முகம் (வடிவவியல்)
[[திண்மம் (வடிவவியல்)|திண்ம வடிவவியலில்]] '''முகம்''' (''face'') என்பது ஒரு திண்மப்பொருளின் வரம்பின் ஒரு பகுதியாக அமைந்திருக்கும் தட்டையான மேற்பரப்பு ஆகும்.&lt;ref&gt;{{cite book | title = Merriam-Webster's Collegiate Dictionary | edition = Eleventh | publisher = Merriam-Webster | location = Springfield, MA | year = 2004}}&lt;/ref&gt; இத்தகைய முகங்களால் மட்டுமே அடைபெறும் முப்பரிமாணத் திண்மம்,   [[பன்முகத்திண்மம்|பன்முகியாகும்]].
 
 உயர்பரிமாண பல்பரப்புகளில் &quot;முகம்&quot; என்ற சொல்லானது அந்தப் பல்பரப்பின் வெவ்வேறு பரிமாணக் கூறுகளைக் (0-முகம், 1-முகம், 2-முகம், 3-முகம்.....) குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.&lt;ref name=&quot;m&quot;&gt;{{citation|title=Lectures in Discrete Geometry|url=https://books.google.com/books?id=0N5RVe5lKQUC&amp;pg=PA86|at=5.3 Faces of a Convex Polytope, p. 86|volume=212|series=[[Graduate Texts in Mathematics]]|publisher=Springer|year=2002|author-link=Jiří Matoušek (mathematician)|first=Jiří|last=Matoušek|isbn = 9780387953748}}.&lt;/ref&gt;
 
 == பல்கோண முகம்==
 [[Image:hexahedron.png|200px|right|thumb|கனசதுரத்தின் முகங்களாகச் சதுரங்கள்.]]
 [[File:Hypercube.svg|200px|right|thumb|நாற்பரிமாணக் கனசதுரம் அல்லது மீச்சதுரம்]]
 அடிப்படை வடிவவியலில்  ஒரு பன்முகியின் வரம்பில் அமைந்துள்ள ஒரு [[பல்கோணம்|பல்கோணம்]] அப்பன்முகியின் &quot;முகம்&quot; என அழைக்கப்படுகிறது.{{Efn|Some other polygons, which are not faces, are also important for polyhedra and tilings. These include [[Petrie polygon]]s, [[vertex figures]] and [[Facet (geometry)|facets]] (flat polygons formed by coplanar vertices that do not lie in the same face of the polyhedron).|name=|group=note}}&lt;ref name=&quot;m&quot;/&gt;&lt;ref&gt;{{citation|title=Polyhedra|first=Peter R.|last=Cromwell|publisher=Cambridge University Press|year=1999|page=13|isbn=9780521664059|url=https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&amp;pg=PA13}}.&lt;/ref&gt; பன்முகியின் பல்கோண முகமானது அந்தப் &quot;பன்முகியின் பக்கம்&quot; எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.
 
 படத்தில் ஒரு [[கனசதுரம்|கனசதுரத்தின்]] (பன்முகி) முகங்களாக ஆறு [[சதுரம்|சதுரங்கள்]] (பல்கோணம்) இருப்பதைக் காணலாம். 
 
 சிலசமயங்களில் ஒரு 4-பல்பரப்பின் இருபரிமான இயல்புகளைக் குறிக்கவும் இச்சொல் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதன்படி ஒரு நாற்பரிமாணக் கனசதுரம் 24 முகங்கள் கொண்டது; அவை ஒவ்வொன்றும் அந்த நாற்பரிமாணக் கனசதுரத்தின் 8 கனசதுரச் சிற்றறைகளில் இரண்டைப் பகிர்ந்து கொண்டிருக்கும் (படத்தில் காணவும்).
 
 == பன்முகியின் பல்கோணப் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை ==
 ஒரு குவிவுப் பன்முகியின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை கீழுள்ள &quot;ஆய்லர் பண்பை&quot; நிறைவு செய்யும்:
 :&lt;math&gt;V - E + F = 2,&lt;/math&gt;
 
 இதில்,
 * ''V'' - பன்முகியின் [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகளின் எண்ணிக்கை]]
 * ''E'' - பன்முகியின் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை
 * ''F'' - பன்முகியின் முகங்களின் எண்ணிக்கை 
 
 இச்சமன்பாடு &quot;ஆய்லரின் பன்முகி வாய்பாடு&quot; என அழைக்கப்படுகிறது&lt;ref&gt;{{Cite journal|last=Euler|first=Leonhard|date=1758-01-01|title=Elementa doctrinae solidorum|url=https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/230|journal=Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae|pages=109–140}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Richeson 2008&lt;/ref&gt;.
 
