# நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்

கணிதத்தில் **நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்** (*inverse trigonometric functions*) என்பவை முக்கோணவியல் சார்புகளின் நேர்மாறுச் சார்புகளாகும். இச்சார்புகளின் வீச்சுகள் மூல முக்கோணவியல் சார்புகளின் ஆட்களங்களின் உட்கணங்களாக இருக்கும் என்பதால் இவை அடிப்படை நேர்மாறு சார்புகளுக்குத் தேவையான பண்புகளைக் கொண்டிருக்காது. ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளும் ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்புகள் அல்ல. எனவே அவற்றுக்கான நேர்மாறு சார்புகளை வரையறுப்பதற்கு ஏற்றவகையில் அச்சார்புகளை கட்டுப்படுத்த வேண்டும்.  

எடுத்துக்காட்டாக:  
<math>y = \sqrt{x},</math> -வர்க்கமூலச் சார்பு *y*<sup>2</sup> = *x*, என வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது போல  

*y* = arcsin(*x*) -நேர்மாறு சைன் சார்பு, sin(*y*) = *x* என வரையறுக்கப்படுகிறது.  

sin(*y*) = *x* -ஐ நிறைவு செய்யும் *y* -ன் மதிப்புகள் பல உள்ளன. sin(0) = 0, sin(π) = 0, sin(2π) = 0,... எனவே arcsin, பல மதிப்புகள் கொண்டுள்ளது. arcsin(0) = 0, arcsin(0) = π, arcsin(0) = 2π, ... . ஒரு மதிப்பு மட்டும் கொண்டதாக arcsin சார்பைக் கட்டுப்படுத்திக் கொள்ளலாம். இக்கட்டுப்பாட்டின்படி arcsin சார்பின் ஆட்களத்திலுள்ள ஒவ்வொரு *x* -க்கும் arcsin(*x*) -ன் மதிப்பு ஒன்றே ஒன்றாக இருக்கும். அம்மதிப்பு *முதன்மை மதிப்பு* (principal value) என அழைக்கப்படும். இந்தக் கட்டுப்பாடு மற்ற ஐந்து நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் பொருந்தும்,  

முதன்மை நேர்மாறுச் சார்புகள் பின்வரும் அட்டவணையில் தரப்பட்டுள்ளன.  

| பெயர் | வழக்கமான குறியீடு | வரையறை | *x* -ன் ஆட்களம் (மெய் மதிப்புகளுக்கு) | முதன்மை மதிப்பின் வழக்கமான வீச்சு
(ரேடியன்) | முதன்மை மதிப்பின் வழக்கமான வீச்சு
(பாகை) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **arcsine** | *y* = arcsin&nbsp;*x* | *x* = sin&nbsp;*y* | −1 ≤ *x* ≤ 1 | −π/2 ≤ *y* ≤ π/2 | −90° ≤ *y* ≤ 90° |
| **arccosine** | *y* = arccos&nbsp;*x* | *x* = cos&nbsp;*y* | −1 ≤ *x* ≤ 1 | 0 ≤ *y* ≤ π | 0° ≤ *y* ≤ 180° |
| **arctangent** | *y* = arctan&nbsp;*x* | *x* = tan&nbsp;*y* | அனைத்து மெய்யெண்கள் | −π/2 < *y* < π/2 | −90° < *y* < 90° |
| **arccotangent** | *y* = arccot&nbsp;*x* | *x* = cot&nbsp;*y* | அனைத்து மெய்யெண்கள் | 0 < *y* < π | 0° < *y* < 180° |
| **arcsecant** | *y* = arcsec&nbsp;*x* | *x* = sec&nbsp;*y* | *x* ≤ −1 அல்லது 1 ≤ *x* | 0 ≤ *y* < π/2 அல்லது π/2 < *y* ≤ π | 0° ≤ *y* < 90° or 90° < *y* ≤ 180° |
| **arccosecant** | *y* = arccsc&nbsp;*x* | *x* = csc&nbsp;*y* | *x* ≤ −1 அல்லது 1 ≤ *x* | −π/2 ≤ *y* < 0 அல்லது 0 < *y* ≤ π/2 | -90° ≤ *y* < 0° அல்லது 0° < *y* ≤ 90° |

