சிற்றணிக்கோவை
[[நேரியல் இயற்கணிதம்|நேரியல் இயற்கணிதத்தில்]] ஒரு [[அணி (கணிதம்)|அணியின்]] '''சிற்றணிக்கோவை''' (''minor'') என்பது அவ்வணியிலிருந்து அதன் ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட நிரைகளையோ, நிரல்களையோ நீக்கக் கிடைக்கும் சிறிய [[சதுர அணி]]யின் [[அணிக்கோவை]]யாகும். ஒரு சதுர அணியிலிருந்து ஒரேயொரு நிரையையும், நிரலையும் மட்டும் நீக்கிப் பெறப்படும் சிற்றணிக்கோவைகள், '''முதல் சிற்றணிக்கோவைகள்''' (''first minors'') எனப்படுகின்றன. இவை அச்சதுர அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பினைக் கணக்கிடுவதற்கும் அவ்வணியின் [[நேர்மாறு அணி]] காண்பதற்கும் பயன்படுகின்றன.
 
 ==வரையறை==
 
 ===முதல் சிற்றணிக்கோவைகள்===
 ''A'' ஒரு [[சதுர அணி]] எனில் அதன் ''i''-வது நிரை மற்றும் ''j''-வது நிரலிலில் உள்ள உறுப்பின் சிற்றணிக்கோவை ('''(''i'',''j'') சிற்றணிக்கோவை''' அல்லது '''முதல் சிற்றணிக்கோவை''')&lt;ref&gt;Burnside, William Snow &amp; Panton, Arthur William (1886) ''[https://books.google.com/books?id=BhgPAAAAIAAJ&amp;pg=PA239 Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form]''.&lt;/ref&gt;) என்பது ''A'' அணியின் i-ஆவது நிரையையும் j-ஆவது நிரலையும் நீக்கிவிடக் கிடைக்கும் அணியின் அணிக்கோவையாகும்.&lt;ref&gt;http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Books/11/Std11-Maths-TM-1.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161120140454/http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Books/11/Std11-Maths-TM-1.pdf |date=2016-11-20 }} கணிதவியல், மேல்நிலை முதலாமாண்டு-தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம், 2007 பதிப்பு&lt;/ref&gt; (''i'',''j'') சிற்றணிக்கோவையின் குறியீடு M&lt;sub&gt;''i,j''&lt;/sub&gt;
 
 ;பொதுவான வரையறை
 '''A''' ஒரு ''m'' × ''n'' அணி;  ''k'' ஒரு முழு எண்; 0 &lt; ''k'' ≤ ''m'',  ''k'' ≤ ''n'' எனில்: 
 :'''A''' இன் ''k'' × ''k'' சிற்றணிக்கோவை என்பது '''A''' அணியிலிருந்து ''m'' − ''k'' நிரைகளையும் ''n'' − ''k'' நிரல்களையும் நீக்கிய பின் கிடைக்கும் ''k'' × ''k'' அணியின் அணிக்கோவையாகும்.
 
 ====இணைக்காரணிகள்====
 குறியிடப்பட்ட சிற்றணிக்கோவைகள் இணைக்காரணிகள் என அழைக்கப்படும்.
 
 :(''i'',''j'') சிற்றணிக்கோவையை &lt;math&gt;(-1)^{i+j}&lt;/math&gt; ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது (i,j) இணைக்காரணியாகும். இதன் குறியீடு C&lt;sub&gt;''i,j''&lt;/sub&gt;.
 ::&lt;math&gt;\mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}. \,&lt;/math&gt;
 
 ====3 x 3 அணியின் சிற்றணிக்கோவை, இணைக்காரணி காணல்====
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
 \,\,\,1 &amp; 4 &amp; 7 \\
 \,\,\,3 &amp; 0 &amp; 5 \\
 -1 &amp; 9 &amp; \!11 \\
 \end{bmatrix}&lt;/math&gt;
 
 மேலுள்ள அணியில் சிற்றணிக்கோவை  ''M''&lt;sub&gt;23&lt;/sub&gt; காண்பதற்கு அந்த அணியிலிருந்து இரண்டாவது நிரையும் மூன்றாவது நிரலும் நீக்கப்பட்டு மீதமாகும் அணியின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு கணக்கிடப்படுகிறது.
 :&lt;math&gt; M_{23} = \det \begin{bmatrix}
 \,\,1 &amp; 4 &amp; \Box\, \\
 \,\Box &amp; \Box &amp; \Box\, \\
 -1 &amp; 9 &amp; \Box\, \\
 \end{bmatrix}= \det \begin{bmatrix}
 \,\,\,1 &amp; 4\, \\
 -1 &amp; 9\, \\
 \end{bmatrix} = (9-(-4)) = 13&lt;/math&gt;
 
 இதற்குரிய இணைக்காரணி  ''C''&lt;sub&gt;23&lt;/sub&gt;:
 :&lt;math&gt;\ C_{23} = (-1)^{2+3}(M_{23}) = -13.&lt;/math&gt;
 
