# Тригонометрия тарихы

Өчпочмакларны иртә өйрәнүе эзләре безнең эрага кадәр 2-нче меңьеллыкта Мисыр математикасында (Рһинд Математика Папирусы) һәм Вавилон математикасында. Тригонометрия Куш Патшалыгында математикасында шулай ук превалент булган. Тригонометрик функцияләрнең систематик өйрәнүе Элленистик математикада башланган һәм Һиндстанга Элленистик астрономия өлеше буларак җиткән. Һиндстан астрономиясендә тригонометрик функцияләрне өйрәнү Гупта чорында чәчәк иткән, аеруча Арьябһатага рәхмәтле (безнең эраның алтынчы гасыры), ул синусоида функциясен ачкан. Урта Гасырларда тригонометрияне өйрәнү Ислам математикасында Әл-Харәзми һәм Әбу әл-Вафа кебек математиклар тарафыннан дәвам иткән. Ул бөтен алты тригонометрия функциясе дә билгеле булган Ислам дөньясында бәйсез дисциплина булып киткән. Гарәп һәм Грек текстларының тәрҗемәсе тригонометриянең Латин Көнбатышында фән буларак кабул ителүенә китергән һәм Ренессанс Regiomontanus белән башланган. Хәзерге тригонометриянең үсеше Мәгърифәтчелек Чорында үзгәргән һәм 17-енче гасыр математиклары (Исаак Ньютон һәм Джеймс Стирлинг) белән башланган һәм хәзерге формасына Леонард Эйлер белән 1748 елда җиткән.

# Тригонометрия тарихы
## Этимологиясе

Тригонометрия төшенчәсе Борынгы Юнан теле τρίγωνον trigōnon, "өчпочмак" һәм μέτρον metron, "үлчәү"дән алынган. Хәзерге заман "sine" сүзе Латин теле sinus сүзеннән алынган, аның мәгънәсе "култык", "куыш" яки "бөрмә" һәм ул турыдан-туры түгел рәвештә Һинд, Фарсы һәм Гарәп тапшырылуы аша Грек төшенчәсе khordḗдан алынган "җәя кылы, хорда". Санскрит телендә синус өчен Һинд дине төшенчәсе җья "җәя кылы", Һиндулар башта өч тригонометрик функцияне керткәннәр һәм кулланганнар җья, коти җья һәм уткрама-җья. Һиндулар бу функцияләрне почмакның түгел, ә дуга яки әйләнә функцияләре буларак билгеләгәннәр, шуннан аларның җәя кылы белән ассоциациясе һәм шуннан дуга өчен "хорда дугасы" “җәя” (dhanu, cāpa) дип атала. Аның синонимнары jivā, siñjini, maurvi, guna, һ.б. Синус функциясе соңрак җива юрамасында кабул ителгән булган. Санскрит jīvā сүзе Гарәп теленә jiba буларак кабул ителгән булган, ул jb جب дип языла. Бу шуннан соң элек тә булган Гарәп сүзе jayb буларак интерпретацияләнгән, аның мәгънәсе "куыш, култык", я Гарәпләр үзләре, я Честер Роберты кебек тәрҗемәчеләр хатасы булу сәбәпле, ул jayb сүзен Латинчага синус дип тәрҗемә иткән. Аеруча Фибоначчиның sinus rectus arcus төшенчәсе синус төшенчәсен нигезләүдә әһәмиятлеген исбатлаган. "Минута" һәм "секунда" сүзләре Латин фразалары partes minutae primae һәм partes minutae secundaeдан килеп чыккан. Болар якынча "беренче кечкенә өлешләр" һәм "икенче кечкенә өлешләр" буларак тәрҗемә ителә.

# Тригонометрия тарихы
## Үсеш
### Борынгы Якын Көнчыгыш

Борынгы Мисыр математиклары һәм Вавилон математиклары күп гасырлар буена охшаш өчпочмаклар яклары нисбәтләре теоремаларын белгәннәр. Шулай да пре-Элленик җәмгыятьләр почмак үлчәүләрнең концепцияләре җитмәгән булса, алар шуның урынына почмакларның якларын өйрәнүгә чикләнгән булган. Вавилон астрономнары йолдызларның калкуы һәм батуы буенча планеталарның хәрәкәте, Кояш һәм ай тотылулары буенча тәфсилле язмаларны тотканнар, аларның барысы да күк сферасында үлчәнгән почмак араларын белүне таләп иткән. Плимптон 322 тактада чөйязмага (як. Безнең эрага кадәр 1900 ел) нигезләнеп, кайберәүләр хәттә борынгы Вавилонлыларның секанслар таблицасы булганын фараз иткәннәр. Шулай да ул Пифагор өчлекләре, квадрат тигезләмәләр чишелеше яки тригонометрик таблица икәне турында күп бәхәс алып барыла. Мисырлылар икенче яктан безнең эрага кадәр 2-нче меңьеллыкта пирамидалар төзү өчен тригонометриянең примитив формасын кулланганнар. Мисыр язучысы Аһмес (як. б.э.к 1680–1620 еллар) тарафыннан язылган Ринд Математика Папирусында тригонометриягә караган түбәндәге мәсьәлә бар:
   Әгәр пирамиданың биеклеге 250 кубит (үлчәү берәмлеге) булса һәм ягы озынлыгы 360 кубит булса, аның секеды (ян авышлыгы) күпме? Аһмесның мәсьәләнең чишелеше ул пирамиданың нигезенең янының яртысының биеклегенә нисбәте. Башка сүзләр белән секед өчен табылган микъдар ул почмакның пирамидага һәм аның нигезенә котангенсы һәм аның яны.

