# இசைத் தொடர் (கணிதம்)

கனிதத்தில், **இசைத் தொடர்** (*harmonic series*) என்பது, அனைத்து நேர்ம அலகு பின்னங்களின் கூடுதலாக அமையும் கணிதத் தொடராகும்:  
<math display=block>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots.</math>  

இத்தொடரின் முதல் <math>n</math> உறுப்புகளின் கூட்டுதொகை தோராயமாக:  
: <math>\ln n + \gamma.</math>  
இதில், <math>\ln</math> இயல் மடக்கை; <math>\gamma\approx0.577,</math> ஆய்லரின் மாறிலி. மடக்கையின் மதிப்புகள் மிகப்பெரியவையாக இருக்கும் என்பதால் இத்தொடருக்கு முடிவுறு எல்லைமதிப்பு இல்லை. இத்தொடர் ஒரு விரி தொடர். இது ஒரு விரியும் தொடர் என்பது 14 ஆம் நூற்றாண்டில் நிக்கோல் ஓரேசுமே என்ற பிரெஞ்சு மெய்யியலாளரால் நிறுவப்பட்டது.  

## வரலாறு

இசைத் தொடர் என்ற பெயர் இசையின் இசையங்களிலிருந்து (மேற்சுரங்கள்) பெறப்பட்டது. அதிர்கின்ற இழையொன்றின் இசையங்களின் அலைநீளங்கள், அந்த இழையின் அடிப்படை அலைநீளத்தின் ... பங்குகளாக இருக்கும்.  
ஒரு இசைத் தொடரின் முதல் உறுப்பு தவிர்த்த ஏனைய உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் அதனதன் அண்டை உறுப்புகளின் இசைச் சராசரியாக இருக்கும். எனவே இசைத்தொடரின் உறுப்புகளெல்லாம் ஒரு இசைத் தொடர்வரிசையாக அமைகின்றன. "இசைச் சராசரி", "இசைத் தொடர்வரிசை" ஆகிய இரு சொற்களுமே இசையிலிருந்து பெறப்பட்டவையே.  

இசைத் தொடரின் விரிகை முதன்முதலில் 1350 களில் நிக்கோல் ஓரேசுமே என்ற பிரெஞ்சு மெய்யியலாளரால் நிறுவப்பட்டது. அக்காலத்தில், ஓரேசுமேயின் இசைத் தொடர் ஆய்வுகளும், அவரது சமகாலத்திய ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் "ரிச்சர்டு சுவைன்ஹெட்" என்பாரின் வேறொரு தொடர் குறித்த ஆய்வுகளுமே, பெருக்குத் தொடர் தவிர, கணிதத்தில் அறியப்பட்ட பிற முடிவுறாத் தொடர்களாக இருந்தன. எனினும் இந்த ஆய்வுகள் தெளிவற்றவையாயிருந்தன. 17 ஆம் நூற்றாண்டில், இத்தாலியக் கணிதவியலாளர் பியாட்ரோ மென்கோலி, ஜேக்கப் பெர்னோலி இருவரும் இத்தொடர் குறித்த மேலதிக நிறுவல்களை நிறுவினர்.  

பெர்னோலி, அந்நிறுவலைத் தன் சகோதரரான ஜோஹன் பெர்னோலி நிறுவியதாக அறிவித்தார். அந்நிறுவல், பின்னாளில் ஜோஹன் பெர்னோலியின் பணிகளின் சேகரிப்பில் இணைக்கப்பட்டது.  

1968 இல் டொனால்ட் குனுத், இசைத் தொடரின் பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகளுக்கு "இசை எண்கள்" என்ற பெயரளித்து, அவற்றுக்கு <math>H_n</math> என்ற குறியீட்டையும் வழங்கினார் .  

## வரையறையும் விரிகையும்
இசைத்தொடரானது அனைத்து உறுப்புகளையும் நேர்ம அலகு பின்னங்களாகக் கொண்ட முடிவிலாத் தொடர்:  

:<math display=block>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots</math>  

இதன் பெரும்பாலான உறுப்புகள் தொடரின் பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகளில் உள்ளன; மேலும் இப்பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகளின் மதிப்பு, முடிவுறு எல்லையில்லாமல் அதிகரிக்குமாதலால் இது ஒரு விரிதொடராக இருக்கும். இது ஒரு விரிதொடரென நிறுவ, பல வேறுபட்ட நிறுவல்கள் உள்ளன. அவற்றுள் "ஒப்பீட்டு தேர்வு", தொகையீடு தேர்வு" ஆகிய இரண்டும் சிறந்ததாகும்.  

