# ரன்டே-குடா முறைகள் பட்டியல்

Runge-Kutta முறைமைகள் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாட்டின் எண் தீர்வுக்கான முறைகள் ஆகும்  
: <math>\frac{d y}{d t} = f(t, y)\,</math>  
இது வடிவம் எடுக்கிறது  

: <math>y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^s b_i k_i\, </math>  
: <math>k_1 = f(t_n, y_n), </math>  
: <math>k_2 = f(t_n+c_2h, y_n+h(a_{21}k_1)), </math>  
: <math>k_3 = f(t_n+c_3h, y_n+h(a_{31}k_1+a_{32}k_2)), </math>  
: <math>\vdots </math>  
: <math>k_i = f\(t_n + c_i h, y_n + h \sum_{j = 1}^{i-1} a_{ij} k_j\), </math>  

இந்தப் பக்கத்தில் பட்டியலிடப்பட்ட ஒவ்வொரு முறையும் அதன் புத்செர் tableau மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது, இது ஒரு அட்டவணையில் உள்ள வழிமுறையின் குணகங்களை பின்வருமாறு வைக்கிறது:  
: <math>  
\begin{array}{c|cccc}  
c_1 & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\  
c_2 & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\  
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\  
c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\  
\hline  
& b_1 & b_2 & \dots & b_s\\  
\end{array}  
</math>  

## வெளிப்படையான முறைகள்
வெளிப்படையான முறைகள், [a_ {ij}] குறைந்த முக்கோணமாகும்.  

### முன்னோக்கு ஆய்லர்
யூலரின் முறை முதல் வரிசையாகும். உறுதியான தன்மை மற்றும் துல்லியம் ஆகியவற்றின் பற்றாக்குறை முக்கியமாக ஒரு எண் தீர்வு முறையின் ஒரு எளிய அறிமுகமான உதாரணமாக பயன்படுத்தப்படுவதைக் குறிக்கிறது.  
: <math>  
\begin{array}{c|c}  
0 & 0 \\  
\hline  
& 1 \\  
\end{array}  
</math>  

### வெளிப்படையான இடர்ப்பாட்டு முறை
(வெளிப்படையான) இடைநிலை முறை இரண்டு நிலைகளுடன் இரண்டாம் வரிசை முறையாகும் (கீழே உள்ள உள்ளீடான இடைப்பட்ட வழிமுறையும் பார்க்கவும்):  
: <math>  
\begin{array}{c|cc}  
0 & 0 & 0 \\  
1/2 & 1/2 & 0 \\  
\hline  
& 0 & 1 \\  
\end{array}  
</math>  

### ஹியூன் முறை
ஹியூன் முறையானது இரண்டு கட்டங்களுடன் இரண்டாவது வரிசை முறையாகும் (இது வெளிப்படையான பாரியளவிலான விதி என்றும் அழைக்கப்படுகிறது):  
: <math>  
\begin{array}{c|cc}  
0 & 0 & 0 \\  
1 & 1 & 0 \\  
\hline  
& 1/2 & 1/2 \\  
\end{array}  
</math>  

### ரால்ஸ்டனின் முறை
ரால்ஸ்டனின் முறையானது இரண்டு கட்டங்களாக இரண்டாவது வரிசை முறையாகும், மேலும் குறைந்தபட்சமான உள்ளூர் பிழை உள்ளது:  
: <math>  
\begin{array}{c|cc}  
0 & 0 & 0 \\  
2/3 & 2/3 & 0 \\  
\hline  
& 1/4 & 3/4 \\  
\end{array}  
</math>  

### பொதுவான இரண்டாவது வரிசை முறை
: <math>  
\begin{array}{c|ccc}  
0 & 0 & 0 \\  
x & x & 0 \\  
\hline  
& 1-\frac{1}{2x} & \frac{1}{2x} \\  
\end{array}  
</math>  

### கூட்டாவின் மூன்றாவது ஆணை முறை
: <math>  
\begin{array}{c|ccc}  
0 & 0 & 0 & 0 \\  
1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\  
1 & -1 & 2 & 0 \\  
\hline  
& 1/6 & 2/3 & 1/6 \\  
\end{array}  
</math>  

