# Күмәклектәр теорияһы

Күмәклектәр теорияһы – математиканың күмәклектәрҙең дөйөм үҙсәнлектәрен — йәғни ниндәйҙер уртаҡ үҙсәнлектәргә эйә булған объекттар йыйылмаһын өйрәнеүсе тармағы.
Хәҙерге күмәклектәр теорияһы 1870 йылда Георг Кантор һәм Рихард Дедекинд хеҙмәттәренән башланғыс ала. Бөгөнгө көндә был теория математиканың күп бүлектәренең — дөйөм топологияның, дөйөм алгебраның, функциональ анализдың нигеҙендә ята. XX быуаттың беренсе яртыһында күмәклектәр теорияһы күҙлегенәнән ҡараш математиканың күп традицион бүлектәренә индерелә, шуның менән бәйле математиканы уҡытыуҙа, шул иҫәптән мәктәптәрҙә, киң ҡулланыла башланы. Әммә математик теорияларҙы логик яҡтан яҡшы итеп төҙөү өсөн күмәклектәр теорияһын ҡулланыу ҡатмарлаша, сөнки ул үҙенең фекерләү ысулдарын нигеҙләүгә мохтаж..
XX быуаттың икенсе яртыһынан башлап күмәклектәр теорияһының әһәмиәтенә ҡараш һәм уның математиканың үҫешенә йоғонтоһо, математиканың күп өлкәләрендә уның аппаратын асыҡтан-асыҡ ҡулланмайынса етерлек дәрәжәлә дөйөм һөҙөмтәләргә өлгәшеп була икәнен аңлау иҫәбенә, һиҙелерлек кәмей. Шулай булыуға ҡарамаҫтан, математиканың бөтә бүлектәрендә лә күмәклектәр теорияһы нотацияһы, уның ысулдарын ҡулланыуға бәйһеҙ рәүештә, дөйөм ҡабул ителгән булып ҡала.
Теорияның төп төшөнсәләре: күмәклек (ирекле тәбиғәтле объекттар йыйылмаһы), элементтарҙың күмәклеккә инеү мөнәсәбәте, аҫкүмәклек, күмәклектәр өҫтөндә ғәмәлдәр, күмәклектәрҙең сағылышы, үҙ-ара-бер мәғәнәле ярашлылыҡ, ҡеүәт (сикле, иҫәпле, иҫәпһеҙ), трансфинит индукция.

