காமா சார்பியம்
[[File:Gamma plot.svg|thumb|right|325px|மெய்யெண் அச்சின் பகுதியில் காமா சார்பியத்தின் மதிப்பு]]
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''காமா சார்பியம்''' அல்லது '''காமா செயற்கூறு''' (''Gamma function'') என்பது [[தொடர்பெருக்கம்]] என்னும் கணிதச் சார்பியத்தின் ஒரு நீட்சி ஆகும். அதாவது கீழ்நோக்கி ஓரெண் குறைவான தொடர்பெருக்கம், [[மெய்யெண்]]ணாக இருப்பினும் [[சிக்கலெண்|சிக்கலெண்ணாக]] இருப்பினும். இந்த சார்பியத்தை [[கிரேக்கம்|கிரேக்கப்]] பெரிய எழுத்தாகிய [[காமா]] {{math|'''Γ'''}} என்பதால் குறிப்பது வழக்கம்.  {{math|''n''}} என்பது நேர்ம முழு எண்ணாக இருந்தால்,
 
 :&lt;math&gt;\Gamma(n) = (n-1)!&lt;/math&gt;
 
 காமா சார்பியம் என்பது நேர்ம எண்ணாக அல்லாத எல்லா சிக்கலெண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட ஒன்று. நேர்ம மெய்யெண் பகுதி கொண்ட சிக்கலெண்களுக்கு, குவிந்தடையும்  ஏதேனும் ஓரெல்லையாவது முடிவிலியாக அல்லது அடைவெல்லையாக அமைந்த [[செவ்வியதல்லாத நுண்தொகையீடு]] வழியாக வரையறை செய்யப்படும்:
 
 :&lt;math&gt; \Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx&lt;/math&gt;
 
 இந்தக் காமா சார்பியம் பல்வேறு நிகழ்தகவு பகிர்வமைப்புகளில் (probability-distribution) காணப்படுகின்றது. பல்வேறு [[புள்ளியியல்]] [[சேர்வியல்]] துறைகளிலும் காணப்படுகின்றது.
 
 == வரையறை ==
 
 === முதன்மையான வரையறை ===
 {{math|Γ(''z'')}} என்னும் குறியீடு [[இலெகந்தர்]]( Legendre) என்பாரால் வழங்கப்பெற்றது&lt;ref name=&quot;Davis&quot;&gt;{{cite journal|last=Davis |first=P. J. |date=1959 |title=Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=66 |issue=10 |pp=849–869 |url=http://mathdl.maa.org/mathDL/22/?pa=content&amp;sa=viewDocument&amp;nodeId=3104 |access-date=3 December 2016 |doi=10.2307/2309786}}&lt;/ref&gt; {{math|''z''}} என்னும் ஒரு சிக்கெலெண்ணின் மெய்யெண் பகுதி நேர்ம எண்ணாக இருந்தால்  ({{math|Re(''z'') &gt; 0}}),  தொகையீடு
 
 :&lt;math&gt; \Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\, dx&lt;/math&gt;
 
 முற்றாகக் குவிந்தடையும் (converges absolutely) ஒன்றாகும்; இது [[ஆய்லரின் இரண்டாம் வகைத் தொகையீடு]] என்று அறியப்படுகின்றது (ஆய்லரின் முதல்வகைத் தொகையீடு என்பது பீட்டா சார்பியம் ஆகும்) .&lt;ref name=&quot;Davis&quot; /&gt; பகுதியாக செய்யப்படும் தொகையீட்டு முறைப்படி கீழ்க்கண்டவாறு அறியலாம்:
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \Gamma(z+1) &amp; = \int_0^\infty x^{z} e^{-x} \, dx \\
 &amp; = \left[-x^z e^{-x}\right]_0^\infty + \int_0^\infty z x^{z-1} e^{-x}\, dx \\
 &amp; = \lim_{x\to \infty}(-x^z e^{-x}) - (0 e^{-0}) + z\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\, dx
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;x\to \infty &lt;/math&gt; ஆக &lt;math&gt;-x^z e^{-x}\to 0,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \Gamma(z+1) &amp; = z\int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\, dx \\
 &amp; = z\Gamma(z)
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\Gamma(1)&lt;/math&gt; என்பதைக் கணக்கிடலாம்:
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 \Gamma(1) &amp; = \int_0^\infty x^{1-1} e^{-x}\,dx \\
 &amp; = \left[-e^{-x}\right]_0^\infty \\
 &amp; = \lim_{x\to \infty}(-e^{-x}) - (-e^{-0}) \\
 &amp; = 0 - (-1) \\
 &amp; = 1
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\Gamma(1) = 1&lt;/math&gt; என்னும் உண்மையையும் &lt;math&gt;\Gamma(n+1) = n\Gamma(n) &lt;/math&gt; என்பதையும் கருத்தில் கொண்டால்,
 :&lt;math&gt;\Gamma(n) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-1) = (n-1)!\,&lt;/math&gt;
 என்பது எல்லா &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; நேர்ம எண்களுக்கும் பொருந்தும். இதனை அடுத்துத்தூண்டல் நிறுவல் (proof by induction) முறை எனக் கொள்ளலாம். 
 முற்றொருமையான &lt;math&gt;\Gamma(z) = \frac {\Gamma(z + 1)} {z}&lt;/math&gt; என்பதைப் பயன்படுத்தி  &lt;math&gt;\Gamma(z)&lt;/math&gt; சார்பியத்தை தொகையீட்டு அமைப்பில் 
 சுழியமாகவோ அதற்கும் கீழானதாகவோ இல்லாத  &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; என்னும் எல்லாச் சிக்கலெண்ணுக்கும் பொருந்துமாறு [[பேரோவுருவ சார்பியம்|மேரோவுருவ சார்பியமாக]]&lt;ref&gt;meros (μέρος) என்னும் கிரேக்கச்சொல்லின் பொருள் ''பகுதி'' (''part''))&lt;/ref&gt; நீட்சி பெறச் செய்யலாம்.&lt;ref name=&quot;Davis&quot; /&gt;
 
 இந்த நீட்சிபெற்ற பார்வையிலும் வடிவத்திலும்தான் பொதுவாக காமா சார்பியம் என அறியப்படுகின்றது&lt;ref name=&quot;Davis&quot; /&gt;.
 
