கோட்டுரு (கணிதம்)
[[Image:6n-graf.svg|thumb|250px|6 உச்சிகளையும், 7 விளிம்புகளையும் கொண்ட [[பெயரிட்ட கோட்டுரு]] ஒன்றைக் காட்டும் வரைபடம்.]]
 கணிதத்தில் '''கோட்டுரு''' (Graph) என்பது, சில இணைகள் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைக்கப்பட்ட ஒரு தொகுதி பொருட்களின் பண்புருப் பதிலீட்டைக் (abstract representation) குறிக்கும். இவ்வாறு கணிதப் பண்புருவாக்கத்தினால் ஒன்றுடன் ஒன்று இணைக்கப்பட்ட பொருட்கள் [[கணு (கோட்டுருவியல்)|கணுக்கள்]] அல்லது முனைகள் எனப்படுகின்றன. இவற்றை இணைக்கும் இணைப்புகளை [[விளிம்பு (கோட்டுருவியல்)|விளிம்பு]]கள் என்கின்றனர். பொதுவாகக் கோட்டுருக்கள் வரைபட வடிவில் காட்டப்படுகின்றன. இவற்றில் [[புள்ளி]]கள் கணுக்களையும், அவற்றை இணைக்கும் நேர் கோடுகள் அல்லது வளை கோடுகள் விளிம்புகளையும் குறிக்கின்றன. கோட்டுரு [[பிரிநிலைக் கணிதம்|பிரிநிலைக் கணிதத்தின்]] ஆய்வுப் பொருட்களுள் ஒன்றாக அமைகின்றது.
 
 விளிம்புகள் திசையுள்ளனவாகவோ (சமச்சீரற்ற) அல்லது திசையற்றனவாகவோ (சமச்சீர்) இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளிகள் ஒரு நிகழ்வில் கலந்து கொள்ளும் ஆட்களைக் குறிப்பதாக வைத்துக்கொள்ளலாம். இங்கே இருவர் கைகுலுக்கிக் கொள்ளும்போது ஒரு விளிம்பு (இணைப்பு) உருவாகிறது. ஆள் A, B யுடன் கைகுலுக்கும் போது B யும் A யுடன் கை குலுக்குகிறார். இதனால் இக் கோட்டுரு திசையற்றது. இன்னொரு வகையில் பார்க்கும்போது, A க்கு B யைத் தெரியும் எனில் அங்கும் ஒரு விளிம்பு உருவாகிறது. ஆனாலும் B க்கு A யைத் தெரிய வேண்டியதில்லை ஆதலால் இங்கு உருவாகும் கோட்டுரு திசையுள்ளது ஆகும். இதன் விளிம்புகள் திசையுள்ள விளிம்புகள்.
 
 உச்சியைக் &quot;கணு&quot;, &quot;புள்ளி&quot; ஆகிய சொற்களாலும், விளிம்பைக் &quot;கோடு&quot; என்றும் குறிப்பதுண்டு. கோட்டுருவியலின் அடிப்படையான விடயம் கோட்டுரு ஆகும்.
 கோட்டுருவுக்கான ஆங்கிலச் சொல் &quot;graph&quot; ஆனது இப்பொருளில் முதன்முதலாக 1878 இல் [[ஜேம்ஸ் சில்வெஸ்டர்|ஜேம்ஸ் சில்வெஸ்டரால்]] பயன்படுத்தப்பட்டது.&lt;ref&gt;See:
 * J. J. Sylvester (February 7, 1878) [https://books.google.com/books?id=KcoKAAAAYAAJ&amp;vq=Sylvester&amp;pg=PA284#v=onepage&amp;q&amp;f=false &quot;Chemistry and algebra,&quot;] ''Nature'', ''17'' : 284. {{doi|10.1038/017284a0}}. From page 284: &quot;Every invariant and covariant thus becomes expressible by a ''graph'' precisely identical with a Kekuléan diagram or chemicograph.&quot;
 * J. J. Sylvester (1878) [https://books.google.com/books?id=1q0EAAAAYAAJ&amp;pg=PA64#v=onepage&amp;q&amp;f=false &quot;On an application of the new atomic theory to the graphical representation of the invariants and covariants of binary quantics, – with three appendices,&quot;] ''American Journal of Mathematics, Pure and Applied'', ''1'' (1) : 64–90. {{doi|10.2307/2369436}}. {{JSTOR|2369436}}. The term &quot;graph&quot; first appears in this paper on page 65.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Cite book
  | title = Handbook of graph theory
  | first1 = Jonathan L.
  | last1 = Gross
  | first2 = Jay
  | last2 = Yellen
  | publisher = CRC Press
  | year = 2004
  | page = [https://books.google.com/books?id=mKkIGIea_BkC&amp;pg=PA35&amp;lpg=PA35 35]
  | isbn = 978-1-58488-090-5
  | url = https://books.google.com/?id=mKkIGIea_BkC
  }}&lt;/ref&gt;
 
 == வரையறை ==
 கோட்டுருக்கள் வேறுபட்ட பல வரையறைகள் கொண்டுள்ளன. இக்கட்டுரையில் கோட்டுருக்களை வரையறுக்கும் அடிப்படையான வழிகளும் தொடர்புள்ள [[கணித அமைப்பு]]களும் தரப்படுகிறது.
 
