Halqa nazaryasi

Halqa nazariyasida mavhum algebraning bir bo'limi, koeffitsient halqasi, farqli halqa yoki qoldiq sinf halqasi sifatida ham yaxshi tanilgan bo'lib, guruh nazariyasidagi bo'lim guruhiga va chiziqli algebradagi bo'linma fazosiga juda o'xshash konstruktsiyalardan biri. U universal algebraning umumiy sozlamasidan ko'rinib turibdiki, bu qismning o'ziga xos namunasi hisoblanadi.  halqasidan va  da ikki tomonlama ideal  dan boshlab, yangi halqa, qism halqasi  kelib chiqadi, uning elementlari  dagi  ning kosetlari bo'lib, maxsus  va -operatsiyalariga bog'liq bo'ladi. (Faqat "/" kasr qiyshiq chizig'i bo'lim halqasi belgisida ishlatiladi, gorizontal kasr satri bo'lmaydi. )

Qism halqalari integral sohaning "bo'lim maydoni" yoki kasrlar maydoni deb ataladigan misollardan, shuningdek lokalizatsiya natijasida olingan umumiy "bo'limlar halqalari" dan ham juda katta farq qiladi.

Rasmiy qism halqasining yasalishi 
Halqa berilgan  va ikki tomonlama ideal  ichida , ekvivalentlik munosabatini belgilashimiz ham mumkin bo'ladi  yoqilgan  quyida bayon qilsak bo'ladi:

  agar va faqat agar  ichida joylashgan  ga teng.

Ideal xususiyatlardan foydalanib, buni tekshirish qiyin emas  muvofiqlik munosabatidir hisoblanadi. Bo'lgan holatda , biz shuni aytamiz  va  mos modullardir   hisoblanadi. Elementning ekvivalentlik klassi  ichida  tomonidan beriladi va u quyidagicha bo'ladi

  .

Bu ekvivalentlik sinfi ba'zan shunday yoziladi  va "qoldiq sinfi" deb ham ataladi  modul  ga teng ".

Bunday barcha ekvivalentlik sinflari to'plami bilan belgilanadi  ; u halqaga, faktor halqasiga yoki koeffitsient halqasiga aylanishi ham  modul , agar biri aniqlasa qolganlari quyidagicha topiladi

  ;
  .

(Bu yerda ushbu ta'riflar aniq belgilanganligini tekshirish kerak bo'ladi. Koset va quotient guruhini solishtiramiz) ning nol elementi  hisoblanadi va  multiplikativ o'ziga xoslik  ga teng bo'ladi .

Xarita  dan  uchun  tomonidan belgilanadi va quyidagi qiymatlarda  suryektiv halqa homomorfizmi hisoblanadi, ba'zan tabiiy qism xaritasi yoki kanonik homomorfizm deb ham ataladi.

