இரட்டை மற்றும் ஒற்றை வரிசை எண்கள்
கணிதத்தில், இரட்டை மற்றும் ஒற்றை வரிசை எண்கள் என்பதற்கு இணையான பதம்  இயல்எண்ணிலிருந்து வரிசை எண்களுக்கு விரிவுபடுத்தப்பட்டு செல்வதைக் குறிக்கிறது.இவை சில மாற்றுமுடிவு உய்த்தறிதல் நிரூபணங்களில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  
 
 இந்த மொழி சில வரிசை α  விற்கு இணையான சாியான வரையறைகளைக் கொண்டுள்ளது.
 * எல்லா வரம்பு வரிசைகளும் ( 0 உட்பட) இரட்டையாகும். இரட்டை வரிசையின் தொடா் எண் ஒற்றையாகும். மறுதலையாகவும் கொள்ளப்படும்.&lt;ref&gt;{{cite book|title=Real Analysis|author1=Bruckner, Andrew M.|author2=Judith B. Bruckner|author3=Brian S. Thomson|last-author-amp=yes|year=1997|isbn=0-13-458886-X|pages=37}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;Salzmann&quot;&gt;{{cite book|author=Salzmann, H., T. Grundhöfer, H. Hähl, and R. Löwen|title=The Classical Fields: Structural Features of the Real and Rational Numbers|url=https://archive.org/details/classicalfieldss0000unse|pages=[https://archive.org/details/classicalfieldss0000unse/page/168 168]|year=2007|publisher=Cambridge University Press|isbn=0-521-86516-6}}&lt;/ref&gt;
 * α = λ + ''n என்க. இதில் '' λ என்பது வரம்பு வரிைச மற்றும்  ''n'' என்பது இயல் எண்ணாகும்.  α வின் இணை  ''n ன் இணையாகும்''.&lt;ref&gt;{{cite book|title=Fundamentals of Real Analysis|url=https://archive.org/details/fundamentalsofre0000fora|first=James|last=Foran|year=1991|publisher=CRC Press|pages=[https://archive.org/details/fundamentalsofre0000fora/page/110 110]|isbn=0-8247-8453-7}}&lt;/ref&gt;
 * ''n'' ஆனது α விற்கான கான்டா் இயல்நிலையின்எண்ணிலடங்கிய உறுப்பு என்க.  α வின் இணை  n ன் இணையாகும்.&lt;ref&gt;{{cite book|title=Ordered Sets|first=Egbert|last=Harzheim|pages=296|year=2005|publisher=Springer|isbn=0-387-24219-8}}&lt;/ref&gt;
 * α = ωβ + ''n'', இதில் ''n'' இயல் எண்ணாகும். α வின் இணை  n ன் இணையாகும்.&lt;ref name=&quot;Kamke&quot;&gt;{{cite book|title=Theory of Sets|url=https://archive.org/details/theoryofsets0000kamk_q1m9|first=Erich|last=Kamke|pages=[https://archive.org/details/theoryofsets0000kamk_q1m9/page/96 96]|year=1950|publisher=Courier Dover|isbn=0-486-60141-2}}&lt;/ref&gt;
 * α = 2β எனில் α இரட்டையாகும். மற்றபடி, α = 2β + 1 மற்றும் α ஒற்றையாகும்.&lt;ref&gt;{{cite book|title=Set Theory|first=Felix|last=Hausdorff|authorlink=Felix Hausdorff|pages=99|year=1978|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8284-0119-5}}&lt;/ref&gt;
 இரட்டை எண்களைத் தவிா்த்து, β2 = β + β.என்ற வரிசை எண் வடிவில் உள்ள இரட்டை வரிசைகளின் பண்புகளை பெற இயலாது.  வரிசையின் பெருக்கல் பரிமாற்றம் அற்றது. பொதுவாக,  {{Nowrap|2β ≠ β2.}} உண்மையில் இரட்டை வரிசை  {{Nowrap|ω + 4}}என்பதை  β + β எனவும் வரிசை எண்ணாகவும் வெளிப்படுத்த இயலாது., 
 : (ω + 3)2 = (ω + 3) + (ω + 3) = ω + (3 + ω) + 3 = ω + ω + 3 = ω2 + 3
 இரட்டை அல்ல.
 
 தலையாய கூட்டலின் தன்னடுக்கு விதியில் வரிசை இணை பயன்படுகிறது. (நன்கு வரிசைபடுத்தப்பட்ட தேற்றத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது) முடிவிலா தலையாய எண்  κ, அல்லது பொதுவாக, வரம்பு வரிசை κ, κ என்பது சம ஒப்புமையான வரிசைபடுத்தப்பட்ட இரட்டை வரிசை மற்றும் ஒற்றை வரிசையின் உட்கணமாகும்.தலையாய கூட்டல் இவ்வாறு அமைகிறது {{Nowrap|1=κ + κ = κ.}}&lt;ref&gt;{{Cite book|last=Roitman|first=Judith|year=1990|title=Introduction to Modern Set Theory|url=https://archive.org/details/introductiontomo0000roit|pages=[https://archive.org/details/introductiontomo0000roit/page/88 88]|publisher=Wiley-IEEE|isbn=0-471-63519-7|ISBN=0-471-63519-7}}&lt;/ref&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}