எதிர்வு உறவு
கணிதத்தில் '''எதிர்வு உறவு''' (''reflexive relation'') என்பது ஒரு [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தின்]] மீது வரையறுக்கப்பட்ட [[ஈருறுப்பு உறவு]]. இவ்வுறவின்கீழ் கணத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் தன்னுடனே உறவு கொண்டிருக்கும். அதாவது  ''S'' என்ற கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட உறவு ~ எதிர்வு உறவு எனில், ''S'' இல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ''x'' ~ ''x'' என்பது உண்மையாகும் (∀''x''∈''S'': ''x''~''x'')&lt;ref&gt;Levy 1979:74&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Relational Mathematics, 2010&lt;/ref&gt; ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணும் தனக்குத்தானே சமமாக இருக்கும் என்பதால், [[மெய்யெண்]] கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ''சமம்'' என்பது எதிர்வு உறவுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. ஒரு எதிர்வு உறவானது, '''எதிர்வுத்தன்மை''' அல்லது '''எதிர்வுப் பண்பு''' கொண்டுள்ளதாகச் சொல்லப்படுகிறது.
 
 ==தொடர்புள்ளவை==
 ===எதிர்வற்ற உறவு===
 ஒரு கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவின்கீழ் அக்கணத்தின் உறுப்புகள் எதுவும் தனக்குத்தானே உறவு உள்ளவையில்லை எனில் அவ்வுறவு '''எதிர்வற்ற உறவு''' ஆகும்.  எடுத்துக்காட்டாக, மெய்யெண் கணத்தின் மீதான &quot;விடப் பெரியது&quot; (x&amp;gt;y) என்ற உறவு எதிர்வுத்தன்மையற்றதாகும்.
 
 எதிர்வு உறவாக அமையாத உறவுகள் அனைத்தும் எதிர்வற்றவையாக இருக்கும் எனக் கூறமுடியாது. சில உறுப்புகள் தமக்குத்தாமே உறவுள்ளவையாகவும், வேறு சில தமக்குக்தாமே உறவுவில்லாதவையாகவும் அமையும் வகையிலும் உறவுகள் வரையறுக்கப்படலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டு: 
 :&quot; ''x'' , ''y'' இன் பெருக்குத்தொகை இரட்டை எண்&quot; என்ற உறவு இரட்டை எண்களின் கணத்தில் எதிர்வு உறவாகவும், ஒற்றை எண்களின் கணத்தில் எதிர்வுத்தன்மை அற்றதாகவும், [[இயல் எண்]]களின் கணத்தில் இரண்டுவிதமாகவும் இல்லாமலும் உள்ளது.
 
 ===போல்வு எதிர்வு உறவு===
 :''S'' கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட உறவு ~, '''போல்வு எதிர்வு உறவு''' (''quasi-reflexive'') எனில்:
 
 :∀''x'',''y''∈''S'': ''x''~''y'' ⇒ ''x''~''x'' ∧ ''y''~''y''
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 மெய்யெண் தொடர்முறைகள் கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட &quot;சம எல்லைகள் கொண்டவை&quot; என்ற உறவு போல்வு எதிர்வு உறவாகும்.
 [[தொடர்வரிசை|தொடர்முறை]]கள் அனைத்தும் எல்லை மதிப்புகள் கொண்டிருக்காது. எல்லை மதிப்பு இல்லாத தொடர்முறைகளும் உண்டு. எனவே இந்த உறவு எதிர்வுத்தன்மை அற்றதாகும். மற்றொரு தொடர்முறையின் எல்லை மதிப்புக்குச் சமமான எல்லையைக் கொண்ட தொடர்முறை, தனக்குத்தானே சம எல்லை கொண்டதாக இருக்கும்.
 
 ===எதிர்வு அடைப்பு உறவு===
 ''S'' கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு  ~ இன் '''எதிர்வு அடைப்பு உறவு''' (''reflexive closure'' - ≃) என்பது அதே கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மிகச்சிறிய எதிர்வு உறவாகும்.எதிர்வு உறவு ~ , ''S'' கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட [[சமன் (கணிதம்)|முற்றொருமை உறவு]] ஆகிய இரண்டின் ஒன்றிப்பாக இந்த [[எதிர்வு அடைப்பு உறவு]] இருக்கும்:
 
 : (≃) = (~) ∪ (=).
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 ''x''&lt;''y'' இன் எதிர்வு அடைப்பு உறவு ''x''≤''y''.
 
 ===எதிர்வு ஒடுக்கம்===
 ''S'' கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட எதிர்வு உறவு ~ இன் '''எதிர்வு ஒடுக்கம்''' (''reflexive reduction'', ''irreflexive kernel'' -≆), ~ இன் எதிர்வு அடைப்பு உறவையே தனது எதிர்வு உறவாகக் கொண்டிருக்கும்.
 
 எதிர்வு அடைப்பு உறவுக்கு எதிரானதாக இதைக் காணலாம். இது ~  இன் முற்றொருமை உறவின் நிரப்பிக்குச் சமானமானதாக இருக்கும். ''S'' கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட எதிர்வு உறவு ~ எனில்:
 
 :(≆) = (~) \ (=).
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 ''x''≤''y'' இன் எதிர்வு ஒடுக்கம் ''x''&lt;''y''.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 [[Image:GreaterThanOrEqualTo.png|left|250px]]
 [[Image:GreaterThan.png|right|250px]]
 
 எதிர்வு உறவுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:
 * &quot;சமன்&quot; 
 * &quot;உட்கணம்&quot; 
 * &quot;வகுக்கும்&quot; 
 * &quot;விடப் பெரியது அல்லது சமன்&quot;
 * &quot;விடச் சிறியது அல்லது சமன்&quot;
 
 எதிர்வற்ற உறவுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:
 * &quot;சமனின்மை&quot;
 * &quot;சார்பகா முழுஎண்&quot; (ஒன்றைவிடப் பெரிய முழுஎண்களுக்கு)
 * &quot;முறையான உட்கணம்&quot;
 * &quot;விடப் பெரியது&quot;
 * &quot;விடச் சிறியது&quot;
 
 ==எதிர்வு உறவுகளின் எண்ணிக்கை==
 ''n''-உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தில் வரையறுக்கப்படக் கூடிய எதிர்வு உறவுகளின் எண்ணிக்கை 2&lt;sup&gt;''n''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;−''n''&lt;/sup&gt; ஆகும்.&lt;ref&gt;On-Line Encyclopedia of Integer Sequences [[OEIS:A053763|A053763]]&lt;/ref&gt;
 
 {{கணித உறவுகள் எண்ணிக்கை}}
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 * Levy, A. (1979) ''Basic Set Theory'', Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag. Reprinted 2002, Dover. {{ISBN|0-486-42079-5}}
 * Lidl, R. and Pilz, G. (1998). ''Applied abstract algebra'', [[Undergraduate Texts in Mathematics]], Springer-Verlag. {{ISBN|0-387-98290-6}}
 * Quine, W. V. (1951). ''Mathematical Logic'', Revised Edition. Reprinted 2003, Harvard University Press. {{ISBN|0-674-55451-5}}
 * Gunther Schmidt, 2010. ''Relational Mathematics''. Cambridge University Press, {{ISBN|978-0-521-76268-7}}.
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 * {{springer|title=Reflexivity|id=p/r080590}}