# கொஞ்சு வட்டம்


கொஞ்சு வட்டங்கள்]]  

வளைகோடுகளின் வகையீட்டு வடிவவியலில் இழைவான தள வளைகோடு ஒன்றின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி *p* இல் வளைகோட்டின் **கொஞ்சு வட்டம்** அல்லது **ஒட்டு வட்டம்** (*osculating circle*) என்பது, *p* மற்றும் *p* க்கு நுண்ணளவு அருகாக வட்டத்தின் மீதமையும் இரண்டு புள்ளிகள் ஆகியவற்றின் வழியாகச் செல்லும் வட்டம் என வழக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது. கொஞ்சு வட்டத்தின் மையம் வளைகோட்டின் உட்செங்கோட்டின் மீதமைவதோடு அதன் வளைவானது *p* புள்ளியில் மூல வளைகோட்டின் வளைவுக்குச் சமமாக இருக்கும். *p* இல் அவ்வளைகோட்டிற்கானத் தொடு வட்டங்களுள் ஒன்றாக கொஞ்சு வட்டம் இருக்கும். இவ் வட்டத்திற்கு கணிதவியலாளர் லைப்னிட்சு, 'முத்தமிடும் வட்டம்' எனப் பொருள்படும் *circulus osculans* என்ற இலத்தீன் மொழிப் பெயரிட்டார். ஒரு புள்ளியில் கொஞ்சு வட்டத்தின் மையமும் ஆரமும் முறையே மூல வளைகோட்டின் அப்புள்ளியிலான வளைவு மையம் மற்றும் வளைவு ஆரமாகும்  

## கணித விளக்கம்
(, (வில்லின் நீளம்), வளைகோடு; , அலகு தொடுகோட்டுத் திசையன்; , அலகு செங்கோட்டு திசையன்; , வளைவு (குறியிடப்பட்டது); , வளைவின் ஆரம் எனில்:  
<math display="block"> T(s)=\gamma'(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad R(s)=\frac{1}{\k(s)\}.</math>  

*P* ஆனது *γ* மீதுள்ள ஒரு புள்ளி; அப்புள்ளியில் எனில் அப்புள்ளியில் வளைகோட்டின் வளைவு மையம் *Q* ஆனது அலகு செங்கோட்டுத் திசையன் (*N*) மீது *R* தொலைவில் இருக்கும். மேலும் *k* நேர் மதிப்பாக இருந்தால் *N* இன் திசையிலும் *k* எதிர் மதிப்பாக இருந்தால் எதிர்த்திசையிலும் வளைவு மையம் இருக்கும் *Q* வை மையமாகவும் *R* ஐ ஆரமாகவும் கொண்டு வரையப்படும் வட்டமானது *P* புள்ளியில், *γ* வளைகோட்டின் கொஞ்சு வட்டம் என அழைக்கப்படுகிறது..  

தள வளைகோடானது வேறொரு சீரான அளபுருவாக்கத்தில் கீழுள்ளாவறு தரப்பட்டால்:  
<math display="block"> \gamma(t) = \begin{bmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{bmatrix} </math> (சீரான என்பது <math>\gamma'(t) \ne 0,</math> <math>\forall <math>t</math>). *k*(*t*), *N*(*t*), *R*(*t*), *Q*(*t*) அனைத்தும் பின்னுள்ளவாறு அமையும்:<math display="block">k(t) = \frac{x_1'(t) \, x_2*(t) - x_1*(t) \, x_2'(t)}{\( x_1'\(t\)^2+x_2'\(t\)^2 \)^},  
\qquad  
N(t) = \frac{1}{\|\gamma'(t)\|} \begin{bmatrix} -x_2'(t) \\ x_1'(t) \end{bmatrix}</math>  
<math display="block">R(t) = \ \frac{\( x_1'\(t\)^2+x_2'\(t\)^2 \)^}{x_1'(t) \, x_2*(t) - x_1*(t) \, x_2'(t)} \  
\qquad \text{and} \qquad  
Q(t) = \gamma(t) + \frac{1}{k(t) \| \gamma'(t)\|} \begin{bmatrix} -x_2'(t) \\ x_1'(t) \end{bmatrix}\,. </math>  

### கார்ட்டீசியன் ஆயதொலைவுகள்
*f* என்ற ஏதேனுமொரு சார்புக்கு எனப் பதிலிட்டு, கொஞ்சு வட்ட மையத்தின் கார்ட்டீசியன் ஆயதொலைவுகளைக் காணலாம்:  
<math display="block">x_c = x - f'\frac{1 + f'^2}{f*} \quad\text{and}\quad y_c = f + \frac{1 + f'^2}{f*}</math>  

## பண்புகள்
தேவையான அளவு இழைவான துணையலகுச் சமன்பாட்டுகளைக் (இருமுறை தொடர்ச்சியாக வகையிடத்தக்கது) கொண்ட ஒரு வளைகோடு *C* க்கு அதன் மீதுள்ள புள்ளி *P* இல் அமையும் கொஞ்சு வட்டத்தை எல்லை முறையில் காணலாம்:  
:*C* இன் மீதுள்ள வெவ்வேறான மூன்று புள்ளிகளும் *P* ஐ நெருங்கும்போது, அம்மூன்று புள்ளிகளின் வழியே செல்லும் வட்டங்களின் எல்லை கொஞ்சு வட்டமாக இருக்கும். இது, வட்டத்தின் மீதுள்ள வெவ்வேறான இருபுள்ளிகளின் வழியே செல்லும் வெட்டுக்கோட்டின் எல்லையாக தொடுகோட்டைக் காண்பதற்கு ஒத்ததாக அமையும்.  

