ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்
[[படிமம்:Complex zeta.jpg|right|thumb|300px|[[சிக்கலெண்]] தளத்தில் '''ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்''' (Riemann zeta function) ζ(''s''). இச் சார்பியத்தின் மாறியாகிய ''s'' இன் நிறம் அவ்விடத்தில் ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் கொள்ளும் மதிப்பைப் பொறுத்தது. &quot;வலுவான&quot; நிறங்கள் சுழி மதிப்புக்கு நெருக்கமானவற்றைச் சுட்டும். {{nowrap|''s'' {{=}} 1}} என்னும் இடத்தில் உள்ள வெள்ளைப் புள்ளி, இசீட்டா சார்பியத்தின் &quot;முடிவிலிக் கோலைச்&quot; (pole) சுட்டும்; எதிர்ம மெய்யெண் அச்சிலும், {{nowrap|Re(''s'') {{=}} 1/2}} என்னும் முக்கியகோடுகளிலும் காணப்படும் கறுப்புப் புள்ளிகள் இசீட்டா சார்பியத்தின் (மறை) வேர்களைச் (zeros) சுட்டும். படத்தின் வலப்புறம் உள்ள  நேர்ம மெய்யெண் தளத்தில் உள்ள மதிப்புகள் [[சிவப்பு]] நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.]]
 
 [[கணிதவியல்|கணிதவியலில்]], குறிப்பாக [[எண் கோட்பாடு|எண்கோட்பாட்டு]] இயலில் '''ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்''' அல்லது '''ரீமன் இசீட்டா சார்பு''' (Riemann zeta function) என்பது முதன்மையான [[சார்பு]]களில் ஒன்று. இச் [[சார்பு|சார்பியம்]] ஒரு [[கூட்டுத் தொடர்|முடிவிலா கூட்டுத் தொடர்]]. இச்சார்பியத்திற்குப் புகழ்பெற்ற [[செருமனி|இடாய்ட்சு]] நாட்டுக் [[கணிதவியலாளர்]] [[பெர்னார்டு ரீமன்]] (Bernhard Riemann) அவர்களின் பெயர் சூட்டப்பட்டுள்ளது. இச்சார்பியத்தின் பெயரில் உள்ள இசீட்டா (zeta) என்பது [[கிரேக்க மொழி|கிரேக்க]] மொழியிலுள்ள ஒரு எழுத்து. இந்த எழுத்தின் தோற்றம், &lt;math&gt;\zeta \, &lt;/math&gt;  என்பதாகும். இச்சார்பியம் [[இயற்பியல்]], [[நிகழ்தகவியல்]], பயன்முகப் [[புள்ளியியல்]] போன்ற பல துறைகளிலும் பயன்படும் ஒரு சார்பியம். இச்சார்பியம் [[பகா எண்]] தேற்றத்தோடும் தொடர்பு கொண்டது. 
 
 [[ரீமன் கருதுகோள்]] (Riemann hypothesis) என்று அறியப்படும், [[ரீமன் ஊகம்]], தனிக்கணிதத்தில் (pure mathematics) இன்னும் நிறுவப்படாத மிக முக்கியமான கேள்விகளில் ஒன்று என்று கணிதவியலாளர் கருதுகின்றனர்.&lt;ref&gt;{{citeweb|last=Bombieri|first= Enrico|url=http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf|title=The Riemann Hypothesis - official problem description|publisher=[[Clay Mathematics Institute]]|accessdate=2008-10-25}}&lt;/ref&gt; இந்த ரீமன் ஊகம் என்பது ரீமன் இசீட்டா சார்பியத்தின் [[வேர் (கணிதவியல்)|வேர்கள்]](zeros) பற்றிய ஓர் கணித ஊகம் (நிறுவா முன்கருத்து). 
 .
 
