முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள்''' (''Trigonometric identities'') என்பவை [[முக்கோணவியல் சார்புகள்|முக்கோணவியல் சார்புகளைக்]] கொண்ட முற்றொருமைகள் ஆகும். இம்முற்றொருமைகள், அவற்றில் உள்ள [[மாறி]]களின் ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் உண்மையாக இருக்கும். [[முக்கோணவியல்]] முற்றொருமைகள் [[முக்கோணம்|முக்கோணங்களின்]] [[கோணம்|கோணங்கள்]] மற்றும் பக்கங்களைக் கொண்டு அமையும். இக்கட்டுரையில் கோணங்களை மட்டும் கொண்டுள்ள முற்றொருமைகள் தரப்பட்டுள்ளன. முக்கோணவியல் சார்புகள் அடங்கிய கோவைகளைச் சுருக்குவதற்கும் எளிமையானவையாக மாற்றுவதற்கும் இம்முற்றொருமைகள் பயன்படுகின்றன. முக்கியமாக முக்கோணவியல் சார்புகள் அல்லாத சார்புகளின் [[தொகையீடு]] காண்பதற்கு இவை பெரிதும் பயன்படுகின்றன. தொகையிட வேண்டிய சார்புகளுக்குப் பதில், பொருத்தமான் முக்கோணவியல் சார்புகளைப் பிரதியிட்டுப் பின் அவற்றை முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்திச் சுருக்க தொகையிடல் எளிமையானதாக ஆகிவிடும்.
 
 ==குறியீடுகள்==
 
 ===கோணங்கள்===
 
 இக்கட்டுரையில் கோணங்களைக் குறிக்க, [[கிரேக்கம்|கிரேக்க]] எழுத்துக்களான ஆல்ஃபா (''&amp;alpha;''), பீட்டா (''&amp;beta;''), காமா (''&amp;gamma;''), மற்றும் தீட்டா (''&amp;theta;'') பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. கோணங்களின் வெவ்வேறு அலகுகளும் அவற்றின் மாற்றல் அட்டவணையும்:
 : ஒரு முழுவட்டம் &amp;nbsp; = &amp;nbsp;360&amp;nbsp;[[பாகை (அலகு)|பாகைகள்]]&amp;nbsp; = &amp;nbsp;2&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt; [[ரேடியன்]]கள் &amp;nbsp; = &amp;nbsp; 400 கிரேடுகள்.
 
 {|class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;background-color: #FFFFFF; text-align: center;&quot;
 |-
 ! பாகை
 | 30° || 60° || 120° || 150°
 | 210° || 240° || 300° || 330°
 |-
 ! ரேடியன்
 | &lt;math&gt;\frac\pi6\!&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac\pi3\!&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{2\pi}3\!&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{5\pi}6\!&lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\frac{7\pi}6\!&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{4\pi}3\!&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{5\pi}3\!&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{11\pi}6\!&lt;/math&gt;
 |-
 ! கிரேடு
 | 33⅓ கிரேடு || 66⅔ கிரேடு || 133⅓ கிரேடு || 166⅔ கிரேடு
 | 233⅓ கிரேடு || 266⅔ கிரேடு || 333⅓ கிரேடு || 366⅔ கிரேடு
 |-
 |colspan=&quot;9&quot;|
 |-
 ! பாகை
 | 45° ||bgcolor=&quot;#F8F8FF&quot;| 90° || 135° ||bgcolor=&quot;#F8F8FF&quot;| 180°
 | 225° || 270° || 315° ||bgcolor=&quot;#F8F8FF&quot;| 360°
 |-
 ! ரேடியன்
 | &lt;math&gt;\frac\pi4\!&lt;/math&gt; ||bgcolor=&quot;#F8F8FF&quot;| &lt;math&gt;\frac\pi2\!&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{3\pi}4\!&lt;/math&gt; ||bgcolor=&quot;#F8F8FF&quot;| &lt;math&gt;\pi\!&lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\frac{5\pi}4\!&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{3\pi}2\!&lt;/math&gt; || &lt;math&gt;\frac{7\pi}4\!&lt;/math&gt; ||bgcolor=&quot;#F8F8FF&quot;| &lt;math&gt;2\pi\!&lt;/math&gt;
 |-
 ! கிரேடு
 | 50 கிரேடு ||bgcolor=&quot;#F8F8FF&quot;| 100 கிரேடு || 150 கிரேடு ||bgcolor=&quot;#F8F8FF&quot;| 200 கிரேடு
 | 250 கிரேடு || 300 கிரேடு || 350 கிரேடு ||bgcolor=&quot;#F8F8FF&quot;| 400 கிரேடு
 |}
 ஒரு கோணத்தின் அலகைப் பற்றி எதுவுமே குறிக்கப்பட வில்லை என்றால் அதன் அலகு, ரேடியன் என எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.
 
