ரோலின் தேற்றம்
[[Image:Rolle's theorem.svg|300px|right]] 
 [[வகை நுண்கணிதம்|வகை நுண்கணிதத்தில்]], '''ரோலின் தேற்றத்தின்''' (''Rolle's theorem'') படி, ஒரு [[வகையிடத்தக்கச் சார்பு]]க்கு, இரு வெவ்வேறு [[புள்ளி]]களில் சமமான மதிப்புகள் இருந்தால், அவ்விரு புள்ளிகளுக்கு இடையே ஏதாவது ஒரு புள்ளியில் அச்சார்பின் முதல் வகைக்கெழு [[பூச்சியம்|பூச்சியமாக]] இருக்கும், அதாவது அவ்விரு புள்ளிகளுக்கிடையே சார்பின் [[வளைவரை]]யின்மீது ஒரு புள்ளியில் ([[நிலைப் புள்ளி]]) [[தொடுகோடு|தொடுகோட்டின்]] [[சாய்வு]] பூச்சியமாகும்.
 
 ==தேற்றத்தின் திட்ட வடிவம்==
 
 :&lt;math&gt;f  \,&lt;/math&gt; - ஒரு [[எண்#மெய்யெண்கள்|மெய்மதிப்புச்]] சார்பு. இச்சார்பு,
 * [[இடைவெளி (கணிதம்)|மூடிய இடைவெளி]] [''a'',&amp;nbsp;''b'']-ல் [[தொடர்ச்சியான சார்பு|தொடர்ச்சியானதாகவும்]],
 * திறந்த இடைவெளி (''a'',&amp;nbsp;''b'')-ல் வகையிடத்தக்கதாகவும், 
 * &lt;math&gt;\ f(a) = f(b), &lt;/math&gt; எனவும் இருந்தால்,
 :&lt;math&gt;f'(c) = 0.\,&lt;/math&gt; என்றவாறு ஏதாவது ஒரு மதிப்பு, &lt;math&gt;c \in\ (a , b)&lt;/math&gt; இருக்கும்.
 
 [[இடைமதிப்புத் தேற்றம்|இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின்]] [[கணித நிறுவல்|நிறுவலுக்கு]],ரோலின் தேற்றம் பயன்படுகிறது. இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்புவகையாக ரோலின் தேற்றத்தைக் கருதலாம். [[டெயிலரின் தேற்றம்|டெயிலரின் தேற்ற]] நிறுவலுக்கும் ரோலின் தேற்றம் அடிப்படையாக அமைகிறது.
 
 ==வரலாறு==
 முதன்முதலில் [[பிரான்சு|பிரெஞ்சு]] [[கணிதவியலாளர்]] ''மைக்கேல் ரோலால்'' 1691-ல் இத்தேற்றம் வகை நுண்கணித முறையில்  நிறுவப்பட்டது.  ரோலின் தேற்றம் என்ற பெயர், 1834-ல் [[ஜெர்மனி|ஜெர்மானிய]] கணிதவியலாளர் ''மோரிட்ஸ் வில்லெம் டுரோபிஷ்'' மற்றும் 1846-ல் [[இத்தாலி|இத்தாலிய]] கணிதவியலாளர் ''ஜியூஸ்டோ பெல்லாவிட்டில்'' ஆகிய இருவராலும் பயன்படுத்தப்பட்டது. 
 &lt;ref&gt;See [[Florian Cajori]]'s ''A History of Mathematics'', p. 224 [http://books.google.com/books?id=mGJRjIC9fZgC&amp;pg=RA1-PA119-IA5&amp;lpg=RA1-PA119-IA5&amp;dq=Giusto+Bellavitis++rolle&amp;source=bl&amp;ots=cN8cBV6rJ1&amp;sig=scHAQEZt_PzsfigLvDFJ3Jz6_dU&amp;hl=en&amp;sa=X&amp;oi=book_result&amp;resnum=2&amp;ct=result].&lt;/ref&gt;
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 [[Image:semicircle.svg|thumb|200px|''r'' அலகு ஆரமுள்ள அரைவட்டம்]] 
 * சார்பு:
 :&lt;math&gt;f(x)=\sqrt{r^2-x^2},\quad x\in[-r,r],&lt;/math&gt;  ''r''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0
 
