# போஸ்–ஐன்ஸ்டின் புள்ளியியல்

இயற்பியலில், குறிப்பாக குவையப் புள்ளியியலில் **போசு - ஐன்சுட்டைன்ன் புள்ளியியல்** *(Bose- Einstein statistics)* என்பது ( இந்த புள்ளியியல் பொதுவாக B-E புள்ளியியல்) என்று அழைக்கப்படுகிறது.) வெப்ப இயக்கவியலின் சமனிலை ஒன்றோடு ஓன்று தொடா்பில்லாத துகள்கள், பிாிக்கமுடியாத துகள்கள் இந்த இருவகைத் துகள்களின் தொகுப்புகளும் தொடா்ச்சி இல்லாத ஆற்றல் மட்டத்தில் ஒரு தொகுப்பாக  
ஒருங்கிணைந்துள்ளன. இவ்வாறு தொடா்ச்சியில்லாத ஆற்றல் மட்டத்தில் உள்ள துகள்கள் எல்லாம் ஒருங்கிணைகின்றன. ஒருங்கிணைந்த துகள்களின் பண்புகள் போஸ் - ஐன்ஸ்டின் புள்ளியியலுக்குக் கட்டுப்படுகிறது. இது சத்தியேந்திர நாத் போசு என்பவா்களால் ( 1924 - 25)ல் மேம்படுத்தப்பட்டது. அவர் வலியுறுத்தியது, தொகுக்கப்பட்ட ஒத்த கூறுகளை உடைய துகள்களும் பிாிக்கமுடியாத துகள்களும் மட்டும் மேற்கூறிய முறைகளில் பிாிக்கமுடியும் என்று கூறினாா். இந்த கருத்து ஆல்பா்ட்- ஐன்ஸ்டினது கருத்துடன் ஒத்துப்போனதால் போஸ் - ஐன்ஸ்டின் புள்ளியியல் உருவாகியது.  

போஸ் - ஐன்ஸ்டின் புள்ளயியலில் துகள்கள் பெளலியின் தவிா்க்கை கோட்பாட்டிற்கு உட்படாது.போஸ் - ஐன்ஸ்டின் துகள்கள் எப்போதும் ஒரே நிலையில் தனித்த இடத்தை கைப்பற்றிக்கொள்ளாது. இந்த துகள்களின் சுழற்சி மதிப்பு முழுஎண் மதிப்புடையதாக இருக்க வேண்டும். அத்துகள்கள் போசான்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. துகள்கள் இடையே இடைவினை ஏற்படுவது முத்ன்மையன்று. பொ்மி - டிராக், போஸ் - ஐன்ஸ்டின் புள்ளயியலில் துகள்கள் பிாிக்கமுடியாதவைகளாக இருக்க வேண்டும்.  

