சமபக்க முக்கோணி
{{Infobox polygon
 | name        = சமபக்க முக்கோணி
 | image       = Triangle.Equilateral.svg
 | type       = [[பல்கோணம்|ஒழுங்கான பல்கோணி]]
 | edges       = 3
 | schläfli    = {3}
 | coxeter     = {{CDD|node_1|3|node}}
 | symmetry    = 
 | area        = &lt;math&gt;\tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2&lt;/math&gt;
 | angle       = 60°}}
 '''சமபக்க முக்கோணி''' அல்லது '''சமபக்க முக்கோணம்''' (''Equilateral Triangle'') என்பது மூன்று பக்கங்களும் சமமாக உள்ள [[முக்கோணம்]] ஆகும்.&lt;ref&gt;[http://www.authorstream.com/Presentation/vraj-1210115/ வடிவங்கள்]&lt;/ref&gt; எந்தவொரு முக்கோணியினதும் அகக்கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையானது 180° ஆக இருக்கும்.&lt;ref&gt;[http://www.mathsisfun.com/triangle.html முக்கோணிகள் {{ஆ}}]&lt;/ref&gt; ஆகவே, எந்தவொரு சமபக்க முக்கோணத்தின் அகக்கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையும் 180° ஆகவே இருக்கும்.
 
 சமபக்க முக்கோணியொன்றின் அகக்கோணமொன்று 60° ஆகவும் புறக்கோணமொன்று 120° ஆகவும் இருக்கும்.&lt;ref&gt;[http://mathworld.wolfram.com/EquilateralTriangle.html சமபக்க முக்கோணி {{ஆ}}]&lt;/ref&gt;
 
 == முதன்மை இயல்புகள் ==
 [[File:Equilateral-triangle-heights.svg|300px|thumb|ஒரு சமபக்க முக்கோணம். இதன் பக்கங்கள் சமநீளமுள்ளவை (''a''=''b''=''c''), கோணங்கள் சமவளவானவை (&lt;math&gt;\alpha = \beta =\gamma&lt;/math&gt;), குத்துயரங்கள் சமநீளமுள்ளவை (''h''&lt;sub&gt;''a''&lt;/sub&gt; =''h''&lt;sub&gt;''b''&lt;/sub&gt;= ''h''&lt;sub&gt;''c''&lt;/sub&gt;).]]
 
 * சமபக்க முக்கோணத்தின் [[பரப்பளவு]] &lt;math&gt;A=\frac{\sqrt{3}}{4} a^2&lt;/math&gt; ஆகும்.&lt;ref&gt;[http://www.mathwords.com/a/area_equilateral_triangle.htm சமபக்க முக்கோணமொன்றின் பரப்பளவு {{ஆ}}]&lt;/ref&gt;
 * சமபக்க முக்கோணத்தின் [[சுற்றளவு]] &lt;math&gt;p = 3a &lt;/math&gt; ஆகும்.&lt;ref&gt;[http://www.ajdesigner.com/phptriangle/equilateral_triangle_perimeter_p.php முக்கோணச் சமன்பாடுகள் சூத்திரங்கள் கணிப்பான் {{ஆ}}]&lt;/ref&gt;
 * சமபக்க முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் [[ஆரை]] &lt;math&gt;R=\frac{\sqrt{3}}{3} a&lt;/math&gt; ஆகும்.
 * சமபக்க முக்கோணத்தின் [[முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும்|உள்வட்டத்தின்]] ஆரை &lt;math&gt;r=\frac{\sqrt{3}}{6} a&lt;/math&gt; ஆகும்.
 * சமபக்க முக்கோணத்தின் மையமே அதனுடைய [[உள்வட்டம் (முக்கோணம்)|உள்வட்டம்]], [[சுற்றுவட்டம்]] என்பனவற்றின் மையமாக இருக்கும்.
 * எந்தப் பக்கத்திலிருந்தும் சமபக்க முக்கோணத்தின் செங்குத்துயரம் &lt;math&gt;h=\frac{\sqrt{3}}{2} a&lt;/math&gt; ஆகும்.&lt;ref&gt;[http://www.vitutor.com/geometry/plane/equilateral_triangle.html சமபக்க முக்கோணிகள் {{ஆ}}]&lt;/ref&gt;
 
