தொடர் (கணிதம்)
கணிதத்தில் '''தொடர்''' (''series'') என்பது,  ஒரு [[தொடர்வரிசை]]யில் உள்ள உறுப்புக்களின் கூட்டல் அல்லது கழித்தலாகும். எண்ணற்ற உறுப்புகளை ஒன்றன்பின் ஒன்றாகக் கூட்டுவதைக் காட்டும் அமைப்பாகக் தொடரைக் கருதலாம்.&lt;ref&gt;{{cite book|title=Calculus Made Easy|url=https://archive.org/details/calculusmadeeasy00thom_0|last1=Thompson |first1=Silvanus |authorlink1=Silvanus P. Thompson|last2=Gardner |first2=Martin |authorlink2=Martin Gardner |date=1998 |isbn=978-0312185480}}&lt;/ref&gt; '''முடிவுறு தொடர்வரிசை மற்றும் தொடரின்''' முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்புக்கள் வரையறுக்கப்படும்;  ஆனால் '''முடிவுறாத் தொடர்வரிசை மற்றும் தொடர்களில்''' உறுப்புக்கள் முடிவிலி எண்ணிக்கையில் இருக்கும்.&lt;ref&gt;p 264 '''[[Jan Gullberg]]:'''  ''Mathematics: from the birth of numbers,'' W.W. Norton, 1997, {{ISBN|0-393-04002-X}}&lt;/ref&gt;
 
 [[கணிதம்|கணித]] வரைமுறைப்படி, '''தொடர்''' என்பது கொடுக்கப்பட்ட    {&amp;nbsp;''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;} எண்களை உறுப்புக்களாகக் கொண்ட   முடிவுறா தொடர்வரிசையின் அனைத்து உறுப்புக்களின் கூட்டுதொகையாகும்: ''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''a''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;+&amp;nbsp;·&amp;nbsp;·&amp;nbsp;·. இதனை இன்னும் சுருக்கமாகக்  [[கூட்டுகை|கூட்டுத்தொகை]] குறியீடு ∑ மூலம் குறிப்பிடலாம்.  காட்டாக, செனோவின்  முரண்பாடு தீர்வுப்படியும் [[1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·|அதன் கணித சார்பீடு]]ம் இவ்வாறுக் குறிக்கப்படும்:
 
 :&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots.&lt;/math&gt;
 
 இத்தொடரின் உறுப்புக்கள் பெரும்பாலும் ஓர் விதியைப் பின்பற்றி,  [[வாய்பாடு]] அல்லது  [[படிமுறைத் தீர்வு]] கொண்டு அமைந்திருக்கும். முடிவிலி எண்ணிக்கையில் உறுப்புக்கள் அமைந்துள்ளதால் இவை  '''முடிவுறாத் தொடர்கள்''' என அழைக்கப்படுகின்றன.  முடிவுறு கூட்டல்களைப் போலன்றி முடிவுறா தொடர்கள் [[பகுவியல் (கணிதம்)|கணித]]  நுட்பக்கருவிகள், முக்கியமாக   [[எல்லை (கணிதம்)|எல்லைகள்]] குறித்தக் கோட்பாடுகள்  முழுமையாக அறிந்துகொள்ளப்பட வேண்டும்.
 
 தொடர்கள் குறித்த விவரணங்கள், [[நுண்கணிதம்]] மற்றும் அதன் பொதுமைப்படுத்தலான [[பகுவியல் (கணிதம்)|பகுவியலின்]] முக்கியப்பகுதியாக உள்ளது. [[சேர்வியல் (கணிதம்)|சேர்வியல்]] உட்பட்ட கணிதத்தின் பல பிரிவுகளில், பொதுசார்புகளைக் கொண்டு முடிவுறு அமைப்புகள் குறித்த படிப்புகளுக்குத் தொடர்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. தொடர்கள் கணிதத்தில்  பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுவதைத் தவிர, அளவறி துறைகளான [[இயற்பியல்]], [[கணினியியல்]], [[புள்ளியியல்]], [[நிதியியல்]] ஆகியவற்றிலும் தொடர்கள் பயன்படுகின்றன.
 
 == அடிப்படைப் பண்புகள்==
 ஒரு முடிவுறாத் தொடர் அல்லது சுருக்கமாக தொடர் என்பது, பின்வரும் முடிவுறாக் கோவை வடிவிலுள்ள முடிவுறாக் கூடுதலாகும்.&lt;ref name=&quot;SW501&quot;&gt;{{harvnb|Swokowski|1983|loc=p. 501}}&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;a_0 + a_1 + a_2 + \cdots, &lt;/math&gt;
 
 இதில் &lt;math&gt;(a_n)&lt;/math&gt; என்பது [[எண்]]கள், [[சார்பு]]கள் மற்றும் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டக்கூடிய]] வேறுகணிதப்பொருள்களை (எகா: [[பரிமாற்றுக் குலம்]]) உறுப்புகளாகக் கொண்ட வரிசைப்படுத்தப்பட்ட [[தொடர்வரிசை]] ஆகும்.
 
