Het volgende getal bepalen in een rekenkundige rij Ga op zoek naar een ontbrekend getal Gebruik de expliciete formule voor het verkrijgen van meer gegevens Bepaal een willekeurige term van een rekenkundige rij
Wanneer je een verzameling getallen krijgt voorgeschoteld, dan wordt er wellicht bij vermeld dat het gaat om een rekenkundige rij, of zal je dit zelf moeten uitvinden. De eerste stap is in ieder geval dezelfde. Selecteer de eerste twee opeenvolgende getallen in de verzameling. Trek het eerste getal af van het tweede getal. Het resultaat is de verschilfactor van je reeks.  Bijvoorbeeld, stel je hebt de verzameling 1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}.... Doe dan 4−1{\displaystyle 4-1} om de verschilfactor 3 te krijgen. Stel dat je een verzameling aflopende getallen hebt, zoals 25,21,17,13{\displaystyle 25,21,17,13}…. Dan trek je nog steeds het eerste getal af van het tweede om het verschil te bepalen. In dit geval geeft dit 21−25=−4{\displaystyle 21-25=-4}. Het negatieve resultaat betekent dat je verzameling afneemt van links naar rechts. Let er altijd op dat het teken van het verschil overeenkomt met de richting waarin de getallen lijken te gaan. Het bepalen van de verschilfactor voor alleen de eerste twee getallen verzekert niet dat de verzameling een rekenkundige rij is. Je moet er zeker van zijn dat het verschil consistent volgehouden wordt in de hele reeks. Controleer het verschil door het aftrekken van twee opeenvolgende getallen in de verzameling. Is het resultaat consistent voor een of twee andere getallenparen, dan heb je waarschijnlijk met een rekenkundige rij te maken.  We blijven werken met hetzelfde voorbeeld, 1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13} Kies het tweede en derde getal van de verzameling. Doe 7−4{\displaystyle 7-4} en je zult zien dat het verschil nog steeds gelijk is aan 3. Om dit te bevestigen kies je nog een voorbeeld en doe je 13−10{\displaystyle 13-10} om erachter te komend dat het verschil voortdurend 3 is. Je kunt er nu redelijk zeker van zijn dat je te maken hebt met een rekenkundige rij. Het is mogelijk dat een verzameling getallen de eigenschappen lijkt te hebben van een rekenkundige rij op basis van de eerste paar getallen, om daar vervolgens vanaf te wijken. Bijvoorbeeld, neem de verzameling 1,2,3,6,9{\displaystyle 1,2,3,6,9}…. Het verschil tussen het eerste en tweede getal is 1 en het verschil tussen het tweede en derde getal is ook 1. Het verschil tussen het derde en vierde getal is echter 3. Omdat het verschil niet voor alle getallen in de hele verzameling geldt, is dit geen rekenkundige rij. Het is eenvoudig om het volgende getal van een rekenkundige rij te vinden wanneer je de verschilfactor kent. Tel gewoon de verschilfactor op bij het laatste last getal van de verzameling en je krijgt het volgende getal. Bijvoorbeeld, in het voorbeeld van 1,4,7,10,13{\displaystyle 1,4,7,10,13}…, kun je het volgende getal in de verzameling bepalen door de verschilfactor 3 op te tellen bij het laatste gegeven getal. Doe 13+3{\displaystyle 13+3} en je krijgt 16, wat dus het volgende getal is. Je kunt doorgaan met 3 erbij optellen, om de reeks zo lang te maken als je wilt. Bijvoorbeeld, de reeks kan zijn  1,4,7,10,13,16,19,22,25{\displaystyle 1,4,7,10,13,16,19,22,25}…. Je kunt hier onbeperkt mee doorgaan. In sommige gevallen heb je te maken met een verzameling getallen met een ontbrekend getal in het midden. Begin zoals eerder aangegeven met controleren dat je verzameling een rekenkundige rij is. Selecteer twee opeenvolgende getallen en bepaal het verschil ertussen. Controleer dit vervolgens tegen twee andere opeenvolgende getallen in de reeks. Is het verschil hetzelfde, dan kun je aannemen dat je te maken hebt met een rekenkundige rij, en kun je verdergaan. Bijvoorbeeld, stel je hebt de reeks 0,4{\displaystyle 0,4},___,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}…. Begin met de aftreksom 4−0{\displaystyle 4-0} en je krijgt 4 als verschil. Controleer