# Магнитогидродинамика

Магнитогидродинамика — гидродинамика һәм тоташ тирәлекләр электродинамикасы кисешкән урында барлыкка килгән физик дисциплина. Аның тикшерү обьекты булып магнит кырындагы үткәрүче сыеклык (газ) динамикасы тора. Мондый тирәлекләрнең мисаллары: төрле төрдәге плазма, сыек металлар, тозлы су. Магнитогидродинамиканың беренче тикшеренүчесе дип, бу хезмәтләре өчен 1970 елда нобель премиясенә лаек булган, Ханнес Альфвен таныла.

# Магнитогидродинамика
## Магнит гидродинамикасы тигезләмәләре

Үткәрүче сыеклыкның релятивистик булмаган магнит гидродинамикасы тигезләмәләренең тулы системасы түбәндәгечә языла:
       ${\begin{cases}\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta {\vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\nabla \operatorname {div} {\vec {v}}\\p=p(\rho )\\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operatorname {rot} \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}$
Монда $\ p$ — тирәлектәге басым, $\ \rho$ — тыгызлык, $\sigma$ — сыеклыкның үткәрүчәнлеге, $\eta$ — күчешле (сдвиговая) үзлелек, $\zeta$ — икенче үзлелек (күләм үзлелеге) а ${\vec {v}}$ — аның элементларының тизлекләре кыры. ${\vec {H}}$ — магнит кыры көчәнешлелеге.
Бу система 8 тигезләмәне үз эченә ала һәм, башлангыч һәм чик шартлар бирелгән булса, $\ p,\rho ,{\vec {H}},{\vec {v}}$ 8 билгесезне табарга мөмкинлек бирә.
Әгәр дә түбәндәге китерешләрне куллансак(диссипативсыз чик):
* $\sigma \to \infty$
* $\eta =0,\quad \zeta =0$, МГД тигезләмәләр системасы гадирәк төрдә языла:
       ${\begin{cases}\rho {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\rho ({\vec {v}},\nabla ){\vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operatorname {rot} {\vec {H}}]\\p=p(\rho )\\{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \rho {\vec {v}}=0\\{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\operatorname {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}$

# Магнитогидродинамика
## Кушымталар
### Максвелл тигезләмәләреннән МГД тигезләмәләрен чыгару

Максвелл тигезләмәләре системасын СГС системасында языйк.
    ${\begin{cases}\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\\\nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\nabla \cdot {\vec {H}}=0\\\nabla \cdot {\vec {E}}=0\end{cases}}$
Түбәндәге чамалаулардан чыгып эш итәбез:
* Магнит үткәрүчәнлеге $\mu =1$
* Электр корылмалары юк $\rho =0$
* Ом законы: ${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma }{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}$
Релятивистик булмаган очрак ($v\ll c$) белән генә икләнербез, ягъни $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\vec {E}}\right|$
Бу китерүдә Максвелл тигезләмәләре түбәндәгечә языла:
    ${\begin{cases}\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}\\\nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\end{cases}}$
${\vec {E}}$ны Ом законы аша күрсәтеп, беренче тигезләмәгә куябыз:
       $-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right)$
Бу тигезләмәгә Максвеллның икенче тигезләмәсеннән токны куябыз һәм табабыз:
       $-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac {c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\right]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]$
Идеаль үткәрүче сыеклыкның чигендә $\sigma \to \infty$ табабыз:
${\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]$
Гидродинамика белән бәйләнеш өчен, Навье — Стокс тигезләмәсенә, магнит кыры тарафыннан токларга тәэсир итүче Ампер көче өчен җаваплы, әгъза кертәләр(ток Максвеллның икенче тигезләмәсеннән, магнит кыры көчәнешлелеге аша чыгарыла):
       ${\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1}{4\pi }}\left[{\vec {H}}\times \operatorname {rot} {\vec {H}}\right]$