பகுதி வகைக்கெழு
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] [[மாறி|பல்மாறிகளில்]] அமைந்த ஒரு [[சார்பு|சார்பின்]] '''பகுதி வகைக்கெழு''' அல்லது '''பகுதி வகையிடல்''' (''partial derivative'', ''partial differenciation'') என்பது அச்சார்பை அதனுடைய ஏதாவது ஒரு மாறியைப் பொறுத்து மட்டும் [[வகையிடல்]] ஆகும். குறிப்பிட்ட ஒரு மாறியைப் பொறுத்து வகையிடும்போது அச்சார்பின் பிற மாறிகள் [[மாறிலி (கணிதம்)|மாறிலிகளாகக்]] கொள்ளப்படுகின்றன. (முழுவகையிடலில் சார்பின் எல்லா மாறிகளுமே மாறும்தன்மையுடன் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது). கணிதப் பிரிவுகளான திசையன் நுண்கணிதம் மற்றும் வகையீட்டு வடிவவியலில் பகுதி வகையிடல் பயன்படுகிறது.
 
 &lt;math&gt;f(x, y, \dots)&lt;/math&gt; என்ற இருமாறிச் சார்பின்  &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ஐப் பொறுத்த பகுதி வகைக்கெழுவின் குறியீடுகள்:
 
 : &lt;math&gt;f^\prime_x,\ f_x,\ \partial_x f,\ D_xf,\ D_1f,\  \frac{\partial}{\partial x}f, \text{ or }  \frac{\partial f}{\partial x}.&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;z=f(x, y, \dots),&lt;/math&gt; எனில் சார்பு &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; இன் &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ஐப் பொறுத்த பகுதி வகைக்கெழுவின் குறியீடு:
 ::&lt;math&gt;{\partial z}\over{\partial x}.&lt;/math&gt;
 
 ஒரு சார்பின் பகுதி வகைக்கெழுவும் அச்சார்பின் தருமதிப்புகளையே (arguments) கொண்டிருக்கும் என்பதால் கீழ்வரும் குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது:
 
 :&lt;math&gt;f_x(x, y, ...), \ \frac{{\partial f}}{{\partial x}} (x, y, ...).&lt;/math&gt;
 
 பகுதி வகையிடலுக்கான குறியீடு '''∂''' ஆகும். கணிதத்தில் இக்குறியீடானது,  முதன்முதலாக 1770 இல் கணிதவியலாளர் மார்க்சு டி கான்டோர்செட்டால், பகுதி வகைக்கெழுவைக் குறிப்பதற்குப் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. தற்கால பகுதிவகைக்கெழுவின் குறியீடு 1786 ஆம் ஆண்டில் கணிதவியலாளர் &quot;அட்ரியன்-மாரி லெஜென்டிரி&quot;யால் உருவாக்கப்பட்டது; ஆனால் அவர் அதனைத் தொடர்ந்து பயன்படுத்தாமல் விட்டுவிட்டார். பின்னர் இக்குறியீடு 1841 இல் கணிதவியலாளர் &quot;கார்ல் குஸ்டவ் ஜேக்கப் ஜேக்கோபி&quot;யால் (Carl Gustav Jacob Jacobi) மீண்டும் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.&lt;ref name=&quot;jeff_earliest&quot;&gt;{{cite web|url=http://jeff560.tripod.com/calculus.html|title=Earliest Uses of Symbols of Calculus|first=Jeff|last=Miller|date=2009-06-14|work=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols|accessdate=2009-02-20}}&lt;/ref&gt;
 
 == அறிமுகம் ==
 ''f'' என்பது ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட மாறிகளில் அமைந்த சார்பு. எடுத்துக்காட்டாக,
 
 :&lt;math&gt;z = f(x,y) = x^2 + xy + y^2.&lt;/math&gt;
 
 {{multiple image
  | align     = right
  | direction = vertical
  | width     = 250
 
  | image1    = Partial func eg.svg
  | caption1  = {{nowrap|''z'' {{=}} ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + ''xy'' + ''y''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;}} இன் வரைபடம். {{nowrap|(1, 1)}} புள்ளியில் இச்சார்பின் பகுதி வகைக்கெழு (இதில் ''y'' மாறியாகக் கொள்ளப்படுகிறது) சார்பின் வளைவரைக்கு, ''xz''-தளத்து இணையாகவுள்ள [[தொடுகோடு|தொடுகோட்டின்]] [[சாய்வு]]க்குச் சமமாக உள்ளது.
 
  | image2    = X2+X+1.svg
  | caption2  = ''xz''-தளத்தில், {{nowrap|''y'' {{=}} 1}} இல் சார்பின் வரைபடத்தின் ஒரு பகுதி. இரு அச்சுகளும் இப்படத்தில் வெவ்வேறு அளவுதிட்டத்தில் வரைப்பட்டுள்ளன. தொடுகோட்டின் சாய்வு 3.
 }}
 
 இச்[[சார்பின் வரைபடம் [[யூக்ளிடிய வெளி]]யிலமைந்த ஒரு மேற்பரப்பைக் காட்டுகிறது. இம்மேற்பரப்பின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் முடிவிலி எண்ணிக்கையிலான [[தொடுகோடு]]கள் உள்ளன. இச்சார்பின் பகுதி வகையிடலானது, இந்தத் தொடுகோடுகளின் சாய்வுகளைத் தருகிறது. இந்தத் தொடுகோடுகளில் முக்கியமானவையாகக் கொள்ளப்படுபவை, ''xz''-தளத்திற்கும் ''yz''-தளத்திற்கும் இணையான தொடுகோடுகளாகும் (இதனால்  முறையே ''y'' அல்லது ''x'' மாறிகள், மாறிலிகளாகக் கொள்ளப்படுகின்றன).
 
