நேர்ம-வரைவு அணி
[[நேரியல் இயற்கணிதம்|நேரியல் இயற்கணிதத்தில்]] &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; என்ற [[சமச்சீர் அணி|சமச்சீர்]], {{nowrap|&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; × &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;}} [[மெய்யெண்]] [[அணி (கணிதம்)|அணி]]யானது, &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; மெய்யெண் உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற நிரல் [[திசையன் வெளி|திசையன்]] &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; க்கும் திசையிலி &lt;math&gt;z^{\mathrm{T}}Mz&lt;/math&gt; இன் மதிப்பை நேர்மமாகக் கொண்டிருந்தால் அது ஒரு '''நேர்ம வரைவு அணி''' (''positive definite'') எனப்படும். இங்கு &lt;math&gt;z^{\mathrm{T}}&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; இன் [[இடமாற்று அணி]]யாகும்.&lt;ref&gt;http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9780470173862.app3/pdf&lt;/ref&gt;
 
 மேலும் பொதுமைப்படுத்த, {{nowrap|&lt;math&gt;n&lt;/math&gt; × &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;}} [[ஹெர்மைட் அணி]] &lt;math&gt;M&lt;/math&gt; ஆனது ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கவேண்டுமானால், &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; [[சிக்கலெண்]]கள் கொண்ட அனைத்து பூச்சியமற்ற நிரல் திசையன் &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; களுக்கும் &lt;math&gt;z^{*}Mz&lt;/math&gt; எனும் திசையிலியின் மதிப்பு நேர்ம மெய்யெண்ணாக இருக்க வேண்டும். இங்கு &lt;math&gt;z^{*}&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; இன் [[இணையிய இடமாற்று அணி]]யைக் குறிக்கிறது.
 
 இதைபோலவே ''எதிர்ம-வரைவு'', ''நேர்ம அரை-வரைவு'',  ''எதிர்ம அரை-வரைவு'' ஆகிய மூன்றும் வரையறுக்கப்படுகின்றன. ''நேர்ம அரை-வரைவு'', ''எதிர்ம அரை-வரைவு'' அணிகளுக்கு பூச்சியங்கள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன. அதாவது ''எதிர்ம-வரைவு'', ''நேர்ம அரை-வரைவு'', ''எதிர்ம அரை-வரைவு'' அணிகளாக இருப்பதற்கு, &lt;math&gt;z^{\mathrm{T}}Mz&lt;/math&gt; அல்லது &lt;math&gt;z^{*}Mz&lt;/math&gt; இன் மதிப்பு முறையே எதிர்மமாக, எதிர்மமற்றதாக, நேர்மமற்றதாக இருக்கவேண்டும். சில கணித நூலாசிரியர்கள் சமச்சீரற்ற மெய்யெண் அணிகளுக்கும் ஹெர்மைட் அணியாக இல்லாத சிக்கலெண் அணிகளுக்கும் நேர்ம வரைவணி கருத்துருவை நீட்டித்துள்ளனர்.
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 * [[முற்றொருமை அணி]] &lt;math&gt; I =  \begin{bmatrix} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1\end{bmatrix} &lt;/math&gt;, ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாகும்.
 :முற்றொருமை அணி ஒரு சமச்சீர் அணி. 
 
 :இதனை மெய்யெண் அணியாகக் கருத,  ''a'' , ''b'' எனும் மெய்யெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட பூச்சியமற்ற நிரலணி ''z'' க்கு:
 ::&lt;math&gt; z^{\mathrm{T}}I z = \begin{bmatrix} a &amp; b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}= a^2 + b^2&lt;/math&gt;, ''z'' பூச்சியமற்ற நிரலணி என்பதால் இது ஒரு நேர்ம மதிப்பு.
 
 :இதனை சிக்கலெண் அணியாகக் கருத,  ''a'' , ''b'' எனும் சிக்கலெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட பூச்சியமற்ற நிரலணி ''z'' க்கு:
 
 ::&lt;math&gt; z^HI z = \begin{bmatrix} a^* &amp; b^*\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}=a^*a +b^*b = |a|^2 + |b|^2&lt;/math&gt;, ''z'' பூச்சியமற்ற நிரலணி என்பதால் இது ஒரு நேர்ம மதிப்பு.
 
