# சிற்றணிக்கோவை

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு அணியின் **சிற்றணிக்கோவை** (*minor*) என்பது அவ்வணியிலிருந்து அதன் ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட நிரைகளையோ, நிரல்களையோ நீக்கக் கிடைக்கும் சிறிய சதுர அணியின் அணிக்கோவையாகும். ஒரு சதுர அணியிலிருந்து ஒரேயொரு நிரையையும், நிரலையும் மட்டும் நீக்கிப் பெறப்படும் சிற்றணிக்கோவைகள், **முதல் சிற்றணிக்கோவைகள்** (*first minors*) எனப்படுகின்றன. இவை அச்சதுர அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பினைக் கணக்கிடுவதற்கும் அவ்வணியின் நேர்மாறு அணி காண்பதற்கும் பயன்படுகின்றன.  

## வரையறை

### முதல் சிற்றணிக்கோவைகள்
*A* ஒரு சதுர அணி எனில் அதன் *i*-வது நிரை மற்றும் *j*-வது நிரலிலில் உள்ள உறுப்பின் சிற்றணிக்கோவை (**(*i*,*j*) சிற்றணிக்கோவை** அல்லது **முதல் சிற்றணிக்கோவை**)) என்பது *A* அணியின் i-ஆவது நிரையையும் j-ஆவது நிரலையும் நீக்கிவிடக் கிடைக்கும் அணியின் அணிக்கோவையாகும். (*i*,*j*) சிற்றணிக்கோவையின் குறியீடு M<sub>*i,j*</sub>  

;பொதுவான வரையறை  
**A** ஒரு *m* × *n* அணி; *k* ஒரு முழு எண்; 0 < *k* ≤ *m*, *k* ≤ *n* எனில்:  
:**A** இன் *k* × *k* சிற்றணிக்கோவை என்பது **A** அணியிலிருந்து *m* − *k* நிரைகளையும் *n* − *k* நிரல்களையும் நீக்கிய பின் கிடைக்கும் *k* × *k* அணியின் அணிக்கோவையாகும்.  

#### இணைக்காரணிகள்
குறியிடப்பட்ட சிற்றணிக்கோவைகள் இணைக்காரணிகள் என அழைக்கப்படும்.  

:(*i*,*j*) சிற்றணிக்கோவையை <math>(-1)^{i+j}</math> ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது (i,j) இணைக்காரணியாகும். இதன் குறியீடு C<sub>*i,j*</sub>.  
::<math>\mathbf{C}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}. \,</math>  

#### 3 x 3 அணியின் சிற்றணிக்கோவை, இணைக்காரணி காணல்
எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>\begin{bmatrix}  
\,\,\,1 & 4 & 7 \\  
\,\,\,3 & 0 & 5 \\  
-1 & 9 & \!11 \\  
\end{bmatrix}</math>  

மேலுள்ள அணியில் சிற்றணிக்கோவை *M*<sub>23</sub> காண்பதற்கு அந்த அணியிலிருந்து இரண்டாவது நிரையும் மூன்றாவது நிரலும் நீக்கப்பட்டு மீதமாகும் அணியின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு கணக்கிடப்படுகிறது.  
:<math> M_{23} = \det \begin{bmatrix}  
\,\,1 & 4 & \Box\, \\  
\,\Box & \Box & \Box\, \\  
-1 & 9 & \Box\, \\  
\end{bmatrix}= \det \begin{bmatrix}  
\,\,\,1 & 4\, \\  
-1 & 9\, \\  
\end{bmatrix} = (9-(-4)) = 13</math>  

இதற்குரிய இணைக்காரணி *C*<sub>23</sub>:  
:<math>\ C_{23} = (-1)^{2+3}(M_{23}) = -13.</math>  

#### இணைக்காரணி அணி
ஒரு அணியின் அனைத்து உறுப்புகளை அவற்றின் இணைக்காரணிகளைக் கொண்டு பதிலிடக் கிடைப்பது அவ்வணியின் இணைக்காரணி அணி எனப்படும். இணைக்காரணி அணியின் குறியீடு <math>\mathbf{C}</math>  

;3 x 3 பொது அணியின் இணைக்காரணி அணி  
:<math>  
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}  
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\  
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\  
a_{31} & a_{32} & a_{33}  
\end{pmatrix}  
</math>  

இதன் இணைக்காரணி அணி:  
:<math>  
\mathbf{C} =\begin{pmatrix}  
c_{11} & c_{12} & c_{13} \\  
c_{21} & c_{22} & c_{23} \\  
c_{31} & c_{32} & c_{33}  
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}  
+\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &  
-\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &  
+\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\  
& & \\  
-\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} &  
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} &  
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \\  
& & \\  
+\begin{vmatrix} a_{12} & a_{13} \\ a_{22} & a_{23} \end{vmatrix} &  
-\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{21} & a_{23} \end{vmatrix} &  
+\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}  
\end{pmatrix}  
</math>  

## சிற்றணிக்கோவைகள், இணைக்காரணிகளின் பயன்பாடுகள்

### அணிக்கோவைகளின் விரிவு
<math>n\times n</math> அணி <math>(a_{ij})</math> எனில்  

:*A* இன் அணிக்கோவையின் (det(*A*)) *j*th நிரல் மூலமான இணைக்காரணி விரிவு:  

:<math>\ \det(\mathbf A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + ... + a_{nj}C_{nj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} </math>  

:*A* இன் அணிக்கோவையின் (det(*A*)) *i*th நிரல் மூலமான இணைக்காரணி விரிவு:  
:<math>\ \det(\mathbf A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + ... + a_{in}C_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} </math>  

### அணியின் நேர்மாறு

கிரமரின் விதியைப் பயன்படுத்தி நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் இணைக்காரணிகளைக் கண்டுபிடித்து அவ்வணியின் நேர்மாறு அணியைக் காணலாம்.  

இணைக்காரணிகளாலான அணி:  

:<math>\mathbf C=\begin{bmatrix}  
C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\  
C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\  
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\  
C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn}  
\end{bmatrix} </math>  

**A** அணியின் இணைக்காரணி அணியின் (<math>\mathbf C </math>) இடமாற்று அணி, **A** இன் சேர்ப்பு அணி எனப்படும்.  

**A** அணியின் நேர்மாறு அணி:  
:<math>\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf A)} \mathbf C^\mathsf{T}.</math>  

### அணியின் அளவை
மெய்யெண்களாலான *m* × *n* அணியின் தரம் *r* எனில் அவ்வணிக்கு, குறைந்தபட்சம் ஒரு பூச்சியமில்லா *r* × *r* சிற்றணிக்கோவையும், பிற மேல்வரிசை சிற்றணிக்கோவைகள் அனைத்தும் பூச்சியமாகவும் இருக்கும்.