De basis van analyse Begrijp integralen Begrijp afgeleiden
Analyse is een tak van de wiskunde welke onderzoek doet naar getallen en grafieken, meestal afkomstig van gegevens uit de echte wereld, en uiteenzet hoe die veranderen. Hoewel dit in eerste instantie niet zo nuttig lijkt, is analyse een van de meest gebruikte takken van de wiskunde. Stel je voor dat je beschikt over de gereedschappen die je kunnen vertellen hoe snel je onderneming groeit op een gegeven moment, of voor het uitzetten van de koers van een ruimteschip, en hoe snel de brandstof wordt verbruikt. Analyse is een belangrijk hulpmiddel in de techniek, economie, statistiek, chemie en fysica, en heeft een bijdrage geleverd aan veel uitvindingen en ontdekkingen. Het zijn regels voor de relatie tussen getallen, en wiskundigen gebruiken ze om grafieken te maken. In een functie heeft elke invoer precies één uitkomst. Bijvoorbeeld: in y=2x+4,{\displaystyle y=2x+4,} geeft elke waarde van x{\displaystyle x} een nieuwe waarde van voor y.{\displaystyle y.} Indien x=2,{\displaystyle x=2,} dan is y=8.{\displaystyle y=8.} Indien x=10,{\displaystyle x=10,}, dan y=24.{\displaystyle y=24.} Analyse bestudeert altijd functies en hoe die veranderen, waarbij deze functies gebruikt worden voor het in kaart brengen van relaties.  Functies worden vaak geschreven als f(x)=x+3.{\displaystyle f(x)=x+3.} Dit houdt in dat de functie f(x){\displaystyle f(x)} altijd 3 optelt bij het getal dat je voor x{\displaystyle x} invult. Vul je 2 in, dan noteer je f(2)=(2)+3,{\displaystyle f(2)=(2)+3,} of f(2)=5.{\displaystyle f(2)=5.}  Functies kunnen ook complex bewegingen weergeven. De NASA, bijvoorbeeld, heeft een functie voor het beschrijven van de snelheid van een raket, op basis van de snelheid van het brandstofverbruik, de windweerstand en het gewicht van de raket. Oneindigheid is het voortdurend herhalen van een proces. Het is geen specifieke plek (je kunt niet naar oneindigheid gaan), maar eerder het gedrag van een getal of vergelijking, indien dit voor altijd wordt gedaan. Dit is belangrijk voor het bestuderen van verandering: je wilt wellicht weten hoe snel je auto zich verplaatst op een gegeven moment, maar is dat hoe snel je auto rijdt gedurende de huidige seconde? Milliseconde? Nanoseconde? Je kunt oneindig kleinere stukjes tijd vinden om nog exacter te zijn, en dat is het moment dat analyse zijn intrede doet. Een limiet vertelt je wat er gebeurt wanneer iets oneindigheid nadert. Neem het getal 1 en deel dit door 2. Blijf delen door 2, keer op keer. 1 wordt ½ en daarna 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, enz. Elke keer wordt het getal kleiner en kleiner, 'dichterbij' nul. Maar waar stopt het? Hoeveel keer moet je 1 door 2 delen om nul te krijgen? In plaats van antwoord te geven op deze vraag, stel je in analyse een limiet In dit geval is de limiet.  Limieten zijn het gemakkelijkst om zichtbaar te maken in een grafiek – zijn er bijvoorbeeld punten die een grafiek bijna raakt, maar nooit helemaal? Limieten kunnen getal zijn, oneindig of zelfs niet bestaand. Bijvoorbeeld, bij de optelreeks 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... en dit gaat oneindig door, dan wordt het uiteindelijke getal oneindig groot. De limiet wordt dan oneindig. Analyse leunt op veel van de wiskunde die je al eerder hebt geleerd. Door goed op de hoogte te zijn van alle onderwerpen, wordt het veel gemakkelijker om analyse te leren en begrijpen. Een aantal onderwerpen om de kennis van op te frissen zijn:   Algebra. Je moet de verschillende processen begrijpen en vergelijkingen en stelsels van vergelijkingen met meerdere variabelen op kunnen lossen. Begrijp de basiskennis van verzamelingen. Oefen met het maken van grafieken. Meetkunde. Meetkunde is de studie van vormen. Je moet de