Problemen met kwadratische vergelijkingen Het bepalen van het snijpunt tussen twee rechte lijnen
In een kwadratische vergelijking zijn er een of meer variabelen in kwadratische vorm (x2{\displaystyle x^{2}} of y2{\displaystyle y^{2}}), en zijn er geen hogere machten. De lijnen waar vergelijkingen voor staan zijn gekromd, en kunnen daarmee een rechte lijn in 0, 1 of 2 punten snijden. In dit deel leer je hoe je de snijpunten kunt vinden bij een dergelijk probleem.  Werk vergelijkingen binnen haakjes uit om na te gaan of ze kwadratisch zijn. Bijvoorbeeld, y=(x+3)(x){\displaystyle y=(x+3)(x)} is kwadratisch, omdat je het buiten haakjes kunt brengen als  y=x2+3x.{\displaystyle y=x^{2}+3x.}  Vergelijkingen van een cirkel of een ellips hebben zowel een x2{\displaystyle x^{2}} als een y2{\displaystyle y^{2}} term. Vind je deze speciale gevallen lastig, lees dan verder bij Tips aan het eind van dit artikel. Indien nodig herschrijf je elke vergelijking zodat y op zich staat aan een kant.   Voorbeeld: Bepaal het snijpunt van x2+2x−y=−1{\displaystyle x^{2}+2x-y=-1} en y=x+7{\displaystyle y=x+7}. Herschrijf de kwadratische vergelijking in termen van y:  y=x2+2x+1{\displaystyle y=x^{2}+2x+1} en y=x+7{\displaystyle y=x+7}. Dit voorbeeld heeft één kwadratische vergelijking en één lineaire vergelijking. Opgaven met twee kwadratische vergelijkingen worden op dezelfde manier opgelost. Heb je beide vergelijkingen gelijk gemaakt aan y, dan weet je dat de twee vergelijkingen zonder de y gelijk zijn aan elkaar.   Voorbeeld: y=x2+2x+1{\displaystyle y=x^{2}+2x+1} en y=x+7{\displaystyle y=x+7}  x2+2x+1=x+7{\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7} Gebruik standaard wiskundige methoden om alle termen aan een kant van de vergelijking te krijgen. Dit is de benodigde opstelling van de opgaven om die in de volgende stap op te kunnen lossen.   Voorbeeld: x2+2x+1=x+7{\displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}  Trek x af van elke kant: x2+x+1=7{\displaystyle x^{2}+x+1=7} Trek 7 af van elke kant: x2+x−6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0} . Heb je één kant gelijkgemaakt aan nul, dan zijn er drie manieren om de kwadratische vergelijking op te lossen. Iedereen geeft weer de voorkeur aan een andere methode. Je kunt meer lezen over de kwadratische formule of 'kwadraatafsplitsen', of je kunt dit voorbeeld verder volgen voor het ontbinden in factoren method:   Voorbeeld: x2+x−6=0{\displaystyle x^{2}+x-6=0}  Het doel van het ontbinden in factoren is het bepalen van de twee factoren die met elkaar vermenigvuldigd deze vergelijking produceren. Beginnend met de eerste term weten we dat x2{\displaystyle x^{2}} opgedeeld kan worden in x, en x. Noteer (x    )(x    ) = 0 om dit te laten zien. De laatste term is -6. Noteer elk paar factoren welke vermenigvuldigd -6 als product geven: −6∗1{\displaystyle -6*1}, −3∗2{\displaystyle -3*2}, −2∗3{\displaystyle -2*3}, en −1∗6{\displaystyle -1*6}. De middelste term is x (welke je kunt schrijven als 1x). Tel elk paar factoren bij elkaar op om 1 als antwoord te krijgen. Het juiste paar factoren is −2∗3{\displaystyle -2*3}, omdat −2+3=1{\displaystyle -2+3=1}. Vul de gaten in je antwoord op met dit paar factoren: (x−2)(x+3)=0{\displaystyle (x-2)(x+3)=0}. Werk je te snel, dan vind je mogelijk wel het ene antwoord van de opgave, zonder je te realiseren dat er nog een tweede is. Op de volgende manier vind je de twee x-waarden voor lijnen die elkaar in twee punten snijden:   Voorbeeld (ontbinden in factoren): We eindigen met de vergelijking (x−2)(x+3)=0{\displaystyle (x-2)(x+3)=0}. Indien beide factoren tussen haakjes gelijk zijn aan 0, dan is de vergelijking waar. De ene oplossing is x−2=0{\displaystyle x-2=0} → x=2{\displaystyle x=2}. De andere oplossing is x+3=0{\displaystyle x+3=0} → x=−3{\displaystyle x=-3}.  