வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுரு
[[Image:Paley13.svg|thumb|upright=1.1|பாலே கோட்டுரு (வரிசை 13,) srg(13,6,2,3) அளபுருக்கள் கொண்டஒரு வலிமையான கோட்டுரு.]]
 [[கோட்டுருவியல்|கோட்டுருவியலில்]] வலிமையான '''ஒழுங்கு கோட்டுரு''' (''strongly regular graph'') பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: 
 
 ''G'' = (''V'', ''E'') ஒரு [[ஒழுங்கு கோட்டுரு]]; அதன் [[முனை (கோட்டுருவியல்)|முனைகளின்]] எண்ணிக்கை: ''v''; அதன் [[படி (கோட்டுருவியல்)|படி]]: ''k''.  கீழுள்ள கட்டுப்பாடுகளை நிறைவுசெய்யும்விதத்தில் λ, μ ஆகிய [[முழு எண்|முழு எண்களைக்]] காண முடிந்தால் ''G'' ஒரு &quot;வலிமையான கோட்டுரு&quot;வாக இருக்கும்:
 
 * எந்தவிரு [[அண்மையகம் (கோட்டுருவியல்)|அடுத்துள்ள முனைகளுக்கும்]] λ பொது அண்மையகங்கள் இருக்கும்.
 * எந்தவிரு அடுத்தல்லாத முனைகளுக்கும் μ பொது அண்மையகங்கள் இருக்கும்.
 
 இந்த வகையான  வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவானது  srg(''v'', ''k'', λ, μ) எனக் குறிக்கப்படுகிறது. 1963 இல் இந்திய அமெரிக்கக் கணிதவியலாளரான இராஜ் சந்திர போசு வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவை அறிமுகப்படுத்தினார்.&lt;ref&gt;https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103035734, R. C. Bose, Strongly regular graphs, partial geometries and partially balanced designs, Pacific
 J. Math 13 (1963) 389–419. (p. 122)&lt;/ref&gt;
 
 சில கோட்டுருக்கள் மிகஎளிய வலிமையான கோட்டுருக்களாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சமவளவுடைய [[முழுக்கோட்டுரு]]க்களின் [[கோட்டுருக்களின் பொதுவற்ற ஒன்றிப்பு|பொதுவற்ற ஒன்றிப்புக்]] கோட்டுருக்கள், அவற்றின் [[நிரப்பு கோட்டுரு|நிரப்பு கோட்டுருக்கள்]], சமவளவுள்ள சாரா கணங்கள் கொண்ட அனைத்து [[பல்கூறு கோட்டுரு]]க்கள் ஆகியவை &quot;மிகஎளிய&quot; வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருக்களாகும் இவை போன்ற மிகஎளிய வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருக்களைச் சில கணிதவியலாளர்கள் வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருக்களாகக் கொள்வதில்லை.&lt;ref&gt;[http://homepages.cwi.nl/~aeb/math/ipm.pdf Brouwer, Andries E; Haemers, Willem H. ''Spectra of Graphs''. p. 101] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120316102909/http://homepages.cwi.nl/~aeb/math/ipm.pdf |date=2012-03-16 }}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Godsil, Chris; Royle, Gordon. ''Algebraic Graph Theory''. Springer-Verlag New York, 2001, p. 218.&lt;/ref&gt; 
 
 *ஒரு வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவின்  இன் நிரப்பு கோட்டுருவும் வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவாக இருக்கும். 
 :வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுரு srg(''v'', ''k'', λ, μ) இன் நிரப்பி: srg(''v'', ''v−k''−1, ''v''−2−2''k''+μ, ''v''−2''k''+λ).
 
 * μ ≠ 0 எனில், வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுரு 2 அலகு விட்டம் கொண்ட &quot;தொலைவு-ஒழுங்கு கோட்டுரு&quot;வாக இருக்கும்.
 * λ = 1 எனில் வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுரு &quot;இடஞ்சார் நேர்கோட்டு கோட்டுரு&quot;வாக இருக்கும்.
 
 == பண்புகள் ==
 === அளபுருக்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு ===
 srg(''v'', ''k'', λ, μ) இல் உள்ள நான்கு அளபுருக்களும் ஒன்றுக்கொன்று சாராதவை அல்ல; அவை நான்கும் கீழுள்ள தொடர்பை நிறைவு செய்பவையாக இருக்கும்:
 :&lt;math&gt;(v-k-1)\mu = k(k-\lambda-1)&lt;/math&gt;
 
 விளக்கம்:
 
 *கோட்டுருவின் முனைகள் (v) மூன்று நிலைகளில் அமைந்தவையாக எடுத்துக் கொள்ளலாம். 
 #ஏதாவதொரு முனையை வேராக எடுத்துக்கொள்ளலாம். 
 #அந்த வேர் முனையின் &lt;math&gt;k&lt;/math&gt; அண்மை முனைகளை நிலை-1 இல் உள்ளவையாகக் கொள்ளலாம்.
 # ஏனைய பிற முனைகள் அனைத்தும் (&lt;math&gt;(v-k-1)&lt;/math&gt;) நிலை-2 இல் இருப்பவையாகக் கொள்ளலாம்.
 
