# Лагранж нокталары

Лагранж нокталары яки либрация нокталары (латинча librātiō — тирбәлү) яки L-нокталары — ике массив җисем системасында шундый махсус 5 нокта бар, анда өченче кечкенә массалы җисем әлеге ике массив җисемгә карата хәрәкәтсез кала ала. Системада тик гравитацион көчләр исәпкә алына.
Лагранж нокталары - өч җисем мәсьәләсенең аерым очрагы булып тора (җисемнәр орбиталары әйләнүле, өченче җисем массасы бүтән җисемнәр массаларыннан шактый ким). Шул очракта ике массив җисемнең уртак массалар үзәге тирәсендә даими почмакча тизлек белән әйләнә дип санала. Кечкенә массалы җисем әлеге системада 5 махсус ноктада хәрәкәтсез кала ала, шул ноктада гравитацион көчләр үзәктән куу көче белән тигезләнә.
1772 елда Луи Лагранж математик мәсьәләнең чишелешен чыгарып, әлеге 5 ноктаны тапкан.

# Лагранж нокталары
## Урнашу

Лагранж 5 ноктасы массив җисемнәрнең орбиталары яссылыгында ята: L₁, L₂, L₃ ике массив җисем аша үтүче сызыкта урнашкан һәм коллинеар нокталар дип атала.
L₄, L₅ нокталары өчпочмаклы яки троян нокталар дип йөртелә.

# Лагранж нокталары
## Коллинеар нокталар

Системаның массалар үзәгеннән L₁, L₂, L₃ нокталарына кадәр ераклык:
    $r_{1}=\left(R\left[1-\left({\frac {\alpha }{3}}\right)^{1/3}\right],0\right)$
    $r_{2}=\left(R\left[1+\left({\frac {\alpha }{3}}\right)^{1/3}\right],0\right)$
    $r_{3}=\left(R\left[1+{\frac {5}{12}}\alpha \right],0\right)$
биредә $\alpha ={\frac {M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}$,
    R — җисемнәр арасындагы ераклык,
    M₁ — авыррак җисемнең массасы,
    M₂ — икенче җисемнең массасы.

# Лагранж нокталары
## Коллинеар нокталар
### Куллану

Кояш-Җир системасында L₁ - Кояшны күзәтү өчен галәми күзәтүханәнең идеаль урнашу урыны булып тора. Әлеге ноктада ISEE-3, SOHO, ACE, WIND һәм DSCOVR дигән галәми аппаратлар эшлиләр.
Җир-Ай системасында L₁ - пилотлы орбиталь станцияне төзү өчен идеаль нокта, әлеге станция ярдәмендә ягулык минималь тотылуы белән Айга җитеп була.
Кояш-Җир системасында L₂ - орбиталь галәми күзәтүханә һәм телескоп өчен идеаль урнашу урыны булып тора. Хәзер анда WMAP, «Планк», «Гершель» һәм Gaia галәми аппаратлары урнашкан.

# Лагранж нокталары
## Троян нокталар

Ике тигез кырлы өчпочмакның түбәсендә - L₄ һәм L₅ нокталары урнашкан, анда гомуми көч нәкъ массалар үзәгенә юнәлгән һәм үзәктән куу көче белән тигезләнә.
Юпитерның троян астероидлары нәкъ әлеге нокталарда урнашкан, шуннан әлеге Лагранж нокталары - троян нокталар дип атала.
Гомер язган "Илиада" әсәрендә тасвирлаган Троя сугышының каһарманнары хакына әлеге астероидлар аталган.
Гадәттә L₄ ноктасында урнашкан астероидлар грек исемнәрен алалар, L₅ ноктасындагылар - Троя яклаучылары исемнәрен алалар.
Системаның массалар үзәгеннән L₄ һәм L₅ нокраларына кадәр ераклык:
    $r_{4}=\left({\frac {R}{2}}\beta ,{\frac {{\sqrt {3}}R}{2}}\right)$
    $r_{5}=\left({\frac {R}{2}}\beta ,-{\frac {{\sqrt {3}}R}{2}}\right)$
биредә
    $\beta ={\frac {M_{1}-M_{2}}{M_{1}+M_{2}}}$,
    R — җисемнәр арасындагы ераклык,
    M₁ — авыррак җисемнең массасы,
    M₂ — икенче җисемнең массасы.

# Лагранж нокталары
## Троян нокталар
### Куллану

* Кояш-Җир системасында L₄ ноктасында астероид табылган (2010 елда).
* Җир-Ай системасында L₄ һәм L₅ нокталарында Кордылевский болытлары урнашкан
* Кояш-Юпитер системасында L₄ һәм L₅ нокталарында троян астероидлары урнашкан (4500 астероид).
* L₄ һәм L₅ нокталарында троян астероидлары барлык зур планеталарда бар