பல்லுறுப்புக்கோவை நெடுமுறை வகுத்தல்
[[இயற்கணிதம்|இயற்கணிதத்தில்]], '''பல்லுறுப்புக்கோவை நெடுமுறை வகுத்தல்''' அல்லது '''பல்லுறுப்புக்கோவை நீள்வகுத்தல்''' (''polynomial long division'') என்பது ஒரு [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]யை அதன் [[பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி|படிக்குச்]] சமமான அல்லது குறைந்த படியுடைய மற்றொரு பல்லுறுப்புக்கோவையால் வகுப்பதற்கான [[படிமுறைத் தீர்வு]] ஆகும். இது [[எண்கணிதம்|எண்கணிதத்தின்]] [[நெடுமுறை வகுத்தல்|நீள்வகுத்தலின்]] பொதுமைப்படுத்திய வடிவமாகும். இதன்படி பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வகுத்தலானது, சிறுசிறு எளிய படிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுச் செய்யப்படுகிறது. இந்நீள்வகுத்தலின் குறுக்க வடிவம் [[தொகுமுறை வகுத்தல்]] முறை. தொகுமுறை வகுத்தல், நீள்வகுத்தலைவிடக் குறைந்தளவு கணக்கிடுதல்களைக் கொண்ட மேலும் எளிதான முறையாக அமைகிறது.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 &lt;math&gt;x^3 - 2x^2 - 4,&lt;/math&gt; பல்லுறுப்புக்கோவையை &lt;math&gt;x-3,&lt;/math&gt; ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவு மற்றும் மீதி காணல்:
 
 :வகுபடுகோவை: &lt;math&gt;x^3 - 2x^2 - 4&lt;/math&gt;
 :வகுகோவை: &lt;math&gt;x-3,&lt;/math&gt;
 
 வகுபடுகோவை பின்வருமாறு எழுதிக்கொள்ளப்படுகிறது:
 :&lt;math&gt;x^3 - 2x^2 + 0x - 4.&lt;/math&gt;
 
 வழிமுறை:
 :&lt;math&gt;
 \begin{matrix}
 \qquad\qquad\qquad  x^2\\
 \qquad\qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 2x^2 + 0x - 4}
 \end{matrix}
 &lt;/math&gt;         
 :&lt;math&gt;
 \begin{matrix}
 \qquad\qquad\qquad x^2\\
 \qquad\qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\
 \qquad\;\; x^3 - 3x^2
 \end{matrix}
 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{matrix}
 \qquad\qquad\qquad x^2\\
 \qquad\qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\
 \qquad\;\; \underline{x^3 - 3x^2}\\
 \qquad\qquad\qquad\quad\; +x^2 + 0x
 \end{matrix}
 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{matrix}
 \,\qquad\qquad\qquad x^2 + x\\
 \qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\
 \;\; \underline{\;\;x^3 - \;\;3x^2}\\
 \qquad\qquad\quad\; +x^2 + 0x\\
 \qquad\qquad\quad\; \underline{+x^2 - 3x}\\
 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +3x - 4
 \end{matrix}
 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{matrix}
 \qquad\qquad\qquad\qquad \;\; x^2 + \;x \; + 3\\
 \qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\
 \;\; \underline{\;\;x^3 - \;\;3x^2}\\
 \qquad\qquad\quad\; +x^2 + 0x\\
 \qquad\qquad\quad\; \underline{+x^2 - 3x}\\
 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +3x - 4\\
 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{+3x - 9}\\
 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; +5
 \end{matrix}
 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;{x^3 - 2x^2 - 4} = (x-3)\,\underbrace{(x^2 + x + 3)}_{q(x)}  +\underbrace{5}_{r(x)}&lt;/math&gt;
 
 == யூக்ளிடிய வகுத்தல் ==
 ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைச் சோடி (''A'', ''B'') (''B'' ≠ 0) க்கும் ''A'' ஐ ''B'' ஆல் வகுக்கும்போது,
 :&lt;math&gt;A=BQ+R,&lt;/math&gt; என்பதை நிறைவு செய்யும்  ஈவு ''Q'' , மீதி ''R'' என இரு கோவைகள் கிடைக்கும். இதில் ''R''=0 அல்லது (''R'') இன் படி &lt; (''B'') இன் படி எனவும், (''Q'', ''R'') இரண்டும் தனித்தன்மை கொண்டவையாகவும் இருக்கும்.
 
 பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ''A'' , ''B'' இரண்டின் வகுத்தலில் கிடைக்கும் தனித்தன்மையுடைய ஈவு, மீதிகளான ''Q'' , ''R'' ஐக் காணும்முறை ’’யூக்ளிடிய வகுத்தல்’’ என அழைக்கப்படுகிறது. பல்லுறுப்புக்கோவை நீள்வகுத்தலானது யூக்ளிடிய வகுத்தலின் படிமுறைத் தீர்வாகிறது.&lt;ref&gt;{{cite book|author=S. Barnard|title=Higher Algebra|year=2008|publisher=READ BOOKS|isbn=1-4437-3086-6|page=24}}&lt;/ref&gt;
 
 ==பயன்பாடுகள்==
 ===பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கம்===
 ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சில [[சார்பின் மூலம்|மூலங்கள்]] தெரிந்துகொள்ளப்பட்டால், அந்த பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தெரிந்த மூலத்தைக் கொண்டு நீள்வகுத்தல் முறையில் வகுத்து அதன் காரணிகளைக் கண்டுபிடிக்கலாம்.
 
