பிழைச் சார்பு
[[File:Error Function.svg|thumb|right|300px|பிழைச் சார்பின் வரைபடம்]]
 கணிதத்தில் '''பிழைச் சார்பு''' அல்லது '''காஸ் பிழைச் சார்பு''' (''error function'', ''Gauss error function'') என்பது [[நிகழ்தகவு]], [[புள்ளியியல்]] பகுதிவகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் ஆகிய பிரிவுகளில் காணப்படும் ஒரு சிறப்புச் சார்பு ஆகும். இது கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது&lt;ref&gt;Andrews, Larry C.; [http://books.google.co.uk/books?id=2CAqsF-RebgC&amp;pg=PA110#v=onepage&amp;q&amp;f=false ''Special functions of mathematics for engineers'']&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;Greene&quot;&gt;Greene, William H.; ''Econometric Analysis'' (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn. 11&lt;/ref&gt;:
 
 பிழைச் சார்பு (குறியீடு: ''erf'') :
 :&lt;math&gt;\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^x e^{-t^2}\,\mathrm dt.&lt;/math&gt;
 
 நிரப்புப் பிழைச் சார்பு (குறியீடு: ''erfc'') :
 :&lt;math&gt;\begin{align}
              \operatorname{erfc}(x) &amp; = 1-\operatorname{erf}(x) \\
                                     &amp; = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt.
        \end{align}&lt;/math&gt;
 
 கற்பனை பிழைச் சார்பு (குறியீடு: ''erfi'') :
 :&lt;math&gt;\operatorname{erfi}(z) = -i\,\,\operatorname{erf}(i\,z).&lt;/math&gt;
 
 
 பிழைச் சார்புக்கும் குவிவுப் பரவல் (cumulative distribution) &lt;math&gt;\Phi&lt;/math&gt; க்குமுள்ள தொடர்பு&lt;ref name=&quot;Greene&quot; /&gt;:
 
 :&lt;math&gt;\Phi (x) = \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} \operatorname{erf} \left(x/ \sqrt{2}\right).&lt;/math&gt;
 
 ''x'' இன் நேர் மதிப்புகளுக்கு, ஒரு அளவீடானது, [[திட்ட விலக்கம்]] &lt;math&gt;\sigma&lt;/math&gt; கொண்டு [[இயல்நிலைப் பரவல்|இயல்நிலைப் பரவலாக]] அமையும் பிழைகளின் தாக்கத்தால் அதன் [[சராசரி]] மதிப்பிலிருந்து x க்கும் குறைவான தொலைவிலிருக்கும் என்ற நிகழ்தகவின் மதிப்பை, &lt;math&gt;\frac{x}{\sigma \sqrt{2}}&lt;/math&gt; இல் கணக்கிடப்படும் பிழைச் சார்பின் மதிப்பானது தருகிறது.&lt;ref&gt;Van Zeghbroeck, Bart; ''Principles of Semiconductor Devices'', University of Colorado, 2011. [http://ecee.colorado.edu/~bart/book/gaussian.htm] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131102013934/http://ecee.colorado.edu/~bart/book/gaussian.htm |date=2013-11-02 }}&lt;/ref&gt; புள்ளியியலில், முழுத்தொகுதியின் சராசரியைப் பொறுத்து அம் முழுத்தொகுதியின் எந்தவொரு மாதிரியின் சராசரியும் எவ்வாறு இருக்கும் என்பதை முன்கூட்டியே அறிந்துகொள்ள இச் சார்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது. குவிவுப் பரவற் சார்பின் நிரப்புச் சார்பான Q-சார்பின் பயன்பாட்டைப் போல இது அமைகிறது. Q-சார்பைப் பிழைச் சார்பின் மூலமாக எழுத முடியும்.
 
 ==வரைபடம்==
 {{multiple image
    | header  = சிக்கலெண் தளத்தில் வரைபடம்
    | direction = vertical
    | width     = 250
    | image1    = ComplexEx2.jpg
    | caption1  = தொகையிடப்படும் சார்பு (Integrand): exp(&amp;minus;''z''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)
    | image2    = ComplexErf.jpg
    | caption2  = erf(''z'')
   }}
 
 * ''z'' ஒரு [[சிக்கலெண்]] எனில்:
 
 :&lt;math&gt;\operatorname{erf} (\overline{z}) = \overline{\operatorname{erf}(z)}  &lt;/math&gt;
 
 இதில் ''z'' இன் [[இணையியச் சிக்கலெண்]] &lt;math&gt;\overline{z}&lt;/math&gt;.
 
