# நட்பார்ந்த எண்கள்

எண் கோட்பாட்டில், **நட்பார்ந்த எண்கள்** (*friendly numbers*) என்பவை, ஒவ்வொன்றின் வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அந்த எண்ணின் விகிதங்கள் சமமாகவுள்ள இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இயல் எண்களாகும். இந்த விகிதமானது மிகைமைச் சுட்டெண் எனப்படுகிறது. சம மிகைமைச் சுட்டெண்கொண்ட இரு இயலெண்கள் "நட்பார்ந்த சோடி" (*friendly pair*) எனவும், *n* எண்கள் "நட்பார்ந்த *n*-வரிசை எண்கள் (*friendly *n*-tuple*) என அழைக்கப்படுகிறன.  

ஒன்றுக்கொன்று "நட்பார்ந்திருத்தல்" ஒரு சமான உறவாகும். இந்த உறவினால் நேர்ம இயலெண்களின் கணமானது, ஒன்றுக்கொன்று நட்பார்ந்த எண்களடங்கிய சமானப் பகுதிகளாக அமையும் குழுமங்களாகப் பிரிக்கப்படுகிறது.  

நட்பார்ந்த சோடியில் இடம்பெறாத எந்தவொரு எண்ணும் "தனி எண்" (*solitary number*) எனப்படும்.  

ஒரு விகிதமுறு எண் *n* இன் *மிகைமைச் சுட்டெண் * σ(*n*) / *n*; இதிலுள்ள σ ஆனது, வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகைச் சார்பைக் குறிக்கிறது. *n* , *m* (*m* ≠ *n*) இரண்டும் நட்பார்ந்த எண்கள் எனில்:  
: σ(*m*) / *m* = σ(*n*) / *n*.  

:1 முதல் 5 வரை தனி எண்கள்; மிகச் சிறிய நட்பார்ந்த எண் '6' .  
:6, 28 இரண்டும் நட்பார்ந்த சோடியாகும். இவை இரண்டின் மிகைமைச் சுட்டெண் = 2.  
:σ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2,  
:σ(28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2.  

மிகைமைச் சுட்டெண் 2 கொண்ட எண்கள், நிறைவெண்கள்.  

இசைவான எண்கள், இணக்க எண்கள் இரண்டும் நட்பார்ந்த எண்களின் பெயரோடு ஒத்தும் வகுஎண் சார்புகளையும் கொண்டுமிருந்தாலும் இவற்றுக்கிடையே எந்தவொரு தொடர்பும் கிடையாது.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்
- 30, 140 ஆகிய இரு எண்களும் ஒரு நட்பார்ந்த சோடிகளாகும். இவற்றின் மிகைமைச் சுட்டெண்கள் சமமானவை.:
:<math> \dfrac{\sigma(30)}{30} = \dfrac{1+2+3+5+6+10+15+30}{30} =\dfrac{72}{30} = \dfrac{12}{5}</math>  
:<math> \dfrac{\sigma(140)}{140} = \dfrac{1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140} = \dfrac{336}{140} = \dfrac{12}{5}.</math>  

:2480, 6200, 40640 ஆகிய மூன்றின் மிகைமைச் சுட்டெண்களும் 12/5 ஆக இருப்பதால் இவையும் 30, 140 உடன் சேர்ந்து ஒரு நட்பார்ந்த குழுவாக அமைகின்றன.  

- ஒற்றையெண்களானான நட்பார்ந்த சோடிகளுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு: 135, 819 (இவற்றின் மிகைமைச் சுட்டெண் 16/9 (குறைவெண்)).

- ஒரு ஒற்றையெண், மற்றொரு இரட்டை எண்ணுடன் நட்பார்ந்ததாகவும் இருக்கும்.
: எடுத்துக்காட்டு:  
: 42, 3472, 56896, ... ஆகிய இரட்டை எண்களுடன் நட்பார்ந்த ஒற்றை எண்: 544635 (மிகைமைச் சுட்டெண்: 16/7).  

