williamValid/logicQA-CQIA-Qwen-1.5B huggingface dataset:
问题：一个巨大的圆形水池，周围布满了老鼠洞。猫追老鼠到水池边，老鼠未来得及进洞就掉入水池里。猫继续沿水池边缘企图捉住老鼠（猫不入水）。已知V猫=4V鼠。问老鼠是否有办法摆脱猫的追逐？

解答：第一步：游到水池中心。
第二步：从水池中心游到距中心R/4处，并始终保持鼠、水池中心、猫在一直线上。
第三步：沿与中心相反方向的直线游3R/4就可以到达水池边，而猫沿圆周到达那里需要3.14R，所以捉不到老鼠。
问题：有三个桶，两个大的可装8斤的水，一个小的可装3斤的水，现在有16斤水装满了两大桶就是8斤的桶，小桶空着，如何把这16斤水分给4个人，每人4斤。没有其他任何工具，4人自备容器，分出去的水不可再要回来。

【36】从前有一位老钟表匠， 为一个教堂装一只大钟。他年老眼花，把长短针装配错了，短针走的速度反而是长针的12倍。装配的时候是上午6点，他把短针指在“6 ”上，长针指在“12”上。老钟表匠装好就回家去了。人们看这钟一会儿7点，过了不一会儿就8点了，都很奇怪，立刻去找老钟表匠。等老钟表匠赶到，已经是下午7点多钟。他掏出怀表来一对，钟准确无误，疑心人们有意捉弄他，一生气就回去了。这钟还是8点、9点地跑，人们再去找钟表匠。老钟表匠第二天早晨8点 多赶来用表一对，仍旧准确无误。 请你想一想，老钟表匠第一次对表的时候是7点几分？第二次对表又是8点几分？

【37】今有2匹马、3头牛和4只羊，它们各自的总价都不满10000文钱（古时的货币单位）。如果2匹马加上1头牛，或者3 头牛加上1只羊，或者4只羊加上1匹马，那么它们各自的总价都正好是10000文钱了。问：马、牛、羊的单价各是多少文钱？

【38】一天，harlan的店里来了一位顾客，挑了25元的货，顾客拿出100元，harlan没零钱找不开，就到隔壁飞白的店里把这100元换成零钱，回来给顾客找了75元零钱。 过一会，飞白来找harlan，说刚才的是假钱，harlan马上给飞白换了张真钱，问harlan赔了多少钱？

解答：表示为880，接下来，将一个大桶的水倒入小桶中，倒满，表示为853，（第2个大桶减3，小桶加3）则过程如下：
880—853：将3斤给第1个人，变为850（此时4人分别有水3-0-0-0）
850—823：将2斤给第2个人，变为803（此时4人分别有水3-2-0-0）
803—830—533—560—263—281：将1斤给第1个人，变为280（此时4人分别有水4-2-0-0）
280—253—703—730—433—460—163：将1斤给第3个人，变为063（此时4人分别有水4-2-1-0）
063—081：将1斤给第4个人，变为080（此时4人分别有水4-2-1-1）
080—053—350—323：将2斤给第2个人，将2个3斤分别给第3、4个人，（此时4人分别有水4-4-4-4）
问题：猴子爬绳
这道力学怪题乍看非常简单，可是据说它却使刘易斯．卡罗尔感到困惑。至于这道
怪题是否由这位因《爱丽丝漫游奇境记》而闻名的牛津大学数学专家提出来的，那就不
清楚了。总之，在一个不走运的时刻，他就下述问题征询人们的意见:
一根绳子穿过无摩擦力的滑轮，在其一端悬挂着一只10磅重的砝码，绳子的另一端
有只猴子，同砝码正好取得平衡。当猴子开始向上爬时，砝码将如何动作呢?
“真奇怪，“卡罗尔写道，“许多优秀的数学家给出了截然不同的答案。普赖斯认为砝
码将向上升，而且速度越来越快。克利夫顿(还有哈考特)则认为，砝码将以与猴子一样
的速度向上升起，然而桑普森却说，砝码将会向下降!”
一位杰出的机械工程师说"这不会比苍蝇在绳子上爬更起作用”，而一位科学家却认
为"砝码的上升或下降将取决于猴子 吃苹果速度的倒数”，然而还得从中求出猴子尾巴的
平方根。严肃地说，这道题目非常有趣，值得认真推敲。它很能说明趣题与力学问题之
间的紧密联系。

解答：砝码将以与猴子相同的速度上升，因为它们质量相同，受力也相同
问题：两个空心球，大小及重量相同，但材料不同。一个是金，一个是铅。空心球表面图有相同颜色的油漆。现在要求在不破坏表面油漆的条件下用简易方法指出哪个是金的，哪个是铅的。

【41】有23枚硬币在桌上，10枚正面朝上。假设别人蒙住你的眼睛，而你的手又摸不出硬币的
反正面。让你用最好的方法把这些硬币分成两堆，每堆正面朝上的硬币个数相同。

【42】三个村庄A、B、C和三个城镇A、B、C坐落在如图所示的环形山内。
由于历史原因，只有同名的村与镇之间才有来往。为方便交通，他们
准备修铁路。问题是：如何在这个环形山内修三条铁路连通A村与A镇，
B村与B镇，C村与C镇。而这些铁路相互不能相交。（挖山洞、修立交
桥都不算，绝对是平面问题）。想出答案再想想这个题说明什么问题。

●●●●●●●●●Ｃ●●●●●●●●●●
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Ａ Ｃ Ｂ
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解答：旋转看速度，金的密度大，质量相同，所以金球的实际体积较小，因为外半径相同，所以金球的内半径较大，所以金球的转动惯量大，在相同的外加力矩之下，金球的角加速度较小，所以转得慢。
问题：屋里三盏灯，屋外三个开关，一个开关仅控制一盏灯，屋外看不到屋里
怎样只进屋一次，就知道哪个开关控制哪盏灯?
四盏呢~

【44】2+7-2+7全部有火柴根组成，移动其中任何一根，答案要求为30
说明：因为书写问题作如下解释，2是由横折横三根组成，7是由横折两根组成

解答：温度，先开一盏，足够长时间后关了，开另一盏，进屋看，亮的为后来开的，摸起来热的为先开的，剩下的一盏也就确定了。
四盏的情况：设四个开关为ABCD，先开AB，足够长时间后关B开C，然后进屋，又热又亮为A，只热不亮为B，只亮不热为C，不亮不热为D。
问题：5名海盗抢得了窖藏的100块金子，并打算瓜分这些战利品。这是一些讲民主的海盗（当然是他们自己特有的民主），他们的习惯
是按下面的方式进行分配：最厉害的一名海盗提出分配方案，然后所有的海盗（包
括提出方案者本人）就此方案进行表决。如果50%或更多的海盗赞同此方案，此方
案就获得通过并据此分配战利品。否则提出方案的海盗将被扔到海里，然后下一名
最厉害的海盗又重复上述过程。
所有的海盗都乐于看到他们的一位同伙被扔进海里，不过，如果让他们选择的
话，他们还是宁可得一笔现金。他们当然也不愿意自己被扔到海里。所有的海盗都
是有理性的，而且知道其他的海盗也是有理性的。此外，没有两名海盗是同等厉害
的——这些海盗按照完全由上到下的等级排好了座次，并且每个人都清楚自己和其
他所有人的等级。这些金块不能再分，也不允许几名海盗共有金块，因为任何海盗
都不相信他的同伙会遵守关于共享金块的安排。这是一伙每人都只为自己打算的海
盗。
最凶的一名海盗应当提出什么样的分配方案才能使他获得最多的金子呢？