# Тригонометрия тарихы
## Үсеш
### Классик антик чор

Борынгы Грек һәм Элленистик математиклар хорданы кулланганнар. Әйләнәдә дуга һәм әйләнә булып, хорда ул арканы тартучы сызык. Хорданың перпендикуляр биссектрисасы әйләнәнең үзәге аша уза һәм почмакны ике тигез почмакка бүлә. Икегә бүленгән хорданың бер яртысы ул икегә бүленгән почмакның бер яртысының синусы, ул,
    $\mathrm {chord} \ \theta =2r\sin {\frac {\theta }{2}},$
Һәм шулай итеп синусоида шулай ук ярым-хорда буларак мәгълүм. Бу нисбәт буенча хәзерге заманда билгеле тригонометрик идентиклыклар һәм теоремалар шулай ук Элленистик цивилизация математикларга билгеле булган, әмма эквивалент хорда формасында. Гәрчә сүзнең төгәл мәгънәсендә Евклид һәм Архимед эшләрендә тригонометрия булмаса да, махсус тригонометрик законнарга яки формулаларга эквивалент булган геометрик ысулда (ә тригонометрик ысулда түгел) тәкъдим ителгән теоремалар бар. Мисал өчен, Элементларның икенче китабының уникенче һәм унөченче тәкъдимнәре тәңгәл килгән рәвештә җәенке һәм үткен почмаклар өчен косинуслар законнары булып тора. Хордалар озынлыклары буенча теоремалар синусларның законнары кулланышлары булып тора. Һәм Архимедның ватык хордалар теоремасы почмакларның суммалары суммасына эквивалент. Хордалар таблицасы җитмәвен компенсацияләү өчен Самос Аристархы вакыты математиклары кайвакытта хәзерге заман билгеләмәләре белән 0° < β < α < 90° булган теләсә нинди очракта sin α/sin β < α/β < tan α/tan β расламасын кулланганнар, ул хәзер Аристарх тигезсезлеге буларак мәгълүм. Беренче тригонометрик таблица мөгаен Никея Гиппархы (безнең эрага кадәр 180 – 125 ел) төзелгән булган, соңыннан ул "тригонометрия әтисе" буларак мәгълүм булды. Гиппарх төркем почмаклар өчен тәңгәл килгән дуга һәм хорда дәрәҗәләренең таблицасын беренче булып төзегән. Гәрчә 360° әйләнәнең систематик кулланышы математикага килүе кайчан килүе мәгълүм булмаса да, әйләнәнең систематик кулланышы Самос Аристархы Кояш һәм Ай үлчәмнәре һәм аралары турында (безнең эрага кадәр як. 260 ел) инша иткәннән соң бераз соңрак кергәне мәгълүм, чөнки ул почмакны квадрант өлешләрендә үлчәгән. 360° әйләнәнең систематик кулланышы Гиппархка һәм аның хордалар таблицасына рәхмәтле дип фараз итәргә мөмкин. Гиппарх бу бүлүнең фикерен Гиписклдан алган булырга мөмкин, ул соңрак көнне 360 өлешкә бүлгән, бу көн бүленешен Вавилон астрономиясендә тәкъдим ителгән булган. Борынгы астрономиядә зодиак унике "билге"гә яки утыз алты "декан"га бүленгән булган. Фасыллар циклының якынча 360 көн циклы зодиакның билгеләренә һәм деканнарына бәйле булырга мөмкин булган һәр билге утыз өлешкә һәм һәр декан ун өлешкә бүленгән. Вавилон алтмышлап санау хисап системасына күрә һәр градус алтмыш минутка бүленгән һәм һәр минута алтмыш секундага бүленгән.
Александрия Менелае (б.э. якынча 100 елы) үзенең Sphaericaсын өч китабында язган. I Китабында ул яссы өчпочмаклар өчен Евклид нигезенә аналогик нигез нигезләгән. Ул Евклид аналогы булмаган теореманы нигезли, ике сферик өчпочмак әгәр дә почмаклары тигез булса охшаш булып тора, әмма ул охшаш һәм симметрик сферик өчпочмаклар арасында аерма ясамаган. Башка теорема булып сферик өчпочмакның почмаклары суммасы 180°-тан артык булып тора. Sphaerica-ның II китабы сферик геометрияне астрономиядә куллана. Һәм III китапта "Менелай теоремасы" бар. Дәвам итеп ул мәшһүр "алты микъдар кагыйдәсе"н бирә. Соңрак, Клавдий Птолемей (як. б.э. 90 – 168 елы) Гиппархның Әйләнәдә хордаларын Альмагестында яки Математик Синтаксисында киңәйткән. Альмагест беренче чиратта астрономия буенча эш булып тора һәм астрономия тригонометриягә таяна. Птолемейның хордалар таблицасы 120 диаметрлы әйләнәләр хордалар озынлыкларын әйләнәнең тәңгәл килгән аркасында почмаклар саны n функциясе итеп бирә, биредә n 1/2 180-гә кадәр диапазонда һәм инкремент (кушу баскычы) 1/2. Птолемейның хордалар исәпләвендә үзәк теорема хәзер Птолемей теоремасы буларак мәгълүм теорема булган, бар түбәләре бер әйләнәдә яткан дүртпочмакның каршы яклары диагональләр суммасына тигез. Птолемей теоремасының махсус очрагы Евклидның Бирелгән мәгълүматында 93 фараз буларак очрый. Птолемейның теоремасы синус һәм косинус өчен хәзер Птолемейның формулалары буларак мәгълүм дүрт сумма һәм аерма формулаларына китерә, гәрчә Птолемей синус һәм косинус урынына хордаларны кулланган. Птолемей дәвам итеп ярым почмак формула эквивалентын чыгарган
    sin²(x/2) = (1 - cosx)/2
Птолемей бу нәтиҗәләрне тригонометрик таблицаларны барлыкка китерү өчен кулланган, әмма бу таблицаларның Гиппархның эшеннән алынганмы, әллә юкмы икәне мәгълүм түгел. Гиппарх таблицалары да, Птолемей таблицалары да хәзерге көнгә кадәр сакланып калмаган, гәрчә башка борынгы авторлар тасвирламалары аларның кайчандыр булганы турында әз икеләнү калдыра. Пифагор тригонометрик функцияләр төшенчәләре буласыларның күп хасиятләрен ачкан. Пифагор теоремасы p² + b² = h² фундаменталь тригонометрик тәңгәллеге sin²(x) + cos²(x) = 1 чагылышы. 1 озынлыгы теләсә нинди турыпочмаклы өчпочмакның гипотенузасы һәм гипотенузаларының озынлыклары sin(x) һәм cos(x), шул ук вакытта x ике туры почмак булмаган почмакларның берсе булып тора. Шуны исәптә тотып тригонометрия шунда нигезләнгән тәңгәллек Пифагор теоремасы булып чыга.