basiskennis hebben van driehoeken, rechthoeken en cirkels, en hoe je dingen moet berekenen zoals de omtrek en oppervlakte. Zorg dat je hoeken, lijnen en coördinaten begrijpt   Goniometrie. Goniometrie is de tak van de wiskunde welke zich bezighoudt m et de eigenschappen van cirkels en rechte driehoeken. Zorg dat je weet hoe je goniometrische identiteiten, grafieken, functies en inverse goniometrische functies moet gebruiken. Analyse is niet gemakkelijk te begrijpen zonder dat je kunt zien wat je aan het doen bent. Grafische rekenmachines maken functies visueel, zodat je beter kunt begrijpen met wat voor vergelijkingen je te maken hebt. Vaak worden ook de limieten op het scherm weergegeven, en worden de afgeleiden en functies automatisch berekend. Veel smartphones en tablets bieden tegenwoordig goedkope maar effectieve apps voor het maken van grafieken, als je geen grafische rekenmachine wilt of kunt aanschaffen. Met analyse kun je complexe vormen opmeten die anders moeilijk op te meten zijn. Denk bijvoorbeeld aan de opgave dat je wilt weten hoeveel water een lang, onregelmatig gevormd meer bevat –- het is onmogelijk om elke liter water apart te meten of een liniaal te gebruiken voor het opmeten van de vorm van het meer. Met analyse kun je bestuderen hoe de randen van het meer veranderen, om die informatie vervolgens te gebruiken om erachter te komen hoeveel water het bevat. Het maken van meetkundige modellen en de studie van volumes heeft integreren. Integraalrekening is de tweede belangrijke tak van de analyse. Integratie wordt gebruikt voor het meten van de ruimte onder een lijn, waarmee je de oppervlakte kunt bepalen van vreemde of onregelmatige vormen. Neem de vergelijking y=4−x2,{\displaystyle y=4-x^{2},} Die eruit ziet als een omgekeerde 'U'. Je kunt berekenen hoeveel ruimte er onder de U aanwezig is, met behulp van integraalrekening. Misschien vraag je je af wat het nut daarvan is, maar denk dan eens aan het gebruik ervan in de productieprocessen –- je kunt een functie maken die eruit ziet als een nieuw onderdeel, en integraalrekenen gebruiken om de oppervlakte van dat onderdeel te bepalen, en zo te helpen bij het bestellen van de juiste hoeveelheid materiaal. Je kunt niet een hele functie gewoon maar integreren. Bijvoorbeeld, y=x{\displaystyle y=x} is een diagonale lijn die voor eeuwig doorgaat, en je kunt niet het hele ding integreren, omdat het nooit zou stoppen. Bij de integratie van functies moet je een gebied kiezen, zoals alle punten tussenx=2{\displaystyle x=2} en x=5.{\displaystyle x=5.} Stel je hebt een platte lijn boven een grafiek, zoals y=4.{\displaystyle y=4.} Om de oppervlakte eronder te vinden, bepaal je de oppervlakte van een rechthoek tussen y=0{\displaystyle y=0} en y=4.{\displaystyle y=4.} Dit is eenvoudig om te meten, maar bij golvende lijnen zal het niet werken, want die kun je niet gemakkelijk omzetten naar rechthoeken. Als je een kromme enorm vergroot, dan lijkt het een rechte lijn. Dit zie je elke dag –- je kunt de kromming van de aarde niet waarnemen omdat je zo dicht bij het aardoppervlak bent. Integratie maakt een oneindig aantal kleine rechthoeken onder een kromme die zo klein zijn, dat ze in principe plat zijn, waardoor je ze kunt tellen. Al deze rechthoeken bij elkaar opgeteld vormen de oppervlakte van het gebied onder een curve. Veronderstel dat je een heleboel kleine segmenten onder de grafiek bij elkaar optelt, en dat de breedte van elk segment bijna nul is. Integralen bestaan uit 4 onderdelen. Een typische integraal ziet er als volgt uit:∫f(x)dx{\displaystyle \int f(x)\mathrm {d} x}  Het eerste symbool, ∫,{\displaystyle \int ,} is het symbool voor integratie (dit is eigenlijk een uitgerekte S). Het tweede deel, f(x),{\displaystyle f(x),} is de functie. Staat deze binnen de integraal, dan