கற்பனை அலகு
[[File:ImaginaryUnit5.svg|thumb|right|சிக்கலெண் தலத்தில் {{math|''i''}}. கிடைமட்ட அச்சில் (மெய் அச்சு) மெய்யெண்களும் கற்பனை எண்கள் குத்து அச்சில் (கற்பனை அச்சு) அமைகின்றன.]]
 '''கற்பனை அலகு''' அல்லது '''அலகு கற்பனை எண்''' (''imaginary unit'',  ''unit imaginary number'') என்றழைக்கப்படும் &lt;math&gt;i&lt;/math&gt;  ஆனது, [[மெய்யெண்]]களை ({{math|ℝ}})  [[சிக்கலெண்]]களுக்கு ({{math|ℂ}}) நீட்டிக்கும் ஒரு கணிதக் கருத்துரு ஆகும். இவ்வாறு மெய்யெண்கள் சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுவதால் ஒவ்வொரு [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]க்கும் {{math|''P''(''x'')}} குறைந்தபட்சம் ஒரு [[சார்பின் மூலம்|மூலமாவது]]  கிடைக்கிறது.
 
 {{math|''i''}} இன் முக்கியப் பண்பு: 
 ::{{math|''i''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; {{=}} −1}}
 
 [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கத்தை]] எதிரெண்ணாகக் கொண்ட மெய்யெண்களே இல்லை என்பதால் {{math|''i''}} ஒரு [[கற்பனை எண்]]ணாகக் கொள்ளப்படுகிறது. கற்பனை அலகைக் குறிப்பதற்கு, சில இடங்களில் {{math|''i''}} என்ற குறியீட்டுக்குப் பதிலாக {{math|''j''}} அல்லது கிரேக்க எழுத்தான {{math|ι}} பயன்படுத்தப்படுகின்றது.
 
 ==வரையறை==
 {| class=&quot;wikitable&quot; style=&quot;float: right; margin-left: 1em; text-align: center;&quot;
 ! {{math|''i''}} இன் அடுக்குகள்&lt;br /&gt; மீண்டும் சுழலும் மதிப்புகள்:
 |-
 |{{math|...}} (நீலப் பகுதியையடுத்து, மதிப்புகள் மீள்கின்றன)
 |-
 |{{math|1=''i''&lt;sup&gt;−3&lt;/sup&gt; = ''i''}}
 |-
 |{{math|1=''i''&lt;sup&gt;−2&lt;/sup&gt; = −1}}
 |-
 |{{math|1=''i''&lt;sup&gt;−1&lt;/sup&gt; = −''i''}}
 |-
 |style=&quot;background:#cedff2;&quot; | {{math|1=''i''&lt;sup&gt;0&lt;/sup&gt; = 1}}
 |-
 |style=&quot;background:#cedff2;&quot; | {{math|1=''i''&lt;sup&gt;1&lt;/sup&gt; = ''i''}}
 |-
 |style=&quot;background:#cedff2;&quot; | {{math|1=''i''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = −1}}
 |-
 |style=&quot;background:#cedff2;&quot; | {{math|1=''i''&lt;sup&gt;3&lt;/sup&gt; = −''i''}}
 |-
 |{{math|1=''i''&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; = 1}}
 |-
 |{{math|1=''i''&lt;sup&gt;5&lt;/sup&gt; = ''i''}}
 |-
 |{{math|1=''i''&lt;sup&gt;6&lt;/sup&gt; = −1}}
 |-
 |{{math|...}} (நீலப் பகுதியை யடுத்து, மதிப்புகள் மீள்கின்றன)
 |}
 
 {{math|''i''}} இன் வரையறையானது, {{math|''i''}} இன் வர்க்கம் -1 என்ற பண்பை மட்டுமே அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளது:
 
 :&lt;math&gt;i^2 = -1 \ . &lt;/math&gt;
 
 ஆனால் {{math|''i''}} இன் இந்த வரையறையின் விளைவாக, {{math|''i''}}, {{math|-''i''}} என -1 க்கு இரு வர்க்கமூலங்கள் கிடைக்கின்றன.
 
