உடுவுரு
[[File:Astroid.svg|thumb|உடுவுரு]]
 [[File:HypotrochoidOn4.gif|thumb|உடுவுருவின் உள்வட்டப்புள்ளியுரு உருவாக்கம்.]]
 [[File:Astroid created with Elipses with a plus b const.svg|thumb|{{math|1= ({{frac|''x''|''a''}}){{sup|2}} + ({{frac|''y''|''b''}}){{sup|2}} = ''r''{{sup|2}}}}, ({{math|1= ''a'' + ''b'' = 1}})-நீள்வட்டக் குடும்பத்தின் சூழ்வாக பெறப்பட்ட உடுவுரு-{{math|1= ''x''{{sup|{{frac|2|3}}}} + ''y''{{sup|{{frac|2|3}}}} = ''r''{{sup|{{frac|2|3}}}}}} .]]
 [[File:sliding_ladder_in_astroid.svg|thumb|link={{filepath:sliding_ladder_in_astroid.svg}}|செங்குத்துச் சுவரொன்றிலிருந்து நழுவும் ஏணி (வலப்பக்க-மேல் காற்பகுதியிலுள்ள நிறமிட்டக் கோடுகள்), மற்ற காற்பகுதிகளில் அதன் எதிரொளிப்புகள் ஆகியவற்றின் [[சூழ்வு (கணிதம்)|சூழ்வானது]]  ஒரு உடுவுருவாக அமைகிறது. நடுப்புல்ளிகள் வட்டத்தையும் பிற புள்ளிகள் நீள்வட்டத்தையும் உருவாக்குகின்றன. [{{filepath:sliding_ladder_in_astroid.svg}} {{nowrap|In the SVG file,}}] hover over a ladder to highlight it.]]
 [[File:Normal lines to the ellipse.svg|thumb|right|நீள்வட்டத்தின் மலரியாக உடுவுரு.]]
 
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''உடுவுரு''' (''astroid'') என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட வகையான [[சிறுசில்லி]]யாகும். இது நான்கு கூர்களுடைய ஒரு [[உள்வட்டப்புள்ளியுரு]]. குறிப்பாக, ஒரு வட்டமானது அதன் ஆரத்தைப்போல நான்கு மடங்கு ஆரமுள்ள நிலையான வட்டத்துக்குள் வழுக்காமல் உருளும்போது அவ்வுருளும் வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியின் [[இயங்குவரை]]யாகும்.&lt;ref&gt;Yates&lt;/ref&gt; இரட்டைப் பிறப்பாக்கத்தில், உடுவுருவானது ஒரு வட்டமானது அதன் ஆரத்தைப்போல 4/3 மடங்கு ஆரமுள்ள நிலையான வட்டத்துக்குள் நழுவாமல் உருளும்போது அவ்வுருளும் வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளியின் [[இயங்குவரை]]யாகும்.  ஒவ்வொரு முனையும் ஒரு ஆய அச்சின் மீதே இருக்குமாறு நகரும் நிலையான நீளமுள்ளதொரு கோட்டுத்துண்டின் [[சூழ்வு (கணிதம்)|சூழ்வாகவும்]] உடுவுருவை வரையறுக்கலாம். எனவே [[ஆர்க்கிமிடீசின் வளைக்கவராயம்|ஆர்க்கிமிடீசின் வளைக்கவராயத்தின்]] நகரும் பட்டைத்துண்டின் சூழ்வும் ஒரு உடுவுருவாகும். உடுவுருவின் தற்கால ஆங்கிலப் பெயரான ''astroid'' என்பது &quot;[[விண்மீன்|விண்மீனைக்]]&quot; குறிக்கும் கிரேக்கச் சொல்லில் இருந்து (&quot;Astrois&quot;) பெறப்பட்டது.&lt;ref&gt;{{cite book|author=J. J. v. Littrow|title=Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik|chapter=§99. Die Astrois|year=1838|location=Wien|pages=299|url=https://books.google.com/books?id=AERmAAAAcAAJ&amp;pg=PA299}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite book|author=Loria, Gino|title=Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte|url=https://archive.org/details/speziellealgebr00lorigoog|year=1902|location=Leipzig|pages=[https://archive.org/details/speziellealgebr00lorigoog/page/n250 224]}}&lt;/ref&gt;
 
 == சமன்பாடுகள் ==
 *நிலையான வட்டத்தின் ஆரம் ''a'' எனில், உடுவுருவின் கார்ட்டீசியச் சமன்பாடு:&lt;ref&gt;Yates, for section&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}. \,&lt;/math&gt;
 *துணையலகுச் சமன்பாடுகள்
 : &lt;math&gt;
 \begin{align}
 &amp; x=a\cos^3 t = {a \over 4}( 3\cos t + \cos 3t), \\[6pt]
 &amp; y=a\sin^3 t = {a \over 4}( 3\sin t - \sin 3t).
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 *[[வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை|கோணதூரச் சமன்பாடு]]:&lt;ref&gt;Mathworld&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;r=\frac{a}{(\cos^{2/3}\theta+\sin^{2/3}\theta)^{3/2}}.&lt;/math&gt;
 
 *மற்றொருமொரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடு:&lt;ref&gt;A derivation of this equation is given on p. 3 of http://xahlee.info/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.pdf&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;(x^2+y^2-a^2)^3+27a^2x^2y^2=0. \,&lt;/math&gt;
 இச்சமன்பாட்டிலிருந்து உடுவுருவானது ஒரு ஆறாம் படியுள்ள மெய் இயற்கணித வளைவரையென அறியலாம்.
 
 === பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டின் நிறுவல் ===
 கார்ட்டீசியச் சமன்பாட்டிலிருந்து பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டைப் பெறலாம்:
 :&lt;math&gt;x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}. \,&lt;/math&gt;
 :இதனை இருபுறமும் முப்படிக்கு உயர்த்த,
 :&lt;math&gt;(x^{2/3} + y^{2/3})^3 = a^2. \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x^{6/3} + 3x^{4/3}y^{2/3} + 3x^{2/3}y^{4/3} + y^{6/3} = a^{6/3} \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x^2 + 3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3} + y^{2/3}) + y^2 = a^2 \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x^2 + y^2 - a^2 = -3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3} + y^{2/3}) \,&lt;/math&gt;
 :மீண்டும் இருபுறமும் முப்படிக்கு உயர்த்த,
 :&lt;math&gt;(x^2 + y^2 - a^2)^3 = -27x^2y^2(x^{2/3} + y^{2/3})^3 \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;(x^2 + y^2 - a^2)^3 = -27x^2y^2a^2 \,&lt;/math&gt;
 :(அல்லது)
 :&lt;math&gt;(x^2 + y^2 - a^2)^3 + 27x^2y^2a^2 = 0. \,&lt;/math&gt;
 
 == அளவைகள்==
 *அடைபெறும் பரப்பளவு:&lt;ref&gt;Yates, for section&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{3}{8} \pi a^2&lt;/math&gt;
 *வில்லின் நீளம்
 :&lt;math&gt;6a&lt;/math&gt;
 *''x''-அச்சை பொறுத்து அடைபெறும் பரப்பின் சுழற்சியால் உருவாகும் திண்மத்தின் கனவளவு
 :&lt;math&gt;\frac{32}{105}\pi a^3&lt;/math&gt;
 ;''x''-அச்சை பொறுத்து அடைபெறும் பரப்பின் சுழற்சியால் உருவாகும் திண்மத்தின் மேற்பரப்பளவு
 :&lt;math&gt;\frac{12}{5}\pi a^2&lt;/math&gt;
 
 == பண்புகள் ==
 *மெய்யெண் தளத்தில் நான்கு கூர் [[ஓர்மை (கணிதம்)|ஓர்மைப்புள்ளிகள் (விண்மீனின் முனைப்புள்ளிகள்), சிக்கலெண் தளத்தில் முடிவிலியிலமையும் இரு கூர் ஓர்மைப்புள்ளிகள், நான்கு சிக்கலெண் இரட்டைப் புள்ளிகளென உடுவுருக்கு பத்து ஓர்மைப்புள்ளிகள் உள்ளன.
 *உடுவுருவின் [[இரட்டை வளைவரை]], ஒரு குறுக்குவடிவ வளைவரையாகும். இக் குறுக்குவடிவ வளைவரையின் சமன்பாடு: &lt;math&gt;\textstyle x^2 y^2 = x^2 + y^2.&lt;/math&gt;
 * ஒரு உடுவுருவின் [[மலரி (கணிதம்)|மலரியானது]] அவ் வுடுவுருவைப் போல இருமடங்கு பெரிய உடுவுருவாக இருக்கும்.
 *உடுவுருவுக்கு, ஒவ்வொரு திசைப்போக்கிலும் ஒரேயொரு தொடுகோடு மட்டுமே இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{cite journal
  | last1 = Nishimura | first1 = Takashi
  | last2 = Sakemi | first2 = Yu
  | doi = 10.14492/hokmj/1319595861
  | issue = 3
  | journal = Hokkaido Mathematical Journal
  | mr = 2883496
  | pages = 361–373
  | title = View from inside
  | volume = 40
  | year = 2011| doi-access = free
  }}&lt;/ref&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{Reflist}}
 * {{Cite book | author=J. Dennis Lawrence | title=A catalog of special plane curves | url=https://archive.org/details/catalogspecialpl00lawr | url-access=limited | publisher=Dover Publications | year=1972 | isbn=0-486-60288-5 | pages=[https://archive.org/details/catalogspecialpl00lawr/page/n20 4]–5,34–35,173–174 }}
 * {{Cite book | author = Wells D | year = 1991 | title = The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry | publisher = Penguin Books | location = New York | isbn = 0-14-011813-6 | pages = 10&amp;ndash;11}}
 * {{Cite book | author=R.C. Yates | title=A Handbook on Curves and Their Properties | location=Ann Arbor, MI | publisher=J. W. Edwards | pages=1 ff.|chapter=Astroid| year=1952 }}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 {{commons category|Astroid}}
 * {{springer|title=Astroid|id=p/a013540}}
 * {{MathWorld | urlname=Astroid | title=Astroid}}
 * [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Astroid.html &quot;Astroid&quot; at The MacTutor History of Mathematics archive]
 * [http://www.mathcurve.com/courbes2d.gb/astroid/astroid.shtml &quot;Astroid&quot; at The Encyclopedia of Remarkable Mathematical Forms]
 * [https://web.archive.org/web/20170824133613/http://www.2dcurves.com/roulette/roulettea.html Article on 2dcurves.com]
 * [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Astroid_dir/astroid.html Visual Dictionary Of Special Plane Curves, Xah Lee]
 * [http://demonstrations.wolfram.com/BarsOfAnAstroid/ Bars of an Astroid] by Sándor Kabai, [[The Wolfram Demonstrations Project]].