# Тапҡырлы интеграл

Математик анализда тапҡырлы йәки күп тапҡырлы интеграл тип $\ d>1$ үҙгәреүсәндәрҙән алынған интегралдар күмәклеге атала. Мәҫәлән:
    $\underbrace {\int \cdots \int } _{d}f(x_{1},\ldots ,x_{d})dx_{1}\cdots dx_{d}$
Иҫкәрмә: тапҡырлы интеграл (рус. Кратный интеграл) − ул аныҡ интеграл, уны иҫәпләгәндә һәр саҡ һан килеп сыға.

# Тапҡырлы интеграл
## Тапҡырлы интеграл билдәләмәһе

$B\subset \mathbb {R} ^{n}$ — n-үлсәмле матди арауыҡтың үлсәнмәле күмәклеге булһын, $f:B\to \mathbb {R}$ — $B$ күмәклегендә бирелгән функция.
$B$ күмәклегенең бүленеше $\sigma$ — ул берекмәлә бөтә $B$ күмәклеген биргән, икешәрләп киҫешмәүсе аҫкүмәклектәре йыйылмаһы $\sigma =\left\{{{U}_{i}}\subset B\right\}$.
Бүленеш ваҡлығы $\left|\sigma \right|$ — ул $U_{i}\in \sigma$ күмәклектәренең иң ҙур диаметры.
    $\left|\sigma \right|=\max \left\{\operatorname {diam} \left({{U}_{i}}\right)\right\}$
Бүленеш сикле тип атала, әгәр ул сикле күмәклек булһа, һәм үлсәнмәле тип атала, әгәр уның бөтә элементтары ла — үлсәнмәле (был осраҡта — Жордан буйынса) күмәклектәр булһа.
$f$ функцияһының $B$ күмәклегендә тапҡырлы (n-тапҡырлы) интегралы тип шундай $I$ һаны (әгәр ул булһа) атала, $I$ һанының ни тиклем бәләкәй генә $\varepsilon$-тирә-яғын алмайыҡ, һәр саҡ $B$ күмәклегенең шундай бүленеше һәм аралағы нөктәләр йыйылмаһы табыла, функцияның аралыҡ нөктәһендәге ҡиммәтенең бүленеш үлсәменә ҡабатландыҡтары суммаһы был тирә-яҡҡа инә. Формаль рәүештә:
    $\forall \varepsilon >0\;\;\exists \delta >0$ : $\sigma =\{U_{i}\}_{i=1}^{m}$ : $\left|\sigma \right|<\delta \;\forall \xi _{i}\in U_{i}\;\;\left|{\sum _{i=1}^{m}f(\xi _{i})\mu (U_{i})-I}\right|<\varepsilon$
Бында $\mu (U_{i})$ — $U_{i}$ күмәклегенең үлсәме.
Был билдәләмәне интеграль суммалар ҡулланып икенсе формала әйтеп бирергә мөмкин. Атап әйткәндә, бирелгән $\sigma =\{U_{i}\}_{i=1}^{m}$ бүленеше һәм $\xi =\{\xi _{i}\in U_{i}\}$ нгөктәләр күмәклеге өсөн
    $\zeta (f,\sigma ,\xi )=\sum _{i=1}^{m}f(\xi _{i})\mu (U_{i})$ интеграль суммаһын ҡарайыҡ.
$f:B\to \mathbb {R}$ функцияһының тапҡырлы интегралы тип
    $I=\lim _{\left|\sigma \right|\to 0}\zeta (f,\sigma ,\xi )$ сикләнмәһе атала (әгәр ул булһа).
Сикләнмә 0-гә ынтылған ваҡлыҡ менән бөтә бүленештәр эҙмә-эҙлелеге күмәклеге буйынса алына. Әлбиттә, был билдәләмә алдағыһынан, асылда, ҡулланылған теле менән генә айырыла.
Интеграл түбәндәгесә тамғалана:
* Векторлы күренештә
       $\int \limits _{G}{f\left(X\right)dX}=I$,
* Йәки интеграл тамғаһын $\ d$ тапҡыр ҡуялар, функцияны һәм $\ d$ дифференциалдарын яҙалар: $\underbrace {\int {\cdots }\int } _{d}f({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}})d{{x}_{1}}\cdots d{{x}_{d}}=I$.
* Икеләтелгән һәм өсләтелгән интегралдар өсөн шулай уҡ ярашлы рәүештә $\iint$ и $\iiint$ тамғаланыштары ҡулланыла.
Хәҙерге математик һәм физик мәҡәләләрҙә интеграл тамғаһын ҡабат-ҡабат яҙыу ҡулланылмай.
Бындай күп тапҡырлы интеграл үҙ мәғәнәлә интеграл тип атала.
$n=1$ осрағында тапҡырлы интеграл Риман интегралы менән тап килә.

