நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றம்
[[File:n! v !n.svg|thumb|305px| ''n'' பொருட்களின் வரிசைமாற்றம் மற்றும் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றம் ஆகியவற்றின் எண்ணிக்கை. ''n'' பொருட்களின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை = ''n''! (''n'' factorial).  ''n'' பொருட்களின் நிலைத்த புள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் (இந்த வரிசைமாற்றத்தில் அனைத்து ''n'' பொருட்களும் அதனதன் மூல இடத்தைவிட்டு மாறியிருக்கும்) எண்ணிக்கை =  !''n'' (''n'' உட்தொடர்பெருக்கம்) 
 {|class=&quot;wikitable collapsible collapsed&quot; style=&quot;margin:0; width:100%&quot;
 !colspan=&quot;4&quot;| மதிப்புகளின் அட்டவணை
 |-
 ! scope=&quot;col&quot; | &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;
 ! scope=&quot;col&quot; class=&quot;nowrap&quot; | வரிசைமாற்றங்கள், &lt;math&gt;n!&lt;/math&gt;
 ! scope=&quot;col&quot; class=&quot;nowrap&quot; | நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்கள், &lt;math&gt;!n&lt;/math&gt;
 ! scope=&quot;col&quot; | &lt;math&gt;\frac{!n}{n!}&lt;/math&gt;
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 0
 | 1
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;=1&amp;times;10&lt;sup&gt;0&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 1
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;=1&amp;times;10&lt;sup&gt;0&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | &amp;nbsp;= 1
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 1
 | 1
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;=1&amp;times;10&lt;sup&gt;0&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 0
 | &amp;nbsp;= 0
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 2
 | 2
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;=2&amp;times;10&lt;sup&gt;0&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 1
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;=1&amp;times;10&lt;sup&gt;0&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | &amp;nbsp;= 0.5
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 3
 | 6
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;=6&amp;times;10&lt;sup&gt;0&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 2
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;=2&amp;times;10&lt;sup&gt;0&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.33333&amp;thinsp;33333
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 4
 | 24
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;=2.4&amp;times;10&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 9
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;=9&amp;times;10&lt;sup&gt;0&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | &amp;nbsp;= 0.375
 |-style=&quot;border-top:2px solid #aaaaaa;&quot;
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 5
 | 120
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;=1.20&amp;times;10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 44
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;=4.4&amp;times;10&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36666&amp;thinsp;66667
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 6
 | 720
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;=7.20&amp;times;10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 265
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;=2.65&amp;times;10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36805&amp;thinsp;55556
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 7
 | 5&amp;thinsp;040
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;5.04&amp;times;10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 1&amp;thinsp;854
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.85&amp;times;10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36785&amp;thinsp;71429
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 8
 | 40&amp;thinsp;320
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;4.03&amp;times;10&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 14&amp;thinsp;833
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.48&amp;times;10&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36788&amp;thinsp;19444
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 9
 | 362&amp;thinsp;880
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;3.63&amp;times;10&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 133&amp;thinsp;496
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.33&amp;times;10&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;91887
 |-style=&quot;border-top:2px solid #aaaaaa;&quot;
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 10
 | 3&amp;thinsp;628&amp;thinsp;800
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;3.63&amp;times;10&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 1&amp;thinsp;334&amp;thinsp;961
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.33&amp;times;10&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94643
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 11
 | 39&amp;thinsp;916&amp;thinsp;800
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;3.99&amp;times;10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 14&amp;thinsp;684&amp;thinsp;570
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.47&amp;times;10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94392
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 12
 | 479&amp;thinsp;001&amp;thinsp;600
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;4.79&amp;times;10&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 176&amp;thinsp;214&amp;thinsp;841
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.76&amp;times;10&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94413
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 13
 | 6&amp;thinsp;227&amp;thinsp;020&amp;thinsp;800
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;6.23&amp;times;10&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 2&amp;thinsp;290&amp;thinsp;792&amp;thinsp;932
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;2.29&amp;times;10&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 14
 | 87&amp;thinsp;178&amp;thinsp;291&amp;thinsp;200
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;8.72&amp;times;10&lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 | 32&amp;thinsp;071&amp;thinsp;101&amp;thinsp;049
 &lt;span style=&quot;font-size:80%; float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;3.21&amp;times;10&lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-style=&quot;border-top:2px solid #aaaaaa;&quot;
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 15
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 1&amp;thinsp;307&amp;thinsp;674&amp;thinsp;368&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.31&amp;times;10&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 481&amp;thinsp;066&amp;thinsp;515&amp;thinsp;734
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;4.81&amp;times;10&lt;sup&gt;11&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 16
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 20&amp;thinsp;922&amp;thinsp;789&amp;thinsp;888&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;2.09&amp;times;10&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 7&amp;thinsp;697&amp;thinsp;064&amp;thinsp;251&amp;thinsp;745
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;7.70&amp;times;10&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 17