 [[கூட்டுகை|கூட்டுகைக் குறீயீட்டைக்]] கொண்டு மேலுள்ள தொடரை கீழுள்ளவாறும் எழுதலாம்:
 :&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty}a_n &lt;/math&gt; .
 
 :&lt;math&gt;s=\sum_{n=0}^\infty a_n,&lt;/math&gt; என்ற தொடரின் ''k'' ஆவது '''பகுதிக் கூட்டுத்தொகை''':
 :&lt;math&gt;s_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k.&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty} a_n&lt;/math&gt; என்ற தொடரின் பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகளாலான தொடர்வரிசையின் எல்லை காணக்கூடியாக இருந்து, அவ்வெல்லையின்மதிப்பு {{math|''L''}} எனில்,  தொடர் &lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty} a_n&lt;/math&gt; ஆனது {{math|''L''}} என்ற எல்லைக்கு ''ஒருங்குகிறது'' எனப்படும். மேலும் அத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை {{math|''L''}} ஆகும் எனப்படுகிறது.&lt;ref name=&quot;SW501&quot; /&gt; 
 :&lt;math&gt;L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n.&lt;/math&gt;
 
 ஒரு தொடர் ஒரு எல்லைமதிப்புக்கு ஒருங்கினால் அது ''ஒருங்குதொடர்'' என்றும், அவ்வாறில்லையெனில் அது ''விரிதொடர்'' எனவும் அழைக்கப்படும். ஒருங்குதொடரின் கூட்டுத்தொகை அது ஒருங்கும் எல்லையின் மதிப்பிற்குச் சமமாகும்.
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள்-எண் தொடர்கள்==
 
 * A ''[[பெருக்குத் தொடர்]]''  என்பது, ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் அடுத்து வரும் உறுப்பு, முதல் உறுப்பைப் [[பூச்சியம்]] அல்லாத மாறா எண் ஒன்றினால் பெருக்கி வரும் எண்ணாக அமையும் உறுப்புகளின் கூடுதல் ஆகும். இந்த [[கணித மாறிலி|மாறா எண்]] &quot;பொது விகிதம்' எனப்படும். பெருக்குத் தொடரைப் '''பெருக்கல் விருத்தி''' எனவும் அழைப்பதுண்டு. 
 **2, 6, 18, 54, ...... என்னும் தொடர், 3 ஐப் [[பொது விகிதம்|பொது விகிதமாகக்]] கொண்ட ஒரு பெருக்குத் தொடருக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஆகும். இதில் ஒவ்வொரு எண்ணையும் 3 ஆல் பெருக்கி அடுத்துவரும் எண் பெறப்படுகின்றது.
 **1/2 ஐப் பொது விகிதமாகக் கொண்ட பெருக்குத் தொடருக்கு, 10, 5, 2.5, 1.25, ..... என்பதை எடுத்துக் காட்டாகக் கொள்ளலாம்.
 *:&lt;math&gt;1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.&lt;/math&gt;
 
 பெருக்குத் தொடர் ஒன்றின் பொது வடிவம் பின்வருமாறு அமையும்.
 :&lt;math&gt;a, + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 = \ldots&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;|z| &lt; 1&lt;/math&gt; என &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot;.
 :&lt;math&gt;\sum_{n=0}^\infty z^n&lt;/math&gt; ஒரு ஒருங்குதொடர் ஆகும்.
 
 * பொதுவிகிதத்தின் கெழுக்கள் [[கூட்டுத் தொடர்|கூட்டுத் தொடர்வரிசையில்]] அமைந்த பெருக்குத்தொடரின் பொதுமைப்படுத்தல் ''கூட்டு-பெருக்குத் தொடர்'' (''arithmetico-geometric series'') ஆகும். 
 :எடுத்துக்காட்டு:
 ::&lt;math&gt;3 + {5 \over 2} + {7 \over 4} + {9 \over 8} + {11 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{(3+2n) \over 2^n}.&lt;/math&gt;
 
 * [[இசைத் தொடர் (கணிதம்)|இசைத் தொடரின்]] உறுப்புகளின் தலைகீழிகள் கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைந்திருக்கும்.
 ::&lt;math&gt;1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.&lt;/math&gt;
 :இசைத்தொடர் ஒரு விரிதொடராகும்.
 
