செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்
[[படிமம்:Orthodiagonal quadrilateral.svg|thumb|240px|ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம். இதன் ஒரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களின் மீது வரையப்பட்ட சிவப்பு சதுரங்கள் இரண்டின் பரப்புகளின் கூடுதல் மற்றொரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களின் மீது வரையப்பட்ட இரு நீல சதுரங்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருக்கும்.]]
 [[யூக்ளீட் வடிவியல்|யூக்ளிடிய வடிவவியலில்]] '''செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்''' (''orthodiagonal quadrilateral'') என்பது [[நாற்கரம்|நாற்கரங்களில்]] ஒரு வகையாகும். இந்நாற்கரத்தின் [[மூலைவிட்டம்|மூலைவிட்டங்கள்]] இரண்டும் ஒன்றையொன்று செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்ளும். மாறாக, அடுத்தடுத்து அமையாத இரு [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகளை]] இணைக்கும் [[கோட்டுத்துண்டு]]கள் செங்குத்தாக அமையும் நான்கு பக்கங்கள் கொண்ட ஒரு வடிவம் எனவும் இந்நாற்கரத்தைக் கூறலாம்.
 
 == சிறப்பு வகைகள் ==
 
 [[பட்டம் (வடிவவியல்)|பட்டம்]] ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம். இதன் ஒரு மூலைவிட்டம் இதன் ஒரு சமச்சீர் அச்சாக அமையும். ஒரு பட்டத்தின் நான்கு பக்கங்களையும் [[தொடுகோடு]]களாகக் கொண்ட ஒரு [[வட்டம்]] அப்பட்டத்துக்குள் அமையும் என்பதால், பட்டங்கள் செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரங்களாகவும் [[தொடு நாற்கரம்|தொடு நாற்கரங்களாகவும்]] அமைகின்றன.எனவே பட்டங்கள் ''தொடு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரங்களாகும்''.&lt;ref&gt;{{citation
  | last = Josefsson | first = Martin
  | journal = Forum Geometricorum
  | pages = 119–130
  | title = Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral
  | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf
  | volume = 10
  | year = 2010}}.&lt;/ref&gt;
 
 ஒரு [[சாய்சதுரம்]]], இரண்டு சோடி [[இணை (வடிவவியல்)|இணை]] பக்கங்கள் கொண்ட செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம். (அதாவது [[இணைகரம்|இணைகரமாகவும்]] உள்ள ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்).
 
 ஒரு [[சதுரம்|சதுரமானது]], பட்டம் மற்றும் சாய்சதுரத்தின் எல்லைநிலை வகையாகும். (சம கோணங்களுடைய பட்டம் மற்றும் சாய்சதுரம் ஒரு சதுரமாகும்). எனவே மூலைவிட்டங்கள் செங்குத்தாக அமைவதால் சதுரமும் ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்.
 
 == பண்புகள் ==
 
 எந்தவொரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரத்திற்கும் ஒரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களின் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கங்களின்]] கூட்டுத்தொகை மற்றொரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.&lt;ref name=Altshiller-Court&gt;{{citation|last=Altshiller-Court|first=N.|title=College Geometry|publisher=Dover Publications|year=2007}}. Republication of second edition, 1952, Barnes &amp; Noble.&lt;/ref&gt;{{rp|p.136, #272;}}&lt;ref name=Mitchell&gt;Mitchell, {{citation|last=Douglas|first=W.|title=The area of a quadrilateral|journal=Mathematical Gazette|volume=93|year=2009|pages=306–309}}.&lt;/ref&gt;
 
 ஒரு செங்குத்து நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் வரிசையாக {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}},மற்றும் {{math|''d''}} எனில்:
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle a^2+c^2=b^2+d^2 &lt;/math&gt;
 
 இதை [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தகோரசு தேற்றத்தைப்]] பயன்படுத்தித் தருவிக்கலாம்.
 
 நாற்கரத்தின் செங்குத்து மூலைவிட்டங்கள் இரண்டும் சந்திக்கும் புள்ளி, ஒரு மூலைவிட்டத்தை ''p''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; மற்றும் ''p''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; நீளமுள்ள துண்டுகளாகவும் மற்றொரு மூலைவிட்டத்தை ''q''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; மற்றும் ''q''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; நீளமுள்ள துண்டுகளாகவும் பிரித்தால்:
 
 பித்தகோரசு தேற்றப்படி:
 
 :&lt;math&gt; a^2=p_1^2+q_1^2 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; b^2=p_2^2+q_1^2 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; c^2=p_2^2+q_2^2 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; d^2=p_1^2+q_2^2 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; a^2 + c^2 = p_1^2+q_1^2+ p_2^2+q_2^2 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; b^2 + d^2 = p_1^2+q_1^2+ p_2^2+q_2^2 &lt;/math&gt;
 
 இவ்விரண்டு முடிவுகளில் இருந்தும்,
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle a^2+c^2=b^2+d^2 &lt;/math&gt; எனக் காணலாம்.
 
