# சைன் விதி

**சைன் விதி** எனப்படுவது திரிகோண கணிதத்திலும் ஏனைய முக்கிய கணிப்புக்களிலும் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு விதியாகும். இது முக்கோணமொன்றின் பக்கங்களுக்கும், அதன் கோணங்களின் சைன் பெறுமதிகளுக்கும் இடையிலான தொடர்பைக் காட்டுகிறது.  

## விதி

யாதுமொரு முக்கோணி ABCயில்,  
:<math> \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} </math> ஆகும்.  

## நிறுவல்
### கூர்ங்கோண முக்கோணி

இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரம் hஐச் சமப்படுத்தினால்,  
:<math> asinB=bsinA </math>  

ஆகவே,  
:<math> \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,</math>  

*A* உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால்  
:<math> csinB=bsinC </math>  

ஆகவே,  
:<math> \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C}\,</math>  

இவை இரண்டையும் இணைத்தால்  
:<math> \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} </math> என முழுமையான சைன் விதி நிறுவப்படும்.  

### விரிகோண முக்கோணி

இம்முக்கோணியில் செங்குத்துயரத்தைச் சமப்படுத்தினால்,  
:<math> asin(180-B)=bsinA </math>  
:<math> asinB=bsinA </math>  

ஆகவே,  
:<math> \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,</math>  

*A* உச்சியிலிருந்து செங்கோடு வரைந்து அதன் மதிப்புகளை இதே வகையில் கண்டறிந்து சமப்படுத்தினால்  
:<math> csinB=bsinC </math> எனக் கிடைக்கும்.  

ஆகவே,  
:<math> \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C}\,</math>  

இவை இரண்டையும் இணைத்தால்  
:<math> \frac{a}{\sin A} \,=\, \frac{b}{\sin B} \,=\, \frac{c}{\sin C} </math> என முழுமையான சைன் விதி விரிகோண முக்கோணத்துக்கும் நிறுவப்படும்.  

## சுற்றுவட்டத்துடன் தொடர்பு

<math display="block"> \frac{a}{\sin{\alpha}} = \frac{b}{\sin{\beta}} = \frac{c}{\sin{\gamma}},</math> என்ற முற்றொருமையின் மூன்று சமவிகிதங்களின் பொதுமதிப்பு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் விட்டத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். இந்த முடிவு கணிதவியலாளர் தொலெமி காலத்திலேயே அறியப்பட்டிருந்தது.  

### நிறுவல்
<math> \triangle ABC</math> இன் சுற்றுவட்டம் வரையப்பட்டுள்ளது. சுற்றுவட்ட மையம் **O** வழிச் செல்லும் முக்கோணம் <math> \triangle ADB</math> இன் சுற்றுவட்டமாகவும் இதே வட்டம் உள்ளது.  
:<math> \angle ABD = 90^\circ</math> (அரைவட்டக் கோணம்)  
இப்போது <math> \triangle ABD</math> முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம். எனவே  
:<math display="block"> \sin{\delta}= \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}= \frac{c}{2R},</math> <math> R= \frac{d}{2}</math> = சுற்றுவட்ட ஆரம் தொடர்பு வாய்பாட்டிலிருந்து பதிலிட:  
:<math display="block">T=\frac{1}{2}ab \cdot \frac {c}{2R}.</math>  
:  

இதிலிருந்து மேலும் பெறக்கூடிய வாய்பாடுகள்:  
:<math display="block">\begin{align}  
\frac{abc} {2T}  
& = \frac{abc} {2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} \\[6pt]  
& = \frac {2abc} {\sqrt,  
\end{align}</math>; = முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, <math display="inline">s = \frac{a+b+c}{2}.</math> = முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு  

இரண்டாவது வாய்பாட்டை முக்கோணப் பரப்பளவுக்கான ஈரோனின் வாய்பாடாக சுருக்கலாம்.  

சைன் விதியைக் கொண்டு கீழ்வரும் முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாட்டைப் பெறலாம்:  
<math display="inline">S =\frac {\sin A + \sin B + \sin C}{2}</math> = முக்கோணத்தின் கோணங்களின் சைன்மதிப்புகளின் அரைக்கூட்டுத்தொகை என்க. இப்பொழுது முக்கோணப் பரப்பளவிற்கான வாய்பாடு:  

. (<math>R</math> முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம்; <math display="inline">2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}</math>.)  

## கோள சைன் விதி
ஒரு கோளத்தின் பெருவட்டங்களின் விற்களைப் பக்கங்களாகக் கொண்டு அக்கோளத்தின் மீதமையும் முக்கோணங்கள் கோள முக்கோணங்களாகும்.  

ஓரலகு ஆரமுள்ள கோளத்தின் மீதமைந்த முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் , , எனில் இம்மூன்று அளவுகளும் முக்கோணத்தின் அமையும் மூன்று பெருவட்ட விற்களானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோண அளவுகளாக (ரேடியனில்) இருக்கும். இம்மூன்று பக்கங்களுக்கும் எதிருள்ள உச்சிக்கோணங்கள் முறையே , , எனில் கோள சைன்விதி:  
:<math>\frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}.</math>  

கோள முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் கோளத்தின் ஆரத்தைவிட மிகச் சிறியதாக இருக்கும்போது இவ்விதியானது கிட்டத்தட்ட தள முக்கோணவியலின் சைன் விதியை ஒத்திருக்கும்.  

