குத்துக்கோடு (முக்கோணம்)
[[Image:Triangle.Orthocenter.svg|right|thumb|முக்கோணத்தின் மூன்று குத்துக்கோடுகளும் செங்குத்துச்சந்தியில் சந்திக்கின்றன]]
 [[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]] ஒரு [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தின்]] '''குத்துக்கோடு'''(''Altitude'') என்பது. அம்முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சியிலிருந்து அந்த [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சி]]யின் எதிர்ப்பக்கத்தைத் தனக்குள் கொண்டிருக்கும் கோட்டிற்கு வரையப்படும் ஒரு செங்குத்துக்கோடாகும்.  எதிர்ப்பக்கத்தைக் கொண்டிருக்கும் கோடானது அப்பக்கத்தின் நீட்சி எனப்படும். இந்தப் பக்க நீட்டிப்பும் குத்துக்கோடும் வெட்டிக்கொள்ளும் [[புள்ளி]], குத்துக்கோட்டின் அடி எனப்படும். குத்துக்கோடு வரையப்படும் முக்கோணத்தின் உச்சிக்கும் குத்துக்கோட்டின் அடிக்கும் இடையேயுள்ள தூரம் குத்துக்கோட்டின் [[நீளம்]] எனப்படும்.
 
 குத்துக்கோட்டின் நீளம் முக்கோணத்தின் [[பரப்பு]] காண்பதற்குப் பயன்படுகிறது. முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கம் மற்றும் குத்துக்கோட்டின் நீளம் இரண்டின் [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்குத்தொகையில்]] பாதியளவாக முக்கோணத்தின் பரப்பு அமையும். [[முக்கோணவியல் சார்புகள்]]மூலம் குத்துக்கோட்டின் நீளமானது முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்களுடன் தொடர்பு கொண்டுள்ளது.
 
 ஒரு [[முக்கோணம்#முக்கோண வகைகள்|இருசமபக்க முக்கோணத்தின்]] சமமில்லாத மூன்றாவது பக்கத்திற்கு வரையப்படும் குத்துக்கோட்டின் அடி, அப்பக்கத்தின் [[நடுப்புள்ளி]]யாக அமையும்.  மேலும் அந்தக் குத்துக்கோடானது அதுவரையப்பட்ட உச்சியிலுள்ள [[இருசமக்கூறிடல்#கோண இருசமவெட்டி|கோணத்தின் இருசமவெட்டியாகவும்]] அமையும்.
 
 ஒரு [[முக்கோணம்#முக்கோண வகைகள்|செங்கோண முக்கோணத்தின்]] [[செம்பக்கம்|செம்பக்கத்தின்]] குத்துக்கோடானது செம்பக்கத்தை  ''p'' மற்றும் ''q'' அளவுகளாகப் பிரிக்கிறதென்றால்:
 
 :&lt;math&gt; h^2 = pq.&lt;/math&gt;  இங்கு குத்துக்கோட்டின் நீளம் ''h''.
 
 ==செங்கோட்டுச்சந்தி==
 ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று குத்துக்கோடுகளும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும். இப்புள்ளி அம்முக்கோணத்தின் '''குத்துச்சந்தி''' அல்லது '''செங்குத்துச்சந்தி''' அல்லது '''செங்கோட்டுச்சந்தி''' (orthocenter) எனப்படும். ஒரு முக்கோணம் [[முக்கோணம்#முக்கோண வகைகள்|விரிகோண முக்கோணமாக]] இல்லாமல் &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot;, அம்முக்கோணத்தின் செங்கோட்டுச்சந்தியானது அம்முக்கோணத்துக்குள்ளேயே அமையும்.
 
 ஒரு முக்கோணத்தின் செங்குத்துச்சந்தி, [[திணிவு மையம்]], [[சூழ்தொடு வட்டம்|சுற்றுவட்ட மையம்]] மற்றும் [[ஒன்பது-புள்ளி வட்டம்|ஒன்பது-புள்ளி வட்டமையம்]] நான்கும் [[ஆய்லர் கோடு|ஆய்லர் கோட்டின்]]மீது அமையும்.  செங்குத்துச்சந்தி மற்றும் சுற்றுவட்ட மையங்களின் நடுப்புள்ளியாக ஒன்பது-புள்ளி வட்டமையம் அமையும். திணிவு மையத்திற்கும் சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் இடைப்பட்ட தூரமானது திணிவு மையத்திற்கும் செங்குத்துச்சந்திக்கும் இடைப்பட்ட தூரத்தில் பாதியாக இருக்கும்.
 
 ஒரு [[தளம் (வடிவவியல்)|தளத்தில்]] உள்ள நான்கு புள்ளிகளில் ஒன்று மற்ற மூன்று புள்ளிகளால் அமையும் முக்கோணத்தின் செங்குத்துச்சந்தியாக அமையுமானால் அந்நான்கு புள்ளிகளும் ஒரு [[செங்குத்துச்சந்தித் தொகுதி]]யாகும்''' (orthocentric system).
 
