2 இன் வர்க்கமூலம்
{{infobox non-integer number
 |image              = Isosceles right triangle with legs length 1.svg
 |image_caption      = The square root of 2 is equal to the length of the [[hypotenuse]] of an [[Isosceles triangle|isosceles]] [[right triangle]] with legs of length 1.
 |decimal            = {{gaps|1.41421|35623|73095|0488...}}
 |continued_fraction = &lt;math&gt;1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}&lt;/math&gt;
 }}
 
 '''{{infobox non-integer number
 |image              = Isosceles right triangle with legs length 1.svg
 |image_caption      = The square root of 2 is equal to the length of the [[hypotenuse]] of an [[Isosceles triangle|isosceles]] [[right triangle]] with legs of length 1.
 |decimal            = {{gaps|1.41421|35623|73095|0488...}}
 |continued_fraction = &lt;math&gt;1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}&lt;/math&gt;
 }}
 
 '''2 இன் வர்க்கமூலம்''' (''square root of 2'').  
 &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; இன் தோராய மதிப்பு 1.4142 ஆகும். இது ஒரு நேர்மறை [[மெய்யெண்]] எண்ணாகும்.   இந்த எண்ணாணது தன்னால் பெருக்கப்படும்போது, ​​எண் 2க்கு சமம் ஆகும். அதாவது &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;x &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; = 2. இதை கணிதத்தில்  &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; or &lt;math&gt;2^{1/2}&lt;/math&gt; என  எழுதலாம். எனவே [[இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும்எண்களும் |விஞ்சிய எண்]] அல்ல. தொழில்நுட்பரீதியாக, இதே பண்புடன் எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து வேறுபடுத்த, 2 இன் முதன்மை [[வர்க்கமூலம்]] என்று அழைக்கப்படுகிறது.
 
 வர்க்கமூலத்தை வடிவியல் ரீதியாக அணுகும்போது, &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;என்பது ஒரு சதுரத்தின் குறுக்கே உள்ள மூலைவிட்டத்தின் நீளமாகவும்  [[அலகுச் சதுரம்|ஒரு அலகு நீளத்தினை]]  பக்கங்களைக்  கொண்டதாக எடுத்துக் கொள்ளவேண்டும. பித்தேகோரசு தேற்றம் என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கமனது மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்கு சமம். இது [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தேகோரசு தேற்றத்தின்]] படி ஒரு சதுரத்தில் இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன.சதுரத்தின் மூலைவட்டமானது சதுரத்தின் இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலமாகும்.  இது [[விகிதமுறா எண்]]ணாகும்.&lt;ref&gt;{{citation
 &lt;nowiki&gt;| last = Fowler |&lt;/nowiki&gt; first = David H.
 &lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt; issue = 10
 &lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt; journal = Neusis
 &lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt; mr = 1891736
 &lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt; pages = 45–61
 &lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt; title = The story of the discovery of incommensurability, revisited
 {{OEIS link|A002193}} On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
 :{{gaps|1.41421|35623|73095|04880|16887|24209|69807|85696|71875|37694|80731|76679|73799|}} இங்கே 65 தசம இடங்களாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன::&lt;nowiki&gt;&lt;ref&gt;&lt;/nowiki&gt;{{Cite web|title=A002193 - OEIS|url=https://oeis.org/A002193|access-date=2020-08-10|website=oeis.org}}&lt;/ref&gt;
 
 
 
 
 ==வரலாறு==
 [[File:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|200px|[[பாபிலோனியா|பாபிலோனியாவின்]] களிமண் சிற்பம் [[YBC 7289]] (&lt;abbr&gt;&lt;small&gt;அண்.&lt;/small&gt;&lt;/abbr&gt; 1800–1600 கி.மு.) தோராயமான மதிப்பை தருகிறது  நான்கு [[பாலுணர்வு|அடிப்படை 60]] படத்தில், 1 24 51 10,இதில் ஆறு இலக்க தசம எண்களில் மிகச்சரியான மதிப்பை தருகறது  மற்றும் இது மிகவும் நெருக்கமான மூன்று-இட திருத்த ன் மதிப்பை தருகிறது ]]
 [[பாபிலோனியா]]வின் களிமண் சிற்பம் [[YBC 7289]] ({{Circa|1800}}–1600 கி.மு.) தோராயமான மதிப்பை தருகிறது &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; நான்கு  [[பாலுணர்வு|அடிப்படை 60]]  படத்தில், {{nowrap|1 24 51 10}},இதில் ஆறு இலக்க தசம எண்களில் மிகச்சரியான மதிப்பை தருகறது &lt;ref&gt;Fowler and Robson, p. 368.&lt;br /&gt;[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |date=2012-08-13 }}&lt;br /&gt;[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection]&lt;/ref&gt; மற்றும் இது மிகவும் நெருக்கமான மூன்று-இட திருத்த  &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;ன் மதிப்பை தருகிறது.
 :&lt;math&gt;1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = \frac{305470}{216000} = 1.41421\overline{296}.&lt;/math&gt;
 
 [[இந்திய வரலாறு|பண்டைய இந்திய]] கணித நூல்களான சல்பசூத்திரங்களில் &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;ன் மற்றொரு  தோராயமான மதிப்பு (அண். 800-200 கி.மு.) பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு  பக்கத்தின் நீளத்துடன் மூன்றில் ஒரு பங்கையும்,மேலும் 3X4 ல் ஒரு பங்கையும் சேர்த்து  அதிலிருந்து 3X4X34 ல் ஒரு பங்கை குறைக்க &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; மதிப்பு கிடைக்கிறது.&lt;ref&gt;Henderson.&lt;/ref&gt; அதாவது&lt;math&gt;1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{3 \times4 \times 34} = \frac{577}{408} = 1.41421\overline{56862745098039}.&lt;/math&gt;
 
 இது பெல் எண்களின் வரிசையின் அடிப்படையாக அதிகரித்து வரும் துல்லியமான தோராயங்களின் வரிசையில் ஏழாவது முறையாகும். &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;  ன் மதிப்பானது தொடர்ச்சியான பின்னம் விரிவாக்கத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது. சிறிய  பகுதி எண்ணைக் கொண்டிருந்தாலும், பாபிலோனிய தோராயத்தைக் காட்டிலும் இது மிக துல்லியமானதாகும்.
 
 ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டமானது அதன் பக்கங்களுடன் அளவுக்கிணங்காத அளவாகும், அல்லது நவீன மொழியில் இரண்டின் வர்க்கமூலம் [[விகிதமுறா எண்]] என்று [[பித்தாகரசு]] கண்டுபிடித்தார். இந்த கண்டுபிடிப்பின்  சூழ்நிலைகள் பற்றி மிகக் குறைவாகவே அறியப்படுகிறது. ஆனால் மெட்டாபொன்டமை சேர்ந்த ஹிப்பாசஸின் பெயர் அடிக்கடி குறிப்பிடப்படுகிறது. இரண்டின் வர்க்கமூலம் [[விகிதமுறா எண்]] என்பதைக் கண்டுபிடித்ததை [[பித்தாகரசு]]  ஒரு அதிகாரப்பூர்வ ரகசியமாகக் கருதி வந்தார். ஹிப்பாசஸ் என்பார் கணித  துறையில் பெரும் புகழ் வாய்ந்தவர் ஆவார், ஹிப்பாசஸ்  [[பித்தாகரசு|பித்தாகரசின் ரகசிய]]&lt;nowiki/&gt;த்தை வெளிப்படுத்தியதற்காக கொலை செய்யப்பட்டார். இரண்டின் வர்க்கமூலமானது எப்போதாவது [[பித்தாகரசு|பித்தகோரஸின்]] எண் அல்லது [[பித்தாகரசு|பித்தகோரஸின்]] மாறிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக {{harvtxt|Conway|Guy|1996}}.&lt;ref name=&quot;:1&quot;&gt;{{citation|last1=Conway|first1=John H.|author1-link=John H. Conway|last2=Guy|first2=Richard K.|author2-link=Richard K. Guy|page=25|publisher=Copernicus|title=The Book of Numbers|year=1996}}&lt;/ref&gt;.
 
