திசையன் இயற்கணிதத் தொடர்புகள்
[[யூக்ளிட்|யூக்ளிடின்]] முப்பரிமாண வெளியில் அமையும் [[திசையன்]]களுக்கு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள '''திசையன் இயற்கணிதத் தொடர்புகள்''' (''vector algebra relations'') பொருந்தும்.&lt;ref name=Albright&gt;See, for example, {{cite book |title=Albright's chemical engineering handbook |author=Lyle Frederick Albright |url=http://books.google.com/books?id=HYB3Udjx_FYC&amp;pg=PA68 |page=68 |isbn=0824753623 |publisher=CRC Press |chapter=§2.5.1 Vector algebra |year=2008}}
 &lt;/ref&gt; இத்தொடர்புகளில் சில, மூன்றுக்கும் மேற்பட்டப் பரிமாணங்களில் அமையும் திசையன்களுக்கும் பொருந்திவரும். ஆனால் அனைத்துத் தொடர்புகளுக்கும் இது பொருந்தாது. எடுத்துக்காட்டாக, இரு திசையன்களின் [[குறுக்குப் பெருக்கல்]] எல்லா உயர்ப் பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தாது.
 
 ==அளவுகள்==
 
 ஒரு திசையன் '''A''' -ன் '''அளவு''' (''magnitude'') [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தாகரசு தேற்றத்தைப்]] பயன்படுத்தி, ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான மூன்று திசைகளில் அமையும் அதன் கூறுகளினால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:
 
 :&lt;math&gt;\|\mathbf A \|^2 = A_1^2 + A_2^2 +A_3^2 \ &lt;/math&gt;
 
 ஒரு திசையனின் அளவு, [[புள்ளிப் பெருக்கல்]] வாயிலாகவும் தரப்படுகிறது:
 
 :&lt;math&gt;\|\mathbf A \|^2 = (\mathbf {A \cdot A}) \ &lt;/math&gt;
 
 ==சமனின்மைகள்==
 *:&lt;math&gt;\frac{ \mathbf{A \cdot B}}{\|\mathbf A \| \|\mathbf B \|} \le 1 \ &lt;/math&gt; -முப்பரிமாண கோஷி-ஷ்வார்ஸ் சமனின்மை.
 *:&lt;math&gt;\|\mathbf{A + B}\| \le \| \mathbf{A}\| + \|\mathbf{B}\| &lt;/math&gt; -முப்பரிமாண [[முக்கோணம்|முக்கோண]] சமனின்மை
 *:&lt;math&gt;\|\mathbf{A - B}\| \ge \| \mathbf{A}\| - \|\mathbf{B}\| &lt;/math&gt; -முப்பரிமாண நேர்மாறு முக்கோண சமனின்மை.
 
 இங்கு ('''A&amp;thinsp;·&amp;thinsp;B''') என்பது '''A''' மற்றும் '''B''' திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கலைக் குறிக்கும்.
 
 ==கோணங்கள்==
 
 இரு திசையன்களுக்கு இடையேயுள்ள [[கோணம்]] θ, அவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல் மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கலால் வரையறுக்கப்படுகிறது:&lt;ref name=Albright/&gt;&lt;ref name=Hildebrand&gt;
 
 {{cite book |title=Methods of applied mathematics |author=Francis Begnaud Hildebrand |page=24 |url=http://books.google.com/?id=17EZkWPz_eQC&amp;pg=PA24|isbn=0486670023 |edition=Reprint of Prentice-Hall 1965 2nd|publisher=Courier Dover Publications |year=1992}}
 &lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;\sin \theta =\frac{ \mathbf{A \times B}}{\|\mathbf A \| \|\mathbf B \|} \ \ ( -\pi &lt; \theta \le \pi ) &lt;/math&gt;
 
 வலது-கை விதிப்படி, θ -ன் நேர்ம மதிப்பிற்கு, '''B''' ஆனது '''A''' -லிருந்து கடிகாரத்திசைக்கு எதிராகவும், எதிர்ம மதிப்பிற்கு கடிகாரதிசையிலும் அமையும்.
 
 :&lt;math&gt;\cos \theta = \frac{ \mathbf{A \cdot B}}{\|\mathbf A \| \|\mathbf B \|} \ \ ( -\pi &lt; \theta \le \pi )&lt;/math&gt;
 
 இங்கு '''A&amp;thinsp;×&amp;thinsp;B''' என்பது '''A''' மற்றும் '''B''' திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கலைக் குறிக்கும்.
 