 மெய்யெண்களில் மேற்கொள்ளப்படும் அடிப்படைக் கணிதச் செயல்களை சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். எந்தவொரு கணிதச் செயலையும் சிக்கலெண்களில் மேற்கொள்ளும்போது, {{math|''i''}}ஐ மதிப்புத் தெரியாத கணியமாகப் பாவித்து செயல்களைச் செய்த பின்னர், விளைவில் உள்ள {{math|''i''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}} இன் மதிப்பை −1 எனப் பதிவிட வேண்டும். மேலும் {{math|''i''}} இன் அடுக்கு இரண்டைவிட அதிகமாக இருப்பின் அவற்றை {{math|−''i''}}, 1, {{mvar|i}}, −1 ஆகியவற்றைக் கொண்டு பதிவிடலாம்:
 
 :&lt;math&gt;i^3 = i^2 i = (-1) i = -i \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1 \,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;i^5 = i^4 i = (1) i = i \,&lt;/math&gt;
 
 இதேபோல [[சுழி]]யற்ற மெய்யெண்களுக்குப் போலவே {{math|''i''}} க்கும் கீழுள்ளவை உண்மையாகும்:
 :&lt;math&gt;i^0 = i^{1-1} = i^1i^{-1} = i^1\frac{1}{i} = i\frac{1}{i} = \frac{i}{i} = 1 \,&lt;/math&gt;
 
 சிக்கலெண் {{math|''i''}} இன் [[கார்ட்டீசிய ஆள்கூற்று முறைமை|கார்ட்டீசிய வடிவம்]]:
 :&lt;math&gt; i = 0+i &lt;/math&gt; ({{math|''i''}} இன் மெய்ப்பகுதி சுழியாகவும் கற்பனைப் பகுதி ஒரு அலகாகவும் உள்ளது.)
 
 சிக்கலெண் {{math|''i''}} இன் [[வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமை|போலார் வடிவம்]]:
 : {{math|1=''i'' = 1&amp;nbsp;[[ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு|cis]]&amp;nbsp;&lt;sup&gt;π&lt;/sup&gt;/&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;}}, ({{math|''i''}} இன் மட்டு மதிப்பு 1 ஆகவும் கோணவீச்சு &lt;sup&gt;π&lt;/sup&gt;/&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; ஆகவும் உள்ளது.)
 
 சிக்கலெண் தளத்தில் ஆதியிலிருந்து ஓர் அலகு தொலைவில் கற்பனை அச்சின் மீது அமையும் புள்ளியாக {{math|''i''}} இருக்கும்.
 
 == பண்புகள் ==
 === வர்க்க மூலங்கள் ===
 ===={{math|''i''}} இன் வர்க்கமூலம்====
 [[Image:Imaginary2Root.svg|thumb|right|200px|சிக்கலெண் தளத்தில் {{math|''i''}} இன் இரு வர்க்கமூலங்கள்]]
 {{math|''i''}}இன் வர்க்க மூலத்தை கீழுள்ள இரு சிக்கலெண்களில் ஏதாவது ஒன்றாகக் கொள்ளலாம்&lt;ref group=nb&gt;கீழுள்ள சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் அந்த எண்ணைக் காணமுடியும்:
 :{{math|(''x'' + ''iy'')&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; {{=}} ''i''}}
 :{{math|''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 2''ixy'' − ''y''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; {{=}} ''i''}}
 :{{math|''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − ''y''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + 2''ixy'' {{=}} 0 + ''i''}}
 மெய், கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த:
 :{{math|''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − ''y''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; {{=}} 0}}
 :{{math|2''xy'' {{=}} 1}}
 {{math|1=''y'' = 1/2''x''}} என முதல் சமன்பாட்டில் பதிலிட:
 :{{math|''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − 1/4''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; {{=}} 0}}
 :{{math|''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; {{=}} 1/4''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}}
 :{{math|4''x''&lt;sup&gt;4&lt;/sup&gt; {{=}} 1}}
 
 {{math|''x''}} மெய்யெண் என்பதால் இச்சமன்பாட்டிற்கு இரு பெய்யெண் தீர்வுகள் உள்ளன: &lt;math&gt;x= \frac{1}{\sqrt2}&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;x= - \frac{1}{\sqrt2}&lt;/math&gt;.
 
 இவை இரண்டையும் {{math|2''xy'' {{=}} 1}} சமன்பாட்டில் பதிலிட,  {{math|''y''}} க்கும் அதே மதிப்புகள் கிடைக்கின்றன.
 
