பரவற்படி
[[புள்ளியியல்]] மற்றும் [[நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு|நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில்]] '''பரவற்படி''' அல்லது '''மாறுபாட்டெண்''' என்பது (''variance''),  ஒரு எண்தரவு எந்தளவு பரந்து கிடக்கிறது என்பதை அளவிடுகிறது. ஒரு எண்தரவின் பரவற்படி [[சுழி]] எனில் அத்தரவின் உறுப்பெண்கள் எல்லாம் சமமானவை ஆகும்.
 
 சுழியல்லா பரவற்படியின் மதிப்பு எப்போதும் நேர் எண்ணாகவே அமையும். பரவற்படியின் மதிப்பு சிறியதாக இருந்தால் அத் தரவின் உறுப்புகள் தரவின் [[சராசரி]]க்கும் ([[எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு]]), தமக்குள்ளாகவும் நெருக்கமாக  அமைந்திருக்கும்; பரவற்படியின் மதிப்பு பெரியதாக இருந்தால், தரவின் உறுப்புகள் சராசரியிலிருந்தும் தமக்குள்ளாகவும் கூடுதலாக விலகி அமைந்திருக்கும். பரவற்படியின் வர்க்கமூலம் [[திட்டவிலக்கம்]] அல்லது [[நியமவிலகல்]] என அழைக்கப்படுகிறது.
 
 ஒரு [[நிகழ்தகவுப் பரவல்|நிகழ்தகவுப் பரவலின்]] விளக்கிகளில் (descriptors) ஒன்றாக பரவற்படி உள்ளது. குறிப்பாக பரவற்படியானது அப் பரவலின் [[மைய விலக்களவு|இரண்டாம் மைய விலக்களவாகும்]]. கண்டறியப்பட்ட முழுத்தொகுதி அல்லது கூறின், நிகழ்தகவுப் பரவலின் தன்மையை விளக்கும் அளவாகப் பரவற்படி உள்ளது.
 
 ==வரையறை==
 [[சமவாய்ப்பு மாறி]]  ''X'' இன் பரவற்படி, அதன் இரண்டாம் மைய விலக்களவு ஆகும். அதாவது சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரி {{nowrap|1 = ''μ'' = E[''X'']}} ஐப் பொறுத்த விலகல்களின் வர்க்கங்களின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பாக பரவற்படி அமையும்:
 : &lt;math&gt; \operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}\left[(X - \mu)^2 \right]. &lt;/math&gt;
 இந்த வரையறை [[தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி]]கள், [[தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி]]கள் மற்றும் இருவிதமாகவும் உள்ள சமவாய்ப்பு மாறிகளுக்குப் பொருந்தும். சமவாய்ப்பு மாறியின் [[உடன்மாறுபாட்டெண்]]ணாகவும் பரவற்படியைக் கொள்ளலாம்:
 : &lt;math&gt;\operatorname{Var}(X) = \operatorname{Cov}(X, X).&lt;/math&gt;
 
 பரவற்படி, Var(''X''), &lt;math&gt;\scriptstyle\sigma_X^2&lt;/math&gt; அல்லது சுருக்கமாக,  σ&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; (வாசிப்பு:சிக்மா ஸ்கொயர்ட்) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. பரவற்படியின் வரையறையைக் கீழ்க்கண்டவாறு விரிக்கலாம்:
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 \operatorname{Var}(X) &amp;= \operatorname{E}\left[X^2 - 2X\operatorname{E}[X] + (\operatorname{E}[X])^2\right] \\
 &amp;= \operatorname{E}\left[X^2\right] - 2\operatorname{E}[X]\operatorname{E}[X] + (\operatorname{E}[X])^2 \\
 &amp;= \operatorname{E}\left[X^2 \right] - (\operatorname{E}[X])^2
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 ===தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி===
 
 தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி ''X'' இன் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு ''f''(''x'') எனில் அதன் பரவற்படி:
 
 :&lt;math&gt;\operatorname{Var}(X) =\sigma^2 =\int (x-\mu)^2 \, f(x) \, dx\, =\int x^2 \, f(x) \, dx\, - \mu^2&lt;/math&gt;
 இதில் வரும், 
 *[[தொகையீடு]]கள் வரையறுத்த தொகையீடுகள் ஆகும். இத் தொகையீட்டின் எல்லைகள், சமவாய்ப்பு மாறி &amp;nbsp;''X'' இன் வீச்சாக அமையும். 
 *எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; இன் வாய்ப்பாடு:
 :&lt;math&gt;\mu = \int x \, f(x) \, dx\, .&lt;/math&gt;
 
 [[கோஷியின் பரவல்]] போன்று எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு கொண்டிராத தொடர் பரவலுக்கு பரவற்படியும் இருக்காது. மேலும் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு கொண்டிராத வேறுபல பரவல்களுக்கு பரவற்படியின் வாய்ப்பாட்டிலுள்ள தொகையீடு விரிவதால், பரவற்படி முடிவுறு எண்ணாக இருக்காது.
 
