# வகுஎண் சார்பு



எண்கோட்பாட்டில் **வகுஎண் சார்பு** (*divisor function*) என்பது ஒரு முழு எண்ணின் வகுஎண்களோடு தொடர்புடைய எண்கணிதச் சார்பு ஆகும் ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் மீதான தொடர்புகள் உட்பட்ட பல முற்றொருமைகளில் இச்சார்பு பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. [பல முக்கியமான சமானங்களையும் முற்றொருமைகளயும் கணிதவியலில் கண்டுபிடித்த இந்தியக் கணிதவியலாளர் இராமானுசன் வகுஎண் சார்பு குறித்தும் ஆய்வு செய்துள்ளார். அதுகுறித்த விவரங்கள் இராமானுசன் கூட்டு கட்டுரையில் தரப்பட்டுள்ளது.  

## வரையறை
ஒரு சிக்கலெண் *x* இன் **நேர் வகுஎண்கள் கூட்டுச் சார்பு** (*sum of positive divisors function*) σ<sub>*x*</sub>(*n*) என்பது, *n* இன் நேர் வகுஎண்களின் *x* ஆவது அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கப்படுகிறது.  

இச்சார்பினை கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்:  
:<math>\sigma_{x}(n)=\sum_{d|n} d^x\,\! ,</math> (<math>{d|n}</math> என்பது "*n* இன் வகுஎண் *d*" என்பதன் சுருக்கக் குறியீடு)  

*x* = 0 எனும்போது கிடைக்கும் சார்பான σ<sub>0</sub>(*n*) என்பது **வகுஎண்களின் எண்ணிக்கைச் சார்பு** ஆகும். அதாவது σ<sub>0</sub>(*n*), *n* இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. *d*(*n*), ν(*n*), τ(*n*) (ஜெர்மானிய மொழியில் வகுஎண் என்பதற்கான சொல் *Teiler*) ஆகிய குறியீடுகளும் σ<sub>0</sub>(*n*) ஐக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. .  

*x* = 1 ஆக இருக்கும்போது இச்சார்பானது சிக்மா சார்பு (*sigma function*) அல்லது வகுஎண்களின் கூட்டுச் சார்பு (*sum-of-divisors function*) எனப்படுகிறது. இக்குறியீட்டில் கீழொட்டு இல்லாமலும் எழுதலாம்:  
:σ(*n*) = σ<sub>1</sub>(*n*) .  

*n* இன் தகு வகுஎண் கூட்டுச் சார்பு -*s*(*n*):  

இது *n* நீங்கலான அதன் பிற வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கும் சார்பு ).  
:*s*(*n*) = σ<sub>1</sub>(*n*)&nbsp;&minus;&nbsp;*n*  

தகு வகுஎண் கூட்டுச் சார்பைத் தொடர்ந்து செயற்படுத்துவதன் மூலம் *n* இன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறையைப் பெறலாம்.  

## எடுத்துக்காட்டு
12 இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கைச் சார்பு σ<sub>0</sub>(12):  
: <math>  
\begin{align}  
\sigma_{0}(12) & = 1^0 + 2^0 + 3^0 + 4^0 + 6^0 + 12^0 \\  
& = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6,  
\end{align}  
</math>  

12 இன் வகுஎண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுச் சார்பு σ<sub>1</sub>(12):  
: <math>  
\begin{align}  
\sigma_{1}(12) & = 1^1 + 2^1 + 3^1 + 4^1 + 6^1 + 12^1 \\  
& = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28,  
\end{align}  
</math>  

12 இன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை:  
: <math>  
\begin{align}  
s(12) & = 1^1 + 2^1 + 3^1 + 4^1 + 6^1 \\  
& = 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16.  
\end{align}  
</math>  

## அட்டவணை
| *n* | வகுஎண்கள் | σ<sub>0</sub>(*n*) | σ<sub>1</sub>(*n*) | *s*(*n*)&nbsp;=&nbsp;σ<sub>1</sub>(*n*)&nbsp;&minus;&nbsp;*n* | குறிப்பு |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

## பண்புகள்
:*n* ஒரு வர்க்கமற்ற எண் எனில் அதன் ஒவ்வொரு வகுஎண் *d* , *n* இன் மற்றொரு வகுஎண் *n*/*d* இன் சோடியாக அமையும், <math>\sigma_{0}(n)</math> இரட்டை எண்ணாக இருக்கும்.  
:*n* ஒரு வர்க்க எண் எனில் அதன் ஒரு வகுஎண் (<math>\sqrt n</math>) *n* இன் வேறெந்தவொரு வகுஎண்ணுடனும் சோடியாக அமையாது, <math>\sigma_{0}(n)</math> ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும்.  
: *n* வர்க்க எண்ணாகவோ அல்லது இரட்டை வர்க்க எண்ணாகவோ இருந்தால் மட்டுமே<math>\sigma_{1}(n)</math> ஒற்றையெண்ணாக இருக்கும்.  

