வெளி-தொடு நாற்கரம்
[[File:Ex-tangential quadrilateral.png|thumb|வெளி-தொடு நாற்கரம் ''ABCD'']]
 [[யூக்ளீட் வடிவியல்|யூக்ளிடிய வடிவவியலில்]] '''வெளி-தொடு நாற்கரம்''' (''ex-tangential quadrilateral'' or ''exscriptible quadrilateral''.&lt;ref&gt;Bogomolny, Alexander, &quot;Inscriptible and Exscriptible Quadrilaterals&quot;, ''Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles'', [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Pitot.shtml]. Accessed 2011-08-18.&lt;/ref&gt; ) என்பது ஒரு குவிவு [[நாற்கரம்]].  இந்நாற்கரத்துக்கு வெளியே அமையும் ஒரு [[வட்டம்|வட்டத்திற்கு]] இதன் நான்கு பக்கங்களின் நீட்சிகளும் [[தொடுகோடு]]களாக அமையும்.&lt;ref name=Radic&gt;Radic, Mirko; Kaliman, Zoran and Kadum, Vladimir, &quot;A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one&quot;, ''Mathematical Communications'', 12 (2007) pp. 33-52.&lt;/ref&gt; அவ்வட்டம், நாற்கரத்தின் ''வெளிவட்டம்'' எனவும் அதன் ஆரம் ''வெளிஆரம்'' எனவும், மையம் ''வெளிவட்டமையம்'' (படத்தில் -''E'' ) எனவும் அழைக்கப்படும். நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் நீட்டிக்கப்படும் இடத்தில் நீட்டிக்கப்பட்ட பக்கங்களுக்கிடையே உண்டாகும் வெளிக்கோணங்களின் [[இருசமக்கூறிடல்#கோண இருசமவெட்டி|உட்கோண இருசமவெட்டிகள்]] சந்திக்கும் [[புள்ளி]]யாக வெளிவட்டமையம் அமையும். வெளி-தொடு நாற்கரம், [[தொடு நாற்கரம்|தொடு நாற்கரத்துடன்]] நெருங்கிய தொடர்புடையதாக இருக்கும்.
 
 ==சிறப்பு வகைகள்==
 
 [[பட்டம் (வடிவவியல்)|பட்டங்கள்]] வெளி-தொடு நாற்கரங்களாகும். [[இணைகரம்|இணைகரங்களை]] ([[சதுரம்|சதுரங்கள்]], [[சாய்சதுரம்|சாய்சதுரங்கள்]], [[செவ்வகம்|செவ்வகங்கள்]]) வெளிவட்ட ஆரத்தை முடிவிலியாகக் கொண்ட வெளி-தொடு நாற்கரங்களாகக் கருதலாம். ஏனெனில் இணைகரங்கள், கீழே தரப்பட்டுள்ள கட்டுப்பாடுகளை நிறைவு செய்தாலும் அவற்றின் எதிர்ப்பக்கங்கள் [[இணை (வடிவவியல்)|இணையாக]] உள்ளதால் அவ்விணை பக்கங்களின் நீட்டிப்புகள் வெளிவட்டத்திற்கு தொடுகோடுகளாக அமையாது. [[கூட்டுத் தொடர்|கூட்டுத் தொடராக]] அமையும் பக்க நீளங்களைக் கொண்ட குவிவு நாற்கரங்கள் கீழுள்ள கட்டுப்பாடுகளை நிறைவு செய்வதால், வெளி-தொடு நாற்கரங்களாக அமையும்.
 
 ==பண்புகள்==
 
 ஒரு குவிவு நாற்கரத்தில், ஒரு சோடி அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றொரு சோடி அடுத்தடுத்த பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த நாற்கரம், ஒரு வெளி-தொடு நாற்கரமாக இருக்கும். 
 
 அதாவது நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் ''a, b, c, d'' -எனில்: 
 
 :&lt;math&gt;a+b=c+d \,&lt;/math&gt; அல்லது &lt;math&gt;a+d=b+c \,&lt;/math&gt; 
 
 என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது வெளி-தொடு நாற்கரமாக இருக்கும். 
 
 இதனை 1846-ல் ''ஜேக்கப் ஸ்டீனர்'' நிரூபித்துள்ளார்.&lt;ref&gt;F. G.-M., ''Exercices de Géométrie'', Éditions Jacques Gabay, sixiéme édition, 1991, p. 318.&lt;/ref&gt; இவ்விரண்டு கட்டுப்பாடுகளுக்கு இணையாக, எதிரெதிர்ப் பக்கங்களின் வித்தியாசங்களின் தனிமதிப்புகள் சமமாக இருக்க வேண்டும் எனவும் கூறலாம். 
 
 :&lt;math&gt;|a-c| = |b-d| \,&lt;/math&gt; 
 
 இம்முடிவு, தொடு நாற்கரங்களின் [[பிட்டாட் தேற்றம்|பிட்டாட் தேற்றத்திற்குச்]] சமானமானதாக உள்ளது. பிட்டாட் தேற்றத்தின்படி, ஒரு தொடு நாற்கரத்தின் எதிரெதிர்ப் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைகள் சமமாக இருக்கும்.
 
