யூக்ளிடிய தொலைவு
கணிதத்தில் '''யூக்ளிடிய தொலைவு''' அல்லது '''யூக்ளிடிய மெட்ரிக்''' (''Euclidean distance'', ''Euclidean metric'') என்பது இரு [[புள்ளி]]களுக்கிடையே உள்ள சாதாரணத் [[தூரம்|தொலைவு]]  (அளவுகோலால் அளக்கக்கூடிய) ஆகும். இதன் மதிப்பு [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தகோரசு வாய்ப்பாட்டின்]] மூலம் கணிக்கப்படுகிறது. இந்த வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் யூக்ளிய வெளியானது ஒரு மெட்ரிக் வெளி ஆகிறது. இதற்குரிய  [[நெறிமம் (கணிதம்)|நெறிமமானது]], [[நெறிமம் (கணிதம்)#யூக்ளிடிய நெறிமம்|யூக்ளிடிய நெறிமம்]] என அழைக்கப்படுகிறது. பண்டைய இலக்கியங்களில் மெட்ரிக்கானது ”பித்தகோரசு மெட்ரிக்” எனக் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.
 
 ==வரையறை==
 '''p''' , '''q''' ஆகிய இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் [[கோட்டுத்துண்டு|கோட்டுத்துண்டின்]] (&lt;math&gt;\overline{\mathbf{p}\mathbf{q}}&lt;/math&gt;) நீளமே அவற்றுக்கிடையே உள்ள யூக்ளிடிய தொலைவு ஆகும் .
 
 [[கார்ட்டீசிய ஆள்கூற்று முறைமை]]யில், யூக்ளிடிய ''n''-வெளியிலமையும் '''p'''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;(''p''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''p''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,...,&amp;nbsp;''p''&lt;sub&gt;''n'',&lt;/sub&gt;) '''q'''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;(''q''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''q''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,...,&amp;nbsp;''q''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;) ஆகிய இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு d :
 
 {{NumBlk|:|&lt;math&gt;\mathrm{d}(\mathbf{p},\mathbf{q}) = \mathrm{d}(\mathbf{q},\mathbf{p}) = \sqrt{(q_1-p_1)^2 + (q_2-p_2)^2 + \cdots + (q_n-p_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (q_i-p_i)^2}.&lt;/math&gt;|{{EquationRef|1}}}}
 
 யூக்ளிடிய ''n''-வெளியில் ஒரு புள்ளியின் நிலையானது ஒரு யூக்ளிடிய திசையன் ஆகும். எனவே '''p''' , '''q''' இரண்டும் யூக்ளிடிய வெளியின் ஆதியிலிருந்து தொடங்கும் இரு [[யூக்ளிடிய திசையன்]]களின் இறுதி முனைப்புள்ளிகளாக இருக்கும். ஒரு திசையனின் யூக்ளிடிய நெறிமம் (யூக்ளிடிய நீளம், அளவு) என்பது அந்தத் திசையனின் நீளத்தைத் தருகிறது:
 :&lt;math&gt;\|\mathbf{p}\| = \sqrt{p_1^2+p_2^2+\cdots +p_n^2} = \sqrt{\mathbf{p}\cdot\mathbf{p}}&lt;/math&gt;
 
 யூக்ளிடிய வெளியில் திசையிடப்பட்ட கோட்டுத்துண்டால் குறிக்கப்படும் திசையன், குறிப்பிட்ட தொடக்கப்புள்ளி இறுதிப்புள்ளியும் கொண்டது. இதில் தொடக்கப்புள்ளி யூக்ளிடிய வெளியின் [[ஆதி (கணிதம்)|ஆதியாகும்]]. ஒரு திசையனின் நீளமானது அதன் தொடக்கப்புள்ளிக்கும் இறுதிப்புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவு என்பதால், யூக்ளிடிய நெறிமமானது, யூக்ளிடிய தொலைவின் சிறப்புவகையாக, தொடக்கப்புள்ளிக்கும் இறுதிப்புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட யூக்ளிடிய தொலைவாக உள்ளது.
 
 '''p''' , '''q''' இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவுத் திசையன்:
 :&lt;math&gt;\mathbf{q} - \mathbf{p} = (q_1-p_1, q_2-p_2, \cdots, q_n-p_n)&lt;/math&gt;
 
 முப்பரிமாண வெளியில் (''n''=3) இத்திசையன் &lt;math&gt;\overrightarrow{pq} &lt;/math&gt; எனத் தரப்படுகிறது. '''p''' இலிருந்து '''q''' விற்கு செல்லும் இந்த அம்புக்குறிக் குறியீடானது, '''p''' ஐப் பொறுத்த '''q''' இன் நிலையைக் காட்டுகிறது. '''p''' , '''q''' இரண்டும் ஒரே புள்ளியின் தொடர்ந்த இரு வெவ்வேறு நேரங்களின் நிலையைத் தருமானால் &lt;math&gt;\overrightarrow{pq} &lt;/math&gt;, அப்புள்ளியின் இடப்பெயர்ச்சியைக் குறிக்கும் திசையனாகிறது.
 
