# வகையிடலின் குறியீடு

**வகையிடலின் குறியீடு** (*notation for differentiation*) என்பது ஒரு சார்பினை வகையிடும் செயலைக் குறிப்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் அடையாளக் குறியாகும். கணிதவியலாளர்களால் வகையிடலைக் குறிப்பதற்குப் பலவகையான குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு குறியீடும் வெவ்வேறு சூழ்நிலைகளில் பொருத்தமானதாக உள்ளன. *லைப்னிட்சின் குறியீடு*, *லாக்ராஞ்சியின் குறியீடு*, *நியூட்டனின் குறியீடு*, *ஆய்லரின் குறியீடு* ஆகியவை அதிகப் பயன்பாட்டிலுள்ள குறியீடுகள்.  

## லைப்னிட்சின் குறியீடு

லைப்னிட்சால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வகையிடல் குறியீடு கணிதவியல் முழுவதும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  

சாரா மாறி *x* , சார் மாறி *y* ஆகிய இரண்டுக்கும் இடையிலான தொடர்பைக் குறிப்பதாக *y*&nbsp;=&nbsp;*f*(*x*) சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்ளும் இடங்களில் லைப்னிட்சின் குறியீடு வகையிடலுக்கு அதிகம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  

இக்குறியீட்டின்படி:  

- *x* ஐப் பொறுத்த *y* இன் **முதல் வகைக்கெழு**:

: <math>\frac{dy}{dx}</math>  

: <math>\frac{d\bigl(f(x)\bigr)}{dx}\text{ or }\frac{d}{dx}\bigl(f(x)\bigr)</math>  

*உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்*:  

- *y*&nbsp;=&nbsp;*f*(*x*) இன் **இரண்டாம் வகைக்கெழு**

:<math> \frac{d \( \frac{d y} {dx}\)} {dx} = \frac{d^2}{\(dx\)^2} \bigl(f(x)\bigr)=\frac{d^2}{dx^2} \bigl(f(x)\bigr)</math>  

- *y*&nbsp;=&nbsp;*f*(*x*) இன் **மூன்றாம் வகைக்கெழு**

: <math>\frac{d \Bigl(\frac{d \( \frac{d y} {dx}\)} {dx}\Bigr)} {dx} = \(\frac{d}{dx}\)^3 \bigl(f(x)\bigr) =\frac{d^3}{dx^3} \bigl(f(x)\bigr)</math>  

- *y*&nbsp;=&nbsp;*f*(*x*) இன் ***n* ஆம் வகைக்கெழு**
: <math>\frac{d^ny}{dx^n},\quad\frac{d^n\bigl(f(x)\bigr)}{dx^n},\text{ or }\frac{d^n}{dx^n}\bigl(f(x)\bigr)</math>  

புள்ளியில் *y* இன் வகைக்கெழுவை லைபினிட்சின் குறியீட்டில் இருவிதமாக எழுதலாம்:  

: <math>\.\frac{dy}{dx}\_{x=a} = \frac{dy}{dx}(a).</math>  

இக்குறியீட்டில் எந்த மாறியைப் பொறுத்து வகையிடப்படுகிறதோ அம்மாறி பகுதியில் குறிப்பிடப்படுகிறது. பகுதி வகையிடலில் இது பெரிதும் உதவியாய் இருக்கிறது. சங்கிலி விதியை நினைவில் கொள்ளவும் எளிதாக உள்ளது:  

: <math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math>  

## லாக்ராஞ்சியின் குறியீடு
<div>*f *ʹ(*x*) &nbsp;*f *ʺ(*x*)</div>  

வகையிடலுக்குத் தற்காலத்தில் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடு லாக்ராஞ்சியின் குறியீடாகும்.  

லாக்ராஞ்சியால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட இக்குறியீட்டின் படி:  

***f* இன் முதல் வகைக்கெழு**  
:<math>(f)'=f' \,</math>  

**இரண்டாம் வகைக்கெழு**  

:<math>(f')'=f''\,</math>  

**மூன்றாம் வகைகெழு**  

:<math>(f*)'=f*'\,</math>  

இதற்கும் மேற்பட்ட வகைக்கெழுக்களைக் குறிப்பதற்குச், சிலர் மேலெழுத்தாக ரோமன் எண்ணுருக்களையும் வேறு சிலர் எண்களை மேலெழுத்தாக, அடைப்புக் குறிக்குள்ளும் எழுதுகின்றனர்:  

**நான்காம் வகைக்கெழு**  

:<math>f^{\mathrm{iv}}\,\!</math> &emsp; அல்லது &emsp; <math>f^{(4)}\,\!</math>  

***f* இன் *n* ஆம் வகைக்கெழு**  

:<math>f^{(n)}\,\!</math>  

வகையிடலை ஒரு சார்பாகக் கருதும்போது லைபினிட்சின் குறியீட்டை விட இக்குறியீடு பொருத்தமானதாகவும் வசதியானதாகவும் இருக்கும்.  