 * கீழுள்ள சமச்சீர், மெய்யெண் அணி ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாகும்.
 ::&lt;math&gt; M = \begin{bmatrix} 2&amp;-1&amp;0\\-1&amp;2&amp;-1\\0&amp;-1&amp;2 \end{bmatrix} &lt;/math&gt;
 :''a'', ''b'' , ''c'' ஆகிய உறுப்புகளைக்கொண்ட ஏதேனுமொரு பூச்சியமற்ற நிரலணி ''z'' எனில்:
 ::&lt;math&gt;\begin{align} z^{\mathrm{T}}M z = (z^{\mathrm{T}}M) z &amp;= \begin{bmatrix} (2a-b)&amp;(-a+2b-c)&amp;(-b+2c) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix} \\
 &amp;= 2{a}^2 - 2ab + 2{b}^2 - 2bc + 2{c}^2 \\
 &amp;= {a}^2+(a - b)^{2} + (b - c)^{2}+{c}^2
 \end{align} &lt;/math&gt;
 :இறுதியாகக் கிடைத்துள்ள &lt;math&gt; {a}^2+(a - b)^{2} + (b - c)^{2}+{c}^2 &lt;/math&gt; ஆனது வர்க்கங்களின் கூடுதலாக இருப்பதால் அதன் மதிப்பு எதிர்மம் அற்றதாகும்; ''z'' = 0 அதாவது ''a'' = ''b'' = ''c'' = 0  எனும்போது மட்டும் அதன் மதிப்பு பூச்சியமாக இருக்கும்.
 
 *&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ஒரு [[நேர்மாற்றத்தக்க அணி]]யானால் &lt;math&gt; A^{\mathrm{T}} A &lt;/math&gt; என்பது நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும். 
 &lt;math&gt; z &lt;/math&gt; ஒரு பூச்சியமற்ற நிரலணி எனில்,
 ::&lt;math&gt; z^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} A z = \| A z \|^2 &gt; 0, &lt;/math&gt; (&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணி என்பதால்  &lt;math&gt;Az \neq 0.&lt;/math&gt;)
 
 == எதிர்ம-வரைவு, அரை-வரைவு, வரைவற்ற அணி==
 ஒரு [[ஹெர்மைட் அணி]]யின் [[ஐகென் மதிப்பு]] எதிர்மமாக, நேர்மமற்றதாக, எதிர்மமற்றதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அவ்வணி முறையே எதிர்ம-வரைவு, எதிர்ம-அரைவரைவு, நேர்ம-அரைவரைவு அணியாக இருக்கும்.
 
 === எதிர்ம-வரைவு ===
 {{nowrap|''n'' × ''n''}} ஹெர்மைட் அணி ''M'' ''எதிர்ம-வரைவு'' எனில்:
 
 :&lt;math&gt;x^{*} M x &lt; 0\,&lt;/math&gt;&lt;!-- The \, is to keep the formula rendered as PNG instead of HTML. Please don't remove it.--&gt;
 : ''x''  ≠ 0, &lt;math&gt;x \in \Complex^n&lt;/math&gt; (மெய்யெண் அணி எனில்  ''x''  ≠ 0, &lt;math&gt; x \in R^n &lt;/math&gt;)
 : ''x*'' என்பது ''x'' இன் [[இணையிய இடமாற்று அணி]] 
 
 ஒரு அணியின் ''k-'' ஆவது வரிசை தலைமை முதன்மைச் சிற்றணியானது (leading principal minor) ''k'' ஒற்றையாக இருக்கும்போது எதிர்மமாகவும்,  ''k'' இரட்டையாக இருக்கும்போது நேர்மமாகவும் இருந்தால் அந்த அணியானது எதிர்ம-வரைவு அணியாக இருக்கும்.
 
