பித்தாகரசின் சராசரிகள்
[[Image:MathematicalMeans.svg|thumb|right|''a'' மற்றும் ''b''  -ன் பித்தாகரசின் சராசரிகள் மற்றும் இருபடிச் சராசரியின் வடிவியல் வரைமுறை. ''H'' -இசைச் சராசரி,  ''G''  -பெருக்கல் சராசரி,  ''A''  -கூட்டுச்சராசரி, ''Q'' -இருபடிச் சராசரி.]]
 [[கணிதவியல்|கணிதத்தில்]] முக்கியமான சராசரிகளான [[கூட்டுச் சராசரி]] (''A''), [[பெருக்கல் சராசரி]] (''G''), [[இசைச் சராசரி]] (''H'') ஆகிய மூன்றும் '''பித்தாகரசின் சராசரிகள்''' (''Pythagorean means'') என அழைக்கப்படுகின்றன. இம்மூன்றின் [[வரையறை]]:
 
 * &lt;math&gt; A(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n}(x_1 + \cdots + x_n) &lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt; G(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdots x_n} &lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt; H(x_1, \ldots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}} &lt;/math&gt;
 
 இம்மூன்று சராசரிகளும் பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன:
 * மதிப்பு மாறாமை: &lt;math&gt; M(x,x, \ldots,x) = x &lt;/math&gt;
 * முதல் வரிசை சமச்சீர்தன்மை: &lt;math&gt; M(bx_1, \ldots, bx_n) = b M(x_1, \ldots, x_n) &lt;/math&gt;
 * உள்மாற்றத்ததால் மாறாமை: &lt;math&gt; M(\ldots, x_i, \ldots, x_j, \ldots ) = M(\ldots, x_j, \ldots, x_i, \ldots) &lt;/math&gt; .
 * &lt;math&gt; \min(x_1,\ldots,x_n) \leq M(x_1,\ldots,x_n) \leq \max(x_1,\ldots,x_n)&lt;/math&gt;
 
 இம்மூன்று சராசரிகளும் [[வடிவவியல்|வடிவவியலிலும்]] இசையிலும் அதிக முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவையாக இருந்தமையால், முதலில் [[கணிதவியலாளர்]] [[பித்தாகரஸ்|பித்தாகரசாலும்]] பின் அவரைத் தொடர்ந்து [[கிரேக்கம்|கிரேக்க]] கணிதவியலாளர்களாலும் (''தாமஸ் ஹீத், பண்டைய கிரேக்க  கணித வரலாறு'') ஆராயப்பட்டன.
 
 ==இருபடிச் சராசரியுடன் தொடர்பு==
 
 இருபடிச் சராசரி: &lt;math&gt;Q=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+ \cdots + x_n^2}{n}}&lt;/math&gt;) -ன் சேர்ந்து இவற்றின் வரிசைத் தொடர்பு:
 
 : &lt;math&gt; \min \leq H \leq G \leq A \leq Q \leq \max &lt;/math&gt;
 
 சராசரி காணப்படும் தரவின் உறுப்புகள் அனைத்தும் நேர்மமாக இருத்தல் வேண்டும். அனைத்து உறுப்புகளும் சமமாக இருந்தால் இருந்தால் மட்டுமே  மேலே தரப்பட்ட வரிசைத் தொடர்பில் சமக்குறியீடு பொருந்தும். இச்சமனின்மையை கூட்டு மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனின்மையின் பொதுமைப்படுத்தலாகவும் [[பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி]]களின் சமனின்மையின் சிறப்பு வகையாகவும் கருதலாம்.
 
 ===நிறுவல்: ''n'' = 2===
 
 பக்கங்கள் (''x'', ''y'', ''z''),  z -ஐக் கர்ணமாகக்கொண்ட செங்கோண முக்கோணங்களையும் [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தாகரசின் தேற்ற]] முடிவையும் (&lt;math&gt;x^2 + y^2 = z^2&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;z &gt; x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;z &gt; y&lt;/math&gt;) பயன்படுத்தி இச்சமனின்மையை n = 2  எனும்போது, அதாவது a, b என்ற இரு எண்களுக்கு [[கணித நிறுவல்|நிறுவலாம்]].&lt;ref&gt;Kung, Sidney H., &quot;The Harmonic mean—geometric mean—arithmetic mean—root mean square inequality II,&quot; in Roger B. Nelsen, ''Proofs Without Words'', [[The Mathematical Association of America]], 1993, p. 54.&lt;/ref&gt;
 
 [[முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள்|செங்கோண முக்கோணங்கள்]]:
 
 * :&lt;math&gt;\left(\frac{b-a}{b+a}\sqrt{ab}, \frac{2ab}{a+b}, \sqrt{ab}\right) = \left(\frac{b-a}{b+a}\sqrt{ab}, H(a,b), G(a,b)\right),&lt;/math&gt;
 
 இதிலிருந்து &lt;math&gt;H(a,b) &lt; G(a,b)&lt;/math&gt; என அறியலாம.----------&gt;1
 
 * :&lt;math&gt;\left(\frac{b-a}{2}, \sqrt{ab}, \frac{a+b}{2}\right) = \left(\frac{b-a}{2}, G(a,b), A(a,b)\right),&lt;/math&gt;
 
 இதிலிருந்து &lt;math&gt;G(a,b) &lt; A(a,b)&lt;/math&gt; என அறியலாம்.-----------&gt;2
 
 * :&lt;math&gt;\left(\frac{b-a}{2}, \frac{a+b}{2}, \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\,\right) = \left(\frac{b-a}{2},A(a,b), Q(a,b)\right),&lt;/math&gt;
 
 இதிலிருந்து &lt;math&gt;A(a,b) &lt; Q(a,b)&lt;/math&gt;என அறியலாம்.-------------&gt;3
 
 இம்மூன்றையும் பயன்படுத்த:
 
 : &lt;math&gt; \min \leq H \leq G \leq A \leq Q \leq \max &lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 
 {{reflist}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *[http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanMeans.html Pythagorean means on MathWorld]