இடமாற்று அணி
[[File:Matrix transpose.gif|thumb|200px|right|'''A''' அணியை முதன்மை மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளிப்பதால் அதன் இடமாற்று அணி '''A'''&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; ஐப் பெறலாம். மீண்டும் '''A'''&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; ஐ மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளித்தால் மூல அணி '''A''' கிடைக்கும்.]]
 [[நேரியல் இயற்கணிதம்|நேரியல் இயற்கணிதத்தில்]] ஓர் [[அணி (கணிதம்)|அணியின்]] '''இடமாற்று''' அல்லது '''இடமாற்று அணி''' அல்லது '''நிரை-நிரல் மாற்று அணி''' (''transpose'') என்பது மூல அணியின் நிரைகளை நிரல்களாகவும் நிரல்களை நிரைகளாகவும் இடம் மாற்றுவதால் பெறப்படும் அணியாகும்.  '''A''' என்ற அணியின் இடமாற்று அணியின் குறியீடு: '''A'''&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; ஆகும். இடமாற்று அணி '''A'''′, '''A'''&lt;sup&gt;tr&lt;/sup&gt;, &lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt;'''A'''  '''A'''&lt;sup&gt;t&lt;/sup&gt; எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. பின்வரும் செயல்களில் ஏதேனுமொன்றின் மூலம் இடமாற்று அணியைப் பெறலாம்:
 * '''A''' அணியை அதன் [[முதன்மை மூலைவிட்டம்|முதன்மை மூலைவிட்டத்தைப்]] பொறுத்து எதிரொளித்தல்
 * '''A''' இன் நிரைகளை நிரல்களாக எழுதுதல்
 * '''A''' இன் நிரல்களை நிரைகளாக எழுதுதல்
 
 இடமாற்று அணி '''A'''&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; இன் ''i'' ஆவது நிரையிலும் ''j'' ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பானது, மூல அணியான '''A''' இன் ''j'' ஆவது நிரையிலும் ''i'' ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பாக இருக்கும்:
 
 :&lt;math&gt;[\mathbf{A}^\mathrm{T}]_{ij} = [\mathbf{A}]_{ji}&lt;/math&gt;
 
 '''A''' இன் வரிசை {{nowrap|''m'' × ''n''}} எனில், '''A'''&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; இன் வரிசை {{nowrap|''n'' × ''m''}} ஆகும்.
 
 1858 இல் பிரித்தனிய கணிதவியலாளர் [[ஆர்தர் கெய்லி]], இடமாற்று அணியை அறிமுகப்படுத்தினார்.&lt;ref&gt;Arthur Cayley (1858) [https://books.google.com/books?id=flFFAAAAcAAJ&amp;pg=PA31#v=onepage&amp;q&amp;f=false &quot;A memoir on the theory of matrices,&quot;] ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London'', '''148''' : 17-37.  The transpose (or &quot;transposition&quot;) is defined on page 31.&lt;/ref&gt;
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 *&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 1 &amp; 2  \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}
 = \,
 \begin{bmatrix}
 1   \\
 2  \end{bmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 *&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 1 &amp; 2  \\
 3 &amp; 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}
 =
 \begin{bmatrix}
 1 &amp; 3  \\
 2 &amp; 4 \end{bmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 * &lt;math&gt;
 \begin{bmatrix}
 1 &amp; 2 \\
 3 &amp; 4 \\
 5 &amp; 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}
 =
 \begin{bmatrix}
 1 &amp; 3 &amp; 5\\
 2 &amp; 4 &amp; 6 \end{bmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 == பண்புகள் ==
 '''A''', '''B''' இரு அணிகள்; ''c'' ஒரு திசையிலி எனில், இடமாற்று அணி பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:
 