*x* ஒரு சிக்கலெண் எனில் *y* -ன் வீச்சு *x* -ன் மெய்ப்பகுதிக்கு மட்டுமே பொருந்தும்.  

sin<sup>−1</sup>, cos<sup>−1</sup>,.... ஆகிய குறியீடுகள் பல இடங்களில் arcsin, arccos, ... ஆகியவற்றுக்குப் பதிலாக பயன்படுத்தப்படுகின்றன. ஆனால் இக்குறியீடுகளால் முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெருக்கல் தலைகீழிகளுக்கும் நேர்மாறுச் சார்புகளுக்குமிடையே குழப்பம் ஏற்படலாம்.  

## நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கிடையே உள்ள தொடர்புகள்

நிரப்பு கோணங்கள  
:<math>\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x </math>  

:<math>\arccot x = \frac{\pi}{2} - \arctan x </math>  

:<math>\arccsc x = \frac{\pi}{2} - \arcsec x </math>  

எதிர்ம கோணங்கள்:  
:<math>\arcsin (-x) = - \arcsin x \!</math>  
:<math>\arccos (-x) = \pi - \arccos x \!</math>  
:<math>\arctan (-x) = - \arctan x \!</math>  
:<math>\arccot (-x) = \pi - \arccot x \!</math>  
:<math>\arcsec (-x) = \pi - \arcsec x \!</math>  
:<math>\arccsc (-x) = - \arccsc x \!</math>  

தலைகீழிக் கோணங்கள்:  
:<math>\arccos (1/x) \,= \arcsec x \,</math>  
:<math>\arcsin (1/x) \,= \arccsc x \,</math>  
:<math>\arctan (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arctan x =\arccot x,\text{ if }x > 0 \,</math>  
:<math>\arctan (1/x) = -\tfrac{1}{2}\pi - \arctan x = -\pi + \arccot x,\text{ if }x < 0 \,</math>  
:<math>\arccot (1/x) = \tfrac{1}{2}\pi - \arccot x =\arctan x,\text{ if }x > 0 \,</math>  
:<math>\arccot (1/x) = \tfrac{3}{2}\pi - \arccot x = \pi + \arctan x,\text{ if }x < 0 \,</math>  
:<math>\arcsec (1/x) = \arccos x \,</math>  
:<math>\arccsc (1/x) = \arcsin x \,</math>  

சைன் அட்டவணையின் ஒரு பகுதி மட்டும் நம்மிடம் இருந்தால்:  

:<math>\arccos x = \arcsin \sqrt{1-x^2},\text{ if }0 \leq x \leq 1 </math>  
:<math>\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} </math>  

இங்கு ஒரு சிக்கல் எண்ணின் வர்க்கமூலம் பயன்படுத்தப்பட்டால், நேர்ம மெய்ப்பகுதி கொண்ட மூலம் எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.(அல்லது வர்க்கம் எதிர்ம மெய்ப்பகுதி கொண்டிருந்தால் நேர்ம கற்பனைபகுதி கொண்ட மூலம் எடுத்துக் கொள்ளப்படும்.).  

