# இசை எண்

); <math>n=\lfloor x \rfloor</math> (சிவப்புக்கோடு).]]  

கணிதத்தில், -ஆவது **இசை எண்** (*harmonic number*) என்பது, முதல் இயல் எண்களின் தலைகீழிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்:  
<math display="block">H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n} =\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}.</math>  

, இலிருந்து தொடங்கும் இசை எண்கள் தொடர்வரிசை::  
<math display="block">1, \frac{3}{2}, \frac{11}{6}, \frac{25}{12}, \frac{137}{60}, \dots</math>  

-ஆவது இசை எண்ணானது, நேர்ம முழுஎண்களின் இசைச் சராசரியின் தலைகீழியின் மடங்காக இருக்கும்.  

பழங்காலம் முதற்கொண்டு இசை எண்கள் ஆய்வு செய்யப்பட்டு வருகின்றன; எண் கோட்பாட்டின் பல பிரிவுகளில் இசை எண்கள் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவையாக உள்ளன. ரீமன் இசீட்டா சார்பியத்தோடு நெருங்கிய தொடர்புள்ளவை. மேலும், பல சிறப்புச் சார்புகளின் கோவைவைகளில் இடம்பெற்றுள்ளன.  

இசை எண்கள் தோராயமாக, இயல் மடக்கைச் சார்பாக உள்ளன.  

**முதல் 40 இசை எண்கள்**

| பின்ன வடிவில் | தசம வடிவில் | சார் அளவு |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 |  |  |  |
| 2 | 3 | /2 |  |  |
| 3 | 11 | /6 | ~ |  |
| 4 | 25 | /12 | ~ |  |
| 5 | 137 | /60 | ~ |  |
| 6 | 49 | /20 |  |  |
| 7 | 363 | /140 | ~ |  |
| 8 | 761 | /280 | ~ |  |
| 9 | 7&thinsp;129 | /2&thinsp;520 | ~ |  |
| 10 | 7&thinsp;381 | /2&thinsp;520 | ~ |  |
| 11 | 83&thinsp;711 | /27&thinsp;720 | ~ |  |
| 12 | 86&thinsp;021 | /27&thinsp;720 | ~ |  |
| 13 | 1&thinsp;145&thinsp;993 | /360&thinsp;360 | ~ |  |
| 14 | 1&thinsp;171&thinsp;733 | /360&thinsp;360 | ~ |  |
| 15 | 1&thinsp;195&thinsp;757 | /360&thinsp;360 | ~ |  |
| 16 | 2&thinsp;436&thinsp;559 | /720&thinsp;720 | ~ |  |
| 17 | 42&thinsp;142&thinsp;223 | /12&thinsp;252&thinsp;240 | ~ |  |
| 18 | 14&thinsp;274&thinsp;301 | /4&thinsp;084&thinsp;080 | ~ |  |
| 19 | 275&thinsp;295&thinsp;799 | /77&thinsp;597&thinsp;520 | ~ |  |
| 20 | 55&thinsp;835&thinsp;135 | /15&thinsp;519&thinsp;504 | ~ |  |
| 21 | 18&thinsp;858&thinsp;053 | /5&thinsp;173&thinsp;168 | ~ |  |
| 22 | 19&thinsp;093&thinsp;197 | /5&thinsp;173&thinsp;168 | ~ |  |
| 23 | 444&thinsp;316&thinsp;699 | /118&thinsp;982&thinsp;864 | ~ |  |
| 24 | 1&thinsp;347&thinsp;822&thinsp;955 | /356&thinsp;948&thinsp;592 | ~ |  |
| 25 | 34&thinsp;052&thinsp;522&thinsp;467 | /8&thinsp;923&thinsp;714&thinsp;800 | ~ |  |
| 26 | 34&thinsp;395&thinsp;742&thinsp;267 | /8&thinsp;923&thinsp;714&thinsp;800 | ~ |  |
| 27 | 312&thinsp;536&thinsp;252&thinsp;003 | /80&thinsp;313&thinsp;433&thinsp;200 | ~ |  |
| 28 | 315&thinsp;404&thinsp;588&thinsp;903 | /80&thinsp;313&thinsp;433&thinsp;200 | ~ |  |
| 29 | 9&thinsp;227&thinsp;046&thinsp;511&thinsp;387 | /2&thinsp;329&thinsp;089&thinsp;562&thinsp;800 | ~ |  |
| 30 | 9&thinsp;304&thinsp;682&thinsp;830&thinsp;147 | /2&thinsp;329&thinsp;089&thinsp;562&thinsp;800 | ~ |  |
| 31 | 290&thinsp;774&thinsp;257&thinsp;297&thinsp;357 | /72&thinsp;201&thinsp;776&thinsp;446&thinsp;800 | ~ |  |
| 32 | 586&thinsp;061&thinsp;125&thinsp;622&thinsp;639 | /144&thinsp;403&thinsp;552&thinsp;893&thinsp;600 | ~ |  |
| 33 | 53&thinsp;676&thinsp;090&thinsp;078&thinsp;349 | /13&thinsp;127&thinsp;595&thinsp;717&thinsp;600 | ~ |  |
| 34 | 54&thinsp;062&thinsp;195&thinsp;834&thinsp;749 | /13&thinsp;127&thinsp;595&thinsp;717&thinsp;600 | ~ |  |
| 35 | 54&thinsp;437&thinsp;269&thinsp;998&thinsp;109 | /13&thinsp;127&thinsp;595&thinsp;717&thinsp;600 | ~ |  |
| 36 | 54&thinsp;801&thinsp;925&thinsp;434&thinsp;709 | /13&thinsp;127&thinsp;595&thinsp;717&thinsp;600 | ~ |  |
| 37 | 2&thinsp;040&thinsp;798&thinsp;836&thinsp;801&thinsp;833 | /485&thinsp;721&thinsp;041&thinsp;551&thinsp;200 | ~ |  |
| 38 | 2&thinsp;053&thinsp;580&thinsp;969&thinsp;474&thinsp;233 | /485&thinsp;721&thinsp;041&thinsp;551&thinsp;200 | ~ |  |
| 39 | 2&thinsp;066&thinsp;035&thinsp;355&thinsp;155&thinsp;033 | /485&thinsp;721&thinsp;041&thinsp;551&thinsp;200 | ~ |  |
| 40 | 2&thinsp;078&thinsp;178&thinsp;381&thinsp;193&thinsp;813 | /485&thinsp;721&thinsp;041&thinsp;551&thinsp;200 | ~ | } |