 ===முக்கோணவியல் சார்புகள்===
 
 ஒரு கோணத்தின் [[சைன் (முக்கோணவியல்)|சைன்]] மற்றும் [[கோசைன் (முக்கோணவியல்)|கோசைன்]] சார்புகள் முதன்மையான முக்கோணவியல் சார்புகள்.
 
 கோணம் ''&amp;theta;'' என்க: 
 * சைன் சார்பு: &lt;math&gt;\sin\theta \,&lt;/math&gt; 
 * கோசைன் சார்பு: &lt;math&gt;\cos\theta \,&lt;/math&gt;
 * டேன்ஜெண்ட் சார்பு:
 :&lt;math&gt;\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.&lt;/math&gt;
 மற்ற சார்புகள், [[சீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்)|சீக்கெண்ட்]] (sec), [[கோசீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்)|கோசீக்கெண்ட்]] (csc), [[கோடேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்)|கோடேன்ஜெண்ட்]] (cot) ஆகியவை முறையே கோசைன், சைன், [[டேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்)|டேன்ஜெண்ட்]] சார்புகளின் [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]] தலைகீழிகளாகும்.
 :&lt;math&gt;\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.&lt;/math&gt;
 
 ===நேர்மாறுச் சார்புகள்===
 
 [[நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்|நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின்]] குறியீடு:
 {|class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;background-color: #FFFFFF; text-align: center;&quot;
 |-
 ! சார்பு
 | sin
 | cos
 | tan
 | sec
 | csc
 | cot
 |-
 ! நேர்மாறு
 | arcsin
 | arccos
 | arctan
 | arcsec
 | arccsc
 | arccot
 |}
 
 ==பித்தாகரசின் முற்றொருமை==
 
 [[பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை]], சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளுக்கிடையேயான அடிப்படைத் தொடர்பாகும்.
 
 :&lt;math&gt;\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\!&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\cos^2\theta&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;(\cos\theta)^2&lt;/math&gt; -வையும் மற்றும் {{math|sin&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ''θ''}} என்பது {{math|(sin(''θ''))&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}} -வையும் குறிக்கும்..
 
 இந்த முற்றொருமையிலிருந்து சைன் மதிப்பு அல்லது கோசைன் மதிப்பைப் பின்வருமாறு பெறலாம்:
 
 :&lt;math&gt;\sin\theta = \pm \sqrt{1-\cos^2\theta} \quad \text{and} \quad \cos\theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}. \, &lt;/math&gt;
 
 ===தொடர்புடைய முற்றொருமைகள்===
 
 [[பித்தாகரஸ்|பித்தாகரசின்]] முற்றொருமையை, {{math|cos&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ''θ''}} அல்லது {{math|sin&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ''θ''}} -வால் வகுக்க பின்வரும் இரண்டு முற்றொருமைகள் கிடைக்கும்:
 :&lt;math&gt;1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\quad\text{and}\quad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta.\!&lt;/math&gt;
 
 இவற்றையும் அடிப்படை [[விகிதம்|விகித]] [[வரையறை]]களையும் பயன்படுத்தி, எந்தவொரு முக்கோணவியல் சார்பையும் பிற முக்கோணவியல் சார்புகளின் வாயிலாக எழுதமுடியும்:
 