டேன்ஜெண்டின் அரைக்கோண வாய்ப்பாடு:  

<math>\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} </math>, -லிருந்து:  

:<math>\arcsin x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}</math>  

:<math>\arccos x = 2 \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{1+x},\text{ if }-1 < x \leq +1 </math>  

:<math>\arctan x = 2 \arctan \frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}</math>  

## முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்புகள்

:<math>\sin (\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}</math>  

:<math>\sin (\arctan x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}</math>  

:<math>\cos (\arctan x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}</math>  

:<math>\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}</math>  

:<math>\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}</math>  

## பொதுத்தீர்வுகள்

ஒவ்வொரு முக்கோணவியல் சார்பும் அதன் கோணத்தின் மெய்ப்பகுதியில் காலமுறைமை உடையதாக உள்ளது. ஒவ்வொன்றும் 2π அளவு இடைவெளியில் தனது அனைத்து மதிப்புகளையும் இருமுறை அடைகின்றது.  
- சைன் மற்றும் கோசீக்கெண்ட், தங்களது கால அளவை 2π*k* − π/2 (*k* ஒரு முழு எண்) -ல் ஆரம்பித்து 2π*k* + π/2 -ல் முடிக்கின்றன. மீண்டும் எதிர்வழியாக 2π*k* + π/2 -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π*k* + 3π/2 -ல் முடிக்கின்றன.

- கோசைன் மற்றும் சீக்கெண்ட், தங்களது கால அளவை 2π*k* -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π*k* + π -ல் முடித்து மீண்டும் எதிர்வழியாக 2π*k* + π -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π*k* + 2π -ல் முடிக்கின்றன.

- டேன்ஜெண்ட், தனது கால அளவை 2π*k* − π/2, -லிருந்து ஆரம்பித்து 2π*k* + π/2 -ல் முடித்துப் பின் மீண்டும், அதேபோல (முன்னோக்கி) 2π*k* + π/2-லிருந்து 2π*k* + 3π/2 -ல் முடிக்கின்றது .

- கோடேன்ஜெண்ட், தனது கால அளவை 2π*k*-லிருந்து 2π*k* + π -ல் முடித்துப் பின் மீண்டும் அதேமாதிரி (முன்னோக்கி) 2π*k* + π -லிருந்து 2π*k* + 2π -ல் முடிக்கிறது..

பொது நேர்மாறுகளில் காலமுறைமை பிரதிபலிக்கப்படுகிறது. (இங்கு *k* ஏதேனும் ஒரு முழு எண்)  
:<math>\sin(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arcsin(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arcsin(x) + 2k\pi</math>  
:<math>\cos(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccos(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arccos(x) + 2k\pi</math>  
:<math>\tan(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arctan(x) + k\pi</math>  
:<math>\cot(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccot(x) + k\pi</math>  
:<math>\sec(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arcsec(x) + 2k\pi \text{ or } y = 2\pi - \arcsec (x) + 2k\pi</math>  
:<math>\csc(y) = x \ \Leftrightarrow\ y = \arccsc(x) + 2k\pi \text{ or } y = \pi - \arccsc(x) + 2k\pi</math>  

## நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்

*x* -ன் மெய் மற்றும் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு எளிய வகைக்கெழுக்கள்:  
:<math>  
\begin{align}  
\frac{d}{dx} \arcsin x & {}= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\  
\frac{d}{dx} \arccos x & {}= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\  
\frac{d}{dx} \arctan x & {}= \frac{1}{1+x^2}\\  
\frac{d}{dx} \arccot x & {}= \frac{-1}{1+x^2}\\  
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{x\,\sqrt{x^2-1}}\\  
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{x\,\sqrt{x^2-1}}  
\end{align}</math>  

*x* -ன் மெய் மதிப்புகளுக்கு மட்டும்:  
:<math>  
\begin{align}  
\frac{d}{dx} \arcsec x & {}= \frac{1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1\\  
\frac{d}{dx} \arccsc x & {}= \frac{-1}{|x|\,\sqrt{x^2-1}}; \qquad |x| > 1  
\end{align}</math>  

வகையிடலின் ஒரு எடுத்துக்காட்டு:  

<math>\theta = \arcsin x \!</math> எனில்,  
:<math>\frac{d \arcsin x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sin \theta} = \frac{1} {\cos \theta} = \frac{1} {\sqrt{1-\sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math>  

