Gestapelde breuken vereenvoudigen met omgekeerde vermenigvuldiging Gestapelde breuken met variabele termen vereenvoudigen
Gestapelde breuken zijn niet noodzakelijkerwijs moeilijk op te lossen. In feite zijn gestapelde breuken waarin de teller en de noemer beide een enkele breuk bevatten meestal vrij eenvoudig op te lossen. Dus, als de teller of de noemer van je gestapelde breuk (of beide) meerdere breuken of breuken en hele getallen bevatten, vereenvoudig dan naar wens om een enkele breuk in zowel de teller als de noemer te verkrijgen. Hiervoor kan het nodig zijn  het kleinste gemene veelvoud (kgv) te vinden van twee of meer breuken. Stel dat we de complexe breuk (3/5 + 2/15)/(5/7 - 3/10) willen vereenvoudigen. Eerst kunnen we dan zowel de teller als de noemer van onze complexe breuk vereenvoudigen tot enkele breuken.  Om de teller te vereenvoudigen, nemen we een kgv van 15, door 3/5 met 3/3 te vermenigvuldigen. Onze teller wordt 9/15 + 2/15, wat gelijk is aan 11/15. Om de noemer te vereenvoudigen nemen we een kgv van 70, door 5/7 te vermenigvuldigen met 10/10 en 3/10 met 7/7. Onze noemer wordt 50/70 - 21/70, wat gelijk is aan 29/70. Onze nieuwe gestapelde breuk is dus (11/15)/(29/70). Per definitie is delen van het ene getal door het andere hetzelfde als het vermenigvuldigen van het eerste getal met het omgekeerde van het tweede getal. Nu we een gestapelde breuk hebben verkregen met een enkele breuk in zowel de teller als de noemer, kunnen we deze eigenschap van het delen gebruiken om onze gestapelde breuk te vereenvoudigen! Bepaal eerst het omgekeerde van de noemer van de gestapelde breuk. Doe dit door de breuk te 'keren' -- de teller komt op de plaats van de noemer en vice versa. In ons voorbeeld is de noemer van de gestapelde breuk (11/15)/(29/70) de breuk 29/70. Om het omgekeerde te vinden keren we deze om en wordt de breuk 70/29. Merk op dat, als de gestapelde breuk een heel getal in de noemer heeft, je het kunt behandelen als een breuk en toch de inverse ervan kunt vinden. Stel bijvoorbeeld dat de gestapelde breuk (11/15)/(29) zou zijn, dan kunnen we de noemer definiëren als 29/1, met als omgekeerde 1/29. Nu je het omgekeerde van de noemer van je gestapelde breuk hebt verkregen, vermenigvuldig je die met de teller om een enkele eenvoudige breuk te verkrijgen! Onthoud dat we, om twee breuken te vermenigvuldigen, niet kruislings vermenigvuldigen -- de teller van de nieuwe breuk is het product van de teller van de twee oude, en op dezelfde manier gaat dit met de noemer. In ons voorbeeld vermenigvuldigen we 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 en 15 × 29 = 435. Dus is onze nieuwe eenvoudige breuk 770/435. We hebben nu een enkele, eenvoudige breuk, dus het enige wat overblijft is om het in zo eenvoudig mogelijke bewoordingen weer te geven. Bepaal de grootste gemene deler (ggd) van de teller en de noemer en deel beide door dit getal om het te vereenvoudigen. Een gemeenschappelijke deler van 770 en 435 is 5. Dus als we de teller en de noemer van onze breuk door 5 delen, krijgen we 154/87. 154 en 87 hebben geen gemeenschappelijke delers, dus weten we dat we het uiteindelijke antwoord hebben gevonden! Voor de duidelijkheid: vrijwel elke gestapelde breuk kan worden vereenvoudigd door de teller en de noemer te reduceren tot enkele breuken en de teller te vermenigvuldigen met het omgekeerde van de noemer. Gestapelde breuken met variabelen zijn geen uitzondering, maar hoe ingewikkelder de variabele uitdrukkingen in de gestapelde breuk zijn, hoe moeilijker en tijdrovender het is om een omgekeerde vermenigvuldiging toe te passen. Voor 'eenvoudige' gestapelde breuken met variabelen is vermenigvuldiging met het omgekeerde een goede keuze, maar gestapelde breuken met meerdere variabele termen in de teller en de noemer zijn wellicht eenvoudiger te vereenvoudigen met de alternatieve methode die hieronder wordt beschreven.  Bijvoorbeeld: (1/x)/(x/6) is eenvoudig te vereenvoudigen met omgekeerd vermenigvuldigen. 