சதுரம்
{{dablink|இதே பெயரில் [[சிவபெருமான்]] ஆடிய சிவதாண்டவத்ததினைப் பற்றிய தகவலுக்கு [[சதுரம் (சிவதாண்டவம்)]] கட்டுரையைப் பார்க்க.}}
 
 [[File:Square (polygon).png|thumb|250px|right|சதுரம்]]
 '''சதுரம்''', கேத்திரகணித அடிப்படை வடிவங்களில் ஒன்று. இது, நான்கு [[உச்சி (வடிவவியல்)|உச்சிகளையும்]], சம அளவிலான நான்கு [[கோட்டுத்துண்டு]]களை பக்கங்களாகவும் கொண்ட, ஒரு இரு பரிமாண உருவமாகும். சதுரம் ஓர் ஒழுங்கு [[நாற்கரம்]] ஆகும்.
 
 === அடிப்படை உண்மைகள் ===
 *சதுரம் நான்கு சமபக்கங்களுடைய ஒரு [[பல்கோணம்|பல்கோணமாகும்]].
 
 *ABCD சதுரத்தில்
 
 :&lt;math&gt;AB = BC = CD = AD &lt;/math&gt;
 
 *நான்கு [[கோணம்|கோணங்களின்]] அளவுகள் சமமாகவும் ஒவ்வொன்றும் 90 [[பாகை (அலகு)|பாகை அளவாகவும்]] இருக்கும்.
 
 :&lt;math&gt;\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90&lt;/math&gt; பாகைகள்.
 
 *சதுரத்தின் இரு [[மூலைவிட்டம்|மூலைவிட்டங்களும்]] (கோணல் கோடுகள்) சமநீளமுள்ளவை.
 
 :&lt;math&gt;AC = BD &lt;/math&gt;
 
 *ஒரு சதுரத்தின் ஒரு பக்கத்தின் நீளம் a எனில், அதன் சுற்றளவு a யின் நான்கு மடங்கு ஆகும்.
 
 :&lt;math&gt;P = 4a &lt;/math&gt;
 
 *மூலைவிட்டத்தின் நீளம்:
 
 :&lt;math&gt;d = \sqrt 2 a &lt;/math&gt;
 
 விளக்கம்:
 
 சதுரத்தின் ஒவ்வொரு கோணமும் [[செங்கோணம்]] என்பதால் இரு அடுத்துள்ள பக்கங்களும் ஒரு மூலைவிட்டமும் ஒரு [[செங்கோண முக்கோணம்|செங்கோண முக்கோணத்தை]] அமைக்கின்றன. சதுரத்தின் பக்க அளவு ''a'', மூலைவிட்டத்தின் நீளம் ''d'' எனில், [[பித்தேகோரசு தேற்றம்|பித்தகோரசு தேற்றத்தின்படி]]:
 
 :&lt;math&gt; d^2 = a^2 + a^2 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; d^2 = 2a^2 &lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt; d = \sqrt2 a &lt;/math&gt;
 
 === சதுரத்தின் பரப்பு ===
 [[Image:Five Squared.svg|150px|right|thumb|சதுரத்தின் பரப்பளவு கணக்கிடல்]]
 
 ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு அதன் ஒரு பக்க அளவின் [[வர்க்கம் (கணிதம்)|வர்க்கத் தொகையால்]] தரப்படுகிறது. உதாரணத்திற்கு, ஒரு சதுரத்தின் பக்க அளவு 5 மீட்டர் என்றால், அதன் பரப்பளவு 5 x 5 = 25 சதுர மீட்டர் ஆகும். 5 மீட்டர் பக்க நீளமுள்ள சதுரத்தை 1 மீட்டர் பக்க நீளமுள்ள சிறுசிறு சதுரங்களாகப் பிரித்தால் மொத்தம் 25 சிறு சதுரங்கள் கிடைக்கின்றன.
 
 பொதுவாகச் சதுரத்தின் பரப்பு ''a'' எனில்:
 
 :&lt;math&gt;A = a^2.&lt;/math&gt;
 
 மூலைவிட்டத்தின் மூலமாகவும் சதுரத்தின் பரப்பளவைக் காணலாம். சதுரத்தின் மூலைவிட்டத்தின் நீளம் ''d'' எனில் அச்சதுரத்தின் பரப்பளவு:
 
 :&lt;math&gt;A= a^2 = (\frac {d}{\sqrt 2}) ^{2} = \frac{d^2}{2}.&lt;/math&gt;
 
 சதுரத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம் ''R'' எனில், 
 :&lt;math&gt; R = d &lt;/math&gt;
 
 எனவே சதுரத்தின் பரப்பளவு:
 :&lt;math&gt;A=2R^2&lt;/math&gt;
 
 சதுரத்தின் உள்வட்ட ஆரம் ''r'' எனில், 
 :&lt;math&gt; r = \frac {a}{2} &lt;/math&gt;
 
 எனவே சதுரத்தின் பரப்பளவு:
 
 :&lt;math&gt;A=4r^2.&lt;/math&gt;
 
 அடுக்கு இரண்டு என்பது சதுரத்தின் பரப்பளவாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டதால்தான் அடுக்கு இரண்டானது ஆங்கிலத்தில் ''ஸ்கொயர்'' என அழைக்கப்பட்டது.
 
