தொலெமியின் தேற்றம்
[[Image:Ptolemy Theorem.svg|right|thumb|வட்ட நாற்கரத்தின் குறிக்கப்பட்டுள்ள நீளங்களுக்கிடையேயான தொடர்பு தொலெமியின் தேற்றம்]]
 [[யூக்ளீட் வடிவியல்|யூக்ளிடிய வடிவவியலில்]] '''தொலெமியின் தேற்றம்''' (''Ptolemy's theorem'') ஒரு [[வட்ட நாற்கரம்|வட்ட நாற்கரத்தின்]] நான்கு பக்கங்களுக்கும் இரு [[மூலைவிட்டம்|மூலைவிட்டங்களுக்கும்]] இடையேயுள்ள தொடர்பைத் தருகிறது. [[கிரேக்கம்|கிரேக்க]] வானிலையியலாளரும் [[கணிதவியலாளர்|கணிதவியலாளருமான]] [[தொலெமி]]யின் பெயரால் இத்தேற்றம் அழைக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;C. Ptolemy, ''Almagest'', Book 1, Chapter 10.&lt;/ref&gt;  தொலெமி வானிலையியல் பயன்பாட்டுக்கு உதவும் வகையில் தனது நாண்களின் அட்டவணை, முக்கோணவியல் அட்டவணை ஆகியவற்ற உருவாக்குவதற்கு இத்தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியுள்ளார்.
 
 தேற்றத்தின் கூற்று:
 
 ஒரு தரப்பட்ட நாற்கரத்தின் நான்கு உச்சிகள் ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' ஒரே வட்டத்தில் அமைந்தால்:
 
 : &lt;math&gt;|\overline{AC}|\cdot |\overline{BD}|=|\overline{AB}|\cdot |\overline{CD}|+|\overline{BC}|\cdot |\overline{AD}|&lt;/math&gt;
 
 அதாவது இத்தேற்றத்தின்படி:
 
 :''ஒரு நாற்கரத்தின் நான்கு உச்சிகளும் ஒரே வட்டத்தின் மீதமைந்தால் அந்நாற்கரத்தின் மூலைவிட்ட நீளங்களின் பெருக்குத்தொகையானது அதன் எதிரெதிர் பக்கங்களின் பெருக்குத்தொகைகளின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும்.''
 
 மேலும் தொலெமியின் தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும்:
 
 :''ஒரு நாற்கரத்தின் எதிரெதிர் பக்கங்களின் பெருக்குத்தொகைகளின் கூடுதலுக்குச் அதன் மூலைவிட்ட நீளங்களின் பெருக்குத்தொகையானது சமமாக இருந்தால் அந்நாற்கரத்தின் நான்கு உச்சிகளும் ஒரே வட்டத்தின் மேல் அமையும்.''
 
 ==எடுத்துக்காட்டுக்கள்==
 ===சமபக்க முக்கோணம்===
 [[படிமம்:Ptolemy Equilateral.svg|250px|right|thumb|சமபக்க முக்கோணம்]]
 
 ஒரு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சமபக்க முக்கோணம் பற்றிய தேற்றமொன்று தொலெமி தேற்றத்தின் கிளைமுடிவாகக் கிடைக்கிறது.&lt;ref name=&quot;wilson&quot;&gt;[http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Ptolemy/Ptolemy.html Wilson, Jim. &quot;Ptolemy's Theorem.&quot;] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20171215165516/http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Ptolemy/Ptolemy.html |date=2017-12-15 }} link verified 2009-04-08&lt;/ref&gt;
 
 வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட ஒரு சமபக்க முக்கோணமும் அவ்வட்டத்தின் மீது அமையும் ஒரு புள்ளியையும் எடுத்துக்கொள்ள:
 
 வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் அப்புள்ளியிலிருந்து அதிக தொலைவிலுள்ள சமபக்க முக்கோண உச்சிக்கும் இடையிலுள்ள தூரமானது, முக்கோணத்தின் மற்ற இரு உச்சிகளுக்கும் அந்தப் புள்ளிக்கும் இடையே உள்ள தூரங்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும்.
 