### நிறுவல்
சைன் விதியின் நிறுவல் கீழுள்ளவாறு டோதுந்தேரின் நூலில் உள்ளது. (Art.40).  

:<math>\sin^2 A=1-\cos^2 A</math> முற்றொருமையில் கோள கொசைன் விதியிலிருந்து பெறப்பட்ட <math>\cos A</math> மதிப்பைப் பதிலிட:  

:<math>  
\begin{align}  
\sin^2 A &=1-\(\frac{\cos a - \cos b \cos c}{\sin b \sin c}\)^2\\[5pt]  
&  
=\frac{(1-\cos^2 b)(1-\cos^2 c)-(\cos a - \cos b\cos c)^2}  
{\sin^2\!b \,\sin^2\!c}\\[5pt]  
\frac{\sin A}{\sin a}&=\frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}.  
\end{align}</math>  
இம்முடிவின் வலப்பக்க மதிப்பில் <math>a,\;b,\;c</math> இன் வட்ட வரிசைமாற்றத்தால் எந்தவொரு மாற்றமும் இருக்காது. எனவே  
:<math>\frac{\sin B}{\sin b} = \frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}</math>.  
:<math>\frac{\sin C}{\sin c} = \frac{[1-\cos^2\!a-\cos^2\!b-\cos^2\!c+2\cos a\cos b\cos c]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}</math>.  

:ஃ<math>\frac{\sin A}{\sin a}=\frac{\sin B}{\sin b}=\frac{\sin C}{\sin c}.</math> என நிறுவப்படுகிறது.  

### திசையன் நிறுவல்
அலகு கோளத்தின் மையம் இலிருந்து முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கு வரைப்பட்ட திசையன்கள்: , , . BC வில்லானது கோளமையத்தில் தாங்கும் கோணத்தின் அளவு *a*. **OA** ஐ *z*-அச்சிலும், *xz*-தளத்தில் **OB** ஆனது *z*-அச்சுடன் உருவாக்கும் கோணம் *c* எனவும் கொண்டு ஒரு கார்ட்டீசியன் அடுக்களத்தை எடுத்துக்கொள்ள, *xy*- தளத்தில் **OC** இன் வீழல் ON ஆகவும், ON, *x*-அச்சுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் *A* ஆகவும் இருக்கும். எனவே **OA**, **OB**, **OC** திசையன்களின் கூறுகள் பின்னுள்ளவாறு அமையும்:  
:<math display="block">\mathbf{OA} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}, \quad  
\mathbf{OB} = \begin{pmatrix}\sin c \\ 0 \\ \cos c\end{pmatrix}, \quad  
\mathbf{OC} = \begin{pmatrix}\sin b\cos A \\ \sin b\sin A \\ \cos b\end{pmatrix}.</math>  

திசையிலி முப்பெருக்க அணிக்கோவையின் வர்க்கம் காண:  
<math display="block"> \begin{align}  
\bigl(\mathbf{OA} \cdot (\mathbf{OB} \times \mathbf{OC})\bigr)^2  
& = \(\det \begin{pmatrix}\mathbf{OA} & \mathbf{OB} & \mathbf{OC}\end{pmatrix}\)^2 \\[4pt]  
& = \begin{vmatrix}  
0 & 0 & 1 \\  
\sin c & 0 & \cos c \\  
\sin b \cos A & \sin b \sin A & \cos b  
\end{vmatrix} ^2  
= \(\sin b \sin c \sin A\)^2.  
\end{align}</math>  

திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் மதிப்பு, திசையன்களை ஒருமுனை விளிம்புகளாகக் கொண்ட இணைகரத்திண்மத்தின் கனவளவுக்குச் சமம். மேலும் , , திசையன்களைக் குறிக்க எடுத்துக்கொள்ளும் ஆயமுறையைப் பொறுத்து இந்த கனவளவு மாறாத அளவாக இருக்கும். எனவே  

-அச்சை வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையன் முப்பெருக்கம் கண்டுபிடித்தால் எனவும், -அச்சை வழியாக எடுத்துக்கொண்டு திசையிலி முப்பெருக்கம் காண எனவும் கிடைக்கும். மூன்று விடைகளையும் சமப்படுத்தி, ஆல் வகுக்க:  
<math display="block">  
\frac{\sin^2 A}{\sin^2 a}  
= \frac{\sin^2 B}{\sin^2 b}  
= \frac{\sin^2 C}{\sin^2 c}  
= \frac{V^2}{\sin^2 (a) \sin^2 (b) \sin^2 (c)},  
</math>  
இதிலிருந்து சைன்விதியின் வாய்பாட்டைப் பெறலாம்.  

### வடிவவியல் நிறுவல்
- கோளத்தின் ஆரம் ஓரலகு எனில், <math display="block">OA = OB = OC = 1</math>:

- <math>\angle ADO = \angle AEO = 90^\circ</math> என்றவாறு <math>D,</math> <math>E</math> புள்ளிகளை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

- <math>\angle A'DO = \angle A'EO = 90^\circ</math> என்றவாறு <math>A'</math> புள்ளியை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.

- இதிலிருந்து <math>\angle ADA' = B,</math> <math>\angle AEA' = C</math> ஆக இருக்கும்.

- <math>A'</math> ஆனது, <math>OBC</math> தளத்தில் <math>A</math> இன் வீழலாகும். எனவே:
:<math>\angle AA'D = \angle AA'E = 90^\circ</math>  

- முக்கோணவியலின் அடிப்படைப் பண்புகளின்படி:
:<math display="block">AD = \sin c </math>  
:<math display="block">AE = \sin b</math>  

- ஆனால் <math>AA' = AD \sin B = AE \sin C </math>

- இவற்றை இணைக்க:
<math display="block">\sin c \sin B = \sin b \sin C</math>  
<math display="block">\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} </math>  

- இதேபோன்று மற்ற உச்சிகளுக்கும் பெறப்படும் முடிவுகளைக் கொண்டு முழுமையான சைன் விதியைப் பெறலாம்:
<math display="block">\frac{\sin A}{\sin a} =\frac{\sin B}{\sin b} =\frac{\sin C}{\sin c} </math>