எண்முக எண்
[[File:Octahedral number.jpg|thumb|146 காந்தப் பந்துகள் எண்முக வடிவில் அடுக்கப்பட்டுள்ளன.]]
 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''எண்முக எண்''' (''octahedral number'') என்பது [[எண்முக முக்கோணகம்|எண்முகி]] வடிவில் நெருக்கமாக அடுக்கப்பட்டப் பந்துகளின் மொத்த எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் ஒரு [[வடிவ எண்]].
 
 ''n'' -ஆம் எண்முக எண் காணும் வாய்ப்பாடு:&lt;ref name=&quot;bon&quot;&gt;{{citation|title=The Book of Numbers|first1=John Horton|last1=Conway|author1-link=John Conway|first2=Richard K.|last2=Guy|author2-link=Richard K. Guy|publisher=Springer-Verlag|year=1996|isbn=9780387979939|page=50}}.&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;O_n={n(2n^2 + 1) \over 3}.&lt;/math&gt;
 
 முதல் எண்கோண எண்கள் சில:
 
 :1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891 {{OEIS|id=A005900}}.
 
 ==பண்புகளும் பயன்பாடுகளும்==
 எண்முக எண்களைப் பிறப்பிக்கும் சார்பு:
 
 :&lt;math&gt; \frac{z(z+1)^2}{(z-1)^4} = \sum_{n=1}^{\infty} O_n z^n = z +6z^2 + 19z^3 + \cdots .&lt;/math&gt;
 
 1850 -ல் ''சர் ஃபிரெடிரிக் பொல்லாக்'', ஒவ்வொரு எண்ணும் அதிகபட்சம் 7 எண்முக எண்களின் கூட்டுத்தொகையாக அமையும் என்ற அனுமானக்கூற்றைத் தந்துள்ளார்.&lt;ref&gt;{{citation|authorlink=L. E. Dickson|last=Dickson|first=L. E.|title=History of the Theory of Numbers, Vol. 2: Diophantine Analysis|location=New York|publisher=Dover|year=2005|pages=22–23|url=http://books.google.com/books?id=eNjKEBLt_tQC&amp;pg=PA22}}.&lt;/ref&gt;
 
 [[வேதியியல்|வேதியியலில்]], எண்முகக் கொத்துக்களில் உள்ள [[அணு]]க்களின் எண்ணிக்கையை விளக்குவதற்கு பயன்படும் எண்முக எண்கள்,  ''மாய எண்கள்'' என அழைக்கப்படுகின்றன.&lt;ref&gt;{{citation|title=Magic numbers in polygonal and polyhedral clusters|first1=Boon K.|last1=Teo|first2=N. J. A.|last2=Sloane|author2-link=Neil Sloane|journal=Inorganic Chemistry|year=1985|volume=24|issue=26|pages=4545–4558|doi=10.1021/ic00220a025|url=http://www2.research.att.com/~njas/doc/magic1/magic1.pdf|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120313220128/http://www2.research.att.com/~njas/doc/magic1/magic1.pdf|archivedate=2012-03-13|accessdate=2012-01-16|url-status=dead}}.&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;nano&quot;&gt;{{citation|title=Metal nanoparticles: synthesis, characterization, and applications|first1=Daniel L.|last1=Feldheim|first2=Colby A.|last2=Foss|publisher=CRC Press|year=2002|isbn=9780824706043|page=76|url=http://books.google.com/books?id=-u9tVYWfRcMC&amp;pg=PA76}}.&lt;/ref&gt;
 
