# Комплекслы һан

$i^{2}=-1$
Ко́мпле́кслы һандар (от лат. complex — берҙәм, тығыҙ бәйләнгән) — $a+bi$ күренешендәге һандар, бында $a,b$ — ысын һандар, $i$ — уйланма берәмек, йәғни, $i^{2}=-1$ тигеҙлеге үтәлгән һан. «Комплекслы һан» терминын фәнгә Гаусс 1831 йылда индерә. Комплекслы һандар күмәклеге ғәҙәттә $\mathbb {C} ,$ символы менән тамғалана, ул $\mathbb {R}$ ысын һандар күмәклеген үҙ эсенә ала һәм уның киңәйеүе тип ҡаралырға мөмкин. Комплекслы һандар системаһы ҡапма-ҡаршылыҡһыҙ булыуы иҫбат ителгән.
Ысын һандар кеүек үк, комплекслы һандар өсөн дә ҡушыу, алыу, ҡабатлау һәм бүлеү ғәмәлдәре билдәләнгән. Ләкин комплекслы һандарҙың күп үҙсәнлектәре ысын һандар үҙсәнлектәренән айырыла; мәҫәлән, ике комплекслы һандың ҡайһыһы ҙурыраҡ йәки бәләкәйерәк икәнлеген әйтеп булмай. Алгебраик яҙылыштағы комплекслы һандарҙы комплекслы яҫылыҡта нөктәләр рәүешендә күрһәтеү уңайлы; мәҫәлән, эйәртеүле һандарҙы һүрәтләү өсөн көҙгөләгесә сағылыу операцияһы ҡулланыла. Альтернативалы комплекслы һандарҙың тригонометрик яҙылышы дәрәжәләрҙе һәм тамырҙарҙы иҫәпләү өсөн уңайлы булып сыға.
Иң тәүҙә комплекслы һандарҙы ҡулланыу кәрәклеге идеяһы кубик тигеҙләмәләрҙе формаль сығарыу һөҙөмтәһендә барлыҡҡа килә, был осраҡта Кардано формулаһында квадрат тамыр тамғаһы аҫтында тиҫкәре һан килеп сыға. Комплекслы һандарҙы тикшереүгә уйланма берәмек өсөн дөйөм танылған тамғалау $i$ индергән Леонард Эйлер, Рене Декарт, Гаусс кеүек математиктар ҙур өлөш индерәләр. Комплекслы аргумент функциялары комплекслы анализда өйрәнеләләр.
Комплекслы һандарҙың һәм функцияларҙың уникаль үҙсәнлектәре математиканың, физиканың һәм техниканың төрлө өлкәләрендә күп практик мәсьәләләрҙе хәл итеүҙә киң ҡулланыу таптылар — сигналдарҙы эшкәртеү, идара итеү теорияһы, электромагнетизм, тирбәлеүҙәр теорияһы, һығылмалылыҡ теорияһы һәм бик күп башҡа. Комплекслы яҫылыҡты үҙгәртеү оказались полезны в картографияла һәм гидродинамикала файҙалы булып сыҡты. Хәҙерге физика нигеҙҙә донъяны квант механикаһы ярҙамында һүрәтләүгә иҫәп тота, ул комплекслы анализға нигеҙләнә.
Шулай уҡ комплекслы һандарҙың, кватерниондар кеүек бер нисә дөйөмләштереүе билдәле.

# Комплекслы һан
## Комплекслы арифметика
### Бәйләнешле билдәләмәләре

Һәр $z=a+bi$ комплекслы һаны ике компоненттан тора:
* $a$ дәүмәле $z$ һанының ысын өлөшө тип атала һәм $\operatorname {Re} \,z$ йәки $\operatorname {Re} (z).$ тип тамғалана. Сит ил сығанаҡтарында готик символ осрай: $\Re (z).$
** Әгәр $a=0$ булһа, ул саҡта $z$ уйланма йәки тик уйланма һан тип атала.
* $b$ дәүмәле $z$ һанының уйланма өлөшө тип атала һәм $\operatorname {Im} \,z$ йәки $\operatorname {Im} (z).$ тип тамғалана. Сит ил сығанаҡтарында $\Im (z).$ готик символы осрай.
** Әгәр $b=0$ булһа, ул саҡта $z$ ысын һан була. $a+0i$ урынына ғәҙәттә тик $a.$ тип яҙалар.
$z=a+bi$ комплекслы һаны өсөн ҡапма-ҡаршы һан тип $-z=-a-bi.$ һаны атала. Мәҫәлән $1-2i$ һаны өсөн $-1+2i.$ һаны ҡапма-ҡаршы һан була.
Комплекслы һандар өҫтөндә арифметик операциялар, уларға оҡшаш ысын һандар менән ғәмәлдәр кеүек үк үҙсәнлектәргә эйә. Тәртип бәйләнеше (ҙурыраҡ-бәләкәйерәк) менән бәйле үҙсәнлектәр генә был ҡағиҙәнән ситләшә, сөнки ысын һандар өсөн бирелгән тәртипте комплекслы һандарға, арифметик ғәмәлдәр һәм тәртип ярашлы булырлыҡ итеп киңәйтеп булмай (мәҫәлән, $a<b$ тигеҙһеҙлегенән $a+c<b+c$ тигеҙһеҙлеге килеп сығырлыҡ итеп). Комплекслы һандарҙы тик «тигеҙ йәки тигеҙ түгел» тип кенә сағыштырып була:
* $a+bi=c+di$ $a=c$ һәм $b=d$ булыуын аңлата (ике комплекслы һан үҙ-ара тигеҙ шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уларҙың ысын һәм уйланма өлөштәре тигеҙ булһа).

