# Яҫылыҡ

Яҫылыҡ — геометрияның төп төшөнсәләренең береһе. Геометрияның логик төҙөлөшөндә яҫылыҡ төшөнсәһе тәүге төшөнсәләрҙең береһе итеп ҡабул ителә, ул геометрияның аксиомалары аша ситләтеп кенә билдәләнә.
Яҫылыҡ — тура һыҙыҡтан ғибәрәт булған төҙөүсене йүнәлтеүсе тура һыҙыҡ буйлап кинематик хәрәкәт иттергәндә барлыҡҡа килгән йөҙ йәки фигура (һыҙма геометрия).

# Яҫылыҡ
## Яҫылыҡтың ҡайһы бер характерлы үҙсәнлектәре

* Яҫылыҡ — уның теләһә ниндәй нөктәләрен тоташтырыусы һәр тура һыҙыҡ тулыһынса унда ятҡан йөҙ;
* Ике Яҫылыҡ йә параллель, йәки тура һыҙыҡ буйлап киҫешә.
* Прямая либо параллельна плоскости, либо пересекает её в одной точке, либо находится на плоскости.
* Бер үк яҫылыҡҡа перпендикуляр булған ике тура һыҙыҡ бер-береһенә параллель.
* Бер үк тура һыҙыҡҡа перпендикуляр булған ике яҫылыҡ бер-береһенә параллель.

# Яҫылыҡ
## Яҫылыҡ тигеҙләмәһе

Беренсе булып А. К. Клеро хеҙмәттәрендә осрай (1731).
Яҫылыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе, күренеүенсә, беренсе булып Г. Ламе хеҙмәттәрендә осрай (1816—1818).
Нормаль тигеҙләмәне Л. О. Гессе индергән (1861).
Яҫылыҡ — беренсе тәртиптәге алгебраик йөҙ: координаталарҙың декарт системаһында яҫылыҡ беренсе дәрәжә тигеҙләмә менән бирелә.
* Яҫылыҡтың дөйөм (тулы) тигеҙләмәһе
    $Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)$
бында $A,B,C$ һәм $D$ — һандар, шуның менән бергә $A,B$ һәм $C$ бер үк ваҡытта нулгә тигеҙ түгел; Векторлы формала:
    $(\mathbf {r} ,\mathbf {N} )+D=0$
бында $\mathbf {r}$ — $M(x,y,z)$ нөктәһенең радиус-векторы, $\mathbf {N} =(A,B,C)$ векторы яҫылыҡҡа перпендикуляр (нормаль вектор). $\mathbf {N}$ векторының йүнәлтеүсе косинустары:
    $\cos \alpha ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$
    $\cos \beta ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},$
    $\cos \gamma ={\frac {C}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}.$
Әгәр яҫылыҡ тигеҙләмәһендә коэффициенттарҙың береһе нулгә тигеҙ булһа, тигеҙләмә тулы булмаған тигеҙләмә тип атала. $D=0$ булғанда яҫылыҡ координаталар башы аша үтә, $A=0$ (йәки $B=0$, $C=0$) булһа яҫылыҡ $Ox$ (ярашлы рәүештә $Oy$ йәки $Oz$) күсәренә параллель була. Әгәр $A=B=0$ ($A=C=0$, йәки $B=C=0$) булһа, яҫылыҡ $Oxy$ (ярашлы рәүештә $Oxz$ йәки $Oyz$) яҫылығына параллель була.
* Яҫылыҡтың киҫектәрҙә тигеҙләмәһе:
    ${\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,$
бында $a=-D/A$, $b=-D/B$, $c=-D/C$ — яҫылыҡ тарафынан $Ox,Oy$ һәм $Oz$ күсәрҙәренән киҫеп алынған киҫектәр.
* $\mathbf {N} (A,B,C)$ нормаль векторға перпендикуляр булған, $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ нөктәһе аша үткән яҫылыҡтың тигеҙләмәһе:
    $A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;$
векторлы формала:
    $((\mathbf {r} -\mathbf {r_{0}} ),\mathbf {N} )=0.$
* Бер тура һыҙыҡта ятмаған бирелгән өс $M(x_{i},y_{i},z_{i})$ нөктә аша үткән яҫылыҡ тигеҙләмәһе:
    $((\mathbf {r} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} ),(\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} ))=0$
(векторҙарҙың ҡатнаш ҡабатландығы), башҡаса
    $\left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matrix}}\right|=0.$
* Яҫылыҡтың нормаль (нормалаштырылған) тигеҙләмәһе
    $x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)$
векторлы формала:
    $(\mathbf {r} ,\mathbf {N^{0}} )\mathbf {-p} =0,$
бында $\mathbf {N^{0}}$- берәмек вектор, $p$ — яҫылыҡтың координаталар башынан алыҫлығы. (2) тигеҙләмә (1) тигеҙләмәнән нормалаштырыусы ҡабатлашыусыға ҡабатлап килеп сыға
    $\mu =\pm {\frac {1}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$
($\mu$ һәм $D$ тамғалары ҡапма-ҡаршы).

