மடக்கை வகையிடல்
[[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] '''மடக்கை வகையிடல்''' (''logarithmic differentiation'') அல்லது '''மடக்கை   கண்டு வகையிடல்'''  (''differentiation by taking logarithms'') என்பது ஒரு [[சார்பு|சார்பினை]] [[வகையிடல்|வகையிடும்போது]] அச்சார்பின் மடக்கை வகைக்கெழுவைப் பயன்படுத்தி வகையிடும் முறையாகும்.&lt;ref&gt;{{cite book|title=Calculus demystified|url=https://archive.org/details/calculusdemystif0000kran|pages=[https://archive.org/details/calculusdemystif0000kran/page/170 170]|first=Steven G.|last=Krantz|publisher=McGraw-Hill Professional|year=2003|isbn=0-07-139308-0}}&lt;/ref&gt;
 
 ''f'' எனும் சார்பின் மடக்கை வகைக்கெழு:
 :&lt;math&gt;(\ln f)' = \frac{f'}{f} \quad \implies \quad  f' = f \cdot (\ln f)'.&lt;/math&gt;
 
 ஒரு சார்பினை நேரிடையாக வகையிடுவதைவிட அதன் மடக்கையை வகையிடுவது எளிதாக இருக்கும் சூழ்நிலைகளில் இம்முறையான வகையிடல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. பொதுவாக பல உறுப்புகளின் பெருக்கற்பலனாக அமையும் சார்புகளுக்கு மடக்கை வகையிடல் பொருந்தும். ஏனெனில் பெருக்கற்பலனாகவுள்ள சார்புக்கு [[மடக்கை#மடக்கை முற்றொருமைகள்|மடக்கை]] காணும்போது அது அப்பெருக்கற்பலனிலுள்ள உறுப்புகளின் மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையாக மாறுவதால் வகையிடல் எளிதானதாக மாறுகிறது. சார்புகள் அல்லது மாறிகளின் [[அடுக்கேற்றம்|அடுக்கேற்றமாகவுள்ள]] சார்புகளுக்கும் இது பொருந்தும். இம்முறையில்,  பெருக்கற்பலனை கூட்டலாகவும், வகுத்தலை கழித்தலாகவும் மாற்றுவதற்கு [[வகையிடலின் சங்கிலி விதி]]யும் [[மடக்கை]]யின் பண்புகளும் (குறிப்பாக [[இயல் மடக்கை]] மற்றும் ''[[E (கணித மாறிலி)|e]]'' அடிமான மடக்கை) பயன்படுத்தப்படுகின்றன.&lt;ref&gt;{{cite book|title=Golden Differential Calculus|pages=282|author=N.P. Bali|publisher=Firewall Media|year=2005|isbn=81-7008-152-1}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;Bird&quot;&gt;{{cite book|title=Higher Engineering Mathematics|url=https://archive.org/details/higherengineerin0000bird_q7t8|first=John|last=Bird|pages=[https://archive.org/details/higherengineerin0000bird_q7t8/page/324 324]|publisher=Newnes|year=2006|isbn=0-7506-8152-7}}&lt;/ref&gt; பூச்சியமற்றவையாக இருக்கும் [[வகையிடத்தக்கச் சார்பு]]களுக்கு இம்முறையை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ பயன்படுத்தலாம்.
 
 == விளக்கம் ==
 &lt;math&gt;y=f(x)\,\!&lt;/math&gt; என்ற சார்புக்கு மடக்கை வகையிடல் முறையில் வகைக்கெழு காண்பதற்கு, முதலில் இச்சார்பின் இருபுறமும் மடக்கை (இயல் மடக்கை அல்லது ''[[E (கணித மாறிலி)|e]]'' அடிமான மற்றும் தனிமதிப்பு) காண வேண்டும்:&lt;ref&gt;{{cite book|title=Schaum's Outline of Theory and Problems of Calculus for Business, Economics, and the Social Sciences|url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof0000dowl|url-access=registration|first=Edward T.|last=Dowling|publisher=McGraw-Hill Professional|year=1990|isbn=0-07-017673-6|pages=[https://archive.org/details/schaumsoutlineof0000dowl/page/160 160]}}&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;\ln|y| = \ln|f(x)|.\,\!&lt;/math&gt;
 