 '''நிறுவல்:''' 
 சமபக்க முக்கோணம் ABC இன் மூன்று உச்சிகளும் அதன் [[சுற்றுவட்டம்|சுற்றுவட்டத்தின்]] மேலுள்ள ஒருபுள்ளியும் சேர்ந்து ஒரு வட்ட நாற்கரத்தை அமைக்கின்றன. படத்தில் தரப்பட்டுள்ள இந்த வட்ட நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டமொன்று சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கமாக அமைகிறது. எனவே அம்மூலைவிட்டத்தின் நீளம் ''s''  தொலெமியின் தேற்ற முடிவைப் பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;
 qs=ps+rs\Rightarrow q=p+r.
 &lt;/math&gt;
 
 ===சதுரம்===
 எந்தவொரு [[சதுரம்|சதுரத்தையும்]] ஒரு வட்டத்துக்குள் வரைய முடியும். ஒரு சதுரத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மையம், சதுரத்தின் பொருள் மையமாக (center of mass) இருக்கும். சதுரத்தின் பக்க அளவு &lt;math&gt;a,&lt;/math&gt; மூலைவிட்டத்தின் நீளம் &lt;math&gt;d,&lt;/math&gt;எனில் தொலெமியின் தேற்றப்படி:
 :&lt;math&gt;d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\Rightarrow d = a\sqrt{2}&lt;/math&gt;
 
 ===செவ்வகம்===
 [[படிமம்:Ptolemy Rectangle.svg|right|thumb|Pythagoras' theorem: ''&quot;manifestum est&quot;'': Copernicus]]
 ஒரு [[செவ்வகம்|செவ்வகத்தில்]] தொலெமியின் தேற்றம் [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தாகரசின் தேற்றமாகிறது]]. சுற்றுவட்ட மையம் செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளியில் அமையும். செவ்வகத்தின் பக்க அளவுகள் ''a'' , ''b'' மற்றும் மூலைவிட்டம் ''d'' (செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்கள் சம நீளமுடையவை) எனில் தொலமியின் தேற்றப்படி:
 
 : &lt;math&gt; d^2 = a^2 + b^2 &lt;/math&gt; 
  
 இம்முடிவு படத்தில் காணப்படும் [[முக்கோணம்|செங்கோண முக்கோணத்தில்]] பித்தாகரசு தேற்ற முடிவாக இருப்பதையும் காணலாம்.
 
 ===ஐங்கோணம்===
 [[Image:Ptolemy Pentagon.svg|right|thumb|வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட ஒரு ஒழுங்கு ஐங்கோணம்.]]
 ஒரு [[ஐங்கோணம்#ஒழுங்கு ஐங்கோணம்|ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தின்]] பக்க அளவுக்கும் பொது நீளமுடைய அதன் நாண்களுக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பினை தொலெமியின் தேற்றத்திலிருந்து பெறலாம். ஐங்கோணத்தின் பக்க நீளம் ''a'' மற்றும் சம நீளமுடைய ஐந்து நாண்களின் பொது நீளம் ''b'' எனில் பக்க அளவுக்கும் நாணின் நீளத்திற்கும் இடையேயான தொடர்பு:
 
 :&lt;math&gt;b^2 = a^2 + ab &lt;/math&gt;
 
 இதிலிருந்து [[பொன் விகிதம்]]:
  
 :&lt;math&gt;\varphi = {b \over a} = {{1+\sqrt{5}}\over 2}.&lt;/math&gt; &lt;ref&gt;[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXIII/propXIII8.html Proposition 8] in Book XIII of [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/Euclid.html Euclid's Elements] proves by similar triangles the same result: namely that length a (the side of the pentagon) divides length b (joining alternate vertices of the pentagon) in &quot;mean and extreme ratio&quot;.&lt;/ref&gt;
 