dit tegen twee andere opeenvolgende getallen, zoals 16−12{\displaystyle 16-12}. Het verschil is weer 4. Je kunt nu verdergaan. Dit is gelijk aan het toevoegen van een getal aan het eind van een reeks. Zoek het getal direct voor de lege plek in je reeks. Dit is het 'laatste' getal dat bekend is. Tel het gevonden verschil op bij dit getal, en je krijgt het getal welke zou moeten passen op de plek van de onbekende. In ons voorbeeld, 0,4{\displaystyle 0,4},____,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}…, is de onbekende gelijk aan 4 en is het verschil van deze reeks ook 4. Dus opgeteld wordt dit 4+4{\displaystyle 4+4} en krijg je dus 8, het getal welke ingevuld kan worden voor de onbekende. Om er zeker van te zijn dat je het juiste antwoord hebt gevonden, controleer je dit nogmaals vanuit de andere richting. Een rekenkundige rij hoort consistent in een bepaalde richting te gaan. Als je van links naar rechts gaat en steeds 4 erbij optelt, dan kun je van rechts naar links het tegenoverstelde doen en 4 aftrekken van het voorgaande getal. In het voorbeeld, 0,4{\displaystyle 0,4},___,12,16,20{\displaystyle 12,16,20}…, is het getal direct na de onbekende gelijk aan 12. Trek de verschilfactor 4 af van dit getal en je krijgt 12−4=8{\displaystyle 12-4=8}. Het resultaat 8 kan dan ingevuld worden voor de onbekende. De twee uitkomsten die je krijgt door het optellen (van links naar rechts) of aftrekken (van rechts naar links) horen met elkaar overeen te komen. Is dat het geval, dan heb je het ontbrekende getal gevonden. Komen ze niet overeen, dan moet je je werk nogmaals controleren. Wellicht heb je niet met een zuivere rekenkundige rij te maken. In het voorbeeld zullen de twee uitkomsten van 4+4{\displaystyle 4+4} en 12−4{\displaystyle 12-4} beide 8 als antwoord geven. Het ontbrekende getal in deze rekenkundige rij is dus 8. De volledige reeks is 0,4,8,12,16,20{\displaystyle 0,4,8,12,16,20}…. Gebruik de expliciete formule en wat eenvoudige algebra, voor het vinden van diverse stukjes informatie over de rekenkundige rij. In de oorspronkelijke vorm (a(n)=a(1)+(n−1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}), is de expliciete formule ontworpen voor het oplossen van an en geeft het je het n-de  getal van de reeks. Je kunt deze formule echter wiskundig manipuleren om daarmee ook andere variabelen op te kunnen lossen.  Bijvoorbeeld, stel dat je het einde weet van een reeks getallen, maar je wilt graag weten wat het begin van de reeks is. Herschik de formule dan voor het verkrijgen van a(1)=(n−1)d−a(n).{\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n).}  Weet je het beginpunt en eindpunt van een rekenkundige rij, maar je wilt graag weten hoeveel getallen er zijn in de verzameling, dan kun je de expliciete formule gebruiken om n op te lossen. Dit wordt dan n=a(n)−a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}. Wil je eerst nog even de basisregels van de algebra doornemen die je nodig hebt om dit uit te kunnen rekenen, lees dan meer over algebra of eenvoudige algebraïsche vergelijkingen. Je weet wellicht dat het 50e getal van een rekenkundige rij gelijk is aan 300 en dat de getallen toenemen met 7 (de verschilfactor), maar je wilt graag weten wat het eerste getal van de reeks was. Gebruik de gewijzigde expliciete formule voor het oplossen van a1 om achter je antwoord te komen. Gebruik de vergelijking a(1)=(n−1)d−a(n){\displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)} en vul alle gegevens in waar je over beschikt. Omdat je weet dat het 50e getal 300 is, weet je ook dat n=50, n-1=49 en a(n)=300. Daarnaast is ook de verschilfactor d gegeven, en dat is 7. De formule wordt dus a(1)=(49)(7)−300{\displaystyle a(1)=(49)(7)-300}. Uitgewerkt wordt dit 343−300=43{\displaystyle 343-300=43}. De reeks die je hebt begon bij 43 en heeft een verschilfactor 7. De reeks ziet er dus uit als  43,50,57,64,71,78…293,300. Stel dat je weet hoe de reeks begint en eindigt, maar moet achterhalen hoe lang de reeks is. Gebruik dan de gewijzigde formule n=a(n)−a(1)d+1{\displaystyle n={\frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}.  