இயல் எண்
[[File:Three apples(1).svg|right|thumb|இயல் எண்களின் [[எண்ணுதல்]] பயன்பாடு (ஒரு [[ஆப்பிள்]], இரண்டு ஆப்பிள்கள், மூன்று ஆப்பிள்கள், …)]]
 [[File:Number-systems.svg|thumb|[[மெய்யெண்]]களின் கணமானது (ℝ), [[விகிதமுறு எண்]]களையும் (ℚ), விகிதமுறு எண்களின் கணம் [[முழு எண்]]களையும் (ℤ), முழுவெண்கள் கணம் இயல் எண்களையும் (ℕ) உள்ளடக்கியுள்ளதை விளக்கும் படம்.]]
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''இயல் எண்''' (''natural number'') என்பது முதல் வரிசை நேர்ம முழு எண்கள் ({{num|1}}, {{num|2}}, {{num|3}}, {{num|4}}, ...) ஆகவும், [[எதிர்ம எண்]] அல்லாத [[முழு எண்]]கள் வரிசை ({{num|0}}, {{num|1}}, {{num|2}}, {{num|3}}, {{num|4}}, ...) ஆகவும் வரையறுக்கப்படுகின்றது. அதாவது, இயலெண் குறித்த சில வரையறைகள்&lt;ref name = ISO80000 &gt;{{cite book|title=ISO 80000-2:2009|url=http://www.iso.org/iso/catalogue_detail?csnumber=31887|publisher=[[சீர்தரத்துக்கான அனைத்துலக நிறுவனம்]]| chapter = Standard number sets and intervals | page = 6 }}&lt;/ref&gt;
 இயலெண்களை {{num|0}} இலிருந்து தொடங்குகின்றன. இவ்வரையறைகளில் இயலெண்கள் எதிர்மமில்லா முழு எண்களோடு ஒத்ததாக அமைகின்றன ({{math|1=0, 1, 2, 3, …}}). மேலும், இயலெண்கள் 1 இலிருந்து துவங்குவதாகக் கொள்ளும் வரையறைகளில் இயலெண்கள் நேர்ம முழுவெண்களை ஒத்து அமைகின்றன ({{math|1={{num|1}}, {{num|2}}, {{num|3}}, …}}).&lt;ref&gt;
 {{MathWorld|title=Natural Number|id=NaturalNumber}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;
 {{Citation
 | url   = http://www.merriam-webster.com/dictionary/natural%20number
 | title = natural number
 | work  = Merriam-Webster.com
 | publisher  = [[Merriam-Webster]]
 | accessdate = 4 October 2014
 }}
 &lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{harvtxt|Carothers|2000}} says: &quot;ℕ is the set of natural numbers (positive integers)&quot; (p. 3)&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;Mac Lane &amp; Birkhoff 1999 p15&quot;&gt;{{harvtxt|Mac Lane|Birkhoff|1999}} include zero in the natural numbers: 'Intuitively, the set {{math|ℕ {{=}} {{mset|0, 1, 2, ...}}}} of all ''natural numbers'' may be described as follows: {{math|ℕ}} contains an &quot;initial&quot; number 0; ...'. They follow that with their version of the Peano Postulates. (p. 15)&lt;/ref&gt; முந்தைய [[வரைவிலக்கணம்]] [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டிலும்]], பிந்தையது [[கணக் கோட்பாடு|கணக் கோட்பாட்டிலும்]] [[கணினி]] [[அறிவியல்|அறிவியலி]]லும் விரும்பப்படுகிறது.
 
 இயல் எண்களின் கணத்தை &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; என்று குறிப்பிடுவது வழக்கம். அதாவது
 :&lt;math&gt;\mathbb{N} = \{ 0,1,2,3,...\} &lt;/math&gt;.
 
 இயல் எண்களுக்கு இரண்டு இயல்பான பயன்கள் உள்ளன. பொருட்களை எண்ணப் பயன்படுத்தலாம் (எ-கா:''தட்டில் 4 மாம்பழங்கள் உள்ளன''). மேலும் எண்ணிக்கை அளவில் எத்தனையாவது என்று வரிசைமுறைமையைக் காட்டலாம் (எ-கா:''சென்னை இந்தியாவிலேயே 4 ஆவது பெரிய நகரம்''). எண்ணுதலின் போது இயலெண்கள் &quot;முதலெண் அல்லது கார்டினல் எண்&quot;கள் முதலெண்கள் எனவும், வரிசையைக் குறிக்கும்போது அவை &quot;வரிசை எண் அல்லது ஆர்டினல் எண்&quot;கள் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.
 
