# Эҙмә-эҙлелек

Математикала эҙмә-эҙлелек — теләһә ниндәй объекттарҙың номерланған йыйылмаһынан ғибәрәт, улар араһында ҡабатланыу рөхсәт ителә, шуның менән бергә объекттарҙың тәртибе мөһим. Нумерлау йышыраҡ натураль һандар менән башҡарыла. Дөйөм осраҡтар өсөн Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр бүлеген ҡарағыҙ.
Был мәҡәләлә эҙмә-эҙлелек сикһеҙ тип фараз ителә; сикле эҙмә-эҙлелек осраҡтары айырым күрһәтелә.

# Эҙмә-эҙлелек
## Миҫалдар

Һанлы эҙмә-эҙлелек миҫалдары:
* Урамдағы йорттар эҙмә-эҙлелеге сикле эҙмә-эҙлелек миҫалы булып тора.
* $a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$ бер үҙгәреүсәнле күпбыуынын уның коэффициенттарының сикле, йәки $a_{i}=0$ $i>n$ тип фаразлағанда сикһеҙ эҙмә-эҙлелек итеп ҡарарға була.
* Ябай һандарҙың эҙмә-эҙлелеге — иң билдәле тривиаль булмаған сикһеҙ һанлы эҙмә-эҙлелектәрҙең береһе булып тора.
* Һәр ысын һанға сылбырлы кәсер тип аталған үҙ эҙмә-эҙлелеген ярашлы ҡуйырға мөмкин, ә рациональ һандар өсөн ул һәр ваҡыт сикле, алгебраик иррациональ һандар өсөн ул сикһеҙ (квадратик иррационаллек өсөн — периодлы), ә трансцендент һандар өсөн сикһеҙ һәм периодлы түгел, әммә унда айырым һандар сикһеҙ һан тапҡыр була ала. Мәҫәлән, ${\frac {13}{9}}$ һаны өсөн сылбырлы кәсер сикле һәм $[1;2,4]$ тигеҙ, ә $\pi$ һанының сылбырлы кәсере сикһеҙ, периодлы түгел һәм ошондай күренештә: $[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,\dots ]$.
* геометрияла йыш ҡына формалары түбәләре һанына ғына бәйле төҙөк күпмөйөштәр эҙмә-эҙлелеге ҡарала,.
* Эҙмә-эҙлелек хатта күмәклектәрҙән дә торорға мөмкин, мәҫәлән, $n$-сы позицияла бер үҙгәреүсәнле бөтөн коэффициентлы $n$-сы дәрәжәләге бөтә күпбыуындар күмәклеге булған эҙмә-эҙлелекте төҙөргә мөмкин.

# Эҙмә-эҙлелек
## Һанлы эҙмә-эҙлелек
### Ҡәтғи билдәләмә

Ирекле тәбиғәтле ниндәйҙер элементтар күмәклеге $X$ бирелһен, ти. $\mathbb {N}$ натураль һандар күмәклегенең бирелгән $X$ күмәклегенә ($X$ күмәклеге элементтарына) һәр $f\colon \mathbb {N} \to X$ сағылышы эҙмә-эҙлелек тип атала.

# Эҙмә-эҙлелек
## Һанлы эҙмә-эҙлелек
### Ҡәтғи билдәләмә
#### Тамғалауҙар

    $x_{1},x_{2},x_{3},\dots$ күренешендәге эҙмә-эҙлелектәрҙе түңәрәк йәйәләр ярҙамында компактлы яҙыу ҡабул ителгән:
    $(x_{n})$ йәки $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$.
Ҡайһы берҙә фигуралы йәйәләр ҡулланыла:
    $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$.
Сикле эҙмә-эҙлелектәр түбәндәге күренештә яҙылырға мөмкиндәр:
    $(x_{n})_{n=1}^{N}$.
Шулай уҡ эҙмә-эҙлелек, әгәр $f$ функцияһы алдан билдәләнгән булһа, йәки уның тамғаланышы функцияның үҙе менән алмаштырыла алһа,
    $(f(n))$ тип яҙылырға мөмкин,
Мәҫәлән, $f(n)=n^{3}$ булғанда эҙмә-эҙлелек $(n^{3})$ күренешендә яҙыла ала.

# Эҙмә-эҙлелек
## Һанлы эҙмә-эҙлелек
### Ҡәтғи билдәләмә
#### Бәйле билдәләмәләр

* $n$ натураль һанының образы, атап әйткәндә $x_{n}=f(n)$ элементы, эҙмә-эҙлелектең $n$-сы быуыны тип атала, ә эҙмә-эҙлелектең $x_{n}$ быуынының рәт номеры $n$ — уның индексы тип атала.
* Эҙмә-эҙлелектең элементтарынан төҙөлгән $X$ күмәклегенең $f\left[\mathbb {N} \right]$ аҫкүмәклеге эҙмә-эҙлелектең ташыусыһы тип атала: индекс натураль һандар күмәклеге аша үткәндә, эҙмә-эҙлелек быуындарын һүрәтләүсе нөктә ташыусы буйлап «хәрәкәт итә».
* $(x_{n})$ эҙмә-эҙлелегенең аҫ эҙмә-эҙлелеге тип $k$-ға бәйле $(x_{n_{k}})$ эҙмә-эҙлелеге атала, бында $(n_{k})$ — натураль һандарҙың үҫә барыусы эҙмә-эҙлелеге. Аҫ эҙмә-эҙлелекте төп нөсхә эҙмә-эҙлелектән уның ҡайһы бер быуындарын алып ташлап алырға мөмкин.

