இசுடர்லிங் சுழல் எண்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] [[ஸ்டர்லிங் எண்]] என்பது இரண்டு வகையாகப் புழங்குகிறது. அவைகளில் ஒரு'' n''-கணத்தை ''k'' [[சுழல்]]களாகப் பிரிக்கக்கூடிய  வழிகளின் எண்ணிக்கை  '''முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்''' அல்லது '''இசுடர்லிங் சுழல் எண்''' எனப் பெயர் பெறும்.அதாவது எத்தனை [[திரிபு (கணிதம்)|''n''-வரிசைமாற்றங்கள்]] ''k'' சுழல்களாலானவை என்ற எண்தான் இது. இதற்குக் குறியீடு  s(n,k) என்றோ அல்லது  
 &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 n\\
 k
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; என்றோ பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதை  n-cycle-k என்றோ n-சுழல்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம். 
 
 எடுத்துக்காட்டாக, &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 4\\
 3
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; = 6&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;{{Cite book |last=Wilf |first=Herbert S. |title=Generatingfunctionology |date=1990 |publisher=Academic Press |year=1990 |isbn=978-148324857-8 |location=San Diego, CA, USA |pages=73}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;:1&quot;&gt;{{Cite journal |last=Knuth |first=Donald E. |date=1992 |title=Two Notes on Notation |url=https://www.jstor.org/stable/2325085 |journal=American Mathematical Monthly |volume=99 |issue=5 |pages=403-422 |via=JSTOR}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal |last1=Rényi |first1=Alfred |date=1962 |title=Théorie des éléments saillants d'une suite d'observations |url=http://www.numdam.org/item/ASCFM_1962__8_2_7_0/ |journal=Annales scientifiques de l'Université de Clermont. Mathématiques |volume=Tome 8 |issue=2 |pages=7–13}}&lt;/ref&gt;
 
 ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் மூன்றுசுழற்பிரிவுகள்:
 
 :  '''a/b/cd;  a/c/bd;  a/d/bc;  b/c/ad;  b/d/ac;  c/d/ab'''
 
 இவ்வெண்களின் முதல் சில மதிப்புகளின் அட்டவணையை [[ஸ்டர்லிங் எண்கள்]] என்ற கட்டுரையில் பார்க்கவும்.
 
 ==மீள்வரு தொடர்பு==
 
 n &gt; 0 என்றால்,
 
 :&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 n\\
 k
 \end{bmatrix} =  (n-1) \begin{bmatrix}
 n - 1\\
 k
 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
 n - 1\\
 k - 1
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
 
 n பொருள்களை    k சுழல்கள் உள்ள திரிபுகளாகச்செய்யும் செயலில், முதல் பட்சமாக    &lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt; என்ற ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளை  ஒற்றை உறுப்புச்சுழலாக வைத்திருக்கலாம். இப்பட்சம்  &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 n-1\\
 k-1
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; வழிகளில்  ஏற்படக்கூடியது.
 
 இரண்டாவது பட்சமாக &lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt; மற்ற ஏதாவதொரு சுழலில் ஓருறுப்பாக இருக்கவேண்டும்.  மற்ற சுழல்களின் எண்ணிக்கை &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 n-1\\
 k
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;. இவைகளில் &lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt; ஓருறுப்பாக இருக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணிப்பதற்கு முதலில் நாம் குறிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளவேண்டியது, ஒரு r-சுழலில் ஒரு புது உறுப்பை r வழிகளில் சேர்க்கலாம் என்பதுதான். k சுழல்களில் எதுவும் இந்த &lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt; ஐ ஏற்றுக்கொள்ளலாம்.இச்சுழல்களின் நீளங்கள்  &lt;math&gt;r_1, r_2, ... , r_k&lt;/math&gt; ஆக வெவ்வேறாக இருந்தாலும் &lt;math&gt;r_1 + r_2 + ... + r_k = n-1&lt;/math&gt; என்பது நிச்சயம். அதனால் &lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt; ஐ  &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 n-1\\
 k
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt; சுழல்களில் ஏதாவதொரு சுழலில் சேர்ப்பதற்கு  (n-1) வழிகள் உள்ளன.
 
 இவ்விரண்டு பட்சங்களின் உருவகம் தான் மீள்வரு தொடர்பு  (Recurrence Relation)
 
 ==ஏறுமுகக் காரணியத்துடன் உறவு==
 
 :n &gt; 0 ஆக இருக்குமானால்,
 
 : (*): &lt;math&gt;x(x + 1)(x + 2) ... (x + n - 1) = \sum_{k} \begin{bmatrix}
 n\\
 k
 \end{bmatrix} x^k&lt;/math&gt;.
 
 இதனுடைய நிறுவல் உய்த்தறிதல்  (Induction) முறையில் செய்யப்படுகிறது. முதலில் ஒரு குறியீடு.
 
 : &lt;math&gt;[x]^k = x(x+1)(x+2) ... (x+k-1)&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;[x]^1 = x&lt;/math&gt;
 
 :  &lt;math&gt;[x]^2 = x(x+1) = \begin{bmatrix}
 2\\
 2
 \end{bmatrix} x^2  +  \begin{bmatrix}
 2\\
 1
 \end{bmatrix} x &lt;/math&gt; 
 இவை உய்த்தறிதல் முறையின் முதல் படிகள்.  k-ஆம் படியிலிருந்து      k+1- ஆம் படிக்குச்செல்வதற்கு, நாம்
 
 :  &lt;math&gt;(x+n-1) x^k = x^{k+1} + (n-1) x^k&lt;/math&gt;
 
 யை பயன்படுத்தவேண்டியிருக்கும்.
 
 ==இறங்குமுகக் காரணியத்துடன் உறவு==
 
 (*) இல் x ஐ  (-x) ஆக மாற்றினால், கிடைப்பது:
 
 :n &gt; 0 ஆக இருக்குமானால்,
 
 : (*): &lt;math&gt;x(x - 1)(x - 2) ... (x - n + 1) = \sum_{k} \begin{bmatrix}
 n\\
 k
 \end{bmatrix} (-1)^{n-k} x^k&lt;/math&gt;
 
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
 
 [[ஸ்டர்லிங் உட்கண எண்]]
 
 [[பகுப்பு:சேர்வியல்]]
 [[பகுப்பு:குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்]]
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}