நேரியல் கோப்பு
[[கணிதம்|கணிதத்திலும்]],  கணிதத்தின் எல்லாப் பயன்பாடுகளிலும்,  '''நேரியல் கோப்பு''', '''நேரியல் உருமாற்றம்''', '''நேரியற்செயலி''' அல்லது '''நேரியற்செயல்முறை''' (''linear map, transformation, operator'') என்ற கருத்து அடிப்படையானது. பல [[அறிவியல்]] பயன்பாடுகளிலும், ஏறத்தாழ எல்லா சமுதாயவியல், மருத்துவவியல், உயிரிய-தொழில்நுட்பவியல் பயன்பாடுகளிலும், நேரியல் கோப்புக்குரிய சூழ்நிலை தானாக இல்லாவிட்டாலும், எவ்வளவு தூரம் நேரியல் பண்புகளுடையதாக அச்சூழ்நிலையை மாற்றமுடியும் என்றே ஆராய்ச்சியாளர்கள் முயல்வார்கள். நேரியல் அல்லாத (non-linear) பயன்பாடுகளிலும் நேரியல் சூழ்நிலைக்குத் தோராயப் படுத்துவதே முதல் முயற்சி. ஆக, நேரியல் அல்லாத  பயன்பாடுகளிலும் [[நேரியல் இயற்கணிதம்|நேரியல் இயற்கணிதச்]] செயல்பாடுகளே அடிப்படையில் தேவைப்படுவதால், நேரியல் கோப்பு என்பது முழு கணித உலகத்திலும் இன்றியமையாததாகிறது.
 
 ==வரையறை==
 U, V  இரு [[திசையன் வெளி|திசையன் வெளிகள்]],
 இரண்டுக்கும் திசையிலி களங்கள் ஒன்றே என்று கொள்வோம்.
 
 கீழ்க்கண்ட இரண்டு நிபந்தனைக்குட்பட்டால், &lt;math&gt;T: U \mapsto V&lt;/math&gt;  ஒரு '''நேரியல் கோப்பு (உருமாற்றம், செயல்முறை)''' எனப்படும்:
 
 :('''நே.கோ.1'''):  &lt;math&gt;u_1, u_2&lt;/math&gt; இரண்டும் &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; இல் ஏதாவது இரு திசையன்கள் எனில், &lt;math&gt;T(u_1 + u_2) = T(u_1) + f(u_2)&lt;/math&gt; ;
 
 :('''நே.கோ.2'''):  &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; இலுள்ள எல்லாத் திசையன்கள் &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; க்கும், எல்லா திசையிலிகள்  &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; க்கும், &lt;math&gt;T(\alpha u) =\alpha T(u).&lt;/math&gt;
 
 இங்கு, U  '''ஆட்கள வெளி''' (Domain Space) என்றும்,  V '''பிம்ப வெளி''' (Image space) என்றும் சொல்லப்படும்.
 
 திசையிலி களம் &lt;math&gt;\mathbf{F}&lt;/math&gt; ஐக் குறிப்பிட்டுச்சொல்லவேண்டியிருந்தால்,  &lt;math&gt;\mathbf{F}-&lt;/math&gt;நேரியல் (கோப்பு) எனக் குறிப்பிடப்படும்.
 
