வகையிடலின் சங்கிலி விதி
[[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] '''வகையிடலின் சங்கிலி விதி''' அல்லது '''சங்கிலி விதி''' (''chain rule'') என்பது [[வகையிடல் விதிகள்|வகையிடல் விதிகளுள்]] ஒன்றாகும். இவ்விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்பினை [[வகையிடல்|வகையிடும்]] வழிமுறையைத் தருகிறது. இதன் வாய்ப்பாட்டில், ''f'' , ''g'' எனும் இரு [[வகையிடத்தக்கச் சார்பு]]களின் சேர்ப்புச் சார்பான {{nowrap|''f ∘ g''}} இன் [[வகைக்கெழு]] ''f'' , ''g'' இன் வகைக்கெழுக்கள் மூலம் தரப்படுகிறது.
 
 வகையிடலிலுள்ள இந்தச் சங்கிலி விதிக்கு ஒத்ததாக [[தொகையீடு|தொகையிடலிலுள்ள]] விதி, [[பிரதியிடல் விதி]]யாகும்.
 
 ==வரலாறு==
 சங்கிலி விதி முதன்முதலில் [[கோட்பிரீட் லைப்னிட்ஸ்|லைப்னிட்சால்]] பயன்படுத்தப்பட்டதாகத் தெரியவருகிறது. &lt;math&gt;\sqrt{a + bz + cz^2}&lt;/math&gt; என்ற சார்பை வகையிடும் போது இவ்விதி லைப்னிட்சால் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. மேலே தரப்பட்ட சார்பானது, [[வர்க்கமூலம்]] காணல் மற்றும் &lt;math&gt;a + bz + cz^2&lt;/math&gt; ஆகிய சார்புகளின் சேர்ப்பாக அமைகிறது. அவரது நினைவுக் குறிப்பொன்றில் அவரால் இதுபற்றிய குறிப்பு தரப்பட்டுள்ளது. சங்கிலி விதியின் பொதுக் குறியீடு, லைப்னிட்சினுடையதாகும்.&lt;ref&gt;{{cite journal|title=A Semiotic Reflection on the Didactics of the Chain Rule|journal=The Montana Mathematics Enthusiast|year=2010|volume=7|pages=321–332|url=http://www.math.umt.edu/tmme/vol7no2and3/9_RodriguezFernandez_TMMEvol7nos2and3_pp.321_332.pdf|access-date=2012-09-13|archive-date=2012-03-30|archive-url=https://web.archive.org/web/20120330192753/http://www.math.umt.edu/TMME/vol7no2and3/9_RodriguezFernandez_TMMEvol7nos2and3_pp.321_332.pdf|url-status=dead}}&lt;/ref&gt; [[பிரெஞ்சு]] [[கணிதவியலாளர்]] ''லோபிதால்'' (L'Hôpital) தனது  ''Analyse des infiniment petits'' புத்தகத்தில் சங்கிலி விதியை மறைமுகமாகப் பயன்படுத்தியிருந்தாலும் வெளிப்படையாக அதுபற்றி எதுவும் குறிப்பிடவில்லை. லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பிற்கு நூறாண்டுகளுப்பின் எழுதப்பட்ட [[ஆய்லர்|ஆய்லரின்]] பகுப்பியல் புத்தகங்களிலும் சங்கிலி விதி குறித்த எந்தவிதமானதொரு கருத்தும் காணப்படவில்லை.
 
 ==ஒரு பரிமாணத்தில்==
 
 ===எடுத்துக்காட்டு 1===
 வானூர்தியிலிருந்து ஒருவர் வானில் குதித்த ''t''  வினாடிகளுக்குப் பின்,
 
 :கடல் மட்டத்திலிருந்து அவருள்ள இடத்தின் உயரம், {{nowrap|1=''g''(''t'') = 4000 &amp;minus; 4.9''t''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}}.
 :''h'' அலகு உயரத்தில் [[வளிமண்டல அழுத்தம்]], {{nowrap|1=''f''(''h'') = {{gaps|101325}} ''e''&lt;sup&gt;&amp;minus;0.0001''h''&lt;/sup&gt;}}.
 