# Күмәклектәр теорияһы
## Тарихы
### Тәүшарттар

Күмәклектәр, шул иҫәптән сикһеҙ күмәклектәр, математикала Боронғо Греция замандарында уҡ асыҡтан-асыҡ булмаған формала телгә алына: мәҫәлән, бөтә рациональ, бөтөн, натураль, таҡ, ябай һандар күмәклектәренең береһе икенсеһенә инеү бәйләнештәре ҡаралған. Күмәклектәрҙең тигеҙ ҡеүәтле булыу идеяһы башланғыстары Галилейҙа осрай: һандар һәм уларҙың квадраттары араһында ярашлылыҡ тураһында фекер йөрөтөп, ул «бөтөн өлөштән ҙурыраҡ» аксиомаһын сикһеҙ объекттарға ҡулланып булмауына иғтибар итә (Галилей парадоксы).
Актуаль сикһеҙ күмәклек тураһында беренсе төшөнсә 1800-се йылдар башында, «Арифметик тикшеренеүҙәрендә» баҫылып сыҡҡан Гаусс хеҙмәттәрендә яҙылған тип һанала. Әммә Гаусс сикһеҙ күмәклектәрҙе йәки кластарҙы үҙаллы тикшеренеү объекты итеп ҡарамай, улай ғына түгел, ул актуаль сикһеҙлекте математик иҫбатлауҙарҙа ҡулланыу мөмкинлегенә ҡаршы фекер әйтә.
Сикһеҙ күмәклектәр тураһында асығыраҡ күҙаллау Дирихле хеҙмәттәрендә, 1856—1857 йылдарҙағы лекциялар курсында күренә. Функциональ сағыштырыуҙар теорияһы буйынса 1820—1850-се йылдарҙағы Галуа, Шёман һәм Серре хеҙмәттәрендә шулай уҡ күмәклектәр теорияһынан сығып ҡарау элементтары беленә. Уларҙы 1857 йылда Дедекинд дөйөмләштерә. Күмәклектәр теорияһының айырым төшөнсәләрен Штейнер һәм Штаудттың 1830—1860-сы йылдарҙағы проект геометрияһы буйынса хеҙмәттәрендә осратырға мөмкин: бөтә предмет һиҙелерлек дәрәжәлә күмәклектәр теорияһы өсөн төп төшөнсә булған үҙ-ара-бер мәғәнәле сағылдырыу тураһында күҙаллауға бәйле, әммә проект геометрияһында ундай ярашлыҡтарға өҫтәлмә сикләүҙәр ҡуйыла (ҡайһы бер геометрик бәйләнештәрҙең һаҡланыуы). Атап әйткәндә, Штейнер тура һыҙыҡтағы нөктәләр күмәклеге һәм шәлкемдәге нурҙар күмәклеге өсөн иҫәпһеҙ күмәклек төшөнсәһе индерә һәм уларҙың иҫәпһеҙ аҫкүмәклектәре менән эш итә, ә 1867 йылдағы хеҙмәтендә күмәклектең характеристикаһы итеп ҡеүәт төшөнсәһе индерә.
Канторҙың хәйләһеҙ күмәклектәр теорияһына яҡын торған күҙаллауҙар Больцано хеҙмәттәрендә бар, иң башта, авторы 1851 йылда вафат булғандан һуң баҫылып сыҡҡан «Парадоксы бесконечного» хеҙмәтендә, унда ирекле һанлы күмәклектәр ҡарала, ә уларҙы сағыштырыу өсөн үҙ-ара-бер мәғәнәле сағылдырыу төшөнсәһе бирелә, «күмәклек» (нем. menge) термины үҙе шулай уҡ тәү тапҡыр был хеҙмәттә систематик рәүештә ҡулланыла. Ләкин, Больцано хеҙмәте математик булыуға ҡарағанда башлыса фәлсәфәүи характерҙа, атап әйткәндә, унда күмәклектең ҡеүәте һәм сикһеҙлек дәүмәле йәки тәртибе төшөнсәләре араһында аныҡ сикләү юҡ, һәм был күҙаллауҙарҙа әҙме-күпме формаль һәм тулы математик теория юҡ. Вейерштрастың, Мерэ һәм Дедекиндтың 1850-се йылдар аҙағында барлыҡҡа килгән һәм 1860-сы йылдар башында баҫылып сыҡҡан ысын һандар теорияһы хәйләһеҙ күмәклектәр теорияһы идеялары менән күп яҡтан ауаздаш, улар континуумды рациональ һәм иррациональ нөктәләрҙән төҙөлгән күмәклек итеп ҡарайҙар.

