அலகு (வளையக் கோட்பாடு)
[[இயற்கணிதம்|இயற்கணிதத்தில்]] ஒரு [[வளையம் (கணிதம்)|வளையத்தின்]] '''அலகு''' (''unit'') அல்லது  '''நேர்மாறுடைய அல்லது நேர்மாற்றத்தக்க உறுப்பு''' (''invertible element'') {{efn|வளையத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் கூட்டலைப் பொறுத்து நேர்மாற்றத்தக்கது என்பதால் இங்கு ''நேர்மாற்றத்தக்க உறுப்பு'' என்பது பெருக்கலைப் பொறுத்துக் குறிக்கும்.}} என்பது வளையத்தின் பெருக்கற்செயலியைப் பொறுத்த [[நேர்மாறு உறுப்பு|நேர்மாறுடைய உறுப்பாகும்]]. அதாவது, {{mvar|R}} என்ற வளையத்தின் ஒரு உறுப்பு {{mvar|u}} ஆனது அவ்வளையத்தின் அலகாக இருக்க வேண்டுமானால் கீழ்வரும் முடிவை நிறைவுசெய்யுமாறு {{mvar|v}} என்ற ஒரு உறுப்பும் {{mvar|R}} இல் இருக்க வேண்டும்:
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;vu = uv = 1,&lt;/math&gt; ({{math|1}} என்பது பெருக்கல் செயலுக்குரிய [[முற்றொருமை உறுப்பு]]).
 
 இப்பண்பை நிறைவு செய்யும் {{mvar|v}} ஆனது தனித்த உறுப்பாகும். அதாவது ஒவ்வொரு வளைய உறுப்பு {{mvar|u}} க்கும் இப்பண்பை நிறைவுசெய்யும் வகையில் ஒரேயொரு {{mvar|v}} தான் இருக்கும். மேலும் {{mvar|v}} ஆனது {{mvar|u}} இன் [[பெருக்கல் நேர்மாறு]] என அழைக்கப்படும்|.{{sfn|Dummit|Foote|2004|ps=}}{{sfn|Lang|2002|ps=}} 
 
 {{mvar|R}} வளையத்தின் அலகு உறுப்புகளைக் கொண்ட [[கணம் (கணிதம்)|கணமானது]], பெருக்கலைப் பொறுத்த  [[குலம் (கணிதம்)|குலமாக]] ({{math|''R''{{sup|×}}}}) இருக்கும். இக்குலம் {{mvar|R}} வளையத்தின் '''அலகுகளின் குலம்''' அல்லது '''அலகு குலம்''' (''group of units'', ''unit group'') எனப்படும்.{{efn|Tபிரஞ்சு கணிதவியலாளர் அன்ரெ வெய்ல் என்பாரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட {{math|''R''{{sup|×}}}},  என்ற குறியீடு அலகு குலங்கள் அதிகமாக காணப்படும் [[எண் கோட்பாடு|எண் கோட்பாட்டில்]] பயன்படுத்தப்படுகிறது.{{sfn|Weil|1974|ps=}} மேலும் குலத்தின் செயலி பெருக்கல் என்பதையும் {{math|×}} குறியீடு காட்டுகிறது. மற்ற இடங்களில் மேலொட்டு '×' அதிகம் பயன்படுத்தப்படுவதில்லை; மேலும் {{math|*}} என்ற மேலொட்டு, பெரும்பாலும் இருமத்தைக் சுட்டும்}}  அலகு குலத்திற்கான மற்ற குறியீடுகள்: {{math|''R''&lt;sup&gt;∗&lt;/sup&gt;}}, {{math|U(''R'')}}, {{math|E(''R'')}} ({{math|E(''R'')}} என்பது செருமானிய வார்த்தை {{lang|de|[[wikt:Einheit|Einheit]]}} இலிருந்து பெறப்பட்டது).
 
 &quot;அலகுவுறுப்புள்ள வளையம்&quot; அல்லது &quot;அலகு வளையம்&quot; அல்லது &quot;[[முற்றொருமை அணி|அலகு அணி]]&quot; போன்ற வெகுசில இடங்களில், &quot;அலகு&quot; என்பது {{math|1}} என்ற பெருக்கல் முற்றொருமை உறுப்பைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக, {{math|1}} ஆனது &quot;பெருக்கலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு&quot; என அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் பெருக்கல் முற்றொருமை இல்லாத வளையங்களிலிருந்து (ஆங்கிலக் குறியீடு:rng) வேறுபடுத்திக் காட்டுவதற்காகவும் &quot;அலகு உறுப்புள்ள வளையம்&quot; அல்லது &quot;முற்றொருமையுள்ள வளையம்&quot; என்ற தொடர்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
 
