# Натураль һан

Натура́ль һандар (лат. naturalis теленән — тәбиғи; тәбиғи һандар) — иҫәпләгәндә, тәбиғи рәүештә килеп сыҡҡан һандар (мәҫәлән, 1, 2, 3). Үҫә барыу тәртибендә яҙылған бөтә натураль һандар эҙмә-эҙлелеге натураль рәт тип атала. Натураль һандарға билдәләмә биреүгә ике төрлө ҡараш бар:
* Натураль һандар — предметтарҙы иҫәпләүҙә (нумерлауҙа) (беренсе, икенсе, өсөнсө, …) килеп сыҡҡан һандар;
* натураль һандар — предметтарҙың миҡдарын билдәләгәндә килеп сыҡҡан һандар (предмет юҡ, бер предмет, ике предмет, …).
Беренсе осраҡта натураль һандар рәте берҙән башлана, икенсе осраҡта — нулдән. Күпселек математиктар араһында беренсе йәки икенсе ҡараштың өҫтөнлөгө тураһында берҙәм фекер юҡ (йәғни нулде натураль һан тип иҫәпләргәме, юҡмы). Рәсәй сығанаҡтарының күбеһендә традиция булараҡ беренсе ҡараш ҡабул ителгән. Икенсе ҡараш, мәҫәлән, Николя Бурбаки хеҙмәттәрендә ҡулланыла, унда натураль һандарға сикле күмәклектең ҡеүәте тип билдәләмә бирелә. Тиҫкәре һәм бөтөн булмаған (рациональ, ысын, …) һандар натураль һандарға инмәйҙәр. Бөтә натураль һандар күмәклеген $\mathbb {N}$ символы менән тамғалау ҡабул ителгән (лат. naturalis — тәбиғи һүҙенән). Натураль һандар күмәклеге сикһеҙ, сөнки теләһә ниндәй натураль $n$ һаны өсөн $n$-дан ҙурыраҡ натураль һан табыла. Нулдең булыуы натураль һандар арифметикаһының күп теоремаларын аныҡ итеп әйтеүҙе һәм иҫбатлауҙы еңеләйтә. Шуға күрә натураль һандарға беренсе ҡараш ҡулланғанда, нулде индереүсе натураль рәтте киңәйтеү тигән файҙалы төшөнсә индерелә. Киңәйтелгән рәт $\mathbb {N} _{0}$ йәки $\mathbb {Z} _{0}$ тип тамғалана.

# Натураль һан
## Натураль һандар күмәклегенә билдәләмә бирергә мөмкинлек биреүсе аксиомалар
### Натураль һандар өсөн Пеано аксиомаһы

$\mathbb {N}$ күмәклеге натураль һандар күмәклеге тип атала, әгәр $\mathbb {N}$ күмәклегенә ингән ниндәйҙер элемент 1 (бер) ($1\in \mathbb {N}$) бирелһә, һәм билдәләнеү өлкәһе $\mathbb {N}$ һәм ҡиммәттәр өлкәһе $\mathbb {N}$ булған функция $S$ (артынса килеү функцияһы; $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$) түбәндәге шарттар үтәлерлек итеп билдәләнһә:
* бер натураль һан була ($1\in \mathbb {N}$);
* натураль һан артынан килеүсе һан да натураль һан була (әгәр $x\in \mathbb {N}$, ул саҡта $S(x)\in \mathbb {N}$);
* бер башҡа натураль һандар артынан килмәй ($\nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)$);
* әгәр $a$ натураль һаны $b$ натураль һанының артынан да, шулай уҡ $c$ натураль һаны артынан да килһә, ул саҡта $b=c$ (әгәр $S(b)=a$ һәм $S(c)=a$, ул саҡта $b=c$);
* (индукция аксиомаһы) әгәр ниндәй ҙә булһа $P$ һөйләме (әйтеү) $n=1$ натураль һаны өсөн иҫбатланһа (индукция базаһы) һәм ул һөйләмдең $n$ натураль һаны өсөн дөрөҫ тип уйлағандан, уның $n$ артынан килеүсе натураль һан өсөн дә дөрөҫ булыуы килеп сыҡһа (индукцион фараз), ул саҡта был һөйләм бөтә натураль һандар өсөн дә дөрөҫ ($P(n)$ — параметры $n$ натураль һаны булған ниндәйҙер бер урынлы (унар) предикат булһын. Әгәр $P(1)$ һәм $\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))$ булһа, ул саҡта $\forall n\;P(n)$).
Һанап кителгән аксиомалар беҙҙең натураль һандар рәте һәм һанлы һыҙыҡ тураһындағы интуитив күҙаллауҙы сағылдыра. Асылда был аксиомалар натураль һандарҙы аныҡ билдәләйҙәр, был принципиаль факт булып тора (Пеано аксиомалар системаһының ҡәтғилеге). Атап әйткәндә, иҫбатларға мөмкин (см., шулай уҡ ҡыҫҡаса иҫбатланышы бирелгән), әгәр $(\mathbb {N} ,1,S)$ һәм $({\tilde {\mathbb {N} }},{\tilde {1}},{\tilde {S}})$ — Пеано аксиомалар системаһының ике моделе булһа, ул саҡта улар кәрәкле изоморфлы, йәғни шундай $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ кире ҡайтмалы сағылдырыу бар (биекция), бында $f(1)={\tilde {1}}$ һәм бөтә $x\in \mathbb {N}$ өсөн $f(S(x))={\tilde {S}}(f(x))$. Шуға күрә $\mathbb {N}$ сифатында натураль һандар күмәклегенең ниндәй ҙә булһа бер конкрет моделен билдәләп ҡуйыу етә.

