நேர்மாறுச் சார்பு
[[Image:Inverse Function.png|thumb|right|சார்பு ƒ மற்றும் அதன் நேர்மாறு ƒ&lt;sup&gt;–1&lt;/sup&gt;.  ƒ, ''a'' -ஐ 3 -ஆக மாற்றுகிறது. அதன் நேர்மாறு ƒ&lt;sup&gt;–1&lt;/sup&gt;, மறுபடி 3 -ஐ ''a'' -ஆக மாற்றுகிறது.]]
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''நேர்மாறுச் சார்பு''' (''inverse function'') என்பது ஒரு [[சார்பு|சார்பினால்]] ஏற்படக்கூடிய விளைவை இல்லாமல் செய்யக்கூடிய விளைவுடைய மற்றதொரு சார்பாகும். ''x'' எனும் உள்ளீட்டின்  ƒ சார்புக்குரிய வெளியீடு ''y'' எனில் நேர்மாறுச் சார்பு ''g'' ஆனது ''y'' -ஐ உள்ளிடாகவும் ''x'' -ஐ வெளியீடாகவும் கொண்டிருக்கும். அதாவது:
 
 :ƒ(''x'')=''y'' எனில்,  ''g''(''y'')=''x''.
 
 இரண்டையும் ஒன்றாகச் சேர்த்து ஒரே குறியீட்டில் ''g''(ƒ(''x''))=''x'' எனக் குறிக்கலாம். சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பயன்படுத்தி, ''g''(''x'') சார்பை ƒ(''x'')  சார்புடன் சேர்க்கக் கிடைக்கும் இப்புதுச் சார்பு மாறி ''x'' -ஐ எந்தவொரு மாற்றமுமின்றி அப்படியேத் திருப்பித் தருகின்றது.
 
 ஒரு சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு இருந்தால் அச்சார்பு ''நேர்மாற்றத்தக்கச் சார்பு'' எனப்படும். நேர்மாற்ற்றத் தக்க சார்புகளின் நேர்மாறுச் சார்புகள் தனித்தன்மை உடையவை. அதாவது ஒரு நேர்மாற்றத்தக்கச் சார்புக்கு ஒரேயொரு நேர்மாறுச் சார்புதான் உண்டு. ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பின் குறியீடு: ƒ&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; (வாசிக்க: ''f -ன் நேர்மாறு''.  இக்குறியீட்டைத் தவறாக  ƒ -ன் [[அடுக்கேற்றம்|அடுக்கு]] -1 என எடுத்துக்கொள்ளக் கூடாது.)
 
 ==வரையறை==
 [[Image:Inverse Functions Domain and Range.png|thumb|center|240px| ƒ சார்பு ''X'' [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தை]] ''Y'' கணமாக மாற்றினால் ƒ&lt;sup&gt;–1&lt;/sup&gt; மறுபடியும் ''Y'' கணத்தை ''X'' கணமாக மாற்றுகிறது.]]
 ƒ சார்பின் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களம்]] ''X'', [[வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு|வீச்சு]] ''Y'' எனில்:
 :''Y'' -ஐ ஆட்களமாகவும் ''X'' -ஐ வீச்சாகவும் கொண்டு,
 :&lt;math&gt;f(x) = y\,\,\text{if and only if}\,\,g(y) = x\text{.}\,\!&lt;/math&gt;
 :என்பதையும் நிறைவு செய்யும் ஒரு தனித்த சார்பு ''g'' இருக்குமானால் சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாகும்.  ''g''  சார்பு, ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு என அழைக்கப்படும். மேலும் நேர்மாறுச் சார்பின் குறியீடு ƒ&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;.
 
 ஒரு சார்பின் [[நேர்மாறு உறவு]] அச்சார்பின் வீச்சு ''Y'' -ன் மீது ஒரு சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அச்சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதாகும். அப்பொழுது அந்த நேர்மாறுத் தொடர்பே சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாகவும் இருக்கும்.
 
 அனைத்து சார்புகளுக்கும் நேர்மாறுச் சார்புகள் இருக்காது. ஒரு சார்பின் வீச்சிலில் உள்ள ஒவ்வொரு ''y''&amp;nbsp;∈&amp;nbsp;''Y'' -ம் ஆட்களத்தின் ஒரேயொரு உறுப்புக்கு மட்டும் (''x''&amp;nbsp;∈&amp;nbsp;''X'') [[வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு|எதிருருறுப்பாக]] இருந்தால்தான் அச்சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு. இப்பண்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று பண்பு எனவும் இப்பண்புடைய சார்புகள் [[உள்ளிடு சார்பு|உள்ளிடு சார்புகள்]] எனவும் அழைக்கப்படும்.
 
