# அரைமுப்படிப் பரவளைவு


கணிதத்தில், **அரைமுப்படிப் பரவளைவு** , *அரைக்கனவடிவப் பரவளைவு* அல்லது **நுதிக்குரிய கனவடிவடிம்** (*semicubical parabola*, *cuspidal cubic*) என்பது உள்ளுறைச் சமன்பாடுடையதொரு இயற்கணிதத் தள வளைவரையாகும். அதன் உள்ளுறைச் சமன்பாடு காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமைகளில்: <math> y^2 - a^2 x^3 = 0 </math> .  

-க்குத் தீர்வு காண, அதன் "வெளிப்படை வடிவச் சமன்பாடு" கிடைக்கிறது.  
:<math> y = \pm a x^{\frac{3}{2}},</math>. இதிலிருந்து ஒவ்வொரு மெய்யெண் புள்ளியும்  
என்பதை நிறைவுசெய்யும் என்பதையும், சமன்பாட்டிலுள்ள இன் அடுக்கானது இவ்வளைகோட்டிற்கான பெயரிலுள்ள "அரைமுப்படி" என்பதற்கானக் காரணத்தையும் அறியலாம்.(பரவளைவின் சமன்பாடு: .)  

உள்ளுறைச் சமன்பாட்டை -க்குத் தீர்வு காண இரண்டாவதாக ஒரு வெளிப்படைச் சமன்பாடு கிடைக்கிறது:  
:<math>x = \(\frac{y}{a}\)^{\frac{2}{3}}.</math>  

<math display="inline">t = \frac{y}{ax}.</math> என உள்ளுறை சமன்பாட்டில் பதிலிடுவதன் மூலம் அரைமுப்படிப் பரவளைவிற்குப் பின்வரும் துணையலகுச் சமன்பாட்டையும் பெறலாம்:  
:<math> \quad x = t^2, \quad y = a t^3</math>  

ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் வில்லியம் நெயில் என்பவர் இவ்வளைகோட்டின் வில்லின் நீளத்தைக் கணக்கிட்டு, 1657 இல் வெளியிட்டார்.  

## பண்புகள்
### வடிவொப்புமை
<math>(t^2,at^3)</math> -துணையலகு உருவகிப்பைக் கொண்ட எந்தவொரு அரைமுப்படிப் பரவளைவும் என்ற அரைமுப்படி அலகு பரவளவுடன் வடிவொத்ததாக இருக்கும்.  

*நிறுவல்:* <math> (x,y) \rightarrow (a^2x,a^2y) </math> என வரையறுக்கப்பட்ட வடிவொப்புமையானது (சீரான அளவுமாற்றம், <math>(t^2,at^3)</math> என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவை முழுவதுமாக <math>((at)^2,(at)^3) = (u^2,u^3)</math> என்ற வளைவரையோடு இணைக்கிறது.  

### தொடுகோடுகள்
<math>y = \pm x^{3/2}</math> என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கார்ட்டீசியன் சமன்பாட்டை வளைவரையின் மேற்கிளையிலுள்ள புள்ளி <math>(x_0,y_0)</math> இல் வகையிட, அப்புள்ளியிலமையும் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு கிடைக்கும்:  
:<math> y = \frac{\sqrt{x_0}}{2}\(3x-x_0\) .</math>  

இத்தொடுகோடு வளைவரையின் கீழ்க்கிளையைப் பின்வரும் ஒரேயொரு புள்ளியில் சந்திக்கும்:  
:<math> \(\frac{x_0}{4}, -\frac{y_0}{8}\) .</math>  

### வில்லின்நீளம்
<math>(x(t),y(t))</math> என்ற வளைவரையின் வில்லின் நீளத்தைப் பின்வரும் தொகையிடல் மூலம் காணலாம்:  
:<math display="inline"> \int \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \;dt .</math>  
அரைமுப்படிப் பரவளைவு <math>(t^2,at^3), \; 0\le t\le b ,</math> இன் வில்லின் நீளம்:  
:<math> \int^b_0\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2} \;dt = \int^b_0 t\sqrt{4+9a^2t^2}\; dt = \cdots = \[\frac{1}{27a^2} \(4 + 9a^2t^2\)^\frac{3}{2}\]^b_0\; .</math>  
(  

*எடுத்துக்காட்டு:*  
(அரைமுப்படி அலகு பரவளைவு) மற்றும் எனில், பரவளைவின் மீதுஅமையும் (0, 0), (4,8) ஆகிய இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் வில்லின் நீளம் 9.073 ஆகக் கிடைக்கும்.  

### மலரி
<math> (t^2,t)</math> என்ற பரவளைவின் மலரியானது மூலப் பரவலைவிலிருந்து *x*-அச்சு திசையில் 1/2 அளவு நகர்த்தப்பட்ட அரைமுப்படிப் பரவளைவாகும்:  
: <math display="inline">\(\frac{1}{2}+t^2,\frac{4}{\sqrt{3}^3}t^3\).</math>  

### கோண-தூர ஆயதொலைவுகள்
<math>(t^2,at^3)</math> என்ற அரைமுப்படிப் பரவளைவின் உருவகிப்பைப் கோணதூர ஆயதொலைவுகளில் காண்பதற்கு, <math> y=mx</math> என்ற கோடானது அரைமுப்படிப் பரவளைவை வெட்டும் புள்ளியைக் காண வேண்டும். இவை இரண்டும் வெட்டும் புள்ளிகள்:  
:<math> m\ne 0</math> எனில், <math>(0, 0)</math> மற்றும் <math display="inline"> \(\frac{m^2}{a^2}, \frac{m^3}{a^2}\).</math>  
:இவ்விரண்டிற்கும் இடைப்பட்ட தூரம்: <math display="inline">\frac{m^2}{a^2}\sqrt{1+m^2}</math>  
: <math> m=\tan \varphi,</math> <math>\sec^2 \varphi = 1 + \tan^2\varphi </math> என்ற பதிலிடலை மேற்கொள்ளக் கிடைப்பது:  
:<math> r=\(\frac{\tan\varphi}{ a}\)^2 \sec \varphi \; ,\quad -\frac{\pi}{2} < \varphi < \frac{\pi}{2} . </math>  
:இதுவே அரைமுப்படிப் பரவளைவின் கோணதூர ஆயதொலைவுகள்.