# Е (һан)

I төр Эйлер һандары менән бутамаҫҡа Эйлер — Маскерони константаһы менән бутамаҫҡа
2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354
e һанының өтөрҙән һуң тәүге 1000 тамғаһы
e — Натураль логарифмдың нигеҙе, математик константа, иррациональ һәм трансцендент һан. Яҡынса 2,71828 тигеҙ. Ҡайһы берҙә $e$ һанын Эйлер һаны йәки Непер һаны тип атайҙар. Бәләкәй латин хәрефе менән тамғалана «e».
e һаны дифференциаль һәм интеграль иҫәпләмәлә, шулай уҡ математиканың башҡа күп бүлектәрендә мөһим роль уйнай. $e^{x}$ функцияһы (экспонента) «үҙ-үҙенә» интеграциялана һәм дифференцияланғанлыҡтан, $e$ нигеҙе буйынса логарифмдар натураль логарифм итеп ҡабул ителәләр.

# Е (һан)
## Билдәләмә биреү ысулдары

e һанына бер нисә ысул менән билдәләмә бирергә мөмкин.
* Сикләмә аша:
    $e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$ (икенсе бик яҡшы сикләмә).
    $e=\lim \limits _{n\to \infty }n\cdot {\bigg{\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}{\bigg )}^{\frac {1}{n}}$ (Муавр — Стирлинг формулаһы).
* Рәт суммаһы булараҡ:
    $e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$ йәки ${\frac {1}{e}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}$.
    $\int \limits _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=1.$ шарты үтәлгән берҙән-бер $a$ һаны булараҡ.
    ${\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}.$ тигеҙлеге дөрөҫ булған берҙән-бер ыңғай $a$ һаны булараҡ.

# Е (һан)
## Үҙсәнлектәре

* Экспонентаның сығарылмаһы экспонентаның үҙенә тигеҙ:${\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}.$ Был үҙсәнлеге дифференциаль тигеҙләмәләрҙе эшләгәндә мөһим роль уйнай. Шулай, мәҫәлән, ${\frac {df(x)}{dx}}=f(x)$ дифференциаль тигеҙләмәһенең берҙән-бер сығарылышы булып $f(x)=ce^{x}$ функцияһы тора, бында $c$ — теләһә ниндәй константа.
* $e$ һаны иррациональ һәм хатта трансцендент һан. Уның трансцендентлығы тик 1873 йылда Шарль Эрмит тарафынан иҫбат ителә . $e$ — һаны нормаль һан тип фараз ителә, йәғни уның яҙылышында төрлө цифрҙарҙың осрау ихтималлағы тигеҙ.
* e һаны иҫәпләп була торған һан (тимәк, арифметик һан да) булып тора.
* $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$, Эйлер формулаһын ҡара, айырым осраҡта
** $e^{i\pi }+1=0.$
** $e=\cos(i)-i\sin(i)=\sinh(1)+\cosh(1)$
* $e$ һәм $\pi$ һандарын бәйләүсе тағы ла формулалар:
* «Пуассон интегралы» йәки «Гаусс интегралы» тип йөрөтөлгән формулалар
    $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}$
* сикләмә
    $e=\lim \limits _{n\to \infty }n\cdot {\bigg{\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}{\bigg )}^{\frac {1}{n}}$
* Теләһә ниндәй z комплекслы һаны өсөн түбәндәге тигеҙлектәр дөрөҫ:
    $e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$
* e һаны түбәндәгесә сикһеҙ сылбырлы кәсергә тарҡала:
    $e=[2;\;1,2,1,\;1,4,1,\;1,6,1,\;1,8,1,\;1,10,1,\ldots ]$, йәғни
    $e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
* Йәки уға эквивалентлы:
    $e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\ldots }}}}}}}}}}$
* Күп һандағы тамғаларҙы тиҙ иҫәпләү өсөн икенсе тарҡатманы ҡулланыу уңайлыраҡ:
    ${\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{\ldots }}}}}}}}$
* $e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.$
* Евгений-Шарль Каталан тәҡдим иткәнсә:
    $e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}}\cdot {\sqrt[{16}]{\frac {18\cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\cdot 31}}}\cdots$
* Ҡабатлау аша күрһәтеү:
    $e={\sqrt {3}}\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2}}}\left(2k-1\right)^{k-{\frac {1}{2}}}}{\left(2k+1\right)^{2k}}}$
* Белл һаны аша
$e={\frac {1}{B_{n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}$
* $e$ һанының иррационаллек үлсәме $2$-гә тигеҙ (иррациональ һандар өсөн мөмкин булған иң бәләкәй ҡиммәт).

# Е (һан)
## Тарихы

Был һанды ҡайһы берҙә «Ғәжәйеп логарифмдар таблицаһын тасуирлау» (1614 йыл) эше авторы шотланд ғалимы Джон Непер хөрмәтенә непер һаны тип тә атайҙар. Ләкин был исем бик үк бармай, сөнки унда $x$ һанының логарифмы $10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7}}}\right)$-гә тигеҙ. Беренсе тапҡыр константа, Неперҙың юғарыла телгә алынған эшенең 1618 йылда баҫтырылып сыҡҡан инглиз теленә тәржемәһендә йәшерен рәүештә бар. Йәшерен, сөнки унда тик натураль логарифдарҙың кинематик фекерләүҙән сығып билдәләнгән таблицаһы ғына бар, ә константа үҙе юҡ. Таблицаның авторы инглиз математигы Уильям Отред тип фараз ителә. Константаның үҙен беренсе тапҡыр швейцар математигы Якоб Бернулли процентлы килемдең сикләмә дәүмәле тураһында мәсьәләне эшләү барышында иҫәпләп сығарған. Әгәр баштағы сумма $\$1$ һәм йыл аҙағында бер тапҡыр йыллыҡ $100\%$ өҫтәлһә, һөҙөмтәлә сумма $\$2$ булыуын асыҡлаған. Ләкин шул уҡ процентты йылына ике тапҡыр өҫтәһәң, ул саҡта $\$1$ ике тапҡыр $1,5$-кә ҡабатлана, һөҙөмтәлә $\$1,00\cdot 1,5^{2}=\$2,25$ килеп сыға. Процентты кварталға бер тапҡыр өҫтәү $\$1,00\cdot 1,25^{4}=\$2,44140625$ һөҙөмтәһенә килтерә һ.б. артабан шулай. Бернулли, әгәр процент өҫтәү йышлығын сикһеҙ арттырһаң, ҡатмарлы процент осрағында процентлы килемдең сикләмәһе бар: $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$ һәм был сикләмә $e~(\approx 2,71828)$ һанына тигеҙ икәнен күрһәткән. $\$1,00\cdot (1+{\frac {1}{12}})^{12}=\$2,613035...$ $\$1,00\cdot (1+{\frac {1}{365}})^{365}=\$2,714568...$ Шулай итеп, $e$ константаһы максималь йышлыҡтағы йыллыҡ $100\%$ капиталлаштырыу осрағында мөмкин булған максималь йыллыҡ килемде аңлата. Беренсе билдәле булған, унда $b$ хәрефе менән тамғаланған, был константаны ҡулланыу Готфрид Лейбництың 1690—1691 йылдарҙа Гюйгенс Христианға яҙған хатында осрай. $e$ хәрефен 1727 йылда Эйлер ҡуллана башлай, беренсе тапҡыр ул Эйлерҙың немец математигы Кристиан Гольдбахҡа 1731 йылдың 25 ноябрендә яҙған хатында осрай, ә был хәреф менән беренсе баҫмаһы уның «Механика, йәки аналитик тасуирләнгән хәрәкәт тураһындағы фән» хеҙмәте була, 1736 йыл. Шуға ярашлы, $e$ һанын ғәҙәттә Эйлер һаны тип атайҙар. Һуңғараҡ ҡайһы бер ғалимдар $c$ хәрефен ҡулланыуға ҡарамаҫтан, $e$ хәрефе йышыраҡ ҡулланыла һәм хәҙерге көндә стандарт тамғаланышы булып тора. Ни өсөн тап $e$ хәрефе һайланған икәне аныҡ билдәле түгел. Бәлки, exponential («күрһәткесле», «экспоненциаль») һүҙе ошо хәрефтән башланыуы менән бәйлелер. Икенсе фараз буйынса, $a,~b,~c$ һәм $d$ хәрефтәре башҡа маҡсаттарҙа етерлек йыш ҡулланылалар, һәм $e$ беренсе «буш» хәреф була. Шулай уҡ $e$ хәрефе Эйлер (Euler) фамилияһында беренсе хәреф булыуы ла иғтибарға лайыҡ.