 படத்தில், தொகையிடப்படும் சார்புகள் ''ƒ''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;exp(&amp;minus;''z''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;)மற்றும் ''ƒ''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;erf(''z'') இரண்டும் சிக்கலெண் தளமான ''z''-தளத்தில் வரையப்பட்டுள்ளன.
 
 *Im(''ƒ'')&amp;nbsp;=&amp;nbsp;0 க்குரியவை அடர்த்தியான பச்சை நிறக் கோடுகளாலும்
 *Im(''ƒ'') இன் எதிர் [[முழு எண்]] மதிப்புகளுக்கானவை அடர்த்தியான சிவப்பு நிறக் கோடுகளாலும் 
 *Im(''f'') இன் நேர் முழு எண் மதிப்புகளுக்கானவை அடர்த்தியான நீல நிறக் கோடுகளாலும்
 *இடைப்பட்ட Im(''ƒ'')&amp;nbsp;=&amp;nbsp;மாறிலி -க்குரியவை மெல்லிய பச்சை நிறக் கோடுகளாலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.
 *இடைப்பட்ட Re(''ƒ'')&amp;nbsp;=&amp;nbsp;மாறிலி, இன் எதிர் மதிப்புகளுக்குரியவை மெல்லிய சிவப்பு நிறக் கோடுகளாலும், நேர் மதிப்புகளுக்குரியவை மெல்லிய நீல நிறக் கோடுகளாலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.
 
 மெய் அச்சில்  பிழைச் சார்பின் மதிப்பு, ''z''&amp;nbsp;→&amp;nbsp;+∞ எனில் 1 ஐயும்,  ''z''&amp;nbsp;→&amp;nbsp;&amp;minus;∞ எனில்  &amp;minus;1 ஐயும்  erf(''z'') அணுகுகிறது. கற்பனை அச்சில் ±i∞ ஐ அணுகுகிறது.
 
 ==பண்புகள்==
 *பிழைச் சார்பு ஒரு [[ஒற்றைச் சார்பு]].
 :&lt;math&gt;\operatorname{erf} (-z) = -\operatorname{erf} (z)&lt;/math&gt; 
 
 *பிழைச் சார்பின் [[டெய்லர் தொடர்]] அல்லது டெய்லர் விரிவு:
 :&lt;math&gt;\operatorname{erf}(z)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}-\ \cdots\right)&lt;/math&gt;
 
 பின்வருமாறும் இதனை மாற்றி அமைக்கலாம்:
 :&lt;math&gt;\operatorname{erf}(z)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(z \prod_{k=1}^n {\frac{-(2k-1) z^2}{k (2k+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{z}{2n+1} \prod_{k=1}^n \frac{-z^2}{k}&lt;/math&gt;
 
 *+∞ இல் பிழைச் சார்பின் மதிப்பு 1 
 
 *பிழைச் சார்பின் [[வகைக்கெழு]]:
 :&lt;math&gt;\frac{\rm d}{{\rm d}z}\,\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-z^2}.&lt;/math&gt;
 
 *பிழைச் சார்பின் எதிர்வகைக்கெழு ([[தொகையீடு]]):
 :&lt;math&gt;z\,\operatorname{erf}(z) + \frac{e^{-z^2}}{\sqrt{\pi}}.&lt;/math&gt;
 
 *நேர்மாறு பிழைச் சார்பு
 [[நேர்மாறுச் சார்பு|நேர்மாறு]] பிழைச் சார்பின் வரையறை [[மெக்லாரின் தொடர்]] வாயிலாக:
 :&lt;math&gt;\operatorname{erf}^{-1}(z)=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2}z\right )^{2k+1}, \,\!&lt;/math&gt;
 
 ''c''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = 1 மற்றும்
 
 :&lt;math&gt;c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\frac{4369}{2520},\ldots\right\}.&lt;/math&gt;
 
 
 :&lt;math&gt;\operatorname{erf}^{-1}(z)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}\left (z+\frac{\pi}{12}z^3+\frac{7\pi^2}{480}z^5+\frac{127\pi^3}{40320}z^7+\frac{4369\pi^4}{5806080}z^9+\frac{34807\pi^5}{182476800}z^{11}+\cdots\right ).\ &lt;/math&gt;
 
 *நேர்மாறு நிரப்பு பிழைச் சார்பு:
 :&lt;math&gt;\operatorname{erfc}^{-1}(1-z) = \operatorname{erf}^{-1}(z).&lt;/math&gt;
 
 *நிரப்புப் பிழைச் சார்பின் அணுகுமுறை விரிவு (asymptotic expansion): 
 
 ''x'' இன் பெரிய மெய்மதிப்புகளுக்கு,
 
 :&lt;math&gt;\mathrm{erfc}(x) = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n-1)!!}{(2x^2)^n},\,&lt;/math&gt;
 
 (2''n''&amp;nbsp;–&amp;nbsp;1)!! என்பது (2''n''&amp;nbsp;–&amp;nbsp;1) வரையிலான ஒற்றை எண்களின் [[தொடர் பெருக்கம்]]. 
 
