கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி
[[File:Generalized means + agm.png|400px|thumb|right|(1, x) இன் பல்வேறு [[அடுக்குச் சராசரி|சராசரிகளுக்கிடையே]], வரையப்பட்டுள்ள கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் வரைபடம்.]]
 
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]], இரு [[நேர்ம மெய்யெண்கள்|நேர்ம மெய்யெண்களின்]]  '''கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி''' (''arithmetic–geometric mean'' -AGM அல்லது agM&lt;ref name=&quot;Cox&quot; /&gt;) என்பது கூட்டுச் சராசரிகளின் தொடர்வரிசைக்கும், [[பெருக்கல் சராசரி]]களின் தொடர்வரிசைக்குமான இணை எல்லையைக் குறிக்கும். கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியானது,  [[அடுக்குக்குறிச் சார்பு]]கள், [[முக்கோணவியல் சார்புகள்]], மற்ற [[சிறப்பு சார்புகள்]] ஆகியவற்றுக்கான விரைவு [[படிமுறைத் தீர்வு]]களிலும்,  {{mvar|&amp;pi;}} போன்ற சில [[கணித மாறிலி]]களைக் [[பை மாறிலியின் அண்ணளவாக்கங்கள்|கணக்கிடுவதற்கும்]] பயன்படுகிறது.
 
 &lt;math&gt;a_i,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;g_i&lt;/math&gt; ஆகிய இரு ஒன்றுக்கொன்று சார்ந்த தொடர்வரிசைகளின் எல்லையாக கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி வரையறுக்கப்படுகிறது:
 
 &lt;math display=block&gt;\begin{align}
  a_0 &amp;= x,\\
  g_0 &amp;= y\\
  a_{n+1} &amp;= \tfrac12(a_n + g_n),\\
  g_{n+1} &amp;= \sqrt{a_n g_n}\, .
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 இவ்விரு தொடர்வரிசைகளின் எல்லைகளும்  {{math|''x''}}, {{math|''y''}} இரண்டின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரிக்குச் சமமாக இருக்கும். இது  {{math|''M''(''x'', ''y'')}},  {{math|agm(''x'', ''y'')}}, {{math|AGM(''x'', ''y'')}} எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
 
 கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியை [[சிக்கலெண்|சிக்கலெண்களுக்கும்]] நீட்டிக்கலாம். [[வர்க்கமூலம்|வர்க்க மூலத்தின்]] இரு கிளைகளையும் முரண்பட்டு எடுத்துக்கொள்ளப்படும்போது, பொதுவாகக் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி, ஒரு [[பன்மதிப்புச் சார்பு|பன்மதிப்புச் சார்பாக]] இருக்கும்.&lt;ref name=&quot;Cox&quot;&gt;{{cite journal |last=Cox |first=David |date=January 1984 |title=The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss|url=https://www.researchgate.net/publication/248675540 |journal=L'Enseignement Mathématique|volume=30|issue=2|pages=275–330}}&lt;/ref&gt;
 
 ==எடுத்துக்காட்டு==
 {{math|''a''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; {{=}} 24}},  {{math|''g''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; {{=}} 6}} இன் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி காணும் தொடர்படிகள்:&lt;math display=block&gt;\begin{array}{rcccl}
  a_1 &amp; = &amp; \tfrac12(24 + 6) &amp; = &amp; 15\\
  g_1 &amp; = &amp; \sqrt{24 \cdot 6} &amp; = &amp; 12\\
  a_2 &amp; = &amp; \tfrac12(15 + 12) &amp; = &amp; 13.5\\
  g_2 &amp; = &amp; \sqrt{15 \cdot 12} &amp; = &amp; 13.416\ 407\ 8649\dots\\
  &amp; &amp; \vdots &amp; &amp;
 \end{array}&lt;/math&gt;
 
 முதல் ஐந்து தொடர்முறையால் கிடைக்கும் மதிப்புகள்:
 
