ஜேக்கோபியின் நான்கு இருமடியெண் தேற்றம்
'''ஜேக்கோபியின் நான்கு-இருமடியெண் தேற்றம்,''' (''Jacobi's four-square theorem'') கொடுக்கப்பட்ட நேர்ம முழு எண் ''n'' -ஐ நான்கு இருமடியெண்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படும் வழிகளின் எண்ணிக்கைக்கான வாய்ப்பாட்டை அளிக்கிறது.
 
 == வரலாறு ==
 இத்தேற்றம்  1834 இல் கார்ல் குஸ்தாவ் ஜேக்கோப் ஜேக்கோபி என்பவரால் நிரூபிக்கப்பட்டது.
 
 == தேற்றம் ==
 ;குறிப்பு:
 ஒரு நேர்ம எண்ணின் இரு நான்கு இருமடியெண்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதப்படும் உருவகிப்புகளிலுள்ள இருமடியெண்களின் வரிசை வேறுபட்டிருந்தாலோ அல்லது வர்க்கப்படுத்தப்படும் எண்கள் வேறுபட்டாலோ இரண்டும் வெவ்வேறானவையாகக் கொள்ளப்படும். கீழே 1 ஐக் குறிக்கும் எட்டு வெவ்வேறு வழிகளில் மூன்று வழிகள் தரப்பட்டுள்ளன:
 
 : &lt;math&gt;
 \begin{align}
 &amp; 1^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2 \\
 &amp; 0^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 \\
 &amp; (-1)^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 ;தேற்றத்தின் கூற்று:
 நான்கு இருமடியெண்களின்கூட்டுத்தொகையாக n ஐக் குறிக்கும் வழிகளின் எண்ணிக்கை, ''n'' ஒற்றைப்படையாக இருந்தால் ''n இன்'' [[வகுஎண்|வகுப்பிகளின்]] கூட்டுத்தொகையின் எட்டு மடங்கும், ''n'' சமமாக இருந்தால் ''n'' இன் ஒற்றைப்படை வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் 24 மடங்கும் ஆகும் ( [[வகுஎண் சார்பு|வகுப்பான் செயல்பாட்டைப்]] பார்க்கவும்), அதாவது:
 
 : &lt;math&gt;r_4(n)=\begin{cases}8\sum\limits_{m|n}m&amp;\text{if }n\text{ is odd}\\[12pt]
 24\sum\limits_{\begin{smallmatrix} m|n \\ m\text{ odd} \end{smallmatrix}}m&amp;\text{if }n\text{ is even}.
 \end{cases}&lt;/math&gt;
 
 இதேபோல, ஒரு நேர்ம எண்ணை எழுதக்கூடியவழிகளின் எண்ணிக்கையானது 4 ஆல் வகுபடாத அதன் அனைத்து வகுப்பிகளின் கூட்டுத்தொகையின் எட்டு மடங்காக இருக்கும். அதாவது:
 
 : &lt;math&gt;r_4(n)=8\sum_{m\mid n ,\, 4 \nmid m}m.&lt;/math&gt;
 
 இதனை பின்னுள்ளவாறும்  எழுதலாம்:
 
 : &lt;math&gt;r_4(n) = 8 \sigma(n) -32 \sigma(n/4) \, &lt;/math&gt;
 
 ''n'' 4 ஆல் வகுபடவில்லை என்றால் இரண்டாவது உறுப்பு பூச்சியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும். குறிப்பாக, ஒரு [[பகா எண்|பகா எண்ணுக்கான]]  வெளிப்படையான வாய்பாடு:&amp;nbsp;
 
 :''r''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;(''p'')&amp;nbsp;=&amp;nbsp;8(''p''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;1). &lt;ref name=&quot;Williams_2011&quot;&gt;{{Harvnb|Williams|2011}}.&lt;/ref&gt;
 
 ''n இரட்டையெண்ணாக இருக்கும்போது,'' ''r'' &lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; ( ''n'' ) இன் சில மதிப்புகள் ''r''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;(''n'')&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''r''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;(2&lt;sup&gt;''m''&lt;/sup&gt;''n'') ''r'' &lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; ( ''n'' ) எனப் பெரும்பாலும்  அமையலாம்.  மேலும், ''r''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;(''n'') இன் மதிப்புகள் மிகப்பெரியதாகவும் அமையலாம். அதாவது,  ''r'' &lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; ( ''n'' ) இன் மதிப்பு பெரும்பான்மையான சமயங்களில் 8 √ log n ஐ விடப் பெரியதாக இருக்கும். &lt;ref name=&quot;Williams_2011&quot;&gt;{{Harvnb|Williams|2011}}.&lt;/ref&gt;
 
 ஜேக்கோபியின் முப்பெருக்கத்திலிருந்து எளியமுறையில் இத்தேற்றத்தை நிறுவமுடியும். &lt;ref&gt;{{Cite journal|last=Hirschhorn|first=Michael D.|date=2000|title=Partial Fractions and Four Classical Theorems of Number Theory|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2000-03_107_3/page/260|journal=The American Mathematical Monthly|volume=107|issue=3|pages=260–264|citeseerx=10.1.1.28.1615|doi=10.2307/2589321|jstor=2589321}}&lt;/ref&gt;
 
 *
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{Reflist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 
 * {{Cite book|last1=Hirschhorn|first1=Michael D.|last2=McGowan|first2=James A.|year=2001|chapter=Algebraic Consequences of Jacobi's Two— and Four—Square Theorems|title=Symbolic Computation, Number Theory, Special Functions, Physics and Combinatorics|series=Developments in Mathematics|volume=4|pages=107–132|publisher=Springer|doi=10.1007/978-1-4613-0257-5_7|isbn=978-1-4020-0101-7}}
 * {{Cite journal|last=Hirschhorn|first=Michael D.|date=1987|title=A simple proof of Jacobi's four-square theorem|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=101|issue=3|pages=436|doi=10.1090/s0002-9939-1987-0908644-9|doi-access=free}}
 * {{Cite book|last1=Williams|first1=Kenneth S.|year=2011|title=Number theory in the spirit of Liouville|series=London Mathematical Society Student Texts|volume=76|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-17562-3}}
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 
 * &lt;templatestyles src=&quot;Module:Citation/CS1/styles.css&quot;&gt;&lt;/templatestyles&gt;Weisstein, Eric W. &quot;Sum of Squares Function&quot;. MathWorld.