# எல்லைகளின் பட்டியல் (கணிதம்)

இக்கட்டுரையில் பொதுச் சார்புகளின் எல்லைகளின் பட்டியல் தரப்படுகிறது. இதிலுள்ள *a*, *b* ,*c* ஆகிய மூன்றும் மாறி *x* ஐப் பொறுத்த மாறிலிகளாகும். இப்பட்டியல் முழுமையானதல்ல.  

## பொதுச்சார்புகளின் எல்லைகள்
### எல்லையின் வரையறையும் தொடர்புடைய கருத்துக்களும்
<math>\forall \varepsilon>0\ \exists \delta>0\ 0<|x-c|<\delta\rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon</math>. என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே <math>\lim_{x \to c} f(x) = L </math>. இவ்வரையறை எல்லையின் (ε, δ)-வரையறை.  

ஒரு தொடர்வரிசையின் உயர் எல்லையின் வரையறை:  
: <math>\limsup_{n \to \infty} x_n = \lim_{n\to\infty}\(\sup_{m\geq n}x_m\) </math>  

ஒரு தொடர்வரிசையின் தாழ் எல்லையின் வரையறை:  
: <math>\liminf_{n \to \infty} x_n = \lim_{n\to\infty}\(\inf_{m\geq n}x_m\) </math>.  

சார்பின் தொடர்ச்சி:  
:<blockquote><math>\lim_{x\to c}f(x)=f(c)</math>.</blockquote> என்பது உண்மையெனில் சார்பு <math>f(x)</math> ஆனது *c* புள்ளியில் தொடர்ச்சியானதாக இருக்கும்.  

### அறியப்பட்ட எல்லை மீதான செயல்கள்

<math>\text{If }\lim_{x \to c} f(x) = L \text{ then:}</math>  
:<math>\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm a] = L \pm a</math>  
:<math>\lim_{x \to c} \, a f(x) = a L</math>  
:<math> L \not = 0 </math> எனில், <math>\lim_{x \to c} \frac{1}{f(x)}= \frac1L</math>  
:<math>\lim_{x \to c} \, f(x)^n = L^n \qquad \text{ if }n \text{ is a positive integer}</math></blockquote>  

c ஐ உள்ளடக்கிய இடைவெளியிலுள்ள அனைத்து x மதிப்புகளுக்கும் (ஒருவேளை c தவிர்க்கப்படலாம்) <math>\text{If }\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} h(x) = L</math> ஆகவும், <math>f(x)\leq g(x)\leq h(x)</math> ஆகவும் இருந்தால்:  
:<blockquote><math>\lim_{x \to c} g(x) = L</math>.  
:<math>\lim_{x \to 0^+} x^{-n} =\lim \frac{1}{x^n}= +\infty</math>  
:<math>\lim_{x \to 0^-} x^{-n} =\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^n} =\begin{cases} -\infty, & \text{if } n \text{ is odd} \\ +\infty, & \text{if } n \text{ is even}\end{cases} </math>  
:<math>\lim_{x\to\infty} ax^{-1}=\lim_{x\to\infty}a/x=0 \text{ for any real }a </math>  

## அடுக்கேற்றச் சார்புகள்

### *a<sup>g(x)</sup>* வடிவச் சார்புகள்
:<math>\lim_{x \to c} e^{x} = e^c </math> (<math>e^{x} </math> தொடர்ச்சியான சார்பு என்பதால்)  
:<math>\lim_{x\to\infty}a^x=\begin{cases} \infty, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ 0, & 0 < a < 1 \end{cases}</math>  
:<math>\lim_{x\to\infty}a^{-x}=\begin{cases} 0, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ \infty, & 0 < a < 1 \end{cases}</math>  
:<math>\lim_{x\to+\infty} \(1-\frac{1}{x}\)^x=\frac{1}{e}</math>  
:<math>\lim_{x\to+\infty} \(1+\frac{k}{x}\)^{mx}=e^{mk} </math>  
:<math> \lim_{x \to 0} \(1+ a \({e^{-x} - 1}\)\)^{-\frac{1}{x}} = e^{a}  
\qquad</math>.  

