மோர்லியின் முச்சமவெட்டித் தேற்றம்
[[File:Morley triangle.svg|right|300px|frame|மோர்லியின் தேற்றப்படி, வெளி முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு உச்சிக்கோணத்தையும் முச்சமக் கூறிட்டால் செவ்வூதா நிற முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.]]
 [[யூக்ளீட் வடிவியல்|யூக்ளிடிய வடிவவியலில்]] எந்தவொரு முக்கோணத்தின் அடுத்தடுத்தமையும் கோண முச்சமவெட்டிகள் வெட்டிக்கொள்ளும் மூன்று புள்ளிகள், ஒரு [[சமபக்க முக்கோணி|சமபக்க முக்கோணத்தை]] அமைக்கும் என்று மோர்லியின் '''முச்சமவெட்டித் தேற்றம்''' (''Morley's trisector theorem'') கூறுகிறது. அச்சமபக்க முக்கோணமானது &quot;மோர்லி முக்கோணம்&quot; என அழைக்கப்படுகிறது. இத் தேற்றம் 1899 ஆம் ஆண்டில் ஆங்கிலோ- அமெரிக்கக் கணிதவியலாளரான பிராங்க் மோர்லியால் கண்டறியப்பட்டது. எல்லா முச்சமவெட்டிகளும் வெட்டிக்கொண்டால் மேலும் நான்கு சமபக்க முக்கோணங்கள் கிடைக்கும்.
 
 == நிறுவல்கள் ==
 மோர்லியின் தேற்றத்திற்கு நுட்பமான சில நிறுவல்கள் உட்படப் பல நிறுவல்கள் உள்ளன.&lt;ref&gt;{{citation|url=http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/index.shtml|title=Morley's Miracle|publisher=[[Cut-the-knot]]|last=Bogomolny|first=Alexander|authorlink= Alexander Bogomolny |accessdate=2010-01-02}}&lt;/ref&gt;  
 பல தொடக்ககால நிறுவல்கள் நுண்ணிய [[முக்கோணவியல்]] கணக்கீடுகளைக் கொண்டிருந்தன. அண்மைக்கால நிறுவல்கள், பிரெஞ்சுக் கணிதவியலாளர் ஆலன் கானின் [[இயற்கணிதம்|இயற்கணித]] நிறுவலையும்({{harvs|first=Alain|last=Connes|authorlink=Alain Connes|txt|year=1998|year2=2004}}) ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் ஜான் கான்வேயின் வடிவவியல் நிறுவலையும் கொண்டுள்ளன.&lt;ref&gt;{{Citation |last=Bogomolny |first=Alexander |title=J. Conway's proof |url=http://www.cut-the-knot.org/triangle/Morley/conway.shtml |publisher=[[Cut-the-knot]] |access-date=2021-12-03 |authorlink=Alexander Bogomolny}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{citation|url=http://thewe.net/math/conway.pdf|title=Power|editor1-last=Blackwell|editor1-first=Alan|editor2-last=Mackay|editor2-first=David|editor2-link=David J. C. MacKay|year=2006|chapter=The Power of Mathematics|last=Conway|first=John|author-link=John Horton Conway|publisher=Cambridge University Press|accessdate=2010-10-08|pages=36–50|isbn=978-0-521-82377-7}}&lt;/ref&gt; கோள வடிவவியலிலும் அதிபரவளைய வடிவவியலிலும் மோர்லியின் தேற்றம் உண்மையாகாது.&lt;ref&gt;[http://lienhard-wimmer.com/applets/dreieck/Morley.html Morley's Theorem in Spherical Geometry], Java applet.&lt;/ref&gt;
 [[File:Morley Proof.svg|thumb|right|480px|Fig 1. &amp;nbsp; மோர்லியின் முச்சமவெட்டித் தேற்றத்திற்கான நிறுவல் படம்]]
 === எளிய நிறுவல் ===
 முக்கோணவியல் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி மோர்லியின் தேற்ற நிறுவல்:
 *பயன்படுத்தப்படும் முக்கோணவியல் முற்றொருமை:
 {{NumBlk|::|&lt;math&gt;\sin(3\theta)=4\sin\theta\sin(60^\circ+\theta)\sin(120^\circ+\theta)&lt;/math&gt;|{{EquationRef|1}}}}
 ::&lt;math&gt;\sin(3\theta)=-4\sin^3\theta+3\sin\theta.&lt;/math&gt;
 
