அடுக்கேற்றம்
[[Image:Expo02.svg|thumb|315px|அடி ''b'' இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு {{math|1=''y'' = ''b''&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt;}} சார்பின் வரைபடம்:
 {{nobr|{{legend-line|inline=yes|green solid 2px|[[#Powers of ten|&amp;nbsp;10 அடிமானம்]],}}}}
 {{nobr|{{legend-line|inline=yes|red solid 2px|[[#The exponential function|&amp;nbsp;''e'' அடிமானம்]],}}}}
 {{nobr|{{legend-line|inline=yes|blue solid 2px|[[#Powers of two|&amp;nbsp;2 அடிமானம்]],}}}}
 {{nobr|{{legend-line|inline=yes|cyan solid 2px|&amp;nbsp;{{sfrac|1|2}} இன் அடிமானம்.}}}}
 எந்தவொரு எண்ணையும் 0 அடுக்குக்கு உயர்த்தும்போது அதன் மதிப்பு 1 என்பதால் படத்திலுள்ள ஒவ்வொரு கோட்டுருவும் {{math|(0, 1)}} என்ற புள்ளி வழியேச் செல்கிறது. எந்தவொரு எண்ணின் அடுக்கும் 1 ஆக இருந்தால் அதன் மதிப்பு அதே எண்ணாக இருக்கும் என்பதால் {{math|1=''x'' = 1}} எனும்போது ''y'' இன் மதிப்பு அந்தந்த அடிமான எண்களுக்குச் சமமாக இருக்கிறது.]]
 
 '''அடுக்கேற்றம்''' (''Exponentiation'') என்பது ஒரு [[செயல் (கணிதம்)|கணிதச் செயல்]]. இதை '''''b''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;''' என்று குறிப்பது வழக்கம். இதில், {{mvar|b}} என்பதை [[அடிமானம் (அடுக்கேற்றம்)|அடிமானம்]] அல்லது அடி எனவும், {{mvar|n}} ஐ ''அடுக்கு'' அல்லது ''படி'' எனவும் அழைப்பர். {{mvar|n}} [[நேர் முழு எண்]]ணாக இருக்கும்போது, அடுக்கேற்றம், {{mvar|b}} ஐ {{mvar|n}} தடவைகள் தொடர்ச்சியாகப் [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்குவதாக]] இருக்கும்.&lt;ref name=&quot;:1&quot; /&gt;
 
 :&lt;math&gt;b^n = \underbrace{b \times \cdots \times b}_n,&lt;/math&gt;
 
 பொதுவாக ''அடுக்கானது'', ''அடிமான'' எண்ணின் வலப்பக்கத்தில் [[கீழெழுத்தும் மேலெழுத்தும்|மேலெழுத்தாகக்]] குறிக்கப்படும். '''''b''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;''' என்னும் அடுக்கேற்றத்தை {{mvar|b}} இன் {{mvar|n}} ஆவது அடுக்கு என்றோ, {{mvar|b}} இன் {{mvar|n}} ஆம் படி என்றோ வாசிப்பது வழக்கம்.&lt;ref name=&quot;:1&quot;&gt;{{Cite web|last=Nykamp|first=Duane|title=Basic rules for exponentiation|url=https://mathinsight.org/exponentiation_basic_rules|access-date=August 27, 2020|website=Math Insight}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;{{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-08-27|website=Math Vault|language=en-US}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Power|url=https://mathworld.wolfram.com/Power.html|access-date=2020-08-27|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}&lt;/ref&gt; சில இடங்களில் சில அடுக்கேற்றங்கள்  அவற்றுக்கே உரிய தனியான சொற்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக ''b'' இன் அடுக்கு இரண்டு (''b''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;) என்பது {{mvar|b}} இன் வர்க்கம் எனவும், ''b'' இன் அடுக்கு 3 (''b''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;) என்பது {{mvar|b}} இன் கனம் எனவும் குறிக்கப்படுகிறது.
 
 *{{math|1=''b''&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = ''b''}}
 *{{mvar|m}}, {{mvar|n}} இரு நேர்ம எண்களெனில்,
 :{{math|1=''b''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; ⋅ ''b''&lt;sup&gt;''m''&lt;/sup&gt; = ''b''&lt;sup&gt;''n''+''m''&lt;/sup&gt;}}. 
 இப்பண்பினை நேர்மமில்லா முழு எண்களுக்கும் நீட்டிக்கக் கீழுள்ள முடிவுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன:
 :''b''&lt;sup&gt;''0''&lt;/sup&gt; = 1
 :{{math|''b''&lt;sup&gt;−''n''&lt;/sup&gt;}} = {{math|{{sfrac|1|''b''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}}}} ({{mvar|n}} நேர்ம எண்; {{mvar|b}} பூச்சியமற்ற எண்) குறிப்பாக,
 :{{math|''b''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;}} = {{math|{{sfrac|1|''b''}}}} ({{mvar|b}} இன் [[பெருக்கல் நேர்மாறு]]).
 