 ===நேர்மாறல் சார்பும் எதிர்மாறல் சார்பும்===
 
 ''நேர் மாறல் சார்பு'' :
 :&lt;math&gt; y = kx.&lt;/math&gt;
 இச்சார்பில் அமைந்துள்ள கணிதச் செயல் [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கல்]]. பெருக்கல் செயலுக்கு எதிர் கணிதச் செயல் [[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுத்தல்]]. பெருக்கலுக்குப் பதில் வகுத்தலைப் பயன்படுத்த இச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக எதிர் மாறல் சார்பு கிடைக்கின்றது.
 
 ''எதிர்மாறல் சார்பு'': 
 :&lt;math&gt; y = kx.&lt;/math&gt;
 
 ===வர்க்கச் சார்பும் வர்க்கமூலச் சார்பும்===
 
 வர்க்கச் சார்பு:
 :&lt;math&gt; f(x) = x^2 &lt;/math&gt;
 [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கச்]] சார்பின் ஆட்களத்தைப் பொறுத்து அது நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும். அதாவது [[வர்க்கமூலம்|வர்க்கமூலச்]] சார்பு அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.
 
 ஆட்களம் [[மெய்யெண்]] கணமாக இருந்தால் வீச்சில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் இரண்டு முன்னுருக்கள் ஆட்களத்தில் இருக்கும்.( எடுத்துக்காட்டாக, 5 மற்றும் -5 இரண்டின் வர்க்கமும் 25 தான்.) எனவே நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது.
 
 ஆட்களம் எதிரெணில்லா மெய்யெண்களின் கணமாக இருந்தால் வர்க்கச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக வர்க்கமூலச் சார்பு அமையும்.
 
 ===நேர்மாறுச் சார்புகளும் சார்புகளின் தொகுப்பும்===
 ƒ ஒரு நேர்மாற்றத் தக்க சார்பு மற்றும் அதன் ஆட்களம் ''X'', வீச்சு  ''Y'' எனில்:
 :&lt;math&gt; f^{-1}\left( \, f(x) \, \right) = x, \forall x \in X\text{.} &lt;/math&gt;
 
 [[சார்புகளின் தொகுப்பு]]ச் செயலியைப் பயன்படுத்தி இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
 :&lt;math&gt; f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X\text{,} &lt;/math&gt;
 
 இதில் id&lt;sub&gt;''X''&lt;/sub&gt; என்பது ''X'' கணத்தின் மீதான [[முற்றொருமைச் சார்பு]].
 
 === குறியீடு பற்றி ஒரு குறிப்பு ===
 ƒ&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(''x''), ƒ(''x'')&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; இரண்டும் ஒன்றல்ல.  ƒ&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(''x'') -லுள்ள  &quot;&amp;minus;1&quot; அடுக்கைக் குறிக்காது. நேர்மாறுச் சார்பைப் போலவே [[தொடரும் சார்பு]]களும் (iterated function) குறிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ƒ&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; என்பது சார்பு ƒ -ஐ இருமுறைத் தொடர்ந்து செயல்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,
 
 {{nowrap|1= ƒ(''x'') = ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − 1}} எனில்:
 
 {{nowrap|1= ƒ&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;(''x'') =}} {{nowrap|1= ƒ(ƒ(''x'')) =}} {{nowrap|1= ƒ(''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − 1) =}} {{nowrap|1= (''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − 1)&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − 1 =}} {{nowrap|''x''&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; − 2''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}}.
 
 குறியீட்டில் இத்தொடர் செயல்முறையைக் கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்:
 : &lt;math&gt;f^2(x) = f(f(x)) = (f \circ f)(x). &lt;/math&gt;
 
 [[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]], ƒ&lt;sup&gt;(''n'')&lt;/sup&gt; என்பது ƒ சார்பின் ''n'' -ம் [[வகையீடு|வகைக்கெழுவைக்]] குறிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக,
 : &lt;math&gt;f^{(2)}(x) = \frac{d^{2}}{dx^{2}}f(x).&lt;/math&gt;
 
