வகையீடு (கணிதம்)
[[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] '''வகையீடு''' (''differential'') என்பது [[சார் மாறியும் சாரா மாறியும்|சாரா மாறி]] ''x'' இல் ஏற்படும் மாற்றத்தைப் பொறுத்து சார்பு ''y''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''ƒ''(''x'') இன் மதிப்பு அடையும் மாற்றத்தின் முதன்மைப் பகுதியைக் குறிக்கும்.
 
 வகையீடு ''dy'' இன் வரையறை:
 
 :&lt;math&gt;dy = f'(x)\,dx,&lt;/math&gt;
 
 இங்கு &lt;math&gt;f'(x)&lt;/math&gt; என்பது சார்பு ''ƒ'' இன்  ''x'' ஐப் பொறுத்த [[வகைக்கெழு]],  ''dx'' ஒரு கூடுதல் [[மெய்யெண்]] [[மாறி]]  (அதாவது ''x'' மற்றும் ''dx'' ஆகிய இரு மாறிகளில் அமைந்த சார்பு ''dy'').
 
 ''ƒ'' இன்  ''x'' ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழுவை [[லைப்னிட்சின் குறியீடு|லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்]] எழுத, வகையீடு:
 
 :&lt;math&gt;dy = \frac{dy}{dx}\, dx&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;df(x) = f'(x)\,dx&lt;/math&gt; எனவும் வகையீட்டைக் குறிக்கலாம்.
 
 ==வரலாறு==
 சார்பு ''y''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''ƒ''(''x'') இல் சாரா மாறி ''x'' இல் ஏற்படும் நுண்ணளவு மாற்றம் ''dx'' ஐப் பொறுத்து ''y'' இல் ஏற்படும் நுண்ணளவு மாற்றம் ''dy'' ஆக, வகையீடு [[கோட்பிரீட் லைப்னிட்ஸ்|லைப்னிட்சால்]] முதன்முதலாக  அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. அதன் மூலம் ''x'' ஐப் பொறுத்த ''y'' இன் கணநேர மாறுவீதம், அதாவது வகைக்கெழு பின்வருமாறு தரப்பட்டது:
 
 : &lt;math&gt; \frac{dy}{dx} &lt;/math&gt; இதுவே வகைக்கெழுவிற்கான லைப்னிட்சின் குறியீடாகும்.
 
 இதில் ''dy'' மற்றும் ''dx'' இரண்டும் அளவில் நுண்ணியளவானவையாக இருந்தாலும் ''dy''/''dx'' இன் மதிப்பு நுண்ணளவினதாக இல்லாமல் ஒரு மெய்யெண்ணாக இருக்கும்.
 
 லைப்னிட்சின் இந்த நுண்ணளவுகளின் பயன்பாடு பரவலாக விமர்சனத்துக்கு உள்ளானது. லைப்னிட்சின் நுண்ணளவுகள் இல்லாமல்  வகையீட்டை வரையறுத்தவர் [[பிரெஞ்சு]]க் [[கணிதவியலாளர்]] ''அகஸ்டின் லூயிஸ் கோஷி''.&lt;ref&gt;For a detailed historical account of the differential, see {{harvnb|Boyer|1959}}, especially page 275 for Cauchy's contribution on the subject.  An abbreviated account appears in {{harvnb|Kline|1972|loc=Chapter 40}}.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Cauchy explicitly denied the possibility of actual infinitesimal and infinite quantities {{harv|Boyer|1959|pp=273–275}}, and took the radically different point of view that &quot;a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero&quot; ({{harvnb|Cauchy|1823|p=12}};  translation from {{harvnb|Boyer|1959|p=273}}).&lt;/ref&gt; வேறுபாட்டு ஈவுகளின் எல்லையாக வகைக்கெழு வரையறுக்கப்பட்டு, அதிலிருந்து வகையீடு வரையறுக்கப்பட்டது.
 
