சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை
[[நேரியல் இயற்கணிதம்|நேரியல் இயற்கணிதத்தில்]] ஒரு [[சதுர அணி]]யின் '''சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை''' (''characteristic polynomial'') என்பது, [[அணி ஒப்புமை]]யின் கீழ் மாற்றமடையாததும்,  [[ஐகென் மதிப்பு]]களை [[சார்பின் மூலம்|மூலங்களாகக்]] கொண்டதுமானதொரு [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]யாகும். இப்பல்லுறுப்புக்கோவை, அச் சதுர அணியின் [[அணிக்கோவை]]யையும் [[சுவடு (நேரியல் இயற்கணிதம்)|சுவட்டையும்]] அதன் கெழுக்களில் கொண்டிருக்கும். ஒரு முடிவுறு-பரிமாணத் [[திசையன் வெளி]]யின் உள்ளமைவியத்தின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையானது, அந்த உள்ளமைவியத்தின் அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும் ([[திசையன் வெளியின் அடுக்களம்|அடுக்களம்]] எதுவாக வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம்). சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பூச்சியத்திற்குச் சமப்படுத்துவதன் மூலம் கிடைக்கும் சமன்பாடு '''சிறப்பியல்பு சமன்பாடு''' (''characteristic equation'') என அழைக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{cite book |last=Guillemin |first=Ernst |title=Introductory Circuit Theory |author-link=Ernst_Guillemin |date=1953 |url=https://archive.org/details/introductorycirc0000guil |publisher=Wiley |pages=366, 541 |isbn=0471330663}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal |last1=Forsythe |first1=George E. |last2=Motzkin |first2=Theodore |date=January 1952 |title=An Extension of Gauss' Transformation for Improving the Condition of Systems of Linear Equations |url=https://www.ams.org/journals/mcom/1952-06-037/S0025-5718-1952-0048162-0/S0025-5718-1952-0048162-0.pdf |journal= Mathematics of Computation|volume=6 |issue=37 |pages=18–34 |doi=10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0 |access-date=3 October 2020|doi-access=free }}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite journal |last=Frank |first=Evelyn |date=1946 |title=On the zeros of polynomials with complex coefficients |journal=Bulletin of the American Mathematical Society |volume=52 |issue=2 |pages=144–157 |doi=10.1090/S0002-9904-1946-08526-2 |doi-access=free }}&lt;/ref&gt;
 
 நிறப்பிரிகை கோட்டுரு கோட்பாட்டில், ஒரு [[கோட்டுரு (கணிதம்)|கோட்டுருவின்]] சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது அக்கோட்டுருவின் [[அண்டை அணி]]யின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.&lt;ref&gt;{{cite web| url = http://mathworld.wolfram.com/CharacteristicPolynomial.html| title = Characteristic Polynomial of a Graph – Wolfram MathWorld|access-date = August 26, 2011}}&lt;/ref&gt;
 
 ==உந்துதல்==
 நேரியல் இயற்கணிதத்தில், [[ஐகென் மதிப்பு]]கள் முக்கிய பங்குவகிக்கின்றன. ஒரு [[நேரியல் கோப்பு|உருமாற்றத்தால்]] திசையில் மாற்றமில்லாது அளவில் மட்டும் மாற்றமடையும் திசையனானது &quot;ஐகென் திசையன்&quot; என அழைக்கப்படுகிறது. அத்திசையனின் அளவில் ஏற்படும் மாற்றமானது [[ஐகென் மதிப்பு]] எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 இந்த உருமாற்றமானது &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; என்ற சதுர அணியாலும், ஐகென்திசையன்யானது &lt;math&gt;\mathbf{v}&lt;/math&gt; எனவும், அதற்குரிய ஐகென்மதிப்பானது &lt;math&gt;\lambda&lt;/math&gt; எனவும் குறிக்கப்பட்டால் கீழ்வரும் சமன்பாடு நிறைவு செய்யப்படும்:
 :&lt;math display=block&gt;A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v},&lt;/math&gt;
 
 அல்லது சமானமாக,
 :&lt;math display=block&gt;(\lambda I - A) \mathbf{v} =\mathbf 0&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;I&lt;/math&gt;  [[முற்றொருமை அணி]], and &lt;math&gt;\mathbf{v}\ne \mathbf{0}&lt;/math&gt;)
 
 பூச்சியத் திசையன் இச்சமன்பாட்டை நிறைவுசெய்யும் என்றாலும் &lt;math&gt;\lambda,&lt;/math&gt; இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் பூச்சியத் திசையனானது ஐகென் திசையனாகக் கொள்ளப்படுவதில்லை. 
 
