இசை எண்
[[Image:HarmonicNumbers.svg|right|thumb|400px|இசை எண் &lt;math&gt;H_n&lt;/math&gt; இன் அணுகு எல்லை &lt;math&gt;\gamma+\ln(x)&lt;/math&gt; (நீலக்கோடு, &lt;math&gt;\gamma&lt;/math&gt;-[[ஆய்லரின் மாறிலி]]); &lt;math&gt;n=\lfloor x \rfloor&lt;/math&gt; (சிவப்புக்கோடு).]]
 
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]], {{mvar|n}}-ஆவது '''இசை எண்''' (''harmonic number'') என்பது, முதல் {{mvar|n}} [[இயல் எண்]]களின் [[பெருக்கல் நேர்மாறு|தலைகீழிகளின்]] கூட்டுத்தொகையாகும்:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} =\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.&lt;/math&gt;
 
 {{math|1=''n'' = 1}}, இலிருந்து தொடங்கும் இசை எண்கள் தொடர்வரிசை::
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;1, \frac{3}{2}, \frac{11}{6}, \frac{25}{12}, \frac{137}{60}, \dots&lt;/math&gt;
 
 {{mvar|n}}-ஆவது இசை எண்ணானது, {{mvar|n}} நேர்ம முழுஎண்களின் இசைச் சராசரியின் தலைகீழியின் {{mvar|n}} மடங்காக இருக்கும்.
 
 பழங்காலம் முதற்கொண்டு இசை எண்கள் ஆய்வு செய்யப்பட்டு வருகின்றன; [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டின்]] பல பிரிவுகளில் இசை எண்கள் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவையாக உள்ளன. [[ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்|ரீமன் இசீட்டா சார்பியத்தோடு]] நெருங்கிய தொடர்புள்ளவை. மேலும், பல [[சிறப்பு சார்புகள்|சிறப்புச் சார்புகளின்]] கோவைவைகளில் இடம்பெற்றுள்ளன.
 
 இசை எண்கள் தோராயமாக, [[இயல் மடக்கை]]ச் சார்பாக உள்ளன.&lt;ref name=ConwayGuy/&gt;{{rp|143}} இதனால், [[இசைத் தொடர் (கணிதம்)|இசைத் தொடரானது]] எல்லையின்றி மிகப்பெரியதாக, ஆனால் மெதுவாக அதிகரிக்கிறது.1737 இல் [[லியோனார்டு ஆய்லர்|ஆய்லர்]], இசைத் தொடரின் விரிதன்மைப் பயன்படுத்தி, [[யூக்ளிடின் தேற்றம்|பகாஎண்கள் முடிவற்றவை]] என்பதற்கு ஒரு புது நிறுவலை அளித்தார். ஆய்லரின் நிறுவல் 1859 இல் [[பேர்னாட் ரீமன்|ரீமானால்]] சிக்கலெண் தளத்திற்கும் நீட்டிக்கப்பட்டது. இதுவே பகா எண்களின் பரவல் குறித்த [[ரீமான் கருதுகோள்|ரீமான் கருதுகோளுக்கு]] வழியமைத்தது.
 
 {{nowrap|&lt;math&gt;H_1=1&lt;/math&gt;}} ஐத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் ஒரு [[முழு எண்]] அல்ல என்ற முடிவை &quot;பெட்ரான்டின் எடுகோள்&quot; தருகிறது&lt;ref name = 'ConcreteMath'&gt;{{Cite book
 | first1 = Ronald L. | last1 = Graham
 | first2 = Donald E. | last2 = Knuth
 | first3 = Oren | last3 = Patashnik
 | title = Concrete Mathematics
 | year = 1994
 | publisher = Addison-Wesley
 | title-link = Concrete Mathematics
 }}&lt;/ref&gt;
 