# Тапҡырлы интеграл
## Тапҡырлы интегралдың булыуы
### Етерлек шарттар

* Әгәр функция Жордан буйынса үлсәнмәле компактта өҙлөкһөҙ булһа, ул был компактта интегралланыусы функция.
** Күмәклектә сикләнмәгән функция өҙлөкһөҙ булһа ла интегралланыусы булмаҫҡа мөмкин. Мәҫәлән, $y=1/x$ функцияһы $\left(0;1\right)$ интервалында интегралланыусы түгел.
* Әгәр функция Жордан буйынса үлсәнмәле күмәклектә бирелһә, һәм күмәклектең шундай мөмкин тиклем ваҡ бүленештәре булып, бирелгән функция бөтә ыңғай үлсәмле элементтарының берекмәһендә сикһеҙ булһа, ул саҡта функция был күмәклектә интегралланыусы түгел.

# Тапҡырлы интеграл
## Тапҡырлы интегралдың булыуы
### Дарбу критерийы

Функцияның $G$ күмәклегендә өҫкө $I^{*}$ һәм түбәнге $I_{*}$ Дарбу интегралдары булһын, ти. Ул саҡта, әгәр өҫкө һәм түбәнге Дарбу интегралдары тигеҙ булһа, бирелгән функция $G$ күмәклегендә интегралланыусы, шуның менән бергә:
    $I^{*}=I_{*}=\int \limits _{G}{f\left(X\right)dX}$

# Тапҡырлы интеграл
## Тапҡырлы интегралдың булыуы
### Лебег критерийы

$G$ — Жордан буйынса үлсәнмәле күмәклек булһын, ти. Функция $G$ күмәклегендә интегралланыусы була, әгәр:
* Функция $G$ күмәклегендә сикле булһа.
* Функция $G\setminus E$ күмәклегендә өҙлөкһөҙ булһа, бында $E$ күмәклегенең Лебег үлсәме нуль.

# Тапҡырлы интеграл
## Тапҡырлы интегралдар үҙсәнлектәре

* Функция буйынса һыҙыҡлылыҡ. $\ G$ үлсәнмәле, $\ f$ һәм $\ g$ функциялары $\ G$ күмәклегендә интегралланыусы булһын, ти. Ул саҡта
       $\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {R} :~\int \limits _{G}{\left(\lambda f+\mu g\right)dX}=\lambda \int \limits _{G}{fdX}+\mu \int \limits _{G}{gdX}$.
* Интеграллау күмәклеге буйынса аддитивлыҡ. ${G}_{1}$ һәм $G_{2}$ үлсәнмәле күмәклектәр булһын, ти. $G_{1}\cap G_{2}=\varnothing$ һәм $G_{1}\cup G_{2}=G$. Шулай уҡ $f(X)$ функцияһы $G_{1}$ һәм $G_{2}$ күмәклектәренең һәр береһендә билдәләнгән һәм интегралланыусы булһын. Ул саҡта $G$ буйынса интеграл бар һәм
       $\int _{G}f(X)dX=\int _{G_{1}}f(X)dX+\int _{G_{2}}f(X)dX$.
* Функция буйынса монотонлыҡ. $G$ үлсәнмәле күмәклек, $f$ һәм $g$ функциялары $G$ күмәклегендә интегралланыусы функциялар булһын, шуның менән бергә $\forall X\in G\colon f\left(X\right)\leqslant g\left(X\right)$. Ул саҡта
       $\int _{G}f(X)dX\leqslant \int _{G}g(X)dX$.
* Өсмөйөштөң интеграль тигеҙһеҙлеге. Алдағы үҙсәнлектең эҙемтәһе.
       $\left|\int _{G}f(X)dX\right|\leqslant \int _{G}\left|f(X)\right|dX$
* Урта тураһында интеграль теорема. $G$ — компакт, $f(X)$ функцияһы $G$ компактында өҙлөкһөҙ һәм интегралланыусы функция булһын, ти. Ул саҡта
       $\exists Y\in G\colon \int _{G}f(X)dX=f(Y)\mu (G)$
* $f(X)=c$ даими функцияһы теләһә ниндәй $G$ үлсәнмәле күмәклегендә интегралланыусы була, шуның менән бергә
       $\int _{G}f(X)dX=c\cdot \mu (G)$.
* Эҙемтә булараҡ, $\ \int _{G}dX=\mu (G)$.

