ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம்
[[Image:Steiner Inellipse.svg|250px|right|thumb|ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம்]]
 வடிவவியலில் ஒரு [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தின்]] '''ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம்''' (''Steiner inellipse''),&lt;ref name=Weisstein&gt;Weisstein, E. &quot;Steiner Inellipse&quot; — From MathWorld, A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;H. Dörrie, ''100 Great Problems of Elementary Mathematics, Their History and Solution'' (trans. D. Antin), Dover, New York, 1965, problem 98.&lt;/ref&gt; என்பது அம்முக்கோணத்தினுள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களை, அவற்றின் [[நடுப்புள்ளி]]களில் தொட்டவாறு வரையப்படும் தனித்த [[நீள்வட்டம்|நீள்வட்டமாகும்.]] இந்நீள்வட்டமானது, '''நடுப்புள்ளி உள்நீள்வட்டம்''' அல்லது '''நடுப்புள்ளி நீள்வட்டம்''' என்றும் அழைக்கப்படும். இந்நீள்வட்டம் ஒரு [[சுற்றுக்கூம்புவெட்டு|உட்கூம்புவெட்டாகும்.]]
 
 [[முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும்|உள்வட்டமும்]], [[மான்டார்ட் உள்நீள்வட்டம்|மான்டார்ட் உள்நீள்வட்டமும்]] முக்கோணத்தின் உட்கூம்புவெட்டுகள். ஆனால் [[சமபக்க முக்கோணம்|சமபக்க முக்கோணங்களைத்]] தவிர ஏனைய முக்கோணங்களில் இவற்றின் தொடுபுள்ளிகள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள் அல்ல. ஸ்டெயினர் நீள்வட்டத்தின் தனித்தன்மையை கணிதவியலாளர் கல்மான் நிறுவியுள்ளார்.&lt;ref name=Kalman&gt;{{citation
  | last = Kalman
  | first = Dan
  | issue = 4
  | journal = [[American Mathematical Monthly]]
  | mr = 2398412
  | pages = 330–338
  | title = An elementary proof of Marden's theorem
  | url = http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Kalman.pdf
  | volume = 115
  | year = 2008
  | accessdate = 2015-07-28
  | archive-date = 2012-08-26
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20120826050103/http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Kalman.pdf
  | url-status = dead
  }}.&lt;/ref&gt;
 
 முக்கோணத்தின் வெளிப்புறமாக அதன் உச்சிகளின் வழியே செல்லுமாறு வரைப்படும் தனித்த நீள்வட்டம் [[ஸ்டெயினர் சுற்றுநீள்வட்டம்|ஸ்டெயினர் சுற்றுநீள்வட்டமாகும்]]. வெளிநீள்வட்டத்தின் மையமானது முக்கோணத்தின் [[திணிவு மையம்|நடுக்கோட்டுச்சந்தி]]யாக இருக்கும்..&lt;ref&gt;{{mathworld|title=Steiner Circumellipse|urlname=SteinerCircumellipse}}&lt;/ref&gt;
 
 ==முந்நேரியல் சமன்பாடு==
 
 ''a, b, c'' பக்க நீளங்கள் கொண்ட முக்கோணத்தின் முந்நேரியல் சமன்பாடு:&lt;ref name=Weisstein/&gt;
 
 :&lt;math&gt;a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2-2abxy-2bcyz-2cazx = 0&lt;/math&gt;
 
 ==பண்புகள்==
 ஒரு முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தியே அம்முக்கோணத்தின் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தின் மையமாக இருக்கும்&lt;ref name=Weisstein/&gt;&lt;ref name=Chakerian/&gt;. ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் மட்டுமே அம்முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தியை மையமாகக் கொண்ட ஒரேயொரு உள்நீள்வட்டமாக இருக்கும். &lt;ref name=Chakerian/&gt;{{rp|p.142}}
 
 ஒரு முக்கோணத்தின் உள்நீள்வட்டங்களிலேயே அதிகபட்சப் பரப்பளவு கொண்டது ஸ்டெயினர் நீள்வட்டமாகும். அதன் பரப்பளவு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைப்போல &lt;math&gt;\tfrac{\pi}{3 \sqrt{3}}&lt;/math&gt; மடங்காகும்.&lt;ref name=Chakerian&gt;{{citation
  | last = Chakerian | first = G. D.
  | editor-last = Honsberger | editor-first = Ross
  | contribution = A distorted view of geometry
  | location = Washington, D.C.
  | pages = 135–136, 145–146
  | publisher = Mathematical Association of America
  | series = The Dolciani Mathematical Expositions
  | title = Mathematical plums
  | volume = 4
  | year = 1979}}.&lt;/ref&gt;{{rp|p.146}} &lt;ref name=Minda&gt;{{citation
  | last1 = Minda
  | first1 = D.
  | author1-link = David Minda
  | last2 = Phelps
  | first2 = S.
  | issue = 8
  | journal = American Mathematical Monthly
  | mr = 2456092
  | pages = 679–689
  | title = Triangles, ellipses, and cubic polynomials
  | url = http://www.geogebra.org/en/upload/files/english/steve_phelps/minda%20phelps.pdf
  | volume = 115
  | year = 2008
  }}{{Dead link|date=ஆகஸ்ட் 2021 |bot=InternetArchiveBot }}.&lt;/ref&gt;{{rp|Corollary 4.2}}. இப்பரப்பளவானது ஸ்டெயினர் வெளிநீள்வட்டத்தின் பரப்பளவில் நான்கில் ஒரு பங்காகும். 
 