1/x × 6/x = '6/x2. Hierbij is het niet nodig om een alternatieve methode te gebruiken. De breuk (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) is echter moeilijker te vereenvoudigen met omgekeerd vermenigvuldigen. Het reduceren van de teller en de noemer van deze gestapelde breuk tot enkele breuken, omgekeerd vermenigvuldigen en het reduceren van het resultaat tot de eenvoudigste termen, is waarschijnlijk een gecompliceerd proces. In dit geval kan de onderstaande alternatieve methode eenvoudiger zijn. De eerste stap in deze alternatieve methode van vereenvoudiging is het vinden van de kgd van alle breektermen in de gestapelde breuk -- zowel in de teller als in de noemer. Als een of meer van de breuktermen variabelen in hun noemers hebben, is de kgd gewoon het product van hun noemers. Dit is makkelijker te begrijpen met een voorbeeld. Laten we proberen de gestapelde breuk die we hierboven hebben genoemd, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))) te vereenvoudigen. De breuktermen in deze samengestelde breuk zijn (1)/(x+3) en (1)/(x-5). De gemene deler van deze twee breuken is het product van hun noemers: (x+3)(x-5). Vervolgens moeten we de termen in onze gestapelde breuk vermenigvuldigen met de kgd van zijn breuktermen. Met andere woorden, we zullen de gehele gestapelde breuk vermenigvuldigen met (kgd)/(kgd). We kunnen dit gewoon doen omdat (kgd)/(kgd) gelijk is aan 1. Vermenigvuldig eerst de teller met zichzelf. In ons voorbeeld vermenigvuldigen we de gestapelde breuk (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), met ((x+3)(x-5))/((x+3)(x-5)). We zullen moeten vermenigvuldigen met de teller en de noemer van de gestapelde breuk, waarbij we elke term vermenigvuldigen met (x+3)(x-5). Laten we eerst de teller vermenigvuldigen: (((1)/(x+3)) + x - 10) × (x+3)(x-5)  = (((x+3)(x-5)/(x+3)) + x((x+3)(x-5)) - 10((x+3)(x-5)) = (x-5) + (x(x2 - 2x - 15)) - (10(x2 - 2x - 15)) = (x-5) + (x3 - 2x2 - 15x) - (10x2 - 20x - 150) = (x-5) + x3 - 12x2 + 5x + 150 = x3 - 12x2 + 6x + 145 Vermenigvuldig de gestapelde breuk met de kgd die je gevonden hebt door naar de noemer te gaan. Vermenigvuldig elke term met de kgd. De noemer van onze gestapelde breuk, (((1)/(x+3)) + x - 10)/(x +4 +((1)/(x - 5))), is x +4 +((1)/(x-5)). We gaan dit vermenigvuldigen met de kgd die we hebben gevonden, (x+3)(x-5).  (x +4 +((1)/(x - 5))) × (x+3)(x-5) = x((x+3)(x-5)) + 4((x+3)(x-5)) + (1/(x-5))(x+3)(x-5). = x(x2 - 2x - 15) + 4(x2 - 2x - 15) + ((x+3)(x-5))/(x-5) = x3 - 2x2 - 15x + 4x2 - 8x - 60 + (x+3) = x3 + 2x2 - 23x - 60 + (x+3) = x3 + 2x2 - 22x - 57 Na het vermenigvuldigen van je breuk met je (kgd)/(kgd)-uitdrukking en het vereenvoudigen door gelijke termen tegen elkaar weg te strepen, zou je een eenvoudige breuk moeten overhouden die geen breuktermen bevat. Zoals je misschien al gemerkt hebt heffen de noemers van deze breuken elkaar op (door de breuken in de oorspronkelijke gestapelde breuk te vermenigvuldigen met de kgd), waardoor variabele termen en gehele getallen in de teller en de noemer van je antwoord blijven staan, maar geen breuken. Met behulp van de teller en de noemer die we hierboven vonden, kunnen we een breuk construeren die gelijk is aan onze initiële gestapelde breuk, maar die geen breuken bevat. De teller die we hebben verkregen was x3 - 12x2 + 6x + 145 en de noemer was x3 + 2x2 - 22x - 57, dus is de nieuwe breuk: (x3 - 12x2 + 6x + 145)/(x3 + 2x2 - 22x - 57)
Indien nodig vereenvoudig je de teller en de noemer in enkele breuken. Draai de noemer om en vind het omgekeerde. Vermenigvuldig de teller van de gestapelde breuk met het omgekeerde van de noemer. Vereenvoudig de nieuwe breuk door de grootste gemene deler te bepalen. Gebruik wanneer mogelijk de omgekeerde vermenigvuldigingsmethode zoals hierboven beschreven. Indien omgekeerd vermenigvuldigen onpraktisch is, begin dan met het bepalen van de kleinste gemene deler van de deeltermen in de gestapelde breuk. Vermenigvuldig de teller van de gestapelde breuk met de zojuist gevonden kgd. Vermenigvuldig de noemer van de gestapelde breuk met de kgd zoals je deed met de teller. Vorm een nieuwe, vereenvoudigde breuk van de teller en de noemer die je net gevonden hebt.
https://www.wikihow.com/Simplify-Complex-Fractions https://www.wikihow.com/Simplify-Complex-Fractions
Simplifying Complex Fractions with Inverse Multiplication Simplifying Complex Fractions Containing Variable Terms