ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல்
Runge-Kutta முறைமைகள் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டின் எண் தீர்வுக்கான முறைகள் ஆகும்
 : &lt;math&gt;\frac{d y}{d t} = f(t, y)\,&lt;/math&gt;
 இது வடிவம் எடுக்கிறது
 
 : &lt;math&gt;y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^s b_i k_i\, &lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;k_1 = f(t_n, y_n), &lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;k_2 = f(t_n+c_2h, y_n+h(a_{21}k_1)), &lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;k_3 = f(t_n+c_3h, y_n+h(a_{31}k_1+a_{32}k_2)), &lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;\vdots &lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;k_i = f\left(t_n + c_i h, y_n + h \sum_{j = 1}^{i-1} a_{ij} k_j\right), &lt;/math&gt;
 
 இந்தப் பக்கத்தில் பட்டியலிடப்பட்ட ஒவ்வொரு முறையும் அதன் புத்செர் tableau மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஒரு அட்டவணையில் உள்ள வழிமுறையின் குணகங்களை பின்வருமாறு வைக்கிறது:
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cccc}
 c_1    &amp; a_{11} &amp; a_{12}&amp; \dots &amp; a_{1s}\\
 c_2    &amp; a_{21} &amp; a_{22}&amp; \dots &amp; a_{2s}\\
 \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots&amp; \ddots&amp; \vdots\\
 c_s    &amp; a_{s1} &amp; a_{s2}&amp; \dots &amp; a_{ss} \\
 \hline
        &amp; b_1    &amp; b_2   &amp; \dots &amp; b_s\\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 == வெளிப்படையான முறைகள் ==
 வெளிப்படையான முறைகள், [a_ {ij}] குறைந்த முக்கோணமாகும்.
 
