ஒத்தநிலை உருமாற்றம்
[[Image:Geom podobnost stejnolehlest.svg|thumb|right|334px|ஒத்தநிலை உருமாற்றத் தொடர்புடைய இரு வடிவொத்த வடிவவியல் வடிவங்கள். இவற்றின் [[ஒத்தநிலை மையம்]] '''S'''. இந்த வடிவங்களின் ஒத்த புள்ளிகளில் அமையும் கோணங்கள் சமவளவும் ஒரே திசைப்போக்குடையவையாகவும் இருக்கும். (எ.கா): கோணங்கள் ABC, A'B'C' இரண்டும் கடிகாரதிசையில் சமவளவுடன் உள்ளன.]]
 
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''ஒத்தநிலை''' அல்லது '''ஒத்தநிலை உருமாற்றம்'''  (''homothety'', ''homothecy'', ''Homothetic transformation'') என்பது, கேண்முறை வெளியில் ஒரு [[உருமாற்றம் (சார்பு)|உருமாற்றமாகும்.]] ''உருமாற்ற மையம்'' என அழைக்கப்படும் ஒரு புள்ளி (''S''), ''உருமாற்ற விகிதம்'' என அழைக்கப்படும் ஒரு சுழியமற்ற எண் (''λ'') ஆகிய இரு காரணிகளால் ஒத்தநிலை உருமாற்றம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.
 
 ஒத்தநிலை உருமாற்றம்:
 :&lt;math&gt; M \mapsto S + \lambda \overrightarrow{SM}, &lt;/math&gt;
 
 அதாவது ஒத்தநிலை உருமாற்றம், புள்ளி ''S'' ஐ நிலையாகக் கொண்டு, ஒவ்வொரு புள்ளி ''M'' உம் புள்ளி ''N'' ஆக உருமாற்றுகிறது. மேலும் ''SM'' கோட்டிலேயே ''SN'' அமையும்; ஆனால் அளவில் ''λ'' காரணியவுளவுக்கு மாற்றப்படும்.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Hadamard|p=145}}&lt;/ref&gt; 
 
 [[யூக்ளீட் வடிவியல்|யூக்ளீடிய வடிவவியலில்]] ஒத்தநிலை உருமாற்றம் என்பது, ஒரு புள்ளியை நிலையாகக் கொண்டு, மேலும் எல்லாத் திசையன்களின் திசைகளையும் {{nowrap|''λ'' &amp;gt; 0}} எனும்போது அதேதிசையிலும், {{nowrap|''λ'' &amp;lt; 0}} எனும்போது எதிராகவும் மாற்றும் ஒரு உருமாற்றமாக அமையும். கேண்முறை வெளியிலும் யூக்ளீடிய வெளியிலும் [[பெயர்ச்சி (வடிவவியல்)|பெயர்ச்சி]] உட்பட்ட எல்லா ஒத்தநிலை உருமாற்றங்களும் ஒரு [[குலம் (கணிதம்)|குலமாக]] அமையும். இந்த உருமாற்றங்களில் ஒவ்வொரு கோட்டின் எதிருருக்கள் அந்தந்தக் கோடுகளுக்கு [[இணை (வடிவவியல்)|இணையான]] மற்றொரு கோடாக இருக்கும்.
 
 வீழ்ப்பு வடிவவியலில் ஒரு ஒத்தநிலை உருமாற்றமானது, வடிவொப்புமை உருமாற்றமாக அமையும். இந்த உருமாற்றத்தால் முடிவிலியில் அமையும் கோடு புள்ளிவாரி மாற்றமில்லாததாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Tuller|1967|p=119}}&lt;/ref&gt;
 
 யூக்ளீடிய வடிவவியலில் ஒரு ஒத்தநிலை உருமாற்றத்தின் விகிதம் ''λ'' எனில், இந்த உருமாற்றத்தால் புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவுகள்  |''λ''| மடங்காகவும், பரப்பளவுகள் ''λ''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; மடங்காகவும் மாறும். |''λ''| ஆனது ''உருப்பெருக்க விகிதம், பெருக்கக் காரணி, அளவீட்டுக் காரணி அல்லது வடிவொப்புமை காரணி'' (''ratio of magnification'', ''dilation factor'', ''scale factor'', ''similitude ratio'') என அழைக்கப்படும். |''λ''| இன் மதிப்பு &amp;nbsp;1 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்போது உருமாற்றமானது ''உருப்பெருக்கம்'' என அழைக்கப்படும். புள்ளி ''S''  ''[[ஒத்தநிலை மையம்]]'' அல்லது வடிவொப்புமை மையம் எனப்படும்.
 
 == ஒத்தநிலை உருமாற்றமும் சீரான அளவுமாற்றமும் ==
 [[ஒத்தநிலை மையம்]] ''S'' ஆனது திசையன் வெளியின் (''S'' ≡ ''O'') [[ஆதி (கணிதம்)|ஆதிப்புள்ளியுடன்]] (''O'') ஒன்றாகுமானால், ''λ'' விகிதம்கொண்ட ஒவ்வொரு ஒத்தநிலை உருமாற்றமும் அதே அளவீட்டுக் காரணி கொண்ட ஒரு [[அளவுமாற்றம் (வடிவவியல்)|சீரான அளவுமாற்றத்திற்குச்]] சமானமானதாக இருக்கும். இந்த அளவுமாற்றத்தின் விளைவு:
 
 :&lt;math&gt; \overrightarrow{OM} \mapsto \lambda \overrightarrow{OM}. &lt;/math&gt;
 
 ''S'' ≡ ''O'' ஆக இருக்கும் இந்த சிறப்புவகை ஒத்தநிலை மாற்றம், ஒரு [[நேரியல் கோப்பு|நேரியல் உருமாற்றமாக]] அமையும். மேலும் இந்த உருமாற்றம் புள்ளிகளின் [[நேர்கோட்டமைவு|ஒரு கோடமைவுத் தன்மையைக்]] காப்பதுடன் திசையன் கூட்டல் மற்றும் திசையிலியால் பெருக்கல் செயல்களையும் காக்கிறது.
 
 (''a'', ''b'') மையமும் ''λ'' விகிதமும் கொண்ட ஒரு ஒத்தநிலைஉருமாற்றத்தால் (''x'', ''y'') புள்ளியின் எதிருரு:
 
 : (''a'' + ''λ''(''x'' − ''a''), ''b'' + ''λ''(''y'' − ''b'')).
 
 == குறிப்புகள் ==
 &lt;references/&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 * {{ citation | first1 = J. | last1 = Hadamard | authorlink = Jacques Hadamard | title = Lessons in Plane Geometry }}
 * {{ citation | first1 = Bruce E. | last1 = Meserve | year =1955 | title = Fundamental Concepts of Geometry | chapter = Homothetic transformations | pages = 166–169 | publisher = [[Addison-Wesley]] }}
 * {{ citation | last1 = Tuller | first1 =  Annita | author-link = Annita Tuller | title = A Modern Introduction to Geometries | date=1967 | location=Princeton, NJ | publisher=D. Van Nostrand Co. | series=University Series in Undergraduate Mathematics}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Homothety.shtml Homothety], interactive applet from [[Cut-the-Knot]].