உள்ளிடுகோப்பு
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] &lt;math&gt;f : X\rightarrow Y&lt;/math&gt; என்ற [[சார்பு|சார்பில்/கோப்பில்]] ஒவ்வொரு &lt;math&gt;y \in Y&lt;/math&gt; க்கும்  &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; இல்  &lt;math&gt;f(x) = y&lt;/math&gt; ஆகும்படி அதிக பட்சம்  ஒரு  &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; தான் இருக்குமானால் &lt;math&gt; f&lt;/math&gt; '''உள்ளிடுகோப்பு''' (''Injection'') எனப்படும்; அதாவது, [[வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு|முன்னுரு]] உள்ள எந்த  &lt;math&gt;y \in Y&lt;/math&gt; க்கும்  முன்னுரு ஓருறுப்புக் கணமாகத்தான் இருக்கும்.
 
 இதையே வேறுவிதமாகச்சொன்னால், &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; இன் உறுப்புகள் &lt;math&gt;x_1, x_2&lt;/math&gt; க்கு &lt;math&gt;f(x_1) = f(x_2)&lt;/math&gt;ஆக இருக்குமானால் &lt;math&gt;x_1&lt;/math&gt; ம் &lt;math&gt;x_2&lt;/math&gt; ம் சமமாக இருந்தாகவேண்டும். அதாவது, [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களத்திலுள்ள]] தனித்தனி &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கு [[இணையாட்களம் (கணிதம்)|இணை ஆட்களத்தில்]] தனித்தனி &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; இருந்தாகவேண்டும்.
 
 == துல்லியமான வரையறை==
 
 &lt;math&gt;f: X \rightarrow  Y&lt;/math&gt;  ஒரு உள்ளிடுகோப்பு எனப்படுவதற்கு இலக்கணம்:
 
 :&lt;math&gt;\forall (x,y) \in X^2,\, \left(x \neq y \,\Longrightarrow\, f(x) \neq f(y) \right)&lt;/math&gt;
 
 ==உலகவழக்கில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு==
 
 [[Image:Injection.svg|thumb|200px|உள்ளிடுகோப்பு.]]
 [[Image:Bijection.svg|thumb|200px|முழுக்கோப்பு. இருவழிக்கோப்பும் கூட.]]
 [[Image:Surjection.svg|thumb|200px|உள்ளிடுகோப்பல்ல.]]
 
 சுற்றுலாப்பயணிகளின் கூட்டமொன்று இராத்தங்க, எல்லா அறைகளும் காலியாக இருக்கும் ஒரு விடுதியில் வந்து சேருகின்றனர். பயணிகளுக்கு அறைகள் வழங்கும் முறையை ஒருகோப்பாக விவரிக்கலாம். (பயணிகள் கணம்: X ; அறைகள் கணம்: Y.)
 
 ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கவேண்டுமென்றால், அறைகளின் எண்ணிக்கை பயணிகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது.அப்பொழுது ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். இது உள்ளிடுகோப்பு (''injective map; injection; one-one map'').
 
 ஒவ்வொரு அறையும்  நிரப்பப்படவேண்டுமென்றால், பயணிகளின் எண்ணிக்கை அறைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வொரு அறையிலும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பயணியாவது இருப்பர். இது [[முழுக்கோப்பு]] (''surjective map; surjection; onto map'').
 
 சில  அறைகள் நிரப்பப்படாமலும், சில அறைகளில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பயணிகளும் இருக்கும்படி செய்யப்பட்ட கோப்பு, உள்ளிடுகோப்புமல்ல, முழுக்கோப்புமல்ல. இதை வெறும் [[உட்கோப்பு]] (''into map'') என்று  மட்டும் சொல்லலாம்.
 
 பயணிகளின் எண்ணிக்கையும் அறைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். ஒரு அறையும் காலியாக இருக்காது. இது [[இருவழிக்கோப்பு]] (''bijective map; bijection; one-one onto map''). அதாவது, இது உள்ளிடுகோப்பு, முழுக்கோப்பு ஆகிய இரு பண்புகளையும் கொண்டது.
 
 == கணிதத்தில் எடுத்துக்காட்டுகளும் மாற்றுக்காட்டுகளும் ==
 * &lt;math&gt;f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;f(x) = 2x - 1&lt;/math&gt; 
 :இது ஒரு உள்ளிடுகோப்பு. ஏனென்றால்  &lt;math&gt;2x_1 - 1 = 2x_2 - 1  \Rightarrow  x_1 = x_2.&lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;g:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;g(x) = x^2&lt;/math&gt;
 :இது உள்ளிடுகோப்பல்ல. ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, g(1) = g(-1).
 *&lt;math&gt;h:\mathbf {R}^{+} \rightarrow \mathbf {R}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;h(x) = x^2&lt;/math&gt;
 :இது உள்ளிடுகோப்பு.
 *[[அடுக்குச் சார்பு]]:
 :&lt;math&gt;exp: \mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}^{+} : x \mapsto e^x&lt;/math&gt;
 *[[மடக்கை|மடக்கைச்சார்பு]]&lt;math&gt;\ln : (0,+\infty) \to \mathbf{R} : x \mapsto \ln{x}&lt;/math&gt;
 :இவையிரண்டும் உள்ளிடுகோப்புகளே.
 
