மடக்கை முற்றொருமைகள் பட்டியல்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] கணக்கீடுகளுக்குப் பயன்படும்  '''[[மடக்கை]] [[முற்றொருமை (கணிதம்)|முற்றொருமைகள்]] பட்டியல்''' (''List of logarithmic identities'') இக்கட்டுரையில் தரப்படுகிறது.
 
 == எளிய முற்றொருமைகள் ==
 *  ''b''  ≠ 0 எனில், &lt;math&gt; b^0 = 1 \Rightarrow &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\log_b(1) = 0 &lt;/math&gt;   
 * &lt;math&gt; b^1 = b\Rightarrow &lt;/math&gt; &lt;math&gt;\log_b(b) = 1 &lt;/math&gt;
 
 == அடுக்குக்குறிகளை நீக்கல் ==
 
 கூட்டலும் கழித்தலும் மற்றும் பெருக்கலும் வகுத்தலும் ஒன்றுக்கொன்று எதிர்ச்செயல்களாக அமைவதுபோல ஒரே அடிமானமுடைய மடக்கையும் அடுக்குக்குறிகளும் எதிர்ச்செயல்களாக அமையும்.
 :&lt;math&gt;b^{\log_b(x)} = x\text{ because }\mbox{antilog}_b(\log_b(x)) = x&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\log_b(b^x) = x\text{ because }\log_b(\mbox{antilog}_b(x)) = x&lt;/math&gt;&lt;ref name=&quot;:0&quot;&gt;{{Cite web|date=2016-05-08|title=Logarithm: The Complete Guide (Theory &amp; Applications)|url=https://mathvault.ca/logarithm-theory/|access-date=2020-08-29|website=Math Vault|language=en-US}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Logarithm|url=https://mathworld.wolfram.com/Logarithm.html|access-date=2020-08-29|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}&lt;/ref&gt;
 
 இவ்விரு முடிவுகளும் &lt;math&gt;b^c = x \iff \log_b(x) = c&lt;/math&gt; என்ற மடக்கை வரையறையிலிருந்து பெறப்படுகின்றன.
 
 விளக்கம்:
 
 *இடப்புறச் சமன்பாடான &lt;math&gt;b^c = x&lt;/math&gt; இல் வலப்பக்க சமன்பாட்டிலிருந்து கிடைக்கும் {{mvar|c}} இன் மதிப்பைப் பதிலிட
 :{{math|1=''b''&lt;sup&gt;log&lt;sub&gt;''b''&lt;/sub&gt;(''x'')&lt;/sup&gt; = ''x''}}
 
 *வலப்பக்கச் சமன்பாடான &lt;math&gt; \log_b(x) = c&lt;/math&gt; இல் இடப்புறச் சமன்பாடுதரும் {{mvar|x}} இன் மதிப்பைப் பதிலிட
 :{{math|1=log&lt;sub&gt;''b''&lt;/sub&gt;(''b''&lt;sup&gt;''c''&lt;/sup&gt;) = ''c''}}.
 {{mvar|c}} க்குப் பதில் {{mvar|x}} ஐப் பதிலிட
 :{{math|1=log&lt;sub&gt;''b''&lt;/sub&gt;(''b''&lt;sup&gt;''x''&lt;/sup&gt;) = ''x''}}
 
 == எளிய செயல்களைப் பயன்படுத்திப்பெறும் முற்றொருமைகள் ==
 
 கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த மடக்கைகள் பயன்படுகின்றன. இரு எண்களின் பெருக்கலை அவற்றின் மடக்கைகளைக் கூட்டுவதன் மூலம் எளிமையாக்கலாம். இதற்கு பயன்படும் மடக்கைகளின் பண்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.&lt;ref name=&quot;:0&quot; /&gt;&lt;ref&gt;{{Cite web|title=4.3 - Properties of Logarithms|url=https://people.richland.edu/james/lecture/m116/logs/properties.html|access-date=2020-08-29|website=people.richland.edu}}&lt;/ref&gt;
 === பெருக்கல் முற்றொருமை ===
 இரு எண்களின் பெருக்கத்துக்கான மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமனாகும்:
 :&lt;cite id=labelLogarithmProducts&gt;&lt;math&gt; \log_b(x y) = \log_b x + \log_b y. \,&lt;/math&gt;&lt;/cite&gt;
 
