ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றம்
[[File:Euler viereck.svg|thumb|&lt;math&gt;a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4g^2 &lt;/math&gt;]]
 '''ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றம்''' அல்லது '''ஆய்லரின் நாற்கர விதி''' (''Euler's quadrilateral theorem'', ''Euler's law on quadrilaterals'') ஒரு [[குவிவுப் பல்கோணம்|குவிவு]] [[நாற்கரம்|நாற்கரத்துக்கும்]] அதன் [[மூலைவிட்டம்|மூலைவிட்டங்களுக்குமுள்ள]] தொடர்பை விளக்குகிறது. இத்தேற்றம், கணிதவியலாளர் [[லியோனார்டு ஆய்லர்|ஆய்லரின்]] (1707–1783) பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 [[இணைகர விதி]]யின் பொதுமைப்படுத்தலாக இத்தேற்றம் அமைகிறது. இணைகர விதியை [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தேகோரசு தேற்றத்தின்]] பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம். இக்காரணத்தால், நாற்கரங்களின் மூலம் வரையறுக்கப்படும் பித்தேகோரசு தேற்றமானது, ''ஆய்லர்-பித்தேகோரசு தேற்றம்'' (''Euler–Pythagoras theorem'') என சிலசமயங்களில் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 வெட்டிக்கொள்ளும் நாற்கரங்கள், ஒருதளத்திலமையாத நாற்கரங்கள் என மேலதிக நாற்கரங்களின் கணங்களுக்கும் ஆய்லரின் தேற்றத்தை நீட்டிக்கலாம். &lt;math&gt;\mathbb{R}^n&lt;/math&gt; இல், [[சுழற்சி கோட்டுரு]]வாக உருவாகும் வகையில் விளிம்புகளால் இணைக்கப்பட்ட நான்கு புள்ளிகளுக்கும் (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நாற்கரங்கள் என அழைக்கப்படும்), இத்தேற்றம் உண்மையாகும்.&lt;ref&gt;Geoffrey A. Kandall: ''Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals''. The College Mathematics Journal, Vol. 33, No. 5 (Nov., 2002), pp. 403–404 ([https://www.jstor.org/stable/1559015 JSTOR])&lt;/ref&gt;
 
 == தேற்றமும் சிறப்பு வகைகளும் ==
 ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் &lt;math&gt;a, b, c, d&lt;/math&gt;; மூலைவிட்டங்கள் &lt;math&gt;e,&lt;/math&gt; &lt;math&gt; f&lt;/math&gt;; மேலும் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; எனில் கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையாக இருக்கும்:
 :&lt;math&gt;a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4g^2 &lt;/math&gt;
  
 நாற்கரம் ஒரு [[இணைகரம்|இணைகரமாக]] இருந்தால், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் ஒரே புள்ளியாக இருக்கும். எனவே &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 0. மேலும் இணைகரத்தின் இணை எதிர்பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம். எனவே ஆய்லரின் தேற்றம் இணைகர விதியாக மாறும்:
 :&lt;math&gt;2a^2+2b^2=e^2+f^2&lt;/math&gt; ([[இணைகர விதி]])
 which is the parallelogram law.
 
 நாற்கரம் ஒரு [[செவ்வகம்|செவ்வகமாக]] இருந்தால், இரு மூலைவிட்டங்களும் சமநீளமுள்ளவை. எனவே ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றத்தின் முடிவு மேலும் மாற்றமடையும்:
 
 :&lt;math&gt;2a^2+2b^2=2e^2&lt;/math&gt;
 
 இருபுறமும் இரண்டால் வகுக்க ஆய்லர்-பித்தேகோரசு தேற்றம் கிடைக்கப்பெறுகிறது:
 
 :&lt;math&gt;a^2+b^2=e^2&lt;/math&gt;
 
 அதாவது நாற்கரமானது செவ்வகமாக இருக்கும்பொழுது, நாற்கரத்துக்கும் அதன் மூலைவிட்டங்களுக்குமான தொடர்பு ஆய்லர் பித்தேகோரசு தேற்றத்தால் விளக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;Lokenath Debnath: ''The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute''. World Scientific, 2010, {{ISBN|9781848165267}}, pp. [https://books.google.com/books?id=dDfICgAAQBAJ&amp;pg=PA105 105–107]&lt;/ref&gt;
 
 == மாற்று அமைப்பும் நீட்டிப்புகளும் ==
 [[File:Euler theorem quadrilateral.svg|thumb|upright=1.0|இணைகரத்தின் ஆய்லரின் தேற்றம்]]
 இத்தேற்றத்தை ஆய்லர் வேறொரு தேற்றத்தின் கிளைமுடிவாக நிறுவினார். அந்த மூலத் தேற்றத்தில் கூடுதலாக ஒரு புள்ளி எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டது.
 
 எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குவிவு நாற்கரம் &lt;math&gt;ABCD&lt;/math&gt;. &lt;math&gt;ABED&lt;/math&gt; ஒரு இணைகரமாக உள்ளவாறு &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; புள்ளியை ஆய்லர் எடுத்துக்கொண்டார். இப்போது கீழுள்ள சமன்பாடு உண்மையாகும்:
 :&lt;math&gt;|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|AD|^2=|AC|^2+|BD|^2+|CE|^2  \qquad\qquad(1) &lt;/math&gt;
 
 நாற்கரத்தின் முனையாக ஆனால் இணைகரத்துடன் தொடர்பில்லாத &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; புள்ளிக்கும் &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட &lt;math&gt;|CE|&lt;/math&gt; தூரத்தை, நாற்கரமானது இணைகரத்திலிருந்து விலகியிருக்கும் அளவின் மதிப்பாகக் கருதலாம். மேலும் இணைகரவிதியின் சமன்பாட்டுடன் இணைக்கப்படவேண்டிய திருத்த உறுப்பாகவும் கொள்ளலாம்.&lt;ref name=maa&gt;Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: ''The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons''. MAA, 2006, {{ISBN|9780883855553}}, pp. [https://books.google.com/books?id=I9oVP8TlyqIC&amp;pg=PA137 137–139]&lt;/ref&gt;
 
 &lt;math&gt;AC&lt;/math&gt; இன் நடுப்புள்ளி &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; எனில்: 
 :&lt;math&gt;\tfrac{|AC|}{|AM|}=2  \qquad\qquad(2) &lt;/math&gt;.
 
 &lt;math&gt;AE&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;BD&lt;/math&gt; இரண்டும்  &lt;math&gt;ABED&lt;/math&gt; இணைகரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் என்பதால் &lt;math&gt;BD&lt;/math&gt; இன் நடுப்புள்ளி &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; ஆனது &lt;math&gt;AE&lt;/math&gt; இன் நடுப்புள்ளியும் ஆகும். எனவே:
 :&lt;math&gt;\tfrac{|AE|}{|AN|}=2  \qquad\qquad(3) &lt;/math&gt;
 
 {{EquationRef|2}}, {{EquationRef|3}} இரண்டையும் சமப்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு:
 :&lt;math&gt;\tfrac{|AC|}{|AM|}=\tfrac{|AE|}{|AN|}&lt;/math&gt;. 
 
 எனவே [[இடைவெட்டுத் தேற்றம்|இடைவெட்டுத் தேற்றத்தின்படி]]:
 :&lt;math&gt;CE&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;NM&lt;/math&gt; இரண்டும் இணை மற்றும் &lt;math&gt;|CE|^2=(2|NM|)^2=4|NM|^2&lt;/math&gt;. 
 
 :&lt;math&gt;|CE|^2=4|NM|^2&lt;/math&gt; என {{EquationRef|1}} இல் சமன்பாட்டில் பதிலிட:
 :&lt;math&gt;|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|AD|^2=|AC|^2+|BD|^2+4|NM|^2&lt;/math&gt; (ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றக் கூற்று&lt;ref name=maa/&gt;)
 
 == குறிப்புகள் ==
 &lt;references/&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 *Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: ''The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons''. MAA, 2006, {{ISBN|9780883855553}}, pp. [https://books.google.com/books?id=I9oVP8TlyqIC&amp;pg=PA137 137–139]
 *Lokenath Debnath: ''The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute''. World Scientific, 2010, {{ISBN|9781848165267}}, pp. [https://books.google.com/books?id=dDfICgAAQBAJ&amp;pg=PA105 105–107]
 *C. Edward Sandifer: ''How Euler Did It''. MAA, 2007, {{ISBN|9780883855638}}, pp. [https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&amp;pg=PA33 33–36]
 *Geoffrey A. Kandall: ''Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals''. The College Mathematics Journal, Vol. 33, No. 5 (Nov., 2002), pp.&amp;nbsp;403–404 ([https://www.jstor.org/stable/1559015 JSTOR])
 *Dietmar Herrmann: ''Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen''. Springer, 2013, {{ISBN|9783642376122}}, p. [https://books.google.com/books?id=CDgiBAAAQBAJ&amp;pg=PA418 418]
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 {{commonscat|Euler's theorem for quadrilaterals}}
 * {{MathWorld|title=Quadrilateral|urlname=Quadrilateral}}
 
 [[பகுப்பு:யூக்ளிடிய வடிவவியல்]]