வகையிடல் விதிகள்
'''வகையிடல் விதிகள்''' (''differentiation rules'')  என்பவை [[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] ஒரு [[சார்பு|சார்பின்]] [[வகைக்கெழு|வகைக்கெழுவைக்]] காண்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் விதிமுறைகள் ஆகும். இக்கட்டுரையில் அத்தைகையப் பல்வேறு விதிகளும்  தொகுத்தளிக்கப்பட்டுள்ளன.
 
 ==வகையிடலின் அடிப்படை விதிகள்==
 
 கீழ்க்காணும் விதிகளில் தரப்பட்டச் சார்புகளின் தன்மை குறிப்பிடப்படாமல் இருந்தால், அவை [[மெய்யெண்]]களில் அமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்புகளாகவே எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. எனினும் நன்கு வரையறை செய்யப்பட்ட அனைத்துச் சார்புகளுக்கும் ([[சிக்கலெண்]]கள் உட்பட) இவை உண்மையாக அமையும்.&lt;ref&gt;''Calculus (5th edition)'', F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, {{ISBN|978-0-07-150861-2}}.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;''Advanced Calculus (3rd edition)'', R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, {{ISBN|978-0-07-162366-7}}.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;''Complex Variables'', M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, {{ISBN|978-0-07-161569-3}}&lt;/ref&gt;
 
 ===வகையிடலின் நேரியல்பு===
 ''f'' மற்றும் ''g'' எவையேனும் இரு [[வகையிடத்தக்கச் சார்பு]]கள்; ''a'' மற்றும் ''b'' மெய்யெண்கள் எனில்,
 
 {{nowrap|1=''h''(''x'') = ''af''(''x'') + ''bg''(''x'')}} என்ற சார்பின்  ''x'' -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:
 
 :&lt;math&gt; h'(x) = a f'(x) + b g'(x).\, &lt;/math&gt;
 
 இது [[லைப்னிட்சின் குறியீடு|லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்]]:
 
 :&lt;math&gt; \frac{d(af+bg)}{dx}  = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}.&lt;/math&gt;
 
 சிறப்பு வகைகள்:
 * [[வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதி]]
 
 :&lt;math&gt;(af)' = af' \,&lt;/math&gt;
 
 * [[வகையிடலின் கூட்டல் விதி]]
 
 :&lt;math&gt;(f + g)' = f' + g'\,&lt;/math&gt;
 
 * ''வகையிடலின் கழித்தல் விதி''
 
 :&lt;math&gt;(f - g)' = f' - g'.\,&lt;/math&gt;
 
 ===பெருக்கல் விதி ===
 {{முதன்மை|வகையிடலின் பெருக்கல் விதி}}
 [[வகையிடலின் பெருக்கல் விதி]], இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட [[சார்பு]]களின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை [[வகையிடல்|வகையிடும்]] வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம் [[லைப்னிட்ஸ் விதி]] என அழைக்கப்படுகிறது.
 
 தரப்பட்ட இரு சார்புகள் ''f'' , ''g'' எனில்,
 
 ''h''(''x'') = ''f''(''x'') ''g''(''x'') -சார்பின் ''x'' -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:
 
 :&lt;math&gt; h'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).\, &lt;/math&gt;
 
 இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:
 
 :&lt;math&gt;\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx} g + f \frac{dg}{dx}.&lt;/math&gt;
 
 ===சங்கிலி விதி===
 {{முதன்மை|சங்கிலி விதி}}
 [[வகையிடலின் சங்கிலி விதி]], இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்பாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதிப்படி,
 
 ''h''(''x'') = ''f''(''g''(''x'')) எனும் சார்பின் x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:
 
 :&lt;math&gt; h'(x) = f'(g(x)) g'(x)\, &lt;/math&gt;
 
 இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:
 
 :&lt;math&gt;\frac{dh}{dx} = \frac{df}{dg} \frac{dg}{dx}\,&lt;/math&gt;
 
 இது பின்வருமாறும் எழுதப்படுகிறது.
 
