தொடர் பெருக்கம்
ஒரு நேர்ம [[முழு எண்|முழு எண்ணின்]] '''தொடர் பெருக்கம்''' அல்லது '''காரணியம்''' அல்லது '''காரணீயம்''' (factorial) என்பது அதற்கு சமமாகவும் குறைவாகவும் உள்ள எல்லா நேர்ம முழு எண்களின் பெருக்கல் ஆகும்.  இது ''n''! எனக் குறிக்கப்படும்.
 
 எ.கா:
 :&lt;math&gt;5 ! = 5  \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 120  \ &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;4 ! =  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 24  \ &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;3 ! =  3  \times  2  \times  1 = 6 \ &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;2 ! =  2  \times  1 = 2  \ &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;1 ! =  1 \ &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;0 ! =  1 \ &lt;/math&gt; ([[வெற்றுப் பெருக்கம்|வெற்றுப் பெருக்கத்தின்]] வழமைப்படி&lt;ref&gt;Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) ''[[Concrete Mathematics]]'', Addison-Wesley, Reading MA. {{ISBN|0-201-14236-8}}, p.&amp;nbsp;111&lt;/ref&gt;).
 
 தொடர் பெருக்கச் செய்கையைக் கணிதத்தில் பல பகுதிகளில் காணமுடியும். குறிப்பாக [[சேர்மானவியல்]], [[இயற்கணிதம்]], [[கணிதப் பகுப்பாய்வு]] என்பவற்றைக் குறிப்பிடலாம். இதன் மிக அடிப்படையாக பயன்பாட்டை, [[வரிசைமாற்றம்|வரிசை மாற்றத்தில்]], வெவ்வேறான  ''n'' பொருட்களை ''n''! வழிகளில்  தொடராக ஒழுங்குபடுத்தலாம்&quot; என்பதில் காணமுடிகிறது. இந்த உண்மை ஆகப் பிந்தியது 12ம் நூற்றாண்டிலேயே இந்திய அறிஞர்களுக்குத் தெரிந்திருக்கிறது.&lt;ref&gt;N. L. Biggs, ''The roots of combinatorics'', Historia Math. 6 (1979) 109−136&lt;/ref&gt; பிரான்சு நாட்டைச் சேர்ந்த கணிதவியலாளர் [[கிறித்தியன் கிறாம்ப்]] என்பவர் n! குறியீட்டை 1808 ஆம் ஆண்டில் முதன் முதலில்  அறிமுகப்படுத்தினார்.
 
 ==வரைவிலக்கணம்==
 தொடர் பெருக்கச் சார்பு பின்வருமா று வரையறுக்கப்படுகிறது:
 
 :&lt;math&gt; n!=\prod_{k=1}^n k \!&lt;/math&gt;
 
 அல்லது பின்வரும் தொடர்பின் மூலமும் இது தரப்படலாம்:
 
 :&lt;math&gt; n! = \begin{cases}
 1 &amp; \text{if } n = 0, \\
 (n-1)!\times n &amp; \text{if } n &gt; 0
 \end{cases}
 &lt;/math&gt;
 
 அடுக்கு விதியைப் பயன்படுத்தியும் பின்வருமாறு இதை வரையறுக்க முடியும்:
 
 :&lt;math&gt; n! = D^nx^n \;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/lec4.pdf&lt;/ref&gt;
 
 மேற்காட்டிய எல்லா வரைவிலக்கணங்களும் :&lt;math&gt;0! = 1, \ &lt;/math&gt; என்பதை உட்படுத்துகின்றன.
 
 ==பயன்பாடுகள்==
 பெரும்பாலும் சேர்மானவியலைச் சேர்ந்தது என்றாலும் கணிதத்தின் பல பிரிவுகளிலுள்ள வாய்ப்பாடுகளில்  தொடர் பெருக்கம் காணப்படுகிறது.
 
