நிறைவெண் (கணிதம்)
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '' n'' என்ற ஒவ்வொரு நேர்ம முழு எண்ணுக்கும், அதன் காரணிகளின் (1 உள்பட) கூட்டுத்தொகை σ(n) என்று குறிக்கப்படும். அக்காரணிகளில் n ம் ஒன்றாகும். n ஐ நீக்கிவிட்டு மீதமுள்ள எல்லா காரணிகளையும் கூட்டி வரும் தொகை s(n) என்று குறிக்கப்படும். இப்பொழுது மூன்றுவித சூழ்நிலைகள் உருவாகக்கூடும்.
 
 1.  σ(n) =  2n ; இதுவே   s(n) = n என்பதற்குச் சமம்.
 
 2. σ(n) &lt;  2n ; இதுவே   s(n) &lt;  n  என்பதற்குச் சமம்.
 
 3. σ(n) &gt;  2n ;  இதுவே  s(n) &gt;  n   என்பதற்குச் சமம்.
 
 முதல் சூழ்நிலையில் n ஒரு '''நிறைவெண்''' (''Perfect Number'') அல்லது '''செவ்விய எண்''' என்றும்  இரண்டாவது சூழ்நிலையில்  n ஒரு '[[குறைவெண் (கணிதம்)|குறைவெண்]]' (Deficient number) என்றும், மூன்றாவது சூழ்நிலையில்  n ஒரு '[[மிகையெண் (கணிதம்)|மிகையெண்]]' (Abundant Number) என்றும் பெயர் பெறும். இக்கட்டுரை நிறைவெண் பற்றியது.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 
 முதல் நிறைவெண்  6.  அதன் காரணிகள் 1, 2, 3, 6. σ(n) = 12;  s(n) = 6.
  
 அடுத்த நிறைவெண்  28. ஏனென்றால், 1+ 2+ 4+ 7+ 14 = 28.
 
 அடுத்த நிறைவெண்  496. ஏனென்றால்  1+2+4+8+16+31+62+124+248 = 496 {{OEIS|id=A000396}}.
 
 ==கண்டுபிடிப்பு==
 
 முதல் நான்கு நிறைவெண்கள் [[கிரேக்கம்|கிரேக்க]]காலத்திலேயே புழங்கப்பட்டவை.  நான்காவது நிறைவெண் 8128 என்பதை நிக்கொமாகசு என்ற கிரேக்க அறிவியலர் கி.மு100 இல் கண்டுபிடித்தார்.
 
 1456 -ல், பெயர் அறியப்படாத ஒரு கணிதவியலாளர் ஐந்தாவது செவ்விய எண் 33,550,336 என்பதற்கான குறிப்பை முதலாவதாகப் பதிவு செய்துள்ளார்.&lt;ref name=&quot;Smith DE (1958)&quot;&gt;{{cite book|last=Smith|first=DE|title=The History of Mathematics|year=1958|publisher=Dover|location=New York|isbn=0-486-20430-8|pages=21|url=http://books.google.com/books?id=uTytJGnTf1kC&amp;pg=PA21}}&lt;/ref&gt;
 
 1588 -ல், [[இத்தாலி]]ய கணிதவியலாளர் ''பியேட்ரோ கடால்டி'', ஆறாவது செவ்விய எண் (8,589,869,056) எனவும்&lt;ref name=&quot;Peterson I (2002)&quot;&gt;{{cite book|last=Peterson|first=I|title=Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles|year=2002|publisher=Mathematical Association of America|location=Washington|isbn=8-88358-537-2|pages=132|url=http://books.google.com/books?id=4gWSAraVhtAC&amp;pg=PA132}}&lt;/ref&gt; ஏழாவது செவ்விய எண் (137,438,691,328) &lt;ref name=&quot;Pickover C (2001)&quot;&gt;{{cite book|last=Pickover|first=C|title=Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning|year=2001|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|isbn=0-19-515799-0|pages=360|url=http://books.google.com/books?id=52N0JJBspM0C&amp;pg=PA360}}&lt;/ref&gt; எனவும் கண்டுபிடித்துள்ளார்.
 
 ==ஒற்றைப்படை நிறைவெண்கள் உண்டா?==
 
 சூன் 2010 வரை 47 நிறைவெண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன.  அவையெல்லாமே இரட்டைப்படை எண்கள்தாம். ஒரு நிறைவெண் ஒற்றைப்படையாக இருக்கமுடியுமா என்ற கேள்வியை இன்று (2011) வரை யாராலும் விடுவிக்க முடியவில்லை.
 
