# Поляр координаталар системаһы

Поляр координаталар системаһы — яҫылыҡтағы һәр нөктә ике һан — поляр мөйөш һәм поляр радиус менән бер төрлө билдәләнгән ике үлсәмле координаталар системаһы. Поляр координаталар системаһы бигерәк тә нөктәләр араһындағы бәйләнеште радиустар һәм мөйөштәр рәүешендә һүрәтләү ябайыраҡ булған осраҡта файҙалы; киңерәк таралған Декарт, йәки тура мөйөшлө, координаталар системаһында ундай бәйләнештәрҙе тик тригонометрик тигеҙләмәләр ҡулланыу юлы менән генә булдырырға мөмкин.
Поляр координаталар системаһы нулле нур, йәки поляр күсәр тип аталған нур менән бирелә. Был нур сыҡҡан нөктә координаталар башы, йәки полюс тип атала. Яҫылыҡтағы теләһә ниндәй нөктә радиаль һәм мөйөшлө ике поляр координата менән бирелә. Радиаль координата (ғәҙәттә $r$ тип тамғалана)нөктәнән координаталар башына тиклемге алыҫлыҡҡа ярашлы. Мөйөшлө координата шулай уҡ поляр мөйөш йәки азимут тип атала һәм $\varphi$ тип тамғалана, ул был нөктәгә барыу өсөн поляр күсәрҙе сәғәт уғы йүнәлешенә ҡаршы борорға кәрәк булған мөйөшкә тигеҙ.
Ошолай итеп билдәләнгән радиаль координата нулдән сикһеҙлеккә тиклемге ҡиммәттәр ҡабул итә ала, ә мөйөшлө координата 0°-дән 360°-ҡа тиклем ҡиммәттәр ҡабул итә. Әммә, уңайлылыҡ өсөн поляр координатаның ҡиммәттәре өлкәһен тулы мөйөштән ситкә киңәйтергә, шулай уҡ уға поляр күсәрҙе сәғәт уғы йүнәлешендә бороуға тап килгән тиҫкәре ҡиммәттәр ҡабул итергә рөхсәт итергә лә мөмкин.

# Поляр координаталар системаһы
## Тарихы

Мөйөш һәм радиус төшөнсәләре б. э. т. беренсе мең йыллыҡта уҡ билдәле булған. Грек астрономы Гиппарх (б. э. т. 190—120 йй.) төрлө мөйөштәр өсөн хордалар оҙонлоғо килтерелгән таблица төҙөй. Уның тарафынан күк есемдәренең урынын билдәләү өсөн поляр координаталар ҡулланылыуы тураһында мәғлүмәттәр бар. Архимед үҙенең «Спиралдәр» китабында Архимед спирален, радиусы мөйөшкә бәйле функцияны һүрәтләй. Әммә грек ғалимдарының хеҙмәттәре координаталар системаһын тулы билдәләүгә тиклем үҫешеп етмәй.
IX быуатта фарсы математигы Хаббаш әл-Хасиб (әл-Мәрүәзи́) поляр координаталарҙы үҙәге сфералағы ниндәйҙер нөктәлә булған икенсе координаталар системаһына үҙгәртеү өсөн картографик проекция һәм сфера тригонометрияһы ысулдарын ҡуллана, был осраҡта, Ҡибланы — Мәккәгә йүнәлеште билдәләү өсөн. Фарсы астрономы Әбү Райхан Бируни (973—1048) поляр координаталар системаһын һүрәтләүгә оҡшаған идеялар тәҡдим итә. Ул яҡынса 1025 йылда күк йөҙөнөң поляр экви-азимуталь тигеҙ аралыҡлы проекцияһын һүрәтләүсе беренсе кеше була.
Поляр координаталарҙы формаль координаталар системаһы сифатында индереү тураһында төрлө фекерҙәр бар. Поляр координаталар системаһының барлыҡҡа килеү тарихы һәм тикшеренеүҙәр Гарвард профессоры Джулиан Лоувел Кулидждың «Происхождение полярных координат» хеҙмәтендә һүрәтләнгән. Грегуар де Сен-Венсан һәм Бонавентура Кавальери бер-береһенә бәйһеҙ рәүештә, XVII быуат уртаһында шундай уҡ концепцияға киләләр. Сен-Венсан поляр системаны шәхси яҙмаларында 1625 йылда һүрәтләй, үҙенең хеҙмәттәрен 1647 йылда баҫтыра; ә Кавальери үҙенең хеҙмәттәрен 1635 йылда, ә төҙәтелгән версияны 1653 йылда баҫтыра. Кавальери поляр координаталарҙы Архимед спирале менән сикләнгән майҙанды иҫәпләү өсөн ҡуллана. Блез Паскаль аҙағыраҡ поляр координаталарҙы парабола дуғаһы оҙонлоғон иҫәпләү өсөн ҡуллана.
«Метод флюксий» китабында (инглизсә Method of Fluxions, 1671 йылда яҙылған, 1736 йылда баҫтырылған) сэр Исаак Ньютон поляр координаталар араһында үҙгәртеүҙе тикшерә, ул уларҙы «Етенсе ысул; Спиралдәр өсөн» («ингл. Seventh Manner; For Spirals»), һәм туғыҙ башҡа координаталар системалары тип аңлата. 1691 йылда Acta eruditorum журналында баҫылып сыҡҡан мәҡәләлә, Якоб Бернулли тура һыҙыҡта нөктә билдәләнгән система ҡуллана, уларҙы ул ярашлы рәүештә поляр күсәр һәм полюс тип атай. Координаталар полюстан алыҫлыҡ һәм поляр күсәрҙән мөйөш итеп бирелә. Бернулли хеҙмәте был координаталар системаһында бирелгән кәкре һыҙыҡтарҙың кәкрелек радиусын табыу проблемаһына арналған була.
«Поляр координаталар» терминын Грегорио Фонтана индергән тип иҫәпләйҙәр. XVIII быуатта ул итальян авторҙарының лексиконына инә. Инглиз теленә термин Сильвестр Лакруаның «Дифференциальное и интегральное исчисление» трактатының 1816 йылда Джордж Пикок эшләгән тәржемәһе аша инә Өс үлсәмле арауыҡ өсөн поляр координаталарҙы беренсе тапҡыр Алекси Клеро тәҡдим итә, ә Леонард Эйлер ярашлы системаны беренсе булып ентекләп эшләй.