 [[முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல்#பித்தாகரசின் முற்றொருமை|பித்தாகரசின் முற்றொருமையைப்]] பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\!&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;  \|\mathbf{A \times B}\|^2 +(\mathbf{A \cdot B})^2 = \|\mathbf A \|^2   \|\mathbf B \|^2 &lt;/math&gt;
 
 திசையன் '''A''' = (''A&lt;sub&gt;x&lt;/sub&gt;, A&lt;sub&gt;y&lt;/sub&gt;, A&lt;sub&gt;z&lt;/sub&gt;'') ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமையும் மூன்று ஆயஅச்சுகள் ''x-'', ''y-'' மற்றும் ''z'' -க்களுடன் உண்டாக்கும் கோணங்கள் முறையே α, β, γ எனில்:
 
 :&lt;math&gt; \cos \alpha = \frac{ A_x }{ \sqrt {A_x^2 +A_y^2 +A_z^2} }  = \frac {A_x} {\| \mathbf A \|} \ , &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \cos \beta = \frac{ A_y }{ \sqrt {A_x^2 +A_y^2 +A_z^2} }  = \frac {A_y} {\| \mathbf A \|} \ , &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; \cos \gamma = \frac{ A_z }{ \sqrt {A_x^2 +A_y^2 +A_z^2} }  = \frac {A_z} {\| \mathbf A \|} \ , &lt;/math&gt;
 
 இதிலிருந்து:
 
 :&lt;math&gt;\mathbf A = \|\mathbf A \|\left( \cos \alpha \  \hat{\mathbf  i}  +  \cos \beta\  \hat{\mathbf  j} +  \cos \gamma \ \hat{\mathbf  k}  \right) \ ,&lt;/math&gt;
 
 இங்கு &lt;math&gt;\hat{\mathbf  i}, \ \hat{\mathbf  j}, \ \hat{\mathbf  k}&lt;/math&gt; மூன்றும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட மூன்று ஆயஅச்சுகளின் திசையில் அமைந்த [[அலகுத்திசையன்]]களாகும்.
 
 ==பரப்பும் கனஅளவும்==
 
 ''A'' மற்றும் ''B'' திசையன்களை அடுத்துள்ள பக்கங்களாகக் கொண்ட ஒரு [[இணைகரம்|இணைகரத்தின்]] [[பரப்பு]] Σ :
 
 :&lt;math&gt; \Sigma = AB \ \sin \theta \ , &lt;/math&gt;
 
 இங்கு θ - ''A'' மற்றும் ''B'' திசையன்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணம்.
 
 :&lt;math&gt;\Sigma = \|\mathbf { A \times B } \| = \sqrt{ \|\mathbf A\|^2 \|\mathbf B\|^2 -(\mathbf{A \cdot B} )^2} \ . &lt;/math&gt;
 
 இதன் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்க மதிப்பு]]:&lt;ref name=Courant&gt;
 
 {{cite book |title=Introduction to calculus and analysis, Volume II |author=Richard Courant, Fritz John |url=http://books.google.com/books?id=ngkQxS4eicgC&amp;pg=PA191 |pages=190–195 |chapter=Areas of parallelograms and volumes of parallelpipeds in higher dimensions  |isbn=3540665692 |year=2000 |publisher=Springer |edition=Reprint of original 1974 Interscience}}
 
 &lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;\Sigma^2 = (\mathbf{A \cdot A })(\mathbf{B \cdot B })-(\mathbf{A \cdot B })(\mathbf{B \cdot A }) \ , &lt;/math&gt;
 
 இதேபோல '''A''', '''B''' மற்றும் '''C''' -திசையன்களால் அமையும் ஒரு [[இணைகரத்திண்மம்|இணைகரத்திண்மத்தின்]] [[கன அளவு|கனஅளவின்]] வர்க்கம்:&lt;ref name=Courant/&gt;
 
 :&lt;math&gt;V^2 = \begin{vmatrix} \mathbf{A\cdot A} &amp; \mathbf{A\cdot B} &amp; \mathbf{A\cdot C} \\\mathbf{B\cdot A} &amp; \mathbf{B\cdot B} &amp; \mathbf{B\cdot C}\\
  \mathbf{C\cdot A} &amp; \mathbf{C\cdot B} &amp; \mathbf{C\cdot C}  \end{vmatrix} \ . &lt;/math&gt;
 
 இதனை ''n''-பரிமாணங்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.
 
 ==திசையன்களின் கூட்டலும் பெருக்கலும்==
 
 பின்வரும் தொடர்புகளில் சில [[புள்ளிப் பெருக்கல்]] மற்றும் [[குறுக்குப் பெருக்கல் (திசையன்)|குறுக்குப் பெருக்கல்]] சம்பந்தப்பட்டது.
 
