இருவழியொக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை
[[இயற்கணிதம்|இயற்கணிதத்தில்]], குறிப்பற்ற [[களம் (கணிதம்)|களத்திலமைந்த]] [[கெழு]]க்களைக் கொண்ட [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]:
 :&lt;math&gt;p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n&lt;/math&gt; எனில், இதன் '''தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை''' அல்லது '''இருவழியொக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை''' அல்லது '''எதிரொளிக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவை''' (''reciprocal polynomial'', ''Palindromic polynomial'', ''reflected polynomial'') கீழ்வரும் அமைப்புள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையாகும்:&lt;ref name=&quot;concrete&quot;&gt;*{{cite book | last1 = Graham | first1 = Ronald |last2=Knuth|first2=Donald E.|last3=Patashnik|first3=Oren | title = Concrete mathematics : a foundation for computer science | edition=Second | publisher = Addison-Wesley | location = Reading, Mass | year = 1994 | isbn = 978-0201558029 | page= 340}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;Aigner&quot;&gt;{{cite book | last = Aigner | first = Martin | title = A course in enumeration | publisher = Springer | location = Berlin New York | year = 2007 | isbn = 978-3540390329 | page = 94 }}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{harvnb|Roman|1995|loc=pg.37}}&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;p^*(x) = a_n + a_{n-1}x + \cdots + a_0x^n = x^n p(x^{-1}).&lt;/math&gt;
 
 தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குறியீடு: {{math|''p''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} அல்லது {{math|''p''&lt;sup&gt;R&lt;/sup&gt;}},&lt;ref name=&quot;Aigner&quot;/&gt;&lt;ref name=&quot;concrete&quot;/&gt;
 
 {{math|''p''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} இன் கெழுக்கள், எதிர்வரிசையில் அமையும் {{math|''p''}} இன் கெழுக்களாக இருக்கும். [[நேர்மாற்றத்தக்க அணி]]யின் [[சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை]]யாகத் தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் [[நேரியல் இயற்கணிதம்|நேரியல் இயற்கணிதத்தில்]] தோன்றுகின்றன.
 
 கெழுக்களமையும் களமானது  [[சிக்கலெண்]]களாக இருந்தால் மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை:
 :&lt;math&gt;p(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n&lt;/math&gt; ஆக இருக்கும்.
 
 இதன் '''இணையிய தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை''' (''conjugate reciprocal polynomial''){{math|''p''&lt;sup&gt;†&lt;/sup&gt;}} பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
 :&lt;math&gt;p^{\dagger}(z) = \overline{a_n} + \overline{a_{n-1}}z + \cdots + \overline{a_0}z^n = z^n\overline{p(\bar{z}^{-1})},&lt;/math&gt;
 
 இதில் வரும் &lt;math&gt;\overline{a_i}&lt;/math&gt; ஆனது, &lt;math&gt;a_i&lt;/math&gt; இன் [[இணைச் சிக்கலெண்]] ஆகும். இப்பல்லுறுப்புக்கோவை சுருக்கமாக தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 பல்லுறுப்புக்கோவை {{math|''p''}} ஆனது '''தன்-தலைகீழி''' (''self-reciprocal'') அல்லது &quot;இருவழியொத்தது&quot; (''palindromic'') எனில்:
 : {{math|1=''p''(''x'') = ''p''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;(''x'')}}.
 மேலும் தன்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்கள் பின்வருமாறிருக்கும்: 
 :{{math|1=''a''&lt;sub&gt;''i''&lt;/sub&gt; = ''a''&lt;sub&gt;''n''−''i''&lt;/sub&gt;}} (அனைத்து {{math|''i''}}).
 
