# கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி

, வரையப்பட்டுள்ள கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் வரைபடம்.]]  

கணிதத்தில், இரு நேர்ம மெய்யெண்களின் **கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி** (*arithmetic–geometric mean* -AGM அல்லது agM  

## எடுத்துக்காட்டு
, இன் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி காணும் தொடர்படிகள்:<math display=block>\begin{array}{rcccl}  
a_1 & = & \tfrac12(24 + 6) & = & 15\\  
g_1 & = & \sqrt{24 \cdot 6} & = & 12\\  
a_2 & = & \tfrac12(15 + 12) & = & 13.5\\  
g_2 & = & \sqrt{15 \cdot 12} & = & 13.416\ 407\ 8649\dots\\  
& & \vdots & &  
\end{array}</math>  

முதல் ஐந்து தொடர்முறையால் கிடைக்கும் மதிப்புகள்:  

| 6 |
| --- |

இவ்விரு தொடர்வரிசைகளின் பொது எல்லையே 24, 6 ஆகிய இரு எண்களின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியாகும். அதன் தோராய மதிப்பு: .  

## வரலாறு
இந்த சோடி தொடர்வரிசைகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட முதல் படிமுறைத்தீர்வு, கணிதவியலாளர் லாக்ராஞ்சியின் ஆய்வுகளில் காணப்பட்டது. மேற்கொண்டு, அதன் பண்புகள் கணிதவியலாளர் காஸால் பகுத்தாய்வு செய்யப்பட்டன. எனவே பெருக்கல் சராசரிகள் , கூடும் தொடர்வரிசையாகவும், கூட்டுச் சராசரிகள் , குறையும் தொடர்வரிசையாகவும் இருக்கும். மேலும் ஆகவும் இருக்கும். எனில் இவை கண்டிப்பான சமனிலிகளாக இருக்கும்.  

இன் மதிப்பு, , இரண்டின் பெருக்குச் சராசரிக்கும் கூட்டுச் சராசரிக்கும் இடைப்பட்ட ஓர் எண்ணாக இருப்பதோடு, , இரண்டிற்கும் இடைப்பட்டதாகவும் இருக்கும்.  

- எனில், .

- இன் தொகையீட்டு-வடிவம்:

<math display=block>\begin{align}  
M(x,y) &= \frac{\pi}{2} \( \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{x^2\cos^2\theta+y^2\sin^2\theta}} \)^{-1}\\  
&=\pi\(\int_0^\infty \frac{dt}{\sqrt{t(t+x^2)(t+y^2)}}\)^{-1}\\  
&= \frac{\pi}{4} \cdot \frac{x + y}{K\( \frac{x - y}{x + y} \)}  
\end{align}</math>  

இதில் என்பது, முதல்வகை முழுமையான நீள்வட்டத் தொகையீடு:  
:<math display="block">K(k) = \int_0^\frac{\pi}{2}\frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2\sin^2(\theta)}} </math>  

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி, விரைவாக ஒருங்குவதால், நீள்வட்ட தொகையீடுகளைக் கணிப்பதற்குத் திறனுள்ள வழியைத் தருகிறது.  

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியானது ஜேக்கோபி தீட்டா சார்புடன் ( <math>\theta_3</math>) கீழுள்ளவாறு இணைக்கப்படுகிறது:  

<math display="block">M(1,x)=\theta_3^{-2}\(\exp \(-\pi \frac{M(1,x)}{M\(1,\sqrt{1-x^2}\)}\)\)=\(\sum_{n\in\mathbb{Z}}\exp \(-n^2 \pi \frac{M(1,x)}{M\(1,\sqrt{1-x^2}\)}\)\)^{-2},</math>  

இதில் <math>x=1/\sqrt{2}</math> எனக் கொள்ள கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கும்:  
<math display="block">M(1,1/\sqrt{2})=\(\sum_{n\in\mathbb{Z}}e^{-n^2\pi}\)^{-2}.</math>  

## தொடர்புள்ள கருத்துருக்கள்
1, 2 இன் வர்க்கமூலம் ஆகியவற்றின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் தலைகீழி காஸின் மாறியாகும்:  
:<math display=block>\frac{1}{M(1, \sqrt{2})} = G = 0.8346268\dots</math>  

1799 இல், காஸ் பின்வரும் முடிவை நிறுவினார்.  
:<math display="block">M(1,\sqrt{2})=\frac{\pi}{\varpi};</math> <math>\varpi</math> என்பது கிடையெட்டுவடிவ மாறிலி.  

1941 இல், <math>M(1,\sqrt{2})</math> (and hence <math>G</math>) ஆனது விஞ்சிய எண் எனச் செருமானியக் கணிதவியலாளர் தியோடர் சினைடெரால் நிறுவப்பட்டது.  