 ==== பண்டைய ரோமானிய கட்டிடக்கலை ====
 பண்டைய ரோமானிய கட்டிடக்கலையில், [[மார்க்கஸ் விட்ருவியஸ் பொல்லியோ|விட்ருவியஸ்]]  பொறியாளர் 2 ன் வர்க்கமூலத்தை பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறார் மேலும் ''Ad Quadratum என்ற இடைக்கால'' கட்டிடக்கலை நுட்பத்தில் வர்க்க மூலத்தைப் பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறது. இது அடிப்படையில் ஒரலகு சதுரத்தின் பக்க அளவின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலமாகும் என்ற  வடிவியல் முறையைக் கொண்டுள்ளது.  [[மார்க்கஸ் விட்ருவியஸ் பொல்லியோ|விட்ருவியஸ்]] &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;  ன் பண்புகளை [[பிளேட்டோ|பிளாட்டோவுக்குக்]] ஒரு யோசனையாக கூறுகிறார். ஒரு சதுரத்தின் மூலைகளுக்கு 45 டிகிரியில் ஒரு [[தொடுகோடு|தொடுகோட்டை]] உருவாக்குவதன் மூலம் நடைபாதைகளை உருவாக்க இந்த அமைப்பு பயன்படுத்தப்பட்டது. ஒரு சதுரத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மூலைவிட்டத்திற்குச் சமமான நீளத்தைக் கொடுப்பதன் மூலம் வீட்டு முற்றத்தை வடிவமைக்க இந்த விகிதம் பயன்படுத்தப்பட்டது, அதன் பக்கங்கள் மூலைவிட்டங்கள் கொண்ட வீட்டு முற்றதின் அகலத்திற்கு சமமாக இருக்கும்..&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;{{Cite book|title=Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future: Volume I: Antiquity to the 1500s|last1=Williams|first1=Kim|author1-link=Kim Williams (architect)|last2=Ostwald|first2=Michael|publisher=Birkhäuser|year=2015|isbn=9783319001371|pages=204}}&lt;/ref&gt;
 
 
 
 == தசம மதிப்பு ==
 
 === கணக்கீட்டு வழிமுறைகள் ===
 மேலும் தகவல்களுக்கு: வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள்
 
 &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;ன்  தோராயமான மதிப்புகளை அறிந்திட [[படிமுறைத் தீர்வு|படிமுறைத் தீர்வுகள்]] பல உள்ளன முழு எண்களின் விகிதங்கள் அல்லது தசம எண் ஆகும். இதற்கான மிகவும் பொதுவான  [[படிமுறைத் தீர்வு]]&lt;nowiki/&gt;வானது  கணினிகள் மற்றும் [[கணிப்பான்|கணிப்பான்களில்]] அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான பாபிலோனிய முறை ஆகும், இது விதிக்கட்டின்றி சார்புகளின் வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான நியூட்டனின் முறையாகும். எடுத்துக்காட்டாக
 
 முதலில், ஒரு யூகத்தைத் தேர்ந்தெடுங்கள்,&lt;math&gt;a_0 &gt; 0&lt;/math&gt;; ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்தின் தோராயத்தை அடைய எத்தனை மறு செய்கைகள் தேவை என்பதை மட்டுமே யூகத்தின் மதிப்பு பாதிக்கிறது. பின்னர், அந்த யூகத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் சுழல்நிலை கணக்கீட்டின் மூலம் மீண்டும் செய்யவும்:
 
 &lt;math&gt;a_{n+1} = \frac12\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right)=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}. &lt;/math&gt;
 
 ஒவ்வொரு மறு செய்கையும் தோராயத்தை மேம்படுத்துகிறது, சரியான இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை தோராயமாக இரட்டிப்பாக்குகிறது.   &lt;math&gt;a_0=1&lt;/math&gt;  என தொடங்கி, அடுத்தடுத்த மறு செய்கைகள் பலனளிக்கின்றன:
 
 &lt;math&gt;\begin{alignat}{3}
 a_1 &amp;= \tfrac{3}{2} &amp;&amp;= \mathbf{1}.5, \\[3mu]
 a_2 &amp;= \tfrac{17}{12} &amp;&amp;= \mathbf{1.41}6\ldots, \\[3mu]
 a_3 &amp;= \tfrac{577}{408} &amp;&amp;= \mathbf{1.41421}5\ldots, \\[3mu]
 a_4 &amp;= \tfrac{665857}{470832} &amp;&amp;= \mathbf{1.41421356237}46\ldots, \\[3mu]
     &amp;\qquad \vdots
 \end{alignat}&lt;/math&gt;
 
 === விகிதமுறு தோராயங்கள் ===
 :
 ஒரு எளிய விகிதமுறு தோராயமான மதிப்பு {{sfrac|99|70}} (≈ '''1.4142'''857) என்பது சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 70 என்ற பகுதியினை மட்டுமே கொண்டிருந்தாலும், அது சரியான மதிப்பிலிருந்து குறைவாக வேறுபடுகிறது {{sfrac|1|10,000}} (தோராய. {{val|-0.72e-4}}) அடுத்த இரண்டு சிறந்த விகிதமுறு தோராயங்கள் {{sfrac|140|99}} (≈ '''1.414'''1414...) சிறிய பிழையுடன் (தோராயமாக -0.72×10−4), மற்றும் {{sfrac|239|169}} (≈ '''1.4142'''012) தோராயமாக சிறிய பிழையுடன் −0.12×10−4 .  பாபிலோனிய முறையின் நான்கு மறு செய்கைகளிலிருந்து பெறப்பட்ட இரண்டின் வர்க்க மூலத்தின் விகிதமுறு தோராயமானது  {{math|''a''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; {{=}} 1}} ({{sfrac|665,857|470,832}})  சுமார் {{val|1.6e-12}}; இது  மிக பெரியது; அதன் வர்க்க மதிப்பு  ≈&amp;thinsp;{{val|2.0000000000045}}.
 
 === கணக்கீட்டு பதிவுகள் ===
 1997 ஆம் ஆண்டில் , &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; ன் மதிப்பு 137,438,953,444 தசம இடங்களுக்கு யசுமாசா கனடாவின் குழுவால் கணக்கிடப்பட்டது.  2006 ஆம் ஆண்டில் பிப்ரவரி மாத்த்தில் , &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;  ன் கணக்கீட்டிற்கான பதிவு ஒரு வீட்டுக் கணிப்பொறியைப் பயன்படுத்தி கிரகணம் தொடும்  தசம இடங்களுக்கு கணக்கிடப்பட்டது. ஷிகெரு கோண்டோ 2010 ஆம் ஆண்டில் ஒரு டிரில்லியன் தசம இடங்களைக் கணக்கிட்டார்.&lt;ref name=&quot;:3&quot;&gt;{{cite web|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html|title=Constants and Records of Computation|publisher=Numbers.computation.free.fr|date=2010-08-12|access-date=2012-09-07|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20120301190937/http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html|archive-date=2012-03-01}}&lt;/ref&gt; கணக்கீட்டு ரீதியாக சவாலான தசம விரிவாக்கங்களைக் கொண்ட கணித மாறிலிகளில், π, e மற்றும் தங்க விகிதம் மட்டுமே  2022 ஆம் ஆண்டில் மார்ச்சு மாதம் மிகவும் துல்லியமாக கணக்கிடப்பட்டது. இத்தகைய கணக்கீடுகள், அத்தகைய எண்கள் இயல்பானவையா என்பதை அனுபவபூர்வமாகச் சரிபார்க்கும் நோக்கம் கொண்டது.
 
