# Осраҡлы дәүмәл

Осраҡлы дәүмәл — ҡиммәттәре ниндәйҙер осраҡлы феномендың йәки эксперименттың һанлы һөҙөмтәләрен сағылдырған үҙгәреүсән. Икенсе төрлө әйткәндә, осраҡлы ваҡиға һөҙөмтәһенең һан яғынан сағылышы булып тора. Осраҡлы дәүмәл — ихтималлыҡ теорияһының төп төшөнсәләренең береһе.
Осраҡлы дәүмәл билдәләү өсөн математикала «кси» $\xi$ хәрефен ҡулланыу ҡабул ителгән. Ҡиммәте $y$ осраҡлы эксперименттың $\omega$ һөҙөмтәһен сағылдырыусы $y=\xi (\omega )$ функцияһы осраҡлы дәүмәлдең ҡәтғи билдәләмәһе булып тора. Әгәр был $\xi (\omega )$ функцияның ҡиммәттәре осраҡлы эксперимент һөҙөмтәләренең аҙ ғына үҙгәреүенә сикһеҙ һиҙгер булғанда, был функцияға ҡарата талаптарҙың береһе булып уның үлсәмлелеге торасаҡ, ул шул осраҡтарҙы һайлау өсөн хеҙмәт итә.
Практикала осраҡлы дәүмәлде $\Omega$ -нан $\mathbb {R}$-ға ирекле функция тип ҡарарға мөмкин..
Функция булараҡ , осраҡлы дәүмәл $\xi (\omega )$ ихтималлыҡ ваҡиғалары $\omega$ булдырыу түгел, ә һөҙөмтәнең һан сағылышын $\omega$ кире ҡайтара.. Осраҡлы дәүмәлдең мөһим ҡылыҡһырламаһы булып математик көтөү һәм дисперсия тора.
Осраҡлы дәүмәлдәрҙе ҡулланыу талап иткән объекттарҙың миҫалы булып квант механикаһы менән микроскопик объекттар тора. Осраҡлы дәүмәл менән ата-әсә организмынан тоҡомдарына нәҫел билдәләрен тапшырыу ваҡиғалары тасуирлана (Мендель законы). Осраҡлы ваҡиғаларға атомдар йәҙрәһенең радиоактив тарҡалыу ваҡиғалары инә...
Математик анализдың һәм һандар теорияһының бер нисә мәсьәләһе бар. Бының өсөн уларҙың бирелештәрендә ҡатнашҡан функцияларҙы яраҡлы ихтималлыҡ арауыҡтарында билдәләнгән осраҡлы дәүмәлдәр булараҡ иҫәпләү маҡсатлы.

# Осраҡлы дәүмәл
## Тарихы

Осраҡлы дәүмәлдең ролен, ихтималлыҡ теорияһының төп төшөнсәләренең береһе булараҡ, тәүге тапҡыр П. Л. Чебышёв тарафынан аныҡлана. Ул 1867 йылда бөгөнгө көндә был төшөнсәгә дөйөм ҡабул ителгән ҡарашты дәлилләй.. Осраҡлы дәүмәлде функцияның дөйөм төшөнсәһенең шәхси осрағы булараҡ аңлау һуңғараҡ, XX быуаттың тәүге яртыһына, тура килә.
А. Н. Колмогоров беренсе тапҡыр үлсәм теорияһы нигеҙендә ихтималлыҡ теорияһы нигеҙҙәренең тулы формалләштерелгән сағылышын эшләй (1933).. Шунан һуң осраҡлы дәүмәлдең — ихтималлыҡ арауыҡта билдәләнгән үлсәнмәле функция икәне асыҡлана. Бындай ҡараш уҡыу дәреслектәрендә беренсе тапҡыр эҙмә-эҙлекле У. Феллер тарафынан үткәрелә. Унда тасуирлама элементар ваҡиғалар арауығы төшөнсәһенә нигеҙләнә һәм осраҡлы дәүмәл тик шул осраҡта ғына йөкмәткеле була барыуына айырым баҫым яһала.