# Тригонометрия тарихы
## Үсеш
### Һиндстан математикасы

Тригонометриянең кайбер иртә һәм бик әһәмиятле үсеше Һиндстанда булган. Сиддһанталар буларак мәгълүм 4-енче – 5-енче гасырдан әһәмиятле эшләр (шулардан бишесе булган, шуларның иң әһәмиятлесе Сурья Сиддһанта) синусны беренче мәртәбә хәзерге аңлавында ярым почмак һәм ярым хорда нисбәтендә билгеләмәсен биргән, шулай ук косинус, синус-верзус, һәм арксинус билгеләмәсе бирелгән булган. Шуннан соң бераз гына вакыт узгач башка Һиндстан математигы һәм астрономы, Арьябһата (безнең эрага кадәр 476 - 550 ел), Сиддһанталарның үсешен Арьябһатия дигән әһәмиятле эштә җыйган һәм киңәйткән. Сиддһанталарда һәм Арьябһатийяда 3.75° интервал белән 0°-тан 90°-ка кадәр, төгәллеге вакланмалы өлешенең 4-енче тәртибенә кадәр синус һәм синус-верзус дәрәҗәләре китерелгән. Алар синус өчен җья сүзен, косинус өчен коҗья сүзен, синус-версус өчен уткрама-җья сүзен һәм арксинус өчен открам җья сүзен кулланганнар. Җья һәм коҗья сүзләре ахыр чиктә элегрәк тасвирланган дөрес тәрҗемә итмәүдән соң синус һәм косинус булып киткәннәр. 7-енче гасырда Бһашкара I таблица кулланмыйча очлы почмакның синусын табу өчен Бһашкара I-нең синус аппроксимация форрмуласын китергән. Ул шулай ук sin(x) өчен түбәндәге аппроксимация формуласын китергән, аның чагыштырмача хатасы 1.9%-тан кимрәк:
    $\sin x\approx {\frac {16x(\pi -x)}{5\pi ^{2}-4x(\pi -x)}},\qquad \left(0\leq x\leq \pi \right).$
Соңрак 7-енче гасырда, Брахмагупта формуланы янә үстергән
    $\ 1-\sin ^{2}(x)=\cos ^{2}(x)=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$
(шулай ук өстә китерелгәнчә чыгарыла) һәм синус дәрәҗәләрен исәпләү өчен Брахмагупта интерполяция формуласын китергән. Тригонометрия буенча башка соңрак Һинд авторы 12-нче гасыр Бһашкара II булган. Бһашкара II сферик тригонометрияне үстергән һәм күп тригонометрик нәтиҗәләрне ачкан. Бһашкара II $\sin \left(a+b\right)$ өчен беренче булып ачкан һәм $\sin \left(a-b\right)$ :
* $\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$
Кебек тригонометрик нәтиҗәләрне беренче булып ачкан. Сангамаграма Мадһавасы (як. 1400) тригонометрия функцияләр һәм аларның чиксез рәтләре өчен һәм математик анализта беренче адымнар ясаган. Ул дәрәҗә рәтләре һәм Тейлор рәтләре өчен кагыйдәләр эшләп чыгарган һәм синус, косинус, тангенс һәм арктангенс өчен дәрәҗә рәтләрен эшләгән. Синус һәм косинус өчен Тейлор рәтләре аппроксимацияләрен куллынып ул вакланмалы өлеше 12 разрядка кадәр төгәллек белән синус таблицасын һәм вакланмалы өлеше тугыз разрядка кадәр төгәллек белән косинус таблицасын төзегән. Ул шулай ук π һәм почмакның, радиусның, диаметрның һәм түгәрәкнең әйләнә озынлыгының дәрәҗә рәтләрен биргән. Аның эшләре XVI гасырга кадәр Керала астрономия һәм математика мәктәбеннән тарафдарлары тарафыннан үстерелгән булган.
| No. | Рәт | Исеме | Рәтләрнең көнбатышта ачылулары һәм якынча ачылу даталары |
| 1 | sin x = x − x³ / 3! + x⁵ / 5! − x⁷ / 7! + ... | Мадһаваның синус серияләре | Исаак Ньютон (1670) һәм Вильһельм Лейбниц (1676) |
| 2 | cos x = 1 − x² / 2! + x⁴ / 4! − x⁶ / 6! + ... | Мадһава косинус рәтләре | Исаак Ньютон (1670) һәм Вилһелм Лейбниц (1676) |
| 3 | tan⁻¹x = x − x³ / 3 + x⁵ / 5 − x⁷ / 7 + ... | Мадһаваның арктангенс рәтләре | Джеймс Грегори (1671) һәм Вилһелм Лейбниц (1676) |
Һинд Юктибһаса текстында синус һәм косинус функцияләрен тарату өчен исбатлау һәм Мадһава тарафыннан табылган инверс тангенс өчен дәрәҗә рәтләре бар. Юктибһасада сумманың синуслар һәм косинуслар суммасы һәм аермасын табу өчен кагыйдәләр бар.

