# மடக்கை முற்றொருமைகள் பட்டியல்

கணிதத்தில் கணக்கீடுகளுக்குப் பயன்படும் **மடக்கை முற்றொருமைகள் பட்டியல்** (*List of logarithmic identities*) இக்கட்டுரையில் தரப்படுகிறது.  

## எளிய முற்றொருமைகள்
- *b* ≠ 0 எனில், <math> b^0 = 1 \Rightarrow </math> <math>\log_b(1) = 0 </math>
- <math> b^1 = b\Rightarrow </math> <math>\log_b(b) = 1 </math>

## அடுக்குக்குறிகளை நீக்கல்

கூட்டலும் கழித்தலும் மற்றும் பெருக்கலும் வகுத்தலும் ஒன்றுக்கொன்று எதிர்ச்செயல்களாக அமைவதுபோல ஒரே அடிமானமுடைய மடக்கையும் அடுக்குக்குறிகளும் எதிர்ச்செயல்களாக அமையும்.  
:<math>b^{\log_b(x)} = x\text{ because }\mbox{antilog}_b(\log_b(x)) = x</math>  
:<math>\log_b(b^x) = x\text{ because }\log_b(\mbox{antilog}_b(x)) = x</math>  

இவ்விரு முடிவுகளும் <math>b^c = x \iff \log_b(x) = c</math> என்ற மடக்கை வரையறையிலிருந்து பெறப்படுகின்றன.  

விளக்கம்:  

- இடப்புறச் சமன்பாடான <math>b^c = x</math> இல் வலப்பக்க சமன்பாட்டிலிருந்து கிடைக்கும் இன் மதிப்பைப் பதிலிட
:  

- வலப்பக்கச் சமன்பாடான <math> \log_b(x) = c</math> இல் இடப்புறச் சமன்பாடுதரும் இன் மதிப்பைப் பதிலிட
:.  
க்குப் பதில் ஐப் பதிலிட  
:  

## எளிய செயல்களைப் பயன்படுத்திப்பெறும் முற்றொருமைகள்

கணக்கீடுகளை எளிமைப்படுத்த மடக்கைகள் பயன்படுகின்றன. இரு எண்களின் பெருக்கலை அவற்றின் மடக்கைகளைக் கூட்டுவதன் மூலம் எளிமையாக்கலாம். இதற்கு பயன்படும் மடக்கைகளின் பண்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.  
### பெருக்கல் முற்றொருமை
இரு எண்களின் பெருக்கத்துக்கான மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமனாகும்:  
:<cite id=labelLogarithmProducts><math> \log_b(x y) = \log_b x + \log_b y. \,</math></cite>  

### வகுத்தல் முற்றொருமை
இரு எண்களின் விகிதங்களுக்கான (வகுத்தலுக்கான) மடக்கை அவ்வெண்களின் தனித்தனி மடக்கைப் பெறுமானங்களின் வித்தியாசத்திற்குச் சமனாகும்:  
:<math>\log_b \!\(\frac x y \) = \log_b x - \log_b y. \,</math>  

### அடுக்கு காணல் முற்றொருமை
ஒரு எண்ணின் *p* அடுக்கின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை *p* தடவைகள் பெருக்குவதற்குச் சமன்:  
:<cite id=labelLogarithmPowers><math>\log_b(x^p) = p \log_b x. \,</math></cite>  

### அடுக்கு காணல் முற்றொருமை
ஒரு எண்ணின் *p* மூலத்தின் மடக்கைப் பெறுமதி அவ்வெண்ணின் மடக்கைப் பெறுமதியை *p* யினால் வகுப்பதற்குச் சமன் :  
:<math>\log_b(\sqrt[p]x\,) = \frac {\log_b x}p. \, </math>  

## அடிமானங்களை மாற்றுதல்
log<sub>*b*</sub>(*x*) எனும் *x* , *b* உடன் தொடர்புடைய மடக்கையை எழுமாற்றான அடிமானமான *k* க்கு மாற்றுவதாயின்:  
: <cite id=labelLogarithmBaseChange><math> \log_b{x} = \frac{\log_k{x}}{\log_k{b}}.\, </math></cite>  
இவ்வாறே கணிப்பான்களில் அடிமானம் 10, கணித மாறிலி e என்பவற்றுக்கு மாற்றப்படுகிறது.:  
:<math> \log_b x = \frac{\log_{10} x}{\log_{10} b} = \frac{\log_{e} x}{\log_{e} b}. \,</math>  
அதாவது தரப்பட்ட எண் *x* மற்றும் அதன் மடக்கை log<sub>*b*</sub>(*x*) தெரிந்த அடிமானம் b க்கு பின்வருமாறு தரப்படும்:  
: <math> b = x^\frac{1}{\log_b(x)}.</math>  

### கூட்டல்/கழித்தல் முற்றொருமைகள்
:  
| <math>\log_b (a-c) = \log_b a + \log_b \(1 - \frac{c}{a}\)</math> | because | <math>\(a - c \) = a \times \(1 - \frac{c}{a} \)</math> | } |
| --- | --- | --- | --- |
:  
பூச்சியத்தின் மடக்கை வரையறுக்கப்படாததால் <math>a = c</math> எனும்போது கழித்தல் முற்றொருமையை வரையறுக்க முடியாது.  

