முக்கோணவியல் சார்புகள்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''முக்கோணவியல் சார்புகள்''' (''trigonometric functions'') என்பவை [[கோணம்|கோணங்களின்]] [[சார்பு]]கள் ஆகும். இவை '''வட்டச் சார்புகள்''' (''circular functions'') எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. இவை ஒரு [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தின்]] கோணங்களையும் பக்கங்களையும் தொடர்புபடுத்துகின்றன. ஆறு அடிப்படை [[முக்கோணவியல்]] சார்புகள் உள்ளன. இவற்றுள் முக்கியமான மூன்று சார்புகள்: ''[[சைன் (முக்கோணவியல்)|Sine]]'', ''காஸ்'' என அழைக்கப்படும் ''[[கோசைன் (முக்கோணவியல்)|Cosine]]'' மற்றும் ''டேன்'' என அழைக்கப்படும் ''[[டேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்)|Tangent]]''. முக்கோணவியல் சார்புகள் ஒரு [[முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள்|செங்கோண முக்கோணம்]] அல்லது ஓரலகு [[வட்டம்|வட்டத்தின்]] வாயிலாக [[வரையறை|வரையறுக்கப்படுகின்றன]]. மேலும் இவற்றை முடிவிலாத் தொடர்களாகவும் [[வகையீட்டுச் சமன்பாடு|வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின்]] தீர்வுகளாகவும் விவரிக்கலாம்.
 
 முக்கோணவியல் சார்புகள், முக்கோணங்களின் (பெரும்பாலும் செங்கோண முக்கோணங்கள்) தரப்படாத கோணங்கள் மற்றும் பக்கங்களின் அளவுகளைக் கணக்கிடப் பயன்படுகின்றன. கடல்வழிப்பயண வழிகாட்டல், [[பொறியியல்]] மற்றும் [[இயற்பியல்|இயற்பியலில்]] இவற்றுக்கு முக்கிய பயன்பாடு உள்ளது. இயற்பியலில் ஒரு [[திசையன்|வெக்டரை]] இரு கார்ட்டீசியன் அச்சுத்திசைகளில் பிரிப்பதற்கு இவை பயன்படுகின்றன. ஒலி மற்றும் ஒளி அலைகள், பகலின் நீளம், ஒரு வருடத்தின் சராசரி வெப்ப அளவு போன்ற [[காலமுறைச் சார்பு]]களின் தோற்றப்பாடுகளைப் பற்றி அறிந்து கொள்ள சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
 
 == வரையறை-செங்கோண முக்கோணத்தில் ==
 [[படிமம்:Trigonometry triangle.svg|right|250px|செங்கோண முக்கோணம்.]]
 [[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள்|வடிவொத்த முக்கோணங்களின்]] ஒத்தபக்கங்களின் [[விகிதம்|விகிதங்கள்]] சமமாக இருக்கும் என்ற உண்மையிலிருந்து, ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க [[நீளம்|நீளங்களுக்கும்]] கோண அளவுகளுக்கும் தொடர்பு இருக்கும் என்ற கருத்து அறியப்படுகிறது. இரு [[செங்கோண முக்கோணம்|செங்கோண முக்கோணங்களில்]] ஒன்றின் [[செம்பக்கம்]] மற்றதன் செம்பக்க நீளத்தைப் போல இருமடங்கு எனில் மற்ற பக்கங்களும் அவ்வாறே அமையும். இந்த பக்க விகிதங்களைத்தான் முக்கோணவியல் சார்புகள் தருகின்றன.
 
 ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கோணம் ''A'' -ன் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்க அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைப் பின்வருமாறு அழைக்கலாம்:
 
 * ''செம்பக்கம்'' (அல்லது கர்ணம்) (''hypotenuse''):
 
 செங்கோணத்திற்கு எதிர்ப்பக்கம். இதன் அளவு &amp;nbsp;'''h'''. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செம்பக்கம்தான் மூன்று பக்கங்களிலும் நீளமானது.
 
 * ''எதிர்ப்பக்கம்'' (''opposite''):
 
 நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் ''A'' -க்கு எதிரில் அமையும் பக்கம். இதன் நீளம் &amp;nbsp;'''a'''.
 
 * ''அடுத்துள்ள பக்கம்'' (''adjacent''):
 
 [[செங்கோணம்]] மற்றும் நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் இரண்டிற்கும் ( ''A'' மற்றும் ''C'') பொதுவான பக்கம். இதன் நீளம் &amp;nbsp;'''b'''.
 
