கெய்லி குல அட்டவணை
[[கெய்லி (கணிதவியலர்)|கெய்லி]](1821-1895) என்ற கணித இயலர்தான் 1854 இல் முதன் முதலில் [[குலம்]] என்ற கருத்தை அதன் உறுப்புகளின் பெருக்கல் அட்டவணையின் மூலம் காண்பித்தார். அதிலிருந்து இன்றும், சிறிய [[முடிவுறு குலம்|முடிவுறு குலங்களை]] ஒரு நொடியில் ஆராய அவைகளின் பெருக்கல் அட்டவணையைப் பார்ப்பது வழக்கமாகி விட்டது. அதனால் ஒரு குலத்தின் பெருக்கல் அட்டவணைக்கு '''கெய்லி குல அட்டவணை''' (Cayley Group Table) என்றே பெயர்.
 
 ==அட்டவணையின் அடிப்படையும் பயனும்==
 
 எந்த உறுப்புகளுக்கு எவை எதிர்மாறுகள், குலத்தின் [[மையம்]] என்ன, [[குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)|குலத்தின் கிரமம்]], அது [[பரிமாற்றுக் குலம்|பரிமாற்றுக் குல]]மா, [[பரிமாறாக்குலம்|பரிமாறாக்குல]]மா, -- போன்ற குலத்தின் பண்புகள் கெய்லி அட்டவணையைப் பார்த்தவுடனே தெரிந்துவிடும்.
 
 குலத்தை &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; எனக்கொள்வோம். அட்டவணை &lt;math&gt;xy&lt;/math&gt; ஐ க்காட்டுகிறது. ஒவ்வொரு நிரையிலும் முதல் காரணி &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; எல்லா உறுப்புக்களுக்கும் பொதுவாக இருக்கும். ஒவ்வொரு நிரலிலும் இரண்டாவது காரணி &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; எல்லா உறுப்புக்களுக்கும் பொதுவாக இருக்கும்.
 
 முதலில் அட்டவணையில் தலைப்பு நிரலிலும் தலைப்பு நிரையிலும் உறுப்புகள் ஒரே வரிசையில் எழுதப்பட்டிருப்பது அவசியம். அப்படியிருந்தபின், &lt;math&gt;k-&lt;/math&gt;ஆவது நிரையும் &lt;math&gt;k-&lt;/math&gt;ஆவது நிரலும் உறுப்புகளிலும் வரிசையிலும் ஒன்றாக இருந்தால், அந்நிரையின் தலைப்பிலுள்ள உறுப்பு, குலத்தின் மையத்திலிருக்கும் என்று பொருள் கொள்ளலாம். ஏனென்றால், அவ்வுறுப்பை &lt;math&gt;x_k&lt;/math&gt; எனக்கொண்டால், அந்நிரை
 
 ::&lt;math&gt;x_kx_1, x_kx_2, x_kx_3, ...&lt;/math&gt;
 என்ற வரிசையில் &lt;math&gt; G&lt;/math&gt; இலுள்ள எல்லா உறுப்புகளுடன் பெருக்கலைக் காட்டும். அதேபோல்,&lt;math&gt;k&lt;/math&gt;-ஆவது நிரல்
 
 ::&lt;math&gt;x_1x_k, x_2x_k, x_3x_ k ... &lt;/math&gt;
 
 என்ற வரிசையில் &lt;math&gt;G&lt;/math&gt; இலுள்ள எல்லா உறுப்புகளுடன் பெருக்கலைக் காட்டும்.
 
 இவையிரண்டும் சமமானால், &lt;math&gt;x_k&lt;/math&gt; என்ற உறுப்பு எல்லா உறுப்புகளுடன் பரிமாறுகிறது என்று பொருள். &lt;math&gt;\therefore  x_k \in  G&lt;/math&gt;இன் மையம்.
 
 எப்பொழுதும், எல்லா குலங்களிலும், &lt;math&gt;e \in G&lt;/math&gt;-இன் மையம்.
 
 ==சமச்சீர்குலம் S&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;==
 
 [[சமச்சீர் குலம்]] &lt;math&gt;S_3&lt;/math&gt; இன் பெருக்கல் அட்டவணை (கீழே உள்ளது) அது ஒரு பரிமாற்றாக்குலம் என்பதைக் காட்டும். இதுதான் மிகச்சிறிய பரிமாற்றாக்குலம்.இதன் கிரமம் 6. இது 3 கூறியீடுகளின் வரிசைமாற்றுக்குலம்.
 
