# Тригонометрик функциялар

Тригонометри́к фу́нкциялар — элементар функциялар, улар тарихи рәүештә тура мөйөшлө өсмөйөштәрҙе ҡарағанда барлыҡҡа килгәндәр һәм был өсмөйөштәрҙең яҡтары оҙонлоғоноң гипотенуза эргәһендәге ҡыҫынҡы мөйөштәренә бәйлелеген күрһәтәләр (йәки, шуға тиң мәғәнәлә, түңәрәктә хордаларҙың һәм бейеклектәрҙең дуғаның үҙәк мөйөшөнә бәйлелеге. Был функциялар фәндең төрлө өлкәләрендә бик киң ҡулланыу таптылар. Артабан тригонометрик функцяларҙың билдәләмәләре киңәйтелә, хәҙер уларҙың аргументы булып теләһә ниндәй ысын һан йәки хатта комплекслы һан торорға мөмкин. Тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәрен өйрәнеүсе фән тригонометрия тип атала.
Тригонометрик функцияларға инәләр:

# Тригонометрик функциялар
## тура тригонометрик функциялар

* синус ($\sin x$)
* косинус ($\cos x$)

# Тригонометрик функциялар
## тригонометрик функцияларҙың сығарылмалары

* тангенс ($\mathrm {tg} \,x$)
* котангенс ($\mathrm {ctg} \,x$)

# Тригонометрик функциялар
## башҡа тригонометрик функциялар

* секанс ($\sec x$)
* косеканс ($\mathrm {cosec} \,x$)
Инглиз һәм америка әҙәбиәтендә тангенс, котангенс һәм косеканс $\tan x,\cot x,\csc x$ тип тамғалана. Икенсе бөтә донъя .һуғышына тиклем Германияла һәм Францияла был функциялар беҙҙәге кеүек тамғаландылар, ләкин аҙаҡ был илдәр инглиз-америка стандартына күстеләр.
Был алты функциянан тыш һирәк ҡулланылған тригонометрик функциялар бар (версинус һ.б.), шулай уҡ кире тригонометрик функциялар (арксинус, арккосинус һ.б.), улар айырым мәҡәләләрҙә ҡарала. Ысын аргументтың синусы һәм косинусы периодлы, өҙлөкһөҙ һәм сикһеҙ дифференциалланыусы, ҡиммәттәре ысын һандар булған функциялар. Ҡалған дүрт функция ысын һандар күмәклегендә шулай уҡ периодлы, билдәләнеү өлкәһендә сикһеҙ дифференциалланыусы,ҡиммәттәре ысын һандар булған функциялар, ләкин өҙлөкһөҙ түгелдәр. Тангенс һәм секанстың $\pm \pi n+{\frac {\pi }{2}}$ нөктәләрендә, ә котангенс һәм косеканстың — $\pm \pi n$. нөктәләрендә икенсе төрҙәге өҙөктәре бар. Тригонометрик функцияларҙың графиктары 1-се һүрәттә күрһәтелгән.

# Тригонометрик функциялар
## Билдәләнеү ысулдары
### Геометрик билдәләмә

Ғәҙәттә тригонометрик функциялар геометрик билдәләнәләр. Яҫылыҡта декарт координаталар системаһы бирелһен, ти. Радиусы $R$ һәм үҙәге $O$ координаталар башында булған әйләнә төҙөлгән ти. Һәр мөйөштө абсциссалар күсәренең ыңғай йүнәлешенән ниндәйҙер $OB$ нурына тиклемге боролош итеп ҡарарға була, шуның менән бергә сәғәт уғы йүнәлешенә ҡаршы йүнәлеш ыңғай тип һанала, ә сәғәт уғы ыңғайына — тиҫкәре. $B$ нөктәһенең абсциссаһын $x_{B}$ тип, ординатаһын $y_{B}$ тип тамғалайҙар (см. рисунок 2).
* Синус тип $\sin \alpha ={\frac {y_{B}}{R}}.$ сағыштырмаһы атала
* Косинус тип $\cos \alpha ={\frac {x_{B}}{R}}.$ сағыштырмаһы атала
* Тангенс $\operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y_{B}}{x_{B}}}.$ тип билдәләнә
* Котангенс $\operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x_{B}}{y_{B}}}.$ тип билдәләнә
* Секанс $\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {R}{x_{B}}}.$ тип билдәләнә
* Косеканс $\operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y_{B}}}.$ тип билдәләнә
Тригонометрик функцияларҙың ҡиммәттәре әйләнәнең $R$ радиусына бәйле түгел икәне оҡшаш фигураларҙың үҙсәнлегенән асыҡ күренә. Йыш ҡына был радиусты берәмек киҫек оҙонлоғона тигеҙ итеп ҡабул итәләр, ул саҡта синус $y_{B}$ ординатаһына, ә косинус — $x_{B}$ абсциссаһына тигеҙ була. 3-сө һүрәттә берәмек әйләнә өсөн тригонометрик функцияларҙың дәүмәлдәре күрһәтелгән.
Әгәр $\alpha$ — ысын һан булһа, ул саҡта математик анализда $\alpha$-ның синусы тип радиан үлсәме $\alpha$-ға тигеҙ булған мөйөштөң синусы атала, башҡа тригонометрик функциялар өсөн шулай уҡ.

