# இடமாற்று அணி


நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஓர் அணியின் **இடமாற்று** அல்லது **இடமாற்று அணி** அல்லது **நிரை-நிரல் மாற்று அணி** (*transpose*) என்பது மூல அணியின் நிரைகளை நிரல்களாகவும் நிரல்களை நிரைகளாகவும் இடம் மாற்றுவதால் பெறப்படும் அணியாகும். **A** என்ற அணியின் இடமாற்று அணியின் குறியீடு: **A**<sup>T</sup> ஆகும். இடமாற்று அணி **A**′, **A**<sup>tr</sup>, <sup>t</sup>**A** **A**<sup>t</sup> எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. பின்வரும் செயல்களில் ஏதேனுமொன்றின் மூலம் இடமாற்று அணியைப் பெறலாம்:  
- **A** அணியை அதன் முதன்மை மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளித்தல்
- **A** இன் நிரைகளை நிரல்களாக எழுதுதல்
- **A** இன் நிரல்களை நிரைகளாக எழுதுதல்

இடமாற்று அணி **A**<sup>T</sup> இன் *i* ஆவது நிரையிலும் *j* ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பானது, மூல அணியான **A** இன் *j* ஆவது நிரையிலும் *i* ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பாக இருக்கும்:  

:<math>[\mathbf{A}^\mathrm{T}]_{ij} = [\mathbf{A}]_{ji}</math>  

**A** இன் வரிசை எனில், **A**<sup>T</sup> இன் வரிசை ஆகும்.  

1858 இல் பிரித்தனிய கணிதவியலாளர் ஆர்தர் கெய்லி, இடமாற்று அணியை அறிமுகப்படுத்தினார்.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்
- <math>\begin{bmatrix}
1 & 2 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  
= \,  
\begin{bmatrix}  
1 \\  
2 \end{bmatrix}  
</math>  

- <math>\begin{bmatrix}
1 & 2 \\  
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  
=  
\begin{bmatrix}  
1 & 3 \\  
2 & 4 \end{bmatrix}  
</math>  

- <math>
\begin{bmatrix}  
1 & 2 \\  
3 & 4 \\  
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}}  
=  
\begin{bmatrix}  
1 & 3 & 5\\  
2 & 4 & 6 \end{bmatrix}  
</math>  

## பண்புகள்
**A**, **B** இரு அணிகள்; *c* ஒரு திசையிலி எனில், இடமாற்று அணி பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:  

\mathbf{b} ,</math>  
|7= <math>(\mathbf{A}^\mathrm{T})^{-1} = (\mathbf{A}^{-1})^\mathrm{T} \,</math>  
: நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் இடமாற்றும் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும். மேலும் இடமாற்று அணியின் நேர்மாறு மூல அணியின் நேர்மாறின் இடமாற்று அணியாக இருக்கும். **A**<sup>−T</sup> குறியீடும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  
|8= <math>\mathbf{A} \mathbf{A}^\mathrm{T}</math> ஒரு சமச்சீர் அணியாகும்.  
}}  

## சிறப்பு வகைகள்
- ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணி மூல அணியாகவே இருக்குமானால் அச்சதுர அணி சமச்சீர் அணி எனப்படும்.
:**A** ஒரு சமச்சீர் அணி எனில்:  
::<math>\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{A} </math>  

- ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணி மூல அணியின் எதிர் அணியாக இருக்குமானால் அச்சதுர அணி எதிர் சமச்சீர் அணி எனப்படும்.
:**A** ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணி எனில்:  
::<math>\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = -\mathbf{A} </math>  

- சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் இணைச் சிக்கலெண்களாக இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.
:**A** ஒரு ஹெர்மைட் அணி எனில்:  
::<math>\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \overline{\mathbf{A}} </math>  

- சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், ஒத்த மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் எதிர் இணைச் சிக்கலெண்களாக இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.
:**A** ஒரு எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனில்:  
::<math>\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = -\overline{\mathbf{A}} </math>  

:ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி செங்குத்து அணி ஆகும்.  
:**A** செங்குத்து அணி எனில்:  
::<math>\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \mathbf{A}^{-1} </math>  

:சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் இணை நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி அலகுநிலை அணி ஆகும்.  
:**A** அலகுநிலை அணி எனில்:  
::<math>\mathbf{A}^{\mathrm{T}} = \overline{\mathbf{A}^{-1}} </math>