விவியானியின் தேற்றம்
[[Image:Viviani_Theorem.svg|thumb|right|250px|சமபக்க முக்கோணத்தின் உட்புறப் புள்ளி P இலிருந்து பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்களின் கூடுதல் {{nowrap|''s'' + ''u'' + ''t''}}, முக்கோணத்தின் குத்துயரத்திற்குச் சமம்.]]
 '''விவியானியின் தேற்றம்''' (''Viviani's theorem'') சமபக்க முக்கோணத்தின் முக்கியப் பண்பினைத் தருகிறது. இத்தேற்றத்தின்படி, ஒரு [[சமபக்க முக்கோணி|சமபக்க முக்கோணத்தின்]] உட்புறமுள்ள ஏதாவது ஒரு புள்ளியிலிருந்து அதன் மூன்று பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்களின் (மிகச்சிறிய தூரம்) கூட்டுத்தொகையானது அந்த சமபக்கமுக்கோணத்தின் [[குத்துக்கோடு (முக்கோணம்)|குத்துயரத்திற்குச்]] சமமாகும்.&lt;ref name=&quot;ref1&quot;&gt;{{cite journal|arxiv=0903.0753|first=Elias|last=Abboud|title=On Viviani's Theorem and its Extensions|journal=College Mathematics Journal|volume=43|issue=3|year=2010|pages=203-211|doi=10.4169/074683410X488683}}&lt;/ref&gt; இத்தேற்றம், இத்தாலியக் கணிதவியலாளரும் அறிவியலாளருமான வின்சென்சோ விவியானியின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. அன்றாட வாழ்வியலில் இத்தேற்றம் பரவலான பயன்பாடுடையது.
 
 == நிறுவல் ==
 [[File:Viviani_theorem_visual_proof.svg|thumb|விவியானியின் தேற்றத்தின் படநிறுவல்
 {|
 |valign=&quot;top&quot;|1.||உட்புள்ளி P இலிருந்து முக்கோணம் ABC இன் பக்கங்களுக்குள்ள மிகச்சிறிய தூரங்கள்.
 |-
 |valign=&quot;top&quot;|2.||DE, FG, HI மூன்றும் முறையே AB, BC, CA க்களுக்கு இணையாகப் புள்ளி P வழிச் செல்லும் கோடுகள். PHE, PFI, PDG மூன்றும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள்.
 |-
 |valign=&quot;top&quot;|3.||இந்த மூன்றும் சமபக்க முக்கோணங்கள் என்பதால் அவற்றின் குத்துக்கோடுகளை குத்துவாக்காக இருக்குமாறுச் சுழற்றிக் கொள்ளலாம்.
 |-
 |valign=&quot;top&quot;|4.||PGCH இணைகரம் என்பதால் PHE மேற்புறத்திற்கு நகர்த்திக்கொள்ள, அவற்றின் குத்துயரங்களின் கூடுதல் ABC முக்கோணத்தின் குத்துயரத்திற்குச் சமமாக உள்ளதைக் காணலம்.
 |} ]]
 
 ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பு அதன் அடிப்பக்கம், குத்துயரம் இரண்டின் பெருக்குத்தொகையில் பாதி என்ற நிறுவப்பட்ட கூற்றை அடிப்படையாகக் கொண்டு இத்தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.&lt;ref name=&quot;Alsina&quot;&gt;Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: ''Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics''. MAA 2010, {{isbn|9780883853481}}, p.&amp;nbsp;96 ({{Google books|mIT5-BN_L0oC|excerpt (Google)|page=96}}) &lt;/ref&gt;
 
 சமபக்க முக்கோணம் ABC இன் குத்துயரம் ''h''; பக்க நீளம் ''a''.
 
 முக்கோணத்தின் உட்புறமுள்ள ஏதாவது ஒரு புள்ளி; அப்புள்ளியிலிருந்து முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்கள்: ''u, s, t''.  P உடன் A, B, C ஆகிய மூன்று முக்கோணத்தின் உச்சிகளையும் இணைத்து வரையப்படும் கோடுகளால் PAB, PBC, PCA என்ற மூன்று முக்கோணங்கள் கிடைக்கின்றன.
 
 இம்மூன்று முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகள்:
 :PAB முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: &lt;math&gt;\frac{u \cdot a}{2}&lt;/math&gt;
 :PBC முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: &lt;math&gt;\frac{s \cdot a}{2}&lt;/math&gt;
 :PCA முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: &lt;math&gt;\frac{t \cdot a}{2}&lt;/math&gt;.  
 
 இம்மூன்று முக்கோணங்களும் சேர்ந்து ABC முக்கோணத்தை நிரப்புவதால் இவற்றின் பரப்பளவுகள் கூட்டுத்தொகை ABC முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமமாக இருக்கும். எனவே,
 
 :&lt;math&gt;\frac{u \cdot a}{2} + \frac{s \cdot a}{2} + \frac{t \cdot a}{2} = \frac{h \cdot a}{2}&lt;/math&gt;
 
 மேலுள்ள கூற்றைச் சுருக்கக் கிடைப்பது:
 :&lt;math&gt;u + s + t = h&lt;/math&gt;
 
 தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.
 
 == தேற்றத்தின் மறுதலை ==
 தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும்.
 
 மறுதலைக் கூற்று:
 ஒரு முக்கோணத்தின் உட்பக்கப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அம் முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு வரையப்படும் தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையானது, அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சாராததாக இருந்தால் அம்முக்கோணம் ஒரு சமபக்க முக்கோணமாகும்.&lt;ref name=Chen&gt;{{cite journal|last1=Chen|first1=Zhibo|last2=Liang|first2=Tian|title=The converse of Viviani's theorem|url=https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2006-11_37_5/page/390|journal=The College Mathematics Journal|volume=37|issue=5|pages=390–391|year=2006|doi=10.2307/27646392|jstor=27646392}}&lt;/ref&gt;
 
 == நீட்டிப்புகள் ==
 
 === இணைகரம் ===
 இத்தேற்றத்தின் கூற்றை ஒரு இணைகரத்திற்குப் பின்வருமாறு நீட்டிக்கலாம்.
 
