இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம்''' (''difference of two squares'') என்பது ஒரு எண்ணின் [[வர்க்கம் (இயற்கணிதம்)|வர்க்கத்திலிருந்து]] மற்றொரு எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கழித்துப் பெறப்படுவதாகும். [[அடிப்படை இயற்கணிதம்|அடிப்படை இயற்கணிதத்தில்]],
 :&lt;math&gt;a^2-b^2 = (a+b)(a-b)&lt;/math&gt; என்ற [[முற்றொருமை (கணிதம்)|முற்றொருமையைக்]] கொண்டு இரு வர்க்க எண்ணிகளின் வித்தியாசங்களைக் காரணிப்படுத்தலாம்.
 
 == நிறுவல் ==
 இந்த முர்றொருமையை நேரிடையாக [[கணித நிறுவல்|நிறுவலாம்]]:
 இடப்பக்கமுள்ள காரணிகளைப் [[பங்கீட்டுப் பண்பு|பங்கீட்டுப் பண்பைக்]] கொண்டு விரிக்க:
 :&lt;math&gt;(a+b)(a-b) = a^2+ba-ab-b^2&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;(a+b)(a-b) = a^2+ba-ab-b^2&lt;/math&gt;
 [[பரிமாற்றுத்தன்மை|பரிமாற்றுப் பண்பின் படி]]:
 :&lt;math&gt;ba - ab = 0&lt;/math&gt;
 எனவே:
 :&lt;math&gt;(a+b)(a-b) = a^2-b^2&lt;/math&gt;
 
 கணிதத்தில் இம்முற்றொருமை பெரும் பயன்பாடு கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, இரு மாறிகொண்ட [[கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனின்மை]]யின் நிறுவலுக்கு இது பயன்படுகிறது. 
 
 இம்முற்றொருமையின் நிறுவல் எந்தவொரு [[பரிமாற்று வளையம்|பரிமாற்று வளையத்திலும்]] உண்மையாக அமையும். மறுதலையாக இந்த முற்றொருமை உண்மையாக அமையும் எந்தவொரு [[வளையம் (கணிதம்)|வளையமும்]] பரிமாற்று வளையமாக இருக்கும்.
 
 இம்முற்றொருமை உண்மையாகும் ''R'' என்ற வளையத்தின் ஏதேனும் இரு உறுப்புகள் ''a''  ''b'' எனில்:
 :&lt;math&gt;(a+b)(a-b) = a^2-b^2&lt;/math&gt; (இடப்புறத்தைப் பங்கீட்டுப் பண்பின்படி விரிக்க)
 :&lt;math&gt;a^2 + ba - ab - b^2 = a^2 - b^2&lt;/math&gt;.
 :&lt;math&gt;ba - ab = 0&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;ba = ab&lt;/math&gt;
 
 எனவே ''R'' ஒரு பரிமாற்று வளையம்.
 
 === வடிவவியல் நிறுவலுக்கான விளக்கப்படங்கள் ===
 விளக்கப்படம் 1:
 [[Image:Difference of two squares.svg|center|200px]]
 
 விளக்கப்படம் 2:
 [[Image:Difference of two squares geometric proof.png]]
 
 == பயன்பாடுகள் ==
 === பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் காரணிப்படுத்தலும் கோவைகளைச் சுருக்கலும்===
 [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]களைக் காரணிப்படுத்த இந்த முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தலாம். 
 
 எடுத்துக்காட்டுகள்:
 :&lt;math&gt;x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x^2 - 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x^2 - y^2 + x - y&lt;/math&gt;  (&lt;math&gt;x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)&lt;/math&gt; எனக் காரணிப்படுத்த)
 :&lt;math&gt;x^2 - y^2 + x - y = (x + y)(x - y) + x - y = (x - y)(x + y + 1)&lt;/math&gt;
 
 கோவைகளைச் சுருக்கி எளியவடிவிற்கு மாற்றுவதற்கும் இம்முடிவு பயன்படுகிறது:
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt;(a+b)^2-(a-b)^2=(a+b+a-b)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab&lt;/math&gt;
 
