குலம் (கணிதம்)
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], குறிப்பாக [[இயற்கணிதம்|இயற்கணிதத்தில்]], '''குலம்''' (Group) என்ற [[கணித அமைப்பு]] ஒரு அடிப்படைக்கருத்தாகும். அது கணிதத்தில் மட்டுமல்ல, [[இயற்பியல்]], [[வேதியியல்]], [[புள்ளியியல்]] முதலிய பல [[அறிவியல்]] துறைகளில் இன்றியமையாததாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு வேர்க்கருத்து. [[நுண்புல இயற்கணிதம்|நுண்புல இயற்கணிதத்தில்]] ஒரு பிரிவாக அது பட்டியலிடப்பட்டாலும், கணிதத்தின் எல்லாப் பிரிவுகளிலும் அடி நீரோட்டமாகப் பாயும் அடித்தளத் தத்துவமாகும்.
 
 == எளிமையான மேலோட்டம் ==
 
 எத்துறையிலும் எந்தச்செயல்பாட்டைப்பற்றிப் பேசப்பட்டாலும் நாம் கேட்கக்கூடிய பொதுக்கேள்விகளில் மூன்றை முக்கியமாகச் சொல்லலாம்.
  
 * அச்செயல்பாடு மற்ற செயல்பாடுகளுடன் ஒட்டி உறவாடுமா, அல்லது வெட்டி தனியாய் நிற்குமா?
 * அச்செயல்பாட்டை நிறைவேற்றினபிறகு அதை அவிழ்க்கமுடியுமா? அதாவது அதை பின்னோக்கி இயங்கவைக்கமுடியுமா? இன்னும் சொல்லப்போனால அது செயற்படுவதற்கு முன்னிருந்த நிலைக்கு திரும்பிப் போகமுடியுமா?
 * எதையும் மாற்றாத நிலை அச்செயல்பாட்டில் அடங்குமா?
 
 இம்மூன்று கேள்விகளுக்கும் 'உண்டு, முடியும்' என்ற நேர்ம விடைகள் கிடைக்கும்போதெல்லாம், குலம் என்ற கணிதக்கருத்து அங்கு இழையோடிக் கொண்டிருக்கிறது என்று கண்டுகொள்ளலாம்.
 
 == துல்லியமான வரையறை ==
 
 &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; என்ற ஒரு [[கணம்|கணத்தை]] எடுத்துக்கொள்வோம். அதனில் (*) என்ற ஓர் [[ஈருறுப்புச் செயலி]] கொடுக்கப்பட்டதாகக் கொள்வோம். அதாவது &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இலுள்ள &lt;math&gt;a,b&lt;/math&gt; என்ற எந்த இரண்டு உறுப்புகளுக்கும் &lt;math&gt;(a * b)&lt;/math&gt; என்றொரு உறுப்பு அவைகளுடன் உறவுபடுத்தப் பட்டு &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இலேயே இருப்பதாகப் பொருள். இப்பொழுது (*) என்ற செயலிக்கு &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ஒரு '''குலம்''' ஆகிறது என்பதற்கு இலக்கணம் கீழ்க்கண்ட மூன்று நிபந்தனைகள் நிறைவேறுகின்றன என்பதே:
 
 ('''கு 1''') (ஒட்டுறவு விதி): &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இலுள்ள எந்த &lt;math&gt;a, b, c&lt;/math&gt; க்கும் &lt;math&gt;a * (b * c) =  (a * b) * c.&lt;/math&gt;
 
 ('''கு 2''') ([[ஒற்றொருமை]] இருப்பு): &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இல் &lt;math&gt;e&lt;/math&gt; என்ற ஓர் உறுப்பு கீழ்க்கண்ட பண்புடன் உள்ளது:
 ::&lt;math&gt; G&lt;/math&gt; இலுள்ள எந்த &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; க்கும் &lt;math&gt;e * a = a = a * e&lt;/math&gt;.
 
 ('''கு 3''') ([[நேர்மாறு உறுப்பு|நேர்மாறு]] இருப்பு): &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; க்கும் &lt;math&gt;a^{-1}&lt;/math&gt; என்று பெயரிடக்கூடிய ஓர் உறுப்பு &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இல் கீழ்க்கண்ட பண்புடன் உள்ளது:
 :: &lt;math&gt;a * a^{-1} = e = a^{-1} * a.&lt;/math&gt;
 
 இதை (G, *) ஒரு குலம் என்றோ, சந்தர்ப்பச்சூழலிலிருந்து செயலி என்ன என்று தெரிவதாக இருந்தால்,(*)ஐக்குறிக்காமலேயே, &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ஒரு குலம் என்றோ சொல்வது வழக்கம்.
 
