Optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van exponenten Het oplossen van eenvoudige exponenten Het oplossen van breuken als machtsgetallen
Indien je te maken hebt met identieke grondtallen en exponenten, zoals 45+45{\displaystyle 4^{5}+4^{5}}, dan kun je de optelling van de termen vereenvoudigen tot een vermenigvuldiging. Vergeet niet dat 45{\displaystyle 4^{5}} beschouwd kan worden als 1∗45{\displaystyle 1*4^{5}}, zodat 45+45=1∗45+1∗45=2∗45{\displaystyle 4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}} door het optellen, daar waar '1 van dat + 1 van dat = 2 van dat', wat 'dat' ook moge zijn. Tel gewoon het aantal gelijke termen bij elkaar op (die met het identieke grondtal en exponent), en vermenigvuldig de som met die exponentiële uitdrukking. Je kunt vervolgens 45{\displaystyle 4^{5}} oplossen en dat antwoord met twee vermenigvuldigen. Vergeet niet dat dit mogelijk is omdat een vermenigvuldiging niets anders is dan het herschrijven van een optelling, omdat 3+3=2∗3{\displaystyle 3+3=2*3}. Hier volgen een paar voorbeelden:  32+32=2∗32{\displaystyle 3^{2}+3^{2}=2*3^{2}} 45+45+45=3∗45{\displaystyle 4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}} 45−45+2=2{\displaystyle 4^{5}-4^{5}+2=2} 4x2−2x2=2x2{\displaystyle 4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}} Indien je twee exponenten hebt met hetzelfde grondtal, zoals x2∗x5{\displaystyle x^{2}*x^{5}}, dan hoef je alleen maar de twee exponenten met hetzelfde grondtal bij elkaar op te tellen. Dus,  x2∗x5=x7{\displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}}. Indien je dit wat vreemd vindt, deel het dan op in kleinere onderdelen om te begrijpen hoe het systeem werkt:  x2∗x5{\displaystyle x^{2}*x^{5}} x2=x∗x{\displaystyle x^{2}=x*x} x5=x∗x∗x∗x∗x{\displaystyle x^{5}=x*x*x*x*x} x2∗x5=(x∗x)∗(x∗x∗x∗x∗x){\displaystyle x^{2}*x^{5}=(x*x)*(x*x*x*x*x)} Omdat alles hetzelfde getal is, maar dan vermenigvuldigd, kunnen we deze combineren: x2∗x5=x∗x∗x∗x∗x∗x∗x{\displaystyle x^{2}*x^{5}=x*x*x*x*x*x*x}   x2∗x5=x7{\displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}} Indien je een getal verheft tot een bepaalde macht, en het geheel wordt tot een bepaalde macht verheven, vermenigvuldig dan gewoon de twee exponenten. Dus, (x2)5=x2∗5=x10{\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}}. Denk er nogmaals aan wat deze symbolen eigenlijk betekenen als je in de war raakt. (x2)5{\displaystyle (x^{2})^{5}} betekent gewoon dat je (x2){\displaystyle (x^{2})} 5 maal vermenigvuldigt met zichzelf, dus:  (x2)5{\displaystyle (x^{2})^{5}} (x2)5=x2∗x2∗x2∗x2∗x2{\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}} Omdat de grondtallen hetzelfde zijn, kun je ze gewoon bij elkaar optellen: (x2)5=x2∗x2∗x2∗x2∗x2=x10{\displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}} Weet je niet wat een reciproque is, geen probleem. Indien je te maken hebt met een negatieve exponent, zoals 3−2{\displaystyle 3^{-}2}, maak de exponent dan positief en plaats dit als noemer onder de één, met als resultaat 132{\displaystyle {\frac {1}{3^{2}}}}. Hier volgen een paar extra voorbeelden:  5−101510{\displaystyle 5^{-10}{\frac {1}{5^{10}}}}  3x−4=3x4{\displaystyle 3x^{-}4={\frac {3}{x^{4}}}} Delen is het tegenovergestelde van vermenigvuldiging, en hoewel ze niet exact als tegenovergestelde worden opgelost, is dat hier wel het geval. Indien je te maken hebt met de vergelijking 4442{\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}}, trek je gewoon de bovenste exponent af van de onderste, en laat je het grondtal ongemoeid. Dus, 4442=44−2=42{\displaystyle {\frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}}, of 16. Zoals je zo meteen zult zien, kan elk getal dat deel uitmaakt van een breuk, zoals 142{\displaystyle {\frac {1}{4^{2}}}}, worden herschreven als 4−2{\displaystyle 4^{-2}}. Negatieve exponenten vormen breuken. De volgende opgaven oefenen alles wat tot nu toe is behandeld. Voor het antwoord selecteer  je gewoon de regel waar de opgave op staat.   