 சமபக்க முக்கோணத்தின் உயரத்தின் மூலமாக மேலுள்ள வாய்ப்பாடுகள்:
 
 * சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு &lt;math&gt;A=\frac{h^2}{\sqrt{3}}&lt;/math&gt;
 * சமபக்க முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களிலிருந்தும் அதன் மையத்தின் உயரம்  &lt;math&gt;\frac{h}{3} &lt;/math&gt;
 * சுற்றுவட்ட ஆரம்  &lt;math&gt;R=\frac{2h}{3} &lt;/math&gt;
 * உள்வட்ட ஆரம்  &lt;math&gt;r=\frac{h}{3}&lt;/math&gt;
 
 ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் [[குத்துக்கோடு (முக்கோணம்)|குத்துக்கோடுகள்]], பக்கங்களின் நடுக்குத்துக்கோடுகள், கோண இருசமவெட்டிகள், [[நடுக்கோடு (வடிவவியல்)|இடைக்கோடுகள்]] ஒன்றோடொன்று பொருந்தும்.
 
 == பண்புருக்கள் ==
 ஒரு முக்கோணத்தில் வழமையான குறியீடுகள்:
 முக்கோணம் ''ABC'' இன் பக்கங்கள் ''a'', ''b'', ''c'', [[அரைச்சுற்றளவு]] ''s'', [[பரப்பளவு]] ''T'', [[முக்கோணத்தின் உள்வட்டமும் வெளிவட்டங்களும்|வெளிவட்ட ஆரங்கள்]] ''r&lt;sub&gt;a&lt;/sub&gt;'', ''r&lt;sub&gt;b&lt;/sub&gt;'', ''r&lt;sub&gt;c&lt;/sub&gt;'', [[சுற்றுவட்டம்|சுற்றுவட்ட ஆரம்]] ''R'' , உள்வட்ட ஆரம் ''r'' .
 
 கீழே தரப்பட்டுள்ள ஒன்பது வகைகளில் ஏதேனும் ஒன்று உண்மையாக ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’, ஒரு முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும். எனவே இவை ஒவ்வொன்றும் சமபக்க முக்கோணத்தின் தனிப்பட்ட பண்புகளாகும்.
 
 === பக்கங்கள் ===
 *&lt;math&gt;\displaystyle a=b=c&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;\displaystyle a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca&lt;/math&gt; &lt;ref name=Andreescu/&gt;
 *&lt;math&gt;\displaystyle abc=(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)&lt;/math&gt;&lt;ref name=Cosmin&gt;Pohoata, Cosmin, &quot;A new proof of Euler's inradius - circumrdius inequality&quot;, ''Gazeta Matematica Seria B'', no. 3, 2010, pp. 121-123, [http://rms.unibuc.ro/gazeta/gmb/2010/3/articol.pdf].&lt;/ref&gt;
 *&lt;math&gt;\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{\sqrt{25Rr-2r^2}}{4Rr}&lt;/math&gt; &lt;ref&gt;M. Bencze, Hui-Hua Wu and Shan-He Wu, &quot;An equivalent form of fundamental triangle inequality and its applications&quot;, ''Research Group in Mathematical Inequalities and Applications'', Volume 11, Issue 1, 2008, [http://rgmia.org/papers/v11n1/equivalent.pdf]&lt;/ref&gt;
 
 === அரைச்சுற்றளவு ===
 *&lt;math&gt;\displaystyle s=2R+(3\sqrt{3}-4)r&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;G. Dospinescu, M. Lascu, C. Pohoata &amp; M. Letiva, &quot;An elementary proof of Blundon's inequality&quot;, ''Journal of inequalities in pure and applied mathematics'', vol. 9, iss. 4, 2008, [http://www.emis.de/journals/JIPAM/images/220_08_JIPAM/220_08_www.pdf]&lt;/ref&gt;
 *&lt;math&gt;\displaystyle s^2=3r^2+12Rr&lt;/math&gt; &lt;ref&gt;Blundon, W. J., &quot;On Certain Polynomials Associated with the Triangle&quot;, ''Mathematics Magazine'', Vol. 36, No. 4 (Sep., 1963), pp. 247-248.&lt;/ref&gt;
 *&lt;math&gt;\displaystyle s^2=3\sqrt{3}T&lt;/math&gt; &lt;ref name=Alsina&gt;Alsina, Claudi &amp; Nelsen, Roger B., ''When less is more. Visualizing basic inequalities'', Mathematical Association of America, 2009, pp. 71, 155.&lt;/ref&gt;
 *&lt;math&gt;\displaystyle s=3\sqrt{3}r&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;\displaystyle s=\frac{3\sqrt{3}}{2}R&lt;/math&gt;
 