# Поляр координаталар системаһы
## График күҙаллау

Поляр координаталар системаһында һәр нөктә ике поляр координата менән бирелә, ғәҙәттә $r$ радиаль координата (тамғалауҙың $\rho$ тигән варианттары осрай) һәм $\varphi$ мөйөшлө координата, поляр мөйөш, фаза мөйөшө, азимут, позицион мөйөш (ҡайһы берҙә $\theta$ йәки $t$ тип яҙыла) тип атала. $r$ координатаһы нөктәнән үҙәккә, йәғни координаталар системаһының полюсына тиклемге алыҫлыҡты күрһәтә, ә $\varphi$ координатаһы 0°-лы нурҙан (ҡайһы берҙә координаталар системаһының поляр күсәре тип атала) сәғәт уғына ҡаршы йүнәлештә иҫәпләнгән мөйөшкә тигеҙ.
Поляр радиус яҫылыҡтың теләһә ниндәй нөктәһе өсөн билдәле һәм һәр ваҡыт тиҫкәре булмаған ҡиммәттәр ҡабул итә $r\geqslant 0$. Поляр мөйөш $\varphi$ $O$ полюсынан башҡа яҫылыҡтың теләһә ниндәй нөктәһе өсөн билдәле һәм $-\pi <\varphi \leqslant \pi$ ҡиммәттәрен ҡабул итә. Поляр мөйөш радиандарҙа үлсәнә һәм поляр күсәрҙән башлап иҫәпләнә:
* ыңғай йүнәлештә (сәғәт уғына ҡаршы йүнәлештә), әгәр мөйөштөң ҡиммәте ыңғай булһа;
* тиҫкәре йүнәлештә (сәғәт уғы йүнәлешендә), әгәр мөйөштөң ҡиммәте тиҫкәре булһа.
Мәҫәлән, координаталары $(3,\;60^{\circ })$ булған нөктә графикта поляр күсәр менән 60°-лы мөйөш төҙөгән нурҙа, полюстан 3 берәмек алыҫлыҡта ятҡан нөктә булып һүрәтләнә. Координаталары $(3,\;-300^{\circ })$ булған нөктә шул уҡ урында була.
Поляр координаталар системаһының мөһим үҙсәнлектәренең береһе булып, бер үк нөктәнең сикһеҙ күп ысулдар менән күрһәтелә алыуы тора. Был шунлыҡтан килеп сыға, азимутты билдәләү өсөн поляр күсәрҙе ул нөктәгә күрһәтерлек итеп борорға кәрәк. Ләкин нөктәгә йүнәлеш, ирекле һанда өҫтәлмә тулы әйләнеш яһауҙан үҙгәрмәй. Дөйөм осраҡта $(r,\;\varphi )$ нөктәһе $(r,\;\varphi \pm n\times 360^{\circ })$ йәки $(-r,\;\varphi \pm (2n+1)\times 180^{\circ })$ күренешендә күрһәтелергә мөмкин, бында $n$ — ирекле бөтөн һан.
Полюс $(0,\;\varphi )$ координаталары менән бирелә. $\varphi$ координатаһына бәйһеҙ рәүештә, полюстан нуль алыҫлығындағы нөктә һәр ваҡыт шунда ята. Нөктәнең бер төрлө координаталарын алыу өсөн, ғәҙәттә алыҫлыҡ ҡиммәтен тиҫкәре булмаған ҡиммәттәргә тиклем $r\geqslant 0$, ә $\varphi$ мөйөшөн $[0,\;360^{\circ })$ йәки $(-180^{\circ },\;180^{\circ }]$ (радиандарҙа $[0,\;2\pi )$ или $(-\pi ,\;\pi ]$) интервалы менән сикләргә кәрәк.
Поляр координаталарҙа мөйөштәр йәки градустарҙа, йәки радиандарҙа бирелә, шуның менән бергә $2\pi \;\mathrm {RAD} =360^{\circ }$. Һайлау, ҡағиҙә булараҡ, ҡулланыу өлкәһенә бәйле. Навигацияла традиция буйынса градустар ҡулланыла, физиканың ҡайһы бер бүлектәрендә һәм математиканың бөтә бүлектәрендә тиерлек радиандар ҡулланыла.

