De faculteit van een getal berekenen Eenvoudige opgaven doen Een faculteit vereenvoudigen
Een faculteit wordt aangegeven met een positief geheel getal en een uitroepteken. Stel dat je de faculteit van vijf wilt berekenen, dan noteer je dat als 5!{\displaystyle 5!}. Een faculteit is eenvoudigweg het vermenigvuldigen van de natuurlijke getallen in aflopende volgorde vanaf het getal van de faculteit, tot 1. Als formule: n!=n(n−1)⋅⋅⋅2⋅1{\displaystyle n!=n(n-1)\cdot \cdot \cdot 2\cdot 1}, waarbij n{\displaystyle n} gelijk is aan een positief geheel getal. Als je bijvoorbeeld 5!{\displaystyle 5!} wil berekenen, dan doe je eerst 5(5−1)(5−2)(5−3)(5−4){\displaystyle 5(5-1)(5-2)(5-3)(5-4)} of, eenvoudiger: 5⋅4⋅3⋅2⋅1{\displaystyle 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}. Je kunt de faculteit snel uitrekenen met een wetenschappelijke rekenmachine, want die heeft een x!{\displaystyle x!} knop. Wil je dit met de hand uitrekenen, dan kun je dit vereenvoudigen door eerst naar de factorenparen te zoeken die met elkaar vermenigvuldigd gelijk zijn aan 10. Natuurlijk kun je de 1 negeren, omdat een getal maal 1 gelijk is aan het getal zelf. Bijvoorbeeld: als je 5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1{\displaystyle 5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} berekent, negeer de 1 dan en berekenen 5⋅2=10{\displaystyle 5\cdot 2=10}. Het enige dat nu overblijft, is 4⋅3=12{\displaystyle 4\cdot 3=12}. Omdat 10⋅12=120{\displaystyle 10\cdot 12=120}, weet je dat 5!=120{\displaystyle 5!=120}. .  Als je een wetenschappelijke rekenmachine hebt, druk dan op de toets 8{\displaystyle 8}, gevolgd door de toets x!{\displaystyle x!}. Indien met de hand uitgerekend, schrijf je de factoren op die met elkaar vermenigvuldigd dienen te worden:8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{\displaystyle 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}  Negeer de 1:8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{\displaystyle 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2{\cancel {\cdot 1}}}  Bereken 5⋅2{\displaystyle 5\cdot 2}:(5⋅2)8⋅7⋅6⋅4⋅3{\displaystyle (5\cdot 2)8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3}=(10)8⋅7⋅6⋅4⋅3{\displaystyle =(10)8\cdot 7\cdot 6\cdot 4\cdot 3}  Groepeer alle andere getallen die eenvoudig vermenigvuldigd kunnen worden eerst, en vermenigvuldig dan alle producten met elkaar:(10)(4⋅3)(7⋅6)(8){\displaystyle (10)(4\cdot 3)(7\cdot 6)(8)}=(10)(12)(42)(8){\displaystyle =(10)(12)(42)(8)}=(120)(336){\displaystyle =(120)(336)}=40320{\displaystyle =40320}So, 8!=40,320{\displaystyle 8!=40,320}. 12!6!3!{\displaystyle {\frac {12!}{6!3!}}}.  Schrijf de factoren van elke faculteit uit:1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅12(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6)(1⋅2⋅3){\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6)(1\cdot 2\cdot 3)}}}  Werk de termen weg die zowel in de teller als de noemer voorkomen:1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅12(1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6)(1⋅2⋅3)=7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅121⋅2⋅3{\displaystyle {\frac {{\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot }}7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{({\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}})(1\cdot 2\cdot 3)}}={\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3}}}  Rond de berekeningen af:7⋅8⋅9⋅10⋅11⋅121⋅2⋅3{\displaystyle {\frac {7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12}{1\cdot 2\cdot 3}}}=665,2806{\displaystyle ={\frac {665,280}{6}}}=110,880{\displaystyle =110,880}So, the expression 12!6!3!{\displaystyle {\frac {12!}{6!3!}}} simplifies to 110,880{\displaystyle 110,880}. Je hebt zes schilderijen die je graag naast elkaar wilt ophangen aan de wand. Op hoeveel manieren kun je de schilderijen ophangen?  Omdat je zoekt naar het aantal verschillende manieren om een reeks te ordenen, kun je dit oplossen door de faculteit te bepalen van het aantal objecten in de reeks. Het aantal mogelijke manieren om de zes schilderijen op een rij te hangen, kan opgelost worden door 6!{\displaystyle 6!} uit te rekenen. Op een wetenschappelijke rekenmachine, druk je op de toets 6{\displaystyle 6}, gevolgd door de toets x!{\displaystyle x!