ஈருறுப்பு உறவு
கணிதத்தில் ஒரு [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தின்]] மீதான '''ஈருறுப்பு உறவு''' (''binary relation'') என்பது அக்கணத்தின் உறுப்புகளாலான  [[வரிசைச் சோடி]]களின் தொகுப்பு ஆகும்.
 
 :அதாவது ''A'' கணத்த்தின் மீது வரையறுக்க்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவானது,  ''A'' கணத்தின் [[கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்|கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனின்]] (''A''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; = {{nowrap|''A'' × ''A''}}) [[கணம் (கணிதம்)#உட்கணம்|உட்கணமாக]]  இருக்கும்.
 
 :''A'' , ''B'' எனும் இரு கணங்களுக்கு இடையேயான ஈருறுப்பு உறவு {{nowrap|''A'' × ''B''}} இன் உட்கணம்.
 
 எடுத்துக்காட்டுகள்:
 *முடிவுறு கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவு
 :''A'' = {1, 2, 3, 4, 5} 
 :இக்கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படும் ''விடப் பெரியது'' என்ற ஈருறுப்பு உறவு:
 :&lt;math&gt; R = \{ (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) \} &lt;/math&gt;
 
 *முடிவுறா கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவு
 [[பகா எண்]]களின் கணம் '''P''', [[முழு எண்]]களின் கணம் '''Z'''  இரண்டுக்கும் இடையே வரையறுக்கப்படும் [[வகுஎண்]] என்ற உறவு ஈருறுப்பு உறவாகும். ஒவ்வொரு பகா எண் ''p'' ம் அதன் மடங்காக அமையும் ஒவ்வொரு முழுஎண்ணுடன் &quot;வகுஎண்&quot; என்ற உறவின் கீழ் தொடர்பு கொண்டுள்ளது.  ''p'' இன் மடங்காக அமையாத முழுஎண்களுடன் ''p'' தொடர்பு கொண்டிருக்காது. பகாஎண் 2 ஆனது ...−4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10.... போன்ற இரண்டின் மடங்குகளோடு (இரட்டை முழுஎண்கள்) தொடர்புடையது, ஆனால் 1 , 3, 9 போன்ற இரண்டின் மடங்கற்ற (ஒற்றை எண்கள்) முழுஎண்களுடன் தொடர்பு கொண்டிருக்காது
 
 கணிதத்தில் &quot;[[சமனிலி (கணிதம்)|விடப் பெரியது, விடச் சிறியது]]&quot;, &quot;[[சமன் (கணிதம்)|சமன்]]&quot;; [[எண்கணிதம்|எண்கணிதத்தில்]] &quot;[[வகுஎண்|வகுக்கும்]]&quot;; வடிவவியலில் &quot;[[சர்வசமம் (வடிவவியல்)|சர்வசமம்]]&quot;; கோட்டுருவவியலில் &quot;அடுத்துள்ளது&quot;;[[நேரியல் இயற்கணிதம்|நேரியல் இயற்கணிதத்தில்]] &quot;செங்குத்தானது&quot;  போன்ற கருத்துருக்களுக்கு ஈருறுப்பு உறவு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஈருறுப்பு உறவின் சிறப்புவகைக் கருத்துருவாக [[சார்பு]] வரையறுக்கப்படுகிறது. [[கணினியியல்|கணினியியலிலும்]] ஈருறுப்பு உறவு மேலதிகப் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.
 
 ==வரையறை==
 (''X'', ''Y'', ''G'') என்ற மும்மையால் ஈருறுப்பு உறவு ''R'' குறிக்கப்படுகிறது. இதில், ''X'' , ''Y'' எவையேனும் இரு கணங்கள். இவ்விரு கணங்களின் [[கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன்]] ''X'' × ''Y'' இன் உட்கணம் ''G'' . 
 ''X'' , ''Y'' இரண்டும் முறையே ஈருறுப்பு உறவின் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களம்]], [[இணையாட்களம் (கணிதம்)|இணையாட்களம்]] என்றும்,  ''G'' - உறவின் [[சார்பின் வரைபடம்|வரைபடம்]] என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.
 