53{\displaystyle 5^{3}} = 125  22+22+22{\displaystyle 2^{2}+2^{2}+2^{2}} = 12  x12−2x12{\displaystyle x^{1}2-2x^{1}2} = -x^12  y3∗y{\displaystyle y^{3}*y} = y4{\displaystyle y^{4}} Onthoud dat een getal zonder een macht een exponent heeft van 1   (Q3)5{\displaystyle (Q^{3})^{5}} = Q15{\displaystyle Q^{1}5}   r5r2{\displaystyle {\frac {r^{5}}{r^{2}}}} = r3{\displaystyle r^{3}} Heb je een exponent, zoals 23{\displaystyle 2^{3}}, dan werk je met twee eenvoudige onderdelen. Het onderstel getal is hierbij een 2, of het grondtal. Dit getal wordt verheven tot de macht 3, ook wel de exponent of macht. Hebben we het over 23{\displaystyle 2^{3}}, dan zeggen we 'twee tot de derde', 'twee tot de derde macht', of 'twee verheft tot de derde macht.'  Indien een getal wordt verheven tot de tweede macht, zoals 52{\displaystyle 5^{2}}, dan kun je ook zeggen dat het getal is gekwadrateerd is, zoals  'vijf in het kwadraat.' Indien een getal wordt verheven tot de derde macht, zoals 103{\displaystyle 10^{3}}, dan kun je ook zeggen dat getal een kubusgetal is. Indien een getal zonder exponent wordt vermeldt, zoals bijvoorbeeld 4, dan staat deze in theorie in de eerste macht en kan dit worden herschreven als 41{\displaystyle 4^{1}}. Indien de exponent gelijk is aan 0, en een 'getal (niet nul)' wordt verheven tot de 'zero macht', dan is het geheel gelijk aan 1, zoals 40=1{\displaystyle 4^{0}=1} of zelfs iets als (3/8)0=1.{\displaystyle (3/8)^{0}=1.} Meer hierover in het deel 'Tips'. Indien je een macht met de hand moet oplossen, dan begin je met dit te herschrijven als een vermenigvuldiging. Je vermenigvuldigt het grondtal het aantal malen met zichzelf, zoals aangeven door de exponent. Dus, heb je 34{\displaystyle 3^{4}} dan vermenigvuldig je drie viermaal met zichzelf 3∗3∗3∗3{\displaystyle 3*3*3*3}. Nog een aantal voorbeelden zijn:  45=4∗4∗4∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4} 82=8∗8{\displaystyle 8^{2}=8*8}  Tien tot de macht drie =10∗10∗10{\displaystyle =10*10*10} Vermenigvuldig de eerste twee getallen met elkaar voor het product. Bijvoorbeeld, met 45{\displaystyle 4^{5}}, begin je met 4∗4∗4∗4∗4{\displaystyle 4*4*4*4*4} Dit lijkt een vervelende taak, maar doe dit gewoon stap voor stap. Begin met het vermenigvuldigen van de eerste twee vieren. Vervang vervolgens de twee vieren door het antwoord zoals hieronder getoond:   45=4∗4∗4∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4} 4∗4=16{\displaystyle 4*4=16}  45=16∗4∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=16*4*4*4} Blijf de getallen vermenigvuldigen om je exponent te laten 'groeien'. We gaan verder met ons voorbeeld, en vermenigvuldigen 16 met de volgende 4, zodat:   45=16∗4∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=16*4*4*4} 16∗4=64{\displaystyle 16*4=64}   45=64∗4∗4{\displaystyle 4^{5}=64*4*4} 64∗4=256{\displaystyle 64*4=256}   45=256∗4{\displaystyle 4^{5}=256*4} 256∗4=1024{\displaystyle 256*4=1024}  Zoals hier aangetoond, kun je doorgaan met vermenigvuldigen van het grondtal met het product van elk van de eerste getallenparen, tot je het uiteindelijke antwoord krijgt. Blijf gewoon doorgaan met het vermenigvuldigen van de eerste twee getallen, en vermenigvuldig dit antwoord vervolgens met het volgende getal in de reeks. Dit geldt voor elke exponent. Ben je klaar met het voorbeeld, dan krijg je 45=4∗4∗4∗4∗4=1024{\displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4=1024}. 82{\displaystyle 8^{2}} 34{\displaystyle 3^{4}} 107{\displaystyle 10^{7}} Het is bijna onmogelijk om grotere exponenten, zoals 915{\displaystyle 9^{15}} met te hand te doen, maar calculators kunnen dit gemakkelijk aan. De knop hiervoor is meestal duidelijk genoeg aangegeven. De calculator van Windows kan worden uitgebreid tot een wetenschappelijke calculator, door te klikken op het tabblad 'Weergave' van de calculator en 'Wetenschappelijk' te selecteren. Wil je de standaard-calculator terug, klik dan weer op 'Weergave' en selecteer 'Standaard'.  