தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறை
கணிதத்தில் '''தகுவகுஎண்களின்கூட்டுத் தொடர்முறை'''  (''aliquot sequence'') என்பது நேர் முழுஎண்களைக் கொண்ட ஒரு தொடர்முறை. இத்தொடர்முறையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் அதன் முந்தைய உறுப்பின் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும். தொடர்முறையின் உறுப்பு 1 ஆக வந்தவுடன் தொடர்முறை அத்துடன் முடிந்துவிடும். ஏனென்றால் 1 இன் தகு வகுஎண்களின் கூடுதல் 0. 
 
 ==வரையறை==
 இத்தொடர்முறையின் முதல் உறுப்பு நேர் முழுஎண் ''k'' எனில், அதன் மற்ற உறுப்புகள் [[வகுஎண் சார்பு|வகுஎண்களின் கூட்டுச் சார்பு]] σ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; அல்லது [[தகு வகுஎண் கூட்டுச்சார்பு]] ''s'' ஐக் கொண்டு கீழ்வருமாறு பெறலாம்:&lt;ref name=&quot;mw&quot;&gt;{{MathWorld | urlname=AliquotSequence | title=Aliquot Sequence}}&lt;/ref&gt;
 : ''s''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = ''k''
 : ''s''&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; = ''s''(''s''&lt;sub&gt;''n''&amp;minus;1&lt;/sub&gt;) = σ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(''s''&lt;sub&gt;''n''&amp;minus;1&lt;/sub&gt;) &amp;minus; ''s''&lt;sub&gt;''n''&amp;minus;1&lt;/sub&gt;, ''s''&lt;sub&gt;''n''&amp;minus;1&lt;/sub&gt; &amp;gt; 0,
 :''s''(0) வரையறுக்கப்படவில்லை.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 10 இன் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறை: 10, 8, 7, 1, 0
 
 :σ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(10) &amp;minus; 10 = 5 + 2 + 1 = 8,
 :σ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(8) &amp;minus; 8 = 4 + 2 + 1 = 7,
 :σ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(7) &amp;minus; 7 = 1,
 :σ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(1) &amp;minus; 1 = 0.
 
 பல தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறைகள் 0 வில் முடிந்துவிடும். அத்தகைய தொடர்முறைகளில் 0 க்கு முந்தைய உறுப்பு 1 ஆகவும், அதற்கு முந்தைய உறுப்பு ஒரு [[பகா எண்]]ணாகவும் இருக்கும். 75 வரையிலான அத்தகைய எண்களின் பட்டியலை {{OEIS|id=A080907}}இல் காணலாம்.
 
 பல்வேறு வகையான தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறைகள் முடிவுறாதவையாகவும் உள்ளன:
 * ஒரு [[நிறைவெண் (கணிதம்)|நிறைவெண்ணின்]]   தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறையானது '1' நீளங்கொண்ட மீளும்தொடர்முறையாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, '6' ஒரு நிறைவெண். இதன்  தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை: {{nowrap|6, 6, 6, 6, ...}}
 * ஒரு [[நட்பு எண்கள்|நட்பெண்ணின்]]  தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை நீளம் '2' கொண்ட மீளும் தொடர்முறையாகும். எடுத்துக்காட்டாக, '220' ஒரு நட்பெண். அதன்  தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை: {{nowrap|220, 284, 220, 284, ...}}
 *  ஒரு [[இணக்க எண்]]ணின்  தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை நீளம் '3' கொண்ட மீளும் தொடர்முறையாகும். எடுத்துக்காட்டாக, '1264460' ஒரு இணக்க எண். அதன்  தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை: {{nowrap|1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ...}}
 * நிறைவெண்கள், நட்பு எண்கள், இணக்க எண்கள் ஆகியனவாக இல்லாத சில எண்களின் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை, இறுதியில் மீளும் தொடர்முறைகளாக அமையும்.  எடுத்துக்காட்டாக 95 ஆனது அத்தகையதொரு எண்ணாகவுள்ளது. 95 இன் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை: {{nowrap|95, 25, 6, 6, 6, 6, ...}} இவ்வாறு நிறைவெண்களல்லாத ஆனால் நீளம் '1' கொண்ட தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறைகொண்ட எண்கள் &quot;விழையும் எண்கள்&quot; (''aspiring numbers'') என அழைக்கப்படுகின்றன.&lt;ref&gt;{{Cite OEIS|1=A063769|2=Aspiring numbers: numbers whose aliquot sequence terminates in a perfect number. }}&lt;/ref&gt;
 
