சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி
[[எண் கோட்பாடு|எண்கோட்பாட்டில்]] ''p''  என்பது ஒரு [[பகாத்தனி]] ([[பகா எண்]])  என்றால், அதன் இருமடங்கு கூட்டல் ஒன்று (2''p''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;1) என்னும் எண்ணும் பகாத்தனியாக இருந்தால் அந்த ''p''  என்னும் பகா எண் '''சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி''' (Sophie Germain prime) என்று அழைக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டாக 29 என்னும் எண் ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி; ஏன் என்றால், 29 என்னும் எண் ஒரு பகாத்தனியாக இருப்பது மட்டுமல்லாமல்  2 &amp;times; 29 + 1 = 59 என்று கணக்கிடும் பொழுது 59 என்னும் எண்ணும் ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கின்றது. ஆகவே 29 என்பது ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி. இவ்வகை பகாத்தனிகளுக்கு இப்பெயர் [[பிரான்சு|பிரான்சிய]] பெண்பால் [[கணிதவியலாளர்]] [[மாரி-சோஃவி ஜெர்மேன்]] (Marie-Sophie Germain) ([[1776]]–[[1831]])என்பவரின் பெயரை ஒட்டி சூட்டப்பட்டது. 
 
 ஒரு பகா எண்னை 2''p''+1 என்று எழுத முடிந்தால், அந்த ''p'' என்பதும் பகா எண்ணாக இருந்தால்,  2''p''+1 என்று எழுதத்தக்க எண்ணைப் ''[[பாதுகாப்பான பகாத்தனி]]'' (safe prime) என்பர். இதில் ''p''  என்பது சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி என்பதால் பாதுகாப்பான பகாத்தனியும் சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனியும் நெருங்கிய தொடர்புடையவை.  2''p''+1 என்று எழுதத்தக்க எல்லா எண்களும் பகாத்தனிகள் அல்ல. எ.கா:  2 &amp;times;4 + 1 = 9 என்பது ஒரு [[பகு எண்]] (3 &amp;times;3 = 9)
 
 ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி  ''p'' &gt; 3  என்பது  6''k''−1 என்னும் வடிவில் உள்ள எண், மாற்று வழியில் கூறுவதென்றால் ''p'' ≡ 5 (mod 6)  - இது 2''p''+1 என்று எழுதப்பெறும் பாதுகாப்பான பகாத்தனியுடன் ஒத்துள்ளது. இன்னும் வேறு ஒரு வடிவில், பகாத்தனி ''p'' &gt; 3  என்றால்  6''k''+1 என்பதும்  ''p'' ≡ 1 (mod 6),  3|(2''p''+1) - இப்படியாக சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி புலத்தில் சேராத  ''p''  விலக்கிவிடுகின்றது. இதனை [[மாடுலோ கணிதம்|மாடுலோ கணிதத்துறை]] வழி நிறுவலாம். 
 
 இந்த சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் எண்ணிக்கையில் முடிவிலியாக இருக்க வேண்டும் என்பது ஒரு நிறுவப்படாத ஊகம். முதல் சில சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:
 
 :[[2 (number)|2]], [[3 (number)|3]], [[5 (number)|5]], [[11 (number)|11]], [[23 (number)|23]], [[29 (number)|29]], [[41 (number)|41]], [[53 (number)|53]], [[83 (number)|83]], [[89 (number)|89]], [[113 (number)|113]], [[131 (number)|131]], [[173 (number)|173]], [[179 (number)|179]], [[191 (number)|191]], [[233 (number)|233]], … {{OEIS|id=A005384}}.
 
 அறிந்தவற்றுள் மிகப்பெரிய சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி: 48047305725 × 2&lt;sup&gt;172403&lt;/sup&gt;−1. இதில் 51910 பதின்ம (தசம) இலக்கங்கள் உள்ளன.. இதனை டேவிட் அண்டர்பக்கெ (David Underbakke) [[ஜனவரி 25]], [[2007]] இல்,  டுவின்ஜென் (TwinGen ) மற்றும் எல் எல் ஆர் (LLR) என்னும் நிரலிகளைக் கொண்டு நிறுவினார் [http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=79261] இதற்கு முன் இருந்த பெரிய எண் பதிவு 137211941292195 &amp;times; 2&lt;sup&gt;171960&lt;/sup&gt;−1; இது 51780 பதின்ம இலக்கங்களைக் கொண்டிருந்தது. இதனை யராய் என்பவரும் மற்றவர்களும் [[மே 3]], [[2006]]இல் கண்டுபிடித்தனர் [http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=77705].
 
 
 == தோராயக் கணக்கீடு ==
 ''n''  என்னும் எண்ணைவிட சிறியனவாக உள்ள எண்களில் எத்தனை எண்கள் சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகளாக இருக்கும் என்று ஒரு தோராயக் கணக்கீட்டை [[ஜி. எச். ஹார்டி]] மற்றும் [[ஜே. இ. லிட்டில்வுட்]] (G. H. Hardy and J. E. Littlewood) ஆகியோர் அளித்தனர். அவ் மதிப்ப்பீடு, 2''C''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;''n''&amp;nbsp;/&amp;nbsp;([[இயல் மடக்கை|ln]]&amp;nbsp;''n'')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; என்பதாகும் இதில்  ''C''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; என்பது [[இரட்டைப் பகாத்தனி நிலைஎண்]], சற்றேறக்குறைய  0.660161.  ''n'' = 10&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; என்றால், இந்த தோராய மதிப்பீடு 156 சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் இருப்பதாகக் கூறுகின்றது, ஆனால் உண்மையில் மொத்தம் 190 சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் உள்ளன. எனவே இதன் பிழையளவு 20%. ''n''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt; என்று எடுத்துக்கொண்டால். இந்த தோராய மதிப்பீடு 50822 சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் இருக்க வேண்டும் என்று கூறுகின்றது, ஆனால் உண்மையில் 56032 எண்கள் உள்ளன. எனவே பிழை 10%.
 
