விகிதமுறு மூலத் தேற்றம்
[[இயற்கணிதம்|இயற்கணிதத்தில்]] '''விகிதமுறு மூலத் தேற்றம்''' அல்லது '''{{math|''p''/''q''}} தேற்றம்''' (''rational root theorem'' , ''rational zero theorem'', ''{{math|''p''/''q''}} theorem'') 
 :&lt;math&gt;a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 = 0,&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;a_i\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt; , &lt;math&gt;a_0,a_n \neq 0&lt;/math&gt;) [[இயற்கணிதச் சமன்பாடு|இயற்கணிதச் சமன்பாட்டின்]] [[விகிதமுறு எண்|விகிதமுறு]] [[சமன்பாட்டைத் தீர்த்தல்|தீர்வுகளுக்கான]] கட்டுப்பாடுகளை '''விகிதமுறு மூலத் தேற்றம்''' அல்லது '''{{math|''p''/''q''}} தேற்றம்''' (''rational root theorem'' , ''rational zero theorem'', ''{{math|''p''/''q''}} theorem'' 
 :&lt;math&gt;a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0 = 0&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;a_i\in\mathbb{Z}&lt;/math&gt; , &lt;math&gt;a_0,a_n \neq 0&lt;/math&gt; [[இயற்கணிதச் சமன்பாடு|பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின்]] [[விகிதமுறு எண்|விகிதமுறு]] [[சமன்பாட்டைத் தீர்த்தல்|தீர்வுகளுக்கான]] கட்டுப்பாடுகளைத் தருகிறது. சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் வலப்பக்கப் [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]யின் [[சார்பின் மூலம்|மூலங்களென]] அழைக்கப்படுகின்றன.
 
 தேற்றத்தின் கூற்று:
 மேலுள்ள சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகள் {{math|1=''x''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''&lt;sup&gt;p&lt;/sup&gt;⁄&lt;sub&gt;q&lt;/sub&gt;''}} ஒவ்வொன்றும் எளியவடிவிற்குச் சுருக்கப்பட்டிருந்தால், (அதாவது {{math|''p''}} , {{math|''q''}} இரண்டும் [[சார்பகா முழுஎண்கள்]]) கீழ்வரும் முடிவுகள் நிறைவு செய்யப்படும்:
 
 * மாறிலி உறுப்பு {{math|''a''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;}} இன் முழுவெண் [[வகுஎண்|வகுத்தியாக]] {{math|''p''}} இருக்கும்.
 * முதன்மைக் [[கெழு]] {{math|''a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''}} இன் முழுவெண் வகுத்தியாக {{math|''q''}} இருக்கும்.
 
 == பயன்பாடு ==
 ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலங்கள் இருந்தால் அவற்றைக் காண்பதற்கு இத்தேற்றத்தப் பயன்படுத்தலாம். ஏதெனுமொரு விகிதமுறு மூலம் {{math|1=''x'' = ''r''}} கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, அக்கோவையிலிருந்து வகுத்தல் மூலம் {{math|(''x'' – ''r'')}} காரணியை நீக்க, ஒரு படி குறைந்த பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கும். அதன் மூலங்கள் தரப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களாக இருக்கும்.
 
 === முப்படிச் சமன்பாடு ===
 [[முப்படியச் சமன்பாடு|முப்படிச் சமன்பாட்டின்]] பொதுவடிவம்
 :&lt;math&gt;ax^3+bx^2+cx+d=0&lt;/math&gt; (கெழுக்கள் முழு எண்கள்)
 
 இச்சமன்பாட்டிற்கு சிக்கலெண் தளத்தில் மூன்று தீர்வுகள் உண்டு. இதில் ஒன்று விகிதமுறு தீர்வு {{math|''r''}} என விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தைக் கொண்டு கண்டுபிடிக்கப்பட்டால், {{math|(''x'' – ''r'')}} காரணியை நீக்க மீதமுள்ள சமன்பாடு [[இருபடிச் சமன்பாடு|இருபடிச் சமன்பாடாக]] இருக்கும். அதன் தீர்வுகளை [[இருபடி வாய்பாடு]] கொண்டு காணலாம்.
 
 == நிறுவல் ==
 :&lt;math&gt;P(x) \ =\ a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;a_0, \ldots a_n \in \mathbb{Z}.&lt;/math&gt;) 
 
 இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு விகிதமுறு மூலம் ''p''/''q''. அதாவது {{math|1=''P''(''p''/''q'') = 0}} (''p'', ''q'' இரண்டும் [[சார்பகா முழுஎண்கள்]], {{math|''p'', ''q'' ∈ '''ℤ'''}}) எனில்:
 
 :&lt;math&gt;P\left(\tfrac{p}{q}\right) = a_n\left(\tfrac{p}{q}\right)^n + a_{n-1}\left(\tfrac{p}{q}\right)^{n-1} + \cdots + a_1 \left(\tfrac{p}{q}\right) + a_0 = 0.&lt;/math&gt;
 
