Optellen en aftrekken van positieve gehele getallen met een getallenlijn Optellen van grote positieve gehele getallen Het aftrekken van grote positieve gehele getallen Optellen en aftrekken van negatieve gehele getallen Optellen en aftrekken van negatieve getallen op een getallenlijn
Een getallenlijn maakt van het werken met cijfers iets echts en tastbaars dat je voor je kunt zien. Door markeringen en je verstand te gebruiken, kunnen we deze toepassen als een soort rekenmachine voor het optellen en aftrekken van getallen. Teken een rechte lijn. Plaats een markering in het midden van de lijn. Schrijf een 0 of nul naast deze markering.  Je wiskundeboek noemt dit punt misschien het punt van oorsprong, omdat dit het punt is waarin de getallen uit ontstaat, of beginnen. Schrijf -1 naast de markering aan de linkerkant en 1 aan de rechterkant. Dit zijn de gehele getallen het dichtstbij nul.   Maak je niet al te druk over perfecte tussenruimte – zolang het er op lijkt, werkt de getallenlijn prima. Plaats meer markeringen links van -1 en rechts van 1. Als volgt: -2, -3, en -4 en rechts de markeringen 2, 3, en 4, etc. zoveel als je op het papier kwijt kunt. Een positieve geheel getal, ook wel een natuurlijk getal, is een geheel getal groter dan nul. 1, 2, 3, 25, 99, en 2007 zijn allemaal positieve gehele getallen. Een negatief geheel getal is een geheel getal kleiner dan nul (zoals -2, -4  en -88).  Breuken zoals 1/2 zijn een deel van een getal, en dus geen gehele getallen. Net zo bij een decimaal zoals 0,25; decimalen zijn geen gehele getallen. Vind je dit iets te gemakkelijk? Optellen zal je niet onbekend zijn en 1+2 weet je dus wel uit je hoofd op te lossen. Prima: als je het antwoord al weet, is het gemakkelijker om te begrijpen hoe de getallenlijn werkt. Daarna kan je een getallenlijn gaan gebruiken voor meer ingewikkelde opgaven, of om je voor te bereiden op wiskunde en algebra. Tel het aantal markeringen waar je langs komt. Heb je 2 markeringen gehad, stop dan. Het getal waar je vinger naar wijst is het antwoord: 3. Stel we willen weten wat 3 + 2 is. Begin bij 3, beweeg naar rechts en verhoog met 2. We eindigen bij 5. Dit schrijf je als 3 + 2 = 5. Als voorbeeld hebben we de som 6 – 4. We beginnen bij 6, bewegen 4 markeringen naar links en eindigen bij 2. Dit schrijf je als 6 - 4 = 2. Plaats de getallen boven elkaar, zodat de 2 boven de 7 staat, de 5 boven de 4 enz. Bij deze methode leren we hoe we getallen kunnen optellen die te groot zijn om uit je hoofd te doen of met een getallenlijn. Schrijf een + aan de linkerkant van het onderste getal, en een lijn eronder. Misschien lijkt het vreemd om rechts te beginnen, omdat we zo gewend zijn om getallen van links naar rechts te lezen. Deze volgorde houden we aan omdat we anders niet het juiste antwoord krijgen, zoals je straks zult zien. Onder de twee getallen rechts, 3 en 1, schrijf je het antwoord van de optelling van beide getallen op: 4 dus. Werk van links naar rechts en voer de volgende optellingen uit: 0+6, 5+4, en 2+7. Schrijf de antwoorden onder de getallenparen. Het antwoord dat je krijgt is, als je het goed hebt gedaan: 9964. Heb je een fout gemaakt, controleer dan je uitwerking. Hier zie je een verschil met de vorige, want 7+5 is gelijk aan 12, een getal met 2 cijfers. Maar je kunt niet meer dan 1 cijfer kwijt onder een getallenpaar. Blijf lezen om te ontdekken wat je moet doen, en waarom je altijd rechts moet beginnen, in plaats van links. 