 ஒரு முக்கோணத்தினுள் வரையப்படும் உள்நீள்வட்டங்களிலேயே முக்கோணத்தின் பக்கங்களை அவற்றின் நடுப்புள்ளிகளில் தொடுகின்ற உள்நீள்வட்டம் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் மட்டுமே.&lt;ref name=Chakerian/&gt; 
 
 ஒரு முக்கோணத்தின் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் அம்முக்கோணத்தின் [[நடுப்புள்ளி முக்கோணம்|நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின்]] ஸ்டெயினர் வெளிநீள்வட்டமாக இருக்கும்.
 
 முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் ''a, b, c''  எனில் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தின் அரை-நெட்டச்சு, அரைச்-சிற்றச்சின் நீளங்கள் முறையே&lt;ref name=Weisstein/&gt;:
 
 :&lt;math&gt;\frac{1}{6}\sqrt{a^2+b^2+c^2 \pm 2Z},&lt;/math&gt;
 
 இதில்,
 
 :&lt;math&gt;Z=\sqrt{a^4+b^4+c^4-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2}.&lt;/math&gt;
 
 முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளும் ஒரு முப்படிப் [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]யின் [[சிக்கலெண்]] [[பல்லுறுப்புக்கோவை#பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகள்|தீர்வுகளாக]] இருந்தால், அம்முக்கோணத்தின் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தின் [[குவியம் (வடிவவியல்)|குவியமானது]] அந்தப் பல்லுறுக்கோவையின் [[வகைக்கெழு]]ப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் தீர்வுகளாக இருக்கும்.
 
 ''G'', ''F''&lt;sub&gt;+&lt;/sub&gt;,  ''F''&lt;sub&gt;−&lt;/sub&gt; மூன்றும் முறையே முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தி, முதல், இரண்டாவது [[பெர்மா புள்ளி]]கள் எனில்:
 
 ∠''F''&lt;sub&gt;+&lt;/sub&gt;''GF''&lt;sub&gt;−&lt;/sub&gt; கோணத்தின் [[இருசமக்கூறிடல்#கோண இருசமவெட்டிகள்|உட்கோண இருசமவெட்டியாக]] ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தின் நெட்டச்சு அமையும். ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தின் நெட்டச்சு, சிற்றச்சின் நீளங்கள் முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்திக்கும் இரு பெர்மா புள்ளிகளுக்கும் இடைப்பட்ட தூரங்களின் கூடுதலாகவும் வித்தியாசமாகவும் இருக்கும்&lt;ref name=Scimemi&gt;[http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201008.pdf Scimemi, Benedetto, &quot;Simple Relations Regarding the Steiner Inellipse of a Triangle&quot;, ''Forum Geometricorum'' 10, 2010: 55–77.]&lt;/ref&gt;{{rp|Thm. 1}}.
 
 :|''GF''&lt;sub&gt;−&lt;/sub&gt;| ± |''GF''&lt;sub&gt;+&lt;/sub&gt;|
 
 ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தின் இரு அச்சுகளும் முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடுமாறு வரையப்பட்ட தனித்த [[பரவளையம்|பரவளையமான]] கீப்பெர்ட் பரவளையத்திற்குத் [[தொடுகோடு]]களாகவும் முக்கோணத்தின் [[ஆய்லர் கோடு]] அப்பரவளையத்தின் இயக்குவரையாகவும் அமைகின்றன.&lt;ref name=Scimemi/&gt;{{rp|Thm. 3}}
 
 ''ABC'' முக்கோணத்தினுள் வரையப்பட்ட ஏதேனுமொரு உள்நீள்வட்டத்தின் குவியங்கள் ''P'' , ''Q'' எனில்:&lt;ref&gt;Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; and Yao, Haishen, &quot;Proving a nineteenth century ellipse identity&quot;, ''Mathematical Gazette'' 96, March 2012, 161-165.&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{\overline{PA} \cdot \overline{QA}}{\overline{CA} \cdot \overline{AB}} + \frac{\overline{PB} \cdot \overline{QB}}{\overline{AB} \cdot \overline{BC}} + \frac{\overline{PC} \cdot \overline{QC}}{\overline{BC} \cdot \overline{CA}} = 1.&lt;/math&gt;
 
 ==பொதுமைப்படுத்தல்==
 முக்கோணத்துக்குள் வரையப்படும் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டத்தை [[பல்கோணி|பலகோணங்களுக்கும்]] பொதுமைப்படுத்தலாம். சில பலகோணங்கள் (''n''-gons) அவற்றின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளைத் தொடுமாறு வரையப்பட்ட உள்நீள்வட்டங்களைக் கொண்டுள்ளன. அந்த உள்நீள்வட்டங்களின் குவியங்கள் அப்பலகோணத்தின் உச்சிகளைத் தீர்வுகளாகக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் வகைக்கெழுப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் தீர்வுகளாக அமையும்.&lt;ref&gt;[http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200633.pdf Parish, James L., &quot;On the derivative of a vertex polynomial&quot;, ''Forum Geometricorum'' 6, 2006, pp. 285–288: Proposition 5.]&lt;/ref&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 [[பகுப்பு:முக்கோணங்கள்]]