யூக்ளிடிய வெளி
[[Image:Sphere wireframe.svg|thumb|right|[[பித்தாகரஸ்|பித்தாகரசின்]] வழிநின்றவர்களின் கருத்தின்படி, [[கோளம்]] ஒரு சிறந்த வெளி வடிவம் ஆகும். மேலும் கோளமானது, யூக்ளிடிய வெளியின் தற்காலப் புரிதலுக்கு ஒரு முக்கியக் கருத்துருவாகவும் உள்ளது.]]
 
 [[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]] '''யூக்ளிடிய வெளி''' (''Euclidean space'') என்பது முக்கியமாக இருபரிமாண யூக்ளிடிய தளத்தையும், [[யூக்ளீட் வடிவியல்|யூக்ளிடிய வடிவவியலின்]] [[முப்பரிமாண வெளி]]யையும் உள்ளடக்கியதாகும். வடிவவியலின் இப்பிரிவு, [[கிரேக்கம்|கிரேக்கக்]] [[கணிதவியலாளர்]]  [[யூக்ளிடு|யூக்ளிடின்]] பெயரால்  அழைக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{cite book|last=Ball|first=W.W. Rouse|authorlink=W. W. Rouse Ball|title = A Short Account of the History of Mathematics|origyear=1908|url=https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball|edition=4th|year=1960|publisher= Dover Publications
 |isbn=0-486-20630-0|pages =[https://archive.org/details/shortaccountofhi0000ball/page/50 50]–62}}&lt;/ref&gt; யூக்ளிடிய வெளிகள் உயர்பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தும்.
 
 மரபார்ந்த கிரேக்க வடிவவியலில், யூக்ளிடிய தளமும் யூக்ளிடிய முப்பரிமாண வெளியும் குறிப்பிட்டச் சில [[மெய்கோள்|மெய்கோட்களைப்]] பயன்படுத்தி வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன; இவற்றின் பண்புகள் [[தேற்றம்|தேற்றங்களாக]] உய்த்தறியப்பட்டுள்ளன; வடிவவியல் வரையும்முறைகளைப் பயன்படுத்தி, [[விகிதமுறு எண்]]கள் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன.
 
 இக்காலத்தில் யூக்ளிடிய வெளியை வரையறுப்பதற்கு [[காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை]]யும் [[பகுமுறை வடிவவியல்]] கருத்துருக்களும் பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அதாவது [[மெய்யெண்]]களின் தொகுப்பாக வெளியின் [[புள்ளி]]களும், சமன்பாடுகள், சமனிலிகளால் வடிவவியல் வடிவங்களும் வரையறுக்கப்படுகின்றன. இந்த அணுக்கத்தால் [[இயற்கணிதம்]],  [[நுண்கணிதம்]] மூலம் வடிவவியலில் எழும் கேள்விகளுக்கு விடைகாணவும் யூக்ளிடிய வெளியை முப்பரிமாணத்திற்கும் மேற்பட்ட உயர்பரிமாணங்களுக்கு எளிதாகப் பொதுமைப்படுத்தவும் முடிகிறது.
 
 தற்காலக் கண்ணோட்டத்தின்படி ஒவ்வொரு பரிமாணத்திற்கும் ஒரேயொரு யூக்ளிடியன் வெளி மட்டுமே உள்ளது. இது, கார்ட்டீசியன் ஆட்கூறுகளுடன் மெய் ஆள்கூற்று வெளியான {{math|'''R'''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}} உடன் மாதிரிப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு பரிமாணத்தில் இது [[மெய்யெண் கோடு]]; இருபரிமாணத்தில் [[காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை]]; உயர்பரிமாணத்தில் மூன்று அல்லது மூன்றுக்கு மேற்பட்ட ஆள்கூறுகள் கொண்ட ஆட்கூற்று வெளி ஆகும்.
 
 [[Image:Coord system CA 0.svg|thumb|right|250px|முப்பரிமாண யூக்ளிடிய வெளியிலுள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் மூன்று ஆட்கூறுகளால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.]]
 யூக்ளிடியதன்மையை வலியுறுத்துவதற்காக கணிதவியலாளர்கள் n-பரிமாண வெளியை {{math|'''E'''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}} எனவும் குறிக்கின்றனர். வெளி {{math|'''R'''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}}, அமைவில் யூக்ளிடிய வெளிக்கு ஒத்துள்ளதால் {{math|'''R'''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}} குறியீடும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இவ்விரு [[கணித அமைப்பு|அமைப்புகளும்]] எப்பொழுதும் வேறுபடுத்தப்படுவதில்லை. யூக்ளிடிய வெளிகள் முடிவுறு பரிமாணம் கொண்டவை.&lt;ref name=&quot;mathen&quot;&gt;{{cite web|title=Euclidean space.|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Euclidean_space|work=Encyclopedia of Mathematics|publisher=Springer|accessdate=1 May 2014|author=E.D. Solomentsev|date=7 February 2011}}&lt;/ref&gt;
 
 ==யூக்ளிடிய அமைப்பு==
 {{math|'''R'''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}} இல் உட்பெருக்கத்தை ([[புள்ளிப் பெருக்கம்]]) வரையறுத்து அதன்மூலம் [[புள்ளி]]களுக்கு இடைப்பட்ட தூரங்களும், [[கோடு]]கள், [[திசையன்]]களுக்கு இடைப்பட்ட [[கோணம்|கோணங்களும்]]  பெறப்படுகின்றன.&lt;ref name=&quot;mathen&quot;/&gt;
 
 {{mvar|n}}-பரிமாண மெய்யெண் வெளியிலமைந்த  {{math|'''x'''}}, {{math|'''y'''}} திசையன்களின் உட்பெருக்கம்:
 
 :&lt;math&gt;\mathbf{x}\cdot\mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_iy_i = x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n,&lt;/math&gt;
 
 இதில், {{math|'''x'''}} திசையனின் ''i'' வது ஆட்கூறு ''x''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt; ; {{math|'''y'''}} திசையனின் ''i'' வது ஆட்கூறு ''y''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;;
 
 இரு திசையன்களின் உட்பெருக்கத்தின் பலன் எப்பொழுதும் ஒரு மெய்யெண்ணாகவே இருக்கும்.
 
