Begrijp hoe deze berekening werkt De derdemachtswortel vinden door herhaald schatten Het uitwerken van een voorbeeldopgave
Om te begrijpen waarom dit algoritme werkt voor het bepalen van derdemachtswortels, moet je eerst terugdenken aan hoe de derdemacht eruitziet als binomiaal. Je hebt dit waarschijnlijk wel geleerd bij wiskunde op de middelbare school (en zoals de meeste mensen was je dit waarschijnlijk al snel weer vergeten). Selecteer twee variabelen A{\displaystyle A} en B{\displaystyle B} voor het representeren van eenheden. Daarna bereken je de binomiaal van (10A+B){\displaystyle (10A+B)} voor de tientallen. Gebruik de term 10A{\displaystyle 10A} om een tiental te creëren. Welk cijfer je ook selecteert voor  A{\displaystyle A}, 10A{\displaystyle 10A} zal een tiental vormen. Bijvoorbeeld, als A{\displaystyle A} is 2 en B{\displaystyle B} is 6, dan wordt (10A+B){\displaystyle (10A+B)} gelijk aan 26. We werken nu achteruit, door eerst de derdemacht te bepalen en vervolgens te bekijken waarom de oplossing voor derdemachtswortels werkt. We moeten de waarden van (10A+B)3{\displaystyle (10A+B)^{3}} vinden. Dit doe je door het uitwerken van (10A+B)∗(10A+B)∗(10A+B){\displaystyle (10A+B)*(10A+B)*(10A+B)}. Dit is een te lange berekening om hier te laten zien, maar het eindresultaat is 1000A3+300A2B+30AB2+B3{\displaystyle 1000A^{3}+300A^{2}B+30AB^{2}+B^{3}}. Wil je meer weten over het binomium van Newton en je krijgt dit resultaat, lees dan meer over het vermenigvuldigen van Binomialen op wikiHow. Wil je een diepgaandere, snelle versie, lees dan meer over de Driehoek van Pascal. Merk op dat de methode voor het berekenen van de derdemachtswortel net zo werkt als een staartdeling. Bij een staartdeling zie je dat twee factoren met elkaar vermenigvuldigd, het getal geven waar je mee bent begonnen. In deze berekening is het getal dat je zoekt (het getal dat uiteindelijk boven het wortelteken staat) de derdemachtswortel. Dat betekent dat het gelijk is aan de term (10A+B). De daadwerkelijke A en B zijn nu niet relevant, als je maar begrijpt wat de relatie is met het antwoord. Wanneer je naar het binomium van Newton kijkt, dan zie je waarom het algoritme voor de derdemachtswortel klopt. Zie hoe de deler bij elke stap van het algoritme gelijk is aan de som van de vier termen die je moet berekenen en bij elkaar moet optellen. Deze termen ontstaan als volgt:  De eerste term bevat een meervoud van 1000. Je kiest eerst getal dat zou kunnen worden verheven tot de derdemacht en toch binnen het bereik van de staartdeling blijft als eerste cijfer. Dit lever de term 1000A^3 op in de binomiaal. De tweede term van het binomium van Newton heeft 300 als coëfficiënt. (Dit is afkomstig van 3∗102{\displaystyle 3*10^{2}}.) Vergeet niet dat bij het berekenen van de derdemachtswortel, het eerste cijfer in elke stap vermenigvuldigd werd met 0300. Het tweede cijfer in elke stap van de berekening van de derdemachtswortel is afkomstig van de derde term van het binomium van Newton. In het binomium van Newton zie je de term 30AB^2. Het laatste cijfer van elke stap is de term B^3. Met het uitwerken van de staartdeling, geeft elke stap die je afrondt een grote nauwkeurigheid voor je antwoord. Bijvoorbeeld, de voorbeeldopgave die in dit artikel is uitgewerkt, is bedoeld voor het bepalen van de derdemachtswortel van 10. In de eerste stap is de oplossing 2, omdat 23{\displaystyle 2^{3}} dichtbij komt, maar minder is dan 10. In feite geldt 23=8{\displaystyle 2^{3}=8}. Na de tweede ronde is je oplossing 2,1. Heb je dit uitgewerkt, dan krijg je  2,13=9,261{\displaystyle 2,1^{3}=9,261}, en dat is veel dichter in de buurt van het gewenste resultaat (10). Na de derde ronde heb je 2,15, en dat geeft je 2,153=9,94{\displaystyle 2,15^{3}=9,94}. Blijf werken in groepen van drie cijfers en je krijgt een zo nauwkeurig antwoord