பிழிவுத் தேற்றம்
[[File:(x^2)sin(x^(-1)).png|thumb|300px|பிழிவுத் தேற்றத்தின் விளக்கம்]]
 [[File:Sandwich lemma.svg|thumb|300px|ஒரே எல்லையைக் கொண்ட இரு ஒருங்கும் தொடர்வரிசைகளுக்கு இடையே ஒரு தொடர்வரிசை அமைந்தால் அத்தொடர்வரிசையும் அதே எல்லைக்கே ஒருங்கும்.]]
 
 [[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] '''பிழிவுத் தேற்றம்''' (''squeeze theorem'') என்பது [[சார்பு எல்லை|சார்பின் எல்லை]] குறித்த [[தேற்றம்|தேற்றமாகும்]]. இத்தேற்றம் நுண்கணிதத்திலும்  [[பகுவியல் (கணிதம்)|பகுவியலிலும்]] பயன்படுத்தப்படுகிறது. இத்தேற்றத்தில், எல்லைமதிப்புகள் அறியப்பட்ட அல்லது எளிதில் கணக்கிடக்கூடிய இரு சார்புகளுடன் ஒப்பிட்டுத் தேவையான சார்பின் எல்லை கண்டுபிடிக்கப்படுகிறது. [[பை (கணித மாறிலி)|{{pi}}]] இன் மதிப்பைக் கணக்கிடும்போது இத்தேற்றமானது வடிவவியலாகக் [[கணிதவியலாளர்]]கள் [[ஆர்க்கிமிடீஸ்|ஆர்க்கிமிடீசு]] மற்றும் [[நீடியோசின் யூடாக்சசு|யூடாக்சசால்]] பயன்படுத்தப்பட்டது. இதன் தற்கால வடிவமானது கணிதவியலாளர் [[கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ்|காசால்]] வடிவமைக்கப்பட்டது.
 
 == தேற்றத்தின் கூற்று ==
 பிழிவுத் தேற்றம் முறையாகப் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{cite book|last1=Sohrab|first1=Houshang H.|title=Basic Real Analysis|date=2003|publisher=[[Birkhäuser]]|isbn=978-1-4939-1840-9|page=104|edition=2nd|url=https://books.google.com/books?id=QnpqBQAAQBAJ&amp;pg=PA104}}&lt;/ref&gt;
 &lt;blockquote&gt;
 ''a'' ஐ எல்லைப் புள்ளியாகக் கொண்ட [[இடைவெளி (கணிதம்)|இடைவெளி]]  ''I''. இந்த இடைவெளியின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மூன்று [[சார்பு]]கள் ''g'', ''f'', ''h'' ( ''a'' புள்ளியைத் தவிர்த்தும் வரையறுக்கப்படலாம்). 
 
 ''I'' இடைவெளியில் ''a'' க்குச் சமமில்லாத ஒவ்வொரு ''x'' க்கும்  
 :&lt;math&gt;g(x) \leq f(x) \leq h(x) &lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L. &lt;/math&gt; எனில்:
 
 :&lt;math&gt;\lim_{x \to a} f(x) = L.&lt;/math&gt;
 &lt;/blockquote&gt;
 
 * &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;g&lt;/math&gt; , &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;h&lt;/math&gt; ஆகிய இரு சார்புகளும் முறையே &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;f&lt;/math&gt; இன் கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகளென அழைக்கப்படுகின்றன.
 * &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a&lt;/math&gt; ஆனது &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;I&lt;/math&gt; இடைவெளியின் உட்புறப் புள்ளியாகத்தான் இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை. &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;I&lt;/math&gt; இடைவெளியின் ஓரப்புள்ளியாக (இட/வலது ஓரப்புள்ளி) &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;a&lt;/math&gt; இருக்குமானால் மேலுள்ள எல்லைகள் இடக்கை/வலக்கை எல்லைகளெனப்படுகின்றன.
 * முடிவிலா இடைவெளிகளுக்கும் இத்தேற்றத்தின் கூற்று உண்மையாக இருக்கும்:
 :&lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;I=(0, \infty)&lt;/math&gt; எனில், &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;x \rightarrow \infty&lt;/math&gt; என எடுத்துக்கொண்டு தேற்றத்தின் கூற்று அமைகிறது.
 
