உறுப்பு (கணிதம்)
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''உறுப்பு''' (''element'') என்பது ஒரு [[கணம்|கணத்தை]] உருவாக்கும் உருவாக்கும் வெவ்வேறான [[கணிதப் பொருள்கள்|கணிதப் பொருள்களுள்]] ஒன்றாகும்.
 
 சில கணங்களின் உறுப்புகளைச் சொற்களால் விரித்துரைக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக: 
  
 :''A'' என்பது முதல் நான்கு நேர்ம [[முழு எண்|முழு எண்களை]] உறுப்புகளாகக் கொண்ட ஒரு கணம். 
 :''B'' என்பது [[இந்திய தேசியக் கொடி|இந்தியக் கொடியில்]] உள்ள நிறங்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட ஒரு கணம்.
 
 அதைப் பின்வருமாறு சுருக்கமாகக் குறிக்கலாம்.  
 :''A'' = {4, 2, 1, 3}
 :''B'' = {காவி, வெள்ளை, பச்சை, நீலம்}
 
 ஒரு பொருள் ஒரு கணத்தினுள் உள்ள ஓர் உறுப்பு என்றோ அல்லது ஓர் உறுப்பு அல்ல என்றோ குறிக்கக் கீழ்க்காணும் குறிவடிவுகளை முறையே பயன்படுத்தப்படுகிறது: 
 :&lt;math&gt;\in&lt;/math&gt; , &lt;math&gt;\notin&lt;/math&gt;.
 
 எடுத்தக்காட்டாக, மேலே  A என்னும் கணத்தைப் பார்த்தால் அதில் 4 என்பது A யில் உள்ள ஓர் உறுப்பு என அறியலாம். எனவே அதனைக் கீழ் காணுமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
 :*&lt;math&gt;4 \in A&lt;/math&gt;
 
 ஆனால் ஒரு பொருள் உறுப்பு அல்ல என்பதைக் கீழ்க்காணுமாறு குறிக்கப்படும்:
 :*&lt;math&gt;9 \notin A&lt;/math&gt;
 
 ==கணங்கள்==
 ''A''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;{1,&amp;nbsp;2,&amp;nbsp;3,&amp;nbsp;4} என்பதிலிருந்து கணம் ''A'' யின் உறுப்புகளாக   1, 2, 3 and&amp;nbsp;4 ஆகிய எண்கள் உள்ளன என அறியலாம்.
 
 {1,&amp;nbsp;2} போன்ற ''A'' இன் உறுப்புகளாலான கணங்கள் ''A'' இன் [[உட்கணம்|உட்கணங்கள்]] எனப்படும். ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளாக கணங்களே அமையலாம். எடுத்துக்காட்டாக ஒரு கணத்தின் [[அடுக்கு கணம்|அடுக்கு கணத்தின்]] உறுப்புகள் அனைத்துமே மூல கணத்தின் உட்கணங்களாக இருக்கும்.
 
 :&lt;math&gt;C&lt;/math&gt; = {''x'', ''y'', ''z''} இன் அடுக்கு கணம்:
 :&lt;math&gt;\mathcal{P}(C&lt;/math&gt;) =&lt;math&gt;\left\{\{\}, \{x\}, \{y\}, \{z\}, \{x, y\}, \{x, z\}, \{y, z\}, \{x, y, z\}\right\}\,\!.&lt;/math&gt;&lt;ref&gt;Puntambekar (2007), {{Google books quote|id=IYnkhA92BzIC|pg=SA1-PA2|text=The power set is|p. 1-2}}&lt;/ref&gt;
  
 ==குறியீடும் சொல்லியலும்==
 
 &quot;இன் ஓர் உறுப்பு&quot;, அல்லது '' இல் உள்ளது '' என்ற [[ஈருறுப்பு உறவு|ஈருறுப்பு உறவின்]] குறியீடு &amp;nbsp;&quot;∈&quot; ஆகும்.
 
 இக்குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி &quot;''x'' ஆனது &amp;nbsp;''A'' இன் ஓர் உறுப்பு&quot; அல்லது &quot;''x'' ஆனது &amp;nbsp;''A'' இல் உள்ளது&quot; என்ற கூற்றானது பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது:
 
 :&lt;math&gt;x \in A &lt;/math&gt;
 