 இச் [[சார்பின் வரைபடம்]], [[ஆதி (கணிதம்)|ஆதிப்புள்ளியை]] மையமாகக் கொண்ட [[வட்டம்|வட்டத்தின்]] மேல் அரைவட்டப்பகுதி. இச்சார்பு,
 * மூடிய இடைவெளி [&amp;minus;''r'',''r''] -ல் தொடர்ச்சியானது,
 * திறந்த இடைவெளி (&amp;minus;''r'',''r'') -ல் வகையிடத்தக்கது, 
 * &lt;math&gt; f(-r) = f(r). &lt;/math&gt;
 
 ரோலின் தேற்றத்தின் மூன்று நிபந்தனைகளையும் இச்சார்பு சரிசெய்கிறது. எனவே தேற்ற முடிவின்படி (&amp;minus;''r'',''r'') -ல் ஏதாவது ஒரு மதிப்பிற்கு முதல்வகைக்கெழு பூச்சியமாகும்.
 
 திறந்த இடைவெளியில் சார்பு வகையிடத்தக்கதாக இருந்தால் போதுமென இத்தேற்றம் கூறுவதால் இந்த எடுத்துக்காட்டின் சார்பு இடைவெளியின் முனைப்புள்ளிகளில் வகையிடத்தக்கதாக இல்லையென்றாலும் இத்தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த முடிகிறது.
 
 [[Image:Absolute value.svg|thumb|300px|தனி மதிப்புச் சார்பின் வரைபடம்.]] 
 * [[தனிமதிப்புச் சார்பு]]:
 :&lt;math&gt;f(x) = |x|,\qquad x\in[-1,1].&lt;/math&gt;
 
 இச்சார்புக்கு, &lt;math&gt;\ f(-1) = f(1), &lt;/math&gt; மூடிய இடைவெளி [-1 , 1]-ல் தொடர்ச்சியாக இருந்தாலும் ''x''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;0 -ல் அதற்கு வகைக்கெழு இல்லை.  ''x''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;0 -ல் வகைக்கெழு பூச்சியமாகாமலேயே இருபுறமும் குறி மாறுகிறது. ரோலின் தேற்றத்தின் இரண்டாவது நிபந்தனை பூர்த்தியாகவில்லை. &amp;minus;1 , 1 -க்கிடையே எந்தவொரு புள்ளியிலும் முதல் வகைக்கெழு பூச்சியமாவதில்லை.
 
 ==பொதுமைப்படுத்தல்==
 
 &lt;math&gt;f  \,&lt;/math&gt; - ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு. இச்சார்பு, 
 * மூடிய இடைவெளி [''a'',''b'']-ல் தொடர்ச்சியானதாகவும்,
 * &lt;math&gt;\ f(a) = f(b) &lt;/math&gt; எனவும் 
 * ஒவ்வொரு &lt;math&gt;x \in\ (a , b)&lt;/math&gt; -க்கும்
 
 வலது எல்லை: &lt;math&gt;f'(x+)=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},&lt;/math&gt;
 
 இடது எல்லை: &lt;math&gt;f'(x-)=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},&lt;/math&gt; ஆகிய இரண்டு எல்லைகளும் [[நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோடு]], [&amp;minus;∞, ∞] -ல் இருக்குமானால்,
 
 : &lt;math&gt;f'(c+)\quad\text{and}\quad f'(c-)&lt;/math&gt; ஆகிய இரு எல்லைகளில் ஏதாவது ஒன்று ≥&amp;nbsp;0  மற்றது ≤&amp;nbsp;0 (நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டில்) ஆகவும் இருக்குமாறு ஏதாவது ஒரு மதிப்பு &lt;math&gt;c \in\ (a , b)&lt;/math&gt; இருக்கும்.
 
 : மேலும் இவ்விரண்டு எல்லைகளும் சமமாக இருப்பின் &lt;math&gt;f  \,&lt;/math&gt; -க்கு வகைக்கெழு உண்டு. மேலும் அவ்வகைக்கெழு பூச்சியமாக இருக்கும்.
 