- இரட்டை எண்களுடன் நட்பானதாகவுள்ள ஒற்றையெண்ணானது அவ்விரட்டை எண்களைவிடச் சிறியதாகவும் இருக்கலாம்.
: எடுத்துக்காட்டு:  
::84729645, 155315394 ("மிகைமைச் சுட்டெண்:" 896/351);  
::6517665, 14705145, 2746713837618 ("மிகைமைச் சுட்டெண்" 64/27).  

- ஒரு சதுர எண் நட்பார்ந்த எண்ணாக இருக்கலாம்.
: எடுத்துக்காட்டு:  
:: சதுர எண் 693479556 (26334 இன் வர்க்கம்), 8640 ஆகிய இரண்டும் நட்பார்ந்த எண்கள் (மிகைமைச் சுட்டெண்: 127/36)  

### அட்டவணை
கீழுள்ள அட்டவணையில் நட்பார்ந்த எண்களாக நிறுவப்பட்டவை நீல நிறத்திலும் , தனி எண்களாகளாக நிறுவப்பட்டவை சிவப்பு நிறத்திலும் , *n* உம் அதன் <math>\sigma(n)</math> உம் சார்பகா முழுஎண்களாக உள்ள எண்கள் நிறமற்றும் தரப்பட்டுள்ளன (அவை தனி எண்களென அறியப்பட்டிருந்தாலும்). வகையறியப்படாத இதர எண்கள் மஞ்சள் நிறத்திலுள்ளன.  
<div style=display:inline-table>  
| <math>n</math> | <math>\sigma(n)</math> | <math>\frac{\sigma(n)}{n}</math> |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 1 |  |
| 2 | 3 | 3/2 |  |
| 3 | 4 | 4/3 |  |
| 4 | 7 | 7/4 |  |
| 5 | 6 | 6/5 |  |
| 6 | 12 | 2 |  |
| 7 | 8 | 8/7 |  |
| 8 | 15 | 15/8 |  |
| 9 | 13 | 13/9 |  |
| 10 | 18 | 9/5 |  |
| 11 | 12 | 12/11 |  |
| 12 | 28 | 7/3 |  |
| 13 | 14 | 14/13 |  |
| 14 | 24 | 12/7 |  |
| 15 | 24 | 8/5 |  |
| 16 | 31 | 31/16 |  |
| 17 | 18 | 18/17 |  |
| 18 | 39 | 13/6 |  |
| 19 | 20 | 20/19 |  |
| 20 | 42 | 21/10 |  |
| 21 | 32 | 32/21 |  |
| 22 | 36 | 18/11 |  |
| 23 | 24 | 24/23 |  |
| 24 | 60 | 5/2 |  |
| 25 | 31 | 31/25 |  |
| 26 | 42 | 21/13 |  |
| 27 | 40 | 40/27 |  |
| 28 | 56 | 2 |  |
| 29 | 30 | 30/29 |  |
| 30 | 72 | 12/5 |  |
| 31 | 32 | 32/31 |  |
| 32 | 63 | 63/32 |  |
| 33 | 48 | 16/11 |  |
| 34 | 54 | 27/17 |  |
| 35 | 48 | 48/35 |  |
| 36 | 91 | 91/36 | } |
</div>  
<div style=display:inline-table>  
| <math>n</math> | <math>\sigma(n)</math> | <math>\frac{\sigma(n)}{n}</math> |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 37 | 38 | 38/37 |  |
| 38 | 60 | 30/19 |  |
| 39 | 56 | 56/39 |  |
| 40 | 90 | 9/4 |  |
| 41 | 42 | 42/41 |  |
| 42 | 96 | 16/7 |  |
| 43 | 44 | 44/43 |  |
| 44 | 84 | 21/11 |  |
| 45 | 78 | 26/15 |  |
| 46 | 72 | 36/23 |  |
| 47 | 48 | 48/47 |  |
| 48 | 124 | 31/12 |  |
| 49 | 57 | 57/49 |  |
| 50 | 93 | 93/50 |  |
| 51 | 72 | 24/17 |  |
| 52 | 98 | 49/26 |  |
| 53 | 54 | 54/53 |  |
| 54 | 120 | 20/9 |  |
| 55 | 72 | 72/55 |  |
| 56 | 120 | 15/7 |  |
| 57 | 80 | 80/57 |  |
| 58 | 90 | 45/29 |  |
| 59 | 60 | 60/59 |  |
| 60 | 168 | 14/5 |  |
| 61 | 62 | 62/61 |  |
