சமனிலி (கணிதம்)
[[File:Linear Programming Feasible Region.svg|frame|நேரியல் செயற்திட்டமிடலின் வாய்ப்பெளிமை மண்டலம், சமனிலிகளின் தொகுப்பொன்றால் வரையறுக்கப்படுகிறது]]
 
 கணிதத்தில் '''சமனிலி''' (''inequality'') என்பது வெவ்வேறான இரு அளவுகளுக்கு இடையேயான உறவாகும்.
 
 ''a'' என்பது ''b'' க்குச் சமமானதாக இல்லை என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு:
 :&lt;math&gt; a \not = b &lt;/math&gt;
 
 ''a'' என்பது ''b'' க்குச் சமமானதாக இல்லை என்பதை மட்டுமே, இக்குறியீடு காட்டுகிறது. இரண்டு மதிப்புகளில் எது பெரியது, எது சிறியது அல்லது அவை ஒப்பிடக் கூடியவையா போன்ற விவரங்களைத் தருவதில்லை.
 
 எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட மதிப்புகள் [[முழு எண்]]கள் அல்லது [[மெய்யெண்]]கள் போன்ற [[வரிசைப்படுத்தப்பட்ட கணம்|வரிசைப்படுத்தப்பட்ட கணத்தின்]] உறுப்புகளாக இருந்தால், அவற்றின் அளவுகளை ஒப்பிட முடியும்.
 
 * ''a'' , ''b'' ஐ '''விடச் சிறியது''' என்பதன் குறியீடு  ''a'' &lt; ''b'' .
 * ''a'' , ''b'' ஐ '''விடப் பெரியது''' என்பதன் குறியீடு  ''a'' &gt; ''b'' .
 
 இரண்டிலும்  ''a'' , ''b'' க்குச் சமனானது இல்லை.
 
 '''&lt;''', '''&gt;''' இரண்டும் '''கண்டிப்பான சமனிலிகள்''' (''strict inequalities'') எனப்படும்.  ''a'' &lt; ''b'' என்பதை ''a'' , ''b'' ஐ ''விட கண்டிப்பாகச் சிறியது'' என்றும் வாசிக்கலாம்.
 
 கண்டிப்பற்ற சமனிலிகள்:
 *  ''a'' , ''b'' ஐ '''விடச் சிறியது அல்லது சமம்''' என்பதன் குறியீடு ''a'' ≤ ''b'' .  
 *''a'' , ''b'' ஐ '''விடப்பெரியது
  அல்லது சமம்''' என்பதன் குறியீடு ''a'' ≥ ''b'' .
 
 ஒரு மதிப்பை விட மற்றது மிகவும் அதிகமானது அல்லது சிறியது என்பதற்கான சமனிலிகள்:
 * ''a'' , ''b'' ஐ '''விட அதிகளவில் சிறியது''' என்பதன் குறியீடு ''a'' {{Unicode|≪}} ''b''. 
 * ''a'' , ''b'' ஐ '''விட அதிகளவில் பெரியது''' என்பதன் குறியீடு ''a'' {{Unicode|≫}} ''b''.
 
 ==பண்புகள்==
 கீழுள்ள பண்புகளில் கண்டிப்பற்ற சமனிலிகளுக்குப் பதிலாக கண்டிப்பான சமனிலிகளை இட்டாலும் அப்பண்புகள் உண்மையாக இருக்கும்.
 
 ===கடப்பு===
 * ''a'', ''b'', ''c'' எவையேனும் மூன்று [[மெய்யெண்]]கள் எனில்:
 **  ''a'' ≥ ''b'' மற்றும் ''b'' ≥ ''c'' எனில்,  ''a'' ≥ ''c''.
 **  ''a'' ≤ ''b'' மற்றும் ''b'' ≤ ''c'' எனில்,  ''a'' ≤ ''c''.
 **  ''a'' ≥ ''b''  மற்றும்  ''b'' &gt; ''c'' எனில்,   ''a'' &gt; ''c''
 **  ''a'' = ''b'' மற்றும் ''b'' &gt; ''c'' எனில்,  ''a'' &gt; ''c''
 
 ===மறுதலை===
 ≤ , ≥ இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று [[நேர்மாறு உறவு|மறுதலை உறவுகள்]]
 *  ''a'' , ''b'' இரண்டும் ஏதேனும் இரு மெய்யெண்கள் எனில்:
 ** ''a'' ≤ ''b'' எனில், ''b'' ≥ ''a''.
 ** ''a'' ≥ ''b'' எனில், ''b'' ≤ ''a''.
 
