தளம் (வடிவவியல்)
[[படிமம்:Intersecting planes.svg|thumb|முப்பரிமாண வெளியில் இரு வெட்டிக் கொள்ளும் தளங்கள்]]
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]], எந்த ஒரு தட்டையான இருபரிமாணப் பரப்பும் '''தளம்''' எனப்படுகிறது. சுழியப் பரிமாணத்தில் [[புள்ளி]], ஒரு பரிமாணத்தில் [[கோடு]], முப்பரிமாணத்தில் [[வெளி]] என இருப்பது போல இருபரிமாணத்தில் அமைவது தளமாகும். முப்பரிமாண அறையிலுள்ள சுவர்கள் தளங்களாக இருப்பதைப் போல, இரண்டிற்கும் அதிகமான பரிமாணங்களில் அமையும் வெளிகளின் உள்வெளிகளாகவும் தளங்களைக் கருதலாம் அல்லது யூக்ளிடிய வடிவவியலில் உள்ளது போல எதையும் சாராததொரு கருத்தாகவும் தளத்தைக் கருதலாம்.
 
 இருபரிமாண [[யூக்ளிடிய வெளி]]யில் செயல்படும்போது முழுவெளியையும் குறிப்பதற்கு தளம் என்ற சொல்தான் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கணிதத்தில் [[வடிவவியல்]], [[முக்கோணவியல்]], சார்பு வரைபடம் ஆகிய பிரிவுகளில் பல அடிப்படைச் செயல்கள் இருபரிமாண வெளியில் அதாவது தளத்தில் செய்யப்படுகின்றன. அதிக அளவிலான கணிதச் செயல்களைத் தளத்தில் செயல்படுத்த முடியும்.
 
 == யூக்ளிடிய வடிவவியல் ==
 
 [[யூக்ளிட்]], வடிவவியலை அடிக்கோள்கள் மூலம் அணுகும் முறையை முதன் முதலில் அறிமுகப்படுத்தியவர். வரையறுக்கப்படாத சொற்கள் மற்றும் [[மெய்கோள்|அடிக்கோள்கள்]] சிலவற்றைத் தேர்ந்தெடுத்து, வடிவவியல் கூற்றுகளை நிரூபிக்கப் பயன்படுத்தினார். தளத்தின் தற்போதைய வரையறையைப் போல நேரிடையான வரையறை எதுவும் தளத்தினைப் பற்றிக் யூக்ளிட் கூறியிருக்காவிட்டாலும் அவர் கையாண்ட சாமானியக் கருத்துகளின் ஒரு பகுதியாகத் தளத்தினைக் கருதலாம்.&lt;ref&gt;{{Citation
   | last = Joyce
   | first = D. E.
   | title = Euclid's Elements, Book I, Definition 7
   | publisher = Clark University
   | date = 1996
   | url = http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/defI7.html
   | accessdate = 8 August 2009}}&lt;/ref&gt;  [[நீளம்|நீளங்கள்]], [[கோணம்|கோணங்கள்]] மற்றும் [[பரப்பளவு]]களை அளப்பதற்கு அவர் ஒருபோதும் எண்களைக் கையாளவில்லை. இந்த வகையில் யூக்ளிடிய தளம் [[காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை|கார்ட்டீசியன் தளத்தைப்]] போல் இல்லாமல் வேறுபட்டுள்ளது.
 [[படிமம்:Planes parallel.svg|thumb|right|150px|மூன்று வடிவவியல்)|இணையான தளங்கள்.]]
 
 == [[கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்|ℝ&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;]] ல் அமைந்துள்ள தளங்கள் ==
 இப்பிரிவில் முப்பரிமாணத் தளங்கள் குறிப்பாக ℝ&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; ல் அமைந்துள்ள தளங்கள் பற்றிக் காணலாம்.
 
 === பண்புகள் ===
 
 உயர்பரிமாணத்திற்குப் பொருந்தாத சில உண்மைக் கூற்றுகளை யூக்ளிடிய முப்பரிமாணத் தளத்திலிருந்து எடுத்துக் கொள்ளலாம்.
 
