# தொடர்வரிசையின் எல்லை

சுற்றி வரையப்பட்ட ஒழுங்கு *n*-பக்க பல்கோணிகளின் சுற்றளவுகளின் தொடர்வரிசையின் எல்லை அவ்வலகு வட்டத்தின் சுற்றளவாக ( <math>2\pi</math>) இருக்கும். இது அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட ஒழுங்கு *n*-பக்க பல்கோணிகளுக்கும் பொருந்தும்]]  
<div>  
<div>  
<div>  
| <math>n</math> | <math>n\times \sin\(\tfrac1{n}\)</math> |  |
| --- | --- | --- |
| 1 | 0.841471 |  |
| 2 | 0.958851 |  |
| ... |  |  |
| 10 | 0.998334 |  |
| ... |  |  |
| 100 | 0.999983 | } |
</div>  
<div>  
நேர்ம முழு எண் <math display="inline">n</math> பெரிதாகப் பெரிதாக, <math display="inline">n\times \sin\(\tfrac1{n}\)</math> இன் மதிப்பு <math display="inline">1</math> க்கு மிகவருகில் நெருங்கும். எனவே <math display="inline">n \times \sin\(\tfrac1{n}\),</math> உறுப்புகளாலான தொடர்தொடர்வரிசையின் எல்லை, <math display="inline">1</math> ஆகும் (<math>\lim_{n \to \infty}n \times \sin\(\tfrac1{n}\) = 1.</math>)  
</div>  
</div>  
</div>  

கணிதத்தில் **ஒரு தொடர்வரிசையின் எல்லை** (*limit of a sequence*) என்பது அத்தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள் அணுகும் மதிப்பைக் குறிக்கும். எல்லைக்கு, <math>\lim</math> என்ற குறியீடு (<math>\lim_{n \to \infty}a_n</math>) பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு தொடர்வரிசைக்கு எல்லைமதிப்பு இருக்குமானால், அது *ஒருங்கும் தொடர்வரிசை* எனப்படும்; ஒருங்காத தொடர்வரிசைகள், *விரிதொடர்வரிசைகள்* எனப்படும். பகுவியலின் அடிப்படைக் கருத்தாக அமைந்துள்ள இதன் அடிப்படையிலேதான் பகுவியல் முழுமையும் அமைந்துள்ளது.  

பியாட்ரோ மென்கோலி என்ற இத்தாலியக் கணிதவியலாளர் தொடர்வரிசையின் எல்லையின் நவீன கருத்தை தனது ஆய்வுகளில் முன்னதாகவே கணித்திருந்தார்.  

ஐசாக் நியூட்டன் தொடர்கள் குறித்து ஆய்வு செய்திருந்தார் (*Analysis with infinite series* -1669 இல் எழுதப்பட்டு, கையெழுத்துப் படியாக இருந்து, 1711 இல் வெளியிடப்பட்டது; *Method of fluxions and infinite series* -1671 எழுதப்பட்டு, 1736 இல் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பாக வெளியாகி பின்னாளில் இலத்தீன் மூலப்படி பின்னாளில் வெளியானது; *Tractatus de Quadratura Curvarum* -1693இல் எழுதப்பட்டு, 1704இல் அவரது *Optiks*இல் பின்சேர்க்கையாக வெளியானது). அவரது பிந்தைய ஆய்வுகளில், <math display="inline">o \to 0</math> எனும்போது எல்லை காண்பதன்மூலம் ஈருறுப்பு விரிவு <math display="inline">(x+o)^n</math> ஐ நேரியல் படுத்தினார்.  

18 ஆம் நூற்றாண்டில், கணிதவியலாளர் ஆய்லர் போன்ற கணிதவியலாளர்கள் சில விரிதொடர்களின் கூட்டுத்தொகை காண்பதில் வெற்றிபெற்றனர். 18 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் கணிதவியலாளர் லாக்ராஞ்சி, சரியான முயற்சியின்மையே நுண்கணிதத்தில் மேலதிக மேம்படையாதன் காரணம் என்ற கருத்தைத் தெரிவித்தார் (*Théorie des fonctions analytiques* -1797) முதன்முதலாக கணிதவியலாளர் காஸ், ஒரு தொடரானது ஒரு குறிப்பிட்ட எல்லைக்கு ஒருங்குவதற்குத் தேவையான நிபந்தனைகளைக் கண்டறிந்தார்.  

