ஒன்றின் படிமூலம்
[[Image:One5Root.svg|thumb|right|சிக்கலெண் தளத்தில் ஒன்றின் ஐந்தாம் படிமூலங்களின் வரைபடம்]]
 ஒரு [[சிக்கலெண்]]ணை ஏதேனுமொரு [[முழு எண்]] அடுக்குக்கு [[அடுக்கேற்றம்|உயர்த்தும் போது]] அதன் மதிப்பு  [[1 (எண்)|1]] ஆக இருக்குமானால் அந்தச் சிக்கலெண்ணானது '''ஒன்றின் படிமூலம்''' (''root of unity'') என அழைக்கப்படுகிறது. சில சமயங்களில் இது '''டி மாவரின் எண்''' எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 ==வரையறை==
 :&lt;math&gt;z&lt;/math&gt; ஒரு சிக்கலெண்; &lt;math&gt;n &lt;/math&gt; ஒரு முழுஎண் என்க:
 
 :&lt;math&gt;z^n = 1 &lt;/math&gt; என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; ஆனது ”ஒன்றின் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;ஆம் படிமூலம்” என வரையறுக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{Cite book|author=Hadlock, Charles R.|title=Field Theory and Its Classical Problems, Volume 14|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=978-0-88385-032-9|pages=84–86|url=http://books.google.com/books?id=5s1p0CyafnEC&amp;pg=PA84}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite book|author=Lang, Serge|chapter=Roots of unity|title=Algebra|publisher=Springer|year=2002|isbn=978-0-387-95385-4|pages=276–277|url=http://books.google.com/books?id=Fge-BwqhqIYC&amp;pg=PA276}}&lt;/ref&gt;
 
 ===தொடக்கநிலை மூலம்===
 &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; ஐ விடச் சிறிய எந்த முழுஎண் அடுக்கிற்கும் &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; இன் மதிப்பு எண் 1 இல்லையெனில், &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; ஆனது ”ஒன்றின் தொடக்கநிலை &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;ஆம் படிமூலம் எனப்படும். அதாவது &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; ஒன்றின் தொடக்கநிலை &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;ஆம் படிமூலம் எனில்,
 
 :&lt;math&gt;z^n = 1, &lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;z^k \ne 1 \qquad (k = 1, 2, 3, \dots, n-1  ),  &lt;/math&gt; ஆகிய இரு முடிவுகளும் நிறைவு செய்யப்பட வேண்டும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt;i^8 = 1&lt;/math&gt; என்பது உண்மை; ஆனால்,
 :&lt;math&gt;i^4 = 1&lt;/math&gt; என்பதும் உண்மை என்பதால் [[கற்பனை அலகு|&lt;math&gt;i&lt;/math&gt;]] ஆனது ஒன்றின் தொடக்கநிலை எண்படி மூலம் அல்ல; ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலமாக இருக்கும்.
 
 ==சில அடிப்படை முடிவுகள்==
 *ஒன்றின் ஒவ்வொரு ''n'' ஆம் படிமூலமும் ஏதேனுமொரு மதிப்பு ''a'' ({{math|1 &amp;le; ''a'' &amp;le; ''n''}})க்கு ஒன்றின் தொடக்கநிலை ''a''வதுபடி மூலமாக இருக்கும்.  
 
 *ஒன்றின் ''n''ஆம் படிமூலம் ''z''; {{math|''a'' &amp;equiv; ''b'' (mod ''n'')}} எனில் &lt;math&gt;z^a = z^b. &lt;/math&gt; 
 ;விளக்கம்
 :[[சமானம், மாடுலோ n]]-வரையறைப்படி, 
 :{{math|''a'' &amp;equiv; ''b'' (mod ''n'')}} என்பதால் {{math|1=''a'' = ''b'' + ''kn''}} (''k'' ஒரு முழுஎண்) என எழுதலாம். இதனைப் பயன்படுத்த:
 :&lt;math&gt; z^a = z^{b+kn} = z^b z^{kn} = z^b (z^n)^k = z^b 1^k = z^b.&lt;/math&gt;
 
 *ஒன்றின் தொடக்கநிலை ''n''ஆம் படிமூலம் ''z'' எனில்:
 :&lt;math&gt;z^a = z^b \iff a\equiv b \pmod{ n}.&lt;/math&gt;
 
 :''z'' தொடக்கநிலை படிமூலம் இல்லையெனில்:
 :&lt;math&gt;a\equiv b \pmod{ n} \implies  z^a = z^b.&lt;/math&gt; என்பது மட்டுமே உண்மையாக இருக்கும்.
 