 === முன்னோக்கு ஆய்லர் ===
 யூலரின் முறை முதல் வரிசையாகும். உறுதியான தன்மை மற்றும் துல்லியம் ஆகியவற்றின் பற்றாக்குறை முக்கியமாக ஒரு எண் தீர்வு முறையின் ஒரு எளிய அறிமுகமான உதாரணமாக பயன்படுத்தப்படுவதைக் குறிக்கிறது.
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|c}
 0 &amp; 0 \\
 \hline
   &amp; 1 \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 === வெளிப்படையான இடர்ப்பாட்டு முறை ===
 (வெளிப்படையான) இடைநிலை முறை இரண்டு நிலைகளுடன் இரண்டாம் வரிசை முறையாகும் (கீழே உள்ள உள்ளீடான இடைப்பட்ட வழிமுறையும் பார்க்கவும்):
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cc}
 0   &amp; 0   &amp; 0  \\
 1/2 &amp; 1/2 &amp; 0  \\
 \hline
     &amp; 0   &amp; 1  \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 === ஹியூன் முறை ===
 ஹியூன் முறையானது இரண்டு கட்டங்களுடன் இரண்டாவது வரிசை முறையாகும் (இது வெளிப்படையான பாரியளவிலான விதி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது):
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cc}
 0   &amp; 0   &amp; 0  \\
 1 &amp; 1 &amp; 0  \\
 \hline
     &amp; 1/2 &amp; 1/2  \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 === ரால்ஸ்டனின் முறை ===
 ரால்ஸ்டனின் முறையானது இரண்டு கட்டங்களாக இரண்டாவது வரிசை முறையாகும், மேலும் குறைந்தபட்சமான உள்ளூர் பிழை உள்ளது:
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cc}
 0   &amp; 0   &amp; 0  \\
 2/3 &amp; 2/3 &amp; 0  \\
 \hline
     &amp; 1/4   &amp; 3/4  \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 === பொதுவான இரண்டாவது வரிசை முறை ===
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|ccc}
 0   &amp; 0   &amp; 0   \\
 x &amp; x &amp; 0   \\
 \hline
     &amp; 1-\frac{1}{2x} &amp; \frac{1}{2x} \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 === கூட்டாவின் மூன்றாவது ஆணை முறை ===
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|ccc}
 0   &amp; 0   &amp; 0   &amp; 0    \\
 1/2 &amp; 1/2 &amp; 0   &amp; 0    \\
 1   &amp; -1  &amp; 2   &amp; 0    \\
 \hline
     &amp; 1/6 &amp; 2/3 &amp; 1/6  \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 === கிளாசிக் நான்காண்டு முறை ===
 &quot;அசல்&quot; ரன்டே-கூட்டா முறை.
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cccc}
 0   &amp; 0   &amp; 0   &amp; 0   &amp; 0\\
 1/2 &amp; 1/2 &amp; 0   &amp; 0   &amp; 0\\
 1/2 &amp; 0   &amp; 1/2 &amp; 0   &amp; 0\\
 1   &amp; 0   &amp; 0   &amp; 1   &amp; 0\\
 \hline
     &amp; 1/6 &amp; 1/3 &amp; 1/3 &amp; 1/6\\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 === 3/8-ஆவது நான்காம் வரிசை முறை ===
 இந்த முறையானது &quot;பாரம்பரிய&quot; முறையாக மிகத் துல்லியமானதல்ல, ஆனால் அது அதே தாளில் (குட்டா, 1901) முன்மொழியப்பட்டது என்பதால் கிளாசிக்கல் போன்றது.
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cccc}
 0   &amp; 0   &amp; 0   &amp; 0   &amp; 0\\
 1/3 &amp; 1/3 &amp; 0   &amp; 0   &amp; 0\\
 2/3 &amp; -1/3   &amp; 1 &amp; 0   &amp; 0\\
 1   &amp; 1   &amp; -1   &amp; 1   &amp; 0\\                   
 \hline
     &amp; 1/8 &amp; 3/8 &amp; 3/8 &amp; 1/8\\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 == உட்பொதிக்கப்பட்ட முறைகள் ==
 உட்பொதிக்கப்பட்ட முறைகள் ஒற்றை ரன்ஜ்-குட்டா படிப்படியின் உள்ளூர் துண்டான பிழை மதிப்பீடு செய்ய வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, இதன் விளைவாக, தடையை கட்டுப்பாட்டு வழிமுறைகளுடன் கட்டுப்படுத்த அனுமதிக்கின்றன. இது tableau இல் இரண்டு முறைகள் கொண்டது, ஒழுங்கு p மற்றும் ஒன்று order-with-1 உடன்.
 : &lt;math&gt;    y^*_{n+1} = y_n + h\sum_{i=1}^s b^*_i k_i, &lt;/math&gt;
 இங்கு k_ {i} உயர் வரிசை முறைக்கு ஒத்ததாக இருக்கும். பின்னர் பிழை
 : &lt;math&gt;    e_{n+1} = y_{n+1} - y^*_{n+1} = h\sum_{i=1}^s (b_i - b^*_i) k_i, &lt;/math&gt;
 இது O (h ^ {p}) ஆகும். இந்த வகையான முறைக்கான புஷர் டேபிள்ஹவுல் b_ {i} ^ {*}
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cccc}
 c_1    &amp; a_{11} &amp; a_{12}&amp; \dots &amp; a_{1s}\\
 c_2    &amp; a_{21} &amp; a_{22}&amp; \dots &amp; a_{2s}\\
 \vdots &amp; \vdots &amp; \vdots&amp; \ddots&amp; \vdots\\
 c_s    &amp; a_{s1} &amp; a_{s2}&amp; \dots &amp; a_{ss} \\
 \hline
        &amp; b_1    &amp; b_2   &amp; \dots &amp; b_s\\
        &amp; b_1^*    &amp; b_2^*   &amp; \dots &amp; b_s^*\\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 === க்யூன்-ஆய்லர் ===
 எளிமையான தகவல்தொடர்பு ரன்டே-குட்டா முறை ஹ்யூன் முறையை இணைப்பதுடன், ஒழுங்குமுறை 2, இது யூலர் முறையுடன், வரிசை 1 ஆகும். அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை:
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cc}
 	0&amp;\\
 	1&amp; 	1 \\
 \hline
 &amp;	1/2&amp; 	1/2\\
 	&amp;	1 &amp;	0
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 === ஃபெல்பெர்க்  RK1 (2) ===
 அவர் ஃபெல்பெர்க் முறை 1 மற்றும் 2 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகள் உள்ளன. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் Tableau உள்ளது:
 {| cellpadding=&quot;3px&quot; cellspacing=&quot;0px&quot; class=&quot;&quot; style=&quot;margin-bottom: 10px;&quot;
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 0
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 1/2 
 | 1/2
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;&quot; |1
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; |1/256
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; |255/256 
 |- 
 |1/256
 |255/256
 |0
 |-
 |1/512
 |255/256
 |1/512
 |}
 B கோணங்களின் முதல் வரிசை முதல் வரிசையில் துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசை வரிசையில் இரண்டு உள்ளது.
 
