இயல்நிலை அணி
கணிதத்தில் ஒரு சதுர அணியையும் அதன் [[இணையிய இடமாற்று அணி]]யையும் [[அணிப்பெருக்கல்|பெருக்குதல்]] [[பரிமாற்றுத்தன்மை]] உடையதானால் அச்சதுர அணி '''இயல்நிலை அணி'''  (normal matrix) எனப்படும். 
 :[[சதுர அணி]] {{mvar|A}} ஒரு இயல்நிலை அணி எனில்:
 ::&lt;math&gt;A^*A=AA^*&lt;/math&gt;,  {{math|''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} என்பது {{mvar|A}} இன் இணையிய இடமாற்று அணி. 
 
 [[மெய்யெண்]] உறுப்புகளுடைய ஒரு சதுர அணியின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் [[இணைச் சிக்கலெண்|இணையிய எண்ணும்]] அதே உறுப்பாக இருக்குமென்பதால் அச்சதுர அணியும் அதன் இடமாற்று அணியும் ஒன்றாக இருக்கும். எனவே மெய்யெண் உறுப்புகள் கொண்ட சதுர அணிகள் எல்லாம் இயல்நிலையானவை. 
 :மெய்யெண் உறுப்புகள் கொண்ட சதுர அணி {{mvar|A}} எனில்:
 ::{{math|''A''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt; {{=}} ''A''&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;}}
 ::எனவே {{math|''A''&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;''A'' {{=}} ''AA''&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;}} என்பது உண்மையாகும். அதாவது {{mvar|A}} ஒரு இயல்நிலை அணி.
 
 ==சிறப்பு வகைகள்==
 சிக்கலெண் அணிகளில் அனைத்து [[அலகுநிலை அணி]]கள், [[ஹெர்மைட் அணி]]கள், எதிர்-ஹெர்மைட் அணிகள்]] ஆகியவை இயல்நிலையானவை. மெய்யெண் அணிகளில் [[செங்குத்து அணி]]கள், [[சமச்சீர் அணி]]கள் [[எதிர் சமச்சீர் அணி]] ஆகியவை இயல்நிலை அணிகள். எனினும் எல்லா இயல்நிலை அணிகளும் அலகுநிலை அணிகளாகவோ அல்லது ஹெர்மைட் அணிகளாகவோ இருக்காது.
 
 :எடுத்துக்காட்டு:
 
 :&lt;math&gt;A = \begin{pmatrix} 1 &amp; 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; 1 &amp; 1 \\ 1 &amp; 0 &amp; 1 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;  
 :&lt;math&gt;AA^* = \begin{pmatrix} 2 &amp; 1 &amp; 1 \\ 1 &amp; 2 &amp; 1 \\ 1 &amp; 1 &amp; 2 \end{pmatrix} = A^*A.&lt;/math&gt;&lt;!--For the curious, the four classes
      \begin{pmatrix} a &amp; b &amp; 0 \\ 0 &amp; a &amp; b \\ b &amp; 0 &amp; a \end{pmatrix}
      \begin{pmatrix} a &amp; b &amp; 0 \\ 0 &amp; a &amp; -b \\ b &amp; 0 &amp; a \end{pmatrix}
      \begin{pmatrix} a &amp; b &amp; 0 \\ 0 &amp; a &amp; b \\ -b &amp; 0 &amp; a \end{pmatrix}
      \begin{pmatrix} a &amp; b &amp; 0 \\ 0 &amp; a &amp; -b \\ -b &amp; 0 &amp; a \end{pmatrix}
      are neither unitary nor skew-Hermitian for all non-zero real a and b. There are more 3x3 examples, but among 2x2 matrices, there are only ones that are multiples of unitary matrices.--&gt;
 
 எனவே இது ஒரு இயல்நிலை அணி. ஆனால் அது அலகுநிலை அணியோ அல்லது ஹெர்மைட்/எதிர் ஹெர்மைட் அணியோ கிடையாது.
 
 ==விளைவுகள்==
 *ஒரு இயல்நிலை [[முக்கோண அணி]]யானது [[மூலைவிட்ட அணி]]யாக இருக்கும்.
 
 *{{math|''A'' {{=}} ''U''Λ''U''&amp;thinsp;&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} என்பதை நிறைவு செய்யும் [[மூலைவிட்ட அணி]] {{math|Λ}} மற்றும் [[அலகுநிலை அணி]] {{mvar|U}} ஆகியவை இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, {{mvar|A}} ஒரு இயல்நிலை அணியாக இருக்கும்.
 
 *  ஒரு இயல்நிலை அணியின் [[ஐகென் மதிப்பு]]கள் எல்லாம் மெய்யெண்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அந்த இயல்நிலை அணி ஒரு [[ஹெர்மைட் அணி]]யாக இருக்கும்.
 
 *பொதுவாக இரு இயல்நிலை அணிகளின் கூட்டல் அணியும் பெருக்குத்தொகை அணியும் இயல்நிலை அணிகளாக இருக்காது. எனினும் கீழ்வருமாறும் அமையும்:
 
 {{mvar|A}} , {{mvar|B}} இரண்டும் இயல்நிலை அணிகளாகவும் {{math|''AB'' {{=}} ''BA''}} ஆகவும் இருந்தால் 
 :{{math|''AB''}} , {{math|''A'' + ''B''}} இரண்டும் இயல்நிலை அணிகளாக இருக்கும். 
 :{{math|''UAU''&amp;thinsp;&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} , {{math|''UBU''&amp;thinsp;&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}} இரண்டும் மூலைவிட்ட அணிகளாக இருக்கும் வகையில் {{mvar|U}} எனும் ஒரு அலகுநிலை அணி இருக்கும்.
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{reflist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 * {{Citation | last1=Horn | first1=Roger A. | last2=Johnson | first2=Charles R.|authorlink2=Charles Royal Johnson | title=Matrix Analysis | publisher=[[கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]] | isbn=978-0-521-38632-6 | year=1985}}.
 * Weisstein, Eric W. &quot;Normal Matrix.&quot; From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/NormalMatrix.html