# முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல்

கணிதத்தில், **முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள்** (*Trigonometric identities*) என்பவை முக்கோணவியல் சார்புகளைக் கொண்ட முற்றொருமைகள் ஆகும். இம்முற்றொருமைகள், அவற்றில் உள்ள மாறிகளின் ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் உண்மையாக இருக்கும். முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள் முக்கோணங்களின் கோணங்கள் மற்றும் பக்கங்களைக் கொண்டு அமையும். இக்கட்டுரையில் கோணங்களை மட்டும் கொண்டுள்ள முற்றொருமைகள் தரப்பட்டுள்ளன. முக்கோணவியல் சார்புகள் அடங்கிய கோவைகளைச் சுருக்குவதற்கும் எளிமையானவையாக மாற்றுவதற்கும் இம்முற்றொருமைகள் பயன்படுகின்றன. முக்கியமாக முக்கோணவியல் சார்புகள் அல்லாத சார்புகளின் தொகையீடு காண்பதற்கு இவை பெரிதும் பயன்படுகின்றன. தொகையிட வேண்டிய சார்புகளுக்குப் பதில், பொருத்தமான் முக்கோணவியல் சார்புகளைப் பிரதியிட்டுப் பின் அவற்றை முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்திச் சுருக்க தொகையிடல் எளிமையானதாக ஆகிவிடும்.  

## குறியீடுகள்

### கோணங்கள்

இக்கட்டுரையில் கோணங்களைக் குறிக்க, கிரேக்க எழுத்துக்களான ஆல்ஃபா (*&alpha;*), பீட்டா (*&beta;*), காமா (*&gamma;*), மற்றும் தீட்டா (*&theta;*) பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. கோணங்களின் வெவ்வேறு அலகுகளும் அவற்றின் மாற்றல் அட்டவணையும்:  
: ஒரு முழுவட்டம் &nbsp; = &nbsp;360&nbsp;பாகைகள்&nbsp; = &nbsp;2<math>\pi</math> ரேடியன்கள் &nbsp; = &nbsp; 400 கிரேடுகள்.  

| 330° |
| --- |
ஒரு கோணத்தின் அலகைப் பற்றி எதுவுமே குறிக்கப்பட வில்லை என்றால் அதன் அலகு, ரேடியன் என எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.  

### முக்கோணவியல் சார்புகள்

ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகள் முதன்மையான முக்கோணவியல் சார்புகள்.  

கோணம் *&theta;* என்க:  
- சைன் சார்பு: <math>\sin\theta \,</math>
- கோசைன் சார்பு: <math>\cos\theta \,</math>
- டேன்ஜெண்ட் சார்பு:
:<math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}.</math>  
மற்ற சார்புகள், சீக்கெண்ட் (sec), கோசீக்கெண்ட் (csc), கோடேன்ஜெண்ட் (cot) ஆகியவை முறையே கோசைன், சைன், டேன்ஜெண்ட் சார்புகளின் பெருக்கல் தலைகீழிகளாகும்.  
:<math>\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta},\quad\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta},\quad\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.</math>  

### நேர்மாறுச் சார்புகள்

நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் குறியீடு:  
| cot |
| --- |

## பித்தாகரசின் முற்றொருமை

பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை, சைன் மற்றும் கோசைன் சார்புகளுக்கிடையேயான அடிப்படைத் தொடர்பாகும்.  

:<math>\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\!</math>  

<math>\cos^2\theta</math> என்பது <math>(\cos\theta)^2</math> -வையும் மற்றும் என்பது -வையும் குறிக்கும்..  

இந்த முற்றொருமையிலிருந்து சைன் மதிப்பு அல்லது கோசைன் மதிப்பைப் பின்வருமாறு பெறலாம்:  

:<math>\sin\theta = \pm \sqrt{1-\cos^2\theta} \quad \text{and} \quad \cos\theta = \pm \sqrt{1 - \sin^2\theta}. \, </math>  

### தொடர்புடைய முற்றொருமைகள்

பித்தாகரசின் முற்றொருமையை, அல்லது -வால் வகுக்க பின்வரும் இரண்டு முற்றொருமைகள் கிடைக்கும்:  
:<math>1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta\quad\text{and}\quad 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta.\!</math>  