# Күмәклектәр теорияһы
## Тарихы
### Хәйләһеҙ күмәклектәр теорияһы

Күмәклектәр теорияһын хәйләһеҙ вариантта төп төҙөүсе булып немец математигы Георг Кантор тора, нөктәләр күмәклеген абстракциялауға уны 1870—1872 йылдарҙағы тригонометрик рәттәр теорияһын үҫтереү буйынса (Римандың хеҙмәттәрен дауам итеүсе) хеҙмәттәр этәрә. Күмәклектәрҙең тиң ҡеүәтлелеге мәсьәләләре менән ҡыҙыҡһынып, 1873 йылда Кантор рациональ һандар күмәклегенең иҫәпле булыуын асыҡлай һәм бөтөн һәм ысын һандар күмәклектәренең тиң ҡеүәтле булыу мәсьәләһен тиҫкәре хәл итә (һуңғә һөҙөмтәне 1874 йылда Вейерштрасстың талабы буйынса баҫтыра). 1877 йылда Кантор $\mathbb {R}$ һәм $\mathbb {R} ^{n}$ араһында үҙ-ара бер мәғәнәле ярашлыҡты иҫбат итә(теләһә ниндәй $n>0$ өсөн). Беренсе һөҙөмтәләре менән Кантор Дедекинд һәм Вейерштрасс менән үҙ-ара яҙышҡан хаттарҙа бүлешә, улар илтифатлы критика һәм иҫбатлауға иҫкәрмәләр менән яуап бирәләр. 1879 йылдан башлап 1884 йылға тиклем сикһеҙ нөктәле күмәклектәрҙе тикшереү һөҙөмтәләре менән Mathematische Annalenда алты мәҡәлә баҫтыра.
1877 йылда Дедекинд «О числе классов идеалов конечного поля» мәҡәләһен баҫтыра, унда ялан, модулдәр, идеалдар, ҡулсалар кеүек күмәклектәр менән асыҡтан-асыҡ эш итә, һәм улар өсөн инеү бәйләнештәрен («<» һәм «>» тамғаларын ҡулланып), берләштереү («+» тамғаһы менән) һәм киҫешеү («−» инфиксы менән) операцияларын ҡуллана, һәм бынан тыш, берекмә һәм киҫелеш операцияларының ике төрлө булыуын күрһәтеп, ысынында күмәклектәр алгебраһына килә, Дедекинд тамғалауында:
    $(A+B)-(A+C)=A+(B-(A+C))$,
    $(A-B)+(A-C)=A-(B+(A-C))$,
Артабан үҙенең хеҙмәттәрендә күп тапҡыр был һөҙөмтәне ҡуллана. 1878 йылда баҫылып сыҡҡан төрлө һандағы үлсәмле континуумдарҙың тиң ҡеүәтлелеге тураһында хеҙмәттәрҙә Кантор, Дедекинд хеҙмәтенә таянып, күмәклектәр теорияһы операцияларын ҡуллана. Бынан тыш, был хеҙмәттә беренсе тапҡыр асыҡтан-асыҡ күмәклек ҡеүәте төшөнсәһе индерелә, иҫәпле күмәклектең теләһә ниндәй сикһеҙ аҫкүмәклегенең иҫәпле булыуы иҫбатлана, ә алгебраик һандарҙың сикле яландары иҫәпле күмәклек миҫалы итеп килтерелә. Канторҙың төрлө һандағы үлсәмле континуумдарҙың тиң ҡеүәтлелеге тураһында хеҙмәте математиктарҙың иғтибарын киң йәлеп итә.
1880 йылда Кантор күмәклектәр теорияһының ике төп идеяһын әйтә — буш күмәклек тураһында төшөнсә һәм трансфинит индукцияһы методы. 1881 йылдан башлап Кантор методтары менән башҡа математиктар ҡуллана башлайҙар: Вольтерра, Дюбуа-Реймон, Бендиксон, Гарнак, башлыса функцияларҙың интегралланыусанлығы мәсьәләләре менән бәйле. 1883 йылдағы хеҙмәтендә Кантор, үҙе индергән камил күмәклек һәм күмәклек тығыҙлығы төшөнсәләрен файҙаланып, континуумдың тарихи беренсе формаль билдәләмәһен бирә (дөйөм топологияла ҡулланылған хәҙерге замандыҡынан айырмалы, ләкин улар менән принципиаль оҡшаш булған), шулай уҡ бер ҡайҙа ла тығыҙ булмаған камил күмәклектең (Кантор күмәклеге булараҡ билдәле булған) классик миҫалын төҙөй, шулай уҡ континуум-гипотезаны асыҡтан-асыҡ әйтеп бирә.
1885—1895 йылдарҙа хәйләһеҙ күмәклектәр теорияһын төҙөү буйынса эштәр Дедекиндтың хеҙмәттәрендә үҫеш ала (Кантор был 10 йыл дауамында ауырыу сәбәпле бары тик бер ҙур булмаған хеҙмәтен баҫтыра). Шулай, «Что такое числа и для чего они служат?» китабында (унда шулай уҡ беренсе тапҡыр Пеано арифметикаһы булараҡ билдәле булған арифметиканы аксиомалаштырыу төҙөлә), ул осорға тиклем билдәле булған күмәклектәр теорияһы һөҙөмтәләре иң ҙур дөйөмлөктә систематик яҙып бирелгән — теләһә ниндәй күмәклек өсөн (мотлаҡ һанлы түгел), беренсе тапҡыр Кантор — Бернштейн теоремаһы әйтеп бирелгән, күмәклектәр алгебраһы аңлатып бирелгән һәм күмәклектәр теорияһы ғәмәлдәренең үҙсәнлектәре асыҡланған.
1895—1897 йылдарҙа Кантор хәйләһеҙ күмәклектәр теорияһын нигеҙҙә тамамлаусы ике хеҙмәттән торған цикл баҫтыра.
1880-се йылдар башынан, башлыса трансфинит индукцияһы идеялары баҫылып сыҡҡандан һуң, күмәклектәр теорияһы ҡарашы шул осорҙоң күп билдәле математиктары тарафынан киҫкен ҡабул итмәүгә осрай, ул ваҡытта төп оппоненттар Герман Шварц һәм, беренсе сиратта, математик объекттар булып тик натураль һандар һәм нимә уларға туранан-тура ҡайтып ҡала, шулар ғына иҫәпләнә ала тип иҫәпләүсе Леопольд Кронекер була (уның «бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих» тигән фразаһы билдәле). Шулай булыуға ҡарамаҫтан, 1890-сы йылдар аҙағына күмәклектәр теорияһы дөйөм танылыу яулай, быға бигерәк тә Цюрихта Математиктарҙың беренсе халыҡ-ара конгресында (1897 йыл) Адамарҙың һәм Гурвицтың докладтары, унда күмәклектәр теорияһының анализда уңышлы ҡулланылыуына миҫалдар килтерелә, шулай уҡ математик берләшмәлә һиҙелерлек йоғонтоһо булған Гильберт тарафынан күмәклектәр теорияһы инструментарийын киң ҡулланыуы булышлыҡ итә.

