திசையிலி முப்பெருக்கம்
வெக்டர் இயற்கணிதத்தில் '''திசையிலி முப்பெருக்கம்''' (''scalar triple product'') என்பது தரப்பட்ட மூன்று [[திசையன்]]களில் முதலில் ஏதேனும்  இரு திசையன்களின் [[குறுக்குப் பெருக்கல் (திசையன்)|குறுக்குப் பெருக்கம்]] கண்டுபிடித்துக் கொண்டு பின் அதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் திசையனுடன் மூன்றாவது திசையனின்  [[புள்ளிப் பெருக்கம்]] காண்பதாகும்.
 
 ==குறியீடு==
 
 தரப்பட்ட மூன்று திசையன்கள் '''a''', '''b''', '''c''' எனில் அவற்றின் திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் வழக்கமான குறியீடு:
 
 :&lt;math&gt; \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) &lt;/math&gt;
 
 இம்முப்பெருக்கத்தின் மதிப்பு ஒரு திசையிலியாக அமைவதால் இது திசையிலி முப்பெருக்கம் என அழைக்கப்படுகிறது.
 
 இதனைப் பின்வரும் குறியீட்டிலும் எழுதலாம்.
 
 :&lt;math&gt;[\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c}] &lt;/math&gt;
 
 இவ்வாறு பெட்டி அடைப்புக்குறிக்குள் தரப்படுவதால் இம்முப்பெருக்கம், ''பெட்டிப்பெருக்கம்'' எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 இம்முப்பெருக்கத்தில் புள்ளிப் பெருக்கம் மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கல் இரண்டும் உள்ளதால், இது ''கலப்புப் பெருக்கம்'' எனவும் அழைக்கப்படும்.
 
 ==வடிவவியல் விளக்கம்==
 
 மூன்று திசையன்களின் திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் தனிமதிப்பு அம்மூன்று திசையன்களால் அமையும் [[இணைகரத்திண்மம்|இணைகரத்திண்மத்தின்]] [[கனஅளவு|கன அளவாகும்]].
 
 ===விளக்கம்===
 [[Image:Parallelepiped volume.svg|right|thumb|240px|மூன்று திசையன்களால் அமையும் இணைகரத்திண்மம்.]]
 திசையன்கள் '''a''' = (''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;), '''b''' = (''b''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''b''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ''b''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;) மற்றும் '''c''' = (''c''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''c''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ''c''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;)  ஆகிய மூன்றையும் ஒரு முனை விளிம்புகளாகக் கொண்டு அமையும் இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவு, இம்மூன்று திசையன்களின் திசையிலி முப்பெருக்கம் '''a'''&amp;nbsp;·&amp;nbsp;('''b'''&amp;nbsp;×&amp;nbsp;'''c''') -ன் தனிமதிப்பாகும்:
 
 :&lt;math&gt;V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| = |\mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a})| = |\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})|&lt;/math&gt;
 
 '''b''' மற்றும் '''c''' -இரண்டையும் இணைகரத்திண்மத்தின் அடிப்பக்க [[இணைகரம்|இணைகரத்தின்]] அடுத்துள்ள விளிம்புகளாகக் கொண்டால், [[குறுக்குப் பெருக்கல்|குறுக்குப் பெருக்கத்தின்]] [[வடிவவியல்]] விளக்கத்தின்படி:
 
 :''A'' = |'''b'''| |'''c'''| sin ''θ'' = |'''b'''&amp;nbsp;×&amp;nbsp;'''c'''|,
 
 இங்கு ''θ'' ,  '''b''' மற்றும் '''c''' -இவற்றுக்கு இடையே உள்ள [[கோணம்]].
 
 இணைகரத்திண்மத்தின் உயரம்:
 
 :''h'' = |'''a'''| cos ''α'',
 
 இங்கு ''α'' , '''a''' மற்றும் ''h'' -இவற்றுக்கு இடையே உள்ள [[உட்கோணம்]].
 