இவற்றையும் அடிப்படை விகித வரையறைகளையும் பயன்படுத்தி, எந்தவொரு முக்கோணவியல் சார்பையும் பிற முக்கோணவியல் சார்புகளின் வாயிலாக எழுதமுடியும்:  

<>  
**ஒவ்வொரு முக்கோணவியல் சார்பும் மற்ற ஐந்தின் வாயிலாக.**

| <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\! </math> |
| --- |

## வரலாற்று சுருக்கெழுத்துக்கள்

*வெர்சைன்* (versine), *கோவெர்சைன்* (coversine), *ஹாவெர்சைன்* (haversine) மற்றும் *எக்ஸ்சீக்கெண்ட்* (exsecant) ஆகியவை பண்டைய காலத்தில் கடல் பயண வழிகாட்டுதலில் பயன்படுத்தப்பட்டன. கோளத்தின் மீது அமையும் இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரத்தைக் கணக்கிட *ஹாவெர்சைன்* வாய்ப்பாடு பயன்படுத்தப்பட்டது. இப்பொழுது இவற்றின் பயன்பாடு அரிதாகி விட்டது.  
| பெயர் | சுருக்கம் | மதிப்பு |  |
| --- | --- | --- | --- |
| வெர்சைன் | <math>\operatorname{versin}(\theta)</math>
<math>\operatorname{vers}(\theta)</math>
<math>\operatorname{ver}(\theta)</math> | <math>1 - \cos (\theta)</math> |  |
| வெர்கோசைன் | <math>\operatorname{vercosin}(\theta)</math> | <math>1 + \cos (\theta)</math> |  |
| கோவெர்சைன் | <math>\operatorname{coversin}(\theta)</math>
<math>\operatorname{cvs}(\theta)</math> | <math>1 - \sin(\theta)</math> |  |
| கோவெர்கோசைன் | <math>\operatorname{covercosin}(\theta)</math> | <math>1 + \sin(\theta)</math> |  |
| ஹாவெர்சைன் | <math>\operatorname{haversin}(\theta)</math> | <math>\frac{1 - \cos (\theta)}{2}</math> |  |
| ஹாவெர்கோசைன் | <math>\operatorname{havercosin}(\theta)</math> | <math>\frac{1 + \cos (\theta)}{2}</math> |  |
| ஹாகோவெர்சைன் (கோ ஹாவெர்சைன்) | <math>\operatorname{hacoversin}(\theta)</math> | <math>\frac{1 - \sin (\theta)}{2}</math> |  |
| ஹாகோவெர்கோசைன் (கோஹாவெர்கோசைன்) | <math>\operatorname{hacovercosin}(\theta)</math> | <math>\frac{1 + \sin (\theta)}{2}</math> |  |
| எக்ஸ்சீக்கெண்ட் | <math>\operatorname{exsec}(\theta)</math> | <math>\sec(\theta) - 1</math> |  |
| எக்ஸ்கோசீக்கெண்ட் | <math>\operatorname{excsc}(\theta)</math> | <math>\csc(\theta) - 1</math> |  |
| நாண் | <math>\operatorname{crd}(\theta)</math> | <math>2\sin\(\frac{\theta}{2}\)</math> | } |

## சமச்சீர்த்தன்மை, பெயர்வு மற்றும் காலமுறைமை

ஓரலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணவியல் சார்புகளின் பின்வரும் பண்புகளைக் காணலாம்:  

### சமச்சீர்த்தன்மை

ஏதாவதொரு முக்கோணவியல் சார்பைக் குறிப்பிட்ட கோணத்தில் பிரதிபலிக்கும் விளைவு மற்றதொரு முக்கோணவியல் சார்பாகவே அமையும். இதிலிருந்து பின்காணும் முற்றொருமைகளைப் பெறலாம்:  
| <math>
\begin{align}
\sin(-\theta) &= -\sin \theta \\
\cos(-\theta) &= +\cos \theta \\
\tan(-\theta) &= -\tan \theta \\
\csc(-\theta) &= -\csc \theta \\
\sec(-\theta) &= +\sec \theta \\
\cot(-\theta) &= -\cot \theta
\end{align}
</math> | <math>
\begin{align}
\sin(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cos \theta \\
\cos(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sin \theta \\
\tan(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\cot \theta \\
\csc(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\sec \theta \\
\sec(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\csc \theta \\
\cot(\tfrac{\pi}{2} - \theta) &= +\tan \theta
\end{align}
</math> | <math>
\begin{align}
\sin(\pi - \theta) &= +\sin \theta \\
\cos(\pi - \theta) &= -\cos \theta \\
\tan(\pi - \theta) &= -\tan \theta \\
\csc(\pi - \theta) &= +\csc \theta \\
\sec(\pi - \theta) &= -\sec \theta \\
\cot(\pi - \theta) &= -\cot \theta \\
\end{align}
</math> | } |
| --- | --- | --- | --- |

