இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை
[[வகை நுண்கணிதம்|வகை நுண்கணிதத்தில்]] '''இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை''' (''second derivative test''),  [[சார்பு|சார்பின்]] ஒரு [[நிலைப் புள்ளி]]யில், [[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|இடஞ்சார்ந்தபெருமம் அல்லது சிறுமம்]] உள்ளதா என்பதைத் தீர்மானிக்கப் பயன்படுகிறது.
 
 இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனையின் கூற்று:
 
 சார்பு ''f'' , அதன் ''x'', என்ற நிலைப் புள்ளியில் (&lt;math&gt;\ f^{\prime}(x) = 0 &lt;/math&gt;) இருமுறை வகையிடத்தக்கதாக இருந்தால்:
 
 * &lt;math&gt;\ f^{\prime\prime}(x) &lt; 0&lt;/math&gt;  எனில்,  &lt;math&gt;\ x&lt;/math&gt; -ல் &lt;math&gt;\ f&lt;/math&gt; க்கு இடஞ்சார்ந்த பெருமம் உண்டு.
 * &lt;math&gt;\ f^{\prime\prime}(x) &gt; 0&lt;/math&gt;  எனில்,  &lt;math&gt;\ x&lt;/math&gt; -ல் &lt;math&gt;\ f&lt;/math&gt; க்கு இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் உண்டு. 
 *&lt;math&gt;\ f^{\prime\prime}(x) = 0&lt;/math&gt; எனில் இச் சோதனை, &lt;math&gt;\ x&lt;/math&gt; புள்ளியின் தன்மையைப் பற்றி எதுவும் கணிப்பதில்லை. ஒருவேளை அப்[[புள்ளி]] [[வளைவுமாற்றுப் புள்ளி]]யாக அமையலாம்.
 
 ==நிறுவல்==
 &lt;math&gt;\ f^{\prime\prime}(x) &gt; 0&lt;/math&gt;  என்க.
 
 :&lt;math&gt;f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h) - f'(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x+h)}{h}.&lt;/math&gt;
 
 ஃ போதுமான அளவு சிறிய &lt;big&gt;''h''&lt;/big&gt; -க்கு: 
 :&lt;math&gt;\frac{f'(x+h)}{h} &gt; 0.&lt;/math&gt;
 
 எனவே:
 
 * &lt;big&gt;''h'' &lt; 0&lt;/big&gt; எனில், &lt;big&gt;&lt;math&gt;f'(x+h) &lt; 0.&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; அதாவது  x -ன் இடதுபுறத்தில் &lt;big&gt;f,&lt;/big&gt; குறையும் சார்பு.
 * &lt;big&gt;''h'' &gt; 0&lt;/big&gt; எனில், &lt;big&gt;&lt;math&gt;f'(x+h) &gt; 0.&lt;/math&gt;&lt;/big&gt; அதாவது x -ன் வலப்புறம் &lt;big&gt;f,&lt;/big&gt; கூடும் சார்பு.
 
 எனவே முதல் வகைக்கெழுச் சோதனையின்படி,  சார்பு &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; -க்கு,  &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; புள்ளியில் இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் உள்ளது..
 
 இதேபோல் &lt;math&gt;\ f^{\prime\prime}(x) &gt; 0&lt;/math&gt; -க்கும்  [[கணித நிறுவல்|நிறுவலாம்]].
 
 == குழிவுத்தன்மை சோதனை ==
 
 இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை மூலம் ஒரு சார்பின் குழிவுத்தன்மையையும் வளைவுமாற்றுப் புள்ளியையும் தீர்மானிக்கலாம்.
  
