வர்க்க நிரப்பி முறை
[[அடிப்படை இயற்கணிதம்|அடிப்படை இயற்கணிதத்தில்]], '''வர்க்க நிரப்பி முறை'''(''completing the square'') என்பது ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையின் வடிவத்தை
 
 '''&lt;math&gt;ax^2 + bx + c\,\!&lt;/math&gt;''' -வடிவிலிருந்து
 
 : &lt;math&gt; a(\cdots\cdots)^2 + \mbox{constant}.\, &lt;/math&gt; வடிவத்திற்கு மாற்றும் முறையாகும்.
 
 இங்கு மாறிலி(constant) என்பது [[மாறி]] ''x'' -ஐச் சாராத உறுப்பு என்பதைக் குறிக்கும். அடைப்புக் குறிக்குள் அமைந்துள்ள கோவை, '''(''x''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;மாறிலி)''' வடிவில் உள்ளது. எனவே, '''''ax''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''bx''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''c''&amp;nbsp;''' என்பது
 
 ''' &lt;math&gt; a(x - h)^2 + k\, &lt;/math&gt;''' என மாற்றமடைகிறது. இதில் ''h'' ,''k'' -ன் மதிப்புகளைக் காண வேண்டும்.
 
 வர்க்க நிரப்பி முறையானது பயன்படும் இடங்கள்:
 * [[இருபடிச் சமன்பாடு]]களைத் தீர்த்தல்
 * [[இருபடிச் சார்பு]]களின் [[வரைபடம்]] வரைதல்
 * [[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] [[தொகையீடு|தொகையிடல்]]
 * [[பியர் சிமோன் இலப்லாசு|லாப்லாசு]] மாற்றுகளைக் காணல்
 
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] வர்க்கநிரப்பி முறை ஒரு எளிமையான [[இயற்கணிதம்|இயற்கணித]] செயல்முறையாகக் கருதப்படுகிறது. மேலும் இது பெரும்பாலும் இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்ட கணக்கிடுதல்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
 
 ==மேலோட்டமாக ஒரு பார்வை==
 ===பின்னணி===
 ஒரு ஈருறுப்புக் கோவையின் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கத்திற்கு]], அடிப்படை இயற்கணிதத்திலுள்ள ஒரு எளிய [[வாய்ப்பாடு]]:
 
 :&lt;math&gt;(x + p)^2 \,=\, x^2 + 2px + p^2.\,\!&lt;/math&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டாக:
 
 :&lt;math&gt;\begin{alignat}{2}
 (x+3)^2 \,&amp;=\, x^2 + 6x + 9 &amp;&amp; (p=3)\\[3pt]
 (x-5)^2 \,&amp;=\, x^2 - 10x + 25\qquad &amp;&amp; (p=-5).
 \end{alignat}
 &lt;/math&gt;
 
 எந்தவொரு முழுவர்க்கத்திலும் ''p'' -ன் மதிப்பு, ''x'' -ன் [[எண் கெழு|கெழுவில்]] பாதியாகவும் மாறிலி உறுப்பு, ''p''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ஆகவும் இருக்கும்.
 
 ===எளிய எடுத்துக்காட்டு===
 பின்வரும் இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையில்,
 
 :&lt;math&gt;x^2 + 10x + 28.\,\!&lt;/math&gt;
 
 28 ஆனது, 5 -ன் வர்க்கமில்லை என்பதால் இக்கோவை முழு வர்க்கமல்ல.
 
 :&lt;math&gt;(x+5)^2 \,=\, x^2 + 10x + 25.\,\!&lt;/math&gt;
 
 என்பதைப் பயன்படுத்தி இக்கோவையை,
 
 :&lt;math&gt;x^2 + 10x + 28 \,=\, (x+5)^2 + 3,&lt;/math&gt; ஒரு வர்க்கம் மற்றும் ஒரு மாறிலியின் கூடுதலாக எழுதலாம்.
 
 இவ்வாறு மாற்றி எழுதும் முறை '''வர்க்க நிரப்பி முறை''' எனப்படுகிறது.
 