 ===உர்க்கார்ட்டின் தேற்றம்===
 
 ஒரு குவிவு நாற்கரம் ''ABCD'' -ன் எதிரெதிர் பக்கங்கள்  ''E'' மற்றும் ''F'' புள்ளிகளில் வெட்டிக்கொண்டால்:
 :&lt;math&gt;AB+BC=AD+DC\,\,\Leftrightarrow\,\,AE+EC=AF+FC.&lt;/math&gt;
 வெகு காலத்துக்கு முன்பே 1841-ல் ''அகஸ்டஸ் டி மார்கனால்'' வலதுபக்க முடிவு நிரூபிக்கப்பட்டிருந்தாலும் அது ''எல். எம். உர்க்கார்ட்டின்'' (1902-1966) பெயராலேயே அழைக்கப்படுகிறது. நேர்கோடுகளையும் தூரங்களையும் மட்டுமே கருத்தில் கொண்டுள்ளதால் இதனை ''டானியல் பீடோ'' யூக்ளிடின் வடிவவியலின் ''மிகவும் எளிய அடிப்படையான தேற்றம்'' என அழைத்தார். &lt;ref name=Hajja&gt;Mowaffaq Hajja, ''A Very Short and Simple Proof of “The Most Elementary Theorem” of Euclidean Geometry'', Forum Geometricorum
 Volume 6 (2006) pp. 167–169 [http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200616.pdf]&lt;/ref&gt;
 
 ==பரப்பு==
 
 வெளி-தொடு நாற்கரம் ''ABCD'' -ன் பக்கங்கள் ''a, b, c, d''  எனில் அதன் [[பரப்பு]]:
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle K = \sqrt{abcd} \sin{\frac{B+D}{2}}.&lt;/math&gt;
 
 இது தொடு நாற்கரத்தின் பரப்பு வாய்ப்பாட்டைப் போன்றே உள்ளதைக் காணலாம். இதனை [[பிரெட்ஷ்னீடரின் வாய்ப்பாடு|பிரெட்ஷ்னீடர் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து]] தருவிக்கலாம்.
 
 ==வெளி-இருமைய நாற்கரம்==
 
 ஒரு வெளி-தொடுநாற்கரத்திற்கு ஒரு [[சூழ்தொடு வட்டம்|சுற்றுவட்டமும்]] இருந்தால் அது '''வெளி-இரு மைய நாற்கரம்''' (''ex-bicentric quadrilateral'') என அழைக்கப்படும்..&lt;ref name=Radic /&gt; 
 இதற்கு இரண்டு எதிர் [[மிகைநிரப்புக் கோணங்கள்]] உள்ளதால் இதன்பரப்பு: 
 :&lt;math&gt;\displaystyle K = \sqrt{abcd}&lt;/math&gt;
 
 ===விளக்கம்===
 வெளி தொடு நாற்கரத்தின் பரப்பு:
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle K = \sqrt{abcd} \sin{\frac{B+D}{2}}.&lt;/math&gt;
 
 வெளி-இருமைய நாற்கரத்தின் எதிர்கோணங்கள் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள் என்பதால்:
 
 :&lt;math&gt;B+D =\pi\,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{B+D}{2} =\frac{ \pi}{2}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\sin{\frac{B+D}{2}}= \sin{\frac{ \pi}{2}}=1&lt;/math&gt;
 
 எனவே வெளி-இருமைய நாற்கரத்தின் பரப்பு:
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle K = \sqrt{abcd}&lt;/math&gt;
 
 இதுவே [[இரு மைய நாற்கரம்|இரு மைய நாற்கரத்தின்]] பரப்பும் ஆகும்.
 
 சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் வெளிவட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம் ''x''  எனில்:&lt;ref name=Radic/&gt;
 
 :&lt;math&gt; \frac{1}{(R-x)^2}+\frac{1}{(R+x)^2}=\frac{1}{\rho^2},&lt;/math&gt;
 
 இங்கு ''R'' -சுற்றுவட்ட ஆரம்;  ''&lt;math&gt;\rho&lt;/math&gt;'' - வெளிவட்ட ஆரம்.
 
 இச்[[சமன்பாடு]] இரு மைய நாற்கரத்தின் [[இரு மைய நாற்கரம்#ஃபஸ்ஸின் தேற்றமும் கார்லிட்ஸின் முற்றொருமையும்|ஃபஸ் தேற்றத்தின் சமன்பாடு]]தான். ஆனால்  ''x'' -ன் தீர்வு காணும்போது, இரு மைய நாற்கரத்திற்கு போலல்லாமல் [[இருபடிச் சமன்பாடு|இருபடிச் சமன்பாட்டின்]] மற்றொரு மூலத்தை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். 
 
 எனவே வெளி-இருமைய நாற்கரத்திற்கு:&lt;ref name=Radic/&gt;
 
 :&lt;math&gt; x=\sqrt{R^2+\rho^2+\rho\sqrt{4R^2+\rho^2}}. &lt;/math&gt;
 
 இவ்வாய்ப்பாட்டிலிருந்து:
 
 :&lt;math&gt;\displaystyle x&gt;R+\rho, &lt;/math&gt;
 
 இம்மதிப்பிலிருந்து வெளி-இருமைய நாற்கரத்தின் சுற்றுவட்டமும் வெளிவட்டமும் ஒருபோதும் வெட்டிக்கொள்ளாது என்பதை அறிந்து கொள்ளலாம்.
 
 == மேற்கோள்கள்==
 
 {{reflist}}