# Поляр координаталар системаһы
## График күҙаллау
### Декарт һәм поляр координаталар араһында бәйләнеш

$r$ һәм $\varphi$ поляр координаталар парын $x$ һәм $y$ Декарт координаталарына синус һәм косинус тригонометрик функцияларын ҡулланып күсерергә була (шуның менән бергә, поляр координаталар системаһының нулле нуры Декарт системаһының $x$ күсәре менән тап килә тип күҙаллана):
    $x=r\cos \varphi ,$
    $y=r\sin \varphi ,$
Ә ике $x$ һәм $y$ Декарт координаталарын $r$ поляр координатаһына күсерергә мөмкин:
    $r^{2}=y^{2}+x^{2}$ (Пифагор теоремаһы буйынса).
$\varphi$ мөйөш координатаһын табыу өсөн түбәндәге ике фекерҙе иғтибарға алырға кәрәк:
* ${r\equiv 0}$ өсөн, $\varphi$ теләһә ниндәй ысын һан булырға мөмкин.
* $r\neq 0$ өсөн, $\varphi$-ның уникаль ҡиммәтен табыу маҡсатында, $2\pi$ интервалы менән сикләнергә кәрәк. Ғәҙәттә $[0,\;2\pi )$ йәки $(-\pi ,\;\pi ]$ интервалын һайлайҙар.
$\varphi$-ның ҡиммәтен $[0,\;2\pi )$ интервалында иҫәпләү өсөн, түбәндәге тигеҙләмәләрҙе файҙаланырға була ($\mathrm {arctg}$ тангенсҡа кире функцияны аңлата):
    $\theta ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}}),&x>0,y\geq 0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+2\pi ,&x>0,y<0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+\pi ,&x<0\\{\frac {\pi }{2}},&x=0,y>0\\{\frac {3\pi }{2}},&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{cases}}$
$\varphi$-ның ҡиммәтен $(-\pi ,\;\pi ]$ интервалында иҫәпләү өсөн, түбәндәге тигеҙләмәләрҙе файҙаланырға була:
    $\theta ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}}),&x>0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})+\pi ,&x<0,y\geq 0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x}})-\pi ,&x<0,y<0\\{\frac {\pi }{2}},&x=0,y>0\\-{\frac {\pi }{2}},&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{cases}}$
Поляр мөйөштө иҫәпләү өсөн $y$-тең $x$-ҡа сағыштырмаһын белеү генә етмәй, ә тағы ла был һандарҙың тамғаһын белергә кәрәк икәнен иҫәпкә алып, хәҙерге программалау телдәренең күптәренең, һандың арктангенсын билдәләүсе atan функцияһынан тыш, үҙенең функциялары араһында тағы ла өҫтәлмә atan2 функцияһы бар, уларҙың числитель һәм знаменатель өсөн айырым аргументтары бар. Мотлаҡ белергә кәрәк булмаған аргументтарға булышлыҡ итеүсе программалау телдәрендә (мәҫәлән, Common Lispта), atan функцияһы $x$ координатаһының ҡиммәтен алырға мөмкин.

# Поляр координаталар системаһы
## Кәкре һыҙыҡтарҙың поляр координаталарҙа тигеҙләмәһе

Поляр координаталар системаһының радиаль тәбиғәте арҡаһында, ҡайһы бер кәкре һыҙыҡтар ябай поляр тигеҙләмә менән бирелергә мөмкин, ә тура мөйөшлө координаталар системаһында тигеҙләмә күпкә ҡатмарлыраҡ булыр ине. Иң билдәле кәкре һыҙыҡтар араһында: поляр роза, Архимед спирале, Лемниската, Паскаль ҡусҡары һәм кардиоида.

