சேர்ப்பு அணி
நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு [[சதுர அணி]]யின் '''சேர்ப்பு அணி''' அல்லது '''இணைப்பு அணி''' (''adjugate matrix'') என்பது அச்சதுர அணியின் [[இணைக்காரணி அணி]]யின் [[இடமாற்று அணி]]யாகும்.&lt;ref&gt;{{cite book |first=F. R. |last=Gantmacher |authorlink=Felix Gantmacher |title=The Theory of Matrices |volume=1 |publisher=Chelsea |location=New York |year=1960 |isbn=0-8218-1376-5 |pages=76–89 |url=https://books.google.com/books?id=ePFtMw9v92sC&amp;pg=PA76 }}&lt;/ref&gt;
 
 == வரையறை ==
 '''A''' அணியின் [[இணைக்காரணி அணி]] '''C''' இன் இடமாற்று அணியானது '''A''' இன் சேர்ப்பு அணி அல்லது இணைப்பு அணி என வரையறுக்கப்படுகிறது.
 :&lt;math&gt; \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T}   ~.&lt;/math&gt;
 
 ''R'' ஒரு பரிமாற்று வளையம்; ''R'' இலுள்ள உறுப்புகளாலான {{math|''n''×''n''}} [[அணி (கணிதம்)|அணி]] '''A'''.
 
 * '''M'''&lt;sub&gt;''ij''&lt;/sub&gt; என்பது '''A''' அணியின் (''i'',''j'') [[சிற்றணிக்கோவை]]; இது '''A''' அணியின் {{mvar|i}} ஆவது நிரையையும் {{mvar|j}} ஆவது நிரலையும் நீக்குவதன் மூலம் பெறப்படும் (''n''&amp;nbsp;−&amp;nbsp;1)×(''n''&amp;nbsp;−&amp;nbsp;1)}} அணியின் [[அணிக்கோவை]].
 * '''C'''&lt;sub&gt;''ij''&lt;/sub&gt; என்பது '''A''' அணியின் (''i'',''j'') [[இணைக்காரணி (கணிதம்)|இணைக்காரணி]]; 
 :: &lt;math&gt;\mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij} ~.&lt;/math&gt;
 * '''A''' அணியின் இணைக்காரணி அணி '''C''' என்பது ஒரு {{math|''n''×''n''}} அணி; இதன் {{math|(''i'',''j'')}} ஆவது உறுப்பு '''A''' அணியின் {{math|(''i'', ''j'')}} ஆவது இணைக்காரணியாக இருக்கும்
 *  '''C''' அணியின் இடமாற்று அணியே '''A''' அணியின் சேர்ப்பு அணியாகும். அதாவது {{math|''n''×''n''}} வரிசை கொண்ட சேர்ப்பு அணியின் (''i'',''j'') உறுப்பானது '''A''' அணியின் (''j'',''i'') இணைக்காரணியாக அமையும்:
 ::&lt;math&gt;\mathrm{adj}(\mathbf{A})_{ij} = \mathbf{C}_{ji} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ji} \,&lt;/math&gt;.
 *'''A''' அணியையும் அதன் சேர்ப்பு அணியையும் [[அணிப்பெருக்கல்|பெருக்கக்]] கிடைக்கும் அணி, {{math|det('''A''')}} ஐ [[முதன்மை மூலைவிட்டம்|முதன்மை மூலைவிட்ட]] உறுப்புகளாகக் கொண்ட [[மூலைவிட்ட அணி]]யாகும்.
 
 {{Equation box 1
 |indent =:
 |equation =  &lt;math&gt;\mathbf{A} \, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \det(\mathbf{A}) \, \mathbf{I}  ~.&lt;/math&gt;
 |cellpadding= 6
 |border
 |border colour = #0073CF
 |bgcolor=#F9FFF7}}
 
 * ''R'' இல், det('''A''') நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, '''A''' அணியும் [[நேர்மாற்றத்தக்க அணி]]யாக இருக்கும். அவ்வாறு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் கீழுள்ள இரு முடிவுகளும் உண்மையாகும்:
 :&lt;math&gt;\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \det(\mathbf{A}) \mathbf{A}^{-1} ~,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\mathbf{A}^{-1} = \frac {1} {\det(\mathbf{A})} \, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) ~.&lt;/math&gt;
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 
 === 1 × 1 பொது அணி ===
 எந்தவொரு பொதுவான 1×1 அணிக்கும் அதன் சேர்ப்பு அணி: &lt;math&gt;\mathbf{I} = (1)&lt;/math&gt;.
 
