# Параллелограмм

Параллелогра́мм (бор. грек. παραλληλόγραμμον παράλληλος — параллель һәм γραμμή — һыҙыҡ һүҙҙәренән) — ҡапма-ҡаршы яҡтары параллель, йәғни параллель тура һыҙыҡтарҙа ятҡан дүртмөйөш ул. Тура дүртмөйөш, квадрат һәм ромб параллелограмдың айырым осраҡтары булып торалар.

# Параллелограмм
## Үҙсәнлектәре

* Параллелограмдың ҡаршы ятыусы яҡтары тигеҙ.
* Параллелограмдың ҡаршы ятыусы мөйөштәре тигеҙ.
* Бер яғына теркәлгән мөйөштәренең суммаһы 180°-ҡа тигеҙ (параллель тура һыҙыҡтарҙың үҙсәнлеге буйынса).
* Параллелограмдың диагоналдәре киҫешәләр һәм киҫешеү нөктәһендә урталай бүленәләр:
    $\left|AO\right|=\left|OC\right|,\left|BO\right|=\left|OD\right|$.
* Параллелограмдың диагоналдәре киҫешкән нөктә уның симметрия үҙәге була.
* Параллелограмм диагонале менән ике тигеҙ өсмөйөшкә бүленә.
* Параллелограмдың урта һыҙыҡтары уның диагоналдәре киҫешкән нөктәлә киҫешәләр. Был нөктәлә уның ике диагонале һәм ике урта һыҙығы урталай бүленәләр.
* Параллелограмм тождествоһы: параллелограмдың диагоналдәре квадраттарының суммаһы уның ике эргәләш яҡтарының икеләтелгән квадраттары суммаһына тигеҙ: а — AB яғының оҙонлоғо, b — BC яғының оҙонлоғо, $d_{1}$ һәм $d_{2}$ — диагоналдәренең оҙонлоҡтары булһын, ти; ул саҡта
    $d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2}).$
    Параллелограмм тождествоһы ирекле дүртмөйөш өсөн Эйлер формулаларының ябай эҙемтәһе булып тора: дүртмөйөштөң диагоналдәренең урталары араһындағы алыҫлыҡтың дүртләтелгән квадраты уның яҡтарының квадраттары суммаһы алынған уның диагоналдәренең квадраттары суммаһына тигеҙ. Параллелограмдың ҡаршы ятыусы яҡтары тигеҙ, ә диагоналдәренең урталары араһындағы алыҫлыҡ нулгә тигеҙ.
* һәр ваҡыт параллелограмды параллелограмға күсерә. Теләһә ниндәй параллелограмм өсөн уны квадратҡа үҙгәртеүсе аффиналы үҙгәртеү бар.

# Параллелограмм
## Параллелограмдың билдәләре

ABCD дүртмөйөшө параллелограмм була, әгәр түбәндәге шарттарҙың береһе үтәлһә (был осраҡта бөтә ҡалған шарттар ҙа үтәлә):
* Дүртмөйөштөң ике ҡаршы ятҡан яғы бер үк ваҡытта тигеҙ һәм параллель булһа: $AB=CD,AB\parallel CD$.
* Дүртмөйөштөң ҡаршы ятыусы мөйөштәре пар-пар тигеҙ булһа: $\angle A=\angle C,\angle B=\angle D$.
* Дүртмөйөштөң ҡаршы ятыусы яҡтары пар-пар тигеҙ булһа: $AB=CD,BC=DA$.
* Дүртмөйөштөң ҡаршы ятыусы яҡтары пар-пар параллель булһа: $AB\parallel CD,BC\parallel DA$.
* Диагоналдәре киҫешеү нөктәһендә урталай бүленһәләр: $AO=OC,BO=OD$.
* Күрше ятҡан мөйөштәренең суммаһы 180 градус булһа: $\angle A+\angle B=180^{\circ },\angle B+\angle C=180^{\circ },\angle C+\angle D=180^{\circ },\angle D+\angle A=180^{\circ }$.
* Ҡабарынҡы дүртмөйөштөң ҡаршы ятыусы яҡтарының урталары араһындағы алыҫлыҡтарҙың суммаһы уның ярым периметрына тигеҙ булһа.
* Ҡабарынҡы дүртмөйөштөң диагоналдәренең квадраттары суммаһы уның яҡтарының квадраттары суммаһына тигеҙ булһа: $AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}$.

# Параллелограмм
## Параллелограмдың майҙаны

    Бында тап параллелограммға хас булған формулалар килтерелгән. Шулай уҡ ҡара:
ирекле дүртмөйөштәрҙең майҙандары өсөн формулалар.
Параллелограмдың майҙаны уның нигеҙе менән бейеклеге ҡабатландығына тигеҙ:
    $S=ah$ , бында $a$ — яғы, $h$ — был яғына төшөрөлгән бейеклеге.
Параллелограмдың майҙаны уның яҡтарының улар араһындағы мөйөш синусына ҡабатландығына тигеҙ:
    $S=ab\sin \alpha ,$
    бында $a$ һәм $b$ — яҡтары, ә $\alpha$ — $a$ һәм $b$ яҡтары араһындағы мөйөш.
Шулай уҡ параллелограмдың майҙаны яҡтары $a,\ b$ һәм теләһә ниндәй диагоналенең оҙонлоғо $d$ аша Герон формулаһы буйынса ике тигеҙ терәлеп ятҡан өсмөйөштәренең майҙандары суммаһы булараҡ күрһәтелә ала:
    $S=2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-d)}}$
    бында $p=(a+b+d)/2.$

# Параллелограмм
## Шулай уҡ ҡара

* Тебо теоремаһы 1
* Параллелепипед
* Вариньон параллелограмы