ஏது மூலம், மாடுலோ p
[[கணிதம்|கணிதத்தி]]ல், '''முதன்மை மூலம், மட்டு p''' அல்லது '''ஏது மூலம், மாடுலோ p''' (''primitive root, modulo p'') என்பது [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டி]]ல் வரும் ஒரு முக்கியமான கருத்தாகும். எண் கோட்பாட்டிற்குள் உள்ள பயன்பாடுகளைத்தவிர இது [[குறியாக்கவியல்]], வழுதிருத்தும் குறியீடுகள் போன்ற துறைகளுக்குத் தேவைப்படும் கருத்து.&lt;ref&gt;[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Primitive_root Primitive root], [[Encyclopedia of Mathematics]]&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;Vinogradov2003.pp=105-121&quot;&gt;{{Harv|Vinogradov|2003|loc=§ VI PRIMITIVE ROOTS AND INDICES|pp=105–121}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Harv|Gauss|1986|loc=arts. 52–56, 82–891}}&lt;/ref&gt;
 
 ==அறிமுகம்==
 எல்லா [[முழு எண்]]களின் [[வளையம்]] &lt;math&gt;\mathbf{Z}&lt;/math&gt; என்று குறிக்கப்படும். &lt;math&gt; p&lt;/math&gt;  ஒரு [[பகா எண்]] ஆனால் &lt;math&gt;p\mathbf{Z}&lt;/math&gt;, தாய்வளையம் &lt;math&gt;\mathbf{Z}&lt;/math&gt; இன் ஒரு [[உள்வளையம்]]. &lt;math&gt;\frac{Z}{p\mathbf{Z}}&lt;/math&gt;  [[எச்சவகை]]களின் கூட்டல், பெருக்கலுக்கு ஒரு [[களம் (கணிதம்)|களமா]]கிறது. இக்களத்தை  &lt;math&gt;\mathbf{Z}_p&lt;/math&gt; என்றும் எழுதுவதுண்டு. இதனிலிருந்து சூனியமல்லாத உறுப்புகளின் கணத்தை &lt;math&gt;\mathbf{Z}_p^{*}&lt;/math&gt; என்று குறிப்பிட்டு அதை [[பெருக்கல்]] குலமாகக் கொள்ளுவோம். இக்குலத்தின்  [[பிறப்பி]] ஒவ்வொன்றும்,  '''ஏது மூலம், மாடுலோ p''' எனப்படுகிறது. இதையே &lt;math&gt;\mathbf{Z}_p^{*}&lt;/math&gt; இன் '''ஏது-உறுப்பு''' என்றும் சொல்வதுண்டு.
 
 ==எடுத்துக்காட்டு==
 
 *2ம் 3ம் மாடுலோ 5க்கு ஏது மூலங்கள்; ஏனென்றால்,
 
 :&lt;math&gt;2^1 = 2 = 2(mod 5);
 2^2 = 4 = 4(mod 5);
 2^3 = 8 = 3(mod 5);
 2^4 = 16 = 1(mod 5).&lt;/math&gt;
 மற்றும்
 
 :&lt;math&gt;3^1 = 3 = 3(mod 5);
 3^2 = 9 = 4(mod 5);
 3^3 = 27 = 2(mod 5);
 3^4 = 81 = 1(mod 5).&lt;/math&gt;
 
 *&lt;math&gt;\mathbf{Z}_7&lt;/math&gt; ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இதனின் பெருக்கல் குலம் {1,2,3,4,5,6 மாடுலோ 7}. இதனில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; க்கும்  &lt;math&gt;a^n&lt;/math&gt; இனுடைய மதிப்புகளை அட்டவணையாக எழுதுவோம்:
 
 :{| class=&quot;wikitable&quot;
 |-
 ! &lt;math&gt;\frac{n\rightarrow}{a\downarrow}&lt;/math&gt;
 ! 1
 ! 2
 ! 3
 ! 4
 ! 5
 ! 6
 |-
 | 1
 | 1
 | 1
 | 1
 | 1
 | 1
 | 1
 |-
 | 2
 | 2
 | 4
 | 1
 | 2
 | 4
 | 1
 |-
 | '''3'''
 | 3
 | 2
 | 6
 | 4
 | 5
 | 1
 |-
 | 4
 | 4
 | 2
 | 1
 | 4
 | 2
 | 1
 |-
 | '''5'''
 | 5
 | 4
 | 6
 | 2
 | 3
 | 1
 |-
 | 6
 | 6
 | 1
 | 6
 | 1
 | 6
 | 1
 |}
 
 இதிலிருந்து நமக்குத்தெரிவது  3 ம் 5 ம் &lt;math&gt;\mathbf{Z}_7^{*}&lt;/math&gt; க்கு பிறப்பிகள்.  அதனால் 3ம் 5ம் ஏது மூலம், மாடுலோ7. இதர எண்கள் 1,2,4,6 ஆகிய நான்கும் ஏது மூலங்களல்ல.
 