 ===தசகோணத்தின் பக்கம்===
 [[படிமம்:Ptolemy Pentagon2.svg|right|thumb|வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட தசகோணத்தின் பக்கம்]]
 ஒழுங்கு ஐங்கோணம் ''ABCDE'' இன் சுற்றுவட்டத்தின் விட்டம் AF, DC பக்கத்தை இருசமக்கூறிடுமாறு வரைந்தால், DF, CF இரண்டும் அவ்வட்டத்துக்குள் வரையக்கூடிய ஒரு தசகோணத்தின் பக்கங்களாக (c) அமையும். இப்போது தொலெமியின் தேற்றத்தை ''ADFC'' வட்ட நாற்கரத்துக்குப் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு:
 
 :&lt;math&gt;ad=2bc\;&lt;/math&gt;
 
 பொன் விகிதம், &lt;math&gt;\varphi = \frac{b}{a}\Rightarrow b = \varphi a&lt;/math&gt;
 
 இதனைப் பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;\Rightarrow ad=2\varphi ac&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\Rightarrow c=\frac{d}{2\varphi}.&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;And in analogous fashion [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXIII/propXIII9.html Proposition 9] in Book XIII of [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/Euclid.html Euclid's Elements] proves by similar triangles that length c (the side of the decagon) divides the radius in &quot;mean and extreme ratio&quot;.&lt;/ref&gt;
 
 இது ஒழுங்கு தசகோணத்தின் பக்க அளவை சுற்றுவட்ட விட்டத்தின் மூலமாகக் காணும் வாய்ப்பாட்டினைத் தருகிறது.
 
 செங்கோண முக்கோணம் AFD இல் பித்தாகரசு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தின் மூலைவிட்டத்தின் அளவை (&quot;b&quot;) விட்டத்தின் மூலம் கண்டுபிடித்த பின் அந்த மதிப்பைப் பயன்படுத்திக் காணப்படும் ஐங்கோணத்தின் பக்கம் &quot;a&quot; இன் மதிப்பு:&lt;ref&gt;An interesting article on the construction of a regular pentagon and determination of side length can be found at the following reference [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/pentagon.shtml]&lt;/ref&gt;
 
 ::&lt;math&gt;a=\frac {b} {\varphi}=b(\varphi-1).\ &lt;/math&gt;
 
 தொலமியின் தேற்றத்திலிருந்து பெறப்படும் இம்முடிவினை [[நிக்கோலாஸ் கோப்பர்னிக்கஸ்]] பின்வருமாறு குறிப்பிடுகிறார்:
 
 :''&quot;ஒரு வட்டத்தின் விட்டம் தரப்பட்டிருக்குமேயானால், அவ்வட்டத்துக்குள் வரையப்படும் முக்கோணம், நாற்கரம், ஐங்கோணம், அறுகோணம், தசகோணம் ஆகியவற்றின் பக்கங்களும் தரப்பட்டுள்ளன.&quot;'' – &lt;ref&gt;http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?bibcode=1543droc.book.....C&amp;db_key=AST&amp;page_ind=36&amp;plate_select=NO&amp;data_type=GIF&amp;type=SCREEN_GIF&amp;classic=YES  De Revolutionibus Orbium Coelestium: Liber Primus: Theorema Primum&lt;/ref&gt;
 
 ==நிறுவல்==
 [[Image:Ptolemy's theorem.svg|frame|none|தொலெமியின் தேற்றத்தின் நிறுவலுக்கு வரையப்பட்டவை]]
 #  ABCD ஒரு வட்ட நாற்கரம்
 # நாண் BC இல்,  ∠BAC = ∠BDC; நாண் AB இல், ∠ADB = ∠ACB.
 # ∠ABK = ∠CBD என்றவாறு AC இன் மீது K புள்ளி குறிக்கப்படுகிறது;
 ##  ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD என்பதால், ∠CBK = ∠ABD.
 # இப்பொழுது △ABK , △DBC இரண்டும் [[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)|வடிவொத்தவை]]; அதேபோல் △ABD, △KBC இரண்டும் வடிவொத்தவை.
 # எனவே AK/AB = CD/BD;  CK/BC = DA/BD;
 ## அதாவது AK·BD = AB·CD; CK·BD = BC·DA;
 ## இவ்விரண்டையும் கூட்ட: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;
 ## (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
 ##  AK+CK = AC என்பதால்,  AC·BD = AB·CD + BC·DA
 
 தொலெமியின் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.
 
