# Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы

Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы (МСТ; шулай уҡ айырым сағыштырмалыҡ теорияһы) — вакуумдағы яҡтылыҡ тиҙлегенән кәмерәк, шул иҫәптән яҡтылыҡ тиҙлегенә яҡын булған хәрәкәт тиҙлеге шарттарында хәрәкәтте, механика закондарын һәм арауыҡ-ваҡыт мөнәсәбәттәрен тасуирлаусы теория. МСТ-ны гравитацион ҡырҙар өсөн дөйөмләштереү дөйөм сағыштырмалыҡ теорияһы тип атала.
Физик процестар барышында классик механикала фараз ителгәндәрҙән махсус сағыштырмалыҡ теорияһы тарафынан һүрәтләнгән тайпылыштар релятивистик эффекттар тип атала, ә был эффекттар релятивистик тиҙлек ваҡытында һиҙелерлек дәрәжәгә етә. МСТ-ның классик механиканан төп айырмаһы (күҙәтелеүсе) арауыҡ һәм ваҡыт тасуирламаларының тиҙлеккә бойондороҡлолоғонан ғибәрәт.
Лоренц әүерелештәре махсус сағыштырмалыҡ теорияһында үҙәк урынды биләй. Улар ваҡиғалар бер инерциаль хисаплама системаһынан икенсеһенә күскәндә арауыҡ-ваҡыт координаталарын үҙгәртеү мөмкинлеген бирә.
Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы Альберт Эйнштейн тарафынан 1905 йылда «Хәрәкәт итеүсе есемдәрҙең электродинамикаһына» тигән хеҙмәттә һүрәтләнә. Төрлө хисаплама системалары араһында координаталар һәм ваҡыт әүерелештәренең математик аппараты (электромагнит ҡыры тигеҙләмәләрен һаҡлау маҡсатында) әүәле француз математигы А. Пуанкаре тарафынан төҙөлә (ул «Лоренц әүерелештәре» тигән терминды ла тәҡдим итә — Лоренц үҙе быға тиклем тик яҡынса формулаларҙы ғына сығарған була). А. Пуанкаре был әүерелештәрҙе уйҙырма ваҡытлы дүрт үлсәмле арауыҡ-ваҡыттағы боролоштар тип аңларға мөмкин булыуын күрһәтә (Г. Минковскийҙан алда) һәм Лоренц әүерелештәренең төркөм хасил итеүен күрһәтә.
«Сағыштырмалыҡ теорияһы» тигән терминды М. Планк тәҡдим итә. Артабан, А. Эйнштейн гравитация теорияһын — дөйөм сағыштырмалыҡ теорияһын — эшләгәндән һуң сағыштырмалыҡ теорияһына «махсус» йәки «айырым» тигән һүҙ өҫтәлә.

# Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы
## МСТ-ны ижад итеү

XIX быуатта электродинамика үҫеше сағыштырмалыҡ теорияһы барлыҡҡа килеүгә этәргес бирә. Электр һәм магнетизм өлкәләрендәге тәжрибәүи факттарҙы һәм законлылыҡтарҙы дөйөмләштереү һәм теоретик күҙлектән үткәреү һөҙөмтәһе булараҡ Максвелл тигеҙләмәләре барлыҡҡа килә. Был тигеҙләмәләр электромагнит ҡырының үҫешен һәм уның зарядтар һәм токтар менән үҙ-ара тәьҫир итешеүен һүрәтләй. Максвелл электродинамикаһында электромагнит тулҡындарының вакуумда таралыу тиҙлеге был тулҡындар таралыу сығанағының да, күҙәтеүсенең дә хәрәкәт итеү тиҙлегенә бәйле түгел, һәм ул яҡтылыҡ тиҙлегенә тиң. Шулай итеп, Максвелл тигеҙләмәләре Галилей әүерелештәренә ҡарата инвариантһыҙ булып сыға, ә был классик механикаға тап килмәй.
Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы XX быуат башында Г. А. Лоренц, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн һәм башҡа ғалимдар тарафынан эшләнә . МСТ-ны барлыҡҡа килтереү өсөн тәжрибәүи нигеҙ булып Майкельсон тәжрибәһе хеҙмәт итә. Һөҙөмтәләр ул осорҙағы классик физика өсөн көтөлмәгән булып сыға: яҡтылыҡ тиҙлеге Ерҙең Ҡояш тирәләй әйләнеү йүнәлешенә һәм орбита буйынса хәрәкәтенә бәйле түгел икән. Алынған мәғлүмәттәрҙе аңлатырға тырышыу классик белемдәрҙе ҡайтанан ҡарауға һәм махсус сағыштырмалыҡ теорияһын хасил итеүгә килтерә.
Яҡтылыҡ тиҙлегенә яҡыная барған тиҙлектәр менән хәрәкәт итеү сәбәпле классик динамика закондарынан тайпылыу арта бара. Көс менән тиҙләнеште бергә бәйләүсе Икенсе Ньютон законы МСТ-ға яраҡлаштырылырға тейеш. Шулай уҡ есем импульсы менән кинетик энергияһының да релятивистик булмаған осраҡ менән сағыштырғанда тиҙлеккә бәйләнгәнлеге ҡатмарлыраҡ.
Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы тәжрибәләр аша күп тапҡырҙар раҫланған һәм ҡулланыусанлыҡ йәһәтенән дөрөҫ теория булып тора Л. Пэйдж әйтмешләй, «беҙҙең электр быуатында һәр генераторҙың һәм һәр электр моторының әйләнеп торған якоры сағыштырмалыҡ теорияһының ғәҙеллеген иғлан итеүҙән туҡтамай — тыңлай белергә генә кәрәк».

# Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы
## МСТ-ның төп төшөнсәләре һәм  постулаттары

Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы, башҡа физик теориялар кеүек үк, төп төшөнсәләр һәм постулаттар менән уның физик объекттарға яраҡлылығы нигеҙендә белдерелә ала.

# Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы
## МСТ-ның төп төшөнсәләре һәм  постулаттары
### Төп төшөнсәләр

Хисаплама системаһы был системаның башланғысы итеп һайланған ниндәй ҙә булһа бер матди есемдән, хисаплама системаһына ҡарата объекттарҙың торошон асыҡлау ысулынан һәм ваҡытты иҫәпләү ысулынан тора. Ғәҙәттә хисаплама системаһын һәм координаталар системаһын айыралар. Ваҡытты иҫәпләү ғәмәлиәтен координаталар системаһына өҫтәү уны хисаплама системаһына «әүерелдерә».
Инерциялы хисаплама системаһы (ИХС) түбәндәгесә аңлатыла: тышҡы тәьҫирҙәргә бирелмәгән объект был системаға ҡарата тигеҙ һәм тура һыҙыҡлы хәрәкәт итә. ИХС бар һәм был инерциялы системаға ҡарата тигеҙ һәм тура һыҙыҡлы хәрәкәт иткән теләһә ҡайһы хисаплама системаһы ИХС булып тора.
Арауыҡта локалләшә алған һәм шуның менән бергә бик бәләкәй оҙайлылыҡҡа эйә булған теләһә ҡайһы физик процесс ваҡиға тип атала. Йәғни ваҡиға (x, y, z) координаталары һәм t ваҡыт мәле менән тасуирлана. Ваҡиғаларға миҫалдар: яҡтылыҡ балҡышы, материаль нөктәнең ошо мәлдәге торошо һ.б.
Ғәҙәттә S һәм S' инерциялы системалары ҡарала. S системаһына ҡарата үлсәнгән бер ваҡиғаның ваҡыты һәм координаталары (t, x, y, z) тип, ә ошо уҡ ваҡиғаның S' системаһына ҡарата булған ваҡыты һәм координаталары (t', x', y', z') тип билдәләнә. Системаларҙың координата күсәрҙәре бер-береһенә параллель һәм S' системаһы S системаһының x күсәре эргәһенән v тиҙлеге менән хәрәкәт итә тип ҡарау уңайлы. (t', x', y', z') ваҡыты һәм координатаһын (t, x, y, z) менән бәйләүсе нисбәттәрҙе эҙләү МСТ алдындағы бурыстарҙың береһе булып тора. Был нисбәттәр Лоренц әүерелештәре тип атала.

# Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы
## МСТ-ның төп төшөнсәләре һәм  постулаттары
### Ваҡытты синхронлаштырыу

