கூட்டுத்தொடரில் பகா எண்கள்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], [[எண் கோட்பாடு]] (Number Theory) என்ற பிரிவில், [[பகா எண் |பகா எண்களின்]] எண்ணிக்கை முடிவிலாதது என்பது யூக்ளீட் காலத்திலிருந்தே தெரிந்த ஒரு கூற்று. ஆனால் அதைவிட இன்னும் அதிசயமான விஷயம் பல '''கூட்டுத்தொடர்''' (Arithmetic Progression) களிலும் முடிவிலாத எண்ணிக்கையில் '''பகா எண்கள்''' இருக்கும் என்பது தான்.
 
 ==கேள்வி==
 
 கீழ்வரும் அட்டவணையில் ஒவ்வொரு வரிசையிலும் பத்து பத்தாக [[இயலெண்]]கள் வரிசையாகக் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. பகா எண்கள் தடித்த அச்சில் காண்பிக்கப்பட்டுள்ளன.
 
 '''1'''- -  '''2'''- -  '''3'''-  -4--  '''5''' - -6--  '''7'''--  8-- 9--10
 
 '''11'''-12-'''13'''-14-15-16-'''17'''-18-'''19'''-20
 
 21-22-'''23'''-24-25-26-27-28-'''29'''-30
 
 '''31'''-32-33-34-35-36-'''37'''-38-39-40
 
 '''41'''-42-'''43'''-44-45-46-'''47'''-48-49-50
 
 51-52-'''53'''-54-55-56-57-58-'''59'''-60
 
 '''61'''-62-63-64-65-66-'''67'''-68-69-70
 
 '''71'''-72-'''73'''-74-75-76-77-78-'''79'''-80
 
 81-82-'''83'''-84-85-86-87-88-'''89'''-90
 
 91-92-93-94-95-96-'''97'''-98-99-100
 
 ... - ... - ... - ... - ... - ... - ...- ... - ... - ...
 
 இப்பொழுது ஒவ்வொரு நிரலாகப் பார்த்தால், ஒவ்வொரு நிரலும் 10 என்ற பொது வித்தியாசமுளமுள்ள ஒரு [[கூட்டுத்தொடர்]].  இவைகளில் 1, 3, 7, 9 இலிருந்து தொடங்கும் கூட்டுத் தொடர்களில் ஒன்றுக்குமேல் பல பகா எண்கள் தென்படுகின்றன:
 
 1-11-31-41-71-...
 
 3-13-23-43-53-73-83- ...
 
 7-17-37-47-67-97- ...
 
 19-29-59-79-89-...
 
 இந்நிரல்களைத் தொடர்ந்து கொண்டேபோனால் பகா எண்களும் வந்துகொண்டே இருக்குமா அல்லது சில நிரல்களில் பகா எண்கள் முடிந்துவிடுமா? இக்கேள்வியைக் கேட்பது எளிது. ஆனால் இருபது நூற்றாண்டுகளுக்கு முன் [[யூக்ளீட்]] நிறுவிய [[பகா எண்களின் முடிவிலாப் பண்பைப்]] பின்பற்றிய கேள்வி இது. ஆயினும் இருபது நூற்றாண்டுகளாக  இதற்கு விடை கிடைக்காமலே இருந்திருக்கிறது. கடைசியில்   இதற்கு விடை 1837 இல் கிடைத்தது.
 
 ==டிரிச்லெ யின் தேற்றம்==
 
 &lt;math&gt;a, n&lt;/math&gt; '''இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்களானால்''',
 
 &lt;math&gt;a, a+n, a+2n, ...   , a+kn, ...&lt;/math&gt;
 
 என்ற கூட்டுத்தொடரில் முடிவிலாத எண்ணிக்கையில் பகா எண்கள் இருக்கும்.
 
  
 [[டிரிச்லெ]] என்ற [[பிரான்ஸ்]] நாட்டுக் கணித இயலர் (1805-1859) 1837 இல் இந்த  நேர்த்தியான தேற்றத்தை நிறுவினார். இது அவருக்கு முன்னமேயே [[லெஜாண்டரா]]ல் (1752-1833) முன்மொழியப்பட்டு நிறுவலும் கோடுக்கப்பட்டது. ஆனால் லெஜாண்டரின் நிறுவலில் ஒரு தீர்க்கமுடியாத சறுக்கல் இருந்தது. வெகு கடினமான வேறோர்  முறையில் டிரிச்லெ நிறுவல்  கொடுத்தார். டிரிச்லெயின் தேற்றம் யூக்ளீடின் தேற்றத்தைப் பொதுப்படுத்தியதாகும்.
 
 ==இன்னொரு எடுத்துக்காட்டு==
 
 எண் 10ஐ பொது வித்தியாசமாகவுள்ள கூட்டுத்தொடர்களை மேலே பார்த்தோம். எண் 12ஐ  பொது வித்தியாசமாகவுள்ள கூட்டுத்தொடர்களை கீழுள்ள அட்டவணையின் நிரல்களில் பார்க்கலாம். முன்போல் பகா எண்கள் தடித்த அச்சில் காட்டப்பட்டுள்ளன:
 
 '''1'''----'''2'''----'''3'''----4----'''5'''----6----'''7'''----8-----9-----10---'''11'''----12
 
 '''13'''--14–15--16--'''17'''--18--'''19'''--20---21-----22---'''23'''----24
 
 25–26--27–28--'''29'''--30--'''31'''--32---33-----34---35----36
 
 '''37'''--38–39--40--'''41'''--42--'''43'''--44---45-----46---'''47'''----48
 
 49–50--51–52--'''53'''--54–55--56---57-----58---'''59'''----60
 
 '''61'''--62–63--64–65--66--'''67'''--68---69-----70---'''71'''----72
 
 '''73'''--74–75--76–77--78--'''79'''--80---81-----82---'''83'''----84
 
 85–86--87–88--'''89'''--90–91--92----93-----94---95----96
 
 97–98--99–100-'''101'''-102-'''103'''-104–105–106--'''107'''--108
 
 '''109'''-110-111-112-'''113'''-114-115–116-117-118-119-120
 
 இங்கு  முதலாவது, ஐந்தாவது, ஏழாவது, பதினொன்றாவது நிரல்களில் உள்ள கூட்டுத்தொடர்களில் பல பகா எண்கள் இருக்கின்றன. இக்கூட்டுத் தொடர்களெல்லாம், டிரிச்லெ தேற்றத்தின் கருதுகோளை ஒப்புகின்றன. (அதாவது,&lt;math&gt;a, n&lt;/math&gt; '''இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்கள்''').  அதனால் அத்தொடர்களில் முடிவிலாத எண்ணிக்கையில் பகா எண்கள் இருக்கும் என்பதுதான் முடிவு.