# தொடர் (கணிதம்)

கணிதத்தில் **தொடர்** (*series*) என்பது, ஒரு தொடர்வரிசையில் உள்ள உறுப்புக்களின் கூட்டல் அல்லது கழித்தலாகும். எண்ணற்ற உறுப்புகளை ஒன்றன்பின் ஒன்றாகக் கூட்டுவதைக் காட்டும் அமைப்பாகக் தொடரைக் கருதலாம். **முடிவுறு தொடர்வரிசை மற்றும் தொடரின்** முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்புக்கள் வரையறுக்கப்படும்; ஆனால் **முடிவுறாத் தொடர்வரிசை மற்றும் தொடர்களில்** உறுப்புக்கள் முடிவிலி எண்ணிக்கையில் இருக்கும்.  

கணித வரைமுறைப்படி, **தொடர்** என்பது கொடுக்கப்பட்ட {&nbsp;*a*<sub>*n*</sub>&nbsp;} எண்களை உறுப்புக்களாகக் கொண்ட முடிவுறா தொடர்வரிசையின் அனைத்து உறுப்புக்களின் கூட்டுதொகையாகும்: *a*<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;*a*<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;*a*<sub>3</sub>&nbsp;+&nbsp;·&nbsp;·&nbsp;·. இதனை இன்னும் சுருக்கமாகக் கூட்டுத்தொகை குறியீடு ∑ மூலம் குறிப்பிடலாம். காட்டாக, செனோவின் முரண்பாடு தீர்வுப்படியும் அதன் கணித சார்பீடும் இவ்வாறுக் குறிக்கப்படும்:  

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+ \frac{1}{8}+\cdots.</math>  

இத்தொடரின் உறுப்புக்கள் பெரும்பாலும் ஓர் விதியைப் பின்பற்றி, வாய்பாடு அல்லது படிமுறைத் தீர்வு கொண்டு அமைந்திருக்கும். முடிவிலி எண்ணிக்கையில் உறுப்புக்கள் அமைந்துள்ளதால் இவை **முடிவுறாத் தொடர்கள்** என அழைக்கப்படுகின்றன. முடிவுறு கூட்டல்களைப் போலன்றி முடிவுறா தொடர்கள் கணித நுட்பக்கருவிகள், முக்கியமாக எல்லைகள் குறித்தக் கோட்பாடுகள் முழுமையாக அறிந்துகொள்ளப்பட வேண்டும்.  

தொடர்கள் குறித்த விவரணங்கள், நுண்கணிதம் மற்றும் அதன் பொதுமைப்படுத்தலான பகுவியலின் முக்கியப்பகுதியாக உள்ளது. சேர்வியல் உட்பட்ட கணிதத்தின் பல பிரிவுகளில், பொதுசார்புகளைக் கொண்டு முடிவுறு அமைப்புகள் குறித்த படிப்புகளுக்குத் தொடர்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. தொடர்கள் கணிதத்தில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுவதைத் தவிர, அளவறி துறைகளான இயற்பியல், கணினியியல், புள்ளியியல், நிதியியல் ஆகியவற்றிலும் தொடர்கள் பயன்படுகின்றன.  

## அடிப்படைப் பண்புகள்
ஒரு முடிவுறாத் தொடர் அல்லது சுருக்கமாக தொடர் என்பது, பின்வரும் முடிவுறாக் கோவை வடிவிலுள்ள முடிவுறாக் கூடுதலாகும்.  
:<math>a_0 + a_1 + a_2 + \cdots, </math>  

இதில் <math>(a_n)</math> என்பது எண்கள், சார்புகள் மற்றும் கூட்டக்கூடிய வேறுகணிதப்பொருள்களை (எகா: பரிமாற்றுக் குலம்) உறுப்புகளாகக் கொண்ட வரிசைப்படுத்தப்பட்ட தொடர்வரிசை ஆகும்.  

கூட்டுகைக் குறீயீட்டைக் கொண்டு மேலுள்ள தொடரை கீழுள்ளவாறும் எழுதலாம்:  
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}a_n </math> .  

:<math>s=\sum_{n=0}^\infty a_n,</math> என்ற தொடரின் *k* ஆவது **பகுதிக் கூட்டுத்தொகை**:  
:<math>s_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k.</math>  

<math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n</math> என்ற தொடரின் பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகளாலான தொடர்வரிசையின் எல்லை காணக்கூடியாக இருந்து, அவ்வெல்லையின்மதிப்பு எனில், தொடர் <math>\sum_{n=0}^{\infty} a_n</math> ஆனது என்ற எல்லைக்கு *ஒருங்குகிறது* எனப்படும். மேலும் அத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை ஆகும் எனப்படுகிறது.  
:<math>L = \sum_{n=0}^{\infty}a_n.</math>  

ஒரு தொடர் ஒரு எல்லைமதிப்புக்கு ஒருங்கினால் அது *ஒருங்குதொடர்* என்றும், அவ்வாறில்லையெனில் அது *விரிதொடர்* எனவும் அழைக்கப்படும். ஒருங்குதொடரின் கூட்டுத்தொகை அது ஒருங்கும் எல்லையின் மதிப்பிற்குச் சமமாகும்.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்-எண் தொடர்கள்