heet het de integrand. En tot slot de dx{\displaystyle \mathrm {d} x} aan het eind, welke je vertelt wat voor variabele je aan het integreren bent en tot wat. Omdat de functie f(x){\displaystyle f(x)} afhankelijk is van x,{\displaystyle x,} is dat ten opzichte waarvan je integreert. Onthoud dat de variabele die je integreert, niet altijd x,{\displaystyle x,} zal zijn, dus wees voorzicht wat je noteert. . Integraalrekening komt in vele vormen, en je moet een heleboel verschillende formules leren om elke functie te kunnen integreren. Ze volgen echter allemaal de hierboven geschetste beginselen: integratie is de som van een oneindig aantal dingen.  Integreren door substitutie. Onbepaalde integralen berekenen. Integreren door te delen. Dit is een vuistregel van analyse die zo belangrijk is, dat het een eigen naam heeft gekregen: de Hoofdstelling van de Integraalrekening. Aangezien integratie en differentiatie zo nauw met elkaar verband houden, kan een combinatie van de twee gebruikt worden om de mate van verandering, versnelling, snelheid, locatie, beweging, etc. te bepalen, ongeacht welke informatie je hebt. Onthoud bijvoorbeeld dat de afgeleide van de snelheid de versnelling is, zodat je snelheid kunt gebruiken om de versnelling te vinden. Maar als je alleen de versnelling weet van iets (zoals voorwerpen die vallen als gevolg van de zwaartekracht), dan kun je integreren om weer de snelheid te bepalen! Een platte vorm ronddraaien is een manier om 3D-lichamen te maken. Stel je maar eens een munt voor op tafel die aan het rondtollen is – merk op hoe de munt de vorm aan lijkt te nemen van een bol terwijl hij draait. Met dit concept kun je het volume bepalen volgens een proces dat bekend staat als 'volume door rotatie'. Hiermee kun je het volume bepalen van elke vaste stof, zolang je een functie hebt die het representeert. Bijvoorbeeld, je kunt een functie maken die de bodem van een meer volgt, en dat vervolgens gebruiken om het volume van het meer te bepalen, of hoeveel water het bevat. Weten waarom iets verandert op een exact moment is de kern van analyse. Bijvoorbeeld, analyse geeft je niet alleen de snelheid van een auto, maar ook hoeveel die snelheid op een bepaald moment verandert. Dit is een van de eenvoudigste toepassingen van analyse, maar bijzonder belangrijk. Stel je voor hoe belangrijk dergelijke informatie is voor het bepalen van de snelheid die nodig is om een ruimteschip naar de maan te krijgen!  Het bepalen van verandering op een bepaald moment, heeft differentiëren. Differentiëren is de eerste van de twee grote takken van analyse. Een 'afgeleide' is een mooi woord voor iets dat studenten vaak zenuwachtig maakt. Het concept op zich is echter niet zo moeilijk om te begrijpen – het betekent gewoon 'hoe snel iets verandert'. De afgeleiden die je in het dagelijks leven het meest tegen zult komen hebben met snelheid te maken. Je noemt het echter meestal niet 'de afgeleide van snelheid', maar  gewoon 'versnelling. Versnelling is een afgeleide– het vertelt je hoe snel iets versnelt of vertraagt, oftewel hoe de snelheid verandert. Dit is een van de belangrijkste ontdekkingen van analyse. De mate van verandering tussen twee punten is gelijk aan de helling van de lijn tussen die twee punten. Denk maar eens aan een eenvoudige lijn, zoals die van de vergelijking y=3x.{\displaystyle y=3x.} De helling van de lijn is 3, wat betekent dat voor elke nieuwe waarde van x,{\displaystyle x,} y{\displaystyle y} verandert met 3. De helling is hetzelfde als de mate van verandering: een helling van drie houdt in dat de lijn met 3 verandert (driemaal groter wordt) voor elke verandering in x.{\displaystyle x.} Wanneer x=2,y=6;{\displaystyle x=2,y=6;} wanneer x=3,y=9.{\displaystyle x=3,y=9.}  De helling van de lijn is de verandering in y gedeeld door de verandering in x'.'  