ஒரு புள்ளியின் படி
[[File:Power point simple.svg|thumb|250px|right|படம் 1. எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வட்டத்தின் மையம் '''O'''. வட்டத்திற்கு வெளியேயுள்ள ஒரு புள்ளி '''P''' . இவை இரண்டுக்கும் இடையேயுள்ள தூரம் ''s'' (ஆரஞ்சு). வட்ட ஆரம் ''r''  (நீலம்). தொடுகோட்டுத்துண்டு  '''PT''' (சிவப்பு) இன் [[வர்க்கம்]] '''P''' புள்ளியின் படியாகும்.]]
 அடிப்படைத் தள [[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]] '''ஒரு புள்ளியின் படி''' (''power of a point'')  என்பது, தரப்பட்ட ஒரு [[வட்டம்|வட்டத்திலிருந்து]] அப்புள்ளியின் சார்பு தொலைவினைத் தரும் ஒரு [[மெய்யெண்]]. ''r'' அலகு [[ஆரம்|ஆரமுள்ள வட்டம்]] ''C'' ஐப் பொறுத்து, ஒரு புள்ளி '''P''' இன் படி:
 
 :&lt;math&gt;p = s^2 - r^2, \,&lt;/math&gt;
 இங்கு '''P''' வட்டமையம் '''O''' இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு ''s'' .
 
 இந்த வரையறைப்படி, ஒரு புள்ளி வட்டத்துக்குள் இருந்தால் அதன் படி எதிர் மெய்யெண்ணாகவும்; வட்டத்தின் மீது இருந்தால் [[பூச்சியம்|பூச்சியமாகவும்]]; வட்டத்திற்கு வெளியில் இருந்தால் நேர் மெய்யெண்ணாகவும் இருக்கும். வட்டத்திற்கு வெளியில் அமையும் புள்ளியின் படி, அப்புள்ளியை மையமாகக் கொண்டு தரப்பட்ட வட்டத்தைச் [[செங்குத்து வட்டங்கள்|செங்குத்தாக வெட்டும்]] வட்டத்தின் ஆரமாக இருக்கும்.(படம் 2) ஒரு புள்ளியின் படி என்பது அப்புள்ளியைப் பொறுத்த, ''வட்டப்படி'' அல்லது ''வட்டத்தின் படி'' எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 '''P''' இலிருந்து வரையப்படும் ஒரு [[கதிர் (வடிவவியல்)|கதிர்]], வட்டத்தை வெட்டும் இரு புள்ளிகளுக்கும் '''P''' -க்கும் இடைப்பட்ட தூரங்களின் பெருக்கற்பலனாகவும் புள்ளியின் படியை வரையறுக்கலாம். படம் 1 இல் '''P''' இலிருந்து வரையப்படும் ஒரு கதிர் வட்டத்தை வெட்டும் இரு புள்ளிகள்  '''M''' , '''N''' ; தொடு கதிர் '''T''' என்ற ஒரு புள்ளியில் மட்டும் வெட்டுகிறது; கிடைமட்டக் கதிர்  '''A''' , '''B''' புள்ளிகளில் ([[விட்டம்|விட்ட முனைகள்]]) வெட்டுகிறது.  வட்டத்தைப் பொறுத்து, '''P''' புள்ளியின் படி:
 :&lt;math&gt;\overline{\mathbf{PT}}^2 =\overline{\mathbf{PM}}\times\overline{\mathbf{PN}} =\overline{\mathbf{PA}}\times\overline{\mathbf{PB}} =
 \left(s - r \right)\times\left(s + r \right) = s^2 - r^2 = h. \, &lt;/math&gt;
 
 மேற்காணும் முடிவு சிலசமயங்களில் ''&quot;வெட்டுக்கோடு-தொடுகோடு தேற்றம்''&quot; அல்லது ''&quot;வெட்டும் நாண்கள் தேற்றம்&quot;'', அல்லது ''&quot;ஒரு புள்ளியின் படி தேற்றம்&quot;'' எனவும் அழைக்கப்படும்.
 
