காலமுறைத் தொடர்வரிசை
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''காலமுறைத் தொடர்வரிசை''' அல்லது '''காலமுறைத் தொடர்முறை'''  (''periodic sequence'') என்பது ஒரே உறுப்பானது  மீண்டும் மீண்டும் வருகின்ற ஒரு [[தொடர்வரிசை]] ஆகும். இத்தொடர் வரிசையானது சில சமயங்களில் &quot;சுழல்&quot; (''cycle'') அல்லது &quot;வட்டணை&quot; (''orbit'') எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 காலமுறைத் தொடர்வரிசையின் வடிவம்:
 :''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ..., ''a''&lt;sub&gt;''p''&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;&amp;nbsp;''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ..., ''a''&lt;sub&gt;''p''&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;&amp;nbsp;''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ..., ''a''&lt;sub&gt;''p''&lt;/sub&gt;, ...
 
 மீளும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ''p'' ஆனது தொடர்வரிசையின் &quot;காலமுறை இடைவெளி&quot; (''period'')  ([[அதிர்வெண்]]) எனப்படும்.&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;[https://encyclopediaofmath.org/index.php? Ultimately periodic sequence]&lt;/ref&gt;
 
 ==வரையறை==
 ''p'' காலமுறை இடைவெளி கொண்ட ஒரு காலமுறைத் தொடர்வரிசை ''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;, ... ஆனது  ''n'' இன் எல்லா நேர்ம முழுவெண் மதிப்புகளுக்கும்,
 :''a''&lt;sub&gt;''n''+''p''&lt;/sub&gt; = ''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; என்ற முடிவை நிறைவுசெய்யும்.&lt;ref name=&quot;:0&quot; /&gt;&lt;ref&gt;{{Cite web|last=Bosma|first=Wieb|title=Complexity of Periodic Sequences|url=https://www.math.ru.nl/~bosma/pubs/periodic.pdf|access-date=13 August 2021|website=www.math.ru.nl}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;:2&quot;&gt;{{Cite journal|last1=Janglajew|first1=Klara|last2=Schmeidel|first2=Ewa|date=2012-11-14|title=Periodicity of solutions of nonhomogeneous linear difference equations|journal=Advances in Difference Equations|volume=2012|issue=1|pages=195|doi=10.1186/1687-1847-2012-195|s2cid=122892501|issn=1687-1847|doi-access=free}}&lt;/ref&gt; 
 
 [[இயல் எண்]] [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தை]]  [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களமாகக்]] கொண்ட [[சார்பு|சார்பாகத்]]  தொடர்வரிசையைக் கருதினால், காலமுறைத் தொடர்வரிசையானது,  [[காலமுறைச் சார்பு|காலமுறைச் சார்பின்]] சிறப்பு வகையாகும். ''p'' இன் எந்தவொரு மிகச்சிறிய மதிப்பிற்குத் தொடர்வரிசையானது  ''p''-காலமுறைத் தொடர்வரிசையாக அமைகிறதோ அம்மதிப்பு &quot;மிகச்சிறிய காலமுறை இடைவெளி&quot;&lt;ref name=&quot;:0&quot; /&gt; அல்லது மிகச்சரியான &quot;காலமுறை இடைவெளி&quot; எனப்படும்.
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள்==
 *ஒவ்வொரு  [[மாறிலிச் சார்பு|மாறிலிச் சார்பின்]]  காலமுறை '1' ஆகும்.
 
  &lt;math&gt;1,2,1,2,1,2\dots&lt;/math&gt; என்ற தொடர்வரிசையின் மிகச்சிறிய காலமுறை '2'.
 
 1/7 இன் [[பதின்மம்|பதின்ம வடிவ]] விரிவு  '6' காலமுறையளவுள்ள தொடர்வரிசை:
 
 :&lt;math&gt;\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\,142857\,\ldots&lt;/math&gt;
 
 பொதுவாகவே, எந்தவொரு [[விகிதமுறு எண்|விகிதமுறு எண்ணின்]] பதின்ம பின்ன விரிவானது இறுதியில் சுழற்சியுள்ள தொடர்வரிசையாக இருக்கும்&lt;ref&gt;{{Cite web|last=Hosch|first=William L.|date=1 June 2018|title=Rational number|url=https://www.britannica.com/science/rational-number|access-date=13 August 2021|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}&lt;/ref&gt;
 
 -1 இன் அடுக்குகளின் தொடர்வரிசை '2' காலமுறையுள்ள தொடர்வரிசையாகும்:
 :&lt;math&gt;-1,1,-1,1,-1,1,\ldots&lt;/math&gt;
 
 எந்தவொரு  [[ஒன்றின் படிமூலம்|ஒன்றின் படிமூலத்தின்]] அடுக்குகளாகவும் அமையும் தொடர்வரிசையானது காலமுறையானதாக இருக்கும். இதேபோல ஒரு [[குலம் (கணிதம்)|குலத்தின்]] முடிவுறு [[குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)|வரிசைகொண்ட]] உறுப்புகளின் அடுக்குகளாக அமையும் தொடர்வரிசைகளும் காலமுறைத் தொடர்வரிசைகளாக இருக்கும்.
 