 இச்சமன்பாட்டிலிருந்து ஒரு பன்முகியின் முகங்களின் எண்ணிக்கையானது, அதன் விளிம்புகளின் எண்ணிக்கையிலிருந்து உச்சிகளின் எண்ணிக்கையைக் கழித்துக் கிடைக்கும் எண்ணைவிட இரண்டு அதிகமாக இருக்கும் என அறியலாம்.
 [[File:Ecke Kante Flaeche.svg|thumb|கனசதுரத்தின் உச்சி, விளிம்பு, முகம்]]
 எடுத்துக்காட்டு:
 ஒரு கனசதுரத்தில்
 :''V'' - உச்சிகளின் எண்ணிக்கை = 8
 :''E'' - விளிம்புகளின் எண்ணிக்கை = 12.
 :''F'' - முகங்களின் எண்ணிக்கை = (12 - 8) + 2 = 6
 
 == ''k''-முகம்==
 உயர்பரிமாண வடிவவியலில், ஒரு பல்பரப்பின் முகங்கள் என்பது அந்தப் பல்பரப்பின் எல்லாப் பரிமாணக் கூறுகளையும் குறிக்கும்.&lt;ref name=&quot;m&quot;/&gt;&lt;ref name=&quot;g&quot;&gt;{{citation|title=Convex Polytopes|title-link=Convex Polytopes|first=Branko|last=Grünbaum|author-link=Branko Grünbaum|page=[https://books.google.com/books?id=ISHO86XJ1CsC&amp;pg=PA17 17]|volume=221|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=Springer|year=2003}}.&lt;/ref&gt;&lt;ref name=&quot;z&quot;&gt;{{citation|first=Günter M.|last=Ziegler|author-link=Günter M. Ziegler|title=Lectures on Polytopes|at=Definition 2.1, p. 51|url=https://books.google.com/books?id=xd25TXSSUcgC&amp;pg=PA51|volume=152|series=Graduate Texts in Mathematics|publisher=Springer|year=1995|isbn=9780387943657}}.&lt;/ref&gt; ''k'' பரிமாணத்திலமைந்த முகமானது ''k''-முகம் எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, முப்பரிமாணப் பன்முகிகளின் பல்கோண முகங்கள் இருபரிமாண வடிவங்கள். எனவே அவை பன்முகியின் 2-முகங்கள் எனப்படுகின்றன. 
 
 [[கணக் கோட்பாடு|கணக் கோட்பாட்டில்]] ஒரு பல்பரப்பின் முகங்கள் அடங்கிய [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தில்]] அப்பல்பரப்பு ஒரு முகமாகவும், [[வெற்றுக் கணம்|வெற்றுக் கணம்]] -1 பரிமாண முகமாகவும் சேர்க்கப்படுகின்றன. எந்தவொரு ''n''-பல்பரப்புக்கும் (''n''-பரிமாணப் பல்பரப்பு) ''k'' இன் மதிப்பானது −1 ≤ ''k'' ≤ ''n'' என்றபடி இருக்கும்.
 
 இவ்விளக்கத்தை [[கனசதுரம்]] மற்றும் 4-பல்பரப்பு ஆகியவற்றின் மூலம் புரிந்து கொள்ளலாம். 
 
 *கனசதுரத்தில் முகங்களின் கணத்திலுள்ள உறுப்புகள்:
 ** அக்கனசதுரம் (3-முகம்; கனசதுரத்தின் முப்பரிமாணக் கூறு)
 ** கனசதுரத்தை அடைக்கும் 6 சதுரங்கள் (2-முகங்கள், கனசதுரத்தின் இருபரிமாணக் கூறுகள்)
 ** கனசதுரத்தின் விளிம்புகள் (1-முகங்கள், கனசதுரத்தின் ஒருபரிமாணக் கூறுகள்),
 ** கனசதுரத்தின் [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகள்]] (0-முகங்கள், கனசதுரத்தின் 0-பரிமாணக் கூறுகள்)
 ** வெற்றுக் கணம். (இதன் பரிமாணம் −1 என எடுத்துக்கொள்ளப் படுகிறது)
 
 *4-பல்பரப்பின் (நான்கு பரிமாண பல்பரப்பு) முகங்களின் கணத்திலுள்ள உறுப்புகள்:
 ** அந்த 4-பல்பரப்பு (4-முகம்)
 ** பல்பரப்பின் 3-பரிமாண [[பன்முகி]]ச் சிற்றறைகள் (cells) 
 ** பல்பரப்பின் 2-பரிமாண [[பல்கோணம்|பல்கோண]] வடிவ மேடுகள் (Ridges)
 ** பல்பரப்பின் 1-பரிமாண [[விளிம்பு (வடிவவியல்)|விளிம்புகள்]] ([[கோட்டுத்துண்டு]]கள்)
 ** பல்பரப்பின் 0-பரிமாண [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகள்]] ([[புள்ளி]]கள்
 ** வெற்றுக் கணம். (இதன் பரிமாணம் −1 என எடுத்துக்கொள்ளப் படுகிறது.)
 
