இணையியச் சிக்கலெண் மூலத் தேற்றம்
கணிதத்தில் '''இணையியச் சிக்கலெண் மூலத் தேற்ற'''த்தின்படி (''complex conjugate root theorem''), [[மெய்யெண்]] [[எண் கெழு|கெழுக்களுடன்]], ஒரு [[மாறி]]யில் அமைந்த [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]யின் ஒரு [[பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலம்|மூலம்]] சிக்கலெண்ணாக இருந்தால், அச் சிக்கலெண்ணின் இணையியமும் அதற்கு இன்னொரு மூலமாக இருக்கும்.
 
 ;தேற்றத்தின் கூற்று
 [[மெய்யெண்]] [[எண் கெழு|கெழுக்களுடன்]], ஒரு [[மாறி]]யில் அமைந்த பல்லுறுக்கோவை ''P'' எனில்:
 :''a''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''bi'' என்ற [[சிக்கலெண்]] இப் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு ஒரு மூலம் எனில். அதன் [[இணையியச் சிக்கலெண்]]ணான ''a''&amp;nbsp;−&amp;nbsp;''bi'' ம், ''P'' இன் மற்றொரு மூலமாகும்.&lt;ref&gt;{{cite book|title=Maynooth Mathematical Olympiad Manual|author=Anthony G. O'Farell and Gary McGuire|pages=104|chapter=Complex numbers, 8.4.2 Complex roots of real polynomials|year=2002|publisher=Logic Press |isbn=0-9544269-0-8}} Preview available at [http://books.google.com/books?q=Maynooth+Mathematical+Olympiad+Manual&amp;ots=xQ0hpAQkpc&amp;sa=X&amp;oi=print&amp;ct=title Google books]&lt;/ref&gt;
 
 இத் தேற்றத்தின் வாயிலாக, பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு சிக்கெண் மூலங்கள் இருந்தால் அவை இணையியச் சிக்கலெண் சோடியாகத்தான் இருக்கும் என்பதையும், [[பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி]] ஒற்றையெண்ணாக இருந்தால் அதற்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு மெய்யெண் மூலமாவது இருக்கும் என்பதையும் அறிந்து கொள்ளலாம் (இரண்டாவது முடிவை [[இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றம்|இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றத்தைக்]] கொண்டும் நிறுவலாம்).&lt;ref name=Jeffrey&gt;{{cite book|title=Complex Analysis and Applications|author=Alan Jeffrey|chapter=Analytic Functions|pages=22–23|year=2005|publisher=CRC Press|isbn=1-58488-553-X}}&lt;/ref&gt;
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 * &lt;math&gt;x^2+1=0 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x^2+1 = (x+i)(x-i) &lt;/math&gt;
 :ஃ மூலங்கள்: &lt;math&gt;\pm i \,&lt;/math&gt;
 
 *&lt;math&gt;x^2-4x+5=0 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x^2-4x+5 = (x-\overline {2+i})(x-\overline{2-i}) &lt;/math&gt;
 :ஃ மூலங்கள்: &lt;math&gt;2 \pm i \,&lt;/math&gt;
 
 *&lt;math&gt;x^3-3x^2+4x-2=0 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x^3-3x^2+4x-2 = (x-1)(x^2-2x+2) = (x-1)(x-\overline {1+i})(x-\overline{1-i}) &lt;/math&gt;
 :ஃ மூலங்கள்: &lt;math&gt;1, \, 1 \pm i \,&lt;/math&gt;
 
 இந்த எடுத்துக்காட்டிலுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி (3) ஒற்றையெண்ணாக உள்ளது. மேலும், மூன்று தீர்வுகளில் இரண்டு இணையியச் சிக்கலெண்களாகவும் ஒன்று மெய்யெண்ணாகவும் இருப்பதைக் காணலாம்.
 
