மாறுநிலை எண் (கணிதம்)
[[Image:Stationary vs inflection pts.svg|400px|thumb|right|நிலைப் புள்ளிகள் (சிவப்பு வட்டம்). வளைவுமாற்றுப் புள்ளிகள் (நீல சதுரம்). நிலைப்புள்ளிகள் எல்லாம் மாறுநிலைப் புள்ளிகள். ஆனால் வளைவுமாற்றுப் புள்ளிகள் மாறுநிலைப் புள்ளிகள் அல்ல.]]
 [[வகை நுண்கணிதம்|வகை நுண்கணிதத்தில்]] ஒரு[[எண்#மெய்யெண்கள்|மெய்யெண்]] [[சார்பு|சார்பின்]] '''மாறுநிலப்புள்ளி''' (''critical point'') அல்லது '''மாறுநிலை எண்''' (''critical number'') என்பது, அச்சார்பின் ஆட்களத்தில் அமையும் ஒரு மதிப்பிற்கு, சார்பு வகையிடத்தக்கதாக இல்லாமலோ அல்லது [[வகைக்கெழு]]வின் மதிப்பு [[பூச்சியம்|பூச்சியமாகவோ]] இருந்தால் ஆட்களத்தின் அம்மதிப்பு மாறுநிலைப் புள்ளி அல்லது மாறுநிலை எண் எனப்படும்.&lt;ref&gt;{{cite book | last=Stewart | first=James | authorlink=James Stewart (mathematician) | title=Calculus: Early Transcendentals |publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=6th | year=2008 | isbn=0-495-01166-5}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite book | last1=Larson | first1=Ron | authorlink=Ron Larson (mathematician)| last2=Edwards | first2=Bruce H. | title=Calculus | publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=9th | year=2009 | isbn=0-547-16702-4}}&lt;/ref&gt; மாறுநிலைப் [[புள்ளி]]யில் சார்பின் மதிப்பு '''மாறுநிலை மதிப்பு''' (''critical value'') என அழைக்கப்படும்.
 
 ==ஒருமாறிச் சார்புகளுக்கு வரையறை==
 ஒரு[[மாறி]]யில் அமைந்த மெய்யெண் சார்பின் மாறுநிலை எண்னைப் பின்வருமாறு [[வரையறை|வரையறுக்கலாம்]]:
 ஒருமாறியில் அமைந்த  ''ƒ''(''x''), மெய்யெண் சார்புக்கு அதன் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களத்தில்]] அமைந்த ஒரு மதிப்பு  ''x''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;  -ல், சார்பு [[வகையிடத்தக்க சார்பு|வகையிடத்தக்கதாக]] இல்லாமலோ அல்லது சார்பின் [[வகைக்கெழு]] பூச்சியமாகவோ இருந்தால் (''ƒ''&lt;sup&gt;&amp;prime;&lt;/sup&gt;(''x''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;) = 0),  ''x''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;  சார்பின் மாறுநிலை எண் என்றும்  ''ƒ'' -ன் [[இணையாட்களம் (கணிதம்)|இணையாட்களத்தில்]] அமையும் மாறுநிலை எண்ணின் பிம்பம்,  மாறுநிலை மதிப்பு என்றும் அழைக்கப்படும். மாறுநிலை எண் கருத்தை,  ''ƒ'' -ன் [[சார்பின் வரைபடம்|வரைபடம்]] மூலமும் காணலாம். ஒரு மாறுநிலைப் புள்ளியில், சார்பின் [[வளைவரை]]க்கு [[தொடுகோடு]] இல்லாமல் இருக்கலாம் அல்லது தொடுகோடு இருந்தால் அது நிலைக்குத்துக் கோடாகவோ அல்லது கிடைமட்டக் கோடாகவோ இருக்கும். தொடுகோட்டை நிலைக்குத்துக் கோடு அல்லது கிடைக்கோடாக  கொண்ட (வகைக்கெழு பூச்சியமாக இருக்கும்) மாறுநிலைப் புள்ளி, சார்பின் [[நிலைப்புள்ளி]] என அழைக்கப்படும்.
 
 ==உகமம் காணல்==
 [[ஃபெர்மா தேற்றம் (நிலைப் புள்ளிகள்)|ஃபெர்மா தேற்றத்தின்படி]], [[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|இடஞ்சார்ந்த பெருமம் மற்றும் சிறுமம்]], மாறுநிலைப் புள்ளிகளில் மட்டுமே அமைகிறது. அதாவது ஒவ்வொரு மாறுநிலைப் புள்ளியும் இடஞ்சார்ந்த பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளியாக அமையும். ஆனால் நிலைப் புள்ளிகள் அனைத்தும் பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளிகளாக அமையாது.
 
 * சில நிலைப் புள்ளிகள் பெரும அல்லது சிறுமப் புள்ளிகளாக அமையலாம்.
 * சில நிலைப் புள்ளிகள் [[வளைவுமாற்றுப் புள்ளி]]களாக அமையலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 ''ƒ''(''x'') = ''x''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt;  சார்பின் வளைவரையில்  ''x'' = 0 -ல் முதல் வகைக்கெழு பூச்சியம். எனவே இது ஒரு நிலைப் புள்ளி. ஆனால் இப்புள்ளியில் சார்புக்கு பெருமமோ சிறுமமோ கிடையாது. இது வளைவரையின் ஒரு வளைவுமாற்றுப் புள்ளியாகும்.
 
