இராமானுசனின் டௌ-சார்பு
கணித மேதை [[இராமனுசன்|இராமானுசனின்]]  சாதனைகளில் மிக முக்கியமானவைகளில் ஒன்று, இராமானுஜனின் '''டௌ-சார்பு''' (Ramanujan's tau Function) என்று பிரசித்தி பெற்ற [[எண் கோட்பாட்டுச்]] சார்பு. ஒரு முழு எண்ணை இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகையாக எப்பொழுதெல்லாம் எப்படியெல்லாம் சொல்லலாம்   என்ற எளிமைத் தோற்றமுடைய பிரச்சினைக்கும் இந்த உயர்ந்த கணிதச் சார்புக்கும் உள்ள உறவைக்காட்டி இரமானுசன் இச்சார்பை உலகுக்கு அறிமுகப்படுத்தினார்.&lt;ref&gt;{{Cite OEIS|A016754|name=Odd squares: (2n-1)^2. Also centered octagonal numbers.}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=swd&gt;Page 4 of {{harvnb|Swinnerton-Dyer|1973}}&lt;/ref&gt;&lt;ref name=kolberg&gt;Due to {{harvnb|Kolberg|1962}}&lt;/ref&gt;
 
 ==டௌ-சார்பு அறிமுகம்==
 
 பிரச்சினையின் தொடக்கம் மிகச் சுவையானது.
 
 :: ஒரு [[நேர்ம முழு எண்]] &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; க்கு  &lt;math&gt;x^2 + y^2 = n&lt;/math&gt;  ஆக இருக்கும்படி &lt;math&gt;x, y&lt;/math&gt; க்கு எத்தனை முழு எண் தீர்வுகள் இருக்கமுடியும்? வரிசைக்கிரம வேறுபாடோ, &lt;math&gt;+ , -,&lt;/math&gt; வேறுபாடோ இருந்தால் அதையும் தனித்தனி தீர்வாகவே எண்ணவேண்டும்.  இந்த எண்ணிக்கையை  &lt;math&gt; r_2(n)&lt;/math&gt;   என்று குறிப்பது வழக்கம். இதேபோல்   &lt;math&gt;r_k(n)&lt;/math&gt;   என்பது ஒரு நேர்ம முழு எண்ணை எத்தனை விதமாக முழு எண்களின்  &lt;math&gt;k&lt;/math&gt;-அடுக்குகளின் தொகையாகச் சொல்லமுடியும் என்ற எண்ணிக்கையைக் குறிப்பது.
 
 எ.கா.1:
 
 &lt;math&gt;18 = 3^2 + 3^2&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;= (-3)^2 + 3^2&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;= 3^2 + (-3)^2&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;= (-3)^2 + (-3)^2.&lt;/math&gt;  வேறு விதமாக  இரண்டு வர்க்கங்களாக எழுதமுடியாது. &lt;math&gt;\therefore r_2 (18) = 4&lt;/math&gt;.
 
 எ.கா. 2:
 
 &lt;math&gt;5  =  (\pm 2)^2 + (\pm 1)^2&lt;/math&gt;
 :  &lt;math&gt;=  (\pm 1)^2 + (\pm 2)^2&lt;/math&gt;  &lt;math&gt;\therefore r_2(5) = 8.&lt;/math&gt;
 
 எ.கா. 3:
 
 &lt;math&gt;4 = (\pm 2)^2 + (0)^2 +  (0)^2&lt;/math&gt;
 : &lt;math&gt;=  (0)^2 + (\pm 2)^2 + (0)^2&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; =  (0)^2 + (0)^2 + (\pm 2)^2.  \therefore  r_3(4) = 6.&lt;/math&gt;
 
 நான்காம் நூற்றாண்டில் [[டயொஃபாண்டஸ்]] என்ற கிரேக்க கணித இயலர் n = 4q - 1 உருவத்திலுள்ள எந்த முழு எண்ணும்  இரண்டு வர்க்கங்களின் தொகையாக இருக்கமுடியாது என்று அறிந்தவர்.  1632 இல் [[ஜிரார்ட்]] என்பவர் ஒரு யூகத்தை முன்மொழிந்தார்: அதாவது,
 
 :: முழு எண் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத் தொகையாக இருக்கவேண்டுமானால் அதற்கு இலக்கணம்:
 :: &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இனுடைய காரணிகளில், &lt;math&gt;q = 3(mod 4)&lt;/math&gt; உருவத்தில் உள்ள  எல்லாப் [[பகா எண்|பகாக் காரணிகளும்]] &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இல் இரட்டைப்படை அடுக்காக இருந்தாகவேண்டும்.
 
