வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம்
[[File:Euler theorem2.svg|thumb|right|upright=1.0|ஆய்லரின் தேற்றம்:&lt;br/&gt;&lt;math&gt;d=|IO| =\sqrt{R (R-2r)}&lt;/math&gt;]]
 '''[[வடிவவியல்|வடிவவியலில்]] [[ஆய்லர்|ஆய்லரின்]] தேற்றம்''' (''Euler's theorem in geometry''), ஒரு [[முக்கோணம்|முக்கோணத்தின்]] [[உள்வட்ட மையம்|உள்வட்ட மையத்திற்கும்]] [[சூழ்தொடு வட்டம்|சுற்றுவட்ட]] மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தின் மதிப்பினைப் பின்வருமாறு தருகிறது{{r|Johnson|Dunham}}:
 :&lt;math&gt; d^2=R (R-2r) \,&lt;/math&gt;
 :: (அல்லது)
 :&lt;math display=block&gt; \frac{1}{R-d} + \frac{1}{R+d} = \frac{1}{r},&lt;/math&gt;
 
 இதில் ''R'' - சுற்றுவட்ட ஆரம்,  ''r'' - உள்வட்ட ஆரம்.
 
 1765 இல் இதனை வெளியிட்ட கணிதவியலாளர்  [[லியோனார்டு ஆய்லர்|லியோனார்டு ஆய்லரின்]] பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.{{r|LevershaSmith}} 1746 இல் வில்லியம் சாப்பல் என்பவராலும் இத்தேற்றத்தின் முடிவு வெளியிடப்பட்டதாகும்.{{r|Chapple}}
 
 இத்தேற்றத்தின் கூற்றிலிருந்து கிடைக்கும் சமனின்மை
 :&lt;math&gt;R \ge 2r &lt;/math&gt; ''ஆய்லரின் சமனின்மை'' என அழைக்கப்படுகிறது.{{r|wlim|lle}}{{r|SV}}. இதிலுள்ள சமக்குறி சமபக்க முக்கோணத்திற்கு மட்டுமே பொருந்தும்.
 
 [[இரு மைய நாற்கரம்|இரு மைய நாற்கரத்தின்]] [[இரு மைய நாற்கரம்#ஃப்ஸ்ஸின் தேற்றமும் கார்லிட்ஸின் முற்றொருமையும்|கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை]], இத்தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.
 
 == ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம்==
 ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம்{{r|SV}}:
 :&lt;math display=block&gt;\frac{R}{r} \geq \frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1 \geq \frac{2}{3} \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right) \geq 2,&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;a&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;b&lt;/math&gt;, &lt;math&gt;c&lt;/math&gt; ஆகிய மூன்றும் முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களைக் குறிக்கின்றன.
 
 ==நிறுவல்==
 [[Image:GeometryEulerTheorem.png|400px|thumb|இத்தேற்றத்தின் நிறுவலுக்கான படம்(நிறுவலுடன்).]]
 *முக்கோணம் ''ABC''  -ன் சுற்றுவட்ட மையம் ''O'' , உள்வட்ட மையம் ''I''   என்க.  
 *[[கோட்டுத்துண்டு]] ''AI''  -ன் நீட்டிப்பு சுற்றுவட்டத்தைப் [[புள்ளி]]  ''L'' -ல் சந்தித்தால்,  [[வில் (வடிவவியல்)|வட்டவில்]] ''BC'' -ன் [[நடுப்புள்ளி]]யாக ''L'' இருக்கும்.  
 *கோட்டுத்துண்டு LO வரைந்து நீட்டிக்க, அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி  ''M'' என்க.  
 *''I'' -லிருந்து AB -க்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தின் அடி, புள்ளி D  என்க. 
 *&lt;math&gt;ID = r\,&lt;/math&gt;.
 
 :&lt;math&gt;\triangle ADI\sim\triangle MBL \, &lt;/math&gt; ([[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள்|வடிவொத்த முக்கோணங்கள்]])
 
 :&lt;math&gt;\frac{ID}{BL} = \frac{AI}{ML}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;ID \times ML = AI \times BL&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt;2Rr = AI \times BL\,&lt;/math&gt;----------------(1)
 
 *&lt;math&gt;BI&lt;/math&gt; வரைக.
 
 :&lt;math&gt;\triangle BIL&lt;/math&gt; -ல்:
 : &lt;math&gt;\angle BIL = \frac{\angle ABC}{2}+ \frac{\angle A}{2} &lt;/math&gt; --------(முக்கோணம் ABI -ன் ஒரு வெளிக்கோணம் BIL. மேலும் ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, மூன்றாவது வெளிக்கோணத்திற்குச் சமம்.)
 