【46】他们中谁的存活机率最大？
5个囚犯，分别按1-5号在装有100颗绿豆的麻袋抓绿豆，规定每人至少抓一颗，而抓得最多和最少的人将被处死，而且，他们之间不能交流，但在抓的时候，可以摸出剩下的豆子数。问他们中谁的存活几率最大？提示：　　　　　　
1，他们都是很聪明的人　　　　　　
2，他们的原则是先求保命，再去多杀人　　　　　　
3，100颗不必都分完　　　　　　
4，若有重复的情况，则也算最大或最小，一并处死

解答：如果轮到第四个海盗分配：100，0
轮到第三个：99，0，1
轮到第二个：98，0，1，0
轮到第一个：97，0，1，0，2，这就是第一个海盗的最佳方案。
问题：有5只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分.第二天清晨，第一只猴子最早来到，它左分右分分不开，就朝海里扔了一只，恰好可以分成5份，它拿上自己的一份走了.第 2，3，4，5只猴子也遇到同样的问题，采用了同样的方法，都是扔掉一只后，恰好可以分成5份.问这堆桃子至少有多少只？

解答：这堆桃子至少有3121只。
第一只猴子扔掉1个，拿走624个，余2496个；
第二只猴子扔掉1个，拿走499个，余1996个；
第三只猴子扔掉1个，拿走399个，余1596个；
第四只猴子扔掉1个，拿走319个，余1276个；
第五只猴子扔掉1个，拿走255个，余4堆，每堆255个。
如果不考虑正负，-4为一解
考虑到要5个猴子分，假设分n次。
则题目的解: $$5^n-4$$
本题为$$5^5-4=3121$$。
问题：话说某天一艘海盗船被天下砸下来的一头牛给击中了，5个倒霉的家伙只好逃难到一个孤岛，发现岛上孤零零的，幸好有有棵椰子树，还有一只猴子!
大家把椰子全部采摘下来放在一起，但是天已经很晚了，所以就睡觉先.
晚上某个家伙悄悄的起床，悄悄的将椰子分成5份，结果发现多一个椰子，顺手就给了幸运的猴子，然后又悄悄的藏了一份，然后把剩下的椰子混在一起放回原处，最后还是悄悄滴回去睡觉了.
过了会儿，另一个家伙也悄悄的起床，悄悄的将剩下的椰子分成5份，结果发现多一个椰子，顺手就又给了幸运的猴子，然后又悄悄滴藏了一份，把剩下的椰子混在一起放回原处，最后还是悄悄滴回去睡觉了.
又过了一会 …
…
又过了一会 …
总之5个家伙都起床过，都做了一样的事情
早上大家都起床，各自心怀鬼胎的分椰子了，这个猴子还真不是一般的幸运，因为这次把椰子分成5分后居然还是多一个椰子，只好又给它了.
问题来了，这堆椰子最少有多少个?

解答：这堆椰子最少有15621
第一个人给了猴子1个，藏了3124个，还剩12496个；
第二个人给了猴子1个，藏了2499个，还剩9996个；
第三个人给了猴子1个，藏了1999个，还剩7996个；
第四个人给了猴子1个，藏了1599个，还剩6396个；
第五个人给了猴子1个，藏了1279个，还剩5116个；
最后大家一起分成5份，每份1023个，多1个，给了猴子。
问题：小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是M月N日，
2人都知道张老师的生日是下列10组中的一天，
张老师把M值告诉了小明，把N值告诉了小强，
张老师问他们知道他的生日是那一天吗？
3月4日 3月5日 3月8日
6月4日 6月7日
9月1日 9月5日
12月1日 12月2日 12月8日
小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道
小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了
小明说：哦，那我也知道了
请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天

解答：1）首先分析这10组日期，经观察不难发现，只有6月7日和12月2日这两组日期的日数是唯一的。由此可知，如果小强得知的N是7或者2，那么他必定知道了老师的生日。

2）再分析“小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道”，而该10组日期的月数分别为3，6，9，12，而且都相应月的日期都有两组以上，所以小明得知M后是不可能知道老师生日的。

3）进一步分析“小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道”，结合第2步结论，可知小强得知N后也绝不可能知道。

4）结合第3和第1步，可以推断：所有6月和12月的日期都不是老师的生日，因为如果小明得知的M是6，而若小强的N7，则小强就知道了老师的生日。（由第1步已经推出），同理，如果小明的M12，若小强的N2，则小强同样可以知道老师的生日。即：M不等于6和9。现在只剩下“3月4日，3月5日，3月8日，9月1日，9月5日”五组日期。而小强知道了，所以N不等于5（有3月5日和9月5日），此时，小强的N∈（1，4，8）注：此时N虽然有三种可能，但对于小强只要知道其中的一种，就得出结论。所以有“小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了”，对于我们则还需要继续推理至此，剩下的可能是“3月4日，3月8日，9月1日”
5）分析“小明说：哦，那我也知道了”，说明M9，N1，（N5已经被排除，3月份的有两组）

所以答案应该是9月1日。
问题：一逻辑学家误入某部 落，被囚于牢狱，酋长欲意放行，他对逻辑学家说：“今有两门，一为自由，一为死亡，你可任意开启一门。现从两个战士中选择一人负责解答你所提的任何一个问题（Y/N），其中一个天性诚实，一人说谎成性，今后生死任你选择。”逻辑学家沉思片刻，即向一战士发问，然后开门从容离去。逻辑学家应如何发问？

解答：问：如果我问另一个人死亡之门在哪里，他会怎么回答？

最终得到的回答肯定是指向自由之门的。
问题：说从前啊，有一个富人，他有30个孩子，其中15个是已故的前妻所生，其余15个是继室所生，这后一个妇人很想让她自己所生的最年长的儿子继承财产，于是，有一天，他就向他 说:"亲爱的丈夫啊，你就要老了，我们应该定下来谁将是你的继承人，让我们把我们的30个孩子排成一个圆圈，从他们中的一个数起，每逢到10就让那个孩子 站出去，直到最后剩下哪个孩子，哪个孩子就继承你的财产吧!"富人一想，我靠，这个题意相当有内涵了，不错，仿佛很公平，就这么办吧~不过，当剔选过程不 断进行下去的时候，这个富人傻眼了，他发现前14个被剔除的孩子都是前妻生的，而且下一个要被剔除的还是前妻生的，富人马上大手一挥，停，现在从这个孩子倒回去数， 继室，就是这个歹毒的后妈一想，倒数就倒数，我15个儿子还斗不过你一个啊她立即同意了富人的动议，你猜，到底谁做了继承人呢

解答：$$10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 = 198$$
$$198 / 30= 6 余18$$

小孩子站在18号位置即可。
问题：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”

解答：1. 27头牛6天所吃的牧草为：$$27×6=162$$（这162包括牧场原有的草和6天新长的草。）

2. 23头牛9天所吃的牧草为：$$23×9=207$$（这207包括牧场原有的草和9天新长的草。）

3. 1天新长的草为：$$(207－162)÷(9－6)=15$$

4. 牧场上原有的草为：$$27×6－15×6=72$$

5. 每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：$$72÷(21－15)=72÷6=12(天)$$