 கீழ்கண்ட அட்டவணையானது &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; ன் மதிப்புளைக் கணக்கிடுவதில் சமீபத்திய பதிவுகளை கொண்டது.&lt;ref name=&quot;y-cruncher&quot;&gt;{{cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|title=Records set by y-cruncher|access-date=2022-04-07|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407052022/http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|archive-date=2022-04-07}}&lt;/ref&gt;
 {| class=&quot;wikitable sortable&quot;
 |-
 ! data-sort-type=&quot;usLongDate&quot; | தேதி !! பெயர் !! data-sort-type=&quot;number&quot; | தசம இடங்களின் எண்ணிக்கை
 |-
 |style=&quot;text-align:right;&quot; | சனவரி 5, 2022 || data-sort-value=&quot;H&quot; | டிஜியன் ஹான்சல்மேன் || style=&quot;text-align:right;&quot; | {{val|10000000001000}}
 |-
 |style=&quot;text-align:right;&quot; | சூன் 28, 2016 || data-sort-value=&quot;W&quot; | ரான் வாட்கின்ஸ் || style=&quot;text-align:right;&quot; | {{val|10000000000000}}
 |-
 |style=&quot;text-align:right;&quot; | ஏப்ரல் 3, 2016 || data-sort-value=&quot;W&quot; | ரான் வாட்கின்ஸ் || style=&quot;text-align:right;&quot; | {{val|5000000000000}}
 |-
 |style=&quot;text-align:right;&quot; | சனவரி 20, 2016 || data-sort-value=&quot;W&quot; | ரான் வாட்கின்ஸ் || style=&quot;text-align:right;&quot; | {{val|2000000000100}}
 |-
 |style=&quot;text-align:right;&quot; | பிப்ரவரி 9, 2012 || data-sort-value=&quot;Y&quot; | அலெக்சாண்டர் யீ || style=&quot;text-align:right;&quot; | {{val|2000000000050}}
 |-
 |style=&quot;text-align:right;&quot; | மார்ச் 22, 2010 || data-sort-value=&quot;K&quot; | ஷிகெரு கொண்டோ || style=&quot;text-align:right;&quot; |
 |}
 
 === விகிதமுறாமைக்கான நிரூபணம் ===
 விகிதமுறாமைக்கான ஒரு சிறிய நிரூபணமானது &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; ஐ [[விகிதமுறா எண்|விகிதமுறா]] மூல தேற்றத்திலிருந்து பெறலாம், அதாவது  &lt;math&gt;p(x)&lt;/math&gt; என்பது முழு எண் [[கெழு]]&lt;nowiki/&gt;க்ளைக் கொண்ட ஒரு ஓருறுப்புக்கோவை ஆகும், பின்னர் எந்த [[விகிதமுறாமூலம்|விகிதமுறா மூலமும்]] &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; என்பது ஒரு முழு எண். பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இதைப் பயன்படுத்துதல் &lt;math&gt;p(x)=x^2-2&lt;/math&gt;, அது பின்வருமாறு &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;  ஒரு முழு எண் அல்லது விகிதமுறா எண் ஆகும். ஏனெனில்&lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;  ஒரு முழு எண் அல்ல (2 என்பது முழு வர்க்கம் அல்ல).&lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; விகிதமுறா எண்ணாக இருக்க வேண்டும். ஒரு  முழு வர்க்கம் இல்லாத எந்த இயல் எண்ணின் எந்த வர்க்க மூலமும் விகிதமுறா எண்ணா என்பதைக் காட்ட இந்த  பொதுமையான நிரூபணமாகும்.
 
 எந்த ஒரு [[முழு எண்]]  அல்லாத [[இயல் எண்|இயல் எண்ணின்]] வர்க்க மூலமும் [[விகிதமுறா எண்]] என்பதற்கான மற்ற நிரூபணங்ளுக்கு, இருபடி [[விகிதமுறா எண்]]&lt;nowiki/&gt;னைக் காண்க.
 
 
 
 === முடிவிலி இறக்க  நிறுவல் ===
 முடிவிலி இறக்க  நிறுவல் மூலம் விகிதமுறாவின்மை எண்களின் ஒரு நிரூபணமாகும். ஒரு நிராகரிப்புக்கான சான்றாகவும் உள்ளது: இது&quot;&lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; விகிதமுறு எண்  அல்ல&quot; என்ற கூற்றை விகிதமுறு என்று கருதி பின்னர் ஒரு தவறு என பெறுவதன் மூலம் நிரூபிக்கிறது.
 
 1.&lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;  என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்று எடுத்துக் கொள்வோம், அதாவது ஒரு ஜோடி முழு எண்கள் உள்ளன, &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; ன் விகிதம் சரியாக இருக்கும்.
 
 2. இரண்டு முழு எண்களுக்கும் பொதுவான காரணி இருந்தால், அதை யூக்ளிடியன் [[படிமுறைத் தீர்வு]] பயன்படுத்தி நீக்கலாம்.  
 
 3. பிறகு &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; குறைக்க முடியாத &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt;  பின்னமாக எழுதலாம் a மற்றும் b ஆகியவை பகு எண் (பொதுவான காரணி இல்லாதது) அதாவது a அல்லது b இல் குறைந்தபட்சம் ஏதாவது ஒன்று ஒற்றைப்படையாக இருக்க வேண்டும்.
 
 4. அதைத் தொடர்ந்து &lt;math&gt;\frac{a^2}{b^2}=2&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;a^2=2b^2&lt;/math&gt; {{math|[[Exponent#Identities and properties|({{sfrac|''a''|''b''}}){{sup|''n''}} {{=}} {{sfrac|''a''{{sup|''n''}}|''b''{{sup|''n''}}}}]]}}  ( {{math|''a''{{sup|2}} மற்றும் ''b''{{sup|2}}}} முழுக்களாகும்)
 
 5. ''a''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; என்பது இரட்டை அதனால் 2''b''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; க்கு சம்ம் ஆகும் .ஏனென்றால்   2''b''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; (2''b''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;  மற்றொரு முழு எண்ணாக இருந்தாலும் கூட அவசியம்  2 ன் மடங்கு ஆகும் .)
 
 6. அதைத் தொடர்ந்து {{math|''a''}} இரட்டையாக இருக்க வேண்டும் (ஒற்றைமுழுக்களின் வர்க்கங்கள் எப்போதும் இரட்டையாக இருக்கும்.)
 
 7. {{math|''a''}} என்பது இரட்டையாக இருப்பதால்,  ஆதையால் முழு எண் {{math|''k''}} என்பது  &lt;math&gt;a = 2k&lt;/math&gt; பூர்த்தி செய்யும் உள்ளது.
 