 {| class=&quot;wikitable infobox collapsible collapsed&quot; style=&quot;line-height:0.8;text-align:left;white-space:nowrap;&quot;
 |+ முதல் 40 இசை எண்கள்
 ! rowspan=&quot;2&quot; style=&quot;padding-top:1em;&quot;|''n'' !! colspan=&quot;4&quot;|இசை எண், ''H&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''
 |-
 ! colspan=&quot;2&quot;|பின்ன வடிவில் !! தசம வடிவில் !! சார் அளவு
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|1 || style=&quot;text-align:center;&quot; colspan=&quot;2&quot;|1 || {{bartable|1||20}}
 |-
 
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|2 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|3 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/2 || {{bartable|1.5||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|3 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|11 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/6 || ~{{bartable|1.83333||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|4 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|25 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/12 || ~{{bartable|2.08333||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|5 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|137 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/60 || ~{{bartable|2.28333||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|6 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|49 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/20 || {{bartable|2.45||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|7 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|363 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/140 || ~{{bartable|2.59286||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|8 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|761 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/280 || ~{{bartable|2.71786||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|9 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|7&amp;thinsp;129 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/2&amp;thinsp;520 || ~{{bartable|2.82897||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|10 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|7&amp;thinsp;381 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/2&amp;thinsp;520 || ~{{bartable|2.92897||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|11 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|83&amp;thinsp;711 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/27&amp;thinsp;720 || ~{{bartable|3.01988||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|12 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|86&amp;thinsp;021 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/27&amp;thinsp;720 || ~{{bartable|3.10321||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|13 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|1&amp;thinsp;145&amp;thinsp;993 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/360&amp;thinsp;360 || ~{{bartable|3.18013||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|14 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|1&amp;thinsp;171&amp;thinsp;733 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/360&amp;thinsp;360 || ~{{bartable|3.25156||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|15 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|1&amp;thinsp;195&amp;thinsp;757 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/360&amp;thinsp;360 || ~{{bartable|3.31823||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|16 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|2&amp;thinsp;436&amp;thinsp;559 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/720&amp;thinsp;720 || ~{{bartable|3.38073||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|17 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|42&amp;thinsp;142&amp;thinsp;223 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/12&amp;thinsp;252&amp;thinsp;240 || ~{{bartable|3.43955||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|18 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|14&amp;thinsp;274&amp;thinsp;301 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/4&amp;thinsp;084&amp;thinsp;080 || ~{{bartable|3.49511||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|19 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|275&amp;thinsp;295&amp;thinsp;799 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/77&amp;thinsp;597&amp;thinsp;520 || ~{{bartable|3.54774||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|20 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|55&amp;thinsp;835&amp;thinsp;135 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/15&amp;thinsp;519&amp;thinsp;504 || ~{{bartable|3.59774||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|21 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|18&amp;thinsp;858&amp;thinsp;053 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/5&amp;thinsp;173&amp;thinsp;168 || ~{{bartable|3.64536||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|22 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|19&amp;thinsp;093&amp;thinsp;197 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/5&amp;thinsp;173&amp;thinsp;168 || ~{{bartable|3.69081||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|23 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;&quot;|444&amp;thinsp;316&amp;thinsp;699 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;&quot;|/118&amp;thinsp;982&amp;thinsp;864 || ~{{bartable|3.73429||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|24 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:96%;&quot;|1&amp;thinsp;347&amp;thinsp;822&amp;thinsp;955 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:96%;&quot;|/356&amp;thinsp;948&amp;thinsp;592 || ~{{bartable|3.77596||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|25 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:87%;&quot;|34&amp;thinsp;052&amp;thinsp;522&amp;thinsp;467 