மோபியஸ் சார்பு
[[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டில்]] '''மோபியஸ் சார்பு''' (''Möbius function'', ''μ''(''n'')) ஒரு முக்கியமான [[பெருக்கல் சார்பு]]. 1832 இல், ஜெர்மானியக் கணிதவியலாளர் ஆகஸ்ட் ஃபெர்டினாண்ட் மோபியசால் இச் சார்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.&lt;ref&gt;Hardy &amp; Wright, Notes on ch. XVI: &quot;... &amp;mu;(''n'') occurs implicitly in the works of Euler as early as 1748, but Möbius, in 1832, was the first to investigate its properties systematically.&quot;&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;In the ''[[Disquisitiones Arithmeticae]]'' (1801) [[கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்]] showed that the sum of the primitive roots (mod ''p'') is &amp;mu;(''p'' &amp;minus; 1), (see [[#Properties and applications]]) but he didn't make further use of the function. In particular, he didn't use Möbius inversion in the ''Disquisitiones''.&lt;/ref&gt;  
 
 ==வரையறை==
 
 ''n'' இன் அனைத்து [[முழு எண்|நேர் முழுஎண்]] மதிப்புகளுக்கும் ''μ''(''n'') வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. 
 
 * ''n'' ஒரு [[வர்க்கக்காரணியற்ற முழுஎண்|வர்க்கக்காரணியற்ற]] நேர் முழு எண் மற்றும் அதன் [[பகாக் காரணி]]களின் எண்ணிக்கை இரட்டையெண் எனில்: 
 :::''μ''(''n'') =  1  
 *''n'' ஒரு [[வர்க்கக்காரணியற்ற முழுஎண்|வர்க்கக்காரணியற்ற]] நேர் முழு எண் மற்றும் அதன் [[பகாக் காரணி]]களின் எண்ணிக்கை ஒற்றையெண் எனில்:
 ::: ''μ''(''n'') = &amp;minus;1 
 * ''n'' க்கு ஒரு பகாக்காரணி வர்க்க எண்ணாக இருந்தால்:
 :::''μ''(''n'') =  0 
 
 முதல் 25 நேர் முழுஎண்களுக்கான ''μ''(''n'') இன் மதிப்புகள் {{OEIS|id=A008683}}:
 
 :1, &amp;minus;1, &amp;minus;1, 0, &amp;minus;1, 1, &amp;minus;1, 0, 0, 1, &amp;minus;1, 0, &amp;minus;1, 1, 1, 0, &amp;minus;1, 0, &amp;minus;1, 0, 1, 1, &amp;minus;1, 0, 0.
 
 சார்பின் முதல் 50 மதிப்புகள் கீழுள்ள படத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன:
 [[File:Moebius mu.svg|center|''μ''(''n'') இன் முதல் 50 மதிப்புகள்]]
 
 == பண்புகள் ==
 *மோபியஸ் சார்பு ஒரு [[பெருக்கல் சார்பு|பெருக்கல் சார்பாகும்]]. அதாவது, ''a'' மற்றும் ''b'' [[சார்பகா முழுஎண்கள்|சார்பகா எண்கள்]] எனில்:
 ::''μ''(''ab'') = ''μ''(''a'')&amp;thinsp;''μ''(''b'')}}
 *&lt;math&gt;\sum_{d|n} \mu(d) = \begin{cases}1 &amp; \mbox{ if } n=1\\ 0&amp;\mbox{ if } n&gt;1.\end{cases}&lt;/math&gt;
 *''n'' இன் பகாக்காரணிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கில் கொள்ளாமலேயே மோபியஸ் சார்பு கணக்கிடும் வாய்ப்பாடு&lt;ref&gt;{{harvnb|Hardy|Wright|1980|loc=(16.6.4), p. 239}}&lt;/ref&gt;:
 :&lt;math&gt;\mu(n) = \sum_{\stackrel{1\le k \le n }{ \gcd(k,\,n)=1}} e^{2\pi i \tfrac{k}{n}},&lt;/math&gt;
 
 ==''&amp;mu;''(''n'') பிரிவுகள்==
 *''n'' ஒரு [[பகா எண்]]ணின் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கத்தால்]] வகுபடுவதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ''μ''(''n'') =  0. இப் பண்பினைக் கொண்ட முதல் எண்கள் {{OEIS|id=A013929}}:
 :4,  8,  9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63,....
 
