# கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி


கணிதத்தில் **கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி**யின் (**inequality of arithmetic and geometric means**) கூற்றுப்படி, எதிர்மமில்லா மெய்யெண்கள் கொண்ட ஒரு பட்டியலின் கூட்டுச்சராசரியானது அதே பட்டியலின் பெருக்கல் சராசரியைவிடப் பெரியதாக அல்லது சமமாக இருக்கும். மேலும் அப்பட்டியலிலுள்ள எண்கள் அனைத்தும் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இவ்விரு சராசரிகளும் சமமாக இருக்கும்.  

இச்சமனிலி சுருக்கமாக *AM–GM சமனிலி* (*AM–GM inequality*) எனப்படுகிறது.  

இரு எதிர்மமில்லா மெய்யெண்களுக்கான சமனிலி:  
&nbsp; இரு எதிர்மமில்லா மெய்யெண்கள் எனில் அவற்றின் கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி:  
:<math>\frac{x+y}2 \ge \sqrt{xy}</math>  
: என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இச்சமனிலியில் சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.  

தருவித்தல்:  

ஒரு மெய்யெண்ணின் வர்க்கம் எப்பொழுதும் எதிர்மமில்லா எண்ணாகவே இருக்கும் என்பதால்:  

:<math>\begin{align}  
0 & \le (x-y)^2 \\  
& = x^2-2xy+y^2 \\  
& = x^2+2xy+y^2 - 4xy \\  
& = (x+y)^2 - 4xy.  
\end{align}</math>  
<span>,  
:, அதாவது. ஆக இருந்தால் மட்டுமே மேலுள்ள சமனிலியில் சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.  

சமனிலியின் இருபுறமும் நேர்ம வர்க்கமூலம் எடுத்து இரண்டால் வகுக்க:  
:<math>\frac{x+y}2 \ge \sqrt{xy}</math>  

வடிவவியல் விளக்கம்:  
கண்டு, இரண்டால் வகுத்தால் AM–GM சமனிலி கிடைக்கும்.]]  

&nbsp; &nbsp; என்பன செவ்வகத்தின் பக்க நீளங்கள் எனில் அச்செவ்வகத்தின் சுற்றளவு ; பரப்பளவு &nbsp;. அதேபோல பக்க நீளமுள்ள சதுரத்தின் சுற்றளவு ; பரப்பளவு &nbsp;. அதாவது இந்த செவ்வகம் மற்றும் சதுரங்களின் பரப்பளவுகள் சமம். ஆனால் செவ்வகத்தின் சுற்றளவானது சதுரத்தின் சுற்றளவைவிடப் பெரிது (படம்-2 இல் காண்க). எனவே,  
:  
:<math>\frac{x+y}2 \ge \sqrt{xy}</math>  

## பின்புலம்
என்ற எண்களின் கூட்டுத்தொகையை &nbsp; ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது இந்த எண்களின் *கூட்டுச்சராசரி* அல்லது *சராசரி* ஆகும். கூட்டுச்சராசரி **AM** (எனச் சுருக்கமாகக் குறிக்கப்படுகிறது.  

மேலே தரப்பட்ட எண்களின் கூட்டுச்சராசரி:  
:<math>\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}.</math>  

எதிர்மமில்லா எண்களுக்கு மட்டுமே *பெருக்கல் சராசரி* வரையறுக்கப்படுகிறது. என்ற எண்களின் பெருக்கல் சராசரியானது இந்த எண்களின் பெருக்குத்தொகையின் Nஆம் படி மூலம் ஆகும். பெருக்கல் சராசரியின் சுருக்குக் குறியீடு: **GM**  

மேலே தரப்பட்ட எண்களின் பெருக்கல் சராசரி:  
:<math>\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}.</math>  

எனில் பெருக்கல் சராசரியானது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட எண்களின் இயல் மடக்கைகளின் கூட்டுச் சராசரியின் அடுக்கேற்றமாகும்:  

:<math>\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} = \exp \( \frac{\ln {x_1} + \ln {x_2} + \cdots + \ln {x_n}}{n} \).</math>  

## சமனிலி

ஆகிய எதிர்மமில்லா எண்களின் கூட்டு மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலி:  
:<math>\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}\,,</math>  

என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இச்சமனிலியிலுள்ள சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.  

## வடிவவியல் விளக்கம்

இருபரிமாணத்தில், &nbsp;, &nbsp; பக்க நீளங்கள் கொண்ட செவ்வகத்தின் சுற்றளவு . மேலும் அச்செவ்வகத்தின் பரப்பளவு . இதே பரப்பளவு கொண்ட சதுரத்தின் சுற்றளவு ஆக இருக்கும்.  

எனவே எனில் கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலியின்படி,  
:தரப்பட்ட பரப்பளவுகொண்ட ஒரு செவ்வகமானது சதுரமாக இருந்தால் அதன் சுற்றளவு மிகச்சிறியதாக இருக்கும்.  

இக்கருத்தின் பரிமாண நீட்டிப்பே முழுச் சமனிலியாகும்.  

AM–GM சமனிலியின்படி,  
:-பரிமாண பெட்டியானது சம கனவளவுள்ள மீகனசதுரமாக இருக்கும்போது அதன் ஒரு முனையுடன் இணைக்கப்பட்ட அதன் விளிம்புகளின் நீளங்களின் கூடுதல் மிகச்சிறியதாக இருக்கும்.