சமானப் பகுதி
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] ஒரு [[கணம் (கணிதம்)|கணமும்]] அக்கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவு]]ம் தரப்பட்டால், அக்கணத்தின் ஏதேனும் ஒரு உறுப்பு ''a'' இன் '''சமானப் பகுதி''' (''Equivalence class'')என்பது அக்கணத்தில் ''a'' -க்குச் சமானமான  உறுப்புகள் அனைத்தையும் கொண்ட [[கணம் (கணிதம்)#உட்குலம்|உட்கணமாகும்]].
 
 ==குறியீடும் வரையறையும்==
 
 ஒரு கணம் ''X'' இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவு ~ எனில் அக்கணத்தின் ஏதேனுமொரு உறுப்பு ''a'' இன் சமானப் பகுதி &lt;math&gt;[a]&lt;/math&gt; எனக் குறிக்கப்படுகிறது. ''a'' உடன் இச்சமான உறவால் இணைப்புடைய ''X'' கணத்தின் உறுப்புகள் அடங்கிய கணம் ''a'' இன் சமானப் பகுதியென வரையறுக்கப்படுகிறது. இது ''X'' இன் உட்கணமாக இருக்கும்.
 
 ''a'' இன் சமானப் பகுதி:
 :&lt;math&gt;[a] = \{ x \in X \mid a \sim x \}&lt;/math&gt;
 
 ''a'' இன் சமானப் பகுதி &lt;math&gt;[a]_R&lt;/math&gt; எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. இங்கு R என்பது சமான உறவு. இது ''a'' இன் R-சமானப்பகுதி.
 
 ~ சமான உறவைப் பொறுத்து, கணம் X இன் அனைத்து சமானப் பகுதிகளையும் அடக்கிய கணமானது, X இன் ''காரணி கணம்'' அல்லது ''ஈவு கணம்'' (quotient set) என அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு:
 
 :&lt;math&gt; X/ \sim &lt;/math&gt;.
 
 கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் அதன் சமானப் பகுதியுடன் இணைக்கும் ''நியமன வீழல் கோப்பு''' (''canonical projection map'') ஒன்று ஒவ்வொரு சமான உறவுக்கும் உண்டு. அக்கோப்பு (π) X இலிருந்து ''X''/~ -க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு [[முழுக்கோப்பு|முழுக்கோப்பாகும்]]:
 
 :&lt;math&gt; \pi\colon X \rightarrow X/ \sim  &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \pi(x) = [x] &lt;/math&gt;
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 * கார்களின் கணத்தில் சமான உறவாக (~) ''ஒரே நிறத்திலுள்ள கார்கள்''  எனக் கொண்டால், ஒவ்வொரு சமானப் பகுதியும் பச்சை, ஊதா, சிவப்பு, மஞ்சள்... என ஒரே நிறத்தில் அமைந்த கார்களைக் கொண்ட கணமாக இருக்கும். மொத்த சமானப் பகுதிகளின் எண்ணிக்கை மூல கணத்திலுள்ள கார்களின் மொத்த நிறங்களின் எண்ணிக்கையாகும்.
 * '''Z''' -[[முழு எண்]]கள் கணத்தில் [[சமானம், மாடுலோ n|மாடுலோ 2]] எனும் சமான உறவின் சமானப் பகுதிகள் இரட்டை முழுஎண்களின் கணமும், ஒற்றை முழுஎண்களின் கணமும் ஆகும்.
 * ''X'' என்பது இரண்டாவது எண்ணைப் பூச்சியமற்றதாகக் கொண்ட முழு எண்கள் வரிசைச் சோடிகளின் கணம்; இக்கணத்தில் சமான உறவு ~ பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
 
 :&lt;math&gt;ab = cd&lt;/math&gt; என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே,
 :&lt;math&gt;(a, b) \sim (c, d) &lt;/math&gt;
 
 இப்பொழுது வரிசைச் சோடி (a,b) இன் சமானப் பகுதி விகிதமுறு எண் &lt;math&gt; \frac {a}{b}&lt;/math&gt;. இந்த சமான உறவையும் சமானப் பகுதியையும் கொண்டு [[விகிதமுறு எண்]]களின் கணத்தை வரையறுக்கலாம்.
 
 ==பண்புகள்==
 ''X'' கணத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பு ''x'' -ம் அதன் சமானப்பகுதி [''x''] இன் ஒரு உறுப்பாகும். ''X'' கணத்தின் எந்த இரு சமானப் பகுதிகளும் ஒன்று சமமாக இருக்கும் அல்லது [[சேர்ப்பில்லாக் கணங்கள்|சேர்ப்பில்லாக் கணங்களாக]] இருக்கும்.  ''X'' கணத்தின் அனைத்து சமானப் பகுதிகளும் சேர்ந்து ''X'' இன் [[ஒரு கணத்தின் பிரிவினை|பிரிவினையாக]] அமையும்:
 
 ''X'' இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒரேயொரு சமானப் பகுதியில் மட்டுமே இருக்கும். மறுதலையாக ''X'' இன் ஒவ்வொரு பிரிவும் ஒரு சமான உறவின் மூலம் கிடைக்கிறது. எனவே:
 
 ''x'' , ''y'' எனும் இரு உறுப்புகள் கணத்தின் ஒரே பிரிவைச் சேர்ந்ததாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ''x'' ~ ''y'' ஆக இருக்க முடியும். அதாவது:
 
 :: ''x'' ~ ''y'' ⇔ [''x''] = [''y''].
 
 கணம் ''X'' இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவு ~ , ''x'' , ''y'' கணத்தின் இரு உறுப்புகள் எனில் பின்வரும் மூன்று கூற்றுகளும் சமானமானவை:
 
 * &lt;math&gt;x \sim y&lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;[x] = [y]&lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;[x] \cap [y] \ne \emptyset&lt;/math&gt;.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 * [http://mathworld.wolfram.com/EquivalenceClass.html Weisstein, Eric W. &quot;Equivalence Class.&quot; From MathWorld--A Wolfram Web Resource.]
 
 [[பகுப்பு:நுண்புல இயற்கணிதம்]]