 == பண்புகள் ==
 தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் அதன் மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் பல தொடர்புகள் உள்ளன:
 # {{math|1=deg ''p'' = deg ''p''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt; (&lt;math&gt;a_0 \not = 0 &lt;/math&gt;).}}
 # {{math|1=''p''(''x'') = ''x''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;''p''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;(''x''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;)}}.&lt;ref name=&quot;Aigner&quot;/&gt;
 # தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை {{math|''p''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} இன் [[சார்பின் மூலம்|மூலமாக]] {{math|α&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;}} &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot; மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை {{math|''p''}} இன் மூலமாக {{math|''α''}} இருக்கும்.&lt;ref name=&quot;Pless 1990 loc=pg. 57&quot;&gt;{{harvnb|Pless|1990|loc=pg. 57}}&lt;/ref&gt;
 # {{math|''p''(''x'') ≠ ''x''}} எனில், தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை {{math|''p''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} குறைக்கவியலாததாக &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot; மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை {{math|''p''}} ஆனது [[குறைக்கவியலாப் பல்லுறுப்புக்கோவை]]யாக இருக்கும்.&lt;ref name=&quot;Roman 1995 loc= pg. 37&quot;&gt;{{harvnb|Roman|1995|loc= pg. 37}}&lt;/ref&gt;
 # தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை {{math|''p''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} தொடக்கநிலை பல்லுறுப்புக்கோவையாக குறைக்கவியலாததாக &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot; மூலப் பல்லுறுப்புக்கோவை {{math|''p''}} ஆனது [[தொடக்கநிலை பல்லுறுப்புக்கோவை]]யாக இருக்கும்.&lt;ref name=&quot;Pless 1990 loc=pg. 57&quot;/&gt;
 * ஒற்றைப் படியுள்ள தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை x+1 ஆல் வகுபடும். எனவே ஒன்றுக்கு அதிகமான படியுள்ள தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் குறைக்கவியலாதவை.
 
 ==எதிர்-தலைகீழ் அல்லது எதிர் இருவழியொத்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள்==
 
 :&lt;math&gt; P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i&lt;/math&gt; என்ற {{math|''n''}} [[பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி|படி]]யுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழானது எனில்:
 :{{math|1=''a&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'' = ''a''&lt;sub&gt;''n''−''i''&lt;/sub&gt;}}  ({{math|1=''i'' = 0, 1, ..., ''n''}}). 
 
 இதேபோல &lt;math&gt; P(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i&lt;/math&gt; என்ற {{math|''n''}} [[பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி|படி]]யுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவை எதிர்-இருவழியொத்தது எனில்:
 :{{math|1=''a&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'' = −''a''&lt;sub&gt;''n''−''i''&lt;/sub&gt;}} ({{math|1=''i'' = 0, 1, ..., ''n''}}). அதாவது
 :{{math|1=''P''(''x'') = –''P''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;(''x'')}}.
 
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 [[ஈருறுப்புக் குணகம்|ஈருறுப்புக் கெழுக்களின்]] பண்புகளின்படி,
 *{{math|''n''}} நேர்ம முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது, {{math|1=''P''(''x'') = (''x'' + 1)&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}} ஒரு தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை. 
 *{{math|''n''}}-இரட்டை முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது {{math|1=''Q''(''x'') = (''x'' – 1)&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}} தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும், {{math|''n''}}-ஒற்றை முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும் இருக்கும்.
 