### கிளாசிக் நான்காண்டு முறை
"அசல்" ரன்டே-கூட்டா முறை.  
: <math>  
\begin{array}{c|cccc}  
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\  
1/2 & 1/2 & 0 & 0 & 0\\  
1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0\\  
1 & 0 & 0 & 1 & 0\\  
\hline  
& 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6\\  
\end{array}  
</math>  

### 3/8-ஆவது நான்காம் வரிசை முறை
இந்த முறையானது "பாரம்பரிய" முறையாக மிகத் துல்லியமானதல்ல, ஆனால் அது அதே தாளில் (குட்டா, 1901) முன்மொழியப்பட்டது என்பதால் கிளாசிக்கல் போன்றது.  
: <math>  
\begin{array}{c|cccc}  
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\  
1/3 & 1/3 & 0 & 0 & 0\\  
2/3 & -1/3 & 1 & 0 & 0\\  
1 & 1 & -1 & 1 & 0\\  
\hline  
& 1/8 & 3/8 & 3/8 & 1/8\\  
\end{array}  
</math>  

## உட்பொதிக்கப்பட்ட முறைகள்
உட்பொதிக்கப்பட்ட முறைகள் ஒற்றை ரன்ஜ்-குட்டா படிப்படியின் உள்ளூர் துண்டான பிழை மதிப்பீடு செய்ய வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, இதன் விளைவாக, தடையை கட்டுப்பாட்டு வழிமுறைகளுடன் கட்டுப்படுத்த அனுமதிக்கின்றன. இது tableau இல் இரண்டு முறைகள் கொண்டது, ஒழுங்கு p மற்றும் ஒன்று order-with-1 உடன்.  
: <math> y^*_{n+1} = y_n + h\sum_{i=1}^s b^*_i k_i, </math>  
இங்கு k_ {i} உயர் வரிசை முறைக்கு ஒத்ததாக இருக்கும். பின்னர் பிழை  
: <math> e_{n+1} = y_{n+1} - y^*_{n+1} = h\sum_{i=1}^s (b_i - b^*_i) k_i, </math>  
இது O (h ^ {p}) ஆகும். இந்த வகையான முறைக்கான புஷர் டேபிள்ஹவுல் b_ {i} ^ {*}  
: <math>  
\begin{array}{c|cccc}  
c_1 & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\  
c_2 & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\  
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\  
c_s & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\  
\hline  
& b_1 & b_2 & \dots & b_s\\  
& b_1^* & b_2^* & \dots & b_s^*\\  
\end{array}  
</math>  

### க்யூன்-ஆய்லர்
எளிமையான தகவல்தொடர்பு ரன்டே-குட்டா முறை ஹ்யூன் முறையை இணைப்பதுடன், ஒழுங்குமுறை 2, இது யூலர் முறையுடன், வரிசை 1 ஆகும். அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை:  
: <math>  
\begin{array}{c|cc}  
0&\\  
1& 1 \\  
\hline  
& 1/2& 1/2\\  
& 1 & 0  
\end{array}  
</math>  

### ஃபெல்பெர்க்  RK1 (2)
அவர் ஃபெல்பெர்க் முறை 1 மற்றும் 2 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகள் உள்ளன. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் Tableau உள்ளது:  
| 1/2 | 1/2 |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1/256 | 255/256 |  |
| 1/256 | 255/256 | 0 |  |
| 1/512 | 255/256 | 1/512 | } |
B கோணங்களின் முதல் வரிசை முதல் வரிசையில் துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசை வரிசையில் இரண்டு உள்ளது.  

### போகக்கி-ஷாம்பைன்
பொகாக்-ஷம்பம்பின் முறையானது 3 மற்றும் 2 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகளைக் கொண்டது. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை:  
| 1/2 | 1/2 |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 3/4 | 0 | 3/4 |  |  |
| 1 | 2/9 | 1/3 | 4/9 |  |
| 2/9 | 1/3 | 4/9 | 0 |  |
| 7/24 | 1/4 | 1/3 | 1/8 | } |
B கோணங்களின் முதல் வரிசை மூன்றாம் வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசை வரிசையில் இரண்டு உள்ளது.  