 இத்தேற்றம் தொடர்வரிசைகளுக்கும் பொருந்தும்:
 
 :&lt;math&gt;(a_n), (c_n)&lt;/math&gt; என்ற இரு [[தொடர்வரிசை]]களும் &lt;math&gt;\ell&lt;/math&gt; க்கு ஒருங்கும் தொடர்வரிசைகள்; &lt;math&gt;(b_n)&lt;/math&gt; மற்றொரு தொடர்வரிசை என்றால் இத்தேற்றத்தின்படி:
 
 :&lt;math&gt;\forall n\geqslant N, N\in\mathbb{N}&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;a_n\leqslant b_n\leqslant c_n&lt;/math&gt; எனில் &lt;math&gt;(b_n)&lt;/math&gt; தொடர்வரிசையும் &lt;math&gt;\ell&lt;/math&gt; க்கு ஒருங்கும்.
 
 === நிறுவல்===
 உயர் மற்றும் தாழ் எல்லைகளை எடுத்துக்கொள்ள:
 :&lt;math&gt;L=\lim_{x \to a} g(x)\leq\liminf_{x\to a}f(x) \leq  \limsup_{x\to a}f(x)\leq \lim_{x \to a}h(x)=L,&lt;/math&gt;
 
 இத்தேற்றத்தை நிறுவ, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\epsilon &gt; 0&lt;/math&gt; என்ற அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் &lt;math&gt;|x - a| &lt; \delta &lt;/math&gt; (&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும்) எனில் &lt;math&gt;|f(x) - L| &lt; \epsilon&lt;/math&gt; என இருக்கக்கூடியவாறு &lt;math&gt;\delta &gt; 0&lt;/math&gt; என்றவொரு மெய்யெண் இருக்கும் என்பதை நிறுவ வேண்டும்.
 
 இதனையே குறியீட்டில்
 : &lt;math&gt; \forall \epsilon &gt; 0, \exists \delta &gt; 0 : \forall x, |x - a | &lt; \delta \ \Rightarrow  |f(x) - L |&lt; \epsilon.&lt;/math&gt; எனலாம்.
 
 சார்பு எல்லையின் வரையறைப்படி, 
 : &lt;math&gt;\lim_{x \to a} g(x) = L &lt;/math&gt;  
 :&lt;math&gt;\lim_{x \to a} h(x) = L &lt;/math&gt; ஆகிய இரு முடிவுகளிலிருந்து பெறப்படுபவை:
 : &lt;math&gt; \forall \varepsilon &gt; 0, \exists \ \delta_1 &gt; 0 : \forall x\ (|x - a| &lt; \delta_1 \ \Rightarrow \ |g(x) - L |&lt; \varepsilon).\qquad (1)&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt; \forall \varepsilon &gt; 0, \exists \ \delta_2 &gt; 0 : \forall x\ (|x - a | &lt; \delta_2\ \Rightarrow \ |h(x) - L |&lt; \varepsilon),\qquad (2)&lt;/math&gt;
 
 மேலும் &lt;math&gt;g(x) \leq f(x) \leq h(x) &lt;/math&gt;. எனவே
 : &lt;math&gt;g(x) - L\leq f(x) - L\leq h(x) - L&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\delta:=\min\left\{\delta_1,\delta_2\right\}&lt;/math&gt; எனத் தேர்வு செய்து கொள்ளலாம். இப்போது முடிவுகள் (1) , (2) இரண்டையும் பயன்படுத்திப் பெறப்படுவது:
 
 :&lt;math&gt;|x - a|&lt;\delta&lt;/math&gt; எனில், 
 
 : &lt;math&gt; - \varepsilon &lt; g(x) - L\leq f(x) - L\leq h(x) - L\ &lt; \varepsilon, &lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt; - \varepsilon &lt; f(x) - L &lt; \varepsilon &lt;/math&gt;,
 
 எனவே தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.  &lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;
 
 == தொடர்வரிசைக்கான தேற்றக்கூற்று ==
 
 &lt;blockquote&gt; &lt;math&gt;\sum_n a_n, \sum_n c_n&lt;/math&gt; இரண்டும் ஒருங்கும் தொடர்கள். மேலும் &lt;math&gt;\forall n&gt;N, a_n\leqslant b_n \leqslant c_n &lt;/math&gt; என்றவாறு  &lt;math&gt;\exists N\in\mathbb{N} &lt;/math&gt; எனில், &lt;math&gt;\sum_n b_n &lt;/math&gt; தொடரும் ஒருங்கும் தொடராக இருக்கும்.&lt;/blockquote&gt;
 
