இருபடி வாய்பாடு
[[File:Quadratic roots.svg|alt=Roots of a quadratic function|thumb|231x231px|A quadratic function with roots ''x''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;1 and ''x''&amp;nbsp;=&amp;nbsp;4.]]
 [[அடிப்படை இயற்கணிதம்|அடிப்படை இயற்கணிதத்தில்]] '''இருபடி வாய்பாடு''' (''quadratic formula'')  என்பது ஒரு [[இருபடிச் சமன்பாடு|இருபடிச் சமன்பாட்டின்]] தீர்வுகளைக் காண உதவும் வாய்பாடாகும். இந்த இருபடி வாய்பாடு மட்டுமின்றி ஒரு இருபடிச் சமன்பாடின் தீர்வுகளை [[காரணிப்படுத்துதல்]], [[வர்க்க நிரப்பி முறை]], [[சார்பின் வரைபடம்|வரைபடம்]] போன்ற முறைகளிலும் கண்டுபிடிக்கலாம்.&lt;ref&gt;{{Cite web|url=https://mathvault.ca/quadratic-factorisation/|title=Quadratic Factorisation: The Complete Guide|date=2016-03-13|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2019-11-10}}&lt;/ref&gt;
 
 ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொதுவடிவம்:
 :&lt;math&gt;ax^2+bx+c=0&lt;/math&gt; ({{Math|''x''}} [[மாறி]], {{math|''a''}}, {{math|''b''}} and {{math|''c''}} மாறிலிகள்; {{math|''a'' ≠ 0}}) 
 
 இச்சமன்பாட்டின் தீர்வுகளைத் தரும் இருபடி வாய்பாடு:
 :&lt;math display=&quot;block&quot;&gt;x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ &lt;/math&gt;
 
 [[கூட்டல்-கழித்தல் குறி]]கள் சமன்பாட்டிற்கு இரு தீர்வுகள் உள்ளதைக் காட்டுகிறது&lt;ref&gt;{{Citation|last=Sterling|first=Mary Jane|title=Algebra I For Dummies|year=2010|publisher=Wiley Publishing|isbn=978-0-470-55964-2|url=https://books.google.com/books?id=2toggaqJMzEC&amp;q=quadratic+formula&amp;pg=PA219|page=219}}&lt;/ref&gt;
 
 இரு தீர்வுகளையும் தனித்தனியாக எழுத: 
 :&lt;math&gt; x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\quad\text{and}\quad x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}&lt;/math&gt;
 
 இவ்விரு தீர்வுகளும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வலப்புறமுள்ள [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]யின் [[சார்பின் மூலம்|மூலங்கள்]] என அழைக்கப்படுகின்றன. வடிவவியல்ரீதியாக இந்த மூலங்கள்  {{math|1=''y'' = ''ax''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; + ''bx'' + ''c''}} என்ற சமன்பாட்டின் வரைபடமாக அமையும் [[பரவளைவு|பரவளைவானது]] {{Math|''x''}}-அச்சைச் சந்திக்கும் இரு புள்ளிகளின் {{math|''x''}}-மதிப்புகளைக் குறிக்கின்றன&lt;ref&gt;{{Cite web|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/quadratic-formula-explained-article|title=Understanding the quadratic formula|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}&lt;/ref&gt;
 
 பரவளைவு {{math|''x''}}-அச்சைச் சந்திக்கும் புள்ளிகளை அறியத்தருவதோடு இவ்வாய்பாடு பரவளைவின் சமச்சீர் அச்சைக் காண்பதற்கும் பயன்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{Cite web|url=https://www.mathwarehouse.com/geometry/parabola/axis-of-symmetry.php|title=Axis of Symmetry of a Parabola. How to find axis from equation or from a graph. To find the axis of symmetry ...|website=www.mathwarehouse.com|access-date=2019-11-10}}&lt;/ref&gt; மேலும் இவ்வாய்பாட்டினைக் கொண்டு இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு எத்தனை [[மெய்யெண்]] மூலங்கள் உள்ளன என்பதையும் தீர்மானிக்க முடிகிறது.&lt;ref&gt;{{Cite web|url=https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:quadratic-functions-equations/x2f8bb11595b61c86:quadratic-formula-a1/a/discriminant-review|title=Discriminant review|website=Khan Academy|language=en|access-date=2019-11-10}}&lt;/ref&gt;
 