### ஃபெல்பெர்க்
Runge-Kutta-Fehlberg முறையானது 5 மற்றும் 4 கட்டளைகள் இரண்டு முறைகளைக் கொண்டிருக்கிறது. அதன் நீட்டிக்கப்பட்ட புதர் அட்டவணை அட்டவணை:  
| 1/4 | 1/4 |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 3/8 | 3/32 | 9/32 |  |  |  |  |
| 12/13 | 1932/2197 | −7200/2197 | 7296/2197 |  |  |  |
| 1 | 439/216 | −8 | 3680/513 | −845/4104 |  |  |
| 1/2 | -8/27 | 2 | −3544/2565 | 1859/4104 | −11/40 |  |
| 16/135 | 0 | 6656/12825 | 28561/56430 | −9/50 | 2/55 |  |
| 25/216 | 0 | 1408/2565 | 2197/4104 | −1/5 | 0 | } |
பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசையில் வரிசை நான்கு உள்ளது.  

### காச்-கார்ப்
பணமும் கார்ப் ஃபெல்ல்பெர்க்கின் அசல் யோசனையும் மாற்றியுள்ளது. பண-கார்ப் முறையின் நீட்டிக்கப்பட்ட அட்டவணை  
| 1/5 | 1/5 |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 3/10 | 3/40 | 9/40 |  |  |  |  |
| 3/5 | 3/10 | −9/10 | 6/5 |  |  |  |
| 1 | −11/54 | 5/2 | −70/27 | 35/27 |  |  |
| 7/8 | 1631/55296 | 175/512 | 575/13824 | 44275/110592 | 253/4096 |  |
| 37/378 | 0 | 250/621 | 125/594 | 0 | 512/1771 |  |
| 2825/27648 | 0 | 18575/48384 | 13525/55296 | 277/14336 | 1/4 | } |
பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது, இரண்டாவது வரிசையில் வரிசை நான்கு உள்ளது.  

### டார்மன்ட்-ப்ரின்ச்
டோர்மாண்ட்-பிரின்ஸ் முறையின் நீட்டிக்கப்பட்ட அட்டவணை  
| 1/5 | 1/5 |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 3/10 | 3/40 | 9/40 |  |  |  |  |  |
| 4/5 | 44/45 | −56/15 | 32/9 |  |  |  |  |
| 8/9 | 19372/6561 | −25360/2187 | 64448/6561 | −212/729 |  |  |  |
| 1 | 9017/3168 | −355/33 | 46732/5247 | 49/176 | −5103/18656 |  |  |
| 1 | 35/384 | 0 | 500/1113 | 125/192 | −2187/6784 | 11/84 |  |
| 35/384 | 0 | 500/1113 | 125/192 | −2187/6784 | 11/84 | 0 |  |
| 5179/57600 | 0 | 7571/16695 | 393/640 | −92097/339200 | 187/2100 | 1/40 | } |
பி குணகங்களின் முதல் வரிசை ஐந்தாவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது மற்றும் இரண்டாவது வரிசையில் நான்காவது வரிசை துல்லியமான தீர்வை அளிக்கிறது.  

## உள்ளார்ந்த முறைகள்

### பின்னோக்கு யூலர்
பின்தங்கிய யூலர் முறை முதல் வரிசையாகும். நேரியல் பரவல் சிக்கல்களுக்கு நிபந்தனையற்ற வகையில் நிலையான மற்றும் அல்லாத அலைக்கற்ற.  
: <math>  
\begin{array}{c|c}  
1 & 1 \\  
\hline  
& 1 \\  
\end{array}  
</math>  

### உள்ளார்ந்த இடையில்
உள்ளார்ந்த இடையில் உள்ள முறை இரண்டாவது வரிசையில் உள்ளது. காஸ் முறைகள் என அழைக்கப்படும் collocation முறைகள் வகுப்பில் இது எளிய முறையாகும். இது ஒரு சிம்பிளான ஒருங்கிணைப்பாளியாகும்  
: <math>  
\begin{array}{c|c}  
1/2 & 1/2 \\  
\hline  
& 1  
\end{array}  
</math>  