МСТ-ла бирелгән инерциялы хисаплама системаһы сиктәрендә берҙәм ваҡытты билдәләү мөмкинлеге раҫлана. Бының өсөн ИХС-тың төрлө нөктәләрендә урынлашҡан ике сәғәтте синхронлаштырыу ғәмәлгә ашырыла. Беренсе сәғәттән $t_{1}$ сәғәттә u даими тиҙлеге менән сигнал (уның мотлаҡ яҡтылыҡ сигналы булыуы мөһим түгел) ебәрелә икән ти. Икенсе сәғәткә барып еткәс тә (ул күрһәткән $T$ сәғәттә) сигнал шул уҡ u тиҙлеге менән кире оҙатыла һәм беренсе сәғәткә $t_{2}$ сәғәттә барып етә. $T=(t_{1}+t_{2})/2$ нисбәте тотолһа, сәғәттәр синхронлаштырылған тип иҫәпләнә.
Был инерциялы хисаплама системаһында ошоноң кеүек ғәмәл бер-береһенә ҡарата хәрәкәтһеҙ торған теләһә ниндәй сәғәттәр өсөн дә башҡарыла ала тип иҫәпләнелә, тимәк, транзитивлыҡ хас: A сәғәте B сәғәте менән синхронлашһа, B сәғәте C сәғәте менән синхронлашһа, A менән C сәғәттәре лә синхронлы булып сыға.
Классик механиканан айырмалы, берҙәм ваҡытты ошо хисаплама системаһында ғына индереп була. МСТ-ла ваҡыт төрлө системалар өсөн дөйөм тип ҡаралмай. МСТ-ның бөтә төр хисаплама системалары өсөн берҙәм (абсолют) ваҡыт булыуын раҫлаусы классик механиканан айырмаһы нәҡ ошонан ғибәрәт.

# Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы
## МСТ-ның төп төшөнсәләре һәм  постулаттары
### Үлсәү берәмектәрен яраштырыу

Инерциялы хисаплама системаларының төрлөһөндә эшләнгән үлсәүҙәрҙе бер-береһе менән сағыштырып булһын өсөн үлсәү берәмектәрен хисаплама системалары араһында яраштырыу мөһим. Әйтәйек, оҙонлоҡ үлсәүҙәре перпендикуляр йүнәлешле оҙонлоҡ эталондарын инерциялы хисаплама системаларының сағыштырма хәрәкәтенә сағыштырып яраштырыла ала. Мәҫәлән, был x һәм x' күсәрҙәренә параллель хәрәкәт итеүсе һәм (y, z) менән (y',z') рәүешендәге төрлө, ләкин даими координаталы ике киҫәксәнең траекторияһы араһындағы иң ҡыҫҡа ара булыуы мөмкин. Ваҡытты үлсәү берәмеген яраштырыу өсөн бер иш сәғәттәрҙе, мәҫәлән, атом сәғәттәрен файҙаланырға була.

# Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы
## МСТ-ның төп төшөнсәләре һәм  постулаттары
### МСТ постулаттары

МСТ-ла, классик механикалағы кеүек үк, арауыҡ һәм ваҡыт бер төрлө, ә арауыҡ, өҫтәүенә, изотроп та булып тора тип һанала. Йәғни инерциялы хисаплама системаларында арауыҡ бер төрлө һәм изотроп, ә ваҡыт бер төрлө.
1-се постулат (Эйнштейндың сағыштырмалыҡ принцибы). Теләһә ҡайһы физик күренеш тә инерциялы хисаплама системаларының бөтәһендә лә бер төрлө бара. Сағыштырмалыҡ принцибы бөтә инерциялы хисаплама системаларының да тиңлеген урынлаштыра.
2-се постулат (яҡтылыҡ тиҙлегенең даимилығы принцибы). «Тынлыҡтағы» хисаплама системаһында яҡтылыҡ тиҙлеге сығанаҡтың тиҙлегенә бәйле түгел.

# Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы
## Лоренц әүерелештәре

Ике инерциаль хисаплама системаһының координата күсәрҙәре $S$ һәм $S'$ бер-береһенә параллель икән ти, $(t,x,y,z)$ — $S$ системаһына ҡарата күҙәтелеүсе бер ваҡиғаның ваҡыты һәм координаталары, ә $(t',x',y',z')$ — шул уҡ ваҡиғаның $S'$ системаһына ҡарата ваҡыты һәм координаталары.
Хисаплама системаларының тиҙлеге ирекле йүнәлешле булғанда Лоренц әүерелештәренең векторлы рәүештәге дөйөм күренеше:
    $t'=\gamma \cdot \left(t-{\frac {\mathbf {r} \mathbf {v} }{c^{2}}}\right),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {r} '=\mathbf {r} -\gamma \mathbf {v} t+(\gamma -1)\,{\frac {(\mathbf {r} \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}.$
бында $\gamma =1/{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}$ — Лоренц факторы, $\mathbf {r}$ һәм $\mathbf {r} '$ — ваҡиғаның S һәм S' системаларына ҡарата радиус-векторҙары.
Әгәр координата күсәрҙәрен инерциялы системаларҙың сағыштырма хәрәкәте йүнәлешенә борғанда (йәғни дөйөм формулаларға $\mathbf {r} \mathbf {v} =||\mathbf {r} ||||\mathbf {v} ||=rv$ индергәндә) һәм был йүнәлеште $x$ күсәре сифатында һайлағанда (йәғни S' системаһы S-ҡа ҡарата x күсәре эргәһенән v тиҙлеге менән тигеҙ һәм тура һыҙыҡлы хәрәкәт итһә), Лоренц әүерелештәре түбәндәге рәүеште алыр:
    $t'={\frac {t-{\frac {\displaystyle v}{\displaystyle c^{2}}}\,x}{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}},~~~~~~~~~~~x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}},~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~z'=z,$
бында $c$ — яҡтылыҡ тиҙлеге. Яҡтылыҡ тиҙлегенән күпкә кәм тиҙлектәрҙә ($v\ll c$) Лоренц әүерелештәре Галилей әүерелештәренә күсә:
    $t'=t,~~~~~~~~~~~x'=x-vt,~~~~~~~~~~~y'=y,~~~~~~~~~~~z'=z.$
Бындай сикке күсеш ярашлылыҡ принцибының сағылышы булып тора.

# Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы
## Лоренц әүерелештәре
### Лоренц әүерелештәрен сығарыу

Лоренц әүерелештәрен сығарыуҙың күп төрлө ысулдары бар. Береһен ҡарайыҡ.
$S'$ системаһының координаталары башы (арауыҡтың бер төрлөлөгө арҡаһында ул ошо системалағы теләһә ҡайһы тын нөктә булыуы мөмкин) $S$ системаһына ҡарата $v$ тиҙлеге менән хәрәкәт итә тип фараз ҡылайыҡ. Быға ярашлы, $S$ системаһының координаталар башы (тын нөктә) $S'$ яғына $-v$ тиҙлеге менән хәрәкәт итә ти. Артабанғы ғәмәлдәрҙе ҡыҫҡартыу маҡсатында инерциялы хисаплама системаларының икеһенең дә хисап башының тап килеүенән ($t'=t=0$, әгәр $x'=x=0$ булһа) һәм координаталар күсәрҙәренең бер төрлө йүнәлешле булыуынан башлайыҡ, ИХС-тың сағыштырма хәрәкәте $x$ (төрлө системала ҡапма-ҡаршы билдә менән) күсәре буйлап йүнәлгән булһын. Системалар x күсәре буйлап сағыштырма хәрәкәт иткәндә, $y'=y,z'=z$ тип иҫәпләргә була. Шулай итеп, әүерелештәрҙе ғәмәлдә бер үлсәмле арауыҡта ғына ҡарарға һәм ике үлсәмле арауыҡ-ваҡыт векторҙарын ғына ҡарарға була $z=(x,t)$.

# Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы
## Лоренц әүерелештәре
### Лоренц әүерелештәрен сығарыу
#### Әүерелештәрҙең һыҙыҡлы булыуы

Арауыҡ менән ваҡыттың бер төрлөлөгө һәм арауыҡтың изотроплығы һәм сағыштырмалыҡ принцибы арҡаһында бер ИХС-тан икенсеһенә әүерелештәр һыҙыҡлы булырға тейеш. Әүерелештәрҙең һыҙыҡлылығын табыу өсөн шундай фараз да булышлыҡ итер: әгәр ике объект бер ИХС-ға ҡарата бер төрлө тигеҙлеккә эйә булһа, уларҙың тиҙлеге башҡа ИХС-ға ҡарата ла бер тигеҙ була.

# Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы
## Лоренц әүерелештәре
### Интервал

Түбәндәге дәүмәлле квадрат тамыры ирекле ваҡиғалар араһындағы интервал тип атала:
    $\Delta s^{2}=c^{2}\Delta t_^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2},$
бында $\Delta t=t_{2}-t_{1},~\Delta x=x_{2}-x_{1},~\Delta y=y_{2}-y_{1},~\Delta z=z_{2}-z_{1}$ — ике ваҡиғаның ваҡыты һәм координаталары араһындағы айырма.
Лоренц әүерелештәрен уларҙың һыҙыҡлылығынан һәм интервалдың инвариантһыҙ булырға тейешлегенән сығарырға була.