 == 1 முதல் 10,000 வரையிலும் உள்ள [[இயல் எண்]]களில் உள்ள 190 சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் ==
 {| class=&quot;prettytable&quot;
 |2 ||3 ||5 ||11 ||23 ||29 ||41 ||53 ||83 ||89 ||113 ||131
 |-
 |173 ||179 ||191 ||233 ||239 ||251 ||281 ||293 ||359 ||419 ||431 ||443
 |-
 |491 ||509 ||593 ||641 ||653 ||659 ||683 ||719 ||743 ||761 ||809 ||911
 |-
 |953 ||1013 ||1019 ||1031 ||1049 ||1103 ||1223 ||1229 ||1289 ||1409 ||1439 ||1451
 |-
 |1481 ||1499 ||1511 ||1559 ||1583 ||1601 ||1733 ||1811 ||1889 ||1901 ||1931 ||1973
 |-
 |2003 ||2039 ||2063 ||2069 ||2129 ||2141 ||2273 ||2339 ||2351 ||2393 ||2399 ||2459 
 |-
 |2543 ||2549 ||2693 ||2699 ||2741 ||2753 ||2819 ||2903 ||2939 ||2963 ||2969 ||3023
 |-
 |3299 ||3329 ||3359 ||3389 ||3413 ||3449 ||3491 ||3539 ||3593 ||3623 ||3761 ||3779
 |-
 |3803 ||3821 ||3851 ||3863 ||3911 ||4019 ||4073 ||4211 ||4271 ||4349 ||4373 ||4391
 |-
 |4409 ||4481 ||4733 ||4793 ||4871 ||4919 ||4943 ||5003 ||5039 ||5051 ||5081 ||5171
 |-
 |5231 ||5279 ||5303 ||5333 ||5399 ||5441 ||5501 ||5639 ||5711 ||5741 ||5849 ||5903
 |-
 |6053 ||6101 ||6113 ||6131 ||6173 ||6263 ||6269 ||6323 ||6329 ||6449 ||6491 ||6521
 |-
 |6551 ||6563 ||6581 ||6761 ||6899 ||6983 ||7043 ||7079 ||7103 ||7121 ||7151 ||7193
 |-
 |7211 ||7349 ||7433 ||7541 ||7643 ||7649 ||7691 ||7823 ||7841 ||7883 ||7901 ||8069
 |-
 |8093 ||8111 ||8243 ||8273 ||8513 ||8663 ||8693 ||8741 ||8951 ||8969 ||9029 ||9059
 |-
 |9221 ||9293 ||9371 ||9419 ||9473 ||9479 ||9539 ||9629 ||9689 ||9791  || ||
 |}
 
 == பயன்பாடுகள் ==
 
 சோஃவி ஹெர்மேன் பகாத்தனிகள், ஒன்றுக்கொன்று தொடர்பில்லாமல் வரும் எண் வரிசைத்தொடர்கள் வகைகளில் சிலவற்றை  உருவாக்கப் பயன்படுகின்றது. போலி அல்லது அரைகுரை சீருறா எண்தொடர் ஆக்கிகளில் இது பயன்படுகின்றது.  ''q''  என்னும் ஓர் [[பாதுகாப்பான பகாத்தனி]], ''p'' என்னும் ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனியால் உருவாகி இருந்து,  ''p''  என்பது 3, 9, அல்லது  11 (mod 20) ஆகியவற்றுடன் [[சமானம், மாடுலோ n|முற்றீடு மீதகமாக]] இருந்தால், 1/''q'' என்னும் பதின்ம வகுத்தல் ''q''−1 இலக்கங்களை அரைகுறையான சீருறா வரிசையில் தரும். இதற்கு ஏற்ற பகாத்தனிகள் (q): 7, 23, 47, 59, 167, 179, .. முதலியன ஆகும். (தொடர்புடைய ''p'' = 3, 11, 23, 29, 83, 89, etc.). இதன் விளைவு q−1 இலக்கங்கள் நீளமுடைய (முன் நிற்கும் சுழிகள் உட்பட)  வரிசையாகும். எடுத்துக்காட்டாக ''q'' = 23 என்பது கீழ்க்காணும் அரைகுறையான சீருறா எண் வரிசையைத் தருகின்றது:  0, 4, 3, 4, 7, 8, 2, 6, 0, 8, 6, 9, 5, 6, 5, 2, 1, 7, 3, 9, 1, 3. இந்த எண்கள் மறைமுகமாகவோ, கமுக்கமாகவோ, செய்திகளை அனுப்பத் தேவையான அளவு போதிய ''மறைவரைவுத் தன்மை'' அல்லது ''ஒளிவுத்தமை'' (cryptographic properties) கொண்டதல்ல.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 * Maximally Periodic Reciprocals, R.A.J. Matthews (1992). ''Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications''; vol 28 pp 147-148.
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 * [http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=2 The Top Twenty Sophie Germain Primes]&amp;nbsp;— from the [[Prime Pages]].