கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி
[[File:AM GM inequality visual proof.svg|thumb|படம்-1: a, b என்ற இரு எண்களின் AM–GM சமனிலியின் பட விளக்கம்: O-வட்டமையம்; PR விட்டம்; ஆரம் AO ஆனது  a, b இன் கூட்டுச் சராசரி. பெருக்கல் சராசரி தேற்றத்தின்படி PGR செங்கோண முக்கோணத்தை PQG, GQR என்ற இரு வடிவொத்த முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கலாம். வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பக்க விகிதங்கள் சமம் என்பதால் GQ / a = b / GQ. எனவே GQ = √(ab), a, b இன் பெருக்கல் சராசரி.]]
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி'''யின்  ('''inequality of arithmetic and geometric means''') கூற்றுப்படி, எதிர்மமில்லா மெய்யெண்கள் கொண்ட ஒரு பட்டியலின் [[கூட்டுச்சராசரி]]யானது அதே பட்டியலின் [[பெருக்கல் சராசரி]]யைவிடப் பெரியதாக அல்லது சமமாக இருக்கும். மேலும் அப்பட்டியலிலுள்ள எண்கள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இவ்விரு சராசரிகளும் சமமாக இருக்கும்.
 
 இச்சமனிலி சுருக்கமாக ''AM–GM சமனிலி'' (''AM–GM inequality'') எனப்படுகிறது.
 
 இரு எதிர்மமில்லா மெய்யெண்களுக்கான சமனிலி:
 {{mvar|x}} &amp;nbsp;{{mvar|y}} இரு எதிர்மமில்லா மெய்யெண்கள் எனில் அவற்றின் கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி: 
 :&lt;math&gt;\frac{x+y}2 \ge \sqrt{xy}&lt;/math&gt;
 :{{math|''x'' {{=}} ''y''}} என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இச்சமனிலியில் சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும். 
 
 தருவித்தல்:
 
 ஒரு மெய்யெண்ணின் வர்க்கம் எப்பொழுதும் எதிர்மமில்லா எண்ணாகவே இருக்கும் என்பதால்:
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 0 &amp; \le (x-y)^2 \\
 &amp; = x^2-2xy+y^2 \\
 &amp; = x^2+2xy+y^2 - 4xy \\
 &amp; = (x+y)^2 - 4xy.
 \end{align}&lt;/math&gt;
 &lt;span style=&quot;line-height:1.5&quot;&gt;{{math|(''x'' + ''y'')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ≥ 4''xy''}}, 
 :{{math|(''x'' − ''y'')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; {{=}} 0}}, அதாவது. {{math|''x'' {{=}} ''y''}} ஆக இருந்தால் மட்டுமே மேலுள்ள சமனிலியில் சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.
 
 சமனிலியின் இருபுறமும் நேர்ம வர்க்கமூலம் எடுத்து இரண்டால் வகுக்க:
 :&lt;math&gt;\frac{x+y}2 \ge \sqrt{xy}&lt;/math&gt;
 
 வடிவவியல் விளக்கம்:
 [[File:AM GM inequality animation.gif|thumb|படம்-2: {{math|(''x'' + ''y'')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; ≥ 4''xy''}} இன் நிறுவல். இச்சமனிலியின் இருபுறமும் [[வர்க்கமூலம்]] கண்டு, இரண்டால் வகுத்தால் AM–GM சமனிலி கிடைக்கும்.&lt;ref&gt;{{citation
  | last = Hoffman | first = D. G.
  | editor-last = Klarner | editor-first = David A. | editor-link = David A. Klarner
  | contribution = Packing problems and inequalities
  | doi = 10.1007/978-1-4684-6686-7_19
  | pages = 212–225
  | publisher = Springer
  | title = The Mathematical Gardner
  | year = 1981}}&lt;/ref&gt;]]
 
 &amp;nbsp;{{mvar|x}} &amp;nbsp;{{mvar|y}} என்பன [[செவ்வகம்|செவ்வகத்தின்]] பக்க நீளங்கள் எனில் அச்செவ்வகத்தின் [[சுற்றளவு]] {{math|2''x'' +  2''y''}}; [[பரப்பளவு]] &amp;nbsp;{{mvar|xy}}. அதேபோல {{math|{{radical|''xy''}}}} பக்க நீளமுள்ள [[சதுரம்|சதுரத்தின்]] சுற்றளவு {{math|4{{radical|''xy''}}}}; பரப்பளவு &amp;nbsp;{{mvar|xy}}. அதாவது இந்த செவ்வகம் மற்றும் சதுரங்களின் பரப்பளவுகள் சமம். ஆனால் செவ்வகத்தின் சுற்றளவானது சதுரத்தின் சுற்றளவைவிடப் பெரிது (படம்-2 இல் காண்க). எனவே,
 :{{math|2''x'' +  2''y'' ≥ 4{{radical|''xy''}}}} 
 :&lt;math&gt;\frac{x+y}2 \ge \sqrt{xy}&lt;/math&gt;
 
