அணி (கணிதம்)

 {{பிறபயன்பாடுகள்|[[அணி இலக்கணம்]]‎}}
 [[படிமம்:Matrix row clolumn.jpg|thumb|right|300px|அணியில் உள்ள வரிசைகளும் நிரல்களும் காட்டப்பட்டுள்ளன. படத்தில் 7 என்னும் எண் இரண்டாவது வரிசையிலும் மூன்றாவது நிரலிலும் இருப்பதால் அந்த &quot;உறுப்பு&quot;தனை (2,3) என்று குறிக்கலாம். இந்த உறுப்பை &lt;big&gt;&lt;math&gt;a_{2,3}&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; என்று குறிப்பது வழக்கம்.]]
 கணிதத்தில்  '''அணி''' (matrix) அல்லது '''தாயம்''' (இலங்கை வழக்கு) என்பது '' m'' '''வரிசை'''  (அல்லது '''நிரை''') களும் ''n'' '''நிரல்'''களும் கொண்ட ஒரு செவ்வகப்பட்டியல் ஆகும். வரிசைகளின் எண்ணிக்கையும் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் ஒன்றாக இருந்தால் அது சதுர அணி ( m = n) ஆகும். இப்பட்டியலில் உள்ள உறுப்புக்கள் [[எண்]]களாகத்தான் இருக்கவேண்டிய கட்டாயம் இல்லை.  ஆனால் கணிதத்தில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் அணியின் உறுப்புக்கள்  எண்களாகவோ அல்லது வேறு எதுவாகவோ  இருந்தாலும் அவை ஒன்றுக்கொன்று [[கூட்டல்]] என்று வரையறை செய்யப்படும் செயலுக்கும் [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]] என்று வரையறை செய்யப்படும் செயலுக்கும் பொருள் கொடுப்பதாக  இருக்கவேண்டும். &lt;ref&gt;{{Harvard citations |author=Lang |year=2002 |nb=yes}}&lt;/ref&gt;  முக்கியமாக எங்கெங்கெல்லாம் [[நேரியல் சமன்பாடு]]கள் அல்லது [[நேரியல் உருமாற்றங்கள்]] தோன்றுகின்றனவோ அங்கெல்லாம் அணிகள் பயன்படும்.  அணிகளின் தனித்தனிப் பயன்பாடுகளைக் கோவையாகக் கொடுப்பது தான் அணிக்கோட்பாடு எனப்படுகிறது. இதனால் அணிக்கோட்பாட்டை [[நேரியல் இயற்கணிதம்|நேரியல் இயற்கணிதத்தின்]] ஒரு பிரிவாகவும் கருதுவதுண்டு.
 
 == பொது வரையறை==
 
 '''''F''''' என்பது ஒரு பரிமாற்றுக்களம் என்று கொள்க. பின்வரும் செவ்வகப்பட்டியலுக்கு  '''''F''''' இல் கெழுக்களைக்கொண்ட &lt;math&gt;m\times n&lt;/math&gt; அணி  '''''A'''''  என்று பெயர்:
 
 A = &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 a_{1,1} &amp; a_{1,2} &amp;\dots &amp; a_{1,n}\\
 a_{2,1} &amp; a_{2,2} &amp;\dots &amp; a_{2,n}\\
 \dots  &amp;\dots  &amp;\dots  &amp;\dots\\
 a_{m,1} &amp; a_{m,2} &amp;\dots &amp; a_{m,n}
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 இதை   &lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 a_{1,1} &amp; a_{1,2} &amp;\dots &amp; a_{1,n}\\
 a_{2,1} &amp; a_{2,2} &amp;\dots &amp; a_{2,n}\\
 \dots  &amp;\dots  &amp;\dots  &amp;\dots\\
 a_{m,1} &amp; a_{m,2} &amp;\dots &amp; a_{m,n}
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;  என்றும் எழுதுவதுண்டு.
 
 இவைகளை சுருக்கமாக எழுதவேண்டின்,   '''''A''''' =  &lt;math&gt;(a_{i,j})_{m\times n}&lt;/math&gt; அல்லது  &lt;math&gt;(a_{i,j})_{1\leqslant i \leqslant m, 1\leqslant j \leqslant n}&lt;/math&gt;
 
 என்று  எழுதுவது வழக்கம். '''''F'''''இல் கெழுக்களைக்கொண்டதென்றால், &lt;math&gt;a_{i,j}&lt;/math&gt; எல்லாம் களம் '''''F''''' இன் உறுப்புக்கள் என்று கொள்ளவேண்டும்.இந்த அடிப்படைக்களம்  '''''F''''' இலிருந்துதான் அணியின் உறுப்புக்கள் வருவன என்பதை அணிக்குறியீட்டிலும் காட்டவேண்டியிருந்தால், அணியை   A('''''F''''') என்று குறிப்பிடுவோம்.
 