 ==இரட்டை நிறைவெண்கள்==
 முதல் நான்கு நிறைவெண்களும் பின்வரும் வாய்ப்பாட்டினால் பிறப்பிக்கப்படுவதை [[யூக்ளிடு]] கண்டறிந்தார்:
 
 2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;−1),  ''p'' ஒரு [[பகா எண்]]
 
 :''p'' = 2 எனில்: &amp;nbsp; 2&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;−1) = 6
 :''p'' = 3 எனில்: &amp;nbsp; 2&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;−1) = 28
 :''p'' = 5 எனில்: &amp;nbsp; 2&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;−1) = 496
 :''p'' = 7 எனில்: &amp;nbsp; 2&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt;−1) = 8128.
 
 இந்நான்கிலும்  2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;−1 -ன் மதிப்பு பகா எண்களாக இருப்பதைக் கண்ட யூக்ளிட், 2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;−1  பகா எண்ணாக இருக்கும்போதெல்லாம் 2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;−1), ஒரு இரட்டை நிறைவெண்ணாக இருக்கும் என்பதை நிரூபித்தார்.(Euclid, Prop. IX.36).
 
 2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;−1, ஒரு பகா எண்ணாக இருப்பதற்கு ''p'' ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தாக வேண்டும். 17ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த [[பிரான்சு|பிரெஞ்சு]] துறவி ''மேரின் மெர்சேன்'' பெயரால் 2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;−1 -வடிவில் அமையும் பகா எண்கள், [[மெர்சென் பகாத்தனி|''மெர்சேன் பகா எண்கள்'']] என அழைக்கப்படுகின்றன. எனினும்  2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;−1, (''p'' ஒரு பகா எண்) வடிவில் அமையும் எல்லா எண்களும் பகா எண்களாக இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, 2&lt;sup&gt;11&lt;/sup&gt;−1 = 2047 = 23 × 89- இது ஒரு பகா எண் இல்லை. மெர்சேன் பகா எண்கள் அரிதானவை. 1,000,000 -க்கும் கீழுள்ள 78,498 பகா எண்கள் ''p'' -களில், 33 மட்டுமே, 2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;−1 வடிவில் அமையும் எண் பகா எண்களாக உள்ளன.
 
 யூக்ளிடின் காலத்திற்கு ஆயிரமாண்டுகளுக்குப் பின் கிபி 1000-ல் இயற்பியலாளரும் கணிதவியலாளருமான ''இப்னு அல் ஹேத்தம்'' ஒவ்வொரு இரட்டை நிறைவெண்ணும் 2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;−1) (இதில் 2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;−1 ஒரு பகா எண்) வடிவில் அமையும் என்ற அனுமான கூற்றை முன்வைத்தார். ஆனால் அவரால் அக்கூற்றை நிரூபிக்க இயலவில்லை.&lt;ref&gt;{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham}}&lt;/ref&gt; 18ம் நூற்றாண்டு கணிதவியலாளர் [[ஆய்லர்]], 2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;−1) -வாய்ப்பாடு அனைத்து இரட்டை நிறைவெண்களைத் தருமென நிரூபித்தார். எனவே இரட்டை நிறைவெண்களுக்கும் மெர்சேன் பகா எண்களுக்குமிடையே ஒரு ஒன்றுக்கொன்று தொடர்பு உள்ளது. இந்தத் தொடர்பு [[யூக்ளிடு-ஆய்லர் தேற்றம்]] எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது. 
 
 முதல் 48 இரட்டை நிறைவெண்கள்: 
 :&lt;math&gt;2^{p-1}(2^p-1)&lt;/math&gt;;
 : {{mvar|p}} = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 and 57885161 {{OEIS|id=A000043}}.&lt;ref&gt;[http://www.mersenne.org/report_milestones/ GIMPS Milestones Report]. Retrieved 2018-02-27&lt;/ref&gt;
 
 {{mvar|p}} = 74207281, 77232917, 82589933 ஆகிய மூன்று மதிப்புக்களுக்கு, மேலும் மூன்று இரட்டை நிறைவெண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. இவற்றுக்கு இடைப்பட்ட பிற நிறைவெண்களுமிருக்கக்கூடும். ஆனால் இணையவழி மெர்சென் பெருந்தேடல் திட்டத்தின்மூலம், 109332539 க்குக் குறைவான {{mvar|p}} இன் மதிப்புகளுக்கு எந்தவொரு நிறைவெண்களும் இல்லையென்பது சரிபார்க்கப்பட்டுள்ளது. திசம்பர் 2018 வரை, 51 மெர்சென் பகாஎண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது.&lt;ref name=&quot;mersenne&quot;&gt;{{cite web |url=http://www.mersenne.org/ |title=GIMPS Home |publisher=Mersenne.org |access-date=2022-07-21}}&lt;/ref&gt; எனவே அதுவரையிலான கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இரட்டை நிறைவெண்களின் எண்ணிக்கையும் 51 ஆகும் (இவற்றுள் மிகப்பெரிய எண், 49,724,095 இலக்கங்கொண்ட {{nowrap|2&lt;sup&gt;82589932&lt;/sup&gt; × (2&lt;sup&gt;82589933&lt;/sup&gt; − 1)}}). இரட்டை நிறைவெண்களோ அல்லது மெர்சென் பகா எண்களோ முடிவிலா எண்ணிக்கையில் உள்ளனவா என்ற கேள்விக்கான விடை இன்னமும் அறியப்படவில்லை.
 
