# அதிபரவளைவுரு

வடிவவியலில், **அதிபரவளையச் சுழலுரு** (*hyperboloid of revolution*) என்பது ஒரு அதிபரவளைவை அதன் ஏதேனும் ஒரு அச்சைப்பற்றி சுழற்றுவதால் கிடைக்கும் வடிவாகும். இது வட்ட அதிபரவளைவுரு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.  

**அதிபரவளைவுரு** அல்லது **அதிபரவளையத்திண்மம்** (*hyperboloid*) என்பது அதிபரவளையச் சுழலுருவிலிருந்து பெறப்படும் பரப்பு. அதிபரவளையச் சுழலுருவைத் திசையுறு அளவுமாற்றத்தின் (கேண்முறை உருமாற்றத்தின்) மூலம் சிதைக்கக் கிடைக்கும் பரப்பே அதிபரவளைவுரு.  

அதிபரவளைவுரு ஒரு இருபடிப் பரப்பாகும். மூன்று மாறிகளில் அமைந்த இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களின் கணத்தால் வரையறுக்கப்படும் பரப்பாக அமையும். இருபடிப் பரப்புகளுக்குள் அதிபரவளைவுருவானது, கூம்பு அல்லது உருளையாக இல்லாமல், ஒரு சமச்சீர் மையப்புள்ளியுடன் பல தளங்களை அதிபரவளையங்களாக வெட்டும் பண்புடையதாக உள்ளது. மேலும் அதிபரவளைவுரு மூன்று சோடி செங்குத்தான சுழற்சி சமச்சீர் அச்சுகளையும் மூன்று சோடி செங்குத்தான எதிரொளிப்பு சமச்சசீர் தளங்களையும் கொண்டுள்ளது.  

ஒரு அதிபரவளைவுருவின் சமச்சீர் மையத்தை ஆதிப்புள்ளியாகவும் செங்குத்து சமச்சீர் அச்சுகளை அச்சுக்களாகவும் கொண்ட காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையைத் தேர்ந்தெடுத்தால், அந்த அதிபரவளைவுருவைக் கீழ்வரும் இரு சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கலாம்:  

:<math> {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}= 1,</math>  

அல்லது  

:<math> {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}= -1.</math>  

இவ்விரு அதிபரவளைவுருக்களுமே கீழுள்ள சமன்பாடு குறிக்கும் கூம்பிற்கு தொலைத்தொடு பரப்புகளாக இருக்கும்.  
:<math> {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 0 .</math>  

:<math>a^2=b^2.</math> இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அதிபரவளவுரு ஒரு அதிபரவளைய சுழலுருவாக இருக்கும்.  
:<math>a^2\not = b^2</math> எனில் அதிபரவளைவுருவின் அச்சுகள் தனித்தவையாக வரையறுக்கப்பட்டிருக்கும்.  

## இரு வகைகள்
"ஒருதள அதிபரவளைவுரு" (one-sheet hyperboloid), "இருதள அதிபரவளைவுரு" (two-sheet hyperboloid) என இருவகையான அதிபரவளைவுருக்கள் உள்ளன.  

### ஒருதள அதிபரவளைவுரு
:<math> {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}= 1,</math> சமன்பாடு ஒருதள அதிபரவளைவுருவைக் குறிக்கும்.  

இது "அதிபரவளைய அதிபரவளைவுரு" (hyperbolic hyperboloid) எனவும் அழைக்கப்படும். ஒருதள அதிபரவளைவுரு ஒரு இணைந்த பரப்பு. இதன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் காசியன் வளைவானது எதிரெண்ணாக இருக்கும். அதிபரவளைவுருவின் ஒவ்வொரு புள்ளிக்கு அருகிலும், அப்புள்ளியில் அதிபரவளைவுருவைத் தொடும் தளம் மற்றும் அதிபரவளைவுரு இரண்டின் வெட்டானது, அப்புள்ளியில் இரு வெவ்வேறான தொடுகோடுகள் கொண்ட வளைவரையின் இருகிளைகளாக இருக்கும். ஒருதள அதிபரவளைவுருவில் இந்த வளைவரைக் கிளைகள் கோடுகளாக இருக்கும். இதனால் ஒருதள அதிபரவளைவுரு இரட்டைக் கோடிட்ட பரப்பாக அமையும்.  

