Garnier integral tizimi

Matematik fizikada klassik Gaudin modeli sifatida ham tanilgan Garnier integrallash tizimi 1919 yilda Rene Garnier tomonidan Schlesinger tenglamalarining „ Painlevé soddalashtirishi“ yoki „avtonom chegarasi“ ni olish orqali kashf etilgan klassik mexanik tizimdir . Bu Mishel Gaudin tufayli Knijnik-Zamolodchikov tenglamalarining klassik analogidir. Klassik Gaudin modellari integratsiyalashgan tizim integralidir.

Ular, shuningdek, Xitchin integrallanuvchi tizimlarining oʻziga xos holati boʻlib, nazariya aniqlangan algebraik egri Rieman sferasi boʻlib, tizim toʻliq tarvaqaylab ketgan.

Shlesinger tenglamalarining chegarasi sifatida 
Shlesinger tenglamalari differensial tenglamalar tizimidir  matritsa qiymatli funksiyalar , tomonidan berilgan:

„Avtonom chegara“ ni almashtirish orqali beriladi  konstantalar orqali maxrajdagi bogʻliqlik  bilan  :

Bu Garnier tomonidan dastlab ishlab chiqarilgan shakldagi Garnier tizimi .

Gaudinning klassik modeli sifatida 
Garnier tizimining klassik mexanik tizim sifatida formulasi mavjud, klassik Gaudin modeli, u kvant Gaudin modeliga kvantlanadi va harakat tenglamalari Garnier tizimiga ekvivalentdir. Ushbu boʻlim ushbu formulani tavsiflaydi.

Har qanday klassik tizimga kelsak, Gaudin modeli Puasson manifoldi tomonidan belgilanadi  faza fazosi deb ataladi va manifoldda silliq funksiya Gamiltonian deb ataladi.

Faza maydoni 
Mayli  kvadratik Li algebrasi, yaʼni degenerativ boʻlmagan oʻzgarmas ikki chiziqli shaklga ega Li algebrasi boʻlsin.  . Agar  murakkab va sodda, bu Killing shakli sifatida qabul qilinishi mumkin.

Ikkilik, belgilangan , Kirillov-Kostant qavs orqali chiziqli Puasson tuzilishiga aylantirilishi mumkin.

Faza maydoni  Gaudin klassik modelining Dekart mahsuloti hisoblanadi  nusxalari  uchun  musbat butun son.

Sahifalar 

Ushbu nusxalarning har biri bilan bogʻliq bir nuqta , belgilangan , va sahifalar deb ataladi.

Laks matritsasi 
Li algebrasining asosini aniqlash  tuzilish konstantalari bilan , funktsiyalari mavjud  bilan  Puasson qavsni qanoatlantiruvchi faza fazosida

Ular oʻz navbatida aniqlash uchun ishlatiladi  -qiymatli funksiyalar

bilvosita yigʻindisi bilan.

Keyinchalik, ular Lax matritsasini aniqlash uchun ishlatiladi, bu ham a  fazalar boʻshligʻidagi qiymatli funksiya, qoʻshimcha ravishda meromorfik ravishda spektral  parametrga bogʻliq,

va  ning doimiy elementidir , degan maʼnoda Puasson barcha funksiyalari bilan harakat qiladi (yoʻqolib borayotgan Puasson qavsga ega).

(kvadrat) Gamiltonian 
(kvadrat) Gamiltonian

bu haqiqatan ham faza fazosining funksiyasi boʻlib, u qoʻshimcha ravishda spektral parametrga bogʻliq  . Buni shunday yozish mumkin:

bilan

va

Puasson qavs munosabatidanturlicha  va  bu haqiqat boʻlishi kerak  ning, the  ning va  hammasi involyutsiyada. Koʻrsatish mumkinki,  ning va  Fazali fazodagi barcha funksiyalar bilan Puasson qatnovi, lekin  umuman yoʻq. Bu Arnol’d Liouville integralligi maqsadlari uchun involyutsiyada saqlanib qolgan zaryadlardir.

Laks tenglamasi 
Koʻrsatish mumkin:

Shunday qilib, Lax matritsasi Gamiltonchilarning birortasi tomonidan vaqt evolyutsiyasi berilganda Lax tenglamasini qanoatlantiradi. , shuningdek, ularning har qanday chiziqli birikmasi.

Yuqori Gamiltoniyanlar 
Kasimir kvadrati Li algebrasi uchun kvadratik Veyl oʻzgarmas koʻphadiga mos keladi. , lekin aslida koʻplab kommutatsiya saqlangan toʻlovlar yordamida hosil boʻlishi mumkin  -oʻzgarmas koʻphadlar. Ushbu oʻzgarmas polinomlarni Xarish-Chandra izomorfizmi yordamida topish mumkin.  murakkab, sodda va cheklangan.

Klassik Gaudin modellari sifatida integrallanadigan maydon nazariyalari

Baʼzi bir integral klassik maydon nazariyalari klassik affin Gaudin modellari sifatida shakllantirilishi mumkin, bu yerda  affin Li algebrasidir . Bunday klassik maydon nazariyalariga asosiy chiral model, koset sigma modellari va affin Toda maydon nazariyasi kiradi. Shunday qilib, affin Gaudin modellarini integral tizimlar uchun „master nazariya“ sifatida koʻrish mumkin, lekin toʻrt oʻlchovli Chern-Simons nazariyasi yoki oʻz-oʻzidan ikkilangan Yang-Mills kabi boshqa asosiy nazariyalardan farqli oʻlaroq, tabiiy ravishda Gamilton formalizmida tuzilgan.

Gaudin kvant modellari 

Gaudin kvant modellarining ajralmas tuzilishi haqida koʻp narsa maʼlum. Xususan, Feigin, Frenkel va Reshetikxin ularni tepalik operatori algebralari nazariyasidan foydalangan holda oʻrganib, Gaudin modellarining matematika mavzulariga, shu jumladan Knijnik-Zamolodchikov tenglamalari va geometrik Langlands muvofiqligini koʻrsatdi.

Manbalar 

Fizika
Mexanika