# Тригонометрия тарихы
## Үсеш
### Кытай математиклары

Кытайда, Арьябһатаның синуслар таблицалары Кытай математиклары Кайюан Эрасы Астрология буенча трактаты (Kaiyuan Zhanjing) китабына тәрҗемә ителгән булган, алар Танг Династиясе вакытында безнең эраның 718 елында тупланган булган. Гәрчә кытайлар башка математика даирәләрендә алдынгы булсалар да, мәсәлән, стереометриядә, биномиаль теоремасында һәм катлаулы алгебраик формуларда, тригонометриянең иртә формалары иртәрәк Юнан, Элленистик, Һинд һәм Ислам дөньяда кебек киң танылмаган булган. Аның урынына Кытайлар чонг ча буларак мәгълүм булган эмпирик алмашны кулланганнар, шул ук вакытта синусны, тангенсны, һәм секансны кулланып яссы тригонометрия мәгълүм булган. Шулай да Кытай тригонометриясенең эмбрионик халәте Сонг Династиясе (960 - 1279) вакытында үзгәрә һәм алга сөрелә башлаган, биредә Кытай математиклары календарь фәнендә һәм астрономик исәпләүләрендә сферик тригонометриядгә зуррак йогынты кичерә башлаганнар. The Универсаль Кытай галиме, математик һәм рәсми Шен Куо (1031 - 1095) хордалар һәм дугаларның математик мәсьәләләрен чишәр өчен тригонометрик функцияләрен кулланган. Виктор Дж. Катц язганча Шенның формуласында "кисешүче әйләнәләр техникасы" формуласында ул бирелгән диаметрлы d әйләнә өчен arcs аппроксимациясен, дуганы тотучы хорданың sagitta-сын (дуганың үзәгеннән нигезенең үзәгенә кадәр араны) v, һәм озынлыгын c, аның озынлыгын ул шулай дип аппроксимацияләгән
    $s=c+{\frac {2v^{2}}{d}}.$
Сал Рестиво әйләнәләрнең дугалары озынлыклары буенча Шенның эше 13-енче гасырда математик һәм астроном Гуо Шоуҗинг (1231 – 1316) барлыкка китергән сферик тригонометрия өчен нигез булган. Тарихчылар Л.Гашет һәм Джозеф Нидһам раслаганча, Гуо Шоуҗинг исәпләүләрендә сферик тригонометрияне Кытай календарен һәм Кытай астрономиясен камилләштерү өчен кулланган. Гуо исбатлауларының соңрак 17-енче гасыр Кытай иллюстрацияләре белән Нидһам шулай дип раслый:
   Гуо дүртпочмаклы сферик пирамиданы кулланган, аның нигезе бер экваториаль һәм бер эклиптик дугадан торган, алар белән ике меридиан дуга, шуларның берсе Кояш торгынлыгы ноктасы аша узган...Шундый ысуллар ярдәмендә ул du lü табуга ирешкән (эклиптика градусларына тәңгәл килгән экватор градуслары), шулай ук ji cha (бирелгән эклиптик дугалар өчен хордалар дәрәҗәләре), һәм cha lü (1 градуска аерылып торган дугалар арасында хордалар аермасы.
Шенның һәм Гуоның тригонометрия буенча ирешүләренә карамастан, Кытай тригонометриясе буенча башка әһәмиятле эш 1607 елга кадәр чыкмаган, шул ук вакытта Кытай рәсмие һәм астрономы Сю Гуанси (1562 – 1633) һәм Италия Иезуиты Маттео Риччи (1552 – 1610) тарафыннан Евклид Элементлары икесенеке дә чыккан булган.