 == எடுத்துக்காட்டு ==
 *[[முற்றொருமை உறுப்பு|பெருக்கல் முற்றொருமை]] {{math|1}} மற்றும் அதன் கூட்டல் நேர்மாறு {{math|−1}} ஆகிய இரண்டும் எப்போதும் அலகுகள் ஆகும். பொதுவாக {{mvar|R}} வளையத்திலுள்ள  [[ஒன்றின் படிமூலம்|1 இன் படிமூலம்]] ஒவ்வொன்றும் ஒரு அலகாக இருக்கும்:
 :{{math|1=''r&lt;sup&gt;n&lt;/sup&gt;'' = 1}} எனில் {{math|1=''r''&lt;sup&gt;''n''−1&lt;/sup&gt;}} ஆனது {{mvar|r}} இன் பெருக்கல் நேர்மாறாகும்.
 *[[சுழிய வளையம்|சுழியமற்ற வளையத்தில்]], [[கூட்டல் முற்றொருமை]]யான '0' ஒரு அலகல்ல. எனவே {{math|''R''{{sup|×}}}} ஆனது கூட்டலைப் பொறுத்து அடைவுறாதது.
 *சுழியமற்ற ஒவ்வொரு உறுப்பும் அலகாகவுள்ள ஒரு சுழியமற்ற வளையமானது (அதாவது, {{math|1=''R''{{sup|×}} = ''R'' &amp;setminus; {{mset|0}}}}) [[வகுத்தல் வளையம்]] எனப்படும். ஒரு பரிமாற்று வகுத்தல் வளையமானது [[களம் (கணிதம்)|களமாக]] இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக,  [[மெய்யெண்]] களம் {{math|'''R'''}} இன் அலகு குலம் {{math|'''R''' &amp;setminus; {{mset|0}}}}.
 
 === முழுவெண் வளையம் ===
 [[முழு எண்]] வளையம் {{math|'''Z'''}} இல், {{math|1}} மற்றும் {{math|−1}} ஆகிய இரண்டு மட்டுமே அலகுகளாகும்..
 
 [[சமானம், மாடுலோ n|மாடுலோ n]] முழுஎண்கள் வளையத்தில் ({{math|'''Z'''/''n'''''Z'''}}), {{mvar|n}} உடன் [[சார்பகா முழுஎண்கள்|சார்பாகா எண்களாகவுள்ள]] முழுவெண்களைக் கொண்ட [[சமானம், மாடுலோ n#எச்சத் தொகுதிகள்|முற்றிசைவுத் தொகுதிகள்]] அலகுகளாக இருக்கும். அவை மாடுலோ {{mvar|n}} முழுவெண்களின் பெருக்கல் குலமாக அமையும்.
 
 === எண் களத்தின் முழுவெண் வளையம் ===
 {{math|'''Z'''}} உடன் [[இருபடி முழுவெண்]] {{math|{{sqrt|3}}}} சேர்த்து வளையம் {{math|'''Z'''[{{sqrt|3}}]}} பெறப்படுகிறது. இவ்வளையத்தில்:
 :{{math|1= (2 + {{sqrt|3}})(2 − {{sqrt|3}}) = 1}}; எனவே {{math|2 + {{sqrt|3}}}} ஒரு அலகாகும்; 
 :அத்துடன் அதன் அடுக்குகளும் அலகுகளாக இருக்குமென்பதால் {{math|'''Z'''[{{sqrt|3}}]}} வளையத்திற்கு முடிவிலா அலகுகள் உள்ளன.
 
 === பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அடுக்குத் தொடரும் ===
 பரிமாற்று வளையம் {{mvar|R}}; அதன் [[பல்லுறுப்புக்கோவை வளையம்|பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தின்]] ({{math|''R''[''x'']}}) அலகுகுகள் கீழுள்ள [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]களாக இருக்கும்:
 :&lt;math&gt;p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n&lt;/math&gt;;
 :{{math|''a''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;}} ஆனது, {{mvar|R}} இன் அலகு;
 : பிற [[கெழு]]க்களுக்கான (&lt;math&gt;a_1, \dots, a_n&lt;/math&gt;) கட்டுப்பாடு: {{math|''N''}} இன் சில மதிப்புகளுக்கு &lt;math&gt;a_i^N = 0&lt;/math&gt; அதாவது அவை [[இன்மவடுக்கு|இன்ம அடுக்கானவை]].{{sfn|Watkins|2007|loc=Theorem 11.1|ps=}}
 
 குறிப்பாக {{mvar|R}} வளையமானது [[ஆட்களம் (வளையம்)|ஆட்களமாகவோ]] அல்லது [[குறைக்கப்பட்ட வளையம்|குறைக்கப்பட்ட வளையமாகவோ]] இருந்தால், {{math|''R''[''x'']}} இன் அலகுகள், {{mvar|R}} இன் அலகுகளாக இருக்கும்.
 
