# Кырның квант теориясе

Кырның квант теориясе - чиксез ирек дәрәҗәләре белән квант системаларын - квант кырларын тикшерүче физика бүлеге.
Кырның квант теориясе нигезендә югары энергия физикасы, элементар кисәкчекләр физикасы, каты җисем физикасы булдырылган.
Кырның квант теориясе математик ысулы - квант кыры халәтләренең Гильберт фәзасы һәм аның эчендә эш итүче операторлар. Кырның квант теориясендә кисәкчекләр - юк ителми торган объект мәгънәсендә булмыйлар, кисәкчекләр урынына квант кырының ярсуларын тасвирлаучы Фок фәзасы векторлары кертелгән. Дулкынча функция урынына биредә кыр операторы тикшерелә.

# Кырның квант теориясе
## Кырның квант теориясе нигезләре
### Лагранж мәсләге

Кыр $\psi (x)$ - кырның функциясе белән тасвирлана һәм ${\mathcal {L}}$ - фәза ноктасында Лагранжиан тыгызлыгы белән сыйфатлана.
${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}(\psi ,{\dot {\psi }})$.
Лагранжиан:
    $L=\int {\mathcal {L}}(\psi ,{\dot {\psi }})d^{3}x$.
Тәэсир S:
    $S=\int {\mathcal {L}}(\psi ,{\dot {\psi }})d^{4}x$.
Иң кечкенә тәэсир мәсләге ярдәмендә кыр өчен Эйлер-Лагранж тигезләмәләре чыгарыла:
${\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\psi ^{l})}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi ^{l}}}$
Мисал: cкаляр кыр белән лагранжиан ${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}{\partial _{\mu }}{\psi }{\partial ^{\mu }}{\psi }-{\frac {m^{2}}{2}}{\psi ^{2}}$.
Хәрәкәт тигезләмәләре бу кыр өчен Клейн-Гордон тигезләмәләренә китерә:
    $\partial _{\mu }\partial ^{\mu }\psi =m^{2}\psi$.

# Кырның квант теориясе
## Кырның квант теориясе нигезләре
### Лагранж мәсләге
#### Нөтер теоремасы

Нөтер теоремасы буенча Тәэсир инвариантлыгыннан Энергия-импульс саклану кануны чыгарыла, шул исәптә
$4$-импульс $p^{\mu }$.

# Кырның квант теориясе
## Кырның квант теориясе нигезләре
### Лагранж мәсләге
#### Кырның Һамильтонианы

$H=\sum _{l}\int \Pi _{l}{\dot {\psi }}^{l}d^{3}x-{\mathcal {L}}$
биредә $\Pi _{l}$ - ${\dot {\psi }}^{l}$ буенча лагранжианның вариацион чыгарылмасы.

# Кырның квант теориясе
## Кырның квант теориясе нигезләре
### Кыр һәм гармоник осциллятор

Клейн-Гордон скаляр кыры - осцилляторлар җыелмасы буларак тикшерелеп була. Шул шартларда осцилляторның энергиясе һәм импульслары квантланалар:
${\overrightarrow {k}}(n)={\frac {2\pi }{L}}(n_{1},n_{2},n_{3})~~~,~~~\omega _{n}^{2}=m^{2}+{\frac {4\pi ^{2}}{L^{2}}}n^{2}$
ешлык $\omega _{k}={\sqrt {{\overrightarrow {k}}^{2}+m^{2}}}$

# Кырның квант теориясе
## Кырның квант теориясе нигезләре
### Кырны квантлау. Квантны тудыру һәм юк итү операторлары

Квантлау - кырлардан операторларга күчеш.
Квант гармоник осцилляторына өчен энергияне квантлау:
    $E_{n}={\hbar }{\omega }(n+1/2)$.
${\hat {a}}^{+}{\psi }_{n}={\sqrt {n+1}}{\psi }_{n+1}$ — күтәрүче оператор,
    ${\hat {a}}{\psi }_{n}={\sqrt {n}}{\psi }_{n-1}$ — төшерүче оператор.
* Күтәрүче оператор квант санын күтәрә һәм энергияне арттыра, ягъни яңа квантны ${\hbar }{\omega }$ энергиясе белән тудыра.
* Төшерүче оператор квант санын төшерә һәм энергияне киметә, ягъни квантны ${\hbar }{\omega }$ энергиясе белән юк итә.
Гармоник осцилляторның Һамильтонианы
    $H={\hbar \omega }{({\hat {n}}+1/2)}$,
биредә ${\hat {n}}={\hat {a}}^{+}{\hat {a}}$ — кырның квант саны операторы.
Операторның үз саннары
    ${\hat {n}}{\psi }_{n}=n{\psi }_{n}$ — квантлар саны.
n-кисәкчекле кыр халәте - вакуумга тудыру операторлары тәэсире нәтиҗәсендә килеп чыга
${\psi }_{n}={\frac {({\hat {a}}^{+})^{n}}{\sqrt {n!}}}\psi _{0}$

# Кырның квант теориясе
## Кырның квант теориясе нигезләре
### Тутыру саннары аңлатмасы

N осцилляторлы системаның Һамильтонианы аерым Һамильтонианнар суммасына тигез. Һәрбер Һамильтониан өчен ${\hat {a}}_{k}^{+},k=1,...,N$ - тудыру операторы.
Бу очракта квант халәте тутыру саннары белән билгеләнә. Тутыру саннары $n_{k}$ — вакуумга тәэсир итүче операторлар саны:
$\psi (n_{1},...,n_{N})=\prod _{(k)}{\frac {({\hat {a_{k}}}^{+})^{n_{k}}}{\sqrt {n_{k}!}}}\psi _{0}$
Бу аңлатма тутыру саннары аңлатмасы дип йөртелә. Тутыру саннары аңлатмасы буенча система халәте ярсыну халәтенең саны белән сыйфатлана.