# 0 (һан)

* «Ноль һәм нуль тигән ике формаһы бар. Терминологияла ғәҙәттә (бигерәк тә төп килештән башҡа) икенсе формаһы ҡулланыла, мәҫәлән: нулгә тигеҙ, температура нулдә тора».
* «…сығарылма сифат ғәҙәттә нуль формаһынан яһала , мәҫәлән: нуленсе меридиан, нуленсе билдә».
Ноль (0, нуль лат. nullus — һис бер) — теләһә ниндәй һанға ҡушҡанда, йәки унан алғанда был һанды үҙгәртмәй торған, йәғни был һуңғы һанға тигеҙ булған һөҙөмтә биргән бөтөн һан; теләһә ниндәй һанды нулгә ҡабатлау нулде бирә.
Ноль математикала һәм физикала үтә мөһим роль уйнай.

# 0 (һан)
## Математикала ноль
### Натураль һандарға инеүе

Натураль һандарҙың билдәләмәһенә ике ҡараш бар— ҡайһы бер авторҙар нулде натураль һандарға индерә, башҡалары былай эшләмәй. Математика буйынса Рәсәй мәктәп программаларында, был ҡайһы бер формулировкаларҙы ҡыйынлаштырһа ла, нулде натураль һандарға индереү ҡабул ителмәгән (мәҫәлән, ҡалдыҡлы бүлеү һәм теүәл бүлеү төшөнсәләрен айырып ҡарарға тура килә). Компромисс булараҡ ҡайһы бер сығанаҡтарҙа нулде индергән «киңәйтелгән натураль рәт» ҡарайҙар.
Натураль һандар күмәклеген $\mathbb {N}$ символы менән тамғалау ҡабул ителгән. Халыҡ-ара стандарттар ISO 31-11 (1992 йыл) һәм ISO 80000-2 (2009 йыл) түбәндәге тамғалауҙарҙы булдырған:
* $\mathbb {N}$ — нулде индергән натураль һандар: $\{0,1,2,3,4\dots \}$.
* $\mathbb {N^{*}}$ — нулде индермәйенсә натураль һандар: $\{1,2,3,4\dots \}$.
Урыҫ сығанаҡтарында был стандарт әлегә күҙәтелмәй — уларҙа $\mathbb {N}$ символы нуль инмәгән натураль һандарҙы аңлата, ә киңәйтелгән натураль рәт, мәҫәлән, $\mathbb {N} _{0},\mathbb {Z} _{+},\mathbb {Z} _{\geqslant 0}$ һәм башҡа тип тамғалана

# 0 (һан)
## Математикала ноль
### Ноль цифр булараҡ

Нуль төшөнсәһе тарихи һандарҙы позицион иҫәпләү системаһында яҙғанда айырым бер цифр символы булараҡ барлыҡҡа килгән. Был символ ярашлы разрядта ҡиммәттең булмауын күрһәткән һәм $4,40,400.$ яҙыуҙарын бутамаҫҡа мөмкинлек биргән. Яңы осор башында яйлап нулгә тулы ҡиммәтле һан статусы бирелә.

# 0 (һан)
## Математикала ноль
### Нулдең төп үҙсәнлектәре

* 0 — бөтөн һан.
* Һанлы күсәрҙә 0 ыңғай һәм тиҫкәре һандарҙы айырып тора .
* Ноль йоп һан, сөнки 2-гә бүлгәндә бөтөн һан килеп сыға: $0/2=0$.
* Нулдең тамғаһы юҡ. Шартлы рәүештә тиҫкәре һәм ыңғай сикһеҙ бәләкәй дәүмәлдең тамғаланышы ҡулланылырға мөмкин: $-0$, $+0$, әммә улар ғәҙәттәге мәғәнәләге һандар түгел.
* Теләһә ниндәй һан нулгә ҡушҡанда үҙгәрмәй: $a+0=0+a=a.$ Теләһә ниндәй һандан нулде алғанда шул уҡ һан килеп сыға: $a-0=a$.
* Теләһә ниндәй һанды нулгә ҡабатлау нулде бирә:
       $a\cdot 0=0\cdot a=0.$
* Нулде теләһә ниндәй нулдән айырмалы һанға бүлгәндә ноль килеп сыға:
       $a\neq 0$ булғанда, $0/a=0$.

