# Икеле исәпләү системасы

Икеле исәпләү системасы — нигезе 2 булган позицион исәпләү системасы. Цифрлы электрон схемаларда логик вентильләрдә турыдан-туры тормышка ашыру аркасында, икеле система бөтен хәзерге заман компьютерларында һәм башка исәпләү электрон корылмаларда кулланыла.

# Икеле исәпләү системасы
## Саннарны икеле язу

Икеле исәпләү системасында саннар ике символ (0 һәм 1) ярдәмендә язылалар. Сан нинди исәпләү системасында язылган икәнен бутамас өчен, аңа уң якта астан күрсәткеч куялар. Мәсәлән, сан унарлы системада 5₁₀, икеле системада 101₂. Кайсы бердә икеле санны 0b префиксы яки & (амперсанд) символы белән тамгалыйлар, мәсәлән 0b101 яки ярашлы рәвештә &101. Икеле исәпләү системасында (унарлыдан башка икенче исәпләү системасындагы кебек) тамгалар берәрләп укыла. Мәсәлән, 101₂ саны «бер ноль бер» дип әйтелә.

# Икеле исәпләү системасы
## Саннарны икеле язу
### Натураль саннар

Икеле исәпләү системасында $(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}$ дип язылган натураль санның кыйммәте:
    $(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}=\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}2^{k},$
монда:
* $n$ — сандагы цифрлар (тамгалар) саны,
* $a_{k}$ — {0,1} күплегеннән цифрлар,
* $k$ — цифрның тәртип номеры.

# Икеле исәпләү системасы
## Саннарны икеле язу
### Тискәре саннар

Тискәре икеле саннар унарлы саннар кебек үк тамгаланалар: сан алдында «−» тамгасы. Ягъни, икеле исәпләү системасында язылган $(-a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}$ тискәре бөтен санының кыйммәте:
    $(-a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0})_{2}=-\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}2^{k}.$
Исәпләү техникасында тискәре икеле саннарны өстәлмә кодта язу кулланыла.

# Икеле исәпләү системасы
## Саннарны икеле язу
### Вакланма саннар

Икеле исәпләү системасында $(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{2}$ дип язылган вакланма санның кыйммәте:
    $(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m})_{2}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},$
монда:
* $m$ — санның вакланма өлешенең цифрлар саны,
* $a_{k}$ — $\{0,1\}$ күплегеннән цифрлар.

# Икеле исәпләү системасы
## Икеле саннарны кушу, алу һәм кабатлау

Кушу таблицасы
Алу таблицасы
«Баганалап» кушуга мисал (14₁₀ + 5₁₀ = 19₁₀ яки 1110₂ + 101₂ = 10011₂):
Тапкырлау таблицасы
«Баганалап» кабатлауга мисал (14₁₀ * 5₁₀ = 70₁₀ яки 1110₂ * 101₂ = 1000110₂):

# Икеле исәпләү системасы
## Саннарны үзгәртү

Икеле исәпләү системасыннан унарлы исәпләү системасына үзгәртү өчен түбәндәге 2 нигезенең дәрәҗәләре таблицасын кулланалар:
1 цифрыннан башлап бөтен цифрлар икегә кабатлана. 1-дән соң торган ноктә икеле нокта дип атала.

# Икеле исәпләү системасы
## Саннарны үзгәртү
### Икеле саннарны унарлыга үзгәртү

110001₂ икеле саны бирелсен, ди. Унарлыга үзгәртү өчен аны разрядлары буенча сумма рәвешендә түбәндәгечә күрсәтегез:
   1 * 2⁵ + 1 * 2⁴ + 0 * 2³ + 0 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 49
Шул ук бераз икенчерәк:
   1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49
Моны түбәндәгечә таблица рәвешендә язарга була:
Уңдан сулга хәрәкәт итегез. Һәр икеле берәмлек астында аскы юлда аның эквивалентын языгыз. Килеп чыккан унарлы саннарны кушыгыз. Шулай итеп, 110001₂ икеле саны 49₁₀ унарлы санына тиң.

