1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
[[Image:Geometric series 14 ell.png|right|thumb|ஆர்க்கமெடசின் படம்: ''a''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;{{sfrac|3|4}}]]
 கணிதத்தில் {{nowrap |'''{{sfrac|1|4}} + {{sfrac|1|16}} + {{sfrac|1|64}} + {{sfrac|1|256}} + ⋯'''}} என்பது, [[கணிதத்தின் வரலாறு|கணித வரலாற்றிலேயே]] கூட்டுத்தொகை கணக்கிடப்பட்ட முதல் [[தொடர் (கணிதம்)|முடிவிலாத் தொடராகும்]]; சுமார் கிமு 250–200&amp;nbsp; காலத்தில் கணிதவியலாளர் [[அர்க்கிமெடெசு|ஆர்க்கமெடசால்]] பயன்படுத்தப்பட்டது.{{sfn|Shawyer|Watson|1994|p=3}}  
 
 இது முதல் உறுப்பாக {{sfrac|1|4}}, பொதுவிகிதமாக {{sfrac|1|4}} கொண்ட ஒரு பெருக்குத்தொடராகும். எனவே முடிவிலாப் பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகைக்கான வாய்பாட்டை பயன்படுத்திக் கூடுதல் காண: 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4^n}=\frac {\frac 1 4} {1 - \frac 1 4} = \frac 1 3. &lt;/math&gt;
 
 ==படவழி விளக்கங்கள்==
 [[Image:Geometric series 14 square2.svg|thumb|3''s''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;1.]]
 ஒரு [[சதுரம்|சதுரத்தை]] அதன் பரப்பளவில் {{sfrac|1|4}} பங்கு பரப்பளவுகொண்ட [[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)|வடிவொத்த]] நான்கு சதுரங்களாகப் பிரிக்கலாம். இது முக்கோணத்திற்கும் பொருந்தும். எனவே {{nowrap|{{sfrac|1|4}} + {{sfrac|1|16}} + {{sfrac|1|64}} + {{sfrac|1|256}} + ⋯}} தொடரை படங்கள் மூலமாக எளிதாக விளக்கமுடியும்.
 
 முதல் படத்தில்{{sfnm
  | 1a1 = Nelsen | 1a2 = Alsina | 1y = 2006 | 1p = 74
  | 2a1 = Ajose | 2a2 = Nelsen | 2y = 1994 | 2p = 230}} மிகப் பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவை 1 அலகு எனக்கொண்டால்: 
 :படத்திலுள்ள மிகப்பெரிய கருப்பு சதுரத்தின் பரப்பளவு {{sfrac|1|2}}&amp;nbsp;×&amp;nbsp;{{sfrac|1|2}}&amp;nbsp;=&amp;nbsp;{{sfrac|1|4}}.
 :இதேபோல இரண்டாவது பெரிய கருப்பு சதுரத்தின் பரப்பளவு {{sfrac|1|16}}; மூன்றாவது பெரிய கருப்பு சதுரத்தின் பரப்பளவு {{sfrac|1|64}} எனச் சென்றுகொண்டே இருக்கும்.
 :எனவே, படத்திலுள்ள அனைத்து கருப்பு சதுரங்களின் மொத்தப் பரப்பளவு {{nowrap|{{sfrac|1|4}} + {{sfrac|1|16}} + {{sfrac|1|64}} + ⋯}} ஆகும்.
 
 இதே முடிவு படத்திலுள்ள அடர்சாம்பல்நிறச் சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலுக்கும் வெள்ளை சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல்களாகவும் இருக்கும். இம்மூன்று நிறச் சதுரங்கள் மொத்தமும் சேர்ந்து மூலச் சதுரத்தை முழுவதாக நிரப்பும் என்பதால் அம்மூன்று வண்ணச் சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல்:
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; 3\left(\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots\right) = 1.&lt;/math&gt;
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \left(\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots\right) = \frac{1}{3}.&lt;/math&gt;
 
 [[Image:Geometric series triangle.svg|right|thumb|3''s'' = 1 ]]
 மேற்கூறிய பண்பு சதுரத்திற்கு மட்டுமல்லாது [[முக்கோணம்|முக்கோணத்திற்கும்]] பொருந்தும் என்பதால்:
 
 இரண்டாவது படத்தில்,{{sfnm
  | 1a1 = Nelsen | 1a2 = Alsina | 1y = 2006 | 1p = 74
  | 2a1 = Stein | 2y = 1999 | 2p = 46
  | 3a1 = Mabry | 3y = 1999 | 3p = 63}} மிகப் பெரிய முக்கோணத்தின் பரப்பளவை 1 அலகு எனக்கொண்டால், 
 
 :படத்திலுள்ள மிகப்பெரிய கருப்பு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு {{sfrac|1|2}}&amp;nbsp;×&amp;nbsp;{{sfrac|1|2}}&amp;nbsp;=&amp;nbsp;{{sfrac|1|4}}.
 :இதேபோல இரண்டாவது பெரிய கருப்பு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு {{sfrac|1|16}}; மூன்றாவது பெரிய கருப்பு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு {{sfrac|1|64}} எனச் சென்றுகொண்டே இருக்கும்.
 