 === போகக்கி-ஷாம்பைன் ===
 பொகாக்-ஷம்பம்பின் முறையானது 3 மற்றும் 2 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகளைக் கொண்டது. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை:
 {| cellpadding=&quot;3px&quot; cellspacing=&quot;0px&quot; class=&quot;&quot; style=&quot;margin-bottom: 10px;&quot;
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 0
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 1/2 
 | 1/2
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 3/4 
 | 0 
 | 3/4
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;&quot; | 1 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 2/9 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 1/3 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 4/9 
 |- 
 | 2/9 
 | 1/3 
 | 4/9 
 | 0
 |-
 | 7/24 
 | 1/4 
 | 1/3 
 | 1/8
 |}
 B கோணங்களின் முதல் வரிசை மூன்றாம் வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசை வரிசையில் இரண்டு உள்ளது.
 
 === ஃபெல்பெர்க் ===
 Runge-Kutta-Fehlberg முறையானது 5 மற்றும் 4 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகளைக் கொண்டிருக்கிறது. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை:
 {| cellpadding=&quot;3px&quot; cellspacing=&quot;0px&quot; class=&quot;&quot; style=&quot;margin-bottom: 10px;&quot;
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 0
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 1/4 
 | 1/4
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 3/8 
 | 3/32 
 | 9/32
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 12/13  
 | 1932/2197 
 | −7200/2197 
 | 7296/2197
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 1  
 | 439/216 
 | −8 
 | 3680/513 
 | −845/4104
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;&quot; | 1/2 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | -8/27 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 2 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | −3544/2565 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 1859/4104 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | −11/40 
 |-
 | 16/135 
 | 0 
 | 6656/12825 
 | 28561/56430 
 | −9/50 
 | 2/55 
 |- 
 | 25/216 
 | 0 
 | 1408/2565 
 | 2197/4104 
 | −1/5 
 | 0
 |}
 பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசையில் வரிசை நான்கு உள்ளது.
 
 === காச்-கார்ப் ===
 பணமும் கார்ப் ஃபெல்ல்பெர்க்கின் அசல் யோசனையும் மாற்றியுள்ளது. பண-கார்ப் முறையின் நீட்டிக்கப்பட்ட அட்டவணை
 {| cellpadding=&quot;3px&quot; cellspacing=&quot;0px&quot; class=&quot;&quot; style=&quot;margin-bottom: 10px;&quot;
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 0
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 1/5 
 | 1/5
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 3/10 
 | 3/40 
 | 9/40
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 3/5 
 | 3/10 
 | −9/10 
 | 6/5
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 1 
 | −11/54 
 | 5/2 
 | −70/27 
 | 35/27
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;&quot; | 7/8 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 1631/55296 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 175/512 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 575/13824 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 44275/110592 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 253/4096 
 |- 
 | 37/378 
 | 0 
 | 250/621 
 | 125/594 
 | 0 
 | 512/1771
 |-
 | 2825/27648 
 | 0 
 | 18575/48384 
 | 13525/55296 
 | 277/14336 
 | 1/4
 |}
 பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசையில் வரிசை நான்கு உள்ளது.
 