Misollar 

  } qism halqasi tabiiy ravishda R ga izomorf,  esa nol halqa {0}, chunki bizning ta'rifimiz bo'yicha R dagi har qanday r uchun bizda  mavjud. }}, bu R ning o'ziga teng. Bu ideal I qanchalik katta bo'lsa,  halqasining kichikligi haqidagi asosiy qoidaga mos keladi. Agar I R ning to'g'ri ideali bo'lsa, ya'ni  bo'lsa, u holda  nol halqa emas.
 Z butun sonlar halqasini va 2 Z bilan belgilangan juft sonlar idealini ko'rib chiqaylik. U holda  qism halqasi faqat ikkita elementga ega bo'lib, juft sonlardan iborat koset  va toq sonlardan tashkil topgan  kosetasi; ta'rifni qo'llash, , bu yerda 2 Z juft sonlarning ideali. Ikki element F 2 bo'lgan chekli maydon uchun tabiiy ravishda izomorf bo'ladi. Intuitiv ravishda: agar siz barcha juft raqamlarni 0 deb hisoblasangiz, har bir butun son yo 0 (agar u juft bo'lsa) yoki 1 (agar u toq bo'lsa va shuning uchun juft sondan 1 ga farq qilsa) bo'ladi. Modulli arifmetika asosan  ( n ta elementdan iborat) halqadagi arifmetikdir.
 Endi X o'zgaruvchisidagi ko'phadlar halqasini real koeffitsientlar, R [ X ] va  ko'phadning barcha ko'paytmalaridan tashkil topgan ideal ko'rib chiqaylik. Qism halqasi  murakkab sonlar maydoniga tabiiy ravishda izomorf bo'lib, sinf [ X ] xayoliy birlik i rolini o'ynaydi. Buning sababi shundaki, biz  "majbur qildik", ya'ni , i ning aniqlovchi xususiyati.
 Oldingi misolni umumlashtiradigan bo'lsak, ko'pincha dala kengaytmalarini qurish uchun qism halqalari qo'llaniladi. Faraz qilaylik, K qandaydir maydon, f esa K [ X ] dagi qaytarilmas ko‘phad bo‘lsin. U holda  K ga nisbatan minimal polinomi f bo'lgan maydon bo'lib, u K elementi bilan bir qatorda  elementini ham o'z ichiga oladi.
 Oldingi misolning muhim misollaridan biri cheklangan maydonlarni qurishdir. Masalan, uchta elementli  maydonini ko'rib chiqing.  ko'phad F 3 ga nisbatan qaytarilmaydi (chunki uning ildizi yo'q) va biz  bo'lak halqasini qurishimiz mumkin. Bu F 9 bilan belgilangan  elementdan iborat maydon. Boshqa cheklangan maydonlar ham xuddi shunday tarzda tuzilishi mumkin.
 Algebraik navlarning koordinata halqalari algebraik geometriyada bo'linish halqalarining muhim namunasidir. Oddiy holat sifatida, haqiqiy  xilma-xilligini ko'rib chiqing  haqiqiy R 2 tekislikning kichik to'plami sifatida. V da aniqlangan real qiymatli polinom funksiyalar halqasini  koordinatali halqa bilan aniqlash mumkin va bu V ning koordinatali halqasidir. Endi V navi uning koordinatali halqasini o'rganish orqali tekshiriladi.
 Faraz qilaylik, M C ∞ - manifold, p esa M nuqtasi bo'lsin. M da aniqlangan barcha C ∞ -funktsiyalarning  halqasini ko'rib chiqaylik va u p ning ba'zi U qo'shnilarida bir xil nolga teng bo'lgan f funktsiyalardan iborat R da I ideal bo'lsin (bu yerda U f ga bog'liq bo'lishi mumkin) . Keyin ko'rsatkich halqasi  da M ustida C ∞ -funktsiyalarining mikroblari halqasidir.
 Giperreal maydonning chekli elementlarining F halqasini ko'rib chiqaylik * R . U standart realdan cheksiz kichik miqdor yoki ekvivalent bilan farq qiluvchi barcha giperreal sonlardan iborat:  standart tamsayı n mavjud bo'lgan barcha giperreal sonlardan x . * R dagi barcha cheksiz kichik sonlarning I to'plami, 0 bilan birga, F da ideal va  bo'linma halqasi R haqiqiy raqamlariga izomorfikdir. Izomorfizm F ning har bir x elementiga x ning standart qismini, ya'ni x dan cheksiz kichik bilan farq qiluvchi yagona haqiqiy sonni bog'lash orqali induktsiya qilinadi. Haqiqatdan ham xuddi shunday natijaga erishiladi, ya'ni R, agar chekli giperratsionallarning F halqasidan boshlansa (ya'ni, giperintegerlar juftligi nisbati), haqiqiy sonlar qurilishiga qarang.

Murakkab tekisliklarning o'zgarishi 
,  va  bo'laklari R uchun izomorf bo'lib ularga quyidagicha avvaliga unchalik qiziqish uyg'otmaydi. Lekin shuni yodda tutingki,  geometrik algebrada ikkilik sonlar tekisligi deb ham atalishi mumkin. U R [X] elementini X2 ga qisqartirgandan so'ng "qoldiqlar" sifatida faqat chiziqli yechimlari binomiallardan iborat  ham bo'ladi. Murakkab tekislikning bu o'zgarishi algebrada haqiqiy chiziq va nilpotent bo'lganda subalgebra sifatida paydo bo'ladi va quyidagicha bo'lishi ham mumkin.

Bundan tashqari, halqa koeffitsienti   va  ga bo'linadi, shuning uchun bu halqa ko'pincha to'g'ridan-to'g'ri ko'rinadi. yig'indisi  Shunga qaramay,  kompleks sonlarning o'zgarishini j tomonidan  ning ildizi sifatida taklif qilinadi, i esa  ning ildizi sifatida. Ajratilgan murakkab sonlarning bu tekisligi algebraning o'ziga xosligi noldan birlik masofada joylashgan 2-fazo uchun  asosini ta'minlash orqali  to'g'ridan-to'g'ri yig'indisini normallashtiradi. Shu asosda birlik giperbolani oddiy kompleks tekislikning birlik doirasi bilan solishtirish mumkin.

Kvarternionlar va variatsiyalar 
Faraz qilaylik, X va Y ikkita, o'zgarmas, noaniq va erkin  algebrasini hosil qiladi. Keyin Gamiltonning 1843 yildagi kvaternionlari sifatida quyish mumkin

 

Agar  o'rniga qo'yilgan bo'lsa, u holda bo'lingan kvaternionlar halqasi olinadi. Anti-kommutativ xususiyat  XY o'z kvadratiga ega ekanligini anglatadi

 ( XY )( XY ) = X ( YX ) Y = − X ( XY ) Y = −( XX )( YY ) = −(−1)(+1) = +1.

Ikkala kvadratik binomida plyus o'rniga minus qo'yish ham bo'linish ham kvaternionlariga olib kelishi mumkin.

Uchta turdagi biquaternionlarni erkin algebra yordamida uchta noaniq R ⟨X,Y,Z ⟩ bilan va tegishli ideallarni yaratish orqali ham bo'laklar sifatida yozishimiz mumkin bo'ladi.