# Осраҡлы дәүмәл
## Билдәләмә

Формаль математик билдәләмә түбәндәгесә: $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — арауыҡтағы ихтималлыҡ булһа, ул саҡта $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ осраҡлы дәүмәл функцияһы тип атала, ${\mathcal {F}}$сағыштырмаса үлсәмле һәм $\mathbb {R}$ борель σ-алгебраһына ҡарата.
Айырым (башҡаларға бәйле булмаған) осраҡлы дәүмәлдең ихтималлығы уның таралтыуы менән тулыһынса тасуирлана.
Осраҡлы дәүмәлде башҡа эквивалент ысул менән дә билдәләргә мөмкин.. $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ функцияһы осраҡлы дәүмәл тип атала, әгәр теләһә ниндәй $a$ һәм $b$ ысын һандары өсөн $\omega$ ваҡиғалар күмәклеге ошондай: $\xi (\omega )\in (a,b)$, ${\mathcal {F}}$-ҡа инә.

# Осраҡлы дәүмәл
## Биреү ысулдары

Таралтыу функцияһы, ихтималлыҡ тығыҙлығы һәм характерлы функцияһы ҡулланып, барлыҡ ихтималлыҡ үҙенсәлектәре айырым осраҡлы дәүмәл итеп тасуирланып, осраҡлы дәүмәл бирелә.
$F(x)$ таратыу функцияһы осраҡлы дәүмәлдең $x$ ысын һанынан кәмерәк булыуы ихтималлығына тиң.
Был билдәләмәнән күренеүенсә, осраҡлы дәүмәлдең [a, b) интервалына инеү ихтималлығы $F(b)-F(a)$-ға тигеҙ.
Таралтыу функцияһын ҡулланыуҙың өҫтөнлөгө шунда: уның ярҙамында дискрет, өҙлөкһөҙ һәм дискрет-өҙлөкһөҙ осраҡлы дәүмәлдәрҙе бер төрлө математик тасуирлауға өлгәшелә. Шуға ҡарамаҫтан, таралтыу функциялары бер төрлө булған төрлө осраҡлы дәүмәлдәр бар.
Мәҫәлән, әгәр осраҡлы дәүмәл $\xi$ + 1 −1 ҡиммәттәрен 1/2 бер төрлө ихтималлыҡ менән ҡабул итһә, ул саҡта осраҡлы дәүмәл $\xi$ һәм $\xi ^{3}$ бер төрлө функциялар таралтыуы F (x) менән тасуирлана.
Осраҡлы дәүмәл булдырыуҙың тағы бер ысулы — $\xi$ осраҡлы дәүмәлде функциональ үҙгәртеү.
Әгәр $f(x)$ — борель функцияһы булһа, $\eta =f(\xi )$ шулай уҡ осраҡлы дәүмәл була. Мәҫәлән, әгәр $\xi$ — нормаль стандарт осраҡлы дәүмәл, йәғни осраҡлы дәүмәл $\chi ^{2}=\xi ^{2}$бер ирекле дәрәжәле хи квадрат-таралтыуға эйә . Күп таралыуҙар, шул иҫәптән Фишер таралтыуы, Стьюдент таралтыуы ғәҙәти осраҡлы дәүмәлдәрҙең функциональ үҙгәреүҙәренең таралтыуы булып тора.
Әгәр осраҡлы дәүмәл дискрет булһа, уның таралыуының тулы һәм бер мәғәнәле математик тасуирламаһы ихтималлыҡ функцияһы $p_{k}=P(\xi =x_{k}),\;k\in \mathbb {N}$ был осраҡлы дәүмәлдең бөтә ҡиммәттәрен күрһәтеп билдәләнә. . Миҫал итеп таралтыуҙың биномаль һәм пуассон закондарын алырға мөмкин.
Таралтыуҙың биномиаль законы осраҡлы дәүмәлдәрҙе тасуирлай, уларҙың ҡиммәттәре тәжрибәне ҡабатлауҙа «уңыштар» һәм «уңышһыҙлыҡтар» һанын $N$ тапҡыр билдәләй.
Һәр тәжрибәлә «уңыш» $p$ ихтималлыҡ менән, «уңышһыҙлыҡ» — $q=1-p$ ихтималлыҡ менән килергә мөмкин. Таралтыу законы был осраҡта Бернулли формулаһы менән билдәләнә:
    $P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}$.
Әгәр $n$ сикһеҙлеккә ынтылғанда $np$ ҡабатландығы $\lambda >0$ даими дәүмәлгә (константаға) тигеҙ ҡала, йәғни таралтыу биномиаль законы Пуассон законына тап килә, улар түбәндәге формула менән тасуирлана:
    $p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }$,
бында
* символ «$!$» факториалды билдәләй,
* $e=2.7182818284\ldots$ — натураль логарифм нигеҙе.

