அடிக்கண்டம்
{{Infobox polyhedron
 | name          = பட்டைக்கூம்பு அடிக்கண்டங்கள்
 | image         = [[File:Pentagonal frustum.svg|110px]][[Image:Usech kvadrat piramid.png|110px]]
 | caption       = ஐங்கோண, சதுர அடிக்கண்டம்
 | faces         = ''n'' [[சரிவகம்|சரிவகங்கள்]], 2 [[பல்கோணம்|''n''-கோணிகள்]]
 | edges         = 3''n''
 | vertices      = 2''n''
 | symmetry      = [[சமச்சீர்மை குலம்|C&lt;sub&gt;''n''v&lt;/sub&gt;]], [1,''n''], (*''nn'')
 | dual          = 
 | properties    = குவிவு
 }}
 
 [[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]] '''அடிக்கண்டம்''' (''frustum''{{efn|The term &quot;frustum&quot; comes from [[Latin]] ''[[wikt:en:frustum#Latin|frustum]]'' meaning &quot;piece&quot; or &quot;morsel&quot;. The English word is often misspelled as ''{{sic|hide=y|frus|trum}}'', a different Latin word cognate to the English word &quot;frustrate&quot;.&lt;ref&gt;{{citation|title=Teachers' Manual: Books I-VIII.. For Prang's complete course in form-study and drawing, Books 7–8|first=John Spencer|last=Clark|publisher=Prang Educational Company|year=1895|page=49|url=https://books.google.com/books?id=83EBAAAAYAAJ&amp;pg=PA49}}.&lt;/ref&gt; The confusion between these two words is very old: a warning about them can be found in the ''[[Appendix Probi]]'', and the works of [[Plautus]] include a pun on them.&lt;ref&gt;{{citation|title=Funny Words in Plautine Comedy|first=Michael|last=Fontaine|publisher=Oxford University Press|year=2010|isbn=9780195341447|url=https://books.google.com/books?id=SFPUvjlSUIsC&amp;pg=PA117|pages=117, 154}}.&lt;/ref&gt;}}) என்பது, [[பன்முகத்திண்மம்|திண்மத்தில்]] ஒன்று அல்லது இரண்டு [[இணை (வடிவவியல்)|இணையான]] தளங்களுக்கு இடையே அமையும் ஒரு பகுதியாகும். பொதுவாக, இத்திண்மம் [[கூம்பு]] அல்லது [[பட்டைக்கூம்பு|பட்டைக்கூம்பாக]] இருக்கும். ஒரு நேர் பட்டைக்கூம்பு அல்லது கூம்பை இணையான [[முனைத்துண்டிப்பு]]ச் செய்யக் கிடைக்கும் அடிக்கண்டமானது, '''நேர் அடிக்கண்டம்''' (''right frustum'') எனப்படும்.&lt;ref&gt;William F. Kern, James R. Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.&amp;nbsp;67&lt;/ref&gt;
 
 == தொடர்புள்ள கூறுகள் ==
 [[File:Square frustum.png|thumb|200px|சதுர அடிக்கண்டம்]]
 [[File:Triangulated monorectified tetrahedron.png|thumb|200px|ஒழுங்கு [[எண்முகி]]யை மூன்று முகங்களில் மிகுதிப்படுத்தி முக்கோண அடிக்கண்டம் உருவாக்கம்.]]
 ஒரு அடிக்கண்டத்தின் அச்சானது, அதன் மூலத்திண்மத்தின் (கூம்பு அல்லது பட்டைக்கூம்பு) அச்சாகவே இருக்கும். வட்ட அடிப்பக்கங்கொண்ட அடிக்கண்டங்கள் வட்டமாக இருக்கும். அடிக்கண்டத்தின் அச்சு, அதன் இரு அடிப்பக்கங்களுக்கும் செங்குத்தாக இருந்தால் அது &quot;நேர் அடிக்கண்டமாக&quot; இருக்கும். இல்லையெனில், அது &quot;சாய்வு அடிக்கண்டமாக&quot; இருக்கும்.
 
