# சேர்ப்பு அணி

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு சதுர அணியின் **சேர்ப்பு அணி** அல்லது **இணைப்பு அணி** (*adjugate matrix*) என்பது அச்சதுர அணியின் இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணியாகும்.  

## வரையறை
**A** அணியின் இணைக்காரணி அணி **C** இன் இடமாற்று அணியானது **A** இன் சேர்ப்பு அணி அல்லது இணைப்பு அணி என வரையறுக்கப்படுகிறது.  
:<math> \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T} ~.</math>  

*R* ஒரு பரிமாற்று வளையம்; *R* இலுள்ள உறுப்புகளாலான அணி **A**.  

- **M**<sub>*ij*</sub> என்பது **A** அணியின் (*i*,*j*) சிற்றணிக்கோவை; இது **A** அணியின் ஆவது நிரையையும் ஆவது நிரலையும் நீக்குவதன் மூலம் பெறப்படும் (*n*&nbsp;−&nbsp;1)×(*n*&nbsp;−&nbsp;1)}} அணியின் அணிக்கோவை.
- **C**<sub>*ij*</sub> என்பது **A** அணியின் (*i*,*j*) இணைக்காரணி;
:: <math>\mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij} ~.</math>  
- **A** அணியின் இணைக்காரணி அணி **C** என்பது ஒரு அணி; இதன் ஆவது உறுப்பு **A** அணியின் ஆவது இணைக்காரணியாக இருக்கும்
- **C** அணியின் இடமாற்று அணியே **A** அணியின் சேர்ப்பு அணியாகும். அதாவது வரிசை கொண்ட சேர்ப்பு அணியின் (*i*,*j*) உறுப்பானது **A** அணியின் (*j*,*i*) இணைக்காரணியாக அமையும்:
::<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A})_{ij} = \mathbf{C}_{ji} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ji} \,</math>.  
- **A** அணியையும் அதன் சேர்ப்பு அணியையும் பெருக்கக் கிடைக்கும் அணி, ஐ முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளாகக் கொண்ட மூலைவிட்ட அணியாகும்.

- *R* இல், det(**A**) நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, **A** அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாக இருக்கும். அவ்வாறு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் கீழுள்ள இரு முடிவுகளும் உண்மையாகும்:
:<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \det(\mathbf{A}) \mathbf{A}^{-1} ~,</math>  
:<math>\mathbf{A}^{-1} = \frac {1} {\det(\mathbf{A})} \, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) ~.</math>  

## எடுத்துக்காட்டுகள்

### 1 × 1 பொது அணி
எந்தவொரு பொதுவான 1×1 அணிக்கும் அதன் சேர்ப்பு அணி: <math>\mathbf{I} = (1)</math>.  

### 2 × 2 பொதுஅணி

:<math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} & \\ & \end{pmatrix}  
</math> என்ற 2 × 2 பொதுஅணியின் சேர்ப்பு அணி:  

:<math>  
\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \begin{pmatrix} & \\ & \end{pmatrix}  
</math>.  
மேலும் det(adj(**A**)) = det(**A**) என்பதும் adj(adj(**A**)) = **A** என்பதும் உண்மையாக இருக்கும்.  

### 3 × 3 பொதுஅணி
:<math>  
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}  
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\  
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\  
a_{31} & a_{32} & a_{33}  
\end{pmatrix}  
</math>  
இதன் இணைக்காரணி அணி:  
:<math>  
\mathbf{C} = \begin{pmatrix}  
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &  
-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &  
+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\  
& & \\  
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &  
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &  
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\  
& & \\  
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} &  
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} &  
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}  
\end{pmatrix}  
</math>  

சேர்ப்பு அணி:  
:<math>  
\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{C}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix}  
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &  
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &  
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} \\  
& & \\  
-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &  
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &  
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} \\  
& & \\  
+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &  
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} &  
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}  
\end{pmatrix}  
</math>  

#### 3 × 3 எண் அணி
:<math>\operatorname{adj} \begin{pmatrix}  
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\  
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\  
\, 3 & \!-4 & \, 1  
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  
\!-8 & \,18 & \!-4 \\  
\!-5 & \!12 & \,-1 \\  
\, 4 & \!-6 & \, 2  
\end{pmatrix}  
</math>.  

