திசையன் வெளி
'''திசையன் வெளி''' (Vector Space) என்பது [[கணித அமைப்பு]]களில் முக்கியமான ஒன்று.  [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] மட்டுமின்றி மற்ற துறைகளிலும்  கணக்கற்ற சூழ்நிலைகளில் இவ்வமைப்பு காணப்படுகிறது. சாதாரண [[முப்பரிமாண வடிவியலில்]] படிமங்கள் மூலம் உருவகப்படுத்தப்பட்ட பற்பல சூழ்நிலைகள்,  திசையன் வெளி என்ற கருத்துச் செறிவினால்,  உறவில்லாததாகத் தோன்றும் பல இதரப் பிரிவுகளிலும் பயன்பாடுகளிலும் இன்றியமையாததாகத் தேவைப் படுவதே திசையன் வெளியின் முக்கியத்துவத்துக்கு சான்று. எடுத்துக் காட்டிற்காக சிற்சில துறைகளைக் குறிப்பிடலாம்: Electrical Engineering, Quantum Mechanics, Linear Programming, Mathematical Statistics.
 
 == வரையறை ==
 
 ஒரு வெற்றில்லாத [[கணம்]]  V  ஒரு '''மெய்த்திசையன் வெளி ''' அல்லது '''மெய் நேரியல் திசையன் வெளி''' என்று சொல்லப்பட வேண்டுமென்றால் கீழ்க்கண்ட  மூன்று நிபந்தனைகள் உறுதிப்படவேண்டும்:
 
 (தி.வெ.1) V இல் 'கூட்டல்' என்ற  ஒரு [[ஈருறுப்புச் செயலி|ஈருறுப்புச்செயல்முறை]] வரையறுக்கப் பட்டிருக்க வேண்டும்.
 
 (தி.வெ.2) V இல் 'அளவெண் பெருக்கல்' என்று சொல்லப்பட்ட ஒரு செயல்முறை வரையறுக்கப்பட்டிருக்கவேண்டும். இதன் பொருள்: ஒவ்வொரு மெய்யெண் &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; வுக்கும், மற்றும் V இலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு u க்கும்,  ஒரு உறுப்பை V இல் சுட்டிக்காட்டி அதற்கு  &lt;math&gt;\alpha u&lt;/math&gt; என்று பெயர் கொடுக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும்.
 
 (தி.வெ.3) கூட்டலும் அளவெண் பெருக்கலும் கீழ்க்கண்டவாறு இருக்கவேண்டும்:
 
 (a) கூட்டலுக்கு V ஒரு [[பரிமாற்றுக் குலம்]]. அதாவது பரிமாற்றுக்குலத்தின்  G1, G2, G3, G4, G5 என்ற ஐந்து விதிகளுக்கும் உட்படவேண்டும்.
 
 (b) &lt;math&gt;\alpha, \beta &lt;/math&gt; என்ற எந்த மெய்யெண்களுக்கும்,  மற்றும் V இலுள்ள u, v என்ற எந்த உறுப்புகளுக்கும்,
 
 &lt;math&gt;\alpha (u + v) = \alpha u + \alpha v&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;(\alpha + \beta) u = \alpha u + \beta u&lt;/math&gt;
 
 (c) &lt;math&gt;\alpha, \beta&lt;/math&gt; என்ற எந்த மெய்யெண்களுக்கும், மற்றும் V இலுள்ள எல்லா u க்கும்,
 
 &lt;math&gt;\alpha (\beta u) = (\alpha\beta) u = \beta (\alpha u)&lt;/math&gt;
 
 (d) V இலுள்ள எல்லா u க்கும்,
 
 &lt;math&gt;1 u = u&lt;/math&gt;
 
 மெய்த்திசையன் வெளியின் இலக்கணத்தில் மெய்யெண்களுக்குப்பதில் [[சிக்கலெண்]]களை பயன்படுத்தினால் அது '''சிக்கற்திசையன் வெளி''' எனப்படும்.
 
 அளவெண்களாகப் பயன்படுத்தப்படும் மெய்யெண்களுக்கோ அல்லது சிக்கலெண்களுக்கோ  அளவெண்கள் என்று பெயர்.
 
 இவ்வளவெண்கள் மெய்யெண்களாகவோ, சிக்கலெண்களாகவோ தான் இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. வேறு ஏதாவது ஒரு களம் &lt;math&gt;\mathbf{F}&lt;/math&gt; ஆகவும் இருக்கலாம். அதை திசையன்வெளியின் குறியீட்டில் காட்டவேண்டுமானால், V ஐ &lt;math&gt;V^{\mathbf{F}}&lt;/math&gt; என்று குறித்துக் காட்டலாம்.
 
