உட்தொடு முக்கோணம்
[[Image:Intouch Triangle and Gergonne Point.svg|right|frame|250px|Δ''ABC''-ன் உள்வட்டம்  (நீலம்), உள்மையம் (நீலம்-'''I''' ), கெர்கோனின் தொடுமுக்கோணம் (சிவப்பு- Δ''T''&lt;sub&gt;''a''&lt;/sub&gt;''T''&lt;sub&gt;''b''&lt;/sub&gt;''T''&lt;sub&gt;''c''&lt;/sub&gt;) மற்றும் கெர்கோன் புள்ளி (பச்சை-Ge)]]
 ஒரு [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தின்]] '''உட்தொடு முக்கோணம்''' அல்லது '''தொடு முக்கோணம்''' (''Intouch triangle'' or ''contact triangle'') என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் [[முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும்|உள்வட்டமானது]] அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும் மூன்று புள்ளிகளையும் [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகளாகக்]] கொண்ட முக்கோணம் ஆகும். உட்தொடு முக்கோணமானது '''கெர்கோன் முக்கோணம்''' ( Gergonne triangle) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 எடுத்துக்காட்டாக, &lt;math&gt;\triangle ABC&lt;/math&gt; -ன் உள்வட்டமானது முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகள்: 
 :''T&lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt;'' , உச்சி ''A'' -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி; 
 :''T&lt;sub&gt;B&lt;/sub&gt;'' , உச்சி ''B'' -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி
 :''T&lt;sub&gt;C&lt;/sub&gt;'' , உச்சி ''C'' -க்கு எதிர்ப்பக்கத்தின் தொடு புள்ளி
 
 இம் மூன்று  தொடுபுள்ளிகளையும் உச்சிகளாகக் கொண்ட  முக்கோணம் &lt;math&gt;\triangle T_AT_BT_C&lt;/math&gt; உட்தொடு முக்கோணமாகும்.  &lt;math&gt;\triangle ABC&lt;/math&gt;-ன் உள்வட்டமானது &lt;math&gt;\triangle&lt;/math&gt;''T&lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt;T&lt;sub&gt;B&lt;/sub&gt;T&lt;sub&gt;C&lt;/sub&gt;'' -க்கு [[சுற்றுவட்டம்|சுற்றுவட்டமாக]] இருக்கும்.
 
 &lt;math&gt;\triangle ABC&lt;/math&gt; -ன் பக்கங்கள் &lt;math&gt;\ BC,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\ CA,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\ AB,&lt;/math&gt; -க்கு வரையப்பட்ட வெளிவட்டங்களின் தொடு புள்ளிகளை உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணம், [[வெளித்தொடு முக்கோணம்]] ஆகும். &lt;math&gt;\triangle ABC&lt;/math&gt; -ன் உட்கோண இருசமவெட்டிகளானது முக்கோணத்தின் பக்கங்களை வெட்டும் புள்ளிகளால் உருவாகும் முக்கோணம், '''உள்மைய முக்கோணம்''' (incentral triangle) எனப்படும்.
 
 ==உட்தொடு முக்கோணத்தின் உச்சிகள்==
 உட்தொடு முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள் (Trilinear coordinates)
 :&lt;math&gt; A-\text{vertex}= 0 : \sec^2 \left(\frac{B}{2}\right) :\sec^2\left(\frac{C}{2}\right)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; B-\text{vertex}= \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right):0:\sec^2\left(\frac{C}{2}\right)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; C-\text{vertex}= \sec^2 \left(\frac{A}{2}\right) :\sec^2\left(\frac{B}{2}\right):0&lt;/math&gt;
 
 ==பக்க நீளங்கள்==
 மூல முக்கோணம் &lt;math&gt;\triangle ABC&lt;/math&gt; இன் பக்கநீளங்கள் a, b, c மற்றும் கோணங்கள் A, B, C எனில் உட்தொடு முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்கள்:
 :&lt;math&gt;a^,= (-a+b+c)cos(1/2A)&lt;/math&gt;	
 :&lt;math&gt;b^,	= (a-b+c)cos(1/2B)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;c^,	= (a+b-c)cos(1/2C)&lt;/math&gt;.
 