 {| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;background-color:#fff&quot;
 |-
 ! சார்பு
 ! சுருக்கம்
 ! வரையறை
 ! முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள்(ரேடியன்களில்)
 |-
 ! சைன்(sine)
 | sin
 |align=center|எதிர்ப்பக்கம்&amp;nbsp;/ செம்பக்கம்  
 | &lt;math&gt;\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\csc \theta}&lt;/math&gt;
 |-
 ! கோசைன்(cosine)
 | cos
 |align=center|அடுத்துள்ளபக்கம்&amp;nbsp;/ செம்பக்கம்  
 | &lt;math&gt;\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\sec \theta}\,&lt;/math&gt;
 |-
 ! டேன்ஜெண்ட்(Tangent)
 | tan (or&amp;nbsp;tg)
 |align=center|எதிர்ப்பக்கம்&amp;nbsp;/ அடுத்துள்ளபக்கம் 
 | &lt;math&gt;\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\cot \theta} &lt;/math&gt;
 |-
 ! கோடேன்ஜெண்ட்(Cotangent)
 | cot (or&amp;nbsp;ctg or&amp;nbsp;ctn)
 |align=center|அடுத்துள்ளபக்கம்&amp;nbsp;/ எதிர்ப்பக்கம் 
 | &lt;math&gt;\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\tan \theta} &lt;/math&gt;
 |-
 ! சீக்கெண்ட்(Secant)
 | sec
 |align=center|செம்பக்கம்&amp;nbsp;/ அடுத்துள்ளபக்கம்  
 | &lt;math&gt;\sec \theta = \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\cos \theta} &lt;/math&gt;
 |-
 ! கோசீக்கெண்ட்(Cosecant)
 | csc (or&amp;nbsp;cosec)
 |align=center|செம்பக்கம்&amp;nbsp;/ எதிர்ப்பக்கம்  
 | &lt;math&gt;\csc \theta = \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) = \frac{1}{\sin \theta} &lt;/math&gt;
 |}{{clearright}}
 [[படிமம்:Periodic sine.svg|thumb|(மேற்புறம்): நான்கு காற்பகுதிகளில் அமையும் ''θ'', ''π''&amp;nbsp;−&amp;nbsp;''θ'', ''π''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''θ'' மற்றும் 2''π''&amp;nbsp;−&amp;nbsp;''θ'' கோணங்களுக்கு சைன் சார்பு.(கீழே): சைன் சார்பின் [[சார்பின் வரைபடம்|வரைபடம்]].]]
 [[யூக்ளிட்|யூக்ளிடின்]] [[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]], முக்கோணத்தின் அடிப்படைப் பண்பின்படி, ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உட்கோண அளவுகளின் கூடுதல் 180° (π [[ரேடியன்]]). எனவே ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், செங்கோணமல்லாத மற்ற இரு கோணங்களின் கூடுதல் 90° (π/2 ரேடியன்). இவ்விரு கோணங்களின் அளவுகள் (0°,90°) இடைவெளியில் அமையும். கீழே தரப்பட்டுள்ள வரையறைகள் 
 (0°, -90°) இடைவெளியில் அமையும் கோணங்களுக்கும் பொருந்தும். ஓரலகு வட்டத்தின் வாயிலாக அல்லது குறிப்பிட்ட சமச்சீர்த்தன்மை காரணமாக சார்புகள் காலமுறைச் சார்புகளாக இருக்கும்போது, இந்த வரையறைகளை முழு [[எண்#மெய்யெண்கள்|மெய்க்கோண]] அளவுகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டாக:
 
 படத்தில் sin&amp;nbsp;''θ'' -ன் மதிப்பு, ''θ'', ''π''&amp;nbsp;−&amp;nbsp;''θ'', ''π''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''θ'' மற்றும் 2''π''&amp;nbsp;−&amp;nbsp;''θ'' ஆகிய கோணங்களுக்கு, படத்தின் மேற்புறத்தில் ஓரலகு வட்டத்திலும் கீழ்ப்புறம் வரைபடத்திலும் காட்டப்பட்டுள்ளது.
 
 சைன் சார்பின் மதிப்பு நான்கு காற்பகுதிகளிலும் மீண்டும் மீண்டும் ஒரே மதிப்பைக் (குறி நீங்கலாக) கொண்டுள்ளது. சுழற்சிகளின் மூலம் ''θ'' -ன் மதிப்பு நீட்டிக்கப்பட்டால், கால அளவு &amp;nbsp;2''π'' கொண்டு சைன் சார்புக்கு இதே மதிப்புகள் அமையும்.
 
