# 2 × 2 அணியின் வர்க்கமூலம்

**2 x 2 அணியொன்றின் வர்க்கமூல அணி**யானது, (*square root of a 2x2 matrix*) மற்றொரு 2 x 2 அணியாகவும், மேலும் அதனை அதனோடு பெருக்கக் கிடைக்கும் அணி மூல அணியாகவும் அமையும்.  

:2 x 2 அணி *R* இன் வர்க்கமூல அணி *M* எனில், அது ஒரு 2 x 2 அணியாகவும் *M* = *R*<sup>2</sup> என்பதை நிறைவு செய்யும் அணியாகவும் இருக்கும்.  

ஒரு 2 × 2 அணிக்கு வர்க்கமூலங்களே இல்லாமல் இருக்கலாம் அல்லது இரண்டு, நான்கு, ஆறு ... என இரட்டை எண்ணிக்கையிலான எண்ணற்ற வர்க்கமூலங்களும் இருக்கலாம். பூச்சியமற்ற இரு வெவ்வேறான ஐகென் மதிப்புகளைக் கொண்ட ஒரு 2 × 2 அணிக்கு நான்கு வர்க்கமூலங்கள் இருக்கும். ஒரு நேர்ம-வரைவு அணியின் வர்க்கமூலங்களில் ஒன்றுமட்டுமே நேர்ம-வரைவு அணியாக இருக்கும்.  

எல்லா வரிசை அணிகளுக்கும் அவற்றின் வர்க்கமூலங்கள் சோடிகளாக அமையும். *R* என்பது *M* இன் ஒரு வர்க்கமூலம் எனில், –*R* உம் *M* இன் மற்றொரு வர்க்கமூலமாக இருக்கும் ((–*R*)(–*R*) = (–1)(–1)(*RR*) = *R*<sup>2</sup> = *M*).  

## வாய்பாடு
:<math>M = \( \begin{array}{cc} A & B \\ C & D \end{array}\)</math>  
:*A*, *B*, *C*, *D* என்பன மெய்யெண்களாகவோ சிக்கலெண்களாகவோ இருக்கலாம்.  
:*τ = A + D* என்பது *M* இன் சுவடு.  
:*δ = AD - BC* என்பது *M* இன் அணிக்கோவை.  
:*s* என்பது *s*<sup>2</sup> = *δ*,  
:*t* என்பது *t*<sup>2</sup> = *τ* + 2*s*.  
:<math>s = \pm\sqrt{\delta} , \quad \quad t = \pm \sqrt{\tau + 2 s}.</math>  

*t* ≠ 0 எனில் *M* இன் வர்க்கமூல அணி:  

:<math>  
R = \frac{1}{t} \( \begin{array}{cc} A + s & B \\ C & D + s \end{array}\).  
</math>  

*R* இன் வர்க்கம் *M* ஆகவுள்ளதைக் காணலாம்:  
:<math>  
\begin{array}{rcl}  
R^2  
&=&  
\displaystyle \frac{1}{t^2}  
\( \begin{array}{cc} (A + s)^2 + B C & (A + s)B + B(D + s) \\ C(A + s) + (D + s)C & (D + s)^2 + B C \end{array}\)\\[3ex]  
{}  
&=&  
\displaystyle \frac{1}{A + D + 2 s}  
\( \begin{array}{cc} A(A + D + 2s) & (A + D + 2s)B \\ C(A + D + 2 s) & D(A + D + 2 s) \end{array}\) \;=\;  
M.  
\end{array}  
</math>  
*M* இன் உறுப்புகள் எல்லாம் மெய்யெண்களாக இருந்தாலும் *R* இன் உறுப்புகள் சிக்கலெண்களாகவும் இருக்கலாம். அணிக்கோவை *δ* இன் மதிப்பு எதிர்மமாக இருக்கும்போது இவ்வாறு அமையக்கூடும். *s>0* , *t>0* எனில் *R* நேர்மமாக இருக்கும்.  

### சிறப்பு நிலைகள்
- *M* ஒரு தன்னடுக்கு அணி அணியாக இருந்து (*MM* = *M*), அதேசமயம் முற்றொருமை அணியாக இல்லையெனில், அதன் அணிக்கோவை மதிப்பு பூச்சியமாகவும், அதன் சுவட்டின் மதிப்பும் தரமும் சமவளவினவையாக 1 ஆக இருக்கும் (பூச்சிய அணி தவிர்த்து). இந்நிலையில் மேலுள்ள வாய்பாட்டில் *s* = 0 <math>\tau</math> = 1 ஆக அமையும். இதனால், அணி *M* இன் வர்க்கமூலங்களாக *M* , -*M* இரண்டு மட்டுமே கிடைக்கும்.