 === கோட்டுரு ===
 [[File:Undirected.svg|thumb|3 முனைகள், 3 விளிம்புகள் கொண்ட கோட்டுரு.]]
 &quot;கோட்டுரு&quot; என்பது {{math|1=''G'' = (''V'', ''E'')}} என்ற [[வரிசைச் சோடி]]. இதில் {{mvar|V}} = முனைகள் என்றழைக்கப்படும் உறுப்புகளுடைய [[கணம் (கணிதம்)|கணம்]]; {{mvar|E}} = விளிம்புகள் என்றழைக்கப்படும் இரு முனைகளை இணைக்கும் கோடுகளின் கணம். இணைப்புகள் அல்லது கோடுகள் எனவும் சில இடங்களில் விளிம்புகள் குறிப்பிடப்படுகின்றன.
 
 [[#திசை கோட்டுரு|திசையுள்ள கோட்டுருவிலிருந்து]] வேறுபடுத்திக் காட்டுவதற்காக இக்கோட்டுரு ''திசையற்ற கோட்டுரு'' எனவும் [[பல்கோட்டுரு]]விலிருந்து வேறுபடுத்திக் காட்டுவதற்காக ''எளிய கோட்டுரு'' எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.{{sfn|Bender|Williamson|2010|p=148}}&lt;ref&gt;See, for instance, Iyanaga and Kawada, ''69 J'', p. 234 or Biggs, p. 4.&lt;/ref&gt;
 
 {{math|''x''}}, {{math|''y''}} முனைகள் இரண்டும் {{math|{''x'', ''y''} }} விளிம்பின் ''இறுதிப்புள்ளிகள்'' எனப்படும். விளிம்பானது {{math|''x''}}, {{math|''y''}} முனைகளை ''இணைக்கிறது'' என்றும் முனைகளில் ''படுகிறது'' அல்லது ''படுகை விளிம்பு'' என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. எந்த விளிம்பையும் சாராத முனைகளும் ஒரு கோட்டுருவில் இருக்கலாம்.
 
 [[பல்கோட்டுரு]] என்பது ஒரே சோடி முனைகளுக்கு ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட [[பல்விளிம்புகள் (கோட்டுருவியல்)|விளிம்புகள்]] கொண்ட கோட்டுருவாகும். சில நூல்கள் பல்கோட்டுருக்களைக் கோட்டுருக்கள் எனக் குறிப்பிடுவதும் உண்டு.{{sfn|Bender|Williamson|2010|p=149}}&lt;ref&gt;Graham et al., p. 5.&lt;/ref&gt;
 
 சிலசமயங்களில் கோட்டுருக்களில் ''[[கண்ணி (கோட்டுருவியல்)|கண்ணிகள்]]'' (ஒரு முனையை அதனுடனேயே இணைக்கும் விளிம்பு) அனுமதிக்கப்படுகின்றன. இத்தகையக் கோட்டுருக்களில் விளிம்புகளின் கணம் [[இரு-கணம்|இரு-கணங்களாக]] இல்லாமல் [[பல்கணம்|பல்கணங்களாக]] வரையறுக்கப்படுகின்றன. இக்கோட்டுருக்கள் ''கண்ணிகள் கொண்ட கோட்டுருக்கள்'' என அழைக்கப்படுகின்றன. கண்ணிகளை அனுமதிக்கும் சூழலில், இவை சுருக்கமாகக் கோட்டுருக்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.
 
 பொதுவாக முனைகளின் கணம் ''V'' முடிவுறு கணமாகக் கொள்ளப்படுகிறது; முனைகளின் கணம் ''V'' முடிவுறு கணமாக இருப்பதால், விளிம்புகளின் கணமும் முடிவுறு கணமாக அமைகிறது. &quot;முடிவுறாக் கோட்டுரு&quot;க்கள் கருத்தில் கொள்ளப்பட்டாலும் அவை [[ஈருறுப்பு உறவு|ஈருறுப்பு உறவின்]] சிறப்பு வகையாகவேக் கருதப்படுகிறது. ஏனெனில் முடிவுறு கோட்டுருக்களுக்கான பெரும்பான்மையான முடிவுகளை முடிவுறாக் கோட்டுருக்களுக்கு நீட்டிக்க முடிவதல்லை என்பதோடு அவற்றுக்கு வேறுவிதமான நிறுவல்கள் தேவைப்படுகிறது.
 