## ஆய்லரின் குறியீடு
<div>*D<sub>x</sub>y* *D*<sup>2</sup>*f*</div>  
வகையிடலில் ஆய்லரின் குறியீடு, *D* என்னும் வகையீட்டுச் செயலியைக் கொண்டுள்ளது.  

இக்குறியீட்டின்படி:  

***f* இன் முதல்வகைக்கெழு**  

:<math>Df\,</math>  

**இரண்டாம் வகைக்கெழு**  

:<math>D^2f \,</math> ....  

***n* ஆம் வகைக்கெழு**  

:<math>D^nf \,</math>  

*y* = *f*(*x*) எனில், *D* உடன் இணைத்து சாரா மாறி *x* எழுதப்படுகிறது:  

:<math>D_x y\,</math> &emsp; அல்லது &emsp; <math>D_x f(x)\,</math>,  

: <math>D^2_x y\;</math> &emsp; அல்லது &emsp; <math>D^2_x f(x)\,</math>  

: <math>D^n_x y \;</math> &emsp; அல்லது &emsp; <math>D^n_x f(x)\,</math>  

ஒரே மாறியில் அமைந்த சார்பாக இருப்பின் கீழெழுத்தான *x* ஐ விட்டுவிட்டும் எழுதலாம்.  

நேரியல் வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளை எழுதுவதற்கும் தீர்வு காண்பதற்கும் ஆய்லரின் குறியீடு பயனுள்ளதாக இருக்கும்.  

## நியூட்டனின் குறியீடு
<div>*ẋ ẍ*</div>  

வகையிடலுக்கு நியூட்டன் அறிமுகப்படுத்திய குறியீட்டில் ஒரு சார்பின் முதல் வகைக்கெழுவைக் குறிக்க அச்சார்பின் பெயர் மீது ஒரு புள்ளியும் இரண்டாம் வகைக்கெழுவைக் குறிக்க இரண்டு புள்ளிகளும் இடப்படுகின்றன. இக்குறியீடு பெரும்பாலும் திசைவேகம், முடுக்கம் போன்ற நேரத்தைப் பொறுத்த வகைக்கெழுக்களைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  

**முதல் வகைக்கெழு**  

: <math>\dot{y} = \frac{dy}{dt} </math>  

**இரண்டாம் வகைக்கெழு**  

: <math>\ddot{y} = \frac{d^2y}{dt^2} </math>...  

நேரம் *t* இன் சார்புகளுக்கு இக்குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. இக்குறியீடு முக்கியமாக இயக்கவியலிலும் சாதாரண வகையீட்டுச் சமன்பாட்டுக் கோட்பாட்டிலும் பயன்படுகிறது.  

## இதர குறியீடுகள்
<div>*f<sub>x</sub>*&nbsp; *f<sub>xy</sub>*</div>  

வகையிடலைக் குறிப்பதற்கு வேறு சில குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.  

*f(x)* சார்புடன் கீழெழுத்தாக சாரா மாறியைச் சேர்த்து வகைக்கெழுக்களைக் கீழ்க்கண்டவாறு குறிக்கலாம்:  

: <math>f_x = \frac{df}{dx} </math>  

: <math>f_{x x} = \frac{d^2f}{dx^2}. </math>  

பல மாறிகளில் அமைந்த சார்பின் பகுதி வகைக்கெழுவைக் காணும்போது இக்குறியீட்டு முறை பயனுள்ளதாக இருக்கும்.  

<div>&nbsp;*∂f*&nbsp;  
<hr>&nbsp;*∂x*&nbsp;</div>  

சாதாரண வகைக்கெழுக்களிலிருந்து பகுதி வகைக்கெழுக்களை வேறுபடுத்திக் காட்டுவதற்காக வகையீட்டுச் செயலி *d* க்குப் பதிலாக "∂" என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது.  

*f(x,y,z)* சார்பின் *x* மட்டும் பொறுத்த பகுதி வகைக்கெழு:  

: <math>\frac{\partial f}{\partial x} = f_x = \partial_x f = \partial^x f, </math>