7+5=12, maar je plaats alleen de 2 onder de lijn en het eerste cijfer, 1, plaats je boven het tweede getallenpaar, 5+3. Als je wilt weten hoe dit werkt, denk dan aan wat het opdelen van de 1 en 2 inhoudt. Je deelt eigenlijk 12 op in 10 en 2. Je kunt de 10 helemaal uitschrijven boven de getallen als je dat wilt, waarna je zal merken dat de 1 uitgelijnd is met de 5 en de 3, zoals het hoort. Je hebt nu 3 cijfers om op te tellen, omdat je de 1 eraan hebt toegevoegd. Het antwoord is 9, dus jouw antwoord tot nu toe is  92. Blijf de sommen uitwerken van rechts naar links, tot je klaar bent, waarbij je in dit geval er nog een kolom bijplaatst. Je uiteindelijke antwoord is 992.  Je kunt iets moeilijkere opgaven proberen, zoals 974+568. Onthoud dat je elke keer als je een tweecijferig getal krijgt, je alleen het laat cijfer bij het antwoord plaatst en het eerste cijfer boven het volgende getallenpaar (de volgende kolom). Als de laatste som een tweecijferig antwoord heeft, dan kun je deze wel beide bij het antwoord onder de lijn plaatsen. Kijk bij de Tips voor een antwoord op de opgave 974+568 om je eigen antwoord te controleren. Noteer deze zo dat de 3 direct boven de 2 staat, de 1 boven de 0, de 7 boven de 5 en de 4 boven de lege plek. Je kunt een 0 onder de 4 plaatsen als dit je helpt bij het uitlijnen van beide getallen. Een nul voor een getal verandert niets aan de waarde van dat getal. Een nul erachter wel, dus plaats de nul daar niet. Los de volgende sommen achter elkaar op: 3-2, 1-0, 7-5 en 4-0. Plaats de antwoorden direct onder het getallenpaar waar het bij hoort. Het antwoord hoort te zijn: 4211. Deze getallen zijn even lang, dus kun je ze gemakkelijk uitlijnen. Deze opgave leert je iets nieuws over het aftrekken van gehele getallen (hopelijk). Deze is lastig, omdat 4 kleiner is dan 8, maar we gaan geen negatieve getallen gebruiken. Hier lees je hoe je dit oplost:  Streep de 2 van het bovenste getal door en schrijf daar een 1. De 2 staat direct links van de 4. Streep de 4 door en maak er 14 van. Doe dit in een kleine ruimte, zodat het duidelijk is bij welk getallenpaar 14 hoort, en dus 14 – 8 aangeeft. Je kunt ook gewoon een 1 voor de 4 schrijven, als er voldoende ruimte is. Wat je net hebt gedaan is het "lenen" van een 1 uit de kolom met tientallen, of ook de tweede kolom rechts, zodat je 10 op kunt tellen bij 4. Hierdoor krijg je 14 in de kolom met eenheden. Als het goed is staat er nu een 6 aan de uiterst linkerkant onder de lijn. Dit wordt dus 1 - 1, wat gelijk is aan 0. Jouw antwoord tot nu toe hoort 06 te zijn. 9 - 5=4, en dus is het antwoord 406. Stel dat je 415.990 – 968.772 moet oplossen. Je schrijft het tweede getal onder het eerste, waarna je je realiseert dat het onderste getal groter is! Zorg dat de getallen goed onder elkaar staan voor je ze vergelijkt. 912 is niet groter dan 5000, wat je gemakkelijk ziet als de getallen op de juiste manier onder elkaar staan, omdat de 5 nergens boven staan. Je kunt 1 of meerdere nullen voor het getal plaatsen, als dat helpt. Schrijf bijvoorbeeld 912 als 0912 zodat het even lang is als 5000. Elke keer als je een getal aftrekt van een kleiner getal, krijg je een negatief getal als antwoord. Het is het beste om het minteken al op te schrijven voor je het probleem gaat oplossen, zodat je het niet vergeet. Vergeet  het minteken  niet. Je antwoord zal negatief zijn, zoals je hebt aangegeven met het minteken. Probeer niet om een groter getal van een kleiner getal af te trekken en dit vervolgens negatief te maken; hierdoor krijg je niet het juiste antwoord. Het nieuwe probleem om op te lossen is: 968,772 - 415,990 = - ? Kijk bij de Tips om je antwoord te controleren. Een negatief geheel getal optellen is hetzelfde als het aftrekken van een positief getal. Dit is gemakkelijker om te zien door dit uit te testen met de getallenlijnmethode zoals beschreven in een ander deel, maar je kunt er ook over nadenken in woorden. Een negatief getal is niet een normale hoeveelheid; het is minder dan nul, en kan een hoeveelheid vertegenwoordigen dat wordt weggenomen. Als je deze "weg te nemen" hoeveelheid optelt bij een gewoon getal, dan maak je die kleiner.  