### கூட்டுத்தொகை, பெருக்கற்பலன், கூட்டமைவுகள்

:<math>\lim_{x \to 0} x e^{-x} = 0 </math>  
:<math>\lim_{x \to \infty} x e^{-x} = 0 </math>  
:<math>\lim_{x \to 0} \( \frac{a^x - 1}{x} \) = \ln{a}, \qquad \forall~a > 0</math>  
:<math>\lim_{x \to 0} \( \frac{e^x - 1}{x} \) = 1 </math>  
:<math>\lim_{x \to 0} \( \frac{e^{ax} - 1}{x} \) = a </math>  

## மடக்கைச் சார்புகள்

### இயல் மடக்கைகள்
<math>\ln {x} </math> இன் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:  
:<math>\lim_{x \to c} \ln{x} = \ln c </math> குறிப்பாக,  
::<math>\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty</math>  
::<math>\lim_{x\to\infty}\log x=\infty</math>  
:<math>\lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1}=1</math>  
:<math>\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1</math>  
:<math> \lim_{x \to 0} \frac{-\ln\(1+ a \({e^{-x} - 1}\)\)}{x} = a</math>. (லாபிதாலின் விதியின்படி பெறப்படுகிறது)  
:<math>\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0</math>  
:<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0</math>  

### குறிப்பிலா அடிமான மடக்கைகள்
*a* > 1 எனில்:  
:<math>\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty</math>  
:<math>\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty</math>  

*a* < 1 எனில்:  
:<math>\lim_{x \to 0^+} \log_a x = \infty</math>  
:<math>\lim_{x \to \infty} \log_a x = -\infty</math>  

## முக்கோணவியல் சார்புகள்
<math>x</math> ஆனது ரேடியன்களில் குறிக்கப்படுகிறது. சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகளின் தொடர்ச்சித்தன்மையால்:  
:<math>\lim_{x \to a} \sin x = \sin a</math>  
:<math>\lim_{x \to a} \cos x = \cos a</math>  

:<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math>. அல்லது பொதுவாக,  
::<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1</math>, (*a* ≠ 0)  
::<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a</math>  
::<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}</math>, (*b* ≠ 0)  

:<math>\lim_{x \to \infty} x\sin \(\frac1x\) = 1</math>  
:<math>\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0</math>  

:<math>\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}</math>  

:<math>\lim_{x \to n^\pm} \tan \(\pi x + \frac{\pi}{2}\) = \mp\infty</math> (*n* ஒரு முழு எண்)  
:<math>\lim_{n\to \infty }\ \underbrace{\sin\ \sin\ \ldots \sin(x_0)}_n= 0</math> (x<sub>0</sub> ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)  
:<math>\lim_{n\to \infty }\ \underbrace{\cos\ \cos\ \ldots \cos(x_0)}_n= d</math>, ( d டோத்தி எண், x<sub>0</sub> ஒரு குறிப்பிலா மெய் எண்)  

## கூட்டுத்தொகைகள்
பொதுவாக எந்தவொரு முடிவுறாத் தொடரும் அதன் பகுதிக் கூட்டல்களின் எல்லையாக இருக்கும்.  
:<math>\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\infty</math>. இது இசைத் தொடர் என அறியப்படுகிறது.  
:<math>\lim_{n\to\infty}\( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n\)=\gamma</math>. இது ஆய்லர் மசுசேரோனி மாறிலி (Euler Mascheroni constant) என அறியப்படுகிறது.  

## குறிப்பிடத்தக்கச் சிறப்பு எல்லைகள்
:<math>\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e</math>  
:<math>\lim_{n\to\infty}\(n!\)^{1/n}=\infty</math>  
:<math>\lim_{n\to \infty }\, 2^{n} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...} +\sqrt{2}}}}}_n= \pi</math>.