குலச் சமஅமைவியம்
நுண்புல இயற்கணிதத்தில் '''குலச் சமஅமைவியம்''' (''group isomorphism'') என்பது இரு [[குலம் (கணிதம்)|குலங்களின்]] உறுப்புகளுக்கிடையில்  ஒன்றுக்கு-ஒன்று தொடர்பினை ஏற்படுத்தும் [[சார்பு|சார்பாகும்]]. இரு குலங்களுக்கிடையே சமஅமைவியம் இருக்குமானால் அவையிரண்டும் ''சமஅமைவியமுடைய குலங்கள்'' எனப்படும். சமஅமைவியமுடைய குலங்களின் பண்புகள் ஒரேமாதிரியாக அமைந்திருக்கும்.
 
 == வரையறையும் குறியீடும்==
 (&lt;var&gt;G&lt;/var&gt;, *) , (&lt;var&gt;H&lt;/var&gt;, &lt;math&gt;\odot&lt;/math&gt;) ஆகிய இரு குலங்களுக்கிடையே  குலச் சமஅமைவியமானது G லிருந்து H க்கு வரையறுக்கப்படும் [[இருவழிக்கோப்பு|இருவழிக்]] [[காப்பமைவியம் (கணிதம்)#குலம் காப்பமைவியம்|குலக் காப்பமைவியமாகும்]].
 
 ''வரையறை'':
 :&lt;math&gt;f : G \rightarrow H&lt;/math&gt; 
 : &lt;math&gt; f(u * v) = f(u) \odot f(v) , \forall u , v \in G&lt;/math&gt;.
 
 ''குறியீடு'':
 (&lt;var&gt;G&lt;/var&gt;, *) , (&lt;var&gt;H&lt;/var&gt;, &lt;math&gt;\odot&lt;/math&gt;) இரண்டும் சம அமைவியமுடைய குலங்கள் என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு:
 : &lt;math&gt;(G, *) \cong (H, \odot)&lt;/math&gt;
 
 இரு குலங்களின் [[ஈருறுப்புச் செயலி]]களும் நன்கறியப்பட்டவையாக இருப்பின், அவையில்லாமல் இக்குறியீட்டைச் சுருக்கமாக எழுதலாம்:
 : &lt;math&gt;G \cong H&lt;/math&gt;
 
 சிலசமயங்களில் &lt;var&gt;G&lt;/var&gt; = &lt;var&gt;H&lt;/var&gt; எனவும் குறிக்கப்படலாம். ஆனால் இது எல்லா சூழ்நிலைகளிலும் சரியாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக இரு குலங்களும் ஒரே குலத்தின் உட்குலங்களாக இருந்தால் சமஅமைவியத்திற்கு சமக்குறிமட்டும் இடுதல் பொருந்தாது.
 
 மறுதலையாக, குலம் (&lt;var&gt;G&lt;/var&gt;, *); கணம் &lt;var&gt;H&lt;/var&gt;; இருவழிக்கோப்பு &lt;math&gt;f : G \rightarrow H&lt;/math&gt; மூன்றும் தரப்பட்டால்,
 
 : &lt;math&gt;f(u) \odot f(v) = f(u * v)&lt;/math&gt;
 
 என வரையறுப்பதன் மூலம் &lt;var&gt;H&lt;/var&gt; கணத்தை  (&lt;var&gt;H&lt;/var&gt;, &lt;math&gt;\odot&lt;/math&gt;) எனும் குலமாக்கலாம்.
 
 &lt;var&gt;H&lt;/var&gt; = &lt;var&gt;G&lt;/var&gt; , &lt;math&gt;\odot&lt;/math&gt; = * எனில் இச்சார்பு தன்னமைவியம் எனப்படும்.
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 
 * [[மெய்யெண்]]களின் கூட்டல் குலம் (&lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;,+),  நேர் மெய்யெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் (&lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;,&amp;times;): சமஅமைவியமுடையது:
 : &lt;math&gt;(\mathbb{R}, +) \cong (\mathbb{R}^+, \times)&lt;/math&gt;
 சமஅமைவியம்:
 : &lt;math&gt;f(x) = e^x , \forall x \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
 
