சார்புகளின் தொகுப்பு
[[Image:Compfun.svg|thumb|upright=1.5|''f'' மற்றும் ''g'' -சார்புகளின் இணைப்புச் சார்பு {{nowrap|''g'' ∘ ''f''}}. &lt;br&gt;      
 {{nowrap|(''g'' ∘ ''f'')(c) {{=}} #}}.]]
 
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''சார்புகளின் தொகுப்பு''' அல்லது '''சார்புகளின் இணைப்பு''' (''composition of functions'') என்பது ஒரு [[சார்பு|சார்பின்]] விளைவின் மீது மற்றொரு சார்பைப் பயன்படுத்துவதாகும். {{nowrap|''f'': ''X'' → ''Y''}} மற்றும் {{nowrap|''g'': ''Y'' → ''Z''}} என்ற இரு சார்புகளை எடுத்துக்கொண்டால், ''f'' சார்பின்படி உள்ளீடு ''x'' -ன் வெளியீடு ''f''(''x'') -ஐ ''g'' சார்பின் உள்ளீடாக எடுத்துக்கொண்டு அதற்குரிய வெளியீட்டைக் கணக்கிடுவது  இவ்விரு சார்புகளின் தொகுப்பாகும்.
 
 தொகுப்புச் சார்பு {{nowrap|''g'' ∘ ''f''}}: {{nowrap|''X'' → ''Z''}} பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
 
 :&lt;math&gt; g \circ f (x) = g(f(x)), &lt;/math&gt;   &lt;math&gt; \forall a\in\mathbb{X} &lt;/math&gt;
 
 [[சேர்ப்புப் பண்பு]]:
 
 சார்புகளின் தொகுப்பு சேர்ப்புப் பண்புடையது.
 
 ''f'', ''g'', மற்றும் ''h'' மூன்றும் தகுந்த [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களம்]], [[இணையாட்களம் (கணிதம்)|இணையாட்களம்]] கொண்ட மூன்று சார்புகள் எனில்:
 
 :&lt;math&gt; g \circ (f \circ h ) = (g \circ f ) \circ h  &lt;/math&gt;
 
 அடைப்புக்குறிகளை இடம் மாற்றுவதால் எந்தவொரு பாதிப்பும் இராது என்பதால் இக்கூற்றை அடைப்புக்குறிகள் இல்லாமலும் எழுதலாம்.
 
 [[பரிமாற்றுப் பண்பு]]:
 
 :&lt;math&gt; g \circ f  = f \circ g  &lt;/math&gt; எனில்  ''g'' மற்றும் ''f'' ஆகிய இரு சார்புகளும் பரிமாற்றத்தக்க சார்புகள்.
 
 பொதுவாக, சார்புகளின் தொகுப்புக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு கிடையாது. சில குறிப்பிட்ட சார்புகள் மட்டுமே அதுவும் சில சிறப்புச் சூழ்நிலைகளில் மட்டுமே பரிமாற்றுப் பண்பு கொண்டிருக்கும்.
 
 &lt;math&gt;x \ge 0&lt;/math&gt; என்னும்போது மட்டுமே
 :&lt;math&gt;\left| x \right| + 3 = \left| x + 3 \right|\,&lt;/math&gt; என்பது உண்மை.
 
 ==எடுத்துக்காட்டு==
 [[File:Academ_Example_of_similarity_with_ratio_square_root_of_2.svg|thumb|upright=1.2|[[முக்கோணம்]] ''EFA'' -ஐ முக்கோணம் ''ATB'' -ஆக மாற்றும் [[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)|வடிவொப்புமை]] உருமாற்றமானது [[ஒத்தநிலை உருமாற்றம்]] {{math|''H''}}&amp;nbsp; மற்றும் [[சுழற்சி|சுழற்சி உருமாற்றம்]] {{math|''R''}} ஆகிய இரு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பாகும். இவ்விரு உருமாற்றங்களின் மையங்கள் ஒரே புள்ளி(''S'') ஆகும். {{math|''R''}}&amp;nbsp; -சுழற்சியால் ''A''&amp;nbsp; -ன் எதிருரு ''U'', அதாவது, {{nowrap|1={{math|''R''}} ( ''A'' ) = ''U.''&amp;nbsp;}} மேலும் {{nowrap|1={{math|''H''}} ( ''U'' ) = ''B.''&amp;nbsp;}}, {{nowrap|1={{math|''H''}} ( {{math|''R''}} ( ''A'' ) )&amp;nbsp; =&amp;nbsp; ({{math|''H''}} ○ {{math|''R''}}) ( ''A'' )&amp;nbsp; =&amp;nbsp; ''B.''}}]]
 ''t'' நேரத்தில் ஒரு வானூர்தி பறக்கும் உயரத்தைக் குறிக்கும் சார்பு ''h''(''t'') மற்றும் ''x'' உயரத்தில் இருக்கக்கூடிய ஆக்ஸிஜனின் அளவைக் குறிக்கும் சார்பு ''c''(''x'') எனில், இவ்விரண்டு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பு {{nowrap|(''c'' ∘ ''h'')(''t'')}} , ''t'' நேரத்தில் அந்த வானூர்தியைச் சுற்றியுள்ள பகுதியின் ஆக்ஸிஜன் அளவைக் குறிக்கும்.
 