 == வரையறை ==
 
 '''ரீமன் இசீட்டா-சார்பியம்'''  &lt;math&gt;\zeta(s)\,&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;s = \sigma + it &lt;/math&gt; என்னும் [[சிக்கலெண்|சிக்கல் எண்]] மாறியில் அமைந்த ஒரு சார்பியம். மெய்ப்பகுதி &lt;math&gt; \sigma &gt; 1 &lt;/math&gt; என்றவாறு அமையும் அனைத்து சிக்கலெண்களுக்கும் கீழே தரப்பட்டுள்ள முடிவிலித் தொடர் குவிந்து, இச்சார்பியம் &lt;math&gt;\zeta(s)\,&lt;/math&gt; -ஐத் தருகிறது. 
 :&lt;math&gt;
 \zeta(s) =
 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} =
 \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots.
 \!&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt; \sigma &gt; 1 &lt;/math&gt; -மதிப்புக்கு வரையறுக்கப்பட்ட இந்த முடிவிலித் தொடரின் [[பகுப்பாய்வுத் தொடர்ச்சி]]யாக ரீமன் இசீட்டா-சார்பியம் வரையறுக்கப்படுகிறது.
 
 மேலே தரப்பட்டுள்ள முடிவிலித் தொடர், &lt;math&gt; \sigma &gt; 1 &lt;/math&gt; எனும்போது பகுப்பாய்வுச் சார்பியமாக முற்றும் குவியும் டிரிச்லெட் தொடராகவும் (Dirichlet series) ஏனைய சிக்கலெண்களுக்கு குவியாது விரிந்து (diverge) செல்லும் சார்பியமாகவும் இருக்கும்.  
 
 குவியும் அரை-தளைத்தில் உள்ள முடிவிலித் தொடரால் வரையறை செய்யப்பட்ட இச்சார்பியம், ''s'' ≠ 1 என்ற எல்லா [[சிக்கலெண்|சிக்கல் எண்களுக்கும்]]  பகுப்பாய்வுத் தொடர்ச்சி செய்யகூடிய ஒரு சார்பியம் என்றும்,  {{nowrap|''s'' {{=}} 1}} என்னும் நிலையில், இத்தொடர் [[இசைத் தொடர்|இசைத் தொடராக]] மாறி முடிவிலியாக விரிகின்றது எனவும் ரீமன் நிறுவியுள்ளார். ஆகவே இசீட்டா சார்பியம் என்பது ஒரு சில புள்ளிகளில் மட்டும் முடிவிலியாக மாறவல்ல, ஆனால் மற்ற இடங்களில் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சி செய்யவல்ல, ''s'' என்னும் சிக்கலெண் மாறியால் ஆன [[பொறிவிரிவு சார்பியம்]] (Meromorphic function) ஆகும். [[சிக்கலெண் எச்சம் மதிப்பு]] 1 கொண்ட {{nowrap|''s'' {{=}} 1}} என்னும் இடத்தைத் தவிர மற்ற இடங்களில் சீராக மாறவல்ல சீருருவு சார்பியம் (holomorphic) ஆகும்.
 
 == இசீட்டா சார்பியத்தின் சில குறிப்பிட்ட மதிப்புகள் ==
 [[படிமம்:zeta.png|thumb|300px|''s'' &gt; 1 -க்கான ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்.]]
 ''2n'' என்னும் எந்த நேர்ம இரட்டைப்படை எண்ணுக்கும், 
 :&lt;math&gt;
 \zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}
 &lt;/math&gt;
 இதில் ''B''&lt;sub&gt;2''n''&lt;/sub&gt; என்பது [[பெர்னூலி எண்]](Bernoulli number),
 
 ஆனால் அதுவே எதிர்ம எண்களாக இருந்தால்,
 
 &lt;math&gt;n\ge 1&lt;/math&gt; என்னும் நிலையில்
 
 :&lt;math&gt;\zeta(-n)=-\frac{B_{n+1}}{n+1}&lt;/math&gt;
 
 மாறி இரட்டைபப்டை எதிர்ம எண்களாக இருந்தால், இசீட்டா சார்பியம் &lt;math&gt;\zeta &lt;/math&gt;, கரைந்து விடுகின்றது. ஆனால் ஒற்றைப் படை நேர்ம எண்களுக்கு இவ்வகையான எளிய தீர்வுகள் இல்லை.
 