# Яҫылыҡ
## Нөктә һәм нормаль вектор буйынса билдәләмә

Өс үлсәмле арауыҡта яҫылыҡты билдәләүҙең мөһим ысулдарының береһе булып яҫылыҡта ятҡан нөктәне һәм уға нормаль векторҙы күрһәтеү тора.
$r_{0}$ — яҫылыҡта бирелгән $P_{0}$ нөктәһенең радиус-векторы булһын, ти, һәм n — яҫылыҡҡа перпендикуляр булған (нормаль) нулдән айырмалы вектор булһын. Идея шунан тора, r радиус-векторлы $P$ нөктәһе яҫылыҡта ята шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр $P_{0}$ нөктәһенән $P$ нөктәһенә үткәрелгән вектор n векторына перпендикуляр булһа.
Ике вектор бер-береһенә перпендикуляр шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уларҙың скаляр ҡабатландығы нулгә тигеҙ булһа. Ошонан сығып, беҙгә кәрәкле яҫылыҡ шундай r нөктәләре күмәклеге булып тора, бында:
    $\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.$ (Бында нөктә скаляр ҡабатландыҡты аңлата, ә ҡабатлауҙы түгел.)
Аңлатманы үҙгәртеп табабыҙ:
    $n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,$
был беҙгә таныш яҫылыҡ тигеҙләмәһе булып тора.
Мәҫәлән: Бирелә: яҫылыҡта ятҡан $P(2,6,-3)$ нөктәһе һәм нормаль вектор $N(9,5,2)$.
Яҫылыҡтың тигеҙләмәһе ошолай яҙыла:
$9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0$
$-18+9x-30+5y+6+2z=0$
$9x+5y+2z-42=0$

# Яҫылыҡ
## Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ

Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ — был нөктә менән яҫылыҡтың нөктәләре араһындағы иң ҡыҫҡа алыҫлыҡ ул. Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ был нөктәнән яҫылыҡҡа төшөрөлгән перпендикуляр оҙонлоғона тигеҙ булыуы билдәле.
* $(2)$ нормалаштырылған тигеҙләмә:
$\delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;$
менән бирелгән яҫылыҡтан $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ нөктәһенең тайпылышы
    $\delta >0$,әгәр $M_{1}$ һәм координаталар башы яҫылыҡтың төрлө яғында ятһа, ҡапма-ҡаршы осраҡта $\delta <0$. Нөктәнән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ $|\delta |$ тигеҙ.
* $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ нөктәһенән $ax+by+cz+d=0$ тигеҙләмәһе менән бирелгән яҫылыҡҡа тиклем алыҫлыҡ $\rho$ түбәндәге формула буйынса иҫәпләнә:
$\rho ={\frac {\mid ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\mid }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

# Яҫылыҡ
## Параллель яҫылыҡтар араһында алыҫлыҡ

* $Ax+By+Cz+D_{1}=0$ һәм $Ax+By+Cz+D_{2}=0$ тигеҙләмәләре менән бирелгән яҫылыҡтар араһындағы алыҫлыҡ:
$d={\frac {\mid D_{2}-D_{1}\mid }{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}$
* ${\bar {n}}({\bar {r}}-{\bar {r_{1}}})=0$ һәм ${\bar {n}}({\bar {r}}-{\bar {r_{2}}})=0$ тигеҙләмәләре менән бирелгән яҫылыҡтар араһындағы алыҫлыҡ:
$d={\frac {\mid [{\bar {r}}_{2}-{\bar {r}}_{1},{\bar {n}}]\mid }{\mid {\bar {n}}\mid }}$

# Яҫылыҡ
## Бәйле төшөнсәләр

* Яҫылыҡтар араһындағы мөйөш. Әгәр яҫылыҡтарҙың тигеҙләмәһе (1) күренештә бирелһә, ул саҡта
    $\cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{\sqrt {(A_{1}^{2}+B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}};$
Әгәр векторлы формала бирелһә, ул саҡта
    $\cos \varphi ={\frac {(\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )}{|\mathbf {N_{1}} ||\mathbf {N_{2}} |}}.$
* Яҫылыҡтар параллель, әгәр
    ${\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}$ йәки $[\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} ]=0$ булһа. (Векторлы ҡабатландыҡ)
* Яҫылыҡтар перпендикуляр, әгәр
    $A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0$ йәки $(\mathbf {N_{1}} ,\mathbf {N_{2}} )=0$ булһа. (Скаляр ҡабатландыҡ)
* Яҫылыҡтар шәлкеме — ике яҫылыҡтың киҫешеү һыҙығы аша үткән бөтә яҫылыҡтар. Яҫылыҡтар шәлкеме тигеҙләмәһе, йәғни ике яҫылыҡтың киҫешеү һыҙығы аша үткән теләһә ниндәй яҫылыҡ тигеҙләмәһе, түбәндәге күренештә$^{:222}$:
    $\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})=0,$
    бында $\alpha$ һәм $\beta$ — бер юлы нулгә тигеҙ булмаған теләһә ниндәй һандар. Ә һыҙыҡтың үҙенең тигеҙләмәһен шәлкем тигеҙләмәһенә α=1, β=0 һәм α=0, β=1 ҡиммәттәрен ҡуйып табып була.
* Яҫылыҡтар бәйләме — өс яҫылыҡтың киҫешеү нөктәһе аша үткән бөтө яҫылыҡтар$^{:224}$. Яҫылыҡтар бәйләме тигеҙләмәһе, йәғни өс яҫылыҡтың киҫешеү нөктәһе аша үткән теләһә ниндәй яҫылыҡ тигеҙләмәһе, түбәндәге күренештә:
    $\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2})+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,$
    бында $\alpha$, $\beta$ һәм $\gamma$ — бер юлы нулгә тигеҙ булмаған теләһә ниндәй һандар. Нөктәнең үҙен яҫылыҡтар бәйләме тигеҙләмәһенә α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 һәм α=0, β=0, γ=1 ҡиммәттәрен ҡуйып һәм килеп сыҡҡан тигеҙләмәләр системаһын сығарып табып була.

