இணையியத் தொகுதி
[[File:Dihedral-conjugacy-classes.svg|thumb|420px|[[இருமுகக் குலங்கள்|இருமுகக் குலங்களின்]] இரண்டு கெய்லி வரைபடங்களும் வேறுபட்ட நிறங்களில் காட்டப்பட்டுள்ள இணையியத் தொகுதிகளும்.]]
 
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]], குறிப்பாக [[குலக் கோட்பாடு|குலக்கோட்பாட்டில்]], ஒரு [[குலம் (கணிதம்)|குலத்தில்]] &lt;math&gt;a,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; என்ற இரு உறுப்புகளுக்கு &lt;math&gt;b = gag^{-1}.&lt;/math&gt; என்பதை நிறைவு செய்யும் மற்றொரு உறுப்பு &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; அதே குலத்தில் இருந்தால் &lt;math&gt;a,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; இரண்டும் ஒன்றுகொன்று '''இணையியம்''' (''conjugate'') ஆகும். ”இணைத்தல்” (conjugation) என்ற உறவு [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவாகும்.]] இவ்வுறவின் [[சமானப் பகுதி|சமானத் தொகுதிகள்]] '''இணையியத் தொகுதிகள்''' (''conjugacy classes'') என அழைக்கப்படுகின்றன. இதனை, ஒவ்வொரு இணையியத் தொகுதியும் குலத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு &lt;math&gt;g&lt;/math&gt;-க்கும்  &lt;math&gt;b = gag^{-1}.&lt;/math&gt; செயலின்கீழ் [[அடைவுப் பண்பு|அடைவுபெற்றுள்ளது]] என்றும் கூறலாம்.
 
 ஒரே இணையியத் தொகுதியைச் சேர்ந்த உறுப்புகளை, குலத்தின் அமைப்பை மட்டுமேகொண்டு வேறுபடுத்த முடியாது. எனவே, பல பண்புகளைப் பகிர்ந்துகொள்கின்றன. [[பரிமாற்றுக் குலம்|பரிமாறா குலங்களின்]] இணையியத் தொகுதிகள் குறித்த ஆய்வுகள்தான் அவற்றின் அமைப்பு குறித்த ஆய்வுகளுக்கு அடிப்படையாகும்.&lt;ref name=&quot;dummit&quot;&gt;{{cite book|last1=Dummit|first1=David S.|last2=Foote|first2=Richard M.|title=Abstract Algebra|publisher=[[யோன் வில்லி அன் சன்ஸ்]]|year=2004|edition=3rd|isbn=0-471-43334-9}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite book|last=Lang|first=Serge|author-link=Serge Lang|title=Algebra|publisher=[[இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம்|Springer]]|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|year=2002|isbn=0-387-95385-X}}&lt;/ref&gt; [[பரிமாற்றுக் குலம்|பரிமாற்றுக் குலங்களில்]] ஒவ்வொரு இணையியத் தொகுதியும் ஒரேயொரு உறுப்புடைய [[கணம் (கணிதம்)|கணமாக]] ([[ஒற்றையுறுப்பு கணம்]]) இருக்கும்.
 
 ஒரே இணையியத் தொகுதியிலுள்ள உறுப்புகளுக்கு [[மாறிலிச் சார்பு|மாறிலியாகவுள்ள]] [[சார்பு]]கள் “தொகுதிச் சார்புகள்” என அழைக்கப்படுகின்றன.
 
 == வரையறை ==
 &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ஒரு குலம். &lt;math&gt;a,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; என்ற இரு உறுப்புகளுக்கு &lt;math&gt;b = gag^{-1}.&lt;/math&gt; என்பதை நிறைவு செய்யும் மற்றொரு உறுப்பு &lt;math&gt;g&lt;/math&gt; அதே குலத்தில் இருந்தால் &lt;math&gt;a,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; இரண்டும் ஒன்றுகொன்று '''இணையியம்''' (''conjugate'') ஆகும்.
 
 &quot;இணைத்தல்&quot; செயல் என்பது ஒரு [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவு]] என்பதை எளிதாகக் காணமுடியும். எனவே இச் செயல் &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ஐ சமானத் தொகுதிகளாகப் [[ஒரு கணத்தின் பிரிவினை|பிரிக்கிறது]]. (அதாவது, குலத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரேயொரு இணையியத் தொகுதியில் மட்டுமே இருக்கும். மேலும் &lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று இணையியங்களாக &quot;இருந்தால், இருந்தால்தான்&quot; அவற்றின் இணையியத் தொகுதிகள் &lt;math&gt;\operatorname{Cl}(a),&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\operatorname{Cl}(b)&lt;/math&gt; இரண்டும் சமமாக இருக்கும். அவ்வாறில்லாவிடில் அவ்விரு தொகுதிகளும் [[சேர்ப்பில்லாக் கணங்கள்|சேர்ப்பில்லாக் கணங்களாக]] இருக்கும்.)
 
