# கோளத்தில் நேர்மாற்றம்

நேர்மாற்றம்.]]  

முப்பரிமாணத்தில் **கோளத்தில் நேர்மாற்றம்** அல்லது **கோள நேர்மாற்றம்** (*inversion in a sphere*) என்பது ஒரு கோளத்தின் உட்புறத்தை வெளிப்புறமாகவும், வெளிப்புறத்தை உட்புறமாகவும் மாற்றும் உருமாற்றம் ஆகும். இந்த நேர்மாற்றத்தில், கோளத்தின் மேலமையும் புள்ளிகள் மட்டுமே நிலைப்புப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.  

## வரையறை
கோள நேர்மாற்றமானது பெரும்பாலும் வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமையைப் பயன்படுத்தி எளிதாக விவரிக்கப்படுகிறது. கோளத்தின் மையம் ஆள்கூற்று முறைமையின் ஆதிப்புள்ளியில் இருக்குமாறும், கோளத்தின் ஆரத்தை ஓரலகாகவும் எடுத்துக்கொண்டால், எல்லாப் புள்ளிகளையும் *r***v** வடிவில் எழுதலாம். இதில், ஆதியிலிருந்து புள்ளி அமையும் தொலைவு *r* அலகு; **v** அலகு திசையன். மேலும் ஆதியைத் தவிர்த்த பிற புள்ளிகள் அனைத்தின் இந்தக் குறியீடும் தனித்துவமானதாகும். இம்முறையில் குறிக்கப்படும் ஒரு புள்ளியின் நேர்மாறின் குறியீடு *r*<sup>−1</sup>**v**. கோளத்தின் மையத்தின் நேர்மாறு இவ்வாறு வரையறுக்கப்படவில்லை என்றாலும் அதனை முடிவிலிப் புள்ளியாகக் கொள்ளலாம்.  

## பண்புகள்
கோள நேர்மாற்றமானது தனக்குத்தானே நேர்மாறு ஆகும். இந்நேர்மாற்றத்தில்,  
- குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மீதமையும் புள்ளிகள் நிலைப்புத்தன்மை கொண்டவை.
- ஒரு கோட்டின் நேர்மாறு, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் வட்டமாகும். இக்கூற்றின் எதிர்மாறும் (vice versa) உண்மையாக இருக்கும்.
- ஒரு தளத்தின் நேர்மாறு, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் மற்றொரு கோளமாகும். இக்கூற்றின் எதிர்மாறும் உண்மையாக இருக்கும்.
- மற்றபடி, ஒரு வட்டத்தின் நேர்மாறு, வட்டமாகவும், கோளத்தின் நேர்மாறு, கோளமாகவும் இருக்கும்.

## நிறுவல்கள்
குறிப்பீட்டுக் கோளம் Σ என்க. குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O, ஆரம் r. இக்கோளம் {O, r} எனக் குறிக்கப்படுகிறது.  

;நிறுவலில் பயன்படுத்தப்படும் மூன்று எளிய முடிவுகள்  
1. வடிவொத்த முக்கோணங்கள்
1. அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம், செங்கோணம் (90<sup>o</sup>).
1. ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180<sup>o</sup>, எனவே ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிக்கோணத்தின் அளவு முக்கோணத்தின் மற்ற இரு உட்கோணங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

;நிறுவலுக்குத் தேவையான முடிவுகள்  
- குறிப்பீட்டுக் கோள மையம் O லிருந்து n (> 0) அலகு தூரத்தில் அமையும் புள்ளி P.
- OP.OP' = r<sup>2</sup> என்ற முடிவை நிறைவு செய்யுமாறு OP கதிரில் புள்ளி P' இருந்தால், P, P' இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறுப் புள்ளிகளாகும்.
- n > r எனில், OP' < r ஆகும். எனவே P', Σ இன் உட்புறம் அமையும் (எதிர்மாறு கூற்றும் உண்மை).
- Σ இன் மீதமையும் புள்ளிகள் மட்டுமே கோள நேர்மாற்றத்தில் தன் -நேர்மாறுப் புள்ளிகள் ஆகும்..

### புள்ளியின் நேர்மாறு
குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் வெளிப்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் உட்புறத்தில் அமையும் புள்ளியாகவும், குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் உட்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் வெளிப்புறத்தில் அமையும் புள்ளியாகவும் இருக்கும்.  

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகள் நிலையானவை.  