 இசீட்டா சார்பியத்தின் மதிப்பை தொகுமுறைகளின் படி பெறுவனவற்றை [[இசீட்டா மாறிலி]]கள் என்பர். சில குறிப்பிட்ட மாறிகளுக்கான இசீட்டா சார்பியத்தின் மதிப்புகளைக் கீழே காணலாம்:  
 
 * &lt;math&gt;\zeta(0) = -1/2,\!&lt;/math&gt;
 
 * &lt;math&gt;\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty;\!&lt;/math&gt;
 ::இது இசைத் தொடர்.
 
 * &lt;math&gt;\zeta(3/2) \approx 2.612;\!&lt;/math&gt;
 :: [[இயற்பியல்|இயற்பியலில்]] [[போசு-ஐன்சுட்டைன் உறைநிலை]] என்னும் நிலையை அடைய தேவைப்படும் மாறுநிலை வெப்பநிலையைக் கணக்கிடுவதில் இது பயன்படுகின்றது. இது காந்தப்பொருள்களில் காந்த ஒழுங்குறும் பொழுது நிகழும் [[தற்சுழற்சி அலை]]களின் இயற்பியலிலும் எழுகின்றது.
 
 * &lt;math&gt;\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.645;\!&lt;/math&gt;
 :: இச்சமன்பாட்டை நிறுவிக்காட்டுவது [[இபேசல் சிக்கல்]] எனப்படுகின்றது. சீருறா வண்ணம் ஏதோ இரண்டு எண்களைத் தேர்ந்தெடுத்தால், அவை ஒன்றுக்கு ஒன்று பகா எண்களாக இருக்கும் [[நிகழ்தகவு]] என்ன என்னும் கேள்விக்கு விடையாக இத்தொடரின் கூட்டுத்தொகையின் தலைகீழ் மதிப்பு அமையும்.&lt;ref&gt;C. S. Ogilvy &amp; J. T. Anderson ''Excursions in Number Theory'', pp. 29–35, Dover Publications Inc., 1988 {{ISBN|0-486-25778-9}}&lt;/ref&gt;
 
 * &lt;math&gt;\zeta(3) = 1 + \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} + \cdots \approx 1.202;\!&lt;/math&gt;
 
 :: இது [[அப்பெரியின் மாறிலி]] (Apéry's constant) என்று அழைக்கப்படுகின்ன்றது.
 
 * &lt;math&gt;\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.0823;\!&lt;/math&gt;
 
 :: இது வெப்பவியலில் புகழ்பெற்ற [[இசுட்டெவ்வான்-போல்ட்சுமன் விதி]] (Stefan–Boltzmann law) மற்றும் வீன் விதி அல்லது வீன் அண்ணளவு (Wien approximation) என்று அறியப்படுகின்றது.
 
 == ஆய்லரின் பெருக்குத்தொடர் வாய்பாடு ==
 இசீட்டா சார்பியத்துக்கும் பகா எண்களுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பை [[லியோனார்டு ஆய்லர்]] கண்டுபிடித்தார். அவர் கீழ்க்காணும் ஈடுகோளை நிறுவினார்:
 
 :&lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}&lt;/math&gt;
 
 மேலுள்ளதில், வரையறையின் படி இடப்புறம் உள்ளது இசீட்டா சார்பியம் ζ(''s''), வலப்புறம் உள்ளது ''p'' என்று குறிக்கப்பெறும் எல்லா பகா எண்களுக்கும் பொருந்துமாறு அமைந்த முடிவிலி தொடர்பெருக்கல் 
 
 இத்தொடர் பெருக்கல் [[ஆய்லர் பெருக்கற்பலன்]] எனப்படும்:
 
