வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு
[[File:Codomain2.SVG|thumb|upright=1.5|''f'' is a function from domain ''X'' to codomain ''Y''. The yellow oval inside ''Y'' is the image of ''f''.]]
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] ஒரு [[சார்பு|சார்பின்]] '''வீச்சு''' (Range) என்பது  அச்சார்பின் எல்லா வெளியீடுகளின் [[கணம்|கணமாகும்]]. இதையே சார்பின் '''எதிருரு''' (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. எதிருருவின் ஒருவித மறுதலை '''முன்னுரு'''. சரியான வரையறைகளைக் கீழே பார்க்கலாம்.
 
 ==துல்லியமான வரையறை==
 
 &lt;math&gt;f\colon A\rightarrow B&lt;/math&gt; என்ற சார்பை நோக்குக.
 
 :&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; வழியாக  A யிலுள்ள ஒவ்வொரு  &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; க்கும் அதன் '''எதிருரு'''  என்பது, &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; இல் &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இனால் &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; உடன்  தனிப்படியாக உறவுண்டாக்கப்பட்ட  (associated)  ஒரு உறுப்பு. அது &lt;math&gt;f(x)&lt;/math&gt; என்ற குறியீட்டினால் குறிக்கப்படும்.
 
 :&lt;math&gt;f(A) := \{ f(x) \mid x \in A\}&lt;/math&gt; என்ற கணத்திற்கு &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இன் '''வீச்சு''' என்று பெயர்.இதையே &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இன் '''எதிருரு''' (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. அதனாலேயே &lt;math&gt;Im(f)&lt;/math&gt; என்ற குறியீடும் பழக்கத்திலிருக்கிறது. எனினும் இந்தக்குறியீட்டை கவனமாகப் பயன்படுத்தவேண்டும். ஏனென்றால் சில பழைய நூல்களில்  &lt;math&gt;Im(f)&lt;/math&gt; என்ற குறியீடு  &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இன் [[இணையாட்களம் (கணிதம்)|இணையாட்களத்தை]]க் குறித்தது.  
 : &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இன் எதிருருக்காக ஐயமறப் பயன்படுத்தப்படக்கூடியது &lt;math&gt;R(f)&lt;/math&gt; என்ற குறியீடு. &lt;math&gt;R(f)&lt;/math&gt; ஐ  &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இன் வழியாக &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; இன் எதிருரு என்றும் சொல்லலாம். குறியீடு &lt;math&gt;Im_f[A]&lt;/math&gt;. சூழ்நிலையிலிருந்து &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; தெரிந்துகொள்ளப்படின், &lt;math&gt;Im[A]&lt;/math&gt; என்றே எழுதலாம். ஐயமேற்பட வாய்ப்பில்லாத பொழுது, இதையும் எளிதாக  &lt;math&gt;Im(A)&lt;/math&gt; என்று எழுதுவதும் உண்டு.
 
 &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இன் இணையாட்களம் &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; என்ற கணம்.
 
 ==முன்னுரு==
 
 &lt;math&gt;f\colon A\rightarrow B&lt;/math&gt; என்று கொள்க.
 
 ===எதிருருவே ஒரு கோப்பு===
 
 :&lt;math&gt;Im(f&lt;/math&gt;) என்பது &lt;math&gt; A&lt;/math&gt; இலுள்ள ஒவ்வொரு உட்கணம்  &lt;math&gt;X&lt;/math&gt; ஐயும்  &lt;math&gt;Im_f(X)= Y&lt;/math&gt; என்ற (&lt;math&gt;B&lt;/math&gt; இன்) ஒரு உட்கணத்திற்கு எடுத்துச்செல்கிறது. இதனால் &lt;math&gt;Im(f&lt;/math&gt;) ஐ &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; இனுடைய அடுக்குக்கணத்திலிருந்து (Power Set of A), &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பு அல்லது கோப்பாகக்கொள்ளலாம். குறியீடுகளில் சொன்னால்,
 