# Комплекслы һан
## Комплекслы арифметика
### Ҡушыу һәм алыу

Комплекслы һандарҙы ҡушыу һәм алыу билдәләмәһе:
    $\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i$.
    $\left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i$.
Түбәндәге таблица теләһә ниндәй $u,v,w$ комплекслы һандары өсөн ҡушыуҙың төп үҙсәнлектәрен күрһәтә.
| Үҙсәнлек | Алгебраик яҙылышы |
| Коммутативлыҡ (урын алмаштырыу) | $u+v=v+u$ |
| Ассоциативлыҡ (төркөмләү) | $u+(v+w)=(u+v)+w$ |
| Нуль үҙсәнлеге | $u+0=u$ |
| Ҡапма-ҡаршы элемент үҙсәнлеге | $u+(-u)=0$ |
| Алыуҙы ҡушыу аша башҡарыу | $u-v=u+(-v)$ |

# Комплекслы һан
## Комплекслы арифметика
### Ҡабатлау

$a+bi$ һәм $c+di$ комплекслы һандарын ҡабатлауға билдәләмә бирәйек:
    $(a+bi)\cdot (c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i$.
Түбәндәге таблица теләһә ниндәй $u,v,w$ комплекслы һандары өсөн ҡабатлау ғәмәленең төп үҙсәнлектәрен күрһәтә.
| Үҙсәнлек | Алгебраик яҙылышы |
| Коммутативлыҡ (урын алмаштырыу) | $u\cdot v=v\cdot u$ |
| Ассоциативлыҡ (төркөмләү) | $u\cdot (v\cdot w)=(u\cdot v)\cdot w$ |
| Берәмек үҙсәнлеге | $u\cdot 1=u$ |
| Нуль үҙсәнлеге | $u\cdot 0=0$ |
| Дистрибутивлыҡ (ҡабатлауҙың ҡушыуға ҡарата таратыу үҙсәнлеге) | $u\cdot (v+w)=u\cdot v+u\cdot w$ |

# Комплекслы һан
## Комплекслы арифметика
### Бүлеү

Нүлдән башҡа һәр $a+bi$ комплекслы һаны өсөн, уға кире булған шундай $c+di$ комплекслы һаны бар, был ике һандың ҡабатландығы бергә тигеҙ:
    $c+di={\frac {1}{a+bi}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i$
$a+bi$ комплекслы һанын нулдән айырмалы $c+di$ һанына бүлеү һөҙөмтәһенә билдәләмә бирәйек:
    ${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+\left({\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}\right)i$
Ысын һандар осрағындағы кеүек, бүлеү ғәмәлен бүленеүсене бүлеүсегә кире һанға ҡабатлау менән алмаштырырға була.

# Комплекслы һан
## Комплекслы арифметика
### Комплекслы һандарҙың ысын һандарҙан төп айырмаһы

Әйтеп кителгәнсә, комплекслы һандарҙы ҙурыраҡ-бәләкәйерәк тип сағыштырып булмай. Икенсе айырмаһы: ысын йәки комплекслы коэффициентлы теләһә ниндәй күпбыуын, уның дәрәжәһе ниндәй, тапҡырлыҡты иҫәпкә алып, шул һанда тамыры (дөйөм әйткәндә, комплекслы) бар (алгебраның төп теоремаһы).
Ысын һандар системаһында тиҫкәре һандан йоп дәрәжә тамыр алырға мөмкин түгел ине. Комплекслы һандар өсөн теләһә ниндәй һандан теләһә ниндәй дәрәжә тамыр алырға мөмкин, ләкин һөҙөмтә бер төрлө түгел — нулдән айырмалы һандан $n$-сы дәрәжә комплекслы тамырҙың $n$ төрлө комплекслы ҡиммәте бар. Мәҫәлән, берәмектән тамырҙарҙы ҡара.
Комплекслы һандар өсөн шулай уҡ дәрәжәгә күтәреү һәм логарифмлауға билдәләмә бирелгән. Комплекслы үҙгәреүсәнле функцияларҙың өҫтәмә айырмалары бар..