 *நிலை-1 இலுள்ள முனைகள் எல்லாம் வேர் முனையுடன் நேரிடையாக இணைக்கப்பட்டிருக்கும். எனவே அவை வேர் முனையுடன் பொதுவானவையாக λ அண்மைமுனைகளைக் கொண்டிருக்கும். மேலும் இந்த λ பொது முனைகளும் நிலை-1 இல் அமைந்திருக்கும். இவற்றில் ஒவ்வொரு முனையின் படியும் ''k'' என்பதால் நிலை-1 இலுள்ள ஒவ்வொரு முனை  நிலை-2 இலுள்ள முனைகளோடு இணைக்கும் வகையில் &lt;math&gt;k-\lambda-1&lt;/math&gt; விளிம்புகள் இருக்கும். 
 :எனவே நிலை-1, நிலை-2 இரண்டுக்கும் இடையிலுள்ள விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை: 
 ::&lt;math&gt;k \times\ (k-\lambda-1)&lt;/math&gt;
 
 *நிலை-2 இலுள்ள முனைகள் வேர்முனையோடு நேரிடை இணைப்பில்லாதவை. எனவே அவற்றுக்கு வேர்முனையுடன் பொதுவானவையாக μ முனைகள் இருக்கும். மேலும் அவை நிலை-1 அமைந்திருக்கும். நிலை 2 இலுள்ள முனைகளின் எண்ணிக்கை &lt;math&gt;(v-k-1)&lt;/math&gt; ஆகும்; அவை நிலை-1 இலுள்ள μ முனைகளுடன் இணைக்கப்பட்டிருக்கும். 
 :எனவே நிலை-1, நிலை-2 இரண்டுக்கும் இடையிலுள்ள விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை: 
 ::&lt;math&gt;(v-k-1)\times\mu&lt;/math&gt;.
 
 *இரண்டு விதமாகக் கணக்கிடப்பட்ட விளிம்புகளின் (நிலை-1, நிலை-2 இரண்டுக்கும் இடையிலுள்ள விளிம்புகள்) எண்ணிக்கைகளைச் சமப்படுத்த நான்கு அளபுருக்களுக்கு இடையுள்ள தொடர்பு கிடைக்கிறது:
 ::&lt;math&gt;k(k-\lambda-1) = (v-k-1)\mu&lt;/math&gt;
 
 === அண்மை அணி ===
 ''I''  என்பது [[முற்றொருமை அணி]]; ''J'' [[ஒன்றுகளின் அணி]]; இரண்டின் வரிசையும் ''v''. ஒரு வலிமையான கோட்டுருவின் [[அண்மை அணி]] ''A'' பின்வரும் இரு சமன்பாடுகளை நிறைவு செய்யும்:
 
 முதற்சமன்பாடு:
 :&lt;math&gt;AJ = JA = kJ,&lt;/math&gt; 
 
 இது ஒரு கோட்டுரு ஒழுங்கு கோட்டுருவாக இருப்பதற்கான தேவையின் மிக எளிய மாற்றுக் கூற்றாக உள்ளது. இதன்படி, அண்மை அணியின் [[ஐகென் மதிப்பு]] ''k'' 
 
 இரண்டாவது சமன்பாடு:
 :&lt;math&gt;{A}^{2} = k{I} + \lambda{A} + \mu({J-I-A})&lt;/math&gt;
 
 இது வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவுக்கான தேவையைக் காட்டும் இருபடிச் சமன்பாடு.
 *இடப்புற அணியின் ''ij''-ஆவது உறுப்பு, ''i'' இலிருந்து ''j'' க்குள்ள இரு-நிலை பாதைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. 
 *வலதுபக்க முதல் உறுப்பு ''i'' இலிருந்து ''i'' க்குச் செல்லும் தன்பாதைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது. 
 *''i'' மற்றும் ''j'' இரண்டிற்கும் நேரடி இணைப்புள்ளபோது அவற்றுக்கிடைப்பட்ட இரு-நிலை பாதைகளின் எண்ணிக்கையை வலப்பக்க இரண்டாவது உறுப்பு தருகிறது. 
 *''i'' மற்றும் ''j'' இரண்டிற்கும் இடையே நேரடி இணைப்பு இல்லாதபோது அவற்றுக்கிடைப்பட்ட இரு-நிலை பாதைகளின் எண்ணிக்கையை வலப்பக்க மூன்றாவது உறுப்பு தருகிறது. 
 *இம்மூன்று வகைகளும் ஒன்றுக்கொன்று பொதுமையற்றவையாகவும் அமையக்கூடிய அனைத்து பாதைகளையும் உள்ளடக்கியவையாகவும் உள்ளதால் இம்மூன்று உறுப்புகளின் கூடுதல் இடப்புற மதிப்பிற்குச் சமமாக இருக்கும்.
 
