# கோள முக்கோணவியல்



**கோள முக்கோணவியல்** (*Spherical trigonometry*) என்பது கோள வடிவவியலின் ஒரு கிளைப்பிரிவாகும். இது கோள முக்கோணங்களின் பக்கங்கள், கோணங்களுக்கு இடையேயுள்ள அளவீட்டுத்தொடர்புகளை முக்கோணவியல் சார்புகள் மூலமாகத் தருகின்றது. வானியல், புவிமேற்பரப்பியல், வழிச்செலுத்தல் ஆகிய துறைகளில் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது.  

கோள முக்கோணவியல், பண்டைக்காலத் துவக்கத்தில் கிரேக்கக் கணதவியலாளர்களால் ஆய்வு செய்யப்பட்டு பின்னர் இசுலாமியக் கணிதவியலாளர்களால் மேம்படுத்தப்பட்டது. துவக்க நவீனகாலத்தின் துவக்கத்தில் கணிதவியலார்கள் ஜான் நேப்பியர், டேலம்பரே ஆகியோரின் பங்களிப்புகளில் மேலும் வளர்ச்சியடைந்து 19 ஆம் நூற்றாண்டில் கணிதவியலாளர் டோதுந்தேர் வெளியிட்ட நூல்மூலம் (*Spherical trigonometry for the use of colleges and Schools*) முழுமையான வளர்ச்சியடைந்து உருபெற்றது.  

## முதனிலை விவரங்கள்
வெட்டுவதால் உருவான எட்டு கோள முக்கோணங்கள்.]]  

### கோளப் பல்கோணிகள்
கோளப் பல்கோணி (*'spherical polygon*) என்பது ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பின் மீதுள்ள வளைகோடுகளால் உருவான ஒரு பல்கோணி ஆகும். இவ்வளைகோடுகள், கோளத்தின் மையத்தின் வழியே செல்லும் தளங்களோடு கோளத்தின் மேற்பரப்பு வெட்டிக்கொள்ளும்போது ஏற்படும் வளைகோடுகளாக இருக்கும். கோளப் பல்கோணிகள் எத்தனை பக்கங்கள் கொண்டவையாகவும் இருக்கலாம்.  

சமதள வடிவவியலிலுள்ள முக்கோணத்திற்கு ஒத்த கோளப் பல்கோணி இரு தளங்களால் கோளத்தின் மேற்பரப்பில் உருவாகும் பல்கோணியாகும். இப்பல்கோணி "கோளப் பிறை" (spherical lune) அல்லது "இருகோணி" (digon) என அழைக்கப்படுகிறது. கோளப் பிறைக்கு நன்கறியப்பட்ட ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஆரஞ்சுப் பழத்தின் ஒரு பகுதியின் வளை மேற்பரப்பாகும். கோள முக்கோணம், மூன்று தளங்களால் கோளத்தின் மேற்பரப்பில் உருவாகிறது. நான்கு தளங்களால் கோளத்தின் மேற்பரப்பில் உருவாகும் பல்கோணிகள் கோள நாற்கரங்கள். இக்கட்டுரையின் இனிவரும் பகுதிகளில் கோள முக்கோணங்கள் சுருக்கமாக முக்கோணங்கள் என்றே குறிப்பிடப்படுகின்றன.  

### குறியீடு

- முக்கோணத்தின் உச்சிகளும் உச்சிகளில் அமையும் கோணங்களும் *A*, *B*, *C* எனக் குறிப்பிடப்படும்.
- முக்கோணத்தின் கோணங்கள் *A*, *B*, *C* மூன்றும். முக்கோணத்தை உருவாக்கும் தளங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணங்கள். கோணங்களின் அளவு ஆரையன்களில் கொள்ளப்படுகிறது. மேலும்,
: &nbsp;<&nbsp;*A*&nbsp;+&nbsp;*B*&nbsp;+&nbsp;*C*&nbsp;<&nbsp;3. (Todhunter, கோள வானியல் பாடநூல்களில் வெவ்வேறான நிறுவல்கள் தரப்பட்டுள்ளன. இணையத்தில் மேத்வேர்ல்டில் மேலும் பல நிறுவல்கள் உள்ளன. வீழல் அணிகளின் நேரியல் இயற்கணிதத்தைக் கொண்டு பானர்ஜி அளித்துள்ள நிறுவல்கள் போன்றவையும் உள்ளன.  

