இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள்
[[File:Sintay SVG.svg|thumb|The [[sine function]] and all of its [[டெய்லர் தொடர்]]s are odd functions. This image shows &lt;math&gt;\sin(x)&lt;/math&gt; and its Taylor approximations, polynomials of degree 1, 3, 5, 7, 9, 11 and 13.]]
 [[File:Développement limité du cosinus.svg|thumb|The [[cosine function]] and all of its [[டெய்லர் தொடர்]] are even functions. This image shows &lt;math&gt;\cos(x)&lt;/math&gt; and its Taylor approximation of degree 4.]]
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''இரட்டை, ஒற்றைச் சார்புகள்''' (''even functions'', ''odd functions'') என்பவை [[கூட்டல் நேர்மாறு]]களை எடுப்பதைப் பொறுத்து குறிப்பிட்ட [[சமச்சீர்மை]] முடிவுகளை நிறைவுசெய்யும் [[சார்பு]]களாகும். இவை [[பகுவியல் (கணிதம்)|பகுவியலிலில்]], especially the theory of [[அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்)|அடுக்குத் தொடர்]] மற்றும் வூரியே தொடர்களின் கோட்பாட்டில் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவை. கீழ்வரும் கட்டுப்பாடுகள் ஒவ்வொன்றையும் நிறைவு செய்யும் [[அடுக்குச் சார்பு|அடுக்குச் சார்பின்]] அடுக்குகளின் [[நிகரி (கணிதம்)|நிகரி]]களுக்கான பெயர்களாக அமைகின்றன:
 * ''n'' ஒரு இரட்டை [[முழு எண்]] எனில், &lt;math&gt;f(x) = x^n&lt;/math&gt; ஒரு இரட்டைச் சார்பு;
 * ''n'' ஒரு ஒற்றை முழுஎண் எனில், &lt;math&gt;f(x) = x^n&lt;/math&gt; ஒரு ஒற்றைச் சார்பு.
 
 ==வரையறையும் எடுத்துக்காட்டுகளும்==
 
 இரட்டைத்தன்மை, ஒற்றைத்தன்மை ஆகிய இரண்டும் பொதுவாக மெய்ச்சார்புகளுக்கு (தருமதிப்பும், பெறுமதிப்பும் மெய்யெண்களாகக் கொண்ட சார்புகள்) அமைகின்றன. எனினும் பொதுவாக இவை, [[கூட்டல் நேர்மாறு]] கருத்துகளைக் கொண்ட [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களத்தையும்]] [[இணையாட்களம் (கணிதம்)|இணையாட்களத்தையுமுடைய]] சார்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்படுகின்றன. [[பரிமாற்றுக் குலம்|பரிமாற்றுக் குலங்கள்]], அனைத்து [[வளையம் (கணிதம்)|வளையங்கள்]], அனைத்து [[களம் (கணிதம்)|களங்கள்]], அனைத்து  [[திசையன் வெளி]]களும் இதில் அடங்கும். எடுத்துக்காட்டாக, திசையன் மாறியிலிலமைந்த [[சிக்கலெண்]] மதிப்புச் சார்பானது இரட்டை/ஒற்றையாக இருக்கக்கூடியதைப் போன்றே ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பும் இரட்டை/ஒற்றையாக அமையும்.
 
 [[சார்பின் வரைபடம்|சார்புகளின் வரைபடங்களின்]] [[சமச்சீர்மை]]யை விளக்குவதற்காக கீழே தரப்படும் எடுத்துக்காட்டுகள் மெய்ச்சார்புகளாகத் தரப்பட்டுள்ளன.
 
