# பிழிவுத் தேற்றம்



நுண்கணிதத்தில் **பிழிவுத் தேற்றம்** (*squeeze theorem*) என்பது சார்பின் எல்லை குறித்த தேற்றமாகும். இத்தேற்றம் நுண்கணிதத்திலும் பகுவியலிலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இத்தேற்றத்தில், எல்லைமதிப்புகள் அறியப்பட்ட அல்லது எளிதில் கணக்கிடக்கூடிய இரு சார்புகளுடன் ஒப்பிட்டுத் தேவையான சார்பின் எல்லை கண்டுபிடிக்கப்படுகிறது. [[பை (கணித மாறிலி)|]] இன் மதிப்பைக் கணக்கிடும்போது இத்தேற்றமானது வடிவவியலாகக் கணிதவியலாளர்கள் ஆர்க்கிமிடீசு மற்றும் யூடாக்சசால் பயன்படுத்தப்பட்டது. இதன் தற்கால வடிவமானது கணிதவியலாளர் காசால் வடிவமைக்கப்பட்டது.  

## தேற்றத்தின் கூற்று
பிழிவுத் தேற்றம் முறையாகப் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது.  
<blockquote>  
*a* ஐ எல்லைப் புள்ளியாகக் கொண்ட இடைவெளி *I*. இந்த இடைவெளியின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட மூன்று சார்புகள் *g*, *f*, *h* ( *a* புள்ளியைத் தவிர்த்தும் வரையறுக்கப்படலாம்).  

*I* இடைவெளியில் *a* க்குச் சமமில்லாத ஒவ்வொரு *x* க்கும்  
:<math>g(x) \leq f(x) \leq h(x) </math>  
: <math>\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L. </math> எனில்:  

:<math>\lim_{x \to a} f(x) = L.</math>  
</blockquote>  

- <math display="inline">g</math> , <math display="inline">h</math> ஆகிய இரு சார்புகளும் முறையே <math display="inline">f</math> இன் கீழ் மற்றும் மேல் வரம்புகளென அழைக்கப்படுகின்றன.
- <math display="inline">a</math> ஆனது <math display="inline">I</math> இடைவெளியின் உட்புறப் புள்ளியாகத்தான் இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை. <math display="inline">I</math> இடைவெளியின் ஓரப்புள்ளியாக (இட/வலது ஓரப்புள்ளி) <math display="inline">a</math> இருக்குமானால் மேலுள்ள எல்லைகள் இடக்கை/வலக்கை எல்லைகளெனப்படுகின்றன.
- முடிவிலா இடைவெளிகளுக்கும் இத்தேற்றத்தின் கூற்று உண்மையாக இருக்கும்:
:<math display="inline">I=(0, \infty)</math> எனில், <math display="inline">x \rightarrow \infty</math> என எடுத்துக்கொண்டு தேற்றத்தின் கூற்று அமைகிறது.  

இத்தேற்றம் தொடர்வரிசைகளுக்கும் பொருந்தும்:  

:<math>(a_n), (c_n)</math> என்ற இரு தொடர்வரிசைகளும் <math>\ell</math> க்கு ஒருங்கும் தொடர்வரிசைகள்; <math>(b_n)</math> மற்றொரு தொடர்வரிசை என்றால் இத்தேற்றத்தின்படி:  

:<math>\forall n\geqslant N, N\in\mathbb{N}</math> மற்றும் <math>a_n\leqslant b_n\leqslant c_n</math> எனில் <math>(b_n)</math> தொடர்வரிசையும் <math>\ell</math> க்கு ஒருங்கும்.  

### நிறுவல்
உயர் மற்றும் தாழ் எல்லைகளை எடுத்துக்கொள்ள:  
:<math>L=\lim_{x \to a} g(x)\leq\liminf_{x\to a}f(x) \leq \limsup_{x\to a}f(x)\leq \lim_{x \to a}h(x)=L,</math>  

இத்தேற்றத்தை நிறுவ, <math display="inline">\epsilon > 0</math> என்ற அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் <math>|x - a| < \delta </math> (<math>x</math> இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும்) எனில் <math>|f(x) - L| < \epsilon</math> என இருக்கக்கூடியவாறு <math>\delta > 0</math> என்றவொரு மெய்யெண் இருக்கும் என்பதை நிறுவ வேண்டும்.  

இதனையே குறியீட்டில்  
: <math> \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : \forall x, |x - a | < \delta \ \Rightarrow |f(x) - L |< \epsilon.</math> எனலாம்.  

சார்பு எல்லையின் வரையறைப்படி,  
: <math>\lim_{x \to a} g(x) = L </math>  
:<math>\lim_{x \to a} h(x) = L </math> ஆகிய இரு முடிவுகளிலிருந்து பெறப்படுபவை:  
: <math> \forall \varepsilon > 0, \exists \ \delta_1 > 0 : \forall x\ (|x - a| < \delta_1 \ \Rightarrow \ |g(x) - L |< \varepsilon).\qquad (1)</math>  
: <math> \forall \varepsilon > 0, \exists \ \delta_2 > 0 : \forall x\ (|x - a | < \delta_2\ \Rightarrow \ |h(x) - L |< \varepsilon),\qquad (2)</math>  

மேலும் <math>g(x) \leq f(x) \leq h(x) </math>. எனவே  
: <math>g(x) - L\leq f(x) - L\leq h(x) - L</math>  

<math>\delta:=\min\\{\delta_1,\delta_2\\}</math> எனத் தேர்வு செய்து கொள்ளலாம். இப்போது முடிவுகள் (1) , (2) இரண்டையும் பயன்படுத்திப் பெறப்படுவது:  