### காஸ்-லெஜெண்டரே முறைகள்
இந்த முறைகள், காஸ்-லெஜெண்டேட் குவாட்ரெச்சின் புள்ளிகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. கவுஸ்-லெஜெண்டேர் வரிசை வரிசையில் நான்கு நான்கு வகை புஷர் அட்டவணை உள்ளது:  
: <math>  
\begin{array}{c|cc}  
\frac{1}{2}-\frac{\sqrt3}{6} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}-\frac{\sqrt3}{6} \\  
\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{6} & \frac{1}{4}+\frac{\sqrt3}{6} &\frac{1}{4} \\  
\hline  
& \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\  
& \frac12+\frac12 \sqrt3 & \frac12-\frac12 \sqrt3 \\  
\end{array}  
</math>  
கோஸ்-லெஜெண்ட்ரே முறை வரிசையில் ஆறு வகை புஷர் அட்டவணை உள்ளது:  
: <math>  
\begin{array}{c|ccc}  
\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15}}{10} & \frac{5}{36} & \frac{2}{9}- \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15}}{30} \\  
\frac{1}{2} & \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15}}{24} & \frac{2}{9} & \frac{5}{36} - \frac{\sqrt{15}}{24}\\  
\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15}}{10} & \frac{5}{36} + \frac{\sqrt{15}}{30} & \frac{2}{9} + \frac{\sqrt{15}}{15} & \frac{5}{36} \\  
\hline  
& \frac{5}{18} & \frac{4}{9} & \frac{5}{18} \\  
& -\frac56 & \frac83 & -\frac56  
\end{array}  
</math>  

### லோபாட்டோ முறைகள்
II, IIIB மற்றும் IIIC எனப்படும் லோபாட்டோ முறைகளில் மூன்று முக்கிய குடும்பங்கள் உள்ளன (வகுப்பு கணித இலக்கியத்தில், I மற்றும் II குறியீடுகள் இரண்டு வகைகள் Radau முறைகள் ஒதுக்கப்பட்டுள்ளன). இவை ரெஹுவல் லோபாட்டோவின் பெயரிடப்பட்டது. அனைத்து மறைமுக முறைகள் உள்ளன, வரிசை 2 கள் - 2 மற்றும் அவை அனைத்தையும் c1 = 0 மற்றும் cs = 1. எந்த வெளிப்படையான முறையையும் போலல்லாமல், இந்த முறைகள் நிலைகளின் எண்ணிக்கையைவிட அதிகமான வரிசையில் இருக்க வேண்டும். கிளாசிக்கல் நான்காம் வரிசை முறை ரன்ஜே மற்றும் குட்டா ஆகியவற்றால் பிரபலமடைவதற்கு முன்பு லோபோத் வாழ்ந்தார்.  

#### லோபாட்டோ IIIA முறைகள்
அவர் லோபாட்டோ IIIA முறைகள் கொலொகேசன்மு றைகள். இரண்டாம் ஒழுங்கு முறையானது பைரவர்ஜீயல் ஆட்சி என அழைக்கப்படுகிறது:  
: <math>  
\begin{array}{c|cc}  
0 & 0 & 0 \\  
1 & 1/2 & 1/2\\  
\hline  
& 1/2 & 1/2\\  
& 1 & 0 \\  
\end{array}  
</math>  
நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது  
: <math>  
\begin{array}{c|ccc}  
0 & 0 & 0 & 0 \\  
1/2 & 5/24& 1/3 & -1/24\\  
1 & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\  
\hline  
& 1/6 & 2/3 & 1/6 \\  
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\  
\end{array}  
</math>  
இந்த முறைகள் A- நிலையானவை, ஆனால் L- நிலையான மற்றும் B- நிலையானவை அல்ல  

#### லோபாட்டோ IIIB முறைகள்
லோபாட்டோ IIIB முறைகள் collocation முறைகள் அல்ல, ஆனால் அவை இடைவிடாத தொகுதிகள் (ஹையர், லுபிஷ்& வன்னர் 2006, §II.1.4) என்று கருதப்படலாம். இரண்டாவது வரிசை முறை மூலம் வழங்கப்படுகிறது  
: <math>  
\begin{array}{c|cc}  
0 & 1/2 & 0 \\  
1 & 1/2 & 0 \\  

