ஈருறுப்புத் தேற்றம்
[[Image:Pascal's triangle 5.svg|right|thumb|200px| [[ஈருறுப்புக் குணகம்|ஈருறுப்புக் குணகங்கள்]] [[பாஸ்கலின் முக்கோணம்|பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின்]] எண்களாக அமைந்துள்ளன.]]
 
 [[அடிப்படை இயற்கணிதம்|அடிப்படை இயற்கணிதத்தில்]] '''ஈருறுப்புத் தேற்றம்''' (''Binomial theorem'') என்பது, ஓர் ஈருறுப்புக் கோவையின் அடுக்குகளின் இயற்கணித விரிவுகளைத் தருகிறது.
 
 (''x''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''y'')&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; என்பதின் விரிவை, ''ax''&lt;sup&gt;''b''&lt;/sup&gt;''y''&lt;sup&gt;''c''&lt;/sup&gt; என்ற வடிவில் உள்ள (''n''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''1'') உறுப்புகளின்  கூட்டலாக எழுதலாம். b, c  ஆகிய இரண்டும்  எதிர்மமற்ற முழு எண்கள், மற்றும் {{nowrap|''b'' + ''c'' {{=}} ''n''}} ஆகும். ஒவ்வொரு உறுப்பின் குணகமான a ஆனது n, b -ன் மதிப்புகளைப் பொருத்து ஒரு குறிப்பிட்ட [[இயல் எண்|மிகை முழுஎண்]]ணாகும். விரிவிலுள்ள உறுப்புகளில், [[பூச்சியம்|பூச்சிய]]அடுக்கு கொண்ட பகுதி இருந்தால் அப்பகுதியை எழுதாமலேயே விட்டு விடலாம். எடுத்துக்காட்டாக,
 
 :&lt;math&gt;(x+y)^4 \;=\; x^4 y^0 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\,x^0 y^4&lt;/math&gt; என்ற விரிவினை,
 
 :&lt;math&gt;(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4&lt;/math&gt; என எழுதலாம்.
 
 ''x''&lt;sup&gt;''b''&lt;/sup&gt;''y''&lt;sup&gt;''c''&lt;/sup&gt; என்ற உறுப்பின் குணகமான a -ன் மதிப்பு, 
 &lt;math&gt;\tbinom nb&lt;/math&gt; அல்லது &lt;math&gt;\tbinom nc&lt;/math&gt; ஆகும். (இரண்டும் சமம்) இது [[ஈருறுப்புக் குணகம்]] என அழைக்கப்படுகிறது. &lt;math&gt;\tbinom nb&lt;/math&gt; என்பது n உறுப்புகள் கொண்ட [[கணம் (கணிதம்)|கணத்திலிருந்து]] b உறுப்புகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும் [[சேர்வு (கணிதம்)|சேர்வுகளின்]] எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும்.  &lt;math&gt;\tbinom nb&lt;/math&gt;ல் n,b இரண்டிற்கும் வெவ்வேறு மதிப்புகளைத் தரும்போது கிடைக்கும் குணகங்களைக் கொண்டு பாஸ்கலின் முக்கோணத்தை அமைக்கலாம்.
 
