வீழும் தொடர்பெருக்கம்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''வீழும் தொடர்பெருக்கம்''' (''falling factorial'') என்பது x -லிருந்து தொடங்கி தொடர்ந்து ஒன்றொன்றாக குறைந்துவரும் முந்தைய முந்தைய n காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையைக் குறிக்கும். இங்கு n ஒரு குறையிலா [[முழு எண்]]ணாக இருத்தல் வேண்டும். அதாவது,
 
 :&lt;math&gt;(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)&lt;/math&gt; ஆகும்.
 
 இக்கட்டுரையில் வீழும் தொடர்பெருக்கத்தைக் குறிக்க,  {{math|(''x'')&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}} என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. வீழும் தொடர்பெருக்கமானது  ''இறங்கும் தொடர்பெருக்கம்'' எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.&lt;ref name = &quot;Steffensen&quot;&gt;{{Citation | last = Steffensen | first = J. F. | authorlink = Johan Frederik Steffensen
 | title = Interpolation | publisher = Dover Publications |edition = 2nd
 | location = | page = 8 | url = | isbn = 0-486-45009-0}} (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)&lt;/ref&gt;
 
 முதல் வீழும் தொடர்பெருக்கங்கள் சில:
 
 &lt;math&gt;x_{(0)} = 1 \,&lt;/math&gt;	
 
 &lt;math&gt; x_{(1)} = x\,&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;x_{(2)} = x(x-1) = x^2-x \,&lt;/math&gt;	
 
 &lt;math&gt;x_{(3)} = x(x-1)(x-2) = x^3-3x^2+2x \,&lt;/math&gt;	
 
 &lt;math&gt;x_{(4)} = x(x-1)(x-2)(x-3) = x^4-6x^3+11x^2-6x\,&lt;/math&gt;
 
 ==பண்புகள்==
 [[தொடர் பெருக்கம்|சாதாரண தொடர்பெருக்கத்தை]] வீழும் தொடர்பெருக்கம் மூலமாக பின்வருமாறு எழுதலாம்:
 
 :&lt;math&gt; n ! = n_{(n)}\, &lt;/math&gt;	
 
 ஒரு [[ஈருறுப்புக் கெழு]]வை வீழும் தொடர்பெருக்கத்தின் மூலம் எழுதலாம்.
 
 :&lt;math&gt; \frac{(x)_n}{n!} = {x \choose n}.&lt;/math&gt;
 
 இதனால் ஈருறுப்புக் கெழுக்களுடைய பல முற்றொருமைகளில் வீழும் தொடர்பெருக்கம் காணப்படுகிறது.
 
 எழும் மற்றும் வீழும் தொடர்பெருக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு:
 
 :&lt;math&gt;{(-x)}^{(n)} = {(-1)}^n {(x)}_{{n}} .&lt;/math&gt; மற்றும்
 
 :&lt;math&gt;x^{(n)} = {(x + n - 1)}_n .&lt;/math&gt;
 
 ஒரு வீழும் தொடர்பெருக்கம் எந்தவொரு [[வளையம் (கணிதம்)|வளையத்திலும்]] ந்ன்கு வரையறுக்கப்படும் என்பதால், ''x'' -ஐ ஒரு [[கலப்பெண்]] (எதிர்ம முழுஎண்கள் உட்பட) அல்லது கலப்பெண் கெழுக்களுடைய பல்லுறுப்புக் கோவை அல்லது கலப்பெண் மதிப்புடைய சார்பு எனக் கொள்ளலாம்.
 
 காமா சார்பை பயன்படுத்தி வீழும் [[தொடர் பெருக்கம்|தொடர்பெருக்கத்தை]] {{math|''n''}} -ன் [[எண்#மெய்யெண்கள்|மெய்யெண்]] மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம். இதற்கு {{math|''x''}} மற்றும் {{math|''x''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;''n''}} இரண்டும் எதிர்ம முழு எண்களற்ற கலப்பெண்களாக இருக்க வேண்டும்.
 
 :&lt;math&gt;(x)_n=\frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}.&lt;/math&gt;
 
 {{math|''D''}} என்பது {{math|''x''}}-ஐப் பொறுத்த [[வகையீடு|வகையிடலைக்]] குறிக்குமானால்:
 
 :&lt;math&gt;D^n(x^a) = (a)_n\,\, x^{a-n}.&lt;/math&gt;
 
 ==மாற்றுக் குறியீடு==
 
 ரொனால்ட் எல். கிரஹாம், [[டொனால்ட் குனுத்|டோனால்ட் இர்வின் நுத்]] மற்றும் ஓரென் ஃப்டாஷினிக் ஆகியோர் எழுதிய ''கான்கிரீட் மேத்தமெட்டிக்ஸ்'' -ல் வீழும் தொடர்பெருக்கத்திற்கு வேறொரு குறியீடு தரப்பட்டுள்ளது.&lt;ref&gt;Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) ''Concrete Mathematics'', Addison-Wesley, Reading MA. {{ISBN|0-201-14236-8}}, pp.&amp;nbsp;47,48&lt;/ref&gt;
 
 இதன்படி வீழும் தொடர்பெருக்கம்:
 
 :&lt;math&gt;x^{\underline{m}}=\overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m~\mathrm{factors}}\qquad\mbox{for integer }m\ge0;&lt;/math&gt;
 
 பிற குறியீடுகள்:
 
 :{{math|''P''(''x'',&amp;nbsp;''n'')}}, 
 :{{math|&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt;P&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}}, 
 :{{math|P&lt;sub&gt;''x'',''n''&lt;/sub&gt;}},  
 :{{math|&lt;sub&gt;''x''&lt;/sub&gt;P&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}}.
 
 {{math|(''x'')&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}} என எழும் தொடர்பெருக்கம் குறிக்கப்படும்போது வீழும் தொடர்பெருக்கமானது {{math|(''x'')&lt;sup&gt;&amp;ndash;&lt;/sup&gt;&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;}} எனக் குறிக்கப்படுகிறது.&lt;ref name=Knuth&gt;{{citation | first1=Donald E. | last1=Knuth | author1-link=Donald Knuth | year=1992 | title=Two notes on notation | journal=American Mathematical Monthly | volume=99 | issue=5 | pages=403&amp;ndash;422 | doi=10.2307/2325085 | jstor=2325085 |arxiv=math/9205211}}. The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.&lt;/ref&gt;
 
 ==இவற்றையும் பார்க்க==
 *[[எழும் தொடர்பெருக்கம்]]
 
 ==குறிப்பு==
 {{reflist}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 * {{citation | first1=Peter J. | last1=Olver | year=1999 | title=Classical Invariant Theory | publisher=Cambridge University Press | isbn=0521558212}}.
 
 Weisstein, Eric W. &quot;Falling Factorial.&quot; From MathWorld—A Wolfram Web Resource. 
 :http://mathworld.wolfram.com/FallingFactorial.html
 
 [[பகுப்பு:சேர்வியல்]]
 [[பகுப்பு:புள்ளியியல்]]