 [[மெய்யெண்]] மற்றும் [[சிக்கலெண்]] அடுக்குகளுக்கும் அடுக்கேற்றத்தை நீட்டிக்கலாம். முழு எண் அடுக்கேற்றமானது [[அணி (கணிதம்)|அணிகள்]] உட்பட பல இயற்கணித அமைப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. [[பொருளியல்]], [[உயிரியல்]], [[வேதியியல்]], [[இயற்பியல்]],  [[கணினியியல்]] போன்ற பலதுறைகளில் அடுக்கேற்றம் பயன்படுகிறது.
 
 == சொல்லியல் ==
 {{math|''b''}} அலகு பக்க நீளங்கொண்ட [[சதுரம்|சதுரத்தின்]] [[பரப்பளவு]] {{math|''b''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}} ஆகும். எனவே {{math|1=''b''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ''b'' ⋅ ''b''}} என்பது &quot; ''b'' இன் [[வர்க்கம் (இயற்கணிதம்)|வர்க்கம்]] என அழைக்கப்படுகிறது. இதேபோல {{math|''b''}} பக்க நீளங்கொண்ட [[கன சதுரம்|கனசதுரத்தின்]] [[கன அளவு|கனவளவு]] {{math|''b''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;}} என்பதால் {{math|1=''b''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = ''b'' ⋅ ''b'' ⋅ ''b''}}  ஆனது &quot; ''b'' இன் [[கனம் (கணிதம்)|கனம்]]&quot; என அழைக்கப்படுகிறது.
 
 அடுக்கு ஒரு [[இயல் எண்]]ணாக இருக்கும்போது அது, அடி எண்ணை மீண்டும் மீண்டும் எத்தனை முறை பெருக்கவேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,
 :{{math|1=3&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243}}.
 
 {{math|3&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;}} என்பது &quot;3 இன் அடுக்கு 5&quot; அல்லது 3 இன் 5 ஆம் அடுக்கு என வாசிக்கப்படுகிறது. பொதுவாக {{math|''b''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}} என்பதுதை &quot;''b'' இன் ''n'' ஆம் அடுக்கு&quot; என வாசிக்க வேண்டும்.
 
 == முழு எண் அடுக்குகள் ==
 முழு எண் அடுக்குகளுடைய அடுக்கேற்றச் செயல் [[எண்கணிதம்|எண்கணிதச் செயல்களைக்]] கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது.
 
 === நேர்ம அடுக்குகள் ===
 :&lt;math&gt;b^1 = b&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;b^{n+1} = b^n \cdot b.&lt;/math&gt; ஆகிய இரு அடிப்படை முடிவுகளைக்கொண்டு நேர்ம முழுவெண் அடுக்கேற்றம் வரையறுக்கப்படுகிறது&lt;ref&gt;{{cite book |url=https://books.google.com/books?id=qToTAgAAQBAJ&amp;pg=PA94 |title=Abstract Algebra: an inquiry based approach |first1=Jonathan K. |last1=Hodge |first2=Steven |last2=Schlicker |first3=Ted |last3=Sundstorm |page=94 |date=2014 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-4665-6706-1}}&lt;/ref&gt;. மேலும் பெருக்கலின் [[சேர்ப்புப் பண்பு|சேர்ப்புப் பண்பின்படி]] கீழ்வரும் முடிவு பெறப்படுகிறது:
 {{mvar|m}}, {{mvar|n}} இரு நேர்ம முழுவெண்களெனில்,
 :&lt;math&gt;b^{m+n} = b^m \cdot b^n.&lt;/math&gt;
 
 === பூச்சிய அடுக்கு ===
 பூச்சியமற்ற எந்தவொரு முழுஎண்ணையும் அடுக்கு {{math|0}} க்கு உயர்த்தும்போது அதன் மதிப்பு {{math|1}} ஆகிறது:&lt;ref name=&quot;:1&quot; /&gt;&lt;ref&gt;{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=YOdtemSmzQQC&amp;pg=PA101 |title=Technical Shop Mathematics |first1=Thomas |last1=Achatz |page=101 |date=2005 |edition=3rd |publisher=Industrial Press |isbn=978-0-8311-3086-2}}&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;b^0=1.&lt;/math&gt;
 
