# Тейлор рәте

Те́йлор рәте — функцияны дәрәжәле функцияларҙың сикһеҙ суммаһына тарҡатыу.
Тейлор рәте Тейлорҙың баҫылып сыҡҡан хеҙмәттәренән күп алда билдәле була — уны XIV быуатта уҡ Һиндостанда, шулай уҡ XVII быуатта Грегори һәм Ньютон ҡулланалар.
Тейлор рәттәре функцияны күпбыуындар менән аппроксимациялағанда (аппроксимация) ҡулланылалар. Атап әйткәндә, тигеҙләмәләрҙе линеаризациялау Тейлор рәтенә тарҡатыу һәм беренсе тәртиптән юғары бөтә быуындарын алып ташлау юлы менән башҡарыла.

# Тейлор рәте
## Билдәләмә

1. Ысын $x$ үҙгәреүсәнле, $a$ нөктәһендә $k$ тапҡыр дифференциалланыусы $f(x)$ функцияһының Тейлор күпбыуыны тип түбәндәге сикле сумма атала
    $\sum _{n=0}^{k}{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$,
ул, дифференциалланыусы функцияның урта ҡиммәт тураһында Лагранж теоремаһы эҙемтәһенең дөйөмләштерелеүе булараҡ, яҡынса иҫәпләүҙәрҙә ҡулланыла:
    $x-a=h\to 0$ булғанда $f(x)=f(a+h)=f(a)+f'(a)\cdot h+o(h)\approx f(a)+f'(a)\cdot h=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)$ дөрөҫ.
Сумманың яҙылышында $f^{(0)}(x)=f(x)$ тамғаланышы һәм буш күмәклек буйынса ҡабатлау тураһында килешеү: $0!=1$, $(x-a)^{0}=1$ ҡулланылған.
2. Ысын $x$ үҙгәреүсәнле, $a$ нөктәһенең эргә-яғында сикһеҙ дифференциалланыусы $f(x)$ функцияһының $a$ нөктәһендә Тейлор рәте тип, $a$ параметрына бәйле $\varphi _{n}(x;a)={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\cdot (x-a)^{n}$ уртаҡ быуынлы, формаль дәрәжәле рәт атала
    $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\varphi _{n}(x;a)$.
Икенсе төрлө әйткәндә, $f(x)$ функцияһының $a$ нөктәһендә Тейлор рәте тип $(x-a)$ икебыуынының ыңғай дәрәжәләре буйынса рәт атала:
    $f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots \,$.
Түбәндә миҫалдарҙа күрһәтелеүенсә, $a$ нөктәһенең эргә-яғында $f(x)$ функцияһының сикһеҙ дифференциалланыусы булыуы, Тейлор рәте $a$ нөктәһенең үҙенән башҡа ҡайҙа булһа ла функцияның үҙенә йыйылыусан булыуы өсөн етерлек түгел.
3. $a$ нөктәһенең ниндәйҙер $U\subseteq \mathbb {C}$ эргә-яғында Коши — Риман шарттарын ҡәнәғәтләндергән комплекслы $z$ үҙгәреүсәнле $f(z)$ функцияһының $a$ нөктәһендә Тейлор рәте тип, түбәндәге дәрәжәле рәт атала:
    $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(z-a)^{n}$.
Ысын үҙгәреүсәнле функция осрағынан айырмалы рәүештә, шарттарҙан радиустың шундай $R>0$ ҡиммәте табыла, бында $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}\subseteq U$ өлкәһендә рәт $f(z)$ функцияһына йыйыла икәне килеп сыға.
4. $a=0$ осрағында рәт
    $\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}$
Маклорен рәте тип атала.

