# வர்க்கமூலம்



கணிதத்தில் "a" என்னும் எண்ணின் **வர்க்கமூலம்** என்பது, y<sup>2</sup> = a என்னும் சமன்பாட்டில் அமைந்த எண் "y" ஆகும்; <math>y = \sqrt{ a }</math>. இன்னொரு வகையில் சொல்வதானால் எதன் வர்க்கம் "a" ஆக அமையுமோ அது "a" இன் வர்க்கமூலம் ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக 4 என்பது 16 இன் வர்க்கமூலம். ஏனெனில், 4<sup>2</sup> = 16.  

ஒவ்வொரு எதிரெண் அல்லாத மெய்யெண்ணுக்கும், *முதன்மை வர்க்கமூலம்* என அழைக்கப்படும், ஒரு தனித்துவமான எதிரெண் அல்லாத வர்க்கமூலம் உண்டு. இதை <math>\scriptstyle \sqrt{a}</math> எனக் குறிப்பது வழக்கம். இங்கே <math>\scriptstyle \sqrt{\,\,}</math> என்பது மூலக்குறி எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, , ஆகவும், 3 எதிரெண் அல்லாத எண் ஆதலாலும், 9 இன் முதன்மை வர்க்க மூலம் 3 என்பதை <math>\scriptstyle \sqrt{9} \ = \pm 3</math> எனக் குறிப்பர்.  

ஒவ்வொரு நேரெண் "a" யும் இரண்டு வர்க்க மூலங்களைக் கொண்டிருக்கும். இவை <math>\scriptstyle \sqrt{a}</math> உம், <math>\scriptstyle -\sqrt{a}</math> உம் ஆகும். இவற்றுள் முதலாவது நேரெண், மற்றது எதிரெண். இவ்விரண்டையும் ஒரே குறியீடாக <math>\scriptstyle \pm\sqrt{a}</math> எனக் குறிப்பர். ஒரு நேரெண்ணின் "வர்க்கமூலம்" என்பது அந்த நேரெண்ணின் முதன்மை வர்க்கமூலத்தையே குறிக்கும். நேரெண் "a" இன் வர்க்க மூலத்தை அடுக்குக் குறி முறையில் *a*<sup>1/2</sup> எனவும் குறிப்பது உண்டு.  

எதிரெண்களின் வர்க்கமூலங்களை சிக்கலெண்கள் வரையறையைக் கொண்டு காணலாம். மேலும் பொதுமையாக, ஒரு கணிதப் பொருளின் "வர்க்கம்" குறித்த கருத்து வரையறுக்கப்பட்டுள்ள எந்தவொரு சூழலிலும் வர்க்கமூலம் குறிப்பிடப்படலாம். இத்தகைய இதர கணித அமைப்புகளுடன் சார்பு வெளிகளும் சதுர அணிகளும் அடங்கும்.  

## பண்புகளும் பயன்பாடுகளும்
கொண்ட அரை பரவளைவு.]]  
முதன்மை வர்க்கமூலச் சார்பு (வழக்கமாக வர்க்கமூலச் சார்பு என்றே குறிப்பிடப்படுகிறது) <math>f(x) = \sqrt{x}</math> என்பது எதிரில்லா மெய்யெண்களின் கணத்திலிருந்து அக்கணத்திற்கே வரையறுக்கப்பட்ட சார்பாகும். வடிவவியல் ரீதியாக, வர்க்கமூலச் சார்பானது ஒரு சாதுரத்தின் பரப்பளவை அச்சதுரத்தின் பக்க நீளத்துடன் இணைக்கிறது.  

இரு முழுவர்க்க எண்களின் விகிதமாக எழுதக்கூடிய விகிதமுறு எண்ணாக , "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே" இன் வர்க்கமூலம் ஒரு விகிதமுறு எண்ணாக இருக்கும். வர்க்கமூலச் சார்பானது விகிதமுறு எண்களை இயற்கணித எண்களோடு இணைக்கிறது (இயற்கணித எண்களின் கணமானது விகிதமுறு எண்களின் கணத்தின் உட்கணம்).  

அனைத்து மெய்யெண்கள் க்கும்:  
:<math display="block">  
\sqrt{x^2} = \x\ =  
\begin{cases}  
x, & \text{if }x \ge 0 \\  
-x, & \text{if }x < 0.  
\end{cases}  
</math> (பார்க்க: தனி மதிப்பு).  

