அக ஆற்றல்
{{Infobox physical quantity
 | name = அக ஆற்றல்
 | unit = [[ஜூல்|J]]
 | basequantities = m&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;*kg/s&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
 | symbols = U
 | derivations = &lt;math&gt;U = \sum_i  E_i \!&lt;/math&gt;
 }}
 [[வெப்ப இயக்கவியல்|வெப்ப இயக்கவியலில்]], '''அக ஆற்றல்''' அல்லது '''உள்ளாற்றல்''' (''internal energy'') என்பது வெப்பவியக்கவியல் அமைப்பு ஒன்றில் உள்ளடக்கப்பட்டுள்ள மொத்த [[ஆற்றல்]] ஆகும்.&lt;ref name=atkins&gt;{{cite book|title=Physical Chemistry|author=Peter Atkins, Julio de Paula|page=9|edition=8|publisher=[[ஒக்ஸ்போர்ட் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]]|year=2006}}&lt;/ref&gt; அக ஆற்றலில் இரண்டு கூறுகள் உண்டு. அவை, [[இயக்க ஆற்றல்]] மற்றும் [[நிலை ஆற்றல்]] ஆகும். இயக்க ஆற்றலானது, ஒர் அமைப்பில் உள்ள துகள்களின் இடப்பெயர்ச்சி, [[சுழற்சி]], [[அலைவு|அதிர்வு]] ஆகிய இயக்கம் காரணமாக அமையும் ஆற்றல். நிலை ஆற்றலானது, [[மூலக்கூறு]]களின் உள்ளே உள்ள அணுக்களின் மின் ஆற்றல் மற்றும் [[வேதியியற் பிணைப்பு|வேதிப் பிணைப்பு]]களின் ஆற்றல் ஆகும். ஒரு அமைப்பின் அக ஆற்றலை அவ்வமைப்பை வெப்பமூட்டியோ அல்லது அவ்வமைப்பின் மீது [[வேலை (இயற்பியல்)|வேலை]] செய்தோ மாற்றலாம்; அமைப்பு அதன் சுற்றுப்புறங்களில் இருந்து தனிமைப்படுத்தப்பட்டு இருக்கும்போது அதன் அக ஆற்றலை மாற்ற முடியாது. [[முதலாவது வெப்ப இயக்கவியல் விதி]]யின்படி, ஓர் அமைப்பினுள் உட்செலுத்திய வெப்பத்தில் இருந்து அவ்வமைப்பு சுற்றுச்சூழலில் செய்த வேலையைக் கழித்தால், அது அவ்வமைப்பில் கூடிய உள்ளாற்றலுக்குச் சமமாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;Crawford, F. H. (1963), pp. 106–107.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Haase, R. (1971), pp. 24–28.&lt;/ref&gt;
 
 ஒரு அமைப்பினுள் உள்ள அக ஆற்றல், [[பொருள்|பொருளை]] இடம் மாற்ற அல்லது [[வெப்பப் பரிமாற்றம்]] மேற்கொள்ள அல்லது [[வேலை|வேலையாக]] மாற்றப்படுகிறது..&lt;ref name=&quot;Born 146&quot;&gt;[[Max Born|Born, M.]] (1949), Appendix 8, [https://archive.org/stream/naturalphilosoph032159mbp#page/n157/mode/2up pp. 146–149].&lt;/ref&gt; பொருளை இடம் மாற்ற இயலாத சுவர்களைக் கொண்ட அமைப்பை மூடிய அமைப்பு (Closed system) என்கிறோம். [[முதலாவது வெப்ப இயக்கவியல் விதி]]யின் படி அதிகரிக்கும் அக ஆற்றலின் அளவு, அமைப்பு செய்த வேலை மற்றும் அமைப்பினுள் செலுத்திய மொத்த [[வெப்பம்]] ஆகியவற்றின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
 ஒரு அமைப்பிலுள்ள பொருளோ அல்லது ஆற்றலோ, அதன் சுவர்கள் வழியாக வெளியே செல்ல இயலாத போது, அந்த அமைப்பை தனித்த அமைப்பு (isolated) என்கிறோம். இவ்வகை அமைப்பில் அகஆற்றல் மாற்றம் அடைவதில்லை. முதலாவது வெப்ப இயக்கவியல் விதி, அக ஆற்றல் இருப்பதை உறுதி செய்யும் விதி ஆகும்.
 
