# திசையன் இயற்கணிதத் தொடர்புகள்

யூக்ளிடின் முப்பரிமாண வெளியில் அமையும் திசையன்களுக்கு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள **திசையன் இயற்கணிதத் தொடர்புகள்** (*vector algebra relations*) பொருந்தும். இத்தொடர்புகளில் சில, மூன்றுக்கும் மேற்பட்டப் பரிமாணங்களில் அமையும் திசையன்களுக்கும் பொருந்திவரும். ஆனால் அனைத்துத் தொடர்புகளுக்கும் இது பொருந்தாது. எடுத்துக்காட்டாக, இரு திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கல் எல்லா உயர்ப் பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தாது.  

## அளவுகள்

ஒரு திசையன் **A** -ன் **அளவு** (*magnitude*) பித்தாகரசு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான மூன்று திசைகளில் அமையும் அதன் கூறுகளினால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:  

:<math>\|\mathbf A \|^2 = A_1^2 + A_2^2 +A_3^2 \ </math>  

ஒரு திசையனின் அளவு, புள்ளிப் பெருக்கல் வாயிலாகவும் தரப்படுகிறது:  

:<math>\|\mathbf A \|^2 = (\mathbf {A \cdot A}) \ </math>  

## சமனின்மைகள்
- :<math>\frac{ \mathbf{A \cdot B}}{\|\mathbf A \| \|\mathbf B \|} \le 1 \ </math> -முப்பரிமாண கோஷி-ஷ்வார்ஸ் சமனின்மை.
- :<math>\|\mathbf{A + B}\| \le \| \mathbf{A}\| + \|\mathbf{B}\| </math> -முப்பரிமாண முக்கோண சமனின்மை
- :<math>\|\mathbf{A - B}\| \ge \| \mathbf{A}\| - \|\mathbf{B}\| </math> -முப்பரிமாண நேர்மாறு முக்கோண சமனின்மை.

இங்கு (**A&thinsp;·&thinsp;B**) என்பது **A** மற்றும் **B** திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கலைக் குறிக்கும்.  

## கோணங்கள்

இரு திசையன்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணம் θ, அவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல் மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கலால் வரையறுக்கப்படுகிறது:  

:<math>\sin \theta =\frac{ \mathbf{A \times B}}{\|\mathbf A \| \|\mathbf B \|} \ \ ( -\pi < \theta \le \pi ) </math>  

வலது-கை விதிப்படி, θ -ன் நேர்ம மதிப்பிற்கு, **B** ஆனது **A** -லிருந்து கடிகாரத்திசைக்கு எதிராகவும், எதிர்ம மதிப்பிற்கு கடிகாரதிசையிலும் அமையும்.  

:<math>\cos \theta = \frac{ \mathbf{A \cdot B}}{\|\mathbf A \| \|\mathbf B \|} \ \ ( -\pi < \theta \le \pi )</math>  

இங்கு **A&thinsp;×&thinsp;B** என்பது **A** மற்றும் **B** திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கலைக் குறிக்கும்.  

பித்தாகரசின் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்த:  

:<math>\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\!</math>  

:<math> \|\mathbf{A \times B}\|^2 +(\mathbf{A \cdot B})^2 = \|\mathbf A \|^2 \|\mathbf B \|^2 </math>  

திசையன் **A** = (*A<sub>x</sub>, A<sub>y</sub>, A<sub>z</sub>*) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமையும் மூன்று ஆயஅச்சுகள் *x-*, *y-* மற்றும் *z* -க்களுடன் உண்டாக்கும் கோணங்கள் முறையே α, β, γ எனில்:  

:<math> \cos \alpha = \frac{ A_x }{ \sqrt {A_x^2 +A_y^2 +A_z^2} } = \frac {A_x} {\| \mathbf A \|} \ , </math>  

:<math> \cos \beta = \frac{ A_y }{ \sqrt {A_x^2 +A_y^2 +A_z^2} } = \frac {A_y} {\| \mathbf A \|} \ , </math>  

:<math> \cos \gamma = \frac{ A_z }{ \sqrt {A_x^2 +A_y^2 +A_z^2} } = \frac {A_z} {\| \mathbf A \|} \ , </math>  

இதிலிருந்து:  

:<math>\mathbf A = \|\mathbf A \|\( \cos \alpha \ \hat{\mathbf i} + \cos \beta\ \hat{\mathbf j} + \cos \gamma \ \hat{\mathbf k} \) \ ,</math>  

இங்கு <math>\hat{\mathbf i}, \ \hat{\mathbf j}, \ \hat{\mathbf k}</math> மூன்றும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட மூன்று ஆயஅச்சுகளின் திசையில் அமைந்த அலகுத்திசையன்களாகும்.  

## பரப்பும் கனஅளவும்

*A* மற்றும் *B* திசையன்களை அடுத்துள்ள பக்கங்களாகக் கொண்ட ஒரு இணைகரத்தின் பரப்பு Σ :  

:<math> \Sigma = AB \ \sin \theta \ , </math>  

இங்கு θ - *A* மற்றும் *B* திசையன்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணம்.  

:<math>\Sigma = \|\mathbf { A \times B } \| = \sqrt{ \|\mathbf A\|^2 \|\mathbf B\|^2 -(\mathbf{A \cdot B} )^2} \ . </math>  

இதன் வர்க்க மதிப்பு:  
:<math>\Sigma^2 = (\mathbf{A \cdot A })(\mathbf{B \cdot B })-(\mathbf{A \cdot B })(\mathbf{B \cdot A }) \ , </math>  

இதேபோல **A**, **B** மற்றும் **C** -திசையன்களால் அமையும் ஒரு இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவின் வர்க்கம்:  
: <math>(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times (\mathbf{C} \times \mathbf{D}) = [\mathbf{A},\mathbf{B}, \mathbf{D}]\mathbf{C}-[\mathbf{A},\mathbf{B}, \mathbf{C}]\mathbf{D}=  
[\mathbf{A},\mathbf{C}, \mathbf{D}]\mathbf{B}-[\mathbf{B}, \mathbf{C},\mathbf{D}]\mathbf{A}</math>  

இங்கு [**A, B, C**] என்பது திசையிலி முப்பெருக்கம் **A · (B × C)** -ஐக் குறிக்கும்.  

- **A, B, C** என்பன ஒரே கோட்டில் அமையாத தரப்பட்ட மூன்று திசையன்கள் எனில், ஏதேனும் ஒரு திசையன் **D** பின்வருமாறு தரப்படும்:
:<math>\mathbf D = \frac{\mathbf{D \cdot (B \times C)}}{[\mathbf {A,\ B, \ C}]}\ \mathbf A +\frac{\mathbf{D \cdot (C \times A)}}{[\mathbf {A,\ B, \ C}]}\ \mathbf B + \frac{\mathbf{D \cdot (A \times B)}}{[\mathbf {A,\ B, \ C}]}\ \mathbf C \ .</math>