# Тригонометрик функциялар
## Билдәләнеү ысулдары
### Ҡыҫынҡы мөйөштәр өсөн тригонометрик функцияларҙың билдәләмәһе

Геометрияның мәктәп курсында ҡыҫынҡы мөйөштөң тригонометрик функциялары тура мөйөшлө өсмөйөштөң яҡтарының сағыштырмаһы булараҡ билдәләнә. . Пусть OAB — прямоугольный треугольник с острым углом α. Шулай итеп:
* $\alpha$ мөйөшөнөң синусы тип ${\frac {AB}{OB}}$ сағыштырмаһы атала (ҡаршы ятыусы катеттың гипотенузаға сағыштырмаһы).
* $\alpha$ мөйөшөнөң косинусы тип ${\frac {OA}{OB}}$ сағыштырмаһы атала (теркәлгән катеттың гипотенузаға сағыштырмаһы).
* ом угла $\alpha$ мөйөшөнөң тангенсы тип ${\frac {AB}{OA}}$ сағыштырмаһы атала (ҡаршы ятыусы катеттың теркәлгән катетҡа сағыштырмаһы).
* $\alpha$ мөйөшөнөң котангенсы тип ${\frac {OA}{AB}}$ сағыштырмаһы атала (теркәлгән катеттың ҡаршы ятыусы катетҡа сағыштырмаһы).
* $\alpha$ мөйөшөнөң секансы тип ${\frac {OB}{OA}}$ сағыштырмаһы атала (гипотенузаның теркәлгән катетҡа сағыштырмаһы).
* $\alpha$ мөйөшөнөң косекансы тип ${\frac {OB}{AB}}$ сағыштырмаһы атала (гипотенузаның ҡаршы ятыусы катетҡа сағыштырмаһы).
Башы $O$ нөктәһендә булған, абсциссалар күсәре $OA$ буйлап йүнәлгән координаталар системаһы төҙөп һәм кәрәк булғанда, өсмөйөш координаталар системаһының беренсе сирегендә ятырлыҡ итеп, уның йүнәлешен үҙгәртеп (бороп), һәм аҙаҡ радиусы гипотенузаға тигеҙ булған әйләнә төҙөп, функцияларҙың был билдәләмәләре бынан алдағы кеүек үк һөҙөмтәгә килтереүен күрергә була.
Был билдәләмә бер ни тиклем методик өҫтөнлөккә эйә, сөнки координаталар системаһы индереүҙе талап итмәй, ләкин шулай уҡ ҙур етешһеҙлеге бар, сөнки йәйенке мөйөшлө өсмөйөштәр тураһында элементар мәсьәләләрҙе сисеү өсөн дә белергә кәрәк булған хатта йәйенке мөйөштәр өсөн дә тригонометрик функцияларға билдәләмә биреп булмай. (ҡара: Теорема синусов, Теорема косинусов).
Тригонометрик функциялар синус, косинус, секанс һәм косеканс $2\pi ~(360^{\circ })$, тангенс һәм котангенс $\pi ~(180^{\circ })$ . периоды менән периодлы функциялар. Теләһә ниндәй мөйөштөң тригонометрик функцияларын, уларҙың периодлы булыуын һәм килтереү формулаларын ҡулланып, ҡыҫынҡы мөйөштөң тригонометрик функцияларына ҡайтарып ҡалдырып була.
Был, мәҫәлән, таблицалар буйынса тригонометрик функцияларҙың ҡиммәттәрен табыу өсөн кәрәк, сөнки таблицаларҙа ғәҙәттә тик ҡыҫынҡы мөйөштәр өсөн генә ҡиммәттәр бирелә.