# Эҙмә-эҙлелек
## Һанлы эҙмә-эҙлелек
### Ҡәтғи билдәләмә
#### Иҫкәрмәләр

* $\mathbb {N}$ күмәклегенең теләһә ниндәй үҙ-үҙенә сағылышы шулай уҡ эҙмә-эҙлелек була.
* $X$ күмәклегенең элементтары эҙмә-эҙлелеген $X$-тың натураль һандар күмәклегенә изоморфлы ярайһы уҡ тәртипкә килтерелгән аҫкүмәклеге тип ҡарарға мөмкин.

# Эҙмә-эҙлелек
## Һанлы эҙмә-эҙлелек
### Һандар эҙмә-эҙлелеген биреү ысулдары

* Аналитик, бында эҙмә-эҙлелек n-сы быуыны формулаһы менән бирелә, мәҫәлән: $a_{n}={\frac {n}{n+1}}$
* Рекуррент, Мәҫәлән, Фибоначчи һандары, бында эҙмә-эҙлелектең теләһә ниндәй быуыны алдағы быуындар аша күрһәтелә: $a_{1}=0,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}$
* Һүҙ менән; Мәҫәлән, теләһә ниндәй сикһеҙ унарлы кәсер өсөн, һәр итерацияла кәсерҙе бәләкәйерәк йәки ҙурыраҡ яғына түңәрәкләп, уның кәме менән алынған һәм артығы менән алынған унарлы яҡынлашыуҙары эҙмә-эҙлелеген төҙөргә мөмкин.

# Эҙмә-эҙлелек
## Ғәмәлдәр эҙмә-эҙлелеге

«Алгоритм — ул ниндәй ҙә булһа мәсьәләне хәл итеү өсөн ғәмәлдәрҙең ҡәтғи һәм логик эҙмә-эҙлелеге булып тора (математик, мәғлүмәти һ. б.)»

# Эҙмә-эҙлелек
## Математикала эҙмә-эҙлелектәр

Математикала эҙмә-эҙлелектәрҙең төрлө типтарын ҡарайҙар:
* Һанлы Һанлы эҙмә-эҙлелектәр;
* Метрик арауыҡ элементтары эҙмә-эҙлелектәре;
* һанлы, шулай уҡ һан булмаған тәбиғәтле ваҡытлы рәттәр;
* Функциональ арауыҡтың элементтары эҙмә-эҙлелектәре;
* Идара итеү системаһының һәм автоматтарҙың тороштары эҙмә-эҙлелектәре.
Эҙмә-эҙлелектәрҙе өйрәнгәндә килеп тыуған практик мөһим мәсьәләләр:
* Был эҙмә-эҙлелек сиклеме, әллә сикһеҙме, тигән һорауҙы асыҡлау. Мәҫәлән, 2020 йылға 51 ябай Мерсенн һаны билдәле, әммә ундай һандарҙың тағы ла булмауы иҫбатланмаған.
* Эҙмә-эҙлек быуындары араһында законлыҡтар эҙләү.
* Эҙмә-эҙлелектең $n$-сы быуыны өсөн яҡшы яҡынлашыу булып хеҙмәт итә алған аналитик формула табыу. Мәҫәлән, $n$-сы ябай һан өсөн $n\ln(n)$ формулаһы буйынса яҡшы яҡынлашыу бирелә (теүәлерәктәре лә бар).
* Буласаҡ тороштарҙы күҙаллау, беренсе сиратта, бирелгән эҙмә-эҙлелек сикле йәки сикһеҙ ($X).$ күмәклегенең төрөнә ҡарап,һанлы йәки һан булмаған) сикләнмәгә йыйылыусан эҙмә-эҙлелекме тигән һорауҙы асыҡлау.

# Эҙмә-эҙлелек
## Математикала эҙмә-эҙлелектәр
### Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

* Эҙмә-эҙлелектең быуындарын мотлаҡ натураль һандар менән нумерацияларға кәрәкмәй — мәҫәлән,Фибоначчи эҙмә-эҙлелеге тиҫкәре бөтөн һандарға дауам ителергә мөмкин.
* Шулай уҡ $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N}$ Декарт ҡабатландығы элементтары менән нумерланған «күп үлсәмле эҙмә-эҙлелектәр» бар. Мәҫәлән Туэ-Морс эҙмә-эҙлелегенең күп үлсәмле киңәйтеүе шундайҙарға.ҡарай. Шулай уҡ $x_{1},x_{2},\dots x_{n-1},x_{n}$ күп үҙгәреүсәнле күпбыуынын сикле $n$-үлсәмле эҙмә-эҙлелек итеп ҡарарға мөмкин, бында $i_{1},i_{2},\dots i_{n-1},i_{n}$ позициияһында $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\dots x_{n-1}^{i_{n-1}}x_{n}^{i_{n}}$ ҡабатландығының коэффициенты урынлашҡан.