 * இரு தளங்கள் ஒன்றுக்கொன்று இணையானவையாக இருக்கும் அல்லது அவை ஒரு கோட்டில் வெட்டிக் கொள்ளும்.
 * ஒரு கோடு ஒரு தளத்திற்கு இணையாக அல்லது முழுவதுமாக அத்தளத்தின் மீது அமையும் அல்லது அக்கோடு தளத்தினை ஒரு புள்ளியில் வெட்டும்.
 * ஒரே தளத்திற்குச் செங்குத்தாக அமையும் இருகோடுகள் இணையானவை.
 * ஒரே கோட்டிற்கு இணையாக அமையும் இரு தளங்கள் இணையானவை.
 
 === வரையறை 1 ===
 
 &lt;math&gt;r_o&lt;/math&gt; என்பது தளத்தின் மீது அமைந்த தரப்பட்ட ஒரு புள்ளி &lt;math&gt;P_0&lt;/math&gt; இன் [[நிலைத் திசையன்]], '''n''' என்பது தளத்திற்குச் பூச்சியமல்லா [[செங்குத்து திசையன்]] என்க.
 
 தளத்தின் மீதுள்ள ஏதேனும் ஒரு புள்ளி  &lt;math&gt;P&lt;/math&gt; இன் நிலைத்திசையன் &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; எனில் &lt;math&gt;P_0&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;P&lt;/math&gt;ஐ இணைக்கும் திசையன் '''n'''க்குச் செங்குத்தாக அமையும்.
 
 இரு செங்குத்து திசையன்களின் [[புள்ளிப் பெருக்கல்]] பூச்சியம் என்பதால்,
 
 :&lt;math&gt;\mathbf n \cdot (\mathbf r-\mathbf r_0)=0.&lt;/math&gt;
 
 இச்சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் புள்ளிகளின் தொகுப்பாக தளத்தினைக் கருதலாம்.
 
 மேலேயுள்ள சமன்பாட்டை விரிக்கக் கிடைக்கும் சமன்பாடு,
 
 :&lt;math&gt; n_x (x-x_0)+ n_y(y-y_0)+ n_z(z-z_0)=0,\,&lt;/math&gt; இது தளத்தின் கார்ட்டீசியன் சமன்பாடாகும்.
 
 === வரையறை 2 ===
 
 '''v''' மற்றும் '''w''' என்பவை தளத்தின் மீது அமையும் இரு திசையன்கள், &lt;math&gt;r_o&lt;/math&gt; என்பது தளத்தின் மேலமையும் ஏதேனும் ஒரு குறிப்பிட்ட (arbitrary (but fixed)) புள்ளியின் நிலைத்திசையன் எனில் அத்தளத்தினைப் பின்வரும் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகக் கருதலாம்:
 
 :&lt;math&gt;\mathbf r = \mathbf {r}_0 + s \mathbf{v} + t \mathbf{w},&lt;/math&gt;
 
 இங்கு ''s''  மற்றும் ''t'' என்பன, அனைத்து [[மெய்யெண்]] மதிப்புகளையும் எடுக்கக்கூடிய திசையிலிகள் (scalars). '''v''' , '''w''' திசையன்கள், தளத்தில் ஒரு புள்ளியிலிருந்து தொடங்கி இரு வெவ்வேறு திசைகளில் அமையும் திசையன்களாக இருக்கும். அவை செங்குத்தாக இருக்கலாம், ஆனால் இணையானவையாக இருக்கமுடியாது.
 
 === வரையறை 3 ===
 
 தளத்தின் மீதமையும் மூன்று புள்ளிகள்: 
 :&lt;math&gt;P_1&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;(x_1,&lt;/math&gt;&lt;math&gt;y_1,&lt;/math&gt;&lt;math&gt;z_1)&lt;/math&gt;, 
 :&lt;math&gt;P_2&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;(x_1,&lt;/math&gt;&lt;math&gt;y_2,&lt;/math&gt;&lt;math&gt;z_2)&lt;/math&gt; ,
 :&lt;math&gt;P_3&lt;/math&gt;=&lt;math&gt;(x_3,&lt;/math&gt;&lt;math&gt;y_3,&lt;/math&gt;&lt;math&gt;z_3)&lt;/math&gt; எனில், 
  
 ==== வழி  1 ====
 &lt;math&gt;P_1,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;P_2,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;P_3&lt;/math&gt; ஆகிய மூன்று புள்ளிகள் வழியே செல்லும் தளத்தை பின்வரும் [[அணிக்கோவை]]ச் சமன்பாடுகளை நிறைவு செய்யும் அனைத்துப் புள்ளிகளின்  தொகுப்பாகக் கருதலாம்.
 