 *சில சமயங்களில் அப்புள்ளியின் [[அண்மையகம்|அண்மையகத்தில்]] சார்பின் வரைபடம் அலைவுறலாம்.
 
 ''ƒ''(''x'') = ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;sin(1/''x'')  ; ''x'' ≠ 0  என்ற சார்புக்கு  ''x'' = 0 எனில் ''ƒ''(0) = 0, .
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 * சார்பு ''ƒ''(''x'') = ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 2''x'' + 3  எங்கும் வகையிடத்தக்கது. இதன் வகைக்கெழு ''ƒ''&lt;sup&gt;&amp;prime;&lt;/sup&gt;(''x'') = 2''x'' + 2. வகைக்கெழுவைப் பூச்சியத்துக்கு சமப்படுத்தக் கிடைக்கும் தீர்வு  ''x''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;  = &amp;minus;1,  இச்சார்பின் ஒரேயொரு மாறுநிலைப் புள்ளியாகும். இப்புள்ளி சார்பின் [[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|மீச்சிறு சிறுமமாகும்]]. ''ƒ'' -ன் மாறுநிலை மதிப்பு, ''ƒ''(&amp;minus;1) = 2. ''ƒ''  -ன் வரைபடம் ஒரு குழிவுப் [[பரவளைவு|பரவளையமாகும்]]. இப்பரவளையத்தின் [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சியின்]] x அச்சுதூரம் மாறுநிலை எண்ணாகும், y அச்சுதூரம் மாறுநிலை மதிப்பாகும்.  இப்புள்ளியில் தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருக்கும்.
 * சார்பு ''f''(''x'') = ''x''&lt;sup&gt;2/3&lt;/sup&gt; ''x''  -ன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது. மேலும் ''x'' ≠ 0 -க்கு வகையிடத்தக்கது. வகைக்கெழு  ''ƒ''&lt;sup&gt;&amp;prime;&lt;/sup&gt;(''x'') = 2''x''&lt;sup&gt;&amp;minus;1/3&lt;/sup&gt;/3. ''x'' ≠ 0, எனில்  ''ƒ''&lt;sup&gt;&amp;prime;&lt;/sup&gt;(''x'') ≠ 0  என்பதால் ''x'' = 0 ஒன்று மட்டும்தான் ''ƒ''  -ன் மாறுநிலைப் புள்ளி. சார்பின் வரைபடம் இப்புள்ளியில் ஒரு [[கூர்]] கொண்டதாகவும் நிலைக்குத்தான தொடுகோடு உடையதாகவும் இருக்கும். இப்புள்ளியில் சார்பின் மாறுநிலை மதிப்பு ''ƒ''(0) = 0.
 * சார்பு ''ƒ''(''x'') = ''x''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; &amp;minus; 3''x'' + 1  எங்கும் வகையிடத்தக்கது. வகைக்கெழு ''ƒ''&lt;sup&gt;&amp;prime;&lt;/sup&gt;(''x'') = 3''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; &amp;minus; 3. வகைக்கெழுவைப் பூச்சியத்துக்குச் சமப்படுத்தக் கிடைக்கும் மாறுநிலை எண்கள் ''x'' = &amp;minus;1 மற்றும் ''x'' = 1. அவற்றுக்குரிய மாறுநிலை மதிப்புகள் ''ƒ''(&amp;minus;1) = 3, -இது இடஞ்சார்ந்த பெருமம். ''ƒ''(1) = &amp;minus;1 -இது இடஞ்சார்ந்த சிறுமம். ''ƒ''(2) = 3, இதிலிருந்து 3 எனும் மாறுநிலை மதிப்பு மாறுநில எண் அல்லாத ''x'' = 2 -லும் கிடைக்கும் சாத்தியம் உள்ளதை அறிந்து கொள்ளலாம். வரைபடத்தின் மூலமாக, சார்பின் மாறுநிலைப்புள்ளி (''x'' = &amp;minus;1) -ல் வளைவரைக்கு வரையப்படும் கிடைமட்டத் தொடுகோடு வளைவரையை மீண்டும் ''x'' = 2 புள்ளியில் வெட்டுவதைக் காணலாம்.
 
 ==பலமாறிச் சார்புகள்==
 இப்பிரிவில் சார்புகளை அனைத்து உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்களும் கொண்ட  சார்புகளாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்.
 பல மெய்மாறிகளில் அமைந்த அத்தகைய சார்பின் மாறுநிலைப் புள்ளியில் சார்பின் அனைத்து பகுதி வகைக்கெழுக்களும் பூச்சியமாகும். பன்மடிவெளியில் அமைந்த சார்பின் மாறுநிலைப் புள்ளியில் அச்சார்பின் [[வகையீடு (கணிதம்)|வகையீடு]]  பூச்சியமாகும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}