 இருபுறமும் {{math|''q''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}} ஆல் பெருக்க:
 :&lt;math&gt;a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \cdots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = 0.&lt;/math&gt;
 
 *{{math|''a''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;}} உறுப்பை வலப்பக்கத்திற்கு மாற்றி இடப்புறத்தில் காரணி {{mvar|p}}யை வெளியிலெடுக்க:
 :&lt;math&gt;p \left (a_np^{n-1} + a_{n-1}qp^{n-2} + \cdots + a_1q^{n-1} \right ) = -a_0q^n.&lt;/math&gt;
 
 எனவே {{mvar|p}} ஆனது {{math|''a''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;''q&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;''}} ஐ மீதியின்றி வகுக்கும். ஆனால் {{mvar|p}}, {{mvar|q}} இரண்டும் சார்பகா எண்கள் என்பதால் {{mvar|p}} ஆனது, {{math|''q&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;''}} ஐ வகுக்காது. எனவே {{mvar|p}} ஆனது மீதியுள்ள காரணி {{math|''a''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;}}யை வகுக்கும்.
 
 * இதேபோல {{math|''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}} உறுப்பை வலப்பக்கத்திற்கு மாற்றி இடப்புறத்தில் காரணி {{mvar|q}}யை வெளியிலெடுக்க:
 :&lt;math&gt;q \left (a_{n-1}p^{n-1} + a_{n-2}qp^{n-2} + \cdots + a_0q^{n-1} \right ) = -a_np^n.&lt;/math&gt;
 
 மேலே விளக்கியதுபோல இங்கும் {{mvar|q}} ஆனது {{math|''a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''}}யை வகுக்கும்.&lt;ref&gt;{{cite book |first=D. |last=Arnold |first2=G. |last2=Arnold |title=Four unit mathematics |publisher=Edward Arnold |year=1993 |isbn=0-340-54335-3 |pages=120–121 }}&lt;/ref&gt;
 
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 எடுத்துக்காட்டு 1:
 :&lt;math&gt;P(x) = 2x^3+x-1,&lt;/math&gt;
 
 விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலம் இருக்குமானால் அம்மூலத்தின் தொகுதி 1 இன் வகுத்தியாகவும் பகுதி 2 இன் வகுத்தியாகவும் இருக்கும். எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் விகிதமுறு மூலங்களாக இருக்கக்கூடியவை:
 : ±1/2 , ±1
 
 ஆனால் P(±1/2) P(±1) ஆகிய நான்கின் மதிப்புகளுமே பூச்சியமில்லை. எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலங்களே கிடையாது.
 
 எடுத்துக்காட்டு 2:
 :&lt;math&gt;P(x) = x^3-7x+6&lt;/math&gt;
 
 இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இருக்கக்கூடிய விகிதமுறு மூலத்தின் தொகுதி 6 இன் வகுத்தியாகவும் பகுதி 1 இன் வகுத்தியாகவும் இருக்கும். எனவே விகிதமுறு மூலங்களாக இருக்கக்கூடியவை: ±1, ±2, ±3, and ±6. 
 
 இவற்றுள் P(1) = P(2) = P(-3) = 0 ஆக அமைவதைக் காணலாம். எனவே பல்லுறுப்புக்கோவையின் விதமுறு மூலங்கள்: 1, 2, -3
 இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி மூன்று என்பதால் இதன் மூலங்களனைத்தும் விகிதமுறு மூலங்கள் (ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சில மூலங்கள் விகிதமுறு மூலங்களாகவும் சில [[விகிதமுறா எண்|விகிதமுறா மூலங்களாகவும்]] அமையலாம்).
 
 == அடிக்குறிப்புகள் ==
 {{Reflist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 *Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: ''Fundamentals of College Algebra''. Scott &amp; Foresman/Little &amp; Brown Higher Education, 3rd edition 1990, {{isbn|0-673-38638-4}}, pp.&amp;nbsp;216–221
 *Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: ''The historical roots of elementary mathematics''. Dover Courier Publications 1998, {{isbn|0-486-25563-8}}, pp.&amp;nbsp;116–117  ({{Google books|7xArILpcndYC|online copy|page=116}})
 *Ron Larson: ''Calculus: An Applied Approach''. Cengage Learning 2007, {{isbn|978-0-618-95825-2}}, pp.&amp;nbsp;23–24  ({{Google books|bDG7V0OV34C|online copy|page=23}})
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 *{{MathWorld|urlname=RationalZeroTheorem|title=Rational Zero Theorem}}
 *[http://planetmath.org/encyclopedia/RationalRootTheorem.html ''RationalRootTheorem''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110628232429/http://planetmath.org/encyclopedia/RationalRootTheorem.html |date=2011-06-28 }} at [[PlanetMath]]
 * [http://www.cut-the-knot.org/Generalization/RationalRootTheorem.shtml Another proof that n&lt;sup&gt;th&lt;/sup&gt; roots of integers are irrational, except for perfect nth powers] by Scott E. Brodie
 *[http://www.purplemath.com/modules/rtnlroot.htm ''The Rational Roots Test''] at purplemath.com