அனைத்து எதிரில்லா மெய்யெண்கள் , களுக்கும்:  
:<math display="block">\sqrt{xy} = \sqrt x \sqrt y</math>  
:<math display="block">\sqrt x = x^{1/2}.</math>  

வர்க்கமூலச் சார்பானது, அனைத்து எதிரில்லா மெய்யெண்கள் களுக்கும் வர்க்கமூலச் சார்பு, தொடர்ச்சியான சார்பாகும்; மேலும் அனைத்து நேர் மெய்யெண்களுக்கும் வகையிடத்தக்கதாகும். வர்க்கமூலச் சார்பு எனில் அதன் வகையீடு:  
:<math display="block">f'(x) = \frac{1}{2\sqrt x}.</math>  

<math>\sqrt{1 + x}</math> இன் ஐப் பொறுத்த டெய்லர் தொடர்:  
:<math display="block">\sqrt{1 + x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)(n!)^2(4^n)}x^n = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16} x^3 - \frac{5}{128} x^4 + \cdots,</math>  
:<math> \x\</math> ≤ 1 மதிப்பிற்கு இத்தொடரானது ஒருங்கும்.  

எதிரில்லா எண்களின் வர்க்கமூலமானது, யூக்ளிடிய நெறிமம், தொலைவு ஆகியவற்றின் வரையறைகளிலும், ஹில்பர்ட்டு வெளி போன்ற பொதுமைப்படுத்தல்களிலும் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. மேலும் வர்க்கமூலம், புள்ளியியலின் நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் முக்கியமான கருத்துருவான நியமவிலகலை வரையறுக்கிறது. இருபடிச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகளுக்கான வாய்ப்பாட்டில் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது; மேலும் வர்க்கமூலத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட இருபடிக் களங்கள், இருபடி முழுவெண்களின் வளையங்கள் ஆகியவை இயற்கணிதத்திலும் வடிவவியலிலும் முக்கியமானவை. வர்க்கமூலங்கள் கணித வாய்பாடுகளிலும் இயற்பியல் விதிகளிலும் பரவலாகக் காணப்படுகின்றன.  

## நேரெண்ணின் வர்க்கமூலம்
ஒரு நேரெண்ணிற்கு இரு வர்க்கமூலங்கள் உள்ளன; இவை இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று கூட்டல் நேர்மாறாக இருக்கும். அதாவது அளவில் சமமாகவும் குறியில் எதிரானவையாகயும் இருக்கும் (ஒன்று நேரெண் மற்றது எதிரெண்). பொதுவாக ஒரு நேர்ண்ணின் வர்க்கமூலம் எனக் குறிப்பிடும்போது அது நேரெண்ணாகவுள்ள வர்க்கமூலத்தையே சுட்டுகிறது.  

முழுவெண்களின் வர்க்கமூலங்கள் இயற்கணித எண்களாக, குறிப்பாக இருபடி முழுவெண்களாக இருக்கும்.  

ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட எண்களின் பெருக்கலாகவுள்ள எண்ணின் வர்க்கமூலமானது அப்பெருக்கலிலுள்ள தனித்தனி காரணியெண்களின் வர்க்கமூலங்களின் பெருக்கலுக்குச் சமமாக இருக்குமென்பதால், ஒரு நேரெண்ணின் வர்க்கமூலமானது அதன் பகா எண்களின் காரணிகளின் வர்க்கமூலங்களின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாகும். மேலும் <math display="inline">\sqrt{p^{2k}} = p^k,</math> என்பதால்:  
:<math display="block">\sqrt{p_1^{2e_1+1} \cdots p_k^{2e_k+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}} \dots p_n^{2e_n}} = p_1^{e_1} \dots p_n^{e_n} \sqrt{p_1\dots p_k}.</math>  

### பதின்ம விரிவாக்கங்கள்
முழுவர்க்க எண்களின் வர்க்கமூலங்கள் முழு எண்களாகும் (எகா: 0, 1, 4, 9, 16) ஏனைய நேரெண்களின் வர்க்கமூலங்கள் விகிதமுறா எண்களாக இருக்குமென்பதால் அவற்றின் பதின்ம விரிவுகள் மீளும் தசமங்களாக இருக்கும். கீழுள்ள அட்டவணையில் துவக்க இயலெண்கள் சிலவற்றின் தசமத் தோராயங்கள் தரப்பட்டுள்ளன:  

| 0 | 0 |
| --- | --- |
| 1 | 1 |
| 2 | ]] |
| 3 | ]] |
| 4 | 2 |
| 5 | ]] |
| 6 | ]] |
| 7 | ]] |
| 8 |  |
| 9 | 3 |
| 10 | } |