Hoe groter de helling de helling, hoe steiler de lijn. Steile lijnen veranderen staan dus voor een snelle verandering. Fris je kennis over het bepalen van de helling van een lijn nogmaals op, als deze wat is weggezakt. Het bepalen van de helling van een rechte lijn is relatief eenvoudig: hoeveel verandert y{\displaystyle y} voor elke waarde van x?{\displaystyle x?} Maar complexe vergelijkingen zoals y=x2{\displaystyle y=x^{2}} voor een kromme, zijn veel lastiger om te bepalen. Je kunt echter nog steeds de mate van verandering tussen twee punten bepalen –- teken  gewoon een lijn tussen de twee punten en bereken de helling. Bijvoorbeeld, in y=x2,{\displaystyle y=x^{2},} kun je elke twee punten kiezen en de helling berekenen. Neem (1,1){\displaystyle (1,1)} en (2,4).{\displaystyle (2,4).} De helling tussen deze punten wordt dan gelijk aan 4−12−1=42=2.{\displaystyle {\frac {4-1}{2-1}}={\frac {4}{2}}=2.} Dit betekent dat de verandering tussen x=1{\displaystyle x=1} en x=2{\displaystyle x=2} gelijk is aan 2. Hoe dichter je de twee punten bij elkaar uitkiest, hoe accurater je antwoord. Stel dat je wilt weten hoeveel je auto versnelt wanneer je het gaspedaal intrapt. Je wilt niet de verandering van de snelheid meten tussen je huis en de supermarkt, maar de verandering in snelheid vanaf het moment dat je het gaspedaal intrapt. Hoe dichter je meetwaarde in de buurt komt van die fractie van een seconde, hoe accurater je berekening van de verandering. Bijvoorbeeld, wetenschappers onderzoeken hoe snel sommige soorten uitsterven om ze te kunnen redden. Er sterven echter meer dieren in de winter dan in de zomer, dus is het niet nuttig om de mate van verandering over het gehele jaar te bestuderen – beter is het om de mate van verandering te bepalen binnen een kleinere periode, zoals vanaf 1 juli tot 1 augustus. Dit is waar analyse vaak wat verwarrend wordt, maar dit is eigenlijk het resultaat van twee simpele feiten. Allereerst weet je dat de helling van een lijn gelijk is aan hoe snel die lijn verandert. Ten tweede weet je dat hoe dichter de punten van de lijn bij elkaar liggen, hoe nauwkeuriger de meetwaarde zal worden. Maar hoe vindt je de mate van verandering op een gegeven punt als de helling de relatie is tussen twee punten? Het antwoord: Je kiest twee punten die oneindig dicht bij elkaar liggen. Denk aan het voorbeeld waarbij je 1 maar blijft delen door 2, en daarmee 1/2, 1/4, 1/8, enz. krijgt. Uiteindelijk kom je dus in de buurt van nul, en het antwoord is dan 'bijna nul'. Hierbij liggen de punten  zo dicht bij elkaar, dan ze 'vrijwel gelijk aan elkaar zijn'. Dit is de aard van afgeleiden. Er zijn een heleboel verschillende technieken voor het vinden van een afgeleide, afhankelijk van de vergelijking, maar de meeste van hen zijn logisch als je de basisprincipes van afgeleiden hierboven hebt onthouden. Alle afgeleiden zijn een manier om de helling te vinden van een 'oneindig kleine' lijn. Nu je meer weet van de theorie van afgeleiden, bestaat een groot deel van het werk uit het vinden van de antwoorden. Het is handig om met behulp van afgeleiden de mate van verandering op elk gegeven moment te bepalen, maar de schoonheid van analyse is dat je een nieuw model kunt maken voor elke functie. De afgeleide van y=x2,{\displaystyle y=x^{2},} bijvoorbeeld, is y′=2x.{\displaystyle y^{\prime }=2x.} Dit betekent dat je de afgeleide kunt bepalen voor elk punt op een grafiek y=x2{\displaystyle y=x^{2}} door te substitueren in de afgeleide. Op het punt (2,4),{\displaystyle (2,4),} waarbij x=2,{\displaystyle x=2,} is de afgeleide 4, omdat y′=2(2).{\displaystyle y^{\prime }=2(2).}  Er zijn verschillende notaties voor afgeleiden. In de vorige stap werden afgeleiden aangegeven met een dakje –- de afgeleide van y,{\displaystyle y,} noteer je dan als y′.