| 62 | 96 | 48/31 |  |
| 63 | 104 | 104/63 |  |
| 64 | 127 | 127/64 |  |
| 65 | 84 | 84/65 |  |
| 66 | 144 | 24/11 |  |
| 67 | 68 | 68/67 |  |
| 68 | 126 | 63/34 |  |
| 69 | 96 | 32/23 |  |
| 70 | 144 | 72/35 |  |
| 71 | 72 | 72/71 |  |
| 72 | 195 | 65/24 | } |
</div>  
<div style=display:inline-table>  
| <math>n</math> | <math>\sigma(n)</math> | <math>\frac{\sigma(n)}{n}</math> |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 73 | 74 | 74/73 |  |
| 74 | 114 | 57/37 |  |
| 75 | 124 | 124/75 |  |
| 76 | 140 | 35/19 |  |
| 77 | 96 | 96/77 |  |
| 78 | 168 | 28/13 |  |
| 79 | 80 | 80/79 |  |
| 80 | 186 | 93/40 |  |
| 81 | 121 | 121/81 |  |
| 82 | 126 | 63/41 |  |
| 83 | 84 | 84/83 |  |
| 84 | 224 | 8/3 |  |
| 85 | 108 | 108/85 |  |
| 86 | 132 | 66/43 |  |
| 87 | 120 | 40/29 |  |
| 88 | 180 | 45/22 |  |
| 89 | 90 | 90/89 |  |
| 90 | 234 | 13/5 |  |
| 91 | 112 | 16/13 |  |
| 92 | 168 | 42/23 |  |
| 93 | 128 | 128/93 |  |
| 94 | 144 | 72/47 |  |
| 95 | 120 | 24/19 |  |
| 96 | 252 | 21/8 |  |
| 97 | 98 | 98/97 |  |
| 98 | 171 | 171/98 |  |
| 99 | 156 | 52/33 |  |
| 100 | 217 | 217/100 |  |
| 101 | 102 | 102/101 |  |
| 102 | 216 | 36/17 |  |
| 103 | 104 | 104/103 |  |
| 104 | 210 | 105/52 |  |
| 105 | 192 | 64/35 |  |
| 106 | 162 | 81/53 |  |
| 107 | 108 | 108/107 |  |
| 108 | 280 | 70/27 | } |
</div>  
<div style=display:inline-table>  
| <math>n</math> | <math>\sigma(n)</math> | <math>\frac{\sigma(n)}{n}</math> |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 109 | 110 | 110/109 |  |
| 110 | 216 | 108/55 |  |
| 111 | 152 | 152/111 |  |
| 112 | 248 | 31/14 |  |
| 113 | 114 | 114/113 |  |
| 114 | 240 | 40/19 |  |
| 115 | 144 | 144/115 |  |
| 116 | 210 | 105/58 |  |
| 117 | 182 | 14/9 |  |
| 118 | 180 | 90/59 |  |
| 119 | 144 | 144/119 |  |
| 120 | 360 | 3 |  |
| 121 | 133 | 133/121 |  |
| 122 | 186 | 93/61 |  |
| 123 | 168 | 56/41 |  |
| 124 | 224 | 56/31 |  |
| 125 | 156 | 156/125 |  |
| 126 | 312 | 52/21 |  |
| 127 | 128 | 128/127 |  |
| 128 | 255 | 255/128 |  |
| 129 | 176 | 176/129 |  |
| 130 | 252 | 126/65 |  |
| 131 | 132 | 132/131 |  |
| 132 | 336 | 28/11 |  |
| 133 | 160 | 160/133 |  |
| 134 | 204 | 102/67 |  |
| 135 | 240 | 16/9 |  |
| 136 | 270 | 135/68 |  |
| 137 | 138 | 138/137 |  |
| 138 | 288 | 48/23 |  |
| 139 | 140 | 140/139 |  |
| 140 | 336 | 12/5 |  |
| 141 | 192 | 64/47 |  |
| 142 | 216 | 108/71 |  |
| 143 | 168 | 168/143 |  |
| 144 | 403 | 403/144 | } |
</div>  