 மறுதலையாக ஒரு நாற்கரத்தில்
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle a^2+c^2=b^2+d^2 &lt;/math&gt; என இருந்தால் அந்த நாற்கரம் ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரமாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{citation|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200919.pdf|title=Class preserving dissections of convex quadrilaterals|journal=Forum Geometricorum|volume=9|year=2009|pages=195–211|first1=Dan|last1=Ismailescu|first2=Adam|last2=Vojdany}}.&lt;/ref&gt;
 
 == பரப்பு ==
 
 ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்களின் பெருக்குத்தொகையில் பாதியாக அதன் பரப்பு அமையும்.  &lt;ref&gt;Harries, J. &quot;Area of a quadrilateral,&quot; ''Mathematical Gazette'' 86, July 2002, 310–311.&lt;/ref&gt;
 
 செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் ''p, q'' எனில் அதன் பரப்பு ''K''  :
 
 :&lt;math&gt;K=\frac{p\cdot q}{2}.&lt;/math&gt;
 
 மூலைவிட்டங்கள் தரப்பட்டிருக்கும் குவிவு நாற்கரங்களிலேயே மிகஅதிக அளவு பரப்பு கொண்டது செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்தான்.
 
 == பிற பண்புகள் ==
 
 *பக்க நீளங்களும் மூலைவிட்டங்கள் உண்டாக்கும் கோணங்களும் மட்டுமே பரப்பின் மதிப்பைத் தீர்மானம் செய்யாத நாற்கரங்கள், செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரங்கள் மட்டுமே.&lt;ref name=Mitchell/&gt; எடுத்துக்காட்டாக ஒரே பக்க நீளம்  ''a''  கொண்ட இரு சாய்சதுரங்களில் (சாய்சதுரம் ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்) ஒன்றின் குறுங்கோணம் மற்றதன் குறுங்கோணத்தை விடச் சிறியதெனில், அவற்றின் பரப்புகள் சமமாக இல்லாமல் வெவ்வேறாக இருக்கும். 
 *ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரத்தின் ஒவ்வொரு சோடி எதிர்ப் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்கள் சமமாக இருக்கும்.&lt;ref name=Altshiller-Court/&gt;{{rp|p.136}}
 *ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் வெளியே அதன் பக்கங்களின் மீது சதுரங்கள் வரையப்பட்டால்:
 :அச்சதுரங்களின் [[திணிவு மையம்|திணிவு மையங்களை]] இணைக்கக் கிடைக்கும் நாற்கரம் செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரமாக அமையும். மேலும் அந்நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள் சமமகவும் இருக்கும்.
 
 *ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கக் கிடைக்கும் நாற்கரம் ஒரு [[செவ்வகம்|செவ்வகமாக]] இருக்கும்.
 
 == வட்ட நாற்கரமாகவும் அமையும் செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரங்களின் பண்புகள் ==
 
 ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம், [[வட்ட நாற்கரம்|வட்ட நாற்கரமுமாக]] இருந்தால்:
 
 * மூலைவிட்டங்கள் இரண்டும் சந்திக்கும் புள்ளி, ஒரு மூலைவிட்டத்தை ''p''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; மற்றும் ''p''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; நீளமுள்ள துண்டுகளாகவும் மற்றொரு மூலைவிட்டத்தை ''q''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; மற்றும் ''q''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; நீளமுள்ள துண்டுகளாகவும் பிரித்தால்: &lt;ref&gt;Posamentier, Alfred S., and Charles T. Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publ., second edition, 1996:pp. 104–105, #4–23.&lt;/ref&gt; 
 
 ::&lt;math&gt; p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2=D^2 &lt;/math&gt;
 
 இங்கு ''D'' நாற்கரத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் [[விட்டம்]]. நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள், சுற்றுவட்டத்தின் நாண்களுக்கு செங்குத்தாக அமைவதால் இம்முடிவு உண்மையாகும்.   ''R'' = ''D'' / 2 , சுற்றுவட்ட ஆரமெனில் &lt;math&gt;p_1^2,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;p_2^2,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;q_1^2,&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;q_2^2&lt;/math&gt; ஆகிய நான்கின் சராசரி &lt;math&gt;R^2&lt;/math&gt;. 
 
 ::&lt;math&gt;\frac{ p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2}{4} =\frac{D^2}{4} = R^2 &lt;/math&gt;
 
 மேலும்
 ::&lt;math&gt; a^2+b^2+c^2+d^2= 2D^2 = 8R^2 &lt;/math&gt;
 
 *[[பிரம்ம குப்தரின் தேற்றம்|பிரம்மகுப்தரின் தேற்றப்படி]]  இவ்வகையான நாற்கரங்களின் இரு மூலைவிட்டங்களும் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி வழியாக நாற்கரத்தின் எந்தவொரு பக்கத்திற்கும் வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடு மற்ற பக்கத்தை [[இருசமக்கூறிடல்|இருசமக்கூறிடும்]].&lt;ref name=Altshiller-Court/&gt;{{rp|p.137}}
 
 *சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் நாற்கரத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம் அப்பக்கத்திற்கு எதிர்ப் பக்கத்தின் நீளத்தில் சரிபாதியாக இருக்கும்.&lt;ref name=Altshiller-Court/&gt;{{rp|p.138}}
 
 *நாற்கரத்தின் நான்கு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளும் இந்த நடுப்புள்ளிகளில் இருந்து எதிர்ப் பக்கங்களுக்கு வரையப்படும் செங்குத்துகளின் அடிப்புள்ளிகளும் நாற்கரத்தின் திணிவு மையத்தை மையமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் மீது அமைகின்றன. அவ்வட்டம் ''எட்டு புள்ளி வட்டம்''&lt;ref&gt;[http://mathworld.wolfram.com/Eight-PointCircleTheorem.html Weisstein, Eric W. &quot;Eight-Point Circle Theorem.&quot; From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]&lt;/ref&gt; என அழைக்கப்படுகிறது.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 
 {{reflist}}