 {| class=&quot;wikitable plainrowheaders&quot; style=&quot;margin-left:2em;&quot;
 |-
 ! scope=&quot;col&quot; | {{math|''n''}}
 ! scope=&quot;col&quot; | {{math|''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}}
 ! scope=&quot;col&quot; | {{math|''g''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}}
 |-
 ! scope=&quot;row&quot; | 0
 | 24
 | 6
 |-
 ! scope=&quot;row&quot; | 1
 | &lt;u&gt;1&lt;/u&gt;5
 | &lt;u&gt;1&lt;/u&gt;2
 |-
 ! scope=&quot;row&quot; | 2
 | &lt;u&gt;13&lt;/u&gt;.5
 | &lt;u&gt;13&lt;/u&gt;.416 407 864 998 738 178 455 042...
 |-
 ! scope=&quot;row&quot; | 3
 | &lt;u&gt;13.458&lt;/u&gt; 203 932 499 369 089 227 521...
 | &lt;u&gt;13.458&lt;/u&gt; 139 030 990 984 877 207 090...
 |-
 ! scope=&quot;row&quot; | 4
 | &lt;u&gt;13.458 171 481 7&lt;/u&gt;45 176 983 217 305...
 | &lt;u&gt;13.458 171 481 7&lt;/u&gt;06 053 858 316 334...
 |-
 ! scope=&quot;row&quot; | 5
 | &lt;u&gt;13.458 171 481 725 615 420 766 8&lt;/u&gt;20...
 | &lt;u&gt;13.458 171 481 725 615 420 766 8&lt;/u&gt;06...
 |}
 
 இவ்விரு தொடர்வரிசைகளின் பொது எல்லையே 24, 6 ஆகிய இரு எண்களின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியாகும். அதன் தோராய மதிப்பு: {{val|13.4581714817256154207668131569743992430538388544}}.&lt;ref&gt;[http://www.wolframalpha.com/input/?i=agm%2824%2C+6%29 agm(24, 6)] at [[வொல்பிராம் அல்பா]]&lt;/ref&gt;
 
 == வரலாறு ==
 இந்த சோடி தொடர்வரிசைகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட முதல் படிமுறைத்தீர்வு, கணிதவியலாளர் [[ஜோசப் லூயி லாக்ராஞ்சி|லாக்ராஞ்சியின்]] ஆய்வுகளில் காணப்பட்டது. மேற்கொண்டு, அதன் பண்புகள் கணிதவியலாளர் [[கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ்|காஸால்]] பகுத்தாய்வு செய்யப்பட்டன.&lt;ref name=&quot;Cox&quot;/&gt;
 
 ==பண்புகள்==
 * இரு நேர்ம எண்களின் பெருக்கல் சராசரி, [[கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி|ஒருபோதும் கூட்டுச் சராசரியைவிடப் பெரியதாக]] இருக்காது.&lt;ref&gt;{{cite book |last=Bullen |first=P. S. |contribution=The Arithmetic, Geometric and Harmonic Means |date=2003 |url=http://link.springer.com/10.1007/978-94-017-0399-4_2 |title=Handbook of Means and Their Inequalities |pages=60–174 |access-date=2023-12-11 |place=Dordrecht |publisher=Springer Netherlands |language=en |doi=10.1007/978-94-017-0399-4_2 |isbn=978-90-481-6383-0}}&lt;/ref&gt; எனவே பெருக்கல் சராசரிகள் {{math|(''g&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'')}}, கூடும் தொடர்வரிசையாகவும், கூட்டுச் சராசரிகள் {{math|(''a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'')}}, குறையும் தொடர்வரிசையாகவும் இருக்கும். மேலும் {{math|''g&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' ≤ ''M''(''x'',&amp;nbsp;''y'') ≤ ''a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''}} ஆகவும் இருக்கும். {{math|''x'' ≠ ''y''}} எனில் இவை கண்டிப்பான சமனிலிகளாக இருக்கும்.
 
 {{math|''M''(''x'', ''y'')}} இன் மதிப்பு, {{math|''x''}}, {{math|''y''}} இரண்டின் பெருக்குச் சராசரிக்கும் கூட்டுச் சராசரிக்கும் இடைப்பட்ட ஓர் எண்ணாக இருப்பதோடு, {{math|''x''}}, {{math|''y''}} இரண்டிற்கும் இடைப்பட்டதாகவும் இருக்கும்.
 
 * {{math|''r'' ≥ 0}} எனில், {{math|''M''(''rx'',''ry'') {{=}} ''r M''(''x'',''y'')}}.
 
