# நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றம்



சேர்வியல் கணிதத்தில் **நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றம்** (*derangement*) என்பது ஒரு கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் குறிப்பிடவகையானதொரு வரிசை மாற்றமாகும். இந்த வரிசைமாற்றத்தில் வரிசைமாற்றத்துள்ளாகும் கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் அதனதன் மூல இடத்தில் இருக்காது. அதாவது இந்த வரிசைமாற்றத்தில் நிலைத்த புள்ளிகளே இருக்காது.  

*n* உறுப்புகளுடைய கணத்தின் நிலைத்த புள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றத்தின் எண்ணிக்கை "உட்தொடர்பெருக்கம்" ("subfactorial") அல்லது "*n* ஆவது நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசை மாற்றத்தின் எண்" என அழைக்கப்படுகிறது.  
:இந்த எண்ணிக்கையின் குறியீடுகள்: !*n,* *D<sub>n</sub>*, *d<sub>n</sub>*, or *n*¡.  

!*n* இன் மதிப்பு *n*!/*e* இன் மதிப்பிற்கு மிக அண்மையிலான முழுஎண் மதிப்பாகும். இதில் *n*! என்பது *n* இன் தொடர்பெருக்கம் மற்றும் *e* ஆனது ஆய்லர் மாறிலி.  

நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையை அறியும் முயற்சியில் 1708 இல் முதன்முறையாக ஈடுபட்டவர் கணிதவியலாளர் பியரே ரேமான்டு டி மான்ட்மார்ட் ஆவார். 1713 இல் இவர் அந்த முயற்சியில் வெற்றிபெற்ற அதேசமயத்தில் கணிதவியலாளர் நிக்கோலசு பெர்னொலியும் அதனைக் கண்டறிந்தார்.  

## எடுத்துக்காட்டு

A, B, C, D என்ற நான்கு மாணவர்களுக்குத் தேர்வு நடத்திய ஆசிரியர் ஒருவர், ஒரு மாணவன் தனது விடைத்தாளைத் தானே மதிப்பிடக்கூடாதென்ற நிபந்தனையோடு தேர்வு விடைத்தாட்களை அவர்களைக் கொண்டு மதிப்பிட விரும்புகிறார். இதனை எத்தனை வேறுபட்ட வழிகளில் அவர் செய்திருக்கக்கூடும் என்பது 4 பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமமாகும்.  

A, B, C, D என்ற நான்கு மாணவர்களை வரிசைமாற்றக் கிடைக்கும் வழிகளின் எண்ணிக்கை 24 ஆகும். அவை கீழே தரப்பட்டுள்ளன. அவற்றுள் 9 மட்டுமே நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்கள் 9 (நீலநிறசாய்வெழுத்துகளில்) மட்டுமே உள்ளதையும், மீதமுள்ள அமைப்புகளில் (சிவப்புநிற தடித்த எழுத்துகளில்) A, B, C, D ஆகிய நான்கு எழுத்துக்களும் அதனதன் இடத்திலேயே மாறாமல் இருப்பதையும் காணலாம்:  
:{|  
|<span>ABCD</span>,  
|<span>AB</span>DC,  
|<span>A</span>CB<span>D</span>,  
|<span>A</span>CDB,  
|<span>A</span>DBC,  
|<span>A</span>D<span>C</span>B,  
|-  
|BA<span>CD</span>,  
|<span>BADC</span>,  
|BCA<span>D</span>,  
|<span>BCDA</span>,  
|<span>BDAC</span>,  
|BD<span>C</span>A,  
|-  
|CAB<span>D</span>,  
|<span>CADB</span>,  
|C<span>B</span>A<span>D</span>,  
|C<span>B</span>DA,  
|<span>CDAB</span>,  
|<span>CDBA</span>,  
|-  
|<span>DABC</span>,  
|DA<span>C</span>B,  
|D<span>B</span>AC,  
|D<span>BC</span>A,  
|<span>DCAB</span>,  
|<span>DCBA</span>.  
|}  

## நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை காணல்
- *n* பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றத்தை பின் வரும் எடுத்துக்காட்டாகக் கொள்ளலாம்:

1,&nbsp;2,&nbsp;...,&nbsp;*n* என்ற எண்களிடப்பட்ட *n* நபர்களும் *n* தொப்பிகளும் உள்ளன என்க.  
:இதில் ஒருவர் ஒரு சமயத்தில் ஒரு தொப்பியை மட்டும் எடுக்கலாம் என்றால் அச்செயல் எத்தனை வேறுபட்ட வழிகளில் செய்யப்படலாம் என்பது *n* வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை *n!*  
:மாறாக ஒரு நபர் தனக்களிக்கப்பட்டுள்ள எண்ணுள்ள தொப்பியைத் தவிர பிற தொப்பிகளில் ஒன்றை மட்டுமே எடுக்கலாம் என்றால் அது நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை *!n*  

எண் "1" என்ற நபர் ஒரு தொப்பியை எடுக்கிறார் என்றால் அதனை அவர் *n*&nbsp;&minus;&nbsp;1 வழிகளில் செய்யலாம். ஏனெனில் அவர் "1" எண்ணிடப்பட்ட தொப்பியை எடுக்கக்கூடாது. அவர் எடுத்த தொப்பியின் எண் *i* என்க.  

இப்பொழுது இரு சாத்தியக்கூறுகள் எழுகின்றன:  

1. *i* எண்ணிடப்பட்ட நபர் "1" எண்ணிடப்பட்ட தொப்பியை எடுக்கவில்லை.  
:இந்நிலையில் இது *n*&nbsp;&minus;&nbsp;1 நபர்கள் மற்றும் *n*&nbsp;&minus;&nbsp;1 தொப்பிகள் அடங்கிய நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றமாக அமைகிறது. (ஒவ்வொரு நபருக்கும் ஒரு வாய்ப்பு தடுக்கப்படுகிறது (எடுத்துக்காட்டாக *i*' நபருக்கு தொப்பி எண் 1 தடுக்கப்பட்டுள்ளது).  
2. *i* நபர் தொப்பி எண் "1" ஐ எடுக்கிறார்.  
:இந்நிலையில் இது *n*&nbsp;&minus;&nbsp;2 நபர்கள் மற்றும் *n*&nbsp;&minus;&nbsp;2 தொப்பிகளின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றக் கணக்காக அமைகிறது..  

இவ்விரு சாத்தியக்கூறுகளில் ஏதேனுமொன்று நிகழும் என்பதால் *n* நபர்கள் மற்றும் *n* தொப்பிகளின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கையின் மதிப்பு:  
:<math>!n = (n - 1) (!(n-1) + !(n-2)).\,</math>  
:இதில் துவக்க மதிப்புகள்: !0&nbsp;=&nbsp;1 மற்றும் !1&nbsp;=&nbsp;0 எனக் கொள்ளப்படுகிறது.  

- *n* பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றத்திற்கு பின்வரும் வாய்ப்பாடுகளுமுள்ளன:
:<math>!n = n! \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{i!},</math>  
:<math>!n = \[ \frac{n!}{e} \] = \\lfloor\frac{n!}{e}+\frac{1}{2}\\rfloor, \quad n\geq 1</math>  
இதில் <math>\[x\]</math> அண்மை முழுஎண் சார்பு, <math>\\lfloor x \\rfloor</math> தரைச் சார்பு.  
:<math>!n = \\lfloor(e+e^{-1})n!\\rfloor-\lfloor en!\rfloor , \quad n\geq 2,</math>  
:<math>!n = n! - \sum_{i=1}^n {n \choose i} \cdot !(n-i),</math>  

- *n* பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றத்திற்கு மீளும் வாய்ப்பாடு:
:<math>!n = n \( !(n-1) \ ) + (-1)^n</math>  

- *n*&nbsp;=&nbsp;0, எனத் துவக்கம் கொள்ள, *n* பொருட்களின் நிலைத்தபுள்ளிகளற்ற வரிசைமாற்றங்களி எண்ணிக்ககை::

:1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, ... .