கோசைன் (முக்கோணவியல்)
{{Function
 |name = கோசைன் (நீலம்)
 |image = Sine cosine one period.svg
 |heading1 = 1
 |parity = இரட்டை
 |domain =  (-∞,∞)
 |codomain = [-1,1]
 |period = 2π
 |heading2 = 1
 |zero = 1
 |plusinf =
 |minusinf =
 |max = (2kπ,1)
 |min = ((2k+1)π,-1)
 |vr1 =
 |f1 =
 |vr2 =
 |f2 =
 |vr3 =
 |f3 =
 |vr4 =
 |f4 =
 |vr5 =
 |f5 =
 |heading3 = 1
 |asymptote =
 |root = (2k+1)π/2
 |critical = 2kπ
 |inflection = (2k+1)π/2
 |notes =[[மாறி]] k ஒரு [[முழு எண்]]
 }}
 
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''கோசைன்''' (''cosine'') [[சார்பு]] என்பது ஒரு [[கோணம்|கோணத்தின்]] சார்பாகும். கோணங்களின் சார்புகளாக அமையும் ஆறு [[முக்கோணவியல் சார்புகள்|முக்கோணவியல் சார்புகளில்]] இது இரண்டாவது சார்பாக வரிசைப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு [[முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள்|செங்கோண முக்கோணத்தில்]], ஒரு கோணத்தின் கோசைன் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் அடுத்துள்ள பக்கத்திற்கும் செம்பக்கத்திற்குமுள்ள [[விகிதம்|விகிதமாகும்]]. ஓரலகு [[வட்டம்]], [[சாய்வு]], முடிவிலாத்தொடர் முதலியவை வாயிலாகவும் மற்றும் [[வகையீட்டுச் சமன்பாடு|வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின்]] தீர்வாகவும் கோசைன் சார்பை [[வரையறை|வரையறுக்கலாம்]]. 
 
 == செங்கோண முக்கோணத்தில் வரையறை ==
 [[File:Trigono sine en2.svg|right|thumb|&lt;math&gt;\cos \alpha = \frac {\textrm{adjacent}} {\textrm{hypotenuse}} &lt;/math&gt;]]
 [[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள்|வடிவொத்த முக்கோணங்களின்]] ஒத்தபக்கங்களின் [[விகிதம்|விகிதங்கள்]] சமமாக இருக்கும் என்ற உண்மையிலிருந்து, ஒரு [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தின்]] பக்க [[நீளம்|நீளங்களுக்கும்]] கோண அளவுகளுக்கும் தொடர்பு இருக்கும் என்ற கருத்து  அறியப்படுகிறது.  இரு செங்கோண முக்கோணங்களில் ஒன்றின் [[செம்பக்கம்]] மற்றதன் செம்பக்க நீளத்தைப் போல இருமடங்கு எனில் மற்ற பக்கங்களும் அவ்வாறே அமையும். இந்த பக்க விகிதங்களைத்தான் முக்கோணவியல் சார்புகள் தருகின்றன.
 
 ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கோணம் ''A'' -ன் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்க அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைப் பின்வருமாறு அழைக்கலாம்:
 
 * ''செம்பக்கம்'' (அல்லது கர்ணம்) (''hypotenuse''): 
 
 செங்கோணத்திற்கு எதிர்ப்பக்கம்.  இதன் அளவு &amp;nbsp;'''h'''. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செம்பக்கந்தான் மூன்று பக்கங்களிலும் நீளமானது.
 
 * ''எதிர்ப்பக்கம்'' (''opposite''):  
 
 நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் ''A'' -க்கு எதிரில் அமையும் பக்கம். இதன் நீளம் &amp;nbsp;'''a'''.
 
 * ''அடுத்துள்ள பக்கம்'' (''adjacent''): 
 
 [[செங்கோணம்]] மற்றும் நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் இரண்டிற்கும் ( ''A'' மற்றும் ''C'') பொதுவான பக்கம். இதன் நீளம் &amp;nbsp;'''b'''.
 
 '''கோசைன் சார்பு''':
 :&lt;math&gt;\cos \alpha = \frac {\textrm{adjacent}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {b} {h}.&lt;/math&gt;
 
 செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் கோசைன் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் அடுத்துள்ள பக்கம் மற்றும் செம்பக்கத்தின் விகிதமாகும்.
 