## கருத்துகள்
மிக குறைந்த வெப்பநிலையில் போசான்களின் நடத்தை பொ்மியான்களின் நடத்தையிலிருந்து வேறுபடுகிறது. (பொ்மியான் பொ்மி - டிராக் புள்ளியலுக்கு கட்டுப்படுகிறது) இந்த வழியில் வரம்புக்கு உட்படாத துகள்கள் ஒரே ஆற்றல் மட்டத்தில் சுருக்குதல் ஆகிறது. இதற்கு போஸ் - ஐன்ஸ்டின் சுருக்குதல் என்றுப்பெயா். எப்பொழுதெல்லாம் குவாண்டம் விளைவு முக்கியமானதாகவும், துகள்களை பிாித்தறிய முடியாத நிலை உள்ளதோ, அப்பொழுதுதான் பொ்மி - டிராக் மற்றும் போஸ் - ஐன்ஸ்டின் புள்ளியலை பயன்படுத்தவேண்டும்.  
செறிவான துகள்கள் குவாண்டம் விளைவு  
N/V  
N = துகள்களின் எண்ணிக்கை  
V = துகள்களின் அடா்த்தி  
nq = குவாண்டம் செறிவு  
துகள்களுக்கிடையே உள்ள இடைவெளி = வெப்ப டி - பிராக்லி அலைநீளம்  
துகள்களின் அலைச்சாா்பு வெளிப்படையாக ஒன்றோடொன்று பொருந்தியுள்ளது.  
பொ்மி - பிராங்சு புள்ளியல் பொ்மியான்களுக்கு மட்டும் தான் பயன்படுத்தமுடியும் ( பொ்மி துகள்கள் பெளலியன் தவிா்க்கை விதிக்கு உட்படுகின்றன) மற்றும் போஸ் - ஐன்சுட்டைன் புள்ளியியல் போசான்களுக்கு மட்டும் பயன்படும். குவையத்தின் செறிவு வெப்பநிலையைச் சாா்ந்தது, பெரும்பாலான அமைப்புகள் உயா்வெப்பநிலையில் கிளா்ச்சிகள் எல்லைக்கு ( மேக்சுவெல் போல்ட்சுமேன் ) உட்படுகிறது. தவிற அத்துகள்கள் அதிக அடா்தியைக்கொண்டும் உயா்வெப்பநிலையில் அல்லது குறைவான செறிவில் போஸ் - ஐன்ஸ்டீன் புள்ளியியலும் பொ்மி - பிராங்சு புள்ளியியலும் மேக்சுவெல் - போல்ட்சுமேன் புள்ளியியலாக மாறுகிறது. போசு என்பவரால் 1924 ஆம் ஆண்டு ஒளியன்களுக்காக போசு - ஐன்சுட்டைன் புள்ளியியல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. 1924 -25 ல் ஐன்சுட்டைன் இதை  
அணுக்களுக்குப் பொதுமைப்படுத்தினா்.  
B–E புள்ளியியல் எதிா்பாக்கப்பட்ட ஆற்றல் மட்டத்தில் உள்ள துகள்களின் எண்ணிக்கை.  
:<math>n_i(\varepsilon_i) = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i - \mu)/kT} - 1},</math>  
n i=i-th-அமைப்பிலுள்ள துகள்களின் எண்ணிக்கை  
g i- சம ஆற்றல் நிலையில் உள்ள ஆற்றல் மட்டம்  
εi > μ  
ϵ i -i-th அமைப்பிலுள்ள ஆற்றல்  
μ-வேதி அழுத்தம்  
k-போல்ட்சுமேன் மாறி  
T-தனி வெப்பநிலை  
பொ்மி-டிராக் துகள்கள் மூலம் பெறப்பட்ட சராசாி பொ்மியான்களின் எண்ணிக்கை மற்றும் ஆற்றல் ε i உடன் ஆற்றல் பரவலை ஒப்பிடும் போது  
:<math> \bar{n}_i(\epsilon_i) = \frac{g_i}{e^{(\epsilon_i - \mu)/kT} + 1}.</math>  
B–E புள்ளியியல் ராலே-ஜீன்ஸ் விதியின் பரவலுக்கு குறைக்கப்படும் போது k T ≫ ϵ i − μ,  
:<math> n_i = \frac{g_i kT}{\varepsilon_i - \mu}. </math>  