 == வாய்பாட்டைத் தருவித்தல் ==
 பல வழிகளில் இருபடி வாய்ப்பாட்டினைப் பெறலாம். அவற்றுள் எளியது [[வர்க்க நிரப்பி முறை]] ஆகும்.&lt;ref&gt;{{citation
 |title=Schaum's Outline of Theory and Problems of Elementary Algebra
 |first1=Barnett
 |last1=Rich
 |first2=Philip
 |last2=Schmidt
 |publisher=The McGraw–Hill Companies
 |year=2004
 |isbn=0-07-141083-X
 |url=https://books.google.com/books?id=8PRU9cTKprsC}}, [https://books.google.com/books?id=8PRU9cTKprsC&amp;pg=PA291 Chapter 13 §4.4, p. 291]&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Li, Xuhui. ''An Investigation of Secondary School Algebra Teachers' Mathematical Knowledge for Teaching Algebraic Equation Solving'', p. 56 (ProQuest, 2007): &quot;The quadratic formula is the most general method for solving quadratic equations and is derived from another general method: completing the square.&quot;&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Rockswold, Gary. ''College algebra and trigonometry and precalculus'', p. 178 (Addison Wesley, 2002).&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;Beckenbach, Edwin et al. ''Modern college algebra and trigonometry'', p. 81 (Wadsworth Pub. Co., 1986).&lt;/ref&gt;
 
 ===வர்க்க நிரப்பி முறை===
 {{main|வர்க்க நிரப்பி முறை}}
 :&lt;math&gt;x^2+2xh+h^2 = (x+h)^2.\,\!&lt;/math&gt;  என்ற இயற்கணித வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி வர்க்க நிரப்பி முறையில் இருபடிச் வாய்ப்பாட்டைக் காணலாம்.&lt;ref&gt;{{citation
 |title=Schaum's Outline of Theory and Problems of ELEMENTARY ALGEBRA
 |first1=Barnett
 |last1=Rich
 |first2=Philip
 |last2=Schmidt
 |publisher=The McGraw-Hill Companies
 |year=2004
 |isbn=0-07-141083-X
 |url=http://books.google.com/?id=8PRU9cTKprsC}}, [http://books.google.be/books?id=8PRU9cTKprsC&amp;pg=PA291 Chapter 13 §4.4, p. 291]&lt;/ref&gt;
 ==== வழி 1 ====
 :&lt;math&gt;ax^2+bx+c=0 \,\!&lt;/math&gt;
 இச்சமன்பாட்டை ''a''  -ஆல் வகுக்க, (''a'' பூச்சியமல்லாததால் வகுத்தல் சாத்தியம்.)
 :&lt;math&gt;x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0,\,\!&lt;/math&gt;
 
 அல்லது
 
 :&lt;math&gt;x^2 + \frac{b}{a} x= -\frac{c}{a}.&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{1}{2}\frac{b}{a} \right)^2 =-\frac{c}{a}+\left( \frac{1}{2}\frac{b}{a} \right)^2,\!&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x^2+2xh+h^2 = (x+h)^2.\,\!&lt;/math&gt;, பயன்படுத்த:
 
 :&lt;math&gt;\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}.\,\!&lt;/math&gt;
 
 :வலதுபுறத்தில் பொதுவகுத்தியாக 4''a''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; -ஐக் கொள்ள: 
 :&lt;math&gt;\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.&lt;/math&gt;
 :இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண:
 :&lt;math&gt;x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}.&lt;/math&gt;
 
 ==== வழி 2 ====
 வர்க்க நிரப்பி முறையை கீழ்க்காணும் வழியிலும் செய்யலாம்:&lt;ref name=&quot;Hoehn1975&quot;&gt;{{cite journal |last=Hoehn |first=Larry |title=A More Elegant Method of Deriving the Quadratic Formula |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-teacher_1975-05_68_5/page/442 |journal=The Mathematics Teacher |year=1975 |volume=68 |issue=5 |page=442&amp;ndash;443|doi=10.5951/MT.68.5.0442 }}&lt;/ref&gt;
 
 # இருபுறமும் ''&lt;math&gt;4a&lt;/math&gt;'' ஆல் பெருக்க வேண்டும்
 # மாறியைச் சாரா உறுப்பை வலப்புறம் நகர்த்த வேண்டும்,
 # இருபுறமும் ''&lt;math&gt;b^2&lt;/math&gt;'' ஐக் கூட்டிய பின்னர் இடப்புறத்தை முழு வர்க்கமாக மாற்றியெழுத வேண்டும்.
 # பின்னர் இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண வேண்டும்.
 # இறுதியில் ''&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;'' ஐ மட்டும் இடப்புறத்தில் தனிமைப்படுத்தினால் வாய்பாடு கிட்டும்.
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 ax^2+bx+c &amp;= 0 \\
 4 a^2 x^2 + 4abx + 4ac &amp;= 0 \\
 4 a^2 x^2 + 4abx &amp;= -4ac \\
 4 a^2 x^2 + 4abx + b^2 &amp;= b^2 - 4ac \\
 (2ax + b)^2 &amp;= b^2 - 4ac \\
 2ax + b &amp;= \pm \sqrt{b^2-4ac} \\
 2ax &amp;= -b \pm \sqrt{b^2-4ac} \\ 
 x &amp;= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac }}{2a}\ \ .
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 இது மிகவும் பழமையான வழிமுறையாகும். 1025 களிலேயே [[இந்தியா]]வில் இவ்வழிமுறை அறியப்பட்டிருந்தது.&lt;ref name=Smith1958&gt;{{cite book|last=Smith|first=David E.|title=History of Mathematics, Vol. II|year=1958|publisher=Dover Publications|isbn=0486204308|page=446}}&lt;/ref&gt; வழி 1 ஐவிட குறைந்தளவு படிநிலைகளைக் கொண்டு இந்த இரண்டாம் வழிமூலம் இருபடிவாய்பாட்டை அடைய முடிகிறது. &lt;ref name=Hoehn1975/&gt;
 
