சமவிசைசார் புள்ளி
[[File:Isodynamic Point.svg|thumb|upright=1.35|கருப்பு நிற முக்கோணத்தின் இரு அப்பலோனியஸ் வட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளிகளான &lt;math&gt;S,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;S'&lt;/math&gt; இரண்டும் அம்முக்கோணத்தின் சமவிசைசார் புள்ளிகள். நீலநிற, சிவப்பு நிறக் கோடுகள் முக்கோணத்தின் உட்கோணம் மற்றும் வெளிக்கோண  [[இருசமக்கூறிடல்|இருசமவெட்டிகள்]].]]
 யூக்ளிடிய வடிவவியலில் ஒரு [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தை]] எந்தவொரு [[புள்ளி]]யை மையமாகக் கொண்டு [[நேர்மாற்ற வடிவவியல்|நேர்மாற்றும்போது]] அம்முக்கோணமானது [[சமபக்க முக்கோணம்|சமபக்க முக்கோணமாக]] உருமாற்றமடைகிறதோ, அந்தப் புள்ளியே அம்முக்கோணத்தின் '''சமவிசைசார் புள்ளி''' (''isodynamic point'') எனப்படும். மேலும் முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு உச்சிக்கும் சமவிசைசார் புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட தூரமானது அந்தந்த உச்சிக்கு எதிரிலமையும் முக்கோணப் பக்கநீளங்களுக்கு எதிர்விகிதத்தில் இருக்கும். சமபக்க முக்கோணத்திற்கு அதன் [[நடுக்கோட்டுச்சந்தி]] மட்டுமே ஒரேயொரு சமவிசைசார் புள்ளியாக அமையும்ம். ஒவ்வொரு அசமபக்க முக்கோணத்திற்கும் இரு சமவிசைசார் புள்ளிகள் உள்ளன. கணிதவியலாளர் ஜோசப் நியுபெர்க் இப்புள்ளிகள் பற்றி ஆய்வு செய்து அவற்றுக்கு இப்பெயரிட்டார்&lt;ref&gt;For the credit to Neuberg, see e.g. {{harvtxt|Casey|1893}} and {{harvtxt|Eves|1995}}.&lt;/ref&gt;.
 
 சமவிசைசார் புள்ளிகள் இரண்டும் [[முக்கோண மையம்|முக்கோண மையங்களாகும்]]. மேலும் இவை மோபியஸ் உருமாற்றங்களின் கீழும் மாறாநிலை கொண்டவையாக இருக்கும்.
 
 ==தொலைவு விகிதங்கள்==
 &lt;math&gt;ABC&lt;/math&gt; முக்கோணத்தின் சமவிசைசார் புள்ளிகள் &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;S'&lt;/math&gt; எனில், கீழ்க்காணும் சமன்பாடுகள் உண்மையாய் இருக்கும்:
 
 ::&lt;math&gt;AS\cdot BC=BS\cdot AC=CS\cdot AB\,&lt;/math&gt; 
 ::&lt;math&gt;AS'\cdot BC=BS'\cdot AC=CS'\cdot AB\,&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;{{harvtxt|Neuberg|1885}} states that this property is the reason for calling these points&amp;nbsp;&quot;isodynamic&quot;.&lt;/ref&gt; 
 
 அதாவது தொலைவுகள் &lt;math&gt;AS&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;BS&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;CS&lt;/math&gt; மூன்றும் முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் &lt;math&gt;BC&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;AC&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;AB&lt;/math&gt; மூன்றுக்கும் எதிர்விகிதத்தில் இருக்கும்.
 
