நேர்மாறு உறவு
கணிதத்தில் ஒரு [[உறவு (கணிதம்)|உறவின்]] '''நேர்மாறு உறவு''' (''inverse relation'') என்பது மூல உறவின் [[வரிசைச் சோடி]]களிலுள்ள உறுப்புகளின் வரிசையை மாற்றக் கிடைக்கும் உறவாகும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 [[மெய்யெண்]] கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட '''&gt;''' உறவின் நேர்மாறு '''&lt;''' ஆகும்.
 
 ''X'' = {1, 2, 3, 4, 5}. இக்கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் உறவு ''R'' என்பது ''விடப் பெரியது'' எனில் அதன் நேர்மாறு உறவு ''R'' &lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;, ''விடச் சிறியது'' ஆகும்.
 
 :&lt;math&gt;R = \{(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5),\}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;R^{-1} = \{(2,1,), (3,1), (4,1), (5,1), (3,2), (4,2), (5,2), (4,3), (5,3), (5,4),\}&lt;/math&gt;
 
 நேர்மாறு உறவானது '''மறுதலை உறவு''' அல்லது '''இடமாற்று உறவு''' எனவும், மூல உறவின் '''எதிர்''' அல்லது '''இருமம்''' எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.&lt;ref name=&quot;SchmidtStröhlein1993&quot;&gt;{{cite book|author1=Gunther Schmidt|author2=Thomas Ströhlein|title=Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists|year=1993|publisher=Springer Berlin Heidelberg|isbn=978-3-642-77970-1|pages=9–10}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite book|author1=Celestina Cotti Ferrero|author2=Giovanni Ferrero|title=Nearrings: Some Developments Linked to Semigroups and Groups|year=2002|publisher=Kluwer Academic Publishers|isbn=978-1-4613-0267-4|page=3}}&lt;/ref&gt; நேர்மாறு உறவின் பிற குறியீடுகள்: ''R''&lt;sup&gt;''C''&lt;/sup&gt;, ''R''&lt;sup&gt;''T''&lt;/sup&gt;, ''R''&lt;sup&gt;~&lt;/sup&gt; or &lt;math&gt;\breve{R}&lt;/math&gt; or ''R''° or ''R''&lt;sup&gt;∨&lt;/sup&gt;
 
 ஒரு உறவு [[எதிர்வு உறவு|எதிர்வு]], [[எதிர்வு உறவு|எதிர்வற்றது]], [[சமச்சீர் உறவு|சமச்சீர்]], [[எதிர்சமச்சீர் உறவு|எதிர்சமச்சீர்]], [[சமச்சீரற்ற உறவு|சமச்சீரற்ற]], [[கடப்பு உறவு|கடப்பு]], [[முழு உறவு|முழுமை]], முப்பிரிவு, [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவாக]] இருந்தால், அவ்வுறவின் நேர்மாறு உறவும் மேலுள்ள வகைகளாக அமையும்.
 
 ==வரையறை==
 &lt;math&gt; X \text{ and } Y&lt;/math&gt; இரு கணங்கள்; ''X'' இருந்து ''Y'' க்கு வரையறுக்கப்படும் உறவு &lt;math&gt;R \subseteq X \times Y&lt;/math&gt; எனில், நேர்மாறு உறவு &lt;math&gt;R^{-1}&lt;/math&gt; இன் வரையறை:
 
 :&lt;math&gt;x\,L\,y&lt;/math&gt; என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, &lt;math&gt;y\,L^{-1}\,x&lt;/math&gt; ஆக இருக்கும்.
 
 கணக்குறியீட்டில்:
 :&lt;math&gt;L^{-1} = \{(y, x) \in Y \times X \mid (x, y) \in L \}&lt;/math&gt;.
 
 [[நேர்மாறுச் சார்பு]]களின் குறியீட்டைப் போன்றதாகவே நேர்மாறு உறவின் குறியீடும் அமைந்துள்ளது. நேர்மாறு இல்லாத சார்புகள் உள்ளன; ஆனால் ஒவ்வொரு உறவுக்கும் ஒரு தனித்த நேர்மாறு உண்டு.
 
 ==சார்பின் நேர்மாறு உறவு==
 ஒரு [[சார்பு|சார்பின்]] நேர்மாறு உறவும் ஒரு சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு நேர்மாற்றக் கூடியதாக இருக்கும். அதாவது, அச்சார்புக்கு [[நேர்மாறுச் சார்பு]] இருக்கும்.
 
 &lt;math&gt;f : X \to Y&lt;/math&gt; சார்பின் நேர்மாறு உறவு &lt;math&gt;f^{-1} : Y \to X&lt;/math&gt; இன் வரையறை:
 
 :&lt;math&gt;\operatorname{graph}\, f^{-1} = \{(y, x) \mid y = f(x) \}&lt;/math&gt;.
 
 இந்த நேர்மாறு உறவு, அவசியம் ஒரு சார்பாக இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை.
 
 மாறாக நேர்மாறு உறவு ஒருசார்பாக வேண்டுமானால்:
 
 தேவையான கட்டுப்பாடு: 
 :''f'' ஒரு  [[உள்ளிடுகோப்பு|உள்ளிடுகோப்பாக]] இருக்க வேண்டும். இல்லாவிடில், &lt;math&gt;f^{-1}&lt;/math&gt; [[பன்மதிப்புச் சார்பு|பன்மதிப்புச் சார்பாக]] அமைந்து, சார்புக்குரிய வரையறையை நிறைவு செய்யாது.
 
 போதுமான கட்டுப்பாடு:
 :&lt;math&gt;f^{-1}&lt;/math&gt; ஒரு [[பகுதிச் சார்பு|பகுதிச் சார்பாக]] இருப்பதற்கு மேலுள்ள கட்டுப்பாடு போதுமானது. ஆனால், ''f'' ஒரு [[முழுக்கோப்பு|முழுக்கோப்பாக]] இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, &lt;math&gt;f^{-1}&lt;/math&gt; முழுச் சார்பாக முடியும்.
 
 தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடு:
 :&lt;math&gt;f^{-1}&lt;/math&gt; ஒருசார்பாக வேண்டுமானால் ''f'' ஒரு  உள்ளிடுகோப்பாகவும், முழுக்கோப்பாகவும் இருக்க வேண்டும் என்பதே தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடு.
 
 எனவே ''f'' ஒரு [[இருவழிக்கோப்பு]] எனில், அதன் நேர்மாறு உறவும் ஒரு சார்பாக, அதாவது, ''f'' இன் நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{Reflist}}
 * {{Citation | last1=Halmos | first1=Paul R. | author1-link=Paul R. Halmos | title=[[Naive Set Theory (book)|Naive Set Theory]] | isbn=978-0-387-90092-6 | year=1974|page=40}}