# நேர்ம-வரைவு அணி

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் <math>M</math> என்ற சமச்சீர், மெய்யெண் அணியானது, <math>n</math> மெய்யெண் உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு பூச்சியமற்ற நிரல் திசையன் <math>z</math> க்கும் திசையிலி <math>z^{\mathrm{T}}Mz</math> இன் மதிப்பை நேர்மமாகக் கொண்டிருந்தால் அது ஒரு **நேர்ம வரைவு அணி** (*positive definite*) எனப்படும். இங்கு <math>z^{\mathrm{T}}</math> என்பது <math>z</math> இன் இடமாற்று அணியாகும்.  

மேலும் பொதுமைப்படுத்த, ஹெர்மைட் அணி <math>M</math> ஆனது ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கவேண்டுமானால், <math>n</math> சிக்கலெண்கள் கொண்ட அனைத்து பூச்சியமற்ற நிரல் திசையன் <math>z</math> களுக்கும் <math>z^{*}Mz</math> எனும் திசையிலியின் மதிப்பு நேர்ம மெய்யெண்ணாக இருக்க வேண்டும். இங்கு <math>z^{*}</math> என்பது <math>z</math> இன் இணையிய இடமாற்று அணியைக் குறிக்கிறது.  

இதைபோலவே *எதிர்ம-வரைவு*, *நேர்ம அரை-வரைவு*, *எதிர்ம அரை-வரைவு* ஆகிய மூன்றும் வரையறுக்கப்படுகின்றன. *நேர்ம அரை-வரைவு*, *எதிர்ம அரை-வரைவு* அணிகளுக்கு பூச்சியங்கள் அனுமதிக்கப்படுகின்றன. அதாவது *எதிர்ம-வரைவு*, *நேர்ம அரை-வரைவு*, *எதிர்ம அரை-வரைவு* அணிகளாக இருப்பதற்கு, <math>z^{\mathrm{T}}Mz</math> அல்லது <math>z^{*}Mz</math> இன் மதிப்பு முறையே எதிர்மமாக, எதிர்மமற்றதாக, நேர்மமற்றதாக இருக்கவேண்டும். சில கணித நூலாசிரியர்கள் சமச்சீரற்ற மெய்யெண் அணிகளுக்கும் ஹெர்மைட் அணியாக இல்லாத சிக்கலெண் அணிகளுக்கும் நேர்ம வரைவணி கருத்துருவை நீட்டித்துள்ளனர்.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்
- முற்றொருமை அணி <math> I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} </math>, ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாகும்.
:முற்றொருமை அணி ஒரு சமச்சீர் அணி.  

:இதனை மெய்யெண் அணியாகக் கருத, *a* , *b* எனும் மெய்யெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட பூச்சியமற்ற நிரலணி *z* க்கு:  
::<math> z^{\mathrm{T}}I z = \begin{bmatrix} a & b\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}= a^2 + b^2</math>, *z* பூச்சியமற்ற நிரலணி என்பதால் இது ஒரு நேர்ம மதிப்பு.  

:இதனை சிக்கலெண் அணியாகக் கருத, *a* , *b* எனும் சிக்கலெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட பூச்சியமற்ற நிரலணி *z* க்கு:  

::<math> z^HI z = \begin{bmatrix} a^* & b^*\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b\end{bmatrix}=a^*a +b^*b = |a|^2 + |b|^2</math>, *z* பூச்சியமற்ற நிரலணி என்பதால் இது ஒரு நேர்ம மதிப்பு.  

- கீழுள்ள சமச்சீர், மெய்யெண் அணி ஒரு நேர்ம வரைவு அணியாகும்.
::<math> M = \begin{bmatrix} 2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2 \end{bmatrix} </math>  
:*a*, *b* , *c* ஆகிய உறுப்புகளைக்கொண்ட ஏதேனுமொரு பூச்சியமற்ற நிரலணி *z* எனில்:  
::<math>\begin{align} z^{\mathrm{T}}M z = (z^{\mathrm{T}}M) z &= \begin{bmatrix} (2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a\\b\\c \end{bmatrix} \\  
&= 2{a}^2 - 2ab + 2{b}^2 - 2bc + 2{c}^2 \\  
&= {a}^2+(a - b)^{2} + (b - c)^{2}+{c}^2  
\end{align} </math>  
:இறுதியாகக் கிடைத்துள்ள <math> {a}^2+(a - b)^{2} + (b - c)^{2}+{c}^2 </math> ஆனது வர்க்கங்களின் கூடுதலாக இருப்பதால் அதன் மதிப்பு எதிர்மம் அற்றதாகும்; *z* = 0 அதாவது *a* = *b* = *c* = 0 எனும்போது மட்டும் அதன் மதிப்பு பூச்சியமாக இருக்கும்.  

