பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு
[[File:Tetragon measures.svg|thumb|230px|நாற்கரம் -ABCD.]]
 
 [[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]] '''பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்ப்பாடு''' (''Bretschneider's formula'') என்பது ஒரு குவிவு [[நாற்கரம்|நாற்கரத்தின்]] [[பரப்பு]] காணும் வாய்ப்பாடு. 
 
 இந்த வாய்ப்பாட்டின்படி குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு:&lt;ref&gt;E. A. José García, Two Identities and their Consequences, MATINF, 6 (2020) 5-11. [http://matinf.upit.ro/MATINF6/index.html?fbclid=IwAR1l1rO0oOyEFW8UHuh5Mlt3gv_w8ibykYZGbVM7x2EKG7t3rHSc-vSMH7A#p=1] &lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal |last1=Coolidge |first1=J. L. |title=A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral |journal=The American Mathematical Monthly |date=1939 |volume=46 |issue=6 |pages=345–347 |doi=10.2307/2302891|jstor=2302891 }}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite book|author1-link=E. W. Hobson|first1=E. W.|last1=Hobson|title=A Treatise on Plane Trigonometry|publisher=Cambridge University Press|date= 1918|pages= 204–205|url=https://archive.org/details/treatiseonplanet00hobs/page/n7/mode/2up}}&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt; K = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd  \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}.&lt;/math&gt;
 
 இங்கு ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' – நாற்கரத்தின் பக்கங்கள்,   ''s''   -நாற்கரத்தின் [[அரைச்சுற்றளவு]], மற்றும் &lt;math&gt;\alpha \,&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;\gamma \,&lt;/math&gt;  -இரண்டும் நாற்கரத்தின் எதிர்க் [[கோணம்|கோணங்கள்]]. எதிரெதிர்க் கோணங்கள் &lt;math&gt;\beta \,&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;\delta \,&lt;/math&gt; -வாகவும் இருக்கலாம். ஏனெனில் நான்கு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை &lt;math&gt;\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360&lt;/math&gt; என்பதும் &lt;math&gt;cos(\theta) = cos (360 - \theta)&lt;/math&gt; என்பதும் உண்மை.
 
 பிரெட்ஷ்ணைடர் வாய்பாடு, எந்தவொரு நாற்கரத்திற்கும் பொருந்தும். இந்த வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கு  நாற்கரங்கள் [[வட்ட நாற்கரம்|வட்ட நாற்கரங்களாக]] இருக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை.
 
 1842 -ல், [[ஜெர்மனி|ஜெர்மானிய]] [[கணிதவியலாளர்]] ''கார்ல் ஆண்டன் பிரெட்ஷ்ணைடர்'' இந்த வாய்பாட்டைக் கண்டுபிடித்தார். அதே ஆண்டில் மற்றொரு ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ''கார்ல் ஃவான் ஸ்டாட்டும்'' இதனைக் கண்டுபிடித்தார்.
 
 == நிறுவல் ==
 நாற்கரத்தின் பரப்பை  ''K'' எனக் குறித்தால்:
 
 :&lt;math&gt; \begin{align} K &amp;= \text{area of} \triangle ADB + \text{area of} \triangle BDC \\
                         &amp;= \frac{a d \sin \alpha}{2} + \frac{b c \sin \gamma}{2}. \end{align} &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \begin{align} 2K = a d \sin \alpha + b c \sin \gamma. \end{align} &lt;/math&gt;
 
 [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கம்]] காண (இருமடியாக்க):
 
 :&lt;math&gt; 4K^2 = (ad)^2 \sin^2 \alpha + (bc)^2 \sin^2 \gamma + 2abcd \sin \alpha \sin \gamma. \, &lt;/math&gt; ------(1)
 
 [[கோசைன் விதி|கொசைன் விதிப்படி]]:
 :&lt;math&gt;BD^2 = a^2 + d^2 -2ad \cos \alpha = b^2 + c^2 -2bc \cos \gamma, \, &lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;a^2 +d^2 -b^2 -c^2 = 2ad \cos \alpha -2bc \cos \gamma, \, &lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\frac{a^2 +d^2 -b^2 -c^2}{2} = ad \cos \alpha -bc \cos \gamma, \, &lt;/math&gt;
 
 வர்க்கம் காண (இருமடியாக்க):
 :&lt;math&gt;\frac{(a^2 + d^2 - b^2 - c^2)^2}{4} = (ad)^2 \cos^2 \alpha +(bc)^2 \cos^2 \gamma -2 abcd \cos \alpha \cos \gamma. \,&lt;/math&gt;----------(2)
 
 (1), (2) இரண்டையும் கூட்ட:
 
 :&lt;math&gt;4K^2 + \frac{(b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2}{4} = (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd \cdot \cos (\alpha + \gamma). \, &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;16K^2 = - (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 + 4(ad)^2 + 4(bc)^2 - 8abcd \cdot \cos (\alpha + \gamma). \, &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;16K^2 = - (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 + 4(ad)^2 + 4(bc)^2 - 8abcd\cdot (2\cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) - 1). \, &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;16K^2 = - (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2 + 4(ad)^2 + 4(bc)^2 + 8abcd - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) \, &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;16K^2 = (2(ad)+2(bc))^2- (b^2 + c^2 - a^2 - d^2)^2  - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) \, &lt;/math&gt;
 
 இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
 
 :&lt;math&gt;16K^2 = (a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a) - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right).&lt;/math&gt;
 
 அரைச்சுற்றளவு:
 :&lt;math&gt;s = \frac{a+b+c+d}{2},&lt;/math&gt; -ஐப் பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;(b+c+d-a) = 2(s-a)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;(a+c+d-b) = 2(s-b)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;(a+b+d-c) = 2(s-c)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;(a+b+c-d) = 2(s-d)&lt;/math&gt;
 
 இம்மதிப்புகளைப் பிரதியிட:
 
 :&lt;math&gt;16K^2 = 16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - 16abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;K^2 = (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)&lt;/math&gt;
 
 வர்க்கமூலம் காண, குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு கிடைக்கிறது:
 
 :&lt;math&gt; K = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd  \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}.&lt;/math&gt;
 
 == தொடர்புள்ள பிற வாய்பாடுகள் ==
 [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தின்]] பரப்பு காணும் [[ஈரோனின் வாய்பாடு|ஈரோனின் வாய்பாட்டின்]] பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம்தான் வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் [[பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு]]. [[பிரம்மகுப்தர்|பிரம்மகுப்தரின்]] வாய்ப்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட படிவம்தான் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு.
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 * {{MathWorld|urlname=BretschneidersFormula|title=Bretschneider's formula}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}