# Икеле исәпләү системасы
## Саннарны үзгәртү
### Икеле саннарны унарлыга үзгәртү
#### Вакланмалы икеле саннарны унарлыга үзгәртү

1011010,101₂ санын унарлыга үзгәртергә кирәк. Бу санны түбәндәгечә язабыз:
   1 * 2⁶ + 0 * 2⁵ + 1 * 2⁴ + 1 * 2³ + 0 * 2² + 1 * 2¹ + 0 * 2⁰ + 1 * 2⁻¹ + 0 * 2⁻² + 1 * 2⁻³ = 90,625
Шул ук бераз икенчерәк:
   1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625
Яки таблица буенча:
| 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | | 0.5 | 0.25 | 0.125 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | , | 1 | 0 | 1 |
| +64 | +0 | +16 | +8 | +0 | +2 | +0 | | +0.5 | +0 | +0.125 |

# Икеле исәпләү системасы
## Саннарны үзгәртү
### Горнер ысулы белән үзгәртү

    Төп мәкалә: Метод Горнера
Саннарны икеледән унарлы системага бу ысул белән үзгәртү өчен, цифрларны, алдан табылган нәтиҗәне системаның нигезенә (бу очракта 2) тапкырлап, сулдан уңга кушырга кирәк. Горнер ысулы белән гадәттә икеледән унарлы системага күчерәләр. Кире операция катлаулы, чөнки икеле исәпләү системасында кушу һәм кабатлау күнекмәсе таләп ителә. Мәсәлән, 1011011₂ икеле саны унарлы системага шулай күчерелә:
   0*2 + 1 = 1 1*2 + 0 = 2 2*2 + 1 = 5 5*2 + 1 = 11 11*2 + 0 = 22 22*2 + 1 = 45 45*2 + 1 = 91
Ягъни унарлы системада бу сан 91 дип языла.

# Икеле исәпләү системасы
## Саннарны үзгәртү
### Горнер ысулы белән үзгәртү
#### Горнер ысулы белән саннарның вакланмалы өлешен күчерү

Цифрлар сандан уңдан сулга карый алыналар һәм исәпләү системасының нигезенә (2) бүленәләр. Мәсәлән 0,1101₂
   (0 + 1)/2 = 0,5 (0,5 + 0)/2 = 0,25 (0,25 + 1)/2 = 0,625 (0,625 + 1)/2 = 0,8125
Җавап: 0,1101₂= 0,8125₁₀

# Икеле исәпләү системасы
## Саннарны үзгәртү
### Унарлы саннарны икелегә үзгәртү

19 санын икелегә үзгәртергә кирәк икән, ди. Түбәндәге процедура белән файдаланырга мөмкин:
   19/2 = 9 калдык белән - 1 9/2 = 4 калдык белән - 1 4/2 = 2 калдык белән - 0 2/2 = 1 калдыксыз 0 1/2 = 0 калдык белән - 1
Шулай итеп, без һәр бүлендекне 2-гә бүләбез һәм калдыкны икеле язуның азагына язабыз. Бүлүне калдык 0 булганга кадәр дәвам итәбез. Нәтиҗә уңдан сулга карый языла. Ягъни түбәндәге (1) цифры иң сулдагы була һәм башка шулай. Нәтиҗәдә 19 санын икеле язуда табабыз: 10011.

# Икеле исәпләү системасы
## Саннарны үзгәртү
### Унарлы саннарны икелегә үзгәртү
#### Унарлы вакланма саннарны икеле саннарга үзгәртү

Әгәр бирелгән санның бөтен өлөше булса, ул вакланма өлөшеннән аерым үзгәртелә. Вакланма санны унарлы исәпләү системасыннан икелегә күчерү түбәндәге алгоритм буенча тормышка ашырыла:
* Вакланма икеле исәпләү системасының нигезенә (2) кабатлана;
* Килеп чыккан кабатландыкның бөтен өлеше икеле исәпләү системасындагы санның өлкән разряды сыйфатында аерып алына;
* Әгәр килеп чыккан тапкырламаның вакланма өлеше нульгә тигез булса, яки таләп ителгән төгәллеккә ирешелсә, алгоритм тәмамлана. Кире очракта тапкырламаның вакланма өлеше өстендә исәпләүләр дәвам итә.
Мисал: 206,116 унарлы санын икелегә күчерергә кирәк икән, ди. Алдан сурәтләнгән алгоритм буенча бөтен өлешен үзгәртү 206₁₀=11001110₂ нәтиҗәсен бирә. 0,116 вакланма өлөшен 2 нигезенә тапкырлыйбыз, тапкырламаның бөтен өлешен эзләнгән икеле вакланма санның өтердән соңгы разрядына язып барабыз:
   0,116 • 2 = 0,232 0,232 • 2 = 0,464 0,464 • 2 = 0,928 0,928 • 2 = 1,856 0,856 • 2 = 1,712 0,712 • 2 = 1,424 0,424 • 2 = 0,848 0,848 • 2 = 1,696 0,696 • 2 = 1,392 0,392 • 2 = 0,784 һ. б.
Шулай итеп 0,116₁₀ ≈ 0,0001110110₂ Табабыз: 206,116₁₀ ≈ 11001110,0001110110₂