 இதற்கு [[ஆய்லர்]] 1749 இல் நிறுவலளித்தார். ([[ஃபெர்மா]] வும் 1641இல் ஒரு நிறுவல் காட்டியதாக சொல்லப்படுகிறது.)
 
 1798 இல் [[லெஜாண்டர்|லெஜாண்டரு]]ம், 1801 இல் [[கார்ல் ஃப்ரெடெரிக் காஸ்|காஸு]]ம் &lt;math&gt;r_2(n)&lt;/math&gt; க்கு வாய்பாடுகள் கொடுத்தனர்.
 
 1621 இல் [[பாஷெ]] ஒரு யூகத்தை முன்வைத்தார்:
 :: ஒவ்வொரு நேர்ம முழு எண்ணையும் நான்கு முழு எண் வர்க்கங்களின் தொகையாகக்காட்டலாம்.
 இது டயோஃபாண்டஸுக்கே தெரிந்திருந்தாலும் இருக்கும். 1770 இல் [[லக்ராண்ஜி]] தான் இதற்கு நிறுவலளித்தார்.
 
 1829 இல் [[ஜாகோபி]] உயர்தர கணிதத்தைச் சார்ந்ததான [[நீள்வட்டச்சார்பு]]களையும் [[தீட்டா சார்பு]] களையும் பயன்படுத்தி k = 2,4,6,8 மதிப்புகளுக்கு  &lt;math&gt;r_k(n)&lt;/math&gt;க்கு  வாய்பாடுகள் அளித்தார்.
 
 ஜாகோபியின் வாய்பாடுகள்:
 
 :: &lt;math&gt;r_2(n) = 4\{d_1(n) - d_3(n)\};&lt;/math&gt;
 :: &lt;math&gt;r_4(2n) = 24 \sigma^{0}(n);&lt;/math&gt; 
 ::&lt;math&gt;r_4(2n-1) = 8 \sigma(2n-1).&lt;/math&gt;
 
 இங்கெல்லாம்  &lt;math&gt;d_1(n) = n&lt;/math&gt; இனுடைய (4m+1)-வகைக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை;
 : &lt;math&gt;d_3(n) = n&lt;/math&gt; இனுடைய &lt;math&gt;(4m+3)-&lt;/math&gt;வகைக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை;
 : &lt;math&gt;\sigma^{0}(n) = n&lt;/math&gt; இனுடைய ஒற்றைப்படைக் காரணிகளின் கூட்டல் தொகை;
 : &lt;math&gt;\sigma(n)= n&lt;/math&gt; இனுடைய எல்லாக் காரணிகளின் கூட்டல் தொகை.
 
 இவையெல்லாவற்றையும்  அறிந்தோ அறியாமலோ இராமானுசன்  1916 இல்  ஒரு விந்தையளிக்கும் வாய்பாடை பிரசுரித்தார்:
 
 :: &lt;math&gt;r_{24}(n)&lt;/math&gt; =  &lt;math&gt;\frac{16}{691}\sigma_{11}^*(n) - \frac{128}{691} \{(-1)^{n-1}259 \tau(n) -512\tau(n/2)\}&lt;/math&gt;
 
 :: இங்கு &lt;math&gt;\sigma_{11}^*(n) = (-1)^n \sum_{d|n}(-1)^d d^{11}&lt;/math&gt;.
 