 === சைன், கொசைன், டேன்ஜெண்ட் ===
 [[படிமம்:Unitcircledefs.svg|250px|thumb|right|ஓரலகு வட்டத்தில் சைன், டேன்ஜெண்ட், சீக்கெண்ட் சார்புகளின் வடிவியல் தோற்றம்]]
 [[படிமம்:Unitcirclecodefs.svg|250px|thumb|right|ஓரலகு வட்டத்தில் கொசைன், கோடேன்ஜெண்ட், கொசீக்கெண்ட் சார்புகளின் வடிவியல் தோற்றம்]]
 
 * சைன்:
 
 செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் சைன் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம் மற்றும் செம்பக்கத்தின் விகிதமாகும்.சைன் என்ற பெயர் விரிகுடா என்ற பொருளுடைய சைனஸ் (''sinus'') எனும் [[இலத்தீன்]] வார்த்தையிலிருந்து தோன்றியது.&lt;ref&gt;Oxford English Dictionary, sine, ''n.''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/ref&gt;,
 
 :&lt;math&gt;\sin A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {a} {h}.&lt;/math&gt;
 ஒரு செங்கோண முக்கோணம் ''A'' கோணத்தைக் கொண்டதாய் அமைந்தால் போதும், அம்முக்கோணத்தின் அளவினை இவ்விகிதம் சார்ந்திருப்பதில்லை. ஏனென்றால் அவ்வாறு அமையும் செங்கோண முக்கோணங்கள் எல்லாம் வடிவொத்த முக்கோணங்களாக அமையும்.
 
 * கோசைன்:
 செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் அடுத்துள்ளபக்கம் மற்றும் செம்பக்கத்தின் விகிதமாகும். எடுத்துக்கொள்ளப்படும் கோணத்தின் [[நிரப்புக் கோணங்கள்|நிரப்புக்கோணத்தின்]] சைன் மதிப்பிற்குச் சமமாக அமைவதால் கோசைன்(கோ-சைன்) என்று பெயர்பெற்றுள்ளது.&lt;ref&gt;Oxford English Dictionary, cosine, ''n.''&lt;/ref&gt;.
 
 :&lt;math&gt;\cos A = \frac {\textrm{adjacent}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {b} {h}.&lt;/math&gt;
 
 * டேன்ஜெண்ட்:
 செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் டேன்ஜெண்ட் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம் மற்றும் அடுத்துள்ளபக்கத்தின் விகிதமாகும்.
 
 பெயர்க் காரணம்: 
 இம்மதிப்பை ஓரலகு வட்டத்தின் [[தொடுகோடு|தொடுகோட்டுத்துண்டாகக்]] குறிக்க முடியும் என்பதால் தொடும் கோடு என்ற பொருள்படும் ''linea tangens'' அல்லது தொடுவதற்கு என்ற பொருள்படும் ''tangere'' லத்தீன் மொழிச் சொற்களில் இருந்து இப்பெயர்பெற்றது.&lt;ref&gt;Oxford English Dictionary, tangent, ''adj. and n.''&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;\tan A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{adjacent}} = \frac {a} {b}.&lt;/math&gt;
 
 === தலைகீழிச் சார்புகள் ===
 
 மீதமுள்ள மூன்று சார்புகளையும் முதல் மூன்று சார்புகளின் [[தலைகீழிச் சார்புகள் (முக்கோணவியல்)|தலைகீழிச் சார்புகளாகக்]] காணலாம்.
 
 * கோசீக்கெண்ட்:
 
 csc(''A''), அல்லது cosec(''A'') என்பது sin(''A'') -ன் [[தலைகீழி]]யாகும்.
 
 :&lt;math&gt;\csc A = \frac {1}{\sin A} = \frac {\textrm{hypotenuse}} {\textrm{opposite}} = \frac {h} {a}. &lt;/math&gt;
 
 * சீக்கெண்ட்:
 
 sec(''A'') என்பது cos(''A'') -ன் தலைகீழியாகும்.
 
