முக்கோண எண்
[[File:First six triangular numbers.svg|thumb|முதல் ஆறு முக்கோண எண்கள்.]]
 [[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]] '''முக்கோண எண்''' (''triangular number'') என்பது [[வடிவ எண்]]களில் ஒரு வகையாகும். படத்தில் உள்ளவாறு, ஒரு '''முக்கோண எண்''' என்பது ஒரு சமபக்க [[முக்கோணம்|முக்கோண]] வடிவில் ஒழுங்குபடுத்தத்தக்க ஒரு [[எண்]]ணாகும். (மரபின்படி, முதலாவது முக்கோண எண் 1 ஆகும்.) ''n'' -ஆம் முக்கோண எண் என்பது ஒரு பக்கத்திற்கு ''n''  புள்ளிகளெனக் கொண்ட சமபக்க முக்கோணத்துக்குள் அமையும் மொத்தப் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாகும். ஒவ்வொரு வரிசையும் அதற்கு முன்னுள்ள வரிசையைக்காட்டிலும் ஒரு அலகு கூடுதலாக உள்ளது. இதன் மூலம் முதல்  முக்கோண எண் 1; இரண்டாம் முக்கோண எண் 1+ 2 = 3; மூன்றாம் முக்கோண எண் 1 + 2 + 3 = 6;.... என [[இயல் எண்]] களின் கூட்டுத்தொகையாக ஒவ்வொரு முக்கோண எண்ணும் அமைவதைக் காணலாம். ''n'' -ஆம் முக்கோண எண்ணின் மதிப்பு 1 முதல் ''n'' வரையிலான இயல் எண்களின் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூடுதலுக்குச்]] சமமாக இருக்கும்.
 
 முக்கோண எண்களின் தொடர்வரிசை {{OEIS|id=A000217}}:
 : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,.....
 
 == வாய்பாடு ==
 *''n'' -ஆம் முக்கோண எண்ணின் மதிப்பு 1 முதல் ''n'' வரையிலான இயல் எண்களின் [[கூட்டல் (கணிதம்)|கூடுதலுக்குச்]] சமம் என்பதால் முக்கோண எண்களுக்கான மீள்வரு வாய்ப்பாடு:
 
 :&lt;math&gt;T_n= \sum_{k=1}^n k = 1+2+3+ \dotsb +n = \frac{n(n+1)}{2} = {n+1 \choose 2}&lt;/math&gt;
 
 இவ்வாய்பாட்டை [[வார்த்தைகளற்ற நிறுவல்|காட்சி நிறுவல்]] மூலம் விளக்கலாம்.&lt;ref&gt;{{cite web|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/triangular-numbers.html|title=Triangular Number Sequence|website=Math Is Fun}}&lt;/ref&gt;வலது இறுதியில் உள்ளது ஒரு [[ஈருறுப்புக் கெழு]]. இக்கெழு, ''n''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;1 பொருள்களில் இருந்து தேர்ந்தெடுக்கக்கூடிய சோடிகளின்  எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கலில்]] உள்ள [[தொடர் பெருக்கம்|தொடர் பெருக்கத்தைப்]] போன்றவை கூட்டலுக்கு முக்கோண எண்கள்.  தொடர் பெருக்கம் ''n'' !, 1 முதல் ''n''  வரையிலான இயல் எண்களின் பெருக்கலுக்குச் சமம். முக்கோண எண் &lt;math&gt;T_n, &lt;/math&gt;  1 முதல் ''n'' வரையிலான இயல் எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
 
 *ஒவ்வொரு [[புள்ளி]]யையும் இணைத்து வரையக் கூடிய [[கோடு]]களின் எண்ணிக்கையைப் பின்வரும் வாய்ப்பாடு மூலம் காணலாம்:
 :&lt;math&gt;L_n =  L_{n-1} + 3(n-1)&lt;/math&gt;
 
 புள்ளிகள் மற்றும் இக்கோடுகளின் எண்ணிக்கைகளுக்கு இடையிலான [[விகிதம்|விகிதத்தின்]] குறிப்பிடத்தக்கதொரு பண்பு:
 :&lt;math&gt;\lim_{n\to\infty} \frac{T_n}{L_n} = \frac{1}{3}&lt;/math&gt;
 
