திசையன் வெளியின் அடுக்களம்
[[கணிதம்|கணிதத்தி]]ல் ஒரு [[திசையன் வெளி]] V இல், ஒரு [[உட்கணம்]]  B  [[நேரியல் சார்பின்மை|நேரியல் சார்பற்றதாகவும்]] இருந்து, அதனுடைய [[அளாவல்]] முழுவெளியாகவும்  இருக்குமானால், அவ்வுட்கணம் V இன் '''அடுக்களம்'''  (Basis) எனப்படும். இவ்வடுக்களம் B இன் [[எண் அளவை]] என்னவோ அதே எண் அளவை தான் மற்ற எல்லா அடுக்களத்திலும் இருக்கும்.  இந்த பொது எண்ணளவைக்கு திசையன் வெளி  V  இன் '''பரிமாணம்''' (Dimension) என்று பெயர்.  இதை dimV என்ற குறியீட்டால் குறிப்பது [[கணித மரபு]].
 
 இவ்வுட்கணம் B முடிவுள்ளதானால் V முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ளது என்றும், B முடிவற்றதாக இருந்தால், V [[முடிவிலி]]ப்பரிமாணமுள்ளது என்றும் சொல்லப்படும்.
 
 நாம் இக்கட்டுரையில் முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகளைப்பற்றியே பேசுவோம்.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 
 1. &lt;math&gt;V = V_3&lt;/math&gt;.  ''B'' =  {'''''i, j, k'''''} என்று கொள்வோம். இங்கு  '''''i''''' = (1,0,0), '''''j''''' = (0,1,0) மற்றும் '''''k''''' = (0,0,1)
 
 அடுக்களத்திற்குள்ள இரண்டு இலக்கணங்களையும் ''B'' நிறைவேற்றுவதால், ''B'' ஒரு அடுக்களமாகும். &lt;math&gt;V_3&lt;/math&gt; க்கு இந்த அடுக்களத்தை '''இயற்கை அடுக்களம்''' என்று சொல்வர்.
 
 2. V = &lt;math&gt;\mathcal{P}_n&lt;/math&gt;: மெய்யெண் மதிப்புள்ள, படித்தரம் n க்குமேல்போகாத,  எல்லா [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]களும் அடங்கிய திசையன் வெளி.இதனில் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும்   &lt;math&gt;B = \{1, x, x^2, ... x^n\}&lt;/math&gt; இலுள்ள உறுப்புகளின் முடிவுள்ள [[நேரியல் சேர்வு]].  மற்றும் ''B'' ஒரு [[நேரியல் சார்பற்ற கணம்]]. ஃ ''B'' ஒரு அடுக்களமாகிறது.
 
 dim &lt;math&gt;\mathcal{P}_n = n + 1&lt;/math&gt;.
 
 ==அடிப்படை உண்மைகள்==
 
 V ஒரு திசையன் வெளி எனக்கொள்வோம்.
 
 :* சூனியத்திசையனை ஒர் உறுப்பாகக்கொண்ட எந்தக்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதுதான்.
 
 :* ஒரு [[அளாவல்|அளாவும்]] உட்கணத்தில் உள்ளதைவிட அதிகமான எண்ணிக்கையில் நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருக்கமுடியாது. அ-து, 
 :  &lt;math&gt;[\{v_1, v_2, ..., v_n\}] = V&lt;/math&gt; ஆகவும், &lt;math&gt;\{w_1, w_2, ... , w_m\}&lt;/math&gt; நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருக்குமானால்,   &lt;math&gt;m \leq n.&lt;/math&gt;
 
 :* Vஇல் n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு அடுக்களம் இருக்குமானால், n ஐவிட அதிக உறுப்புகள் கொண்ட எந்த உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளது.அதனால் எல்லா உட்கணங்களும் n உறுப்புகள் கொண்டதே.
 
 :*  n-பரிமாணமுள்ள ஒவ்வொரு Vஇலும், 
 :(1):n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருந்தாகவேண்டும்; 
 :(2): n+1 உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதே.
 :(3): n உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணமும் ஒரு அடுக்களம்.
 
