குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம்
'''குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம்''' (''direct product of groups'') என்பது குலக்கோட்பாட்டில் [[குலம் (கணிதம்)|குலங்களுக்கிடையே]] நிகழும் ஒரு செயலி. {{math|''G''}} , {{math|''H''}} எனும் இரு குலங்களுக்கிடையே இச்செயலியைப் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு ஒரு புதுக் குலமாக ({{math|''G'' × ''H''}}) இருக்கும். [[கணம் (கணிதம்)|கணங்களில்]] வரையறுக்கபட்டுள்ள [[கார்ட்டீசியன் பெருக்கல்]] என்ற செயலிக்கு ஒத்தசெயலியாக இது குலங்களில் உள்ளது.
 
 [[ஏபெல் குலம்|ஏபெல் குலங்களில்]] இப்பெருக்கம் சிலசமயங்களில் [[நேர்க் கூட்டல்]] ({{math|''G'' ⊕ ''H''}}) எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது . ஏபெல் குலங்களை வகைப்படுத்துவதில் நேர்க் கூட்டல் முக்கியப் பங்குவகிக்கிறது. முடிவுறு ஏபெல் குலங்களின் வரையறைப்படி, ஒவ்வொரு முடிவுறு ஏபெல் குலத்தையும் இரு [[சுழற் குலம்|சுழற் குலங்களின்]] நேர் கூட்டலாகக் காணமுடியும்.
 
 == வரையறை ==
 தரப்பட்ட இரு குலங்கள் {{math|''G''}}, {{math|''H''}} எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் {{math|''G'' × ''H''}} பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
 :&lt;math&gt;G \times H = \{ (g, h) : g \in G , h \in H\}&lt;/math&gt;
  
 :{{math|(''g''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''h''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) · (''g''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ''h''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) &amp;nbsp;{{=}}&amp;nbsp;  (''g''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;·''g''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ''h''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;·''h''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)}} என வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்புச் செயலியைப் பொறுத்து {{math|''G'' × ''H''}} இல் குலங்களின் பண்புகள் நிறைவு செய்யப்படுவதால் அது ஒரு குலமாகிறது:
 
 ;சேர்ப்பு விதி: 
 {{math|''G'' × ''H''}} இல் வரையறுக்கப்பட்ட இந்த ஈருறுப்புச் செயலி [[சேர்ப்பு விதி|சேர்ப்புத்தன்மை]] உடையது
 
 ;முற்றொருமை உறுப்பு: 
 இக்குலத்தின் [[முற்றொருமை உறுப்பு]] {{math|(1&lt;sub&gt;''G''&lt;/sub&gt;, 1&lt;sub&gt;''H''&lt;/sub&gt;)}}. இதில் {{math|1&lt;sub&gt;''G''&lt;/sub&gt;}}, {{math|''G''}} இன் முற்றொருமை உறுப்பு; {{math|1&lt;sub&gt;''H''&lt;/sub&gt;}}, &amp;nbsp;{{math|''H''}} இன் முற்றொருமை உறுப்பு.
 
 ;நேர்மாறு உறுப்புகள்: 
 {{math|''G'' × ''H''}} இன் உறுப்பு {{math|(''g'', ''h'')}} இன் [[நேர்மாறு உறுப்பு]]:
 
 {{math|(''g''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;, ''h''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;)}},
 
 இங்கு {{math|''G''}} இல் {{math|''g''}} இன் நேர்மாறு உறுப்பு {{math|''g''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;}}; {{math|''H''}} இல் {{math|''h''}} இன் நேர்மாறு உறுப்பு {{math|''h''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt;}}
 
 :&lt;math&gt;(g , h)^{-1} = (g^{-1}, h^{-1})&lt;/math&gt;
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 * மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் {{math|'''(R,+)'''}} எனில் நேர்ப்பெருக்கம்:
 :&lt;math&gt; R \times R = \{ (x, y) : x, y \in R \}&lt;/math&gt;
 
 இதன் உறுப்புகள் {{math|(''x'', ''y'')}} [[திசையன்]]கள். திசையன் கூட்டலைப் பொறுத்து இது ஒரு குலமாகும்.
 