 ===கூட்டலும் கழித்தலும்===
 [[File:Translation invariance of less-than-relation.svg|thumb|300px| ''x'' &lt; ''y'' எனில், ''x'' + ''a'' &lt; ''y'' + ''a''.]]
 ஒரு சமனிலியின் இருபுறமும், ஒரு பொது மாறிலி ''c'' ஐக் கூட்டலாம் அல்லது கழிக்கலாம். அதனால் சமனிலியில் எந்தவொரு மாற்றமும் இராது.
 
 * ''a'', ''b'', ''c'' மூன்று மெய்யெண்கள்:
 ** ''a'' ≤ ''b'', எனில் ''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c'' மற்றும் ''a'' − ''c'' ≤ ''b'' − ''c''.
 ** ''a'' ≥ ''b'' எனில், ''a'' + ''c'' ≥ ''b'' + ''c'' மற்றும் ''a'' − ''c'' ≥ ''b'' − ''c''.
 
 அதாவது கூட்டலின் கீழ் மெய்யெண்களின் கணம் ஒரு [[வரிசைப்படுத்தப்பட்ட குலம்|வரிசைப்படுத்தப்பட்ட குலமாகும்]].
 
 ===பெருக்கலும் வகுத்தலும்===
 [[File:Invariance of less-than-relation by multiplication with positive number.svg|thumb|''x'' &lt; ''y'' மற்றும் ''a'' &gt; 0 எனில், ''ax'' &lt; ''ay''.]]
 [[File:Inversion of less-than-relation by multiplication with negative number.svg|thumb|''x'' &lt; ''y'' மற்றும் ''a'' &lt; 0 எனில், ''ax'' &gt; ''ay''.]]
 
 ''a'', ''b'' , ''c'' ≠ 0 என்பவை மூன்று மெய்யெண்கள்.
 
 *  ''c'' &gt; 0 எனில் அதனைக் கொண்டு, ஒரு சமனிலியின் இருபுறமும் பெருக்குவதாலோ அல்லது வகுப்பதாலோ சமனிலியின் தன்மை மாறாது:
 ::  ''a'' ≥ ''b'' , ''c'' &gt; 0 எனில், ''ac'' ≥ ''bc'' மற்றும் ''a/c'' ≥ ''b/c''.
 ::  ''a'' ≤ ''b'' , ''c'' &gt; 0 எனில், ''ac'' ≤ ''bc'' மற்றும் ''a/c'' ≤ ''b/c''.
 
 * ''c'' &lt; 0 எனில் அதனைக் கொண்டு, ஒரு சமனிலியின் இருபுறமும் பெருக்குவதால் அல்லது வகுப்பதால் சமனிலியின் தன்மை நேர்மாறாக மாறும்:
 ::  ''a'' ≥ ''b'' , ''c'' &lt; 0 எனில், ''ac'' ≤ ''bc'' மற்றும் ''a/c'' ≤ ''b/c''.
 ::  ''a'' ≤ ''b'' , ''c'' &lt; 0 எனில், ''ac'' ≥ ''bc'' மற்றும் ''a/c'' ≥ ''b/c''.
 
 ===கூட்டல் நேர்மாறு===
 [[கூட்டல் நேர்மாறு|கூட்டல் நேர்மாறின்]] பண்புகளின்படி:
 
 ''a'' , ''b'' இரு மெய்யெண்கள். சமனிலியின் இருபுறமும் எதிர்க் குறியிடல் சமனிலியை நேர்மாற்றும்:
 :: ''a'' ≤ ''b'' எனில், −''a'' ≥ −''b''.
 :: ''a'' ≥ ''b'' எனில், −''a'' ≤ −''b''.
 
 ===பெருக்கல் நேர்மாறு===
 [[பெருக்கல் நேர்மாறு|பெருக்கல் நேர்மாறின்]] பண்புகளின்படி:
 
 *இரண்டும் நேர் எண்கள் அல்லது இரண்டும் எதிர் எண்களாக அமையும் இரு மெய்யெண்கள் ''a'' , ''b'' எனில்:
 :: ''a'' ≤ ''b'' எனில், 1/''a'' ≥ 1/''b''.
 :: ''a'' ≥ ''b'' எனில், 1/''a'' ≤ 1/''b''.
 
