Het bepalen van het bereik van een functie met een gegeven vergelijking Het bepalen van het bereik van de functie van een relatie Het bepalen van het bereik van een functie met behulp van een grafiek Bepaal het bereik van een functie in een vraagstuk
Stel je hebt de volgende vergelijking: f(x) = 3x2 + 6x -2. Dit houdt in dat wanneer je een waarde invult voor de x van de vergelijking, dat je dan een y-waarde krijgt. Dit is de functie van een parabool. Als je een rechte lijn hebt of een willekeurige functie met een polynoom of een oneven getal, zoals f(x) = 6x3+2x + 7, dan kun je deze stap overslaan. Maar als je te maken hebt met een parabool of een vergelijking waarbij de x-coördinaat wordt gekwadrateerd of groter wordt met een even macht, zal je de top van de parabool moeten teken. Gebruik hiertoe de vergelijking -b/2a voor de x-coördinaat van de functie 3x2 + 6x -2, waarbij 3 = a, 6 = b en -2 = c. In dit geval geldt -b is -6 en 2a is 6, zodat de x-coördinaat gelijk is aan -6/6, of -1.  Verwerk vervolgens -1 in de functie om de y-coördinaat te krijgen. f(-1) = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5. De top van de parabool is (-1,-5). Verwerk dit in de grafiek door een punt te tekenen op x-coördinaat -1 en y-coördinaat -5. Dit hoort in het derde kwadrant van de grafiek te liggen. Om een gevoel te krijgen van de functie, hoor je nog een aantal andere waarden voor x in te vullen zodat je een idee krijgt van hoe de functie eruitziet voor je naar het bereik gaat zoeken. Omdat het een parabool is en x2 positief, zal de parabool omhoog wijzen (dalparabool). Maar gewoon voor alle zekerheid voeren we nog een aantal waarden in voor x om na te gaan welke y-coördinaten die opleveren:  f(-2) = 3(-2)2 + 6(-2) -2 = -2. Een punt op de grafiek is (-2, -2) f(0) = 3(0)2 + 6(0) -2 = -2. Een ander punt op de grafiek is (0,-2) f(1) = 3(1)2 + 6(1) -2 = 7. Een derde punt op de grafiek is (1, 7). Kijk nu naar de y-coördinaten op de grafiek en vind het laagste punt waarbij de grafiek de y-coördinaat raakt. In dit geval bevindt de laagste y-coördinaat zich aan de top van de parabool, -5 en de grafiek strekt zich oneindig uit voorbij dit punt. Dit houdt in dat het bereik van de functie y = alle reële getallen ≥ -5. Een relatie is een verzameling geordende paren van x- en y-coördinaten. Je kunt naar een relatie kijken en het domein en bereik ervan bepalen. Stel je hebt te maken met de volgende relatie: {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)}. Om het bereik van de relatie te bepalen noteren we alle y-coördinaten van elk geordend paar: {-3, 6, -1, 6, 3}. Het is je misschien opgevallen dat je de "6" tweemaal in de lijst hebt staan. Haal die weg zodat je {-3, -1, 6, 3} overhoudt. Rangschik vervolgens de getallen in de verzameling van klein naar groot, en je hebt het bereik gevonden. Het bereik van de relatie {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)} is {-3,-1, 3, 6}. Je bent helemaal klaar. Om ervoor te zorgen dat een relatie een functie is, dient elke keer dat je een getal van een x-coördinaat invoert, de y-coördinaat hetzelfde te zijn. Bijvoorbeeld, de relatie {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} is geen functie, omdat als je de 2 voor de eerste keer als x invult, je een  3 als waarde krijgt, maar de tweede keer dat je een 2 invult, komt er vier uit. Een relatie is alleen dan een functie als je altijd dezelfde uitvoer krijgt bij een bepaalde invoer. Voer je -7 in, dan hoor je steeds dezelfde y-coördinaat te krijgen (wat dat ook moge zijn), elke keer weer. Ga op zoek naar de laagste y-coördinaat van de functie. Stel dat de functie zijn laagste punt bij -3 bereikt. Deze functie kan kleiner en kleiner worden, tot in het oneindige, dus heeft het geen vast laagste punt – alleen maar oneindig. Stel, de hoogste y-coördinaat van de functie is 10. Deze functie kan ook oneindig veel groter worden, en het heeft dus geen vast hoogste punt – alleen maar oneindig. Dit houdt in dat het bereik van de functie, of het bereik van de y-coördinaten, loopt van -3 tot 10. Dus, -3 ≤ f(x) ≤ 10. Dat is het bereik van de functie.  