ஜோர்டன்-போல்யா எண்
[[File:Tree with 480 symmetries.svg|thumb|upright=1.2|கோட்டுருவியலில் 480 சமச்சீர்களைக்கொண்ட ஒரு மரத்தின் [[கோட்டுரு (கணிதம்)|கோட்டுரு]]. இட மேற்புறக் கணுவின் இரு துணைக்கணுக்களை 2! = 2 வழிகளிலும், நடு மேற்புறக் கணுவின் 2 துணைக்கணுக்களை 2! = 2 வழிகளும் வல மேற்புறக் கணுவின் 5 துணைக்கணுக்களை 5! = 120 வழிகளிலும் வரிசைமாற்றஞ் செய்யலாம். எனவே மரத்தின் மொத்த சமச்சீர்களின் எண்ணிக்கை = 2 · 2 · 120 = 480]]
 கணிதத்தில் '''ஜோர்டன்-போல்யா எண்கள்''' (''Jordan–Pólya numbers'') என்பவை ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட [[தொடர் பெருக்கம்|தொடர் பெருக்கங்களின்]] பெருக்கற்பலனாகக் கிடைக்கக்கூடிய எண்களாகும். பெருக்கப்படும் தொடர்பெருக்க எண்கள் வெவ்வேறானவையானவயாக இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, {{nowrap|&lt;math&gt;480=2!\cdot 2!\cdot5! = 480&lt;/math&gt;}} ஒரு ஜோர்டன்-போல்யா எண்ணாகும். கோட்டுருவியலின் ஒவ்வொரு [[மரம் (கோட்டுருவியல்)|மரமும்]] ஏதாவதொரு ஜோர்டான்-போல்யா எண்ணிக்கையில்  சமச்சீர்கள் கொண்டிருக்கும்; ஆகவே ஜோர்டன்-போல்யா எண்கள் ஒவ்வொன்றும், ஒரு மரத்தின் ஒரு 'தன்னமைவிய குலத்தின்' [[குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)|வரிசையாக]] அமையும். பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் &quot;ஜோர்டன்&quot; மற்றும் ஹங்கேரி-அமெரிக்கக் கணிதவியலாளர் போல்யா ஆகிய இருவரும் கோட்டுருவியல் மரங்களின் சமச்சீர்கள் குறித்த ஆய்வில் இவ்வெண்களைப் பற்றி எழுதியதால், இவ்வெண்கள் அவ்விருவரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகின்றன.{{r|jordan|polya}}
 
 ==தொடர்வரிசையும் வளர்விகிதமும்==
 ஜோர்டன்-போல்யா எண்களின் தொடர்வரிசை::{{r|oeis}}
 :1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 36, 48, 64, 72, 96, 120, 128, 144, 192, 216, 240, 256, ... {{OEIS|A001013}}
 
 இவ்வெண்கள், அனைத்து தொடர்பெருக்கங்களின் பெருக்கலைப் பொறுத்த அடைவு கணமாகவுள்ளன.
 &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;வது ஜோர்டன்-போல்ய எண்ணானது, &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இன் எந்தவொரு [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]யை விடவும் வேகமாகவும் ஆனால், &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இன் எந்தவொரு அடுக்கேற்றத்தைவிடவும் மெதுவாகவும் அதிகரிக்கிறது. ஒவ்வொரு &lt;math&gt;\varepsilon&gt;0&lt;/math&gt; மற்றும் போதுமானவளவு பெரிதான ஒவ்வொரு &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\varepsilon&lt;/math&gt; ஐ பொறுத்து)  &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; வரையிலான ஜோர்டன்-போல்யா எண் &lt;math&gt;J(x)&lt;/math&gt;  கீழுள்ள [[சமனிலி (கணிதம்)|சமனிலியை]] நிறைவு செய்யும்.{{r|ddrv}}
 &lt;math display=block&gt;
 \exp\frac{(2-\varepsilon)\sqrt{\log x}}{\log\log x} &lt; J(x) &lt;
 \exp\frac{(4+\varepsilon)\sqrt{\log x}\log\log\log x}{\log\log x}.&lt;/math&gt;
 
 ==சிறிய எண்களின் தொடர்பெருக்கங்களின் பெருக்கலாகவுள்ள தொடர்பெருக்கங்கள்==
 2 ஐத் தவிர மற்ற ஜோர்டன்-போல்யா எண் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;ஒவ்வொன்றுக்கும் அதன் தொடர்பெருக்கத்தை, அதனைவிடச் சிறிய எண்களின் தொடர்பெருக்கங்களின் பெருக்கற்பலனாக எழுக்கூடிய பண்பு உண்டு.
 