 *தொடரும் பின்ன விரிவு
 நிரப்புப் பிழைச் சார்பின் [[தொடரும் பின்னம்|தொடரும் பின்ன]] விரிவு:&lt;ref&gt;{{cite book
   | last1 = Cuyt
   | first1 = Annie A. M.
   | last2 = Petersen
   | first2 = Vigdis B.
   | last3 = Verdonk
   | first3 = Brigitte
   | last4 = Waadeland
   | first4 = Haakon
   | last5 = Jones
   | first5 = William B.
   | title = Handbook of Continued Fractions for Special Functions
   | publisher = [[Springer-Verlag]]
   | year = 2008
   | isbn = 978-1-4020-6948-2
 }}&lt;/ref&gt;
 
 : &lt;math&gt;\mathrm{erfc}(z) = \frac{z}{\sqrt{\pi}}e^{-z^2} 
 \cfrac{a_1}{z^2+
 \cfrac{a_2}{1+
 \cfrac{a_3}{z^2+
 \cfrac{a_4}{1+\dotsb}}}}
 \qquad a_1 = 1,\quad a_m = \frac{m-1}{2},\quad m \geq 2.
 &lt;/math&gt;
 
 ==தொடர்புள்ள சார்புகள்==
 திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் குவிவுப் பரவற் சார்பு Φ க்கும் பிழைச் சார்புக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பு:
 : &lt;math&gt;\Phi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^\tfrac{-t^2}{2}\,\mathrm dt = \frac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]=\frac{1}{2}\,\operatorname{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 \mathrm{erf}(x)  &amp;= 2 \Phi \left ( x \sqrt{2} \right ) - 1 \\
 \mathrm{erfc}(x) &amp;= 2 \Phi \left ( - x \sqrt{2} \right )=2\left(1-\Phi \left ( x \sqrt{2} \right)\right).
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 Q-சார்புக்கும் பிழைச் சார்புக்குமான தொடர்பு:
 :&lt;math&gt;
 Q(x) =\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{erf} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right)=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right).
 &lt;/math&gt;
 
 குவிவுப் பரவற் சார்பின் நேர்மாறுக்கும் பிழைச் சார்புக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பு:
 :&lt;math&gt;
 \operatorname{probit}(p) = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2p-1) = -\sqrt{2}\,\operatorname{erfc}^{-1}(2p).
 &lt;/math&gt;
 
 
 ===பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்பு===
 [[File:Error Function Generalised.svg|right|thumb|400px|பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்புகளின் வரைபடம் ''E''&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;(''x''):&lt;br /&gt;
 சாம்பல் வளைவரை: ''E''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;(''x'') = (1&amp;nbsp;&amp;minus;&amp;nbsp;e&lt;sup&gt;&amp;nbsp;&amp;minus;''x''&lt;/sup&gt;)/&lt;math&gt;\scriptstyle\sqrt{\pi}&lt;/math&gt;&lt;br /&gt;
 சிவப்பு வளைவரை: ''E''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;(''x'') = erf(''x'')&lt;br /&gt;
 பச்சை வளைவரை: ''E''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;(''x'')&lt;br /&gt;
 நீல வளைவரை : ''E''&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;(''x'')&lt;br /&gt;
 பொன்வண்ண வளைவரை : ''E''&lt;sub&gt;5&lt;/sub&gt;(''x'').]]
 பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்பின் வரையறை:
 :&lt;math&gt;E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^n}\,\mathrm dt
 =\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.&lt;/math&gt;
 
 *''E''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;(''x'') என்பது [[ஆதி (கணிதம்)|ஆதி]]வழிச் செல்லும் [[கோடு]]
 : &lt;math&gt;\scriptstyle E_0(x)=\frac{x}{e \sqrt{\pi}}&lt;/math&gt;
 *''E''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;(''x'') என்பது பிழைச் சார்பு erf(''x'').
 