 ====இணைக்காரணி அணி====
 ஒரு அணியின் அனைத்து உறுப்புகளை அவற்றின் இணைக்காரணிகளைக் கொண்டு பதிலிடக் கிடைப்பது அவ்வணியின் இணைக்காரணி அணி எனப்படும். இணைக்காரணி அணியின் குறியீடு &lt;math&gt;\mathbf{C}&lt;/math&gt;
 
 ;3 x 3 பொது அணியின் இணைக்காரணி அணி
 :&lt;math&gt;
 \mathbf{A} = \begin{pmatrix}
 a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} \\
 a_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23} \\
 a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33}
 \end{pmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 இதன் இணைக்காரணி அணி:
 :&lt;math&gt;
 \mathbf{C} =\begin{pmatrix}
 c_{11} &amp; c_{12} &amp; c_{13} \\
 c_{21} &amp; c_{22} &amp; c_{23} \\
 c_{31} &amp; c_{32} &amp; c_{33}
 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
 +\begin{vmatrix} a_{22} &amp; a_{23} \\ a_{32} &amp; a_{33} \end{vmatrix} &amp;
 -\begin{vmatrix} a_{21} &amp; a_{23} \\ a_{31} &amp; a_{33} \end{vmatrix} &amp;
 +\begin{vmatrix} a_{21} &amp; a_{22} \\ a_{31} &amp; a_{32} \end{vmatrix} \\
  &amp; &amp; \\
 -\begin{vmatrix} a_{12} &amp; a_{13} \\ a_{32} &amp; a_{33} \end{vmatrix} &amp;
 +\begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{13} \\ a_{31} &amp; a_{33} \end{vmatrix} &amp;
 -\begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} \\ a_{31} &amp; a_{32} \end{vmatrix} \\
  &amp; &amp; \\
 +\begin{vmatrix} a_{12} &amp; a_{13} \\ a_{22} &amp; a_{23} \end{vmatrix} &amp;
 -\begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{13} \\ a_{21} &amp; a_{23} \end{vmatrix} &amp;
 +\begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} \\ a_{21} &amp; a_{22} \end{vmatrix}
 \end{pmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 ==சிற்றணிக்கோவைகள், இணைக்காரணிகளின் பயன்பாடுகள்==
 
 ===அணிக்கோவைகளின் விரிவு===
 &lt;math&gt;n\times n&lt;/math&gt; அணி &lt;math&gt;(a_{ij})&lt;/math&gt; எனில்
 
 :''A'' இன் அணிக்கோவையின் (det(''A'')) ''j''th நிரல் மூலமான இணைக்காரணி விரிவு:
 
 :&lt;math&gt;\ \det(\mathbf A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + ... + a_{nj}C_{nj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij}   &lt;/math&gt;
 
 :''A'' இன் அணிக்கோவையின் (det(''A'')) ''i''th நிரல் மூலமான இணைக்காரணி விரிவு:
 :&lt;math&gt;\ \det(\mathbf A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + ... + a_{in}C_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} &lt;/math&gt;
 
 ===அணியின் நேர்மாறு===
 {{முதன்மை|நேர்மாற்றத்தக்க அணி}}
 
 [[கிரமரின் விதி]]யைப் பயன்படுத்தி நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் இணைக்காரணிகளைக் கண்டுபிடித்து அவ்வணியின் நேர்மாறு அணியைக் காணலாம்.
 
 இணைக்காரணிகளாலான அணி:
 
 :&lt;math&gt;\mathbf C=\begin{bmatrix}
     C_{11}  &amp; C_{12} &amp; \cdots &amp;   C_{1n}   \\
     C_{21}  &amp; C_{22} &amp; \cdots &amp;   C_{2n}   \\
   \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\
     C_{n1}  &amp; C_{n2} &amp; \cdots &amp;  C_{nn}
 \end{bmatrix} &lt;/math&gt;
 
 '''A''' அணியின் இணைக்காரணி அணியின் (&lt;math&gt;\mathbf C &lt;/math&gt;) [[இடமாற்று அணி]], '''A''' இன் [[சேர்ப்பு அணி]] எனப்படும்.
 
 '''A''' அணியின் நேர்மாறு அணி:
 :&lt;math&gt;\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf A)} \mathbf C^\mathsf{T}.&lt;/math&gt;
 
 ===அணியின் அளவை===
 [[மெய்யெண்]]களாலான ''m'' × ''n'' அணியின் [[அணிகளின் அளவை|தரம்]] ''r'' எனில் அவ்வணிக்கு, குறைந்தபட்சம் ஒரு பூச்சியமில்லா ''r'' × ''r'' சிற்றணிக்கோவையும், பிற மேல்வரிசை சிற்றணிக்கோவைகள் அனைத்தும் பூச்சியமாகவும் இருக்கும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 * [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-19-determinant-formulas-and-cofactors/ MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors] at Google Video, from MIT OpenCourseWare
 * [http://planetmath.org/encyclopedia/Cofactor.html PlanetMath entry of ''Cofactors''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120408004640/http://planetmath.org/encyclopedia/Cofactor.html |date=2012-04-08 }}
 * [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minor Springer Encyclopedia of Mathematics entry for ''Minor'']