தொகையீடு
[[படிமம்:Integral example.svg|thumb|right|தொகையீடு]]
 '''தொகையீடு''' (''Integration'') என்பது [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] முக்கியமான கோட்பாடாகும்;  [[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] தொகையீடும், [[வகையிடுதல்|வகையிடுதலும்]] இரண்டு மிக முக்கியமான செயலிகள் ஆகும். ஒரு நேர்க்கோட்டில் உள்ள இரு புள்ளிகள் [a,b] இடையில் x என்ற [[மெய்யெண்|மெய்]] [[மாறி]]யால் மாறுவதாக [[சார்பு]] '''f''' கொடுக்கப்பட, அதன் '''வரையறுத்த தொகையீடானது''' கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.
 
 : &lt;math&gt;\int_a^b \! f(x)\,dx \,&lt;/math&gt;
 
 இது f சார்பின் வளைவரை, , x-அச்சு x=a , x=b ஆகிய இரு செங்குத்தான கோடுகளின் உள்ளும் அமைந்த xy தளத்தின் சாராசரி பரப்பு ஆகும். ''x''-அச்சுக்கு மேற்புறம் அமையும் பரப்பானது மொத்தப்பரப்புடன் இணைக்கப்படும், ''x''-அச்சுக்குக் கீழ்ப்புறம் அமையும் பரப்பானது மொத்தப் பரப்பிலிருந்து நீக்கப்படும்.
 
 தொகையீடு என்ற சொல்  ''எதிர் வகையிடல்'' அதாவது எந்த சார்பை வகையிட  கொடுக்கப்பட்ட சார்பு ƒ கிடைக்கிறது என்ற கருத்தையும் குறிக்கும். இவ்வேளையில் இது '''வரையறா தொகையீடு''' எனப்படுகிறது. இதன் குறியீடு:
 
 :&lt;math&gt;F = \int f(x)\,dx.&lt;/math&gt;
 
 17 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் தொகையிடலின் கோட்பாடுகள், [[நியூட்டன்]] மற்றும் [[கோட்பிரீட் லைப்னிட்ஸ்|லைபினிட்சால்]] தனித்தனியாக வகையிடலுடன் தொடர்புள்ள கருத்துருவாக உருவாக்கப்பட்டன:
 
 {{nowrap|[''a'', ''b'']}} என்ற மூடிய இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு [[தொடர்ச்சியான சார்பு|தொடர்ச்சியான மெய்மதிப்புச் சார்பு]] ''f'' மற்றும் ''f'' இன் எதிர்வகையீடு ''F'' தெரிந்திருந்தால், அதே இடைவெளியின் மீதான ''f'' இன் வரையறுத்த தொகையீடு பின்வருமாறு தரப்படுகிறது.
 
 :&lt;math&gt;\int_a^b \! f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,&lt;/math&gt;
 
 மிக நுண்ணிய அகலம் கொண்ட எண்ணற்ற [[செவ்வகம்|செவ்வகங்களின்]] பரப்புகளின் கூடுதலாக வரையறுத்த தொகையீடு கருதப்பட்டது. தெளிவான வரையறையை [[ஜெர்மனி|ஜெர்மானியக்]] [[கணிதவியலாளர்]] ரீமான் அளித்தார். அவரது வரையறை, ஒரு வளைபரப்பை எண்ணற்ற மெல்லிய செவ்வக செங்குத்துப் பட்டைகளாகப் பிரித்து அவற்றின் பரப்புகளின் கூடுதலின் எல்லை மதிப்பாக வரையறுத்த தொகையீட்டைத் தந்தது. 19 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்திலிருந்து தொகையீட்டின் மேம்பட்ட வரையறைகள் தோன்றத் தொடங்கின.
 
 == முந்து கால்குலசு தொகையீட்டின் வரலாறு ==
 உலகின் முதல் ஆவணப்படுத்தப்பட்ட தொகையீட்டு முறைமையை [[கிரேக்கம்|கிரேக்க]] வானியலாளர் இடோக்சசு கி. மு. 370ஆம் ஆண்டில் உருவாக்கினார். ஒரு பொருளை முறையான உருவங்கள் (கனசதுரம் போன்றவை) கொண்ட பல பகுதிகளாக பிரித்து பரப்பளவையும் கொள்ளளவையும் கண்டறிய ஏற்றவாறு உருவாக்கினார். இந்த முறையை இவருக்கு பின் வந்த [[ஆர்க்கிமிடீஸ்|ஆர்க்கிமிடீசு]] கோள வடிவப் பொருட்களுக்கும் ஏற்றவாறு மேம்படுத்தினார். இதே போன்ற முறைகளை [[பண்டைய சீனம்|சீனர்களும்]] கி.பி. மூன்றாம் நூற்றாண்டளவில் உருவாக்கினர். இலியூ கூய் என்பவர் கிரேக்க முறையை சாராமல் வட்டத்தின் பரப்பளவை தொகையீட்டின் மூலம் கண்டறிந்தார். இவருக்கு பின் வந்த சூ சாங்சீயும் அவரது மகனுமான சூ கெங்கும் இதே முறையை இன்னும் மேம்படுத்தி பந்தின் கனாளவை கண்டறியுமாறு மேம்படுத்தினர்.
 