 ஒரு [[இணைகரம்|இணைகரத்தின்]] உட்புறப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அதன் நான்கு பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்களின் கூடுதலானது அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சார்ந்திருக்காது. 
 
 மறுதலையாக,
 
 ஒரு [[நாற்கரம்|நாற்கரத்தின்]] உட்புறப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அதன் நான்கு பக்கங்களுள்ள தூரங்களின் கூடுதலானது அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சார்ந்திருக்கவில்லை என்றால் அந்த நாற்கரம் ஒரு இணைகரமாக இருக்கும்.&lt;ref name=Chen/&gt;
 
 === ஒழுங்கு பல்கோணம் ===
 ஒரு [[ஒழுங்கு பல்கோணி|ஒழுங்கு பல்கோணத்தின்]] உட்புறப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அதன் பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்களின் கூட்டுத்தொகையானது, அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சார்ந்திருக்காது. மேலும் அக்கூட்டுத்தொகையானது [[பல்கோணப் பக்கநடுக்கோடு|பல்கோணப் பக்கநடுக்கோட்டின்]] நீளத்தின் ''n'' மடங்காக இருக்கும் (''n'' - பல்கோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை).&lt;ref name=Chen/&gt;&lt;ref&gt;{{cite book|last=Pickover|first=Clifford A.|title=The Math Book|publisher=Stirling|year=2009|page=150|isbn=978-1402788291}}&lt;/ref&gt; ஆனால் இக்கூற்றின் மறுதலை உண்மையாகாது.&lt;ref name=Chen/&gt;
 
 === சமகோணப் பல்கோணம் ===
 ஒரு சமகோணப் பல்கோணத்தின் உட்புறப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அதன் பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்களின் கூடுதல் அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சார்ந்திருக்காது.&lt;ref name=&quot;ref1&quot; /&gt;
 
 === ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம் ===
 [[ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மம்|ஒழுங்கு பன்முகத்திண்மத்தின்]] உட்புறப் புள்ளி ஒன்றிலிருந்து அதன் பக்கங்களுக்குள்ள தூரங்களின் கூடுதலானது அப்புள்ளியின் அமைவிடத்தைச் சார்ந்திருக்காது. ஆனால் இக்கூற்றின் மறுதலை  உண்மையில்லை ([[நான்முக முக்கோணகம்|நான்முகிக்கும் கூட]]).&lt;ref name=Chen/&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 
 == மேலும் வாசிக்க ==
 * {{cite journal|first1=Shay | last1=Gueron |first2=Ran |last2=Tessler| title=The Fermat-Steiner problem|url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2002-05_109_5/page/443 | journal=Amer. Math. Monthly | year=2002 | volume=109 | number=5 | pages=443–451 | doi=10.2307/2695644| jstor=2695644 }}
 * {{cite journal|first1=Hans|last1=Samelson|title=Proof without words: Viviani's theorem with vectors|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_2003-06_76_3/page/225|year=2003 | journal=Math. Mag.| doi=10.2307/3219327| volume=76|pages=225|number=3|jstor=3219327}}
 * {{cite journal|first1=Zhibo|last1=Chen|first2=Tian|last2=Liang| title=The converse of Viviani's theorem|url=https://archive.org/details/sim_college-mathematics-journal_2006-11_37_5/page/390|journal=The College Mathematics Journal| year=2006|volume=37|number=5|pages=390–391}}
 * {{cite journal|first1=Ken-Ichiroh | last1=Kawasaki | first2=Yoshihiro |last2=Yagi | first3=Katsuya |last3=Yanagawa | title=On Viviani's theorem in three dimensions|url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_2005-07_89_515/page/283 | journal=Math. Gaz. | year=2005|volume=89 | number=515 | pages=283–287 | jstor=3621243 }}
 * {{cite journal|first1=Li | last1=Zhou|title=Viviani polytopes and Fermat Points| journal=Coll. Math. J. | year=2012 | volume=43|number=4|pages=309–312 | doi=10.4169/college.math.j.43.4.309|arxiv=1008.1236| citeseerx=10.1.1.740.7670}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * {{MathWorld|title=Viviani's Theorem|urlname=VivianisTheorem}}
 *[https://arxiv.org/abs/1008.1236 Li Zhou, Viviani Polytopes and Fermat Points]
 * {{cite web| url=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Viviani.shtml|title= Viviani's Theorem: What is it?}} at [[Cut the knot]].
 *{{cite web|first1=Jay |last1=Warendorff|url=http://demonstrations.wolfram.com/VivianisTheorem/|title=Viviani's Theorem}} the [[Wolfram Demonstrations Project]].
 * {{cite web|url=http://dynamicmathematicslearning.com/clough.html|title= A variation of Viviani's theorem &amp; some generalizations}} at [http://dynamicmathematicslearning.com/JavaGSPLinks.htm Dynamic Geometry Sketches], an interactive dynamic geometry sketch.
 * {{cite arxiv|first1=Elias | last1=Abboud |title=Loci of points inspired by Viviani's theorem | eprint=1701.07339|year=2017| class=math.HO }}
 * {{cite arxiv|first1=Addie |last1=Armstrong | first2=Dan | last2=McQuillan | title=Specialization, generalization, and a new proof of Viviani's theorem|eprint=1701.01344|year=2017|class=math.HO }}