 8. படி 7 இலிருந்து  {{math|2''k''}} க்கு பதிலாக {{math|''a''}}  என  இரண்டாவது சமன்பாட்டில்  படி 4 ல்:  &lt;math&gt;2b^2 = a^2 = (2k)^2 = 4k^2&lt;/math&gt; உள்ளது. அது  &lt;math&gt;b^2=2k^2&lt;/math&gt; க்கு சம்மாகும்.
 
 9. {{math|2''k''{{sup|2}}}}  இரண்டால் வகுபடுவதால் இரட்டை ஆகும். ஆனால் &lt;math&gt;2k^2=b^2&lt;/math&gt; இதன் படி {{math|''b''{{sup|2}}}} ம் இரட்டை,அதாவது {{math|''b''}} என்பது இரட்டை ஆகும். 
 
 10. படிகள் 5 மற்றும் 8 மூலம், {{math|''a''}} மற்றும் {{math|''b''}} இரண்டும் சமமாக இருக்கும், இது படி 3 க்கு முரணானது (அதாவது &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; விகிதமுறா எண்ணாகும்) 
 
 நாம் ஒரு முரண்பாடைப் பெற்றிருப்பதால், அனுமானம் (1) அது &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்பது தவறாக இருக்க வேண்டும். இதற்கு அர்த்தம் அதுதான் &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;  ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல; அதாவது,&lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; விகிதமுறா எண்ணாகும் .  
 
 இந்த நிரூபணம் [[அரிசுட்டாட்டில்]], அவரது  முந்தைய பகுப்பாராய்ச்சி முறை வடிவியல் §I.23 இல் சுட்டிக்காட்டப்பட்டது..&lt;ref name=&quot;:4&quot;&gt;All that Aristotle says, while writing about [[Proof by contradiction|proofs by contradiction]], is that &quot;the diagonal of the square is incommensurate with the side, because odd numbers are equal to evens if it is supposed to be commensurate&quot;.&lt;/ref&gt;  இது [[யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்ஸ்]], புத்தக X இன் 117வது முன்மொழிவாக, முழு நிரூபணமும் முதலில் தோன்றியது. இருப்பினும், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் இருந்து, வரலாற்றாசிரியர்கள் இந்த நிரூபணம் யூக்ளிட்டுக்கு ஒரு இடைச்செருகல் மற்றும் காரணம் கற்பித்தல் என்று ஒப்புக்கொண்டனர்.&lt;ref name=&quot;:5&quot;&gt;The edition of the Greek text of the ''Elements'' published by E. F. August in [[Berlin]] in 1826–1829 already relegates this proof to an Appendix. The same thing occurs with [[Johan Ludvig Heiberg (historian)|J. L. Heiberg's]] edition (1883–1888).&lt;/ref&gt;
 
 ===தனித்துவமான காரணிபடுத்தல் மூலம் நிரூபணம்===
 முடிவிலி இறக்க நிறுவதைப் போலவே, நாங்கள் பெறுகிறோம்
 &lt;math&gt;a^2 = 2b^2&lt;/math&gt;. இருபுறமும் சமமாக  இருப்பதால், ஒவ்வொரு பக்கமும் [[எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம்|எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின்]] மூலம் ஒரே பகாகாரணிப்படுத்துதல் கொண்டுள்ளது. மேலும் குறிப்பாக, காரணிகள் ஒரே எண்ணிக்கையில் ஏற்பட வேண்டும். இருப்பினும், வலதுபுறத்தில் காரணிகள் 2×b×b என ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் தோன்றும், ஆனால் இடதுபுறத்தில் காரணிகள் a×a என இரட்டை எண்ணிக்கையில் தோன்றும் - இதுவே ஒரு முரண்பாடு ஆகும்.
 
 ==இவற்றையும் பார்க்க==
 *[[List of mathematical constants]]
 *[[Square root of 3]], {{math|{{sqrt|3}}}}
 * [[Square root of 5]], {{math|{{sqrt|5}}}}
 *[[Gelfond–Schneider constant]], {{math|2&lt;sup&gt;{{sqrt|2}}&lt;/sup&gt;}}
 * [[Silver ratio]], {{math|1 + {{sqrt|2}}}}
 
 {{clear}}
 ==குறிப்பு==
 {{Reflist|25em}}
 
 ==மேற்கோள்கள் ==
 * {{Citation
  | last = Apostol | first = Tom M. | author-link = Tom M. Apostol
  | doi = 10.2307/2695741
  | issue = 9
  | journal = [[American Mathematical Monthly]]
  | pages = 841–842
  | title = Irrationality of the square root of two – A geometric proof
  | volume = 107
  | year = 2000
  | jstor = 2695741}}.
 * {{Citation | author = Aristotle | author-link = Aristotle | title = [[Prior Analytics|Analytica priora]] | year = 2007 | publisher = eBooks@Adelaide}}
 * Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
 * {{Citation
  | last = Flannery | first = David
  | isbn = 0-387-20220-X
  | publisher = Springer-Verlag
  | title = The Square Root of Two
  | year = 2005}}.
 * {{Citation
  |last1        = Fowler
  |first1       = David
  |author1-link = David Fowler (mathematician)
  |last2        = Robson
  |first2       = Eleanor
  |author2-link = Eleanor Robson
  |doi          = 10.1006/hmat.1998.2209
  |issue        = 4
  |journal      = Historia Mathematica
  |pages        = 366–378
  |title        = Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context
  |volume       = 25
  |year         = 1998
 |doi-access= free
  }}.
 * {{Citation
  | doi = 10.2307/2344040
  | last1 = Good | first1 = I. J. | author1-link = I. J. Good
  | last2 = Gover | first2 = T. N.
  | issue = 1
  | journal = Journal of the Royal Statistical Society, Series A
  | pages = 102–107
  | title = The generalized serial test and the binary expansion of &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;
  | volume = 130
  | year = 1967
  | jstor = 2344040}}.
 * {{Citation
  | last = Henderson | first = David W.
  | contribution = Square roots in the Śulba Sūtras
  | editor-last = Gorini | editor-first = Catherine A.
  | isbn = 978-0-88385-164-7
  | pages = 39–45
  | publisher = Cambridge University Press
  | title = Geometry At Work: Papers in Applied Geometry
  | url = http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html
  | year = 2000}}.
 
 ==வெளி இணைப்புகள் ==
 * {{Citation
  | last1 = Gourdon | first1 = X.
  | last2 = Sebah | first2 = P.
  | contribution = Pythagoras' Constant: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;
  | title = Numbers, Constants and Computation
  | url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html
  | year = 2001}}.
 * [https://www.gutenberg.org/ebooks/129 The Square Root of Two to 5 million digits] by Jerry Bonnell and [[Robert J. Nemiroff]]. May, 1994.
 * [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml Square root of 2 is irrational], a collection of proofs
 * {{cite web|last=Grime|first=James|title=The Square Root &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; of Two|url=http://www.numberphile.com/videos/root2.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|author2=Bowley, Roger }}
 * [http://pisearch.org/sqrt2 {{radic|2}} Search Engine] 2 billion searchable digits of {{radic|2}}, {{pi}} and {{mvar|e}}
 {{Algebraic numbers}}
 {{Irrational number}}
 {{Authority control}}
 
 
 [[பகுப்பு:இருபடி விகிதமுறா எண்கள்]]
 [[பகுப்பு:கணித நிறுவல்கள்]]
 [[பகுப்பு:கணிதக் குறியீடுகள்]]
 
 [[பகுப்பு:குறியீடுகள்]]
 ''' (''square root of 2'').  
 &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; இன் தோராய மதிப்பு 1.4142 ஆகும். இது ஒரு நேர்மறை [[மெய்யெண்]] எண்ணாகும்.   இந்த எண்ணாணது தன்னால் பெருக்கப்படும்போது, ​​எண் 2க்கு சமம் ஆகும். அதாவது &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;x &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; = 2. இதை கணிதத்தில்  &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; or &lt;math&gt;2^{1/2}&lt;/math&gt; என  எழுதலாம். எனவே [[இயற்கணித எண்களும் விஞ்சிய எண்களும்எண்களும் |விஞ்சிய எண்]] அல்ல. தொழில்நுட்பரீதியாக, இதே பண்புடன் எதிர்மறை எண்ணிலிருந்து வேறுபடுத்த, 2 இன் முதன்மை [[வர்க்கமூலம்]] என்று அழைக்கப்படுகிறது.
 