 திசையன் கூட்டல்:
 
  &lt;center&gt;{{math|(''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''y''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;) + (''x''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ''y''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) &amp;nbsp;{{=}}&amp;nbsp; (''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+''x''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, ''y''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;+''y''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;)}}.&lt;/center&gt;
 
 * {{math|''G''}}, {{math|''H''}} என்பவை இரு உறுப்புகள் கொண்ட சுழற் குலங்கள்:
 {|
 |-
 | style=&quot;width:70px;&quot; |
 |
 {| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center; width:90px; height:90px;&quot;
 |+ {{math|''G''}}
 |-
 !   *   !!  {{math|1}}   !! {{math|''a''}}
 |-
 !   {{math|1}}
 |   {{math|1}}   || {{math|''a''}}
 |-
 ! {{math|''a''}}
 | {{math|''a''}} ||   {{math|1}}
 |}
 | style=&quot;width:50px;&quot; |
 |
 {| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center; width:90px; height:90px;&quot;
 |+ {{math|''H''}}
 |-
 !   *   !!  {{math|1}}   !! {{math|''b''}}
 |-
 !   {{math|1}}
 |   {{math|1}}   || {{math|''b''}}
 |-
 ! {{math|''b''}}
 | {{math|''b''}} || {{math|1}}
 |}
 |}
 
 :இவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம் {{math|''G'' × ''H''}}, [[கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம்|கிளைன் நான்குறுப்பு குலத்துடன்]] [[குலச் சமஅமைவியம்|சமஅமைவியமுடையது]]:
 
 :::{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align:center; width:250px; height:175px;&quot;
 |+ {{math|''G'' × ''H''}}
 |-
 !   *   !! {{math|(1, 1)}} !! {{math|(''a'', 1)}} !! {{math|(1, ''b'')}} !! {{math|(''a'', ''b'')}}
 |-
 ! {{math|(1, 1)}}
 | {{math|(1, 1)}} || {{math|(''a'', 1)}} || {{math|(1, ''b'')}} || {{math|(''a'', ''b'')}}
 |-
 ! {{math|(''a'', 1)}}
 | {{math|(''a'', 1)}} || {{math|(1, 1)}} || {{math|(''a'', ''b'')}} || {{math|(1, ''b'')}}
 |-
 ! {{math|(1, ''b'')}}
 | {{math|(1, ''b'')}} || {{math|(''a'', ''b'')}} || {{math|(1, 1)}} || {{math|(''a'', 1)}}
 |-
 ! {{math|(''a'', ''b'')}}
 | {{math|(''a'', ''b'')}} || {{math|(1, ''b'')}} || {{math|(''a'', 1)}} || {{math|(1, 1)}}
 |}
 
 ==அடிப்படைப் பண்புகள்==
 * {{math|''G'' × ''H''}} குலத்தின் [[குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)|கிரமம்]] {{math|''G''}} மற்றும்&amp;nbsp;{{math|''H''}} குலங்களின் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாக இருக்கும்:
 ::&lt;big&gt;|&lt;/big&gt;{{math| ''G'' × ''H'' }}&lt;big&gt;| &amp;nbsp;=&amp;nbsp; |&lt;/big&gt;{{math| ''G'' }}&lt;big&gt;| |&lt;/big&gt;{{math| ''H'' }}&lt;big&gt;|&lt;/big&gt;.
 