 இவ்விரண்டு சார்புகளையும் வகையிட்டும், இரண்டையும் சேர்த்தும் பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறலாம்:
 
 *&lt;math&gt;g'(t) = -9.8t&lt;/math&gt; இது குதித்தவரின் [[திசைவேகம்|திசைவேகத்தை]] ''t'' நேரத்தில் தருகிறது.
 *&lt;math&gt;f'(h) = -10.1325 e^{-0.0001h} &lt;/math&gt; இது ''h'' உயரத்தில், வளிமண்டல அழுத்தத்தின், உயரத்தைப் பொறுத்த மாறுவீதத்தைத் தருகிறது. மேலும் இது கடல் மட்டத்திலிருந்து ''h'' மீட்டர் உயரத்தில், குதித்தவர் மீது செயல்படும் மிதப்பு விசைக்கு விகிதத்தில் அமையும்.
 * &lt;math&gt;(f \circ g)(t) &lt;/math&gt; இது குதித்து ''t'' வினாடிகள் ஆனபின், குதித்தவர் உணரும் வளிமண்டல அழுத்தமாகும்.
 * &lt;math&gt;(f \circ g)'(t) &lt;/math&gt; இது, குதித்து ''t'' வினாடிகளுக்குப்பின் குதித்தவர் உணரும் வளிமண்டல அழுத்தத்தின், நேரத்தைப் பொறுத்த மாறுவீதமாகும். மேலும் இது குதித்து ''t'' வினாடிகளுக்குப் பின் குதித்தவர் மீது செயல்படும் மிதப்பு விசைக்கு விகிதத்தில் அமையும்.
 
 சங்கிலி விதியின் வாய்ப்பாடு:
 
 :&lt;math&gt;(f \circ g)'(t) = f'(g(t))g'(t).&lt;/math&gt;
 
 இவ்வாய்ப்பாட்டின்படி மேலே குறிப்பிடப்பட்ட வளிமண்டல அழுத்தத்தின் மாறுவீதம்:
 
 :&lt;math&gt;(f \circ g)'(t) = \big(\mathord{-}10.1325e^{-0.0001(4000 - 4.9t^2)}\big)\cdot\big(\mathord{-}9.8t\big).&lt;/math&gt;
 
 ===சங்கிலி விதியின் கூற்று===
 
 ஒரு[[மாறி]]யில் அமைந்த [[மெய்யெண்]] மதிப்புச் சார்புகளுக்கு இவ்விதி எளிய வடிவில் அமைகிறது.
 
 ''g'' என்ற சார்பு  ''c'' புள்ளியில் வகையிடத்தக்கதாகவும் (''g''&amp;prime;(''c'') உள்ளது), ''f'' சார்பு ''g''(''c'') இல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருந்தால், இவ்விரண்டு [[சார்புகளின் தொகுப்பு]]ச் சார்பு ''f''&amp;nbsp;∘&amp;nbsp;''g'' -ம்  ''c'' இல் வகையிடத் தக்கதாக இருக்கும். மேலும் அதன் வகைக்கெழு&lt;ref&gt;{{cite book|title=Mathematical analysis|url=https://archive.org/details/mathematicalanal02edtomm|authorlink=Tom Apostol|first=Tom|last=Apostol|year=1974|edition=2nd ed.|publisher=Addison Wesley|page=Theorem 5.5|nopp=true}}&lt;/ref&gt;:
 
 :&lt;math&gt; (f\circ g)'(c) = f'(g(c))\cdot g'(c) &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;(f\circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'\, &lt;/math&gt; எனச் சுருக்கமாக எழுதலாம்.
 
 {{nowrap|1=''y'' = ''f''(''u'')}}, {{nowrap|1=''u'' = ''g''(''x'')}} எனில்  [[லைப்னிட்சின் குறியீடு|லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்]]:
 
 :&lt;math&gt;\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.&lt;/math&gt;
 
 வகையிடப்படும் இடங்களைக் குறிப்பிட்டுப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
 
 :&lt;math&gt;\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=c} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u = g(c)} \cdot \left.\frac{du}{dx}\right|_{x=c}.\, &lt;/math&gt;
 
 ====இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கு====
 இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்புக்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தலாம். ''f'', ''g'',  ''h'' சார்புகளின் சேர்ப்பு என்பது (இதே வரிசையில்), ''f'' சார்புடன் {{nowrap|''g'' ∘ ''h''}} சார்பின் சேர்ப்பாகும். {{nowrap|''f'' ∘ ''g'' ∘ ''h''}} சார்பின் வகைக்கெழு காண, ''f'' இன் வகைக்கெழுவும் {{nowrap|''g'' ∘ ''h''}} இன் வகைக்கெழுவும் காண வேண்டும். ''f''  இன் வகைக்கெழுவை நேரிடையாகவும் {{nowrap|''g'' ∘ ''h''}} இன் வகைக்கெழுவைச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம்.
 