 ==வரலாறு==
 ஈருறுப்பு குணகங்களும் அவற்றின் முக்கோண அமைப்பும், கி.பி 17ம் நூற்றாண்டின்  [[பிரான்சு|பிரான்சியக்]] [[கணிதவியலாளர்]] [[பிலைசு பாஸ்கல்|பிலைசு பாஸ்கலின்]] கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்பட்டாலும், அவருக்கு முந்தைய காலத்துக் கணிதவியலாளர்கள் அவற்றைப் பற்றி அறிந்திருந்தனர். [[இந்தியா|இந்தியக்]] கணிதவியலாளரான [[பிங்கல நிகண்டு|பிங்கலர்]] கி.மு. 3ம் நூற்றாண்டில் உயர்வரிசை அடுக்குகளுக்கான  விரிவினைக் குறிப்பிட்டுள்ளார். கி.மு 4ம் நூற்றாண்டில் [[கிரேக்கம்|கிரேக்கக்]] கணிதவியலாளர் [[யூக்ளிடு]], இரண்டாம் அடுக்குக்கான ஈருறுப்புத் தேற்றத்தினைப் பற்றிக் குறிப்பிட்டுள்ளார்.&lt;ref&gt;[http://mathworld.wolfram.com/BinomialTheorem.html Binomial Theorem]&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;[http://www.jstor.org/pss/2305028 The Story of the Binomial Theorem, by J. L. Coolidge], ''The American Mathematical Monthly'' '''56''':3 (1949), pp. 147–157&lt;/ref&gt; கி.பி 10ம் நூற்றாண்டில் இந்தியக் கணிதவியலாளர் [[ஹலயுதர்|ஹலயுதரும்]] [[பாரசீகம்|பாரசீக]]க் கணிதவியலாளர் [[அல் கராஜி]]யும்&lt;ref name=Karaji&gt;{{MacTutor|id=Al-Karaji|title=Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji}}&lt;/ref&gt;  மற்றும் கி.பி 13ம் நூற்றாண்டில் [[சீனா|சீன]]க் கணிதவியலாளர் [[யாங் உயி]]யும்,&lt;ref&gt;{{Cite web
 | last = Landau
 | first = James A
 | title = &lt;nowiki&gt;Historia Matematica Mailing List Archive: Re: [HM] Pascal's Triangle&lt;/nowiki&gt;
 | work = Archives of Historia Matematica
 | format = mailing list email
 | accessdate = 2007-04-13
 | date = 1999-05-08
 | url = http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html
 | archive-date = 2021-02-24
 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210224081637/http://archives.math.utk.edu/hypermail/historia/may99/0073.html
 | url-status = 
 }}&lt;/ref&gt;  பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பற்றியும் பாஸ்கலின் முக்கோணம் என்று பின்னர் பெயர்பெற்ற முக்கோண அமைப்பு எண்களைப் பற்றியும் அறிந்திருந்தனர். அல் கராஜி ஈருறுப்புத் தேற்றத்திற்கும் பாஸ்கலின் முக்கோண அமைப்பிற்கும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவல் அளித்துள்ளார்.&lt;ref name=&quot;Karaji&quot;/&gt;
 
 ==தேற்றத்தின் கூற்று==
 ''n'' ஒரு எதிர்மமற்ற [[முழு எண்]] எனில்,
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 (x+y)^n &amp; = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + {n \choose 3}x^{n-3}y^3 + \cdots \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(1)\\
 &amp; {} \qquad \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 இதில் &lt;math&gt; \tbinom nk &lt;/math&gt; என்பது ஈருறுப்புக் குணகத்தைக் குறிக்கிறது.
 
 கூட்டுத்தொகைக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி இத்தேற்றத்தினைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்.
 
 :&lt;math&gt;(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k. =  \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{k}y^{n-k}.
 &lt;/math&gt;
 
 ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் கூற்றானது, ஈருறுப்பு வாய்ப்பாடு அல்லது ஈருறுப்பு முற்றொருமைச் [[சமன்பாடு]] எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 ஈருறுப்பு வாய்ப்பாட்டில் x க்குப் பதிலாக 1ம் yக்குப் பதிலாக xம் பிரதியிட்டால் மற்றொரு வகையான, ஒரே [[மாறி]]யில் அமைந்த ஈருறுப்பு வாய்ப்பாடு பின்வருமாறு கிடைக்கும்:
 
 :&lt;math&gt;(1+x)^n = {n \choose 0}x^0 + {n \choose 1}x^1 + {n \choose 2}x^2 +  \cdots + {n \choose {n-1}}x^{n-1} + {n \choose n}x^n,&lt;/math&gt;
 
 அல்லது
 
 :&lt;math&gt;(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k.&lt;/math&gt;
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 [[Image:Pascal triangle small.png|thumb|right|300px|பாஸ்கலின் முக்கோணம்]]
 
 (''x''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''y'') இன் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கத்தின்]] வாய்ப்பாடு ஈருறுப்புத் தேற்றத்திற்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாகும்.
 