 வர்க்கமூலத்தை வடிவியல் ரீதியாக அணுகும்போது, &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;என்பது ஒரு சதுரத்தின் குறுக்கே உள்ள மூலைவிட்டத்தின் நீளமாகவும்  [[அலகுச் சதுரம்|ஒரு அலகு நீளத்தினை]]  பக்கங்களைக்  கொண்டதாக எடுத்துக் கொள்ளவேண்டும. பித்தேகோரசு தேற்றம் என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கர்ணத்தின் வர்க்கமனது மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலுக்கு சமம். இது [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தேகோரசு தேற்றத்தின்]] படி ஒரு சதுரத்தில் இரண்டு செங்கோண முக்கோணங்கள் உள்ளன.சதுரத்தின் மூலைவட்டமானது சதுரத்தின் இரு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலமாகும்.  இது [[விகிதமுறா எண்]]ணாகும்.&lt;ref&gt;{{citation
 &lt;nowiki&gt;| last = Fowler |&lt;/nowiki&gt; first = David H.
 &lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt; issue = 10
 &lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt; journal = Neusis
 &lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt; mr = 1891736
 &lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt; pages = 45–61
 &lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt; title = The story of the discovery of incommensurability, revisited
 {{OEIS link|A002193}} On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
 :{{gaps|1.41421|35623|73095|04880|16887|24209|69807|85696|71875|37694|80731|76679|73799|}} இங்கே 65 தசம இடங்களாக குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன::&lt;nowiki&gt;&lt;ref&gt;&lt;/nowiki&gt;{{Cite web|title=A002193 - OEIS|url=https://oeis.org/A002193|access-date=2020-08-10|website=oeis.org}}&lt;/ref&gt;
 
 
 
 
 ==வரலாறு==
 [[File:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|200px|[[பாபிலோனியா|பாபிலோனியாவின்]] களிமண் சிற்பம் [[YBC 7289]] (&lt;abbr&gt;&lt;small&gt;அண்.&lt;/small&gt;&lt;/abbr&gt; 1800–1600 கி.மு.) தோராயமான மதிப்பை தருகிறது  நான்கு [[பாலுணர்வு|அடிப்படை 60]] படத்தில், 1 24 51 10,இதில் ஆறு இலக்க தசம எண்களில் மிகச்சரியான மதிப்பை தருகறது  மற்றும் இது மிகவும் நெருக்கமான மூன்று-இட திருத்த ன் மதிப்பை தருகிறது ]]
 [[பாபிலோனியா]]வின் களிமண் சிற்பம் [[YBC 7289]] ({{Circa|1800}}–1600 கி.மு.) தோராயமான மதிப்பை தருகிறது &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; நான்கு  [[பாலுணர்வு|அடிப்படை 60]]  படத்தில், {{nowrap|1 24 51 10}},இதில் ஆறு இலக்க தசம எண்களில் மிகச்சரியான மதிப்பை தருகறது &lt;ref&gt;Fowler and Robson, p. 368.&lt;br /&gt;[http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |date=2012-08-13 }}&lt;br /&gt;[http://www.math.ubc.ca/%7Ecass/Euclid/ybc/ybc.html High resolution photographs, descriptions, and analysis of the ''root(2)'' tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection]&lt;/ref&gt; மற்றும் இது மிகவும் நெருக்கமான மூன்று-இட திருத்த  &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;ன் மதிப்பை தருகிறது.
 :&lt;math&gt;1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = \frac{305470}{216000} = 1.41421\overline{296}.&lt;/math&gt;
 
 [[இந்திய வரலாறு|பண்டைய இந்திய]] கணித நூல்களான சல்பசூத்திரங்களில் &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;ன் மற்றொரு  தோராயமான மதிப்பு (அண். 800-200 கி.மு.) பின்வருமாறு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு  பக்கத்தின் நீளத்துடன் மூன்றில் ஒரு பங்கையும்,மேலும் 3X4 ல் ஒரு பங்கையும் சேர்த்து  அதிலிருந்து 3X4X34 ல் ஒரு பங்கை குறைக்க &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; மதிப்பு கிடைக்கிறது.&lt;ref&gt;Henderson.&lt;/ref&gt; அதாவது&lt;math&gt;1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{3 \times4 \times 34} = \frac{577}{408} = 1.41421\overline{56862745098039}.&lt;/math&gt;
 
 இது பெல் எண்களின் வரிசையின் அடிப்படையாக அதிகரித்து வரும் துல்லியமான தோராயங்களின் வரிசையில் ஏழாவது முறையாகும். &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;  ன் மதிப்பானது தொடர்ச்சியான பின்னம் விரிவாக்கத்திலிருந்து பெறப்படுகிறது. சிறிய  பகுதி எண்ணைக் கொண்டிருந்தாலும், பாபிலோனிய தோராயத்தைக் காட்டிலும் இது மிக துல்லியமானதாகும்.
 
 ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டமானது அதன் பக்கங்களுடன் அளவுக்கிணங்காத அளவாகும், அல்லது நவீன மொழியில் இரண்டின் வர்க்கமூலம் [[விகிதமுறா எண்]] என்று [[பித்தாகரசு]] கண்டுபிடித்தார். இந்த கண்டுபிடிப்பின்  சூழ்நிலைகள் பற்றி மிகக் குறைவாகவே அறியப்படுகிறது. ஆனால் மெட்டாபொன்டமை சேர்ந்த ஹிப்பாசஸின் பெயர் அடிக்கடி குறிப்பிடப்படுகிறது. இரண்டின் வர்க்கமூலம் [[விகிதமுறா எண்]] என்பதைக் கண்டுபிடித்ததை [[பித்தாகரசு]]  ஒரு அதிகாரப்பூர்வ ரகசியமாகக் கருதி வந்தார். ஹிப்பாசஸ் என்பார் கணித  துறையில் பெரும் புகழ் வாய்ந்தவர் ஆவார், ஹிப்பாசஸ்  [[பித்தாகரசு|பித்தாகரசின் ரகசிய]]&lt;nowiki/&gt;த்தை வெளிப்படுத்தியதற்காக கொலை செய்யப்பட்டார். இரண்டின் வர்க்கமூலமானது எப்போதாவது [[பித்தாகரசு|பித்தகோரஸின்]] எண் அல்லது [[பித்தாகரசு|பித்தகோரஸின்]] மாறிலி என்று அழைக்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக {{harvtxt|Conway|Guy|1996}}.&lt;ref name=&quot;:1&quot;&gt;{{citation|last1=Conway|first1=John H.|author1-link=John H. Conway|last2=Guy|first2=Richard K.|author2-link=Richard K. Guy|page=25|publisher=Copernicus|title=The Book of Numbers|year=1996}}&lt;/ref&gt;.
 