Maar stel dat y = -3 het laagste punt van de grafiek is , maar voor altijd stijgt. Dan is het bereik f(x) ≥ -3, en niet meer dan dat. Stel de grafiek bereikt haar hoogste punt bij y=10, maar blijft daarna voor altijd dalen. Dan is het bereik f(x) ≤ 10. Stel je werkt aan de volgende opgave: "Becky verkoopt kaartjes voor de talentenjacht van haar school voor 5 euro elk. Het totale bedrag dat ze ophaalt is een functie van het aantal kaartjes dat ze verkoopt. Wat is het bereik van de functie?" In dit geval is M het bedrag dat is opgehaald en t het aantal verkochte kaartjes. Omdat elk kaartje 5 euro kost, zal je het aantal verkochte kaartjes moeten vermenigvuldigen met 5 om het totale bedrag te krijgen. Daarom kan de functie geschreven worden als M(t) = 5t. Bijvoorbeeld: Als ze 2 kaartjes verkoopt dan zal je 2 met 5 moeten vermenigvuldigen, met 10 als antwoord, en daarmee het totale opgehaalde bedrag. Om het bereik te kunnen vinden heb je eerst het domein nodig. Het domein bestaat uit alle mogelijk waarden van t die meedoen in de vergelijking. In dit geval kan Becky  0 of meer kaartjes verkopen – ze kan niet een negatief aantal kaarten verkopen. Omdat we niet weten wat het aantal plaatsen is in de aula van de school, kunnen we aannemen dat ze in theorie een oneindig aantal kaarten kan verkopen. En ze kan alleen hele kaarten verkopen, geen deel ervan. Daarom is het domein van de functie t = elk positief, geheel getal. Het bereik is het mogelijke bedrag dat Becky kan ophalen met de verkoop. Je zal met het domein moeten werken om het bereik te vinden. Als je weet dat het domein bestaat uit een positief geheel getal en dat de vergelijking M(t) = 5t is, dan weet je ook dat je elk positieve gehele getal kunt invoeren in deze functie voor het antwoord, ofwel het bereik. Bijvoorbeeld: Als ze 5 kaartjes verkoopt, dan M(5) = 5 x 5, of 25 euro. Als ze 100 verkoopt, dan geldt M(100) = 5 x 100, of 500 euro. Daarom is het bereik van de functie elk positieve gehele getal dat een meervoud is van vijf. Dat houdt in dat elk positieve gehele getal dat een meervoud is van vijf, een mogelijk uitkomst is van de functie.
Noteer de vergelijking. Zoek de top van de functie, als het een tweedegraadsvergelijking is. Zoek een paar andere punten van de functie. Vind het bereik van de grafiek. Schrijf de relatie op. Maak een lijst van de y-coördinaten van de relatie. Verwijder alle dubbele coördinaten zodat je van elke y-coördinaat er slechts een hebt. Schrijf het bereik van de relatie op in oplopende volgorde. Zorg dat de relatie een functie is. Zoek het minimum van de functie. Zoek het maximum van de functie. Geef aan wat het bereik is. Lees het vraagstuk. Schrijf de opgave als een functie. Stel vast wat het domein is. Stel vast wat het bereik is.
https://www.wikihow.com/Find-the-Range-of-a-Function https://www.wikihow.com/Find-the-Range-of-a-Function https://www.wikihow.com/Find-the-Range-of-a-Function https://www.wikihow.com/Find-the-Range-of-a-Function
Finding the Range of a Function Given a Formula Finding the Range of a Function of a Relation Finding the Range of a Function on a Graph Finding the Range of a Function in a Word Problem