 முனைகளின் கணத்தை [[வெற்றுக் கணம்|வெற்றுக் கணமாகக்]] கொண்ட கோட்டுரு [[வெற்று கோட்டுரு]]வாகும். அதாவது வெற்றுக் கோட்டுரு என்பது முனைகளே இல்லாத கோட்டுருவாகும். ஒரு கோட்டுருவின் முனைகளின் எண்ணிக்கை அதாவது முனைகணத்தின் அளவு (&lt;math&gt;|V|&lt;/math&gt;), அக்கோட்டுருவின் ''வரிசை'' என்றும், விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை அல்லது விளிம்பு கணத்தின் அளவு (&lt;math&gt;|E|&lt;/math&gt;) அக்கோட்டுருவின் ''அளவு'' என்றும் அழைக்கப்படும். ஒரு முனையின் படுகை விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை அம்முனையின் ''படி'' அல்லது ''வலு'' எனப்படும். கண்ணிகள் இரு விளிம்புகளாக எண்ணப்படுகின்றன.
 
 {{math|''n''}} வரிசை கொண்ட கோட்டுருவின் ஒவ்வொரு முனையின் பெருமப்படி {{math|''n'' − 1}} (கண்ணிகள் அனுமதிக்கப்டும்போது {{math|''n'' + 1}}) ஆகவும், அதிகபட்ச விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை {{math|''n''(''n'' − 1)/2}} (கண்ணிகள் அனுமதிக்கப்படும்போது {{math|''n''(''n'' + 1)/2}}) ஆகவும் இருக்கும்.
 
 கோட்டுருவின் முனைகள் மீது விளிம்புகள் ''அண்மை உறவு'' எனப்படும் [[சமச்சீர் உறவு|சமச்சீர் உறவை]] வரையறுக்கின்றன. {''x'', ''y''} ஒரு விளிம்பாக இருந்தால் {{math|''x''}} மற்றும் {{math|''y''}} இரண்டும் ''அண்மை முனைகள்'' அல்லது ''அடுத்துள்ள முனைகள்'' என அழைக்கப்படும்.
 
 === திசை கோட்டுரு ===
 {{main|திசை கோட்டுரு}}
 [[File:Directed.svg|thumb|3 முனை, 4 விளிம்புடைய திசை கோட்டுரு.]]
 
 ஒரு கோட்டுருவின் ஒவ்வொரு விளிம்பும் திசையுடையதாக இருந்தால் அக்கோட்டுரு  &quot;திசை கோட்டுரு&quot; எனப்படும்.
 
 திசை கோட்டுரு என்பது {{nowrap|1=''G'' = (''V'', ''E'')}} என்ற வரிசைச் சோடிகளைக் குறிக்கும்:
 * &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; - முனைகளின் கணம்;
 * &lt;math&gt;E \subseteq \{(x,y) \in V \times V: x \neq y \}\,&lt;/math&gt; - வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இரு வெவ்வேறான முனைகளை இணைக்கும் விளிம்புகளின் கணம். 
 :இவ்விளிம்புகள் திசை விளிம்புகள், திசை இணைப்புகள், அம்புகள் அல்லது விற்கள் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. 
 :இக்கோட்டுருக்கள் &quot;திசையுள்ள எளிய கோட்டுருக்கள்&quot; எனப்படுகின்றன.
 
 {{nowrap|(''x'', ''y'')}} விளிம்பு ''x'' இலிருந்து ''y'' நோக்கி திசை கொண்டுள்ளது. ''x'' , ''y'' ஆகிய இருமுனைகளும் விளிம்பின் &quot;இறுதிப்புள்ளிகள்&quot; எனவும், ''x'' விளிம்பின் &quot;வால்&quot; மற்றும் ''y'' விளிம்பின் &quot;தலை&quot; எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. விளிம்பானது ''x'' , ''y''  முனைகளை இணைக்கிறது அல்லது அவற்றில் &quot;படு&quot;கிறது எனப்படுகிறது. {{nowrap|(''y'', ''x'')}} என்ற விளிம்பானது {{nowrap|(''x'', ''y'')}} விளிம்பின் நேர்மாறு விளிம்பாகும். எந்தவொரு விளிம்புடனும் இணைக்கப்படாத முனைகள் ஒரு கோட்டுருவில் இருக்கலாம். ஒரே தலை மற்றும் ஒரே வாலைக் கொண்ட விளிம்புகள் [[பல்விளிம்புகள் (கோட்டுருவியல்)|பல்விளிம்புகள்]] எனப்படும்.
 
