# Бөтөн һан

Бөтөн һандар — $\mathbb {N}$ натураль һандар күмәклегенең, $\mathbb {N}$-ға нулде һәм $-n$ күренешендәге тиҫкәре һандарҙы өҫтәп килеп сыҡҡан киңәйеүе ул. Бөтөн һандар күмәклеге $\mathbb {Z}$ тип тамғалана. Бөтөн һандарҙы ҡарау кәрәклеге, дөйөм осраҡта, бер натураль һандан икенсеһен алып булмау арҡаһында килеп сыға — тик бәләкәй һанды ҙурынан ғына алып була. Ике бөтөн һандың суммаһы, айырмаһы һәм ҡабатландығы яңынан бөтөн һан бирә, йәғни бөтөн һандар ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәренә ҡарата ҡулса төҙөй. Тәү башлап тиҫкәре һандарҙы боронғо Ҡытайҙа һәм Һиндостанда ҡуллана башлайҙар, Европала уларҙы Николя Шюке (1484 йыл) һәм Михаэль Штифель (1544) математик ҡулланылышҡа индерәләр.

# Бөтөн һан
## Алгебраик үҙсәнлектәре

$\mathbb {Z}$ бөтөн һанды бөтөн һанға бүлеүгә ҡарата йомоҡ түгел (мәҫәлән, 1/2). Түбәндәге таблица теләһә ниндәй бөтөн a, b һәм c өсөн ҡушыу һәм ҡабатлауҙың төп үҙсәнлектәрен иллюстрациялай.
| | ҡушыу | ҡабатлау |
| Алгебраик йомоҡлоҡ: | a + b — бөтөн | a × b — бөтөн |
| Ассоциативлыҡ: | a + (b + c) = (a + b) + c | a × (b × c) = (a × b) × c |
| Коммутативлыҡ: | a + b = b + a | a × b = b × a |
| Нейтраль элементтың булыуы: | a + 0 = a | a × 1 = a |
| Ҡапма-ҡаршы элементтың булыуы: | a + (−a) = 0 | a ≠ ±1 ⇒ 1/a бөтөн һан түгел |
| Ҡабатлауҙың ҡушыуға ҡарата дистрибутивлығы: | a × (b + c) = (a × b) + (a × c) | a × (b + c) = (a × b) + (a × c) |
Дөйөм алгебра телендә ҡушыуҙың һынап кителгән тәүге биш үҙсәнлеге, $\mathbb {Z}$ күмәклегенең бинар ҡушыу ғәмәленә ҡарата абель төркөмө булыуы тураһында һөйләй, ошонан сығып, шулай уҡ цикллы төркөм, сөнки $\mathbb {Z}$ күмәклегенең һәр нуль элементы 1 + 1 + … 1 йәки (−1) + (−1) + … + (−1) сикһеҙ сумма рәүешендә яҙылырға мөмкин. Ысынында, теләһә ниндәй сикһеҙ цикллы төркөм $(\mathbb {Z} ,+)$ төркөмөнә изоморфлы булғанлыҡтан, $\mathbb {Z}$ ҡушыу буйынса берҙән-бер сикһеҙ цикллы төркөм булып тора. Ҡабатлауҙың тәүге дүрт үҙсәнлеге $\mathbb {Z}$ күмәклегенең ҡабатлау буйынса коммутативлы моноид булыуы тураһында һөйләй. Әммә шуны билдәләп китергә кәрәк, һәр бөтөн һандың ҡабатлау буйынса ҡапма-ҡаршы һаны юҡ, мәҫәлән, $\mathbb {Z}$ күмәклегендә 2x = 1 булырлыҡ x һаны юҡ, сөнки тигеҙләмәнең һул яғы йоп, ә уң яғы таҡ. Ошонан сығып, $\mathbb {Z}$ ҡабатлау буйынса төркөм булмай, шулай уҡ ялан булмай. Бөтөн һандар ингән иң бәләкәй ялан — рациональ һандар күмәклеге ($\mathbb {Q}$). Таблицалағы бөтә үҙсәнлектәр барыһы бергә, $\mathbb {Z}$ ҡушыуға һәм ҡабатлауға ҡарата берәмеге булған коммутатив балдаҡ булыуын аңлата. Бөтөн һандар күмәклегендә ғәҙәти бүлеү билдәләнмәй, ләкин ҡалдыҡлы бүлеү тип аталған ғәмәл билдәләнә: теләһә ниндәй бөтөн a һәм b өсөн $b\not =0$, a = bq + r һәм $0\leq r<|b|$, бында |b| — b һанының абсолют дәүмәле (модуле) булырлыҡ берҙән-бер q һәм r бөтөн һандар йыйылмаһы бар. Бында a — бүленеүсе, b — бүлеүсе, q — бүлендек, r — ҡалдыҡ. Ике бөтөн һандың иң ҙур уртаҡ бүлеүсеһен табыу өсөн Евклид алгоритмы ошо ғәмәлгә нигеҙләнгән.

# Бөтөн һан
## Күплек теорияһы үҙсәнлектәре

$\mathbb {Z}$ — түбәнге һәм юғары сиктәре булмаған һыҙыҡлы тәртипкә һалынған күплек. Унда тәртип
    … < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < … нисбәте менән бирелә.
Бөтөн һан, әгәр ул нулдән ҙур булһа ыңғай тип, әгәр нулдән бәләкәй булһа тиҫкәре тип атала. Нуль ыңғай ҙа, тиҫкәре лә түгел. Бөтөн һандар өсөн түбәндәге нисбәт дөрөҫ:
* әгәр a < b һәм c < d, ул саҡта a + c < b + d.
* әгәр a < b һәм 0 < c, ул саҡта ac < bc. (Ошонан әгәр c < 0 булһа, ул саҡта ac > bc булыуын еңел күрһәтеп була.)

# Бөтөн һан
## Иҫәпләү техникаһында бөтөн һандар

Программалау телдәрендә бөтөн һан тибы - йыш ҡына төп бирелештәр тибының береһе булып тора. Шулай булыуға ҡарамаҫтан был «бөтөн һандар» — математикалағы $\mathbb {Z}$ класының тик имитацияһы ғына, сөнки был күмәклек сикһеҙ һәм һәр ваҡыт компьютер үҙенең хәтерендә һаҡлай алмаған бөтөн һан табып була. Бирелештәрҙең бөтөн тибы ғәҙәттә билдәләнгән биттар йыйылмаһы рәүешендә тормошҡа ашырыла, ләкин теләһә ниндәй һүрәтләү һуңғы сиктә ҡаты дискта (мәғлүмәт тотоусы) буш урын ҡалмауға килтерә. Икенсе яҡтан, цифрлы компьютерҙарҙың теоретик моделдәренең сикһеҙ (ләкин иҫәпле) арауығы бар.