 :* &lt;math&gt;B = \{v_1, v_2, ..., v_n\},&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;[B] = V&lt;/math&gt; ஆக இருக்குமானால், கீழேயுள்ள இரண்டும் சமானம்:
 :  (a): &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; நேரியல் சார்பற்றது.
 :  (b):&lt;math&gt; V&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; க்கும், &lt;math&gt;v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n&lt;/math&gt; என்ற கோவை தனிப்பட்டது (= இரண்டற்றது, unique).
 
 ==ஆயத்திசையன்==
 
 இதனால் ''' B ஒரு அடுக்களம் என்ற கருத்துக்கு ஒரு மாற்று வரையறை''' இப்படிக்கொடுக்கலாம்:
 
 &lt;math&gt;B \subset V; [B] = V;&lt;/math&gt; '''மற்றும்,''' &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; '''இலுள்ள ஒவ்வொரு''' &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; '''க்கும்''' &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; '''இனுடைய உறுப்புகளின் மூலம் கோவைப்படுத்தும் ''' &lt;math&gt;v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n&lt;/math&gt; '''என்ற கோவை தனிப்பட்டது''' .
 
 ஒரு அடுக்களம் &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; இலுள்ள உறுப்புகளை வரிசைப்படுத்தினால், அ-து, &lt;math&gt;B = \{v_1, v_2, ..., v_n\}&lt;/math&gt;, என்று உறுதிப்படுத்திய பிறகு, &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; க்கும், &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; இன்  உறுப்புகளின் மூலம் &lt;math&gt;v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n&lt;/math&gt; என்ற கோவையும் உறுதிப்படுத்தப்படுவதால், ஆயவரிசை &lt;math&gt;(\alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_n)&lt;/math&gt; ம் உறுதிப்படுத்தப்பட்டது. இந்த ஆயவரிசைக்கு &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; இன் '''ஆயத்திசையன்''' (co-ordinate vector) எனப்பெயர். வேறு ஒரு அடுக்களத்தைக்கொண்டும் v க்கு  இன்னொரு ஆயத்திசையன் உண்டுபண்ணலாம். அதனால் அவசியமுள்ளபோது, 'B யைப்பொருத்த ஆயத்திசையன்' என்று விவரமாகச்சொல்லவேண்டி வரும்.  ஆய்த்திசையன்களை நிரல்திசையனாகச்சொல்வதில் ஒரு வசதி இருக்கிறது.
 
 : எ.கா.: முப்பரிமாண வெளி &lt;math&gt;V_3&lt;/math&gt; ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். 
 : B = &lt;math&gt;\{(1,1,0), (1,0,1) (0,1,1),\}&lt;/math&gt; எனக்கொள்க.  &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; ஒரு  வரிசைப்படுத்திய அடுக்களம்.
 : &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; = (2,3,-1) எனக்கொண்டால், &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; = '''3'''(1,1,0) '''-1'''(1,0,1) +'''0'''(0,1,1)
 : அதனால், (2,3,-1) இன் B-ஐப்பொருத்த ஆயத்திசையன்  &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 3 \\
 -1 \\
 0
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;v = (2,3,-1)&lt;/math&gt; என்பதே ஒரு ஆயத்திசையன்தான். இயற்கை அடுக்களத்தைப்பொருத்து அதனுடைய ஆயத்திசையன் &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 2 \\
 3 \\
 -1
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;. ஏனென்றால் 
 : (2,3,-1) = 2(1,0,0) + 3(0,1,0) -1(0,0,1).
 
 ==அடுக்கள ஆக்கச்செயல்முறை==
 
 : கொடுக்கப்பட்ட ஒரு n-பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளி  V இல், &lt;math&gt;A = \{v_1, v_2, ... , v_k\}&lt;/math&gt; ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணமானால்,&lt;math&gt; k\leqslant n&lt;/math&gt; ஆகத்தான் இருக்கவேண்டும். 
 : &lt;math&gt;k = n&lt;/math&gt; என்ற பட்சத்தில், &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; யே ஒரு அடுக்களமாகிவிடுகிறது.
 : &lt;math&gt;k &lt; n&lt;/math&gt; என்ற பட்சத்தில், &lt;math&gt;[A] \neq  V&lt;/math&gt;. அதனால்,  &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; இல் &lt;math&gt;[A]&lt;/math&gt;க்கு வெளியில் ஏதாவதொரு உறுப்பு இருக்கவேண்டும். அதை &lt;math&gt;v_{k+1}&lt;/math&gt; என்று அழைப்போம். இப்பொழுது &lt;math&gt;\{v_1, v_2, ..., v_k, v_{k+1}\}&lt;/math&gt; ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். &lt;math&gt;k+1 = n&lt;/math&gt;  என்ற பட்சத்தில், நாம் வேண்டிய அடுக்களம் இதுதான். &lt;math&gt;k+1 \neq n&lt;/math&gt; என்ற பட்சத்தில், இதே செயல்முறையை திரும்பவும் செய்.
 