 * வெவ்வேறான ''n'' பொருட்களை வெவ்வேறான ''n''! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். அதாவது வெவ்வேறான ''n'' பொருட்களின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை ''n''! ஆகும்.
 * வரிசைப்படுத்தல் தவிர்க்கப்பட வேண்டுமென்பதற்காகப் பெரும்பாலும் தொடர் பெருக்கமானது வாய்ப்பாடுகளில் [[பின்னம்|பகுதியில்]] காணப்படும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 ''n'' பொருட்கள் கொண்ட [[கணம் (கணிதம்)|கணத்திலிருந்து]] ''k'' பொருட்களைத் தேர்வுசெய்து அவற்றை வரிசைப்படுத்தும் வழிகளின் எண்ணிக்கை:
 ::&lt;math&gt;n^{\underline k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)&lt;/math&gt;
 
 இந்த வழிகளில் தேர்வுகள் ஒவ்வொன்றிலும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட ''k'' பொருட்களை வரிசைப்படுத்தக்கூடிய ''k''! வெவ்வேறான வழிகளும் அடங்கும் எனபதால் வரிசைப்படுத்தலைத் தவிர்த்து, ''n'' பொருட்கள் கொண்ட [[கணம் (கணிதம்)|கணத்திலிருந்து]] ''k'' பொருட்களின் [[சேர்வு (கணிதம்)|சேர்வு]]களின் எண்ணிக்கைக்கான வாய்ப்பாடு:
 ::&lt;math&gt;\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots1} =\frac{n!}{(n-k)!}&lt;/math&gt;
 
 இந்த வாய்ப்பாடு {{nowrap|(1 + ''X'')&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}} விரிவில் ''X''&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt; இன் [[எண் கெழு|கெழு]]வாகவும் அமைவதால் [[ஈருறுப்புக் கெழு]] (&lt;math&gt;\tbinom nk&lt;/math&gt;) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
 * [[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] டெயிலரின் தேற்றத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
 
 டெயிலரின் தேற்றம்:&lt;ref&gt;{{ citation|first1=Angelo|last1=Genocchi|first2= Giuseppe|last2=Peano|title=Calcolo differenziale e principii di calcolo integrale|location=(N. 67, p.XVII-XIX)|publisher=Fratelli Bocca ed.|year=1884}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Citation | last1=Spivak | first1=Michael | author1-link=Michael Spivak | title=Calculus  | publisher=Publish or Perish | location=Houston, TX | edition=3rd | isbn=978-0-914098-89-8 | year=1994| page=383}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{springer|title=Taylor formula|id=p/t092300}}&lt;/ref&gt;
 
 ''k''&amp;nbsp;&amp;ge;&amp;nbsp;1 ஒரு [[முழு எண்]]; {{nowrap|''a'' &amp;isin; '''R'''}} புள்ளியில், [[சார்பு]] {{nowrap|''f'' : '''R''' &amp;rarr; '''R'''}} ''k'' தடவைகள் [[வகையிடத்தக்கச் சார்பு|வகையிடத்தக்கது]] எனில், {{nowrap|''h&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;'' : '''R''' &amp;rarr; '''R'''}} என்ற ஒரு சார்பு பின்வருமாறு இருக்கும்:
 :&lt;math&gt; f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k,&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt;\mbox{and}\quad\lim_{x\to a}h_k(x)=0&lt;/math&gt;
 * நிகழ்தகவின் பல வாய்ப்பாடுகளில் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 *[[பாய்சான் பரவல்|பாய்சான் பரவலின்]] [[நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு|நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின்]] வாய்ப்பாடு&lt;ref&gt;Probability and Stochastic Processes: A Friendly Introduction for Electrical and Computer Engineers, Roy D. Yates, David Goodman, page 60.&lt;/ref&gt;:
 :&lt;math&gt;\!f(k; \lambda)= \Pr(X=k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}&lt;/math&gt;
 இவ்வாய்ப்பாட்டில், 
 :தனித்த [[சமவாய்ப்பு மாறி]] ''X{{space}}''; ''λ'' &gt; 0;  ''k'' =0,1,2,…, [[E (கணித மாறிலி)|''e'']] = 2.71828....
 
