ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டின் தூரம்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டின் தூரம்''' (''distance from a point to a line'') என்பது ஒரு [[புள்ளி]]க்கும் ஒரு [[கோடு|கோட்டிற்கும்]] இடைப்பட்ட மிகச்சிறிய தூரத்தைக் குறிக்கும்.  அப்புள்ளிக்குக் கோட்டிலிருந்து அமையும் செங்குத்துக் கோட்டின் போக்கில் தான் இரண்டிற்கும் இடையிலான மிகச்சிறிய தூரம் அமையும்.&lt;ref&gt;{{harvnb|Larson|Hostetler|2007|loc=p. 452}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{harvnb|Larson|Hostetler|2007|loc=p. 522}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units With Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples&lt;/ref&gt;
 
 ==கார்ட்டீசியன் ஆயங்கள்==
 [[கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை|கார்ட்டீசியன் ஆய முறைமையில்]] ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டிற்குள்ள தூரம் காணல்:
 
 ஒரு [[தளம் (வடிவவியல்)|தளத்தில்]] அமையும் நேர்கோட்டின் [[சமன்பாடு]]:
 
 {{nowrap|1=''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0,}} ( ''a'', ''b'' , ''c''  [[எண்#மெய்யெண்கள்|மெய்யெண்கள்]]. ''a'' , ''b''  இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் [[பூச்சியம்|பூச்சியமாகாது]].)
 
 (''x''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;,''y''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;)  என்ற புள்ளியிலிருந்து இக்கோட்டின் தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:
 
 :&lt;math&gt;\operatorname{distance}(ax+by+c=0, (x_0, y_0)) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. &lt;/math&gt;
 
 ==நிறுவல் 1 ([[இயற்கணிதம்|இயற்கணித]] முறை)==
 
 தரப்பட்ட கோடு: ax + by + c = 0,
 
 தரப்பட்ட புள்ளி: (m,n)
 
 இப்புள்ளியிலிருந்து ax + by + c = 0 -க்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடும் ax + by + c = 0 -ம் வெட்டும் புள்ளி (x,y) என்க.
 
 இச்செங்குத்துகோட்டின் [[சாய்வு]]:
 
 :&lt;math&gt;\frac{n-y}{m-x} = \frac{b}{a}\,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;a(n-y) - b(m-x) = 0,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;(a(n-y) - b(m-x))^2 = 0,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;a^2(n-y)^2 + b^2(m-x)^2 - 2ab(m-x)(n-y) = 0.&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;a^2(n-y)^2 + b^2(m-x)^2 = 2ab(m-x)(n-y) .&lt;/math&gt;--------(1)
 
 மேலும்,
 
 :&lt;math&gt;[a(m-x) + b(n-y)]^2 = a^2(m-x)^2 + b^2(n-y)^2 + 2ab(m-x)(n-y),&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;a^2(m-x)^2 + b^2(n-y)^2 = [a(m-x) + b(n-y)]^2  - 2ab(m-x)(n-y),&lt;/math&gt;--------(2)
 
 (1) மற்றும் (2) -ஐக் கூட்ட:
 
 :&lt;math&gt;(a^2+b^2)((m-x)^2+(n-y)^2)=[a(m-x)+b(n-y)]^2=(am+bn+c)^2.&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;[(m-x)^2+(n-y)^2]= \frac{(am+bn+c)^2}{a^2+b^2}.&lt;/math&gt;---------(3)
 
 (m,n) மற்றும் (x,y) புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம்:
 
 :&lt;math&gt;d=\sqrt{(m-x)^2+(n-y)^2}&lt;/math&gt;----------(4)
 
 : ஃ  &lt;math&gt;d=\sqrt{(m-x)^2+(n-y)^2}= \frac{|am+bn+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}&lt;/math&gt;
 
 ==நிறுவல் 2 ([[வடிவவியல்]] முறை)==
 தரப்பட்ட புள்ளி: S(m,n)
 
 தரப்பட்ட கோடு: ax+by+c=0.
 
 S-லிருந்து இக்கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடு இக்கோட்டைச் சந்திக்கும் புள்ளி G(x,y).
 
