De kettingregel voor vierkantswortelfuncties toepassen De afgeleiden van wortelfuncties snel bepalen De machtsregel toepassen
De ketenregel is een regel voor afgeleiden die je gebruikt wanneer de originele functie een functie binnen een andere functie combineert. De kettingregel zegt dat, voor twee functies f(x){\displaystyle f(x)} en g(x){\displaystyle g(x)}, de afgeleide van de combinatie van de twee functies als volgt kan worden gevonden: Als y=f(g(x)){\displaystyle y=f(g(x))}, dan y′=f′(g)∗g′(x){\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)}. Het gebruik van de kettingregel vereist dat je eerst de twee functies definieert die samen je gecombineerde functie vormen. Voor vierkantswortelfuncties is de buitenste functie f(g){\displaystyle f(g)} de vierkantswortelfunctie en de binnenste functie g(x){\displaystyle g(x)} de functie die onder het wortelteken staat. Bijvoorbeeld: stel dat je de afgeleide van 3x+2{\displaystyle {\sqrt {3x+2}}} wilt vinden. Definieer de twee delen dan als volgt:  f(g)=g=g12{\displaystyle f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}} g(x)=(3x+2){\displaystyle g(x)=(3x+2)} Om de kettingregel toe te passen op de vierkantswortel van een functie, moet je eerst de afgeleide vinden van de algemene vierkantswortelfunctie:   f(g)=g=g12{\displaystyle f(g)={\sqrt {g}}=g^{\frac {1}{2}}}  f′(g)=12g−12{\displaystyle f^{\prime }(g)={\frac {1}{2}}g^{-{\frac {1}{2}}}} f′(g)=12g{\displaystyle f^{\prime }(g)={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}}   Bepaald dan de afgeleide van de tweede functie:  g(x)=(3x+2){\displaystyle g(x)=(3x+2)} g′(x)=3{\displaystyle g^{\prime }(x)=3} De kettingregel is y′=f′(g)∗g′(x){\displaystyle y^{\prime }=f^{\prime }(g)*g^{\prime }(x)}. Combineer de afgeleiden als volgt:  y′=12g∗3{\displaystyle y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}*3} y′=12(3x+2∗3{\displaystyle y^{\prime }={\frac {1}{2{\sqrt {(3x+2}}}}*3} y′=32(3x+2{\displaystyle y^{\prime }={\frac {3}{2{\sqrt {(3x+2}}}}} Wanneer je de afgeleide van de vierkantswortel van een variabele of een functie wilt vinden, kun je een eenvoudige regel toepassen: de afgeleide zal altijd de afgeleide zijn van het getal onder het wortelteken, gedeeld door het dubbele van de oorspronkelijke vierkantswortel. Symbolisch gezien kan dit worden weergegeven als: Als f(x)=u{\displaystyle f(x)={\sqrt {u}}}, dan f′(x)=u′2u{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {u^{\prime }}{2{\sqrt {u}}}}} Dit is een getal of functie onder het vierkantswortelteken. Om deze snelle methode toe te passen, zoek je alleen de afgeleide van het getal onder het wortelteken. Bekijk de volgende voorbeelden:  In de functie 5x+2{\displaystyle {\sqrt {5x+2}}}, is het wortelgetal (5x+2){\displaystyle (5x+2)}. De afgeleide is 5{\displaystyle 5}. In de functie 3x4{\displaystyle {\sqrt {3x^{4}}}}, is het wortelgetal 3x4{\displaystyle 3x^{4}}. De afgeleide is 12x3{\displaystyle 12x^{3}}. In de functie sin(x){\displaystyle {\sqrt {sin(x)}}}, is het wortelgetal sin⁡(x){\displaystyle \sin(x)}. De afgeleide is cos⁡(x){\displaystyle \cos(x)}. De afgeleide van een wortelfunctie zal een breuk bevatten. De teller van deze breuk is de afgeleide van het wortelgetal. Dus zal, in de voorbeeldfuncties hierboven, het eerste deel van de afgeleide als volgt gaan:  Als f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}}, dan f′(x)=5noemer{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {5}{\text{noemer}}}}  Als f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}, dan f′(x)=12x3noemer{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{\text{noemer}}}}  Als f(x)=sin⁡(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}, dan f′(x)=cos⁡(x)noemer{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{\text{noemer}}}} Met deze snelle methode is de noemer twee keer de oorspronkelijke vierkantswortelfunctie. In de drie voorbeeldfuncties hierboven zijn de noemers van de afgeleiden dus:  Als f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}}, dan f′(x)=teller25x+2{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{teller}}{2{\sqrt {5x+2}}}}}  Als f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}, dan f′(x)=teller23x4{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{teller}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}}  Als f(x)=sin⁡(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}, dan f′(x)=teller2sin⁡(x){\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\text{teller}}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}} Plaats de twee helften van de breuk bij elkaar en het resultaat zal de afgeleide zijn van de oorspronkelijke functie.  