# பெருக்குத் தொடர்

பெருக்குத் தொடர் வெளிர் நாவல்நிறச் சதுரங்களாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு வெளிற்நாவல்நிறச் சதுரத்தின் பரப்பளவும் அதற்கடுத்த சதுரத்தின் பரப்பளவில் 1/4 பங்காக இருக்கும். (1/2× = 1/4, 1/4×1/4 = 1/16, ...). இந்த வெளிர்நாவல்நிறச் சதுரங்களின் மொத்தப்பரப்பளவு மிகப்பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவில் மூன்றில் ஒரு பங்காக இருக்கும்.]]  

முடிவிலா L-வடிவப் பரப்பளவுகளாகவும் அவை ஒவ்வொன்றையும் நான்கு வெளிர்நாவல்நிறச் சதுரங்களாகவும் நான்கு மஞ்சள் சதுரங்களாகவும் பிரித்துக் காண்பதன் மூலம் சரிபார்க்கலாம்.]]  

கணிதத்தில், **பெருக்குத் தொடர்** (*geometric series*) என்பது அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கு இடையேயான விகிதம் மாறாத எண்ணாகவுள்ள முடிவிலாப் பெருக்குத் தொடர்முறையின் உறுப்புகளின் கூட்டலாகும்.  

:எடுத்துக்காட்டு:கீழுள்ள தொடர்  

:<math>\frac{1}{2} \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{8} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \cdots</math> என்பது ஒரு பெருக்குத் தொடராகும்.  

இதன் ஒவ்வொரு தொடரும் உறுப்பும் அதன் முந்தைய உறுப்பை <math>1/2</math> ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் எண்ணாகவுள்ளது.. ஒரு பெருக்குத்தொடரின் பொதுவடிவம்:  
:<math>a + ar + ar^2 + ar^3 + ...</math>; <math>a</math>முதல் உறுப்பு; இரு அடுத்தடுத்த உறுப்புகளுக்கிடையிலான பொதுவிகிதம் <math>r</math>.  

கணிதத்தில் முழுமையாக இடம்பெற்றுள்ள பெருக்குத் தொடரானது, நுண்கணிதத்தின் வளர்ச்சியிலும் முக்கிய பங்கபெற்றுள்ளது. மேலும் டெய்லர் தொடர், வூரியே தொடர், அணி அடுக்குக்குறிச் சார்பு ஆகியவற்றின் அறிமுகங்களிலும் பயன்பாடுடையது.  

## கூறுகள்

### கெழு-*a*
பெருக்குத் தொடர், *a* + *ar* + *ar*<sup>2</sup> + *ar*<sup>3</sup> + ... என விரிவான வடிவில் எழுதப்பட்டுள்ளது. பெருக்குத் தொடரின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கெழுவும் சமமாகவுள்ளது. அடுக்குத் தொடர் *a*<sub>0</sub> + *a*<sub>1</sub>*r* + *a*<sub>2</sub>*r*<sup>2</sup> + *a*<sub>3</sub>*r*<sup>3</sup> + ... இன் ஒவ்வொரு உறுப்பின் கெழுவும் (*a*<sub>i</sub>) வெவ்வேறாக உள்ளது. எனவே பெருக்குத் தொடரானது, அடுக்குத் தொடரின் ஒரு சிறப்புவகையாகும். விரித்தெழுதப்பட்டப் பெருக்குத் தொடரின் முதல் உறுப்பு, அத்தொடரின் கெழு *a* ஆகும்.  

- விரித்தெழுதும் முறையைத் தவிர பெருக்குத்தொடருக்கு பிறப்பாக்கி வடிவமும் உள்ளது:
எடுத்துக்காட்டாக, மேற்படிந்துள்ள முதலாவது மிகப்பெரிய (சிவப்பு) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: *bh*/2 = (2)(1)/2 = 1, இதுவே பெருக்குத் தொடரின் முதல் உறுப்பு.  
- இரண்டாவது மேற்படிந்துள்ள இரண்டாவது பெரிய (பச்சை) முக்கோணத்தின் பரப்பளவு: *bh*/2 = (2*r*<sup>1/2</sup>)(*r*<sup>1/2</sup>)/2 = *r*, இது பெருக்குத் தொடரின் இரண்டாவது உறுப்பாகும். தொடரும் ஒவ்வொரு சிறிய முக்கோணத்தின் அளவுகள் *r*<sup>1/2</sup> காரணியால் பெருக்கப்படுகிறது. இதனால் முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் தொடர்முறையானது, 1, *r*, *r*<sup>2</sup>, *r*<sup>3</sup>, ... என்ற தொடர்முறையாகக் கிடைக்கிறது.