 முதலில் &lt;math&gt;\ f''(x) = 0&lt;/math&gt; ஆகும் புள்ளிகளைக் காண வேண்டும். பின் ஒவ்வொரு புள்ளியின் [[அணமையகம்|அண்மையகத்திலும்]] &lt;math&gt;\ f''(x)&lt;/math&gt;  மதிப்புகளைக் காண வேண்டும்.  ஒரு புள்ளியின் அண்மையகத்தில் &lt;math&gt;\ f''(x) &lt; 0&lt;/math&gt;  எனில் அங்கு சார்பு &lt;math&gt;\ f(x)&lt;/math&gt;  கீழ்நோக்கிக் குழிவு. ஒரு புள்ளியின் அண்மையகத்தில் &lt;math&gt;\ f''(x) &gt; 0&lt;/math&gt; எனில் சார்பு &lt;math&gt;\ f(x)&lt;/math&gt;  மேல்நோக்கிக் குழிவு.
 
 எதிர்மாறான குழிவுத்தன்மைகள் கொண்ட இடைவெளிகளைப் பிரிக்கும் புள்ளி வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாகும். இதை சார்பின் மூன்றாம் வகைக்கெழுவைக் கொண்டு தீர்மானிக்க முடியும். ஒரு வளைவுமாற்றுப் புள்ளியில் சார்பின் மூன்றாம் வகைக்கெழு (ஐந்தாம், ஏழாம்,..., ஒற்றை வரிசை வகைக்கெழுக்கள்) [[பூச்சியம்|பூச்சியமில்லாமல்]] இருக்கும்.ஒரு நிலைப்புள்ளி வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாக இருக்குமானால் அப்புள்ளிக்கு இருபுறமும் சார்பின் குழிவுத்தன்மை மாறும். அதாவது இரண்டாம் வகைக்கெழுவின் குறி புள்ளியின் இருபுறமும் குறியில் மாறுபடும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:  (0,0)  &lt;math&gt;\ f(x) = x^3&lt;/math&gt;  சார்புக்கு (0,0) ஒருவளைவுமாற்றுப் புள்ளி. ஏனென்றால் &lt;math&gt;\ f^{\prime\prime}(0) = 0&lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;\ f^{\prime\prime}(-1) &lt; 0,&lt;/math&gt;  &lt;math&gt;\ f^{\prime\prime}(1) &gt; 0.&lt;/math&gt;.மேலும் &lt;math&gt;\ f^{\prime\prime\prime}(0) &lt;/math&gt; பூச்சியமல்ல.
 
 ==பலமாறிகளில் அமைந்த சார்பு==
 
 ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட [[மாறி]]களில் அமைந்த சார்புகளுக்கு இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை, நிலைப் புள்ளியில் அமையும் [[ஹெஸியன் அணி]]யின் ஐகன் மதிப்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட சோதனையாகப் பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது. நிலைப்புள்ளி  ''x'' -ன் அண்மையகத்தில், சார்பின் அனைத்து இரண்டாம் வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்களும் தொடர்ச்சியாக இருப்பதாக எடுத்துக்கொண்டால்:
 
 * ''x''  -ல் ஹெசியன் [[அணி (கணிதம்)|அணியின்]] ஐகன் மதிப்புகள் அனைத்தும் நேர்மம் எனில்  ''x''  ஒரு இடஞ்சார்ந்த சிறுமம்.
 * ''x''  -ல் ஹெசியன் அணியின் ஐகன் மதிப்புகள் அனைத்தும் எதிர்மம் எனில்  ''x''  ஒரு இடஞ்சார்ந்த பெருமம்.
 * ''x''  -ல் ஹெசியன் அணியின் ஐகன் மதிப்புகளில் சில நேர்மமாகவும் சில எதிர்மமாகவும் இருந்தால் ''x''  ஒரு [[சேணப் புள்ளி]].
 * ஹெசியன் அணி [[வழுவிலா அணி|வழுவுள்ள அணி]] எனில் இரண்டாம் வகைக்கெழுச் சோதனை எந்தவொரு முடிவையும் தருவதில்லை.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 * [http://mathworld.wolfram.com/SecondDerivativeTest.html Second Derivative Test from '''Mathworld''']
 * [http://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/secondderiv/ Concavity and the Second Derivative Test] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190411111206/https://www.math.hmc.edu/calculus/tutorials/secondderiv/ |date=2019-04-11 }}
 *[https://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Thomas Simpson's use of Second Derivative Test to Find Maxima and Minima]at