 * An ''ஒன்றுவிட்ட தொடர்'' என்பது ஒன்றுவிட்டு ஒன்றாகவுள்ள உறுப்புகளின் குறிகள் எதிராக உள்ள தொடராகும்.
 :எடுத்துக்காட்டு:
 ::&lt;math&gt;1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty {\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2) \quad &lt;/math&gt; (ஒன்றுவிட்ட இசைத் தொடர்)
 ::&lt;math&gt;-1+\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{\left(-1\right)^n}{2n-1} = -\frac{\pi}{4}&lt;/math&gt;
 
 *''p''-தொடர்
 ::&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r}&lt;/math&gt;
 :''r'' &gt; 1 எனில் இத் தொடர் ஒருங்கும்; ''r'' ≤ 1 எனில், இத்தொடர் விரியும். ''r'' இன் சார்பான இத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை [[ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்]] ஆகும்.
 
 ===π===
 ::&lt;math&gt; \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}&lt;/math&gt;
 
 ::&lt;math&gt; \sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}(4)}{2i-1} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots = \pi&lt;/math&gt;
 === 2 இன் பொது மடக்கை ===	
 
 :&lt;math&gt;\sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}}{i} = \ln 2&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(2i+1)(2i+2)} = \ln 2&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{(i+1)(i+2)} = 2\ln(2) -1&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i(4i^2-1)} = 2\ln(2) -1&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^{i}i} = \ln 2&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \sum_{i=1}^\infty \left(\frac{1}{3^i}+\frac{1}{4^i}\right)\frac{1}{i} = \ln 2&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2i(2i-1)} = \ln 2&lt;/math&gt;
 
 ===பொது மடக்கை-அடிமானம் ''e''===
 
 :&lt;math&gt;\sum_{i = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{i!} =  1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots = \frac{1}{e}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \sum_{i = 0}^\infty \frac{1}{i!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = e &lt;/math&gt;
 
 ==தொடர் மீதான செயலிகள் - நுண்கணிதம், பகுதிக் கூட்டுகை ==
 பகுதிக் கூட்டுகையானது, {&amp;nbsp;''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;} என்ற தொடரை உள்ளீடாக எடுத்துக்கொண்டு, வெளியீடாக {&amp;nbsp;''S''&lt;sub&gt;''N''&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;} என்ற மற்றொரு தொடரைத் தருகிறது. எனவே பகுதிக் கூட்டுகையானது, தொடர்களின் மீதான [[ஓருறுப்புச் செயலி]] ஆகும். மேலும் இது ஒரு நேரியல் சார்பாகவும் உள்ளது. எனவே இது தொடர்களின் திசையின் வெளியின் மீதான ஒரு [[நேரியல் கோப்பு]]; இதன் குறியீடு Σ ஆகும்.
 
 இச்செயலிக்கான நேர்மாறு, ''முடிவுறு வேறுபாடு''ச் செயலி - Δ (finite difference) ஆகும்.
 
 இயல் எண்கள் சார்புகளைக் கொண்ட தொடர்களுக்கு மட்டும் இச்செயலிகள், நுண்கணித [[தொகையீடு|தொகையிடல்]] மற்றும் [[வகையிடல்]] செயலிகளை ஒத்தவையாய் உள்ளன. ஆனால் மெய்யெண் சார்புகளின் தொடர்களுக்கு இவ்வாறு அமையாது.
 
 :எடுத்துக்காட்டு:
 ::{1, 1, 1, ...} என்ற தொடர்வரிசையின் பகுதிக் கூட்டுகைகளின் தொடர்வரிசை {1, 2, 3, 4, ...}
 இது கீழ்வரும் தொகையீட்டிற்கு ஒத்ததாக உள்ளதைக் காணலாம்.
 ::&lt;math&gt;\int_0^x 1\,dt = x.&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 &lt;references/&gt;
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 {{Commons category|Series (mathematics)|தொடர் (கணிதம்)}}
 * [http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Books/10/Std10-Maths-TM-1.pdf தமிழ்நாடு அரசு பத்தாம் வகுப்பு கணிதப் பாடநூல் பக்கம் 50 - 70] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120113200200/http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Books/10/Std10-Maths-TM-1.pdf |date=2012-01-13 }}
 * [http://www.boutichesaid.cv.dz/Series/ConvergentSeries.htm தொடரின் குவிவை வரைவிய உருவகப்படுத்துதல்] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081024234404/http://www.boutichesaid.cv.dz/Series/ConvergentSeries.htm |date=2008-10-24 }}
 * [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Calculus#Series_of_Real_Numbers தொடர்களைக் குறித்த பல காட்டுகளும் தீர்வுகளும்] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081106131402/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Calculus#Series_of_Real_Numbers |date=2008-11-06 }}
 * [http://www.math.odu.edu/~bogacki/citat/series/index.html முடிவுறாத் தொடர் பயிற்சிப் பாடம்]
 
 [[பகுப்பு:கணிதத் தொடர்கள்]]