 எனவே {{math|''i''}} இன் வர்க்கமூலங்கள்: 
 :&lt;math&gt; \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2},&lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt; \frac{-1}{\sqrt2} + \frac{-i}{\sqrt2}&lt;/math&gt;.
 ([http://www.math.utoronto.ca/mathnet/questionCorner/rootofi.html University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i?] URL retrieved March 26, 2007.)&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt; \sqrt{i} = \pm \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \right) = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i). &lt;/math&gt;
 வலதுபுறத்தை வர்க்கப்படுத்த:
 :&lt;math&gt; 
 \begin{align}
 \left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i) \right)^2 \ &amp; = \left( \pm \frac{\sqrt{2}}2 \right)^2 (1 + i)^2 \ \\
   &amp; = \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \\
   &amp; = \frac{1}{2} (1 + 2i - 1) \ \\
   &amp; = i. \ \\
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 இதே முடிவை [[ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு|ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப்]] பயன்படுத்தியும் காணலாம்:
 
 :&lt;math&gt;e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,&lt;/math&gt;
 
 {{math|''x'' {{=}} &amp;pi;/2}} எனப் பதிலிட,
 :&lt;math&gt;e^{i(\pi/2)} = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = 0 + i1 = i\,\! .&lt;/math&gt;
 இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண,
 :&lt;math&gt; \sqrt{i} = \pm e^{i(\pi/4)} \,\! ,&lt;/math&gt;
 ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டின்படி,
 :&lt;math&gt; 
 \begin{align}
  \sqrt{i} &amp; = \pm (\cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4)) \\
   &amp; = \frac{1}{\pm \sqrt{2}} + \frac{i}{\pm \sqrt{2}}\\
   &amp; = \frac{1+i}{\pm \sqrt{2}}\\
   &amp; = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i).\\
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 ===={{math|−''i''}} இன் வர்க்கமூலம்====
 {{math|''i''}} இன் வர்க்கமூலத்தை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:
 :&lt;math&gt;e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,&lt;/math&gt;
 
 {{math|''x'' {{=}} 3&amp;pi;/2}} எனப் பதிலிட:
 :&lt;math&gt;e^{i(3\pi/2)} = \cos(3\pi/2) + i\sin(3\pi/2) = 0 - i1 = -i\,\! .&lt;/math&gt;
 இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண:
 :&lt;math&gt; \sqrt{-i} = \pm e^{i(3\pi/4)} \,\! ,&lt;/math&gt;
 ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,
 :&lt;math&gt; 
 \begin{align}
  \sqrt{-i} &amp; = \pm (\cos(3\pi/4) + i\sin(3\pi/4)) \\
   &amp; = -\frac{1}{\pm \sqrt{2}} + i\frac{1}{\pm \sqrt{2}}\\
   &amp; = \frac{-1 + i}{\pm \sqrt{2}}\\
   &amp; = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (i - 1).\\
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 {{math|''i''}} இன் வர்க்கமூலத்தை {{math|''i''}} ஆல் பெருக்க, {{math|-''i''}} இன் வர்க்கமூலம் கிடைக்கும்:
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
  \sqrt{-i} = (i)\cdot (\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1 + i)) \\
  &amp; = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1i + i^{2})\\
  &amp; = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}(i - 1)\\
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 ===பெருக்கலும் வகுத்தலும் ===
 ;பெருக்கல்
 எந்தவொரு சிக்கலெண்ணையும் {{math|''i''}} ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது:
 :&lt;math&gt;i\,(a + bi) = ai + bi^2 = -b + ai.&lt;/math&gt;
 (இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து இடஞ்சுழியாக (எதிர்-கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)
 
 ;வகுத்தல்
 {{math|''i''}} ஆல் வகுப்பது, {{math|''i''}} இன் தலைகீழியால் பெருக்குவதற்குச் சமானமாகும்:
 :&lt;math&gt;\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i.&lt;/math&gt; 
 இம் முடிவை a + bi சிக்கலெண்ணை {{math|''i''}} ஆல் வகுப்பதில் பயன்படுத்த:
 :&lt;math&gt;\frac{a + bi}{i} = -i\,(a + bi) = -ai - bi^2 = b - ai. &lt;/math&gt;
 (இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து வலஞ்சுழியாக (கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)
 
