# Эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе

| n | n sin(1/n) |
| 1 | 0.841471 |
| 2 | 0.958851 |
| 10 | 0.998334 |
| 100 | 0.999983 |
n-дың ҡиммәте үҫеү менән n sin(1/n) функцияһының ҡиммәте 1-гә яҡыная. «n sin(1/n) эҙмә-эҙлелегенең сикләмәһе 1-гә тигеҙ» тип әйтәләр.
Математикала метрик арауыҡтың йәки топологик арауыҡтың элементтары эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһе (рус. Предел последовательности) тип шул уҡ арауыҡтың, бирелгән эҙмә-эҙлелектең элементтарын «тартыу» үҙсәнлегенә эйә булған, элементы атала.
Топологик арауыҡтың элементтары эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһе шундай нөктә була, уның һәр тирә-яғы эҙмә-эҙлелектең, ниндәйҙер номерҙан башлап, бөтә элементтарын үҙ эсенә ала. Метрик арауыҡта нөктәнең тирә-яғы алыҫлыҡ функцияһы аша билдәләнә, шуға күрә сикләнмә төшөнсәһе алыҫлыҡ телендә әйтелә.
Тарихи математик анализда барлыҡҡа килгән һанлы эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе төшөнсәһе беренсе төшөнсә була, унда ул яҡынайыуҙар системаһы өсөн нигеҙ булып хеҙмәт итә һәм дифференциаль һәм интеграль иҫәпләмәләр төҙөүҙә киң ҡулланыла.
Тамғалау: $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$
икс энынсы эҙмә-эҙлелегенең эн сикһеҙлеккә ынтылғанда сикләнмәһе a-ға тигеҙ тип уҡыла)
Эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе булыу үҙсәнлеген йыйылыусанлыҡ тип атайҙар: әгәр эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе булһа, был эҙмә-эҙлелек йыйыла тип әйтәләр; кире осраҡта (әгәр эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе булмаһа), был эҙмә-эҙлелек тарала тип әйтәләр.
Хаусдорф арауығында һәм, атап әйткәндә, метрик арауыҡта, йыйылыусан эҙмә-эҙлелектең һәр аҫ эҙмә-эҙлелеге йыйыла, һәм уның сикләнмәһе баштағы эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе менән тап килә.
Икенсе төрлө әйткәндә, Хаусдорф арауығының элементтары эҙмә-эҙлелегенең төрлө ике сикләнмәһе була алмай. Әммә эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе булмаҫҡа, шул уҡ ваҡытта сикләнмәһе булған аҫ эҙмә-эҙлелеге (бирелгән эҙмә-эҙлелектең) булыуы ла ихтимал.
Әгәр арауыҡ нөктәләренең теләһә ниндәй эҙмә-эҙлелегенән йыйылыусан аҫ эҙмә-эҙлелеген айырып алырға мөмкин булһа, арауыҡ секвенциаль компактлылыҡ (йәки тик компактлылыҡ, әгәр компактлылыҡ эҙмә-эҙлелек терминдарында ғына билдәләнһә) үҙенсәлегенә эйә тип әйтәләр .
Йоплоҡтың беренсе аксиомаһын ҡәнәғәтләндергән топологик арауыҡтарҙа, эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе төшөнсәһе сикке нөктә (күмәклектең) төшөнсәһе менән туранан-тура бәйле: әгәр күмәклектең сикке нөктәһе булһа, был күмәклек элементтарының бирелгән нөктәгә йыйылған эҙмә-эҙлелеге була.
Ирекле топологик арауыҡтар өсөн бындай эҙмә-эҙлелек булмауы ла ихтимал. Шулай итеп, эҙмә-эҙлелектең бер нисә сикке нөктәһе булырға мөмкин, ләкин, әгәр эҙмә-эҙлелек йыйылһа, сикке нөктәләренең барыһы ла бер-береһенә тап килә һәм эҙмә-эҙлелектең үҙенең сикләнмәһе менән тап киләләр.

# Эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе
## Билдәләмә

$T$ топологик арауығы һәм $\{x_{n}\}$ эҙмә-эҙлелеге бирелһен, ти. Ул саҡта, әгәр
    $\forall {\text{ }}U(x){\text{ }}\exists N:{\text{ }}\forall {\text{ }}n{\text{ }},n>N{\text{ }}\Rightarrow x_{n}\in U(x)$ үтәлерлек шундай $x\in T$ элементы булһа, бында $U(x)$ — $x$ ингән асыҡ күмәклек, ул саҡта $x$ $x_{n}$ эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһе тип атала. Әгәр арауыҡ метрик булһа, сикләнмәне метрика ярҙамында асыҡлап була: әгәр шундай $x\in T$ элементы булһа,
    $\forall {\text{ }}\varepsilon >0{\text{ }}\exists N:{\text{ }}\forall {\text{ }}n,n>N{\text{ }}\Rightarrow d(x_{n},x)<\varepsilon$,
бында $d(x,y)$ — метрика, ул саҡта $x$ $x_{n}$ эҙмә-эҙлелегенең сикләнмәһе тип атала.

# Эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе
## Миҫалдар

* Әгәр арауыҡ дискретҡа ҡаршы топология менән тәьмин ителһә, теләһә ниндәй эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе арауыҡтың теләһә ниндәй элементы буласаҡ.

# Эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе
## Вариациялар һәм дөйөмләштереүҙәр

* Ирекле эҙмә-эҙлелектең сикләнмәһе эҙмә-эҙлелектең өлөшләтә сикләнмәһе тип атала.