 முக்கோணத்தின் அப்பலோனியஸ் வட்டங்கள் மூன்றும் வெட்டிக்கொள்ளும் பொதுப்புள்ளிகளாக &lt;math&gt;S&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;S'&lt;/math&gt; இரண்டும் உள்ளன. இவ் வட்டங்கள் ஒவ்வொன்றும் முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சி வழிச் செல்வதாகவும், மற்ற இரு உச்சிகளிலிருந்து மாறாத் தொலைவு விகிதம் கொண்டதாகவும் இருக்கின்றன.&lt;ref name=&quot;botjo&quot;/&gt; எனவே ஒவ்வொரு சோடி அப்பலோனியஸ் வட்டங்களின் [[சமதொடுகோட்டு அச்சு|சமதொடுகோட்டு அச்சாக]] &lt;math&gt;SS'&lt;/math&gt; அமைகிறது. [[கோட்டுத்துண்டு]] &lt;math&gt;SS'&lt;/math&gt; இன் நடுக்குத்துக்கோடானது அப்பலோனியஸ் வட்டமையங்கள் அமைகின்ற  லெமாய்ன் கோடாகும்.&lt;ref name=&quot;wildberger&quot;&gt;{{harvtxt|Wildberger|2008}}.&lt;/ref&gt;
 
 ==உருமாற்றங்கள்==
 ஒரு [[புள்ளி நேர்மாற்றம்]] மற்றும் மோபியஸ் உருமாற்றங்களைப் பொறுத்து அமையும் பண்புகளைக் கொண்டும் &lt;math&gt;ABC&lt;/math&gt; முக்கோணத்தின் சமவிசைசார் புள்ளிகள் &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;S'&lt;/math&gt; இரண்டையும் வரையறுக்கலாம். 
 
 சமவிசைசார் புள்ளியைப் பொறுத்த நேர்மாற்றத்தால் முக்கோணம் &lt;math&gt;ABC&lt;/math&gt; ஆனது ஒரு சமபக்க முக்கோணமாக மாறுகிறது.&lt;ref name=&quot;casjo&quot;/&gt; சுற்றுவட்டத்தைப் பொறுத்த நேர்மாற்றத்தால் &lt;math&gt;ABC&lt;/math&gt; மாற்றமடைவதில்லை; எனினும் இவ்வுருமாற்றத்தில் அதன் ஒரு சமவிசைசார் புள்ளி மற்றொரு விசைசார் புள்ளியாக மாறுகிறது.&lt;ref name=&quot;botjo&quot;&gt;{{harvtxt|Bottema|2008}}; {{harvtxt|Johnson|1917}}.&lt;/ref&gt;
 
 முக்கோணம் &lt;math&gt;ABC&lt;/math&gt; இன் சுற்றுவட்டத்தின் உட்புறத்தை &lt;math&gt;ABC&lt;/math&gt; இன் உருமாற்ற முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் உட்புறமாகவே உருமாற்றும் மோபியஸ் உருமாற்றங்களினால் சமவிசைசார் புள்ளிகள் நிலைமாறாமல் உள்ளன. ஆனால் சுற்றுவட்டத்தினை உள்ளும் வெளியுமாக மாற்றும் உருமாற்றங்களில் சமவிசைசார் புள்ளிகள் ஒன்று மற்றதாக மாற்றப்படுகின்றது.&lt;ref name=&quot;rigby&quot;/&gt;
 
 ==கோணங்கள்==
 [[File:Isodynamic-lenses.svg|thumb|முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தை π/3 கோணத்தில் வெட்டும் மூன்று வட்டங்களும் சமவிசைசார் புள்ளியில் சந்திக்கின்றன.]]
 அப்பலோனியஸ் வட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளிகளாக அமைகின்ற சமவிசைசார் புள்ளிகளை வேறு மூன்று வட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளிகளாக அமைவதையும் காணலாம்:
 
 முக்கோணத்தின் உச்சிகளாலான &lt;math&gt;(A,B)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(A,C)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(B,C)&lt;/math&gt; ஆகிய மூன்று சோடிப் புள்ளிகளின் வழியாகக் செல்வதும், முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தினை 2π/3 அளவு உச்சிக்கோணம் கொண்ட [[வில்லை (வடிவவியல்)|வில்லையில்]] வெட்டுவதுமான மூன்று வட்டங்களும் முக்கோணம் &lt;math&gt;ABC&lt;/math&gt; இன் முதல் சமவிசைசார் புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்கின்றன. 
 