பொதுவாக:  
:<math>\log _b \sum\limits_{i=0}^N a_i = \log_b a_0 + \log_b \( 1+\sum\limits_{i=1}^N \frac{a_i}{a_0} \) = \log _b a_0 + \log_b \( 1+\sum\limits_{i=1}^N b^{\( \log_b a_i - \log _b a_0 \)} \)</math>  

### அடுக்குக்குறிகள்
:<math> x^{\frac{\log(\log(x))}{\log(x)}} = \log(x)</math>  
அல்லது பொதுவாக:  
:<math> x^{\frac{\log(a)}{\log(x)}} = a</math>  

### பிற முற்றொருமைகள்
:<math> \frac{1}{\frac{1}{\log_x(a)}+\frac{1}{\log_y(a)}} = \log_{xy}(a)</math>  
:<math> \frac{1}{\frac{1}{\log_x(a)}-\frac{1}{\log_y(a)}} = \log_{\frac{x}{y}}(a)</math>  

## சமனின்மைகள்
மடக்கை சமனின்மைகள்  
:<math>\frac{x}{1+x} \leq \ln(1+x)  
\leq \frac{x(6+x)}{6+4x}  
\leq x \mbox{ for all } -1 < x</math>  
:<math>\begin{align}  
\frac{2x}{2+x}&\leq3-\sqrt{\frac{27}{3+2x}}\leq\frac{x}{\sqrt{1+x+x^2/12}}  
\\&\leq \ln(1+x)\leq \frac{x}{\sqrt{1+x}}\leq \frac{x}{2}\frac{2+x}{1+x}  
\\&\mbox{ for } 0 \le x \mbox{, reverse for } -1 < x \le 0  
\end{align}</math>  

<math>x=0</math> மதிப்புக்கு அருகில் இச்சமனின்மைகள் துல்லியமானவையாக இருக்கும். பெரிய மதிப்புகளுக்குத் துல்லியமாக இருக்காது.  

## நுண்கணித முற்றொருமைகள்

### சார்புகள்
:<math>\lim_{x\to 0^+}\log_a(x)=-\infty\quad \mbox{if } a > 1</math>  

:<math>\lim_{x\to 0^+}\log_a(x)=\infty\quad \mbox{if } 0 < a < 1</math>  

:<math>\lim_{x\to\infty}\log_a(x)=\infty\quad \mbox{if } a > 1</math>  

:<math>\lim_{x\to\infty}\log_a(x)=-\infty\quad \mbox{if } 0 < a < 1</math>  

:<math>\lim_{x\to 0^+}x^b\log_a(x)=0\quad \mbox{if } b > 0</math>  

:<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\log_a(x)}{x^b}=0\quad \mbox{if } b > 0</math>  

### மடக்கை சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்
:<math>{d \over dx} \ln x = {1 \over x },</math>  
:<math>{d \over dx} \log_b x = {1 \over x \ln b},</math>  
இதில் <math>x > 0</math>, <math>b > 0</math>, <math>b \ne 1</math>.  

### மடக்கையின் தொகையீடு
:<math>\ln x = \int_1^x \frac {1}{t} dt </math>  

### மடக்கை சார்புகளின் தொகையீடுகள்
:<math>\int \log_a x \, dx = x(\log_a x - \log_a e) + C</math>  
:<math>x^{\ [n \]} = x^{n}(\log(x) - H_n)</math>  
இதில் <math>H_n</math> என்பது *n*<sup>th</sup> இசை எண்:  
:<math>x^{\ [ 0 \ ]} = \log x</math>  
:<math>x^{\ [ 1 \ ]} = x \log(x) - x</math>  
:<math>x^{\ [ 2 \ ]} = x^2 \log(x) - \begin{matrix} \frac{3}{2} \end{matrix}x^2</math>  
:<math>x^{\ [ 3 \ ]} = x^3 \log(x) - \begin{matrix} \frac{11}{6} \end{matrix}x^3</math>  
எனில்:  
:<math>\frac{d}{dx}\, x^{\[ n \]} = nx^{\[ n-1 \]}</math>  
:<math>\int x^{\[ n \]}\,dx = \frac{x^{\ [ n+1 \ ]}}{n+1} + C</math>