 ;திசையுள்ள பல்கோட்டுருக்கள்
 பல்விளிம்புகளைக் கணக்கில் கொள்வதற்காகத் திசை கோட்டுருவானது ஒரு வரிசையுள்ள மும்மையாக {{nowrap|1=''G'' = (''V'', ''E'', ''ϕ'')}} வரையறுக்கப்படுகிறது:{{sfn|Bender|Williamson|2010|p=149}}&lt;ref&gt;See, for instance, Graham et al., p. 5.&lt;/ref&gt;
 * &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; - முனைகளின் [[கணம் (கணிதம்)|கணம்]];
 * &lt;math&gt;E&lt;/math&gt; - விளிம்புகளின்  [[கணம் (கணிதம்)|கணம்]];
 * &lt;math&gt; \phi \colon E \rightarrow (x,y) \in V \times V: x \neq y \} \,&lt;/math&gt; என்பது ஒவ்வொரு விளிம்பையும் ஒரு வரிசைச் சோடி முனைகளுடன் (வெவ்வேறான இரு முனைகள்) கோர்க்கும் &quot;படுகைச் சார்பு&quot; (''incidence function'') ஆகும்.
 
 குழப்பம் தவிர்க்க முதல் வகையான கோட்டுருக்கள் &quot;திசையுள்ள எளிய கோட்டுரு&quot;க்கள் எனவும் பல்விளிம்புகளுடைய கோட்டுருக்கள் &quot;திசையுள்ள [[பல்கோட்டுரு]]க்கள்&quot; எனவும் அழைக்கப்படுகிறன.
 
 ;கண்ணி
 ஒரு முனையை அதனுடனேயே இணைக்கும் விளிம்பானது [[கண்ணி (கோட்டுருவியல்)|கண்ணி]] என அழைக்கப்படும். மேலே தரப்பட்ட இரு வரையறைகளில் கண்ணிகள் இருக்க முடியாது. கண்ணிகள் அனுமதிக்கப்படுவதற்கு அவ்வரையறைகள் பின்னுள்ளவாறு நீட்டிக்கப்பட வேண்டும்.
 
 *திசையுள்ள எளிய கோட்டுருக்களின் வரையறையிலுள்ள விளிம்புகளின் கணம் &lt;math&gt;E \subseteq \{(x,y) \in V \times V: x \neq y \}\,&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;E \subseteq \{(x,y) \in V \times V\}\,&lt;/math&gt; என நீட்டிக்கப்பட வேண்டும். 
 :இக்கோட்டுருக்கள் &quot;கண்ணிகளை அனுமதிக்கும் திசையுள்ள எளிய கோட்டுருக்கள்&quot; எனக் குறிப்பிடப்படுகின்றன.
 
 *திசையுள்ள பல்கோட்டுருக்கள் வரையறையிலுள்ள படுகை சார்பு
 :&lt;math&gt; \phi \colon E \rightarrow (x,y) \in V \times V: x \neq y \} \,&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt; \phi \colon E \rightarrow (x,y) \in V \times V\} \,&lt;/math&gt; என நீட்டிக்கப்பட வேண்டும். 
 :இக்கோட்டுருக்கள் &quot;கண்ணிகளை அனுமதிக்கும் திசையுள்ள பல்கோட்டுருக்கள்&quot; எனக் குறிப்பிடப்படுகின்றன.
 
 கண்ணிகளை அனுமதிக்கும் திசையுள்ள எளிய கோட்டுருவின் விளிம்புகள், அக்கோட்டுருவின் முனைகளின் மீது &quot;அண்மை உறவை&quot;த் தூண்டுகின்றன. ஒவ்வொரு {{nowrap|{''x'', ''y''}}} விளிம்பின் இறுதிப்புள்ளிகள் ''x'' , ''y'' இரண்டும் &quot;அடுத்தமையும் முனைகள்&quot; அல்லது &quot;அண்மை முனைகள்&quot; ஆகும்; இவ்வுறவானது குறியீட்டில் {{nowrap|''x'' ~ ''y''}} என எழுதப்படுகிறது.
 
 === கலப்புக் கோட்டுரு ===
 {{main|கலப்புக் கோட்டுரு}}
 [[File:Mixed Graph Example.jpg|thumbnail|இரு திசையுள்ள, ஒரு திசையில்லா விளிம்பு கொண்ட கலப்புக் கோட்டுரு]]
 திசையற்ற மற்றும் திசையுள்ள விளிம்புகளைக் கொண்ட கோட்டுருவானது ''[[கலப்புக் கோட்டுரு]]'' என அழைக்கப்படும் எளிய கலப்புக் கோட்டுருவானது {{nowrap|1=''G'' = (''V'', ''E'', ''A'')}} என்ற மும்மையாகவும் கலப்பு பல்கோட்டுருவானது  {{nowrap|1=''G'' = (''V'', ''E'', ''A'', ''ϕ''&lt;sub&gt;''E''&lt;/sub&gt;, ''ϕ''&lt;sub&gt;''A''&lt;/sub&gt;)}} ஆகவும் இருக்கும். இதில் ''V'', ''E'' (திசையற்ற விளிம்புகள்), ''A'' (திசையுள்ள விளிம்புகள்), ''ϕ''&lt;sub&gt;''E''&lt;/sub&gt; மற்றும் ''ϕ''&lt;sub&gt;''A''&lt;/sub&gt; ஆகியவை திசையற்ற/திசையுள்ள கோட்டுருக்களுக்கு வரையறுக்கப்பட்டதைப் போல வரையறுக்கப்படுகின்றன.
 