 :&lt;math&gt;\prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \frac{1}{1-2^{-s}}\cdot\frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\frac{1}{1-5^{-s}}\cdot\frac{1}{1-7^{-s}} \cdots \frac{1}{1-p^{-s}} \cdots.&lt;/math&gt;
 
 Re(''s'') &gt; 1 என்னும் தளத்தில் ஆய்லரின் தொடர்பெருக்கு வாய்பாட்டில் உள்ள இருபக்கத்தில் உள்ளனவும் குவியும். ஆய்லரின் வாய்பாட்டின் நிறுவலில் அடிப்படை எண்கணக்கியல் தேற்றம் எனப்படும் பகா எண் காரணிப்படுத்துதல் முறையும் [[பெருக்குத் தொடர்|பெருக்குத் தொடரும்]] மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகின்றன. {{nowrap|''s'' {{=}} 1}} என்னும் நிலையில் கிடைக்கும் இசைத் தொடர் முடிவிலியாக விரிவதால், பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவிலியாக அமையும் என  ஆய்லரின் வாய்பாடு சுட்டிக்காட்டுகிறது.
 
 மாறி ''s'' என்பது முழு எண், மற்றும் சீருறாமல் தேர்ந்தெடுக்கப்படுமானால் , அவை ஒன்றுக்கு ஒன்று பகா எண்க்களாக இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கணக்கிட ஆய்லரின் பெருக்கல் வாய்ப்பாடு உதவும். 
 
 இந்நிகழ்தகவு:
 
 : &lt;math&gt;\prod_p^\infty \left(1-\frac{1}{p^s}\right) = \left( \prod_p^\infty \frac{1}{1-p^{-s}} \right)^{-1} = \frac{1}{\zeta(s)}. &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal|author=J. E. Nymann|title=On the probability that ''k'' positive integers are relatively prime|journal=Journal of Number Theory|volume=4|year=1972|pages=469–473|doi=10.1016/0022-314X(72)90038-8|issue=5}}&lt;/ref&gt;
 