 == மேலும் பார்க்க ==
 * [[சங்கத்தமிழில் வட்டத்தின் சுற்றளவும் பரப்பளவும்]] - [[காக்கை பாடினியார் நச்செள்ளையார்|காக்கைப்பாடினியார்]] பாடிய சங்கப் பாடல்களில் தொகையீட்டு முறைமை இல்லாமலே வட்டத்தின் பரப்பளவை கண்டறியும் முறைமை இருந்துள்ளது.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 * {{Citation | last=Apostol | first=Tom M. | author-link=Tom M. Apostol | title=Calculus, Vol.&amp;nbsp;1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra | year=1967 | edition=2nd | publisher=[[John Wiley &amp; Sons|Wiley]] | isbn=978-0-471-00005-1}}
 * {{Citation | last=Bourbaki| first=Nicolas | author-link=Nicolas Bourbaki | title=Integration I |  year=2004 | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer Verlag]] | isbn=3-540-41129-1}}. In particular chapters III and IV.
 * {{Citation | last=Burton | first=David M. | title=The History of Mathematics: An Introduction | edition=6th | year=2005&lt;!--November 8--&gt; | publisher=[[McGraw-Hill]] | isbn=978-0-07-305189-5 | page=359}}
 * {{Citation | last=Cajori | first=Florian | author-link=Florian Cajori | title=A History Of Mathematical Notations Volume II | year=1929 | publisher=[[Open Court Publishing Company|Open Court Publishing]] | url=http://www.archive.org/details/historyofmathema027671mbp |  isbn=978-0-486-67766-8 | pages=247–252}}
 * {{Citation | last1=Dahlquist | first1=Germund | author1-link=Germund Dahlquist | last2=Björck | first2=Åke | title=Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I | publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]] | location=Philadelphia | year=2008 | url=http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html | chapter=Chapter&amp;nbsp;5: Numerical Integration | accessdate=2012-12-08 | archive-date=2007-06-15 | archive-url=https://web.archive.org/web/20070615185623/http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html | url-status=dead }}
 * {{Citation | last = Folland | first = Gerald B.| title=Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications | edition=1st | publisher=[[John Wiley &amp; Sons]] | year = 1984 | isbn=978-0-471-80958-6 }}
 * {{Citation | last=Fourier | first=Jean Baptiste Joseph | author-link=Joseph Fourier | title=Théorie analytique de la chaleur | year=1822 | publisher=Chez Firmin Didot, père et fils | url=http://books.google.com/books?id=TDQJAAAAIAAJ | page=§231}}&lt;br /
 &gt;Available in translation as {{citation | last=Fourier | first=Joseph | title=The analytical theory of heat | year=1878&lt;!--original 1822--&gt; | publisher=[[கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]] | url=http://www.archive.org/details/analyticaltheory00fourrich |  others=Freeman, Alexander (trans.) | pages=200–201}}
 * {{Citation | editor-last=Heath | editor-first=T. L. | editor-link=T. L. Heath | title = The Works of Archimedes | year = 2002 | publisher = [[Dover Publications|Dover]] | isbn = 978-0-486-42084-4 | url = http://www.archive.org/details/worksofarchimede029517mbp }}&lt;br /&gt;(Originally published by [[கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]], 1897, based on J. L. Heiberg's Greek version.)
 * {{Citation | last=Hildebrandt | first=T. H. | author-link= | title=Integration in abstract spaces | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | volume=59 | number=2 | year=1953 | pages=111–139 | url=http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183517761 | issn=0273-0979}}
 * {{Citation | last1=Kahaner | first1=David | last2=Moler | first2=Cleve | author2-link=Cleve Moler | last3=Nash | first3=Stephen | title=Numerical Methods and Software | year=1989 | publisher=[[Prentice Hall]] | chapter=Chapter&amp;nbsp;5: Numerical Quadrature | isbn=978-0-13-627258-8 }}
 * {{Citation | last1=Katz | first1=Victor J. | title=A History of Mathematics, Brief Version | publisher=[[Addison-Wesley]] | isbn=978-0-321-16193-2 | year=2004}}
 * {{Citation | last=Leibniz | first=Gottfried Wilhelm | author-link=Gottfried Wilhelm Leibniz | title=Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band | editor-last=Gerhardt | editor-first=Karl Immanuel | place=Berlin | publisher=Mayer &amp;amp; Müller | year=1899 | url=http://name.umdl.umich.edu/AAX2762.0001.001}}
 &lt;!--
 * ''Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band. Hrsg. von C. I. Gerhardt. Mit Unterstützung der Königl. Preussischen Akademie der Wissenschaften.''&lt;br /
 &gt;Leibniz, Gottfried Wilhelm, Freiherr von, 1646–1716., Gerhardt, Karl Immanuel, ed. 1816–1899, Berlin: Mayer &amp; Müller, 1899. [http://name.umdl.umich.edu/AAX2762.0001.001]
  --&gt;
 * {{citation|title=Analysis|first1=Elliott|last1=Lieb|authorlink1=Elliott Lieb|first2=Michael|last2=Loss|authorlink2=Michael Loss|year=2001 | isbn = 978-0821827833 | edition = 2 | publisher=AMS Chelsea}}
 * {{Citation | last=Miller | first=Jeff | title=Earliest Uses of Symbols of Calculus | url=http://jeff560.tripod.com/calculus.html | accessdate=2009-11-22}}
 * {{Citation | last1=O’Connor | first1=J. J. | last2=Robertson | first2=E. F. | title=A history of the calculus | year=1996 | url=http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus.html | accessdate=2007-07-09 }}
 * {{Citation | last=Rudin | first=Walter | author-link=Walter Rudin | title=Real and Complex Analysis | year=1987 | edition=International | publisher=[[McGraw-Hill]] | chapter=Chapter&amp;nbsp;1: Abstract Integration | isbn=978-0-07-100276-9}}
 * {{Citation | last=Saks | first=Stanisław | author-link=Stanisław Saks | title=Theory of the integral | url=http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&amp;wyd=10&amp;jez= | edition= English translation by L. C. Young. With two additional notes by Stefan Banach. Second revised | publisher= Dover | place=New York | year=1964 }}
 * {{citation | last1=Shea | first1=Marilyn | title=Biography of Zu Chongzhi | date=May 2007 | url=http://hua.umf.maine.edu/China/astronomy/tianpage/0014ZuChongzhi9296bw.html | publisher=University of Maine | accessdate=9 January 2009 | archive-date=14 ஜூன் 2010 | archive-url=https://web.archive.org/web/20100614000009/http://hua.umf.maine.edu/China/astronomy/tianpage/0014ZuChongzhi9296bw.html | url-status=dead }}
 * {{citation|last=Siegmund-Schultze|first=Reinhard|chapter=Henri Lebesgue|title=Princeton Companion to Mathematics|editors=Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader|year=2008|publisher=Princeton University Press}}.
 * {{Citation | last1=Stoer | first1=Josef | last2=Bulirsch | first2=Roland | year=2002 | title=Introduction to Numerical Analysis | edition=3rd | publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]] | chapter=Chapter&amp;nbsp;3: Topics in Integration | isbn=978-0-387-95452-3 }}.
 * {{Citation | author=W3C | year=2006&lt;!--January--&gt; | title=Arabic mathematical notation&lt;!--W3C Interest Group Note 31--&gt; |  url=http://www.w3.org/TR/arabic-math/}}
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 * {{springer|title=Integral|id=p/i051340}}
 * [http://mathworld.wolfram.com/RiemannSum.html Riemann Sum] by [[Wolfram Research]]
 * [http://www.khanacademy.org/video/introduction-to-definite-integrals?playlist=Calculus Introduction to definite integrals] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110430120810/http://www.khanacademy.org/video/introduction-to-definite-integrals?playlist=Calculus |date=2011-04-30 }} by [[Khan Academy]]
 