# Тейлор рәте
## Аналитик функция

1. Ысын $x$ үҙгәреүсәнле $f(x)$ функцияһы өсөн, $f(x)$ $(a-R;a+R)$ интервалында йыйылыусан дәрәжәле рәт $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}\,$ рәүешендә күрһәтелә алырлыҡ шундай $R>0$ радиусы һәм шундай $c_{k}=c_{k}(a)=c_{k}(a;f)\,$, $k=0,1,2,\dots \,$ коэффициенттары булһа, функция $x=a$ нөктәһендә аналитик тип атала, йәғни $\forall x\in (a-R;a+R)$ $\Rightarrow$ $\lim _{n\to +\infty }\,\sum \limits _{k=0}^{n}{{c_{k}}{{(x-a)}^{k}}}=f(x)$.
Әгәр функция аралыҡтың (күмәклектең) һәр нөктәһендә аналитик булһа, ул был аралыҡта (күмәклектә) аналитик тип атала.
2. $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}$ дәрәжәле рәте $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}$ йыйылыусанлыҡ өлкәһенең теләһә ниндәй компактлы $K$ аҫкүмәклегендә теләһә нисә һан тапҡыр быуын-быуынлап дифференциалларға мөмкинлек бирә.
Әгәр $\sum \limits _{k=0}^{+\infty }{{c_{k}}{{(z-a)}^{k}}}$ функцияһының $k$-сы сығарылмаһында $z=a$ алмаштырһаң, ${c_{k}}\cdot k!$ килеп сыға.
Шулай итеп, $a$ нөктәһендә аналитик $f(z)$ функцияһы һәм ниндәйҙер $R>0$ өсөн $D_{R}=\{z\in \mathbb {C} :|z-z_{0}|<R\}$-ҙа бөтә ерҙә ошолай күрһәтеү дөрөҫ: $f(z)=\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(z-a)^{k}$.
Эҙемтә. Ысын $x$ үҙгәреүсәнле $f(x)$ функцияһы $a$ нөктәһендә аналитик була шул саҡта һәм бары тик шул саҡта ғына, әгәр ул $a$ нөктәһе ингән ниндәйҙер асыҡ интервалда $a$ параметры менән үҙенең Тейлор рәтенә тигеҙ булһа.
3. Һорау: $a$ нөктәһендә сикһеҙ дифференциалланыусы ысын $x$ үҙгәреүсәнле теләһә ниндәй $f(x)$ функцияһы өсөн уның $\sum _{k=0}^{+\infty }{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}$ Тейлор рәте ниндәйҙә булһа $(a-R;a+R)$ интервалында бөтә ерҙә $f(x)$-ҡа йыйылырмы, йәғни $f(x)$ был рәт итеп күрһәтелә аламы?
Яуап: юҡ. Тейлор рәте йыйылған, ләкин шул уҡ ваҡытта $a$-ның теләһә ниндәй эргә-яғында функциянан айырмалы булған, ысын үҙгәреүсәнле сикһеҙ дифференциалланыусы функциялар бар.
Миҫалдар. Ысын үҙгәреүсәнле функциялар $f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$, $f_{+}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x}}}},&x>0\\0,&x\leq 0\end{array}}\right.\,$, $f_{\rm {v}}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{|x|}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ $x=0$ нөктәһендә сикһеҙ дифференциалланыусы булып торалар, шуның менән бергә бөтә сығарылмалары нулгә тигеҙ.
Тимәк, бөтә был функцияларҙың $a=0$ параметры менән Тейлор рәттәре тождестволы нулгә тигеҙ. Әммә, теләһә ниндәй $R>0$ өсөн $a=0$ нөктәһенең $(-R;+R)$ эргә-яғында, функциялар $0$-дән айырмалы булған нөктәләр табыла. Шулай итеп, был функциялар $a=0$ нөктәһендә аналитик булмайҙар.
Иҫбатлауҙы Огюстен Луи Коши тәҡдим иткән $f(x)=f_{2}(x)=\left\{{\begin{array}{ll}{e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}},&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.\,$ функцияһы өсөн башҡарабыҙ.
$\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)$ функцияһы, бөтә $z\in {\overline {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}$ өсөн комплекслы үҙгәреүсәнле аналитик функция була.