 === நிறுவல் ===
 &lt;math&gt;\sum_n a_n, \sum_n c_n&lt;/math&gt; இரண்டும் ஒருங்கு தொடர்கள் என்பதால் &lt;math&gt;\left(\sum_{k=1}^n a_k\right)_{n=1}^{\infty}, \left(\sum_{k=1}^n c_k\right)_{n=1}^{\infty} &lt;/math&gt; ஆகிய இரண்டும் [[கோசித் தொடர்வரிசை|கோசித் தொடர்களாக]] இருக்கும்.
 
 இவை கோசித் தொடர்களாக இருப்பதனால் பின்வரும் இரு முடிவுகள் கிடைக்கின்றன:
 : &lt;math&gt;\epsilon&gt;0 &lt;/math&gt; எனில், 
 :&lt;math&gt;\exists N_1\in\mathbb{N} &lt;/math&gt; such that &lt;math&gt; \forall n&gt;m&gt;N_1, \left|\sum_{k=1}^na_k-\sum_{k=1}^ma_k\right|&lt;\epsilon \Longrightarrow \left|\sum_{k=m+1}^n a_k\right|&lt;\epsilon \Longrightarrow -\epsilon&lt;\sum_{k=m+1}^n a_k&lt;\epsilon &lt;/math&gt;   (1)
 
 :&lt;math&gt;\exists N_2\in\mathbb{N} &lt;/math&gt; such that &lt;math&gt;\forall n&gt;m&gt;N_2, \left|\sum_{k=1}^nc_k-\sum_{k=1}^mc_k\right|&lt;\epsilon \Longrightarrow \left|\sum_{k=m+1}^n c_k\right|&lt;\epsilon \Longrightarrow -\epsilon&lt;\sum_{k=m+1}^n c_k&lt;\epsilon &lt;/math&gt; (2).
 
 மேலும் தேற்றத் தரவின்படி, 
 :&lt;math&gt;\exists N\in\mathbb{N} &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall n&gt;N, a_n\leqslant b_n \leqslant c_n &lt;/math&gt; என்பதால்:  
 &lt;math&gt;\exists N_3\in\mathbb{N} &lt;/math&gt; such that &lt;math&gt;\forall n&gt;N_3, a_k\leqslant b_k \leqslant c_k &lt;/math&gt;   (3). 
 
 &lt;math&gt;\forall n&gt;m&gt;\max\{N_1,N_2,N_3\} &lt;/math&gt; என எடுத்துக்கொண்டு  (1) , (2) முடிவுகளை இணைக்கக் கிடைப்பது:
 
 &lt;math&gt;a_k\leqslant b_k\leqslant c_k \Longrightarrow \sum_{k=m+1}^n a_k \leqslant \sum_{k=m+1}^n b_k \leqslant \sum_{k=m+1}^n c_k \Longrightarrow -\epsilon&lt; \sum_{k=m+1}^n b_k &lt;\epsilon \Longrightarrow \left|\sum_{k=m+1}^n b_k\right|&lt;\epsilon \Longrightarrow \left|\sum_{k=1}^n b_k-\sum_{k=1}^m b_k\right|&lt;\epsilon &lt;/math&gt;.
 
 இதிலிருந்து &lt;math&gt;\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)_{n=1}^{\infty} &lt;/math&gt; தொடரும் ஒரு கோசி தொடராக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே &lt;math&gt;\sum_n b_n &lt;/math&gt; ஒருங்கும் தொடராகும்.
 