 [[கூட்டல் (கணிதம்)#Associativity|கூட்டலின் சேர்ப்புப்பண்பின்படி]] (+), &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt; \mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n \in V&lt;/math&gt; திசையன்களுக்கும், &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;c_1, \ldots, c_n \in K,&lt;/math&gt; திசையிலிகளுக்கும் பின்வரும் முடிவு உண்மையாக இருக்கும்::&lt;ref&gt;{{harvnb|Rudin|1991|page=14}}. Suppose now that {{mvar|X}} and {{mvar|Y}} are vector spaces ''over the same scalar field''. A mapping &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Lambda: X \to Y&lt;/math&gt; is said to be ''linear'' if &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt; \Lambda(\alpha \mathbf x + \beta \mathbf y) = \alpha \Lambda \mathbf x + \beta \Lambda \mathbf y&lt;/math&gt; for all &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mathbf x, \mathbf y \in X&lt;/math&gt; and all scalars &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\alpha&lt;/math&gt; and &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\beta&lt;/math&gt;. Note that one often writes &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Lambda \mathbf x&lt;/math&gt;, rather than &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\Lambda(\mathbf x)&lt;/math&gt;, when &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt; \Lambda&lt;/math&gt; is linear.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{harvnb|Rudin|1976|page=206}}. A mapping {{mvar|A}} of a vector space {{mvar|X}} into a vector space {{mvar|Y}} is said to be a ''linear transformation'' if: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A\left(\mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2\right) = A\mathbf{x}_1 + A\mathbf{x}_2,\  A(c\mathbf{x}) = c A\mathbf{x}&lt;/math&gt; for all &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\mathbf{x}, \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2 \in X&lt;/math&gt; and all scalars {{mvar|c}}. Note that one often writes &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A\mathbf{x}&lt;/math&gt; instead of &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A(\mathbf {x})&lt;/math&gt; if {{mvar|A}} is linear.&lt;/ref&gt;
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;T(c_1 \mathbf{u}_1 + \cdots + c_n \mathbf{u}_n) = c_1 T(\mathbf{u}_1) + \cdots + c_n T(\mathbf{u}_n).&lt;/math&gt;  அதாவது நேரியல் கோப்பானது, [[நேரியல் சேர்வு]]களைக் காக்கும்.
 
 ==வரையறையைப்பின்பற்றிய உடன்விளைவுகள்==
 
 :* &lt;math&gt;T(\mathbf{0}_U) = \mathbf{0}_V&lt;/math&gt;
 
 :* &lt;math&gt;T(-u) = -T(u), u \in U.&lt;/math&gt;
 
 :* &lt;math&gt;T(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + ... + \alpha_n u_n)  = \alpha_1 T(u_1) + \alpha_2 T(u_2) + ... + \alpha_n T(u_n),&lt;/math&gt;. இங்கு &lt;math&gt;\alpha&lt;/math&gt; க்களெல்லாம் அளவெண்கள்,  எல்லா &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; க்களும் &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; விலுள்ள உறுப்புகள்.
 
 :* &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; வின் ஏதாவதொரு அடுக்களத்தின் உறுப்புகளை &lt;math&gt;T&lt;/math&gt;  எங்கு எடுத்துச்செல்கிறதோ அதைப்பொருத்து முழு &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; இன் பண்புகளும் தீர்மனிக்கப்படுகின்றன.
 
 ==குறிப்பிடத்தக்க இரு நேரியல்கோப்புகள்==
 
 : &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; விலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; க்கும், &lt;math&gt;T(u) = \mathbf{0}_U&lt;/math&gt; என்று வரையறுக்கப்பட்டால்  &lt;math&gt;T: U \mapsto V&lt;/math&gt; ''' சூனியக்கோப்பு''' எனப்பெயர் பெறும்.
 
 : &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; விலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; க்கும், &lt;math&gt;T(u) = u &lt;/math&gt; என்று வரையறுக்கப்பட்டால்  &lt;math&gt;T: U \mapsto U&lt;/math&gt; '''முற்றொருமைக்கோப்பு''' எனப்பெயர் பெறும்.  அதற்குக்குறியீடு  &lt;math&gt;I_U&lt;/math&gt;.
 : அதனால் &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; விலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; க்கும், &lt;math&gt;I_U(u) = u&lt;/math&gt;.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 
 '''கீழேயுள்ளவை நேரியல் கோப்புகள்''':
 
 :*  &lt;math&gt;T: V_3 \mapsto V_3&lt;/math&gt;. வரையறை: &lt;math&gt;T(x,y,z) = (x,y,-z).&lt;/math&gt; இது எல்லா புள்ளிகளையும் xy-தளத்தில் பிரதிபலிக்கிறது.
 