als je wilt. Wordt er gevraagd om een derdemachtswortel van een bepaald getal, begin dan met het kiezen van een derdemacht die er zo dicht mogelijk bij in de buurt komt, zonder groter te zijn dan je doelgetal. Bijvoorbeeld, wil je de derdemachtswortel bepalen van 600, herinner je dan (of gebruik een tabel van derdemachten) dat 83=512{\displaystyle 8^{3}=512} en 93=729{\displaystyle 9^{3}=729}. Daarom zal de oplossing voor de derdemachtswortel van 600 iets zijn tussen 8 en 9. Gebruik de getallen 512 en 729 als boven- en ondergrens voor je oplossing. Het eerste cijfer wist je door je kennis van bepaalde kubieke getallen. Voor het volgende cijfer, schat je een getal tussen 0 en 9 op basis van de plek waar je doelgetal valt tussen de twee grensgetallen. In de voorbeeldopgave valt 600 (je doelgetal) ongeveer halverwege de grensgetallen 512 en 729. Dus kies je 5 als je volgende cijfer. Probeer de schatting waar je nu mee werkt te vermenigvuldigen, om na te gaan hoe dicht je bij het doelgetal in de buurt komt. In dit voorbeeld, vermenigvuldig je 8,5∗8,5∗8,5=614,1.{\displaystyle 8,5*8,5*8,5=614,1.} Na het verheffen tot de derdemacht van je laatste schatting, controleer je het resultaat vergeleken met je doelgetal. Is het resultaat groter dan het doel, dan zal je schatting kleiner moeten uitvallen. Is het resultaat kleiner dan het doel, dan moet je het naar boven bijstellen, tot je het doel hebt bereikt. Bijvoorbeeld, in deze opgave is 8,53{\displaystyle 8,5^{3}} groter dan het doel (600). Dus verklein je de schatting naar 8,4. Neem de derdemacht van dit getal en vergelijk het met je doel. Je zult zien dat 8,4∗8,4∗8,4=592,7{\displaystyle 8,4*8,4*8,4=592,7}. Dit is nu lager dan je doel. Hiermee weet je dat de derdemachtswortel van 600 in ieder geval 8,4 moet zijn, maar minder dan 8,5. Ga door met deze procedure van het schatten van cijfers van 0 tot 9, tot je antwoord zo nauwkeurig is als je wilt. Voor elke schattingsronde begin je met controleren wat de positie is van je laatste berekening tussen de grensgetallen. In deze voorbeeldopgave toont je laatste ronde van berekeningen dat 8,43=592,7{\displaystyle 8,4^{3}=592,7}, terwijl 8,53=614,1{\displaystyle 8,5^{3}=614,1}. Het doel (600) ligt iets dichterbij 592 dan bij 614. Dus schat je het volgende getal iets minder dan halverwege tussen 0 en 9. Een goede keuze is 4, zodat je een schatting krijgt van de derdemachtswortel van 8,44. Ga op zoek naar getallen die zich net onder of net boven het doelgetal bevinden. Voor deze voorbeeldopgave begin je met opmerken dat 8,44∗8,44∗8,44=601,2{\displaystyle 8,44*8,44*8,44=601,2}. Dit is net boven het doel, dus zak je wat en test je 8,43. Dit geeft 8,43∗8,43∗8,43=599,07{\displaystyle 8,43*8,43*8,43=599,07} als resultaat. Dus weet je dat de derdemachtswortel van 600 iets meer dan 8,43 en iets minder dan 8,44 is. Ga door met het schatten, vergelijken en herschatten, zo lang als nodig is, tot je oplossing zo nauwkeurig is als je wilt. Merk op dat met elke decimaal, je doelgetallen dichter en dichter bij het daadwerkelijk getal in de buurt komt. Voor het voorbeeld van de derdemachtswortel van 600 ben je, uitgaande van twee decimale getallen, met 8,43 minder dan 1 verwijderd van het doelgetal. Ga je door tot drie cijfers achter de komma, dan zie je dat 8,4343=599,93{\displaystyle 8,434^{3}=599,93} als resultaat 0,1 minder is dan het daadwerkelijke antwoord. Het oplossen van de derdemachtswortel van een getal zal eruit zien als het oplossen van een staartdeling, met hier en daar wat verschillen. De eerste stap is het op de juiste manier noteren van de opgave.  