 ==சில குறிப்புகள்==
 
 * ஒவ்வொரு &lt;math&gt;\mathbf{Z}_p^{*}&lt;/math&gt; க்கும் ஏது மூலங்கள் இருக்கும் என்பதை நிறுவுவது அவ்வளவு எளிதானதல்ல. அப்படி இருந்தாலும் அதைக் கண்டுபிடிக்க எந்தக் கணிப்புச்செயல்பாடும் இருப்பதாகத்தெரியவில்லை.
 *'''[[கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்|காஸ்]] இன் தேற்றம்''': &lt;math&gt;p \neq 1&lt;/math&gt; ஒரு பகா எண்ணாகவும், &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; ஒரு இயல் எண்ணாகவும் கொண்டால், &lt;math&gt; m = 1, 2, 4, p^\alpha, 2p^\alpha&lt;/math&gt; க்கு  கட்டாயம் ஏது மூலம் மாடுலோ &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; இருக்கும்.
 * &lt;math&gt;q&lt;/math&gt; ஒரு பகா எண்ணாக இருந்து, &lt;math&gt;p = 4q + 1&lt;/math&gt; ஆக இருந்தால், &lt;math&gt;\mathbf{Z}_p^{*}&lt;/math&gt; க்கு 2 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும்.
 * &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ஒரு பகாஎண்ணாக இருந்தால், எந்த &lt;math&gt;\mathbf{Z}_p&lt;/math&gt;  இலும், அதனில் அடங்கிய  எந்த பகா எண்  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; க்கும், 
 :: &lt;math&gt;a^{p-1} = 1(mod p).&lt;/math&gt;
 :இதற்கு [[ஃபெர்மாவின் சிறிய தேற்றம்]] என்று பெயர்.  &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; ஓர் ஏது மூலமாகவும்  இருப்பதன் சிறப்புப்பண்பு என்னவென்றால், 
 :: &lt;math&gt;p - 1&lt;/math&gt; ஐ விட சிறிய &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; க்கு &lt;math&gt;a^n \neq 1(mod p).&lt;/math&gt;
 
 * p &lt; 100 ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், &lt;math&gt;\mathbf{Z}_p^{*}&lt;/math&gt;  க்கு 2 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும்  p-மதிப்புகள் 
 :: 5, 13, 29, 53 மட்டுமே.
 
 * p &lt; 100 ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், &lt;math&gt;\mathbf{Z}_p^{*}&lt;/math&gt;  க்கு 10 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும் p-மதிப்புகள்:
 :: 7, 17, 19, 23, 47, 59,61, 97 மட்டுமே. 
 :: 10 ஓர் ஏதுமூலமாக இருக்கும் பிரச்சினை  [[மீளும் தசமங்கள்|மீள்வரு தசம பின்ன]]ங்களைப்பற்றிய ஆய்வுகளில் தேவைப்படுகிறது.
 :: p &lt; 100 என்ற கட்டுப்பாட்டை எடுத்துவிட்டால்,, இந்த p-மதிப்புகளின் தொடர் முடிவில்லாமல் இருக்குமா என்பது காஸ் இன்  ஒரு புகழ் பெற்ற யூகம்.
 
 * 1920 களில், [[எமில் ஆர்டின்]] ஒரு சிறப்பான யூகத்தை கணித உலகின் முன் வைத்தார். அதாவது,
 :: a ஒரு  வர்க்கமில்லாத முழு எண்ணாக இருந்தால், அது முடிவில்லாத எண்ணிக்கையுள்ள p-மதிப்புகளுக்கு ஏது மூலமாக இருக்கும்.
 :: இந்த யூகம் மிகப்புகழ்பெற்றதன் காரணம், இதற்கும் [[ரீமான் கருதுகோள்|ரீமான் கருதுகோளின்]] உண்மைக்கும் நெருங்கிய தொடர்பு உள்ளதுதான். 1967இல்  [[ஹூலி]] என்பவர் ரீமான் யூகத்தை நுண்புலப்படுத்திய இன்னொரு யூகம் உண்மையாயிருந்தால், [[ஆர்டினின் ஊகம்|ஆர்டினின் யூகமும்]] உண்மையாக ஆகிவிடும் என்று நிறுவினார்.
 
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
 
 *[[சமானம், மாடுலோ n]]
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 [[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]