# Функцияның сығарылмаһы

Функцияның сығарылмаһы — функцияның бирелгән нөктәлә үҙгәреү тиҙлеген характерлаусы Дифференциаль иҫәпләмә төшөнсәһе. Әгәр ундай сикләнмә булһа, функция үҫешенең уның аргументы үҫешенә сағыштырмаһының, аргумент үҫеше нулгә ынтылғандағы сикләнмәһе тип билдәләнә. Сикле сығарылмаһы булған функцияны (ниндәйҙер нөктәлә), дифференциалланыусы (был нөктәлә) тип атайҙар.
Сығарылманы иҫәпләү барышы дифференциаллау тип атала. Кире процесс — алынманы табыу — интеграллау.

# Функцияның сығарылмаһы
## Тарихы

Классик дифференциаль иҫәпләмәлә сығарылма йышыраҡ сикләнмә төшөнсәһе аша билдәләнә, әммә сикләнмәләр теорияһы тарихи дифференциаль иҫәпләмәнән һуңыраҡ барлыҡҡа килә. Ньютон сығарылманы флюксия тип атай, Лейбниц мәктәбе база төшөнсәһе сифатында дифференциал төшөнсәһенә өҫтөнлөк бирә.
Лагранж ҡулланған ярашлы dérivée француз терминын урыҫ теленә тәржемә итеп, «Функцияның сығарылмаһы» формаһында урыҫ терминын беренсе булып В. И. Висковатов ҡуллана.

# Функцияның сығарылмаһы
## Билдәләмә

$x_{0}\in \mathbb {R}$ нөктәһенең ниндәйҙер тирә-яғында $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ функцияһы бирелһен, ти. Функцияның сығарылмаһы тип, функцияны $U(x_{0})$ тирә-яғында,
    әгәр $A$ булһа, $f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)$ күренешендә күрһәтергә мөмкин булған $A$ һаны атала.

# Функцияның сығарылмаһы
## Билдәләмә
### Функцияның сығарылмаһының сикләнмә аша билдәләмәһе

$x_{0}\in \mathbb {R}$ нөктәһенең ниндәйҙер тирә-яғында $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ функцияһы бирелһен, ти. $f$ функцияһының $x_{0}$ нөктәһендә сығарылмаһы тип, әгәр ул булһа,
    $f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _{{\Delta x}\to 0}{\frac {\Delta {f(x)}}{\Delta x}}$ сикләнмәһе атала.

# Функцияның сығарылмаһы
## Билдәләмә
### $y=f(x)$ функцияһы сығарылмаһының $x_{0}$ нөктәһендә дөйөм ҡабул ителгән тамғаланыштары

    $f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})=\mathrm {D} \!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{x=x_{0}}={\dot {y}}(x_{0}).$
Һуңғыһы ғәҙәттә ваҡыт буйынса сығарылманы аңлатыуын билдәләп китәйек (теоретик механикала).

# Функцияның сығарылмаһы
## Сығарылмалар теҙеме

| Дәрәжәле функцияларҙың сығарылмалары | Тригонометрик функцияларҙың сығарылмалары | Кире тригонометрик функцияларҙың сығарылмалары |
| $\left(c\right)'=0$ | $\left(\sin x\right)'=\cos x$ | $\left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ |
| $\left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}$ | $\left(\cos x\right)'=-\sin x$ | $\left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$ |
| $\left(a^{x}\right)'=a^{x}\ln a$ | $\left(\operatorname {tg} x\right)'={\dfrac {1}{\cos ^{2}x}}$ | $\left(\operatorname {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2}}}$ |
| $\left(\log _{a}x\right)'={\dfrac {1}{x\ln a}}$ | $\left(\operatorname {ctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{\sin ^{2}x}}$ | $\left(\operatorname {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}$ |
$\left(c\right)=\left(\mathrm {const} \right)$ $\left(e^{x}\right)^{\left(n\right)}=e^{x}$

# Функцияның сығарылмаһы
## Дифференциалланыусанлыҡ

$f$ функцияһының $x_{0}$ нөктәһендә $f'(x_{0})$ сығарылмаһы, сикләнмә булараҡ, булырға йәки булмаҫҡа һәм сикле йәки сикһеҙ булырға мөмкин. $f$ функцияһы $x_{0}$ нөктәһендә дифференциалланыусы була шул саҡта һәм тик шул саҡта ғына, әгәр уның был нөктәлә сығарылмаһы булһа һәм сикле булһа:
    $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})\Leftrightarrow \exists f'(x_{0})\in (-\infty ;\infty ).$
$x_{0}$ нөктәһендә дифференциалланыусы $f$ функцияһы өсөн $U(x_{0})$ тирә-яғында түбәндәгесә күрһәтеү дөрөҫ
    $f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})$ $x\to x_{0}$ булғанда