இடைவெளி (கணிதம்)
கணிதத்தில் ஒரு ('''மெய்யெண்''') '''இடைவெளி''' ((''real'') ''interval'') என்பது, தனது உறுப்புகளான இரு மெய்யெண்களுக்கு இடைப்பட்ட எந்தவொரு மெய்யெண்ணும் அதன் மற்றொரு உறுப்பாகவே அமைகின்ற பண்புடைய [[மெய்யெண்]]களின் [[கணம் (கணிதம்)|கணம்]] ஆகும்.
 
 சில எடுத்துக்காட்டுக்கள்:   
 *{{math|0 ≤ ''x'' ≤ 1}} என்னும் கட்டுப்பாட்டுக்குட்பட்ட அனைத்து ''x'' எண்களின் கணம் ஓர் இடைவெளி. இவ்விடைவெளி {{math|0}}, {{math|1}} மற்றும் இவ்விரு எண்களுக்கிடையே அமையும் அனைத்து மெய்யெண்களையும் உள்ளடக்கியது. 
 
 * அனைத்து மெய்யெண்களின் கணம் &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; ஓர் இடைவெளி
 * அனைத்து எதிர் மெய்யெண்களின் கணம் ஓர் இடைவெளி.
 * வெற்றுக்கணம் ஓர் இடை32 noவெளி.
 
 ==குறியீடுகள்==
 ''a'', ''b'' என்ற இரு எண்களுக்கிடையுள்ள எண்களின் (அவ்விரு எண்கள் உட்பட) இடைவெளியின் குறியீடு: 
 :&lt;math&gt;[a , b]&lt;/math&gt;
 
 :''a'', ''b'' இரண்டும் இடைவெளியின் ''முனைப் புள்ளிகள்'' (''ஓரப் புள்ளிகள்'') எனப்படும்.
 
 ===முனைப்புள்ளிகள் நீங்கலாக===
 ஏதாவதொரு முனைப்புள்ளி நீங்கிய இடைவெளியைக் குறிப்பதற்கு, அந்த முனையிலுள்ள சதுர அடைப்புக்குறிக்குப் பதில் பிறை அடைப்புக்குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது:
 : &lt;math&gt; \begin{align}
 (a,b) = \mathopen{]}a,b\mathclose{[} &amp;= \{x\in\R\,|\,a&lt;x&lt;b\}, \\{}
 [a,b) = \mathopen{[}a,b\mathclose{[} &amp;= \{x\in\R\,|\,a\le x&lt;b\}, \\{}
 (a,b] = \mathopen{]}a,b\mathclose{]} &amp;= \{x\in\R\,|\,a&lt;x\le b\}, \\{}
 [a,b] = \mathopen{[}a,b\mathclose{]} &amp;= \{x\in\R\,|\,a\le x\le b\}.
 \end{align} &lt;/math&gt;
 
 (''a'', ''a''), [''a'', ''a''), (''a'', ''a''] ஆகிய இடைவெளிகள் வெற்றுக்கணத்தைக் குறிக்கின்றன; [''a'', ''a''] இடைவெளி ''a'' எண்ணை மட்டும் கொண்டிருக்கும். ''a'' &gt; ''b'' எனில் மேலே தரப்பட்டுள்ள நான்கு இடைவெளிகளுமே [[வெற்றுக் கணம்| வெற்றுக் கணத்தைக்]] குறிக்கும்.
 
 இடைவெளியின் இருவகையான குறியீடுகளும் கணிதத்தில் வேறுசில இடங்களில் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடுகளுடன் ஒத்ததாக அமைகின்றன.
 
 எடுத்துக்காட்டாக,
 :&lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt;
 
 இக்குறியீடு, [[கணக்கோட்பாடு|கணக்கோட்பாட்டில்]] [[வரிசைச் சோடி]]களைக் குறிக்கிறது; [[பகுமுறை வடிவவியல்|பகுமுறை வடிவவியலில்]] ஒரு [[புள்ளி]]யின் [[காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை|ஆயதொலைவுகளைக்]] குறிக்கிறது; ஒரு [[திசையன்|திசையனை]]க் குறிக்கிறது; மேலும் ஒரு [[சிக்கலெண்|சிக்கலெண்ணையும்]] குறிக்கிறது.
 