 :&lt;math&gt;Im(f)\colon 2^A \rightarrow 2^B&lt;/math&gt; : வரையறை: &lt;math&gt;(Im(f))(X) = Im_f(X)&lt;/math&gt;
 
 ===முன்னுருவின் வரையறை===
 
 ஒவ்வொரு  &lt;math&gt;Y \subseteq B&lt;/math&gt; க்கும் அதனுடைய '''முன்னுரு''' (Pre-image or Inverse image) என்பது
 
 :''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;&lt;nowiki&gt;[&lt;/nowiki&gt;''Y''&lt;nowiki&gt;]&lt;/nowiki&gt; = {''x'' ∈ ''A'' | ''f''(''x'') ∈ ''Y''}
 
 என்று வரையறுக்கப்பட்ட (A இன்) உட்கணம்.
 
 :Y = {y} ஓர் ஓருறுப்புக்கணமாக  இருக்குமானால் ''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;&lt;nowiki&gt;[&lt;/nowiki&gt;{''y''}&lt;nowiki&gt;]&lt;/nowiki&gt;, ஒரு '''நார்''' (fibre/fiber) எனப்படும்.
 
 மேலும், குழப்பத்திற்கு வாய்ப்பு இல்லாவிட்டால்,, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;&lt;nowiki&gt;[&lt;/nowiki&gt;''Y''&lt;nowiki&gt;]&lt;/nowiki&gt; ஐ &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; &lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''Y'') என்று எழுதி,  ''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt; ஐ &lt;math&gt;B&lt;/math&gt; இன் அடுக்குக்கணத்திலிருந்து  &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பாகக் கொள்ளலாம். &lt;math&gt; f&lt;/math&gt;&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt; ஐ  [[நேர்மாறுச் சார்பு|நேர்மாறுச் சார்புடன்]] குழப்பிக் கொள்ளக்கூடாது.  &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ஒரு இருவழிக் கோப்பாக இருந்தால் தான் இரண்டும் ஒன்றாகும்.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 [[படிமம்:Funcoes x2.svg|thumb|300px|சார்பு: h(x) = x&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;. D = ஆட்களம் CD = இணையாட்களம்]]
 
 :* &lt;math&gt;f\colon&lt;/math&gt; '''R'''&lt;math&gt;\rightarrow &lt;/math&gt; '''R''' : &lt;math&gt;f(x) = x^2&lt;/math&gt;
 
 :''f'' இன் வீச்சு = '''R'''&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt; =  &lt;math&gt;\{f(x) : 0\leq f(x)&lt;\infty\}&lt;/math&gt; = [0, &lt;math&gt;\infty&lt;/math&gt;)
 
 :{-2,3} இன் எதிருரு: ''f''({-2,3}) = {4,9},   
 :{4,9} இன் முன்னுரு :  ''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;({4,9}) = {-3,-2,2,3}.
 
 :*  &lt;math&gt;g\colon&lt;/math&gt; '''R'''&lt;math&gt;\rightarrow&lt;/math&gt; '''R'''  :   &lt;math&gt;g(x) = 2x&lt;/math&gt;
 
 : ''g'' இன்  வீச்சு, இணையாட்களம், இரண்டுமே  '''R''' தான்.
 
 :* &lt;math&gt; h\colon&lt;/math&gt; '''Z''' &lt;math&gt;\to&lt;/math&gt; '''Z''' :  &lt;math&gt;h(x)\ := x^2&lt;/math&gt;  (படிமம் பார்க்க)
 இச்சார்புக்கு
 :&lt;math&gt;h(\{0, 1, 2, 3 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\ &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;h(\{ -3, -2, -1, 0 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\ &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;h(\{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\ &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; R(h) = \operatorname{im} h = \{ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... \}\ &lt;/math&gt;
 
 :* &lt;math&gt;f: \{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c,d\}&lt;/math&gt;. வரையறை:
 
 :&lt;math&gt;f(x) = \begin{cases}
 a &amp;\text{x=1}\\
 d &amp;\text{x=2}\\
 c &amp;\text{x=3}
 \end{cases}&lt;/math&gt;
 
 : &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; வழியாக, {2,3) இன் எதிருரு :''f''({2,3}) = {''d,c''}, 
 : &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; இன் வீச்சு :{ &lt;math&gt;a,d,c&lt;/math&gt;}
 : {&lt;math&gt;a,c&lt;/math&gt;} இன் முன்னுரு:  ''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;({''a,c''}) = {1,3}.
 