# Тригонометрик функциялар
## Математик анализда функцияларҙы тикшереү
### Тригонометрик функцияларҙың дифференциаль тигеҙләмәләрҙең сығарылышы булараҡ билдәләмәһе

Косинус һәм синус функцияларына, косинус өсөн $R(0)=1$ һәм синус өсөн $R'(0)=1$ өҫтәмә шарттар менән,
    ${\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),$
дифференциаль тигеҙләмәһенең йоп (косинус) һәм таҡ (синус) сығарылышы булараҡ, йәғни икенсе сығарылмалары минус тамғаһы менән алынған функцияның үҙенә тигеҙ булған, бер үҙгәреүсәнле функция булараҡ, билдәләмә бирергә була:
    $\ \left(\cos x\right)''=-\cos x,$
    $\ \left(\sin x\right)''=-\sin x.$

# Тригонометрик функциялар
## Математик анализда функцияларҙы тикшереү
### Тригонометрик функцияларға функциональ тигеҙләмәләрҙең сығарылышы булараҡ билдәләмә биреү

Косинус һәм синус функцияларына (ярашлы рәүештә $f$ һәм $g$)
$0<x<\pi /2$ булғанда, $f(x)^{2}+g(x)^{2}=1,$ $g(\pi /2)=1,$ һәм $0<g(x)<1$ өҫтәлмә шарттары менән,
түбәндәге функциональ тигеҙләмәләр системаһының сығарылышы булараҡ билдәләмә бирергә була:
$\left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y)\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y)\end{array}}\right.$

# Тригонометрик функциялар
## Математик анализда функцияларҙы тикшереү
### Тригонометрик функцияларҙың рәттәр аша билдәләмәһе

Геометрияны һәм сикләмәләрҙең үҙсәнлектәрен файҙаланып, синустың сығарылмаһы косинусҡа тигеҙ һәм косинустың сығарылмаһы минус синусҡа тигеҙ булыуын иҫбат итергә мөмкин. Ул саҡта Тейлор рәте теорияһын ҡулланырға һәм синус менән косинусты дәрәжәле рәттәр рәүешендә күрһәтергә мөмкин:
    $\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},$
    $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.$
Ошо формулаларҙы, шулай уҡ $\operatorname {tg} \,x={\frac {\sin x}{\cos x}},$ $\operatorname {ctg} \,x={\frac {\cos x}{\sin x}},$ $\sec x={\frac {1}{\cos x}}$ һәм $\operatorname {cosec} \,x={\frac {1}{\sin x}},$ тигеҙлектәрен ҡулланып, башҡа тригонометрик функцияларҙың да рәттәргә тарҡалмаһын табырға мөмкин:
    ${\operatorname {tg} \,x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}$
    ${\operatorname {ctg} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\cdots ={\frac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}$
    ${\sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {|E_{n}|}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}$
    $\operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1}\quad \left(-\pi <x<\pi \right),$
бында
    $B_{n}$ — Бернулли һандары,
    $E_{n}$ — Эйлер һандары.

# Тригонометрик функциялар
## Математик анализда функцияларҙы тикшереү
### Сикһеҙ ҡабатландыҡтарға тарҡатыу

Тригонометрик функциялар күпбыуындарҙың сикһеҙ ҡабатландығы рәүешендә лә күрһәтелергә мөмкин.
    $\sin x=x\,\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$
    $\cos x=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n+1)^{2}}}\right)$
Был бәйләнештәр $x$-тың теләһә ниндәй ҡиммәттәрендә лә дөрөҫ.

# Тригонометрик функциялар
## Математик анализда функцияларҙы тикшереү
### Сынйырлы кәсерҙәр

    $\mathop {\rm {tg}} x={\frac {x}{1-{\frac {x^{2}}{3-{\frac {x^{2}}{5-{\frac {x^{2}}{7-{\frac {x^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}.$

# Тригонометрик функциялар
## Математик анализда функцияларҙы тикшереү
### Сығарылмалар һәм алынмалар

Бөтә тригонометрик функциялар ҙа бөтә билдәләнеү өлкәһендә өҙлөкһөҙ һәм сикһеҙ дифференциалланыусы:
$(\sin x)'=\cos x\,,$
$(\cos x)'=-\sin x\,,$
$(\mathop {\operatorname {tg} } x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=1+\mathop {\operatorname {tg} } \nolimits ^{2}x,$
$(\mathop {\operatorname {ctg} } \,x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}},$
$(\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}},$
$(\operatorname {cosec} ~x)'=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}.$
Тригонометрик функцияларҙың интегралдары билдәләнеү өлкәһендә түбәндәгесә элементар функциялар аша күрһәтеләләр:
$\int \sin x\,dx=-\cos x+C\,,$
$\int \cos x\,dx=\sin x+C\,,$
$\int \mathop {\operatorname {tg} } \,x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C\,,$
$\int \mathop {\operatorname {ctg} } \,x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C\,,$
$\int \sec x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \,\left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\right|+C\,,$
$\int \operatorname {cosec} ~x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \,{\frac {x}{2}}\right|+C.$