# Тапҡырлы интеграл
## Тапҡырлы интегралдарҙы иҫәпләү
### Тапҡырлы интегралдарҙы ҡабатлы интегралға ҡайтарып ҡалдырыу

$D\subset {{\mathbb {R} }^{d-1}}$ — үлсәнмәле күмәклек булһын, ти. $G=\left\{\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right):\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\in D;\varphi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\leq {{x}_{d}}\leq \psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\right\}$ — шулай уҡ үлсәнмәле күмәклек, $f\left(X\right)$ $\ G$ күмәклегендә өҙлөкһөҙ һәм интегралланыусы функция булһын. Ул саҡта
* $\int \limits _{\ \varphi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{d}}}\equiv I\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)$ Лебег үлсәме нуль булған $D_{0}$ күмәклегенән башҡа, $D$ күмәклегендә бөтә ерҙә бар ($D_{0}$ буш булырға мөмкин);
* $\int \limits _{D}{\tilde {I}}\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}\equiv \int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{d}}}\right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$ бар, бында
       ${\tilde {I}}\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)\equiv {\begin{cases}I\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right),&({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}})\in D\backslash D_{0}\\\qquad \quad 0&({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}})\in D_{0},\end{cases}}$
    $f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)$ функцияһынан $G$ күмәклеге буйынса ҡабатлы интегралы;
* $\int \limits _{G}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}=\int \limits _{D}{\left[\int \limits _{\,\varphi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}^{\psi \left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d-1}}\right)}{f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)d{{x}_{d}}}\right]d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d-1}}}$.
Теләһә ниндәй d-үлсәмле интегралды d бер үлсәмле интегралға ҡайтарып ҡалдырып була.

# Тапҡырлы интеграл
## Тапҡырлы интегралдарҙы иҫәпләү
### Тапҡырлы интегралда үҙгәреүсәндәрҙе алмаштырып ҡуйыу

math>\ {{D}'}</math> өлкәһен $\ D$-ға күсереүсе ${{\mathbb {R} }^{d}}\leftrightarrow {{\mathbb {R} }^{d}}$ биектив сағылышы бирелһен, ти:
    $\left\{{\begin{aligned}{{t}_{1}}={{\psi }_{1}}\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)\\{{t}_{2}}={{\psi }_{2}}\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)\\\ldots \\{{t}_{d}}={{\psi }_{d}}\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)\\\end{aligned}}\right.$,
бында $t$ — «иҫке» координаталар, ә $x$ — «яңы» координаталар. Артабан сағылдырыуҙы биргән функцияларҙың $\ {{D}'}$ өлкәһендә беренсе тәртиптәге өҙлөкһөҙ айырым сығарылмалары, шулай уҡ сикләнгән һәм нулдән айырмалы якобианы булһын, ти.
    ${\frac {D\left(t\right)}{D\left(x\right)}}={\frac {D\left({{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}}\right)}{D\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)}}$.
Ул саҡта интеграл булыу шарты үтәлгәндә
    $\int \limits _{D}{f\left(T\right)dT}=\int {\int \limits _{D}{\ldots \int {f\left({{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}}\right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}$
үҙгәреүсәндәрҙе алмаштырып ҡуйыу формулаһы дөрөҫ:
    $\int {\int \limits _{D}{\ldots \int {f\left({{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}}\right)d{{t}_{1}}\ldots d{{t}_{d}}}}}=\int {\int \limits _{{D}'}{\ldots \int {f\left({{\psi }_{1}}\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right),\ldots ,{{\psi }_{d}}\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)\right)\left|{\frac {D\left({{t}_{1}},\ldots ,{{t}_{d}}\right)}{D\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)}}\right|d{{x}_{1}}\ldots d{{x}_{d}}}}}$