# Икеле исәпләү системасы
## Кулланылышы
### Цифрлы корылмаларда

Икеле система цифрлы корылмаларда кулланыла, чөнки иң гади система булып тора һәм түбәндәге таләпләргә туры килә:
* Системада ни кадәр әз кыйммәтләр булса, шул кадәр бу кыйммәтләр белән эш итүче аерым элементларны әзерләү гадирәк. Аерып әйткәндә, икеле исәпләү системасының ике цифры бик күп физик күренешләр белән күрсәтелергә мөмкин: ток бар (ток чик кыйммәтеннән зуррак) — ток юк (ток чик кыйммәтеннән кимрәк), магнит кырының индукциясе чик кыйммәтеннән зуррак яки юк (магнит кырының индукциясе чик кыйммәтеннән кечкенәрәк) һәм башка шулай.
* Элемент торышының саны ни кадәр әз булса, шул кадәр тоткарлык тотрыклылыгы зуррак һәм ул шәбрәк эшли алачак. Мәсәлән, өч торышлы көчәнеш, ток яки магнит кырының индукциясе зурлыгы аша кодлау өчен, ике чик киммәте һәм каршылык тотрыклылыгына һәм мәгълүмат саклау ышанычлылыгына булышлык итүче ике компаратор кертергә кирәк.Калып:Нет АИ
* Икеле арифметика гадирәк. Саннар өстендә төп гамәлләр — кушу һәм кабатлау таблицалары гади.
Цифрлы электроникада икеле исәпләү системасында бер икеле разрядка икелерегистрның бер икеле разряды ярашлы, ягъни ике торышлы (0,1) икеле триггер. Исәпләү техникасында тискәре икеле саннарны өстәлмә кодта язу киң кулланыла. Мәсәлән, −5₁₀ саны −101₂ дип язылырга мөмкин, ләкин 32-битлы компьютерда 11111111111111111111111111111011₂ дип сакланачак.

# Икеле исәпләү системасы
## Кулланылышы
### Инглиз үлчәү системасында

Сызыкча үлчәмнәрне дюймнарда күрсәткәндә традиция буенча унарлы түгел, ә икеле вакланмалар кулланыла, мәсәлән: 5¾″, 7¹⁵/₁₆″, 3¹¹/₃₂″ һәм башка шулай.

# Икеле исәпләү системасы
## Гомумиләштерү

Икеле исәпләү системасы икеле кодлау системасы һәм нигезе 2 булган күрһәткечле авырлык функциясе комбинациясе булып тора. Әйтергә кирәк, сан икеле кодта язылырга мөмкин, ә бу вакытта исәпләү системасы икеле түгел, ә икенче нигез белән булырга мөмкин. Мисал: икеле-унарлы кодлау, унда унарлы цифрлар икеле күренештә языла, ә исәпләү системасы — унарлы.