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 355&amp;thinsp;687&amp;thinsp;428&amp;thinsp;096&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;3.56&amp;times;10&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 130&amp;thinsp;850&amp;thinsp;092&amp;thinsp;279&amp;thinsp;664
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.31&amp;times;10&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 18
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 6&amp;thinsp;402&amp;thinsp;373&amp;thinsp;705&amp;thinsp;728&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;6.40&amp;times;10&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 2&amp;thinsp;355&amp;thinsp;301&amp;thinsp;661&amp;thinsp;033&amp;thinsp;953
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;2.36&amp;times;10&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 19
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 121&amp;thinsp;645&amp;thinsp;100&amp;thinsp;408&amp;thinsp;832&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.22&amp;times;10&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 44&amp;thinsp;750&amp;thinsp;731&amp;thinsp;559&amp;thinsp;645&amp;thinsp;106
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;4.48&amp;times;10&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-style=&quot;border-top:2px solid #aaaaaa;&quot;
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 20
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 2&amp;thinsp;432&amp;thinsp;902&amp;thinsp;008&amp;thinsp;176&amp;thinsp;640&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;2.43&amp;times;10&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 895&amp;thinsp;014&amp;thinsp;631&amp;thinsp;192&amp;thinsp;902&amp;thinsp;121
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;8.95&amp;times;10&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 21
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 51&amp;thinsp;090&amp;thinsp;942&amp;thinsp;171&amp;thinsp;709&amp;thinsp;440&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;5.11&amp;times;10&lt;sup&gt;19&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 18&amp;thinsp;795&amp;thinsp;307&amp;thinsp;255&amp;thinsp;050&amp;thinsp;944&amp;thinsp;540
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.88&amp;times;10&lt;sup&gt;19&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 22
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 1&amp;thinsp;124&amp;thinsp;000&amp;thinsp;727&amp;thinsp;777&amp;thinsp;607&amp;thinsp;680&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.12&amp;times;10&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 413&amp;thinsp;496&amp;thinsp;759&amp;thinsp;611&amp;thinsp;120&amp;thinsp;779&amp;thinsp;881
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;4.13&amp;times;10&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 23
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 25&amp;thinsp;852&amp;thinsp;016&amp;thinsp;738&amp;thinsp;884&amp;thinsp;976&amp;thinsp;640&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;2.59&amp;times;10&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 9&amp;thinsp;510&amp;thinsp;425&amp;thinsp;471&amp;thinsp;055&amp;thinsp;777&amp;thinsp;937&amp;thinsp;262
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;9.51&amp;times;10&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 24
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 620&amp;thinsp;448&amp;thinsp;401&amp;thinsp;733&amp;thinsp;239&amp;thinsp;439&amp;thinsp;360&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;6.20&amp;times;10&lt;sup&gt;23&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 228&amp;thinsp;250&amp;thinsp;211&amp;thinsp;305&amp;thinsp;338&amp;thinsp;670&amp;thinsp;494&amp;thinsp;289
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;2.28&amp;times;10&lt;sup&gt;23&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-style=&quot;border-top:2px solid #aaaaaa;&quot;
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 25
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 15&amp;thinsp;511&amp;thinsp;210&amp;thinsp;043&amp;thinsp;330&amp;thinsp;985&amp;thinsp;984&amp;thinsp;000&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.55&amp;times;10&lt;sup&gt;25&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 5&amp;thinsp;706&amp;thinsp;255&amp;thinsp;282&amp;thinsp;633&amp;thinsp;466&amp;thinsp;762&amp;thinsp;357&amp;thinsp;224
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;5.71&amp;times;10&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 26
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 403&amp;thinsp;291&amp;thinsp;461&amp;thinsp;126&amp;thinsp;605&amp;thinsp;635&amp;thinsp;584&amp;thinsp;000&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;4.03&amp;times;10&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 148&amp;thinsp;362&amp;thinsp;637&amp;thinsp;348&amp;thinsp;470&amp;thinsp;135&amp;thinsp;821&amp;thinsp;287&amp;thinsp;825
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.48&amp;times;10&lt;sup&gt;26&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 27
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 10&amp;thinsp;888&amp;thinsp;869&amp;thinsp;450&amp;thinsp;418&amp;thinsp;352&amp;thinsp;160&amp;thinsp;768&amp;thinsp;000&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.09&amp;times;10&lt;sup&gt;28&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 4&amp;thinsp;005&amp;thinsp;791&amp;thinsp;208&amp;thinsp;408&amp;thinsp;693&amp;thinsp;667&amp;thinsp;174&amp;thinsp;771&amp;thinsp;274
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;4.01&amp;times;10&lt;sup&gt;27&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 28
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 304&amp;thinsp;888&amp;thinsp;344&amp;thinsp;611&amp;thinsp;713&amp;thinsp;860&amp;thinsp;501&amp;thinsp;504&amp;thinsp;000&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;3.05&amp;times;10&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 112&amp;thinsp;162&amp;thinsp;153&amp;thinsp;835&amp;thinsp;443&amp;thinsp;422&amp;thinsp;680&amp;thinsp;893&amp;thinsp;595&amp;thinsp;673
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;1.12&amp;times;10&lt;sup&gt;29&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 29
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 8&amp;thinsp;841&amp;thinsp;761&amp;thinsp;993&amp;thinsp;739&amp;thinsp;701&amp;thinsp;954&amp;thinsp;543&amp;thinsp;616&amp;thinsp;000&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;8.84&amp;times;10&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 3&amp;thinsp;252&amp;thinsp;702&amp;thinsp;461&amp;thinsp;227&amp;thinsp;859&amp;thinsp;257&amp;thinsp;745&amp;thinsp;914&amp;thinsp;274&amp;thinsp;516
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;3.25&amp;times;10&lt;sup&gt;30&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |-style=&quot;border-top:2px solid #aaaaaa;&quot;
 | style=&quot;text-align: center&quot; | 30
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 265&amp;thinsp;252&amp;thinsp;859&amp;thinsp;812&amp;thinsp;191&amp;thinsp;058&amp;thinsp;636&amp;thinsp;308&amp;thinsp;480&amp;thinsp;000&amp;thinsp;000
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;2.65&amp;times;10&lt;sup&gt;32&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |style=&quot;font-size:80%;&quot;| 97&amp;thinsp;581&amp;thinsp;073&amp;thinsp;836&amp;thinsp;835&amp;thinsp;777&amp;thinsp;732&amp;thinsp;377&amp;thinsp;428&amp;thinsp;235&amp;thinsp;481
 &lt;span style=&quot;float:right;&quot;&gt;&amp;asymp;9.76&amp;times;10&lt;sup&gt;31&lt;/sup&gt;&lt;/span&gt;
 |align=&quot;right&quot;| ≈0.36787&amp;thinsp;94412
 |}]]
 