 ===தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி===
 
 தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி ''X'' இன் [[நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு]] ''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;↦&amp;nbsp;''p''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;...,&amp;nbsp;''x''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;↦&amp;nbsp;''p''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; எனில் அதன் பரவற்படி:
 
 :&lt;math&gt;\operatorname{Var}(X) = \sum_{i=1}^n p_i\cdot(x_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n (p_i\cdot x_i^2) - \mu^2&lt;/math&gt;
 
 இதில் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt; இன் வாய்ப்பாடு:
 :&lt;math&gt;\mu = \sum_{i=1}^n p_i\cdot x_i &lt;/math&gt;.
 
 சம நிகழ்தகவு கொண்ட ''n'' மதிப்புகளின் பரவற்படி: 
 :&lt;math&gt; \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2. &lt;/math&gt;
 
 சம நிகழ்தகவு கொண்ட ''n'' மதிப்புகளின் பரவற்படியை அவற்றின் சராசரியைப் பயன்படுத்தாமலேயே கீழ்க்காண்டவாறு காணமுடியும்:&lt;ref&gt;{{cite conference|authors=Yuli Zhang,Huaiyu Wu,Lei Cheng|title=Some new deformation formulas about variance and covariance|conference=Proceedings of 4th International Conference on Modelling, Identification and Control(ICMIC2012)|year=2012|month=June|pages=987-992}}&lt;/ref&gt; 
 :&lt;math&gt; \operatorname{Var}(X) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{1}{2}(x_i - x_j)^2. &lt;/math&gt;
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 
 ===இயல்நிலைப் பரவல்===
 [[இயல்நிலைப் பரவல்]]  μ மற்றும் σ வைப் பண்பளவைகளாகக் கொண்ட தொடர் பரவலாகும். இப்பரவலின் [[நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு]]:
 :&lt;math&gt;
 f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} }.
 &lt;/math&gt;
 இயல்நிலைப் பரவலின் சராசரி μ மற்றும் பரவற்படி:
 :&lt;math&gt;
 \operatorname{Var}(X) = \int_{-\infty}^\infty \frac{(x - \mu)^2}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \, dx = \sigma^2.
 &lt;/math&gt;
 புள்ளியியலிலும் நிகழ்தகவிலும் பரவற்படி காணப்படுவதற்குக் காரணம் [[மைய எல்லைத் தேற்றம்|மைய எல்லைத் தேற்றத்தில்]] இயல்நிலைப் பரவல் ஏற்கும் பங்காகும்.
 
 ===அடுக்குக்குறிப் பரவல்===
 [[அடுக்குக்குறிப் பரவல்]] [0,∞) [[இடைவெளி (கணிதம்)|இடைவெளியில்]] பண்பளவை  λ கொண்ட தொடர் பரவல் ஆகும். இப்பரவலின் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு:
 
 :&lt;math&gt;f(x) = \lambda e^{-\lambda x},\,&lt;/math&gt;
 
 அடுக்குக்குறிப் பரவலின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு μ = λ&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; மற்றும் அதன் பரவற்படி:
 
 :&lt;math&gt; \operatorname{Var}(X) = \int_0^\infty (x - \lambda^{-1})^2 \, \lambda e^{-\lambda x} dx = \lambda^{-2}.\,&lt;/math&gt;
 
 எனவே அடுக்குறிப் பரவலைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறிக்கு σ&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = μ&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; என அமையும்.
 
 ===பாய்சான் பரவல்===
 [[பாய்சான் பரவல்]] பண்பளவை λ கொண்ட தனித்த பரவலாகும். இப் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:
 
 :&lt;math&gt;p(k) = \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda},&lt;/math&gt; (''k'' = 0, 1, 2, ... )
 
 பாய்சான் பரவலின் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு) μ = λ.
 
 பரவற்படி:
 
 :&lt;math&gt; \operatorname{Var}(X) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda} (k-\lambda)^2 = \lambda,&lt;/math&gt;
 
 எனவே பாய்சான் பரவலைக் கொண்ட சமவாய்ப்பு மாறிக்கு, :σ&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = μ.
 
