இருபடி முழுவெண்

 [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டில்]], '''இருபடி முழுவெண்கள்''' என்பது வழக்கமான [[முழு எண்|முழுவெண்களை]] இருபடி களங்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துவதாகும். இருபடி முழுவெண்கள், படி  இரண்டுள்ள இயற்கணித முழு எண்களாகும். அதாவது பின்வரும் வடிவச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளாக இருக்கும்:
 
 : {{Math|1=''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + ''bx'' + ''c'' = 0}}
 
 {{Mvar|b}}, {{Mvar|c}} இரண்டும் வழக்கமான முழு எண்கள். இயற்கணித முழுவெண்களைக் கருத்தில் கொள்ளும்போது, வழக்கமான முழுவெண்கள் பெரும்பாலும் ''விகிதமுறு முழுவெண்கள்'' என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
 
 இருபடி முழுவெண்களின் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள் விகிதமுறு முழுவெண்களின் [[வர்க்கமூலம்|வர்க்க மூலங்களான]] {{Math|{{sqrt|2}}}}, மற்றும் [[காசிய முழுவெண்|காஸியன் முழுவெண்களை]] உருவாக்கும் [[சிக்கலெண்]] {{Math|1=''i'' = {{sqrt|−1}}}} ஆகும். மற்றொரு பொதுவான எடுத்துக்காட்டு  [[ஒன்றின் படிமூலம்|ஒன்றின் கன படிமூலங்களில்]] ஒன்றான {{math|{{sfrac|−1 + {{sqrt|−3}}|2}}}} ஆகும். இக் கனபடிமூலம் &lt;nowiki&gt;[[ஐசேன்ஸ்டைன் முழுவெண்]]&lt;/nowiki&gt;களை உருவாக்குகிறது.
 
 [[பெல்லின் சமன்பாடு|பெல்லின் சமன்பாடுகள்]] போன்ற &lt;nowiki&gt;[[டியோஃபன்டைனே சமன்பாடு]]&lt;/nowiki&gt;களின் தீர்வுகளில் இருபடி முழுவெண்கள் இடம்பெறுகின்றன.  '''இருபடி முழுவெண்களின் வளையங்களின்''' ஆய்வு இயற்கணித எண் கோட்பாட்டின் பல கேள்விகளுக்கு அடிப்படையாக அமைகிறது.
 
 == வரையறை ==
 '''இருபடி முழுவெண்''' என்பது படி இரண்டுள்ள [[இயற்கணித முழுவெண்]] ஆகும்.  மேலும்  இது:
 
 :''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + ''bx'' + ''c'' = 0 (''b'', ''c முழுவெண்கள்)'' என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வாக அமைகின்ற &lt;math&gt;x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}&lt;/math&gt; என்ற சிக்கலெண்ணாகும்.  
 
 முழுவெண்ணாக இல்லாத ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணும் [[விகிதமுறு எண்]]ணல்ல;   அதாவது, {{Math|''b''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − 4''c'' &gt; 0}} என்றால்  மெய் [[விகிதமுறா எண்]]&lt;nowiki/&gt;ணாகவும்,  {{Math|''b''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − 4''c'' &lt; 0}} என்றால் அது மெய்யற்றதாகவும் இருக்கும். இத்தகைய இருபடி முழுவெண்கள் &lt;math&gt;\mathbb{Q}&lt;/math&gt; இன் நீட்டிப்பாக  அமையும் இருபடிக் களம்  &lt;math&gt;\mathbb{Q}(\sqrt{D}\,)&lt;/math&gt; இல் அமைகின்றன.  &lt;math&gt;\mathbb{Q}(\sqrt{D}\,)&lt;/math&gt; ஆனது,முழு எண் {{Mvar|e}} க்கு {{Math|1=''b''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − 4''c'' = ''De''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}} என்பதை நிறைவுசெய்யும் தனித்துவமான [[வர்க்கக்காரணியற்ற முழுஎண்|வர்க்கக்காரணியற்ற முழுவெண்]] {{Mvar|D}} இன் வர்க்க மூலத்தால்  பிறப்பிக்கப்படுகிறது. {{Mvar|D}} நேரெண்ணாக இருந்தால் இருபடி முழுவெண் மெய்யெண்ணாகவும், {{Math|''D'' &lt; 0}} எனில், அது ''கற்பனையெண்ணாகவும் இருக்கும்'' (அதாவது சிக்கலெண், மெய்யற்றது).
 