 === சிக்கலெண்கள்: இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல் ===
 இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக உள்ள கோவையைக் காரணிப்படுத்த [[சிக்கலெண்]]கள் கெழுக்களின் உதவியோடு இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசத்தின் முற்றொருமை பயன்படுத்தப்படுகிறது.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt;z^2 + 4&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; = z^2 - i^2 \cdot 4&lt;/math&gt;    (&lt;math&gt;i^2 = -1&lt;/math&gt;)
 :&lt;math&gt; = z^2 - (2 i)^2&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; = (z + 2 i)(z - 2 i)&lt;/math&gt;
 
 எனவே &lt;math&gt;z^2 + 4&lt;/math&gt; இன் காரணிகள்: &lt;math&gt;(z + 2 i),&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(z - 2 i)&lt;/math&gt;.
 
 இக்காரணிகள் ஒன்றுக்கொன்று [[இணைச் சிக்கலெண்]]களாக இருப்பதால் இரு சிக்கலெண்களின் பெருக்கற்பலனை மெய்யெண்ணாகப் பெறுவதற்கும், சிக்கலெண் பின்னங்களின் பகுதியை மெய்யெண்ணாக மாற்றவும் பயன்படுகிறது.&lt;ref&gt;[http://www.themathpage.com/alg/complex-numbers.htm#conjugates Complex or imaginary numbers] TheMathPage.com, retrieved 22 December 2011&lt;/ref&gt;
 
 === பின்னத்தின் பகுதியை விகிதமுறு எண்ணாக்கல் ===
 [[விகிதமுறா எண்|விகிதமுறா]] [[பின்னம்|பின்னங்களின்]] பகுதியை விகிதமுறு எண்ணாக மாற்ற இம்முற்றொருமை பயன்படுகிறது.&lt;ref&gt;[http://www.themathpage.com/alg/multiply-radicals.htm Multiplying Radicals] TheMathPage.com, retrieved 22 December 2011&lt;/ref&gt; 
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt;\dfrac{5}{\sqrt{3} + 4}&lt;/math&gt; இன் பகுதியை விகிதமுறு எண்ணாக மாற்றல்:
 
 :&lt;math&gt;\dfrac{5}{\sqrt{3} + 4}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; = \dfrac{5}{\sqrt{3} + 4} \times \dfrac{\sqrt{3} - 4}{\sqrt{3} - 4}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; = \dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{(\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 4)}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; = \dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{\sqrt{3}^2 - 4^2}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; = \dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{3 - 16}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; = -\dfrac{5(\sqrt{3} - 4)}{13}.&lt;/math&gt;
 
 இந்த எடுத்துக்காட்டில் &lt;math&gt;\sqrt{3} + 4&lt;/math&gt; என்ற விகிதமுறா பகுதியானது &lt;math&gt;13&lt;/math&gt; எனும் விகிதமுறு பகுதியாக மாற்றப்பட்டுள்ளது.
 
 === மனக் கணக்கு ===
 எண்கணிதச் சுருக்கவழிக் கணக்கிடுதலில் இரு வர்க்க எண்களின் வித்தியாசங்களைப் பயன்படுத்தலாம். இரு எண்களைப் பெருக்கும்போது அவ்விரு எண்களின் சராசரியெண் எளிதாக வர்க்கம் காணக்கூடியதாக இருப்பின் இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசத்தைப் பயன்படுத்தி அவ்விரு எண்களையும் எளிதாகப் பெருக்கலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டு: 
 :&lt;math&gt; 27 \times 33 = (30 - 3)(30 + 3) = 30^2 - 3^2 = 891&lt;/math&gt;.
 