Voorbeeld: 10 + -3 = 10 - 3 = 7 Voorbeeld: -12 + 18 = 18 + -12 = 18 – 12 = 6. Vergeet niet dat je altijd de volgorde van getallen in een optelling kunt verwisselen, maar niet bij het aftrekken. Soms kan het gebeuren dat het omzetten van een optelsom in een minsom, resultaten geeft zoals 4 – 7. Als dit gebeurt, draai de getallen dan om en maak het antwoord negatief.  Stel je hebt 4 + -7. Maak hier een minsom van: 4 - 7 Draai de volgorde om en maak de som negatief: -(7 – 4) = -(3) = -3. Als je niet gewend bent aan het gebruiken van haakjes in je sommen, denk er dan zo over na: 4 - 7 wordt 7 - 4 en voeg er een minteken aan toe. Dus 7 - 4 = 3 en vervolgens maak je er -3 van om het juiste antwoord te krijgen op de som 4 - 7. Twee negatieve getallen bij elkaar opgeteld zorgen er altijd voor dat het antwoord negatief en groter is. Er wordt niets positiefs bij opgeteld, dus eindig je altijd met iets dat nog verder verwijderd is van nul. Het antwoord vinden is  eenvoudig:  -3 + -6 = -9 -15 + -5 = -20 Zie je het patroon? Alles wat je hoeft te doen is de getallen bij elkaar optellen alsof ze positief zijn en er daarna een negatief teken aan toevoegen. -4 + -3 = -(4 + 3) = -7 Evenals bij de plussommen kun je deze herschrijven zodat je alleen met positieve getallen te maken hebt. Als je een negatief getal aftrekt, dan "haal je iets weg" van "iets dat weggehaald wordt", wat hetzelfde is als het optellen van een positief getal.  Denk aan een negatief getal als gestolen geld. Als je iets "aftrekt", of wegneemt van het gestolen geld om het terug te kunnen geven, dan is dat hetzelfde als het geven van geld aan die persoon, of niet? Voorbeeld: 10 – -5 = 10 + 5 = 10 Voorbeeld: -1 – -2 = -1 + 2. Je hebt al geleerd hoe je dit moet oplossen, in een eerdere stap, weet je nog? Herlees "Leer hoe je een negatief en een positief getal moet optellen" als je het niet meer weet. Hier is de volledige oplossing van het laatste voorbeeld: -1 – -2 = -1 + 2 = 2 + -1 = 2 – 1 = 1. Als je niet weet hoe je een getallenlijn moet maken, ga dan terug naar Optellen en aftrekken van positieve getallen, en lees dat nog eens over. Positieve getallen staan aan de rechterkant van de nul en negatieve getallen aan de linkerkant op de getallenlijn. Optellen van een negatief getal verplaatst je vinger naar links op de getallenlijn.  Als voorbeeld nemen we de som 1 + -4. Op een getallenlijn beginnen we bij 1, bewegen 4 plaatsen naar links en eindigen op -3. Merk op dat -3, ons antwoord, hetzelfde is als we de som 1 – 4 uitwerken. 1 + (-4) en 4 - 1 is hetzelfde. We kunnen dit ook schrijven als een vergelijking, een wiskundige manier om te laten zien dat twee dingen gelijk aan elkaar zijn:1 + (-4) = 1 - 4 = -3 Zoals je kon zien in onze eenvoudige vergelijking kunnen we twee kanten op gaan — "een negatief getal optellen" of "een positief getal aftrekken". Dit heb je misschien zo moeten leren zonder dat je verteld is waarom — dit is de reden.  Als voorbeeld, neem -4. Als je -4 optelt bij 1, verminder je 1 met  4. Of op de wiskundige manier: 1 + (-4) = 1 - 4 We schrijven dit op een getallenlijn, en plaatsen onze vinger op de 1, daarna beweeg je 4 plaatsen naar links (in andere woorden, optellen met -4). Omdat het een vergelijking is, is links gelijk aan rechts – dus het omgekeerde geldt ook:1 - 4 = 1 + (-4) Op een getallenlijn is het aftrekken van een negatief gelijk aan een beweging naar rechts. Laten we beginnen met  5 - 8.  Op een getallenlijn beginnen we bij 5, verminder dit met 8, en eindigen op -3. Dit wordt genoteerd als 5 - 8 = -3 Stel de som wordt 5 -7. Nu bewegen we 1 plaats minder ver naar links op de getallenlijn. Dit noteer je als 5 - 7 = -2 In dit voorbeeld verminderen we het aantal plaatsen naar links met 1. Als vergelijking wordt dit:5 - 7 = -2 = 5 - (8 - 1) Door gebruik te maken van de stap "verander het aftrekken  in optellen", kunnen we dit nu korter opschrijven als:5 - (8 - 1) = 5 - 7 = 5 - 8 + 1 .  