அடுக்குச் சராசரி

 [[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி''' (''generalized mean'') அல்லது '''அடுக்குச் சராசரி''' (''power mean'') என்பது [[பித்தாகரசின் சராசரிகள்|பித்தாகரசின் சராசரிகளான]] [[கூட்டுச் சராசரி]], [[பெருக்கல் சராசரி]] மற்றும் [[இசைச் சராசரி]]களின் சாராம்சமாகும்.
 
 ==வரையறை==
 ''p'' ஒரு [[பூச்சியம்|பூச்சியமில்லா]] [[எண்#மெய்யெண்கள்|மெய்யெண்]] எனில், &lt;math&gt;x_1,\dots,x_n&lt;/math&gt;  என்னும் நேர்ம மெய்யெண்களின் ''p'' -அடுக்கு கொண்ட பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி அல்லது அடுக்குச் சராசரி:&lt;ref name = &quot;dC2016&quot;&gt;{{cite journal|last=de Carvalho|first=Miguel|title=Mean, what do you Mean?|journal=[[The American Statistician]]|year=2016|volume=70|issue=3|pages=764‒776|doi=10.1080/00031305.2016.1148632|url=https://zenodo.org/record/895400|hdl=20.500.11820/fd7a8991-69a4-4fe5-876f-abcd2957a88c|hdl-access=free}}&lt;/ref&gt;
 :&lt;math&gt;
 M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \right)^{1/p}
 &lt;/math&gt;
 
 ''p'' -ன் மதிப்பு பூச்சியமெனில் இச்சராசரி, பெருக்கல் சராசரியாக இருக்குமெனக் கொள்ளல் வேண்டும்:
 
 :&lt;math&gt;
 M_0(x_1, \dots, x_n) = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}
 &lt;/math&gt;
 
 மேலும் &lt;math&gt;w=\sum w_i&lt;/math&gt;  என அமையும் நேர்ம எடைகள் &lt;math&gt;w_i&lt;/math&gt; -களுக்கு எடையிடப்பட்ட அடுக்குச் சராசரியினைப் பின்வருமாறு [[வரையறை|வரையறுக்கலாம்]]:
 
 :&lt;math&gt;
 M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{w}\sum_{i=1}^n w_ix_{i}^p \right)^{1/p}
 &lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;
 M_0(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[w]{\prod_{j=1}^n x_j^{w_j}}
 &lt;/math&gt;
 
 இவ்[[வாய்ப்பாடு]] எளிமையாக அமைய எடைகளை இயல்நிலைப்படுத்திக் கொள்ளலாம்:
 
 அதாவது, &lt;math&gt; \sum_{i=1}^n {w_i} = 1&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;M_p(x_1,\dots,x_n) = \left(\sum_{i=1}^n w_ix_{i}^p \right)^{1/p}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;M_0(x_1,\dots,x_n) = \prod_{i=1}^n x_i^{w_i}&lt;/math&gt;
 
 சம எடைகள் (&amp;nbsp;''1/n'')  கொண்ட தரவாகக் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் எடையிடப்படாத சராசரிகளைக் காணமுடியும். அடுக்கு, நேர்ம அல்லது எதிர்ம முடிவிலியாக இருக்கும்போது அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்பு முறையே [[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|பெரும]] அல்லது சிறும மதிப்பாக அமையும்(எடைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாமல்).
 
 :&lt;math&gt;M_\infty (x_1,\dots,x_n)=\max(x_1,\dots,x_n)&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;M_{-\infty}(x_1,\dots,x_n)=\min(x_1,\dots,x_n)&lt;/math&gt;
 
 == சிறப்பு வகைகள்==
 [[Image:MathematicalMeans.svg|thumb|right| ''n=2''-வகையின் படவிளக்கம்.]]
 {| style=&quot;border:none; padding:20px&quot;
 |&lt;math&gt;\lim_{p\to-\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \min \{x_1,\dots,x_n\}&lt;/math&gt;
 |style=&quot;padding:0px 0px 0px 20px&quot;| [[சிறும மதிப்பு]]
 |-
 |&lt;math&gt;M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}&lt;/math&gt;
 |style=&quot;padding:0px 0px 0px 20px&quot;| [[இசைச் சராசரி]]
 |-
 |&lt;math&gt;\lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}&lt;/math&gt;
 |style=&quot;padding:0px 0px 0px 20px&quot;| [[பெருக்கல் சராசரி]]
 |-
 |&lt;math&gt;M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}&lt;/math&gt;
 |style=&quot;padding:0px 0px 0px 20px&quot;| [[கூட்டுச் சராசரி]]
 |-
 |&lt;math&gt;M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}&lt;/math&gt;
 |style=&quot;padding:0px 0px 0px 20px&quot;| [[இருபடிச் சராசரி]]
 |-
 |&lt;math&gt;\lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\}&lt;/math&gt;
 |style=&quot;padding:0px 0px 0px 20px&quot;| [[பெரும மதிப்பு (கணிதம்)|பெரும மதிப்பு]]
 |}&lt;ref name=&quot;mw&quot;&gt;{{MathWorld|title=Power Mean|urlname=PowerMean}} (retrieved 2019-08-17)&lt;/ref&gt;
 