 ==== வழி 3====
 :&lt;math&gt;ax^2+bx+c=0 \,\!&lt;/math&gt;
 இச்சமன்பாட்டை ''a''  -ஆல் வகுக்க, (''a'' பூச்சியமல்லாததால் வகுத்தல் சாத்தியம்.)
 :&lt;math&gt;x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0\ \ .&lt;/math&gt;
 :''&lt;math&gt;\textstyle B = \frac{b}{a},&lt;/math&gt;'' ''&lt;math&gt;\textstyle C = \frac{c}{a}&lt;/math&gt;'' எனப் பதிலிட:
 :&lt;math&gt;x^2 + Bx + C = 0&lt;/math&gt;
 :முதல் இரு உறுப்புகளுடன் ''&lt;math&gt;\textstyle \frac{B^2}{4}&lt;/math&gt;'' ஐக் கூட்டி பின்னர் மூன்றாம் உறுப்பிலிருந்து அதைக் கழித்து, முதல் மூன்றையும் முழுவர்க்கமாக எழுத:
 :&lt;math&gt;\left(x+\frac{B}{2}\right)^2 + \left( C - \frac{B^2}{4}\right) = 0&lt;/math&gt;
 
 :இடப்புறத்தை [[இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசம்|இரு வர்க்கங்களின் வித்தியாசமாக எழுதிக்]] காரணிப்படுத்த:
 :&lt;math&gt;\left(x+\frac{B}{2}\right)^2 - \left( \sqrt{\frac{B^2}{4} - C}\right)^2 = 0&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\left(x+\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} - C}\right) \left(x+\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} - C}\right) = 0&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\ implies &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x+\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} - C} = 0&lt;/math&gt;
 
 அல்லது
 
 :&lt;math&gt;x+\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} - C} = 0&lt;/math&gt;
 
 &lt;blockquote&gt;&lt;math&gt;x = -\frac{B}{2} - \sqrt{\frac{B^2}{4} - C}&lt;/math&gt;  அல்லது  &lt;math&gt;x = -\frac{B}{2} + \sqrt{\frac{B^2}{4} - C}&lt;/math&gt;&lt;/blockquote&gt;
 
 ''&lt;math&gt;B,&lt;/math&gt;''  ''&lt;math&gt;C&lt;/math&gt;'' இவற்றுக்கு ''&lt;math&gt;\textstyle\frac{b}{a},&lt;/math&gt;'' ''&lt;math&gt;\textstyle\frac{c}{a}&lt;/math&gt;'' என மறுபதிலிட இருபடி வாய்பாடு கிடைக்கிறது.
 
 === பதிலிடல் முறை ===
 இருபடி வாய்பாடு காணும் மற்றொரு முறை பதிலிடல் முறையாகும்&lt;ref&gt;Joseph J. Rotman. (2010). Advanced modern algebra (Vol. 114). American Mathematical Soc. Section 1.1&lt;/ref&gt; 
 
