொண்ட [[கோளம்|கோள மேற்பரப்பு]], உருவாக்கப்படுகிறது. அதன் பரப்பளவு:
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 A
  &amp;{}= 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \sqrt{\big(\cos(t)\big)^2 + \big(\sin(t)\big)^2} \, dt \\
  &amp;{}= 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \, dt \\
  &amp;{}= 4\pi.
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 கோளத்தின் ஆரம் {{mvar|r}}, சமன்பாடு {{math|1=''y''(''x'') = {{sqrt|''r''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}}}}, சுழற்சி அச்சு {{mvar|x}}-அச்சு எனில் பரப்பளவு:
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 A
  &amp;{}= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\
  &amp;{}= 2 \pi r\int_{-r}^{r} \,\sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{\frac{1}{r^2 - x^2}}\,dx \\
  &amp;{}= 2 \pi r\int_{-r}^{r} \,dx \\
  &amp;{}= 4 \pi r^2\,
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 == சுருள்வளையங்கள் ==
 [[File:Toroid by Zureks.svg|thumb|சதுரத்தின் சுழற்சியால் உருவான சுருள்வளையம்]]
 ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பின் நடுவில் துளையும், சுழற்சி அச்சு அம்மேற்பரைப்பைச் சந்திக்காமலும் இருந்தால் அச் சுழற்சி மேற்பரப்பு [[சுருள்வளையம்]] என அழைக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{MathWorld|Toroid|Toroid}}&lt;/ref&gt; 
 
 எடுத்துக்காட்டாக, 
 *ஒரு [[செவ்வகம்|செவ்வகத்தை]] அதன் ஒரு விளிம்புக்கு இணையான மற்றொரு கோட்டை அச்சாகக் கொண்டு சுழற்றக்கிடைக்கும் சுழற்சி மேற்பரப்பானது, செவ்வக வெட்டுமுகங்கொண்ட உள்ளீடற்ற வளையமாகக் கிடைக்கும். 
 *சுழற்றப்படும் வடிவம் [[சதுரம்|சதுரமாக]] இருப்பின் அச்சுருள்வளையத்தின் வெட்டுமுகம் சதுரமாக இருக்கும்.
 
 இதேபோல சுழற்றப்படுவது [[வட்டம்|வட்டமாக]] இருந்தால், உருவாகும் சுழற்சி மேற்பரப்பு உள்ளீடற்ற, வட்ட வெட்டுமுகங்கொண்ட வளையமாக இருக்கும். இது [[உருள்வளையம்]] என அழைக்கப்படுகிறது.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{சான்று}}