 ===ஈருறுப்புப் பரவல்===
 [[ஈருறுப்புப் பரவல்]] பண்பளவைகள் ''n'', ''p'' கொண்ட தனித்த பரவல் ஆகும். இப் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:  
 :&lt;math&gt;p(k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k},&lt;/math&gt; (''k'' = 0, 1, 2, ..., ''n'')
 
 இப் பரவலின் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு) μ = ''np''.
 
 பரவற்படி:
 :&lt;math&gt; \operatorname{Var}(X) = \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k} (k-np)^2 = np(1-p),&lt;/math&gt;
 
 ====நாணயம் சுண்டல்====
 &lt;math&gt;p=0.5&lt;/math&gt; கொண்ட ஈருறுப்புப் பரவல் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; முறை ஒரு [[நாணயம் சுண்டல்|நாணயத்தைச் சுண்டும்]]போது &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; முறை ’தலை’ கிடைப்பதற்கான நிகழ்தகவைத் தருகிறது.
 
 ’கிடைக்கும் தலைகளின் எண்ணிக்கை’ என்ற சமவாய்ப்பு மாறியின் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு)  &lt;math alt=&quot;n/2&quot;&gt;\frac{n}{2}&lt;/math&gt;, பரவற்படி &lt;math alt=&quot;n/4&quot;&gt;\frac{n}{4}&lt;/math&gt;.
 
 ===சீரான பகடை===
 ஆறு முகங்கள் கொண்ட சீரான பகடை வீசப்படும்போது கிடைக்கக் கூடிய முடிவுகள் 1, 2, 3, 4, 5, 6. இம் முடிவுகள் கிடைக்கக்கூடிய ஆறு நிகழ்தகவுகளும் சமமானவை ( &lt;math&gt;\textstyle\frac{1}{6}&lt;/math&gt;).
 
 சமவாய்ப்பு மாறியாகப் ’பகடையை வீசும்போது கிடைக்கும் எண்’ எனக் கொண்டால் அச் சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தவுப் பரவல் ஒரு தனித்த பரவலாகும்.
 
 அதன் சராசரி (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு): (1&amp;nbsp;+&amp;nbsp;2&amp;nbsp;+&amp;nbsp;3&amp;nbsp;+&amp;nbsp;4&amp;nbsp;+&amp;nbsp;5&amp;nbsp;+&amp;nbsp;6)/6 =&amp;nbsp;3.5.
 
 பரவற்படி:
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \sum_{i=1}^6 \tfrac{1}{6}(i - 3.5)^2 = \tfrac{1}{6}\sum_{i=1}^6 (i - 3.5)^2 &amp; = \tfrac{1}{6}\left((-2.5)^2{+}(-1.5)^2{+}(-0.5)^2{+}0.5^2{+}1.5^2{+}2.5^2\right) \\
 &amp; = \tfrac{1}{6} \cdot 17.50 = \tfrac{35}{12} \approx 2.92.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 ''n'' முகங்கள் கொண்ட சீரான பகடையை வீசும்போது நிகழும் விளைவு ''X'' இன் பரவற்படி காணும் வாய்ப்பாடு:
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \sigma^2=E(X^2)-(E(X))^2
 &amp;=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i^2-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n i\right)^2 \\
 &amp;=\tfrac 16 (n+1)(2n+1) - \tfrac 14 (n+1)^2\\
 &amp;=\frac{ n^2-1 }{12}.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 ==பண்புகள்==
 
 ===அடிப்படைப் பண்புகள்===
 *எப்பொழுதும் வர்க்கங்கள் சுழி அல்லது எதிர் இல்லா எண்களாக மட்டுமே இருக்கும் என்பதால் பரவற்படி எப்பொழுதும் நேர் எண்ணாகும்.
 :&lt;math&gt;\operatorname{Var}(X)\ge 0.&lt;/math&gt;
 
 *[[மாறிலி (கணிதம்)|மாறிலியாக]] அமையும் சமவாய்ப்பு மாறியின் பரவற்படி சுழியாக இருக்கும். ஒரு தரவின் பரவற்படி சுழி எனில் அத்தரவின் உறுப்புகள் அனைத்தும் சமமான மதிப்புடையவை
 
 :&lt;math&gt;P(X=a) = 1\Leftrightarrow \operatorname{Var}(X)= 0.&lt;/math&gt;
 
 *தரவின் ஒவ்வொரு உறுப்புடனும் ஒரு குறிப்பிட்ட மாறிலி சேர்க்கப்பட்டாலும் அத் தரவின் பரவற்படியில் மாற்றம் இருக்காது.  
 :&lt;math&gt;\operatorname{Var}(X+a)=\operatorname{Var}(X).&lt;/math&gt;
 
