எண்ணளவை
கணிதத்தில், ஒரு [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தின்]] '''எண்ணளவை''' (''cardinality'') என்பது அக்கணத்திலுள்ள உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கையின் அளவாகும். எடுத்துக்காட்டாக கணம் A = {1,2,3} வில் மூன்று உறுப்புகள் உள்ளன. எனவே A வின் எண்ணளவை மூன்றாகும். [[இருவழிக்கோப்பு]]கள், [[உள்ளிடுகோப்பு]]களைக் கொண்டு கணங்களை நேரிடையாக ஒப்பீடு செய்தல், [[முதலெண்]]களைப் பயன்படுத்தல் என இரு வழிகளில் எண்ணளவையானது அணுகப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{MathWorld |title=Cardinal Number |id=CardinalNumber }}&lt;/ref&gt;
 
 மற்ற அளவைகளோடு குழப்பம் ஏற்படாதவரை ஒரு கணத்தின் எண்ணளவையானது அக்கணத்தின் '''அளவு''' எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;[[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]] [[நீளம்]], [[பரப்பளவு]] போன்றவை – முடிவுறு நீளமுள்ள [[கோடு|கோடானது]] [[புள்ளி]]களாலான முடிவிலி எண்ணளவை கொண்ட கணமாகும்.&lt;/ref&gt;
 
 எண்ணளவையைக் குறிக்க |A|, card(A), #A, n(A) &lt;span style=&quot;border-top: 3px double black;&quot;&gt;''A''&lt;/span&gt; போன்ற குறியீடுகள் பயன்படுத்தப் படுகின்றன.
 
 ==கணங்களை ஒப்பிடுதல்==
 [[File:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva04.svg|thumb|200px|'''N''' இலிருந்து ''E'' க்கான இருவழிச் சார்பு. ''E'' ஆனது '''N''' இன் தகு உட்கணமாக இருப்பினும் இரண்டின் எண்ணளவைகளும் சமமாக உள்ளன.]]
 
 ஒரு முடிவுறு கணங்களைப் பொறுத்தவரை எண்ணளவை என்பது அக்கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பதாகும். எண்ணளவைக் கருத்துருவை முடிவிலி கணங்களுக்கு நீட்டிக்கும்போது குறிப்பிலா கணங்களை ஒப்பிடும்முறையை வரையறுத்தல் அவசியமாகிறது.
 
 === வரையறை 1 : | ''A'' | = | ''B'' | ===
 :''A'' , ''B'' கணங்களுக்கிடையில்,  ''A'' இலிருந்து ''B'' க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு [[இருவழிக்கோப்பு]] ([[உள்ளிடுகோப்பு|உள்ளிடு]] மற்றும் [[முழுக்கோப்பு|முழுக்கோப்பாக]] அமையும் ஒரு [[சார்பு]]) இருக்குமானால், அவ்விரு கணங்களின் எண்ணளவைகள் சமமானவையாக இருக்கும். அதாவது, | ''A'' | = | ''B'' |. 
 :எண்ணளவை சமமாகவுள்ள கணங்கள் ''≈'', ''~'' ஆகிய குறியீடுகளால் இணைக்கப்படுகின்றன: 
 ::''A≈B'' அல்லது ''A~B''
 
 :எடுத்துக்காட்டு:
 :''E'' = {0, 2, 4, 6, ...} - எதிர்மமில்லா இரட்டை எண்களின் கணம்.
 :''N''' = {0, 1, 2, 3, ...} - [[இயல் எண்]]களின் கணம்.
 :''f''(''n'') = 2''n'' என்ற சார்பு,  '''N''' இலிருந்து  ''E'' க்கு வரையறுக்கப்பட்ட இருவழிக்கோப்பாக உள்ளதால் | ''E'' | = | ''N'' | ஆக இருக்கும்.
 
 === வரையறை 2: | ''A'' | ≤ | ''B'' | ===
 ''A'' இலிருந்து ''B'' க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு [[உள்ளிடுகோப்பு|உள்ளிடு சார்பு]] இருக்குமானால், ''A'' இன் எண்ணளவை ''B'' இன் எண்ணளவையை விடச் குறைந்ததாகவோ சமமானதாகவோ இருக்கும்.
 ::| ''A'' | ≤ | ''B'' |
 
 === வரையறை 3: | ''A'' | &lt; | ''B'' | ===
 ''A'' இலிருந்து ''B'' க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு [[உள்ளிடுகோப்பு|உள்ளிடு சார்பு]] இருந்து, இருவழிச் சார்பு இல்லாமல் இருந்தால் ''A'' இன் எண்ணளவை ''B'' இன் எண்ணளவையை விடக் கண்டிப்பாகக் குறைந்ததாக இருக்கும்.
 ::| ''A'' | &lt; | ''B'' |
 
