யூக்ளிடு-ஆய்லர் தேற்றம்
[[கணிதம்|கணிதத்தின்]] [[எண் கோட்பாடு|எண்கோட்பாட்டில்]] '''யூக்ளிடு-ஆய்லர் தேற்றம்''' (''Euclid–Euler theorem'') என்பது [[செவ்விய எண்]]களை [[மெர்சென் பகாத்தனி]]களுடன் தொடர்புபடுத்தும் ஒரு [[தேற்றம்|தேற்றமாகும்]]. ஓர் [[நிகரி (கணிதம்)|இரட்டையெண்]]ணானது {{math|2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1)}} (இதில், {{math|2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1}} ஒரு [[பகா எண்]]) என்ற வடிவில் &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot;, அந்த இரட்டையெண் ஒரு செவ்விய எண்ணாக இருக்கமுடியும் என இத்தேற்றம் கூறுகிறது. இத்தேற்றத்தில் &quot;இருந்தால்&quot;, &quot;இருந்தால் மட்டுமே&quot;  எனும் இரு பகுதிகளை முறையே நிறுவிய [[யூக்ளிடு]], [[லியோனார்டு ஆய்லர்|ஆய்லர்]] என்ற இரு கணிதவியலாளர்களின் பெயரால் இத்தேற்றம் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 மெர்சென் பகாத்தனிகளின் எண்ணிக்கை முடிவற்றதென அனுமானிக்கப்பட்டுள்ளது. இந்த அனுமானம் உண்மையா இல்லையா என்பது நிறுவப்படாததாக இருப்பினும், யூக்ளிடு-ஆய்லர் தேற்றத்தின்படி இரட்டைச் செவ்விய எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவற்றது என்ற அனுமானத்திற்குச் சமானமானதாக அமைகிறது. ஒற்றைச் செவ்விய எண் ஏதாவது ஒன்றாவது உள்ளதா என்பதும் அறியப்படாத ஒன்றாகவே உள்ளது.&lt;ref name=&quot;stillwell&quot; /&gt;
 
 == தேற்றத்தின் கூற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளும் ==
 [[File:Perfect number Cuisenaire rods 6 exact.svg|alt=Cuisenaire rods showing the proper divisors of 6 (1, 2, and 3) adding up to 6|thumb|6, ஒரு செவ்விய எண் என்பதனை [[குசேனைரே கோல்கள்]] மூலம் விளக்கும் படம்]]
 ;செவ்விய எண்
 :தனது [[வகுஎண்|தகு வகுஎண்களின்]] கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாகவுள்ள [[இயல் எண்]]ணானது ஒரு [[செவ்விய எண்]] எனப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக [[6 (எண்)|6]] ஒரு செவ்விய எண்; ஏனெனில் அதன் தகுவகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை: 1 + 2 + 3 = 6.
 
 ;மெர்சென் பகாத்தனி
 :{{math|1=''M''&lt;sub&gt;''p''&lt;/sub&gt; = 2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1}} வடிவிலமையும் [[பகாத்தனி]]கள். இவ்வடிவிலமையும் எண்கள் பகா எண்களாக இருப்பதற்கு  {{mvar|p}} உம் ஒரு பகா எண்ணாக இருக்க வேண்டும். ஆனால்  {{mvar|p}} இன் அனைத்து பகா எண் மதிப்புகளுக்கும், 2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1 ஒரு பகா எண்ணாக இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக,
 
 : {{nowrap|1=2&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; − 1 = 7}} . இது ஒரு பகா எண்; மேலும் மெர்சென் பகா எண்ணுங்கூட. 
 
 ஆனால் 11 ஒரு பகாஎண்ணாக இருந்தாலும்,
 : {{nowrap|1=2&lt;sup&gt;11&lt;/sup&gt; − 1 = 2047 = 23 × 89}} பகா எண் அல்ல.
 
