முப்படியச் சமன்பாடு
[[படிமம்:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|250px|முப்படிய செயற்கூற்றின் வரைவு. இம் முப்படிய செயற்கூறு மூன்று இடங்களில் x-அச்சை வெட்டுகின்றது (''y'' = 0).]].
 [[கணிதம்]] தோன்றிய காலத்திலிருந்து  [[சமன்பாடு]]களை விடுவித்துத் தீர்வு காணும் பிரச்சினை தலையாய பிரச்சினையாக இருந்து வருகிறது. காலம் செல்லச்செல்ல  கணிதம் எடுத்துக்கொள்ளும் சமன்பாடுகளின் தரத்தில் உயர்வும் பின்னலும் காணப்படுகிறதே தவிர பிரச்சினை ஒன்றுதான். 15 வது நூற்றாண்டில் [[ஐரோப்பா]]வில் ஏற்பட்ட கணித மலர்ச்சியில் முதன் முதலில் '''முப்படியச் சமன்பாடு''' களைத் தீர்க்க முயன்று 16 வது நூற்றாண்டில் வெற்றியும் கண்டனர். முப்படியச் சமன்பாட்டில்   [[சாரா மாறி]] யின் உயர்ந்த அடுக்கு மூன்றாக இருக்கும். அதை
 :&lt;math&gt;(*)x^3+ax^2+bx+c=0,\,&lt;/math&gt;
 
 என்று எடுத்துக்கொள்வதில்  பொதுத்தன்மைக்கு ஒரு குந்தகமும் இல்லை.  ஏனென்றால், &lt;math&gt;x^3&lt;/math&gt; இன் கெழு  1 ஆக இல்லாவிட்டால், முழு சமன்பாட்டையும் அக்கெழுவால் வகுத்து  (*) காட்டும் உருவத்திற்குக் கொண்டுவந்துவிடலாம்.  அக்கெழு 0 வாக இருந்தால்  சமன்பாடே  [[இருபடியம்]] ஆகி விடும்.
 
 ==டெல் ஃபெரோ வின் குறைக்கப்பட்ட முப்படியம்==
 
 1504 இல் [[டெல் ஃபெர்ரோ]] என்ற பொலோனா பல்கலைக்கழகக்கணித ஆசிரியர் , முப்படியத்தில் &lt;math&gt;x^2&lt;/math&gt; இன் கெழுவை &lt;math&gt;0&lt;/math&gt; வாக வைத்துக்கொண்டு முப்படியச் சமன்பாட்டிற்கு 'ஒரு' தீர்வு கண்டுபிடித்தார். அதாவது, அவர் எடுத்துக் கொண்ட சமன்பாடு
 
 :&lt;math&gt;x^3 + px = q; p &gt; 0, q &gt; 0.\,&lt;/math&gt;
 
 இதற்கு 'குறைக்கப்பட்ட முப்படியம்'  (Depressed Cubic) என்று பெயர்.
 
 டெல்ஃபெரோ ஏதோ ஒர் உள்ளுணர்வில்  &lt;math&gt;x = u + v&lt;/math&gt; என்று வைத்துக்கொண்டார்.
 
 இதை சமன்பாட்டில் பதிலீடு செய்தால், நமக்குக் கிடைப்பது
 
 :&lt;math&gt;u^3 + v^3 +(3uv + p)(u + v) = q.\,&lt;/math&gt;
 
 மேலும் ஓர் உள்ளுணர்வில், டெல்ஃபெரோ, இதை இரண்டு சமன்பாடாகப் பிரித்தார். அதாவது
 
 :&lt;math&gt;u^3 + v^3 = q \,&lt;/math&gt; , மற்றும்,  &lt;math&gt;3uv + p = 0 \,&lt;/math&gt;
 
 இவையிரண்டிலிருந்து,
 
 :&lt;math&gt;u^6 - q u^3 - \frac{p^3}{27} = 0 \,&lt;/math&gt;
 
 இது  &lt;math&gt;u^3 \,&lt;/math&gt; என்ற மாறியில் ஒரு இருபடியம். அதனால்,
 
 :: &lt;math&gt;u^3 =  \frac{q}{2} \pm \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}&lt;/math&gt;
 
 இதில் நேர்ம மூலத்தை எடுத்துக் கொண்டு, &lt;math&gt;u \,&lt;/math&gt; வைக் கணித்தால்,
 
 :: &lt;math&gt;u  = \sqrt[3]{\frac{q}{2} +\sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}&lt;/math&gt;
 
 இப்பொழுது, &lt;math&gt;v^3 = q - u^3 \,&lt;/math&gt; என்பதைப் பயன்படுத்தி
 
 :: &lt;math&gt;v  = \sqrt[3]{\frac{q}{2} -\sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}&lt;/math&gt;
 
 ஆக, நாம் எடுத்துக்கொண்ட முப்படியத்திற்குத்தீர்வு
 
 :: &lt;math&gt;x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} +\sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} -\sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}.&lt;/math&gt;
 
 மாறாக,  &lt;math&gt;\sqrt[3]{-1} = -1&lt;/math&gt;  என்பதால், இக்கோவையிலுள்ள இரண்டாவது உறுப்பில் ஒரு -1 ஐ மூலக்குறிக்கு வெளியில் எடுத்த பிறகு நமக்குக் கிடைப்பது, இதே   &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கு இன்னொரு சமானமான [[கோவை (கணிதம்)|கோவை]]:
 
 ::&lt;math&gt;x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} +\sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} - \sqrt[3]{-\frac{q}{2} +\sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}.&lt;/math&gt;
 
 ==துணை நூல்கள்==
 
 * Paul J. Nahin. An Imaginary Tale: The story of &lt;math&gt;\sqrt{-1}&lt;/math&gt;. Princeton University Press. Princeton, New Jersey
 
 [[பகுப்பு:இயற்கணிதம்]]