}. Los je dit met de hand op, schrijf dan de factoren op die moeten worden vermenigvuldigd:6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{\displaystyle 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}  Negeer de 1:6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1{\displaystyle 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2{\cancel {\cdot 1}}}  Bereken 5⋅2{\displaystyle 5\cdot 2}:(5⋅2)6⋅4⋅3{\displaystyle (5\cdot 2)6\cdot 4\cdot 3}=(10)6⋅4⋅3{\displaystyle =(10)6\cdot 4\cdot 3}  Groepeer eerst de andere eenvoudig te vermenigvuldigen getallen, en vermenigvuldig daarna alle producten met elkaar:(10)(4⋅3)(6){\displaystyle (10)(4\cdot 3)(6)}=(10)(12)(6){\displaystyle =(10)(12)(6)}=(120)(6){\displaystyle =(120)(6)}=720{\displaystyle =720}Hang je dus zes schilderijen op een rij naast elkaar, dan kun je dit op 720 verschillende manieren doen. Je hebt zes schilderijen. Je wilt drie ervan ophangen. Op hoeveel verschillende manieren kun je drie van de schilderijen ordenen?  Omdat je zes verschillende schilderijen hebt, maar er slechts drie uitkiest, hoef je alleen maar de eerste drie getallen in de reeks te vermenigvuldigen om de faculteit van zes te berekenen. Je kunt ook de formule n!(n−r)!{\displaystyle {\frac {n!}{(n-r)!}}} gebruiken, waarbij n{\displaystyle n} gelijk is aan het aantal objecten waaruit je kiest, en r{\displaystyle r} gelijk is aan het aantal objecten dat je gebruikt. Deze formule werkt alleen als er geen herhalingen zijn (een object kan niet vaker dan eenmaal gekozen worden), en de volgorde er niet toe doet (omdat je het aantal verschillende manieren waarop dingen kunnen worden geordend wilt bepalen).  Het aantal mogelijke manieren om drie van zes schilderijen te ordenen en op een rij te hangen, kan worden gevonden door 6!(6−3)!{\displaystyle {\frac {6!}{(6-3)!}}} op te lossen. Trek de getallen in de noemer van elkaar af:6!(6−3)!{\displaystyle {\frac {6!}{(6-3)!}}}=6!3!{\displaystyle ={\frac {6!}{3!}}}  Schrijf de factoren op van elke faculteit:6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅13⋅2⋅1{\displaystyle {\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{3\cdot 2\cdot 1}}}  Werk de termen weg die zowel in de teller als de noemer voorkomen:6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅13⋅2⋅1{\displaystyle {\frac {6\cdot 5\cdot 4\cdot {\cancel {3\cdot 2\cdot 1}}}{\cancel {3\cdot 2\cdot 1}}}}  Maak de berekeningen af: 6⋅5⋅4=120{\displaystyle 6\cdot 5\cdot 4=120} Dus drie van in totaal zes schilderijen kunnen op 120 verschillende manieren op een rij worden opgehangen. Vaak is dit een breuk. Stel, bijvoorbeeld, dat je 7!5!⋅4!{\displaystyle {\frac {7!}{5!\cdot 4!}}} moet vereenvoudigen. Omdat de faculteit n!{\displaystyle n!} een factor is van een grotere faculteit, moet je om dit te kunnen vereenvoudigen, kijken naar de factoren die je kunt wegstrepen. Dit is gemakkelijk als je elke term uitschrijft. Bijvoorbeeld: als je 7!5!⋅4!{\displaystyle {\frac {7!}{5!\cdot 4!}}} wilt vereenvoudigen, herschrijf dit dan als 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7(1⋅2⋅3⋅4⋅5)⋅(1⋅2⋅3⋅4){\displaystyle {\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5)\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}} Hiermee vereenvoudig je de getallen die overgebleven zijn om de vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld: omdat 5!{\displaystyle 5!} een factor is van 7!{\displaystyle 7!}, kun je 5!{\displaystyle 5!} wegwerken uit de teller en de noemer:1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7(1⋅2⋅3⋅4⋅5)⋅(1⋅2⋅3⋅4)=6⋅7(1⋅2⋅3⋅4){\displaystyle {\frac {{\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}\cdot 6\cdot 7}{({\cancel {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}})\cdot (1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}={\frac {6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}} Vereenvoudig waar mogelijk. Dit levert je de uiteindelijke, vereenvoudigde expressie op. Bijvoorbeeld:6⋅7(1⋅2⋅3⋅4){\displaystyle {\frac {6\cdot 7}{(1\cdot 2\cdot 3\cdot 4)}}}=4224{\displaystyle ={\frac {42}{24}}}=74{\displaystyle ={\frac {7}{4}}}Dus, 7!5!⋅4!{\displaystyle {\frac {7!}{5!\cdot 4!}}} vereenvoudigd is 74{\displaystyle {\frac {7}{4}}}.
Bepaal het getal waarvoor je de faculteit berekent. Schrijf de reeks getallen op die je gaat vermenigvuldigen. Vermenigvuldig de getallen met elkaar. Bekijk de expressie 8! Vereenvoudig de expressie: Probeer de volgende opgave. Probeer de volgende opgave. Bepaal welke expressie je moet vereenvoudigen. Schrijf de factoren uit van elke faculteit. Werk alle termen weg die zowel in de teller als de noemer voorkomen. Rond de berekeningen af.
https://www.wikihow.com/Do-Factorials https://www.wikihow.com/Do-Factorials https://www.wikihow.com/Do-Factorials
Computing a Factorial Doing Sample Factorial Problems Simplifying a Factorial