 {{nowrap|1=''x'' = ''a''}} புள்ளியில்,
 
 :&lt;math&gt;(f \circ g \circ h)'(a) = f'((g \circ h)(a))(g \circ h)'(a) = f'((g \circ h)(a))g'(h(a))h'(a)&lt;/math&gt;
 
 லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:
 
 :&lt;math&gt;\frac{dy}{dx} = \left.\frac{dy}{du}\right|_{u=g(h(a))}\cdot\left.\frac{du}{dv}\right|_{v=h(a)}\cdot\left.\frac{dv}{dx}\right|_{x=a}&lt;/math&gt;
 அல்லது சுருக்கமாக,
 :&lt;math&gt;\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}&lt;/math&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 :&lt;math&gt;y = e^{\sin {x^2}}&lt;/math&gt;
 
 இச்சார்பை கீழ்க்காணும் சார்புகளின் தொகுப்பாகக் கொள்ளலாம்:
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 y &amp;= f(u) = e^u, \\
 u &amp;= g(v) = \sin v, \\
 v &amp;= h(x) = x^2.
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 இவற்றின் வகைக்கெழுக்கள்:
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 \frac{dy}{du} &amp;= f'(u) = e^u, \\
 \frac{du}{dv} &amp;= g'(v) = \cos v, \\
 \frac{dv}{dx} &amp;= h'(x) = 2x.
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:
 :&lt;math&gt;\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{dy}{dx} = e^{\sin {x^2}}\cdot\cos{x^2}\cdot 2x&lt;/math&gt;
 
 {{nowrap|''f'' ∘ ''g'' ∘ ''h''}} சார்பை  {{nowrap|''f'' ∘ ''g''}} மற்றும் ''h'' சார்புகளின் தொகுப்பாகவும் எடுத்துக் கொள்ளலாம்.
 
 இம்முறையில் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;(f \circ g \circ h)'(a) = (f \circ g)'(h(a))h'(a) = f'(g(h(a))g'(h(a))h'(a).&lt;/math&gt;
 
 இந்த முடிவும் முதலில் கணக்கிட்டதும் சமமாகவே உள்ளதற்குக் காரணம் 
 :&lt;math&gt;(f \circ g )\circ h = f \circ (g \circ h) &lt;/math&gt; என்பதே.
 
 ====வகுத்தல் விதி====
 சில வகையிடல் விதிகளைச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி அடையலாம். எடுத்துக்காட்டாக, [[வகையிடலின் வகுத்தல் விதி|வகுத்தல் விதியைச்]] சங்கிலி விதி, [[வகையிடலின் பெருக்கல் விதி|பெருக்கல் விதி]] இரண்டையும் பயன்படுத்திப் பெறலாம்.
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)
 &amp;= \frac{d}{dx}\left(f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}\right) \\
 &amp;= f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right).
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 பெருக்கல் விதிப்படி இம்முடிவு கிடைத்துள்ளது. இதற்குப்பின்  1/''g''(''x'') சார்பானது,  ''g'' மற்றும் தலைகீழிச் சார்பின் சேர்ப்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டு கொண்டு சங்கிலி விதிப்படி வகையிடப்படுகிறது. [[தலைகீழிச் சார்பு]]  ''x'' உடன் 1/''x''  ஐ இணைக்கிறது. 1/''x''  இன் வகைக்கெழு &amp;minus;1/''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;.
 
 என்வே மேலுள்ள முடிவிற்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\left(-\frac{1}{g(x)^2}\cdot g'(x)\right)
 = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2},&lt;/math&gt;
 இதுவே வகையிடலின் வகுத்தல் விதியாகும்.
 
 ====நேர்மாறுச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்====
 {{nowrap|1=''y'' = ''g''(''x'')}} சார்புக்கு, [[நேர்மாறுச் சார்பு]] உள்ளது எனில் அதனை ''f'' எனக் கொண்டால், {{nowrap|1=''x'' = ''f''(''y'')}} ஆகும். ''f'' இன் வகைக்கெழுவை,  ''g'' இன் வகைக்கெழு மூலம் காண முடியும்.
 
 ''g'' இன் நேர்மாறுச் சார்பு ''f'' என்பதால்,
 :&lt;math&gt;f(g(x)) = x.&lt;/math&gt;
 
 எனவே இருபுறமுமுள்ள சார்புகளின் வகைக்கெழுக்களும் சமமாக இருக்கும். ''x'' இன் வகைக்கெழு 1.
 
