# ஈருறுப்புச் சார்பு

கணிதத்தில், **ஈருறுப்புச் சார்பு** (*binary function*) (**இருமாறி சார்பு** அல்லது **இரண்டு மாறிகளின் சார்பு** என்றும் அழைக்கப்படுகிறது) என்பது இரண்டு உள்ளீடுகளைக் கொண்ட சார்பு ஆகும். அதாவது,  

: <math>\,f \colon X \times Y \rightarrow Z</math> என வரையறுக்கக்கூடியபடி <math>X, Y, Z</math> கணங்கள் இருக்குமானால் <math>f</math> ஒரு ஈருறுப்புச் சார்பாகும்.  

இங்கு <math>X \times Y</math> என்பது <math>X</math>, <math>Y.</math><nowiki/>இன்கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனாகும்.  

## மாற்று வரையறைகள்
- கணக் கோட்பாட்டில், ஈருறுப்புச் சார்பானது <math>X \times Y \times Z</math> என்ற கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனின் உட்கணமாகக் கொள்ளப்படுகிறது. இங்கு, <math>f(x,y) = z</math> என "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" <math>(x,y,z)</math> ஆனது, சார்பைக் குறிக்கும் உட்கணத்தில் இருக்கும்.

மறுதலையாக, <math>x \in X</math> , <math>y \in Y</math> எனும்போது <math>(x,y,z)</math> ஆனது <math>R</math> இல் உள்ளவாறு ஒரு தனித்துவமான <math>z \in Z</math> "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" <math>R</math> என்ற உட்கணமானது ஒரு ஈருறுப்புச் சார்பை வரையறுக்கும். மேலும் <math>f(x,y)</math> = <math>z</math> எனவும் வரையறுக்கப்படும்.  

- <math>X \times Y</math> இலிருந்து <math>Z</math> க்கு அமைந்த ஒரு எளிய ஈருறுப்புச் சார்பை வரையறுக்கலாம். இந்த முறையில் வரையறை செய்யும்போதும் <math>f((x,y))</math> க்குப் பதிலாக <math>f(x,y)</math> என்றே எழுதப்படுகிறது. (அதாவது, ஒரே சோடி அடைப்புக்குறிகள் சார்பின் செயற்பாடு, வரிசைப்படுத்தப்பட்ட சோடியின் அமைப்பு ஆகிய இரண்டையும் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. )

## எடுத்துக்காட்டுகள்
- முழு எண்களின் வகுத்தல் ஒரு ஈருறுப்புச் சார்பாகும்:

:<math>\Z</math> முழு எண்களின் கணம்;  
: <math>\N^+</math> இயல் எண்களின் கணம் (பூச்சியம் தவிர);  
: <math>\Q</math> விகிதமுறு எண்களின் கணம் எனில் வகுத்தல் பின்வரும் ஈருப்புச் சார்பாக அமையும்:  
::<math>f:\Z \times \N^+ \to \Q</math>.  

- உட்பெருக்கங்கள் ஈருறுப்புச் சார்புகளாக அமையும். மேலும்
:<math>(x,y)\mapsto x^\mathrm{T}My</math> என்றமையும் சார்புகள் ஈருறுப்புச் சார்புகளாகும்.  
:இங்கு **', **' -பொருத்தமான அளவைகொண்ட மெய்-மதிப்பு திசையன்கள்; ** ஒரு அணி.  
: ஒரு நேர்ம வரைவுள்ள அணி எனில், இச்சார்பு உட்பெருக்கமாக இருக்கும்.  

## இரு மெய்யெண் மாறிச் சார்புகள்
<math>\mathbb{R}^2</math> இன் உட்கணத்தை ஆட்களமாகக்கொண்ட சார்புகளும் இரு மாறிகளிலமைந்த சார்புகளாகவே கொள்ளப்படுகின்றன. அதாவது ஒரு சார்பின் ஆட்களம் இரு கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனாக இல்லாவிட்டாலும் அச்சார்பு இரு மாறிகளிலமைந்த சார்பாகவே எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.  

## சாதாரண சார்புகளுக்கான கட்டுப்பாடுகள்
ஈருறுப்புச் சார்பிலிருந்து ஒரு மாறியிலமைந்த சாதாரண சார்பு ஒன்றைப் பெற முடியும்.  

<math>x \in X</math> எனில், <math>Y</math> இலிருந்து <math>Z</math>க்கு வரையறுக்கப்படும் சார்பு ( <math>f^x</math>, அல்லது <math>f(x,\cdot)</math>):<blockquote><math>f^x(y) = f(x,y)</math>. </blockquote>*இதேபோல் <math>y \in Y</math> எனில், <math>X</math> இலிருந்து <math>Z</math> க்கு வரையறுக்கப்படும் சார்பு (<math>f_y</math>, அல்லது <math>f(\cdot,y)</math>):<blockquote> <math>f_y(x) = f(x,y)</math> . </blockquote>  

## பொதுமைப்படுத்தல்கள்
- சார்புகள் தொடர்பான பல்வேறு கருத்துருக்களை ஈருறுப்புச் சார்புகளுக்கும் பொதுமைப்படுத்தப்படலாம்:

எடுத்துக்காட்டாக,  
- ஈருறுப்புச் சார்பான வகுத்தல் ஒரு *முழுகோப்பு* ஆகும். ஏனெனில் ஒவ்வொரு விகிதமுறு எண்ணையும் ஒரு முழு எண் மற்றும் ஒரு இயல் எண்ணின் விகிதமாக எழுதலாம்.

- இதேபோல *f* <sup>*x*</sup> மற்றும் *f* <sub>*y*</sub> இரண்டும் எப்போதும் உள்ளிடு கோப்புகளாக இருப்பதால் வகுத்தல் ஒவ்வொரு உள்ளீட்டிற்கும் தனித்தனியாக உள்ளிடு கோப்பாக இருக்கும்.

ஆனால் வகுத்தலானது இரண்டு மாறிகளிலும் ஒரே சமயத்தில் உள்ளிடுகோப்பாக இருக்காது.  
:எடுத்துக்காட்டு:  
:<blockquote> *f* (2,4) = *f* (1,2).</blockquote>  

- பகுதி ஈருறுப்பு சார்புகளையும் கருத்தில் கொள்ளலாம். இவற்றை குறிப்பிட்ட உள்ளீடு மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே வரையறுக்க முடியும்.
:எடுத்துக்காட்டாக:  
: **N** ஐ பூச்சியம் உட்பட அனைத்து இயல் எண்களின் கணமாக எடுத்துக்கொண்டால், வகுத்தலை **Z** மற்றும் **N** இலிருந்து **Q** க்கு வரையறுக்கப்படும் பகுதி ஈருறுப்புச் சார்பாகக் கொள்ளலாம். ஆனால் இரண்டாவது உள்ளீடு பூச்சியமாக இருக்கும்போது வகுத்தல் சார்பு வரையறுக்கப்படவில்லை.  

- *X*, *Y*, மற்றும் *Z* ஆகிய மூன்றும் சம கணங்களாக இருந்தால் ஈருறுப்புச் செயலியானது ஈருறுப்புச் சார்பாக இருக்கும். இயற்கணித அமைப்புகளை வரையறுக்க ஈருறுப்புச் செயலிகள் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.