 :&lt;math&gt;\sec A = \frac {1}{\cos A} = \frac {\textrm{hypotenuse}} {\textrm{adjacent}} = \frac {h} {b}. &lt;/math&gt;
 
 பெயர்க் காரணம்: இவ்விகிதத்தை ஓரலகு வட்டத்தை [[வெட்டுக்கோடு|வெட்டுக் கோட்டின்]] மூலம் குறிக்கமுடியும் என்பதால், வெட்டுவதற்கு என்ற பொருள்படும் லத்தீன் மொழிச் சொல் ''secare'' ஆகும்.&lt;ref&gt;Oxford English Dictionary, secant, ''adj.'' and ''n.''&lt;/ref&gt;.
 
 * கோடேன்ஜெண்ட்:
 
 cot(''A'') என்பது tan(''A'') -ன் தலைகீழி.
 :&lt;math&gt;\cot A = \frac {1}{\tan A} = \frac {\textrm{adjacent}} {\textrm{opposite}} = \frac {b} {a}. &lt;/math&gt;
 
 == வரையறை- சாய்வு வாயிலாக ==
 செங்கோண முக்கோணங்களின் மூலம் வரையறுப்பது போல ஒரு கிடைமட்டக்கோட்டுடன் தொடர்புடைய ஒரு கோட்டுத்துண்டின் ''எழுச்சி'' (rise), ''ஓட்டம்''(run), [[சாய்வு]] ஆகியவற்றின் மூலமாகவும் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்கலாம்.
 
 எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 1 அலகு என்க. அக்கோட்டுத்துண்டு ஒரு குறிப்பிட்ட கிடைமட்டக்கோட்டுடன் உருவாக்கும் கோணம் ''A'' என்க. இக்கோணத்தின்:
 
 * சைன் மதிப்பு கோட்டுத்துண்டின் செங்குத்தான எழுச்சியின் அளவுக்குச் சமம். 
 :SinA = எழுச்சி
 
 * கொசைன் மதிப்பு கோட்டுத்துண்டின் கிடைமட்ட ஓட்டத்தின் அளவுக்குச் சமம். 
 :CosA = ஓட்டம்.
 
 * டேன்ஜெண்ட் மதிப்பு கோட்டுத்துண்டின் சாய்வுக்குச் சமம்
 :.tanA= சாய்வு = எழுச்சி / ஓட்டம்.
 
 கோட்டுத்துண்டின் நீளம் சாய்வின் மதிப்பை பாதிப்பதில்லை. ஆனால் எழுச்சி மற்றும் ஓட்டத்தின் மதிப்புகள் கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தைச் சார்ந்துள்ளன. கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 1 அலகாக இல்லையென்றால் குறிப்பிட கோணத்தில் அக்கோட்டுத்துண்டின்
 
 * எழுச்சியைக் காண கோணத்தின் சைன் மதிப்பை கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தாலும், 
 * ஓட்டத்தின் மதிப்பைக் காண கோசைன் மதிப்பை கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தாலும் பெருக்கிக் கொள்ள வேண்டும்.
 
 எடுத்துக்காட்டாக:
 
 கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 5 அலகுகள் எனில் 7° கோணத்தில் அக்கோட்டுத்துண்டின்:
 
 எழுச்சி = 5&amp;nbsp;sin(7°)
 
 ஓட்டம் = 5&amp;nbsp;cos(7°)
 
 == வரையறை- ஓரலகு வட்டம் வாயிலாக ==
 [[படிமம்:Unit circle angles color.svg|right|thumb|300px|ஓரலகு வட்டம்]]
 ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளையும் ஓரலகு வட்டத்தைக் கொண்டு வரையறுக்கலாம். [[ஓரலகு வட்டம்]] என்பது ஆதிப்புள்ளியை மையமாகவும் [[ஆரம்]] 1 அலகும் கொண்ட வட்டமாகும். நடைமுறைக் கணக்கீடுகளுக்கு ஓரலகு வட்டத்தின் மூலமான வரையறை அவ்வளவாகப் பொருந்தாவிடினும், (0, π/2 ) -ல் அமையும் கோணங்களுக்கு மற்றுமல்லாது அனைத்து மெய்யளவு கோணங்களுக்கும் பொருத்தமாக அமையும். மேலும் ஒரே படத்தின் மூலம் அனைத்து முக்கியமான கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகளின் மதிப்புகளையும் காண முடிகிறது. [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தேகோரசு தேற்றத்தின்படி]] ஓரலகு வட்டத்தின் [[சமன்பாடு]]: 
 : &lt;math&gt;x^2 + y^2 = 1. \, &lt;/math&gt;
 
 படத்தில் வழக்கமாக பயன்படும் கோணங்கள் (ரேடியனில்) தரப்பட்டுள்ளன. கோணங்கள் கடிகாரதிசையில் அளக்கப்பட்டால் எதிர்மமாகவும், கடிகார திசைக்கு எதிராக அளக்கப்பட்டால் நேர்மமாகவும் அமையும்.
 
