# பல்லுறுப்புத் தேற்றம்

கணிதத்தில் **பல்லுறுப்புத் தேற்றம்** (*multinomial theorem*) என்பது ஒரு கூட்டுத்தொகையின் அடுக்கினை அக்கூட்டுத்தொகையிலுள்ள உறுப்புகளின் அடுக்குகளின் மூலம் எவ்வாறு விரித்தெழுதலாம் என விளக்குகிறது. இத்தேற்றம் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.  

## தேற்றம்
*m* ஒரு நேர்ம முழு எண்; *n* ஒரு எதிர்மமல்லா முழு எண் எனில்:  
:<math>(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n  
= \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}  
\prod_{t=1}^m x_t^{k_t}\,,</math>  

இதில் <math> {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}</math> ஒரு "பல்லுறுப்புக் கெழு" அல்லது "பல்லுறுப்புக் குணகம்" ஆகும்.  
இந்த விரிவின் ஒவ்வொரு உறுப்பிலுமுள்ள *x*<sub>*i*</sub> இன் அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகை *n* ஆக இருக்கும். மேலும் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் போலவே இத்தேற்றத்திலும் *x*<sup>0</sup> என்ற வடிவிலுள்ளவற்றின் மதிப்பு 1 ஆக எடுத்துக்கொள்ளப்படும் (*x* = 0 ஆக இருந்தாலும் கூட).  

*m* = 2 ஆக இருக்கும் போது பல்லுறுப்புத் தேற்றமானது ஈருறுப்புத் தேற்றமாகிவிடும்.  

### எடுத்துக்காட்டு
மூவுறுப்புக்கோவை *a* + *b* + *c* இன் மூன்றடுக்கின் விரிவு:  

:<math>(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3 a^2 b + 3 a^2 c + 3 b^2 a + 3 b^2 c + 3 c^2 a + 3 c^2 b + 6 a b c.</math>  

:<math>(a+b+c)^3 </math> இன் விரிவை கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்பைப் பயன்படுத்திக் காணமுடியும். என்றாலும் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிவுபடுத்தல் எளிதாக இருக்கும். ஏனென்றால் இத்தேற்றத்தின்படி பல்லுறுப்புக் கெழுக்களைக் கணக்கிடல் எளிதானது. எடுத்துக்காட்டாக:  

:<math>a^2 b^0 c^1 </math> இன் கெழு <math>{3 \choose 2, 0, 1} = \frac{3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!} = \frac{6}{2 \cdot 1 \cdot 1} = 3.</math>  
:<math>a^1 b^1 c^1</math> இன் கெழு <math>{3 \choose 1, 1, 1} = \frac{3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!} = \frac{6}{1 \cdot 1 \cdot 1} = 6.</math>  

### மாற்று வடிவம்
பல்லடுக்குகளைப் பயன்படுத்தி இத்தேற்றத்தின் கூற்றைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:  

:<math>(x_1+\cdots+x_m)^n = \sum_{|\alpha|=n}{n \choose \alpha}x^\alpha</math>  

இதில்,  

:<math>  
\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)  
</math>  
மற்றும்  
:<math>  
x^\alpha=x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \cdots x_m^{\alpha_m}  
</math>  
### நிறுவல்
ஈருறுப்புத் தேற்றம் மற்றும் *m* மீதானக் கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையைப் பயன்படுத்தி பல்லுறுப்புத் தேற்றம் இங்கு நிறுவப்படுகிறது.  

கணிதத் தொகுத்தலறிதல் முறையின் படிநிலைகள்:  
- படிநிலை 1
:*m*&nbsp;=&nbsp;1, எனில் பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் இருபுறமும் *x*<sub>1</sub><sup>*n*</sup> என சமமாக உள்ளன.  
- படிநிலை 2
*m* இற்குப் பல்லுறுப்புத் தேற்றம் உண்மையெனக் கொண்டு *m*&nbsp;+&nbsp;1 மதிப்பிற்கும் தேற்றம் உண்மையாகிறது என கீழே நிறுவப்படுகிறது:  

: <math>  
\begin{align}  
& (x_1+x_2+\cdots+x_m+x_{m+1})^n = (x_1+x_2+\cdots+(x_m+x_{m+1}))^n \\[6pt]  
= {} & \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} x_1^{k_1} x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}(x_m+x_{m+1})^K  
\end{align}  
</math>  

வலப்புறமுள்ள கடைசி காரணியை ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி விரிக்க:  

:<math> = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+K=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}\sum_{k_m+k_{m+1}=K}{K\choose k_m,k_{m+1}}x_m^{k_m}x_{m+1}^{k_{m+1}}</math>  

:<math>{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},K}{K\choose k_m,k_{m+1}} = \frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_{m-1}!K!} \frac{K!}{k_m! k_{m+1}!}=\frac{n!}{k_1! k_2! \cdots k_{m+1}!} = {n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},k_m,k_{m+1}},</math> என்பதால்  

:<math> (x_1+x_2+\cdots+x_m+x_{m+1})^n = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_{m-1}+k_m+k_{m+1}=n}{n\choose k_1,k_2,\ldots,k_{m-1},k_m,k_{m+1}} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_{m-1}^{k_{m-1}}x_m^{k_m}x_{m+1}^{k_{m+1}}  
</math>  

எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையின் இரண்டாம் படிநிலையும் நிறுவப்பட்டு பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் நிறுவல் நிறைவுறுகிறது.  

## பல்லுறுப்புக் கெழுக்கள்
பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் வலப்பக்க விரிவில் இடம்பெறும் உறுப்புக்களின் எண் கெழுக்கள் :<math> {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}</math> "பல்லுறுப்புக் கெழுக்கள்" அல்லது "பல்லுறுப்புக் குணகங்கள்" என அழைக்கப்படுகின்றன. இவற்றின் வாய்பாடு:  
:<math>  
{n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!} = {k_1\choose k_1}{k_1+k_2\choose k_2}\cdots{k_1+k_2+\cdots+k_m\choose k_m}  
</math>  

பல்லுறுப்புக் கெழுக்களின் கூட்டுத்தொகை:  
பல்லுறுப்புத் தேற்றத்தின் விரிவிலுள்ள எல்லா உறுப்புகளின் கெழுக்களின் கூடுதல்:  
:<math>  
\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = m^n.  
</math>  

விளக்கம்:  
:பல்லுறுப்புத் தேற்றம்:  
:<math>\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}  
= (x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n</math>  
இதில் <math> x_i =1, (\forall i) </math> எனப் பதிலிட:  
:<math>  
\sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = m^n.  
</math>  

சேர்வியல் விளக்கம்:  
:பல்லுறுப்புக் கெழுக்களின் மதிப்பு வெவ்வேறான *n* பொருட்களை, வெவ்வேறான *m* பெட்டிகளில் போடும் வழிகளின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும். இதில், முதல் பெட்டியில் *k*<sub>1</sub> பொருட்களும் இரண்டாவது பெட்டியில் *k*<sub>2</sub> பொருட்களும் மூன்றாவது பெட்டியில் *k*<sub>3</sub> பொருட்கள் என்று பொருட்கள் பெட்டிகளில் போடப்பட வேண்டும்