# பாசுக்கலின் வாய்பாடு

கணிதத்தில் **பாசுக்கலின் வாய்பாடு** அல்லது **பாசுக்கலின் விதி** (*Pascal's rule* அல்லது *Pascal's formula*) என்பது ஈருறுப்புக் குணகங்கள் பற்றியதொரு சேர்வியல் முற்றொருமையாகும்.  

பாசுக்கலின் விதி:  
:<math>{n-1\choose k} + {n-1\choose k-1} = {n\choose k},</math> (*n* , *k* இயல் எண்கள்)  
இதில் <math>\tbinom{n}{k}</math> ஒரு ஈருறுப்புக் குணகம்; இந்த ஈருறுப்புக் குணகமானது -இன் பல்லுறுப்புக்க்கோவை விரிவிலுள்ள உறுப்பின் குணகமாகும். மற்றும் ஆகிய இரண்டின் சார்மதிப்புகளுக்கு கட்டுப்பாடு எதுவும் இல்லை. ஏனெனில் இருந்தால் இந்த ஈருறுப்புக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாகி, இந்நிலையிலும் பாசுக்கலின் வாய்பாடு உண்மையாகும்.  

"<math>\frac{(x+y)!}{x!y!} = {x+y \choose x} = {x+y \choose y} </math> என்ற வாய்பாடானது, இயல் எண்களில்  
:<math> N_{x,y} = N_{x-1,y} + N_{x,y-1}, \quad N_{0,y} = N_{x,0} = 1 </math> என்ற நேரியல் இருபரிமாண வேறுபாட்டுச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்"  
என்ற கூற்றாகவும் பாசுக்கலின் விதியைக் கருதலாம். இதனால் பாசுக்கலின் முக்கோணத்திலுள்ள எண்களுக்கான வாய்பாடு பற்றிய கூற்றாகவும் இவ்விதியுள்ளது.  

இவ்விதியினை பல்லுறுப்புக் கெழுக்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம்.  

## சேர்வியல் நிறுவல்
பாசுக்கலின் விதிக்குள்ள இயல்புணர்வான சேர்வியல் பண்பினைக் கீழுள்ள எண்ணுதல் நிறுவலில் காணலாம் இந்த நிறுவல் முறையில் <math>\tbinom{n}{k}</math> ஆனது *n* உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு கணத்திலிருந்து தேர்வுசெய்யப்படும் *k* உறுப்புகளைக் கொண்ட உட்கணங்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமம் என்ற கூற்றிலிருந்து பாசுக்கலின் விதி நிறுவப்படுகிறது:  

நிறுவல்:  

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் கணத்தின் *n* உறுப்புகளில் குறிப்பிட்டதொரு உறுப்பு *X* எனில்,  
- *X* உட்பட்ட *k* உறுப்புகள் கொண்ட உட்கணங்களைத் தேர்வு செய்யும் வழிகள்:
*X* நீங்கலான மீதமுள்ள *n*&thinsp;−&thinsp;1 உறுப்புகளிலிருந்து தேவையான  
*k*&thinsp;−&thinsp;1 உறுப்புகள் தேர்வு செய்யப்பட வேண்டும். இவ்வகையான உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை:  
:<math>\tbinom{n-1}{k-1}</math>.  
- *X* நீங்கலாக *k* உறுப்புகள் கொண்ட உட்கணங்களைத் தேர்வு செய்யும் வழிகள்:
*X* நீங்கலான மீதமுள்ள *n*&thinsp;−&thinsp;1 உறுப்புகளிலிருந்து தேவையான  
*k* உறுப்புகள் தேர்வு செய்யப்பட வேண்டும். இவ்வகையான உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை:  
:<math>\tbinom{n-1}{k}</math>  

இவை இரண்டிலிருந்து *k* உறுப்புகள் கொண்ட (*X* உட்பட்ட மற்றும் நீங்கலான) மொத்த உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை:  
:<math>\tbinom{n-1}{k-1} + \tbinom{n-1}{k}</math>.  

எனவே  
:<math>\tbinom{n}{k} = \tbinom{n-1}{k-1} + \tbinom{n-1}{k}</math>.  

## இயற்கணித நிறுவல்
பாசுக்கலின் விதி இயற்கணித முறையில் பின்வருமாறு நிறுவப்படுகிறது:  
:<math>\begin{align}  
{ n-1 \choose k } + { n-1 \choose k-1} & = \frac{(n-1)!}{k! (n - 1 - k)!} + \frac{(n-1)!}{(k - 1)!(n - k)!} \\  
& = (n-1)! \[ \frac{n - k}{k!(n - k)!} + \frac{k}{k!(n - k)!}\] \\  
& = (n-1)! \frac{n}{k!(n - k)!} \\  
& = \frac{n!}{k!(n - k)!} \\  
& = \binom{n}{k}.  
\end{align}  
</math>  

## பொதுமைப்படுத்தல்
பாசுக்கலின் விதியைப் பல்லுறுப்புக்கெழுக்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம்.  
*p* ஏதேனுமொரு முழு எண் மற்றும் <math>p \ge 2</math>, <math>k_1, k_2, k_3, \dots, k_p \in \mathbb{N}^{+}\!,</math> மேலும் <math>n = k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_p \ge 1</math> எனில், பல்லுறுப்புக்கெழுக்களுக்கான பாசுக்கலின் விதி:  
:<math>{n-1\choose k_1-1,k_2,k_3, \dots, k_p}+{n-1 \choose k_1,k_2-1,k_3,\dots, k_p}+\cdots+{n-1\choose k_1,k_2,k_3,\dots,k_p-1} = {n\choose k_1, k_2, k_3, \dots, k_p}</math>  

இதில் <math>{n\choose k_1, k_2, k_3, \dots , k_p}</math> ஆனது <math>(x_1 + x_2 + \dots + x_p)^{n}</math> விரிவிலுள்ள <math>x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dots x_p^{k_p}</math> உறுப்பின் கெழுவாகும்.  

இவ்விதியின் இயற்கணிதமுறை நிறுவல்:  

*p* ஒரு முழு எண் மற்றும் <math>p \ge 2</math>, <math>k_1, k_2, k_3, \dots, k_p \in \mathbb{N}^{+}\!,</math> மேலும் <math>n = k_1 + k_2 + k_3 + \cdots + k_p \ge 1</math> எனில்,  
: <math>  
\begin{align}  
& {} \quad {n-1 \choose k_1-1,k_2,k_3, \dots, k_p}+{n-1 \choose k_1,k_2-1,k_3,\dots, k_p} + \cdots + {n-1 \choose k_1,k_2,k_3,\dots,k_p-1} \\  
& = \frac{(n-1)!}{(k_1-1)!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \frac{(n-1)!}{k_1!(k_2-1)!k_3!\cdots k_p!} + \cdots + \frac{(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots (k_p-1)!} \\  
& = \frac{k_1(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \frac{k_2(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} + \cdots + \frac{k_p(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} = \frac{(k_1+k_2+\cdots+k_p) (n-1)!}{k_1!k_2!k_3!\cdots k_p!} \\  
& = \frac{n(n-1)!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!} = \frac{n!}{k_1!k_2!k_3! \cdots k_p!}  
= {n \choose k_1, k_2, k_3, \dots, k_p}.  
\end{align}  
</math>