# Скаляр тапкырчыгыш

Скаляр тапкырчыгыш — ике вектор өстеннән операция нәтиҗәсендә кординатлар системасына бәйсез һәм векторларның озынлыгы һәм арасындагы почмакны тасвирлаучы сан (скаляр).
Х векторының озынлыгы һәм у векторының х векторына проекциясе тапкырчыгышы әлеге операциягә туры килә.
Гадәттә векторларның скаляр тапкырчыгышы болай билгеләнә:
    $\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle$,
    $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$,
    $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$,
квант механикасында халәт векторы өчен шулай ук Дирак билгәләмәсе кулланыла:
    $\langle a|b\rangle$.
Гадәттә скаляр тапкырчыгыш уңай итеп билгеләнгән, ягъни:
    $\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle >0$ барлык $a\not =0$.
Югыйсә ул билгеләнмәгән тапкырчыгыш (тензор тапкырчыгышы) дип атала.

# Скаляр тапкырчыгыш
## Алгебраик билгеләмә

Ике вектор a = [a₁, a₂, ..., aₙ] һәм b = [b₁, b₂, ..., bₙ] скаляр тапкырчыгышы n-үлчәмле чын фәзада болай билгеләнә:
    $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$.
Мәсәлән, өч-үлчәмле фәзада векторлар [1, 3, −5] һәм [4, −2, −1] скаляр тапкырчыгышы болай исәпләнә:
    ${\begin{aligned}\ [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{aligned}}$
Комплекс векторлар a = [a₁, a₂, ..., aₙ] һәм b = [b₁, b₂, ..., bₙ] скаляр тапкырчыгышы болай билгеләнә:
    $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overline {b_{i}}}=a_{1}{\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}$.
Мәсәлән, $[1+i,2]\cdot [2+i,i]=(1+i)\cdot ({\overline {2+i}})+2\cdot {\overline {i}}=(1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i$

# Скаляр тапкырчыгыш
## Геометрик билгеләмә

Векторлар озынлыгы һәм арасындагы почмак төшенчәләре кертелгән һәм билгеләнгән очракта (классик геометриядә нәкъ шулай була), скаляр тапкырчыгышы векторларның озынлыгы һәм алар арасындагы почмак ярдәмендә билгеләнә:
    $\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$
Заманча аксиоматикада баштарак скаляр тапкырчыгыш билгеләнә, ә аннан вектор озынлыгы һәм почмак чыгарыла.

# Скаляр тапкырчыгыш
## Үзлекләре

* косинус теоремасы скаляр тапкырчыгыш ярдәмендә җиңел итеп чыгарыла:
    $|BC|^{2}={\vec {BC}}^{2}=({\vec {AC}}-{\vec {AB}})^{2}=\langle {\vec {AC}}-{\vec {AB}},{\vec {AC}}-{\vec {AB}}\rangle ={\vec {AC}}^{2}+{\vec {AB}}^{2}-2\langle {\vec {AC}},{\vec {AB}}\rangle =|AB|^{2}+|AC|^{2}-2|AB||AC|\cos {\hat {A}}$
* Векторлар арасындагы почмак:
    $\alpha =\arccos {\frac {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle }{\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle }}}$
* Векторлар арасындагы почмакны бәяләү:
    $\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$ формуласында тамга почмакның косинусы белән билгеләнә (векторлар нормалары һаман уңай), шуңа күрә арасындагы почмак кысынкы булса, скаляр тапкырчыгыш > 0, ә әгәр арасындагы почмак җәенке булса, скаляр тапкырчыгыш < 0.
* Векторның проекциясе:
    $a_{e}=\langle \mathbf {a} ,\mathbf {e} \rangle =|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}$, чөнки $|\mathbf {e} |=1$
* ортогональлек шарты (перпендикулярлык шарты) $\mathbf {a}$ һәм $\mathbf {b}$ векторлары өчен:
       $\mathbf {a} \bot \mathbf {b} \Leftrightarrow \langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =0$
* Ике вектор $\mathbf {a} \$ һәм $\mathbf {b} \$ - нигезендәге параллелограмм мәйданы:
       ${\sqrt {\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {b} \rangle -\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}\$

# Скаляр тапкырчыгыш
## Үзлекләре
### Коши — Буняковский тигезсезлеге

Сызыкча фәзада Һәр $\mathbf {x}$ һәм $\mathbf {y}$ элементлары өчен түбәндәге тигезсезлек үтәлә:
$\vert \langle x,y\rangle \vert ^{2}\leq \langle x,x\rangle \langle y,y\rangle$

# Скаляр тапкырчыгыш
## Заманча билгеләмә

$\mathbb {L}$ - вектор фәзасында $\mathbb {C}$ - комплекс (яки $\mathbb {R}$ чын) саннар кыры өстеннән $\langle x,y\rangle$ скаляр тапкырчыгыш болай итеп билгеләнә - һәр пар элемент өчен түбәндәге шартлар үтәлә:
* $\mathbb {L}$ сызыкча фәзасында һәр өч элемент $x_{1},x_{2}$ һәм $y$ һәм теләгән санннар $\alpha ,\beta$ өчен:
    $\langle \alpha x_{1}+\beta x_{2},y\rangle =\alpha \langle x_{1},y\rangle +\beta \langle x_{2},y\rangle$ (сызыклылык);
* һәр $x$ һәм $y$ өчен:
    $\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}$, биредә сызык - комплекс иярү дип билгели;
* һәр $x$ өчен
    $\langle x,x\rangle \geq 0$, һәм $\langle x,x\rangle =0$ тик $x=0$ булган очракта (скаляр тапкырчыгыш уңай).