 &lt;center&gt;
 {| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;background-color:#FFFFFF;text-align:center&quot;
 |+ ஒவ்வொரு முக்கோணவியல் சார்பும் மற்ற ஐந்தின் வாயிலாக.&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;73, 4.3.45&lt;/ref&gt;
 ! வாயிலாக
 ! scope=&quot;col&quot; | &lt;math&gt; \sin \theta\!&lt;/math&gt;
 ! scope=&quot;col&quot; | &lt;math&gt; \cos \theta\!&lt;/math&gt;
 ! scope=&quot;col&quot; | &lt;math&gt; \tan \theta\!&lt;/math&gt;
 ! scope=&quot;col&quot; | &lt;math&gt; \csc \theta\!&lt;/math&gt;
 ! scope=&quot;col&quot; | &lt;math&gt; \sec \theta\!&lt;/math&gt;
 ! scope=&quot;col&quot; | &lt;math&gt; \cot \theta\!&lt;/math&gt;
 |-
 ! &lt;math&gt;   \sin \theta =\!&lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;   \sin \theta\ &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;   \frac{1}{\csc \theta}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\! &lt;/math&gt;
 |-
 ! &lt;math&gt;   \cos \theta =\!&lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;   \cos \theta\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;   \frac{1}{\sec \theta}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\! &lt;/math&gt;
 |-
 ! &lt;math&gt;   \tan \theta =\!&lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\cos \theta}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;   \tan \theta\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{1}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\sqrt{\sec^2 \theta - 1}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;   \frac{1}{\cot \theta}\! &lt;/math&gt;
 |-
 ! &lt;math&gt;   \csc \theta =\!&lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;   \frac{1}{\sin \theta}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}{\tan \theta}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;   \csc \theta\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{\sec \theta}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\sqrt{1 + \cot^2 \theta}\! &lt;/math&gt;
 |-
 ! &lt;math&gt;   \sec \theta =\!&lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}\! &lt;/math&gt;&lt;center&gt;
 | &lt;math&gt;   \frac{1}{\cos \theta}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\sqrt{1 + \tan^2 \theta}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{\csc \theta}{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;   \sec \theta\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}{\cot \theta}\! &lt;/math&gt;
 |-
 ! &lt;math&gt;   \cot \theta =\!&lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}{\sin \theta}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;   \frac{1}{\tan \theta}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\sqrt{\csc^2 \theta - 1}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\pm\frac{1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}\! &lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;   \cot \theta\! &lt;/math&gt;
 |}&lt;/center&gt;
 
 ==வரலாற்று சுருக்கெழுத்துக்கள்==
 [[Image:Circle-trig6.svg|300px|right|thumb|''&amp;theta;'' கோணத்தின் அனைத்து முக்கோணவியல் சார்புகளும் வடிவியல் வரைமுறையில் ஓரலகு வட்டத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.]]
 ''வெர்சைன்'' (versine), ''கோவெர்சைன்'' (coversine), ''ஹாவெர்சைன்'' (haversine) மற்றும் ''எக்ஸ்சீக்கெண்ட்'' (exsecant) ஆகியவை பண்டைய காலத்தில் கடல் பயண வழிகாட்டுதலில் பயன்படுத்தப்பட்டன. [[கோளம்|கோளத்தின்]] மீது அமையும் இரு [[புள்ளி]]களுக்கு இடையேயுள்ள தூரத்தைக் கணக்கிட ''ஹாவெர்சைன்'' [[வாய்ப்பாடு]] பயன்படுத்தப்பட்டது. இப்பொழுது இவற்றின் பயன்பாடு அரிதாகி விட்டது.
 {|class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;background-color:#FFFFFF&quot;
 |-
 ! பெயர்
 ! சுருக்கம்
 ! மதிப்பு&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;78, 4.3.147&lt;/ref&gt;
 |-
 |  வெர்சைன்
 || &lt;math&gt;\operatorname{versin}(\theta)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\operatorname{vers}(\theta)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\operatorname{ver}(\theta)&lt;/math&gt;
 || &lt;math&gt;1 - \cos (\theta)&lt;/math&gt;
 |-
 |  வெர்கோசைன்
 || &lt;math&gt;\operatorname{vercosin}(\theta)&lt;/math&gt;
 || &lt;math&gt;1 + \cos (\theta)&lt;/math&gt;
 |-
 |  கோவெர்சைன்
 || &lt;math&gt;\operatorname{coversin}(\theta)&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;&lt;math&gt;\operatorname{cvs}(\theta)&lt;/math&gt;
 || &lt;math&gt;1 - \sin(\theta)&lt;/math&gt;
 |-
 |  கோவெர்கோசைன்
 || &lt;math&gt;\operatorname{covercosin}(\theta)&lt;/math&gt;
 || &lt;math&gt;1 + \sin(\theta)&lt;/math&gt;
 |-
 |  ஹாவெர்சைன்
 || &lt;math&gt;\operatorname{haversin}(\theta)&lt;/math&gt;
 || &lt;math&gt;\frac{1 - \cos (\theta)}{2}&lt;/math&gt;
 |-
 |  ஹாவெர்கோசைன்
 || &lt;math&gt;\operatorname{havercosin}(\theta)&lt;/math&gt;
 || &lt;math&gt;\frac{1 + \cos (\theta)}{2}&lt;/math&gt;
 |-
 | ஹாகோவெர்சைன் (கோ ஹாவெர்சைன்)
 || &lt;math&gt;\operatorname{hacoversin}(\theta)&lt;/math&gt;
 || &lt;math&gt;\frac{1 - \sin (\theta)}{2}&lt;/math&gt;
 |-
 | ஹாகோவெர்கோசைன் (கோஹாவெர்கோசைன்)
 || &lt;math&gt;\operatorname{hacovercosin}(\theta)&lt;/math&gt;
 || &lt;math&gt;\frac{1 + \sin (\theta)}{2}&lt;/math&gt;
 |-
 | எக்ஸ்சீக்கெண்ட்
 | &lt;math&gt;\operatorname{exsec}(\theta)&lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\sec(\theta) - 1&lt;/math&gt;
 |-
 | எக்ஸ்கோசீக்கெண்ட்
 | &lt;math&gt;\operatorname{excsc}(\theta)&lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;\csc(\theta) - 1&lt;/math&gt;
 |-
 | நாண்
 | &lt;math&gt;\operatorname{crd}(\theta)&lt;/math&gt;
 | &lt;math&gt;2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)&lt;/math&gt;
 |}
 