 பல வடிவவியல் வரையறைகளில் புள்ளியின் படி பயன்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக இரு வட்டங்களின் [[சமதொடு அச்சு]] என்பது, அவ்விரு வட்டங்களைப் பொறுத்து சம படிகளைக் கொண்ட புள்ளிகளாலான [[கோடு|நேர்கோடாகும்]]. மேலும் பொதுமையம் கொண்டிராத மூன்று வட்டங்களின் [[சமதொடு மையம்]] என்பது அம்மூன்று வட்டங்களைப் பொறுத்து சமபடிகளை உடைய புள்ளியாகும். ஒரு வட்டத் தொகுப்பின் [[படி வரைபடம்|படி வரைபடமானது]] (power diagram) அவ்வட்டங்கள் அமையும் [[தளம் (வடிவவியல்)|தளத்தை]], ஒவ்வொரு வட்டத்துக்கும் ஒரு பகுதியாகப் பிரிக்கும். ஒரு வட்டத்துக்குரிய பகுதியிலுள்ள ஒரு புள்ளியின் படி, ஏனைய வட்டங்களை விட அந்த வட்டத்துக்குச் சிறியதாக இருக்கும்.
 
 ==செங்குத்து வட்டம்==
 [[File:Orthogonal circle.svg|thumb|right|250px|Figure 2: '''P''' புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட இடையிட்ட வட்டம், தரப்பட்ட வட்டத்தை (கருப்பு) செங்குத்தாக வெட்டுகிறது. வெட்டும் புள்ளி '''T'''. இந்த செங்குத்து வட்டத்தின் ஆரத்தின் வர்க்கம், தரப்பட்ட வட்டத்தைப் பொறுத்து  '''P''' புள்ளியின் படி.]]
 
 வட்டத்துக்கு வெளியேயுள்ள புள்ளி '''P''' இன் படி:
 
 :&lt;math&gt;p =R^2 &lt;/math&gt;
 
 இங்கு ''R'' என்பது '''P''' ஐ மையமாகக் கொண்டு, தரப்பட்ட வட்டத்தைச் செங்குத்தாக வெட்டும்  வட்டத்தின் ஆரமாகும். இரு வட்டங்களும் வெட்டும் புள்ளி '''T''' எனில், ஆரங்கள் '''OT''' , '''OP''' -க்கு இடையேயுள்ள கோணம் [[செங்கோணம்]]. எனவே வெட்டும் புள்ளியில், ஒரு வட்டத்தின் ஆரம் இரண்டாவது வட்டத்திற்குத் [[தொடுகோடு|தொடுகோடாக]] அமையும். '''OPT''' ஒரு [[செங்கோண முக்கோணம்]].
 
 :&lt;math&gt;\Rightarrow R^2 = s^2 - r^2 = p \,&lt;/math&gt; இதுவே புள்ளி '''P''' இன் படி.
 
 இதில் ''s'' என்பது, '''P''' , '''O''' இடைப்பட்ட தூரம்.
 
 இரு வட்டங்களின் சமதொடு அச்சு, சமதொடு மையம் பற்றித் தெரிந்து கொள்வதற்கு, செங்குத்து வட்டம் வரைதல் உதவியாக இருக்கும். செங்குத்து வட்டம் வரைய புள்ளி '''T''' ஐத் தீர்மானித்தல் அவசியம்.
 
 ;'''T''' காணல்
 தரப்பட்ட வட்ட மையம் '''O''' மற்றும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட புள்ளி '''P''' இவ்விரண்டின் [[நடுப்புள்ளி]]யை மையமாகக் கொண்டு இப்புள்ளிகளின் வழியே செல்லுமாறு வரையப்படும் அரைவட்டம் தரப்பட்ட வட்டத்தை வெட்டும் புள்ளி '''T''' .
 
 '''PT''' ஐ ஆரமாகவும் '''P'''  ஐ மையமாகவும் கொண்டு செங்குத்து வட்டம் வரையலாம்.
 
 ==தேற்றங்கள்==
 ''ஜேக்கோப் ஸ்டெயினரின்'' '''புள்ளியின் படி தேற்றம்''':
 
 புள்ளி ''A'' வழியாகச் செல்லும் ஒரு கோடு, வட்டம் ''C'' ஐ வெட்டும் புள்ளிகள் ''P'' , ''Q'' எனில் ''A'' இன் படி:
 
 : &lt;math&gt;AP \cdot AQ \, &lt;/math&gt;
 
 புள்ளி வட்டத்துக்கு வெளியில் இருந்தால் இப்பெருக்கற்பலன் நேர் மதிப்பாகவும், புள்ளி வட்டத்துக்குள் இருந்தால் எதிர் மதிப்பாகவும் இருக்கும். புள்ளி வட்டத்தின் மீது இருந்தால் பூச்சியமாகும்; அப்போது ''A'' வழிச் செல்லும் கோடு வட்டத்தை ஒரு புள்ளியில் மட்டுமே சந்திக்கும், அதாவது வட்டத்துக்குத் தொடுகோடாக இருக்கும்.
 