# Поляр координаталар системаһы
## Кәкре һыҙыҡтарҙың поляр координаталарҙа тигеҙләмәһе
### Әйләнә

Үҙәге ($r_{0},\;\theta$) нөктәһендә һәм радиусы $a$ булған әйләнәнең дөйөм тигеҙләмәһе түбәндәге күренештә:
    $r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.$
Был тигеҙәләмәне айырым осраҡтар өсөн ябайлаштырып була, мәҫәлән
    $r(\varphi )=a$
үҙәге полюста һәм радиусы $a$ булған әйләнә тигеҙләмәһе.

# Поляр координаталар системаһы
## Кәкре һыҙыҡтарҙың поляр координаталарҙа тигеҙләмәһе
### Тура һыҙыҡ

Радиаль тура һыҙыҡтар (полюс аша үткәндәре) түбәндәге тигеҙләмә менән бирелә
    $\varphi =\theta ,$
бында $\theta$ — тура һыҙыҡтың поляр күсәрҙән тайпылыу мөйөшө, йәғни, $\theta =\mathrm {arctg} \,m$ бында $m$ — тура һыҙыҡтың тура мөйөшлө координаталар системаһында ауышлыҡ мөйөшө. Радиаль тура һыҙыҡты $\varphi =\theta$ $(r_{0},\;\theta )$ нөктәһендә перпендикуляр киҫеп үткән радиаль булмаған тура һыҙыҡ ошондай тигеҙләмә менән бирелә
    $r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\theta ).$

# Поляр координаталар системаһы
## Кәкре һыҙыҡтарҙың поляр координаталарҙа тигеҙләмәһе
### Поляр роза

Поляр роза — сәскә таждарына оҡшаған билдәле математик кәкре һыҙыҡ. Ул поляр координаталарҙа, ирекле $\theta _{0}$ даими өсөн (0-де лә индереп), ябай тигеҙләмә менән бирелергә мөмкин:
    $r(\varphi )=a\cos(k\varphi +\theta _{0})$.
Әгәр $k$ — бөтөн һан булһа, тигеҙләмә таҡ $k$ өсөн $k$ таж япраҡлы розаны, йәки йоп $k$ өсөн $2k$ таж япраҡлы розаны билдәләй. Әгәр $k$ — рациональ, ләкин бөтөн түгел икән, тигеҙләмә менән бирелгән график розаға оҡшаш фигураны барлыҡҡа килтерә, ләкин таждары ябыласаҡ. Әгәр $k$ — иррациональ һан булһа, роза өлөшләтә бер береһенең өҫтөнә һалынған сикһеҙ күп таждарҙан тора. 2, 6, 10, 14 һ. б. таждары булған розаларҙы был тигеҙләмә менән биреп булмай. $a$ үҙгәреүсәне таждарҙың оҙонлоғон билдәләй.
Әгәр радиус тиҫкәре була алмай тип иҫәпләһәк, натураль $k$ өсөн беҙ $k$-тажлы роза алырбыҙ. Шулай итеп, $r(\varphi )=\cos(2\varphi )$ тигеҙләмәһе ике тажлы розаны бирә. Геометрик күҙлектән сығып ҡарағанда радиус — полюстан нөктәгә тиклемге алыҫлыҡ һәм ул тиҫкәре була алмай.

# Поляр координаталар системаһы
## Кәкре һыҙыҡтарҙың поляр координаталарҙа тигеҙләмәһе
### Архимед спирале

Архимед спирале уны уйлап табыусы, боронғо грек математигы Архимед хөрмәтенә аталған. Был спиралде ябай поляр тигеҙләмә ярҙамында бирергә мөмкин:
    $r(\varphi )=a+b\varphi .$
$a$ параметрының үҙгәреүе спиралде бороуға, ә $b$ параметрының үҙгәреүе — конкрет спираль өсөн константа булған урамдар араһындағы алыҫлыҡтың үҙгәреүенә килтерә. Архимед спираленең ике тармағы бар, береһе $\varphi >0$ өсөн, ә икенсеһе $\varphi <0$ өсөн. Ике тармағы талғын ғына полюста тоташа. Бер тармағын 90°/270° мөйөш аша үткән тура һыҙыҡҡа ҡарата көҙгөләгесә сағылдырыу икенсе тармағын бирә. Был кәкре һыҙыҡ шуныһы менән ҡыҙыҡлы, математик әҙәбиәттә ул конус киҫелешенән ҡала беренсе булып тасуирланған һәм тап поляр тигеҙләмә менән башҡаларға ҡарағанда яҡшыраҡ билдәләнә.