 *''n'' ஒரு பகா எண் எனில் ''μ''(''n'') =  &amp;minus;1, ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையல்ல. μ(''n'') =  &amp;minus;1 எனக்கொண்ட பகாஎண்ணல்லாத முதல் எண்: 30&amp;nbsp;=&amp;nbsp;2x3x5. இவ்வாறான மூன்று வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளைக் கொண்ட எண் [[ஸ்ஃபீனிக் எண்]]களென அழைக்கப்படுகின்றன.
 
 முதல் ஸ்ஃபீனிக் எண்கள்:
 :30,  42,  66,  70,  78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, … {{OEIS|id=A007304}}.
 
 ஐந்து வெவ்வேறான பகாக்காரணிகளைக் கொண்ட எண்கள்:
 :2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, … {{OEIS|id=A046387}}.
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{refbegin}}
 The ''Disquisitiones Arithmeticae'' has been translated from Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.
 *{{citation |last1=Gauss |first1=Carl Friedrich |authorlink1=Carl Friedrich Gauss |others=Arthur A. Clarke (English translator) | title=Disquisitiones Arithemeticae |edition=corrected 2nd |publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |location=New York |year=1986 |isbn=0-387-96254-9}}
 *{{citation |last1=Gauss |first1=Carl Friedrich |authorlink1=Carl Friedrich Gauss |others=H. Maser (German translator) |title=Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae &amp; other papers on number theory) |edition=2nd |publisher=Chelsea |location=New York |year=1965 |isbn=0-8284-0191-8}}
 *[http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?handle=euclid.em/1047565447&amp;view=body&amp;content-type=pdf_1  Computing the summation of the Möbius function by Marc Deléglise and Joël Rivat] Experimental Mathematics Volume 5, Issue 4291-295
 *{{Citation |last=Edwards |first=Harold |authorlink=Harold Edwards (mathematician) |title=Riemann's Zeta Function |publisher=Dover |location=Mineola, New York |date=1974 |isbn=0-486-41740-9}}
 *{{citation |last1=Hardy |first1=G. H. |last2=Wright |first2=E. M. |title=An Introduction to the Theory of Numbers |edition=5th |publisher=[[ஒக்ஸ்போர்ட் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]] |location=Oxford |date=1980 |isbn=978-0-19-853171-5}}
 *{{citation |last=Jacobson |first=Nathan |authorlink=Nathan Jacobson |title=Basic algebra I |year=2009 |edition=2nd |publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-47189-1 |origyear=1985}}
 * {{citation | editor1-last=Sándor | editor1-first=József | editor2-last=Mitrinović | editor2-first=Dragoslav S. | editor3-last=Crstici |editor3-first=Borislav | title=Handbook of number theory I | location=Dordrecht | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2006 | isbn=1-4020-4215-9 | zbl=1151.11300 | pages=187–226 }}
 * {{citation | last1=Sándor | first1=Jozsef | last2=Crstici | first2=Borislav | title=Handbook of number theory II | location=Dordrecht | publisher=Kluwer Academic | year=2004 | isbn=1-4020-2546-7 | zbl=1079.11001 }}
 *{{springer|author=N.I. Klimov|id=m/m064280|title=Möbius function}}
 *[[Ed Pegg, Jr.]], &quot;[https://web.archive.org/web/20031204233036/http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_11_03_03.html The Möbius function (and squarefree numbers)]&quot;, ''MAA Online Math Games'' (2003)
 {{refend}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *{{mathworld|urlname= MoebiusFunction|title=Möbius function}}
 *http://ghmath.wordpress.com/2010/06/20/recursive-relation-for-the-mobius-function/
 *http://terrytao.wordpress.com/2008/07/13/the-mobius-and-nilsequences-conjecture/