因此需要12天。
问题：一个商人骑一头驴要穿越1000公里长的沙漠，去卖3000根胡萝卜。已知驴一次性可驮1000根胡萝卜，但每走一公里又要吃掉一根胡萝卜。问：商人共可卖出多少胡萝卜？

【54】10箱黄金，每箱100块，每块一两
有贪官，把某一箱的每块都磨去一钱
请称一次找到不足量的那个箱子

解答：假设出沙漠时有1000根萝卜，那么在出沙漠之前一定不只1000根，那么至少要驮两次才会出沙漠，那样从出发地到沙漠边缘都会有往返的里程，那所走的路程将大于3000公里，故最后能卖出萝卜的数量一定是小于1000根的。

那么在走到某一个位置的时候萝卜的总数会恰好是1000根。

因为驴每次最多驮1000，那么为了最大的利用驴，第一次卸下的地点应该是使萝卜的数量为2000的地点。

因为一开始有3000萝卜，驴必须要驮三次，设驴走X公里第一次卸下萝卜

则：

5X=1000（吃萝卜的数量，也等于所行走的公里数）
X=200，也就是说第一次只走200公里

验算：
驴驮1000根走200公里时剩800根，卸下600根，返回出发地
前两次就囤积了1200根，第三次不用返回则剩800根，则总共是2000根萝卜了。

第二次驴只需要驮两次，设驴走Y公里第二次卸下萝卜
则：3Y=1000， Y=333.3

验算：

驴驮1000根走333.3公里时剩667根，卸下334根，返回第一次卸萝卜地点
第二次在途中会吃掉334根萝卜，到第二次卸萝卜地点是加上卸下的334根，刚好是1000根。

而此时总共走了：$$200 + 333.3=533.3$$公里，而剩下的466.7公里只需要吃466根萝卜
所以可以卖萝卜的数量就是1000-466=534
问题：你让工人为你工作７天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的７段，你必须在每天结束时都付费，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？

【56】有十瓶药，每瓶里都装有100片药（仿佛现在装一百片的少了，都是十片二十片的，不管，咱们就这么来了），其中有八瓶里的药每片重10克，另有两瓶里的药每片重9克。用一个蛮精确的小秤，只称一次，如何找出份量较轻的那两个药瓶？

解答：把金条分为 1，2，4 三段。
第一天， 1个环给工人
第二天， 2个环给工人， 拿回一个环
第三天， 1个环给工人
第四天， 4个环给工人， 拿回1个环，2个环
第五天， 1个环给工人
第六天， 2个环给工人，拿回1个环
第七天， 1个环给工人.
问题：一个经理有三个女儿， 三个女儿的年龄加起来等于13，三个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄，有一个下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理三个女儿的年龄，这时经理说只有 一个女儿的头发是黑的，然后这个下属就知道了经理三个女儿的年龄。请问三个女儿的年龄分别是多少？为什么？

【58】有三个人去住旅馆，住 三间房，每一间房$10元，于是他们一共付给老板$30，第二天，老板觉得三间房只需要$25元就够了于是叫小弟退回$5给三位客人，谁知小弟贪心，只退 回每人$1，自己偷偷拿了$2，这样一来便等于那三位客人每人各花了九元，于是三个人一共花了$27，再加上小弟独吞了不$2，总共是$29。可是当初他们三个人一共付出$30那么还有$1呢？

【59】有两位盲人，他们都各自买了两对黑袜和两对白袜，八对袜了的布质、大小完全相同，　　而每对袜了都有一张商标纸连着。两位盲人不小心将八对袜了混在一起。他们每人怎样才能取回黑袜和白袜各两对呢？

【60】有一辆火车以每小时 15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛 杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？

【61】你有两个罐子，50个红色弹球，50个蓝色弹球，随机选出一个罐子，随机选取出一个弹球放入罐子，怎么给红色弹球最大的选中机会？在你的计划中，得到红球的准确几率是多少？

【62】你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？

【63】对一批编号为1～100，全部开关朝上(开)的灯进行以下*作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号。

解答：显然3个女儿的年龄都不为0，要不爸爸就为0岁了，因此女儿的年龄都大于等于1岁。这样可以得下面的情况：$$1 \times 1 \times 11 = 11$$，$$1 \times 2 \times 10 = 20$$，$$1 \times 3 \times 9=27$$，$$1 \times 4 \times 8=32$$，$$1 \times 5 \times 7=35$$，$$1 \times 6 \times 6=36$$，$$2 \times 2 \times 9=36$$，$$2 \times 3 \times 8=48$$，$$2 \times 4 \times 7=56$$，$$2 \times 5 \times 6=60$$，$$3 \times 3 \times 7=63$$，$$3 \times 4 \times 6=72$$，$$3 \times 5 \times 5=75$$，$$4 \times 4 \times 5=80$$因为下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理三个女儿的年龄，说明经理是36岁（因为$$1 \times 6 \times 6=36$$，$$2 \times 2 \times 9=36$$），所以3个女儿的年龄只有2种情况，经理又说只有一个女儿的头发是黑的，说明只有一个女儿是比较大的，其他的都比较小，头发还没有长成黑色的，所以3个女儿的年龄分别为2，2，9！
问题：想象你在镜子前，请问，为什么镜子中的影像可以颠倒左右，却不能颠倒上下？

解答：因为镜子和你平行。
如果镜子与人不平行， 就可以颠倒上下。
实际上镜子并没有颠倒左右，而是颠倒前后
问题：一群人开舞会，每人头 上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的。主持人先让大家看看别人头上戴的是什幺帽子，然后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光。第一次关灯，没有声音。于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声。一直到第三次关灯，才 有劈劈啪啪打耳光的声音响起。问有多少人戴着黑帽子？

解答：1，若是两个人，设A、B是黑帽子，第二次关灯就会有人打耳光。原因是A看到B第一次没打耳光，就知道B也一定看到了有带黑帽子的人，可A除了知道B带黑帽子外，其他人都是白帽子，就可推出他自己是带黑帽子的人！同理B也是这么想的，这样第二次熄灯会有两个耳光的声音。
2，如果是三个人，A，B，C. A第一次没打耳光，因为他看到B，C都是带黑帽子的；而且假设自己带的是白帽子，这样只有BC戴的是黑帽子；按照只有两个人带黑帽子的推论，第二次应该有人打耳光；可第二次却没有。于是他知道B和C一定看到了除BC之外的其他人带了黑帽子，于是他知道BC看到的那个人一定是他，所以第三次有三个人打了自己一个耳光！
问题：两个圆环，半径分别是1和2，小圆在大圆内部绕大圆圆周一周，问小圆自身转了几周？如果在大圆的外部，小圆自身转几周呢？

【67】 1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水？

【68】有3顶红帽子，4顶黑 帽子，5顶白帽子。让10个人从矮到高站成一队，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色。（所以最后一个人可以看见前面9个人头上帽子的颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。假设最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么？

解答：把大圆剪断拉直。小圆绕大圆圆周一周，就变成从直线的一头滚至另一头。因为直线长就是大圆的周长，是小圆周长的2倍，所以小圆要滚动2圈。

但是现在小圆不是沿直线而是沿大圆滚动，小圆因此还同时作自转，当小圆沿大圆滚动1周回到原出发点时，小圆同时自转1周。当小圆在大圆内部滚动时自转的方向与滚动的转向相反，所以小圆自身转了1周。当小圆在大圆外部滚动时自转的方向与滚动的转向相同，所以小圆自身转了3周。