## முற்றொருமைகள்

### துணை கொசைன் விதிகள்
முனைய முக்கோணத்திற்கான கொசைன் விதிகள் (Todhunter,  

<math display="block">  
\begin{align}  
\frac{\sin{\tfrac{1}{2}}(A+B)}  
{\cos{\tfrac{1}{2}}C}  
=\frac{\cos{\tfrac{1}{2}}(a-b)}  
{\cos{\tfrac{1}{2}}c}  
&\qquad\qquad  
&  
\frac{\sin{\tfrac{1}{2}}(A-B)}  
{\cos{\tfrac{1}{2}}C}  
=\frac{\sin{\tfrac{1}{2}}(a-b)}  
{\sin{\tfrac{1}{2}}c}  
\\[2ex]  
\frac{\cos{\tfrac{1}{2}}(A+B)}  
{\sin{\tfrac{1}{2}}C}  
=\frac{\cos{\tfrac{1}{2}}(a+b)}  
{\cos{\tfrac{1}{2}}c}  
&\qquad  
&  
\frac{\cos{\tfrac{1}{2}}(A-B)}  
{\sin{\tfrac{1}{2}}C}  
=\frac{\sin{\tfrac{1}{2}}(a+b)}  
{\sin{\tfrac{1}{2}}c}  
\end{align}  
</math>  

வட்ட வரிசைமாற்றத்தைக் கொண்டும் இதேபோன்ற மேலும் எட்டு வாய்பாடுகளைப் பெறலாம்.  

இவற்றை டோதுந்தேர்( இருவரும் நிறுவியுள்ளனர்.  

### நேப்பியரின் ஒப்புமைகள்
:<math display="block">\begin{align}  
&&\\[-2ex]\displaystyle  
{\tan{\tfrac{1}{2}}(A+B)}  
=\frac{\cos{\tfrac{1}{2}}(a-b)}  
{\cos{\tfrac{1}{2}}(a+b)}  
\cot{\tfrac{1}{2}C}  
&\qquad  
&  
{\tan{\tfrac{1}{2}}(a+b)}  
=\frac{\cos{\tfrac{1}{2}}(A-B)}  
{\cos{\tfrac{1}{2}}(A+B)}  
\tan{\tfrac{1}{2}c}  
\\[2ex]  
{\tan{\tfrac{1}{2}}(A-B)}  
=\frac{\sin{\tfrac{1}{2}}(a-b)}  
{\sin{\tfrac{1}{2}}(a+b)}  
\cot{\tfrac{1}{2}C}  
&\qquad  
& {\tan{\tfrac{1}{2}}(a-b)}  
=\frac{\sin{\tfrac{1}{2}}(A-B)}  
{\sin{\tfrac{1}{2}}(A+B)}  
\tan{\tfrac{1}{2}c}  
\end{align}</math>  

வட்ட வரிசைமாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இவற்றைப் போன்ற மேலும் எட்டு வாய்பாடுகளைப் பெறலாம்.  

டேலம்பரேவின் வாய்பாடுகளை ஒன்றை மற்றதால் வகுத்து நேப்பியர் வாய்பாடுகளைப் பெறலாம். (டோதுந்தேர், இந்த பத்து முற்றொருமைகளுக்கும் நினைவியைத் தந்துள்ளார். அந்நினைவி "நேப்பியரின் வட்டம்" அல்லது "நேப்பியரின் ஐங்கோணம்" (மேலேயுள்ள வலப்பக்கப் படத்தில் வட்டத்துக்குப் பதில் ஐங்கோணம் எடுத்துக்கொள்ளப்படும்போது) என அழைக்கப்படுகிறது.  

முதலில், முக்கோணத்தின் ஆறு கூறுகளை (மூன்று உச்சிக் கோணங்கள், மூன்று பக்கங்களின் விற்கோணங்கள்) அவை முக்கோணத்தின் ஏதாவதொரு சுற்றைப் பொறுத்து அமையும் வரிசையில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்:  

மேலுள்ள படத்தில் இடப்பக்க முக்கோணத்திற்கு கடிகாரத்திசையில் "a" இலிருந்து தொடங்கினால் *aCbAcB* கிடைக்கும். அடுத்து கோணம் C க்கு அடுத்தில்லாத கூறுகளை (அதாவது *A, c, B*) அவற்றின் நிரப்பிகளால் பதிலிட்டு, கோணம் C ஐ நீக்கிவிட வேண்டும். மீதமுள்ளவற்றை ஐங்கோணத்தின் அல்லது வட்டத்தின் ஐந்து வரிசைப்படுத்தப்பட்ட சமமான துண்டுகளாக வரையலாம் (வலப்பக்கப் படம்). இவற்றில் ஒட்டியமையும் மூன்று துண்டுகளில் ஒன்று (நடுவிலுள்ளது) இம்மூன்றில் மற்ற இரண்டுக்கும் அடுத்துள்ளதாகவும் இம்மூன்று தவிர்த்த மீதி இரண்டு துண்டுகளுக்கு எதிராகவும் இருக்கும்.  