# Тригонометрия тарихы
## Үсеш
### Урта гасыр Ислам дөньясы

Элегрәк эшләр урта гасыр Ислам дөньясында күбесенчә фарсы һәм гарәп чыгышлы мөселман математиклары тарафыннан тәрҗемә ителгән һәм киңәйтелгән булган, алар күп теоремаларны игълан иткәннәр, бу тригонометрия фәнен тулаем дүртпочмакка бәйлелектән азат иткән, бу Эллинистик математикада Менелай теоремасына күрә шулай булган. Э.С.Кеннеди буенча, мөселман математиклары үстерүләреннән соң "беренче чын тригонометрия барлыкка килгән, шул вакытта сферик яки яссы өчпочмак, аның яклары һәм почмаклары." буларак өйрәнү объекты барлыкка килгән. Сферик өчпочмаклар белән эш ысуллары шулай ук мәгълүм булган, аеруча Александрия Менелаеныкы, ул сферик проблемалар белән эшләү өчен "Менелай теоремасы"н уйлап чыгарган. Шулай да, Э.С.Кеннеди күрсәткәнчә Исламга кадәр математикларның хордалар таблицасын һәм Менелай теоремасын кулланып сферик фигураның зурлыкларын исәпләү мөмкинчелеге булса да, теореманы сферик проблемалар өчен куллану практикада бик катлаулы булган. Вакытлары Ай фазалары белән билгеләнгән Мөселман календаренең изге көннәрен тоту өчен астрономнар башта Ай һәм йолдызларның урынын исәпләү өчен Менелай ысулын кулланган, гәрчә бу ысул җайсыз һәм катлаулы булса да. Аңа ике үзара кисешүче турыпочмаклы өчпочмакны коруны керткән; Менелай теоремасын кулланып алты якның бер ягын табарга мөмкин булган, әмма бары тик башка бишесе мәгълүм булса гына. Мәсьәлән, Кояшның биеклегеннән вакытны әйтү өчен, Менелай теоремасының кабатланган кулланулары кирәк булган. Урта гасыр Ислам астрономнарына гадирәк тригонометрик ысул табуга ачык чакыру булган. Безнең эраның 9-ынчы гасырында Мөхәммәд ибн Муса әл-Харәзми төгәл синус һәм косинус таблицаларын һәм беренче тангенслар таблицасын төзегән. Ул шулай ук сферик тригонометриядә беренче булган. Безнең эраның 830 елында Хәбәш әл-Хәсиб әл-Маруази беренче булып котангенслар таблицасын барлыкка китергән. Мөхәммәд ибн Җабир әл-Харрани әл-Баттани (Альбатениус) (безнең эраның 853-929 елы) секанс һәм косеканс үзара функцияләрен ачкан һәм 1°-тан 90°-ка кадәр һәр градус өчен беренче косеканслар таблицасын эшләгән. Безнең эраның 10-ынчы гасыры мөселман математигы Әбу әл-Вафа әл-Бузҗани эшендә барлык алты тригонометрик функция дә кулланылган булган. Әбу әл-Вафаның 0,25° инкрементлы синуслар таблицасы булган, 8 унарлы төгәллек урынга кадәр һәм тангенс дәрәҗәләренең төгәл таблицалары булган. Ул шулай ук түбәндәге тригонометрик формуланы уйлап чыгарган:
    $\ \sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ (Птолемей почмакка кушу формуласының махсус очрагы; өстә карарга мөмкин)
Оригиналь текстта Әбу әл-Вафаа шулай дип раслый: "Әгәр дә кирәк булса, без бирелгән синусны косинус минутларына тапкырлыйбыз һәм нәтиҗә булып икеләтә почмакның яртысы була". Әбу әл-Ваша шулай ук почмак кушуын нигезләгән һәм аерма тәңгәллекләре тулаем исбатлаулар белән язылган булган:
    $\sin(\alpha \pm \beta )={\sqrt {\sin ^{2}\alpha -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}\pm {\sqrt {\sin ^{2}\beta -(\sin \alpha \sin \beta )^{2}}}$
    $\sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
Икенчесе өчен текстта шулай дип раслана: "Без ике дуганың һәрберсенең синусын башка минутларның косинусына тапкырлыйбыз. Әгәр дә безгә сумманың синусы кирәк булса, без нәтиҗәләрне кушабыз, әгәр дә аерманың синусы кирәк булса, без аларның аермасын алабыз". Ул шулай ук сферик тригонометрия өчен Синуслар законын ачкан:
    ${\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.$
Шулай ук безнең эраның 10-ынчы һәм 11-енче гасырларында Мисыр астрономы Ибн Юныс күп бик төгәл тригонометрик исәпләүләрне башкарган һәм түбәндәге тригонометрик идентиклыкны күрсәткән:
    $\cos a\cos b={\frac {\cos(a+b)+\cos(a-b)}{2}}$
әл-Андалусның Әл-Җәййани (989 - 1079) Сфераның мәгълүм булмаган хордалары китабын язган, ул "сферик тригонометрия буенча беренче трактат" дип таныла. Анда махсус турыпочмаклы өчпочмаклар өчен формулалар, гомуми синуслар законы һәм поляр өчпочмак ярдәмендә сферик өчпочмакны чишү бар". Трактат соңрак "Европа математикларына көчле йогынты ясаган", һәм аның "барлык яклар мәгълүм булмаганда нисбәтләрнең саннар буларак билгеләмәсе" һәм "барлык яклары мәгълүм булмаганда сферик өчпочмакны чишү ысылы" Регимонтануска йогынты ясаганга охшаган.Триангуляция ысулы беренче мәртәбә Мөселман математиклары тарафыннан ачылган булган, алар аны практик кулланылышларда кулланганганнар, мәсәлән, тикшерүдә һәм Ислам географиясендә, иртә 11-енче гасырда Әбу Рәйхан әл-Бируни тарафыннан тасвирланганча. Бируни үзе Җир үлчәвенә һәм төрле урыннар арасында араны үчләүге триангуляцияне керткән, 11-енче гасыр ахырында Гомәр Хәйям (1048-1131) тригонометрик таблицаларда якынча сан чишелешләрен кулланып кубик тигезләмәләрне чишкән. 13-енче гасырда Насир әл-Дин әл-Тулси тригонометрияне астрономиядән аерым математик дисциплина буларак караган булган һәм хәзерге формада сферик тригонометрияне барлыкка китергән. Ул сферик тригонометриядә һәм Сектор Фигурасы буенча эшендә алты турыпочмаклы өчпочмаклар исемлеген китергән, яссы һәм сферик өчпочмаклар өчен синуслар законын раслаган, сферик өчпочмаклар өчен тангенслар законын ачкан һәм бу ике закон өчен дә исбатлаулар тәэмин иткән. Насир әл-Дин әл-Тулси үз чиратында тригонометрияне математик дисциплина буларак барлыкка китерүче буларак тасвирланган булган. 15-енче гасырда Җәмшид әл-Каши триангуляция өчен яраклы формада косинуслар законының беренче тәфсилле расламасын тәэмин иткән. Франциядә косинуслар законы һаман да Әл-Каши теоремасы дип атала. Ул шулай ук синус функциясенең аргументның 1°-ы өчен аермалары 1°-ның һәр 1/60 өлеше өстәлгән итеп дүрт һексадецималь разрядка (бу сигез унарлы разрядка эквивалент) таблицаларын биргән. Улуг Бек шул ук вакыт тирәсендә шулай ук синуслар һәм тангенслар өчен 8 унарлы разрядка кадәр төгәл таблицаларын бирә.