 ----
 
 ===பொது விளக்கம்===
 
 :&lt;math&gt;x^2 + bx + c,\,\!&lt;/math&gt; என்ற தலையொற்றை இருபடிக் கோவையை எடுத்துக் கொள்க:
 
 ஒரு வர்க்கத்தின் விரிவிலுள்ள முதல் இரு உறுப்புகள், நாம் எடுத்துக் கொண்ட கோவையின் முதல் இரு உறுப்புகளுக்கு சமமாக இருக்கும்படியாக ஒரு வர்க்கத்தைக் காண முடியும்.
 
 :&lt;math&gt;\left(x+\tfrac{1}{2} b\right)^2 \,=\, x^2 + bx + \tfrac{1}{4}b^2.&lt;/math&gt;
 
 வலதுபுறமுள்ள விரிவிற்கும் நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோவைக்கும் வேறுபாடு, மாறிலி உறுப்பு மட்டும்தான். எனவே,
 
 :&lt;math&gt;x^2 + bx + c \,=\, \left(x + \tfrac{1}{2}b\right)^2 + k,&lt;/math&gt; என எழுதலாம். இங்கு
 ''k'' ஒரு மாறிலியாகும். இச்செயல், வர்க்க நிரப்பி முறை எனப்படும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 :&lt;math&gt;\begin{alignat}{1}
 x^2 + 6x + 11 \,&amp;=\, (x+3)^2 + 2 \\[3pt]
 x^2 + 14x + 30 \,&amp;=\, (x+7)^2 - 19 \\[3pt]
 x^2 - 2x + 7 \,&amp;=\, (x-1)^2 + 6.
 \end{alignat}
 &lt;/math&gt;
 
 ===தலையொற்றை அல்லாதவை===
 
 :&lt;math&gt;ax^2 + bx + c\,\!&lt;/math&gt; போன்ற இருபடிக் பல்லுறுப்புகோவையிலிருந்து கெழு ''a'' -ஐ நீக்கிவிட்டு,பின் அதிலிருந்து கிடைக்கும் தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையை வர்க்க நிரப்பி முறையில் முன்போல மாற்றலாம்
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
  3x^2 + 12x + 27 &amp;= 3(x^2+4x+9)\\
  &amp;{}= 3\left((x+2)^2 + 5\right)\\
  &amp;{}= 3(x+2)^2 + 15
 \end{align}&lt;/math&gt;
 இதன்படி எந்தவொரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையையும் பின்வரும் வடிவில் எழுதலாம்.
 
 :&lt;math&gt;a(x-h)^2 + k.\,\!&lt;/math&gt;
 
 ===வாய்ப்பாடு===
 வர்க்க நிரப்பும் முறையை வாய்ப்பாடாக உருவப்படுத்தலாம்.
 
 பொதுவகைக்கு:&lt;ref&gt;{{cite book
 |title=Precalculus: Building Concepts and Connections
 |first1=Revathi
 |last1=Narasimhan
 |publisher=Cengage Learning
 |year=2008
 |isbn=0-618-41301-4
 |page=133–134
 |url=http://books.google.com/books?id=hLZz3xcP0SAC}}, [http://books.google.com/books?id=hLZz3xcP0SAC&amp;pg=PA134 Section ''Formula for the Vertex of a Quadratic Function'', page 133–134, figure 2.4.8]
 &lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;ax^2 + bx + c \;=\; a(x-h)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2a}, \quad k = c - \frac{b^2}{4a}.&lt;/math&gt;
 
 குறிப்பாக ''a=1'' எனில்:
 
 :&lt;math&gt;x^2 + bx + c \;=\; (x-h)^2 + k,\quad h = -\frac{b}{2}, \quad k = c - \frac{b^2}{4}.&lt;/math&gt;
 
 ==வரைபடத்துடனான தொடர்பு==
 [[Image:H_shift.png|thumb|right|250px|''h'' = 0, 5, 10, 15, வலதுபுறம் நகர்த்தப்பட்ட இருபடிச் சார்புகளின் வரைபடங்கள்]]
 [[Image:V_shift.png|thumb|right|250px|''k'' = 0, 5, 10, 15, மேற்புறம் நகர்த்தப்பட்ட இருபடிச் சார்புகளின் வரைபடங்கள்]]
 [[Image:HV_shift.png|thumb|right|250px|0, 5, 10, 15, மேற்புறம் மற்றும் வலப்புறம் நகர்த்தப்பட்ட இருபடிச் சார்புகளின் வரைபடங்கள்.]]
 