நடுவிலுள்ள படம்:  

பெரியதிலிருந்து சிறியது என்ற வரிசைப்படி ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் மேற்படிந்த பரப்பளவை நீக்க வேண்டும். இந்தப் பரப்பளவுகள் அந்தந்த முக்கோணங்களின் பரப்பளவின் *r* அளவு பின்ன விகிதத்தில் அமைந்திருக்கும். முக்கோணங்களின் மேற்படியாத 1−*r* பரப்பளவுகளை 1/(1−*r*) விகிதமாக்க, முன்னதாக மேற்படிந்த முக்கோணத்தின் பரப்பளவாகவும், இப்போது மேற்படியாத சரிவகத்தின் பரப்பளவாகும் உள்ள பரப்பளவானது மாறாதிருக்கும்.  

கீழுள்ள படம்:  

இவ்வாறு பெறப்பட்ட n+1 மேற்படியாத சரிவகங்களை மேற்படியாத ஒரே சரிவகமாக மாற்றி அதன் பரப்பளவைக் காண, அது பகுதித் தொடரின் மதிப்பைத் தரும். மேலும் அதன் மதிப்பு வெளிப்புறமாக உள்ள மிகப்பெரிய முக்கோணத்தின் பரப்பளவு மற்றும் முனையிலுள்ள வெற்று முக்கோணத்திற்குமான வேறுபாடாக இருக்கும்:  

: *s*<sub>n</sub>/*a* = (1−*r*<sup>n+1</sup>) / (1−*r*), இதன் மதிப்பானது, n இன் மதிப்பு முடிவிலியை நெருங்க, *r* < 1 ஆகவும் இருக்கும்போது *s*/*a* = 1/(1−*r*) ஆகிறது.  

### கூட்டுத்தொகை
#### முடிவுறு தொடர்
பெருக்குத் தொடரின் முதல் *n* உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையானது பின்வரும் மூடிய-வடிவ வாய்பாட்டால் தரப்படுகிறது:  

<math display=block>  
\begin{align}  
s_n &= ar^0 + ar^1 + \cdots + ar^{n-1}\\  
&= \sum_{k=0}^{n-1} ar^k = \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1}\\  
&=  
\begin{cases}  
a\(\frac{1-r^{n}}{1-r}\) & r \neq 1\\  
an & \text{otherwise}  
\end{cases}  
\end{align}  
</math>  

இங்கு என்பது பெருக்குத் தொடரின் விகிதமாகும்.  

;நிறுவல் 1  

பகுதிக் கூட்டுத்தொகையை (*s*<sub>n</sub>) வருவித்தல்:  
பல தன் ஒப்புமை உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் இவ்வாய்பாடு பெறப்படுகிறது.  

<math display=block>  
\begin{align}  
s_n &= ar^0 + ar^1 + \cdots + ar^{n-1},\\  
rs_n &= ar^1 + ar^2 + \cdots + ar^{n},\\  
s_n - rs_n &= ar^0 - ar^{n},\\  
s_n\(1-r\) &= a\(1-r^{n}\),\\  
s_n &= a\(\frac{1-r^{n}}{1-r}\), \text{ for } r \neq 1.  
\end{align}  
</math>  

;நிறுவல் 2  

<math display="block">\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = ar^0 + ar^1 + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1}. </math>  

இருபுறமும் 1 − *r* ஆல் பெருக்க:  