### இருதள அதிபரவளைவுரு
:<math> {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}= -1.</math> என்ற சமன்பாடு இருதள அதிபரவளைவுருவைக் குறிக்கும்.  

இருதள அதிபரவளைவுருவானது "நீள்வட்ட அதிபரவளைவுரு" (elliptic hyperboloid) எனவும் அழைக்கப்படும். இது இரு இணைந்த பரப்புகளைக் கொண்டிருக்கும். ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் காசியன் வளைவு நேரெண்ணாக இருக்கும். ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் அதன் தொடுதளங்கள், இருதள அதிபரவளைவுருவை அந்தந்தப் புள்ளிகளில் மட்டுமே வெட்டும் என்பதால் இது ஒரு குவிவுப் பரப்பாகும்.  

## துணையலகுச் சமன்பாடுகள்

கோள ஆட்கூறுகளைப் போல திசைவில் கோணம் எனவும் சாய்வினை அதிபரவளையச் சார்புகளாகவும் மாற்றி, அதிவரவளைவுருவிற்கு கார்டீசியன் ஆட்கூறுகளை வரையறுக்கலாம்.  

ஒருதள அதிபரவளைவுரு:  
:<math>\begin{align} x&=a \cosh v \cos\theta \\ y&=b \cosh v \sin\theta \\ z&=c \sinh v \end{align}</math>  

இருதள அதிபரவளைவுரு:  
:<math>\begin{align} x&=a \sinh v \cos\theta \\ y&=b \sinh v \sin\theta \\ z&=\pm c \cosh v \end{align}</math>  

## ஒருதள அதிபரவளைவுருவின் பண்புகள்
### பரப்பின் மீதுள்ள கோடுகள்
- ஒருதள அதிபரவளைவுருவின் மீது இரு கோட்டுக்கற்றைகள் உள்ளன. இதன் பரப்பானது ஒரு இரட்டைக்கோடிட்ட பரப்பாக உள்ளது.

ஒருதள அதிபரவளைவுருவின் சமன்பாடு  
<math> {x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2}= 1</math> எனில்,  

:<math>g^{\pm}_{\alpha}:  
\vec{x}(t)=\begin{pmatrix} a\cos\alpha\\ b\sin\alpha\\ 0\end{pmatrix}  
+ t\cdot \begin{pmatrix} -a\sin\alpha\\ b\cos\alpha\\ \pm c\end{pmatrix}\ ,\quad t\in \R,\ 0\le \alpha\le 2\pi\ </math> என்ற சமன்பாடுகள் குறிக்கும் கோடுகளால் ஆன பரப்பாக ஒருதள அதிபரவளைவுரு இருக்கும்.  

<math>a=b</math> எனில், ஒருதள அதிபரவளைவுரு ஒரு சுழற்சிப் பரப்பாக அமையும். ஒன்றுக்கொன்று வெட்டாக் கோடுகளான <math>g^{+}_{0}</math>, <math>g^{-}_{0}</math> ஆகிய இரண்டில் ஏதேனும் ஒரு கோட்டைச் சுழற்றுவதன் மூலம் இச்சுழற்சிப்பரப்பை உருவாக்கலாம். ஒருதள அதிபரவளைவின் இப்பண்பு *கிறிஸ்டோபர் ரென் இன் தேற்றம்* என அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு அதிபரவளைவை அதன் அரைச் சிற்றச்சைப் பொறுத்து சுழற்றுவதன் மூலம் ஒருதள அதிபரவளைய சுழலுருவை உருவாக்குவது பெரும்பாலான பொதுமுறையாக உள்ளது. (ஒரு அதிபரவளைவை அதன் அரைப் பேரச்சைப் பொறுத்து சுழற்றுவதன் மூலம் கிடைப்பது இருதள அதிபரவளைய சுழலுரு)  

### தள வெட்டுமுகங்கள்
எளிமைக்காக <math> \ H_1: x^2+y^2-z^2=1</math> சமன்பாடு குறிக்கும் அலகு அதிபரவளைவுரு எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. அதிபரவளைவுரு மீதுள்ள கோடுகளின் சாய்வு = 1.  