 :&lt;math&gt;[a,b]&lt;/math&gt; என்பது கணினி அறிவியலில் மிகச்சில சமயங்களில் வரிசைச்சோடியைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
 
 (''a'', ''b'') இடைவெளியின் [[கணம் (கணிதம்)#நிரப்பிகள்|நிரப்பியைக்]] குறிப்பதற்கு சில கணித எழுத்தாளர்கள்  &lt;math&gt;]a,b[&lt;/math&gt; என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறார்கள். அதாவது, இது ''a'' மற்றும் அதைவிடச் சிறிய மெய்யெண்களையும், ''b'' மற்றும் அதைவிடப் பெரிய மெய்யெண்களையும் கொண்ட இடைவெளி என்பதாகும்.
 
 ===முடிவிலியான முனைப்புள்ளிகள்===
 இடைவெளியின் இருவிதமானக் குறியீடுகளிலும், ஒரு முனையில் வரம்பு கிடையாது என்பதைக் குறிக்க முடிவிலியைப் பயன்படுத்தலாம். அதாவது &lt;math&gt;a=-\infty&lt;/math&gt; அல்லது &lt;math&gt;b=+\infty&lt;/math&gt; (அல்லது இரண்டையுமே) பயன்படுத்தலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டாக, 
 :(−∞, 0) இடைவெளி குறை மெய்யெண்கள் கணத்தியும்;
 :(0, +∞) இடைவெளி நேர் மெய்யெண்களின் கணத்தையும்; 
 :(−∞, +∞) இடைவெளி அனைத்து மெய்யெண்களின் கணத்தையும் குறிக்கின்றன.
 
 ===முழுஎண் இடைவெளிகள்===
 ''a'' , ''b'' என்பன இரு [[முழு எண்]]கள் எனில் அவற்றுக்கு இடையேயுள்ள முழு எண்களின் (அவை இரண்டும் உட்பட) இடைவெளியானது, [''a'' .. ''b''] அல்லது {''a'' .. ''b''}  அல்லது ''a'' .. ''b'' என சில இடங்களில் குறிக்கப்படுகிறது.
 
 கீழ் அல்லது மேல் முனைப்புள்ளியை முடிவுறு எண்ணாகக் கொண்ட முழுஎண் இடைவெளி எப்பொழுதும் அம்முனைப்புள்ளியையும் உள்ளடக்கியதாக இருக்கும். எனவே முனைப்புள்ளிகள் சேர்க்கப்படவில்லை எனபதை எழுத வேண்டிய முறை: 
 :''a'' .. ''b'' − 1 ,  ''a'' + 1 .. ''b'' , அல்லது ''a'' + 1 .. ''b'' − 1.  
 :[''a'' .. ''b'') அல்லது [''a'' .. ''b''[ என்னும் குறியீடுகள் முழுஎண் இடைவெளிகளுக்கு அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
 
 == சொல்லியல் ==
 
 ===திறந்த இடைவெளி===
 முனைப்புள்ளிகளை உள்ளடக்காத இடைவெளி ''திறந்த இடைவெளி'' எனப்படும். இந்த இடைவெளியைக் குறிப்பதற்குப் பிறை அடைப்புக்குறிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 திறந்த இடைவெளி (0,1),  ''0'' ஐ விட பெரிய எண்களையும் ''1'' ஐ விடச் சிறிய  எண்களையும் கொண்டது.
 
 ===மூடிய இடைவெளி===
 முனைப்புள்ளிகளை உள்ளடக்கிய இடைவெளி ''மூடிய இடைவெளி'' எனப்படும். இந்த இடைவெளியைக் குறிப்பதற்குச் சதுர அடைப்புக்குறிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
  
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 மூடிய இடைவெளி [0,1], ''0'' மற்றும் ''0'' ஐ விட பெரிய எண்களையும், ''1'' மற்றும் ''1'' ஐ விடச் சிறிய  எண்களையும் கொண்டது.
 
 ===சிதைந்த இடைவெளி===
 ஒரேயொரு மெய்யெண் மட்டும் கொண்டுள்ள ஓருறுப்புக் கணம் ''சிதைந்த இடைவெளி'' எனப்படும். சில கணித எழுத்தாளர்கள், வெற்றுக்கணத்தையும் இந்த வரையறையில் சேர்த்துக் கொள்வர்.
 