 :எனவே, படத்திலுள்ள அனைத்து கருப்பு முக்கோணங்களின் மொத்தப் பரப்பளவு{{nowrap|{{sfrac|1|4}} + {{sfrac|1|16}} + {{sfrac|1|64}} + ⋯}} ஆகும்.
 
 இதே முடிவு படத்திலுள்ள அடர்சாம்பல்நிறச் முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலுக்கும் வெள்ளை முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலுக்கும் பொருந்தும். இம்மூன்று நிறச் முக்கோணங்கள் மொத்தமும் சேர்ந்து மூல முக்கோணத்தை முழுவதாக நிரப்பும் என்பதால் அம்மூன்று வண்ண முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல் மூல முக்கோணத்தின் பரப்பளவான 1 அலகாக இருக்கும்.
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; 3\left(\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots\right) = 1.&lt;/math&gt;
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \left(\frac14+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{4^4}+\cdots\right) = \frac{1}{3}.&lt;/math&gt;
 
 ஆர்க்கமெடசின் விளக்கம், சற்றே மாறுபட்ட ஆனால் மேலுள்ள சமன்பாட்டிற்கு மிகவும் நெருங்கியதாகும்:
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{4^n}=\frac34+\frac{3}{4^2}+\frac{3}{4^3}+\frac{3}{4^4}+\cdots = 1.&lt;/math&gt;
 
 ==ஆர்க்கமெடசின் நிறுவல்==
 [[Image:Quadrature.png|250px|thumb|பரவளைவு; அதன் [[வெட்டுக்கோடு]] ''AE'' இன் மீதுள்ள புள்ளிகள் சம இடைவெளியில் அமைந்துள்ளன.  ''ABC'', ''CDE'' முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல்  ''ACE'' முக்கோணத்தின் பரப்பளவில் {{sfrac|1|4}} பங்காக இருப்பதை ஆர்க்கமெடசு நிறுவினார். பின்னர் இவற்றின் மீது மேலும் நான்கு முக்கோணங்களை அமைத்தார். அவற்றின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலானது ''ABC'',  ''CDE'' முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலின் {{sfrac|1|4}} பங்கு. அடுத்து அவற்றின் மீது இதே பண்பை நிறைவு செய்யும் எட்டு முக்கோணங்களை அமைத்தார். இதே முறையில் முக்கோண அமைப்பைப் தொடர, வெட்டுக்கோட்டிற்கும் பரவளைவுக்கும் இடைப்பட்ட பரப்பளவானது ''ACE'' முக்கோணத்தின் பரப்பளவைப் போல {{sfrac|4|3}} மடங்காக உள்ளதைக் கண்டறிந்தார்.]]
 
 ஆர்க்கமெடஸ் அவரது &quot;பரவளைவின் சதுர சரிவீடு&quot; (Quadrature of the Parabola) நூலில் இந்தத் தொடர் வரக்கண்டார். அவர் ஒரு [[பரவளைவு|பரவளையத்தின்]] உட்பரப்பளவை நீக்கல்முறையில் கண்டுபிடித்தார். பரவளையத்துக்குள் தொடர்ச்சியாக முக்கோணங்களை அமைத்தார். அமைப்பின் ஒவ்வொரு நிலையிலும்  முந்தையை நிலையின் பரப்பளவில் {{sfrac|1|4}} மடங்கைக் அதிகரித்தார். மொத்த பரப்பளவு அதன் துவக்க அமைப்புநிலையின் பரப்பளவைப்போல {{sfrac|4|3}} மடங்காக இருக்கவேண்டும் என்பதே அவரது விருப்பம். இதனை அடைவதற்கு அவர் கீழ்வரும் துணைக்கோளை அறிமுகப்படுத்தினார்:
 
 &lt;blockquote&gt;'''கூற்று 23.'''
 
 {{nowrap|''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ... , ''Z''}} என்பவை தரப்பட்ட பரப்பளவுகள்; இவற்றுள் ''A'' -மிகப் பெரிய பரப்பளவு; ஒவ்வொரு பரப்பளவும் அதற்கடுத்ததன் பரப்பளவில் நான்கு மடங்கு எனில், ஆஅர்க்கமெடசின் கூற்று:&lt;ref&gt;This is a quotation from the English translation of {{harvnb|Heath|1953|p=249}}.&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; A + B + C + D + \cdots + Z + \frac13 Z = \frac43 A.&lt;/math&gt;&lt;/blockquote&gt;
 
 இக்கூற்றினை நிறுவ, ஆர்க்கமெடசு முதலில் பின்வருவதை நிறுவிக்கொண்டார்:
 
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{array}{rcl}
 \displaystyle B+C+\cdots+Z+\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots+\frac{Z}{3} &amp; = &amp;\displaystyle \frac{4B}{3}+\frac{4C}{3}+\cdots+\frac{4Z}{3} \\[1em]
   &amp; = &amp;\displaystyle \frac13(A+B+\cdots+Y).
 \end{array}&lt;/math&gt;
 