### பெயர்வுகளும் காலமுறைமையும்

குறிப்பிட்ட கோணங்களில் ஏதேனும் ஒரு முக்கோணவியல் சார்பைப் பெயர்வு செய்வதால் முடிவுகளை எளிமையாக்கும் வேறு முக்கோணவியல் சார்புகளைப் பெறலாம். π/2, π மற்றும் 2π ரேடியன் அளவு பெயர்வு செய்யப்படும் சார்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன. இச்சார்புகளின் கால அளவு π அல்லது 2π என்பதால் பெயர்வினால் எந்தவித மாற்றமும் இல்லாமல் சில சமயங்களில் அதே சார்பாகவே அமையும்.  

| <math>
\begin{align}
\sin(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\
\cos(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\
\tan(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\cot \theta \\
\csc(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= +\sec \theta \\
\sec(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\csc \theta \\
\cot(\theta + \tfrac{\pi}{2}) &= -\tan \theta
\end{align}
</math> | <math>
\begin{align}
\sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\
\cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\
\tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + \pi) &= -\csc \theta \\
\sec(\theta + \pi) &= -\sec \theta \\
\cot(\theta + \pi) &= +\cot \theta \\
\end{align}
</math> | <math>
\begin{align}
\sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\
\cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\
\tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\
\csc(\theta + 2\pi) &= +\csc \theta \\
\sec(\theta + 2\pi) &= +\sec \theta \\
\cot(\theta + 2\pi) &= +\cot \theta
\end{align}
</math> | } |
| --- | --- | --- | --- |
## கோணங்களின் கூடுதல் (வித்தியாசம்) முற்றொருமைகள்
இவை கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் வாய்ப்பாடுகள் எனவும் அறியப்படுகின்றன. 10 -ம் நூற்றாண்டில் பெர்சிய கணிதவியலாளர் *அபூ அல்-வரா பூஸ்ஜானீ*யால் இம்முற்றொருமைகள அறிமுகப்படுத்தப்பட்டன். ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இவற்றை நிறுவலாம்.  

| <math>\cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\,</math> |
| --- |

