# Абель төркөмө

А́бель (йәки коммутати́в) төркөм — төркөм операцияһы коммутатив булған төркөм; икенсе төрлө әйткәндә, әгәр теләһә ниндәй ике $a,\;b\in G$ элементтары өсөн $a*b=b*a$ үтәлһә, $(G,\;*)$ Абель төркөмө.
Абель төркөмөндә төркөм операцияһын тамғалау өсөн аддитив яҙыу ҡулланыла, йәғни төркөм операцияһы $+$ тамғаһы менән тамғалана һәм ҡушыу тип атала.
Исеме норвег математигы Нильс Абель хөрмәтенә аталған.

# Абель төркөмө
## Миҫалдар

* Һыҙыҡлы арауыҡта параллель күсерештәр төркөмө.
* Теләһә ниндәй циклик төркөм $G=\langle a\rangle$ Абель төркөмө. Ысынлап та, теләһә ниндәй $x=a^{n}$ һәм $y=a^{m}$ өсөн түбәндәгеләр дөрөҫ:
    $xy=a^{m}a^{n}=a^{m+n}=a^{n}a^{m}=yx$.
** Атап әйткәндә, $\mathbb {Z}$ бөтөн һандар күмәклеге ҡушыу буйынса коммутатив төркөм; шул уҡ вычеттар класы өсөн дөрөҫ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \,.$
* Теләһә ниндәй ҡулса үҙенең ҡушыуы буйынса коммутатив (Абель) төркөм; ҡушыу ғәмәле менән $\mathbb {R}$ ысын һандар яланы миҫал булып хеҙмәт итә ала.
* Коммутатив ҡулсаның әйләндерелмәле элементтары (айырып әйткәндә, теләһә ниндәй яландың нулдән айырмалы элементтары) ҡабатлау буйынса Абель төркөмөн төҙөй. Мәҫәлән, нулдән айырмалы ысын һандар күмәклеге ҡабатлау ғәмәле менән Абель төркөмө була.

# Абель төркөмө
## Бәйле билдәләмәләр

* Векторлы арауыҡ үлсәнешенә оҡшаш рәүештә, һәр Абель төркөмөнөң рангы бар. Ул $\mathbb {Q}$ рациональ һандар яланы өҫтөндә векторлы арауыҡтың иң бәләкәй үлсәнеше кеүек билдәләнә, уға, уның сиралыуы буйынса төркөм факторы һалына.

# Абель төркөмө
## Үҙсәнлектәре

* Әлбиттә барлыҡҡа килтерелгән Абель төркөмдәре циклик төркөмдәрҙең тура суммаларына изоморфлы.
** Сикле Абель төркөмдәре сикле циклик төркөмдәрҙең тура суммаларына изоморфлы.
* Теләһә ниндәй Абель төркөмөндә бөтөн һандар ҡулсаһы өҫтөндә модулдең тәбиғи структураһы бар. Ысынлап та, $n$ — натураль һан булһын, ти, ә $x$ — + тип тамғаланған ғәмәл менән $G$ коммутатив төркөмдөң элементы, ул саҡта $nx$-ты $x+x+\ldots +x$ ($n$ тапҡыр) һәм $(-n)x=-(nx)$ тип билдәләргә мөмкин.
** Абель төркөмдәре (йәғни төп идеалдар өлкәһе өҫтөндә модулдәр $\mathbb {Z}$) өсөн дөрөҫ булған раҫлауҙар һәм теоремалар, йыш ҡына төп идеалдарҙың ирекле өлкәләре өҫтөндә модулдәргә дөйөмләштерелергә мөмкиндәр. Сикле барлыҡҡа килтерелгән Абель төркөмдәренең классификацияһы ғәҙәттәге миҫал булып тора, уны төп идеалдар өлкәһе өҫтөндә ирекле сикле барлыҡҡа килтерелгән модулдәрҙе классификациялауға тиклем дөйөмләштерергә була.
* $G$-нан $H$-ҡа бөтә төркөм гомоморфизмдарының гомоморфизмдары күмәклеге $\operatorname {Hom} (G,\;H)$ үҙе Абель төркөмө булып тора. Ысынлап та, $f,\;g:G\to H$ — Абель төркөмдәре араһында ике төркөмдәр гомоморфизмы булһын, ул саҡта уларҙың $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ булараҡ бирелгән суммаһы $f+g$, шулай уҡ гомоморфизм була (әгәр $H$ коммутатив төркөм булмаһа, был дөрөҫ түгел).
* Абель төркөмө булыу төшөнсәһе $G$ төркөмөнөң үҙәге $Z(G)$ — уның, $G$ төркөмөнөң һәр элементы менән коммутатив булған элементтарынан торған күмәклек төшөнсәһе, һәм үҙенсәлекле «абеллек үлсәме» ролен уйнаған күмәклек менән тығыҙ бәйләнгән. Төркөм Абель төркөмө була шул саҡта һәм бары тик шул саҡта ғына, әгәр уның үҙәге бөтә төркөм менән тап килһә.