Gebruik een zoekmachine zoals Startpage, Duckduckgo of Google om het antwoord op te zoeken. Je kunt de knop '^' op je computer, tablet of smartphone gebruiken om de expressie in te voeren in het zoekveld, waarna je meteen het antwoord te zien krijgt, en suggesties voor gelijksoortige uitdrukkingen om te verkennen (Duckduckgo laat zelfs een complete calculator zien). x12{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} is in feite exact hetzelfde als x{\displaystyle {\sqrt {x}}}. Dit geldt ongeacht de noemer van de breuk, dus x14{\displaystyle x^{\frac {1}{4}}} wordt de vierdemachtswortel van x, ook wel geschreven als x4{\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}} . Wortels zijn de inverse van exponenten. Bijvoorbeeld, als je het antwoord neemt van x4{\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}} tot de vierde macht, dan kom je weer uit op x{\displaystyle x}, en dus kan 164=2{\displaystyle {\sqrt[{4}]{16}}=2} ook geschreven worden als 24=16{\displaystyle 2^{4}=16}. Een ander voorbeeld is x4=2{\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}=2} en vervolgens 24=x{\displaystyle 2^{4}=x} en dus x=2{\displaystyle x=2} . x53{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}} ziet er wellicht onmogelijk uit, maar is gemakkelijk als je onthoudt hoe exponenten worden vermenigvuldigd. Maak van het grondtal een wortel, zoals een normale breuk, en verhef het hele ding tot de macht bovenin de breuk. Vind je het moeilijk om dit te onthouden, neem dan de theorie nogmaals door. Uiteindelijk geldt dat 53{\displaystyle {\frac {5}{3}}} gewoon gelijk is aan (13)∗5{\displaystyle ({\frac {1}{3}})*5} Bijvoorbeeld:  x53{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}} x53=x5∗x13{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}} x13=x3{\displaystyle x^{\frac {1}{3}}={\sqrt[{3}]{x}}}  x53=x5∗x13{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}=x^{5}*x^{\frac {1}{3}}} = (x3)5{\displaystyle ({\sqrt[{3}]{x}})^{5}} Het is veel gemakkelijker om de exponenten op te tellen of af te trekken vóór je ze oplost of omzet in wortelgetallen. Indien het grondtal hetzelfde is en de exponent ook, dan kun je ze gewoon optrekken en aftrekken. Indien alleen het grondtal hetzelfde is, dan kun je de exponenten vermenigvuldigen en delen zoals je dat gewend bent, als je maar rekening houd met hoe je breuken optelt en aftrekt. Bijvoorbeeld:  x53+x53=2(x53){\displaystyle x^{\frac {5}{3}}+x^{\frac {5}{3}}=2(x^{\frac {5}{3}})}  x53∗x23=x73{\displaystyle x^{\frac {5}{3}}*x^{\frac {2}{3}}=x^{\frac {7}{3}}}
Je kunt machtsgetallen alleen van elkaar optellen of aftrekken, als ze hetzelfde grondtal en dezelfde exponent hebben. Vermenigvuldig getallen met hetzelfde grondtal door de exponenten bij elkaar op te tellen. Vermenigvuldig een exponentieel getal dat wordt verheven tot een andere macht, zoals (x2)5{\displaystyle (x^{2})^{5}}. Beschouw negatieve exponenten als breuken, of de reciproque van het getal. Deel twee getallen met hetzelfde grondtal door de exponenten van elkaar af te trekken. Probeer enkele oefenopgaven, om gewend te raken aan het werken met machtsgetallen. Leer de juiste termen en vocabulaire voor opgaven met exponenten. Vermenigvuldig het grondtal het aantal malen met zichzelf zoals aangegeven door de exponent. Los een uitdrukking op: Vermenigvuldig het antwoord van het eerste paar (16) met het volgende getal. Probeer ook eens de volgende voorbeelden, en controleer je antwoorden met een calculator. Gebruik de 'exp,' 'xn{\displaystyle x^{n}}' of '^' button van je calculator voor de exponenten. Behandel breuken in de vorm van machtsgetallen, zoals x12{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}} als een vierkantswortel. Maak van de teller een normale exponent bij een gemengde breuk. Je kunt breuken in de vorm van machtsgetallen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen – gewoon zoals je dat gewend bent.
https://www.wikihow.com/Solve-Exponents https://www.wikihow.com/Solve-Exponents https://www.wikihow.com/Solve-Exponents
Adding, Subtracting and Multiplying Exponents Solving Basic Exponents Solving Fractional Exponents