 பகுமுறை வடிவவியலில் இருபடிச் [[சார்பின் வரைபடம்]], ''xy'' தளத்தில் அமைந்த ஒரு பரவளையமாகும்.
 
 :&lt;math&gt;(x-h)^2 + k; \quad a(x-h)^2 + k&lt;/math&gt; என்ற இருபடிச் சார்பிற்கு,
 
 ''h'' , ''k'' என்பன பரவளையத்தின் உச்சிப்புள்ளியின் கார்ட்டீசியன் அச்சுதூரங்களாகும். அதாவது ''h'' என்பது பரவளையத்தின் சமச்சீர் அச்சின் ''x'' -அச்சுதூரம்; ''k'' என்பது இருபடிச் சார்பின் குறும(பெரும) மதிப்பாகும்.( ''a''&amp;nbsp;&amp;lt;&amp;nbsp;0 எனில் பெரும மதிப்பு)
 
 '''''&amp;fnof;''(''x'')&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;''' என்ற சார்பின் வரைபடம் [[ஆதிப்புள்ளி]] &amp;nbsp;(0,&amp;nbsp;0) -ஐ உச்சிப்புள்ளியாகக் கொண்ட ஒரு பரவளையமாகும்.
 
 அதேபோல '''''&amp;fnof;''(''x''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;''h'')&amp;nbsp;=&amp;nbsp;(''x''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;''h'')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;''' என்ற சார்பின் வரைபடம், மேலுள்ள படத்தில் உள்ளதுபோல வலதுபுறம் ''h'' அலகு தூரத்திற்கு நகர்த்தப்பட்டு, (''h'',&amp;nbsp;0) என்ற உச்சிப்புள்ளியை உடைய பரவளையமாகும்.
 
 இதற்கு மாறாக '''''&amp;fnof;''(''x'')&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''k'' =&amp;nbsp;''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''k''''' என்ற சார்பின் வரைபடம், நடுவிலுள்ள படத்தில் உள்ளதுபோல, மேல்புறமாக ''k'' அலகு தூரம் நகர்த்தப்பட்டு (0,&amp;nbsp;''k'') என்ற உச்சிப்புள்ளியைக் கொண்ட பரவளையமாகும்.
 
 இந்த இரண்டு நகர்த்தல்களையும் சேர்த்தால், '''''&amp;fnof;''(''x''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;''h'')&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''k'' =&amp;nbsp;(''x''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;''h'')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''k''''' என்பது கீழ்ப்படத்தில் உள்ளதுபோல வலப்புறம் ''h'' அலகுகளும் மேற்புறம் ''k'' அலகுகள் தூரமும் நகர்த்தப்பட்டு (''h'',&amp;nbsp;''k'') என்ற உச்சிப்புள்ளியைக் கொண்ட பரவளையமாகும்.
 
 ==இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்==
 வர்க்கநிரப்பி முறையைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு இருபடிச் சமன்பாட்டையும் தீர்க்கலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 :&lt;math&gt;x^2 + 6x + 5 = 0,\,\!&lt;/math&gt;
 
 வர்க்க நிரப்பி முறையில் இச் [[சமன்பாடு|சமன்பாட்டை]],
 
 :&lt;math&gt;(x+3)^2 - 4 = 0.\,\!&lt;/math&gt; என மாற்றலாம்.
 
