# ஆற்றல்மிகு எண்

மூலம் 1, 4, 8, 9 ஆகியவை ஆற்றல்மிகு எண்களென விளக்கும் படம்.]]  
**ஆற்றல்மிகு எண்** (*powerful number*) என்பது, ஒரு பகா எண்ணையும் அப்பகாஎண்ணின் வர்க்கத்தையும் வகுஎண்களாகக் கொண்ட நேர் முழு எண் ஆகும். அதாவது *m* என்ற நேர் முழுஎண் ஆற்றல்மிகு எண் எனில், அதனை வகுக்கும் ஒவ்வொரு பகாஎண் *p* க்கும், *p*<sup>2</sup>ம் *m* ஐ வகுக்கும்.  

இதற்குச் சமானமாக, ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்ணானது, ஒரு வர்க்க எண் மற்றும் ஒரு கன எண்ணின் பெருக்கமாக அமையும் எனவும் வரையறுக்கப்படுகிறது. அதாவது, ஆற்றல்மிகு எண் *m*  
:*m* = *a*<sup>2</sup>*b*<sup>3</sup>, (*a*, *b* நேர் முழுஎண்கள்) வடிவில் அமையும்.  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  

- 4 இன் பகாக்காரணி 2 மற்றும் அதன் வர்க்கம் 4=2<sup>2</sup> இரண்டுமே நான்கின் வகுஎண்களாக உள்ளதால் **4** ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்.
- பகாக்காரணிகள் 2, 3 ம் மற்றும் அவற்றின் வர்க்கங்கள் 4=2<sup>2</sup>, 9=3<sup>2</sup> நான்குமே 36இன் வகுஎண்களாக உள்ளதால் **36** ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்.

இரண்டாவது வரையறைப்படி, ஆற்றல்மிகு எண்ணின் பொதுவடிவம்:  
:*m* =*a*<sup>2</sup>*b*<sup>3</sup>, ( *a*, *b* நேர் முழுஎண்கள்)  
:4 = 2<sup>2</sup> x 1<sup>3</sup>  
:36 = 6<sup>2</sup> x 1<sup>3</sup>  
:200= 25 x 8 = 5<sup>2</sup> x 2<sup>3</sup>  

1 முதல் 1000 வரையுள்ள ஆற்றல்மிகு எண்களின் பட்டியல்:  
:1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000 .  

## இரு வரையறைகளின் சமானத்தன்மை

:::;*m* = *a*<sup>2</sup>*b*<sup>3</sup> எனில்:  
- *a* இன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியும் *m* இன் பகாக்காரணியாக்கத்தில் குறைந்தபட்சம் 2 அடுக்கினைக் கொண்டிருக்கும்;
- அதேபோல *b* இன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியும் *m* இன் பகாக்காரணியாக்கத்தில் குறைந்தபட்சம் 3 அடுக்கினைக் கொண்டிருக்கும்;
- இதிலிருந்து *m* இன் ஒவ்வொரு பகாக்காரணியும் குறைந்தபட்சம் அடுக்கு 2ஐக் கொண்டிருக்கும் என அறியலாம். அதாவது *m* ஐ வகுக்கும் ஒவ்வொரு பகாஎண்ணின் வர்க்கமும் *m* ஐ வகுக்கும், எனவே *m* ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்ணாகிறது.

:144000 = 12<sup>2</sup> x 10<sup>3</sup>  
:12 இன் பகாக்காரணியாக்கம் = 2<sup>2</sup> x 3  
:10 இன் பகாக்காரணியாக்கம் = 2 x 5  
:144000 இன் பகாக்காரணியாக்கம் =2<sup>7</sup> x 3<sup>2</sup> x 5<sup>3</sup>  

14400 இன் பகாக்காரணிகளான 2, 3, 5 இன் வர்க்கங்களும் அதன் காரணிகளாக உள்ளன; அதாவது 144000ஐ வகுக்கும் ஒவ்வொரு பகாஎண்ணின் வர்க்கமும் 144000ஐ வகுக்கும் என்பதால் 12<sup>2</sup> x 10<sup>3</sup> வடிவிலமையும் 144000 ஒரு ஆற்றல்மிகு எண்ணாகிறது  

:::;*m* ஆற்றல்மிகு எண் எனில்:  
*m* இன் பகாக்காரணியாக்கம்:  
:<math>m = \prod p_i^{\alpha_i},</math> , α<sub>i</sub> ≥ 2  

α<sub>i</sub> ஒற்றையெண் எனில் γ<sub>i</sub> = 3 எனவும் மற்றபடி γ<sub>i</sub> = 0 எனவும்,  
:<math>\beta_i =\alpha_i - \gamma_i </math> எனவும் வரையறுத்தால், β<sub>i</sub> இன் மதிப்புகள் அனைத்தும் எதிரில்லா இரட்டை முழுஎண்களாக இருக்கும்.  