 &lt;math&gt;(\lambda I - A),&lt;/math&gt; ஒரு [[நேர்மாற்றத்தக்க அணி|வழு அணி]]யாகும். எனவே அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இருக்கும்:
 &lt;math display=block&gt;\det(\lambda I - A) = 0&lt;/math&gt;
 
 அதாவது, {{mvar|A}} இன் ஐகென் மதிப்புகள் &lt;math display=block&gt;\det(xI - A)&lt;/math&gt; இன் [[சார்பின் மூலம்|மூலங்களாக]] இருக்கும். {{mvar|A,}} ஒரு {{math|''n''×''n''}} அணியாக இருந்தால், இப்பல்லுறுப்புக்கோவையானது {{mvar|x}} மாறியிலமைந்த {{mvar|n}} படிகொண்ட [[தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை]]. மேலும் இதுவே {{mvar|A}} அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையுமாகும்.
 
 ==முறையான வரையறை==
 &lt;math&gt;A.&lt;/math&gt; என்பது ஒரு &lt;math&gt;n \times n&lt;/math&gt; [[அணி (கணிதம்)|அணி]] எனில்:
 *அதன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் குறியீடு: &lt;math&gt;p_A(t).&lt;/math&gt;
 *வரையறை:&lt;ref&gt;{{Cite book|title=Advanced linear algebra |author=Steven Roman |url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-2178-2 |isbn=3540978372 |edition=2 |year=1992 |publisher=Springer |page=[https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-2178-2/page/n142 137]}}&lt;/ref&gt;
 :&lt;math display=block&gt;p_A(t) = \det (t I - A)&lt;/math&gt; (&lt;math&gt;I&lt;/math&gt; என்பது &lt;math&gt;n \times n&lt;/math&gt; [[முற்றொருமை அணி]]).
 
 சிலர் சிறப்பியல்பு பல்லுறுக்கோவையை பின்வருமாறும் தருகின்றனர்:
 :&lt;math&gt;\det(A - t I).&lt;/math&gt;
 
 முதல் வரையறைப்படியான சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையானது இரண்டாவது வரையறைப்படியானதிலிருந்து &lt;math&gt;(-1)^n,&lt;/math&gt; என்ற குறியளவில் மட்டுமே மாறுபடுகிறது. இந்த வரையறை வேறுபாட்டால், மூலங்கள் &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; அணியின் ஐகென் மதிப்புகளாக இருக்கும் என்பது போன்ற பண்புகளில் எந்தவொரு வேறுபாடும் இருக்காது. எனினும் முதல் வரையறைப்படி, சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை எப்பொழுதும் [[தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை]]யாக இருக்கும்; மாற்று வரையறையில் &lt;math&gt;n&lt;/math&gt; இரட்டையெண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே தலையொற்றையாக இருக்கும்.
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 எடுத்துக்காட்டு 1:
 :&lt;math display=block&gt;A = \begin{pmatrix}
 2 &amp; 1\\
 -1&amp; 0
 \end{pmatrix}.
 &lt;/math&gt; என்ற அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையைக் காண்பதற்குக் கீழ்வரும் அணியின் [[அணிக்கோவை]]யைக் காணவேண்டும்:
 :&lt;math display=block&gt;t I-A = \begin{pmatrix}
 t-2&amp;-1\\
 1&amp;t-0
 \end{pmatrix}
 &lt;/math&gt; 
 
 அந்த அணிக்கோவையினை விரிக்க, &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கிறது:
 :&lt;math&gt;(t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1 \,\!,&lt;/math&gt; 
 
 எடுத்துக்காட்டு 2 ([[அதிபரவளையக் கோணம்|மீவளையக் கோணம்]]  &amp;phi; இன் [[அதிபரவளையச் சார்பு|மீவளைச் சார்பு]]):
 
 அணி:
 &lt;math display=block&gt;A = \begin{pmatrix} \cosh(\varphi) &amp; \sinh(\varphi)\\ \sinh(\varphi)&amp; \cosh(\varphi) \end{pmatrix}.&lt;/math&gt;
 சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை:
 &lt;math display=block&gt;\det (tI - A) = (t - \cosh(\varphi))^2 - \sinh^2(\varphi) = t^2 - 2 t \ \cosh(\varphi) + 1 = (t - e^\varphi) (t - e^{-\varphi}).&lt;/math&gt;
 