 ===தகு இடைவெளி===
 வெற்றாகவோ அல்லது சிதைந்ததாகவோ இல்லாத ஒரு மெய்யெண் இடைவெளி, ''தகு இடைவெளி''  எனப்படும். இந்த இடைவெளி, முடிவுறா எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.
 
 ===இடது மற்றும் வலது வரம்புடைய இடைவெளி===
 
 ஓர் இடைவெளியின் எல்லா உறுப்புகளையும் விடச் சிறியதான ஒரு மெய்யெண் இருக்குமாயின் அந்த இடைவெளி ''இடது-வரம்புடைய இடைவெளி'' (''left-bounded'') என்றும், மாறாக எல்லா உறுப்புகளையும் விடப் பெரியதான ஒரு மெய்யெண் இருக்குமாயின் அந்த இடைவெளி ''வலது-வரம்புடைய இடைவெளி'' (''right-bounded'') என்றும் அழைக்கப்படும்.
 
 ஓர் இடைவெளி இடது வரம்புடைய இடைவெளியாகவும், வலது-வரம்புடைய இடைவெளியாகவும் இருந்தால் அது ''வரம்புடைய இடைவெளி'' (''bounded'') எனப்படும். இல்லையெனில் அது ''வரம்பில்லாத இடைவெளி'' எனப்படும். பொதுவாக, வரம்புடைய இடைவெளிகள் ''முடிவுறு இடைவெளிகள்'' எனவும் அழைக்கப்படும்.
 
 வரம்புடைய இடைவெளிகளின் விட்டங்கள் (முனைப்புள்ளிகளின் வித்தியாசத்தின் [[தனி மதிப்பு]]) முடிவுறு மதிப்புகளாக இருக்கும். இந்த மதிப்பு, அந்த இடைவெளியின் நீளம் அல்லது அகலம் அல்லது அளவை எனப்படும்.
 
 வரம்பில்லா இடைவெளிகளின் நீளம் +∞;  வெற்று இடைவெளியின் நீளம் 0 அல்லது வரையறுக்காததாகக் கொள்ளப்படும்..
 
 ''a''  , ''b''  ஐ முனைப்புள்ளிகளாக உடைய வரம்புடைய இடைவெளியின் மையம் (''a'' + ''b'')/2;  அதன் ஆரம் |''a'' − ''b''|/2. வரம்பில்லா இடைவெளிகளுக்கும் வெற்று இடைவெளிகளுக்கும் மையமோ ஆரமோ வரையறுக்கப்படவில்லை.
 
 ==வகைப்பாடு==
 கீழே தரப்பட்டுள்ளவாறு மெய்யெண் இடைவெளிகளை பதினோரு வகைகளாகப் பிரிக்கலாம்.
 
 ''a'' , ''b'' மெய்யெண்கள்; &lt;math&gt;a &lt; b&lt;/math&gt;:
 
 : வெற்று இடைவெளி: &lt;math&gt;[b,a] = (a,a) = [a,a) = (a,a] = \{ \} = \emptyset&lt;/math&gt;
 : சிதைந்த இடைவெளி: &lt;math&gt;[a,a] = \{a\}&lt;/math&gt;
 : தகு மற்றும் வரம்புடைய இடைவெளி:
 :: திறந்த இடைவெளி: &lt;math&gt;(a,b)=\{x\,|\,a&lt;x&lt;b\}&lt;/math&gt;
 :: மூடிய இடைவெளி: &lt;math&gt;[a,b]=\{x\,|\,a\leq x\leq b\}&lt;/math&gt;
 :: இடது-மூடிய, வலது-திறந்த இடைவெளி: &lt;math&gt;[a,b)=\{x\,|\,a\,\leq x&lt;b\}&lt;/math&gt;
 :: இடது-திறந்த, வலது-மூடிய:  &lt;math&gt;(a,b]=\{x\,|\,a&lt;x\leq b\}&lt;/math&gt;
 : இடது-வரம்புடைய மற்றும் வலது-வரம்பில்லா இடைவெளி:
 :: இடது-திறந்த இடைவெளி: &lt;math&gt;(a,\infty)=\{x\,|\,x&gt;a\}&lt;/math&gt;
 :: இடது-மூடிய இடைவெளி: &lt;math&gt;[a,\infty)=\{x\,|\,x\geq a\}&lt;/math&gt;
 : இடது-வரம்பில்லாத மற்றும் வலது வரம்புடைய இடைவெளி:
 :: வலது-திறந்த இடைவெளி: &lt;math&gt;(-\infty,b)=\{x\,|\,x&lt;b\}&lt;/math&gt;
 :: வலது-மூடிய இடைவெளி: &lt;math&gt;(-\infty,b]=\{x\,|\,x\leq b\}&lt;/math&gt;
 : இருமுனைகளிலும் வரம்பில்லாத இடைவெளி:  &lt;math&gt;(-\infty,+\infty)=\R&lt;/math&gt;
 