 :&lt;math&gt;ax^2+bx+c=0 \,\!&lt;/math&gt;
 :''&lt;math&gt;x = y+m&lt;/math&gt;'' எனப் பதிலிட:
 :&lt;math&gt;a(y+m)^2 + b(y+m) + c =0\ \ .&lt;/math&gt;
 :இதனை விரித்து ''&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;'' இல் அமைந்த இருபடிச் சமன்பாடாக எழுத:
 :&lt;math&gt;ay^2 + y(2am + b) + \left(am^2+bm+c\right) = 0\ \ .&lt;/math&gt;
 :இதில் ''&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;'' உறுப்பு பூச்சியமாகும்வண்ணம் ''&lt;math&gt;m&lt;/math&gt;'' இன் மதிப்பை எடுத்தால்:
 :''&lt;math&gt;2am + b = 0&lt;/math&gt;'' அல்லது ''&lt;math&gt;\textstyle m = \frac{-b}{2a}&lt;/math&gt;''. 
 :இருபுறமும் மாறிலி உறுப்பைக் கழித்து ''&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;'' ஆல் வகுக்க:
 :&lt;math&gt;y^2=\frac{-\left(am^2+bm+c\right)}{a}\ \ .&lt;/math&gt;
 :''&lt;math&gt;m&lt;/math&gt;'' இன் மதிப்பைப் பதிலிட:
 :&lt;math&gt;y^2=\frac{-\left(\frac{b^2}{4a}+\frac{-b^2}{2a}+c\right)}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ .&lt;/math&gt;
 :எனவே:
 :&lt;math&gt;y=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&lt;/math&gt;
 :மீண்டும் ''&lt;math&gt;y&lt;/math&gt;'' இன் மதிப்பை ''&lt;math&gt;x&lt;/math&gt;'' இன் வாயிலாகப் பதிலிட (''&lt;math&gt;\textstyle x = y + m = y - \frac{b}{2a}.&lt;/math&gt;'' எனவே ''&lt;math&gt;\textstyle y = x + \frac{b}{2a}&lt;/math&gt;'' இருபடி வாய்பாடு கிடைக்கிறது:
 :&lt;math&gt;x + \frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .&lt;/math&gt;
 
 === இயற்கணித முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தல் ===
 இருபடி வாய்பாட்டைக் காண்பதற்குக் கீழ்க்காணும் முறை பல வரலாற்றுக் கணிதவியலாளர்களால் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.&lt;ref&gt;{{Cite journal |doi = 10.1080/00207390802642237|title = The legacy of Leonhard Euler – a tricentennial tribute|year = 2009|last1 = Debnath|first1 = Lokenath|journal = International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume = 40|issue = 3|pages = 353–388|s2cid = 123048345}}&lt;/ref&gt;
 
 இருபடிச் சமன்பாட்டின் மூலங்கள் {{math|''r''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;}} மற்றும் {{math|''r''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;}}. 
 
 முற்றொருமை:
 
 :&lt;math&gt;(r_1 - r_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2\ \ .&lt;/math&gt;
 
 இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண:
 
 :&lt;math&gt;r_1 - r_2 = \pm\sqrt{(r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2}\ \ .&lt;/math&gt;
 
 {{math|1=''a'' ≠ 0}} என்பதால் இருபடிச்சமன்பாட்டின் வலப்புறக்கோவையை {{math|1=''a'' }} ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் கோவை:
 :&lt;math&gt; x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}  \ .&lt;/math&gt;
 
 {{math|''r''&lt;sub&gt;1&lt;/sub&gt;}} மற்றும் {{math|''r''&lt;sub&gt;2&lt;/sub&gt;}} இக்கோவைக்கும் மூலங்களாக இருக்கும் என்பதால்:
 
 :&lt;math&gt; x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = (x - r_1)(x-r_2) \ .&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1 r_2\ \ .&lt;/math&gt;
 
 இருபுறமும் ஒத்த உறுப்புகளின் குணங்களை ஒப்பிட:
 
 :&lt;math&gt; - \frac{b}{a} = (r_1 + r_2) \ .&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;\frac{c}{a} =  r_1 r_2\ \ .&lt;/math&gt;
 
 இம்மதிப்புகளை &lt;math&gt;r_1 - r_2 = \pm\sqrt{(r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2}\ \ .&lt;/math&gt; இல் பதிலிட:
 
 :&lt;math&gt;r_1 - r_2 = \pm\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}} = \pm\sqrt{\frac{b^2}{a^2} - \frac{4ac}{a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\ \ .&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;r_1 = \frac{(r_1 + r_2) + (r_1 - r_2)}{2} \implies&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;r_1 = \frac{(r_1 + r_2) + (r_1 - r_2)}{2} = \frac{-\frac{b}{a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}}{2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .&lt;/math&gt;
 
 {{math|''r''{{sub|2}} {{=}} −''r''{{sub|1}} − {{sfrac|''b''|''a''}}}} என்பதால் &lt;math&gt;r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}&lt;/math&gt; மற்றும்  &lt;math&gt;r_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}&lt;/math&gt; எனப் பதிலிடக் கிடைக்கும் :&lt;math&gt;r_2&lt;/math&gt; இன் மதிப்புகள் முறையே:
 :&lt;math&gt;r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ ;&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;r_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .&lt;/math&gt;
 
 இவற்றை இணைக்க இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்:
 :&lt;math&gt; x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .&lt;/math&gt;
 