这一题非常有迷惑性，小圆在外部时其实是3圈，你可以拿个硬币试试可以把圆看成一根绳子，长绳是短绳的2倍长，假设长绳开始接口在最底下，短绳接口在长绳接口处，然后短绳开始顺时针绕，当短绳接口对着正左时，这时其实才绕了长绳的1/4，转了$$180+90$$度，所以绕一圈是$$270 \times 4=360 \times 3 $$。同理小圆在内部时是1圈。

也可以套用下列公式： $$两圆圆心距/转动者半径=转动者切另一圆时的自转数$$
问题：假设排列着100个乒乓球，由两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。条件是：每次拿球者至少要拿1个，但最多不能超过5个，问：如果你是最先拿球的人，你该拿几个？以后怎么拿就能保证你能得到第100个乒乓球？

解答：拿出4个， 然后按照6的倍数和另外一人分别拿球. 即
另外一人拿1个， 我拿5个
另外一人拿2个， 我拿4个
另外一人拿3个， 我拿3个
另外一人拿4个， 我拿2个
另外一人拿5个， 我拿1个。
最终100个在我手上。

首先拿4个 别人拿n个你就拿6－n个
问题：卢姆教授说：“有一次 我目击了两只山羊的一场殊死决斗，结果引出了一个有趣的数学问题。我的一位邻居有一只山羊，重54磅，它已有好几个季度在附近山区称王称霸。后来某个好事 之徒引进了一只新的山羊，比它还要重出3磅。开始时，它们相安无事，彼此和谐相处。可是有一天，较轻的那只山羊站在陡峭的山路顶上，向它的竞争对手猛扑过 去，那对手站在土丘上迎接挑战，而挑战者显然拥有居高临下的优势。不幸的是，由于猛烈碰撞，两只山羊都一命呜呼了。
现在要讲一讲本题的奇妙之处。对饲养山羊颇有研究，还写过书的乔治．阿伯克龙比说道：“通过反复实验，我发现，动量相当于一个自20英尺高处坠落下来 的30磅重物的一次撞击，正好可以打碎山羊的脑壳，致它死命。”如果他说得不错，那么这两只山羊至少要有多大的逼近速度，才能相互撞破脑壳？你能算出来吗？

【71】据说有人给酒肆的老板娘出了一个难题：此人明明知道店里只有两个舀酒的勺子，分别能舀7两和11两酒，却硬要老板娘卖给他2两酒。聪明的老板娘毫不含糊，用这两个勺子在酒缸里舀酒，并倒来倒去，居然量出了2两酒，聪明的你能做到吗？

解答：1英尺（ft）=0.3048米（m）
1磅（lb）=0.454千克（kg）
通过实验得到撞破脑壳所需要的机械能是$$mgh = (30 \times 0.454) \times 9.8 \times (20 \times 0.3048) = 813.669（J）$$对于两只山羊撞击瞬间来说，比较重的那只仅仅是站在原地，只有较轻的山羊具有速度，而题目中暗示我们，两只羊仅一次碰撞致死。现在我们只需要求得碰撞瞬间轻山羊的瞬时速度就可以了，根据机械能守恒定律:$$mgh=1/2(m1v^2)$$可以得出速度。m1是轻山羊的重量。
问题：已知： 每个飞机只有一个油箱， 飞机之间可以相互加油（注意是相互，没有加油机）一箱油可供一架飞机绕地球飞半圈，问题：为使至少一架飞机绕地球一圈回到起飞时的飞机场，至少需要出动几架飞机？（所有飞机从同一机场起飞，而且必须安全 返回机场，不允许中途降落，中间没有飞机场）

【73】在9个点上画10条直线，要求每条直线上至少有三个点？

【74】一个岔路口分别通向诚实国和说谎国。来了两个人，已知一个是诚实国的，另一个是说谎国的。诚实国永远说实话，说谎国永远说谎话。现在你要去说谎国，但不知道应该走哪条路，需要问这两个人。请问应该怎么问？

解答：假设需要三架飞机，编号为1，2，3.
三架同时起飞， 飞到1/8 圈处， 1号飞机，给2号，3号，飞机各加上1/8 圈的油， 刚好飞回基地，此时1号，2号满油，继续前飞；
飞到2/8 圈时候，2号飞机给1号飞机加油1/8圈油量，刚好飞回基地， 3号飞机满油，继续向前飞行，到达6/8处无油;
此时重复2号和三号飞机的送油。3号飞机反方向飞行到1/6圈时， 加油1/6圈给给2号飞机， 2号飞机向前飞行X圈， 则3号飞机可向前继续送油， 1/6 –2X 圈. 此时3号刚好飞回， 2号满油.当X= 1/6-2X时候获得最大。X =1/18.
1/6 1/18= 2/ 9. 少于1/4. 所以不能完成。
类比推，当为4架时， 恰好满足条件。
问题：在一天的24小时之中，时钟的时针、分针和秒针完全重合在一起的时候有几次？都分别是什么时间？你怎样算出来的？

解答：只有两次

假设时针的角速度是$$ω$$（$$ω=π/6每小时$$），则分针的角速度为$$12ω$$，秒针的角速度为$$72ω$$。分针与时针再次重合的时间为t，则有$$12ωt-ωt=2π，t=12/11小时$$，换算成时分秒为1小时5分27.3秒，显然秒针不与时针分针重合，同样可以算出其它10次分针与时针重合时秒针都不能与它们重合。只有在正12点和0点时才会重。

证明：

将时针视为静止，考察分针，秒针对它的相对速度：12个小时作为时间单位“1”，“圈/12小时”作为速度单位，则分针速度为11，秒针速度为719。

由于11与719互质，记12小时/（11*719）为时间单位Δ，则分针与时针重合当且仅当$$ t=719kΔ $$($$k∈Z$$)

秒针与时针重合当且仅当 $$t=11jΔ  $$($$ j∈Z$$)

而719与11的最小公倍数为$$11 \times 719$$，所以若t=0时三针重合，则下一次三针重合
必然在$$t=11 \times 719 \times Δ$$时，即t=12点
问题：烧一根不均匀的绳子，从头烧到尾需要1小时，现有若干条这种绳子，如何记时45分钟

解答：一头烧是1小时，两头烧是30分钟
A 绳子两头烧，同时 B 绳子 一头烧。当 A 烧完时过去了半小时，而 B 还有半小时的量，此时点 B 的另一头，等 B 烧完，正好又过去了 15 分钟，合计 45 分钟。

同理，如果想要记时 1小时15分钟
在45分钟基础上加半小时就好了，在上面的基础上再两头烧一根。
问题：有无限的水，现有5L和6L的两个桶，如何盛4L的水。

解答：第一步：装满 5L，倒入 6L 桶中，这时候 6L 桶还有 1L 的空间
第二步：装满 5L，补满 6L 桶，这时候 5L 桶中还有 4L 水

如果要盛 3L 呢？
接着上面
第三步：把 6L 桶中的水倒掉，把 5L 桶中的 4L 水倒进去，这时候 6L 桶还有 2L 空间
第四步：装满 5L，补满 6L 桶，这时候 5L 桶中还有 3L 水