 
 ஒவ்வொரு இரட்டை நிறைவெண்ணும் 2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;−1) வடிவில் அமைவதால் அவ்வெண், (2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;−1) -வது [[முக்கோண எண்]]ணாகவும் 2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt; -வது [[அறுகோண எண்]]ணாகவும் இருக்கும். மேலும் முதல் எண்ணைத் தவிர மற்ற இரட்டை நிறைவெண்கள் ஒவ்வொன்றும் ((2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;+1)/3) -வது [[மையப்படுத்தப்பட்ட நவகோண எண்]]ணாகவும் முதல் 2&lt;sup&gt;(''p''−1)/2&lt;/sup&gt;, ஒற்றைக் [[கன எண்]]களின் கூடுதலாகவும் அமையும்:
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 6 &amp; = 2^1(2^2-1) &amp; &amp; = 1+2+3, \\[8pt]
 28 &amp; = 2^2(2^3-1) &amp; &amp; = 1+2+3+4+5+6+7 = 1^3+3^3, \\[8pt]
 496 &amp; = 2^4(2^5-1) &amp; &amp; = 1+2+3+\cdots+29+30+31 \\
 &amp; &amp; &amp; = 1^3+3^3+5^3+7^3, \\[8pt]
 8128 &amp; = 2^6(2^7-1) &amp; &amp; = 1+2+3+\cdots+125+126+127 \\
 &amp; &amp; &amp; = 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3, \\[8pt]
 33550336 &amp; = 2^{12}(2^{13}-1) &amp; &amp; = 1+2+3+\cdots+8189+8190+8191 \\
 &amp; &amp; &amp; = 1^3+3^3+5^3+\cdots+123^3+125^3+127^3.
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 &lt;div class=&quot;references-small&quot;&gt;
 * Euclid, ''Euclid's Elements'', Book IX, Proposition 36. See [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIX/propIX36.html D.E. Joyce's website] for a translation and discussion of this proposition and its proof.
 * H.-J. Kanold, &quot;Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen&quot;, ''Journal für die Reine und Angewandte Mathematik'', 183 (1941), pp.&amp;nbsp;98–109.
 * R. Steuerwald, &quot;Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl&quot;, ''S.-B. Bayer. Akad. Wiss.'', 1937, pp.&amp;nbsp;69–72.
 &lt;/div&gt;
 
 ==மேலும் படிப்பதற்கு==
 &lt;!-- From http://mathforum.org/library/drmath/view/51516.html --&gt;
 * Dickson, L.E.: ''History of the Theory of Numbers'', 1, Chelsea, reprint, 1952.
 * Nankar, M.L.: &quot;History of perfect numbers,&quot; Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
 * Hagis, P.: &quot;A Lower Bound for the set of odd Perfect Prime Numbers&quot;, ''Mathematics of Computation'' 27, (1973), 951–953.
 * Riele, H.J.J. &quot;Perfect Numbers and Aliquot Sequences&quot; in H.W. Lenstra and R. Tijdeman (eds.): ''Computational Methods in Number Theory'', Vol. 154, Amsterdam, 1982, pp.&amp;nbsp;141–157.
 *Riesel, H. ''Prime Numbers and Computer Methods for Factorisation'', Birkhauser, 1985.
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * David Moews: [http://djm.cc/amicable.html Perfect, amicable and sociable numbers]
 * [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Perfect_numbers.html Perfect numbers - History and Theory]
 * [http://www.oddperfect.org OddPerfect.org] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181106015226/http://oddperfect.org/ |date=2018-11-06 }} A projected distributed computing project to search for odd perfect numbers
 * [http://www.mersenne.org/(GIMPS) Great Internet Mersenne Prime Search]{{Dead link|date=ஆகஸ்ட் 2021 |bot=InternetArchiveBot }}
 * [http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.perfect.html Perfect Numbers], Math forum at Drexel
 
 [[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]
 [[பகுப்பு:குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்]]
 [[பகுப்பு:வகுஎண் சார்பு]]
 [[பகுப்பு:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்]]
 [[பகுப்பு:செவ்விய எண்கள்]]