 ('''கு 1'''), ('''கு 2'''), ('''கு 3''') க்கு மேல் கீழ்க்கண்ட ('''கு 4''') என்ற நிபந்தனையும் நிறைவேற்றப்பட்டால் அந்தக்குலம் '''[[பரிமாற்றுக் குலம்]] ''' (Commutative Group) எனப்படும்:
 
 ('''கு 4''') ([[பரிமாற்று விதி]]): &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இலுள்ள எந்த &lt;math&gt;a, b,&lt;/math&gt; க்கும் &lt;math&gt;a * b  =   b * a.&lt;/math&gt;
 
 பரிமாற்றுவிதி இல்லாத சூழ்நிலையில், அதாவது, முதல் மூன்று நிபந்தனைகள் மட்டும் நிறைவேற்றப்படும் அமைப்புகளை '''பரிமாற்றா குலம்''' என்று சொல்லவேண்டும். அதாவது, பரிமாற்றா குலத்தில் &lt;math&gt;a * b  =   b * a&lt;/math&gt; என்ற விதி ஏதாவது இரண்டு உறுப்புகளுக்காவது செல்லாமல் இருக்கும்.
 
 பரிமாற்றுக்குலத்தை '[[ஏபெல் குலம்]]' என்றும் பரிமாற்றா குலத்தை 'ஏபெலல்லாத குலம்' என்றும் சொல்வதுண்டு. [[ஏபெல்]] என்ற கணித இயலர் [[நார்வே]]யில் [[19ம் நூற்றாண்டு|19வது நூற்றாண்டின்]] தொடக்கத்தில் உலகமறிந்த அளவில் பல கண்டுபிடிப்புகளைக் கண்டவர்.
 
 மொத்த உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ஒரு முடிவுறு எண்ணாகுமானால், அக்குலம் [[முடிவுறு குலம்]] என்றும், அப்படியில்லையானால் '''முடிவுறாக்குலம்''' என்றும் கூறப்படும்.
 
 == எடுத்துக்காட்டுகளாக குறிப்பிடத்தக்க குலங்கள் ==
 
 * &lt;math&gt;\mathbf{Q}, \mathbf{R}, \mathbf{C}&lt;/math&gt; இவைகள் மூன்றும் கூட்டலுக்கு பரிமாற்றுக் குலங்கள். ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒற்றொருமை [[சூனியம்]]. ஒவ்வொன்றிலும்&lt;math&gt; a&lt;/math&gt; இன் நேர்மாறு= &lt;math&gt;-a&lt;/math&gt;.
 * [[நேர்ம எண்கள்|நேர்ம எண்களை]] மாத்திரம் கொண்ட &lt;math&gt;\mathbf{Q}&lt;/math&gt;*, &lt;math&gt;\mathbf{R}&lt;/math&gt;*, &lt;math&gt;\mathbf{C}&lt;/math&gt;* இவைகள் மூன்றும் பெருக்கலுக்கு பரிமாற்றுக் குலங்கள். ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒற்றொருமை 1. ஒவ்வொன்றிலும் &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; இன் நேர்மாறு &lt;math&gt;1/a&lt;/math&gt;.
 * ஏதாவதொரு [[களம் (கணிதம்)|களம்]] &lt;math&gt;\mathbf{F}&lt;/math&gt; இலிருந்து வரும் உறுப்புக்களைக் கொண்ட&lt;math&gt; m\times n&lt;/math&gt; [[அணி (கணிதம்)|அணிகளெல்லாம்]] அடங்கிய கணம் அணிக்கூட்டலுக்கு ஒரு பரிமாற்றுக் குலமாகும். இங்கு ஒற்றொருமை [[சூனிய அணி]]. &lt;math&gt;(a)_{m,n}&lt;/math&gt; இன் நேர்மாறு = &lt;math&gt;(-a)_{m,n}.&lt;/math&gt;
 * ஏதாவதொரு களம் &lt;math&gt;\mathbf{F}&lt;/math&gt; இலிருந்து வரும் உறுப்புக்களைக் கொண்ட&lt;math&gt; n\times n&lt;/math&gt; [[வழுவிலா அணி]]களெல்லாம் அடங்கிய கணம் [[அணிப்பெருக்கல்|அணிப்பெருக்க]]லுக்கு ஒரு '''பரிமாற்றாக் குலமாகும்'''. இங்கு ஒற்றொருமை எல்லா மூலைவிட்டங்களும் 1 ஆக இருக்கும் [[முற்றொருமை அணி]]. இதனில் உள்ள எல்லா அணிகளுக்கும் [[நேர்மாறு அணி|நேர்மாறு]] இருப்பினும் அவைகளைக் கண்டுபிடிப்பதென்பது அணிக்கோட்பாட்டின் ஒரு தலையாய பிரச்சினையாகும். &lt;math&gt;\mathbf{F}, \mathbf{R}&lt;/math&gt; ஆகவோ &lt;math&gt;\mathbf{C}&lt;/math&gt; ஆகவோ இருந்தால் இந்த குலம் GL(n, &lt;math&gt;\mathbf{R}&lt;/math&gt;), அல்லது GL(n,&lt;math&gt;\mathbf{C}&lt;/math&gt;) என்ற குறியீட்டுடன்,[[பொது நேரியற்குலம்]] என்ற பெயரால் அழைக்கப்படும்.
 * &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; பொருட்கள் உள்ள கணத்தின் [[வரிசைமாற்றம்|வரிசைமாற்றங்கள்]] அவைகளுடைய சேர்வை என்ற செயல்பாட்டிற்கு &lt;math&gt;S_n&lt;/math&gt; என்ற வரிசைமாற்றக்குலமாகிறது. இங்கு ஒற்றொருமை
 :&lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; \dots &amp; n\\
 1 &amp; 2 &amp; 3 &amp; \dots &amp; n
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 :என்ற முற்றொருமை வரிசைமாற்றம்.ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும், அதை அணியாக எழுதி முதல் வரிசையையும் இரண்டாவது வரிசையையும் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாற்றி எழுதினால் நேர்மாறு வரிசைமாற்றம் கிடைக்கும்.
 : குறிப்பு. &lt;math&gt;n \geq 3&lt;/math&gt; ஆனால், &lt;math&gt;S_n&lt;/math&gt; ஒரு '''பரிமாற்றாக்குலம்'''. &lt;math&gt;S_n&lt;/math&gt; களுக்கு பொதுப்பெயர் ''''n-கிரமச்சமச்சீர்குலம்'''' (Symmetric Group of order n)
 
