நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்''' (''inverse trigonometric functions'') என்பவை [[முக்கோணவியல் சார்புகள்|முக்கோணவியல் சார்புகளின்]] [[நேர்மாறுச் சார்பு|நேர்மாறுச் சார்புகளாகும்]]. இச்[[சார்பு]]களின் [[வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு|வீச்சுகள்]] மூல முக்கோணவியல் சார்புகளின் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களங்களின்]] [[கணம் (கணிதம்)#உட்கணங்கள்|உட்கணங்களாக]] இருக்கும் என்பதால் இவை அடிப்படை நேர்மாறு சார்புகளுக்குத் தேவையான பண்புகளைக் கொண்டிருக்காது. ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளும் ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்புகள் அல்ல. எனவே அவற்றுக்கான நேர்மாறு சார்புகளை [[வரையறை|வரையறுப்பதற்கு]] ஏற்றவகையில் அச்சார்புகளை கட்டுப்படுத்த வேண்டும்.
 
 எடுத்துக்காட்டாக:
 &lt;math&gt;y = \sqrt{x},&lt;/math&gt; -வர்க்கமூலச் சார்பு ''y''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = ''x'', என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது போல 
 
 ''y'' = arcsin(''x'') -நேர்மாறு சைன் சார்பு, sin(''y'') = ''x'' என வரையறுக்கப்படுகிறது.
 
 sin(''y'') = ''x'' -ஐ நிறைவு செய்யும் ''y'' -ன் மதிப்புகள் பல உள்ளன. sin(0) = 0, sin(π) = 0, sin(2π) = 0,... எனவே arcsin, பல மதிப்புகள் கொண்டுள்ளது. arcsin(0) = 0, arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, ... . ஒரு மதிப்பு மட்டும் கொண்டதாக arcsin சார்பைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்ளலாம். இக்கட்டுப்பாட்டின்படி arcsin சார்பின் ஆட்களத்திலுள்ள ஒவ்வொரு ''x'' -க்கும் arcsin(''x'') -ன் மதிப்பு ஒன்றே ஒன்றாக இருக்கும். அம்மதிப்பு ''முதன்மை மதிப்பு'' (principal value) என அழைக்கப்படும். இந்தக் கட்டுப்பாடு மற்ற ஐந்து நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் பொருந்தும்,
 
 முதன்மை நேர்மாறுச் சார்புகள் பின்வரும் அட்டவணையில் தரப்பட்டுள்ளன.
 
 {| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center&quot;
 |- 
 !பெயர்
 !வழக்கமான குறியீடு
 !வரையறை
 !''x'' -ன் ஆட்களம் ([[எண்#மெய்யெண்கள்|மெய் மதிப்புகளுக்கு]])
 !முதன்மை மதிப்பின் வழக்கமான வீச்சு &lt;br /&gt; ([[ரேடியன்]])
 !முதன்மை மதிப்பின் வழக்கமான வீச்சு &lt;br /&gt; ([[பாகை (அலகு)|பாகை]])
 |-
 | '''arcsine''' || ''y'' = arcsin&amp;nbsp;''x'' || ''x'' = sin&amp;nbsp;''y'' || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || −π/2 ≤ ''y'' ≤ π/2 || −90° ≤ ''y'' ≤ 90°
 |-
 | '''arccosine''' || ''y'' = arccos&amp;nbsp;''x'' || ''x'' = cos&amp;nbsp;''y'' || −1 ≤ ''x'' ≤ 1 || 0 ≤ ''y'' ≤ π || 0° ≤ ''y'' ≤ 180°
 |-
 | '''arctangent''' || ''y'' = arctan&amp;nbsp;''x'' || ''x'' = tan&amp;nbsp;''y'' || அனைத்து மெய்யெண்கள் || −π/2 &lt; ''y'' &lt; π/2 || −90° &lt; ''y'' &lt; 90°
 |-
 | '''arccotangent''' || ''y'' = arccot&amp;nbsp;''x'' ||''x'' = cot&amp;nbsp;''y'' || அனைத்து மெய்யெண்கள்
 |  0 &lt; ''y'' &lt; π || 0° &lt; ''y'' &lt; 180°
 |-
 | '''arcsecant''' || ''y'' = arcsec&amp;nbsp;''x'' || ''x'' = sec&amp;nbsp;''y'' || ''x'' ≤ −1 அல்லது 1 ≤ ''x'' ||  0 ≤ ''y'' &lt; π/2  அல்லது π/2 &lt; ''y'' ≤ π || 0° ≤ ''y'' &lt; 90° or 90° &lt; ''y'' ≤ 180°
 |-
 | '''arccosecant''' || ''y'' = arccsc&amp;nbsp;''x'' || ''x'' = csc&amp;nbsp;''y'' || ''x'' ≤ −1 அல்லது 1 ≤ ''x'' || −π/2 ≤ ''y'' &lt; 0 அல்லது 0 &lt; ''y'' ≤ π/2 || -90° ≤ ''y'' &lt; 0° அல்லது 0° &lt; ''y'' ≤ 90°
 |-
 |}
 