Xususiyatlari 
Shubhasiz, agar R kommutativ halqa bo'lsa,  ham shunday bo'ladi; ammo teskari umuman olganda, to'g'ri kelmaydi.

Tabiiy bo'lim xaritasi p o'zining yadrosi sifatida I ga ega hisoblanadi; har bir halqa gomomorfizmining yadrosi ikki tomonlama ideal bo'lganligi uchun, ikki tomonlama ideallar aynan halqa gomomorfizmlarining yadrosi ekanligini aytishimiz ham mumkin.

Halqa gomomorfizmlari, yadrolari va qism halqalari o'rtasidagi yaqin munosabatni quyidagicha umumlashtirish mumkin bo'ladi:  da aniqlangan halqa gomomorfizmlari I da yo'qolib ketadigan (ya'ni nolga teng bo'ladigan) R da aniqlangan halqa gomomorfizmlari bilan mohiyatan bir xildir bo'ladi. Aniqroq aytganda, R da ikki tomonlama ideal I va halqali omomorfizm  berilgan bo'lib  yadrosida I bo'lsa, aniq bitta halqali gomomorfizmi  mavjuddir.  bilan (bu yerda p - tabiiy ko'rsatkichlar xaritasi). Bu yerda g xaritasi R dagi barcha a uchun aniq belgilangan  qoidasi bilan berilgan. Haqiqatan ham, bu universal xususiyatdan bo'linish halqalari va ularning tabiiy bo'lim xaritalarini aniqlash uchun foydalanish mumkin bo'ladi.

Yuqorida aytilganlarning natijasi bo'laroq, asosiy bayonot olinadi va har bir halqa gomomorfizmi  qism halqasi  va tasvir im( f ) oʻrtasida halqa izomorfizmini keltirib chiqarishi mumkin. (Shuningdek qarang: gomomorfizmlar haqidagi asosiy teorema . )

R va  ideallari bir-biri bilan chambarchas bog'liq hisoblanadi va tabiiy koeffitsientlar xaritasi I ni o'z ichiga olgan R ning ikki tomonlama ideallari va  ning ikki tomonlama ideallari o'rtasidagi farqni ta'minlaydi (chap va o'ng uchun ham xuddi shunday ideallar mavjud). Ikki tomonlama ideal o'rtasidagi bu munosabat mos keladigan bo'laadiqism halqalari orasidagi munosabatga taalluqlidir hisoblanadi: agar M R dagi ikki tomonlama ideal bo'lsa, I ni o'z ichiga oladi va biz quyidagi  da mos keladigan ideal uchun  yozamiz (ya'ni.  ), qism halqalari  va  tabiiy ravishda (yaxshi belgilangan hisoblanadi!)  xaritalash orqali izomorfdir bo'ladi. 

Quyidagi faktlar kommutativ algebra va algebraik geometriyada foydalidir kommutativ uchun  maydon, agar I maksimal ideal bo'lsa,  esa integral sohadir bo'ladi, agar I bo'lsa asosiy ideal bo'ladi. Bir qator shunga o'xshash bayonotlar ideal I ning xossalari  halqasining xususiyatlari bilan bog'liq hisoblanadi.

Xitoy qoldiqlari teoremasi shuni ko'rsatadiki, agar ideal I juftlik ko'paytma ideallarning biror bir kesishishi (yoki ekvivalenti, mahsuloti) bo'lsa, I 1, . . ., I k, keyin  qism halqasi  ham ,  ko'paytmasiga izomorf hisoblanadi bo'ladi.

Halqa ustidagi algebralar uchun qoidalar 
Kommutativ halqa ustidagi assotsiativ algebra A R - bu uzuk hisoblanadi. Agar men ideal bo'lsam A ( R -ko'paytirish ostida yopiq bo'ladi), keyin A / I algebra tuzilishini qabul qilib oladi. R va qism algebrasi .

Shuningdek 

 Bog'langan darajali uzuk
 Qoldiq maydoni
 Goldie teoremasi
 Quotient moduli

Havolalar

Qo'shimcha havolalar 

 F. Kasch (1978) Moduln und Ringe, DAR Wallace (1982) tomonidan tarjima qilingan Modullar va uzuklar, Akademik matbuot, 33-bet.
 Neal H. McCoy (1948) Rings va ideallar, §13 Qoldiq sinfi halqalari, 61-bet, Carus Matematik Monografiyalari №8, Amerika Matematik Assotsiatsiyasi .
 0-387-98541-7 
 BL van der Waerden (1970) Algebra, Fred Blum va Jon R Schulenberger tomonidan tarjima qilingan, Frederik Ungar nashriyoti, Nyu-York. 3.5-bobga qarang, “Ideallar. Qoldiq sinfi halqalari", 47-51-betlar.

Havolalar 

 Ideals and factor rings  from John Beachy's Abstract Algebra Online 
Matematik belgilashlar
Matematik jamiyatlar
Matematik funktsiya andozasi