 === மீமுகம் அல்லது (''n'' − 1)-முகம் ===
 உயர்பரிமாண வடிவவியலில் ஒரு ''n''-பல்பரப்பின் (''n''-1)-முகங்கள் (பல்பரப்பின் பரிமாணத்தைவிட ஒரு பரிமாணம் குறைவான முகங்கள் அப்பல்பரப்பின் &quot;முகப்புகள்&quot; (facets) அல்லது (மீமுகங்கள்&quot; (hyperfaces) என அழைக்கப்படுகின்றன.&lt;ref&gt;[[Norman Johnson (mathematician)|N.W. Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite symmetry groups'', 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.225&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{harvtxt|Matoušek|2002}}, p. 87; {{harvtxt|Grünbaum|2003}}, p. 27; {{harvtxt|Ziegler|1995}}, p. 17.&lt;/ref&gt; பல்பரப்பு அதன் மீமுகங்களால் அடைக்கப் படுகிறது.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 * ஒரு [[கோட்டுத்துண்டு|கோட்டுத்துண்டின்]] மீமுகங்கள் அதன் தொடக்க மற்றும் முடிவுப் [[உச்சி (வடிவவியல்)|புள்ளிகள்]] (0-முகங்கள்).
 * ஒரு [[பல்கோணம்|பல்கோணத்தின்]] மீமுகங்கள் அதன் [[விளிம்பு (வடிவவியல்)|விளிம்புகள்]] (1-முகங்கள்).
 * ஒரு [[பன்முகத்திண்மம்|பன்முகியின்]] மீமுகங்கள் அதன் [[முகம் (வடிவவியல்)|பல்கோண முகங்கள்]] (2-முகங்கள்).
 * ஒரு 4-பல்பரப்பின் மீமுகங்கள் அதன் முப்பரிமானக் கூறுகளான சிற்றறைகள் (3-முகங்கள்)
 * ஒரு 5-பல்பரப்பின் மீமுகங்கள் அதன் 4-முகங்கள்
 
 ===மேடு அல்லது (''n'' − 2)-முகம்===
 ஒரு ''n''-பல்பரப்பின் (''n''-2)-முகங்கள் (பல்பரப்பின் பரிமாணத்தைவிட இரண்டு பரிமாணம் குறைவான முகங்கள்) அப்பல்பரப்பின் &quot;முகடுகள்&quot; அல்லது மேடுகள்&quot; (ridges) அல்லது உள்முகப்புகள் (subfacets) என அழைக்கப்படுகின்றன.&lt;ref&gt;{{harvtxt|Matoušek|2002}}, p. 87; {{harvtxt|Ziegler|1995}}, p. 71.&lt;/ref&gt; ஒரு பல்பரப்பின் இரண்டே இரண்டு மீமுகங்களின் வரம்பாக மேடுகள் அமைகின்றன.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 * இரு பரிமாணப் [[பல்கோணம்|பல்கோணத்தின்]] மேடுகள் அதன் [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகள்]] (0-முகங்கள்).
 * முப்பரிமாணப் [[பன்முகத்திண்மம்|பன்முகியின்]] மேடுகள் அதன் [[விளிம்பு (வடிவவியல்)|விளிம்புகள்]] (1-முகங்கள்).
 * 4-பல்பரப்பின் மேடுகள் அவற்றின் இருபரிமாண முகங்கள் (2-முகங்கள்)
 * 5-பல்பரப்பின் மேடுகள் அதன் முப்பரிமாணச் சிற்றறைகள் (3-முகங்கள்).
 
 === சிகரம் அல்லது (''n'' − 3)-முகங்கள்===
 ஒரு ''n''-பல்பரப்பின் (''n''&amp;nbsp;−&amp;nbsp;3)-முகங்கள் அதன் உச்சங்கள் அல்லது சிகரங்கள் (peaks) என அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு ஒழுங்கு பல்பரப்பின் சிகரமானது, அதன் முகப்புகளின் சுழற்சி அச்சுகளையும் மேடுகளையும் கொண்டிருக்கும்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 * முப்பரிமாணப் [[பன்முகத்திண்மம்|பன்முகிக்கு]] அதன் [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகள்]] (0-முகங்கள்) சிகரங்கள் ஆகும்.
 * 4-பல்பரப்பின் சிகரங்கள் அதன் [[விளிம்பு (வடிவவியல்)|விளிம்புகளாகும்]] (1-முகங்கள்).
 * 5-பரிமாணப் பல்பரப்பின் சிகரங்கள் அதன் முகங்களாகும் (2-முகங்கள்).
 
 == குறிப்புகள் ==
 {{reflist|group=note}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 * {{mathworld |urlname=Face |title=Face}}
 * {{mathworld |urlname=Facet |title=Facet}}
 * {{mathworld |urlname=Side |title=Side}}