ஆய்லரின் முற்றொருமை
[[File:ExpIPi.gif|thumb|right| {{math|N}} முடிவிலியை நெருங்கும்போது கிடைக்கும் {{nowrap|(1 + {{math|''z''}}/{{math|N}})&lt;sup&gt;{{math|N}}&lt;/sup&gt;}}இன் எல்லை மதிப்பாக, {{math|''e''}}&lt;sup&gt;{{math|''z''}}&lt;/sup&gt;ஐ வரையறுக்கலாம். எனவே {{nowrap|(1 +{{math|''i''}}{{pi}}/{{math|N}})&lt;sup&gt;{{math|N}}&lt;/sup&gt;}} இன் எல்லை மதிப்பாக {{math|''e''}}&lt;sup&gt;{{math|''i''}}{{pi}}&lt;/sup&gt; அமைகிறது. இந்த அசைப்படத்தில், 1 முதல் 100 வரையிலான பல கூடும் மதிப்புகளை {{math|N}} ஏற்கும்போது, {{nowrap|(1 + {{math|''i''}}{{pi}}/{{math|N}})&lt;sup&gt;{{math|N}}&lt;/sup&gt;}} இன் கணக்கீடு காட்டப்படுகிறது.{{math|N}} இன் மதிப்பு அதிகரிக்க அதிகரிக்க, {{nowrap|(1 +{{math|''i''}}{{pi}}/{{math|N}})&lt;sup&gt;{{math|N}}&lt;/sup&gt;}} இன் மதிப்பு −1 ஐ நெருங்குவதைக் காணலாம்.]]
 கணிதத்தில் '''ஆய்லரின் முற்றொருமை''' (''Euler's identity'') {{#tag:ref| {{math|e&lt;sup&gt;''ix''&lt;/sup&gt; {{=}} cos ''x'' + ''i'' sin ''x''}},&lt;ref&gt;Dunham, 1999, [http://books.google.com/books?id=uKOVNvGOkhQC&amp;pg=PR24 p. xxiv].&lt;/ref&gt; என்ற வாய்ப்பாட்டையும் ஆய்லர் பெருக்கல் வாய்ப்பாட்டையும் குறிப்பதற்கும் சில இடங்களில் &quot;ஆய்லரின் முற்றொருமை&quot; அல்லது &quot;ஆய்லர் முற்றொருமை&quot; என்ற பெயர் பயன்படுத்தப்படுகிறது.&lt;ref name=EOM&gt;{{cite encyclopedia|last=Stepanov |first=S.A. [originator]| encyclopedia=[[Encyclopedia of Mathematics]]| title=Euler identity |publisher= | url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Euler_identity&amp;oldid=11612 | date=7 February 2011 | accessdate=18 February 2014}}&lt;/ref&gt; |group= n}}
 
 :&lt;math&gt;e^{i \pi} + 1 = 0&lt;/math&gt; எனும் சமன்பாடு ஆகும்.
 
 இதில்:
 :'''{{math|''e''}}''' என்பது [[E (கணித மாறிலி)|ஆய்லர் மாறிலி]]; [[இயல் மடக்கை]]யின் அடிமானம்,
 :'''{{math|''i''}}''' என்பது [[கற்பனை அலகு]]; {{math|''i''}}&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;= −1, and
 :'''{{pi}}'''  என்பது ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் அதன் விட்டத்துக்குமான விகிதம்.
 
 கணிதவியலாளர் [[ஆய்லர்|ஆய்லரின்]] பெயரால் இம் முற்றொருமை ”ஆய்லரின் முற்றொருமை” என அழைக்கப்படுகிறது. இம் முற்றொருமை, '''ஆய்லரின் சமன்பாடு''' என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 == விளக்கம் ==
 [[File:Euler's formula.svg|thumb|right|ஒரு பொதுக் [[கோணம்|கோணத்திற்கான]] [[ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு]]]]
 சிக்கலெண் தளத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின் சிறப்பு வகையாகவே ஆய்லரின் முற்றொருமை அமைகிறது.
 
 ;ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு
 
 {{math|''x''}} ஏதேனுமொரு [[மெய்யெண்]] எனில்:
 : &lt;math&gt;e^{ix} = \cos x +  i\sin x \,\!&lt;/math&gt;
 இங்கு [[முக்கோணவியல் சார்புகள்|முக்கோணவியல் சார்புகளான]] ''sine'' , ''cosine'' இரண்டும் [[ரேடியன்|ரேடியனில்]] தரப்படுகின்றன.
 