 ஒவ்வொரு முக்கோண எண் &lt;math&gt;T_n&lt;/math&gt; க்கும், அதற்குச் சமமான என்ணிக்கையிலான பொருட்களை கீழேயுள்ள படத்திலுள்ளதுபோல ஒரு அரைச்-செவ்வக வடிவில் அமைப்பதாகக் கொள்ளலாம். இதே அமைப்பின் படிமத்தைச் சுழற்றி முழுச் செவ்வகமாக உருவாக்கினால் அதிலுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கை இரட்டிப்பாவதோடு அச்செவ்வகத்தின் அளவானது &lt;math&gt;n \times (n+1)&lt;/math&gt; ஆக இருக்கும். மேலும் &lt;math&gt;n \times (n+1)&lt;/math&gt; இன் மதிப்பு செவ்வகத்திலுள்ள பொருட்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகவும் இருக்கும். எனவே:
 : &lt;math&gt;T_n = \frac{n(n+1)}{2} &lt;/math&gt;.  
 [[File:Illustration of Triangular Number T 4 Leading to a Rectangle (yellow-green).svg|thumb]]
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt; 2T_4 = 4(4+1) = 20 &lt;/math&gt; (பச்சையும் மஞ்சளும்)
 :&lt;math&gt;T_4 = \frac{4(4+1)}{2} = 10 &lt;/math&gt; (பச்சை)
 
 இவ்வாய்பாட்டை [[கணிதத் தொகுத்தறிதல்]] முறையில் நிறுவமுடியும்.&lt;ref&gt;{{cite book |last=Spivak |first=Michael |author-link=Michael Spivak |date=2008 |title=Calculus |edition=4th |url=https://books.google.com/books?id=7JKVu_9InRUC&amp;pg=PA21 |location=Houston, Texas |publisher=Publish or Perish |pages=21–22 |isbn=978-0-914098-91-1}}&lt;/ref&gt; 
 
 :&lt;math&gt;n=1&lt;/math&gt; எனில், இவ்வாய்பாடு உண்மையாவதை எளிதாகக் காணலாம்:
 &lt;math display=block&gt;T_1 = \sum_{k=1}^{1}k = \frac{1(1 + 1)}{2} = \frac{2}{2} = 1.&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; என்ற இயலெண்ணுக்கு இவ்வாய்ப்பாடு மெய் என எடுத்துக்கொள்ள:
 :&lt;math&gt;T_m = \sum_{k=1}^{m}k = \frac{m(m + 1)}{2}&lt;/math&gt;. 
 :இருபுறமும் &lt;math&gt;m + 1&lt;/math&gt; ஐக் கூட்டக் கிடைப்பது:
 
 &lt;math display=block&gt;
 \begin{align}
   \sum_{k=1}^{m}k + (m + 1) &amp;= \frac{m(m + 1)}{2} + m + 1\\
                             &amp;= \frac{m(m + 1) + 2m + 2}{2}\\
                             &amp;= \frac{m^2 + m + 2m + 2}{2}\\
                             &amp;= \frac{m^2 + 3m + 2}{2}\\
                             &amp;= \frac{(m + 1)(m + 2)}{2},
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 அதாவது, வாய்பாடு &lt;math&gt;m&lt;/math&gt; என்ற மதிப்பிற்கு உண்மையாக இருக்கும்போது அது &lt;math&gt;m+1&lt;/math&gt; மதிப்பிற்கும் உண்மையாகிறது. 
 
 எனவே, கணிதத்தொகுத்தறிதலின்படி வாய்பாடு அனைத்து இயலெண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகும்.
 