 {{ordered list
 |1= &lt;math&gt;( \mathbf{A}^\mathrm{T} ) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad \,&lt;/math&gt;
 :இடமாற்று காணும் செயல் ஒரு [[சுருள்வு (கணிதம்)|சுருள்வு]] ஆகும். அதாவது தன்-நேர்மாறு ஆகும்.
 |2= &lt;math&gt;(\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} \,&lt;/math&gt;
 |3= &lt;math&gt;\left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} \,&lt;/math&gt;
 :இப்பண்பில் அணிகளின் இடங்கள் திருப்பியமைவதைக் காணலாம். எனவே '''A'''&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; நேர்மாற்றத்தகதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, [[சதுர அணி]] '''A''' [[நேர்மாறு அணி|நேர்மாற்றத்தக்கதாக]] இருக்கும்.
 :('''A'''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; = ('''A'''&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;.  :('''A'''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;'''A'''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;...'''A'''&lt;sub&gt;''k''−1&lt;/sub&gt;'''A'''&lt;sub&gt;''k''&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;=&amp;nbsp;'''A'''&lt;sub&gt;''k''&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;'''A'''&lt;sub&gt;''k''−1&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;...'''A'''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;'''A'''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;.
 |4= &lt;math&gt;(c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} \,&lt;/math&gt;
 |5= &lt;math&gt;\det(\mathbf{A}^\mathrm{T}) = \det(\mathbf{A}) \,&lt;/math&gt;
 :ஒரு சதுர அணி மற்றும் அதன் இடமாற்று அணி இரண்டின் [[அணிக்கோவை]]களும் சமம்.
 |6= '''a''' , '''b''' என்பன இரு நிரல் [[திசையன்]]கள் எனில், அவற்றின் [[புள்ளிப் பெருக்கல்]] '''a''' இன் இடமாற்று அணி, '''b''' அணி இரண்டின் பெருக்கலுக்குச் சமமாகும்.
 :&lt;math&gt; \left[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \right] = \mathbf{a}^{\mathrm{T}} \mathbf{b} ,&lt;/math&gt;
 |7= &lt;math&gt;(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,&lt;/math&gt;
 : நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் இடமாற்றும் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும். மேலும் இடமாற்று அணியின் நேர்மாறு மூல அணியின் நேர்மாறின் இடமாற்று அணியாக இருக்கும்.   '''A'''&lt;sup&gt;−T&lt;/sup&gt; குறியீடும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
 |8= &lt;math&gt;\mathbf{A} \mathbf{A}^\mathrm{T}&lt;/math&gt; ஒரு [[சமச்சீர் அணி]]யாகும்.&lt;ref&gt;[http://math.stackexchange.com/questions/158219/is-a-matrix-multiplied-with-its-transpose-something-special &quot;Is a matrix multiplied with its transpose something special?&quot;] ''Proof in answer on StackExchange.com'',&lt;/ref&gt;
 }}
 
 == சிறப்பு வகைகள்==
 *ஒரு [[சதுர அணி]]யின் இடமாற்று அணி மூல அணியாகவே இருக்குமானால் அச்சதுர அணி [[சமச்சீர் அணி]] எனப்படும்.
 :'''A''' ஒரு சமச்சீர் அணி எனில்:
 ::&lt;math&gt;\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{A} &lt;/math&gt;
 
 *ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணி மூல அணியின் எதிர் அணியாக இருக்குமானால் அச்சதுர அணி [[எதிர் சமச்சீர் அணி]] எனப்படும்.
 :'''A''' ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணி எனில்:
 ::&lt;math&gt;\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = -\mathbf{A} &lt;/math&gt;
 
 *சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் [[இணைச் சிக்கலெண்]]களாக  இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது [[ஹெர்மைட் அணி]] எனப்படும்.
 :'''A''' ஒரு ஹெர்மைட் அணி எனில்:
 ::&lt;math&gt;\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \overline{\mathbf{A}} &lt;/math&gt;
 
 *சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், ஒத்த மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் எதிர் [[இணைச் சிக்கலெண்]]களாக  இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.
 :'''A''' ஒரு எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனில்:
 ::&lt;math&gt;\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = -\overline{\mathbf{A}} &lt;/math&gt;
 
 :ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி [[செங்குத்து அணி]] ஆகும்.
 :'''A''' செங்குத்து அணி எனில்:
 ::&lt;math&gt;\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{A}^{-1} &lt;/math&gt;
 
 :சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் இணை நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி [[அலகுநிலை அணி]] ஆகும்.
 :'''A''' அலகுநிலை அணி எனில்:
 ::&lt;math&gt;\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \overline{\mathbf{A}^{-1}} &lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 
 == மேலதிக வாசிப்புக்கு ==
 * {{cite book |first=Jared M. |last=Maruskin |title=Essential Linear Algebra |location=San José |publisher=Solar Crest |year=2012 |isbn=978-0-9850627-3-6 |url={{Google books |plainurl=yes |id=aOF3-hx3u1kC |page=122 }} |pages=122–132 }}
 * {{cite book |first=Jacob T. |last=Schwartz |title=Introduction to Matrices and Vectors |location=Mineola |publisher=Dover |year=2001 |isbn=0-486-42000-0 |url={{Google books |plainurl=yes |id=fMG3y1z9Jw0C |page=126}} |pages=126–132 }}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 *[http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture05.htm MIT Linear Algebra Lecture on Matrix Transposes] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100329181753/http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture05.htm |date=2010-03-29 }}
 *[http://mathworld.wolfram.com/Transpose.html Transpose], mathworld.wolfram.com
 *[http://planetmath.org/encyclopedia/Transpose.html Transpose] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160308014029/http://planetmath.org/encyclopedia/transpose.html |date=2016-03-08 }}, planetmath.org
 *[http://khanexercises.appspot.com/video?v=2t0003_sxtU Khan Academy introduction to matrix transposes] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100325115849/http://khanexercises.appspot.com/video?v=2t0003_sxtU |date=2010-03-25 }}
 
 [[பகுப்பு:அணிகள்]]
 [[பகுப்பு:நுண்புல இயற்கணிதம்]]