 ==சமன்பாடுகள்==
 [[File:SquareEquationPlotted.jpg|thumb|right|&lt;math&gt;|x| + |y| = 2&lt;/math&gt;]]
 [[கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை]]யில் ஆதிப்புள்ளியை மையமாகவும் 2 அலகுகள் பக்கநீளமும் கொண்ட சதுரத்தின் உச்சிகளின் ஆயதொலைவுகள்: (±1,&amp;nbsp;±1). சதுரத்தின் உட்புறம் அமையுமொரு புள்ளிகளின் ஆயதொலைவுகள் (''x''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;, ''y''&lt;sub&gt;i&lt;/sub&gt;) , {{nowrap|−1 &lt; ''x''&lt;sub&gt;''i''&lt;/sub&gt; &lt; 1}}, {{nowrap|−1 &lt; ''y''&lt;sub&gt;''i''&lt;/sub&gt; &lt; 1}} ஆகும். இச் சதுரத்தின் சமன்பாடு:
 
 :&lt;math&gt;\max(x^2, y^2) = 1&lt;/math&gt;, அதாவது  &quot;''x''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt; அல்லது ''y''&lt;sup&gt;2&lt;/sup&gt;, இரண்டில் எது பெரியதோ அதன் மதிப்பு 1 ஆக இருக்கும்.&quot;
 
 இச்சதுரத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் ஆரம் மூலைவிட்டத்தின் நீளத்தில் பாதியாக இருக்கும். அதாவது
 
 சுற்றுவட்டத்தின் ஆரம்:
 :&lt;math&gt; R = \scriptstyle \sqrt{2};&lt;/math&gt;.
 
 சுற்றுவட்டத்தின் சமன்பாடு:
 :&lt;math&gt;x^2 + y^2 = 2.&lt;/math&gt;
 
 சதுரத்தின் மற்றொரு சமன்பாடு:
 
 சதுரத்தின் மையம்: (''a'', ''b'') மற்றும் கிடைமட்ட அல்லது குத்து ஆரம் ''r'' எனில் அச்சதுரத்தின் சமன்பாடு:
 
 :&lt;math&gt;\left|x - a\right| + \left|y - b\right| = r.&lt;/math&gt;
 
 ==பண்புகள்==
 சதுரம் என்பது [[சாய்சதுரம்]], [[பட்டம் (வடிவவியல்)|பட்டம்]], [[இணைகரம்]], [[நாற்கரம்]] மற்றும் [[செவ்வகம்]] ஆகியவற்றின் சிறப்பு வகையாகும். எனவே இவ்வடிவவியல் வடிவங்களின் பண்புகள் சதுரத்திற்கும் உண்டு:&lt;ref name= &quot;MathsIsFun&quot;&gt;http://www.mathsisfun.com/quadrilaterals.html/&lt;/ref&gt;
 *சதுரத்தின் எதிரெதிர் பக்கங்கள் [[இணை (வடிவவியல்)|இணையாகவும்]] சமமாகவும் இருக்கும்.
 *சதுரத்தின் நான்கு கோணங்களும் சமம். (ஒவ்வொன்றும் 360°/4 = 90° க்குச் சமம்.)
 *சதுரத்தின் நான்கு பக்கங்களும் சமம்.
 *இரு மூலைவிட்டங்களும் சம நீளமுள்ளவை.
 *சதுரத்தின் இரு மூலைவிட்டங்களும் ஒன்றையொன்று இருசமக் கூறிடும். மேலும் செங்குத்தாக வெட்டிக்கொள்ளும்.
 *சதுரத்தின் கோணங்களை அதன் மூலைவிட்டங்கள் இருசமக்கூறிடும்.
 