# Тапҡырлы интеграл
## Тапҡырлы интегралдарҙы иҫәпләү
### Симметрияны ҡулланыу

Әгәр интеграллау өлкәһе интеграллау үҙгәреүсәндәренең кәм тигәндә береһе буйынса координаталар башына ҡарата симметрик булһа һәм интеграл аҫты функцияһы был үҙгәреүсән буйынса таҡ булһа, интеграл нулгә тигеҙ, сөнки өлкәнең ике яртыһы буйынса интегралдар бер үк абсолют ҡиммәткә эйә, әммә ҡапма-ҡаршы тамғалы. Әгәр интеграль аҫты функцияһы был үҙгәреүсән буйынса йоп булһа, интеграл интеграллау өлкәһенең бер яртыһы буйынса икеләтелгән интегралға тигеҙ, сөнки һәр ярты өлкә буйынса интегралдар тигеҙ.
   Миҫал 1. $f(x,y)=2\sin(x)-3y^{3}+5$ функцияһы
       $T=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}$ өлкәһе,
   радиусы 1 һәм үҙәге координаталар башы булған түңәрәк буйынса интегралланһын, ти .
   Һыҙыҡлы булыу үҙсәнлеген файҙаланып, интегралды өс өлөшкә тарҡатырға мөмкин:
       $\iint _{T}(2\sin x-3y^{3}+5)\,dx\,dy=\iint _{T}2\sin x\,dx\,dy-\iint _{T}3y^{3}\,dx\,dy+\iint _{T}5\,dx\,dy$
   2sin(x) и 3y³ таҡ функция булып торалар, бынан тыш, T дискы x күсәренә ҡарата ла, шулай уҡ y күсәре буйынса ла симметрик. Шулай итеп, аҙаҡҡы һөҙөмтәгә 5 константаһы ғыны өлөш индерә.
   Миҫал 2. f(x, y, z) = x exp(y² + z²) функцияһы радиусы 2 һәм үҙәге координаталар башында булған сфера буйнса интегралланһын, ти,
       $T=\left\{(x,y,z)\in \mathbf {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 4\right\}.$
   «Шар» бөтә өс күсәр буйынса симметрик, әммә интеграл 0-гә тигеҙ икәнен күрһәтеү өсөн x күсәре буйынса интеграллау етә, сөнки функция был үҙгәреүсән буйынса таҡ.

# Тапҡырлы интеграл
## Икеләтә интеграл

Икеләтә интеграл тип $\ d=2$ булған тапҡырлы интегралды атайҙар.
    $\iint \limits _{D}{f\left(P\right)d\sigma }$. Бында $\ d\sigma$ — ҡаралған координаталарҙа майҙан элементы.
Тура мөйөшлө координаталарҙа: $\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)dxdy}$, бында $\ dxdy$ — тура мөйөшлө координаталарҙа майҙан элементы.

# Тапҡырлы интеграл
## Икеләтә интеграл
### Икеләтә интегралдың геометрик мәғәнәһе

$f\left(x,y\right)$ функцияһы $\ D$ өлкәһендә тик ыңғай ҡиммәттәр генә ҡабул итһен, ти. Ул саҡта $\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)d\sigma }::$ икеләтә интегралы һан яғынан $\ D$ нигеҙендә төҙөлгән һәм өҫтән $z=f\left(x,y\right)$ йөҙөнөң ярашлы киҫәге менән сикләнгән вертикаль цилиндрик есемдең $\ V$ күләменә тигеҙ.

# Тапҡырлы интеграл
## Икеләтә интеграл
### Икеләтә интегралды поляр координаталар аша күрһәтеү

Ҡайһы бер осраҡтарҙа икеләтә интегралды тура мөйөшлө координаталарҙа түгел, ә поляр координаталарҙа иҫәпләү ябайыраҡ, сөнки был осраҡта интеграллау өлкәһенең күренешенең һәм дөйөм алғанда бөтә интеграллау процесының һиҙелерлек ябайлашыуы мөмкин.
Үҙгәреүсәндәрҙе алмаштырып ҡуйыу тураһында теореманы ҡулланабыҙ. Күсеүгә ярашлы үҙгәртеү түбәндәге күренештә:
    $\left\{{\begin{aligned}&x=r\cos \varphi \\&y=r\sin \varphi \end{aligned}}\right.$
Сағылыш якобианы модуле $\ r$-ға тигеҙ. Шулай итеп табабыҙ
    $\iint \limits _{D}{f\left(x,y\right)dxdy}=\iint \limits _{{D}'}{g\left(r,\varphi \right)rdrd\varphi },\quad$ бында $g\left(r,\varphi \right)=f\left(r\cos \varphi ,r\sin \varphi \right)$.
Бында $\ rdrd\varphi$ поляр координаталарҙа майҙан элементы була.