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:87%;&quot;|/8&amp;thinsp;923&amp;thinsp;714&amp;thinsp;800 || ~{{bartable|3.81596||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|26 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:87%;&quot;|34&amp;thinsp;395&amp;thinsp;742&amp;thinsp;267 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:87%;&quot;|/8&amp;thinsp;923&amp;thinsp;714&amp;thinsp;800 || ~{{bartable|3.85442||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|27 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:80%;&quot;|312&amp;thinsp;536&amp;thinsp;252&amp;thinsp;003 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:80%;&quot;|/80&amp;thinsp;313&amp;thinsp;433&amp;thinsp;200 || ~{{bartable|3.89146||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|28 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:80%;&quot;|315&amp;thinsp;404&amp;thinsp;588&amp;thinsp;903 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:80%;&quot;|/80&amp;thinsp;313&amp;thinsp;433&amp;thinsp;200 || ~{{bartable|3.92717||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|29 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:73%;&quot;|9&amp;thinsp;227&amp;thinsp;046&amp;thinsp;511&amp;thinsp;387 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:73%;&quot;|/2&amp;thinsp;329&amp;thinsp;089&amp;thinsp;562&amp;thinsp;800 || ~{{bartable|3.96165||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|30 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:73%;&quot;|9&amp;thinsp;304&amp;thinsp;682&amp;thinsp;830&amp;thinsp;147 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:73%;&quot;|/2&amp;thinsp;329&amp;thinsp;089&amp;thinsp;562&amp;thinsp;800 || ~{{bartable|3.99499||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|31 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:64%;&quot;|290&amp;thinsp;774&amp;thinsp;257&amp;thinsp;297&amp;thinsp;357 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:64%;&quot;|/72&amp;thinsp;201&amp;thinsp;776&amp;thinsp;446&amp;thinsp;800 || ~{{bartable|4.02725||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|32 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:64%;&quot;|586&amp;thinsp;061&amp;thinsp;125&amp;thinsp;622&amp;thinsp;639 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:64%;&quot;|/144&amp;thinsp;403&amp;thinsp;552&amp;thinsp;893&amp;thinsp;600 || ~{{bartable|4.05850||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|33 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:68%;&quot;|53&amp;thinsp;676&amp;thinsp;090&amp;thinsp;078&amp;thinsp;349 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:68%;&quot;|/13&amp;thinsp;127&amp;thinsp;595&amp;thinsp;717&amp;thinsp;600 || ~{{bartable|4.08880||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|34 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:68%;&quot;|54&amp;thinsp;062&amp;thinsp;195&amp;thinsp;834&amp;thinsp;749 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:68%;&quot;|/13&amp;thinsp;127&amp;thinsp;595&amp;thinsp;717&amp;thinsp;600 || ~{{bartable|4.11821||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|35 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:68%;&quot;|54&amp;thinsp;437&amp;thinsp;269&amp;thinsp;998&amp;thinsp;109 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:68%;&quot;|/13&amp;thinsp;127&amp;thinsp;595&amp;thinsp;717&amp;thinsp;600 || ~{{bartable|4.14678||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|36 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:68%;&quot;|54&amp;thinsp;801&amp;thinsp;925&amp;thinsp;434&amp;thinsp;709 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:68%;&quot;|/13&amp;thinsp;127&amp;thinsp;595&amp;thinsp;717&amp;thinsp;600 || ~{{bartable|4.17456||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|37 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:60%;&quot;|2&amp;thinsp;040&amp;thinsp;798&amp;thinsp;836&amp;thinsp;801&amp;thinsp;833 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:60%;&quot;|/485&amp;thinsp;721&amp;thinsp;041&amp;thinsp;551&amp;thinsp;200 || ~{{bartable|4.20159||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|38 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:60%;&quot;|2&amp;thinsp;053&amp;thinsp;580&amp;thinsp;969&amp;thinsp;474&amp;thinsp;233 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:60%;&quot;|/485&amp;thinsp;721&amp;thinsp;041&amp;thinsp;551&amp;thinsp;200 || ~{{bartable|4.22790||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|39 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:60%;&quot;|2&amp;thinsp;066&amp;thinsp;035&amp;thinsp;355&amp;thinsp;155&amp;thinsp;033 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:60%;&quot;|/485&amp;thinsp;721&amp;thinsp;041&amp;thinsp;551&amp;thinsp;200 || ~{{bartable|4.25354||20}}
 |-
 | style=&quot;text-align:right;&quot;|40 || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;font-size:60%;&quot;|2&amp;thinsp;078&amp;thinsp;178&amp;thinsp;381&amp;thinsp;193&amp;thinsp;813 || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;font-size:60%;&quot;|/485&amp;thinsp;721&amp;thinsp;041&amp;thinsp;551&amp;thinsp;200 || ~{{bartable|4.27854||20}}
 |}
 &lt;!-- Python script to generate n from 2 to 40:
 import fractions
 numerator = 1; denominator = 1
 for i in range(2, 40 + 1):
  numerator = numerator * i + denominator; denominator *= i; gcd = fractions.gcd(numerator, denominator); numerator /= gcd; denominator /= gcd
  decimal   = ('{}' if (i &lt; 3 or i == 6) else '{:.5f}').format(float(numerator) / denominator); exact = '' if (i &lt; 3 or i == 6) else '~'
  numerator_length = len(str(numerator)); size = '' if (numerator_length &lt;= 9) else 'font-size:{:d}%;'.format(960 / numerator_length)
  print('|-\n| style=&quot;text-align:right;&quot;|{} || style=&quot;border-right:none;padding-right:0;text-align:right;{}&quot;|{:,} || style=&quot;border-left:none;padding-left:0;{}&quot;|/{:,} || {}{{{{bartable|{}||20}}}}'.
        format(i, size, numerator, size, denominator, exact, decimal).replace(',', '&amp;thinsp;'))
 --&gt;
 