 ==நேரியல் கோப்பு ஆக்கச்செயல்முறை==
 
 &lt;math&gt;U, V&lt;/math&gt;  ஒரே [[அளவெண்]]களங்களையுடைய இரு திசையன்வெளிகள் எனக்கொள்வோம்.  &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; வின் ஒரு அடுக்களமாக &lt;math&gt;B = \{u_1, u_2, ... , u_n\}&lt;/math&gt; ஐக்கொள்க. இப்பொழுது  &lt;math&gt;T(u_i)&lt;/math&gt; ஐ (&lt;math&gt; i= 1,2, ..., n)  V&lt;/math&gt; இல் '''எந்தத் திசையன்களாகவும்''' கொண்டு   &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; யை ஒரு [[நேரியல் கோப்பு|நேரியல் கோப்பாக்க]] முடியும். நாம் செய்யவேண்டியதெல்லாம் ஒரேஒரு வரையறைதான். அ-து,
 
 ::  &lt;math&gt;T(\alpha_1 u_1 + \alpha_2  u_2 + ... +\alpha_n u_n) = \alpha_1 T(u_1) +\alpha_2 T(u_2) + .... + \alpha_n T(u_n)&lt;/math&gt;
 
 ::எ.கா.: &lt;math&gt;V_2 \rightarrow V_4&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;B = \{(1,1), (1,-1)\}.&lt;/math&gt; இது &lt;math&gt;V_2&lt;/math&gt; வில் ஒரு அடுக்களம்.
 
 : &lt;math&gt;T(1,1)&lt;/math&gt; = ? &lt;math&gt;\in V_4&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;T(1,-1)&lt;/math&gt; = ? &lt;math&gt;\in V_4.&lt;/math&gt;
 
 : (*) &lt;math&gt;T(1,1) = (1,1,0,0)&lt;/math&gt; என்றும்
 : (**) &lt;math&gt;T(1,-1) = (0,0,0,0)&lt;/math&gt; என்றும் கொள்வோமாக.
 : &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; இல் &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; ஏதாவதொரு உறுப்பானால், முதலில் நாம் தீர்மானிக்கவேண்டியது &lt;math&gt;(x,y)&lt;/math&gt; = ?(1,1) + ?(1,-1).
 : எளிதில் இதை கண்டுபிடித்துவிடலாம்.  
 : &lt;math&gt;(x,y)  = \frac {x+y}{2} (1,1) + \frac{x-y}{2} (1,-1)&lt;/math&gt;
 
 : ஃ &lt;math&gt;T(x,y)) = \frac{x+y}{2} T(1,1) + \frac{x-y}{2} T(1,-1)&lt;/math&gt;
 
 :::  = &lt;math&gt;\frac{x+y}{2} (1,1,0,0) + \frac{x-y}{2} (0,0,0,0)&lt;/math&gt;
 
 :::  = &lt;math&gt;\left(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}, 0, 0\right). &lt;/math&gt;
 
 : ஆக,நாம் வேண்டிய நேரியல் கோப்பு &lt;math&gt; T : (x,y) \mapsto  \left(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}, 0, 0\right).&lt;/math&gt;
 
 : (*), (**) இரண்டையும் நம் விருப்பப்படி மாற்ற, மாற்ற, வெவ்வேறு நேரியல் கோப்புகள் கிடைக்கும்.
 
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
 
 *[[திசையன் வெளியின் பரிமாணம்]]
 
 ==துணை நூல்கள்==
 
 * Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. {{ISBN|0-387-96205-0}}.
 * V. Krishnamurthy, V.P. Mainra &amp; J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. {{ISBN|81-85095-15-9}}
 
 [[பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்]]
 [[பகுப்பு:சார்புப் பகுவியல்]]