 :&lt;math&gt;dy = f'(x)\,dx&lt;/math&gt;
 
 இவ்வரையறையில் ''dy'' மற்றும் ''dx''  முடிவுறு மெய்யெண் மதிப்புகளை எடுக்கும் இரண்டு புது மாறிகள்&lt;ref&gt;{{harvnb|Boyer|1959|p=275}}&lt;/ref&gt; லைப்னிட்சால் கூறப்பட்டது போல இவை இரண்டும் நுண்ணளவானவை அல்ல.&lt;ref&gt;{{harvnb|Boyer|1959|p=12}}: &quot;The differentials as thus defined are only new ''variables'', and not fixed infinitesimals...&quot;&lt;/ref&gt; எல்லைகள் குறித்த தற்காலத்திய கருத்துரு கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராசினுடையதாக (Karl Weierstrass) இருப்பினும் வகையீடு குறித்த கோஷியின் கருத்து தற்கால பகுவியல் முறைமைகளில் தரமானதாகக் கருதப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{harvnb|Courant|1937i|loc=II, §9}}: &quot;Here we remark merely in passing that it is possible to use this approximate representation of the increment &amp;Delta;''y'' by the linear expression ''h&amp;fnof;''(''x'') to construct a logically satisfactory definition of a &quot;differential&quot;, as was done by Cauchy in particular.&quot;&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{harvnb|Boyer|1959|p=284}}&lt;/ref&gt;
 
 ==வரையறை==
 [[File:Sentido geometrico del diferencial de una funcion.png|thumb|&amp;nbsp;''x''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; புள்ளியில் சார்பு ''&amp;fnof;''(''x'') இன் வகையீடு.]]
 வகை நுண்கணிதத்தின் நவீன முறைகளில் வகையீடு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:&lt;ref&gt;See, for instance, the influential treatises of {{harvnb|Courant|1937i}}, {{harvnb|Kline|1977}}, {{harvnb|Goursat|1904}}, and {{harvnb|Hardy|1905}}.  Tertiary sources for this definition include also {{harvnb|Tolstov|2001}} and {{harvnb|Ito|1993|loc=§106}}.&lt;/ref&gt;
 
 ''x'' எனும் ஒருமாறியில் அமைந்த சார்பு  ''ƒ''(''x'') இன் வகையீடு ''df'' , ''x'' , ''Δx'' ஆகிய இரு சாரா மெய்யெண் மாறிகளில் அமைந்த ஒரு சார்பு.
 
 :&lt;math&gt;df(x, \Delta x) \stackrel{\rm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x.&lt;/math&gt;
 
 ''df''(''x'') அல்லது ''df'' என மாறிகளை விட்டுவிட்டும் எழுதலாம்.  ''y''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''ƒ''(''x'') எனில் வகையீட்டை ''dy'' எனவும் எழுதலாம்.
 
 ''dx''(''x'',&amp;nbsp;Δ''x'')&amp;nbsp;=&amp;nbsp;Δ''x'' என்பதால் ''dx''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;Δ''x'' ஆகும். எனவே,
 
 :&lt;math&gt;df(x) = f'(x) \, dx&lt;/math&gt;
 
 ==பல மாறிச் சார்புகளின் வகையீடுகள்==
 
 : &lt;math&gt; y = f(x_1,\dots,x_n), \, &lt;/math&gt;
 
 &amp;nbsp;''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; மாறியைப் பொறுத்த ''y'' இன் பகுதி வகையீடு, &amp;nbsp;''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; இல் ஏற்படும் மாறுதல் &amp;nbsp;''dx''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ஆல்  ''y'' இல் ஏற்படும் மாறுதலின் முதன்மைப் பகுதியாகும்.
 