- <math>A</math> ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணியானால் <math> A^{\mathrm{T}} A </math> என்பது நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.
<math> z </math> ஒரு பூச்சியமற்ற நிரலணி எனில்,  
::<math> z^{\mathrm{T}} A^{\mathrm{T}} A z = \| A z \|^2 > 0, </math> (<math>A</math> ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணி என்பதால் <math>Az \neq 0.</math>)  

## எதிர்ம-வரைவு, அரை-வரைவு, வரைவற்ற அணி
ஒரு ஹெர்மைட் அணியின் ஐகென் மதிப்பு எதிர்மமாக, நேர்மமற்றதாக, எதிர்மமற்றதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அவ்வணி முறையே எதிர்ம-வரைவு, எதிர்ம-அரைவரைவு, நேர்ம-அரைவரைவு அணியாக இருக்கும்.  

### எதிர்ம-வரைவு
ஹெர்மைட் அணி *M* *எதிர்ம-வரைவு* எனில்:  

:<math>x^{*} M x < 0\,</math>  
: *x* ≠ 0, <math>x \in \Complex^n</math> (மெய்யெண் அணி எனில் *x* ≠ 0, <math> x \in R^n </math>)  
: *x** என்பது *x* இன் இணையிய இடமாற்று அணி  

ஒரு அணியின் *k-* ஆவது வரிசை தலைமை முதன்மைச் சிற்றணியானது (leading principal minor) *k* ஒற்றையாக இருக்கும்போது எதிர்மமாகவும், *k* இரட்டையாக இருக்கும்போது நேர்மமாகவும் இருந்தால் அந்த அணியானது எதிர்ம-வரைவு அணியாக இருக்கும்.  

### நேர்ம-அரைவரைவு
M ஒரு நேர்ம-அரைவரைவு அணி (எதிர்மமற்ற வரைவு) எனில்:  
:<math>x^{*} M x \geq 0</math>, <math>\forall x \in C^n</math> (மெய்யெண் அணிக்கு <math>\forall x \in R^n</math>).  

:எந்தவொரு அணி *A*க்கும், *A*A* ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்கும். மேலும் (*A*) இன் தரம்= (*A*A*) இன் தரம்.  
:ஒரு ஹெர்மைட் அணியின் அனைத்து முதன்மை சிற்றணிகளும் எதிர்மமற்றதாக  
இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த அணி ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்கும்.  

### எதிர்ம-அரைவரைவு
*M* ஒரு எதிர்ம அரைவரைவு அணி எனில்,  
:<math>x^{*} M x \leq 0</math>, <math>\forall x \in C^n</math> (மெய்யெண் அணிக்கு <math>\forall x \in R^n</math>).  

### வரைவற்றது
நேர்ம வரைவு அணியாகவோ, எதிர்ம வரைவு, நேர்ம அரைவரைவு, எதிர்ம வரைவு, எதிர்ம அரைவரைவு ஆகிய எதுவொன்றாகவும் இல்லாத ஒரு ஹெர்மைட் அணியானது *வரைவற்ற அணி* எனப்படும். நேர்ம மற்றும் எதிர்ம ஐகென்மதிப்புகளைக் கொண்டவையாகவும் வரைவற்ற அணிகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன.  

## மேலும் சில பண்புகள்
- *M* ஒரு நேர்ம-அரைவரைவு ஹெர்மைட் அணியென்பதைக் குறிக்க, சிலசமயங்களில் *M*&nbsp;≥&nbsp;0 என்றும், *M* ஒரு நேர்ம-வரைவு ஹெர்மைட் அணியென்பதைக் குறிக்க *M*&nbsp;>&nbsp;0 எனவும் எழுதப்படுகிறது.

- *M*, *N* என்ற இரு சதுர அணிகளுக்கு *M*&nbsp;−&nbsp;*N*&nbsp;≥&nbsp;0 எனில் *M*&nbsp;≥&nbsp;*N*. அதாவது, *M*&nbsp;−&nbsp;*N* அணியானது நேர்ம அரைவரைவு அணியாகும். இதன் மூலம் சதுர அணிகளின் கணத்தில் ‘பகுதி வரிசைப்படுத்தும் செயல்” வரையறுக்கப்படுகிறது. இதுபோல கண்டிப்பான பகுதி வரிசைப்படுத்தலையும் (*M*&nbsp;>&nbsp;*N*) வரையறுக்கலாம்.

- ஒவ்வொரு நேர்ம வரைவு அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாகும். அதன் நேர்மாறு அணியும் நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.
: *M*&nbsp;≥&nbsp;*N*&nbsp;>&nbsp;0 எனில், *N*<sup>−1</sup>&nbsp;≥&nbsp;*M*<sup>−1</sup>&nbsp;>&nbsp;0. *M* இன் மிகப்பெரிய *k*ஆவது ஐகென் மதிப்பானது *N* இன் மிகப்பெரிய *k*ஆவது ஐகென் மதிப்பை விடப்பெரியதாக இருக்கும்.  