 === எடையிடப்பட்டக் கோட்டுரு ===
 [[File:Weighted_network.png|thumb|10 முனை, 12 விளிம்புகளுடைய எடையிடப்பட்டக் கோட்டுரு.]]
 A ''எடையிடப்பட்டக் கோட்டுரு''  (weighted graph) அல்லது ''வலையமைப்பு'' (network)&lt;ref&gt;{{Citation | last=Strang | first=Gilbert | title=Linear Algebra and Its Applications | publisher=Brooks Cole | edition=4th | year=2005 | isbn=978-0-03-010567-8 | url=https://books.google.com/books?vid=ISBN0030105676 }}{{Dead link|date=ஜனவரி 2023 |bot=InternetArchiveBot }}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Citation | last=Lewis | first=John | title=Java Software Structures | publisher=Pearson | edition=4th | year=2013 | isbn=978-0133250121 | page=405 }}&lt;/ref&gt; என்பது ஒவ்வொரு விளிம்புக்கும் ஒரு எண் எடையாக இணைக்கப்பட்ட கோட்டுருவாகும்.&lt;ref&gt;{{cite book|last1=Fletcher|first1=Peter|last2=Hoyle|first2=Hughes|last3=Patty|first3=C. Wayne|title=Foundations of Discrete Mathematics|url=https://archive.org/details/foundationsofdis0000flet|year=1991|publisher=PWS-KENT Pub. Co.| location=Boston| isbn=978-0-53492-373-0| pages=[https://archive.org/details/foundationsofdis0000flet/page/463 463] | edition=International student|quote=A ''weighted graph'' is a graph in which a number ''w(e)'', called its ''weight'', is assigned to each edge ''e''.}}&lt;/ref&gt; கோட்டுருவுக்கான சூழலைப் பொறுத்து இந்த எடைகள் விலைகள், நீளங்கள், கொள்ளளவுகள் போன்றவைகளாக அமையலாம்.
 
 == கோட்டுருக்களின் வகைகள் ==
 === ஒழுங்கு கோட்டுரு ===
 [[File:Cube graph.png|thumb|100px|முப்படிக் கோட்டுரு: 3-ஒழுங்கு கோட்டுரு.]]
 ஒரு [[ஒழுங்கு கோட்டுரு]]வின் அனைத்து [[கணு (கோட்டுருவியல்)|முனைகளின்]] [[படி (கோட்டுருவியல்)|படியும்]] சமமாக இருக்கும். ஒரு [[திசை கோட்டுரு]]வின் அனைத்து முனைகளின் உட்படிகளும் வெளிப்படிகளும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருந்தால் அது ஒழுங்கு திசை கோட்டுருவாகும்.&lt;ref&gt;{{Cite book | last = Chen | first = Wai-Kai | title = Graph Theory and its Engineering Applications | publisher = World Scientific | year = 1997 | pages = [https://archive.org/details/graphtheoryitsen00chen/page/29 29] | isbn = 978-981-02-1859-1 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/graphtheoryitsen00chen/page/29 }}&lt;/ref&gt; 
 
 &lt;span class=&quot;texhtml&quot; &gt;&lt;var &gt;k&lt;/var &gt;&lt;/span &gt; படிகொண்ட முனைகளையுடைய ஒழுங்கு கோட்டுரு ''&lt;span class=&quot;texhtml&quot; &gt;&lt;var &gt;k&lt;/var &gt;&lt;/span &gt;‑ஒழுங்கு கோட்டுரு'' அல்லது &lt;span class=&quot;texhtml&quot; &gt;&lt;var &gt;k&lt;/var &gt;&lt;/span &gt; படியுடைய ஒழுங்கு கோட்டுரு எனப்படும்.
 
 ===  முழுக்கோட்டுரு ===
 [[Image:Complete graph K7.svg|100px|thumb|{{math|''K''&lt;sub&gt;7&lt;/sub&gt;}} - 7 கணுக்களுடைய முழுக்கோட்டுரு
 ]]
 [[முழுக்கோட்டுரு]]வின் ஒவ்வொரு வெவ்வேறான முனைகளின் இருமமும் தனித்ததொரு [[விளிம்பு (கோட்டுருவியல்)|விளிம்பால்]] இணைக்கப்பட்டிருக்கும். &quot;திசை முழுக்கோட்டுரு&quot; என்பது ஒவ்வொரு வெவ்வேறான முனைகளின் இருமமும் [[விளிம்பு (கோட்டுருவியல்)|விளிம்புகளின்]] தனித்ததொரு இருமத்தால் இணைக்கப்பட்ட ஒரு [[திசை கோட்டுரு|திசைக்கோட்டுரு]] ஆகும்.
 