 எடுத்துக்கொள்ளப்படும் கோணத்தின் [[நிரப்புக் கோணங்கள்|நிரப்புக்கோணத்தின்]] [[சைன் (முக்கோணவியல்)|சைன்]] மதிப்பிற்குச் சமமாக அமைவதால் கோசைன்(கோ-சைன்) என்று பெயர்பெற்றுள்ளது.&lt;ref&gt;Oxford English Dictionary, cosine, ''n.''&lt;/ref&gt;.  
 
 ''A'' கோணத்தைக் கொண்ட அனைத்து செங்கோண முக்கோணங்களிலும் இவ்விகிதத்தின் மதிப்பு ஒரே மதிப்புடையதாய் அமையும். அச்செங்கோண முக்கோணங்கள் எல்லாம் வடிவொத்த முக்கோணங்கள் என்பதால் அவற்றின் பக்க அளவுகள் வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அவற்றின் அவ்வேறுபாடு இவ்விகிதத்தின் மதிப்பைப் பாதிப்பதில்லை.
 
 == வரையறை- சாய்வு வாயிலாக ==
 செங்கோண முக்கோணங்களின் மூலம் வரையறுப்பது போல ஒரு கிடைமட்டக்கோட்டுடன் தொடர்புடைய ஒரு கோட்டுத்துண்டின் ''எழுச்சி'' (rise), ''ஓட்டம்''(run), [[சாய்வு]] ஆகியவற்றின் மூலமாகவும் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்கலாம்.
 
 எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 1 அலகு என்க. அக்கோட்டுத்துண்டு ஒரு குறிப்பிட்ட கிடைமட்டக்கோட்டுடன் உருவாக்கும் கோணம் ''A''  என்க. இக்கோணத்தின்: 
 
 * கோசைன் மதிப்பு, கோட்டுத்துண்டின் கிடைமட்டமான ஓட்டத்தின் அளவுக்குச் சமம். 
 :cosA = ஓட்டம்
 
 கோட்டுத்துண்டின் நீளம் சாய்வின் மதிப்பை பாதிப்பதில்லை. ஆனால் எழுச்சி மற்றும் ஓட்டத்தின் மதிப்புகள் கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தைச் சார்ந்துள்ளன. கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 1 அலகாக இல்லையென்றால் குறிப்பிட கோணத்தில், அக்கோட்டுத்துண்டின் 
 
 * ஓட்டத்தைக் காண அக்கோணத்தின் கோசைன் மதிப்பை கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தால் பெருக்கிக் கொள்ள வேண்டும்.
 
 எடுத்துக்காட்டாக:
 
 கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 5 அலகுகள் எனில்  7°  கோணத்தில் அக்கோட்டுத்துண்டின்: 
 
 ஓட்டம் =  5&amp;nbsp;cos(7°)
 
 == வரையறை- ஓரலகு வட்டம் வாயிலாக ==
 ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளையும் ஓரலகு வட்டத்தைக் கொண்டு வரையறுக்கலாம். [[ஓரலகு வட்டம்]] என்பது ஆதிப்புள்ளியை மையமாகவும் [[ஆரம்]] 1 அலகும் கொண்ட வட்டமாகும். நடைமுறைக் கணக்கீடுகளுக்கு ஓரலகு வட்டத்தின் மூலமான வரையறை அவ்வளவாகப் பொருந்தாவிடினும்,  (0, π/2 ) -ல் அமையும் கோணங்களுக்கு மற்றுமல்லாது அனைத்து மெய்யளவு கோணங்களுக்கும் பொருத்தமாக அமையும். 
 
 ''x''-அச்சின் நேர்மப் பகுதியோடு, ஆதிப்புள்ளியில் ''θ'' கோணம் உண்டாக்கும் ஒரு கோடு ஓரலகு வட்டத்தை சந்திக்கிறது என்க. அந்த சந்திக்கும் புள்ளியின்  ''x''- மற்றும் ''y''-அச்சுதூரங்கள் முறையே cos&amp;nbsp;''θ'' மற்றும்  sin&amp;nbsp;''θ'' -க்குச் சமம். செங்கோண முக்கோண முறை வரையறைப்படியும் இதை உணரலாம். வெட்டும் புள்ளியின் அச்சுதூரங்கள்: (x, y) என்க. ஓரலகு வட்டத்தின் ஆரம் செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம். எனவே செம்பக்கத்தின் அளவு 1 அலகு. 
 