$z\neq 0$ өсөн ${\frac {d}{dz}}\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {1}{z^{2}}}\right)\cdot \left({\frac {2}{z^{3}}}\right)$ икәне асыҡ күренә. $x\in \mathbb {R}$ өсөн $f(x)$ функцияһы — ул, һулдан $x=0$ нөктәһендә $\lim _{x\to 0,x<0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0$ сикләнмәһе һәм уңдан $\lim _{x\to 0,x>0}\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=0$ сикләнмәһе менән тулыландырылған, «төҙәтелгән» функция $\exp \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)$, $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$.
Функцияның $f(x)$ $x=0$ нөктәһендә сығарылмаһын табабыҙ. Билдәләмә буйынса: $f'(0)=\lim _{\Delta x\to 0,\Delta x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f(h)-0}{h}}={\frac {0}{0}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {f'(h)}{h'}}=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}$.
$x\in (0;1)$ өсөн $0<e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}<e^{-{\frac {1}{x}}}$ үтәлгәнлектән, ирекле $\alpha >0$ өсөн $\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=0$ дөрөҫ икәнен иҫбатлайбыҙ.
Лопиталь ҡағиҙәһен туранан тура өлөштәргә ҡулланыу
    $\lim _{x\to 0,x>0}e^{-{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0,x>0}x^{\alpha }=0$ һөҙөмтә бирмәй.
Үҙгәреүсәнде алмаштырып ҡуйыуҙы башҡарабыҙ: ${\frac {1}{x}}=t$:
$\lim _{x\to 0,x>0}{\frac {e^{-{\frac {1}{x}}}}{x^{\alpha }}}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha t^{\alpha -1}}{e^{t}}}$.
$k=\lceil \alpha \rceil$ булһын ти. Лопиталь ҡағиҙәһен $k$ тапҡыр ҡулланып, числителдә табабыҙ йә ($\alpha =k$ булғанда) $k!$ константаһын, йәки ($\alpha <k$ булғанда) сикһеҙ бәләкәй $\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}$:
    $\lim _{t\to +\infty }{\frac {t^{\alpha }}{e^{t}}}={\frac {+\infty }{+\infty }}=\ldots =\lim _{t\to +\infty }{\frac {\alpha (\alpha -1)\ldots (\alpha -k+1)t^{\alpha -k}}{e^{t}}}=0$.
Шулай итеп,
    $f'(0)=\lim _{h\to 0,h\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}{\frac {2f(h)}{{h}^{3}}}=0$.
($x\neq 0$ өсөн) $f(x)$ функцияһының бер нисә башланғыс сығарылмаларын табабыҙ:
    $f'(x)={\frac {2f(x)}{x^{3}}}$
    $f''(x)=\left({\frac {2f(x)}{x^{3}}}\right)'=2\left({f'(x){\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2\left({{\frac {2f(x)}{x^{3}}}{\frac {1}{x^{3}}}+f(x)\left({\frac {1}{x^{3}}}\right)'}\right)=2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)$
    $f'''(x)=\left({2f(x)\left({{\frac {2}{x^{6}}}-{\frac {3}{x^{4}}}}\right)}\right)'=4f(x)\left({{\frac {2}{x^{9}}}-{\frac {3}{x^{7}}}+{\frac {6}{x^{5}}}-{\frac {6}{x^{7}}}}\right)$
Һәм шулай артабан. Бөтә осраҡтарҙа ла, күренеүенсә, $f(x)$-тың $x$-тың бөтөн тиҫкәре дәрәжәләре суммаһына ҡабатландығы килеп сыға. Сикһеҙ бәләкәйҙәрҙең һуңғы суммаһы сикһеҙ бәләкәй була. Шулай итеп, $\lim _{x\to 0,x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}f^{(k)}(x)=0$.
Эҙмә-эҙ рәүештә билдәләмә буйынса (юғарылағы кеүек) $x=0$ нөктәһендә $f(x)$-тың сығарылмаларын иҫәпләп, бөтә сығарылмалары ла $x=0$ нөктәһендә нулгә тигеҙ булыуын асыҡлайбыҙ.

