# Күрһәткесле функция

Күрһәткесле функция — $f(x)=a^{x}$ математик функцияһы, бында $a$ дәрәжәнең нигеҙе, ә $x$ — дәрәжә күрһәткесе тип атала.
* Ысын осраҡта дәрәжәнең нигеҙе $a$ — ниндәйҙер тиҫкәре булмаған ысын һан, ә функцияның аргументы ысын дәрәжә күрһәткесе була.
* Комплекслы функция теорияһында дөйөм осраҡ ҡарала, аргумент һәм дәрәжә күрһәткесе ирекле комплекслы һан була ала.
* Иң дөйөм күренештә — $u^{v}$, Лейбниц тарафынан 1695 йылда индерелә.
Дәрәжәнең нигеҙе сифатында e һаны булған осраҡ айырым ҡарала. Бындай функция экспонента (ысын йәки комплекслы) тип атала. Шул уҡ ваҡытта, теләһә ниндәй $a$ ыңғай нигеҙен е һанының дәрәжәһе булараҡ күрһәтергә мөмкин булғанлыҡтан, «экспонента» төшөнсәһе йыш ҡына «күрһәткесле функция» төшөнсәһе урынына ҡулланыла.

# Күрһәткесле функция
## Ысын функция
### Күрһәткесле функция билдәләмәһе

$a$ — тиҫкәре булмаған ысын һан булһын, ти, $x$ — рациональ һан: $x={\frac {m}{n}}$. Ул саҡта $a^{x}$ артабанғы ҡағиҙәләр буйынса билдәләнә.
* Әгәр $x>0$ булһа, ул саҡта $a^{x}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$.
* Әгәр $x=0$ һәм $a\neq 0$ булһа, ул саҡта $a^{x}=1$.
** $0^{0}$ ҡиммәте юҡ (ҡарағыҙ. Билдәһеҙлектәрҙе асыу).
* Әгәр $x<0$ һәм $a>0$ булһа, ул саҡта $a^{x}={\frac {1}{a^{|x|}}}$.
** $x<0,a=0$ булғанда $a^{x}$ ҡиммәте юҡ (мәғәнәһе юҡ).
Ирекле ысын $x$ күрһәткесе өсөн $a^{x}$ ҡиммәтен $a^{r_{n}}$ эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһетип билдәләргә мөмкин, бында $r_{n}$ — $x$-ҡа йыйылыусан рациональ һандар. Экспонента өсөн сикләнмә аша башҡа билдәләмәләр ҙә бар, мәҫәлән:
    $e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

# Күрһәткесле функция
## Ысын функция
### Үҙсәнлектәре

Дәрәжәгә күтәреү үҙсәнлектәре:
* $a^{0}=1$
* $a^{x+y}=a^{x}\,a^{y}$
* $(a^{x})^{y}=a^{xy}$
* $(ab)^{x}=a^{x}\,b^{x}$
* $a^{x}$ / $b^{x}$ = $(a/b)^{x}$
Монотонлыҡ аралыҡтары:
$a>1$ булғанда күрһәткесле функция бөтә билдәләнеү өлкәһендә үҫә, шуның менән бергә:
* $\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (теләһә ниндәй $n$ өсөн)
* $\lim _{x\to -\infty }a^{x}=0$
$0<a<1$ булғанда ярашлы рәүештә күрһәткесле функция бөтә билдәләнеү өлкәһендә кәмей, шуның менән бергә:
* $\lim _{x\to -\infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0$ (теләһә ниндәй $n$ өсөн)
* $\lim _{x\to \infty }a^{x}=0$
Йәғни күрһәткесле функция сикһеҙлектә теләһә ниндәй полиномиаль функциянан тиҙерәк үҫә. Үҫеүенең ҙур тиҙлеген, мәҫәлән, ҡағыҙҙы бөкләү тураһында мәсьәлә менән иллюстрацияларға мөмкин.
Кире функция:
Дәрәжәле функция өсөн кире функция - тамыр функцияһы индергән кеүек, күрһәткесле функцияға кире логарифмик функцияны индерәйек:
    $f(x)=a^{x},\quad f^{-1}(x)=\log _{a}x$ ($a$ нигеҙе буйынса логарифм $x$)
е һаны:
Күрһәткесле функцияның уникаль үҙсәнлеген билдәләп китәйек, $a_{0}:(a_{0}^{x})'_{x}=a_{0}^{x}$ үтәлгән $a_{0}$ һанын табайыҡ (шундай $a$ һаны, уның күрһәткесле функцияһының сығарылмаһы функцияның үҙенә тигеҙ):
    ${\frac {d}{dx}}a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\;\Leftrightarrow \;a_{0}^{x+dx}-a_{0}^{x}=a_{0}^{x}\,dx$
$a_{0}^{x}$-ҡа ҡыҫҡартҡандан һуң $a_{0}$-ны аныҡларға мөмкин булыуы еңел күренә:
    $a_{0}^{dx}=1+dx\;\Leftrightarrow \;a_{0}=\left(1+dx\right)^{1/dx}$
$dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}$ һайлап, Эйлер һанын табабыҙ:
    $a_{0}\equiv e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$
$e^{x}$ функцияһын икенсе төрлө рәт рәүешендә күрһәтергә мөмкин булыуын билдәләп китәйек: (дөрөҫлөгөн еңел генә быуын-быуынлап дифференциаллау юлы менән асыҡларға мөмкин):
    $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$
Ошонан сығып теүәлерәк яҡынлашыу табабыҙ:
    $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$
$e$ һанының берҙән берлеген $e^{x}$-ты төрләндереп еңел күрһәтергә мөмкин. Ысынлап та, әгәр $e_{1}^{x}$ $e^{x}$-тан юғарыраҡта үтһә, шул уҡ арауыҡта $(e_{1}^{x})'<e^{x}$ булған өлкә табыла.
Дифференциаллау:
$\ln \,x:e^{\ln x}=x$ натураль логарифм функцияһын ҡулланып, ирекле ыңғай нигеҙле күрһәткесле функцияны экспонента аша күрһәтергә була. Дәрәжәнең үҙсәнлеге буйынса: $a^{x}=e^{\ln(a)\,x}$, ошонан сығып, экспонентаның үҙсәнлеге һәм ҡатмарлы функцияны дифференциаллау ҡағиҙәһе буйынса:
    $(a^{x})'=\ln(a)a^{x}$
Аныҡһыҙ интеграл:
    $\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$
$\ln \,x$ натураль логарифм функцияһын ҡулланып, нигеҙе ирекле ыңғай һан булған күрһәткесле функцияны экспонента аша күрһәтергә мөмкин:
    $a^{x}=e^{x\cdot \ln a}$
Был бәйләнеш экспонентаның үҙсәнлектәрен өйрәнеү менән сикләнергә мөмкинлек бирә.
Аналитик үҙсәнлектәре:
    ${d \over dx}a^{x}=(\ln a)a^{x}.$
Айырым алғанда:
    ${d \over dx}e^{x}=e^{x}$
I. ${d \over dx}e^{x}=e^{x}$ булыуын иҫбатлайыҡ:
$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{x+\Delta x}-e^{x}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{x}\cdot (e^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}=e^{x}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=e^{x}\cdot 1=e^{x}$.
$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=1$ булыуын иҫбатлайыҡ. $e^{\Delta x}-1=u$ булһын, ул саҡта $e^{\Delta x}=u+1\Rightarrow \Delta x=\ln(u+1)$. Әгәр $\Delta x\to 0$ булһа, ул саҡта $u=e^{\Delta x}-1\to 0$
$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}=\lim _{u\to 0}{\frac {u}{\ln(u+1)}}=\lim _{u\to 0}{\frac {1}{{\frac {1}{u}}\ln(u+1)}}=\lim _{u\to 0}{\frac {1}{\ln(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {\lim _{u\to 0}1}{\lim _{u\to 0}\ln(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {1}{\ln \lim _{u\to 0}(u+1)^{\frac {1}{u}}}}={\frac {1}{\ln e}}=1.$
II. ${d \over dx}a^{x}={d \over dx}\left(e^{\ln a}\right)^{x}={d \over dx}e^{x\cdot \ln a}=e^{x\cdot \ln a}\cdot \ln a=a^{x}\cdot \ln a$
Рәткә тарҡатыу:
    $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$.