 :&lt;math&gt;(x+3)^2 = 4.\,\!&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;x+3 = -2 \quad\text{or}\quad x+3 = 2,&lt;/math&gt;
 
 ஃ :&lt;math&gt;x = -5 \quad\text{or}\quad x = -1.&lt;/math&gt;
 
 ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; -ன் கெழு 1 -ஆக இல்லாமல் இருந்தால், முதலில் சமன்பாட்டை அக்கெழுவால் [[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுத்து]] விட்டுப் பின் மேலே உள்ளவாறு தீர்க்க வேண்டும்.
 ===விகிதமுறா மற்றும் சிக்கலெண் மூலங்கள்===
 
 ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் [[விகிதமுறு எண்]]ணாக இருந்தால் மட்டுமே, காரணிப்படுத்தும் முறையில் தீர்க்க முடியும்.மூலங்கள் [[விகிதமுறா எண்]]களாகவோ அல்லது [[சிக்கலெண்]]களாகவோ இருந்தால் காரணிப்படுத்தல் முறையில் தீர்க்க முடியாது. அப்பொழுது வர்க்க நிரப்பி முறையில் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 * '''விகிதமுறா மூலங்கள்''':
 
 :&lt;math&gt;x^2 - 10x + 18 = 0.\,\!&lt;/math&gt;
 வர்க்க நிரப்பி முறையில்,
 :&lt;math&gt;(x-5)^2 - 7 = 0,\,\!&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;(x-5)^2 = 7.\,\!&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x-5 = -\sqrt{7} \quad\text{or}\quad x-5 = \sqrt{7},\,&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt; x = 5 - \sqrt{7}\quad\text{or}\quad x = 5 + \sqrt{7}. \, &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x = 5 \pm \sqrt{7}.\,&lt;/math&gt;
 
 * '''சிக்கலெண் மூலங்கள்''':
 :&lt;math&gt;\begin{array}{c}
 x^2 + 4x + 5 \,=\, 0 \\[6pt]
 (x+2)^2 + 1 \,=\, 0 \\[6pt]
 (x+2)^2 \,=\, -1 \\[6pt]
 x+2 \,=\, \pm i \\[6pt]
 x \,=\, -2 \pm i.
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 ===தலையொற்றை அல்லாத வகைச் சமன்பாடு===
 தலையொற்றை அல்லாத சமன்பாடுகளாக இருந்தால் முதலில் சமன்பாட்டை ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; -ன் கெழுவால் வகுத்துவிட்டுப் பின்னர் வர்க்க நிரப்பி முறையில் தீர்க்க வேண்டும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt;\begin{array}{c}
 2x^2 + 7x + 6 \,=\, 0 \\[6pt]
 x^2 + \tfrac{7}{2}x + 3 \,=\, 0 \\[6pt]
 \left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 - \tfrac{1}{16} \,=\, 0 \\[6pt]
 \left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 \,=\, \tfrac{1}{16} \\[6pt]
 x+\tfrac{7}{4} = \tfrac{1}{4} \quad\text{or}\quad x+\tfrac{7}{4} = -\tfrac{1}{4} \\[6pt]
 x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{or}\quad x = -2.
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 ==ஏனையப் பயன்பாடுகள்==
 ===தொகையீடு===
 :&lt;math&gt;\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}&lt;/math&gt; போன்ற [[தொகையீடு]]களை வர்க்க நிரப்பி முறையில் காணலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 :&lt;math&gt;\int\frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| +C; \quad
 \int\frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) +C.&lt;/math&gt; என்ற வாய்ப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி,
 
 :&lt;math&gt;\int\frac{dx}{ax^2+bx+c}&lt;/math&gt; போன்ற தொகையீடுகளை வர்க்க நிரப்பி முறையில் காணலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 :&lt;math&gt;\int\frac{dx}{x^2 + 6x + 13}.&lt;/math&gt;
 
 பகுதியை வர்க்க நிரப்பி முறையில் மாற்ற,
 
 :&lt;math&gt;\int\frac{dx}{(x+3)^2 + 4} \,=\, \int\frac{dx}{(x+3)^2 + 2^2}.&lt;/math&gt;
 
 ''u''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''x''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;3, என்ற பதிலிடல் மூலம் இந்த தொகையீட்டைக் காண,
 
 :&lt;math&gt;\int\frac{dx}{(x+3)^2 + 4} \,=\, \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+3}{2}\right)+C.&lt;/math&gt; கிடைக்கிறது.
 