# Яҫылыҡ
## $R^{n}$ арауығында m-яҫылыҡ

Ысын һандар яланында n-үлсәмле аффинно-сикле үлсәмле арауыҡ $K^{n}(V,P)$ бирелһен, ти. Унда тура мөйөшлө координаталар системаһы $O,{\vec {e_{1}}},...,{\vec {e_{n}}}$ алынған. m-яҫылыҡ тип радиус векторҙары түбәндәге нисбәтте ҡәнәғәтләндергән $\alpha$ нөктәләр күмәклеге атала: $\alpha =\{x\mid x=A_{nm}{\vec {t_{m}}}+{\vec {d}}\}.$ $A_{nm}$ — матрица, бағаналары яҫылыҡтың йүнәлтеүсе аҫарауығын төҙөй, ${\vec {t}}$ — үҙгәреүсәндәр векторы, ${\vec {d}}$ — яҫылыҡ нөктәләренең береһенең радиус-векторы. Килтерелгән нисбәтте матрица-векторлы күренештән векторлы күренешкә үҙгәртергә мөмкин: $x={\vec {a_{1}}}t_{1}+...+{\vec {a_{m}}}t_{m}+d,{\vec {a_{i}}}\in V$ — m-яҫылыҡтың векторлы тигеҙләмәһе. ${\vec {a_{i}}}$ векторҙары йүнәлтеүсе аҫарауыҡ төҙөйҙәр. Ике m-яҫылыҡ $\alpha ,\beta$ параллель тип атала, әгәр уларҙың йүнәлтеүсе аҫарауыҡтары тап килһә һәм $\exists x\in \alpha :x\notin \beta$.
(n-1)-яҫылыҡ n-үлсәмле арауыҡта гиперяҫылыҡ йәки ябай яҫылыҡ тип атала. Гиперяҫылыҡ өсөн яҫылыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе бар. ${\vec {n}}$ — яҫылыҡтың нормаль векторы булһын, ти. ${\vec {r}}=(x^{1},...,x^{n})$ — үҙгәреүсәндәр векторы, ${\vec {r_{0}}}$ — яҫылыҡта ятҡан нөктәнең радиус векторы, ул саҡта: $({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}},{\vec {n}})=0$ — яҫылыҡтың дөйөм тигеҙләмәһе.
Йүнәлтеүсе векторҙарҙың матрицаһы булғанда, яҫылыҡ тигеҙләмәһен ошолай яҙырға мөмкин: $\det({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0$, йәки: ${\begin{vmatrix}x^{1}-x_{0}^{1}&a_{1}^{1}&a_{2}^{1}&...&a_{n-1}^{1}\\x^{2}-x_{0}^{2}&a_{1}^{2}&a_{2}^{1}&...&a_{n-1}^{2}\\...&...&...&...\\x^{n}-x_{0}^{n}&a_{1}^{n}&a_{2}^{n}&...&a_{n-1}^{n}\end{vmatrix}}=0$. Яҫылыҡтар араһындағы мөйөш тип уларҙың нормаль векторҙары араһындағы иң бәләкәй мөйөш атала.

# Яҫылыҡ
## $R^{n}$ арауығында m-яҫылыҡ
### m-яҫылыҡтарға миҫалдар

* Өс үлсәмле арауыҡта (n=3) 1-яҫылыҡтың миҫалы булып тура һыҙыҡ хеҙмәт итә. Уның векторлы тигеҙләмәһе түбәндәге күренештә: $\alpha =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}t+\{b_{x},b_{y},b_{z}\}$. n = 2 булған осраҡта тура һыҙыҡ гиперяҫылыҡ була.
* Өс үлсәмле арауыҡта гиперяҫылыҡ ғәҙәти яҫылыҡ төшөнсәһе менән тап килә.