Voorbeeld (kwadratische vergelijking of kwadraatafsplitsen): Heb je een van deze methoden gebruikt voor het oplossen van de vergelijking, dan zal er een vierkantswortel verschijnen. Bijvoorbeeld, onze vergelijking wordt x=(−1+25)/2{\displaystyle x=(-1+{\sqrt {25}})/2}. Vergeet niet dat je een vierkantswortel kunt vereenvoudigen tot twee verschillende oplossingen: 25=5∗5{\displaystyle {\sqrt {25}}=5*5}, and 25=(−5)∗(−5){\displaystyle {\sqrt {25}}=(-5)*(-5)}. Schrijf twee vergelijkingen, een voor elke mogelijkheid, en los x voor op voor elk ervan. Twee lijnen die elkaar nauwelijks raken hebben één snijpunt, en twee lijnen die elkaar nooit raken hebben er nul. Je kunt ze op de volgende manieren herkennen:  Eén oplossing: De opgaven zijn op te delen in twee identieke factoren ((x-1)(x-1) = 0). Ingevoerd in de kwadratische formule, wordt de vierkantswortel 0{\displaystyle {\sqrt {0}}}. Je hoeft slechts één vergelijking op te lossen. Er is geen echte oplossing: Er zijn geen factoren die voldoen aan de vereisten (opsommen tot de middelste term). Ingevoerd in de kwadratische formule krijg je een negatief getal onder het wortelteken (zoals −2{\displaystyle {\sqrt {-2}}}). Noteer 'geen oplossing' als je antwoord. Heb je de x-waarde van het snijpunt, vul die dan weer in een van de vergelijkingen in waar je mee bent begonnen. Los op voor y om de y-waarde te vinden. Is er een tweede x-waarde, herhaal dit dan ook voor deze waarde.  Voorbeeld: We hebben twee oplossingen gevonden, x=2{\displaystyle x=2} en x=−3{\displaystyle x=-3}. Een van onze lijnen heeft de vergelijking y=x+7{\displaystyle y=x+7}. Substitueer y=2+7{\displaystyle y=2+7} en y=−3+7{\displaystyle y=-3+7}, en los elke vergelijking op zodat je y=9{\displaystyle y=9} en y=4{\displaystyle y=4} als antwoord krijgt. Nu schrijf je het antwoord als coördinaten, met de x-waarde en y-waarde van het snijpunt. Heb je twee antwoorden, zorg dan dat je de juiste x-waarde laat overeenkomen met elke y-waarde.  Voorbeeld: Wanneer we x=2{\displaystyle x=2} invoeren, krijgen we y=9{\displaystyle y=9}, zodat het ene snijpunt gelijk is aan (2, 9). Hetzelfde doen we voor de tweede oplossing , en dit levert ons het snijpunt (-3, 4) op. Indien nodig wijzig je de vergelijking zodat y geïsoleerd staat aan een kant van het gelijkteken. Indien de vergelijking geschreven is met f(x) of g(x) in plaats van y, plaats dan die term apart. Vergeet niet dat je termen kunt wegwerken door dezelfde bewerking aan beide zijden uit te voeren.  Zijn de vergelijkingen onbekend, bepaal die dan op basis van de gegeven informatie.  Voorbeeld: Stel je hebt twee lijnen y=x+3{\displaystyle y=x+3} en y−12=−2x{\displaystyle y-12=-2x}. Om y apart te plaatsen in de tweede vergelijking, tel je 12 op aan elke kant: y=12−2x{\displaystyle y=12-2x} We zijn op zoek naar een punt waar de twee lijnen dezelfde x- en y-waarden hebben; dit is het punt waar de lijnen elkaar snijden. Beide vergelijkingen hebben alleen een y aan de linkerkant, dus weten we dat de rechterkanten gelijk zijn aan elkaar. Schrijf een nieuwe vergelijking waaruit dit blijkt.  