கோஷியின் இடைமதிப்புத் தேற்றம்
[[Image:Cauchy.svg|right|thumb|306px|கோஷியின் இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் வடிவவியல் விளக்கம்]]
 [[வகை நுண்கணிதம்|வகை நுண்கணிததில்]] '''கோஷியின் இடைமதிப்புத் தேற்றம்''' (''Cauchy's mean value theorem'') அல்லது '''நீட்டிக்கப்பட்ட இடைமதிப்புத் தேற்றம்''' (''extended mean value theorem'') என்பது [[இடைமதிப்புத் தேற்றம்|இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின்]] பொதுமைப்படுத்தலாகும்.
 
 இத்[[தேற்றம்|தேற்றத்தின்]] கூற்று:
 
 &lt;math&gt;f,  \,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;g  \,&lt;/math&gt; [[சார்பு]]கள்,
 
 * மூடிய இடைவெளி [''a'',''b''] -ல் தொடர்ச்சியானவையாகவும்; 
 * திறந்த இடைவெளி (''a'','' ''b) ல் [[வகையிடத்தக்கச் சார்பு|வகையிடத்தக்கவையாகவும்]] இருந்தால்,
 
 :&lt;math&gt;(f(b)-f(a))g\,'(c)=(g(b)-g(a))f\,'(c).\,&lt;/math&gt;
 
 என்றவாறு ஒரு மதிப்பு, ''c''&amp;nbsp;∈&amp;nbsp;(''a'',''b'') காணமுடியும்.
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle g(a) \neq g(b)&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;\displaystyle g'(x_0) \neq 0&lt;/math&gt; எனில் இம்முடிவை,
 
 :&lt;math&gt;\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot&lt;/math&gt; என மாற்றி எழுதலாம்.
 
 [[வடிவவியல்]] முறையில் இது, (''f''(''a''),''g''(''a'')), (''f''(''b''),''g''(''b'')) [[புள்ளி]]களை இணைக்கும் [[கோடு|கோட்டிற்கு]] [[இணை (வடிவவியல்)|இணையாக]]
 
 :&lt;math&gt;\begin{array}{ccc}[a,b]&amp;\longrightarrow&amp;\mathbb{R}^2\\t&amp;\mapsto&amp;\bigl(f(t),g(t)\bigr),\end{array}&lt;/math&gt; என்ற [[வளைவரை]]க்கு ஏதாவது ஒரு [[தொடுகோடு]] இருக்கும் என்பதைக் காட்டுகிறது.
 
 எனினும், வெவ்வேறானவையாக இருக்கும் அனைத்து (''f''(''a''),''g''(''a'')) and (''f''(''b''),''g''(''b'')) -க்கும் இதுபோன்ற இணைத்தொடுகோடு அமையும் என கோஷியின் தேற்றம் கூறவில்லை. ஏனென்றால் &lt;math&gt;\ f^{\prime}(x) = g^{\prime}(x) = 0 &lt;/math&gt; என அமையும் ''c'' மதிப்புகளுக்கு மட்டும்தான் அதாவது மேலே தரப்பட்ட வளைவரையின் [[நிலைப் புள்ளி]]களில்தான் அவ்வாறு இருக்க முடியும். அந்த மாதிரியான புள்ளிகளில் தொடுகோடுகள் இல்லாமலே இருக்கலாம்
 
 எடுத்துக்காட்டு வளைவரை:
 
 :&lt;math&gt;t\mapsto(t^3,1-t^2),&lt;/math&gt; என்ற வளைவரை, [−1,1] இடைவெளியில் (−1,0) லிருந்து (1,0) க்குச் செல்கிறது. இவ்வளைவரைக்கு நிலைப் புள்ளி உள்ளது. மேலும்  {{nowrap|''t'' {{=}} 0}}-ல் ஒரு [[கூர்]] உள்ளது. இருப்பினும் அதற்கு கிடைமட்டத் தொடுகோடு இல்லை.
 
 கோஷியின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி [[லாபிதாலின் விதி]]யை நிறுவலாம்.{{nowrap|''g''(''t'') {{=}} ''t''}}. எனில் கோஷியின் இடைமதிப்புத் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்புவகை இடைமதிப்புத் தேற்றமாகும்.
 
 ==நிறுவல்==
 
 &lt;math&gt;\ h(x) = f(x)-rg(x),&lt;/math&gt; ''r'' ஒரு மாறிலி, எனக் கொள்க.
 
 &lt;math&gt;f,  \,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;g  \,&lt;/math&gt; சார்புகள், இடைவெளி [''a'',&amp;nbsp;''b''] -ல் தொடர்ச்சியானவையாகவும்; திறந்த இடைவெளி (''a'','' ''b) ல் வகையிடத்தக்கவையாகவும் இருப்பதால் &lt;math&gt;h,  \,&lt;/math&gt; -ம் அதே நிபந்தனைகளுக்குக் கட்டுப்படும்.
 
 &lt;math&gt;\ h(a) = h(b)&lt;/math&gt; என்றவாறு ''r'' -ன் மதிப்பை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}h(a)=h(b)&amp;\iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\\ &amp;\iff r(g(b)-g(a))=f(b)-f(a) \\&amp;\iff r=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\cdot\end{align}&lt;/math&gt;
 
 [[ரோலின் தேற்றம்|ரோலின் தேற்றத்தின்]] நிபந்தனைகள் மூன்றையும் &lt;math&gt;h,  \,&lt;/math&gt; நிறைவு செய்வதால், ரோலின் தேற்ற முடிவின்படி:
 
 ஏதாவது ஒரு மதிப்பு, ''c''&amp;nbsp;∈&amp;nbsp;(''a'',''b'') -க்கு 
 :&lt;math&gt;\ h'(c) = 0&lt;/math&gt;,
 
 &lt;math&gt;\ h(x) = f(x)-rg(x)&lt;/math&gt; லிருந்து:
 
 :&lt;math&gt;h'(c)=0=f'(c)-r(g'(c)) \Rightarrow\frac{f'(c)}{g'(c)}= r=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}&lt;/math&gt;
 என தேற்றம் [[கணித நிறுவல்|நிறுவப்படுகிறது]].
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 * [http://planetmath.org/encyclopedia/MeanValueTheorem.html PlanetMath: Mean-Value Theorem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091118061831/http://planetmath.org/encyclopedia/MeanValueTheorem.html |date=2009-11-18 }}
 * {{MathWorld|Mean-ValueTheorem|Mean value theorem}}
 * {{MathWorld|CauchysMean-ValueTheorem|Cauchy's Mean-Value Theorem}}
 * [http://www.khanacademy.org/video/mean-value-theorem &quot;Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem&quot;] at the [[Khan Academy]]
 
 [[பகுப்பு:வகையீட்டு நுண்கணிதம்]]
 [[பகுப்பு:நுண்கணிதத் தேற்றங்கள்]]