 ===சிக்கலெண்கள்===
 * :&lt;math&gt; |z|^2 - b^*z - bz^* + c,\,&lt;/math&gt;என்ற கோவையை எடுத்துக் கொள்க. இதில்
 ''z'' , ''b'' aசிக்கலெண்கள், ''z''&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; மற்றும் ''b''&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; இரண்டும் முறையே, ''z'' , ''b'' -ன் இணை சிக்கலெண்கள். ''c'' ஒரு மெய்யெண்.
 
 |''u''|&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ''uu''&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; என்ற முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி,
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
  |z-b|^2 &amp;{}= (z-b)(z-b)^*\\
  &amp;{}= (z-b)(z^*-b^*)\\
  &amp;{}= zz^* - zb^* - bz^* + bb^*\\
  &amp;{}= |z|^2 - zb^* - bz^* + |b|^2 .
 \end{align}&lt;/math&gt; 
 :என நிறுவலாம்.
 
 இதனைப் பயன்படுத்தி எடுத்துக்கொண்ட கோவையை:
 :&lt;math&gt; |z|^2 - b^*z - bz^* + c,\,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; |z-b|^2 - |b|^2 + c , \,\!&lt;/math&gt; என முழு வர்க்க உறுப்பு கொண்ட வடிவிற்கு மாற்றலாம்.
 * :&lt;math&gt; ax^2 + by^2 + c , \,\!&lt;/math&gt;
 
 இங்கு ''a'', ''b'', ''c'', ''x'', மற்றும் ''y'' மெய்யெண்கள். ''a''&amp;nbsp;&amp;gt;&amp;nbsp;0, ''b''&amp;nbsp;&amp;gt;&amp;nbsp;0, எனில் இக்கோவையை ஒரு சிக்கலெண்ணின் தனிமதிப்பின் முழு வர்க்கமுடைய வடிவில் எழுதலாம்.
 :&lt;math&gt; z = \sqrt{a}\,x + i \sqrt{b} \,y . &lt;/math&gt; என எடுத்துக் கொள்க.
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
  |z|^2 &amp;{}= z z^*\\
  &amp;{}= (\sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y)(\sqrt{a}\,x - i \sqrt{b}\,y) \\
  &amp;{}= ax^2 - i\sqrt{ab}\,xy + i\sqrt{ba}\,yx - i^2by^2 \\
  &amp;{}= ax^2 + by^2 ,
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 ஃ &lt;math&gt; ax^2 + by^2 + c = |z|^2 + c . \,\!&lt;/math&gt;
 
 ==வடிவவியல் கண்ணோட்டம்==
 [[Image:Completing the square 307.PNG|right|thumb|வர்க்கத்தை நிரப்புதல்]]
 
 :&lt;math&gt;x^2 + bx = a.\,&lt;/math&gt;
 
 ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; , ''x'' அலகு பக்கம் கொண்ட [[சதுரம்|சதுரத்தின்]] பரப்பையும் ''bx'', ''b'' மற்றும் ''x'' அலகு பக்க அளவுகள் கொண்ட [[செவ்வகம்|செவ்வகத்தின்]] பரப்பையும் குறிப்பதால், வர்க்கத்தினை முழுமையாக்கும் முறையைப் பின்வருமாறு கருதலாம்.
 ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; பரப்புள்ள சதுரத்தையும் ''bx'' பரப்புள்ள செவ்வகத்தையும் ஒரு பெரிய சதுரத்தின் பரப்பாக மாற்றுவதற்கு எடுத்துக்கொள்ளும் பல படிகளுக்குப் பிறகு, ஒரு மூலையில் ஒரு சிறிய சதுரம் பற்றாக்குறையாக இருக்கிறது. (''b''/2)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; என்ற உறுப்பை இருபுறமும் சேர்க்க அதுவே தேவைப்படும் மூலச் சதுரமாக அமைந்து, சதுரம் முழுமையடைகிறது. இக்காரணத்தால்தான் இச்செயல் வர்க்க நிரப்பி முறை என அழைக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{Cite web |url=http://maze5.net/?page_id=467 |title=காப்பகப்படுத்தப்பட்ட நகல் |access-date=2011-08-22 |archive-date=2012-03-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120303090103/http://maze5.net/?page_id=467 |url-status=dead }}&lt;/ref&gt;
 
