# எண்களின் முற்றிசைவுப் பகுதிகள்


கணிதத்தின் ஒரு முக்கியப் பிரிவான எண் கோட்பாட்டில் **முற்றிசைவுப்பகுதிகள்** (Congruence classes) என்பது ஒரு அடிப்படைக்கருத்து. 1801 இல் காஸ் என்ற ஜெர்மானியக்கணித வல்லுனர் எழுதிய 'Disquistiones Arithmeticae' என்ற அவருடைய நூலில் விவரிக்கப்பட்டது.  

## வரையறை

<math>a</math> என்பதை ஒரு முழு எண் ணாகவும், <math>n</math> என்பதை ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாகவும் கொள். அப்பொழுது, <math>a</math> (mod <math>n</math>) க்கு சமானமான (பார்க்க: சமானம், மாடுலோ n) எல்லா எண்களின் கணத்திற்கு <math>a</math> (mod <math>n</math>) சமானப்பகுதி (Congruence class of a(mod n)) என்று பெயர். அதற்கு குறியீடு: <math>[a]_n</math>. ஆக,  

- :: <math>[a]_n = \{x \in \mathbf{Z}: x \equiv a(mod n)\}</math>

## முக்கிய விளைவு

கணிதத்தில் 'சமானம்' ( Mathematical Equivalence) என்ற கருத்து நிகழும்போதெல்லாம் எதிர்வு, சமச்சீர் , கடப்பு ஆகிய மூன்று உறவுகளும் அதனில் அடக்கம். பொதுவாக கணிதத்தில் எந்தெந்த கணத்தில் 'சமானம்' இம்முறையில் வரையறுக்கப் படுகிறதோ அங்கெல்லாம் அந்த கணம் சமானப் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும். எடுத்துக்காட்டைப் பார்த்தால் இது நன்கு விளங்கும்.  

## எடுத்துக்காட்டு

7 என்ற மட்டு (modulus)ஒன்றை எடுத்துக்கொள்வோம். மாடுலோ 7 என்ற அடிப்படையில் எல்லா முழு எண்களையும் பிரித்தால் <math>\mathbf{Z}</math> பின்வரும் பகுதிகளாகப் பிரிவினைப்படும்:  

: <math>[0]_7</math> = { ..., -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, ...}  
: <math>[1]_7</math> = { ..., -20, -13, -6, 1, 8, 15, 22, ...}  
: <math>[2]_7</math> = { ..., -19, -12, -5, 2, 9, 16, 23, ...}  
: <math>[3]_7</math> = { ..., -18, -11, -4, 3, 10, 17, 24, ...}  
: <math>[4]_7</math> = { ..., -17, -10, -3, 4, 11, 18, 25, ...}  
: <math>[5]_7</math> = { ..., -16, -9, -2, 5, 12, 19, 26, ...}  
: <math>[6]_7</math> = { ..., -15, -8, -1, 6, 13, 20, 27, ...}  

## முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம்

இப்பொழுது நமக்கு ஒரு புதிய கணம் கிடைத்திருக்கிறது. அதாவது:  
: <math>\{[0]_7, [1]_7, [2]_7, [3]_7, [4]_7, [5]_7, [6]_7\}</math>  
இதை **மாடுலோ 7 முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கணம்** என்று சொல்வோம். குறியீடு <math>\mathbf{Z}_7</math>.  
இதனில் முக்கியமாகக்குறிப்பிடப்படவேண்டியது:  

2 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதி, <math>[2]_7</math>. இதையே 9 இனுடைய முற்றிசைவுப் பகுதியாகவும் சொல்லலாம். அதாவது <math>[2]_7 = [9]_7</math>. உண்மையில் அம்முற்றிசைவுப் பகுதியில் எந்த உறுப்பையும் ஒரு பிரதிநிதியாக எடுத்துக்கொள்ளலாம். இதனால்  
:... <math>[-5]_7 = [2]_7 = [9]_7</math> = .....  
:... <math>[-21]_7 = ... = [0]_7 ....</math>  

இவ்விதமே ஒவ்வொரு முழு எண் n ஐ வைத்தும் ஒரு <math>\mathbf{Z}_n</math> என்ற ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதிகணம் உண்டு பண்ணலாம். இதைச் சுருக்கமாக n-மாடுலோ எண்களின் கணம் (Set of integers modulo n) என்றும் சொல்வதுண்டு.  

இப்பொழுது <math>\mathbf{Z}_n</math> இல் கூட்டல், பெருக்கல் செயலிகளை வரையறுப்போம்.  

