கடப்பு உறவு
கணிதத்தில் ''X'' [[கணம் (கணிதம்)|கணத்தின்]] மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு [[ஈருறுப்பு உறவு]] ''R'' ஒரு '''கடப்பு உறவு''' (''transitive relation'') எனில், ''R'' இன் கீழ் அக்கணத்திலுள்ள ஒரு உறுப்பு ''a'' ஆனது ''b'' உடன் தொடர்புள்ளதாகவும், ''b'' ஆனது ''c'' உடன் தொடர்புள்ளதாகவும் இருந்தால், ''a'' ஆனது ''c'' உடன் தொடர்பு கொண்டிருக்கும். பகுதி வரிசை உறவுகளுக்கும், [[சமான உறவு (கணிதம்)|சமான உறவுகளுக்கும் கடப்புத்தன்மை முக்கியமான பண்பு]] ஆகும்.
 
 == வரையறை ==
 [[கணக் கோட்பாடு|கணக்கோட்டின்படி]], கடப்புறவின் வரையறை:
 :&lt;math&gt;\forall a,b,c \in X: (aRb \wedge bRc) \Rightarrow aRc&lt;/math&gt;
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 
 &quot;விடப் பெரியது,&quot; &quot;குறைந்தபட்சப் பெரியது,&quot; &quot;விடச் சிறியது,&quot; &quot;சமம்&quot; ஆகியவை கடப்புறவுகள்:
 
 : A &amp;gt; B, B &amp;gt; C எனில், A &amp;gt; C 
 : A &amp;ge; B, B &amp;ge; C எனில், A &amp;ge; C
 : A &amp;lt; B, B &amp;lt; C எனில், A &amp;lt; C 
 : A &amp;le; B, B &amp;le; C எனில், A &amp;le; C
 : A = B, B = C எனில், A = C.
 
 &quot;[[கணம் (கணிதம்)|உட்கணம்]],&quot; &quot;[[வகுஎண்|வகுக்கும்]],&quot; என்பவையும் கடப்புறவுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.
 
 == பண்புகள் ==
 
 === அடைவுப் பண்புகள் ===
 *ஒரு கடப்புறவின் மறுதலையும் கடப்புறவாக இருக்கும்.
 எடுத்துக்காட்டாக,
 
 கடப்புறவு ''விடப் பெரியது'' என்பதன் மறுதலை ''விடச் சிறியது'' ஆகும். இதுவும் ஒரு கடப்பு உறவு.
 
 *இரு கடப்புறவுகளின் [[கணம் (கணிதம்)#வெட்டுகள்|வெட்டு]], எப்போதும் ஒரு கடப்புறவாகவே இருக்கும்.
 
 :&amp;ge; , &amp;le; ஆகிய இரு கடப்புறவுகளின் வெட்டாக அமையும் உறவு ''='' ஆகும். இதுவும் ஒரு கடப்புறவே.
 
 *இரு கடப்புறவுகளின் [[கணம் (கணிதம்)#ஒன்றிப்புகள்|ஒன்றிப்பும்]] ஒரு கடப்புறவாகும்.
 *ஒரு கடப்புறவின் நிரப்பியாக அமையும் உறவு கடப்புறவாக இருக்காது.
 
 எடுத்துக்காட்டாக, &quot;சமம்&quot; ஒரு கடப்புறவு. இதன் நிரப்பியான &quot;சமமல்ல&quot; என்பது கடப்புறவு இல்லை. (அதிகபட்சமாக ஒரு உறுப்பு கொண்டுள்ள கணத்தில் மட்டும் இது கடப்புறவாக இருக்கும்).
 
 === பிற பண்புகள் ===
 [[எதிர்வு உறவு|எதிர்வு உறவாக]] இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ஒரு கடப்பு உறவு, [[சமச்சீரற்ற உறவு|சமச்சீர்மையற்றதாக]] இருக்க முடியும்.&lt;ref&gt;{{cite book|last1=Flaška|first1=V.|last2=Ježek|first2=J.|last3=Kepka|first3=T.|last4=Kortelainen|first4=J.|title=Transitive Closures of Binary Relations I|year=2007|publisher=School of Mathematics - Physics Charles University|location=Prague|page=1|url=http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jezek/120/transitive1.pdf|access-date=2015-09-29|archivedate=2013-11-02|archiveurl=https://web.archive.org/web/20131102214049/http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jezek/120/transitive1.pdf}} Lemma 1.1 (iv). Note that this source refers to asymmetric relations as &quot;strictly antisymmetric&quot;.&lt;/ref&gt;
 
 ==கடப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை==
 ஒரு முடிவுறு கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படக்கூடிய கடப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடக்கூடிய பொது வாய்ப்பாடுகள் இல்லை {{OEIS|id=A006905}}.&lt;ref&gt;Steven R. Finch, [http://algo.inria.fr/csolve/posets.pdf &quot;Transitive relations, topologies and partial orders&quot;] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070628185127/http://algo.inria.fr/csolve/posets.pdf |date=2007-06-28 }}, 2003.&lt;/ref&gt; எனினும், [[எதிர்வு உறவு|எதிர்வு]]-[[சமச்சீர் உறவு|சமச்சீர்]]-கடப்பு உறவுகள் (சமான உறவுகள்) – {{OEIS|id=A000110}}, சமச்சீர்-கடப்பு உறவுகள் சமச்சீர்-கடப்பு-[[எதிர்சமச்சீர் உறவு|எதிர்சமச்சீர்]] உறவுகள் முழு-கடப்பு-எதிர்சமச்சீர் உறவுகள் ஆகியவற்றின் எண்ணிக்கையைக் காணும் வாய்ப்பாடு உள்ளது.&lt;ref&gt;Götz Pfeiffer, &quot;[http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL7/Pfeiffer/pfeiffer6.html Counting Transitive Relations]&quot;, ''Journal of Integer Sequences'', Vol. 7 (2004), Article 04.3.2.&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Gunnar Brinkmann and Brendan D. McKay,&quot;[http://cs.anu.edu.au/~bdm/papers/topologies.pdf Counting unlabelled topologies and transitive relations]&quot;&lt;/ref&gt;
 
 {{கணித உறவுகள் எண்ணிக்கை}}
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 &lt;references/&gt;
 
 == உசாத்துணை==
 *Ralph P. Grimaldi, ''Discrete and Combinatorial Mathematics'',  {{ISBN|0-201-19912-2}}.
 *Gunther Schmidt, 2010. ''Relational Mathematics''. Cambridge University Press, {{ISBN|978-0-521-76268-7}}.
 
 ==வெளியிணைப்புகள்==
 * {{springer|title=Transitivity|id=p/t093810}}
 * [http://www.cut-the-knot.org/triangle/remarkable.shtml Transitivity in Action] at cut-the-knot
 
 [[பகுப்பு:அடிப்படை இயற்கணிதம்‎]]