 *:&lt;math&gt; c (\mathbf{A}+\mathbf{B})=c\mathbf{A}+c\mathbf{B} &lt;/math&gt; -திசையன்களின் கூட்டல் மீதான, திசையிலிப் பெருக்கலின் பங்கீட்டுப் பண்பு.,
 *:&lt;math&gt; \mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A} &lt;/math&gt; -திசையன் கூட்டலின் [[பரிமாற்றுப் பண்பு]].
 *:&lt;math&gt; \mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})=(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C} &lt;/math&gt; -திசையன் கூட்டலின் சேர்ப்புப் பண்பு.
 *:&lt;math&gt; \mathbf{A}\cdot\mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot\mathbf{A} &lt;/math&gt; -புள்ளிப் பெருக்கலின் பரிமாற்றுத்தன்மை.
 *:&lt;math&gt; \mathbf{A}\times\mathbf{B}=\mathbf{-B}\times\mathbf{A} &lt;/math&gt; -குறுக்குப் பெருக்கலின் பரிமாறாத்தன்மை.
 *:&lt;math&gt; \left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\cdot\mathbf{C}=\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{C} &lt;/math&gt; -புள்ளிப் பெருக்கலைப் பொறுத்து திசையன் கூட்டலின் பங்கீட்டுப்பண்பு.
 *:&lt;math&gt; \left(\mathbf{A}+\mathbf{B}\right)\times\mathbf{C}=\mathbf{A}\times\mathbf{C}+\mathbf{B}\times\mathbf{C} &lt;/math&gt; -குறுக்குப் பெருக்கலைப் பொறுத்து திசையன் கூட்டலின் பங்கீட்டுப்பண்பு.
 *:&lt;math&gt; \mathbf{A}\cdot\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)=\mathbf{B}\cdot\left(\mathbf{C}\times\mathbf{A}\right)=\mathbf{C}\cdot\left(\mathbf{A}\times\mathbf{B}\right)&lt;/math&gt;
 ::::&lt;math&gt;=\left|\begin{array}{ccc}
 A_{x} &amp; B_{x} &amp; C_{x}\\
 A_{y} &amp; B_{y} &amp; C_{y}\\
 A_{z} &amp; B_{z} &amp; C_{z}\end{array}\right| = [\mathbf{A, \ B,\  C }] &lt;/math&gt;  -[[திசையிலி முப்பெருக்கம்]]
 
 *:&lt;math&gt; \mathbf{A\times}\left(\mathbf{B}\times\mathbf{C}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right)\mathbf{B}-\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B}\right)\mathbf{C} &lt;/math&gt; -[[திசையன் முப்பெருக்கம்]]
 *:&lt;math&gt; \mathbf{\left(A\times B\right)\cdot}\left(\mathbf{C}\times\mathbf{D}\right)=\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{C}\right)\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{D}\right)-\left(\mathbf{B}\cdot\mathbf{C}\right)\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{D}\right) &lt;/math&gt; -முப்பரிமாண பினேட்–கோஷி முற்றொருமை
 * மேலுள்ள முற்றொருமையில் '''A''' = '''C''' and '''B''' = '''D''' எனில்:
 ::&lt;math&gt;\mathbf{(A \times B)^2    =    (A \cdot A) (B \cdot B)-(A \cdot B)^2 } &lt;/math&gt; -முப்பரிமாணத்தில் லெக்ராஞ்சியின் முற்றொருமை
 
 *[[திசையன் நாற்பெருக்கம்]]:&lt;ref name=Soni&gt;
 
 {{cite book |title=Mechanics and relativity |author=Vidwan Singh Soni |url=http://books.google.com/books?id=-3H5V0LGBOgC&amp;pg=PA11 |pages=11–12 |chapter=§1.10.2 Vector quadruple product |publisher=PHI Learning Pvt. Ltd. |isbn=8120337131 |year=2009}}
 
 &lt;/ref&gt;&lt;ref name=Gibbs&gt;This formula is applied to spherical trigonometry by
 
 {{cite book |title=Vector analysis: a text-book for the use of students of mathematics |author=Edwin Bidwell Wilson, Josiah Willard Gibbs |url=http://books.google.com/books?id=RC8PAAAAIAAJ&amp;pg=PA77 |chapter=§42 in ''Direct and skew products of vectors'' |publisher=Scribner |year=1901 |pages=77 ''ff''}}
 
 &lt;/ref&gt;
 : &lt;math&gt;(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times (\mathbf{C} \times \mathbf{D}) = [\mathbf{A},\mathbf{B}, \mathbf{D}]\mathbf{C}-[\mathbf{A},\mathbf{B}, \mathbf{C}]\mathbf{D}=
 [\mathbf{A},\mathbf{C}, \mathbf{D}]\mathbf{B}-[\mathbf{B}, \mathbf{C},\mathbf{D}]\mathbf{A}&lt;/math&gt;
 
 இங்கு ['''A, B, C'''] என்பது திசையிலி முப்பெருக்கம் '''A · (B × C)''' -ஐக் குறிக்கும்.
 
 *'''A, B, C''' என்பன ஒரே கோட்டில் அமையாத தரப்பட்ட மூன்று திசையன்கள் எனில், ஏதேனும் ஒரு திசையன் '''D''' பின்வருமாறு தரப்படும்:&lt;ref name=Coffin&gt;
 
 {{cite book |title=Vector analysis: an introduction to vector-methods and their various applications to physics and mathematics |author=Joseph George Coffin |url=http://books.google.com/books?id=9mgGAQAAIAAJ&amp;pg=PA56 |page=56 |year=1911 |publisher=Wiley |edition=2nd}}
 
 &lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;\mathbf D = \frac{\mathbf{D \cdot (B \times C)}}{[\mathbf {A,\ B, \ C}]}\ \mathbf A +\frac{\mathbf{D \cdot (C \times A)}}{[\mathbf {A,\ B, \ C}]}\ \mathbf B + \frac{\mathbf{D \cdot (A \times B)}}{[\mathbf {A,\ B, \ C}]}\ \mathbf C \ .&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 
 &lt;references/&gt;
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 
 [[பகுப்பு:திசையன்கள்]]