 :&lt;math&gt;\begin{vmatrix} 
 x - x_1 &amp; y - y_1 &amp; z - z_1 \\
 x_2 - x_1 &amp; y_2 - y_1&amp; z_2 - z_1 \\
 x_3 - x_1 &amp; y_3 - y_1 &amp; z_3 - z_1 
 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 
 x - x_1 &amp; y - y_1 &amp; z - z_1 \\
 x - x_2 &amp; y - y_2 &amp; z - z_2 \\
 x - x_3 &amp; y - y_3 &amp; z - z_3 
 \end{vmatrix} = 0. &lt;/math&gt;
 
 ==== வழி - 2 ====
 &lt;math&gt; ax + by + cz + d = 0 &lt;/math&gt;, என்ற சமன்பாட்டின் வடிவில் தளத்தினைப் பெற பின்வரும் சமன்பாட்டுத் தொகுதிக்குத் தீர்வு காண வேண்டும். 
 * &lt;math&gt;\, ax_1 + by_1 + cz_1 + d = 0&lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;\, ax_2 + by_2 + cz_2 + d = 0&lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;\, ax_3 + by_3 + cz_3 + d = 0.&lt;/math&gt;
 
 இச்சமன்பாடுகளைக் கிராமரின் விதியையும் அணிகளின் அடிப்படைத்திறனையும் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்.
 
 : &lt;math&gt;D = \begin{vmatrix} 
 x_1 &amp; y_1 &amp; z_1 \\
 x_2 &amp; y_2 &amp; z_2 \\
 x_3 &amp; y_3 &amp; z_3
 \end{vmatrix}&lt;/math&gt;.
 
 ''D'' ன் மதிப்பு பூச்சியமில்லையெனில் (தளங்களப் பொறுத்தவரை, ஆதிவழிச் செல்லாதவை) ''a'', ''b'' and ''c'' ன் மதிப்புகளைப் பின்வருமாறு காணலாம்.
 
 :&lt;math&gt;a = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix} 
 1 &amp; y_1 &amp; z_1 \\
 1 &amp; y_2 &amp; z_2 \\
 1 &amp; y_3 &amp; z_3
 \end{vmatrix}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;b = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix} 
 x_1 &amp; 1 &amp; z_1 \\
 x_2 &amp; 1 &amp; z_2 \\
 x_3 &amp; 1 &amp; z_3
 \end{vmatrix}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;c = \frac{-d}{D} \begin{vmatrix} 
 x_1 &amp; y_1 &amp; 1 \\
 x_2 &amp; y_2 &amp; 1 \\
 x_3 &amp; y_3 &amp; 1
 \end{vmatrix}.&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt; ax + by + cz + d = 0 &lt;/math&gt; சமன்பாட்டில் ''a'', ''b'' மற்றும் ''c'' ன் மதிப்புகளைப் பிரதியிட்ட பின், ''d'' க்கு தரப்படும் ஒவ்வொரு ஒரு பூச்சியமில்லா மதிப்புக்கும் கிடைக்கும் தீர்வுச் சமன்பாடுகள், ஒன்றுக்கொன்று இணையான தளங்களைக் குறிக்கும்.
 
 ==== வழி - 3 ====
 இத்தளத்தை வரையறை 1ல் உள்ளபடி ஒரு புள்ளி, செங்குத்துத் திசையன் வடிவிலும் காணலாம். இதற்குரிய செங்குத்துத் திசையனை &lt;math&gt;P_1,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;P_2&lt;/math&gt; புள்ளிகளையும் மற்றும் &lt;math&gt;P_1,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;P_3&lt;/math&gt; புள்ளிகளையும் இணைக்கும் இரு திசையன்களின் [[குறுக்குப் பெருக்கல் (திசையன்)|குறுக்குப் பெருக்கத்]] திசையனாகவும்,
 
 :&lt;math&gt;\mathbf n = ( \mathbf p_2 - \mathbf p_1 ) \times ( \mathbf p_3 - \mathbf p_1 ), &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;r_o,&lt;/math&gt; ஐ, தரப்பட்ட மூன்று புள்ளிகளில் ஏதேனும் ஒன்றின் நிலைத்திசையனாகவும் கொண்டு வரையறை 1 இன் வடிவில் இத்தளத்தின் சமன்பாட்டினை அமைக்கலாம்.&lt;ref name=PaulsPlanes&gt;{{citation
 |last= Dawkins
 |first= Paul
 |title= Calculus III
 |chapter= Equations of Planes
 |chapterurl= http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcIII/EqnsOfPlanes.aspx
 }}
 &lt;/ref&gt;
 
 === ஒரு புள்ளிக்கும் தளத்திற்கும் இடைப்பட்ட தூரம் ===
 
 :&lt;math&gt;\mathbf p_1 = (x_1,y_1,z_1) &lt;/math&gt; என்ற புள்ளியிலிருந்து,  
 :&lt;math&gt;\Pi : ax + by + cz + d = 0\,&lt;/math&gt; என்ற தளத்திற்கு உள்ள மிகக் குறைந்த தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:
 
 :&lt;math&gt; D = \frac{\left | a x_1 + b y_1 + c z_1+d \right |}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}. &lt;/math&gt;
 
 ''D=0'' என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே  &lt;math&gt;\mathbf p_1&lt;/math&gt; புள்ளியானது தளத்தின் மேல் அமையும்.
 
 &lt;math&gt;\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1&lt;/math&gt; எனில் மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாடு,
 
 :&lt;math&gt; D = \ | a x_1 + b y_1 + c z_1+d | .&lt;/math&gt; ஆகும்.
 
 === இரு தளங்கள் வெட்டிக் கொள்ளும் கோடு ===
 
 :&lt;math&gt;\Pi_1 : \mathbf {n}_1 \cdot \mathbf r = h_1&lt;/math&gt; , 
 :&lt;math&gt;\Pi_2 : \mathbf {n}_2 \cdot \mathbf r = h_2&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;\mathbf {n}_i&lt;/math&gt; [[அலகுத் திசையன்]]கள்)
 
 என்ற இருதளங்களும் வெட்டிக் கொள்ளும் கோட்டின் சமன்பாடு:
 
 :&lt;math&gt; \mathbf {r} = (c_1 \mathbf {n}_1 + c_2 \mathbf {n}_2) + \lambda (\mathbf {n}_1 \times \mathbf {n}_2) &lt;/math&gt;
 
 இங்கு,
 :&lt;math&gt; c_1 = \frac{ h_1 - h_2(\mathbf {n}_1 \cdot \mathbf {n}_2) }{ 1 - (\mathbf {n}_1 \cdot \mathbf {n}_2)^2 } &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; c_2 = \frac{ h_2 - h_1(\mathbf {n}_1 \cdot \mathbf {n}_2) }{ 1 - (\mathbf {n}_1 \cdot \mathbf {n}_2)^2 } .&lt;/math&gt;
 
 === இரு தளங்களுக்கிடையேயான கோணம் ===
 
 :&lt;math&gt;\Pi_1 : a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0\,&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;\Pi_2 : a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0\,&lt;/math&gt;,
 
 என்ற இரு வெட்டிக்கொள்ளும் தளங்களுக்கு இடையேயான கோணமானது அத்தளங்களின் செங்குத்துகளுக்கிடையே உள்ள கோணமாக  (&lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt;) வரையறுக்கப்படுகிறது.
 
 :&lt;math&gt;\cos\alpha = \hat n_1\cdot \hat n_2 = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}. &lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 &lt;references /&gt;
 
 [[பகுப்பு:வடிவவியல்]]