# சிம்சன் கோடு


வடிவவியலில், *ABC* முக்கோணத்தின் சுற்று வட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு புள்ளி *P* எனில் அப்புள்ளிக்கு மிக அருகாமையில், *AB*, *AC*, *BC* ஆகிய மூன்று கோடுகளின் மீது அமையும் மூன்று புள்ளிகளும் நேர்கோட்டமைபவையாக இருக்கும். இந்த மூன்று புள்ளிகளின் வழியாகச் செல்லும் கோடு, *P* புள்ளியின் **சிம்சன் கோடு** (*Simson line*) ஆகும். இக்கோடு இசுக்காட்டுலாந்து கணிதவியலாளர் இராபர்ட்டு சிம்சன் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. இருப்பினும், இசுக்காட்டுலாந்து கணிதவியலாளரும் வானிலையாளருமான வில்லியம் வாலசுதான் இக்கருத்துருவை முதன்முதலாக 1799 இல் வெளியிட்டார்.  

இதன் மறுதலையும் உண்மையாகும்.  

*P* புள்ளிக்கு மிக அருகில் மூன்று கோடுகளின் மீதமையும் புள்ளிகள் மூன்றும் ஒரே கோட்டிலமைவதோடு, மூன்று கோடுகளில் எந்த இரண்டும் இணையான கோடுகள் இல்லையெனில், அம்மூன்று கோடுகளால் அமையும் முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மீது புள்ளி *P* அமையும்.  

## இருத்தலை நிறுவல்
<math> L, M, N</math> புள்ளிகள் மூன்றும் நேர்கோட்டமைபவை என நிறுவுவதற்கு  
<math>\angle NMP + \angle PML = 180^\circ</math> எனக் காட்ட வேண்டும்.  

நிறுவல்:  
படத்தில் தரவுகளின் படி, <math>PCAB</math> ஒரு வட்ட நாற்கரம்  
1. <math>\angle PBA + \angle ACP = 180^\circ</math> (வட்ட நாற்கரத்தில் எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் <math>180^\circ</math>)
1. <math>\angle PBN + \angle ACP = 180^\circ</math> (<math>\angle PBA = \angle PBN </math>)
1. <math>PMNB</math> ஒரு வட்ட நாற்கரமாகும். (தேலேசுத் தேற்றம்)
1. <math>\angle PBN + \angle NMP = 180^\circ</math>. (வட்ட நாற்கரத்தில் எதிர்கோணங்களின் கூடுதல் <math>180^\circ</math>)
1. <math>\angle NMP = \angle ACP</math>. (படி 2, 4)
1. <math>PLCM</math> ஒரு வட்ட நாற்கரம்
1. <math>\angle PML = \angle PCL </math> ( உள்வரை கோணத் தேற்றம்
1. <math>\angle PCL = 180^\circ - \angle ACP</math>. (மிகைநிரப்பு கோணங்கள்)
1. <math>\angle PML = 180^\circ - \angle ACP</math> (படி 7, 8)
1. <math>\therefore\angle NMP + \angle PML = \angle ACP + (180^\circ - \angle ACP) = 180^\circ</math>

எனவே <math> L, M, N</math> புள்ளிகள் மூன்றும் நேர்கோட்டமைபவை என்பது நிறுவப்படுகிறது.  

## பண்புகள்
- முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சியின் சிம்சன் கோடு, அவ்வுச்சியிலிருந்து முக்கோணத்திற்கு வரையப்படும் குத்துக்கோடாகும். மேலும் அவ்வுச்சியின் எதிரடிப்புள்ளியின் (விட்டவாக்கில் எதிர் புள்ளி) சிம்சன் கோடானது, அந்த உச்சிக்கு எதிர்ப்பக்கமுள்ள முக்கோணத்தின் பக்கமாக இருக்கும்.
- முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மீதுள்ள இரு புள்ளிகள் *P*, *Q* எனில், அவற்றின் சிம்சன் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணத்தின் அளவு, *PQ* வில்லின் கோணத்தில் பாதியாக இருக்கும். இவ்விரு புள்ளிகளும் விட்டவாக்கில் எதிரெதிராக இருந்தால் அவற்றின் சிம்சன் கோடுகள் செங்குத்தானவையாகவும் அவை வெட்டும் புள்ளியானது முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மீதும் இருக்கும்.
- *ABC* முக்கோணத்தின் செங்கோட்டு மையம் *H* எனில், *P* இன் சிம்சன் கோடானது *PH* கோட்டை இருசமக்கூறிடும். அவ்வாறு இருசமக்கூறிடும் புள்ளி ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மீதமையும்.
- இரு முக்கோணங்கள் ஒரே சுற்றுவட்டமுடையவையாக இருந்தால், *P* புள்ளியின் இரு சிம்சன் கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணமானது *P* இன் நிலையைச் சார்ந்திருக்காது.
- குறைந்தது 5 பக்கங்களுடைய எந்தவொரு குவிவு பல்கோணத்திற்கும் சிம்சன் கோடு கிடையாது.

## சிக்கலெண் தளத்தில்
முக்கோணத்தை சிக்கலெண் தளத்தில் எடுத்துக்கொள்ள, அலகு சுற்றுவட்டம் கொண்ட ABC முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் சிக்கலெண் ஆயதொலைகள் *a*,* b*, *c*; சுற்றுவட்டத்தின் மீதுள்ள ஒரு P புள்ளியின் ஆயதொலைவு *p* எனில் இப்புள்ளியின் சிம்சன் கோடானது கீழுள்ள சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் புள்ளிகளாலான (*z*) கணமாகும்:  

:<math>2abc\bar{z} -2pz+p^2+(a+b+c)p -(bc+ca+ab)-\frac{abc}{p} =0,</math>  
<math>\bar{z},</math> என்பது <math>z</math> இன் [[இணைச் சிக்கலெண்.