 புள்ளி ''A'' , வட்டத்தினுள் மற்றும் வட்டத்திற்கு வெளியே அமைவதைப் பொறுத்து இத்தேற்றத்திற்கு இரு கிளைமுடிவுகள் உள்ளன:
 
 *கிளை முடிவு 1 ([[வெட்டும் நாண்கள் தேற்றம்]]):
 
 ''A'' வட்டத்துக்குள் அமைகிறது; மேலும் ''PQ'' , ''RS'' ஆகிய வட்டத்தின் இரு [[நாண் (வடிவவியல்)|நாண்களும்]] ''A'' இல் வெட்டுகின்றன எனில்,
 
 ::&lt;math&gt; AP \cdot AQ = AR \cdot AS \, &lt;/math&gt;
 :இப்பெருக்கற்பலன்களின் பொதுமதிப்பு, வட்டத்தைப் பொறுத்து ''A'' புள்ளியின்  படியின் எதிர் மதிப்பாகும்.
 
 * கிளை முடிவு 2 ([[வெட்டும் வெட்டுக்கோடுகள் தேற்றம்]]):
 
 வட்டத்தின்  நாண்கள் ''PQ'' , ''RS'' இரண்டும் வட்டத்துக்கு வெளியே ''A'' புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்கின்றன எனில்,
 
 ::&lt;math&gt;AP \cdot AQ = AR \cdot AS \, &lt;/math&gt;
 :இப்பெருக்கற்பலன்களின் பொதுமதிப்பு, ''A'' புள்ளியின் வட்டத்தைப் பொறுத்த படியின் நேர் மதிப்பாகும்.
 
 * [[தொடுகோடு-வெட்டுக்கோடு தேற்றம்]]:
 இத்தேற்றம், வெட்டும் வெட்டுக்கோடுகளின் தேற்றத்தில் ''Q'' , ''P'' புள்ளிகள் இரண்டும் ஒன்றாக அமையும் சிறப்புவகையாகும்.
  
 ::&lt;math&gt;AP \cdot AQ = AR \cdot AS \, &lt;/math&gt;
 ::&lt;math&gt;AP \cdot AP = AR \cdot AS \, &lt;/math&gt;
 ::&lt;math&gt;AP^2 = AR \cdot AS \, &lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 * {{citation|last=Coxeter|first=H. S. M.|authorlink= H. S. M. Coxeter|title= Introduction to Geometry|edition= 2nd|place= New York|publisher= Wiley|year=1969}}.
 * {{citation|first=Gaston|last= Darboux|authorlink=Gaston Darboux|title= Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l’espace|journal= Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure|volume= 1|year=1872|pages=323–392}}.
 * {{citation|last=Steiner|first=Jakob|authorlink=Jakob Steiner|title= Einige geometrische Betrachtungen|journal= Journal für die reine und angewandte Mathematik|volume=1|pages= 161–184|year= 1826}}.
 
 ==மேலும் படிக்க==
 * {{citation| author = Ogilvy C. S.|authorlink=C. Stanley Ogilvy| year = 1990| title = Excursions in Geometry| publisher = Dover| isbn = 0-486-26530-7| pages = 6–23}}
 *{{Citation| title = Geometry Revisited| author = [[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter H. S. M.]], [[S. L. Greitzer|Greitzer S. L.]]| year = 1967| publisher = [[Mathematical Association of America|MAA]]| location = [[Washington, D.C.|Washington]]| isbn = 978-0-88385-619-2| pages = 27–31, 159–160}}
 *{{Citation| author = Johnson RA| year = 1960| title = Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle| edition = reprint of 1929 edition by Houghton Miflin| publisher = Dover Publications| location = New York| isbn = 978-0-486-46237-0| pages = 28–34}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 {{commons cat|Power of a point|புள்ளியின் படி}}
 *[https://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Jacob Steiner and the Power of a Point]at
 *{{mathworld|CirclePower|Circle Power}}
 *[http://www.cut-the-knot.org/proofs/IntersectingChordsTheorem.shtml Intersecting Chords Theorem] at [[cut-the-knot]]
 *[http://www.mathopenref.com/chordsintersecting.html Intersecting Chords Theorem] With interactive animation
 *[http://www.mathopenref.com/secantsintersecting.html Intersecting Secants Theorem] With interactive animation
 
 [[பகுப்பு:பகுமுறை வடிவவியல்]]