 :முக்கோணம் ABC இன் பக்கம் &lt;math&gt;\overline{BC}&lt;/math&gt; இன் மீது படத்தில் காட்டியுள்ளபடி புள்ளிகள் &lt;math&gt;D, E, F&lt;/math&gt; வரையப்படுகின்றன.
 :&lt;math&gt;3\alpha+3\beta+3\gamma=180^\circ&lt;/math&gt; (ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல்), :&lt;math&gt;\implies\alpha+\beta+\gamma=60^\circ.&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\triangle XEF&lt;/math&gt; முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்கள்:
 :&lt;math&gt;\angle{EXF} = \alpha&lt;/math&gt;, 
 :&lt;math&gt;\angle{XEF} = (60^\circ+\beta),&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;\angle{XFE} = (60^\circ+\gamma).&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\triangle XEF&lt;/math&gt; இல் சைன் சார்பின் வரையறைப்படி,
 *{{NumBlk|::|&lt;math&gt;\sin(60^\circ+\beta)=\frac{\overline{DX}}{\overline{XE}}&lt;/math&gt;|{{EquationRef|2}}}}
 *{{NumBlk|::|&lt;math&gt;\sin(60^\circ+\gamma)=\frac{\overline{DX}}{\overline{XF}}.&lt;/math&gt;|{{EquationRef|3}}}}
 
 மேலும், 
 &lt;math&gt;\triangle AYC,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\triangle AZB&lt;/math&gt; ஆகிய இரு முக்கோணங்களின் கோணங்கள் 
 &lt;math&gt;\angle{AYC}=180^\circ-(\alpha+\gamma)=180^\circ-(60^\circ-\beta)=120^\circ+\beta&lt;/math&gt; மற்றும்
 {{NumBlk|::|&lt;math&gt;\angle{AZB}=120^\circ+\gamma.&lt;/math&gt;|{{EquationRef|4}}}}
 
 &lt;math&gt;\triangle AYC&lt;/math&gt; இல் [[சைன் விதி]]யைப் பயன்படுத்த:
 :&lt;math&gt;\frac{\overline{AC}}{\sin(120^\circ+\beta)} = \frac{\overline{AY}}{\sin\gamma}&lt;/math&gt;
 {{NumBlk|::|&lt;math&gt;\implies\sin(120^\circ+\beta)=\frac{\overline{AC}}{\overline{AY}}\sin\gamma&lt;/math&gt;|{{EquationRef|5}}}}
 
 &lt;math&gt;\triangle AZB&lt;/math&gt; இல் [[சைன் விதி]]யைப் பயன்படுத்த: 
 :&lt;math&gt;\frac{\overline{AB}}{\sin(120^\circ+\gamma)} = \frac{\overline{AZ}}{\sin\beta}.&lt;/math&gt;
 :{{NumBlk|::|&lt;math&gt;\sin(120^\circ+\gamma)=\frac{\overline{AB}}{\overline{AZ}}\sin\beta.&lt;/math&gt;|{{EquationRef|6}}}}
 
 &lt;math&gt;ABC&lt;/math&gt; முக்கோணத்தின் குத்துயரம் &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; இன் மதிப்பை இருவழிகளில் காண:
 ::&lt;math&gt;h=\overline{AB} \sin(3\beta)=\overline{AB}\cdot 4\sin\beta\sin(60^\circ+\beta)\sin(120^\circ+\beta)&lt;/math&gt;
 ::&lt;math&gt;h=\overline{AC} \sin(3\gamma)=\overline{AC}\cdot 4\sin\gamma\sin(60^\circ+\gamma)\sin(120^\circ+\gamma).&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\beta&lt;/math&gt; உள்ள சமன்பாட்டில் (2), (5) முடிவுகளையும் &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt; உள்ளதில் (3), (6) முடிவுகளையும் பயன்படுத்தக் கிடைப்பது:
 ::&lt;math&gt;h=4\overline{AB}\sin\beta\cdot\frac{\overline{DX}}{\overline{XE}}\cdot\frac{\overline{AC}}{\overline{AY}}\sin\gamma&lt;/math&gt;
 ::&lt;math&gt;h=4\overline{AC}\sin\gamma\cdot\frac{\overline{DX}}{\overline{XF}}\cdot\frac{\overline{AB}}{\overline{AZ}}\sin\beta&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; இன் இருவிதமான மதிப்புகளையும் சமப்படுத்த:
 ::&lt;math&gt;\overline{XE}\cdot\overline{AY}=\overline{XF}\cdot\overline{AZ}&lt;/math&gt; (அல்லது)
 ::&lt;math&gt;\frac{\overline{XE}}{\overline{XF}}=\frac{\overline{AZ}}{\overline{AY}}.&lt;/math&gt;
 
 எனவே,
 :&lt;math&gt;\triangle XEF \sim\triangle AZY&lt;/math&gt; ([[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)|வடிவொத்த முக்கோணங்கள்]])
 
 வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்பின்படி, அவற்றின் ஒத்த கோணங்கள் சமம்.
 :&lt;math&gt;\angle{AYZ} = \angle{XFE} = (60^\circ+\gamma)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\angle{AZY} = \angle{XEF} = (60^\circ+\beta).&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;\angle{BXZ} = \angle{CYX} = (60^\circ+\alpha)&lt;/math&gt; 
 
 படத்திலிருந்து
 ::&lt;math&gt;\angle{AZY}+\angle{AZB}+\angle{BZX}+\angle{XZY}=360^\circ&lt;/math&gt; எனக் காணலாம்.
 