 :&lt;math&gt;(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2.\!&lt;/math&gt;
 
 இந்த விரிவிலுள்ள ஈருறுப்புக் குணகங்கள் (1, 2, 1 ) பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் மூன்றாவது நிரையில் உள்ள எண்களாகும்.   ''x''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''y'' இன் மூன்றுக்கும் மேலான உயர் அடுக்கின் விரிவுகளிலுள்ள குணகங்கள் முறையே பாஸ்கல் முக்கோணத்தின் மூன்றாவது நிரைக்குப் பிந்தைய நிரைகளிலுள்ள எண்களாக அமையும்.
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 (x+y)^3 &amp; = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3, \\[8pt]
 (x+y)^4 &amp; = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4, \\[8pt]
 (x+y)^5 &amp; = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5, \\[8pt]
 (x+y)^6 &amp; = x^6 + 6x^5y + 15x^4y^2 + 20x^3y^3 + 15x^2y^4 + 6xy^5 + y^6, \\[8pt]
 (x+y)^7 &amp; = x^7 + 7x^6y + 21x^5y^2 + 35x^4y^3 + 35x^3y^4 + 21x^2y^5 + 7xy^6 + y^7.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 ஈருறுப்புத் தேற்றத்தை எந்தவொரு ஈருறுப்புக்கோவையின் அடுக்குகளையும் விரித்து எழுதப் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக,
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 (x+2)^3 &amp;= x^3 + 3x^2(2) + 3x(2)^2 + 2^3 \\
 &amp;= x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\end{align}&lt;/math&gt;
 
 கழித்தலைக் கொண்ட ஈருறுப்புக்கோவைக்கும் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம். அதற்கு ஈருறுப்புக்கோவையின் இரண்டாவது உறுப்பின் கூட்டல் நேர்மாறைப் பயன்படுத்த வேண்டும். இது விரிவில் ஒன்றுவிட்ட உறுப்புகளின் குறியினை மாற்றும் விளைவிற்கு சமமாக அமையும். எடுத்துக்காட்டாக,
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 (x-2)^3 &amp;= x^3 + 3x^2(-2) + 3x(-2)^2 + (-2)^3 \\
 &amp;= x^3 - 6x^2 + 12x - 8.\end{align}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 (x-y)^3 &amp;= x^3 + 3x^2(-y) + 3x(-y)^2 + (-y)^3 \\
 &amp;= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3.\end{align}&lt;/math&gt;
 
 ==வடிவகணித விளக்கம்==
 [[Image:BinomialTheorem.png|center|315px]]
 
 ==ஈருறுப்புக் குணகங்கள்==
 ஈறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவிலுள்ள உறுப்புகளின் குணகங்கள் ஈருறுப்புக் குணகங்கள் எனப்படும். அவை வழக்கமாக &lt;math&gt; \tbinom nk &lt;/math&gt;என எழுதப்படுகின்றன. அவற்றின் மதிப்புகாணும் வாய்ப்பாடு:
 
 :&lt;math&gt;{n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}&lt;/math&gt;,
 
 :&lt;math&gt;{n \choose k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell}&lt;/math&gt;
 
 இந்த வாய்ப்பாடுகள் [[பின்னம்|பின்னவடிவில்]] இருந்தாலும் ஈருறுப்புக் குணகங்களின் மதிப்புகள் [[முழு எண்]]களாகும். ஈருறுப்பு வாய்பாட்டிலுள்ள குணகங்கள் சமச்சீரானவை.
 
 &lt;math&gt; \tbinom nk &lt;/math&gt;ன் மதிப்பு n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்திலிருந்து k உறுப்புகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமம்.
 
