சுருள்வு (கணிதம்)
[[Image:Involution.svg|right|thumb|சார்பு &lt;math&gt;f:X\to X&lt;/math&gt; ஒரு சுருள்வு எனில், அதனை ஒரு உறுப்பின்மீது இருமுறை தொடர்ந்து செயற்படுத்தும்போது அவ்வுறுப்பானது இறுதியில் எந்தவித மாற்றமும் அடையாது.]]
 கணிதத்தில் '''சுருள்வு''' (''involution'') என்பது தனக்குத்தானே [[நேர்மாறுச் சார்பு|நேர்மாறாக]] அமையும் ஒரு [[சார்பு|சார்பாகும்]]. அதாவது சார்பு ''f'' ஆனது சுருள்வுச் சார்பு எனில், ''f'' இன் ஆட்களத்திலமையும் அனைத்து ''x'' மதிப்புகளுக்கும் கீழுள்ள முடிவை அது நிறைவு செய்யும்&lt;ref&gt;{{Citation|last=Russell|first=Bertrand|title=Principles of mathematics|year=1903|publisher=W. W. Norton &amp; Company, Inc|pages=page 426|url=http://books.google.com/books?id=63ooitcP2osC&amp;lpg=PR3&amp;dq=involution%20subject%3A%|edition=2nd|isbn=9781440054167}}&lt;/ref&gt;:
 
 : &lt;math&gt;f(f(x)) = x &lt;/math&gt;
 
 ==பொதுப் பண்புகள்==
 * எந்தவொரு சுருள்வும் ஒரு [[இருவழிக்கோப்பு|இருவழிக் கோப்பாகும்]].
 * சுருள்வுக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாக [[முற்றொருமைச் சார்பு]] உள்ளது.
 ;பிற எடுத்துக்காட்டுகள்
 :எண்கணிதத்தில் &amp;minus;1 ஆல் பெருக்கல், தலைகீழி காணல் 
 :கணக் கோட்பாட்டில் நிரப்பு கணங்கள் காணல் 
 :சிக்கலெண் இணையியம் காணல்;  
 :வட்ட நேர்மாற்றம்
 :அரைத்திருப்பச் சுழற்சி
 
 * ''n'' = 0, 1, 2, … உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு கணத்தின் மீதான சுருள்வுகளின் எண்ணிக்கையைக் கீழுள்ள [[மீள்வரு தொடர்பு|மீள்வரு தொடர்பால்]] காணலாம். இந்த மீளுறவு, கெயின்ரிச் ஆகஸ்ட் ரோத் (Heinrich August Rothe) என்ற ஜெர்மானிய கணிதவியலாளரால் 1800 இல் கண்டறியப்பட்டது:
 
 :''a''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt; = ''a''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; = 1;
 :''a''&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt; = ''a''&lt;sub&gt;''n'' &amp;minus; 1&lt;/sub&gt; + (''n'' &amp;minus; 1)''a''&lt;sub&gt;''n'' &amp;minus; 2&lt;/sub&gt;, for ''n'' &gt; 1.
 
 இந்தத் தொடர்முறையின் சில தொடக்க உறுப்புகள் 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232 {{OEIS|id=A000085}}; இந்த எண்கள் [[தொலைபேசி எண் (கணிதம்)|தொலைபேசி எண்கள்]] என அழைக்கப்படுகின்றன.&lt;ref&gt;{{citation
  | last = Knuth | first = Donald E. | author-link = Donald Knuth
  | location = Reading, Mass.
  | mr = 0445948
  | pages = 48, 65
  | publisher = Addison-Wesley
  | title = The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching
  | year = 1973}}.&lt;/ref&gt;
 
 *''f'' ,  ''g'' என்ற இரு சார்புகளுக்கு &lt;math&gt;g \circ f=f \circ g&lt;/math&gt; என்பது உண்மையாக ’இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’, அவற்றின் [[சார்புகளின் தொகுப்பு|தொகுப்பு]] &lt;math&gt;g \circ f&lt;/math&gt; ஒரு சுருள்வாகும்.&lt;ref&gt;{{citation|title=The Elements of Operator Theory|first=Carlos S.|last=Kubrusly|publisher=Springer Science &amp; Business Media|year=2011|isbn=9780817649982|at=Problem&amp;nbsp;1.11(a), p.&amp;nbsp;27|url=https://books.google.com/books?id=g-UFYTO8SbMC&amp;pg=PA27}}.&lt;/ref&gt;
 *ஒற்றையெண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளின் மீது நடைவெறும் சுருள்வு ஒவ்வொன்றுக்கும், குறைந்தபட்சம் ஒரு [[நிலைத்த புள்ளி]]யாவது இருக்கும். பொதுவாக, ஒரு சுருள்வு செயற்படுத்தப்படும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை, அச்சுருள்வின் நிலைத்த புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை இரண்டும் ஒன்றுபோல ஒற்றையெண்களாக இருக்கும் அல்லது இரட்டை எண்களாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{citation
  | last = Zagier | first = D. | authorlink = Don Zagier
  | doi = 10.2307/2323918
  | issue = 2
  | journal = American Mathematical Monthly
  | mr = 1041893
  | page = 144
  | title = A one-sentence proof that every prime ''p''&amp;nbsp;≡&amp;nbsp;1&amp;nbsp;(mod&amp;nbsp;4) is a sum of two squares
  | volume = 97
  | year = 1990}}.&lt;/ref&gt;
 