Noteer het getal waar je de derdemachtswortel van wilt bepalen. Noteer de cijfers in groepjes van drie, waarbij de komma het beginpunt is. In dit voorbeeld ga je de derdemachtswortel van 10 bepalen. Noteer dit als 10,000000. De nullen zijn nodig voor de nauwkeurigheid van het antwoord. Teken een wortelteken van de derdemacht over het getal. Dit dient hetzelfde doel als de lijn bij een staartdeling. Het enige verschil is de vorm van het symbool. Plaats een komma boven de lijn, direct boven de komma in het oorspronkelijke getal. Je gaat deze gebruiken in je berekeningen. Het gaat om de volgende derdemachten:  13=1∗1∗1=1{\displaystyle 1^{3}=1*1*1=1} 23=2∗2∗2=8{\displaystyle 2^{3}=2*2*2=8} 33=3∗3∗3=27{\displaystyle 3^{3}=3*3*3=27} 43=4∗4∗4=64{\displaystyle 4^{3}=4*4*4=64} 53=5∗5∗5=125{\displaystyle 5^{3}=5*5*5=125} 63=6∗6∗6=216{\displaystyle 6^{3}=6*6*6=216} 73=7∗7∗7=343{\displaystyle 7^{3}=7*7*7=343} 83=8∗8∗8=512{\displaystyle 8^{3}=8*8*8=512} 93=9∗9∗9=729{\displaystyle 9^{3}=9*9*9=729} 103=10∗10∗10=1000{\displaystyle 10^{3}=10*10*10=1000} Selecteer een getal dat tot de derdemacht, de grootst mogelijke uitkomst geeft die kleiner is dan de eerste set van drie getallen.  In dit voorbeeld is de eerste set van drie getallen met elkaar vermenigvuldigd gelijk aan 10. Bepaal de grootste derdemacht die kleiner is dan 10. Dat is 8, en de derdemachtswortel ervan is 2. Noteer het getal 2 boven het wortelteken, boven het getal 10. Noteer de waarde van 23{\displaystyle 2^{3}}, gelijk aan 8, onder het getal 10; trek een lijn en trek de getallen op dezelfde wijze af als bij een staartdeling. Het resultaat is 2. Na deze min-som heb je het eerste cijfer van je antwoord. Je zult na moeten gaan of dit ene cijfer exact genoeg is. In de meeste gevallen zal dit niet zo zijn. Je kunt dit controleren door het getal te verheffen tot de derdemacht, en na te gaan of het dicht genoeg in de buurt komt van het gewenste resultaat. In dit geval is 23{\displaystyle 2^{3}} gelijk aan 8, en dat is niet echt dicht in de buurt van 10, en dus moet je verdergaan. Noteer de volgende groep van drie getallen in de rest, en trek een korte verticale lijn links van het resulterende getal. Dit wordt het getal waar we van uitgaan voor het bepalen van het volgende cijfer in de oplossing van je derdemachtswortel. In dit voorbeeld wordt dit 2000, welke gecreëerd wordt uit de rest 2 van de vorige min-som, met de groep van drie nullen die je mee hebt genomen naar beneden. Links van de verticale lijn noteer je de oplossing van de volgende deler, als de som van drie afzonderlijke getallen. Geef de lege ruimtes aan voor deze getallen, door drie blanco plekken te onderstrepen met plustekens eronder. Voor het eerste deel van de deler, schrijf je driehonderd maal het kwadraat van wat er maar boven het wortelteken staat. In dit geval is dat 2; 2^2 is 4, en 4*300=1200. Dus schrijf je 1200 op de eerste lege plek. De deler voor deze stap van de oplossing wordt 1200, plus nog iets dat je zo meteen gaan berekenen. Bepaal het volgende cijfer van je oplossing door te selecteren wat je met de deler (1200-en nog iets) kunt vermenigvuldigen, en daarna af kunt trekken van de rest van 2000. Dit kan alleen maar 1 zijn, omdat 2 maal 1200 gelijk is aan 2400, en dat is groter dan 2000. Noteer het getal 1 in de volgende ruimte boven het wortelteken. De deler in deze stap van de oplossing bestaat uit drie onderdelen. Het eerste onderdeel is de 1200 die je al hebt. Je zult nu twee extra termen toe moeten voegen om de deler te completeren.  Bereken nu 3 maal 10 maal elk van de twee cijfers die er zijn in je oplossing boven het wortelteken. Voor deze eenvoudige opgave betekent dat 3*10*2*1, en dat is gelijk aan 60. Tel dit op bij de 1200 die je al had en je krijgt 1260. Als laatste voeg je het kwadraat toe van het laatste cijfer. In dit voorbeeld is dat 1; en 1^2 is nog steeds 1. De totale deler is dus 1200+60+1, of 1261. Noteer dit links van de verticale lijn. Rond dit deel van de oplossing af door het vermenigvuldigen van het laatste cijfer van je oplossing - in dit geval het getal 1 - maal de deler die je zojuist hebt berekend (1261). 