## இருமடங்கு, மும்மடங்கு, அரைக்கோணங்களின் முற்றொருமைகள்

| மும்மடங்கு கோணங்கள் |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| <math>\begin{align}
\sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align}</math> | <math>\begin{align}
\cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\
&= 1 - 2 \sin^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta}
\end{align}</math> | <math>\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\!</math> | <math>\cot 2\theta = \frac{\cot^2 \theta - 1}{2 \cot \theta}\!</math> |  |
| <math>\begin{align}\sin 3\theta & = 3 \cos^2\theta \sin\theta - \sin^3\theta \\
& = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta \end{align}</math> | <math>\begin{align}\cos 3\theta & = \cos^3\theta - 3 \sin^2 \theta\cos \theta \\
& = 4 \cos^3\theta - 3 \cos\theta\end{align}</math> | <math>\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}\!</math> | <math>\cot 3\theta = \frac{3 \cot\theta - \cot^3\theta}{1 - 3 \cot^2\theta}\!</math> |  |
| <math>\sin \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}</math> | <math>\cos \frac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}</math> | <math>\begin{align} \tan \frac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1-\cos \theta}{\sin \theta} \\[10pt]
\tan\frac{\eta+\theta}{2} & = \frac{\sin\eta+\sin\theta}{\cos\eta+\cos\theta} \\[8pt]
\tan\(\frac{\theta}{2} + \frac{\pi}{4}\) & = \sec\theta + \tan\theta \\[8pt]
\sqrt{\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta}} & = \frac{\1 - \tan(\theta/2)\}{\1 + \tan(\theta/2)\} \\[8pt]
\tan\tfrac{1}{2}\theta & = \frac{\tan\theta}{1 + \sqrt{1+\tan^2\theta}} \\ &\mbox{for}\quad \theta \in \(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2} \)
\end{align}</math> | <math>\begin{align} \cot \frac{\theta}{2} &= \csc \theta + \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 + \cos \theta \over 1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{\sin \theta}{1 - \cos \theta} \\[8pt] &= \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta} \end{align}</math> | } |
## அடுக்கு-குறைப்பு வாய்ப்பாடு
| <math>\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\!</math> | <math>\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}\!</math> | <math>\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}\!</math> |  |
| --- | --- | --- | --- |
| <math>\sin^3\theta = \frac{3 \sin\theta - \sin 3\theta}{4}\!</math> | <math>\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}\!</math> | <math>\sin^3\theta \cos^3\theta = \frac{3\sin 2\theta - \sin 6\theta}{32}\!</math> |  |
| <math>\sin^4\theta = \frac{3 - 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!</math> | <math>\cos^4\theta = \frac{3 + 4 \cos 2\theta + \cos 4\theta}{8}\!</math> | <math>\sin^4\theta \cos^4\theta = \frac{3-4\cos 4\theta + \cos 8\theta}{128}\!</math> |  |
| <math>\sin^5\theta = \frac{10 \sin\theta - 5 \sin 3\theta + \sin 5\theta}{16}\!</math> | <math>\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}\!</math> | <math>\sin^5\theta \cos^5\theta = \frac{10\sin 2\theta - 5\sin 6\theta + \sin 10\theta}{512}\!</math> | } |

| <math>\sin^n\theta = \frac{2}{2^n} \sum_{k=0}^{\frac{n-1}{2}} (-1)^{(\frac{n-1}{2}-k)} \binom{n}{k} \sin{((n-2k)\theta)}</math> |
| --- |
## பெருக்கல்-->கூட்டல், மற்றும் கூட்டல்-->பெருக்கல் முற்றொருமைகள்
பெருக்கல் வடிவிலிருந்து கூட்டல் வடிவ முற்றொருமைகளின் வலதுபுறத்தைக் கோணங்களின் கூட்டல் (வித்தியாசம்) முற்றொருமைகளைப் பயன்படுத்தி விரித்து அவற்றை நிறுவலாம்.  

**<math>\sin \theta \cos \varphi = {\sin(\theta + \varphi) + \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math>**

| <math>\cos \theta \sin \varphi = {\sin(\theta + \varphi) - \sin(\theta - \varphi) \over 2}</math> | } |
| --- | --- |
**<math>\cos \theta + \cos \varphi = 2 \cos\( \frac{\theta + \varphi} {2} \) \cos\( \frac{\theta - \varphi}{2} \)</math>**

| <math>\cos \theta - \cos \varphi = -2\sin\( {\theta + \varphi \over 2}\) \sin\({\theta - \varphi \over 2}\)</math> | } |
| --- | --- |
|}  
## நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்
:<math> \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi/2\;</math>  

:<math> \arctan(x)+\arccot(x)=\pi/2.\;</math>  

:<math>\arctan(x)+\arctan(1/x)=\\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{if }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{if }x < 0 \end{matrix}\.</math>  

### முக்கோணவியல் மற்றும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் தொகுப்பு
| <math>\sin[\arccos(x)]=\sqrt{1-x^2} \,</math> | <math>\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}</math> |  |
| --- | --- | --- |
| <math>\sin[\arctan(x)]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math> | <math>\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}</math> |  |
| <math>\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math> | <math>\cot[\arcsin (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}</math> |  |
| <math>\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,</math> | <math>\cot[\arccos (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}</math> | } |

## சிக்கல் எண் அடுக்குக்குறிச் சார்புடன் தொடர்பு

:<math>e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\,</math> (ஆய்லர் வாய்ப்பாடு),  

:<math>e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(-x) = \cos(x) - i\sin(x)\,</math>  

:<math>e^{i\pi} = -1</math> (ஆய்லர் முற்றொருமை),  

: <math>\cos(x) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \;</math>  

: <math>\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \;</math>  

கிளைமுடிவு:  

: <math>\tan(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{i({e^{ix} + e^{-ix}})}\; = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}</math>  

இங்கு <math>i^2 = -1</math>.