 &lt;math&gt;P(1, 1)&lt;/math&gt; என்ற புள்ளியில் &lt;math&gt;xz&lt;/math&gt;- தளத்துக்கு இணையான தொடுகோட்டின் சாய்வு கண்டுபிடிப்பதற்கு சார்பின் கோவையானது &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; ஐ மாறிலியாகக் கொண்டு பகுதி வகையிடப்படுகிறது. சார்பின் வரைபடமும் &lt;math&gt;xz&lt;/math&gt;- தளமும் வலப்புறப் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. &lt;math&gt;y=1&lt;/math&gt; தளத்தில் இச்சார்பு எவ்வாறு அமையும் என்பதைக் கீழே காணலாம்:
 
 &lt;math&gt;y&lt;/math&gt; ஐ மாறிலியாகக் கொண்டு சார்பை [[வகையிடல்|வகையிட]], &lt;math&gt;(x, y)&lt;/math&gt; என்ற புள்ளியில் ''&lt;math&gt;f&lt;/math&gt;'' சார்பின் சாய்வு:
 : &lt;math&gt;\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y.&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;(1, 1)&lt;/math&gt; என்ற புள்ளியில், சாய்வு = 3. 
 : &lt;math&gt;(1, 1)&lt;/math&gt; என்ற புள்ளியில், &lt;math&gt;\frac{\partial z}{\partial x} = 3&lt;/math&gt;
 
 ==  எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 
 === வடிவவியல் ===
 [[Image:Cone 3d.png|thumb|ஒரு கூம்பின் கனவளவு அதன் உயரம் மற்றும் ஆரத்தைச் சார்ந்திருக்கும்]]
 
 ஒரு [[கூம்பு|கூம்பின்]] [[கன அளவு]] ''V'' அக்கூம்பின் [[உயரம்]] ''h'' மற்றும் அதன் [[ஆரம், வடிவியல்|ஆரம்]] ''r'' ஐப் பொறுத்தது. கூம்பின் கனவளவின் வாய்பாடு:
 :&lt;math&gt;V(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3}.&lt;/math&gt;
 
 ''r'' ஐப் பொறுத்து ''V'' இன் பகுதி வகைக்கெழு:
 :&lt;math&gt;\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},&lt;/math&gt;
 
 இப்பகுதி வகைக்கெழுவானது உயரம் மாறாமல் அதன் ஆரம் மட்டும் மாறும்போது கூம்பின் கன அளவில் ஏற்படக்கூடிய மாற்ற விகிதத்தைக் குறிக்கிறது.
 
 இதேபோல ''h'' ஐப் பொறுத்து ''V'' இன் பகுதி வகைக்கெழு:
 :&lt;math&gt;h&lt;/math&gt; equals &lt;math&gt;\frac{\pi r^2}{3},&lt;/math&gt;
 இப்பகுதி வகைக்கெழுவானது ஆரத்தில் மாற்றமில்லாமல் அதன் உயரம் மட்டும் மாறும்போது கூம்பின் கன அளவில் ஏற்படக்கூடிய மாற்ற விகிதத்தைக் குறிக்கிறது.
 
 மாறாக, முறையே ''r'' மற்றும் ''h'' ஐப் பொறுத்து  ''V'' இன் முழுவகைக்கெழுக்கள்:
 :&lt;math&gt;\frac{dV}{dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{dh}{dr}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{dV}{dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{dr}{dh}&lt;/math&gt;
 
 ==குறியீடு==
 &lt;math&gt;f&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;x&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;y&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;z&lt;/math&gt; ஆகிய மூன்று மாறிகளில் அமைந்த சார்பு.
 
 முதல்-வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்கள்:
 
 :&lt;math&gt;\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f.&lt;/math&gt;
 
 இரண்டாம்-வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்கள்:
 
 :&lt;math&gt;\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f = \partial_x^2 f.&lt;/math&gt;
 
 இரண்டாம்-வரிசை கலப்பு பகுதிவகைக்கெழுக்கள்:
 
 :&lt;math&gt;\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = (f_{x})_{y} = f_{xy} = \partial_{yx} f = \partial_y \partial_x f.&lt;/math&gt;
 
 உயர்-வரிசை பகுதி மற்றும் கலப்பு வகைக்கெழுக்கள்:
 
 :&lt;math&gt;\frac{ \partial^{i+j+k} f}{ \partial x^i\, \partial y^j\, \partial z^k } = f^{(i, j, k)} = \partial_x^i \partial_y^j \partial_z^k f.&lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}