 :&lt;math&gt;f'(g(x))g'(x) = 1.&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; f(y) = x &lt;/math&gt;எனப் பிரதியிட,
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 f'(g(f(y)))g'(f(y)) &amp;= 1 \\
 f'(y)g'(f(y)) &amp;= 1 \\
 f'(y) = \frac{1}{g'(f(y))}.
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 :&lt;math&gt; g(x) = e^x &lt;/math&gt; எனில்,
 
 இதன் நேர்மாறுச் சார்பு: &lt;math&gt; f(y) = \ln y &lt;/math&gt;
 
 மேலும் வகைக்கெழு,
 
 :&lt;math&gt; g'(x) = e^x .&lt;/math&gt;
 
 எனவே நேர்மாறுச் சார்பின் வகைக்கெழு காண மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாட்டின்படி:
 
 :&lt;math&gt;\frac{d}{dy}\ln y = \frac{1}{e^{\ln y}} = \frac{1}{y}.&lt;/math&gt;
 
 ''g'' , அதன் நேர்மாறு ''f'' இரண்டும் வகையிடத் தக்கவையாக இருந்தால் இவ்வாய்ப்பாடு உண்மையாகும். இரண்டில் ஏதேனும் ஒன்று வகையிடத் தக்கதாக இல்லையெனில் இவ்வாய்ப்பாடு பயனளிக்காது.
 
 எடுத்துக்காட்டாக,
 
 :&lt;math&gt; g(x) = x^3 .&lt;/math&gt; எனில் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு:
 
 :&lt;math&gt; f(y) = y^\frac{1}{3} &lt;/math&gt;
 
 இச்சார்பு x=0 இல் வகையிடத்தக்கது இல்லை. எனவே சார்பு ''f'' இன் வகைக்கெழுவை x=0 இல் மேற்கூறப்பட்ட வாய்ப்பாட்டினைப் பயன்படுத்திக் காண முற்பட்டால் 1/0 எனக் கிடைக்கும். இது வரையறுக்கப்படாத ஒன்றாகும். எனவே இங்கு இவ்வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த முடியாது.
 
 ===உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்===
 ''ஃபா டி புருனோவின் வாய்ப்பாடு'', சங்கிலி விதியை உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது.
 
 :&lt;math&gt;\frac{d (f \circ g) }{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;
   \frac{d^2 (f \circ g) }{d x^2}
   = \frac{d^2 f}{d g^2}\left(\frac{dg}{dx}\right)^2
     + \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}
 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;
   \frac{d^3 (f \circ g) }{d x^3}
   = \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^3
     + 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2}
     + \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}
 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;
   \frac{d^4 (f \circ g) }{d x^4}
   =\frac{d^4 f}{dg^4} \left(\frac{dg}{dx}\right)^4
     + 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \left(\frac{dg}{dx}\right)^2 \frac{d^2 g}{d x^2}
     + \frac{d^2 f}{d g^2} \left\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\left(\frac{d^2 g}{dx^2}\right)^2\right\}
     + \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}.
 &lt;/math&gt;
 
 ==உயர்பரிமாணங்களில் சங்கிலி விதி==
 உயர்பரிமாணங்களுக்கு சங்கிலி விதியின் எளிமையான பொதுமைப்படுத்தலில் முழு வகைக்கெழு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு சார்பின் முழு வகைக்கெழு அச்சார்பு எல்லாத் திசைகளிலும் எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதைக் குறிக்கும் நேரியல் உருமாற்றமாகும்.
 
 {{nowrap|''f'' : '''R'''&lt;sup&gt;''m''&lt;/sup&gt; &amp;rarr; '''R'''&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;}}{{nowrap|''g'' : '''R'''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; &amp;rarr; '''R'''&lt;sup&gt;''m''&lt;/sup&gt;}} இரண்டும் வகையிடத்தக்க சார்புகள். ''D''  முதல் வகைக்கெழுச் செயலி எனில்,
 
 '''R'''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; இல் அமைந்த ஒரு புள்ளி '''a''' எனில், உயர்பரிமாணச் சங்கிலி விதியின் வாய்ப்பாடு:
 
 :&lt;math&gt;D_{\mathbf{a}}(f \circ g) = D_{g(\mathbf{a})}f \circ D_{\mathbf{a}}g,&lt;/math&gt;
 அல்லது சுருக்கமாக,
 :&lt;math&gt;D(f \circ g) = Df \circ Dg.&lt;/math&gt;
 
