கட்ட அணி
கணிதத்தில், '''கட்ட அணி''' அல்லது '''பிரிக்கப்பட்ட அணி''' (''block matrix'' அல்லது ''partitioned matrix'') என்பது '''கட்டங்கள்''' என அழைக்கப்படும் '''உள்ளணி'''களாகக் பிரிக்கப்பட்ட ஒரு [[அணி (கணிதம்)|அணியாகும்]].&lt;ref&gt;{{cite book |last=Eves |first=Howard |authorlink=Howard Eves |title=Elementary Matrix Theory |year=1980 |publisher=Dover |location=New York |isbn=0-486-63946-0 |page=37 |url=https://books.google.com/books?id=ayVxeUNbZRAC&amp;lpg=PA40&amp;dq=block%20multiplication&amp;pg=PA37#v=onepage&amp;q&amp;f=false |edition=reprint |accessdate=24 April 2013 |quote=We shall find that it is sometimes convenient to subdivide a matrix into rectangular blocks of elements. This leads us to consider so-called ''partitioned'', or ''block'', ''matrices''.}}&lt;/ref&gt; அணியினுள் வரையப்படும் குறுக்கு, நெடு கோடுகளால் கட்டங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டு ஒவ்வொரு கட்டத்துக்குள்ளும் ஒரு உள்ளணி கொண்டதொரு அணியாகக் கட்ட அணியின் தோற்றத்தைக் கொள்ளலாம்.&lt;ref&gt;{{cite book |last=Anton |first=Howard |title=Elementary Linear Algebra |url=https://archive.org/details/elementarylinear0000anto_w3l8 |year=1994 |publisher=John Wiley |location=New York |isbn=0-471-58742-7 |page=[https://archive.org/details/elementarylinear0000anto_w3l8/page/30 30] |edition=7th |quote=A matrix can be subdivided or '''''partitioned''''' into smaller matrices by inserting horizontal and vertical rules between selected rows and columns.}}&lt;/ref&gt; எந்தவொரு அணியையும் அதன் நிரைகளயும் நிரல்களையும் கட்டங்களாகப் பிரிக்கும் விதங்களால் அவ்வணியை வெவ்வேறு கட்ட அணிகளாகக் கொள்ளமுடியும்.
 
 ==எடுத்துக்காட்டு==
 [[File:BlockMatrix168square.png|thumb| 168×168 வரிசை கட்ட அணி; இக்கட்ட அணி 12×12, 12×24, 24x12,  24×24 உள்ளணிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. பூச்சியமற்ற உறுப்புகள் நீலநிறத்திலும் பூச்சிய உறுப்புகள் சாம்பல் நிறத்திலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.]]
 :&lt;math&gt;\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
 1 &amp; 1 &amp; 2 &amp; 2\\
 1 &amp; 1 &amp; 2 &amp; 2\\
 3 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 4\\
 3 &amp; 3 &amp; 4 &amp; 4\end{bmatrix}&lt;/math&gt;
 :இந்த அணியை நான்கு 2×2 கட்டங்களெனப்படும் உள்ளணிகளாகப் பிரிக்கலாம்:
 :&lt;math&gt;\mathbf{P}_{11} = \begin{bmatrix}
 1 &amp; 1 \\
 1 &amp; 1 \end{bmatrix},   \mathbf{P}_{12} = \begin{bmatrix}
 2 &amp; 2\\
 2 &amp; 2\end{bmatrix},  \mathbf{P}_{21} = \begin{bmatrix}
 3 &amp; 3 \\
 3 &amp; 3 \end{bmatrix},   \mathbf{P}_{22} = \begin{bmatrix}
 4 &amp; 4\\
 4 &amp; 4\end{bmatrix}.&lt;/math&gt;
 :எடுத்துக்கொண்ட அணியைக் கட்ட அணியாக எழுத:
 :&lt;math&gt;\mathbf{P} = \begin{bmatrix}
 \mathbf{P}_{11} &amp; \mathbf{P}_{12}\\
 \mathbf{P}_{21} &amp; \mathbf{P}_{22}\end{bmatrix}.&lt;/math&gt;
 
