புள்ளிப் பெருக்கல்
கணிதத்தில் '''புள்ளிப் பெருக்கல்''' என்பது இரு [[திசையன்|திசையன்களுக்கு]] இடையே நிகழ்த்தும் ஒரு செயல் அல்லது வினை. இப் புள்ளிப் பெருக்கலின் விளைவாய்ப் பெறும் விடை ஒரு பரும அளவுள்ள மெய்யெண்ணே  ('''R''') தவிர ஒரு திசையன் அல்ல. மாறாக இதே இரு திசையன்களைக் கொண்டு செய்யும் [[குறுக்குப் பெருக்கல்|குறுக்குப் பெருக்கலில்]] கிடைக்கும் பெருக்கு விளைவு ஒரு திசையன் ஆகும். இந்த புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது [[யூக்ளிட்|யூக்ளீடிய]] இட வெளியில் [[உள்முகப் பெருக்கல்]] எனப்படும்.
 
 ==வரையறை==
 '''a''', '''b''' என்னும் இரு திசையன்களை எடுத்துக்கொள்வோம். இவ்விரு திசையன்களும் [[திசையன் வெளி]]யில் உள்ள முழுதும் வேறுபட்டவைகளாகக் கொள்வோம்.  ஈவிரு திசையன்களையும் கீழ்காணுமாறு கொண்டால்
 '''a''' = [''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''a''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, … , ''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;] மற்றும்  '''b''' = [''b''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''b''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, … , ''b''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;], புள்ளிப்பெருக்கலானது:
 :&lt;math&gt;\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n &lt;/math&gt;
 மேலுள்ளதில் Σ என்னும் குறி [[தொகைக்குறி|தொடர் கூட்டுத் தொகைக் குறி]] ஆகும்.
 
 எடுத்துக்காட்டாக முத்திரட்சி (முப்பரிமாணம்) கொண்ட இரு திசையன்கள் [1, 3, −5] மற்றும்  [4, −2, −1] ஆகியவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல்:
 
 :&lt;math&gt;\begin{bmatrix}1&amp;3&amp;-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&amp;-2&amp;-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3.&lt;/math&gt;
 
 [[அணி (கணிதம்)|அணி]] கணிதத்தில் வழங்கும் பெருக்கலைப் பயன்படுத்த திசையன்களை ''n''&amp;times;1 [[அணி (கணிதம்)|அணி]]களாகக் கொண்டும் புள்ளிப் பெருக்கலை அறிய கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்.:
 
 :&lt;math&gt;\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^T \mathbf{b} \,&lt;/math&gt;
 
 மேலுள்ளதில்  '''a'''&lt;sup&gt;T&lt;/sup&gt;  '''a''' யின் [[அணித் திருப்பம்]] என்பதைக் குறிக்கும்.  மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதை கணித்தால் 1&amp;times;3 அணி (இங்கு திசையனைக் குறிக்கின்றது) பெருக்கல் 3&amp;times;1 அணி  (அணிப்பெருக்கலில் கிடைப்பது  1&amp;times;1  அணியாகும். இது ஒரு பரும அளவு கொண்டதே.):
 
 :&lt;math&gt;\begin{bmatrix}
     1&amp;3&amp;-5
 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 
     4\\-2\\-1
 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
     3
 \end{bmatrix}.&lt;/math&gt;
 
 == வடிவவியல் விளக்கம் ==
 
 [[Image:Scalarproduct.gif|thumb|300px|right|&lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt;'''a'''&lt;nowiki&gt;|&lt;/nowiki&gt;•cos(θ) என்பது '''b'''யின் மீது படியும் '''a'''யின் படிநிழல்]]
 யூக்ளீடிய இட வெளியில் இந்த புள்ளிப் பெருக்கலுக்கும் நீளத்திற்கும் கோணத்திற்கும் நெருங்கிய தொடர்புண்டு. '''a''' என்னும் திசையன் தொடர்பாக  '''a'''•'''a''' என்பது a ஐ பக்கமாகக் கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமம். இன்னும் பொதுவாக எண்ணினால் இரண்டாவது திசையன் '''b''' ஆக இருக்குமானால்
 
 :&lt;math&gt; \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \,&lt;/math&gt;
 
 மேலுள்ளதில் |'''a'''| யும்  |'''b'''| யும் '''a''' மற்றும்  '''b''' நீளத்தை (பரும அளவைக்) குறிக்கும்.  θ  என்பது இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் குறிக்கும்.
 
 |'''a'''|•cos(θ) என்பது  '''b''' யின் மீது படியும் '''a''' யின் [[படிநிழல்|நிழல்]] ஆகையால், புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது '''b''' யின் நீளத்தோடு பெருக்கப்படும் '''a''' யின் படிநிழல் என்று புரிந்து கொள்ளலாம்.
 