 :*  &lt;math&gt;T: \mathcal{P} \mapsto \mathcal{P}.&lt;/math&gt; வரையறை:  &lt;math&gt;\mathcal{P}&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; க்கும்  &lt;math&gt;T(p) = p(0).&lt;/math&gt;
 
 :*  &lt;math&gt;T: \mathcal{P}(a,b) \mapsto \mathcal{P}(a,b).&lt;/math&gt; வரையறை: &lt;math&gt;(a,b)&lt;/math&gt; இலுள்ள எல்லா &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கும், 
 :   &lt;math&gt;T(p)(x) = x p(x)&lt;/math&gt;.
 
 :*  &lt;math&gt;T: V_2 \mapsto V_2&lt;/math&gt;. வரையறை:  &lt;math&gt;T(x,y) = (0, y-x).&lt;/math&gt;
 
 :*   &lt;math&gt;T: \mathcal{P} \mapsto \mathcal{P}.&lt;/math&gt; வரையறை:  &lt;math&gt;\mathcal{P}&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; க்கும்  &lt;math&gt;T(p)=p'&lt;/math&gt;. 
 : இங்கு &lt;math&gt;p'&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; இன் வகைக்கெழு. இது    வகையீட்டு (நேரியல்) கோப்பு எனப்படும்.
 
 :*  &lt;math&gt;D: \mathcal{C}^{(1)}(a,b) \mapsto \mathcal{C}(a,b)&lt;/math&gt;. வரையறை: &lt;math&gt;D(f) = f'. f'&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இன் வகைக்கெழு. &lt;math&gt;D&lt;/math&gt; க்கு '''வகையீட்டு  செயல்முறை''' (Differential Operator) எனப்பெயர்.
 
 :*  &lt;math&gt;\mathcal{I}: \mathcal{C}(a,b) \mapsto \mathbf{R} &lt;/math&gt; வரையறை: &lt;math&gt;\mathcal{I}(f) = \int_{a}^{b}f(x)dx&lt;/math&gt;.  &lt;math&gt;\mathcal{I}&lt;/math&gt; க்கு '''தொகையீட்டு செயல்முறை''' (Integral Operator) எனப்பெயர்.
 
 :*  &lt;math&gt;f: \mathbf{C} \mapsto \mathbf{C}.&lt;/math&gt; வரையறை: &lt;math&gt;f(z) = \overline{z}&lt;/math&gt;. இது ஒரு  &lt;math&gt;\mathbf{R}&lt;/math&gt;-நேரியல் கோப்பு.
 
 :* &lt;math&gt;L_A : \mathbf{R}^n \mapsto \mathbf{R}^m.&lt;/math&gt; இங்கு  &lt;math&gt;A &lt;/math&gt; மெய்யெண்களாலான  ஒரு  &lt;math&gt;m \times n&lt;/math&gt; [[அணி]]. வரையறை: &lt;math&gt;\mathbf{R}^n&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;u&lt;/math&gt; க்கும்   &lt;math&gt;L_A(u) = Au.&lt;/math&gt; 
 :(&lt;math&gt;Au&lt;/math&gt;  என்பது [[அணிப்பெருக்கல்]]).
 
 '''கீழேயுள்ளவை நேரியல் கோப்புகள் அல்ல''':
 
 :*  &lt;math&gt;u_0 \neq 0&lt;/math&gt; ஐ &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; இல் ஒரு குறிப்பிட்ட திசையனாகக்கொள். &lt;math&gt;T: U \mapsto U&lt;/math&gt; : வரையறை: &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; விலுள்ள ஒவ்வொரு &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கும்
 :   &lt;math&gt;T(x) = x  +   u_0&lt;/math&gt;. இதற்கு '''நகர்த்தல் கோப்பு ''' (Translation operator)எனப்பெயர்.
 