 (''x'',''y'') ∈ ''G'' எனில் ''x'' , ''R''-இன் கீழ் ''y'' உடன் உறவு கொண்டிருக்கும். 
 :இதன் குறியீடு: 
 :''xRy'' (அல்லது) ''R''(''x'',''y'') 
 :''R''(''x'',''y'') என்ற குறியீட்டின் காரணமாக, ''X'' × ''Y'' இன் மீதான [[சுட்டுச் சார்பு|சுட்டுச் சார்பாக]] ''R'' எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.
 
 ''G'' இல் உள்ள ஒவ்வொரு சோடிக்கும் வரிசை முக்கியமானது. ''a'' ≠ ''b'' எனில் ''aRb'' , ''bRa'' இரண்டும் ஒன்றையொன்று சாராமல் உண்மையாகவோ அல்லது உண்மையில்லாமலோ இருக்கும். முழுஎண்கள் கணத்தில் ''வகுஎண்'' என்ற ஈருறுப்பு உறவை எடுத்துக்கொண்டால், 3, 9 ஐ வகுக்கும், ''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;R&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt;'' என்பது உண்மை. ஆனால் 9, 3 ஐ வகுக்காது என்பதால்  ''&lt;sub&gt;9&lt;/sub&gt;R&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt;'' என்பது உண்மை இல்லை.
 
 (''X'', ''Y'', ''G'') என்ற மும்மையால் வரையறுக்கப்படும் உறவு சிலசமயங்களில் ''தொடர்பு'' எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{cite book |title=Encyclopedic dictionary of Mathematics |publisher=MIT |pages=1330–1331 |year=2000 |isbn=0-262-59020-4 |url=http://books.google.co.uk/books?id=azS2ktxrz3EC&amp;pg=PA1331&amp;hl=en&amp;sa=X&amp;ei=glo6T_PmC9Ow8QPvwYmFCw&amp;ved=0CGIQ6AEwBg#v=onepage&amp;f=false }}&lt;/ref&gt;
 
 ஒரே வரைபடம் கொண்ட இரு உறவுகளின் ஆட்களங்களோ அல்லது இணையாட்களங்களோ வெவ்வேறாக இருந்தால் அவ்வுறவுகளும் வெவ்வேறானவை.
 எடுத்துக்காட்டாக, &lt;math&gt;G = \{(1,2),(1,3),(2,7)\}&lt;/math&gt; எனில், 
 :&lt;math&gt;(\mathbb{Z},\mathbb{Z}, G)&lt;/math&gt;, 
 :&lt;math&gt;(\mathbb{R}, \mathbb{N}, G)&lt;/math&gt;, 
 :&lt;math&gt;(\mathbb{N}, \mathbb{R}, G)&lt;/math&gt; மூன்றும் வெவ்வேறு உறவுகள் (&lt;math&gt;\mathbb{Z}&lt;/math&gt; [[முழு எண்]]கள் கணம், &lt;math&gt;\mathbb{R}&lt;/math&gt; [[மெய்யெண்]]கள் கணம், &lt;math&gt;\mathbb{N}&lt;/math&gt; [[இயல் எண்]]கள் கணம்).
 
 ;கணக் கோட்பாட்டில்
 [[கணக் கோட்பாடு|கணக் கோட்பாட்டில்]], ஈருறுப்பு உறவுகள் வரிசைச் சோடிகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன&lt;ref name=&quot;suppes&quot;&gt;
 {{cite book
 |title=Axiomatic Set Theory
 |url=https://archive.org/details/axiomaticsettheo00supp_0
 |last=Suppes
 |first=Patrick
 |authorlink=Patrick Suppes
 |publisher=Dover
 |year=1972
 |origyear=originally published by D. van Nostrand Company in 1960
 |isbn=0-486-61630-4
 }}
 &lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;
 {{cite book
 |title=Set Theory and the Continuum Problem
 |url=https://archive.org/details/settheorycontinu0000smul
 |last=Smullyan
 |first=Raymond M.
 |authorlink=Raymond Smullyan
 |last2=Fitting
 |first2=Melvin
 |publisher=Dover
 |year=2010
 |origyear=revised and corrected republication of the work originally published in 1996 by Oxford University Press, New York
 |isbn=978-0-486-47484-7
 }}
 &lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;
 {{cite book
 |title=Basic Set Theory
 |last=Levy
 |first=Azriel
 |authorlink=Azriel Levy
 |publisher=Dover
 |year=2002
 |origyear=republication of the work published by Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg and New York in 1979
 |isbn=0-486-42079-5
 }}
 &lt;/ref&gt;.
 ஆட்களம்:
 :&lt;math&gt;X = \{x : \exists y : (x,y) \in R \}&lt;/math&gt;
 