 ===இரட்டைச் சார்புகள்===
 [[Image:Function x^2.svg|right|thumb|&lt;math&gt;f(x)=x^2&lt;/math&gt;, இரட்டைச் சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு]]
 ''f'' , மெய்மாறியிலமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்பு. ''f'' இன் ஆட்களத்திலுள்ள ''x'' களுக்கும் ''x'' = −''x'' என மாற்றும்போது கீழ்வரும் சமன்பாட்டில் எந்தவொரு மாற்றமும் இல்லையென்றால் ''f'' ஒரு இரட்டைச் சார்பு:&lt;ref name=FunctionsAndGraphs&gt;{{cite book|first1=I. M.|last1=Gel'Fand|author1-link=Israel Gelfand|first2=E. G.|last2=Glagoleva|author2-link=E. G. Glagoleva|first3=E. E.|last3=Shnol|title=Functions and Graphs|year=1990|publisher=Birkhäuser|isbn=0-8176-3532-7|url-access=registration|url=https://archive.org/details/functionsgraphs0000gelf}}&lt;/ref&gt;{{rp|p. 11}}
 
 {{Equation box 1
 |indent =
 |title=
 |equation = {{NumBlk||&lt;math&gt;f(-x) = f(x)&lt;/math&gt;|{{EquationRef|Eq.1}}}}
 |cellpadding= 6
 |border
 |border colour = #0073CF
 |background colour=#F5FFFA}}
 
 அல்லது சமானமாக,  ''x'' இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையாக இருக்கும்:
 :&lt;math&gt;f(x) - f(-x) = 0.&lt;/math&gt;
 
 இரட்டைச் சார்பின் வரைபடமானது ''y''-அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது; அதாவது, ''y''-அச்சில் வரைபடத்தின் [[எதிரொளிப்பு (கணிதம்)|எதிரொளிப்பு]] மூல வரைபடத்தைப் போலவே இருக்கும்.
 
 இரட்டைச் சார்புக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:
 *[[தனி மதிப்பு]] &lt;math&gt;x \mapsto |x|,&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;x \mapsto x^2,&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;x \mapsto x^4,&lt;/math&gt;
 *[[முக்கோணவியல் சார்புகள்|கொசைன்]] &lt;math&gt;\cos,&lt;/math&gt;
 *[[அதிபரவளையச் சார்பு|மீவளையக் கொசைன்]] &lt;math&gt;\cosh,&lt;/math&gt;
 *[[காசியச் சார்பு]] &lt;math&gt;x \mapsto \exp (-x^2). &lt;/math&gt;
 
 ===ஒற்றைச் சார்பு===
 [[Image:Function-x3.svg|right|thumb|&lt;math&gt;f(x)=x^3&lt;/math&gt; is an example of an odd function.]]
 ''f'' , மெய்மாறியிலமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்பு. ''f'' இன் ஆட்களத்திலுள்ள ''x'' களுக்கும் ''x'' = −''x'' என மாற்றும்போது கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையென்றால் ''f'' ஒரு ஒற்றைச் சார்பு::&lt;ref name=FunctionsAndGraphs/&gt;{{rp|p. 72}}
 
 {{Equation box 1
 |indent =
 |title=
 |equation = {{NumBlk||&lt;math&gt;f(-x) = -f(x)&lt;/math&gt;|{{EquationRef|Eq.2}}}}
 |cellpadding= 6
 |border
 |border colour = #0073CF
 |background colour=#F5FFFA}}
 
 அல்லது சமானமாக,  ''x'' இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையாக இருக்கும்:
 :&lt;math&gt;f(x) + f(-x) = 0.&lt;/math&gt;
 
 ஒற்றைச் சார்புகளின் வரைபடங்கள் [[ஆதி (கணிதம்)|ஆதிப்புள்ளியைப்]] பொறுத்துச் சுழற்சி சமச்சீர்மை கொண்டிருக்கும். மேலும் அந்த வரைபடங்களை ஆதியைப் பொறுத்து 180 [[பாகை (அலகு)|பாகைகள்]] [[சுழற்சி (கணிதம்)|சுழற்றினால்]] அவை எந்தவொரு மாற்றமுமடையாது.
 