# Натураль һан
## Натураль һандар күмәклегенә билдәләмә бирергә мөмкинлек биреүсе аксиомалар
### Натураль һандарҙың күмәклек теорияһынан сығып билдәләмәһе (Фреге — Рассел билдәләмәһе)

Күмәклек теорияһына ярашлы, теләһә ниндәй математик системаларҙы төҙөүҙең берҙән-бер объекты булып күмәклек тора. Шулай итеп, натураль һандар ҙа, күмәклек төшөнсәһенән сығып, ике ҡағиҙә буйынса индерелә:
* $0=\varnothing$;
* $S(n)=n\cup \left\{n\right\}$.
Шул рәүешле бирелгән һандар ординаль (эҙмә-эҙлекле, рәт) һандар тип аталалар. Бер нисә тәүге ординаль һанды һәм уларға ярашлы натураль һандарҙы һүрәтләйек:
* $0=\varnothing$;
* $1=\left\{0\right\}=\left\{\varnothing \right\}$;
* $2=\left\{0,1\right\}={\big \\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}$;
* $3=\left\{0,1,2\right\}={\Big \\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\},\;{\big \\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}{\Big \}}$.

# Натураль һан
## Нуль натураль һан булараҡ

Ҡайһы берҙә, бигерәк тә сит телдәге һәм тәржемәләнгән әҙәбиәттә, Пеаноның беренсе һәм өсөнсө аксиомаларында берҙе нуль менән алмаштыралар. Был осраҡта нуль натураль һан булып иҫәпләнә. Тиң ҡеүәтле күмәклектәр класы аша билдәләмә биргәндә нуль билдәләмә буйынса натураль һан була. Махсус рәүештә уны алып ташлау тәбиғи булмаҫ ине. Бынан тыш, был теорияны артабан төҙөүҙе һәм ҡулланыуҙы ҡатмарлаштырыр ине, сөнки күп конструкцияларҙа нуль, буш күмәклек кеүек үк, ниндәйҙер айырымланған түгел. Нулде натураль һан тип һанауҙың икенсе өҫтөнлөгө шунда, был осраҡта $\mathbb {N}$ моноид була. Урыҫ әҙәбиәтендә ғәҙәттә нуль натураль һандар күмәклегенә индерелмәй ($0\notin \mathbb {N}$), ә нуль менән бергә натураль һандар күмәклеге $\mathbb {N} _{0}$ тип тамғалана. Әгәр натураль һандарҙың билдәләмәһенә нуль индерелһә, натураль һандар күмәклеге $\mathbb {N}$ тип яҙыла, ә нулһеҙ — $\mathbb {N} ^{*}$ тип яҙыла. Халыҡ-ара математик әҙәбиәттә, юғарыла әйтелгәнде иҫәпкә алып һәм төрлө мәғәнәлә аңлауҙан ҡасып, $\{1,2,\dots \}$ күмәклеген ғәҙәттә ыңғай бөтөн һандар күмәклеге тип атайҙар һәм $\mathbb {Z} _{+}$ тип тамғалайҙар. $\{0,1,\dots \}$ күмәклеген йыш ҡына тиҫкәре булмаған бөтөн һандар күмәклеге тип атайҙар һәм $\mathbb {Z} _{\geqslant 0}$ тип тамғалайҙар.

# Натураль һан
## Натураль һандар күмәклегенең дәүмәле

Сикһеҙ күмәклектең дәүмәле «күмәклектең ҡеүәте» тигән төшөнсә менән характерлана, ул төшөнсә сикле күмәклектең элементтары һанын сикһеҙ күмәклеккә дөйөмләштереү булып тора. Дәүмәле буйынса (йәғни ҡеүәте буйынса) натураль һандар күмәклеге теләһә ниндәй сикле күмәклектән ҙурыраҡ, ләкин теләһә ниндәй интервалдан кәмерәк, мәҫәлән, $(0,1)$ интервалынан. Натураль һандар күмәклеге ҡеүәте буйынса рациональ һандар күмәклеге кеүек. Натураль һандар күмәклеге кеүек үк ҡеүәтле күмәклектәр иҫәпле күмәклектәр тип аталалар. Шулай, теләһә ниндәй эҙмә-эҙлелектең быуындары һаны иҫәпле. Шул уҡ ваҡытта, һәр натураль һан сикһеҙ күп тапҡыр ингән эҙмә-эҙлелектәр бар, сөнки натураль һандар күмәклеген киҫешмәүсе иҫәпле күмәклектәрҙең иҫәпле берекмәһе итеп күҙ алдына килтереп була (мәҫәлән, $\mathbb {N} =\bigcup \limits _{k=0}^{\infty }\left(\bigcup \limits _{n=0}^{\infty }(2n+1)2^{k}\right)$).