 ;''தேற்றத்தின் கூற்று''
 
 :ஓர் [[நிகரி (கணிதம்)|இரட்டையெண்]]ணானது {{math|2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;''M''&lt;sub&gt;''p''&lt;/sub&gt;}}, (இதில் {{math|''M''&lt;sub&gt;''p''&lt;/sub&gt;}} என்பது மெர்சென் பகாத்தனி) என்ற வடிவில் &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot;, அந்த இரட்டையெண் ஒரு செவ்விய எண்ணாக இருக்கமுடியும்.&lt;ref name=&quot;stillwell&quot;&gt;{{citation|title=Mathematics and Its History|series=Undergraduate Texts in Mathematics|first=John|last=Stillwell|publisher=Springer|year=2010|isbn=978-1-4419-6052-8|page=40|url=https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&amp;pg=PA40}}.&lt;/ref&gt; 
 
 எடுத்துக்காட்டுகள்:
 :6, 28 ஆகிய இரு எண்களும் இரட்டைச் செவ்விய எண்களாகவும், அதேசமயம் {{math|1=''M''&lt;sub&gt;''p''&lt;/sub&gt; = 2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1}} வடிவில் எழுதக்கூடியவையாகவும் உள்ளதைக் காணலாம்:
 
 :{{nowrap|1=2&lt;sup&gt;2−1&lt;/sup&gt;{{mvar|M}}&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = 2 × 3 = 6}}, (மெர்சென் பகாத்தனி {{mvar|M}}&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; = 2)
 :{{nowrap|1=2&lt;sup&gt;3−1&lt;/sup&gt;{{mvar|M}}&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = 4 × 7 = 28}}, (மெர்சென் பகாத்தனி {{mvar|M}}&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; = 7)
 
 == நிறுவல் ==
 [[வகுஎண் சார்பு|வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகைச் சார்பானது]] ({{mvar|σ}}) ஒரு [[பெருக்கல் சார்பு]] என்பதைக்கொண்டு இந்நிறுவல் செயல்படுகிறது; அதாவது, {{mvar|a}}, {{mvar|b}} இரண்டும் [[சார்பகா முழுஎண்கள்]] எனில், {{math|1=''σ''(''ab'') = ''σ''(''a'')''σ''(''b'')}}. வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை காணும்போது தகு வகுஎண்களை மட்டுமல்லாமல் அந்த எண்ணையும் சேர்த்துக்கொண்டால்தான் பெருக்கல் சார்பு எனும் கூற்று உண்மையாக இருக்கும்.  ஒரு எண்ணின் அனைத்து வகு எண்களின் கூட்டுத்தொகைச் சார்பலனானது அவ்வெண்ணின் இருமடங்காக &quot;இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&quot;, அது ஒரு செவ்விய எண்ணாக இருக்கும். &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; ஒரு செவ்விய எண் எனில், &lt;math&gt;\sigma(n)=2n&lt;/math&gt;.
 
 === போதுமானது ===
 
 {{math|1=''n''}} ஒரு இரட்டை முழுவெண்; மேலும் இது {{math|1=2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1)}} என்ற வடிவிலுள்ளது எனில், {{math|1=''n''}} ஒரு செவ்விய எண் என நிறுவவேண்டும்.
 
 ;நிறுவல்
 
 *யூக்ளிடால் ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட இப்பகுதியானது பெருக்கல் சார்பின் பண்பிலிருந்து பெறப்படுகிறது:
 
 *மெர்செனி பகாத்தனியின் பொதுவடிவம்: {{math|1 = 2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1}}, இது ஒரு பகாஎண். 
 