:<math>|x - a|<\delta</math> எனில்,  

: <math> - \varepsilon < g(x) - L\leq f(x) - L\leq h(x) - L\ < \varepsilon, </math>  
: <math> - \varepsilon < f(x) - L < \varepsilon </math>,  

எனவே தேற்றம் நிறுவப்பட்டது. <math>\blacksquare</math>  

## தொடர்வரிசைக்கான தேற்றக்கூற்று

<blockquote> <math>\sum_n a_n, \sum_n c_n</math> இரண்டும் ஒருங்கும் தொடர்கள். மேலும் <math>\forall n>N, a_n\leqslant b_n \leqslant c_n </math> என்றவாறு <math>\exists N\in\mathbb{N} </math> எனில், <math>\sum_n b_n </math> தொடரும் ஒருங்கும் தொடராக இருக்கும்.</blockquote>  

### நிறுவல்
<math>\sum_n a_n, \sum_n c_n</math> இரண்டும் ஒருங்கு தொடர்கள் என்பதால் <math>\(\sum_{k=1}^n a_k\)_{n=1}^{\infty}, \(\sum_{k=1}^n c_k\)_{n=1}^{\infty} </math> ஆகிய இரண்டும் கோசித் தொடர்களாக இருக்கும்.  

இவை கோசித் தொடர்களாக இருப்பதனால் பின்வரும் இரு முடிவுகள் கிடைக்கின்றன:  
: <math>\epsilon>0 </math> எனில்,  
:<math>\exists N_1\in\mathbb{N} </math> such that <math> \forall n>m>N_1, \\sum_{k=1}^na_k-\sum_{k=1}^ma_k\<\epsilon \Longrightarrow \\sum_{k=m+1}^n a_k\<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon<\sum_{k=m+1}^n a_k<\epsilon </math> (1)  

:<math>\exists N_2\in\mathbb{N} </math> such that <math>\forall n>m>N_2, \\sum_{k=1}^nc_k-\sum_{k=1}^mc_k\<\epsilon \Longrightarrow \\sum_{k=m+1}^n c_k\<\epsilon \Longrightarrow -\epsilon<\sum_{k=m+1}^n c_k<\epsilon </math> (2).  

மேலும் தேற்றத் தரவின்படி,  
:<math>\exists N\in\mathbb{N} </math> <math>\forall n>N, a_n\leqslant b_n \leqslant c_n </math> என்பதால்:  
<math>\exists N_3\in\mathbb{N} </math> such that <math>\forall n>N_3, a_k\leqslant b_k \leqslant c_k </math> (3).  

<math>\forall n>m>\max\{N_1,N_2,N_3\} </math> என எடுத்துக்கொண்டு (1) , (2) முடிவுகளை இணைக்கக் கிடைப்பது:  

<math>a_k\leqslant b_k\leqslant c_k \Longrightarrow \sum_{k=m+1}^n a_k \leqslant \sum_{k=m+1}^n b_k \leqslant \sum_{k=m+1}^n c_k \Longrightarrow -\epsilon< \sum_{k=m+1}^n b_k <\epsilon \Longrightarrow \\sum_{k=m+1}^n b_k\<\epsilon \Longrightarrow \\sum_{k=1}^n b_k-\sum_{k=1}^m b_k\<\epsilon </math>.  

இதிலிருந்து <math>\(\sum_{k=1}^n b_k\)_{n=1}^{\infty} </math> தொடரும் ஒரு கோசி தொடராக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே <math>\sum_n b_n </math> ஒருங்கும் தொடராகும்.  

எனவே தேற்றம் நிறுவப்பட்டது. <math>\blacksquare</math>  

## எடுத்துக்காட்டுகள்

### எடுத்துக்காட்டு 1

: <math>\lim_{x \to 0}x^2 \sin(\tfrac{1}{x})</math>  

<math>\lim_{x\to 0}\sin(\tfrac{1}{x})</math> - இந்த எல்லைக்கு மதிப்பு கிடையாது என்பதால் எல்லைகளின பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி (<math>\lim_{x \to a}(f(x)\cdot g(x)) =  
\lim_{x \to a}f(x)\cdot \lim_{x \to a}g(x),</math>) எடுத்துக்காட்டில் தரப்பட்டுள்ள சார்பின் எல்லையைக் காண முடியாது. எனவே பிழிவுத் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  

சைன் சார்பின் வரையறைப்படி,  
: <math>-1 \le \sin(\tfrac{1}{x}) \le 1. </math>  
: <math> \implies -x^2 \le x^2 \sin(\tfrac{1}{x}) \le x^2 </math>  

ஆனால் <math>\lim_{x\to 0}-x^2 = \lim_{x\to 0}x^2 = 0</math>  

எனவே பிழிவுத் தேற்றத்தின்படி,  
:<math>\lim_{x\to 0} x^2 \sin(\tfrac{1}{x}) = 0</math>  

### எடுத்துக்காட்டு 2

:<math> \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} =1</math>  

*x* இன் மதிப்பு 0 க்கு நெருக்கமாக இருக்கும்போது கீழுள்ள சமனிலி உண்மையாக இருக்கும்.  
: <math> \cos x \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq 1 </math> அருகிலுள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளதைக் கொண்டு இச்சமனிலி *x* இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு உண்மையென்பதை எளிதாக வடிவவியல் முறையில் விளக்கலாம். அத்தோடு சமனிலியை *x* இன் எதிர்ம மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.  

: <math> \lim_{x\to 0}\cos x \leq \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} \leq \lim_{x\to 0}1 </math>  
மேலும் <math> \lim_{x\to 0} \cos(x) = 1</math> என்பதால்,  
:<math> 1 \leq \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} \leq 1 </math>  
<math> \implies \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 </math>