 ==சமச்சீர்த்தன்மை, பெயர்வு மற்றும் காலமுறைமை==
 
 ஓரலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணவியல் சார்புகளின் பின்வரும் பண்புகளைக் காணலாம்:
 
 ===சமச்சீர்த்தன்மை===
 
 ஏதாவதொரு முக்கோணவியல் சார்பைக் குறிப்பிட்ட கோணத்தில் பிரதிபலிக்கும் விளைவு மற்றதொரு முக்கோணவியல் சார்பாகவே அமையும். இதிலிருந்து பின்காணும் முற்றொருமைகளைப் பெறலாம்:
 {|class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;background-color: #FFFFFF&quot;
 ! &lt;math&gt;\theta=0 &lt;/math&gt; -ல் பிரதிபலிப்பு&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;72, 4.3.13&amp;ndash;15&lt;/ref&gt;
 ! &lt;math&gt;\theta= \pi/4&lt;/math&gt; -ல் பிரதிபலிப்பு &lt;br/&gt;(கோ-சார்பு முற்றொருமைகள)&lt;ref&gt;{{Cite web |url=http://jwbales.home.mindspring.com/precal/part5/part5.1.html |title=The Elementary Identities&lt;!-- Bot generated title --&gt; |access-date=2011-11-11 |archive-date=2017-07-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170730201433/http://jwbales.home.mindspring.com/precal/part5/part5.1.html |url-status=dead }}&lt;/ref&gt;
 ! &lt;math&gt;\theta= \pi/2&lt;/math&gt; -ல் பிரதிபலிப்பு
 |-
 |&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \sin(-\theta) &amp;= -\sin \theta \\
 \cos(-\theta) &amp;= +\cos \theta \\
 \tan(-\theta) &amp;= -\tan \theta \\
 \csc(-\theta) &amp;= -\csc \theta \\
 \sec(-\theta) &amp;= +\sec \theta \\
 \cot(-\theta) &amp;= -\cot \theta
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &amp;= +\cos \theta \\
 \cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &amp;= +\sin \theta \\
 \tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &amp;= +\cot \theta \\
 \csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &amp;= +\sec \theta \\
 \sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &amp;= +\csc \theta \\
 \cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &amp;= +\tan \theta
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \sin(\pi - \theta) &amp;= +\sin \theta \\
 \cos(\pi - \theta) &amp;= -\cos \theta \\
 \tan(\pi - \theta) &amp;= -\tan \theta \\
 \csc(\pi - \theta) &amp;= +\csc \theta \\
 \sec(\pi - \theta) &amp;= -\sec \theta \\
 \cot(\pi - \theta) &amp;= -\cot \theta \\
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 |}
 