# Тригонометрик функциялар
## Ҡайһы бер мөйөштәр өсөн тригонометрик функцияларҙың ҡиммәттәре

Ҡайһы бер мөйөштәр өсөн синустың, косинус, тангенс, котангенс, секанс һәм косеканстың ҡиммәттәре таблицала килтерелгән. («∞» тамғаһы, функцияның был нөктәлә билдәләнмәгәнлеген, ә уның эргә тирәһендә сикһеҙлеккә ынтылыуын аңлата).

# Тригонометрик функциялар
## Ҡайһы бер мөйөштәр өсөн тригонометрик функцияларҙың ҡиммәттәре
### Стандарт булмаған мөйөштәрҙең тригонометрик функциялары ҡиммәттәре

$\sin {\frac {\pi }{60}}=\cos {\frac {29\,\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }=\cos 87^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)-2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$
$\cos {\frac {\pi }{60}}=\sin {\frac {29\,\pi }{60}}=\cos 3^{\circ }=\sin 87^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$
$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {29\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 3^{\circ }=\operatorname {ctg} 87^{\circ }={\frac {2({\sqrt {5}}+2)-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3)+(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{2}},$
$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {29\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 3^{\circ }=\operatorname {tg} 87^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+2){\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{4}},$
$\sin {\frac {\pi }{30}}=\cos {\frac {7\,\pi }{15}}=\sin 6^{\circ }=\cos 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {5}}-1}{8}},$
$\cos {\frac {\pi }{30}}=\sin {\frac {7\,\pi }{15}}=\cos 6^{\circ }=\sin 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)}{8}},$
$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{15}}=\operatorname {tg} 6^{\circ }=\operatorname {ctg} 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{2}},$
$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{30}}=\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{15}}=\operatorname {ctg} 6^{\circ }=\operatorname {tg} 84^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+3)}{2}},$
$\sin {\frac {\pi }{20}}=\cos {\frac {9\,\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }=\cos 81^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)-2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}},$
$\cos {\frac {\pi }{20}}=\sin {\frac {9\,\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }=\sin 81^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}+1)+2{\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{8}},$
$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {ctg} {\frac {9\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} 9^{\circ }=\operatorname {ctg} 81^{\circ }={{\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}},$
$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{20}}=\operatorname {tg} {\frac {9\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 9^{\circ }=\operatorname {tg} 81^{\circ }={{\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}},$
$\sin {\frac {\pi }{15}}=\cos {\frac {13\,\pi }{30}}=\sin 12^{\circ }=\cos 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)}{8}},$
$\cos {\frac {\pi }{15}}=\sin {\frac {13\,\pi }{30}}=\cos 12^{\circ }=\sin 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1}{8}},$
$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {ctg} {\frac {13\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 12^{\circ }=\operatorname {ctg} 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})-{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{2}},$
$\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{15}}=\operatorname {tg} {\frac {13\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 12^{\circ }=\operatorname {tg} 78^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{2}},$
$\sin {\frac {7\,\pi }{60}}=\cos {\frac {23\,\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }=\cos 69^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$
$\cos {\frac {7\,\pi }{60}}=\sin {\frac {23\,\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }=\sin 69^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$
$\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {23\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 21^{\circ }=\operatorname {ctg} 69^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}-2)-{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$
$\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {23\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 21^{\circ }=\operatorname {tg} 69^{\circ }={\frac {2(2({\sqrt {5}}-2)+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$
$\sin {\frac {2\,\pi }{15}}=\cos {\frac {11\,\pi }{30}}=\sin 24^{\circ }=\cos 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}}{8}},$
$\cos {\frac {2\,\pi }{15}}=\sin {\frac {11\,\pi }{30}}=\cos 24^{\circ }=\sin 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1+{\sqrt {6(5-{\sqrt {5}})}}}{8}},$
$\operatorname {tg} {\frac {2\,\pi }{15}}=\operatorname {ctg} {\frac {11\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 24^{\circ }=\operatorname {ctg} 66^{\circ }={\frac {-{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{2}},$
$\operatorname {ctg} {\frac {2\,\pi }{15}}=\operatorname {tg} {\frac {11\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 24^{\circ }=\operatorname {tg} 66^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {2(5-{\sqrt {5}})}}}{2}},$