 வெப்ப இயக்க அமைப்பிலுள்ள இரு முக்கிய [[நிலைச் சார்பு]]களில் அக ஆற்றல் ஒன்றாகும்,
 
 ==அறிமுகம்==
 
 ஒரு அமைப்பின் அக ஆற்றலை நேரடியாக அளக்க இயலாது. ஆனால் வெப்ப இயக்கவியல் செயல்பாடுகளின் மூலம் அவற்றை அளக்க இயலும். 
 அக ஆற்றலை {{math|''U''(''S'',''V'',{''N&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;''})}} இந்த சமன்பாட்டால் அளக்க இயலும். இதில் {{math|''S''}} என்பது [[சிதறம்]], {{math|''V''}} என்பது [[கொள்ளளவு|பருமன்]],  {{math|{''N&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;''}}} என்பது [[மோல்|மோல்களின் எண்ணிக்கை]] ஆகும். அக ஆற்றலில் ஏற்படும் மாற்றமே வெப்ப இயக்கவியலில் முக்கியமான கணக்கீடாகும், இவை தனித்த மதிப்பைப் (absolute value) பெற்றிருப்பதில்லை.
 
 அக ஆற்றல் என்பது ஒரு அமைப்பின் நிலை சார்பு ஆகும். இது எந்ததொரு வெப்பவியக்கவியல் செயல்பாட்டையும் சார்ந்திருப்பதில்லை. இது முக்கியமாக வெப்பவியக்கவிசையழுத்ததின் (thermodynamic potential) அளவீடாகும்.&lt;ref name =&quot;Tschoegl 17&quot;/&gt;
 
 அக ஆற்றல் என்பது ஒரு பெருநிலைப் பொருளாகும் (macroscopic quantity). ஆனால் இவை இரு நுண்ணிய நிலை (microscopic quantity) பொருட்களாலே அளக்கப்படுகிறது. அதில் ஒன்று, [[பெயர்ச்சி (வடிவவியல்)]], [[சுழற்சி]] மற்றும் [[அலைவு]]  ஆகியவற்றால் அளக்கப்படும் நுண்ணிய நிலை பொருளான இயக்க ஆற்றல் ஆகும். மற்றொன்று பொருட்களின் [[வேதியியற் பிணைப்பு]] மற்றும் நிலை ஆற்றலைக் கொண்டு கணக்கிடப்படுகிறது. ஆனால் வெப்ப இயக்கவியல் வினைகளில் [[ஐன்ஸ்டீனின் பொருண்மை - ஆற்றல் சமன்பாடு|ஓய்வு பொருண்மை - ஆற்றலும்]] கணக்கில் கொள்ளப்படுகிறது.
 
 [[அனைத்துலக முறை அலகுகள்|அனைத்துலக முறை அலகுகளின்]] படி [[ஆற்றல்|ஆற்றலின்]] அலகு  [[ஜூல்|சூல்]] (J) ஆகும். தன் அக ஆற்றல் (''specific internal energy'') என்பது அக ஆற்றலையும் [[நிறை]]யையும் வகுக்க கிடைப்பதாகும். இது J/kg என்ற அலகால் அளக்கப்படுகிறது. மோலார் அக ஆற்றல் என்பது அக ஆற்றலையும் மோலையும் வகுக்க கிடைப்பதாகும். இது J/mol என்ற அலகால் அளக்கப்படுகிறது
 
 [[புள்ளியியல் எந்திரவியல்|புள்ளியியல் எந்திரவியலில்]] அக ஆற்றல் என்பது இயக்க ஆற்றல் மற்றும் நிலை ஆற்றல் ஆகியவற்றின் குழும சராசரிக்குச் (ensemble average) சமம்.
 