 இதில் தெரிந்த கோணங்களின் மதிப்புகளைப் பதிலிட்டுச் சுருக்க:
 ::&lt;math&gt;(60^\circ+\beta)+(120^\circ+\gamma)+(60^\circ+\alpha)+\angle{XZY}=360^\circ&lt;/math&gt;
 ::&lt;math&gt;\implies\angle{XZY}=60^\circ.&lt;/math&gt;
 
 இதேபோல &lt;math&gt;\triangle XYZ&lt;/math&gt; இன் மற்ற இரு கோணங்களும் &lt;math&gt;60^\circ.&lt;/math&gt; எனக் காண முடியும். எனவே &lt;math&gt;\triangle XYZ&lt;/math&gt; ஒரு சமபக்க முக்கோணம்.
 
 தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.
 
 == பக்கமும் பரப்பளவும் ==
 முதல் மோர்லி முக்கோணத்தின் பக்க நீளம்:
 :&lt;math&gt;a^\prime=b^\prime=c^\prime=8R\sin(A/3)\sin(B/3)\sin(C/3), \, &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;{{MathWorld |id= FirstMorleyTriangle|title=First Morley Triangle |access-date=2021-12-03}}&lt;/ref&gt;
 
 இதில் ''R'' என்பது மூல முக்கோணம் ''ABC'' இன் [[சூழ்தொடு வட்டம்|சுற்றுவட்ட ஆரம்]].
 
 பரப்பளவு:
 ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் [[பரப்பளவு]]க்கான வாய்பாடு:
 :&lt;math&gt;\text{A} = \tfrac{\sqrt{3}}{4}a'^2,&lt;/math&gt; இதில் மோர்லியின் பக்க நீளத்தைப் பதிலிட்டுச் சுருக்கக் கிடைப்பது:
 :&lt;math&gt;\text{A} = 16 \sqrt{3}R^2\sin^2(A/3)\sin^2(B/3)\sin^2(C/3).&lt;/math&gt;
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{reflist|2}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 *{{citation|first=Alain|last=Connes|authorlink=Alain Connes|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1998__S88__43_0|title=A new proof of Morley's theorem|journal=Publications Mathématiques de l'IHÉS|volume=S88|year=1998|pages=43–46}}.
 *{{citation|first=Alain|last=Connes|authorlink=Alain Connes|url=http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2004-12-54.pdf|title=Symmetries|journal=[[European Mathematical Society]] Newsletter|volume=54|date=December 2004}}.
 *{{citation|first1=H. S. M.|last1=Coxeter|authorlink=Coxeter|first2=S. L.|last2=Greitzer|title=Geometry Revisited|publisher=[[அமெரிக்கக் கணிதவியல் சங்கம்]]|year=1967|lccn=67-20607}}
 *{{citation|first=Richard L.|last=Francis|url=http://cs.ucmo.edu/~mjms/2002.1/francis9.pdf|title=Modern Mathematical Milestones: Morley's Mystery|journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences|volume=14|issue=1|year=2002|doi=10.35834/2002/1401016|doi-access=free}}.
 *{{citation
  |last        = Guy
  |first       = Richard K.
  |authorlink  = Richard K. Guy
  |mr          = 2290364
  |issue       = 2
  |journal     = [[American Mathematical Monthly]]
  |pages       = 97–141
  |title       = The lighthouse theorem, Morley &amp; Malfatti—a budget of paradoxes
  |jstor       = 27642143
  |url         = http://www.math.ucalgary.ca/files/publications/3414848.pdf
  |volume      = 114
  |year        = 2007
  |url-status     = dead
  |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20100401030732/http://www.math.ucalgary.ca/files/publications/3414848.pdf
  |archivedate = 2010-04-01 |doi=10.1080/00029890.2007.11920398
 }}.
 *{{citation|doi=10.2307/2321680|first1=C. O.|last1=Oakley|first2=J. C.|last2=Baker|title=The Morley trisector theorem|journal=American Mathematical Monthly|volume=85|issue=9 |year=1978|pages=737–745|jstor=2321680}}.
 *{{citation|first1=F. Glanville|last1=Taylor|first2=W. L.|last2=Marr|title=The six trisectors of each of the angles of a triangle|journal=Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society|volume=33|year=1913–14|pages=119–131|doi=10.1017/S0013091500035100|doi-access=free}}.
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * [http://mathworld.wolfram.com/MorleysTheorem.html Morleys Theorem] at MathWorld
 * [http://www.mathpages.com/home/kmath376/kmath376.htm Morley's Trisection Theorem] at MathPages
 * [http://demonstrations.wolfram.com/MorleysTheorem/ Morley's Theorem] by Oleksandr Pavlyk, The Wolfram Demonstrations Project.