 :*  ''f'': '''R'''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; → '''R''' : வரையறை:''f''(''x'', ''y'') = ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + ''y''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;.
 
 :''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;({''a''})என்ற நார்களை மூன்று விதமாகச் சொல்லவேண்டும்.
 
 : ''a'' &gt; 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் தொடக்கப்புள்ளியைச்சுற்றி பொதுமையவட்டங்கள்;
 : ''a'' = 0 வாக இருக்குமானால். நார்  வெறும் தொடக்கப்புள்ளியைக்கொண்ட ஓருறுப்புக்கணம்;
 : ''a'' &lt; 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள்  வெற்றுக்கணங்களே.
  
 == விளைவுப் பண்புகள் ==
 
 ''f'': ''A'' → ''B'' ஒரு சார்பு என்றும்  ''X'' ,  ''Y'' இரண்டும் ''A'' இன் உட்கணங்கள் என்றும் '' M'' , ''N'' இரண்டும்  ''B''  இன் உட்கணங்கள் என்றும் கொண்டால், 
 *&lt;math&gt;f(\varnothing) = \varnothing&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y)&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;f(X \cap Y) \subseteq f(X) \cap f(Y)&lt;/math&gt;. இங்கு, &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ஒரு [[உள்ளிடுகோப்பு|உள்ளிடுகோப்பானால்]], சமன்பாடு உண்மையாகும்.
 *&lt;math&gt;X \subseteq Y \Rightarrow f(X) \subseteq f(Y)&lt;/math&gt;
 *&lt;math&gt;f&lt;/math&gt; ஒரு முழுக்கோப்பு  &lt;math&gt;\Longleftrightarrow&lt;/math&gt;  &lt;math&gt;\operatorname{im} f = B&lt;/math&gt;.
 *''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''M''&amp;nbsp;∪&amp;nbsp;''N'')&amp;nbsp;= ''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''M'')&amp;nbsp;∪&amp;nbsp;''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''N'')
 *''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''M''&amp;nbsp;∩&amp;nbsp;''N'')&amp;nbsp;= ''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''M'')&amp;nbsp;∩&amp;nbsp;''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''N'')
 *''f''(''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''M''))&amp;nbsp;⊆&amp;nbsp;''M''
 *''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''f''(''X''))&amp;nbsp;⊇&amp;nbsp;''X''
 *''M'' ⊆ ''N'' &lt;math&gt;\Rightarrow&lt;/math&gt; ''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''M'') ⊆ ''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''N'')
 *''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''M''&lt;sup&gt;C&lt;/sup&gt;) = (''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''M''))&lt;sup&gt;C&lt;/sup&gt;
 *(''f''&amp;nbsp;|&lt;sub&gt;''X''&lt;/sub&gt;)&lt;sup&gt;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''M'') = ''X'' ∩ ''f''&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;1&lt;/sup&gt;(''M'').
 
 இரண்டு உட்கணங்களின் [[ஒன்றிப்பு]], [[வெட்டு]] இவற்றைப்பற்றிய  மேற்படி பண்புகளை, உட்கணங்களின் எந்தக் கூட்டத்திற்கும் உண்மை என்று கொள்ளலாம்.
 
 ==இவற்றையும் பார்க்கவும்==
 *[[செயலி (கணிதம்)|சார்பு]]
 *[[முழுக்கோப்பு]]
 *[[உள்ளிடுகோப்பு]]
 *[[இருவழிக்கோப்பு]]
 *[[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களம்]]
 *[[இணையாட்களம் (கணிதம்)|இணையாட்களம்]]
 
 [[பகுப்பு:கணக் கோட்பாடு]]
 [[பகுப்பு:நேரியல் இயற்கணிதம்]]