# Махсус сағыштырмалыҡ теорияһы
## Лоренц әүерелештәре
### Геометрик алым
#### Дүрт үлсәмле арауыҡ-ваҡыт

Үҙенең формаһы буйынса интервал (бигерәк тә баштағы яҙмаларҙа) Евклид арауығындағы алыҫлыҡты хәтерләтә, ләкин ваҡиғаның арауыҡ һәм ваҡыт өлөштәрендә уның билдәһе төрлө. Минковскийға һәм Пуанкареның алдараҡ сыҡҡан хеҙмәтенә эйәргәндә, 4-координаталы $(ct,x,y,z)$ берҙәм метрик дүрт үлсәмле арауыҡ-ваҡыттың барлығын постулат итергә була. Яҫы арауыҡлы иң ябай осраҡта сикһеҙ яҡын ике нөктә араһындағы алыҫлыҡты билдәләүсе метрика евклидса йәки псевдоевклидса булырға мөмкин. Һуңғы осраҡ махсус сағыштырмалыҡ теорияһына тап килә. Интервал псевдоевклидса дүрт үлсәмле арауыҡ-ваҡытта алыҫлыҡты билдәләй, тиҙәр. Уны Минковскийҙың арауыҡ-ваҡыты тип тә йөрөтәләр.
Был осраҡта Лоренц әүерелештәрен аңлауҙың һәм сығарыуҙың иң «ябай» ысулын интервалды (кире тамғалы) «уйҙырма» ваҡыт координатаһын ($ict$) ҡулланып яҙыу юлы менән алып була:
    $\Delta s^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}-c^{2}\Delta t^{2}=\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}+\Delta (ict)^{2},$
Ул сағында интервал дүрт үлсәмле арауыҡта нөктәләр араһындағы ҡәҙимге евклидса алыҫлыҡ рәүешендә күренә. Күрһәтелеүенсә, ИХС-тар араһындағы күсеш ваҡытында интервал һаҡланырға тейеш, тимәк, был — параллель күсереүҙәр һәм инверсиялар (был ҡыҙыҡ түгел), йәиһә ошо арауыҡтағы боролоштар. Лоренц әүерелештәре ошондай арауыҡта боролош вазифаһын үтәй. Дүрт үлсәмле арауыҡ-ваҡытта базистың 4-векторҙарҙың ваҡыт һәм арауыҡ координаталарын бутай-бутай өйөрөлөүе хәрәкәт итеүсе хисаплама системаһына күсеү кеүек булып күренә һәм ҡәҙимге өс үлсәмле арауыҡтағы өйөрөлөүҙәргә бик оҡшаған. Был ваҡытта дүрт үлсәмле интервалдарҙың ҡаралған ваҡиғалар араһында хисаплама системаһының ваҡыт һәм арауыҡ күсәрҙәренә проекциялары ла үҙгәрә. Был ваҡыт һәм арауыҡ интервалдары үҙгәреүенең релятивистик эффекттарын хасил итә. Был арауыҡтың МСТ постулаттары тарафынан бирелгән инвариантлы структураһы бер инерциаль хисаплама системаһынан икенсеһенә күскәндә алмашынмай. Тик ике генә арауыҡ координатаһын (x, y) ҡулланып, дүрт үлсәмле арауыҡты (t, x, y) координаталары менән тасуирлап була. Координаталар башындағы ваҡиғалар менән яҡтылыҡ сигналы (яҡтылыҡҡа оҡшаш интервал) аша бәйләнгән ваҡиғалар (t=0, x=y=0) яҡтылыҡ конусында ята (уңдағы һүрәттә).
Минковскийҙың башланғыс версияһында (уйҙырма ваҡыт менән) Лоренц әүерелештәре формулалары ябай ғына табыла — улар евклидса арауыҡтағы билдәле боролоштар формулаларынан сығарыла.
Ләкин заманса ҡараш псевдометрикалы дүрт үлсәмле арауыҡ-ваҡытты ($ct$ ваҡыт күсәре менән) индереүҙән ғибәрәт. Бындай арауыҡта боролоштар формулалары оҡшаш ҡиәфәттә була, ләкин тригонометрик функциялар урынына гиперболик функцияларҙы ҡулланыу талап ителә.
Минковский менән Пуанкареның геометрик ҡарашы 1914 йылда А. Робб тарафынан үҫтерелә. Ул МСТ-ның аксиоматик ҡоролошо нигеҙенә ваҡиғаларҙың эйәреүе тураһындағы төшөнсәне һала. Был ҡараш артабан 50-се — 70-се йылдарҙа А. Д. Александров тарафынан дауам иттерелә.
Геометрик интерпретация сағыштырмалыҡ теорияһын (дөйөм сағыштырмалыҡ теорияһын) дөйөмләштереү өсөн нигеҙ булып тора.