 === லாக்ரெஞ்சி கூறாக்கிகள் முறை===
 இருபடி வாய்ப்பாட்டைக் காணும் மற்றொரு முறை [[லாக்ராஞ்சி]] கூறாக்கிகள் முறையாகும்.(Lagrange resolvents])  இது கால்வா கோட்பாட்டின் ஆரம்பப் பகுதியாகும்.&lt;ref name=&quot;efei&quot;&gt;{{citation
 |title=Elliptic functions and elliptic integrals
 |first1=Viktor
 |last1=Prasolov
 |first2=Yuri
 |last2=Solovyev
 |publisher=AMS Bookstore
 |year=1997
 |isbn=978 0 82180587 9
 |url=http://books.google.com/?id=fcp9IiZd3tQC
 }}, [http://books.google.com/books?id=fcp9IiZd3tQC&amp;pg=PA134#PPA134,M1 §6.2, p. 134]&lt;/ref&gt;
 இம்முறையானது, முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் நான்குபடி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் தீர்வு காணும் முறையைப் பொதுமைப்படுத்துகிறது. எனவே, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் அடுக்கு எத்தனையாக இருந்தாலும் அக்கோவையின் மூலங்களின் சமச்சீர் குலத்தின் வாயிலாக அம்மூலங்களைப் பற்றித் தெரிந்துகொள்ள வழிவகுக்கும் [[எவரிஸ்ட் கால்வா|கால்வா]]கோட்பாட்டிற்கு இது ஆரம்பமாக அமைகிறது. மூலங்களின் [[சமச்சீர் குலம்]] கால்வா குலம் எனப்படும்.
 
 இந்த அணுகுமுறை மூலச்சமன்பாட்டின் வடிவத்தை மாற்றி அமைப்பதை விட மூலங்களின் மேல் அதிக கவனம் கொண்டுள்ளது.
 :&lt;math&gt;x^2+px+q\!&lt;/math&gt; என்ற தலையொற்றை இருபடிப் பல்லுறுப்புக்கோவையை எடுத்துக் கொள்க.
 
 அதன் காரணிகள்,
 
 :&lt;math&gt;x^2+px+q=(x-\alpha)(x-\beta).\!&lt;/math&gt; எனக் கொள்க.
 
 வலதுபுறத்தை விரித்தெழுத,
 
 :&lt;math&gt;x^2+px+q=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta,\!&lt;/math&gt;
 
 இங்கு
 
 :&lt;math&gt;p=-(\alpha+\beta)\!&lt;/math&gt;
 
 மற்றும்
 
 :&lt;math&gt;q=\alpha \beta.\!&lt;/math&gt;
 
 பெருக்கலில் உறுப்புகளின் வரிசை அவசியமில்லாததால் ''α'' மற்றும் ''β''  இரண்டையும் அவற்றுக்குள்ளாக மாற்றுவதால் ''p'' மற்றும் ''q''  -ன் மதிப்புகள் மாறாது. ''p'' மற்றும் ''q''  இரண்டும் ''α'' , ''β'' -ல் அமைந்த சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எனப்படும். அவை அடிப்படை சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும். ''α'', ''β''  -ல் அமைந்த எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் α + β மற்றும் ''αβ'' வாயிலாக எழுதலாம்.
 
 பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பகுப்பாய்தலுக்கும் தீர்ப்பதற்குமான கால்வா கோட்பாட்டின் அணுகுமுறை:
 
 மூலங்களின் சமச்சீர் சார்புகளில் சமச்சீர்தன்மையை உடைத்து மூலங்களை மீளப்பெறமுடியக் கூடியவை எவை?
 
 எனவே  ''n''  படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தீர்ப்பது என்பது, ''n'' எழுத்துக்களின் சமச்சீர் குலமான &lt;math&gt;S_n.&lt;/math&gt; -லுள்ள ''n'' உறுப்புகளை வரிசைமாற்றப்படுத்தும் வழிகளுடன் தொடர்புடையதாகும். இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையில் இரு உறுப்புகளை வரிசைமாற்றுவது என்பது அவற்றை ஒன்றுக்கொன்று மாற்றிக் கொள்வதாகும். எனவே இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தீர்ப்பது எளிதானது.
 