# Е (һан)
## Яҡынлауҙар

* $e$ һанын 2,7 һәм ҡабатланып килеүсе 18, 28, 18, 28 булараҡ иҫтә ҡалдырырға мөмкин.
* Мнемоник ҡағиҙә: ике һәм ете, артабан ике тапҡыр Лев Толстойҙың тыуған йылы (1828), артабан тура мөйөшлө тигеҙ эргәле өсмөйөштөң мөйөштәре (45, 90 һәм 45 градус). Был ҡағиҙәнең бер өлөшөн иллюстрациялаусы шиғри мнемофраза: «Экспонентаны хәтерләүҙең ысулы ябай: ике һәм ундан ете, икеләтә Лев Толстой»
* Өтөрҙән һуң тәүге 12 тамғаны хәтерҙә ҡалдырырға булышлыҡ иткән мнемоник шиғыр (һүҙҙәрҙең оҙонлоғо e һаны цифрҙарын кодлай): Мы порхали и блистали, / Но застряли в перевале: / Не признали наши крали / Авторалли.
* e ҡағиҙәләре АҠШ президенты Эндрю Джексон менән дә бәйле: 2 — шул тапҡыр һайланған, 7 — ул АҠШ-тың етенсе президенты булған, 1828 — уның һайланған йылы, ике тапҡыр ҡабатлана, сөнки Джексон ике тапҡыр һайлана. Артабан — тура мөйөшлө тигеҙ эргәле өсмөйөш.
* Өтөрҙән һуң өс тамғаға тиклем аныҡлыҡ менән «иблис һаны» аша: 666-ны, 6−4, 6−2, 6−1 (өс алты, уларҙан кире тәртиптә икенең тәүге өс дәрәжәһе алып ташлана) цифрҙарынан торған һанға бүлергә кәрәк: ${666 \over 245}\approx 2,718$.
* e һанын ${\frac {666}{10\cdot {\sqrt {666}}-13}}$ итеп хәтерҙә ҡалдырыу (0,001-ҙән кәмерәк аныҡлыҡ менән).
* Тупаҫ (0,001-гә тиклем аныҡлыҡ менән) яҡынайыу e һанын $\pi \cdot \cos {\pi \over 6}$ тигеҙ тип ҡарай. Бөтөнләй тупаҫ (0,01-гә тиклем аныҡлыҡ менән) яҡынайыу $5\cdot \pi -13$ аңлатмаһы менән бирелә.
* «Боинг-747 ҡағиҙәһе»: $e\approx 4\cdot \sin 0,747$ 0,0005 аныҡлығын бирә.
* $10^{-7}$-гә тиклем аныҡлыҡ менән: $e\,\approx \,3-{\sqrt {\frac {5}{63}}}\,\,\,,$ $10^{-9}\to e\approx 2,7+{\frac {1828}{99990}},$, $4,6\,\cdot \,10^{-10}\,\,\to \,\,e\,\approx \,3-{\frac {93}{94}}{\sqrt {\frac {3}{37}}}$
* $1/e\approx (1-{\frac {1}{10^{6}}})^{10^{6}}$, 0,000001-гә тиклем аныҡлыҡ менән ;
* 19/7 һаны e һанынан 0,004-тән әҙерәккә артыҡ;
** 87/32 һаны e һанынан 0,0005-тән әҙерәккә артыҡ;
*** 193/71 һаны e һанынан 0,00003-тән әҙерәккә артыҡ;
**** 1264/465 һаны e һанынан 0,000003-тән әҙерәккә артыҡ;
***** 2721/1001 һаны e һанынан 0,0000002-нән әҙерәккә артыҡ;
****** 23225/8544 һаны e һанынан 0,00000001-ҙән әҙерәккә артыҡ.
* Эргә ҡырҙары төҙөк өсмөйөш, ҡабырғаһының оҙонлоғо 1-гә тигеҙ булған (0,005-кә тиклем аныҡлыҡ менән) квадрат пирамиданың өҫкө йөҙөнөң майҙаны.

# Е (һан)
## Асыҡ ҡалған проблемалар

* $e$ һаны периодтар дүңгәләге элементы буламы икәне билдәһеҙ.
* $\pi$ һәм $e$ һандары алгебраик бәйләнешһеҙме икәне билдәле түгел]].
* Түбәндәге һандарҙың береһе өсөн дә иррационаллек үлсәме билдәле түгел: $\pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e}},\pi ^{e},e^{\pi ^{2}},e^{e},2^{e}.$ Уларҙың береһе өсөн дә, хатта ул һан рациональ һан, алгебраик иррациональ йәки трансцендент һан буламы икәнлеге лә билдәле түгел.
* Беренсе Скьюз һаны $e^{e^{e^{79}}}$ бөтөн һан буламы икәнлеге билдәһеҙ.

# Е (һан)
## Ҡыҙыҡлы факттар

* 2004 йылда IPO Googl компанияһында компания үҙенең килемен 2 718 281 828 долларға арттырырға ниәт итеүе тураһында иғлан ителә. Иғлан ителгән һан билдәле математик константаның тәүге 10 цифры булып тора.
* Теоретик яҡтан иң етештереүсән компьютерҙарҙың разрядлығы $e$-гә тигеҙ булырға тейеш тип иҫәпләнә. Өсәрле ЭВМ был ҡиммәткә яҡын, ләкин техник ҡатмарлылыҡ арҡаһында 1 һәм 0 ҡулланылған тик икеле компьютерҙар ғына таралыу алған.
* Программалау телдәрендә $e$ символына һандарҙың экспоненциаль яҙылышында 10 һаны тура килә, ә Эйлер һаны түгел. Был математик иҫәпләүҙәр өсөн FORTRAN телен төҙөү тарихы һәм ҡулланыу менән бәйле.