 ==பண்புகள்==
 *&lt;math&gt;n \times n&lt;/math&gt; வரிசை அணி &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; இன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை &lt;math&gt;p_A(t),&lt;/math&gt; ஒரு [[தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை]].
 *&lt;math&gt;n \times n&lt;/math&gt; வரிசை அணி &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; இன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை &lt;math&gt;p_A(t),&lt;/math&gt; இன் [[படி (பல்லுறுப்புக்கோவை)|படி]] &lt;math&gt;n.&lt;/math&gt;.
 *&lt;math&gt;A&lt;/math&gt; இன் ஐகென்மதிப்புகள் &lt;math&gt;p_A(t)&lt;/math&gt; இன் [[சார்பின் மூலம்|மூலங்களாகும்]].
 *சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் [[கெழு]]க்கள் &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; இன் உறுப்புகளாலமைந்த பல்லுறுப்பு விரிவுகளாக இருக்கும்.
 எடுத்துக்காட்டாக, சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் 
 **மாறிலி உறுப்பு (&lt;math&gt;t^0&lt;/math&gt; இன் கெழு) = &lt;math&gt;\det(-A) = (-1)^n \det(A),&lt;/math&gt;
 ** &lt;math&gt;t^n&lt;/math&gt; இன் கெழு = 1
 **&lt;math&gt;t^{n-1}&lt;/math&gt; இன் கெழு = {{math|1=tr(−''A'') = −tr(''A'')}}, ({{math|tr(''A'')}} = &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; இன் [[சுவடு (நேரியல் இயற்கணிதம்)|சுவடு]]) (இது முதல் வகை வரையறையின்படி)
 ** மாற்று வரையறையின்படி முறையே &lt;math&gt;\det(A),&lt;/math&gt; {{math|(−1)&lt;sup&gt;''n'' – 1 &lt;/sup&gt;tr(''A'')}} &lt;ref&gt;Theorem 4 in these [https://www.math.ucla.edu/~tao/resource/general/115a.3.02f/week8.pdf lecture notes]&lt;/ref&gt;)
 
 &lt;math&gt;2 \times 2&lt;/math&gt; வரிசை &lt;math&gt;A&lt;/math&gt; அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை:
 &lt;math display=block&gt;t^2 - \operatorname{tr}(A) t + \det(A).&lt;/math&gt;
 
 *இரு [[அணி ஒப்புமை|ஒத்த அணி]]களின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒன்றாக இருக்கும். ஆனால் மறுதலை உண்மையில்லை ஒரே பல்லுறுப்புக்கோவையைச் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் கொண்ட அணிகள் ஒத்த அணிகளாக இருக்காது.
 
 * &lt;math&gt;A,&lt;/math&gt; அதன் [[இடமாற்று அணி]] இரண்டிற்கும் ஒரே சிறப்பியல்பு பல்லுறுக்கோவை.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{சான்று}}
 
 * T.S. Blyth &amp; E.F. Robertson (1998) ''Basic Linear Algebra'', p 149, Springer {{ISBN|3-540-76122-5}} .
 * John B. Fraleigh &amp; Raymond A. Beauregard (1990) ''Linear Algebra'' 2nd edition, p 246, [[Addison-Wesley]] {{ISBN|0-201-11949-8}} .
 * {{Citation|last=Garibaldi|first=Skip|author-link=Skip Garibaldi|title=The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions|journal=American Mathematical Monthly|volume=111|year=2004|issue=9|pages=761&amp;ndash;778|doi=10.2307/4145188|jstor=4145188|mr=2104048|arxiv=math/0203276}}
 * Werner Greub (1974) ''Linear Algebra'' 4th edition, pp 120&amp;ndash;5, Springer, {{ISBN|0-387-90110-8}} .
 * Paul C. Shields (1980) ''Elementary Linear Algebra'' 3rd edition, p 274, [[Worth Publishers]] {{ISBN|0-87901-121-1}} .
 * [[Gilbert Strang]] (1988) ''Linear Algebra and Its Applications'' 3rd edition, p 246, [[Brooks/Cole]] {{ISBN|0-15-551005-3}} .
 
 [[பகுப்பு:பல்லுறுப்புக் கோவைகள்]]