 ஒற்றைச் சார்பின் எடுத்துக்காட்டுகள்:
 *[[குறிச் சார்பு]] &lt;math&gt;x \mapsto \sgn(x),&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;x \mapsto x,&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;x \mapsto x^3,&lt;/math&gt;
 *[[சைன்]] &lt;math&gt;\sin,&lt;/math&gt;
 *[[அதிபரவளையச் சார்பு|மீவளைய சைன்]] &lt;math&gt;\sinh,&lt;/math&gt;
 *[[பிழைச் சார்பு]] &lt;math&gt;\operatorname{erf}.&lt;/math&gt;
 
 [[Image:Function-x3plus1.svg|right|thumb|&lt;math&gt;f(x)=x^3+1,&lt;/math&gt; இரட்டைச் சார்புமில்லை; ஒற்றைச் சார்புமில்லை.]]
 
 ==அடிப்படைப் பண்புகள்==
 
 ===தனித்துவம்===
 * ஒரு சார்பானது ஒரே சமயத்தில் ஒற்றையாகவும் இரட்டையாகவும் இருந்தால் அது வரையறுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கெல்லாம் சார்பின் மதிப்பானது பூச்சியமாக இருக்கும்.
 * சார்பு ஒற்றையாக இருந்தால், அதன் [[தனி மதிப்பு]]ச் சார்பு இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.
 
 ===கூட்டலும் கழித்தலும்===
 * இரு இரட்டைச் சார்புகளின் கூடுதலாக அமையும் சார்பு, ஒரு இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.
 * இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் கூடுதலாக அமையும் சார்பு, ஒரு ஒற்றைச் சார்பாக இருக்கும்.
 * இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் வித்தியாசமாக அமையும் சார்பு, ஒரு ஒற்றைச் சார்பாக இருக்கும்.
 * இரு இரட்டைச் சார்புகளின் வித்தியாசமாக அமையும் சார்பு, ஒரு இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.
 * ஒரு இரட்டை மற்றுமொரு ஒற்றைச் சார்பின் கூடுதல் இரட்டைச் சார்பாகவோ அல்லது ஒற்றைச் சார்பாகவோ இருக்காது. அவ்வாறு இருக்குமாயின் கண்டிப்பாக இரண்டில் ஒரு சார்பானது ஆட்களம் முழுவதும் பூச்சியமாக இருக்கவேண்டும்.
 
 ===பெருக்கலும் வகுத்தலும்===
 * இரு இரட்டைச் சார்புகளின் [[பெருக்கல் (கணிதம்)|பெருக்கலாக]] அமையும் சார்பு, ஓர் இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.
 ** பல இரட்டைச் சார்புகளின் பெருக்கற்பலனும் ஓர் இரட்டைச் சார்பாகவே இருக்கும்.
 * இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பு, ஓர் ஒற்றைச் சார்பாக இருக்கும்.T.
 * ஒரு இரட்டை மற்றுமொரு ஒற்றைச் சார்பின் பெருக்கற்பலன் ஓர் ஒற்றைச் சார்பு.
 * இரு இரட்டைச் சார்புகளின் [[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுத்தலாக]] அமையும் சார்பு, ஓர் இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.
 *இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் [[வகுத்தல் (கணிதம்)|வகுத்தலாக]] அமையும் சார்பு, ஓர் இரட்டைச் சார்பாக இருக்கும்.
 * ஓர் இரட்டை மற்றுமொரு ஒற்றைச் சார்பின் வகுத்தலாக அமையும் சார்பு ஓர் ஒற்றைச் சார்பு.
 
 === சார்புகளின் தொகுப்பு===
 * இரு இரட்டைச் சார்புகளின் [[சார்புகளின் தொகுப்பு|தொகுப்பு]] ஓர் இரட்டைச் சார்பு.
 * இரு ஒற்றைச் சார்புகளின் [[சார்புகளின் தொகுப்பு|தொகுப்பு]] ஓர் ஒற்றைச் சார்பு.
 * ஓர் ஒற்றை மற்றுமோர் இரட்டைச் சார்புகளின் தொகுப்பு இரட்டைச் சார்பாகும். 
 * எந்தவொரு சார்பு மற்றும் ஓர் இரட்டைச் சார்பின் தொகுப்பு ஓர் இரட்டைச் சார்பு (மறுதலை உண்மையில்லை).
 
