வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றம்
[[File:Butterfly theorem.svg|upright=1.0|thumb|{{center|வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றம்}}]]
 
 [[யூக்ளீட் வடிவியல்|யூக்ளீடிய வடிவவியலின்]] முக்கிய முடிவான '''வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றத்தின்''' (''butterfly theorem'') கூற்று:&lt;ref name=Johnson&gt;Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publ., 2007 (orig. 1929).&lt;/ref&gt;{{rp|p. 78}}
 
 :ஒரு [[வட்டம்|வட்டத்தின்]] [[நாண் (வடிவவியல்)|நாண்]] {{math|''PQ''}} இன் [[நடுப்புள்ளி]] {{math|''M''}}; இந்த நடுப்புள்ளிவழியே வட்டத்திற்கு மேலும் இரு நாண்கள் {{math|''AB''}}, {{math|''CD''}} வரையப்படுகின்றன; {{math|''AD''}}, {{math|''BC''}} இரண்டும் நாண் {{math|''PQ''}} ஐ வெட்டும் புள்ளிகள் முறையே {{math|''X''}}, {{math|''Y''}} எனில், {{math|''XY''}} இன் நடுப்புள்ளி {{math|''M''}} ஆக இருக்கும். .
 
 == நிறுவல் ==
 [[File:Butterfly1.svg|thumb|upright=1.0|{{center|வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றத்தின் நிறுவல்}}]]
 {{math|''X''}} புள்ளியிலிருந்து {{math|''AM''}}, {{math|''DM''}} கோடுகளுக்கு வரையப்பட்ட செங்குத்துக்கோடுகள் முறையே {{math|''XX′''}}, {{math|''XX″''}}; {{math|''Y''}} புல்ளியிலிருந்து {{math|''BM''}},  {{math|''CM''}} கோடுகளுக்கு வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகள் முறையே {{math|''YY′''}}, {{math|''YY″''}}.
 
 [[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)|வடிவொத்த முக்கோணங்களின்]] பண்பின்படி: 
 :: &lt;math&gt; \triangle MXX' \sim \triangle MYY'  \implies {MX \over MY} = {XX' \over YY'}, &lt;/math&gt; 
 :: &lt;math&gt; \triangle MXX'' \sim \triangle MYY'' \implies {MX \over MY} = {XX'' \over YY''}, &lt;/math&gt;
 :: &lt;math&gt; \triangle AXX' \sim \triangle CYY''  \implies {XX' \over YY''} = {AX \over CY}, &lt;/math&gt;
 :: &lt;math&gt; \triangle DXX'' \sim \triangle BYY'  \implies {XX'' \over YY'} = {DX \over BY}. &lt;/math&gt;
 
 மேலுள்ள நான்கு முடிவுகள் மற்றும் [[வெட்டும் நாண்கள் தேற்றம்|வெட்டும் நாண்கள் தேற்றத்தின்படி]]:
 
 : &lt;math&gt; \left({MX \over MY}\right)^2 = {XX' \over YY' } {XX'' \over YY''}, &lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt; {} = {AX \cdot DX \over CY \cdot BY}, &lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt; {} = {PX \cdot QX \over PY \cdot QY}, &lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt; {} = {(PM-XM) \cdot (MQ+XM) \over (PM+MY) \cdot (QM-MY)}, &lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt; {} = { (PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2}, &lt;/math&gt; ({{math|''PM'' {{=}} ''MQ''}}).
 
 : &lt;math&gt; { (MX)^2 \over (MY)^2} = {(PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2}. &lt;/math&gt;
 
 [[குறுக்குப் பெருக்கல்|குறுக்குப் பெருக்கல்]] செய்ய:
 
 :&lt;math&gt; {(MX)^2 \cdot (PM)^2 - (MX)^2 \cdot (MY)^2} = {(MY)^2 \cdot (PM)^2 - (MX)^2 \cdot (MY)^2} . &lt;/math&gt;
 
 இருபுறமுமுள்ள பொது உறுப்பான &lt;math&gt; { -(MX)^2 \cdot (MY)^2} &lt;/math&gt; ஐ நீக்க:
 
 :&lt;math&gt; {(MX)^2 \cdot (PM)^2} = {(MY)^2 \cdot (PM)^2}, &lt;/math&gt;
 
 MX, MY, PM மூன்றும் நேர்ம மெய்யெண்கள் என்பதால்:
 
 : {{math|''MX'' {{=}} ''MY''}}
 
 அதாவது {{math|''M''}}, {{math|''XY''}} இன் நடுப்புள்ளி.
 
 வீழ்ப்பு வடிவவியலைப் பயன்படுத்தும் ஒரு நிறுவல்&lt;ref&gt;[http://www.imomath.com/index.php?options=628&amp;lmm=0], problem 8.&lt;/ref&gt; உள்ளிட்ட வேறு நிறுவல்களும் இத்தேற்றத்துக்கு உள்ளன.&lt;ref&gt;Martin Celli, &quot;A Proof of the Butterfly Theorem Using the Similarity Factor of the Two Wings&quot;, ''[[Forum Geometricorum]]'' 16, 2016, 337–338. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201641.pdf&lt;/ref&gt;
 
 == வரலாறு ==
 1803 ஆம் ஆண்டில் வண்ணத்துப்பூச்சித் தேற்றத்தின் நிறுவல் அறியப்படவேண்டும் என கணிதவியலாளர் வில்லியம் வாலசு கூறினார். 1804 இல் மூன்று நிறுவல்கள் வெளியிடப்பட்டன. 1805 இல் கணிதவியலாளர் [[வில்லியம் எர்செல்]], வில்லியம் வாலசுக்கு எழுதிய கடிதத்தில் இத்தேர்றத்தின் நிறுவலைக் காணவேண்டுமெனக் கூறினார். 1814 ஆம் ஆண்டில் மீண்டும் இதே கோரிக்கை ரெவரன்சு. தாமசு இசுக்கர் (Rev. Thomas Scurr) என்பவரால் எழுப்பப்பட்டது.&lt;ref&gt;[http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/WallaceButterfly.shtml William Wallace's 1803 Statement of the Butterfly Theorem], [[cut-the-knot]], retrieved 2015-05-07.&lt;/ref&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 {{commonscat|Butterfly theorem}}
 * [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Butterfly.shtml The Butterfly Theorem] at [[cut-the-knot]]
 * [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/BetterButterfly.shtml A Better Butterfly Theorem] at [[cut-the-knot]]
 * [http://planetmath.org/?op=getobj&amp;from=objects&amp;id=3613 Proof of Butterfly Theorem] at [[PlanetMath]]
 * [http://demonstrations.wolfram.com/TheButterflyTheorem/ The Butterfly Theorem]  by Jay Warendorff, the [[Wolfram Demonstrations Project]].
 * {{MathWorld |title=Butterfly Theorem |urlname=ButterflyTheorem}}