 &lt;math&gt;\mathbb{Q}(\sqrt{D}\,)&lt;/math&gt; என்ற [[இருபடிக் களம்|இருபடி களத்தைச் சேர்ந்த]] இருபடி முழுவெண்கள் (சாதாரண முழுவெண்கள் உட்பட) &quot;&lt;math&gt;\mathbb{Q}(\sqrt{D}\,).&lt;/math&gt; இன் முழுவெண்களின் வளையம்&quot; என அழைக்கப்படும் [[முழு ஆட்களம்|முழு ஆட்களத்தை]] உருவாக்கும்.
 
 தரப்பட்ட இருபடிக் களத்திற்குரிய இருபடி முழுவெண்கள் ஒரு [[வளையம் (கணிதம்)|வளையமாக]] இருக்கும். ஆனால், &quot;அனைத்து&quot; இருபடி முழுவெண்களின் கணமானது கூட்டலுக்கும் பெருக்கலுக்கும் அடைவு பெறாததால் வளையமாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, &lt;math&gt;1+\sqrt{2},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;\sqrt{3}&lt;/math&gt; இரண்டும் இருபடி முழுவெண்கள்; ஆனால் அவற்றின் கூட்டுதொகையான &lt;math&gt; 1+\sqrt{2}+\sqrt{3},&lt;/math&gt; பெருக்குத்தொகையான &lt;math&gt;(1+\sqrt{2})\cdot\sqrt{3}&lt;/math&gt; இரண்டும் இருபடி முழுவெண்கள் இல்லை (அவற்றின் [[சிறுமப் பல்லுறுப்புக்கோவை]]யின் [[பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி|படி]] நான்காக இருப்பதால்).
 
 ==வெளிப்படையான உருவகிப்பு==
 இங்கும் பின்வரும் பகுதிகளிலும் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் இருபடி முழுவெண்கள், &lt;math&gt;\mathbb{Q}(\sqrt{D}\,)&lt;/math&gt; ({{mvar|D}} என்பது வர்க்கமற்றகாரணி முழுவெண்) என்ற இருபடிக் களத்தைச் சேர்ந்தவை. இவ்வாறு எடுத்துக்கொள்ளும்போது, {{math|1={{sqrt|''a''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;''D''}} = ''a''&amp;hairsp;{{sqrt|''D''}}}}  &lt;math&gt; \implies \mathbb{Q}(\sqrt{D}\,) = \mathbb{Q}(\sqrt{a^2D}\,)&lt;/math&gt; ({{mvar|a}} ஏதேனுமொரு நேர்ம முழுவெண்) என்பதால் பொதுத்தன்மை கட்டுப்படுத்தப்படுவதில்லை.
 
 :&lt;math&gt;x = a+b\sqrt D,&lt;/math&gt; 
 அல்லது,  
 :{{math|''D''&amp;nbsp;−&amp;thinsp;1}} = {{math|4}} இன் மடங்காக இருக்கும்போது
 :&lt;math&gt;x = \frac{a}{2}+\frac{b}{2}\sqrt{D},&lt;/math&gt; ({{mvar|a}}, {{mvar|b}} இரண்டும் ஒற்றை எண்கள்)
 என்பதை நிறைவு செய்யும் இரு முழுவெண்கள் {{mvar|a}}, {{mvar|b}} &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot; &lt;math&gt;x \in \mathbb{Q}(\sqrt{D}&lt;/math&gt; ஆனது ஒரு இருபடி முழுவெண்ணாகும்.
 