 &amp;nbsp;''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; ஐப் பொறுத்த ''y'' இன் '''பகுதி வகையீடு''':
 
 : &lt;math&gt; \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 &lt;/math&gt;
 
 அனைத்து சாரா மாறிகளைப் பொறுத்த பகுதி வகையீடுகளின் கூடுதல் '''முழு வகையீடு''' ஆகும்:
 
 : &lt;math&gt; dy = \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n, &lt;/math&gt;
 
 ==உயர்வரிசை வகையீடுகள்==
 ஒருமாறியில் அமைந்த சார்பு ''y''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''ƒ''(''x'') இன் உயர்வரிசை வகையீடுகள்:&lt;ref&gt;{{harvnb|Cauchy|1823}}. See also, for instance,  {{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §14}}.&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;d^2y = d(dy) = d(f'(x)dx) = f''(x)\,(dx)^2,&lt;/math&gt;
 
 பொதுவாக,
 :&lt;math&gt;d^ny = f^{(n)}(x)\,(dx)^n.&lt;/math&gt;
 
 ==பண்புகள்==
 வகைக்கெழு, பகுதி வகைக்கெழு, முழு வகைக்கெழு ஆகியவற்றின் பண்புகளிலிருந்து வகையீட்டின் ஒத்த பண்புகளை நேரிடையாகப் பெறலாம். அப்பண்புகள்:&lt;ref&gt;{{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §17}}&lt;/ref&gt;
 
 * நேரியல்பு:
 
 ''a'' , ''b'' இரு [[மாறிலி (கணிதம்)|மாறிலி]]கள்; ''ƒ'' , ''g'' இரு [[வகையிடத்தக்க சார்பு]]கள் எனில்,
 
 ::&lt;math&gt;d(af+bg) = a\,df + b\,dg.&lt;/math&gt;
 
 * பெருக்கல் விதி:
 
 ''ƒ'' , ''g'' இரு [[வகையிடத்தக்க சார்பு]]கள் எனில்,
 
 ::&lt;math&gt;d(fg) = f\,dg+g\,df.&lt;/math&gt;
 
 *அடுக்கு விதி:
 ::&lt;math&gt; d( f^n ) = n f^{n-1} df &lt;/math&gt;
 
 *சங்கிலி விதி:&lt;ref&gt;{{harvnb|Goursat|1904|loc=I, §§14,16}}&lt;/ref&gt;
 **  ''y''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''ƒ''(''u'') மற்றும் ''u''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''g''(''x'') வகையிடத்தக்கவை எனில்,
 
 ::&lt;math&gt;dy = f'(u)\,du = f'(g(x))g'(x)\,dx.&lt;/math&gt;
 
 ** If ''y''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''ƒ''(''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;...,&amp;nbsp;''x''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;), மாறிகள் &amp;nbsp;''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;...,&amp;nbsp;''x''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; அனைத்தும் மற்றொரு மாறி &amp;nbsp;''t'' ஐச் சார்ந்திருந்தால்,
 