 [[அடுக்குத் தொடர் வளையம்|அடுக்குத்தொடர் வளையத்தின்]] (&lt;math&gt;R[[x]]&lt;/math&gt;) அலகுகளாகக் கீழுள்ள அடுக்குத்தொடர்கள் இருக்கும்:
 :&lt;math&gt;p(x)=\sum_{i=0}^\infty a_i x^i&lt;/math&gt;; {{math|''a''&lt;sub&gt;0&lt;/sub&gt;}}, {{mvar|R}} இன் அலகு.{{sfn|Watkins|2007|loc=Theorem 12.1|ps=}}
 
 === அணிகளின் வளையங்கள் ===
 {{mvar|R}} வளையத்தின் மீதான [[சதுர அணி|{{math|''n'' × ''n''}} சதுர அணி]]களின் வளையம் {{math|M&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;(''R'')}} இன் அலகு குலமானது ({{math|GL&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;(''R'')}}) [[நேர்மாற்றத்தக்க அணி]]களின் குலமாகும். பரிமாற்று வளையம் {{mvar|R}} மீதான சதுர அணிகளின் வளையத்தின் ({{math|M&lt;sub&gt;''n''&lt;/sub&gt;(''R'')}}) ஒரு உறுப்பு {{mvar|A}} ஆனது, நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்க வேண்டுமானால், {{mvar|A}} இன் [[அணிக்கோவை]]யானது {{mvar|R}} இல் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே முடியும். அந்நிலையில் {{mvar|A}} இன் நேர்மாறு அணி {{math|''A''{{sup|−1}}}} ஐ வெளிப்படையாக {{mvar|A}} இன் [[சேர்ப்பு அணி]]யின் வாயிலாக எழுதலாம்.
 
 === பொதுவானவை ===
 {{mvar|R}} வளையத்தின் இரு உறுப்புகள் {{mvar|x}}, {{mvar|y}} எனில்,  &lt;math&gt;1 - xy&lt;/math&gt; நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் &lt;math&gt;1 - yx&lt;/math&gt; உம் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும்; மேலும் &lt;math&gt;1 - yx&lt;/math&gt; இன் நேர்மாறு &lt;math&gt;1 + y(1-xy)^{-1}x&lt;/math&gt; ஆகும்{{sfn|Jacobson|2009|loc=§2.2 Exercise 4|ps=}} 
 &lt;math display=&quot;block&quot;&gt;(1-yx)^{-1} = \sum_{n \ge 0} (yx)^n = 1 + y \left(\sum_{n \ge 0} (xy)^n \right)x = 1 + y(1-xy)^{-1}x.&lt;/math&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{notelist}}
 
 == சான்றுகள் ==
 {{reflist|3}}
 
 == மூலங்கள் ==
 {{refbegin}}
 * {{cite book
  | last=Cohn | first=Paul M. | author-link=Paul Cohn
  | year=2003
  | title=Further algebra and applications
  | edition=Revised ed. of Algebra, 2nd
  | location=London | publisher=[[இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம்]]
  | isbn=1-85233-667-6
  | zbl=1006.00001
 }}
 * {{cite book
  | last1 = Dummit | first1 = David S.
  | last2 = Foote | first2 = Richard M.
  | year = 2004
  | title = Abstract Algebra
  | edition = 3rd
  | publisher = [[யோன் வில்லி அன் சன்ஸ்]]
  | isbn = 0-471-43334-9
 }}
 * {{cite book
  | last = Jacobson | first = Nathan | author-link = Nathan Jacobson
  | year = 2009
  | title = Basic Algebra 1
  | edition = 2nd
  | publisher = Dover
  | isbn = 978-0-486-47189-1
 }}
 * {{cite book
  | title = Algebra
  | last = Lang | first = Serge | author-link = Serge Lang
  | year = 2002
  | series = [[Graduate Texts in Mathematics]]
  | publisher = [[இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம்|Springer]]
  | isbn = 0-387-95385-X
 }}
 * {{citation
  | last = Watkins | first = John J.
  | year = 2007
  | title = Topics in commutative ring theory
  | publisher = Princeton University Press
  | isbn = 978-0-691-12748-4
  | mr = 2330411
 }}
 * {{cite book
  | title = Basic number theory
  | last = Weil | first = André | author-link = André Weil
  | year = 1974
  | series = Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
  | volume = 144
  | edition = 3rd
  | publisher = [[இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம்]]
  | isbn = 978-3-540-58655-5
 }}
 {{refend}}
 
 [[பகுப்பு:குலக்கோட்பாடு]]