 இங்குதான் இராமானுசன் டௌ-சார்பை அறிமுகப்படுத்தினார். அது இன்று எண்கோட்பாட்டின் எல்லைகளையும் தாண்டி [[இயற்கணித இடவியல்]], மற்றும் இன்னும் சில கணிதப் பிரிவுகளை  ஆக்கிரமித்துவிட்டது. இப்பிரிவுகளே இராமானுசன் காலத்திற்கு மிகப்பிற்காலத்தியவை.
 
 ==டௌ-சார்பு வரையறை==
 
 &lt;math&gt;\tau(n)&lt;/math&gt;  என்பது  ஒரு [[முடிவுறாச் சரத்தில்]] &lt;math&gt;x^n&lt;/math&gt; இன் [[கெழு]]. இந்த முடிவுறாச் சரமே  ஒரு [[முடிவுறாப் பெருக்கீட்டின்]] விரிபாடு. அதாவது,
 
 &lt;math&gt;\sum_{n=1}^\infty \tau(n)x^n = \{x (1 - x) (1 - x^2) (1 - x^3) ... ...\}^{24}&lt;/math&gt;
 
 இதிலிருந்து  &lt;math&gt;\tau(1) = 1&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\tau(2) = -24&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\tau(3) = 252&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\tau(4) =-1472&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\tau(5) = 4830&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\tau(6) =-6048&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;\tau(7) = -16744 .....&lt;/math&gt;
 
 என்று தெரிந்துகொள்ளலாம்.
 
 ==டௌ-சார்பைப்பற்றி இராமானுசன்==
 
 * &lt;math&gt;n_1, n_2&lt;/math&gt; இன்  [[உ.பொ.அ.]] = 1 ஆக இருந்தால், &lt;math&gt;\tau(n_1)\tau(n_2) = \tau(n_1 n_2)&lt;/math&gt;. 
 இது இராமானுசனுடைய யூகம். இதற்கு நிறுவல்   1917 இல் [[மார்டெல்]] ஆல் கொடுக்கப்பட்டது.
 
 * &lt;math&gt;\tau(n)&lt;/math&gt; இன் [[சமான]]ப் பண்புகள்  இராமானுசனால் தீர்மானிக்கப்பட்டன. அதற்கு அவர் எடுத்துக் கொண்ட [[மட்டுக்கள்]]  (Moduli) ஆறே ஆறு தான். அவை: 2,3,5,7, 23, 691. எடுத்துக் காட்டாக, அவைகளில் ஒரு சமானம்:
 ::&lt;math&gt;\tau(n) = \sigma_{11}(n)mod 691&lt;/math&gt;. இங்கு  &lt;math&gt;\sigma_{11}(n) = sum_{d|n}d^{11}.&lt;/math&gt;
 
 *இந்த 6 மட்டுக்களைத்தவிர வேறு ஒரு எண்ணும் ஏன் மட்டுக்களாக எடுத்துக் கொள்ளப்படவில்லை என்பதை நூற்றாண்டின் பிற்பாதியில்தான் கணித இயலர்கள் அறிந்துகொண்டார்கள். இவ்வாறு எண்களத் தவிர வேறு ஓர் எண்ணுடனும் &lt;math&gt;\tau(n)&lt;/math&gt;க்கு [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவு]] இல்லையாம்! இதுவும் எண்கோட்பாட்டின் தேற்றங்களிலிருந்து வரும் உண்மையல்லவாம்; இராமானுசன் காலத்தில் இல்லாத [[இயற்கணித வடிவவியல்]] என்று இருபதாம் நூற்றாண்டின் பிற்பாதியில் பிரபலமான ஒரு கணிதப் பிரிவின் தற்கால வெளிப்பாடுகளிலிருந்து வரும் முடிவு!
 
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
 
 * [[இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்]]
 
 ==துணைநூல்கள்==
 
 * S. Ramanujan. Transactions of the Cambridge Philos. Society. 22 (1916)pp.&amp;nbsp;159–184
 * E. Grosswald. Representations of Integers as Sums of Squares. 1985. Springer, New York.
 * V. Krishnamurthy. Culture, Excitement and Relevance of Mathematics.1990. Wiley Eastern. New Delhi.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 [[பகுப்பு:எண் கோட்பாடு]]