செயல்முறை:  
:<math>\begin{pmatrix}  
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\  
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\  
\, 3 & \!-4 & \, 1  
\end{pmatrix} </math> அணியின் இணைக்காரணி அணி:  
:<math>  
\mathbf{C} = \begin{pmatrix}  
+\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} &  
-\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} &  
+\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} \\  
& & \\  
-\begin{vmatrix} 2 & -5 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} &  
+\begin{vmatrix} -3 & -5 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} &  
-\begin{vmatrix} -3 & 2 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} \\  
& & \\  
+\begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} &  
-\begin{vmatrix} -3 & -5 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} &  
+\begin{vmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix}  
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}  
\!-8 & \,-5 & \!4 \\  
\!18 & \!12 & \,-6 \\  
\, -4 & \!-1 & \, 2  
\end{pmatrix}  
</math>  

இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணி:  
:<math>  
\mathbf{C}^\mathsf{T} = {\begin{pmatrix}  
\!-8 & \,-5 & \!4 \\  
\!18 & \!12 & \,-6 \\  
\, -4 & \!-1 & \, 2  
\end{pmatrix}}^\mathsf{T} = \begin{pmatrix}  
\!-8 & \,18 & \!-4 \\  
\!-5 & \!12 & \,-1 \\  
\, 4 & \!-6 & \, 2  
\end{pmatrix} = \operatorname{adj} \begin{pmatrix}  
\!-3 & \, 2 & \!-5 \\  
\!-1 & \, 0 & \!-2 \\  
\, 3 & \!-4 & \, 1  
\end{pmatrix}</math>  

## பண்புகள்
சேர்ப்பு அணியின் பண்புகள்:  

**A** , **B** இரண்டும் அணிகள் எனில்:  
:<math>\mathrm{adj}(\mathbf{I}) = \mathbf{I}</math>  
:<math>\mathrm{adj}(\mathbf{AB}) = \mathrm{adj}(\mathbf{B})\,\mathrm{adj}(\mathbf{A})</math>  
:<math>\mathrm{adj}(c \mathbf{A}) = c^{n - 1}\mathrm{adj}(\mathbf{A}) ~</math>  

*m* ஒரு முழு எண் எனில்:  
:<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A}^{m}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^{m}~</math>  
:<math>\mathrm{adj}(\mathbf{A}^\mathsf{T}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})^\mathsf{T}~</math>  

**A** ஒரு *n*×*n* அணி; மேலும் *n* ≥ 2 எனில்:  
::<math>\det\big(\mathrm{adj}(\mathbf{A})\big) = \det(\mathbf{A})^{n-1}, </math>  

மேலும் **A** ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க *n*×*n* அணி எனில்:  
::<math>\mathrm{adj}(\mathrm{adj}(\mathbf{A})) = \det(\mathbf{A})^{n - 2}\mathbf{A} ~,</math>  

**A** நேர்மாற்றத்தக்கது, *n = 2* எனில்:  
::det(adj(**A**)) = det(**A**)  
::adj(adj(**A**)) = **A**  

நேர்மாற்றத்தக்க அணி **A** க்கு தடவைகள் சேர்ப்பு அணி காணக் கிடைப்பது:  
:<math>\mathrm{adj}_k(\mathbf{A})=\det(\mathbf{A})^{\frac{(n-1)^k-(-1)^k}n}\mathbf{A}^{(-1)^k}~,</math>  
:<math>\det\big(\mathrm{adj}_k(\mathbf{A})\big)=\det(\mathbf{A})^{(n-1)^k}~.</math>