 ''x''-அச்சின் நேர்மப் பகுதியோடு, ஆதிப்புள்ளியில் ''θ'' கோணம் உண்டாக்கும் ஒரு கோடு ஓரலகு வட்டத்தை சந்திக்கிறது என்க. அந்த சந்திக்கும் புள்ளியின் ''x''- மற்றும் ''y''-அச்சுதூரங்கள் முறையே cos&amp;nbsp;''θ'' மற்றும் sin&amp;nbsp;''θ'' -க்குச் சமம். செங்கோண முக்கோண முறை வரையறைப்படியும் இதை உணரலாம். வெட்டும் புள்ளியின் அச்சுதூரங்கள்: (x, y) என்க. ஓரலகு வட்டத்தின் ஆரம் செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம். எனவே செம்பக்கத்தின் அளவு 1 அலகு.
 
 :sin&amp;nbsp;''θ''&amp;nbsp; = &amp;nbsp;''y'' / 1 = &amp;nbsp;''y''
 :cos&amp;nbsp;''θ''&amp;nbsp; = &amp;nbsp;''x'' / 1 = &amp;nbsp;''x'' .
 
 செம்பக்கத்தின் அளவை மாற்றாமல் 1 அலகாகக் கொண்டு மற்ற இரு பக்க அளவுகளை மாற்றுவதன் மூலம் கிடைக்கக்கூடிய எண்ணிலிடங்கா செங்கோண முக்கோணங்களை ஓரலகு வட்டத்தில் காணலாம்.
 
 ஓரலகு வட்டத்திலிருந்து நேரிடையாக சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகள் மட்டுமே வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. மற்ற நான்கு சார்புகளையும் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:
 
 : &lt;math&gt;
 \begin{align}
 \tan\theta &amp; = \frac{\sin\theta}{\cos\theta},\ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta} \\
 \sec\theta &amp; = \frac{1}{\cos\theta},\ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 [[படிமம்:Circle-trig6.svg|right|thumb|300px|''&amp;theta;'' கோணத்தின் அனைத்து முக்கோணவியல் சார்புகளும் வடிவியல் வரைமுறையில் ஓரலகு வட்டத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.இப்பொழுது இவை அரிதாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.]]
 மாறாக ஆறு சார்புகளையும் ஓரலகு வட்டத்தின் மூலம் நேரிடையாக ''வடிவவியல் முறையில்'' வரையறுக்கலாம்.
 
 [[நாண் (வடிவவியல்)#வட்டநாண்|வட்டநாண்]] ''AB'' வட்டமையத்தில் தாங்கும் கோணத்தில் பாதியளவு ''θ''.
 
 * sin(''θ'') = ''AC'' (நாணில் பாதியளவு), இது பண்டைய [[இந்தியா|இந்திய]] [[கணிதவியலாளர்]] அறிமுகப்படுத்திய வரையறை.&lt;ref&gt;name=boyer&lt;/ref&gt; 
 * cos(''θ'') = கிடைமட்டதூரம் ''OC''
 * tan(''θ'') = ''AE'', ''A'' வழியாக ஓரலகு வட்டத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோட்டுத்துண்டின் நீளம். 
 * cot(''θ'') = ''AF''. மற்றுமொரு தொடுகோட்டுத்துண்டு, 
 * sec(''θ'')&amp;nbsp; = &amp;nbsp;''OE'' 
 * csc(''θ'')&amp;nbsp; = &amp;nbsp;''OF''
 
 இவ்வரைமுறையிருந்து ''θ'' -ன் அளவு, π/2 -ஐ நெருங்கும்போது [[சீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்)|சீக்கெண்ட்]] மற்றும் டேன்ஜெண்ட் சார்புகள் விரிவதையும், [[பூச்சியம்|பூச்சியத்தை]] நெருங்கும்போது [[கோசீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்)|கோசீக்கெண்ட்]] மற்றும் [[கோடேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்)|கோடேன்ஜெண்ட்]] சார்புகள் விரிவதையும் காணமுடியும்.(இதேபோன்று பல வடிவியல் வரைமுறைகளின் மூலம் முக்கோணவியல் அடிப்படை முற்றொருமைகளை நிறுவலாம்.&lt;ref&gt;See Maor (1998)&lt;/ref&gt;)
 {{clr}}
 
 == தொடர்களின் வடிவில் ==
 [[படிமம்:Taylorsine.svg|300px|thumb|right|ஆதியை மையமாகக் கொண்ட முழு வட்டத்திற்கு, சைன் சார்பு (நீலம்), அதன் டெயிலரின் பல்லுறுப்புக்கோவையால் (படி-7) (பிங்க்)  தோராயப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.]]
 
