கோளத்தில் நேர்மாற்றம்
[[File:Sphere inversion.png|thumb|200px|right|குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் வழிச்செல்லும் [[உருளை (வடிவவியல்)|உருளையின்]] நேர்மாற்றம்.]]
 
 முப்பரிமாணத்தில் '''கோளத்தில் நேர்மாற்றம்''' அல்லது '''கோள நேர்மாற்றம்''' (''inversion in a sphere'') என்பது ஒரு [[கோளம்|கோளத்தின்]] உட்புறத்தை வெளிப்புறமாகவும், வெளிப்புறத்தை உட்புறமாகவும் மாற்றும் உருமாற்றம் ஆகும். இந்த நேர்மாற்றத்தில், கோளத்தின் மேலமையும் புள்ளிகள் மட்டுமே நிலைப்புப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.
 
 ==வரையறை==
 கோள நேர்மாற்றமானது பெரும்பாலும் [[வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை]]யைப் பயன்படுத்தி எளிதாக விவரிக்கப்படுகிறது. கோளத்தின் மையம் ஆள்கூற்று முறைமையின் [[ஆதி (கணிதம்)|ஆதிப்புள்ளியில்]] இருக்குமாறும், கோளத்தின் ஆரத்தை ஓரலகாகவும் எடுத்துக்கொண்டால், எல்லாப் புள்ளிகளையும் ''r'''''v''' வடிவில் எழுதலாம். இதில், ஆதியிலிருந்து புள்ளி அமையும் தொலைவு ''r'' அலகு;  '''v''' [[அலகு திசையன்]]. மேலும் ஆதியைத் தவிர்த்த பிற புள்ளிகள் அனைத்தின் இந்தக் குறியீடும் தனித்துவமானதாகும். இம்முறையில் குறிக்கப்படும் ஒரு புள்ளியின் நேர்மாறின் குறியீடு ''r''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;'''v'''. கோளத்தின் மையத்தின் நேர்மாறு இவ்வாறு வரையறுக்கப்படவில்லை என்றாலும் அதனை [[முடிவிலிப் புள்ளி]]யாகக் கொள்ளலாம்.
 
 ==பண்புகள்==
 கோள நேர்மாற்றமானது [[சுருள்வு (கணிதம்)|தனக்குத்தானே நேர்மாறு]] ஆகும். இந்நேர்மாற்றத்தில், 
 *குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மீதமையும் [[புள்ளி]]கள் நிலைப்புத்தன்மை கொண்டவை. 
 *ஒரு [[கோடு|கோட்டின்]] நேர்மாறு, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் [[வட்டம்|வட்டமாகும்]]. இக்கூற்றின் எதிர்மாறும் (vice versa) உண்மையாக இருக்கும்.
 *ஒரு [[தளம் (வடிவவியல்)|தளத்தின்]] நேர்மாறு, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் மற்றொரு [[கோளம்|கோளமாகும்]]. இக்கூற்றின் எதிர்மாறும் உண்மையாக இருக்கும்.
 *மற்றபடி, ஒரு வட்டத்தின் நேர்மாறு, வட்டமாகவும், கோளத்தின் நேர்மாறு, கோளமாகவும் இருக்கும்.
 
 ==நிறுவல்கள்==
 குறிப்பீட்டுக் கோளம் Σ என்க. குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O, ஆரம் r. இக்கோளம் {O, r} எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
 
 ;நிறுவலில் பயன்படுத்தப்படும் மூன்று எளிய முடிவுகள் 
 #[[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)|வடிவொத்த முக்கோணங்கள்]]
 # [[அரைவட்டம்|அரைவட்டத்தில்]] அமையும் [[கோணம்]], [[செங்கோணம்]] (90&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;).
 #ஒரு [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தின்]] மூன்று கோணங்களின் கூடுதல்  180&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;, எனவே ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிக்கோணத்தின் அளவு முக்கோணத்தின் மற்ற இரு உட்கோணங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
 
