மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்''' அல்லது '''மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்''' (''centered square number'') என்பது, [[மையப்படுத்தப்பட்ட பலகோண எண்|மையப்படுத்தப்பட்ட]]  [[வடிவ எண்]]களில் ஒரு வகையாகும். ஒரு [[புள்ளி]]யை மையமாகக் கொண்டு மற்ற புள்ளிகளை அந்த மையப்புள்ளியைச் சுற்றித் தொடர்ந்து [[சதுரம்|சதுர]] வடிவ அடுக்குகளாக அடுக்கக்கூடிய மொத்த புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்ணாகும். பொதுவாக, [[வடிவ எண்]]களைப் போலவே மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்களுக்கும் நேரிடையான நடைமுறைப் பயன்கள் அவ்வளவாக இல்லை என்றாலும் இவற்றின் அழகான [[வடிவவியல்|வடிவியல்]] மற்றும் [[எண்கணிதம்|
 எண்கணிதப்]] பண்புகளுக்காக இவை பொழுதுபோக்குக் கணிதத்தில் கையாளப்படுகின்றன.
 
 முதல் நான்கு மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்களின் பட அமைப்பு:
 
 {|
 |- align=&quot;center&quot; valign=&quot;middle&quot;
 |[[Image:GrayDot.svg|16px]]
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 |[[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]]
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 |[[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]]
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 |[[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]]
 |- align=&quot;center&quot; valign=&quot;top&quot;
 | &lt;math&gt;C_{4,1} = 1&lt;/math&gt;
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 | &lt;math&gt;C_{4,2} = 5&lt;/math&gt;
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 | &lt;math&gt;C_{4,3} = 13&lt;/math&gt;
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 | &lt;math&gt;C_{4,4} = 25&lt;/math&gt;
 |}
 
 == பிற வடிவ எண்களுடன் தொடர்பு ==
 
 ''n'' -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண் காணும் வாய்ப்பாடு:
 
 :&lt;math&gt;C_{4,n} = n^2 + (n - 1)^2.\,&lt;/math&gt;
 
 அதாவது அடுத்தடுத்த இரு [[வர்க்க எண்]]களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்ணாகும்.
 
 பின்வரும் பட அமைப்பு இந்த வாய்ப்பாட்டை விளக்குகிறது:
 
 {|
 |- align=&quot;center&quot; valign=&quot;middle&quot;
 |[[Image:GrayDot.svg|16px]]
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 |[[Image:RedDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:RedDot.svg|16px]]
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 |[[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]]
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 |[[Image:RedDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:RedDot.svg|16px]]
 |- align=&quot;center&quot; valign=&quot;top&quot;
 | &lt;math&gt;C_{4,1} = 1&lt;/math&gt;
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 | &lt;math&gt;C_{4,2} = 1 + 4&lt;/math&gt;
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 | &lt;math&gt;C_{4,3} = 4 + 9&lt;/math&gt;
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 | &lt;math&gt;C_{4,4} = 9 + 16&lt;/math&gt;
 |}
 
 மேலே தரப்பட்ட வாய்ப்பாட்டைப் பின்வருமாறு மாற்றி அமைக்கலாம்:
 
 :&lt;math&gt;C_{4,n} = {(2n-1)^2 + 1 \over 2};&lt;/math&gt;
 
 அதாவது, ''n'' -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண், ''n''  -ஆம் ஒற்றை வர்க்க எண்ணில் பாதியளவு மற்றும் [[எண்]] ஒன்றின் கூட்டுத்தொகையாகும்.
 
 {|
 |- align=&quot;center&quot; valign=&quot;bottom&quot;
 |[[Image:GrayDot.svg|16px]]
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 |[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]]
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 |[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]]
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 |[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]]
 |- align=&quot;center&quot; valign=&quot;top&quot;
 | &lt;math&gt;C_{4,1} = (1 + 1) / 2&lt;/math&gt;
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 | &lt;math&gt;C_{4,2} = (9 + 1) / 2&lt;/math&gt;
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 | &lt;math&gt;C_{4,3} = (25 + 1) / 2&lt;/math&gt;
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 | &lt;math&gt;C_{4,4} = (49 + 1) / 2&lt;/math&gt;
 |}
 
 எல்லா [[பல்கோண எண்|பலகோண எண்]]களைப் போலவே மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்களையும் முக்கோண எண்களின் மூலமாக எழுதலாம்:
 
 :&lt;math&gt;C_{4,n} = 1 + 4\, T_{n-1},\,&lt;/math&gt;
 
 இங்கு T_n , ''n'' -ஆம் [[முக்கோண எண்]].
 
