Met behulp van de Stelling van Pythagoras Het bepalen van de hypotenusa van speciale rechthoekige driehoeken De hypotenusa berekenen met de sinusregel
De Stelling van Pythagoras beschrijft de relatie tussen de zijden van een rechthoekige driehoek. Het stelt dat voor een willekeurige rechthoekige driehoek met zijden a en b, en hypotenusa met een lengte c, geldt dat a2 + b2 = c2. De Stelling van Pythagoras werkt alleen bij rechthoekige driehoeken, en volgens de definitie kan alleen een rechthoekige driehoek een hypotenusa hebben.  Als je driehoek een hoek bevat van exact 90 graden, dan is het een rechthoekige driehoek en kun je verdergaan. Rechte hoeken worden in studieboeken en proefwerken vaak aangegeven met een klein vierkant in de rechte hoek. Deze speciale markering betekent "90 graden." De variabele "c" wordt altijd toegekend aan de hypotenusa, oftewel de langste zijde.  Kies een van de andere zijdes voor de a, en noem de overgebleven zijde b (maakt niet uit welke, het rekenwerk blijft hetzelfde).  Verwerk vervolgens de lengtes van a en b in de formule, zoals aangegeven in het volgende voorbeeld: Als je driehoek zijden heeft van 3 en 4, en je letters toegekend hebt aan die zijden, zodat a = 3 en b = 4, dan werk je de vergelijking uit als: 32 + 42 = c2. Om het kwadraat te vinden van een getal, vermenigvuldig je gewoon dat getal met zichzelf, dus a2 = a x a. Bepaal de kwadraten van zowel a als b, en verwerk ze in de formule.  Als a = 3, a2 = 3 x 3, of 9.  Als b = 4, dan b2 = 4 x 4, of 16. Wanneer je die waarden in je vergelijking verwerkt, hoort dit er nu zo uit te zien: 9 + 16 = c2. Verwerk dit in je vergelijking, en het levert je de waarde op van c2. Nu is er nog maar een stap te gaan, en je hebt de hypotenusa bepaald! In ons voorbeeld, 9 + 16 = 25, noteer je dan 25 = c2. Gebruik de functie voor het berekenen van de vierkantswortel op je rekenmachine (of met de tafels van vermenigvuldiging, als je die uit je hoofd kent) om de vierkantswortel van c2 te vinden. Het antwoord is de lengte van je hypotenusa! In ons voorbeeld,  c2 = 25.  De vierkantswortel van 25 is 5 (5 x 5 = 25, dus Sqrt(25) = 5).  En dat betekent c = 5, de lengte van onze hypotenusa! De lengte van de zijden van een Pythagorees drietal zijn gehele getallen die gehoorzamen aan de Stelling van Pythagoras. Deze speciale driehoeken zal je regelmatig tegenkomen in studieboeken over meetkunde en in de standaard proefwerken als de SAT en de GRE.  Als je in het bijzonder de eerste 2 Pythagorese drietallen uit je hoofd leert, dan kun je jezelf veel tijd besparen op die proefwerken, omdat je onmiddellijk weet wat de hypotenusa is van een van deze driehoeken, gewoon door te kijken naar de lengte van de zijden!   Het eerste Pythagorese drietal is 3-4-5 (32 + 42 = 52, 9 + 16 = 25).  Wanneer je een rechthoekige driehoek ziet met zijden met een lengte van 3 en 4, dan weet je meteen zeker dat de hypotenusa 5 zal zijn zonder dat je berekeningen hoeft te maken. De verhouding van een Pythagorees drietal blijft hetzelfde, zelfs wanneer de zijden worden vermenigvuldigd met een ander getal. Bijvoorbeeld: een rechthoekige driehoek met zijden 6 en 8 zullen een hypotenusa hebben van 10 (62 + 82 = 102, 36 + 64 = 100).  Hetzelfde geldt voor  9-12-15, en zelfs 1,5-2-2,5.  Doe de berekeningen en je zult het zien! Het tweede Pythagorese drietal dat je vaak tegen zult komen bij proefwerken is 5-12-13 (52 + 122 = 132, 25 + 144 = 169).  