 :* &lt;math&gt;T: V_2 \mapsto V_2&lt;/math&gt; . வரையறை: &lt;math&gt;T(x, y)  = (x^2, y^2)&lt;/math&gt;
 
 :* &lt;math&gt;f: \mathbf{C} \mapsto \mathbf{C}.&lt;/math&gt; வரையறை: &lt;math&gt;f(z) = \overline{z}&lt;/math&gt;.  இங்கு அளவெண்களத்தை &lt;math&gt;\mathbf{C}&lt;/math&gt; ஆக எடுத்துக்கொண்டால் ,  இது ஒரு  &lt;math&gt;\mathbf{C}&lt;/math&gt;-நேரியல் கோப்பு அல்ல. ஏனென்றால்  நே. கோ.2 தவறுகிறது.
 
 ==நேரியல் கோப்பின் வீச்சு, சுழிவு / உட்கரு)==
 
 :&lt;math&gt;T:U \mapsto V, U, V,&lt;/math&gt; திசையன்வெளிகள், &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; நேரியல் கோப்பு.
 
 :&lt;math&gt;R(T) = \{T(u): u\in U\},&lt;/math&gt; அ-து, &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; இன் எல்லா பிம்பங்களும் சேர்ந்த கணம். இதற்கு &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; இன் '''வீச்சு''' (Range of T)  என்று பெயர்.
 
 :&lt;math&gt;N(T) = \{u\in U: T(u) = \mathbf{0}_V\},&lt;/math&gt; அ-து, &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; இலுள்ள சூனியத் திசையனுக்கு  &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; யால் எடுத்துச் செல்லப்படும் எல்லா &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;-உறுப்புகளும் சேர்ந்த கணம். இதற்கு  &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; இன் '''சுழிவு''' (Null space of T / kernel of T) அல்லது '''உட்கரு'''  என்று பெயர்.
 
 :வீச்சு, சுழிவு இரண்டுமே சம்பந்தப்பட்ட திசையன் வெளிகளின் [[உள்வெளி]]கள்.
 
 பின்வரும் பரிமாண வாய்பாடு [[வீச்சளவை சுழிவளவை தேற்றம்]] என அறியப்படுகிறது:&lt;ref&gt;{{harvnb|Horn|Johnson|2013|loc=0.2.3 Vector spaces associated with a matrix or linear transformation, p. 6}}&lt;/ref&gt;
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;\dim(\ker( T )) + \dim(\operatorname{im}( T )) = \dim( V ).&lt;/math&gt;
 
 எண் &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\dim(\operatorname{im}(T))&lt;/math&gt;, &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; இன் [[அணிகளின் அளவை|அளவை]] என அழைக்கப்படுகிறது. அதன் குறியீடு: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\operatorname{rank}(T)&lt;/math&gt; அல்லது &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\rho(T)&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;{{Harvard citation text|Katznelson|Katznelson|2008}} p. 52, § 2.5.1&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;:1&quot;&gt;{{Harvard citation text|Halmos|1974}} p. 90, § 50&lt;/ref&gt;
 
 எண் &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\dim(\ker(T)),&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; இன் சுழிவு அல்லது உட்கரு என அழைக்கப்படுகிறது. அதன் குறியீடு: &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\operatorname{null}(f)&lt;/math&gt; அல்லது &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;\nu(f)&lt;/math&gt;.&lt;ref name=&quot;:0&quot; /&gt;&lt;ref name=&quot;:1&quot; /&gt;
 
 &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;V,&lt;/math&gt; &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;W&lt;/math&gt; இரண்டும் முடிவுறு பரிமாண வெளிகளாக இருந்து &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; இன் அணி உருவகிப்பு &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt; எனில், &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;T&lt;/math&gt; இன் அளவையும் சுழிவும் அணி &lt;math display=&quot;inline&quot;&gt;A&lt;/math&gt; இன் அளவை மற்றும் சுழிவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.
 