 ===பெயர்வுகளும் காலமுறைமையும்===
 
 குறிப்பிட்ட கோணங்களில் ஏதேனும் ஒரு முக்கோணவியல் சார்பைப் பெயர்வு செய்வதால் முடிவுகளை எளிமையாக்கும் வேறு முக்கோணவியல் சார்புகளைப் பெறலாம்.  π/2, π மற்றும் 2π ரேடியன் அளவு பெயர்வு செய்யப்படும் சார்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன. இச்சார்புகளின் கால அளவு π அல்லது 2π என்பதால் பெயர்வினால் எந்தவித மாற்றமும் இல்லாமல் சில சமயங்களில் அதே சார்பாகவே அமையும்.
 
 {|class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;background-color: #FFFFFF&quot;
 !பெயர்வு: π/2 
 !பெயர்வு: π &lt;br/&gt; tan, cot-ன் கால அளவு&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;72, 4.3.9&lt;/ref&gt;
 !பெயர்வு: 2π &lt;br/&gt; sin, cos, csc, sec-ன் கால அளவு&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;72, 4.3.7&amp;ndash;8&lt;/ref&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &amp;= +\cos \theta \\
 \cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &amp;= -\sin \theta \\
 \tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &amp;= -\cot \theta \\
 \csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &amp;= +\sec \theta \\
 \sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &amp;= -\csc \theta \\
 \cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &amp;= -\tan \theta
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \sin(\theta + \pi) &amp;= -\sin \theta \\
 \cos(\theta + \pi) &amp;= -\cos \theta \\
 \tan(\theta + \pi) &amp;= +\tan \theta \\
 \csc(\theta + \pi) &amp;= -\csc \theta \\
 \sec(\theta + \pi) &amp;= -\sec \theta \\
 \cot(\theta + \pi) &amp;= +\cot \theta \\
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \sin(\theta + 2\pi) &amp;= +\sin \theta \\
 \cos(\theta + 2\pi) &amp;= +\cos \theta \\
 \tan(\theta + 2\pi) &amp;= +\tan \theta \\
 \csc(\theta + 2\pi) &amp;= +\csc \theta \\
 \sec(\theta + 2\pi) &amp;= +\sec \theta \\
 \cot(\theta + 2\pi) &amp;= +\cot \theta
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 |}
 ==கோணங்களின் கூடுதல் (வித்தியாசம்) முற்றொருமைகள்==
 இவை [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டல்]] மற்றும் [[கழித்தல் (கணிதம்)|கழித்தல்]] வாய்ப்பாடுகள் எனவும் அறியப்படுகின்றன. 10 -ம் நூற்றாண்டில் பெர்சிய [[கணிதவியலாளர்]] ''அபூ அல்-வரா பூஸ்ஜானீ''யால் இம்முற்றொருமைகள அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன். [[லியோனார்டு ஆய்லர்|ஆய்லர்]] வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இவற்றை [[கணித நிறுவல்|நிறுவலாம்]].
  
 {|class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;background-color:#FFFFFF&quot; 
 ! sin
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \!&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;72, 4.3.16&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;mathworld_addition&quot;&gt;{{MathWorld|title=Trigonometric Addition Formulas|urlname=TrigonometricAdditionFormulas}}&lt;/ref&gt;
 |-
 ! cos
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;mathworld_addition&quot;/&gt;&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;72, 4.3.17&lt;/ref&gt;
 |-
 ! tan
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta}&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;mathworld_addition&quot;/&gt;&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;72, 4.3.18&lt;/ref&gt;
 |-
 ! Arcsin
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;\arcsin\alpha \pm \arcsin\beta = \arcsin(\alpha\sqrt{1-\beta^2} \pm \beta\sqrt{1-\alpha^2})&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;80, 4.4.42&lt;/ref&gt;
 |-
 ! Arccos
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;\arccos\alpha \pm \arccos\beta = \arccos(\alpha\beta \mp \sqrt{(1-\alpha^2)(1-\beta^2)})&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;80, 4.4.43&lt;/ref&gt;
 |-
 ! Arctan
 | align=&quot;center&quot; | &lt;math&gt;\arctan\alpha \pm \arctan\beta = \arctan\left(\frac{\alpha \pm \beta}{1 \mp \alpha\beta}\right)&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;80, 4.4.36&lt;/ref&gt;
 |}
 
