# Архимед спирале

Архиме́д спира́ле — спираль, яссы кыек, башлангычы O-да булып OV нуры буйлап бертөрле тигез чамалы итеп хәрәкәтләнүче M (1-енче рәсемне кара) ноктасының траекториясе. Башка сүзләр белән ρ = OM арасы OV нурының φ борылу почмагына пропорциональ. OV нурының бер почмакка борылышына бер һәм шул ук ρ артуы тәңгәл килә. Бу спиральнең хасиятләре борынгы грек галиме Архимед тарафыннан "Спиральләр турында" иншасында тасвирланган.

# Архимед спирале
## Тасвирлама

Поляр координаталар системасында Архимед спираленең тигезләмәсе шулай дип языла:
    (1) $\rho =k\varphi ,$
биредә k — M ноктасының r нуры буенча бер радианга тигез почмакка борылганда күчеше.
Турының $2\pi$-га борылышына a = |BM| = |MA| = $2k\pi$ күчеше тәңгәл килә. a саны «спираль адымы» дип атала. Архимед спираленең тигезләмәсен башкача шулай дип язарга мөмкин:
    $\rho ={\frac {a}{2\pi }}\varphi .$
Нурны сәгать йөрешенә каршы борганда уң спираль (зәңгәр сызык) (2-енче рәсемне кара), сәгать йөреше буенча борганда — сул спираль (яшел сызык) барлыкка килә.
Спиральнең ике ботагы да (уң һәм сул) бер тигезләмә белән тасвирлана (1). Уңай кыйммәтләргә $\varphi$ уң спираль, тискәреләргә — сул спираль туры килә. Әгәр M ноктасы UV турысы буенча тискәре кыйммәтләрдән O әйләнү үзәге аша һәм дәвам итеп уңай кыйммәтләргә UV турысы буйлап хәрәкәтләнсә, M ноктасы спиральнең ике ботагын да сызачак.
Башлангыч O ноктасыннан сызылган OV нуры спиральне чиксез кат кисеп уза — B, M, A нокталары һ.б. B һәм M, M һәм A нокталары аралары спираль адымы $a=2k\pi$-га тигез. Спираль сүтелгәндә O ноктасыннан M ноктасына кадәр ара чиксезлеккә омтыла һәм спиральнең адымы даими (чикле) булып кала, ягъни үзәктән ераграк булган саен, спиральнең чорнамнары әйләнәгә якынлаша.

# Архимед спирале
## Сектор мәйданы

OCM секторының мәйданы $S$:
    $\left(2\right)$ $S={\frac {1}{6}}\varphi \left(\rho ^{2}+\rho \rho '+\rho '^{2}\right)$,
биредә $\rho =OC$, $\rho '=OM$, $\varphi =\angle COM$.
$\rho =0$, $\rho '=a$, $\varphi =2\pi$ булганда, формула (2) формула беренче спиральнең беренче чорнамы һәм CO кисемтәсе арасында фигураның мәйданын бирә:
    $S_{1}={\frac {1}{3}}\pi a^{2}={\frac {1}{3}}S'_{1}$,
биредә $S'_{1}$ — радиусы спиральнең адымы — $a$-га тигез түгәрәкнең мәйданы .
Барча бу хасиятләр һәм тигезләмәләр Архимед тарафыннан ачылган булган.

# Архимед спирале
## Архимед спирале дугасы озынлыгын исәпләү

Дуганың чиксез кечкенә кисемтәсе $dl$ шуңа тигез (рәс.3 кара):
    $dl={\sqrt {d\rho ^{2}+dh^{2}}}$,
биредә $d\rho$ — $\varphi$ почмагының $d\varphi$-га арттырганда радиусның артышы. Чиксез кечкенә $d\varphi$ почмак артышы өчен түбәндәге дөрес:
    $dh^{2}=\left(\rho d\varphi \right)^{2}$.
Шуңа күрә:
    $dl={\sqrt {d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\varphi ^{2}}}$
$\rho =k\varphi$ һәм
    $d\rho =kd\varphi$ булганга күрә
яки
    $dl={\sqrt {k^{2}d\varphi ^{2}+k^{2}\varphi ^{2}d\varphi ^{2}}}$
    $dl=kd\varphi {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}$.
$L$ дугасының озынлыгы $dl$-дан $d\varphi$ буенча $0$-дан $\varphi$-га кадәр интегралга тигез:
    $L=\int \limits _{0}^{\varphi }k{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}d\varphi$
    $L={\frac {k}{2}}\left[\varphi {\sqrt {1+\varphi ^{2}}}+\ln \left(\varphi +{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\right)\right]$.

# Архимед спирале
## Өч үлчәмле гомумиләштерү

Архимед спираленең өч үлчәмле гомумиләштерүе дип коник спиральнең конус күчәренә перпендикуляр яссылыкка проекциясен санарга була.