கணித மாறிலி e-இன் உருவகிப்புகள்
'''[[கணித மாறிலி]]''' [[E (கணித மாறிலி)|{{math|''e''}}]] (''mathematical constant e''), ஒரு [[மெய்யெண்]]ணாகப் பலவிதங்களில் உருவகிக்கப்படலாம். {{math|''e''}} ஒரு [[விகிதமுறா எண்]] என்பதால் அதனை ஒரு [[பின்னம்|பின்னமாக]] எழுத முடியாது. ஆனால் அதனை ஒரு [[தொடரும் பின்னம்|தொடரும் பின்னமாக]] எழுத முடியும். [[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தின்]] மூலம் இக்கணித மாறிலியை ஒரு [[தொடர் (கணிதம்)|முடிவுறாத் தொடராக]], முடிவுறாப் பெருக்கமாக அல்லது தொடர்முறையின் எல்லையாக எழுதலாம்.
 
 ==தொடரும் பின்னமாக==
 கணிதவியலாளர் [[லியோனார்டு ஆய்லர்|ஆய்லர்]] {{math|''e''}} ஐ ஒரு முடிவுறாத் தொடரும் பின்னமாக எழுதலாம் என்பதை நிறுவினார்.]&lt;ref&gt;{{cite web|url=http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2028%20e%20is%20irrational.pdf|title=How Euler Did It: Who proved ''e'' is Irrational?|last=Sandifer|first=Ed|date=Feb 2006|publisher=MAA Online|accessdate=2010-06-18}}&lt;/ref&gt; {{OEIS|id=A003417}}:
 :&lt;math&gt;e = [2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots, \textbf{2n}, 1, 1, \ldots]. \,&lt;/math&gt;
 
 இதில் ஒரேயொரு பின்ன எண்ணை எடுத்துக்கொள்வதால் இதன் ஒருங்கல் மும்மடங்காகும்:
 :&lt;math&gt; e = [ 1 ; \textbf{0.5} , 12 , 5 , 28 , 9 , 44 , 13 , 60 , 17 , \ldots , \textbf{4(4n-1)} , \textbf{4n+1} , \ldots]. \,&lt;/math&gt;
 
 {{math|''e''}} இன் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட முடிவுறா தொடரும் பின்ன விரிவுகள் சில:
 
 :&lt;math&gt;
 e= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+\ddots}}}}} = 2+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\cfrac{6}{6+\ddots\,}}}}}
 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;e = 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{5+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\ddots\,}}}}} = 1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\ddots\,}}}}}&lt;/math&gt;
 
 [1; 0.5, 12, 5, 28, 9, ...] க்குச் சமானமான கடைசி விரிவு, [[படிக்குறிச் சார்பு|படிக்குறிச் சார்பின்]] பொது வாய்பாடாகும்:
 :&lt;math&gt;e^{x/y} = 1+\cfrac{2x} {2y-x+\cfrac{x^2} {6y+\cfrac{x^2} {10y+\cfrac{x^2} {14y+\cfrac{x^2} {18y+\ddots}}}}}&lt;/math&gt;
 
 ==முடிவுறாத் தொடராக==
 {{math|''e''}} -கணித மாறிலியை முடிவுறாத் தொடரின் கூடுதலாக எழுதலாம்:
 
 :&lt;math&gt;e^x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} &lt;/math&gt;, ''x'' ஒரு மெய்யெண்.
 
 ''x''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;1, &amp;minus;1 எனில்:
 
 :&lt;math&gt;e = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}&lt;/math&gt;,&lt;ref&gt;{{cite web|url=http://oakroadsystems.com/math/loglaws.htm|title=It’s the Law Too — the Laws of Logarithms|last=Brown|first=Stan|date=2006-08-27|publisher=Oak Road Systems|accessdate=2008-08-14|archive-date=2008-08-13|archive-url=https://web.archive.org/web/20080813175402/http://oakroadsystems.com/math/loglaws.htm|url-status=dead}}&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;e^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!}&lt;/math&gt;
 
 பிற தொடர்கள்:
 
 :&lt;math&gt;e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}&lt;/math&gt; &lt;ref&gt;Formulas 2–7: H. J. Brothers,  [http://www.brotherstechnology.com/docs/Improving_Convergence_(CMJ-2004-01).pdf Improving the convergence of Newton's series approximation for ''e''],  ''The College Mathematics Journal'', Vol. 35, No. 1, (2004),  pp. 34–39.&lt;/ref&gt;
 
 :&lt;math&gt;e =  \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;e =  2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;e =   \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!} \right ]^2&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;e =  \left [ -\frac{12}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3} &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^n}{B_n(k!)}&lt;/math&gt; &lt;math&gt;B_n&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;n&lt;/math&gt;வது [[பெல் எண்]].
 