 ==எண் கோட்பாடு==
 *&amp;nbsp;''n'' மற்றும் அதைவிடச் சிறியதான அனைத்து [[பகா எண்]]களாலும் ''n''&lt;nowiki&gt;!&lt;/nowiki&gt; வகுபடும். இதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் முடிவுகள்:
 **''n'' &gt; 5 ஒரு பகு எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே
 :&lt;math&gt;(n-1)!\ \equiv\ 0 \pmod n.&lt;/math&gt;
 **''p'' ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே
 :&lt;math&gt;(p-1)!\ \equiv\ -1 \pmod p&lt;/math&gt; (வில்சனின் தேற்றம்)
 
 *பகா எண்ணாகவும் தொடர் பெருக்கமாகவும் அமையும் ஒரே எண் 2.  &amp;nbsp;''n''!&amp;nbsp;±&amp;nbsp;1, என்ற வடிவிலமையும் எண்கள் [[காரணீயப் பகாஎண்]]களென அழைக்கப்படுகின்றன.
 *1! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டின் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை இரட்டை எண்களாகும். 5! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டு மற்றும் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை பத்தின் மடங்குகளாக இருக்கும்.
 
 ==தலைகீழிகளின் தொடர்==
 தொடர் பெருக்கங்களின் பெருக்கல் தலைகீழிகளாலான தொடர், [[ஒருங்கும் தொடர்|ஒருங்கும் தொடராக]] இருக்கும்:
 :&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24}  + \frac{1}{120} + \ldots = e\,.&lt;/math&gt;
 
 இத் தொடரின் கூடுதல் ஒரு [[விகிதமுறா எண்]] என்றாலும், தொடரின் உறுப்பிலுள்ள தொடர் பெருக்கங்களை நேர் முழு எண்களைக் கொண்டு பெருக்கி, தொடரை [[விகிதமுறு எண்]]ணைக் கூடுதலாகக் கொண்ட ஒருங்கு தொடராக மாற்றலாம்:
 :&lt;math&gt;\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2)n!} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+\frac{1}{144}\ldots=1\,.&lt;/math&gt;
 இதனால் தொடர் பெருக்கங்கள் [[விகிதமுறாத் தொடர்முறை]]களை அமைக்காது.&lt;ref&gt;{{citation |last=Guy | first=Richard K. | authorlink=Richard K. Guy | title=Unsolved problems in number theory | publisher=[[Springer-Verlag]] |edition=3rd | year=2004 |isbn=0-387-20860-7 | zbl=1058.11001 | contribution=E24 Irrationality sequences|page=346|url=http://books.google.com/books?id=1AP2CEGxTkgC&amp;pg=PA346 }}.&lt;/ref&gt;
 
 ==ஒத்த பிற பெருக்கங்களும் சார்புகளும்==
 கணிதத்தில் தொடர் பெருக்கம் போன்ற பிற பெருக்கங்களும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. அவை:
 
 ===பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம்===
 [[பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம்]] (primorial) என்பது, பகாஎண்களின் தொடர்பெருக்கச் சார்பாக அமையும். {{OEIS|id=A002110}}
 
 ''n'' வது பகா எண் ''p&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம் ''p&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;#'' என்பது முதல் ''n'' பகா எண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:&lt;ref name=&quot;mathworld&quot;&gt;{{Mathworld | urlname=Primorial | title=Primorial}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;OEIS A002110&quot;&gt;{{OEIS|id=A002110}}&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k&lt;/math&gt;
 
 ''p&lt;sub&gt;k&lt;/sub&gt;'' என்பது ''k'' -வது பகா எண்.
 
 எடுத்துக்காட்டாக:
 :&lt;math&gt;p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.&lt;/math&gt;
 
 முதல் ஆறு பகாஎண் தொடர்பெருக்கங்கள்:
 :1, 2, 6, 30, 210, 2310.
 (இதில் ''p&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;#'' = 1 என [[வெற்றுப் பெருக்கம்|வெற்றுப் பெருக்கமாகக்]] கொள்ளப்படுகிறது.))
 