 [[முக்கோணவியல்|முக்கோணவியலில்]] sin&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;''x'' என்பது வழக்கமாக sin&amp;nbsp;''x'' -ன் வர்க்கத்தைக் குறிக்கம்:
 :&lt;math&gt; \sin^2 x = (\sin x)^2. \,\!&lt;/math&gt;
 
 எனினும் sin&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;''x'' என்பது sin&amp;nbsp;''x'' -ன் பெருக்கல் [[தலைகீழி|தலைகீழியைக்]] குறிப்பதில்லை, மாறாகச் சைன் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பைக் குறிக்கிறது. இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக [[நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்]] முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெயர்களுக்கு முன் &quot;arc&quot; என்ற முன்னொட்டைச் சேர்த்து எழுதப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, [[சைன் (முக்கோணவியல்)|சைன் சார்பின்]] நேர்மாறுச் சார்பானது sin&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;&amp;nbsp;''x'' என்பதற்குப் பதில் arcsin எனக் குறிக்கப்படுகிறது. 
 :&lt;math&gt;\sin^{-1} x = \arcsin x. \,\!&lt;/math&gt;
 
 {{nowrap| (sin ''x'')&lt;sup&gt;–1&lt;/sup&gt;}} என்ற சைன் சார்பின் பெருக்கல் தலைகீழி  [[தலைகீழ் சார்புகள் (முக்கோணவியல்)|csc&amp;nbsp;''x'']]:
 :&lt;math&gt; \csc x = (\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x}. \,\!&lt;/math&gt;
 
 ==பண்புகள்==
 ===தனித்தன்மை===
 ஒரு சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதற்கு ஒரேயொரு நேர்மாறுச் சார்பு மட்டுமே இருக்கும். அதாவது ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு தனித்தன்மையுடையது. மேலும் அச்சார்பின் நேர்மாறுத் தொடர்பே அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக அமையும்.
 
 ===சமச்சீர்===
 ஒரு சார்பும் அதன் நேர்மாறு சார்புக்கும் இடையே ஒரு சமச்சீர்த்தன்மை உள்ளது.
 
 ஆட்களம் ''X'' மற்றும் வீச்சு ''Y'' கொண்ட சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; -ன் ஆட்களம் ''Y'' கணமாகவும் வீச்சு ''X'' கணமாகவும் இருக்கும். மேலும்  ƒ&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; -ன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ ஆக இருக்கும்.
 
 ƒ சார்பின் ஆட்களம் ''X'' மற்றும் வீச்சு ''Y''.  ''g'' சார்பின் ஆட்களம் ''Y'' மற்றும் வீச்சு ''X''  எனில்:
 :&lt;math&gt;g \circ f = \mathrm{id}_X&lt;/math&gt; எனில்
 
 :&lt;math&gt;f \circ g = \mathrm{id}_Y &lt;/math&gt; ஆகும்.
 
 ஒரு சார்பு மற்றும் அதன் நேர்மாறு இரண்டுக்குமுள்ள சமச்சீர்ப் பண்பினைப் பின்வருமாறு தரலாம்:
 
 :&lt;math&gt;\left(f^{-1}\right)^{-1} = f . \,\!&lt;/math&gt;
 
 [[Image:Composition of Inverses.png|thumb|right|240px|{{nowrap| ''g'' &lt;small&gt;o&lt;/small&gt; ƒ }} -ன் நேர்மாறு {{nowrap| ƒ&lt;sup&gt;–1&lt;/sup&gt; &lt;small&gt;o&lt;/small&gt; ''g''&lt;sup&gt;–1&lt;/sup&gt;}}.]]
 இரு சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு:
 :&lt;math&gt;(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}&lt;/math&gt;
 
 இதில் ''g'' மற்றும் ''f'' -ன் வரிசை மாறுகிறது. ''f'' -ஐ தொடர்ந்த ''g'' -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்குவதற்கு, முதலில் ''g'' -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்கிப் பின் ''f'' -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்க வேண்டும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :{{nowrap|1= ''f''(''x'') = 3''x''}} 
 :{{nowrap|1= ''g''(''x'') = ''x'' + 5}}.
 