 ==இசை எண்களைக் கொண்டுள்ள முற்றொருமைகள்==
 இசை எண்களின் [[மீள்வரு தொடர்பு]]:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt; H_{n + 1} = H_{n} + \frac{1}{n + 1}.&lt;/math&gt;
 
 இசை எண்களுக்கும் [[இசுடர்லிங் சுழல் எண்]]ணுக்குமுள்ள தொடர்பு
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt; H_n = \frac{1}{n!}\left[{n+1 \atop 2}\right]. &lt;/math&gt;
 
 இசை எண்கள் நிறைவுசெய்யும் முற்றொருமைகள்:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \sum_{k=1}^n H_k = (n+1) H_{n} - n&lt;/math&gt;
 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\sum_{k=1}^n H_k^2 = (n+1)H_{n}^2 - (2 n +1) H_n + 2 n.&lt;/math&gt;
 
 இவ்விரண்டும் ஒத்துள்ள தொகையீட்டு முடிவுகள்:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\int_0^x \log y \  d y = x \log x - x;&lt;/math&gt;
 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\int_0^x (\log y)^2\ d y = x (\log x)^2 - 2 x \log x + 2 x.&lt;/math&gt;
 
 ==={{pi}} உடனான முற்றொருமைகள்===
 இசை எண்களையும் [[பை (கணித மாறிலி)|{{pi}}]] இன் அடுக்குகளையும் கொண்ட பல முடிவுறாக் கூட்டுத்தொகைகள் உள்ளன:&lt;ref&gt;Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. &quot;Harmonic Number.&quot; From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html&lt;/ref&gt;
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{align}
 \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n\cdot 2^n} &amp;= \frac{\pi^2}{12} \\
 \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{(n+1)^2} &amp;= \frac{11}{360}\pi^4 \\
 \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{(n+1)^2} &amp;= \frac{11}{360}\pi^4 \\
 \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^3} &amp;= \frac{\pi^4}{72}
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 ==கணக்கீடு==
  H_n, க்கான [[லியோனார்டு ஆய்லர்|ஆய்லர்]] தொகையீட்டு வடிவம்:&lt;ref&gt;{{citation|title=How Euler Did It|series=MAA Spectrum|first=C. Edward|last=Sandifer|publisher=Mathematical Association of America|year=2007|isbn=9780883855638|page=206|url=https://books.google.com/books?id=sohHs7ExOsYC&amp;pg=PA206}}.&lt;/ref&gt; 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt; H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx. &lt;/math&gt; ([[முற்றொருமை (கணிதம்)|முற்றொருமை]]:&lt;math&gt; \frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}.&lt;/math&gt;)
 