 *&lt;math&gt;(z^k)^n = z^{kn} = (z^n)^k = 1^k = 1.&lt;/math&gt;
 
 *&lt;math&gt;\frac{1}{z} = z^{-1} = z^{n-1} = \bar z.&lt;/math&gt; ([[இணைச் சிக்கலெண்]])
 
 *''n''ஆம் படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு வெவ்வேறான ''n'' தீர்வுகள் மட்டுமே இருக்க முடியும். எனவே  ஒன்றின் தொடக்கநிலை மூலம் ''z'' எனில் அதன் பின்வரும் அடுக்குகள், 
 
 :''z'' , {{math|''z''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}}, … , {{math|''z''&lt;sup&gt;''n'' − 1&lt;/sup&gt;}}, {{math|1=''z''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; = ''z''&lt;sup&gt;0&lt;/sup&gt; = 1}} ஆகியவை ஒன்றின் ''n''ஆம் படிமூலங்களாக இருக்கும்.
 
 ==ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு ==
 [[டி மாவரின் வாய்ப்பாடு|டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டில்]] {{math|1=''x'' = 2π/''n''}} எனப் பதிலிட ஒன்றின் தொடக்கநிலை ''n'' ஆம் படிமூலம் கிடைக்கிறது:
 
 ;டி மாவரின் வாய்ப்பாடு
 :&lt;math&gt;(\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx.&lt;/math&gt; (''x'' [[மெய்யெண்]], ''n'' முழுஎண்)
 
 இதில் {{math|1=''x'' = 2π/''n''}} எனப் பதிலிட,
 :&lt;math&gt;\left(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\right)^n = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1,&lt;/math&gt; எனக் கிடைக்கிறது.
 
 எனவே &lt;math&gt;\left(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\right) &lt;/math&gt; ஆனது ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலம் ஆகும்.
 
 மேலும் &lt;math&gt;0 &lt; k &lt; n.&lt;/math&gt; எனும்போது,
 :&lt;math&gt;\left(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\right)^k= \cos\tfrac{2k\pi}{n} + i \sin\tfrac{2k\pi}{n} \neq 1 &lt;/math&gt; எனவும் அமைவதால் மேலே தரப்பட்ட ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலமானது தொடக்கநிலை படிமூலம் என்பதையும் அறியலாம்.   
 
 :&lt;math&gt; \cos\tfrac{2k\pi}{n} + i \sin\tfrac{2k\pi}{n},  \quad (*)&lt;/math&gt;  
 
 இந்த வாய்ப்பாடு, {{math|1=''k'' =0, 1, 2, ⋯ , ''n'' − 1}}  மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தையும் தருகிறது. 
 
 வாய்ப்பாட்டில் ''k'' இன் மதிப்புகளைப் பதிலிடக் கிடைக்கும் ஒன்றின்   ''n'' ஆம் படிமூலங்கள்: 
 : &lt;math&gt;1,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\cos\tfrac{4\pi}{n} + i \sin\tfrac{4\pi}{n}&lt;/math&gt;....&lt;math&gt;\cos\tfrac{(n-1)2\pi}{n} + i \sin\tfrac{(n-1)2\pi}{n}&lt;/math&gt;
 
 மேலேயுள்ள வாய்ப்பாட்டில் [[ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு|ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப்]] பயன்படுத்தி ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணும் வாய்ப்பட்டைப் பின்வருமாறு பெறலாம். 
 