 === முடிவுறு கோட்டுரு ===
 [[கோட்டுரு (கணிதம்)#முடிவுறு கோட்டுரு|முடிவுறு கோட்டுருவின்]] முனைகளின் கணமும் விளிம்புகளின் கணமும் [[முடிவுறு கணம்|முடிவுறு கணங்களாக]] இருக்கும். முனைகளின் கணமும் விளிம்புகளின் கணமும் முடிவுறா கணங்களாக இருந்தால் அக்கோட்டுருவானது ''முடிவுறாக் கோட்டுரு'' எனப்படும். 
 
 === இணைப்புள்ள கோட்டுரு ===
 [[File:Network Community Structure.svg|thumb|100px|இணைப்புள்ள கோட்டுரு]]
 குறைந்தபட்சம் ஒரு முனையும் ஒவ்வொரு முனைய சோடிகளுக்கிடையே ஒரு [[பாதை (கோட்டுருவியல்)|பாதையும்]] கொண்ட ஒரு திசையற்றக் கோட்டுரு [[இணைப்பு (கோட்டுருவியல்)|இணைப்புள்ள கோட்டுரு]] என அழைக்கப்படுகிறது. ஒரேயொரு இணைப்புக் கூறுகொண்ட கோட்டுரு எனவும் இணைப்புள்ள கோட்டுருவைக் கூறலாம். இணைப்புள்ள கோட்டுருவில் சென்றடைய முடியாத முனைகளே இருக்காது. இணைப்புள்ள கோட்டுருக்கள் [[முழுக்கோட்டுரு]]க்களாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. (முழுக்கோட்டுருவில் ஒவ்வொரு முனைய சோடியும் ஒரு விளிம்பால் இணைக்கப்பட்டிருக்கும்.
 
 [[File:UndirectedDegrees.svg|thumb|100px|இணைப்பிலாக் கோட்டுரு]]
 ஒரு கோட்டுருவில் சென்றடைய முடியாத இரு முனைகள் இருந்தால் அக்கோட்டுரு, &quot;இணைப்பற்றக் கோட்டுரு&quot; அல்லது &quot;இணைப்பிலாக் கோட்டுரு&quot; எனப்படும். 
 அதாவது எவையேனும் இரு முனைகளுக்கு இடையே பாதை அமையவில்லை எனில் அக்கோட்டுரு இணைப்பில்லாக் கோட்டுருவாகும்.
 
 படத்திலுள்ள கோட்டுருவின் முனை &quot;0&quot; ஆனது கோட்டுருவின் வேறெந்த முனைகளுடனும் இணைக்கப்படவில்லை. இதனால் இக்கோட்டுரு இணைப்பற்றதாகிறது. கோட்டுருவிலிருந்து முனை &quot;0&quot; ஐ நீக்கினால் இதர பகுதி இணைப்புள்ள கோட்டுருவாக அமைவதையும் காணலாம்.
 
 === இருகூறு கோட்டுரு ===
 [[Image:Simple-bipartite-graph.svg|thumb|100px|சுழற்சிகளற்ற ஒரு இருகூறு கோட்டுரு]]
 [[இருகூறு கோட்டுரு]]வில், அதன் [[முனை (கோட்டுருவியல்)|முனைகள்]] &lt;math&gt;U,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; என்ற இரு [[சேர்ப்பில்லாக் கணங்கள்|சேர்ப்பிலா]] மற்றும் [[சாரா கணம் (கோட்டுருவியல்)|சாரா கணங்களாகப்]] பிரிக்கப்பட்டிருக்கும்.  &lt;math&gt;U&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு முனையும் &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒரு முனையோடு இணைக்கப்பட்டிருக்கும். 
 
