# Lagranjian

Lagranjian yäki Lagranj funktsiäse ${\mathcal {L}}[\varphi _{i}]$ — dinamik sistemanıñ üzgäreşlären taswirlawçı ğomumiläşterelgän koordinatlarğa bäyle funktsiä.
Klassik mexanika öçen xäräkät tigezlämäläre iñ keçkenä tä'sirneñ mäslägennän çığarılalar:
    ${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0$
biredä tä'sir - funktsional:
${\mathcal {S}}[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(s)]\,d^{n}s},$
$\varphi _{i}$ — ğomumiläşterelgän koordinatlar (kisäkçeklär koordinatları yäki qırnıñ üzgärmä zurlıqları), $\ s_{j}$ - sistemanıñ parametrları küplege, klassik mexanika oçrağında - bäysez fäzanıñ koordinatları häm waqıt.
Jozef Lui Lagranj xörmätenä atalğan.
Lejandr üzgärtüläre yärdämendä Lagranjian Hamiltonian belän bäylänä, Hamiltonian nigezendä Haminton mexanikası icat itelgän.

# Lagranjian
## Misallar
### Klassik mexanika

Klassik mexanikada Lagranjian kinetik häm potentsial' energiälär ayırmasına tigez:
    ${\mathcal {L}}=T-V$
biredä T — kinetik energiä, V — potentsial' energiä, yäğni:
    ${\mathcal {L}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}m{\dot {\vec {x}}}^{2}-V({\vec {x}}),$
biredä ${\dot {\vec {x}}}$ - waqıt buyınça çığarılma
    ${\vec {x}}$ — radius-vektor
    V — potentsial' energiä
Bu alım Nyuton ısulına tigez: ägär köç öçen ${\vec {F}}=-\nabla V(x)$ yazsaq, şunnan çığarabız:
    ${\vec {F}}=m{\ddot {\vec {x}}}$
    ${\vec {F}}=d{\vec {p}}/dt$
Bu näq Nyuton tigezlämäläre
Öç ülçämle sistema öçen sferik koordinatlarda r, θ, φ:
    ${\mathcal {L}}={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})-V(r)$
Eyler-Lagranj tigezlämäläre:
    $m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}^{2})+V'=0,$
    ${\frac {d}{dt}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta {\dot {\varphi }}^{2}=0,$
    ${\frac {d}{dt}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }})=0.$

# Lagranjian
## Misallar
### Relätivistik Lagranjian

Relätivistik (tiz) irekle kisäkçekneñ klassik (kvant tügel, spinsız) Lagranjianı:
$-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}},$
biredä v — kisäkçekneñ tizlege , c — yaqtılıq tizlege
Bu Lagranjiannan relätivistik kisäkçeklärneñ klassik dinamikası çığarıla.

# Lagranjian
## Misallar
### Qırnıñ teoriäsendä Lagranjian

Qırnıñ teoriäsendä Lagranj funktsiase L häm Lagranjian töşençäläre ayırıla:
* Lagranj funktsiase: tä'sir tik waqıt buyınça integralğa tigez:
    $S=\int {{\mathcal {L}}\,dt}$
* Lagranjian: tä'sir böten 4-ülçämle fäza (fäza-waqıt) buyınça integralğa tigez:
    $S[\varphi _{i}]=\int {{\mathcal {L}}[\varphi _{i}(x)]\,d^{4}x}$
Şuña kürä Lagranjian - Lagranjiannıñ tığızlığı buyınça integralğa tigez.
Zamança teoriälärdä yış qına Lagranjiannıñ tığızlığın Lagranjian dip yörtälär.

# Lagranjian
## Elektromagnitik Lagranjian
### Elektrostatika

Klassik mexanikada Lagranjian:
    ${\mathcal {L}}=T-V$
skalär potentsial $\phi \$ öçen kinetik energiä:
    $T_{s}={1 \over 2}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v}$
Tä'sirläşü energiä :
    $V=q\phi \$ yäki $V=\int \rho \phi \ dxdydz$
Kinetik energiä:
    $T_{f}=\int {1 \over 2\varkappa }(\nabla \phi )^{2}dxdydz,$
biredä $\varkappa$ - köç daimie
Şunnan Lagranjian:
    ${\mathcal {L}}=T_{f}-V+T_{s},$
Tä'sirdän variatsiä alıp, xäräkät tigezlämäse çığarıla, ul Puasson tigezlämäsenä tigez:
    $m{\dot {\mathbf {v} }}=-q\nabla \phi .$