 [[cosine]]  90°  இன் மதிப்பு சுழி (0) ஆகையால் இரு செங்குத்தான திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கல் தொகை சுழியாகும் (0). '''a''' , '''b''' ஆகிய இரண்டின் நீளம் ஓர் அலகாக இருப்பின் , அவைகளின் புள்ளிப் பெருக்கல் அவைகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின்  [[கோசைன் (முக்கோணவியல்)|கோசைன்]] மதிப்பைத் தரும்.  எனவே இரு திசையன்களுக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தை அறிய கீழ்க்காணும் வாய்பாட்டை (வாய்பாடு = உண்மைக் கூற்று, சமன்பாடு) பயன்படுத்தலாம்:
 
 : &lt;math&gt;\theta =  \arccos \left( \frac {\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}} {|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\right).&lt;/math&gt;
 
 ==இயற்பியலில் புள்ளிப் பெருக்கல்==
 
 [[இயற்பியல்|இயற்பியலில்]] புள்ளிப் பெருக்கலின் விளைவு பரும அளவுள்ள எண்ணாக இல்லாமைல் அது ஒரு இயற்பியல் பண்புடைய ஒன்றின் அலகோடு குறிக்கப்படும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 *செய்யப்படும் [[வேலை]] என்பது [[விசை]], நகரும் [[தொலைவு]] ஆகிய இரு திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்குத் தொகையாகும். வேலை என்பது திசை ஏதும் கொள்ளாத (திசையன் அல்லாத) பரும அளவு மட்டுமே கொண்ட அலவுப் பொருள்.
 
 == சில பண்புகள் ==
 
 '''a''', '''b''', மற்றும்  '''c''' ஆகிய மூன்றும் திசையன்களாக இருப்பின், ''r''  என்பது பரும அளவு கொண்ட ஒன்றாக இருப்பின், கீழ்க்காணும் பண்புகள் உண்மையாகும்:
 
 புள்ளிப் பெருக்கல் இடமாற்றம் பண்பு கொள்ளும் (commutative):
 :&lt;math&gt; \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}.&lt;/math&gt;
 
 புள்ளிப் பெருக்கல் இருநேர்ப் பகிர்வுப் பண்பு கொள்ளும் (bilinear):
 :&lt;math&gt; \mathbf{a} \cdot (r\mathbf{b} +  \mathbf{c}) 
     = r(\mathbf{a} \cdot   \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}).
 &lt;/math&gt;
 
 புள்ளிப் பெருக்கல் பகிர்ந்தளிப் பண்பு கொள்ளும் (distributive):   
 :&lt;math&gt; \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}. &lt;/math&gt;
 
 பரும அளவால் பெருக்கப்பட்டால் புள்ளிப்பெருக்கல் கீழ்க்காணும்படி இயங்கும்:  
 :&lt;math&gt; (c_1\mathbf{a}) \cdot (c_2\mathbf{b}) = (c_1c_2) (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) &lt;/math&gt;   
 (இந்த கடைசி இரண்டு பண்புகளும் முதல் இரண்டு பண்புகளில் இருந்து பெறப்படும்).
 
 *'''a''' • '''b''' = 0 என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, திசையன்கள் '''a''' மற்றும் '''b''' இரண்டும் செங்குத்தாக இருக்கும்.
 
 சாதாரண எண்களின் நீக்கல்விதி:
 
 :''ab'' = ''ac'' எனில் ''b'' = ''c''. (''a'' ≠ 0) இவ்விதி புள்ளிப் பெருக்கத்திற்குப் பொருந்தாது.
 
 திசையன்களுக்கு:
 
 : '''a''' • '''b''' = '''a''' • '''c''' மற்றும் '''a''' ≠ '''0''' எனில்,
 
 : '''a''' • ('''b''' − '''c''') = 0 (பங்கீட்டுப் பண்பின்படி)
 
 எனவே '''a''' மற்றும் ('''b''' − '''c''') திசையன் இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமைகின்றன. இம்முடிவினால்:
 
 :('''b''' − '''c''') ≠ '''0''', அதாவது '''b''' ≠ '''c'''.
 
 == அணிக் கணித ஒப்புரு ==
 
 உள்முக பெருக்கலை அணிக் கணித ஒப்புரு வழிக் காட்டலாம். எடுத்துக்காட்டாக இரு திசையன்ங்கள்:
 
 :&lt;math&gt; 
     \mathrm{a} = \begin{bmatrix} a_u \\ a_v \\ a_w \end{bmatrix}, 
     \mathrm{b} = \begin{bmatrix} a_u \\ a_v \\ a_w \end{bmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 என்பதை [[அடிப்படைக் கணம்]] வழிக் குறிப்பிடலாம்.
 