 ;நிறுவலுக்குத் தேவையான முடிவுகள்
 * குறிப்பீட்டுக் கோள மையம் O லிருந்து n (&gt; 0) அலகு தூரத்தில் அமையும் புள்ளி P.
 * OP.OP' = r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; என்ற முடிவை நிறைவு செய்யுமாறு OP கதிரில் புள்ளி  P' இருந்தால்,  P, P' இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறுப் புள்ளிகளாகும்.
 * n &gt; r எனில், OP' &lt; r ஆகும். எனவே P',  Σ இன் உட்புறம் அமையும் (எதிர்மாறு கூற்றும் உண்மை).
 * Σ இன் மீதமையும் புள்ளிகள் மட்டுமே கோள நேர்மாற்றத்தில் தன் -நேர்மாறுப் புள்ளிகள் ஆகும்..
 
 ===புள்ளியின் நேர்மாறு===
 குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் வெளிப்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் உட்புறத்தில் அமையும் புள்ளியாகவும், குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் உட்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் வெளிப்புறத்தில் அமையும் புள்ளியாகவும் இருக்கும்.
 
 குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகள் நிலையானவை.
   
 ;வெளிப்புறப்புள்ளியின் நேர்மாறு
 
 [[File:Inver in a sphere, Fig i.jpg|thumb|centre|250px|Fig 1]]
 *குறிப்பீட்டுக் கோளத்திற்கு வெளியேயுள்ள புள்ளி  P.  OP இன் வழிச் செல்லும் [[தளம் (வடிவவியல்)|தளமொன்றில்]], P லிருந்து குறிப்பீட்டுக் கோளத்துக்கு இரு [[தொடுகோடு]]கள் வரையப்படுகின்றன. அவை கோளத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் S, T.
 *இவ்விரு புள்ளிகளை இணைத்து வரையப்படும் [[நாண் (வடிவவியல்)|நாண்]] ST மற்றும் OP இரண்டும் சந்திக்கும் புள்ளி P'.
 *இப்போது செங்கோண முக்கோணங்கள் OPT, OTP' இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். எனவே 
 :::OP/OT = OT/OP'
 ::ஃ P இன் நேர்மாறு  P'
 
 எனவே கோளத்தின் வெளிப்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் உட்புறத்தில் அமைகிறது.
 
 ;உட்புறப்புள்ளியின் நேர்மாறு
 
 * குறிப்பீட்டுக் கோளத்திற்கு உள்ளேயுள்ள புள்ளி  P.  OP இன் வழிச் செல்லும் தளமொன்றில், OP க்கு P இல் செங்குத்தாக இருக்குமாறு குறிப்பீடுக் கோளத்திற்கு நாண் ஒன்று வரையப்படுகிறது. இந்நாண் கோளத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் S, T.
 *S, T இல் குறிப்பீட்டுக்  கோளத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோடுகள் இரண்டும் சந்திக்கும் புள்ளி  P'
 *செங்கோண முக்கோணங்கள் OPT, OTP' இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். எனவே 
 ::OP/OT = OT/OP'
 ::ஃ P இன் நேர்மாறு  P'
 
 அதாவது  கோளத்தின் உட்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் வெளிப்புறம் அமைகிறது.
 
 ===இரு புள்ளிகளின் நேர்மாறு===
 [[File:Nverin a sphere, Fig 2.jpg|thumb|centre|250px|Fig 2]]
 * எடுத்துக்கொள்ளப்படும் இருபுள்ளிகள் A, B இன் நேர்மாறுகள் A', B' எனில்; OA'.OA = r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, OB'.OB = r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;.
 * எனவே OA'/OB' = OB/OA.
 *  ∠AOB = ∠B'OA' என்பதால், முக்கோணங்கள் AOB, B'OA' இரண்டும் வடிவொத்தவை.
 * ஃ ∠OAB = ∠OB'A', ∠OBA = ∠OA'B'. (இம்முடிவு பின்வரும் நிறுவல்களில் பயன்படுத்தப்ப்பட்டுள்ளது)
 
 ===கோட்டின் நேர்மாறு===
 பொதுவாக ஒரு [[கோடு|கோட்டின்]] நேர்மாறானது, நேர்மாற்ற மையத்தின் (குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின்) வழிச்செல்லும் [[வட்டம்|வட்டமாக]] இருக்கும்.
 