 ==கட்ட அணிகளின் பெருக்கல்==
 இரு கட்ட அணிகளைப் பெருக்குதல் முடியும். இரு அணிகளின் குறிப்பற்ற கட்டப் பிரிப்புகளுக்கும்  பெருக்கல் சாத்தியமாகாது. கட்டங்களாக அமையும் உள்ளணிகள் [[அணிப்பெருக்கல்]] வரையறைக்கு ஏற்றதாக அமையும் பிரிப்புகளுக்கு மட்டுமே இரு கட்ட அணிகளைப் பெருக்குதல் இயலும்.&lt;ref&gt;{{cite book |last=Eves |first=Howard |authorlink=Howard Eves |title=Elementary Matrix Theory |year=1980 |publisher=Dover |location=New York |isbn=0-486-63946-0 |page=37 |url=https://books.google.com/books?id=ayVxeUNbZRAC&amp;lpg=PA40&amp;dq=block%20multiplication&amp;pg=PA39#v=onepage&amp;q&amp;f=false |edition=reprint |accessdate=24 April 2013 |quote=A partitioning as in Theorem 1.9.4 is called a ''conformable partition'' of ''A'' and ''B''.}}&lt;/ref&gt;
 
 எடுத்துக்கொள்ளப்படும் இரு அணிகள்:
 *&lt;math&gt;q&lt;/math&gt; நிரைப் பிரிப்புகளும் &lt;math&gt;s&lt;/math&gt; நிரல் பிரிப்புகளும் கொண்ட &lt;math&gt;(m \times p)&lt;/math&gt; வரிசையணி &lt;math&gt;\mathbf{A}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;
 \mathbf{A} = \begin{bmatrix}
 \mathbf{A}_{11} &amp; \mathbf{A}_{12} &amp; \cdots &amp;\mathbf{A}_{1s}\\
 \mathbf{A}_{21} &amp; \mathbf{A}_{22} &amp; \cdots &amp;\mathbf{A}_{2s}\\
 \vdots          &amp; \vdots          &amp; \ddots &amp;\vdots \\
 \mathbf{A}_{q1} &amp; \mathbf{A}_{q2} &amp; \cdots &amp;\mathbf{A}_{qs}\end{bmatrix}&lt;/math&gt;
 
 *&lt;math&gt;s&lt;/math&gt; நிரைப் பிரிப்புகளும் &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; நிரல் பிரிப்புகளும் கொண்ட &lt;math&gt;(p\times n)&lt;/math&gt; வரிசையணி &lt;math&gt;\mathbf{B}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;
 \mathbf{B} = \begin{bmatrix}
 \mathbf{B}_{11} &amp; \mathbf{B}_{12} &amp; \cdots &amp;\mathbf{B}_{1r}\\
 \mathbf{B}_{21} &amp; \mathbf{B}_{22} &amp; \cdots &amp;\mathbf{B}_{2r}\\
 \vdots          &amp; \vdots          &amp; \ddots &amp;\vdots \\
 \mathbf{B}_{s1} &amp; \mathbf{B}_{s2} &amp; \cdots &amp;\mathbf{B}_{sr}\end{bmatrix},&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; பிரிப்பு உள்ளணிகளோடு &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; இன் பிரிப்பு உள்ளணிகள் அணிப்பெருக்கலுக்கு இணக்கமானவையாக இருந்தால் இவ்விரு அணிகளின் பெருக்கற்பலன் 
 ::&lt;math&gt;\mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{B}&lt;/math&gt; 
 :அணியை &lt;math&gt;q&lt;/math&gt; நிரைப் பிரிப்புகளும் &lt;math&gt;r&lt;/math&gt; நிரல் பிரிப்புகளும் கொண்ட &lt;math&gt;(m\times n)&lt;/math&gt; வரிசையணியாகப் பெறலாம்.
 
 :&lt;math&gt;\mathbf{C}&lt;/math&gt; அணியின் கட்டங்களாக அமையும் அணிகள் கீழுள்ள இரு வகைப் பெருக்கல் மூலமாகக் கணக்கிடப்படும்:
 :&lt;math&gt;
 \mathbf{C}_{\alpha \beta} = \sum^s_{\gamma=1}\mathbf{A}_{\alpha \gamma}\mathbf{B}_{\gamma \beta}. 
 &lt;/math&gt;
 ::அல்லது
 :&lt;math&gt;
 \mathbf{C}_{\alpha \beta} = \mathbf{A}_{\alpha \gamma}\mathbf{B}_{\gamma \beta}. 
 &lt;/math&gt;
 