## இசை எண்களைக் கொண்டுள்ள முற்றொருமைகள்
இசை எண்களின் மீள்வரு தொடர்பு:  
<math display="block"> H_{n + 1} = H_{n} + \frac{1}{n + 1}.</math>  

இசை எண்களுக்கும் இசுடர்லிங் சுழல் எண்ணுக்குமுள்ள தொடர்பு  
<math display="block"> H_n = \frac{1}{n!}\[{n+1 \atop 2}\]. </math>  

இசை எண்கள் நிறைவுசெய்யும் முற்றொருமைகள்:  
<math display="block"> \sum_{k=1}^n H_k = (n+1) H_{n} - n</math>  

<math display="block">\sum_{k=1}^n H_k^2 = (n+1)H_{n}^2 - (2 n +1) H_n + 2 n.</math>  

இவ்விரண்டும் ஒத்துள்ள தொகையீட்டு முடிவுகள்:  
<math display="block">\int_0^x \log y \ d y = x \log x - x;</math>  

<math display="block">\int_0^x (\log y)^2\ d y = x (\log x)^2 - 2 x \log x + 2 x.</math>  

### உடனான முற்றொருமைகள்
இசை எண்களையும் [[பை (கணித மாறிலி)|]] இன் அடுக்குகளையும் கொண்ட பல முடிவுறாக் கூட்டுத்தொகைகள் உள்ளன:  
<math display="block">\begin{align}  
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n\cdot 2^n} &= \frac{\pi^2}{12} \\  
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{(n+1)^2} &= \frac{11}{360}\pi^4 \\  
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^2}{(n+1)^2} &= \frac{11}{360}\pi^4 \\  
\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^3} &= \frac{\pi^4}{72}  
\end{align}</math>  