 எனினும், 
 *கோடானது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியே செல்லுமானால் அக்கோடு தன்-நேர்மாறாக இருக்கும். 
 *கோடானது குறிப்பீட்டுக் கோளம் Σ ஐ வெட்டும் கோடாக இருந்தால், அவை வெட்டிக்கொள்ளும் இரு புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.
 
 ;குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத ஒரு கோட்டின் நேர்மாறு
 
 [[File:Inver in a sphere, Fig 3h.jpg|thumb|centre|350px|Fig 3]]
 
 * குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O லிருந்து கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடி P; அதன் நேர்மாறு P'. 
 *கோட்டின் மீதமையும் ஏதேனுமொரு புள்ளி X; அதன் நேர்மாறு X'.
 * மேலே தரப்பட்டுள்ள ”இரு புள்ளிகளின் நேர்மாறு”-இன் முடிவின்படி, ∠OX'P'  = ∠OPX = 90&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;.
 *∠OPX = 90&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; என்பதால்
 ::∠OX'P'  = 90&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;
 * X' புள்ளியானது, OP' ஐ [[விட்டம்|விட்டமாகக்]] கொண்ட வட்டத்தின் மீதமையும் ஆகும் (அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம் செங்கோணம்).
 *X ஐப் போன்றே கோட்டின் மீதுள்ள பிற புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளும்  OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட  வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகளாகும்.
 
 எனவே இக்கோட்டின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச்செல்லும் ஒரு வட்டமாகும்.
 
 ===தளத்தின் நேர்மாறு===
 பொதுவாக, ஒரு தளத்தின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் கோளமாக இருக்கும்.
 
 எனினும்,
 
 *எடுத்துக்கொள்ளப்படும் தளத்தில் குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O அமைந்தால், அத்தளமானது தன்-நேர்மாறு ஆகும்.
 *எடுத்துக்கொள்ளப்படும் தளமானது குறிப்பீட்டுக் கோளம்  Σ ஐ வெட்டுமானால், அவை இரண்டும் வெட்டிக்கொள்ளும் வட்டத்தின் மீதுள்ள எல்லாப் புள்ளிகள் தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாகும்.
 
 ;குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத தளத்தின் நேர்மாறு
 
 * குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O லிருந்து தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடி P;  P இன் நேர்மாறு P'.
 * தளத்தின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளி X.  அதன் நேர்மாறு X'.
 * இப்பொழுது இரு புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளின் முடிவின் படி, 
 ::∠OX'P' = ∠OPX 
 *ஆனால் ∠OPX = 90&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;
 *எனவே ∠OX'P' = 90&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;
 * ஃ  OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின் மீது X' இருக்கும்.(அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம் செங்கோணம்)
 :*X ஐப் போன்றே தளத்தின் மீதுள்ள பிற புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளும்  OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகளாகும்.
 
 எனவே இத்தளத்தின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச்செல்லும் ஒரு கோளமாகும்.
 
 ===கோளத்தின் நேர்மாறு===
 பொதுவாக, ஒரு கோளத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோளமாகவே இருக்கும்.
 
 எனினும், குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் கோளத்தின் நேர்மாறு ஒரு தளமாக இருக்கும்.
 
 எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட கோளம் {A, a} என்க. அதாவது இக்கோளத்தின் மையம் A, ஆரம் a &gt; 0.
 