 ;ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு
 :&lt;math&gt;e^{i x} = \cos x + i \sin x,&lt;/math&gt; (''x'' இன் அனைத்து மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும்)
 இதனை வாய்ப்பாடு &lt;math&gt;(*)&lt;/math&gt; இல் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும், ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு:
 
 :&lt;math&gt;\cos\tfrac{2k\pi}{n} + i \sin\tfrac{2k\pi}{n} = e^{2\pi i \frac{k}{n}} \qquad 0 \le k &lt; n.&lt;/math&gt;
 
 இவ் வாய்ப்பாட்டில் {{math|''k''/''n''}} [[சுருக்கவியலாப் பின்னம்|சுருக்கவியலாப் பின்னமாக]], அதாவது {{math|''k''}} , {{math|''n''}} இரண்டும் [[சார்பகா முழுஎண்கள்|சார்பகா எண்களாக]] இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இந்த மூலம் ஒன்றின் தொடக்கநிலை படிமூலமாக இருக்கும்.
 
 இந்த வாய்ப்பாட்டின்படி ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலங்கள்:
 :&lt;math&gt;1,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;e^{i\frac{2\pi } {n}},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;e^{i\frac{4\pi }{n}}, &lt;/math&gt; &lt;math&gt;e^{i\frac{6\pi }{n}}.... &lt;/math&gt; &lt;math&gt;e^{i\frac{2(n-1)\pi }{n}}, &lt;/math&gt;
 
 ===முடிவுகள்===
 &lt;math&gt;\omega =e^{i\frac{2\pi } {n}} = \left(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\right) &lt;/math&gt; எனக் கொண்டால் ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலங்கள்:
 
 ::&lt;math&gt;1, \omega, {\omega}^2, {\omega}^3, {\omega}^4, ....  {\omega}^{(n-1)}&lt;/math&gt; 
 
 *&lt;math&gt;{\omega}^n = 1 &lt;/math&gt;
 *ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலங்களின் கூடுதல் 0
 :&lt;math&gt;1 + \omega + {\omega}^2 + {\omega}^3 + {\omega}^4 + ....  {\omega}^{(n-1)} = 0&lt;/math&gt; 
 * &lt;math&gt;1, \omega, {\omega}^2, {\omega}^3, {\omega}^4, ....  {\omega}^{(n-1)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt; \omega &lt;/math&gt; ஐப் பொதுவிகிதமாகக் கொண்ட  [[பெருக்குத் தொடர்|பெருக்குத் தொடராக]] அமைகிறது (பெருக்குத்தொடரின் பொதுவிகிதம் &lt;math&gt; \omega &lt;/math&gt;) 
 *சிக்கலெண் தளத்தில் ஒன்றின் ''n'' ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தும், [[அலகு வட்டம்|அலகு வட்டத்துக்குள்]] வரையப்பட்ட ''n'' பக்கங்கள் கொண்ட [[பல்கோணம்|ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின்]] [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகளாக]] அமைவதையும், ஒரு உச்சி 1 இல் அமைவதையும் அறியலாம்.
 
 ==ஒன்றின் பிற படிமூலங்கள்==
 ;முதலாம் படிமூலம்
 :{{math|1=''z''&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = 1}} சமன்பாட்டிற்குள்ள ஒரேயொரு தீர்வாக +1 உள்ளது. இது மட்டுமே ஒன்றின் தொடக்கநிலை முதலாம் படிமூலமாகும். (+1 ஆனது, ஒன்றின் இரண்டாம், மூன்றாம், நான்காம்படி,... தொடக்கநிலையற்ற படிமூலமாக அமையும்)
 
 ;இரண்டாம் படிமூலங்கள் (வர்க்க மூலம்)
 :{{math|1=''z''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = 1}} சமன்பாட்டிற்கு +1 , −1 ஆகிய இரு தீர்வுகள் உள்ளன. இவற்றில், +1 ஒன்றின் தொடக்கநிலையற்ற இரண்டாம் படிமூலம்; −1 ஒன்றின் தொடக்கநிலை இரண்டாம் படிமூலம். 
 
 :±1 மட்டுமே ஒன்றின் மெய்யெண் படிமூலங்கள்; ஏனைய படிமூலங்கள் சிக்கலெண்களாகும்.
 
