வகையிடலின் நேர்மாறுச் சார்பு விதி
[[File:Umkehrregel 2.png|thumb|right|250px|&lt;math&gt;{\color{Blue}f(x)} = {\color{Blue}\log_2 (x)};&lt;/math&gt; &lt;br&gt;&lt;math&gt;{\color{Periwinkle}f'(x)} = {\color{Periwinkle}\log2\cdot (x)}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;&lt;math&gt;{\color{red}f^{-1}(x)} = {\color{red}2^x};&lt;/math&gt;&lt;br&gt;&lt;math&gt;{\color{Salmon}(f^{-1})'(x)} = {\color{Salmon}log2\cdot2^x}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;விதி:&lt;br&gt;&lt;math&gt;{\color{Periwinkle}f'}(x) = \frac{1}{{\color{Salmon}(f^{-1})'}({\color{Blue}f}(x))}&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;x_0 \approx 5.8&lt;/math&gt; எனில்:&lt;br&gt;&lt;math&gt;{\color{Periwinkle}f'}(x_0) = \frac{1}{4}&lt;/math&gt;&lt;br&gt;&lt;math&gt;{\color{Salmon}(f^{-1})'}({\color{Blue}f}(x_0)) = 4~&lt;/math&gt;]]
 [[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]], '''வகையிடலின் நேர்மாறுச் சார்பு விதி''' அல்லது '''நேர்மாறுச் சார்பு விதி''' (''Inverse funcion rule'') என்பது [[வகையிடல் விதிகள்|வகையிடல் விதிகளுள்]] ஒன்று. இவ்விதி ஒரு சார்பின் [[நேர்மாறுச் சார்பு|நேர்மாறுச் சார்பினை]] [[வகையிடல்|வகையிடும்]] வழிமுறையைத் தருகிறது.
 
 விதியின் கூற்று:
 
 சார்பு &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; மற்றும் அதன் நேர்மாறு, &lt;math&gt;f^{-1}&lt;/math&gt; இரண்டும் [[வகையிடத்தக்கச் சார்பு]]கள் எனில் &lt;math&gt;x =a &lt;/math&gt; என்ற புள்ளியில்:
 
 :&lt;math&gt;\left[f^{-1}\right]'(a)=\frac{1}{f'\left( f^{-1}(a) \right)}&lt;/math&gt;
 இது [[வகையிடலின் குறியீடு#லாக்ராஞ்சியின் குறியீடு|லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில்]] தரப்பட்டுள்ளது.
 
 [[லைப்னிட்சின் குறியீடு|லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்]]:
 
 :&lt;math&gt;\frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = 1&lt;/math&gt;
  
 :&lt;math&gt;\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} &lt;/math&gt;
 
 ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவும் அதன் நேர்மாறின் வகைக்கெழுவும் [[தலைகீழி]]களாக அமைகின்றன.
 
 இது [[சங்கிலி விதி]]யிலிருந்து பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது:
 
 :&lt;math&gt;y = f(x) &lt;/math&gt; எனில், 
 :&lt;math&gt;x = f^{-1}(y) &lt;/math&gt;
 
 சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி ஐப் பொறுத்து வகையிட:
 
 :&lt;math&gt; \frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dx} = 1 &lt;/math&gt;
 
 (&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ஐப் பொறுத்து &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; இன் வகைக்கெழு 1)
 
 ஒரு சார்பின் வரைபடமும் அதன் நேர்மாறுச் சார்பின் வரைபடமும் ஒன்றுக்கொன்று {{nowrap|1=''y'' = ''x''}}, [[கோடு|கோட்டைப்]] பொறுத்த பிரதிபலிப்புகளாக அமையும். [[பிரதிபலிப்பு]]ச் செயலால் ஒரு கோட்டின் [[சாய்வு]]ம் அக்கோட்டின் பிரதிபலிப்பு எதிருவாக அமையும் கோட்டின் சாய்வும் தலைகீழிகளாக இருக்கும்.
 
 &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; சார்புக்கு &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; இன் அண்மையகத்தில் நேர்மாறுச் சார்பு இருந்து, புள்ளி &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; இல் &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இன் வகைக்கெழு [[பூச்சியம்|பூச்சியமற்றதாகவும்]] இருந்தால், அப்புள்ளியில் நேர்மாறுச் சார்பும் வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும். மேலும் அந்த வகைக்கெழுவை மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாட்டின் மூலம் காணவும் முடியும்.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 
 * &lt;math&gt;\,y = x^2&lt;/math&gt;
 
 இச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு (&lt;math&gt;x&lt;/math&gt; இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு மட்டும்):
 
 &lt;math&gt;x = \sqrt{y}&lt;/math&gt;.
 
 :&lt;math&gt; \frac{dy}{dx} = 2x 
 \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
 \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
 \frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{y}} &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \frac{dy}{dx}\,\cdot\,\frac{dx}{dy}  =  2x \cdot\frac{1}{2\sqrt{y}}  =  \frac{2x}{2x}  =  1. &lt;/math&gt;
 
 எனினும் {{nowrap|1=''x'' = 0}}, இல் ஒரு சிக்கல் உள்ளது: வர்க்கச் சார்பின் வரைபடத்தின் கிடைமட்டத் [[தொடுகோடு|தொடுகோட்டிற்கு]] ஒத்தவாறு வர்க்கமூலச் சார்பின் [[சார்பின் வரைபடம்|வரைபடம்]] நிலைக்குத்தாக அமையும்.
 
