# சுழற்சி மேற்பரப்பு


யூக்ளிடிய வெளியில் ஒரு அச்சைப் பொறுத்து, ஒரு வளைகோட்டைச் சுழற்றும்போது உருவாகும் மேற்பரப்பானது **சுழற்சி மேற்பரப்பு** (*surface of revolution*) எனப்படும்.  

எடுத்துக்காட்டாக,  
- சுழற்சி அச்சுக்கு இணையாகவுள்ள ஒரு நேர்கோட்டினைச் சுழற்றுவதால் உருளை உருவாகிறது.
- சுழற்சி அச்சுக்கு இணையற்ற நேர்கோட்டினை சுழற்றுவதால் கூம்புவெட்டுகள் உருவாகின்றன.
- ஒரு வட்டத்தை அதன் ஏதாவது ஒரு விட்டத்தைப் பொறுத்து சுழற்றும்போது கோளம் உருவாகிறது.

## பண்புகள்
- ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சின் வழியாகச் செல்லும் தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் *நெடுவரை வெட்டுகள்* (meridional sections) என அழைக்கப்படுகின்றன
- சுழற்சி மேற்பரப்பை, அச்சுக்குச் செங்குத்தான தளங்களால் வெட்டும்போது கிடைக்கும் வெட்டுமுகங்கள் வட்டங்களாக இருக்கும்.
- சில சிறப்புவகை அதிபரவளைவுருக்களும் பரவளையவுருக்களும் சுழற்சி மேற்பரப்புகளாக அமைகின்றன.

## பரப்பளவு வாய்பாடு
சுழற்றப்படும் வளைகோட்டின்  
1. துணையலகுச் சமன்பாடுகள்: , , ( இன் மதிப்பு இடைவெளியில் அமையும்);
1. சுழற்சி அச்சு: -அச்சு
1. சுழற்சி மேற்பரப்பின் பரப்பளவு எனில்:
:<math> A_y = 2 \pi \int_a^b x(t) \, \sqrt{\({dx \over dt}\)^2 + \({dy \over dt}\)^2} \, dt, </math>  

இவ்வாய்பாட்டில் , ஆகிய இரு இறுதிப்புள்ளிகளுக்கு இடையே எவ்விடத்திலும் ஆனது எதிர்மமாக இருக்காது என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இவ்வாய்பாடு, பாப்பசின் திணிவுமையத் தேற்றத்தின் நுண்கணிதச் சமானமாக உள்ளது.  

பித்தகோரசு தேற்றத்திலிருந்து வரும் வாய்பாட்டின் பகுதி <math>\sqrt{ \({dx \over dt}\)^2 + \({dy \over dt}\)^2 }</math> ஆனது வளைகோட்டின் வில்லின் ஒரு சிறுபகுதியைக் குறிக்கிறது. மேலும் ஆனது இச்சிறுபகுதியின் பாதை ஆகும்.  

இதேபோல சுழற்சி அச்சு -அச்சாக இருந்து ஒருபோதும் எதிர்மம் இல்லையென்றும் இருந்தால், பரப்பளவின் வாய்பாடு:  

:<math> A_x = 2 \pi \int_a^b y(t) \, \sqrt{\({dx \over dt}\)^2 + \({dy \over dt}\)^2} \, dt. </math>  

வளைகோடானது , என்ற சார்பாகத் தரப்பட்டால், மேலுள்ள வாய்பாடுகளிலிருந்து பெறப்படும் பரப்பளவின் வாய்பாடு:  

- சுழற்சி அச்சாக -அச்சு இருக்கும்போது:
:<math>A_x = 2\pi\int_a^b y \sqrt{1+\(\frac{dy}{dx}\)^2} \, dx = 2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2} \, dx</math>  

- சுழற்சி அச்சாக *y*-அச்சு இருக்கும்போது:
:<math>A_y =2\pi\int_a^b x \sqrt{1+\(\frac{dy}{dx}\)^2} \, dx</math>  

எடுத்துக்காட்டாக,  

, , ( இன் மதிப்பு இல் அமையும்) என்ற வளைகோட்டின் சுழற்சியால் ஓரலகு ஆரங்கொண்ட கோள மேற்பரப்பு, உருவாக்கப்படுகிறது. அதன் பரப்பளவு:  
:<math>\begin{align}  
A  
&{}= 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \sqrt{\big(\cos(t)\big)^2 + \big(\sin(t)\big)^2} \, dt \\  
&{}= 2 \pi \int_0^\pi \sin(t) \, dt \\  
&{}= 4\pi.  
\end{align}</math>  

கோளத்தின் ஆரம் , சமன்பாடு , சுழற்சி அச்சு -அச்சு எனில் பரப்பளவு:  
:<math>\begin{align}  
A  
&{}= 2 \pi \int_{-r}^{r} \sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{1 + \frac{x^2}{r^2 - x^2}}\,dx \\  
&{}= 2 \pi r\int_{-r}^{r} \,\sqrt{r^2 - x^2}\,\sqrt{\frac{1}{r^2 - x^2}}\,dx \\  
&{}= 2 \pi r\int_{-r}^{r} \,dx \\  
&{}= 4 \pi r^2\,  
\end{align}</math>  

## சுருள்வளையங்கள்

ஒரு சுழற்சி மேற்பரப்பின் நடுவில் துளையும், சுழற்சி அச்சு அம்மேற்பரைப்பைச் சந்திக்காமலும் இருந்தால் அச் சுழற்சி மேற்பரப்பு சுருள்வளையம் என அழைக்கப்படுகிறது.  

எடுத்துக்காட்டாக,  
- ஒரு செவ்வகத்தை அதன் ஒரு விளிம்புக்கு இணையான மற்றொரு கோட்டை அச்சாகக் கொண்டு சுழற்றக்கிடைக்கும் சுழற்சி மேற்பரப்பானது, செவ்வக வெட்டுமுகங்கொண்ட உள்ளீடற்ற வளையமாகக் கிடைக்கும்.
- சுழற்றப்படும் வடிவம் சதுரமாக இருப்பின் அச்சுருள்வளையத்தின் வெட்டுமுகம் சதுரமாக இருக்கும்.

இதேபோல சுழற்றப்படுவது வட்டமாக இருந்தால், உருவாகும் சுழற்சி மேற்பரப்பு உள்ளீடற்ற, வட்ட வெட்டுமுகங்கொண்ட வளையமாக இருக்கும். இது உருள்வளையம் என அழைக்கப்படுகிறது.