- சாய்வு < 1 ஆகவுள்ள தளம், <math>H_1</math> ஐ வெட்டும் முகம் ஒரு நீள்வட்டம்
- சாய்வு = 1 ஆகவும் ஆதிப்புள்ளியையும் கொண்ட தளம், <math>H_1</math> -ஐ வெட்டும் முகம் ஒரு சோடி இணைகோடுகள்
- சாய்வு = 1 ஆகவும் ஆதிப்புள்ளியை உள்ளடக்காததுமான தளம், <math>H_1</math> -ஐ வெட்டும் முகம் பரவளைவு
- அதிபரவளைவுருவின் ஒரு தொடுதளம் <math>H_1</math> ஐ வெட்டும் முகம் ஒருசோடி வெட்டும் கோடுகள்.
- சாய்வு > 1 ஆகவுள்ள தொடாதளமொன்று <math>H_1</math> ஐ வெட்டும் முகம் அதிபரவளைவு.

## இருதள அதிபரவளைவுருவின் பண்புகள்

### தள வெட்டுமுகங்கள்
எளிமைக்காக <math>H_2: \ x^2+y^2-z^2=-1</math> என்ற சமன்பாடு குறிக்கும் அலகு இருதள அதிபரவளைவுரு எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இந்த அலகு இருதள அதிபரவளைவுருவினை ஒரு அதிபரவளைவை அதனை வெட்டும் அச்சைப் பொறுத்து சுழற்றுவதன் மூலம் உருவாக்கலாம். இருதள அதிபரவளைவுருவின் மீது கோடுகள் கிடையாது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது. பிறப்பிக்கும் அதிபரவளைவின் அணுகுகோடுகளின் சாய்வு = 1.  

- சாய்வு < 1 ஆகவுள்ள தளம் <math>H_2</math> ஐ வெட்டும் முகம் ஒரு நீள்வட்டம் அல்லது ஒரு புள்ளி ஆக இருக்கும் அல்லது வெட்டவே வெட்டாது
- சாய்வு = 1 ஆகவும் ஆதிப்புள்ளியையும் (அதிபரவளவுருவின் நடுப்புள்ளி) கொண்ட தளம், <math>H_2</math> -ஐ வெட்டாது.
- சாய்வு = 1 ஆகவும் ஆதிப்புள்ளியை உள்ளடக்காததுமான தளம், <math>H_2</math> -ஐ வெட்டும் முகம் பரவளைவு
- சாய்வு > 1 ஆகவுள்ள தளம் <math>H_2</math> ஐ வெட்டும் முகம் அதிபரவளைவு.

## அதிபரவளைவுருவின் சமச்சீர்மை
:<math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 , \quad \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1 \ </math>  
என்ற சமன்பாடுகள் குறிக்கும் இரு அதிபரவளவுருக்களும் கீழுள்ள சமச்சீர்மைகளைக் கொண்டிருக்கும்.  

- ஆதியைப் பொறுத்த புள்ளிசமச்சீர்மை
- ஆட்கூற்றுத் தளங்களைப் பொறுத்த சமச்சீர்மை
- z-அச்சைப் பொறுத்த சுழற்சி சமச்சீர்மை மற்றும் <math>a=b</math> எனும்போது z-அச்சு அடங்கிய ஏதேனும் ஒரு தளத்தைப் பொறுத்த சமச்சீர்மை (அதிபரவளையச் சுழலுரு)

## அதிபரவளைவுரு அமைப்புகள்

ஒருதள அதிபரவளைவுருக்கள் கட்டுமானங்களில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. அவை அதிபரவளைவுரு அமைப்புகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. ஒருதள அதிபரவளைவுகள் இரட்டைக் கோடிட்ட பரப்பாக இருப்பதால் அவற்றை நேர் இரும்புக் கம்பிகளைக் கொண்டு கட்டமுடிகிறது. இதன் காரணமாக மற்ற கட்டுமான அமைப்புகளைவிட எளிதானதாகவும் செலவினம் குறைந்ததாகவும் இக்கட்டுமானங்கள் அமைகின்றன. குளிர்விப்பு கோபுரங்கள் (குறிப்பாக மின்நிலையங்களில்) இந்த அமைப்பில் அமைக்கப்படுகின்றன