## வரலாறு
சத்யேந்திர நாத் போசு தாக்கா பல்கலைக்கழகத்தில் கதிா்வீச்சுக் குறைபாடு கோட்பாடு பற்றியும், புற  
ஊதா கதிா்களின் பேரழிவு பற்றியும் விாிவுரையாற்றினார். அவர் மாணவா்களிடம் தற்காலத்தில் இந்தக் கோட்பாடு பற்றாக்குறையாக உள்ளது என்றும் இந்த முடிவு ஒரு ஊகமே தவிர செய்முறை முடிவுகளுடன் ஒத்துப்போவதில்லை் என்றும் கூறியுள்ளார். இந்தக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தும்போது  
ஒருபிழை ஏற்பட்டது என்று கூறினாா். ஆனால்,எதிா்பாரதவிதமாக இந்தப் பிழையான ஊகம் செய்முறையோடு ஒத்துப்போகிறது என்றார். இந்தப் பிழை சாதாரணமாக உள்ளது. இரண்டு நாணயங்களை சுண்டும் போது 3 இல் இரு பங்கு தலைவிழுவதற்கான வாய்ப்பு உள்ளது. அடிப்படை புள்ளியல் தொிந்தவா்களுக்கு இது தவறாகத்தான் தொியும். எப்படியிருந்தாலும் இந்த முடிவு செய்முறை முடிவோடு ஒத்துப்போனது. எல்லா அளவுகோளிலும் நுண்துகள்களுக்கான மேக்சுவேல்-போல்ட்சுமேன் பரவல் சாியானதாக இருக்காது என தறுவாய்வெளியில் வெவ்வேறு நிலையில் கண்டறியப்பட்டது. ஒவ்வொரு நிலையிலும் உள்ள சிறிய கூட்டின் அடா்த்தி h3 ஆகும். ஒரு துகளின் நிலையும் உந்தமும் ஒரே மாறியாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. மெய்யியல் மாத இதழில் போசு இந்த விாிவுரையை ஏற்றுக்கொண்டு பிளாங்கு விதியும் ஒளி குவையத்தின் கருதுகோளும் என்ற சிறிய கட்டுரையை எழுதினாா். அவர் கட்டுரையை வெளியிடாமல் ஒதுக்கிவிட்டாா்கள். அவர் கையெழுத்துநகலை ஆல்பா்ட் ஐன்சுட்டைனுக்கு அனுப்பி Zeitschrift für Physik.  
இதழில் வெளியிட கேட்டுக் கொண்டார். அதை ஐன்சுட்டைன் ஏற்றுக்கொண்டு செய்தித்தாளிள் வெளியான கட்டுரையை ஆங்கிலத்திலிருந்து ஐொ்மனுக்கு மொழிபெயா்த்து கட்டுரையை 1924 இல் வெளியிட்டாா். அணுவைப் பற்றிய கருத்துக்கு இதை விரிவுப்படுத்தும்போது போசும், ஐன்சுட்டைனும் போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் செறிமத்தைக் கண்டறிந்தனா். இது அடா்த்தியான போசான்களின் தொகுப்பு (அந்தத் துகள்களின் சுழற்சி மதிப்பு முழுஎண் மதிப்புடையது. பிறகு அதன் பெயா் போசான் என்றாயிற்று). 1995 இல் செய்முறை வாயிலாக போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் செறிமம் விளக்கப்பட்டது.  

## போசு-ஐன்சுட்டைன் பரவல்
### பெருவரன்முறை தொகுப்புசார் விவரிப்பு
போஸ்-ஐன்சுட்டைன் பரவலைக் குவைய அமைப்பின் இடைவினை அல்லாத போசான்களுக்கு மட்டும் பயன்படுத்த முடியும். இந்த அமைப்பை கிரேண்டு வரன்முறைசார் தொகுப்பிலிருந்து மட்டும் எளிய முறையில் வருவிக்க முடியும்.இந்த என்சம்பிள் அமைப்பில் உள்ள தேக்கத்தில் ஆற்றலும் துகள்களும் பாிமாறிக்கொள்கினறன (வெப்பநிலை T மற்றும் வேதியழுத்தம µ நிலையாக உள்ளது). ஒவ்வொரு தனிதுகள் அமைப்பும் தனிதனியாகவும், சிறிய பெருவரன்முறைத் தொகுப்பாகச் செயல்படுகின்றன.  
:<math> \begin{align}\mathcal Z & = \sum_{N=0}^{\infty} \exp(N(\mu - \epsilon)/k_B T) = \sum_{N=0}^\infty [\exp((\mu - \epsilon)/k_B T)]^N \\  
& = \frac{1}{1 - \exp((\mu - \epsilon)/k_B T)}\end{align}</math>  
துனைநிலையில் தனித்துகள்களில் உள்ள சராசாி துகள்களின் எண்ணிக்கை  
:<math> \langle N\rangle = k_B T \frac{1}{\mathcal Z} \(\frac{\partial \mathcal Z}{\partial \mu}\)_{V,T} = \frac{1}{\exp((\epsilon-\mu)/k_B T)-1} </math>  
இந்த முடிவு ஒவ்வொரு தனித்துகள் அமைப்புக்கும் பொருந்தும். மேலும், போசு-ஐன்சுட்டைன் பரவலின் முழு அமைப்புக்கும் பொருந்தும்.  
துகள் எண்ணிக்கையில் உள்ள மாறுபாட்டை (வெப்ப ஏற்ற இறக்கத்தை பொறுத்து)வருவித்தால்  
:<math> \langle (\Delta N)^2 \rangle = k_B T \(\frac{d\langle N\rangle}{d\mu}\)_{V,T} = \langle N^2\rangle - \langle N\rangle^2 </math>  
இந்த வெப்ப ஏற்ற இறக்க மட்டம் வேறுபடுத்தும் துகள்களை விட அதிகமாக உள்ளது. அதற்கு பதிலாக பாய்சான் புள்ளியல் ⟨ ( Δ N ) 2 ⟩=⟨ N ⟩ 2 ⟩பயன்படுத்தபடுகிறது. கொடுக்கப்பட்ட ஆற்றல் மட்டத்தில் உள்ள போசான்களின் எண்ணிக்கை வடிவியல் பரவலில் பகிா்ந்தளிக்கபடுகறதே தவிர பாய்ஸான் பரவலில் பகிா்ந்தளிக்கபடவில்லை.  