 *  {{math|''M''(''x'',''y'')}} இன் தொகையீட்டு-வடிவம்:&lt;ref&gt;Carson, B. C. (2010). &quot;Elliptic Integrals&quot;. In Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.). NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-19225-5. MR 2723248..&lt;/ref&gt;
 
 
 &lt;math display=block&gt;\begin{align}
  M(x,y) &amp;= \frac{\pi}{2} \left( \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}} \right)^{-1}\\
 &amp;=\pi\left(\int_0^\infty \frac{dt}{\sqrt{t(t+x^2)(t+y^2)}}\right)^{-1}\\
         &amp;= \frac{\pi}{4} \cdot \frac{x + y}{K\left( \frac{x - y}{x + y} \right)}
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 இதில் {{math|''K''(''k'')}} என்பது, முதல்வகை முழுமையான நீள்வட்டத் தொகையீடு:
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;K(k) = \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2\sin^2(\theta)}} &lt;/math&gt;
 
 கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி, விரைவாக ஒருங்குவதால், நீள்வட்ட தொகையீடுகளைக் கணிப்பதற்குத் திறனுள்ள வழியைத் தருகிறது.&lt;ref name=&quot;Dimopoulos2011&quot;&gt;{{cite book |author-first=Hercules G. |author-last=Dimopoulos |title=Analog Electronic Filters: Theory, Design and Synthesis |url=https://books.google.com/books?id=6W1eX4QwtyYC&amp;pg=PA147 |year=2011 |publisher=Springer |isbn=978-94-007-2189-0 |pages=147–155 }}&lt;/ref&gt;
 
 கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியானது ஜேக்கோபி தீட்டா சார்புடன் ( &lt;math&gt;\theta_3&lt;/math&gt;) கீழுள்ளவாறு இணைக்கப்படுகிறது:&lt;ref&gt;{{Cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan M. |last2=Borwein| first2=Peter B. |title=Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity |publisher=Wiley-Interscience |year=1987 |edition=First |isbn=0-471-83138-7}} pages 35, 40&lt;/ref&gt;
 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;M(1,x)=\theta_3^{-2}\left(\exp \left(-\pi \frac{M(1,x)}{M\left(1,\sqrt{1-x^2}\right)}\right)\right)=\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}\exp \left(-n^2 \pi \frac{M(1,x)}{M\left(1,\sqrt{1-x^2}\right)}\right)\right)^{-2},&lt;/math&gt;
 
 இதில்  &lt;math&gt;x=1/\sqrt{2}&lt;/math&gt; எனக் கொள்ள கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கும்:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;M(1,1/\sqrt{2})=\left(\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-n^2\pi}\right)^{-2}.&lt;/math&gt;
 
 == தொடர்புள்ள கருத்துருக்கள் ==
 1, 2 இன் வர்க்கமூலம் ஆகியவற்றின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் தலைகீழி காஸின் மாறியாகும்:
 :&lt;math display=block&gt;\frac{1}{M(1, \sqrt{2})} = G = 0.8346268\dots&lt;/math&gt;
 
 1799 இல், [[கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ்|காஸ்]] பின்வரும் முடிவை நிறுவினார்.&lt;ref group=&quot;note&quot;&gt;By 1799, Gauss had two proofs of the theorem, but neither of them was rigorous from the modern point of view.&lt;/ref&gt;
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;M(1,\sqrt{2})=\frac{\pi}{\varpi};&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\varpi&lt;/math&gt; என்பது [[கிடையெட்டுவடிவ மாறிலி]].   
 