 === டார்மன்ட்-ப்ரின்ச் ===
 டோர்மாண்ட்-பிரின்ஸ் முறையின் நீட்டிக்கப்பட்ட அட்டவணை
 {| cellpadding=&quot;3px&quot; cellspacing=&quot;0px&quot; class=&quot;&quot; style=&quot;margin-bottom: 10px;&quot;
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 0
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 1/5 
 | 1/5
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 3/10 
 | 3/40 
 | 9/40
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 4/5  
 | 44/45 
 | −56/15 
 | 32/9
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 8/9  
 | 19372/6561 
 | −25360/2187 
 | 64448/6561 
 | −212/729
 |- 
 | style=&quot;border-right:1px solid;&quot; | 1 
 | 9017/3168 
 | −355/33 
 | 46732/5247 
 | 49/176 
 | −5103/18656
 |-
 | style=&quot;border-right:1px solid; border-bottom:1px solid;&quot; | 1 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 35/384 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 0 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 500/1113 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 125/192 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | −2187/6784 
 | style=&quot;border-bottom:1px solid;&quot; | 11/84 
 |-
 | 35/384 
 | 0 
 | 500/1113 
 | 125/192 
 | −2187/6784 
 | 11/84 
 | 0
 |- 
 | 5179/57600 
 | 0 
 | 7571/16695 
 | 393/640 
 | −92097/339200 
 | 187/2100 
 | 1/40
 |}
 பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது மற்றும் இரண்டாவது வரிசையில் நான்காவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது.
 
 == உள்ளார்ந்த முறைகள் ==
 
 === பின்னோக்கு யூலர் ===
 பின்தங்கிய யூலர் முறை முதல் வரிசையாகும். நேரியல் பரவல் சிக்கல்களுக்கு நிபந்தனையற்ற வகையில் நிலையான மற்றும் அல்லாத அலைக்கற்ற.
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|c}
 1 &amp; 1 \\
 \hline
   &amp; 1 \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 === உள்ளார்ந்த இடையில் ===
 உள்ளார்ந்த இடையில் உள்ள முறை இரண்டாவது வரிசையில் உள்ளது. காஸ் முறைகள் என அழைக்கப்படும் collocation முறைகள் வகுப்பில் இது எளிய முறையாகும். இது ஒரு சிம்பிளான ஒருங்கிணைப்பாளியாகும்
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|c}
 1/2 &amp; 1/2 \\
 \hline
  &amp; 1
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 === காஸ்-லெஜெண்டரே முறைகள் ===
 இந்த முறைகள், காஸ்-லெஜெண்டேட் குவாட்ரெச்சின் புள்ளிகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. கவுஸ்-லெஜெண்டேர் வரிசை வரிசையில் நான்கு நான்கு வகை புஷர் அட்டவணை உள்ளது:
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cc}
 \frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{6} &amp; \frac{1}{4} &amp; \frac{1}{4}-\frac{\sqrt3}{6}  \\
 \frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{6}  &amp; \frac{1}{4}+\frac{\sqrt3}{6} &amp;\frac{1}{4} \\
 \hline 
     &amp; \frac{1}{2} &amp; \frac{1}{2}\\
     &amp; \frac12+\frac12 \sqrt3 &amp; \frac12-\frac12 \sqrt3 \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 கோஸ்-லெஜெண்ட்ரே முறை வரிசையில் ஆறு வகை புஷர் அட்டவணை உள்ளது:
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|ccc}
 \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{10}   &amp; \frac{5}{36} &amp;  \frac{2}{9}- \frac{\sqrt{15}}{15} &amp; \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15}}{30} \\
 \frac{1}{2} &amp; \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15}}{24} &amp; \frac{2}{9} &amp; \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15}}{24}\\
 \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{10} &amp; \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15}}{30} &amp; \frac{2}{9} + \frac{\sqrt{15}}{15} &amp; \frac{5}{36}  \\
 \hline
     &amp; \frac{5}{18} &amp; \frac{4}{9} &amp; \frac{5}{18}  \\
     &amp; -\frac56 &amp; \frac83 &amp; -\frac56
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 === லோபாட்டோ முறைகள் ===
 II, IIIB மற்றும் IIIC எனப்படும் லோபாட்டோ முறைகளில் மூன்று முக்கிய குடும்பங்கள் உள்ளன (வகுப்பு கணித இலக்கியத்தில், I மற்றும் II குறியீடுகள் இரண்டு வகைகள் Radau முறைகள் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளன). இவை ரெஹுவல் லோபாட்டோவின் பெயரிடப்பட்டது. அனைத்து மறைமுக முறைகள் உள்ளன, வரிசை 2 கள் - 2 மற்றும் அவை அனைத்தையும் c1 = 0 மற்றும் cs = 1. எந்த வெளிப்படையான முறையையும் போலல்லாமல், இந்த முறைகள் நிலைகளின் எண்ணிக்கையைவிட அதிகமான வரிசையில் இருக்க வேண்டும். கிளாசிக்கல் நான்காம் வரிசை முறை ரன்ஜே மற்றும் குட்டா ஆகியவற்றால் பிரபலமடைவதற்கு முன்பு லோபோத் வாழ்ந்தார்.
 
