# சார்பகா முழுஎண்கள்

எண் கோட்பாட்டில், இரு முழு எண்களுக்கிடையே 1 மட்டுமே பொது வகுஎண்ணாக இருந்தால் அவை **சார்பகா எண்கள்** (*relatively prime*, *mutually prime*, *coprime*) எனப்படும். அதாவது இரு சார்பகா எண்களின் மீபொவ 1.  

எடுத்துக்காட்டு:  

14 , 15 -க்கு, 1ஐத் தவிர வேறு பொது வகுஎண் இல்லை; இவை சார்பகா எண்கள்; ஆனால் 14, 21 -க்கு, 1ஐத் தவிர 7 ஒரு பொது வகுத்தியாக உள்ளதால் இரண்டும் சார்பகா எண்கள் அல்ல.  

*a*, *b* சார்பகா எண்கள் என்பதைக் குறிக்க, <math>\gcd(a, b) = 1\;</math>, <math>(a, b) = 1,\;</math> என்ற இரு குறியீடுகள் மட்டுமல்லாது, சிலசமயங்களில் <math>a\perp b</math> என்ற குறியீடும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  

சுருக்கப்பட்ட பின்னத்தின் பகுதியும் தொகுதியும் ஒன்றுக்கொன்று சார்பகா எண்களாக இருக்கும். எண்கள் 1ம், −1ம் ஒவ்வொரு முழுஎண்ணுடனும் சார்பகா எண்களாக இருக்கின்றன. மேலும், இவை மட்டுமே 0 உடன் சார்பகா எண்களாக அமையும் முழுஎண்களாகும்.  

இரு எண்கள் சார்பகா எண்களா என்பதை யூக்ளிடியப் படிமுறைத்தீர்வு மூலமும், நேர் முழுஎண் *n* உடன் சார்பகா எண்களாகவுள்ள (1 முதல் *n* வரை) முழுஎண்களின் எண்ணிக்கையை ஆய்லரின் ஃபை சார்பின் (*φ*(*n*) மூலமும் (Euler's totient function or Euler's phi function) காணலாம்..  

சார்பகாத்தன்மை எண்களுக்கிடையே மட்டுமல்லாது, கணங்களிலும் வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒரு கணத்திலுள்ள உறுப்புகளுக்கிடையே 1ஐத் தவிர வேறு பொதுவகுத்திகள் இல்லாதிருந்தால் அக் கணம் ’சார்பகா கணம்’ (*coprime*) என்றும் அக் கணத்தின் உறுப்புகளாலான ஒவ்வொரு சோடி (*a*, *b*) க்கும் *a* , *b* சார்பகா எண்களாக அமைந்தால் ’சோடிவாரியான சார்பகா கணம்’ (*pairwise coprime*) என்றும் அழைக்கப்படும்.  

## பண்புகள்
வேறெந்த சட்டகப் புள்ளிகளையும் சந்திக்காது.]]  

*a* மற்றும் *b* இரண்டும் சார்பகா எண்கள் என்பதற்குச் சமானமான கூற்றுகள்:  
- *a* மற்றும் *b* ஐ எந்தவொரு பகா எண்ணும் வகுக்காது.
- *ax* + *by* = 1 என்றவாறமையும் *x*, *y* எனும் முழுஎண்களைக் காணலாம்.
- முழுஎண் *b* மாடுலோ *a* ஐப் பொறுத்து பெருக்கல் தலைகீழி உடையதாய் இருக்கும். அதாவது *by* ≡ 1 (mod *a*) என்றவாறு, *y* எனும் முழுஎண்ணைக் காணலாம்.

மேலே தரப்பட்ட கூற்றுகளிலிருந்து பின்வரும் விளைவுகளைப் பெறலாம்:  

- *a* , *b* சார்பகா எண்கள், மற்றும் *br* &equiv; *bs* (மாடுலோ *a*) எனில், *r* &equiv; *s* (மாடுலோ *a*) ஆக இருக்கும்.
- *b*<sub>1</sub>, *b*<sub>2</sub> இரண்டும் *a* உடன் சார்பகா எண்கள் எனில், அவற்றின் பெருக்கம் *b*<sub>1</sub>*b*<sub>2</sub>ம் *a* உடன் சார்பகா எண்ணாக இருக்கும்.
- *a*, *b* சார்பகா எண்கள் எனில் அவற்றின் அடுக்குகள், *a*<sup>*k*</sup>, *b*<sup>*l*</sup> இரண்டும் சார்பகா எண்களாகும்.
- *a*, *b* சார்பகா எண்கள், மற்றும் *a* ஆனது *bc*ஐ வகுக்குமெனில், *a* ஆனது *c*ஐ வகுக்கும்.
- கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் ஆதிப்புள்ளி (0,0)க்கும் (*a*, *b*)ஐ ஆள்கூறுகளாகக் கொண்ட புள்ளிக்குமிடையே முழுஎண் ஆள்கூறுகள் கொண்ட புள்ளிகள் இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே *a*, *b* சார்பகா எண்களாக இருக்கும் (பார்க்க: படம் 1)
- சமவாய்ப்புமுறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இரு முழுஎண்கள் சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 6/π<sup>2</sup>, அதாவது 61%.
- 2<sup>*a*</sup> &minus; 1 மற்றும் 2<sup>*b*</sup> &minus; 1 இரண்டும் சார்பகா எண்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இயல் எண்கள் *a*, *b* இரண்டும் சார்பகா எண்களாக இருக்கும்.

