பகுமுறைச் சார்பு
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], ஒரு '''பகுமுறைச் சார்பு''' என்பது  ஒருங்கும் [[அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்)|அடுக்குத் தொடராக]]&lt;nowiki/&gt;வுள்ள [[சார்பு]] ஆகும். மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்புகளும் சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்புகளும் உள்ளன. இவ்விரு வகையான பகுமுறைச் சார்புகளும் முடிவிலாமுறைகள் வகையிடத்தத் தக்கவை. மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்புகளுக்கு இல்லாத பண்புகள் சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்புகளுக்கு உண்டு. ஒரு சார்பின் &lt;math&gt; x_0 &lt;/math&gt; இல் அமையும்  அதன் [[டெய்லர் தொடர்|டெய்லர் தொடரானது]], சார்பின் ஆட்களத்திலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt; x_0 &lt;/math&gt;இன்  அண்மையகங்களில் அச்சார்பாக ஒருங்கினால், ஒருங்கினால் மட்டுமே அச்சார்பானது பகுமுறைச் சார்பாக இருக்கும்.
 
 == வரையறைகள் ==
 மெய்யெண் கோட்டிலமைந்த ஒரு திறந்த கணம் &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; இலுள்ள ஏதேனுமொரு &lt;math&gt;x_0\in D&lt;/math&gt; இல் சார்பு  &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; பகுமுறைச் சார்பாக இருந்தால் கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்:
 
 : &lt;math&gt;f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_{n} \left( x-x_0 \right)^{n} = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots &lt;/math&gt;
 
 இதில் குணகங்கள் &lt;math&gt;a_0, a_1, \dots&lt;/math&gt; மெய்யெண்கள்; மேலும் &lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt; இன் அண்மையகத்திலுள்ள &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கு  [[தொடர் (கணிதம்)|இத் தொடர்]] &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ஆக ஒருங்கும்.
 
 ஒரு மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்பை அதன் ஆட்களத்திலுள்ள எந்தவொரு &lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt; புள்ளியிலும் சார்பின் [[டெய்லர் தொடர்|டெய்லர் தொடரானது]] (&lt;math&gt; T(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}&lt;/math&gt;), &lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt; இன் அண்மையகத்தில் புள்ளிவாரியாக{{efn|This implies [[uniform convergence]] as well in a (possibly smaller) neighborhood of &lt;math&gt;x_0&lt;/math&gt;.}} &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; ஆக ஒருங்குகின்ற சார்பாகக் கூறலாம்.
 
 கொடுக்கப்பட்ட ஒரு கணம் &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; இன் மீதான அனைத்து மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்புகளின் கணத்தின் குறியீடு, &lt;math&gt;\mathcal{C}^{\,\omega}(D)&lt;/math&gt;.
 
 மெய்யெண் கோட்டின் ஒரு உட்கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ஆனது பகுமுறைச் சார்பாக அமையுமொரு &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; இன் அண்மையகம் இருக்குமால், &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; புள்ளியில்   &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ஆனது பகுமுறைச் சார்பாகும். 
 
 சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்பின் வரையறையானது மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்பின் வரையறையில் &quot;மெய்யெண்&quot; என்பதை &quot;சிக்கலெண்&quot; என்றும் &quot;மெய்யெண் கோடு&quot; என்பதை &quot;சிக்கலெண் தளம்&quot; என்றும் பதிலிட்டுப் பெறப்படுகிறது. ஒரு சார்பானது [[முற்றுருவச் சார்பியம்|முற்றுருவச் சார்பியமாக]] &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot; அது சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்பாக இருக்கும். இதனால் இச்சார்புகளைக் குறிப்பிடும்போது &quot;முற்றுருவச் சார்பியம்&quot;, &quot;சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்பியம்&quot; என்ற சொற்கள் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றிப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{cite book |quote=A function ''f'' of the complex variable ''z'' is ''analytic'' at point ''z''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; if its derivative exists not only at ''z'' but at each point ''z'' in some neighborhood of ''z''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;. It is analytic in a region ''R'' if it is analytic at every point in ''R''.  The term ''holomorphic'' is also used in the literature do denote analyticity |last=Churchill |last2=Brown |last3=Verhey |title=Complex Variables and Applications |publisher=McGraw-Hill |year=1948 |isbn=0-07-010855-2 |page=[https://archive.org/details/complexvariable00chur/page/46 46] |url-access=registration |url=https://archive.org/details/complexvariable00chur/page/46 }}&lt;/ref&gt;
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 பகுமுறைச் சார்புகளுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:
 * அடிப்படை சார்புகள்
 ** அனைத்து [[பல்லுறுப்புக்கோவை|பல்லுறுப்புக்கோவைகள்]]
 **[[படிக்குறிச் சார்பு|அடுக்குறிச் சார்பு]] [[முக்கோணவியல் சார்புகள்]], [[மடக்கை|மடக்கைச் சார்பு]] மற்றும் [[அடுக்கேற்றம்|அடுக்குச் சார்புகள்]] 
 * சிறப்புச் சார்புகள்
 ** [[காமா சார்பியம்|காமா சார்பியங்கள்]]
 
 * பகுமுறைச் சார்புகள் அல்லாதவை:
 ** [[தனி மதிப்பு|தனிமதிப்புச் சார்பு]] 0 இல் வகையிடத்தக்கதல்ல; எனவே மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட தனிமதிப்புச் சார்பானது எல்லாப் புள்ளிகளிலும் பகுமுறைச் சார்பாக இருக்காது.
 ** [[துண்டுவாரிச் சார்பு|துண்டுவாரிச் சார்புகள்]], துண்டுகள் சந்திக்கும் இடங்களில் பகுமுறைச் சார்பாக அமையாது
 ** [[இணைச் சிக்கலெண்]] சார்பு ''z''&amp;nbsp;&amp;#x2192; ''z'' * சிக்கலெண் பகுமுறைச் சார்பல்ல. எனினும் இச்சார்பின் ஆட்களத்தை மெய்யெண் கோடாகக் கொண்டால் இச் சார்பு முற்றொருமைச் சார்பாக இருக்கும். இந்நிலையில் சார்பானது மெய்யெண் பகுமுறைச் சார்பாக  (&lt;math&gt;\mathbb{R}^{2}&lt;/math&gt; ----&gt; &lt;math&gt;\mathbb{R}^{2}&lt;/math&gt;) இருக்கும்.
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{Reflist}}
 {{Notelist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 *{{cite book |last=Conway |first=John B. |author-link=John B. Conway |title=Functions of One Complex Variable I |series=[[Graduate Texts in Mathematics]] 11 |publisher=Springer-Verlag |year=1978 |isbn=978-0-387-90328-6 |edition=2nd }}
 *{{cite book |last1=Krantz |first1=Steven |author-link1=Steven G. Krantz |last2=Parks |first2=Harold R.|author2-link=Harold R. Parks |title=A Primer of Real Analytic Functions |url=https://archive.org/details/primerofrealanal0000kran |edition=2nd |year=2002 |publisher=Birkhäuser |isbn=0-8176-4264-1 }}
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 * {{springer|title=Analytic function|id=p/a012240}}
 * {{MathWorld | urlname= AnalyticFunction | title= Analytic Function }}
 * [https://web.archive.org/web/20130615052245/http://ivisoft.org/index.php/software/8-soft/6-zersol Solver for all zeros of a complex analytic function that lie within a rectangular region by Ivan B. Ivanov]