 ஒரு &lt;math&gt;m\times n&lt;/math&gt; அணியில்  m '''வரிசை'''களும்  n '''நிரல்'''களும் உள்ளன.
 
 இங்கு  &lt;math&gt;a_{i,j}&lt;/math&gt;  என்பதை  அணியின்  '''(i,j)-யாவது உறுப்பு''' என்றும் சொல்வர்.  (i,j)-யாவது உறுப்பு  i-யாவது வரிசையும் j-யாவது நிரலும் வெட்டும் இடத்தில் உள்ள உறுப்பேயாகும்.
 
 &lt;math&gt;1\times n&lt;/math&gt;  அணியை '''வரிசை அணி''' அல்லது '''வரிசைத்திசையன்''' என்றும்,குறிப்பாக, '''n-பரிமாண வரிசைத்திசையன்''' என்றும்,
 
 &lt;math&gt;m\times 1&lt;/math&gt;  அணியை '''நிரல் அணி''' அல்லது '''நிரல் திசையன்''' என்றும், குறிப்பாக, '''m-பரிமாண நிரல்திசையன்''' என்றும்   சொல்வர்.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=209}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{harvtxt|Nering|1970|p=37}}&lt;/ref&gt; 
 
 எ.கா.
 
 &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 2 &amp; -3 &amp; 27 &amp;  -1
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;  ஒரு  4-பரிமாண வரிசைத்திசையன்.
 
 &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 2 \\
 -3 \\
 27 
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;  ஒரு 3-பரிமாண நிரல் திசையன்.
 
 == அணியின் வகைகள் ==
 
 1.நிரை அணி(Row matrix)
 
 2.நிரல் அணி(Column matrix)
 
 3.சதுர அணி(Square matrix)
 
 4.மூலைவிட்ட அணி(Diagonal matrix)
 
 5.திசையிலி அணி(Scalar matrix)
 
 6.அலகு அணி(Unit matrix)
 
 7.பூச்சிய அணி(Null matrix or Zero-matrix)
 
 8.நிரை நிரல் மாற்று அணி(Transpose of a matrix)
 
 ==சதுர அணி==
 {{முதன்மை|சதுர அணி}}
 வரிசைகளின் எண்ணிக்கையும் நிரல்களின் எண்ணிக்கையும் சமமானால்  (m = n) அவ்வணிக்கு '''சதுர அணி''' என்று பெயர். உறுப்புக்கள்  &lt;math&gt;a_{1,1}&lt;/math&gt; , &lt;math&gt;a_{2,2}&lt;/math&gt; ... &lt;math&gt;a_{n,n}&lt;/math&gt; க்கு '''[[முதன்மை மூலைவிட்டம்|பிரதான மூலைவிட்டத்து]] உறுப்புக்கள்''' எனப்படும்.
 
 ==இடமாற்று அணி==
 {{முதன்மை|இடமாற்று அணி}}
 ஒரு அணி A இன் வரிசைகளையும் நிரல்களையும் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாறுவோமானால் கிடைக்கும் அணி  '''[[இடமாற்று அணி]]''', '''அணித்திருப்பம்''',  '''இடம் மாற்றிய அணி''', '''திருப்பிய அணி''' எனப் பலவிதமாகவும் சொல்லப்படும். அதை  A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; என்ற குறியீட்டால் குறிப்பர். இதை
 
 A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = (&lt;math&gt;a_{i,j}&lt;/math&gt;)&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = (&lt;math&gt;a_{j,i}&lt;/math&gt;) என்றும் எழுதலாம்.
 
 எ.கா.:
 
 A = &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 1 &amp; 2 &amp; 2i\\
 -4 &amp; 5 &amp; 0\\
 7 &amp; 8 &amp; 9
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 இதனுடைய இடமாற்று அணி
 
 A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 1 &amp; -4 &amp; 7\\
 2 &amp; 5 &amp; 8\\
 2i &amp; 0 &amp; 9
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 *A = &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 1 &amp; 2 \\
 -4 &amp; 5 \\
 7 &amp; 8 
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 இதனுடைய இடமாற்று அணி
 
 A&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 1 &amp; -4 &amp; 7\\
 2 &amp; 5 &amp; 8\\
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 ==அணிகளின் கூட்டல்==
 
 A =  A('''''C''''') = (&lt;math&gt;a_{i,j}&lt;/math&gt;),  B  = B('''''C''''') =  (&lt;math&gt;b_{i,j}&lt;/math&gt;),  இரண்டு  &lt;math&gt;m\times n&lt;/math&gt;  அணிகள்  என்று கொண்டால், A + B க்கு வரையறை,
 
 A + B  =  &lt;math&gt;(a_{i,j} + b_{i,j})&lt;/math&gt;.
 
