ஹர்ஷத் எண்
பொழுதுபோக்குக் கணிதத்தில், தனது இலக்கங்களின் கூட்டலால் வகுபடக்கூடிய [[முழு எண்]], '''ஹர்ஷத் எண்''' (''Harshad number'' அல்லது ''Niven number'') எனப்படும்.
 ''n'' அடிமானத்தில் அமையும் ஹர்ஷத் எண்கள்  '''''n''-ஹர்ஷத் எண்கள் ''' அழைக்கப்படுகின்றன.
 இந்தியக் கணிதவியலாளரான [[தத்தராய ராமச்சந்திர கப்ரேக்கர்|கப்ரேக்கரால்]] இவ்வெண்கள் வரையறுக்கப்பட்டன. ''{{IAST|harṣa}}'' (மகிழ்ச்சி) + ''{{IAST|da}}'' (தரும்) என்ற [[சமசுகிருதம்|சமசுகிருத]] சொற்களிலிருந்து &quot;ஹர்ஷத்&quot; என்ற இப்பெயர் உருவானது. 1977 ஆம் ஆண்டு நடந்த எண் கோட்பாட்டு மாநாட்டில் இவ்வெண்கள் குறித்து, கனடிய-அமெரிக்கக் கணிதவியலாளரான ஐவான் எம். நிவின் சமர்ப்பித்த கட்டுரையின் காரணமாக  “நிவின் எண்கள்” என்ற பெயராலும் அழைக்கப்படுகின்றன. [[சுழி]]க்கும் ''n'' க்கும் இடைப்பட்ட அனைத்து முழு எண்களும் ''n''-ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்கும்.
 
 எந்தவொரு அடிமானத்திலும் ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்கும் எண் '''அனைத்து-ஹர்ஷத் எண் ''' அல்லது  '''அனைத்து-நிவின் எண் ''' (''all-Harshad number'', ''all-Niven number'') என அழைக்கப்படும். அவ்வாறான எண்கள் நான்கு மட்டுமே உள்ளன: 1, 2, 4, 6 ஆகிய நான்கு எண்கள் மட்டுமே அனைத்து அடிமானங்களிலும் ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்கும். எண் 12 ஆனது எட்டடிமானம் தவிர ஏனைய அடிமானங்களில் ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்கும்.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்== 
 :பத்தடிமானத்தில் 18 ஒரு ஹர்ஷத் எண். ஏனெனில், அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் {{Math|1+8{{=}}9}}. மேலும் 18 ஆனது ஒன்பதால் வகுபடுகிறது.
 : ஆனால் பத்தடிமானத்தில் 19 ஹர்ஷத் எண் அல்ல; ஏனெனில் அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் {{Math|1+9{{=}}10}}. ஆனால் எண் 19 ஆனது பத்தால் வகுபடாது.
 
 ==வரையறை==
 ''n'' அடிமான நேர் முழுஎண்  ''X'' இன் இலக்கங்கள் ''a&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;'' (''i'' = 0, 1, ..., ''m''&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;1) எனில்,  ''X'' ஐப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
 :&lt;math&gt;X=\sum_{i=0}^{m-1} a_i n^i.&lt;/math&gt;
 
 பின்வரும் கூற்று உண்மையாகுமாறு  ''A'' என்றதொரு முழு எண் இருக்குமானால்  ''X'' ஒரு ''n'' அடிமான ஹர்ஷத் எண்ணாகும்.:
 :&lt;math&gt;X=A\sum_{i=0}^{m-1} a_i.&lt;/math&gt;
 
 பத்தடிமான ஹர்ஷத் எண்களின் [[தொடர்வரிசை|தொடர்முறை]]:
 :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, ... {{OEIS|id=A005349}}
 
 == பண்புகள் ==
 :ஒன்பதால் வகுபடும் தன்மையறியும் சோதனையால், ஒன்பதால் வகுபடும் எண்கள் அனைத்தும் ஹர்ஷத் எண்கள் போலத் தோன்றலாம். ஆனால் அது உண்மையல்ல. எடுத்துக்காட்டாக 99 ஒரு ஹர்ஷத் எண் அல்ல. ஏனென்றால் அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 9 +9 = 18, ஆனால் 99 ஆனது 18 ஆல் வகுபடாது.
 
 :அடிமான எண்ணும் அதன் அடுக்குகளும் அதே அடிமானத்தில் ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்கும்.
 
 :ஒரு [[பகா எண்]] ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்க வேண்டுமானால், அது அடிமான எண்ணுக்குச் சமமான எண்ணாகவோ அல்லது அதைவிடச் சிறிய எண்ணாகவோ இருக்க வேண்டும். பத்தடிமானத்தில் 11 ஒரு பகா எண்; மேலும் அது அடிமான எண்ணான 10 ஐவிடப் பெரியது. அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 1+ 1 = 2. ஆனால் 11 ஆனது 2 ஆல் வகுபடாது.  அதனால் 11 ஒரு ஹர்ஷத் எண் அல்ல.
 
 :பத்தடிமானத்தில் [[தொடர்பெருக்கம்|தொடர்பெருக்கங்களின்]] தொடர்முறையானது ஹர்ஷத் எண்களைக் கொண்டு தொடங்குவதால், அனைத்து தொடர்பெருக்கங்களும் ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்குமெனக் கூறமுடியாது.  ஹர்ஷத் எண்ணாக அமையாத முதல் தொடர்பெருக்கம்  432! ஆகும்.
 
 == மடங்கு ஹர்ஷத் எண்கள் ==
 இலக்கங்களின் கூடுதலால் வகுக்கப்படும் போது கிடைக்கும் ஈவு எண்ணும் ஒரு ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்கக்கூடிய ஹர்ஷத் எண் ''' மடங்கு ஹர்ஷத் எண் ''' ( ''multiple Harshad number'') எனப்படும்&lt;ref&gt;{{citation|first=E.|last=Bloem|year=2005|title=Harshad numbers|journal=Journal of Recreational Mathematics|volume=34|issue=2|page=128}}.&lt;/ref&gt;.
 
 எடுத்துக்காட்டுகள்:
 :6804  &quot;மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-3&quot; ஆகும்:
 :&lt;math&gt;
 \begin{array}{l}
 6804/18=378\\
 378/18=21\\
 21/3=7
 \end{array}
 &lt;/math&gt;
 :2016502858579884466176 ,  &quot;மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-12&quot;  ஆகும்.
 : 10080000000000 = 1008·10&lt;sup&gt;10&lt;/sup&gt;, மற்றொரு &quot;மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-12&quot;  ஆகும். பொதுவாக,  1008·10&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; ஒரு &quot;மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-(''n''+2)&quot; ஆக இருக்கும்.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * [http://www.harshad-numbers.com/en/ Harshad Numbers] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131101200237/http://www.harshad-numbers.com/en/ |date=2013-11-01 }}