 ===நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டின் இடைவெளிகள்===
 சில சூழ்நிலைகளில் இடைவெளிகளை [[நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோடு|நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டின்]] உட்கணங்களாக வரயறுக்கலாம். {{math|−∞}}, {{math|+∞}} இரண்டையும் சேர்த்து விரிவுபடுத்தப்பட்ட மெய்யெண்கோடு நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண்கோடு எனப்படுகிறது.
 
 {{closed-closed|−∞, ''b''}} , {{closed-open|−∞, ''b''}} , {{closed-closed|''a'', +∞}} , {{open-closed|''a'', +∞}} 
 ஆகிய குறியீடுகள் இவ்விளக்கத்தால் பொருளுள்ளவையாகவும் வெவ்வேறானவையாகவும் இருக்கும். குறிப்பாக,
 
 *{{open-open|−∞, +∞}}, சாதாரண மெய்யெண் கோட்டையும்
 *{{closed-closed|−∞, +∞}},நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டையும் குறிக்கும்.
 
 இடைவெளிகளை நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டின் உட்கணங்களாகக் கருதுவதால் மேலேயுள்ள வரையறைகளிலும் பெயர்களிலும் குழப்பங்கள் ஏற்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக {{open-open|−∞, +∞}}&amp;nbsp;=&amp;nbsp;&lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; என்ற இடைவெளி சாதாரண மெய்யெண்கோட்டில் மூடிய இடைவெளியாகவும், நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண்கோட்டில் திறந்த இடைவெளியாகவும் இருக்கும்.
 
 ==பண்புகள்==
 *ஓர் இடைவெளிக்கு, [[தொடர்ச்சியான சார்பு|தொடர்ச்சியான சார்பினால்]] கிடைக்கக்கூடிய  [[வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு|எதிருருவும்]] ஒரு இடைவெளியாகவே அமையும்.
 *இடைவெளிகள் &lt;math&gt;\R&lt;/math&gt; இன் [[குவிவுக் கணம்|குவிவுக் கணங்களாகும்]].
 * எத்தனை இடைவெளிகளை எடுத்துக்கொண்டாலும் அவற்றின் வெட்டு ஓர் இடைவெளியாகும்;
 
 இரு இடைவெளிகளின் [[கணம் (கணிதம்)#வெட்டுகள்|வெட்டு]] வெற்றுக்கணமாக இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அவற்றின் [[கணம் (கணிதம்)#ஒன்றிப்புகள்|ஒன்றிப்பு]] ஓர் இடைவெளியாக இருக்கும்.
 
 அதாவது, ஒரு இடைவெளியின் திறந்த முனை மற்றொரு இடைவெளியின் மூடிய முனையாக இருக்க வேண்டும்.
 
 : &lt;math&gt;(a,b) \cup [b,c] = (a,c]&lt;/math&gt;.
 
