பரிமாற்று வளையம்
கணிதத்தில் '''பரிமாற்று வளையம்''' (''commutative ring'') என்பது பெருக்கலை பொறுத்து[[பரிமாற்றுத்தன்மை|பரிமாற்றுப் பண்பைக்]] கொண்டுள்ள ஒரு [[வளையம் (கணிதம்)|வளையமாகும்]]. பரிமாற்று வளையங்களைக் குறித்த விவரங்களை ஆய்வு செய்யும் பிரிவானது பரிமாற்று இயற்கணிதம் எனப்படுகிறது. மாறாக, ஒப்பீட்டளவில், பரிமாற்றுத்தன்மையற்ற இயற்கணிதம் என்பது பரிமாற்றற்ற வளையம் வளையங்களைக் குறித்ததாகும். பரிமாற்றற்ற வளயங்களில் பெருக்கலைப் பொறுத்து பரிமாற்றுபண்பு இல்லை.
 
 == வரையறை மற்றும் உதாரணங்கள் ==
 
 === வரையறை ===
 ஒரு வளையம் என்பது இரு [[ஈருறுப்புச் செயலி|ஈருறுப்புச் செயலிகளைக்]] கொண்ட ஒரு [[கணம் (கணிதம்)|கணம்]] R. இவ்விரு செயல்களும் &quot;கூட்டல்&quot; (&quot;&lt;math&gt;+&lt;/math&gt;&quot;), &quot;பெருக்கல்&quot; (&quot;&lt;math&gt;\cdot&lt;/math&gt;&quot;) எனப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக,
 : &lt;math&gt;a+b&lt;/math&gt; and &lt;math&gt;a \cdot b&lt;/math&gt;.
 
 ஒரு வளையத்தை உருவாக்க இந்த இரு செயல்களும் பல பண்புகளைப் பூர்த்தி செய்ய வேண்டும்:
 :வளையமானது
 * கூட்டலைப் பொறுத்து [[பரிமாற்றுக் குலம்|பரிமாற்றுக் குலமா]]கவும்
 *பெருக்கலைப் பொறுத்து [[ஒற்றைக்குலம்|ஒற்றைக்குல]]மாகவும் இருக்கும்.
 *மேலும் கூட்டலைப் பொறுத்து பெருக்கல் [[பங்கீட்டுப் பண்பு|பங்கீட்டுவிதி]]யை நிறைவு செய்யும். அதாவது
 &lt;math&gt;a \cdot \left(b + c\right) = \left(a \cdot b\right) + \left(a \cdot c\right)&lt;/math&gt;.
 * கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலுக்கான சமனி உறுப்புகள் முறையே 0 மற்றும் 1 ஆகும்.
 
 இப்பண்புகளுடன் சேர்த்து வளையம் ''&lt;math&gt; R &lt;/math&gt;'' ஆனது, பெருக்கலுக்கான பரிமாற்றுப் பண்பையும்
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;a \cdot b = b \cdot a,&lt;/math&gt; நிறைவு செய்யுமானால் இவ்வளையம் &quot;பரிமாற்று வளையம்&quot; என அழைக்கப்படும். இந்த கட்டுரையின் எஞ்சியுள்ள பகுதிகளில், வெளிப்படையாகப் பரிமாற்றற்ற வளையமெனக் கூறாவிட்டால், அனைத்து வளையங்களும் பரிமாற்றுடையவையே.
 :
 
 === எடுத்துக்காட்டுகள் ===
 இரு முழுஎண்களின் பெருக்கல் பரிமாற்று விதியை நிறைவுசெய்வதால்,  கூட்டல்,  பெருக்கல் ஆகிய இரு செயல்பாடுகளுடன் [[முழு எண்|முழுவெண்]] கணம் &lt;math&gt; \mathbb{Z} &lt;/math&gt; பரிமாற்று வளையத்திற்கு முக்கிய எடுத்துக்காட்டாகும்.
 
 [[களம் (கணிதம்)|களம்]] ஒவ்வொன்றும் ஒரு பரிமாற்று வளையமாகும். களத்தில் &lt;math&gt; 0 \not = 1 &lt;/math&gt;; ஒவ்வொரு [[0 (எண்)|பூச்சியமற்ற]] உறுப்புக்கும் ( &lt;math&gt; a &lt;/math&gt;) நேர்மாறு உண்டு. அதாவது &lt;math&gt; a &lt;/math&gt; இன் நேர்மாறு &lt;math&gt; b, &lt;/math&gt; &lt;math&gt; a \cdot b = 1 &lt;/math&gt; என அமையும். களத்தின் வரையறைப்படி  எந்த ஒரு களமும் பரிமாற்று வளையமாகும். , [[விகிதமுறு எண்]]களின் கணம், [[மெய்யெண்]]களின் கணம், [[சிக்கலெண்]]களின் கணம் ஆகிய மூன்றும் களங்களாகும். இவை பரிமாற்று வளையங்களாகவும் இருக்கும்.
 