 *தரவின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரு குறிப்பிட்ட மாறிலியால் பெருக்கப்பட்டால் அத் தரவின் பரவற்படி, அந்த மாறிலியின் வர்க்கத்தால் பெருக்கப்படும்.  
 :&lt;math&gt;\operatorname{Var}(aX)=a^2\operatorname{Var}(X).&lt;/math&gt;
 
 *இரு சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலின் பரவற்படி:
 :&lt;math&gt;\operatorname{Var}(aX+bY)=a^2\operatorname{Var}(X)+b^2\operatorname{Var}(Y)+2ab\, \operatorname{Cov}(X,Y),&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\operatorname{Var}(X-Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)-2\, \operatorname{Cov}(X,Y),&lt;/math&gt;
 
 இதில் Cov(., .), உடன்பரவற்படியைக் குறிக்கிறது.
 
 பொதுவாக, &lt;math&gt;N&lt;/math&gt; சமவாய்ப்பு மாறிகள் &lt;math&gt;\{X_1,\dots,X_N\}&lt;/math&gt; இன் கூடுதலின் பரவற்படி:
 :&lt;math&gt;\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right)=\sum_{i,j=1}^N\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=\sum_{i=1}^N\operatorname{Var}(X_i)+\sum_{i\ne j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j).&lt;/math&gt;
 
 இந்த முடிவுகளிலிருந்து, நேரியல் சேர்வாக அமையும் சமவாய்ப்பு மாறியின் பரவற்படி:
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \operatorname{Var}\left( \sum_{i=1}^{N} a_iX_i\right) &amp;=\sum_{i,j=1}^{N} a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j) \\
 &amp;=\sum_{i=1}^{N}a_i^2\operatorname{Var}(X_i)+\sum_{i\not=j}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j)\\
 &amp; =\sum_{i=1}^{N}a_i^2\operatorname{Var}(X_i)+2\sum_{1\le i&lt;j\le N}a_ia_j\operatorname{Cov}(X_i,X_j).
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 ===ஒட்டுறவான மாறிகளின் கூடுதல்===
 
 *சமவாய்ப்பு மாறிகள் ஒட்டுறவு கொண்டவையாக இருந்தால் அவற்றின் கூடுதலின் பரவற்படி, அவற்றின் உடன்பரவற்படிகளின் கூடுதலாக இருக்கும்:
 
 :&lt;math&gt;\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^n X_i\right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \operatorname{Cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{1\le i}\sum_{&lt;j\le n}\operatorname{Cov}(X_i,X_j).&lt;/math&gt;
 
 *சமவாய்ப்பு மாறிகள் &lt;math&gt;X_1,\dots,X_N&lt;/math&gt; ஒன்றுக்கொன்று [[ஒட்டுறவு]] இல்லாதவை எனில் (&lt;math&gt;\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=0\ ,\ \forall\ (i\ne j) ,&lt;/math&gt;) அவற்றின் கூடுதலின் பரவற்படி அவற்றின் பரவற்படிகளின் கூடுதலுக்குச் சமம்:
 
 :&lt;math&gt;\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^N X_i\right)=\sum_{i=1}^N\operatorname{Var}(X_i).&lt;/math&gt;
 
 சாரா சமவாய்ப்பு மாறிகள் எப்பொழுதும் ஒட்டுறவு இல்லாதவை என்பதால் அவற்றுக்கு இப்பண்பு பொருந்தும்.
 
 ===சாரா மாறிகளின் பெருக்கல்===
 X மற்றும் Y சாரா சமவாய்ப்பு மாறிகள் எனில் அவற்றின் பெருக்குத்தொகையின் பரவற்படி அவற்றின் பரவற்படிகளின் பெருக்குத்தொகையாக அமையும்.&lt;ref&gt;[[Leo Goodman|Goodman, Leo A.]], &quot;On the exact variance of products,&quot; ''[[Journal of the American Statistical Association]]'', December 1960, 708–713.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Goodman, Leo A., &quot;The variance of the product of K random variables,&quot; ''Journal of the American Statistical Association'', March 1962, 54ff.&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \operatorname{Var}(XY) &amp;= [E(X)]^{2}\operatorname{Var}(Y) + [E(Y)]^{2}\operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(X)\operatorname{Var}(Y) \\
 &amp;= E(X^2) E(Y^2) - [E(X)]^{2} [E(Y)]^{2}.
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{Reflist|30em}}
 
 [[பகுப்பு:நிகழ்தகவு]]