# Күмәклектәр теорияһы
## Тарихы
### Парадокстар

Хәйләһеҙ теорияла, күмәклектәрҙе ниндәйҙер үҙсәнлеккә эйә булған бөтә объекттарҙы йыйыу билдәһе буйынса ғына төҙөргә мөмкинлек биргән күмәклек төшөнсәһенең аныҡ булмауы, 1895—1925 йылдар араһында байтаҡ ҡапма-ҡаршылыҡтар килеп сығыуына килтерә, был күмәклектәр теорияһын фундаменталь инструмент булараҡ файҙаланып булыуға шикләнеү тыуҙыра, был хәл «кризис оснований математики» тигән билдәлелек ала.
Бөтә рәт һандары күмәклеген ҡарау килтергән ҡапма-ҡаршылыҡты беренсе булып Кантор 1895 йылда асыҡлай, Бурали-Форти (итал. Cesare Burali-Forti) тарафынан 1897 йылда яңынан асыла һәм беренсе тапҡыр баҫтырып сығарыла, һәм Бурали-Форти парадоксы исеме ала. 1899 йылда Дедекиндҡа хатында Кантор беренсе тапҡыр универсумдың бөтә күмәклектәр күмәклеге булараҡ ҡапма-ҡаршылығы тураһында әйтә, сөнки уның бөтә аҫкүмәклектәре күмәклеге, ${\mathfrak {m}}<2^{\mathfrak {m}}$ принцибын ҡәнәғәтләндермәйенсә, үҙ-үҙенә тиң ҡеүәтле булырға тейеш була, аҙаҡ был антиномия Кантор парадоксы тигән исем ала.
1901 йылдар тирәһендә Бертран Рассел тарафынан асыҡланған һәм 1903 йылда «Основания математики» монографияһында баҫылып сыҡҡан Рассел парадоксы күмәклектәр теорияһының һәм дөйөм алғанда математика нигеҙҙәренең артабанғы үҫешенә тәьҫир иткән мөһим ҡапма-ҡаршылыҡ булып тора. Парадокстың айышы, бөтә күмәклектәр күмәклегенең үҙ-үҙенә ҡарағанлығы мәсьәләһен ҡарағанда, үҙен индермәү ҡапма-ҡаршылығы. Бынан тыш, Ришар парадоксы, Берри парадоксы һәм Греллинг — Нельсон парадоксы кеүек антиномияларҙың асыҡланыуы сама менән шул осорға тап килә.
Килеп тыуған парадокстарҙы математиктар берләшмәһендә тикшереү һөҙөмтәһендә, килеп тыуған проблемаларҙы хәл итеү буйынса ике йүнәлеш барлыҡҡа килә: теорияның инструменталь ҡеүәтен һаҡлағанда, ҡапма-ҡаршылыҡһыҙлыҡты тәьмин иткән аксиомалар системаһын һайлау ярҙамында күмәклектәр теорияһын рәсмиләштереү, икенсеһе — интуитив аңлауға бирелмәгән конструкцияларҙы һәм ысулдарҙы ҡарауҙан баш тартыу. Цермело, Гильберт, Бернайс, Хаусдорфтар тарафынан башланған беренсе йүнәлеш сиктәрендә, күмәклектәрҙең аксиоматик теорияһының бер-нисә варианты төҙөлә һәм яһалма сикләүҙәр иҫәбенә төп ҡапма-ҡаршылыҡтар еңеп сығыла. Төп сағылдырыусыһы Брауэр булған икенсе йүнәлеш, математикала яңы йүнәлеш — интуиционизм тыуҙыра, һәм бер ни тиклем ул Пуанкаре, Лебег, Борель, Вейльдәр тарафынан яҡлау таба.

