பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு
[[யூக்ளீட் வடிவியல்|யூக்ளீடிய வடிவவியலில்]] '''பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாடு''' என்பது (''Brahmagupta's formula'') [[வட்ட நாற்கரம்|வட்ட நாற்கரத்தின்]] [[பரப்பளவு]] காணும் வாய்ப்பாடு ஆகும். ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் பக்கங்களின் நீளங்கள் தரப்பட்டிருக்கும் போது இவ்வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அந்த வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பைக் காணலாம்.
 
 == அடிப்படைப் படிவம் ==
 பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் எளிமையானதும் எளிதில் மனதில் பதியக்கூடியதுமான படிவம்,  ''a'', ''b'', ''c'', ''d''  -ஐ பக்க நீளங்களாகக் கொண்ட [[வட்ட நாற்கரம்|வட்ட நாற்கரத்தின்]] பரப்பைத் தருகிறது:
 
 : &lt;math&gt;K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}&lt;/math&gt;
 
 இங்கு  ''s'',  நாற்கரத்தின் [[அரைச்சுற்றளவு]].
 
 : &lt;math&gt;s=\frac{a+b+c+d}{2}\cdot&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;s-a= \frac{-a+b+c+d}{2}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;s-b= \frac{a-b+c+d}{2}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;s-c= \frac{a+b-c+d}{2}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;s-d= \frac{a+b+c-d}{2}&lt;/math&gt;
 
 இவ்வாய்ப்பாடு [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தின்]] பரப்பு காணும் [[ஈரோனின் வாய்பாடு|ஹீரோனின் வாய்ப்பாட்டின்]] பொதுமைப்படுத்தப்பட்டப் படிவமாக அமைகிறது. பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டில் '''d'''  -ன் மதிப்பு [[பூச்சியம்|பூச்சியத்தை]] நெருங்குவதாக எடுத்துக் கொண்டால் ஹீரோனின் வாய்ப்பாடு கிடைக்கும்.  அதாவது ஒரு பக்கத்தின் நீளம் பூச்சியமாக உள்ள நாற்கரமாக முக்கோணத்தைக் கொள்ளலாம்.
 
 == நிறுவல் ==
 [[Image:Brahmaguptas formula.svg|frame|right|இப்பகுதியின் நிறுவலுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் வட்ட நாற்கரத்தின் படம்.]]
 இப்பகுதியில் உள்ள படத்தில் தரப்பட்டுள்ள வட்ட நாற்கரத்தின் அளவுகளுக்கான குறியீடுகள் பரப்பு காணும்போது பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
 
 வட்ட நாற்கரம் ABCD -ன் பரப்பு
 
 :&lt;math&gt;= \triangle ADB&lt;/math&gt; -ன் பரப்பு+  &lt;math&gt;\triangle BDC&lt;/math&gt; -ன் பரப்பு
 
 :&lt;math&gt;= \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin C.&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;ABCD&lt;/math&gt;, ஒரு வட்ட நாற்கரம் என்பதால்:
 :&lt;math&gt;\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB.&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\sin A = \sin C\,&lt;/math&gt;
 
 :  ஃ &lt;math&gt;\mbox{Area} = \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin A&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;(\mbox{Area}) = \frac{1}{2}\sin A (pq + rs)&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;(\mbox{Area})^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (pq + rs)^2&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;4(\mbox{Area})^2 = (1 - \cos^2 A)(pq + rs)^2 = (pq + rs)^2 - \cos^2 A (pq + rs)^2.\,&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\triangle&lt;/math&gt;''ADB'' மற்றும் &lt;math&gt;\triangle &lt;/math&gt;''BDC'',  இரண்டின் பொதுப்பக்கம் DB-ன் மதிப்பைக் [[கொசைன் விதி]] மூலம் காண:
 
 :&lt;math&gt;DB = p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2 - 2rs\cos C. \,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\cos C = \cos( \pi - A) = -\cos A\,&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;A&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;C&lt;/math&gt; [[மிகைநிரப்புக் கோணங்கள்]].)
 
