பெருக்கல் சார்பு
[[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டில்]] '''பெருக்கல் சார்பு''' (''multiplicative function'') என்பது ஒரு [[எண்கணிதம்|எண்கணிதச்]] [[சார்பு]] ஆகும். ''n'' ஒரு [[முழு எண்|நேர்ம முழுஎண்]] எனில், பெருக்கல் சார்பு ''f''(''n'') இன் மதிப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
 
 :&lt;math&gt; f(1) = 1 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; f(ab) = f(a) f(b)&lt;/math&gt;,   (a, b சார்பகா எண்கள்)
 
 ;முழுமையான பெருக்கல் சார்பு
 பெருக்கல் சார்பின் வரையறையானது [[சார்பகா முழுஎண்கள்|சார்பகா எண்களுக்கு]] மட்டுமல்லாது அனைத்து நேர்ம முழுஎண்களுக்கும் பொருந்துவதாக இருந்தால் அச் சார்பு, '''முழுமையான பெருக்கல் சார்பு'''  (''completely multiplicative'' அல்லது ''totally multiplicative'') என அழைக்கப்படும்.
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 * [[மாறிலிச் சார்பு]]:  
 :&lt;math&gt;1(n) = 1 &lt;/math&gt;என வரையறுக்கப்படும் மாறிலிச் சார்பு &lt;math&gt;1(n)&lt;/math&gt;, ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு.
 
 * [[முற்றொருமைச் சார்பு]]: 
 :&lt;math&gt;Id(n) = n&lt;/math&gt; என வரையறுக்கப்படும் முற்றொருமைச் சார்பு &lt;math&gt;Id(n)&lt;/math&gt; முழுமையான பெருக்கல் சார்பு
 
 * &lt;math&gt;Id_k(n) = n^k, &lt;/math&gt; (k ஒரு சிக்கலெண்)
 என வரையறுக்கப்படும் அடுக்குச் சார்பு &lt;math&gt;Id_k(n)&lt;/math&gt; ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு. 
 
 இதன் சிறப்பு வகைகள்: 
 : &lt;math&gt;Id_0&lt;(n) = 1(n)&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;Id_1(n) = Id(n)&lt;/math&gt;.
 * மீபொவ (''n'',''k''): 
 ''k'' ஐ ஒரு நிலையான முழுஎண்ணாகக் கொண்டால்''n'' , ''k'' இரண்டின் [[மீப்பெரு பொது வகுத்தி]]யானது, ''n'' மீதான பெருக்கல் சார்பாகும்.
 * [[ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு]]
 &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ஐ விடப் பெரியதல்லாததாகவும், &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-ஐப் [[பகா எண்|பகாத எண்]] ணாகவும் (அ-து,&lt;math&gt;n&lt;/math&gt;-உடன் 1 ஐத்தவிர வேறு எந்த பொதுக் காரணியையும் கொள்ளாதது) இருக்கும் நேர்ம முழு எண்களின் எண்ணிக்கையைத் தரும்  ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு (&lt;math&gt;\varphi&lt;/math&gt;(''n'')) ஒரு பெருக்கல் சார்பு
 * [[மோபியஸ் சார்பு]]
 ;வரையறை 
 :''n'' ஒரு [[வர்க்கக்காரணியற்ற முழுஎண்|வர்க்கக்காரணியற்ற]] நேர் முழு எண் மற்றும் அதன் [[பகாக் காரணி]]களின் எண்ணிக்கை இரட்டையெண் எனில்: 
 :::''μ''(''n'') =  1  
 
 :''n'' ஒரு [[வர்க்கக்காரணியற்ற முழுஎண்|வர்க்கக்காரணியற்ற]] நேர் முழு எண் மற்றும் அதன் [[பகாக் காரணி]]களின் எண்ணிக்கை ஒற்றையெண் எனில்:
 ::: ''μ''(''n'') = &amp;minus;1 
 