# Тейлор рәте
## Тейлор рәтенең йыйылыусанлыҡ өлкәһе

Тейлор рәтенең, дәрәжәле рәт булараҡ, йыйылыу өлкәһе — түңәрәк (үҙәге $a$ нөктәһендә булған) комплекслы үҙгәреүсән осрағында һәм интервал (үҙәге $a$ нөктәһендә булған) — ысын үҙгәреүсән осрағы өсөн.
1. Мәҫәлән, $f(x)={\frac {1}{1-x}}$ функцияһы Тейлор рәтенә ошолай тарҡатылырға мөмкин: ${\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ (был сикһеҙ кәмей барыусы геометрик прогрессия суммаһының билдәле формулаһы). Ләкин, әгәр ${\frac {1}{1-x}}$ функция, $x=1$ нөктәһенән башҡа, бөтә ысын һандар күмәклегендә бирелһә, ул саҡта $\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}$ рәт тик $|x|<1$ шарты үтәлгәндә генә йыйыла.
2. Тейлор рәтенең йыйылыусанлыҡ радиусын, мәҫәлән, Даламбер формулаһы буйынса табырға мөмкин:
    $R=\lim _{k\to \infty }\left|{\dfrac {\dfrac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{\dfrac {{f^{(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\right|$.
3. Миҫал өсөн $e^{x}$ экспоненциаль функцияһын ҡарайыҡ. Экспоненциаль функцияның теләһә ниндәй сығарылмаһы теләһә ниндәй нөктәлә функцияның үҙенә тигеҙ булғанлыҡтан, экспоненциаль функцияның йыйылыусанлыҡ радиусы $R=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {e^{a}}{e^{a}}}(k+1)}\right|=\lim _{k\to \infty }(k+1)=\infty$. Тимәк, экспоненциаль функцияның теләһә ниндәй $a$ параметрлы Тейлор рәте бөтә $x$ күсәрендә йыйыла.
4. Тейлор рәтенең йыйылыусанлыҡ өлкәһе параметрға — рәтте тарҡатыу $a$ нөктәһенә бәйле.
Мәҫәлән, дөйөм осраҡта (ирекле $a$ өсөн) $f(x)={\frac {1}{1-x}}$ функцияһын Тейлор рәтенә тарҡатайыҡ: $f(x)={\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}$.
Геометрик прогрессияның суммаһы формулаһы ярҙамында, был рәт, $x$ аргументының функцияһы булараҡ, $a$-ның теләһә ниндәй ҡиммәтендә ($a=1$ башҡа) бер үк күренештә була икәнен иҫбатлап була.
Ысынлап та,
    ${\frac {1}{1-a}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{\left({\frac {x-a}{1-a}}\right)}^{k}}={\frac {1}{1-a}}\cdot {\frac {1}{1-\left({\dfrac {x-a}{1-a}}\right)}}={\frac {1}{1-x}}$.
Рәттең йыйылыусанлыҡ өлкәһе $\left|{\frac {x-a}{1-a}}\right|<1$ тигеҙһеҙлеге менән бирелергә мөмкин. Һәм хәҙер был өлкә $a$-ға бәйле. Мәҫәлән, $a=0$ өсөг рәт $x\in (-1;1)$ булғанда йыйыла. $a=0{,}5$ өсөн рәт $x\in (0;1)$ булғанда йыйыла.

# Тейлор рәте
## Тейлор формулаһы

$f(x)$ функцияһының $x=a$ нөктәһе ингән ниндәйҙер аралыҡта $n+1$-ҙе лә индереп, $n+1$-се тәртипкә тиклем бөтә сығарылмалары ла булһын ти. Дәрәжәһе $n$-дан ҙур булмаған, $x=a$ нөктәһендәге ҡиммәте $f(x)$ функцияһының был нөктәләге ҡиммәтенә тигеҙ булған, ә уның $n$-ды ла индереп $n$-сы тәртипкә тиклем сығарылмаларының $x=a$ нөктәһендәге ҡиммәттәре $f(x)$ функцияһының ярашлы сығарылмаларының был нөктәләге ҡиммәттәренә тигеҙ булған, ${P_{n}}(x)$ күпбыуынын табабыҙ.
Ундай күпбыуын ${P_{n}}(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{{(x-a)}^{k}}}$ күренешендә булыуын еңел иҫбатлап була, йәғни ул $f(x)$ функцияһының Тейлор рәтенең $n$-сы өлөшсә суммаһы. $f(x)$функцияһы һәм ${P_{n}}(x)$ күпбыуыны араһындағы айырма ҡалдыҡ быуын тип атала һәм ${R_{n}}(x)=f(x)-{P_{n}}(x)$ тип тамғалана. $f(x)={P_{n}}(x)+{R_{n}}(x)$ формулаһы Тейлор формулаһы тип атала. Ҡалдыҡ быуын $a$ нөктәһенең ҡараған эргә-яғында $n+1$ тапҡыр дифференциалланыусы икәнен еңел аңлап була. Тейлор формулаһы дифференциаль иҫәпләмәлә күп һандағы теоремаларҙы иҫбат иткәндә ҡулланыла. Икенсе төрлө әйткәндә, Тейлор формулаһы ниндәйҙер нөктәнең эргә-яғында функцияның үҙ-үҙен тотошон билдәләй.
Теорема:
* Әгәр $f(x)$ функцияһының остары $a$ һәм $x$ булған киҫектә $n+1$ сығарылмаһы булһа, ул саҡта ирекле ыңғай $p$ һаны өсөн, $a$ һәм $x$ араһында ятҡан шундай $\xi$ нөктәһе табыла, бында
* $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi ).$
Был ҡалдыҡ быуын менән дөйөм формала Тейлор формулаһы (Шлёмильх — Рош формаһы).