 இதனைப் பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt; p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2  +2rs\cos A. \,&lt;/math&gt;
 
 உறுப்புகளை மாற்றித் தொகுக்க:
 
 :&lt;math&gt;2\cos A (pq + rs) = p^2 + q^2 - r^2 - s^2. \,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\cos A (pq + rs) = \frac{p^2 + q^2 - r^2 - s^2}{2}. \,&lt;/math&gt;
 
 வர்க்கப்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;\cos ^2A (pq + rs)^2 = \frac{(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2}{4}. \,&lt;/math&gt;
 
 இதனைப் பரப்பு வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட:
 
 :&lt;math&gt;4(\mbox{Area})^2 = (pq + rs)^2 - \frac{1}{4}(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;16(\mbox{Area})^2 = 4(pq + rs)^2 - (p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2, \,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;= (2(pq + rs) - p^2 - q^2 + r^2 +s^2)(2(pq + rs) + p^2 + q^2 -r^2 - s^2) \,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;= ( (r+s)^2 - (p-q)^2 )( (p+q)^2 - (r-s)^2 ) \,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;= (q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s). \,&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;S = \frac{p+q+r+s}{2},&lt;/math&gt; என எடுத்துக் கொண்டால்
 
 :&lt;math&gt;16(\mbox{Area})^2 = 16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s). \,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;(\mbox{Area})^2 = (S-p)(S-q)(S-r)(S-s). \,&lt;/math&gt;
 
 வர்க்கமூலம் காண:
 
 :&lt;math&gt;\mbox{Area} = \sqrt{(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}.&lt;/math&gt;
 
 ==மாற்றுப் படிவம்==
 
 இவ்வாய்ப்பாட்டின் மற்றொரு படிவம்:
 
 : &lt;math&gt;K=\frac{\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2+8abcd-2(a^4+b^4+c^4+d^4)}}{4}\cdot&lt;/math&gt;
 
 ===நிறுவல்===
 பரப்பு காணும் வாய்பாடின் பொதுப் படிவம்:
 
 : &lt;math&gt;K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;s-a= \frac{-a+b+c+d}{2}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;s-b= \frac{a-b+c+d}{2}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;s-c= \frac{a+b-c+d}{2}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;s-d= \frac{a+b+c-d}{2}&lt;/math&gt; இம்மதிப்புகளைப் பரப்பு வாய்பாடில் பிரதியிட:
 
 : &lt;math&gt;K=\sqrt{(\frac{-a+b+c+d}{2})(\frac{a-b+c+d}{2})(\frac{a+b-c+d}{2})(\frac{a+b+c-d}{2})}&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;=\frac{1}{4}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;=\frac{1}{4}\sqrt{[(c+d)-(a-b)][(c+d)+(a-b)][(a+b)-(c-d)][(a+b)+(c-d)]}&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;=\frac{1}{4}\sqrt{[(c+d)^2-(a-b)^2][(a+b)^2-(c-d)^2]}&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;=\frac{1}{4}\sqrt{[(c^2+d^2-a^2-b^2+2ab+2cd][(a^2+b^2-c^2-d^2+2ab+2cd]}&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;=\frac{1}{4}\sqrt{[(2ab+2cd)-(a^2+b^2-c^2-d^2)][(2ab+2cd)+(a^2+b^2-c^2-d^2)]}&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;=\frac{1}{4}\sqrt{(2ab+2cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2}&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;=\frac{1}{4}\sqrt{[(4a^2b^2+4c^2d^2+8abcd)-(a^4+b^4+c^4+d^4+2a^2b^2-2a^2c^2-2a^2d^2-2b^2c^2-2b^2d^2+2c^2d^2)}&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;=\frac{1}{4}\sqrt{(2a^2b^2+2a^2c^2+2a^2d^2+2b^2c^2+2b^2d^2+2c^2d^2)+8abcd-(a^4+b^4+c^4+d^4)}&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2-(a^4+b^4+c^4+d^4)+8abcd-(a^4+b^4+c^4+d^4)}&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2+8abcd-2(a^4+b^4+c^4+d^4)}&lt;/math&gt;
 
 == வட்டத்துக்குள் அமையாத நாற்கரங்களுக்கு நீட்டிப்பு ==
 வட்டத்துக்குள் அமையாத நாற்கரங்களின் பரப்பு காண்பதற்கு பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டை நீட்டித்துக் கொள்ளலாம். இதற்கு நாற்கரங்களின் எதிர்க் கோணங்களின் அளவுகளைக் கருத்தில் கொள்ளல் வேண்டும்.
 