## வரையறுத்த தொகையீடுகளாக

:<math>  
\begin{align}  
\arcsin x &{}= \int_0^x \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\  
\arccos x &{}= \int_x^1 \frac {1} {\sqrt{1 - z^2}}\,dz,\qquad |x| \leq 1\\  
\arctan x &{}= \int_0^x \frac 1 {z^2 + 1}\,dz,\\  
\arccot x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z^2 + 1}\,dz,\\  
\arcsec x &{}= \int_1^x \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\  
\arcsec x &{}= \pi + \int_x^{-1} \frac 1 {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \leq -1\\  
\arccsc x &{}= \int_x^\infty \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \geq 1\\  
\arccsc x &{}= \int_{-\infty}^x \frac {1} {z \sqrt{z^2 - 1}}\,dz, \qquad x \leq -1  
\end{align}</math>  
*x* = 1 ஆகும் போது எல்லைக்குட்பட்ட ஆட்களங்களைக் கொண்ட தொகையீடுகள், முறையற்ற தொகையீடுகளாகும் (improper integrals). ஆனாலும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டவையாக அமையும்.  

## முடிவிலாத் தொடர்களாக
நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளைப் பின்வருமாறு முடிவிலாத் தொடர்களாகக் காணலாம்:  
:<math>  
\begin{align}  
\arcsin z & {}= z + \( \frac {1} {2} \) \frac {z^3} {3} + \( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \) \frac {z^5} {5} + \( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \) \frac{z^7} {7} + \cdots\\  
& {}= \sum_{n=0}^\infty \( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}  
; \qquad | z | \le 1  
\end{align}  
</math>  

:<math>  
\begin{align}  
\arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z \\  
& {}= \frac {\pi} {2} - (z + \( \frac {1} {2} \) \frac {z^3} {3} + \( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \) \frac {z^5} {5} + \( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \) \frac{z^7} {7} + \cdots ) \\  
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}  
; \qquad | z | \le 1  
\end{align}  
</math>  

:<math>  
\begin{align}  
\arctan z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots \\  
& {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}  
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i  
\end{align}  
</math>  

:<math>  
\begin{align}  
\arccot z & {}= \frac {\pi} {2} - \arctan z \\  
& {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) \\  
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}  
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i  
\end{align}  
</math>  

:<math>  
\begin{align}  
\arcsec z & {}= \arccos {(1/z)} \\  
& {}= \frac {\pi} {2} - (z^{-1} + \( \frac {1} {2} \) \frac {z^{-3}} {3} + \( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \) \frac {z^{-5}} {5} + \( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \) \frac{z^{-7}} {7} + \cdots ) \\  
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \) \frac {z^{-(2n+1)}} {(2n+1)}  
; \qquad \ z \ \ge 1  
\end{align}  
</math>  

:<math>  
\begin{align}  
\arccsc z & {}= \arcsin {(1/z)} \\  
& {}= z^{-1} + \( \frac {1} {2} \) \frac {z^{-3}} {3} + \( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \) \frac {z^{-5}} {5} + \( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots \\  
& {}= \sum_{n=0}^\infty \( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}  
; \qquad \ z \ \ge 1  
\end{align}  
</math>  

arctan -க்கு ஆய்லரால் இதைவிட பயனுள்ளதொரு முடிவிலாத் தொடர் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது:  

:<math>\arctan z = \frac{z}{1+z^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k z^2}{(2k+1)(1+z^2)}.</math>  
(இக்கூட்டுதொகையில் *n*= 0 -ன் உறுப்பு வெற்றுப் பெருக்கல்பலன் (empty product). இதன் மதிப்பு 1.)  