 === நேர்ம-அரைவரைவு ===
 M ஒரு நேர்ம-அரைவரைவு அணி (எதிர்மமற்ற வரைவு) எனில்:
 :&lt;math&gt;x^{*} M x \geq 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall x \in C^n&lt;/math&gt; (மெய்யெண் அணிக்கு &lt;math&gt;\forall x \in R^n&lt;/math&gt;).
 
 :எந்தவொரு அணி ''A''க்கும்,  ''A*A'' ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்கும். மேலும் (''A'') இன் தரம்= (''A*A'') இன் தரம்.
 :ஒரு ஹெர்மைட் அணியின் அனைத்து முதன்மை சிற்றணிகளும் எதிர்மமற்றதாக
 இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த அணி ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்கும்.
 
 === எதிர்ம-அரைவரைவு ===
 ''M'' ஒரு எதிர்ம அரைவரைவு அணி எனில்,
 :&lt;math&gt;x^{*} M x \leq 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\forall x \in C^n&lt;/math&gt; (மெய்யெண் அணிக்கு &lt;math&gt;\forall x \in R^n&lt;/math&gt;).
 
 === வரைவற்றது ===
 நேர்ம வரைவு அணியாகவோ, எதிர்ம வரைவு, நேர்ம அரைவரைவு, எதிர்ம வரைவு, எதிர்ம அரைவரைவு ஆகிய எதுவொன்றாகவும் இல்லாத ஒரு ஹெர்மைட் அணியானது ''வரைவற்ற அணி'' எனப்படும். நேர்ம மற்றும் எதிர்ம ஐகென்மதிப்புகளைக் கொண்டவையாகவும் வரைவற்ற அணிகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன.
 
 == மேலும் சில பண்புகள்==
 *''M'' ஒரு நேர்ம-அரைவரைவு ஹெர்மைட் அணியென்பதைக் குறிக்க, சிலசமயங்களில்  ''M''&amp;nbsp;≥&amp;nbsp;0 என்றும், ''M'' ஒரு நேர்ம-வரைவு ஹெர்மைட் அணியென்பதைக் குறிக்க ''M''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0 எனவும் எழுதப்படுகிறது.&lt;ref&gt;This may be confusing, as sometimes [[nonnegative matrix|nonnegative matrices]] are also denoted in this way.  A common alternative notation is &lt;math&gt;M \succeq 0&lt;/math&gt; and &lt;math&gt; M \succ 0&lt;/math&gt; for positive semidefinite and positive definite matrices, respectively.&lt;/ref&gt;
 
 *''M'', ''N'' என்ற இரு சதுர அணிகளுக்கு ''M''&amp;nbsp;−&amp;nbsp;''N''&amp;nbsp;≥&amp;nbsp;0 எனில் ''M''&amp;nbsp;≥&amp;nbsp;''N''. அதாவது, ''M''&amp;nbsp;−&amp;nbsp;''N'' அணியானது நேர்ம அரைவரைவு அணியாகும். இதன் மூலம் சதுர அணிகளின் கணத்தில் ‘பகுதி வரிசைப்படுத்தும் செயல்” வரையறுக்கப்படுகிறது. இதுபோல கண்டிப்பான பகுதி வரிசைப்படுத்தலையும் (''M''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;''N'') வரையறுக்கலாம்.
 
 *ஒவ்வொரு நேர்ம வரைவு அணியும் [[நேர்மாற்றத்தக்க அணி]]யாகும். அதன் நேர்மாறு அணியும் நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Horn|Johnson|1985}}, p. 397&lt;/ref&gt; 
 : ''M''&amp;nbsp;≥&amp;nbsp;''N''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0 எனில், ''N''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;≥&amp;nbsp;''M''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Horn|Johnson|1985}}, Corollary 7.7.4(a)&lt;/ref&gt; ''M'' இன் மிகப்பெரிய ''k''ஆவது ஐகென் மதிப்பானது ''N'' இன் மிகப்பெரிய ''k''ஆவது ஐகென் மதிப்பை விடப்பெரியதாக இருக்கும்.
 
