# நறுக்கம்


யூக்ளியிய வடிவவியல், **நறுக்கம்** (*shear* அல்லது *shear mapping*) என்பது ஒரு நேரியல் கோப்பு ஆகும். இவ்வுருமாற்றத்தின் கீழ் யூக்ளிடிய தளத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு குறிப்பிட்ட திசையில் நகர்த்தப்படும். நகர்த்தப்படும் அளவு, அத்திசைக்கு இணையான ஒரு நிலைக்கோட்டிற்கும் அப்புள்ளிக்குமான குறியிடப்பட்ட தூரத்தின் மடங்கின் விகிதவளவாக இருக்கும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  

ஆள்கூற்றுகள் <math>(x,y)</math> கொண்ட ஒரு புள்ளியை <math>(x + 2y,y)</math> புள்ளிக்கு மாற்றும் கோப்பு ஒரு நறுக்கமாகும். இதில் நகர்வு கிடைமட்டமாக உள்ளது. <math>x</math>-அச்சு நிலைக்கோடு; புள்ளியின் <math>y</math> ஆள்கூறு குறியிடப்பட்டத் தூரம். நிலைக்கோட்டிற்கு இருபுறமும் அமையும் புள்ளிகள், கோட்டின் மாற்றுப்புறத்திற்கு நகர்த்தப்படுகின்றன.  

நறுக்கத்தைச் சுழற்சியாகத் தவறாகக் கருதிவிடக் கூடாது. ஒரு நறுக்கத்தின் கீழ் ஒரு தளத்தின் புள்ளிகளின் ஒரு தொகுதியில், அப்புள்ளிகளுக்கிடையேயுள்ள கோணங்கள் அனைத்தும் மாறுபடும்; நகர்வின் திசைக்கு இணையாக இல்லாத அப்புள்ளிகளின் கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களும் மாறுபடும். இதனால் நறுக்கத்தினால் வடிவவியல் வடிவங்கள் மாறுபடுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, சதுரங்கள் இணைகரங்களாகவும் வட்டங்கள் நீள்வட்டங்களாகவும் உருமாறும். எனினும் நறுக்கத்தால் வடிவவியல் வடிவங்களின் பரப்பளவு மாறுவதில்லை; ஒருகோட்டுப்புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட சார் தூரங்களும் மாறுவதில்லை.  

சார் நகர்வில் இரு இணையான தகடுகளுக்கு இடையேயான பாய்மப் பாய்வினை நறுக்கம் விவரிக்கிறது.]]  

முப்பரிமாண வடிவவியலிலும் நறுக்கம் இதேமுறையில் வரையறுக்கப்படுகிறது. இடைப்பட்ட தூரம் நிலைக்கோட்டிற்குப் பதில் நிலையான தளத்திலிருந்து அளவிடப்படுகிறது. முப்பரிமாண நறுக்கத்தில் திட வடிவங்களின் கனவளவு பாதுகாக்கப்படுகிறது; ஆனால் நகர்விற்கு இணையான தளவடிவங்கள் தவிர்த்த பிற தளவடிவங்களின் பரப்பளவு மாற்றமடைகிறது.  

பொதுவாக <math>n</math>-பரிமாண கார்ட்டீசியன் வெளி <math>\mathbb{R}^n</math> இல் தூரமானது, நகர்வின் திசைக்கு இணையான, நிலையான மீத்தளத்திலிருந்து (hyperplane) அளக்கப்படுகிறது. <math>\mathbb{R}^n</math> இன் எந்தவொரு கணத்தின் <math>n</math>-பரிமாண அளவைப் (மீக்கனவளவு) பாதுகாக்கும் ஒரு நேரியல் கோப்பாக இந்த வடிவவியல் உருமாற்றம் அமைகிறது.  

ஒன்றுக்கொன்று இணையாகவும், ஒன்றின் மேற்பக்கமாக மற்றது உள்ளதாகவுமான இரு தகடுகளுக்கு இடைப்பட்ட ஒரு பாய்மத்தின் வரிச்சீர் ஓட்டத்தை விளக்க நறுக்கம் பயன்படுகிறது.  

## வரையறை

### ஒரு தளத்தின் கிடைமட்ட, குத்து நறுக்கம்
''',  
a செவ்வகம் becomes a இணைகரம்.]]  
தளம் <math>\mathbb{R}^2 = \mathbb{R}\times\mathbb{R}</math> இல் **கிடைமட்ட நறுக்கம்** (*horizontal shear*) (அல்லது *x* அச்சுக்கு இணையான நறுக்கம்) என்பது <math>(x,y)</math> ஆள்கூறுகள் கொண்ட பொதுவானதொரு புள்ளியை <math>(x + m y,y)</math> என்ற புள்ளிக்கு நகர்த்தும் சார்பாகும். இதில் நிலையான மதிப்புள்ள <math>m</math> என்பது நறுக்கக் காரணியாகும் (*shear factor*).  