 * &lt;math&gt;\,y = e^x&lt;/math&gt;
 
 இதன் நேர்மாறுச் சார்பு (&lt;math&gt;y&lt;/math&gt; இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு மட்டும்)
 
 :&lt;math&gt;\,x = \ln{y}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \frac{dy}{dx} = e^x
 \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
 \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
 \frac{dx}{dy} = \frac{1}{y} &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \frac{dy}{dx}\,\cdot\,\frac{dx}{dy}  =  e^x \cdot \frac{1}{y}  =  \frac{e^x}{e^x}  =  1 &lt;/math&gt;
 
 ==கூடுதல் பண்புகள்==
 நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாட்டைத் [[தொகையீடு|தொகையிட]],
 
 :&lt;math&gt;{f^{-1}}(x)=\int\frac{1}{f'({f^{-1}}(x))}\,{dx} + c&lt;/math&gt;
 
 :இத் தொகையீட்டின் மதிப்புக் காண முடிந்தால் மட்டுமே இம்முடிவு பயனுள்ளதாக இருக்கும். குறிப்பாக, தொகையிடப்படும் எல்லைக்குள், &lt;math&gt;f'(x)&lt;/math&gt; இன் மதிப்பு பூச்சியமற்றதாக இருக்க வேண்டும்.
 
 :இதிலிருந்து [[தொடர்ச்சியான சார்பு|தொடர்ச்சியான]] வகைக்கெழு உடைய சார்புகளுக்கெல்லாம், வகைக்கெழுவின் மதிப்பு பூச்சியமாகாத புள்ளிகளின் அண்மையகத்தில் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும் என்பது தெரிய வருகிறது. வகைக்கெழுச் சார்பு தொடர்ச்சியானது இல்லையெனில் இது உண்மையாக இருக்காது.
 
 ==உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்==
 
 முதல் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாடு:
 
 :&lt;math&gt;\frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = 1 \quad\quad(1)&lt;/math&gt;
 
 இவ்வாய்ப்பாட்டை மீண்டும் &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; ஐப் பொறுத்து வகையிட:
 
 :&lt;math&gt; \frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} + \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2  =  0 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} = - \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} &lt;/math&gt; எனப்பிரதியிட,
 
 :&lt;math&gt; \frac{d^2y}{dx^2} = - \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 \quad\quad(2)&lt;/math&gt;.
 
 :&lt;math&gt; \frac{d^2x}{dy^2} = - \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{(\frac{dy}{dx})^3} \quad\quad(**)&lt;/math&gt;.  -நேர்மாறுச் சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாடு
 
 லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில்:
 
 :&lt;math&gt; \left(f^{-1}\right)''(y) = \frac{-f''(y)}{[f'(y)]^3}&lt;/math&gt;
 
 முடிவு (2) ஐ மீண்டும் &lt;math&gt; x &lt;/math&gt; ஐப் பொறுத்து வகையிட,
 
 :&lt;math&gt; \frac{d^3y}{dx^3} = - \frac{d^3x}{dy^3}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 -
 3 \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^2&lt;/math&gt;
 
 இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,
 
 :&lt;math&gt; \frac{d^3y}{dx^3} = - \frac{d^3x}{dy^3}\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^4 +
 3 \left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)^2\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^5&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \frac{d^3x}{dy^3} = \frac{\frac{-d^3y}{dx^3}+
 3 \left(\frac{d^2x}{dy^2}\right)^2\,\cdot\,\left(\frac{dy}{dx}\right)^5}{\left(\frac{dy}{dx}\right)^4}\quad\quad(***)&lt;/math&gt; -நேர்மாறுச் சார்பின் மூன்றாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாடு.
 
 இவ்வாய்ப்பாடுகளின் பொதுமைப்படுத்தலே  ''ஃபா டி புருனோ''வின் வாய்ப்பாடு ஆகும்.
 
 ==எடுத்துக்காட்டு==
 
 * &lt;math&gt;\,y = e^x&lt;/math&gt;
 
 இதன் நேர்மாறுச் சார்பு,
 
 :&lt;math&gt;\,x = \ln y&lt;/math&gt;.
 
 :&lt;math&gt; \frac{dy}{dx} = e^x = y ;&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \frac{d^2y}{dx^2} = e^x = y ;&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\left(\frac{dy}{dx}\right)^3 = y^3;&lt;/math&gt;
 
 இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட,
 :&lt;math&gt;
 \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,y^3 + y = 0
 \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };
 \mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }
 \frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{1}{y^2}
 &lt;/math&gt;,
 
 :&lt;math&gt;\,x = \ln y&lt;/math&gt;. இதனை நேரிடையாக இருமுறை வகையிட்டாலும் இதே முடிவு கிடைப்பதைக் காணலாம்.