 ''x'' ஒரு [[சிக்கலெண்]] எனில் ''y'' -ன் வீச்சு ''x'' -ன் மெய்ப்பகுதிக்கு மட்டுமே பொருந்தும்.
 
 sin&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;, cos&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;,.... ஆகிய குறியீடுகள் பல இடங்களில் arcsin, arccos, ... ஆகியவற்றுக்குப் பதிலாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஆனால் இக்குறியீடுகளால் முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெருக்கல் தலைகீழிகளுக்கும் நேர்மாறுச் சார்புகளுக்குமிடையே குழப்பம் ஏற்படலாம்.
 
 == நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கிடையே உள்ள தொடர்புகள் ==
 [[படிமம்:Arctangent Arccotangent.svg|294px|left|thumb|arctan(''x'') (சிவப்பு) மற்றும் arccot(''x'') (நீலம்) சார்புகளின் வழக்கமான முதன்மை மதிப்புகளின் வரைபடம் கார்ட்டீசியன் தளத்தில். ]]
 [[படிமம்:Arcsecant Arccosecant.svg|294px|center|thumb|arcsec(''x'')(சிவப்பு) மற்றும் arccsc(''x'') (நீலம்) சார்புகளின் வழக்கமான முதன்மை மதிப்புகளின் வரைபடம்கார்ட்டீசியன் தளத்தில்]]
 [[படிமம்:Arcsine Arccosine.svg|168px|right|thumb|arcsin(''x'') (சிவப்பு) மற்றும் arccos(''x'') (நீலம்) சார்புகளின் வழக்கமான முதன்மை மதிப்புகளின் வரைபடம் கார்ட்டீசியன் தளத்தில்]]
 
 
 
 
 நிரப்பு [[கோணம்|கோணங்கள]]
 :&lt;math&gt;\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x &lt;/math&gt;
 
 எதிர்ம கோணங்கள்:
 :&lt;math&gt;\arcsin (-x) = - \arcsin x \!&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\arctan (-x) = - \arctan x \!&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\arccsc (-x) = - \arccsc x \!&lt;/math&gt;
 
 தலைகீழிக் கோணங்கள்:
 :&lt;math&gt;\arccos (1/x) \,= \arcsec x \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\arcsin (1/x) \,= \arccsc x \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\arctan (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arctan x =\arccot x,\text{ if }x &gt; 0 \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\arctan (1/x) = -\tfrac{1}{2}\pi - \arctan x = -\pi + \arccot x,\text{ if }x &lt; 0 \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\arccot (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arccot x =\arctan x,\text{ if }x &gt; 0 \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\arccot (1/x) = \tfrac{3}{2}\pi - \arccot x = \pi + \arctan x,\text{ if }x &lt; 0 \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\arcsec (1/x) = \arccos x \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\arccsc (1/x) = \arcsin x \,&lt;/math&gt;
 
 சைன் அட்டவணையின் ஒரு பகுதி மட்டும் நம்மிடம் இருந்தால்:
 
 :&lt;math&gt;\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2},\text{ if }0 \leq x \leq 1 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} &lt;/math&gt;
 
 இங்கு ஒரு சிக்கல் எண்ணின் வர்க்கமூலம் பயன்படுத்தப்பட்டால், நேர்ம மெய்ப்பகுதி கொண்ட மூலம் எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.(அல்லது வர்க்கம் எதிர்ம மெய்ப்பகுதி கொண்டிருந்தால் நேர்ம கற்பனைபகுதி கொண்ட மூலம் எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.).
 