 === கோணங்கள் ===
 *&lt;math&gt;\displaystyle A=B=C=60^\circ&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;\displaystyle \cos{A}+\cos{B}+\cos{C}=\frac{3}{2}&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;\displaystyle \sin{\frac{A}{2}}\sin{\frac{B}{2}}\sin{\frac{C}{2}}=\frac{1}{8}&lt;/math&gt; &lt;ref name=Cosmin/&gt;
 
 === பரப்பளவு ===
 *&lt;math&gt;\displaystyle A=\frac{a^2+b^2+c^2}{4\sqrt{3}}&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Cam McLeman &amp; Andrei Ismail, &quot;Weizenbock's inequality&quot;, PlanetMath, [http://planetmath.org/encyclopedia/WeizenbocksInequality.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120218055252/http://planetmath.org/encyclopedia/WeizenbocksInequality.html |date=2012-02-18 }}.&lt;/ref&gt;
 *&lt;math&gt;\displaystyle A=\frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{^{\frac{2}{3}}}&lt;/math&gt; &lt;ref name=Alsina/&gt;
 
 === சுற்றுவட்ட ஆரம், உள்வட்ட ஆரம், வெளிவட்ட ஆரங்கள் ===
 *&lt;math&gt;\displaystyle R=2r&lt;/math&gt;&lt;ref name=Andreescu/&gt;
 *&lt;math&gt;\displaystyle 9R^2=a^2+b^2+c^2&lt;/math&gt; &lt;ref name=Andreescu/&gt;
 *&lt;math&gt;\displaystyle r=\frac{r_a+r_b+r_c}{9}&lt;/math&gt; &lt;ref name=Cosmin/&gt;
 *&lt;math&gt;\displaystyle r_a=r_b=r_c&lt;/math&gt;
 
 === சம விழுகோடுகள் ===
 சமபக்க முக்கோணங்களில் (மட்டும்) மூன்று வகை விழுகோடுகள் சமநீளமானவை:&lt;ref&gt;Byer, Owen; Lazebnik, Felix and Smeltzer, Deirdre, ''Methods for Euclidean Geometry'', Mathematical Association of America, 2010, pp. 36, 39.&lt;/ref&gt;
 
 *மூன்று [[குத்துக்கோடு (முக்கோணம்)|குத்துக்கோடுகள்]] சமநீளமுள்ளவை.
 *மூன்று [[நடுக்கோடு (வடிவவியல்)|நடுக்கோடுகள்]] சமநீளமுள்ளவை
 *மூன்று [[இருசமக்கூறிடல்#கோண இருசமவெட்டி|கோண இருசமவெட்டிகள்]] சம நீளமுள்ளவை.
 
 === ஒன்றுபடும் முக்கோண மையங்கள் ===
 சமபக்க முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு [[முக்கோண மையம்|முக்கோண மையங்களும்]] அம்முக்கோணத்தின் [[நடுக்கோட்டுச்சந்தி]]யுடன் ஒன்றுபடும்.
 