# Поляр координаталар системаһы
## Кәкре һыҙыҡтарҙың поляр координаталарҙа тигеҙләмәһе
### Конус киҫелештәре

Фокустарының береһе полюста, ә икенсеһе поляр күсәрҙә ҡайҙалыр (бәләкәй ярымкүсәр поляр күсәр буйлап ятырлыҡ итеп) урынлашҡан конус киҫелеше түбәндәге тигеҙләмә менән бирелә:
    $r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }},$
бында $e$ — эксцентриситет, ә $\ell$ — фокаль параметр. Әгәр $e>1$ булһа, был тигеҙләмә гиперболаны бирә; әгәр $e=1$ булһа, ул саҡта параболаны; әгәр $e<1$ булһа, ул саҡта эллипсты билдәләй. $e=0$ радиусы $\ell$ булған әйләнәне билдәләүсе айырым осраҡ булып тора.

# Поляр координаталар системаһы
## Комплекслы һандар

Һәр комплекслы һан комплекслы яҫылыҡта нөктә менән күрһәтелергә мөмкин, һәм, ярашлы рәүештә, был нөктә Декарт координаталарында (тура мөйөшлө йәки Декарт формаһында), йәки поляр координаталарҙа (поляр форма) бирелергә мөмкин. $z$ комплекслы һаны тура мөйөшлө формала ошолай яҙылырға мөмкин:
    $z=x+iy,$
бында $i$ — уйланма берәмек, йәки поляр формала (юғарыла ҡарағыҙ: координаталар системалары араһында үҙгәртеү формулалары):
    $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )$
һәм ошонан сығып:
    $z=re^{i\varphi },$
бында $e$ — Эйлер һаны. Эйлера формулаһы арҡаһында, ике күренеш тә эквивалентлы (Был формулала, мөйөштәрҙе дәрәжәгә күтәреү ингән ҡалған формулаларға оҡшаш рәүештә, $\varphi$ мөйөшө радиандарҙа бирелгән)
Комплекслы һандарҙың тура мөйөшлө һәм поляр формала күренештәре араһында күсеү өсөн, юғарыла килтерелгән координаталар системалары араһында үҙгәртеү формулаларын ҡулланырға мөмкин.
Комплекслы һандар менән ҡабатлау, бүлеү һәм дәрәжәгә күтәреү ғәмәлдәрен поляр формала башҡарыу ябайыраҡ. Дәрәжәгә күтәреү ҡағиҙәләренә ярашлы:
* Ҡабатлау:
       $r_{0}e^{i\varphi _{0}}\cdot r_{1}e^{i\varphi _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\varphi _{0}+\varphi _{1})}.$
* Бүлеү:
       ${\frac {r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{r_{1}e^{i\varphi _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}.$
* Дәрәжәгә күтәреү (Муавр формулаһы):
       $(re^{i\varphi })^{n}=r^{n}e^{in\varphi }.$

# Поляр координаталар системаһы
## Математик анализда

Математик анализ операцияларын шулай уҡ поляр координаталарҙы файҙаланып әйтеп бирергә мөмкин.

# Поляр координаталар системаһы
## Математик анализда
### Дифференциаль иҫәпләү

Түбәндәге формулалар дөрөҫ:
    $r{\frac {\partial }{\partial r}}=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}},$
    ${\frac {\partial }{\partial \varphi }}=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.$
Поляр кәкре һыҙыҡтың теләһә ниндәй бирелгән нөктәһендә үткәрелгән тейеүсенең $r(\varphi )$ ауышлыҡ мөйөшө тангенсын Декарт координаталарында табыу өсөн, уларҙы параметрлы күренештә тигеҙләмәләр системаһы аша күрһәтәбеҙ:
    $x=r(\varphi )\cos \varphi ,$
    $y=r(\varphi )\sin \varphi .$
Ике тигеҙләмәне лә $\varphi$ буйынса дифференциаллап табабыҙ:
    ${\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi ,$
    ${\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .$
Был тигеҙләмәләрҙе бүлеп (икенсеһен беренсеһенә), Декарт координаталар системаһында $(r,\;r(\varphi ))$ нөктәһендә тейеүсенең эҙләнгән ауышлыҡ мөйөшө тангенсын табабыҙ:
    ${\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.$