 {{math|''x''}}&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''{{pi}}'' எனும்போது ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு ஆய்லரின் முற்றொருமையாகிறது.
 
 {{math|''x''}}&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''{{pi}}'' என ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட,
 : &lt;math&gt;e^{i \pi} = \cos \pi +  i\sin \pi.\,\!&lt;/math&gt;
 
 மேலும் &lt;math&gt;\cos \pi = -1 ,\sin \pi = 0 \, \! &lt;/math&gt; என்பதால்,
 : &lt;math&gt;e^{i \pi} = -1 + 0 i\,\!&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;e^{i \pi} = -1 \,\!&lt;/math&gt; 
 : &lt;math&gt;e^{i \pi} +1 = 0.\,\!&lt;/math&gt; (ஆய்லரின் முற்றொருமை)
 
 ==சிறப்புகள்==
 *அடிப்படைக் கணிதச் செயல்களான [[கூட்டல்]], [[பெருக்கல்]], [[அடுக்கேற்றம்]] ஆகிய மூன்று செயல்களும் இம் முற்றொருமையில் ஒவ்வொன்றும் ஒரேயொரு முறை காணப்படுகின்றன.
 *ஐந்து அடிப்படைக் [[கணித மாறிலி]]களை இணைக்கிறது&lt;ref&gt;Paulos, p. 117.&lt;/ref&gt;:
 ** கூட்டல் சமனியான எண் 0.
 ** பெருக்கல் சமனியான எண் 1.
 ** ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் விட்டத்துக்குமான விகிதமாக அமையும் {{pi}} ({{pi}} = 3.14159265...)
 ** இயற்மடக்கையின் அடிமானமான {{math|''e''}} ({{math|''e''}} =  2.718281828...). 
 ** கற்பனை அலகு {{math|''i''}}
 *கணித எழுத்தாளர் கான்ஸ்டன்ஸ் ரீட் (Constance Reid), ஆய்லரின் முற்றொருமையை “கணிதத்திலேயே மிக அதிகமாகப் புகழ்பெற்ற வாய்ப்பாடு” என்று கூறியுள்ளார்.&lt;ref&gt;Reid, [http://books.google.com/books?id=d3NFIvrTk4sC&amp;pg=PA155 p. 155].&lt;/ref&gt; 
 *1990 இல் ''தி மேத்தமெட்டிகல் இண்டெலிஜென்சர்'' (The Mathematical Intelligencer) நடத்திய வாக்கெடுப்பில் ஆய்லரின் முற்றொருமை, &quot;கணிதத்தின் மிக அழகிய தேற்றம்&quot; என்ற பெயர் பெற்றது.&lt;ref&gt;Nahin, 2006, [http://books.google.com/books?id=GvSg5HQ7WPcC&amp;pg=PA2 pp. 2–3] (poll published in the summer 1990 issue of the magazine).&lt;/ref&gt;  
 *''பிசிக்கிஸ் வொர்ல்டு'' 2004 இல், வாசகர்களிடையே நடத்திய வாக்கெடுப்பில் மின்காந்தவியலின் [[மாக்சுவெல்லின் சமன்பாடுகள்]], ஆய்லரின் முற்றொருமை இரண்டும் சமமாக &quot;எப்பொழுதும் மீப்பெரு சமன்பாடு&quot; என்ற பட்டத்தைப் பெற்றன.&lt;ref&gt;Crease, 2004.&lt;/ref&gt;
 
 ==பொதுமைப்படுத்தல்==
 எண் 1 இன் ''n''ஆம் மூலங்களின் கூடுதல் [[சுழி]] (''n'' &gt; 1) என்ற முற்றொருமையின் சிறப்புவகையாகவும் ஆய்லரின் முற்றொருமை உள்ளது:
 
 :&lt;math&gt;\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .&lt;/math&gt;
 
 இதில் ''{{math|n}}''&amp;nbsp;= 2 எனப் பதிலிட்டால் ஆய்லரின் முற்றொருமை கிடைக்கிறது:
 