 மேலும்,
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\frac{B}{3}+\frac{C}{3}+\cdots+\frac{Y}{3} = \frac13(B+C+\cdots+Y).&lt;/math&gt;
 
 பின்னர், இரண்டாவது சமன்பாட்டை முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்க:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;B+C+\cdots+Z+\frac{Z}{3} = \frac13 A&lt;/math&gt;
 
 இருபுறமும் ''A'' ஐக் கூட்டத் தேவையான முடிவு கிடைக்கிறது.&lt;ref&gt;This presentation is a shortened version of {{harvnb|Heath|1953|p=250}}.&lt;/ref&gt;
 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;A+B+C+\cdots+Z+\frac{Z}{3} = A+\frac13 A =\frac43 A &lt;/math&gt;
 
 ஆர்க்கமெடசின் இக்கூற்றின் இன்றைய வடிவம்:
 
 {{nowrap|1 + {{sfrac|1|4}} + {{sfrac|1|16}} + ⋯}} தொடரின் பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகள்:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt; 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{4^n}=\frac{1-\left(\frac14\right)^{n+1}}{1-\frac14}.&lt;/math&gt;
 
 இருபுறமும் 1&amp;nbsp;−&amp;nbsp;{{sfrac|1|4}} ஆல் பெருக்க, இடதுபுறமுள்ள உறுப்புகளில் முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்புகள் தவிர்த்த பிற உறுப்புகள் ஒன்றுக்கொன்று நீங்கலாகி விடுகின்றன.
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{refbegin|2}}
 * {{cite journal
  | last1 = Ajose | first1 = Sunday 
  | last2 = Nelsen | first2 = Roger
  | title = Proof without Words: Geometric Series
  | url = https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1994-06_67_3/page/230 | doi = 10.2307/2690617
  | journal = Mathematics Magazine
  | volume = 67
  | issue = 3
  | pages = 230
  | jstor = 2690617
  | date = June 1994}}
 * {{cite book
  | last = Heath | first = T. L.
  | title = The Works of Archimedes
  | year = 1953
  | orig-year = 1897
  | publisher = [[கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]]
 }} Page images at {{cite web
  | last = Casselman | first = Bill
  | title = Archimedes' quadrature of the parabola
  | url = http://www.math.ubc.ca/~cass/archimedes/parabola.html
  | access-date = 2007-03-22
  | archive-date = 2012-03-20
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20120320124529/http://www.math.ubc.ca/~cass/archimedes/parabola.html
  | url-status = dead
 }} HTML with figures and commentary at {{cite web
  | last = Otero | first = Daniel E.
  | year = 2002
  | title = Archimedes of Syracuse
  | url = http://www.cs.xu.edu/math/math147/02f/archimedes/archpartext.html
  | access-date = 2007-03-22
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20070307141104/http://www.cs.xu.edu/math/math147/02f/archimedes/archpartext.html
  | archive-date = 7 March 2007 &lt;!--Added by DASHBot--&gt;
 }}
 * {{cite journal
  | last = Mabry | first = Rick
  | title = Proof without Words: &lt;math display = &quot;inline&quot;&gt; \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right)^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^3 + \dots = \frac{1}{3} &lt;/math&gt;.
  | journal = Mathematics Magazine
  | volume = 72
  | issue = 1
  | pages = 63
  | jstor = 2691318
  | date = February 1999
  | doi = 10.1080/0025570X.1999.11996702
 }}
 * {{cite book
  | last1 = Nelsen | first1 = Roger B.
  | last2 = Alsina | first2 = Claudi
  | title = Math Made Visual: Creating Images for Understanding Mathematics
  | url = https://archive.org/details/mathmadevisualcr0000alsi | year = 2006
  | publisher = [[அமெரிக்கக் கணிதவியல் சங்கம்]]
  | isbn = 0-88385-746-4
 }}
 * {{cite book
  | last1 = Shawyer | first1 = Bruce
  | first2 = Bruce | last2 = Watson
  | title = Borel's Methods of Summability: Theory and Applications
  | publisher = [[ஒக்ஸ்போர்ட் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]]
  | year = 1994
  | isbn = 0-19-853585-6
 }}
 *{{cite book
  | last = Stein | first = Sherman K. | author-link = Sherman K. Stein
  | title = Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka?
  | publisher = [[அமெரிக்கக் கணிதவியல் சங்கம்]]
  | year = 1999
  | isbn = 0-88385-718-9
  | url-access = registration
  | url = https://archive.org/details/archimedeswhatdi00stei
 }} 
 * {{cite journal
  | last1 = Swain | first1 = Gordon
  | last2 = Dence | first2 = Thomas
  | title = Archimedes' Quadrature of the Parabola Revisited
  | url = https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1998-04_71_2/page/123 | journal = Mathematics Magazine
  | volume = 71
  | issue = 2
  | pages = 123–30
  | doi = 10.2307/2691014
  | jstor = 2691014
  | date = April 1998}}
 {{refend}}
 
 [[பகுப்பு:வார்த்தைகளற்ற நிறுவல்கள்]]