 ==== பண்டைய ரோமானிய கட்டிடக்கலை ====
 பண்டைய ரோமானிய கட்டிடக்கலையில், [[மார்க்கஸ் விட்ருவியஸ் பொல்லியோ|விட்ருவியஸ்]]  பொறியாளர் 2 ன் வர்க்கமூலத்தை பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறார் மேலும் ''Ad Quadratum என்ற இடைக்கால'' கட்டிடக்கலை நுட்பத்தில் வர்க்க மூலத்தைப் பயன்படுத்துவதை விவரிக்கிறது. இது அடிப்படையில் ஒரலகு சதுரத்தின் பக்க அளவின் வர்க்கங்களின் கூடுதலின் வர்க்கமூலமாகும் என்ற  வடிவியல் முறையைக் கொண்டுள்ளது.  [[மார்க்கஸ் விட்ருவியஸ் பொல்லியோ|விட்ருவியஸ்]] &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;  ன் பண்புகளை [[பிளேட்டோ|பிளாட்டோவுக்குக்]] ஒரு யோசனையாக கூறுகிறார். ஒரு சதுரத்தின் மூலைகளுக்கு 45 டிகிரியில் ஒரு [[தொடுகோடு|தொடுகோட்டை]] உருவாக்குவதன் மூலம் நடைபாதைகளை உருவாக்க இந்த அமைப்பு பயன்படுத்தப்பட்டது. ஒரு சதுரத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட மூலைவிட்டத்திற்குச் சமமான நீளத்தைக் கொடுப்பதன் மூலம் வீட்டு முற்றத்தை வடிவமைக்க இந்த விகிதம் பயன்படுத்தப்பட்டது, அதன் பக்கங்கள் மூலைவிட்டங்கள் கொண்ட வீட்டு முற்றதின் அகலத்திற்கு சமமாக இருக்கும்..&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;{{Cite book|title=Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future: Volume I: Antiquity to the 1500s|last1=Williams|first1=Kim|author1-link=Kim Williams (architect)|last2=Ostwald|first2=Michael|publisher=Birkhäuser|year=2015|isbn=9783319001371|pages=204}}&lt;/ref&gt;
 
 
 
 == தசம மதிப்பு ==
 
 === கணக்கீட்டு வழிமுறைகள் ===
 மேலும் தகவல்களுக்கு: வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகள்
 
 &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;ன்  தோராயமான மதிப்புகளை அறிந்திட [[படிமுறைத் தீர்வு|படிமுறைத் தீர்வுகள்]] பல உள்ளன முழு எண்களின் விகிதங்கள் அல்லது தசம எண் ஆகும். இதற்கான மிகவும் பொதுவான  [[படிமுறைத் தீர்வு]]&lt;nowiki/&gt;வானது  கணினிகள் மற்றும் [[கணிப்பான்|கணிப்பான்களில்]] அடிப்படையாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இது வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான பாபிலோனிய முறை ஆகும், இது விதிக்கட்டின்றி சார்புகளின் வர்க்க மூலங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான நியூட்டனின் முறையாகும். எடுத்துக்காட்டாக
 
 முதலில், ஒரு யூகத்தைத் தேர்ந்தெடுங்கள்,&lt;math&gt;a_0 &gt; 0&lt;/math&gt;; ஒரு குறிப்பிட்ட துல்லியத்தின் தோராயத்தை அடைய எத்தனை மறு செய்கைகள் தேவை என்பதை மட்டுமே யூகத்தின் மதிப்பு பாதிக்கிறது. பின்னர், அந்த யூகத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் சுழல்நிலை கணக்கீட்டின் மூலம் மீண்டும் செய்யவும்:
 
 &lt;math&gt;a_{n+1} = \frac12\left(a_n + \dfrac{2}{a_n}\right)=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}. &lt;/math&gt;
 
 ஒவ்வொரு மறு செய்கையும் தோராயத்தை மேம்படுத்துகிறது, சரியான இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை தோராயமாக இரட்டிப்பாக்குகிறது.   &lt;math&gt;a_0=1&lt;/math&gt;  என தொடங்கி, அடுத்தடுத்த மறு செய்கைகள் பலனளிக்கின்றன:
 
 &lt;math&gt;\begin{alignat}{3}
 a_1 &amp;= \tfrac{3}{2} &amp;&amp;= \mathbf{1}.5, \\[3mu]
 a_2 &amp;= \tfrac{17}{12} &amp;&amp;= \mathbf{1.41}6\ldots, \\[3mu]
 a_3 &amp;= \tfrac{577}{408} &amp;&amp;= \mathbf{1.41421}5\ldots, \\[3mu]
 a_4 &amp;= \tfrac{665857}{470832} &amp;&amp;= \mathbf{1.41421356237}46\ldots, \\[3mu]
     &amp;\qquad \vdots
 \end{alignat}&lt;/math&gt;
 
 === விகிதமுறு தோராயங்கள் ===
 :
 ஒரு எளிய விகிதமுறு தோராயமான மதிப்பு {{sfrac|99|70}} (≈ '''1.4142'''857) என்பது சில நேரங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. 70 என்ற பகுதியினை மட்டுமே கொண்டிருந்தாலும், அது சரியான மதிப்பிலிருந்து குறைவாக வேறுபடுகிறது {{sfrac|1|10,000}} (தோராய. {{val|-0.72e-4}}) அடுத்த இரண்டு சிறந்த விகிதமுறு தோராயங்கள் {{sfrac|140|99}} (≈ '''1.414'''1414...) சிறிய பிழையுடன் (தோராயமாக -0.72×10−4), மற்றும் {{sfrac|239|169}} (≈ '''1.4142'''012) தோராயமாக சிறிய பிழையுடன் −0.12×10−4 .  பாபிலோனிய முறையின் நான்கு மறு செய்கைகளிலிருந்து பெறப்பட்ட இரண்டின் வர்க்க மூலத்தின் விகிதமுறு தோராயமானது  {{math|''a''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; {{=}} 1}} ({{sfrac|665,857|470,832}})  சுமார் {{val|1.6e-12}}; இது  மிக பெரியது; அதன் வர்க்க மதிப்பு  ≈&amp;thinsp;{{val|2.0000000000045}}.
 
 === கணக்கீட்டு பதிவுகள் ===
 1997 ஆம் ஆண்டில் , &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; ன் மதிப்பு 137,438,953,444 தசம இடங்களுக்கு யசுமாசா கனடாவின் குழுவால் கணக்கிடப்பட்டது.  2006 ஆம் ஆண்டில் பிப்ரவரி மாத்த்தில் , &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;  ன் கணக்கீட்டிற்கான பதிவு ஒரு வீட்டுக் கணிப்பொறியைப் பயன்படுத்தி கிரகணம் தொடும்  தசம இடங்களுக்கு கணக்கிடப்பட்டது. ஷிகெரு கோண்டோ 2010 ஆம் ஆண்டில் ஒரு டிரில்லியன் தசம இடங்களைக் கணக்கிட்டார்.&lt;ref name=&quot;:3&quot;&gt;{{cite web|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html|title=Constants and Records of Computation|publisher=Numbers.computation.free.fr|date=2010-08-12|access-date=2012-09-07|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20120301190937/http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html|archive-date=2012-03-01}}&lt;/ref&gt; கணக்கீட்டு ரீதியாக சவாலான தசம விரிவாக்கங்களைக் கொண்ட கணித மாறிலிகளில், π, e மற்றும் தங்க விகிதம் மட்டுமே  2022 ஆம் ஆண்டில் மார்ச்சு மாதம் மிகவும் துல்லியமாக கணக்கிடப்பட்டது. இத்தகைய கணக்கீடுகள், அத்தகைய எண்கள் இயல்பானவையா என்பதை அனுபவபூர்வமாகச் சரிபார்க்கும் நோக்கம் கொண்டது.
 