 எ.கா.:
 
 &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 0 &amp; -1 &amp; 3 &amp; 1+i\\
 1 &amp; 0 &amp; -2i &amp; -i\\
 2 &amp; 2 &amp; 2 &amp; 2
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt; +
 &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1\\
 -1 &amp; 1 &amp; 2 &amp; 3\\
 -2 +i &amp; -2 &amp; -2 &amp; 2
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt; =
 &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 1 &amp; 0 &amp; 4 &amp; 2+i\\
 0 &amp; 1 &amp; 2-2i &amp; 3-i\\
 i &amp; 0 &amp; 0 &amp; 4
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 ==அணிகளின் அளவெண் பெருக்கல்==
 
 A  = A('''''F''''') = (a&lt;sub&gt;i,j&lt;/sub&gt;) ஒரு  &lt;math&gt;m \times n&lt;/math&gt; அணி  என்று கொள்வோம்.
 
 '''''F''''' இல் &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; என்ற   ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும்  &lt;math&gt;\lambda \times A&lt;/math&gt;  அல்லது  &lt;math&gt;\lambda A&lt;/math&gt; கீழ்க்கண்டபடி வரையறுக்கப்படுகிறது:
 
 &lt;math&gt;\lambda A =  \lambda (a_{i,j})  = (\lambda a_{i,j})&lt;/math&gt;
 
 இந்தச் செயல்முறைக்கு, '''அளவெண்பெருக்கல்''' (scalar multiplication) என்று பெயர்.
 
 எ.கா.:
 
 A = A('''''C''''') = &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 1 &amp; 1 &amp; 1 &amp; 1\\
 -1 &amp; 1 &amp; 2 &amp; 3\\
 -2 +i &amp; -2 &amp; -2 &amp; 2
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 என்றால், (2i) A  = &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 2i &amp; 2i &amp; 2i &amp; 2i\\
 -2i &amp; 2i &amp; 4i &amp; 6i\\
 2i(-2 + i) &amp; -4i &amp; -4i &amp; 4i
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 ==அணிப் பெருக்கல்==
 {{முதன்மை|அணிப்பெருக்கல்}}
 
 முதலில் ஒரு n-பரிமாண வரிசைத்திசையனையும் இன்னொரு n-பரிமாண நிரல் திசையனையும் [[புள்ளிப் பெருக்கல்]] செய்வோம்.
 
 &lt;math&gt;\mathbf{a} = (a_{i})_{1\times n}; \mathbf{b} =(b_{j})_{n\times 1}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n &lt;/math&gt;
 மேலுள்ளதில் Σ என்னும் குறி [[தொகைக்குறி|தொடர் கூட்டுத் தொகைக் குறி]] ஆகும்.
 
 ஒரு  &lt;math&gt;m \times n&lt;/math&gt; அணியையும்  &lt;math&gt;n \times p&lt;/math&gt;  அணியையும்  பெருக்குவதற்குள்ள வரையறை பல படிகளைக்கொண்டது.
 
 &lt;math&gt;A = (a_{i,j})_{m\times n}&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;B = (b_{i,j})_{n\times p}&lt;/math&gt;
 
 படி 1:  A இனுடைய வரிசைகளை வரிசைத்திசயன்களாகப்பார்: வரிசை 1, வரிசை 2,   ... வரிசை i, ... வரிசை m . அதாவது
 R1, R2, ...Ri, .... Rm
 
 படி 2:  B இனுடைய நிரல்களை நிரல் திசையன்களாகப்பார் :  நிரல் 1, நிரல் 2, ...  நிரல் j, ... நிரல் p. அதாவது,
 C1, C2, ... Cj, ... Cp
 
 படி 3:  A இனுடைய ஒவ்வொரு வரிசைத்திசையனையும் B இனுடைய ஒவ்வொரு நிரல்திசையனுடன் புள்ளிப்பெருக்கு. ஒவ்வொரு புள்ளிப்பெருக்கலும் ஒரு எண்ணைத்தரும்.அவ்வெண்களை படி 4 இல் காட்டிய செவ்வகப்பட்டியல்படி  அணியாக எழுது.
 