 :&lt;math&gt;\frac{dh}{dx} = \frac{dh}{dg} \frac{dg}{dx}\,&lt;/math&gt;
 
 ===நேர்மாறுச் சார்பு விதி===
 {{முதன்மை|நேர்மாறுச் சார்பு விதி}}
 இவ்விதி ஒரு சார்பின் [[நேர்மாறுச் சார்பு|நேர்மாறுச் சார்பினை]] [[வகையிடல்|வகையிடும்]] வழிமுறையைத் தருகிறது.
 
 ''f'' சார்பின் நேர்மாறு சார்பு ''g'' எனில்,
 
 {{nowrap|1=''g''(''f''(''x'')) = ''x''}}, {{nowrap|1=''f''(''g''(''y'')) = ''y''}}, என இருந்தால்:
 
 :&lt;math&gt;g' = \frac{1}{f'\circ g}\,&lt;/math&gt;
 
 இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:
 
 :&lt;math&gt; \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}&lt;/math&gt;
 
 ===அடுக்கு விதி===
 {{முதன்மை|வகையிடலின் அடுக்கு விதி}}
 [[வகையிடலின் அடுக்கு விதி]]யின் கூற்று:
 &lt;math&gt;f(x) = x^n&lt;/math&gt;,  ''n'' ஒரு [[முழு எண்]] எனில்:
 
 :&lt;math&gt;f'(x) = nx^{n-1}.\,&lt;/math&gt;
 
 இவ்விதியின் சிறப்பு வகைகள்:
 
 * ''மாறிலி விதி'':
 
 ''f'' ஒரு [[மாறிலிச் சார்பு]], &lt;math&gt;f(x) = c &lt;/math&gt;எனில்:
 :&lt;math&gt; f' (x) = 0&lt;/math&gt;
 
 * &lt;math&gt;f(x) = x &lt;/math&gt; ([[முற்றொருமைச் சார்பு]] எனில்,
 
 :&lt;math&gt; f'(x) = 1 &lt;/math&gt;
 
 * ''[[நேரியல் சார்பு|நேரியல் சார்பின்]] வகைக்கெழு ஒரு [[மாறிலி]]யாகும்'':
 
 :&lt;math&gt;f(x) = ax + b &lt;/math&gt; எனில், 
 :&lt;math&gt; f'(x)  = a &lt;/math&gt;
 
 இவ்விதியையும் வகையிடலின் நேரியல்பையும் இணைத்து எந்தவொரு [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]யையும் வகையிடலாம்.
 
 ===தலைகீழி விதி===
 {{முதன்மை|வகையிடலின் தலைகீழி விதி}}
 :&lt;math&gt; h(x) = \frac{1}{f(x)}\ &lt;/math&gt; ( ''f'' (''x'') [[பூச்சியம்|பூச்சியமற்றதாக]] இருத்தல் அவசியம்) எனில்:
 
 :&lt;math&gt; h'(x) = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}\ &lt;/math&gt;
 
 இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:
 :&lt;math&gt; \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}\,&lt;/math&gt;
 
 அடுக்கு விதியையும் சங்கிலி விதியையும் இணைத்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.
 
 ===வகுத்தல் விதி===
 {{முதன்மை|வகையிடலின் வகுத்தல் விதி}}
 
 ''f'' , ''g'' என்பன வகையிடத்தக்க இரு சார்புகள் எனில்:
 
 :&lt;math&gt;\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad&lt;/math&gt;, (''g'' பூச்சியமற்றதாக இருத்தல் வேண்டும்.)
 
 பெருக்கல் விதியையும் தலைகீழி விதியையும் இணைத்து இவ்விதியைப் பெறலாம். மறுதலையாக, இவ்விதியிலிருந்து ''f''(''x'') = 1 எனும் சிறப்பு வகையாகத் தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.
 
 ===பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட அடுக்குவிதி===
 ''f'' , ''g'' என்பன இரு [[வகையிடத்தக்கச் சார்பு]]கள் எனில்,
 :&lt;math&gt;(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\quad&lt;/math&gt;
 
 இருபுறமும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டிருத்தல் அவசியம்.
 
 சிறப்பு வகைகள்:
 
 * ''a'' ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் மற்றும் ''x'' நேர்மம் எனில்:
 
 :&lt;math&gt;f(x) = x^a &lt;/math&gt; என்பதன் ''x'' -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:
 
 :&lt;math&gt; f'(x) = a x^{a-1}&lt;/math&gt;
 
 * ''g''(''x'') = −1 எனில் இவ்விதியிலிருந்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.
 