<math display="block">\begin{align}  
(1-r) \sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} & = (1-r)\(ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1}\) \\  
& = ar^0 + ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^{n-1} - ar^1-ar^2-ar^3-\cdots-ar^{n-1} - ar^n \\  
& = a - ar^n  
\end{align}</math>  

முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்புகள் தவிர ஏனையவை ஒன்றுக்கொன்று குறியில் மட்டும் எதிராக இருப்பதால் நீங்கிவிடுகின்றன)  

*r* ≠ 1 எனில்,  
:<math display="block">\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a(1-r^n)}{1-r}.</math>  

; தொடர்புள்ள வாய்பாடுகள்:  

தொடர் k=1 அல்லது 0 விலிருந்து தொடங்காமல் என்ற வேறொரு மதிப்பிலிருந்து தொடங்கினால்,  

<math display="block">\begin{align}  
\sum_{k=m}^n ar^{k-1} &=  
\begin{cases}  
\frac{a(r^{m-1}-r^n)}{1-r} & \text{if }r \neq 1 \\  
a(n-m+1) & \text{if }r = 1  
\end{cases}\\  
\sum_{k=m}^n ar^k &=  
\begin{cases}  
a(n-m+1) & \text{if }r = 1 \\  
\frac{a(r^m-r^{n+1})}{1-r} & \text{if }r \neq 1  
\end{cases}\end{align}</math>  

#### முடிவுறாத் தொடர்
முடிவியை அணுகும்போது இத்தொடர் ஒருங்குவதற்கு இன் தனி மதிப்பு '1' ஐவிடக் குறைவானதாக இருக்கவேண்டும்.  

முடிவுறு தொடரின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து முடிவிலாத் தொடரின் கூட்டுத்தொகையைப் பெறலாம்:  

<math display="block">\sum_{k=0}^\infty ar^k = \lim_{n\to\infty}{\sum_{k=0}^{n} ar^k} = \lim_{n\to\infty}\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r}= \frac{a}{1-r} - \lim_{n\to\infty}{\frac{ar^{n+1}}{1-r}} </math>  

:<math display="block"> r^{n+1} \to 0 \mbox{ as } n \to \infty \mbox{ when } |r| < 1.</math> என்பதால்,  
:<math display="block">\sum_{k=0}^\infty ar^k = \frac{a}{1-r} - 0 = \frac{a}{1-r}</math>  

<math>r</math> இன் இரட்டை அடுக்குகளை மட்டுங்கொண்ட தொடர் எனில்,  
<math display="block">\sum_{k=0}^\infty ar^{2k} = \frac{a}{1-r^2}</math>  

<math>r</math> இன் இரட்டை அடுக்குகளை மட்டுங்கொண்ட தொடர் எனில்,  
:<math display="block">\sum_{k=0}^\infty ar^{2k+1} = \frac{ar}{1-r^2}</math>  

*k* = 0 மதிப்பிலிருந்து தொடங்கவில்லை எனில்,  
:<math display="block">\sum_{k=m}^\infty ar^k=\frac{ar^m}{1-r}</math>  

*r*<1 ஆக இருந்தால் மட்டுமே மேலுள்ள வாய்பாடுகள் உண்மையாக இருக்கும்.  
<math display="block">\frac{d}{dr} \sum_{k=0}^\infty r^k = \sum_{k=1}^\infty kr^{k-1} = \frac{1}{(1-r)^2}</math>  

முற்றிலும் ஒருங்கும் முடிவிலாப் பெருக்குத் தொடர்களுக்கு என்ற பெருக்குத் தொடர் ஒரு எடுத்துக்காட்டாகும்.  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  

- 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

இத்தொடரின் முதல் உறுப்பு 1/2; பொதுவிகிதம் 1/2. எனவே வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் கூடுதல் காண:  
:<math display="block">\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(+1/2)} = 1.</math>  

- 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ .

இத்தொடரின் முதல் உறுப்பு 1/2; பொதுவிகிதம் -1/2. எனவே வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் கூடுதல் காண:  
:<math display="block">\frac12-\frac14+\frac18-\frac{1}{16}+\cdots=\frac{1/2}{1-(-1/2)} = \frac13.</math>