:<math>m =\prod p_i^{\alpha_i} = \prod p_i^{\beta_i + \gamma_i} = (\prod p_i^{\beta_i})(\prod p_i^{\gamma_i}) = (\prod p_i^{\beta_i/2})^2(\prod p_i^{\gamma_i/3})^3</math>  

எனவே ஆற்றல்மிகு எண்ணான *m* , ஒரு வர்க்கஎண் மற்றும் கனஎண்ணின் பெருக்க வடிவிலுள்ளது.  

எனவே இருவிதமான வரையறைகளின் சமானத்தன்மை நிறுவப்படுகிறது.  

## அடுத்தடுத்த எண்களாய் அமையும் ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகள்
அடுத்தடுத்த எண்களாய் அமையும் ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகள்:  
:(8, 9), (288, 289), (675, 676), (9800, 9801), ... (Sloane's A060355 and A118893)  

*x*<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;8*y*<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;1 என்ற பெல்லின் சமன்பாட்டிற்கு முடிவிலா முழுஎண்கள் தீர்வுகள் இருப்பதால், அடுத்தடுத்த ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகளும் முடிவிலா எண்ணிக்கையில் உள்ளன (Golomb, 1970). மேலும் பொதுவாக,  

*x*<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;*ny*<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;±1 (*n* ஏதேனுமொரு கனஎண்) என்ற பெல்லின் சமன்பாட்டினைத் தீர்ப்பதன் மூலம் ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகளைக் காணலாம். இவ்வாறு பெறப்படும் ஒவ்வொரு ஆற்றல்மிகு எண்சோடியிலும் ஒரு எண் முழுவர்க்கமாக இருக்கும்.  

இரண்டில் எந்த எண்ணும் முழுவர்க்க எண்ணாக இல்லாத ஆற்றல்மிகு எண்சோடிகள் (23<sup>3</sup>, 2<sup>3</sup>3<sup>2</sup>13<sup>2</sup>) முடிவிலா எண்ணைக்கையில் உள்ளனவா என்ற கேள்வி கணிதவியலாளர் ஏர்டோசுவால் எழுப்பப்பட்டு, 3<sup>3</sup>c<sup>2</sup>+1=7<sup>3</sup>d<sup>2</sup> என்ற சமன்பாட்டின் முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான தீர்வுகள் அவ்வாறு அமைகின்றன என கணிதவியலாளர் ஜாரொஸ்லா வ்ரொபிலெஸ்கியால் (Jaroslaw Wroblewski)) நிறுவப்பட்டது. அடுத்தடுத்தமையும் தொடர்ச்சியான மூன்று ஆற்றல்மிகு எண்கள் கிடையாதென கணிதவியலாளர்களான ஏர்டோசு, மோலின், வால்ஷ் ஆகியோரின் அனுமானம் கூறுகிறது.  

## பொதுமைப்படுத்தல்
ஒரு நேர் முழுஎண்ணின் அனைத்துப் பகாஎண்காரணிகளும் குறைந்தபட்சம் *k* அடுக்குடையதாய் இருந்தால் அந்த எண் *k*-ஆற்றல்மிகு எண் (*k*-powerful number, *k*-ful number, *k*-full number) என்றழைக்கப்படும்.  

:(2<sup>*k*+1</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1)<sup>*k*</sup>,&nbsp;&nbsp;2<sup>*k*</sup>(2<sup>*k*+1</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1)<sup>*k*</sup>,&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2<sup>*k*+1</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1)<sup>*k*+1</sup>-இவை மூன்றும் கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமையும் *k*-ஆற்றல்மிகு எண்கள் ஆகும்.  

*a*<sub>1</sub>, *a*<sub>2</sub>, ..., *a*<sub>*s*</sub> என்பவை கூட்டுத் தொடரில் அமையும் *k*-ஆற்றல்மிகு எண்கள். இத்தொடரின் பொதுவித்தியாசம் *d* எனில்:  
:*a*<sub>1</sub>(*a*<sub>*s*</sub> + *d*)<sup>*k*</sup>, &nbsp;&nbsp;  
*a*<sub>2</sub>(*a*<sub>*s*</sub>&nbsp;+&nbsp;*d*)<sup>*k*</sup>, ..., *a*<sub>*s*</sub>(*a*<sub>*s*</sub>&nbsp;+&nbsp;*d*)<sup>*k*</sup>, (*a*<sub>*s*</sub>&nbsp;+&nbsp;d)<sup>*k*+1</sup>  

ஆகிய *s* + 1 எண்கள் கூட்டுத் தொடரில் அமையும் *k*-ஆற்றல்மிகு எண்கள் ஆகும்.