 == சில விளைவுகள்==
 [[Image:Injective_composition.svg|thumb|300px|சேர்வை உள்ளிடு கோப்பு.ஆனாலும் 2வது கோப்பு உள்ளிடு கோப்பல்ல]]
 
 * எந்த  &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; க்கும்   &lt;math&gt;I : X \rightarrow X&lt;/math&gt;  என்ற முற்றொருமைச்சார்பு ஒரு உள்ளிடுகோப்பு.
 * &lt;math&gt;f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}&lt;/math&gt; என்ற சார்பு :ஒரு  உள்ளிடுகோப்பானால், அதனுடைய வரைவு ஒவ்வொரு கிடைக்கோட்டையும் அதிகபட்சம் ஒரு புள்ளியில் தான்  சந்திக்கும்.
 * &lt;math&gt;g \circ f&lt;/math&gt; என்ற சேர்ப்புச் சார்பு உள்ளிடுகோப்பானால், &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ஒரு உள்ளிடுகோப்பாக இருக்கும். ஆனால் &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; உள்ளிடுகோப்பாக இருக்கவேண்டியதில்லை. (படிமம் பார்க்கவும்)
 * &lt;math&gt;f, g&lt;/math&gt; இரண்டும் உள்ளிடுகோப்புகளானால் &lt;math&gt; g \circ f&lt;/math&gt;  ஒரு உள்ளிடுகோப்பாகும்.
 * &lt;math&gt;f: X \rightarrow Y&lt;/math&gt; ஒரு உள்ளிடுகோப்பு,  &lt;math&gt;A \subset X&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;B \subset X&lt;/math&gt; என்றால்
 : &lt;math&gt;f^{-1}(f(A)) = A&lt;/math&gt;, மற்றும்
 : &lt;math&gt;f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)&lt;/math&gt;
 
 * X ம் Y ம் முடிவுறுகணங்களாக இருந்தால், &lt;math&gt;f: X \rightarrow Y&lt;/math&gt; உள்ளிடுகோப்பாக இருப்பதும் முழுக்கோப்பாக இருப்பதும் ஒன்றுதான்.
 * &lt;math&gt;f : X \rightarrow Y&lt;/math&gt; ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், Y இன் [[எண்ணளவை]] X இன் எண்ணளவையைவிடக் குறைவாக இருக்கமுடியாது.
 
 ==உள்ளிடுகோப்புகளுக்கு நேர்மாற்றுக்கோப்புகள்==
 
 உள்ளிடுகோப்புகளுடைய் இலக்கணத்தை  இன்னொருவிதமாக எழுதலாம். அதாவது  
 :&lt;math&gt;f: X \rightarrow Y&lt;/math&gt; உள்ளிடுகோப்பாகவேண்டுமென்றால், 
 :&lt;math&gt;g \circ f&lt;/math&gt; =  &lt;math&gt;I: X \rightarrow X&lt;/math&gt; ஆக இருக்கும்படி 
 :&lt;math&gt;g: Y \rightarrow X&lt;/math&gt; என்ற கோப்பு ஒன்று இருக்கவேண்டும்.
 : ஆனால் இந்த &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; ஐ  &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இன் நேர்மாற்றுக்கோப்பாகக் கருதிவிடமுடியாது. ஏனென்றால்  &lt;math&gt;f \circ g&lt;/math&gt; முற்றொருமையாக இல்லாமல் இருக்கலாம்.
 : எனினும், &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இனுடைய இணையாட்களத்தை மாற்றுவதால் நாம் இதைச்சாதித்துவிடலாம். அதாவது, &lt;math&gt;Y&lt;/math&gt; க்கு பதிலாக, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இன் [[வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு|வீச்சை]] எடுத்துக்கொள்வதால் &lt;math&gt;f \circ g&lt;/math&gt; யும் முற்றொருமை ஆகிவிடும்.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 * {{Citation|last1=Bartle|first1=Robert G.|title=The Elements of Real Analysis|publisher=[[John Wiley &amp; Sons]]|location=New York|edition=2nd|isbn=978-0-471-05464-1|year=1976}}, p.&amp;nbsp;17 ''ff''.
 * {{Citation|last1=Halmos|first1=Paul R.|author1-link=Paul R. Halmos|title=[[Naive Set Theory (book)|Naive Set Theory]]|isbn=978-0-387-90092-6|year=1974|publisher=Springer|location=New York}}, p.&amp;nbsp;38 ''ff''.
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 {{Commons category|Injectivity}}
 {{Wiktionary|injective}}
 * [http://jeff560.tripod.com/i.html Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.]
 * [http://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/v/surjective--onto--and-injective--one-to-one--functions Khan Academy – Surjective (onto) and Injective (one-to-one) functions: Introduction to surjective and injective functions]
 
 == இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
 *[[முழுக்கோப்பு]]
 *[[இருவழிக்கோப்பு]]
 
 [[பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்]]
 [[பகுப்பு:கணக் கோட்பாடு]]