# சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு சதுர அணியின் **சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை** (*characteristic polynomial*) என்பது, அணி ஒப்புமையின் கீழ் மாற்றமடையாததும், ஐகென் மதிப்புகளை மூலங்களாகக் கொண்டதுமானதொரு பல்லுறுப்புக்கோவையாகும். இப்பல்லுறுப்புக்கோவை, அச் சதுர அணியின் அணிக்கோவையையும் சுவட்டையும் அதன் கெழுக்களில் கொண்டிருக்கும். ஒரு முடிவுறு-பரிமாணத் திசையன் வெளியின் உள்ளமைவியத்தின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையானது, அந்த உள்ளமைவியத்தின் அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும் (அடுக்களம் எதுவாக வேண்டுமானாலும் இருக்கலாம்). சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையைப் பூச்சியத்திற்குச் சமப்படுத்துவதன் மூலம் கிடைக்கும் சமன்பாடு **சிறப்பியல்பு சமன்பாடு** (*characteristic equation*) என அழைக்கப்படுகிறது.  

நிறப்பிரிகை கோட்டுரு கோட்பாட்டில், ஒரு கோட்டுருவின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை என்பது அக்கோட்டுருவின் அண்டை அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.  

## உந்துதல்
நேரியல் இயற்கணிதத்தில், ஐகென் மதிப்புகள் முக்கிய பங்குவகிக்கின்றன. ஒரு உருமாற்றத்தால் திசையில் மாற்றமில்லாது அளவில் மட்டும் மாற்றமடையும் திசையனானது "ஐகென் திசையன்" என அழைக்கப்படுகிறது. அத்திசையனின் அளவில் ஏற்படும் மாற்றமானது ஐகென் மதிப்பு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.  

இந்த உருமாற்றமானது <math>A</math> என்ற சதுர அணியாலும், ஐகென்திசையன்யானது <math>\mathbf{v}</math> எனவும், அதற்குரிய ஐகென்மதிப்பானது <math>\lambda</math> எனவும் குறிக்கப்பட்டால் கீழ்வரும் சமன்பாடு நிறைவு செய்யப்படும்:  
:<math display=block>A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v},</math>  

அல்லது சமானமாக,  
:<math display=block>(\lambda I - A) \mathbf{v} =\mathbf 0</math> (<math>I</math> முற்றொருமை அணி, and <math>\mathbf{v}\ne \mathbf{0}</math>)  

பூச்சியத் திசையன் இச்சமன்பாட்டை நிறைவுசெய்யும் என்றாலும் <math>\lambda,</math> இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும் பூச்சியத் திசையனானது ஐகென் திசையனாகக் கொள்ளப்படுவதில்லை.  

<math>(\lambda I - A),</math> ஒரு வழு அணியாகும். எனவே அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இருக்கும்:  
<math display=block>\det(\lambda I - A) = 0</math>  

அதாவது, இன் ஐகென் மதிப்புகள் <math display=block>\det(xI - A)</math> இன் மூலங்களாக இருக்கும். ஒரு அணியாக இருந்தால், இப்பல்லுறுப்புக்கோவையானது மாறியிலமைந்த படிகொண்ட தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை. மேலும் இதுவே அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையுமாகும்.  

## முறையான வரையறை
<math>A.</math> என்பது ஒரு <math>n \times n</math> அணி எனில்:  
- அதன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் குறியீடு: <math>p_A(t).</math>
- வரையறை:
:<math display=block>p_A(t) = \det (t I - A)</math> (<math>I</math> என்பது <math>n \times n</math> முற்றொருமை அணி).  

சிலர் சிறப்பியல்பு பல்லுறுக்கோவையை பின்வருமாறும் தருகின்றனர்:  
:<math>\det(A - t I).</math>  

முதல் வரையறைப்படியான சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையானது இரண்டாவது வரையறைப்படியானதிலிருந்து <math>(-1)^n,</math> என்ற குறியளவில் மட்டுமே மாறுபடுகிறது. இந்த வரையறை வேறுபாட்டால், மூலங்கள் <math>A</math> அணியின் ஐகென் மதிப்புகளாக இருக்கும் என்பது போன்ற பண்புகளில் எந்தவொரு வேறுபாடும் இருக்காது. எனினும் முதல் வரையறைப்படி, சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை எப்பொழுதும் தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்; மாற்று வரையறையில் <math>n</math> இரட்டையெண்ணாக இருந்தால் மட்டுமே தலையொற்றையாக இருக்கும்.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்
எடுத்துக்காட்டு 1:  
:<math display=block>A = \begin{pmatrix}  
2 & 1\\  
-1& 0  
\end{pmatrix}.  
</math> என்ற அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையைக் காண்பதற்குக் கீழ்வரும் அணியின் அணிக்கோவையைக் காணவேண்டும்:  
:<math display=block>t I-A = \begin{pmatrix}  
t-2&-1\\  
1&t-0  
\end{pmatrix}  
</math>  

அந்த அணிக்கோவையினை விரிக்க, <math>A</math> அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கிறது:  
:<math>(t-2)t - 1(-1) = t^2-2t+1 \,\!,</math>  

எடுத்துக்காட்டு 2 (மீவளையக் கோணம் &phi; இன் மீவளைச் சார்பு):  

அணி:  
<math display=block>A = \begin{pmatrix} \cosh(\varphi) & \sinh(\varphi)\\ \sinh(\varphi)& \cosh(\varphi) \end{pmatrix}.</math>  
சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை:  
<math display=block>\det (tI - A) = (t - \cosh(\varphi))^2 - \sinh^2(\varphi) = t^2 - 2 t \ \cosh(\varphi) + 1 = (t - e^\varphi) (t - e^{-\varphi}).</math>  

## பண்புகள்
- <math>n \times n</math> வரிசை அணி <math>A</math> இன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை <math>p_A(t),</math> ஒரு தலையொற்றை பல்லுறுப்புக்கோவை.
- <math>n \times n</math> வரிசை அணி <math>A</math> இன் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை <math>p_A(t),</math> இன் படி <math>n.</math>.
- <math>A</math> இன் ஐகென்மதிப்புகள் <math>p_A(t)</math> இன் மூலங்களாகும்.
- சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின் கெழுக்கள் <math>A</math> இன் உறுப்புகளாலமைந்த பல்லுறுப்பு விரிவுகளாக இருக்கும்.
எடுத்துக்காட்டாக, சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையின்  
  - மாறிலி உறுப்பு (<math>t^0</math> இன் கெழு) = <math>\det(-A) = (-1)^n \det(A),</math>
  - <math>t^n</math> இன் கெழு = 1
  - <math>t^{n-1}</math> இன் கெழு = , ( = <math>A</math> இன் சுவடு) (இது முதல் வகை வரையறையின்படி)
  - மாற்று வரையறையின்படி முறையே <math>\det(A),</math> )

<math>2 \times 2</math> வரிசை <math>A</math> அணியின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவை:  
<math display=block>t^2 - \operatorname{tr}(A) t + \det(A).</math>  

- இரு ஒத்த அணிகளின் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஒன்றாக இருக்கும். ஆனால் மறுதலை உண்மையில்லை ஒரே பல்லுறுப்புக்கோவையைச் சிறப்பியல்பு பல்லுறுப்புக்கோவையாகக் கொண்ட அணிகள் ஒத்த அணிகளாக இருக்காது.

- <math>A,</math> அதன் இடமாற்று அணி இரண்டிற்கும் ஒரே சிறப்பியல்பு பல்லுறுக்கோவை.