 {| class=&quot;wikitable mw-collapsible mw-collapsed&quot;
 |+ class=&quot;nowrap&quot; | தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை: 0 - 47
 |-
 ! {{mvar|n}} !! தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொடர்முறை {{mvar|n}} !! நீளம் ({{oeis|A098007}})
 |-
 ! 0
 | 0 || 1
 |-
 ! 1
 | 1, 0 || 2
 |-
 ! 2
 | 2, 1, 0 || 3
 |-
 ! 3
 | 3, 1, 0 || 3
 |-
 ! 4
 | 4, 3, 1, 0 || 4
 |-
 ! 5
 | 5, 1, 0 || 3
 |-
 ! 6
 | 6 || 1
 |-
 ! 7
 | 7, 1, 0 || 3
 |-
 ! 8
 | 8, 7, 1, 0 || 4
 |-
 ! 9
 | 9, 4, 3, 1, 0 || 5
 |-
 ! 10
 | 10, 8, 7, 1, 0 || 5
 |-
 ! 11
 | 11, 1, 0 || 3
 |-
 ! 12
 | 12, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 || 8
 |-
 ! 13
 | 13, 1, 0 || 3
 |-
 ! 14
 | 14, 10, 8, 7, 1, 0 || 6
 |-
 ! 15
 | 15, 9, 4, 3, 1, 0 || 6
 |-
 ! 16
 | 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 || 7
 |-
 ! 17
 | 17, 1, 0 || 3
 |-
 ! 18
 | 18, 21, 11, 1, 0 || 5
 |-
 ! 19
 | 19, 1, 0 || 3
 |-
 ! 20
 | 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 || 8
 |-
 ! 21
 | 21, 11, 1, 0 || 4
 |-
 ! 22
 | 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 || 7
 |-
 ! 23
 | 23, 1, 0 || 3
 |-
 ! 24
 | 24, 36, 55, 17, 1, 0 || 6
 |-
 ! 25
 | 25, 6 || 2
 |-
 ! 26
 | 26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 || 8
 |-
 ! 27
 | 27, 13, 1, 0 || 4
 |-
 ! 28
 | 28 || 1
 |-
 ! 29
 | 29, 1, 0 || 3
 |-
 ! 30
 | 30, 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 || 16
 |-
 ! 31
 | 31, 1, 0 || 3
 |-
 ! 32
 | 32, 31, 1, 0 || 4
 |-
 ! 33
 | 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 || 7
 |-
 ! 34
 | 34, 20, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 || 9
 |-
 ! 35
 | 35, 13, 1, 0 || 4
 |-
 ! 36
 | 36, 55, 17, 1, 0 || 5
 |-
 ! 37
 | 37, 1, 0 || 3
 |-
 ! 38
 | 38, 22, 14, 10, 8, 7, 1, 0 || 8
 |-
 ! 39
 | 39, 17, 1, 0 || 4
 |-
 ! 40
 | 40, 50, 43, 1, 0 || 5
 |-
 ! 41
 | 41, 1, 0 || 3
 |-
 ! 42
 | 42, 54, 66, 78, 90, 144, 259, 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 || 15
 |-
 ! 43
 | 43, 1, 0 || 3
 |-
 ! 44
 | 44, 40, 50, 43, 1, 0 || 6
 |-
 ! 45
 | 45, 33, 15, 9, 4, 3, 1, 0 || 8
 |-
 ! 46
 | 46, 26, 16, 15, 9, 4, 3, 1, 0 || 9
 |-
 ! 47
 | 47, 1, 0 || 3
 |}
 
