பல்கணம்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''பல்கணம்''' (''multiset'') என்பது ஒரு [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தின்]] வரையறையிலிருந்து சற்று மாறுபட்டதொரு கருத்துருவாகும். ஒரு கணத்தில் அதன் எந்தவொரு [[உறுப்பு (கணிதம்)|உறுப்பும்]] மீண்டும் மீண்டும் அக்கணத்தில் இருக்க முடியாது. மாறாக ஒரு பல்கணத்தில் அதன் எந்தவொரு உறுப்பும் அப்பல்கணத்தில் எத்தனை முறை வேண்டுமானாலும் வரலாம். பல்கணத்தில் ஒரு உறுப்பு எத்தனை முறை தோன்றுகிறதோ அந்த எண், அந்த உறுப்பின் &quot;மடங்கெண்&quot; என அழைக்கப்படும்.
 
 பல்கணத்தின் இந்த வரையறையின் காரணமாக  {{math|''a''}},  {{math|''b''}} என்ற இரு உறுப்புகளை மட்டுமே கொண்ட, ஆனால் வெவ்வேறான மடங்கெண்களுடன் எண்ணற்ற பல்கணங்கள் அமைய வாய்ப்புள்ளது. 
 
 எடுத்துக்காட்டாக:
 *{{math|{{mset|''a'', ''b''}}}} ஒரு பல்கணம். இதில் {{math|''a''}}, {{math|''b''}} இரண்டின் மடங்கெண்களும் 1 
 * {{math|{{mset|''a'', ''a'', ''b''}}}} மற்றொரு பல்கணம். இதில் {{math|''a''}} இன் மடங்கெண் 2; {{math|''b''}} இன் மடங்கெண் 1
 *{{math| {{mset|''a'', ''a'', ''a'', ''b'', ''b'', ''b''}}}} மற்றொரு பல்கணம். இதில் {{math|''a''}}, {{math|''b''}} இரண்டின் மடங்கெண்களும் 3.
 
 பல்கணங்களில் உறுப்புகளின் வரிசை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதில்லை. அதாவது {{math|{{mset|''a'', ''a'', ''b''}}}}, {{math|{{mset|''a'', ''b'', ''a''}}}} இரண்டுமே ஒரே பல்கணத்தைக் குறிக்கும். கணங்களையும் பல்கணங்களையும் வேறுபடுத்திக் காட்டுவதற்காக சில சமயங்களில் பல்கணங்களுக்குச் சதுர அடைப்புக்குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது. அதாவது {{math|{''a'', ''a'', ''b''}}} என்ற பல்கணமானது {{math|[''a'', ''a'', ''b'']}} எனக் குறிக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{cite book|title=Discrete mathematics|url=https://archive.org/details/discretemathemat00hein_966|url-access=limited|first=James L.|last=Hein|publisher=Jones &amp; Bartlett Publishers|year=2003|isbn=0-7637-2210-3|pages=[https://archive.org/details/discretemathemat00hein_966/page/n43 29]–30}}&lt;/ref&gt;
 
 ஒரு பல்கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் மடங்கெண்களின் கூட்டுத்தொகையே அதன் [[எண்ணளவை]] ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, {{math|{{mset|''a'', ''a'', ''b'', ''b'', ''b'', ''c''}}}} என்ற பல்கணத்தின் உறுப்புகள் {{math|''a''}}, {{math|''b''}},  {{math|''c''}} ஆகியவற்றின் மடங்கெண்கள் முறையே 2, 3, 1. எனவே இப்பல்கணத்தின் எண்ணளவை 6 ஆகும்.
 
 &quot;பல்கணம்&quot; என்ற பெயர் 1970 களில் கணிதவியலாளர் நிக்கொலாசு கோவர்த்து தி புருய்ஜினால் உருவாக்கப்பட்டது. என்றாலும் அதற்கும் பல நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்னரே பல்கணத்தின் கருத்துரு பயன்பாட்டில் இருந்துள்ளது. கணிதவியலாளர் [[டொனால்ட் குனுத்]], பல்கணக் கருத்தை முதன்முதலாக 1150 களில் [[வரிசைமாற்றம்|பல்கணங்களின் வரிசைமாற்றத்தில்]] பயன்படுத்தியவர் இந்தியக் கணிதவியலாளர் [[இரண்டாம் பாஸ்கரர்]] என்கிறார்.&lt;ref name=&quot;Knuth1998&quot;&gt;{{cite book
   | last = Knuth
   | first = Donald E.
   | author-link =Donald Knuth
   | series= [[The Art of Computer Programming]]
   | volume= 2 | title = Seminumerical Algorithms
   | publisher = [[Addison Wesley]]
   | date=1998 | edition = 3rd
   | isbn =0-201-89684-2 }}&lt;/ref&gt;{{rp|694}}
 பல்கணத்திற்கு பட்டியல், கொத்து, பை, குவியல், மாதிரி, நிறையிட்ட கணம், தொகுப்பு  (''list'', ''bunch'', ''bag'', ''heap'', ''sample'', ''weighted set'', ''collection'', and ''suite'') ஆகிய பெயர்களும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.&lt;ref name=&quot;Knuth1998&quot;/&gt;{{rp|694}}
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள்==
 * {{math|''n''}} என்ற ஒரு [[இயல் எண்]]ணின் [[பகா எண்|பகா காரணிகளின்]] கணமொரு பல்கணமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, 120 ஐப் பகா காரணிப்படுத்த,
 :&lt;math&gt;120 = 2^3 3^1 5^1&lt;/math&gt; எனக் கிடைக்கிறது. இக்காரணிகளின் கணம் {{math|{{mset|2, 2, 2, 3, 5}}}} ஒரு பல்கணமாக இருப்பதைக் காணலாம்.
 