 மறுதலையாக, ஒரு கோட்டுருவின் அண்மை அணி மேற்கூறிய இரு கட்டுப்பாடுகளையும் நிறைவு செய்வதோடு, அக்கோட்டுரு முழுக்கோட்டுரு அல்லது [[வெற்று கோட்டுரு]]வாக இல்லாமல் இருந்தால் அது வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{citation|first1=P.J.|last1=Cameron|first2=J.H.|last2=van Lint|title=Designs, Graphs, Codes and their Links|publisher=Cambridge University Press|series=London Mathematical Society Student Texts 22|year=1991|isbn=978-0-521-42385-4|page=[https://archive.org/details/designsgraphscod0000came/page/37 37]|url=https://archive.org/details/designsgraphscod0000came/page/37}}&lt;/ref&gt;
 
 === ஐகென் மதிப்புகள் ===
 வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவின் அண்மை அணிக்கு மூன்று ஐகென்மதிப்புகள் மட்டுமே இருக்கும்:
 *''k'', இதன் [[மடங்கெண் 1 
 * &lt;math&gt;\frac{1}{2}\left[(\lambda-\mu)+\sqrt{(\lambda-\mu)^2 + 4(k-\mu)}\right],&lt;/math&gt; இதன் மடங்கெண் &lt;math&gt;\frac{1}{2} \left[(v-1)-\frac{2k+(v-1)(\lambda-\mu)}{\sqrt{(\lambda-\mu)^2 + 4(k-\mu)}}\right]&lt;/math&gt;
 * &lt;math&gt;\frac{1}{2}\left[(\lambda-\mu)-\sqrt{(\lambda-\mu)^2 + 4(k-\mu)}\right],&lt;/math&gt; இதன் மடங்கெண் &lt;math&gt;\frac{1}{2} \left[(v-1)+\frac{2k+(v-1)(\lambda-\mu)}{\sqrt{(\lambda-\mu)^2 + 4(k-\mu)}}\right]&lt;/math&gt;
 
 மறுதலையாக, மூன்று ஐகென் மதிப்புகள் மட்டுமுள்ள இணைப்புள்ள ஒரு ஒழுங்கு கோட்டுருவானது வலிமையான ஒழுங்கு கோட்டுருவாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;Godsil, Chris; Royle, Gordon. ''Algebraic Graph Theory''. Springer-Verlag, New York, 2001, Lemma 10.2.1.&lt;/ref&gt;
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள்==
 &lt;gallery&gt;
 File:Cycle graph C5.png|சுழற்சி கோட்டுரு C5: srg(5, 2, 0, 1) 
 File:Petersen1 tiny.svg|பீட்டர்சன் கோட்டுரு: srg(10, 3, 0, 1)
 File:Clebsch Lombardi.svg|srg(16, 5, 0, 2)
 Image:Shrikhande graph square.svg|சிறீகான்டே கோட்டுரு: srg(16, 6, 2, 2)
 File:Chang graphs.svg|600px|சாங் கோட்டுருக்கள்: srg(28, 12, 6, 4)
 File:Schläfli graph.svg|600px|ஸ்காலஃப்லி கோட்டுரு: srg(27, 16, 10, 8)&lt;ref&gt;{{MathWorld | urlname=SchlaefliGraph | title=Schläfli graph}}&lt;/ref&gt;
 &lt;/gallery&gt;
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{reflist}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 * A.E. Brouwer, A.M. Cohen, and A. Neumaier (1989), ''Distance Regular Graphs''.  Berlin, New York: Springer-Verlag.  {{isbn|3-540-50619-5}}, {{isbn|0-387-50619-5}}
 * Chris Godsil and Gordon Royle (2004), ''Algebraic Graph Theory''.  New York: Springer-Verlag.  {{isbn|0-387-95241-1}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * Eric W. Weisstein, [http://mathworld.wolfram.com/StronglyRegularGraph.html Mathworld article with numerous examples.]
 * Gordon Royle, [https://web.archive.org/web/20080503090520/http://people.csse.uwa.edu.au/gordon/remote/srgs/ List of larger graphs and families.]
 * Andries E. Brouwer, [http://www.win.tue.nl/~aeb/graphs/srg/srgtab.html Parameters of Strongly Regular Graphs.]
 * Brendan McKay, [http://cs.anu.edu.au/~bdm/data/graphs.html Some collections of graphs.]
 * Ted Spence, [http://www.maths.gla.ac.uk/~es/srgraphs.php Strongly regular graphs on at most 64 vertices.]