# கூட்டுகை

கணிதத்தில் **கூட்டுகை** (*summation* , குறியீடு: **∑**) என்பது ஒரு தொடர்வரிசையிலுள்ள எண்களைக் கூட்டும் செயலாகும். இச்செயலின் விளைவாகக் கிடைக்கும் விடையானது, அத்தொடர்வரிசையிலுள்ள எண்களின் *கூட்டுத்தொகை* எனப்படும். தொடர்வரிசையிலுள்ள எண்களைத் தொடர்ந்து இடமிருந்து வலமாகக் கூட்டும்போது இடைப்பட்ட ஒரு எண்வரையான கூட்டுத்தொகையானது கூட்டுகையின் பகுதி கூட்டுத்தொகை எனப்படுகிறது. கூட்டப்படும் எண்கள் முழு எண்கள், விகிதமுறு எண்கள், மெய்யெண்கள் அல்லது சிக்கலெண்களாக இருக்கலாம். எண்கள் மட்டுமல்லாது திசையன்கள், அணிகள், பல்லுறுப்புக்கோவைகள் போன்ற பரிமாற்றுக் குலத்தின் உறுப்புகளையும் கூட்ட முடியும். அத்தகைய முடிவுறு தொடர்வரிசைகளின் உறுப்புகளின் கூட்டலின் மதிப்பு, நன்குவரையறுக்கப்பட்டதொரு கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும்.  

ஒரு முடிவிலாத் தொடர்வரிசையின் கூட்டுகை ஒரு தொடராக அமையும். ஒரு தொடரின் கூட்டுத்தொகை அல்லது மதிப்பானது எல்லையின் வாயிலாக வரையறுக்கப்படுகிறது. முடிவுறு கூட்டுத்தொகைகள் கொண்ட மற்றுமொரு கருத்துரு தொகையீடு.  

1, 2, 4, 2 என்ற தொடர்வரிசையின் கூட்டுகை ஒரு கோவையாக அமையும். இக்கோவையின் மதிப்பு: 1, 2, 4, 2 ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகை: = 9. கூட்டல் செயல் சேர்ப்புப் பண்புடையது என்பதால் உறுப்புகள் எவ்விதமாக சேர்க்கப்பட்டாலும் கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பு மாறுவதில்லை. அதாவது, மற்றும் இரண்டுமே கூட்டுத்தொகையாக 9 ஐத் தருகின்றன. இதனால் ஒரு தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளின் கூட்டுகையில் அடைப்புக்குறிகள் குறிக்கப்படுவதில்லை. கூட்டல் செயலுக்கு பரிமாற்றுத்தன்மையும் உண்டு என்பதால் முடிவுறு தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள் வரிசைமாற்றப்பட்டாலும் கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பில் மாற்றமிருக்காது.  

வெளிப்படையான தொடர்வரிசையின் கூட்டுகைக்குத் தனிப்பட்ட குறியீடு எதுவும் இல்லாமல் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளுக்கிடையே கூட்டல் குறியிட்டு எழுதப்படுகிறது. இரண்டுக்கும் குறைவான உறுப்புகளைக் கொண்ட தொடர்வரிசைகளின் கூட்டுகையை இம்முறையில் குறிப்பதில் சிறிது சிரமம் உள்ளது. ஒரேயொரு உறுப்பு மட்டும் கொண்ட தொடர்வரிசையின் கூட்டுகையில் கூட்டல் குறி இருக்காது. வெற்றுத் தொடர்வரிசையின் (எந்தவொரு உறுப்பும் இல்லாத தொடர்வரிசை) கூட்டுகையை எழுதிக்காட்டுவது இயலாது, ஆனால் அதன் மதிப்பை "0" என எழுதலாம்.  

தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள் ஒரு சீரான அமைப்பைக் கொண்டிருக்கும்போது கூட்டுகைக் குறியீடு பயனுள்ளதாக இருக்கும். 1 முதல் 100 வரையிலான தொடர்ச்சியான முழுஎண்களின் தொடர்வரிசையின் கூட்டுகையைக் கூட்டல் குறிகளைப் பயன்படுத்தி எழுதலாம்: . இம்முறையில் அடுத்தடுத்து வரும் உறுப்புகள் எவை என்பதை எளிதாக அறியமுடிகிறது. இத்தொடர்வரிசையின் கூட்டுகையை "Σ" ஐப் பயன்படுத்தியும் எழுதலாம்:  

:<math>1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100 = \sum_{i \mathop =1}^{100}i.</math>  

இதன் கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பு 5050. 99 முறை கூட்டலைச் செய்து இம்மதிப்பைக் காண்பதற்குப் பதில் கீழுள்ள வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்தி எளிதாகக் காணமுடியும்:  
:<math>\sum_{ i \mathop =1}^ni = \frac{n(n+1)}{2}</math>, *n* ஒரு இயல் எண்.  

சிக்கலான தொடர்வரிசைகளுக்கு கூட்டுகையின் குறியீடு "Σ" பயன்படுத்தப்படுகிறது.  

## குறியீடு
;சிக்மா குறியீடு  

:<math>\sum_{i \mathop =m}^n a_i = a_m + a_{m+1} + a_{m+2} +\cdots+ a_{n-1} + a_n</math>  

:*i* - கூட்டுகைக் குறியீட்டெண்  
:*a<sub>i</sub>* அடுத்தடுத்து வரும் உறுப்புகளைக் குறிக்கும் குறியீடு இடப்பட்ட உறுப்பு  
:*m* கூட்டுகையின் கீழ்வரம்பு  
:*n* கூட்டுகையின் மேல்வரம்பு.  
:கூட்டுகைக் குறிக்குக் கீழுள்ள *"i = m"* என்பதற்கு *i* இன் மதிப்புகள் *m* இலிருந்து துவங்குகிறது என்பது பொருளாகும்.  
:*m* இலிருந்து துவங்கி *i* இன் மதிப்புகள் அடுத்தடுத்து எண் ஒன்றைக் கூட்டி, *i* = *n* ஆக இருக்கும்வரை பெறப்படுகின்றன.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>\sum_{i \mathop =3}^6 i^2 = 3^2+4^2+5^2+6^2 = 86.</math>  

சிலசமயங்களில், மேல்வரம்பு, கீழ்வரம்பு குறிப்பிடப்படாமலும் எழுதப்படுகிறது:  
:<math>\sum a_i^2 = \sum_{ i \mathop =1}^n a_i^2.</math>  

மாற்றுவிதமான குறியீடுகள்:  
:<math>\sum_{0\le k< 100} f(k)</math>  
:<math>\sum_{x \mathop \in S} f(x)</math>  
:<math>\sum_{d|n}\;\mu(d)</math>, d|n-<math>n</math>இன் வகுஎண்கள்.  

பல கூட்டுகைக்குறிகளின் பயன்பாடு:  
:<math>\sum_{\ell,\ell'} = \sum_\ell\sum_{\ell'}</math>,  

## முறையான வரையறை
மீள்வரு முறையில் கூட்டுகை கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:  
:<math>\sum_{i=a}^b g(i)=0</math> <math>\,</math>, *b* < *a*.  
:  
:<math>\sum_{i=a}^b g(i)=g(b)+\sum_{i=a}^{b-1} g(i)</math>, *b* ≥ *a*.  

## அளவையியல்
அளவையியலிலும் (measure theory,) தொகையீட்டுக் கோட்பாட்டிலும் ஒரு கூட்டுத்தொகையானது தொகையீடாக எழுதப்படுகிறது:  

:<math>\sum_{k \mathop =a}^b f(k) = \int_{[a,b]} f\,d\mu</math>  

<math>[a, b]</math> - <math>a</math> முதல் <math>b</math> வரையிலான முழு எண்களின் உட்கணம், <math>\mu</math> - உட்கணங்களின் அளவீடு (counting measure).  