 &lt;math&gt;a \in G&lt;/math&gt; இன் சமானத் தொகுதி:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\operatorname{Cl}(a) = \left\{ gag^{-1} : g \in G \right\}&lt;/math&gt;
 இதுவே &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; இன் இணையியத் தொகுதியுமாகும்.
 
 &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இன் வேறுபட்ட இணையியத் தொகுதிகளின் எண்ணிக்கையானது  அக்குலத்தின் &quot;தொகுதி எண்&quot; எனப்படும். ஒரே இணையியத் தொகுதியைச் சேர்ந்த குலத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் [[குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)|வரிசையுடையவையாக]] இருக்கும்.
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 === எடுத்துக்காட்டு 1 ===
 மூன்று உறுப்புகளின் 6 [[வரிசை மாற்றம்|வரிசைமாற்றங்களின்]] [[சமச்சீர் குலம்|சமச்சீர் குலமான]] [[சமச்சீர் குலம்]] &lt;math&gt;S_3&lt;/math&gt;]] -க்கு மூன்று இணையியத் தொகுதிகள் உள்ளன:
 
 # மாற்றம் இல்லாதது &lt;math&gt;(abc \to abc)&lt;/math&gt;.  ஒரு வரிசையுடைய ஒரேயொரு உறுப்புடையது.
 # இரு உறுப்புகளை [[வட்ட வரிசைமாற்றம்#இடமாற்றங்கள்|இடமாற்றல்]] &lt;math&gt;(abc \to acb, abc \to bac, abc \to cba)&lt;/math&gt;. இரண்டு வரிசையுடைய மூன்று உறுப்புகள் உள்ளன.
 # எல்லா மூன்று உறுப்புகளையும் [[வட்ட வரிசைமாற்றம்|வரிசைமாற்றல்]] &lt;math&gt;(abc \to bca, abc \to cab)&lt;/math&gt;. மூன்று வரிசையுடைய இரண்டு உறுப்புகள் உள்ளன.
 
 இந்த மூன்று தொகுதிகளும் [[சமபக்க முக்கோணி|சமபக்க முக்கோணத்தின்]] [[சமஅளவைக் குலம்|சமவளவைக் குலங்களின்]] வகைப்படுத்தலை ஒத்ததாகும்.
 
 === எடுத்துக்காட்டு 2 ===
 நான்கு உறுப்புகளின் 24 வரிசைமாற்றங்களின் சமச்சீர் குலம்&lt;math&gt;S_4&lt;/math&gt; -க்கு ஐந்து இணையியத் தொகுதிகள் உள்ளன. இவ்வைந்தும் அவற்றின் விளக்கம், வரிசைமாற்ற வகை, உறுப்பின் வரிசை, உறுப்புகள் என பட்டியலிடப்படுகின்றன:
 [[File:Symmetric group S4; conjugacy table.svg|thumb|400px|center|&lt;math&gt;a, b \in S_4&lt;/math&gt;  எனில், &lt;math&gt;(a, b)&lt;/math&gt; -இன் &lt;math&gt;bab^{-1}&lt;/math&gt; அட்டவணை. ஒவ்வொரு நிரையும் {{nowrap|&lt;math&gt;a,&lt;/math&gt; -இன்}} இணையியத் தொகுதியிலுள்ள அனைத்து உறுப்புகளையும் கொண்டுள்ளது. ஒவ்வொரு நிரலும் &lt;math&gt;S_4&lt;/math&gt; இன் எல்லா உறுப்புகளையும் கொண்டுள்ளது.]]
 
 # மாற்றம் இல்லாதது. [[வரிசை மாற்றம்#சுழல்முறையில் வரிசைமாற்றங்கள்|சுழல் முறை]] = [1&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;]; வரிசை = 1; உறுப்புகள் = { (1, 2, 3, 4) }; அட்டவணையில் இந்த இணையியத் தொகுதி ஒரே நிரையில் கருப்பு வட்டங்களில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
 # இரண்டு உறுப்புகள் மட்டும் மாற்றம். சுழல் முறை = [1&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;2&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;]; வரிசை = 2; உறுப்புகள் = { (1, 2, 4, 3), (1, 4, 3, 2), (1, 3, 2, 4), (4, 2, 3, 1), (3, 2, 1, 4), (2, 1, 3, 4) }); அட்டவணையில் இந்த இணையியத் தொகுதி பச்சை நிறத்தில் ஆறு நிரைகளில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
 # மூன்று உறுப்புகளை மட்டும் வட்ட வரிசைமாற்றுதல்.  சுழல் முறை = [1&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;3&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;] வரிசை = 3: உறுப்புகள் = { (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (3, 2, 4, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 1, 3, 2), (2, 4, 3, 1), (3, 1, 2, 4), (2, 3, 1, 4) }); அட்டவணையில் இந்த இணையியத் தொகுதியைக்கொண்ட 8 நிரைகள் நிறமின்றி சாதாரணமாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது.
 # நான்கை மட்டும் வட்ட வரிசைமாற்றல். சுழல் முறை = [4&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;]; வரிசை = 4.  உறுப்புகள் = { (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2) }). அட்டவணையில் இந்த இணையியத் தொகுதி ஆறு நிரைகளில் ஆரஞ்சு நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
 # இரு உறுப்புகளை இடம்மாற்றுவதோடு மற்ற இரண்டையும் இடம் மாற்றல். சுழல் முறை = [2&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;]; வரிசை = 2. உறுப்புகள் = { (2, 1, 4, 3), (4, 3, 2, 1), (3, 4, 1, 2) }); அட்டவணையில் இந்த இணையியத் தொகுதி 3 நிரைகளில் தடித்தவகையில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
 