# Натураль һан
## Натураль һандар өҫтөндә ғәмәлдәр

Натураль һандар өҫтөндә йомоҡ ғәмәлдәргә (һөҙөмтәне натураль һандар күмәклегенән сығармаусы ғәмәлдәргә) түбәндәге арифметик ғәмәлдәр инә:
* ҡушыу: ҡушылыусы + ҡушылыусы = сумма;
* ҡабатлау: ҡабатлашыусы × ҡабатлашыусы = ҡабатландыҡ;
* дәрәжәгә күтәреү: $a^{b}$, бында $a$ — дәрәжәнең нигеҙе, $b$ — дәрәжәнең күрһәткесе. Әгәр $a$ һәм $b$ — натураль һандар булһа, һөҙөмтә лә натураль һан була.
Өҫтәп тағын ике ғәмәл ҡарайҙар (формаль күҙлектән ҡарағанда натураль һандар өҫтөндә ғәмәл түгел, сөнки бөтә һандар пары өсөн дә билдәләнмәгән (ҡайһы берҙә бар, ҡайһы берҙә юҡ)):
* алыу: кәмеүсе — кәметеүсе = айырма. Шуның менән бергә кәмеүсе кәметеүсенән ҙур булырға тейеш (әгәр нулде натураль һан тип иҫәпләһәк, уға тигеҙ);
* бүлеү: бүленеүсе / бүлеүсе = (бүлендек, ҡалдыҡ). $a$-ны $b$-ға бүлеүҙән бүлендек $p$ һәм ҡалдыҡ $r$ ошолай билдәләнә: $a=p\cdot b+r$, шуның менән бергә $0\leqslant r<b$. Тап һуңғы шарт нулгә бүлеүҙе тыя икәнен билдәләп китәйек, юғиһә $a$ һанын $a=p\cdot 0+a$ күренешендә яҙып булыр ине, йәғни бүлендекте нуль тип иҫәпләп булыр ине, ә ҡалдыҡ $a$.
Ҡушыу һәм ҡабатлау ғәмәлдәре нигеҙ булып тороусы ғәмәлдәр икәнен билдәләп китер кәрәк. Атап әйткәндә, бөтөн һандар дүңгәләге тап ҡушыу һәм ҡабатлау бинар ғәмәлдәре аша билдәләнә.

# Натураль һан
## Натураль һандар өҫтөндә ғәмәлдәр
### Төп үҙсәнлектәре

* Ҡушыуҙың коммутативлығы:
    $a+b=b+a$.
* Ҡабатлауҙың коммутативлығы:
    $a\cdot b=b\cdot a$.
* Ҡушыуҙың ассоциативлығы:
    $(a+b)+c=a+(b+c)$.
* Ҡабатлауҙың ассоциативлығы:
    $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
* Ҡабатлауҙың ҡушыуға ҡарата дистрибутивлыҡ үҙсәнлеге:
    ${\begin{cases}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{cases}}$.

# Натураль һан
## Натураль һандар өҫтөндә ғәмәлдәр
### Алгебраик структура

Ҡушыу натураль һандар күмәклеген берәмеге булған ярым төркөмгә әйләндерә, берәмек ролен 0 башҡара. Шулай уҡ ҡабатлау натураль һандар күмәклеген берәмеге булған ярым төркөмгә әйләндерә, был осраҡта берәмек элемент булып 1 һаны тора. Ҡушыу-алыу һәм ҡабатлау-бүлеү ғәмәлдәренә ҡарата йомоу ярҙамында ярашлы рәүештә бөтөн һандар төркөмө $\mathbb {Z}$ һәм рациональ ыңғай һандар төркөмө $\mathbb {Q} _{+}^{*}$ барлыҡҡа килә.

# Натураль һан
## Натураль һандар өҫтөндә ғәмәлдәр
### Күмәклек теорияһы билдәмәләре

Натураль һандарҙың сикле күмәклектәрҙең эквивалентлылыҡ класы билдәләмәһен файҙаланайыҡ. Әгәр A күмәклегенең биекциялар барлыҡҡа килтергән эквивалентлылыҡ класын квадрат йәйәләр менән тамғалаһаҡ: [A], төп арифметик ғәмәлдәр ошолай билдәләнә:
* $[A]+[B]=[A\sqcup B]$;
* $[A]\cdot [B]=[A\times B]$;
* ${[A]}^{[B]}=[A^{B}]$,
бында:
* $A\sqcup B$ — күмәклектәрҙең дизъюнктлы берекмәһе;
* $A\times B$ — тура ҡабатлау;
* $A^{B}$ — B-нан A-ға сағылдырыуҙар күмәклеге .
Был ғәмәлдәр дөрөҫ индерелгән, йәғни класс элементтарын һайлауға бәйле түгел, һәм индуктив билдәләмә менән тап килә икәнлеген иҫбат итергә мөмкин.