 இதேபோல, &lt;math&gt;(A,B)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(A,C)&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;(B,C)&lt;/math&gt; வழியாகக் செல்வதும், முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தினை π/3 அளவு உச்சிக்கோணம் கொண்ட [[வில்லை (வடிவவியல்)|வில்லையில்]] வெட்டுவதுமான மூன்று வட்டங்களும் முக்கோணம் &lt;math&gt;ABC&lt;/math&gt; இன் இரண்டாவது சமவிசைசார் புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்கின்றன.&lt;ref name=&quot;rigby&quot;&gt;{{harvtxt|Rigby|1988}}.&lt;/ref&gt;
 
 முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளோடும் சமவிசைசார் புள்ளிகள் உருவாக்கும் கோணங்கள் பின்வரும் சமன்பாடுகளை நிறைவு செய்கின்றன&lt;ref name=&quot;rigby&quot;/&gt;:
 ::&lt;math&gt;ASB = ACB + \pi/3&lt;/math&gt;
 ::&lt;math&gt;ASC = ABC + \pi/3&lt;/math&gt;
 ::&lt;math&gt;BSC = BAC + \pi/3&lt;/math&gt; 
 
 ::&lt;math&gt;AS'B = ACB - \pi/3&lt;/math&gt; 
 ::&lt;math&gt;AS'C = ABC - \pi/3&lt;/math&gt;
 ::&lt;math&gt;BS'C = BAC - \pi/3&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;ABC&lt;/math&gt; முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களிலும்  சமவிசைசார் புள்ளி &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; ஐ [[எதிரொளிப்பு (கணிதம்)|எதிரொளிப்பதால்]] கிடைக்கும் புள்ளிகளாலான முக்கோணம் ஒரு சமபக்க முக்கோணம் ஆகும். அதைப் போலவே, &lt;math&gt;S&lt;/math&gt; இலிருந்து முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களுக்கும் வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகளின் அடிப்புள்ளிகளால் உருவாகும் [[பாத முக்கோணம்|பாத முக்கோணமும்]] சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.&lt;ref name=&quot;casjo&quot;&gt;{{harvtxt|Casey|1893}}; {{harvtxt|Johnson|1917}}.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{harvtxt|Carver|1956}}.&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;ABC&lt;/math&gt; முக்கோணத்தினுள் வரையப்படும் சமபக்க முக்கோணங்களில் மிகக் குறைந்த பரப்பளவு கொண்டது பாத முக்கோணம் ஆகும்.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Moon|2010}}.&lt;/ref&gt;
 
 ==வரையும் முறை==
 
 ===அப்பலோனியஸ் வட்டங்களின் வெட்டும்புள்ளிகளாக===
 *&lt;math&gt;ABC&lt;/math&gt; முக்கோணத்தின் உச்சிக்கோணம் &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; இன் உட்கோண மற்றும் வெளிக்கோண இருசமவெட்டிகள் வரைந்து கொள்ள வேண்டும் 
 *இக்கோண இருசமவெட்டிகள் இரண்டும் முக்கோணத்தின் பக்கம் &lt;math&gt;BC&lt;/math&gt; ஐ வெட்டும் இரு புள்ளிகள் காண வேண்டும்.
 *இவ்விரு புள்ளிகளையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை [[விட்டம்|விட்டமாகக்]] கொண்ட வட்டம் வரைய வேண்டும்.
 *இவ்வட்டமே முக்கோணத்தின் உச்சி &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; இன் வழிச் செல்லும் அப்பலோனியஸ் வட்டம் ஆகும்.
 *இவ்வாறு மற்றொரு உச்சி வழியாகச் செல்லும் இரண்டாவது அப்பலோயஸ் வட்டம் வரைய வேண்டும்.
 * இவ்விரு வட்டங்களும் வெட்டிக்கொள்ளும் இருபுள்ளிகளே முக்கோணத்தின் சமவிசைசார் புள்ளிகளாகும். &lt;ref name=&quot;botjo&quot;/&gt;
 
 ===முக்கோணத்தின் எதிரொளிப்பையும் உட்புற-வெளிப்புறமான சமபக்க முக்கோணம் மூலமாக===
 [[File:Isodynamic from reflections.svg|thumb|முக்கோணத்தின் எதிரொளிப்பு மற்றும் உட்புறமாக வரைப்படும் சமபக்க முக்கோணம் மூலமாக சமவிசைசார் புள்ளியை வரைதல்.]]
 
