தொடர் சார்பு வெளி (கணிதம்)
[[சார்புப் பகுவியல்]] (Functional Analysis)  என்பது கணிதத்தில் இருபதாவது நூற்றாண்டில் தொடங்கப்பட்ட முக்கிய பிரிவு. 18, 19 வது நூற்றாண்டுகளில் சார்புகளைப்பற்றி நாம் அறிந்ததெல்லாம், இடவியல் சாதனத்தைக் கொண்டு  சார்புகளையே புள்ளிகளாக்கி அவைகளுடைய வெளிகளில் [[பகுவியல்]] நடத்தினர். இதற்கெல்லாம் முதல் படிதான் '''தொடர்சார்புவெளி'''  (Space of Continuous Functions).
 
 [''a, b''] என்ற இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட எல்லா தொடர் சார்புகளுடைய கணம் '''F'''  என்று கொள்வோம்.  அதாவது,  '''F''' இலுள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் ஒரு சார்பு ''f  :  (a, b) →  '''R'''''.  இங்கு  '''''R''''' என்பது எல்லா மெய்யெண்களின் கணம்.
 
 ''f, g'' என்பவைகள் '''F'''  இல்  இரண்டு உறுப்புகளென்றால்   ''f + g'' ஐ இப்படி வரையறுக்கலாம்:
 
 [''a, b''] இல் உள்ள ஒவ்வொரு   ''x''  க்கும்,
 
 &lt;math&gt;(f + g)(x)   =   f(x)  +  g(x)&lt;/math&gt;
 
 இதற்கு சார்புகளின் '''புள்ளிவழிக் கூட்டல் ''' என்று பெயர்.
 
 இக்கூட்டல்  சேர்ப்புக் கூட்டல், பரிமாற்றுக் கூட்டல், என்ற நிறுவலெல்லாம் புகுவியலில் (Analysis) அரிச்சுவடி.  மற்றும் கூட்டலுக்கு '''F'''   க்குள் ஒரு முற்றொருமையும்  உள்ளது.   எப்படியென்றால்,
 
 ''0'' என்ற சார்பின் வரையறையைப்பார்:
 
 [''a, b''] இல் உள்ள ஒவ்வொரு  ''x''  க்கும்,
 
 ''0(x) =  0''.
 
 இப்பொழுது  '''F'''  இல் உள்ள ஒவ்வொரு    ''f'' க்கும்,  ''0 + f  =  f + 0''.
 
 மற்றும்  ஒவ்வொரு  ''f'' க்கும்  ஒரு நேர்மாறு   ''-f''    இருக்கிறது. அந்த நேர்மாறு  ''-f''  என்னவென்பதற்கு   ஒவ்வொரு ''x'' என்ற புள்ளியிலும் ''-f'' இனுடைய மதிப்பு என்னவென்று சொல்லவேண்டும். அது கீழுள்ள வரையறையில் அடங்கியுள்ளது.
 
 ''[a, b]'' இல் உள்ள ஒவ்வொரு ''x''  க்கும்,
 
 ''(-f)(x)  =  - (f(x))''
 
 இந்த ''-f'' தான்  ''f''   இன் நேர்மாறு. ஏனென்றால்,  நாம் இப்பொழுது '' -f  +  f  =  0  =  f  +  (-f)''  என்று எளிதில் காண்பித்துவிடலாம்.
 
 சார்புகளுக்குள்  பெருக்கலுக்கும் இதே முறை தான்.  அதாவது,  ''f . g''  ஐ
 
 [''a, b''] இல் உள்ள ஒவ்வொரு  ''x''  க்கும்,
 
 &lt;math&gt;(f . g)(x)   =   f(x) . g(x)&lt;/math&gt;
 
 என்று வரையறுக்கலாம்.
 
 புகுவியல் கோட்பாடுகளின்படி  ''f + g,  f . g''  இரண்டும்  தொடர் சார்புகளே.
 
 ஆக,  '''F'''  என்ற கணத்தில், இருவினைகள் உள்ளன. முதல் வினைக்கு, அதாவது, சார்புகளின் கூட்டல் வினைக்கு '''F''' ஒரு [[எபெலியன் குலம்]] (Abelian Group) ஆகிறது. அது மட்டும் அல்ல இரு வினைகளுக்கும் '''F''' ஒரு [[வளையம் (கணிதம்)|வளையமே]] (Ring) ஆகிறது. இதற்கு '''தொடர் சார்பு வளையம் ''' (Ring of Continuous Functions) என்று பெயர்.
 
 ==தொடர் சார்பு இடவியல் வெளி==
 
 '''F'''  என்ற வெளியில் ஒரு [[இடவியல்]] அமைப்பை உண்டுபண்ணலாம். மிக எளிதான வழி அதனில் ஒரு தொலைவை வரையறுப்பதே.
 
 தொலைவு வரையறை: '''F'''  இல்  ''f, g''    என்ற இரண்டு உறுப்புகள் (இவைகள் தொடர் சார்புகளே) இருந்தால்,
 
 d(f, g)  =   sup{|f(x) – g(x)| : x  €  [a, b]}
 
 இது ஒரு [[தொலைவு]] (distance metric) தான், அதாவது, தொலைவுக்கு வேண்டிய மூன்று நிபந்தனைகளையும் இது ஒப்புகிறது.
 
 இந்தத்தொலைவுடன்  '''F'''  ஒரு [[தொலைவு தகு வெளி|தொலைவு வெளி]] (metric space) ஆகிறது. அதனாலேயே இடவியல் வெளியாகவும் (Topological Space) ஆகிறது.  அதனால் அருகாமை (Neighbourhood),  ஒருங்கல் (convergence)  முதலிய எல்லாம் இந்த வெளியில் சாத்தியமாகிறது. இதுதான் நுண்பியப்படுத்தப்பட்ட பகுவியலின்  முதல் படி. இத்தொலைவு வெளிக்கு ஒரு நிலையான குறியீடு  '''C[a, b]'''  என்பது.
 
 ஆக, கணித மரபின் நுண்பிய வழக்கப்படி, சாதாரண எண்களைக்கொண்டு  உண்டாக்கிய கூட்டல், கழித்தல் முதலிய வினைகளை இப்பொழுது சார்புகள் உலகமாகிற மேல் தளத்தில் செய்வதால் பல அரிய பெரிய நுணுக்கங்களைக் கண்டுபிடிக்கமுடிந்தது. அதோடு மட்டுமல்லாமல் அவைகளை கணித இயலர்களும் இயற்பியலர்களும் [[குவாண்டம் நிலையியக்க வியலிலும்]] (Quantum Mechanics) எடுத்துச்சென்று பயன்படுத்தி வெற்றி கண்டார்கள்.
 
 [[பகுப்பு:இடவியல்]]