பாசுக்கலின் வாய்பாடு
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''பாசுக்கலின் வாய்பாடு''' அல்லது '''பாசுக்கலின் விதி'''  (''Pascal's rule'' அல்லது ''Pascal's formula'') என்பது [[ஈருறுப்புக் குணகம்|ஈருறுப்புக் குணகங்கள்]] பற்றியதொரு [[சேர்வியல் (கணிதம்)|சேர்வியல்]] [[முற்றொருமை]]யாகும்.
 
 பாசுக்கலின் விதி:
 :&lt;math&gt;{n-1\choose k} + {n-1\choose k-1} = {n\choose k},&lt;/math&gt; (''n'' , ''k'' [[இயல் எண்]]கள்)  
 இதில் &lt;math&gt;\tbinom{n}{k}&lt;/math&gt; ஒரு ஈருறுப்புக் குணகம்; இந்த ஈருறுப்புக் குணகமானது {{math|(1 + ''x'')&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}} -இன் பல்லுறுப்புக்க்கோவை விரிவிலுள்ள {{math|''x''&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;}} உறுப்பின் குணகமாகும். {{mvar|n}} மற்றும் {{mvar|k}} ஆகிய இரண்டின் சார்மதிப்புகளுக்கு கட்டுப்பாடு எதுவும் இல்லை.&lt;ref&gt;{{citation|first=David R.|last=Mazur|title=Combinatorics / A Guided Tour|year=2010|publisher=Mathematical Association of America|page=60|isbn=978-0-88385-762-5}}&lt;/ref&gt;  ஏனெனில் {{math|''n'' &lt; ''k''}} இருந்தால் இந்த ஈருறுப்புக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாகி, இந்நிலையிலும் பாசுக்கலின் வாய்பாடு உண்மையாகும்.
 
 &quot;&lt;math&gt;\frac{(x+y)!}{x!y!} = {x+y \choose x} = {x+y \choose y} &lt;/math&gt; என்ற வாய்பாடானது, இயல் எண்களில்
 :&lt;math&gt; N_{x,y} = N_{x-1,y} + N_{x,y-1}, \quad N_{0,y} = N_{x,0} = 1 &lt;/math&gt; என்ற நேரியல் இருபரிமாண வேறுபாட்டுச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்&quot; 
 என்ற கூற்றாகவும் பாசுக்கலின் விதியைக் கருதலாம். இதனால் [[பாஸ்கலின் முக்கோணம்|பாசுக்கலின் முக்கோணத்திலுள்ள]] எண்களுக்கான வாய்பாடு பற்றிய கூற்றாகவும் இவ்விதியுள்ளது.
 
 இவ்விதியினை [[பல்லுறுப்புத் தேற்றம்|பல்லுறுப்புக் கெழு]]க்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம்.
 
 == சேர்வியல் நிறுவல் ==
 [[பிலைசு பாஸ்கல்|பாசுக்கலின்]] விதிக்குள்ள இயல்புணர்வான சேர்வியல் பண்பினைக் கீழுள்ள எண்ணுதல் நிறுவலில் காணலாம்&lt;ref&gt;{{citation|first=Richard A.|last=Brualdi|title=Introductory Combinatorics|edition=5th|year=2010|publisher=Prentice-Hall|isbn=978-0-13-602040-0|page=44}}&lt;/ref&gt; இந்த நிறுவல் முறையில் &lt;math&gt;\tbinom{n}{k}&lt;/math&gt; ஆனது ''n'' உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு [[கணம் (கணிதம்)|கணத்திலிருந்து]] தேர்வுசெய்யப்படும் ''k'' உறுப்புகளைக் கொண்ட [[உட்கணம்|உட்கணங்களின்]] எண்ணிக்கைக்குச் சமம் என்ற கூற்றிலிருந்து பாசுக்கலின் விதி நிறுவப்படுகிறது:
 
 நிறுவல்:
 
 எடுத்துக்கொள்ளப்படும் கணத்தின் ''n'' உறுப்புகளில் குறிப்பிட்டதொரு உறுப்பு ''X'' எனில்,
 *''X'' உட்பட்ட ''k'' உறுப்புகள் கொண்ட உட்கணங்களைத் தேர்வு செய்யும் வழிகள்:
 ''X'' நீங்கலான மீதமுள்ள  ''n''&amp;thinsp;−&amp;thinsp;1 உறுப்புகளிலிருந்து தேவையான 
 ''k''&amp;thinsp;−&amp;thinsp;1 உறுப்புகள் தேர்வு செய்யப்பட வேண்டும். இவ்வகையான உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை:
 :&lt;math&gt;\tbinom{n-1}{k-1}&lt;/math&gt;.
 *''X'' நீங்கலாக ''k'' உறுப்புகள் கொண்ட உட்கணங்களைத் தேர்வு செய்யும் வழிகள்:
 ''X'' நீங்கலான மீதமுள்ள  ''n''&amp;thinsp;−&amp;thinsp;1 உறுப்புகளிலிருந்து தேவையான 
 ''k'' உறுப்புகள் தேர்வு செய்யப்பட வேண்டும். இவ்வகையான உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை:
 :&lt;math&gt;\tbinom{n-1}{k}&lt;/math&gt;
 
 இவை இரண்டிலிருந்து ''k'' உறுப்புகள் கொண்ட (''X'' உட்பட்ட மற்றும் நீங்கலான) மொத்த உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை:
 :&lt;math&gt;\tbinom{n-1}{k-1} + \tbinom{n-1}{k}&lt;/math&gt;.
 