இக்கோப்பால் ஒவ்வொரு புள்ளியும் அதன் <math>y</math> ஆள்கூற்றின் விகிதவளவு கிடைமட்ட திசையில் நகர்த்தப்படுகிறது.  

கிடைமட்ட நறுக்கத்தில்,  

:<math>x</math>-அச்சுக்கு மேற்புறம் அமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியும் <math>m > 0</math> எனும்போது வலப்புறமும், <math>m < 0</math> எனும்போது இடப்புறமும் நகர்த்தப்படுகிறது; இதற்கு எதிர்மாறான திசையில் <math>x</math>-அச்சுக்குக் கீழ்புறம் அமையும் புள்ளிகள் நகர்த்தப்படுகின்றன; <math>x</math>-அச்சின் மீதமையும் புள்ளிகள் நிலையாக உள்ளன.  

:<math>x</math>-அச்சுக்கு இணையான கோடுகள் இடம் மாறாமல் நிலையாக இருக்கும். அதே சமயம் ஏனைய கோடுகள் அவை <math>x</math>-அச்சை வெட்டும் புள்ளியைப் பொறுத்து பல்வேறு கோணங்களில் திருப்பமடைகின்றன. குறிப்பாகக் குத்துக்கோடுகள், சாய்வு <math>1/m</math> கொண்ட சாய்ந்த கோடுகளாக மாற்றமடைகின்றன. குத்துக்கோடுகள் திருப்பப்படும் கோணம் <math>\varphi</math> **நறுக்கக் கோணம்** எனப்படும். நறுக்கக் கோணத்தின் கோடேன்ஜெண்ட் மதிப்பு நறுக்கக் காரணி <math>m</math> க்குச் சமமாக இருக்கும்.  

:ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறுகளை ஒரு நிரல் அணியாக எழுதினால் (2×1 அணி), நறுக்கத்தை 2x2 அணியின் பெருக்கலாக எழுதலாம்:  
: <math>  
\begin{pmatrix}x^\prime \\y^\prime \end{pmatrix} =  
\begin{pmatrix}x + m y \\y \end{pmatrix} =  
\begin{pmatrix}1 & m\\0 & 1\end{pmatrix}  
\begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}.  
</math>  

<math>x</math> மற்றும் <math>y</math> அச்சுகளின் பரிமாற்றம் தவிர, **குத்து நறுக்கம்** (*vertical shear*) (<math>y</math>-அச்சுக்கு இணையான நறுக்கம்) கிடைமட்ட நறுக்கம் போன்றதாக இருக்கும்.  

குத்து நறுக்கத்தில்:  
:<math>y</math>-அச்சுக்கு வலப்புறம் அமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியும் <math>m > 0</math> எனும்போது மேற்புறமும், <math>m < 0</math> எனும்போது கீழ்ப்புறமும் நகர்த்தப்படுகிறது; இதற்கு எதிர்மாறான திசையில் <math>y</math>-அச்சுக்கு இடப்புறம் அமையும் புள்ளிகள் நகர்த்தப்படுகின்றன; <math>y</math>-அச்சின் மீதமையும் புள்ளிகள் நிலையாக உள்ளன.  

:<math>y</math>-அச்சுக்கு இணையான கோடுகள் (குத்துக்கோடுகள்) இடம் மாறாமல் நிலையாக இருக்கும். அதே சமயம் ஏனைய கோடுகள் அவை <math>y</math>-axis அச்சை வெட்டும் புள்ளியைப் பொறுத்து பல்வேறு கோணங்களில் திருப்பமடைகின்றன. குறிப்பாகக் கிடைமட்டக் கோடுகள், சாய்வு <math>m</math> கொண்ட சாய்ந்த கோடுகளாக மாற்றமடைகின்றன.  

:ஒரு புள்ளியின் ஆள்கூறு அணியானது, கிடைமட்ட நறுக்கத்தில் பெருக்கப்படும் 2x2 அணியின் இடமாற்று அணியால் பெருக்கப்படுகிறது:  
:<math>  
\begin{pmatrix}x^\prime \\y^\prime \end{pmatrix} =  
\begin{pmatrix}x \\ m x + y \end{pmatrix} =  
\begin{pmatrix}1 & 0\\m & 1\end{pmatrix}  
\begin{pmatrix}x \\y \end{pmatrix}.  
</math>