 === எதிர்ம அடுக்குகள்===
 {{mvar|b}} பூச்சியமற்றது எனில் கீழ்வரும் முற்றொருமை உண்மையாகும்:
 :&lt;math&gt;b^{-n} = \frac{1}{b^n}&lt;/math&gt; ({{mvar|n}} ஒரு முழுவெண்).&lt;ref name=&quot;:1&quot; /&gt;
 பூச்சியத்தை எதிர்ம அடுக்குக்கு உயர்த்துவது வரையறுக்கப்படவில்லை, சில சூழல்களில் அதன் மதிப்பு முடிவிலியாகக் ({{math|∞}}) கருதப்படுகிறது. இந்த முற்றொருமையைப் பின்னுள்ளவாறு வருவிக்கலாம்.
 
 {{mvar|b}} பூச்சிய மதிப்பற்றது; {{mvar|n}} ஒரு நேர்ம முழு எண் எனில் கிடைக்கும் [[மீள்வரு தொடர்பு]]:
 :&lt;math&gt;b^{n+1} = b^n \cdot b.&lt;/math&gt;
 இதனை மாற்றியெழுத:
 :&lt;math&gt;b^n = \frac{b^{n+1}}{b}, \quad n \ge 1 .&lt;/math&gt;
 
 எந்தவொரு பூச்சியமற்ற {{mvar|b}} மற்றும் முழுவெண் {{mvar|n}} இரண்டுக்கும் இம்மீள்வரும் தொடர்பை உண்மையானதாக வரையறுக்க:
 :&lt;math&gt;\begin{align}
   b^0    &amp;= \frac{b^1}{b} = 1, \\[3pt]
   b^{-1} &amp;= \frac{b^0}{b} = \frac{1}{b},
 \end{align}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;b^{-n} = \frac{1}{b^n}.&lt;/math&gt;
 
 === முற்றொருமைகளும் பண்புகளும் ===
 அடி எண் பூச்சியமற்றதாக இருக்கும்பொழுது எந்தவொரு முழுவெண் அடுக்கிற்கும் கீழுள்ள முற்றொருமைகள் பொருந்தும்:&lt;ref name=&quot;:1&quot; /&gt;
 :&lt;math&gt;\begin{align}
            b^{m + n} &amp;= b^m \cdot b^n \\
   \left(b^m\right)^n &amp;= b^{m \cdot n} \\
        (b \cdot c)^n &amp;= b^n \cdot c^n
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 *அடுக்கேற்றச் செயல் [[பரிமாற்றுத்தன்மை]] கொண்டதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, :{{math|1=2&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = 8 ≠ 3&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 9}}.
 *[[சேர்ப்புப் பண்பு]] கிடையாது. எடுத்துக்காட்டு: 
 :{{math|1=(2&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;)&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 8&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; {{=}} 4096}}
 :{{math|2&lt;sup&gt;(3&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;)&lt;/sup&gt; {{=}} 2&lt;sup&gt;81&lt;/sup&gt; {{=}} {{val|2417851639229258349412352}}}}.
 