## கணங்களில் சார்பகாத்தன்மை
- *S* = {*a*<sub>1</sub>, *a*<sub>2</sub>, .... *a*<sub>*n*</sub>} என்ற முழுஎண்களாலான கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தின் மீபொவ 1ஆக இருந்தால் அது **சார்பகாக் கணம்** (*coprime* அல்லது *setwise coprime*) என்றழைக்கப்படுகிறது.
- முடிவுறு அல்லது முடிவுறா முழு எண்கள் கணத்தின் உறுப்புகளில், ஒவ்வொரு சோடியும் சார்பகா எண்களாக இருந்தால், அக் கணம் **சோடிவாரியான சார்பகா கணம்** (*pairwise coprime*) என்றழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு சோடிவாரியான சார்பகா கணமானது, சார்பகா கணமாகவும் இருக்கும்; ஆனால் ஒரு சார்பகா கணமானது, சோடிவாரியான சார்பகா கணமாகாது.  

எடுத்துக்காட்டாக,  
:*S* = {6, 10, 15} ஒரு சார்பகா கணம் (6, 10, 15 ஆகிய மூன்று எண்களுக்கும் பொதுவகுத்தி 1 மட்டுமே).  
:இது சோடிவாரியான சார்பகா கணம் அல்ல:  
::மீபொவ(6, 10) = 2  
::மீபொவ(10, 15) = 5  
::மீபொவ(6, 15) = 3.  

அனைத்துப் பகாஎண்களின் கணமும், அனைத்து ஃபெர்மா எண்களின் கணமும் சோடிவாரியான சார்பகா கணங்கள் ஆகும்.  

## நிகழ்தகவு
*a*, *b* என்ற இரு எண்களுக்கு பொதுப் பகாஎண் வகுஎண் இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அந்த இருஎண்களும் சார்பகா எண்களாக இருக்கும் என்ற கூற்றைப் பயன்படுத்தி, அவை சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவைக் காணலாம்.  

எந்தவொரு எண்ணும் <math>p</math> என்ற பகாஎண்ணால் வகுபடுவதற்கான நிகழ்தகவு <math>1/p</math> (எடுத்துக்காட்டாக, முழுஎண்களின் வரிசையில் ஒவ்வொரு ஏழாவது எண்ணும் ஏழால் வகுபடும்). எனவே எடுத்துக்கொள்ளப்படும் எந்த இரு எண்களும்  

:பகாஎண் *p* ஆல் வகுபடுவதற்கான நிகழ்தகவு:  
:<math>1/p^2</math>;  
:குறைந்தபட்சம் ஒன்றாவது *p* ஆல் வகுபடாமல் இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு:  
:<math>1-1/p^2</math>.  

எனவே இரு எண்கள் சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு:  

: <math>\prod_{\text{prime } p} \(1-\frac{1}{p^2}\) = \( \prod_{\text{prime } p} \frac{1}{1-p^{-2}} \)^{-1} = \frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2} \approx 0.607927102 \approx 61\%.</math>  

<math>{\zeta}</math> என்பது ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்  

ஒவ்வொரு நேர் முழுஎண் *N* க்கும் <math>\{1,2,\ldots,N\}</math> -லிருந்து சமவாய்ப்புமுறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட இரு எண்கள் சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு *P*<sub>*N*</sub>. *P*<sub>*N*</sub> இன் மதிப்பு மிகச் சரியாக <math>6/\pi^2</math> க்குச் சமமாக இருக்காது என்றாலும் <math>N \to \infty</math> எனும்போது நிகழ்தகவு <math>P_N</math> ஆனது <math>6/\pi^2</math>ஐ நெருங்கும் என்பதை நிறுவமுடியும்.  

சமவாய்ப்புமுறையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட *k* முழுஎண்கள் சார்பகா எண்களாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு 1/*&zeta;*(*k*).