# Интеграл

Интеграл - интеграль хисапның төп төшенчәсе, функцияләр, саннар суммасына туры килә, билгеле интеграл функциянең графигы һәм абсцисс күчәре арасындагы мәйданга тигез, димәк кәкре сызыклы трапеция мәйданына тигез.
Ике үзгәрмә зурлык буенча интеграл табу очрагында, интеграл - функция графигының өслеге астындагы күләмгә тигез.

# Интеграл
## Риман интегралы

Риман интегралы - интеграл табу иң гади ысулы, Риман суммасы нигезендәге алым, ягъни график астындагы кечкенә турыпочмаклар суммасына тигез.
    $S=\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}.$
Интеграль сумма: $\sigma _{x}=\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}$
Бүлемнәр адымы $\delta R=\max(\Delta x_{i})$ нульгә омтылган очракта, интеграль суммалар бертигез санга омтыла, ул интеграл дип йөртелә:
    $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{\delta R\to 0}\sigma _{x}$
Кисемтәләр кечкенә бүлемнәрен ясап, кечкенә турыпочмаклар мәйданнары суммасы $S=\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}.$, чик очрагында ($\Delta x_{i}$ нульга омтылса), интеграль сумма интегралга омтыла:
    $S=\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}\rightarrow \int f(x)dx.$

# Интеграл
## Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе

Ньютон-Лейбниц тигезләмәсе буенча баштагы функцияләр аермасы билгеле интегралга тигез:
$\int \limits _{a}^{b}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)\vline _{a}^{b}=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

# Интеграл
## Кайбер билгесез интеграллар
### Дәрәҗәле функцияләр

    $\int k\,dx=kx+C$
    $\int x^{a}\,dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\qquad {\text{(for }}a\neq -1{\text}}\,\!$
    $\int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text}}\,\!$
    $\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$
       гомуми очракта,
       $\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$
    $\int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C$

# Интеграл
## Кайбер билгесез интеграллар
### Экспонент функцияләр

    $\int e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}e^{ax}+C$
    $\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C$
    $\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$

# Интеграл
## Кайбер билгесез интеграллар
### Логарифмик функцияләр

    $\int \ln x\,dx=x\ln x-x+C$
    $\int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C$

# Интеграл
## Кайбер билгесез интеграллар
### Тригонометрик функцияләр

    $\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$
    $\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$
    $\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C$
    $\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$
    $\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$
    $\int \csc {x}\,dx=\ln {\left|\csc {x}-\cot {x}\right|}+C$
    $\int \sec ^{2}x\,dx=\tan x+C$
    $\int \csc ^{2}x\,dx=-\cot x+C$
    $\int \sec {x}\,\tan {x}\,dx=\sec {x}+C$
    $\int \csc {x}\,\cot {x}\,dx=-\csc {x}+C$
    $\int \sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$
    $\int \cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {\sin 2x}{2}}\right)+C={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$
    $\int \sec ^{3}x\,dx={\frac {1}{2}}\sec x\tan x+{\frac {1}{2}}\ln |\sec x+\tan x|+C$
    $\int \sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}{x}\,dx$
    $\int \cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}{x}\,dx$

# Интеграл
## Кайбер билгесез интеграллар
### Кире тригонометрик функцияләр

    $\int \arcsin {x}\,dx=x\arcsin {x}+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq +1$
    $\int \arccos {x}\,dx=x\arccos {x}-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert \leq +1$
    $\int \arctan {x}\,dx=x\arctan {x}-{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$
    $\int \operatorname {arccot} {x}\,dx=x\operatorname {arccot} {x}+{\frac {1}{2}}\ln {\vert 1+x^{2}\vert }+C,{\text{ for all real }}x$
    $\int \operatorname {arcsec} {x}\,dx=x\operatorname {arcsec} {x}-\ln \vert x\,(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,)\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq +1$
    $\int \operatorname {arccsc} {x}\,dx=x\operatorname {arccsc} {x}+\ln \vert x\,(1+{\sqrt {1-x^{-2}}}\,)\vert +C,{\text{ for }}\vert x\vert \geq +1$

# Интеграл
## Кайбер билгесез интеграллар
### Һиперболик функцияләр

    $\int \sinh x\,dx=\cosh x+C$
    $\int \cosh x\,dx=\sinh x+C$
    $\int \tanh x\,dx=\ln \cosh x+C$
    $\int \coth x\,dx=\ln |\sinh x|+C,{\text{ for }}x\neq 0$
    $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\arctan \,(\sinh x)+C$
    $\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\tanh {x \over 2}\right|+C,{\text{ for }}x\neq 0$

# Интеграл
## Кайбер билгесез интеграллар
### Кире һиперболик функцияләр

    $\int \operatorname {arsinh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsinh} \,x-{\sqrt {x^{2}+1}}+C,{\text{ for all real }}x$
    $\int \operatorname {arcosh} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcosh} \,x-{\sqrt {x^{2}-1}}+C,{\text{ for }}x\geq 1$
    $\int \operatorname {artanh} \,x\,dx=x\,\operatorname {artanh} \,x+{\frac {\ln \left(\,1-x^{2}\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert <1$
    $\int \operatorname {arcoth} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcoth} \,x+{\frac {\ln \left(x^{2}-1\right)}{2}}+C,{\text{ for }}\vert x\vert >1$
    $\int \operatorname {arsech} \,x\,dx=x\,\operatorname {arsech} \,x+\arcsin x+C,{\text{ for }}0<x\leq 1$
    $\int \operatorname {arcsch} \,x\,dx=x\,\operatorname {arcsch} \,x+\vert \operatorname {arsinh} \,x\vert +C,{\text{ for }}x\neq 0$

# Интеграл
## Кайбер билгесез интеграллар
### Катлаулы функцияләр

    $\int \cos ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax+b\cos ax\right)+C$
    $\int \sin ax\,e^{bx}\,dx={\frac {e^{bx}}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax-a\cos ax\right)+C$
    $\int \cos ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(a\sin ax\,\cosh bx+b\cos ax\,\sinh bx\right)+C$
    $\int \sin ax\,\cosh bx\,dx={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}\left(b\sin ax\,\sinh bx-a\cos ax\,\cosh bx\right)+C$