 எண் கோட்பாட்டுத் துறையில், இந்த இயல் எண்களின் வகு நிலை வகு படா நிலை என்பதைக் குறிக்கும் வகுமைப் பண்புகள் பற்றியும், [[பகா எண்]]கள் எப்படி விரவி உள்ளன என்பது பற்றியும் ஆய்வு செய்யப்படுகின்றது.
 
 இயலெண்களை அடிப்படையாகக் கொண்டு அதன் நீட்சியாக ஏனைய எண்கள் வரையறுக்கப்படுகின்றன:
 *இயலெண்களோடு [[முற்றொருமை உறுப்பு]] 0 ஐயும் ஒவ்வொரு இயலெண்ணின் (''n'') [[கூட்டல் நேர்மாறு]]களையும் (−''n'') சேர்த்தால் [[முழு எண்]]களின் கணம் பெறப்படுகிறது; *இயலெண்களோடு [[முற்றொருமை உறுப்பு]] 0 ஐயும் ஒவ்வொரு இயலெண்ணின் (''n'') [[கூட்டல் நேர்மாறு]]களையும் (−''n''), ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற இயல் எண்ணின் [[பெருக்கல் நேர்மாறு]]களையும் (1/''n'') சேர்க்க [[விகிதமுறு எண்]]கள் பெறப்படுகின்றன.
 *இவற்றுடன் [[விகிதமுறா எண்கள்]] சேரும்போது மெய்யெண்கள் கிடைக்கின்றன.
 *மெய்யெண்களோடு  [[கற்பனை அலகு|-1 இன் வர்க்கமூலம்]] சேர்க்கப்படுபோது [[சிக்கலெண்]]கள் பெறப்படுகின்றன.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Mendelson|2008}} says: &quot;The whole fantastic hierarchy of number systems is built up by purely set-theoretic means from a few simple assumptions about natural numbers.&quot; (Preface, p. x)&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{harvtxt|Bluman|2010}}: &quot;Numbers make up the foundation of mathematics.&quot; (p. 1)&lt;/ref&gt;
 
 இச்சங்கிலித் தொடர் நீட்சிகளால் பிற எண்களுக்குள் உட்பொதிவாக இயலெண்கள் அமைகின்றன.
 
 == குறியீடு==
 [[File:U+2115.svg|right|thumb|upright|பெரும்பான்மையாக இயலெண்கள் கணத்தைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடு.]]
 இயலெண்களின் கணத்தை '''N''' அல்லது {{math|ℕ}} என்ற குயீடுகளால் கணிதவியலாளர்கள் குறிக்கின்றனர். பழைய புத்தகங்களில் அரிதாக ''J'' என்ற குறியீடும் இயலெண்கள் கணத்தைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்பட்டது.&lt;ref&gt;{{Cite book|url=https://archive.org/details/1979RudinW|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=W.|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=978-0-07-054235-8|location=New York|pages=25|quote=|via=}}&lt;/ref&gt;  இயலெண்களின் கணம் முடிவுறா கணமாகவும். அதே சமயத்தில் [[எண்ணுறுமையும் எண்ணுறாமையும்|எண்ணத்தக்க கணமாகவும்]] உள்ளது. இக்கணம் எண்ணத்தக்கது என்பதைக் குறிக்கும்வகையில் இதன் முதலெண் {{math|ℵ&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;}} என்ற குறிக்கப்படுகின்றன.&lt;ref&gt;{{MathWorld |urlname=CardinalNumber |title=Cardinal Number}}&lt;/ref&gt;
 
 &quot;0&quot; சேர்க்கப்பட்ட அல்லது சேர்க்கப்படாத இயலெண்கள் கணமா என்பதைத் தெளிவுபடுத்தும்வகையாக பின்னதற்கு &quot;{{math|*}}&quot; அல்லது என்ற &quot;{{math|+}}&quot;மேலொட்டும், முன்னதற்கு &quot;{{math|&gt;0}}&quot; என்பது மேலொட்டு அல்லது கீழொட்டாகச் சேர்க்கப்படுகிறது.&lt;ref name = ISO80000 &gt;{{cite book|title=ISO 80000-2:2009|url=http://www.iso.org/iso/catalogue_detail?csnumber=31887|publisher=[[சீர்தரத்துக்கான அனைத்துலக நிறுவனம்]]| chapter = Standard number sets and intervals | page = 6 }}&lt;/ref&gt;
 :ℕ&lt;sup&gt;0&lt;/sup&gt; = ℕ&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = {0, 1, 2, …}
 :ℕ&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt; = ℕ&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt; = ℕ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = ℕ&lt;sub&gt;&gt;0&lt;/sub&gt; = {1, 2, …}.
 
