பகாக் காரணி
[[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டில்]] ஒரு நேர் [[முழு எண்]]ணின் '''பகாக் காரணிகள்''' அல்லது '''பகாத்தனி காரணிகள்''' அல்லது '''பகாஎண் காரணிகள்''' (''prime factors'')  என்பவை அந்த முழுஎண்ணை மீதமின்றி வகுக்கக்கூடிய [[பகா எண்]]களாகும் (அவை வெவ்வேறான பகா எண்களாக இருக்கவேண்டியதில்லை).
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 * 4 இன் பகாக் காரணிகள்: 2, 2 
 * 6 இன் பகாக் காரணிகள்: 2, 3
 * 10 இன் பகாக் காரணிகள்: 2, 5
 * 48 இன் பகாக் காரணிகள்: 2, 2, 2, 2, 3
 
 ==பகாக் காரணியாக்கம்==
 ஒரு நேர் முழுஎண்ணின் பகாக் காரணிகளை அவற்றின் [[மடங்கெண்]]ணுடன் பட்டியலிடுவதே அந்த எண்ணின் ’பகாத்தனி காரணியாக்கம்’ ஆகும். [[எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம்|எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின்படி]] ஒவ்வொரு நேர்முழுஎண்ணிற்கும் ஒரேயொரு தனித்த பகாத்தனி காரணியாக்கம் மட்டுமே சாத்தியமாகும். பகாத்தனி காரணியாக்கத்தைச் சுருக்கமாகக் குறிப்பதற்காக மீளும் காரணிகள் அவற்றின் அடுக்குகளாக எழுதப்படலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt; 360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5,&lt;/math&gt;.
 
 ==மடங்கெண்==
 ஒரு நேர் முழுஎண் ''n'' இன் பகாக்காரணி ''p'' எனில் ''n'' ஐ ''p&lt;sup&gt;a&lt;/sup&gt;'' ஆனது மீதமின்றி வகுக்குமாறு அமையும் ''a'' இன் மீப்பெரிய மதிப்பு, ''p'' இன் [[மடங்கெண்]] ஆகும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 *எண் 56 இன் காரணியாக்கம்:
 :&lt;math&gt; 56 = 2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^3 \times 7&lt;/math&gt; 
 :இதில் பகாக்காரணியான எண் 2, மூன்றுமுறை வருவதால் அதன் மடங்கெண் 3 ஆகும். 
 *எண் 81 இன் காரணியாக்கம்:
 :&lt;math&gt;81 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 &lt;/math&gt; 
 :இதில் பகாக்காரணியான எண் 3, நான்குமுறை வருவதால் அதன் மடங்கெண் 4 ஆகும்.
 
 [[வர்க்கம் (கணிதம்)|முழுவர்க்க]] எண்களின் அனைத்து பகாக் காரணிகளுக்கும் மடங்கெண்கள் இரட்டையெண்ணாக இருக்கும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 :&lt;math&gt; 12^2 = 144 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^4 \times 3^2.&lt;/math&gt; அதாவது,
 :&lt;math&gt; 144 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = (2 \times 2 \times 3) \times (2 \times 2 \times 3) = (2 \times 2 \times 3)^2 = (12)^2.&lt;/math&gt;
 
 ஒரு நேர் முழுஎண்ணுக்கு அதன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியின் மடங்கெண்ணும் இரட்டையெண்ணாக இருந்தால் அந்த முழுஎண்ணை அதனைவிடச் சிறியதானதொரு எண்ணின் வர்க்கமாக எழுதலாம். இதேபோல [[கனம் (கணிதம்)|கனங்களின்]] பகாக்காரணிகளின் மடங்கெண்கள் மூன்றாக இருக்கும்.
 
 ==சார்பகா எண்கள்==
 ஒன்றுக்கொன்று பொதுவான பகாக் காரணிகள் இல்லாத நேர் முழுஎண்கள் [[சார்பகா முழுஎண்கள்|சார்பகா எண்கள்]] எனப்படும். இரு சார்பகா எண்களின் [[மீப்பெரு பொது வகுத்தி|மீபொவ]] [[1 (எண்)|1]] ஆக இருக்கும். எண் 1 க்கு பகாக் காரணிகளே இல்லாததால் அது தனக்கும் மற்றும் ஒவ்வொரு நேர் முழுஎண்ணுக்கும் சார்பகா எண்ணாக அமைகிறது. அதாவது, மீபொவ(1,&amp;nbsp;''b'')&amp;nbsp;=&amp;nbsp;1,  ''b''&amp;nbsp;≥&amp;nbsp;1.
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 * [http://mathworld.wolfram.com/PrimeFactor.html Prime Factor-From MathWorld]
 * [http://www.virtuescience.com/prime-factor-calculator.html Prime Factor Calculator at the Database of Number Correlations] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140617045248/http://www.virtuescience.com/prime-factor-calculator.html |date=2014-06-17 }}
 * [http://www.se16.info/js/factor.htm A Javascript Prime Factor Calculator. Can handle numbers up to about 9&amp;times;10&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;]
 * [http://www.javascripter.net/math/calculators/primefactorscalculator.htm Fast Prime Factorization Calculator in JavaScript. Can handle numbers up to 10&lt;sup&gt;20&lt;/sup&gt;]
 * [http://www.alpertron.com.ar/ECM.HTM Java applet: Factorization using the Elliptic Curve Method finding factors with 20+ digits]
 * [http://factors.evalwave.com/fHome.html Millions of factors and prime factors on html pages.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110816002000/http://factors.evalwave.com/fHome.html |date=2011-08-16 }}
 * [http://dvneo.com/trivia/0505_prime_factors/ List of prime factors for numbers from 2 - 5 million and growing.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120518014046/http://dvneo.com/trivia/0505_prime_factors/ |date=2012-05-18 }}
 * [http://primefactorizationcalculator.org Prime Factorization Calculator. Can handle numbers up to about 9&amp;times;10&lt;sup&gt;15&lt;/sup&gt;] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140104080951/http://primefactorizationcalculator.org/ |date=2014-01-04 }}
 * [http://www.academia.edu/1066276/Prime_Factorisation_A_New_Approach Prime Factorization A New Approach]