ஆய்லர் பான்மை எண்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''ஆய்லர் பான்மை எண்''' (''Euler characteristic'', ''Euler number'') என்பது ஒரு இடவெளியியல் வெளியின் வடிவம் மற்றும் அமைப்பு குறித்து (அவ்வெளியானது வளைக்கப்படும் விதத்தைக் கருத்தில் கொள்ளாது) விளக்கும் இடவெளியியல் மாறிலி எண்ணாகும். இது &lt;math&gt; \chi &lt;/math&gt; என்ற [[கிரேக்க எழுத்துக்கள்|கிரேக்க எழுத்தால்]] குறிக்கப்படுகிறது..
 
 முதலில் ஆய்லர் பான்மை எண்ணானது,  [[பன்முகத்திண்மம்|பன்முகிகளுக்கு]] வரையறுக்கப்பட்டது. பன்முகிகள் குறித்த தேற்றங்களை நிறுவுவதற்கும் [[பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்கள்]] உட்பட்ட பன்முகிகளின் வகைப்படுத்தலுக்கும் பயன்படுத்தப்பட்டது. இது கணிதவியலாளரும் வானியலாளருமான பிரான்செசுக்கோ மௌரொலோலிகோவின் 1537ல்  கையெழுத்துக் குறிப்பில் பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்களுக்காகக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.&lt;ref&gt;{{cite book|first= Michael|last=Friedman|publisher=Birkhäuser|year=2018|title=A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins|title-link=A History of Folding in Mathematics|series=Science Networks. Historical Studies|volume=59|isbn=978-3-319-72486-7|doi=10.1007/978-3-319-72487-4|page=71}}&lt;/ref&gt; [[லியோனார்டு ஆய்லர்]], இதனைப் பெரும்பாலும் குவிப் பன்முகிகளுக்காகப் பயன்படுத்தினார். ஆனால் இது ஒரு மாறிலி எண் என்பதான சரியான நிறுவலை அவர் தரவில்லை. தற்கால கணிதத்தில் ஆய்லர் பான்மை எண்ணானது அமைப்பு ஒப்பியலில் அமைகிறது.
 
 == பன்முகிகள் ==
 [[File:Ecke Kante Flaeche.svg|thumb|கனசதுரத்தின் உச்சி, விளிம்பு, முகம்]]
 பன்முகிகளுக்கு ஆய்லர் பான்மை எண் ( &lt;math&gt;\chi&lt;/math&gt;) கீழ்வரும் வாய்பாடால் வரையறுக்கப்படுகிறது:
 :&lt;math&gt;\chi=V-E+F &lt;/math&gt;
 :''V'', பன்முகியின் [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகளின்]] எண்ணிக்கை
 :''E'', பன்முகியின் [[விளிம்பு (வடிவவியல்)|விளிம்புகளின்]] எண்ணிக்கை
 :''F'' பன்முகியுன் (முகம் (வடிவவியல்)|முகங்களின்]] எண்ணிக்கை 
 
 எந்தவொரு குவிப் பன்முகிக்கும் ஆய்லர் பான்மை எண்:
 :&lt;math&gt;V - E + F = 2. &lt;/math&gt;
 
 1758 இல் [[லியோனார்டு ஆய்லர்|ஆய்லரலால்]] காணப்பட்ட இந்த வாய்பாடானது &quot;ஆய்லரின் பன்முகி வாய்பாடு&quot; என அழைக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{Cite journal|last=Euler|first=Leonhard|date=1758-01-01|title=Elementa doctrinae solidorum|url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/230|journal=Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae|pages=109–140}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Richeson 2008&lt;/ref&gt; [[கோளம்|கோளத்தின்]] ஆய்லர் பான்மை எண்ணுடன் (χ = 2) இது ஒத்துள்ளதோடு கோளப் பன்முகிகளுக்கும் பயன்படும்.
 