 :எடுத்துக்காட்டு:
 '''N''' = இயல் எண்களின் கணம்.
 :'''R''' = [[மெய்யெண்]]களின் கணம். 
 : ''உள்ளடக்கல்'' கோப்பு, ''i'' : '''N''' → '''R''' ஒரு உள்ளிடு சார்பாகும். ஆனால் '''N''' → '''R''' வரையறுக்கப்பட்ட எந்தவொரு இருவழிச் சார்பும் கிடையாது என்பதால் 
 ::| ''N'' | &lt; | ''R'' |
 
 :| ''A'' | ≤ | ''B'' | மற்றும் | ''B'' | ≤ | ''A'' | எனில் | ''A'' | = | ''B'' | (Cantor–Bernstein–Schroeder theorem).
 :தெரிவு அடிக்கோளானது (axiom of choice), ''A'',''B'' கணங்களுக்கு,| ''A'' | ≤ | ''B'' | அல்லது | ''B'' | ≤ | ''A'' | ஆக இருக்கும் என்ற கூற்றுக்குச் சமானமானதாகும்.&lt;ref&gt;{{citation | author=[[Friedrich M. Hartogs]] | editor=[[Felix Klein]] |editor2=[[Walther von Dyck]] |editor3=[[டேவிடு இல்பேர்ட்டு]] |editor4=[[Otto Blumenthal]] | title=Über das Problem der Wohlordnung | journal=[[Mathematische Annalen]] | volume=76 | number=4 | publisher=B.&amp;nbsp;G. Teubner | location=Leipzig | year=1915 | pages=438–443 | ISSN=0025-5831 |url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&amp;PPN=PPN235181684_0076&amp;DMDID=DMDLOG_0037&amp;L=1 | doi=10.1007/bf01458215}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{citation | author=[[Felix Hausdorff]] | editor=[[Egbert Brieskorn]] |editor2=Srishti D. Chatterji| title=Grundzüge der Mengenlehre | edition=1. | publisher=Springer | location=Berlin/Heidelberg | year=2002 | pages=587 | ISBN=3-540-42224-2| url=https://books.google.com/books?id=3nth_p-6DpcC|display-editors=etal}} - [https://jscholarship.library.jhu.edu/handle/1774.2/34091 Original edition (1914)]&lt;/ref&gt;
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகளும் பண்புகளும்==
 * ''X'' = {''a'', ''b'', ''c''}, ''Y'' = {ஆப்பிள், ஆரஞ்சு, கொய்யா} கணங்களுக்கிடையில் { (''a'', ஆப்பிள்), (''b'',ஆரஞ்சு), (''c'', கொய்யா)} என்ற இருவழிச் சார்பு  அமைந்துள்ளதால் | ''X'' | = | ''Y'' | = 3. 
 *  | ''X'' | &amp;lt; | ''Y'' |, எனில் | ''X'' | = | ''Z'' | மற்றும் ''Z'' ⊆ ''Y'' என்றவாறு  ''Z'' என்ற கணம் இருக்கும்.
 *| ''X'' | ≤ | ''Y'' | மற்றும் | ''Y'' | ≤ | ''X'' | எனில் | ''X'' | = | ''Y'' |. இக்கூற்று முடிவிலி கணங்களுக்கும் பொருந்தும்.
 
 ==ஒன்றிப்பும் வெட்டும்==
 
 ''A'' , ''B'' என்பவை [[சேர்ப்பில்லா கணங்கள்]] எனில்:
 :&lt;math&gt;\left\vert A \cup B \right\vert = \left\vert A \right\vert + \left\vert B \right\vert.&lt;/math&gt;
 
 இதிலிருந்து [[சேர்ப்பு (கணக் கோட்பாடு)|ஒன்றிப்பு கணங்கள்]] மற்றும்  [[வெட்டு (கணக் கோட்பாடு)|வெட்டு கணங்களின்]] எண்ணளவைகள் கீழ்வருமாறு தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன:&lt;ref&gt;Applied Abstract Algebra, K.H. Kim, F.W. Roush, Ellis Horwood Series, 1983, {{ISBN|0-85312-612-7}} (student edition), {{ISBN|0-85312-563-5}} (library edition)&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt; \left\vert C \cup D \right\vert + \left\vert C \cap D \right\vert = \left\vert C \right\vert + \left\vert D \right\vert \,.&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}