$\sin {\frac {3\,\pi }{20}}=\cos {\frac {7\,\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }=\cos 63^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)+2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}},$
$\cos {\frac {3\,\pi }{20}}=\sin {\frac {7\,\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }=\sin 63^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)+2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{8}},$
$\operatorname {tg} {\frac {3\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} 27^{\circ }=\operatorname {ctg} 63^{\circ }={{\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}},$
$\operatorname {ctg} {\frac {3\,\pi }{20}}=\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{20}}=\operatorname {ctg} 27^{\circ }=\operatorname {tg} 63^{\circ }={{\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}},$
$\sin {\frac {11\,\pi }{60}}=\cos {\frac {19\,\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }=\cos 57^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$
$\cos {\frac {11\,\pi }{60}}=\sin {\frac {19\,\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }=\sin 57^{\circ }={\frac {-{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}-1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}}{16}},$
$\operatorname {tg} {\frac {11\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {19\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 33^{\circ }=\operatorname {ctg} 57^{\circ }={\frac {-2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}})+(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}{2}},$
$\operatorname {ctg} {\frac {11\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {19\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 33^{\circ }=\operatorname {tg} 57^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}+2)+{\sqrt {3}}(3+{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+2){\sqrt {2(25+11{\sqrt {5}})}}}{4}},$
$\sin {\frac {13\,\pi }{60}}=\cos {\frac {17\,\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }=\cos 51^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)({\sqrt {5}}+1)-2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$
$\cos {\frac {13\,\pi }{60}}=\sin {\frac {17\,\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }=\sin 51^{\circ }={\frac {{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {5}}+1)+2({\sqrt {3}}+1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}}{16}},$
$\operatorname {tg} {\frac {13\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} {\frac {17\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} 39^{\circ }=\operatorname {ctg} 51^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}-2)+{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)+2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$
$\operatorname {ctg} {\frac {13\,\pi }{60}}=\operatorname {tg} {\frac {17\,\pi }{60}}=\operatorname {ctg} 39^{\circ }=\operatorname {tg} 51^{\circ }={\frac {-2(2({\sqrt {5}}-2)-{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}}))+({\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-2){\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{4}},$
$\sin {\frac {7\,\pi }{30}}=\cos {\frac {8\,\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }=\cos 48^{\circ }={\frac {-({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}}{8}},$
$\cos {\frac {7\,\pi }{30}}=\sin {\frac {8\,\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }=\sin 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}-1)+{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{8}},$
$\operatorname {tg} {\frac {7\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} {\frac {8\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} 42^{\circ }=\operatorname {ctg} 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}({\sqrt {5}}+1)-{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}}{2}},$
$\operatorname {ctg} {\frac {7\,\pi }{30}}=\operatorname {tg} {\frac {8\,\pi }{30}}=\operatorname {ctg} 42^{\circ }=\operatorname {tg} 48^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}(3-{\sqrt {5}})+{\sqrt {2(25-11{\sqrt {5}})}}}{2}},$
$\operatorname {tg} {\frac {\pi }{120}}=\operatorname {ctg} {\frac {59\,\pi }{120}}=\operatorname {tg} 1.5^{\circ }=\operatorname {ctg} 88.5^{\circ }={\sqrt {\frac {8-{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}-{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}{8+{\sqrt {2(2-{\sqrt {3}})(3-{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {2(2+{\sqrt {3}})(5+{\sqrt {5}})}}}}},$
$\cos {\frac {\pi }{240}}=\sin {\frac {119\,\pi }{240}}=\cos 0.75^{\circ }=\sin 89.25^{\circ }={\frac {1}{16}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\left({\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})\right)+\right.$ $\left.+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\left({\sqrt {6(5+{\sqrt {5}})}}+{\sqrt {5}}-1\right)\right),$
$\cos {\frac {\pi }{17}}=\sin {\frac {15\,\pi }{34}}={\frac {1}{8}}{\sqrt {2\left(2{\sqrt {3{\sqrt {17}}-{\sqrt {2(85+19{\sqrt {17}})}}+17}}+{\sqrt {2(17-{\sqrt {17}})}}+{\sqrt {17}}+15\right)}}.$
$\sin {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n},n\in \mathbb {N}$
$\cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n},n\in \mathbb {N}$
$\sin {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}}}}}} _{n},n\geq 2$
$\cos {\pi \over 3\cdot 2^{n}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {3}}}}}} _{n},n\geq 2$