 மூலங்கள் ''α'' , ''β''  காண:
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 r_1 &amp;= \alpha + \beta\\
 r_2 &amp;= \alpha - \beta.\\
 \end{align}&lt;/math&gt;
 இவை பல்லுறுப்புக்கோவையின் லெக்ரெஞ்சி கூறாக்கிகள் எனப்படும். மூலங்களின் வரிசை இதில் மிகவும் முக்கியம். இச்சமன்பாடுகளைத் தீர்த்து மூலங்களைப் பெறலாம்:
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 \alpha &amp;= \textstyle{\frac{1}{2}}\left(r_1+r_2\right)\\
 \beta  &amp;= \textstyle{\frac{1}{2}}\left(r_1-r_2\right).\\
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 முன்பு இக்கூறாக்கிகள் இரண்டாம் வரிசை கொண்ட தனித்த [[வூரியே மாற்று]] என அழைக்கப்பட்டன.(discrete Fourier transform (DFT) of order 2)
 
 இம்மாற்றின் [[அணி (கணிதம்)|அணி]] வடிவம்:
 
 &lt;math&gt;\left(\begin{smallmatrix}1 &amp; 1\\ 1 &amp; -1\end{smallmatrix}\right),&lt;/math&gt;
 
 இந்த அணியின் [[நேர்மாறு அணி|நேர்மாறு]]:
 &lt;math&gt;\left(\begin{smallmatrix}1/2 &amp; 1/2\\ 1/2 &amp; -1/2\end{smallmatrix}\right).&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;r_1=\alpha + \beta&lt;/math&gt;  ''α'' , ''β'' -ல் அமைந்த சமச்சீர் சார்பாகும். எனவே அதை  ''p'' , ''q''  வாயிலாக எழுத முடியும்.
 :&lt;math&gt;r_1 = -p,&lt;/math&gt;
 
 &lt;math&gt;r_2=\alpha - \beta&lt;/math&gt;  இதில் ''α'' , ''β''  இரண்டையும் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றக் கிடைப்பது:
 :&lt;math&gt;-r_2=\beta - \alpha&lt;/math&gt;     
 '''ஃ''' &lt;math&gt;r_2&lt;/math&gt;  சமச்சீர் சார்பு கிடையாது. 
 எனவே மூலங்களின் சமச்சீர் சார்பாக அமையும் ''p'' , ''q'' வாயிலாக இதை எழுத முடியாது. எனினும் வரிசையை மாற்றுவதால் &lt;math&gt;r_2&lt;/math&gt;  ல் ஏற்படும் மாற்றம் காரணி &lt;math&gt;-1,&lt;/math&gt; என்பதால்,
 :&lt;math&gt;\scriptstyle r_2^2 = (\alpha - \beta)^2&lt;/math&gt;  என்பது மூலங்களின் சமச்சீர் சார்பாகும். இதை ''p'' , ''q '' வாயிலாக எழுதலாம். 
 :&lt;math&gt;(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta\!&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;r_2^2 = p^2 - 4q\!&lt;/math&gt;
 வர்க்கமூலம் காண,
 :&lt;math&gt;r_2 = \pm \sqrt{p^2 - 4q}\!&lt;/math&gt;.
 நேர்ம வர்க்க மூலத்தைமட்டும் எடுத்துக்கொண்டால்,  
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 r_1 &amp;= -p\\
 r_2 &amp;= \sqrt{p^2 - 4q}\\
 \end{align}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;\begin{align}
 \alpha &amp;= \textstyle{\frac{1}{2}}\left(-p+\sqrt{p^2 - 4q}\right)\\
 \beta  &amp;= \textstyle{\frac{1}{2}}\left(-p-\sqrt{p^2 - 4q}\right)\\
 \end{align}&lt;/math&gt;
 எனவே மூலங்கள்:
 :&lt;math&gt;\textstyle{\frac{1}{2}}\left(-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}\right)&lt;/math&gt;
 இதுவே இருபடி வாய்ப்பாடு.  
 :&lt;math&gt;\scriptstyle p=\tfrac{b}{a}, q=\tfrac{c}{a}\!&lt;/math&gt; என பதிலிட தலையொற்றை அல்லாத வழக்கமான வடிவம் கிடைக்கும்.
 
 கூறாக்கிகளைப் பின்வருமாறு கருதலாம். 
 :&lt;math&gt;\scriptstyle \frac{r_1}{2} = \frac{-p}{2}=\frac{-b}{2a}\!&lt;/math&gt;:    உச்சிப்புள்ளி.
 :&lt;math&gt;\scriptstyle r_2^2=p^2-4q\!&lt;/math&gt;:     தலையொற்றைப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி
 
 === வடிவவியல் பயன்பாடு ===
 [[File:Quadratic function graph key values.svg|thumb|right| y = ax² + bx + c இன் வரைபடம்]]
 ஆயபகுமுறை வடிவவியலின் படி ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையானது ஒரு பரவளைவைக் குறிக்கும். பரவளைவின் பொதுச் சமன்பாடு:
 
 y =p(x) = y = ax² + bx + c 
 
 {{math|''p''}} ஒரு இருபடிக்கோவை, a, b, c  மூன்றும் மாறிலிக் கெழுக்கள்.  இக்கோவையின் மூலங்கள் கோவையின் பரவளைவானது {{math|''x''}}-அச்சைச் சந்திக்கும் புள்ளிகளைக் குறிக்கின்றன. மேலும் இருபடி வாய்ப்பாட்டை இரு உறுப்புகளாகக் பிரித்தெழுத:
 