 === வகுத்தல் முற்றொருமை ===
 இரு எண்களின் விகிதங்களுக்கான (வகுத்தலுக்கான) மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் சமனாகும்:
 :&lt;math&gt;\log_b \!\left(\frac x y \right) = \log_b x - \log_b y. \,&lt;/math&gt;
 
 === அடுக்கு காணல் முற்றொருமை ===
 ஒரு எண்ணின் ''p'' அடுக்கின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை ''p'' தடவைகள் பெருக்குவதற்குச் சமன்:
 :&lt;cite id=labelLogarithmPowers&gt;&lt;math&gt;\log_b(x^p) = p \log_b x. \,&lt;/math&gt;&lt;/cite&gt;
 
 === அடுக்கு காணல் முற்றொருமை ===
 ஒரு எண்ணின் ''p'' மூலத்தின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை ''p'' யினால் வகுப்பதற்குச் சமன் :
 :&lt;math&gt;\log_b(\sqrt[p]x\,) = \frac {\log_b x}p. \, &lt;/math&gt;
 
 == அடிமானங்களை மாற்றுதல் ==
 log&lt;sub&gt;''b''&lt;/sub&gt;(''x'') எனும் ''x'' , ''b'' உடன் தொடர்புடைய மடக்கையை எழுமாற்றான அடிமானமான ''k'' க்கு மாற்றுவதாயின்:
 : &lt;cite id=labelLogarithmBaseChange&gt;&lt;math&gt; \log_b{x} = \frac{\log_k{x}}{\log_k{b}}.\, &lt;/math&gt;&lt;/cite&gt;
 இவ்வாறே கணிப்பான்களில் அடிமானம் 10, கணித மாறிலி e என்பவற்றுக்கு மாற்றப்படுகிறது.:
 :&lt;math&gt; \log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} b}. \,&lt;/math&gt;
 அதாவது தரப்பட்ட எண் ''x'' மற்றும் அதன் மடக்கை log&lt;sub&gt;''b''&lt;/sub&gt;(''x'') தெரிந்த அடிமானம் b க்கு பின்வருமாறு தரப்படும்:
 : &lt;math&gt; b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.&lt;/math&gt;
 
 === கூட்டல்/கழித்தல் முற்றொருமைகள்===
 :
 {|
 |&lt;math&gt;\log_b (a+c) = \log_b a + \log_b \left(1 + \frac{c}{a}\right)&lt;/math&gt;
 |because
 |&lt;math&gt;\left(a + c \right) = a \times \left(1 + \frac{c}{a} \right)&lt;/math&gt;
 |-
 |&lt;math&gt;\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b \left(1 - \frac{c}{a}\right)&lt;/math&gt;
 |because
 |&lt;math&gt;\left(a - c \right) = a \times \left(1 - \frac{c}{a} \right)&lt;/math&gt;
 |}
 :
 பூச்சியத்தின் மடக்கை வரையறுக்கப்படாததால் &lt;math&gt;a = c&lt;/math&gt; எனும்போது கழித்தல் முற்றொருமையை வரையறுக்க முடியாது.
 
 பொதுவாக:
 :&lt;math&gt;\log _b \sum\limits_{i=0}^N a_i = \log_b a_0 + \log_b \left( 1+\sum\limits_{i=1}^N \frac{a_i}{a_0} \right) = \log _b a_0 + \log_b \left( 1+\sum\limits_{i=1}^N b^{\left( \log_b a_i - \log _b a_0 \right)} \right)&lt;/math&gt;
 
 === அடுக்குக்குறிகள் ===
 :&lt;math&gt; x^{\frac{\log(\log(x))}{\log(x)}} = \log(x)&lt;/math&gt;
 அல்லது பொதுவாக:
 :&lt;math&gt; x^{\frac{\log(a)}{\log(x)}} = a&lt;/math&gt;
 
 === பிற முற்றொருமைகள் ===
 :&lt;math&gt; \frac{1}{\frac{1}{\log_x(a)}+\frac{1}{\log_y(a)}} = \log_{xy}(a)&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; \frac{1}{\frac{1}{\log_x(a)}-\frac{1}{\log_y(a)}} = \log_{\frac{x}{y}}(a)&lt;/math&gt;
 
