# ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றம்


**ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றம்** அல்லது **ஆய்லரின் நாற்கர விதி** (*Euler's quadrilateral theorem*, *Euler's law on quadrilaterals*) ஒரு குவிவு நாற்கரத்துக்கும் அதன் மூலைவிட்டங்களுக்குமுள்ள தொடர்பை விளக்குகிறது. இத்தேற்றம், கணிதவியலாளர் ஆய்லரின் (1707–1783) பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.  

இணைகர விதியின் பொதுமைப்படுத்தலாக இத்தேற்றம் அமைகிறது. இணைகர விதியை பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம். இக்காரணத்தால், நாற்கரங்களின் மூலம் வரையறுக்கப்படும் பித்தேகோரசு தேற்றமானது, *ஆய்லர்-பித்தேகோரசு தேற்றம்* (*Euler–Pythagoras theorem*) என சிலசமயங்களில் அழைக்கப்படுகிறது.  

வெட்டிக்கொள்ளும் நாற்கரங்கள், ஒருதளத்திலமையாத நாற்கரங்கள் என மேலதிக நாற்கரங்களின் கணங்களுக்கும் ஆய்லரின் தேற்றத்தை நீட்டிக்கலாம். <math>\mathbb{R}^n</math> இல், சுழற்சி கோட்டுருவாக உருவாகும் வகையில் விளிம்புகளால் இணைக்கப்பட்ட நான்கு புள்ளிகளுக்கும் (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நாற்கரங்கள் என அழைக்கப்படும்), இத்தேற்றம் உண்மையாகும்.  

## தேற்றமும் சிறப்பு வகைகளும்
ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் <math>a, b, c, d</math>; மூலைவிட்டங்கள் <math>e,</math> <math> f</math>; மேலும் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு <math>g</math> எனில் கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையாக இருக்கும்:  
:<math>a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+4g^2 </math>  

நாற்கரம் ஒரு இணைகரமாக இருந்தால், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் ஒரே புள்ளியாக இருக்கும். எனவே <math>g</math> கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 0. மேலும் இணைகரத்தின் இணை எதிர்பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம். எனவே ஆய்லரின் தேற்றம் இணைகர விதியாக மாறும்:  
:<math>2a^2+2b^2=e^2+f^2</math> (இணைகர விதி)  
which is the parallelogram law.  

நாற்கரம் ஒரு செவ்வகமாக இருந்தால், இரு மூலைவிட்டங்களும் சமநீளமுள்ளவை. எனவே ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றத்தின் முடிவு மேலும் மாற்றமடையும்:  

:<math>2a^2+2b^2=2e^2</math>  

இருபுறமும் இரண்டால் வகுக்க ஆய்லர்-பித்தேகோரசு தேற்றம் கிடைக்கப்பெறுகிறது:  

:<math>a^2+b^2=e^2</math>  

அதாவது நாற்கரமானது செவ்வகமாக இருக்கும்பொழுது, நாற்கரத்துக்கும் அதன் மூலைவிட்டங்களுக்குமான தொடர்பு ஆய்லர் பித்தேகோரசு தேற்றத்தால் விளக்கப்படுகிறது.  

## மாற்று அமைப்பும் நீட்டிப்புகளும்

இத்தேற்றத்தை ஆய்லர் வேறொரு தேற்றத்தின் கிளைமுடிவாக நிறுவினார். அந்த மூலத் தேற்றத்தில் கூடுதலாக ஒரு புள்ளி எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டது.  

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குவிவு நாற்கரம் <math>ABCD</math>. <math>ABED</math> ஒரு இணைகரமாக உள்ளவாறு <math>E</math> புள்ளியை ஆய்லர் எடுத்துக்கொண்டார். இப்போது கீழுள்ள சமன்பாடு உண்மையாகும்:  
:<math>|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|AD|^2=|AC|^2+|BD|^2+|CE|^2 \qquad\qquad(1) </math>  

நாற்கரத்தின் முனையாக ஆனால் இணைகரத்துடன் தொடர்பில்லாத <math>C</math> புள்ளிக்கும் <math>E</math> புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட <math>|CE|</math> தூரத்தை, நாற்கரமானது இணைகரத்திலிருந்து விலகியிருக்கும் அளவின் மதிப்பாகக் கருதலாம். மேலும் இணைகரவிதியின் சமன்பாட்டுடன் இணைக்கப்படவேண்டிய திருத்த உறுப்பாகவும் கொள்ளலாம்.  

<math>AC</math> இன் நடுப்புள்ளி <math>M</math> எனில்:  
:<math>\tfrac{|AC|}{|AM|}=2 \qquad\qquad(2) </math>.  

<math>AE</math>, <math>BD</math> இரண்டும் <math>ABED</math> இணைகரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் என்பதால் <math>BD</math> இன் நடுப்புள்ளி <math>N</math> ஆனது <math>AE</math> இன் நடுப்புள்ளியும் ஆகும். எனவே:  
:<math>\tfrac{|AE|}{|AN|}=2 \qquad\qquad(3) </math>  

, இரண்டையும் சமப்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு:  
:<math>\tfrac{|AC|}{|AM|}=\tfrac{|AE|}{|AN|}</math>.  

எனவே இடைவெட்டுத் தேற்றத்தின்படி:  
:<math>CE</math>, <math>NM</math> இரண்டும் இணை மற்றும் <math>|CE|^2=(2|NM|)^2=4|NM|^2</math>.  

:<math>|CE|^2=4|NM|^2</math> என இல் சமன்பாட்டில் பதிலிட:  
:<math>|AB|^2+|BC|^2+|CD|^2+|AD|^2=|AC|^2+|BD|^2+4|NM|^2</math> (ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றக் கூற்று)