 சேர்ப்பு சார்பு {{nowrap| ''g'' &lt;small&gt;o&lt;/small&gt; ''f''}} என்பது முதலில் மூன்றால் பெருக்கிப் பின் ஐந்தைக் கூட்டும் விளைவை ஏற்படுத்தும் சார்பு.:
 :&lt;math&gt;(g \circ f)(x) = 3x + 5&lt;/math&gt;
 இவ்விளைவை இல்லாமல் செய்வதற்கு முதலில் ஐந்தைக் கழித்துப் பின் மூன்றால் வகுக்க வேண்டும்:
 :&lt;math&gt;(g \circ f)^{-1}(y) = \tfrac13(y - 5)&lt;/math&gt;
 
 இது {{nowrap| (''f''&lt;sup&gt;–1&lt;/sup&gt; &lt;small&gt;o&lt;/small&gt; g&lt;sup&gt;–1&lt;/sup&gt;) (''y'')}} என்ற சேர்ப்புச் சார்புக்குச் சமமாக உள்ளது.
 
 ===தன் நேர்மாறு===
 ''X'' என்ற கணத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு தனக்குத்தானே நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்:
 :&lt;math&gt;\mathrm{id}_X^{-1} = \mathrm{id}_X&lt;/math&gt;
 
 பொதுவாகச் சார்பு {{nowrap| ƒ: ''X'' → ''X''}} -க்கு, 
 :{{nowrap|1= ƒ &lt;small&gt;o&lt;/small&gt; ƒ =}} id&lt;sub&gt;''X''&lt;/sub&gt; என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ƒ தனக்குத்தானே நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.
 
 ==நுண்கணிதத்தில் நேர்மாறுச் சார்புகள்==
 ஒரு-மாறி [[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] மெய்யெண் கணத்திலிருந்து மெய்யெண் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட சார்புகள்தான் முக்கியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. அச்சார்புகள் பெரும்பாலும் கீழ்க்காண்பது போன்ற வாய்ப்பாடுகளால் தரப்படுகின்றன:
 
 :&lt;math&gt;f(x) = (2x + 8)^3 . \,\!&lt;/math&gt;
 
 சில முக்கிய சார்புகளும் அவற்றின் நேர்மாறுச் சார்புகளும் கொண்ட அட்டவணை:
 :{| class=&quot;wikitable&quot; align=&quot;center&quot;
 |-
 !align=&quot;center&quot;| சார்பு ƒ(''x'')
 !align=&quot;center&quot;| நேர்மாறுச் சார்பு ƒ&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(''y'')
 !align=&quot;center&quot;| குறிப்புகள்
 |-
 |align=&quot;center&quot;| ''x'' + ''a''
 |align=&quot;center&quot;| ''y'' – ''a''
 |
 |-
 |align=&quot;center&quot;| ''a'' – ''x''
 |align=&quot;center&quot;| ''a'' – ''y''
 |
 |-
 |align=&quot;center&quot;| ''mx''
 |align=&quot;center&quot;| ''y'' / ''m''
 | ''m'' ≠&amp;nbsp;0
 |-
 |align=&quot;center&quot;| ''1 / x''
 |align=&quot;center&quot;| ''1 / y''
 | ''x'', ''y'' ≠ 0
 |-
 |align=&quot;center&quot;| ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
 |align=&quot;center&quot;| &lt;math&gt;\sqrt{y}&lt;/math&gt;
 | ''x'', ''y'' ≥ 0 மட்டும்
 |-
 |align=&quot;center&quot;| ''x''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;
 |align=&quot;center&quot;| &lt;math&gt;\sqrt[3]{y}&lt;/math&gt;
 | ''x'' மற்றும் ''y'' மீது கட்டுப்பாடு இல்லை
 |-
 |align=&quot;center&quot;| ''x''&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;
 |align=&quot;center&quot;| ''y''&lt;sup&gt;1/''p''&lt;/sup&gt; (i.e. &lt;math&gt;\sqrt[p]{y}&lt;/math&gt;)
 | பொதுவாக ''x'', ''y'' ≥&amp;nbsp;0 , ''p'' ≠ 0
 |-
 |align=&quot;center&quot;| ''e''&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt;
 |align=&quot;center&quot;| ln ''y''
 | ''y''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0
 |-
 |align=&quot;center&quot;| ''a''&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt;
 |align=&quot;center&quot;| log&lt;sub&gt;''a''&lt;/sub&gt; ''y''
 | ''y''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0 and ''a''&amp;nbsp;&amp;gt;&amp;nbsp;0
 |-
 |align=&quot;center&quot;| [[முக்கோணவியல் சார்புகள்]]
 |align=&quot;center&quot;| [[நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்]]
 | கட்டுப்பாடுகள்,கீழே தரப்பட்டுள்ள அட்டவணைப்படி*
 |}
 *
 :{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center&quot;
 |-
 !சார்பு
 !வழக்கமான முதன்மை மதிப்பின் வீச்சு
 |-
 | sin&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; || –&lt;sup&gt;π&lt;/sup&gt;⁄&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ≤ sin&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(''x'') ≤ &lt;sup&gt;π&lt;/sup&gt;⁄&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
 |-
 | cos&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; || 0 ≤ cos&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(''x'') ≤ π
 |-
 | tan&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; || –&lt;sup&gt;π&lt;/sup&gt;⁄&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; &amp;lt; tan&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(''x'') &amp;lt; &lt;sup&gt;π&lt;/sup&gt;⁄&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
 |-
 | cot&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; || 0 &amp;lt; cot&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(''x'') &amp;lt; π
 |-
 | sec&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; || 0 ≤ sec&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(''x'') ≤ π
 |-
 | csc&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; || −&lt;sup&gt;π&lt;/sup&gt;⁄&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ≤ csc&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;(''x'') ≤ &lt;sup&gt;π&lt;/sup&gt;⁄&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;
 |-
 |}
 