## நுண்கணித (discrete calculus) அடிப்படைத் தேற்றம்

:<math>\sum_{k=a}^b f(k)=\Delta^{-1}f(b+1)-\Delta^{-1}f(a)</math>  

## வரையறுத்த தொகையீடு கொண்டு தோராயப்படுத்தல்
கூட்டுத்தொகைகளுக்கும் தொகையீடுகளுக்கும் இடைப்பட்ட கீழுள்ள தொடர்புகள் மூலம் பல தோராயப்படுத்தல்களைச் செய்ய முடியும்:  

கூடும் சார்பு *f* எனில்:  
:<math>\int_{s=a-1}^{b} f(s)\ ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a}^{b+1} f(s)\ ds.</math>  

குறையும் சார்பு *f* எனில்:  
:<math>\int_{s=a}^{b+1} f(s)\ ds \le \sum_{i=a}^{b} f(i) \le \int_{s=a-1}^{b} f(s)\ ds.</math>  

## முற்றொருமைகள்

: <math>\sum_{n=s}^t C\cdot f(n) = C\cdot \sum_{n=s}^t f(n)</math>, *C* ஒரு மாறிலி  

: <math>\sum_{n=s}^t f(n) + \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \[f(n) + g(n)\]</math> <math>\;</math>  

: <math>\sum_{n=s}^t f(n) - \sum_{n=s}^{t} g(n) = \sum_{n=s}^t \[f(n) - g(n)\]</math> <math>\;</math>  

: <math>\sum_{n=s}^t f(n) = \sum_{n=s+p}^{t+p} f(n-p) </math> <math>\;</math>  

: <math>\sum_{n\in B} f(n) = \sum_{m\in A} f(\sigma(m))</math>, σ ஒரு இருவழிக்கோப்பு (இது முந்தைய முற்றொருமையின் பொதுமைப்படுத்தலாக அமைகிறது)  

: <math>\sum_{n=s}^j f(n) + \sum_{n=j+1}^t f(n) = \sum_{n=s}^t f(n)</math> <math>\;</math>  

: <math>\sum_{i=k_0}^{k_1}\sum_{j=l_0}^{l_1} a_{i,j} = \sum_{j=l_0}^{l_1}\sum_{i=k_0}^{k_1} a_{i,j}</math> <math>\;</math>  

: <math>\sum_{k\le j \le i\le n} a_{i,j} = \sum_{i=k}^n\sum_{j=k}^i a_{i,j} = \sum_{j=k}^n\sum_{i=j}^n a_{i,j}</math> <math>\;</math>  

: <math>\sum_{n=0}^t f(2n) + \sum_{n=0}^t f(2n+1) = \sum_{n=0}^{2t+1} f(n)</math> <math>\;</math>  

: <math>\sum_{n=0}^t \sum_{i=0}^{z-1} f(z\cdot n+i) = \sum_{n=0}^{z\cdot t+z-1} f(n)</math> <math>\;</math>  

: <math>\sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j</math> <math>\;</math>  

: <math>\sum_{n=s}^t \ln f(n) = \ln \prod_{n=s}^t f(n)</math> <math>\;</math>  

: <math>c^{\[\sum_{n=s}^t f(n) \]} = \prod_{n=s}^t c^{f(n)}</math> <math>\;</math>  

: <math>\(\sum_{k=0}^{n} a_k\) \cdot \(\sum_{k=0}^{n} b_k\)=\sum_{k=0}^{2n} \sum_{i=0}^k a_ib_{k-i} - \sum_{k=0}^{n-1} \(a_k \sum_{i=n+1}^{2n-k}b_i +b_k \sum_{i=n+1}^{2n-k} a_i\)</math>  

### பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் கூட்டுகைகள்
: <math>\sum_{i=m}^n 1 = n+1-m</math> <math>\,</math>  

: <math>\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} = H_n</math> (<math>H_n </math>- இசை எண்)  

: <math>\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^k} = H^k_n</math>  

: <math>\sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{m(m-1)}{2} = \frac{(n+1-m)(n+m)}{2}</math> (கூட்டுத் தொடர்)  

: <math>\sum_{i=0}^n i = \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}</math> (கூட்டுத் தொடரின் சிறப்புவகை)  