 *வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகைச் சார்பானது பெருக்கல் சார்பாதலால்:
 :&lt;math display-block&gt;\sigma(n) = \sigma(2^{p-1}(2^p - 1)) = \sigma(2^{p-1})\sigma(2^p - 1).&lt;/math&gt;
 : இதிலுள்ள முதல் காரணி {{math|2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;}} இன் வகுஎண்கள் {{math|1, 2, 4, 8, ..., 2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;}}.
 : இது ஒரு [[பெருக்குத் தொடர்]]. எனவே இவற்றின் கூட்டுத்தொகை {{math|1=2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1}}.
 : அடுத்து இரண்டாவது காரணி {{math|1=2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1}} ஒரு பகாஎண் (மெர்சென்பகாத்தனி) என்பதால் இதன் வகுஎண்கள் {{math|1}}, {{math|1=2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1}} மட்டுமே. இவை இரண்டின் கூட்டுத்தொகை  {{math|1=2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt;}}.
 
 *எனவே இவற்றைபெருக்கல் சார்பின் பண்பில் பதிலிட
 &lt;math display=block&gt;\begin{align}
   \sigma(n) = \sigma(2^{p-1}(2^p - 1)) &amp;= \sigma(2^{p-1})\sigma(2^p - 1) \\
    &amp;= (2^p - 1)(2^p) \\
    &amp;= 2(2^{p-1})(2^p - 1)\\
    &amp;= 2n.\\
  \end{align}&lt;/math&gt;
 
 *அதாவது  {{math|2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1)}} வடிவிலமைந்தை இரட்டை எண் {{math|1=''n''}}, ஒரு செவ்விய எண்.&lt;ref name=&quot;imsp&quot;&gt;{{citation|title=Introduction to Mathematical Structures and Proofs|series=Undergraduate Texts in Mathematics|first=Larry|last=Gerstein|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-1-4614-4265-3|at=Theorem 6.94, p.&amp;nbsp;339|url=https://books.google.com/books?id=qK9y768b1NQC&amp;pg=PA339}}.&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;pp&quot;&gt;{{citation|title=A proof that all even perfect numbers are a power of two times a Mersenne prime|website=Prime Pages|url=https://primes.utm.edu/notes/proofs/EvenPerfect.html|access-date=2014-12-02|first=Chris K.|last=Caldwell}}.&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;ntfagd&quot;&gt;{{citation|title=Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy|volume=81|series=London Mathematical Society Student Texts|first=Giancarlo|last=Travaglini|publisher=Cambridge University Press|year=2014|isbn=978-1-107-04403-6|pages=26–27|url=https://books.google.com/books?id=mIaYAwAAQBAJ&amp;pg=PA26}}.&lt;/ref&gt;
 
 === தேவையானது ===
 {{math|1=''n''}} ஒரு இரட்டைச் செவ்விய எண் எனில் {{math|1=''n'' = 2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1)}} என்ற வடிவிலமையும் என நிறுவ வேண்டும்.
 
 ;நிறுவல்
 : {{math|1=''n''}} ஆனது, {{math|1=''n'' = 2&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;''x''}}  எனக் காரணிப்படுத்தப்படுகிறது. 
 : இதிலுள்ள இரு காரணிகளில்  2&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt; ஓர் இரட்டையெண்; எனவே {{mvar|''x''}} ஒற்றையெண்ணாக இருக்கும். 
 : {{math|1=''n'' }} ஒரு செவ்விய எண் என்பதால், அதன் வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை &lt;math&gt; \sigma (n) = 2n &lt;/math&gt; ஆகும் {{math|1=''n''  = 2&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;''x''}} எனப் பதிலிட,
 
 : &lt;math&gt; \sigma (2^k x) = 2.(2^k x) = 2^{k+1}x&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;\implies 2^{k+1}x =  \sigma (2^k x) = \sigma(2^k). \sigma(x)&lt;/math&gt; (வகுஎண் கூட்டுத்தொகைச் சார்பு ஒரு பெருக்கல் சார்பு என்பதால்).
 : &lt;math&gt; \sigma (2^k )&lt;/math&gt; ஒரு பெருக்குத் தொடராக இருக்குமென்பதால் பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகைக்கான வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்த:
 :&lt;math&gt; \sigma (2^k ) = 2^{k+1} - 1&lt;/math&gt; 
 : {{NumBlk|:|&lt;math&gt;\implies 2^{k+1}x =  (2^{k+1} - 1) \sigma(x)&lt;/math&gt;|∗}}
 