 குறிப்பு:
 # &lt;math&gt;f  \,&lt;/math&gt;  குழிவு அல்லது குவிவாக இருந்தால் இடைவெளியின் உள்ளே ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் வலது மற்றும் இடது வகைக்கெழுக்கள் காணமுடியும். எனவே மேலே குறிப்பிட்ட இரு எல்லைகளும் காணக்கூடியதாகவும் மெய்யெண் மதிப்புடையவையாகவும் இருக்கும்.
 #ஒரு பக்க (வலது அல்லது இடது) வகைக்கெழுக்கள் [[ஓரியல்புச் சார்பு#கூடும் சார்பு|கூடும் சார்பாக]] அமைந்தால், ஒரு சார்பின் குவிவுத்தன்மையை நிறுவ பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ரோலின் தேற்றம் போதுமானதாக இருக்கும்.:&lt;ref&gt;
 {{Citation
  | last = Artin
  | first = Emil
  | authorlink = Emil Artin
  | others = trans. Michael Butler
  | title = The Gamma Function
  | origyear = 1931
  | year = 1964
  | publisher = [[Henry Holt and Company|Holt, Rinehart and Winston]]
  | pages = 3–4 }}
 &lt;/ref&gt;
 
 ::&lt;math&gt;f'(x-) \le f'(x+) \le f'(y-),\qquad x &lt; y.&lt;/math&gt;
 
 == பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தேற்றத்தின் நிறுவல்==
 இருவகையான ரோலின் தேற்றத்தின்  நிறுவல்களும் கிட்டத்தட்ட ஒரேமாதியானவை என்பதால் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வகைக்கான நிறுவலைக் காணலாம்.
 
 * &lt;math&gt;f,  \,&lt;/math&gt; மூடிய இடைவெளி [''a'',''b''] -ல் தொடர்ச்சியானது என்பதால், [[அறுதி மதிப்புத் தேற்றம்|அறுதி மதிப்புத் தேற்றத்தின்படி]] சார்புக்கு இந்த இடைவெளியில் குறைந்த பட்சம் ஒரு [[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்]] இருக்கும்.
 *பெருமம் மற்றும் சிறுமம் இரண்டும் இடைவெளியின் முனைப் புள்ளிகளில் அமைந்தால் சார்பு [''a'',''b''] -ல் மாறிலிச் சார்பாகும்.  எனவே (''a'',''b'') -ல் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் &lt;math&gt;f  \,&lt;/math&gt; -ன் வகைக்கெழு பூச்சியம்.
 * பெருமம் இடைவெளியினுள் அமைகிறது என்க. &lt;math&gt;c \in\ (a , b)&lt;/math&gt;-ல் பெருமம். (சிறுமத்திற்கும் இதேபோல் &lt;math&gt;-f,  \,&lt;/math&gt;  கொண்டு நிறுவலாம்).
 
 ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் ''h''-க்கு , &lt;math&gt;c+h \in\ (a , b)&lt;/math&gt; எனில்,  &lt;math&gt;f(c+h),  \,&lt;/math&gt; -ன் மதிப்பு &lt;math&gt;f(c),  \,&lt;/math&gt; -ன் மதிப்பைவிடச் சிறியதாக இருக்கும்.
 
 ''h''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;0 எனில்:
 
 :&lt;math&gt;\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,&lt;/math&gt;
 : ஃ &lt;math&gt;f'(c+):=\lim_{h \to 0^+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0,&lt;/math&gt;...........1
 
 இந்த எல்லை மதிப்பு -∞,ஆக அமையலாம்.
  
 இதேபோல்  ''h''&amp;nbsp;&lt;&amp;nbsp;0, எனில்,
 :&lt;math&gt;\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,&lt;/math&gt;
 : ஃ &lt;math&gt;f'(c-):=\lim_{h \to 0^-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0,&lt;/math&gt;............2
 
 இந்த எல்லை மதிப்பு ∞, ஆக அமையலாம்.
 
 இறுதியாக இவ்விரண்டு எல்லைகளும் சமமாக இருந்தால் &lt;math&gt;f  \,&lt;/math&gt; -ன் வகைக்கெழு ''c''-ல் பூச்சியமாக இருக்கும். எனவே தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.
 
 == உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்களுக்குப் பொதுமைப்படுத்தல்==
 
 சார்பு &lt;math&gt;f  \,&lt;/math&gt;
 
 * மூடிய இடைவெளி [''a'',''b'']  -ல் ''n''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;1 தடவைகள் தொடர்ச்சியாக வகையிடத்தக்கதாகவும்,
 * திறந்தஇடைவெளி (''a'',''b'') -ல் ''n''&lt;sup&gt;ம்&lt;/sup&gt;  வகைக்கெழு காணமுடியக்கூடியதாகவும்,
 * [''a'',''b''] -ன்  ''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;&lt;&amp;nbsp;''b''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;≤ ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;&lt;&amp;nbsp;''b''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;≤ .&amp;nbsp;.&amp;nbsp;.≤ ''a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''&amp;nbsp;&lt;&amp;nbsp;''b&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''    -''n''   உள் இடைவெளிகளில்,  1 முதல் ''n'' வரையிலான ஒவ்வொரு ''k'' -க்கும்
 
 &lt;math&gt;\ f(a_k) = f(b_k) &lt;/math&gt; எனவும் இருந்தால்:
 
 :&lt;math&gt;f  \,&lt;/math&gt; -ன்   ''n''&lt;sup&gt;ம்&lt;/sup&gt; -ஆம் வகைக்கெழு பூச்சியமாக இருக்குமாறு ஒரு மதிப்பு, &lt;math&gt;c \in\ (a , b)&lt;/math&gt; இருக்கும்.
 
 ===நிறுவல்===
 
 கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் இதனை நிறுவலாம்.
 
 ''n''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;1 எனில் இத்தேற்றம், ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட ரோலின் தேற்றத்தின் திட்ட வகையாகிவிடுவதால், உண்மையாகிறது.
 
 எனவே இப்பொழுது இத்தேற்றம் ''n''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;1 -க்கு உண்மையாகும் என நிறுவ வேண்டும்.
 
 ரோலின் தேற்றத்தின் திட்ட வகையின் முடிவிலிருந்து 1 லிருந்து ''n'' வரையுள்ள ஒவ்வொரு [[முழு எண்]] ''k'' -க்கும், &lt;math&gt;\ f^{\prime}(c_k) = 0 &lt;/math&gt; என்றவாறு &lt;math&gt;c_k \in\ (a_k , b_k)&lt;/math&gt; இருக்கும்.
 
 [''c''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,''c''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;], .&amp;nbsp;.&amp;nbsp;.[''c''&lt;sub&gt;''n''&amp;minus;1&lt;/sub&gt;,''c&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''] -ஆகிய (''n''- 1) மூடிய இடைவெளிகளில் &lt;math&gt;\ f^{\prime} &lt;/math&gt; தேற்ற நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்வதால், கணிதத் தொகுத்தறிதலின் கொள்கைப்படி, &lt;math&gt;c \in\ (a , b)&lt;/math&gt; -ல்  &lt;math&gt;\ f^{\prime} &lt;/math&gt; -ன் (''n''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;1)&lt;sup&gt;ம்&lt;/sup&gt; -ஆம் வகைக்கெழு பூச்சியமாக இருக்கும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 &lt;references/&gt;
 {{refbegin}}
 * {{ Citation | first = Irving | last = Kaplansky | authorlink = Irving Kaplansky | title = Fields and Rings | year = 1972 }}
 * {{ Citation | title = Multiplier sequences for fields | first1 = Thomas | last1 = Craven | first2 = George | last2 = Csordas | journal = Illinois J. Math. | volume = 21 | year = 1977 | pages = 801–817 | url = http://projecteuclid.org/euclid.ijm/1256048929 | issue = 4 }}
 * {{ Citation | title = A Simple Proof of Rolle's Theorem for Finite Fields | first1 = C. | last1 = Ballantine | first2 = J. | last2 = Roberts | journal = [[The American Mathematical Monthly]] | volume = 109 | month = January | year = 2002 | pages = 72–74 | issue = 1 | doi = 10.2307/2695770 | jstor = 2695770 | publisher = Mathematical Association of America }}
 {{refend}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/MVT.shtml Rolle's and Mean Value Theorems] at [[cut-the-knot]]
 
 {{Commonscat|Rolle's theorem}}
 
 [[பகுப்பு:வகையீட்டு நுண்கணிதம்]]