 [[சேர்வியல் (கணிதம்)|சேர்வியல்]] கணிதத்தில் '''நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றம்''' (''derangement'') என்பது ஒரு [[கணம் (கணிதம்)|கணத்திலுள்ள]] உறுப்புகளின் குறிப்பிடவகையானதொரு [[வரிசை மாற்றம்|வரிசை மாற்றமாகும்]]. இந்த வரிசைமாற்றத்தில் வரிசைமாற்றத்துள்ளாகும் கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் அதனதன் மூல இடத்தில் இருக்காது. அதாவது இந்த வரிசைமாற்றத்தில் [[நிலைத்த புள்ளி]]களே இருக்காது.
 
 ''n'' உறுப்புகளுடைய கணத்தின் நிலைத்த புள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றத்தின் எண்ணிக்கை &quot;உட்தொடர்பெருக்கம்&quot; (&quot;subfactorial&quot;) அல்லது &quot;''n'' ஆவது நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசை மாற்றத்தின் எண்&quot; என அழைக்கப்படுகிறது. 
 :இந்த எண்ணிக்கையின் குறியீடுகள்:  !''n,'' ''D&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'', ''d&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'', or ''n''¡.&lt;ref&gt;The name &quot;subfactorial&quot; originates with William Allen Whitworth; see {{citation|title=A History of Mathematical Notations: Two Volumes in One|first=Florian|last=Cajori|authorlink=Florian Cajori|publisher=Cosimo, Inc.|year=2011|isbn=9781616405717|page=77|url=https://books.google.com/books?id=gxrO8ZnMK_YC&amp;pg=RA1-PA77}}.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, ''Concrete Mathematics'' (1994), Addison–Wesley, Reading MA. {{ISBN|0-201-55802-5}}&lt;/ref&gt;
 