 {{math|1=''x'' = 1 &amp;minus; ''u''}} எனப் பதிலிட:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{align}
 H_n &amp;= \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx = \int_0^1\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\[6pt]
 &amp;= \int_0^1\left[\sum_{k=1}^n \binom nk (-u)^{k-1}\right]\,du 
 = \sum_{k=1}^n \binom nk \int_0^1 (-u)^{k-1}\,du \\[6pt]
 &amp;= \sum_{k=1}^n \binom nk \frac{(-1)^{k-1}}{k}.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 [[File:Integral Test.svg|thumb|இசை எண்களுக்கும் [[இயல் மடக்கை]]க்குமுள்ள தொடர்பை விளக்கும் வரைபடம்.  {{math|''H''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}} ஐ ரீமான் கூட்டுத்தொகையாகக் கொள்ளலாம்: &lt;math&gt;\int_1^{n+1} \frac{dx}{x} = \ln(n+1).&lt;/math&gt;]]
 {{mvar|n}} ஆவது இசை எண் கிட்டத்தட்ட {{mvar|n}} இன் இயல் மடக்கையளவு பெரியதாக இருக்குமென்பதால் மேலுள்ள கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பு 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\int_1^n \frac{1}{x}\, dx,&lt;/math&gt; என்ற தொகையீட்டுக்குச் சமமாக இருக்கு; இத்தொகையீட்டின் மதிப்பு
 {{math|ln ''n''}} ஆகும்.
 
 எனவே, {{math|''H''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; − ln ''n''}} என்ற தொடர்வரிசை கீழுள்ளவாறான [[தொடர்வரிசையின் எல்லை|எல்லைக்கு]] ஒருபோக்காகக் குறையும்:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt; \lim_{n \to \infty} \left(H_n - \ln n\right) = \gamma,&lt;/math&gt;
 இதிலுள்ள {{math|''γ'' ≈ 0.5772156649}} என்பது [[ஆய்லரின் மாறிலி]].
 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\begin{align}
    H_n &amp;\sim \ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}\\
    &amp;=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots,
  \end{align}&lt;/math&gt;
 இதிலுள்ள {{math|''B''&lt;sub&gt;''k''&lt;/sub&gt;}} என்பவை பெர்னோலி எண்கள்..
 
 {{Reflist|group=note}}
 
 ==பிறப்பிக்கும் சார்புகள்==
 இசை எண்களுக்கான பிறப்பாக்கி:
 :&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty z^n H_n = \frac {-\ln(1-z)}{1-z},&lt;/math&gt;   (ln(''z'') - [[இயல் மடக்கை]]). 
 
  அடுக்கப் பிறப்பிக்கும் சார்பு:
 :&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n!} H_n = e^z \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} \frac {z^k}{k!} = e^z \operatorname{Ein}(z),&lt;/math&gt; (Ein(''z'') என்பது அடுக்கத் தொகையீடு).
 
 அடுக்கத் தொகையீட்டைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்:
 :&lt;math&gt;\operatorname{Ein}(z) = \mathrm{E}_1(z) + \gamma + \ln z = \Gamma (0,z) + \gamma + \ln z&lt;/math&gt; ( Γ(0, ''z'') என்பது முழுமையற்ற காமா சார்பு).
 