### காலமுறை தொடரும் பின்னங்களாக
கணிதவியலாளர் ஜோசப் லூயி லாக்ராஞ்சியால் விகிதமுறா எண்கள் காலமுறைத் தொடரும் பின்னங்களாகக் கண்டறியப்பட்டது.  

| <math>\sqrt{2}</math> | = [1; 2, 2, ...] |  |
| --- | --- | --- |
| <math>\sqrt{3}</math> | = [1; 1, 2, 1, 2, ...] |  |
| <math>\sqrt{4}</math> | = [2] |  |
| <math>\sqrt{5}</math> | = [2; 4, 4, ...] |  |
| <math>\sqrt{6}</math> | = [2; 2, 4, 2, 4, ...] |  |
| <math>\sqrt{7}</math> | = [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...] |  |
| <math>\sqrt{8}</math> | = [2; 1, 4, 1, 4, ...] |  |
| <math>\sqrt{9}</math> | = [3] |  |
| <math>\sqrt{10}</math> | = [3; 6, 6, ...] |  |
| <math>\sqrt{11}</math> | = [3; 3, 6, 3, 6, ...] |  |
| <math>\sqrt{12}</math> | = [3; 2, 6, 2, 6, ...] |  |
| <math>\sqrt{13}</math> | = [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...] |  |
| <math>\sqrt{14}</math> | = [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...] |  |
| <math>\sqrt{15}</math> | = [3; 1, 6, 1, 6, ...] |  |
| <math>\sqrt{16}</math> | = [4] |  |
| <math>\sqrt{17}</math> | = [4; 8, 8, ...] |  |
| <math>\sqrt{18}</math> | = [4; 4, 8, 4, 8, ...] |  |
| <math>\sqrt{19}</math> | = [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...] |  |
| <math>\sqrt{20}</math> | = [4; 2, 8, 2, 8, ...] | } |

தொடரும் பின்னங்களின் சுருக்கு வடிவமாக இங்கு சதுர அடைப்புக்குறி பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. 11 இன் வர்க்கமூலம், [3; 3, 6, 3, 6, ...] , கீழுள்ளவாறமைகிறது:  
:<math display="block">  
\sqrt{11} = 3 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{6 + \cfrac{1}{3 + \ddots}}}}}  
</math>  

இரு இலக்க வடிவமான {3, 6}, பகுதிகளில் மீண்டும் மீண்டும் வருகிறது. என்பதால் மேலே தரப்பட்டது கீழுள்ள பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தொடரும் பின்னங்களை ஒத்திருக்கும்:  
:<math display="block">  
\sqrt{11} = 3 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \cfrac{2}{6 + \ddots}}}}} = 3 + \cfrac{6}{20 - 1 - \cfrac{1}{20 - \cfrac{1}{20 - \cfrac{1}{20 - \cfrac{1}{20 - \ddots}}}}}.  
</math>  

## எதிரில்லா மற்றும் சிக்கல் எண்களின் வர்க்கமூலங்கள்
அனைத்து நேர் மாற்றும் எதிர் எண்களின் வர்க்கங்களும் நேரெண்களாகவே இருக்கின்றன; மேலும் 0 இன் வர்க்கம் 0. எனவே எந்தவொரு எதிரெண்ணுக்கும் மெய்யெண் வர்க்கமூலம் கிடையாது. எனவே எதிரெண்களின் வர்க்கமூலங்கள் காண்பதற்கு சிக்கலெண்களின் கணம் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது. இதில் கற்பனை அலகு என்ற புது எண் அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. கற்பனை அலகின் குறியீடு ("*i*" ஆனது வழக்கமாக மின்னோட்டத்தைக் குறிக்கும் சூழல்களில் கற்பனை அலகு எனக் குறிக்கப்படுகிறது.) கற்பனை அலகின் வரையறை:  
:.  
இதிலிருந்து ஆனது −1 -இன் வர்க்கமூலம் என்றும், என்பதால் உம் −1 இன் வர்க்கமூலமென்றும் அறியலாம். −1 இன் முதன்மை வர்க்கமூலமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.  