 சில எடுத்துக்காட்டுகள்: (''n''=1,2,3)
 
 :&lt;math&gt;e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^5}{52(k!)}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^6}{203(k!)}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^7}{877(k!)}&lt;/math&gt;
 
 ==முடிவுறாப் பெருக்கமாக==
 கணித மாறிலி {{math|''e''}}, பிப்பிங்கரின் பெருக்கம் உட்பட்ட பல முடிவுறாப் பெருக்கங்களாக எழுதப்படுகிறது:
 
 *பிப்பிங்கரின் பெருக்கம் ( Pippenger's product)
 :&lt;math&gt; e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots &lt;/math&gt;
 
 *கில்லெராவின் பெருக்கம் (Guillera's product)&lt;ref&gt;J. Sondow, [http://arxiv.org/abs/math/0401406 A faster product for pi and a new integral for ln pi/2,] ''Amer. Math. Monthly'' 112 (2005) 729–734.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;J. Guillera and J. Sondow, [http://arxiv.org/abs/math.NT/0506319 Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent,]''Ramanujan Journal'' 16 (2008), 247–270.&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt; e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} 
 \left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4}  \cdots ,&lt;/math&gt; இதன் ''n'' வது காரணியானது கீழுள்ள பெருக்கத்தின் ''n'' ஆம் படிமூலமாகும்.
 :&lt;math&gt;\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},&lt;/math&gt;
 
 *மற்றுமொரு முடிவுறாப் பெருக்கம்
 :&lt;math&gt; e = \frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots }.&lt;/math&gt;
 
 ==தொடர்வரிசையின் எல்லையாக==
 பல [[தொடர்வரிசை]]களின் எல்லையாக {{math|''e''}} அமையும்:
 
 [[இசுடெர்லிங் வாய்பாடு|இசுடெர்லிங் வாய்பாட்டின்படி]]:
 :&lt;math&gt; e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n} &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} &lt;/math&gt;
 
 சமச்சீர் எல்லை&lt;ref&gt;H. J. Brothers and J. A. Knox,  [http://www.brotherstechnology.com/docs/Closed-Form_Approximations_(MI-1998-12).pdf New closed-form approximations to the Logarithmic Constant ''e'',]''The Mathematical Intelligencer'', Vol. 20, No. 4, (1998), pp. 25–29.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite web|url=http://ans.hsh.no/home/skk/Publications/Lobatto/PRIMUS_KHATTRI.pdf|title=From Lobatto Quadrature to the Euler constant e|last=Khattri|first=Sanjay}}&lt;/ref&gt;:
 :&lt;math&gt;e=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ]&lt;/math&gt; {{math|''e''}} இன் அடிப்படை எல்லை வரையறையைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இதனை அடையலாம்.
 
 அடுத்த இரு வரையறைகளும் [[பகா எண் தேற்றம்|பகா எண் தேற்றத்தின்]] நேரடி கிளைமுடிவுகளாக அமையும்&lt;ref&gt;S. M. Ruiz 1997&lt;/ref&gt;:
 :&lt;math&gt;e= \lim_{n \to \infty}(p_n \#)^{1/p_n}. &lt;/math&gt; இதில் &lt;math&gt; p_n ,&lt;/math&gt; ''n'' வது [[பகா எண்]]; &lt;math&gt; p_n \# &lt;/math&gt;, ''n'' இன் [[பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம்|பகாஎண் தொடர்பெருக்கம்]].
 
 :&lt;math&gt;e= \lim_{n \to \infty}n^{\pi(n)/n} &lt;/math&gt; இதில் &lt;math&gt; \pi(n) &lt;/math&gt;, [[பகாத்தனி-எண்ணும் சார்பு]].
 
 மேலும்:
 :&lt;math&gt;e^x= \lim_{n \to \infty}\left (1+ \frac{x}{n} \right )^n.&lt;/math&gt;
 
 இவ்வெல்லையின் சிறப்புவகையாக &lt;math&gt;x = 1&lt;/math&gt; எனும்போது:
 :&lt;math&gt;e= \lim_{n \to \infty}\left (1+ \frac{1}{n} \right )^n.&lt;/math&gt;
 
 == முக்கோணவியலில் ==
 முக்கோணவியலில் இரு [[அதிபரவளையச் சார்பு]]களின் கூடுதலாக எழுதலாம்:
 : &lt;math&gt;e^x = \sinh(x) + \cosh(x)\,&lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}