வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] [[குலக் கோட்பாடு|குலக்கோட்பாட்டில்]], குறிப்பாக, [[பரிமாறாக்குலம்|பரிமாற்றலற்ற குலங்களில்]], '''இணை இயத்தல்''' (Conjugation) என்ற செயல்பாடு குலத்தின் உட்கூறுகளை ஆழ்ந்து நோக்கப் பயன்படுகிறது. இக்கட்டுரை [[ஒற்றுமை வகுப்பு]] (Permutation group) இச்செயல்பாட்டைப் பற்றிப் பேசுகிறது.
 
 == இணையியம் ==
 
 G ஒரு [[குலம் (கணிதம்)|குலம்]] என்று கொள்க. &lt;math&gt;b \in G, a \in G&lt;/math&gt; இனுடைய '''இணையியம்''' (Conjugate) என்பதற்கு இலக்கணம்:
 :: ஏதாவதொரு &lt;math&gt;g \in G&lt;/math&gt; க்கு, &lt;math&gt;b = gag^{-1}&lt;/math&gt;.
 
 எளிதாகவே '''இணையியத்தல்''' ஒரு[[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவு]] என்று கண்டுகொள்ளலாம்.
 
 &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; என்ற ஓர் உறுப்புக்கு இணையியமாக உள்ளதையெல்லாம் ஒரு பகுதியில் போட்டால், &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; இன் இணையியச் சமானப்பகுதி (Conjugate equivalence class of a)கிடைக்கும். உண்மையில்,
 
 &lt;math&gt;a&lt;/math&gt; இன் இணையியச் சமானப்பகுதி = &lt;math&gt;\{gag^{-1} : g \in G\}&lt;/math&gt;. இதற்குக்குறியீடு: &lt;math&gt;Cl(a).&lt;/math&gt;
 
 == அவதானக் குறிப்பு ==
 
 இணையியத்திற்காக உள்ள வாய்பாடு &lt;math&gt;b = gag^{-1}&lt;/math&gt; ஐ நினைவில் வைத்துக்கொள்ள பாமர வழக்கில் ஒரு குறிப்பு:
 
 'கண்களை மூடு; பரம்பொருளை மனதில் நிறுத்து; மூடின கண்களைத்திற'. இதுதான் &lt;math&gt;gag^{-1}&lt;/math&gt;.
 
 == வரிசைமாற்றக் குலங்களில் எடுத்துக் காட்டுகள் ==
 
 * &lt;math&gt;S_3&lt;/math&gt; ஐ நோக்குவோம். உறுப்பு &lt;math&gt;(b)(ca),&lt;/math&gt; உறுப்பு &lt;math&gt;(a)(bc)&lt;/math&gt; இன் இணையியம். ஏனென்றால், &lt;math&gt;g = (c)(ab)&lt;/math&gt; என்ற உறுப்பு இணையியத்துக்கு வேண்டிய செயல்பாட்டைச் சரிசெய்கிறது. அதாவது,
 :: &lt;math&gt;((c)(ab)) ((a)(bc))((c)(ab))^{-1}&lt;/math&gt;
 :: = &lt;math&gt;((c)(ab)) ((a)(bc))((c)(ab));&lt;/math&gt; 
 :: = &lt;math&gt;((c)(ab)) (acb);&lt;/math&gt; ஏனென்றால், &lt;math&gt;a \rightarrow b \rightarrow c, b\rightarrow a\rightarrow a, c \rightarrow c \rightarrow b.&lt;/math&gt;
 :: = &lt;math&gt;(b)(ac)&lt;/math&gt; ஏனென்றால், &lt;math&gt;a \rightarrow c \rightarrow c, b\rightarrow a \rightarrow b, c \rightarrow b \rightarrow a.&lt;/math&gt;
 
 * மறுபடியும், &lt;math&gt;S_3&lt;/math&gt; இல்,
 :: &lt;math&gt;Cl((c)(ab)) = \{(c)(ab), (b)(ac), (a)(bc)\}&lt;/math&gt;
 :: &lt;math&gt;Cl(abc) = \{(abc), (acb)\}&lt;/math&gt;
 
 == இணையியமும் சுழலமைப்பும் ==
 
 '''தேற்றம்''': &lt;math&gt;S_n&lt;/math&gt; இல் இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே [[வரிசைமாற்றத்தின் சுழலமைப்பு|சுழலமைப்பு]]ள்ளதாக இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை இணையியங்களாக இருக்கும்.
 
 முதலில் 'இருந்தால்தான்' பாகத்தை நிறுவுவோம்.
 
 அதாவது வரிசைமாற்றங்கள் &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; வையும் அதன் இணையியம் &lt;math&gt;\tau \sigma \tau^{-1}&lt;/math&gt; ஐயும் பார்ப்போம்.
 
 &lt;math&gt;\tau \sigma \tau^{-1}&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;\begin{pmatrix} i \\
 \tau(i)
 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
 i \\
 \sigma(i)
 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
 \tau(i) \\
 i
 \end{pmatrix}
 
 =\begin{pmatrix}
 \tau(i) \\
 \tau\sigma(i)
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt; இதன் சுழலமைப்பு &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; வின் சுழலமைப்புதான்.
 
 மாறாக, 'இருந்தால்' பாகத்தை நிறுவ, &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sigma^*&lt;/math&gt; என்ற இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதாகக் கொள்வோம்.இரண்டும் ஒரேசுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதால்,அவைகளை பின்வருமாறு குறிகாட்டலாம்:
 
 :&lt;math&gt;\sigma =   (a_1...a_r)(b_1...b_s)(c_1...c_t)...(f_1)(f_2)...(f_q)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\sigma^* =  (a_1^*...a_r^*)(b_1^*...b_s^*)(c_1^*...c_t^*)...(f_1^*)(f_2^*)...(f_q^*)&lt;/math&gt;
 
 இப்பொழுது, &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; வும் &lt;math&gt;\sigma^*&lt;/math&gt; ம் இணையியங்கள் என்று காட்டுவோம்.
 
 &lt;math&gt;\tau &lt;/math&gt; என்ற ஒரு வரிசைமாற்றத்தை பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்:
 
 ::&lt;math&gt;\tau(a_i) = a_i^*,  i = 1,...,r&lt;/math&gt; 
 ::&lt;math&gt;\tau(b_i) = b_i^*,  i = 1,...,s&lt;/math&gt; 
 ::&lt;math&gt;\tau(c_i) = c_i^*,  i = 1,...,t&lt;/math&gt;
 :: .....
 ::&lt;math&gt;\tau(f_i) = f_i^*, i = 1,...,q&lt;/math&gt;
 
 ஆகக்கூடி, இப்பொழுது, &lt;math&gt;\tau\sigma\tau^{-1} = \sigma^* &lt;/math&gt; என்பதை எளிதில் சரிபார்ர்த்துவிடலாம். 
 &lt;math&gt;\therefore \sigma&lt;/math&gt; வும் &lt;math&gt;\sigma^*&lt;/math&gt; ம் இணையியங்கள். Q.E.D.
 
 == இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
 
 ::[[இயல்நிலை உட்குலம்]]
 
 [[பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு]]