 முனை கணங்கள் &lt;math&gt;U,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;V&lt;/math&gt; இரண்டும் இருகூறு கோட்டுருவின் &quot;பாகங்கள்&quot; எனப்படும். ஒற்றை-நீள [[சுழற்சி (கோட்டுருவியல்)|சுழற்சிகளற்ற]] கோட்டுரு, இருகூறு கோட்டுருவாக இருக்கும்.&lt;ref name=diestel2005graph&gt;{{cite book|last=Diestel|first=Reinard|title=Graph Theory, Grad. Texts in Math|year=2005|publisher=Springer|isbn=978-3-642-14278-9|url=http://diestel-graph-theory.com/}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{citation
  | last1 = Asratian
  | first1 = Armen S.
  | last2 = Denley
  | first2 = Tristan M. J.
  | last3 = Häggkvist
  | first3 = Roland
  | isbn = 9780521593458
  | publisher = Cambridge University Press
  | series = Cambridge Tracts in Mathematics
  | title = Bipartite Graphs and their Applications
  | volume = 131
  | year = 1998
  | url-access = registration
  | url = https://archive.org/details/bipartitegraphst0000asra
  }}.&lt;/ref&gt;
  
 === பாதை கோட்டுரு ===
 {{முதன்மை|பாதை கோட்டுரு}}
 [[Image:Path-graph.svg|thumb|100px|right|6 முனைகள் கொண்ட பாதை கோட்டுரு]]
 [[பாதை கோட்டுரு]] என்பது [[கணு (கோட்டுருவியல்)|முனைகளை]] ''v''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, ''v''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;, …, ''v''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; என வரிசைப்படுத்தக் கூடிய கோட்டுருவாகும். {{nobreak|{''v''&lt;sub&gt;''i''&lt;/sub&gt;, ''v''&lt;sub&gt;''i''+1&lt;/sub&gt;}}} (''i'' = 1, 2, …, ''n'' − 1) என்பது இக்கோட்டுருவின் விளிம்புகளாகும்.
 
 # குறைந்தபட்சம் இணைக்கப்பட  இரு முனைகள்,
 # இரு இறுதிமுனைகள் ([[படி (கோட்டுருவியல்)|படி]] ஒன்றுள்ள முனைகள்),
 # படி இரண்டு கொண்ட பிற முனைகள் (இருந்தால்)
 ஆகிய மூன்றையும் நிறைவு செய்யும் [[பாதை (கோட்டுருவியல்)|பாதை]]யாகவும் பாதை கோட்டுருவைக் கருதலாம்.
 
 === சுழற்சி கோட்டுரு ===
 {{முதன்மை|சுழற்சி கோட்டுரு}}
 [[Image:Undirected 6 cycle.svg|left|thumb|100px|சுழற்சி கோட்டுரு]]
 ஒரேயொரு [[சுழற்சி (கோட்டுருவியல்)|சுழற்சி]] கொண்ட [[கோட்டுரு (கணிதம்)|கோட்டுரு]] ''[[சுழற்சி கோட்டுரு]]'' அல்லது ''வட்டக் கோட்டுரு'' ஆகும். சுழற்சி கோட்டுருவில் அதன் முனைகள் (குறைந்தபட்சம் 3) மூடிய இணைப்பு கொண்டிருக்கும்.  ''n'' முனைகள் கொண்ட சுழற்சி கோட்டுரு ''C&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' எனக் குறிக்கப்படுகிறது. ''C&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;'' இன் முனைகளின் எண்ணிக்கையும் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருக்கும். ஒவ்வொரு முனைக்கும் இரு படுகை விளிம்புகள் இருக்கும். இதனால் சுழற்சி கோட்டுருவின் ஒவ்வொரு முனையின்  [[படி (கோட்டுருவியல்)|படி]] 2 ஆக இருக்கும்.
 [[Image:DC8.png|thumb|right|80px|திசை சுழற்சிக்கோட்டுரு]]
 
 ஒரு சுழற்சி கோட்டுருவின் விளிம்புகள் அனைத்தும் ஒரே திசையில் திசையிடப்பட்டிருக்குமானால் அது திசை சுழற்சி கோட்டுரு எனப்படும்.
 
 === மரம் ===
 {{முதன்மை|மரம் (கோட்டுருவியல்)}}
 [[File:Tree graph.svg|thumb|100px|பெயரிடப்பட்ட மரம்]]
 எந்தவிரு [[கணு (கோட்டுருவியல்)|முனைகளும்]] &quot;ஒரேயொரு&quot; [[பாதை (கோட்டுருவியல்)|பாதையால்]] மட்டுமே இணைக்கப்பட்ட திசையற்ற கோட்டுருவானது '''மரம்''' (''tree'') என அழைக்கப்படுகிறது. &quot;இணைப்புள்ள சுழலாத் திசையற்ற கோட்டுரு&quot; எனவும் மரம் வரையறுக்கப்படுகிறது{{sfn|Bender|Williamson|2010|p=171}}.
 [[File:Arbres plans.png|thumb|100px|காடு]]
 மரங்களின்  [[கோட்டுருக்களின் பொதுவற்ற ஒன்றிப்பு|பொதுவற்ற ஒன்றிப்பு]] &quot;காடு&quot; எனப்படுகிறது. மேலும் &quot;அதிகபட்சம்&quot; ஒரு [[பாதை (கோட்டுருவியல்)|பாதையால்]] இணைக்கப்பட்ட முனைகளைக் கொண்ட திசையற்ற கோட்டுரு அல்லது  திசையற்ற சுழலாக் கோட்டுரு எனவும் காடு வரையறுக்கப்படுகிறது.{{sfn|Bender|Williamson|2010|p=172}}
 