 மாற்றாக, ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணையும் கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்: :{{math|''a'' + ''ωb'' }}, ({{mvar|a}}, {{mvar|b}} முழுவெண்கள்; {{mvar|ω}} இன் வரையறை: &lt;math&gt;\omega = \begin{cases}
 \sqrt{D} &amp; \mbox{if }D \equiv 2, 3 \pmod{4} \\
 {{1 + \sqrt{D}} \over 2} &amp; \mbox{if }D \equiv 1 \pmod{4}
 \end{cases}&lt;/math&gt;)
 
 குறிப்பு: {{mvar|D}} வர்க்கமற்ற காரணியாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதால் &lt;math&gt;D \equiv 0\pmod{4}&lt;/math&gt; ஆக இருக்காது. ஏனெனில் அவ்வாறு இருக்கும்பட்சத்தில {{mvar|D}} ஆனது வர்க்க எண் 4 ஆல் வகுபடும்; அதாவது வர்க்கக்காரணியற்ற முழுவெண் அல்ல என்ற முரண்பாடு ஏற்படும்.&lt;ref&gt;{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/q/1198188 |title=Why is quadratic integer ring defined in that way?|website=math.stackexchange.com|access-date=2016-12-31}}&lt;/ref&gt;
 
 ==நெறிமமும் இணையியமும் ==
 A quadratic integer in &lt;math&gt;\mathbb{Q}(\sqrt{D}\,)&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒரு இருபடி முழுவெண்ணைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்: 
 :{{math|''a'' + ''b''{{sqrt|''D''}}}} ({{mvar|a}}, {{mvar|b}} இரண்டும் முழுவெண்கள் அல்லது {{math|''D'' ≡ 1 (mod 4)}} எனும்போது மட்டும் இரண்டும் [[அரை-முழுவெண்]]கள்.
 
 இத்தகைய இருபடிமுழுவெண்ணின் &quot;நெறிமம்&quot; (''norm''):
 :{{math|1=''N''&amp;hairsp;(''a'' + ''b''{{sqrt|''D''}}&amp;hairsp;) = ''a''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − ''Db''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}}.
 
 ஒரு இருபடி முழுவெண்ணின் நெறிமம் எப்போதும் ஒரு முழுவெண்ணாகவே இருக்கும்.  {{math|''D'' &lt; 0}} எனில், ஒரு இருபடி முழுவெண்ணின் நெறிமம், அதன் [[தனி மதிப்பு|தனிமதிப்பின்]] வர்க்கமாக (சிக்கலெண்ணுக்குப் போலவே) இருக்கும். இது {{math|''D'' &gt; 0}} எனில் இது உண்மையாகாது. இரண்டு இருபடி முழுவெண்களின் பெருக்குத்தொகையின் நெறிமமானது தனித்தனியே அவ்விரண்டின் நெறிமங்களின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.
 
 ஒவ்வொரு இருபடி முழுவெண்ணுக்கும் ஒரு இணையெண் உண்டு. 
 
 {{math|''a'' + ''b''{{sqrt|''D''}}}} இன் &quot;இணையெண்&quot; (''conjugate'')
 :&lt;math&gt;\overline{a+b\sqrt{D}} = a-b\sqrt{D}.&lt;/math&gt;
 
 ஒரு இருபடி முழுவெண் மற்றும் அதன் இணையெண் ஆகிய இரண்டின் நெறிமமும் சமம்; மேலும் இந்த நெறிமமானது இருபடி முழுவெண் மற்றும் அதன் இணையெண் இரண்டின் பெருக்குத்தொகையாகவும் இருக்கும். இரு இருபடி முழுவெண்களின் கூட்டுதொகையின் (பெருக்குத்தொகை) இணையெண் அவ்விரண்டின் இணையெண்களின் கூட்டுத்தொகையாக (பெருக்குத்தொகை) இருக்கும்.
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{reflist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 *{{Citation
 | last=Dedekind
 | first=Richard
 | author-link=Richard Dedekind
 | title=Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet
 | url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/toc/?PPN=PPN30976923X&amp;DMDID=dmdlog1
 | edition=2
 | year=1871
 | publisher=Vieweg
 }}. Retrieved 5. August 2009
 *Dummit, D. S., and Foote, R. M., 2004. ''Abstract Algebra'', 3rd ed.
 *Artin, M, ''Algebra'', 2nd ed., Ch 13.
 
 ==மேலதிக வாசிப்புக்கு==
 *J.S. Milne. ''[http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ANT301.pdf Algebraic Number Theory]'', Version 3.01, September 28, 2008. online lecture notes
 
 [[பகுப்பு:முழு எண்கள்]]