 * [[மெய்யெண்]]களின் கூட்டல் குலம் (&lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;,+) இன் உட்குலம் முழு எண்களின் கூட்டல் குலம் (&lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt;, +). [[காரணி குலம்]] &lt;math&gt;\mathbb{R}/\mathbb{Z},&lt;/math&gt; [[தனி மதிப்பு]] 1 கொண்ட [[சிக்கலெண்|சிக்கலெண்களின்]] பெருக்கல் குலத்துடன் (&lt;math&gt;S^1&lt;/math&gt;, &amp;times;) சமஅமைவியமுடையது:
 
 : &lt;math&gt;\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1&lt;/math&gt;
 சமஅமைவியம்:
 : &lt;math&gt;f(x + \mathbb{Z}) = e^{2 \pi xi} ,\forall x \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;
 
 * [[கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம்]],  &lt;math&gt;\mathbb{Z}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}&lt;/math&gt; இன் இரு நகல்களின் [[குலங்களின் நேர்ப் பெருக்கம்|நேர்பெருக்கல் குலத்துடன்]] (&lt;math&gt;\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2&lt;/math&gt;) சமஅமைவியமுடையது.
 * (''G'', *) ஒரு முடிவுறா [[சுழற் குலம்]] எனில் முழு எண்களின் கூட்டல் குலத்துடன்  (''G'', *) சமஅமைவியம் கொண்டது.
 * மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (&lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt;, +) சிக்கலெண்களின் கூட்டல் குலத்துடன் (&lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;, +) சமாமைவியமுடையது.
 * [[பூச்சியம்|பூச்சியமற்ற]] சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலம் (&lt;math&gt;\mathbb{C}&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;*&lt;/sup&gt;, ·)  தனிமதிப்பு 1 உடைய[[சிக்கலெண்|சிக்கலெண்களின்]] பெருக்கல் குலத்துடன் (&lt;math&gt;S^1&lt;/math&gt;, &amp;times;) சமஅமைவியமுடையது.
 
 ==பண்புகள்==
 * (''G'', *) லிருந்து  (''H'', &lt;math&gt;\odot&lt;/math&gt;) க்குள்ள சம அமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) எப்பொழுதும் {e&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;} ஆக இருக்கும். இங்கு e&lt;sub&gt;G&lt;/sub&gt;, (''G'', *) குலத்தின் [[முற்றொருமை உறுப்பு]].
 * (''G'', *) , (''H'',&lt;math&gt;\odot&lt;/math&gt;) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது  ''G'' [[ஏபெல் குலம்|ஏபெல் குலமாக]] இருந்தால் ''H'' ம் ஏபெல் குலமாக இருக்கும்.
 * (''G'', *) , (''H'', &lt;math&gt;\odot&lt;/math&gt;) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது (''f''), ''G'' இன் ஒரு உறுப்பு ''a'' இன் வரிசை ''n'' எனில், ''H'' இல் ''f(a)'' இன் வரிசையும்  ''n'' ஆக இருக்கும்.
 *(''G'', *) இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமெனில் (locally finite group) அதனுடன் சமஅமைவியம் கொண்ட  (''H'', &lt;math&gt;\odot&lt;/math&gt;) ம் இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமாக இருக்கும்
 * குலத்தின் பண்புகள் எப்பெழுதும் சம அமைவியத்தின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகின்றன என்பதை மேலே தரப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் அறியலாம்.
 
 == சுழற் குலங்கள் ==
 தரப்பட்ட [[குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)|கிரமமுள்ள]] அனைத்து [[சுழற் குலம்|சுழற் குலங்களும்]] &lt;math&gt;(\mathbb{Z}_n, +_n)&lt;/math&gt; உடன் சமஅமைவியம் கொண்டவை.
 
 ;நிறுவல்
 
 ''G'' , ''n'' கிரம குலம் என்க. ''G'' ஐப் பின்வரும் பிறப்பிக்கப்பட்ட குலமாகக் கொள்ளலாம்.
 
 :&lt;math&gt;&lt;x&gt;=\{e,x,...,x^{n-1}\}&lt;/math&gt;.
 
 &lt;math&gt;\varphi &lt;/math&gt; எனும் சார்பு கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
 : &lt;math&gt;\varphi : G \rightarrow \mathbb{Z}_n=\{0,1,...,n-1 \},&lt;/math&gt; :&lt;math&gt;\varphi(x^a)=a&lt;/math&gt;.
 
 இச்சார்பு  இருவழிக்கோப்பாக உள்ளது.
 