 ==கணிதக் களங்களில் சுருள்வு==
 ===முன் வகைநுண்கணிதம் ===
 சுருள்வின் அடிப்படை எடுத்துக்காட்டுகளாக சார்புகள் உள்ளன.
 
 சுருள்வுகளாக அமையும் சார்புகள்:
 :&lt;math&gt; f(x) = -x &lt;/math&gt;  
 :&lt;math&gt; f(x) = \frac {1}{x} &lt;/math&gt; 
 :&lt;math&gt; f(x) = \frac {-1}{x} &lt;/math&gt; (மேலுள்ள இரு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பு) 
 :&lt;math&gt; f(x) = \ln\left(\frac {e^x+1}{e^x-1}\right) : x &gt; 0 &lt;/math&gt; (&lt;math&gt; R^+ &lt;/math&gt; இல் வரையறுக்கப்பட்டது)
 
 ===யூக்ளிடிய வடிவவியல்===
 
 முப்பரிமாண யூக்ளிடிய வெளியில், ஒரு [[தளம் (வடிவவியல்)|தளத்தில்]] நடைபெறும் [[எதிரொளிப்பு (கணிதம்)|எதிரொளிப்பு]] ஒரு சுருள்வாகும். ஒரு புள்ளியை தொடர்ந்து இருமுறை எதிரொளிக்கும்போது இறுதியில் கிடைக்கும் எதிருரு எடுத்துக்கொண்ட புள்ளியாகவே இருப்பதைக் காணலாம்.
 
 [[புள்ளி எதிரொளிப்பு]]ம் ஒரு சுருள்வாகும். (புள்ளி எதிரொளிப்பு சுருள்வு மட்டுமே, அது ஒரு எதிரொளிப்பு இல்லை)
 
 இந்த உருமாற்றங்கள் இரண்டும் கேண்மை சுருள்வுகளுக்கு (affine involution) எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.
 
 ===குலக் கோட்பாடு===
 ஒரு [[குலம் (கணிதம்)|குலத்தில்]] ஒரு [[குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)#ஓர் உறுப்பின் கிரமம்|உறுப்பின் வரிசை]] 2 ஆக இருந்தால் அந்த உறுப்பு சுருள்வாகும்.
 
 குலத்தின் ஒரு உறுப்பு ''a'' பின்வருமாறு இருந்தால் அது ஒரு சுருள்வு &lt;ref&gt;John S. Rose. [http://books.google.com/books?id=j-I7Zpq3GdIC &quot;A Course on Group Theory&quot;]. p. 10, section 1.13.&lt;/ref&gt;:
 
 :&lt;math&gt;a \not = e , a^2 = e &lt;/math&gt;, (''e'' [[முற்றொருமை உறுப்பு]])
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 * {{citation |title=Quaternion involutions and anti-involutions|author=Todd A. Ell|coauthors=Stephen J. Sangwine|journal=Computers &amp; Mathematics with Applications|volume=53|issue=1|year=2007|pages=137–143|doi=10.1016/j.camwa.2006.10.029}}
 
 ==மேலும் வாசிக்க==
 * {{citation | last1=Knus | first1=Max-Albert | last2=Merkurjev | first2=Alexander | author2-link=Alexander Merkurjev | last3=Rost | first3=Markus | author3-link=Markus Rost | last4=Tignol | first4=Jean-Pierre | title=The book of involutions | others=With a preface by J. Tits | zbl=0955.16001 | series=Colloquium Publications | publisher=[[American Mathematical Society]] | volume=44 | location=Providence, RI | year=1998 | isbn=0-8218-0904-0 }}
 
 [[பகுப்பு:சார்புகளும் கோப்புகளும்]]