: <math>\sum_{i=0}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}</math> (சதுர பிரமிடு எண்)  

: <math>\sum_{i=0}^n i^3 = \(\frac{n(n+1)}{2}\)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \[\sum_{i=1}^n i\]^2</math> <math>\,</math>  

: <math>\sum_{i=0}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} = \frac{n^5}{5} + \frac{n^4}{2} + \frac{n^3}{3} - \frac{n}{30}</math> <math>\,</math>  

: <math>\sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} + \sum_{k=1}^p\frac{B_k}{p-k+1}{p\choose k}(n+1)^{p-k+1},</math> <math>B_k</math> ஒரு பெர்னௌலி எண்.  

### அடுக்கேற்ற உறுப்புகள் கொண்ட கூட்டுகைகள்
கீழுள்ள கூட்டுகைகளில் *a* ஒரு மாறிலி; *a* ≠ 1  
: <math>\sum_{i=m}^{n-1} a^i = \frac{a^m-a^n}{1-a}</math> (; பெருக்குத் தொடரின் கூட்டுதொகை)  

: <math>\sum_{i=0}^{n-1} a^i = \frac{1-a^n}{1-a}</math> (பெருக்குத் தொடரின் முதல் உறுப்பு குறியீட்டெண் <math>i=0</math>)  
: <math>\sum_{i=0}^{n-1} i a^i = \frac{a-na^n+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^2}</math> <math>\,</math>  

: <math>\sum_{i=0}^{n-1} i 2^i = 2+(n-2)2^{n}</math> (*a* = 2)  

: <math>\sum_{i=0}^{n-1} \frac{i}{2^i} = 2-\frac{n+1}{2^{n-1}}</math> (*a* = 1/2)  

### ஈருறுப்புக் குணகங்களும் தொடர்பெருக்கங்களும் கொண்ட கூட்டுகைகள்

: <math>\sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n</math> <math>\,</math>  

: <math>\sum_{i=1}^{n} i{n \choose i} = n2^{n-1}</math> <math>\,</math>  

: <math>\sum_{i=0}^{n} i!\cdot{n \choose i} = \sum_{i=0}^{n} {}_{n}P_{i} = \lfloor n! \cdot e \rfloor, \quad n \in \mathbb{Z}^+</math> <math>\,</math>  

: <math>\sum_{i=0}^{n} {i \choose k} = {n+1 \choose k+1}</math> <math>\,</math>  

: <math>\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i=(a + b)^n</math>, the ஈருறுப்புத் தேற்றம்  

: <math>\sum_{i=0}^n i\cdot i! = (n+1)! - 1</math> <math>\,</math>  

: <math>\sum_{i=1}^n {}_{i+k}P_{k+1} = \sum_{i=1}^n \prod_{j=0}^k (i+j) = \frac{(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}</math> <math>\,</math>  

: <math>\sum_{i=0}^n {m+i-1 \choose i} = {m+n \choose n}</math> <math>\,</math>  

## வளர்ச்சி வீதங்கள்

: <math>\sum_{i=1}^n i^c \in \Theta(n^{c+1})</math>, *c* > −1 மற்றும் மெய்யெண்.  
:  
: <math>\sum_{i=1}^n \frac{1}{i} \in \Theta(\log n)</math>  
:  
: <math>\sum_{i=1}^n c^i \in \Theta(c^n)</math>, *c* > 1 மற்றும் மெய்யெண்  
:  
: <math>\sum_{i=1}^n \log(i)^c \in \Theta(n \cdot \log(n)^{c})</math>, *c* எதிரிலா மெய்யெண்  
:  
: <math>\sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d \in \Theta(n^{d+1} \cdot \log(n)^{c})</math> *c*, *d* எதிரிலா மெய்யெண்கள்  
:  
: <math>\sum_{i=1}^n \log(i)^c \cdot i^d \cdot b^i \in \Theta (n^d \cdot \log(n)^c \cdot b^n)</math>, *b* > 1, *c*, *d* ஆகிய எதிரிலா மெய்யெண்கள்.