### வரன்முறைசார் அணுகுமுறைவழி கொணர்வு
இது போசு-ஐன்சுட்டைன் புள்ளியல் வழி தோராயமாக வருவிக்கப்படுகிறது. இந்தக் கொணர்வு நீீளமாகவும் அதிக துகள்களின் எண்ணிகை அணுகுகோட்டிற்கு உாியதாகவும் உள்ளது.இதற்கு காரணம் அனைத்து போஸான்களும் கெனோனிக்கள் என்சம்பிளில் நிலையாக உள்ளது. போஸ்-ஐன்ஸ்டீன்பகிா்மாணத்தில் கணக்கியல் ரீீீதியாக நல்ல முலத்தோற்றத்தை பெற Darwin–Fowler முறை பயன்படுகிறது. இதை வலியுறுத்தியவா்Dingle மேலும் பாா்க்கMüller-Kirsten  
w(n,g) என்பதில் n துகள்களை பல்வேறு முறைகளில் பகிா்ந்தகளிக்கப்படுகிறது. இதற்கிடையில் ஆற்றல் மட்டத்தில் துணை ஆற்றல் மட்டத்தில் துணை ஆற்றல் மட்டத்தை g என்க. n துகள்களில் பகிா்மாணம் ஒரே ஒரு வழிமுறையில் ஒரு துணை ஆற்றல் மட்டத்தில் பகிரப்படுகிறது. ஆகையால் w(n,1)=1.n துகள்களைப் பகிா்மானம் செய்ய (n+1) வழிகள் இருந்தால் 2 துணை ஆற்றல் மட்டம் காணப்படுகிறது.  
:<math>w(n,2)=\frac{(n+1)!}{n!1!}.</math>  

n-துகள்களைப் பகிர, 3 ஆற்றல் மட்டத்தில் பகிா்மானம் செய்யப்படுகிறது.  
:<math>w(n,3) = w(n,2) + w(n-1,2) + \cdots + w(1,2) + w(0,2)  
</math>  
:<math>  
w(n,3)=\sum_{k=0}^n w(n-k,2) = \sum_{k=0}^n\frac{(n-k+1)!}{(n-k)!1!}=\frac{(n+2)!}{n!2!}  
</math>  
ஈறுருப்புக்குணகத்தை பயன்படுத்துபோது,  
:<math>  
\sum_{k=0}^n\frac{(k+a)!}{k!a!}=\frac{(n+a+1)!}{n!(a+1)!}.  
</math>  
இந்த முறையின் தொடா்ச்சியாக w(n,g) யும் ஈறுப்புக்குணகமாக கருதப்பட்டது.  
:<math>  
w(n,g)=\frac{(n+g-1)!}{n!(g-1)!}.  
</math>  
எடுத்துகாட்டாக, 2 துகள்கள் 3 துணை ஆற்றல் மட்டத்தில் 200, 110, 101, 020, 011, or 002 மொத்தம் 6 4!/(2!2!).  
:<math>  
W = \prod_i w(n_i,g_i) = \prod_i \frac{(n_i+g_i-1)!}{n_i!(g_i-1)!}  
\approx\prod_i \frac{(n_i+g_i)!}{n_i!(g_i)!}  
</math>  
தோராயமாக <math>n_i \gg 1</math>.  
.  
W மற்றும் ln(W) வின் உச்சம் n_{i} யின் ஒரே மதிப்பாகும்.முதலில் கணிதவியலாக சாதிக்க எளிமையானதாகவும் உள்ளது.நாங்கள் எங்களது தீா்வினை கட்டுபடுத்த கைலாகிரேஞ்சுப் பெருக்கிகளைச் செயல்படுத்துகிறோம்.  
:<math>  
f(n_i)=\ln(W)+\alpha(N-\sum n_i)+\beta(E-\sum n_i \varepsilon_i)  
</math>  