- A *பெருக்குத் தொடர்* என்பது, ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் அடுத்து வரும் உறுப்பு, முதல் உறுப்பைப் பூச்சியம் அல்லாத மாறா எண் ஒன்றினால் பெருக்கி வரும் எண்ணாக அமையும் உறுப்புகளின் கூடுதல் ஆகும். இந்த மாறா எண் "பொது விகிதம்' எனப்படும். பெருக்குத் தொடரைப் **பெருக்கல் விருத்தி** எனவும் அழைப்பதுண்டு.
  - 2, 6, 18, 54, ...... என்னும் தொடர், 3 ஐப் பொது விகிதமாகக் கொண்ட ஒரு பெருக்குத் தொடருக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஆகும். இதில் ஒவ்வொரு எண்ணையும் 3 ஆல் பெருக்கி அடுத்துவரும் எண் பெறப்படுகின்றது.
  - 1/2 ஐப் பொது விகிதமாகக் கொண்ட பெருக்குத் தொடருக்கு, 10, 5, 2.5, 1.25, ..... என்பதை எடுத்துக் காட்டாகக் கொள்ளலாம்.
- :<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{1 \over 2^n}.</math>

பெருக்குத் தொடர் ஒன்றின் பொது வடிவம் பின்வருமாறு அமையும்.  
:<math>a, + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 = \ldots</math>  

:<math display="inline">|z| < 1</math> என "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே".  
:<math>\sum_{n=0}^\infty z^n</math> ஒரு ஒருங்குதொடர் ஆகும்.  

- பொதுவிகிதத்தின் கெழுக்கள் கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைந்த பெருக்குத்தொடரின் பொதுமைப்படுத்தல் *கூட்டு-பெருக்குத் தொடர்* (*arithmetico-geometric series*) ஆகும்.
:எடுத்துக்காட்டு:  
::<math>3 + {5 \over 2} + {7 \over 4} + {9 \over 8} + {11 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty{(3+2n) \over 2^n}.</math>  

- இசைத் தொடரின் உறுப்புகளின் தலைகீழிகள் கூட்டுத் தொடர்வரிசையில் அமைந்திருக்கும்.
::<math>1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.</math>  
:இசைத்தொடர் ஒரு விரிதொடராகும்.  

- An *ஒன்றுவிட்ட தொடர்* என்பது ஒன்றுவிட்டு ஒன்றாகவுள்ள உறுப்புகளின் குறிகள் எதிராக உள்ள தொடராகும்.
:எடுத்துக்காட்டு:  
::<math>1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty {\(-1\)^{n-1} \over n}=\ln(2) \quad </math> (ஒன்றுவிட்ட இசைத் தொடர்)  
::<math>-1+\frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{9} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{\(-1\)^n}{2n-1} = -\frac{\pi}{4}</math>  

- *p*-தொடர்
::<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^r}</math>  
:*r* > 1 எனில் இத் தொடர் ஒருங்கும்; *r* ≤ 1 எனில், இத்தொடர் விரியும். *r* இன் சார்பான இத்தொடரின் கூட்டுத்தொகை ரீமன் இசீட்டா சார்பியம் ஆகும்.  

### π
::<math> \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>  

::<math> \sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}(4)}{2i-1} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots = \pi</math>  
### 2 இன் பொது மடக்கை

:<math>\sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}}{i} = \ln 2</math>  

:<math>\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(2i+1)(2i+2)} = \ln 2</math>  

:<math>\sum_{i=0}^\infty \frac{(-1)^i}{(i+1)(i+2)} = 2\ln(2) -1</math>  

:<math>\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i(4i^2-1)} = 2\ln(2) -1</math>  

:<math> \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^{i}i} = \ln 2</math>  

:<math> \sum_{i=1}^\infty \(\frac{1}{3^i}+\frac{1}{4^i}\)\frac{1}{i} = \ln 2</math>  

:<math> \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2i(2i-1)} = \ln 2</math>  

### பொது மடக்கை-அடிமானம் *e*

:<math>\sum_{i = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{i!} = 1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\cdots = \frac{1}{e}</math>  

:<math> \sum_{i = 0}^\infty \frac{1}{i!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots = e </math>  

## தொடர் மீதான செயலிகள் - நுண்கணிதம், பகுதிக் கூட்டுகை
பகுதிக் கூட்டுகையானது, {&nbsp;*a*<sub>*n*</sub>&nbsp;} என்ற தொடரை உள்ளீடாக எடுத்துக்கொண்டு, வெளியீடாக {&nbsp;*S*<sub>*N*</sub>&nbsp;} என்ற மற்றொரு தொடரைத் தருகிறது. எனவே பகுதிக் கூட்டுகையானது, தொடர்களின் மீதான ஓருறுப்புச் செயலி ஆகும். மேலும் இது ஒரு நேரியல் சார்பாகவும் உள்ளது. எனவே இது தொடர்களின் திசையின் வெளியின் மீதான ஒரு நேரியல் கோப்பு; இதன் குறியீடு Σ ஆகும்.  

இச்செயலிக்கான நேர்மாறு, *முடிவுறு வேறுபாடு*ச் செயலி - Δ (finite difference) ஆகும்.  

இயல் எண்கள் சார்புகளைக் கொண்ட தொடர்களுக்கு மட்டும் இச்செயலிகள், நுண்கணித தொகையிடல் மற்றும் வகையிடல் செயலிகளை ஒத்தவையாய் உள்ளன. ஆனால் மெய்யெண் சார்புகளின் தொடர்களுக்கு இவ்வாறு அமையாது.  

:எடுத்துக்காட்டு:  
::{1, 1, 1, ...} என்ற தொடர்வரிசையின் பகுதிக் கூட்டுகைகளின் தொடர்வரிசை {1, 2, 3, 4, ...}  
இது கீழ்வரும் தொகையீட்டிற்கு ஒத்ததாக உள்ளதைக் காணலாம்.  
::<math>\int_0^x 1\,dt = x.</math>