# வரிசைமாற்ற அணி

கணிதத்தில் **வரிசைமாற்ற அணி** (*permutation matrix*) என்பது ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலிலும் ஒரேயொரு உறுப்பு 1 ஆகவும் ஏனைய உறுப்புகள் எல்லாம் 0 ஆகவும் கொண்ட சதுர இரும அணியாகும் (binary matrix). இத்தகைய அணி ஒவ்வொன்றும் உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றத்தைக் குறிக்கும். மேலும் மற்றொரு அணி உடன் பெருக்கப்படும்போது முன்பெருக்கத்தில் , அணியின் நிரைகளின் வரிசைமாற்றமாகவும் பின்பெருக்கத்தில் , அணியின் நிரல்களின் வரிசைமாற்றமாகவும் அமையும்.  

## வரையறை
*m* உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றம் &pi; என எடுத்துக்கொண்டால்:  
:<math>\pi : \lbrace 1, \ldots, m \rbrace \to \lbrace 1, \ldots, m \rbrace</math>  
:<math>\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & m \\ \pi(1) & \pi(2) & \cdots & \pi(m) \end{pmatrix}</math>  

வரிசைமாற்றத்தை, ஒரு வரிசைமாற்ற அணியுடன் இருவழிகளில் இணைக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக *m* × *m* முற்றொருமை அணி, இன் நிரல்களை இன் படி வரிசைமாற்றம் செய்யலாம் அல்லது நிரைகளை இன் படி வரிசைமாற்றம் செய்யலாம்.  

: இன் நிரல்களை வரிசைமாற்றம் செய்யக்கிடைக்கும் வரிசைமாற்ற அணி ஒரு *m &times; m* அணியாக இருக்கும். இந்த அணியின் குறியீடு *P*<sub></sub> = (*p*<sub>*ij*</sub>) எனில்:  
: ஒவ்வொரு *i* க்கும், *j* = (*i*) எனில் *p*<sub>*ij*</sub> = 1 ஆகவும், அவ்வாறு இல்லாவிட்டால் *p*<sub>*ij*</sub> = 0 ஆகவும் இருக்கும்.  
:அதாவது *i* ஆவது நிரையில் (*i*) நிரலில் உள்ள உறுப்பு மட்டும் 1 ஆகவும் மீதமுள்ள உறுப்புகள் எல்லாம் 0 ஆகவும் இருக்கும்.  
:எனவே வரிசைமாற்ற அணி *P*<sub></sub> கீழுள்ளவாறு அமைகிறது:  
:<math>P_\pi = \begin{bmatrix} \mathbf e_{\pi(1)} \\ \mathbf e_{\pi(2)} \\ \vdots \\ \mathbf e_{\pi(m)} \end{bmatrix},</math>  
:இதில் செந்தர அடுக்களத் திசையனான <math>\mathbf e_j</math> என்பது *m* நீளமுள்ள ஒரு நிரை திசையனாகும். மேலும் அதன் *j* ஆவது இடத்தில் 1 உம் மற்ற இடங்களில் 0 உம் கொண்டிருக்கும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>\pi=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 4 & 2 & 5 & 3 \end{pmatrix},</math> என்ற வரிசைமாற்றத்துக்குரிய வரிசைமாற்ற அணி:  
:<math>P_\pi  
=  
\begin{bmatrix}  
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\  
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\  
\mathbf{e}_{\pi(3)} \\  
\mathbf{e}_{\pi(4)} \\  
\mathbf{e}_{\pi(5)}  
\end{bmatrix}  
=  
\begin{bmatrix}  
\mathbf{e}_{1} \\  
\mathbf{e}_{4} \\  
\mathbf{e}_{2} \\  
\mathbf{e}_{5} \\  
\mathbf{e}_{3}  
\end{bmatrix}  
=  
\begin{bmatrix}  
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\  
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\  
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\  
0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\  
0 & 0 & 1 & 0 & 0  
\end{bmatrix}.  
</math>  

முற்றொருமை அணி இன் *j* ஆவது நிரலானது *P*<sub></sub> அணியின் (*j*) ஆவது நிரலாக அமைவதைக் காணலாம்.  

## பண்புகள்
(கட்டுரையின் இப்பிரிவு முழுவதும் வரிசைமாற்ற அணியின் நிரல் உருவகிப்புப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சில இடங்களில் நிரை உருவகிப்பு பயன்படுத்தப்படும்போது அது குறிப்பிடப்படும்)  

- <math>P_{\pi}</math> ஆல் நிரல் திசையன் **g** ஐப் முன்பெருக்கும்போது கிடைக்கும் அத்திசையனின் நிரைகளின் வரிசைமாற்றம்:
:<math>P_\pi \mathbf{g}  
=  
\begin{bmatrix}  
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\  
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\  
\vdots \\  
\mathbf{e}_{\pi(n)}  
\end{bmatrix}  

\begin{bmatrix}  
g_1 \\  
g_2 \\  
\vdots \\  
g_n  
\end{bmatrix}  
=  
\begin{bmatrix}  
g_{\pi(1)} \\  
g_{\pi(2)} \\  
\vdots \\  
g_{\pi(n)}  
\end{bmatrix}.  
</math>  

மேலுள்ள முடிவினை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன்மூலம் ஒரு பொருத்தமான வரிசையுடைய அணியாக இருக்கும்போது, பெருக்கல் அணியான <math>P_{\pi} M</math> ஆனது இன் நிரைகளின் வரிசைமாற்றமாக அமைவதைக் காணலாம்.  