 1941 இல், &lt;math&gt;M(1,\sqrt{2})&lt;/math&gt; (and hence &lt;math&gt;G&lt;/math&gt;) ஆனது [[இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும்|விஞ்சிய எண்]] எனச் செருமானியக் கணிதவியலாளர் தியோடர் சினைடெரால் நிறுவப்பட்டது.&lt;ref group=&quot;note&quot;&gt;In particular, he proved that the beta function &lt;math&gt;\Beta (a,b)&lt;/math&gt; is transcendental for all &lt;math&gt;a,b\in\mathbb{Q}\setminus\mathbb{Z}&lt;/math&gt; such that &lt;math&gt;a+b\notin \mathbb{Z}_0^-&lt;/math&gt;. The fact that &lt;math&gt;M(1,\sqrt{2})&lt;/math&gt; is transcendental follows from &lt;math&gt;M(1,\sqrt{2})=\tfrac{1}{2}\Beta \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\right).&lt;/math&gt;&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal |first=Theodor |last=Schneider |url=https://www.deepdyve.com/lp/de-gruyter/zur-theorie-der-abelschen-funktionen-und-integrale-mn0U50bvkB |title=Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale |year=1941 |journal=Journal für die reine und angewandte Mathematik |volume=183 |number=19 |pages=110–128 |doi=10.1515/crll.1941.183.110 |s2cid=118624331 }}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Cite journal |title=The Lemniscate Constants |last=Todd |first=John |journal=Communications of the ACM |volume=18 |number=1 &lt;!-- |month=January --&gt;|year=1975 |pages=14–19 |doi=10.1145/360569.360580 |s2cid=85873 |doi-access=free }}&lt;/ref&gt; 
 
 &lt;math&gt;\{\pi,M(1,1/\sqrt{2})\}&lt;/math&gt; என்ற [[கணம் (கணிதம்)|கணம்]], &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; இன் மீது  இயற்கணித சார்பற்றது&lt;ref&gt;G. V. Choodnovsky: ''Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis'', Notices of the AMS 22, 1975, p. A-486&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;G. V. Chudnovsky: ''Contributions to The Theory of Transcendental Numbers'', American Mathematical Society, 1984, p. 6&lt;/ref&gt; ஆனால் &lt;math&gt;\{\pi,M(1,1/\sqrt{2}),M'(1,1/\sqrt{2})\}&lt;/math&gt; (இதிலுள்ள மேற்சுட்டு ' என்பது இரண்டாவது மாறியைப் பொறுத்த [[வகையிடல்|வகையிடலைக்]] குறிக்கிறது) என்ற கணம் &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; இன் மீது இயற்கணித சார்பற்றது அல்ல. மேலும்,&lt;ref&gt;{{Cite book |last1=Borwein |first1=Jonathan M. |last2=Borwein| first2=Peter B. |title=Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity |publisher=Wiley-Interscience |year=1987 |edition=First |isbn=0-471-83138-7}} p. 45&lt;/ref&gt;
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\pi=2\sqrt{2}\frac{M^3(1,1/\sqrt{2})}{M'(1,1/\sqrt{2})}.&lt;/math&gt;
 
 கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியைப் போலவே, பெருக்குச் சராசரி, [[இசைச் சராசரி]] ஆகிய இரண்டின் தொடர்வரிசைகளின் மூலம் பெருக்கு-இசைச் சராசரியை (GH), பெறலாம்:
 :{{math|1= GH(''x,y'') = 1/M(1/''x'', 1/''y'') = ''xy''/M(''x,y'')}}.&lt;ref&gt;{{cite journal
  | last = Newman | first = D. J.
  | doi = 10.2307/2007804
  | journal = Mathematics of Computation
  | pages = 207–210
  | title = A simplified version of the fast algorithms of Brent and Salamin
  | url = https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1985-01_44_169/page/207 | volume = 44
  | year = 1985| issue = 169
  | jstor = 2007804
  }}&lt;/ref&gt;
 
 கூட்டு-இசைச் சராசரியானது, [[பெருக்கல் சராசரி]]க்குச் சமானமானதாக இருக்கும்.
 
 [[மடக்கை]]கள், முழுமையான முதல், இரண்டாம் வகை நீள்வட்டத் தொகையீடுகள், முழுமையற்ற முதல், இரண்டாம் வகைநீள்வட்டத் தொகையீடுகளின் முதல், இரண்டாம் வகைத் தொகையீடுகள்,&lt;ref&gt; Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [June 1964]. &quot;Chapter 17&quot;. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Applied Mathematics Series. Vol. 55 (Ninth reprint with additional corrections of tenth original printing with corrections (December 1972); first ed.). Washington D.C.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. pp. 598–599. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. MR 0167642. LCCN 65-12253.&lt;/ref&gt; ஜேக்கோபி நீள்வட்டச் சார்புகள்&lt;ref&gt;{{cite book |first=Louis V. |last=King |author-link=Louis Vessot King |url=https://archive.org/details/onthenumerical032686mbp |title=On the Direct Numerical Calculation of Elliptic Functions and Integrals |publisher=Cambridge University Press |year=1924 }}&lt;/ref&gt;ஆகியவற்றைக் கணிப்பதற்குக்,  கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி பயன்படுகிறது.
 