 === குவிப் பன்முகிகள் ===
 பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்களுக்கான ஆய்லர் பான்மை எண் அட்டவணை:
 
 {| class=&quot;wikitable&quot;
 |-
 !பெயர்
 !படிமம்
 !உச்சிகள்&lt;br&gt;''V''
 !விளிம்புகள்&lt;br&gt;''E''
 !முகங்கள்&lt;br&gt;''F''
 !ஆய்லர் பான்மை எண்:&lt;br&gt;''V'' &amp;minus; ''E'' + ''F''
 |- align=center
 |[[நான்முக முக்கோணகம்|நான்முகி]]
 |[[Image:tetrahedron.png|50px]]
 |4
 |6
 |4
 |'''2'''
 |- align=center
 |[[அறுமுகத்திண்மம்|அறுமுகி]] அல்லது [[கனசதுரம்]]
 |[[Image:hexahedron.png|50px]]
 |8
 |12
 |6
 |'''2'''
 |- align=center
 |[[எண்முகி]]
 |[[Image:octahedron.png|50px]]
 |6
 |12
 |8
 |'''2'''
 |- align=center
 |[[பன்னிரண்டுமுக ஐங்கோணகம்]]
 |[[Image:dodecahedron.png|50px]]
 |20
 |30
 |12
 |'''2'''
 |- align=center
 |[[இருபதுமுக முக்கோணகம்|இருபதுமுகி]]
 |[[Image:icosahedron.png|50px]]
 |12
 |30
 |20
 |'''2'''
 |}
 
 === குவிவிலாப் பன்முகிகள் ===
 குவிவிலாப் பன்முகிகளின் ஆய்லர் பான்மை எண்களுக்கான அட்டவணை:
 
 {| class=&quot;wikitable&quot;
 |-
 !பெயர்
 !படிமம்
 !உச்சிகள்&lt;br&gt;''V''
 !விளிம்புகள்&lt;br&gt;''E''
 !முகங்கள்&lt;br&gt;''F''
 !ஆய்லர் பான்மை எண்:&lt;br&gt;''V'' &amp;minus; ''E'' + ''F''
 |- align=center
 |[[Tetrahemihexahedron]]
 |[[Image:Tetrahemihexahedron.png|100px]]
 |6
 |12
 |7
 |'''1'''
 |- align=center
 |[[Octahemioctahedron]]
 |[[Image:Octahemioctahedron.png|100px]]
 |12
 |24
 |12
 |'''0'''
 |- align=center
 |[[Cubohemioctahedron]]
 |[[Image:Cubohemioctahedron.png|100px]]
 |12
 |24
 |10
 |'''&amp;minus;2'''
 |- align=center
 |[[சிறு நாள்மீன் பன்னிருமுகி]]
 |[[Image:Small stellated dodecahedron.png|100px]]
 |12
 |30
 |12
 |'''&amp;minus;6'''
 |- align=center
 |[[பெரு நாள்மீன் பன்னிருமுகி]]
 |[[Image:Great stellated dodecahedron.png|100px]]
 |20
 |30
 |12
 |'''2'''
 |}
 
 === மேற்கோள்கள் ===
 {{Reflist}}
 
 === நூலடைவு ===
 *David Richeson; ''Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology''. Princeton University Press 2008.
 
 == மேலதிக வாசிப்புக்கு ==
 *Flegg, H. Graham;  ''From Geometry to Topology'', Dover 2001, p.&amp;nbsp;40.
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 *{{Mathworld | urlname=EulerCharacteristic | title=Euler characteristic }}
 *{{Mathworld | urlname=PolyhedralFormula | title=Polyhedral formula }}
 *{{SpringerEOM| title=Euler characteristic | id=Euler_characteristic | oldid=16333 | first=S.V. | last=Matveev }}
 *[https://www.youtube.com/watch?v=80EazC2_0Qo An animated version of a proof of Euler's formula using spherical geometry].
 
 [[பகுப்பு:இடவியல்]]
 [[பகுப்பு:பன்முகத்திண்மங்கள்]]