## தனி எண்கள்
வேறெந்தவொரு எண்ணுடனும் நட்பாக இல்லாத எண்கள் "தனி எண்கள்" என்ற குழுவாக அமையும்.  

:*n*, σ(*n*) இரண்டும் சார்பகா எண்களாக இருந்தால், அதாவது அவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தி 1 எனில், *n* இன் மிகைமைச் சுட்டெண் σ(*n*)/*n*, ஒரு குறைக்கவியலாப் பின்னமாகும். எனவே, *n* இன் மிகைமைச் சுட்டெண் வேறு எந்தவொரு எண்ணின் மிகைமைச் சுட்டெணுடனும் சமமாக இருக்க முடியாது. இதனால் *n* ஒரு தனி எண்ணாகும்.  

தனி எண்களின் தொடர்வரிசை:  
: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 35, 36, 37, 39, 41, 43, 47, 49, 50, 53, 55, 57, 59, 61, 63, 64, 65, 67, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 83, 85, 89, 93, 97, 98, 100, 101, 103, 107, 109, 111, 113, 115, 119, 121, 125, 127, 128, 129, 131, 133, .....  

அனைத்துப் பகா எண்களும் அவற்றின் அடுக்குகளும் தனி எண்களாக இருக்கும்.  
: *p* ஒரு பகா எண் எனில், அதன் σ(*p*) = *p* + 1, இம்மதிப்பு *p* உடன் சார்பகா எண்ணாக இருக்கும். எனவே *p* ஒரு தனி எண்.  

ஒரு எண் நட்பானதா அல்லது தனியானதா என்பதைத் தீர்மானிக்கும் எந்தவொரு பொதுமுறையும் இல்லை. நட்பானதா அல்லது தனியானதா என்று வகைப்படுத்தப்படாத மிகச் சிறிய எண் 10. இது தனி எண் என்று அனுமானிக்கப்பட்டுள்ளது; இந்த அனுமானம் தவறென்றால், அதனது நட்பெண் குறைந்தபட்சம் <math>10^{30}</math> ஆக இருக்க வேண்டும்.  

:  

## பெரிய குழுக்கள்
ஒன்றுக்கொன்று நட்பானவையாக உள்ள எண்களின் பெரிய குழுக்களின் எண்ணிக்கை முடிவற்றதா இல்லையா என்பது விடையறியப்படாத கூற்றாகவே உள்ளது. நிரைவெண்கள் ஒரு நட்பார்ந்த எண்களின் குழுவை உருவாக்குகின்றன. நிறைவெண்களின் தொடர்வரிசை முடிவுறாதவொன்றாக அனுமானம் செய்யப்பட்டுகிறது; குறைந்தபட்சம் மெர்சென் பகாத்தனிகளின் என்ணிக்கையளவு நிறையெண்கள் உண்டு; ஆனால் இக்கூற்று நிறுவப்படவில்லை. திசம்பர் 2022 வரையிலான அறிதலின்படி , 51 நிறைவெண்கள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன. இவற்றுள் மிகப் பெரிய எண்ணானது பதின்மம்க் குறியீட்டில் 49 மில்லியன் இலக்கங்களைக் கொண்டது. பெருக்கச் செவ்விய எண்கள் நட்பார்ந்த குழுவாக அமைகின்றன. இவற்றின் மிகைமைச் சுட்டெண் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும். திசம்பர் 2022 கணக்கீட்டின்படி, மிகைமைச் சுட்டெண்ணை 9 ஆகக் கொண்ட குழுவில் அறியப்பட்ட 2130 பெருக்கச் செவ்விய எண்கள் உள்ளன. சில பெருக்கச் செவ்விய எண்களைக்கொண்ட நட்பார்ந்த குழுக்கள் அதிகளவில் பெரியதாக இருந்தாலும், அக்குழுக்கள் முடிவுற்ற தொடர்வரிசைகளாகவே அனுமானிக்கப்படுகின்றன.