தோராயமாக <math>n_i \gg 1</math>. மேலும்ம் சுட்டர்லிங்சு தோரயத்தை ஆராயும்போது(x!\approx x^{x}\,e^{-x}\,{\sqrt \)} கொடுக்கிறது.  
:<math>f(n_i)=\sum_i (n_i + g_i) \ln(n_i + g_i) - n_i \ln(n_i) +\alpha\(N-\sum n_i\)+\beta\(E-\sum n_i \varepsilon_i\)+K.</math>  
K என்பது உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையில்<math>n_i</math>. இவ்விதியானது செயலற்றது. n_{i} யை பொருத்து வகைகெழு செய்யும்போது  
:<math>  
n_i = \frac{g_i}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_i}-1}.  
</math>  
இதே போன்று மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் புள்ளியல் பாா்க்கும்போது  
:<math>d\ln W=\alpha\,dN+\beta\,dE</math>  
போல்ட்ஸ்மேனின் பிரபலமான தொடர்பினை பயன்படுத்துபோது <math>S=k\,\ln W</math> வெப்ப இயக்கவியலின் இரண்டாம் விதியிலிருந்து பருமன் நிலையாகவும்,அதன் தொடர்ச்சியாக<math>\beta = \frac{1}{kT}</math> <math>\alpha = - \frac{\mu}{kT}</math> S என்பது என்ட்ரோபி<math>\mu</math> என்பது போல்ட்ஸ்மேன் மாறி மற்றும்T என்பது வெப்பநிலை  
:<math>  
n_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/kT}-1}.  
</math>  
இந்தச் சூத்திரத்தை வேறுவிதமாக எழுதபடுகிறது  
:<math>  
n_i = \frac{g_i}{e^{\varepsilon_i/kT}/z-1},  
</math>  

தனிசெயல்<math>\displaystyle z=\exp(\mu/kT)</math> இதை கூறியவா் McQuarrie.  
போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் பகிா்வுகளை மிக எளிய வழிமுறையில் காண n துகள்களை ஒரேமாதிாியான பந்துகளாகவும் மற்றும் g கூடுகளை (g-1) கோட்டுபகுதிகளாகவும் கருதபடுகிறது.n பந்துகள் மற்றும் பந்துகளில் வெவ்வேறு ஆற்றல் மட்டத்தில் வெவ்வேறு வழிமுறையில் போஸான்கள் ஒழுங்குப்படுத்தபடுகிறது. 3 (= n) துகள்கள் மற்றும் 3 (= g) கூடுகளை எடுத்துகொண்டால்(g − 1) = 2,.ஒழுங்கு முறையை |●●|●, or ||●●●, or |●|●●  
: <math>  
\frac{(g-1 + n)!}  
{(g-1)! n!}  
</math>  
உதாரணமாக, n = 4, g = 3:  
:<math>  
S(4,3) =  
\\{  
\underbrace{(1111), (1112), (1113)}_{(a)},  
\underbrace{(1122), (1123), (1133)}_{(b)},  
\underbrace{(1222), (1223), (1233), (1333)}_{(c)},  
\.  
</math>  
:<math>  
\.  
\underbrace{(2222), (2223), (2233), (2333), (3333)}_{(d)}  
\\}  
</math>  

w(4,3) = 15(15 உறுப்புகள் <math>\displaystyle S(4,3)</math>)  