;வெளிப்புறப்புள்ளியின் நேர்மாறு  

- குறிப்பீட்டுக் கோளத்திற்கு வெளியேயுள்ள புள்ளி P. OP இன் வழிச் செல்லும் தளமொன்றில், P லிருந்து குறிப்பீட்டுக் கோளத்துக்கு இரு தொடுகோடுகள் வரையப்படுகின்றன. அவை கோளத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் S, T.
- இவ்விரு புள்ளிகளை இணைத்து வரையப்படும் நாண் ST மற்றும் OP இரண்டும் சந்திக்கும் புள்ளி P'.
- இப்போது செங்கோண முக்கோணங்கள் OPT, OTP' இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். எனவே
:::OP/OT = OT/OP'  
::ஃ P இன் நேர்மாறு P'  

எனவே கோளத்தின் வெளிப்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் உட்புறத்தில் அமைகிறது.  

;உட்புறப்புள்ளியின் நேர்மாறு  

- குறிப்பீட்டுக் கோளத்திற்கு உள்ளேயுள்ள புள்ளி P. OP இன் வழிச் செல்லும் தளமொன்றில், OP க்கு P இல் செங்குத்தாக இருக்குமாறு குறிப்பீடுக் கோளத்திற்கு நாண் ஒன்று வரையப்படுகிறது. இந்நாண் கோளத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் S, T.
- S, T இல் குறிப்பீட்டுக் கோளத்திற்கு வரையப்படும் தொடுகோடுகள் இரண்டும் சந்திக்கும் புள்ளி P'
- செங்கோண முக்கோணங்கள் OPT, OTP' இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். எனவே
::OP/OT = OT/OP'  
::ஃ P இன் நேர்மாறு P'  

அதாவது கோளத்தின் உட்புறத்திலுள்ள புள்ளியின் நேர்மாறு கோளத்தின் வெளிப்புறம் அமைகிறது.  

### இரு புள்ளிகளின் நேர்மாறு

- எடுத்துக்கொள்ளப்படும் இருபுள்ளிகள் A, B இன் நேர்மாறுகள் A', B' எனில்; OA'.OA = r<sup>2</sup>, OB'.OB = r<sup>2</sup>.
- எனவே OA'/OB' = OB/OA.
- ∠AOB = ∠B'OA' என்பதால், முக்கோணங்கள் AOB, B'OA' இரண்டும் வடிவொத்தவை.
- ஃ ∠OAB = ∠OB'A', ∠OBA = ∠OA'B'. (இம்முடிவு பின்வரும் நிறுவல்களில் பயன்படுத்தப்ப்பட்டுள்ளது)

### கோட்டின் நேர்மாறு
பொதுவாக ஒரு கோட்டின் நேர்மாறானது, நேர்மாற்ற மையத்தின் (குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின்) வழிச்செல்லும் வட்டமாக இருக்கும்.  

எனினும்,  
- கோடானது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியே செல்லுமானால் அக்கோடு தன்-நேர்மாறாக இருக்கும்.
- கோடானது குறிப்பீட்டுக் கோளம் Σ ஐ வெட்டும் கோடாக இருந்தால், அவை வெட்டிக்கொள்ளும் இரு புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.

;குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத ஒரு கோட்டின் நேர்மாறு  

- குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O லிருந்து கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடி P; அதன் நேர்மாறு P'.
- கோட்டின் மீதமையும் ஏதேனுமொரு புள்ளி X; அதன் நேர்மாறு X'.
- மேலே தரப்பட்டுள்ள ”இரு புள்ளிகளின் நேர்மாறு”-இன் முடிவின்படி, ∠OX'P' = ∠OPX = 90<sup>o</sup>.
- ∠OPX = 90<sup>o</sup> என்பதால்
::∠OX'P' = 90<sup>o</sup>  
- X' புள்ளியானது, OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் மீதமையும் ஆகும் (அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம் செங்கோணம்).
- X ஐப் போன்றே கோட்டின் மீதுள்ள பிற புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளும் OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகளாகும்.

எனவே இக்கோட்டின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச்செல்லும் ஒரு வட்டமாகும்.  

### தளத்தின் நேர்மாறு
பொதுவாக, ஒரு தளத்தின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழிச்செல்லும் கோளமாக இருக்கும்.  

எனினும்,  

- எடுத்துக்கொள்ளப்படும் தளத்தில் குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O அமைந்தால், அத்தளமானது தன்-நேர்மாறு ஆகும்.
- எடுத்துக்கொள்ளப்படும் தளமானது குறிப்பீட்டுக் கோளம் Σ ஐ வெட்டுமானால், அவை இரண்டும் வெட்டிக்கொள்ளும் வட்டத்தின் மீதுள்ள எல்லாப் புள்ளிகள் தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாகும்.

;குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத தளத்தின் நேர்மாறு  

- குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O லிருந்து தளத்திற்கு வரையப்படும் செங்குத்தின் அடி P; P இன் நேர்மாறு P'.
- தளத்தின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X'.
- இப்பொழுது இரு புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளின் முடிவின் படி,
::∠OX'P' = ∠OPX  
- ஆனால் ∠OPX = 90<sup>o</sup>
- எனவே ∠OX'P' = 90<sup>o</sup>
- ஃ OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின் மீது X' இருக்கும்.(அரைவட்டத்தில் அமையும் கோணம் செங்கோணம்)
:*X ஐப் போன்றே தளத்தின் மீதுள்ள பிற புள்ளிகளின் நேர்மாறுகளும் OP' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின் மீதுள்ள புள்ளிகளாகும்.  

எனவே இத்தளத்தின் நேர்மாறு குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச்செல்லும் ஒரு கோளமாகும்.  

### கோளத்தின் நேர்மாறு
பொதுவாக, ஒரு கோளத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோளமாகவே இருக்கும்.  

எனினும், குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் கோளத்தின் நேர்மாறு ஒரு தளமாக இருக்கும்.  

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட கோளம் {A, a} என்க. அதாவது இக்கோளத்தின் மையம் A, ஆரம் a > 0.  

- குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை {A, a} கோளம் வெட்டினால்:
::அவை வெட்டிக்கொள்ளும் வட்டத்தின் மீதமையும் புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.  

- புள்ளி A ஆனது O இல் அமையுமானால்:
::கோளம் {A, a} இன் நேர்மாறு ஒரே மையங்கொண்ட கோளமாகவும் அதன் ஆரம் r<sup>2</sup>/a அலகாகவும் இருக்கும்.  

#### குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையத்தின் வழியாகச் செல்லும் கோளத்தின் நேர்மாறு
- {A, a} கோளத்தின் மீது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் O அமைகிறது என்க
- கோளம் {A, a} இன் மீது O க்கு விட்டவாக்கில் நேரெதிர் புள்ளியாக அமையும் புள்ளி P. அதன் நேர்மாறு P'.
- {A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏதேனும் வேறொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X' .
- இப்பொழுது ”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி,
::∠OP'X' = ∠OXP  

- ஆனால், ∠OXP = 90<sup>o</sup>
- ஃ ∠OP'X' = 90<sup>o</sup>
- P' வழிச்செல்லும், OP'. க்குச் செங்குத்தான தளத்தின்மீது X' அமையும்.
- மேலும் {A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏனைய பிற புள்ளிகளுக்கும் இது உண்மையாகும்.

எனவே நேர்மாற்றப்படும் கோளம் குறிப்பீட்டுக் கோளமையத்தின் வழிச் செல்லும்போது அதன் நேர்மாறு ஒரு தளமாகும்.  

#### குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டாத கோளத்தின் நேர்மாறு
- {A, a} கோளத்தை OA வெட்டும் புள்ளிகள் S, T மற்றும் அவற்றின் நேர்மாறுப் புள்ளிகள் S', T'.
- {A, a} இன் விட்டம் ST .
{A, a} கோளத்தின் மீதமையும் ஏதேனுமொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X'.  
- இப்பொழுது ”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி
::: ∠OXT = ∠OT'X',  
:::∠OXS = ∠OS'X'.  

;நிலை1  
O இன் ஒரே பக்கத்தில் T, S அமைகிறது  

- ∠T'X'S' = ∠OX'S' &minus; ∠OX'T'
:: = ∠OSX &minus; ∠OTX (”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு” முடிவின்படி).  
:: = ∠TXS (முக்கோணத்தின் ஒரு வெளிக்கோணம் மற்ற இரு உட்கோணங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்)  
- ஆனால் ∠TXS = 90<sup>o</sup> (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்)
- ஃ ∠T'X'S' = 90<sup>o</sup>
- எனவே T'S' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின்மீது X' அமைகிறது.
- {A, a} கோளத்தின் மீதமையும் எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.

எனவே {A, a} கோளத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு கோளமாகும்.  

;நிலை 2  
O இன் எதிர்ப்புறங்களில் T, S அமைகிறது  

- ∠OXT + ∠OXS = 90<sup>o</sup> (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்).
- ∠T'X'S' = ∠OX'T' + ∠OX'S'
:: = ∠OTX + ∠OSX (”இருபுள்ளிகளின் நேர்மாறு”).  
:: = 180<sup>o</sup> &minus; ∠TXS (ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180<sup>o</sup>)  
- ∠T'X'S' = 90<sup>o</sup>, (அரைவட்டத்திலமையும் கோணம் செங்கோணம்).
- T'S' ஐ விட்டமாகக் கொண்ட கோளத்தின்மீது X' அமைகிறது.
- {A, a} கோளத்தின் மீதமையும் எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் இம்முடிவு பொருந்தும்.
- எனவே {A, a} கோளத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு கோளமாகும்.

