வகையிடலின் வகுத்தல் விதி
[[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] '''வகையிடலின் வகுத்தல் விதி''' அல்லது சுருக்கமாக '''வகுத்தல் விதி''' (''quotient rule'') என்பது [[வகையிடல் விதிகள்|வகையிடல் விதிகளுள்]] ஒன்று. இரு [[வகையிடத்தக்கச் சார்பு]]களின் [[விகிதமுறு சார்பு|விகிதமுறு சார்பாக]] அமையும் சார்பின் [[வகைக்கெழு]]வைக் காணும் முறையை இவ்விதி தருகிறது.&lt;ref&gt;{{cite book | last=Stewart | first=James | authorlink=James Stewart (mathematician) | title=Calculus: Early Transcendentals |publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=6th | year=2008 | isbn=0-495-01166-5}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite book | last1=Larson | first1=Ron | authorlink=Ron Larson (mathematician)| last2=Edwards | first2=Bruce H. | title=Calculus | publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=9th | year=2009 | isbn=0-547-16702-4}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite book | last1 = Thomas | first1 = George B. | last2=Weir | first2= Maurice D. | last3=Hass | first3=Joel | author3-link = Joel Hass | authorlink=George B. Thomas | title=Thomas' Calculus: Early Transcendentals | url = https://archive.org/details/thomascalculusea0000weir_s0z8 | publisher=[[Addison-Wesley]] | year=2010 | edition=12th | isbn=0-321-58876-2}}&lt;/ref&gt;
 
 இவ்விதியின் கூற்று:
 
 *[[வகையிடலின் குறியீடு#லாக்ராஞ்சியின் குறியீடு|லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில்]]:
 
 :&lt;math&gt;f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}; \qquad h(x)\not=0&lt;/math&gt; எனில் அதன் வகைக்கெழு,
 
 :&lt;math&gt;f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}.&lt;/math&gt;
 
 இவ்விதியை இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கும் நீட்டிக்கலாம்:
 
 &lt;math&gt;f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}; \qquad h(x)\not=0&lt;/math&gt; என்பதை
 :&lt;math&gt;f(x)=g(x)(h(x))^{-1}&lt;/math&gt;
 
 என எடுத்துக் கொண்டு [[வகையிடலின் பெருக்கல் விதி]]யையும் [[சங்கிலி விதி]]யையும் பயன்படுத்தி இருமுறை வகையிட:
 
 :&lt;math&gt;f''(x)=\frac{g''(x)[h(x)]^2-2g'(x)h(x)h'(x)+g(x)[2[h'(x)]^2-h(x)h''(x)]}{[h(x)]^3}.&lt;/math&gt;
 
 [[லைப்னிட்சின் குறியீடு|லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்]]:
 
 :&lt;math&gt; y = \frac{u}{v}\,&lt;/math&gt;,
 
 :&lt;math&gt;\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{du}}{v^2}\,&lt;/math&gt;
 
 == எடுத்துக்காட்டுகள் ==
 
 *&lt;math&gt;(4x - 2)/(x^2 + 1)&lt;/math&gt; இன் வகைக்கெழு:
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}\frac{d}{dx}\left[\frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}\right] &amp;= \frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}\\
 &amp; = \frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}\end{align}&lt;/math&gt;
 
 *&lt;math&gt;\frac{sinx}{x^2};  x \not = 0&lt;/math&gt;  இன் வகைக்கெழு:
 
 :&lt;math&gt;\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}&lt;/math&gt;
 
 *&lt;math&gt;f(x) = \frac{2x^2}{x^3}&lt;/math&gt; இன் வகைக்கெழு:
 
 :&lt;math&gt;g(x) = 2x^2;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;h(x) = x^3&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;g'(x) = 4x;&lt;/math&gt; &lt;math&gt;h'(x) = 3x^2&lt;/math&gt;.
 
 வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;f'(x) = \frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2} = \frac{4x^4 - 6x^4}{x^6} = \frac{-2x^4}{x^6} = -\frac{2}{x^2}&lt;/math&gt;
 
 இச் சார்பை அடுக்குக்குறி விதிகளையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்திப் பின்வருமாறும் வகையிடலாம்:
 
 :&lt;math&gt;f(x) = \frac{2x^2}{x^3} = \frac{2}{x} = 2x^{-1}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;f'(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}&lt;/math&gt;
 
 === குறைபாடு ===
 
 ஒரு விகிதமுறு சார்பின் தொகுதியிலுள்ள சார்பும் பகுதியிலுள்ள சார்பும் தனித்தனியே வகையிட முடியாதவையாக இருந்தால் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி அச்சார்பை வகையிட முடியாது. ஆனால் அந்த விகிதமுறு சார்பு முழுமையாகத் தனியே வகையிடக் கூடியதாக இருக்குலாம்.
 
