பகாத்தனி-எண்ணும் சார்பு
கணிதத்தில் '''பகாத்தனி-எண்ணும் சார்பு''' (''prime-counting function'') என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட [[மெய்யெண்]] ''x'' -க்குச் சமமான அல்லது அதைவிடச் சிறிய [[பகாத்தனி]]களின் எண்ணிக்கையைத் தரும் [[சார்பு]].&lt;ref name=&quot;Bach&quot;&gt;{{cite book |first=Eric |last=Bach |coauthors=Shallit, Jeffrey |year=1996 |title=Algorithmic Number Theory |publisher=MIT Press |isbn=0-262-02405-5 |pages=volume 1 page 234 section 8.8 |nopp=true}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;mathworld_pcf&quot;&gt;{{MathWorld |title=Prime Counting Function |urlname=PrimeCountingFunction}}&lt;/ref&gt; இச் சார்பின் குறியீடு &lt;math&gt;\scriptstyle\pi(x)&lt;/math&gt; (இது எண் [[பை (கணித மாறிலி)|π]] அல்ல).
 [[Image:PrimePi.svg|thumb|right|400px|முதல் 60 [[முழு எண்]]களுக்கான π(''n'') இன் மதிப்புகள்]]
 
 ==வரலாறு==
 [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டில்]] பகாத்தனி எண்ணும் சார்பு குறித்த ஆய்வுகள் அதிவேகத்தில் வளர்ந்துள்ளது.&lt;ref name=&quot;Caldwell&quot;&gt;{{cite web | publisher=Chris K. Caldwell | title=How many primes are there? | url=http://primes.utm.edu/howmany.shtml | accessdate=2008-12-02 | archive-date=2012-09-20 | archive-url=https://www.webcitation.org/6ApJ5WNnt?url=http://primes.utm.edu/howmany.shtml |url-status=dead }}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;Dickson&quot;&gt;{{cite book |authorlink=L. E. Dickson| first=Leonard Eugene | last=Dickson | year=2005 | title=History of the Theory of Numbers, Vol. I: Divisibility and Primality | publisher=Dover Publications | isbn=0-486-44232-2}}&lt;/ref&gt; 18ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் கணிதவியலாளர் [[கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்|காஸ்]] இதனை நிறுவக்கூடிய கூற்றாக (conjecture) அளித்தார். பின்னர் கணிதவியலாளர் லெஜெண்டரே (Adrien-Marie Legendre) இதனைப் பின்வருமாறு தோராயப்படுத்தினார்:
 
 :&lt;math&gt; x/\operatorname{ln}(x)\!&lt;/math&gt;
 
 அதாவது,
 :&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{x/\operatorname{ln}(x)}=1.\!&lt;/math&gt;
 
 இது [[பகா எண் தேற்றம்|பகா எண் தேற்றத்தின்]] கூற்றாகும். இதனை கீழுள்ளவாறும் எழுதலாம்:
 
 :&lt;math&gt;\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1\!&lt;/math&gt;
 
 இதில் ''li'' என்பது மடக்கைத் தொகையீட்டைக் குறிக்கும். இச்சார்பினைக் கணிக்கும் மேம்பட்ட துல்லியமான முறைகள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன.
 
 ==அட்டவணை ==
 பத்தின் அடுக்குகளில் π(''x''), ''x'' / ln ''x'' மற்றும் li(''x'') சார்புகளுக்கான ஒப்பீட்டை கீழுள்ள அட்டவணை காட்டுகிறது. மேலும் பார்க்க&lt;ref name=&quot;Caldwell&quot; /&gt;&lt;ref name=&quot;Silva&quot;&gt;{{cite web |title=Tables of values of pi(x) and of pi2(x) |url=http://www.ieeta.pt/~tos/primes.html |publisher=Tomás Oliveira e Silva |accessdate=2008-09-14}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;Kulsha&quot;&gt;{{cite web |title=Values of π(x) and Δ(x) for various x's |url=http://www.primefan.ru/stuff/primes/table.html |publisher=Andrey V. Kulsha |accessdate=2008-09-14}}&lt;/ref&gt;,&lt;ref name=&quot;Gourdon&quot;&gt;{{cite web |title=A table of values of pi(x) |url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/pixtable.html |publisher=Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel |accessdate=2008-09-14}}&lt;/ref&gt;
 