Voorbeeld: We weten dat y=x+3{\displaystyle y=x+3} en y=12−2x{\displaystyle y=12-2x}, en dus x+3=12−2x{\displaystyle x+3=12-2x}. . De nieuwe vergelijking heeft slechts één variabele, x. Los dit op met algebra, door dezelfde bewerking uit te voeren aan beide zijden. Bepaal de x-termen van elke zijde van de vergelijking, en plaats die in de vorm x = __ (is dit niet mogelijk, lees dan verder aan het eind van dit deel).   Voorbeeld: x+3=12−2x{\displaystyle x+3=12-2x}  Tel 2x{\displaystyle 2x} op aan elke kant: 3x+3=12{\displaystyle 3x+3=12} Trek 3 af van elke kant: 3x=9{\displaystyle 3x=9} Deel elke kant door 3:  x=3{\displaystyle x=3}. Kies de vergelijking van elke lijn. Vervang elke x in de vergelijking door het antwoord dat je hebt gevonden. Los nu op voor y.   Voorbeeld: x=3{\displaystyle x=3} en y=x+3{\displaystyle y=x+3}  y=3+3{\displaystyle y=3+3} y=6{\displaystyle y=6} Het is verstandig om je x-waarde in te vullen in de andere vergelijking om na te gaan of je hetzelfde resultaat krijgt. Krijg je een andere oplossing voor y, ga dan terug en controleer je werk op fouten.   Voorbeeld: x=3{\displaystyle x=3} en y=12−2x{\displaystyle y=12-2x}  y=12−2(3){\displaystyle y=12-2(3)} y=12−6{\displaystyle y=12-6} y=6{\displaystyle y=6} Dit is hetzelfde antwoord als eerder verkregen. We hebben geen fouten gemaakt. Je hebt nu opgelost voor de x-waarde en y-waarde van het snijpunt van de twee lijnen. Noteer het punt als een coördinaat, met de x-waarde als het eerste getal.   Voorbeeld: x=3{\displaystyle x=3} en y=6{\displaystyle y=6}  De twee lijnen snijden elkaar in het punt (3,6). Sommige vergelijkingen maken het onmogelijk om x op te lossen. Dit betekent niet per se dat je een fout hebt gemaakt. Er zijn twee manieren waarop een lijnenpaar tot een speciale oplossing kan leiden:  Indien de twee lijnen parallel zijn zullen ze elkaar niet snijden . De x-termen zullen weggewerkt kunnen worden en je vergelijking is te vereenvoudigen tot een ongeldige vergelijking (zoals 0=1{\displaystyle 0=1}). Noteer hier 'de lijnen snijden elkaar niet' of geen geldige oplossing' als je antwoord. Indien de twee vergelijkingen dezelfde lijn beschrijven, dan 'snijden' ze elkaar overal. De x-termen kun je wegwerken en je vergelijking is te vereenvoudigen tot een geldige vergelijking (zoals 3=3{\displaystyle 3=3}). Noteer 'de twee lijnen zijn dezelfde' als antwoord.
Leer kwadratische vergelijkingen herkennen. Schrijf de vergelijkingen in termen van y. Combineer de twee vergelijkingen om de y weg te werken. Herschik de nieuwe vergelijking zodat een kant gelijk is aan nul. Los de kwadratische vergelijking op Houd je ogen open voor twee oplossingen voor x. Los opgaven op met één of nul oplossingen. Vul de x-waarden weer in de oorspronkelijke vergelijking in. Noteer het antwoord als coördinaten. Schrijf de vergelijking van elke lijn met y aan de linkerkant. Zorg dat de rechterkanten van de vergelijkingen gelijk aan elkaar zijn. Los x op in de vergelijking Gebruik deze x-waarde om y op te lossen. Controleer je werk. Noteer de x- en y-coördinaten van het snijpunt. Verwerk ongewone resultaten.
https://www.wikihow.com/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines https://www.wikihow.com/Algebraically-Find-the-Intersection-of-Two-Lines
Problems with Quadratic Equations Finding the Intersection of Two Straight Lines