 மாறாக, நேர்ம முழுஎண்களிலிருந்து இயலெண்களை சுட்டெண் குறியீடு மூலம் வேறுபடுத்திக் காட்டலாம். ஆனால் இரு குறியீடுகளுமே பயன்படுத்தப்படுவதால் அந்தந்தச் சூழலைக் கொண்டே புரிந்து கொள்ளல் வேண்டும்.&lt;ref&gt;{{cite book|last1=Grimaldi|first1=Ralph P.|title=A review of discrete and combinatorial mathematics|date=2003|publisher=Addison-Wesley|location=Boston, MA|isbn=978-0201726343|page=133|edition=5th}}&lt;/ref&gt;
 :ℕ = {0, 1, 2, …}.
 :ℤ&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;= {1, 2, …}.
 
 == பண்புகள்  ==
 
 === கூட்டல் ===
 இயலெண்களில் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூட்டல்]] [[செயல் (கணிதம்)|செயலை]]க் கீழ்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:
 :{{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} 
 :{{math|''a'' + ''S''(''b'') {{=}} ''S''(''a'' + ''b'')}} &lt;math&gt;\forall&lt;/math&gt; {{math|''a''}}, {{math|''b''}}.
 
 இதில் {{math|''S''}} என்பது ஒரு இயலெண்ணின் தொடரியெண்ணைக் குறிக்கிறது.
 
 இதனால் இயலெண்கள் கணம் {{math|(ℕ, +)}} ஒரு [[பரிமாற்றுத்தன்மை|பரிமாற்று]] [[ஒற்றைக்குலம்]]; அதன் [[முற்றொருமை உறுப்பு]] &amp;nbsp;0. இந்த ஒற்றைக்குலம் நீக்கல் விதிகளை நிறைவு செய்யும்; மேலும் இந்த ஒற்றைக்குலத்தை ஒரு [[குலம் (கணிதம்)|குலத்தில்]] உட்பொதிவு செய்யலாம். இயலெண்களைக் கொண்ட மிகச் சிறிய குலம் [[முழு எண்]]களாகும்.
 
 :{{math|''S''(0)}} {{=}} &quot;1&quot; வரையறுக்கப்பட்டால்,
 :{{math|''b'' + 1 {{=}} ''b'' + ''S''(0) {{=}} ''S''(''b'' + 0) {{=}} ''S''(''b'')}}.
 
 அதாவது {{math|''b'' + 1}} என்பது {{math|''b''}} இன் தொடரி (அடுத்த எண்) ஆகும்.
 
 === பெருக்கல் ===
 கூட்டல் வரையறையுடன் ஒத்ததாகப் [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]] கீழ்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
 :{{math|''a'' × 0 {{=}} 0}}
 :{{math|''a'' × S(''b'') {{=}} (''a'' × ''b'') + ''a''}}.
 
 இந்த வரையறையால் இயலெண்களின் கணம் {{math|(ℕ&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;, ×)}}, &amp;nbsp;1 ஐ பெருக்கல் சமனியாகக் கொண்ட பரிமாற்று ஒற்றைக்குலமாகிறது. இக்குலத்தின் பிறப்பாக்கி [[பகா எண்]]களின் கணமாகும்.
 
 === கூட்டலுக்கும் பெருக்கலுக்குமான தொடர்பு ===
 கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் ஒத்தியங்கும் தன்மை, [[பங்கீட்டுப் பண்பு|பங்கீட்டுப் பண்பால்]] விளங்கும்:
 : {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}.
 
 இப்பண்பினால் இயலெண்களின் கணம் ஒரு பரிமாற்று அரைவளையமாகும். இயலெண்களின் கணத்தில் [[கூட்டல் நேர்மாறு]] (எதிர்ம எண்கள்) கிடையாதென்பதால் இயலெண்களின் கணம் [[வளையம் (கணிதம்)|வளையமாக]] முடியாது; அது ஒரு அரைவளையம் மட்டுமே ஆகும்.
 
 &quot;0&quot; ஐத் தவிர்த்துவிட்டு, &quot;1&quot; இலிருந்து துவங்கும் இயலெண்களுக்கும் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் வரையறைகள், {{math|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}}; {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}} என்பதைத் தவிர மேலுள்ளவாறே அமையும்.
 
 === வரிசைமுறை===
 இப்பகுதியில் {{math|''ab''}} என்பது {{math|''a'' × ''b''}} ஐக் குறிக்கும்.
 