Stel dat je weet dat een gegeven rekenkundige rij begint met 100 en optelt met 13. Daarnaast is ook gegeven dat het laatste getal 2856 is. Om de lengte van de reeks te vinden, gebruik je de getallen a1=100, d=13 en a(n)=2856. Pas deze getallen toe op de formule voor het verkrijgen van n=2856−10013+1{\displaystyle n={\frac {2856-100}{13}}+1}. Heb je dit uitgewerkt, dan krijg je n=275613+1{\displaystyle n={\frac {2756}{13}}+1}, wat gelijk is aan 212+1, en dat is weer 213. Er zijn 213 getallen in die reeks. Dit voorbeeld ziet eruit als 100, 113, 126, 139… 2843, 2856. Niet elke reeks begint met de getallen 0 of 1. Kijk naar de verzameling getallen die je hebt en bepaal het eerste getal. Dit is je startpunt, welke aangeduid kunnen worden met variabelen, zoals a(1).  Het is een algemeen gebruik om bij rekenkundige rijen te werken met de variabele a(1), waarmee het eerste getal van de reeks wordt aangegeven. Je kunt uiteraard elke variabele kiezen, maar de uitkomst zou hetzelfde moeten zijn. Bijvoorbeeld, gegeven de reeks 3,8,13,18{\displaystyle 3,8,13,18}…, is het eerste getal 3{\displaystyle 3}, welke wiskundig kan worden aangeduid als a(1). Bepaal de verschilfactor voor de reeks zoals hiervoor aangegeven. In dit voorbeeld is de verschilfactor gelijk aan 8−3{\displaystyle 8-3}, en dus 5. Bij het controleren tegen de anderen getallen in de reeks wordt hetzelfde resultaat verkregen. We geven deze verschilfactor aan met de wiskundige variabele d. Een expliciete formule is een wiskundige vergelijking die je kunt gebruiken om elk getal van een rekenkundige rij te vinden, zonder de hele reeks uit te hoeven schrijven. De expliciete formule voor een wiskundige reeks is a(n)=a(1)+(n−1)d{\displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}. Het getal a(n) kan worden gelezen als “het n-de getal van a,” waarbij n het getal in de reeks is dat je wilt vinden en a(n) de daadwerkelijke waarde is van dat getal. Bijvoorbeeld, als je wordt gevraagd om het honderdste item te vinden van een rekenkundige rij, dan is n gelijk aan 100. Merk op dat n gelijk is aan 100, in dit voorbeeld, maar dat a(n) de waarde is van het honderdste getal, en niet het getal 100 zelf. Met behulp van deze expliciete formule voor je reeks, vul je alle gegevens in waar je over beschikt, om het getal te bepalen dat je nodig hebt. Bijvoorbeeld, in dit voorbeeld, 3,8,13,18{\displaystyle 3,8,13,18}…, weten we dat a(1), het eerste getal, gelijk is aan 3 en dat de verschilfactor d gelijk is aan 5. Stel dat je wordt gevraagd om het honderdste getal in die reeks te vinden. Dan is n=100 en (n-1)=99. De volledige expliciete formule, met de ingevulde gegevens, is dan a(100)=3+(99)(5){\displaystyle a(100)=3+(99)(5)}. Dit valt te vereenvoudigen tot 498, het honderdste getal in die reeks.
Zoek de verschilfactor van de reeks. Controleer of de verschilfactor constant is. Tel de verschilfactor op bij het laatste getal. Bevestig dat je begint met een rekenkundige rij. Tel de verschilfactor op bij het getal voor de lege plek. Trek de verschilfactor af van het getal na de onbekende. Vergelijk je uitkomsten. Herschik de expliciete formule om andere variabelen te vinden. Bepaal het eerste getal van een reeks. Bepaal de lengte van een reeks. Bepaal het eerste getal van de reeks. Bepaal de verschilfactor als d. Gebruik de expliciete formule. Vul alle gegevens in om het probleem op te lossen.
https://www.wikihow.com/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence https://www.wikihow.com/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence https://www.wikihow.com/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence https://www.wikihow.com/Find-Any-Term-of-an-Arithmetic-Sequence
Finding the Next Term in an Arithmetic Sequence Finding a Missing Internal Term Using the Explicit Formula to Find Additional Information Finding the Nth Term of an Arithmetic Sequence