We weten al dat 5 - 8 = -3, dus laten we 5 - 8 weglaten uit onze vergelijking en er een -3 plaatsen:5 - (8 - 1) = 5 - 7 = -3 + 1   We weten al wat 5 - (8 - 1) is — je verplaatst een markering minder ver dan 5 - 8. Onze vergelijking toont aant dat 5 - 8 = -3, en 1 stap minder ver is dus -2. Nu kan onze vergelijking geschreven worden als:-3 - (-1) = -3 + 1 Merk op wat er gebeurde aan het eind – we bewezen dat:-3 + 1 = -3 - (-1) Dit kunnen we uitdrukken als een eenvoudige, meer algemene wiskundige regel:eerste getal plus een tweede getal = eerste getal minus negatief tweede getal) Of, in meer eenvoudige termen zoals bij de wiskundeles:Verander twee minnen in een  plus.
Wat is een getallenlijn. Teken een basis getallenlijn. Teken twee markeringen, 1 aan elke zijde van de nul. Voeg meer getallen toe aan de lijn. Begrijp wat positieve en negatieve gehele getallen zijn. Los 1+2 op door je vinger op de markering met het label 1 te plaatsen. Doe de som 1+2 door je vinger 2 markeringen naar rechts te schuiven. Een ander voorbeeld. Trek positieve gehele getallen af door naar links te bewegen op de getallenlijn. Schrijf de optelling 2503 + 7461 met het ene getal boven het andere. Begin met het optellen van de twee getallen uiterst rechts. Tel elk getal op dezelfde manier op. Doe nu de som 857+135. Doe de som 7+5 en leer wat je met het antwoord doet. Doe de som 1+5+3 om het volgende cijfer te krijgen van het antwoord. Rond de opgave als gewoonlijk af. Schrijf de som 4713 - 502 met het eerste getal boven het tweede. Trek elk onderste cijfer af van het cijfer er direct boven, te beginnen uiterst rechts. Doe nu de opgave 924 - 518 op dezelfde manier. Het eerste probleem, 4 - 8. Los nu het probleem 14 - 8 op en schrijf het antwoord onder de rechterkolom. Los de volgende kolom op (naar links) met het nieuwe getal (de 2 was vervangen door een 1). Maak de opgave af door de laatste kolom op te lossen. Nu gaan we verder met een probleem waarbij we een groter getal aftrekken van een kleiner getal. Schrijf het kleinere getal onder het grotere getal en zet een minteken voor het antwoord. Om achter het antwoord te komen trek je het kleine getal af van het grotere getal. Leer meer over het optellen van een negatief en een positief getal. Leer wat je moet doen als het een minsom wordt, waarbij het kleinste getal staat. Leer hoe je twee negatieve gehele getallen moet optellen. Leer hoe je een negatief geheel getal moet aftrekken. Leer wat een getallenlijn is. Begrijp  wat negatieve getallen zijn. Gebruik een vergelijking om het optellen met een negatief getal te begrijpen. In plaats van het optellen van een negatief getal, kunnen we er ook een minsom van maken met alleen maar positieve getallen. Begrijp  hoe het aftrekken van negatieve getallen werkt op een getallenlijn. Verminder het aantal dat je aftrekt en zie wat er gebeurt. Merk op dat een vermindering kan resulteren in een vermeerdering. Verander een min in een plus bij het optellen van negatieve getallen. Schrijf het aftrekken van negatieve getallen als een optelling.
https://www.wikihow.com/Add-and-Subtract-Integers https://www.wikihow.com/Add-and-Subtract-Integers https://www.wikihow.com/Add-and-Subtract-Integers https://www.wikihow.com/Add-and-Subtract-Integers https://www.wikihow.com/Add-and-Subtract-Integers
Adding and Subtracting Positive Integers with a Number Line Adding Large Positive Integers Subtracting Large Positive Integers Adding and Subtracting Negative Integers Adding and Subtracting Negative Numbers with a Number Line