 == வரலாறு ==
 செருமானிய கணிதவியலாளர் [[கார்ல் பிரீடிரிக் காஸ்]], அவரது இளமைக்காலத்தில் இதனைக் கண்டறிந்ததாகக் கூறப்படுகிறது.&lt;ref name=Gauss&gt;{{cite web |last=Hayes |first=Brian |title=Gauss's Day of Reckoning |url=http://www.americanscientist.org/issues/pub/gausss-day-of-reckoning/1 |website=American Scientist |publisher=Computing Science |access-date=2014-04-16 |archive-date=2015-04-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150402141244/http://www.americanscientist.org/issues/pub/gausss-day-of-reckoning/1 }}&lt;/ref&gt; எனினும் இதனை முதன்முதலாகக் கண்டறிந்தவர் காஸ் அல்ல. கிமு 5 ஆம் நூற்றாண்டிலேயே இது அறியப்பட்டிருந்தது என்ற கருத்தும் உள்ளது&lt;ref&gt;{{cite web|last=Eves|first=Howard|title=Webpage cites AN INTRODUCTION TO THE HISTORY OF MATHEMATICS|url=http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.98/matt1.html|publisher=Mathcentral|access-date=28 March 2015}}&lt;/ref&gt; 816 இல், அயர்லாந்தைச் சேர்ந்த துறவி திக்குய்ல் என்பவரும் அவரது [[இயேசுவின் உயிர்த்தெழுதல் நாட்கணிப்பு|இயேசுவின் உயிர்த்தெழுதல் நாட்கணிப்பில்]] இதனைக் குறிப்பிட்டுள்ளார்.&lt;ref&gt;Esposito, M. An unpublished astronomical treatise by the Irish monk Dicuil. Proceedings of the Royal Irish Academy, XXXVI C. Dublin, 1907, 378-446.&lt;/ref&gt; திக்குய்லின் குறிப்புகளுக்கான ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பும் உள்ளது.&lt;ref&gt;Ross, H.E. &amp; Knott, B.I.&quot;Dicuil (9th century) on triangular and square numbers.&quot; British Journal for the History of Mathematics, 2019,34 (2), 79-94. https://doi.org/10.1080/26375451.2019.1598687.&lt;/ref&gt;
 
 === கைகுலுக்கல் சிக்கல் ===
 &quot;கைகுலுக்கல் சிக்கலுக்கான&quot; தீர்வை முக்கோண எண் {{math|''T''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}} தருகிறது. {{math|''n'' + 1}} நபர்கள் உள்ள ஓர் அறையில் ஒருவர் மற்ற ஒவ்வொருவருடனும் கைகுலுக்கினால் நிகழும் மொத்த கைகுலுக்கல்களின் எண்ணிக்கையை முக்கோண் எண் {{math|''T''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}} அளிக்கிறது  In other words, the solution to the handshake problem of {{math|''n''}} நபர்களின் கைகுலுக்கல் கணக்குக்கான விடை  {{math|''T''&lt;sub&gt;''n''−1&lt;/sub&gt;}} ஆகும்.&lt;ref&gt;{{cite web |url=http://www.mathcircles.org/node/835 |title=The Handshake Problem &amp;#124; National Association of Math Circles |website=MathCircles.org |access-date=12 January 2022 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160310182700/http://www.mathcircles.org/node/835 |archive-date=10 March 2016 }}&lt;/ref&gt;
 
 ===தொடர்கூட்டல் சார்பு ===
 அமெரிக்கக் கணினி அறிவியலாளரான டோனால்டு நத், தனது நூலில் ''n'' முழுஎண்களின் [[தொடர் பெருக்கம்|தொடர்பெருக்கத்துடன்]]  ஒத்தவொன்றாக &quot;தொடர்கூட்டல் சார்பு&quot; (&quot;Termial function&quot;) என்பதை உருவாக்கினார். &lt;ref&gt;{{Cite book |last=Knuth |first=Donald |title=The Art of Computer Programming |edition=3rd |volume=1 |pages=48}}&lt;/ref&gt;  இத்தொடர்கூட்டலின் குறியீடு '''''n?''''' .இது முக்கோண எண் {{math|''T''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}} க்குச் சமம். 
 
 தொடர் பெருக்கம்:
 :'''''n!''''' = 1.2.3....n  
 
 தொடர் கூட்டல்:
 :&lt;math display=block&gt; n? = 1+2+3+4+5+...+n = \frac{n(n+1)}{2} = T_n&lt;/math&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டாக:
 :&lt;math display=block&gt; 10? = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55 = T_(10)&lt;/math&gt;
 
 ==ஏனைய வடிவ எண்களுடனான தொடர்பு==
 
 முக்கோண எண்கள் மற்ற வடிவ எண்களோடு அதிகத் தொடர்புடையன.
 