 ==இம்முறையில் ஒரு மாற்றம்==
 வர்க்க நிரப்பி முறையில், 
 :&lt;math&gt;u^2 + 2uv\,&lt;/math&gt; என்பதை முழுவர்க்கமாக்குவதற்கு மூன்றாவதாக
 
 ''v''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;2&lt;/sup&gt; -என்ற உறுப்பைச் சேர்ப்பதுதான் வழக்கம்.
 
 ஆனால் &lt;math&gt;u^2 + v^2\,&lt;/math&gt; என்பதோடு 2''uv'' அல்லது &amp;minus;2''uv'' -ஐ நடு உறுப்பாகச் சேர்த்து முழுவர்க்கமாக்கும் முறையும் உண்டு.
 
 ===எடுத்துக்காட்டுகள்===
 * ஒரு நேர்ம எண் மற்றும் அதன் தலைகீழியின் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூடுதல்]]:
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 x + {1 \over x} &amp;{} = \left(x - 2 + {1 \over x}\right) + 2\\
   &amp;{}= \left(\sqrt{x} - {1 \over \sqrt{x}}\right)^2 + 2
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 ஒரு [[எண்#மெய்யெண்|மெய்மதிப்புள்ள]] கோவையின் வர்க்கத்தின் மதிப்பு பூச்சியமாகவோ அல்லது பூச்சியத்தைவிட அதிகமாக்வோ இருக்கும். எனவே இதிலிருந்து ஒரு நேர்ம எண் ''x'' மற்றும் அதன் தலைகீழியின் கூடுதல் 2 அல்லது 2க்கு அதிகமானதாக இருக்கும் என்பதைக் காணலாம். இங்கு ''x'' = 1 எனில் வலதுபுறமுள்ள முழுவர்க்கத்தின் மதிப்பும் [[சுழியம்|பூச்சியமாகி]] இக்கூடுதலின் மதிப்பு 2 ஆகும்.
 
 *:&lt;math&gt;x^4 + 324 . \,\!&lt;/math&gt; என்ற கோவையைக் காரணிப்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;(x^2)^2 + (18)^2, \,\!&lt;/math&gt;
 
 எனவே நடுவுறுப்பு 2(''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)(18)&amp;nbsp;=&amp;nbsp;36''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. ஆகும். இதைச் சேர்க்க:
 :&lt;math&gt;\begin{align} x^4 + 324 &amp;{}= (x^4 + 36x^2 + 324 ) - 36x^2 \\
 &amp;{}= (x^2 + 18)^2 - (6x)^2 \\
 &amp;{}= (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) \\
 &amp;{}= (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18)
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 (உறுப்புகளின் அடுக்கு, இறங்கு வரிசையில் இருக்கவேண்டும் என்ற வழக்கத்திற்காக கடைசி மாற்றம் செய்யப் பட்டுள்ளது)
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 *Algebra 1, Glencoe, {{ISBN|0-07-825083-8}}, pages 539–544
 *Algebra 2, Saxon, {{ISBN|0-939798-62-X}}, pages 214–214, 241–242, 256–257, 398–401
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *{{planetmath reference|id=4237|title=Completing the square}}
 
 [[பகுப்பு:இயற்கணிதம்]]
 [[பகுப்பு:அடிப்படை இயற்கணிதம்]]
 [[பகுப்பு:கணிதம்]]