கேய்சியின் தேற்றம்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''கேய்சியின் தேற்றம்''' (''Casey's theorem'') என்பது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட [[தொலெமியின் தேற்றம்]] ஆகும். இத்தேற்றம், ஐரிய [[கணிதவியலாளர்]] ஜான் கேய்சியின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. [[யூக்ளீட் வடிவியல்|யூக்ளீடிய வடிவவியலில்]] அமைந்த பல கூற்றுகளின் நிறுவலுக்கு இத்தேற்றம் பயன்படுகிறது.&lt;ref name=&quot;Cas&quot;/&gt;{{rp|411}}.
 
 == தேற்றத்தின் கூற்று ==
 [[File:Casey new1a.svg|thumb|upright=1.25|&lt;math&gt;t_{12} \cdot t_{34}+t_{14}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0 &lt;/math&gt;]]
 &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; வட்டத்தின் ஆரம் &lt;math&gt;\,R&lt;/math&gt;; &lt;math&gt;\,O_1, O_2, O_3, O_4&lt;/math&gt; (இதே வரிசையில்) என்பவை ஒன்றுக்கொன்று வெட்டிக்கொள்ளாத,  &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; வட்டத்துக்குள் அதனைத் தொட்டவாறு உள்ள நான்கு வட்டங்கள்; &lt;math&gt;\,O_i, O_j&lt;/math&gt; வட்டங்களின் பொது வெளித்தொடுகோட்டின் நீளம் &lt;math&gt;\,t_{ij}&lt;/math&gt; எனில்:
 
 :&lt;math&gt;\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;Cas&quot;/&gt;
 
 இதன் சிதைவுவகையில் நான்கு வட்டங்களும் புள்ளிகாகக் மாறுவதால்  தேற்றமும் [[தொலெமியின் தேற்றம்|தொலெமியின் தேற்றமாகி]] விடும்.
 
 == நிறுவல் ==
 கேய்சியின் தேற்றம் சக்காரியசு என்பவரால் நிறுவப்பட்டது.&lt;ref name=&quot;Bot&quot;/&gt;&lt;ref name=&quot;Zach&quot;/&gt;
 
 &lt;math&gt;\,O_i&lt;/math&gt; என்ற வட்டத்தின் ஆரம் &lt;math&gt;\,R_i&lt;/math&gt;; அது &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; வட்டத்தைத் தொடும் புள்ளி &lt;math&gt;\,K_i&lt;/math&gt; ஆகும். வட்டங்களின் மையங்களையும் &lt;math&gt;\,O, O_i&lt;/math&gt; புள்ளிகளால் குறித்துக் கொள்ளலாம்.
 
 [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் படி]]:
 
 :&lt;math&gt;\,t_{ij}^2=\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2.&lt;/math&gt;
 
 இந்நீளத்தை &lt;math&gt;\,K_i,K_j&lt;/math&gt; புள்ளிகளைப் பயன்படுத்தி மாற்றுவதற்கு, &lt;math&gt;\,O_iOO_j&lt;/math&gt; [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தில்]] [[கோசைன் விதி]]யைப் பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;\overline{O_iO_j}^2=\overline{OO_i}^2+\overline{OO_j}^2-2\overline{OO_i}\cdot \overline{OO_j}\cdot \cos\angle O_iOO_j&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\,O,O_i&lt;/math&gt; வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று தொடுவதால்:
 
 :&lt;math&gt;\overline{OO_i} = R - R_i,\, \angle O_iOO_j = \angle K_iOK_j&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\,C&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியெனில், &lt;math&gt;\,K_iCK_j&lt;/math&gt; முக்கோணத்தில் [[சைன் விதி]]யைப் பயன்படுத்த:
 :&lt;math&gt;\overline{K_iK_j} = 2R\cdot \sin\angle K_iCK_j = 2R\cdot \sin\frac{\angle K_iOK_j}{2}&lt;/math&gt;
 
 எனவே,
 :&lt;math&gt;\cos\angle K_iOK_j = 1-2\sin^2\frac{\angle K_iOK_j}{2}=1-2\cdot \left(\frac{\overline{K_iK_j}}{2R}\right)^2 = 1 - \frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}&lt;/math&gt;
 