 வீச்சு:
 :&lt;math&gt;Y = \{y : \exists x : (x,y) \in R \}&lt;/math&gt;
 
 ஈருறுப்பு உறவு: 
 :&lt;math&gt;R = (x,y)&lt;/math&gt;
 
 ==பொதுவான ஈருறுப்பு உறவுகள்==
 *வரிசை உறவுகள்
 ** [[சமனிலி (கணிதம்)|விடப் பெரியது]]
 ** விடப் பெரியது அல்லது சமம்
 ** [[சமனிலி (கணிதம்)|விடச் சிறியது]]
 ** விடச் சிறியது அல்லது சமம்
 ** [[வகுஎண்|வகுக்கும்]] 
 ** [[கணம் (கணிதம்)#உட்கணம்|உட்கணம்]]
 *[[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவு]]கள்
 ** [[சமன் (கணிதம்)|சமன்]]
 ** [[இணை (வடிவவியல்)|இணை]]
 ** [[இருவழிக்கோப்பு]]
 ** [[சமஅமைவியம்]]
 *[[சார் உறவு]] - ஒரு முடிவுறு, சமச்சீர், எதிர்வு உறவு
 *[[சாரா உறவு]] - ஒரு சமச்சீர், எதிர்வற்ற உறவு. சார், சாரா உறவுகள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்பிகள்.
 
 ==ஈருறுப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை==
 ''n''-உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படக்கூடிய வெவ்வேறான ஈறுருப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை 2&lt;sup&gt;''n''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;&lt;/sup&gt; {{OEIS|id=A002416}}:
 {{கணித உறவுகள் எண்ணிக்கை}}
 
 ==வகைகள்==
 ''X'' கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு ''R'' இன் சில வகைகள்:
 
 *'''[[எதிர்வு உறவு|எதிர்வு]]''': 
 :&lt;math&gt;\forall x \in X,\ x R x &lt;/math&gt;
 :எடுத்துக்காட்டு: 
 :∀ ''x'',  ''x'' ≥ ''x'' என்பது உண்மை என்பதால் 
 :&quot;விடப்பெரியது அல்லது சமம்&quot; (≥) என்பது எதிர்வு உறவு
 
 *'''எதிர்வற்றது''' 
 :&lt;math&gt;\forall x \in X, \lnot  R(x,x) .&lt;/math&gt;
 
 : எந்தவொரு எண்ணும் அதே எண்ணை விடப் பெரியதாக இருக்க முடியாது என்பதால் &quot;விடப் பெரியது&quot; என்பது எதிர்வற்ற உறவு.
 
 *'''[[சமச்சீர் உறவு|சமச்சீர்]]''' 
 :&lt;math&gt;\forall x, y \in X,\ x R y \Rightarrow \; y R x.&lt;/math&gt;
 
 *'''[[எதிர்சமச்சீர் உறவு|எதிர்சமச்சீர்]]''' 
 :&lt;math&gt;\forall x, y \in X,\ R(x,y) \land R(y,x) \; \Rightarrow \; x = y&lt;/math&gt;
 
 :''விடப்பெரியது அல்லது சமம்'' ( ≥ ) ஒரு எதிர்சமச்சீர் உறவு.&lt;ref&gt;{{citation|first1=Douglas|last1=Smith|first2=Maurice|last2=Eggen|first3=Richard|last3=St. Andre|title=A Transition to Advanced Mathematics|edition=6th|publisher=Brooks/Cole|year=2006|isbn=0-534-39900-2|page=160}}&lt;/ref&gt;
 
 *'''[[சமச்சீரற்ற உறவு|சமச்சீரற்றது]]''' 
 :&lt;math&gt;\forall x, y  \in X,\ x R y \; \Rightarrow \lnot(y R x)&lt;/math&gt;
 
 :ஒரு உறவு, எதிர்சமச்சீரானதாகவும், எதிர்வற்றதாகவும் ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது சமச்சீரற்றதாக இருக்க முடியும்&lt;ref&gt;{{citation|first1=Yves|last1=Nievergelt|title=Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography|publisher=Springer-Verlag|year=2002|page=[http://books.google.com/books?id=_H_nJdagqL8C&amp;pg=PA158 158]}}.&lt;/ref&gt;.
 