# Тейлор рәте
## Тейлор формулаһы
### Ҡалдыҡ быуындың төрлө формалары

Лагранж формаһында:
    $R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1;\qquad 0<\theta <1$
    Тейлор формулаһының ике өлөшөн дә $n$ тапҡыр $x$ буйынса дифференциаллайыҡ:
    ${\begin{array}{l}1)f(x)'=f(a)'+\sum \limits _{k=2}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-1)!}}{{(x-a)}^{k-1}}}+{R_{n}}(x)'\\2)f(x)''=f(a)''+\sum \limits _{k=3}^{n}{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{(k-2)!}}{{(x-a)}^{k-2}}}+{R_{n}}(x)''\\...\\n-1)f{(x)^{(n-1)}}=f{(a)^{(n-1)}}+{f^{(n)}}(a)(x-a)+{R_{n}}{(x)^{(n-1)}}\\n)f{(x)^{(n)}}={f^{(n)}}(a)+{R_{n}}{(x)^{(n)}}\end{array}}$
    (Бынан, айырым алғанда, ${R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a)^{(n)}}=0$ булыуы күренә — был теләһә ниндәй формалағы ҡалдыҡ быуындың үҙсәнлеге.)
    Лагранж теоремаһы буйынса ($f(x)$ теореманың шарттарына тура килгәнлектән) $x$ һәм $a$ араһында шундай $\xi$ нөктәһе бар (йәғни $\xi$ $x$-ҡа ла, $a$-ға ла тигеҙ түгел), бында $f{(x)^{(n)}}-{f^{(n)}}(a)=f{(\xi )^{(n+1)}}(x-a)$. Бынан ${R_{n}}{(x)^{(n)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}(x-a)$. Һуңғы тождествоны тағы ла бер тапҡыр $x$ буйынса дифференциаллайбыҙ һәм табабыҙ ${R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}$.
    Ҡалдыҡ быуын ${R_{n}}(x)={\frac {f{{(\xi )}^{(n+1)}}{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}$ күренешендә бирелһен ти. Ул саҡта, беренсенән, ул һәм уның бөтә сығарылмалары $x=a$ нөктәһендә нулгә тигеҙ, икенсенән, ${R_{n}}{(x)^{(n+1)}}=f{(\xi )^{(n+1)}}$. Аҙағында тағы ла алмаштырып ҡуйыуҙы башҡарырға мөмкин: $\xi =a+\theta (x-a),\qquad 0<\theta <1$. Формула сығарылды.
Коши формаһында:
    $R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1$
Интеграль формала:
    $R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\,dt$
    Өлөштәре буйынса интеграллау ысулы менән табабыҙ ${\begin{array}{l}{R_{n}}(x)={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}{f^{(n+1)}}(t)dt}={\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n}}d{f^{(n)}}(t)}={\frac {1}{n!}}\left.{\left({{{(x-t)}^{n}}{f^{(n)}}(t)}\right)}\right|_{a}^{x}-{\frac {1}{n!}}\int \limits _{a}^{x}{{f^{(n)}}(t)d}{(x-t)^{n}}=\\={\frac {1}{(n-1)!}}\int \limits _{a}^{x}{{{(x-t)}^{n-1}}{f^{(n)}}(t)d}t-{\frac {{{(x-a)}^{n}}{f^{(n)}}(a)}{n!}}=...=\int \limits _{a}^{x}{f'(t)d}t-\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}=f(x)-\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}\end{array}}$
    бынан
    $f(x)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\frac {{f^{(k)}}(a){{(x-a)}^{k}}}{k!}}+{R_{n}}(x)$
Фаразлауҙы йомшартабыҙ:
* $f(x)$ функцияһының $a$ нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында $n-1$ сығарылмаһы һәм $a$ нөктәһенең үҙендә $n$-сы сығарылмаһы булһын, ул саҡта:
    Асимптотик формала (Пеано формаһында, локаль формала):
       $R_{n}(x)=o[(x-a)^{n}]$
       ${R_{n}}(a)={R_{n}}(a)'={R_{n}}(a)''=...={R_{n}}{(a)^{(n)}}=0$ булғанлыҡтан, $x$ $a$-ға ынтылғанда, ${\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}$ сағыштырмаһының сикләнмәһен Лопиталь ҡағиҙәһе буйынса табырға мөмкин: $\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)}{{(x-a)}^{n}}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)'}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)'}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}(x)''}{\left({{(x-a)}^{n}}\right)''}}=...=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{{\left({{(x-a)}^{n}}\right)}^{(n)}}}=\lim _{x\to a}{\frac {{R_{n}}{{(x)}^{(n)}}}{n!}}=0$
       Сикләнмә нулгә игеҙ булғанлыҡтан, $x\to a$ булғанда, $(x-a)^{n}$-нә ҡарағанда $R_{n}(x)$ ҡалдыҡ быуыны юғары тәртиптәге сикһеҙ бәләкәй функция була. Ә был о-бәләкәйҙең билдәләмәһе.