 ==அமைவியங்கள்==
 கணிதத்தில், முக்கியமாக [[நுண்புல இயற்கணிதம்|நுண்புல இயற்கணிதத்தில்]],  [[அமைவியம்]] (Morphism) என்பது [[கணித அமைப்பு]] களுக்கிடையேயுள்ள போக்குவரத்து. இரண்டு கணித அமைப்புகளுக்கிடையே அவைகளுக்குள்ள ஏதோ ஒரு அமைப்பை சிதறாமல் காக்கும் ஒரு அமைவியத்திற்குப் பொதுப்பெயர் [[காப்பமைவியம் (கணிதம்)|காப்பமைவியம்]].  அது எந்த அமைப்பைக்  காக்கிறதோ அதைப் பொறுத்து அதனுடைய பெயரும் மாறுபடும்.
 
 :&lt;math&gt;T:U \mapsto V, U, V,&lt;/math&gt; திசையன்வெளிகள், &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; நேரியல் கோப்பு. &lt;math&gt;U = \mathbf{R}^n, V = \mathbf{R}^m&lt;/math&gt; ஆகவும் இருந்தால்,  &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; க்கு ஒரு  &lt;math&gt;m\times n&lt;/math&gt; அணி உருவகிப்பு இருக்கும். [[அணி (கணிதம்)|அவ்வணியை]]  &lt;math&gt;M&lt;/math&gt;  என்று குறிப்போம்.
 
 :*வெளி அமைவியம் (epimorphism): T ஒரு [[முழுக்கோப்பு|முழுக்கோப்பா]]னால், அ-து, R(T) = V ஆக இருந்தால், T ஒரு '''வெளி அமைவியம்''' எனப்படும். இந்த பட்சத்தில், M இனுடைய நிரல்களின் [[அளாவல்]]  V ஆக இருக்கும்.
 
 :*ஒன்றமைவியம் (monomorphism): T ஒரு [[உள்ளிடுகோப்பு|ஒன்றுக்கொன்றான இயைபுடைய]] கோப்பாக  இருந்தால், அ-து, &lt;math&gt;u \leftrightarrow T(u),&lt;/math&gt; &lt;math&gt;U&lt;/math&gt;க்கும் &lt;math&gt;R(T)&lt;/math&gt; க்கும் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபை ஏற்படுத்தினால், &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; ஒரு '''ஒன்றமைவியம்''' எனப்படும். இந்த பட்சத்தில், M இனுடைய நிரல்கள் [[நேரியல் சார்பின்மை|நேரியல் சார்பற்றதாக]] இருக்கும்.
 
 :*சம அமைவியம் (isomorphism): &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; ஒரு வெளி அமைவியமாகவும், ஒன்றமைவியமாகவும் இருந்தால் அது '''சம அமைவியம்''' எனப்படும். இந்த பட்சத்தில்&lt;math&gt; M&lt;/math&gt; இனுடைய நிரல்கள் &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; க்கு ஒரு [[திசையன் வெளியின் அடுக்களம்|அடுக்களமாக]] அமையும்.
 
 :*உள் அமைவியம் (endomorphism): &lt;math&gt;T: U \mapsto U&lt;/math&gt; ; அ-து, அரசு வெளியும் பிம்ப வெளியும் ஒன்றாகவே இருந்தால், &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; ஒரு '''உள் அமைவியம்''' எனப்படும். இப்பொழுது M ஒரு [[அணி (கணிதம்)#சதுர அணி|சதுர அணியாக]] இருக்கும்.
 