 === தூரம் ===
 {{main|யூக்ளிடிய தொலைவு}}
 {{math|'''x'''}} திசையனின் தனக்குத்தானேயான உட்பெருக்கத்தின் மதிப்பு ஒரு எதிரிலா எண்ணாகும். இந்த உட்பெருக்கத்தின் [[வர்க்கமூலம்]] காண்பதன் மூலம் {{math|'''x'''}} திசையனின் நீளம் பெறப்படுகிறது:
 
 :&lt;math&gt;\|\mathbf{x}\| = \sqrt{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}} = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i)^2}.&lt;/math&gt;
 
 இந்த நீளச் சார்பு [[நெறிமம் (கணிதம்)|நெறிமத்திற்கு]]த் தேவையான பண்புகளை நிறைவு செய்கிறது. {{math|'''R'''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}} இல் இச்சார்பு ''யூக்ளிடிய நெறிமம்'' என அழைக்கப்படுகிறது.
 
 {{math|'''R'''&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt;}} இல், [[தொலைவுச் சார்பு]] (மெட்ரிக்) நெறிமத்தைப் பயன்படுத்திப் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
 
 :&lt;math&gt;d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \|\mathbf{x} - \mathbf{y}\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}.&lt;/math&gt;
 
 இந்த தொலைவுச் சார்பானது யூக்ளிடிய மெட்ரிக் என அழைக்கப்படுகிறது. இந்த வாய்ப்பாடு, [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தாகரசு தேற்றத்தின்]] சிறப்புவகையாக உள்ளது.
 
 முழு யூக்ளிடிய வடிவவியலையும் (புள்ளிப் பெருக்கம் உட்பட) வரையறுக்க தொலைவுச் சார்பு போதுமானது. எனவே இந்த யூக்ளிடிய அமைப்புடன் கூடிய ஒரு மெய் ஆட்கூற்று வெளியானது ''யூக்ளிடிய வெளி'' எனப்படுகிறது.
 
 === கோணம் ===
 {{main|கோணம்}}
 [[Image:45, -315, and 405 co-terminal angles.svg|thumb|right|திசைப்போக்குடைய தளத்தில் நேர் கோணங்களும் எதிர் கோணங்களும்]]
 {{math|'''x'''}} , {{math|'''y'''}} திசையன்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் ''θ'' ({{math|0° ≤ ''θ'' ≤ 180°}}):
 :&lt;math&gt;\theta = \arccos\left(\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}}{\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|}\right)&lt;/math&gt;
 
 இதில் {{math|arccos}} என்பது [[கோசைன் (முக்கோணவியல்)|கொசைனின்]] [[நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்|நேர்மாறுச் சார்பு]]. கோணத்திற்கான இந்த வாய்ப்பாடு {{math|''n'' &gt; 1}} என்பதற்கு மட்டுமே பொருந்தும்.&lt;ref group=footnote&gt;On the [[real line]] ({{math|1=''n'' = 1}}) any two non-zero vectors are either parallel or [[antiparallel (mathematics)|antiparallel]] depending on whether their [[sign (mathematics)|signs]] match or oppose. There are no angles between 0 and 180°.&lt;/ref&gt; {{math|1=''n'' = 2}} எனில் யூக்ளிடிய தளமாகிறது. திசைப்போக்குடைய யூக்ளிடிய தளத்தில் இரு திசையன்களுக்கிடையே உள்ள கோணத்தை  [[சமானம், மாடுலோ n|மாடுலோ]] 1 [[சுற்று (வடிவவியல்)|சுற்று]] ({{math|2[[pi|π]]}} அல்லது 360°) எண்ணாக வரையறுக்கலாம்.
 
 {{math|'''x'''}} , {{math|'''y'''}} திசையன்கள் நேர் எண்களால் [[திசையிலிப் பெருக்கல்|பெருக்கப்பட்டாலும்]] அவற்றுக்கு இடையேயுள்ள கோணத்தின் அளவு மாறுவதில்லை.
 
 பொதுவாக, தூரங்கள் அனைத்தும் ஒரு குறிப்பிட்ட காரணியால் பெருக்கப்பட்டாலும் கோணங்களில் மாற்றம் ஏற்படாது. பரிமாணங்களற்ற அளவாகக் கோணம் கொள்ளப்படுகிறது. கோணங்களை அளவிடப் பயன்படுத்தப்படும் அலகுகள் [[ரேடியன்]]கள், [[பாகை (அலகு)|பாகை]]கள் ஆகும்.
 
 == அடிக்குறிப்புகள் ==
 {{reflist|group=footnote}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{Reflist}}
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 * {{springer|title=Euclidean space|id=p/e036380}}