# Тейлор рәте
## Функцияның аналитиклығы критерийы

Ниндәйҙер $f(x)$ функцияһын ниндәйҙер $x=a$ нөктәһендә Тейлор рәтенә тарҡатырға кәрәк булһын ти. Бының өсөн алдан функцияның был нөктәлә аналитик булыуына ышанырға кәрәк (йәғни тарҡатыла икәненә). Кире осраҡта функцияның Тейлор рәтенә тарҡалмаһы түгел, ә үҙенең функцияһына тигеҙ булмаған Тейлор рәте генә килеп сыға. Шуның менән бергә, Коши функцияһы миҫалында ышанырға мөмкин, функция ла $a$ нөктәһендә теләгән тиклем тапҡыр дифференциалланыусы булырға, уның $a$ параметры менән Тейлор рәте лә йыйылыусан булырға мөмкин, ләкин был ваҡытта Тейлор рәте үҙенең функцияһына тигеҙ булмаҫҡа мөмкин.
Беренсенән, Тейлор рәтенең ниндәйҙер өҙлөкһөҙ өлкәлә йыйылыусан булыуы, функцияның аналитик булыуының кәрәкле шарты булып тора. Ысынлап та, әгәр Тейлор рәте бары бер нөктәлә генә йыйылһа, ул саҡта был нөктә $x=a$, сөнки унда Тейлор рәте һәр ваҡыт йыйыла. Ләкин ул саҡта Тейлор рәте $f(x)$ функцияһына берҙән-бер ошо нөктәлә генә тигеҙ, тимәк, был функция аналитик булмай.
Икенсенән, Тейлор формулаһы буйынса ҡалдыҡ быуын менән Тейлор рәтенә, $a$ нөктәһе ингән эргә-яҡта сикһеҙ дифференциалланыусы теләһә ниндәй функция (ә тик аналитик түгел) тарҡатыла ала. Шундай функцияның $a$ параметры менән Тейлор рәте был эргә-яҡта йыйылһын ти. Әгәр ике эҙмә-эҙлелектең һәр береһенең сикләнмәһе булһа, ул саҡта был эҙмә-эҙлелектәрҙең суммаһының сикләнмәһе уларҙың сикләнмәләренең суммаһына тигеҙ. Ул саҡта $a$ нөктәһенең эргә-яғынан бөтә $x$ өсөн Тейлор формулаһы буйынса $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }(f(x)-P_{n}(x))=f(x)-\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$ тип яҙырға мөмкин, бында $\lim _{n\to \infty }P_{n}(x)$ — Тейлор рәте.
Күренеүенсә, $f(x)$ функцияһы $a$ нөктәһендә аналитик була шул саҡта һәм бары тик шул саҡта ғына, әгәр $a$ нөктәһенең күрһәтелгән эргә-яғында шундай өҙлөкһөҙ $X$ өлкәһе булһа, бөтә $x\in X$ өсөн уның Тейлор формулаһы буйынса тарҡалмаһының ҡалдыҡ быуыны $n$ артыу менән нулгә ынтылһа: $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0$.
Миҫал итеп $e^{x}$ экспоненциаль функцияһын ҡарайыҡ. Уның Тейлор рәте бөтә $x$ күсәрендә теләһә ниндәй $a$ параметры өсөн йыйыла. Хәҙер был функцияның бөтә $a$ нөктәләрендә аналитик булыуын иҫбатлайыҡ.
Лагранж формаһында был функция тарҡалмаһының ҡалдыҡ быуыны ${R_{n}}(x)={\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}$ күренешендә, бында $\xi _{n}$ — $x$ һәм $a$ араһындағы ниндәйҙер һан (ирекле түгел, ләкин билдәле лә түгел). Ул саҡта, күренеүенсә,
    $\lim _{n\to \infty }{R_{n}}(x)=\lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}{e^{\xi _{n}}}\leq M\cdot \lim _{n\to \infty }{\frac {{(x-a)}^{n+1}}{(n+1)!}}=0$
Бында билдәләләнгән арауыҡта экспонента ниндәйҙер $M$ һаны менән сикләнгән булыуы ҡулланыла
Шуның менән бергә, ҡалдыҡ быуындың сикләнмәһе теләһә ниндәй $x$ һәм $a$ өсөн нулгә тигеҙ.