 S -லிருந்து  ax+by+c=0 -க்கு [[இணை (வடிவவியல்)|இணையாக]] ஒரு கோடு வரைந்து கொள்க. இந்த இணைகோட்டின் சமன்பாடு ax+by+d=0
 
 y அச்சுக்கு இணையாகவும், G மற்றும் இணைகோட்டின் மீது அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி F -ஐயும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளம்:
 
 :&lt;math&gt;|\frac{c-d}{b}| = |\frac{am+bn+c}{b}|\,&lt;/math&gt;
 
 முக்கோணம் SGF ஒரு [[முக்கோணம்#முக்கோணத்தின் வகைகள்|செங்கோண முக்கோணம்]]. அதன் பக்கங்களின் விகிதம் a : b :&lt;math&gt;\sqrt{a^2+b^2} &lt;/math&gt; ஆக இருக்கும்.
 
 இச்செங்கோண முக்கோணத்தின் [[செம்பக்கம்]] GF -ன் நீளம்: 
 
 :&lt;math&gt; GF = |\frac{am+bn+c}{b}|\,&lt;/math&gt;
 
 இதனை b-ன் தனிமதிப்பால் பெருக்கி &lt;math&gt;\sqrt{a^2+b^2}&lt;/math&gt; -ஆல் வகுக்க பக்கம் SG-ன் மதிப்பு கிடைக்கிறது.
 
 : ஃ  &lt;math&gt; SG = \frac{|am+bn+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \,&lt;/math&gt;
 
 ==திசையன் அமைப்பு==
 [[File:Distance from a point to a line.svg|thumb|300px|திசையன்கள் மூலம் தரப்படும் விளக்கம்.]]
 
 கோட்டின் சமன்பாட்டைத் [[திசையன்]]கள் மூலமாக எடுத்துக் கொண்டால்:
 
 : &lt;math&gt; \mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{n}&lt;/math&gt;
 
 இங்கு {{math|'''n'''}}  ஒரு [[அலகு திசையன்]].
 
 ஏதாவது ஒரு புள்ளி {{math|'''p'''}}-லிருந்து இக்கோட்டிற்குள்ள தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:
 
 : &lt;math&gt;\operatorname{distance}(\mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{n}, \mathbf{p}) = \| (\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot  \mathbf{n})\mathbf{n} \|. &lt;/math&gt;
 
 இவ்வாய்ப்பாடு இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தும்.
 
 ===விளக்கம்===
 : &lt;math&gt;\mathbf{a}-\mathbf{p}&lt;/math&gt; என்பது புள்ளி {{math|'''p'''}} -லிருந்து தரப்பட்ட கோட்டின் மீது அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி {{math|'''a'''}} -க்கு வரையப்பட்ட திசையன்.
 
 :  &lt;math&gt;(\mathbf{a} - \mathbf{p}) \cdot  \mathbf{n}&lt;/math&gt;  என்பது தரப்பட்ட கோட்டின் மீது &lt;math&gt;\mathbf{a}-\mathbf{p}&lt;/math&gt; திசையனின் வீழலின் நீளத்தைக் குறிக்கிறது.
 
 அதாவது &lt;math&gt;((\mathbf{a} - \mathbf{p}) \cdot  \mathbf{n})\mathbf{n}&lt;/math&gt;
 என்பது கோட்டின் மீதான &lt;math&gt;\mathbf{a}-\mathbf{p}&lt;/math&gt; -ன் வீழல் திசையனைக் குறிக்கிறது.
 
 இக்கோட்டிற்கு செங்குத்துத்  திசையில் &lt;math&gt;\mathbf{a}-\mathbf{p}&lt;/math&gt; -ன் கூறு:
 
 :&lt;math&gt;(\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot  \mathbf{n})\mathbf{n}&lt;/math&gt;
 
 எனவே இத்திசையனின் அளவே {{math|'''p'''}} -லிருந்து தரப்பட்ட கோட்டின் துரமாகும்.
 
 : &lt;math&gt;\operatorname{distance}(\mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{n}, \mathbf{p}) = \| (\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot  \mathbf{n})\mathbf{n} \|. &lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 [[பகுப்பு:வடிவவியல்]]
 [[பகுப்பு:திசையன்கள்]]