 :&lt;math&gt;T_n = {n(n + 1) \over 2} = {n^2 + n \over 2} = {n+1 \choose 2}&lt;/math&gt;
 
 கீழே தரப்பட்டுள்ளபடி மையப்புள்ளியைத் தவிர்த்து மீதமுள்ள வடிவை நான்கு [[முக்கோணம்|முக்கோணங்களாகப்]] பிரிக்க மேலேயுள்ள வாய்ப்பாடு கிடைக்கும்.
 {|
 |- align=&quot;center&quot; valign=&quot;middle&quot;
 |[[Image:BlackDot.svg|16px]]
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 |[[Image:RedDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:BlackDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:RedDot.svg|16px]]
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 |[[Image:RedDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:BlackDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:RedDot.svg|16px]]
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 |[[Image:RedDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:BlackDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]]&lt;br&gt;[[Image:RedDot.svg|16px]]
 |- align=&quot;center&quot; valign=&quot;top&quot;
 | &lt;math&gt;C_{4,1} = 1&lt;/math&gt;
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 | &lt;math&gt;C_{4,2} = 1 + 4 \times 1&lt;/math&gt;
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 | &lt;math&gt;C_{4,3} = 1 + 4 \times 3&lt;/math&gt;
 | &amp;nbsp; &amp;nbsp;
 | &lt;math&gt;C_{4,4} = 1 + 4 \times 6.&lt;/math&gt;
 |}
 
 அடுத்தடுத்த இரு [[எண்முக எண்]]களின் வித்தியாசம் ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்.(&lt;ref&gt;Conway and Guy, p.50&lt;/ref&gt;)
 
 == பண்புகள் ==
 
 முதல் மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்கள் சில:
 
 : 1 , 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, … {{OEIS|id=A001844}}.
 
 அனைத்து மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்களும் ஒற்றை எண்களாக இருப்பதைக் காணலாம். மேலும் அவை 1-5-3-5-1 என்ற அமைப்பில் உள்ளன..
 
 ஒன்றைத் தவிர பிற மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்கள் அனைத்தும் [[பித்தாகரஸ்|பித்தாகரசின்]] மும்மைகளில் தாங்கிப்பக்கம்-[[செம்பக்கம்|செம்பக்கமாக]] இருப்பதைக் காணலாம் (எடுத்துக்காட்டு: 3-4-5, 5-12-13).
 
 === மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்கப் பகா எண் ===
 
 ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண் ஒரு [[பகா எண்]]ணாகவும் இருக்குமானால் அது ''மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்கப் பகா எண்'' என அழைக்கப்படும். வர்க்க எண்கள் ஒருபோதும் பகா எண்களாக இருக்காது. ஆனால் சில மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்கள் பகா எண்களாக இருக்கும்.
 
 மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்கப் பகா எண்கள் சில:
 
 :5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, 1201, 1301, 1741, 1861, 2113, 2381, 2521, 3121, 3613, … {{OEIS|id=A027862}}.
 
 ==குறிப்பு==
 {{reflist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 *{{citation
  | last = Alfred | first = U.
  | mr = 1571197
  | issue = 3
  | journal = Mathematics Magazine
  | pages = 155–164
  | title = {{math|''n''}} and {{math|''n'' + 1}} consecutive integers with equal sums of squares
  | jstor = 2688938
  | volume = 35
  | year = 1962}}.
 *{{Apostol IANT}}.
 *{{citation
  | last = Beiler | first = A. H.
  | location = New York
  | page = 125
  | publisher = Dover
  | title = Recreations in the Theory of Numbers
  | year = 1964}}.
 *{{citation
  | last1 = Conway | first1 = John H. | author1-link = John Conway
  | last2 = Guy | first2 = Richard K. | author2-link = Richard K. Guy
  | mr = 1411676
  | isbn = 0-387-97993-X
  | location = New York
  | pages = 41–42
  | publisher = Copernicus
  | title = The Book of Numbers
  | year = 1996}}.
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * [http://www.muljadi.org/Median.htm (n^2 + 1) / 2 as a special case of M(i,j) = (i^2 + j) / 2] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120716193317/http://www.muljadi.org/Median.htm |date=2012-07-16 }}
 {{வடிவ எண்கள்}}