# Тригонометрик функциялар
## Тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәре
### Иң ябай тождестволар

Синус һәм косинус ярашлы рәүештә берәмек әйләнәлә α мөйөшөнә ярашлы нөктәнең ординатаһы һәм абсциссаһы булғанлыҡтан, берәмек әйләнәнең тигеҙләмәһе йәки Пифагор теоремаһына ярашлы, табабыҙ:
    $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.$
Был бәйләнеш төп тригонометрик тождество тип атала.
Был тигеҙләмәне ярашлы рәүештә косинус һәм синусатың квадратына бүлеп артабан табабыҙ:
    $1+\mathop {\mathrm {tg} } \,^{2}\alpha ={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }},$
    $1+\mathop {\mathrm {ctg} } \,^{2}\alpha ={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }},$
    $\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \cdot \mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha =1.$

# Тригонометрик функциялар
## Тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәре
### Өҙлөкһөҙлөк

Синус һәм косинус — өҙлөкһөҙ функциялар. Тангенс һәм секанстың $\pm 90^{\circ },\;\pm 270^{\circ },\;\pm 450^{\circ },\;\dots ;$; котангенс һәм косеканстың — $0^{\circ },\;\pm 180^{\circ },\;\pm 360^{\circ },\;\dots .$ өҙөлөү нөктәләре бар.

# Тригонометрик функциялар
## Тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәре
### Йоплоҡ

Косинус һәм секанс — йоп функциялар. Ҡалған дүрт функция — таҡ функциялар, йәғни:
    $\sin \left(-\alpha \right)=-\sin \alpha \,,$
    $\cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha \,,$
    $\mathop {\mathrm {tg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \,,$
    $\mathop {\mathrm {ctg} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha \,,$
    $\sec \left(-\alpha \right)=\sec \alpha \,,$
    $\mathop {\mathrm {cosec} } \,\left(-\alpha \right)=-\mathop {\mathrm {cosec} } \,\alpha \,.$

# Тригонометрик функциялар
## Тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәре
### Периодлылыҡ

$y=\mathop {\mathrm {sin} } \,x,\quad y=\mathop {\mathrm {cos} } \,x,\quad y=\mathop {\mathrm {sec} } \,x,\quad y=\mathop {\mathrm {cosec} } \,x$ — функциялары $2\pi$ периоды менән периодлы функциялар, $y=\mathop {\mathrm {tg} } \,x$ и $y=\mathop {\mathrm {ctg} } \,x$ функциялары — $\pi$ периоды менән.

# Тригонометрик функциялар
## Тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәре
### Килтереү формулалары

Килтереү формулалары тип түбәндәге күренештәге формулалар аталалар:
    $f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),$
    $f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),$
    $f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),$
    $f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).$
Бында $f$ —теләһә ниндәй тригонометрик функция, $g$ — уға ярашлы кофункция (йәғни косинус өсөн синус, синус өсөн косинус, тангенс өсөн котангенс, котангенс өсөн тангенс, секанс өсөн косеканс һәм косеканс өсөн секанс), n — бөтөн һан. Килеп сыҡҡан функция алдына, α ҡыҫынҡы мөйөш тип иҫәпләгәндә, бирелгән координаталар сирегендә тәүге функцияның тамғаһы ниндәй булһа, шул тамғаны ҡуябыҙ, мәҫәлән:
    $\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha \,,$ йәки шул уҡ $\cos \left(90^{\circ }-\alpha \right)=\sin \alpha \,.$
Ҡайһы бер килтереү формулалары:

# Тригонометрик функциялар
## Тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәре
### Ҡушыу формулалары

Ике мөйөштөң суммаһы һәм айырмаһының тригонометрик функциялары ҡиммәттәре:
    $\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \,\cos \beta \pm \cos \alpha \,\sin \beta ,$
    $\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \,\cos \beta \mp \sin \alpha \,\sin \beta ,$
    $\operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \,\alpha \pm \operatorname {tg} \,\beta }{1\mp \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta }},$
    $\operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \,\beta \pm \operatorname {ctg} \,\alpha }}.$
Өс мөйөштөң суммаһы өсөн оҡшаш формулалар:
    $\sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,$
    $\cos \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma .$

