# Метрик тензор

Метрик тензор яки метрика - скаляр тапкырчыгышны, кәкре сызыкларны, кәкре сызыклар арасындагы почмакларны билгели торган шома күп төрлелектә (0,2) ранглы тензорның кыры.
Өслекнең аерым очрагында метрика беренче квадратик форма дип атала.
Гомуми чагыштырмалылык теориясендә метрика - физик фәза-вакытның дүрт үлчәмле күп төрлелегендә фундаменталь физик кыр (гравитацион кыр) буларак карала. Шулай ук гравитациянең биметрик теорияләре бар.
Биредә һәркайда кабатлана торган индекслар белән формулалар Эйнштейн килешүенә буйсына.

# Метрик тензор
## Тасвир

Гадәттә метрик тензор локаль координатларда $x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}$ ковариант тензорның кыры $g_{ij}\$ буларак билгеләнә, аның ярдәмендә вектор кырларының скаляр тапкырчыгышы билгеләнә:
$\partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$:
    $\left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =g_{ij}.$
Теләгән вектор кырлары өчен скаляр тапкырчыгыш түбәндәгечә формула буенча исәпләнә:
    $\left\langle v,w\right\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}$,
    биредә $v=v^{i}\partial _{i}\ ,w=w^{i}\partial _{i}$

# Метрик тензор
## Мисаллар

* Евклид яссылыгында метрик тензор:
** Турыпочмаклы Декарт координатларында берәмлек масштабында метрик тензор даими һәм берәмлек матрицасына туры килә:
    $g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{ij}=\delta _{ij}$
** Поляр координатларда:$(r,\theta )$
    $g={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\$
* Метрик тензор сферада, сферик координатларда $(\theta ,\varphi )$:
    $g={\begin{bmatrix}R^{2}&0\\0&R^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$
* Метрик тензор өч үлчәмле Евклид фәзасы өчен:
Турыпочмаклы Декарт координатларында берәмлек масштабында метрик тензор даими һәм берәмлек матрицасына туры килә:
    $g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{ij}=\delta _{ij}$
* Сферик координатларда
$(r,\theta ,\phi )$:
    $g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$
* Әйләнми торган, коргысыз кара тишекнең гравитацион кыры һәм сферик симметрияле массив җисемнең гравитацион кыры метрикасы - Шварцшильд метрикасы $(t,\;r,\;\theta ,\;\varphi )$ координатларында:
    $g={\begin{bmatrix}\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.$
биредә $r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$ — гравитацион радиус
Интервал : $ds^{2}=\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{\left(1-\displaystyle {\frac {r_{s}}{r}}\right)}}-r^{2}\left(\sin ^{2}\,\theta d\varphi ^{2}+d\theta ^{2}\right),$
массив җисемнең гравитацион кырында rₛ < r,
    0 < $\left(1-{\frac {r_{s}}{r}}\right)$ < 1
димәк массив җисемнең гравитацион кырында вакыт әкренрәк бара.

# Метрик тензор
## Метрика һәм күләм

Метрик тензорның билгеләгече $|\det\{g_{ij}\}|$ базис векторындагы параллелепипедның күләме квадратынына тигез. Шуңа күрә ${\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}$ зурлыгы күләмне исәпләүдә һәм күләм буенча интеграл табуда зур роль уйный.
Ниндидер скалярдан интеграл табуда метрик тензорның билгеләгечен исәпкә алырга кирәк (нәтиҗә инвариант булсын өчен):
    $S=\int s(x)\,d\Omega =\int s(x){\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,\ldots \,dx^{n},$
биредә $d\Omega$ n-үлчәмле күләмнең элементы