 ==பண்புகள்==
 
 * எல்லாச் சராசரிகளையும் போல பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியும் சமச்ச்சீர்தன்மை உடையது.
 : ''b''  ஒரு நேர்ம மெய்யெண் என்க.
 
 &lt;math&gt;M_p(bx_1,\dots,bx_n) &lt;/math&gt;  =  &lt;math&gt;bM_p(x_1,\dots,x_n) &lt;/math&gt;
 
 *   &lt;math&gt;M_p(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) =
   M_p(M_p(x_1,\dots,x_{k}),
       M_p(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}),
       \dots,
       M_p(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))
 &lt;/math&gt;
 
 === சமனின்மை ===
 
 ''p''&amp;nbsp;&lt;&amp;nbsp;''q'' எனில்,
 
 &lt;math&gt;M_p(x_1,\dots,x_n) \le M_q(x_1,\dots,x_n)&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;x_1 = x_2 = \cdots = x_n&lt;/math&gt; என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே&lt;math&gt;M_p&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;M_q&lt;/math&gt; இரண்டும் சமம்.
 
 ''p'' -ன் பூச்சிய மதிப்பு, பூச்சியமற்ற மெய்யெண் மதிப்பு, நேர்ம மற்றும் எதிர்ம முடிவிலி மதிப்புகளுக்கு இச்சமனின்மை உண்மையாகும்,
 
 குறிப்பாக &lt;math&gt;p\in\{-1, 0, 1\}&lt;/math&gt; எனில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மை பித்தாரசின் சராசரிகளின் சமனின்மை மற்றும் கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனின்மையுமாகும்.
 
 எடையிடப்பட்ட பொதுமைச் சராசரியின் சமனின்மைமையை நிறுவ,
 
 :&lt;math&gt;w_i\in (0;1]&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\sum_{i=1}^nw_i=1&lt;/math&gt; எனவும்,
 
 எடையிடப்படாத பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மையை நிறுவ &lt;math&gt;w_i=\frac{1}{n}&lt;/math&gt; எனவும் எடுத்துக்கொள்ளல் வேண்டும்.
 
 ===எதிர்க்குறி அடுக்கு கொண்ட சராசரிகளின் சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மை===
 
 ''p'' மற்றும் ''q''  எனும் இரு அடுக்குகளுக்கு அடுக்குச் சராசரிகள் பின்வரும் சமனின்மையைக் கொண்டிருந்தால்:
 
 :&lt;math&gt;\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}&lt;/math&gt;
 
 இதிலிருந்து
 
 :&lt;math&gt;\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^p}}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^q}}&lt;/math&gt; என எழுதலாம்.
 
 இருபுறமும் அடுக்கினை −1 க்கு உயர்த்த (நேர்ம மெய் குறையும் சார்பு):
 
 :&lt;math&gt;\sqrt[-p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-p}}=\sqrt[p]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^p}}}\geq \sqrt[q]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^q}}}=\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}&lt;/math&gt;
 
 எனவே அடுக்குகள், −''p'' மற்றும் −''q'' -க்கான அடுக்குச் சராசரிகளிக்கான சமனின்மை கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து முன்பு செய்த இதே செயல்முறைகளை எதிர்வரிசையில் செய்து சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மையை நிறுவலாம்.
 
 ===பெருக்கல் சராசரியுடன் சமனின்மை===
 ''q'' அடுக்கு கொண்ட அடுக்குச் சராசரிக்கும் பெருக்கல் சராசரிக்குமிடையே அமையும் சமனின்மை:
 
 :&lt;math&gt;\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}&lt;/math&gt;...................(''q'' -நேர்மம்).
 
 :&lt;math&gt;\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} &lt;/math&gt;.....................(''q''  -எதிர்மம்).
 