{\displaystyle y^{\prime }.} Dit heet de notatie van Lagrange. Er is nog een manier die vaak wordt gebruikt om afgeleiden te noteren. In plaats van met een dakje, noteer je ddx.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}.} Vergeet niet dat de functie y=x2{\displaystyle y=x^{2}} afhangt van de variabele x.{\displaystyle x.} Dus schrijven we de afgeleide als dydx{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}} –- de afgeleide van y{\displaystyle y} tot x.{\displaystyle x.} Dit heet de notatie van Leibniz. Het eenvoudigste voorbeeld is gebaseerd op snelheid, waarmee we een heleboel verschillende afgeleiden omvatten die we elke dag tegenkomen. Vergeet niet: een afgeleide is een maat voor hoe snel iets verandert. Denk aan een eenvoudig experiment. Je rolt een knikker op een tafel en meet hoe ver die elke keer beweegt en hoe snel. Stel je nu voor dat de rollende knikker een lijn volgt op een grafiek – je gebruikt afgeleiden voor het meten van de momentane wijzigingen op elk gewenst moment op die lijn.  Hoe snel verplaatst de knikker zich? Met welke snelheid verandert de positie (ofwel de afgeleide), van de bewegende knikker? Deze afgeleide noemen wij 'snelheid'. Rol de knikker langs een helling en ga na hoe de snelheid verandert. Wat is de mate van verandering, of afgeleide, van de snelheid van de knikker? Deze afgeleide is wat wij 'versnelling' noemen. Rol de knikker langs een golvende baan, zoals een achtbaan. In welke mate wint de knikker aan snelheid wanneer hij naar beneden rolt, en in welke mate vertraagt de knikker heuvelop? Hoe snel gaat de knikker exact, wanneer deze halverwege de eerste heuvel is? Dit is dan de momentane snelheid van verandering, ofwel de afgeleide, van die knikker op dat ene specifieke punt.
Analyse is de studie van hoe dingen veranderen. Functies zijn relaties tussen twee getallen en worden gebruikt voor het in kaart brengen van relaties. Denk na over het concept oneindigheid. Begrijp het concept van limieten. Neem de essentiële wiskundige concepten door van algebra, goniometrie en de basiskennis van de wiskunde. Schaf een grafische rekenmachine. Weet dat je analyse kunt gebruiken voor het vinden van complexe oppervlaktes en volumes. Weet dat integratie het gebied is onder een grafiek. Weet dat je een gebied moet selecteren om te integreren. Denk aan hoe je de oppervlakte berekent van een rechthoek. Weet dat bij integraalrekening er heel veel kleine rechthoeken bij elkaar worden opgeteld om de oppervlakte van een gebied te vinden. Weet hoe je integralen op de juiste manier moet lezen en noteren.  Leer meer over het vinden van integralen Weet dat integratie het omgekeerde is van differentiatie, en vice versa. Weet dat je met integratie ook het volume van 3D-objecten kunt bepalen. Analyse wordt gebruikt voor het bestuderen van 'verandering op een specifiek moment'. Gebruik afgeleiden om te begrijpen hoe dingen op een bepaald moment veranderen. Weet dat de mate van verandering gelijk is aan de helling tussen twee punten. Weet dat je de helling kunt bepalen van gebogen lijnen. Wil je de verandering nauwkeuriger berekenen, zorg dan dat de punten dichter bij elkaar liggen. Maak gebruik van oneindig kort lijnen om de 'momentane snelheid van verandering' te bepalen, of de afgeleide te vinden.  Leer hoe je diverse afgeleiden kunt bepalen. Bepaal de afgeleide vergelijkingen om de mate van verandering op elk gewenst moment te voorspellen. Probeer praktijkvoorbeelden van afgeleiden te onthouden, als je dit moeilijk vindt om te begrijpen.
https://www.wikihow.com/Understand-Calculus https://www.wikihow.com/Understand-Calculus https://www.wikihow.com/Understand-Calculus
Reviewing the Basics of Calculus Understanding Integrals Understanding Derivatives