如果要盛 2L 呢？
接着上面
第五步：把 6L 桶中的水倒掉，把 5L 桶中的 3L 水倒进去，这时候 6L 桶还有 3L 空间
第六步：装满 5L，补满 6L 桶，这时候 5L 桶中还有 2L 水
问题：8个球，其中一个比其他球中，有一个天平，至少称多少次可以找到重的球

解答：把 8 个球分成 3 + 3 + 2 份
第一次：天平称 3 + 3，如果一方重，则找到重球的一方。如果平衡，则重球在 2 个球的那一组
第二次：如果重球在 3 个球的一组，则随便拿两个球称，如果不平衡，找到重球，如果平衡，则没称的为重球。如果重球在 2 个球的一组，仅称一次也能找到。

同理，13个球中找重球也一样，分成 4 + 4 + 5
因此答案是2次。
问题：有7克、2克砝码各一个，天平一只，如何用三次将140克的盐分成50、90克各一份

解答：第一步：将 140g 盐分成 两个 70g
第二步：从 70g 盐里面称出 7+2=9g 盐，剩下 61g 盐
第三步：从 61g 盐里称出 9+2=11g 盐，剩下50g盐
这样就分成了 50g 和 70g
问题：一共10瓶药，每瓶10颗，其中有一瓶是变质的。正常要每颗1g，变质要每颗1.1g。如何用天平称一次，找到变质的拿一瓶药。

解答：用药的颗数代表编号。
10瓶药，第一瓶取1颗，第二瓶1取2颗，第三瓶取3颗，以此类推。
最终可以得到 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55颗药。
一起称重，多出来的 0.x g，第 x 瓶就是变质药。
问题：脑门上贴数字（正整数 >= 1），两人数字差1，只看得见对方的，推测自己的。两人对话为：A：我不知道；B：我也不知带；A：我知道了；B：我也知道了。问A、B头上分别是多少。

解答：关键在于 A 在第一轮对话后，说自己知道了。说明 A 在 B 说不知道的时候，排除了其中一个答案。
B：1 ———— A：2
B：2 ———— A：1或3
B：3 ———— A：2或4
B：4 ———— A：3或5
……
所有正整数中，能排出一个答案的只有 1 。因为如果对方知道是 1，则马上就会知道自己的是 2。
所以 A 第一轮推理的自己是 1 或 3.
排除 1 后，就知道自己是 3 了。

接着，B 第一轮推理自己是 2 或 4，只有 2 会给 A 提供排出 1 的线索。所以排出 4，知道自己是 2.
因此答案是A 头上是 3，B 头上是 2。
问题：给一个瞎子52张牌，其中10张正面朝上，要求瞎子把牌分成两堆，使得两堆中正面朝上的概率相同（瞎子摸不出正反面，但可以随意翻动每一张牌）

解答：假设分成 10 张的那一堆有 x 张是正面，那 42 张那一堆中就有 10 - x 张正面。
这时候讲 10 张那一堆全部反过来，相当于 x 张变成了反面，10 - x 张变成了正面
正好和 42 张的那一堆正面数量相同。
因此答案是分成 10 张和 42张，然后把 10 张那一堆全部反过来。。
问题：家里两个孩子，已知一个是女孩，那另一个也是女孩的概率

解答：男女概率相同，所以孩子的组合是
【男、男】；【男、女】；【女、男】；【女、女】。
现在已知一个是女孩，相当于排除了 【男、男】这个组合。
另一个也是女孩，相当于这个家庭是【女、女】。所以概率是 1 / 3
因此答案是1/3。
问题：三个囚犯A、B、C，有一个会被释放，其余两个处决，现在A问看守谁会被处决（看守不能说谁被释放，要不就露馅了），看守说是B，问现在A、C分别被释放的概率。

解答：本来A、B、C被释放的概率相同，现在A问了看守知道B被处决。看守回答这个问题有两种可能。
1. A被释放，那么回答的时候在 B、C 里随便选一个回答就好。看守说这个话的概率 = 1/3 * 1/2 = 1/6
2. A被处决（B被释放），那么看守只能回答 B 被处决（因为 C 被释放，看守不能说）。看守说这个话的概率 = 1/3 * 1 = 1/3
所以这时候，A被释放的概率 ：B被释放的概率 = 1:2
所以 A 被释放的概率仍然是 1/3，而 C 被释放的概率变成了 2/3
因此答案是2/3。
问题：三门问题。三扇门，其中一扇后面是汽车，林外两扇后面是羊。参赛者选中一个门后，主持人打开另一扇是羊的门，问参赛者需要改变决策吗？

解答：A｜B｜C。假如 A 是车，B、C 都是羊。
如果不改变决策，那参赛者获得小汽车的概率就是第一次随机选择的概率，1/3
如果改变决策，那这时候就会出现三种可能。
当第一次选择的 A，主持人可以在 B、C 中随便打开一个，这时候换 车 -> 羊 ：不中
当第一次选择的 B，主持人只能打开 C，这时候换 羊 -> 车 ：中奖
当第一次选择的 C，主持人只能打开 B，这时候换 羊 -> 车 ：中奖
所以改变决策，中奖的概率变成了 2/3
因此答案是需要换决策。
问题：25匹马、5个赛道，比赛多少次可以比出前 3 名？

解答：第一步：把马分成 ABCDE 5组，每组分别比，【比 5 次】。可以决出每组第一名 A1,B1,C1,D1,E1.
第二步：A1,B1,C1,D1,E1 【比 1 次】，可以决出 第一名 
（共计比 6 次得第一名）
第三步：按照上面的跑完，按名次 2，3 名就是潜在的最终2，3名。（为什么说是潜在，因为有可能第1名所在组（假设 A 组）的都很强，可能包揽2、3名。或者第2名所在组（假设为 B 组）也超过第三名）。所以选 A2,A3,B1,B2,C1【比一次】，可以决出2，3名。
（共计比 7 次得前 3 名）
因此答案是7次。
问题：村子里有100个人，分别有蓝眼睛和红眼睛，同时村子里有一个规矩，大家可以看别人眼睛的颜色，但是不能知道自己眼睛的颜色，如果知道自己眼睛的颜色，就需要去广场自杀。一天，一个外乡人说村子里有红眼睛，就离开了，然后7天后，村子里的红眼睛都自杀了。问，村子里有多少红眼睛的人。

解答：如果村子里只有 1 个红眼睛，那红眼睛人第一天就会自杀，因为他知道村子里99个蓝眼睛的人，剩下的那个肯定就是自己
如何村子里有 2 个红眼睛，那另一个红眼睛的人，看到第一个红眼睛的人没自杀，那肯定自己就是第 2 个红眼睛的人。
同理。。。
7天后，红眼睛的全部自杀，说明村子里有7个红眼睛的人。
因此答案是7个。。
问题：100个苹果，A和B交叉着拿，每次拿的数量 >= 1个 并且 <= 5个。问，如果 A 想要拿到最后一个评估，他应该怎么拿

解答：要想拿到编号 100 的苹果，那就必须先拿到编号 94 的苹果，因为这样后面还有6个，不管对方怎么拿，自己都可以拿到第100个，对方拿1个，自己可以拿5个，对方拿5个，自己拿1个。
要拿到94个，就需要再往前6个，拿第 88 个。
以此类推。
100 % 6 = 4
所以，需要先拿 4 的一个，后面每次拿加 6 的编号苹果。
因此答案是分别拿第4，10，16，22，28，34，40，46，52，58，64，70，76，82，88，94，100个。。
问题：两位盲人，各买了两双白袜，两双黑袜，每双袜子有一个商标连着。8双袜子材质完全一样，现在不小心混在一起了。问，他们每人怎样才能分别取回黑袜和白袜各两对。