 ஜேக்கோபிய அணிகளின் வாயிலாக இவ்விதி:
 :&lt;math&gt;J_{\mathbf{a}}(f \circ g) = J_{g(\mathbf{a})}(f)J_{\mathbf{a}}(g),&lt;/math&gt;
 
 பகுதி வகைக்கெழுவிற்கு:
 
 {{nowrap|1='''y''' = ''f''('''u''') = (''f''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;('''u'''), ..., ''f''&lt;sub&gt;''k''&lt;/sub&gt;('''u'''))}} மற்றும் {{nowrap|1='''u''' = ''g''('''x''') = (''g''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;('''x'''), ..., ''g''&lt;sub&gt;''m''&lt;/sub&gt;('''x'''))}} எனில்:
 
 :&lt;math&gt;\frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)} = \frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial(u_1, \ldots, u_m)}\frac{\partial(g_1, \ldots, g_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}.&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial x_i} = \frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial(u_1, \ldots, u_m)}\frac{\partial(g_1, \ldots, g_m)}{\partial x_i}.&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial x_i} = \sum_{\ell = 1}^m \frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial u_\ell}\frac{\partial g_\ell}{\partial x_i}.&lt;/math&gt;
 
 {{nowrap|1=''k'' = 1}} எனில், ''f'' ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பாகும். இதற்கான வாய்ப்பாடு:
 :&lt;math&gt;\frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_{\ell = 1}^m \frac{\partial f}{\partial u_\ell}\frac{\partial g_\ell}{\partial x_i}.&lt;/math&gt;
 
 ===எடுத்துக்காட்டு===
 
 :&lt;math&gt;\,u = x^2 + 2y,&lt;/math&gt;  &lt;math&gt;\,x = r\sin(t),&lt;/math&gt;  &lt;math&gt;\,y = \sin^2(t)&lt;/math&gt;
 
 சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:
 :&lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = \left(2x\right)\left(\sin(t)\right)+\left(2\right)\left(0\right)=2r\sin^2(t)&lt;/math&gt;
 மற்றும்
 :&lt;math&gt;\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} = \left(2x\right)\left(r\cos(t)\right)+\left(2\right)\left(2\sin(t)\cos(t)\right)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; = 2\left(r\sin(t)\right)r\cos(t)+4\sin(t)\cos(t) = 2\left(r^2+2\right)\sin(t)\cos(t).&lt;/math&gt;
 
 ===பலமாறிச் சார்புகளின் உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்===
 
 ஃபா டி புருனோவின் வாய்ப்பாடு ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்புகளின் உயர்வரிசை வகைடிடலைப் பலமாறிகளில் அமைந்த சார்புகளுக்குப் பொதுமைப்படுத்துகிறது.
 
 {{nowrap|1=''u'' = ''g''(''x'')}} இன் சார்பாக ''f'' இருந்தால் {{nowrap|''f'' ∘ ''g''}} இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு:
 
 :&lt;math&gt;\frac{\partial^2 (f \circ g)}{\partial x_i \partial x_j} = \sum_k \frac{\partial f}{\partial u_k}\frac{\partial^2 g_k}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k, \ell} \frac{\partial^2 f}{\partial u_k \partial u_\ell}\frac{\partial g_k}{\partial x_i}\frac{\partial g_\ell}{\partial x_j}.&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{Reflist}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 84. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121120103542/http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm |date=2012-11-20 }}
 * {{MathWorld | urlname=ChainRule | title=Chain Rule}}
 * [[Khan Academy]] [http://www.khanacademy.org/video/the-chain-rule?playlist=Calculus Lesson 1] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120104185102/http://www.khanacademy.org/video/the-chain-rule?playlist=Calculus |date=2012-01-04 }} [http://www.khanacademy.org/video/even-more-chain-rule?playlist=Calculus Lesson 3] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120104064356/http://www.khanacademy.org/video/even-more-chain-rule?playlist=Calculus |date=2012-01-04 }}
 * http://calculusapplets.com/chainrule.html
 * [https://sites.google.com/site/khanacnotes/the-chain-rule The Chain Rule explained] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150514072257/https://sites.google.com/site/khanacnotes/the-chain-rule |date=2015-05-14 }}
 
 [[பகுப்பு:வகையீட்டு நுண்கணிதம்]]