 * ஒன்று நேர் எண், மற்றது எதிர் எண் என அமையும் இரு மெய்யெண்கள் ''a'' , ''b'' எனில்:
 :: ''a'' &lt; ''b'' எனில், 1/''a'' &lt; 1/''b''.
 :: ''a'' &gt; ''b'' எனில், 1/''a'' &gt; 1/''b''.
 
 இவற்றைக் கீழுள்ளவாறு தொடர் குறியீட்டில் எழுதலாம்:
 * பூச்சியமற்ற இரு மெய்யெண்கள் ''a'' , ''b'' :
 :: 0 &lt; ''a'' ≤ ''b'' எனில், 1/''a'' ≥ 1/''b'' &gt; 0.
 :: ''a'' ≤ ''b'' &lt; 0 எனில், 0 &gt; 1/''a'' ≥ 1/''b''.
 :: ''a'' &lt; 0 &lt; ''b'' எனில், 1/''a'' &lt; 0 &lt; 1/''b''.
 :: 0 &gt; ''a'' ≥ ''b'' எனில், 1/''a'' ≤ 1/''b'' &lt; 0.
 :: ''a'' ≥ ''b'' &gt; 0 எனில், 0 &lt; 1/''a'' ≤ 1/''b''.
 :: ''a'' &gt; 0 &gt; ''b'' எனில், 1/''a'' &gt; 0 &gt; 1/''b''.
 
 ===இருபுறத்திலும் சார்பைப் பயன்படுத்தல்===
 [[File:Log.svg|right|thumb|''y'' = ln ''x'' இன் வரைபடம்]]
 [[ஓரியல்புச் சார்பு|ஓரியல்பாக]]க் கூடும் சார்பொன்றை, அச்சார்பின் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களத்திலமைந்த]] ஒரு சமனிலியின் இருபுறமும் செயற்படுத்தும்போது, சமனிலியின் நிலையில் மாற்றம் இருக்காது.
 
 [[ஓரியல்புச் சார்பு|ஓரியல்பாக]]க் குறையும் சார்பொன்றை, அச்சார்பின் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களத்திலமைந்த]] ஒரு சமனிலியின் இருபுறமும் செயற்படுத்தும்போது, சமனிலியின் நிலை நேர்மாறாக மாறும்.  நேர் எண்களின் கூட்டல் நேர்மாறு, பெருக்கல் நேர்மாறுகளுக்கான விதிகள், ஓரியல்பாகக் குறையும் சார்பைச் சமனிலியின் இருபுறமும் செயற்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.
 
 சமனிலி கண்டிப்பானதாகவும் (''a'' &lt; ''b'', ''a'' &gt; ''b''), சார்பு கண்டிப்பாக கூடும் சார்பாகவும் இருந்தால், விளைவும் கண்டிப்பான சமனிலியாக இருக்கும். ஏதேனும் ஒன்று மட்டுமே இருக்குமானால் விளைவு, கண்டிப்பற்ற சமனிலியாக அமையும்.
 
 எடுத்துக்காட்டுகள்: 
 *நேர் எண்ணால் அடுக்கேற்றம்
 
 ''n &gt; 0'' ; ''a'' , ''b'' நேர் மெய்யெண்கள் எனில்:
 ::''a'' ≤ ''b'' ⇔ ''a''&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt; ≤ ''b''&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;.
 ::''a'' ≤ ''b'' ⇔ ''a''&lt;sup&gt;-n&lt;/sup&gt; ≥ ''b''&lt;sup&gt;-n&lt;/sup&gt;.
 