 === மாற்று வரையறைகள் ===
 
 ==== முடிவிலாப் பெருக்கல் வடிவில் ஆய்லர் தரும் வரையறை ====
 சிக்கலெண் {{math|''z''}} இன் தொடர் பெருக்கமாகிய {{math|''z''!}} என்பதற்கு தோராயம் கண்டறிய கீழ்க்காணும் முறை பயன்படும் ஒன்றாகத் தெரிகின்றது. முதலில் பெரிய  முழு எண்ணாகிய ஒரு {{math|''n''}} என்பதன் தொடர்பெருக்கமாகிய {{math|''n''!}} -ஐக் கணக்கிடலாம். பின்னர் அதனைப் பயன்படுத்தித் தோராயமாக {{math|(''n''+''z'')!}} என்பதைக் கணக்கிடலாம், பின்னர் மீளுறும் சமன்பாட்டை {{math|''n''}} முறை பின்னோக்கிப் பயன்படுத்தி, {{math|''z''!}} என்பதனைத் தோராயமாகக் கண்டறியலாம். கடைசியாக {{math|''n''}} என்பது முடிவிலியாக சென்றடையும்பொழுது தோராயம் என்பது முழுதும் சரியானதாக ஆகிவிடும்.
 
 குறிப்பாக, ஒரு குறிப்பிட்ட முழுவெண்  {{mvar|m}} -உக்கு, கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம். 
 :&lt;math&gt;\lim_{n \to \infty} \frac{n! \; (n+1)^m}{(n+m)!} = 1\,,&lt;/math&gt;
 இதே சமன்பாடு அந்த ஏதோவொரு குறிப்பிட்ட  {{mvar|m}} என்பதை ஏதோவொரு குறிப்பிட்ட சிக்கெலெண் {{mvar|z}} -ஆக மாற்றினாலும் பொருந்துவதாகும்.  
 :&lt;math&gt;\lim_{n \to \infty} \frac{n! \; (n+1)^z}{(n+z)!} = 1\,.&lt;/math&gt;
 {{math|''z''!}} ஆல் இருபக்கத்தையும் பெருக்கினால்,
 :&lt;math&gt;\begin{align}
    z! &amp;= \lim_{n \to \infty} n!\frac{z!}{(n+z)!} (n+1)^z \\
       &amp;= \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdots n}{(1+z) \cdots (n+z)} (n+1)^z \\
       &amp;= \lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdots n}{(1+z) \cdots (n+z)} \left[\left(1+\frac11\right)\left(1+\frac12\right)\cdots \left(1+\frac1n\right)\right]^z \\
       &amp;= \prod_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{1}{1+\frac{z}{n}} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^z \right].
  \end{align}&lt;/math&gt;
 இந்த முடிவிலிப் பெருக்க வாய்பாடு எதிர்ம முழுவெண் அல்லாத  எல்லா {{mvar|z}} சிக்கலெண்களுக்கும் குவியடைவு பெறும். எதிர்ம முழுவெண் இருந்தால் 
 {{math|1={{math|''m''!}} = ''m'' {{math|(''m''−1)!}}}} என்னும் மீளுறும் சமன்பாட்டில் பின்னோக்கிச் செல்லும்பொழுது {{math|1=''m'' = 0}} என்பதில் சுழியத்தால் வகுபடும் நிலை வரும்.
 
 === சில காமா சார்பிய மதிப்புகள் ===
 காமா சார்பியத்தின் மதிப்புகள் சில:
 :&lt;math&gt;\begin{array}{rcccl}
 \Gamma\left(-\tfrac{3}{2}\right) &amp;=&amp; \tfrac{4}{3} \sqrt{\pi} &amp;\approx&amp; 2.363\,271\,801\,207 \\
 \Gamma\left(-\tfrac{1}{2}\right) &amp;=&amp; -2\sqrt{\pi} &amp;\approx&amp; -3.544\,907\,701\,811 \\
 \Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right) &amp;=&amp; \sqrt{\pi} &amp;\approx&amp; 1.772\,453\,850\,906 \\
 \Gamma(1) &amp;=&amp; 0! &amp;=&amp; 1 \\
 \Gamma\left(\tfrac{3}{2}\right) &amp;=&amp; \tfrac{1}{2}\sqrt{\pi} &amp;\approx&amp; 0.886\,226\,925\,453 \\
 \Gamma(2) &amp;=&amp; 1! &amp;=&amp; 1 \\
 \Gamma\left(\tfrac{5}{2}\right) &amp;=&amp; \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi} &amp;\approx&amp; 1.329\,340\,388\,179 \\
 \Gamma(3) &amp;=&amp; 2! &amp;=&amp; 2 \\
 \Gamma\left(\tfrac{7}{2}\right) &amp;=&amp; \tfrac{15}{8}\sqrt{\pi} &amp;\approx&amp; 3.323\,350\,970\,448 \\
 \Gamma(4) &amp;=&amp; 3! &amp;=&amp; 6
 \end{array}&lt;/math&gt;
 
 == அடிக்குறிப்புகளும் மேற்கோள்களும் ==
 {{Reflist|30em}}
 
 [[பகுப்பு:காமா சார்பியத் தொடர்பான சார்பியங்கள்]]