குழிவுச் சார்பு
கணிதத்தில் '''குழிவுச் சார்பு''' (''concave function'') என்பது [[குவிவுச் சார்பு|குவிவுச் சார்பின்]] கூட்டல் [[நேர்மாறுச் சார்பு]] அதாவது எதிர்ச் சார்பு ஆகும். குழிவுச் சார்பை, ''கீழ்நோக்கு குழிவுச் சார்பு'' அல்லது ''மேல்நோக்கு குவிவுச் சார்பு'' என்றும் அழைக்கலாம்.
 
 ==வரையறை==
 ஒரு [[திசையன் வெளி]]யிலமைந்த [[குவிவுக் கணம்]] ''X'' இன் மீது வரையறுக்கப்பட்ட [[மெய்யெண்|மெய்மதிப்புச்]] சார்பு {{nowrap|''f'' : ''X'' &amp;rarr; '''R'''}} கீழ்க்காணுமாறு இருப்பின் குழிவுச் சார்பு என வரையறுக்கப்படும். 
 
 &lt;math&gt;x_1,&lt;/math&gt; &lt;math&gt; x_2 &lt;/math&gt; என்பவை ''X'' இன் இரு புள்ளிகள்; &lt;math&gt;t\in[0,1]&lt;/math&gt; எனில்:
 
 :&lt;math&gt;f(tx+(1-t)y)\geq t f(x)+(1-t)f(y).&lt;/math&gt;
 
 ;திட்டமாக குழிவுச் சார்பு 
 :&lt;math&gt;f(tx + (1-t)y) &gt; t f(x) + (1-t)f(y)\,&lt;/math&gt;
 &lt;math&gt; 0 &lt; t &lt; 1\, &lt;/math&gt;,  &lt;math&gt;x_1 \not=x_2&lt;/math&gt; எனில் சார்பு, '''திட்டமாகக் குழிவுச் சார்பு''' (''strictly  concave'') என வரையறுக்கப்படும்.
 
 ''f'':''R''→''R'' என்பது ஒரு குழிவுச் சார்பு எனில் அதன் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களத்தின்]] ''x'' மற்றும் ''y'' இரு புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள ஒவ்வொரு ''z'' க்கும் (''z'', ''f''(''z'') ) புள்ளியானது (''x'', ''f''(''x'') ) , (''y'', ''f''(''y'') ) ஆகிய இருபுள்ளிகளை இணைக்கும் [[கோட்டுத்துண்டு|கோட்டுத்துண்டிற்கு]] மேற்புறத்தில் அமையும்.
 
 ==பண்புகள்==
 ஒரு குவிவுக் கணத்தின் மீது &amp;minus;''f''(''x'') குவிவுச் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த குவிவுக் கணத்தின் மீது ''f''(''x'') குழிவுச் சார்பாக இருக்கும்.
 
 ஒரு இடைவெளியின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட வகையிடத்தக்கச் சார்பின் [[வகைக்கெழு]] ''f'' &amp;prime; அந்த இடைவெளியில் [[ஓரியல்புச் சார்பு|ஓரியல்பாகக்]] குறையும் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு குவிவுச் சார்பாக இருக்கும். குழிவுச் சார்பு, குறையும் [[சாய்வு]] கொண்டிருக்கும்.
 
 இருமுறை வகையிடத்தக்கச் சார்பு ''f'', இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு ''f &amp;prime;&amp;prime;(x)'', எதிரிலா மதிப்பாக இருப்பின் தரப்பட்ட சார்பு குவிவுச் சார்பாகவும் இரண்டாம் வகைக்கெழு நேரிலா மதிப்பாக இருப்பின் குழிவுச் சார்பாகவும் இருக்கும். 
 
 
 இருமுறை [[வகையிடத்தக்கச் சார்பு]] ''f'', இன் இரண்டாம் [[வகைக்கெழு]] ''f &amp;prime;&amp;prime;(x)'' இன் மதிப்பு நேரிலா மதிப்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ''f''(''x'') குழிவுச் சார்பாகவும், இரண்டாம் வகைக்கெழு எதிர்மதிப்பாக இருப்பின் திட்டமாகக் குழிவுச் சார்பாகவும் இருக்கும். ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையல்ல.
 
 ''f'' வகையிடத்தக்கதாகவும் குழிவுச் சார்பாகவும் இருந்தால்:
 :&lt;math&gt;f(y) \leq f(x) + f'(x)[y-x]&lt;/math&gt;{{sfn|Varian|1992|p=489}}
 
 ''C'' இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு [[தொடர்ச்சியான சார்பு]], ''C'' இலுள்ள ஏதேனும் இரு மதிப்புகள்  ''x'' மற்றும் ''y'' க்குக் கீழ்க்காணுமாறு இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே குழிவுச் சார்பாக இருக்கும்:
 :&lt;math&gt;f\left( \frac{x+y}2 \right) \ge \frac{f(x) + f(y)}2&lt;/math&gt;
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 * &lt;math&gt;f(x)=-x^2,&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;f(x)=\sqrt{x}&lt;/math&gt; ஆகிய இரு சார்புகளின் இரண்டாம் வகைக்கெழுக்கெழுக்களும் எதிர் மதிப்புடையவை என்பதால் அவை இரண்டும் குழிவுச் சார்புகளாகும்.
 * [[நேரியல் சார்பு]]  &lt;math&gt;f(x)=ax+b&lt;/math&gt;, குழிவு மற்றும் குவிவுச் சார்பாக இருக்கிறது.
 * &lt;math&gt;[0, \pi]&lt;/math&gt; இடைவெளியில் &lt;math&gt;f(x)=\sin(x)&lt;/math&gt; குழிவுச் சார்பு.
 * &lt;math&gt;\log |B|&lt;/math&gt; சார்பு ஒரு குழிவுச் சார்பு. இங்கு &lt;math&gt;|B|&lt;/math&gt; ஆனது எதிரிலா-உறுதியான [[அணி (கணிதம்)|அணி]] (nonnegative-definite matrix)  ''B'' இன்  [[அணிக்கோவை]].&lt;ref name=&quot;Cover 1988&quot;&gt;{{cite journal|author=[[Thomas M. Cover]] and J. A. Thomas|  title=Determinant inequalities via information theory| journal=[[SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications]]| year=1988| volume=9|number=3| pages=384&amp;ndash;392}}&lt;/ref&gt;
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist}}
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 *{{cite book|last=Crouzeix|first=J.-P.|chapter=Quasi-concavity|title=The New&amp;nbsp;Palgrave Dictionary of Economics|editor-first=Steven&amp;nbsp;N.|editor-last=Durlauf|editor2-first=Lawrence&amp;nbsp;E&lt;!-- . --&gt;|editor2-last=Blume|publisher=Palgrave Macmillan|year=2008|edition=Second|pages=|url=http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_Q000008|doi=10.1057/9780230226203.1375|ref=harv}}
 *{{cite book |title=Engineering Optimization: Theory and Practice|first=Singiresu S.|last=Rao|
 publisher=John Wiley and Sons|year=2009|isbn=0-470-18352-7|page=779}}
 *{{cite book |ref=harv |last=Varian |first=Hal R. |authorlink=Hal Varian |title=Microeconomic Analysis |url=https://archive.org/details/microeconomicana00vari_0 |year=1992 |edition=Third |publisher=W.W. Norton and Company}}