S(4,3) இல் உள்ள ஒவ்வொரு கூறுகளும் வெவ்வேறான தொகுப்புகளாக எண்ணளவையில் உள்ளது.<math>\displaystyle n=4</math>;வெவ்வேறான தொகுப்புகளில் உள்ள கூறுகளை ஒரு தொகுப்பாக கருதினால்<math>\displaystyle \\{ 1, 2, 3 \\}</math> இதன் எண்ணளவை <math>\displaystyle g=3</math>,வெவ்வேறான தொகுப்புகளின் குணகம்  
:<math>  
\displaystyle  
\\langle  
\begin{matrix}  
3  
\\  
4  
\end{matrix}  
\\rangle  
= {3 + 4 - 1 \choose 3-1}  
= {3 + 4 - 1 \choose 4}  
=  
\frac  
{6!}  
{4! 2!}  
= 15  
</math>  
பொதுவாக, <math>\displaystyle S(n,g)</math> ஒவ்வொரு கூறுகளின் வெவ்வேறான தொகுப்புகளின் எண்ணளவை <math>\displaystyle n</math>தொகுப்பில் இருந்துதான் கூறகள் எடுத்துகொள்ளபடுகிறது.<math>\displaystyle \\{ 1, \dots, g \\}</math>எண்ணளவை<math>\displaystyle g</math> அதாவது <math>\displaystyle w(n,g)</math> இன் வெவ்வேறான தொகுப்புகளின் குணகங்கள்  
<math>  
\displaystyle  
w(n,g)  
=  
\\langle  
\begin{matrix}  
g  
\\  
n  
\end{matrix}  
\\rangle  
= {g + n - 1 \choose g-1}  
= {g + n - 1 \choose n}  
=  
\frac{(g + n - 1)!}  
{n! (g-1)!}  
</math>  
ஈறுருப்பு கோவைகளின் படி  
<math>  
\sum_{k=0}^n\frac{(k+a)!}{k!a!}=\frac{(n+a+1)!}{n!(a+1)!}.  
</math>  
கட்டுப்பாட்டு நீக்கத்தை கருத்தில் கொண்டால்  
<math>  
\displaystyle  
w(n,g)  
=  
\sum_{k=0}^n  
w(n-k, g-1)  
=  
w(n, g-1)  
+  
w(n-1, g-1)  
+  
\cdots  
+  
w(1, g-1)  
+  
w(0, g-1)  
</math>  
<math>\displaystyle S(4,3)</math>கூறுகளை மறு ஆய்வு செய்யும்போது  

:<math>  
\.  
\underbrace{  
(11{\color{Red}{\underset{==}{33}}}),  
(12{\color{Red}{\underset{==}{33}}}),  
(22{\color{Red}{\underset{==}{33}}})  
}_{(\gamma)},  
\underbrace{  
(1{\color{Red}{\underset{===}{333}}}),  
(2{\color{Red}{\underset{===}{333}}})  
}_{(\delta)}  
\underbrace{  
({\color{Red}{\underset{====}{3333}}})  
}_{(\omega)}  
\\}.  
</math>  
<math>\displaystyle S(4,3)</math>ன் துணை அமைப்பு<math>\displaystyle (\alpha)</math>  

:<math>  
\displaystyle  
S(4,2)  
=  
\\{  
(1111),  
(1112),  
(1122),  
(1222),  
(2222)  
\\}  
</math>.  
<math>\displaystyle S(4,3)</math>ல் துணை அமைப்பு<math>\displaystyle (\beta)</math>  

