# Функциялар композицияһы

Фу́нкциялар компози́цияһы (йәки фу́нкциялар суперпози́цияһы) — ул бер функцияны икенсе функция һөҙөмтәһенә ҡулланыу.
$G$ һәм $F$ функциялары композицияһын ғәҙәттә $G\circ F$ тип тамғалайҙар, был $G$ функцияһын $F$ функцияһы һөҙөмтәһенә ҡулланыуҙы аңлата, йәғни $(G\circ F)(x)=G(F(x))$.

# Функциялар композицияһы
## Билдәләмә

$F:X\to Y$ һәм G:F(X)→Z{\textstyle G:F(X)\to Z} — ике функция булһын, ти ($F(X)\subset Y$). Ул саҡта был функцияларҙың композицияһы тип түбәндәге тигеҙлек менән билдәләнгән $G\circ F:X\to Z$ функцияһы атала:
    $(G\circ F)(x)=G(F(x)),\;x\in X.$

# Функциялар композицияһы
## Бәйле билдәләмәләр

* «Ҡатмарлы функция» термины ике функция композицияһына ла ҡулланыла, шуға ҡарамаҫтан ул йышыраҡ бер нисә үҙгәреүсәнле функцияның эсенә бер юлы бер йәки бер нисә үҙгәреүсәнле бер нисә функция бирелгән осраҡта ҡулланыла. Мәҫәлән, ҡатмарлы функция тип түбәндәге күренештәге $G$ функцияһын атарға була
    $G(x,y)=F(u(x,y),v(x,y)),$
    сөнки ул эсенә $u$ һәм $v$ функцияларының һөҙөмтәһе индерелгән $F$ функцияһы булып тора.

# Функциялар композицияһы
## Композициялар үҙсәнлектәре

* Композиция ассоциатив:
    $(H\circ G)\circ F=H\circ (G\circ F).$
* Әгәр $F=\mathrm {id} _{X}$ — $X$-ҡа тождестволы сағылдырыу булһа, йәғни
    $F(x)=\mathrm {id} _{X}(x)=x,\;\forall x\in X,$
    ул саҡта
       $G\circ \mathrm {id} _{X}=G.$
* Әгәр $G=\mathrm {id} _{Y}$ — $Y$-кәтождестволы сағылдырыу булһа, йәғни
    $G(y)=\mathrm {id} _{Y}(y)=y,\;\forall y\in Y,$
    ул саҡта
       $\mathrm {id} _{Y}\circ F=F.$
* $X$ күмәклегенең үҙенә бөтә биекциялары арауығын ҡарайыҡ һәм уны ${\mathcal {F}}_{X}$ тип тамғалайыҡ. Йәғни, әгәр $F\in {\mathcal {F}}_{X}$ булһа, ул саҡта $F:X\to X$ — биекция. Ул саҡта ${\mathcal {F}}_{X}$-тан функциялар композицияһы бинар операция була, ә $({\mathcal {F}}_{X},\circ )$ — төркөм. $\mathrm {id} _{X}$ был төркөмдөң нейтраль элементы була. $F^{-1}\in {\mathcal {F}}_{X}$ — $F\in {\mathcal {F}}_{X}$ элементына кире элемент (кире функция) була.
** $({\mathcal {F}}_{X},\circ )$ төркөмө, дөйөм әйткәндә, коммутатив түгел, йәғни $F_{1}\circ F_{2}\not =F_{2}\circ F_{1}$.

# Функциялар композицияһы
## Өҫтәлмә үҙсәнлектәре

* $f:X\to Y$ функцияһының $a$ нөктәһендә $\lim _{x\to a}f(x)=b$ сикләмәһе булһын, ти, ә $g:f(X)\subset Y\to Z$ функцияһының $b$ нөктәһендә $\lim _{y\to b}g(x)$ сикләмәһе булһын. Ул саҡта, әгәр $a$ нөктәһенең тишек тирә-яғы булһа, уның $X$ күмәклеге менән киҫелешен $f:X\to Y$ функцияһы $b$ нөктәһенең тишек тирә-яғына сағылдырһа, ул саҡта $a$ нөктәһендә $g\circ f:X\to Z$ функциялар композицияһының сикләмәһе була һәм артабанғы тигеҙлек үтәлә: $\lim _{x\to a}g(f(x))=\lim _{y\to b}g(y).$
* Әгәр $f:X\to Y$ функцияһының $a$ нөктәһендә $\lim _{x\to a}f(x)=b$ сикләмәһе булһа, ә $g:f(X)\subset Y\to Z$ функцияһы $b$ нөктәһендә өҙлөкһөҙ булһа, ул саҡта $a$ нөктәһендә $g\circ f:X\to Z$ функциялар композицияһының сикләмәһе була һәм артабанғы тигеҙлек үтәлә: $\lim _{x\to a}g(f(x))=g(\lim _{x\to a}f(x))=g(b).$
* Өҙлөкһөҙ функциялар композицияһы өҙлөкһөҙ була. $(X,{\mathcal {T}}_{X}),(Y,{\mathcal {T}}_{Y}),(Z,{\mathcal {T}}_{Z})$ — топологик арауыҡтар булһын, ти. $f:X\to Y$ һәм $g:f(X)\subset Y\to Z$ — ике функция икән, ти, $y_{0}=f(x_{0})$, $f\in C(x_{0})$ һәм $g\in C(y_{0})$. Ул саҡта $g\circ f\in C(x_{0})$.
* Дифференциалланыусы функциялар композицияһы дифференциалланыусы функция була. $f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, $y_{0}=f(x_{0})$, $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$ һәм $g\in {\mathcal {D}}(y_{0})$ булһын, ти. Ул саҡта $g\circ f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$, һәм
    $(g\circ f)'(x_{0})=g'(y_{0})\cdot f'(x_{0})$.
* ↑ 2-12.11 // ISO 80000-2:2019Quantities and units — Part 2: Mathematics — 2 — Халыҡ-ара стандартлаштырыу ойошмаһы, 2019. — 36 с.