# ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம்


கணிதத்தில் , ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் (பிறகு சீனிவாச இராமானுசன் என்று பெயரிடப்பட்டது) ஆனது பகுப்பாய்வு சார்பின் மெல்லின் உருமாற்றத்திற்கு பகுமுறை விரிவாக்கத்திற்கான ஒரு உத்தியை வழங்குகிறது.  

தேற்றத்தின் முடிவுகள் பின்வருமாறு கூறப்படுகிறது:  

சிக்கலான எண் மதிப்புடைய சார்பு <math>f(x)</math>-ன் விரிவாக்கமானது  

<math>f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \!</math><math display="block"> f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \!</math><math>f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \! </math>  

எனவே <math>f(x)</math> <math>\begin{align} f(x) \end{align}</math> மெல்லின் உருமாற்றமானது பின்வருமாறு உள்ளது.  

<math>\int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s)</math>  

: <math display="block"> \int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s) \!</math><math>\int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s) \!</math>  

இங்கு <math> \Gamma(s) \!</math> என்பது காமா சார்பு ஆகும்  

இது தொகைகள் மற்றும் முடிவற்ற தொடர்க<nowiki/>ள் சார்ந்த கணக்கீடுகள் கண்டறிவதற்கு ராமானுசரால் தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்பட்ட சார்பு ஆகும்.  

இந்தக் தேற்றத்தின் உயர் பரிமாண பதிப்புகள் குவாண்டம் இயற்பியலில் ( ஃபேய்ன்மேன் விளக்கப்படங்கள் மூலம்) பயன்படுகின்றன.  

இதேபோன்ற முடிவுகளை ஜெ.டபிள்யு.எல் கிளாசர் பெற்றார்.  

## மாற்றுவடிவ சூத்திரம்
ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் மாற்று வடிவ சூத்திரம் பின்வருமாறு:  

: <math> \int_0^\infty x^{s-1} ({\lambda(0)-x\lambda(1)+x^{2}\lambda(2)-\cdots}) \, dx = \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\lambda(-s) </math>  

மேற்கண்ட சூத்திரத்தில் <math> \lambda(n) = \frac{\phi(n)}{\Gamma(1+n)} \!</math> என்று பிரதிட்டு காமா சார்பு சமன்பட்டினை பயன்படுத்தி சுருக்கிய பின்பு .  

சார்பு <math> \phi </math>வளர்நிலைகளை பொறுத்து <math> 0< \operatorname{Re}(s)<1 </math> என்ற இடைவெளியில் மேற்கண்ட தொகையானது ஒருங்கக்ககூடியது ஆகும்.  

## நிரூபணம்
ராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் "உண்மை" அனுமானங்களுக்கு (இருப்பினும் பலவீனமான மற்றும் போதுமான நிபந்தனைகளுக்கு இல்லை) கணிதவியலாளர் GH ஹார்டி , தான் விரிவாக்கம் செய்யப்பட்ட எச்ச தேற்றம் மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட மெல்லின் தலைகீழ் தேற்றம் ஆகியவற்றை ஆதாரமாக விளக்கினார்.  

## பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பயன்பாடுகள்
பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவை <math> B_k(x)\!</math> களின் பிறப்பாக்கி சார்பு வருமாறு:  

<math>frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k(x)\frac{z^k}{k!} </math>  

: <math display="block">\frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k(x)\frac{z^k}{k!} \!</math><math>\frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k(x)\frac{z^k}{k!} \!</math>  

இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஹர்விட்ஸ் இசீட்டா சார்பின் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன:  

<math display="block">\zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^s} \!</math><math>zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^s} \!</math><math>\zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^s} \!</math>  

<math>n \geq 1</math>க்கு <math> \zeta(1-n,a)=-\frac{B_n(a)}{n} \!</math> என்றவாறு உள்ளது.  

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் மற்றும் பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பிறப்பாக்கி சார்பு ஆகியவற்றை பயன்படுத்தும் போது பின்வரும் தொகை வடிவில் இருக்கும்:  

<math>\int_0^\infty x^{s-1} \(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \!</math>  

<math display="block">\int_0^\infty x^{s-1} \(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \!</math><math>int_0^\infty x^{s-1} \(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \!</math>  

இது <math display="block">0<\operatorname{Re}(s)<1\!</math> <math> 0<\operatorname{Re}(s)<1\!</math>க்கு உண்மையாகும் .  

## காமா சார்பின் பயன்பாடுகள்
காமா சார்பு பற்றி வீர்சார்ட்-ன் வரையறை  

<math>Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \(1+\frac{x}{n}\)^{-1} e^{x/n} \!</math>  

: <math display="block">\Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \(1+\frac{x}{n}\)^{-1} e^{x/n} \!</math><math>\Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \(1+\frac{x}{n}\)^{-1} e^{x/n} \!</math>  

இது <math>\log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!</math>ன் விரிவாக்கத்திற்கு சமமானதாகும்  

<math>\log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!</math>  

<math>\log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!</math>  

<math display="block">\log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!</math><math>\log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!</math><math>log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \!</math>  

இங்கு<math display="block"> \zeta(k) \!</math> என்பது ரீமன் இசீட்டா சார்பு ஆகும் .  

ராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் பின்வருமாறு பயன்படுத்துகிறோம்:  

<math display="block">\int_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^2} \, dx= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \!</math><math>\int_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^2} \, dx= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \!</math>  

இது <math display="block">0<\operatorname{Re}(s)<1\!</math> <math> 0<\operatorname{Re}(s)<1\!</math>க்கு உண்மையாகும் .உண்மையாகும்  

இங்கு <math>s=\frac{1}{2} \! </math><math> 0<Re(s)<1\!</math><math> s=\frac{1}{2} \! </math> மற்றும் <math> s=\frac{3}{4} \!</math> <math>s=\frac{3}{4} \! </math> ன் சிறப்பு வகைகள் வருமாறு  

: <math> \int_0^\infty \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^{5/2}} \, dx =\frac{2\pi}{3} \zeta\( \frac{3}{2} \) </math>  

: <math> \int_0^\infty \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^{9/4}} \,dx = \sqrt{2} \frac{4\pi}{5} \zeta\(\frac 5 4\) </math>