 ===முக்கிய சார்புகள்===
 
 அக ஆற்றல், {{math|''U''(''S'',''V'',{''N&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;''})}}, என்பது வெப்ப இயக்கவியலில், ஒரு அமைப்பின் ஆற்றலைப் பற்றிய முழு விபரத்தையும் கொண்டுள்ளது. வெப்ப இயக்கவியலில், சிதறமும் {{math|''S''(''U'',''V'',{''N&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;''})}} ஒரு முக்கியமான சார்பாகும்.&lt;ref name =&quot;Tschoegl 17&quot;&gt;Tschoegl, N.W. (2000), p. 17.&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;Callen Ch 5&quot;&gt;[[Herbert Callen|Callen, H.B.]] (1960/1985), Chapter 5.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Münster, A. (1970), p. 6.&lt;/ref&gt;
 
 முக்கிய சார்புகள் அனைத்தும், ஒருபோக்கு சார்புகள் (monotonic function), அவை இயல்பான அல்லது நியமநிலை (''natural'' or ''canonical'')  மாறிகள். எடுத்துக்காட்டாக, {{math|''U'' {{=}} ''U''(''S'',''V'',{''N&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;''})}} இந்த சமன்பாடு வெப்ப இயக்கவியல் சார்ந்த அனைத்து தகவல்களையும் கொண்டுள்ளது. 
 {{math|''S'' {{=}} ''S''(''U'',''V'',{''N&lt;sub&gt;j&lt;/sub&gt;''})}} இந்த சமன்பாடு சிதறலுக்கான வெப்ப இயக்கவியல் சமன்பாடாகும்.&lt;ref name=&quot;Callen Ch 5&quot;/&gt;&lt;ref&gt;Münster, A. (1970), Chapter 3.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Bailyn, M. (1994), pp. 206–209.&lt;/ref&gt;
 
 ==வரையறை மற்றும் விளக்கம்==
 
 {{math|''U''}} என்பது ஒரு அமைப்பின் கொடுக்கப்பட்ட நிலையின் அக ஆற்றல் ஆகும். அமைப்பின் திட்ட நிலையைக் (standard state) அளக்கப்படுகிறது. 
 ஆற்றலைக் கூட்டுவதால் கிடைப்பது
 
 :&lt;math&gt;\Delta U = \sum_i  E_i\,&lt;/math&gt;
 
 இதில் {{math|Δ''U''}} கொடுக்கப்பட்ட நிலைக்கும் மேற்கோள் நிலைக்கும் இடையேயுள்ள அக ஆற்றல் வேறுபாடு,
 {{math|''E&lt;sub&gt;i''&lt;/sub&gt;}} மேற்கோள் நிலையிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட நிலைக்கு மாற்றப்பட்ட ஆற்றலின் அளவு ஆகும்.
 
 சார்பியல் அல்லாத (non-relativistic) நுண்ணிய நிலை அமைப்பில், {{math|''U''&lt;sub&gt;micro pot&lt;/sub&gt;}} நுண்ணிய நிலை ஆற்றல் (microscopic potential energy), {{math|''U''&lt;sub&gt;micro kin&lt;/sub&gt;}} நுண்ணிய இயக்க ஆற்றல், எனில் அக ஆற்றல் கீழ்க்கண்ட சமன்பாட்டால் கணக்கிடப்படுகிறது.
 
 :&lt;math&gt;U = U_{\mathrm{micro\,pot}} + U_{\mathrm{micro\,kin}}&lt;/math&gt;
 
 இதில் நுண்ணிய நிலை ஆற்றல் என்பது வேதி நிலை ஆற்றல் மற்றும் அணுக்கரு நிலை ஆற்றல் ஆகியவற்றின் கூடுதலுக்குச் சமம். 
 அக ஆற்றல் என்பது அமைப்பின் இயக்கத்தையோ அல்லது இடத்தையோ சார்ந்ததல்ல. வெளி விசைகளான [[ஈர்ப்பு விசை]], [[நிலைமின்னியல்|நிலைமின்னியல் விசை]] மற்றும் [[மின்காந்தவியல்|மின்காந்தவியல் விசைகள்]] ஆகியவற்றால் ஏற்படும் இயக்க ஆற்றல் மற்றும் நிலை ஆற்றல் கழித்தே அக ஆற்றல் கணக்கில் கொள்ளப்படுகிறது. 
 பொதுவாக வெப்ப இயக்கவியலில், முழு அக ஆற்றலையும் கணக்கிடுவது என்பது இயலாத ஒன்றாகும்.&lt;ref name=klotz&gt;I. Klotz, R. Rosenberg, ''Chemical Thermodynamics - Basic Concepts and Methods'', 7th ed., Wiley (2008), p.39&lt;/ref&gt; 
 அக ஆற்றல், அமைப்பின் அளவையும், [[பதார்த்த அளவு|பதார்த்த அளவையும்]] சார்ந்தது.
 