 :: &lt;math&gt;\begin{align}
 dy &amp;= \frac{dy}{dt}dt \\
 &amp;= \frac{\partial y}{\partial x_1} dx_1 + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} dx_n\\
 &amp;= \frac{\partial y}{\partial x_1} \frac{dx_1}{dt}\,dt + \cdots + \frac{\partial y}{\partial x_n} \frac{dx_n}{dt}\,dt.
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 ==குறிப்புகள்==
 &lt;references/&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 *{{Citation | last1=Boyer | first1=Carl B. | author1-link=Carl Benjamin Boyer | title=The history of the calculus and its conceptual development | publisher=Dover Publications | location=New York | mr=0124178  | year=1959}}.
 *{{citation|first=Augustin-Louis|last=Cauchy|authorlink=Augustin-Louis Cauchy|chapter=&lt;!--Quatrième leçon: Différentialles des fonctions d'une seule variable--&gt;|title=Résumé des Leçons données à l'Ecole royale polytechnique sur les applications du calcul infinitésimal|year=1823|url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0|accessdate=2012-10-27|archive-date=2009-05-04|archive-url=https://www.webcitation.org/5gVUmywgY?url=http://math-doc.ujf-grenoble.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_CAUCHY_2_4_9_0|url-status=dead}}.
 *{{Citation | last1=Courant | first1=Richard |authorlink=Richard Courant | title=Differential and integral calculus. Vol. I | publisher=[[யோன் வில்லி அன் சன்ஸ்]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-60842-4 | mr=1009558  | year=1937i|publication-date=1988}}.
 *{{Citation | last1=Courant | first1=Richard | authorlink=Richard Courant |title=Differential and integral calculus. Vol. II | publisher=[[யோன் வில்லி அன் சன்ஸ்]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-60840-0 | mr=1009559  | year=1937ii|publication-date=1988}}.
 *{{Citation | last1=Courant | first1=Richard | authorlink1=Richard Courant| last2=John | first2=Fritz |authorlink2=Fritz John| title=Introduction to Calculus and Analysis Volume 1|series=Classics in Mathematics| publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=3-540-65058-X | year=1999 | mr=1746554  }}
 * {{Citation| author1-link=David Eisenbud|first1=David|last1=Eisenbud|author2-link=Joe Harris (mathematician)|first2=Joe|last2=Harris| year = 1998 |title = The Geometry of Schemes| publisher = Springer-Verlag| isbn = 0-387-98637-5}}.
 *{{Citation | last1=Fréchet | first1=Maurice | author1-link= Maurice Fréchet | title=La notion de différentielle dans l'analyse générale | mr=1509268  | year=1925 | journal=Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série | issn=0012-9593 | volume=42 | pages=293–323}}.
 *{{Citation | last1=Goursat | first1=Édouard | authorlink=Édouard Goursat|title=A course in mathematical analysis: Vol 1: Derivatives and differentials, definite integrals, expansion in series, applications to geometry| publisher=[[Dover Publications]] | location=New York | others= E. R. Hedrick | mr=0106155  | year=1904 | publication-date=1959|url=http://www.archive.org/details/coursemathanalys01gourrich}}.
 *{{citation|last=Hadamard|first=Jacques|authorlink=Jacques Hadamard|title=La notion de différentiel dans l'enseignement|journal=Mathematical Gazette|volume=XIX|year=1935|issue=236|pages=341–342|jstor=3606323}}.
 *{{Citation | last1=Hardy | first1=Godfrey Harold | author1-link=G. H. Hardy | title=A Course of Pure Mathematics | publisher=[[கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]] | isbn=978-0-521-09227-2 | year=1908}}.
 *{{Citation | last1=Hille | first1=Einar | authorlink1=Einar Hille | last2=Phillips | first2=Ralph S. | authorlink2=Ralph Phillips (mathematician) | title=Functional analysis and semi-groups | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | mr=0423094  | year=1974}}.
 *{{Citation | last1=Ito | first1=Kiyosi | title=Encyclopedic Dictionary of Mathematics | publisher=[[MIT Press]] | edition=2nd | isbn=978-0-262-59020-4 | year=1993}}.
 *{{citation|chapter=Chapter 13: Differentials and the law of the mean|title=Calculus: An intuitive and physical approach|first=Morris|last=Kline|authorlink=Morris Kline|publisher=John Wiley and Sons|year=1977}}.
 *{{Citation | last1=Kline | first1=Morris | author1-link=Morris Kline | title=Mathematical thought from ancient to modern times | year=1972 | publisher=[[ஒக்ஸ்போர்ட் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]] | edition=3rd | isbn=978-0-19-506136-9 | publication-date=1990}}
 * {{Citation |author-link=Howard Jerome Keisler|first=H. Jerome|last=Keisler|title=[[Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach]]|edition=2nd|year=1986|url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html}}.
 * {{Citation | first=Anders|last= Kock|url=http://home.imf.au.dk/kock/sdg99.pdf|title= Synthetic Differential Geometry|publisher= Cambridge University Press|edition= 2nd|year=2006}}.
 * {{Citation | last1=Moerdijk|first1= I.|authorlink1=Ieke Moerdijk|last2=Reyes|first2=G.E.|title=Models for Smooth Infinitesimal Analysis|publisher= Springer-Verlag|year= 1991}}.
 * {{Citation | last1=Robinson | first1=Abraham | author1-link=Abraham Robinson | title=Non-standard analysis | publisher=[[Princeton University Press]] | isbn=978-0-691-04490-3 | year=1996}}.
 *{{springer|id=D/d031810|title=Differential|first=G.P.|last=Tolstov}}.
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *[http://demonstrations.wolfram.com/DifferentialOfAFunction/ ஒரு சார்பின் வகையீடு] at Wolfram Demonstrations Project