 * ஒரு இயற்கணிதச் சமன்பாடுகளின் தீர்வுகளடங்கிய பல்கணமாகும். ஒரு [[இருபடிச் சமன்பாடு|இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு]] இரண்டு தீர்வுகள் உண்டு. அவையிரண்டும் வெவ்வேறானவையாக அல்லது ஒரே எண்களாக இருக்கலாம். 
 :&lt;math&gt;x^2 + 8x + 15 =\,0\text{,}&lt;/math&gt; இன் தீர்வுகள் {{math|{{mset|3, 5}}}} இது ஒரு பல்கணம். இதிலுள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றின் மடங்கெண்ணும் 1.
 :&lt;math&gt;x^2 + 8x + 16 =\,0\text{,}&lt;/math&gt; இன் தீர்வுகள் {{math|{{mset|4, 4}}}} இது ஒரு பல்கணம். இதிலுள்ள உறுப்பு 4 இன் மடங்கெண் 2.
 
 == வரையறை ==
 ஒரு பல்கணம்  {{math|(''A'', ''m'')}} என வரையறுக்கப்படுகிறது. இதில் {{math|''A''}} என்பது அப்பல்கணத்திலுள்ள வெவ்வேறான உறுப்புகளாலான கணம்; &lt;math&gt;m\colon A \to \mathbb{Z}^{+}&lt;/math&gt; ஆனது {{math|''A''}} கணத்திலிருந்து நேர்ம முழு எண் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட [[சார்பு]]. இச்சார்பு பல்கணத்தின் ஒரு உறுப்பின் மடங்கெண்ணை அதாவது அவ்வுறுப்பு எத்தனை முறை நிகழ்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது. பல்கணத்தின் ஒரு உறுப்பு {{math|''a''}} எனில்,  {{math|''m''(''a'')}} அதன் மடங்கெண்ணைத் தரும்.
 
 {{math|''m''}} சார்பை அதன் [[சார்பின் வரைபடம்|கோட்டுரு]] வடிவில் அதாவது [[வரிசைச் சோடி]]களாக &lt;math&gt;\left\{\left(a, m\left(a\right)\right) : a \in A\right\}&lt;/math&gt; என எழுதினால், அதன்மூலம்   {{math|{{mset|''a'', ''a'', ''b''}}}} பல்கணத்தை {{math|({''a'', ''b''}, {(''a'', 2), (''b'', 1)})}} எனவும், {{math|{{mset|''a'', ''b''}}}} பல்கணத்தை {{math|({''a'', ''b''}, {(''a'', 1), (''b'', 1)})}} எனவும் எழுதலாம். எனினும் இக்குறியீட்டு முறை பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை.
 
 &lt;math&gt;A=\{a_1, \ldots, a_n\}&lt;/math&gt; ஒரு முடிவுறு கணம் எனில் பல்கணம் {{math|(''A'', ''m'')}} எழுதப்படும் குறியீடு: 
 :&lt;math&gt;\left\{a_1^{m(a_1)}, \ldots,a_n^{m(a_n)}  \right\},\quad&lt;/math&gt;
 சில சமயங்களில் மேலும் சுருக்கமாக
 :&lt;math&gt;\quad a_1^{m(a_1)} \cdots a_n^{m(a_n)},&lt;/math&gt; எனவும் குறிக்கப்படுகிறது.
 
 1 ஆகவுள்ள மேலொட்டு அடுக்குகள் குறிக்கப்படுவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக:
 :{{mset|''a'', ''a'', ''b''}}
 :&lt;math&gt; = \{a^2,b\}&lt;/math&gt; அல்லது &lt;math&gt;a^2b.&lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 &lt;references/&gt;