 ==அட்டவணை==
 {{Col-begin}}
 {{Col-2}}
 :{| class=&quot;wikitable&quot;
 |--class=&quot;hintergrundfarbe6&quot;
 !x
 !erf(x)
 !erfc(x)
 |rowspan=24 style=&quot;width:2px;background-color:#000000;padding:0px;&quot;|
 !x
 !erf(x)
 !erfc(x)
 |-
 |0.00
 |0.0000000
 |1.0000000
 |1.30
 |0.9340079
 |0.0659921
 |-
 |0.05
 |0.0563720
 |0.9436280
 |1.40
 |0.9522851
 |0.0477149
 |-
 |0.10
 |0.1124629
 |0.8875371
 |1.50
 |0.9661051
 |0.0338949
 |-
 |0.15
 |0.1679960
 |0.8320040
 |1.60
 |0.9763484
 |0.0236516
 |-
 |0.20
 |0.2227026
 |0.7772974
 |1.70
 |0.9837905
 |0.0162095
 |-
 |0.25
 |0.2763264
 |0.7236736
 |1.80
 |0.9890905
 |0.0109095
 |-
 |0.30
 |0.3286268
 |0.6713732
 |1.90
 |0.9927904
 |0.0072096
 |-
 |0.35
 |0.3793821
 |0.6206179
 |2.00
 |0.9953223
 |0.0046777
 |-
 |0.40
 |0.4283924
 |0.5716076
 |2.10
 |0.9970205
 |0.0029795
 |-
 |0.45
 |0.4754817
 |0.5245183
 |2.20
 |0.9981372
 |0.0018628
 |-
 |0.50
 |0.5204999
 |0.4795001
 |2.30
 |0.9988568
 |0.0011432
 |-
 |0.55
 |0.5633234
 |0.4366766
 |2.40
 |0.9993115
 |0.0006885
 |-
 |0.60
 |0.6038561
 |0.3961439
 |2.50
 |0.9995930
 |0.0004070
 |-
 |0.65
 |0.6420293
 |0.3579707
 |2.60
 |0.9997640
 |0.0002360
 |-
 |0.70
 |0.6778012
 |0.3221988
 |2.70
 |0.9998657
 |0.0001343
 |-
 |0.75
 |0.7111556
 |0.2888444
 |2.80
 |0.9999250
 |0.0000750
 |-
 |0.80
 |0.7421010
 |0.2578990
 |2.90
 |0.9999589
 |0.0000411
 |-
 |0.85
 |0.7706681
 |0.2293319
 |3.00
 |0.9999779
 |0.0000221
 |-
 |0.90
 |0.7969082
 |0.2030918
 |3.10
 |0.9999884
 |0.0000116
 |-
 |0.95
 |0.8208908
 |0.1791092
 |3.20
 |0.9999940
 |0.0000060
 |-
 |1.00
 |0.8427008
 |0.1572992
 |3.30
 |0.9999969
 |0.0000031
 |-
 |1.10
 |0.8802051
 |0.1197949
 |3.40
 |0.9999985
 |0.0000015
 |-
 |1.20
 |0.9103140
 |0.0896860
 |3.50
 |0.9999993
 |0.0000007
 |}
 {{Col-2}}
 :{| class=&quot;wikitable&quot;
 |--class=&quot;hintergrundfarbe6&quot;
 !x
 !erfc(x)/2
 |-
 |1
 |7.86496e−2
 |-
 |2
 |2.33887e−3
 |-
 |3
 |1.10452e−5
 |-
 |4
 |7.70863e−9
 |-
 |5
 |7.6873e−13
 |-
 |6
 |1.07599e−17
 |-
 |7
 |2.09191e−23
 |-
 |8
 |5.61215e−30
 |-
 |9
 |2.06852e−37
 |-
 |10
 |1.04424e−45
 |-
 |11
 |7.20433e−55
 |-
 |12
 |6.78131e−65
 |-
 |13
 |8.69779e−76
 |-
 |14
 |1.51861e−87
 |-
 |15
 |3.6065e−100
 |-
 |16
 |1.16424e−113
 |-
 |17
 |5.10614e−128
 |-
 |18
 |3.04118e−143
 |-
 |19
 |2.45886e−159
 |-
 |20
 |2.69793e−176
 |-
 |21
 |4.01623e−194
 |-
 |22
 |8.10953e−213
 |-
 |23
 |2.22063e−232
 |-
 |24
 |8.24491e−253
 |-
 |25
 |4.15009e−274
 |-
 |26
 |2.8316e−296
 |-
 |27
 |2.61855e−319
 |}
 
 {{Col-end}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{Reflist}}
 *{{Citation |last1=Press |first1=William H. |last2=Teukolsky |first2=Saul A. |last3=Vetterling |first3=William T. |last4=Flannery |first4=Brian P. |year=2007 |title=Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing |edition=3rd |publisher=Cambridge University Press |publication-place=New York |isbn=978-0-521-88068-8 |chapter=Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function |chapter-url=http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=259 }}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * [http://mathworld.wolfram.com/Erf.html MathWorld – Erf]