解答：袜子不分左右脚，每人要一半的袜子就能凑出来。
所以每个商标连着的一对，一人一只即可。
问题：有三筐水果，一筐装的全是苹果，一筐装的全是橘子，一筐是橘子和苹果混在一起。框子上有标签，但标签都是错的。选中一筐拿出一个水果，然后正确写出三筐水果的标签。

解答：有一个前提，标签都是错，也就说，如果标签写的苹果，那这一筐要么是橘子，要么是混合。
第一步，选择标签为混合的一筐，拿出一个水果。
如果拿出来的水果是苹果。则写混合标签的这一筐为苹果，那苹果标签那一筐肯定为橘子，因为如果写着苹果那一箱是混合。就相当于只有混合标签和苹果标签写错了，橘子标签是正确，不符合题意。
所以，混合标签 --> 苹果标签，苹果标签 -> 橘子标签，橘子标签 -> 混合标签。
如果拿出来的水果是橘子，同理
混合标签 --> 橘子标签，橘子标签 -> 苹果标签，苹果标签 -> 混合标签。
问题：有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。

解答：设每头牛每天吃 x，草地长 y，则
(27x - y) * 6 = (23x - y) * 9 = (21x - y) * m
前两项可以解得 y = 15x
所以后两项为：8x * 9 = 6x * m
m = 12
因此答案是12天。
问题：一个猴子边上有100 根香蕉，它要走过50米才能到家，每次它最多搬50根香蕉，每走1米就要吃掉一根，请问它最多能把多少根香蕉搬到家里。

解答：猴子向前走 1 米，搬运 50 根，吃掉 1 根。
猴子回到起点 吃掉 1 根。
猴子把剩下的搬运向前 1 米，又吃点一根。
也就说，当香蕉大于 50 根时，猴子每向前一米，消耗 3 根。
50根香蕉可以走 50 // 3 = 16米，这时候猴子还有50 + 2根香蕉。
当走了 17 米后，还剩下 50 + 2 - 3 = 49 根香蕉。就可以直接回家了
这时候还剩下 50 - 17 = 33米
所以到家还剩下 49 - 33 = 16 根香蕉
因此答案是16根。
问题：一个商人骑一头驴要穿越1000公里长的沙漠，去卖3000根胡萝卜。已知驴一次性可驮1000根胡萝卜，但每走一公里又要吃掉一根胡萝卜。问，商人共可卖出多少根胡萝卜。

解答：第一阶段，每向前走一公里，需要消耗5根胡萝卜。
    把1000根向前驮一公里，吃掉一根
    回上一个位置，吃掉一根
    再把1000根向前驮一公里，吃掉一根
    再回上一个位置，吃掉一根
    把剩下的向前驮一公里，吃掉一根
1000根可以消耗200公里，也就是说，当走了200公里后，每向前走一公里，就不需要消耗5根胡萝卜了。
同理，变成消耗3根胡萝卜
如此再向前走333.3公里，只剩下1000根，可以一次性走完，不需要折返。
目前距离起点533.3公里，距离终点466.7公里，消耗466根萝卜，故剩下1000 - 466 = 534根
因此答案是534根。
问题：在一天的24小时之中，时钟的时针、分针和秒针完全重合在一起的时候有几次？都分别是什么时间？

解答：时针走 1 圈，分针走 12 圈，所以时针与分针一圆周内有 11 个位置重合
分针走 1 圈，秒针走 60 圈，所以分针与秒针一圆周内有 59 个位置重合
因为 11 与 59 互素，所以 1/11 和 1 / 59 的公倍数是 1，所以最多有一个位置三针重合
因为 12点 是三针重合，随意一天只有 12点 和 0点 三针重合。
因此答案是2次。
问题：有甲、乙两人，其中，甲只说假话；乙则是只说真话。但他们两个人在回答问题时，只通过点头与摇头来表示，不讲话。一天一个人面对两条路：其中一条路是通向京城，另一条路通向一个小村庄。这时，他面前站着甲与乙两人，但他不知道谁是甲谁是乙。现在，如何问，可以断定出通向京城的路

解答：核心是让一个人判断另一个人的话，这样 f(g(x)) = g(f(x))
问任何一个人：如果我问他（另一个人）这条路是通往京城的吗，他会怎么回答？
当这个人的回答是 摇头，则 是 通往京城的路
当这个人的回答是 点头，则 不是 通往京城的路
问题：甲、乙、丙在一起做作业，有一道数学题，当他们三个人都把自己的解法说出来以后，甲说：“我做错了。”乙说：“甲做对了。”丙说：“我做错了。” , 在一旁的老师看到答案并听了他们的说法后说：“你们三个人中有一 个人做对了，有一个人说对了。”问，他们三人中到底谁做对了？

解答：现在说了自己答案的只有甲、丙，要么甲 -> 对，丙 -> 错。要么甲 -> 错，丙 -> 对。
如果 甲 -> 对，丙 -> 错；则：甲说错，乙说对，丙说对。有两个人说对，不符合题意；
如果 甲 -> 错，丙 -> 对；则：甲说对，乙说错，丙说错，符合题意。
因此答案是甲 -> 错，丙 -> 对。甲说对了。
问题：一间囚房里关押着两个犯人，每天都会为这间囚房提供一罐汤，让这两个犯人自己来分。为了公平，之前是一个人分汤，让另一个人先选。现在囚房里又加进来一个新犯人，为了公平，现在三个人应该怎么分汤？

解答：设又 A、B、C三人
第一步：A 将汤分为他认为均匀的3份
第二步：B 将其中2份汤重新分配为他认为的均匀
第三步：取汤的顺序：C -> B -> A
问题：50名运动员按顺序排成一排，教练下令：“单数运动员出列”，剩下的运动员重新排列编号，教练又下令：“单数运动员出列”，如此下去，最后只剩下一个人，他是几号运动员？

解答：要从后往前推，设一共要n次
第 n 次，剩下来的编号是 1，那这个编号
第 n-1 次，编号为 1 * 2 = 2
第 n-2 次，编号为 4
第 n-3 次，编号为 8
第 n-4 次，编号为 16
第 n-5 次，编号为 32
也就说，教练喊5次，就能剩下最后一个人，这个人是32号。
其实总的不一定要50个人，32-50中的任意人数，最后剩下的都是32号。
因此答案是32号。
问题：某企业的员工人数在1700-1800之间，这些员工的人数如果被5除余3，被7除余4，被11除余6。那么，这个企业到底有多少员工

解答：问题的关键是从余数中找共同点。3 * 2 - 5 = 1，4 * 2 - 7 = 1，6 * 2 - 11 = 1。
所以把员工数扩大一倍设为 x，x也就落在了 3400 - 3600
(x - 1) % 5 = 0
(x - 1) % 7 = 0
(x - 1) % 11 = 0
也就说，x - 1 是5，7，11的公倍数的倍数。显然5，7，11的公倍数是5 * 7 * 11 = 385
只有385 * 9 = 3465 在 3400 - 3600
所以 x = 3465 + 1 = 3466
员工人数 = 3466 / 2 = 1733 个
因此答案是1733 个。
问题：桌子上有16张扑克牌：红桃A、Q、4，黑桃J、8、4、2、7、3，草花K、Q、5、4、6，方块A、5。从这16张牌中挑出一张牌，并把这张牌的点数告诉 X 先生，把这张牌的花色告诉 Y 先生。这时，问 X 先生和 Y 先生：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？ X 先生：我不知道这张牌。 Y 先生：我知道你不知道这张牌。 X 先生：现在我知道这张牌了。 Y 先生：我也知道了。 问这张牌是多少

