இணையிய இடமாற்று அணி
கணிதத்தில் [[சிக்கலெண்]] உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு [[அணி (கணிதம்)|அணியின்]] '''இணையிய இடமாற்று அணி''' அல்லது '''இணை இடமாற்று அணி''' (''conjugate transpose'') என்பது அந்த அணியை முதலில் [[இடமாற்று அணி|இடமாற்றிக்கொண்டு]], அதன் பின்னர் அந்த [[இடமாற்று அணி]]யின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அதன் [[இணைச் சிக்கலெண்]]ணால் பதிலிடக் கிடைக்கும் அணியாகும். ''{{math|A}}''  அணியின் இணையிய இடமாற்றின் குறியீடு ''{{math|A}}''&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; ஆகும். இவ்வணியானது '''ஹெர்மைட் இடமாற்று அணி''' (''Hermitian transpose'') எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 : ''{{math|A}}'' என்பது சிக்கலெண் உறுப்புகளுடைய ஒரு ''m'' x ''n'' அணி எனில் அதன் இணையிய இடமாற்று அணி ''{{math|A}}''&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; ஆனது, ''{{math|A}}'' இன் இடமாற்று அணியான ''{{math|A}}''&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; இன் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அதற்குரிய இணைச் சிக்கலெண்ணைக் கொண்டு பதிலிட்டுப் பெறப்படுகிறது. ''{{math|A}}''&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; இன் வரிசை ''n'' x ''m'' ஆக இருக்கும்.&lt;ref name=&quot;:1&quot;&gt;{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Conjugate Transpose|url=https://mathworld.wolfram.com/ConjugateTranspose.html|access-date=2020-09-08|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite book|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Differential_Equations/Applied_Linear_Algebra_and_Differential_Equations_(Chasnov)/02%3A_II._Linear_Algebra/01%3A_Matrices/1.06%3A_Matrix_Representation_of_Complex_Numbers|contribution=1.6: Matrix Representation of Complex Numbers|title=Applied Linear Algebra and Differential Equations|first=Jeffrey R.|last=Chasnov|publisher=LibreTexts}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;
 H. W. Turnbull, A. C. Aitken,
 &quot;An Introduction to the Theory of Canonical Matrices,&quot;
 1932.
 &lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;(\boldsymbol{A}^*)_{ij} = \overline{\boldsymbol{A}_{ji}}&lt;/math&gt;
 
 இதில் கீழொட்டுகள் ''i'',''j''-ஆவது உறுப்பையும் (1 &amp;le; ''i'' &amp;le; ''n'' , 1 &amp;le; ''j'' &amp;le; ''m'') தொகுப்புக் கோடு [[இணைச் சிக்கலெண்]]ணையும் குறிக்கும். ( ''a'' , ''b'' [[மெய்யெண்]]கள் எனில், சிக்கலெண் &lt;math&gt;a + bi&lt;/math&gt; இன் இணைச் சிக்கலெண் &lt;math&gt;a - bi&lt;/math&gt;)
 
 இதனைப் பின்வருமாறும் குறிக்கலாம்:
 :&lt;math&gt;\boldsymbol{A}^* = (\overline{\boldsymbol{A}})^\mathrm{T} = \overline{\boldsymbol{A}^\mathrm{T}}&lt;/math&gt;
 :''{{math|A}}'' இன் இடமாற்று அணி &lt;math&gt;\boldsymbol{A}^\mathrm{T} \,\!&lt;/math&gt;
 :''{{math|A}}'' இன் இணையிய அணி &lt;math&gt;\overline{\boldsymbol{A}} \,\!&lt;/math&gt;
 
 இணையிய இடமாற்று அணியின் பிற குறியீடுகள்:
 * &lt;math&gt;\boldsymbol{A}^* \,\!&lt;/math&gt; , &lt;math&gt;\boldsymbol{A}^\mathrm{H} \,\!&lt;/math&gt; ([[நேரியல் இயற்கணிதம்]])
 * &lt;math&gt;\boldsymbol{A}^\dagger \,\!&lt;/math&gt;  ([[குவாண்டம் இயங்கியல்]])
 * &lt;math&gt;\boldsymbol{A}^+ \,\!&lt;/math&gt;
 