# Поляр координаталар системаһы
## Математик анализда
### Интеграль иҫәпләү

$R$ — $r(\varphi )$ поляр кәкреһе һәм $\varphi =a$ һәм $\varphi =b$ нурҙары төҙөгән өлкә булһын, ти, бында $0<b-a<2\pi$. Ул саҡта был өлкәнең майҙаны аныҡ интеграл аша табыла:
    ${\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .$
Бындай һөҙөмтәне шулайтып табып була. Тәүҙә $[a,\;b]$ интервалын ирекле $n$ һандағы аҫинтервалдарға бүләбеҙ. Шулай итеп, шундай һәр $\Delta \varphi$ аҫинтервалдың оҙонлоғо $b-a$ (интервалдың тулы оҙонлоғо), бүленгән $n$-гә (аҫинтервалдар һаны) тигеҙ. Һәр аҫинтервал $i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ өсөн $\varphi _{i}$ — урталағы нөктә булһын ти. Үҙәге полюста, радиустары $r(\varphi _{i})$, үҙәк мөйөштәре $\Delta \varphi$ һәм дуға оҙонлоғо $r(\varphi _{i})\Delta \varphi$ булған секторҙар төҙөйөк. Шундай һәр секторҙың майҙаны ${\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\Delta \varphi$ була. Ошонан сығып, бөтә секторҙарҙың тулы майҙаны:
    $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .$
Әгәр аҫинтервалдарҙың $n$ һанын арттырһаҡ, ул саҡта был яҡынса аңлатманың хатаһы кәмейәсәк. $n\to \infty$ булғанда, килеп сыҡҡан сумма интеграль сумма була. Был сумманың $\Delta \varphi \to 0$ булғандағы сикләмә юғарыла әйтелгән интегралды бирә:
    $\lim _{\Delta \varphi \to 0}\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi ={\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .$

# Поляр координаталар системаһы
## Математик анализда
### Интеграль иҫәпләү
#### Дөйөмләштереү

Декарт координаталарын ҡулланып, сикһеҙ бәләкәй элементтың майҙаны $dA=dx\,dy$ тип иҫәпләнергә мөмкин. Икенсе координаталар системаһына күскәндә, күп тапҡырлы интегралдарҙа Якоби билдәләүсеһен ҡулланырға кәрәк:
    $J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )}}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{vmatrix}}.$
Поляр координаталар системаһында, Якоби матрицаһы билдәләүсеһе $r$-гә тигеҙ:
    $J={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.$
Ошонан сығып, элементтың майҙанын поляр координаталарҙа ошолай яҙырға мөмкин:
    $dA=J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .$
Хәҙер, поляр координаталарҙа яҙылған функция түбәндәгесә интегралланырға мөмкин:
    $\iint \limits _{R}f(r,\;\varphi )\,dA=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{0}^{r(\varphi )}f(r,\;\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .$
Бында $R$ өлкәһен, бынан алдағы бүлектәге кеүек, $r(\varphi )$ поляр кәкреһе һәм $\varphi =a$ һәм $\varphi =b$ нурҙары төҙөй.
Бынан алдағы бүлектә тасуирланған майҙанды табыу өсөн формула $f=1$ осраҡ өсөн табылған. Күп тапҡырлы интегралдар өсөн формуланы ҡулланыуҙың ҡыҙыҡлы һөҙөмтәһе булып Эйлер — Пуассон интегралы тора:
    $\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

# Поляр координаталар системаһы
## Математик анализда
### Векторлы анализ

Поляр координаталар өсөн векторлы анализ элементтарын ҡулланырға мөмкин. Теләһә ниндәй $\mathbf {F}$ векторлы яланды, берәмек векторҙарҙы ҡулланып поляр координаталар системаһында яҙырға мөмкин:
    $\mathbf {e} _{r}=(\cos \varphi ,\;\sin \varphi )$
$\mathbf {r}$ йүнәлешендә, һәм
    $\mathbf {e} _{\varphi }=(-\sin \varphi ,\;\cos \varphi );$
    $\mathbf {F} =F_{r}\mathbf {e} _{r}+F_{\varphi }\mathbf {e} _{\varphi }.$
$F_{x}$ һәм $F_{y}$ яланының Декарт компоненттары һәм уның поляр координаталар системаһындағы компоненттары араһында бәйләнеш түбәндәге тигеҙләмәләр менән бирелә:
    $F_{x}=F_{r}\cos \varphi -F_{\varphi }\sin \varphi ;$
    $F_{y}=F_{r}\sin \varphi +F_{\varphi }\cos \varphi .$
Ярашлы рәүештә поляр координаталар системаһында векторлы анализ операторҙары бирелә. Мәҫәлән, скаляр яландың градиенты $\Phi (r,\;\varphi )$ ошолай яҙыла:
    $\mathrm {grad} \,\Phi ={\frac {\partial \Phi }{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{\varphi }.$

# Поляр координаталар системаһы
## Өс үлсәмле киңәйтеү

Поляр координаталар системаһы өсөнсө үлсәмгә ике система менән киңәйтелә: цилиндрик һәм сфералы, икеһе өсөн дә ике үлсәмле поляр координаталар системаһы аҫкүмәклек. Асылда, цилиндрик система расширяет поляр координаталар системаһын тағы бер алыҫлыҡ координатаһын өҫтәп киңәйтә, ә сфералы — тағыла бер мөйөш координатаһын.