# Икеле исәпләү системасы
## Тарихы

* 8 триграммадан һәм 64 гексаграммадан тулы җыелма, 3-битлы һәм 6-битлы цифрлар аналогы, борынгы Кытайда Книга Перемендагы классик текстларда билгеле була. Книга Переменда ярашлы икеле цифрлар (0-дән 63-кә кадәр) кыйммәтләре белән туры китереп урнашкан гексаграммалар тәртибе һәм аларны табу ысулы Кытай галиме һәм философы Шао Юн тарафыннан XI гасырда эшләнгән. Әмма Шао Юн, ике символлы кортежларны лексикографик тәртиптә урнаштырганда, икеле арифметика кагыйдәләрен аңлавын дәлилләүче исбатлаулар юк.
* Һинд математигы Пингала (б. э. кадәр 200 ел) икеле исәпләү системасын беренче билгеле кулланып, шигъриятны сурәтләү өчен математик нигезләрен эшли.
* Үзәк Андларда (Перу, Боливия) дәүләт һәм җәмгыять максатында б. э. кадәр I—II мең еллыкта киң кулланылган мәгълүмат базасының прообразы булып Инкларның төенле язуы — кипу тора, ул унарлы системаның санлы язуларыннан, шулай ук кодлауның икеле системасында санлы булмаган язулардан тора. Кипуда беренчел һәм өстәлмә ачкычтар, позицион саннар, төс белән кодлау һәм кабатланучы мәгълүматларның серияларын төзү кулланыла. Кипу кешелек тарихында беренче тапкыр бухгалтер исәбен алып баруның икеләтә язу кебек ысулын куллану өчен файдаланылган.
* Икеле цифрлар комбинациясе булган җыелмалар африкалылар тарафыннан, урта гасыр геомантиясе белән беррәттән, традицион күрәзәлек итүләрдә (Ифа кебек) кулланылган.
* 1605 елда Френсис Бэкон алфавитының хәрефләрен икеле цифрлар дәвамлыкларына кайтарып калдырырга мөмкин булган системаны сүрәтли, алар үз чиратында теләсә нинди очраклы текстларда шрифтларның чак кына сизелерлек үзгәреше кебек кодланырга мөмкиннәр. Икеле кодлауның гомуми теориясе үсешендә, бу ысул теләсә нинди объектларга кулланылырга мөмкин, дигән искәртү мөһим адым булып тора (cм. Шифр Бэкона).
* Хәзерге икеле система Лейбниц тарафыннан XVII гасырда Explication de l’Arithmétique Binaire исемле хезмәтендә тулысынча сурәтләнгән. Лейбниц исәпләү системасында, хәзерге икеле системасындагы кебек, 0 һәм 1 цифрлары кулланылган. Кытай мәдәнияте белән мавыгучы кеше буларак, Лейбниц Книга Перемен турында белгән һәм гексаграммалар 0-дән 111111-гә кадәр икеле саннарга туры килүен билгеләгән. Ул, бу чагылдыру Кытайның шул заманның фәлсәфәви математикасында зур казанышларын раслаучы дәлил булып торуы белән сокланган.
* 1854 елда инглиз математигы Джордж Буль алгебраик системаларны логикага кулланылышта сүрәтләүче хезмәтен бастырып чыгара, ул хәзерге вакытта Булева алгебра яки логика алгебрасы буларак билгеле. Аның логик исәпләмәсенә хәзерге заман цифрлы электрон схемалар эшләүдә мөһим роль үтәргә насыйп була.
* 1937 елда Клод Шеннон MIT-да Символический анализ релейных и переключательных схем исемле кандидатлык диссертациясен яклауга тәкъдим итә, анда булева алгебра һәм икеле арифметика электрон реле һәм күчереп ялгагычларга карата кулланылган. Бөтен хәзерге заман цифрлы техника асылда Шеннонның диссертациясенә нигезләнгән.
* 1937 елның ноябрендә, азак Bell Labsта эшләүче Джордж Штибиц, реле базасында «Model K» компьютерын (инглиз теленән «Kitchen», җыю башкарылган кухня) ясый, ул икеле кушуны башкара. 1938 ел азагында Bell Labs Штибиц җитәкчелегендә тикшеренү программасын җәелдерә. Аның җитәкчелегендә эшләнгән, 1940 елның 8 гыйнварында әзер булган компьютер комплекслы саннар белән гамәлләр башкара белә. Дартмут колледжында American Mathematical Society конференциясендә демонстрацияләү вакытында, 1940 елның 11 сентябрендә, Штибиц ерактагы комплекслы саннар калькуляторына телефон линиясе буенча телетайп кулланып командалар җибәрү мөмкинлеген демонстрацияли. Бу ерактагы исәпләү машинасын телефон линиясе ярдәмендә кулланырга беренче маташу була. Демонстрацияләу шаһиты булган конференцияда катнашучылар арасында Джон фон Нейман, Джон Мокли һәм Норберт Винер була, азак алар бу турыда үзләренең мемуарларында язалар.

# Икеле исәпләү системасы
## Кызыклы фактлар

* Новосибирск Академкалачыгында Рәсәй фәннәр академиясе Себер бүлекчәсенең исәпләү технологияларе институты (элекке СССР фәннәр академиясе Себер бүлекчәсенең Исәпләү Үзәге) бинасының фронтонында 70₁₀-га тигез булган 1000110 икеле сан бар, ул бинаны төзү датасын символлаштыра (1970 ел).