 இதனை வகையிட:&lt;ref name=&quot;One&quot;&gt;{{cite book|title=Calculus of One Variable|first=Keith|last=Hirst|pages=97|publisher=Birkhäuser|year=2006|isbn=1-85233-940-3}}&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x)}.&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{dy}{dx} = y \times \frac{f'(x)}{f(x)} = f'(x).&lt;/math&gt;
 
 சிக்கலான சார்புகளுக்கும் அவற்றின் மடக்கைகள் எளிமையான வடிவுக்கு மாறுவதால் மடக்கை வகையிடல் முறை வகையிடலை எளிதாக்குகிறது.&lt;ref&gt;{{cite book|title=Calculus, single variable|url=https://archive.org/details/calculussingleva0000blan|first=Brian E.|last=Blank|pages=[https://archive.org/details/calculussingleva0000blan/page/457 457]|publisher=Springer|year=2006|isbn=1-931914-59-1}}&lt;/ref&gt; இவ்வாறு எளிமைப்படுத்த உதவும் முக்கியமான மடக்கை விதிகள்:&lt;ref name=&quot;Bird&quot; /&gt;
 : &lt;math&gt;\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b), \qquad
 \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b), \qquad
 \ln(a^n) = n\ln(a).&lt;/math&gt;
 
 === பொது வகை ===
 :&lt;math&gt;f(x)=\prod_i(f_i(x))^{\alpha_i(x)}.&lt;/math&gt;
 இருபுறமும் இயல் மடக்கை காண:
 :&lt;math&gt;\ln (f(x))=\sum_i\alpha_i(x)\cdot \ln(f_i(x)),&lt;/math&gt;
 இருபுறமும் வகையிட:
 :&lt;math&gt;\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_i\left[\alpha_i'(x)\cdot \ln(f_i(x))+\alpha_i(x)\cdot \frac{f_i'(x)}{f_i(x)}\right].&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;f'(x)=\overbrace{\prod_i(f_i(x))^{\alpha_i(x)}}^{f(x)}\times\overbrace{\sum_i\left\{\alpha_i'(x)\cdot \ln(f_i(x))+\alpha_i(x)\cdot \frac{f_i'(x)}{f_i(x)}\right\}}^{[\ln (f(x))]'}.&lt;/math&gt;
 
 === உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள் ===
 :&lt;math&gt;{d^n \over dx^n} \ln f(x)
 =\sum_{m_1+2m_2+\cdots+nm_n=n} \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!}\cdot
 \frac{(-1)^{m_1+\cdots+m_n-1} (m_1 +\cdots + m_n-1)!}{f(x)^{m_1+\cdots+m_n}}\cdot
 \prod_{j=1}^n\left(\frac{f^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}.&lt;/math&gt;
 
 இதிலிருந்து பெறப்படும் முதல் நான்கு வரிசை வகைக்கெழுக்கள்:
 :&lt;math&gt; \frac{d^2}{dx^2} \ln f(x) = \frac{f''(x)}{f(x)} - \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^2 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; \frac{d^3}{dx^3} \ln f(x) = \frac{f'''(x)}{f(x)} - 3 \frac{f'(x) f''(x)}{f(x)^2} + 2 \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^3 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; \frac{d^4}{dx^4} \ln f(x) = \frac{f''''(x)}{f(x)} - 4 \frac{f'(x) f'''(x)}{f(x)^2} - 3 \left(\frac{f''(x)}{f(x)}\right)^2 + 12 \frac{f'(x)^2 f''(x)}{f(x)^3} - 6 \left(\frac{f'(x)}{f(x)} \right)^4 &lt;/math&gt;
 