 இருபுறமும் அடுக்கு ''q'' -க்கு உயர்த்த:
 
 :&lt;math&gt;\prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i^q&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\sum_{i=1}^nw_ix_i^q \leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q}&lt;/math&gt;
 
 இவ்விரண்டும் &lt;math&gt;x_i^q&lt;/math&gt; என்ற தொடரின் எடையிடப்பட்ட கூட்டுச் சராசரி மற்றும் எடையிடப்பட்ட பெருக்கல் சராசரிகளுக்கிடையேயான சமனின்மையாக அமையும்.
 
 [[மடக்கை]]ச் சார்புகள் குழிவானவை என்பதால்:
 
 :&lt;math&gt;\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i) \leq \log\left( \sum_{i=1}^nw_ix_i \right)&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\log \left( \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \right) \leq \log \left( \sum_{i=1}^nw_ix_i \right)&lt;/math&gt;
 
 இருபுறமும் அடுக்குக்குறிச் சார்புக்கு மாற்ற:
 
 :&lt;math&gt;\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i&lt;/math&gt;
 
 எனவே எந்தவொரு நேர்ம ''q'' - மதிப்பிற்கும்:
 
 :&lt;math&gt;\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}&lt;/math&gt;
 
 எனவே பெருக்கல் சராசரிக்கும் அடுக்குச் சராசரிக்குமிடையேயான சமனின்மை நிறுவப்படுகிறது.
 
 ===இரு அடுக்குச் சராசரிகளுக்கிடயேயான சமனின்மை===
 
 ''p''&amp;nbsp;&lt;&amp;nbsp;''q''  - அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் சமனின்மை உண்மை என நிறுவ வேண்டும்:
 
 :&lt;math&gt;\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}&lt;/math&gt;
 
 ''p''  எதிர்மம், ''q''  நேர்மமாக இருந்தால் இச்சமனின்மை ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட பின்வரும் சமனின்மைக்குச் சமானமானதாகும்:
 
 :&lt;math&gt;\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}&lt;/math&gt;
 
 ''p'' , ''q''  இரண்டும் நேர்மமாக இருக்கும்போது நிறுவல் பின்வருமாறு:
 
 சார்பு f -ஐ பின்வருமாறு வரையறுத்துக் கொள்ளலாம்:
 
 :&lt;math&gt;f:{\mathbb R_+}\rightarrow{\mathbb R_+},&lt;/math&gt; &lt;math&gt;f(x)=x^{\frac{q}{p}}&lt;/math&gt;.
 
 ''f''  அடுக்குச் சார்பானதால் அதற்கு இரண்டாம் வகைக்கெழு உண்டு:
 
 : &lt;math&gt;f''(x) = \left(\frac{q}{p} \right) \left( \frac{q}{p}-1 \right)x^{\frac{q}{p}-2},&lt;/math&gt;
 
 ''f'' -ன் ஆட்களத்தில் இவ்வகையீட்டின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மமாகவே இருக்கும். மேலும் ''q''&amp;nbsp;&gt;&amp;nbsp;''p'' என்பதால் ''f'' குவிச் சார்பாக இருக்கும்.
 
 எனவே ஜென்சன் சமனின்மையின்படி:
 
 :&lt;math&gt;f \left( \sum_{i=1}^nw_ix_i^p \right) \leq \sum_{i=1}^nw_if(x_i^p)&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\sqrt[\frac{q}{p}]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sum_{i=1}^nw_ix_i^q&lt;/math&gt;
 
 இருபுறமும் 1/''q''  அடுக்குக்கு உயர்த்த:
 
 :&lt;math&gt;\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}&lt;/math&gt;
 
 முன்பு நிறுவிய அடுக்குச் சராசரிகளின் சமானத்தன்மையைப் பயன்படுத்தி,  ''p'' , ''q''  -க்குப் பதிலாக முறையே &amp;minus;''q'' and &amp;minus;''p'',  பிரதியிட்டு இச்சமனின்மையை ''p'' , ''q''  இரண்டும் எதிர்மமாக இருக்கும்போதும் உண்மை என்பதை நிறுவலாம்.
 