 == பின்புலம் ==
 {{math|''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''x''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, . . . , ''x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''}} என்ற {{mvar|n}} எண்களின் கூட்டுத்தொகையை &amp;nbsp;{{mvar|n}} ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது இந்த எண்களின் ''[[கூட்டுச்சராசரி]]'' அல்லது ''சராசரி'' ஆகும். கூட்டுச்சராசரி '''AM''' (எனச் சுருக்கமாகக் குறிக்கப்படுகிறது. 
 
 மேலே தரப்பட்ட எண்களின் கூட்டுச்சராசரி:
 :&lt;math&gt;\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}.&lt;/math&gt;
 
 எதிர்மமில்லா எண்களுக்கு மட்டுமே ''[[பெருக்கல் சராசரி]]'' வரையறுக்கப்படுகிறது. {{math|''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''x''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, . . . , ''x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''}} என்ற {{mvar|n}} எண்களின் பெருக்கல் சராசரியானது இந்த எண்களின் பெருக்குத்தொகையின் [[Nஆம் படி மூலம்]] ஆகும். பெருக்கல் சராசரியின் சுருக்குக் குறியீடு: '''GM'''
 
 மேலே தரப்பட்ட எண்களின் பெருக்கல் சராசரி:
 :&lt;math&gt;\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}.&lt;/math&gt;
 
 {{math|''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''x''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, . . . , ''x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' &gt; 0}} எனில் பெருக்கல் சராசரியானது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட எண்களின் [[இயல் மடக்கை]]களின் கூட்டுச் சராசரியின் [[அடுக்குக்குறிச் சார்பு|அடுக்கேற்றமாகும்]]:
 
 :&lt;math&gt;\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} = \exp \left( \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} \right).&lt;/math&gt;
 
 == சமனிலி ==
 
 {{math|''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''x''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, . . . , ''x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''}} ஆகிய {{mvar|n}} எதிர்மமில்லா எண்களின் கூட்டு மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி:
 :&lt;math&gt;\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}\,,&lt;/math&gt;
 
 {{math|''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; {{=}} ''x''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; {{=}} · · · {{=}} ''x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''}} என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இச்சமனிலியிலுள்ள சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.
 
 == வடிவவியல் விளக்கம் ==
 
 இருபரிமாணத்தில், &amp;nbsp;{{math|''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;}}, &amp;nbsp;{{math|''x''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;}} பக்க நீளங்கள் கொண்ட செவ்வகத்தின் [[சுற்றளவு]] {{math|2''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; +  2''x''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;}}. மேலும் அச்செவ்வகத்தின் [[பரப்பளவு]] {{math|''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;''x''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;}}. இதே பரப்பளவு கொண்ட சதுரத்தின் சுற்றளவு {{math|4{{radical|''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;''x''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;}}}} ஆக இருக்கும். 
 
 எனவே {{math|''n'' {{=}} 2}} எனில் கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலியின்படி,
 :தரப்பட்ட பரப்பளவுகொண்ட ஒரு செவ்வகமானது  சதுரமாக இருந்தால் அதன் சுற்றளவு மிகச்சிறியதாக இருக்கும்.
 
 இக்கருத்தின் {{mvar|n}} பரிமாண நீட்டிப்பே முழுச் சமனிலியாகும்.
 
 AM–GM சமனிலியின்படி,
 :{{mvar|n}}-பரிமாண பெட்டியானது சம கனவளவுள்ள மீகனசதுரமாக இருக்கும்போது அதன் ஒரு முனையுடன் இணைக்கப்பட்ட அதன் விளிம்புகளின் நீளங்களின் கூடுதல் மிகச்சிறியதாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{cite book
 | last = Steele
 | first = J. Michael
 | title = The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities
 | publisher = Cambridge University Press
 | series = MAA Problem Books Series
 | year = 2004
 | isbn = 978-0-521-54677-5
 | oclc = 54079548
 }}&lt;/ref&gt;
 
 == மேற்கோள்கள்==
 {{Reflist}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * {{cite web|title=Introduction to Inequalities|url=http://www.mediafire.com/?1mw1tkgozzu |author=Arthur Lohwater|year=1982|publisher=Online e-book in PDF format}}