# Тригонометрия тарихы
## Үсеш
### Европа Ренессансы һәм шуннан соң

1342 елда Герсонид буларак мәгълүм Лев ибен Гершон, Синуслар, Хордалар һәм Дугалар буенча эш язган, аеруча яссы өчпочмаклар һәм биш фигуралы синус таблицаларын биргән. Гадиләштерелгән тригонометрик таблица "toleta de marteloio", 14-енче – 15-енче гасырларда диңгезчеләр тарафыннан Урта диңгездә навигацион юнәлешләрне исәпләү өчен кулланылган булган. Ул 1295 елда Майорканың Рамон Ллуллы тарафыннан тасвирланган булган һәм 1436 елда Венеция капитаны Андреа Бианко атласында китерелгән булган. Региомонтанус мөгаен Европада тригонометрияне аерым дисциплина буларак караган беренче математик булган, 1464 елда үзенең De triangulis omnimodis-да һәм шулай ук Tabulae directionum-да атамасыз тангенс функциясе китерелгән булган. Коперникның өйрәнчеге Георг Иоахим Ретикусның Opus palatinum de triangulis-ы мөгаен Европада тригонометрик функцияләрне әйләнәләр урынына турыпочмаклы өчпочмаклар төшенчәләрдә, ә әйләнә төшенчәләрендә билгеләмә биргән беренче булган, шулай ук барлык алты тригонометрик функцияләрнең таблицалары китерелгән булган; бу эш Ретикусның өйрәнчеге Валентин Отһо тарафыннан 1596 елда тәмамланган булган. 17-енче гасырда, Исаак Ньютон һәм Джеймс Стирлинг тригонометрия функцияләре өчен гомуми Ньютон–Стирлинг интерполяция формуласын барлыкка китергән. 18-енче гасырда, Леонард Эйлер-ның Introductio in analysin infinitorum (1748) Европада тригонометрик функцияләр белән эш итү өчен күбесенчә җаваплы булган, аларның чиксез рәтләре чыгарылган булган һәм "Эйлер формуласы" тәкъдим ителгән булган " eⁱˣ = cos x + i sin x. Эйлер хәзергегә якын кыскартылмаларны sin., cos., tang., cot., sec., һәм cosec.-ны кулланган. Моңа кадәр, Роджер Коутс үзенең Harmonia Mensurarum-ында (1722) синусның чыгарылма функциясен исәпләгән. Шулай ук 18-енче гасырда, Брук Тейлор гомуми Тейлор рәтләрен билгеләгән һәм барлык алты тригонометрик функция өчен рәт экспансияләрен биргән. 17-нче гасырда Джеймс Грегори һәм 18-енче гасырда Колин Маклаурин эшләре тригонометрик рәтләрне үстерүдә шулай ук бик зур йогынты ясаганнар.

# Тригонометрия тарихы
## Шулай ук карарга мөмкин

* Греция математиклары
* Математика тарихы
* Тригонометрик функцияләр
* Тригонометрия
* Птолемейның хордалар таблицасы
* Арьябһатаның синуслар таблицасы
* Рациональ тригонометрия

