# Геометрия

Гыйльме һәндәсә яки Геоме́трия (tat. lat. Ğilme həndəsə(үле сылтама), гарәп. علم الهندسة, бор. юнан. γῆ — җир һәм μετρέω үлчим) — риязият (математика) фәненең бер бүлеге, формаларны һәм гомумиләштерүләрне өйрәнә. Һәндәсә риязиятның башка бүлекләре белән тыгыз бәйләнгән, шуңа күрә аның чикләре тевәл билдәләнмәгән.
Һәндәсә — иң элекке фәнләрнең бересе, килеп чыгышы бик бороннан килә, безнең заманга тиклем үк барып җитә. Геометрия сүзе юнан теленән тәрҗемә иткәндә «җир үлчәү» дигәнде аңлата. Мондый исемнең килеп чыгышы шулай аңлатыла: беренче геометрия үсеше төрле үлчәү эшләре белән башлана, җир үлчәүләр, юллар салу һәм төзелеш вактында үлчәүсез эшләве бик кыен, ә бу фән белән бу мәсьәләләр тиз чишелгән.Һәндәсәгә кагылышлы белемнәр бик борынгы заманнан ук (Мисыр, Бабил) Җир мәйданын, җисемнәрнең күләмен үлчәү, төзү, сугару һ.б. эшләр, астрономик күзәтүләр ихтыяҗы сөземтәсендә тупланып килгән. Борынгы юнан галиме Эуклидның «Башлангычлар» (юнан. Στοιχεῖα, лат. Elementa) исемле хезмәтендә беренче мәртәбә аксиомалар — һәндәсәнең төп кануннары тәгъбирләнгән, алар ярдәмендә иң гади фигураларның төрле үзлекләре исбатлап чыгарылган. Архимед (мәйдан һәм күләмнәрне тулыландырып исәпләү ысулы), Аполлоний (коник кисемнәр турасындагы тәгълимәт), Птолемей (сферик һәндәсә) ачышлары да — һәндәсә өлкәһендәге мөһим казанышлар.
XVII гасырда Р. Декарт (1637) тарафынан төзелгән координаталар ысулы һәндәсә мәсьәләләрен сандар теленә күчерергә һәм аларны җәбери (алгебраик) ысуллар белән чишергә мөмкинлек бирә һәм яңа ачышларның — дифференциаль һәм интеграль исәпләүләрнең (И. Ньютон һәм Г. В. Лейбниц) нигезен тәшкил итә. XVIII гасырда евклидча фазалагы кәкреләрне һәм өчлекләрне өйрәнгәндә анализ ысуллары куллану барышында (бертуган Я. һәм И. Бернуллилар, Г. Монж, Л. Эйлер һ.б. хезмәтләрендә) классик дифференциаль һәндәсәгә нигез салына. IXX гасырда өчлекләр назариятындагы иң мөһим нәтиҗәләр алман риязый К. Ф. Гаусс исеме белән бәйле. Ул өчлекнең эчке һәндәсәте дигән, бүгелгәндә дә үзгәрмәүчән эчке үзлекләре җыелмасы төшенчәсен керетә (1827). Евклидча һәндәсәдән бөтенләй аермалы, логик каршылыксыз булган һәндәсә төзеп, Н. И. Лобачевский бу фәндең үсешендә принципиаль яңа азым ясый. IXX гасырда Лобачевский һәндәсәте барлыкка килү, шуннан соң башка һәндәсәләр төзелү математикала аксиомалар ысулын үстерүгә һәм камиллаштыруга этәргеч бирә (Д. Гильберт һ.б.). Алман риязый Ф. Клейндың рәвеш үзгәртүләр төркөмнәре назарияты (теориясы) нигезендә нон-евклид һәндәсәләр классификациясын төзүве IXX гасырдагы зур казанышларның бересе булып санала. 1854 елда алман риязый Б. Риман нон-евклид һәндәсәләр кысаларына сыймаган фазалар төзи. Риман күп төрлелекләре һәм аларны гомумиләштерү буенча алып барылган тикшеренүләрдә «гомумиләштерелгән фәзалар» дип аталган төшенчә керетелә, ә аларны өйрәнү XX гасырда киң колач ала. Мәсәлән, А. Эйнштейн, дүрт үлчәмле Риманча фаза-вакыт төшенчәсен кулланып (1916), чагыштырмалылыкның дөем назариятын төзи.
IXX-XX гасырлар чигендә риязиятта абстракт карашларның үсеше һәндәсәне күплекләр назарияты нигезенә күчерүгә килтерә. Француз риязыйсы А. Пуанкареның күп төрлелекләрдә интеграль исәпләүләр, француз риязыйсы М. Фреше белән алман риязыйсы Ф. Хаусдорфның метрик күп төрлелекләр назариятына караган һәм Мәскәү риязый мәктәбе вәкилдәренең (П. С. Александров, П. С. Урысон, А. Н. Колмогоров, Л. С. Понтрягин) тикшеренү нәтиҗәләре һәндәсәнең яңа бүлеге — топология фәне барлыкка килүгә ярдәм итә, ә ул математиканың башка өлкәләре үсешенә дә зур йогынты ясый. XX гасырда дифференциаль һәндәсәдә ике юнәлеш билдәләнә. Беренче юнәлеш, математик анализ ысулдарын файдаланып, бирелгән нөктә тирәсендәге инженер объектларның локаль үзлекләрен өйрәнә һәм ул тикшерелә торган объектларны сызыкчалатырга, сызыклы җәбер (алгебра) ысулларын кулланырга мөмкинлек бирә. Шул юнәлешнең үсүе нәтиҗәсендә К. Риччи, Т. Леви-Чивита, Э. Картан һ.б. хезмәтләрендә тензорлы анализга, бәйләнгәнлек назариятына һәм ковариант дифференциаллауларга нигез салына. Икенче юнәлеш — дифференциаль топология — 1930 елдар уртасында Х. Уитни һәм Э. Штифель, Л. С. Понтрягин, Ш. Чжень һ.б. хезмәтләрендә нигезләнә. Шыма күп төрлелекләрнең топологик инвариантларын, аларны сыйфатлаучы классларның истилахларын өйрәнгәндә гайәт зур нәтиҗәләргә ирешелә (В. А. Рохлин, Д. У. Милнор, М. Ф. Атья һ.б.). Гомүмән алганда, һәндәсә кәкреләр һәм өчлекләрнең төзелешен Евклид һәм нон-евклид фазаларында һәр яклап, шул исәптән аларның шыма түгеллеген һәм үзенчәлекле нөктәләре булуын да исәпкә алып өйрәнә (Н. В. Ефимов, А. Д. Александров, А. В. Погорелов, Н. Кейпер һ.б.).