 : &lt;math&gt;\angle IBL = \frac{\angle ABC}{2} + \angle CBL = \frac{\angle ABC}{2} + \frac{\angle A}{2}&lt;/math&gt;
 
 :(கோணங்கள் CBL, A/2 இரண்டும் சுற்றுவட்ட வில் LC -ஆனது மீதியுள்ள வட்டவில்லின் மீது அமையும் B மற்றும் A புள்ளிகளில் தாங்கும் கோணங்களாக அமைவதால் இரண்டும் சமம்.)
 
 :&lt;math&gt;\angle BIL = \angle IBL&lt;/math&gt;
 
 எனவே முக்கோணம் BIL ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.
 
 :&lt;math&gt;BL = IL\,&lt;/math&gt;,
 
 :இம்மதிப்பை (1)-ல் பிரதியிட:
 
 :&lt;math&gt;2Rr = AI \times IL &lt;/math&gt;--------(2)
 
 *&lt;math&gt;OI&lt;/math&gt; -ஐ நீட்டிக்க அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் ''P'' , ''Q'' என்க.
 
 :&lt;math&gt; PI \times QI = AI\times IL&lt;/math&gt;  ----(ஒரு வட்டத்தின் இரு வெட்டிக்கொள்ளும் நாண்கள்  ஒவ்வொன்றின் வெட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்கற்பலன்கள் சமம்)
 
 :&lt;math&gt; PI \times QI  = 2Rr \,&lt;/math&gt;-----( (1)-ன் படி)
 
 :&lt;math&gt;(R+d)(R-d) = 2Rr\,&lt;/math&gt; --------(d -சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் உள்வட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.)
 
 :&lt;math&gt;d^2 = R(R-2r)\,&lt;/math&gt;. ---------(தேற்ற முடிவு நிறுவப்படுகிறது.)
 
 == மேற்கோள்கள் ==
 {{reflist|refs=
 
 &lt;ref name=Chapple&gt;{{citation
  | last = Chapple | first = William | author-link = William Chapple (surveyor)
  | journal = Miscellanea Curiosa Mathematica
  | pages = 117–124
  | title = An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles
  | url = https://archive.org/details/miscellaneacuri01unkngoog/page/n142
  | volume = 4
  | year = 1746}}. The formula for the distance is near the bottom of p.123.&lt;/ref&gt;
 
 &lt;ref name=Dunham&gt;{{citation
  | last = Dunham | first = William
  | isbn = 9780883855584
  | page = 300
  | publisher = Mathematical Association of America
  | series = Spectrum Series
  | title = The Genius of Euler: Reflections on his Life and Work
  | url = https://books.google.com/books?id=M4-zUnrSxNoC&amp;pg=PA300
  | volume = 2
  | year = 2007}}&lt;/ref&gt;
 
 &lt;ref name=Johnson&gt;{{citation|last=Johnson|first=Roger A.|title=Advanced Euclidean Geometry|publisher=Dover Publ.|year=2007|orig-year=1929|page=186}}&lt;/ref&gt;
 
 &lt;ref name=LevershaSmith&gt;{{citation
  | last1 = Leversha | first1 = Gerry
  | last2 = Smith | first2 = G. C.
  | date = November 2007
  | issue = 522
  | journal = [[The Mathematical Gazette]]
  | jstor = 40378417
  | pages = 436–452
  | title = Euler and triangle geometry
  | volume = 91}}&lt;/ref&gt;
 
 &lt;ref name=&quot;wlim&quot;&gt;{{citation
  | last1 = Alsina | first1 = Claudi
  | last2 = Nelsen | first2 = Roger
  | isbn = 9780883853429
  | page = 56
  | publisher = Mathematical Association of America
  | series = Dolciani Mathematical Expositions
  | title = When Less is More: Visualizing Basic Inequalities
  | url = https://books.google.com/books?id=U1ovBsSRNscC&amp;pg=PA56
  | volume = 36
  | year = 2009}}&lt;/ref&gt;
 
 &lt;ref name=&quot;lle&quot;&gt;{{citation
  | last = Debnath | first = Lokenath
  | isbn = 9781848165250
  | page = 124
  | publisher = World Scientific
  | title = The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute
  | url = https://books.google.com/books?id=K2liU-SHl6EC&amp;pg=PA124
  | year = 2010}}&lt;/ref&gt;
 
 &lt;ref name=SV&gt;{{citation
  | last1 = Svrtan | first1 = Dragutin
  | last2 = Veljan | first2 = Darko
  | journal = [[Forum Geometricorum]]
  | pages = 197–209
  | title = Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities
  | url = https://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html
  | volume = 12
  | year = 2012}}; see p. 198&lt;/ref&gt;
 
 }}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * [http://mathworld.wolfram.com/EulerTriangleFormula.html Euler's theorem on MathWorld]
 
 [[பகுப்பு:நிறுவலடங்கிய கணிதத்தேற்றங்கள்]]