# Осраҡлы дәүмәл
## Осраҡлы дәүмәлдәрҙең һан характеристикаһы

Математик көтөү йәки осраҡлы дәүмәлдең уртаса күрһәткесе $\xi =\xi (\omega )$ X һыҙыҡлы нормалаштырылған арауыҡта $(\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )$ элементар ваҡиғалар арауығында интеграл тип атала
    $\mathop {\mathbb {E} } \xi =\int \limits _{\Omega }\xi (\omega )\,\mathbb {P} (d\omega )=\int \limits _{\Omega }x\mathbb {P_{\xi }} (d\omega )$
($\xi =\xi (\omega )$ функция интеграцияланған булып тора, тип фараз ителә).
Осраҡлы дәүмәл $\xi$ дисперсияһы тиң ҡиммәт тип атала:
    $\operatorname {D} \xi =\mathop {\mathbb {E} } (\xi -\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}=\mathop {\mathbb {E} } \xi ^{2}-(\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}~.$
Статистикала йыш ҡына дисперсия өсөн $\sigma _{\xi }^{2}$ билдәләү йәки $\sigma ^{2}$ Дәүмәл $\sigma$ тигеҙ
    $\sigma ={\sqrt {\operatorname {D} \xi }}$
уртаквадрат тайпылыш, стандарт тайпылыш йәки стандарт таралтыу тип атала.
Осраҡлы дәүмәл $\xi$ һәм $\eta$ ковариацияһы киләһе дәүмәл атала:
    $\mathrm {cov} (\xi ,\eta )$ = $\operatorname {E} (\xi -\operatorname {E} {\xi })({\eta }-\operatorname {E} {\eta })$
(математик көтөү билдәләнгән тип фараз ителә).
Әгәр $\mathrm {cov} (\xi ,\eta )$ = 0 булһа, ул саҡта осраҡлы дәүмәл $\xi$ һәм $\eta$ бәйләнмәгән (коррелировлашмаған) тип атала.Бойондороҡһоҙ осраҡлы дәүмәлдәр һәр ваҡыт бәйләнмәгән, ләкин киреһе дөрөҫ түгел.

# Осраҡлы дәүмәл
## Осраҡлы дәүмәлдәрҙән функциялар

Әгәр $f(x)$ — борель функцияһы а $\xi$ — осраҡлы дәүмәл, ул саҡта уның функциональ үҙгәреше $\eta =f(\xi )$ шулай уҡ осраҡлы дәүмәл була. Мәҫәлән, әгәр $\xi$ — стандарт нормаль осраҡлы дәүмәл, осраҡлы дәүмәл $\chi ^{2}=\xi ^{2}$ бер ирекле дәрәжә менән хи -квадрат таралтыуына эйә. Күп таралтыуҙар, шул иҫәптән Фишер таралтыуы һәм Стьюдент таралтыуы, ғәҙәти осраҡлы дәүмәлдәрҙең функциональ үҙгәреүҙәренең таралтыуы булып тора.
Әгәр $\xi$ һәм $\eta$ $F_{\xi \eta }(x,y)$ уртаҡ таралтыу менән, ә $\phi =\phi (x,y)$ — ҡайһы бер борель функцияһы, ул саҡта $\zeta =\phi (\xi ,\eta )$ өсөн ғәҙел:
    $F_{\zeta }(z)=\int \limits _{\{x,y:\phi (x,y)\leqslant z\}}\,dF_{\xi \eta }(x,y)~.$
Әгәр $\phi (x,y)=x+y$, $\xi$ һәм $\eta$ бойондороҡһоҙ булып, ул саҡта $F_{\xi \eta }(x,y)=F_{\xi }(y)F_{\eta }(y)$. Фубини теоремаһын ҡулланып алына:
    $F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\eta }(z-x)dF_{\xi }(x)$
һәм оҡшаш
    $F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\xi }(z-y)dF_{\eta }(y)~.$
Әгәр $F$ һәм $G$ таралтыу функцияһы, функцияны
    $H(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F(z-x)dG(x)$
$F$ һәм $G$ төрөлгән тип йөрөтәләр һәм $F*G$ тип билдәләйҙәр. Функция $\zeta =\xi +\eta$ үҙ аллы осраҡлы дәүмәлдәрҙең суммалары $\xi$ һәм $\eta$ Фурье үҙгәртеүҙәре булған төрөлмә $F*G$ функциялар таралтыуы $F$ һәм $G$ $\xi$ һәм $\eta$ функцияһының ҡабатландығына тиң:
    $\phi _{\zeta }(u)=\phi _{\xi }(u)\phi _{\eta }(u)~.$

# Осраҡлы дәүмәл
## Миҫалдар
### Осраҡлы дискрет дәүмәл

Спидометр күрһәткестәре йәки билдәле бер ваҡытта температураны үлсәү дискрет осраҡлы дәүмәл миҫалы булып тора..

# Осраҡлы дәүмәл
## Миҫалдар
### Осраҡлы дискрет дәүмәл
#### Тәңкә сөйөү

Тәңкә сөйөүҙең бөтә осраҡтары элементар ваҡиғалар арауығы менән тасуирлана ала $\Omega =\{$«бөркөт», «решка»$\$ йәки ҡыҫҡа $\{op,pe\}$ Осраҡлы дәүмәл $\xi$ тәңкә сөйөү һөҙөмтәһендәге отоштарға тиң булһын, ти. Тәңкә «бөркөт» яғы менән төшкәндә, отош төшкән һайын 10 һум булһын, һәм «решка» менән төшкәндә — 33 һум булһын. Математик йәһәттән был отош функцияһы түбәндәгесә булырға мөмкин:
    $\xi (\omega )={\begin{cases}10,&{\text{если }}\omega ={\text{op}},\\[6pt]-33,&{\text{если }}\omega ={\text{pe}}.\end{cases}}$
Тәңкә камил икән, тимәк, отош $\xi$ бирелгән ихтималлыҡҡа эйә буласаҡ:
    $P(\xi =y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&{\text{если }}y=10,\\[6pt]{\tfrac {1}{2}},&{\text{если }}y=-33,\end{cases}}$
    бында $P(\xi =y)$ — бер тәңкә сөйөүҙә $y$ һум отош алыу ихтималлығы.

# Осраҡлы дәүмәл
## Миҫалдар
### Осраҡлы дискрет дәүмәл
#### Уйын һөйәктәрен сорғотоу

Осраҡлы дәүмәлде шулай уҡ уйын һөйәктәрен сорғотоу процесын тасуирлауҙа, шулай уҡ бындай ырғытыуҙарҙың аныҡ һөҙөмтәһе ихтималлығын иҫәпләүҙә ҡулланырға мөмкин. Был эксперименттың классик өлгөләренең береһендә ике уйын һөйәге $n_{1}$һәм $n_{2}$ ҡулланыла. Һәр береһе күмәклектән {1, 2, 3, 4, 5, 6} ҡиммәттәрен ала.(мәрәйҙәр һаны һөйәктең яҡтарында). Һөйәктәргә төшкән мәрәйҙәрҙең дөйөм һаны осраҡлы дәүмәлдең $\xi$ ҡиммәте буласаҡ, уларҙың функцияһы түбәндәгесә билдәләнә:
    $\xi ((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}$
һәм (әгәр һөйәктәр камил булһа) $\xi$ өсөн ихтималлыҡ функцияһы аша бирелә:
    $P(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{ for }}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$,
    бында $S$ — төшкән һөйәктәрҙәге мәрәйҙәр суммаһы

# Осраҡлы дәүмәл
## Миҫалдар
### Осраҡлы дискрет дәүмәл
#### Кәрт колодаһы

Тәжрибәсе (экспериментатор) уйын кәрттәре араһынан береһен осраҡлы рәүештә тартып ала. Шул саҡта $\omega$ бер һыуырылған кәртте күрһәтә ; бында $\omega$ һан түгел, ә кәрт — физик объект, исеме $\omega$ символы билдәләнә. Шул саҡта $\xi (\omega )$ функция, объекттың «исемен» аргумент итеп алып, кәртте артабан ассоциацияланған кәрт $\omega$ һанын кире ҡайтарасаҡ
Бүтән осраҡта тәжрибәсе «Король Трефты» алһын, йәғни $\omega =K_{\clubsuit }$, артабан был һөҙөмтәне функцияға алмаштырғандан һуң $\xi (K_{\clubsuit })$, һан алына, мәҫәлән, 13. Был һан «королде» колоданан йәки башҡа кәрттән тартып сығарыу ихтималлығы түгел. Был һан объекттың физик донъянан математик донъя объектына күсеүе һөҙөмтәһе булып тора. 13 һаны менән математик операцияциялар үткәреп була, шул уҡ ваҡытта $K_{\clubsuit }$ объекты менән был операцияларҙы үткәрергә мөмкин булмаҫ ине.

# Осраҡлы дәүмәл
## Миҫалдар
### Абсолют өҙлөкһөҙ осраҡлы дәүмәл

Осраҡлы дәүмәлдең тағы бер класы — кире булмаған функция $p(x)$, теләһә ниндәй $x$ тигеҙ $P(\omega \mid \xi (\omega )\leq x)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{x}\displaystyle p(z)dz$. Осраҡлы дәүмәл абсолютлығы был үҙенсәлектәргә өҙлөкһөҙ ҡәнәғәтләндерерлек тип, ә функция $p(x)$ таралтыу ихтималлыҡ тығыҙлығы тип атала.
Абсолют өҙлөкһөҙ осраҡлы дәүмәлдәрҙең мөмкин булған ҡиммәттәренең һаны сикһеҙ.
Осраҡлы дәүмәл абсолютлығы өҙлөкһөҙ әһәмиәте сикһеҙ булырға мөмкин. Өҙлөкһөҙ осраҡлы дәүмәл абсолютлығы миҫалдары булып теләһә ниндәй транспорт төрөнөң йәки температураның билдәле бер ваҡыт арауығында хәрәкәт тиҙлеге үлсәнеүе тора..

# Осраҡлы дәүмәл
## Ябай дөйөмләштереү

Осраҡлы дәүмәл, ғөмүмән әйткәндә, теләһә ниндәй үлсәмле арауыҡта ҡиммәттәрҙе ҡабул итергә мөмкин. Уны йыш ҡына осраҡлы вектор йәки осраҡлы элемент тип атайҙар. Мәҫәлән:
* Үлсәмле функция $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $n$- үлсәмле осраҡлы вектор (сағыштырмаса $\mathbb {R} ^{n}$борель $\sigma$-алгебраһына ҡарата).
* Ниндәйҙер (һуңғы) күмәклек аҫкүмәклектәре арауығындағы ихтималлыҡ арауығын сағылдырған үлсәмле функция осраҡлы күмәклек тип атала.