 அதாவது, &lt;math&gt;n!=n\cdot(n-1)!&lt;/math&gt; எனப் பிரித்து மீண்டும் இதிலுள்ள காரணி &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; ஐ மேலும் சிறிய தொடர்பெருக்கங்களின் பெருக்கலாக எழுதலாம். 
 :எடுத்துக்காட்டு:
 :8! = 8 . 7! = 2! 2! 2! 7!. = 2!&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; 7!.
 
 இப்பண்பு குறித்த நிறுவப்படாத ஊகம்:
 :2 ஐத் தவிர்த்த பிற ஜோர்டன்-போல்யா எண்களே சிறிய எண்களின் தொடர்பெருக்கங்களின் பெருக்கலாக எழுதக்கூடிய எண்களாகும். (மேலும் 9, 10 ஆகிய இரு எண்களுக்கும் இக்கூற்றில் விலக்கப்படுகின்றன - &lt;math&gt;9!=2!\cdot3!\cdot3!\cdot7!,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;10!=6!\cdot7!=3!\cdot5!\cdot7!&lt;/math&gt;).
 
 :&lt;math&gt;n!=n\cdot(n-1)!&lt;/math&gt; என்பதிலுள்ள &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; ஐ மீண்டும் தொடர்பெருக்கங்களின் பெருக்கலாக எழுதும் விதத்தைத் தவிர வேறொரு விதமாகவும்  எழுதப்படக்கூடிய எண் 16. இது ஒரு ஜோர்டன்-போல்யா எண்ணுங்கூட:
 :&lt;math&gt;16!=2!\cdot5!\cdot14!&lt;/math&gt; (16 ஒரு ஜோர்டன்-போல்யா எண்), 
 :&lt;math&gt;16!=2!^4\cdot 15!&lt;/math&gt;.{{r|oeis|guy}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist|refs=
 
 &lt;ref name=ddrv&gt;{{citation
  | last1 = De Koninck | first1 = Jean-Marie | author1-link = Jean-Marie De Koninck
  | last2 = Doyon | first2 = Nicolas
  | last3 = Razafindrasoanaivolala | first3 = A. Arthur Bonkli
  | last4 = Verreault | first4 = William
  | doi = 10.5817/am2020-3-141
  | issue = 3
  | journal = Archivum Mathematicum
  | mr = 4156441
  | pages = 141–152
  | title = Bounds for the counting function of the Jordan-Pólya numbers
  | volume = 56
  | year = 2020| arxiv = 2107.09114
  | s2cid = 226661345 }}&lt;/ref&gt;
 
 &lt;ref name=guy&gt;{{citation
  | last = Guy | first = Richard K. | author-link = Richard K. Guy
  | contribution = B23: Equal products of factorials
  | doi = 10.1007/978-0-387-26677-0
  | edition = 3rd
  | isbn = 0-387-20860-7
  | mr = 2076335
  | page = 123
  | publisher = Springer-Verlag | location = New York
  | series = Problem Books in Mathematics
  | title = Unsolved problems in number theory
  | year = 2004| volume = 1 }}&lt;/ref&gt;
 
 
 
 &lt;ref name=jordan&gt;{{citation
  | last = Jordan | first = Camille | author-link = Camille Jordan
  | doi = 10.1515/crll.1869.70.185
  | journal = [[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
  | pages = 185–190
  | title = Sur les assemblages de lignes
  | url = https://eudml.org/doc/148084
  | volume = 1869
  | year = 1869| issue = 70 | s2cid = 119829832 }}&lt;/ref&gt;
 
 &lt;ref name=oeis&gt;{{cite OEIS|A001013|Jordan-Polya numbers: products of factorial numbers|mode=cs2}}&lt;/ref&gt;
 
 &lt;ref name=polya&gt;{{citation
  | last = Pólya | first = George | author-link = George Pólya
  | doi = 10.1007/BF02546665
  | journal = [[Acta Mathematica]]
  | pages = 145–254
  | title = Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen
  | volume = 68
  | year = 1937| s2cid = 121878844 | doi-access = free
  }}&lt;/ref&gt;
 
 }}