 ==இருத்தலுக்கான நிறுவல்==
 [[கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி]]யின் விளைவாக&lt;math display=block&gt;g_n \leq a_n&lt;/math&gt; என்ற முடிவு கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து&lt;math display=block&gt;g_{n + 1} = \sqrt{g_n \cdot a_n} \geq \sqrt{g_n \cdot g_n} = g_n&lt;/math&gt; எனப் பெறலாம். அதாவது  {{math|''g&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''}} என்ற தொடர்வரிசையானது குறையாத் தொடர்வரிசையாகவும் {{math|''x''}},  {{math|''y''}} ஆகிய இரண்டில் பெரியதைவிட அதிகவளவு வரம்புடையதாகவும் இருக்கும்.
 
 மேலும், ஒருபோக்கு ஒருங்கல் தேற்றத்தின்படி,  இத்தொடர்வரிசை, ஒருங்குமென்பதால், 
 &lt;math display=block&gt;\lim_{n\to \infty}g_n = g&lt;/math&gt; என்பதை நிறைவு செய்யும்விதத்தில் ஒரு  {{math|''g''}} இருக்கும்.
 
 மேலும், &lt;math display=block&gt;a_n = \frac{g_{n + 1}^2}{g_n}&lt;/math&gt; என்பதால் கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கிறது:
 &lt;math display=block&gt;\lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to \infty}\frac{g_{n + 1}^2}{g_{n}} = \frac{g^2}{g} = g&lt;/math&gt;
 
 ==தொகையீட்டு வடிவின் நிறுவல்==
 கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் தொகையீட்டு வடிவம், காஸால் நிறுவப்பட்டது.&lt;ref name=&quot;Cox&quot; /&gt;
 
 &lt;math display=block&gt;I(x,y) = \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}} ,&lt;/math&gt; என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.
 
 &lt;math display=block&gt; \sin\theta = \frac{2x\sin\theta'}{(x+y)+(x-y)\sin^2\theta'} ,&lt;/math&gt; என்றமையும் &lt;math&gt;\theta'&lt;/math&gt; வுக்கு தொகையீட்டின் மாறியை மாற்ற:
 
 &lt;math display=block&gt;\cos\theta = \frac{\sqrt{(x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta'}}{(x+y)+(x-y)\sin^2\theta'} ,&lt;/math&gt;
 
 &lt;math display=block&gt; \cos\theta\ d\theta =2x  \frac{(x+y)-(x-y)\sin^2\theta'}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')^2}\ \cos\theta' d\theta'\ ,&lt;/math&gt;
 
 &lt;math display=block&gt;  d\theta = \frac{2x\cos\theta'((x+y)-(x-y)\sin^2\theta')}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')\sqrt{(x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta'}}  
  d\theta'\ ,&lt;/math&gt;
 &lt;math display=block&gt; x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta = \frac{x^2 ((x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta')+4x^2y^2\sin^2\theta'}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')^2}= \frac{x^2 ((x+y)-(x-y)\sin^2\theta')^2}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')^2}&lt;/math&gt;
 
  
 &lt;math display=block&gt; \implies  \frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}} = \frac{2x\cos\theta'((x+y)-(x-y)\sin^2\theta')}{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')\sqrt{(x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta'}}  \frac{((x+y)+(x-y)\sin^2\theta')}{x ((x+y)-(x-y)\sin^2\theta')} 
 
 = \frac{2\cos\theta' d\theta'}{\sqrt{(x+y)^2-2(x^2+y^2)\sin^2\theta'+(x-y)^2\sin^4\theta'}}  
 
   ,&lt;/math&gt;
 
 &lt;math display=block&gt; \implies&lt;/math&gt;
 