 ===நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு===
 ''y'' = ƒ(''x'') என்ற சார்பின் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து ''x'' -ன் மதிப்பைக் கண்டுபிடித்தால் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; -ன் வாய்ப்பாடு கிடைக்கும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 :&lt;math&gt;f(x) = (2x + 8)^3 \,\!&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
       y         &amp; = (2x+8)^3 \\
   \sqrt[3]{y}   &amp; = 2x + 8   \\
 \sqrt[3]{y} - 8 &amp; = 2x       \\
 \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} &amp; = x .
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 நேர்மாறுச் சார்பு  ƒ&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; -ன் வாய்ப்பாடு:
 :&lt;math&gt;f^{-1}(y) = \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} . \,\!&lt;/math&gt;
 
 சிலசமயங்களில் நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு முடிவுறு எண்ணிக்கை கொண்ட வாய்ப்பாடாக அமையாமலும் இருக்கலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt;f(x) = x - \sin x , \,\!&lt;/math&gt;
 
 இச்சார்பு ƒ, ஒன்றுக்கு-ஒன்றுச் சார்பாக இருப்பதால் இதற்கு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு. அந்நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:
 
 :&lt;math&gt; f^{-1}(y) =
 \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}
  {\frac{y^{\frac{n}{3}}}{n!}} \lim_{ \theta \to 0} \left(
  \frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d} \theta^{\,n-1}} \left(
  \frac{ \theta }{ \sqrt[3]{ \theta - \sin( \theta )} } ^n \right)
 \right)
 &lt;/math&gt;
 
 ===நேர்மாறுச் சார்பின் வரைபடம்===
 [[Image:Inverse Function Graph.png|thumb|right|{{nowrap|1= ''y'' = ƒ(''x'') }} and {{nowrap|1= ''y'' = ƒ&lt;sup&gt;–1&lt;/sup&gt;(''x'')}} சார்புகளின் [[சார்பின் வரைபடம்|வரைபடம்]]. இடையிட்டக் கோடு: {{nowrap|1= ''y'' = ''x''}}.]]
 :&lt;math&gt; y = f(x) &lt;/math&gt; எனும் ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; -ன் [[சார்பின் வரைபடம்|வரைபடம்]] &lt;math&gt;x = f(y) &lt;/math&gt; எனும் [[சமன்பாடு|சமன்பாட்டின்]] வரைபடமாக இருக்கும்.
 
 இச்சமன்பாடு மற்றும் ƒ சார்பின் சமன்பாடு {{nowrap|1= ''y'' = ƒ(''x'') }} என்பதில் ''x'' மற்றும் ''y'' இரண்டையும் பரிமாற்றம் செய்வதால் கிடைக்கக்கூடியது என்பதால் ƒ சார்பின் வரைபடத்தில் ''x'' மற்றும் ''y'', அச்சுகளை பரிமாற்றம் செய்தால் ƒ&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; -ன் வரைபடம் கிடைக்கும். இவ்வாறு அச்சுகளைப் பரிமாற்றுதல் {{nowrap|1= ''y'' = ''x''}} [[கோடு|கோட்டில்]] [[பிரதிபலிப்பு|பிரதிபலிப்பதற்குச்]] சமம்.
 