# Lagranjian
## Elektromagnitik Lagranjian
### Elektrodinamika
#### Öç ülçämle taswir

Elektrodinamikada tä'sirläşü energiäse tizleklärgä bäyle inde:
    $V=q\phi -{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A}$
yäki
    $V=\int (\rho \phi -{1 \over c}\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} )dxdydz$
biredä j — ağım tığızlığı vektorı
Elekromagnit qırınıñ energiäsenä magnit qırı energiäse dä kerä:
    $T_{f}=\int {\frac {1}{2\varkappa }}(E^{2}-H^{2})dxdydz,$
* $\phi$ : skalär potentsial
* А : vektor potentsialı
    $\mathbf {E} =-\nabla \phi -{1 \over c}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},~~~~~~~\mathbf {H} =\mathbf {rot} \mathbf {A}$.
Yäğni Elektromagnitik Lagranjian:
    $L=T_{f}-q\phi +{q \over c}\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} +T_{s}.$
yäki
    $L=T_{f}+\int (-\rho \phi +{1 \over c}\mathbf {j} \ \cdot \mathbf {A} )dxdydz+T_{s}.$
tiz kisäkçeklär öçen:
    $T_{s}=-mc^{2}d\tau /dt=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$
Tä'sirdän ф , $A_{x},A_{y},A_{z}$ buyınça variatsiä alıp näq Makswell tigezlämäläre çığarılalar.

# Lagranjian
## Elektromagnitik Lagranjian
### Elektrodinamika
#### Dürt ülçämle taswir

Dürt ülçämle taswirda Elektromagnitik Lagranjian (с=1):
    $L={\frac {1}{4\varkappa }}F_{ik}F^{ik}+A_{i}j^{i}+L_{s}.$
İkençe äğza tä'sirläşüne taswirlıy, aña tä'sir turı kilä:
    $S_{int}=-\int qA_{i}dx^{i}.$
    $F^{ik}$ — Elektromagnitik qırnıñ tenzorı, Lagranjianda anıñ törelüe - kvadrat
    $A_{i}$ — 4-potentsial,
    $j^{i}$ — 4-ağım tığızlığı,
    $dx^{i}$ — 4-vektor;
    Härqayda Eynşteyn kileşüe ütälä
Tä'sirdän $A_{i}$ buyınça variatsiä alıp, näq Makswell tigezlämäläre çığarılalar:
    $\partial _{i}F^{ik}=\varkappa j^{k}$,
Tä'sirdän $x^{i}$ buyınça variatsiä alıp, xäräkät tigezlämäse çığarıla:
    $dp_{i}/d\tau =qF_{ik}u^{k},\$
biredä $p_{i}=mu_{i}$ — 4-impuls, $u^{k}$ — 4-tizlek.

# Lagranjian
## Kvant qırnıñ teoriäse
### Kvant elektrodinamikası Lagranjianı

Kvant elektrodinamikası Lagranjianı tığızlığı:
    ${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\not \!\,D-m)\psi -{1 \over 4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$
biredä $\psi$ — spinor,
    ${\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$ — Dirak iäreşle spinorı,
    $\!F^{\mu \nu }$ — Elektromagnitik qırnıñ tenzorı,
    $D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }\,\!$ — kalibrlaw kovariant çığarılması,
    $\not \!\,D$ — $\!\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }$ öçen Feynman bilgese
yäki
    ${\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$
    $\gamma ^{\mu }$ - Dirak matritsaları

# Lagranjian
## Kvant qırnıñ teoriäse
### Kvant xromodinamikası

Köçle tä'sir iteşü öçen Lagranjianı tığızlığı:
    ${\mathcal {L}}=-{1 \over 4}F^{\alpha }_{\mu \nu }F_{\alpha }^{\mu \nu }-\sum _{n}{\bar {\psi }}_{n}(\not \!\,D_{\mu }+m_{n})\psi _{n}$
biredä $\!D_{\mu }$ — KXD kalibrlaw kovariant çığarılması,
    $\!F^{\alpha }_{\mu \nu }$ — gluon qırnıñ köçäneşlelär tenzorı