# Тригонометрик функциялар
## Тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәре
### Тапҡыр мөйөштәр өсөн формулалар

Икеләтелгән мөйөш формулалары:
    $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},$
    $\cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},$
    $\operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},$
    $\operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.$
Өсләтелгән мөйөш формулалары:
    $\sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,$
    $\cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,$
    $\operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},$
    $\operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.$
Тапҡыр мөйөштәр өсөн башҡа формулалар:
    $\sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),$
    $\cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,$
    $\operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},$
    $\operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},$
    $\sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,$
    $\cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,$
    $\operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},$
    $\operatorname {ctg} \,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},$
    $\sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)$ Гамма-функция өсөн Гаусс формулаһынан һәм тултырыу формулаһынан килеп сыға.
Муавр формулаһынан тапҡыр мөйөштәр өсөн түбәндәге дөйөм аңлатмаларҙы алырға мөмкин:
    $\sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,$
    $\cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,$
    $\mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},$
    $\mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[(n-1)/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},$
бында $[n]$ — $n$ һанының бөтөн өлөшө, ${\binom {n}{k}}$ — биномиаль коэффициент.
Ярты мөйөш формулалары:
    $\sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,$
    $\cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,$
    $\operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},$
    $\operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},$
    $\operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,$
    $\operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}},\quad 0<\alpha \leqslant \pi .$

# Тригонометрик функциялар
## Тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәре
### Ҡабатландыҡтар

Ике мөйөш функцияларының ҡабатландығы өсөн формулалар:
    $\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}},$
    $\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}},$
    $\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}},$
    $\operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}},$
    $\operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}},$
    $\operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}}.$
Өс мөйөштөң синустары һәм косинустары ҡабатландыҡтары өсөн оҡшаш формулалар:
    $\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$
    $\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$
    $\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},$
    $\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.$
Өс мөйөштөң тангенстары һәм котангенстары ҡабатландыҡтары өсөн формулаларҙы, юғарыла килтерелгән ярашлы тигеҙлектәрҙең уң һәм һул яҡтарын бүлеп табырға мөмкин.

# Тригонометрик функциялар
## Тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәре
### Дәрәжәләр

| $\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2}}={\frac {\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }}$ | $\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }}={\frac {\operatorname {sin} ^{2}\,\alpha }{1-\operatorname {sin} ^{2}\,\alpha }},$ |
| $\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha }},$ | $\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }},={\frac {\operatorname {cos} ^{2}\,\alpha }{1-\operatorname {cos} ^{2}\,\alpha }},$ |
| $\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{4}},$ | $\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }},$ |
| $\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{4}},$ | $\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }},$ |
| $\sin ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{8}},$ | $\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}},$ |
| $\cos ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{8}},$ | $\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}}.$ |

# Тригонометрик функциялар
## Тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәре
### Суммалар

    $\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}$
    $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
    $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
    $\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$
    $\operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}$
    $1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2}$
    $\sin \alpha \pm \cos \alpha ={\sqrt {2}}\cdot \sin \left(\alpha \pm {\pi \over 4}\right).$
Ошондай күренеш бар:
    $A\sin \alpha +B\cos \alpha ={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\;\sin(\alpha +\phi ),$
бында $\phi$ мөйөшө түбәндәге бәйләнештән табыла:
    $\sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\quad \cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$

# Тригонометрик функциялар
## Тригонометрик функцияларҙың үҙсәнлектәре
### Универсаль тригонометрик подстановка

Бөтә тригонометрик функцияларҙы мөйөш яртыһының тангенсы аша күрһәтеп була.
$\sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$
$\cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$
$\operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$
$\operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}$
$\sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}$
$\operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}$