 ===நேர்மாறுச் சார்புகளும் வகையீடுகளும்===
 ஒருதொடர்ச்சியான சார்பு ƒ திட்டமாக ஏறும் அல்லது இறங்கும் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இருக்கும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 :&lt;math&gt;f(x) = x^3 + x\,\!&lt;/math&gt; இச்சார்பின் [[வகையீடு|வகைக்கெழு]]:
 
 :&lt;math&gt;f \prime (x) = 3x^2 + 1\,\!&lt;/math&gt; இவ்வாகைக்கெழுவின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மதிப்பாகத்தான் இருக்கும் என்பதால் சார்பு ƒ  நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும்.
 
 சார்பு ƒ வகையிடத்தக்கது எனில், {{nowrap| ƒ&amp;prime;(''x'') &amp;ne; 0}} என இருக்கும்வரை அதன் நேர்மாறு வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும். நேர்மாறுச் சார்பின் வகைக்கெழு:
 
 :&lt;math&gt;\left(f^{-1}\right)^\prime (y)  = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)} . &lt;/math&gt;
 
 {{nowrap|1= ''x'' = ƒ&lt;sup&gt;–1&lt;/sup&gt;(''y'')}} எனக் கொண்டால் மேற்காணும் வாய்ப்பாட்டைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
 
 :&lt;math&gt;\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy / dx} . &lt;/math&gt;
 
 == நடைமுறை வாழ்க்கையில் காணப்படும் எடுத்துக்காட்டுகள்==
 
 * ƒ என்பது வெப்ப அளவையின் அலகை செலியசிலிருந்து பாரன்ஹீட்டுக்கு மாற்றும் சார்பு எனில்:
 
 :&lt;math&gt; f(C) = \tfrac95 C + 32 ; \,\!&lt;/math&gt;
 
 இதன் நேர்மாறுச் சார்பு வெப்ப அளவையின் அலகை பாரன்ஹீட்டிலிருந்து செலியசுக்கு மாற்றுகிறது:
 
 :&lt;math&gt; f^{-1}(F) = \tfrac59 (F - 32) , \,\!&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; f^{-1}\left( \, f(C) \, \right) = f^{-1}\left( \, \tfrac95 C + 32 \, \right) = \tfrac59 \left( \left( \, \tfrac95 C + 32 \, \right) - 32 \right) =  C\text{, for every }C\text{.} &lt;/math&gt;
 
 *ƒ என்பது ஒரு குடும்பத்திலுள்ள ஒவ்வொரு குழந்தைக்கும் அதன் பிறந்த ஆண்டினைத் தொடர்புபடுத்தும் ஒரு சார்பு எனில் அச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட ஆண்டில் எந்தக் குழந்தை பிறந்தது என்ற தொடர்பைத் தரும் சார்பு.
 
 ஆனால் அக்குடும்பத்தில் இரட்டைக் குழந்தகள் பிறந்திருந்தால் ƒ சார்பு இரு குழந்தைகளை ஒரே ஆண்டுடன் தொடர்பு படுத்தும். அப்போது இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இராது. அதனால் அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பு அமையாது.
 
 அதேபோல அக்குடும்பத்தில் குழந்தைகள் பிறக்காத ஆண்டுகளை எடுத்துக் கொண்டாலும் அதனை ஒரு குழந்தையுடன் தொடர்பு படுத்தும் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்காது என்பதால் இந்நிலையிலும் ƒ -க்கு நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது.
 
 எனவே ஒவ்வொரு குழந்தையும் வெவ்வேறு ஆண்டுகளில் பிறந்திருந்து அந்த ஆண்டுகளை மட்டும் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 *&lt;math&gt; f(\text{mathivathani}) = 2005,&lt;/math&gt;  &lt;math&gt; f^{-1}(2005) = \text{mathivathani} &lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt; f(\text{poonkuzali}) = 2007,&lt;/math&gt;    &lt;math&gt; f^{-1}(2007) = \text{poonkuzali} &lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt; f(\text{yaazhini}) = 2009,&lt;/math&gt;      &lt;math&gt; f^{-1}(2009) = \text{yaazhini} &lt;/math&gt;
 