 '''(∗)''' இன் வலப்புறமுள்ள ஒரேயொரு ஒற்றைக்காரணி  {{math|2&lt;sup&gt;''k''+1&lt;/sup&gt; − 1}} ஆனது குறைந்தபட்சம் 3 ஆக இருக்க வேண்டும்; மேலும், இடப்பக்கமுள்ள ஒரேயொரு ஒற்றைக்காரணி {{mvar|''x''}} இன் வகுஎண்ணாக {{math|2&lt;sup&gt;''k''+1&lt;/sup&gt; − 1}} இருக்கும். எனவே {{math|1=''y'' = ''x''/(2&lt;sup&gt;''k''+1&lt;/sup&gt; − 1)}} என்பது {{mvar|x}} இன் ஒரு தகுவகுஎண்.
 
 : '''(∗)''' இன் இருபுறமும் பொதுக்காரணி {{math|1=2&lt;sup&gt;''k''+1&lt;/sup&gt; − 1}} வகுக்க:
 
 : &lt;math&gt;2^{k+1}\frac{x}{2^{k+1} - 1} = \sigma(x)&lt;/math&gt;
 : {{math|1=''y'' = ''x''/(2&lt;sup&gt;''k''+1&lt;/sup&gt; − 1)}} எனப் பதிலிட:
 : &lt;math&gt;\implies 2^{k+1}y =  \sigma(x)&lt;/math&gt; = x இன் வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை
 : &lt;math&gt;\implies 2^{k+1}y =x + y  + &lt;/math&gt; ''x'' இன் மற்ற வகுஎண்கள்
 : &lt;math&gt;\implies 2^{k+1}y = 2^{k+1}y + &lt;/math&gt; ''x'' இன் மற்ற வகுஎண்கள்
 
 இச்சமன் உண்மையாக இருக்கவேண்டுமானால், ''x'' இற்கு வேறு வகுஎண்கள் எதுவும் இருக்கமுடியாது; {{mvar|1= y = 1}} ஆகவும் இருக்கவேண்டும். 
 
 : {{mvar|1= y = 1}} எனப் பதிலிட  ''x'' இன் மதிப்பு:
 : {{math|1=  ''x'' = 2&lt;sup&gt;''k''+1&lt;/sup&gt; − 1}} என்ற பகாஎண்ணாகும்.&lt;ref name=&quot;imsp&quot; /&gt;&lt;ref name=&quot;pp&quot; /&gt;&lt;ref name=&quot;ntfagd&quot; /&gt;
 
 : {{mvar|x}} இன் இந்த மதிப்பை {{math|1=''n'' = 2&lt;sup&gt;''k''&lt;/sup&gt;''x''}} இல் பதிலிட:
 :  &lt;math&gt;n = 2^k (2^{k+1} -1)&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;n = 2^{(k+1)-1} (2^{k+1} -1)&lt;/math&gt;
 
 == வரலாறு ==
 {{math|2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1)}} என்ற வடிவிலமைந்த எண்ணானது, {{math|2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1}} ஒரு பகாஎண்ணாக இருக்கும்போதெல்லாம் செவ்விய இரட்டையெண்ணாக இருக்குமென்பதை யூக்ளிடு நிறுவினார். [[யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்ஸ்|யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்சில்]] இடம்பெற்ற [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாடு]] குறித்த இறுதி முடிவாக இது காணப்படுகிறது. எலிமென்ட்சில் பின்னர் இடம்பெற்றவையெல்லாம் [[விகிதமுறா எண்]]கள், [[திண்மம் (வடிவவியல்)|திண்மங்கள்]], [[பொன் விகிதம்]] ஆகியவை பற்றியதாக உள்ளன. 
 
