1 − 2 + 3 − 4 + ⋯
[[படிமம்:Pm1234_Ground.png|thumb|0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ... என்ற [[தொடர் (கணிதம்)|தொடரின்]] முதல் 15000 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் காட்டும் படம்]]
 
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''1 − 2 + 3 − 4 + ···''' என்பது ஒன்றுவிட்டொன்று குறிமாற்றப்பட்ட [[இயல் எண்|நேர்முழுவெண்களை]] உறுப்புகளாகக் கொண்ட முடிவில்லாத் [[தொடர் (கணிதம்)|தொடர்]] ஆகும். சிகுமாக் குறியீட்டு முறைப்படி, இத்தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்.
 
 :&lt;math&gt;\sum_{r=1}^n r(-1)^{r-1}.&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;wolfram&quot;/&gt;
 
 இத்தொடர் ஒருங்குவதில்லை.&lt;ref name=&quot;wolfram&quot;&gt;{{cite web | url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=1+-+2+%2B+3+-+4+%2B+... | title=1 - 2 + 3 - 4 + ... | publisher=Wolfram Alpha | accessdate=2015-09-10}}&lt;/ref&gt; அதாவது, இத்தொடரின் [[முடிவிலி]] உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு முடிவுள்ள எல்லையேதும் இல்லை. இருப்பினும், [[18ஆம் நூற்றாண்டு|18ஆம் நூற்றாண்டின்]] நடுப்பகுதியில் [[லியோனார்டு ஆய்லர்|இலியோனாடு ஒயிலர்]] பின்வரும் [[முரண்போலி]]ச் சமன்பாட்டைக் குறிப்பிட்டிருந்தார்.
 
 :&lt;math&gt;1-2+3-4+\cdots=\frac{1}{4}.&lt;/math&gt;
 
 == முரண்போலிக்கான விளக்கம் ==
 பின்வருமாறு குறித்த ஒழுங்கில், இத்தொடரை நான்கு தடவைகள் இட்டுக் கூட்டும்போது, முதலாவது [[1 (எண்)|1]]ஐத் தவிர ஏனைய அனைத்து நேருறுப்புகளும் எதிருறுப்புகளும் சேர்ந்து [[0 (எண்)|சுழியத்திற்குச்]] சமனாகிவிடும். இத்தொடரின் நான்கு படிகளின் கூட்டுத்தொகை 1 என்பதனால், இத்தொடர் &lt;math&gt;\frac{1}{4}&lt;/math&gt;இற்குச் சமனாகுதல் வேண்டும்.
 
 &lt;pre&gt;  1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . . 
     + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . 
     + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . . 
         + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . . 
 --------------------------------------------
 = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . &lt;/pre&gt;
 
 == ஒருங்காமை ==
 இத்தொடரின் உறுப்புகள் (1, -2, 3, -4, ...) 0ஐ அணுகுவதில்லை. ஆகவே, {{nowrap|1 − 2 + 3 − 4 + ...}} என்ற தொடர், உறுப்புத் தேர்வின்படி ஒருங்குவதில்லை.
 
 == இதனையும் பார்க்க ==
 * [[தொடர் (கணிதம்)]]
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{Reflist}}
 
 ==கூடுதல் மேற்கோள்கள்==
 {{refbegin}}
 *{{cite book |last=Beals |first=Richard |title=Analysis: an introduction |year=2004 |publisher=Cambridge UP |isbn= 0-521-60047-2}}
 *{{cite book |last=Davis |first=Harry F. |title=Fourier Series and Orthogonal Functions |url=https://archive.org/details/fourierseriesort00unse |publisher=Dover |isbn= 0-486-65973-9|date=May  1989}}
 *{{cite web |author1=Euler, Leonhard |author2=Lucas Willis |author3=Thomas J Osler |title=Translation with notes of Euler's paper: Remarks on a beautiful relation between direct as well as reciprocal power series |year=2006 |publisher=The Euler Archive |url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E352.html |accessdate=2007-03-22}} Originally published as {{cite journal |last=Euler |first=Leonhard |title=Remarques sur un beau rapport entre les séries des puissances tant directes que réciproques |journal=Memoires de l'academie des sciences de Berlin |year=1768 |volume=17 |pages=83–106}}
 *{{cite journal |last=Ferraro |first=Giovanni |title=The First Modern Definition of the Sum of a Divergent Series: An Aspect of the Rise of 20th Century Mathematics |journal=Archive for History of Exact Sciences |volume=54 |issue=2 |pages=101–135 |doi=10.1007/s004070050036|date=June  1999}}
 *{{cite book |last=Grattan-Guinness |authorlink=Ivor Grattan-Guinness |first=Ivor |year=1970 |title=The development of the foundations of mathematical analysis from Euler to Riemann |url=https://archive.org/details/developmentoffo00ivor |publisher=MIT Press |isbn= 0-262-07034-0}}
 *{{cite book |last=Hardy |first=G. H. |authorlink=G. H. Hardy |title=Divergent Series |url=https://archive.org/details/dli.ernet.285939 |year=1949 |publisher=Clarendon Press |lccn=49005496 |oclc=808787 |mr=0030620 |pages=xvi+396 |isbn=978-0-8218-2649-2 |nopp=true}} 2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co., 1991. {{lccn|91075377}}. {{ISBN|0-8284-0334-1}}.
 *{{cite journal |doi=10.2307/2690371 |last=Kline |first=Morris |authorlink=Morris Kline |title=Euler and Infinite Series |journal=Mathematics Magazine |volume=56 |issue=5 |pages=307–314 |jstor=2690371|date=November  1983}}
 *{{cite book |first=Shaughan |last=Lavine |title=Understanding the Infinite |url=https://archive.org/details/understandinginf0000lavi |year=1994 |publisher=Harvard UP |isbn= 0-674-92096-1}}
 *{{cite book |last=Markusevič |first=Aleksej Ivanovič |title=Series: fundamental concepts with historical exposition |year=1967 |edition=English translation of 3rd revised edition (1961) in Russian |publisher=Hindustan Pub. Corp.|lccn=sa68017528 |page=176 |oclc=729238507 | location =Delhi, India}} Author also known as A. I. Markushevich and Alekseï Ivanovitch Markouchevitch. Also published in Boston, Mass by Heath with {{oclc|474456247}}. Additionally, {{oclc|208730}}, {{oclc|487226828}}.
 *{{cite book |author =Saichev, A.I. |author2 =W.A. Woyczyński |last-author-amp =yes |title=Distributions in the physical and engineering sciences, Volume 1 |publisher=Birkhaüser |year=1996 |isbn= 0-8176-3924-1}}
 *{{cite journal |last=Tucciarone |first=John |title=The development of the theory of summable divergent series from 1880 to 1925 |journal=Archive for History of Exact Sciences |volume=10 |issue=1–2 |pages=1–40 |doi=10.1007/BF00343405|date=January  1973}}
 *{{cite book |first=Anders |last=Vretblad |title=Fourier Analysis and Its Applications |url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-0-387-21723-9 |year=2003 |publisher=Springer |isbn= 0-387-00836-5}}
 *{{cite book |last=Weidlich |first=John E. |title=Summability methods for divergent series |publisher=Stanford M.S. theses |oclc=38624384|date=June  1950}}
 {{refend}}
 
 [[பகுப்பு:கணிதத் தொடர்கள்]]