 == பயன்பாடுகள் ==
 === பெருக்கற்பலன்கள் ===
 வகையிட வேண்டிய சார்பு இரு சார்புகளின் பெருக்கற்பலனாக இருந்தால்:
 :&lt;math&gt;f(x)=g(x)h(x)\,\!&lt;/math&gt;
 இருபுறமும் இயல்மடக்கை காண பெருக்கற்பலன் வடிவம் சார்புகளின் மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையாக மாறுகிறது:
 :&lt;math&gt;\ln(f(x))=\ln(g(x)h(x))=\ln(g(x))+\ln(h(x)). \,\!&lt;/math&gt;
 [[வகையிடலின் சங்கிலி விதி]] மற்றும் [[வகையிடல் விதிகள்|வகையிடலின் கூட்டல் விதி]]யைப் பயன்படுத்தி வகையிட்டு சுருக்கக் கிடைப்பது&lt;ref&gt;{{cite book|title=An Elementary Treatise on the Differential Calculus|first=Benjamin|last=Williamson|publisher=BiblioBazaar, LLC|year=2008|pages=25–26|isbn=0-559-47577-2}}&lt;/ref&gt;:
 :&lt;math&gt;\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)},&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;f'(x) = f(x)\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}=
 g(x)h(x)\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}.&lt;/math&gt;
 
 === ஈவுகள் ===
 வகையிட வேண்டிய சார்பு இரு சார்புகளின் ஈவாக இருந்தால்:
 :&lt;math&gt;f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\,\!&lt;/math&gt;
 இருபுறமும் இயல்மடக்கை காண ஈவு வடிவம் சார்புகளின் மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகையாக மாறுகிறது:
 :&lt;math&gt;\ln(f(x))=\ln\Bigg(\frac{g(x)}{h(x)}\Bigg)=\ln(g(x))-\ln(h(x))\,\!&lt;/math&gt;
 [[வகையிடலின் சங்கிலி விதி]] மற்றும் [[வகையிடல் விதிகள்|வகையிடலின் கூட்டல் விதி]]யைப் பயன்படுத்தி வகையிட்டுச் சுருக்கக் கிடைப்பது:
 :&lt;math&gt;\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)},&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;f'(x) = f(x)\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}=
 \frac{g(x)}{h(x)}\times \Bigg\{\frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}\Bigg\}.&lt;/math&gt;
 
 மேலுள்ள முடிவின் வலப்புறம் பொது வகுத்தி எடுத்து சுருக்கினால் &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; சார்பினை நேரிடையாக வகையிடலின் வகுத்தல் விதி மூலம் வகையிடக் கிடைக்கும் முடிவு கிடைப்பதைக் காணலாம்:
 :&lt;math&gt;f'(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\times \Bigg\{\frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{g(x)h(x)}\Bigg\}.&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;f'(x) = \Bigg\{\frac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{({h(x))}^2}\Bigg\}.&lt;/math&gt;
 
 === கூட்டடுக்குகள் ===
 :&lt;math&gt;f(x)=g(x)^{h(x)}\,\!&lt;/math&gt;
 இருபுறமும் இயல் மடக்கை காண அடுக்கேற்றமாகவுள்ள சார்பு, பெருக்கற்பலன் வடிவுக்கு மாறுகிறது:
 :&lt;math&gt;\ln(f(x))=\ln\left(g(x)^{h(x)}\right)=h(x) \ln(g(x))\,\!&lt;/math&gt;
 [[வகையிடலின் சங்கிலி விதி]] மற்றும் [[வகையிடல் விதிகள்|வகையிடலின் பெருக்கல் விதி]]யைப் பயன்படுத்தி வகையிட்டு சுருக்கக் கிடைப்பது
 :&lt;math&gt;\frac{f'(x)}{f(x)} = h'(x) \ln(g(x)) + h(x)\frac{g'(x)}{g(x)},&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;f'(x) = f(x)\times \Bigg\{h'(x) \ln(g(x)) + h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\Bigg\}=
 g(x)^{h(x)}\times \Bigg\{h'(x) \ln(g(x)) + h(x)\frac{g'(x)}{g(x)}\Bigg\}.&lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள்==
 &lt;references /&gt;