# Тригонометрик функциялар
## Комплекснлы аргументтың тригонометрик функциялары
### Билдәләмә

Эйлер формулаһы:
    $e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta$
комплекслы аргументтың тригонометрик функцияларына экспонента аша (йәки рәттәр ярҙамында) уларҙың ысын аналогтарының аналитик дауамы булараҡ билдәләмә бирергә мөмкинлек бирә:
    $\sin z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\,={\frac {\operatorname {sh} iz}{i}};$
    $\cos z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\,=\operatorname {ch} iz;$
    $\operatorname {tg} \,z={\frac {\sin z}{\cos z}}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}};$
    $\operatorname {ctg} \,z={\frac {\cos z}{\sin z}}={\frac {i(e^{iz}+e^{-iz})}{e^{iz}-e^{-iz}}};$
    $\sec z={\frac {1}{\cos z}}={\frac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}};$
    $\operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},$ где $i^{2}=-1.$
Ярашлы рәүештә, ысын x өсөн,
    $\cos x=\operatorname {Re} (e^{ix}),$
    $\sin x=\operatorname {Im} (e^{ix}).$
Комплекслы синус һәм косинус гиперболик функциялар менән тығыҙ бәйләнгән:
    $\sin(x+iy)=\sin x\,\operatorname {ch} \,y+i\cos x\,\operatorname {sh} \,y,$
    $\cos(x+iy)=\cos x\,\operatorname {ch} \,y-i\sin x\,\operatorname {sh} \,y.$
Юғарыла һынап кителгән тригонометрик функциялар үҙсәнлектәренең күпселеге комплекслы осраҡта ла һаҡланалар. Ҡайһы бер өҫтәлмә үҙсәнлектәр:
* комплекслы синус һәм косинус, ысын аргументлыларҙан айырмалы рәүештә, модуле буйынса теләһә ниндәй ҙур ҡиммәттәр ҡабул итә алалар;
* комплекслы синус һәм косинустың бөтә нулдәре ысын күсәрҙә яталар.

# Тригонометрик функциялар
## Комплекснлы аргументтың тригонометрик функциялары
### Комплекслы графиктар

Түбәндәге графиктарҙа комплекслы яҫылыҡ һүрәтләнгән, ә функцияларҙың ҡиммәттәре төҫ менән айырып күрһәтелгән. Асыҡлыҡ абсолют ҡиммәтте сағылдыра (ҡара — ноль). Төҫ аргументтан һәм мөйөштән картаға ярашлы үҙгәрә.
Комплекслы яҫылыҡта тригонометрик функциялар :
| $\sin \,z$ | $\cos \,z$ | $\operatorname {tg} \,z$ | $\operatorname {ctg} \,z$ | $\sec \,z$ | $\operatorname {cosec} \,z$ |

# Тригонометрик функциялар
## Атамалар тарихы

Синус һыҙығы (2-се һүрәттә AB һыҙығы) һинд математиктарында башта «арха-джива» («ярым ян», йәғни бирелгән дуға хордаһының яртыһы, сөнки дуға менән хорда керешле янды хәтерләтә) тип аталған. Аҙаҡ «арха» һүҙе алып ташлана һәм синус һыҙығын «джива» тип кенә атай башлайҙар. Ғәрәп математиктары, һинд китаптарын санскриттан тәржемәләп, «джива» һүҙен ғәрәптәрҙең кереш һәм хорданы аңлатҡан «ватар» һүҙенә тәржемәләмәгәндәр, ә уны ғәрәп хәрефтәре менән транскрипциялайҙар һәм синус һыҙығын «джиба» (جيب‎) тип атайҙар. Ғәрәп телендә ҡыҫҡа һуҙынҡылар тамғаланмайҙар, ә «джиба» һүҙендә оҙон «и» ярымһуҙынҡы «й» кеүек тамғалана, ғәрәптәр синус һыҙығының атамаһын «джайб» тип әйтә башлайҙар, ул һүҙмә-һүҙ «соҡор», «ҡыуышлыҡ» тигәнде аңлата. Ғәрәп яҙмаларын Европа тәржемәселәре латин теленә тәржемәләгәндә, «джайб» һүҙен латин телендә шул уҡ мәғәнәне аңлатҡан sinus — «синус» һүҙенә әйләндерәләр. «Косинус» термины (лат. cosinus) — лат. complementi sinus-тан ҡыҫҡартыу — өҫтәлмә синус.
Хәҙерге $\sin ,~\cos$ ҡыҫҡаса тамғалауҙар Б. Кавальери һәм Уильям Отред тарафынан индерелгән һәм Леонард Эйлер хеҙмәттәрендә нығытылған.
«Тангенс» (лат. tangens — тейеүсе) һәм «секанс» (лат. secans — киҫеүсе) терминдары дат математигы Томас Финке тарафынан уның «Геометрия круглого» (Geometria rotundi, 1583) китабында индерелгән.
Тригонометрик функциялар тигән термин үҙе Клюгель тарафынан 1770 йылда индерелгән.
Һуңғараҡ инде кире тригонометрик функциялар өсөн дә терминдар индерелә — арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс — Жозеф Луи Лагранж һ.б. тарафынан (лат. arcus — дуға) һүҙенән алынған «арк» приставкаһын өҫтәп яһалғандар.