 :{| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;text-align: right&quot;
 ! ''x'' 
 ! π(''x'')
 ! π(''x'') &amp;minus; ''x'' / ln ''x''
 ! li(''x'') &amp;minus; π(''x'')
 ! ''x'' / π(''x'')
 |-
 | 10
 | 4
 | &amp;minus;0.3
 | 2.2
 | 2.500
 |-
 | 10&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;
 | 25
 | 3.3
 | 5.1
 | 4.000
 |-
 | 10&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;
 | 168
 | 23
 | 10
 | 5.952
 |-
 | 10&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt;
 | 1,229
 | 143
 | 17
 | 8.137
 |-
 | 10&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt;
 | 9,592
 | 906
 | 38
 | 10.425
 |-
 | 10&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;
 | 78,498
 | 6,116
 | 130
 | 12.740
 |-
 | 10&lt;sup&gt;7&lt;/sup&gt;
 | 664,579
 | 44,158
 | 339
 | 15.047
 |-
 | 10&lt;sup&gt;8&lt;/sup&gt;
 | 5,761,455
 | 332,774
 | 754
 | 17.357
 |-
 | 10&lt;sup&gt;9&lt;/sup&gt;
 | 50,847,534
 | 2,592,592
 | 1,701
 | 19.667
 |-
 | 10&lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;
 | 455,052,511
 | 20,758,029
 | 3,104
 | 21.975
 |-
 | 10&lt;sup&gt;11&lt;/sup&gt;
 | 4,118,054,813
 | 169,923,159
 | 11,588
 | 24.283
 |-
 | 10&lt;sup&gt;12&lt;/sup&gt;
 | 37,607,912,018
 | 1,416,705,193
 | 38,263
 | 26.590
 |-
 | 10&lt;sup&gt;13&lt;/sup&gt;
 | 346,065,536,839
 | 11,992,858,452
 | 108,971
 | 28.896
 |-
 | 10&lt;sup&gt;14&lt;/sup&gt;
 | 3,204,941,750,802
 | 102,838,308,636
 | 314,890
 | 31.202
 |-
 | 10&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;
 | 29,844,570,422,669
 | 891,604,962,452
 | 1,052,619
 | 33.507
 |-
 | 10&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;
 | 279,238,341,033,925
 | 7,804,289,844,393
 | 3,214,632
 | 35.812
 |-
 | 10&lt;sup&gt;17&lt;/sup&gt;
 | 2,623,557,157,654,233
 | 68,883,734,693,281
 | 7,956,589
 | 38.116
 |-
 | 10&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;
 | 24,739,954,287,740,860
 | 612,483,070,893,536
 | 21,949,555
 | 40.420
 |-
 | 10&lt;sup&gt;19&lt;/sup&gt;
 | 234,057,667,276,344,607
 | 5,481,624,169,369,960
 | 99,877,775
 | 42.725
 |-
 | 10&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;
 | 2,220,819,602,560,918,840
 | 49,347,193,044,659,701
 | 222,744,644
 | 45.028
 |-
 | 10&lt;sup&gt;21&lt;/sup&gt;
 | 21,127,269,486,018,731,928
 | 446,579,871,578,168,707
 | 597,394,254
 | 47.332
 |-
 | 10&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;
 | 201,467,286,689,315,906,290
 | 4,060,704,006,019,620,994
 | 1,932,355,208
 | 49.636
 |-
 | 10&lt;sup&gt;23&lt;/sup&gt;
 | 1,925,320,391,606,803,968,923
 | 37,083,513,766,578,631,309
 | 7,250,186,216
 | 51.939
 |-
 | 10&lt;sup&gt;24&lt;/sup&gt;
 | 18,435,599,767,349,200,867,866
 | 339,996,354,713,708,049,069
 | 17,146,907,278
 | 54.243
 |-
 | 10&lt;sup&gt;25&lt;/sup&gt;
 | 176,846,309,399,143,769,411,680
 | 3,128,516,637,843,038,351,228
 | 55,160,980,939
 | 56.546
 |}
 [[File:Prime number theorem ratio convergence.svg|thumb|300px|''x''/ln ''x'' and Li(''x'') ஆகிய இரு சார்புகளுடனான π(''x'') இன் விகிதத்தைக் காட்டும் வரைபடம் ''x'' அதிகரிக்க, அதிகரிக்க, இரு விகிதங்களும் [[1 (எண்)|1]] ஐ நெருங்குகிறது. ''x''/ln ''x'' உடனான விகிதம் மேலிருந்து மெதுவாக ஒருங்குகிறது; Li(''x'') உடனான விகிதம் கீழிருந்து வேகமாக ஒருங்குகிறது.]]
 
 [[நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியம்|நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியத்தில்]]:  
 * π(''x'') : {{OEIS2C|id=A006880}} 
 * π(''x'') - ''x'' / ln ''x'' : {{OEIS2C|id=A057835}} 
 * li(''x'') − π(''x'') : {{OEIS2C|id=A057752}}.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{Reflist}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/nthprime/ ''The Nth Prime Page''] at The Prime Pages.
 *[https://gist.github.com/4385784 Implementation of Legendre, Meissel, and Lehmer methods in C]
 *[http://naturalnumbers.org/countingprimes.html ''Counting Primes by Quadratic Interval'']
 
 [[பகுப்பு:எண்கணிதச் சார்புகள்]]
 [[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]