 === 2 × 2 பொதுஅணி ===
 
 :&lt;math&gt;\mathbf{A} = \begin{pmatrix} {{a}} &amp; {{b}} \\ {{c}}  &amp; {{d}} \end{pmatrix}
 &lt;/math&gt; என்ற  2 × 2 பொதுஅணியின் சேர்ப்பு அணி:
 
 :&lt;math&gt;
 \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} {{d}} &amp; {{-b}}\\ {{-c}} &amp; {{a}} \end{pmatrix}
 &lt;/math&gt;.
 மேலும் det(adj('''A''')) = det('''A''') என்பதும் adj(adj('''A''')) = '''A''' என்பதும் உண்மையாக இருக்கும்.
 
 === 3 × 3 பொதுஅணி ===
 :&lt;math&gt;
 \mathbf{A} = \begin{pmatrix}
 a_{11} &amp; a_{12} &amp; a_{13} \\
 a_{21} &amp; a_{22} &amp; a_{23} \\
 a_{31} &amp; a_{32} &amp; a_{33}
 \end{pmatrix}
 &lt;/math&gt;
 இதன் இணைக்காரணி அணி:
 :&lt;math&gt;
 \mathbf{C} = \begin{pmatrix}
 +\begin{vmatrix} a_{22} &amp; a_{23} \\ a_{32} &amp; a_{33} \end{vmatrix} &amp;
 -\begin{vmatrix} a_{21} &amp; a_{23} \\ a_{31} &amp; a_{33} \end{vmatrix} &amp;
 +\begin{vmatrix} a_{21} &amp; a_{22} \\ a_{31} &amp; a_{32} \end{vmatrix} \\
  &amp; &amp; \\
 -\begin{vmatrix} a_{12} &amp; a_{13} \\ a_{32} &amp; a_{33} \end{vmatrix} &amp;
 +\begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{13} \\ a_{31} &amp; a_{33} \end{vmatrix} &amp;
 -\begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} \\ a_{31} &amp; a_{32} \end{vmatrix} \\
  &amp; &amp; \\
 +\begin{vmatrix} a_{12} &amp; a_{13} \\ a_{22} &amp; a_{23} \end{vmatrix} &amp;
 -\begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{13} \\ a_{21} &amp; a_{23} \end{vmatrix} &amp;
 +\begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} \\ a_{21} &amp; a_{22} \end{vmatrix}
 \end{pmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 சேர்ப்பு அணி:
 :&lt;math&gt;
 \operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix}
 +\begin{vmatrix} a_{22} &amp; a_{23} \\ a_{32} &amp; a_{33} \end{vmatrix} &amp;
 -\begin{vmatrix} a_{12} &amp; a_{13} \\ a_{32} &amp; a_{33} \end{vmatrix} &amp;
 +\begin{vmatrix} a_{12} &amp; a_{13} \\ a_{22} &amp; a_{23} \end{vmatrix} \\
  &amp; &amp; \\
 -\begin{vmatrix} a_{21} &amp; a_{23} \\ a_{31} &amp; a_{33} \end{vmatrix} &amp;
 +\begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{13} \\ a_{31} &amp; a_{33} \end{vmatrix} &amp;
 -\begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{13} \\ a_{21} &amp; a_{23} \end{vmatrix} \\
  &amp; &amp; \\
 +\begin{vmatrix} a_{21} &amp; a_{22} \\ a_{31} &amp; a_{32} \end{vmatrix} &amp;
 -\begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} \\ a_{31} &amp; a_{32} \end{vmatrix} &amp;
 +\begin{vmatrix} a_{11} &amp; a_{12} \\ a_{21} &amp; a_{22} \end{vmatrix}
 \end{pmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 ==== 3 × 3 எண் அணி====
 :&lt;math&gt;\operatorname{adj} \begin{pmatrix}
 \!-3 &amp; \, 2 &amp; \!-5 \\
 \!-1 &amp; \, 0 &amp; \!-2 \\
 \, 3 &amp; \!-4 &amp; \, 1
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
 \!-8 &amp;  \,18 &amp;  \!-4 \\
 \!-5 &amp;  \!12 &amp;  \,-1 \\
 \, 4 &amp;  \!-6 &amp;  \, 2
 \end{pmatrix}
 &lt;/math&gt;.
 
