# காலமுறைத் தொடர்வரிசை

கணிதத்தில், **காலமுறைத் தொடர்வரிசை** அல்லது **காலமுறைத் தொடர்முறை** (*periodic sequence*) என்பது ஒரே உறுப்பானது மீண்டும் மீண்டும் வருகின்ற ஒரு தொடர்வரிசை ஆகும். இத்தொடர் வரிசையானது சில சமயங்களில் "சுழல்" (*cycle*) அல்லது "வட்டணை" (*orbit*) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.  

காலமுறைத் தொடர்வரிசையின் வடிவம்:  
:*a*<sub>1</sub>, *a*<sub>2</sub>, ..., *a*<sub>*p*</sub>,&nbsp;&nbsp;*a*<sub>1</sub>, *a*<sub>2</sub>, ..., *a*<sub>*p*</sub>,&nbsp;&nbsp;*a*<sub>1</sub>, *a*<sub>2</sub>, ..., *a*<sub>*p*</sub>, ...  

மீளும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை *p* ஆனது தொடர்வரிசையின் "காலமுறை இடைவெளி" (*period*) (அதிர்வெண்) எனப்படும்.  

## வரையறை
*p* காலமுறை இடைவெளி கொண்ட ஒரு காலமுறைத் தொடர்வரிசை *a*<sub>1</sub>, *a*<sub>2</sub>, *a*<sub>3</sub>, ... ஆனது *n* இன் எல்லா நேர்ம முழுவெண் மதிப்புகளுக்கும்,  
:*a*<sub>*n*+*p*</sub> = *a*<sub>*n*</sub> என்ற முடிவை நிறைவுசெய்யும்.  

இயல் எண் கணத்தை ஆட்களமாகக் கொண்ட சார்பாகத் தொடர்வரிசையைக் கருதினால், காலமுறைத் தொடர்வரிசையானது, காலமுறைச் சார்பின் சிறப்பு வகையாகும். *p* இன் எந்தவொரு மிகச்சிறிய மதிப்பிற்குத் தொடர்வரிசையானது *p*-காலமுறைத் தொடர்வரிசையாக அமைகிறதோ அம்மதிப்பு "மிகச்சிறிய காலமுறை இடைவெளி"  

-1 இன் அடுக்குகளின் தொடர்வரிசை '2' காலமுறையுள்ள தொடர்வரிசையாகும்:  
:<math>-1,1,-1,1,-1,1,\ldots</math>  

எந்தவொரு ஒன்றின் படிமூலத்தின் அடுக்குகளாகவும் அமையும் தொடர்வரிசையானது காலமுறையானதாக இருக்கும். இதேபோல ஒரு குலத்தின் முடிவுறு வரிசைகொண்ட உறுப்புகளின் அடுக்குகளாக அமையும் தொடர்வரிசைகளும் காலமுறைத் தொடர்வரிசைகளாக இருக்கும்.  

## முற்றொருமைகள்
### பகுதிக் கூட்டுத்தொகை
:<math>\sum_{n=1}^{kp+m} a_{n} = k*\sum_{n=1}^{p} a_{n} + \sum_{n=1}^{m} a_{n},</math> k, m<p இரண்டும் இயல் எண்கள்.  
### பகுதிப் பெருக்கற்பலன்
:<math>\prod_{n=1}^{kp+m} a_{n} = ({\prod_{n=1}^{p} a_{n}})^k * \prod_{n=1}^{m} a_{n},</math> k, m<p இரண்டும் இயல் எண்கள்.  

## 0, 1 காலமுறையுள்ள தொடர்வரிசைகள்
0, 1 காலமுறையுள்ள தொடர்வரிசைகளை முக்கோணவியல் சார்புகளின் கூட்டலாக எழுதலாம்:  

:<math>\sum_{k=1}^{1} \cos \(-\pi\frac{n(k-1)}{1}\)/1 = 1,1,1,1,1,1,1,1,1, \cdots</math>  

:<math>\sum_{k=1}^{2} \cos \(2\pi\frac{n(k-1)}{2}\)/2 = 0,1,0,1,0,1,0,1,0, \cdots</math>  

:<math>\sum_{k=1}^{3} \cos \(2\pi\frac{n(k-1)}{3}\)/3 = 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1, \cdots</math>  

:<math>\cdots</math>  

:<math>\sum_{k=1}^{N} \cos \(2\pi\frac{n(k-1)}{N}\)/N = 0,0,0,\cdots,1, \cdots  
\quad \text{sequence with period } N </math>  

ஏற்ற ஒன்றின் படிமூலத்திற்கு,  
[[டி மாவரின் வாய்ப்பாடு|டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி மேலுள்ளவற்றை நிறுவலாம்.  

## பொதுவாக்கங்கள்
ஒரு தொடர்வரிசையின் துவக்கத்திலுள்ள சில எண்களை நீக்குவதன்மூலம் அதனைக் காலமுறையினதாக மாற்றக்கூடியதாக இருந்தால், அத்தொடர்வரிசையானது "இறுதியாகக் காலமுறைத் தொடர்வரிசை" (eventually periodic sequence) எனப்படும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
: 1 / 56 = 0 . 0 1 7&nbsp;&nbsp;8 5 7 1 4 2&nbsp;&nbsp;8 5 7 1 4 2&nbsp;&nbsp;8 5 7 1 4 2&nbsp;&nbsp;...  

ஒரு தொடர்வரிசையானது,  
:<math>a_{k+r} = a_k</math> (*k* போதுமான அளவு பெரியதாக இருக்க வேண்டும்)  

என்பதை நிறைவு செய்தால் "அறுதியானக் காலமுறைத் தொடர்வரிசை" (ultimately periodic sequence) எனப்படும்  

ஒரு தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள் மற்றொரு காலமுறைத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளை அணுகுமானால் அத்தொடர்வரிசையானது, "அணுகல் காலமுறைத் தொடர்வரிசை" (*asymptotically periodic sequence*) எனப்படும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
*x*<sub>1</sub>,&nbsp;*x*<sub>2</sub>,&nbsp;*x*<sub>3</sub>,&nbsp;... என்பது அணுகும் காலமுறைத் தொடர்வரிசையாக இருக்கவேண்டுமானால,  

:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} x_n - a_n = 0.</math>  

என்பதை நிறைவு செய்யும் வகையில் மற்றொரு காலமுறைத் தொடர்வரிசை *a*<sub>1</sub>,&nbsp;*a*<sub>2</sub>,&nbsp;*a*<sub>3</sub>,&nbsp;... இருக்க வேண்டும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:1 / 3,&nbsp;&nbsp;2 / 3,&nbsp;&nbsp;1 / 4,&nbsp;&nbsp;3 / 4,&nbsp;&nbsp;1 / 5,&nbsp;&nbsp;4 / 5,&nbsp;&nbsp;...  

இதன் உறுப்புகள், 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....என்ற காலமுறைத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளை அணுகுவதால், இது ஒரு அணுகும் காலமுறைத் தொடர்வரிசையாகும்.