 ==வகுபடும்தன்மை==
 {{nowrap|&lt;math&gt;H_1=1&lt;/math&gt;}} ஐத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் ஒரு [[முழு எண்]] அல்ல.&lt;ref name=havil&gt;{{cite book
  | last = Havil | first = Julian
  | contribution = Chapter 2: The harmonic series
  | contribution-url = https://books.google.com/books?id=-fuxDwAAQBAJ&amp;pg=PA21
  | isbn = 978-0-691-14133-6
  | pages = 21–25
  | publisher = Princeton University Press
  | title = Gamma: Exploring Euler's Constant
  | year = 2003}}&lt;/ref&gt;
 &lt;ref name=osler&gt;{{cite journal
  | last = Osler | first = Thomas J. | author-link = Thomas J. Osler
  | date = November 2012
  | doi = 10.1017/S0025557200005167
  | issue = 537
  | journal = [[The Mathematical Gazette]]
  | jstor = 24496876
  | pages = 515–519
  | title = 96.53 Partial sums of series that cannot be an integer
  | volume = 96| s2cid = 124359670 }} See in particular Theorem 1, p. 516.&lt;/ref&gt;
 
 &lt;math&gt;H_n&lt;/math&gt; முழுவெண் அல்ல என்பதை நிரூபிக்க, &lt;math&gt;2^k&lt;/math&gt; என்ற {{nowrap|1 முதல் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;.}} வரையிலமைந்த மிகப்பெரிய [[இரண்டின் வலு|இரண்டின் அடுக்கை]] எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்; {{nowrap|1 முதல் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;}} எண்களின் [[மீச்சிறு பொது மடங்கு]] &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; எனில், &lt;math&gt;H_k&lt;/math&gt; ஐ சம பகுதிகளைக் கொண்ட பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்:
 
 &lt;math display=block&gt;H_n=\sum_{i=1}^n \tfrac{M/i}{M}&lt;/math&gt;
 இப்பின்னங்களின் தொகுதிகளில்  {{nowrap|&lt;math&gt;M/2^k&lt;/math&gt;,}} என்ற ஒன்றுமட்டுமே [[நிகரி (கணிதம்)|ஒற்றைப்படை]] எண்ணாகவும் மற்றவையெல்லாம் இரட்டைப்படை எண்ணாகவும் இருக்கும். மேலும் {{nowrap| &lt;math&gt;n&gt;1&lt;/math&gt;}} எனில்,  &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; என்பதே இரட்டைப்படையாக இருக்கும். எனவே இப்பின்னங்கள் அனைத்தும் ஒற்றைப்படைத் தொகுதிகளையும் இரட்டைப்படைப் பகுதிகளையும் கொண்டிருக்கும். எனவே   &lt;math&gt;H_n&lt;/math&gt; முழுஎண்ணாக இருக்காது.&lt;ref name=havil/&gt; 
 
 மேலும் வலுவாக, தொடர்ந்த முழுஎண்களைக்கொண்ட எந்தவொரு தொடர்வரிசையிலும், அதன் மற்றெந்த உறுப்புகளையும் விடப் பெரிய இரண்டின் அடுக்கால்  வகுபடக்கூடிய தனித்ததொரு உறுப்பு இருக்கும். மேற்கண்ட விதத்திலேயே விவாதிக்க, எந்தவிரு இசையெண்களின் வித்தியாசமும் ஒரு முழுஎண்ணாக இருக்காது என்பதை அறியலாம்.&lt;ref name=osler/&gt;
 