 ஒரு தனித்த அமைப்பில் [[தனிச்சுழி வெப்பநிலை]]க்கு மேலேயுள்ள எந்ததொரு [[வெப்பநிலை]]யிலும், இயக்க ஆற்றல்  நிலை ஆற்றலாகவும், நிலை ஆற்றல் இயக்க ஆற்றலாகவும் மாற்றம் அடைகின்றன. அவற்றின் கூடுதல் எப்போதும் மாறததாக உள்ளது. செவ்வியல் (classical) [[இயற்பியல்|இயற்பியலில்]], தனிச்சுழி வெப்பநிலையில்  இயக்க ஆற்றல் சுழியாகிறது, அக ஆற்றல் முழுவதும் நிலை ஆற்றலைச் சார்ந்தேயுள்ளது. ஆனால் [[குவாண்டம் இயங்கியல்|குவாண்டம் இயங்கியலில்]] தனிச்சுழி வெப்பநிலையில் சிறிதளவு இயக்க ஆற்றல், சிதறத்தினால் உண்டாவதாகக் கணக்கிடப்படுகிறது.
 
 நுண்ணிய இயக்க ஆற்றலால் உண்டாகும் அக ஆற்றல், அமைப்பின் வெப்பநிலையை உயர்த்த பயன்படுகிறது. இந்த ஆற்றல், பொதுவாக [[வெப்ப ஆற்றல்]] எனப்படுகிறது.&lt;ref name=hyperphysics&gt;[http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kinetic/eqpar.html#c2 Thermal energy] – Hyperphysics&lt;/ref&gt;
 
 புள்ளிவிவரநிலையியக்கவியலில், ஒரு அமைப்பின் குழுமங்கள் புள்ளிவிவர அடிப்படையிலே பரப்பப்பட்டுள்ளது. ''N'' நுண்ணிய நிலைகள் (microstates) உள்ளதாகக் கொண்டால், ஒரு நுண்ணிய நிலை அமைப்பில் ''E''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; என்ற ஆற்றல் ''p''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; என்ற [[நிகழ்தகவு|நிகழ்தகவைப்]] பெற்றுள்ளது. அக ஆற்றல் என்பது அமைப்பிலுள்ள மொத்த ஆற்றலின் [[சராசரி]] ஆகும். எனில் நுண்ணிய நிலைகளின் ஆற்றலின் கூடுதல்
 
 :&lt;math&gt;U = \sum_{i=1}^N p_i \,E_i\ .&lt;/math&gt;
 
 முதலாவது வெப்ப இயக்கவியல் விதியின் புள்ளியியல் சமன்பாடாகும்.
 
 ===அக ஆற்றல் மாற்றங்கள்===
 
 வெப்ப இயக்கவியல் என்பது முக்கியமாக, அக ஆற்றலில் {{math|Δ''U''}} ஏற்படும் மாற்றமே ஆகும். 
 ஒரு மூடிய அமைப்பில் (closed system) பொருள் உள்ளேயோ வெளியேயோ அனுமதிக்கப்படுவதில்லை. இதில் ஏற்படும் அக ஆற்றல் மாற்றம் என்பது கடத்தப்பட்ட வெப்பத்தையோ அல்லது செய்த வேலையையோ பொறுத்தது. இதில் வேலை என்பது அழுத்தம்-பருமன் வேலை {{math|''W''&lt;sub&gt;அழுத்தம்-பருமன்&lt;/sub&gt;}}, மற்றும் [[மாறாக் கனவளவு செயல்முறை]] {{math|''W''&lt;sub&gt;மாறாக் கனவளவு&lt;/sub&gt;}} எனப்படும் மாறாத பருமனைக் கொண்ட அமைப்பின் வேலை என இரு வகைப்படும். அக ஆற்றலில் ஏற்படும் மாற்றம் {{math|Δ''U''}}:&lt;ref name=&quot;Born 146&quot;/&gt;
 
