# சேவாவின் தேற்றம்



**சேவாவின் தேற்றம்** (*Ceva's theorem*) யூக்ளீடிய வடிவவியலில் முக்கோணங்கள் பற்றிய தேற்றமாகும்.  

முக்கோணம் *ABC* இல் அதன் எந்தவொரு பக்கத்தின் மீதும் அமையாத புள்ளி *O* இலிருந்து அதன் உச்சிப்புள்ளிகளுக்கு வரையப்படும் கோடுகள் *AO*, *BO*, *CO* மூன்றும் அந்தந்த உச்சிகளுக்கு எதிரமைந்த முக்கோணப் பக்கங்களை முறையே வெட்டும்புள்ளிகள் முறையே *D*, *E*, *F* எனில். (கோட்டுத்துண்டுகள் *AD, BE,* *CF* முக்கோணத்தின் விழுகோடுகள் எனப்படுகின்றன.)திசையிடப்பட்ட கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களைக் கொண்டு இத்தேற்றத்தின் முடிவு:  
:<math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1.</math>  

*XY* கோட்டின் நிலையான திசைப்போக்குடன், *Y* இன் இடப்புறமாக *X* இருந்தால் *XY* நீளமானது நேர்மமாகவும் *Y* இன் வலப்புறமாக *X* இருந்தால் *XY* நீளமானது எதிர்ர்மமாகவும் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக,  

: *A* , *B* இரண்டுக்கும் இடையில் *F* இருந்தால், விகிதம் *AF*/*FB* = +, மாறாக இருந்தால் *AF*/*FB* = -  

சற்றே மாற்றியமைக்கப்பட்ட மாறுதலைக் கூற்றும் உண்மையாக இருக்கும்:  

முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் *BC*, *AC* and *AB* மூன்றின் மீதும் முறையே *D*, *E*, *F* ஆகிய புள்ளிகள் : <math>\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} = 1,</math> என்ற முடிவை நிறைவுசெய்யும் வகையில் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டால்:  
:*AD*, *BE*, *CF* மூன்றும் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகள் அல்லது மூன்றும் இணைகோடுகளாக இருக்கும்.  

1678 ஆம் ஆண்டில் தனது நூலில் (*De lineis rectis*) இத்தேற்றத்தை பதிப்பிட்ட இத்தாலியக் கணிதவியலாளர் ஜியோவான்னி சேவாவின் பெயரால் அழைக்கப்பட்டாலும் இது பதினோராம் நூற்றாண்டிலேயே சரகோசா அரசரால் (Yusuf al-Mu'taman ibn Hud) நிறுவப்பட்டது. சரகோசா.  

இத்தேற்றம், மெனலாசின் தேற்றத்தை ஒத்துள்ளது. இரண்டு தேற்றங்களிலுமுள்ள சமன்பாடுகள் இரண்டும் குறியளவில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. இரு தேற்றங்களும் ஒன்றுக்கொன்று வீழ்ப்பு இருமமாக அமைகின்றன.  

## நிறுவல்கள்
இத்தேற்றத்துக்குப் பல நிறுவல்கள் உள்ளன.  

### முக்கோணத்தின் பரப்பளவைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்
புள்ளி *O*, முக்கோணத்துள் இருக்கும்போது தேற்ற முடிவின் இடப்பக்கத்திலுள்ள விகிதங்கள் மூன்றுமே நேர்மமாகவும், புள்ளி *O* முக்கோணத்துக்கு வெளியே இருந்தால், ஒரு விகிதம் நேர்மமாகவும் மற்ற இரு விகிதங்களும் எதிர்மமாகவும் இருக்கும். எனவே இடப்பக்க விகிதப் பெருக்கற்பலன் *O* இன் இருநிலையிலும் நேர்மமாகவே இருக்கும்.  

தரப்பட்ட உயரம் கொண்ட முக்கோணத்தின் பரப்பளவு முக்கோணத்தின் அடிப்பக்க நீளத்துடன் விகிதசமமாக இருக்குமென்பதால் கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கிறது:  
: <math>\frac{|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}=\frac{BD}{DC}=\frac{|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}.</math>  
இதிலிருந்து:  
:<math>\frac{BD}{DC}=  
\frac{|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}  
=\frac{|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}.</math>  
(*A*, *O* இரண்டும் *BC* இன் எதிர்ப்புறங்களில் இருந்தால் - குறிக்குப் பதில் + ஐ பயன்படுத்த வேண்டும்.)  

இதேபோல,  
: <math>\frac{CE}{EA}=\frac{|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|},</math>  
: <math>\frac{AF}{FB}=\frac{|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}.</math>  

இம்மூன்று சமன்பாடுகளையும் பெருக்க தேற்றத்தின் முடிவு கிடைக்கிறது:  
: <math>\\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \= 1,</math>  

### மெனலாசின் தேற்றத்தை பயன்படுத்தி நிறுவல்
மெனலாசின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியும் இத்தேற்றத்தை எளிதாக நிறுவலாம்.  

*ACF* முக்கோணத்தில் *BOE* ஒரு குறுக்குவெட்டி. எனவே மெனலாசின் தேற்றப்படி,  
: <math>\frac{AB}{BF} \cdot \frac{FO}{OC} \cdot \frac{CE}{EA} = -1</math>  

இதேபோல *BCF* முக்கோணத்தில் *AOD* ஒரு குறுக்குவெட்டியாதலால்,  
: <math>\frac{BA}{AF} \cdot \frac{FO}{OC} \cdot \frac{CD}{DB} = -1.</math>  
இவ்விரு முடிவுகளையும் ஒன்றையொன்றால் வகுக்க சேவாவின் தேற்றத்தின் முடிவு பெறப்படுகிறது:  
: <math>\\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \= 1,</math>