இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றம்
கணிதத்தில் '''இடைநிலை மதிப்புத் தேற்ற'''த்தின்படி (''intermediate value theorem''), ஒரு [[தொடர்ச்சியான சார்பு|தொடர்ச்சியான சார்பின்]] எதிருருவின் குறைந்தபட்ச வரம்பிற்கும் அதிகபட்ச வரம்பிற்கும் இடையிலமையும் ஒரு மதிப்பினைச் சார்பின் [[வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு|எதிருருவாகக்]] கொண்டு, குறைந்தபட்சம் ஒரு புள்ளியாவது அச்சார்பின் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களத்தில்]] இருக்கும்.
 
 == தேற்றம் ==
 [[படிமம்:Intermediatevaluetheorem.svg|thumb|280px|இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றம்]]
 * ''படிவம் I.''
 :[[இடைவெளி (கணிதம்)|மூடிய இடைவெளி]] [''a'', ''b''] இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தொடர்ச்சியான மெய்மதிப்புச் சார்பு ''f'' . ''f''(''a'') மற்றும் ''f''(''b'') இரண்டிற்கும் இடைப்பட்டதொரு எண் ''u'' எனில், ''f''(''c'') = ''u'' ; ''c'' ∈ (''a'', ''b'') என்றவாறு ஒரு எண் ''c'' இருக்கும்.
 * ''படிவம் II.''
 :''I'' என்பது [[மெய்யெண்]] இடைவெளி [''a'', ''b'']. ''f'' : ''I'' → '''R''' ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு. இச்சார்பின்கீழ் அமையும் எதிருரு ''f''(''I'') ம் [''f''(''a''), ''f''(''b'')], அல்லது [''f''(''b''), ''f''(''a'')] என்ற இடைவெளியாக இருக்கும்.
 :: {{nowrap|''f''(''I'') &amp;supe; [''f''(''a''), ''f''(''b'')],}} அல்லது {{nowrap|''f''(''I'') &amp;supe; [''f''(''b''), ''f''(''a'')].}}
 
 இதற்குச் சமானமான வடிவம்:
 ::{{nowrap|''f'' : [''a'', ''b''] → '''R'''}} ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு மற்றும் {{nowrap|''f''(''a'') &lt; ''u'' &lt; ''f''(''b'')}} or {{nowrap|''f''(''a'') &gt; ''u'' &gt; ''f''(''b'')}} என்றவாறுள்ள ஒரு மெய்யெண் ''u'' எனில் ''f''(''c'') = ''u'' ,''c'' ∈ (''a'', ''b''), என ஒரு எண் ''c'' அமையும்.
 
 *''விளக்கம்''
 :[1, 2] இடைவெளியில் ''f'' ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பு மற்றும் ''f''(1) = 3 ; ''f''(2) = 5 எனில் இத்தேற்றத்தின்படி 1, 2 க்கு இடையே ஏதேனும் ஒரு மதிப்பிற்காவது  ''f'' ஆனது 4 என்ற மதிப்பினை அடையும்.
 
 இத் தேற்றத்தின் முடிவிலிருந்து மூடிய இடைவெளியில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தொடர்ச்சியான [[சார்பின் வரைபடம்]] வரைபடத்தாளில் பென்சிலை இடையிடையே எடுக்க வேண்டிய அவசியமில்லாமல் தொடர்ச்சியாக வரையப்படும் என்பதை அறியலாம்.
 
 இத் தேற்றம் மெய்யெண்களின் முழுமைத்தன்மையைச் சார்ந்திருக்கிறது. [[விகிதமுறு எண்]]களில் ('''Q''') இத் தேற்றம் உண்மையாவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக,
 
 :{{nowrap|1=''f''(''x'') = ''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; − 2}} ,''x'' ∈ '''Q''' எனில்,
 :''f''(0) = −2 மற்றும் ''f''(2) = 2.  ஆனால் √&lt;span style=&quot;text-decoration:overline&quot;&gt;2&lt;/span&gt; ஒரு [[விகிதமுறா எண்]] என்பதால் ''f''(''x'') = 0 என்றவாறுள்ள ''x'' எனும் விகிதமுறு எண் இல்லை.
 
 ''u'' = 0 எனில் கிடைக்கும் இத்தேற்றத்தின் கூற்று, '''பொல்சானோ தேற்றம்'''(''Bolzano's theorem'') ஆகும். கணிதவியலாளர் பெர்னார்ட் பொல்சானோவால் 1817 ஆம் ஆண்டில் பொல்சானோ தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டது. கணிதவியலாளர் அகஸ்டின் லூயிஸ் கோஷியும் 1821 இல் இதனை நிரூபித்தார்.&lt;ref name=&quot;grabiner&quot;&gt;{{cite journal
 |title=Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus
 |first=Judith V.
 |last=Grabiner
 |journal=The American Mathematical Monthly
 |month=March
 |year=1983
 |volume=90
 |pages=185–194
 |url=http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf
 |doi=10.2307/2975545
 |issue=3
 |publisher=Mathematical Association of America
 |jstor=2975545
 |postscript=&lt;!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to &quot;.&quot; for the cite to end in a &quot;.&quot;, as necessary. --&gt;
 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20030330014235/http://www.maa.org/pubs/Calc_articles/ma002.pdf
 |archivedate=2003-03-30
 |access-date=2013-11-19
 |url-status=live
 }}&lt;/ref&gt;
 
 == மறுதலை உண்மையல்ல ==
 இடைநிலை மதிப்புத் தேற்றத்தின் மறுதலை உண்மையில்லை.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 ''f'' : [0, ∞) → [−1, 1] என்ற சார்பின் வரையறை:
 :''f''(''x'') = sin(1/''x'') , ''x'' &gt; 0 மற்றும் f(0) = 0.
 
 இச் சார்புக்கு இந்த இடைவெளியில், இடைநிலை மதிப்பு உள்ளது. ஆனாலும் ''x'' இன் மதிப்பு [[பூச்சியம்|பூச்சியத்தை]] அணுகும்போது இச் சார்பின் மதிப்பு வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் ''x'' = 0 இல் சார்பு தொடர்ச்சியற்று உள்ளது.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 &lt;references /&gt;
 
 == வெளி இணைப்புகள் ==
 * [http://www.cut-the-knot.org/Generalization/ivt.shtml Intermediate value Theorem – Bolzano Theorem] at cut-the-knot
 * [http://demonstrations.wolfram.com/BolzanosTheorem/ Bolzano's Theorem] by Julio Cesar de la Yncera, Wolfram Demonstrations Project.
 * [http://BolzanosTheorem MathWorld - Bolzano's Theorem]{{Dead link|date=ஆகஸ்ட் 2021 |bot=InternetArchiveBot }}
 *[http://mathworld.wolfram.com/IntermediateValueTheorem.html IntermediateValueTheorem]