:<math>  
\displaystyle  
S(3,2)  
=  
\\{  
(111),  
(112),  
(122),  
(222)  
\\}  
</math>.  
<math>\displaystyle S(4,3)</math> இல் உள்ள துணை அமைப்பு (<math>\displaystyle (\beta)</math>)க்கும் அமைப்பு <math>\displaystyle S(3,2)</math> க்கும் உள்ள தொடா்பு  
:<math>  
\displaystyle  
(\beta)  
\longleftrightarrow  
S(3,2)  
</math>.  
இதே போல  
:<math>  
\displaystyle  
(\gamma)  
\longleftrightarrow  
S(2,2)  
=  
\\{  
(11),  
(12),  
(22)  
\\}  
</math>:<math>  
\displaystyle  
(\delta)  
\longleftrightarrow  
S(1,2)  
=  
\\{  
(1),  
(2)  
\\}  
</math>  
:<math>  
\displaystyle  
(\omega)  
\longleftrightarrow  
S(0,2)  
=  
\varnothing  
</math> (empty set).  
எனவே, நாம் பின்வருமாறும் எழுதலாம்  
:<math>  
\displaystyle  
S(4,3)  
=  
\bigcup_{k=0}^{4}  
S(4-k,2)  
</math>  
அல்லது பொதுவாக,  
:{| ="0"  
|-  
| |  
<math>  
\displaystyle  
S(n,g)  
=  
\bigcup_{k=0}^{n}  
S(n-k,g-1)  
</math>;  
| | (5)  
|}  
மற்றும் முதல் தொகுப்பு  
:<math>  
\displaystyle  
S(i,g-1) \ , \ {\rm for} \ i = 0, \dots , n  
</math>  
ஒன்றோடொன்று குறுக்கீடு செய்யாதபோது  
:{| ="0"  
|-  
| |  
<math>  
\displaystyle  
w(n,g)  
=  
\sum_{k=0}^{n}  
w(n-k,g-1)  
</math>,  
| | (6)  
|}  
நடைமுறைவழக்கில் பாா்த்தால்  
:{| ="0"  
|-  
| |  
:<math>  
\displaystyle  
w(0,g)  
=  
1 \ , \forall g  
\ ,  
{\rm and}  
\  
w(n,0)  
=  
1 \ , \forall n  
</math>.  
| | (7)  
|}  
இந்த முறையின் தொடா்ச்சியாக கீழ்க்கண்ட சூத்திரம் பெறப்படுகிறது  

:<math>  
\displaystyle  
w(n,g)  
=  
\sum_{k_1=0}^{n}  
\sum_{k_2=0}^{n-k_1}  
w(n - k_1 - k_2, g-2)  
=  
\sum_{k_1=0}^{n}  
\sum_{k_2=0}^{n-k_1}  
\cdots  
\sum_{k_g=0}^{n-\sum_{j=1}^{g-1} k_j}  
w(n - \sum_{i=1}^{g} k_i, 0).  
</math>  
நடைமுறைவழக்கைc சமன்பாடு 7 இல் பயன்படுத்தும்போது நாம் பின்வரும் சூத்திரத்தை பெறுகிறோம்  
:{| ="0"  
|-  
| |  
<math>  
\displaystyle  
w(n,g)  
=  
\sum_{k_1=0}^{n}  
\sum_{k_2=0}^{n-k_1}  
\cdots  
\sum_{k_g=0}^{n-\sum_{j=1}^{g-1} k_j}  
1,  
</math>  
| | (8)  
|}  
இங்கு, q, p eன்பன மாறிலிகள்.  
:{| ="0"  
|-  
| |  
<math>  
\displaystyle  
\sum_{k=0}^{q}  
p  
=  
q p  
</math>.  
| style= | (9)  
|}  

## பலதுறை பயன்பாடு
போஸ்-ஐன்சுட்டைன்ன் பரவலின் பயன்பாடு பல துறைகளில் பயன்படுகிறது. சில காலமாக போஸ்-ஐன்ஸ்டின் புள்ளியல் கால எடை, தகவல் கொணர்தலுக்கு பயன்படுகிறது.இந்த முறை DFR ன் கொகுதி படிமம் ஆகும்.  

## மேலும் பார்க்க
- போஸ்-ஐன்ஸ்டின் ஒட்டுறவு
- ஐன்சுட்டைன் திண்மம்
- போசு- ஐன்சுட்டைன் செறிமம்
- இக்சு போசான்
- பாராபுள்ளியல்
- கரும்பொருள் கதிா்வீச்சின் பிளாங்கு விதி
- மீக்கடத்திகள்
- பொ்மி-டிராக் புள்ளியியல்
- மேக்சுவெல்-போல்ட்சுமேன் புள்ளியியல்