வில் (வடிவவியல்)
{{சான்றில்லை}}
 [[படிமம்:Circle arc.svg|thumb|300px|ஒரு வட்டக்கோணப்பகுதியின் (பச்சை) வளைந்த வரம்பு ஒரு வட்ட வில் ஆகும். இதன் நீளம் L.]]
 [[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]] '''வில்''' (''arc'') என்பது [[தளம் (வடிவவியல்)|இருபரிமாணத் தளத்திலமைந்த]] ஒரு [[வகையீடு|வகையிடக்கூடிய]] [[வளைவரை|வளைவரையின்]] மூடிய துண்டாகும். எடுத்துக்காட்டாக, ''வட்ட வில்'' என்பது ஒரு [[வட்டம்|வட்டத்தின்]] [[சுற்றளவு|பரிதியின்]] ஒரு துண்டாகும். [[பெரு வட்டம்]] அல்லது பெரு [[நீள்வட்டம்|நீள்வட்டத்தின்]] பகுதியாக அமையும் வில், ''பெரு வில்'' என அழைக்கப்படும்.
 
 == வில்லின் நீளம் ==
 எந்தவொரு வகையிடக்கூடிய சார்பின் வளைவரையின் வில்லின் நீளத்தையும் வரையறுத்த தொகையீட்டின் மூலம் காணலாம்.
 
 சார்பு &lt;math&gt;\ f(x) &lt;/math&gt; மற்றும் அதன் வகைக்கெழுச் சார்பு &lt;math&gt;\ f^{\prime}(x) &lt;/math&gt; இரண்டும் மூடிய [a, b] இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானதாக இருப்பின் x = a முதல் x = b வரையிலான வளைவரையின் வில்லின் நீளம்:
 
 &lt;math&gt; L = \int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx&lt;/math&gt;
 
 சார்பு, &lt;math&gt; x = \phi(t), &lt;/math&gt; &lt;math&gt; y = \psi(t) &lt;/math&gt; துணையலகுச் சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்டிருக்கும் போது, &lt;math&gt; \phi(t), &lt;/math&gt; &lt;math&gt; \psi(t) &lt;/math&gt; இரண்டும் [&lt;math&gt;\alpha,&lt;/math&gt; &lt;math&gt; \beta &lt;/math&gt;] இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானவையாகவும் &lt;math&gt;\phi^{\prime}(t) &lt;/math&gt; பூச்சியமற்றதாகவும் இருப்பின் &lt;math&gt; t =\alpha,&lt;/math&gt; முதல் &lt;math&gt; t = \beta &lt;/math&gt; வரையிலான வில்லின் நீளம்:
 
 &lt;math&gt; L = \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(\phi(t))^2 + (\psi(t))^2}dt&lt;/math&gt;
 
 == வட்டவில் ==
 வட்டவில்லின் நீளத்தை வரையறுத்த தொகையீட்டு வாய்ப்பாட்டினைப் பயன்படுத்திக் காணும் முறையில் மட்டுமில்லாது வடிவவியல் முறையிலும் பின்வருமாறு காணலாம்.
 
 === வட்டவில்லின் நீளம் ===
 &lt;math&gt;r&lt;/math&gt;-அலகு [[ஆரம்|ஆரமுள்ள]] வட்டத்தின் ஒரு வில்லின் [[மையக்கோணம்]] &lt;math&gt;\theta\,\!&lt;/math&gt; ([[ரேடியன்|ரேடியனில்]]) எனில் அவ்வட்ட வில்லின் நீளம்:
 
 :&lt;math&gt;L = \theta r\,\!&lt;/math&gt;.
 
 விளக்கம்:
 
 வட்டத்தின் முழுச் சுற்றளவும் வட்டமையத்தில் தாங்கும் கோணம் &lt;math&gt;2 \pi &lt;/math&gt; ரேடியன்கள் அல்லது 360 [[பாகை (அலகு)|பாகைகள்]]. L அலகு நீளமுள்ள வட்டச்சுற்றளவுப் பகுதி வட்டமையத்தில் தாங்கும் கோணம் &lt;math&gt;\theta\,\!&lt;/math&gt;. எனவே:
 
 :&lt;math&gt;\frac{L}{\mathrm{circumference}}=\frac{\theta}{2\pi}.\,\!&lt;/math&gt;
 
 வட்டத்தின் சுற்றளவைப் பிரதியிட:
 
 :&lt;math&gt;\frac{L}{2\pi r}=\frac{\theta}{2\pi},\,\!&lt;/math&gt;
 