 செயல்முறை:
 :&lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 \!-3 &amp; \, 2 &amp; \!-5 \\
 \!-1 &amp; \, 0 &amp; \!-2 \\
 \, 3 &amp; \!-4 &amp; \, 1
 \end{pmatrix} &lt;/math&gt; அணியின் இணைக்காரணி அணி:
 :&lt;math&gt;
 \mathbf{C} = \begin{pmatrix}
 +\begin{vmatrix} 0 &amp; -2 \\ -4 &amp; 1 \end{vmatrix} &amp;
 -\begin{vmatrix} -1 &amp; -2 \\ 3 &amp; 1 \end{vmatrix} &amp;
 +\begin{vmatrix} -1 &amp; 0 \\ 3 &amp; -4 \end{vmatrix} \\
  &amp; &amp; \\
 -\begin{vmatrix} 2 &amp; -5 \\ -4 &amp; 1 \end{vmatrix} &amp;
 +\begin{vmatrix} -3 &amp; -5 \\ 3 &amp; 1 \end{vmatrix} &amp;
 -\begin{vmatrix} -3 &amp; 2 \\ 3 &amp; -4 \end{vmatrix} \\
  &amp; &amp; \\
 +\begin{vmatrix} 2 &amp; -5 \\ 0 &amp; -2 \end{vmatrix} &amp;
 -\begin{vmatrix} -3 &amp; -5 \\ -1 &amp; -2 \end{vmatrix} &amp;
 +\begin{vmatrix} -3 &amp; 2 \\ -1 &amp; 0 \end{vmatrix}
 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
 \!-8 &amp;  \,-5 &amp;  \!4 \\
 \!18 &amp;  \!12 &amp;  \,-6 \\
 \, -4 &amp;  \!-1 &amp;  \, 2
 \end{pmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணி:
 :&lt;math&gt;
 \mathbf{C}^\mathsf{T} = {\begin{pmatrix}
 \!-8 &amp;  \,-5 &amp;  \!4 \\
 \!18 &amp;  \!12 &amp;  \,-6 \\
 \, -4 &amp;  \!-1 &amp;  \, 2
 \end{pmatrix}}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix}
 \!-8 &amp;  \,18 &amp;  \!-4 \\
 \!-5 &amp;  \!12 &amp;  \,-1 \\
 \, 4 &amp;  \!-6 &amp;  \, 2
 \end{pmatrix} = \operatorname{adj} \begin{pmatrix}
 \!-3 &amp; \, 2 &amp; \!-5 \\
 \!-1 &amp; \, 0 &amp; \!-2 \\
 \, 3 &amp; \!-4 &amp; \, 1
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 == பண்புகள் ==
 சேர்ப்பு அணியின் பண்புகள்:
 
 '''A''' , '''B''' இரண்டும் {{math|''n''×''n''}} அணிகள் எனில்:
 :&lt;math&gt;\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\mathrm{adj}(c \mathbf{A}) = c^{n - 1}\mathrm{adj}(\mathbf{A}) ~&lt;/math&gt;
 
 ''m'' ஒரு [[முழு எண்]] எனில்:
 :&lt;math&gt;\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{m}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{m}~&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\mathrm{adj}(\mathbf{A}^\mathsf{T}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^\mathsf{T}~&lt;/math&gt;
 
 '''A''' ஒரு ''n''×''n'' அணி; மேலும் ''n'' ≥ 2 எனில்:
 ::&lt;math&gt;\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}, &lt;/math&gt;
 
 மேலும் '''A''' ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க ''n''×''n'' அணி எனில்:
 ::&lt;math&gt;\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) = \det(\mathbf{A})^{n - 2}\mathbf{A} ~,&lt;/math&gt;
 
 '''A''' நேர்மாற்றத்தக்கது, ''n = 2'' எனில்:
 ::det(adj('''A''')) = det('''A''') 
 ::adj(adj('''A''')) = '''A'''
 
 நேர்மாற்றத்தக்க அணி '''A'''  க்கு {{mvar|k}} தடவைகள் சேர்ப்பு அணி காணக் கிடைப்பது:
 :&lt;math&gt;\mathrm{adj}_k(\mathbf{A})=\det(\mathbf{A})^{\frac{(n-1)^k-(-1)^k}n}\mathbf{A}^{(-1)^k}~,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\det\big(\mathrm{adj}_k(\mathbf{A})\big)=\det(\mathbf{A})^{(n-1)^k}~.&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{Reflist}}
 *  Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), ''Topics in Matrix Analysis''. Cambridge University Press, {{ISBN|978-0-521-46713-1}}
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 * [http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/property.html#adjoint Matrix Reference Manual]
 *[http://www.elektro-energetika.cz/calculations/matreg.php?language=english Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)] Compute Adjugate matrix up to order 8
 * {{cite web | url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=adjugate+of+{+{+a%2C+b%2C+c+}%2C+{+d%2C+e%2C+f+}%2C+{+g%2C+h%2C+i+}+} | title=&lt;nowiki&gt;adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }&lt;/nowiki&gt; | work=[[வொல்பிராம் அல்பா]]}}
 
 [[பகுப்பு:அணிக் கோட்பாடு]]