 இவற்றை மேலுள்ள வாய்பாட்டில் பயன்படுத்த:
 :&lt;math&gt;\overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)\left(1-\frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}\right)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\overline{O_iO_j}^2=((R-R_i)-(R-R_j))^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}&lt;/math&gt;
 
 இறுதியாகத் தொடுகோட்டின் நீளம்:
 :&lt;math&gt;t_{ij}=\sqrt{\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_iK_j}}{R}&lt;/math&gt;
 
 இடப்பக்கத்திற்கு, &lt;math&gt;\,K_1K_2K_3K_4&lt;/math&gt; [[நாற்கரம்|நாற்கரத்தில்]] தொலெமியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த:
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 &amp; t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23} \\[4pt]
 = {} &amp; \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4} \left(\overline{K_1K_2} \cdot \overline{K_3K_4}+\overline{K_1K_4}\cdot \overline{K_2K_3}\right) \\[4pt]
 = {} &amp; \frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_3}\cdot \overline{K_2K_4}\right) \\[4pt]
 = {} &amp; t_{13}t_{24}
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 == மேலதிகப் பொதுமைப்படுத்தல் ==
 நான்கு சிறு வட்டங்களும் பெரிய வட்டத்தினுள் மட்டுமே அமையவேண்டியதில்லை. வெளிப்புறமாகத் தட்டவாறும் அமையலாம்:&lt;ref name=&quot;John&quot;/&gt;:
 
 &lt;math&gt;\,O_i, O_j&lt;/math&gt; இரண்டும் &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; வட்டத்தின் ஒரே பக்கமாக (இரண்டும் உட்பக்கம் அல்லது இரண்டும் வெளிப்பக்கம்) அமையும்போது,  &lt;math&gt;\,t_{ij}&lt;/math&gt; ஆனது பொது வெளித்தொடுக்கோட்டின் நீளமாக இருக்கும்.
 
 &lt;math&gt;\,O_i, O_j&lt;/math&gt; இரண்டும் &lt;math&gt;\,O&lt;/math&gt; வட்டத்தின் வெவ்வேறு பக்கத்தில் (இரண்டும் உட்பக்கம் அல்லது இரண்டும் வெளிப்பக்கம்) அமையும்போது,  &lt;math&gt;\,t_{ij}&lt;/math&gt; ஆனது பொது உட்தொடுக்கோட்டின் நீளமாக இருக்கும்..
 
 கேய்சியின் தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும்.&lt;ref name=&quot;John&quot;/&gt; அதாவது:
 :&lt;math&gt;\,t_{12} \cdot t_{34}+t_{14} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.&lt;/math&gt; உண்மையானால், நான்கு வட்டங்களும் ஒரு பொது வட்டத்தைத் தொடும்.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 &lt;references&gt;
 &lt;ref name=&quot;Cas&quot;&gt;
 {{cite journal
  | last = Casey | first = J. 
  | journal = Proceedings of the Royal Irish Academy
  | jstor = 20488927
  | pages = 396–423
  | title = On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane
  | volume = 9
  | year = 1866}}
 &lt;/ref&gt;
 
 &lt;ref name=&quot;Zach&quot;&gt;
 {{cite journal
   | first= M.
   | last = Zacharias
   | journal = Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
   | volume = 52
   | year = 1942
   |pages=79–89
   |title=Der Caseysche Satz}}
 &lt;/ref&gt;
 
 &lt;ref name=&quot;Bot&quot;&gt;
 {{cite book
   | first = O.
   | last = Bottema
   | title = Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde
   | publisher = (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987)
   | year = 1944}}
 &lt;/ref&gt;
 
 &lt;ref name=&quot;John&quot;&gt;
 {{cite book
   | first = Roger A.
   | last = Johnson
   | title = Modern Geometry
   | publisher = Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry)
   | year = 1929}}
 &lt;/ref&gt;
 &lt;/references&gt;
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 {{Commons category|Casey's theorem|கேய்சியின் தேற்றம்}}
 * {{MathWorld|urlname=CaseysTheorem|title=Casey's theorem}}
 * [https://cms.math.ca/publications/crux/issue/?volume=22&amp;issue=2 Crux Mathematicorum volume 22 issue 2] (it contains the article above)
 
 [[பகுப்பு:வட்டங்கள் பற்றிய தேற்றங்கள்]]
 [[பகுப்பு:யூக்ளிடிய வடிவவியல்]]