 பல்லுறுப்புக்கோவை ''P''(''x'') இன் படி ''n'' ; அதன் ஒரு மூலம் ''r'' என்க. 
 *''P''(''x'') இன் ஒரு காரணி (''x'' − ''r'')
 *நீள்வகுத்தல் முறையில் ''P''(''x'') ஐ (''x'' − ''r'') ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவுக் கோவை ''Q''(''x''). ''P''(''x'') இன் மூலம் ''r'' என்பதால் இந்த வகுத்தலில் மீதி = 0
 * ''P''(''x'') = {{nowrap|(''x'' − ''r'')(''Q''(''x''))}}, ''Q''(''x'') இன் படி ''n'' − 1
 * ''P''(''x'') இன் மற்றொரு மூலம் ''s'' எனில் ''Q''(''x'') ஐ (''x'' − ''s'') ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் ஈவு {{nowrap|''n'' − 2}} படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும், மீதி பூச்சியமாகவும் இருக்கும். 
 *''P''(''x'') = {{nowrap|(''x'' − ''r'')(''x'' − ''s'')(''Q' ''(''x''))}}, ''Q' ''(''x'') இன் படி ''n'' − 1
 
 மேலதிக மூலங்கள் தெரிந்தால் நீள்வகுத்தலை ஈவுக்கோவைகளுக்குத் தொடர்வது மூலமாக பிற காரணிகளையும் பெறலாம். இம்முறையில் நான்குக்கு அதிகமான படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் காரணிகளைப் பெறமுடியும். [[ஐம்படிச் சார்பு|ஐம்படி பல்லுறுப்புக்கோவையின்]] காரணிகளைக் காண்பதற்கு விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் ஒரு மூலத்தைக் கண்டுபிடித்த பின்னர், அதைப் பயன்படுத்தி ஐம்படிக்கோவையை [[நான்காம்படிச் சார்பு|நான்காம்படிக் கோவையாகக்]] காரணிப்படுத்தலாம். பின்னர் அந்த நான்காம்படிக்கோவையைக் காரணிப்படுத்தி அனைத்துக் காரணிகளையும் காண முடியும்.
 
 ===பல்லுறுப்புக்கோவைச் சார்புகளுக்குத் தொடுகோடு காணல்===
 
 ஒரு [[சார்பின் வரைபடம்|சார்பின் வரைபடத்திற்கு]] அதன் மீதுள்ள ஒருகுறிப்பிட்ட புள்ளியில் [[தொடுகோடு]] காண்பதற்கு பல்லுறுப்புக்கோவை நீள்வகுத்தலைப் பயன்படுத்தலாம்&lt;ref&gt;Strickland-Constable, Charles, &quot;A simple method for finding tangents to polynomial graphs&quot;, ''[[Mathematical Gazette]]'' 89, November 2005: 466-467.&lt;/ref&gt;
 
 ''P''(''x'') சார்புக்கு {{nowrap|''x'' {{=}} ''r''}} புள்ளியில் தொடுகோடு காணல்:
 
 : ''P''(''x'') ஐ {{nowrap|(''x'' – ''r'')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}} ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி ''R''(''x'') எனில் {{nowrap|''y'' {{=}} ''P''(''x'')}} சார்பின் வரைபடத்திற்கு, {{nowrap|''x'' {{=}} ''r''}} இல் வரையப்படும் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு:
 :: {{nowrap|''y'' {{=}} ''R''(''x''),}} 
 :இதில் ''r'' , ''P''(''x'') இன் மூலமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.
 
 ;எடுத்துக்காட்டு
 : &lt;math&gt;y = x^3 - 12x^2 - 42.&lt;/math&gt; வளைகோட்டிற்கு &lt;math&gt;x=1&lt;/math&gt; இல் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு காணல்:
 :&lt;math&gt;y = x^3 - 12x^2 - 42.&lt;/math&gt; ஐ &lt;math&gt;(x-1)^2 = x^2-2x+1&lt;/math&gt; ஆல் நீள்வகுத்தல் முறையில் வகுக்க:
 :: &lt;math&gt;
 \begin{matrix}
 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad x \;- 10\\
 \quad x^2-2x+1\overline{) x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\
 \qquad\qquad \underline{x^3 - \;\;2x^2 + \;\;x}\\
 \qquad\qquad\qquad\qquad -10x^2 - \;x - 42\\
 \qquad\qquad\qquad\;\;\; \underline{-10x^2 + 20x - 10}\\
 \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -21x - 32
 \end{matrix}
 &lt;/math&gt;
 :தொடுகோடு: &lt;math&gt;y = - 21 x - 32.&lt;/math&gt;
 
 ==குறிப்புகள்==
 &lt;references/&gt;
 *Roe,Spencer and Taylor (2014) http://leicesteripsc.com/index.php?title=Group_3#References {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304001536/http://leicesteripsc.com/index.php?title=Group_3#References |date=2016-03-04 }}
 
 [[பகுப்பு:வகுத்தல் (கணிதம்)]]