 == விளைவுகள் ==
 * எந்தவொரு ஒற்றையெண் படியுடைய, மெய்யெண் சதுர அணியும் குறைந்தபட்சம் ஒரு [[ஐகென் மதிப்பு|ஐகென் மதிப்பாவது]] கொண்டிருக்கும்.
 :எடுத்துக்காட்டாக, [[செங்குத்து அணி]]யின் ஐகென் மதிப்புகள் 1 அல்லது −1 ஆகும்.
 *பல்லுறுப்புக்கோவைகளில், மெய்யெண்ணல்லாத காரணிகள் சோடிகளாக அமைகின்றன; மேலும் அவற்றைப் பெருக்கினால் மெய்யெண் கெழுக்களைக் கொண்ட இருபடிப் பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கிறது. சிக்கலெண் கெழுக்களையுடைய பல்லுறுப்புக்கோவைகளை முதற்படிக் காரணிகளாகக் காரணியாக்கம் செய்யலாம் என்பதால்,
 
 :மெய்யெண் கெழுக்களுடைய  ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் காரணியாக்கம் செய்யப்படும்போது அக் காரணிகளின் படியானது அதிகபட்சம் இரண்டுக்கு மேலானதாக இருக்காது. அதாவது, அக் காரணிகள் முதற்படிக் காரணிகளாகவோ அல்லது இருபடிக் காரணிகளாகவோ மட்டுமே அமையும்.
 
 ;எடுத்துக்காட்டு
 பல்லுறுப்புக்கோவை &lt;math&gt; x^3 - 7x^2 + 41x - 87\, &lt;/math&gt; இன் மூலங்கள்:
 ::&lt;math&gt; 3,\, 2 + 5i,\, 2 - 5i,&lt;/math&gt;
 
 காரணிகளின் வடிவில்:
 ::&lt;math&gt; (x - 3)(x - 2 - 5i)(x - 2 + 5i).\,&lt;/math&gt;
 
 கடைசி இரு காரணிகளையும் பெருக்கிச் சுருக்கக் கிடைப்பது:
 ::&lt;math&gt; (x - 3)(x^2 - 4x + 29).\,&lt;/math&gt; (சோடியாக அமையும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மெய்யெண்ணல்லாத காரணிகள் இரண்டும் பெருக்கப்படும்போது, மெய்யெண் கெழுக்களுடைய இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கிறது)
 
 == எளிய நிறுவல் ==
 இத் தேற்றத்தின் ஒரு நிறுவல்:&lt;ref name=Jeffrey /&gt;
 
 : &lt;math&gt;P(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n&lt;/math&gt; (இங்கு ''a''&lt;sub&gt;''r''&lt;/sub&gt; அனைத்தும் மெய்யெண்கள்)
 
 ''P'' இன் ஒரு மூலம் சிக்கலெண் ''&amp;zeta;'' (''P''(''&amp;zeta;'')&amp;nbsp;=&amp;nbsp;0) எனில், அதன் இணையியச் சிக்கலெண் &lt;math&gt;P(\overline{\zeta}) &lt;/math&gt; மற்றொரு மூலம் என்பதை நிறுவ வேண்டும். அதாவது &lt;math&gt;P(\overline{\zeta}) = 0&lt;/math&gt; எனக் காட்ட வேண்டும்.
 
 ''P''(''&amp;zeta;'')&amp;nbsp;=&amp;nbsp;0 எனில்,
 : &lt;math&gt;a_0 + a_1\zeta + a_2\zeta^2 + \cdots + a_n\zeta^n = 0\,&lt;/math&gt;
 
 இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
 : &lt;math&gt;\sum_{r=0}^n a_r\zeta^r = 0. \quad  (1)&lt;/math&gt;
 
 ;நிறுவல்
 : &lt;math&gt;P(\overline{\zeta}) = \sum_{r=0}^n a_r\left(\overline{\zeta}\right)^r&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;= \sum_{r=0}^n a_r\left(\overline{\zeta}\right)^r = \sum_{r=0}^n a_r \overline{\zeta^r} = \sum_{r=0}^n \overline{a_r\zeta^r} = \overline {\sum_{r=0}^n a_r\zeta^r} = \overline{0} = 0.&lt;/math&gt; (இணையியச் சிக்கலெண்களின் பண்புகள் மற்றும் சமன்பாடு ({{EquationRef|1}}) களின்படி)
 
 அதாவது,
 : &lt;math&gt;P(\overline{\zeta}) = a_0 + a_1\overline{\zeta} + a_2\left(\overline{\zeta}\right)^2 + \cdots + a_n\left(\overline{\zeta}\right)^n = 0.&lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{Reflist}}
 
 [[பகுப்பு:பல்லுறுப்புக்கோவைகள் பற்றிய தேற்றங்கள்]]