 :&lt;math&gt;x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=-\frac{b}{2a} \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}&lt;/math&gt;
 
 {{math|1=''x'' = −{{sfrac|''b''|2''a''}}}} என்ற கோடு பரவளைவின் சமச்சீர் அச்சுக்கோடாகவும், {{math|{{sfrac|{{sqrt|''b''{{sup|2}} − 4''ac''}}|2''a''}}}} என்பது சமச்சீர் அச்சிலிருந்து , {{math|''x''}}-அச்சைச் சந்திக்கும் புள்ளிகளமையும் தொலைவைக் காட்டுகின்றன. கூட்டல் குறி சமச்சீர் அச்சிலிருந்து வலப்புறத் தொலைவையும் கழித்தல் குறி இடப்புறத் தொலைவையும் தருகின்றன.
 
 தொலைவைக் குறிக்கும் பகுதி பூச்சியமானால், சமச்சீர் அச்சின் மதிப்பு மட்டுமே ஒரேயொரு தீர்வாக அமையும். அதாவது {{math|{{sqrt|''b''{{sup|2}} − 4''ac''}} {{=}} 0}} அல்லது {{math|''b''{{sup|2}} − 4''ac'' {{=}} 0}} எனில் இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு ஒரேயொரு தீர்வு மட்டுமே உண்டு. அதாவது பரவளைவு {{math|''x''}}-அச்சை ஒரேயொரு புள்ளியில் மட்டுமே சந்திக்கும். {{math|{{sqrt|''b''{{sup|2}} − 4''ac''}} }} என்பது இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகளின் &quot;தன்மைகாட்டி&quot; என அழைக்கப்படுகிறது. தன்மைகாட்டியின் மதிப்பு:
 
 *பூச்சியமாக இருந்தால் ஒரேயொரு தீர்வு உண்டு. அதாவது பரவளைவு {{math|''x''}}-அச்சை ஒரேயொரு புள்ளியில் மட்டுமே சந்திக்கும்.
 *பூச்சியமற்றதாக, நேர்மமாக இருந்தால் இரு மெய்யெண் தீர்வுகள். பரவளைவு {{math|''x''}}-அச்சை இரு புள்ளிகளில் சந்திக்கும்.
 *எதிர்மமாக இருந்தால் தீர்வுகள் [[சிக்கலெண்]]களாக இருக்கும். இச்சிக்கலெண் தீர்வுகள் ஒன்றுக்கொன்று [[இணைச் சிக்கலெண்|இணையெண்களாக]] இருக்கும். பரவளைவு {{math|''x''}}-அச்சை சந்திக்கும் மெய்யெண் மதிப்புகள் கிடையாது.
 
 == வரலாறு ==
 இருபடிச் சமன்பாட்டுக்குத் தீர்வுகாணும் பண்டைய முறைகள் வடிவவியல் வழிமுறைகளாக இருந்தன. பாபிலோனியர்களிடம் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் கணக்குகளாகக் குறைக்கக்கூடிய கணக்குகள் காணப்படுகின்றன.&lt;ref&gt;{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=Beyond the Quadratic Formula|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&amp;pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=34}}&lt;/ref&gt; எகிப்திய பெர்லின் பாப்பிரசு  [[எகிப்தின் மத்தியகால இராச்சியம்|மத்தியகால இராச்சிய]] காலத்தைச் சேர்ந்தது (கிமு 2050 - கிமு 1650). இதில் இரு உறுப்புகளைக் கொண்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வு காணப்படுகிறது.&lt;ref&gt;{{cite book|title=The Cambridge Ancient History Part 2 Early History of the Middle East|url=https://books.google.com/books?id=slR7SFScEnwC&amp;pg=PA530|year=1971|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-07791-0|page=530}}&lt;/ref&gt;
 
