# கற்பனை அலகு


**கற்பனை அலகு** அல்லது **அலகு கற்பனை எண்** (*imaginary unit*, *unit imaginary number*) என்றழைக்கப்படும் <math>i</math> ஆனது, மெய்யெண்களை சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிக்கும் ஒரு கணிதக் கருத்துரு ஆகும். இவ்வாறு மெய்யெண்கள் சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிக்கப்படுவதால் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் குறைந்தபட்சம் ஒரு மூலமாவது கிடைக்கிறது.  

இன் முக்கியப் பண்பு:  
::  

வர்க்கத்தை எதிரெண்ணாகக் கொண்ட மெய்யெண்களே இல்லை என்பதால் ஒரு கற்பனை எண்ணாகக் கொள்ளப்படுகிறது. கற்பனை அலகைக் குறிப்பதற்கு, சில இடங்களில் என்ற குறியீட்டுக்குப் பதிலாக அல்லது கிரேக்க எழுத்தான பயன்படுத்தப்படுகின்றது.  

## வரையறை
**(நீலப் பகுதியையடுத்து, மதிப்புகள் மீள்கின்றன)**

| (நீலப் பகுதியை யடுத்து, மதிப்புகள் மீள்கின்றன) | } |
| --- | --- |

இன் வரையறையானது, இன் வர்க்கம் -1 என்ற பண்பை மட்டுமே அடிப்படையாகக் கொண்டுள்ளது:  

:<math>i^2 = -1 \ . </math>  

ஆனால் இன் இந்த வரையறையின் விளைவாக, , என -1 க்கு இரு வர்க்கமூலங்கள் கிடைக்கின்றன.  

மெய்யெண்களில் மேற்கொள்ளப்படும் அடிப்படைக் கணிதச் செயல்களை சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். எந்தவொரு கணிதச் செயலையும் சிக்கலெண்களில் மேற்கொள்ளும்போது, ஐ மதிப்புத் தெரியாத கணியமாகப் பாவித்து செயல்களைச் செய்த பின்னர், விளைவில் உள்ள இன் மதிப்பை −1 எனப் பதிவிட வேண்டும். மேலும் இன் அடுக்கு இரண்டைவிட அதிகமாக இருப்பின் அவற்றை , 1, , −1 ஆகியவற்றைக் கொண்டு பதிவிடலாம்:  

:<math>i^3 = i^2 i = (-1) i = -i \,</math>  
:<math>i^4 = i^3 i = (-i) i = -(i^2) = -(-1) = 1 \,</math>  
:<math>i^5 = i^4 i = (1) i = i \,</math>  

இதேபோல சுழியற்ற மெய்யெண்களுக்குப் போலவே க்கும் கீழுள்ளவை உண்மையாகும்:  
:<math>i^0 = i^{1-1} = i^1i^{-1} = i^1\frac{1}{i} = i\frac{1}{i} = \frac{i}{i} = 1 \,</math>  

சிக்கலெண் இன் கார்ட்டீசிய வடிவம்:  
:<math> i = 0+i </math> ( இன் மெய்ப்பகுதி சுழியாகவும் கற்பனைப் பகுதி ஒரு அலகாகவும் உள்ளது.)  

சிக்கலெண் இன் போலார் வடிவம்:  
: , ( இன் மட்டு மதிப்பு 1 ஆகவும் கோணவீச்சு <sup>π</sup>/<sub>2</sub> ஆகவும் உள்ளது.)  

சிக்கலெண் தளத்தில் ஆதியிலிருந்து ஓர் அலகு தொலைவில் கற்பனை அச்சின் மீது அமையும் புள்ளியாக இருக்கும்.  

## பண்புகள்
### வர்க்க மூலங்கள்
#### இன் வர்க்கமூலம்

இன் வர்க்க மூலத்தை கீழுள்ள இரு சிக்கலெண்களில் ஏதாவது ஒன்றாகக் கொள்ளலாம்  
:<math> \sqrt{i} = \pm \( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i \) = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i). </math>  
வலதுபுறத்தை வர்க்கப்படுத்த:  
:<math>  
\begin{align}  
\( \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i) \)^2 \ & = \( \pm \frac{\sqrt{2}}2 \)^2 (1 + i)^2 \ \\  
& = \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) \\  
& = \frac{1}{2} (1 + 2i - 1) \ \\  
& = i. \ \\  
\end{align}  
</math>  

இதே முடிவை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம்:  

:<math>e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,</math>  

எனப் பதிலிட,  
:<math>e^{i(\pi/2)} = \cos(\pi/2) + i\sin(\pi/2) = 0 + i1 = i\,\! .</math>  
இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண,  
:<math> \sqrt{i} = \pm e^{i(\pi/4)} \,\! ,</math>  
ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டின்படி,  
:<math>  
\begin{align}  
\sqrt{i} & = \pm (\cos(\pi/4) + i\sin(\pi/4)) \\  
& = \frac{1}{\pm \sqrt{2}} + \frac{i}{\pm \sqrt{2}}\\  
& = \frac{1+i}{\pm \sqrt{2}}\\  
& = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (1 + i).\\  
\end{align}  
</math>  