# Күмәклектәр теорияһы
## Тарихы
### Күмәклектәрҙең аксиоматик теорияһы

Күмәклектәр теорияһын беренсе аксиомалаштырыуҙы Цермело 1908 йылда баҫтырып сығара, был системала парадокстарҙы бөтөрөүҙә төп ролде «селекция аксиомаһы» уйнарға тейеш була(нем. aussonderung), уға ярашлы, $P(x)$-тан $x\in A$ күренешендәге бәйләнеш килеп сыҡҡанда ғына $P(x)$ үҙсәнлегенән $\{x\mid P(x)\}$ күмәклеген төҙөп була. 1922 йылда Скулем һәм Френкель хеҙмәттәре арҡаһында ғына Цермело аксиомалары базаһында, күләмлек, буш күмәклектең булыуы, парҙар, сумма, дәрәжә, сикһеҙлек аксиомаларын ҡушып, система тамам формалашып бөтә. Был аксиоматикалар Цермело — Френкель теорияһы булараҡ киң таралыу ала, система һайлау аксиомаһы менән ZFC тип тамғалана, һайлау аксиомаһынан тыш — ZF.
Һайлау аксиомаһының үҙенсәлекле роле уның интуитив аңлайышлы булмауында һәм күмәклеккә билдәләмә биреүҙең эффектив ысулы булмауҙа. Атап әйткәндә Борель һәм Лебег, уны ҡулланып алынған иҫбатлауҙар, уға бәйле булмаған иҫбатлауҙарға ҡарағанда башҡа танып белеү әһәмиәтенә эйә тип иҫәпләгәндәр, Гильберт һәм Хаусдорф уны, башҡа аксиомалар кеүек үк һис шикһеҙ (бәхәсһеҙ) тип танып, бер һүҙһеҙ ҡабул итәләр.
Күмәклектәр теорияһын аксиомалаштырыуҙың таралыу алған икенсе вариантын фон Нейман 1925 йылда эшләй, Бернайс тарафынан 1930-сы йылдарҙа рәсмиләштерелә, һәм Гёдель тарафынан 1940 йылда ябайлаштырыла (континуум-гипотезаның һайлау аксиомаһына бәйле булмауын иҫбатлау буйынса эшендә), һуңғы варианты фон Нейман — Бернайс — Гёдель аксиомалар системаһы исеме аҫтында билдәлелек ала һәм NGB тип тамғалана.