 == சமனின்மைகள் ==
 மடக்கை சமனின்மைகள்&lt;ref&gt;{{Cite web |url=http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v7n2/pade.pdf |title=காப்பகப்படுத்தப்பட்ட நகல் |access-date=2021-04-26 |archive-date=2016-10-20 |archive-url=https://web.archive.org/web/20161020123226/http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v7n2/pade.pdf |url-status=dead }}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;http://www.lkozma.net/inequalities_cheat_sheet/ineq.pdf&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;http://downloads.hindawi.com/archive/2013/412958.pdf&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{x}{1+x} \leq \ln(1+x)
 \leq \frac{x(6+x)}{6+4x}
 \leq x \mbox{ for all } -1 &lt; x&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 \frac{2x}{2+x}&amp;\leq3-\sqrt{\frac{27}{3+2x}}\leq\frac{x}{\sqrt{1+x+x^2/12}}
 \\&amp;\leq    \ln(1+x)\leq \frac{x}{\sqrt{1+x}}\leq \frac{x}{2}\frac{2+x}{1+x}
 \\&amp;\mbox{ for } 0 \le x \mbox{, reverse for } -1 &lt; x \le 0
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;x=0&lt;/math&gt; மதிப்புக்கு அருகில் இச்சமனின்மைகள் துல்லியமானவையாக இருக்கும். பெரிய மதிப்புகளுக்குத் துல்லியமாக இருக்காது.
 
 == நுண்கணித முற்றொருமைகள் ==
 
 === [[சார்பு எல்லை|சார்புகள்]] ===
 :&lt;math&gt;\lim_{x\to 0^+}\log_a(x)=-\infty\quad \mbox{if } a &gt; 1&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\lim_{x\to 0^+}\log_a(x)=\infty\quad \mbox{if } 0 &lt; a &lt; 1&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\lim_{x\to\infty}\log_a(x)=\infty\quad \mbox{if } a &gt; 1&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\lim_{x\to\infty}\log_a(x)=-\infty\quad \mbox{if } 0 &lt; a &lt; 1&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\lim_{x\to 0^+}x^b\log_a(x)=0\quad \mbox{if } b &gt; 0&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\lim_{x\to\infty}\frac{\log_a(x)}{x^b}=0\quad \mbox{if } b &gt; 0&lt;/math&gt;
 
 === மடக்கை சார்புகளின் [[வகையிடல்|வகைக்கெழுக்கள்]] ===
 :&lt;math&gt;{d \over dx} \ln x = {1 \over x },&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;{d \over dx} \log_b x = {1 \over x \ln b},&lt;/math&gt; 
 இதில் &lt;math&gt;x &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b &gt; 0&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b \ne 1&lt;/math&gt;.
 
 === மடக்கையின் தொகையீடு ===
 :&lt;math&gt;\ln x = \int_1^x \frac {1}{t} dt &lt;/math&gt;
 
 === மடக்கை சார்புகளின் [[தொகையீடு]]கள் ===
 :&lt;math&gt;\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x^{\left [n \right]} = x^{n}(\log(x) - H_n)&lt;/math&gt;
 இதில் &lt;math&gt;H_n&lt;/math&gt; என்பது ''n''&lt;sup&gt;th&lt;/sup&gt; [[இசை எண் (கணிதம்)|இசை எண்]]:
 :&lt;math&gt;x^{\left [ 0 \right ]} = \log x&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x^{\left [ 1 \right ]} = x \log(x) - x&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x^{\left [ 2 \right ]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}x^2&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x^{\left [ 3 \right ]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{11}{6} \end{matrix}x^3&lt;/math&gt;
 எனில்:
 :&lt;math&gt;\frac{d}{dx}\, x^{\left[ n \right]} = nx^{\left[ n-1 \right]}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\int x^{\left[ n \right]}\,dx = \frac{x^{\left [ n+1 \right ]}}{n+1} + C&lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * [http://www.mathwords.com/l/logarithm.htm Logarithm] in Mathwords
 
 [[பகுப்பு:மடக்கைகள்]]