 கிரேக்கக் கணிதவியலாளர் [[யூக்ளிடு]] (circa 300 BC) தனது ''[[யூக்ளிட்டின் எலிமென்ட்ஸ்|எலிமென்ட்சு]]'' புத்தகம் 2 இல் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு வடிவவியல் முறைகளைப் பயன்படுத்தியிருக்கிறார்.&lt;ref name=quad/&gt; &quot;கணிதக் கலையின் ஒன்பது அத்தியாயங்கள்&quot; (The Nine Chapters on the Mathematical Art,  கிமு 200) என்ற சீனப் படைப்பில் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் விதிகள் உள்ளன.&lt;ref name=Aitken&gt;{{cite web|last=Aitken|first=Wayne|title=A Chinese Classic: The Nine Chapters|url=http://public.csusm.edu/aitken_html/m330/china/ninechapters.pdf|publisher=Mathematics Department, California State University|access-date=28 April 2013}}&lt;/ref&gt;&lt;ref&gt;{{cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=History of Mathematics|url=https://archive.org/details/historyofmathema0002smit|url-access=registration|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-20430-7|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0002smit/page/380 380]}}&lt;/ref&gt; கிரேக்கக் கணிதவியலாளர் [[டையோபண்டஸ்|டையோபண்டசு]] தனது &quot;அரித்மெட்டிக்கா&quot;வில் (கிபி 250) யூக்ளிடின் வடிவவியல் இயற்கணித முறையைவிட இயற்கணிதத்தை ஒத்த வழிமுறையில் இருபடிச் சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வு கண்டுள்ளார்.&lt;ref name=quad&gt;{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=Beyond the Quadratic Formula|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&amp;pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=39}}&lt;/ref&gt; அவரது முறையில் இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு இரு நேர்மத் தீர்வுகள் இருந்தபோதும் ஒரு தீர்வுதான் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.&lt;ref&gt;{{cite book|last=Smith|first=David Eugene|title=History of Mathematics|url=https://archive.org/details/historyofmathema0002smit|url-access=registration|year=1958|publisher=Courier Dover Publications|isbn=0-486-20429-4|page=[https://archive.org/details/historyofmathema0002smit/page/134 134]}}&lt;/ref&gt;
 
 இந்தியக் கணிதவியலாளர் [[பிரம்மகுப்தர்|பிரம்பகுப்தரின்]] (கிபி 597–668) படைப்பான  ''பிரம்மசுபுட்தசித்தாந்தம் (Brāhmasphuṭasiddhānta)'' கிபி 628 இல் வெளியிடப்பட்டது. இந்நூலில் இருபடி வாய்பாடு காணப்படுகிறது.&lt;ref name=Bradley&gt;Bradley, Michael. ''The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300'', p. 86 (Infobase Publishing 2006).&lt;/ref&gt; ஆனால் குறியீடுகளுக்குப் பதிலாக சொற்களில் விளக்கப்பட்டுள்ளது.&lt;ref&gt;Mackenzie, Dana. ''The Universe in Zero Words: The Story of Mathematics as Told through Equations'', p. 61 (Princeton University Press, 2012).&lt;/ref&gt;&lt;ref name=Stillwell2004&gt;{{cite book |last=Stillwell |first=John |title=Mathematics and Its History (2nd ed.) |year=2004 |publisher=Springer |isbn=0-387-95336-1|page=87}}&lt;/ref&gt;
 
 ஒன்பதாம் நூற்றாண்டின் பாரசீகக் கணிதவியலாளர் [[முகம்மது இப்னு மூசா அல்-குவாரிஸ்மி]] இருபடிச் சமன்பாட்டை இயற்கணித முறையில் தீர்வு கண்டுள்ளார்.&lt;ref&gt;{{cite book|last=Irving|first=Ron|title=Beyond the Quadratic Formula|url=https://books.google.com/books?id=CV_UInCRO38C&amp;pg=PA39|year=2013|publisher=MAA|isbn=978-0-88385-783-0|page=42}}&lt;/ref&gt; 1594 இல் சைமன் ஸ்டீவின் என்ற கணிதவியலாளர் இருபடி வாய்ப்பாட்டை முதலாவதாக அனைத்து வகைப்பாட்டுகளுடனும் கண்டுபிடித்தார்.&lt;ref&gt;{{Citation |title=The Principal Works of Simon Stevin, Mathematics |volume=II-B |first1=D. J. |last1=Struik |first2=Simon |last2=Stevin |publisher=C. V. Swets &amp; Zeitlinger |year=1958 |page=470 |url=http://www.dwc.knaw.nl/pub/bronnen/Simon_Stevin-%5bII_B%5d_The_Principal_Works_of_Simon_Stevin,_Mathematics.pdf}}&lt;/ref&gt; 1637 இல் [[ரெனே டேக்கார்ட்]] இருபடி வாய்பாட்டின் தற்போதைய வடிவில் சிறப்பு வகைகளுக்கான குறிப்புகளுடன் தனது புத்தகத்தில் (''La Géométrie'') வெளியிட்டார்.&lt;ref&gt;{{Cite book|url=http://archive.org/details/TheGeometry|title=The Geometry|last=Rene Descartes|language=en}}&lt;/ref&gt;
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{Reflist|30em}}
 
 
 [[பகுப்பு:அடிப்படை இயற்கணிதம்]]