பல்லுறுப்புத் தேற்றம்
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''பல்லுறுப்புத் தேற்றம்''' (''multinomial theorem'') என்பது ஒரு கூட்டுத்தொகையின் [[அடுக்கேற்றம்|அடுக்கினை]] அக்கூட்டுத்தொகையிலுள்ள உறுப்புகளின் அடுக்குகளின் மூலம் எவ்வாறு விரித்தெழுதலாம் என விளக்குகிறது. இத்தேற்றம் [[ஈருறுப்புத் தேற்றம்|ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின்]] பொதுமைப்படுத்தலாகும்.
 
 == தேற்றம் ==
 ''m'' ஒரு நேர்ம முழு எண்; ''n'' ஒரு எதிர்மமல்லா முழு எண் எனில்:
 :&lt;math&gt;(x_1 + x_2  + \cdots + x_m)^n
  = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
   \prod_{t=1}^m x_t^{k_t}\,,&lt;/math&gt;
 
 இதில் &lt;math&gt; {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}&lt;/math&gt; ஒரு &quot;பல்லுறுப்புக் கெழு&quot; அல்லது &quot;பல்லுறுப்புக் குணகம்&quot; ஆகும். 
 இந்த விரிவின் ஒவ்வொரு உறுப்பிலுமுள்ள ''x''&lt;sub&gt;''i''&lt;/sub&gt; இன் அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை ''n'' ஆக இருக்கும். மேலும் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் போலவே இத்தேற்றத்திலும் ''x''&lt;sup&gt;0&lt;/sup&gt; என்ற வடிவிலுள்ளவற்றின் மதிப்பு 1 ஆக எடுத்துக்கொள்ளப்படும் (''x'' = 0 ஆக இருந்தாலும் கூட).
 
 ''m'' = 2 ஆக இருக்கும் போது பல்லுறுப்புத் தேற்றமானது ஈருறுப்புத் தேற்றமாகிவிடும்.
 
 === எடுத்துக்காட்டு ===
 மூவுறுப்புக்கோவை ''a'' + ''b'' + ''c'' இன் மூன்றடுக்கின் விரிவு:
 
 :&lt;math&gt;(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3 a^2 b + 3 a^2 c + 3 b^2 a + 3 b^2 c + 3 c^2 a + 3 c^2 b + 6 a b c.&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;(a+b+c)^3 &lt;/math&gt; இன் விரிவை கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்பைப் பயன்படுத்திக் காணமுடியும். என்றாலும் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவுபடுத்தல் எளிதாக இருக்கும். ஏனென்றால் இத்தேற்றத்தின்படி பல்லுறுப்புக் கெழுக்களைக் கணக்கிடல் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக:
 
 :&lt;math&gt;a^2 b^0 c^1 &lt;/math&gt; இன் கெழு &lt;math&gt;{3 \choose 2, 0, 1} = \frac{3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!} = \frac{6}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3.&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;a^1 b^1 c^1&lt;/math&gt; இன் கெழு &lt;math&gt;{3 \choose 1, 1, 1} = \frac{3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!} = \frac{6}{1 \cdot 1 \cdot 1} = 6.&lt;/math&gt;
 
 === மாற்று வடிவம் ===
 பல்லடுக்குகளைப் பயன்படுத்தி இத்தேற்றத்தின் கூற்றைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:
 
 :&lt;math&gt;(x_1+\cdots+x_m)^n = \sum_{|\alpha|=n}{n \choose \alpha}x^\alpha&lt;/math&gt;
 
 இதில்,
 
 :&lt;math&gt;
 \alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)
 &lt;/math&gt;
 மற்றும்
 :&lt;math&gt;
 x^\alpha=x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_m^{\alpha_m}
 &lt;/math&gt;
 === நிறுவல்===
 [[ஈருறுப்புத் தேற்றம்]] மற்றும் ''m'' மீதானக் [[கணிதத் தொகுத்தறிதல்]] முறையைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புத் தேற்றம் இங்கு நிறுவப்படுகிறது.
 
