# P-வழி மதிப்பீடு

எண் கோட்பாட்டில், ஒரு முழு எண் n இன் **-வழி மதிப்பீடு** அல்லது ** -வழி வரிசை** என்பது ஐ வகுக்கும் ஒரு பகாஎண் இன் மிக உயர்ந்த அடுக்கு ஆகும். இது, <math>\nu_p(n)</math> எனக் குறிக்கப்படுகிறது. சமானமாக, <math>\nu_p(n)</math> என்பது <math>n</math> -இன் முதன்மை காரணியாக்க வடிவில் பகாஎண் <math>p</math> தோன்றும் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது .  

-வழி மதிப்பீடு என்பது ஒரு மதிப்பிடல் முறையாக இருப்பதுடன் வழக்கமான தனி மதிப்பு காண்பதற்கு ஒத்தமுறையாகவும் அமைகிறது. விகிதமுறு எண்களைத் தனி மதிப்பு கொண்டு முழுமையாக்கம் செய்ய மெய்யெண்கள் <math>\mathbb{R}</math> கிடைப்பதுபோல, விகிதமுறு எண்களை <math>p</math>-வழி தனிமதிப்பு கொண்டு முழுமையாக்கம் செய்ய <math>p</math>-வழி எண்கள் <math>\mathbb{Q}_p</math> கிடைக்கும்.  

## வரையறையும் பண்புகளும்
ஒரு பகா எண்.  

### முழு எண்கள்
ஒரு முழு எண் <math>n</math>-இன் ** -வழி மதிப்பீடு** கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:  
: <math>  
\nu_p(n)=  
\begin{cases}  
\mathrm{max}\{k \in \mathbb{N} : p^k \mid n\} & \text{if } n \neq 0\\  
\infty & \text{if } n=0,  
\end{cases}  
</math>  

இங்கு <math>\mathbb{N}</math> இயல் எண்களின் கணத்தைக் குறிக்கிறது. மற்றும் <math>m \mid n</math> ஆனது <math>n</math> ஐ <math>m</math> ஆல் வகுக்கும் தன்மையைக் குறிக்கிறது.  
:<math>\nu_p</math> ஒரு அமைகிறது:  
:<math>\nu_p \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{N} \cup\{\infty\} </math>  

எடுத்துக்காட்டாக:  
<blockquote><math>\nu_2(-12) = 2</math>, <math>\nu_3(-12) = 1</math>, <math>\nu_5(-12) = 0</math> ஆகியவற்றிலிருந்து, <math>|{-12}| = 12 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^0</math>.</blockquote>  
<math>p^k \parallel n</math> என்ற குறியீடு சில சமயங்களில் <math>k = \nu_p(n)</math> என்பதைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது .  

<math>n</math> ஒரு நேர்ம முழு எண் எனில்,  
: <math>\nu_p(n) \leq \log_p n</math>  
இது, <math>n \geq p^{\nu_p(n)}</math> என்பதிலிருந்து நேரிடையாகப் பெறப்படுகிறது.  

### விகிதமுறு எண்கள்
-வழி மதிப்பீட்டை கீழ்வரும் சார்பாக விகிதமுறு எண்களுக்கும் நீட்டிக்க முடியும்:  

: <math>\nu_p : \mathbb{Q} \to \mathbb{Z} \cup\{\infty\} </math>;  
: <math>  
\nu_p\(\frac{r}{s}\)=\nu_p(r)-\nu_p(s).  
</math>  

எடுத்துக்காட்டாக, <math>\nu_2 \bigl(\tfrac{9}{8}\bigr) = -3</math> மற்றும் <math>\nu_3 \bigl(\tfrac{9}{8}\bigr) = 2</math> இலிருந்து <math>\tfrac{9}{8} = 2^{-3}\cdot 3^2</math>.  

சில பண்புகள்:  
: <math>\nu_p(r\cdot s) = \nu_p(r) + \nu_p(s)</math>  
: <math>\nu_p(r+s) \geq \min\bigl\{ \nu_p(r), \nu_p(s)\bigr\}</math>  

மேலும், <math>\nu_p(r) \neq \nu_p(s)</math> எனில்,  
: <math>\nu_p(r+s)= \min\bigl\{ \nu_p(r), \nu_p(s)\bigr\}</math>  

## -வழி தனிமதிப்பு
விகிதமுறு எண்களின் கணம் <math>\mathbb{Q}</math> இன் மீதான -வழி தனிமதிப்பு என்பது பின்வரும் சார்பாக அமையும்:  
: <math>|\cdot|_p \colon \Q \to \R_{\ge 0} </math>  
: <math>|r|_p = p^{-\nu_p(r)} .</math>  

இதன் மூலம்,  
:<math>p</math> இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும்,  
:<math>|0|_p = p^{-\infty} = 0</math> எனப் பெறப்படுகிறது.  

எடுத்துக்காட்டாக,  
:<math>|{-12}|_2 = 2^{-2} = \tfrac{1}{4}</math>  
:<math>\bigl|\tfrac{9}{8}\bigr|_2 = 2^{-(-3)} = 8 .</math>  

-வழி தனி மதிப்பு பின்வரும் பண்புகளை நிறைவு செய்கிறது.  
:{|  
|-  
|எதிர்மமற்றதன்மை || <math>|r|_p \geq 0</math>  
|-  
|நேர்ம-வரைவுத்தன்மை || <math>|r|_p = 0 \iff r = 0</math>  
|-  
|பெருக்கல் தன்மை || <math>|r s|_p = |r|_p|s|_p</math>  
|-  
|ஆர்க்கிமீடியதற்றதன்மை || <math>|r+s|_p \leq \max\(|r|_p, |s|_p\)</math>  
|}