#### இன் வர்க்கமூலம்
இன் வர்க்கமூலத்தை ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:  
:<math>e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \,</math>  

எனப் பதிலிட:  
:<math>e^{i(3\pi/2)} = \cos(3\pi/2) + i\sin(3\pi/2) = 0 - i1 = -i\,\! .</math>  
இருபுறமும் வர்க்கமூலம் காண:  
:<math> \sqrt{-i} = \pm e^{i(3\pi/4)} \,\! ,</math>  
ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,  
:<math>  
\begin{align}  
\sqrt{-i} & = \pm (\cos(3\pi/4) + i\sin(3\pi/4)) \\  
& = -\frac{1}{\pm \sqrt{2}} + i\frac{1}{\pm \sqrt{2}}\\  
& = \frac{-1 + i}{\pm \sqrt{2}}\\  
& = \pm \frac{\sqrt{2}}2 (i - 1).\\  
\end{align}  
</math>  

இன் வர்க்கமூலத்தை ஆல் பெருக்க, இன் வர்க்கமூலம் கிடைக்கும்:  
:<math>  
\begin{align}  
\sqrt{-i} = (i)\cdot (\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1 + i)) \\  
& = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1i + i^{2})\\  
& = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}(i - 1)\\  
\end{align}  
</math>  

### பெருக்கலும் வகுத்தலும்
;பெருக்கல்  
எந்தவொரு சிக்கலெண்ணையும் ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது:  
:<math>i\,(a + bi) = ai + bi^2 = -b + ai.</math>  
(இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து இடஞ்சுழியாக (எதிர்-கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)  

;வகுத்தல்  
ஆல் வகுப்பது, இன் தலைகீழியால் பெருக்குவதற்குச் சமானமாகும்:  
:<math>\frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i.</math>  
இம் முடிவை a + bi சிக்கலெண்ணை ஆல் வகுப்பதில் பயன்படுத்த:  
:<math>\frac{a + bi}{i} = -i\,(a + bi) = -ai - bi^2 = b - ai. </math>  
(இவ் விளைவு, சிக்கலெண் தளத்தில் a + bi சிக்கலெண்ணின் ஆரக்கோலை ஆதியைப் பொறுத்து வலஞ்சுழியாக (கடிகாரத்திசை) 90° சுழற்றுவதற்குச் சமமாக அமையும்)  

### அடுக்குகள்
இன் அடுக்குகள் கீழுள்ள போக்கில் சுழலும் தன்மை கொண்டுள்ளன ( ஏதேனுமொரு முழு எண்):  

:<math>i^{4n} = 1\,</math>  
:<math>i^{4n+1} = i\,</math>  
:<math>i^{4n+2} = -1\,</math>  
:<math>i^{4n+3} = -i.\,</math>  

எனவே,  
:<math>i^n = i^{n \bmod 4}\,</math>  

:<math>i^n = \cos(n\pi/2)+i\sin(n\pi/2)</math>  

#### இன் அடுக்கு
ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின்படி,  
:<math>i^i = \( e^{i (\pi/2 + 2k \pi)} \)^i = e^{i^2 (\pi/2 + 2k \pi)} = e^{- (\pi/2 + 2k \pi)}</math> (<math>k \in \mathbb{Z}</math>, முழுஎண்களின் கணம்)  

இதன் முதன்மை மதிப்பு : : அல்லது 0.207879576... (தோராயமாக)  

### தொடர்பெருக்கம்
கற்பனை அலகு இன் தொடர்பெருக்கம்:  
:<math>i! = \Gamma(1+i) \approx 0.4980 - 0.1549i.</math>  

மேலும்,  
:<math>|i!| = \sqrt{\pi \over \sinh \pi} </math>  

## மாற்றுக் குறியீடுகள்
- மின் பொறியியலில் மின்னோட்டத்தின் குறியீடு அல்லது எனக் குறிக்கப்படுவதால், குழப்பத்தைத் தவிர்க்கும் விதமாக கற்பனை அலகு எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
- பைத்தான் நிரலாக்க மொழியிலும் ஒரு சிக்கலெண்ணின் கற்பனைப் பகுதியைக் குறிப்பதற்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது.
- மேட்லேப் , இரண்டுமே கற்பனை அலகைக் குறிக்கப் பயன்படுத்துகிறது
- சுட்டெண்கள், கீழெழுத்துக்களில் இருந்து வேறுபடுத்திக் காட்டும் நோக்கில், சில புத்தகங்களில் கற்பனை அலகைக் குறிக்கக் கிரேக்க எழுத்தான (iota) பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.