 *''M'' ஒரு நேர்ம வரைவு அணி; மேலும் ''r''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0 ஒரு மெய்யெண் எனில் 
 :''rM'' அணியும் நேர்ம வரைவாக இருக்கும்.&lt;ref name=&quot;HJobs713&quot;&gt;{{harvtxt|Horn|Johnson|1985}}, Observation 7.1.3&lt;/ref&gt;
 :''M'' , ''N'' இரண்டும் நேர்ம வரைவு அணிகள் எனில், ''M''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''N''&lt;ref name=&quot;HJobs713&quot;/&gt;, ''MNM'', ''NMN'' ஆகிய மூன்றும் நேர்ம வரைவு அணிகளாகும்.
 :மேலும் ''MN''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''NM'', எனில், ''MN'' அணியும் நேர்ம வரைவு ஆகும்.
 
 *ஒரு நேர்ம வரைவு அணியின் ஒவ்வொரு முதன்மை உள்ளணியும் நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.
 
 *''M'' நேர்ம அரைவரைவு அணியெனில், ''Q&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; M Q'' உம் நேர்ம வரைவு அணியாகும்.  M நேர்ம வரைவு அணியாகவும் ''Q'' முழுத்தரமும் கொண்டிருந்தால், ''Q&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt; M Q'' உம் நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{Cite book | last1=Horn | first1=Roger A. | last2=Johnson | first2=Charles R. | title=Matrix Analysis (Second Edition) | chapter=7.1 Definitions and Properties| publisher=[[கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]] | isbn=978-0-521-83940-2 | year=2013|page=431|quote=&lt;br&gt;'''Observation 7.1.8''' Let &lt;math&gt;A\in M_n&lt;/math&gt; be Hermitian and let &lt;math&gt;C\in M_{n,m}&lt;/math&gt;:&lt;br&gt;* Suppose that {{mvar|A}} is positive semidefinite. Then &lt;math&gt;C^{*}AC&lt;/math&gt; is positive semidefinite, nullspace(&lt;math&gt;C^{*}AC&lt;/math&gt;) = nullspace({{mvar|AC}}), and rank(&lt;math&gt;C^{*}AC&lt;/math&gt;)=rank(&lt;math&gt;AC&lt;/math&gt;)&lt;br&gt;* Suppose that {{mvar|A}} is positive definite. Then rank(&lt;math&gt;C^{*}AC&lt;/math&gt;)=rank({{mvar|C}}), and &lt;math&gt;C^{*}AC&lt;/math&gt; is positive definite [[if and only if]] rank({{mvar|C}})={{mvar|m}}}}&lt;/ref&gt;
 
 *மூலைவிட்ட உறுப்புகள் ''m&lt;sub&gt;ii&lt;/sub&gt;'' மெய்யெண்களாகவும் எதிர்மமற்றவையாகவும் இருக்கும். இதனால் அணியின் [[சுவடு (நேரியல் இயற்கணிதம்)|சுவடு]], tr(''M'')&amp;nbsp;≥&amp;nbsp;0 ஆக இருக்கும். மேலும் ஒவ்வொரு முதன்மை உள்ளணியும் (குறிப்பாக 2 x 2 அணிகள்) நேர்ம வரைவணிகளாக இருக்கும் என்பதால்,&lt;ref&gt;{{harvtxt|Horn|Johnson|1985}}, p. 398&lt;/ref&gt;
 ::&lt;math&gt;|m_{ij}| \leq \sqrt{m_{ii}m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}&lt;/math&gt;
 ::இவற்றிலிருந்து
 ::&lt;math&gt; \max |m_{ij}| \leq \max|m_{ii}|&lt;/math&gt;
 
 * ''B''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''M'' என்றவாறு ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணி ''B'' இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ''M'' ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்க முடியும். இவ்வாறு அமையும் ''B'' அணி தனித்ததாக இருக்கும்&lt;ref&gt;{{harvtxt|Horn|Johnson|1985}}, Theorem 7.2.6 with ''k'' = 2&lt;/ref&gt;. மேலும் ''M'' இன் [[அணியின் வர்க்கமூலம்|வர்க்கமூலம்]] (''B''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''M''&lt;sup&gt;1/2&lt;/sup&gt;) என்றும் அழைக்கப்படும். 
 ::''M''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;''N''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0 எனில் ''M''&lt;sup&gt;1/2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;''N''&lt;sup&gt;1/2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0.
 