\hline  
& 1/2 & 1/2\\  
& 1 & 0 \\  

\end{array}  
</math>  
நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது  
: <math>  
\begin{array}{c|ccc}  
0 & 1/6 & -1/6& 0 \\  
1/2 & 1/6 & 1/3 & 0 \\  
1 & 1/6 & 5/6 & 0 \\  
\hline  
& 1/6 & 2/3 & 1/6 \\  
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\  
\end{array}  
</math>  
லோபாட்டோ IIIB முறைகள் A- நிலையானவை, ஆனால் L- நிலையான மற்றும் B- நிலையானவை அல்ல.  

#### லோபாட்டோ IIIC முறைகள்
லோபாட்டோ IIIC முறைகள் இடைவிடாமல் இடமாற்ற முறைகள் ஆகும். இரண்டாவது வரிசை முறை மூலம் வழங்கப்படுகிறது  
: <math>  
\begin{array}{c|cc}  
0 & 1/2 & -1/2\\  
1 & 1/2 & 1/2 \\  
\hline  
& 1/2 & 1/2 \\  
& 1 & 0 \\  
\end{array}  
</math>  
நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது  
: <math>  
\begin{array}{c|ccc}  
0 & 1/6 & -1/3& 1/6 \\  
1/2 & 1/6 & 5/12& -1/12\\  
1 & 1/6 & 2/3 & 1/6 \\  
\hline  
& 1/6 & 2/3 & 1/6 \\  
& -\frac12 & 2 & -\frac12 \\  
\end{array}  
</math>  
அவர்கள் எல்-நிலையாக உள்ளனர். அவை இயல்பான நிலையாகவும், பி-நிலையாகவும் இருக்கின்றன, அவை கடினமான சிக்கல்களுக்கு பொருத்தமானவையாக இருக்கின்றன.  

#### லோபாட்டோ IIIC* முறைகள்
லோபாட்டோ IIIC * முறைகள் லோபாட்டோ III முறைகள் (புஷ்சர், 2008), புஷ்சரின் லோபாட்டோ முறைகள் (ஹெயர் எட் அல், 1993), மற்றும் லோபாட்டோ IIIC முறைகள் (சன், 2000) இலக்கியத்தில் குறிப்பிடப்படுகின்றன. இரண்டாவது வரிசை முறை மூலம் வழங்கப்படுகிறது  
: <math>  
\begin{array}{c|cc}  
0 & 0 & 0\\  
1 & 1 & 0 \\  
\hline  
& 1/2 & 1/2 \\  
\end{array}  
</math>  
நான்காவது வரிசை முறை வழங்கப்படுகிறது  
: <math>  
\begin{array}{c|ccc}  
0 & 0 & 0 & 0 \\  
1/2 & 1/4 & 1/4 & 0\\  
1 & 0 & 1 & 0 \\  
\hline  
& 1/6 & 2/3 & 1/6 \\  
\end{array}  
</math>  
இந்த முறைகள் A- நிலையான, B- நிலையான அல்லது L- நிலையானவை அல்ல. {\ Displaystyle s = 2} க்கான லோபாட்டோ IIIC * முறையே சில நேரங்களில் வெளிப்படையான ட்ரேப்சாய்டல் விதி என்று அழைக்கப்படுகிறது.  