 அடிக்கண்டத்தின் இரு அடிகளுக்கும் இடைப்பட்டச் செங்குத்து தூரம், அந்த அடிக்கண்டத்தின் உயரமாகும்.
 
 இரு அடிக்கண்டங்களை அவற்றின் அடிப்பக்கத்தில் இணைத்தால் [[இருஅடிக்கண்டம்]] கிடைக்கும்.
 
 == கனவளவு ==
 சதுரப் பட்டைக்கூம்பின் அடிக்கண்டத்தின் கனவளவிற்கான வாய்பாடு பண்டைய எகிப்திய கணிதத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. இது, [[எகிப்தின் பதிமூன்றாம் வம்சம்|எகிப்தின் பதிமூன்றாம் வம்ச]] காலத்தில் எழுதப்பட்ட ({{circa|1850 BC}}) &quot;மாஸ்கோ கணித பாபிரசி&quot;ல் உள்ளது:
 :&lt;math&gt;V = \tfrac{1}{3} h \left(a^2 + a b +b^2\right).&lt;/math&gt;
 இதில், ''a'', ''b'' இரண்டும் அடிக்கண்டத்தின் அடி மற்றும் மேற்பக்க நீளங்கள்; ''h'', உயரம். எகிப்தியர்கள் சதுரப் பட்டைக்கூம்பு அடிக்கண்டத்தின் கனவளவின் சரியான வாய்பாட்டினை அறிந்திருந்தாலும் அதற்கான நிறுவல் மாஸ்கோ பாபிரசில் காணப்படவில்லை.
 
 கூம்பு அல்லது பட்டைக்கூம்பின் அடிக்கண்டத்தின் [[கன அளவு]], நுனி துண்டிக்கப்படாத முழுத்திண்மத்தின் கனவளவிலிருந்து துண்டிக்கப்பட்ட நுனிப்பகுதியின் கனவளவைக் கழிக்கக் கிடைக்கும்:
 :&lt;math&gt;V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3}&lt;/math&gt;
 ''B''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; - அடிக்கண்டத்தின் ஒரு அடிப்பக்கத்தின் பரப்பளவு; ''B''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; - அடிக்கண்டத்தின் மற்றொரு அடிப்பக்கத்தின் பரப்பளவு; ''h''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''h''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; இரண்டிம் மேலுச்சியிலிருந்து இரு அடிப்பக்கத் தளங்களுக்கான உயரங்கள்.
 
 
 :&lt;math&gt;\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}=\frac{\sqrt{B_1 B_2}}{h_1 h_2} = \alpha&lt;/math&gt; என எடுத்துக்கொண்டால் அடிக்கண்டத்தின் கனவளவிற்கான வாய்பாடு:
 :&lt;math&gt;V = \frac{h_1 \alpha h_1^2 - h_2 \alpha h_2^2}{3} = \frac{\alpha}{3}(h_1^3 - h_2^3)&lt;/math&gt;
 
 {{nowrap|1=a&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; − b&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = (a − b)(a&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + ab + b&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)}} என்ற முற்றொருமையைப் பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;V =\frac{\alpha}{3}(h_1^3 - h_2^3) = \frac{\alpha}{3}(h_1 - h_2)(h_1^2 + h_1h_2 + h_2^2) &lt;/math&gt;
 
 {{nowrap|1=''h''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; − ''h''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = ''h''}}, {{nowrap|''α''}} இன் மதிப்பை மேலுள்ள வாய்பாட்டில் பதிலிடக் கிடைக்கும் கனவளவின் வாய்பாடு:
 :&lt;math&gt;V = \frac{h}{3}\left(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2\right)&lt;/math&gt;.
 
 :&lt;math&gt;\frac{\left(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2\right)}{3}&lt;/math&gt; - இது பரப்பளவுகள் ''B''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''B''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ஆகிய இரண்டின் [[ஈரோனிய சராசரி]] ஆகும். 
 