 இசையெண்கள் முழுஎண்களாக இருக்காது என்ற கூற்றை நிறுவும் மற்றொரு நிறுவல், &lt;math&gt;H_n&lt;/math&gt; பின்னத்தின் பகுதியானது  &lt;math&gt;n/2&lt;/math&gt; ஐ விடப் பெரிய [[பகா எண்]]களால் வகுபடும் என்பதையும், இப்பகா எண்களின் கணம் வெற்றுக்கணமாக இருக்காதென்பதற்கு [[பெர்ட்ரான்டின் எடுகோள்|பெர்ட்ரான்டின் எடுகோளையும்]] பயன்படுத்துகிறது. இந்நிறுவல் முறையானது  &lt;math&gt;H_1=1&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;H_2=1.5&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;H_6=2.45&lt;/math&gt; ஆகியவற்றைத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் முடிவுறு தசமமாக இருக்காது என்பதை வலுவாகக் காட்டுகிறது.&lt;ref name=havil/&gt; &quot;ஒவ்வொரு பகாஎண்ணும் இசை எண்களின் முடிவுறு கண உறுப்புகளின் தொகுதிகளை மட்டுமே வகுக்கின்றன&quot; என்ற கூற்று அனுமான நிலையில் உள்ளது; நிறுவப்படவில்லை.&lt;ref name=sanna&gt;{{cite journal
  | last = Sanna | first = Carlo
  | doi = 10.1016/j.jnt.2016.02.020
  | journal = Journal of Number Theory
  | mr = 3486261
  | pages = 41–46
  | title = On the &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;-adic valuation of harmonic numbers
  | volume = 166
  | year = 2016| hdl = 2318/1622121
  | hdl-access = free
  }}&lt;/ref&gt;
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{Reflist|refs=
 &lt;ref name=ConwayGuy&gt;
 {{Cite book
 | last1 = John H. | first1 = Conway
 | last2 = Richard K. | first2 = Guy
 | title = The book of numbers
 | year = 1995
 | publisher = Copernicus
 }}&lt;/ref&gt;
 }}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 * {{cite journal |author1=Arthur T. Benjamin |author2=Gregory O. Preston |author3=Jennifer J. Quinn |url=http://www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/harmonic.pdf |title=A Stirling Encounter with Harmonic Numbers |year=2002 |journal=[[Mathematics Magazine]] |volume=75 |issue=2 |pages=95–103 |doi=10.2307/3219141 |jstor=3219141 |citeseerx=10.1.1.383.722 |access-date=2005-08-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090617002133/http://www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/harmonic.pdf |archive-date=2009-06-17 |url-status=dead }}
 * {{cite book |author=Donald Knuth |author-link=Donald Knuth |title=The Art of Computer Programming |volume=1: ''Fundamental Algorithms'' |edition=Third |publisher=Addison-Wesley |year=1997 |isbn=978-0-201-89683-1 |chapter=Section 1.2.7: Harmonic Numbers |pages=75–79}}
 * Ed Sandifer, ''[http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2002%20Estimating%20the%20Basel%20Problem.pdf How Euler Did It — Estimating the Basel problem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050513105944/http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2002%20Estimating%20the%20Basel%20Problem.pdf |date=2005-05-13 }}'' (2003)
 * {{cite journal
  | last1 = Paule | first1 = Peter | author1-link = Peter Paule
  | last2 = Schneider | first2 = Carsten
  | doi = 10.1016/s0196-8858(03)00016-2
  | issue = 2
  | journal = Adv. Appl. Math.
  | pages = 359–378
  | title = Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities
  | url = http://www.risc.uni-linz.ac.at/publications/download/risc_200/HarmonicNumberIds.pdf
  | volume = 31
  | year = 2003}}
 * {{cite journal |author=Wenchang Chu |url=http://www.combinatorics.org/Volume_11/PDF/v11i1n15.pdf |title=A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers |year=2004 |journal=The Electronic Journal of Combinatorics |volume=11 |pages=N15|doi=10.37236/1856 |doi-access=free }}
 * {{cite journal |author1=Ayhan Dil |author2=István Mező |title=A Symmetric Algorithm for Hyperharmonic and Fibonacci Numbers |year=2008 |journal=Applied Mathematics and Computation |volume=206 |issue=2 |pages=942–951 |doi=10.1016/j.amc.2008.10.013|arxiv=0803.4388 |s2cid=12130670 }}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * {{MathWorld|urlname=HarmonicNumber |title=Harmonic Number}}