 :*தன்னமைவியம் (automorphism): &lt;math&gt;T: U \mapsto U&lt;/math&gt;, அ-து, &lt;math&gt;T&lt;/math&gt; ஒரு உள் அமைவியம்; மேலும் அது ஒரு சம அமைவியமாகவும் இருந்தால், &lt;math&gt;T&lt;/math&gt;  ஒரு '''தன்னமைவியம்''' எனப்படும். இந்த பட்சத்தில் M ஒரு  [[வழுவிலா அணி]]யாக இருக்கும்.
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{சான்று}}
 
 ==நூலாதாரங்கள்==
 * {{Cite book|last=Axler|first=Sheldon Jay|title=Linear Algebra Done Right|url=https://archive.org/details/linearalgebradon0000axle|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=2015|isbn=978-3-319-11079-0|edition=3rd|author-link=Sheldon Axler}}
 *{{cite book |last1=Bronshtein |first1= I. N. |last2= Semendyayev |first2= K. A. |year=2004 |title= [[Bronshtein and Semendyayev|Handbook of Mathematics]] |edition= 4th |location= New York |publisher= Springer-Verlag |isbn=3-540-43491-7}}
 * {{Cite book|last=Halmos|first=Paul Richard|title=Finite-Dimensional Vector Spaces|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=1974|isbn=0-387-90093-4|edition=2nd|author-link=Paul Halmos|orig-year=1958}}
 * {{Cite book | last1=Horn | first1=Roger A. | last2=Johnson | first2=Charles R. | title=Matrix Analysis |edition=Second |publisher=[[Cambridge University Press]] | isbn=978-0-521-83940-2 | year=2013 }}
 *{{Cite book|last=Katznelson|first=Yitzhak|title=A (Terse) Introduction to Linear Algebra|url=https://archive.org/details/terseintroductio0000katz|last2=Katznelson|first2=Yonatan R.|publisher=[[American Mathematical Society]]|year=2008|isbn=978-0-8218-4419-9|author-link=Yitzhak Katznelson}}
 * {{cite book|last=Kubrusly|first=Carlos|title=Elements of operator theory|publisher=Birkhäuser|publication-place=Boston|year=2001|isbn=978-1-4757-3328-0|oclc=754555941}} &lt;!--{{sfn|Kubrusly|2001|p=}}--&gt;
 * {{Citation | last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Linear Algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=New York | isbn=0-387-96412-6 |edition=Third | year=1987}}
 * {{Rudin Walter Functional Analysis|edition=1}} &lt;!-- {{sfn|Rudin|1976|p=}} --&gt;
 *{{cite book|last=Rudin|first=Walter|author-link=Walter Rudin|year=1976|edition=3rd|series=Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics|location=New York|url=https://archive.org/details/PrinciplesOfMathematicalAnalysis|title=Principles of Mathematical Analysis|publisher=McGraw–Hill|isbn=978-0-07-054235-8}}
 * {{Rudin Walter Functional Analysis|edition=2}} &lt;!--{{sfn|Rudin|1991|p=}}--&gt;
 * {{Schaefer Wolff Topological Vector Spaces|edition=2}} &lt;!--{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=}}--&gt;
 * {{Schechter Handbook of Analysis and Its Foundations}} &lt;!--{{sfn|Schechter|1996|p=}}--&gt;
 * {{Swartz An Introduction to Functional Analysis}} &lt;!--{{sfn|Swartz|1992|p=}}--&gt;
 * {{Cite book|last=Tu|first=Loring W.|title=An Introduction to Manifolds|publisher=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|year=2011|isbn=978-0-8218-4419-9|edition=2nd|pages=|author-link=Loring W. Tu}}
 * {{Wilansky Modern Methods in Topological Vector Spaces|edition=1}} &lt;!--{{sfn|Wilansky|2013|p=}}--&gt;
 
 
 
 [[பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்]]
 [[பகுப்பு:சார்புப் பகுவியல்]]
 [[பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்]]
 [[பகுப்பு:உருமாற்றம் (சார்பு)]]