 இயலெண்களின் முழுவரிசைமுறையின் வரையறை:
 :{{math|''a'' + ''c'' {{=}} ''b''}} என்றவாறு {{math|''c''}} என்ற இயலெண் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, {{math|''a'' ≤ ''b''}} ஆகும்.
 
 இந்த வரிசைமுறை இயலெண்களில் எண்கணிதச் செயல்களோடு ஒத்தியங்கக் கூடியது:
 :{{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}} மூன்றும் இயலெண்கள்; {{math|''a'' ≤ ''b''}} எனில்,
 :{{math|''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c''}} மற்றும் {{math|''ac'' ≤ ''bc''}} ஆகும்.
 
 === வகுத்தல் ===
 இப்பகுதியில் {{math|''ab''}} என்பது {{math|''a'' × ''b''}} ஐக் குறிக்கும். மேலும் வழக்கமான [[செயலியை அமல்படுத்தும் வரிசை முறை]] பின்பற்றப்படும்.
 
 ஒரு இயலெண்ணை மற்றொரு இயலெண்ணால் வகுத்து ஒரு இயலெண்ணை விடையாகப் பெறுவதென்பது, எல்லா இயலெண்களுக்கும் பொருந்தாது. அதற்குப் பதிலாக மீதிவரக்கூடிய ''[[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுத்தல்]]முறை உள்ளது.
 :{{math|''a''}}, {{math|''b''}} இரு இயலெண்கள்; {{math|''b'' ≠ 0}} எனில் கீழ்வரும் முடிவினை நிறைவு செய்யும் {{math|''q''}}, {{math|''r''}} என்ற இரு இயலெண்களைக் காண முடியும்:
 :{{math|''a'' {{=}} ''bq'' + ''r''}} &amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp; ; &amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp; {{math|''r'' &lt; ''b''}}.
 
 {{math|''a''}} ஐ &amp;nbsp;{{math|''b''}} ஆல் வகுத்தலில் {{math|''q''}} ''[[ஈவு]]'' என்றும் {{math|''r''}} ''[[மீதி (கணிதம்)|மீதி]]'' என்றும் அழைக்கப்படும். ஒவ்வொரு {{math|''a''}},&amp;nbsp;{{math|''b''}} இணைக்கும் அந்தந்த {{math|''q''}}, {{math|''r''}} இன் மதிப்புகள் தனித்துவமானவை. பல பண்புகள் (எகா: வகுதன்மை,) படிமுறைத்தீர்வுகள் (எகா: [[யூக்ளிடிய படிமுறைத்தீர்வு]] மற்றும் எண்கோட்டின் கருத்துக்களுக்கு [[யூக்ளிடிய வகுத்தல்]] அடிப்படையாக அமைகிறது.
 
 === இயலெண்கள் நிறைவுசெய்யும் இயற்கணிதப் பண்புகள் ===
 * கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கான [[அடைவுப் பண்பு]]:
 : அனைத்து இயலெண்கள் {{math|''a''}}, {{math|''b''}} ஆகியவற்றுக்கு, {{math|''a'' + ''b''}} , {{math|''a'' × ''b''}} இரண்டும் இயலெண்களே.
 * [[சேர்ப்புப் பண்பு]]:
 :அனைத்து இயலெண்கள் {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}} ஆகியவற்றுக்கு,
 : {{math|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}};
 : {{math|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}.
 * [[பரிமாற்றுத்தன்மை]]: 
 அனைத்து இயலெண்கள் {{math|''a''}}, {{math|''b''}} என்பனவற்றுக்கு, 
 :{{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}};
 :{{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}.
 * [[முற்றொருமை உறுப்பு]]:
 :ஒவ்வொரு இயலெண்ணுக்கும் (''a''):
 : {{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}};
 :{{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
 * கூட்டல்-பெருக்கல் [[பங்கீட்டுப் பண்பு]];
 : {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}} இயலெண்கள் எனில்:
 : {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}.
 *:{{math|''a''}} , {{math|''b''}} இயலெண்கள்;
 :{{math|''a'' × ''b'' {{=}} 0}} எனில், {{math|''a'' {{=}} 0}} அல்லது {{math|''b'' {{=}} 0}} (அல்லது இரண்டுமே பூச்சியம்).
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 
 == இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
 * [[எண்களின் பட்டியல்]]
 * [[சூனியமும் இடமதிப்புத் திட்டமும்]]
 
 [[பகுப்பு:எண்கள்]]
 [[பகுப்பு:அடிப்படைக் கணிதம்]]