 *குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை {A, a} கோளம் வெட்டினால்: 
 ::அவை வெட்டிக்கொள்ளும் வட்டத்தின் மீதமையும் புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.
 
 *புள்ளி A ஆனது O இல் அமையுமானால்:
 ::கோளம் {A, a} இன் நேர்மாறு ஒரே மையங்கொண்ட கோளமாகவும் அதன் ஆரம் r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;/a அலகாகவும் இருக்கும்.
 
 ====குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் கோளத்தின் நேர்மாறு==== 
 * {A, a} கோளத்தின் மீது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O அமைகிறது என்க
 * கோளம் {A, a} இன் மீது O க்கு விட்டவாக்கில் நேரெதிர் புள்ளியாக அமையும் புள்ளி P. அதன் நேர்மாறு P'.
 *{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏதேனும் வேறொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X' .
 *இப்பொழுது ”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி,  
 ::∠OP'X' = ∠OXP
 
 * ஆனால், ∠OXP = 90&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;
 * ஃ ∠OP'X'  = 90&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;
 * P' வழிச்செல்லும்,  OP'. க்குச் செங்குத்தான தளத்தின்மீது X' அமையும்.
 *மேலும் {A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏனைய பிற புள்ளிகளுக்கும் இது உண்மையாகும்.
 
 எனவே நேர்மாற்றப்படும் கோளம் குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச் செல்லும்போது அதன் நேர்மாறு ஒரு தளமாகும்.
 
 ====குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத கோளத்தின் நேர்மாறு====
 *{A, a} கோளத்தை OA வெட்டும் புள்ளிகள் S, T மற்றும் அவற்றின் நேர்மாறுப் புள்ளிகள் S', T'. 
 *{A, a} இன் விட்டம் ST .
 {A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏதேனுமொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X'.
 *இப்பொழுது ”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி
 ::: ∠OXT = ∠OT'X',  
 :::∠OXS = ∠OS'X'.
 
 ;நிலை1 
 O இன் ஒரே பக்கத்தில் T, S அமைகிறது
 [[File:Fig4b.pdf|Fig4b|thumb|centre|450px|Fig 4]]
 
 *∠T'X'S' = ∠OX'S' &amp;minus; ∠OX'T'
 :: = ∠OSX &amp;minus; ∠OTX  (”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி).
 :: = ∠TXS (முக்கோணத்தின் ஒரு வெளிக்கோணம் மற்ற இரு உட்கோணங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்)
 *ஆனால் ∠TXS = 90&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்)
 * ஃ ∠T'X'S' = 90&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; 
 * எனவே T'S' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின்மீது  X' அமைகிறது. 
 *{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.
 
 எனவே {A, a} கோளத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு கோளமாகும்.
 
 ;நிலை 2 
 O இன் எதிர்ப்புறங்களில் T, S அமைகிறது
 [[File:Inver in a sphere, Fig 5.pdf|thumb|centre|450px|Fig 5]]
 *∠OXT + ∠OXS  = 90&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்).
 *∠T'X'S' = ∠OX'T' + ∠OX'S'
 :: = ∠OTX + ∠OSX  (”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு”).
 :: = 180&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt; &amp;minus; ∠TXS (ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;)
 * ∠T'X'S' = 90&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;, (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்).
 *T'S' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின்மீது  X' அமைகிறது.
 *{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.
 *எனவே {A, a} கோளத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு கோளமாகும்.
 
 ===வட்டத்தின் நேர்மாறு===
 பொதுவாக, ஒரு வட்டத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு வட்டமாகும். எனினும்குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வட்டத்தின் மீது அமையும் போது மட்டும் அவ்வட்டத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோடாகும்.
 
