# Potentsial' energiä

Potentsial' energiä - skalär fizik zurlıq, konservativ köçlär qırında bulğan tulı energiä öleşe bulıp tora. Material' noqtalar urnaşu unınına bäyle häm alar küçkändä qır qılğan eşne sıyfatlıy.
Potentsial' energiä sistema elementları üzara tä'sir iteşüen taswirlıy.
Töşençä XIX ğasırda Williams Renkin tarafınnan kertelä.
Ülçäw berämlege - coul' (Sİ).
Normağa quyğanda Potentsial' energiä öçen nul'-däräcä saylana.
Potentsial' yäki konservativ köçlär cisemneñ başlanğıç häm azaqqı urnaşu urınnarına ğına bäyle, ä küçerü yulına bäysez bula.
    $\,W=-\Delta U$
    $W=\int _{\mathbf {x} (t_{1})}^{\mathbf {x} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,\mathrm {d} t=U(\mathbf {x} (t_{1}))-U(\mathbf {x} (t_{2})).$
    ${\nabla W}=-{\nabla U}=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,$
Härber sistema iñ keçe potentsial' energiäle xalätkä omtıla.
yegärlek:
    $P(t)=-{\nabla U}\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .$

# Potentsial' energiä
## Tartılu qırında

Ğomumi oçraqta:
    ${\begin{aligned}U_{\mathrm {G} }({\vec {r}})&=-\int {\vec {F}}d{\vec {r}}=-\int m\,{\vec {g}}({\vec {r}})\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}\end{aligned}}$
Cirneñ tartılu qırında potentsial' energiä:
    ${\begin{aligned}U_{\mathrm {G} }({\vec {r}})&=-\int _{R}^{R+h}m\,{\vec {g}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}=mgh\end{aligned}}$
    $\ E_{p}=mgh$
biredä g - irekle töşü tizläneşe, h - nul' däräcä östennän bulğan bieklek

# Potentsial' energiä
## Planeta östendäge potentsial' energiä

    $U_{\mathrm {max} }=\int _{R}^{\infty }{\frac {GMm}{r^{2}}}\,\mathrm {d} r=GMm\int _{R}^{\infty }{\frac {1}{r^{2}}}\,\mathrm {d} r=GMm\left[-{\frac {1}{r}}\right]_{R}^{\infty }={\frac {GMm}{R}}=m\,g\,R$
biredä R - planeta Radiusı, M - planeta Massası
    $g={\frac {GM}{R^{2}}}$

# Potentsial' energiä
## Sığılmalı potentsial' energiä

Prujina öçen Guk qanunı:
    $F(x)=-kx$,
Şuña kürä:
    $U(x)=-\int _{0}^{x}F(x)\mathrm {d} x={1 \over 2}kx^{2}$.

# Potentsial' energiä
## Gravitatsion köçlär öçen potentsial' energiä

Nyuton buyınça gravitatsiä qanunı:
    $\mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} ,$
Şulay itep:
    $W=-\int _{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \mathrm {d} t.$
    $W=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e} _{r})\cdot ({\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t})\mathrm {d} t=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}\mathrm {d} t={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{\frac {GMm}{r(t_{1})}}.$
    ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}.$
Gravitatsion potentsial:
    $U=-{\frac {GMm}{r}},$

# Potentsial' energiä
## Elektrostatika

İke qorğı arasındağı elektrostatik köç: Kulon qanunı
    $\mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r^{3}}}\mathbf {r} ,$
Şulay itep potentsial' energiä:
    $U({r})={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Qq}{r}}.$

# Potentsial' energiä
## Tulı energiä

Yomıq mexanik sistemada tulı mexanik energiä saqlana:
    $E=T+U={\text{const.}}$
biredä:
* U - potentsiäl energiä,
* T - kinetik energiä
* E - mexanik energiä
Hamiltonian funktsiäse:
    $H=\sum _{k}p_{k}{\dot {q}}_{k}-L=T+U$
biredä L - Lagranjian funktsiäse, p-impuls, q-koordinata