1*1261 =1261. Noteer dit onder de 2000 en trek 1261 ervan af om 739 te krijgen. Na het afronden van de min-som van elke stap moet je nagaan of je antwoord exact genoeg is. Voor de derdemachtswortel van 10: na de eerste min-som was de derdemachtswortel slechts 2, en dat is niet echt precies. Nu, na de tweede ronde, is de oplossing 2,1.  Je kunt de precisie van dit resultaat controleren met behulp van de derdemacht: 2,1*2,1*2,1. Het resultaat is 9,261. Vind je dat het resultaat exact genoeg is, dan kun je stoppen. Wil je een exacter antwoord, dan moet je nog een ronde doorlopen. In dit geval, voor meer oefening en een exacter antwoord, herhaal je de stappen voor nog een ronde, als volgt:  Neem de volgende groep van drie cijfers mee naar beneden. In dit geval zijn dit drie nullen, welke na de rest 739 komen en aldus 739.000 vormen. Begin de deler met 300 maal het kwadraat van het getal dat momenteel boven de lijn van het wortelteken staat. Dit is 300∗212{\displaystyle 300*21^{2}}, en dus 132.300. Selecteer het volgende cijfer van je oplossing, zodat je het kunt vermenigvuldigen met 132.300 en minder overhoudt van de 739.000 van je rest. Een goede keuze zou 5 zijn, omdat 5*132.300=661.500. Noteer het cijfer 5 in de volgende ruimte boven de lijn van het wortelteken. Bepaal 3 maal het voorgaande getal boven de lijn van het wortelteken, 21, maal het laatste cijfer dat je zojuist hebt opgeschreven, 5, maal 10. Dit geeft 3∗21∗5∗10=3150{\displaystyle 3*21*5*10=3150}. Tenslotte kwadrateer je het laatste cijfer. Dit is 52=25.{\displaystyle 5^{2}=25.}  Tel de termen van je deler bij elkaar op en je krijgt 132.300+3150+25=135.475. Na het berekenen van de deler in deze volgende ronde en na het uitbreiden van je oplossing met nog een extra cijfer, ga je als volgt verder:  Vermenigvuldig de deler met het laatste cijfer van je oplossing. 135.475*5=677.375. Trek af. 739.000-677.375=61.625. Overweeg of de oplossing 2,15 exact genoeg is. Bereken de derdemacht ervan en je krijgt 2,15∗2,15∗2,15=9,94{\displaystyle 2,15*2,15*2,15=9,94}. Het resultaat boven het wortelteken is de derdemachtswortel, tot een nauwkeurigheid van drie significante cijfers. In dit voorbeeld is de derdemachtswortel van 10 gelijk aan 2,15. Controleer dit door het berekenen van 2,15^3=9,94 wat weer afgerond kan worden tot 10. Heb je een nauwkeuriger antwoord nodig, ga dan zo lang hiermee door tot je tevreden bent.
Neem het binomium van Newton nog eens door. Noteer de binomiaal in een derdemacht. Weet wat de betekenis is van de staartdeling. Bekijk de uitgebreide versie. Zie hoe de nauwkeurigheid groeit. Gebruik kubieke getallen voor het stellen van de boven- en ondergrenzen. Schat het volgende cijfer. Test je schatting door er de derdemacht van te bepalen. Pas je schatting aan waar nodig. Schat het volgende cijfer voor een nauwkeuriger antwoord. Ga door met het schatten en aanpassen Doe dit zo vaak als nodig, verhef je schatting tot de derdemacht en kijk hoe het zich verhoudt tot het doelgetal. Ga verder tot je de gewenste nauwkeurigheid hebt bereikt. Stel de opgave op. Ken de derdemachten van de eenheden. Bepaal het eerste cijfer van je antwoord. Maak de opstelling voor het volgende cijfer. Bepaal het begin van de volgende deler. Bepaal het volgende getal in je derdemachtswortel. Bepaal de rest van de deler. Vermenigvuldig en trek af. Beslis van je verder moet gaan voor een nauwkeuriger antwoord. Bepaal de deler voor de volgende ronde. Vermenigvuldig de deler met het resultaat. Noteer je uiteindelijke antwoord.
https://www.wikihow.com/Calculate-Cube-Root-by-Hand https://www.wikihow.com/Calculate-Cube-Root-by-Hand https://www.wikihow.com/Calculate-Cube-Root-by-Hand
Understanding How this Calculation Works Finding Cube Roots by Repeated Estimation Working Through a Sample Cube Root Problem