 *இடைவெளி &lt;math&gt;I&lt;/math&gt;இன் ஓர் உறுப்பு ''x'' அவ்விடைவெளியை மூன்று பொது உறுப்புகள் இல்லாத இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கும்:
 *&lt;math&gt;I_1 &lt;/math&gt; = x ஐ விடச் சிறியதான உறுப்புகள் கொண்ட இடைவெளி 
 *&lt;math&gt; I_2= [x,x] = \{x\}&lt;/math&gt; இடைவெளி 
 *&lt;math&gt;I_3 &lt;/math&gt; = x ஐ விடப் பெரியதான உறுப்புகள் கொண்ட இடைவெளி
 
 &amp;nbsp;{{mvar|x}}, &lt;math&gt;I &lt;/math&gt; இன் உட்புறத்தில் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இடைவெளிகள் &lt;math&gt;I_1 &lt;/math&gt; &lt;math&gt;I_3 &lt;/math&gt;இரண்டும் வெற்றற்றவையாக இருக்க முடியும்.
 
 == பொதுமைப்படுத்தல் ==
 === பல-பரிமாண இடைவெளிகள் ===
 ''&lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-பரிமாண இடைவெளி'' என்பது &lt;math&gt;\R^n&lt;/math&gt; இன் ஓர் [[கணம் (கணிதம்)#உட்கணங்கள்|உட்கணமாகும்]].
 
 :இவ்விடைவெளி, &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; ஆய அச்சுக்கள் ஒவ்வொன்றின் மீதமையும் &lt;math&gt;I = I_1\times I_2 \times \cdots \times I_n&lt;/math&gt; இடைவெளிகளின் [[கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்|கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனாக]] இருக்கும்.
 
 :&lt;math&gt;n=2&lt;/math&gt; எனில் இந்த இரு பரிமாண இடைவெளி, ஆய அச்சுக்களுக்கு [[இணை (வடிவவியல்)|இணையான]] பக்கங்களைக் கொண்ட [[செவ்வகம்]]. :&lt;math&gt;n=3&lt;/math&gt; எனில் இந்த முப்பரிமாண இடைவெளி, ஆய அச்சுக்களை பக்கங்களாகக் கொண்ட செவ்வகப் பெட்டி.
 
 ===சிக்கலெண்களின் இடைவெளி===
 சிக்கலெண் தளத்தின் பகுதிகளாக [[சிக்கலெண்]]களின் இடைவெளிகளை வரையறுக்கலாம். இவை செவ்வகங்களாகவோ வட்டத் தகடுகளாகவோ இருக்கும்.&lt;ref&gt;[http://books.google.com/books?id=Vtqk6WgttzcC Complex interval arithmetic and its applications], Miodrag Petković, Ljiljana Petković, Wiley-VCH, 1998, {{ISBN|978-3-527-40134-5}}&lt;/ref&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 * T. Sunaga, [http://www.cs.utep.edu/interval-comp/sunaga.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120309164347/http://www.cs.utep.edu/interval-comp/sunaga.pdf |date=2012-03-09 }} &quot;Theory of interval algebra and its application to numerical analysis&quot;], In: Research Association of Applied Geometry (RAAG) Memoirs, Ggujutsu Bunken Fukuy-kai. Tokyo, Japan, 1958, Vol. 2, pp.&amp;nbsp;29–46 (547-564); reprinted in Japan Journal on Industrial and Applied Mathematics, 2009, Vol. 26, No. 2-3, pp.&amp;nbsp;126–143.
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * ''A Lucid Interval'' by Brian Hayes: An [http://www.americanscientist.org/issues/pub/a-lucid-interval American Scientist article] provides an introduction.
 *[http://id.mind.net/~zona/mmts/miscellaneousMath/intervalNotation/intervalNotation.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100208214225/http://id.mind.net/~zona/mmts/miscellaneousMath/intervalNotation/intervalNotation.html |date=2010-02-08 }} Interval Notation Basics]
 *[http://www.cs.utep.edu/interval-comp/main.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060302095039/http://www.cs.utep.edu/interval-comp/main.html |date=2006-03-02 }} Interval computations website]
 *[http://www.cs.utep.edu/interval-comp/icompwww.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070203144604/http://www.cs.utep.edu/interval-comp/icompwww.html |date=2007-02-03 }} Interval computations research centers]
 * [http://demonstrations.wolfram.com/IntervalNotation/ Interval Notation] by George Beck, [[Wolfram Demonstrations Project]].
 * {{MathWorld |title=Interval |urlname=Interval}}
 
 [[பகுப்பு:மெய்யெண்கள்]]
 [[பகுப்பு:கணக் கோட்பாடு]]