 ஒருசில கணித நூலாசிரியர்கள்  &quot;''A'' , ''x'' ஐ உள்ளடக்கியுள்ளது&quot; and &quot;''A'' , ''x'' ஐக் கொண்டுள்ளது&quot; என்ற கூற்றுகளை ஒரு கணத்தின் உறுப்பைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தினாலும் வேறு சிலர் இவற்றை [[உட்கணம்|உட்கணங்களுக்கு]] உரியவையாகக் கருதுகின்றனர்.&lt;ref name=&quot;schech&quot;&gt;{{cite book |author = [[Eric Schechter]] |title= Handbook of Analysis and Its Foundations |publisher= [[Academic Press]] |year= 1997|isbn= 0-12-622760-8 }} p. 12&lt;/ref&gt; தருக்கவியலாளர் ஜார்ஜ் பூலோசு என்பவர் &quot;கொண்டுள்ளது&quot; என்பதை உறுப்புகளுக்கும் &quot;உள்ளடக்கியுள்ளது&quot; என்பதை உட்கணங்களுக்கும் பயன்படுத்த வேண்டுமென வலியுறுத்துகிறார்.&lt;ref name=&quot;boolos&quot;&gt;{{cite speech
  | title = 24.243 Classical Set Theory (lecture).
  | author = [[George Boolos]]
  | authorlink = 
  | date = February 4, 1992
  | location = Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA
  | url = 
  | accessdate = 
 }}&lt;/ref&gt;
 
 &quot;''A'' , ''x'' ஐக் கொண்டுள்ளது&quot; என்பதைக் கீழ்வருமாறு குறிக்கலாம். 
 :&lt;math&gt;A \ni x,&lt;/math&gt; 
 :இக்குறியீடு பெரும்பாலும் நடைமுறையில் கையாளப்படுவதில்லை.
 
 &quot;''x'' ,&amp;nbsp;''A'' இன் உறுப்பல்ல&quot;. என்ற எதிர்மறைக் கூற்றுக் கீழுள்ளவாறு குறியீட்டில் (&amp;nbsp;&quot;∉&quot;) எழுதப்படுகிறது:
 :&lt;math&gt;x \notin A&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt; \in &lt;/math&gt; என்பது, கிரேக்க எழுத்து [[எச்சைலன்]] (&quot;ε&quot;) இன் சிற்றெழுத்து வடிவமாக  அமைந்துள்ளது.
 
 ==கணங்களின் எண்ணளவை==
 {{main|எண்ணளவை}}
 ஒரு கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையானது  அக்கணத்தின்  ”எண்ணளவை” எனப்படுகிறது. மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டு கணங்களில் 
 :&amp;nbsp;|''A''| = &amp;nbsp;4
 :&amp;nbsp;|''B''| = &amp;nbsp;3 
 :&amp;nbsp;|''C''| = &amp;nbsp;3
 
 இவை முடிவுறு கணங்கள். முடிவுறாக கணங்களின் எண்ணளவை முடிவுறா எண்ணாக இருக்கும்.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 :''A'' = {1, 2, 3, 4 }, ''B'' = {1, 2, {3, 4}}, ''C'' = { சிவப்பு, பச்சை, நீலம் } ஆகிய மூன்று கணங்களில் பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மையாகும்:
 *2 ∈ ''A''
 *{3,4} ∈ ''B''
 *3,4 ∉ ''B''
 *{3,4},  ''B'' இன் ஓர் உறுப்பு.
 *Yellow ∉ ''C''
 
 :''D''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;{&amp;nbsp;2,&amp;nbsp;4,&amp;nbsp;&amp;nbsp;8,&amp;nbsp;10,&amp;nbsp;12&amp;nbsp;} இன் [[எண்ணளவை]] &amp;nbsp;5 ஆகும்.
 :''P''&amp;nbsp; =&amp;nbsp;{&amp;nbsp;2,&amp;nbsp;3,&amp;nbsp;5,&amp;nbsp;7,&amp;nbsp;11,&amp;nbsp;13,&amp;nbsp;...} ( [[பகா எண்]]களின் கணம்) இன் எண்ணளவை முடிவிலி ஆகும்.(இக்கூற்று  [[யூக்ளிடு|யூக்ளிடால் நிறுவப்பட்டது]]).
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 ==மேலதிக வாசிப்புக்கு==
 *{{Citation|last=Halmos|first=Paul R.|author-link=Paul R. Halmos|origyear=1960|year=1974|title=Naive Set Theory|publisher=Springer-Verlag|location=NY|edition=Hardcover|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|isbn=0-387-90092-6}} - &quot;Naive&quot; means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).
 *{{Citation|last=Jech|first=Thomas|author-link=Thomas Jech|year=2002|title=Stanford Encyclopedia of Philosophy|chapter=Set Theory|url=http://plato.stanford.edu/entries/set-theory/}}
 *{{Citation|last=Suppes|first=Patrick|author-link=Patrick Suppes|origyear=1960|year=1972|title=Axiomatic Set Theory|publisher=Dover Publications, Inc.|location=NY|isbn=0-486-61630-4}} - Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of &quot;set element&quot;.
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 *{{MathWorld |title=Element |id=Element }}