எல்லையின் தற்கால வரையறை, கணிதவியலாளர்கள் பெர்னார்டு பொல்சானோ (*Der binomische Lehrsatz*, Prague 1816), கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராஸ் (1870களில்) கண்டறியப்பட்டது.  

## மெய்யெண்கள்

மெய்யெண்களில், <math>(x_n)</math> எனும் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள் <math>L</math> என்ற எண்ணுக்கு மிகமிக அருகில் நெருங்கினால், <math>L</math> ஆனது <math>(x_n)</math> இன் எல்லை எனப்படும்.  

### எடுத்துக்காட்டுகள்

- <math>x_n = c;</math> <math display="inline">c</math> ஒரு மாறிலியெனில்,
: <math>x_n \to c</math>.  
- <math>x_n = \frac{1}{n}</math> எனில்,
: <math>x_n \to 0</math>.  
:<math>(x_n)</math> தொடர்வரிசையின் எல்லை <math>x</math> எனப்படுகிறது.  

மேலும் இக்கூற்று குறியீட்டில் கீழுள்ளவாறு எழுதப்படுகிறது:  
:<math>x_n \to x</math> அல்லது  
:<math>\lim_{n\to\infty} x_n = x</math>  

அதாவது, <math>\varepsilon</math> அளவு நெருக்கத்தில், தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள், அதேயளவு நெருக்கத்தில் எல்லை மதிப்பிற்கு அருகிலிருக்கும்; <math>(x_n)</math> தொடர்வரிசையானது <math>x</math> என்ற எல்லைமதிப்பிற்கு "ஒருங்கும்" எனப்படுகிறது.  

குறியீட்டில்:  
:<math>\forall \varepsilon > 0 \(\exists N \in \N \(\forall n \in \N \(n \geq N \implies |x_n - x| < \varepsilon \)\)\)</math>.  

<math>(x_n)</math> தொடர்வரிசையின் எல்லை <math>x</math> எனில், அது ஒரு ஒருங்கும் தொடரென்பதோடு, <math>x</math> மட்டுமே அதன் ஒரேயொரு எல்லையாக இருக்கும். அவ்வாறு ஒரேயொரு முடிவுறு எல்லையைக் கொண்டிருக்காவிட்டால், <math>(x_n)</math> ஒரு விரிதொடராகும். சிலசமயங்களில், பூச்சியத்தை எல்லையாகக் கொண்ட தொடர்வரிசை, "சுழித் தொடர்" எனப்படும்.  

### விளக்கப்படங்கள்

### பண்புகள்
மெய்யெண் தொடர்வரிசைகளின் எல்லை பற்றிய முக்கிய பண்புகள்:  

- எல்லையுள்ள தொடர்வரிசைகள் தனித்துவமானவை.

<math>(X, d)</math> என்ற மெட்ரிக் வெளியில் <math>d</math>ஆல் பிறப்பிக்கப்பட்ட இடவியல் வெளி <math>\tau</math> எனில், இடவியல் வெளிகளில் வரையறுக்கப்படும் தொடர்வரிசையின் எல்லை வரையறையானது மெட்ரிக் வெளியில் வரையறுக்கப்பட்டதுடன் பொருந்துகிறது.  

### பண்புகள்
ஒரு ஹவுசுடார்ப் வெளியில், தொடர்வரிசைகளின் எல்லைகள் தனித்தவையாக இருக்கும். அதாவது ஒரு தொடர்வரிசைக்கு ஒரேயொரு எல்லை மட்டுமே இருக்கும். ஆனால் ஹவுசுடார்ப் வெளியல்லாதவற்றில் அவ்வாறிருப்பதில்லை. குறிப்பாக <math>x,</math> <math>y</math> ஆகியவை இடவெளியில் வேறுபடுத்த முடியாத இரு புள்ளிகள் எனில், <math>x</math> க்கு ஒருங்கும் ஒரு தொடர்வரிசை <math>y</math> ஆகவும் ஒருங்கும். இதேபோல, <math>y</math> க்கு ஒருங்கும் ஒரு தொடர்வரிசை <math>x</math> ஆகவும் ஒருங்கும்.  