 ஒரு முக்கோணத்தின் சில முக்கோண மையச்சோடிகள் ஒன்றுபடுகின்றன என்ற கூற்றே அந்த முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும் என்பதை உறுதிப்படுத்தப் போதுமான முடிவாக இருக்கும்:
 
 *ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டமையம், உள்வட்ட ஆரம், நடுக்கோட்டுச்சந்தி, செங்கோட்டுச்சந்தி ஆகியவற்றில் எவையேனும் இரண்டு புள்ளிகள் ஒன்றுபட்டால், அம்முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;Yiu, Paul, ''Notes on Euclidean Geometry'', 1998, p. 37, [http://www.math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeomeryNotes.pdf]{{Dead link|date=ஆகஸ்ட் 2021 |bot=InternetArchiveBot }}&lt;/ref&gt;
 *ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டமையமானது நாகெல் புள்ளியுடன் ஒன்றுபட்டாலும் அல்லது உள்வட்டமையமானது [[ஒன்பது-புள்ளி வட்டம்|ஒன்பது-புள்ளி வட்டமையத்துடன்]] ஒன்றுபட்டாலும் அம்முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.&lt;ref name=Andreescu&gt;Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, &quot;Complex Numbers from A to...Z&quot;, Birkhäuser, 2006, pp. 70, 113-115.&lt;/ref&gt;
 
 === நடுக்கோடுகளின் பிரிப்பால் உண்டாகும் ஆறு முக்கோணங்கள் ===
 ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று நடுக்கோடுகளும் அம்முக்கோணத்தை ஆறு சிறு முக்கோணங்களாகக் பிரிக்கின்றன.
 
 *இந்த ஆறு சிறு முக்கோணங்களில் எவையேனும் மூன்று முக்கோணங்கள் ஒரேயளவு சுற்றளவு அல்லது ஒரேயளவு உள்வட்ட ஆரம் கொண்டிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.&lt;ref name=Cerin&gt;[http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200413.pdf Cˇerin, Zvonko, &quot;The vertex-midpoint-centroid triangles&quot;, ''Forum Geometricorum'' 4, 2004: pp. 97–109.]&lt;/ref&gt;{{rp|Theorem 1}}
 *இந்த ஆறு சிறு முக்கோணங்களில் எவையேனும் மூன்று முக்கோணங்களின் சுற்றுவட்ட மையங்கள் மூல முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச் சந்தியிலிருந்து சம தூரத்தில் ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’, எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.&lt;ref name=Cerin/&gt;{{rp|Corollary 7}}
 
 === தளத்திலுள்ள புள்ளிகள் ===
 
 * ''P'' என்பது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முக்கோணத்தின் [[தளம் (வடிவவியல்)|தளத்தில்]] ஒரு [[புள்ளி]]; இப்புள்ளியிலிருந்து முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் தூரம் ''p'', ''q'',  ''r'' ; இப்புள்ளிக்கும் முக்கோணத்தின் மூன்று [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகளுக்கும்]] இடைப்பட்ட தூரம் ''x'', ''y'', and ''z'' எனில், கீழ்க்காணும் முடிவு உண்மையாகும்:&lt;ref name=Crux/&gt;{{rp|p.178,#235.4}}
 
 ::&lt;math&gt;4(p^2+q^2+r^2) \geq x^2+y^2+z^2.&lt;/math&gt;
 
 == தேற்றங்கள் ==
 [[மோர்லியின் முச்சமவெட்டித் தேற்றம்]]:
 :ஒரு முக்கோணத்தின் [[கோண முச்சமவெட்டிகள்]] சந்திக்கும் புள்ளிகள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கின்றன.
 
 [[நெப்போலியன் தேற்றம்]]:
 
 ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் மீது உட்புறமாகவோ அல்லது வெளிப்புறமாகவோ வரையப்படும் சமபக்க முக்கோணங்களின் மையங்கள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை அமைக்கின்றன.
 
 [[சமச்சுற்றளவுச் சமனிலி]]:
 
 முக்கோணங்களுக்கான [[சமச்சுற்றளவுச் சமனிலி]]யின்படி, சமச்சுற்றளவு கொண்ட முக்கோணங்களுக்கும் அதிகபட்ச பரப்பளவுள்ள முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாகும்.&lt;ref name=Chakerian/&gt;
 
 [[விவியானியின் தேற்றம்]]:
 
 ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உட்புறமுள்ள ஒரு புள்ளி ''P'' யிலிருந்து அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் தூரங்கள் ''d'', ''e'', ''f'' எனில்:
 :: ''d'' + ''e'' + ''f'' = முக்கோணத்தின் செங்குத்துயரம்&lt;ref name=Posamentier&gt;Posamentier, Alfred S., and Salkind, Charles T., ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publ., 1996.&lt;/ref&gt;
  
 இம்முடிவு சமபக்க முக்கோணத்தின் உட்புறத்தேயுள்ள எல்லாப்புள்ளிகளுக்கும் பொருந்தும்.
 