 *'''[[கடப்பு உறவு|கடப்பு]]''' 
 :&lt;math&gt;\forall x, y, z \in X: (xRy \wedge yRz) \Rightarrow xRz&lt;/math&gt;
 
 :ஒரு கடப்பு உறவு சமச்சீரற்றதாக ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது எதிர்வற்றதாகும்.&lt;ref&gt;{{cite book|last1=Flaška|first1=V.|last2=Ježek|first2=J.|last3=Kepka|first3=T.|last4=Kortelainen|first4=J.|title=Transitive Closures of Binary Relations I|year=2007|publisher=School of Mathematics&amp;nbsp;– Physics Charles University|location=Prague|page=1|url=http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jezek/120/transitive1.pdf|access-date=2015-10-11|archivedate=2013-11-02|archiveurl=https://web.archive.org/web/20131102214049/http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jezek/120/transitive1.pdf}} Lemma 1.1 (iv). This source refers to asymmetric relations as &quot;strictly antisymmetric&quot;.&lt;/ref&gt;
 
 *'''[[முழு உறவு|முழுமை]]''' 
 :&lt;math&gt;\forall x, y \in X,\ x R y \lor y R x.&lt;/math&gt;
 
 *'''[[முப்பிரிவு (கணிதம்)|முப்பிரிவு]]''' 
 :&lt;math&gt;\forall x, y \in X, \ x R y \lor y R x \lor x = y &lt;/math&gt;
 
 :அதாவது, ''xRy'', ''yRx'' , ''x'' = ''y'' ஆகிய மூன்றில் ஏதாவது ஒன்று மட்டுமே உண்மையாகும்.
 
 ==ஈருறுப்பு உறவுகள் மீதான செயலிகள்==
 ''X'' , ''Y'' கணங்கள் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவுகள் ''R'', ''S'' எனில் கீழே தரப்பட்டுள்ளவையும் ''X'' , ''Y'' மீதான ஈருறுப்பு உறவாக இருக்கும்:
 
 * '''ஒன்றிப்பு'''
 :''R'' ∪ ''S'' = {&amp;thinsp;(''x'', ''y'') | (''x'', ''y'') ∈ ''R'' அல்லது (''x'', ''y'') ∈ ''S''&amp;thinsp;} எனில்:
 : ''R'' ∪ ''S''  ⊆ ''X'' × ''Y''
 :எடுத்துக்காட்டு:  &gt; , = ஆகிய இரு ஈருறுப்பு உறவுகளின் ஒன்றிப்பு  ≥ .
 * '''வெட்டு''' 
 :''R'' ∩ ''S'' = {&amp;thinsp;(''x'', ''y'') | (''x'', ''y'') ∈ ''R'' மற்றும் (''x'', ''y'') ∈ ''S''&amp;thinsp;} எனில்:
 : ''R'' ∩ ''S''  ⊆ ''X'' × ''Y''
 
 * '''தொகுப்பு'''
 :''X'' , ''Y'' கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு ''R''; ''Y'' , ''Z'' கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு ''S'' எனில், இவ்விரு [[உறவுகளின் தொகுப்பு]], ''X'' , ''Z'' கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவாகும்.
 
 * '''[[நேர்மாறு உறவு|நேர்மாறு]]''' அல்லது '''மறுதலை''' 
 :''R'' இன் நேர்மாறு: 
 :''R''&amp;nbsp;&lt;sup&gt;&amp;minus;1&lt;/sup&gt; = {&amp;thinsp;(''y'', ''x'')&amp;thinsp;|&amp;thinsp;(''x'', ''y'') ∈ ''R''&amp;thinsp;}.
 
 :எடுத்துக்காட்டு:
 &quot;விடச் சிறியது&quot; (&lt;) -இதன் நேர்மாறு &quot;விடப் பெரியது&quot; (&gt;).
 