Als f(x)=5x+2{\displaystyle f(x)={\sqrt {5x+2}}}, dan f′(x)=525x+2{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {5}{2{\sqrt {5x+2}}}}}  Als f(x)=3x4{\displaystyle f(x)={\sqrt {3x^{4}}}}, dan f′(x)=12x323x4{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {12x^{3}}{2{\sqrt {3x^{4}}}}}}  Als f(x)=sin⁡(x){\displaystyle f(x)={\sqrt {\sin(x)}}}, dan f′(x)=cos⁡(x)2sin⁡(x){\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {\cos(x)}{2{\sqrt {\sin(x)}}}}} De eerste regel die je waarschijnlijk geleerd hebt voor het vinden van afgeleiden is de machtsregel. Deze regel zegt dat voor een variabele x{\displaystyle x} tot de macht van een getal a{\displaystyle a}, de afgeleide is, en als volgt berekend wordt:  f(x)=xa{\displaystyle f(x)=x^{a}} f′(x)=axa−1{\displaystyle f^{\prime }(x)=ax^{a-1}} Bekijk de volgende voorbeeldfuncties en hun afgeleiden:  Als f(x)=x2{\displaystyle f(x)=x^{2}}, dan f′(x)=2x{\displaystyle f^{\prime }(x)=2x}  Als f(x)=3x2{\displaystyle f(x)=3x^{2}}, dan f′(x)=2∗3x=6x{\displaystyle f^{\prime }(x)=2*3x=6x}  Als f(x)=x3{\displaystyle f(x)=x^{3}}, dan f′(x)=3x2{\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}}  Als f(x)=12x4{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}x^{4}}, dan f′(x)=4∗12x3=2x3{\displaystyle f^{\prime }(x)=4*{\frac {1}{2}}x^{3}=2x^{3}} Om de afgeleide van een vierkantswortelfunctie te vinden, moet je onthouden dat de vierkantswortel van een getal of variabele ook als exponent geschreven kan worden. De term onder het wortelteken wordt geschreven als basis, en wordt verheven tot de macht 1/2. De term wordt ook gebruikt als exponent van de vierkantswortel. Bekijk de volgende voorbeelden door:  x=x12{\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}} 4=412{\displaystyle {\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}} 3x=(3x)12{\displaystyle {\sqrt {3x}}=(3x)^{\frac {1}{2}}} Als de functie de eenvoudigste vierkantswortel is, f(x)=x{\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}, pas dan de machtsregel als volgt toe, om de afgeleide te bepalen:   f(x)=x     {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}\ \ \ \ \ }(Schrijf de originele functie op.)  f(x)=x(12)     {\displaystyle f(x)=x^{({\frac {1}{2}})}\ \ \ \ \ }(Herschrijf de wortel als een exponent.)   f′(x)=12x(12−1)   {\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{({\frac {1}{2}}-1)}\ \ \ }(Bepaal de afgeleide met de machtsregel.)  f′(x)=12x(−12)   {\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{(-{\frac {1}{2}})}\ \ \ }(Vereenvoudig de exponent.) In dit stadium moet je weten dat een negatieve exponent betekent dat je het omgekeerde neemt van wat het getal zou zijn met de positieve exponent. De exponent van −12{\displaystyle -{\frac {1}{2}}} betekent dat je de vierkantswortel van de basis de noemer wordt van een breuk. Gaan we verder met de vierkantswortel van de functie x van hierboven, dan kan de afgeleide als volgt worden vereenvoudigd:  f′(x)=12x−12{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}} f′(x)=12∗1x{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x}}}} f′(x)=12x{\displaystyle f^{\prime }(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
Herzie de kettingregel voor functies. Definieer de functies voor de kettingregel. Bepaald de afgeleiden van de twee functies. Combineer de functies in de ketenregel. Bepaal afgeleiden van een wortelfunctie volgens een snelle methode. Bepaal de afgeleide van het getal onder het wortelteken. Schrijf de afgeleide van het wortelgetal als teller van een breuk. Schrijf de noemer op als het dubbele van de oorspronkelijke vierkantswortel. Combineer de teller en noemer om de afgeleide te vinden. Bekijk nogmaals de machtsregel voor afgeleiden. Herschrijf de vierkantswortel als exponent. Pas de machtsregel toe. Vereenvoudig het resultaat.
https://www.wikihow.com/Differentiate-the-Square-Root-of-X https://www.wikihow.com/Differentiate-the-Square-Root-of-X https://www.wikihow.com/Differentiate-the-Square-Root-of-X
Using the Chain Rule for Square Root Functions Using a Shortcut for Derivatives of Radical Functions Using the Power Rule