# Набла операторы

Набла операторы (Һамилтон операторы) — вектор дифференциаль операторы, аның компонентлары координаталар буенча аерым чыгарылмага тигез.
Набла $\nabla$ символы белән билгеләнә, Юникодта U+2207, ∇.
Өч үлчәмле Евклид фәзасында турыпочмак Декарт координатларында набла операторы болай билгеләнә:
    $\nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec {k}}$,
биредә ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ — $x,y,z$ күчәрләре буенча берәмлекле векторлар.
Набла операторы ярдәмендә вектор анализының төп гамәлләре тасвирлана: grad (градиент), div (дивергенция), rot (ротор), шулай ук Лаплас операторы.
Физикада һәм математикада киң кулланыла.
n-үлчәмле набла операторы n-үлчәмле фәзада билгеләнә:
    $\nabla ={\partial \over \partial x_{1}}{\vec {e}}_{1}+{\partial \over \partial x_{2}}{\vec {e}}_{2}+...+{\partial \over \partial x_{n}}{\vec {e}}_{n}$,
биредә ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n}$ — берәмлекле векторлар

# Набла операторы
## Үзлекләр
### Градиент

Набла операторы $\nabla$ һәм $\phi$ функциясе скаляр тапкырчыгышы градиентка тигез (вектор):
    $\nabla \phi ={\partial \phi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \phi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \phi \over \partial z}{\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi$,

# Набла операторы
## Үзлекләр
### Дивергенция

Набла операторы $\nabla$ һәм ${\vec {a}}$ векторы скаляр тапкырчыгышы дивергенциягә тигез (скаляр):
    $\nabla \cdot {\vec {a}}=\nabla _{x}a_{x}+\nabla _{y}a_{y}+\nabla _{z}a_{z}={\partial a_{x} \over \partial x}+{\partial a_{y} \over \partial y}+{\partial a_{z} \over \partial z}=\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {a}}$,
$\nabla \cdot {\vec {a}}$ шулай ук $(\nabla ,{\vec {a}})$ дип языла

# Набла операторы
## Үзлекләр
### Ротор

Набла операторы $\nabla$ һәм ${\vec {a}}$ векторы вектор тапкырчыгышы роторга тигез (вектор):
    $\nabla \times {\vec {a}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\partial \over \partial x}&{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{vmatrix}}=\left({\partial {a_{z}} \over \partial y}-{\partial {a_{y}} \over \partial z}\right){\vec {i}}\ +\ \left({\partial {a_{x}} \over \partial z}-{\partial {a_{z}} \over \partial x}\right){\vec {j}}\ +\ \left({\partial {a_{y}} \over \partial x}-{\partial {a_{x}} \over \partial y}\right){\vec {k}}=\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {a}}$
$\nabla \times {\vec {a}}$ шулай ук $[\nabla ,{\vec {a}}]$ дип языла

# Набла операторы
## Үзлекләр
### Лаплас операторы

Набла операторлары $\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$ скаляр тапкырчыгышы Лаплас операторы (скаляр операторы) дип атала., ул $\ \Delta$ дип билгеләнә. Декарт координатларында болай билгеләнә:
    $\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}$.

# Набла операторы
## Үзлекләр
### Үзгәртүләр кагыйдәләре

    $\mathbf {\operatorname {grad} } (\phi \psi )=\mathbf {\nabla } (\phi \psi )=\psi \mathbf {\nabla } \phi +\phi \mathbf {\nabla } \psi =\psi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi +\phi \,\mathbf {\operatorname {grad} } \,\psi$
    $\operatorname {div} (\mathbf {\operatorname {grad} } \,\phi )=\nabla \cdot (\nabla \phi )=(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2}\phi =\Delta \phi$

# Набла операторы
## Икенче буын операторлар

Скаляр һәм вектор тапкырчыгышлары вариантлары 7 төрле икенче буын операторга китерә:
    $\mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)$
    $\mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)$
    $\Delta f=\nabla ^{2}f$
    $\mathbf {\operatorname {grad} } \,(\mathbf {\operatorname {div} } \,{\vec {v}})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})$
    $\mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})$
    $\mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})$
    $\Delta {\vec {v}}=\nabla ^{2}{\vec {v}}$
Яссы кырлар өчен әлеге операторлар бәйсез түгел:
    $\mathbf {\operatorname {rot} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \times (\nabla f)=(\nabla \times \nabla )f=0$
    $\mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {rot} } \,{\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})=(\nabla \times \nabla )\cdot {\vec {v}}=0$
    $\mathbf {\operatorname {div} } \,(\mathbf {\operatorname {grad} } \,f)=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f=\nabla ^{2}f=\Delta f$
    $(\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}}))=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla ^{2}{\vec {v}}$
Берсе векторлар тензор тапкырчыгышы ярдәмендә языла:
    $\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})$

# Набла операторы
## Үзенчәлекләр

Набла операторы гади вектордан аерылып тора, мәсәлән әлеге оператор векторлар белән коммутатив булмый:
    $\nabla \cdot {\vec {v}}\neq {\vec {v}}\cdot \nabla$,

# Набла операторы
## Мисаллар

* $z=xy,\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=y{\vec {i}}+x{\vec {j}}$
* $z=30yx^{3},\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=90yx^{2}{\vec {i}}+30x^{3}{\vec {j}}$