சுழலெண்
ஒரு [[முழு எண்]]ணின் இலக்கங்களைச் [[சுழல் வரிசைமாற்றம்]] செய்வதால் கிடைக்கும் புது எண்கள், மூல எண்ணின் அடுத்தடுத்த மடங்குகளாக அமையுமானால் அம்முழுஎண் '''சுழலெண்''' (''cyclic number'') எனப்படும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 [[142857 (எண்)|142857]] ஒரு சுழலெண்:
 
 :142857 &amp;times; 1 = 142857
 :142857 &amp;times; 2 = 285714
 :142857 &amp;times; 3 = 428571
 :142857 &amp;times; 4 = 571428
 :142857 &amp;times; 5 = 714285
 :142857 &amp;times; 6 = 857142
 
 == விளக்கம் ==
 ஒரு எண் சுழலெண்ணாக இருக்கவேண்டுமானல் அதன் தொடர் மடங்குகள் அதன் இலக்கங்களின் சுழல் வரிசைமாற்றங்களாக இருக்க வேண்டும்&lt;ref&gt;[http://mathworld.wolfram.com/CyclicNumber.html Cyclic Number]&lt;/ref&gt;.
 
 எண் 076923 ஒரு சுழலெண் அல்ல. அதன் இலக்கங்களின் சுழல் வரிசைமாற்றங்கள் 076923 இன் மடங்குகளாக உள்ளன, ஆனால் அடுத்தடுத்த வரிசையிலான மடங்குகளாக இல்லை:
 
 :076923 &amp;times; 1 = 076923
 :076923 &amp;times; 3 = 230769
 :076923 &amp;times; 4 = 307692
 :076923 &amp;times; 9 = 692307
 :076923 &amp;times; 10 = 769230
 :076923 &amp;times; 12 = 923076
 
 முன் [[சுழி]]கள் அனுமதிக்கப்படாவிட்டால், [[பதின்மம்|பதின்மங்களில்]] 142857 மட்டுமே சுழலெண்ணாக இருக்கும். முன்சுழிகள் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டால் சுழலெண்களின் தொடர்வரிசை:
 :(10&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt;-1) / '''7''' = 142857 (6 இலக்கங்கள்)
 :(10&lt;sup&gt;16&lt;/sup&gt;-1) / '''17''' = 0588235294117647 (16 இலக்கங்கள்)
 :(10&lt;sup&gt;18&lt;/sup&gt;-1) / '''19''' = 052631578947368421 (18 இலக்கங்கள்)
 :(10&lt;sup&gt;22&lt;/sup&gt;-1) / '''23''' = 0434782608695652173913 (22 இலக்கங்கள்)
 :(10&lt;sup&gt;28&lt;/sup&gt;-1) / '''29''' = 0344827586206896551724137931 (28 இலக்கங்கள்)
 :(10&lt;sup&gt;46&lt;/sup&gt;-1) / '''47''' = 0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 இலக்கங்கள்)
 :(10&lt;sup&gt;58&lt;/sup&gt;-1) / '''59''' = 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 இலக்கங்கள்)
 :(10&lt;sup&gt;60&lt;/sup&gt;-1) / '''61''' = 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 இலக்கங்கள்)
 
 == சுழலெண்களின் வடிவம் ==
 
 சுழலெண்களின் வடிவம்:
 :&lt;math&gt;\frac{b^{p-1}-1}{p}&lt;/math&gt;
 
 இதில் ''b'' -அடிமான எண்; ''p'' ஒரு [[பகா எண்]] மற்றும் ''b'' இன் [[வகுஎண்]]ணாக ''p'' இருக்காது.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 * ''b'' = 10, ''p'' = 7 எனில் கிடைக்கும் சுழலெண் 142857
 * ''b'' = 12, ''p'' = 5 எனில் கிடைக்கும் சுழலெண் 2497
 
 ''p'' இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் இவ்வாய்ப்பாடு  சுழலெண்ணைத் தராது.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :''b'' = 10,  ''p'' = 13 என மேலுள்ள வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடக் கிடைக்கும் எண் 076923076923. இது ஒரு சுழலெண் அல்ல.
 
 *[[பதின்மம்|பத்தடிமானத்தில்]] (''b'' = 10) இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் ''p'' இன் முதல் மதிப்புகள் {{OEIS|id=A001913}}
 :7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, …
 
 *''b'' = 12 எனில் இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் ''p'' இன் முதல் மதிப்புகள் {{OEIS|id=A019340}}
 :5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 619, 631, 641, 653, 691, 701, 739, 751, 761, 773, 787, 797, 809, 821, 857, 881, 929, 953, 967, 977, 991, ...
 
 * ''b'' = 2 எனில், இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் ''p'' இன் முதல் மதிப்புகள் {{OEIS|id=A001122}}
 :3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, ...
 
 * ''b'' = 3 எனில், இவ்வாய்ப்பாட்டில் பதிலிடும்போது சுழலெண்களைத் தரும் ''p'' இன் முதல் மதிப்புகள் {{OEIS|id=A019334}}
 :2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 631, 641, 653, 677, 691, 701, 739, 751, 773, 797, 809, 811, 821, 823, 857, 859, 881, 907, 929, 941, 953, 977, ...
 
 [[பதினறும எண் முறைமை]]யில் (''b'' = 16) இத்தகைய ''p'' இன் மதிப்புகள் இல்லை.
 
 == பண்புகள் ==
 *ஒரு சுழலெண் அதன் பிறப்பாக்கி பகாஎண்ணால் பெருக்கப்படும்போது {{'}}''அடிமான எண்''&amp;minus;1' மதிப்புள்ள இலக்கங்களைக் கொண்ட எண் விடையாகக் கிடைக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, பத்தடிமானத்தில் சுழலெண் 14287 ஐ அதன் பிறப்பாக்கி 7 ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கும் எண்: 
 ::142857 &amp;times; 7 = 999999.
 * ''14 + 28 + 57 = 99'', ''142 + 857 = 999'', ''1428 + 5714+ 2857 = 9999'' ...  
 *அனைத்து சுழலெண்களும் {{'}}''அடிமான எண்''&amp;minus;1' ஆல் வகுபடும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 
 ==மேலும் படிக்க==
 *Gardner, Martin. Mathematical Circus: More Puzzles, Games, Paradoxes and Other Mathematical Entertainments From Scientific American. New York: The Mathematical Association of America, 1979. pp.&amp;nbsp;111–122.
 *Kalman, Dan; 'Fractions with Cycling Digit Patterns'  The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2. (Mar., 1996), pp.&amp;nbsp;109–115.
 * Leslie, John. ''&quot;The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of ....&quot;'', Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, 1820, {{ISBN|1-4020-1546-1}}
 *Wells, David; ''&quot;The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers&quot;'',  Penguin Press.  {{ISBN|0-14-008029-5}}
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 * [http://www.youtube.com/watch?v=WUlaUalgxqI Youtube: &quot;Cyclic Numbers - Numberphile&quot;]
 
 [[பகுப்பு:குறிப்பிடத்தக்க எண் வகைகள்]]