# Функция чыгарылмасы

Функция чыгарылмасы (ноктада) — билгеләнгән ноктада функция үзгәреше тизлеген тасвирлаучы дифференциаль хисапның төп төшенчәсе.
Функция чыгарылмасы — функция артымы аргумент артымына чагыштырмасының чиге булып билгеләнә (аргумент һәм функция артымнары нульгә омтылалар).
Чикле чыгарылмасына ия булган функция ноктада дифференциаль функция дип йөртелә.
Чыгарылманы исәпләү дифференциал табу дип атала. Кире исәпләү баштагы функцияне табу (русча первообразная) яки интеграл табу дип йөртелә.

# Функция чыгарылмасы
## Математик тасвиры

Функция чыгарылмасы $~A$ түбәндәгечә күрсәтеп була:
    $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$
    $f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)$
Функция чыгарылмасы чик (lim) ярдәмендә болай күрсәтелә:
    $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} .$
    $f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}.$

# Функция чыгарылмасы
## Чыгарылмалар җәдвәле

| Дәрәҗәле функцияләр чыгарылмалары | Тригонометрик функцияләр чыгарылмалары | Кире тригонометрик функцияләр чыгарылмалары |
| $\left(c\right)'=0$ | $\left(\sin x\right)'=\cos x$ | $\left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ |
| $\left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}$ | $\left(\cos x\right)'=-\sin x$ | $\left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ |
| $\left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a$ | $\left(\mathrm {tg} \,x\right)'={\dfrac {1}{\cos ^{2}x}}$ | $\left(\mathrm {arctg} \,x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2}}}$ |
| $\left(\log _{a}x\right)'={\dfrac {1}{x\ln a}}$ | $\left(\mathrm {ctg} \,x\right)'=-{\dfrac {1}{\sin ^{2}x}}$ | $\left(\mathrm {arcctg} \,x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}$ |
$\left(c\right)=\left(const\right)$ $\left(e^{x}\right)^{\left(n\right)}=e^{x}$

# Функция чыгарылмасы
## Геометрик мәгънә

Әгәр функция ноктада чикле чыгарылмасына ия була икән, димәк ноктаның тирә-ягында функция сызык функциясе белән якынча тасвирланып була:
    $f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).$
Функция $f_{l}$
    $f_{l}$ - орынма дип йөртелә
    $~f'(x_{0})$ - орынма почмак коэффициенты яки авышлык почмагының тангенсы
Функция чыгарылмасы функциянең мизгелдәге үзгәреш тизлеге булып тора:
    $v(t_{0})=s'(t_{0})$

# Функция чыгарылмасы
## Югары буын чыгарылмалар

       $f^{(0)}(x_{0})\equiv f(x_{0}).$
    $f^{(1)}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).$
    $f^{(n+1)}(x_{0})=\left(f^{(n)}\right)'(x_{0}).$

# Функция чыгарылмасы
## Бүленмә чыгарылма

Күп аргументлы функция
    $~u=f(x,y,z)$
бүленмә чыгарылма
    $~u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})$ яки $~{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x^{2}}}$
    $~u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})$ яки $~{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\partial x\partial y}}$
    $~u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})$

# Функция чыгарылмасы
## Мисаллар

* $f(x)=x^{2}$. димәк
    $f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim \limits _{x\to x_{0}}(x+x_{0})=2x_{0}.$
* $f(x)=|x|$. Әгәр $x_{0}\neq 0,$ димәк
    $f'(x_{0})=\operatorname {sgn} x_{0},$
биредә $\operatorname {sgn}$ - тамга функциясе. Әгәр $x_{0}=0,$ димәк $f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,$ шуңа күрә $f'(x_{0})$ булмый.

# Функция чыгарылмасы
## Дифференциал табу кагыйдәләре

* $C'=0$
* $x'=1$
* $\left(f+g\right)'=f'+g'$
* $\left(fg\right)'=f'g+fg'$
* $\left(Cf\right)'=Cf'$
* $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ …(g ≠ 0)
* $\left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}$ (g ≠ 0)
* $\left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2}\right]\right.$,
    $y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t'_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}$
* ${\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_{g}g'_{x}$
    $(fg)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},$ биредә $C_{n}^{k}$
* $(f(x)^{g(x)})'=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)$

# Функция чыгарылмасы
## Кайбер функцияләрдән чыгарылмалар

| Функция $~f(x)$ | $~f'(x)$ чыгарылмасы |
| $~x^{\alpha }$ | $~\alpha \cdot x^{\alpha -1}$ |
| $~a^{x}$ | $~a^{x}\cdot \ln {a}$ |
| $~\log _{a}{x}$ | $~{\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}$ |
| $~\sin x$ | $~\cos x$ |
| $~\cos x$ | $~-\sin x$ |
| $~\mathrm {tg} \ x$ | $~{\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}$ |
| $~\mathrm {ctg} \ x$ | $~-{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}$ |
| $~\arcsin {x}$ | ${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ |
| $~\arccos {x}$ | $-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ |
| $~\mathrm {arctg} \ x$ | $~{\frac {1}{1+x^{2}}}$ |
| $~\mathrm {arcctg} \ x$ | $~-{\frac {1}{1+x^{2}}}$ |
| $~\mathrm {sh} \ x$ | $~\mathrm {ch} \ x$ |
| $~\mathrm {ch} \ x$ | $~\mathrm {sh} \ x$ |
| $~\mathrm {th} \ x$ | $~{\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x}}$ |
| $~\mathrm {cth} \ x$ | $~-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x}}$ |