 ==இரட்டை-ஒற்றை பிரிப்பு==
 ஒவ்வொரு சார்பும் ஓர் இரட்டை மற்றுமோர் ஒற்றைச் சார்பின் கூடுதலாகப் பிரிக்கப்படலாம். அவை முறையே அச்சார்பின் &quot;இரட்டைப் பகுதி&quot;, &quot;ஒற்றைப் பகுதி&quot; எனப்படும்.
 {{Equation box 1
 |indent =
 |title=
 |equation = {{NumBlk||&lt;math&gt;f_\text{e}(x) = \frac {f(x)+f(-x)}{2}&lt;/math&gt;|{{EquationRef|Eq.3}}}}
 |cellpadding= 6
 |border
 |border colour = #0073CF
 |background colour=#F5FFFA}}
 
 மேலும்,
 
 {{Equation box 1
 |indent =
 |title=
 |equation = {{NumBlk||&lt;math&gt;f_\text{o}(x) = \frac {f(x)-f(-x)}{2}&lt;/math&gt;|{{EquationRef|Eq.4}}}}
 |cellpadding= 6
 |border
 |border colour = #0073CF
 |background colour=#F5FFFA}} எனில்:
 
 &lt;math&gt;f_\text{e}&lt;/math&gt; இரட்டைச் சார்பு; &lt;math&gt;f_\text{o}&lt;/math&gt; ஒற்றைச் சார்பு,
 : &lt;math&gt;f(x)=f_\text{e}(x) + f_\text{o}(x).&lt;/math&gt;
 
 மறுதலையாக
 :&lt;math&gt;f(x)=g(x)+h(x),&lt;/math&gt;; {{mvar|g}} இரட்டை; {{mvar|h}} ஒற்றை எனில்:
 :&lt;math&gt;g=f_\text{e},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;h=f_\text{o},&lt;/math&gt; ஏனெனில்,
 : &lt;math&gt;\begin{align}
 2f_\text{e}(x) &amp;=f(x)+f(-x)= g(x) + g(-x) +h(x) +h(-x) = 2g(x),\\
 2f_\text{o}(x) &amp;=f(x)-f(-x)= g(x) - g(-x) +h(x) -h(-x) = 2h(x).
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டாக [[படிக்குறிச் சார்பு|அடுக்கேற்றச் சார்பின்]] இரட்டைப் பகுதியாக [[அதிபரவளையச் சார்பு|அதிபரவளைவு கொசைன்: &quot;cosh&quot;]]யும், ஒற்றைப் பகுதியாக [[அதிபரவளையச் சார்பு|மீவளை சைன்: &quot;sinh&quot;]]யும் கருதலாம் (&quot;cosh&quot; இரட்டைச் சார்பு; &quot;sinh&quot; ஒற்றைச் சார்பு): 
 :&lt;math&gt;e^x=\underbrace{\cosh (x)}_{f_\text{e}(x)} + \underbrace{\sinh (x)}_{f_\text{o}(x)}&lt;/math&gt;.
 
 ==பகுமுறை பண்புகள்==
 ஒரு சார்பின் இரட்டை/ஒற்றைத்தன்மை அச்சார்பின் [[வகையிடத்தக்கச் சார்பு|வகையிடக்கூடியதன்மையையோ]] [[தொடர்ச்சியான சார்பு|தொடர்ச்சியையோ]] தருவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, [[டெரிக்லா சார்பு|டெரிக்லா சார்பானது]] இரட்டைச் சார்பு; ஆனால் அது எவ்விடத்திலும் தொடர்ச்சியானதல்ல.
 