 * மாடுலோ எண்கணிதத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட முழு எண் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; உடன் உறவுபடுத்தப்பட்ட &lt;math&gt;\{0, 1, 2, 3, ... , n-1 (modn)\}&lt;/math&gt; கணம் மாடுலோ கூட்டலுக்கு ஒரு குலம் ஆகும். இங்கு ஒற்றொருமை &lt;math&gt;0(mod n).&lt;/math&gt; &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; இன் நேர்மாறு &lt;math&gt;(n - m)(modn).&lt;/math&gt;
 * மாடுலோ எண்கணிதத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட பகா எண் &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; உடன் உறவுபடுத்தப்பட்ட &lt;math&gt;\{1,2, ... p-1 (modp)\}&lt;/math&gt; கணம் மாடுலோ பெருக்கலுக்கு ஒரு குலம் ஆகும். இங்கு ஒற்றொருமை &lt;math&gt;1(modp&lt;/math&gt;). ஒரு குறிப்பிட்ட &lt;math&gt; m&lt;/math&gt; இன் நேர்மாறு அவ்வப்போது கண்டுபிடிக்கவல்லது.
 * &lt;math&gt;\{1, i, -i, -1\}:&lt;/math&gt; நான்கு சிக்கலெண்களைக்கொண்ட இக்கணம் சிக்கலெண் பெருக்கலுக்கு ஒரு குலம். இங்கு ஒற்றொருமை 1. &lt;math&gt;i&lt;/math&gt; யும் &lt;math&gt;-i&lt;/math&gt; யும் நேர்மாறுகள். -1 க்கு நேர்மாறு அதுவே.
 * மெய்யெண்களைக்கொண்ட M என்ற சதுர அணி &lt;math&gt;M^T = M^{-1}&lt;/math&gt; என்ற பண்பைக் கொண்டிருக்குமானால் அது [[செங்குத்து அணி]] எனப்படும். &lt;math&gt;{n \times n}&lt;/math&gt; செங்குத்து அணிகளெல்லாம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலத்திற்கு '''n-கிரமச்[[செங்குத்துக்குலம்]]''' என்று பெயர். இதற்குக் குறியீடு O(n).
 * சிக்கலெண்களைக்கொண்ட U என்ற சதுர அணி &lt;math&gt;{U^*}^{T} = U^{-1}&lt;/math&gt; என்ற பண்பைக்கொண்டிருக்குமானால் அது [[அலகுநிலை அணி]] எனப்படும். இங்கு &lt;math&gt;U^*&lt;/math&gt; என்பது U வின் [[இணையியஅணி]]. &lt;math&gt;{U^*}^{T}&lt;/math&gt; என்பது U வின் [[இடமாற்று இணையிய அணி]]. &lt;math&gt;{n \times n}&lt;/math&gt; அலகுநிலை அணிகளெல்லாம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலத்திற்கு '''n-கிரம [[அலகுநிலைக்குலம்]]''' என்று பெயர். இதற்குக் குறீயீடு: U(n).
 
 == இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
 
 * [[அணிகளில் இயற்கணித அமைப்புகள்]]
 
 [[பகுப்பு:நுண்புல இயற்கணிதம்]]