 *முக்கோணத்தின் பக்கம் &lt;math&gt;BC&lt;/math&gt; இல் உச்சி &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; இன் எதிரொளிப்பு &lt;math&gt;A'&lt;/math&gt; காண வேண்டும். (&lt;math&gt;B&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; ஐ மையங்களாகக் கொண்டு &lt;math&gt;A&lt;/math&gt;) வழியே செல்லும் வட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளி)
 * &lt;math&gt;BC&lt;/math&gt; ஐ ஒரு பக்கமாகக் கொண்டு உட்புறமாக ஒரு சமபக்க முக்கோணம் வரையப்படுகிறது.
 * இம்முக்கோணத்தின் உச்சி  &lt;math&gt;A''&lt;/math&gt; 
 * இதேபோல முக்கோணத்தின் மற்ற இரு உச்சிகளுக்கும் &lt;math&gt;B', B''&lt;/math&gt; &lt;math&gt;C', C''&lt;/math&gt; புள்ளிகள் காணப்படுகின்றன.
 *&lt;math&gt;A'A''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;B'B''&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;C'C''&lt;/math&gt; கோடுகள் மூன்றும் முதல் சமவிசைசார் புள்ளியின் சந்திக்கின்றன.
 *இரண்டாவது சமவிசைசார் புள்ளிகள் சமபக்க முக்கோணத்தை வெளிப்புறமாக வரைவதன் மூலம் இரண்டாவது சமவிசைசார் புள்ளி காணப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Evans|2002}}.&lt;/ref&gt;
 
 ===முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகள் மூலமாக===
 சமவிசைசார் புள்ளிகளின் முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகள் மூலமாக அவற்றைக் காணலாம்&lt;ref&gt;{{harvtxt|Kimberling|1993}}.&lt;/ref&gt;
 
 :முதல் சமவிசைசார் புள்ளியின் முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகள்:
 :&lt;math&gt;\sin(A + \pi/3) : \sin(B + \pi/3) : \sin(C + \pi/3).&lt;/math&gt; இதன் மூலமாக முதல் சமவிசைசார் புள்ளியின் இருப்பிடத்தையும்;
 
