அணிகளின் அளவை
[[கணிதம்|கணித]]த்தில் [[நேரியல் இயற்கணிதம்|நேரியல் இயற்கணிதப்பிரிவில்]] [[அணி]]கள் ஒரு முக்கிய பங்கை வகிக்கின்றன. ஒரு &lt;math&gt;m \times n&lt;/math&gt; அணி M இன் [[நிரல் திசையன்|நிரல் திசையன்களில்]] [[நேரியல் சார்பின்மை|நேரியல் சார்பற்ற]] திசையன்களின் மிகப்பெரிய  எண்ணிக்கை M இன் '''நிரலளவை''' (Column Rank) என்றும், [[வரிசைத்திசையன்|வரிசைத்திசையன்களில்]] நேரியல் சார்பற்ற திசையன்களின் மிகப்பெரிய எண்ணிக்கை M இன் '''வரிசையளவை''' (Row rank) என்றும் பெயர் பெறுவன.ஆனால் கூட்டிக் கழித்துப் பார்க்கும்போது நிரலளவையும் வரிசையளவையும் ஒன்றுதான் என்று தெரிய வரும்.  அது தான் அணி  M இன் '''அளவை''' (Rank). இது “தரம்” என்றும் வழங்கப்படுகிறது.
 
 இக்கட்டுரையில் எல்லா அணிகளும் மெய்யெண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்டவை.&lt;ref&gt;{{Harvard citation text|Axler|2015}} pp. 111-112, §§ 3.115, 3.119&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;{{Harvard citation text|Roman|2005}} p. 48, § 1.16&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Bourbaki, ''Algebra'', ch. II, §10.12, p. 359&lt;/ref&gt;
 
 ==ஒரு அணியின் குறு வரிசைப்படி==
 
 ஒரு அணி '''குறுவரிசைப்படி''' உருவத்தில்   (row-reduced echelon form) இருக்கிறது என்று சொல்வதன் இலக்கணம்:
 
 * எல்லாம் சூனியங்களாக இல்லாத ஒவ்வொரு வரிசையிலும், முதல் சூனியமல்லாத உறுப்பு  1 ஆக இருக்கும்;
 * அந்த முதல் உறுப்பு 1 தோன்றும் நிரல்களிலுள்ள மற்ற ஒவ்வொரு உறுப்பும் சூனியமாக இருக்கும்;
 * சூனியங்களாகவே இருக்கும் வரிசைகளெல்லாம் எல்லாம் சூனியங்களாக இல்லாத வரிசைகளுக்குக் கீழே  இருக்கும்;
 * எல்லாம் சூனியங்களாக இல்லாத வரிசைகள் ''r''  என்றும், ''i'' -வது வரிசையின் முதல் சூனியமல்லாத உறுப்பு  உள்ள நிரல்  ''k''&lt;sub&gt;''i''&lt;/sub&gt;-வது நிரல்,  ''i = 1,2, ..., r'' என்றும் கொண்டால், ''k&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; &lt; k&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &lt; ... &lt; k&lt;sub&gt;r&lt;/sub&gt;.''
 
 எடுத்துக்காட்டக, கீழே உள்ளது ஒரு  &lt;math&gt;7\times 10&lt;/math&gt; அணியின் குறுவரிசைப்படி:
 
 &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 0 &amp; (1) &amp; 2 &amp; 0 &amp; 2 &amp; 0 &amp;  0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 2 \\
 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; (1) &amp;-1 &amp; 0 &amp;  0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; (1) &amp;  0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp;  (1) &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp;  0 &amp; (1) &amp; 0 &amp; 0 \\
 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp;  0 &amp; 0 &amp; (1) &amp; 3 \\
 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp;  0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 இதன் உறுப்புகளை இடதுபுறமும் கீழேயும் எல்லாம் சூனியங்களாக இருக்கும்படி ஒரு பிரிப்புக்கோடு (செங்குத்துக் கோடுகளாலும் படுக்கைக் கோடுகளாலும் ஆனது) போடப்பட்டால், அதனுடைய திருப்பங்களிலெல்லாம் 1 என்ற உறுப்புதான் இருக்கும். அவையெல்லாம் அடைப்ப்புகளுக்குள் காட்டப்பட்டிருக்கின்றன். இத்திருப்பங்களுக்கு '''படிகள்''' எனப்பெயர்.
 
 ==தேற்றம்: நிரலளவை = வரிசையளவை==
 
 இது பல சிறு சிறு முற்கோள்களிலிருந்து வருகிறது.
 
 1. மூன்றுவித [[தொடக்கநிலை வரிசைச்செயல்களின்]] மூலம் எந்த அணி  A யையும் குறுவரிசைப்படி  B  ஆக மாற்றலாம்.
 
 2. ஒரு அணி குறுவரிசைப்படி உருவத்தில் இருந்தால், அதன் வரிசையளவை, எல்லாம் சூனியங்களல்லாத வரிசைகளின் எண்ணிக்கையே.
 
 3. ஒரு அணியின் வரிசையளவை அவ்வணியின் குறுவரிசைப்படியின் வரிசையளவையே.
 (இதன் நிறுவலில் முக்கிய கருத்து: தொடக்கநிலை வரிசைச்செயல்கள் வரிசையளவையை மாற்றாது)
 
 4. ஒரு அணி குறுவரிசைப்படி உருவத்தில் இருந்தால்,அதனுடைய  நிரலளவை அதன் படிகளின் எண்ணிக்கையே.
 
 5. ஒரு அணியின் நிரலளவை அவ்வணியின் குறுவரிசைப்படியின் நிரலளவையே.
 (இதன் நிறுவலில் முக்கிய கருத்து: தொடக்கநிலை வரிசைச்செயல்கள் நிரலளவையை மாற்றாது)
 
 6. குறுவரிசைப்படி உருவத்தில் உள்ள அணியில், படிகளின் எண்ணிக்கையும் சூனியங்களல்லாத வரிசைகளின் எண்ணிக்கையும் ஒன்றே.
 
 ==துணை நூல்கள்==
 * Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. {{ISBN|0-387-96205-0}}.
 * V. Krishnamurthy, V.P. Mainra &amp; J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. {{ISBN|81-85095-15-9}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}