 இதிலிருந்து வட்டவில்லின் நீளம் &lt;math&gt;L&lt;/math&gt;:
 
 :&lt;math&gt;L=\theta r.\,\!&lt;/math&gt;
 
 மையக்கோணம் பாகைகளில் &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; எனில் அதனை ரேடியன்களாக மாற்ற:
 
 :&lt;math&gt;\theta=\frac{\alpha}{180}\pi,\,\!&lt;/math&gt;
 
 எனவே வட்டவில்லின் நீளம்:
 
 :&lt;math&gt;L=\frac{\alpha\pi r}{180}.\,\!&lt;/math&gt;
 
 நடைமுறையில் எளிதாக வட்டவில்லின் நீளம் காணபதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு:
 
 24&quot; சுற்றளவு கொண்ட வட்டத்தின் ஒரு வில்லின் மையக்கோணம் 60 பாகைகள் எனில்:
 
 :60/360 = L/24
 
 :360L=1440
 
 :L = 4&quot;.
 
 === வட்டவில்லின் பரப்பளவு ===
 
 ஒரு வட்டவில்லுக்கும் வட்டமையத்துக்கும் இடைப்பட்ட ([[வட்டக்கோணப்பகுதி]])பரப்பளவு:
 
 :&lt;math&gt;A=\frac{1}{2} r^2 \theta.&lt;/math&gt;
 
 முழுவட்டத்தின் [[பரப்பு]] (&lt;math&gt;\pi r^2&lt;/math&gt;) மற்றும் வட்டவில்லால் அடைபெறும் பரப்பு (A) இவை இரண்டின் விகிதமும் வட்டத்தின் முழுச்சுற்றளவு வட்டமையத்தில் தாங்கும் கோணம் (&lt;math&gt;2\pi.&lt;/math&gt;)
 மற்றும் வட்டவில் வட்டமையத்தில் தாங்கும் கோணம் &lt;math&gt;\theta&lt;/math&gt; இவை இரண்டின் விகிதமும் சமமாக இருக்கும்:
 
 :&lt;math&gt;\frac{A}{\pi r^2}=\frac{\theta}{2\pi}.&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{A}{r^2}=\frac{\theta}{2}.&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;A=\frac{1}{2} r^2 \theta.&lt;/math&gt;
 
 வட்டவில்லின் மையக்கோணம் பாகைகளில் தரப்பட்டிருந்தால் இப்பரப்பு:
 
 :&lt;math&gt;A=\frac{\alpha}{360} \pi r^2.&lt;/math&gt;
 
 === வட்டவில் துண்டின் பரப்பு ===
 வட்டவில் மற்றும் அவ்வில்லின் இருமுனைகளை இணைக்கும் [[கோட்டுத்துண்டு]] இவற்றால் அடைபடும் பரப்பு:
 
 :&lt;math&gt;\frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin{\theta}).&lt;/math&gt;
 
 வட்டவில் மற்றும் வட்டவில்லின் முனைகளிலில் அமையும் இரு ஆரங்களால் அடைபெறும் வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பிலிருந்து வட்டவில்லின் இரு முனைகள் மற்றும் வட்டமையம் ஆகிய மூன்று [[புள்ளி]]களால் ஆன [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தின்]] பரப்பைக் கழித்து மேற்கண்ட பரப்பு கணக்கிடபடுகிறது. இந்த வட்டவில் துண்டானது [[வட்டத்துண்டு]] என அழைக்கப்படும்.
 
 === வட்டவில் ஆரம் ===
 
 எடுத்துக்கொண்ட வட்டவில்லின் அகலம்: &lt;math&gt;W,&lt;/math&gt; உயரம் &lt;math&gt;H&lt;/math&gt; எனில் அந்த வட்டத்தின் ஆரம்:
 
 :&lt;math&gt;r=\frac{W^2}{8H}+\frac{H}{2}&lt;/math&gt;
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 * [http://www.mathopenref.com/arc.html Definition and properties of a circular arc] With interactive animation
 * [http://www.mathopenref.com/tocs/circlestoc.html A collection of pages defining arcs and their properties, with animated applets] Arcs, arc central angle, arc peripheral angle, central angle theorem and others.
 * {{MathWorld | urlname=Arc | title=Arc}}
 * [http://www.mathopenref.com/arcradius.html Radius of an arc or segment] With interactive animation
 
 [[பகுப்பு:வடிவவியல்]]