- நடுப்பகுதியின் சைன் = அடுத்துள்ள இருபகுதிகளின் பெருக்கற்பலனின் டேன்ஜென்ட்
- நடுப்பகுதியின் சைன் = எதிருள்ள இரு பகுதிகளின் பெருக்கற்பலனின் கொசைன்

இதனைப் பயன்படுத்தி <math>a</math> ஐக் கொண்டுள்ள பகுதியிலிருந்து துவங்கக் கிடைக்கும் வாய்பாடுகள்:  
:<math> \sin a = \tan(\pi/2-B)\,\tan b = \cos(\pi/2-c)\, \cos(\pi/2-A)  
=\cot B\,\tan b = \sin c\,\sin A. </math>  

நேப்பியரின் செங்கோண கோளமுக்கோணத்திற்கான பத்து வாய்பாடுகள்: (Todhunter, இச்சமன்பாடு கக்னோலியின் சமன்பாடாகும்.  

## முக்கோணங்களின் தீர்வு
### சாய்வு முக்கோணங்கள்
ஒரு கோளமுக்கோணத்தின் ஆறு கூறுகளில் மூன்று, நான்கு அல்லது ஐந்து கூறுகள் தரப்பட்டிருக்கும்போது மீதமுள்ள கூறுகளின் மதிப்பைக் கண்டறிவதே முக்கோணங்களின் தீர்வு காண்பதாகும்.  
- ஐந்து கூறுகள் தரப்பட்டால் மீதமுள்ள ஒரு கூறினை எளிதாக சைன் விதியைப் பயன்படுத்திக் கண்டுவிட முடியும்.
- நான்கு கூறுகள் தரப்பட்டிருந்தால் மீதமுள்ள இரண்டைக் கணக்கிடும் வழி கீழே தரப்பட்டுள்ளது.
- மூன்று கூறுகள் மட்டுமே தரப்பட்டிருந்தால் அது ஆறு வகையில் அமையும்:
  - 3 பக்கங்கள்; 2 பக்கங்களும் அவற்றுக்கு இடையேயுள்ள கோணம்
  - எதிருள்ள கோணம்; மூன்று கோணங்கள். (சமதள வடிவவியலில் கடைசி வகைக்கு ஒத்தவகை இல்லை).

ஒரே முறையைப் பயன்படுத்தி எல்லா வகைகளுக்கும் தீர்வு காண முடியாது.  

கீழுள்ள படத்தில் ஏழு வகைகளும் காட்டப்பட்டுள்ளன. முக்கோணத்தின் தரப்பட்டுள்ள பக்கங்கள் ஒரு சிறுகுறுக்கோடிட்டும், தரப்பட்டுள்ள கோணங்கள் வில்லிட்டும் காட்டப்பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு படத்தின் கீழும் அந்தந்த வகையில் முக்கோணத்தின் தரப்பட்டுள்ள கூறுகள் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.  

கீழுள்ள குறியீடுகளில், எடுத்துக்காட்டாக ASA என்பதில், A தரப்பட்ட கோணத்தையும், S தரப்பட்ட பக்கத்தையும், A, S இன் தொடர்முறை முக்கோணத்தில் உள்ள தொடர்முறைக்கு ஒத்ததாக இருக்கும்.  