### ஒப்பீட்டு தேர்வு

ஒரு உறுப்பின் பகுதியிலுள்ள இரண்டின் அடுக்கைவிட அடுத்தப் பெரிய இரண்டின் அடுக்கைப் பகுதியாக கொண்டு பெறப்படும் உறுப்பை அடுத்தடுத்த உறுப்பாக எடுத்துக்கொண்ட மற்றொரு விரிதொடரோடு ஒப்பிடுவதன் மூலம், இசைத்தொடரின் விரிகையை நிறுவலாம்.  

<math display=block>\begin{alignat}{8}  
1 & + \frac{1}{2} && + \frac{1}{3} && + \frac{1}{4} && + \frac{1}{5} && + \frac{1}{6} && + \frac{1}{7} && + \frac{1}{8} && + \frac{1}{9} && + \cdots \\[5pt]  

{} \geq 1 & + \frac{1}{2} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{4}}} && + \frac{1}{4} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{8} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{16}}} && + \cdots \\[5pt]  
\end{alignat}</math>  

இரண்டாவது தொடரின் சமமான உறுப்புகளைத் தொகுக்க, அத்தொடர் ஒரு விரிதொடராக அமைவதைக் காணலாம்:  

<math display=block>\begin{align}  
& 1 + \(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\) + \(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\) + \(\frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16}\) + \cdots \\[5pt]  
{} = {} & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots.  
\end{align}</math>  

இசைத்தொடரின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் ஒப்பீட்டுக்கு எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட தொடரின் ஒத்த உறுப்புகளைவிடப் பெரியவையாக உள்ளன; மேலும் இரண்டாவது தொடர் ஒரு விரி தொடராக உள்ளது. எனவே இசைத்தொடரும் விரிதொடராக இருக்குமென்பதை அறியலாம். இதே விவாதத்தைக்கொண்டு, கீழ்வரும் முடிவும் உண்மை என்பதை வலுவாக நிறுவலாம்:  

<math>k</math>, ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில்:  
<math display=block>\sum_{n=1}^{2^k} \frac{1}{n} \geq 1 + \frac{k}{2}</math>  

இதுவே, 1350 களில் நிக்கோலெ ஒரேசேமே அளித்த நிறுவலாகும்.  

:<math>H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}.</math>  

### அதிகரிப்பு வீதம்
இசை எண்கள், மடக்கை அதிகரிப்புடன் மிக மெதுவாக அதிகரிக்கின்றன. தொகையீட்டுத் தேர்வில் இதனைக் காணலாம்.  

மேலும் நுட்பமாக ஆய்லர்-மெக்லாரின் வாய்பாட்டின்படி:  
<math display=block>H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \varepsilon_n</math>  
இதில். <math>\gamma\approx 0.5772,</math> ஆய்லரின் மாறிலி; <math>n</math> முடிவிலியை அணுகும்போது, <math>0\le\varepsilon_n\le 1/8n^2</math> இன் மதிப்பு '0' ஐ அணுகும்.  

### வகுபடும்தன்மை
ஐத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் ஒரு முழு எண் அல்ல.  

<math>H_n</math> முழுவெண் அல்ல என்பதை நிரூபிக்க, <math>2^k</math> என்ற வரையிலமைந்த மிகப்பெரிய இரண்டின் அடுக்கை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்; எண்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கு <math>M</math> எனில், <math>H_k</math> ஐ சம பகுதிகளைக் கொண்ட பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்:  

<math display=block>H_n=\sum_{i=1}^n \tfrac{M/i}{M}</math>  
இப்பின்னங்களின் தொகுதிகளில் என்ற ஒன்றுமட்டுமே ஒற்றைப்படை எண்ணாகவும் மற்றவையெல்லாம் இரட்டைப்படை எண்ணாகவும் இருக்கும். மேலும் எனில், <math>M</math> என்பதே இரட்டைப்படையாக இருக்கும். எனவே இப்பின்னங்கள் அனைத்தும் ஒற்றைப்படைத் தொகுதிகளையும் இரட்டைப்படைப் பகுதிகளையும் கொண்டிருக்கும். எனவே <math>H_n</math> முழுஎண்ணாக இருக்காது.