 ''&lt;math&gt; R &lt;/math&gt;'' ஒரு பரிமாற்று வளையமாகவும்,&lt;math&gt; X &lt;/math&gt; மாறியில் அமைந்த [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]களின் [[கெழு]]க்கள் ''&lt;math&gt; R &lt;/math&gt;'' இல் இருக்குமானால், அத்தகையப் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கணம் ஒரு பரிமாற்று வளையமாக இருக்கும். இவ்வளையமானது &lt;math&gt; R \left[ X \right] &lt;/math&gt; எனக் குறிக்கப்படுகிறது. இக்கூற்று பன்மாறிகளிலமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் பொருந்தும்.
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist}}
 {{refbegin}}
 * {{Citation | last1=Christensen | first1=Lars Winther | first2=Janet | last2=Striuli | first3=Oana | last3=Veliche | title=Growth in the minimal injective resolution of a local ring | journal=Journal of the London Mathematical Society | series=Second Series | volume=81 | issue=1 | pages=24–44 | year=2010 | doi=10.1112/jlms/jdp058 | arxiv=0812.4672| s2cid=14764965 }}
 * {{Citation | last1=Eisenbud | first1=David | author1-link=David Eisenbud | title=Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. | publisher=[[இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம்]] | location=Berlin, New York | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | isbn=978-0-387-94268-1 | mr=1322960 | year=1995 | volume=150}}
 * {{Citation | last=Hochster | first=Melvin | title=Homological conjectures, old and new | journal=Illinois J. Math. | volume=51 | issue=1 | year=2007 | pages=151–169 | doi=10.1215/ijm/1258735330| doi-access=free }}
 * {{Citation | doi=10.2307/1969205 | last1=Jacobson | first1=Nathan | author1-link=Nathan Jacobson | title=Structure theory of algebraic algebras of bounded degree | year=1945 | journal=[[Annals of Mathematics]] | issn=0003-486X | volume=46 | issue=4 | pages=695–707 | jstor=1969205}}
 * {{Citation | last1=Lyubeznik |first1=Gennady | chapter=A survey of problems and results on the number of defining equations | title=Representations, resolutions and intertwining numbers | pages=375–390 | year=1989 | zbl=0753.14001}}
 * {{Citation | last1=Matsumura | first1=Hideyuki | title=Commutative Ring Theory | publisher=[[கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம்]] | edition=2nd | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | isbn=978-0-521-36764-6 | year=1989}}
 * {{Citation | last1=Pinter-Lucke | first1=James | title=Commutativity conditions for rings: 1950–2005 | doi=10.1016/j.exmath.2006.07.001 | year=2007 | journal=Expositiones Mathematicae | issn=0723-0869 | volume=25 | issue=2 | pages=165–174| doi-access=free }}
 {{refend}}
 
 == மேலதிக வாசிப்புக்கு ==
 {{refbegin}}
 * {{Citation | last1=Atiyah | first1=Michael | author1-link=Michael Atiyah | last2=Macdonald | first2=I. G. | author2-link=Ian G. Macdonald | title=Introduction to commutative algebra | publisher=Addison-Wesley Publishing Co. | year=1969 }}
 * {{Citation | last1=Balcerzyk | first1=Stanisław | last2=Józefiak | first2=Tadeusz | title=Commutative Noetherian and Krull rings | publisher=Ellis Horwood Ltd. | location=Chichester | series=Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications | isbn=978-0-13-155615-7 | year=1989}}
 * {{Citation | last1=Balcerzyk | first1=Stanisław | last2=Józefiak | first2=Tadeusz | title=Dimension, multiplicity and homological methods | publisher=Ellis Horwood Ltd. | location=Chichester | series=Ellis Horwood Series: Mathematics and its Applications.  | isbn=978-0-13-155623-2 | year=1989}}
 * {{Citation | last1=Kaplansky | first1=Irving | author1-link=Irving Kaplansky | title=Commutative rings | publisher=[[University of Chicago Press]] | edition=Revised | mr=0345945 | year=1974}}
 * {{Citation | last1=Nagata | first1=Masayoshi | author1-link=Masayoshi Nagata | title=Local rings | publisher=Interscience Publishers  | series=Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics | isbn=978-0-88275-228-0 |year=1975 | mr=0155856 | orig-year=1962 | volume=13 | pages=xiii+234}}
 * {{Citation | last1=Zariski | first1=Oscar | author1-link=Oscar Zariski | last2=Samuel | first2=Pierre | author2-link=Pierre Samuel | title=Commutative Algebra I, II | publisher= D. van Nostrand, Inc. | location=Princeton, N.J. | series=University series in Higher Mathematics | year=1958–60}} ''(Reprinted 1975-76 by Springer as volumes 28-29 of Graduate Texts in Mathematics.)''
 {{refend}}
 
 == வெளியிணைப்புகள் ==
 
 [[பகுப்பு:துப்புரவு முடிந்த விழுப்புரம் மாவட்ட ஆசிரியர்கள் தொடங்கிய கட்டுரைகள்]]