 !''n'' இன் மதிப்பு  ''n''!/''e'' இன் மதிப்பிற்கு மிக அண்மையிலான முழுஎண் மதிப்பாகும். இதில் ''n''! என்பது ''n'' இன் [[தொடர்பெருக்கம்]] மற்றும் ''e'' ஆனது [[E (கணித மாறிலி)|ஆய்லர் மாறிலி]].
 
 நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையை அறியும் முயற்சியில் 1708 இல் முதன்முறையாக ஈடுபட்டவர் கணிதவியலாளர் பியரே ரேமான்டு டி மான்ட்மார்ட் ஆவார்.&lt;ref&gt;de Montmort, P. R. (1708). ''Essay d'analyse sur les jeux de hazard''. Paris: Jacque Quillau. ''Seconde Edition, Revue &amp; augmentée de plusieurs Lettres''. Paris: Jacque Quillau. 1713.&lt;/ref&gt; 1713 இல் இவர் அந்த முயற்சியில் வெற்றிபெற்ற அதேசமயத்தில் கணிதவியலாளர் நிக்கோலசு பெர்னொலியும் அதனைக் கண்டறிந்தார்.
 
 == எடுத்துக்காட்டு ==
 [[File:Derangement4.png|thumb|right|24 வரிசைமாற்றங்களில் 9 நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்கள் சிவப்புக்கட்டமிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ளது]]
 A, B, C, D என்ற நான்கு மாணவர்களுக்குத் தேர்வு நடத்திய ஆசிரியர் ஒருவர், ஒரு மாணவன் தனது விடைத்தாளைத் தானே மதிப்பிடக்கூடாதென்ற நிபந்தனையோடு தேர்வு விடைத்தாட்களை அவர்களைக் கொண்டு மதிப்பிட விரும்புகிறார். இதனை எத்தனை வேறுபட்ட வழிகளில் அவர் செய்திருக்கக்கூடும் என்பது 4 பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும்.
 