 ==== லோபாட்டோ IIIA முறைகள் ====
 அவர் லோபாட்டோ IIIA முறைகள் கொலொகேசன்மு றைகள். இரண்டாம் ஒழுங்கு முறையானது பைரவர்ஜீயல் ஆட்சி என அழைக்கப்படுகிறது:
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cc}
 0   &amp; 0   &amp; 0  \\
 1   &amp; 1/2 &amp; 1/2\\
 \hline
     &amp; 1/2 &amp; 1/2\\
 &amp; 1 &amp; 0 \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|ccc}
 0   &amp; 0   &amp; 0   &amp; 0    \\
 1/2 &amp; 5/24&amp; 1/3 &amp; -1/24\\
 1   &amp; 1/6 &amp; 2/3 &amp; 1/6  \\
 \hline
     &amp; 1/6 &amp; 2/3 &amp; 1/6  \\
 &amp; -\frac12 &amp; 2 &amp; -\frac12 \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 இந்த முறைகள் A- நிலையானவை, ஆனால் L- நிலையான மற்றும் B- நிலையானவை அல்ல
 
 ==== லோபாட்டோ IIIB முறைகள் ====
 லோபாட்டோ IIIB முறைகள் collocation முறைகள் அல்ல, ஆனால் அவை இடைவிடாத தொகுதிகள் (ஹையர், லுபிஷ்&amp; வன்னர் 2006, §II.1.4) என்று கருதப்படலாம். இரண்டாவது வரிசை முறை மூலம் வழங்கப்படுகிறது
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cc}
 0   &amp; 1/2 &amp; 0  \\
 1   &amp; 1/2 &amp; 0  \\
 
 \hline
     &amp; 1/2 &amp; 1/2\\
 &amp; 1 &amp; 0 \\
 
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|ccc}
 0   &amp; 1/6 &amp; -1/6&amp; 0    \\
 1/2 &amp; 1/6 &amp; 1/3 &amp; 0    \\
 1   &amp; 1/6 &amp; 5/6 &amp; 0    \\
 \hline
     &amp; 1/6 &amp; 2/3 &amp; 1/6  \\
 &amp; -\frac12 &amp; 2 &amp; -\frac12 \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 லோபாட்டோ IIIB முறைகள் A- நிலையானவை, ஆனால் L- நிலையான மற்றும் B- நிலையானவை அல்ல.
 