 === அடுக்குகள் ===
 {{math|''i''}} இன் அடுக்குகள் கீழுள்ள போக்கில் சுழலும் தன்மை கொண்டுள்ளன ({{math|''n''}} ஏதேனுமொரு [[முழு எண்]]):
 
 :&lt;math&gt;i^{4n} = 1\,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;i^{4n+1} = i\,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;i^{4n+2} = -1\,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;i^{4n+3} = -i.\,&lt;/math&gt;
 
 எனவே,
 :&lt;math&gt;i^n = i^{n \bmod 4}\,&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;i^n = \cos(n\pi/2)+i\sin(n\pi/2)&lt;/math&gt;
 
 ==== {{mvar|i}} இன் அடுக்கு {{mvar|i}} ====
 ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,
 :&lt;math&gt;i^i = \left( e^{i (\pi/2 + 2k \pi)} \right)^i = e^{i^2 (\pi/2 + 2k \pi)} = e^{- (\pi/2 + 2k \pi)}&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;k \in \mathbb{Z}&lt;/math&gt;, முழுஎண்களின் கணம்)
 
 இதன் முதன்மை மதிப்பு ( {{math|1=''k'' = 0}}): :{{math|''e''&lt;sup&gt;−π/2&lt;/sup&gt;}} அல்லது 0.207879576... (தோராயமாக)&lt;ref&gt;&quot;The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers&quot; by David Wells, Page 26.&lt;/ref&gt;
 
 === தொடர்பெருக்கம் ===
 கற்பனை அலகு{{math|''i''}} இன் [[தொடர்பெருக்கம்]]:
 :&lt;math&gt;i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.&lt;/math&gt;
 
 மேலும்,
 :&lt;math&gt;|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh \pi} &lt;/math&gt;&lt;ref&gt;&quot;[http://www.wolframalpha.com/input/?i=abs(i!) abs(i!)]&quot;, ''WolframAlpha''.&lt;/ref&gt;
 
 == மாற்றுக் குறியீடுகள் ==
 *மின் பொறியியலில் மின்னோட்டத்தின் குறியீடு {{math|''i''(''t'')}} அல்லது {{math|''i''}} எனக் குறிக்கப்படுவதால், குழப்பத்தைத் தவிர்க்கும் விதமாக கற்பனை அலகு {{math|''j''}} எனக் குறிக்கப்படுகிறது.  
 *[[பைத்தான்]] நிரலாக்க மொழியிலும் ஒரு சிக்கலெண்ணின் கற்பனைப் பகுதியைக் குறிப்பதற்கு {{math|''j''}} பயன்படுத்தப்படுகிறது. 
 *[[மேட்லேப்]] {{math|''i''}}, {{math|''j''}} இரண்டுமே கற்பனை அலகைக் குறிக்கப் பயன்படுத்துகிறது&lt;ref&gt;{{cite web | title= MATLAB Product Documentation| url=http://www.mathworks.com/help/techdoc/ref/i.html}}&lt;/ref&gt;
 *சுட்டெண்கள், கீழெழுத்துக்களில் இருந்து வேறுபடுத்திக் காட்டும் நோக்கில், சில புத்தகங்களில் கற்பனை அலகைக் குறிக்கக் கிரேக்க எழுத்தான  (iota) ({{math|ι}}) பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{reflist|group=nb}}
 
 == மேற்கோள்கள்==
 {{reflist|2}}
 
 == மேலும் படிக்க ==
 *{{cite book |first=Paul J. |last=Nahin |title=An Imaginary Tale: The Story of √−1 |url=https://archive.org/details/imaginarytales00nahi |location=Chichester |publisher=Princeton University Press |year=1998 |isbn=0-691-02795-1 }}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *[http://mathdl.maa.org/mathDL/46/?pa=content&amp;sa=viewDocument&amp;nodeId=2245&amp;bodyId=2439 Euler's work on Imaginary Roots of Polynomials] at [http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060212072618/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ |date=2006-02-12 }}
 
 [[பகுப்பு:கணித மாறிலிகள்]]
 [[பகுப்பு:சிக்கலெண்கள்]]
 [[பகுப்பு:இருபடி விகிதமுறா எண்கள்]]