## ஒன்றுக்கு மேற்பட்டசுட்டெண்கொண்ட தொடர்வரிசை
ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட சுட்டெண்ணுள்ள தொடர்வரிசைகளுக்கும் எல்லைகளைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, இரு சுட்டெண்களுள்ள இரட்டைத் தொடர்வரிசை <math>(x_{n, m})</math>. இத்தொடர்வரிசையில், *n* , *m* இரண்டும் மிகப் பெரியதாக அதிகரிக்க, அதிகரிக்க தொடர்வரிசையானது, <math>L</math> க்கு மிகமிக அருகில் நெருங்குமானால், இதற்கு எல்லை உண்டு.  

### எடுத்துக்காட்டுகள்
- <math>x_{n, m} = c</math> (<math display="inline">c</math> ஒரு மாறிலி) எனில், <math>x_{n,m} \to c</math>.
- <math>x_{n, m} = \frac{1}{n + m}</math> எனில் <math>x_{n, m} \to 0</math>.
- <math>x_{n, m} = \frac{n}{n + m}</math> எனில், எல்லை இருக்காது. <math display="inline">n,</math> and <math display="inline">m</math> இரண்டும் அதிகரிக்கும் சார் வேகத்தைப் பொறுத்து, தொடர்வரிசையானது, <math display="inline">0,</math> <math display="inline">1</math> ஆகிய இரண்டுக்கும் இடைப்பட்ட எந்தவொரு மதிப்புக்கும் அருகாக நெருங்கும்.

### வரையறை
<math>(x_{n, m})</math> என்ற தொடர்வரிசையின் "**இரட்டை எல்லை**" <math>x</math> ,கீழ்வருமாறு குறியீட்டில் எழுதப்படுகிறது:  
:<math>x_{n, m} \to x</math>, அல்லது  
:<math>\lim_{\begin{smallmatrix}  
n \to \infty \\ m \to \infty  
\end{smallmatrix}} x_{n, m} = x</math>,  

கீழுள்ள நிபந்தனை நிறைவு செய்யப்படுமானால், <math>(x_{n, m})</math> என்ற தொடர்வரிசையின் "இரட்டை எல்லை"யாக <math>x</math> இருக்கும்:  
: <math>\varepsilon > 0</math> என்ற மெய்யெண் ஒவ்வொன்றுக்கும், மேலும் <math>n, m \geq N</math> என்றமையும் ஒவ்வொரு சோடி இயல் எண்களுக்கும்,  
::<math>|x_{n, m} - x| < \varepsilon</math>  
:என்பதை நிறைவுசெய்யும்வகையில் <math>N</math> என்ற ஒரு இயல் எண் இருக்கவேண்டும்.  

அதாவது, ஒவ்வொரு <math>\varepsilon</math> அளவு நெருக்கத்திற்கும், தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள், அதேயளவு நெருக்கத்தில் எல்லை மதிப்பிற்கு அருகிலிருக்கும். <math>(x_{n, m})</math> தொடர்வரிசையானது <math>x</math> என்ற எல்லைமதிப்பிற்கு "ஒருங்கும்" அல்லது "நெருங்கும்" எனப்படுகிறது.  

இதுவே குறியீட்டில் பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது:  
:<math>\forall \varepsilon > 0 \(\exists N \in \N \(\forall n, m \in \N \(n, m \geq N \implies |x_{n, m} - x| < \varepsilon \)\)\) </math>.  

இரட்டை எல்லையானது, முதலில் *n* இல் எல்லை கண்டு, அதன் பின்னர் *m* இல் எல்லை காணும் "தொடர்முறை எல்லை"யிலிருந்து வேறுபட்டதாகும். ஒரு தொடர்வரிசைக்கு இரட்டை எல்லை, தொடர்முறை எல்லை என இரண்டுமே இருக்குமானால், அவற்றின் மதிப்புகள் சமமாகவே இருக்கும். இவ்விரு எல்லைகளில் ஒன்று காணத்தக்கதாக இருந்து, மற்றது இல்லாமலும் இருக்கலாம்.  