 &lt;math&gt;\mathrm{S}&lt;/math&gt;:
 
 :&lt;math&gt;
     \mathrm{S} = \{ \mathrm{u}, \mathrm{v} ,\mathrm{w} \} = \{
     \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix},
     \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix},
     \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix} \}
 &lt;/math&gt;
 
 இதன் எந்த உள்முகப் பெருக்கலையும் கீழ்க்காணுமாறு குறிக்கலாம்:
 
 :&lt;math&gt; 
    &lt; \mathrm{a} , \mathrm{b} &gt; = 
    \mathrm{a^T} \cdot \mathrm{M} \cdot \mathrm{b}
 &lt;/math&gt;
 
 இங்கு உள்முகப் பெருக்கலைக் குறிக்கும் 3x3 அணி &lt;math&gt;\mathrm{M}&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\mathrm{S}&lt;/math&gt; மூலமாகத் தரப்பட்ட  உள்முகப் பெருக்கலின் அணி &lt;math&gt;\mathrm{C_S}&lt;/math&gt; எனில், &lt;math&gt;\mathrm{M}&lt;/math&gt; -ன் மதிப்பைப் பின்வரும் சமன்பாட்டுத் தொகுதியைத் தீர்ப்பதன் மூலம் காணலாம்:
 
 &lt;math&gt;
     \mathrm{C_S} = 
         \begin{bmatrix} 
         &lt;u,u&gt; &amp; &lt;u,v&gt; &amp; &lt;u,w&gt; \\ 
         &lt;v,u&gt; &amp; &lt;v,v&gt; &amp; &lt;v,w&gt; \\ 
         &lt;w,u&gt; &amp; &lt;w,v&gt; &amp; &lt;w,w&gt;
         \end{bmatrix}
 
     =
         \begin{bmatrix} 
         u^T \cdot M \cdot u &amp; u^T \cdot M \cdot v &amp; u^T \cdot M \cdot w \\ 
         v^T \cdot M \cdot u &amp; v^T \cdot M \cdot v &amp; v^T \cdot M \cdot w \\ 
         w^T \cdot M \cdot u &amp; w^T \cdot M \cdot v &amp; w^T \cdot M \cdot w
         \end{bmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 === எடுத்துக்காட்டுகள் ===
 
 அடிப்படைக் கணங்களைக் கீழ்க்காணுமாறு கொடுத்தால்
 
 :&lt;math&gt;
     \mathrm{S} = \{ \mathrm{u}, \mathrm{v} ,\mathrm{w} \} = \{
     \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},
     \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},
     \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \}
 &lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\mathrm{S}&lt;/math&gt; மூலமாகத் தரப்பட்ட உள்முகப் பெருக்கலின் அணி:
 
 :&lt;math&gt;
     \mathrm{C_S} = 
         \begin{bmatrix} 
         5 &amp; 2 &amp; 0 \\ 
         2 &amp; 6 &amp; 2 \\ 
         0 &amp; 2 &amp; 7
         \end{bmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\mathrm{C_S}&lt;/math&gt;-ன் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பின்வருமாறு இரு அடிப்படைத் திசையன்களின் உள்முகப் பெருக்கலுக்குச் சமப்படுத்தலாம்.
 
 :&lt;math&gt;
     \mathrm{C_S}[i,j] = &lt;\mathrm{S}[i],\mathrm{S}[j]&gt;
 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;
     \mathrm{C_S}[0,0] = 5 = &lt;\mathrm{u},\mathrm{u}&gt; =
         \begin{bmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0 \end{bmatrix} \cdot
         \mathrm{M} \cdot
         \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;
 
     \mathrm{C_S}[0,1] = 2 = &lt;\mathrm{u},\mathrm{v}&gt; =
         \begin{bmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0 \end{bmatrix} \cdot
         \mathrm{M} \cdot
         \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}
 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;
 
     \cdots
 &lt;/math&gt;
 
 இது ஒன்பது சமன்பாடுகளையும் ஒன்பது மதிப்பறியா மாறிகளையும் தருகிறது.
 
 இச்சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க:
 
 &lt;math&gt;
     \mathrm{M} = 
         \begin{bmatrix} 
         5 &amp; -3 &amp; -2 \\ 
         -3 &amp; 7 &amp; -2 \\ 
         -2 &amp; -2 &amp; 9
         \end{bmatrix}
 &lt;/math&gt;
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * {{mathworld|urlname=DotProduct|title=Dot product}}
 * [http://behindtheguesses.blogspot.com/2009/04/dot-and-cross-products.html A quick geometrical derivation and interpretation of dot product]
 * [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/ggb/Vector_Dot_Product.html Interactive GeoGebra Applet]
 * [http://www.falstad.com/dotproduct/ Java demonstration of dot product]
 * [http://www.cs.brown.edu/exploratories/freeSoftware/repository/edu/brown/cs/exploratories/applets/dotProduct/dot_product_guide.html Another Java demonstration of dot product]
 * [http://www.mathreference.com/la,dot.html Explanation of dot product including with complex vectors]
 * [http://demonstrations.wolfram.com/DotProduct/ &quot;Dot Product&quot;] by Bruce Torrence, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.
 
 [[பகுப்பு:அடிப்படை இயற்கணிதம்]]