### கூட்டல் வரையறை

::<math>[a]_n + [b]_n = [a + b]_n</math>  

அதாவது, இரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஏதாவதொரு உறுப்பை (பிரதிநிதியை) எடுத்து அவைகளைக் கூட்டினால், அந்த கூட்டுத்தொகையின் முற்றிசைவுப் பகுதிதான் அவ்விரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை. ஆக, உதாரணமாக,  
: <math>[2]_7 + [6]_7 = [2 + 6]_7 = [8]_7 = [1]_7</math>  

: <math>[2]_7</math> க்கு பதிலாக, <math>[9]_7</math> ஐயும், <math>[6]_7</math> க்கு பதிலாக <math>[-15]_7</math> ஐயும் எடுத்தாலும்,  
: <math>[9]_7 + [-15]_7 = [9 - 15] = [-6]_7 =[1]_7</math> என்ற அதே விடைதான் வரும்.  

### பெருக்கல் வரையறை

:: <math> [a]_n \times [b]_n = [a \times b]_n</math>  
அதாவது, இரண்டு முற்றிசைவுப்பகுதிகளில் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஏதாவதொரு உறுப்பை (பிரதிநிதியை) எடுத்து அவைகளைப் பெருக்கினால், அந்த பெருக்குத்தொகையின் முற்றிசைவுப் பகுதிதான் அவ்விரண்டு முற்றிசைவுப் பகுதிகளின் பெருக்குத்தொகை. ஆக, உதாரணமாக,  
: <math>[2]_7 \times [6]_7 = [2 \times 6]_7 = [12]_7 = [5]_7.</math>  
: <math>[2]_7</math> க்கு பதிலாக, <math>[9]_7</math> ஐயும், <math>[6]_7</math> க்கு பதிலாக <math>[-15]_7</math> ஐயும் எடுத்தாலும்,  
: <math>[9]_7 \times [-15]_7 = [9 \times (-15)]_7 = [-135]_7 = [-2]_7 = [5]_7</math> என்ற அதே விடைதான் வரும்.  

## சுழி வகுப்பான் சுழி

<math>\mathbf{Z}_n</math> இலுள்ள <math>[a]_n</math> என்ற உறுப்பு (முற்றிசைவுப் பகுதி) பின்வரும் பண்பைப் பெற்றதானால்,  
:: ஏதோ ஒரு முற்றிசைவுப் பகுதி <math>[b]_n</math> க்கு, <math>[a]_n \times [b]_n = [0]_n</math>  
: <math>[a]_n</math> (அதனால் <math>[b]_n</math> ம்) ஒரு **சுழி வகுப்பான் சுழி மாடுலோ n** (Divisor of Zero modulo n) எனப்பெயர் பெறும்.  

எடுத்துக்காட்டாக, <math>[2]_6 \times [3]_6 = [0]_6</math>  
: <math>\therefore [2]_6</math> ம் <math>[3]_6</math> ம் சுழிவகுப்பான் சுழிகள் மாடுலோ 6 ஆகும்.  

## பெருக்கல் நேர்மாறு

<math>[a]_n \times [b]_n = [1]_n</math> ஆக இருக்குமானால்,  
<math>[a]_n</math> ம் <math>[b]_n</math> ம் ஒன்றுக்கொன்று **பெருக்கல் நேர்மாறு** எனப்படும்.  

எடுத்துக்காட்டாக, <math>[3]_7 \times [5]_7 = [1]_7 </math>  
:<math>\therefore [3]_7</math> ம் <math>[5]_7</math> ம் பெருக்கல் நேர்மாறுகளாகும்.  

## சில விளைவுகள்

- ((a, n) = 1 அதாவது, a, n இரண்டுக்கும் 1 ஐத்தவிர வேறு பொதுக் காரணி கிடையாது என்றால், என்றால் தான்,
:[<math>a]_n</math> க்கு ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.  

- <math>\mathbf{Z}_n</math> இலுள்ள சூனியமல்லாத ஓர் உறுப்பு பெருக்கல் நேர்மாறு பெற்றிருக்கும்; அல்லாவிட்டால் அது சுழிவகுப்பான் சுழியாக இருக்கும்.
- <math>n</math> ஒரு நேர்ம முழுஎண் என்றால், பின்வரும் மூன்று வாசகங்களும் சமானம்:
:: <math>n</math> ஒரு பகா எண் (prime number).  
:: <math>\mathbf{Z}_n</math> இல் <math>[0]_n</math> ஐத்தவிர வேறு சுழிவகுப்பான் சுழி இருக்காது.  
:: <math>\mathbf{Z}_n</math> இலுள்ள ஒவ்வொரு சூனியமல்லாத உறுப்புக்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு இருக்கும்.