解答：X 知道点数，但不能确定这张牌，说明点数是重复的。于是备选为点数为 A、Q、4、5。
    A：红桃A、方块A
    Q：红桃Q、草花Q
    4：红桃4、黑桃4、草花4
    5: 草花5、方块5
Y 知道 X 不知道，说明这个花色的数字都不是不是唯一的。所以备选花色的是 红桃、方块
综合两个的说法，备选变成
    A：红桃A、方块A
    Q：红桃Q
    4：红桃4
    5: 方块5
X 已经知道这张牌了，说明在上面的备选中，牌的点数是唯一的，剩下红桃Q、红桃4、方块5
Y 也知道了，说明剩下的牌中，目标牌花色也是唯一的，故为 方块5
因此答案是方块5。
问题：幼儿园的小朋友排成一行，然后开始发水果。老师从左面第一个人开始，每隔2人发一个梨；从右边第一个人开始，每隔4人发一个苹果。如果分发后的结果有10个小朋友既得到了梨，又得到了苹果，那么这个幼儿园最多有多少个小朋友？

解答：从左往右间隔 2 发梨：1，4，7，10，...，也就说 1 + 3k 拿到了梨
从右往左间隔 4 发苹果：n，n-5，n-10，n-15，...，也就说 n - 5m 拿到了苹果
先看最少有多少小朋友，最少小朋友数，相当于 第一个和最后一个都拿到了梨和苹果
n = 1 + 3k = n - 5m
3k + 5m = n - 1
所以 n - 1 为 3，5的公倍数的倍数。
现在有10个小朋友拿到梨和苹果，减去预设已经同时拿到的第一个小朋友，还有9个
所以 n - 1 = 3 * 5 * 9 = 135
所以最少有 135 + 1 = 136 个小朋友
最多的情况是向左右延伸
想左：3 * 5 - 3 = 12
想右：3 * 5 - 5 = 10
所以最多有 136 + 12 + 10 = 158 个小朋友
因此答案是最多有158个小朋友。
问题：有N架飞机停靠在同一个机场，每架飞机都只有一个油箱，每箱油可使飞机绕地球飞半圈，飞机之间可以相互加油。 如果使某一架飞机平安地绕地球飞一圈，并安全地回到起飞时的机场，问：至少需要几架飞机？

解答：假设让 C 飞一圈
ABC 三架飞机同时满油顺时针起飞，飞到 1/8 路程处，A、B、C分别剩下 1/4 油
A 给 B、C加满，自己剩下 1/4 油飞回来
B、C再飞 1/8路程，B、C分别剩下 1/4 油
B 给 C 加满，自己剩下 1/2 油飞回来
这时候 C 在满油状态下可以飞到 3/4 路程处
这时候 B 满油逆时针起飞到 3/4 路程处，给 C 加 1/4 油，自己剩 1/4 油。一起飞到 7/8 路程
这时候 A 满油起飞到 7/8 路程处，还剩下 3/4 油
分别给 B 和 C 加 1/4 油，自己剩 1/4 油，一起飞回去。
因此答案是3架。
问题：有2n个人排队进电影院，票价是50美分。在这2n个人当中，其中n个人只有50美分，另外n个人有1美元（纸票子）。电影院开始卖票时1分钱也没有。问，如果电影院希望都能找开钱，有多少种排队方法？

解答：如果不考虑电影院能否找钱，那么一共有(2n)!/[n!n!]种排队方法（即从2n个人中取出n个人的组合数）
对于每一种排队方法，如果他会导致电影院无法找钱，则不合格，这种的排队方法有(2n)!/[(n-1)!(n+1)!]（从2n个人中取出n-1个人的组合数）种
所以合格的排队种数就是(2n)!/[n!n!]- (2n)!/[(n-1)!(n+1)!] =(2n)!/[n!(n+1)!]。
因此答案是(2n)!/[n!(n+1)!]。
问题：100个人回答五道试题，有81人答对第一题，91人答对第二题，85人答对第三题，79人答对第四题，74人答对第五题，答对三道题或三道题以上的人算及格，那么，在这100人中，至少有多少人及格。

解答：核心是取反面
第一题答错：19
第二题答错：9
第三题答错：15
第四题答错：21
第五题答错：26
总共的错题有 19 + 9 + 15 + 21 + 26 = 90
错3道以上就不及格，每人错3道时不及格人数最多，最多会有 90 / 3 = 30个人不及格。所以至少70人及格。
因此答案是至少 70 人及格。。
问题：两个圆环，半径分别是1和2，小圆在大圆内部绕大圆圆周一周，问小圆自身转了几周？如果在大圆的外部，小圆自身转几周？

解答：小圆圆心运动的距离除以小圆周长就是运动的圈数
在大圆内部转，小圆圆心饶半径为1的大圆心转动，走了 1 周
在大圆外部转，小圆圆心饶半径为3的大圆心转动，走了 3 周
因此答案是内部转，小圆转 1 周，外部转，小圆转 3 周。
问题：一个夜晚，有4人需要过一桥，一次最多只能通过两个人，只有一只手电筒，而且每人的速度不同。A，B，C，D需要时间分别为：1，2，5，10分钟。问：在17分钟内这四个人怎么过桥？

解答：A、B同时过去，花 2 分钟
A 回来，花 1 分钟
C、D同时过去，花 10 分钟
B 回来，花 2 分钟
A、B再同时过去，花 2 分钟
合计 2 + 1 + 10 + 2 + 2 = 17
问题：下一行是什么

1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1

解答：第一行：1，取 1 
第二行：1个1，取 11
第三行：2个1，取 21
第四行：1个2，1个1，取 1211
第五行：1个1，1个2，2个1，取 111221
第六行：3个1，2个2，1个1，取 312211
因此答案是312211。
问题：一个西瓜进价50元,卖了70元,老板收了100元假币,请问老板一共损失多少钱?

解答：实际损失，进瓜花了 50 元，100 元的找零又花出去 30 元，实际损失 80 元
但是老板耗费了人力和时间，预期是要赚 20 元的
所以预期收入条件下损失80 + 20 = 100 元
因此答案是实际损失 80 元，预期收入条件下损失 100 元。
问题：两个空心球，大小、重量、外观涂色都相同，但材料不同。一个是金，一个是铅。问，在不破坏表面涂色的条件下用简易方法指出哪个是金的，哪个是铅的。

解答：铅的密度比金的密度大，两球相同重量，说明铅球壁薄，金球壁厚。
金球重心到内壁中心距离更短, 相同力下金球线速度更快，所以转得快的是金球。
因此答案是相同的力原地旋转两个球, 转得快得是金球。。
问题：你让工人为你工作７天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的７段，你必须在每天结束时都付费，如果只许两次把金条弄断，问，如何给工人付费。