 == [[அடுக்குக்குறிச் சார்பு]], மடக்கைச் சார்பின் வகையீடுகள் ==
 
 :&lt;math&gt; \left(c^{ax}\right)' = {c^{ax} \ln c \cdot a }\qquad c &gt; 0&lt;/math&gt;
 இச்சமன்பாடு, ''c'' இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்;  c &lt; 0 என்பது சிக்கலெண்ணைத் தரும்.
 
 :&lt;math&gt; \left(e^x\right)' = e^x&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \left( \log_c x\right)' = {1 \over x \ln c}\qquad c &gt; 0, c \ne 1&lt;/math&gt;
 மேலுள்ள சமன்பாடு ''c'' இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்; ஆனால் சிக்கலெண்ணைத் தரும்.
 
 :&lt;math&gt; \left( \ln x\right)'  = {1 \over x}\qquad x \ne 0&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \left( \ln |x|\right)' = {1 \over x}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \left( x^x \right)' = x^x(1+\ln x)&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \frac{d}{dx}[\ln(f(x))] = \frac{f'(x)}{f(x)}&lt;/math&gt;
 மடக்கையின் அடிமாற்று விதியைப் பயன்படுத்த,
 
 : &lt;math&gt;\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{d}{dx} \frac {\ln(x)}{\ln(b)} = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}&lt;/math&gt;
 
 ===மடக்கை வகையிடல்===
 மடக்கை வகையிடல் என்பது ஒரு சார்பின் [[மடக்கை]]யை வகையிடுவதாகும்.
 
 :&lt;math&gt; (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad&lt;/math&gt; இங்கு ''f'' நேர்மமாக இருத்தல் வேண்டும்.
 
 == முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் ==
 [[முக்கோணவியல் சார்புகள்|முக்கோணவியல் சார்புகளின்]] வகைக்கெழுக்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.
 {| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
 |width=50%|&lt;math&gt; (\sin x)' = \cos x \,&lt;/math&gt;
 |width=50%|&lt;math&gt; (\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt; (\cos x)' = -\sin x \,&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt; (\arccos x)' = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt; (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt; (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt; (\sec x)' = \sec x \tan x \,&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt; (\operatorname{arcsec} x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt; (\csc x)' = -\csc x \cot x \,&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt; (\operatorname{arccsc} x)' = -{1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt; (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)\,&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt; (\operatorname{arccot} x)' = -{1 \over 1 + x^2} \,&lt;/math&gt;
 |}
 
 ==மீவளையச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்==
 {| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
 |width=50%|&lt;math&gt;( \sinh x )'= \cosh x = \frac{e^x +
  e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;
 |width=50%|&lt;math&gt;(\operatorname{arsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;(\cosh x )'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;(\operatorname{arcosh}\,x)' = {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}}&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;(\tanh x )'= {\operatorname{sech}^2\,x}&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;(\operatorname{artanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;(\operatorname{arsech}\,x)' = -{1 \over x\sqrt{1 - x^2}}&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;(\operatorname{arcsch}\,x)' = -{1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;(\operatorname{coth}\,x )' =
 
  -\,\operatorname{csch}^2\,x&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;(\operatorname{arcoth}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}&lt;/math&gt;
 |}
 
 ==சிறப்புச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்==
 {| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
 |width=50%|
 ;காமா சார்பு
 &lt;math&gt;\Gamma'(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \ln t\,dt&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;= \Gamma(x) \left(\sum_{n=1}^\infty \left(\ln\left(1 + \dfrac{1}{n}\right) - \dfrac{1}{x + n}\right) - \dfrac{1}{x}\right) = \Gamma(x) \psi(x)&lt;/math&gt;
 |width=50%|
 |}
 {| style=&quot;width:100%; background:transparent; margin-left:2em;&quot;
 |width=50%|
 ;[[ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்|ரீமன் சீட்டா சார்பியம்]]
 