 ===அடிப்படை பகுமுறை பண்புகள்===
 * ஓர் இரட்டைச் சார்பின் [[வகையிடல்|வகைக்கெழு]]ச் சார்பானது ஒற்றையாகும்.
 * ஓர் ஒற்றைச் சார்பின் [[வகையிடல்|வகைக்கெழு]]ச் சார்பானது இரட்டையாகும்.
 * −''A'' முதல் +''A'' வரையிலான ஓர் ஒற்றைச் சார்பின் [[தொகையீடு]] பூச்சியமாக இருக்கும் (''A'' முடிவுள்ளதாகவும், −''A'' முதல் ''A'' வரை சார்புக்கு, [[அணுகுகோடு|குத்து தொலைத்தொடுகள் எதுவும் இருக்கக்கூடாது).
 ஒரு சமச்சீரான இடைவெளியில் எ.கா:&lt;math&gt;[-A,A]&lt;/math&gt;, ஒற்றைச் சார்பின் தொகையீடு பூச்சியம்:&lt;ref&gt;{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/OddFunction.html|title=Odd Function|first=Weisstein, Eric|last=W.|website=mathworld.wolfram.com}}&lt;/ref&gt;
 *:&lt;math&gt;\int_{-A}^{A} f(x)\,dx = 0&lt;/math&gt;.
 * −''A'' முதல் +''A'' வரையிலான ஓர் இரட்டைச் சார்பின் [[தொகையீடு]], ''0'' முதல் +''A'' வரையிலான அச் சார்பின் [[தொகையீடு|தொகையீட்டைப்]] போல இருமடங்காக இருக்கும் (''A'' முடிவுள்ளதாகவும், −''A'' முதல் ''A'' வரை அச் சார்புக்கு, [[அணுகுகோடு|குத்து தொலைத்தொடுகள்]] எதுவும் இருக்கக்கூடாது). ''A'' முடிவுள்ளதாக இருப்பதோடு சார்பின் தொகையீடு ஒருங்குவதாக இருந்தால் மட்டுமே இது உண்மையாக இருக்கும்: 
 *:&lt;math&gt;\int_{-A}^{A} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{A} f(x)\,dx&lt;/math&gt;.
 
 ===தொடர்கள்===
 * ஓர் இரட்டைச் சார்பின் [[டெய்லர் தொடர்|மெக்லாரின் தொடரிலுள்ள]] உறுப்புகள் அனைத்தும் இரட்டை அடுக்குகளைக் கொண்டவை.
 * ஓர் ஒற்றைச் சார்பின் [[டெய்லர் தொடர்|மெக்லாரின் தொடரிலுள்ள]] உறுப்புகள் அனைத்தும் ஒற்றை அடுக்குகளைக் கொண்டவை.
 * ஓர் இரட்டைக் [[காலமுறைச் சார்பு|காலமுறை]]ச் சார்பின் வூரியே தொடரிலுள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் [[முக்கோணவியல் சார்புகள்|கொசைனைக் (cos)]] கொண்டிருக்கும்.
 * ஓர் ஒற்றைக் [[காலமுறைச் சார்பு|காலமுறை]]ச் சார்பின் வூரியே தொடரிலுள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் [[முக்கோணவியல் சார்புகள்|சைனைக் (sin)]] கொண்டிருக்கும்.
 *முழுவதுமாக மெய்-மதிப்புகளைக்கொண்ட இரட்டைச் சார்பின் [[வூரியே மாற்று]], ஒரு மெய் மற்றும் இரட்டைச் சார்பாகும்.
 *முழுவதுமாக மெய்-மதிப்புகளைக்கொண்ட ஒற்றைச் சார்பின் [[வூரியே மாற்று]], ஒரு கற்பனை மற்றும் ஒற்றைச் சார்பாகும்.
 
 ==பொதுமைப்படுத்தல்கள்==
 ===பன்மாறிச் சார்புகள்===
 
 '''இரட்டைச் சமச்சீர்மை:'''
 
 &lt;math&gt;f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} &lt;/math&gt; என்பது இரட்டைச் சமச்சீர் சார்பு எனில்:
 :&lt;math&gt;f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=f(-x_1,-x_2,\ldots,-x_n) \quad \text{for all } x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
 
 '''ஒற்றைச் சமச்சீர்மை:'''
 
 &lt;math&gt;f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} &lt;/math&gt; என்பது ஒற்றைச் சமச்சீர் சார்பு எனில்:
 :&lt;math&gt;f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=-f(-x_1,-x_2,\ldots,-x_n) \quad \text{for all } x_1,\ldots,x_n \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
 
 ===சிக்கலெண்-மதிப்புச் சார்புகள்===
 மெய்-தருமதிப்புகளைக்கொண்ட [[சிக்கலெண்|சிக்கலெண்-மதிப்புச்]] சார்புகளின் இரட்டை மற்ரும் ஒற்றைச் சமச்சீர்மைகளின் வரையறை மெய்-மதிப்புச் சார்புகளுக்குப் போன்றதே ஆகும். எனினும் அவை [[இணைச் சிக்கலெண்]]களைக் கொண்டமையும்.
 