 ===பண்புகள்===
 * தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை ஒன்றின் மூலம் {{math|''a''}} என்றால்,  {{sfrac|{{math|''a''}}}} யும் அதே [[மடங்கெண்]]கொண்ட மற்றொரு மூலமாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{harvnb|Pless|1990|loc=pg. 57}} for the palindromic case only&lt;/ref&gt;
 * இதன் மறுதலையும் உண்மை: {{math|''a''}} மூலம் கொண்ட ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு {{sfrac|{{math|''a''}}}} யும் அதே மடங்கெண்ணுடைய மற்றொரு மூலமாக இருந்தால், அப்பல்லுறுப்புக்கோவையானது, தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழானது.
 * {{math|''q''}}, ஏதாவதொரு பல்லுறுப்புக்கோவை எனில்:
 :{{math|''q'' + ''q''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை;
 :{{math|''q'' − ''q''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
 * இதிலிருந்து எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் ({{math|''q''}}) பின்வருமாறு எழுதலாம்:
 :{{math|1=''q'' = (''q'' + ''q''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;)/2 + (''q'' − ''q''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;)/2}}.&lt;ref&gt;{{citation|first=Jonathan Y.|last=Stein|title=Digital Signal Processing: A Computer Science Perspective|publisher=Wiley Interscience|year=2000|page=384|isbn=9780471295464}}&lt;/ref&gt;
 * இரு தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கற்பலனான பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
 * தலைகீழ் மற்றும் எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் இரண்டின் பெருக்கற்பலன் ஒரு எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவை.
 * ஒற்றைப் படிகொண்ட எந்தவொரு தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையும் {{math|''x'' + 1}} ஐக் காரணியாகக் கொண்டிருக்கும் (அதன் மூலம் –1). மேலும் அக்கோவையை  {{math|''x'' + 1}} ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவையும் தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
 * இரட்டைப் படியுடைய எந்தவொரு எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையும் {{math|''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; – 1}} ஐக் காரணியாகக் கொண்டிருக்கும் (அதன் மூலங்கள் −1, 1). மேலும் அதனை {{math|''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; – 1}} ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.
 * {{math|''p''(''x'')}} ஆனது இரட்டையெண் படி 2{{mvar|d}} கொண்ட தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையெனில், {{math|1=''p''(''x'') = ''x''&lt;sup&gt;''d''&lt;/sup&gt;''q''(''x'' + {{sfrac|1|''x''}})}} என்பதை நிறைவு செய்யும் {{math|''d''}} படியுள்ள மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவை {{math|''q''}} இருக்கும்&lt;ref&gt;{{harvnb|Durand|1961}}&lt;/ref&gt;
 
 ===மெய்யெண் கெழுக்கள்===
 கெழுக்களை மெய்யெண்களாகக் கொண்டதொரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் [[சிக்கலெண்]] மூலங்கள் எல்லாம் சிக்கலெண் தளத்திலமைந்த [[ஓரலகு வட்டம்|ஓரலகு வட்டத்தின்]] மீதமையுமானால், அப்பல்லுறுப்புக்கோவை தலைகீழ் அல்லது எதிர்-தலைகீழ் பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{cite book|first1=Ivan|last1=Markovsky|first2=Shodhan|last2=Rao|title=2008 16th Mediterranean Conference on Control and Automation |chapter=Palindromic polynomials, time-reversible systems, and conserved quantities |journal=Control and Automation|pages=125–130|year=2008|doi=10.1109/MED.2008.4602018|isbn=978-1-4244-2504-4|s2cid=14122451 |url=https://eprints.soton.ac.uk/266592/1/Med08.pdf}}&lt;/ref&gt;
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{சான்று}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 * {{citation|first=Vera|last=Pless|title=Introduction to the Theory of Error Correcting Codes|edition=2nd|publisher=Wiley-Interscience|place=New York|year=1990|isbn=0-471-61884-5|title-link= Introduction to the Theory of Error-Correcting Codes}}
 * {{citation|first=Steven|last=Roman|title=Field Theory|publisher=Springer-Verlag|place=New York|year=1995|isbn=0-387-94408-7}}
 * {{citation|first=Émile |last=Durand |year=1961 |title=Solutions numériques des équations algrébriques |volume=I |chapter=Masson et Cie: XV - polynômes dont les coefficients sont symétriques ou antisymétriques |pages=140–141}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * {{MathPages|id=home/kmath294/kmath294|title=The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials}}
 * [http://mathworld.wolfram.com/ReciprocalPolynomial.html Reciprocal Polynomial] (on [[MathWorld]])