 ''{{math|n}}''&amp;nbsp;= 2 எனப் பதிலிட,
 :&lt;math&gt;\sum_{k=0}^{1} e^{\pi i k} = 0&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\Rightarrow e^{0} + e^{\pi i } = 0&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\Rightarrow  1 + e^{\pi i } = 0&lt;/math&gt; (ஆய்லரின் முற்றொருமை)
 
 ==வரலாறு==
 1748 இல் வெளியிடப்பட்ட ஆய்லரின் ''Introductio in analysin infinitorum'' என்ற அவரது புத்தகத்தில் இந்த முற்றொருமை காணப்பட்டதாகக் கூறப்பட்டது.&lt;ref&gt;Conway and Guy, pp. 254–255.&lt;/ref&gt; எனினும் அவர் இது குறித்து எதுவும் தெரிவிக்காததால் அம்முற்றொருமையைக் கண்டுபிடித்தது ஆய்லர்தானா என்பதும் கேள்விக்குரியதாகிறது.&lt;ref name=Sandifer2007&gt;Sandifer, p. 4.&lt;/ref&gt; (மேலும் ஆய்லர் தனது புத்தகத்தில் (''Introductio'') &lt;ref&gt;Euler, p. 147.&lt;/ref&gt; குறிப்பிட்டது  {{math|''e''}}, ''கொசைன்'' , ''சைன்'' ஆகிய மூன்றையும் சிக்கலெண் தளத்தில் தொடர்புபடுத்தும் ஆய்லரின் வாய்ப்பாடாகும். ரோஜர் கோட்சு என்ற ஆங்கிலக் கணிதவியலாளரும் இவ் வாய்ப்பாட்டினை அறிந்திருந்தார். ஆய்லர் இதனைத் தனது சக சுவிஸ் கணிதவியலாளர் ஜோகன் பெர்னௌலி வாயிலாக அறிந்திருக்கக் கூடும் என்ற கருத்தும் உள்ளது.&lt;ref name=Sandifer2007/&gt;)
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist|1|group= n}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{Reflist|2}}
 
 ==மூலங்கள்==
 * Conway, John Horton, and Guy, Richard (1996). ''[http://books.google.com/books?id=0--3rcO7dMYC&amp;pg=PA254 The Book of Numbers]'' (Springer, 1996). {{ISBN|978-0-387-97993-9}}.
 * Crease, Robert P., &quot;[http://physicsweb.org/articles/world/17/10/2 The greatest equations ever]&quot;, PhysicsWeb, October 2004 (registration required).
 * Crease, Robert P. &quot;[http://physicsweb.org/articles/world/20/3/3/1 Equations as icons],&quot; PhysicsWeb, March 2007 (registration required).
 * Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America. {{ISBN|978-0-88385-328-3}}.
 * Derbyshire, J. ''Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics'' (New York: Penguin, 2004).
 * Euler, Leonhard. ''[http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k69587.image.r=%22has+celeberrimas+formulas%22.f169.langEN Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus]'' (Leipzig: B. G. Teubneri, 1922).
 * Kasner, E., and Newman, J., ''[[Mathematics and the Imagination]]'' (Simon &amp; Schuster, 1940).
 * Maor, Eli, ''e: The Story of a number'' ([[Princeton University Press]], 1998). {{ISBN|0-691-05854-7}}
 * Nahin, Paul J., ''Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills'' (Princeton University Press, 2006). {{ISBN|978-0-691-11822-2}}
 * Paulos, John Allen, ''Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics'' (Penguin Books, 1992).  {{ISBN|0-14-014574-5}}
 * Reid, Constance, ''From Zero to Infinity'' (Thomas Crowell, 1955).
 * Sandifer, C. Edward. ''[http://books.google.co.uk/books?id=sohHs7ExOsYC&amp;pg=PA4 Euler's Greatest Hits]'' (Mathematical Association of America, 2007). {{ISBN|978-0-88385-563-8}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 {{Wikiquote|Euler's identity|ஆய்லரின் முற்றொருமை}}
 * [http://www.youtube.com/watch?v=UcGDNUDQCc4 Complete derivation of Euler's identity]
 * [http://betterexplained.com/articles/intuitive-understanding-of-eulers-formula/ Intuitive understanding of Euler's formula]
 
 [[பகுப்பு:கணித முற்றொருமைகள்]]