 A, B, C, D என்ற நான்கு மாணவர்களை வரிசைமாற்றக் கிடைக்கும் வழிகளின் எண்ணிக்கை 24 ஆகும். அவை கீழே தரப்பட்டுள்ளன. அவற்றுள் 9 மட்டுமே நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்கள் 9 (நீலநிறசாய்வெழுத்துகளில்) மட்டுமே உள்ளதையும், மீதமுள்ள அமைப்புகளில் (சிவப்புநிற தடித்த எழுத்துகளில்) A, B, C, D ஆகிய நான்கு எழுத்துக்களும் அதனதன் இடத்திலேயே மாறாமல் இருப்பதையும் காணலாம்:
 :{| style=&quot;font:125% monospace;line-height:1;border-collapse:collapse;&quot;
 |&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;ABCD&lt;/span&gt;,
 |&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;AB&lt;/span&gt;DC,
 |&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;A&lt;/span&gt;CB&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;D&lt;/span&gt;,
 |&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;A&lt;/span&gt;CDB,
 |&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;A&lt;/span&gt;DBC,
 |&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;A&lt;/span&gt;D&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;B,
 |-
 |BA&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;CD&lt;/span&gt;,
 |&lt;span style=&quot;color:blue;font-style:italic;&quot;&gt;BADC&lt;/span&gt;,
 |BCA&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;D&lt;/span&gt;,
 |&lt;span style=&quot;color:blue;font-style:italic;&quot;&gt;BCDA&lt;/span&gt;,
 |&lt;span style=&quot;color:blue;font-style:italic;&quot;&gt;BDAC&lt;/span&gt;,
 |BD&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;A,
 |-
 |CAB&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;D&lt;/span&gt;,
 |&lt;span style=&quot;color:blue;font-style:italic;&quot;&gt;CADB&lt;/span&gt;,
 |C&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;A&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;D&lt;/span&gt;,
 |C&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;DA,
 |&lt;span style=&quot;color:blue;font-style:italic;&quot;&gt;CDAB&lt;/span&gt;,
 |&lt;span style=&quot;color:blue;font-style:italic;&quot;&gt;CDBA&lt;/span&gt;,
 |-
 |&lt;span style=&quot;color:blue;font-style:italic;&quot;&gt;DABC&lt;/span&gt;,
 |DA&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;C&lt;/span&gt;B,
 |D&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;B&lt;/span&gt;AC,
 |D&lt;span style=&quot;color:red;font-weight:bold;&quot;&gt;BC&lt;/span&gt;A,
 |&lt;span style=&quot;color:blue;font-style:italic;&quot;&gt;DCAB&lt;/span&gt;,
 |&lt;span style=&quot;color:blue;font-style:italic;&quot;&gt;DCBA&lt;/span&gt;.
 |}
 
 == நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை காணல் ==
 *''n'' பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றத்தை பின் வரும் எடுத்துக்காட்டாகக் கொள்ளலாம்: 
 
 1,&amp;nbsp;2,&amp;nbsp;...,&amp;nbsp;''n'' என்ற எண்களிடப்பட்ட ''n'' நபர்களும் ''n'' தொப்பிகளும் உள்ளன என்க. 
 :இதில் ஒருவர் ஒரு சமயத்தில் ஒரு தொப்பியை மட்டும் எடுக்கலாம் என்றால் அச்செயல் எத்தனை வேறுபட்ட வழிகளில் செய்யப்படலாம் என்பது ''n'' வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை ''n!'' 
 :மாறாக ஒரு நபர் தனக்களிக்கப்பட்டுள்ள எண்ணுள்ள தொப்பியைத் தவிர பிற தொப்பிகளில் ஒன்றை மட்டுமே எடுக்கலாம் என்றால் அது நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை ''!n'' 
 
 எண் &quot;1&quot; என்ற நபர் ஒரு தொப்பியை எடுக்கிறார் என்றால் அதனை அவர் ''n''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;1 வழிகளில் செய்யலாம். ஏனெனில் அவர் &quot;1&quot; எண்ணிடப்பட்ட தொப்பியை எடுக்கக்கூடாது. அவர் எடுத்த தொப்பியின் எண் ''i'' என்க.
 