 ==மற்ற வடிவ எண்களுடனான தொடர்பு==
 ===சதுர பிரமிடு எண்கள்===
 [[File:Pyramides quadratae secundae.svg|thumb|300px|ஒவ்வொரு மட்டத்திலும் மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்ணிக்கையிலான [[கனசதுரம்|கனசதுரங்களுடைய]] சதுர பிரமிடுகள். ஒவ்வொரு பிரமிடிலுமுள்ள கனசதுரங்களின் மொத்த எண்ணிக்கை ஒரு எண்முக எண்.]]
 எண்முக வடிவ பந்து-அடுக்கை இரு பிரிவாக நடுப்புறத்தில் [[சதுரம்|சதுர]] குறுக்கு வெட்டு மூலம் பிரித்தால் இரு சதுர [[பிரமிட்டு|பிரமிடுகள்]] கிடைக்கும்.  இவ்விரண்டு சதுரப்பிரமிடுகளும் ஒன்றின்கீழ் மற்றொன்று தலைகீழாக அமைந்த தோற்றத்தில் இருக்கும். எனவே ஒரு எண்முக எண், இரு அடுத்தடுத்த [[சதுர பிரமிடு எண்]]களின் கூடுதலாக இருக்கும்.&lt;ref name=&quot;bon&quot;/&gt;
 :''n'' -ஆம் எண்முக எண் - &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;, 
 :''n'' -ஆம் சதுர பிரமிடு எண் - &lt;math&gt;P_n&lt;/math&gt;,
 :''n'' -1  -ஆம் சதுர பிரமிடு எண் - &lt;math&gt;P_{n-1}&lt;/math&gt; எனில்
 
 :&lt;math&gt;O_n = P_{n-1} + P_n.&lt;/math&gt;
 
 ===நான்முக எண்கள்===
 :''n'' -ஆம் எண்முக எண் - &lt;math&gt;O_n&lt;/math&gt;,
 :''n'' -ஆம் [[நான்முக எண்]] - &lt;math&gt;T_n&lt;/math&gt;  எனில்
 
 :&lt;math&gt;O_n+4T_{n-1}=T_{2n-1}.&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;O_n = T_n + 2T_{n-1} + T_{n-2}.&lt;/math&gt;
 
 ===கன எண்கள்===
 ஒரு எண்முகியின் எதிர்ப்பக்கங்களுடன் இரு நான்முகிகளைச் சேர்த்தால் ஒரு [[சாய்சதுரத்திண்மம்]] கிடைக்கும்.&lt;ref&gt;{{citation|first=John G.|last=Burke|title=Origins of the science of crystals|publisher=University of California Press|year=1966|page=88|url=http://books.google.com/books?id=qvxPbZtJu8QC&amp;pg=PA88}}.&lt;/ref&gt; ஒரு சாய்சதுரத் திண்மத்துக்குள் நெருக்கமாக அடுக்கப்பட்ட பந்துகளின் மொத்த எண்ணிக்கை ஒரு [[கன எண்]]ணாக இருக்கும். அதாவது,
 
 :&lt;math&gt;O_n+2T_{n-1}=n^3.&lt;/math&gt;
 
 ===மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்கள்===
 இரு அடுத்தடுத்த எண்முக எண்களின் வித்தியாசம் ஒரு [[மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்]]ணாக இருக்கும்:&lt;ref name=&quot;bon&quot;/&gt;
 
 :&lt;math&gt;O_n - O_{n-1} = C_{4,n} = n^2 + (n-1)^2.&lt;/math&gt;
 
 ===மையப்படுத்தப்பட்ட எண்முக எண்===
 மையப்படுத்தப்பட்ட எண்முக எண் என்பது இரு அடுத்தடுத்த எண்கோண எண்களின் கூடுதலாகும்.
 
 முதல் மையப்படுத்தப்பட்ட எண்கோண எண்கள் சில:
 
 :1, 7, 25, 63, 129, 231, 377, 575, 833, 1159, 1561, 2047, 2625, ... {{OEIS|A001845}}
 
 மையப்படுத்தப்பட்ட எண்கோண எண்ணிற்கான வாய்ப்பாடு:
 
 :&lt;math&gt;O_n+O_{n-1}=\frac{(2n+1)(2n^2+2n+3)}{3}.&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{Reflist}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *{{mathworld|title=Octahedral Number|urlname=OctahedralNumber}}
 {{வடிவ எண்கள்}}