 &lt;math&gt;\triangle ABC&lt;/math&gt; -ன்
 
 கோணங்கள்: ''A'', ''B'', ''C'',  பக்க நீளங்கள்: ''a'' = |''BC''|, ''b'' = |''CA''|, ''c'' = |''AB''|
 
 செங்குத்துச்சந்தி:
 
 முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகளில்(trilinear coordinates):
 
 sec ''A'' : sec ''B'' : sec ''C''
 
 ஈர்ப்புமைய ஆயதொலைவுகளில் (Barycentric coordinates ):
 
 : &lt;math&gt;((a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2) : (a^2+b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2) : (a^2-b^2+c^2)(-a^2+b^2+c^2)).&lt;/math&gt;
 
 ==ஆர்த்திக் முக்கோணம்==
 [[File:Altitudes and orthic triangle SVG.svg|thumb|300px|&lt;math&gt;\triangle ABC&lt;/math&gt; -ன் ஆர்த்திக் முக்கோணம்-&lt;math&gt;\triangle abc&lt;/math&gt;]]
 செங்கோண முக்கோணம் அல்லாத ஒரு முக்கோணத்தின் குத்துக்கோடுகளின் அடிகளால் உருவாகும் முக்கோணம் [[ஆர்த்திக் முக்கோணம்]]  அல்லது [[குத்துக்கோட்டு முக்கோணம்]] எனப்படும். இம்முக்கோணம் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட மூல முக்கோணத்தின் செங்குத்துச்சந்தியின் [[பாத முக்கோணம்|பாதமுக்கோணமாகவும்]], இதன் [[உள்வட்டமையம்|உள்வட்டமையமானது]] மூல முக்கோணத்தின் செங்குத்துச்சந்தியாகவும் அமையும்.&lt;ref name=Barker&gt;{{cite book |title=Continuous symmetry: from Euclid to Klein |author= William H. Barker, Roger Howe |url=http://books.google.com/books?id=NIxExnr2EjYC&amp;pg=PA292 |chapter=§ VI.2: The classical coincidences |isbn=0-8218-3900-4 |publisher=American Mathematical Society Bookstore |year=2007|page= 292}} See also: Corollary 5.5, p. 318.
 &lt;/ref&gt;
 
 பின்வருமாறு வரையப்படும் முக்கோணத்துடன் ஆர்த்திக் முக்கோணம் நெருங்கிய தொடர்புடையது.
 
 &lt;math&gt;\triangle ABC&lt;/math&gt; -ன் சுற்றுவட்டத்திற்கு, முக்கோணத்தின் உச்சி ''A'' -ல் வரையப்படும் தொடுகோடு &lt;math&gt;  L_A.&lt;/math&gt; என்க.
 
 இதே முறையில் &lt;math&gt;  L_B.&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;  L_C.&lt;/math&gt;இரண்டையும் எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும்.
 
 :''A&quot;''  = &lt;math&gt;  L_B&lt;/math&gt; ∩ &lt;math&gt;  L_C&lt;/math&gt;
 
 :''B&quot;'' = &lt;math&gt;  L_C&lt;/math&gt; ∩ &lt;math&gt;  L_A&lt;/math&gt;
 
 :''C&quot;'' = &lt;math&gt;  L_A&lt;/math&gt; ∩ &lt;math&gt;  L_B&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\triangle &lt;/math&gt;A&quot;B&quot;C&quot; ஆனது  &lt;math&gt;\triangle ABC&lt;/math&gt; -ன் சுற்றுவட்டத்தை வெளிப்புறமாகத் தொடும் முக்கோணமாகும். இந்த முக்கோணத்துடன் ஆர்த்திக் முக்கோணமானது, ஒத்தநிலையுடையதாக (homothetic) இருக்கும்.
 
 தரப்பட்ட ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்திற்குள் வரையக்கூடிய மிகச்சிறிய [[சுற்றளவு]] கொண்ட முக்கோணத்தைப் பற்றிய 1775-ம் ஆண்டின் ''ஃபாக்னானோ புதிருக்கான'' (இத்தாலிய கணிதவியலாளர்-ஜூலியோ கார்லோ டி டோஷி டி ஃபாக்னானோ) விடையை இந்த ஆர்த்திக் முக்கோணம் தருகிறது.
 
 முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகள்(Trilinear coordinates):
 
 ஆர்த்திக் முக்கோணத்தின் உச்சிகள்:
 * A' = 0 : sec B : sec C
 * B' = sec A : 0 : sec C
 * C' = sec A : sec B : 0
 
 சுற்றுவட்டத்தை வெளிப்புறமாகத் தொடும் முக்கோணத்தின் உச்சிகள்:
 * ''A&quot;'' = &amp;minus;''a'' : ''b'' : ''c''
 * ''B&quot;'' = ''a'' : &amp;minus;''b'' : ''c''
 * ''C&quot;'' = ''a'' : ''b'' : &amp;minus;''c''
 
 ==பிற குத்துக்கோட்டுத் தேற்றங்கள்==
 ===சமபக்க முக்கோணத்தேற்றம்===
 
 சமபக்க முக்கோணத்துக்குள் அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி P  -லிருந்து முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களுக்கு வரையப்படும் செங்குத்துகளின் நீளங்களின் கூடுதல் அம்முக்கோணத்தின் குத்துக்கோட்டின் நீளத்திற்குச் சமம்.
 