#### பொதுவான லோபாட்டோ முறைகள்
வடிவத்தின் லோபாட்டோ குணகங்களைப் பரிசீலிப்பதன் மூலம் மூன்று உண்மையான அளவுருக்கள்  
: <math>a_{i,j}(\alpha_{A},\alpha_{B},\alpha_{C}) = \alpha_{A}a_{i,j}^A + \alpha_{B}a_{i,j}^B + \alpha_{C}a_{i,j}^C + \alpha_{C*}a_{i,j}^{C*} </math>,  
எங்கே  
: <math>\alpha_{C*} = 1 - \alpha_{A} - \alpha_{B} - \alpha_{C}</math>.  
உதாரணமாக, லோபாட்டோ IIID குடும்பத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது (னார்செட் வென்னெர் 1981), மேலும் லோபாட்டோ IIINW என்றும் அழைக்கப்படுகிறது,  
: <math>  
\begin{array}{c|cc}  
0 & 1/2 & 1/2\\  
1 & -1/2 & 1/2 \\  
\hline  
& 1/2 & 1/2 \\  
\end{array}  
</math>  
மற்றும்  
: <math>  
\begin{array}{c|ccc}  
0 & 1/6 & 0 & -1/6 \\  
1/2 & 1/12 & 5/12 & 0\\  
1 & 1/2 & 1/3 & 1/6 \\  
\hline  
& 1/6 & 2/3 & 1/6 \\  
\end{array}  
</math>  
{\ Displaystyle \ alpha _ {A} = 2}, {\ displaystyle \ alpha _ {B} = 2}, {\ displaystyle \ alpha _ {C} = - 1} மற்றும் {\ displaystyle \ alpha _ {சி *} = - 2}. வழிமுறைகள் L- நிலையானவை. அவை இயற்கணித நிலையாகவும் பி-நிலையாகவும் உள்ளன.  

### ராடு முறைகள்
ராடு முறைகள் முழுமையாக உள்ளார்ந்த முறைகள் (அத்தகைய முறைகள் ஒரு அணி எந்த அமைப்பு இருக்க முடியும்). ராடுமுறைகள் வரிசை 2 கள் - 1 நிலைகளில் 1 அடைய. ராடு முறைகள் ஒரு நிலையான, ஆனால் செயல்படுத்த செலவு. மேலும் அவர்கள் வரிசையில் குறைக்கப்படலாம். முதல் வரிசையில் ராடு முறை பின்னோக்கி யூலர் முறையை ஒத்திருக்கிறது ..  

#### ராடு IA முறைகள்
மூன்றாம் ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன  
: <math>  
\begin{array}{c|cc}  
0 & 1/4 & -1/4 \\  
2/3 & 1/4 & 5/12 \\  
\hline  
& 1/4 & 3/4 \\  
\end{array}  
</math>  
மூன்றாம் ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன  
: <math>  
\begin{array}{c|ccc}  
0 & \frac{1}{9} & \frac{-1 - \sqrt{6}}{18} & \frac{-1 + \sqrt{6}}{18} \\  
\frac{3}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6}}{360} & \frac{11}{45} - \frac{43\sqrt{6}}{360}\\  
\frac{3}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{1}{9} & \frac{11}{45} + \frac{43\sqrt{6}}{360} & \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6}}{360} \\  
\hline  
& \frac{1}{9} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} \\  
\end{array}  
</math>  

#### ராடு IIA முறைகள்
இந்த முறைகள் சிஐஎஸ் பூஜ்யங்களாக உள்ளன  
: <math>P_{s}(2x-1) - P_{s-1}(2x-1) = 0,</math>  
எங்கே P_ {s} டிகிரிகளின் லெஜெண்ட்ரோ பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும். மூன்றாம் ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன  
: <math>  
\begin{array}{c|cc}  
1/3 & 5/12 & -1/12\\  
1 & 3/4 & 1/4 \\  
\hline  
& 3/4 & 1/4 \\  
\end{array}  
</math>  
ஐந்தாவது ஒழுங்கு முறைகள் வழங்கப்படுகின்றன  
: <math>  
\begin{array}{c|ccc}  
\frac{2}{5} - \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{11}{45} - \frac{7\sqrt{6}}{360} & \frac{37}{225} - \frac{169\sqrt{6}}{1800} & -\frac{2}{225} + \frac{\sqrt{6}}{75} \\  
\frac{2}{5} + \frac{\sqrt{6}}{10} & \frac{37}{225} + \frac{169\sqrt{6}}{1800} & \frac{11}{45} + \frac{7\sqrt{6}}{360} & -\frac{2}{225} - \frac{\sqrt{6}}{75}\\  
1 & \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{1}{9} \\  
\hline  
& \frac{4}{9} - \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{4}{9} + \frac{\sqrt{6}}{36} & \frac{1}{9} \\  
\end{array}  
</math>