 [[முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல்#இருமடங்கு, மும்மடங்கு, அரைக்கோண முற்றொருமைகள்|டேன்ஜெண்டின் அரைக்கோண வாய்ப்பாடு]]:
 
 &lt;math&gt;\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} &lt;/math&gt;, -லிருந்து:
 
 :&lt;math&gt;\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},\text{ if }-1 &lt; x \leq +1 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}&lt;/math&gt;
 
 == முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்புகள் ==
 
 :&lt;math&gt;\sin (\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}&lt;/math&gt;
 
 == பொதுத்தீர்வுகள் ==
 
 ஒவ்வொரு முக்கோணவியல் சார்பும் அதன் கோணத்தின் மெய்ப்பகுதியில் காலமுறைமை உடையதாக உள்ளது. ஒவ்வொன்றும் 2π அளவு இடைவெளியில் தனது அனைத்து மதிப்புகளையும் இருமுறை அடைகின்றது. 
 * [[சைன் (முக்கோணவியல்)|சைன்]] மற்றும் [[கோசீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்)|கோசீக்கெண்ட்]], தங்களது கால அளவை 2π''k'' − π/2 (''k'' ஒரு முழு எண்) -ல் ஆரம்பித்து 2π''k'' + π/2 -ல் முடிக்கின்றன. மீண்டும் எதிர்வழியாக 2π''k'' + π/2 -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π''k'' + 3π/2 -ல் முடிக்கின்றன. 
 
 * [[கோசைன் (முக்கோணவியல்)|கோசைன்]] மற்றும் [[சீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்)|சீக்கெண்ட்]], தங்களது கால அளவை 2π''k'' -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π''k'' + π -ல் முடித்து மீண்டும் எதிர்வழியாக 2π''k'' + π -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π''k'' + 2π -ல் முடிக்கின்றன. 
 
 * [[டேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்)|டேன்ஜெண்ட்]], தனது கால அளவை 2π''k'' − π/2, -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π''k'' + π/2 -ல் முடித்துப் பின் மீண்டும், அதேபோல (முன்னோக்கி) 2π''k'' + π/2-லிருந்து 2π''k'' + 3π/2 -ல் முடிக்கின்றது . 
 
 * [[கோடேன்ஜெண்ட் (முக்கோணவியல்)|கோடேன்ஜெண்ட்]], தனது கால அளவை 2π''k''-லிருந்து 2π''k'' + π -ல் முடித்துப் பின் மீண்டும் அதேமாதிரி (முன்னோக்கி) 2π''k'' + π -லிருந்து 2π''k'' + 2π -ல் முடிக்கிறது..
 
 பொது நேர்மாறுகளில் காலமுறைமை பிரதிபலிக்கப்படுகிறது. (இங்கு ''k'' ஏதேனும் ஒரு [[முழு எண்]])
 :&lt;math&gt;\sin(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = \arcsin(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arcsin(x) + 2k\pi&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\cos(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = \arccos(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arccos(x) + 2k\pi&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\tan(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = \arctan(x) + k\pi&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\cot(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = \arccot(x) + k\pi&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\sec(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = \arcsec(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arcsec (x) + 2k\pi&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\csc(y) = x \ \Leftrightarrow\  y = \arccsc(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arccsc(x) + 2k\pi&lt;/math&gt;
 
 == நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் ==
 
 ''x'' -ன் மெய் மற்றும் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு எளிய [[வகைக்கெழு]]க்கள்:
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \frac{d}{dx} \arcsin x &amp; {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\
 \frac{d}{dx} \arccos x &amp; {}= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\
 \frac{d}{dx} \arctan x &amp; {}= \frac{1}{1+x^2}\\
 \frac{d}{dx} \arccot x &amp; {}= \frac{-1}{1+x^2}\\
 \frac{d}{dx} \arcsec x &amp; {}= \frac{1}{x\,\sqrt{x^2-1}}\\
 \frac{d}{dx} \arccsc x &amp; {}= \frac{-1}{x\,\sqrt{x^2-1}}
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 ''x'' -ன் மெய் மதிப்புகளுக்கு மட்டும்:
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \frac{d}{dx} \arcsec x &amp; {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| &gt; 1\\
 \frac{d}{dx} \arccsc x &amp; {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| &gt; 1
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 வகையிடலின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு: 
 
 &lt;math&gt;\theta = \arcsin x \!&lt;/math&gt; எனில்,
 :&lt;math&gt;\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}&lt;/math&gt;
 