 எடுத்துக்காட்டு:
 
 &lt;math&gt;f(x) = \frac{|x|+1}{|x|+1},&lt;/math&gt;
 
 |''x''| என்பது ''x'' இன் தனிமதிப்பு.
 
 இச்சார்பை &lt;math&gt;f(x) = \frac{|x|+1}{|x|+1} = 1&lt;/math&gt; என எடுத்துக்கொண்டால் இதனை வகையிடுதல் சாத்தியமாகும்.
 
 இதன் வகைக்கெழு,
 :&lt;math&gt;f'(x) = 0&lt;/math&gt;
 
 ஆனால் இதே சார்பை, &lt;math&gt; x = 0&lt;/math&gt; இல் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி வகையிட முயன்றால், வரையறுக்கப்படாத மதிப்பே விடையாகக் கிடைக்கும். ஏனெனில் |''x''| இன் மதிப்பு ''x''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;0 இல் வரையறுக்கப்படவில்லை.
 
 ==நிறுவல்கள்==
 
 ===அடிப்படைக் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்===
 
 :&lt;math&gt;f(x) = \frac{g(x)}{h(x)};\qquad h(x) \neq 0&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;g,&lt;/math&gt; &lt;math&gt;h&lt;/math&gt; இரண்டும் வகையிடத்தக்க சார்புகள் எனில்:
 
 :&lt;math&gt;f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)- f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left(\frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)&lt;/math&gt;
 
 தொகுதியில் &lt;math&gt;g(x)h(x)&lt;/math&gt; ஐக் கூட்டிக் கழிக்க,
 
 :&lt;math&gt;= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)\lim_{\Delta x \to 0}h( x+\Delta x)}&lt;/math&gt;
 
 வகைக்கெழுக்களின் வரையறைப்படி,
 
 :&lt;math&gt;= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}&lt;/math&gt;
 
 ===சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்===
 
 :&lt;math&gt; \frac{u}{v}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]&lt;/math&gt;
 
 இந்த முற்றொருமையை &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ஐப் பொறுத்து வகையிட:
 
 :&lt;math&gt;\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{d}{dx}\frac{1}{4}\left[ \left( u+\frac{1}{v} \right)^{2}-\; \left( u-\frac{1}{v} \right)^{2} \right]&lt;/math&gt;
 
 வலப்புற வகையிடலுக்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ 2\left( u+\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}-\frac{dv}{v^{2}dx} \right)-\; 2\left( u-\frac{1}{v} \right)\left( \frac{du}{dx}+\frac{dv}{v^{2}dx} \right) \right]&lt;/math&gt;
 
 வலப்புறம், பெருக்கிச் சுருக்க:
 
 :&lt;math&gt;\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\left[ \frac{4}{v}\frac{du}{dx}-\frac{4u}{v^{2}}\frac{dv}{dx} \right]&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\frac{d\left( \frac{u}{v} \right)}{dx}\; =\; \frac{\left[ v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx} \right]}{v^{2}}&lt;/math&gt;
 
 ===பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்===
 
 ;&lt;math&gt; y = \frac{u}{v}&lt;/math&gt; எனில்,
 
 &lt;math&gt; y = \frac{u}{v} = uv^{-1}.&lt;/math&gt;
 
 பெருக்கல் விதியையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி வகையிட,
 
 : &lt;math&gt;\frac{dy}{dx} = u'v^{-1} - v^{-2}uv' = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^{2}} &lt;/math&gt;
 
 தொகுதி, பகுதி இரண்டையும் &lt;math&gt;v&lt;/math&gt; ஆல் பெருக்க வகையிடலின் வகுத்தல் விதி கிடைக்கிறது.
 
 : &lt;math&gt;\frac{dy}{dx} = \frac{vu'}{v^2} - \frac{uv'}{v^{2}} = \frac{vu' - uv'}{v^{2}} &lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 *கணிதவியல், மேனிலை - முதலாம் ஆண்டு, தொகுதி - 2, தமிழ்நாட்டுப் பாடநூல் கழகம். பக்கம் 82. http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121120103542/http://www.textbooksonline.tn.nic.in/Std11.htm |date=2012-11-20 }}