# அலகு (வளையக் கோட்பாடு)

இயற்கணிதத்தில் ஒரு வளையத்தின் **அலகு** (*unit*) அல்லது **நேர்மாறுடைய அல்லது நேர்மாற்றத்தக்க உறுப்பு** (*invertible element*) என்பது வளையத்தின் பெருக்கற்செயலியைப் பொறுத்த நேர்மாறுடைய உறுப்பாகும். அதாவது, என்ற வளையத்தின் ஒரு உறுப்பு ஆனது அவ்வளையத்தின் அலகாக இருக்க வேண்டுமானால் கீழ்வரும் முடிவை நிறைவுசெய்யுமாறு என்ற ஒரு உறுப்பும் இல் இருக்க வேண்டும்:  
<math display="block">vu = uv = 1,</math> ( என்பது பெருக்கல் செயலுக்குரிய முற்றொருமை உறுப்பு).  

இப்பண்பை நிறைவு செய்யும் ஆனது தனித்த உறுப்பாகும். அதாவது ஒவ்வொரு வளைய உறுப்பு க்கும் இப்பண்பை நிறைவுசெய்யும் வகையில் ஒரேயொரு தான் இருக்கும். மேலும் ஆனது இன் பெருக்கல் நேர்மாறு என அழைக்கப்படும்|.  

வளையத்தின் அலகு உறுப்புகளைக் கொண்ட கணமானது, பெருக்கலைப் பொறுத்த குலமாக இருக்கும். இக்குலம் வளையத்தின் **அலகுகளின் குலம்** அல்லது **அலகு குலம்** (*group of units*, *unit group*) எனப்படும். அலகு குலத்திற்கான மற்ற குறியீடுகள்: , , ( என்பது செருமானிய வார்த்தை இலிருந்து பெறப்பட்டது).  

"அலகுவுறுப்புள்ள வளையம்" அல்லது "அலகு வளையம்" அல்லது "அலகு அணி" போன்ற வெகுசில இடங்களில், "அலகு" என்பது என்ற பெருக்கல் முற்றொருமை உறுப்பைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக, ஆனது "பெருக்கலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு" என அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் பெருக்கல் முற்றொருமை இல்லாத வளையங்களிலிருந்து (ஆங்கிலக் குறியீடு:rng) வேறுபடுத்திக் காட்டுவதற்காகவும் "அலகு உறுப்புள்ள வளையம்" அல்லது "முற்றொருமையுள்ள வளையம்" என்ற தொடர்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.  

## எடுத்துக்காட்டு
- பெருக்கல் முற்றொருமை மற்றும் அதன் கூட்டல் நேர்மாறு ஆகிய இரண்டும் எப்போதும் அலகுகள் ஆகும். பொதுவாக வளையத்திலுள்ள 1 இன் படிமூலம் ஒவ்வொன்றும் ஒரு அலகாக இருக்கும்:
: எனில் ஆனது இன் பெருக்கல் நேர்மாறாகும்.  
- சுழியமற்ற வளையத்தில், கூட்டல் முற்றொருமையான '0' ஒரு அலகல்ல. எனவே ஆனது கூட்டலைப் பொறுத்து அடைவுறாதது.
- சுழியமற்ற ஒவ்வொரு உறுப்பும் அலகாகவுள்ள ஒரு சுழியமற்ற வளையமானது (அதாவது, ) வகுத்தல் வளையம் எனப்படும். ஒரு பரிமாற்று வகுத்தல் வளையமானது களமாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, மெய்யெண் களம் இன் அலகு குலம் .

### முழுவெண் வளையம்
முழு எண் வளையம் இல், மற்றும் ஆகிய இரண்டு மட்டுமே அலகுகளாகும்..  

மாடுலோ n முழுஎண்கள் வளையத்தில் , உடன் சார்பாகா எண்களாகவுள்ள முழுவெண்களைக் கொண்ட முற்றிசைவுத் தொகுதிகள் அலகுகளாக இருக்கும். அவை மாடுலோ முழுவெண்களின் பெருக்கல் குலமாக அமையும்.  

### எண் களத்தின் முழுவெண் வளையம்
உடன் இருபடி முழுவெண் சேர்த்து வளையம் பெறப்படுகிறது. இவ்வளையத்தில்:  
:; எனவே ஒரு அலகாகும்;  
:அத்துடன் அதன் அடுக்குகளும் அலகுகளாக இருக்குமென்பதால் வளையத்திற்கு முடிவிலா அலகுகள் உள்ளன.  

### பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அடுக்குத் தொடரும்
பரிமாற்று வளையம் ; அதன் பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தின் அலகுகுகள் கீழுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருக்கும்:  
:<math>p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n</math>;  
: ஆனது, இன் அலகு;  
: பிற கெழுக்களுக்கான (<math>a_1, \dots, a_n</math>) கட்டுப்பாடு: இன் சில மதிப்புகளுக்கு <math>a_i^N = 0</math> அதாவது அவை இன்ம அடுக்கானவை.  

குறிப்பாக வளையமானது ஆட்களமாகவோ அல்லது குறைக்கப்பட்ட வளையமாகவோ இருந்தால், இன் அலகுகள், இன் அலகுகளாக இருக்கும்.  

அடுக்குத்தொடர் வளையத்தின் (<math>Rx</math>) அலகுகளாகக் கீழுள்ள அடுக்குத்தொடர்கள் இருக்கும்:  
:<math>p(x)=\sum_{i=0}^\infty a_i x^i</math>; , இன் அலகு.  

### அணிகளின் வளையங்கள்
வளையத்தின் மீதான சதுர அணிகளின் வளையம் இன் அலகு குலமானது நேர்மாற்றத்தக்க அணிகளின் குலமாகும். பரிமாற்று வளையம் மீதான சதுர அணிகளின் வளையத்தின் ஒரு உறுப்பு ஆனது, நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்க வேண்டுமானால், இன் அணிக்கோவையானது இல் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே முடியும். அந்நிலையில் இன் நேர்மாறு அணி ஐ வெளிப்படையாக இன் சேர்ப்பு அணியின் வாயிலாக எழுதலாம்.  

### பொதுவானவை
வளையத்தின் இரு உறுப்புகள் , எனில், <math>1 - xy</math> நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் <math>1 - yx</math> உம் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும்; மேலும் <math>1 - yx</math> இன் நேர்மாறு <math>1 + y(1-xy)^{-1}x</math> ஆகும்  
<math display="block">(1-yx)^{-1} = \sum_{n \ge 0} (yx)^n = 1 + y \(\sum_{n \ge 0} (xy)^n \)x = 1 + y(1-xy)^{-1}x.</math>