 ==பொதுமைப்படுத்துதல்==
 ===நியூட்டனின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஈருறுப்புத் தேற்றம்===
 
 1665ல் [[ஐசாக் நியூட்டன்]] ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைக் எதிர்மமற்ற முழுஎண் அடுக்குகளுக்கு மட்டுமில்லாமல் [[எண்#மெயெண்கள்|மெய்யெண்]] அடுக்குகளுக்கும் விரிவுபடுத்தினார். பொதுமைப்படுத்தலால் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவிலுள்ள முடிவுறு கூட்டுத்தொகையானது ஒரு முடிவுறாத் தொடராக மாறுகிறது. இதற்காக ஈருறுப்புக் குணகங்களான &lt;math&gt; \tbinom nk &lt;/math&gt;ல்  n -க்குப் பதிலாக மாறக்கூடிய (''arbitrary'') எண், r பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஈருறுப்புக்கோவையின் அடுக்கு [[மெய்யெண்]] என்பதால் &lt;math&gt; \tbinom rk &lt;/math&gt; இன் மதிப்பை மேலே தரப்பட்டுள்ள [[தொடர் பெருக்கம்|தொடர் பெருக்கங்கள்]] கொண்ட வாய்ப்பாட்டின் மூலம் காணமுடியாது. எனவே வாய்ப்பாட்டிலிருந்து n!, (n-k)! களை நீக்கிவிட்டு n -க்குப்பதில் r -ஐப் பயன்படுத்தி வாய்ப்பாடு பின்வருமாறு தரப்படுகிறது.
 
 :&lt;math&gt;{r \choose k}=\frac{r\,(r-1) \cdots (r-k+1)}{k!} =\frac{(r)_k}{k!},&lt;/math&gt;
 
 ''x'' மற்றும் ''y'' மெய்யெண்கள். மேலும் |''x''|&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;|''y''|.&lt;ref name=convergence&gt;This is to guarantee convergence.  Depending on ''r'', the series may also converge sometimes when |''x''|&amp;nbsp;=&amp;nbsp;|''y''|.&lt;/ref&gt;
 
 r ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் எனில் ஈருறுப்பு விரிவு:
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 (x+y)^r &amp; =\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2) \\
 &amp; = x^r + r x^{r-1} y + \frac{r(r-1)}{2!} x^{r-2} y^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!} x^{r-3} y^3 + \cdots.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 r ஒரு குறையிலா முழுஎண்ணாக இருந்தால், k &gt; r எனும்போது ஈருறுப்புக் குணகங்கள் பூச்சியமாகின்றன. எனவே விரிவு (2) ஆனது விரிவு (1) ஆக மாறுகிறது. இதில் அதிகபட்சம் r+1 பூச்சியமில்லா உறுப்புகள்  இருக்கும். r இன் ஏனைய மதிப்புகளுக்கு விரிவு (2) முடிவிலா பூச்சியமல்லாத உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.(x, y பூச்சியமில்லாமல் இருந்தால்)
 
 ''r''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;&amp;minus;''s''  எனில்,
 
 :&lt;math&gt;\frac{1}{(1-x)^s} = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose k} x^k \equiv \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} x^k.&lt;/math&gt;
 
 ''s''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;1 எனில் இவ்விரிவு [[பெருக்குத் தொடர்|பெருக்குத் தொடரின்]] வாய்ப்பாடாக அமையும்.
 
 ===பல்லுறுப்புத் தேற்றம்===
 
 இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட உறுப்புகளைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடுக்குகளை விரித்தெழுதுவதற்கும் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பொதுமைப்படுத்தலாம்.
 
 :&lt;math&gt;(x_1 + x_2  + \cdots + x_m)^n 
  = \sum_{k_1,k_2,\ldots,k_m} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
   x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}. &lt;/math&gt;
 
 அனைத்து ''k''&lt;sub&gt;''i''&lt;/sub&gt; ன் கூடுதல் &amp;nbsp;''n'' ஆக இருக்கும். குணகங்கள், &lt;math&gt; \tbinom n{k_1,\cdots,k_n} &lt;/math&gt; பல்லுறுப்புக் குணகங்கள் என அழைக்கப்படும். அவற்றின் மதிப்புகளைக் காணும் சூத்திரம்,
 
 :&lt;math&gt; {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
  = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}.&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 [[பகுப்பு:அடிப்படை இயற்கணிதம்]]