 &lt;math&gt;\cos\theta\ = \frac{x}{1} = x \,&lt;/math&gt;
 
 {|
 |valign=&quot;top&quot;| [[File:Unit circle 3.svg|right|thumb|ஓரலகு வட்டம்.]]
 |valign=&quot;top&quot;| [[File:Unit circle.svg|Unit circle|right|thumb|ஓரலகு வட்டத்தின் ஆரம் 1 அலகு. [[மாறி]] ''t'' ஒரு கோண அளவு.]]
 |valign=&quot;top&quot;| [[File:Trig functions on unit circle.svg|thumb|புள்ளி ''P''(x,y) ஓரலகு வட்டத்தின் விரிகோணத்தில் (θ &amp;gt; π/2) அமையும் ஆரத்தின்  முனையாக அமைகிறது.]]
 |}
 
 == முடிவிலாத் தொடரின் வாயிலாக ==
 டெயிலரின் விரிவுக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்திப் பின்வரும் முற்றொருமையை, எல்லா மெய்யெண்கள் ''x'' -க்கும் உண்மையெனக் காட்டலாம்.&lt;ref&gt;See Ahlfors, pages 43–44.&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \cos x &amp; = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
 &amp; = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 ==வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வாயிலாக==
 
 கோசைன் சார்பு பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் தீர்வாக அமையும்:
 
 : &lt;math&gt;y'' = -y.\,&lt;/math&gt;
 
 * &lt;math&gt;\scriptstyle \left( y'(0),   y(0) \right) = (0, 1)\,&lt;/math&gt;என்ற ஆரம்ப நிபந்தனையை நிறைவு செய்யும் தனித்த தீர்வு கோசைன் சார்பு.
 
 == முற்றொருமைகள் ==
 
 &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் [[முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல்|முற்றொருமைகள்]] மெய்யாகும்:
 
 * &lt;math&gt;
 \begin{align}
 \cos \theta &amp; = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \\
 &amp; = \frac{1}{\sec \theta}
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 * ஏனைய ஐந்து முக்கோணவியல் சார்புகளின் வாயிலாக:
 
 &lt;math&gt;   \cos \theta \!&lt;/math&gt;
 
 : = &lt;math&gt;\pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}\! &lt;/math&gt;
 
 : = &lt;math&gt;\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\! &lt;/math&gt;
 
 : = &lt;math&gt;\pm\frac{\sqrt{\csc^2 \theta - 1}}{\csc \theta}\! &lt;/math&gt;
 
 : = &lt;math&gt;   \frac{1}{\sec \theta}\! &lt;/math&gt;
 
 : = &lt;math&gt;\pm\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\! &lt;/math&gt;
 
 === தலைகீழி ===
 
 கோசைன் சார்பின் [[தலைகீழிச் சார்புகள் (முக்கோணவியல்)|தலைகீழிச் சார்பு]] [[சீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்)|சீக்கெண்ட்]] சார்பு. 
 
 cos(''A'') -ன் தலைகீழி sec(''A''): 
 
 :&lt;math&gt;\sec A = \frac {1}{\cos A} = \frac {\textrm{hypotenuse}} {\textrm{adjacent}} = \frac {h} {b}. &lt;/math&gt;
 
 == நேர்மாறு ==
 [[Image:Arcsine Arccosine.svg|168px|right|thumb|கார்ட்டீசியன் தளத்தில்  arcsin(''x'') (சிவப்பு) மற்றும் arccos(''x'') (நீலம்) ஆகிய இரு சார்புகளின் முதன்மை மதிப்புகளின் [[சார்பின் வரைபடம்|வரைபடம்]].]]
 
 கோசைன் சார்பின் [[நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்|நேர்மாறுச் சார்பு]]:
 
 : arccos அல்லது  (cos{{sup|&amp;minus;1}}).
 
 :&lt;math&gt;\theta = \arccos \left( \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \right) = \cos^{-1} \left( \frac {b} {h} \right).&lt;/math&gt; 
 
 k ஏதாவதொரு முழு எண் எனில்:
 
 :&lt;math&gt;\cos(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = \arccos(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arccos(x) + 2k\pi&lt;/math&gt;
 
 மேலும்:
 
 :&lt;math&gt;\cos(\arccos x) = x\!&lt;/math&gt;.
 