# Тейлор рәте
## Ҡайһы бер функцияларҙың Маклорен рәттәре

* Экспонента: $\displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C}$
* Натураль логарифм ("Меркатор рәте"): $\displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}},$ бөтә $-1<x\leq 1$ өсөн
* Биномиаль тарҡалма: $\displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n},$ бөтә$\left|x\right|<1$ һәм бөтә комплекслы $\alpha$ өсөн, бында $\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$
** Квадрат тамыр: $\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\dfrac {x}{2}}-{\dfrac {x^{2}}{8}}+{\dfrac {x^{3}}{16}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n},$ бөтә $|x|\leq 1$ өсөн
** ${\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }x^{n},$ бөтә $|x|<1$ өсөн
** Сикле геометрик рәт: $\displaystyle {\dfrac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum \limits _{n=0}^{m}x^{n},$ бөтә $x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0}$ өсөн
* Тригонометрик функциялар:
** Синус: $\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},x\in \mathbb {C}$
** Косинус: $\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},x\in \mathbb {C}$
** Тангенс: $\displaystyle \operatorname {tg} \ x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},$ бөтә $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}$ өсөн, бында $B_{2n}$ — Бернулли һандары
** Секанс: $\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}$ для всех $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}$ бында $E_{2n}$ — Эйлер һандары
** Арксинус: $\displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ бөтә $\left|x\right|\leq 1$ өсөн
** Арккосинус: $\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ бөтә $\left|x\right|\leq 1$ өсөн
** Арктангенс: $\displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}$ бөтә $\left|x\right|\leq 1$ өсөн
* Гиперболик функциялар:
** $\operatorname {sh} \,\left(x\right)=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C}$
** $\operatorname {ch} \,\left(x\right)=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C}$
** $\operatorname {th} \,\left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}$ бөтә $\left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}$ өсөн
** $\operatorname {arsh} \,\left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}$ бөтә $\left|x\right|<1$ өсөн
** $\operatorname {arth} \,\left(x\right)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}$ бөтә $\left|x\right|<1$ өсөн.

# Тейлор рәте
## Ике үҙгәреүсәнле функция өсөн Тейлор формулаһы

$f(x,y)$ функцияһының $(x_{0},y_{0})$ нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында, $(n+1)$-ҙе лә индереп $(n+1)$-се тәртипкә тиклем өҙлөкһөҙ сығарылмалары булһын, ти. Дифференциаль оператор индерәбеҙ
    $\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {\partial }{\partial x}}+(y-y_{0}){\dfrac {\partial }{\partial y}}$.
Ул саҡта $f(x,y)$ функцияһының $(x_{0},y_{0})$ нөктәһенең эргә-яғында $(x-x_{0})^{p}(y-y_{0})^{q}$ дәрәжәләре буйынса $p+q\leq n$ өсөн тарҡалмаһы (Тейлор формулаһы) ошондай күренештә була
    $f(x,y)=\sum \limits _{k=0}^{n}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(x_{0},y_{0})}{k!}}+R_{n}(x,y),$
бында $R_{n}(x,y)$ — Лагранж формаһында ҡалдыҡ быуын:
    $R_{n}(x,y)={\dfrac {\mathrm {T} ^{(n+1)}f(\xi ,\zeta )}{(n+1)!}},\ \xi \in [x_{0},x],\ \zeta \in [y_{0},y]$
${\dfrac {\partial }{\partial x}}$ һәм ${\dfrac {\partial }{\partial y}}$ операторҙары $\mathrm {T} ^{k}$-ла тик $f(x,y)$ функцияһына тәьҫир итә, ләкин $(x-x_{0})$-ға һәм/йәки $(y-y_{0})$-ға түгел икәнен күҙ уңында тоторға кәрәк.
Оҡшаш рәүештә теләһә ниндәй һандағы үҙгәреүсәнле функциялар өсөн формула төҙөлә, тик $\mathrm {T}$ операторында ҡушылыусылар һаны ғына үҙгәрә.
Бер үҙгәреүсәнле функция осрағында $\mathrm {T} =(x-x_{0}){\dfrac {d}{dx}}\,$.