- *s* மற்றும் *t* இன் குறிகள் ஒவ்வொன்றைக்கும் நான்கு வெவ்வேறான வர்க்கமூலங்கள் (*R*) கிடைக்கும்.
- அணிக்கோவை *δ* இன் மதிப்பு பூச்சியமாகவும், சுவடு *τ* பூச்சியமற்றதாகவும் இருந்தால் மேற்படி வாய்ப்பாட்டின் மூலம் வெவ்வேறான இரு வர்க்கமூலங்கள் மட்டுமே கிடைக்கும்.
- *δ* பூச்சியமற்றதாகவும் *τ*<sup>2</sup> = 4*δ* எனவும் இருக்கும்போதும் வெவ்வேறான இரு வர்க்கமூலங்கள் மட்டுமே கிடைக்கும். இதில் *s* இன் ஏதேனும் ஒரு குறிக்கு வாய்பாட்டின் பகுதியான *t* இன் மதிப்பு பூச்சியமாகிவிடும்.
- *δ* , *τ* இரண்டின் மதிப்புகளும் பூச்சியமாக இருக்கும்போது மேற்காணும் வாய்பாடு பயனற்றதாகிவிடும். அதாவது, *D* = −*A* மற்றும் *A*<sup>2</sup> = −*BC* ஆக இருந்தால் அணிக்கோவை *δ* மற்றும் சுவடு *τ* இரண்டின் மதிப்பும் பூச்சியமாக இருக்கும். இந்நிலையில்

*M* ஒரு பூச்சிய அணியாக இருந்தால் (*A* = *B* = *C* = *D* = 0):  
:*b* , *c* இரண்டின் ஏதேனும் மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு  
:<math>R = \( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ c & 0 \end{array}\) \quad \text{and} \quad R = \( \begin{array}{cc} 0 & b \\ 0 & 0 \end{array}\)  
</math> ஆகிய இரு வர்க்கமூலங்களோடு பூச்சிய அணியும் *M* இன் வர்க்கமூலமாக இருக்கும்.  

மற்றபடி, *M* அணிக்கு வர்க்கமூலம் இருக்காது.  

### சிறப்புவகை அணிகளுக்கான வாய்பாடுகள்
#### மூலைவிட்ட அணி
*M* ஒரு மூலைவிட்ட அணியாக (*B* = *C* = 0) இருந்தால் கீழ்க்காணும் எளிதாக்கப்பட்ட வாய்ப்பாட்டின் மூலம் அதன் வர்க்கமூலத்தைக் காணலாம்:  
:<math>  
R = \( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 0 & d \end{array}\)  
</math>  
:*a* = ±√*A*  
:*d* = ±√*D*  

*a* , *d* இன் மதிப்புகளுக்கு எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குறிகளைப் பொறுத்து, *A* மற்றும் *D* இரண்டில் எதுவுமே பூச்சியமில்லை அல்லது ஏதேனும் ஒன்று மட்டும் பூச்சியம் அல்லது இரண்டுமே பூச்சியம் எனில் முறையே, நான்கு அல்லது இரண்டு அல்லது ஒரு வெவ்வேறான வர்க்கமூல அணிகள் கிடைக்கும்.  

#### முற்றொருமை அணி
2 × 2 முற்றொருமை அணி <math>\bigl( \begin{smallmatrix}\\ 1&0\\ 0&1\end{smallmatrix} \bigr)</math> முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான கீழ்வரும் சமச்சீர் விகிதமுறு வர்க்கமூலங்கள் கொண்டுள்ளது:  
:<math>\tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\s&r\\ r&-s\end{smallmatrix} \bigr),</math> <math> \tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\ s&-r\\- r&-s\end{smallmatrix} \bigr),</math> <math> \tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\ -s&r\\ r&s\end{smallmatrix} \bigr),</math> <math> \tfrac{1}{t}\bigl( \begin{smallmatrix}\\ -s&-r\\ -r&s\end{smallmatrix} \bigr),</math> <math> \bigl( \begin{smallmatrix}\\ 1&0\\ 0&\pm 1\end{smallmatrix} \bigr),</math> and <math>\bigl( \begin{smallmatrix}\\ -1&0\\ 0& \pm 1\end{smallmatrix} \bigr),</math>  
என்பன பித்தகோரசு மும்மைகளாகும். அதாவது, <math>r^2 + s^2 = t^2.</math> என்ற முடிவை நிறைவு செய்யும் நேர்ம முழுஎண்களாகும். மேலும் <math>r^2 + s^2 = t^2</math> முடிவை நிறைவு செய்யும் *r, s, t* -இன் முழுஎண்கள் அல்லாத விகிதமுறா, சிக்கலெண் மதிப்புகளும் முற்றொருமை அணியின் வர்க்கமூலங்களைத் தரும். முற்றொருமை அணிக்கு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான சமச்சீரற்ற வர்க்கமூலங்களும் உண்டு.  

#### முதன்மையற்ற மூலைவிட்ட உறுப்பொன்றைப் பூச்சியமாகக்கொண்ட அணி
முதன்மையற்ற மூலைவிட்ட உறுப்பொன்றைப் பூச்சியமாகக்கொண்ட 2 x 2 அணி (*B* = 0; *A* , *D* ≠ 0) எனில் கீழ்வரும் வாய்ப்பாட்டின் மூலம் அதன் வர்க்கமூலம் காணலாம்:  

:<math>  
R = \( \begin{array}{cc} a & 0 \\ C/(a + d) & d \end{array}\).  
</math>  

இவ்வாய்ப்பாட்டின் மூலம் *A* = *D* எனும்போது இரு வர்க்கமூலங்களும் மற்றபடி நான்கு வர்க்கமூலங்களும் கிடைக்கும். *C* = 0; *A* , *D* ≠ 0 எனும்போதும் இதுபோன்ற வாய்ப்பாட்டின் மூலம் வர்க்கமூலங்களைக் காணலாம்.