இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல் மீதான பெர்மாவின் தேற்றம்
'''இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல் மீதான [[பியரே டி பேர்மட்|பெர்மா]]வின் தேற்ற'''த்தின்படி, ஒரு ஒற்றைப் [[பகா எண்|பகாஎண்ணானது]], [[சமானம், மாடுலோ n|மாடுலோ &amp;nbsp;4]] ஐப்பொறுத்து எண் 1 க்குச் சமானமாக  இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அதனை இரு [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கங்களின்]] கூடுதலாக எழுதமுடியும்
 
 ;தேற்றத்தின் கூற்று
 
 ''p'' ஒரு ஒற்றைப் பகாஎண் எனில்:
 
 :&lt;math&gt;p \equiv 1 \pmod{4}&lt;/math&gt; என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அதனை 
 :&lt;math&gt;p = x^2 + y^2,\,&lt;/math&gt; (''x'' , ''y'' [[முழு எண்]]கள்) என எழுதமுடியும்.
 
 ;எடுத்துக்காட்டுகள்
 5, 13, 17, 29, 37, 41 ஆகிய ஒற்றைப் பகாஎண்கள் மாடுலோ &amp;nbsp;4 ஐப்பொறுத்து எண் 1 க்குச் சமானமாக உள்ளன. இவற்றை இரு முழு எண்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலாக எழுதலாம்:
 
 :&lt;math&gt;5 = 1^2 + 2^2, \quad 13 = 2^2 + 3^2, \quad 17 = 1^2 + 4^2, \quad 29 = 2^2 + 5^2, \quad 37 = 1^2 + 6^2, \quad 41 = 4^2 + 5^2.&lt;/math&gt;
 
 ==நிறுவல்==
 பகாஎண்கள் மட்டுமில்லாமல் நேர்முழு எண்களையும் இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக எழுதலாம் என்பதை முதன்முறையாகக் கண்டறிந்தவர் கணிதவியலாளர் ஆல்பர்ட் ஜிரார்டு ஆவார். எனினும் அவரது காலத்திற்குப் பின்னரே 1634 இல், இந்த முடிவு வெளியானது.&lt;ref&gt;L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. II,  Ch. VI, p. 227.&lt;/ref&gt; கணிதவியலாளர் [[பியரே டி பேர்மட்|பெர்மா]], திசம்பர் 25, 1640 இல்,  பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் மாரின் மெர்செனெக்கு எழுதிய கடிதத்தில், இத் வர்க்கங்களின் கூடுதல் தொடர்பான இத் தேற்றத்தை எழுதியிருந்தார்.
 
 ஆனால் பெர்மா இத் தேற்றத்தின் நிறுவலை எங்கும் எழுத்துபூர்வமாகத் தரவில்லை. முதல் நிறுவலை முறையாக அளித்தவர் [[ஆய்லர்]] ஆவார். 1747, 1749 ஆம் ஆண்டுகளில் கணிதவியலாளர் கிறிஸ்டியன் கோல்டுபேச்சுக்கு (Christian Goldbach) ஆய்லர் எழுதிய கடிதங்களில் இந் நிறுவல் குறித்துத் தெரிவித்த ஆய்லர், 1752-1755 இல் இந் நிறுவலை இரு கட்டுரைகளாக வெளியிட்டார்.&lt;ref&gt;De numerus qui sunt aggregata quorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3-40)&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Demonstratio theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n+1 esse summam duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3-13)&lt;/ref&gt; 1775 ஆம் ஆண்டில் கணிதவியலாளர் [[ஜோசப் லூயி லாக்ராஞ்சி|லெக்ராஞ்சி]] அவரது இருபடி வடிவின் ஆய்வை அடிப்படையாகக் கொண்டு இத் தேற்றத்திற்கு ஒரு நிறுவலைக் கண்டறிந்தார். கணிதவியலாளர் [[கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்|காசால்]] இந் நிறுவல் எளிமைப்படுத்தி வெளியிடப்பட்டது. இவை தவிர பல நிறுவல்கள் வேறுசில கணிதவியலாளர்களாலும் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன.
 
 ==தொடர்புடைய முடிவுகள்==
 செப்டம்பர் 25, 1654 இல் [[பிலைசு பாஸ்கல்|பாஸ்கலுக்கு]] எழுதிய கடிதத்தில், இம் முடிவுடன் தொடர்புடைய ஒற்றைப் பகாஎண்களுக்கான இரு முடிவுகளை பெர்மா அறிவித்தார்:
 
 &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ஒற்றைப் பகாஎண் எனில்,
 
 *&lt;math&gt;p = x^2 + 2y^2 \Leftrightarrow p\equiv 1\mbox{ or }p\equiv 3\pmod{8},&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;p= x^2 + 3y^2 \Leftrightarrow p\equiv 1 \pmod{3}.&lt;/math&gt;
 
 மேலும்:
 &lt;!--''If two primes which end in 3 or 7 and surpass by 3 a multiple of 4 are multiplied, then their product will be composed of a square and the quintuple of another square.''--&gt;
 20''k''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;3 அல்லது 20''k''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;7 வடிவில் அமைந்த இரு பகாஎண்கள் ''p, q'' எனில்: 
 *&lt;math&gt;pq = x^2+5y^2&lt;/math&gt;.
 
 பின்னர் ஆய்லர் இதனை கீழ்க்காணும் கணிப்பாக மேம்படுத்தினார்:
 * &lt;math&gt;p = x^2 + 5y^2 \Leftrightarrow p\equiv 1\mbox{ or }p\equiv 9\pmod{20},&lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;2p = x^2 + 5y^2 \Leftrightarrow p\equiv 3\mbox{ or }p\equiv 7\pmod{20}.&lt;/math&gt;
 
 பெர்மா, ஆய்லர் இருவரது முடிவுகளும் லெக்ராஞ்சியால் நிறுவப்பட்டது.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{Reflist}}