 :இரண்டாவது சமவிசைசார் புள்ளியின் முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகள்:
 ::&lt;math&gt;\sin(A - \pi/3) : \sin(B - \pi/3) : \sin(C - \pi/3).&lt;/math&gt; மூலமாக இரண்டாவது சமவிசைசார் புள்ளியின் இருப்பிடத்தையும் காணலாம்.
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist|colwidth=30em}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{refbegin|colwidth=30em}}
 *{{citation
  | last = Bottema
  | first = Oene
  | edition = 2nd
  | isbn = 9780387781303
  | page = 108
  | publisher = Springer
  | title = Topics in elementary geometry
  | url = http://books.google.com/books?id=oznMpzdFsWYC&amp;pg=PA108
  | year = 2008
  }}.
 *{{citation
  | last = Carver | first = Walter B.
  | issue = 9
  | journal = American Mathematical Monthly
  | jstor = 2309843
  | pages = 32–50
  | title = Some geometry of the triangle
  | volume = 63
  | year = 1956}}.
 *{{citation
  | last = Casey
  | first = John
  | page = 303
  | publisher = Hodges, Figgis, &amp; Co.
  | series = Dublin University Press series
  | title = A treatise on the analytical geometry of the point, line, circle, and conic sections: containing an account of its most recent extensions, with numerous examples
  | url = http://books.google.com/books?id=Ah5IAAAAIAAJ&amp;pg=PA303
  | year = 1893
  }}.
 *{{citation
  | last = Evans
  | first = Lawrence S.
  | journal = Forum Geometricorum
  | mr = 1907780
  | pages = 67–70
  | title = A rapid construction of some triangle centers
  | url = http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200109.pdf
  | volume = 2
  | year = 2002
  }}.
 *{{citation
  | last = Eves
  | first = Howard Whitley
  | author-link = Howard Eves
  | isbn = 9780867204759
  | pages = 69–70
  | publisher = Jones &amp; Bartlett Learning
  | title = College geometry
  | url = http://books.google.com/books?id=B81gnTjNazMC&amp;pg=PA69
  | year = 1995
  }}.
 *{{citation
  | last1 = Iannaccone
  | first1 = Andrew
  | last2 = Walden
  | first2 = Byron
  | publisher = Harvey Mudd College Department of Mathematics
  | title = The Conformal Center of a Triangle or a Quadrilateral
  | url = http://www.math.hmc.edu/seniorthesis/archives/2003/aiannacc/aiannacc-2003-thesis.pdf
  | year = 2003
  | accessdate = 2015-06-22
  | archive-date = 2015-10-25
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20151025233710/https://www.math.hmc.edu/seniorthesis/archives/2003/aiannacc/aiannacc-2003-thesis.pdf
  | url-status = dead
  }}.
 *{{citation
  | last = Johnson | first = Roger A.
  | issue = 7
  | journal = American Mathematical Monthly
  | jstor = 2973552
  | pages = 313–317
  | title = Directed angles and inversion, with a proof of Schoute's theorem
  | volume = 24
  | year = 1917}}.
 *{{citation
  | last = Kimberling | first = Clark | authorlink = Clark Kimberling
  | doi = 10.1007/BF01855873
  | issue = 2-3
  | journal = Aequationes Mathematicae
  | mr = 1212380
  | pages = 127–152
  | title = Functional equations associated with triangle geometry
  | volume = 45
  | year = 1993}}.
 *{{citation
  | last = Moon
  | first = Tarik Adnan
  | issue = 6
  | journal = Mathematical Reflections
  | title = The Apollonian circles and isodynamic points
  | url = http://awesomemath.org/wp-content/uploads/reflections/2010_6/Isodynamic_moon_c.pdf
  | year = 2010
  | accessdate = 2015-06-22
  | archive-date = 2013-04-20
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20130420164948/http://awesomemath.org/wp-content/uploads/reflections/2010_6/Isodynamic_moon_c.pdf
  | url-status = dead
  }}.
 *{{citation
  | last = Neuberg
  | first = J.
  | author-link = Joseph Jean Baptiste Neuberg
  | journal = Mathesis (journal)
  | language = French
  | pages = 202–204, 217–221, 265–269
  | title = Sur le quadrilatère harmonique
  | url = http://books.google.com/books?ei=CdVoT4LIBIabiAL3gvCiBw&amp;id=LhFOAAAAMAAJ
  | volume = 5
  | year = 1885
  }}. The definition of isodynamic points is in a footnote on page 204.
 *{{citation
  | last = Rigby | first = J. F.
  | doi = 10.1007/BF01230612
  | issue = 1-2
  | journal = Journal of Geometry
  | mr = 963992
  | pages = 129–146
  | title = Napoleon revisited
  | volume = 33
  | year = 1988}}. The discussion of isodynamic points is on pp. 138–139. Rigby calls them &quot;Napoleon points&quot;, but that name more commonly refers to a different triangle center, the point of concurrence between the lines connecting the vertices of Napoleon's equilateral triangle with the opposite vertices of the given triangle.
 *{{citation
  | last = Wildberger | first = N. J.
  | contribution = Neuberg cubics over finite fields
  | doi = 10.1142/9789812793430_0027
  | mr = 2484072
  | pages = 488–504
  | publisher = World Sci. Publ., Hackensack, NJ
  | series = Ser. Number Theory Appl.
  | title = Algebraic geometry and its applications
  | volume = 5
  | year = 2008}}. See especially [http://books.google.com/books?id=bKUQ-JpsbKEC&amp;pg=PA498 p. 498].
 {{refend}}
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 *[http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X15 Isodynamic points X(15) and X(16)] in the Encyclopedia of Triangle Centers, by Clark Kimberling
 *{{mathworld|title=Isodynamic Points|urlname=IsodynamicPoints}}