 சில இடங்களில் &lt;math&gt;\boldsymbol{A}^* \,\!&lt;/math&gt; என்பது இணைச் சிக்கலெண்களால் பதிலிடப்பட்ட அணியைக் குறிப்பதற்கும், இணையிய இடமாற்று அணியைக் குறிப்பதற்கு &lt;math&gt;\boldsymbol{A}^{*\mathrm{T}} \,\!&lt;/math&gt; அல்லது &lt;math&gt;\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}*} \,\!&lt;/math&gt; குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
 
 ==எடுத்துக்காட்டு==
 :&lt;math&gt;\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 &amp; -2-i \\ 1+i &amp; i \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
 
 இதன் இணையிய இடமாற்று அணி:
 
 :&lt;math&gt;\boldsymbol{A}^{*} = \begin{bmatrix} 1 &amp; 1-i \\ -2+i &amp; -i\end{bmatrix}&lt;/math&gt;
 
 ==சில குறிப்புகள்==
 
 :&lt;math&gt;a_{ij}&lt;/math&gt; உறுப்புகளைக் கொண்ட சதுர அணி {{math|''A''}}.
 
 * {{math|1=''A'' = ''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} (அதாவது &lt;math&gt;a_{ij}=\overline{a_{ji}}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;) எனில், {{math|''A''}} ஒரு [[ஹெர்மைட் அணி]] அல்லது தன்சேர்ப்பு அணி ஆகும்.
 * {{math|1=''A'' = - ''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} (அதாவது &lt;math&gt;a_{ij}=- \overline{a_{ji}}&lt;/math&gt;&amp;nbsp;) ஆக இருந்தால் {{math|''A''}} ஒரு எதிர்-[[ஹெர்மைட் அணி]] ஆகும்.
 * {{math|1=''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;''A'' = ''AA''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} எனில், {{math|''A''}} ஒரு [[இயல்நிலை அணி]]யாகும்.
 * {{math|1=''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt; = ''A''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;}} எனில், {{math|''A''}} ஒரு [[அலகுநிலை அணி]]யாகும்.
 
 :{{math|''A''}} சதுர அணி இல்லையென்றாலும் {{math|''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;''A''}} , {{math|''AA''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} இரண்டும் ஹெர்மைட் அணிகளாக இருக்கும்.
 
 :ஒரு மெய்யெண்ணின் இணை எண் அதே மெய்யெண்ணாக இருக்கும் என்பதால், [[மெய்யெண்]]களாலான அணி {{math|''A''}} இன் இடமாற்று அணியும் இணையிய இடமாற்று அணியும் ஒன்றாகும்.
 
 ==பண்புகள்==
 * {{math|''A''}} , {{math|''B''}} இரண்டும்  சமவரிசையுள்ள அணிகள் எனில்:
 ::{{math|1=(''A'' + ''B'')&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt; = ''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt; + ''B''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} 
 * {{math|''r''}} ஒரு சிக்கலெண்;  {{math|''A''}} ஒரு ''m x n'' அணி எனில்: 
 ::{{math|1=(''rA'')&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt; = {{overline|r}}''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}}
 * {{math|''A''}} ஒரு ''m x n'' அணி, {{math|''B''}} ஒரு ''n x p'' அணி எனில்:
 ::{{math|1=(''AB'')&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt; = ''B''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}}
 * {{math|''A''}} ஒரு ''n x n'' அணி எனில்:
 ::{{math|1=(''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt; = ''A''}}
 * {{math|''A''}} ஒரு [[சதுர அணி]] எனில்:
 ::{{math|1=[[அணிக்கோவை|det]](''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;) = (det ''A'')&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} 
 ::{{math|1=[[சுவடு (நேரியல் இயற்கணிதம்)|tr]](''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;) = (tr ''A'')&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}}.
 * {{math|''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, {{math|''A''}} [[நேர்மாற்றத்தக்க அணி|நேர்மாற்றத்தக்கதாக]] இருக்கும்; மேலும் 
 ::{{math|1=(''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = (''A''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}}.
 * {{math|''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} இன் [[ஐகென் மதிப்பு]]கள், {{math|''A''}} இன் ஐகென் மதிப்புகளின் [[இணைச் சிக்கலெண்]]களாக இருக்கும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 * {{springer|title=Adjoint matrix|id=p/a010850}}
 * {{MathWorld | urlname=ConjugateTranspose | title=Conjugate Transpose}}
 * {{planetmath reference|id=4382|title=Conjugate transpose}}
 
 [[பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்]]