 * [[இயல் மடக்கை]] காணல்
 
 ''a'' , ''b'' நேர் மெய்யெண்கள் எனில்:
 ::''a'' ≤ ''b'' ⇔ ln(''a'') ≤ ln(''b'').
 ::''a'' &lt; ''b'' ⇔ ln(''a'') &lt; ln(''b'').
 :(இயல் மடக்கை ஒரு ஓரியல்பாகக் கூடும் சார்பு)
 
 ==வரிசைப்படுத்தப்பட்ட களங்கள்==
 (''F'', +, &amp;times;) ஒரு [[களம் (கணிதம்)|களம்]]; ''F'' இன் மீதான ஒரு [[முழு வரிசை]] ≤ எனில், கீழுள்ள முடிவுகள் உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, (''F'', +, &amp;times;, ≤) ஒரு [[வரிசைப்படுத்தப்பட்ட களம்|வரிசைப்படுத்தப்பட்ட களமாகும்]]:
 * ''a'' ≤ ''b'' ⇒ ''a'' + ''c'' ≤ ''b'' + ''c'';
 * 0 ≤ ''a'' மற்றும் 0 ≤ ''b'' ⇒ 0 ≤ ''a'' &amp;times; ''b''.
 
 ('''Q''', +, &amp;times;, ≤), ('''R''', +, &amp;times;, ≤) இரண்டும் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட களங்கள் ('''Q''', [[விகிதமுறு எண்]]களின் கணம்; '''R''', [[மெய்யெண்]]களின் கணம்). ('''C''', +, &amp;times;, ≤) ஒரு வரிசைப்படுத்தப்பட்ட களம் அல்ல (''i'' இன் வர்க்கம் &amp;minus;1 என்பதால்)
 
 மெய்யெண்களில் கண்டிப்பற்ற சமனிலிகள் ≤ , ≥ இரண்டும் [[முழு வரிசை]]களாகவும், கண்டிப்பான சமனிலிகள் &lt; , &gt; இரண்டும் [[கண்டிப்பான முழுவரிசை]]களாக இருக்கும்.
 
 ==சராசரிகளுக்கிடையிலான சமனிலிகள்==
 :{| style=&quot;height:200px&quot;
 |-
 |&lt;math&gt;H = \frac{n}{1/a_1 + 1/a_2 + \cdots + 1/a_n}&lt;/math&gt; &amp;emsp; || ([[இசைச் சராசரி]]),
 |-
 |&lt;math&gt;G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} &lt;/math&gt;             || ([[பெருக்கல் சராசரி]]),
 |-
 |&lt;math&gt;A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}&lt;/math&gt;              || ([[கூட்டுச் சராசரி]]),
 |-
 |&lt;math&gt;Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}&lt;/math&gt; || (இருபடிச் சராசரி).
 |} மற்றும் ''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, …, ''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; நேர் எண்கள் எனில் இச்சராசரிகளுக்கு இடையேயுள்ள சமனிலி:
 
 ::&lt;math&gt; H \le G \le A \le Q &lt;/math&gt;
 
 ==அடுக்குச் சமனிலிகள்==
 ''a'' , ''b'' நேர் மெய்யெண்கள் அல்லது கோவைகள் எனில், ''a''&lt;sup&gt;''b''&lt;/sup&gt; வடிவ உறுப்புகள் கொண்ட சமனிலி, அடுக்குச் சமனிலி ஆகும்.
 
 ===எடுத்துக்காட்டுகள்===
 
 * ''x'' ஒரு மெய்யெண் எனில்,
 :: &lt;math&gt;e^x \ge 1+x\,&lt;/math&gt;
 *  ''x'' &gt; 0 எனில்,
 :: &lt;math&gt;x^x \ge \left( \frac{1}{e}\right)^{1/e}\,&lt;/math&gt;
 *  ''x'' ≥ 1 எனில்,
 :: &lt;math&gt;x^{x^x} \ge x\,&lt;/math&gt;
 *  ''x'', ''y'', ''z'' &gt; 0 எனில்,
 :: &lt;math&gt;(x+y)^z + (x+z)^y + (y+z)^x &gt; 2\,&lt;/math&gt;
 * ''a'' , ''b'' வெவ்வேறான இரு மெய்யெண்கள் எனில்,
 :: &lt;math&gt;\frac{e^b-e^a}{b-a} &gt; e^{(a+b)/2}&lt;/math&gt;
 *  ''x'', ''y'' &gt; 0 , 0 &lt; ''p'' &lt; 1 எனில்,
 :: &lt;math&gt;(x+y)^p &lt; x^p+y^p\,&lt;/math&gt;
 *  ''x'', ''y'', ''z'' &gt; 0 எனில்,
 :: &lt;math&gt;x^x y^y z^z \ge (xyz)^{(x+y+z)/3}\,&lt;/math&gt;
 *  ''a'', ''b'' &gt; 0 எனில்,
 :: &lt;math&gt;a^a + b^b \ge a^b + b^a\,&lt;/math&gt;
 *  ''a'', ''b'' &gt; 0 எனில்,
 :: &lt;math&gt;a^{ea} + b^{eb} \ge a^{eb} + b^{ea}\,&lt;/math&gt;
 *  ''a'', ''b'', ''c'' &gt; 0 எனில்,
 :: &lt;math&gt;a^{2a} + b^{2b} + c^{2c} \ge a^{2b} + b^{2c} + c^{2a}\,&lt;/math&gt;
 *  ''a'', ''b'' &gt; 0 எனில்,
 :: &lt;math&gt;a^b + b^a &gt; 1\,&lt;/math&gt;
 ''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;...,&amp;nbsp;''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; &gt; 0 எனில்,
 :: &lt;math&gt;a_1^{a_2}+a_2^{a_3}+\cdots+a_n^{a_1}&gt;1&lt;/math&gt;
 