 இம்முடிவை யூக்ளிடு பின்வருமாறு குறிப்பிடுகிறார்:
 : முதல் உறுப்பு&amp;nbsp;1; பொதுவிகிதம் &amp;nbsp;2 உடைய ஒரு முடிவுறு [[பெருக்குத் தொடர்|பெருக்குத் தொடரின்]] கூட்டுத்தொகை {{mvar|q}} என்ற பகா எண்ணாக இருக்குமானால், இக்கூட்டுத்தொகை {{mvar|q}}, பெருக்குத்தொடரின் கடைசி உறுப்பு {{mvar|t}} ஆகிய இரண்டின் பெருக்கற்பலனாகக் கிடைக்கும் எண்ணானது ஒரு செவ்விய எண்ணாக இருக்கும்.
 
 ;யூக்ளிடின் நிறுவல்
 
 :பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகைக்கான வாய்பாட்டின்படி ,
 : {{mvar|1= q = 2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1}}, ஒரு மெர்சென் பகாஎண்;
 : மேலும் பெருக்குத்தொடரின் கடைசி உறுப்பு:
 : {{mvar|1= t =2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;}}
 : அடுத்து, முதல் உறுப்பு = {{mvar|q}}; பொதுவிகிதம் &amp;nbsp;2 எனவும் அதே எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளையும் கொண்ட மற்றொரு பெருக்குத்தொடரானது மூலப் பெருக்குத்தொடருடன் விகிதசமமாக இருப்பதை யூக்ளிடு நிறுவினார். 
 : இப்போது,  மூலப் பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை  {{math|1=''q'' = 2''t'' − 1}} என்பதால், இரண்டாவது பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை {{math|1=''q''(2''t'' − 1) = 2''qt'' − ''q''}} ஆகும்.
 : இவ்விரு பெருக்குத்தொடர்களின் கூட்டுத்தொகைகளைக் கூட்டினால் {{math|2''qt''}} கிடைக்கிறது. 
 : இது அனுமானிக்கப்பட்ட செவ்விய எண் {{math|''qt''}} இன் இருமடங்காக உள்ளது. 
 : ''q'' ஒரு பகாஎண்ணாதலால், இரு தொடர்களும் பொதுவுறுப்புகளற்றவை;
 : மேலும் {{math|''qt''}} இன் அனைத்து வகுஎண்களும் இவ்விரு தொடர்களின் மொத்த உறுப்புகளாக அமைகின்றன.
 : எனவே {{math|''qt''}} இன் அனைத்து வகுஎண்களின் கூடுதலானது, இவ்விரு பெருக்குத்தொடர்களின் கூட்டுத்தொகைகளின் கூடுதலான {{math|2''qt''}} ஆக இருக்கும்.
 :அதாவது &lt;math&gt; \sigma(qt) = 2 (qt) &lt;/math&gt;
 : இதுவே செவ்விய எண்ணுக்கான வரையறையாதலால்,
 ::{{math|1= ''qt'' =  (2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1)(2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;)}} ஒரு செவ்விய எண்ணாகும்.&lt;ref&gt;{{citation|author=[[யூக்ளிடு]]|title=The Thirteen Books of The Elements, Translated with introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Vol. 2 (Books III–IX)|edition=2nd|publisher=Dover|year=1956|pages=421–426}}. See in particular Prop. IX.36.&lt;/ref&gt;
 
 யூக்ளிடின் காலத்திற்கு பல்லாயிரம் ஆண்டுகளுக்குப் பின்னர், [[இபின் அல் ஹய்தம்]] {{circa|1000 CE}} ஒவ்வொரு செவ்விய இரட்டையெண்ணும் {{math|2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1)}} ({{math|2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1}} ஒரு பகா எண்), என்ற வடிவிலமையும் என்ற அனுமானத்தை வெளியிட்டார். ஆனால் அவரால் அதனை நிறுவ இயலவில்லை. &lt;ref&gt;{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham}}&lt;/ref&gt; யூக்ளிடுக்குப் பின்னர் 2000 ஆண்டுகள் கழித்தும் 18 ஆம் நூற்றாண்டுவரை இதற்கான நிறுவல் பெறப்படவில்லை.&lt;ref&gt;{{citation
  | last1 = Pollack | first1 = Paul
  | last2 = Shevelev | first2 = Vladimir
  | doi = 10.1016/j.jnt.2012.06.008
  | issue = 12
  | journal = Journal of Number Theory
  | mr = 2965207
  | pages = 3037–3046
  | title = On perfect and near-perfect numbers
  | volume = 132
  | year = 2012| arxiv = 1011.6160
  | s2cid = 13607242
  }}&lt;/ref&gt;
 
