பெர்மாவின் சிறிய தேற்றம்
'''ஃபெர்மாவின் சிறிய தேற்றம்''' (Fermat's Little Theorem) என்பது [[கணிதம்|கணித]]த்தில் [[எண் கோட்பாடு|எண்கோட்பாட்டு]]ப்பிரிவில் அடிப்படையான முதல் தேற்றம். மற்ற பல பிரிவுகளிலும் பயன்படுத்தப்படுவது. அது என்ன சொல்கிறதென்றால்,
 
 : &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; ஒரு முழு எண்ணாகவும், &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ஒரு [[பகா எண்]]ணாகவும் இருந்தால், &lt;math&gt;n^p - n&lt;/math&gt; என்ற எண் &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ஆல் சரியாக வகுபடும்.
 
 எ.கா.
 : &lt;math&gt;5^3 - 5  = 120 = 3 \times 40&lt;/math&gt; 
 : &lt;math&gt;2^{11} - 2 = 2046 = 11 \times 186;&lt;/math&gt; 
 : &lt;math&gt;4^5 - 4 = 1020 = 5 \times 204.&lt;/math&gt;
 
 [[ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றம்]] என்று வரலாற்றுப் புகழ் பெற்ற தேற்றம், வேறு ஒன்று. அதனிலிருந்து பிரித்துக் காட்டுவதற்குத்தான் மேலேயுள்ள தேற்றம் ''சிறிய'' தேற்றம் என வழங்குகிறது.
 
 சிறிய தேற்றம் என்று பெயரிருந்தாலும் இதன் கீர்த்தி பெரிதாகையால் இதற்கு மூன்று வித நிறுவல்களைக் கீழே பார்க்கலாம்.
 
 == எளிய முதல் நிறுவல் ==
 
 இந்நிறுவல் [[உய்த்தறிதல் முறை]]யில் செல்லும். &lt;math&gt;p | n^p - n&lt;/math&gt; என்பது தேற்றம். &lt;math&gt;n = 1&lt;/math&gt; க்கு நிச்சயமாக இது உண்மை; ஏனென்றால்,&lt;math&gt; 1^p - 1 = 0, p&lt;/math&gt; ஆல் வகுபடுகிறது. இப்பொழுது &lt;math&gt;p | n^p - n&lt;/math&gt; என்பது உண்மையானால்
 
 :: &lt;math&gt;p | (n+1)^p - (n+1)&lt;/math&gt;
 
 என்று காட்டவேண்டும்.
 
 :: &lt;math&gt;(n+1)^p - (n + 1)&lt;/math&gt; 
 :: &lt;math&gt;= n^p - n + \sum_{i=1}^{i=(p-1)}\begin{pmatrix}
 p \\
 i
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt;
 
 இது &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ஆல் வகுபடுகிறது; ஏனென்றால், உய்த்தறிதல் கருதுகோளினால் &lt;math&gt;n^p - n, p&lt;/math&gt; ஆல் வகுபடுகிறது; மற்றும், ஒவ்வொரு &lt;math&gt;\begin{pmatrix}
 p \\
 i
 \end{pmatrix}&lt;/math&gt; ம் &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; ஆல் வகுபடுகிறது.
 
 == இரண்டாவது நிறுவல் ==
 
 இந்நிறுவல் [[எண்களின் சமானப்பகுதிகள்|எண்களின் சமான உறவுக்]] கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துகிறது.முதலில் உ.பொ.கா(n,p) = 1 என்று கொள்வோம். இப்பொழுது,
 
 :: &lt;math&gt;n, 2n, 3n, ... , (p-1)n&lt;/math&gt; (*)
 
 என்ற தொடரைப் பார். இதனில் எந்த இரண்டு உறுப்புகளும் மாடுலோ &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; சமானமல்ல; ஏனென்றால்,
 
 :: &lt;math&gt;i\times n \equiv k\times n (mod p)&lt;/math&gt; என்றால் ,
 
 :: &lt;math&gt;i \equiv k (mod p)&lt;/math&gt; ; அ-து, &lt;math&gt;i = k&lt;/math&gt;
 
 இதனால் (*) இலுள்ள ஒவ்வொரு எண்ணும் &lt;math&gt;1,2,3, ..., (p-1)&lt;/math&gt; இல் வெவ்வேறு எண்களுக்கு, அதுவும் ஒரே ஒரு எண்ணுக்கு சமானமாக இருக்கும். இந்த சமானங்களின் பெருக்குத்தொகை
 
 :: &lt;math&gt;n^{p-1}. 1.2. ... .(p-1) \equiv  1.2.3. ... (p-1) (mod p)&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;(p-1)!&lt;/math&gt; ம் &lt;math&gt; p&lt;/math&gt; ம் ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்களாதலால் நமக்குக் கிடைப்பது
 
 : &lt;math&gt;n^{p-1} \equiv 1 (mod p)&lt;/math&gt;
 : இதிலிருந்து, &lt;math&gt;n^p \equiv n(mod p).&lt;/math&gt;
 
 == மூன்றாவது நிறுவல் ==
 
 இந்நிறுவல் [[சேர்வியல்]] கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துவது. &lt;math&gt;p&lt;/math&gt; மணிகள் கொண்ட மணிமாலைகளைக்கணக்கிடுவோம். ஒவ்வொரு மணியும் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; நிறங்களில் கிடைப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். இவைகளைக்கொண்டு நாம் &lt;math&gt;n^p&lt;/math&gt; மாலைகள் உண்டாக்கலாம். அவைகளில் எல்லா மணிகளும் ஒரே நிறமாக உள்ள மாலைகளின் எண்ணிக்கை &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;. மீதமுள்ள &lt;math&gt;n^p - n&lt;/math&gt; மாலைகளைப் பார்ப்போம். இவைகளில் ஒவ்வொன்றும் அவைகளைப் போலவே உள்ள மற்ற சில மாலைகளின் சுழல்மாற்றம் தான். சுழல்மாற்றத்தின் மூலம் ஒன்றுக்கொன்று சமானமாக இருக்கக்கூடிய மாலைகளின் எண்ணிக்கை &lt;math&gt;p&lt;/math&gt;. இதனால்(சுழல் சமான மில்லாத) தனித்துவம் வாய்ந்த மாலைகளின் எண்ணிக்கை
 
 :: &lt;math&gt;(n^p - n ) \div p.&lt;/math&gt;
 இது ஒரு முழு எண்ணாதலால் &lt;math&gt; n^p - n, p&lt;/math&gt; ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.
 
 == மறுதலை உண்மையல்ல ==
 
 இத்தேற்றத்தின் மறுதலை உண்மையல்ல என்பதற்கு ஒரு மாற்றுக்காட்டு:
 
 &lt;math&gt;2^{341} - 2 = 2(2^{340} - 1) = 2(({2^{10})}^{34} - 1^{34}) = 2(2^{10}-1)(.....) = 2.3.341.(....)&lt;/math&gt;
 
 இதனால் &lt;math&gt;2^{341} - 2&lt;/math&gt; ஐ 341 சரியாக வகுக்கிறது. ஆனாலும் 341 ஒரு பகா எண்ணல்ல; ஏனென்றால், &lt;math&gt;341 = 31\times11.&lt;/math&gt;
 
 == இவற்றையும் பார்க்கவும் ==
 
 [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவு]]
 
 [[பகுப்பு:எண் கோட்பாட்டில் தேற்றங்கள்]]
 [[பகுப்பு:சேர்வியல்]]