### முடிவிலி எல்லைகள்
இரட்டைத் தொடர்வரிசை <math>(x_{n,m})</math> இன் முடிவிலி எல்லைக்கான குறியீடு:  
:<math>x_{n,m} \to \infty</math>, அல்லது  
:<math>\lim_{\begin{smallmatrix}  
n \to \infty \\ m \to \infty  
\end{smallmatrix}}x_{n,m} = \infty</math>,  

கீழுள்ள நிபந்தனை நிறைவு செய்யப்படுமானால் <math>(x_{n, m})</math> என்ற தொடர்வரிசைக்கு எல்லை முடிவிலியாக இருக்கும்:  
: <math>K</math> என்ற ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும், மேலும் <math>n, m \geq N</math> என்றமையும் ஒவ்வொரு சோடி இயல் எண்களுக்கும்,  
::<math>x_{n,m} > K</math> என்றவாறு <math>N</math> என்ற ஒரு இயல் எண் இருக்கவேண்டும்.  

அதாவது தொடர்வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் நிலையான <math>K</math> ஐ விடப் பெரியது.  

இதுவே குறியீட்டில் பின்வருமாறு தரப்படுகிறது:  
:<math>\forall K \in \mathbb{R} \(\exists N \in \N \(\forall n, m \in \N \(n, m \geq N \implies x_{n, m} > K \)\)\)</math>.  

<math> -\infty</math> எல்லை:  

குறியீடு:  
:<math>x_{n,m} \to -\infty</math>, அல்லது  
:<math>\lim_{\begin{smallmatrix}  
n \to \infty \\ m \to \infty  
\end{smallmatrix}}x_{n,m} = -\infty</math>,  

நிறைவு செய்யப்படவேண்டிய நிபந்தனை:  
: <math>K</math> என்ற ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும், மேலும் <math>n, m \geq N</math> என்றமையும் ஒவ்வொரு சோடி இயல் எண்களுக்கும்,  
::<math>x_{n,m} < K</math> என்றவாறு <math>N</math> என்ற ஒரு இயல் எண் இருக்கவேண்டும்.  

அதாவது தொடர்வரிசையின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் நிலையான <math>K</math> ஐ விடச் சிறியது.  

இதுவே குறியீட்டில் பின்வருமாறு தரப்படுகிறது:  
:<math>\forall K \in \mathbb{R} \(\exists N \in \N \(\forall n, m \in \N \(n, m \geq N \implies x_{n, m} < K \)\)\)</math>.  

<math> -\infty</math> அல்லது <math> +\infty</math> ஐ நெருங்கும் தொடர்வரிசைகள் விரிதொடர்வரிசைகள் எனப்படுகின்றன. ஆனால் எல்லா விரிதொடர்வரிசைகளும் <math> -\infty</math> அல்லது <math> +\infty</math> ஐ நெருங்காது. இதற்கொரு எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>x_{n,m}=(-1)^{n+m}</math>  

### புள்ளிவாரியான எல்லைகளும் சீரான எல்லைகளும்
<math>(x_{n,m})</math> என்ற இரட்டைத் தொடர்வரிசைக்கு ஏதாவது ஒரு சுட்டெண்ணுக்கான எல்லையைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, <math>n \to \infty</math> என எடுத்துக்கொண்டு, <math>(y_m)</math> என்ற ஒற்றைத் தொடர்வரிசையைப் பெறலாம். இவ்வாறு எல்லை காண்பதில், இரு எல்லைகள் உள்ளன. ஒன்று "புள்ளிவாரியான எல்லை" ( pointwise limit); மற்றது "சீரான எல்லை" (uniform limit).  

;புள்ளிவாரியான எல்லை  

குறியீடு:  
:<math>x_{n, m} \to y_m\quad \text{pointwise}</math>, அல்லது  
:<math>\lim_{n \to \infty} x_{n, m} = y_m\quad \text{pointwise}</math>,  

நிறைவு செய்யவேண்டிய நிபந்தனை:  
:<math>\varepsilon > 0</math> என்ற ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும், <math>m</math> என்ற ஒவ்வொரு நிலையான இயல் எண்ணுக்கும், மேலும் <math>n \geq N</math> என்றமையும் ஒவ்வொரு இயல் எண் <math>n</math>க்கும்:  
::<math>|x_{n, m} - y_m| < \varepsilon</math> என்றிருக்குமாறு ஒரு இயல் எண் <math>N(\varepsilon, m) > 0</math> இருக்கும்.  

குறியீட்டில் இந்நிபந்தனை:  
:<math>\forall \varepsilon > 0 \( \forall m \in \mathbb{N} \(\exists N \in \N \(\forall n \in \N \(n \geq N \implies |x_{n, m} - y_m| < \varepsilon \)\)\)\)</math>.  