 ;முப்படி மூலங்கள்:
 [[Image:3rd roots of unity.svg|thumb|right|ஒன்றின் முப்படி மூலங்கள்]]
 :&lt;math&gt;z^3 - 1 = 0 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;(z-1)(z^2-z -1)= 0 &lt;/math&gt;
 
 :இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்: 
 :&lt;math&gt; 1, \left\{e^{\frac{2 \pi i}{3}},e^{-\frac{2 \pi i}{3}}\right\}= 1,\left\{ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}&lt;/math&gt;
 
 :இம் மூன்றில் 1 தவிர்த்த மற்ற இரு மூலங்களும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களாகும். ஒன்றின் முப்படி மூலங்கள் மூன்றும் சிக்கலெண் தளத்தில் [[அலகு வட்டம்|அலகு வட்டத்துக்குள்]] வரையப்பட்ட [[சமபக்க முக்கோணம்|சமபக்க முக்கோணத்தின்]] உச்சிகளாக அமைகின்றன (படத்தில் காண்க). 
 
 ;நான்காம் படிமூலங்கள்:
 :&lt;math&gt;z^4 - 1 = 0 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;(z^2 - 1)(z^2 + 1) = 0 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)= 0 &lt;/math&gt;
 
 :இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்:
 :&lt;math&gt;1, -1, \left\{e^{\frac{2 \pi i}{4}},e^{-\frac{2 \pi i}{4}}\right\}=1, -1, \left\{\pm\sqrt{-1} \right\}=1, -1, \left\{+i, -i \right\}.&lt;/math&gt;
 
 :இவற்றில் &lt;math&gt;\left\{+i, -i \right\}&lt;/math&gt; இரண்டும் ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலங்கள். 
 
 :ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்கள் நான்கும் சிக்கலெண் தளத்தில் [[அலகு வட்டம்|அலகு வட்டத்துக்குள்]] வரையப்பட்ட [[சதுரம்|சதுரத்தின்]] உச்சிகளாக அமைகின்றன. 
 
 ;தொடக்கநிலை ஐந்தாம் படிமூலங்கள்:
 :&lt;math&gt;\left\{\left.e^{\frac{2 \pi i k}{5}}\right| 1 \le k \le 4 \right\}=\left\{\left . \frac{u\sqrt 5-1}4+v\,i\,\sqrt{\frac{5+u\sqrt 5}8}\; \right |u,v \in \{-1,1\}\right\}.&lt;/math&gt;
 
 ;தொடக்கநிலை ஆறாம் படிமூலங்கள்:
 :&lt;math&gt;\left\{e^{\frac{2 \pi i}{6}},e^{-\frac{2 \pi i}{6}}\right\}=\left\{ \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}.&lt;/math&gt;
 இவை இரண்டும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களின் எதிர் எண்களாக உள்ளன.
 
 இதேபோல ''n'' இன் ஏனைய முழுஎண் மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணலாம்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 * {{Lang Algebra|edition=3r}}
 * {{cite web|first=James S.|last=Milne|title=Algebraic Number Theory|work=Course Notes|url=http://www.jmilne.org/math|year=1998}}
 * {{cite web|first=James S.|last=Milne|title=Class Field Theory|work=Course Notes|url=http://www.jmilne.org/math|year=1997}}
 * {{Neukirch ANT}}
 * {{Cite book|first=Jürgen|last=Neukirch|title=Class Field Theory|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin|year=1986|isbn=3-540-15251-2}}
 * {{Cite book|first=Lawrence C.|last=Washington|title=Cyclotomic fields|publisher=Springer-Verlag|location=New York|year=1997|edition=2nd|isbn=0-387-94762-0}}
 * {{Cite book|author=[[John Derbyshire|Derbyshire, John]]|title=Unknown Quantity|chapter=Roots of Unity|year=2006|publisher=[[Joseph Henry Press]]|location=Washington, D.C.|isbn=0-309-09657-X|url=http://www.JohnDerbyshire.com/Books/Unknown/page.html}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 {{commons category|Roots of unity|ஒன்றின் மூலங்கள்}}
 
 [[பகுப்பு:சிக்கலெண்கள்]]