 :''n'' க்கு ஒரு பகாக்காரணி வர்க்க எண்ணாக இருந்தால்:
 :::''μ''(''n'') =  0 
 மோபியஸ் சார்பு &lt;math&gt;\mu&lt;/math&gt;(''n'') ஒரு பெருக்கல் சார்பு.
 * [[வகுஎண் சார்பு]]
 நேர் வகுஎண்களின் கூடுதல் சார்பு, ''x'' ஒரு [[மெய்யெண்]] அல்லது [[சிக்கலெண்]] எனில்,
 :&lt;math&gt;\sigma_{x}(n)=\sum_{d|n} d^x\,\! ,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;{d|n}&lt;/math&gt; 
 என வரையறுக்கப்படும் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதல் சார்பு σ&lt;sub&gt;''x''&lt;/sub&gt;(''n'') ஒரு பெருக்கல் சார்பு. 
 
 இதன் சிறப்புவகைகள்:
 :&lt;math&gt;\sigma_0(n) = d(n)&lt;/math&gt;, ''n'' இன் நேர் வகுஎண்களின் மொத்த எண்ணிக்கை,
 :&lt;math&gt;\sigma_1(n) = \sigma(n)&lt;/math&gt;, ''n'' இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதல்.
 
 == பண்புகள் ==
 ''f''(''n'') ஒரு பெருக்கல் சார்பு மற்றும் ''n'' வெவ்வேறான [[பகா எண்]]களின் அடுக்குகளின் பெருக்கமாக, ''n'' = ''p''&lt;sup&gt;''a''&lt;/sup&gt; ''q''&lt;sup&gt;''b''&lt;/sup&gt; ..., எழுதப்பட்டால்: 
 
 &lt;math&gt;f(n) = f(p^a) f(q^b) ...&lt;/math&gt;
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 :&lt;math&gt;n = 144 = 2^4 \times 3^2&lt;/math&gt; எனில்:
 : &lt;math&gt;d(144) = \sigma_{0}(144) = \sigma_{0}(2^4) \sigma_{0}(3^2) = (1^0 + 2^0 + 4^0 + 8^0 + 16^0)(1^0 + 3^0 + 9^0) = 5 \times 3 = 15&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;\sigma(144) = \sigma_{1}(144) = \sigma_{1}(2^4)\sigma_{1}(3^2) = (1^1 + 2^1 + 4^1 + 8^1 + 16^1(1^1 + 3^1 + 9^1) = 31 \times 13 = 403&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;\sigma^{*}(144) = \sigma^{*}(2^4)\sigma^{*}(3^2) = (1^1 + 16^1)(1^1 + 9^1) = 17 \times 10 = 170.&lt;/math&gt;
 
 இதேபோல:
 
 :&lt;math&gt;\varphi (144) = \varphi (2^4) \varphi (3^2) = 8 \times 6 = 48 &lt;/math&gt;
 
 பொதுவாக, ''f''(''n'') ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு மற்றும் ''a'', ''b'' இரண்டும் ஏதேனும் இரு நேர் முழுஎண்கள் எனில்:
 
 :''f''(''a'') · ''f''(''b'') = ''f''([[மீப்பெரு பொது வகுத்தி|மீபொவ]](''a'',''b'')) · ''f''([[மீச்சிறு பொது மடங்கு|மீபொம]](''a'',''b'')).
 
 == டிரிழ்ச்லெட் தொடர்==
 சில பெருக்கல் சார்புகளுக்கான [[டிரிழ்ச்லெட் தொடர்]]கள்:
 * &lt;math&gt;\sum_{n\ge 1} \frac{\mu(n)}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)}&lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;\sum_{n\ge 1} \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}&lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;\sum_{n\ge 1} \frac{d(n)^2}{n^s} = \frac{\zeta(s)^4}{\zeta(2s)}&lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;\sum_{n\ge 1} \frac{2^{\omega(n)}}{n^s} = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}&lt;/math&gt;
 
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 * Weisstein, Eric W. &quot;Multiplicative Function.&quot; From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/MultiplicativeFunction.html