 எனவே தேற்றம் நிறுவப்பட்டது. &lt;math&gt;\blacksquare&lt;/math&gt;
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 
 === எடுத்துக்காட்டு 1 ===
 [[File:Inst_satsen.png|thumb|right|250px|x இன் மதிப்பு 0 ஐ நெருங்கும் எல்லையில் சார்பு ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;sin(1/''x'') பிழியப்படல்]]
 : &lt;math&gt;\lim_{x \to 0}x^2 \sin(\tfrac{1}{x})&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\lim_{x\to 0}\sin(\tfrac{1}{x})&lt;/math&gt; - இந்த எல்லைக்கு மதிப்பு கிடையாது என்பதால் எல்லைகளின பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி (&lt;math&gt;\lim_{x \to a}(f(x)\cdot g(x)) = 
 \lim_{x \to a}f(x)\cdot \lim_{x \to a}g(x),&lt;/math&gt;) எடுத்துக்காட்டில் தரப்பட்டுள்ள சார்பின் எல்லையைக் காண முடியாது. எனவே பிழிவுத் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
 
 [[சைன்]] சார்பின் வரையறைப்படி,
 : &lt;math&gt;-1 \le \sin(\tfrac{1}{x}) \le 1. &lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt; \implies -x^2 \le x^2 \sin(\tfrac{1}{x}) \le x^2 &lt;/math&gt;
 
 ஆனால் &lt;math&gt;\lim_{x\to 0}-x^2 = \lim_{x\to 0}x^2 = 0&lt;/math&gt;
 
 எனவே பிழிவுத் தேற்றத்தின்படி,
 :&lt;math&gt;\lim_{x\to 0} x^2 \sin(\tfrac{1}{x}) = 0&lt;/math&gt;
 
 === எடுத்துக்காட்டு 2 ===
 [[File:Limit_sin_x_x.svg|thumb|upright=1.5|Comparing areas:&lt;br/&gt;&lt;math&gt;\begin{align}&amp;\, A(\triangle ADF) \geq A(\text{sector}\, ADB) \geq A(\triangle ADB)\\ \Rightarrow &amp;\, \frac{1}{2}\cdot \tan(x)\cdot 1 \geq \frac{x}{2\pi}\cdot \pi \geq \frac{1}{2}\cdot \sin(x)\cdot 1\\ \Rightarrow &amp;\, \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \geq x \geq \sin(x)\\ \Rightarrow &amp;\, \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \leq \frac{1}{x} \leq \frac{1}{\sin(x)} \\ \Rightarrow &amp;\, \cos(x) \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq 1 \end{align} &lt;/math&gt;]]
 
 :&lt;math&gt; \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} =1&lt;/math&gt;
 
 ''x'' இன் மதிப்பு 0 க்கு நெருக்கமாக இருக்கும்போது கீழுள்ள சமனிலி உண்மையாக இருக்கும்.
 : &lt;math&gt; \cos x \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq 1 &lt;/math&gt; &lt;ref&gt;Selim G. Krejn, V.N. Uschakowa: ''Vorstufe zur höheren Mathematik''. Springer, 2013, {{ISBN|9783322986283}}, pp.
  [https://books.google.de/books?id=-yXMBgAAQBAJ&amp;pg=PA80 80-81] (German). See also [[Sal Khan]]: [https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/limits-from-equations-ab/squeeze-theorem-ab/v/proof-lim-sin-x-x ''Proof: limit of (sin x)/x at x=0''] (video, [[கான் அகாதமி]])&lt;/ref&gt; அருகிலுள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளதைக் கொண்டு இச்சமனிலி ''x'' இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு உண்மையென்பதை எளிதாக வடிவவியல் முறையில் விளக்கலாம். அத்தோடு சமனிலியை ''x'' இன் எதிர்ம மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.
 
 : &lt;math&gt; \lim_{x\to 0}\cos x \leq \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} \leq \lim_{x\to 0}1 &lt;/math&gt; 
 மேலும் &lt;math&gt; \lim_{x\to 0} \cos(x) = 1&lt;/math&gt; என்பதால்,
 :&lt;math&gt; 1 \leq \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} \leq 1 &lt;/math&gt;
 &lt;math&gt; \implies \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 &lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 &lt;references /&gt;
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * {{MathWorld |title=Squeezing Theorem |urlname=SqueezingTheorem}}
 * [http://demonstrations.wolfram.com/SqueezeTheorem/ Squeeze Theorem] by Bruce Atwood (Beloit College) after work by, Selwyn Hollis (Armstrong Atlantic State University), the [[Wolfram Demonstrations Project]].
 * [https://proofwiki.org/wiki/Squeeze_Theorem Squeeze Theorem] on ProofWiki.
 
 [[பகுப்பு:எல்லைகள் (கணிதம்)]]
 [[பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்]]