 பொதுவாக, சமச்சீர் குலம் &lt;math&gt;S_n&lt;/math&gt; இன் இணையியத் தொகுதிகளின் எண்ணிக்கை &lt;math&gt;n.&lt;/math&gt; -இன் [[எண் பிரிவினை]]களின் என்ணிக்கைக்குச் சமமானதாக இருக்கும்.
 
 == பண்புகள்==
 * &lt;math&gt;\operatorname{Cl}(e) = \{ e \}.&lt;/math&gt; என்பதைத் தனது இணையியத் தொகுதியில் நிறைவு செய்யும் ஒரேயொரு உறுப்பாக குலத்தின் சமனி உறுப்பு மட்டுமே இருக்கும்.
 * &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ஒரு [[பரிமாற்றுக் குலம்|பரிமாற்றுக் குலமெனில்]], &lt;math&gt;gag^{-1} = a&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall &lt;/math&gt;&lt;math&gt; a, g \in G.&lt;/math&gt; அதாவது, &lt;math&gt;\operatorname{Cl}(a) = \{ a \}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\forall &lt;/math&gt; &lt;math&gt;a \in G.&lt;/math&gt; 
 இதன் மறுதலையும் உண்மையாக இருக்கும்: அனைத்து இணையியத் தொகுதிகளும் [[ஒற்றையுறுப்புக் கணம்|ஒற்றையுறுப்புக் கணமாக]] இருந்தால், &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; ஒரு பரிமாற்றுக் குலமாக இருக்கும்.
 * &lt;math&gt;a, b \in G&lt;/math&gt; எனும் இரு உறுப்புகள் ஒரே இணையியத் தொகுதியைச் சேர்ந்தவையெனில், அவற்றின் வரிசைகளும் சமமாகவே இருக்கும். மேலும் &lt;math&gt;\varphi(x) = gxg^{-1}&lt;/math&gt; என்ற கோப்பு &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இன் [[குலச் சமஅமைவியம்#தன்னமைவியம்|உள் தன்னமைவியமாக]] இருக்குமென்பதால், &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; -க்கான எந்தக் கூற்றையும் &lt;math&gt;b = gag^{-1},&lt;/math&gt; -க்கானக் கூற்றாகக் கொள்ளலாம்.
 * I&lt;math&gt;a,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;b&lt;/math&gt; இரண்டும் இணையியங்கள் எனில், அவற்றின் அடுக்குகளும் (&lt;math&gt;a^k,&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;b^k.&lt;/math&gt;) இணையியங்களாக இருக்கும். 
 ::&lt;math&gt;a = gbg^{-1}&lt;/math&gt; எனில், &lt;math&gt;a^k = \left(gbg^{-1}\right)\left(gbg^{-1}\right) \cdots \left(gbg^{-1}\right) = gb^kg^{-1}.&lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;\sigma \in S_n;&lt;/math&gt;
 :இதன் சுழல் முறையிலுள்ள சுழல்களின் நீளங்கள்: &lt;math&gt;m_1, m_2, \ldots, m_s&lt;/math&gt;;
 :&lt;math&gt;i = 1, 2, \ldots, s&lt;/math&gt; ஒவ்வொன்றுக்கும் &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; -இன் &lt;math&gt;m_i&lt;/math&gt; நீளமுள்ள சுழல்களின் எண்ணிக்கை &lt;math&gt;k_i&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\sum\limits_{i=1}^{s} k_i m_i = n&lt;/math&gt;) எனில்,
 :&lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; இன் இணையியங்களின் எண்ணிக்கை:&lt;ref name=&quot;dummit&quot; /&gt;
 ::&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\frac{n!}{\left(k_{1}!m_{1}^{k_{1}}\right) \left(k_{2}!m_{2}^{k_{2}}\right) \cdots \left(k_{s}!m_{s}^{k_{s}}\right)}.&lt;/math&gt;
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{reflist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 * {{cite book|last1=Grillet|first1=Pierre Antoine |title=Abstract algebra|edition=2|series=Graduate texts in mathematics|volume=242|year=2007|publisher=Springer|isbn=978-0-387-71567-4}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * {{springer|title=Conjugate elements|id=p/c025010}}