 [[பாம்ப்பெயூவின் தேற்றம்|பாம்ப்யூவின் தேற்றம்]]:
 சமபக்க முக்கோணம் ''ABC'' இன் தளத்திலமையும் புள்ளி ''P'' எனில், ''PA'', ''PB'',  ''PC'' நீளமுள்ள பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம் இருக்கும்.
 
 == பிற பண்புகள் ==
 [[வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம்|ஆய்லரின் சமனின்மையின்படி]], சுற்றுவட்ட ஆரத்திற்கும் உள்வட்ட ஆரத்திற்குமான விகிதம் ''R''/''r'' ஆனது எல்லா முக்கோணங்களையும்விட சமபக்க முக்கோணத்தில்தான் மிகச்சிறியதாக இருக்கும். சமபக்க முக்கோணத்தில் ''R''/''r'' = 2 ஆகும்.&lt;ref&gt;Dragutin Svrtan and Darko Veljan, &quot;Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities&quot;, ''Forum Geometricorum'' 12 (2012),  197–209.  http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html&lt;/ref&gt;{{rp|p.&amp;nbsp;198}}
 
 ஒரு [[வட்டம்|வட்டத்தினுள்]] வரையப்படும் முக்கோணங்களில் அதிகபட்ச பரப்பளவுள்ள முக்கோணமானது ஒரு சமபக்க முக்கோணம். அதேபோல, ஒரு வட்டத்தைத் தொட்டவாறு வெளிப்புறமாக வரையப்படும் முக்கோணங்களில் குறைந்தபட்ச பரப்பளவுள்ள முக்கோணமானது ஒரு சமபக்க முக்கோணம்.&lt;ref&gt;Dorrie, Heinrich, ''100 Great Problems of Elementary Mathematics'', Dover Publ., 1965: 379-380.&lt;/ref&gt;
 
 வேறெந்த அசமபக்க முக்கோணங்களையும் விட, ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உள்வட்டத்தின் பரப்புக்கும் அம்முக்கோணத்தின் பரப்புக்கும் உள்ள விகிதம் &lt;math&gt;\frac{\pi}{3\sqrt{3}}&lt;/math&gt; இன் மதிப்பு மிக அதிகபட்சமானதாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;Minda, D., and Phelps, S., &quot;Triangles, ellipses, and cubic polynomials&quot;, ''[[American Mathematical Monthly]]'' 115, October 2008, 679-689: Theorem 4.1.&lt;/ref&gt;
 
 வேறெந்த முக்கோணங்களையும்விட ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தில் அதன் பரப்பிற்கும் சுற்றளவின் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கத்திற்குமுள்ள]] விகிதம் &lt;math&gt;\frac{1}{12\sqrt{3}},&lt;/math&gt; மிகப் பெரியதாக இருக்கும்.&lt;ref name=Chakerian&gt;Chakerian, G. D. &quot;A Distorted View of Geometry.&quot; Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.&lt;/ref&gt;
 
 சமச் சுற்றளவுகளும், ''A''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; , ''A''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; பரப்பளவுகளும் கொண்ட இரு பகுதிகளாக ஒரு சமபக்க முக்கோணம் பிரிக்கப்பட்டால் கீழுள்ள முடிவு உண்மையாகும்&lt;ref name=Crux&gt;''Inequalities proposed in “Crux Mathematicorum”'', [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].&lt;/ref&gt;{{rp|p.151,#J26}}:
 
 :&lt;math&gt;\frac{7}{9} \leq \frac{A_1}{A_2} \leq \frac{9}{7}.&lt;/math&gt;
 