# 0 (һан)
## Математикала ноль
### Нулдең төп үҙсәнлектәре
#### Нулгә бүлеү

* Ысын һәм комплекслы һандарҙы ла индереп, бер генә яланда йәки ҡулсалатла Нулгә бүлеү мөмкин түгел.
    Ысынлап та, әгәр ${\frac {a}{0}}=b$ тип тамғалағанда, бүлеүҙең билдәләмәһе буйынса $b\cdot 0=a$ булырға тейеш, ә $b$-ның теләһә ниндәй ҡиммәтендә лә $b\cdot 0$ аңлатмаһы нулгә тигеҙ. Икенсе төрлө әйткәндә, нуль өсөн бер яланда ла кире элемент юҡ.
* Нулдән айырмалы комплекслы һанды киңәйтелгән комплекслы яҫылыҡта нулгә бүлергә мөмкин, уның һөҙөмтәһе — сикһеҙ йыраҡ нөктә.

# 0 (һан)
## Математикала ноль
### Нулдең төп үҙсәнлектәре
#### Айырым функцияларҙың ҡиммәте

* Теләһә ниндәй һандың (нулдән башҡа) нуленсе дәрәжәһе бергә тигеҙ: $a^{0}=1$.
** $0^{0}$ аңлатмаһының (ноль нуленсе дәрәжәлә) мәғәнәһе юҡ тип иҫәпләү ҡабул ителгән, то есть неопределённым.
       Был шуның менән бәйле, ике үҙгәреүсәнле $x^{y}$ функцияһының $\{0,0\}$ нөктәһендә бөтөрөп булмай торған өҙөклөгө бар.
       Ысынлап та, $X$ күсәренең ыңғай йүнәлешендә $y=0$ булғанда ул бергә тигеҙ, $Y$ күсәренең ыңғай йүнәлешендә $x=0$ булғанда ул нулгә тигеҙ. Ентекләберәк Ноль нуленсе дәрәжәлә мәҡәләһен ҡарағыҙ.
* Килешеү буйынса нуль факториал бергә тигеҙ тип ҡабул ителгән: $0!=1$.

# 0 (һан)
## Математикала ноль
### Геометрияла нуль

* Нөктәне нуль үлсәмле объект кеүек ҡарап була.
* Яҫылыҡта бер координатаһы нуль булған нөктә ярашлы координаталар күсәрендә ята. Икеһе лә нуль булған координаталар координаталар башы тип аталған нөктәне бирә.
* Өс үлсәмле арауыҡтың бер координатаһы нуль булған нөктә ярашлы координаталар яҫылығында ята. Өс үлсәмле арауыҡтың бөтә координаталары ла нуль булған нөктә тағы ла координаталар башы тип атала.
* Шундай уҡ раҫлауҙар теләһә ниндәй үлсәнешле арауыҡтар өсөн дөрөҫ.
* Әйләнәлә 0° һәм 360°-тың урындары тап килә.

# 0 (һан)
## Математикала ноль
### Математик анализда нуль

* $(a/b)$ сағыштырмаһының, бында $a\rightarrow 0$ һәм $b\rightarrow 0$, сикләнмәһен иҫәпләгәндә шундай хәл килеп тыуа, туранан-тура алмаштырып ҡуйыу ҡиммәте билдәле булмаған $(0/0)$ аңлатмаһын бирә. Билдәһеҙлекте асыу барышында шундай ете ситуация булырға мөмкин, һәм шуларҙың дүртәүһендә ноль бар: $\left({\frac {0}{0}}\right)$, $(0^{0})$, $(\infty ^{0})$, $(0\cdot \infty )$.
* Шулай уҡ сикһеҙ бәләкәй дәүмәлдең бер яҡлы (уң йәки һул) сикләнмәһен ҡарағанда, тулыһынса аңлайышлы ситуация булырға мөмкин:
   * Уң сикләнмә: $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty$ _ или _ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow}+0}]}+\infty$.
   * Һул сикләнмә: $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty$ _ или _ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xrightarrow[{x{\xrightarrow}-0}]}-\infty$.

# 0 (һан)
## Математикала ноль
### Дөйөмләштереүҙәр (ноль дөйөм алгебрала)

Ҡушыу ғәмәле бирелгән теләһә ниндәй күмәклектә нулдең аналогы булырға мөмкин; дөйөм алгебрала бындай элемент ҡайһы берҙә нейтраль элемент тип атала, ҡайһы берҙә — аддитив нуль тип, бөтәһенән йышыраҡ — ҡушыуға ҡарата нуль тип атала. Бындай элементҡа миҫалдар — нуль вектор һәм нуль матрица. (Әгәр күмәклектә ҡабатлау ғәмәле бирелһә, нулдең аналогы сифатында мультипликатив берҙе, йәки ҡабатлауға ҡарата берәмекте ҡарайҙар — шундай булғанда.)
Ҡушыу, ҡабатлау бирелгән алгебраик структураларҙың шулай уҡ нуль аналогы булырға мөмкин. Нуль элементы теләһә ниндәй ҡулсала һәм уның айырым осраҡтарында — есемдә һәм яланда бар. Мәҫәлән, $n\times n$ үлсәмле квадрат нуль матрица $M_{n}(R)$ квадрат матрицалар ҡулсаһының нуль элементы булып тора. Күпбыуын дар ҡулсаһында ла шулай уҡ нуль элемент бар — коэффициенттары нулгә тигеҙ булған күпбыуын, йәки нуль күпбыуын, $p(x)\equiv 0$.