 === பன்மரம் ===
 [[Image:Polytree.svg|thumb|right|100px|பன்மரம்.]]
 ''பன்மரம்'' (''polytree'')&lt;ref name=&quot;d99&quot;&gt;{{harvtxt|Dasgupta|1999}}.&lt;/ref&gt; என்பது ஒரு திசையுள்ள சுழற்சியற்றக் கோட்டுருவாகும். பன்மரத்தில் அமைந்துள்ள அடிப்படை திசையற்ற கோட்டுரு ஒரு [[மரம் (கோட்டுருவியல்)|மரமாக]] இருக்கும். அதாவது, பன்மரத்தின் [[திசை கோட்டுரு|திசையுள்ள விளிம்புகளைத்]] திசையில்லா விளிம்புகளாக மாற்றினால் கிடைக்கும் கோட்டுரு, ஒரு [[இணைப்பு (கோட்டுருவியல்)|இணைப்புள்ள]] [[சுழற்சி (கோட்டுருவியல்)|சுழற்சியற்றக்]] கோட்டுருவாக (மரமாக) இருக்கும். 
 
 [[மரம் (கோட்டுருவியல்)#காடு|காட்டினைத்]] தன் அடிப்படைக் கோட்டுருவாகக் கொண்ட திசையுள்ள சுழற்சியற்றக் கோட்டுருவானது &quot;பல்காடு&quot; என அழைக்கப்படும். பல்காட்டின் திசையுள்ள விளிம்புகளைத் திசையற்ற விளிம்புகளாக மாற்றினால் திசையற்ற சுழற்சியற்றக் கோட்டுருவான காடு கிடைக்கும்.
 
 == கோட்டுருக்களின் பண்புகள்  ==
 * ஒரு இறுதிப்புள்ளியைப் பொதுமுனையாகக் கொண்ட இரு விளிம்புகள் ''அண்மை விளிம்புகள்'' அல்லது அடுத்துள்ள விளிம்புகள் (adjacent edges) எனப்படும். திசை கோட்டுருவில் ஒரு விளிம்பின் தலையாக உள்ள முனையானது மற்றொரு விளிம்பிற்கு வாலாக இருக்குமானால் அவ்விரு விளிம்புகளும் அடுத்தடுத்த விளிம்புகளாகும். 
 
 :இதேபோல ஒரே விளிம்பின் இறுதிப்புள்ளிகளாக அமையும் முனைகள் ''அண்மை முனைகள்'' அல்லது ''அடுத்துள்ள முனைகள்'' என்றும் திசை கோட்டுருவில் விளிம்பின் தலையாகவும் வாலாகவும் உள்ள இரு முனைகளும் ''அடுத்தடுத்த முனைகள்'' எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. ஆகும். 
 
 :ஒரு முனையை இறுதிப்புள்ளியாகக் கொண்ட விளிம்பு அம்முனையின் ''படுகை விளிம்பு'' எனப்படுகிறது..
 
 * ஒரேயொரு முனையுடன் விளிம்புகளே இல்லாத கோட்டுருவானது ''அற்பக் கோட்டுரு'' (trivial graph) என்றும் முனைகளை மட்டும் கொண்டு விளிம்புகளே இல்லாத கோட்டுருவானது ''விளிம்புகளற்ற கோட்டுரு'' என்றும் அழைக்கப்படும். சிலசமயங்களில்  முனைகளை மட்டும் கொண்டு விளிம்புகளே இல்லாத கோட்டுருவானது ''[[வெற்று கோட்டுரு]]'' என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இந்த இரண்டாவது வரையறையை அனைத்து கணிதவியலாளர்களும் ஏற்பதில்லை.
 
 == கோட்டுரு செயலிகள் ==
 ஒன்று அல்லது இரண்டு கோட்டுருக்களைக் கொண்டு புதிய கோட்டுரு ஒன்றை உருவாக்கக் கூடிய செயலிகள் உள்ளன. அவற்றுள் சில: 
 * ''ஓருறுப்புச் செயலிகள்'':
 ** [[விளிம்புக் குறுக்கம்]]
 ** [[வரிக் கோட்டுரு]]
 ** [[இரட்டைக் கோட்டுரு]]
 ** [[நிரப்பு கோட்டுரு]]
 ** கோட்டுரு உருமாற்றம்
 * ''ஈருறுப்புச் செயலிகள்'':
 ** [[கோட்டுருக்களின் பொதுவற்ற ஒன்றிப்பு]]
 ** [[கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் (கோட்டுருவியல்)|கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்]]
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}