 ==பொதுமைப்படுத்தல்==
 ===பகுதி நேர்மாறுச் சார்புகள்===
 [[Image:Inverse Square Graph.png|thumb|right|{{nowrap|1= ƒ(''x'') = ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}} -ன் பகுதி நேர்மாறுச் சார்பு ''x'' -ன் வர்க்கமூலம் காணும் சார்பு.]]
 சார்பு ƒ ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இல்லாமல் இருந்தால் கூட அதன் ஆட்களத்தைக் கட்டுப்படுத்துவதன் மூலம் அதற்கு ஒரு ''பகுதி நேர்மாறுச் சார்பை'' வரையறுக்க முடியும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt;f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;f(x) = x^2\,\!&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\pm x\in\mathbb{R},&lt;/math&gt; இரண்டின் வர்க்கமும் ஒரே எண் என்பதால் இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பு அல்ல. ஆனால் இச்சார்பின் ஆட்களத்தை {{nowrap| ''x'' &amp;ge; 0}} எனக் கட்டுப்படுத்தினால் (:&lt;math&gt;f\colon \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt; என வரையறுத்தால்) ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாகிவிடும். அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பும் இருக்கும்.
 
 :&lt;math&gt;f^{-1}(y) = \sqrt{y} . &lt;/math&gt;
 
 ===இடது மற்றும் வலது நேர்மாறுச் சார்புகள்===
 * ƒ: ''X'' → ''Y'' சார்பின் ''இடது நேர்மாறுச் சார்பு'' {{nowrap| ''g'' : ''Y'' → ''X''}} என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்:
 
 :&lt;math&gt;g \circ f = \mathrm{id}_X . \,\!&lt;/math&gt;
 
 அதாவது சார்பு  ''g'' கீழ்க்காணும் விதியை நிறைவு செய்யும்.
 
 :&lt;math&gt;f(x) = y &lt;/math&gt; எனில்
 :&lt;math&gt;g(y) = g(f(x)) = x. &lt;/math&gt;
 
 ƒ சார்பின் வீச்சின் மீது நேர்மாறுச் சார்பு f&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; ஆகவும்  [[வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு|வீச்சிலில்லாத]] ''Y'' [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தின்]] உறுப்புகளுக்கு வேறு விதமாகவும் சார்பு ''g''  அமைகிறது. சார்பு ƒ ஒரு [[உள்ளிடு சார்பு|உள்ளிடு சார்பாக]] இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு இடது நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.
 
 *ƒ: ''X'' → ''Y'' சார்பின் ''வலது நேர்மாறுச் சார்பு'' {{nowrap| ''h'' : ''Y'' → ''X''}} என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்:
 
 :&lt;math&gt;f \circ h = \mathrm{id}_Y . \,\!&lt;/math&gt;
 
 அதாவது சார்பு  ''g'' கீழ்க்காணும் விதியை நிறைவு செய்யும்.
 
 :&lt;math&gt;h(y) = x &lt;/math&gt; எனில்
 :&lt;math&gt;f(x) = f(h(y)) = x. &lt;/math&gt;
 
 சார்பு ƒ ஒரு [[முழுச் சார்பு|முழுச் சார்பாக]] இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு வலது நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.
 
 ஒரு சார்பின் வலது நேர்மாறுச் சார்பு இடது நேர்மாறாகவும் வலது நேர்மாறு இடது நேர்மாறாகவும் இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt;f \colon \mathbb{R} \rightarrow [0,\infty)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;f(x) = x^2, &lt;/math&gt;  &lt;math&gt;\forall x\in\mathbb{R},&lt;/math&gt; மற்றும் 
 :&lt;math&gt;g \colon [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R} &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;g(x) = \sqrt{x}, &lt;/math&gt;   x≥0 எனில்:
 
 :&lt;math&gt;f(g(x)) = x,&lt;/math&gt;  &lt;math&gt;\forall x\in [0,\infty),&lt;/math&gt;
 
 அதாவது  ƒ -ன் வலது நேர்மாறுச் சார்பு  ''g'' . ஆனால் அது  ƒ -ன் இடது நேர்மாறுச் சார்பு அல்ல. ஏனெனில் :&lt;math&gt;g(f(-1)) = 1 \not = -1. &lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 * {{Citation
  | last = Spivak
  | first = Michael
  | date = 1994
  | title = Calculus
  | publisher = Publish or Perish
  | edition = 3rd
  | isbn = 0-914098-89-6
 }}
 * {{Citation
  | last = Stewart
  | first = James
  | date = 2002
  | title = Calculus
  | publisher = Brooks Cole
  | edition = 5th
  | isbn = 978-0-534-39339-7
 }}
 
 [[பகுப்பு:சார்பிய வகைகள்]]