 == வரையறுத்த தொகையீடுகளாக ==
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \arcsin x &amp;{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
 \arccos x &amp;{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\
 \arctan x &amp;{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\
 \arccot x &amp;{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\
 \arcsec x &amp;{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\
 \arcsec x &amp;{}= \pi + \int_x^{-1} \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \leq -1\\
 \arccsc x &amp;{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\
 \arccsc x &amp;{}= \int_{-\infty}^x \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \leq -1
 \end{align}&lt;/math&gt;
 ''x'' = 1 ஆகும் போது எல்லைக்குட்பட்ட ஆட்களங்களைக் கொண்ட [[தொகையீடு]]கள், முறையற்ற தொகையீடுகளாகும் (improper integrals). ஆனாலும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டவையாக அமையும்.
 
 == முடிவிலாத் தொடர்களாக ==
 நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளைப் பின்வருமாறு முடிவிலாத் தொடர்களாகக் காணலாம்: 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \arcsin z &amp; {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots\\
 &amp; {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
 ; \qquad | z | \le 1
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 &lt;!-- extra blank line for legibility --&gt;
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \arccos z &amp; {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\
 &amp; {}= \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) \\
 &amp; {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
 ; \qquad | z | \le 1 
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 &lt;!-- extra blank line for legibility --&gt;
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \arctan z &amp; {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\
 &amp; {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
 ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 &lt;!-- extra blank line for legibility --&gt;
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \arccot z &amp; {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\
 &amp; {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) \\
 &amp; {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
 ; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 &lt;!-- extra blank line for legibility --&gt;
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \arcsec z &amp; {}= \arccos {(1/z)} \\
 &amp; {}= \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) \\
 &amp; {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)} 
 ; \qquad \left| z \right| \ge 1 
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 &lt;!-- extra blank line for legibility --&gt;
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \arccsc z &amp; {}= \arcsin {(1/z)} \\
 &amp; {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\
 &amp; {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}
 ; \qquad \left| z \right| \ge 1 
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 &lt;!-- extra blank line for legibility --&gt;
 
 arctan -க்கு [[லியோனார்டு ஆய்லர்|ஆய்லரால்]] இதைவிட பயனுள்ளதொரு முடிவிலாத் தொடர் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது:
 
 :&lt;math&gt;\arctan z = \frac{z}{1+z^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k z^2}{(2k+1)(1+z^2)}.&lt;/math&gt;
 (இக்கூட்டுதொகையில் ''n''= 0 -ன் உறுப்பு வெற்றுப் பெருக்கல்பலன் (empty product). இதன் மதிப்பு 1.)
 
 &lt;!-- extra blank line for legibility --&gt;
 
 இதனையே பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:
 :&lt;math&gt;\arctan z = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{\,2n}\,(n!)^2}{\left(2n+1\right)!} \; \frac{z^{\,2n+1}}{\left(1+z^2\right)^{n+1}}&lt;/math&gt;
 
 == நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் வரையறாத் தொகையீடுகள் ==
 
 ''x'' -ன் மெய் மற்றும் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு:
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \int \arcsin x\,dx &amp;{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\\
 \int \arccos x\,dx &amp;{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\\
 \int \arctan x\,dx &amp;{}= x\,\arctan x - \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
 \int \arccot x\,dx &amp;{}= x\,\arccot x + \frac{1}{2}\ln\left(1+x^2\right) + C\\
 \int \arcsec x\,dx &amp;{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right)\right) + C\\
 \int \arccsc x\,dx &amp;{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x\left(1+\sqrt{{x^2-1}\over x^2}\right)\right) + C
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 ''x'' ≥ 1 ஆகவுள்ள மெய்மதிப்புகளுக்கு:
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \int \arcsec x\,dx &amp;{}= x\,\arcsec x - \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C\\
 \int \arccsc x\,dx &amp;{}= x\,\arccsc x + \ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right) + C
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 இவற்றைப் பகுதி தொகையிடல் மூலம் பெறலாம்.
 
