# முழுமையான பெருக்கல் சார்பு

எண் கோட்பாட்டில் **முழுமையான பெருக்கல் சார்பு** (*completely multiplicative functions* அல்லது *totally multiplicative functions*) என்பது ஒரு எண்கணிதச் சார்பு ஆகும். *n* ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில், முழுமையான பெருக்கல் சார்பு *f*(*n*) இன் மதிப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:  

:<math> f(1) = 1 </math>  
:<math> f(ab) = f(a) f(b)</math>, (a, b இரு நேர்ம முழுவெண்கள்)  

முழுமையான பெருக்கல் சார்பின் சிறப்புவகையாக, சார்பகா எண்களுக்கு பெருக்கல் சார்பு அமைகிறது. அதன் வரையறை:  
:*n* ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில், பெருக்கல் சார்பு *f*(*n*) இன் மதிப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:  

:<math> f(1) = 1 </math>  
:<math> f(ab) = f(a) f(b)</math>, (a, b சார்பகா முழுஎண்கள்)  

## வரையறை
முழுமையான பெருக்கல் சார்பு என்பது இயல் எண்களின் கணத்தை ஆட்களமாகக்கொண்ட எண்கணிதச் சார்பாகும். இச்சார்பு *f* இன் கீழ் *f*(1) = 1 ; *f*(*ab*) = *f*(*a*)*f*(*b*) ( *a*, *b* இரு நேர்ம முழ்வெண்கள்) என அமையும்.. அதாவது:  

: <math>f(1) = 1</math>  
:<math>\forall a, b \in \text{domain}(f), f(ab) = f(a)(b)</math>.  

*f*(1) = 1 என்ற கட்டுப்பாடு தரப்படாவிடில், *f*(1) = 0 எனவும் எடுத்துக்கொள்ளலாம். ஆனால் அவ்வாறு கொள்ளும்போது *a* இன் எல்லா நேர்ம முழுவெண்மதிப்புகளுக்கும் *f*(*a*) = 0 ஆகிவிடும். இது ஒரு வலுவான கட்டுப்பாடாக அமையாது. <math>f(1) = 1</math> என நிலைப்படுத்திக்கொள்ளாவிட்டால், <math>0,</math> <math>1</math> ஆகிய இரண்டுமே <math>f(1)</math> இன் மதிப்பாக அமைந்யும்:  

: <math>f(1) = f(1 \cdot 1) \iff f(1) = f(1)f(1) \iff f(1) = f(1)^2 \iff f(1)^2 - f(1) = 0 \iff f(1)\(f(1) - 1\) = 0 \iff f(1) = 0 \lor f(1) = 1</math>.  

<math>(\mathbb Z^+,\cdot)</math> (நேர்ம முழுஎண்களின் கணம், பெருக்கல் செயலியின் கீழ்) என்ற ஒற்றைக்குலத்திலிருந்து மற்றொரு ஒற்றைக்குலத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட காப்பமைவியமாகவும் முழுமையான பெருக்கல் சார்பைக் கருதலாம்.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்
- முழுமையான பெருக்கல் சார்புக்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டாக தலைக்கெழு 1 ஆகக்கொண்ட ஓருறுப்புக்கோவை அமையும்:
: *n* என்ற நேர்ம முழுவெண்ணுக்கு, *f*(*a*) = *a*<sup>*n*</sup> என வரையறுத்துக் கொண்டால்,  
:*f*(*bc*) = (*bc*)<sup>*n*</sup> = *b*<sup>*n*</sup>*c*<sup>*n*</sup> = *f*(*b*)*f*(*c*), and *f*(1) = 1<sup>*n*</sup> = 1.  

- ஜேக்கோபி குறியீடுகள், லெஜாண்டர் குறியீடு, லியோவில் சார்பியம் ஆகியவை முழுமையான பெருக்கல் சார்புகளாகும்.

## பண்புகள்
- எண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தின் விளவாக, ஒரு நேர்ம முழுஎண்ணின் முழுமையான பெருக்கல் சார்பானது அவ்வெண்ணின் பகாக்காரணிகளுக்கான சார்பு மதிப்புகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

: *n* = *p*<sup>*a*</sup> *q*<sup>*b*</sup> ... எனில்,  
: *f*(*n*) = *f*(*p*)<sup>*a*</sup> *f*(*q*)<sup>*b*</sup> ...  

- இரு பெருக்கல் சார்புகளின் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவும் ஒரு பெருக்கல் சார்பாக இருக்கும்; ஆனால் இரு முழுமையான பெருக்கல் சார்புகளின் டிரிழ்ச்லெட் பிணைவானது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாக இருக்கவேண்டியதில்லை.

- ஒரு பெருக்கல் சார்பானது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாக இருப்பதற்குச் சமானமான பல கூற்றுகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக,
:*f* ஒரு பெருக்கல் சார்பு எனில் அதன் டிரிழ்ச்லெட் நேர்மாறானது <math>\mu\cdot f</math> (<math>\mu</math> என்பது மோபியஸ் சார்பு) என "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", *f* ஆனது முழுமையான பெருக்கல் சார்பாகவும் இருக்கும்.  

- முழுமையான பெருக்கல் சார்புகள் பங்கீட்டு விதியை நிறைவுசெய்யும்.

:<math>f \cdot (g*h)=(f \cdot g)*(f \cdot h)</math>  

இதில் *** குறியீடானது டிரிழ்ச்லெட் பெருக்கத்தையும், <math>\cdot</math> குறியீடு உறுப்புவாரியான பெருக்கலையும் குறிக்கின்றன.  

இப்பண்பின் ஒரு விளைவு:  

*f* ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு எனில், :<math>f*f = \tau \cdot f</math>  

இம்முடிவை, மேலே தரப்பட்டள்ள பண்பில் <math>g = h = 1</math> எனப்பிரதியிட்டுப் பெறலாம். <math>1(n) = 1</math> என்பது மாறிலிச் சார்பு; <math> \tau</math> என்பது வகுஎண் சார்பு.  

### பங்கீட்டு விதியின் நிறுவல்

:<math>  
\begin{align}  
f \cdot \(g*h \)(n) &= f(n) \cdot \sum_{d|n} g(d) h \( \frac{n}{d} \) = \\  
&= \sum_{d|n} f(n) \cdot (g(d) h \( \frac{n}{d} \)) = \\  
&= \sum_{d|n} (f(d) f \( \frac{n}{d} \)) \cdot (g(d) h \( \frac{n}{d} \)) \text{ (since } f \text{ is completely multiplicative) } = \\  
&= \sum_{d|n} (f(d) g(d)) \cdot (f \( \frac{n}{d} \) h \( \frac{n}{d} \)) \\  
&= (f \cdot g)*(f \cdot h).  
\end{align}  
</math>