 டெயிலரின் விரிவுக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்திப் பின்வரும் முற்றொருமைகள், எல்லா மெய்யெண்கள் ''x'' -க்கும் உண்மையெனக் காட்டலாம்.&lt;ref&gt;See Ahlfors, pages 43–44.&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \sin x &amp; = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\
 &amp; = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \\
 \cos x &amp; = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
 &amp; = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 சிலசமயங்களில் இம்முற்றொருமைகள் சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளின் வரையறைகளாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகின்றன. இவ்விரண்டு விரிவுகளையும் சேர்த்தால் [[ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு]] கிடைக்கும்.
 
 : cos ''x'' + ''i'' sin ''x'' = ''e''&lt;sup&gt;''ix''&lt;/sup&gt;.
 
 மற்ற முக்கோணவியல் சார்புகளின் விரிவுகளையும் காணமுடியும்.&lt;ref&gt;Abramowitz; Weisstein.&lt;/ref&gt;
 
 : ''B''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;:   n -ஆம் [[டேனியல் பெர்னூலி|பெர்னெளலியின்]] எண்
 : ''E''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;:   ''n'' -ஆம் ஆய்லரின் எண்
 
 : &lt;math&gt;
 \begin{align}
 \tan x &amp; {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1} x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
 &amp; {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
 &amp; {} = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots, \qquad \text{for } |x| &lt; \frac{\pi}{2}.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;
 \begin{align}
 \csc x &amp; {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 (2^{2n-1}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
 &amp; {} = x^{-1} + \frac{1}{6}x + \frac{7}{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots, \qquad \text{for } 0 &lt; |x| &lt; \pi.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;
 \begin{align}
 \sec x &amp; {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n} x^{2n}}{(2n)!}
 = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!} \\
 &amp; {} = 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots, \qquad \text{for } |x| &lt; \frac{\pi}{2}.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;
 \begin{align}
 \cot x &amp; {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} \\
 &amp; {} = x^{-1} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots, \qquad \text{for } 0 &lt; |x| &lt; \pi.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 == வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் வாயிலாக ==
 
 சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகள் இரண்டுமே பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்.:
 : &lt;math&gt;y'' = -y.\,&lt;/math&gt;
 
 * &lt;math&gt;\scriptstyle \left( y'(0),   y(0) \right) = (1, 0)\,&lt;/math&gt; என்ற ஆரம்ப நிபந்தனையை நிறைவு செய்யும் தனித்த தீர்வு சைன் சார்பு,
 * &lt;math&gt;\scriptstyle \left( y'(0),   y(0) \right) = (0, 1)\,&lt;/math&gt;என்ற ஆரம்ப நிபந்தனையை நிறைவு செய்யும் தனித்த தீர்வு கோசைன் சார்பு.
 * &lt;math&gt;y' = 1 + y^2\,&lt;/math&gt; என்ற வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் தனித்த தீர்வு டேன்ஜெண்ட் சார்பு
 
 இது நிறைவு செய்யும் நிபந்தனை ''y''(0) = 0. டேன்ஜெண்ட் சார்பு இந்த வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும் என்பதற்கான [[கணித நிறுவல்|நிறுவல்]] உள்ளது.&lt;ref&gt;{{cite book|isbn= 0198534469|title=Visual Complex Analysis|last=Needham|first=p}}&lt;/ref&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 * [http://www.visionlearning.com/library/module_viewer.php?mid=131&amp;l=&amp;c3= Visionlearning Module on Wave Mathematics]
 * [http://glab.trixon.se/ GonioLab] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071006172054/http://glab.trixon.se/ |date=2007-10-06 }}: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
 * [http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ Dave's draggable diagram.] (Requires java browser plugin)
 
 [[பகுப்பு:முக்கோணவியல்]]
 [[பகுப்பு:முக்கோணவியல் சார்புகள்]]