ஆய்லர் எண்
எண்கோட்பாட்டில் '''ஆய்லர் எண்'''கள் (''Euler numbers'')  ''E&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' என்பவை முழு எண்களில் அமைந்த ஒரு [[தொடர்வரிசை]] ({{OEIS|A122045}}) ஆகும். இவ்வெண்கள் பின்வரும் [[டெய்லர் தொடர்]] விரிவால் தரப்படுகின்றன:
 
 :&lt;math&gt;\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^\infty  \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\!&lt;/math&gt;
 
 இதில் cosh&amp;nbsp;''t'' என்பது [[அதிபரவளையச் சார்பு|அதிபரவளையச் கொசைன்]] சார்பாகும்.
 
 ஒற்றைக் குறியெண் கொண்ட ஆய்லர் எண்கள் அனைத்தும் [[பூச்சியம்|பூச்சியமாகும்]]. இரட்டைக் குறியெண் கொண்ட ஆய்லர் எண்கள் ({{OEIS|id=A028296}}) ஒன்றுவிட்டு ஒன்று மாறுபட்ட குறியுடையவை:
 
 :''E''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = 1
 :''E''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = −1
 :''E''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt; = 5
 :''E''&lt;sub&gt;6&lt;/sub&gt; = −61
 :''E''&lt;sub&gt;8&lt;/sub&gt; = 1,385
 :''E''&lt;sub&gt;10&lt;/sub&gt; = −50,521
 :''E''&lt;sub&gt;12&lt;/sub&gt; = 2,702,765
 :''E''&lt;sub&gt;14&lt;/sub&gt; = −199,360,981
 :''E''&lt;sub&gt;16&lt;/sub&gt; = 19,391,512,145
 :''E''&lt;sub&gt;18&lt;/sub&gt; = −2,404,879,675,441 .....
 
 [[சீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்)|சீக்கெண்ட்]] மற்றும் [[அதிபரவளையச் சார்பு|அதிபரவளைய சீகெண்ட்]] சார்புகளின் டெய்லர் தொடர் விரிவுகளில் ஆய்லர் எண்கள் காணப்படுகின்றன.
 
 ==வாய்ப்பாடுகள்==
 ஆய்லர் எண்களுக்கான சில வாய்ப்பாடுகள்:
 *&lt;math&gt;E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1} \sum _{j=0}^k {k\choose j}\frac{(-1)^j(k-2j)^{2n+1}}{2^k i^k k}&lt;/math&gt;
 
 இங்கு ''i'' [[கற்பனை அலகு]];  ''i''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;=&amp;minus;1.
 
 *&lt;math&gt;  E_{2n} = (2n)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq n}~  \left( \begin{array}{c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
 	\delta_{n,\sum mk_m }  \left( \frac{-1~}{2!} \right)^{k_1} \left( \frac{-1~}{4!} \right)^{k_2}
 	\cdots \left( \frac{-1~}{(2n)!} \right)^{k_n} ,&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal|first1=David C.|last1= Vella|title=Explicit Formulas for Bernoulli and Euler Numbers|journal=Integers|volume=8|issue=1|pages=A1|year=2008|url= http://www.integers-ejcnt.org/vol8.html}}&lt;/ref&gt;
 
 *&lt;math&gt; 	 E_{2n} =  (-1)^{n-1} (2n-1)! \sum_{0 \leq k_1, \ldots, k_n \leq 2n-1}
 	 \left( \begin{array} {c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
 	\delta_{2n-1,\sum (2m-1)k_m }   \left( \frac{-1~}{1!} \right)^{k_1}  \left( \frac{1}{3!} \right)^{k_2}
 	   \cdots \left( \frac{(-1)^n}{(2n-1)!} \right)^{k_n}   , &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;{{cite arxiv|eprint=1103.1585|first1= J.|last1=Malenfant|title=Finite, Closed-form Expressions for the Partition Function and for Euler, Bernoulli, and Stirling Numbers}}&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt; K =k_1 + \cdots + k_n&lt;/math&gt; மற்றும்
 :&lt;math&gt; \left( \begin{array}{c} K \\ k_1, \ldots , k_n \end{array} \right)
           \equiv \frac{ K!}{k_1! \cdots k_n!}&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;
 \begin{align}
 E_{2n} &amp;=(-1)^n (2n)!~ \begin{vmatrix}   \frac{1}{2!}&amp; 1 &amp;~&amp; ~&amp;~\\
                                                              \frac{1}{4!}&amp;  \frac{1}{2!} &amp; 1 &amp;~&amp;~\\
                                                                  \vdots &amp; ~  &amp;  \ddots~~ &amp;\ddots~~ &amp; ~\\
                                                                \frac{1}{(2n-2)!}&amp; \frac{1}{(2n-4)!}&amp; ~&amp;\frac{1}{2!} &amp;  1\\
                                                                \frac{1}{(2n)!}&amp;\frac{1}{(2n-2)!}&amp; \cdots &amp;  \frac{1}{4!} &amp; \frac{1}{2!}\end{vmatrix}.
 
 \end{align}
  &lt;/math&gt;
 
 * &lt;math&gt; |E_{2 n}| &gt; 8 \sqrt { \frac{n}{\pi} } \left(\frac{4 n}{ \pi e}\right)^{2 n}. &lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{Reflist}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * {{springer|title=Euler numbers|id=p/e036540}}
 * {{MathWorld|urlname=EulerNumber|title=Euler number}}
 
 [[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]
 [[பகுப்பு:குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்]]
 [[பகுப்பு:முழுஎண் தொடர்வரிசைகள்]]