 :&lt;math&gt; \Delta U = Q + W_{\mathrm{pressure-volume}} + W_{\mathrm{isochoric}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(closed\,\,system,\,\,no\,\,transfer\,\,of\,\,matter)}.&lt;/math&gt;&lt;ref name=signconvention group=note&gt;In this article we choose the sign convention of the mechanical work as typically defined in chemistry, which is different from the convention used in physics. In chemistry, work performed by the system against the environment, e.g., a system expansion, is negative, while in physics this is taken to be positive.&lt;/ref&gt;
 
 மூடிய அமைப்பில், ஆற்றலானது வெப்பமாக கொடுக்கப்படுகிறது. இது அக ஆற்றலை உயர்த்துகிறது. இவை நுண்ணிய இயக்க ஆற்றல் மற்றும் நிலை ஆற்றல் ஆகியவற்றின் கூடுதலுக்குச் சமம். இலட்சிய வாயுக்களில், ஆற்றலால் வெப்பநிலை உயர்வது, நுண்ணிய இயக்க ஆற்றலை மட்டுமே சார்ந்ததாக உள்ளது.
 
 ஒரு திறந்த அமைப்பில் பொருள் உள்ளேயும் வெளியேயும் அனுமதிக்கப்படுவதால், அவையும் அக ஆற்றல் மாற்றம் காண கணக்கில் கொள்ளப்படுகிறது. 
 அக ஆற்றல் மாற்றம் காணும் சமன்பாடு:
 
 :&lt;math&gt; \Delta U = Q + W_{\mathrm{pressure-volume}} + W_{\mathrm{isochoric}} + \Delta U_{\mathrm{matter}}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\mathrm{(separate\,\,pathway\,\,for\,\,matter\,\,transfer\,\,from\,\,heat\,\,and\,\,work\,\,transfer\,\,pathways)}.&lt;/math&gt;
 
 ஒரு அமைப்பு நிலை மாற்றம் அடையும் போது. அதன் வெப்பநிலையில் எந்த மாற்றமும் அடைவதில்லை. இதை [[மறை வெப்பம்]] என்கிறோம்.
 
 ==வரைவிலக்கணம்==
 வெப்பவியக்கவியல் அமைப்பு ஒன்றில் உள்ள அனைத்து வகை ஆற்றல்களினதும் மொத்தம் (''E''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) அதன் அக ஆற்றல் (''U'') எனப்படும்.
 
 :&lt;math&gt;U = \sum_i  E_i \!&lt;/math&gt;
 
 இது அமைப்பை உருவாக்கத் தேவைப்படும் ஆற்றல் ஆகும்.
 :&lt;math&gt;U = U_{pot} + U_{kin} \!&lt;/math&gt;
 இங்கு, &lt;math&gt;U_{pot} \!&lt;/math&gt; - [[நிலை ஆற்றல்]],  &lt;math&gt;U_{kin} \!&lt;/math&gt; - [[இயக்க ஆற்றல்]] ஆகும்.
 