# Күрһәткесле функция
## Ысын функция
### Потенцирлау һәм ҡаршы логарифм

Потенцирлау (нем. potenzieren һүҙенән — һанды уның логарифмының билдәле ҡиммәте буйынса табыу, йәғни $\log _{a}x=b$ тигеҙләмәһен сығарыу ул. Логарифмдың билдәләмәһенән $x=a^{b}$ булыуы килеп сыға, шулай итеп, $a$ һанын $b$ дәрәжәһенә күтәреүҙе икенсе һүҙ менән «$b$ һанын $a$ нигеҙе буйынса потенцирлау», йәки $b$ һанынан күрһәткесле функцияны иҫәпләү тип әйтергә мөмкин.
Ҡаршы логарифм числа x — потенцирлау һөҙөмтәһе, йәғни логарифмы (бирелгән $a$ нигеҙе өсөн) $x$ һанына тигеҙ булған һан:
    $\operatorname {ant} \log _{a}{x}=a^{x}.$
«Ҡаршы логарифм» терминын Валлисом 1693 йылда индергән. Үҙ-аллы төшөнсә булараҡ ҡаршы логарифм логарифмик таблицаларҙа, логарифмик линейкаларҙа, микрокалькуляторҙарҙа ҡулланыла. Мәҫәлән, $a$ һанынан куб тамыр алыу өсөн логарифмик таблицалар буйынса $a$ һанының логарифмын табырға, уны 3-кә бүлергә һәм аҙаҡ (ҡаршы логарифмдар таблицаһы буйынса) һөҙөмтәнең ҡаршы логарифмын табырға кәрәк.

# Күрһәткесле функция
## Комплекслы функция

Экспонентаны комплекслы яҫылыҡҡа киңәйтеү өсөн, ысын аргументты комплекслы аргументҡа алмаштырып, уға шул уҡ рәт аша билдәләмә бирәбеҙ:
    $e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\cdots$
Был функция, ысын функция кеүек үк, шул уҡ төп алгебраик һәм аналитик үҙсәнлектәргә эйә. Рәттә $e^{ix}$ өсөн ысын өлөшөн уйланма өлөшөнән айырып, беҙ данлыҡлы Эйлер формулаһын табабыҙ:
    $e^{ix}=\cos x+i\sin x$
Бынан комплекслы экспонента уйланма күсәрҙә периодлы булыуы килеп сыға:
    $e^{z+2\pi i}=e^{z}$
Нигеҙе һәм дәрәжә күрһәткесе ирекле комплекслы һан булған күрһәткесле функция комплекслы экспонента һәм комплекслы логарифм ярҙамында еңел иҫәпләнә.
Миҫал: $i^{i}=e^{i\cdot \ln(i)}$; сөнки $\ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}$ (логарифмдың төп ҡиммәте), аҙаҡ табабыҙ: $i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}$.