 === எடுத்துக்காட்டு ===
 
 பகுதி தொகையிடலில்:
 
 &lt;math&gt;\int u\,\mathrm{d}v = u v - \int v\,\mathrm{d}u&lt;/math&gt;, 
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 u &amp;{}=&amp;\arcsin x &amp;\quad\quad\mathrm{d}v = \mathrm{d}x\\
 \mathrm{d}u &amp;{}=&amp;\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}&amp;\quad\quad{}v = x
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\int \arcsin(x)\,\mathrm{d}x = x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x&lt;/math&gt;
 
 தொகையிடலின் பிரதியிடல் முறையைப் பயன்படுத்த:
 
 : &lt;math&gt;k = 1 - x^2.\,&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;\mathrm{d}k = -2x\,\mathrm{d}x&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{k}} = -\sqrt{k}&lt;/math&gt;
 
 ''x'' -க்கு மீண்டும் பிரதியிட:
 
 :&lt;math&gt;\int \arcsin(x)\, \mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C &lt;/math&gt;
 
 == மடக்கை வடிவங்கள் ==
 
 சிக்கலெண் [[மடக்கை]]கள் மூலமாகவும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளை எழுதலாம். இதனால் இச்சார்புகளின் ஆட்களங்கள் சிக்கலெண் [[தளம் (வடிவவியல்)|தளத்திற்கு]] நீட்டிக்கப்படுகிறது.
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \arcsin x &amp;{}= -i\,\ln\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) &amp;{}= \arccsc \frac{1}{x}\\[10pt]
 \arccos x &amp;{}= -i\,\ln\left(x+i\,\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}\,+i\ln\left(i\,x+\sqrt{1-x^2}\right) = \frac{\pi}{2}-\arcsin x &amp;{}= \arcsec \frac{1}{x}\\[10pt]
 \arctan x &amp;{}= \tfrac{1}{2}i\left(\ln\left(1-i\,x\right)-\ln\left(1+i\,x\right)\right) &amp;{}= \arccot \frac{1}{x}\\[10pt]
 \arccot x &amp;{}= \tfrac{1}{2}i\left(\ln\left(1-\frac{i}{x}\right)-\ln\left(1+\frac{i}{x}\right)\right) &amp;{}= \arctan \frac{1}{x}\\[10pt]
 \arcsec x &amp;{}= -i\,\ln\left(i\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\right) = i\,\ln\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\right)+\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}-\arccsc x &amp;{}= \arccos \frac{1}{x}\\[10pt]
 \arccsc x &amp;{}= -i\,\ln\left(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\right) &amp;{}= \arcsin \frac{1}{x}
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 === எடுத்துக்காட்டு ===
 
 :&lt;math&gt;\theta = \arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1-x^2}\right) \, &lt;/math&gt; -ஐப் பின்வருமாறு [[கணித நிறுவல்|நிறுவலாம்]].
 
 :&lt;math&gt;\arcsin x = \theta \, &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = x&lt;/math&gt;
 
 (சைன் சார்பின் அடுக்குக்குறி வரையறை)
 
 :&lt;math&gt;k=e^{i\,\theta}. \, &lt;/math&gt; என்க:
 
 :&lt;math&gt;\frac{k-\frac{1}{k}}{2i} = x&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;k^2-2\,i\,k\,x-1\,=\,0&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;k = ix \pm \sqrt{1-x^2} = e^{i\theta} \, &lt;/math&gt;
 
 (நேர்ம பகுதி எடுத்துக் கொள்ளப்ப்படுகிறது.)
 
 :&lt;math&gt;\theta = \arcsin x = -i \ln \left(ix + \sqrt{1-x^2}\right) \, &lt;/math&gt;
 
 {|  style=&quot;text-align:center&quot;
 |+ '''சிக்கலெண் தளத்தில் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்'''
 |[[படிமம்:Complex arcsin.jpg|1000x140px|none]]
 |[[படிமம்:Complex arccos.jpg|1000x140px|none]]
 |[[படிமம்:Complex arctan.jpg|1000x140px|none]]
 |[[படிமம்:Complex ArcCot.jpg|1000x140px|none]]
 |[[படிமம்:Complex ArcSec.jpg|1000x140px|none]]
 |[[படிமம்:Complex ArcCsc.jpg|1000x140px|none]]
 |-
 |&lt;math&gt;
 \arcsin(z)
 &lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;
 \arccos(z)
 &lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;
 \arctan(z)
 &lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;
 \arccot(z)
 &lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;
 \arcsec(z)
 &lt;/math&gt;
 |&lt;math&gt;
 \arccsc(z)
 &lt;/math&gt;
 |}
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 * {{MathWorld | urlname=InverseTrigonometricFunctions | title=Inverse Trigonometric Functions}}
 * {{MathWorld | urlname=InverseTangent | title=Inverse Tangent}}
 
 [[பகுப்பு:முக்கோணவியல்]]