 ===உள்வட்ட ஆரத் தேற்றம் ===
 
 ஏதேனும் ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க அளவுகள் '''a, b, c'''  மற்றும் குத்துக்கோடுகளின் நீளங்கள் '''α, β, η''' எனில், உள்வட்ட ஆரம் ''r'' மற்றும் குத்துக்கோட்டின் நீளங்களுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பு:
 
 :::&lt;math&gt;\tfrac{1}{r}=\tfrac{1}{\alpha}+\tfrac{1}{\beta}+\tfrac{1}{\eta}.&lt;/math&gt;
 
 ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கத்தின் மற்றும் பிற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்கள் முறையே, '''c, h, s'''  எனில் இவற்றுடன் உள்வட்ட ஆரத்தின் தொடர்பு:
 
 :::&lt;math&gt;\tfrac{1}{r}=-{\tfrac{1}{c}}+\tfrac{1}{h}+\tfrac{1}{s}.&lt;/math&gt;
 
 ===சிம்ஃபோனிக் தேற்றம்&lt;ref name=Price\&gt;{{cite arxiv|last= Price, H. Lee and Bernhart, Frank R. |title=Pythagorean Triples and a New Pythagorean Theorem|year=2007|eprint=0701554}}&lt;/ref&gt;===
 
 சிம்ஃபோனிக் தேற்றத்தின்படி ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கத்தின் மற்றும் பிற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்கள் முறையே '''c, h, s''';  மற்றும் குத்துக்கோடுகளின் நீளங்கள் '''α, β, η'''. இவை தங்களுக்குள்ளாகப் பின்வருமாறு தொடர்பு கொண்டிருக்கும்.
 
 '''(c&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;,h&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;,s&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)''' மற்றும் '''(α&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;,β&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;,η&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)''' இரண்டும் இசைத்தொடர்ச்சியில் அமையும்.
 
 மேலும்,
 
 :&lt;math&gt;(\tfrac{1}{c},\tfrac{1}{h},\tfrac{1}{s})&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;(\tfrac{1}{\alpha},\tfrac{1}{\beta},\tfrac{1}{\eta})&lt;/math&gt;  இரண்டும் பித்தாகரசு தேற்றத்தின் விளைவின்படி அமையும்.
 
 :::&lt;math&gt;\tfrac{1}{c^2}+\tfrac{1}{h^2}=\tfrac{1}{s^2}\quad ,\quad \tfrac{1}{\alpha ^2}+\tfrac{1}{\beta ^2}=\tfrac{1}{\eta ^2}.&lt;/math&gt;
 
 ===பரப்பு தேற்றம்===
 
 முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் முறையே ''a'', ''b'', மற்றும் ''c''.  இவற்றுக்கு வரையப்படும் குத்துக்கோடுகளின் நீளங்கள் முறையே &lt;math&gt;h_a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;h_b&lt;/math&gt;, மற்றும் &lt;math&gt; h_c&lt;/math&gt;,
 
 குத்துக்கோடுகளின் நீளங்களின் தலைகீழிகளின் நீளங்களின் கூடுதலில் பாதி: &lt;math&gt;H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2&lt;/math&gt; &lt;ref&gt;Mitchell, Douglas W., &quot;A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle,&quot; ''Mathematical Gazette'' 89, November 2005, 494.&lt;/ref&gt;
 
 முக்கோணத்தின் பரப்பின் தலைகீழி:
 
 :&lt;math&gt;\mathrm{Area}^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}.&lt;/math&gt;
 
 ==குறிப்புகள்==
 &lt;references/&gt;
 
 ==மேலும் பார்க்க==
 
 *[[நடுக்கோடு (வடிவவியல்)]]
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 *{{MathWorld|title=Altitude|urlname=Altitude}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *[http://www.mathopenref.com/triangleorthocenter.html Orthocenter of a triangle] With interactive animation
 *[http://www.mathopenref.com/constorthocenter.html Animated demonstration of orthocenter construction] Compass and straightedge.
 *[http://www.uff.br/trianglecenters/X0004.html An interactive Java applet for the orthocenter] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080609003641/http://www.uff.br/trianglecenters/X0004.html |date=2008-06-09 }}
 * [http://demonstrations.wolfram.com/FagnanosProblem/ Fagnano's Problem] by Jay Warendorff, [[Wolfram Demonstrations Project]].
 
 [[பகுப்பு:முக்கோண வடிவவியல்]]