 அதன் பின்னர் {{math|2&lt;sup&gt;''p''−1&lt;/sup&gt;(2&lt;sup&gt;''p''&lt;/sup&gt; − 1)}} என்ற வாய்பாடு அனைத்து இரட்டைச் செவ்விய எண்களையும் தருமென்பதை, [[லியோனார்டு ஆய்லர்]] நிறுவினார். ஆய்லரின் நிறுவல் மிகவும் சுருக்கமானது.&lt;ref name=&quot;stillwell&quot; /&gt;&lt;ref&gt;{{citation|first=Leonhard|last=Euler|authorlink=லியோனார்டு ஆய்லர்|chapter=De numeris amicibilibus|trans-chapter=On amicable numbers|language=Latin|contribution-url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/798/|title=Commentationes arithmeticae|volume=2|year=1849|pages=627–636}}. Originally read to the Berlin Academy on February 23, 1747, and published posthumously. See in particular section 8, p. 88.&lt;/ref&gt; இதனால் செவ்விய எண்களுக்கும் மெர்சென் பகாஎண்களுக்கும் இடையே ஒன்றுக்கு-ஒன்று தொடர்புள்ளது என்பது உறுதியானது. ஆய்லர் இத்தேற்றத்தை நிறுவியதன் பின்னர், விக்டர்-அமெதீ லெபெசுகு, இராபர்ட் தானியேல் கார்மைக்கல், லியோனார்டு ஆய்கென் டிக்சன், வேய்னெ எல். மெக்தானியேல் உள்ளிட்ட பல கணிதவியலாளர்கள் இத்தேற்றத்துக்கான மாற்று நிறுவல்களை வெளியிட்டனர். இவற்றுள் டிக்சனின் நிறுவல், பொதுவாகப் பல பாடநூல்களில் பின்பற்றப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{citation|last=Cohen|first=Graeme L.|date=March 1981|doi=10.2307/3617930|issue=431|journal=The Mathematical Gazette|jstor=3617930|pages=28–30|title=Even perfect numbers|volume=65|s2cid=125868737 }}&lt;/ref&gt;
 
 இத்தேற்றம் 1999 இலிருந்து, &quot;சிறந்த 100 கணிதத் தேற்றங்களின்&quot; இணையப் பட்டியலில் இடப்பெற்றுள்ளது. பின்னர் கணினியியலில் &quot;நிறுவல் உதவிகளின்&quot; திறமையைச் சோதித்தறியும் &quot;திட்டஅளவி&quot;யாக பிரீக் வியடிஜ்க் என்பவரால் பயன்படுத்தப்பட்டது. 2024 இல் யூக்ளிடு-ஆய்லர் தேற்றத்தின் நிறுவலானது, வியடிஜ்க்கால் பதிவுசெய்யப்பட்ட 12 &quot;நிறுவல் உதவி&quot;களில் 7 இல் முறைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.&lt;ref&gt;{{citation|first=Freek|last=Wiedijk|url=https://www.cs.ru.nl/~freek/100/|title=Formalizing 100 Theorems|publisher=Radboud University Institute for Computing and Information Sciences|access-date=2024-02-20}}&lt;/ref&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist|2}}
 
 [[பகுப்பு:எண் கோட்பாட்டில் தேற்றங்கள்]]
 [[பகுப்பு:செவ்விய எண்கள்]]
 [[பகுப்பு:மெர்சென் பகாத்தனிகள்]]