 கணிதத் தொகுத்தலறிதல் முறையின் படிநிலைகள்:
 *படிநிலை 1 
 :''m''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;1, எனில் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் இருபுறமும் ''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;&lt;sup&gt;''n''&lt;/sup&gt; என சமமாக உள்ளன.
 *படிநிலை 2
 ''m'' இற்குப் பல்லுறுப்புத் தேற்றம் உண்மையெனக் கொண்டு ''m''&amp;nbsp;+&amp;nbsp;1 மதிப்பிற்கும் தேற்றம் உண்மையாகிறது என கீழே நிறுவப்படுகிறது:
 
 : &lt;math&gt;
 \begin{align}
 &amp; (x_1+x_2+\cdots+x_m+x_{m+1})^n = (x_1+x_2+\cdots+(x_m+x_{m+1}))^n \\[6pt]
 = {} &amp; \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} x_1^{k_1} x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_m+x_{m+1})^K
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 வலப்புறமுள்ள கடைசி காரணியை ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிக்க:
 
 :&lt;math&gt; = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum_{k_m+k_{m+1}=K}{K\choose k_m,k_{m+1}}x_m^{k_m}x_{m+1}^{k_{m+1}}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K}{K\choose k_m,k_{m+1}} =  \frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_{m-1}!K!} \frac{K!}{k_m! k_{m+1}!}=\frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_{m+1}!} = {n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},k_m,k_{m+1}},&lt;/math&gt; என்பதால் 
 
 :&lt;math&gt; (x_1+x_2+\cdots+x_m+x_{m+1})^n = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+k_m+k_{m+1}=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},k_m,k_{m+1}} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_m^{k_m}x_{m+1}^{k_{m+1}}
 &lt;/math&gt;
 
 எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையின் இரண்டாம் படிநிலையும் நிறுவப்பட்டு பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் நிறுவல் நிறைவுறுகிறது.
 
 == பல்லுறுப்புக் கெழுக்கள் ==
 பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் வலப்பக்க விரிவில் இடம்பெறும் உறுப்புக்களின் எண் கெழுக்கள் :&lt;math&gt; {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}&lt;/math&gt; &quot;பல்லுறுப்புக் கெழுக்கள்&quot; அல்லது &quot;பல்லுறுப்புக் குணகங்கள்&quot; என அழைக்கப்படுகின்றன. இவற்றின் வாய்பாடு:
 :&lt;math&gt;
 {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!} = {k_1\choose k_1}{k_1+k_2\choose k_2}\cdots{k_1+k_2+\cdots+k_m\choose k_m}
  &lt;/math&gt;
 
 பல்லுறுப்புக் கெழுக்களின் கூட்டுத்தொகை:
 பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவிலுள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்:
 :&lt;math&gt;
 \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = m^n.
 &lt;/math&gt;
 
 விளக்கம்:
 :பல்லுறுப்புத் தேற்றம்:
 :&lt;math&gt;\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}
 = (x_1 + x_2  + \cdots + x_m)^n&lt;/math&gt;
 இதில்  &lt;math&gt; x_i =1, (\forall i) &lt;/math&gt; எனப் பதிலிட:
 :&lt;math&gt;
 \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = m^n.
 &lt;/math&gt;
 
 சேர்வியல் விளக்கம்:
 :பல்லுறுப்புக் கெழுக்களின் மதிப்பு வெவ்வேறான ''n'' பொருட்களை, வெவ்வேறான ''m'' பெட்டிகளில் போடும் வழிகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும். இதில், முதல் பெட்டியில் ''k''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt; பொருட்களும் இரண்டாவது பெட்டியில் ''k''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt; பொருட்களும் மூன்றாவது பெட்டியில் ''k''&lt;sub&gt;3&lt;/sub&gt; பொருட்கள் என்று பொருட்கள் பெட்டிகளில் போடப்பட வேண்டும்&lt;ref&gt;{{cite web |url=http://dlmf.nist.gov/ |title=NIST Digital Library of Mathematical Functions |author=National Institute of Standards and Technology |author-link=National Institute of Standards and Technology |date=May 11, 2010 |at=[http://dlmf.nist.gov/26.4 Section 26.4] |accessdate=August 30, 2010}}&lt;/ref&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{Reflist}}
 
 [[பகுப்பு:சேர்வியல்]]