 == எடுத்துக்காட்டு: n-ஆயவரிசைத் திசையன் வெளி ==
 
 V&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; என்னும் கணத்தை எடுத்துக்கொள்வோம் இதன் உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் &lt;math&gt;(x_1, x_2, ..., x_n)&lt;/math&gt;ஐப்போல் ஒரு n-ஆய-வரிசை.இவ்வாயங்கள் அளவெண்களிலிருந்து வரும். இரு ஆயவரிசையைக்கூட்ட, ஆயவாரியாகக்கூட்டவேண்டும். அதாவது
 
 &lt;math&gt;(x_1, x_2, ..., x_n)&lt;/math&gt; + &lt;math&gt;(y_1, y_2, ..., y_n)&lt;/math&gt; = &lt;math&gt;(x_1 +y_1, x_2 + y_2, ..., x_n + y_n)&lt;/math&gt;.
 
 இதே மாதிரி, ஒரு ஆய-வரிசையை அளவெண்ணால் பெருக்க, ஆயவாரியாக ப்பெருக்கவேண்டும்: அதாவது
 
 &lt;math&gt;\alpha (x_1, x_2, ..., x_n)  =  (\alpha x_1, \alpha x_2, ..., \alpha x_n)&lt;/math&gt;
 
 இவ்விதம் கூட்டலையும் அளவெண் பெருக்கலையும் வரையறுத்துக்கொண்டால், V&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; ஒரு மெய்த்திசையன் வெளி ஆவதற்கு நாம் (தி.வெ.3)நிபந்தனை இங்கு சரிசெய்யப்படுகிறதா என்று பார்த்தால் போதும்.
 
 இவ்விதம் நிறுவப்பட்ட V&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;  '''n-ஆய-வரிசைகளின் மெய்த்திசையன் வெளி''' எனப்பெயர் பெறும்.
 
 V&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; திசையன் வெளியாகக் கருதப்பட்ட
 சாதாரண மெய்யெண்களின் வெளி. இதனில் அளவெண்களும் மெய்யெண்கள். வெளியின் உறுப்புகளும் மெய்யெண்கள்.
 
 V&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; இன் உறுப்புகள் xy-தளத்தின் திசையன்கள். xy-தளத்தில் உள்ள வடிவியல் திசையன்களை க்கூட்டுவதும், அவைகளை அளவெண்பெருக்குவதும், ஆயவரிசைத் திசையன் வெளியில் நாம் வரையறுத்த கூட்டல், அளவெண்பெருக்கல் இவைகளும் ஒன்றுதான்.
 
 V&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; யும் அப்படித்தான். இதற்கு '''முப்பரிமாண ஆயவரிசைத்திசையன்''' வெளி எனப்பெயர்.
 
 V&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; ஐ இரண்டுவிதமாக எடுத்துக்கொள்ளலாம்.  உறுப்புக்களின் ஆயங்கள்  &lt;math&gt;\mathbf{R}&lt;/math&gt; என்ற மெய்யெண்களத்திலிருந்து வந்தால் அதை
 
 &lt;math&gt;V_n^{\mathbf{R}}&lt;/math&gt; என்றும்
 
 அவை &lt;math&gt;\mathbf{C}&lt;/math&gt; என்ற சிக்கலெண்களத்திலிருந்து வந்தால் அதை
 
 &lt;math&gt;V_n^{\mathbf{C}}&lt;/math&gt; என்றும் குறிப்போம்.
 
 &lt;math&gt;V_n^{\mathbf{R}}&lt;/math&gt; க்கு அளவெண்கள் மெய்யெண்களாக இருக்கவேண்டும்.
 
 == சில அடிப்படைச் சமன்பாடுகள் ==
 
 ஒவ்வொரு திசையன் வெளியிலும் கூட்டலமைப்பில் ஒரு [[முற்றொருமை]] இருந்தாக வேண்டும்.  அதை சூன்யத்திசையன் (zero vector) என்றோ அல்லது திசையன் வெளியின் சூன்ய உறுப்பு என்றோ சொல்லலாம். அதற்குக்குறியீடு  '0' என்றே சொல்லலாம். ஆனால் அளவெண்களிலுள்ள '0' வுடன் குழப்பம் வரும் வாய்ப்பிருந்தால் அதை '&lt;math&gt;\mathbf{0}&lt;/math&gt;' என்று குறிக்கவேண்டியிருக்கும். கீழ்க்கண்ட முற்றொருமைச்சமன்பாடுகள் எல்லா திசையன் வெளிகளிலும் உண்மை:
 
 1. எந்த அளவெண் &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; க்கும்,  &lt;math&gt;\alpha \mathbf{0} = 0&lt;/math&gt;
 