# Тейлор рәте
## Күп үҙгәреүсәнле Тейлор формулаһы

$(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында $(m+1)$-ҙе лә индереп $(m+1)$-се тәртипкә тиклем өҙлөкһөҙ сығарылмалары булған $n$ үҙгәреүсәнле $f(x_{1},x_{2},...x_{n})$ функцияһының Тейлор формулаһын табыу өсөн, дифференциаль оператор индерәбеҙ
    $\mathrm {T} =(x_{1}-a_{1}){\dfrac {\partial }{\partial x_{1}}}+(x_{2}-a_{2}){\dfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+...+(x_{n}-a_{n}){\dfrac {\partial }{\partial x_{n}}}.$
Ул саҡта $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ нөктәһенең эргә-яғында функцияның $(x_{i}-a_{i})^{k_{i}}$ дәрәжәләре буйынса тарҡалмаһы (Тейлор формулаһы) ошондай күренештә була
    $f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k=0}^{m}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f(a_{1},a_{2},...,a_{n})}{k!}}+R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n}),$
бында $R_{m}(x_{1},x_{2},...x_{n})$ — $(m+1)$ -се тәртиптәге ҡалдыҡ быуын.
$(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ нөктәһенең ниндәйҙер эргә-яғында сикһеҙ дифференциалланыусы $n$ үҙгәреүсәнле функция өсөн, Тейлор рәте ошондай күренештә
    $f(x_{1},x_{2},...x_{n})=\sum \limits _{k_{1}=0}^{\infty }\sum \limits _{k_{2}=0}^{\infty }...\sum \limits _{k_{n}=0}^{\infty }C_{k_{1},k_{2},...k_{n}}(x_{1}-a_{1})^{k_{1}}(x_{2}-a_{2})^{k_{2}}...(x_{n}-a_{n})^{k_{n}}$,
бында‘
    $C_{k_{1},k_{2},...k_{n}}={\dfrac {1}{k_{1}!k_{2}!...k_{n}!}}{\dfrac {\partial ^{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}\partial x_{2}^{k_{2}}...\partial x_{n}^{k_{n}}}}f(x_{1},x_{2},...x_{n})|_{x_{1}=a_{1},x_{2}=a_{2},...,x_{n}=a_{n}}$

# Тейлор рәте
## Күп үҙгәреүсәнле Тейлор формулаһы
### Өс үҙгәреүсәнле функцияның Маклорен рәтенә тарҡалыу миҫалы

Өс $x$, $y$ һәм $z$ үҙгәреүсәнле функцияның $(0,0,0)$ нөктәһе эргә-яғында бәләкәйлектең икенсе тәртибенә тиклем Тейлор рәтенә тарҡатыу өсөн аңлатма табабыҙ. $\mathrm {T}$ операторы түбәндәге күренештә була
    $\mathrm {T} =x{\dfrac {\partial }{\partial x}}+y{\dfrac {\partial }{\partial y}}+z{\dfrac {\partial }{\partial z}}.$
Тейлор рәтенә тарҡалма түбәндәге күренештә яҙыла
    $f(x,y,z)=\sum \limits _{k=0}^{2}{\dfrac {\mathrm {T} ^{k}f_{0}}{k!}}+R_{2}(x,y,z)=$
    $=\left(1+T+{\frac {T^{2}}{2}}\right)f_{0}+R_{2}(x,y,z);$
    $T^{2}=x^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+y^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+z^{2}{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+2xy{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}+2xz{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial x\partial z}}+2yz{\dfrac {\partial ^{2}}{\partial y\partial z}},$ булыуын иҫәпкә алып,
табабыҙ
    $f(x,y,z)=f_{0}+x{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial x}}+y{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial y}}+z{\dfrac {\partial f_{0}}{\partial z}}+{\frac {x^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x^{2}}}+{\frac {y^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y^{2}}}+{\frac {z^{2}}{2}}{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial z^{2}}}+$
    $+xy{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial y}}+xz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial x\partial z}}+yz{\dfrac {\partial ^{2}f_{0}}{\partial y\partial z}}+R_{2}(x,y,z).$
Мәҫәлән, $f(x,y,z)=e^{x+y+z}$ булғанда,
    $f(x,y,z)=1+x+y+z+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}+xy+xz+yz+R_{2}(x,y,z).$