# Экспонента

Экспоне́нта — күрһәткесле функция $f(x)=\exp(x)=e^{x}$, бында $e$ — Эйлер һаны$(e\approx 2,718)$.

# Экспонента
## Билдәләмә

Экспоненциаль функцияға билдәләмәне төрлө эквивалент ысулдар менән бирергә мөмкин. Мәҫәлән, Тейлор рәте аша:
    $e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots$
йәки сикләмә аша: $e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$. Бында $x$ — теләһә ниндәй комплекслы һан.

# Экспонента
## Үҙсәнлектәре

* $(e^{x})'=e^{x}$, айырым алғанда, экспонента — $y'=y$ дифференциаль тигеҙләмәһенең $y(0)=1$ башланғыс шарттары өсөн берҙән-бер сығарылышы. Бынан тыш, бер төрлө дифференциаль тигеҙләмәләрҙең уртаҡ сығарылыштары экспонента аша күрһәтеләләр.
* Экспонентаның билдәләнеү өлкәһе бөтә ысын һандар күмәклеге. Ул бөтә һандар күмәклегендә үҫә барыусы һәм тик ыңғай ҡиммәттәр ала.
* Экспонента — ҡабарынҡы функция.
* Уға кире функция — натураль логарифм $(\ln x)$.
* Экспонентаның Фурье-образы юҡ.
* Ләкин Лаплас үҙгәртеүе бар.
* Экспонентаның сығарылмаһы нуль нөктәһендә $1$-гә тигеҙ, шуға күрә экспонентаға тейеүсе был нөктәлә x күсәренә $45^{\circ }~{\Big{\frac {\pi }{4}}{\Big )}$ ауышлыҡта
* Экспонентаның, һәр төрлө күрһәткесле функция кеүек, төп функциональ үҙсәнлектәре:
    $\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$.
** Ундай үҙсәнлеккә эйә булған өҙлөкһөҙ функция йәки тождестволы $0$-гә тигеҙ, йәки $\exp(cx)$ күренешендә, бында $c$ — ниндәйҙер константа.
* $e^{x}=\sinh x+\cosh x$, бында $\sinh$ һәм $\cosh$ — гиперболалы синус һәм косинус.

# Экспонента
## Комплекслы экспонента

Комплекслы экспонента — $f(z)=e^{z}$ формулаһы менән бирелгән математик функция, бында $z$ комплекслы һан. Комплекслы экспонента ысын $x$ үҙгәреүсәнле $f(x)=e^{x}$ экспонентаның аналитик дауамы булараҡ билдәләнә: Формаль аңлатма билдәләмә бирәйек: $e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy}$. Шул рәүешле билдәләнгән аңлатма ысын һандар күсәрендә классик ысын үҙгәреүсәнле экспонента менән тап килә. Ҡоролоштоң тулыһынса дөрөҫлөгө өсөн $e^{z}$ функцияһының аналитик булыуын иҫбат итергә кәрәк, йәғни $e^{z}$, сикләмәһе был функцияға тигеҙ булған ниндәйҙер рәткә тарҡала икәнде күрһәтергә кәрәк. Быны күрһәтәйек: $f(z)=e^{z}=e^{x}\cdot e^{iy}=e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ Был рәттең сикләмәһе булыуы еңел иҫбатлана: $\left|e^{iy}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \left|\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\right|\leq \sum _{n=0}^{\infty }\left|{\frac {x^{n}}{n!}}\right|=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {|x|^{n}}{n!}}=e^{|x|}$. Рәттең һәр саҡ сикләмәһе бар, шулай итеп, был рәттең һәр конкрет нөктәлә суммаһы $f(z)=e^{z}$ аналитик функцияһының ҡиммәтен билдәләйәсәк. Берҙән-берлек теоремаһына ярашлы, килеп сыҡҡан дауам берҙән-бер була. Ошонан сығып, комплекслы яҫылыҡта $e^{z}$ функцияһы һәр саҡ билдәләнгән һәм аналитик.

# Экспонента
## Комплекслы экспонента
### Үҙсәнлектәре

* Комплекслы экспонента — бөтә комплекслы яҫылыҡта бөтөн голоморфлы функция. Бер нөктәлә лә ул нулгә әйләнмәй.
* $e^{z}$ — периодлы функция, төп периоды 2πi: $e^{i\varphi }=e^{i(\varphi +2\pi )}$. Периодлы булғанлыҡтан комплекслы экспонента күп ҡиммәтле функция. Уның бер ҡиммәтлелек өлкәһе сифатында $2\pi$ бейеклегендәге теләһә ниндәй горизонталь һыҙатты алырға мөмкин.
* $e^{z}$ — сығарылмаһы (шулай уҡ ярашлы рәүештә интегралы ла) үҙенә тигеҙ булған берҙән-бер функция.
* Комплекслы аргументлы $z=x+iy$ алгебрак экспонента түбәндәгесә билдәләнергә мөмкин:
    $e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos \,y+i\sin \,y)$ (Эйлер формулаһы)
** Атап әйткәндә, (Эйлер тождествоһы)
    $e^{i\pi }+1=0$ тигеҙлеге дөрөҫ

# Экспонента
## Вариациялары һәм дөйөмләштереүҙәр

Оҡшаш рәүештә экспонента ирекле ассоциатив алгебра элементы өсөн билдәләнә. Конкрет осраҡта шулай уҡ күрһәтелгән сикләмәләр бар икәнен иҫбатлау талап ителә.

# Экспонента
## Вариациялары һәм дөйөмләштереүҙәр
### Матрицалы экспонента

Квадрат матрицанан (йәки һыҙыҡлы операторҙан) экспонентаны формаль рәүештә, матрицаны ярашлы рәткә ҡуйып билдәләргә мөмкин:
    $\exp A=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}.$
Шул рәүешле билдәләнгән рәттең теләһә ниндәй сикләнгән нормалы $A$ операторы өсөн сикләмәһе бар, сөнки $A:$ нормаһы экспонентаһы $\exp \|A\|.$ өсөн рәт менән мажорлана (мажорируется). Тимәк, $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ матрицаһынан экспонента һәр ваҡыт билдәләнә һәм үҙе матрица булып тора. Матрицалы экспонента ярҙамында коэффициенттары даими булған һыҙыҡлы дифференциаль тигеҙләмәләрҙең сығарылышы күренешен еңел бирергә мөмкин: башланғыс шарты $x(0)=x_{0}$ булған ${\dot {x}}=Ax,~~~x\in \mathbb {R} ^{n}$ тигеҙләмәһенең сығарылышы $x(t)=\exp(At)x_{0}.$

# Экспонента
## Вариациялары һәм дөйөмләштереүҙәр
### h-экспонента

$h$-экспонентаны индереү икенсе бик яҡшы сикләмәгә нигеҙләнгән: $e_{h}(x)=(1+h)^{\frac {x}{h}}.$ $h\to 0$ булғанда ғәҙәттәге экспонента килеп сыға.

# Экспонента
## Кире функция

Экспоненциаль функцияға кире функция — натураль логарифм. $\ln x$ тип тамғалана: $\ln x=\log _{e}x.$