 *அடுக்கேற்றத்தில் அடைப்புக்குறிகள் தரப்படாமல் இருந்தால், மேலொட்டுக்களில் [[செயலியை அமல்படுத்தும் வரிசை முறை]] கீழிலிருந்து மேலாக (இடது சேர்ப்பு) இல்லாமல் மேலிருந்து கீழாக ( ''வலது''- சேர்ப்பு) அமையும்.&lt;ref name=&quot;Robinson_1958&quot;&gt;{{Cite journal |title=A report on primes of the form k · 2&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; + 1 and on factors of Fermat numbers |author-first=Raphael Mitchel |author-last=Robinson |author-link=Raphael Mitchel Robinson |journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] |volume=9 |issue=5 |date=October 1958 |orig-year=1958-04-07 |location=[[University of California]], Berkeley, California, USA |doi=10.1090/s0002-9939-1958-0096614-7 |pages=673–681 [677] |url=http://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf |access-date=2020-06-28 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200628100823/https://www.ams.org/journals/proc/1958-009-05/S0002-9939-1958-0096614-7/S0002-9939-1958-0096614-7.pdf |archive-date=2020-06-28}}&lt;/ref&gt;
 &lt;ref name=&quot;Bronstein_1987&quot;&gt;{{cite book |title=Taschenbuch der Mathematik |language=de |trans-title=Pocketbook of mathematics |title-link=Bronstein and Semendjajew |chapter=2.4.1.1. Definition arithmetischer Ausdrücke |trans-chapter=Definition of arithmetic expressions |author-first1=Ilja Nikolaevič&lt;!-- Nikolajewitsch --&gt; |author-last1=Bronstein |author-link1=Ilya Nikolaevich Bronshtein&lt;!-- 1903–1976 --&gt; |author-first2=Konstantin Adolfovič&lt;!-- Adolfowitsch --&gt; |author-last2=Semendjajew |author-link2=Konstantin Adolfovic Semendyayev&lt;!-- 1908–1988 --&gt; |editor-first1=Günter |editor-last1=Grosche |editor-first2=Viktor |editor-last2=Ziegler&lt;!-- 1922–1980--&gt; |editor-first3=Dorothea |editor-last3=Ziegler |others=Weiß, Jürgen&lt;!-- lector --&gt; |translator-first=Viktor |translator-last=Ziegler |volume=1 |date=1987 |edition=23 |orig-year=1945 |publisher=[[Verlag Harri Deutsch]] (and [[B. G. Teubner Verlagsgesellschaft]], Leipzig) |publication-place=Thun, Switzerland / Frankfurt am Main, Germany |location=Leipzig, Germany |isbn=3-87144-492-8 |pages=115–120, 802 |quote=Regel 7: Ist ''F''(''A'') Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und ''F'' eine Funktionenkonstante und ''A'' eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf ''F&amp;thinsp;A'' dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung ''F''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;(''A'') für (''F''(''A''))&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; üblich. Dabei kann ''F'' sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.]}}&lt;/ref&gt;
 &lt;ref name=&quot;NIST_2010&quot;&gt;{{cite book |title=NIST Handbook of Mathematical Functions |title-link=NIST Handbook of Mathematical Functions |editor-first=Frank W. J. |editor-last=Olver |editor2-first=Daniel W. |editor2-last=Lozier |editor3-first=Ronald F. |editor3-last=Boisvert |editor4-first=Charles W. |editor4-last=Clark |date=2010 |publisher=[[National Institute of Standards and Technology]] (NIST), [[U.S. Department of Commerce]], [[கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]] |isbn=978-0-521-19225-5 |mr=2723248}}[http://www.cambridge.org/uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521140638] {{Webarchive|url=https://archive.today/20130703230148/http://www.cambridge.org/uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=9780521140638 |date=2013-07-03 }}&lt;/ref&gt;
 &lt;ref name=&quot;Zeidler_2013&quot;&gt;{{cite book |title=Springer-Handbuch der Mathematik I |title-link=Springer-Handbuch der Mathematik |volume=I |language=de |editor-first=Eberhard |editor-last=Zeidler |editor-link=:de:Eberhard Zeidler |author-last1=Zeidler |author-first1=Eberhard |author-link1=:de:Eberhard Zeidler |author-last2=Schwarz |author-first2=Hans Rudolf |author-last3=Hackbusch |author-first3=Wolfgang |author-link3=Wolfgang Hackbusch |author-last4=Luderer |author-first4=Bernd |author-link4=:de:Bernd Luderer |author-last5=Blath |author-first5=Jochen |author-last6=Schied |author-first6=Alexander |author-last7=Dempe |author-first7=Stephan |author-last8=Wanka |author-first8=Gert |author-link8=Gert Wanka |author-last9=Hromkovič |author-first9=Juraj |author-link9=Juraj Hromkovič |author-last10=Gottwald |author-first10=Siegfried |author-link10=Siegfried Gottwald |publisher=[[Springer Spektrum]], [[Springer Fachmedien Wiesbaden]] |location=Berlin / Heidelberg, Germany |edition=1 |date=2013 |orig-year=2012 |isbn=978-3-658-00284-8 |doi=10.1007/978-3-658-00285-5 |page=590&lt;!-- |url=https://www.springer.com/de/book/9783658002848 |access-date=2020-06-27 --&gt;}} (xii+635 pages)&lt;/ref&gt;
 
 அதாவது: 
 :&lt;math&gt;b^{p^q} = b^{\left(p^q\right)},&lt;/math&gt;
 இது &lt;math&gt;\left(b^p\right)^q = b^{p q} .&lt;/math&gt; இலிருந்து வேறுபட்ட ஒன்றாகும்.
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{reflist}}
 
 [[பகுப்பு:அடிப்படை சிறப்புச் சார்புகள்]]
 [[பகுப்பு:எண் செயல்கள்]]