# வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு


கணிதத்தில் ஒரு சார்பின் **வீச்சு** (Range) என்பது அச்சார்பின் எல்லா வெளியீடுகளின் கணமாகும். இதையே சார்பின் **எதிருரு** (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. எதிருருவின் ஒருவித மறுதலை **முன்னுரு**. சரியான வரையறைகளைக் கீழே பார்க்கலாம்.  

## துல்லியமான வரையறை

<math>f\colon A\rightarrow B</math> என்ற சார்பை நோக்குக.  

:<math>f</math> வழியாக A யிலுள்ள ஒவ்வொரு <math>x</math> க்கும் அதன் **எதிருரு** என்பது, <math>B</math> இல் <math>f</math> இனால் <math>x</math> உடன் தனிப்படியாக உறவுண்டாக்கப்பட்ட (associated) ஒரு உறுப்பு. அது <math>f(x)</math> என்ற குறியீட்டினால் குறிக்கப்படும்.  

:<math>f(A) := \{ f(x) \mid x \in A\}</math> என்ற கணத்திற்கு <math>f</math> இன் **வீச்சு** என்று பெயர்.இதையே <math>f</math> இன் **எதிருரு** (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. அதனாலேயே <math>Im(f)</math> என்ற குறியீடும் பழக்கத்திலிருக்கிறது. எனினும் இந்தக்குறியீட்டை கவனமாகப் பயன்படுத்தவேண்டும். ஏனென்றால் சில பழைய நூல்களில் <math>Im(f)</math> என்ற குறியீடு <math>f</math> இன் இணையாட்களத்தைக் குறித்தது.  
: <math>f</math> இன் எதிருருக்காக ஐயமறப் பயன்படுத்தப்படக்கூடியது <math>R(f)</math> என்ற குறியீடு. <math>R(f)</math> ஐ <math>f</math> இன் வழியாக <math>A</math> இன் எதிருரு என்றும் சொல்லலாம். குறியீடு <math>Im_f[A]</math>. சூழ்நிலையிலிருந்து <math>f</math> தெரிந்துகொள்ளப்படின், <math>Im[A]</math> என்றே எழுதலாம். ஐயமேற்பட வாய்ப்பில்லாத பொழுது, இதையும் எளிதாக <math>Im(A)</math> என்று எழுதுவதும் உண்டு.  

<math>f</math> இன் இணையாட்களம் <math>B</math> என்ற கணம்.  

## முன்னுரு

<math>f\colon A\rightarrow B</math> என்று கொள்க.  

### எதிருருவே ஒரு கோப்பு

:<math>Im(f</math>) என்பது <math> A</math> இலுள்ள ஒவ்வொரு உட்கணம் <math>X</math> ஐயும் <math>Im_f(X)= Y</math> என்ற (<math>B</math> இன்) ஒரு உட்கணத்திற்கு எடுத்துச்செல்கிறது. இதனால் <math>Im(f</math>) ஐ <math>A</math> இனுடைய அடுக்குக்கணத்திலிருந்து (Power Set of A), <math>B</math> இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பு அல்லது கோப்பாகக்கொள்ளலாம். குறியீடுகளில் சொன்னால்,  

:<math>Im(f)\colon 2^A \rightarrow 2^B</math> : வரையறை: <math>(Im(f))(X) = Im_f(X)</math>  

### முன்னுருவின் வரையறை

ஒவ்வொரு <math>Y \subseteq B</math> க்கும் அதனுடைய **முன்னுரு** (Pre-image or Inverse image) என்பது  

:*f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>*Y* = {*x* ∈ *A* | *f*(*x*) ∈ *Y*}  

என்று வரையறுக்கப்பட்ட (A இன்) உட்கணம்.  

:Y = {y} ஓர் ஓருறுப்புக்கணமாக இருக்குமானால் *f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>{*y*}, ஒரு **நார்** (fibre/fiber) எனப்படும்.  

மேலும், குழப்பத்திற்கு வாய்ப்பு இல்லாவிட்டால்,, <math>f</math><sup>&nbsp;&minus;1</sup>*Y* ஐ <math>f</math> <sup>&nbsp;&minus;1</sup>(*Y*) என்று எழுதி, *f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup> ஐ <math>B</math> இன் அடுக்குக்கணத்திலிருந்து <math>A</math> இன் அடுக்குக்கணத்திற்குப்போகும் ஒரு சார்பாகக் கொள்ளலாம். <math> f</math><sup>&nbsp;&minus;1</sup> ஐ நேர்மாறுச் சார்புடன் குழப்பிக் கொள்ளக்கூடாது. <math>f</math> ஒரு இருவழிக் கோப்பாக இருந்தால் தான் இரண்டும் ஒன்றாகும்.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்

:* <math>f\colon</math> **R**<math>\rightarrow </math> **R** : <math>f(x) = x^2</math>  

:*f* இன் வீச்சு = **R**<sup>+</sup> = <math>\{f(x) : 0\leq f(x)<\infty\}</math> = [0, <math>\infty</math>)  

:{-2,3} இன் எதிருரு: *f*({-2,3}) = {4,9},  
:{4,9} இன் முன்னுரு : *f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>({4,9}) = {-3,-2,2,3}.  