# Күмәклектәр теорияһы
## Тарихы
### Күмәклектәрҙең дескриптив теорияһы

XX быуат башында Лебег, Бэр, Борель хеҙмәттәрендә күмәклектәрҙең үлсәнмәле булыу мәсьәләһе тикшерелә. 1910—1930 йылдарҙа был хеҙмәттәр нигеҙендә дескриптив күмәклектәр теорияһы эшләнә, ул систематик рәүештә күмәклектәрҙең эске үҙсәнлектәрен өйрәнә. Лузин, Александров, Суслин, Хаусдорф теорияны эшләүгә төп өлөш индерәләр. 1970-се йыдарҙа күмәклектәрҙең дескриптив теорияһы дөйөм топологик аруыҡтар осрағына дөйөмләштерелә.

# Күмәклектәр теорияһы
## Төп төшөнсәләр

Күмәклектәр теорияһының нигеҙендә ошондай төп төшөнсәләр ята: күмәклек һәм күмәклектең ингәнлек бәйләнеше ($x\in A$ тип тамғалана — «$x$ $A$ күмәклегенең элементы», «$x$ $A$ күмәклегенә инә»). Буш күмәклек, ғәҙәттә $\varnothing$ символы менән тамғалана — бер элементы ла булмаған күмәклек. Аҫкүмәклек һәм өҫкүмәклек — бер күмәклектең икенсеһенә инеү мөнәсәбәте (ярашлы рәүештә ҡәтғи булмаған инеү осрағында $A\subseteq B$ һәм $A\supseteq B$, һәм ҡәтғи инеү осрағында $A\subset B$ һәм $A\supset B$ тип тамғалана).
Күмәклектәр өҫтөндә түбәндәге ғәмәлдәр башҡарыла:
* берекмә, $A\cup B$ тип тамғалана — $A$ һәм $B$ күмәклектәренең бөтә элементтарын үҙ эсенә алған күмәклек,
* айырма, $A\setminus B$, һирәгерәк $A-B$ тип тамғалана — $A$-ның $B$-ға инмәгән элементтары күмәклеге,
* өҫтәмә, $\setminus A$ йәки $-A$ тип тамғалана — множество всехов, не входящих в $A$-ға инмәгән бөтә элементтар күмәклеге (универсаль күмәклекте ҡулланыусы системаларҙа),
* киҫелеш, $A\cap B$ тип тамғалана — $A$-ға ла, $B$-ға ла ингән элементтар күмәклеге,
* симметрик айырма, $A\triangle B$, һирәгерәк $A{\dot {-}}B$ тип тамғалана — күмәклектәрҙең береһенә генә — $A$-ға йәки $B$-ға ғына ингән элементтар күмәклеге.
Берекмә һәм киҫелеште йыш ҡына күмәклектәр ғаиләһенә лә ҡулланалар, $\bigcup {\mathfrak {A}}$ һәм $\bigcap {\mathfrak {A}}$ тип тамғалана һәм, ярашлы рәүештә, ${\mathfrak {A}}$ ғаиләһенә ингән бөтә күмәклектәрҙең берекмәһен һәм ғаиләгә ингән бөтә күмәклектәрҙең киҫелешен төҙөйҙәр.
Берекмә һәм киҫелеш коммутатив, ассоциатив һәм идемпотентлы. Аксиомалар системаһын һайлауға һәм өҫтәмәләр булыуға бәйле рәүештә күмәклектәр алгебраһы (берекмә һәм киҫелешкә ҡарата) дистрибутив рәшәткәне, тулы дистрибутив рәшәткәне, Булев алгебраһын төҙөргә мөмкин. Күмәклектәр өҫтәндә ғәмәлдәрҙе күҙаллау өсөн Венн диаграммаһы ҡулланыла.