 பொதுவாக ஏதேனுமொரு [[இயல் எண்]]ணிற்கு கீழ்க்காண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
 
 ஒரு நேர் முழு எண் ''n'' இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம் ''n#'' என்பது ''n'' -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:&lt;ref name=&quot;mathworld&quot; /&gt;&lt;ref name=&quot;OEIS A034386&quot;&gt;{{OEIS|id=A034386}}&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\# &lt;/math&gt;
 
 இங்கு, &lt;math&gt;\scriptstyle\pi(n)&lt;/math&gt; [[பகாஎண்-எண்ணும் சார்பு]] {{OEIS|id=A000720}},  ''n'' -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களைத் தருகிறது.
 
 இவ்வரையறை கீழுள்ள வரையறைக்கு ஈடானதாகும்:
 :&lt;math&gt;
 n\# = 
 \begin{cases}
     1 &amp; \text{if }n = 1 \\
     n \times ((n-1)\#) &amp; \text{if }n &gt; 1\ \And\ n \text{ is prime} \\
     (n-1)\# &amp; \text{if }n &gt; 1\ \And\ n \text{ is composite}.
 \end{cases}
 &lt;/math&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டாக, 12# என்பது  12க்கும் குறைந்த பகாஎண்களின் தொடர்பெருக்கம்:
 
 :&lt;math&gt;12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.&lt;/math&gt;
 
 ===இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்===
 ஒற்றை நேர் எண் ''n'' வரையிலான ஒற்றை எண்களின் பெருக்கம் ’இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்’ (double factorial) எனப்படும். இதன் குறியீடு ''n''&lt;nowiki&gt;!!&lt;/nowiki&gt;.&lt;ref name=&quot;callan&quot;&gt;{{citation|title=A combinatorial survey of identities for the double factorial|first=David|last=Callan|arxiv=0906.1317|year=2009}}.&lt;/ref&gt; 
 :&lt;math&gt;(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1) = \frac{(2k)!}{2^k k!} = \frac {_{2k}P_k} {2^k} = \frac {{(2k)}^{\underline k}} {2^k}.&lt;/math&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டு: 
 :9!!&amp;nbsp;=&amp;nbsp;1&amp;nbsp;×&amp;nbsp;3&amp;nbsp;×&amp;nbsp;5&amp;nbsp;×&amp;nbsp;7&amp;nbsp;×&amp;nbsp;9 =&amp;nbsp;945.
 
 ''n''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;1,&amp;nbsp;3,&amp;nbsp;5,&amp;nbsp;7,&amp;nbsp;...  எனில் இரட்டைத் தொடர்பெருக்கங்களின் தொடர்முறை:
 : 1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, .... {{OEIS|id=A001147}}
 
 [[முக்கோணவியல் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல்|முக்கோணவியல் தொகையீட்டில்]] இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{citation
  | last = Meserve | first = B. E.
  | doi = 10.2307/2306136
  | issue = 7
  | journal = The American Mathematical Monthly
  | mr = 1527019
  | pages = 425–426
  | title = Classroom Notes: Double Factorials
  | volume = 55
  | year = 1948}}&lt;/ref&gt;
 
 ===பல்தொடர்பெருக்கம்===
 எதிரிலா முழு எண்களின் ''k''-வது தொடர்பெருக்கம் &lt;math&gt;n!^{(k)}&lt;/math&gt;:
 :&lt;math&gt;
   n!^{(k)}=
   \left\{
    \begin{matrix}
     1,\qquad\qquad\ &amp;&amp;\mbox{if }0\le n&lt;k,
    \\
     n((n-k)!^{(k)}),&amp;&amp;\mbox{if }n\ge k\,,\quad\ \ \,
    \end{matrix}
   \right.
  &lt;/math&gt;
 
 தொடர்பெருக்கம் &lt;math&gt;n!&lt;/math&gt; எதிர் எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படாதது போல, இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் &lt;math&gt;n!!&lt;/math&gt; எதிர் இரட்டை எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை; பல்தொடர்பெருக்கம் &lt;math&gt;n!^{(k)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; ஆல் வகுபடும் எதிர் முழுஎண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 [[பகுப்பு:புள்ளியியல்]]
 [[பகுப்பு:சேர்வியல்]]