 ==== லோபாட்டோ IIIC முறைகள் ====
 லோபாட்டோ IIIC முறைகள் இடைவிடாமல் இடமாற்ற முறைகள் ஆகும். இரண்டாவது வரிசை முறை மூலம் வழங்கப்படுகிறது
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cc}
 0   &amp; 1/2 &amp; -1/2\\
 1   &amp; 1/2 &amp; 1/2 \\
 \hline
     &amp; 1/2 &amp; 1/2 \\
 &amp; 1 &amp; 0 \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|ccc}
 0   &amp; 1/6 &amp; -1/3&amp; 1/6  \\
 1/2 &amp; 1/6 &amp; 5/12&amp; -1/12\\
 1   &amp; 1/6 &amp; 2/3 &amp; 1/6  \\
 \hline
     &amp; 1/6 &amp; 2/3 &amp; 1/6  \\
 &amp; -\frac12 &amp; 2 &amp; -\frac12 \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 அவர்கள் எல்-நிலையாக உள்ளனர். அவை இயல்பான நிலையாகவும், பி-நிலையாகவும் இருக்கின்றன, அவை கடினமான சிக்கல்களுக்கு பொருத்தமானவையாக இருக்கின்றன.
 
 ==== லோபாட்டோ IIIC* முறைகள் ====
 லோபாட்டோ IIIC * முறைகள் லோபாட்டோ III முறைகள் (புஷ்சர், 2008), புஷ்சரின் லோபாட்டோ முறைகள் (ஹெயர் எட் அல், 1993), மற்றும் லோபாட்டோ IIIC முறைகள் (சன், 2000) இலக்கியத்தில் குறிப்பிடப்படுகின்றன. இரண்டாவது வரிசை முறை மூலம் வழங்கப்படுகிறது
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cc}
 0   &amp; 0 &amp; 0\\
 1   &amp; 1 &amp; 0 \\
 \hline
     &amp; 1/2 &amp; 1/2 \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|ccc}
 0   &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0  \\
 1/2 &amp; 1/4 &amp; 1/4 &amp; 0\\
 1   &amp; 0 &amp; 1 &amp; 0  \\
 \hline
     &amp; 1/6 &amp; 2/3 &amp; 1/6  \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 இந்த முறைகள் A- நிலையான, B- நிலையான அல்லது L- நிலையானவை அல்ல. {\ Displaystyle s = 2} க்கான லோபாட்டோ IIIC * முறையே சில நேரங்களில் வெளிப்படையான ட்ரேப்சாய்டல் விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.
 
 ==== பொதுவான லோபாட்டோ முறைகள் ====
 வடிவத்தின் லோபாட்டோ குணகங்களைப் பரிசீலிப்பதன் மூலம் மூன்று உண்மையான அளவுருக்கள்
 : &lt;math&gt;a_{i,j}(\alpha_{A},\alpha_{B},\alpha_{C}) = \alpha_{A}a_{i,j}^A + \alpha_{B}a_{i,j}^B + \alpha_{C}a_{i,j}^C + \alpha_{C*}a_{i,j}^{C*} &lt;/math&gt;,
 எங்கே
 : &lt;math&gt;\alpha_{C*} = 1 - \alpha_{A} - \alpha_{B} - \alpha_{C}&lt;/math&gt;.
 உதாரணமாக, லோபாட்டோ IIID குடும்பத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது (னார்செட் வென்னெர் 1981), மேலும் லோபாட்டோ IIINW என்றும் அழைக்கப்படுகிறது,
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cc}
 0   &amp; 1/2 &amp; 1/2\\
 1   &amp; -1/2 &amp; 1/2 \\
 \hline
     &amp; 1/2 &amp; 1/2 \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 மற்றும்
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|ccc}
 0   &amp; 1/6 &amp; 0 &amp; -1/6  \\
 1/2 &amp; 1/12 &amp; 5/12 &amp; 0\\
 1   &amp; 1/2 &amp; 1/3 &amp; 1/6  \\
 \hline
     &amp; 1/6 &amp; 2/3 &amp; 1/6  \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 {\ Displaystyle \ alpha _ {A} = 2}, {\ displaystyle \ alpha _ {B} = 2}, {\ displaystyle \ alpha _ {C} = - 1} மற்றும் {\ displaystyle \ alpha _ {சி *} = - 2}. வழிமுறைகள் L- நிலையானவை. அவை இயற்கணித நிலையாகவும் பி-நிலையாகவும் உள்ளன.
 