 ==முற்றொருமைகள்==
 ===பகுதிக் கூட்டுத்தொகை===
 :&lt;math&gt;\sum_{n=1}^{kp+m} a_{n} = k*\sum_{n=1}^{p} a_{n} + \sum_{n=1}^{m} a_{n},&lt;/math&gt;  k, m&lt;p இரண்டும் இயல் எண்கள்.
 ===பகுதிப் பெருக்கற்பலன்===
 :&lt;math&gt;\prod_{n=1}^{kp+m} a_{n} = ({\prod_{n=1}^{p} a_{n}})^k * \prod_{n=1}^{m} a_{n},&lt;/math&gt; k, m&lt;p இரண்டும் இயல் எண்கள்.
 
 == 0, 1 காலமுறையுள்ள தொடர்வரிசைகள்==
 0, 1 காலமுறையுள்ள தொடர்வரிசைகளை [[முக்கோணவியல் சார்புகள்|முக்கோணவியல் சார்புகளின்]] கூட்டலாக எழுதலாம்:
 
 :&lt;math&gt;\sum_{k=1}^{1} \cos \left(-\pi\frac{n(k-1)}{1}\right)/1 = 1,1,1,1,1,1,1,1,1, \cdots&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\sum_{k=1}^{2} \cos \left(2\pi\frac{n(k-1)}{2}\right)/2 = 0,1,0,1,0,1,0,1,0, \cdots&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\sum_{k=1}^{3} \cos \left(2\pi\frac{n(k-1)}{3}\right)/3 = 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1, \cdots&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\cdots&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\sum_{k=1}^{N} \cos \left(2\pi\frac{n(k-1)}{N}\right)/N = 0,0,0,\cdots,1, \cdots  
 \quad \text{sequence with period } N &lt;/math&gt;
 
 ஏற்ற [[ஒன்றின் படிமூலம்|ஒன்றின் படிமூலத்திற்கு, 
 [[டி மாவரின் வாய்ப்பாடு|டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டைப்]] பயன்படுத்தி மேலுள்ளவற்றை நிறுவலாம்.
 
 ==பொதுவாக்கங்கள்==
 ஒரு தொடர்வரிசையின் துவக்கத்திலுள்ள சில எண்களை நீக்குவதன்மூலம் அதனைக் காலமுறையினதாக மாற்றக்கூடியதாக இருந்தால், அத்தொடர்வரிசையானது &quot;இறுதியாகக் காலமுறைத் தொடர்வரிசை&quot; (eventually periodic sequence) எனப்படும். 
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 : 1 / 56 = 0 . 0 1 7&amp;nbsp;&amp;nbsp;8 5 7 1 4 2&amp;nbsp;&amp;nbsp;8 5 7 1 4 2&amp;nbsp;&amp;nbsp;8 5 7 1 4 2&amp;nbsp;&amp;nbsp;...
 
 ஒரு தொடர்வரிசையானது,
 :&lt;math&gt;a_{k+r} = a_k&lt;/math&gt; (''k'' போதுமான அளவு பெரியதாக இருக்க வேண்டும்)
 
 என்பதை நிறைவு செய்தால் &quot;அறுதியானக் காலமுறைத் தொடர்வரிசை&quot;  (ultimately periodic sequence) எனப்படும்&lt;ref name=&quot;:0&quot; /&gt; 
 
 ஒரு தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள் மற்றொரு காலமுறைத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளை அணுகுமானால் அத்தொடர்வரிசையானது, &quot;அணுகல் காலமுறைத் தொடர்வரிசை&quot; (''asymptotically periodic  sequence'') எனப்படும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 ''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''x''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''x''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;... என்பது அணுகும் காலமுறைத் தொடர்வரிசையாக இருக்கவேண்டுமானால, 
 
 :&lt;math&gt;\lim_{n\rightarrow\infty} x_n - a_n = 0.&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;:2&quot; /&gt; 
 
 என்பதை நிறைவு செய்யும் வகையில் மற்றொரு காலமுறைத் தொடர்வரிசை ''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''a''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;... இருக்க வேண்டும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :1 / 3,&amp;nbsp;&amp;nbsp;2 / 3,&amp;nbsp;&amp;nbsp;1 / 4,&amp;nbsp;&amp;nbsp;3 / 4,&amp;nbsp;&amp;nbsp;1 / 5,&amp;nbsp;&amp;nbsp;4 / 5,&amp;nbsp;&amp;nbsp;...
 
 இதன் உறுப்புகள், 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....என்ற காலமுறைத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளை அணுகுவதால், இது ஒரு அணுகும் காலமுறைத் தொடர்வரிசையாகும்.
 
 ==மேற்கோள்கள் ==
 {{Reflist}}