# 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·


, ]]  

கணிதத்தில் என்ற தொடரானது, ஓர் எளிய தனி ஒருங்கு தொடராகவுள்ளதொரு பெருக்குத் தொடராகும். இத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை 1.  
கூட்டுகைக் குறியீட்டில், இத்தொடரின் வடிவம்:  
:<math>\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots = \sum_{n=1}^\infty \({\frac 12}\)^n = 1. </math>  

## நிறுவல்

மற்ற முடிவிலாத் தொடர்களைப் போன்றே,  
:<math>\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots</math> இன் கூட்டுதொகையும் அதன் முதல் உறுப்புகளாலான தொடர்  
:<math>s_n=\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}</math> இல், முடிவிலியை அணுகும்போதான எல்லைமதிப்பாகக் கணிக்கப்படுகிறது:  

:<math>s_n=\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n} = 1-\frac{1}{2^{n}}.</math>\] = 1+\[s_n-\frac{1}{2^{n}}\].</math> Subtracting from both sides, one concludes <math>s_n = 1-\frac{1}{2^{n}}.</math> Other arguments might proceed by கணிதத் தொகுத்தறிதல், or by adding <math>\frac{1}{2^n}</math> to both sides of <math>s_n=\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}</math> and manipulating to show that the side of the result is equal to 1.}}  

:<math>\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots = \lim_{n\to\infty} 1-\frac{1}{2^{n}}</math>  

, முடிவிலியை நெருங்கும்போது the term <math>\frac{1}{2^{n}}</math> இன் மதிப்பு பூச்சியத்தை நெருங்கும். எனவே,  

:<math>\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots = 1.</math>  

## வரலாறு
### சீனோவின் முரண்போலி
சீனோவின் பல முரண்போலிகளில் இத்தொடர் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  

எடுத்துக்காட்டாக,  

- "அக்கீலியசும் ஆமையும்" என்ற முரண்போலியில்,
:அக்கீலியசு, ஓர் ஆமையுடன் போட்டிபோட வேண்டும். தடகளம் 100 மீட்டர் நீளமுள்ளது. ஒரு தாண்டலில் அக்கிலீயசு ஒரு தாண்டலில் கடக்கும் தூரத்தில் (10மீ கடந்தால்), ஆமை அதில் பாதியளவு (5மீ) கடக்க முடியும் என்பதே போட்டியின் விதி. பந்தயத்தைத் துவக்கும்போது ஆமை, அக்கீலியசைவிட 10மீ முன்னதாக நிற்குமானால், ஆமைதான் வெற்றிபெறுமென்பதே சீனோவின் வாதம். 10மீ தள்ளியிருக்கும் ஆமையைப்பிடிக்க அக்கிலீயசு 10மீ தாண்டினால், ஆமை தனது முதல் முயற்சியில் 5மீ தாண்டியிருக்கும். இப்போது, அக்கீலியசு 5மீ தாண்டினால், ஆமை 2.5மீ தாண்டியிருக்கும். இவ்வாறு தாண்டல்கள் தொடரத்தொடர, எந்நிலையிலும் ஆமையே முன்னால் இருக்குமென்பதே சீனோவின் வாதம்.  

- இணை முரண்போலியின் படி:

:ஒரு நபர், குறிப்பிட்ட தூரத்தைக் கடக்கும்போது, அத்தூரத்தில் பாதியளவு, நாலில் ஒரு பங்கு, எட்டில் ஒரு பங்கு, 16 இல் ஒரு பங்கு எனச் சிறுசிறு தூரங்களைத் தொடர்ந்து கடக்கிறார். எனவே அவர் கடந்த மொத்த தூரமானது முடிவற்ற எண்ணிக்கைகையிலான இச்சிறுசிறு தூரங்களின் கூடுதலாக அமையும். இச்சிறுதூரங்கள் எல்லாம் கூட்டுத்தை முடிவுறு எண்ணாகக்கொண்ட, ஒரு முடிவிலாப் பெருக்குத் தொடராகவுள்ளதைக் காணலாம்.  

<timeline>  
ImageSize= width:800 height:100  
PlotArea= width:720 height:55 :65 bottom:20  
AlignBars= justify  
Period= from:0 till:100  
TimeAxis= orientation:horizontal  
ScaleMajor= unit:year increment:10 start:0  
ScaleMinor= unit:year increment:1 start:0  
Colors=  
id:homer value:rgb(0.4,0.8,1) # light purple  
PlotData=  
bar:homer fontsize:L color:homer  
from:0 till:100  
at:50 mark:(line,red)  
at:25 mark:(line,black)  
at:12.5 mark:(line,black)  
at:6.25 mark:(line,black)  
at:3.125 mark:(line,black)  
at:1.5625 mark:(line,black)  
at:0.78125 mark:(line,black)  
at:0.390625 mark:(line,black)  
at:0.1953125 mark:(line,black)  
at:0.09765625 mark:(line,black)  
</timeline>  

இதிலிருந்து பெறப்படும் தொடர்வரிசை:  
:<math> \\{ \cdots, \frac{1}{16}, \frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1 \\}</math>  

இது முடிவில்லாத தொடர்வரிசையாக இருப்பதால் அக்குறிப்பிட்ட தூரத்தைக் கடக்கும் நபர் முடிவில்லாமல் நடந்துகொண்டே இருக்கவேண்டும் போன்ற தோற்றத்தை ஏற்படுத்துகிறது. இதுவே சீனோவின் இணை முரண்போலி.  

### ஓரசு கடவுளின் கண்
கடவுளின் கண்]]  
ஒரு காலத்தில் ஓரசு கடவுளின் கண்ணின் பாகங்கள், இத்தொடரின் முதல் ஆறு உறுப்புகளைக் குறிப்பதாகக் கருதப்பட்டது.  

எகிப்திய குறிமுறை:  
ஓரசு கடவுளின் கண் மற்றும் அதன் 6 பாகங்களுக்கான எகிப்தியல் குறிமுறைகள்:  
, , , , , , ,  

இவற்றுக்கான ஒருங்குறிகள்:  
: U+13080 மற்றும் U+13081 முதல் U+13087வரை (, , , , , , ).