- *M* ஒரு நேர்ம வரைவு அணி; மேலும் *r*&nbsp;>&nbsp;0 ஒரு மெய்யெண் எனில்
:*rM* அணியும் நேர்ம வரைவாக இருக்கும்.  
:*M* , *N* இரண்டும் நேர்ம வரைவு அணிகள் எனில், *M*&nbsp;+&nbsp;*N*  

- மூலைவிட்ட உறுப்புகள் *m<sub>ii</sub>* மெய்யெண்களாகவும் எதிர்மமற்றவையாகவும் இருக்கும். இதனால் அணியின் சுவடு, tr(*M*)&nbsp;≥&nbsp;0 ஆக இருக்கும். மேலும் ஒவ்வொரு முதன்மை உள்ளணியும் (குறிப்பாக 2 x 2 அணிகள்) நேர்ம வரைவணிகளாக இருக்கும் என்பதால்,
::<math>|m_{ij}| \leq \sqrt{m_{ii}m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}</math>  
::இவற்றிலிருந்து  
::<math> \max |m_{ij}| \leq \max|m_{ii}|</math>  

- *B*<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;*M* என்றவாறு ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணி *B* இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, *M* ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்க முடியும். இவ்வாறு அமையும் *B* அணி தனித்ததாக இருக்கும். மேலும் *M* இன் வர்க்கமூலம் (*B*&nbsp;=&nbsp;*M*<sup>1/2</sup>) என்றும் அழைக்கப்படும்.
::*M*&nbsp;>&nbsp;*N*&nbsp;>&nbsp;0 எனில் *M*<sup>1/2</sup>&nbsp;>&nbsp;*N*<sup>1/2</sup>&nbsp;>&nbsp;0.  

- *M* ஒரு சமச்சீர் அணியாகவும் (*m<sub>ij</sub>* = *m*(*i*−*j*)), <math>\sum\nolimits_{j\neq 0}|m(j)|< m(0)</math> ஆகவும் இருந்தால்,
:: *M* ஒரு கண்டிப்பான நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.  

- *M*&nbsp;>&nbsp;0, *N* ஒரு ஹெர்மைட் அணி; *MN*&nbsp;+&nbsp;*NM*&nbsp;≥&nbsp;0 (*MN*&nbsp;+&nbsp;*NM*&nbsp;>&nbsp;0) எனில்,
:: *N*&nbsp;≥&nbsp;0 (*N*&nbsp;>&nbsp;0).  

- *M*&nbsp;>&nbsp;0 ஒரு மெய்யெண் அணி எனில்,
::*M*&nbsp;>&nbsp;δI, δ&nbsp;>&nbsp;0. இதில் *I* என்பது முற்றொருமை அணி.  

- நேர்ம அரைவரைவு சமச்சீர் அணிகளின் கணம் ஒரு குவிவுக் கணம் ஆகும்.
::*M* , *N* இரண்டும் நேர்ம அரைவரைவு அணிகள் எனில், 0, 1 க்கு இடைப்பட்ட எந்தவொரு α மதிப்பிற்கும், α*M* + (1−α)*N* நேர்ம அரைவரைவு அணியாகும்.  
::*x* என்ற ஏதேனுமொரு திசையனுக்கு:  
:: <math> x^\mathrm{T} (\alpha M + (1-\alpha) N ) x = \alpha x^\mathrm{T} M x + (1-\alpha) x^\mathrm{T} N x \geq 0. </math>  

- *M*&nbsp;=&nbsp;(*m<sub>ij</sub>*)&nbsp;≥&nbsp;0, *N*&nbsp;≥&nbsp;0 ஆகிய இரு நேர்ம அரைவரைவு அணிகளின் [[ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்)|ஆடமார்டு பெருக்கலுக்குக் கீழ்வரும் இரு சமனிலிகள் உள்ள
::: <math>\det(M \circ N) \geq \det (N) \prod\nolimits_{i} m_{ii}.</math>  
:::det(*M*&nbsp;○&nbsp;*N*) ≥ det(*M*) det(*N*).  

- *M*&nbsp;=&nbsp;(*m<sub>ij</sub>*)&nbsp;≥&nbsp;0, *N*&nbsp;≥&nbsp;0 ஆகிய இரு நேர்ம அரைவரைவு அணிகளின் [[ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்)|ஆடமார்டு பெருக்கலுக்குக் கீழ்வரும் இரு சமனிலிகள் உள்ள
::: <math>\det(M \circ N) \geq \det (N) \prod\nolimits_{i} m_{ii}.</math>  
:::det(*M*&nbsp;○&nbsp;*N*) ≥ det(*M*) det(*N*).