 ==இருமடங்கு, மும்மடங்கு, அரைக்கோணங்களின் முற்றொருமைகள்==
 
 {|class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;background-color:#FFFFFF;&quot;
 !colspan=&quot;4&quot;| இருமடங்கு கோணங்கள்&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;72, 4.3.24&amp;ndash;26&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;mathworld_double_angle&quot;&gt;{{MathWorld|title=Double-Angle Formulas|urlname=Double-AngleFormulas}}&lt;/ref&gt;
 |-
 |style=&quot;vertical-align:top&quot;|&lt;math&gt;\begin{align}
 \sin 2\theta &amp;= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\ &amp;= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}
 \end{align}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\begin{align}
 \cos 2\theta &amp;= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &amp;= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ 
 &amp;= 1 - 2 \sin^2 \theta \\ &amp;= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}
 \end{align}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\!&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\cot 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}\!&lt;/math&gt;
 |-
 !colspan=&quot;4&quot;| மும்மடங்கு கோணங்கள்&lt;ref name=&quot;mathworld_multiple_angle&quot;&gt;{{MathWorld|title=Multiple-Angle Formulas|urlname=Multiple-AngleFormulas}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;72, 4.3.27&amp;ndash;28&lt;/ref&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;\begin{align}\sin 3\theta &amp; = 3 \cos^2\theta \sin\theta - \sin^3\theta \\
 &amp; = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{align}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\begin{align}\cos 3\theta &amp; = \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta \\
 &amp; = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta\end{align}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}\!&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\cot 3\theta = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}\!&lt;/math&gt;
 |-
 !colspan=&quot;4&quot;| அரைக்கோணங்கள்&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;72, 4.3.20&amp;ndash;22&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;mathworld_half_angle&quot;&gt;{{MathWorld|title=Half-Angle Formulas|urlname=Half-AngleFormulas}}&lt;/ref&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &amp;= \csc \theta - \cot \theta \\ &amp;= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\[8pt] &amp;= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\[8pt] &amp;= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\[10pt]
 \tan\frac{\eta+\theta}{2} &amp; = \frac{\sin\eta+\sin\theta}{\cos\eta+\cos\theta} \\[8pt]
 \tan\left(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\right) &amp; = \sec\theta + \tan\theta \\[8pt]
 \sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} &amp; = \frac{1 - \tan(\theta/2)}{1 + \tan(\theta/2)} \\[8pt]
 \tan\tfrac{1}{2}\theta &amp; = \frac{\tan\theta}{1 + \sqrt{1+\tan^2\theta}} \\ &amp;\mbox{for}\quad \theta \in \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \right)
 \end{align}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &amp;= \csc \theta + \cot \theta \\ &amp;= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\[8pt] &amp;= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\[8pt] &amp;= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} \end{align}&lt;/math&gt;
 |}
 == அடுக்கு-குறைப்பு வாய்ப்பாடு ==
 {|class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;background-color: #FFFFFF&quot;
 !Sine
 !Cosine
 !Other
 |-
 |&lt;math&gt;\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\!&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\!&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}\!&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}\!&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}\!&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}\!&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}\!&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}\!&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}\!&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}\!&lt;/math&gt;
 |}
 
 
 {|class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;background-color: #FFFFFF&quot;
 ! 
 !Cosine
 !Sine
 |-
 !&lt;math&gt;\text{n}\text{ஒற்றை எண்}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\cos^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{((n-2k)\theta)}&lt;/math&gt;
 |-
 !&lt;math&gt;\text{n}\text{இரட்டை எண்}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\cos^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\sin^n\theta = \frac{1}{2^n} \binom{n}{\frac{n}{2}} + \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n}{2}-1} (-1)^{(\frac{n}{2}-k)} \binom{n}{k} \cos{((n-2k)\theta)}&lt;/math&gt;
 |-
 |}
 ==பெருக்கல்--&gt;கூட்டல், மற்றும் கூட்டல்--&gt;பெருக்கல் முற்றொருமைகள்==
 பெருக்கல் வடிவிலிருந்து கூட்டல் வடிவ முற்றொருமைகளின் வலதுபுறத்தைக் கோணங்களின் கூட்டல் (வித்தியாசம்) முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி விரித்து அவற்றை நிறுவலாம்.
 