 ''X'' கணத்தின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு  ''R'' எனில் கீழ்வரும் ஒவ்வொன்றும் ஈருறுப்பு உறவாகும்:
 
 * '''எதிர்வு அடைப்பு ''' - ''R''&amp;thinsp;&lt;sup&gt;=&lt;/sup&gt;
 : ''R''&amp;thinsp;&lt;sup&gt;=&lt;/sup&gt; = {&amp;thinsp;(''x'', ''x'') | ''x'' ∈ ''X''&amp;thinsp;} ∪ ''R'' 
 :இது ''X'' மீது ''R'' ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய எதிர்வு உறவு.
 
 * '''எதிர்வு ஒடுக்கம்''' - ''R''&amp;thinsp;&lt;sup&gt;≠&lt;/sup&gt;
 :''R''&amp;thinsp;&lt;sup&gt;≠&lt;/sup&gt; = ''R'' \ {&amp;thinsp;(''x'', ''x'') | ''x'' ∈ ''X''&amp;thinsp;} 
 :இது ''X'' மீது ''R'' ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகப் பெரிய எதிர்வற்ற உறவு.
 
 * '''கடப்பு அடைப்பு''' - ''R''&amp;thinsp;&lt;sup&gt;+&lt;/sup&gt;
 :கடப்பு அடைப்பு உறவானது, ''X'' மீது ''R'' ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய கடப்பு உறவு. இது ''X'' மீது ''R'' ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட கடப்பு உறவுகளின் [[கணம் (கணிதம்)#வெட்டு|வெட்டாக]] இது அமையும்.
 
 ===நிரப்பி===
 ''X'' , ''Y'' மீதான ஈருறுப்பு உறவு ''R'' எனில்:
 
 *''R'' இன் நிரப்பி உறவு ''S'' ம் ஒரு ஈருறுப்பு உறவு.
 
 :''x'' ''S'' ''y'' என்பது உண்மையானால் ''x'' ''R'' ''y'' உண்மையாக இருக்காது.
 :&lt;math&gt;\lnot(x R y) \; \Rightarrow \ x S y&lt;/math&gt;
 
 :எடுத்துக்காட்டு: 
 :மெய்யெண்களில்,  &gt; இன் நிரப்பி ≤.
 
 *ஒரு ஈருறுப்பு உறவின் நேர்மாறின் நிரப்பி, அந்த ஈருறுப்பு உறவின் நிரப்பியின் நேர்மாறாக இருக்கும்.
 
 ''X'' = ''Y'' எனில் நிரப்பி உறவு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:
 *சமச்சீர் உறவின் நிரப்பியும் சமச்சீரானது.
 *எதிர்வு உறவின் நிரப்பி எதிர்வற்றதாகவும், எதிர்வற்ற உறவின் நிரப்பி எதிர்வு உறவாகவும் இருக்கும்.
 
 :நேர்மாறின் நிரப்பியும் இதே பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.
 
 ===ஒடுக்கம்===
 ''X'' கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்பு உறவு ''R'' இன் ஒடுக்கம் என்பது ''X'' ஐ ஆட்களமாகக் கொள்வதற்குப் பதில் அதன் ஏதேனுமொரு உட்கணத்தை (''S'')  ஆட்களமாகக்  எடுத்துக்கொண்டால், அந்த உறவு  '''''R'' இன் ஒடுக்கம்''' எனப்படுகிறது.
 
 எதிர்வு, எதிர்வற்ற, சமச்சீர், எதிர்சமச்சீர், சமச்சீரற்ற, கடப்பு, முழுமை, சமானம் ஆகிய ஈருறுப்புறவுகளின் ஒடுக்கங்களும் அதே தன்மையைக் கொண்டிருக்கும்.
 
 ==குறிப்புகள்==
 {{Reflist|2}}
 
 ==மேற்சான்றுகள்==
 *M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, ''Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs'', De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, {{ISBN|3-11-015248-7}}.
 *Gunther Schmidt, 2010. ''Relational Mathematics''. Cambridge University Press, {{ISBN|978-0-521-76268-7}}.
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 * {{springer|title=Binary relation|id=p/b016380}}