படிநிலைச் சார்பு
கணிதத்தில் [[மெய்யெண்]]களின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு [[சார்பு|சார்பினை]], [[இடைவெளி (கணிதம்)|இடைவெளிகளின்]] [[சுட்டுச் சார்பு|சுட்டுச் சார்புகளின்]] முடிவுறு [[நேரியல் சேர்வு|நேரியல் சேர்வாக]] எழுத முடியுமானால் அச்சார்பு '''படிநிலைச் சார்பு''' (''step function'') என அழைக்கப்படுகிறது. இச்சார்பு '''படிக்கட்டுச் சார்பு''' (''staircase function'') என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. முடிவுறு துண்டுகளைக் கொண்ட [[துண்டுவாரிச் சார்பு|துண்டுவாரி]] [[மாறிலிச் சார்பு|மாறிலிச் சார்பாகவும்]] ஒரு படிநிலைச் சார்பினைக் கருதலாம். 
 [[Image:StepFunctionExample.png|thumb|right|250px|படிநிலைச் சார்பின் எடுத்துக்காட்டு (சிவப்பு வரைபடம்). இக்குறிப்பிட்ட படிநிலைச் சார்பு [[தொடர்ச்சியான சார்பு|வலது-தொடர்ச்சிச் சார்பாகும்]].]]
 
 ==வரையறை==
 &lt;math&gt;f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}&lt;/math&gt; என்ற சார்பு கீழ்க்காணுமாறு எழுதக் கூடியதானால் அது ஒரு படிநிலைச் சார்பாக இருக்கும்.
 :&lt;math&gt;f(x) = \sum\limits_{i=0}^n \alpha_i \chi_{A_i}(x), \forall x \in \mathbb{R}\,&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;n\ge 0,&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt;\alpha_i \in \mathbb{R}&lt;/math&gt;, 
 :&lt;math&gt;A_i&lt;/math&gt; -இடைவெளிகள் 
 :&lt;math&gt;\chi_A\,&lt;/math&gt; (சிலசமயங்களில் &lt;math&gt;1_A&lt;/math&gt;) &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; இன் சுட்டுச் சார்பு:
 
 :&lt;math&gt;\chi_A(x) =
 \begin{cases}
 1 &amp; \mbox{if } x \in A, \\
 0 &amp; \mbox{if } x \notin A. \\
 \end{cases}
 &lt;/math&gt;
 
 இந்த வரையறையில் காணும் இடைவெளிகளை &lt;math&gt;A_i,&lt;/math&gt; பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டவையாய்க் கொள்ளலாம்: 
 
 # எடுத்துக்கொள்ளப்படும் அனைத்து இடைவெளிகளும் [[சேர்ப்பில்லாக் கணங்கள்]]. அதாவது, &lt;math&gt;A_i\cap A_j=\emptyset&lt;/math&gt; for &lt;math&gt;i\ne j&lt;/math&gt;
 # அவை அனைத்தின் [[கணம் (கணிதம்)#ஒன்றுப்புகள்ஒன்றிப்பு]] முழுமையான மெய்யெண் கோடாக இருக்கும். &lt;math&gt;\cup_{i=0}^n A_i=\mathbb R.&lt;/math&gt;
 
 இவ்விரு பண்புகளைக் கொண்ட இடைவெளிகளாக இல்லாமல் இருந்தாலும் நாம் வேறுசில இடைவெளிகளை இணைத்துக் கொள்வதன் மூலம் இவை உண்மையாக இருக்குமாறு செய்து கொள்ளலாம். 
 
 எடுத்துக்காட்டு: 
 
 : &lt;math&gt;f = 4 \chi_{[-5, 1)} + 3 \chi_{(0, 6)}\,&lt;/math&gt; -இப்படிநிலைச் சார்பை பின்வருமாறு மாற்றி எழுத, அதில் வரும் இடைவெளிகள் மேலே குறிப்பிடப்பட்ட இரு பண்புகளையும் கொண்டவையாக அமைவதைக் காணலாம்.
 
 : &lt;math&gt;f = 0\chi_{(-\infty, -5)} +4 \chi_{[-5, 0]} +7 \chi_{(0, 1)} + 3 \chi_{[1, 6)}+0\chi_{[6, \infty)}.\,&lt;/math&gt;
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 [[Image:Dirac distribution CDF.svg|325px|thumb|ஹெவிசைடு படிநிலைச் சார்பு, பெரும்பான்மையான பயன்பாடுடைய படிநிலைச் சார்பு.]]
 * [[மாறிலிச் சார்பு]] (இதிலுள்ள ஒரே இடைவெளி: &lt;math&gt;A_0=\mathbb R.&lt;/math&gt;)
 * [[ஹெவிசைடு படிநிலைச் சார்பு]] (படிநிலைச் சார்புகளில் முக்கியமானது.)
 [[File:Rectangular function.svg|thumb|செவ்வகச் சார்பு, எளியதொரு படிநிலைச் சார்பு.]]
 * [[செவ்வகச் சார்பு]]
 
 === படிநிலைச் சார்பல்லாதவை ===
 * இவ்வரையறையின் படி முழுஎண்பகுதிச் சார்புக்கு முடிவுறா எண்ணிக்கையிலான இடைவெளிகள் உள்ளதால் அச்சார்பு ஒரு படிநிலைச் சார்பாகாது. முடிவுறா எண்ணிகையிலான இடைவெளிகளைக் கொண்டும் படிநிலைச் சார்பானது சில நூலாசிரியர்களால் வரையறுக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;for example see: {{Cite book | author=Bachman, Narici, Beckenstein | title=Fourier and Wavelet Analysis | year=2000 | url=https://archive.org/details/fourierwaveletan0000bach | publisher=Springer, New York, 2000 | isbn=0-387-98899-8 | chapter =Example 7.2.2}}&lt;/ref&gt;
 
 ==பண்புகள்==
 * இரு படிநிலைச் சார்புகளின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கல் சார்புகள் இரண்டுமே படிநிலைச் சார்புகளாகும்; ஒரு படிநிலைச் சார்பினை ஒரு எண்ணால் பெருக்கக் கிடைக்கும் சார்பும் ஒரு படிநிலைச் சார்பாகவே இருக்கும்.
 * ஒரு படிநிலைச் சார்பு முடிவுறு எண்ணிக்கையிலான மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்: 
 
 மேலே தரப்பட்ட படிநிலைச் சார்பின் வரையறையில், இடைவெளிகள் &lt;math&gt;A_i,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;i=0, 1, \dots, n,&lt;/math&gt; எல்லாம் ஒன்றுக்கொன்று [[சேர்ப்பில்லாக் கணங்கள்|சேர்ப்பில்லாக் கணங்களாகவும்]] அவற்றின் மொத்த ஒன்றிப்பும் முழு மெய்யெண் கோடாகவும் இருந்தால்,
 :&lt;math&gt;f(x)=\alpha_i\,&lt;/math&gt;, &lt;math&gt; \forall x \in A_i.&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 *[http://mathworld.wolfram.com/StepFunction.html step function]