## கணக்கீடு
H_n, க்கான ஆய்லர் தொகையீட்டு வடிவம்:  
<math display="block"> H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx. </math> (முற்றொருமை:<math> \frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\cdots +x^{n-1}.</math>)  

எனப் பதிலிட:  
<math display="block">\begin{align}  
H_n &= \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx = \int_0^1\frac{1-(1-u)^n}{u}\,du \\[6pt]  
&= \int_0^1\[\sum_{k=1}^n \binom nk (-u)^{k-1}\]\,du  
= \sum_{k=1}^n \binom nk \int_0^1 (-u)^{k-1}\,du \\[6pt]  
&= \sum_{k=1}^n \binom nk \frac{(-1)^{k-1}}{k}.  
\end{align}  
</math>  

க்குமுள்ள தொடர்பை விளக்கும் வரைபடம். ஐ ரீமான் கூட்டுத்தொகையாகக் கொள்ளலாம்: <math>\int_1^{n+1} \frac{dx}{x} = \ln(n+1).</math>]]  
ஆவது இசை எண் கிட்டத்தட்ட இன் இயல் மடக்கையளவு பெரியதாக இருக்குமென்பதால் மேலுள்ள கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பு  
<math display="block">\int_1^n \frac{1}{x}\, dx,</math> என்ற தொகையீட்டுக்குச் சமமாக இருக்கு; இத்தொகையீட்டின் மதிப்பு  
ஆகும்.  

எனவே, என்ற தொடர்வரிசை கீழுள்ளவாறான எல்லைக்கு ஒருபோக்காகக் குறையும்:  
<math display="block"> \lim_{n \to \infty} \(H_n - \ln n\) = \gamma,</math>  
இதிலுள்ள என்பது ஆய்லரின் மாறிலி.  

<math display="block">\begin{align}  
H_n &\sim \ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}\\  
&=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots,  
\end{align}</math>  
இதிலுள்ள என்பவை பெர்னோலி எண்கள்..  

## பிறப்பிக்கும் சார்புகள்
இசை எண்களுக்கான பிறப்பாக்கி:  
:<math>\sum_{n=1}^\infty z^n H_n = \frac {-\ln(1-z)}{1-z},</math> (ln(*z*) - இயல் மடக்கை).  

அடுக்கப் பிறப்பிக்கும் சார்பு:  
:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n!} H_n = e^z \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k} \frac {z^k}{k!} = e^z \operatorname{Ein}(z),</math> (Ein(*z*) என்பது அடுக்கத் தொகையீடு).  

அடுக்கத் தொகையீட்டைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்:  
:<math>\operatorname{Ein}(z) = \mathrm{E}_1(z) + \gamma + \ln z = \Gamma (0,z) + \gamma + \ln z</math> ( Γ(0, *z*) என்பது முழுமையற்ற காமா சார்பு).  

## வகுபடும்தன்மை
ஐத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் ஒரு முழு எண் அல்ல.  

<math>H_n</math> முழுவெண் அல்ல என்பதை நிரூபிக்க, <math>2^k</math> என்ற வரையிலமைந்த மிகப்பெரிய இரண்டின் அடுக்கை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்; எண்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கு <math>M</math> எனில், <math>H_k</math> ஐ சம பகுதிகளைக் கொண்ட பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்:  

<math display=block>H_n=\sum_{i=1}^n \tfrac{M/i}{M}</math>  
இப்பின்னங்களின் தொகுதிகளில் என்ற ஒன்றுமட்டுமே ஒற்றைப்படை எண்ணாகவும் மற்றவையெல்லாம் இரட்டைப்படை எண்ணாகவும் இருக்கும். மேலும் எனில், <math>M</math> என்பதே இரட்டைப்படையாக இருக்கும். எனவே இப்பின்னங்கள் அனைத்தும் ஒற்றைப்படைத் தொகுதிகளையும் இரட்டைப்படைப் பகுதிகளையும் கொண்டிருக்கும். எனவே <math>H_n</math> முழுஎண்ணாக இருக்காது.