# Тригонометрия тарихы
## Цитаталар һәм билгеләмәләр

* ↑ Otto Neugebauer (1975). A history of ancient mathematical astronomy. 1. Springer-Verlag. p. 744. ISBN 978-3-540-06995-9. https://books.google.com/books?id=vO5FCVIxz2YC&pg=PA744.
* ↑ Katz, 1998, p. 212
* ↑ Калып:Cite dictionary
* ↑ Jambhekar, Ashok (January 1983). «Indian Books of the Quarter». India Quarterly: A Journal of International Affairs 39 (1): 106–108. DOI:10.1177/097492848303900122. ISSN 0974-9284.
* 1 2 O'Connor (1996).
* 1 2 3 Boyer, Carl Benjamin (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. John Wiley & Sons. pp. 166–167. https://archive.org/details/historyofmathema00boye. "It should be recalled that form the days of Hipparchus until modern times there were no such things as trigonometric ratios. The Greeks, and after them the Hindus and the Arabs, used trigonometric lines. These at first took the form, as we have seen, of chords in a circle, and it became incumbent upon Ptolemy to associate numerical values (or approximations) with the chords. [...] It is not unlikely that the 260-degree measure was carried over from astronomy, where the zodiac had been divided into twelve "signs" or 36 "decans". A cycle of the seasons of roughly 360 days could readily be made to correspond to the system of zodiacal signs and decans by subdividing each sign into thirty parts and each decan into ten parts. Our common system of angle measure may stem from this correspondence. Moreover since the Babylonian position system for fractions was so obviously superior to the Egyptians unit fractions and the Greek common fractions, it was natural for Ptolemy to subdivide his degrees into sixty partes minutae primae, each of these latter into sixty partes minutae secundae, and so on. It is from the Latin phrases that translators used in this connection that our words "minute" and "second" have been derived. It undoubtedly was the sexagesimal system that led Ptolemy to subdivide the diameter of his trigonometric circle into 120 parts; each of these he further subdivided into sixty minutes and each minute of length sixty seconds."
* 1 2 3 Boyer, Carl Benjamin (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. John Wiley & Sons. pp. 158–159. https://archive.org/details/historyofmathema00boye. "Trigonometry, like other branches of mathematics, was not the work of any one man, or nation. Theorems on ratios of the sides of similar triangles had been known to, and used by, the ancient Egyptians and Babylonians. In view of the pre-Hellenic lack of the concept of angle measure, such a study might better be called "trilaterometry", or the measure of three sided polygons (trilaterals), than "trigonometry", the measure of parts of a triangle. With the Greeks we first find a systematic study of relationships between angles (or arcs) in a circle and the lengths of chords subtending these. Properties of chords, as measures of central and inscribed angles in circles, were familiar to the Greeks of Hippocrates' day, and it is likely that Eudoxus had used ratios and angle measures in determining the size of the earth and the relative distances of the sun and the moon. In the works of Euclid there is no trigonometry in the strict sense of the word, but there are theorems equivalent to specific trigonometric laws or formulas. Propositions II.12 and 13 of the Elements, for example, are the laws of cosines for obtuse and acute angles respectively, stated in geometric rather than trigonometric language and proved by a method similar to that used by Euclid in connection with the Pythagorean theorem. Theorems on the lengths of chords are essentially applications of the modern law of sines. We have seen that Archimedes' theorem on the broken chord can readily be translated into trigonometric language analogous to formulas for sines of sums and differences of angles."
* 1 2 3 Maor, Eli (1998). Trigonometric Delights. Princeton University Press. p. 20. ISBN 978-0-691-09541-7. https://archive.org/details/trigonometricdel00maor_444.
* ↑ Joseph (2000b, pp.383–84).
* 1 2 Boyer, Carl Benjamin (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. John Wiley & Sons. p. 162. https://archive.org/details/historyofmathema00boye. "For some two and a half centuries, from Hippocrates to Eratosthenes, Greek mathematicians had studied relationships between lines and circles and had applied these in a variety of astronomical problems, but no systematic trigonometry had resulted. Then, presumably during the second half of the 2nd century BC, the first trigonometric table apparently was compiled by the astronomer Hipparchus of Nicaea (ca. 180–ca. 125 BC), who thus earned the right to be known as "the father of trigonometry". Aristarchus had known that in a given circle the ratio of arc to chord decreases as the arc decreases from 180° to 0°, tending toward a limit of 1. However, it appears that not until Hipparchus undertook the task had anyone tabulated corresponding values of arc and chord for a whole series of angles."
* ↑ Boyer, Carl Benjamin (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. John Wiley & Sons. p. 159. https://archive.org/details/historyofmathema00boye. "Instead we have an treatise, perhaps composed earlier (ca. 260 BC), On the Sizes and Distances of the Sun and Moon, which assumes a geocentric universe. In this work Aristarchus made the observation that when the moon is just half-full, the angle between the lines of sight to the sun and the moon is less than a right angle by one thirtieth of a quadrant. (The systematic introduction of the 360° circle came a little later. In trigonometric language of today this would mean that the ratio of the distance of the moon to that of the sun (the ration ME to SE in Fig. 10.1) is sin(3°). Trigonometric tables not having been developed yet, Aristarchus fell back upon a well-known geometric theorem of the time which now would be expressed in the inequalities sin α/ sin β < α/β < tan α/ tan β, for 0° < β < α < 90°.)"
* ↑ Boyer, Carl Benjamin (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. John Wiley & Sons. p. 162. https://archive.org/details/historyofmathema00boye. "It is not known just when the systematic use of the 360° circle came into mathematics, but it seems to be due largely to Hipparchus in connection with his table of chords. It is possible that he took over from Hypsicles, who earlier had divided the day into parts, a subdivision that may have been suggested by Babylonian astronomy."