:<math display="block">(i\sqrt x)^2 = i^2(\sqrt x)^2 = (-1)x = -x.</math> என்பதால், ஏதாவதொரு எதிரில்லா எண் எனில், இன் முதன்மை வர்க்கமூலம்  
:<math display="block">\sqrt{-x} = i \sqrt x.</math>  

### சிக்கலெண்ணின் முதன்மை வர்க்கமூலம்

எந்தவொரு <math>x + i y</math> என்ற சிக்கலெண்ணையும், சிக்கலெண் தளத்திலமைந்த <math>(x, y),</math> கார்ட்டீசியன் ஆயதொலைவுகளுடைய புள்ளியாகக் கருதலாம். இதேபோல வாள்முனை ஆள்கூற்று முறைமையிலும் போலார் ஆயதொலைகள் <math>(r, \varphi),</math> கொண்ட புள்ளியாகக் கொள்ளலாம்; போலார் ஆயதொலைவுகளில், புள்ளிக்கும் ஆதிக்கும் இடைப்பட்ட தூரம் <math>r \geq 0</math>; புள்ளியையும் ஆதியையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டானது நேர்ம மெய்யச்சுடன் (<math>x</math>) உண்டாக்கும் கோணம் <math>\varphi</math>. போலார் ஆயமுறையில் சிக்கலெண் தளத்தில் புள்ளியின் குறியீடு: <math>r e^{i\varphi}.</math>  

<math display=block>z = r e^{i \varphi} \text{ with } -\pi < \varphi \leq \pi,</math> எனில், <math>z</math> இன் முதன்மை வர்க்கமூலத்தின் வரையறை:  
:<math display=block>\sqrt{z} = \sqrt{r} e^{i \varphi / 2}.</math>  

<math>z</math> ஒரு எதிரில்லா மெய்யெண்ணாக இருந்தால் (<math>\varphi = 0</math>) <math>z</math> இன் முதன்மை வர்க்கமூலம்:  
:<math>\sqrt{r} e^{i (0) / 2} = \sqrt{r};</math>  

<math>-\pi < \varphi \leq \pi</math> ஆக இருத்தல் அவசியமானது ஏனெனில்:  

- <math>\varphi = -\pi/2</math> எனில்
: <math>z = - 2 i</math>  
:இதன் முதன்மை வர்க்கமூலம்:  
:<math display=block>\sqrt{-2 i} = \sqrt{2 e^{i\varphi}} = \sqrt{2} e^{i\varphi/2} = \sqrt{2} e^{i(-\pi/4)} = 1 - i</math>  

- ஆனால் <math>\tilde{\varphi} := \varphi + 2 \pi = 3\pi/2</math> எனக் கொள்ள <math>z </math> இன் நேரில்லா வர்க்கமூலம் கிடைக்கிறது:
: <math>\sqrt{2} e^{i\tilde{\varphi}/2} = \sqrt{2} e^{i(3\pi/4)} = -1 + i = - \sqrt{-2 i}.</math>  

முதன்மை வர்க்கமூலச் சார்பானது, நேரில்லா மெய்யெண்கள் தவிர்த்த அனைத்திற்கும் முற்றுருவச் சார்பியம். இக்கட்டுரையின் மேற்பகுதியில் கூறப்பட்டுள்ள <math>\sqrt{1 + x}</math> இன்டெய்லர் தொடரானது <math>|x| < 1.</math> என்றமையும் சிக்கலெண்கள் <math>x</math> க்கும் பொருந்தும்.  

சிக்கலெண்களின் வர்க்கமூலத்தை முக்கோணவியல் சார்புகள் கொண்டும் எழுதலாம்:  
:<math display=block>\sqrt{r \(\cos \varphi + i \sin \varphi \)} = \sqrt{r} \(\cos \frac{\varphi}{2} + i \sin \frac{\varphi}{2} \).</math>  

### இயற்கணித வாய்பாடு

மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைக் கொண்ட வடிவிலுள்ள சிக்கலெண்ணின் முதன்மை வர்க்கமூலத்தைக் கீழுள்ள வாய்பாடு மூலம் காணலாம்:  
:<math display="block">\sqrt{x+iy} = \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} + x}{2}} +i\sgn(y) \sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2} - x}{2}},</math>  
இதில் என்பது இன் குறியாகும் ( தவிர). குறிப்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட சிக்கலெண் மற்றும் அதன் வர்க்கமூலத்தின் கற்பனைப்பகுதிகள் இரண்டின் குறிகளும் ஒன்றாக இருக்கும். முதன்மை வர்க்கமூலத்தின் மெய்ப்பகுதி எப்போதுமே எதிரில்லா எண்ணாகவே இருக்கும்.  