 எடுத்துக்காட்டுகள்:
 
 * அடுத்தடுத்த இரு முக்கோண எண்களின் கூடுதல் ஒரு [[வர்க்க எண்]] ([[சதுர எண்]]). இக்கூடுதலின் மதிப்பு, இந்த இரு முக்கோண எண்களின் வித்தியாசத்தின் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கமாகும்]].
 :&lt;math&gt;T_n + T_{n-1} = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{\left(n-1\right)^2}{2} + \frac{n-1}{2} \right ) = \left (\frac{n^2}{2} + \frac{n}{2}\right) + \left(\frac{n^2}{2} - \frac{n}{2} \right ) = n^2 = (T_n - T_{n-1})^2.&lt;/math&gt;
 
 {| cellpadding=&quot;7&quot;
 |6 + 10 = 16
 |[[Image:Square number 16 as sum of two triangular numbers.svg]]
 |&amp;nbsp;&amp;nbsp;&amp;nbsp;
 |10 + 15 = 25
 |[[Image:Square number 25 as sum of two triangular numbers.svg]]
 |}
 
 மேலேயுள்ள ஒவ்வொரு எடுத்துக்காட்டிலும், இரண்டு பொருந்துகின்ற முக்கோணங்களிலிருந்து ஒரு சதுரம் அமைவதைக் காணலாம்.
 
 * எண்ணற்ற முக்கோண எண்கள் வர்க்க எண்களாகவும் அமைகின்றன. அவற்றுள் சிலவற்றை பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:
 :&lt;math&gt;S_{n+1} = 4S_n \left( 8S_n + 1\right).&lt;/math&gt;  இதில், &lt;math&gt;S_1 = 1.&lt;/math&gt;
 
 அனைத்து [[வர்க்க முக்கோண எண்]]களையும் பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்.
 
 :&lt;math&gt;S_n = 34S_{n-1} - S_{n-2} + 2.&lt;/math&gt;  
 : இதில் &lt;math&gt;S_0 = 0&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;S_1 = 1.&lt;/math&gt;
 
 * ''n''  -ஆம் முக்கோண எண்ணின் வர்க்கம் 1 முதல் ''n'' வரையிலான முழு எண்களின் [[கனம் (கணிதம்)|கனங்களின்]] கூடுதலுக்குச் சமம்.
 
 :&lt;math&gt;T_n^2= \sum_{k=1}^n k^3 = 1^3+2^3+3^3+ \dotsb +n^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 &lt;/math&gt;
 
 * 1 முதல் ''n'' வரையிலான முக்கோண எண்களின் கூடுதல்  ''n'' ஆம்  [[நான்முக எண்]]ணாகும்.
 :&lt;math&gt; T_1 +  T_2+T_3 +....+T_n = \frac {(n)(n+1)(n+2)} {6}.&lt;/math&gt;
 
 * பொதுவாக, ''n'' -ஆம் ''m'' -[[பல்கோண எண்|பலகோண எண்]] மற்றும் ''n'' -ஆம் (''m'' + 1)-பலகோண எண்ணிற்குமுள்ள வித்தியாசம் (''n'' – 1) -ஆம் முக்கோண எண்ணாக அமையும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 : ஆறாம் [[எழுகோண எண்]] = 81. ஆறாம் [[அறுகோண எண்]] = 66
 
 : இவற்றின் வித்தியாசம் = 81 – 66 = 15. இது ஐந்தாம் முக்கோண எண்ணாகும். முக்கோண எண்களைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு [[மையப்படுத்தப்பட்ட பலகோண எண்]]ணையும் காணமுடியும்.
 
 ''n'' -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட ''k''-கோண எண்ணைக் காணும் வாய்ப்பாடு:
 
 :&lt;math&gt;Ck_n = kT_{n-1}+1.\ &lt;/math&gt;
 
 : இங்கு &lt;math&gt;T_(n-1) &lt;/math&gt; -முக்கோண எண்;
 
 :&lt;math&gt;Ck_n &lt;/math&gt;     -''n'' -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட ''k''-கோண எண்.
 
 இரு முக்கோண எண்களின் நேர்ம வித்தியாசம் ஒரு [[சரிவக எண்]].
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{சான்று}}
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 {{commonscat|triangular numbers}}
 
 * [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/numbers.shtml#square Triangular numbers] at [[cut-the-knot]]
 * [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml There exist triangular numbers that are also square] at [[cut-the-knot]]
 * {{MathWorld|urlname=TriangularNumber|title=Triangular Number}}
 *[http://vihart.com/blog/gauss/ Triangular numbers via 12 days of Christmas] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130515042555/http://vihart.com/blog/gauss/ |date=2013-05-15 }} by [[Vi Hart]]
 
 == இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
 * [[சதுர எண்]]
 * [[பல்கோண எண்]]
 * [[முக்கோண சதுர எண்]]
 
 [[பகுப்பு:எண்கள்]]
 [[பகுப்பு:வடிவவியல்]]
 [[பகுப்பு:முக்கோணங்கள்]]
 [[பகுப்பு:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்]]