 இப்பொழுது இரு சாத்தியக்கூறுகள் எழுகின்றன:
 
 1. ''i'' எண்ணிடப்பட்ட நபர் &quot;1&quot; எண்ணிடப்பட்ட தொப்பியை எடுக்கவில்லை.
 :இந்நிலையில் இது ''n''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;1 நபர்கள் மற்றும் ''n''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;1 தொப்பிகள் அடங்கிய நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றமாக அமைகிறது. (ஒவ்வொரு நபருக்கும் ஒரு வாய்ப்பு தடுக்கப்படுகிறது  (எடுத்துக்காட்டாக ''i''' நபருக்கு தொப்பி எண் 1 தடுக்கப்பட்டுள்ளது).
 2. ''i'' நபர் தொப்பி எண் &quot;1&quot; ஐ எடுக்கிறார்.
 :இந்நிலையில் இது ''n''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;2 நபர்கள் மற்றும் ''n''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;2 தொப்பிகளின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றக் கணக்காக அமைகிறது..
 
 இவ்விரு சாத்தியக்கூறுகளில் ஏதேனுமொன்று நிகழும் என்பதால் ''n'' நபர்கள் மற்றும் ''n''  தொப்பிகளின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையின் மதிப்பு:
 :&lt;math&gt;!n = (n - 1) (!(n-1) + !(n-2)).\,&lt;/math&gt;
 :இதில் துவக்க மதிப்புகள்: !0&amp;nbsp;=&amp;nbsp;1 மற்றும் !1&amp;nbsp;=&amp;nbsp;0 எனக் கொள்ளப்படுகிறது.
 
 *''n'' பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றத்திற்கு பின்வரும் வாய்ப்பாடுகளுமுள்ளன:&lt;ref&gt;Hassani, M. &quot;Derangements and Applications.&quot; J. Integer Seq. 6, No. 03.1.2, 1&amp;ndash;8, 2003&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;!n = n! \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{i!},&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;!n = \left[ \frac{n!}{e} \right]  = \left\lfloor\frac{n!}{e}+\frac{1}{2}\right\rfloor, \quad n\geq 1&lt;/math&gt;
 இதில் &lt;math&gt;\left[x\right]&lt;/math&gt; [[அண்மை முழுஎண் சார்பு]], &lt;math&gt;\left\lfloor x \right\rfloor&lt;/math&gt; [[தரைச் சார்பு]].
 :&lt;math&gt;!n = \left\lfloor(e+e^{-1})n!\right\rfloor-\lfloor en!\rfloor , \quad n\geq 2,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;!n = n! - \sum_{i=1}^n {n \choose i} \cdot !(n-i),&lt;/math&gt;
 
 *''n'' பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றத்திற்கு மீளும் வாய்ப்பாடு:&lt;ref&gt;See the notes for {{OEIS|id=A000166}}.&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;!n = n \left( !(n-1) \right ) + (-1)^n&lt;/math&gt;
 
 *''n''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;0, எனத் துவக்கம் கொள்ள, ''n'' பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களி எண்ணிக்ககை::
 
 :1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, ... {{OEIS|id=A000166}}.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{Reflist}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 
 * {{cite web
   | author = Baez, John
   | title = Let's get deranged!
   | url = http://math.ucr.edu/home/baez/qg-winter2004/derangement.pdf
   | year = 2003
   | authorlink = John Baez}}
 * {{cite web
   | year = 1985
   | url = http://www.math.dartmouth.edu/~doyle/docs/menage/menage/menage.html
   | title = Non-sexist solution of the ménage problem
   |author1=Bogart, Kenneth P.  |author2=Doyle, Peter G.}}
 * {{cite web
   | author = Dickau, Robert M.
   | title = Derangement diagrams
   | url = http://mathforum.org/advanced/robertd/derangements.html
   | work = Mathematical Figures Using Mathematica}}
 * {{cite web
   | author = Hassani, Mehdi
   | title = Derangements and Applications
   | publisher = Journal of Integer Sequences (JIS), Volume 6, Issue 1, Article 03.1.2, 2003
   | url = http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL6/Hassani/hassani5.html}}
 * {{cite web 
   | author = Weisstein, Eric W
   | authorlink = Eric W. Weisstein
   | title = Derangement
   | publisher = MathWorld–A Wolfram Web Resource
   | url = http://mathworld.wolfram.com/Derangement.html}}
 
 [[பகுப்பு:வரிசைமாற்றங்கள்]]