 == காற்பகுதிகள் தொடர்பான பண்புகள் ==
 [[File:Quadrants 01 Pengo.svg|thumb|150px|கார்ட்டீசியன் தளத்தில் நான்கு காற்பகுதிகள்.]]
 கார்ட்டீசியன் தளத்தில் நான்கு காற்பகுதிகளிலும் கோசைன் சார்பு அமையும் விதத்தைப் பின்வரும் அட்டவணை தருகிறது.
 {| class=&quot;wikitable&quot;
 |--class=&quot;hintergrundfarbe8&quot;
 !காற்பகுதி
 ![[பாகை (அலகு)|பாகை]]
 ![[ரேடியன்]]
 !மதிப்பு
 !குறி
 ![[ஓரியல்புச் சார்பு|ஓரியல்புத் தன்மை]]
 |-
 |முதல் காற்பகுதி
 |&lt;math&gt;0^\circ&lt;x&lt;90^\circ&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;0&lt;x&lt; \pi/2 &lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;0&lt;\cos x&lt;1&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;
 |[[ஓரியல்புச் சார்பு#குறையும் சார்பு|குறையும் சார்பு]]
 |-
 |இரண்டாம் காற்பகுதி 
 |&lt;math&gt;90^\circ&lt;x&lt;180^\circ&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\pi/2&lt;x&lt;\pi&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;-1&lt;\cos x&lt;0&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;-&lt;/math&gt;
 |குறையும் சார்பு
 |-
 |மூன்றாம் காற்பகுதி
 |&lt;math&gt;180^\circ&lt;x&lt;270^\circ&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\pi&lt;x&lt;3\pi/2&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;-1&lt;\cos x&lt;0&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;-&lt;/math&gt;
 |[[ஓரியல்புச் சார்பு#கூடும் சார்பு|கூடும் சார்பு]]
 |-
 |நான்காம் காற்பகுதி
 |&lt;math&gt;270^\circ&lt;x&lt;360^\circ&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;3\pi/2&lt;x&lt;2\pi&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;0&lt;\cos x&lt;1&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;
 |கூடும் சார்பு
 |}
 
 காற்பகுதிகளுக்கு இடைப்பட்ட [[புள்ளி]]களில், k ஒரு [[முழு எண்]].
 
 {| class=&quot;wikitable&quot;
 |--class=&quot;hintergrundfarbe8&quot;
 !பாகை
 !ரேடியன்
 0 ≤ ''x'' &amp;lt; 2π
 !ரேடியன்
 !cos ''x''
 !|புள்ளி வகை
 |-
 |&lt;math&gt;0^\circ&lt;/math&gt;
 |0
 ||&lt;math&gt;2 \pi k&lt;/math&gt;
 |1
 |[[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|பெரும மதிப்பு]]
 |-
 |&lt;math&gt;90^\circ&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\pi/2&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;2 \pi k + \pi/2 &lt;/math&gt;
 |0
 |cos ''x'' = 0, [[சமன்பாடு|சமன்பாட்டின்]] மூலம், [[வளைவுமாற்றுப் புள்ளி]]
 |-
 |&lt;math&gt;180^\circ&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;\pi&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;2 \pi k - \pi&lt;/math&gt;
 | -1
 |[[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|சிறும மதிப்பு]]
 |-
 |&lt;math&gt;270^\circ&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;3\pi/2&lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;2 \pi k - \pi/2 &lt;/math&gt;
 |0
 |cos ''x'' = 0, [[சமன்பாடு|சமன்பாட்டின்]] மூலம், [[வளைவுமாற்றுப் புள்ளி]]
 |}
 
 அட்டவணையில் இல்லாத கோணங்களுக்கு கோசைன் சார்பு, 360° (2π rad) அளவு கால முறைமை கொண்டது என்ற கூற்றினைப் பயன்படுத்தி காணலாம்: 
 
 &lt;math&gt;\cos(\alpha + 360^\circ) = \cos(\alpha)&lt;/math&gt;, 
 
 அல்லது
 
 &lt;math&gt;\cos(\alpha + 180^\circ) = -\cos(\alpha)&lt;/math&gt; -ஐப் பயன்படுத்தலாம்.
 
 மேலும் 
 
 &lt;math&gt;\cos(180^\circ-\alpha) = -\cos(\alpha)&lt;/math&gt;
 
 == நுண்கணிதம் ==
 
 கோசைன் சார்பு:
 
 :&lt;math&gt; f(x) = \cos x \,&lt;/math&gt;
 
 [[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] இச்சார்பின்:
 
 * [[வகைக்கெழு]]:
 
 :&lt;math&gt; f'(x) = -\sin x \,&lt;/math&gt;
 
 * [[தொகையீடு]]:
 
 : &lt;math&gt;\int f(x)\,dx = \sin x + C &lt;/math&gt;
 
 
 ''C'', தொகையீட்டு மாறிலி.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 [[பகுப்பு:முக்கோணவியல் சார்புகள்]]