பாதுகாப்பான பகாத்தனி
'''பாதுகாப்பான பகாத்தனி''' (safe prime) என்பது  2''p'' + 1 என்னும் வடிவில் எழுதத்தக்க பகா எண். இதில் உள்ள ''p''  என்பதும் ஒரு பகாத்தனியாக இருத்தல் வேண்டும். இவ் வடிவில் இருந்தால், இதில் உள்ள  ''p''   என்னும் பகா எண், ஒரு [[சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி]] ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக 11 என்பது ஒரு பகா எண் என்பதால், 2 &amp;times;11 + 1 = 23 என்பதில் 23 என்பதும் பகா எண் ஆகையால் அது ஒரு பாதுகாப்பான பகாத்தனி என அழைக்கப்படும். 11 என்பதும் பகாத்தனி என்பதால் அது ஒரு  [[சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி]] ஆகும். ஆனால்  ''p''  என்பது பகாத்தனியாக இருந்த பொழுதும்,  2''p'' + 1 வடிவில் உள்ள எல்லா எண்களும் பகாத்தனியாக இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக 7 என்பது ஒரு பகாத்தனி ஆனால் 2 &amp;times;7 + 1 = 15 என்பதில் 15 என்னும் எண் பகாத்தனி அல்ல. அது ஒரு [[கலப்பு எண்]] (வகுபடும் எண்) (3x5 = 15).  முதல் சில பாதுகாப்பான பகாத்தனிகள்:
 
 [[5 (number)|5]], [[7 (number)|7]], [[11 (number)|11]], [[23 (number)|23]], [[47 (number)|47]], [[59 (number)|59]], [[83 (number)|83]], [[107 (number)|107]], [[167 (number)|167]], [[179 (number)|179]], [[227 (number)|227]], [[263 (number)|263]], 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907. {{OEIS|id=A005385}}
 
 7 எண்ணைத் தவிர்த்து, ''q''  என்னும் மற்ற எல்லா மாதுகாப்பான பகாத்தனிகளையும் 6''k''−1 என்னும் வடிவில் எழுதலாம் , மாற்றாக  ''q'' ≡ 5 ([[modulo|mod]] 6) — அதே போல ''p'' &gt; 3 . அதே போல 5 ஐத் தவிர்த்து, ''q'' என்னும் உறுதிப் பகாத்தனியை 4''k''−1 என்னும் வடிவில் எழுதலாம், அல்லது  மாற்றீடாக, ''q'' ≡ 3 (mod 4) — உண்மை ஏனெனில் (''q''−1) / 2 என்பது ஒரு ஒற்றைப் படை [[இயல் எண்]]ணாக இருத்தல் வேண்டும். இவ்விரண்டு வடிவங்களையும் சேர்த்துப் பார்த்தால் அவற்றின் பொது மடங்குகளுக்குள் சிறிய எண் (6,4)ஐக் கொண்டு ''q'' &gt; 7  என்னும் பாதுகாப்பான பகாத்தனிகள் 12''k''−1 என்னும் வடிவில் எழுதத்தக்கதாகவோ,  ''q'' ≡ 11 (mod 12 ) ஆகவோ இருக்கும். .
 
 இந்த பகாத்தனிகள் பாதுகாப்பான பகாத்தனிகள் என்று அழைப்பதற்கு காரணம் இவை [[உறுதிப் பகாத்தனி]]கள் எண்களுடன் நெருங்கிய உறவுடையன.  ''q''  என்பது  [[உறுதிப் பகாத்தனி]]யாக இருந்தால் ''q''+1 மற்றும்  ''q''−1 ஆகிய இரண்டும் பெரிய (நீளமான) பகா எண் காரணிகள் கொண்டிருக்கும். இக்கருத்து மறைமுகமாகவோ, கமுக்கமாகவோ செய்திகளை பரிமாறிக் கொள்ளும் கலையாகிய மறைவரைவு (கிரிப்டோகிராஃவி, Cryptography) தொழில்நுட்பத்தில் மிகவும் முக்கியமான ஒன்று. ''q''  என்னும் எண்ணை,  எண்காரணிகளாக ( integer factorization) பிரிப்பதில் செலவாகும் கணினி நேரம், ''q''−1 என்னும் எண்ணின் பகா எண் காரணியின் அளவை (நீளத்தை) ஓரளவுக்குப் பொறுத்தது. [[பொல்லார்டு ரோ படித்தீர்முறை]] T(Pollard's rho algorithm)  +1 மற்றும் −1 முறைகளில் இது உண்மை. திறன் மிக்க பெரும்பாலான எண்காரணிப்பாட்டில் ''q''−1 இன் பகா எண் காரணிகளின் அளவு முக்கியம் இல்லை என்றாலும்,   இது பொதுவாக மறைவரை முறைகளில் முக்கியமாகக் கருதப்படுகின்றது. எடுத்துக்காட்டாக ஆனசிX9.31 (ANSI X9.31) நெறி முறையில் RSA -மாடுலியில் (moduli) [[உறுதிப் பகாத்தனிகள்]] பயன்படுத்த வேண்டும் என்னும் வலியுறுத்தல் உள்ளது. 
 
 [[ஜனவரி]] [[2007]] வரையிலும் கண்டுபிடித்த மிகப்பெரிய பாதுகாப்பான பகா எண் 48047305725&amp;times;2&lt;sup&gt;172404&lt;/sup&gt;−1.இந்த பாதுகாப்பான பகாத்தனியையும், அதற்கான மிகப்பெரிய [[சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி]]யையும் டேவிட் அண்டர்பக்கெ என்பவர் [[ஜனவரி 25]], [[2007]] அன்று டுவின்ஜென் மற்றும் எல் எல் ஆர்  (TwinGen and LLR) என்னும் நிரலிகளைப் பயன்படுத்திக் கண்டுபிடித்தார். TwinGen and LLR. [http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=79261] 
 
 
 ==உசாத்துணை==
 * M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds., ''Handbook of Mathematical Functions'', National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, Tenth Printing, (1972): 870
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 *[http://planetmath.org/encyclopedia/SafePrime.html Safe prime] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130213180732/http://planetmath.org/encyclopedia/SafePrime.html |date=2013-02-13 }} at planetmath.org
 
 [[Category:பகாத்தனி வகைகள்]]