# Поляр координаталар системаһы
## Өс үлсәмле киңәйтеү
### Цилиндрик координаталар

Цилиндрик координаталар системаһы, тураһын әйткәндә, яҫы поляр системаны, Декарт системаһы өс үлсәм осрағында киңәйгән кеүек, «бейеклек» тип аталған һәм нөктәнең нуль яҫылығынан бейеклегенә тигеҙ булған өсөнсө һыҙыҡлы координата өҫтәп киңәйтә. Өсөнсө координата ғәҙәттә $z$ тип тамғалана, өс координата $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$ барлыҡҡа килтерә.
Өс цилиндрик координатаны Декарт системаһына түбәндәге үҙгәртеүҙәр менән күсереп була:
    ${\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ;\\y=\rho \sin \varphi ;\\z=z.\end{cases}}$

# Поляр координаталар системаһы
## Өс үлсәмле киңәйтеү
### Сферик координаталар

Шулай уҡ поляр координаталарҙы өс үлсәм осрағына, $z$ вертикаль күсәрҙән боролоу мөйөшөнә тигеҙ булған $\theta$ мөйөш координатаһын өҫтәп киңәйтергә мөмкин (зенит йәки киңлек тип атала, ҡиммәттәре 0-дән 180°үҡа тиклемге интервалда була). Йәғни, сферик координаталар, ул өс $(r,\;\varphi ,\;\theta )$ координа, бында $r$ — координаталар үҙәгенән алыҫлыҡ, $\varphi$ — $x$ күсәренән мөйөш (яҫы поляр координаталарҙағы кеүек), $\theta$ — киңлек. Сферик координаталар системаһы Ер өҫтөндә урынды билдәләү өсөн булған географик координаталар системаһына оҡшаған, унда координаталар башы Ерҙең үҙәге менән тап килә, киңлек $\delta$ — $\theta$-ның өҫтәмәһе була һәм $\delta =90^{\circ }-\theta$-ға тигеҙ, ә оҙонлоҡ $l$ ошо формула буйынса иҫәпләнә $l=\varphi -180^{\circ }$.
Өс сферик координатаны Декарт системаһына түбәндәге үҙгәртеүҙәр менән күсереп була:
    ${\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z=r\cos \theta .\end{cases}}$

# Поляр координаталар системаһы
## Өс үлсәмле киңәйтеү
### n үлсәм осрағына дөйөмләштереү

Поляр координаталар системаһын $n$-үлсәмле арауыҡ өсөн киңәйтеп була. $x_{i}\in \mathbb {R}$, $i=1,\;\ldots ,\;n$ — $n$-үлсәмле тура мөйөшлө координаталар системаһының координаталар векторҙары булһын ти. $n$-үлсәмле поляр системала кәрәкле координаталарҙы $x\in \mathbb {R} ^{n}$ векторының $x_{i+2}$ координаталар күсәренән тайпылыу мөйөшө итеп индерергә мөмкин.
Дөйөмләштерелгән $n$-үлсәмле поляр координаталарҙы Декарт координаталарына күсереү өсөн түбәндәге формулалар менән файҙаланырға мөмкин:
    ${\begin{array}{lcr}x_{1}&=&r\cos \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{2}&=&r\sin \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{3}&=&r\cos \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{4}&=&r\cos \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\\ldots &\ldots &\ldots \qquad \qquad \qquad \\x_{n-1}&=&r\cos \vartheta _{n-3}\sin \vartheta _{n-2};\\x_{n}&=&r\cos \vartheta _{n-2}.\end{array}}$
$n=2$ осрағы яҫылыҡтағы ғәҙәттәге поляр координаталар системаһына, ә $n=3$ — ғәҙәттәге сферик координаталар системаһына тап килә икәнен күрһәтергә мөмкин.
Поляр координаталарҙы Декарт координаталарына үҙгәртеү якобианы түбәндәге формула менән бирелә:
    $\det {\frac {\partial (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{\partial (r,\;\varphi ,\;\vartheta _{1},\;\ldots ,\;\vartheta _{n-2})}}=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2},$
бында күләмдең $n$-үлсәмле элементы ошондай күренештә:
    $dV=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2}\,dr\,d\varphi \,d\vartheta _{1}\ldots d\vartheta _{n-2}=$
       $=r^{n-1}\,dr\,d\varphi \prod \limits _{j=1}^{n-2}(\sin \vartheta _{j})^{j}\,d\vartheta _{j}.$