$A$ һәм $B$ күмәклектәренең Декарт ҡабатландығы — $A$ һәм $B$-ның элементтарының бөтә тәртипкә килтерелгән элементтары парҙары күмәклеге: $A\times B=\{(x,y)\mid x\in A\land y\in B\}$. Күмәклектәр теорияһында $A$ күмәклеген $B$ күмәклегенә сағылдырыу $f$ бинар мөнәсәбәт булараҡ ҡарала — $A\times B$ аҫкүмәклеге — беренсе элементтың икенсеһенә ярашлылығының берҙән бер булыу шарты менән: $(x,y)\in f\Rightarrow \forall z\neq y((x,z)\notin f)$.
Булеан — бирелгән күмәклектең бөтә аҫкүмәклектәре күмәклеге, ${\mathcal {P}}(A)$ йәки $2^{A}$ тип тамғалана (сөнки $A$-ны $\mathbf {2} =\{0,1\}$-гә сағылдырыуҙар күмәклеге менән тап килә).
Күмәклек ҡеүәте (кардиналь һан) — күмәклек элементтары һаны характеристикаһы, формаль рәүештә араһында үҙ-ара бер мәғәнәле ярашлылыҡ урынлаштырырға мөмкин булған күмәклектәр өҫтөндә эквивалентнлыҡ класы итеп билдәләнә, $|A|$ йәки $\sharp A$ тип тамғалана. Буш күмәклектең ҡеүәте нулгә тигеҙ, сикле күмәклектәрҙең ҡеүәте — элементтар һанына тигеҙ булған бөтөн һан. Кардиналь һандар өҫтөндә, шул иҫәптән сикһеҙ күмәклектәрҙе характерлаусы, тәртип мөнәсәбәте урынлаштырырға мөмкин, иҫәпле күмәклек ҡеүәте $\aleph _{0}$ тип тамғалана (алеф — йәһүд алфавитының беренсе хәрефе), сикһеҙ күмәклектәр ҡеүәттәренең иң бәләкәйе булып тора, континуумдың ҡеүәте ${\mathfrak {c}}$ йәки $2^{\aleph _{0}}$ тип тамғалана, континуум-гипотеза — иҫәпле ҡеүәт һәм континуум ҡеүәте араһында ике аралағы ҡеүәттәр юҡ тигән фараз.
Әгәр кардиналь һан күмәклектәрҙең үҙ-ара бер мәғәнәле ярашлыҡ урынлаштырыу мөмкинлегенә ҡарата эквивалентнлыҡ класын характерлаһа, ул саҡта тәртип һаны (ординал) — тулыһынса тәртипкә килтерелгән күмәклектәрҙең биектив ярашлылыҡҡа ҡарата тулы тәртип мөнәсәбәтен һаҡлаусы эквивалентнлыҡ класы характеристикаһы. Ординалдар тәртип һандары арифметикаһы индереү ярҙамында (ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәре менән) төҙөлә, сикле күмәклектәрҙең тәртип һаны кардинал менән тап килә (ярашлы натураль һан менән тамғалана), тәбиғи тәртиптәге бөтә натураль һандар күмәклегенең тәртип һаны $\omega$ тип тамғалана, артабан:
    $\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\dots ,\omega ^{2},\dots \omega ^{\omega },\dots ,\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots ,$ һандары төҙөлә,
унан һуң $\varepsilon _{0}$-:
    $\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}$.
Бөтә $\omega$- һәм $\varepsilon$-һандар — иҫәпле ординалдар күмәклеге ҡеүәте $\aleph _{1}$ ҡеүәтенә эйә.