 [[கற்பனை அலகு|கற்பனை அலகுடன்]] அமைந்த இந்த அடிக்கண்டத்தின் கனவளவு வாய்பாட்டிற்காக கணிதவியலாலர் [[அலெக்சாந்திரியாவின் ஹீரோன்]] நன்கறியப்பட்டார்.&lt;ref&gt;Nahin, Paul. ''An Imaginary Tale: The story of {{sqrt|−1}}.'' Princeton University Press. 1998&lt;/ref&gt;
 
 வட்டக்கூம்பு அடிக்கண்டத்தின் கனவளவு: 
 :&lt;math&gt;V = \frac{\pi h}{3}\left(r_1^2+r_1 r_2+r_2^2\right)&lt;/math&gt;
 இதில், ''r''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''r''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; இரண்டும் அடிக்கண்டத்தின் இரு வட்ட அடிப்பக்கங்களின் [[ஆரம், வடிவியல்|ஆரங்கள்]].
 
 [[Image:Frustum with symbols.svg|right|x200px|பட்டைக்கூம்பு அடிக்கண்டம்]]
 ''n''-பக்க ஒழுங்கு பல்கோண அடிப்பக்கங்களைக் கொண்ட பட்டைக்கூம்பு அடிக்கண்டத்தின் கனவளவு:
 :&lt;math&gt;V= \frac{n h}{12} \left(a_1^2+a_1a_2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n}&lt;/math&gt;
 இதில் ''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; அடிக்கண்டத்தின் இரு அடிப்பக்கங்களின் பக்க அளவுகள்.
 
 == புறப்பரப்பளவு ==
 [[File:CroppedCone.svg|thumb|கூம்பு அடிக்கண்டம்]]
 [[File:Tronco cono 3D.stl|thumb|கூம்பு அடிக்கண்டத்தின் 3D மாதிரி.]]
 ஒரு நேர்வட்டக் கூம்பு அடிக்கண்டத்திற்கு:&lt;ref&gt;{{cite web |url=http://www.mathwords.com/f/frustum.htm |title=Mathwords.com: Frustum |access-date=17 July 2011}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal|doi=10.1080/10407782.2017.1372670 |first1=Ahmed T. |last1=Al-Sammarraie |first2=Kambiz |last2=Vafai |date=2017 |title=Heat transfer augmentation through convergence angles in a pipe |journal=Numerical Heat Transfer, Part A: Applications |volume=72 |issue=3 |page=197−214|s2cid=125509773 }}&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;\begin{align}\text{Lateral surface area}&amp;=\pi\left(r_1+r_2\right)s\\
 &amp;=\pi\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}\end{align}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\begin{align}\text{Total surface area}&amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
 &amp;=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}&lt;/math&gt;
 இதில் ''r''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''r''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; இரண்டும் அடிக்கண்டத்தின் இரு அடிப்பக்க வட்டங்களின் ஆரங்கள்; ''s'' - அடிக்கண்டத்தின் சாய்வு உயரம்.
 
 வடிவொத்த ''n''-பக்க ஒழுங்கு [[பல்கோணி]]ங்களை அடிகளாகக் கொண்ட நேர் அடிக்கண்டத்தின் புறப்பரப்பளவு:
 :&lt;math&gt;A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]&lt;/math&gt;
 இதில், ''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ஆகிய இரண்டும் அடிக்கண்டத்தின் இரு அடிப்பல்கோணிகளின் பக்க அளவுகள்.
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{Notelist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{Reflist}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 {{Commons category|Frustums|அடிக்கண்டங்கள்}}
 *[http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/derivation-of-formula-for-volume-of-a-frustum Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090304161652/http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/derivation-of-formula-for-volume-of-a-frustum |date=2009-03-04 }} (Mathalino.com)
 *{{MathWorld |urlname=PyramidalFrustum |title=Pyramidal frustum}}
 *{{MathWorld |urlname=ConicalFrustum |title=Conical frustum}}
 *[http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=truncated%20pyramids%20of%20the%20same%20height Paper models of frustums (truncated pyramids)]
 *[http://www.korthalsaltes.com/model.php?name_en=tapared%20cylinder Paper model of frustum (truncated cone)]
 *[http://www.verbacom.com/cone/cone.php Design paper models of conical frustum (truncated cones)]