 (எளிய வட்ட நாற்கரங்களுக்கு மட்டுமே இந்த நிறுவல் சரியானது. சிக்கலான நாற்கரங்களுக்கு புள்ளி K, [[கோட்டுத்துண்டு]] AC இல் வெளிப்பக்கமாக அமையும். இதனால் AK&amp;minus;CK=±AC)
 
 ==தொலெமியின் சமமின்மை==
 [[Image:Ptolemy Inequality.svg|thumb|வட்டத்துக்குள் அமையாத ஒரு நாற்கரம்.]]
 தொலமியின் தேற்றத்தில் தரப்பட்டுள்ள சமன்பாடு வட்டத்துக்குள் வரையப்படாத நாற்கரங்களுக்கு உண்மையாக இருக்காது. வட்ட நாற்கரத்துக்கு மட்டும் பொருந்தும் இச்சமன்பாடு பிற நாற்கரங்களுக்கும் பொருந்தும் சமனின்மையாக நீட்டிக்கப்பட்டு, தொலெமியின் சமனின்மை என அழைக்கப்படுகிறது.
 
 ஒரு நாற்கரம் ''ABCD'' இல்,
 
 : &lt;math&gt;\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{DA} \ge \overline{AC}\cdot \overline{BD}&lt;/math&gt;
 
 நாற்கரம் வட்ட நாற்கரமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இந்தச் சமனின்மையின் சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 *[[Harold Scott MacDonald Coxeter|Coxeter, H. S. M.]] and Greitzer, S. L.: &quot;Ptolemy's Theorem and its Extensions.&quot; §2.6 in ''Geometry Revisited''. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp.&amp;nbsp;42–43, 1967.
 *[[De Revolutionibus Orbium Coelestium]], [[Copernicus]], Nicolaus. English translation from  On the Shoulders of Giants, Hawking, S 2002, Penguin Books. {{ISBN|0-14-101571-3}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * [http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-formulas/derivation-proof-ptolemy-s-theorem-cyclic-quadrilateral Proof of Ptolemy's Theorem for Cyclic Quadrilateral]
 * [http://www.mathpages.com/home/kmath099/kmath099.htm MathPages − On Ptolemy's Theorem]
 * {{cite web|url=http://hypertextbook.com/eworld/chords.shtml|title=Ptolemy's Table of Chords|first=Glenn|last=Elert|work=E-World|year=1994}}
 * [http://www.cut-the-knot.org/proofs/ptolemy.shtml Ptolemy's Theorem] at [[cut-the-knot]]
 * [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sine_cosine.shtml Compound angle proof] at [[cut-the-knot]]
 *[http://planetmath.org/encyclopedia/PtolemysTheorem.html Ptolemy's Theorem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110724093414/http://planetmath.org/encyclopedia/PtolemysTheorem.html |date=2011-07-24 }} on [[PlanetMath]]
 *[http://mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html Ptolemy Inequality] on [[MathWorld]]
 *[http://ads.harvard.edu/books/1543droc.book/ De Revolutionibus Orbium Coelestium] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060713225327/http://ads.harvard.edu/books/1543droc.book/ |date=2006-07-13 }} at Harvard.
 *[http://www.atara.net/deep_secrets/index.html Deep Secrets: The Great Pyramid, the Golden Ratio and the Royal Cubit] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080705164103/http://www.atara.net/deep_secrets/index.html |date=2008-07-05 }}
 *''[http://demonstrations.wolfram.com/PtolemysTheorem/ Ptolemy's Theorem]'' by  Jay Warendorff, [[The Wolfram Demonstrations Project]].
 *[http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXIII/bookXIII.html Book XIII] of [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/Euclid.html Euclid's Elements]
 
 [[பகுப்பு:நாற்கரங்கள், வட்டங்கள் பற்றிய தேற்றங்கள்]]