 கீழ்கண்ட அட்டவணையானது &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; ன் மதிப்புளைக் கணக்கிடுவதில் சமீபத்திய பதிவுகளை கொண்டது.&lt;ref name=&quot;y-cruncher&quot;&gt;{{cite web|url=http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|title=Records set by y-cruncher|access-date=2022-04-07|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20220407052022/http://www.numberworld.org/y-cruncher/records.html|archive-date=2022-04-07}}&lt;/ref&gt;
 {| class=&quot;wikitable sortable&quot;
 |-
 ! data-sort-type=&quot;usLongDate&quot; | தேதி !! பெயர் !! data-sort-type=&quot;number&quot; | தசம இடங்களின் எண்ணிக்கை
 |-
 |style=&quot;text-align:right;&quot; | சனவரி 5, 2022 || data-sort-value=&quot;H&quot; | டிஜியன் ஹான்சல்மேன் || style=&quot;text-align:right;&quot; | {{val|10000000001000}}
 |-
 |style=&quot;text-align:right;&quot; | சூன் 28, 2016 || data-sort-value=&quot;W&quot; | ரான் வாட்கின்ஸ் || style=&quot;text-align:right;&quot; | {{val|10000000000000}}
 |-
 |style=&quot;text-align:right;&quot; | ஏப்ரல் 3, 2016 || data-sort-value=&quot;W&quot; | ரான் வாட்கின்ஸ் || style=&quot;text-align:right;&quot; | {{val|5000000000000}}
 |-
 |style=&quot;text-align:right;&quot; | சனவரி 20, 2016 || data-sort-value=&quot;W&quot; | ரான் வாட்கின்ஸ் || style=&quot;text-align:right;&quot; | {{val|2000000000100}}
 |-
 |style=&quot;text-align:right;&quot; | பிப்ரவரி 9, 2012 || data-sort-value=&quot;Y&quot; | அலெக்சாண்டர் யீ || style=&quot;text-align:right;&quot; | {{val|2000000000050}}
 |-
 |style=&quot;text-align:right;&quot; | மார்ச் 22, 2010 || data-sort-value=&quot;K&quot; | ஷிகெரு கொண்டோ || style=&quot;text-align:right;&quot; |
 |}
 
 === விகிதமுறாமைக்கான நிரூபணம் ===
 விகிதமுறாமைக்கான ஒரு சிறிய நிரூபணமானது &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; ஐ [[விகிதமுறா எண்|விகிதமுறா]] மூல தேற்றத்திலிருந்து பெறலாம், அதாவது  &lt;math&gt;p(x)&lt;/math&gt; என்பது முழு எண் [[கெழு]]&lt;nowiki/&gt;க்ளைக் கொண்ட ஒரு ஓருறுப்புக்கோவை ஆகும், பின்னர் எந்த [[விகிதமுறாமூலம்|விகிதமுறா மூலமும்]] &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; என்பது ஒரு முழு எண். பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இதைப் பயன்படுத்துதல் &lt;math&gt;p(x)=x^2-2&lt;/math&gt;, அது பின்வருமாறு &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;  ஒரு முழு எண் அல்லது விகிதமுறா எண் ஆகும். ஏனெனில்&lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;  ஒரு முழு எண் அல்ல (2 என்பது முழு வர்க்கம் அல்ல).&lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; விகிதமுறா எண்ணாக இருக்க வேண்டும். ஒரு  முழு வர்க்கம் இல்லாத எந்த இயல் எண்ணின் எந்த வர்க்க மூலமும் விகிதமுறா எண்ணா என்பதைக் காட்ட இந்த  பொதுமையான நிரூபணமாகும்.
 
 எந்த ஒரு [[முழு எண்]]  அல்லாத [[இயல் எண்|இயல் எண்ணின்]] வர்க்க மூலமும் [[விகிதமுறா எண்]] என்பதற்கான மற்ற நிரூபணங்ளுக்கு, இருபடி [[விகிதமுறா எண்]]&lt;nowiki/&gt;னைக் காண்க.
 
 
 
 === முடிவிலி இறக்க  நிறுவல் ===
 முடிவிலி இறக்க  நிறுவல் மூலம் விகிதமுறாவின்மை எண்களின் ஒரு நிரூபணமாகும். ஒரு நிராகரிப்புக்கான சான்றாகவும் உள்ளது: இது&quot;&lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; விகிதமுறு எண்  அல்ல&quot; என்ற கூற்றை விகிதமுறு என்று கருதி பின்னர் ஒரு தவறு என பெறுவதன் மூலம் நிரூபிக்கிறது.
 
 1.&lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;  என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்று எடுத்துக் கொள்வோம், அதாவது ஒரு ஜோடி முழு எண்கள் உள்ளன, &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; ன் விகிதம் சரியாக இருக்கும்.
 
 2. இரண்டு முழு எண்களுக்கும் பொதுவான காரணி இருந்தால், அதை யூக்ளிடியன் [[படிமுறைத் தீர்வு]] பயன்படுத்தி நீக்கலாம்.  
 
 3. பிறகு &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; குறைக்க முடியாத &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt;  பின்னமாக எழுதலாம் a மற்றும் b ஆகியவை பகு எண் (பொதுவான காரணி இல்லாதது) அதாவது a அல்லது b இல் குறைந்தபட்சம் ஏதாவது ஒன்று ஒற்றைப்படையாக இருக்க வேண்டும்.
 
 4. அதைத் தொடர்ந்து &lt;math&gt;\frac{a^2}{b^2}=2&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;a^2=2b^2&lt;/math&gt; {{math|[[Exponent#Identities and properties|({{sfrac|''a''|''b''}}){{sup|''n''}} {{=}} {{sfrac|''a''{{sup|''n''}}|''b''{{sup|''n''}}}}]]}}  ( {{math|''a''{{sup|2}} மற்றும் ''b''{{sup|2}}}} முழுக்களாகும்)
 
 5. ''a''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; என்பது இரட்டை அதனால் 2''b''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; க்கு சம்ம் ஆகும் .ஏனென்றால்   2''b''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; (2''b''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;  மற்றொரு முழு எண்ணாக இருந்தாலும் கூட அவசியம்  2 ன் மடங்கு ஆகும் .)
 
 6. அதைத் தொடர்ந்து {{math|''a''}} இரட்டையாக இருக்க வேண்டும் (ஒற்றைமுழுக்களின் வர்க்கங்கள் எப்போதும் இரட்டையாக இருக்கும்.)
 
 7. {{math|''a''}} என்பது இரட்டையாக இருப்பதால்,  ஆதையால் முழு எண் {{math|''k''}} என்பது  &lt;math&gt;a = 2k&lt;/math&gt; பூர்த்தி செய்யும் உள்ளது.
 