 படத்திலிருந்து கோணம்  α  -ன் மதிப்பு: 0°&amp;nbsp;≤&amp;nbsp;''α''&amp;nbsp;&lt;&amp;nbsp;90°.
 
 மாறாக திசையன் '''b'''&amp;nbsp;×&amp;nbsp;'''c''' ,  '''a''' திசையனுடன் உருவாக்கும் கோணம் ''β'' , 90°-ஐ விட அதிகமாகவும் இருக்கலாம்:
 
 : (0°&amp;nbsp;≤&amp;nbsp;''β''&amp;nbsp;≤&amp;nbsp;180°).
 
 '''b'''&amp;nbsp;×&amp;nbsp;'''c''' , ''h'' -க்கு இணையாக அமைவதால்:
 :
 ''β''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''α'' அல்லது ''β''&amp;nbsp;= 180°&amp;nbsp;−&amp;nbsp;''α''. 
  
 : ஃ cos&amp;nbsp;''α''&amp;nbsp;= ±cos ''β''&amp;nbsp;= |cos ''β''|,
  
 :''h'' = |'''a'''| |cos ''β''|.
 
 எனவே இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவு:
 
 :''V'' = ''Ah'' = |'''a'''| |'''b'''&amp;nbsp;×&amp;nbsp;'''c'''| |cos ''β''|,
 
 திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் வரையறைப்படி, மேலுள்ள கனஅளவு  '''a''' · ('''b'''&amp;nbsp;×&amp;nbsp;'''c''') -ன் தனிமதிப்பிற்குச் சமம்.
 
 :&lt;math&gt; V = \left| a . (b \times c) \right|. &lt;/math&gt;
 
 == பண்புகள் ==
 
 *பின்வரும் திசையிலி முப்பெருக்கங்கள் மூன்றுமே a ,b ,c திசையன்களின் திசையிலி முப்பெருக்கத்தைத் தரும் சமான வடிவங்களாகும்:
 
 :&lt;math&gt;
 \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=
 \mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=
 \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})
 &lt;/math&gt;
 
 *குறுக்குப் பெருக்கல் காணும் இரு திசையன்களின் வரிசை மாற்றப்பட்டால் திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் குறி எதிர்மமாக மாறிவிடும்:
 
 :&lt;math&gt; \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=-\mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{a}) &lt;/math&gt;.
 
 *திசையிலி முப்பெருக்கத்தை அதன் மூன்று திசையன்களை நிரையாகவோ அல்லது நிரலாகவோ கொண்ட (ஒரு அணி மற்றும் அதன் நிரல் மாற்று அணி இரண்டின் அணிக்கோவை மதிப்புகளும் சமம்.) 3&amp;nbsp;×&amp;nbsp;3 அணியின் [[அணிக்கோவை]] மதிப்பாகவும் கொள்ளலாம்:
 
 :&lt;math&gt;\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \det \begin{bmatrix}
 a_1 &amp; a_2 &amp; a_3 \\
 b_1 &amp; b_2 &amp; b_3 \\
 c_1 &amp; c_2 &amp; c_3 \\
 \end{bmatrix}.&lt;/math&gt;
 
 *திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் மதிப்பு [[பூச்சியம்]] எனில் திசையன்கள் '''a''', '''b''', மற்றும் '''c''' மூன்றும் [[ஒரேதளஅமைவு|ஒரேதள அமைவு திசையன்கள்]]. ஏனெனில் இம்மூன்று திசையன்களைக் கொண்டு அமையும் இணைகரத்திண்மத்தின் கன அளவின் மதிப்பு பூச்சியம் என்றால் அத்திண்மம் தட்டையானதாக அமையும். எனவே இந்நிலையில் இம்மூன்று திசையன்களும் ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன.
 *:&lt;math&gt;
 [\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})] \mathbf{a}=(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times (\mathbf{a}\times \mathbf{c})
 &lt;/math&gt;
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 
 Weisstein, Eric W. &quot;Scalar Triple Product.&quot; From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ScalarTripleProduct.html