 '''p''' , '''q''' இரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட யூக்ளிடிய தொலைவானது இந்த இடப்பெயர்ச்சி திசையனின் யூக்ளிடிய நீளமாகும்:
 {{NumBlk|:|&lt;math&gt;\|\mathbf{q} - \mathbf{p}\| = \sqrt{(\mathbf{q}-\mathbf{p})\cdot(\mathbf{q}-\mathbf{p})}.&lt;/math&gt;|{{EquationRef|2}}}} 
 :&lt;math&gt;\|\mathbf{q} - \mathbf{p}\| = \sqrt{\|\mathbf{p}\|^2 + \|\mathbf{q}\|^2 - 2\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}.&lt;/math&gt;
 
 ===ஒரு பரிமாணம்===
 ஒரு பரிமாணத்தில் [[எண் கோடு|மெய்யெண் கோட்டின்]] மீதமையும் இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவானது அவ்விரு புள்ளிகள் குறிக்கின்ற இரு மெய்யெண்களின் வித்தியாசத்தின் [[தனி மதிப்பு]] ஆகும்.
 
 மெய்யெண் கோட்டின் மீதமைந்த இரு புள்ளிகள் ''x'' , ''y'' எனில், இவற்றுக்கிடைப்பட்ட தொலைவு:
 :&lt;math&gt;\sqrt{(x-y)^2} = |x-y|.&lt;/math&gt;
 
 ===இரு பரிமாணம்===
 இரு பரிமாண [[யூக்ளீட் வடிவியல்|யூக்ளிடிய தளத்தில்]], '''p'''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;(''p''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''p''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;),  '''q'''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;(''q''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''q''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) ஆகிய இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு:
 :&lt;math&gt;\mathrm{d}(\mathbf{p},\mathbf{q})=\sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2}.&lt;/math&gt;
 
 இது [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தகோரசு தேற்ற]] முடிவை ஒத்துள்ளது.
 
 '''p''' , '''q''' புள்ளிகளின் [[வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை|போலார் ஆயகூறுகள்]] (''r''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;θ&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;),(''r''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;θ&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) எனில் சமன்பாடு ({{EquationRef|2}}) இன்படி,  அப்புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு:
 :&lt;math&gt;\sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}.&lt;/math&gt;
 
 ===முப்பரிமாணம்===
 முப்பரிமாண யூக்ளிடிய வெளியில் '''p'''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;(''p''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''p''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''p''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;),  '''q'''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;(''q''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''q''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''q''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;) ஆகிய இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு:
 
 :&lt;math&gt;d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+(p_3 - q_3)^2}.&lt;/math&gt;
 
 ===N பரிமாணம்===
 யூக்ளிடிய ''n''-பரிமாண வெளியிலமையும் '''p'''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;(''p''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''p''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,...,&amp;nbsp;''p''&lt;sub&gt;''n'',&lt;/sub&gt;) '''q'''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;(''q''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;,&amp;nbsp;''q''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;,...,&amp;nbsp;''q''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;) ஆகிய இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு:
 :&lt;math&gt;d(p, q) = \sqrt{(p_1- q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+...+(p_i - q_i)^2+...+(p_n - q_n)^2}.&lt;/math&gt;
 
 ===வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட யூக்ளிடிய தொலைவு===
 அதிகளவு தொலைவிலமையும் பொருள்களுக்காக யூக்ளிடிய தொலைவு வர்க்கப்படுத்தப்படுகிறது:
 :&lt;math&gt;d^2(p, q) = (p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2+...+(p_i - q_i)^2+...+(p_n - q_n)^2.&lt;/math&gt;
 
 வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட யூக்ளிடிய தொலைவு [[அடிப்படை முக்கோணச் சமனிலி|முக்கோணச் சமனிலி]]யை நிறைவு செய்யாமையால், அது ஒரு மெட்ரிக் அல்ல. எனினும் தொலைவுகள் மட்டுமே ஒப்பீடு செய்யப்படுகின்ற உகமம்காணும் கணக்குகளில் (optimization problems) இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 * {{cite book |first=Elena |last=Deza |first2=Michel Marie |last2=Deza |year=2009 |title=Encyclopedia of Distances |page=94 |publisher=Springer }}
 * {{cite web |url=http://www.statsoft.com/textbook/cluster-analysis/ |title=Cluster analysis |date=March 2, 2011 |access-date=செப்டம்பர் 28, 2014 |archive-date=மே 1, 2015 |archive-url=https://web.archive.org/web/20150501194344/http://www.statsoft.com/Textbook/Cluster-Analysis |url-status=dead }}
 * Weisstein, Eric W. &quot;Distance.&quot; From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Distance.html
 * Weisstein, Eric W. &quot;Euclidean Metric.&quot; From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/EuclideanMetric.html