ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம்
{{merge|இராமானுசரின் தலையாய தேற்றம்}}
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] , ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம்       (பிறகு [[சீனிவாச இராமானுசன்]] &lt;ref&gt;{{Cite book|first=B.|last=Berndt|title=Ramanujan’s Notebooks, Part I|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1985}}&lt;/ref&gt; என்று பெயரிடப்பட்டது) ஆனது  [[பகுப்பாய்வு சார்பு|பகுப்பாய்வு சார்பின்]] மெல்லின் உருமாற்றத்திற்கு  பகுமுறை விரிவாக்கத்திற்கான  ஒரு உத்தியை வழங்குகிறது. 
 [[படிமம்:Ramanujan's_&quot;Master_Theorem&quot;_page.jpg|alt=|thumb| '''ராமானுசரின்''' நோட்டு புத்தகத்தில் எழுதப்பட்டு இருந்த '''ராமானுஜரின் தலையாய தேற்றத்தின்'''  ஒரு பக்கம் .]]
 தேற்றத்தின் முடிவுகள் பின்வருமாறு கூறப்படுகிறது: 
 
 சிக்கலான எண் மதிப்புடைய சார்பு &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt;-ன் விரிவாக்கமானது
 
 &lt;math&gt;f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \!&lt;/math&gt;&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \!&lt;/math&gt;&lt;math&gt;f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \! &lt;/math&gt;
 
 எனவே  &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\begin{align} f(x) \end{align}&lt;/math&gt; மெல்லின் உருமாற்றமானது  பின்வருமாறு உள்ளது. 
 
 &lt;math&gt;\int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s)&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s) \!&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s) \!&lt;/math&gt;  
 
 இங்கு &lt;math&gt; \Gamma(s) \!&lt;/math&gt; என்பது  [[காமா சார்பியம்|காமா சார்பு ஆகும்]]
 
 இது [[தொகைகள்]] மற்றும் [[தொடர் (கணிதம்)|முடிவற்ற தொடர்க]]&lt;nowiki/&gt;ள் சார்ந்த கணக்கீடுகள் கண்டறிவதற்கு [[சீனிவாச இராமானுசன்|ராமானுசரால்]] தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்பட்ட [[சார்பு]] ஆகும். 
 
 இந்தக் தேற்றத்தின்  உயர் பரிமாண பதிப்புகள் [[குவாண்டம் இயங்கியல்|குவாண்டம் இயற்பியலில்]] ( ஃபேய்ன்மேன் விளக்கப்படங்கள் மூலம்) பயன்படுகின்றன. &lt;ref&gt;{{Cite web|url=https://arxiv.org/abs/1103.0588|title=A generalized Ramanujan Master Theorem applied to the evaluation of Feynman diagrams|last=González|first=Iván}}&lt;/ref&gt; 
 
 இதேபோன்ற முடிவுகளை ஜெ.டபிள்யு.எல் கிளாசர்  பெற்றார். &lt;ref&gt;{{Cite journal|last=Glaisher|first=J. W. L.|year=1874|title=A new formula in definite integrals|journal=The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science|volume=48|issue=315|pages=53–55}}&lt;/ref&gt; 
 
 == மாற்றுவடிவ சூத்திரம் ==
 ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின்  மாற்று வடிவ சூத்திரம் பின்வருமாறு: 
 
 : &lt;math&gt; \int_0^\infty  x^{s-1} ({\lambda(0)-x\lambda(1)+x^{2}\lambda(2)-\cdots}) \, dx = \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\lambda(-s) &lt;/math&gt;
 
 மேற்கண்ட சூத்திரத்தில்  &lt;math&gt; \lambda(n) = \frac{\phi(n)}{\Gamma(1+n)} \!&lt;/math&gt; என்று பிரதிட்டு [[காமா சார்பியம்|காமா சார்பு]]  சமன்பட்டினை பயன்படுத்தி சுருக்கிய பின்பு  .
 
 சார்பு  &lt;math&gt; \phi &lt;/math&gt;வளர்நிலைகளை பொறுத்து &lt;math&gt; 0&lt; \operatorname{Re}(s)&lt;1 &lt;/math&gt; என்ற இடைவெளியில் மேற்கண்ட தொகையானது ஒருங்கக்ககூடியது ஆகும். &lt;ref&gt;{{Cite journal|last=Amdeberhan|first=Tewodros|last2=Gonzalez|first2=Ivan|last3=Harrison|first3=Marshall|last4=Moll|first4=Victor H.|last5=Straub|first5=Armin|year=2012|title=Ramanujan's Master Theorem|journal=The Ramanujan Journal|volume=29|issue=1–3|pages=103–120|doi=10.1007/s11139-011-9333-y}}&lt;/ref&gt;
 
 == நிரூபணம் ==
 ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் &quot;உண்மை&quot; அனுமானங்களுக்கு (இருப்பினும் பலவீனமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளுக்கு இல்லை) கணிதவியலாளர் [[ஜி. எச். ஹார்டி|GH ஹார்டி]]   , தான் விரிவாக்கம் செய்யப்பட்ட  எச்ச தேற்றம் மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட மெல்லின் தலைகீழ் தேற்றம் ஆகியவற்றை  ஆதாரமாக விளக்கினார். 
 
 == பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பயன்பாடுகள் ==
 பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவை &lt;math&gt; B_k(x)\!&lt;/math&gt; களின் பிறப்பாக்கி சார்பு வருமாறு:
 
 &lt;math&gt;frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty  B_k(x)\frac{z^k}{k!} &lt;/math&gt;
 
 : &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty  B_k(x)\frac{z^k}{k!} \!&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty  B_k(x)\frac{z^k}{k!} \!&lt;/math&gt;
 
 இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஹர்விட்ஸ் இசீட்டா சார்பின் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன: 
 
 
 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{(n+a)^s} \!&lt;/math&gt;&lt;math&gt;zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{(n+a)^s} \!&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty  \frac{1}{(n+a)^s} \!&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;n \geq 1&lt;/math&gt;க்கு  &lt;math&gt; \zeta(1-n,a)=-\frac{B_n(a)}{n} \!&lt;/math&gt; என்றவாறு உள்ளது. 
 
 ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் மற்றும் பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின்  பிறப்பாக்கி சார்பு ஆகியவற்றை பயன்படுத்தும் போது  பின்வரும் தொகை வடிவில் இருக்கும்:
 
 &lt;math&gt;\int_0^\infty  x^{s-1} \left(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \!&lt;/math&gt;
 
 
 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\int_0^\infty  x^{s-1} \left(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \!&lt;/math&gt;&lt;math&gt;int_0^\infty  x^{s-1} \left(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \!&lt;/math&gt;
 
 இது &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;0&lt;\operatorname{Re}(s)&lt;1\!&lt;/math&gt; &lt;math&gt;                                  0&lt;\operatorname{Re}(s)&lt;1\!&lt;/math&gt;க்கு உண்மையாகும் . 
 
 == காமா சார்பின் பயன்பாடுகள் ==
 காமா சார்பு பற்றி [[Weierstrass|வீர்சார்ட்-ன்]] வரையறை 
 
 &lt;math&gt;Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1} e^{x/n} \!&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1} e^{x/n} \!&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1} e^{x/n} \!&lt;/math&gt;
 
 இது &lt;math&gt;\log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!&lt;/math&gt;ன் விரிவாக்கத்திற்கு சமமானதாகும் 
 
    &lt;math&gt;\log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!&lt;/math&gt; 
 
 &lt;math&gt;\log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!&lt;/math&gt;
 
 
 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!&lt;/math&gt;&lt;math&gt;log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!&lt;/math&gt;
 
 இங்கு&lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \zeta(k) \!&lt;/math&gt;  என்பது [[ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்|ரீமன் இசீட்டா சார்பு]] ஆகும் . 
 
 ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் பின்வருமாறு பயன்படுத்துகிறோம்: 
 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\int_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^2} \, dx= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \!&lt;/math&gt;&lt;math&gt;\int_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^2} \, dx= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \!&lt;/math&gt;
 
 இது &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;0&lt;\operatorname{Re}(s)&lt;1\!&lt;/math&gt; &lt;math&gt;                                  0&lt;\operatorname{Re}(s)&lt;1\!&lt;/math&gt;க்கு உண்மையாகும் .உண்மையாகும்     
 
 இங்கு &lt;math&gt;s=\frac{1}{2} \! &lt;/math&gt;&lt;math&gt; 0&lt;Re(s)&lt;1\!&lt;/math&gt;&lt;math&gt;  s=\frac{1}{2} \!        &lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;  s=\frac{3}{4} \!&lt;/math&gt; &lt;math&gt;s=\frac{3}{4} \! &lt;/math&gt; ன் சிறப்பு வகைகள் வருமாறு 
 
 : &lt;math&gt; \int_0^\infty \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^{5/2}} \, dx =\frac{2\pi}{3} \zeta\left( \frac{3}{2} \right) &lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt; \int_0^\infty \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^{9/4}} \,dx = \sqrt{2} \frac{4\pi}{5} \zeta\left(\frac 5 4\right) &lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{Reflist}}
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 
 * http://mathworld.wolfram.com/RamanujansMasterTheorem.html 
 * http://arminstraub.com/files/publications/rmt.pdf