 ==வரலாறு==
 [[ஜேம்ஸ் பிரிஸ்காட் ஜூல்|சேம்சு பிரிசுகாட் சூல்]] வெப்பம், வேலை மற்றும் வெப்பநிலை இடையேயுள்ள தொடர்பைக் கண்டறிந்தார். [[திரவம்|திரவங்களை]] அதிர்வடையச் செய்வதன் மூலம், அதன் வெப்பநிலை உயர்வதைக் கண்டறிந்தார். [[இயக்கம் (இயற்பியல்)|இயக்கமாகக்]] கொடுக்கப்படும் ஆற்றல் வெப்ப ஆற்றலாக மாறுவதை உணர்த்தினார். ஒரு [[கிலோ கிராம்]] நிறையுள்ள நீரின் வெப்பநிலையை ஒரு டிகிரி [[செல்சியசு]] உயர்த்த 4185.5 [[சூல்]] வெப்பம் தேவைப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{cite journal|last=Joule|first=J.P.|authorlink=James Prescott Joule|title=On the Mechanical Equivalent of Heat| journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society]] | publisher=[[Royal Society]]|year=1850| volume=140|pages=61–82| url=http://rstl.royalsocietypublishing.org/content/140/61 |accessdate=4 June 2016| doi=10.1098/rstl.1850.0004 }}&lt;/ref&gt;
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist|group=note}}
 
 ==மேலும் பார்க்க==
 *[[கலோரிமானி]]
 *[[வெப்ப அடக்கம்]]
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 ===மேற்கோள்களுக்கான உசாத்துணைகள்===
 *Adkins, C.J. (1968/1975). ''Equilibrium Thermodynamics'', second edition, McGraw-Hill, London, {{ISBN|0-07-084057-1}}.
 *Bailyn, M. (1994). ''A Survey of Thermodynamics'', American Institute of Physics Press, New York, {{ISBN|0-88318-797-3}}.
 *[[Max Born|Born, M.]] (1949). [https://archive.org/details/naturalphilosoph032159mbp ''Natural Philosophy of Cause and Chance''], Oxford University Press, London.
 *Callen, H.B. (1960/1985), Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics, (first edition 1960), second edition 1985, John Wiley &amp; Sons, New York, {{ISBN|0-471-86256-8}}.
 *Crawford, F. H. (1963). ''Heat, Thermodynamics, and Statistical Physics'', Rupert Hart-Davis, London, Harcourt, Brace &amp; World, Inc.
 *Haase, R. (1971). Survey of Fundamental Laws, chapter 1 of ''Thermodynamics'', pages 1–97 of volume 1, ed. W. Jost, of ''Physical Chemistry. An Advanced Treatise'', ed. H. Eyring, D. Henderson, W. Jost, Academic Press, New York, lcn 73–117081.
 *Münster, A. (1970), Classical Thermodynamics, translated by E.S. Halberstadt, Wiley–Interscience, London, {{ISBN|0-471-62430-6}}.
 *Tschoegl, N.W. (2000). Fundamentals of Equilibrium and Steady-State Thermodynamics, Elsevier, Amsterdam, {{ISBN|0-444-50426-5}}.
 
 ==உசாத்துணைகள்==
 * {{cite journal
  | author=Alberty, R. A.
  | url = http://www.iupac.org/publications/pac/2001/pdf/7308x1349.pdf
  | title = Use of Legendre transforms in chemical thermodynamics
  | journal=Pure Appl. Chem.
  | year=2001 | volume= 73 | issue=8 | pages=1349–1380
  | doi = 10.1351/pac200173081349
  |format=PDF}}
 * {{cite book
  | author=Lewis, Gilbert Newton; Randall, Merle: Revised by Pitzer, Kenneth S. &amp; Brewer, Leo
  | title=Thermodynamics
  | publisher= McGraw-Hill Book Co.
  | location = New York, NY USA
  | edition=2nd
  | year=1961
  | isbn =0-07-113809-9
  }}
 * {{cite book
  | last = Landau
  | first = L. D.
  | authorlink = Lev Landau
  | last2 = Lifshitz
  | first2 = E. M.
  | authorlink2 = Evgeny Lifshitz
  | others = (Translated from Russian by  J.B. Sykes and W.H. Reid)
  | year = 1986
  | title = Theory of Elasticity (Course of Theoretical Physics Volume 7)
  | edition = Third
  | publisher = Butterworth Heinemann
  | location = Boston, MA 
  | isbn = 0-7506-2633-X
  | ref = harv
  }}
 
 [[பகுப்பு:புள்ளியியல் எந்திரவியல்]]
 [[பகுப்பு:ஆற்றல்]]
 [[பகுப்பு:வெப்ப இயக்கவியல்]]