 படி 4:    &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 R1\cdot C1 &amp; R1\cdot C2 &amp;\dots &amp; R1\cdot Cp\\
 R2\cdot C1 &amp; R2\cdot C2&amp;\dots &amp; R2\cdot Cp\\
 \dots  &amp;\dots  &amp;\dots  &amp;\dots\\
 Rm\cdot C1 &amp; Rm\cdot C2 &amp;\dots &amp; Rm\cdot Cp
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 படி 5.  இந்த அணிதான் AB. அதாவது அணி A ஐயும்  B ஐயும் பெருக்கி வந்த அணி. இது ஒரு   &lt;math&gt;m \times p&lt;/math&gt;  அணி.
 
 எ.கா. A = &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 3 &amp; 1 &amp; 2 \\
 0 &amp; -1 &amp; 1\\
 1 &amp; 0 &amp; -2 \\
 2 &amp; -2 &amp; 0
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt; ,  B = &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 1 &amp; -1 \\
 0 &amp; 1 \\
 -2  &amp; 3 
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 A ஒரு   &lt;math&gt;4\times 3&lt;/math&gt;   அணி; B ஒரு     &lt;math&gt;3 \times 2&lt;/math&gt; அணி.  ஆகையால்  AB ஒரு   &lt;math&gt;4 \times 2&lt;/math&gt; அணியாக இருக்கும்.
 
 AB =  &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 R1\cdot C1 &amp; R1\cdot C2  \\
 R2\cdot C1 &amp; R2\cdot C2\\
 R3\cdot C1 &amp; R3\cdot C2 \\
 R4\cdot C1 &amp; R4\cdot C2
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;  = &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 3+0-4 &amp;-3+1+6 \\
 0+0-2 &amp; 0-1+3 \\
 1+0+4 &amp; -1+0-6 \\
 2+0+0 &amp; -2-2+0 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;  = &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 -1&amp; 4 \\
 -2 &amp; 2 \\
 5 &amp; -7 \\
 2 &amp; -4 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 ===அணிப் பெருக்கலுக்குப் பொது வரையறை===
 
 இப்பொழுது பொது வரையறை கொடுப்பது எளிது.
 
 A =  &lt;math&gt;(a_{i,j})_{m\times n}&lt;/math&gt;
 
 B =  &lt;math&gt;(b_{i,j})_{n\times p}&lt;/math&gt;
 
 AB = &lt;math&gt;(c_{i,j})_{m\times p}&lt;/math&gt;
 இங்கு  &lt;math&gt;c_{i,j} = \sum_{k=1}^n a_{i,k}b_{k,j} &lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;= a_{i,1}b_{1,j} + a_{i,2}b_{2,j} + ... +a_{i,n}b_{n,j}&lt;/math&gt;
 
 ===அணிப்பெருக்கலின் சில முக்கிய பண்புகள்===
 
 1. A ஒரு  &lt;math&gt;p\times q&lt;/math&gt; அணியாகவும், B  ஒரு &lt;math&gt;r\times s&lt;/math&gt;  அணியாகவும் இருந்தால் , q = r ஆக இருந்தாலொழிய பெருக்கல் AB வரையறுக்கப்படவில்லை.
 
 2. A, B இரண்டும் சதுர அணிகளானால், AB, BA இரண்டும் வரையறுக்கப்பட்ட அணிகள்.  ஆனால் அவை சமமாய் இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. இதனால் அணிப்பெருக்கல் ஒரு [[பரிமாற்றுத்தன்மை|பரிமாறா செயல்முறை]].
 
 எ.கா.:
 &lt;math&gt;A = \begin{bmatrix}
 1 &amp; 0\\
 2 &amp; 1
 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}
 3 &amp; 0\\
 1 &amp; -1
 \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}
 1 &amp; -2\\
 2 &amp; -1
 \end{bmatrix}, D =\begin{bmatrix}
 1 &amp; -1\\
 1 &amp; 0
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
 
 என்றால்,
 
 &lt;math&gt;AB = \begin{bmatrix}
 3 &amp; 0\\
 7 &amp; -1\end{bmatrix}&lt;/math&gt;  மற்றும்,
 &lt;math&gt;BA = \begin{bmatrix}
 3 &amp; 0\\
 -1 &amp; -1
 \end{bmatrix}  &lt;/math&gt; 
 &lt;math&gt;\therefore AB \neq BA&lt;/math&gt;.
 
 ஆனால், &lt;math&gt;CD = \begin{bmatrix}
 -1 &amp; -1\\
 1 &amp; -2
 \end{bmatrix} =  DC.&lt;/math&gt;
 
 ==சான்றுகள்==
 {{Reflist}}
 
 ==இவற்றையும் பர்க்கவும்==
 
 [[ஹெர்மைட் அணி]]
 
 [[பகுப்பு:இயற்கணிதம்]]