 '''இரட்டைச் சமச்சீர்மை:'''
 
 &lt;math&gt;f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; என்ற மெய்-தருமதிப்புகளைக்கொண்ட [[சிக்கலெண்|சிக்கலெண்-மதிப்புச்]] சார்பு, ஓர் இரட்டைச் சமச்சீர் சார்பு எனில்:
 :&lt;math&gt;f(x)=\overline{f(-x)} \quad \text{for all } x \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
 
 '''ஒற்றைச் சமச்சீர்மை:'''
 
 &lt;math&gt;f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; என்ற &lt;math&gt;f: \mathbb{R} \to \mathbb{C}&lt;/math&gt; என்ற மெய்-தருமதிப்புகளைக்கொண்ட [[சிக்கலெண்|சிக்கலெண்-மதிப்புச்]] சார்பு, ஓர் ஒற்றைச் சமச்சீர் சார்பு எனில்:
 :&lt;math&gt;f(x)=-\overline{f(-x)} \quad \text{for all } x \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
 
 ===முடிவுறு நீளத் தொடர்கள்===
 இரட்டை/ஒற்றைச் சமச்சீர்மையானது ''N''-புள்ளி தொடர்களுக்கும் நீட்டிக்கப்படுகிறது (அ.து &lt;math&gt;f: \left\{0,1,\ldots,N-1\right\} \to \mathbb{R}&lt;/math&gt; என்றவாறமையும் சார்புகள்):&lt;ref name=ProakisManolakis&gt;{{Citation | last =Proakis | first =John G. | last2 =Manolakis | first2 =Dimitri G. | title =Digital Signal Processing: Principles, Algorithms and Applications | place =Upper Saddle River, NJ | publisher =Prentice-Hall International | year =1996 | edition =3 | language =en | id =sAcfAQAAIAAJ | isbn =9780133942897 | url-access =registration | url =https://archive.org/details/digitalsignalpro00proa }}&lt;/ref&gt;{{rp|p. 411}}
 
 '''இரட்டைச் சமச்சீர்மை:'''
 
 ஒரு ''N''-புள்ளி தொடர், இரட்டைச் சமச்சீர் எனில்:
 :&lt;math&gt;f(n) = f(N-n) \quad \text{for all } n \in \left\{ 1,\ldots,N-1 \right\}.&lt;/math&gt;
 
 இத்தகைய தொடர்கள், &quot;இருவழியொத்த தொடர்கள்&quot; (''palindromic sequence'') என அழைக்கப்படுகின்றன.
 
 '''ஒற்றைச் சமச்சீர்மை:'''
 
 ஒரு ''N''-புள்ளி தொடர், ஒற்றைச் சமச்சீர் எனில்:
 :&lt;math&gt;f(n) = -f(N-n) \quad \text{for all } n \in \left\{1,\ldots,N-1\right\}. &lt;/math&gt;
 
 இத்தகைய தொடர்கள், &quot;எதிர்-இருவழியொத்த தொடர்கள்&quot; (''anti-palindromic sequence'') என அழைக்கப்படுகின்றன.
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{Reflist}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 *{{Citation |last=Gelfand |first=I. M. |last2=Glagoleva |first2=E. G. |last3=Shnol |first3=E. E. |author-link=இசுரேல் கெல்ஃபாண்ட் |year=2002 | orig-year=1969 |title=Functions and Graphs |publisher=Dover Publications |publication-place=Mineola, N.Y |url=http://store.doverpublications.com/0486425649.html }}
 
 [[பகுப்பு:நுண்கணிதம்]]
 [[பகுப்பு:சார்பிய வகைகள்]]