 &lt;math&gt;S_3 =\{e; a = (1)(23); b = (2)(13); c = (3)(12); d = (123); (f) = (132)\}&lt;/math&gt;
 
 :::{| class=&quot;wikitable&quot;
 |-
 ! &lt;math&gt;\frac{y\rightarrow}
 {x\downarrow}&lt;/math&gt;
 ! e
 ! a
 ! b
 ! c
 ! d
 ! f
 |-
 | '''e'''
 | '''e'''
 | a
 | b
 | c
 | d 
 | f
 |-
 | '''a'''
 | a
 | '''e'''
 | d
 | f
 | b
 | c
 |-
 | '''b'''
 | b
 | f
 | '''e'''
 | d
 | c
 | a
 |-
 | '''c'''
 | c
 | d 
 | f
 | '''e'''
 | a
 | b
 |-
 |'''d'''
 | d
 | c
 | a
 | b
 | f
 | '''e'''
 |-
 |'''f'''
 | f
 | b
 | c
 | a
 |''' e'''
 | d
 |}
 
 இதனுடைய மையம் = &lt;math&gt;\{e\}&lt;/math&gt;. ஏனென்றால் மற்ற ஒரு நிரையும் அதற்கொத்த நிரலும் சமமாக இல்லை.
 
 ==ஆறாவது கிரம இருமுகக்குலம்: D&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;==
 
 ஒரு ஒழுங்கு முக்கோணத்தின் சமச்சீர்களினால் ஏற்படும் இருமுகக்குலம் 6 உறுப்புகளுடையது:
 
 :: மூன்று சுழற்சிகள்  -- &lt;math&gt;e&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;s = 120^{\circ}&lt;/math&gt; சுழற்சி, &lt;math&gt;t = 240^{\circ}&lt;/math&gt; சுழற்சி
 
 :: மூன்று எதிர்வுகள் -- முக்கோணத்தின் மூன்று நடுவரைக்கோடுகளில் மூன்று எதிர்வுகள். இவை  &lt;math&gt;r_1, r_2, r_3&lt;/math&gt; எனப்படும்.
 
 இவைகளின் செயல்பாட்டினால் ஏற்படும் குலத்தின் அட்டவணை:
 
 :::{| class=&quot;wikitable&quot;
 |-
 ! &lt;math&gt;\frac{y\rightarrow}
 {x\downarrow}&lt;/math&gt;
 ! e
 ! s
 ! t
 ! r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
 ! r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
 ! r&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;
 |-
 | '''e'''
 | '''e'''
 | s
 | t
 | r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
 | r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; 
 | r&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;
 |-
 | '''s'''
 | s
 | t
 | '''e'''
 | r&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;
 | r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
 | r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
 |-
 | '''t'''
 | t
 | '''e'''
 | s
 | r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
 | r&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;
 | r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
 |-
 | '''r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;'''
 | r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
 | r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; 
 | r&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;
 | '''e'''
 | s
 | t
 |-
 |'''r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;'''
 | r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
 | r&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;
 | r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
 | t
 | '''e'''
 | s
 |-
 |'''r&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;'''
 | r&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;
 | r&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;
 | r&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
 | s
 |t
 | '''e'''
 |}
 
 == S&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;யும் D&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; யும் சம அமைவியங்கள்==
 
 கெய்லி அட்டவணையின் ஒத்தாசையால் நாம் &lt;math&gt;S_3&lt;/math&gt; யும் &lt;math&gt;D_3&lt;/math&gt; யும் சம அமைவியங்கள் என்பதைத்தெரிந்துகொள்ளலாம். ஏனென்றால்
 
 :&lt;math&gt;s \leftrightarrow  (123)&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;t \leftrightarrow  (132)&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;r_1 \leftrightarrow (1)(23)&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;r_2 \leftrightarrow (2)(31)&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;r_3 \leftrightarrow (3)(12)&lt;/math&gt;
 
 என்ற இருவழிக்கோப்பை செயல்படுத்தினால், இரண்டு அட்டவணைகளும் ஒன்றாவதைப்பார்க்கலாம்.
 
 {{unreferenced}}
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
 
 * [[வரிசைமாற்றுக் குலம்]]
 * [[இருமுகக் குலங்கள்]]