 === இரு தொடர் வர்க்க எண்களின் வித்தியாசம் ===
 
 இரு தொடர் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்க எண்களின்]] வித்தியாசமானது அவ்வர்க்க எண்களின் அடிமான எண்களான ''n'' ,''n''+1 ஆகிய இரு எண்களின் கூடுதலாக இருக்கும்.
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{array}{lcl}
  (n+1)^2 - n^2 &amp; = &amp; ((n+1)+n)((n+1)-n) \\
            &amp; = &amp; 2n+1
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 2n+1 ஒரு ஒற்றையெண். இதனால் இரு தொடர் வர்க்க எண்களின் கூடுதல் ஒரு ஒற்றையெண் என்பதை அறியலாம்.
 
 எவையேனும் இரு முழுவர்க்க எண்களின் கூடுதல்:
 :&lt;math&gt;
 \begin{array}{lcl}
  (n+k)^2 - n^2 &amp; = &amp; ((n+k)+n)((n+k)-n) \\
            &amp; = &amp; k(2n+k)
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 இதிலிருந்து இரு இரட்டை வர்க்க எண்களின் வித்தியாசம் 4 இன் மடங்காகவும் இரு ஒற்றை வர்க்க எண்களின் கூடுதல் 8 இன் மடங்காகவும் அமையும் என்பதைக் காணலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டுகள்:
 :&lt;math&gt;
 \begin{array}{lcl}
  (12)^2 - 10^2 &amp; = &amp; (12+10)(12-10) \\
            &amp; = &amp; 22(2)\\
            &amp; = &amp; 44
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;
 \begin{array}{lcl}
  (11)^2 - 7^2 &amp; = &amp; (11+7)(11-7) \\
            &amp; = &amp; 18(4)\\
            &amp; = &amp; 72
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 === இரு ''n'' ஆவது அடுக்கு எண்களின் வித்தியாசம்===
 [[File:Difference_of_squares_and_cubes_visual_proof.svg|thumb|இரு வர்க்க எண்கள் மற்றும் இரு கன எண்களின் வித்தியாசத்தை விளக்கும் பட நிறுவல்]]
 ''a'' , ''b'' இரண்டும் ''R'' என்ற பரிமாற்று வளையத்தின் உறுப்புகள் எனில்:
 :&lt;math&gt;a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}b^k\right)&lt;/math&gt;.
 
 === இரு ''n'' ஆவது அடுக்கு எண்களின் வித்தியாசம்===
 [[File:Difference_of_squares_and_cubes_visual_proof.svg|thumb|இரு வர்க்க எண்கள் மற்றும் இரு கன எண்களின் வித்தியாசத்தை விளக்கும் பட நிறுவல்]]
 ''a'' , ''b'' இரண்டும் ''R'' என்ற பரிமாற்று வளையத்தின் உறுப்புகள் எனில்:
 :&lt;math&gt;a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(\sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k}b^k\right)&lt;/math&gt;.
 
 == வரலாறு ==
 பழங்காலத்தில் பாபிலோனியர்கள் இரு வர்க்க எண்களின் வித்தியாசத்தை பெருக்கல் செயல்களில் பயன்படுத்தியுள்ளனர். &lt;ref&gt;https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_mathematics/&lt;/ref&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டாக:
 :93 x 87 = 90² - 3² = 8100 - 9 = 8091
 :64 x 56 = 60² - 4² = 3600 - 16 = 3584
 
 == அடிக்குறிப்புகள் ==
 &lt;references/&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 *{{cite book |first=James Stuart |last=Stanton |title=Encyclopedia of Mathematics |publisher=Infobase Publishing |year=2005 |isbn=0-8160-5124-0 |page=131 |url=https://books.google.com/books?id=MfKKMSuthacC&amp;pg=PA131 }}
 *{{cite book |first=Alan S. |last=Tussy |first2=Roy David |last2=Gustafson |title=Elementary Algebra |edition=5th |publisher=Cengage Learning |year=2011 |isbn=978-1-111-56766-8 |pages=467–469 |url=https://books.google.com/books?id=xwOrtVKSVpoC&amp;pg=PA467 }}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 *[https://web.archive.org/web/20170215183255/http://themathpage.com/alg/difference-two-squares.htm difference of two squares] at mathpages.com
 
 [[பகுப்பு:அடிப்படை இயற்கணிதம்]]