 [[சிக்கலெண்]] தளத்தில் வரையப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் உச்சிகள் ''z''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''z''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ''z''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;; மெய்யெண் அல்லாத [[ஒன்றின் படிமூலம்#ஒன்றின் பிற படிமூலங்கள்|ஒன்றின் முப்படி மூலம்]] &lt;math&gt;\omega&lt;/math&gt;. கீழுள்ள முடிவு உண்மையாக ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’ அந்த முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;Dao Thanh Oai (2015), &quot;Equilateral triangles and Kiepert perspectors in complex numbers&quot;, ''Forum Geometricorum'' 15, 105--114. http://forumgeom.fau.edu/FG2015volume15/FG201509index.html&lt;/ref&gt;{{rp|Lemma 2}}
 
 :&lt;math&gt;z_1+\omega z_2+\omega^2 z_3 =0.&lt;/math&gt;
 
 ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உட்புறமுள்ள ஒரு புள்ளி ''P'' எனில், இப்புள்ளிக்கும் சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கும் இடைப்பட்ட தூரங்களின் கூடுதலுக்கும், பக்கங்களிலிருந்து இப்புள்ளியின் தூரங்களின் கூடுதலுக்கும் உள்ள விகிதத்தின் அளவு 2 ஆகும். வேறெந்த முக்கோணத்திலும் விட சமபக்க முக்கோணத்தில் இந்த அளவு மிகக் குறைந்த அளவாகும்.&lt;ref&gt;[http://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200102.pdf  Lee, Hojoo, &quot;Another proof of the Erdős–Mordell Theorem&quot;, ''Forum Geometricorum'' 1, 2001: 7-8.]&lt;/ref&gt;
 
 ''ABC'' முக்கோணத்தின் தளத்திலமைந்த ஒரு புள்ளி ''P''. முக்கோணத்தின் உச்சிகள் ''A'' ''B'' ''C'' லிருந்து இப்புள்ளிக்குள்ள தூரங்கள் முறையே ''p'', ''q'',  ''t'' எனில்,&lt;ref name=&quot;De&quot;&gt;De, Prithwijit, &quot;Curious properties of the circumcircle and incircle of an equilateral triangle,&quot; ''Mathematical Spectrum'' 41(1), 2008-2009, 32-35.&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle 3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2})^{2}.&lt;/math&gt;
 
 ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உள்வட்டத்தின் மேலமையும் புள்ளி  ''P'' ; இப்புள்ளிக்கும் சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவுகள் ''p'', ''q'', ''t'' எனில்&lt;ref name=&quot;De&quot;/&gt;:
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle 4(p^{2}+q^{2}+t^{2})=5a^{2}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\displaystyle 16(p^{4}+q^{4}+t^{4})=11a^{4}.&lt;/math&gt;
 
 சமபக்க முக்கோணம் ''ABC'' இன் சுற்றுவட்டத்தின் சிறுவில்லான ''BC'' இன் மேலமையும் புள்ளி  ''P'' ; முக்கோணத்தின் உச்சிகள் ''A'' ''B'' ''C'' லிருந்து இப்புள்ளிக்குள்ள தூரங்கள் முறையே ''p'', ''q'',  ''t'' எனில்&lt;ref name=Posamentier/&gt;{{rp|170}}&lt;ref name=&quot;De&quot;/&gt;:
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle p=q+t&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2} ;&lt;/math&gt;
 
 மேலும் சமபக்க முக்கோணத்தின் BC பக்கத்தின் மீதமையும் புள்ளி D ஆனது, PD = ''y'', DA = ''z'' என்றவாறு PA ஐப் பிரிக்குமானால்&lt;ref name=Posamentier/&gt;{{rp|172}}:
 :&lt;math&gt;z= \frac{t^{2}+tq+q^2}{t+q},&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\tfrac{t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}&lt;/math&gt; (''t'' ≠ ''q'' எனில்)
 :&lt;math&gt;\frac{1}{q}+\frac{1}{t}=\frac{1}{y},&lt;/math&gt;
 
 சமபக்க முக்கோணமாக ’இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’, சமக்குறிக்கு உண்மையாகும் பல [[முக்கோணச் சமனிலிகளின் பட்டியல்|முக்கோணச் சமனிலிகள்]] உள்ளன.
 