 நேர்மாறு காணவேண்டிய வட்டம் c இன் மையம் C, ஆரம் a. மேலும் இவ்வட்டம் அமைந்திருக்கும் தளம் ψ .
 * இவ்வட்டமானது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டினால், அவையிரண்டும் வெட்டிக்கொள்ளும் இரு புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.
 * குறிப்பீட்டுக் கோளமையம் O லிருந்து வட்டத்தின் மீது, மிக அருகிலமையும் மற்றும் மிகத்தூரத்தில் அமையும் புள்ளிகள் முறையே S, T (i.e. OT &gt; OS). அவற்றின் நேர்மாறுகள் S', T'
 * வட்டத்தின் மையம் C, குறிப்பீட்டுக் கோளமையமான O இல் அமைந்தால், வட்டத்தின் நேர்மாறு வட்டம், கோளம் இரண்டுடன் ஒரே மையங்கொண்ட மற்றொரு வட்டமாக அமையும். இந்த நேர்மாறு வட்டத்தின் ஆரம் r&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;/a அலகுகள்
 
 ====குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வழியாகச் செல்லும் வட்டத்தின் நேர்மாறு====
 
 *வட்டத்தின் ஒரு விட்டம் OP;  P இன் நேர்மாறு P'.
 *வட்டத்தின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X'.
 *”இரு புள்ளிகளி நேர்மாறு” முடிவின்படி,
 :::∠OP'X' = ∠OXP = 90&lt;sup&gt;o&lt;/sup&gt;.
 *ஃ X இன் நேர்மாறு X' ஆனது OP' க்குச் செங்குத்தாக, வட்டத்தன் தளத்தில் அமையும் கோட்டில் அமைகிறது.
 *இம்முடிவு வட்டத்தின் மீதுள்ள மற்ற எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் பொருந்தும் 
 * எனவே வட்டத்தின் நேர்மாறானது OP' க்குச் செங்குத்தாக வட்டத்தன் தளத்தில் அமையும் ஒரு கோடாகும்.
 
 அதாவது, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வழியாகச் செல்லும் வட்டத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோடாகும்.
 
 ====குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம்  வட்டத்தின் தளத்தில் அமையாநிலை====
 
 குறிப்பீட்டுக் கோளமையம் O, வட்டத்தின் தளத்தின் (ψ) மீதமையவில்லை
 * வட்டத்த்தின் தளத்திற்குச் செங்குத்தாக, வட்டமையத்தின் வழியே வரையப்படும் கோட்டிலமையும் இரு புள்ளிகள் A, B 
 * A, B ஐ மையங்களாகக் கொண்டு வட்டத்தின் வழியே செல்லும் இரு கோளங்கள் Λ, Ω. ஆனால் இவையிரண்டும் குறிப்பீட்டுக் கோளமையமான O வழியே செல்லாதவை.
 * Λ, Ω இன் நேர்மாறுக் கோளங்கள் Λ', Ω'.
 * வட்டத்தின் நேர்மாறின் மேலுள்ள புள்ளிகள் எல்லாம் Λ' , Ω' இரண்டின் மீதும் அமையும்.
 *  Λ', Ω' கோளங்களின் வெட்டாக அமையும் வட்டமானது (c'), எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வட்டத்தின் (c) நேர்மாறு.
 
 குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வட்டத்தின் தளத்தில் அமையாத போது அவ்வட்டத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு வட்டமாகும்.
 
 ;குறிப்பு
 குறிப்பீட்டுக் கோள மையம் வட்டத்தின் தளத்தில் அமையுமானால், எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வட்டமானது {C, a} கோளத்தின் [[பெரு வட்டம்|பெரு வட்டமாகும்]]. இந்நிலையில் கோளத்தின் நேர்மாறு காணும் முறையில் வட்டத்தின் நேர்மாறு காணலாம்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{Reflist}}
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 * Weisstein, Eric W. &quot;Inversion Sphere.&quot; From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/InversionSphere.html
 *[https://books.google.co.in/books?isbn=0821826360 Inversion Theory and Conformal Mapping]