### வட்டத்தின் நேர்மாறு
பொதுவாக, ஒரு வட்டத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு வட்டமாகும். எனினும்குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வட்டத்தின் மீது அமையும் போது மட்டும் அவ்வட்டத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோடாகும்.  

நேர்மாறு காணவேண்டிய வட்டம் c இன் மையம் C, ஆரம் a. மேலும் இவ்வட்டம் அமைந்திருக்கும் தளம் ψ .  
- இவ்வட்டமானது குறிப்பீட்டுக் கோளத்தை வெட்டினால், அவையிரண்டும் வெட்டிக்கொள்ளும் இரு புள்ளிகள் மட்டுமே தன்-நேர்மாறுப் புள்ளிகளாக இருக்கும்.
- குறிப்பீட்டுக் கோளமையம் O லிருந்து வட்டத்தின் மீது, மிக அருகிலமையும் மற்றும் மிகத்தூரத்தில் அமையும் புள்ளிகள் முறையே S, T (i.e. OT > OS). அவற்றின் நேர்மாறுகள் S', T'
- வட்டத்தின் மையம் C, குறிப்பீட்டுக் கோளமையமான O இல் அமைந்தால், வட்டத்தின் நேர்மாறு வட்டம், கோளம் இரண்டுடன் ஒரே மையங்கொண்ட மற்றொரு வட்டமாக அமையும். இந்த நேர்மாறு வட்டத்தின் ஆரம் r<sup>2</sup>/a அலகுகள்

#### குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வழியாகச் செல்லும் வட்டத்தின் நேர்மாறு

- வட்டத்தின் ஒரு விட்டம் OP; P இன் நேர்மாறு P'.
- வட்டத்தின் மீதுள்ள ஏதேனுமொரு புள்ளி X. அதன் நேர்மாறு X'.
- ”இரு புள்ளிகளி நேர்மாறு” முடிவின்படி,
:::∠OP'X' = ∠OXP = 90<sup>o</sup>.  
- ஃ X இன் நேர்மாறு X' ஆனது OP' க்குச் செங்குத்தாக, வட்டத்தன் தளத்தில் அமையும் கோட்டில் அமைகிறது.
- இம்முடிவு வட்டத்தின் மீதுள்ள மற்ற எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் பொருந்தும்
- எனவே வட்டத்தின் நேர்மாறானது OP' க்குச் செங்குத்தாக வட்டத்தன் தளத்தில் அமையும் ஒரு கோடாகும்.

அதாவது, குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வழியாகச் செல்லும் வட்டத்தின் நேர்மாறு ஒரு கோடாகும்.  

#### குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வட்டத்தின் தளத்தில் அமையாநிலை

குறிப்பீட்டுக் கோளமையம் O, வட்டத்தின் தளத்தின் (ψ) மீதமையவில்லை  
- வட்டத்த்தின் தளத்திற்குச் செங்குத்தாக, வட்டமையத்தின் வழியே வரையப்படும் கோட்டிலமையும் இரு புள்ளிகள் A, B
- A, B ஐ மையங்களாகக் கொண்டு வட்டத்தின் வழியே செல்லும் இரு கோளங்கள் Λ, Ω. ஆனால் இவையிரண்டும் குறிப்பீட்டுக் கோளமையமான O வழியே செல்லாதவை.
- Λ, Ω இன் நேர்மாறுக் கோளங்கள் Λ', Ω'.
- வட்டத்தின் நேர்மாறின் மேலுள்ள புள்ளிகள் எல்லாம் Λ' , Ω' இரண்டின் மீதும் அமையும்.
- Λ', Ω' கோளங்களின் வெட்டாக அமையும் வட்டமானது (c'), எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வட்டத்தின் (c) நேர்மாறு.

குறிப்பீட்டுக் கோளத்தின் மையம் வட்டத்தின் தளத்தில் அமையாத போது அவ்வட்டத்தின் நேர்மாறு மற்றொரு வட்டமாகும்.  

;குறிப்பு  
குறிப்பீட்டுக் கோள மையம் வட்டத்தின் தளத்தில் அமையுமானால், எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட வட்டமானது {C, a} கோளத்தின் பெரு வட்டமாகும். இந்நிலையில் கோளத்தின் நேர்மாறு காணும் முறையில் வட்டத்தின் நேர்மாறு காணலாம்.