# Поляр координаталар системаһы
## Ҡулланылышы

Поляр координаталар системаһы ике үлсәмле һәм шуға күрә ул яҫылыҡта нөктәнең урынын асыҡлағанда ғына, йәки өсөнсө үлсәмдә система үҙсәнлектәренең бер төрлөлөгө осрағы өсөн ҡулланыла ала, мәҫәлән, түңәрәк торбала ағымды ҡарағанда. Поляр координаталарҙы ҡулланыуҙың иң яҡшы контексы булып, йүнәлеш һәм ниндәйҙер үҙәктән алыҫлыҡ менән тығыҙ бәйләнгән осраҡтар тора. Мәҫәлән, юғарыла килтерелгән миҫалдарҙан күренеүенсә, Архимед спирале кеүек кәкреләрҙе поляр координаталарҙа биреү өсөн ябай тигеҙләмәләр етә, уларҙың тура мөйөшлө координаталар системаһынды тигеҙләмәләре күпкә ҡатмарлыраҡ. Бынан тыш, үҙәк тирәләй әйләнеүсе есемдәре булған күп физик системаларҙың, йәки ниндәйҙер үҙәктән таралған күренештәрҙең моделен поляр координаталарҙа эшләү күпкә еңелерәк. Поляр координаталар системаһын булдырыуҙың сәбәбе орбиталь һәм түңәрәк буйлап хәрәкәтте тикшереү була.

# Поляр координаталар системаһы
## Ҡулланылышы
### Позиционирование һәм навигация

Поляр координаталар системаһын йыш ҡына навигацияла ҡулланалар, сөнки тәғәйенләнгән пунктты башланғыс нөктәнән алыҫлыҡ һәм хәрәкәт йүнәлеше менән бирергә мөмкин. Мәҫәлән, авиацияла, навигация өсөн поляр координаталарҙың бер аҙ үҙгәргән версияһын ҡулланалар. Ғәҙәттә навигация өсөн ҡулланылған был системала 0° нурын йүнәлеш 360 тип атайҙар, ә мөйөштәр сәғәт уғы йүнәлешендә иҫәпләнәләр. Йүнәлеш 360 магнитлы төньяҡҡа, ә 90, 180, һәм 270 йүнәлештәре магнитлы көнсығыш, көньяҡ һәм көнбайышҡа тап килә. Шулай, көнсығышҡа 5 диңгеҙ миле осҡан самолётты 90 йүнәлешендә (осош менән идара итеү үҙәге уны найн-зиро тип атай) 5 берәмек осҡан самолёт итеп һүрәтләргә мөмкин.

# Поляр координаталар системаһы
## Ҡулланылышы
### Моделләштереү

Координаталар системаһының полюсы симметрия үҙәге менән тап килгән радиаль симметриялы системалар, радиаль координаталарҙа һүрәтләү өсөн бик яҡшы тура киләләр. Миҫал итеп радиаль симметрик ҡоҙоҡ осрағында, грунт һыуҙары ағымы тигеҙләмәһен килтерергә мөмкин. Үҙәк көстәре булған системалар шулай уҡ поляр координаталарҙа моделләштереү өсөн яраҡлы. Ундай системаларға кире-квадрат бәйләнеш законына буйһонған гравитацион ҡыр, шулай уҡ радиоантенна кеүек нөктәле энергия сығанағы булған системалар инә.
Динамиктар тауышын өс үлсәмле моделләштереү уларҙың эффективлығына прогноз яһау өсөн ҡулланылырға мөмкин. Поляр координаталарҙа йышлыҡтарҙың киң диапазоны өсөн бер нисә диаграмма эшләргә кәрәк, сөнки тауыш йышлығына бәйле рәүештә фронт һиҙелерлек үҙгәрә. Поляр диаграммалар күп тауыш көсәйткестәрҙең йышлыҡ кәмеү менән йүнәлешлеге юғала икәнен күрергә ярҙам итәләр.
Шулай уҡ микрофондарҙың, тауыш тулҡынының микрофондың акустика күсәренә ҡарата $\alpha$ мөйөшө аҫтында кәмегәндәге $M_{\alpha }$ һиҙгерлегенең уның күсәр һиҙгерлегенә сағыштырмаһы менән билдәләнгән йүнәлгәнлек характеристикаһын поляр координаталарҙа күрһәтеү ҡабул ителгән:
    $\varphi ={\frac {M_{\alpha }}{M_{0}}}.$