Modulning parchalanishi

Mavhum algebrada modulning parchalanishi modulni modullarning bevosita yigʻindisi sifatida yozish usulidir. Modullarni aniqlash yoki tavsiflash uchun koʻpincha parchalanish turlaridan qoʻllanadi: masalan, yarim oddiy modul oddiy modullarga parchalanishi boʻlgan moduldir. Ringni hisobga olgan holda, halqa ustidagi modullarning parchalanish turlaridan uzluklilikni aniqlash yoki tavsiflash uchun ham foydalanish mumkin: uzuk yarim oddiy hisoblanadi, agar uning ustidagi har bir modul yarim oddiy modul boʻladi.

Ayrılabilir modul ikki nol boʻlmagan submodullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi boʻlmagan moduldir. Azumaya teoremasi shuni koʻrsatadiki, agar modul mahalliy endomorfizm halqalari boʻlgan modullarga parchalanishga ega boʻlsa, u holda ajralmaydigan modullarga barcha parchalanishlar bir-biriga ekvivalent boʻladi; Buning alohida holati, ayniqsa, guruh nazariyasida, Krull-Shmidt teoremasi deb nomlanadi.

Modul parchalanishining alohida holati halqaning parchalanishidir: masalan, halqa yarim oddiy boʻladi, agar u boʻlinish halqalari ustidagi matritsa halqalarining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (aslida mahsulot) boʻladi (bu kuzatuv shunday deb nomlanadi). Artin-Vedderbern teoremasi).

Idempotentlar va parchalanishlar 
Modulning toʻgʻridan-toʻgʻri toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisini submodullarga ajratish modulning endomorfizm halqasida identifikatsiya xaritasini toʻplaydigan ortogonal idempotentlarni berish bilan bir xildir. Haqiqatan ham, agar , keyin, har biri uchun , chiziqli endomorfizm  tabiiy proyeksiya tomonidan berilgan, undan keyin tabiiy inklyuziya idempotentdir . Ular bir-biriga aniq ortogonaldir ( uchun ) va ular identifikatsiya xaritasini jamlaydi. Bular:

 

endomorfizmlar sifatida (bu yerda yigʻindi yaxshi aniqlangan, chunki u modulning har bir elementida cheklangan yigʻindi). Aksincha, ortogonal idempotentlarning har bir toʻplami  Shunday qilib, faqat cheksiz koʻp  har biri uchun nolga teng  va  olish orqali toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining parchalanishini aniqlanadi  tasvirlari boʻlish  ga teng.

Bu fakt allaqachon halqaning mumkin boʻlgan parchalanishiga baʼzi cheklovlar qoʻyadi: halqa berilgan , dekompozitsiya bor deylik

 

 ning oʻzi ustidan chap modul sifatida, qaerda  chap submodullar; yaʼni, chap ideallar . Har bir endomorfizm  R elementi bilan toʻgʻri koʻpaytirish bilan aniqlanishi mumkin; shunday qilib,  qayerda  ning idempotentlari hisoblanadi  .Idempotent endomorfizmlarning yigʻindisi R birligining parchalanishiga mos keladi: , bu shartli ravishda cheklangan yigʻindi; ayniqsa,  chekli toʻplam boʻlishi kerak.

Masalan, , boʻlinish halqasi ustidagi n -uchun- n matritsalar halqasi D. Keyin  n nusxasining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisidir , ustunlar; har bir ustun oddiy chap R -submodul yoki, boshqacha qilib aytganda, minimal chap ideal.

R halqa boʻlsin. Faraz qilaylik, uning oʻzidan chap modul sifatida parchalanishi (majburiy ravishda cheklangan) mavjud.

 

ikki tomonlama ideallarga aylanadi  ning R . Yuqoridagi kabi,  baʼzi ortogonal idempotentlar uchun  shu kabi  . beri  idealdir,  va hokazo  uchun  . Keyin, har bir i uchun,

 

Yaʼni,  markazda joylashgan; yaʼni ular markaziy idempotentlardir .Shubhasiz, argument teskari boʻlishi mumkin va shuning uchun toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining ideallarga boʻlinishi va birlik 1 ga toʻgʻri keladigan ortogonal markaziy idempotentlar oʻrtasida birma-bir moslik mavjud. Shuningdek, har biri  oʻzi — oʻz-oʻzidan halqa tomonidan berilgan birlik  va halqa sifatida R mahsulot halqasidir 

Masalan, yana oling  . Bu halqa oddiy halqadir; xususan, u ikki tomonlama ideallarga notrivial parchalanishga ega emas.

Parchalanish turlari 
Toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindining bir necha turlari oʻrganilgan:

 Yarim sodda parchalanish : oddiy modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi.
 Ajralmaydigan parchalanish : parchalanmaydigan modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi.
 Mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanish (qarang. #Azumaya teoremasi): endomorfizm halqalari mahalliy halqalar boʻlgan modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (har bir x element uchun x yoki 1 — x birlik boʻlsa, halqa mahalliy hisoblanadi).
 Ketma-ket parchalanish : bir seriyali modullarning toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi (agar pastki modullar panjarasi chekli zanjir boʻlsa, modul bir qatorli hisoblanadi) parchalanishi.

Oddiy modul ajralmaydigan boʻlgani uchun, yarim oddiy parchalanish ajralmaydigan parchalanishdir (lekin aksincha emas). Agar modulning endomorfizm halqasi mahalliy boʻlsa, u holda, xususan, notrivial idempotentga ega boʻlishi mumkin emas chunki modul ajratilmaydi. Shunday qilib, mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanish ajralmas parchalanish boʻladi.

Toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindi, agar u ajralmaydigan toʻldiruvchini qabul qilsa, maksimal parchalanish deyiladi. Parchalanish  Agar M ning har bir maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi L uchun kichik toʻplam mavjud boʻlsa, maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilarni toʻldiruvchi deyiladi.  shu kabi

 .

Ikki parchalanish  bijection mavjud boʻlsa, ekvivalent deyiladi  har biri uchun shunday ,  .Agar modul maksimal toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilarni toʻldiruvchi ajralmaydigan dekompozitsiyani qabul qilsa, modulning har qanday ikkita ajralmaydigan parchalanishi ekvivalent boʻladi.

Azumaya teoremasi 
Eng oddiy shaklda Azumaya teoremasida aytiladi.Sunday parchalanish berilgan  Shunday qilib, har birining endomorfizm halqasi  mahalliy (shuning uchun parchalanish ajralmas), M ning har bir parchalanmaydigan parchalanishi shu berilgan parchalanishga teng. Teoremaning aniqroq versiyasida aytiladi.Bunday parchalanish berilgan, agar , keyin

 agar nol boʻlmasa, N ajralmaydigan toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindini oʻz ichiga oladi,
 agar  ajralmaydi, uning endomorfizm halqasi mahalliy va  berilgan parchalanish bilan toʻldiriladi:
  va hokazo  baʼzilar uchun  ,
 Har biriga , toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilar mavjud  ning  va  ning  shu kabi  .

Cheklangan uzunlikdagi ajratilmaydigan modulning endomorfizm halqasi lokaldir (masalan, Fitting lemmasi boʻyicha) va shuning uchun Azumaya teoremasi Krull-Shmidt teoremasini isbotlash uchun qoʻllanadi. Darhaqiqat, agar M cheklangan uzunlikdagi modul boʻlsa, u holda uzunlik boʻyicha induksiya boʻyicha u cheklangan parchalanmaydigan parchalanishga ega. , bu mahalliy endomorfizm halqalari bilan parchalanishdir. Aytaylik, bizga parchalanib boʻlmaydigan parchalanish berilgan  . Keyin u birinchisiga teng boʻlishi kerak: shunday  va  baʼzi almashtirish uchun  ning  . Aniqrogʻi, beri  ajralmas,  baʼzilar uchun  . Keyin, beri  ajralmas,  va hokazo; yaʼni har bir summani toʻldiradi  baʼzilarining toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindisi sifatida qabul qilinishi mumkin  ning qiymatidir.

Yana bir ilova quyidagi bayonotdir (bu Kaplanskiyning proyektiv modullar haqidagi teoremasini isbotlashning asosiy bosqichidir):

 Element berilgan , toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindi mavjud  ning  va kichik toʻplam  shu kabi  va  .

Buni koʻrish uchun cheklangan toʻplamni tanlang  shu kabi  . Keyin, yozish , Azumaya teoremasi boʻyicha,  baʼzi toʻgʻridan-toʻgʻri yigʻindilar bilan  ning  va keyin, modul qonuniga koʻra,  bilan  . Keyin, beri  ning bevosita yig‘indisidir , yozishimiz mumkin  undan keyin , bu F chekli boʻlgani uchun, bu degani  baʼzi J uchun Azumaya teoremasini takroran qoʻllash orqali hisoblanadi.

Azumaya teoremasini oʻrnatishda, agar qoʻshimcha ravishda har bir  hisoblash mumkin boʻlsa, quyidagi takomillashtirish mavjud (dastlab Krouli-Jonsson va keyinchalik Uorfild tufayli):  ga izomorfdir  baʼzi bir kichik toʻplam uchun  (Maʼlum maʼnoda, bu Kaplanskiy teoremasining kengaytmasi va teoremani isbotlashda ishlatiladigan ikkita lemma bilan isbotlangan.), bu taxmin nomaʼlum „  countably genered“ ni oʻchirib qoʻyish mumkin; yaʼni, bu yaxshilangan versiya judayam toʻgʻri.

Halqaningning parchalanishi 
Halqaning parchalanishi boʻyicha Artin-Vedderbern teoremasi deb nomlanuvchi eng asosiy, ammo muhim kuzatuv bu: R halqasi berilganda, quyidagilar ekvivalentligidir:

 R — yarim oddiy halqa; yaʼni,  yarim oddiy chap moduldir.
  qayerda  n -by- n matritsalar halqasini va musbat sonlarni bildiradi  R bilan belgilanadi (lekin  s R bilan aniqlanmaydi).
 R ustidagi har bir chap modul yarim oddiy moduldir.

Birinchi ikkitasining ekvivalentligini koʻrish uchun eʼtibor bering: agar  qayerda  oʻzaro izomorf boʻlmagan chap minimal ideallar, demak, endomorfizmlar oʻngdan harakat qiladi.

 

har biri qaerda  boʻlinish halqasi ustidagi matritsa halqasi sifatida koʻrish mumkin  . (Buning aksi shundaki, 2.ning parchalanishi minimal chap ideallarga = oddiy chap submodullarga parchalanishga teng boʻladi.) Ekvivalentlik 1.  3. chunki har bir modul boʻsh modulning qismidir va yarim oddiy modulning qismi aniq yarim oddiy moduldir.

Yana qarang 

 Sof inʼektsion modul

Manbalar 

 
 Frank W. Anderson, Lectures on Non-Commutative Rings , University of Oregon, Fall, 2002.
 
 Y. Lam, Bass’s work in ring theory and projective modules [MR 1732042]
 Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, .
 R. Warfield: Exchange rings and decompositions of modules, Math. Annalen 199(1972), 31-36.
Pages with unreviewed translations