அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்)
கணிதத்தில்  '''அடுக்குத் தொடர்''' (''power series'')  என்பது கீழ்க்காணும் வடிவில் அமையும் [[தொடர் (கணிதம்)|முடிவிலாத் தொடர்]] ஆகும்:
 
 :&lt;math&gt;f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1&lt;/math&gt;&lt;math&gt; + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots&lt;/math&gt;
 
 இத் தொடர் ஒரு [[மாறி]]யிலமைந்த அடுக்குத் தொடர்.
 
 இதில்:
 :''a&lt;sub&gt;n&lt;/sub&gt;''  ''n'' ஆம் உறுப்பின் கெழு;
 : ''c'' ஒரு [[மாறிலி (கணிதம்)|மாறிலி]];
 : ''x'' ஆனது ''c'' இன் மதிப்பைச் சுற்றி மாறுபடும். பொதுவாக, ஒரு [[சார்பு|சார்பின்]] [[டெய்லர் தொடர்|டெய்லர் தொடராகவே]] ஒரு அடுக்குத் தொடர் அமையும்.
 
 பெரும்பாலான சமயங்களில் ''c'' இன் மதிப்பு [[பூச்சியம்|பூச்சியமாக]] அமையும். அப்போது அடுக்குத் தொடரின் வடிவம்:
 :&lt;math&gt;
 f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.
 &lt;/math&gt;
 
 ==எடுத்துக்காட்டுகள்==
 [[Image:Exp series.gif|right|thumb|[[அடுக்குக்குறிச் சார்பு]]ம் (நீலம்) அதன் [[மெக்லாரின் தொடர்|மெக்லாரின் தொடரின்]] முதல் ''n''+1 உறுப்புகளின் கூடுதலும் (சிவப்பு).]]
 *எந்தவொரு [[பல்லுறுப்புக்கோவை]]யையும் ஒரு மையம் ''c'' உடன் அடுக்குத் தொடராக எளிதாக எழுத முடியும்.
 :&lt;math&gt;f(x) = x^2 + 2x + 3&lt;/math&gt; என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை மையம் &lt;math&gt;c=0&lt;/math&gt; எனக் கொண்டு பின்வரும் அடுக்குத் தொடராக எழுதலாம்:
 ::&lt;math&gt;f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,&lt;/math&gt;
 
 அல்லது மையத்தை &lt;math&gt;c=1&lt;/math&gt; எனக்கொண்டால்:
 ::&lt;math&gt;f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2&lt;/math&gt;&lt;math&gt; + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,&lt;/math&gt;
 
 *[[பெருக்குத் தொடர்|பெருக்குத் தொடரின்]] வடிவம்:
 ::&lt;math&gt; \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,&lt;/math&gt;, இவ் வாய்ப்பாடு &lt;math&gt;|x|&lt;1&lt;/math&gt; எனும் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாகும்.
 
 *[[அடுக்குக்குறிச் சார்பு|அடுக்குக்குறிச் சார்பின்]] தொடர்:
 ::&lt;math&gt; e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,&lt;/math&gt;
 
 [[சைன் (முக்கோணவியல்)|சைன்]] சார்பின் தொடர்:
 ::&lt;math&gt; \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,&lt;/math&gt; இத் தொடர் x இன் அமைத்து மெய்மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும்.
 
 அடுக்குத் தொடரில் எதிர் எண்கள் மாறியின் அடுக்குகளாக இருக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக பின்வருவது அடுக்குத் தொடராகாது: 
 :&lt;math&gt;1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots&lt;/math&gt;
 
 இதேபோல &lt;math&gt;x^{1/2}&lt;/math&gt; போன்ற பின்ன அடுக்குகளும் இருக்காது. மேலும் கெழுக்கள் மாறி &lt;math&gt;x&lt;/math&gt; ஐச் சார்ந்தவையாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக கீழே தரப்படுவது அடுக்குத் தொடர் அல்ல:
 :&lt;math&gt;\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,&lt;/math&gt;
 
 == கணிதச் செயல்கள் ==
 === கூட்டலும் கழித்தலும் ===
 ''f'' , ''g'' ஆகிய இரு சார்புகள் ''c'' எனும் ஒரே மையத்தைக் கொண்டு அடுக்குத் தொடர்களாக எழுதப்பட்டால், அவற்றின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலை உறுப்புவாரிக் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலாகச் செய்யலாம்.
 :&lt;math&gt;f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n&lt;/math&gt;
 :&lt;math&gt;g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n&lt;/math&gt; எனில்:
 
 :&lt;math&gt;f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.&lt;/math&gt;
 
 === பெருக்கலும் வகுத்தலும் ===
 
 :&lt;math&gt; f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n&lt;/math&gt;
 
 :&lt;math&gt; f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)&lt;/math&gt;
 
 === வகையிடலும் தொகையிடலும்===
 அடுக்குத் தொடராக எழுதப்படும் சார்பின் [[வகைக்கெழு]] மற்றும் [[தொகையீடு]]
 ::&lt;math&gt;
 f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}
 &lt;/math&gt;
 
 ::&lt;math&gt;
 \int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.
 &lt;/math&gt;
 
 ==மேற்கோள்கள்==
 {{reflist}}
 *{{SpringerEOM|title=Power series|id=Power_series&amp;oldid=15309|last=Solomentsev|first=E.D.}}
 
 ==வெளி இணைப்புகள்==
 * {{MathWorld | urlname= FormalPowerSeries | title= Formal Power Series }}
 * {{MathWorld | urlname= PowerSeries | title= Power Series }}
 * [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ComplexPowerSeriesMod.html Complex Power Series Module by John H. Mathews]
 * [http://demonstrations.wolfram.com/PowersOfComplexNumbers/ Powers of Complex Numbers] by Michael Schreiber, [[Wolfram Demonstrations Project]].