இந்த எல்லையை காணமுடிந்தால், <math>(x_{n, m})</math> தொடர்வரிசையானது "புள்ளிவாரியாக ஒருங்கல் தொடர்வரிசை" எனப்படும்; அதன் எல்லை அல்லது ஒருங்கு மதிப்பு <math>(y_m)</math> ஆகும்.  

;சீரான எல்லை  
குறியீடு:  
:<math>x_{n, m} \to y_m \quad \text{uniformly}</math>,  
:<math>\lim_{n \to \infty} x_{n, m} = y_m \quad \text{uniformly}</math>,  
:<math>x_{n, m} \rightrightarrows y_m </math>, or  
:<math>\underset{n\to\infty}{\mathrm{unif} \lim} \; x_{n, m} = y_m </math>,  

நிறைவுசெய்ய வேண்டிய நிபந்தனை:  
:<math>\varepsilon > 0</math> என்ற ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும், <math>m</math> என்ற ஒவ்வொரு இயல் எண்ணுக்கும், மேலும் <math>n \geq N</math> என்றமையும் ஒவ்வொரு இயல் எண் <math>n</math>க்கும்:  
::<math>|x_{n, m} - y_m| < \varepsilon</math> என்றிருக்குமாறு ஒரு இயல் எண் <math>N(\varepsilon) > 0</math> இருக்கும்.  

குறியீட்டில் இந்நிபந்தனை:  
:<math>\forall \varepsilon > 0 \(\exists N \in \N \( \forall m \in \mathbb{N} \(\forall n \in \N \(n \geq N \implies |x_{n, m} - y_m| < \varepsilon \)\)\)\)</math>.  

இவ்வாறான எல்லை இருந்தால், <math>(x_{n, m})</math> தொடர்வரிசையானது ஒரு சீரான ஒருங்கல் தொடர்வரிசையாகும்; அதன் சீரான ஒருங்கல் மதிப்பு <math>(y_m)</math> ஆகும்.  

சீரான எல்லையின் வரையறையில் <math>N</math> இன் தேர்வு, <math>m</math> ஐச் சார்ந்திருக்காது. அதாவது <math>N</math> இன் தேர்வு, <math>m</math> இன் அனைத்து இயலெண் மதிப்புகளுக்கும் பொதுவானது. எனவே தொடர்வரிசையின் புள்ளிவாரியான ஒருங்கலை விடச் சீரான ஒருங்கல் வலுவான பண்பாகும். ஒரு தொடர்வரிசைக்குச் சீரான எல்லை இருந்தால், அத்தொடர்வரிசைக்குப் புள்ளிவாரியான ஒருங்கலும் இருக்கும்; மேலும் புள்ளிவாரியான ஒருங்கல் மதிப்பானது, சீரான ஒருங்கல் மதிப்புக்குச் சமமாகவும் இருக்கும்.  

### தொடர்முறை எல்லை
<math>(x_{n,m})</math> என்ற இரட்டைத் தொடர்வரிசைக்கு ஏதாவது ஒரு சுட்டெண்ணுக்கான எல்லையைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, <math>n \to \infty</math> என எடுத்துக்கொண்டு, <math>(y_m)</math> என்ற ஒற்றைத் தொடர்வரிசையைப் பெறலாம். அதன் பிறகு இரண்டாவது சுட்டெண் <math>m \to \infty</math> என எடுத்துக்கொண்டு, <math>y</math> என்ற எண்ணைப் பெறலாம்.  

குறியீட்டில்:  
:<math>\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} x_{n, m} = \lim_{m \to \infty} y_m = y</math>.  

இவ்வெல்லை, இரட்டைத் தொடர்வரிசையின் "தொடர்முறை எல்லை" (iterated limit) எனப்படுகிறது. சுட்டெண்களைத் தேர்வு செய்யும் வரிசை, இறுதி எல்லையின் மதிப்பை மாற்றும்:  
:<math>\lim_{m \to \infty} \lim_{n \to \infty} x_{n, m} \ne \lim_{n \to \infty} \lim_{m \to \infty} x_{n, m}</math>  

இவ்வெல்லைகள் சமமாக இருப்பதற்குப் போதுமான நிபந்தனை:  
:<math>\lim_{n \to \infty}x_{n, m} = y_m</math> ஆனது <math display="inline">m</math>இல் சீரான எல்லையாக இருக்கவேண்டும்.