 {|
 |style=&quot;vertical-align:top&quot;|
 {|class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;background-color: #FFFFFF&quot;
 !பெருக்கல்-&gt;கூட்டல்&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;72, 4.3.31&amp;ndash;33&lt;/ref&gt;
 |-
 | &lt;math&gt;\cos \theta \cos \varphi = {\cos(\theta - \varphi) + \cos(\theta + \varphi) \over 2}&lt;/math&gt;
 |-
 | &lt;math&gt;\sin \theta \sin \varphi = {\cos(\theta - \varphi) - \cos(\theta + \varphi) \over 2}&lt;/math&gt;
 |-
 | &lt;math&gt;\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}&lt;/math&gt;
 |-
 | &lt;math&gt;\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}&lt;/math&gt;
 |}
 |
 {|class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;background-color: #FFFFFF&quot;
 !கூட்டல்-&gt;பெருக்கல்&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;72, 4.3.34&amp;ndash;39&lt;/ref&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;\sin \theta \pm \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta \pm \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta \mp \varphi}{2} \right)&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\left( \frac{\theta + \varphi} {2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\left( {\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi \over 2}\right)&lt;/math&gt;
 |}
 |}
 ==நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்==
 :&lt;math&gt; \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \arctan(x)+\arccot(x)=\pi/2.\;&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, &amp; \mbox{if }x &gt; 0 \\  -\pi/2, &amp; \mbox{if }x &lt; 0 \end{matrix}\right.&lt;/math&gt;
 
 ===முக்கோணவியல் மற்றும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் [[சார்புகளின் தொகுப்பு|தொகுப்பு]]===
 {|class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;background-color: #FFFFFF&quot;
 |-
 |&lt;math&gt;\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \,&lt;/math&gt; 
 |&lt;math&gt;\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\cot[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\cot[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
 |}
 
 ==சிக்கல் எண் [[அடுக்குக்குறிச் சார்பு]]டன் தொடர்பு==
 
 :&lt;math&gt;e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;74, 4.3.47&lt;/ref&gt; (ஆய்லர் வாய்ப்பாடு),
 
 :&lt;math&gt;e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos(x) - i\sin(x)\,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;e^{i\pi} = -1&lt;/math&gt; (ஆய்லர் முற்றொருமை),
 
 : &lt;math&gt;\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;71, 4.3.2&lt;/ref&gt;
 
 : &lt;math&gt;\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Abramowitz and Stegun, p.&amp;nbsp;71, 4.3.1&lt;/ref&gt;
 
 கிளைமுடிவு:
 
 : &lt;math&gt;\tan(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{i({e^{ix} + e^{-ix}})}\; = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}&lt;/math&gt;
 
 இங்கு &lt;math&gt;i^2 = -1&lt;/math&gt;.
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist|2}}
 ==மேற்கோள்கள்==
 *{{Cite book | editor1-last=Abramowitz | editor1-first=Milton | editor1-link=Milton Abramowitz | editor2-last=Stegun | editor2-first=Irene A. | editor2-link=Irene Stegun | title=Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables | publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | isbn=978-0-486-61272-0 | year=1972 | postscript=&lt;!--None--&gt;}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *[http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_sin_cos.html Values of Sin and Cos, expressed in surds, for integer multiples of 3° and of 5⅝°], and for the same angles [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_csc_sec.html Csc and Sec] and [http://www.jdawiseman.com/papers/easymath/surds_tan.html Tan].
 *[http://oscience.info/mathematics/basic-trigonometric-formulae/ Basic trigonometric formulas]
 
 [[பகுப்பு:முக்கோணவியல்]]