 சமபக்க முக்கோணம், அதிகபட்ச சமச்சீர் கொண்ட முக்கோணமாகும். சமபக்க முக்கோணத்திற்கு அதன் மையத்தைப் பொறுத்து, மூன்று எதிரொளிப்பு அச்சுகளும், மூன்று சுழற்சி அச்சுகளும் உள்ளன. சமபக்க முக்கோணத்தின் [[சமச்சீர் குலம்|சமச்சீர் குலமானது]] வரிசை ஆறு கொண்ட ஒரு இருமுகக் குலமாகும் (''D''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;).
 
 முக்கோணங்களிலேயே, சமபக்க முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே அதன் [[ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம்]] ஒரு வட்டமாகும், அதாவது அதன் உள்வட்டமாகும்.
 
 [[Image:Viervlak-frame.jpg|thumb|right|நான்கு சமபக்க முக்கோணங்களால் அமைக்கப்பட்ட ஒரு ஒழுங்கு நான்முகி]]
 பல வெவ்வேறு வடிவவியல் அமைவுகளில் சமபக்க முக்கோணங்கள் காணப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக ஒரு ஒழுங்கு [[நான்முகி]]யானது நான்கு சமபக்க முக்கோணங்களால் உருவானதாகும்.
 
 == அமைப்பு ==
 கவராயத்தையும் நேர்விளிம்பையும் மட்டும் பயன்படுத்திச் சமபக்க முக்கோணியை வரைய முடியும்.
 [[File:Equilateral_Triangle_Inscribed_in_a_Circle.gif|center|சமபக்க முக்கோணி]]
 
 == பரப்பளவு வாய்ப்பாடு காணல் ==
 சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாட்டை (&lt;math&gt;A= \frac{\sqrt{3}}{4}a^2&lt;/math&gt;) [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தாகரசு தேற்றத்தைப்]] பயன்படுத்தி அல்லது [[முக்கோணவியல்]] மூலம் காணலாம்.
 
 === பித்தாகரசு தேற்றம் பயன்படுத்தல் ===
 
 பொதுவாக ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாடு:
 
 :&lt;math&gt;A = \frac{1}{2} ah.&lt;/math&gt;, முக்கோணத்தின் அடிப்பக்கம்-''a'' ; உயரம் ''h'' .
 செங்குத்துயரத்தால் சமபக்க முக்கோணம் இரு [[சர்வசமம் (வடிவவியல்)#முக்கோணங்களில் சர்வசமம்|சர்வசம]] [[செங்கோண முக்கோணம்|செங்கோண முக்கோணங்களாகப்]] பிரிக்கப்படுகிறது. அவற்றின் ஒரு தாங்கு பக்கத்தின் நீளம் ''a''/2; மற்றொரு தாங்கு பக்கமானது சமபக்க முக்கோணத்தின் செங்குத்துயரம்,  [[செம்பக்கம்|செம்பக்கத்தின்]] நீளம் ''a''.
 
 பித்தாகரசின் தேற்றப்படி, 
 :&lt;math&gt;\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2&lt;/math&gt;
 
 எனவே சமபக்க முக்கோணத்தின் செங்குத்துயரம்:
 :&lt;math&gt;h = \frac{\sqrt{3}}{2}a.&lt;/math&gt;
 
 செங்குத்துயரத்தின் மதிப்பை முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாட்டில் பதிலிட சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு:
 :&lt;math&gt;A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2.&lt;/math&gt;
 
 === முக்கோணவியலைப் பயன்படுத்தல் ===
 [[Image:30-60-90.svg|thumb|150px|ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கநீளம் 2 அலகுகள் எனில் அதன் செங்குத்துயரம் {{sqrt|3}}; sin 60° இன் மதிப்பு {{sqrt|3}}/2.]]
 
 முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணும் வாய்ப்பாடு:
 முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் ''a'' , ''b'' ; அப்பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் ''C'' எனில்,
 
 :&lt;math&gt;A = \frac{1}{2} ab \sin C.&lt;/math&gt;
 
 சமபக்க முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் அளவு 60°, பக்க நீளம் ''a'' என்பதால் சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவு:
 
 :&lt;math&gt;A = \frac{1}{2} ab \sin 60^\circ.&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}&lt;/math&gt;. 
 :&lt;math&gt;A = \frac{1}{2} ab \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}ab = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2&lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{Reflist}}
 
 [[பகுப்பு:முக்கோணங்கள்]]