 8. படி 7 இலிருந்து  {{math|2''k''}} க்கு பதிலாக {{math|''a''}}  என  இரண்டாவது சமன்பாட்டில்  படி 4 ல்:  &lt;math&gt;2b^2 = a^2 = (2k)^2 = 4k^2&lt;/math&gt; உள்ளது. அது  &lt;math&gt;b^2=2k^2&lt;/math&gt; க்கு சம்மாகும்.
 
 9. {{math|2''k''{{sup|2}}}}  இரண்டால் வகுபடுவதால் இரட்டை ஆகும். ஆனால் &lt;math&gt;2k^2=b^2&lt;/math&gt; இதன் படி {{math|''b''{{sup|2}}}} ம் இரட்டை,அதாவது {{math|''b''}} என்பது இரட்டை ஆகும். 
 
 10. படிகள் 5 மற்றும் 8 மூலம், {{math|''a''}} மற்றும் {{math|''b''}} இரண்டும் சமமாக இருக்கும், இது படி 3 க்கு முரணானது (அதாவது &lt;math&gt;\frac{a}{b}&lt;/math&gt; விகிதமுறா எண்ணாகும்) 
 
 நாம் ஒரு முரண்பாடைப் பெற்றிருப்பதால், அனுமானம் (1) அது &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; என்பது ஒரு விகிதமுறு எண் என்பது தவறாக இருக்க வேண்டும். இதற்கு அர்த்தம் அதுதான் &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;  ஒரு விகிதமுறு எண் அல்ல; அதாவது,&lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; விகிதமுறா எண்ணாகும் .  
 
 இந்த நிரூபணம் [[அரிசுட்டாட்டில்]], அவரது  முந்தைய பகுப்பாராய்ச்சி முறை வடிவியல் §I.23 இல் சுட்டிக்காட்டப்பட்டது..&lt;ref name=&quot;:4&quot;&gt;All that Aristotle says, while writing about [[Proof by contradiction|proofs by contradiction]], is that &quot;the diagonal of the square is incommensurate with the side, because odd numbers are equal to evens if it is supposed to be commensurate&quot;.&lt;/ref&gt;  இது [[யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்ஸ்]], புத்தக X இன் 117வது முன்மொழிவாக, முழு நிரூபணமும் முதலில் தோன்றியது. இருப்பினும், 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முற்பகுதியில் இருந்து, வரலாற்றாசிரியர்கள் இந்த நிரூபணம் யூக்ளிட்டுக்கு ஒரு இடைச்செருகல் மற்றும் காரணம் கற்பித்தல் என்று ஒப்புக்கொண்டனர்.&lt;ref name=&quot;:5&quot;&gt;The edition of the Greek text of the ''Elements'' published by E. F. August in [[Berlin]] in 1826–1829 already relegates this proof to an Appendix. The same thing occurs with [[Johan Ludvig Heiberg (historian)|J. L. Heiberg's]] edition (1883–1888).&lt;/ref&gt;
 
 ===தனித்துவமான காரணிபடுத்தல் மூலம் நிரூபணம்===
 முடிவிலி இறக்க நிறுவதைப் போலவே, நாங்கள் பெறுகிறோம்
 &lt;math&gt;a^2 = 2b^2&lt;/math&gt;. இருபுறமும் சமமாக  இருப்பதால், ஒவ்வொரு பக்கமும் [[எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம்|எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின்]] மூலம் ஒரே பகாகாரணிப்படுத்துதல் கொண்டுள்ளது. மேலும் குறிப்பாக, காரணிகள் ஒரே எண்ணிக்கையில் ஏற்பட வேண்டும். இருப்பினும், வலதுபுறத்தில் காரணிகள் 2×b×b என ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையில் தோன்றும், ஆனால் இடதுபுறத்தில் காரணிகள் a×a என இரட்டை எண்ணிக்கையில் தோன்றும் - இதுவே ஒரு முரண்பாடு ஆகும்.
 
 ==இவற்றையும் பார்க்க==
 *[[List of mathematical constants]]
 *[[Square root of 3]], {{math|{{sqrt|3}}}}
 * [[Square root of 5]], {{math|{{sqrt|5}}}}
 *[[Gelfond–Schneider constant]], {{math|2&lt;sup&gt;{{sqrt|2}}&lt;/sup&gt;}}
 * [[Silver ratio]], {{math|1 + {{sqrt|2}}}}
 
 {{clear}}
 ==குறிப்பு==
 {{Reflist|25em}}
 
 ==மேற்கோள்கள் ==
 * {{Citation
  | last = Apostol | first = Tom M. | author-link = Tom M. Apostol
  | doi = 10.2307/2695741
  | issue = 9
  | journal = [[American Mathematical Monthly]]
  | pages = 841–842
  | title = Irrationality of the square root of two – A geometric proof
  | volume = 107
  | year = 2000
  | jstor = 2695741}}.
 * {{Citation | author = Aristotle | author-link = Aristotle | title = [[Prior Analytics|Analytica priora]] | year = 2007 | publisher = eBooks@Adelaide}}
 * Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
 * {{Citation
  | last = Flannery | first = David
  | isbn = 0-387-20220-X
  | publisher = Springer-Verlag
  | title = The Square Root of Two
  | year = 2005}}.
 * {{Citation
  |last1        = Fowler
  |first1       = David
  |author1-link = David Fowler (mathematician)
  |last2        = Robson
  |first2       = Eleanor
  |author2-link = Eleanor Robson
  |doi          = 10.1006/hmat.1998.2209
  |issue        = 4
  |journal      = Historia Mathematica
  |pages        = 366–378
  |title        = Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context
  |volume       = 25
  |year         = 1998
 |doi-access= free
  }}.
 * {{Citation
  | doi = 10.2307/2344040
  | last1 = Good | first1 = I. J. | author1-link = I. J. Good
  | last2 = Gover | first2 = T. N.
  | issue = 1
  | journal = Journal of the Royal Statistical Society, Series A
  | pages = 102–107
  | title = The generalized serial test and the binary expansion of &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;
  | volume = 130
  | year = 1967
  | jstor = 2344040}}.
 * {{Citation
  | last = Henderson | first = David W.
  | contribution = Square roots in the Śulba Sūtras
  | editor-last = Gorini | editor-first = Catherine A.
  | isbn = 978-0-88385-164-7
  | pages = 39–45
  | publisher = Cambridge University Press
  | title = Geometry At Work: Papers in Applied Geometry
  | url = http://www.math.cornell.edu/~dwh/papers/sulba/sulba.html
  | year = 2000}}.
 
 ==வெளி இணைப்புகள் ==
 * {{Citation
  | last1 = Gourdon | first1 = X.
  | last2 = Sebah | first2 = P.
  | contribution = Pythagoras' Constant: &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt;
  | title = Numbers, Constants and Computation
  | url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html
  | year = 2001}}.
 * [https://www.gutenberg.org/ebooks/129 The Square Root of Two to 5 million digits] by Jerry Bonnell and [[Robert J. Nemiroff]]. May, 1994.
 * [http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml Square root of 2 is irrational], a collection of proofs
 * {{cite web|last=Grime|first=James|title=The Square Root &lt;math&gt;\sqrt{2}&lt;/math&gt; of Two|url=http://www.numberphile.com/videos/root2.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|author2=Bowley, Roger }}
 * [http://pisearch.org/sqrt2 {{radic|2}} Search Engine] 2 billion searchable digits of {{radic|2}}, {{pi}} and {{mvar|e}}
 {{Algebraic numbers}}
 {{Irrational number}}