 : &lt;math&gt;\varphi(x^a \cdot x^b) = \varphi(x^{a+b}) = a+b = \varphi(x^a)+_n \varphi(x^b)&lt;/math&gt;
 
 எனவே,
 :&lt;math&gt;G \cong \mathbb{Z}_n, +_n&lt;/math&gt;.
 
 == விளைவுகள் ==
 &lt;math&gt;f : G \rightarrow H&lt;/math&gt; எனும் சமஅமைவியம், &lt;var&gt;G&lt;/var&gt; இன் முற்றொருமை உறுப்புடன் &lt;var&gt;H&lt;/var&gt; இன் முற்றொருமை உறுப்பை இணைக்கிறது: 
 : &lt;math&gt;f(e_G) = e_H&lt;/math&gt;;
 
 அதேபோல் ''G'' இல் உள்ள [[நேர்மாறு உறுப்பு|நேர்மாறு உறுப்பை]]  ''H'' இல் அதற்கொத்த நேர்மாறு உறுப்புடன் இணைக்கிறது:
 : &lt;math&gt;f(u^{-1}) = \left[ f(u) \right]^{-1}&lt;/math&gt;
 
 பொதுவாக,
 : &lt;math&gt;f(u^n)= \left[ f(u) \right]^n , \forall u \in G&lt;/math&gt;
 
 மேலும் ''f'' இன் [[நேர்மாறுச் சார்பு|நேர்மாறு]] &lt;math&gt;f^{-1} : H \rightarrow G&lt;/math&gt; ம் ஒரு குல சம அமைவியம்.
 
 &quot;சமஅமைவியமானது&quot; என்ற உறவு, ஒரு [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவிற்கான]] அனைத்து [[அடிக்கோள்]]களையும் நிறைவுசெய்கிறது.
 
 &lt;math&gt;f : G \rightarrow H&lt;/math&gt; என்பது சமஅமைவியம் எனில் &lt;var&gt;G&lt;/var&gt; இல் உண்மையாக அமையும் கூற்றுகளில் குல அமைப்புத் தொடர்பானவற்றை மட்டுமே &lt;var&gt;f&lt;/var&gt; மூலம்  &lt;var&gt;H&lt;/var&gt; இல் அமையும் உண்மைக்கூற்றுகளாக மாற்றமுடியும் (அதேபோலத்தான் &lt;var&gt;H&lt;/var&gt; லிருந்து &lt;var&gt;G&lt;/var&gt; க்கும்).
 
 ==தன்னமைவியம் ==
 குலம் (&lt;var&gt;G&lt;/var&gt;,*) லிருந்து (&lt;var&gt;G&lt;/var&gt;,*) க்கே அமையும் சமஅமைவியம், தன்னமைவியம் எனப்படும் இத்தன்னமைவியம் பின்வரும் இருவழிக்கோப்பாகும்:
 
 &lt;math&gt;f : G \rightarrow G,&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;f(u) * f(v) = f(u * v), \forall u, v \in G&lt;/math&gt;.
 
 தன்னமைவியமானது குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பை, முற்றொருமை உறுப்பாகவே மாற்றுகிறது; ஒரு [[வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல்|இணையியப் பகுதியை]] அதே இணையியப் பகுதியாகவோ அல்லது வேறொரு இணையியப் பகுதியாகவோ மாற்றுகிறது; தன்னமைவியத்தின் கீழ் ஒரு [[குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)#ஓர் உறுப்பின் கிரமம்|உறுப்பின் கிரமமும்]] அதன் [[வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு|எதிருருவின்]] கிரமமும் சமமாக இருக்கும்.
 
 இரு தன்னமைவியங்களின் [[சார்புகளின் தொகுப்பு|சேர்ப்பும்]] மற்றொரு தன்னமைவியமாக இருக்கும். இச்செயலியின்கீழ் &lt;var&gt;G&lt;/var&gt; குலத்தின் அனைத்து தன்னமைவியங்களின் கணம் ஒரு குலமாகும். இக்குலம் &lt;var&gt;G&lt;/var&gt; இன் ''தன்னமைவியக் குலம்'' என அழைக்கப்படும். மேலும் அதன் குறியீடு: Aut(&lt;var&gt;G&lt;/var&gt;).
 
 ==மேற்கோள்கள் ==
 * Herstein, I. N., ''Topics in Algebra'', Wiley; 2 edition (June 20, 1975), {{ISBN|0-471-01090-1}}.