 :&lt;math&gt;\zeta'(x) = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln n}{n^x} =
 -\frac{\ln 2}{2^x} - \frac{\ln 3}{3^x} - \frac{\ln 4}{4^x} - \cdots
 \!&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;= -\sum_{p \text{ prime}} \frac{p^{-x} \ln p}{(1-p^{-x})^2}\prod_{q \text{ prime}, q \neq p} \frac{1}{1-q^{-x}} \!&lt;/math&gt;
 |}
 
 ==தொகையீடுகளின் வகைக்கெழுக்கள்==
 
 ''x'' ஐப் பொறுத்து வகையிட வேண்டிய சார்பு-
 
 :&lt;math&gt;F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt;&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;a(x)\leq t\leq b(x),&lt;/math&gt; &lt;math&gt;x_0\leq x\leq x_1\,&lt;/math&gt; இரண்டையும் உள்ளடக்கிய &lt;math&gt;(t,x)\,&lt;/math&gt; தளத்தின் ஒரு பகுதியில், &lt;math&gt;f(x,t),\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)\,&lt;/math&gt; என்ற இரு சார்புகளும் &lt;math&gt;t\,&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;x\,&lt;/math&gt; களில் [[தொடர்ச்சியான சார்பு|தொடர்ச்சியானவையாகவும்]];
 
 &lt;math&gt;x_0\leq x\leq x_1\,&lt;/math&gt; இடைவெளியில், சார்புகள் &lt;math&gt;a(x)\,&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;b(x)\,&lt;/math&gt; இரண்டும் தொடர்ச்சியான சார்புகளாகவும் தொடர்ச்சியான வகைக்கெழுக்களும் கொண்டிருந்தால்:
 
 :&lt;math&gt; F'(x) = f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt,\, &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\,x_0\leq x\leq x_1\,\,&lt;/math&gt;
 
 இவ்வாய்ப்பாடு ''லைப்னிட்சின் தொகையீட்டு விதி''யின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். மேலும் இதனை ''நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தைப்'' பயன்படுத்தி நிறுவலாம்.
 
 ==''n'' ஆம் வரிசை வகைக்கெழுக்கள்==
 
 ===ஃபா டி புரூனோவின் வாய்ப்பாடு===
 
 ''f'' , ''g'' இரண்டும் ''n'' தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்:
 
 :&lt;math&gt;  \frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}}^{} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \left(g^{(m)}(x) \right)^{k_m}&lt;/math&gt;
 
 இங்கு &lt;math&gt; r = \sum_{m=1}^{n-1} k_m,&lt;/math&gt;  &lt;math&gt; \{k_m\}&lt;/math&gt; இரண்டும்,
 
 :&lt;math&gt; \sum_{m=1}^{n} m k_m = n&lt;/math&gt; -''டியோஃபாண்டைன் சமன்பாட்டின்'' எதிர்மமற்ற முழு எண் தீர்வுகள் அனைத்தையும் கொண்டவை
 
 ===பொது லைப்னிட்ஸ் விதி===
 வகையிடலின் பெருக்கல் விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவமே [[பொது லைப்னிட்ஸ் விதி]]யாகும்.
 
 ''f'' , ''g'' இரண்டும் ''n'' தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்:
 
 :&lt;math&gt; \frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}} f(x) \frac{d^k}{d x^k} g(x)&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 ==மூல நூல்களும் மேலும் படிப்பதற்கும்==
 *''Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition)'', S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, {{ISBN|978-0-07-154855-7}}.
 *''The Cambridge Handbook of Physics Formulas'', G. Woan, Cambridge University Press, 2010, {{ISBN|978-0-521-57507-2}}.
 *''Mathematical methods for physics and engineering'', K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, {{ISBN|978-0-521-86153-3}}
 *''NIST Handbook of Mathematical Functions'', F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, C. W. Clark, Cambridge University Press, 2010, {{ISBN|978-0-521-19225-5}}.
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * [http://www.planetcalc.com/675/ வகையீடுகள் கணிப்பான்]
 * [http://mathmajor.org/calculus-and-analysis/table-of-derivatives/ வகையீடுகளின் பட்டியல்] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121031103355/http://mathmajor.org/calculus-and-analysis/table-of-derivatives/ |date=2012-10-31 }}
 
 [[பகுப்பு:வகையீட்டு நுண்கணிதம்]]