எனினும் ஒவ்வொரு க்கும்,  
:<math>P_{\pi} \mathbf{e}_k^{\mathsf T} = \mathbf{e}_{\pi^{-1} (k)}^{\mathsf T}</math> என்பதால் நிரைகளின் வரிமாற்றம் <sup>−1</sup> ஆகும். ( அணியின் இடமாற்று அணி <math>M^{\mathsf T}</math>)  

- வரிசைமாற்ற அணிகளெல்லாம் செங்குத்து அணிகள் (i.e., <math>P_{\pi}P_{\pi}^{\mathsf T} = I</math>) என்பதால் அவற்றுக்கு நேர்மாறு அணிகள் உண்டு. அந்நேர்மாறு அணியைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:
:<math>P_{\pi}^{-1} = P_{\pi^{-1}} = P_{\pi}^{\mathsf T}.</math>  

- ஒரு நிரை திசையன் **h** ஐ <math>P_{\pi}</math> ஆல் பெருக்குவதால் அந்நிரை திசையனின் நிரல்களின் வரிசைமாற்றம்:
:<math>\mathbf{h}P_\pi  
=  
\begin{bmatrix} h_1 \; h_2 \; \dots \; h_n \end{bmatrix}  

\begin{bmatrix}  
\mathbf{e}_{\pi(1)} \\  
\mathbf{e}_{\pi(2)} \\  
\vdots \\  
\mathbf{e}_{\pi(n)}  
\end{bmatrix}  
=  
\begin{bmatrix} h_{\pi^{-1}(1)} \; h_{\pi^{-1}(2)} \; \dots \; h_{\pi^{-1}(n)} \end{bmatrix}  
</math>  

மேலுள்ள முடிவினை மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்துவதன்மூலம் அணியை வரிசைமாற்ற அணியான ஆல் பின்பெருக்கம் செய்தால் ஆனது இன் நிரல்களின் வரிசைமாற்றமாக அமைவதை காணலாம். மேலும்,  
:<math>\mathbf{e}_k P_{\pi} = \mathbf{e}_{\pi (k)}.</math>  

- உறுப்புகளின் இரு வரிசைமாற்றங்கள் , எனில் நிரல் திசையன் **g** மீது செயற்படும் அவற்றின் வரிசைமாற்ற அணிகள் , இரண்டின் தொகுப்பு:
:<math>P_{\sigma} P_{\pi}\, \mathbf{g} = P_{\pi\,\circ\,\sigma}\, \mathbf{g}. </math>  

- உறுப்புகளின் இரு வரிசைமாற்றங்கள் , எனில் நிரை திசையன் **h** மீது செயற்படும் அவற்றின் வரிசைமாற்ற அணிகள் , இரண்டின் தொகுப்பு:
:<math> \mathbf{h} P_{\sigma} P_{\pi} = \mathbf{h} P_{\pi\,\circ\,\sigma}. </math>  
:<math>\pi\,\circ\,\sigma (k) = \pi \(\sigma (k) \).</math>  

- வரிசைமாற்றத்துக்குரிய வரிசைமாற்ற அணியின் நிரை உருவகிப்பு <math>Q_{\pi}</math> எனில், <math>Q_{\pi} = P_{\pi}^{\mathsf T} = P_.</math> என்பதால் இந்த உருவகிப்புக்கான பண்புகளை வரிசைமாற்ற அணியின் நிரல் உருவகிப்புக்குரிய பண்புகளிலிருந்து பெறலாம்.
:குறிப்பாக,  
:<math>Q_{\pi} \mathbf{e}_k^{\mathsf T} = P_ \mathbf{e}_k^{\mathsf T} = \mathbf{e}_{(\pi^{-1})^{-1} (k)}^{\mathsf T} = \mathbf{e}_{\pi (k)}^{\mathsf T}.</math>  
:இதிலிருந்து,  
:<math>Q_{\sigma} Q_{\pi}\, \mathbf{g} = Q_{\sigma\,\circ\,\pi}\, \mathbf{g}.</math>  
:இதேபோல,  
:<math>\mathbf{h}\, Q_{\sigma} Q_{\pi} = \mathbf{h}\, Q_{\sigma\,\circ\,\pi}.</math>  

## அணிக் குலம்
(1) என்பது முற்றொருமை வரிசைமாற்றம் எனில் ஆனது முற்றொருமை அணியாகும்.  

:{1,2,...,} மீதான சமச்சீர் குலம் அல்லது வரிசைமாற்றுக் குலம் என்க. மொத்தம் ! வரிசைமாற்றங்கள் இருப்பதால், ! வரிசைமாற்ற அணிகள் இருக்கும். இந்த வரிசைமாற்ற அணிகள், அணிப்பெருக்கலின் கீழ் முற்றொருமை அணியை முற்றொருமை உறுப்பாகக் கொண்ட குலமாக அமையும்.