 ==நேர்மாற்றல்==
 நான்கு கட்டங்களாகப் பிரிக்கப்பட்ட அணியின் நேர்மாற்ற அணியையும் கட்ட அணியாகக் காணலாம்:
 {| border=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot; width=&quot;100%&quot;
 |-
 | align=&quot;left&quot; |
 :&lt;math&gt;
 \begin{bmatrix} \mathbf{A} &amp; \mathbf{B} \\ \mathbf{C} &amp; \mathbf{D} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{A}^{-1}+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1} &amp; -\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1} \\ -(\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{CA}^{-1} &amp; (\mathbf{D}-\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B})^{-1} \end{bmatrix},
 &lt;/math&gt;
 | align=&quot;right&quot; | &lt;math&gt;\,&lt;/math&gt;
 |}
 இதில் '''A''', '''B''', '''C''' , '''D''' பிரிப்புகளின் அளவுகள் குறிப்பற்றவை; '''A''' , '''D''' [[நேர்மாற்றத்தக்க அணி|நேர்மாற்றத்தக்கதாக]] இருப்பதற்காக, அவை கட்டாயமாக [[சதுர அணி]]களாக இருக்க வேண்டும். மேலும் '''A''' , '''D'''&amp;minus;'''CA'''&lt;sup&gt;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;'''B''' அணிகள் [[வழுவிலா அணி]]களாகவும் இருக்க வேண்டும்.&lt;ref&gt;
 {{cite book
   | last = Bernstein
   | first = Dennis
   | title = Matrix Mathematics
   | url = https://archive.org/details/matrixmathematic00unse
   | publisher = Princeton University Press
   | year = 2005
   | pages = [https://archive.org/details/matrixmathematic00unse/page/44 44]
   | isbn = 0-691-11802-7 }}
 &lt;/ref&gt;)
 
 இதற்குச் சமானமானதாக, நேர்மாறைக் கீழுள்ளவாறும் கணக்கிடலாம்:
 {| border=&quot;0&quot; cellpadding=&quot;0&quot; cellspacing=&quot;0&quot; width=&quot;100%&quot;
 |-
 | align=&quot;left&quot; |
 :&lt;math&gt;
 \begin{bmatrix} \mathbf{A} &amp; \mathbf{B} \\ \mathbf{C} &amp; \mathbf{D} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} (\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1} &amp; -(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{BD}^{-1} \\ -\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1} &amp; \quad \mathbf{D}^{-1}+\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{A}-\mathbf{BD}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{BD}^{-1}\end{bmatrix}.
 &lt;/math&gt;
 | align=&quot;right&quot; | &lt;math&gt;\,&lt;/math&gt;
 |}
 
 ==கட்ட மூலைவிட்ட அணிகள் ==
 கட்ட மூலைவிட்ட அணி என்பது முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளை சதுரக் கட்ட அணிகளாவும் ஏனைய உறுப்புகளை பூச்சியக் கட்ட அணிகளாவும் கொண்டதொரு கட்ட அணியாகும்.
 
 :கட்ட மூலைவிட்ட அணி '''A''' இன் அமைப்பு:
 :&lt;math&gt; 
 \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 
 \mathbf{A}_{1} &amp; 0 &amp; \cdots &amp; 0 \\ 0 &amp; \mathbf{A}_{2} &amp; \cdots &amp;  0 \\
 \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\
 0 &amp; 0 &amp; \cdots &amp; \mathbf{A}_{n} 
 \end{bmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 இதில் '''A'''&lt;sub&gt;''k''&lt;/sub&gt; சதுர அணி; அதாவது '''A'''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, …, '''A'''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; ஆகியவற்றின் நேரிடிக் கூட்டல் (Direct sum) '''A'''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;&lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;&amp;nbsp;'''A'''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;&amp;nbsp;&lt;math&gt;\oplus\,\ldots\,\oplus &lt;/math&gt;&amp;nbsp;'''A'''&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt; ஆகும். எந்தவொரு சதுர அணியையும் ஒரேயொரு கட்டங்கொண்ட கட்ட அணியாகக் கருதலாம்.
 