解答：第一天给 1
第二天给 2，找零 1
第三天给 1
第四天给 4，找零 1，2
第五天给 1，
第六天给 2，找零 1
第七天给 1
因此答案是把金条分成1，2，4三段。
问题：有100盏灯，有100个开关，开关没按下一次，都会改变一下状态，如原来开着的，按一下会关上，原来关上的，按一下会打开。初始状态都是关着的，第一轮按下所有电灯开关，第二轮按下所有2的倍数的开关，第三轮按下所有3的倍数的开关。第100轮后，有多少灯是亮着灯。

解答：一盏灯是亮着的，说明被按了奇数次。
不相同约数都是成对出现的，100以内的任意数 K = m * n，会在 m 的时候按下开关，会在 n 的时候按下开关。
如一个数83，只会等于 1 * 83，在第 1 轮的时候会被打开，在 83 轮的时候会被关上
如一个数15，约数有1，3，5，15，则
在第 1 轮打开，第 3 轮关山，第 5 轮打开，第 15 轮关上。
哪些数会出现奇数个约数了，只有相同约数，也就是自己的开方数。
如数16，约数有1，2，4，8，16。由于有自己的开方数 4，所以有奇数个约数。
100以内有自己开放数的分别为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，所以共有 10 盏灯亮着。
因此答案是10盏灯亮着。
问题：屋里三盏灯，屋外三个开关，一个开关仅控制一盏灯，屋外看不到屋里，问，只进屋一次，如何知道哪个开关控制哪盏灯?

解答：除了灯亮不亮，还有灯的温度可以考虑。
打开两个灯, 过一会关闭一个，进去看亮着的, 不亮但是发热的，不亮也不发热的。就能判断出来。
如果是四盏灯
打开两个灯，过一会关闭一个，然后打开一个新的灯，不亮但是发热的，亮但是不发热的，亮而且发热的，不亮也不发热的。就能判断出来。
问题：有5只猴子摘了一堆桃子，决定第二天来平分。第二天清晨，第一只猴子最早来到，它左分右分分不开，就吃掉了一只，恰好可以分成5份，它拿上自己的一份走了。第 2，3，4，5只猴子也遇到同样的问题，采用了同样的方法，都是吃掉一只后，恰好可以分成5份。问，这堆桃子至少有多少只？

解答：每次分都多1个桃子，实际上可以理解为少4个，先借给它们4个再分。
5只猴子分别消耗了a, b, c, d, e 个桃子（包括吃的一个）则可得
a = (x + 4) / 5
b = 4 * (x + 4) / 25
c = 16 * (x + 4) / 125
d = 64 * (x + 4) / 625
e = 256 * (x + 4) / 3125
因为 e 应该是整数，而 256 不能被 5 整除，所以 x + 4 必须能被 3125 整除，所以 x + 4 至少为 3125
所以 x 至少为 3121
因此答案是3121 只。
问题：1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到几瓶汽水。

解答：第一次：20元买20瓶
第二次：20个瓶子换10瓶
第三次：10个瓶子换5瓶
第四次：5个瓶子换2瓶，剩一个瓶子
第五次：3个瓶子换1瓶，剩一个瓶子
第六次：2个瓶子换1瓶
允许赊空瓶的情况下
前面喝完还剩下一个空瓶，向店主借一个空瓶，换 1 瓶汽水
喝完的这个空瓶还给店主
因此答案是39瓶（允许赊空瓶则可以喝到 40 瓶）。
问题：有两个罐子，50个红色弹球，50个蓝色弹球，随机选出一个罐子，随机选取出一个弹球放入罐子，怎么给红色弹球最大的选中机会，概率是多少。

解答：3/4
一个罐子放1个红色弹球，一个罐子放49个红色弹球和50个蓝色弹球
随机取得红色弹球的概率为
1/2 + 1/2 * 1/2 约等于3/4
问题：有一辆火车以每小时15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，问，这只小鸟飞行了多长路程

解答：核心是鸟飞的时间和火车运行的时间相同
设两地距离为 x，火车运行的时间为 x / (20 + 15)
鸟飞行的距离为 (x / (20 + 15)) * 30
所以鸟飞行的路程为 洛杉矶到纽约的30/35路程
因此答案是洛杉矶到纽约的30/35路程。
问题：在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币。这些硬币中可能有一些不完全在桌面内，也可能有一些彼此重叠；当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时，新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。问，整个桌面可以用多少个硬币完全覆盖。

解答：新放的硬币不与原先的硬币重叠，则两个硬币的圆心距必须大于直径。
即，对于桌面上任意一点，到最近的圆心的距离都小于2，所以，整个桌面可以用n个半径为2的硬币覆盖。 
把桌面和硬币的尺度都缩小一倍，那么，长、宽各是原桌面一半的小桌面，就可以用n个半径为1的硬币覆盖。
原来的桌子分割成相等的4块小桌子，那么每块小桌子都可以用n个半径为1的硬币覆盖
因此，整个桌面就可以用4n个半径为1的硬币覆盖。
因此答案是4n个。
问题：有三个人去住旅馆，住三间房，每一间房10元，于是他们一共付给老板30，第二天，老板觉得三间房只需要25元就够了，于是叫店员退5元给客人，但店员只退回每人1元，自己偷偷拿了2元。这样一来便等于那三位客人每人各花了9元，于是三个人一共花了27，再加上小弟独吞了2元，总共是29元。可是当初他们三个人一共付出30那么还有1元呢

解答：实际出资就是30－3＝27元，即每人9元。店里得了25元，店小二贪了2元。
店小二贪的2元出自27内，用27＋2来凑30没有意义，只不过从思维上迷惑人而已。
问题：有10个鸡蛋，6个袋子，要求把鸡蛋都装到袋子里，每袋里的鸡蛋数都是偶数，装完后袋子和鸡蛋都没有剩余，怎么装

解答：每个袋子装2个鸡蛋，这样10个鸡蛋就装满了5个袋子。然后，把这5个袋子都一起装到第6个袋子里。
问题：一小伙子在一家工地上连续打工24天，共赚得190元(日工资10元，星期六半天工资5元，星期日休息无工资)，问他开始工作那天是周几

解答：小伙子工作一周可以赚 10 * 5 + 5 = 55元
也就说说小伙子工作了3个整周，赚了165元，用了21天
还要赚25元，说明必须包含一个周六
而打工时间还剩下3天
如果周六是第一天，那小伙子打工时间是周六、周日、下周一、下周二。需要四天，不满足
如果周六是最后一天，那小伙子打工时间就是周四、周五，满足
所以小伙子开始工作时周四
因此答案是周四。
问题：有4头猪，这4头猪的重量都是整千克数，把这4头猪两两合称体重，共称5次，分别是99、113、125、130、144，其中有两头猪没有一起称过。问，这两头猪中重量较重那头有多重?

解答：假定四头猪是A、B、C、D
AB + CD = AC + BD = AD + BC
显然：99 + 144 = 113 + 130 = 125 + x
x = 118 为没有一起称重的那两头总重量
假设C、D时没有称重的猪，且 C < D，则有
A + B = 125
A + C = 99
A + D = 113
B + C = 130
B + D = 144
（上式中A和B顺序调换不影响）
A = 47
B = 78
C = 52
D = 66
因此答案是66 千克。
问题：一个人到了一座荒岛上，救援人员20天后才能到达(今天是第0天)。有A和B两种药片，每种20粒。每天必须各吃一片的量才能活到第二天。但是不小心把这两种要混在了一起，无法识别。该怎么办?

解答：把药片全部碎成粉末，搅匀后平均分成10份，一天吃一份。