 : &lt;math&gt;K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta}&lt;/math&gt; இது [[பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு|பிரெட்ஷ்னீடரின் வாய்ப்பாடாகும்.]]
 
 இங்கு θ, நாற்கரத்தின் ஏதேனும் ஒரு சோடி எதிர்க் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் பாதி. இரண்டு சோடி எதிர்க் கோணங்களில் எந்த சோடியை வேண்டுமானாலும் எடுத்துக் கொள்ளலாம். ஏனெனில் மற்றொரு சோடி எதிர்க்கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையில் பாதியானது, (180-  θ) -ஆக இருக்கும். cos(180°&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;θ) = &amp;minus;cosθ,  cos&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;(180°&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;θ) = cos&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;θ.
 
 தரப்பட்ட பக்க நீளங்களைக் கொண்ட நாற்கரங்களிலேயே வட்ட நாற்கரங்கள் தான் மீப்பெரு பரப்புடையவை.
 
 பொது நாற்கரங்களின் பரப்பு வாய்ப்பாட்டிலிருந்து வட்ட நாற்கரங்களின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாட்டைப் பெறுதல்:
 
 வட்ட நாற்கரங்களின் பண்பின்படி அதன் எதிர்க் கோணங்கள் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள். எனவே அவற்றின் கூடுதல் 180°, இக்கூடுதலின் பாதியளவு 90°
 
 : ஃ  &lt;math&gt;abcd\cos^2\theta=abcd\cos^2 \left(90^\circ\right)=abcd\cdot0=0, \,&lt;/math&gt;
 
 எனவே பரப்பு வாய்ப்பாட்டில் இதைப் பிரதியிட வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாடு கிடைக்கிறது:
 
 :&lt;math&gt;K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}&lt;/math&gt;
 
 ஜூலியன் கூலிட்ஜ் -ஆல் நிறுவப்பட்ட பொதுக் குவிவு நாற்கரங்களின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடு:&lt;ref&gt;J. L. Coolidge, &quot;A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral&quot;, ''American Mathematical Monthly'', '''46''' (1939) pp. 345-347.&lt;/ref&gt;
 
 : &lt;math&gt;K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle{1\over4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}\,&lt;/math&gt;
 
 இங்கு ''p'' மற்றும் ''q'' -நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள்.
 
 [[டாலமியின் தேற்றம்|டாலமியின் தேற்றப்படி]], ஒரு வட்ட நாற்கரத்திற்கு, &lt;math&gt;pq=ac+bd&lt;/math&gt; -ஆக இருக்கும். இம்மதிப்பைப் பிரதியிட கூலிட்ஜின் வாய்ப்பாடு, பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாடாக மாறும்.
 
 == தொடர்புள்ள பிற தேற்றங்கள் ==
 * முக்கோணங்களின் பரப்பு காணும் [[ஈரோனின் வாய்பாடு|ஹீரோனின் வாய்ப்பாடு]] - நாற்கரத்தின் பக்க நீளம் ''d'' = 0 எனக் கொள்வதால் கிடைக்கும் சிறப்பு வகை.
 * பிரம்மகுப்தரின் பொது வாய்ப்பாட்டிற்கும் நீட்டிக்கப்பட்ட வாய்ப்பாட்டிற்கும் உள்ள தொடர்பு, கொசைன் விதியானது [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தகோரஸ்]] தேற்றத்தின் நீட்டிப்பாக அமைதலுக்குச் சமமானது.
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * [http://mathworld.wolfram.com/BrahmaguptasFormula.html MathWorld:  Brahmagupta's formula]
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 
 {{reflist}}
 
 {{planetmath|id=3594|title=proof of Brahmagupta's formula}}
 
 [[பகுப்பு:நாற்கரங்கள், வட்டங்கள் பற்றிய தேற்றங்கள்]]