 எனவே
 :&lt;math&gt;\tbinom{n}{k} = \tbinom{n-1}{k-1} + \tbinom{n-1}{k}&lt;/math&gt;.
 
 == இயற்கணித நிறுவல் ==
 பாசுக்கலின் விதி இயற்கணித முறையில் பின்வருமாறு நிறுவப்படுகிறது:
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 { n-1 \choose k } + { n-1 \choose k-1} &amp; = \frac{(n-1)!}{k! (n - 1 - k)!} + \frac{(n-1)!}{(k - 1)!(n - k)!} \\
 &amp; = (n-1)! \left[ \frac{n - k}{k!(n - k)!} + \frac{k}{k!(n - k)!}\right] \\
 &amp; = (n-1)! \frac{n}{k!(n - k)!} \\
 &amp; = \frac{n!}{k!(n - k)!} \\
 &amp; = \binom{n}{k}.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 == பொதுமைப்படுத்தல் ==
 பாசுக்கலின் விதியைப் பல்லுறுப்புக்கெழுக்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம்&lt;ref name=Brualdi&gt;{{citation|first=Richard A.|last=Brualdi|title=Introductory Combinatorics|edition=5th|year=2010|publisher=Prentice-Hall|isbn=978-0-13-602040-0|page=144}}&lt;/ref&gt;.
 ''p'' ஏதேனுமொரு [[முழு எண்]] மற்றும் &lt;math&gt;p \ge 2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;k_1, k_2, k_3, \dots, k_p \in \mathbb{N}^{+}\!,&lt;/math&gt; மேலும் &lt;math&gt;n = k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_p \ge 1&lt;/math&gt; எனில், பல்லுறுப்புக்கெழுக்களுக்கான பாசுக்கலின் விதி: 
 :&lt;math&gt;{n-1\choose k_1-1,k_2,k_3, \dots, k_p}+{n-1 \choose k_1,k_2-1,k_3,\dots, k_p}+\cdots+{n-1\choose k_1,k_2,k_3,\dots,k_p-1} = {n\choose k_1, k_2, k_3, \dots, k_p}&lt;/math&gt;
 
 இதில் &lt;math&gt;{n\choose k_1, k_2, k_3, \dots , k_p}&lt;/math&gt; ஆனது &lt;math&gt;(x_1 + x_2 + \dots + x_p)^{n}&lt;/math&gt; விரிவிலுள்ள &lt;math&gt;x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots x_p^{k_p}&lt;/math&gt; உறுப்பின் கெழுவாகும்.
 
 இவ்விதியின் இயற்கணிதமுறை நிறுவல்&lt;ref name=Brualdi /&gt;:
 
 ''p'' ஒரு முழு எண் மற்றும் &lt;math&gt;p \ge 2&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;k_1, k_2, k_3, \dots, k_p \in \mathbb{N}^{+}\!,&lt;/math&gt; மேலும் &lt;math&gt;n = k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_p \ge 1&lt;/math&gt; எனில்,
 : &lt;math&gt;
 \begin{align}
 &amp; {} \quad {n-1 \choose k_1-1,k_2,k_3, \dots, k_p}+{n-1 \choose k_1,k_2-1,k_3,\dots, k_p} + \cdots + {n-1 \choose k_1,k_2,k_3,\dots,k_p-1} \\
 &amp; = \frac{(n-1)!}{(k_1-1)!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \frac{(n-1)!}{k_1!(k_2-1)!k_3!\cdots k_p!} + \cdots + \frac{(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots (k_p-1)!} \\
 &amp; = \frac{k_1(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \frac{k_2(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \cdots + \frac{k_p(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} = \frac{(k_1+k_2+\cdots+k_p) (n-1)!}{k_1!k_2!k_3!\cdots k_p!}  \\
 &amp; = \frac{n(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} = \frac{n!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!}
 = {n \choose k_1, k_2, k_3, \dots, k_p}.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 
 == நூலடைவு ==
 *Merris, Russell. [http://media.wiley.com/product_data/excerpt/6X/04712629/047126296X.pdf''Combinatorics'']. John Wiley &amp; Sons. 2003 {{ISBN|978-0-471-26296-1}}
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * {{planetmath reference|id=5936|title=Central binomial coefficient}}
 * {{planetmath reference|id=273|title=Binomial coefficient}}