 [[அணிக்கோவை]]க்கும் [[சுவடு (நேரியல் இயற்கணிதம்)|சுவட்டிற்கும்]] கீழ்வரும் பண்புகள் உண்மையாகும்:
 :&lt;math&gt; \operatorname{det} \mathbf{A} = \operatorname{det} \mathbf{A}_1 \times \ldots \times \operatorname{det} \mathbf{A}_n&lt;/math&gt;,
 :&lt;math&gt; \operatorname{tr} \mathbf{A} = \operatorname{tr} \mathbf{A}_1 +\cdots +\operatorname{tr} \mathbf{A}_n.&lt;/math&gt;
 
 ஒரு கட்ட மூலைவிட்ட அணியின் நேர்மாறு அணி என்பது மூல அணியின் ஒவ்வொரு கட்ட அணிகளின் நேர்மாறு அணிகளைக் கட்டங்களாகக் கொண்ட கட்ட அணியாக அமையும்:
 :&lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 \mathbf{A}_{1} &amp; 0 &amp; \cdots &amp; 0 \\
 0 &amp; \mathbf{A}_{2} &amp; \cdots &amp;  0 \\
 \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\
 0 &amp; 0 &amp; \cdots &amp; \mathbf{A}_{n} 
 \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_{1}^{-1} &amp; 0 &amp; \cdots &amp; 0 \\
  0 &amp; \mathbf{A}_{2}^{-1} &amp; \cdots &amp;  0 \\
 \vdots &amp; \vdots &amp; \ddots &amp; \vdots \\
 0 &amp; 0 &amp; \cdots &amp; \mathbf{A}_{n}^{-1} 
 \end{pmatrix}.
 &lt;/math&gt;
 
 ==கட்ட மும்மூலைவிட்ட அணிகள்==
 '''கட்ட மும்மூலைவிட்ட அணி''' என்பது கட்ட அணிகளின் ஒரு சிறப்புவகையாகும்.
 இவ்வணியில் கீழ்மூலைவிட்டம், [[முதன்மை மூலைவிட்டம்]], மேல்மூலைவிட்டம் ஆகிய மூன்றிலுமுள்ள உறுப்புகள் சதுர அணிகளாகவும் (கட்டங்கள்), ஏனைய உறுப்புகள் பூச்சிய அணிகளாகவும் இருக்கும். இது ஒரு [[மும்மூலைவிட்ட அணி]]யைப் போன்றதேயாகும்; மும்மூலைவிட்ட அணியில் உள்ள எண்களுக்குப் பதிலாக இவ்வணியானது உள்ளணிகளைக்  கொண்டிருக்கும்.
 
 கட்ட மும்மூலைவிட்ட அணி '''A''' இன் அமைப்பு:
 :&lt;math&gt; 
 \mathbf{A} = \begin{bmatrix}
 \mathbf{B}_{1}  &amp; \mathbf{C}_{1}  &amp;         &amp;         &amp; \cdots  &amp;         &amp; 0 \\
 \mathbf{A}_{2}  &amp; \mathbf{B}_{2}  &amp; \mathbf{C}_{2}   &amp;         &amp;         &amp;         &amp; \\
        &amp; \ddots &amp; \ddots  &amp; \ddots  &amp;         &amp;         &amp; \vdots \\
        &amp;        &amp; \mathbf{A}_{k}   &amp; \mathbf{B}_{k}   &amp; \mathbf{C}_{k}   &amp;         &amp; \\
 \vdots &amp;        &amp;         &amp; \ddots  &amp; \ddots  &amp; \ddots  &amp; \\
        &amp;        &amp;         &amp;         &amp; \mathbf{A}_{n-1} &amp; \mathbf{B}_{n-1} &amp; \mathbf{C}_{n-1}   \\
 0      &amp;        &amp; \cdots  &amp;         &amp;         &amp; \mathbf{A}_{n}   &amp; \mathbf{B}_{n}
 \end{bmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 இதில் '''A'''&lt;sub&gt;''k''&lt;/sub&gt;, '''B'''&lt;sub&gt;''k''&lt;/sub&gt;, '''C'''&lt;sub&gt;''k''&lt;/sub&gt; ஆகியவை முறையே கீழ், முதன்மை மற்றும் மேல்மூலைவிட்டங்களில் அமையும் சதுர உள்ளணிகளாகும்.
 
 ==கட்ட டோப்ளிட்சு அணிகள்==
 '''கட்ட டோப்ளிட்சு அணி''' (block Toeplitz matrix) என்பது கட்ட அணிகளின் மற்றொரு சிறப்புவகையாகும். [[டோப்ளிட்சு அணி]]களில் அதன் உறுப்புகள் மூலைவிட்டங்களின் கீழ் மீள்வது போல, கட்ட டோப்ளிட்சு அணிகளில் அதன் மூலைவிட்டங்களின் கீழ் கட்டங்கள் மீளமைகின்றன. கட்ட டோப்ளிட்சு அணியின் ஒவ்வொரு பிரிப்பு உள்ளணியும் (Aij) டோப்ளிட்சு அணியாக இருக்க வேண்டும்.
 