 == கேதலான்-டிக்சன் ஊகம் ==
 கேதலான்-டிக்சன் ஊகம் என்பது, தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறை  குறித்த முக்கியமான ஊகமாகும். இதன்படி ஒவ்வொரு தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறையும் கீழுள்ள எண்களில் ஏதாவது ஒன்றைக்கொண்டு முடிவடையும்: [[பகா எண்]],  [[நிறைவெண் (கணிதம்)|நிறைவெண்]] அல்லது நட்பு எண்கள் அல்லது இணக்க எண்கள்.&lt;ref&gt;{{MathWorld | urlname=CatalansAliquotSequenceConjecture | title=Catalan's Aliquot Sequence Conjecture}}&lt;/ref&gt; இதற்கு மாற்றான கூற்றாக, &quot;முடிவடையாத ஆனால் மீளாத தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறையைக் கொண்டுள்ள எண்கள் உள்ளன&quot; என்பதைக் கொள்ளலாம். இன்னமும் முழுமையாக கண்டறியப்படாத தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறைகளையுடைய பல எண்களுள் ஒன்று  இத்தகைய எண்ணாக இருக்கலாம். கணிதவியலாளர்கள் ரிச்சர்டு கே. கை மற்றும் ஜான் செல்ப்ரிட்ஜு இருவரும் கேதலன்-டிக்சன் ஊகம் தவறென்றும் வரம்பற்ற அதாவது முடிவேயில்லாத தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறைகள் உள்ளதாகவும் கருதுகின்றனர்&lt;ref&gt;A. S. Mosunov, [http://www.cs.uleth.ca/~hadi/2016-09-29-aliquot_sequences.pdf What do we know about aliquot sequences?]&lt;/ref&gt;
 
 ஏப்பிரல் 2015 வரையிலான நிலைப்படி, 100,000 க்குக் கீழுள்ள நேர்ம முழுவெண்களில் 898 எண்களும்,  1,000,000 க்குக் கீழ் 9190 எண்களும் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறைகள் முழுமையாகக் கண்டுபிடிக்கப்பாமல் உள்ளன.&lt;ref&gt;{{cite web|url=http://www.aliquot.de/aliquote.htm|title=Aliquot Pages|first=Wolfgang|last=Creyaufmüller|date=April 29, 2015|access-date=June 14, 2015}}&lt;/ref&gt;
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{refbegin}}
 * Manuel Benito; Wolfgang Creyaufmüller; Juan Luis Varona; Paul Zimmermann. [http://www.expmath.org/expmath/volumes/11/11.2/3630finishes1.pdf ''Aliquot Sequence 3630 Ends After Reaching 100 Digits''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20041015194432/http://www.expmath.org/expmath/volumes/11/11.2/3630finishes1.pdf |date=2004-10-15 }}. Experimental Mathematics, vol. 11, num. 2, Natick, MA, 2002, p.&amp;nbsp;201-206.
 * W. Creyaufmüller. ''Primzahlfamilien - Das Catalan'sche Problem und die Familien der Primzahlen im Bereich 1 bis 3000 im Detail''. Stuttgart 2000 (3rd ed.), 327p.
 {{refend}}
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 *[https://web.archive.org/web/20140502102524/http://amicable.homepage.dk/tables.htm Tables of Aliquot Cycles] (J.O.M. Pedersen)
 *[http://www.aliquot.de/aliquote.htm Aliquot Page] (Wolfgang Creyaufmüller)
 *[http://christophe.clavier.free.fr/Aliquot/site/Aliquot.html Aliquot sequences] (Christophe Clavier)
 *[http://www.mersenneforum.org/forumdisplay.php?f=90 Forum on calculating aliquot sequences] (MersenneForum)
 *[http://www.rieselprime.de/Others/Aliquot000.htm Aliquot sequence summary page for sequences up to 100000 (there are similar pages for higher ranges)] (Karsten Bonath)
 *[http://www.aliquotes.com Active research site on aliquot sequences] (Jean-Luc Garambois)
 
 [[பகுப்பு:வகுஎண் சார்பு]]