 2. V இலுள்ள எந்த u க்கும், &lt;math&gt;0 u = \mathbf{0}&lt;/math&gt;
 
 3. V இலுள்ள எந்த u க்கும்,  (-1) u  =  -u
 
 == சார்பு வெளிகள் ==
 
 சார்புத்திசையன் வெளிகள் சில:
 
 1.&lt;math&gt;\mathcal{F}[a, b]&lt;/math&gt;: மூடிய இடைவெளி [a,b]இல் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்யெண் மதிப்புள்ள  எல்லாச்சார்புகள். இரண்டு சார்புகளின் கூட்டலும் அளவெண் பெருக்கலும் புள்ளிவாரியாகச்செய்யப்படும்; அ-து,
 
 ஒவ்வொரு &lt;math&gt;x \in [a,b]&lt;/math&gt; க்கும்  &lt;math&gt;(f + g)(x) = f(x) + g(x)&lt;/math&gt;;
 
 ஒவ்வொரு அளவெண் &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; வுக்கும், ஒவ்வொரு சார்பு  ''f'' க்கும், ஒவ்வொரு &lt;math&gt;x \in [a,b]&lt;/math&gt;க்கும்   &lt;math&gt;(\alpha f)(x)  =  \alpha (f(x)).&lt;/math&gt;
 
 இதே முறையில்  கீழேயுள்ள சார்பு வெளிகளிலும் கூட்டலும் அளவெண் பெருக்கலும் வரையறுக்கப்பட்டதாகக் கொள்ள வேண்டும்.
 
 2.&lt;math&gt;\mathcal{P}[a, b]&lt;/math&gt;: மூடிய இடைவெளி [a,b]இல் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்யெண் மதிப்புள்ள  எல்லாப் பல்லுறுப்புச் சார்புகளும். இந்த வெளியில் ஒரு மாதிரி உறுப்பு  p  என்றால், ஒவ்வொரு &lt;math&gt;x \in [a,b]&lt;/math&gt; க்கும்
 
 &lt;math&gt;p(x) =  \alpha_0 + \alpha_1 x +\alpha_2 x^2 + ... + \alpha_n x^n&lt;/math&gt;
 
 3.&lt;math&gt;\mathcal{C}[a, b]&lt;/math&gt; : மூடிய இடைவெளி [a,b]இல் வரையறுக்கப்பட்ட மெய்யெண் மதிப்புள்ள எல்லாத் [[தொடர் சார்புகள்]].
 
 4. &lt;math&gt;\mathcal{C}^{(1)}[a, b]&lt;/math&gt;:  மூடிய இடைவெளி [a,b]இல் வரையறுக்கப்பட்டு,முதல் [[வகையீடுகள்]] தொடர்சார்புகளாகவுள்ள ,  மெய்யெண் மதிப்புள்ள எல்லா சார்புகளும்.
 
 5. &lt;math&gt;\mathcal{C}^{(n)}[a, b]&lt;/math&gt;: மூடிய இடைவெளி [a,b]இல் வரையறுக்கப்பட்டு,n வகையீடுகள் தொடர்சார்புகளாகவுள்ள ,  மெய்யெண் மதிப்புள்ள எல்லா சார்புகளும்.
 
 6. &lt;math&gt;\mathcal{C}^{\infty}[a, b]&lt;/math&gt;: மூடிய இடைவெளி [a,b]இல் வரையறுக்கப்பட்டு,எல்லா வகையீடுகளும் உள்ள  ,  மெய்யெண் மதிப்புள்ள எல்லா சார்புகளும்.
 
 அவசியமிருந்தால் இவைகளை&lt;math&gt;\mathcal{F}_{\mathbf{R}}[a, b]&lt;/math&gt;,   &lt;math&gt;\mathcal{P}_{\mathbf{R}}[a, b]&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;\mathcal{C}_{\mathbf{R}}[a, b]&lt;/math&gt;,   &lt;math&gt;\mathcal{C}^{(1)}_{\mathbf{R}}[a, b]&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;\mathcal{C}^{(n)}_{\mathbf{R}}[a, b]&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;\mathcal{C}^{\infty}_{\mathbf{R}}[a, b]&lt;/math&gt;:   என்றும் எழுதவேண்டியிருக்கும்.
 
 7. மேலுள்ள ஆறிலும் &lt;math&gt;\mathbf{R}&lt;/math&gt; க்கு பதில் &lt;math&gt;\mathbf{C}&lt;/math&gt; ஐப்பயன்படுத்தினால், சிக்கல் எண் மதிப்புள்ள சார்புகளின் திசையன் வெளிகள் கிடைக்கும்.
 
 [[பகுப்பு:திசையன் வெளிகள்| ]]
 [[பகுப்பு:சார்புப் பகுவியல்]]
 [[பகுப்பு:திசையன் நுண்கணிதம்]]
 [[பகுப்பு:இயற்பியல் கோட்பாடுகள்]]
 [[பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு]]