 கட்ட டோப்ளிட்சு அணியின் அமைப்பு:
 :&lt;math&gt; 
 \mathbf{A} = \begin{bmatrix}
 \mathbf{A}_{(1,1)}  &amp; \mathbf{A}_{(1,2)}  &amp;         &amp;         &amp; \cdots  &amp;     \mathbf{A}_{(1,n-1)}    &amp; \mathbf{A}_{(1,n)} \\
 \mathbf{A}_{(2,1)}  &amp; \mathbf{A}_{(1,1)}  &amp; \mathbf{A}_{(1,2)}   &amp;         &amp;         &amp;         &amp; \mathbf{A}_{(1,n-1)} \\
        &amp; \ddots &amp; \ddots  &amp; \ddots  &amp;         &amp;         &amp; \vdots \\
        &amp;        &amp; \mathbf{A}_{(2,1)}   &amp; \mathbf{A}_{(1,1)}   &amp; \mathbf{A}_{(1,2)}   &amp;         &amp; \\
 \vdots &amp;        &amp;         &amp; \ddots  &amp; \ddots  &amp; \ddots  &amp; \\
 \mathbf{A}_{(n-1,1)}       &amp;        &amp;         &amp;         &amp; \mathbf{A}_{(2,1)} &amp; \mathbf{A}_{(1,1)} &amp; \mathbf{A}_{(1,2)}   \\
 \mathbf{A}_{(n,1)}      &amp; \mathbf{A}_{(n-1,1)}       &amp; \cdots  &amp;         &amp;         &amp; \mathbf{A}_{(2,1)}   &amp; \mathbf{A}_{(1,1)}
 \end{bmatrix}.
 &lt;/math&gt;
 
 ==நேரடிக் கூட்டல்==
 '''A''' (''m''&amp;nbsp;×&amp;nbsp;''n''), '''B''' (''p''&amp;nbsp;×&amp;nbsp;''q'') ஆகிய இரு அணிகளின் ''நேரடிக்கூட்டல்'' (direct sum),  '''A'''&amp;nbsp;&lt;math&gt;\oplus&lt;/math&gt;&amp;nbsp;'''B''' பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: 
 :&lt;math&gt;
   \mathbf{A} \oplus \mathbf{B} =
   \begin{bmatrix}
      a_{11} &amp; \cdots &amp; a_{1n} &amp;      0 &amp; \cdots &amp;      0 \\
      \vdots &amp; \cdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \cdots &amp; \vdots \\
     a_{m 1} &amp; \cdots &amp; a_{mn} &amp;      0 &amp; \cdots &amp;      0 \\
           0 &amp; \cdots &amp;      0 &amp; b_{11} &amp; \cdots &amp;  b_{1q} \\
      \vdots &amp; \cdots &amp; \vdots &amp; \vdots &amp; \cdots &amp; \vdots \\
           0 &amp; \cdots &amp;      0 &amp; b_{p1} &amp; \cdots &amp;  b_{pq} 
   \end{bmatrix}.
 &lt;/math&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டாக,
 
 :&lt;math&gt;
   \begin{bmatrix}
     1 &amp; 3 &amp; 2 \\
     2 &amp; 3 &amp; 1
   \end{bmatrix}
 \oplus
   \begin{bmatrix}
     1 &amp; 6 \\
     0 &amp; 1
   \end{bmatrix}
 =
   \begin{bmatrix}
     1 &amp; 3 &amp; 2 &amp; 0 &amp; 0 \\
     2 &amp; 3 &amp; 1 &amp; 0 &amp; 0 \\
     0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1 &amp; 6 \\
     0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 0 &amp; 1
   \end{bmatrix}.
 &lt;/math&gt;
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{Reflist}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 *{{Cite web |last=Strang |first=Gilbert |authorlink=Gilbert Strang |url=http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-3-multiplication-and-inverse-matrices |title=Lecture 3: Multiplication and inverse matrices |publisher=MIT Open Course ware |at=18:30–21:10 |date=1999}}