 &lt;math display=block&gt;
 \begin{align}
 I(x,y) &amp;= \int_0^{\pi/2}\frac{d\theta'}{\sqrt{\bigl(\frac12(x+y)\bigr)^2\cos^2\theta'+\bigl(\sqrt{xy}\bigr)^2\sin^2\theta'}}\\
        &amp;= I\bigl(\tfrac12(x+y),\sqrt{xy}\bigr) .
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 எனவே கிடைப்பது,
 
 &lt;math display=block&gt;
 \begin{align}
 I(x,y) &amp;= I(a_1, g_1) = I(a_2, g_2) = \cdots\\
   &amp;= I\bigl(M(x,y),M(x,y)\bigr) = \pi/\bigr(2M(x,y)\bigl) .
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;I(z,z) = \pi/(2z)&lt;/math&gt; என்பதிலிருந்து மேலுள்ள கூற்றிலுள்ள இறுதிச் சமன் கிடைக்கிறது.
 
 &lt;math display=block&gt; \implies&lt;/math&gt;,
 &lt;math display=block&gt;M(x,y) = \pi/\bigl(2 I(x,y) \bigr) .&lt;/math&gt;
 
 ==பயன்பாடுகள்==
 
 === ''π'' என்ற எண்===
 காஸ்-இலெஜன்ட்ரே படிமுறைத்தீர்வின்படி:&lt;ref&gt;{{cite journal |first=Eugene |last=Salamin |author-link=Eugene Salamin (mathematician) |title=Computation of π using arithmetic–geometric mean |journal=Mathematics of Computation |url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-319-32377-0_1 |volume=30 |issue=135 |year=1976 &lt;!-- |month=July --&gt;|pages=565–570 |doi=10.2307/2005327 |jstor=2005327 |mr=0404124 }}&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math &gt;\pi = \frac{4\,M(1,1/\sqrt{2})^2} {1 - \displaystyle\sum_{j=1}^\infty 2^{j+1} c_j^2} ,&lt;/math&gt;
 
 இதில்,
 :&lt;math&gt;c_j = \frac{1}{2}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\right) ,&lt;/math&gt; ,&lt;math&gt;a_0=1;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;g_0=1/\sqrt{2}&lt;/math&gt;, 
 :&lt;math&gt;c_j = \frac{c_{j-1}^2}{4a_j} ,&lt;/math&gt; என்பதைப் பயன்படுத்தி நுட்பமாகக் கணிக்கலாம்.
 
 ===முழுமையான நீள்வட்டத் தொகையீடு, ''K''(sin''α'')===
 
 :&lt;math&gt;a_0 = 1,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;g_0 = \cos\alpha&lt;/math&gt; என எடுத்துக்கொள்ளக் கிடைக்கும் கூட்டு-பெருக்குச் சரசரி:
 :&lt;math&gt;M(1,\cos\alpha) = \frac{\pi}{2K(\sin \alpha)} ,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;M(1,\cos\alpha) = \frac{\pi}{2K(\sin \alpha)} ,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\implies K(\sin \alpha)  =  \frac{\pi}{2M(1,\cos\alpha)} .&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;\implies K(k) =  \frac{\pi}{2M(1,\cos\alpha)} .&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\implies K(k) =  \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})} .&lt;/math&gt;
 
 இதிலுள்ள {{math|''K''(''k'')}} ஆனது, முழுமையான முதல்வகை நீள்வட்டத் தொகையீடு, &lt;math&gt;K(k) = \int_0^{\pi/2}(1 - k^2 \sin^2\theta)^{-1/2} \, d\theta.&lt;/math&gt; ஆகும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 
 ===குறிப்புகள்===
 {{reflist|group=note}}
 
 ===சான்றுகள்===
 {{reflist}}
 
 ===ஆதாரங்கள்===
 {{refbegin}}
 * {{cite journal |author1-last=Daróczy |author1-first=Zoltán |author2-last=Páles |author2-first=Zsolt |year=2002 |title=Gauss-composition of means and the solution of the Matkowski–Suto problem |journal=Publicationes Mathematicae Debrecen |volume=61 |issue=1–2 |pages=157–218 |doi=10.5486/PMD.2002.2713 }}
 * {{SpringerEOM |title=Arithmetic–geometric mean process|mode=cs1}}
 * {{mathworld |urlname=Arithmetic-GeometricMean}}
 {{refend}}
 [[பகுப்பு:சராசரிகள்]]