 ==பரப்பளவு==
 உட்தொடு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாடுகள்:
 &lt;math&gt;\Delta^,	= \frac{(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{(4abc)}\Delta&lt;/math&gt;	
 :: &lt;math&gt;=\frac{2r^2s}{abc}\Delta&lt;/math&gt;
 ::&lt;math&gt;	=\frac{\Delta^2}{2Rs}&lt;/math&gt;	
 
 &lt;math&gt;\Delta&lt;/math&gt;, r, s,  R முறையேமூல முக்கோணம் &lt;math&gt;\triangle ABC&lt;/math&gt;இன்  பரப்பளவு, உள்வட்ட ஆரம், அரைச்சுற்றளவு, சுற்றுவட்ட ஆரம் ஆகும். வெளித்தொடு முக்கோணம், உட்தொடு முக்கோணம் இரண்டின் பரப்பளவும் சமமானவை.
 
 ==கெர்கோன் புள்ளி==
 ''AT&lt;sub&gt;A&lt;/sub&gt;'', ''BT&lt;sub&gt;B&lt;/sub&gt;'' மற்றும் ''CT&lt;sub&gt;C&lt;/sub&gt;''  கோடுகள் மூன்றும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கின்றன. அப்புள்ளியானது, &lt;math&gt;\triangle ABC&lt;/math&gt;-இன் '''கெர்கோன் புள்ளி''' ''Ge'' – ''X(7)'' எனப்படும்.&lt;ref&gt;{{Cite journal
  |last        = Dekov
  |first       = Deko
  |title       = Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point
  |journal     = Journal of Computer-generated Euclidean Geometry
  |year        = 2009
  |volume      = 1
  |pages       = 1&amp;ndash;14.
  |url         = http://www.dekovsoft.com/j/2009/01/JCGEG200901.pdf
  |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20101105045604/http://www.dekovsoft.com/j/2009/01/JCGEG200901.pdf
  |archivedate = 2010-11-05
  |access-date = 2015-01-14
  |url-status  = live
 }}&lt;/ref&gt; &lt;math&gt;\triangle ABC&lt;/math&gt;-இன் கெர்கோன் புள்ளியானது [[நாகெல் புள்ளி]]யின் [[ஐசோட்டாமிக் இணையியம்|ஐசோட்டாமிக் இணையியமாகவும்]]  உட்தொடு முக்கோணத்தின் [[சமச்சரிவு இடைக்கோட்டுப் புள்ளி]]யாகவும்  இருக்கும். மேலும் கெர்கோன் புள்ளி ஒரு [[முக்கோண மையம்|முக்கோண மையமாகும்]].
 
 ===கெர்கோன் புள்ளியின் ஆட்கூறுகள்===
 கெர்கோன் புள்ளியின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள்:
 : &lt;math&gt;\sec^2\left(\frac{A}{2}\right) : \sec^2 \left(\frac{B}{2}\right) : \sec^2\left(\frac{C}{2}\right)&lt;/math&gt;,
 ::::(அல்லது [[சைன் விதி]]யைப் பயன்படுத்தி)
 : &lt;math&gt;\frac{bc}{b+ c - a} : \frac{ca}{c + a-b} : \frac{ab}{a+b-c}&lt;/math&gt;.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 *[http://mathworld.wolfram.com/ContactTriangle.html  &quot;Contact Triangle.&quot; From MathWorld]
 *[http://mathworld.wolfram.com/GergonnePoint.html &quot;Gergonne Point.&quot; From MathWorld]
 
 [[பகுப்பு:முக்கோண வடிவவியல்]]