*p* ஒரு பகாஎண் எனில்,  
:<math>  
\begin{align}  
\sigma_0(p) & = 2 \\  
\sigma_0(p^n) & = n+1 \\  
\sigma_1(p) & = p+1  
\end{align}  
</math>  

:<math> \sigma_0(p_n\#) = 2^n \, </math>  
:<math>1 < \sigma_0(n) < n</math>; σ(*n*)&nbsp;>&nbsp;*n* (&nbsp;*n*&nbsp;>&nbsp;2)  
:<math>n = \prod_{i=1}^r p_i^{a_i}</math>  

*r*&nbsp;=&nbsp;*&omega;*(*n*) என்பது *n* இன் வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை, *p<sub>i</sub>* - *i* ஆவது பகாகாரணி, *n* ஐ வகுக்கக்கூடிய வகுஎண் *p<sub>i</sub>* இன் அதிகபட்ச அடுக்கு *a<sub>i</sub>* எனில்:  
:<math>\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^{r} \frac{p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^x-1}</math>  

இம்முடிவு கீழ்வரும் வாய்பாடுக்குச் சமானமானது:  
:<math>  
\sigma_x(n) = \prod_{i=1}^r \sum_{j=0}^{a_i} p_i^{j x} =  
\prod_{i=1}^r (1 + p_i^x + p_i^{2x} + \cdots + p_i^{a_i x}).  
</math>  

*x* = 0 எனில் *d*(*n*) :  
:<math>\sigma_0(n)=\prod_{i=1}^r (a_i+1).</math>  

*n* = 24 எனில்,  
:இரு பகாக்காரணிகள் (*p<sub>1</sub>* = 2; *p<sub>2</sub>* = 3) உள்ளன. 24 = 2<sup>3</sup>×3<sup>1</sup>. எனவே *a*<sub>1</sub> = 3; *a*<sub>2</sub> = 1.  
:<math>\sigma_0(24)</math> ஐக் கீழுள்ளவாறு கணக்கிடலாம்:  
: <math>  
\begin{align}  
\sigma_0(24) & = \prod_{i=1}^{2} (a_i+1) \\  
& = (3 + 1)(1 + 1) = 4 \times 2 = 8.  
\end{align}  
</math>  
:24 இன் எட்டுக் காரணிகள்:  
:1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24.  

:*s*(*n*) = *&sigma;*(*n*)&nbsp;&minus;&nbsp;*n*.  
:*s*(*n*), *n* இன் அனைத்து தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கிறது. அதாவது *n* நீங்கலாக, *n* இன் மற்ற வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைத் தருகிறது. நிறைவெண்களை அடையாளங்காண இச்சார்பு பயன்படுகிறது.  
:*s*(*n*) =&nbsp;*n* எனில், *n* ஒரு நிறைவெண்  
:*s*(*n*) > *n* எனில், *n* ஒரு மிகையெண்  
:*s*(*n*) < *n* எனில், *n* ஒரு குறைவெண்  

*n* இரண்டின் அடுக்காக இருக்குமானால் (<math>n = 2^k</math>):  
: <math>\sigma(n) = 2 \times 2^k - 1 = 2n - 1,</math>  
:<math>s(n) = n - 1</math> இதனால் *n* ஒரு கிட்டத்தட்ட நிறைவெண்ணாக இருக்கும்.  

## தொடர்களில்
வகுஎண் சார்பைக் கொண்டுள்ள இரு டிரிழ்ச்லெட் தொடர்கள்:  

- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta(s-a)\quad\text{for}\quad s>1,s>a+1,</math>

இதிலிருந்து *d*(*n*)&nbsp;=&nbsp;*&sigma;*<sub>0</sub>(*n*):  
: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} = \zeta^2(s)\quad\text{for}\quad s>1,</math>  

- <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-a) \zeta(s-b) \zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.</math>

வகுஎண் சார்பைக் கொண்டுள்ள லாம்பெர்ட் தொடர்:  
:<math>\sum_{n=1}^\infty q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^a q^n}{1-q^n}</math> (குறிப்பிலா சிக்கலெண் |*q*|&nbsp;≤&nbsp;1 and&nbsp;*a*)