 == அடிக்குறிப்புகளும் மேற்கோள்களும் ==
 {{reflist}}
 
 == உசாத்துணை ==
 * {{citation|first=Bernhard|last=Riemann|url=http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/|title=Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse|year=1859|journal=Monatsberichte der Berliner Akademie}}. In ''Gesammelte Werke'', Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
 * [[Jacques Hadamard]], ''Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques'', Bulletin de la Societé Mathématique de France '''14''' (1896) pp 199–220.
 * [[Helmut Hasse]], ''Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe'', (1930) Math. Z. '''32''' pp 458–464. ''(Globally convergent series expression.)''
 * [[E. T. Whittaker]] and [[G. N. Watson]] (1927). ''A Course in Modern Analysis'', fourth edition, Cambridge University Press (Chapter XIII).
 * {{cite book|author=H. M. Edwards| title=Riemann's Zeta Function|publisher=Academic Press|year=1974|isbn=0-486-41740-9}}
 * {{cite book|author=[[G. H. Hardy]]|title=Divergent Series|url=https://archive.org/details/dli.ernet.285939|publisher=Clarendon Press, Oxford|year=1949}}
 * {{cite book|author=A. Ivic|title=The Riemann Zeta Function|publisher=John Wiley &amp; Sons|year=1985|isbn=0-471-80634-X}}
 * {{cite book|author1-link=A.A. Karatsuba|author1=A.A. Karatsuba |author2= S.M. Voronin|title=The Riemann Zeta-Function|publisher= W. de Gruyter, Berlin|year=1992}}
 * {{cite book| author=Hugh L. Montgomery| authorlink=Hugh Montgomery (mathematician)| coauthors=[[Robert Charles Vaughan (mathematician)|Robert C. Vaughan]]| title=Multiplicative number theory I. Classical theory| series=Cambridge tracts in advanced mathematics| volume=97| publisher=Cambridge University Press| year=2007| isbn=0-521-84903-9}} Chapter 10.
 * {{cite book| authorlink=Donald J. Newman| author=Donald J. Newman| title=Analytic number theory| series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]]| volume=177| publisher=Springer-Verlag| year=1998| isbn=0-387-98308-2}} Chapter 6.
 * {{cite book|author=[[Edward Charles Titchmarsh|E. C. Titchmarsh]]|title=The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition|publisher=Oxford University Press|year= 1986}}
 * {{cite journal| author=[[Jonathan Borwein]], David M. Bradley, [[Richard Crandall]]| url=http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf| format=PDF| title=Computational Strategies for the Riemann Zeta Function| journal=J. Comp. App. Math.| year=2000| volume=121| pages=p.11| access-date=2009-04-03| archive-date=2006-09-25| archive-url=https://web.archive.org/web/20060925091659/http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf| url-status=dead}} (''links to PDF file'')
 * {{cite journal| author=Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski| url=http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&amp;_udi=B6TYH-451NM96-2&amp;_user=10&amp;_coverDate=05%2F15%2F2002&amp;_alid=509596586&amp;_rdoc=17&amp;_fmt=summary&amp;_orig=search&amp;_cdi=5619&amp;_sort=d&amp;_docanchor=&amp;view=c&amp;_acct=C000050221&amp;_version=1&amp;_urlVersion=0&amp;_userid=10&amp;md5=76a759d8292edc715d10b1cb459992f1| title=Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments| journal=J. Comp. App. Math.| year=2002| volume=142| pages=pp.435–439| doi=10.1016/S0377-0427(02)00358-8| access-date=2009-04-03| archive-date=2009-01-31| archive-url=https://web.archive.org/web/20090131213548/http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&amp;_udi=B6TYH-451NM96-2&amp;_user=10&amp;_coverDate=05%2F15%2F2002&amp;_alid=509596586&amp;_rdoc=17&amp;_fmt=summary&amp;_orig=search&amp;_cdi=5619&amp;_sort=d&amp;_docanchor=&amp;view=c&amp;_acct=C000050221&amp;_version=1&amp;_urlVersion=0&amp;_userid=10&amp;md5=76a759d8292edc715d10b1cb459992f1| url-status=dead}}
 * {{cite journal| author=Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski| url = http://www.ams.org/proc/1997-125-09/S0002-9939-97-04102-6/home.html| title = Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms| journal=Proc. Amer. Math. Soc.| year=1997| volume=125| pages=pp.2543–2550| doi = 10.1090/S0002-9939-97-04102-6}}
 * Jonathan Sondow, &quot;[http://home.earthlink.net/~jsondow/id5.html Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090719031437/http://home.earthlink.net/~jsondow/id5.html |date=2009-07-19 }}&quot;, Proc. Amer. Math. Soc. 120 (1994) 421–424.
 * {{cite journal| author=Jianqiang Zhao| url = http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0002-9939-99-05398-8| title = Analytic continuation of multiple zeta functions| journal=Proc. Amer. Math. Soc.| year=1999| volume=128| pages=pp.1275–1283}}
 &lt;/div&gt;
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 * [http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld] — an explanation with a more mathematical approach
 * [http://dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables Tables of selected zeroes] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090517003700/http://dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/ |date=2009-05-17 }}
 * [http://www.mybloop.com/dmlpat/maths/zeros_dml.gz File with 1,000,000 zeros and accurate to about 60+ digits] (''To download compressed archive, click on '''Download Now...''' button.'')
 * [http://seedmagazine.com/news/2006/03/prime_numbers_get_hitched.php Prime Numbers Get Hitched] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080721030342/http://seedmagazine.com/news/2006/03/prime_numbers_get_hitched.php |date=2008-07-21 }} A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers.
 * [http://arxiv.org/abs/math/0309433v1 X-Ray of the Zeta Function] Visually-oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary.
 * [http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta/ Formulas and identities for the Riemann Zeta function] functions.wolfram.com
 * [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_807.htm Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers], section 23.2 of [[Abramowitz and Stegun]]