 ==சார்பின் அடுக்குகள்==
 [[கணம் (கணிதம்)#உட்கணங்கள்|&lt;math&gt;Y \subseteq X&lt;/math&gt;]] எனில் &lt;math&gt;f\colon X\rightarrow Y&lt;/math&gt; சார்பை அதனுடனேயே தொகுக்கலாம்.
 
 அவ்வாறு செய்யப்படும் தொகுப்புச் சார்பின் குறியீடு: &lt;math&gt;f^2\,&lt;/math&gt;.
 
 :&lt;math&gt;(f\circ f)(x) = f(f(x)) = f^2(x)&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;(f\circ f\circ f)(x) = f(f(f(x))) = f^3(x)&lt;/math&gt;
 
 ஒரு சார்பை அச்சார்புடனேயே மீண்டும் மீண்டும் தொகுப்பு காண்பது  [[தொடர்முறைச் சார்பு|சார்புத் தொடர்தல்]] எனப்படும்.
 
 :&lt;math&gt;f\circ f^n=f^n\circ f=f^{n+1}, &lt;/math&gt; &lt;math&gt;n\,&lt;/math&gt; [[இயல் எண்]]
 
 * &lt;math&gt;f^0= id_{D(f)}\,&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;f\big)&lt;/math&gt; -ன் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களத்தின்]] மீதான [[முற்றொருமைச் சார்பு]]).
 * &lt;math&gt;f\colon X\rightarrow X&lt;/math&gt; நேர்மாற்றத்தக்கது மற்றும் அதன் [[நேர்மாறுச் சார்பு]] &lt;math&gt;(f^{-1}\,&lt;/math&gt; எனில்:
 
 :&lt;math&gt;f^{-k} = f^{-1})^k\,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;(k&gt;0\,)&lt;/math&gt;
 
 '''குறிப்பு:'''  ''f'' -ன் மதிப்புகள் ஒரு [[வளையம் (கணிதம்)|வளையத்தில்]] அமையுமானால் ''f&amp;nbsp;&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;'' என்பது சார்புத் தொடர்தலை மட்டுமில்லாது ''f'', -ன் ''n'' மடங்கினையும் குறிக்கலாம்:
 
 {{nowrap|''f'' &lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;(''x'') {{=}} ''f''(''x'') · ''f''(''x'')}}.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :{{nowrap|sin&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;(''x'') {{=}} sin(''x'') · sin(''x'')}}.
 
 இங்கும் எதிரெண் அடுக்குகள், குறிப்பாக  &amp;minus;1, மடங்கைக் குறிக்காமல் நேர்மாறுச் சார்பைக் குறிக்கும்:
 
 :tan&lt;sup&gt;&amp;minus;1&lt;/sup&gt; = arctan (≠ 1/tan).
 
 ==மாற்றுக் குறியீடுகள்==
 
 * பெரும்பாலான [[கணிதவியலாளர்|கணிதவியலாளர்கள்]] {{nowrap|''g'' ∘ ''f''}} என்பதற்குப் பதில் தொகுப்புக் குறி சிறுவட்டத்தை விட்டுவிட்டு ''gf'' எனக் குறிக்கின்றனர்.
 *இருபதாம் நூற்றாண்டின் இடைக்காலத்தில் சில கணிதவியலாளர்கள், முதலில் சார்பு ''f'' ஐயும் அடுத்து சார்பு ''g'' -ஐயும் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதைச் சொல்வதற்கு {{nowrap|&quot;''g'' ∘ ''f''&quot;}} எனக் குறித்தல் குழப்பத்தை ஏற்படுத்துகிறது என எண்ணி குறியீட்டை மாற்றுவதற்கு முற்பட்டனர். அவர்கள் &quot;''f''(''x'')&quot; என்பதற்குப் பதிலாக &quot;''xf''&quot;எனவும் மற்றும் &quot;''g''(''f''(''x''))&quot; என்பதற்குப் பதிலாக &quot;(''xf'')''g''&quot; எனவும் பயன்படுத்தினர்.
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *&quot;[http://demonstrations.wolfram.com/CompositionOfFunctions/ Composition of Functions]&quot; by Bruce Atwood, the [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
 
 [[பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்]]
 [[பகுப்பு:கணக் கோட்பாடு]]