*C* வளைகோட்டுக்கு *P* புள்ளியிலமையும் கொஞ்சு வட்டம் *S* பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:  
- வட்டம் *S* ஆனது *P* வழியே செல்லும்.
- வட்டம் *S*, வளைகோடு *C* ஆகிய இறன்டும் *P* இல் பொதுத் தொடுகோட்டினையும் பொது செங்கோட்டையும் கொண்டிருக்கும்.

- *P* க்கு மிக அருகில் *C* மீதும் *S* மீதுமுள்ள புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரமானது, (செங்கோட்டுத் திசையில்) *P* இலிருந்து அமையும் தொலைவின் (தொடுகோட்டுத் திசையுல்) கனவடுக்கு அல்லது அதற்கும் உயரடுக்குகளின் விகிதத்தில் குறையும். இது பொதுவாக, வளைகோடும் அதன் கொஞ்சு வட்டமும் *P* இல், இரண்டாம் வரிசை தொடுகை கொண்டவை எனப்படுகிறது.

*P* இல் வளைவின் வகைக்கெழு *s* ப்பொறுத்து பூச்சியமாக இருந்தால், கொஞ்சு வட்டமானது *P* இல் வளைகோட்டை வெட்டும். வளைவரையின் வகைக்கெழு பூச்சியமாகும் *P* புள்ளிகள் வளைகோட்டின் உச்சிகள் எனப்படும். *P* புள்ளியானது உச்சியாக இருந்தால், வளைகோடும் கொஞ்சு வட்டமும் குறைந்தபட்சமாக மூன்றாம் வரிசைத் தொடுகை கொண்டிருக்கும். மேலும் *P* இல் வளைவின் மதிப்பு பூச்சியமற்ற இடஞ்சார் பெருமம் அல்லது சிறுமமாக இருந்தால், கொஞ்சு வட்டமானது வளைகோட்டை *P* இல் தொடும் ஆனால் வெட்டாது.  

கொஞ்சு வட்டங்களின் ஒரு-துணையலகுக் குடும்பத்தின் சூழ்வாக வளைகோடு *C* ஐப் பெறலாம். இக் கொஞ்சு வட்டங்களின் மையங்கள் (வளைவு மையங்கள்), *C* இன் மலரி என அழைக்கப்படும் வளைகோட்டை உருவாக்கும். *C* இன் உச்சிகள், மலரியின் ஒற்றைப் புள்ளிகளாக அமையும்.  

*C* இன் ஒரு வில்லானது, *C* இன் ஏதாவதொரு உச்சியிலிருந்து விலகியிருக்கும் புள்ளிகளைக் கொண்டிருந்தால் அவ்வில்லுக்குள்ளமையும் புள்ளிகளின் கொஞ்சு வட்டங்கள் ஒன்றையொன்று வெட்டாதவையாகவும் ஒன்றுக்குள்ளொன்று பொதிந்தவையாகவும் இருக்கும்.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்

### பரவளையம்

<math display="block">\gamma(t) = \begin{bmatrix} t \\ t^2 \end{bmatrix}</math> என்ற பரவளைவின் வளைவு ஆரம்:  
:<math display="block">R(t)= \ \frac{ \(1 + 4 t^2 \)^{3/2}}{2} \ </math>  

பரவளைவின் உச்சியில் (<math>\gamma(0) = \begin{bmatrix} 0\\0 \end{bmatrix}</math>) வளைவின் ஆரம் . பரவளைவிற்கும் அதன் கொஞ்சு வட்டத்திற்கும் உச்சியில் தொடுகையின் வரிசை நான்காகும். இன் மதிப்பு அதிகரிக்கரிக்க, வளைவு ஆரத்தின் அதிகரிப்பு ~ . ஆக இருக்கும். அதாவது வளைகோடு மேலும் மேலும் நேராகிக்கொண்டே வரும்.  

### வட்டவுரு
(நீலம்), அதன் கொஞ்சு வட்டம் (சிவப்பு), மலரி (பச்சை).]]  
ஆரமுள்ள வட்டப்புள்ளியுருவின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்:  
<math display="block"> \gamma(t) = \begin{bmatrix} r\(t - \sin t\) \\ r\(1 - \cos t\) \end{bmatrix} </math>  

அதன் வளைவு:  
<math display="block">\kappa(t) = - \frac{\ \csc \( \frac{t}{2} \) \}{4r}</math>  

:<math display="block">R(t) = \frac{4r}{\ \csc \( \frac{t}{2} \) \}</math>