இதனையே பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:  
:<math>\arctan z = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{\,2n}\,(n!)^2}{\(2n+1\)!} \; \frac{z^{\,2n+1}}{\(1+z^2\)^{n+1}}</math>  

## நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளின் வரையறாத் தொகையீடுகள்

*x* -ன் மெய் மற்றும் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கு:  
:<math>  
\begin{align}  
\int \arcsin x\,dx &{}= x\,\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C\\  
\int \arccos x\,dx &{}= x\,\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C\\  
\int \arctan x\,dx &{}= x\,\arctan x - \frac{1}{2}\ln\(1+x^2\) + C\\  
\int \arccot x\,dx &{}= x\,\arccot x + \frac{1}{2}\ln\(1+x^2\) + C\\  
\int \arcsec x\,dx &{}= x\,\arcsec x - \ln\(x\(1+\sqrt\,\mathrm{d}x</math>  

தொகையிடலின் பிரதியிடல் முறையைப் பயன்படுத்த:  

: <math>k = 1 - x^2.\,</math>  

: <math>\mathrm{d}k = -2x\,\mathrm{d}x</math>  

:<math>\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}k}{\sqrt{k}} = -\sqrt{k}</math>  

*x* -க்கு மீண்டும் பிரதியிட:  

:<math>\int \arcsin(x)\, \mathrm{d}x = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2}+C </math>  

## மடக்கை வடிவங்கள்

சிக்கலெண் மடக்கைகள் மூலமாகவும் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகளை எழுதலாம். இதனால் இச்சார்புகளின் ஆட்களங்கள் சிக்கலெண் தளத்திற்கு நீட்டிக்கப்படுகிறது.  

:<math>  
\begin{align}  
\arcsin x &{}= -i\,\ln\(i\,x+\sqrt{1-x^2}\) &{}= \arccsc \frac{1}{x}\\[10pt]  
\arccos x &{}= -i\,\ln\(x+i\,\sqrt{1-x^2}\) = \frac{\pi}{2}\,+i\ln\(i\,x+\sqrt{1-x^2}\) = \frac{\pi}{2}-\arcsin x &{}= \arcsec \frac{1}{x}\\[10pt]  
\arctan x &{}= \tfrac{1}{2}i\(\ln\(1-i\,x\)-\ln\(1+i\,x\)\) &{}= \arccot \frac{1}{x}\\[10pt]  
\arccot x &{}= \tfrac{1}{2}i\(\ln\(1-\frac{i}{x}\)-\ln\(1+\frac{i}{x}\)\) &{}= \arctan \frac{1}{x}\\[10pt]  
\arcsec x &{}= -i\,\ln\(i\,\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{x}\) = i\,\ln\(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\)+\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}-\arccsc x &{}= \arccos \frac{1}{x}\\[10pt]  
\arccsc x &{}= -i\,\ln\(\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}+\frac{i}{x}\) &{}= \arcsin \frac{1}{x}  
\end{align}</math>  

### எடுத்துக்காட்டு

:<math>\theta = \arcsin x = -i \ln \(ix + \sqrt{1-x^2}\) \, </math> -ஐப் பின்வருமாறு நிறுவலாம்.  

:<math>\arcsin x = \theta \, </math>  

:<math>\frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} = x</math>  

(சைன் சார்பின் அடுக்குக்குறி வரையறை)  

:<math>k=e^{i\,\theta}. \, </math> என்க:  

:<math>\frac{k-\frac{1}{k}}{2i} = x</math>  

:<math>k^2-2\,i\,k\,x-1\,=\,0</math>  

:<math>k = ix \pm \sqrt{1-x^2} = e^{i\theta} \, </math>  

(நேர்ம பகுதி எடுத்துக் கொள்ளப்ப்படுகிறது.)  

:<math>\theta = \arcsin x = -i \ln \(ix + \sqrt{1-x^2}\) \, </math>  

**'''சிக்கலெண் தளத்தில் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்'''**

| <math>
\arcsin(z)
</math> | <math>
\arccos(z)
</math> | <math>
\arctan(z)
</math> | <math>
\arccot(z)
</math> | <math>
\arcsec(z)
</math> | <math>
\arccsc(z)
</math> | } |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |