வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண்
[[Image:Sum of cubes2.png|thumb|right|300px|ஒரு முக்கோண எண்ணின் வர்க்கம், கன எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருக்கும் என்பதைக் காட்டும் படவிளக்கம்.]]
 
 [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டில்]] முதல் ''n''  [[கன எண்]]களின் கூடுதல்,  ''n'' -ஆம் [[முக்கோண எண்]]ணின் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கத்திற்குச்]] சமமாக இருக்கும்.
 
 :&lt;math&gt;\sum_{i=1}^{n} i^3 = \Bigl(\sum_{i=1}^{n} i\Bigr)^2.&lt;/math&gt;
 
 சிலசமயங்களில் இம்முற்றொருமை '''நிசோமாசுஸ் தேற்றம்''' என அழைக்கப்படுகிறது.
 
 ==வரலாறு==
 *1995 -ல் நிசோமாசுஸ் தேற்றம் பற்றி எழுதிய ''ஸ்ட்ரோக்கர்'', எண் கோட்பாட்டைப் பயிலும் ஒவ்வொரு மாணவரும் கண்டிப்பாக இந்த அதிசயமான உண்மையைக் கண்டு வியந்திருப்பார்கள் என்கிறார். இக்கூற்று கொஞ்சம் மிகைப்படுத்தப்பட்ட கவித்தவத்துடன் இருந்தாலும் பல [[கணிதவியலாளர்]]கள் இந்த முற்றொருமையை பல வகைகளில் ஆராய்ந்து நிரூபித்துள்ளனர். 
 
 *''பென்கெல்லி'' (2002), பண்டைய கணிதவியலாளர்களின்  கூற்றுகளில்  இம்முற்றொருமைப் பற்றிய குறிப்புகள் காணப்படுவதைச் சுட்டிக் காட்டியுள்ளார்: 
 :முதல் நூற்றாண்டு - ''நிசோமாசுஸ்'' (தற்போதைய [[ஜோர்டான்]]);
 :ஐந்தாம் நூற்றாண்டு - ''ஆரியபட்டர்'' ([[இந்தியா]]);
 :சுமார் 1000-ல் - ''அல்-கராஜி'' ([[பாரசீகம்]]).
 
 *''பிரேசோத்'' (2004), மேலும் பல ஆரம்பகால கணிதக்கணிப்புகளில் இம்முற்றொருமை பற்றிய குறிப்புகள் காணப்படுவதாகக் கூறுகிறார்:
 :பத்தாம் நூற்றாண்டு - ''அல்காபிட்டியஸ்'' ([[அரேபியா]]);
 :சுமார் 1300-ல் ''கெர்சனைட்ஸ்'' ([[பிரான்சு]]);
 :சுமார் 1500-ல் ''[[நீலகண்ட சோமயாஜி]]'' (இந்தியா).
 மேலும் அவர் நீலகண்டரின் [[காட்சி நிறுவல்|காட்சி நிறுவலை]] மீட்டுருப்படுத்தியுள்ளார்.
 
 ==வடிவவியல் விளக்கம்==
 
 வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண்கள்:
 : 0, 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025, 4356, 6084, 8281, ... {{OEIS|id=A000537}}.
 
 இந்த எண்களை [[வடிவ எண்]]களாகவும், முக்கோண எண்கள் மற்றும் [[சதுர பிரமிடு எண்]]களின் நான்கு பரிமாண மீப்பிரமிடு பொதுமைப்படுத்தலாகவும் கருதலாம்.
 
 ''n''&amp;times;''n''  சதுர வலைச்சட்டத்துக்குள் அமையும் மொத்த [[செவ்வகம்|செவ்வகங்களின்]] எண்ணிக்கையை இந்த வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட ''n'' -ஆம் முக்கோண எண் குறிக்கிறது என்பதை ''ஸ்டெய்ன்'' (1971) கண்டறிந்துள்ளார். எடுத்துக்காட்டாக ஒரு 4&amp;times;4  சதுர வலைச்சட்டத்துக்குள் மொத்தம் 36 வெவ்வேறு செவ்வகங்கள் உள்ளன. இதேபோல ஒரு  ''n''&amp;times;''n'' சதுர வலைச்சட்டத்துக்குள் அமையும் வெவ்வேறு [[சதுரம்|சதுரங்களின்]] மொத்த எண்ணிக்கை ''n'' -ஆம் [[சதுர பிரமிடு எண்]]ணாக இருக்கும்.
 
 ==நிறுவல்கள்==
 
 ஒரு தொடரில் உள்ள ஒவ்வொரு கன எண்ணையும் அடுத்தடுத்த ஒற்றை எண்கள் தொகுப்பாக விரித்தெழுவதன் மூலம் ஒரு எளிய தருவித்தலை ''வீட்ஸ்டோன்'' (1854) தந்துள்ளார்:
 
 :1 + 8 + 27 + 64 + 125 + ...
 :&amp;nbsp; = (1) + (3 + 5) + (7 + 9 + 11) + (13 + 15 + 17 + 19) + (21 + 23 + 25 + 27 + 29) + ...
 :&amp;nbsp; = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 + 25 + 27 + 29 ...
 
 ஒன்றிலிருந்து ஆரம்பித்து அடுத்தடுத்த ஒற்றை எண்களின் தொகுப்புகளின் உறுப்புகளின் மொத்தக் கூடுதல் ஒரு வர்க்கமாக இருக்கும். இந்த வர்க்கமானது கூட்டப்படும் தொகுப்புகளிலுள்ள ஒற்றை எண்களின் எண்ணிக்கையின் வர்க்கமாகும்.
 
 எடுத்துக்காட்டாக:
 :(1)+ (3 + 5) = 9 = 3 &lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
 
 :(1)+ (3 + 5) + (7+9+11) = 36 = 6 &lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;......
 
 ''ஸ்டெய்ன்'' (1971) ஒரு சதுர வலைக் சட்டத்துக்குள் அமையும் செவ்வகங்களின் மொத்த எண்ணிக்கையாக இவ்வெண்களைப் பயன்படுத்தி முற்றொருமையின் வடிவகணித விளக்கத்தைத் தந்துள்ளார். மேலும் பல நிறுவல்கள், ''டோபிளிட்ஸ்'' (1963), ''கானிம்'' (2004), ''பெஞ்சமின்'', ''ஓரிசன்'' (2002) மற்றும் ''நெல்சென்'' (1993) ஆகிய கணிதவியலாளர்களால் தரப்பட்டுள்ளன.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{refbegin|2}}
 *{{cite journal
  | author = Benjamin, Arthur T.; Orrison, M. E.
  | title = Two quick combinatorial proofs of &lt;math&gt;\scriptstyle \sum k^3 = {n+1\choose 2}^2&lt;/math&gt;
  | journal = The College Mathematics Journal
  | year = 2002
  | volume = 33
  | issue = 5
  | pages = 406–408
  | url = http://www.math.hmc.edu/~orrison/research/papers/two_quick.pdf}}
 *{{cite journal
  | doi = 10.2307/27646391
  | author = Benjamin, Arthur T.; Quinn, Jennifer L.; Wurtz, Calyssa
  | title = Summing cubes by counting rectangles
  | journal = The College Mathematics Journal
  | year = 2006
  | volume = 37
  | issue = 5
  | pages = 387–389
  | issn = 0746-8342
  | url = http://www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/rectangles.pdf
  | jstor = 27646391}}
 *{{cite paper
  | author = Bressoud, David
  | authorlink = David Bressoud
  | title = Calculus before Newton and Leibniz, Part III
  | url = http://www.macalester.edu/~bressoud/pub/CBN3.pdf
  | publisher = AP Central
  | date = 2004}}
 *{{cite journal
  | author = Garrett, Kristina C.; Hummel, Kristen
  | title = A combinatorial proof of the sum of ''q''-cubes
  | journal = Electronic Journal of Combinatorics
  | volume = 11
  | year = 2004
  | issue = 1
  | pages = Research Paper 9
  | id = {{MathSciNet | id = 2034423}}
  | url = http://www.combinatorics.org/Volume_11/Abstracts/v11i1r9.html}}
 *{{cite journal
  | doi = 10.2307/3219288
  | author = Kanim, Katherine
  | title = Proofs without Words: The Sum of Cubes—An Extension of Archimedes' Sum of Squares
  | url = https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2004-10_77_4/page/298
  | jstor = 3219288
  | journal = [[Mathematics Magazine]]
  | volume = 77
  | issue = 4
  | year = 2004
  | pages = 298–299}}
 *{{cite book
  | author = Nelsen, Roger B.
  | title = Proofs without Words
  | url = https://archive.org/details/proofswithoutwor0000nels_o7r2
  | publisher = Cambridge University Press
  | year = 1993
  | isbn = 978-0-88385-700-7}}
 *{{cite conference
  | author = Pengelley, David
  | title = The bridge between continuous and discrete via original sources
  | url = http://www.math.nmsu.edu/~davidp/bridge.pdf
  | booktitle = Study the Masters: The Abel-Fauvel Conference
  | date = 2002
  | publisher = National Center for Mathematics Education, Univ. of Gothenburg, Sweden}}
 *{{cite journal
  | doi = 10.2307/2688231
  | author = Stein, Robert G.
  | title = A combinatorial proof that &lt;math&gt;\scriptstyle \sum k^3 = (\sum k)^2&lt;/math&gt;
  | url = https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1971-05_44_3/page/161
  | journal = [[Mathematics Magazine]]
  | volume = 44
  | issue = 3
  | pages = 161–162
  | year = 1971
  | jstor = 2688231
  | publisher = Mathematical Association of America}}
 *{{cite journal
  | author = Stroeker, R. J.
  | title = On the sum of consecutive cubes being a perfect square
  | journal = [[Compositio Mathematica]]
  | volume = 97
  | year = 1995
  | issue = 1–2
  | pages = 295–307
  | id = {{MathSciNet | id = 1355130}}
  | url = http://www.numdam.org/item?id=CM_1995__97_1-2_295_0}}
 *{{cite book
  | title = The Calculus, a Genetic Approach
  | url = https://archive.org/details/calculusgenetica0000toep
  | author = Toeplitz, Otto
  | authorlink = Otto Toeplitz
  | publisher = University of Chicago Press
  | year = 1963
  | isbn = 978-0-226-80667-9}}
 *{{cite journal
  | author = Warnaar, S. Ole
  | title = On the ''q''-analogue of the sum of cubes
  | journal = Electronic Journal of Combinatorics
  | volume = 11
  | year = 2004
  | issue = 1
  | pages = Note 13
  | id = {{MathSciNet | id = 2114194}}
  | url = http://www.combinatorics.org/Volume_11/Abstracts/v11i1n13.html}}
 *{{cite journal
  | author = Wheatstone, C.
  | authorlink = Charles Wheatstone
  | title = On the formation of powers from arithmetical progressions
  | journal = [[Proceedings of the Royal Society of London]]
  | volume = 7
  | pages = 145–151
  | year = 1854
  | doi = 10.1098/rspl.1854.0036}}
 {{refend}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *{{mathworld|urlname=NicomachussTheorem|title=Nicomachus's Theorem}}
 *[http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/math/oldprob.htm#s32 A visual proof of Nicomachus's Theorem] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170129125403/http://users.tru.eastlink.ca/~brsears/math/oldprob.htm#s32 |date=2017-01-29 }}
 {{வடிவ எண்கள்}}
 [[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]
 [[பகுப்பு:வடிவ எண்கள்]]
 [[பகுப்பு:அடிப்படைக் கணிதம்]]
 [[பகுப்பு:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்]]
 [[பகுப்பு:கணித முற்றொருமைகள்]]