எதிர்சமச்சீர் உறவு
கணிதத்தில், ஒரு [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தில்]] வரையறுக்கப்பட்ட [[ஈருறுப்பு உறவு]] '''எதிர்சமச்சீர்''' (''antisymmetric'') எனில், அக்கணத்தின் வெவ்வேறான உறுப்புகளைக் கொண்ட எந்தவொரு சோடி உறுப்புகளிலும் ஒரு உறுப்பு மற்றொன்றோடு உறவு கொண்டிருக்கும் நிலையில், இரண்டாவது உறுப்பு முதல் உறுப்புடன் உறவு கொண்டிருக்காது.
 
 ''X'' கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு ''R'' எதிர்சமச்சீர் எனில்:
 : ''X'' இல் உள்ள அனைத்து  ''a'' , ''b'' க்கும்,
 
 : '''''R(a,b)'' , ''R(b,a)''''' உண்மையெனில் '''''a''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;''b''''' ஆக இருக்கும்.
 
 ::: (அல்லது சமானமாக)
 
 : '''''R(a,b)'' , ''a''&amp;nbsp;≠&amp;nbsp;''b''''' எனில் '''''R(b,a)''''' உண்மையாகாது
 
 கணிதக் குறியீட்டில்:
 
 :&lt;math&gt;\forall a, b \in X,\ R(a,b) \land R(b,a) \; \Rightarrow \; a = b&lt;/math&gt;
 
 அல்லது சமானமாக,
 
 :&lt;math&gt;\forall a, b \in X,\ R(a,b) \land a \ne b \Rightarrow \lnot  R(b,a) .&lt;/math&gt;
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 *(''x'', ''y'') என்ற [[முழு எண்]] சோடியில் &quot;''x'' இரட்டை எண், ''y'' ஒற்றையெண்&quot; என்ற உறவு எதிர்சமச்சீர் உறவு
 ::[[File:Even and odd antisymmetric relation.png|எதிர்சமச்சீர் உறவு- இரட்டையெண், ஒற்றையெண்]]
 
 *[[இயல் எண்]]கள் கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ''[[வகுஎண்|வகுபடும்]]'' அல்லது ''[[வகுஎண்|வகுக்கும்]]'' என்பது எதிர்ச்சமச்சீர் உறவுக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு. இரு இயல் எண்கள் ஒன்றையொன்று வகுக்க வேண்டுமானால் அவை சம எண்களாக இருக்க வேண்டும்.  ''n'' , ''m'' வேறுபட்ட இயல் எண்கள்; ''m'' இன் வகுஎண் ''n'' எனில், மறுதலை உண்மையாகாது. ''n'' இன் வகுஎண்ணாக ''m'' இருக்க முடியாது.
 *[[மெய்யெண்]]கள் கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட  [[சமனிலி (கணிதம்)|≤]] (விடச் சிறியது அல்லது சமம்) என்ற ஈருறுப்பு உறவு எதிர்சமச்சீரானது:
 
 ''x'' , ''y'' இரு மெய்யெண்கள்.  
 :''x''&amp;nbsp;≤&amp;nbsp;''y'' , ''y''&amp;nbsp;≤&amp;nbsp;''x'' என்ற இரு [[சமனிலி (கணிதம்)|சமனிலிகளும்]] உண்மை உண்மையாக இருக்கவேண்டுமானால் ''x'' , ''y'' இரண்டும் அவசியம் சமஎண்களாக இருக்க வேண்டும்.
 
 *ஒரு கணத்தின் [[கணம் (கணிதம்)#உட்கணங்கள்|உட்கணங்களின்]] கணத்தில் வரையறுக்கப்படும்  ⊆ (உட்கணம்) உறவு, எதிர்சமச்சீர்மை கொண்டது.
 
 ''A'' , ''B'' என்ற இரு கணங்களில், ''A'' இல் உள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் ''B'' இலும், ''B'' இல் உள்ள உறுப்புகள் அனைத்தும் ''A'' இலும் இருக்குமானால், ''A'' , ''B'' இரண்டும் ஒரே உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். அதாவது அவையிரண்டும் சமகணங்கள்:
 
 :&lt;math&gt;A \subseteq B \land B \subseteq A \Rightarrow A = B&lt;/math&gt;
 
 *[[பகுதி வரிசை உறவு]]களும் [[முழு வரிசை உறவு]]களும் அவற்றின் வரையறைப்படி எதிர்ச்சமச்சீர் உறவுகளாக அமைகின்றன.
 
 ==சமச்சீர், சமச்சீரற்ற உறவுகளுடன் தொடர்பு==
 *ஒரு உறவு சமச்சீர் உறவாகவும், எதிர்சமச்சீர் உறவாகவும் இருக்க முடியும்.
 
 :எடுத்துக்காட்டு
 :சமச்சீர் உறவாகவும், எதிர்சமச்சீர் உறவாகவும் அமையும் உறவுகளுக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டு [[சமன் (கணிதம்)|சமன்]].
 
 *எதிர்ச்சமச்சீர் உறவு, சமச்சீரற்ற உறவிலிருந்து வேறுபட்டது.
 
 :ஒரு உறவு [[சமச்சீரற்ற உறவு|சமச்சீரற்றதாக]] இருப்பதற்கு உறவுக்கு எதிர்சமச்சீர்மை, [[எதிர்வு உறவு|எதிர்வற்றதன்மை]] இரண்டும் அவசியம். ஒவ்வொரு சமச்சீரற்ற உறவும் எதிர்சமச்சீர் உறவாகவும் இருக்கும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 *{{MathWorld | urlname=AntisymmetricRelation | title=Antisymmetric Relation}}
 *{{cite book |title=Theory and Problems of Discrete Mathematics |url=https://archive.org/details/schaumsoutlineof0000lips_n4f9 |first=Seymour |last=Lipschutz |authorlink=Seymour Lipschutz |author2=Marc Lars Lipson |year=1997 |publisher=McGraw-Hill |isbn=0-07-038045-7 |page=[https://archive.org/details/schaumsoutlineof0000lips_n4f9/page/33 33]}}