# Ротор (математика)

Ротор яки өермә — вектор кыры өстеннән вектор дифференциаль операторы.
Төрле ысуллар белән билгеләнә:
* $\operatorname {rot}$ - рус, алман әдәбиятында һәм бөтен Аурупада диярлек
* $\operatorname {curl}$ - инглиз телле әдәбиятта (Джеймс Максвелл тарафыннан тәкъдим ителгән)
* $\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} .$ - набла операторы һәм вектор кыры вектор тапкырчыгышы.
F вектор кырыннан роторы да вектор кыры булып тора.
rot F кыры - F кырының әйләнү компонентын тасвирлый.

# Ротор (математика)
## Математик билгеләмә

Математикада а вектор кырыннан ротор - вектор кырының циркуляциясе ΔS яссы мәйданчыгына чагыштырмасының чигенә тигез:
    $\operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\cdot \,dr} }{\Delta S}}$.
L контуры сәгать теле буенча узып алына.
Өч үлчәмле декарт системасында ротор компонентлары болай билгеләнә:
    $\operatorname {rot} \;(F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{z})=$
    $=\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)\mathbf {e} _{x}+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)\mathbf {e} _{y}+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)\mathbf {e} _{z}\equiv$
    $\equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}.$
яки
    $(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}$
    $(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}$
    $(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}$
Уңайлылык өчен ротор - набла операторы һәм вектор кыры вектор тапкырчыгышы булып күрсәтелә:
    $\operatorname {rot} \;\mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}.$
(Соңгы тигезләмә - вектор тапкырчыгышы билгеләгеч буларак күрсәтелгән).

# Ротор (математика)
## Потенциаль кыр

Вектор кырыннан ротор нульгә тигез булганда әлеге кыр өермәсез һәм потенциаль кыр булып тора.

# Ротор (математика)
## Гомуми тасвир

Гомуми очракта күп үлчәмле вектор кыры өчен ротор болай билгеләнә:
    $(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{12}=\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{2}}}\right)$
    $(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{13}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{3}}}\right)$
    $(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{23}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{3}}}\right)$
яки
    $(\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{mn}=\partial _{m}F_{n}-\partial _{n}F_{m}\equiv {\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{m}}}-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}$
m һәм n 1 ... - фәза үлчәменә кадәр.

# Ротор (математика)
## Төп үзлекләре

* Сызыклылык:
    $\operatorname {rot} \;(a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} +b\;\operatorname {rot} ~\mathbf {G}$
F , G - вектор кырлары, a , b - даими саннар.
* $\varphi$ — скаляр кыр, ә F — вектор кыры өчен:
    $\operatorname {rot} ~\varphi \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi ~\times \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} ,$
яки
    $\nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \times \mathbf {F} ).$
* Ротордан дивергенция нульга тигез:
    $\operatorname {div} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0$ яки $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.$
киресенчә
    $\operatorname {div} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {rot} ~\mathbf {G} .$
* Әгәр F потенциаль кыр булса, аннан ротор нульга тигез:
    $\mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi \Rightarrow \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0$
һәм киресенчә
    $\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi$
* Ике вектор кырыннан бертигез ротор була ала, ләкин алар ниндидер скаляр кырдан градиентта аерылып була.
* $\operatorname {rot} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\operatorname {div} ~\mathbf {F} -\Delta \mathbf {F}$
* Стокс теоремасы:
    $\oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )\cdot \,\mathbf {dS}$