- **வகை 1: மூன்று பக்கங்கள் தரப்பட்டுள்ளன (SSS)**:
:கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்தி *A*, *B*, *C* ஆகிய மூன்று கோணங்களையும் காணலாம். எனினும் ஈரடியான விடைகளைத் தவிர்க்கும்பொருட்டு அரைக்கோண விதிகள் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  
- **வகை 2: தரப்பட்டவை: இரு பக்கங்களை, இடைப்பட்ட கோணம் (SAS)**:
:கொசைன் விதியைக்கொண்டு மூன்றாவது பக்கத்தைக் கண்டுபிடிக்கலாம். இப்போது இது முதல் வகையாக ஆகிவிடும்.  
- **வகை 3: தரப்பட்டவை: இரு பக்கங்கள், அவற்றுக்கு எதிருள்ள ஒரு கோணம் (SSA)**:
:சைன் விதியைப் பயன்படுத்தி *C* கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்கலாம். பின்னர் இது வகை 7 ஆகிவிடும். இவ்வகைக்கு ஒன்று அல்லது இரண்டு தீர்வுகள் உண்டு.  
- **வகை 4: தரப்பட்டவை: இரு கோணங்கள், இடைப்பட்ட பக்கம் (ASA)**:
:(*cBaC*), (*BaCb*) இரண்டிற்கும் நான்கு-பகுதி கோடேன்ஜென்ட் வாய்பாடுகளைக் கொண்டு *c*, *b* பக்கங்களைக் கண்டுபிடிக்கலாம். பின்னர் சைன்விதியைப் பயன்படுத்தி *A* கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்கலாம்.  
- **வகை 5: இரு கோணங்கள், எதிர்ப்பக்கம் (AAS)**:
:சைன் விதியைப் பயன்படுத்தி *b* பக்கத்தைக் காணலாம். பின்னர் இது வகை 7 ஆகிவிடும். இதற்கு ஒன்று அல்லது இரண்டு தீர்வுகள் உண்டு.  
- **வகை 6: தரப்பட்டவை: மூன்று கோணங்கள் (AAA)**:
:துணை கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்தி *a*, *b*, *c* பக்கங்கங்களைக் கண்டுபிடிக்கலாம். ஈரடியான விடைகளைத் தவிர்க்கும்பொருட்டு, அரைப்பக்க வாய்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  
- **வகை 7: தரப்பட்டவை: இரு கோணங்கள், இரு எதிர்ப்பக்கங்கள் (SSAA)**:
:*a*, *A* இரண்டையும் நேப்பியரின் ஒப்புமைகளைப் பயன்படுத்திக் கண்டுபிடிக்கலாம்; அல்லது வகை மூன்றையோ (SSA) அல்லது வகை ஐந்தையோ (AAS) பயன்படுத்தலாம்.  

மேலே தரப்பட்டவை தவிர மேலும் பல தீர்வுமுறைகளும் உண்டு. டோதுந்தேர் நூலில் சாய்வு முக்கோணங்களின் தீர்வுகள் குறித்த முழு விவரங்களும் தரப்பட்டுள்ளன. இத்தேற்றத்தின் நிறுவல் முன்னர் ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் தாமசு ஃஆரியட்டால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டாலும் வெளியிடப்படவில்லை. பல்கோணி அமையும் கோளத்தின் ஆரம் *R* அலகுகள் எனில் பல்கோணி, முக்கோணம் இரண்டின் மேலுள்ள பரப்பளவு வாய்பாடுகள் *R*<sup>2</sup> ஆல் பெருக்கிக்கொள்ளப்படும். முக்கோணத்தின் கோள மிகுதியின் அளவு, கோளத்தின் ஆரவளவைப் பொறுத்ததில்லை  

மேலுள்ள முடிவின் மறுதலை முடிவைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:  

:<math> A+B+C=\pi+ \frac{4\pi \times \text{Area of triangle}}{\text{Area of the sphere}}.</math>  

கோளமுக்கோணத்தின் பரப்பளவு எதிர்மமாக இருக்காது என்பதால் கோளமிகுதியின் அளவு எப்பொழுதும் நேர்மமாகவே இருக்கும். கோள மிகுதியைக் காண்பதற்குப் பல வாய்பாடுகள் உள்ளன. டோதுந்தேர் பத்து வாய்பாடுகளைத் தனது நூலில் தந்திருக்கிறார். (Art.101—103). அவற்றுள் ஒன்று:  
:<math>\tan\tfrac{1}{4}E  
= \sqrt{\tan\tfrac{1}{2}s\, \tan\tfrac{1}{2}(s-a)\,  
\tan\tfrac{1}{2}(s-b)\,\tan\tfrac{1}{2}(s-c)}</math>  
இதில் <math>s = (a+b+c)/2</math>.  

கோள மிகுதியைக் காண உகந்த வாய்பாடு  
:<math>\tan\frac E2 = \frac  
{\tan\frac12a\tan\frac12b\sin C}{1 + \tan\frac12a\tan\frac12b\cos C}.</math> ஆகும்.