 === இணைய நூல்கள் ===
 * Keisler, H. Jerome, [http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals], University of Wisconsin
 * Stroyan, K.D., [http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050911104158/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm |date=2005-09-11 }}, University of Iowa
 * Mauch, Sean, [http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html ''Sean's Applied Math Book''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060415161115/http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html |date=2006-04-15 }}, CIT, an online textbook that includes a complete introduction to calculus
 * Crowell, Benjamin, [http://www.lightandmatter.com/calc/ ''Calculus''], Fullerton College, an online textbook
 * Garrett, Paul, [http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/ Notes on First-Year Calculus]
 * Hussain, Faraz, [http://www.understandingcalculus.com Understanding Calculus], an online textbook
 * Kowalk, W.P., [http://einstein.informatik.uni-oldenburg.de/20910.html ''Integration Theory''], University of Oldenburg. A new concept to an old problem. Online textbook
 * Sloughter, Dan, [http://math.furman.edu/~dcs/book Difference Equations to Differential Equations], an introduction to calculus
 * [http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/integration.html Numerical Methods of Integration] at ''Holistic Numerical Methods Institute''
 * P.S. Wang, [http://www.lcs.mit.edu/publications/specpub.php?id=660 Evaluation of Definite Integrals by Symbolic Manipulation] (1972)&amp;nbsp;— a cookbook of definite integral techniques
 
 {{Kinematics}}
 
 [[பகுப்பு:தொகையீட்டு நுண்கணிதம்]]