# 0 (һан)
## Нулде ҡулланыу тарихы
### 0 цифрының тарихы

0 цифры позицион нумерация менән бер үк ваҡытта — Һиндостанда унарлы һәм Вавилонда алтмышарлы иҫәпләү системаларында барлыҡҡа килә.

# 0 (һан)
## Нулде ҡулланыу тарихы
### 0 цифрының тарихы
#### Боронғо Көнсығыш

Вавилон математиктары яҡынса беҙҙең эраға тиклем 300 йылдан башлап алтмышарлы нуль өсөн айырым шына яҙыулы тамға ҡулланғандар, ә уларҙың уҡытыусылары -шумерҙар, ихтимал, быны алдараҡ эшләгәндәрҙер. Әммә вавилон ғалимдарының «икеләтә шына» символы бер ҡасан да «0 һанын» аңлатмаған.
0 цифры һандарҙы тамғалауҙың рим, грек һәм ҡытай системаларында булмай. Ҡайһы бер символдарға эре һандарҙың ҡиммәтен биреп, был цифрһыҙ ҙа торғандар. Мәҫәлән, 100 һаны грек иҫәпләү системаһында Ρ хәрефе, Рим цифрҙарында —C хәрефе, Ҡытай һандарында —百иероглифы менән тамғаланған.

# 0 (һан)
## Нулде ҡулланыу тарихы
### 0 цифрының тарихы
#### Майя һәм инктар

|Майя үҙҙәренең Вигезималь иҫәпләү системаһы — егермешәрле — иҫәпләү системаһында нулде һиндостанлыларҙан мең йылға тиерлек алда ҡулланғандар. Майя календарының датаһы менән беренсе һаҡланып ҡалған стела 7.16.3.2.13, 6 Бен 16 Шуль 8 декабрь б. э. т. 36 йылғы. тип даталана.
Шуныһы ҡыҙыҡ, майя математиктары шул уҡ тамға менән сикһеҙлекте лә тамғалағандар, сөнки был тамға, һүҙҙе европалылар аңлауындағыса, нулде түгел, ә «башланғыс», «сәбәп» һүҙҙәрен аңлатҡан. Майя календарында ай көндәрен һанау нуленсе көндән башлана, ул Ахау тип атала.
Тауантинсуйу инктар империяһында һанлы мәғлүмәтте яҙыу өсөн позицион унарлы иҫәпләү системаһына нигеҙләнгән төйөнлө система кипу ҡулланыла. 1 -ҙән 9-ға тиклем цифрҙар билдәле бер төрҙәге төйөндәр менән, ноль — кәрәкле позицияла төйөндө төшөрөп ҡалдырып тамғаланған. Хәҙерге кечуа нолде кечуа ch'usaq һүҙе менән (һүҙмә-һүҙ «булмаусы», «буш») тамғалана, ләкин, инктар тарафынан нулде тамғалау өсөн кипу уҡыуында ниндәй һүҙ ҡулланылған, әлегә билдәһеҙ, сөнки, мәҫәлән, тәүге кечуа-испан (Диего Гонсалес Ольгин, 1608) һүҙлектәренең берәүҙәрендә һәм тәүге аймара-испан (Лудовико Бертонио, 1612) һүҙлегендә испан телендәге «cero» — «ноль» өсөн ярашлылыҡ булмай.

# 0 (һан)
## Нулде ҡулланыу тарихы
### 0 цифрының тарихы
#### Һиндостан

Тәү башлап «ноль» цифры Һиндостанда барлыҡҡа килә, унда санскрит һүҙе «сунья» («бушлыҡ»; «булмаусы») менән атала, һәм шиғриәттә һәм изге текстарҙа киң ҡулланыла. Тикшеренеүҙәр күрһәтеүенсә, Бакхшали манускриптында, ихтимал, нулде иң боронғо телгә алыу осрай. Һиндостанда уйлап сығарылған һандарҙы унарлы позицион яҙыу нулһеҙ мөмкин булмаҫ ине. Нулдең беренсе коды б. э. т. 876 йылғы һинд яҙыуында табылған, ул беҙгә ғәҙәти булған түңәрәк күренешендә. Һиндлыларҙан 0 цифрын «сифр» (ошонан «цифра» һәм лат. zero, ноль һүҙҙәре) тип атаған ғәрәптәр аша, ул Көнбайыш Европаға килеп эләгә.

# 0 (һан)
## Нулде ҡулланыу тарихы
### 0 цифрының тарихы
#### Европа

Венала, Константинополдә (Стамбулда) табылған XV быуаттың ҡулъяҙма арифметикаһы һаҡлана, унда грек һан тамғалары ҡулланыла, нулде нөктә менән тамғалағандар. XII быуат ғәрәп трактаттарының латин теленә тәржемәләрендә нуль тамғаһы — 0 түңәрәк тип атала — circulus. Көнбайыш илдәрендә арифметиканы уҡытыуға ҙур йоғонто яһаған Сакробоскийҙың (Holywood, 1256 йылда вафат була) 1250 йылда яҙылған һәм бик күп илдәрҙә яңынан баҫтырылған ҡулланмаһында, ноль «thêta vel theca vel circulus vel cifra vel figura nihili» — тэта, йәки тека, йәки түңәрәк, йәки цифра, йәки бер нимә лә тип аталған. Nulla figura термины — бер ниндәй ҙә тамғаһы —XII быуаттың ҡулдан яҙылған латин тәржемәләрендә һәм эшкәртелгән ғәрәп хеҙмәттәрендә күренә. Nulla термины Никола Шюкеның 1484 йылдағы ҡулъяҙмаһында һәм Тревизо арифметикаһы тип аталған (1478) (баҫылған урыны буйынса) беренсе баҫма китапта бар.
XVI быуат башынан «ноль» һүҙе Германияла һәм башҡа илдәрҙә киң ҡулланыуға инә, тәүҙә ят һүҙ һымаҡ һәм латин грамматикаһы формаһында, ләкин яйлап ул бирелгән милли телгә хас форма ала.

# 0 (һан)
## Нулде ҡулланыу тарихы
### 0 цифрының тарихы
#### Рәсәй

Леонтий Магницкий үҙенең «Арифметикаһында» 0 тамғаһын «цифра йәки бер ни» (текстың беренсе бите) тип атай; һәр цифрға исем бирелгән икенсе биттәге таблицала, 0 « Бер нисек тә » тип атала. XVIII быуат аҙағында X. Вольфтың (1791) икенсе урыҫ «Сокращения первых оснований математики» баҫмаһында нуль цифра тип атала. XVII быуаттың һинд цифрҙарын ҡулланыусы математик ҡулъяҙмаларында, о хәрефенә оҡшаш булыуы һөҙөмтәһендә, , 0 «оном» тип атала.

# 0 (һан)
## Нулде ҡулланыу тарихы
### 0 һанының тарихы

Мысыр иҫәпләү системаһында 0 цифры булмаһа ла, Мысыр математиктары Урта батшалыҡтан уҡ (б. э. т. II меңйыллыҡ башы) «нуль» һанын тамғалау өсөн нфр иероглифын («бик яҡшы») ҡулланғандар, ул шулай уҡ храмдар, пирамидалар һәм кәшәнәләр схемаларында иҫәпләү башын аңлатҡан. Ҡытайҙарҙың һан яҙылышында «нуль» цифры шулай уҡ юҡ, «нуль» һанын тамғалау өсөн 〇 тамғаһын — «императрица У Цзэтянь иероглифтарының» береһен ҡулланалар.
Боронғо Грецияла 0 һаны билдәле булмай. Клавдий Птолемейҙың астрономик таблицаларында буш шаҡмаҡтар ο символы (омикрон хәрефе, бор. грек. οὐδέν — бер нимә лә һүҙенән) менән тамғаланғандар; был тамғалау «нуль» цифрының барлыҡҡа килеүенә йоғонто яһауы мөмкин, ләкин күпселек тарихсылар унарлы нулде һинд математиктары уйлап тапҡан тип таныйҙар.
Европала оҙаҡ ваҡыт 0 шартлы символ булып иҫәпләнә һәм һан тип танылмай; хатта XVII быуатта Валлис Джон былай тип яҙа: «Нуль һан түгел». Арифметик хеҙмәттәрҙә тиҫкәре һан бурыс, ә ноль — тулыһынса мөлкәтһеҙ ҡалыу ситуацияһы тип аңлатыла. Нулдең башҡа һандар менән хоҡуҡтарын тулыһынса тигеҙләүгә Леонард Эйлерҙың хеҙмәттәре булышлыҡ итә.