 ==பிற விவரங்கள்==
 *ஒரு சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் ஒவ்வொன்றின் நீளமும் அச்சதுரத்தின் பக்கநீளத்தைப்போல் &lt;math&gt;\scriptstyle \sqrt{2}&lt;/math&gt; (கிட்டத்தட்ட 1.414) மடங்காகும். [[விகிதமுறா எண்]] என நிறுவப்பட்ட முதல் எண் &lt;math&gt;\scriptstyle \sqrt{2}.&lt;/math&gt;
 *கோணங்களை இருசமக்கூறிடும் சம நீளமுள்ள மூலைவிட்டங்கள் கொண்ட இணைகரமாகச் சதுரத்தை வரையறுக்கலாம்.
 *செவ்வகமாகவும் சாய்சதுரமாகவும் அமையக்கூடிய வடிவவியல் வடிவமாகச் சதுரத்தைக் கருதலாம்.
 *சதுரத்தைச் சுற்றி அதன் நான்கு உச்சிகளின் வழியாகச் செல்லும் வட்டத்தின் (சுற்று வட்டம்) பரப்பளவு சதுரத்தின் பரப்பைப்போல் &lt;math&gt;\pi/2&lt;/math&gt; (கிட்டத்தட்ட 1.571) மடங்காகும்.
 *சதுரத்துக்குள் அதன் பக்கங்களைத் தொட்டவாறு வரையப்பட்ட வட்டத்தின் (உள்வட்டம்) பரப்பளவு சதுரத்தின் பரப்பளவைப்போல் &lt;math&gt;\pi/4&lt;/math&gt; (கிட்டத்தட்ட 0.7854) மடங்காகும்.
 *ஒரு சதுரத்துடன் சம சுற்றளவுடைய எந்தவொரு நாற்கரத்தின் பரப்பளவையும் விட சதுரத்தின் பரப்பளவு பெரியது.&lt;ref&gt;http://www2.mat.dtu.dk/people/V.L.Hansen/square.html&lt;/ref&gt;
 *சதுரம் அதிக [[சமச்சீர் (கணிதம்)|சமச்சீருள்ள]] ஒரு வடிவம். ஒரு சதுரத்திற்கு நான்கு பிரதிபலிப்பு சமச்சீர் அச்சுகளும் நான்கு கிரம [[சுழற்சி#கணிதம்|சுழற்சி]] சமச்சீரும் (through 90°, 180° , 270° கோண சுழற்சிகள்) உள்ளது. சதுரத்தின் [[சமச்சீர் குலம்]], ஒரு [[இருமுகக் குலங்கள்|இருமுகக் குலம்]] (&amp;nbsp;D&lt;sub&gt;4&lt;/sub&gt;).
 *''ABCD'' சதுரத்தின் பக்கங்கள் ''AB'',  ''BC'' , ''CD'', ''DA''  ஆகியவற்றை உள்வட்டம் தொடும் புள்ளிகள் முறையே ''E'' , ''F'' , ''G'' , ''H'' மற்றும் உள்வட்டத்தின் மேலுள்ள ஒரு புள்ளி ''P'' எனில்&lt;ref&gt;http://gogeometry.com/problem/p331_square_inscribed_circle.htm&lt;/ref&gt;:
 
 ::&lt;math&gt; 2(PH^2-PE^2) = PD^2-PB^2.&lt;/math&gt;
 
 == தமிழ்ப் பெயர் ==
 
 * '''நாலாரம்  '''( நாலு + ஆரம் )
 * '''நாலியாரம்''' ( நாலி+ ஆரம் )
 *'''நால்வாரி''' ( வரி -&gt; வாரி )
 *'''நால்வாரிகை'''  ( வரி -&gt; வாரி )
 
 ==வரைதல்==
 [[File:Straight Square Inscribed in a Circle 240px.gif|thumb|right|கவராயமும் நேர்விளிம்பும் மட்டும் கொண்டு சதுரம் வரைதல்]]
 கவராயமும் [[நேர்விளிம்பு]]ம் மட்டும் கொண்டு சதுரம் வரையும் விதம் இங்குள்ள [[இயங்குபடம்|அசைபடத்தில்]] காட்டப்பட்டுள்ளது.
 
 ;வரைமுறை
 
 #நேர்விளிம்பு கொண்டு ஒரு [[கோடு|நேர்கோடு]] வரைக.
 #கவராயம் கொண்டு இக்கோட்டின் மீதமைந்த ஏதேனுமொரு [[புள்ளி]]யை மையமாகவும் ஒரு குறிப்பிட்ட [[ஆரம்|ஆரமும்]] கொண்ட [[வட்டம்]] வரைக.
 #இவ்வட்ட மையத்துக்கும் வட்டமையம் கோட்டை வெட்டும் புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட தூரத்தை ஆரமாகவும், வட்டம் கோட்டை வெட்டும் புள்ளியை மையமாகவும் கொண்டு ஒரு வட்டம் வரைக.
 #இந்த இரண்டாவது வட்டம் முதல் வட்டத்தை வெட்டும் இரு புள்ளிகளை இணைத்து ஒரு [[கோட்டுத்துண்டு]] வரைக.
 #இந்த கோட்டுத்துண்டு முதலில் வரைந்த கோட்டை சந்திக்கும் புள்ளியை மையமாகவும், இப்புள்ளிக்கும் முதல் வட்டத்தின் மையத்துக்கும் இடைப்பட்ட தூரத்தை ஆரமாகவும் கொண்டு மூன்றாவது வட்டமொன்று வரைக.
 #இந்த வட்டம் கோட்டுத்துண்டை இரு புள்ளிகளில் சந்திக்கும்.
 #இந்த இரு புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றையும் முதலில் வரைந்த வட்ட மையத்துடன் இணைத்து வரையப்படும் கோட்டை இருபுறங்களிலும் நீட்டித்தால், அக்கோடுகள் இரண்டும் முதல் வட்டத்தைச் சந்திக்கும் நான்கு புள்ளிகளும் ஒரு சதுரத்தை உருவாக்கும்.
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}