:* <math>g\colon</math> **R**<math>\rightarrow</math> **R** : <math>g(x) = 2x</math>  

: *g* இன் வீச்சு, இணையாட்களம், இரண்டுமே **R** தான்.  

:* <math> h\colon</math> **Z** <math>\to</math> **Z** : <math>h(x)\ := x^2</math> (படிமம் பார்க்க)  
இச்சார்புக்கு  
:<math>h(\{0, 1, 2, 3 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\ </math>  
:<math>h(\{ -3, -2, -1, 0 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\ </math>  
:<math>h(\{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 \}) = \{0, 1, 4, 9 \}\ </math>  
:<math> R(h) = \operatorname{im} h = \{ 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... \}\ </math>  

:* <math>f: \{1,2,3\} \rightarrow \{a,b,c,d\}</math>. வரையறை:  

:<math>f(x) = \begin{cases}  
a &\text{x=1}\\  
d &\text{x=2}\\  
c &\text{x=3}  
\end{cases}</math>  

: <math>f</math> வழியாக, {2,3) இன் எதிருரு :*f*({2,3}) = {*d,c*},  
: <math>f</math> இன் வீச்சு :{ <math>a,d,c</math>}  
: {<math>a,c</math>} இன் முன்னுரு: *f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>({*a,c*}) = {1,3}.  

:* *f*: **R**<sup>2</sup> → **R** : வரையறை:*f*(*x*, *y*) = *x*<sup>2</sup> + *y*<sup>2</sup>.  

:*f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>({*a*})என்ற நார்களை மூன்று விதமாகச் சொல்லவேண்டும்.  

: *a* > 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் தொடக்கப்புள்ளியைச்சுற்றி பொதுமையவட்டங்கள்;  
: *a* = 0 வாக இருக்குமானால். நார் வெறும் தொடக்கப்புள்ளியைக்கொண்ட ஓருறுப்புக்கணம்;  
: *a* < 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் வெற்றுக்கணங்களே.  

## விளைவுப் பண்புகள்

*f*: *A* → *B* ஒரு சார்பு என்றும் *X* , *Y* இரண்டும் *A* இன் உட்கணங்கள் என்றும் * M* , *N* இரண்டும் *B* இன் உட்கணங்கள் என்றும் கொண்டால்,  
- <math>f(\varnothing) = \varnothing</math>
- <math>f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y)</math>
- <math>f(X \cap Y) \subseteq f(X) \cap f(Y)</math>. இங்கு, <math>f</math> ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், சமன்பாடு உண்மையாகும்.
- <math>X \subseteq Y \Rightarrow f(X) \subseteq f(Y)</math>
- <math>f</math> ஒரு முழுக்கோப்பு <math>\Longleftrightarrow</math> <math>\operatorname{im} f = B</math>.
- *f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(*M*&nbsp;∪&nbsp;*N*)&nbsp;= *f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(*M*)&nbsp;∪&nbsp;*f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(*N*)
- *f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(*M*&nbsp;∩&nbsp;*N*)&nbsp;= *f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(*M*)&nbsp;∩&nbsp;*f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(*N*)
- *f*(*f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(*M*))&nbsp;⊆&nbsp;*M*
- *f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(*f*(*X*))&nbsp;⊇&nbsp;*X*
- *M* ⊆ *N* <math>\Rightarrow</math> *f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(*M*) ⊆ *f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(*N*)
- *f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(*M*<sup>C</sup>) = (*f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(*M*))<sup>C</sup>
- (*f*&nbsp;|<sub>*X*</sub>)<sup>&minus;1</sup>(*M*) = *X* ∩ *f*<sup>&nbsp;&minus;1</sup>(*M*).

இரண்டு உட்கணங்களின் ஒன்றிப்பு, வெட்டு இவற்றைப்பற்றிய மேற்படி பண்புகளை, உட்கணங்களின் எந்தக் கூட்டத்திற்கும் உண்மை என்று கொள்ளலாம்.