# Эквивалентлыҡ бәйләнеше

Эквивалентлыҡ бәйләнеше (рус. Отношение эквивалентности) — бирелгән күмәклектең үҙсәнлектәре тигеҙлек бәйләнешенең үҙсәнлектәренә оҡшаш булған элементтары араһында бинар бәйләнеш.

# Эквивалентлыҡ бәйләнеше
## Билдәләмә

$X$ күмәклегендә эквивалентлыҡ бәйләнеше ($\sim$) — ул $X$ күмәклегенән теләһә ниндәй $a,b,c$ өсөн түбәндәге шарттар үтәлгән бинар бәйләнеш:
* рефлексивлыҡ: $a\sim a$;
* симметриялыҡ: әгәр $a\sim b$ булһа, ул саҡта $b\sim a$;
* транзитивлыҡ: әгәр $a\sim b$ һәм $b\sim c$ булһа, ул саҡта $a\sim c$.
«$a\sim b$» күренешендәге яҙыу «$a$ эквивалентлы $b$-ға» тип уҡыла.

# Эквивалентлыҡ бәйләнеше
## Бәйле билдәләмәләр

$a\in X$ элементының эквивалентлыҡ класы $[a]\subset X$ тип $a$-ға эквивалентлы элементтары аҫкүмәклеге атала; йәғни,
    $[a]=\{\,x\in X\mid x\sim a\,\}$.
Юғарыла килтерелгән билдәләмәнән кисекмәҫтән, әгәр $b\in [a]$ булһа, ул саҡта $[a]=[b]$ булыуы килеп сыға.
Факторкүмәклек — бирелгән $X$ күмәклегенең бирелгән $\sim$ бәйләнеше буйынса бөтә эквивалентлыҡ кластары күмәклеге, $X/{\sim }$ тип тамғалана.
$a$ элементының эквивалентлыҡ класы өсөн ошондай тамғалауҙар ҡулланыла: $[a]$, $a/{\sim }$, ${\overline {a}}$.
$\sim$ эквивалентлыҡ бәйләнешенә ҡарата эквивалентлыҡ кластары күмәклеге күмәклектең бүленеүе булып тора.

# Эквивалентлыҡ бәйләнеше
## Миҫалдар

* Тигеҙлек («$=$»), теләһә ниндәй күмәклектә тривиаль эквивалентлыҡ бәйләнеше, айырым алғанда, ысын һандар күмәклегендә.
* Модуле буйынса сағыштырыу: а ≡ b (mod n).
* Евклид геометрияһында
** Конгруэнтлыҡ бәйләнеше («$\cong$»).
** Оҡшашлыҡ бәйләнеше («$\sim$»).
** Тура һыҙыҡтарҙың параллеллеге бәйләнеше («$\|$») (әгәр һәр тура һыҙыҡты үҙ-үҙенә параллель тип иҫәпләгәндә).
* Математик анализда функцияларҙың эквивалентлығы:
    $x\rightarrow x_{0}$-да $f(x)$ функцияһы $g(x)$ функцияһына эквивалентлы була, әгәр уны $f(x)=\alpha (x)g(x)$ күренешендә күрһәтеп булһа, бында $x\rightarrow x_{0}$-да $\alpha (x)\rightarrow 1$. Был осраҡта $f(x)\sim g(x)$ тип яҙалар, кәрәк булғанда һүҙ $x\rightarrow x_{0}$-да функцияларҙы сағыштырыу тураһында барыуы иҫкә төшөрөлә. Әгәр $x\neq x_{0}$ булғанда $g(x)\neq 0$ булһа, $x\rightarrow x_{0}$-да $f(x)$ һәм $g(x)$ функцияларының эквивалентлығы, күренеүенсә, $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$ нисбәтенә тиң.
* Векторлы арауыҡта Нормаларҙың эквивалентлығы.
* Күмәклектәрҙең тиң ҡеүәтлелек бәйләнеше.
* Төркөмдәрҙең, ҡулсаларҙың, векторлы арауыҡтарҙың изоморфизмы
* Категорияларҙың эквивалентлығы.
* Ниндәйҙер категорияла изоморфизм был категорияла эквивалентлыҡ бәйләнешен бирә.
* Шыма күп төрлөлөктөң шыма атластары эквивалентлығы.

# Эквивалентлыҡ бәйләнеше
## Эквивалентлыҡ кластары

$\sim$ эквивалентлыҡ бәйләнешенә яуап биргән бөтә эквивалентлыҡ кластары күмәклеге, $X/{\sim }$ символы менән тамғалана һәм $\sim$ эквивалентлыҡ бәйләнешенә ҡарата факторкүмәклек тип атала. Шул уҡ ваҡытта
    $p\colon x\mapsto [x]$ сюръектив сағылышы
$X$ күмәклегенең $X/{\sim }$ факторкүмәклегенә тәбиғи сағылышы (йәки каноник проекцияһы) тип атала.
$X$ һәм $Y$ — күмәклектәр, $f\colon X\to Y$ — сағылышы булһын, ти, ул саҡта
    $x\sim y\iff f(x)=f(y),\quad x,y\in X$ ҡағиҙәһе менән билдәләнгән $x\sim y$ бинар бәйләнеше $X$ күмәклегендә эквивалентлыҡ бәйләнеше була.
Был ваҡытта $f$ сағылышы
    ${\overline {f}}([x])=f(x)$ ҡағиҙәһе,
йәки, шул уҡ булған,
    $({\overline {f}}\circ p)(x)=f(x)$ менән билдәләнгән ${\overline {f}}\colon X/{\sim }\to Y$ сағылышын тыуҙыра.
Был ваҡытта $f$ сағылышының $p$ сюръектив сағылышына һәм ${\overline {f}}$ инъектив сағылышна факторизацияһы килеп сыға.