* 1 2 3 4 5 Boyer, Carl Benjamin (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. John Wiley & Sons. p. 163. https://archive.org/details/historyofmathema00boye. "In Book I of this treatise Menelaus establishes a basis for spherical triangles analogous to that of Euclid I for plane triangles. Included is a theorem without Euclidean analogue – that two spherical triangles are congruent if corresponding angles are equal (Menelaus did not distinguish between congruent and symmetric spherical triangles); and the theorem A + B + C > 180° is established. The second book of the Sphaerica describes the application of spherical geometry to astronomical phenomena and is of little mathematical interest. Book III, the last, contains the well known "theorem of Menelaus" as part of what is essentially spherical trigonometry in the typical Greek form – a geometry or trigonometry of chords in a circle. In the circle in Fig. 10.4 we should write that chord AB is twice the sine of half the central angle AOB (multiplied by the radius of the circle). Menelaus and his Greek successors instead referred to AB simply as the chord corresponding to the arc AB. If BOB' is a diameter of the circle, then chord A' is twice the cosine of half the angle AOB (multiplied by the radius of the circle)."
* ↑ Needham, Volume 3, 108.
* ↑ Boyer, Carl Benjamin (1991). "Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. John Wiley & Sons. pp. 164–166. https://archive.org/details/historyofmathema00boye. "The theorem of Menelaus played a fundamental role in spherical trigonometry and astronomy, but by far the most influential and significant trigonometric work of all antiquity was composed by Ptolemy of Alexandria about half a century after Menelaus. [...] Of the life of the author we are as little informed as we are of that of the author of the Elements. We do not know when or where Euclid and Ptolemy were born. We know that Ptolemy made observations at Alexandria from AD. 127 to 151 and, therefore, assume that he was born at the end of the 1st century. Suidas, a writer who lived in the 10th century, reported that Ptolemy was alive under Marcus Aurelius (emperor from AD 161 to 180). Ptolemy's Almagest is presumed to be heavily indebted for its methods to the Chords in a Circle of Hipparchus, but the extent of the indebtedness cannot be reliably assessed. It is clear that in astronomy Ptolemy made use of the catalog of star positions bequeathed by Hipparchus, but whether or not Ptolemy's trigonometric tables were derived in large part from his distinguished predecessor cannot be determined. [...] Central to the calculation of Ptolemy's chords was a geometric proposition still known as "Ptolemy's theorem": [...] that is, the sum of the products of the opposite sides of a cyclic quadrilateral is equal to the product of the diagonals. [...] A special case of Ptolemy's theorem had appeared in Euclid's Data (Proposition 93): [...] Ptolemy's theorem, therefore, leads to the result sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin Β. Similar reasoning leads to the formula [...] These four sum-and-difference formulas consequently are often known today as Ptolemy's formulas. It was the formula for sine of the difference – or, more accurately, chord of the difference – that Ptolemy found especially useful in building up his tables. Another formula that served him effectively was the equivalent of our half-angle formula."
* ↑ Boyer, pp. 158–168.
* ↑ Boyer (1991), p. 208.
* ↑ Boyer (1991), p. 209.
* ↑ Boyer, 1991, p. 210
* ↑ Boyer, 1991, p. 215
* ↑ Joseph (2000a, pp.285–86).
* 1 2 O'Connor and Robertson (2000).
* 1 2 Pearce (2002).
* ↑ Charles Henry Edwards (1994). The historical development of the calculus. Springer Study Edition Series (3 ed.). Springer. pp. 205. ISBN 978-0-387-94313-8.
* 1 2 3 4 5 Needham, Volume 3, 109.
* ↑ Needham, Volume 3, 108–109.
* ↑ Katz, 2007, p. 308
* ↑ Restivo, 32.
* ↑ Gauchet, 151.
* ↑ Needham, Volume 3, 109–110.
* ↑ Needham, Volume 3, 110.
* ↑ Kennedy, E. S. (1969). «The History of Trigonometry». 31st Yearbook. (cf. Haq, Syed Nomanul. «The Indian and Persian background»: 60–3., in Seyyed Hossein Nasr, Oliver Leaman (1996). History of Islamic Philosophy. Routledge. pp. 52–70. ISBN 978-0-415-13159-9. )
* ↑ Калып:MacTutor "Book 3 deals with spherical trigonometry and includes Menelaus's theorem".
* ↑ Kennedy, E. S. (1969). «The History of Trigonometry». 31st Yearbook. (cf. Haq, Syed Nomanul. «The Indian and Persian background»., in Seyyed Hossein Nasr, Oliver Leaman (1996). History of Islamic Philosophy. Routledge. pp. 52–70. ISBN 978-0-415-13159-9. )
* ↑ Gingerich, Owen (April 1986). «Islamic astronomy». Scientific American 254 (10). DOI:10.1038/scientificamerican0486-74. Проверено 2008-05-18. 2013 елның 19 октябрь көнендә архивланган.
* 1 2 Jacques Sesiano, "Islamic mathematics", p. 157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan, eds (2000). Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics. Springer Science+Business Media. ISBN 978-1-4020-0260-1.
* 1 2 3 "trigonometry". Encyclopædia Britannica. http://www.britannica.com/EBchecked/topic/605281/trigonometry. Retrieved 2008-07-21.
* 1 2 Boyer (1991) p. 238.
* 1 2 3 4 Moussa, Ali (2011). «Mathematical Methods in Abū al-Wafāʾ's Almagest and the Qibla Determinations». Arabic Sciences and Philosophy 21 (1): 1–56. DOI:10.1017/S095742391000007X.
* ↑ William Charles Brice, 'An Historical atlas of Islam', p.413
* 1 2 Калып:MacTutor
* ↑ Donald Routledge Hill (1996), "Engineering", in Roshdi Rashed, Encyclopedia of the History of Arabic Science, Vol. 3, p. 751–795 [769].
* ↑ Калып:MacTutor
* ↑ Berggren, J. Lennart (2007). "Mathematics in Medieval Islam". The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. p. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
* ↑ Al-Tusi_Nasir biography. “One of al-Tusi's most important mathematical contributions was the creation of trigonometry as a mathematical discipline in its own right rather than as just a tool for astronomical applications. In Treatise on the quadrilateral al-Tusi gave the first extant exposition of the whole system of plane and spherical trigonometry. This work is really the first in history on trigonometry as an independent branch of pure mathematics and the first in which all six cases for a right-angled spherical triangle are set forth.”
* ↑ (October 2013) «the cambridge history of science». DOI:10.1017/CHO9780511974007.004.
* ↑ electricpulp.com. ṬUSI, NAṢIR-AL-DIN i. Biography – Encyclopaedia Iranica (en). “His major contribution in mathematics (Nasr, 1996, pp. 208-214) is said to be in trigonometry, which for the first time was compiled by him as a new discipline in its own right. Spherical trigonometry also owes its development to his efforts, and this includes the concept of the six fundamental formulas for the solution of spherical right-angled triangles.”
* ↑ Charles G. Simonson (Winter 2000). «The Mathematics of Levi ben Gershon, the Ralbag». Bekhol Derakhekha Daehu 10: 5–21. 2017 елның 11 октябрь көнендә архивланган.
* ↑ Boyer, p. 274
* ↑ (1987) «The calculus of the trigonometric functions». Historia Mathematica 14 (4): 311–324. DOI:10.1016/0315-0860(87)90064-4.. The proof of Cotes is mentioned on p. 315.