Let ook op meervouden ervan, zoals 10-24-26 en 2,5-6-6,5. Een 45-45-90 rechthoekige driehoek heeft hoeken van 45, 45 en 90 graden, en heet ook wel een gelijkbenige rechthoekige driehoek. Deze tref je regelmatig aan op standaardtests, en is een erg gemakkelijke driehoek om op te lossen. De verhouding tussen de zijden van deze driehoek is 1:1:Sqrt(2), wat inhoudt dat de lengte van de benen gelijk is, en de lengte van de hypotenusa is dan eenvoudigweg de lengte van de benen vermenigvuldigd met  de vierkantswortel van twee.  Je berekent de hypotenusa van deze driehoek uitgaande van de lengte van een van de benen, en vermenigvuldigt de lengte ervan met Sqrt(2).  Het is handig om deze verhouding te kennen, zeker als de opgaven van het proefwerk of je huiswerk je de lengte geven van de zijden in de vorm van variabelen in plaats van gehele getallen. Deze driehoek heeft hoeken van  30, 60 en 90 graden en kun je maken door een gelijkzijdige driehoek doormidden te delen. De zijden van de rechthoekige 30-60-90 driehoek heeft altijd de verhouding 1:Sqrt(3):2, of x:Sqrt(3)x:2x.  Als de lengte gegeven is van een been van de rechthoekige 30-60-90 driehoek en gevraagd wordt om de hypotenusa te bepalen, dan is dat erg eenvoudig om te doen:  Is de lengte gegeven van het kortste been (die tegenover de hoek van 30 graden), vermenigvuldig dan de lengte van dat been met 2 om de lengte van de hypotenusa te krijgen. Bijvoorbeeld, als de lengte van het kortste been 4 is, dan weet je dat de hypotenusa 8 moet zijn. Als je de lengte weet van het langere been (tegenover de hoek van 60 graden), vermenigvuldig die lengte dan met  2/Sqrt(3) om de lengte van de hypotenusa te vinden.  Bijvoorbeeld, als de lengte van het kortste been 4 is, dan weet je dat de hypotenusa 4,62 moet zijn. De termen "sinus," "cosinus" en "tangens" refereren allemaal naar bepaalde verhoudingen tussen de hoeken en/of zijden van een rechthoekige driehoek.  In een rechthoekige driehoek is de sinus van een hoek gedefinieerd als de lengte van de zijde tegenover de hoek  gedeeld door de hypotenusa van de driehoek. De afkorting voor sinus zoals die op je rekenmachine staat is sin. Zelfs een eenvoudige wetenschappelijke rekenmachine heeft wel een sinusfunctie. Kijk naar de toets gemarkeerd sin.  Om de sinus van een hoek te vinden zal je meestal op de sin-toets moeten drukken en daarna de hoek intoetsen in graden.  Op sommige rekenmachines moet je echter eerst de hoek in graden invoeren en daarna pas op de sin-toets drukken. Je zal moeten experimenteren met je rekenmachine of in de handleiding kijken om te bepalen welke het is.  Om de sinus te bepalen van een hoek van 80 graden, zal je sin 80 moeten intoetsen gevolgd door het isgelijkteken of Enter, of  80 sin. (Het antwoord is -0,9939.) Je kunt ook zoeken op "sin calculator" met je browser voor een aantal eenvoudig te gebruiken rekenmachines zodat je niet meer hoeft te raden. De sinusregel is een handig hulpmiddel voor het oplossen van driehoeksproblemen. Je kunt het vooral gebruiken voor het vinden van de hypotenusa van een rechthoekige driehoek, als je de lengte weet van een zijde, en een van de hoeken anders dan de rechte hoek. Voor elke driehoek met zijden a, b en c en de hoeken A, B en C, stelt de sinusregel dat a / sin A = b / sin B = c / sin C. De sinusregel kan in feite gebruikt worden voor het oplossen van elke driehoek, maar alleen een rechthoekige driehoek zal een hypotenusa hebben. De hypotenusa (de langste zijde) moet altijd de "c" zijn. Omwille van de eenvoud label je de zijde met de bekende lengte als "a" en andere "b". Wijs vervolgens de variabelen A, B en C toe aan de hoeken van de driehoek. De rechte hoek tegenover de hypotenusa wordt dan "C".  