# Тапҡырлы интеграл
## Икеләтә интеграл
### Ирекле координаталар системаһына күсеү миҫалы

$D=\left\{\left(x,y\right):{{x}^{2}}+{\frac {{y}^{2}}{4}}\leq 1\right\}$ өлкәһенең майҙанын иҫәпләйек.
Поляр координаталар системаһына күсеү өлкәне ябайыраҡ итмәй:
    ${D}'=\left\{\left(r,\varphi \right):{{r}^{2}}\left({{\cos }^{2}}\varphi +{\frac {1}{4}}{{\sin }^{2}}\varphi \right)\leq 1\right\}$.
Синус алдындағы ҡабатлашыусы «ҡамасаулай». Был осраҡта күсеүҙе бер аҙ көйләргә мөмкин:
    $\left\{{\begin{aligned}&x=r\cos \varphi \\&y=2r\sin \varphi \\\end{aligned}}\right.$.
Был үҙгәртеү баштағы өлкәне артабанғы өлкәгә күсерә:
    ${D}''=\left\{\left(r,\varphi \right):{{r}^{2}}\leq 1\right\}\Rightarrow \left\{{\begin{aligned}&0\leq \varphi \leq 2\pi \\&0\leq r\leq 1\\\end{aligned}}\right.$.
Сағылыш якобианы:
    $\left|{\begin{matrix}{{{x}'}_{r}}&{{{y}'}_{r}}\\{{{x}'}_{\varphi }}&{{{y}'}_{\varphi }}\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\cos \varphi &2\sin \varphi \\-r\sin \varphi &2r\cos \varphi \\\end{matrix}}\right|=2r$.
Якобиан модуле шулай уҡ $2r$-ға тигеҙ.
Ошонан сығып
    $S\left(D\right)=\iint \limits _{{D}''}{2rdrd\varphi }=2\int \limits _{0}^{2\pi }{d\varphi }\int \limits _{0}^{1}{rdr}=\int \limits _{0}^{2\pi }{d\varphi }=2\pi$.
Һөҙөмтә дөрөҫ, сөнки $\ D$ өлкәһе каноник тигеҙләмә менән бирелгән эллипс менән сикләнә. Майҙанды $S=\pi ab$ формулаһы буйынса иҫәпләргә мөмкин. Алмаштырыу юлы менән интегралды иҫәпләүҙең дөрөҫлөгөнә инанабыҙ.

# Тапҡырлы интеграл
## Өсәрле интеграл

Өсәрле интеграл тип $\ d=3$ тапҡырлы интеграл атала:
    $\iiint \limits _{D}{f\left(P\right)dV}$
бында $\ dV$ — ҡаралған координаталарҙа күләм элементы.

# Тапҡырлы интеграл
## Өсәрле интеграл
### Өсәрле интегралды тура мөйөшлө координаталар аша күрһәтеү

Тура мөйөшлө координаталарҙа өсләтә интеграл түбәндәге күренештә:
    $\iiint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$
бында $\ dxdydz$ — тура мөйөшлө координаталарҙа күләм элементы.

# Тапҡырлы интеграл
## Өсәрле интеграл
### Өсәрле интегралды цилиндрик координаталар аша күрһәтеү

Оҡшаш рәүештә ҡайһы бер осраҡтарҙа өсләтә интегралды тура мөйөшлө координаталарҙа түгел, ә цилиндрик координаталарҙа иҫәпләү ябайыраҡ. Үҙгәреүсәндәрҙе алмаштырып ҡуйыу тураһында теореманы ҡулланабыҙ. Күсеүгә ярашлы үҙгәртеү түбәндәге күренештә:
    $\left\{{\begin{aligned}&x=r\cos \varphi \\&y=r\sin \varphi \\&z=h\\\end{aligned}}\right.$
Сағылыш якобианы модуле $\ r$-ға тигеҙ. Шулай итеп табабыҙ
    $\iiint \limits _{D}{f\left(x,y,z\right)dxdydz}=\iiint \limits _{{D}'}{f\left(r,\varphi ,h\right)rdrd\varphi dh}$
бында $rdrd\varphi dh$ — цилиндрик координаталарҙа күләм элементы.

# Тапҡырлы интеграл
## Өсәрле интеграл
### Өсәрле интегралды сферик координаталар аша күрһәтеү

Цилиндрик координаталарҙан тыш шулай уҡ сферик координаталарға күсергә мөмкин. Үҙгәреүсәндәрҙе алмаштырып ҡуйыу тураһында теореманы ҡулланабыҙ. Күсеүгә ярашлы үҙгәртеү түбәндәге күренештә:
    $\left\{{\begin{aligned}&x=r\sin \theta \cos \varphi \\&y=r\sin \theta \sin \varphi \\&z=r\cos \theta \\\end{aligned}}\right.$
Сағылыш якобианы модуле $\ {{r}^{2}}\sin \theta$-гә тигеҙ. Шулай итеп табабыҙ
    $\iiint \limits _{D}{f\left(x,y,z\right)dxdydz}=\iiint \limits _{{D}''}{f\left(r,\varphi ,\theta \right){{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta }$
бында ${{r}^{2}}\sin \theta drd\varphi d\theta$ — сферик координаталарҙа күләм элементы.