<math>\{\pi,M(1,1/\sqrt{2})\}</math> என்ற கணம், <math>\mathbb{Q}</math> இன் மீது இயற்கணித சார்பற்றது ஆனால் <math>\{\pi,M(1,1/\sqrt{2}),M'(1,1/\sqrt{2})\}</math> (இதிலுள்ள மேற்சுட்டு ' என்பது இரண்டாவது மாறியைப் பொறுத்த வகையிடலைக் குறிக்கிறது) என்ற கணம் <math>\mathbb{Q}</math> இன் மீது இயற்கணித சார்பற்றது அல்ல. மேலும்,  
:<math display="block">\pi=2\sqrt{2}\frac{M^3(1,1/\sqrt{2})}{M'(1,1/\sqrt{2})}.</math>  

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியைப் போலவே, பெருக்குச் சராசரி, இசைச் சராசரி ஆகிய இரண்டின் தொடர்வரிசைகளின் மூலம் பெருக்கு-இசைச் சராசரியை (GH), பெறலாம்:  
:.  

கூட்டு-இசைச் சராசரியானது, பெருக்கல் சராசரிக்குச் சமானமானதாக இருக்கும்.  

மடக்கைகள், முழுமையான முதல், இரண்டாம் வகை நீள்வட்டத் தொகையீடுகள், முழுமையற்ற முதல், இரண்டாம் வகைநீள்வட்டத் தொகையீடுகளின் முதல், இரண்டாம் வகைத் தொகையீடுகள், ஜேக்கோபி நீள்வட்டச் சார்புகள்ஆகியவற்றைக் கணிப்பதற்குக், கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி பயன்படுகிறது.  

## இருத்தலுக்கான நிறுவல்
கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலியின் விளைவாக<math display=block>g_n \leq a_n</math> என்ற முடிவு கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து<math display=block>g_{n + 1} = \sqrt{g_n \cdot a_n} \geq \sqrt{g_n \cdot g_n} = g_n</math> எனப் பெறலாம். அதாவது என்ற தொடர்வரிசையானது குறையாத் தொடர்வரிசையாகவும் , ஆகிய இரண்டில் பெரியதைவிட அதிகவளவு வரம்புடையதாகவும் இருக்கும்.  

மேலும், ஒருபோக்கு ஒருங்கல் தேற்றத்தின்படி, இத்தொடர்வரிசை, ஒருங்குமென்பதால்,  
<math display=block>\lim_{n\to \infty}g_n = g</math> என்பதை நிறைவு செய்யும்விதத்தில் ஒரு இருக்கும்.  

மேலும், <math display=block>a_n = \frac{g_{n + 1}^2}{g_n}</math> என்பதால் கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கிறது:  
<math display=block>\lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to \infty}\frac{g_{n + 1}^2}{g_{n}} = \frac{g^2}{g} = g</math>  

## தொகையீட்டு வடிவின் நிறுவல்
கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் தொகையீட்டு வடிவம், காஸால் நிறுவப்பட்டது.  

:<math >\pi = \frac{4\,M(1,1/\sqrt{2})^2} {1 - \displaystyle\sum_{j=1}^\infty 2^{j+1} c_j^2} ,</math>  

இதில்,  
:<math>c_j = \frac{1}{2}\(a_{j-1}-g_{j-1}\) ,</math> ,<math>a_0=1;</math> <math>g_0=1/\sqrt{2}</math>,  
:<math>c_j = \frac{c_{j-1}^2}{4a_j} ,</math> என்பதைப் பயன்படுத்தி நுட்பமாகக் கணிக்கலாம்.  

### முழுமையான நீள்வட்டத் தொகையீடு, *K*(sin*α*)

:<math>a_0 = 1,</math> <math>g_0 = \cos\alpha</math> என எடுத்துக்கொள்ளக் கிடைக்கும் கூட்டு-பெருக்குச் சரசரி:  
:<math>M(1,\cos\alpha) = \frac{\pi}{2K(\sin \alpha)} ,</math>  
:<math>M(1,\cos\alpha) = \frac{\pi}{2K(\sin \alpha)} ,</math>  
:<math>\implies K(\sin \alpha) = \frac{\pi}{2M(1,\cos\alpha)} .</math>  
<math>\implies K(k) = \frac{\pi}{2M(1,\cos\alpha)} .</math>  
:<math>\implies K(k) = \frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})} .</math>  

இதிலுள்ள ஆனது, முழுமையான முதல்வகை நீள்வட்டத் தொகையீடு, <math>K(k) = \int_0^{\pi/2}(1 - k^2 \sin^2\theta)^{-1/2} \, d\theta.</math> ஆகும்.