# Күмәклектәр теорияһы
## Дөйөмләштереү

Йыш ҡына күмәклектәр теорияһына ҡаршы ҡуйылған категориялар теорияһы саралары менән, инструменталь һәм дидактик ҡараштан сығып, Ловер һәм Тирни (ингл. Miles Tierney) 1970 йылда топостар теорияһын төҙөй, уның өйрәнеү объекты — элементар топос — күмәклектәр теорияһы аңлауында күмәклектәрҙең тәртибе менән оҡшашлыҡ принцибы буйынса төҙөлгән, ысынында күмәклектәр теорияһының бөтә варианттарын элементар топостар менән күрһәтеп булды.
Аныҡ булмаған күмәклектәр теорияһы — 1960-сы йылдарҙа Лотфи Заде тарафынан тәҡдим ителгән киңәйтелгән күмәклектәр теорияһы аныҡ булмаған логика концепцияһы сиктәрендә, аныҡ булмаған теорияла элементтарҙың күмәклеккә инеү мөнәсәбәте урынына $[0,1]$ интервалындағы ҡиммәттәр менән ингәнлек функцияһы ҡарала: әгәр элементтың ингәнлек функцияһы нулгә тигеҙ булһа, ул күмәклеккә аныҡ инмәй, әгәр бергә тигеҙ булһа, аныҡ инә, ҡалған осраҡтарҙа инеү мөнәсәбәте аныҡ түгел тип иҫәпләнә. Мәғлүмәт теорияһында, кибернетикала, информатикала ҡулланыла.
Мультикүмәклектәр теорияһы, комплекттар теорияһы тип аталған Петри селтәре теорияһын ҡулланғанда, бер үк элементтың бер нисә экземпляры булыуын рөхсәт иткән күмәклектән айырмалы рәүештә, төп төшөнсә сифатында ирекле тәбиғәтле элементтар йыйылмаһы ҡарала, инеү мөнәсәбәте был теорияла экземплярҙар һаны функцияһы менән алмаштырыла: $\sharp (a,A)$ — $a$ элементының $A$ мультикүмәклеккә инеү һаны, комплекттарҙы берләштергәндә элементтарҙың экземпляр һаны инеү максимумы буйынса алына ($\sharp (a,A_{1}\cup A_{2})=\max(\sharp (a,A_{1}),\sharp (a,A_{2})$), киҫелештә — минимум буйынса ($\sharp (a,A_{1}\cap A_{2})=\min(\sharp (a,A_{1}),\sharp (a,A_{2})$). Теоретик информатикала, яһалма интеллектта, Ҡарарҙар ҡабул итеү теорияһында ҡулланыла.
Күмәклектәрҙең альтернатив теорияһы — чехословак математиктары 1970-сы йылдарҙан алып, башлыса Петр Вопенки (чех Petr Vopěnka) хеҙмәттәрендә үҫтергән теория, күмәклекте объект һымаҡ аныҡ рәсмиләштереүгә нигеҙләнгән, буш күмәклектән һәм күрәләтә булған элементтарҙан индуктив төҙөлгән, объекттың барыһын бергә ҡарауҙы рөхсәт иткән үҙсәнлектәре өсөн кластар төшөнсәһе индерелә, ә күмәклектәрҙең аҫкластарын өйрәнеү өсөн ярымкүмәклектәр концепцияһы ҡулланыла.

# Күмәклектәр теорияһы
## Мәҙәниәттә

1960—1970-се йылдарҙа музыка теорияһы сиктәрендә үҙенең күмәклектәр теорияһы төҙөлә, ул музыкаль объекттарҙы (тауыштарҙы уларҙың бейеклектәре, динамикаһы, оҙайлылығы менән), улар араһында үҙ-ара мөнәсәбәтте һәм уларҙың төркөмдәре өҫтөндә ғәмәлдәрҙе дөйөм һүрәтләү сараларын бирә. Әммә математик күмәклектәр теорияһы менән бәйләнеш туранан-тура түгел, ә терминологик һәм мәҙәни: күмәклектәрҙең музыкаль теорияһында тик сикле объекттар ҡарала һәм ниндәйҙер мөһим теоретик һөҙөмтәләр йәки әһәмиәтле ҙур конструкциялар ҡулланылмай; был теорияла күберәк төркөм теорияһы һәм комбинаторика аппараттары эшкә ҡушылған.
Шулай уҡ күмәклектәр теорияһының йөкмәткеһенән бигерәк мәҙәни йоғонтоһо аҫтында немец дизайнеры Биннингер (нем. Dieter Binninger) 1975 йылда, төҫлө яҡтырып торған индикаторҙар ярҙамында ваҡытты күрһәтеү өсөн бишле принцип ҡулланған беренсе ҡоролма булараҡ Гиннесстың рекордтар китабына ингән (өҫтән индикаторҙарҙың беренсе һәм икенсе рәте сәғәтте күрһәтә, өсөнсө һәм дүртенсе рәттәр — минуттарҙы), «теоретико-множественные» часы (нем. Mengenlehreuhr) (шулай уҡ Берлин сәғәте исеме аҫтында билдәле, нем. Berlin-Uhr) ижад итә. Сәғәт Берлиндың Europa-Center сауҙа-офис комплексында ҡуйылған.