 ==குறிப்புகள்==  
 {{Reflist}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==  
 *{{cite book | author=Hardy, G., Littlewood J.E., Pólya, G.| title=Inequalities| publisher=Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press | year=1999 | isbn=0-521-05206-8}}
 *{{cite book | author=Beckenbach, E.F., Bellman, R.| title=An Introduction to Inequalities| publisher=Random House Inc | year=1975 | isbn=0-394-01559-2}}
 *{{cite book | author=Drachman, Byron C., Cloud, Michael J.| title=Inequalities: With Applications to Engineering| url=https://archive.org/details/inequalitieswith0000clou| publisher=Springer-Verlag | year=1998 | isbn=0-387-98404-6}}
 *{{cite journal|title=&quot;Quickie&quot; inequalities|author=Murray S. Klamkin|url=http://ua-mirror.pims.math.ca/pi/issue7/page26-29.pdf|format=PDF|work=Math Strategies|journal=|access-date=2015-10-27|archive-date=2012-03-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20120319165334/http://ua-mirror.pims.math.ca/pi/issue7/page26-29.pdf|url-status=dead}}
 *{{cite web|title=Introduction to Inequalities|url=http://www.mediafire.com/?1mw1tkgozzu |author=Arthur Lohwater|year=1982|publisher=Online e-book in PDF format}}
 *{{cite web|title=Mathematical Problem Solving|url=http://www.math.kth.se/math/TOPS/index.html|author=Harold Shapiro|date=2005,1972–1985|publisher=Kungliga Tekniska högskolan|work=The Old Problem Seminar}}
 *{{cite web|title=3rd USAMO|url=http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usa74.html|archiveurl=https://web.archive.org/web/20080203070350/http://www.kalva.demon.co.uk/usa/usa74.html|archivedate=2008-02-03|access-date=2015-10-27|url-status=dead}}
 *{{cite book
  | last = Pachpatte
  | first = B.G.
  | title = Mathematical Inequalities
  | publisher = [[எல்செவியர்]]
  | series = North-Holland Mathematical Library
  | volume = 67
  | edition = first
  | year = 2005
  | location = Amsterdam, The Netherlands
  | isbn = 0-444-51795-2
  | issn = 0924-6509
  | mr = 2147066
  | zbl = 1091.26008}}
 *{{cite book | author=Ehrgott, Matthias| title=Multicriteria Optimization| publisher=Springer-Berlin| year=2005| isbn=3-540-21398-8}}
 *{{cite book | last=Steele | first=J. Michael | authorlink=J. Michael Steele | title=The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities | publisher=Cambridge University Press | year=2004 | isbn=978-0-521-54677-5 | url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 {{commons category|Inequalities (mathematics)}}
 * {{springer|title=Inequality|id=p/i050790}}
 * [http://demonstrations.wolfram.com/GraphOfInequalities/ Graph of Inequalities] by Ed Pegg, Jr., Wolfram Demonstrations Project.
 * [http://www.artofproblemsolving.com/Wiki/index.php/Inequality AoPS Wiki entry about Inequalities]
 
 [[பகுப்பு:அடிப்படை இயற்கணிதம்]]