 === பெருக்கல் சராசரி - ஒரு எல்லையாக ===
 
 அடுக்குச் சராசரியில் அடுக்கின் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கி நெருங்கும் எல்லை மதிப்பாக பெருக்கல் சராசரியைக் கொள்ளலாம்.
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 &amp; \lim_{p \to 0} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 இதை நிறுவுவதற்குத் தேவையான, பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவலாம்:
 
 :&lt;math&gt;\lim_{p\to0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}=\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)&lt;/math&gt;
 
 இவ்வெல்லையின் பகுதி மற்றும் தொகுதிகளின் எல்லை மதிப்புகள் பூச்சியமாக இருப்பதால் [[லாபிதாலின் விதி]]யைப் பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;\lim_{p\to 0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}=\lim_{p\to 0}\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\cdot\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)'=&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;=\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i}\cdot \lim_{p\to 0}\sum_{i=1}^n(w_i\cdot\log(x_i)\cdot x_i^p)=\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)&lt;/math&gt;
 
 அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மையின்படி:
 
 :&lt;math&gt;
 \begin{align}
 &amp; \lim_{p \to 0} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\lim_{p \to 0} \exp\left(\frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}\right) \\
 &amp; = \exp\left(\lim_{p \to 0} \frac{\log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)}{p}\right)=\exp\left(\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)\right)=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}
 \end{align}
 &lt;/math&gt;
 
 என்வே பெருக்கல் சராசரியானது அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கு பூச்சியத்தை நெருங்கும் எல்லை மதிப்பு என்பது நிறுவப்பட்டது.
 
 ===சிறும மற்றும் பெரும மதிப்பு===
 அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கின் மதிப்பு, &lt;math&gt;- \infty&lt;/math&gt; மற்றும் &lt;math&gt;+\infty&lt;/math&gt; -ஆக நெருங்கும் எல்லைநிலையில் அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்புகள் சிறும மற்றும் பெரும மதிப்புகளாக அமையும்.
 
 அனைத்து ''x&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;''  -களில் பெரும மதிப்பு - ''x''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;, சிறும மதிப்பு - ''x&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''  என்க.
 
 பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவிக் கொள்ளலாம்:
 
 :&lt;math&gt;\lim_{p \to \infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\right)=0&lt;/math&gt;
 
 ''p'' நேர்மம் எனில்:
 
 :&lt;math&gt;\frac{1}{p}\ln(w_1)=\frac{1}{p}\ln\left(\frac{w_1x_1^p}{x_1^p}\right)\leq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\leq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_1^p}{x_1^p}\right)=\ln(1)=0&lt;/math&gt;
 
 இந்த எல்லை மதிப்பைப் பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt; \lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)=\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(x_1^p\cdot\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)=\lim_{p \to \infty}\left(\frac{\ln(x_1^p)}{p}\right)+\lim_{p \to \infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\right)\right)=\ln(x_1)+0=\ln(x_1)&lt;/math&gt; என நிறுவலாம்.
 
 இறுதியாக அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:
 
 :&lt;math&gt;\lim_{p \to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\lim_{p \to \infty}\exp\left(\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=\exp\left(\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=x_1&lt;/math&gt;
 
 ''p'' எதிர்மம் என்க:
 
 :&lt;math&gt;\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_n^p}{x_n^p}\right)\right)=0&lt;/math&gt;
 
 ''p''&amp;nbsp;&lt;&amp;nbsp;0 எனில்:
 
 :&lt;math&gt;\frac{1}{p}\ln(w_n)=\frac{1}{p}\ln\left(\frac{w_nx_n^p}{x_n^p}\right)
 \geq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_n^p}\right)\geq\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_n^p}{x_n^p}\right)=\ln(1)=0&lt;/math&gt;
 
 எனவே:
 
 :&lt;math&gt; \lim_{p \to-\infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)=\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{\ln(x_n^p)}{p}\right)+\lim_{p \to -\infty}\left(\frac{1}{p}\ln\left(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_n^p}\right)\right)=\ln(x_n)&lt;/math&gt;
 
 மீண்டும் அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:
 
 :&lt;math&gt;\lim_{p \to-\infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\exp\left(\lim_{p \to -\infty}\frac{1}{p}\ln\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\right)=x_n&lt;/math&gt;
 
 == பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;-சராசரி ==
 
 பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட &lt;math&gt;f&lt;/math&gt;- சராசரியாக அடுக்குச் சராசரியை மேலும் பொதுமைப்படுத்தலாம்:
 
 :&lt;math&gt; M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1}
 \left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right) &lt;/math&gt;
 
 == சான்றுகள் ==
 {{Reflist}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 *[http://mathworld.wolfram.com/PowerMean.html Power mean at MathWorld]
 *[http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/BasicMath/Average/Generalized%20mean.html Examples of Generalized Mean]
 *A [http://planetmath.org/?op=getobj&amp;from=objects&amp;name=ProofOfGeneralMeansInequality proof of the Generalized Mean] on [[PlanetMath]]