 *''M'' ஒரு சமச்சீர் அணியாகவும் (''m&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;'' = ''m''(''i''−''j'')), &lt;math&gt;\sum\nolimits_{j\neq 0}|m(j)|&lt; m(0)&lt;/math&gt; ஆகவும் இருந்தால்,
 :: ''M'' ஒரு கண்டிப்பான நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.
 
 *''M''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0, ''N'' ஒரு ஹெர்மைட் அணி; ''MN''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''NM''&amp;nbsp;≥&amp;nbsp;0 (''MN''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''NM''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0) எனில்,
 :: ''N''&amp;nbsp;≥&amp;nbsp;0 (''N''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0).
 
 * ''M''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0 ஒரு மெய்யெண் அணி எனில்,
 ::''M''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;δI, δ&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0. இதில் ''I'' என்பது [[முற்றொருமை அணி]].
 
 *நேர்ம அரைவரைவு சமச்சீர் அணிகளின் கணம் ஒரு [[குவிவுக் கணம்]] ஆகும்.  
 ::''M'' , ''N'' இரண்டும் நேர்ம அரைவரைவு அணிகள் எனில், 0, 1 க்கு இடைப்பட்ட எந்தவொரு α மதிப்பிற்கும், α''M'' + (1−α)''N'' நேர்ம அரைவரைவு அணியாகும்.
 ::''x'' என்ற ஏதேனுமொரு திசையனுக்கு:
 :: &lt;math&gt;  x^\mathrm{T} (\alpha M + (1-\alpha) N ) x = \alpha x^\mathrm{T}  M x + (1-\alpha) x^\mathrm{T} N  x \geq 0. &lt;/math&gt;
 
 * ''M''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;(''m&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;'')&amp;nbsp;≥&amp;nbsp;0, ''N''&amp;nbsp;≥&amp;nbsp;0 ஆகிய இரு நேர்ம அரைவரைவு அணிகளின் [[ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்)|ஆடமார்டு பெருக்கலுக்குக் கீழ்வரும் இரு சமனிலிகள் உள்ள
 ::: &lt;math&gt;\det(M \circ N) \geq \det (N) \prod\nolimits_{i} m_{ii}.&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;{{harvtxt|Horn|Johnson|1985}}, Theorem 7.8.6&lt;/ref&gt;
 :::det(''M''&amp;nbsp;○&amp;nbsp;''N'') ≥ det(''M'') det(''N'').&lt;ref name=styan1973&gt;{{Harvard citations | last=Styan | year=1973}}&lt;/ref&gt;
 
 * ''M''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;(''m&lt;sub&gt;ij&lt;/sub&gt;'')&amp;nbsp;≥&amp;nbsp;0, ''N''&amp;nbsp;≥&amp;nbsp;0 ஆகிய இரு நேர்ம அரைவரைவு அணிகளின் [[ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்)|ஆடமார்டு பெருக்கலுக்குக் கீழ்வரும் இரு சமனிலிகள் உள்ள
 ::: &lt;math&gt;\det(M \circ N) \geq \det (N) \prod\nolimits_{i} m_{ii}.&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;{{harvtxt|Horn|Johnson|1985}}, Theorem 7.8.6&lt;/ref&gt;
 :::det(''M''&amp;nbsp;○&amp;nbsp;''N'') ≥ det(''M'') det(''N'').&lt;ref name=styan1973&gt;{{Harvard citations | last=Styan | year=1973}}&lt;/ref&gt;
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{Reflist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 * {{Cite book | last1=Horn | first1=Roger A. | last2=Johnson | first2=Charles R. | title=Matrix Analysis | publisher=[[கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]] | isbn=978-0-521-38632-6 | year=1990}}
 * {{cite book |authorlink=Rajendra Bhatia |first=Rajendra |last=Bhatia |title=Positive definite matrices |series=Princeton Series in Applied Mathematics |year=2007 |isbn=978-0-691-12918-1 }}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * {{springer|title=Positive-definite form|id=p/p073880}}
 * [http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html Wolfram MathWorld: Positive Definite Matrix]