எடுத்துக்காட்டாக இன் முதன்மை வர்க்கமூலங்கள்:  
<math display="block">\begin{align}  
\sqrt{i} &= \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\\  
\sqrt{-i} &= \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1-i).  
\end{align}</math>  

## -ஆம் படிமூலங்களும் பல்லுறுப்புக்கோவை மூலங்களும்

<math>y^2 = x</math> எனில், <math>x</math> இன் வர்க்கமூலம் <math>y</math> ஆகும் என்ற வர்க்கமூலத்தின் வரையறை மேலும் பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது:  

- <math>y^3 = x</math> எனில் <math>x</math> இன் கனமூலம் <math>y</math> ஆகும்; குறியீடு: <math>\sqrt[3]x.</math>
- ஆனது இரண்டைவிடப் பெரிய முழுவெண் எனில், <math>x</math> இன் -ஆம் படிமூலம் என்பது <math>y^n = x</math> என்ற சமன்பாட்டை நிறைவுசெய்யும் <math>y</math> ஆகும்; இதன் குறியீடு: <math>\sqrt[n]x.</math>
- பல்லுறுப்புக்கோவை எனும் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமானது சமன்பாட்டை நிறைவுசெய்யும் இன் மதிப்பாகும். எடுத்துக்காட்டாக, <math>y^n - x.</math> என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்கள் இன் ஆம் படிமூலங்களாகும்.

ஆபேல்-உருஃப்பினி தேற்றத்தின்படி, ஐந்து அல்லது அதற்கும் மேற்பட்ட படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் மூலங்களை -ஆம் படிமூலங்களாக எழுத இயலாது.  

## அணிகள் அல்லது செயலிகளின் வர்க்கமூலங்கள்
*A*, ஒரு நேர்ம-வரைவுள்ள அணி அல்லது செயலி எனில் என்பதை நிறைவுசெய்யும் ஒரேயொரு நேர்ம-வரைவுள்ள அணி அல்லது செயலி *B* இருக்கும்; மேலும் என வரையறுக்கப்படுகிறது. பொதுவாக அணிகளுக்கு எண்ணற்ற வர்க்கமூலங்கள் இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக ஒரு [[முற்றொருமை அணிக்கு எண்ணற்ற வர்க்கமூலங்கள் உள்ளன. எனினும் அவற்றில் ஒன்றுமட்டுமே நேர்ம-வரைவுள்ளதாக இருக்கும்.  

## வடிவவியல் முறையில் வர்க்கமூலம் வரைதல்


வழக்கமாக, ஒரு நேரெண்ணின் வர்க்கமூலம் என்பது அந்த எண்ணுக்குச் சமமான பரப்பளவுள்ள சதுரத்தின் பக்கநீளத்திற்குச் சமமாகும். எனினும் சதுர வடிவமென்பது அவசியமானதல்ல. இரு வடிவொத்த யூக்ளிடிய தளப் பொருட்களில் ஒன்றின் பரப்பளவு மற்றதன் பரப்பளவைப் போல *a* மடங்கு பெரியதாக இருந்தால் அப்பொருட்களின் நேரியல் அளவுகளின் விகிதம் <math>\sqrt{a}</math> ஆக இருக்கும்.  

நேர்விளிம்பு மற்றும் கவராயத்தைக் கொண்டு ஒரு வர்க்கமூலத்தை வரையலாம். கணிதவியலாளர் யூக்ளிடு, அவரது எலிமென்ட்சு நூலில் இரு வெவ்வேறு இடங்களில் இரு அளவுகளின் பெருக்கல் சராசரி காணும்முறையைக் கூறியிருக்கிறார் (Proposition II.14 and Proposition VI.13). அதனைக் கொண்டு, *a*, *b* இன் பெருக்கற்சராசரி <math>\sqrt{ab}</math> என்பதால், என எடுத்துக்கொண்டு எளிதாக <math>\sqrt{a}</math> வரையலாம்.