# Абель төркөмө
## Сикле Абель төркөмдәре

Сикле Абель төркөмдәренең структураһы тураһында нигеҙ һалыусы теорема, теләһә ниндәй сикле Абель төркөмө, тәртиптәре ябай һандарҙың дәрәжәләре булған үҙенең циклик аҫтөркөмдәренең тура суммаһына тарҡатылырға мөмкин, тип раҫлай. Был дөйөм сикле барлыҡҡа килтерелгән Абель төркөмдәренең структураһы тураһында теореманың, төркөмдөң сикһеҙ тәртиптәге элементтары булмаған осраҡ өсөн эҙемтәһе. $\mathbb {Z} _{mn}$ $\mathbb {Z} _{m}$ һәм $\mathbb {Z} _{n}$-дың тура суммаһына изоморфлы шул саҡта һәм бары тик шул саҡта ғына, әгәр $m$ һәм $n$ үҙ-ара ябай һандар булһалар.
Ошонан сығып, $G$ Абель төркөмөн тура сумма формаһында яҙырға мөмкин
    $\mathbb {Z} _{k_{1}}\oplus \ldots \oplus \mathbb {Z} _{k_{u}}$
төрлө ике ысул менән:
* Бында $k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$ һандары ябай һандарҙың дәрәжәләре
* Бында $k_{1}$ $k_{2}$-не бүлә, ул $k_{3}$-тө бүлә, һәм шулай артабан $k_{u}$-ға тиклкм.
Мәҫәлән, $\mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{15}$ төркөмө 3 һәм 5 тәртибендәге ике циклик аҫтөркөмдәренең тура суммаһына тарҡатылырға мөмкин: $\mathbb {Z} /15\mathbb {Z} =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$. Шуны уҡ теләһә ниндәй ун биш тәртибендәге Абель төркөмдәре тураһында әйтергә мөмкин; һөҙөмтәлә ун биш тәртибендәгео бөтә Абель төркөмөдәре лә изоморфлы тигән һығымтаға киләбеҙ.

# Абель төркөмө
## Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

* Дифференциаль төркөм тип шундай $d\colon \mathbf {C} \to \mathbf {C}$ эндоморфизмы бирелгән, бында $d^{2}=0$, $\mathbf {C}$ Абель төркөмө атала. Был эндоморфизм дифференциал тип атала. Дифференциаль төркөмдәрҙең элементтары сынйырҙар, ядроның элементтары $\ker \,d$ — циклдар, образдың элементтары $\mathrm {Im} \,d$ — сиктәр тип аталалар.
* Ҡулса — дистрибутивлыҡ аксиомаларын ҡәнәғәтләндергән өҫтәлмә «ҡабатлау» бинар операцияһы бирелгән Абель төркөмө.
* Метабель төркөмө — коммутанты Абель төркөмө булған төркөм.
* Нильпотентлы төркөм — үҙәк рәте сикле булған төркөм.
* Хәл итерлек төркөм — коммутанттары рәте тривиаль төркөмдә стабилләшкән төркөм.
* Дедекинд төркөмө — теләһә ниндәй аҫтөркөмө нормаль булған төркөм.