De hoek tegenover "a" is hoek "A" en de hoek tegenover zijde "b" is "B". Omdat het een rechte hoek is weet je al dat C = 90 graden en je weet ook wat hoek A of B is. Omdat de optelsom van alle hoeken in een driehoek altijd gelijk moet zijn aan 180 graden, is het gemakkelijk om de derde hoek te berekenen met de formule: 180 – (90 + A) = B. Je kunt deze vergelijking ook omdraaien, zodat 180 – (90 + B) = A. Bijvoorbeeld, als je weet dat A = 40 graden, dan B = 180 – (90 + 40). Vereenvoudig dit naar B = 180 – 130 en je kunt snel afleiden dat B = 50 graden. Op dit punt aangekomen weet je alle hoeken van de driehoek en de lengte van zijde a. Nu is het tijd om deze waarden in de Sinusregel te verwerken, om de lengte van de andere twee zijden uit te rekenen. Om verder te gaan met ons voorbeeld, stellen we dat de lengte van zijde a = 10.  Hoek C = 90 graden, hoek A = 40 graden, en hoek B = 50 graden. We hoeven alleen maar onze getallen te verwerken en de volgende vergelijking op te lossen, voor het bepalen van de lengte van hypotenusa c: lengte van zijde a / sin A = lengte van zijde c / sin C.  Het kan zijn dat dit er nog steeds wat intimiderend uitziet, maar de sinus van 90 graden is een constante, en altijd gelijk aan 1!  Onze vergelijking kan derhalve worden vereenvoudigd tot: a / sin A = c / 1, of eenvoudiger a / sin A = c. Je kunt dit in twee afzonderlijke stappen uitrekenen, door eerst sin A te berekenen en te noteren, en daarna dit te delen door a. Of toets het allemaal tegelijkertijd in je rekenmachine. Doe je dit, vergeet dan niet de haakjes na het deelteken.  Bijvoorbeeld, toets in 10 / (sin 40) of 10 / (40 sin), afhankelijk van je rekenmachine. Uitgaande van ons voorbeeld, zien we dat sin 40 = 0,64278761.  Om de waarde van c te vinden, delen we de lengte van a door dit getal, en zien we dat 10 / 0,64278761 = 15,6, de lengte van onze hypotenusa!
Leer Stelling van Pythagoras. Verzeker je ervan dat je driehoek een rechthoekige driehoek is. Wijs variabelen a, b, en c toe aan de zijden van je driehoek. Bepaal de kwadraten van a en b. Tel de waarden van a2 en b2 bij elkaar op. Bepaal de vierkantswortel van c2. Leer de driehoeken herkennen van een Pythagorees drietal. Leer de verhouding van de zijden uit je hoofd van een rechte driehoek met hoeken 45-45-90. Leer de verhoudingen van een rechthoekige 30-60-90 driehoek. Begrijp wat de "Sinus" betekent. Leer hoe je de sinus kunt uitrekenen. Leer de sinusregel. Wijs de variabelen a, b en c toe aan de zijden van je driehoek. Bereken de derde hoek. Onderzoek je driehoek. Pas de Sinusregel toe op je driehoek. Deel de lengte van zijde a door de sinus van hoek A om de lengte van de hypotenusa te vinden!
https://www.wikihow.com/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse https://www.wikihow.com/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse https://www.wikihow.com/Find-the-Length-of-the-Hypotenuse
Using the Pythagorean Theorem Finding the Hypotenuse of Special Right Triangles Finding the Hypotenuse Using the Law of Sines