 * {{math|''G'' × ''H''}} இன் ஒவ்வொரு உறுப்பு {{math|(''g'', ''h'')}} இன் [[குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)#ஓர் உறுப்பின் கிரமம்|கிரமம்]] {{math|''g''}}, {{math|''h''}} இன் கிரமங்களின் [[மீச்சிறு பொது மடங்கு|மீச்சிறு பொது மடங்காகும்]]:
 ::&lt;big&gt;|&lt;/big&gt;{{math| (''g'', ''h'') }}&lt;big&gt;| &amp;nbsp;=&amp;nbsp; &lt;/big&gt;{{math|lcm}}&lt;big&gt;( |&lt;/big&gt;{{math| ''g'' }}&lt;big&gt;|, |&lt;/big&gt;{{math| ''h'' }}&lt;big&gt;| )&lt;/big&gt;.
 :குறிப்பாக &lt;big&gt;|&lt;/big&gt;{{math| ''g'' }}&lt;big&gt;|&lt;/big&gt;, &lt;big&gt;|&lt;/big&gt;{{math| ''h'' }}&lt;big&gt;|&lt;/big&gt; இரண்டும் [[சார்பகா எண்கள்]] (relatively prime) எனில் {{math| (''g'', ''h'') }} இன் கிரமம், {{math| ''g'' }} மற்றும் {{math| ''h'' }} இன் கிரமங்களின் பெருக்கற்பலனாகும்.
 
 * {{math|''G''}} , {{math|''H''}} இரண்டும் சார்பாகா எண்களைக் கிரமமாகக் கொண்ட சுழற் குலங்கள் எனில் {{math|''G'' × ''H''}} ம் ஒரு சுழற் குலமாக இருக்கும்.
 
 {{math|''m''}} , {{math|''n''}} இரண்டும் சார்பகா எண்களெனில்
 ::{{math|( '''Z''' / ''m'''''Z''' ) × ( '''Z''' / ''n'''''Z''' ) &amp;nbsp;&lt;big&gt;≅&lt;/big&gt;&amp;nbsp; '''Z''' / ''mn'''''Z'''}}.
 
 ==பொதுமைப்படுத்தல்==
 இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தைக் காணமுடியும்.
 
 தரப்பட்ட குலங்கள் {{math|''G''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., ''G''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}} எனில் அவற்றின் நேர்ப் பெருக்கம்
 :&lt;math&gt;\prod_{i=1}^n G_i \;=\; G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n&lt;/math&gt;
 பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
 * {{math|''G''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; × ··· × ''G''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}} உறுப்புகள் {{math|(''g''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., ''g''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;)}},  {{math|''g&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'' ∈ ''G&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;''}} (ஒவ்வொரு {{math|''i''}} க்கும்) வடிவில் அமையும்.
 * {{math|''G''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; × ··· × ''G''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}} இல் வரையறுக்கப்படும் செயலி: &lt;center&gt;{{math|(''g''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ..., ''g&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'')(''g''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;′, ..., ''g&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''′)}} &amp;nbsp;=&amp;nbsp; {{math|(''g''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;''g''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;′, ..., ''g&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;g&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''′)}}.&lt;/center&gt;
 
 இரு குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தின் பல பண்புகள் இதற்கும் பொருந்தும். முடிவுறா எண்ணிக்கையிலான குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கத்தையும் காணமுடியும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 * {{Citation
   | last1=Artin 
   | first1=Michael
   | authorlink1=Michael Artin
   | title=Algebra
   | publisher=[[Prentice Hall]]
   | isbn=978-0-89871-510-1
   | year=1991
  }}
 * {{Citation | last1=Herstein | first1=Israel Nathan |authorlink1 = Israel Nathan Herstein | title=Abstract algebra | publisher=Prentice Hall Inc. | location=Upper Saddle River, NJ | edition=3rd | isbn=978-0-13-374562-7 | mr=1375019 | year=1996}}.
 * {{Citation | last1=Herstein | first1=Israel Nathan | title=Topics in algebra | publisher=Xerox College Publishing | location=Lexington, Mass. | edition=2nd | mr=0356988 | year=1975}}.
 * {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | title=Undergraduate Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | isbn=978-0-387-22025-3 | year=2005}}.
 * {{Citation | last1=Robinson | first1=Derek John Scott | title=A course in the theory of groups | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-94461-6 | year=1996}}.