 === ராடு முறைகள் ===
 ராடு முறைகள் முழுமையாக உள்ளார்ந்த முறைகள் (அத்தகைய முறைகள் ஒரு அணி எந்த அமைப்பு இருக்க முடியும்). ராடுமுறைகள் வரிசை 2 கள் - 1 நிலைகளில் 1 அடைய. ராடு முறைகள் ஒரு நிலையான, ஆனால் செயல்படுத்த செலவு. மேலும் அவர்கள் வரிசையில் குறைக்கப்படலாம். முதல் வரிசையில் ராடு முறை பின்னோக்கி யூலர் முறையை ஒத்திருக்கிறது ..
 
 ==== ராடு IA முறைகள் ====
 மூன்றாம் ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cc}
 0   &amp; 1/4  &amp; -1/4  \\
 2/3 &amp; 1/4  &amp;  5/12 \\
 \hline
     &amp; 1/4 &amp; 3/4 \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 மூன்றாம் ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|ccc}
 0   &amp; \frac{1}{9} &amp; \frac{-1 - \sqrt{6}}{18} &amp; \frac{-1 + \sqrt{6}}{18} \\
 \frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}  &amp; \frac{1}{9} &amp; \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6}}{360} &amp; \frac{11}{45} - \frac{43\sqrt{6}}{360}\\
 \frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10} &amp; \frac{1}{9} &amp; \frac{11}{45} + \frac{43\sqrt{6}}{360} &amp; \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6}}{360}  \\
 \hline
     &amp; \frac{1}{9} &amp; \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} &amp; \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36}  \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 ==== ராடு IIA முறைகள் ====
 இந்த முறைகள் சிஐஎஸ் பூஜ்யங்களாக உள்ளன
 : &lt;math&gt;P_{s}(2x-1) - P_{s-1}(2x-1) = 0,&lt;/math&gt;
 எங்கே P_ {s} டிகிரிகளின் லெஜெண்ட்ரோ பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். மூன்றாம் ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|cc}
 1/3 &amp; 5/12 &amp; -1/12\\
 1   &amp; 3/4  &amp;  1/4 \\
 \hline
     &amp; 3/4 &amp; 1/4 \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 ஐந்தாவது ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன
 : &lt;math&gt;
 \begin{array}{c|ccc}
 \frac{2}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10}   &amp; \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6}}{360} &amp; \frac{37}{225} - \frac{169\sqrt{6}}{1800} &amp; -\frac{2}{225} + \frac{\sqrt{6}}{75} \\
 \frac{2}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10}  &amp; \frac{37}{225} + \frac{169\sqrt{6}}{1800} &amp; \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6}}{360} &amp; -\frac{2}{225} - \frac{\sqrt{6}}{75}\\
 1                   &amp; \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} &amp; \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} &amp; \frac{1}{9}  \\
 \hline
     &amp; \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} &amp; \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} &amp; \frac{1}{9}  \\
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{Reflist}}
 * {{Citation|title=Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems|year=1993|last1=Hairer|last2=Nørsett|last3=Wanner|first1=Ernst|first2=Syvert Paul|first3=Gerhard|location=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=978-3-540-56670-0|ISBN=978-3-540-56670-0}}.
 * {{Citation|title=Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems|year=1996|last1=Hairer|last2=Wanner|first1=Ernst|first2=Gerhard|location=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=978-3-540-60452-5|ISBN=978-3-540-60452-5}}.
 * {{Citation|title=Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations|year=2006|last1=Hairer|last2=Lubich|last3=Wanner|first1=Ernst|first2=Christian|first3=Gerhard|edition=2nd|location=Berlin, New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=978-3-540-30663-4|ISBN=978-3-540-30663-4}}.