# அரைச்சுற்றளவு

வடிவவியலில், ஒரு பல்கோணத்தின் **அரைச்சுற்றளவு** (*semiperimeter*) என்பது அதன் சுற்றளவில் பாதியளவாகும். வாய்ப்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படும் போது, அரைச்சுற்றளவானது *s* என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.  

## முக்கோணங்கள்
ஒரு உச்சியிலிருந்து, அதன் எதிர்ப் பக்கத்தின் வெளிவட்டம் எதிர்ப்பக்கத்தைத் தொடும் புள்ளிவரை உள்ள தொலைவை, முக்கோணத்தின் வரம்பு வழியாகவே அளக்க, அது முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.]]  

பெரும்பாலும் முக்கோணங்களில் அரைச்சுற்றளவு பயன்படுகிறது.  
ஒரு முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு *s* இன் வாய்ப்பாடு:  

:<math>s = \frac{a+b+c}{2}.</math> (*a* , *b* , *c* முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள்  

### பண்புகள்
- ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சி மற்றும் அந்த உச்சியின் எதிர்ப் பக்கத்தின் வெளிவட்டம் அப் பக்கத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி இரண்டும், முக்கோணத்தின் சுற்றளவை சமநீளங்கள் கொண்ட இரு பாகங்களாகப் பிரிக்கின்றன. மேலும் அவ்விரு சமபாகங்களின் நீளம், முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவிற்குச் சமமாக இருக்கும்.

:முக்கோணத்தின் உச்சிகள் A, B, C ஒவ்வொன்றின் எதிர்ப் பக்கங்களின் வெளிவட்டங்கள் அப் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகள் முறையே, A', B', C' எனில், கோட்டுத்துண்டுகள் AA', BB', CC' மூன்றும் முக்கோணத்தின் பிளப்பிகள் என்றறியப்படுகின்றன. மேலும்,  

:<math>s = |AB|+|A'B| = |AB|+|AB'|</math>  
::<math>= |AC|+|A'C| = |AC|+|AC'|</math>  
::<math>= |BC|+|B'C| = |BC|+|BC'|.</math>  

:இம் மூன்று பிரிக்கும் கோடுகளும் ஒரு புள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகள் ஆகும். அவை சந்திக்கும் புள்ளி, நாகெல் புள்ளி எனப்படுகிறது.  

- ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையத்தின் வழிச் செல்லும் ஒரு கோடு, முக்கோணத்தின் பரப்பளவை இருசமக்கூறிடுவதாக ”இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே”, அக்கோடு முக்கோணத்தின் சுற்றளவையும் இருசமக்கூறிடும்.
- ஒரு முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவானது அம் முக்கோணத்தின் நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் சுற்றளவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.
- அடிப்படை முக்கோணச் சமனிலியின்படி, முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கத்தின் நீளம் அம் முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவைவிடச் சிறியதாக இருக்கும்.

### அரைச்சுற்றளவு கொண்ட வாய்ப்பாடுகள்
- <math> K = rs</math> (முக்கோணத்தின் பரப்பு *K* )
- <math>K = \sqrt{s\(s-a\)\(s-b\)\(s-c\)}</math>
- <math>R = \frac{abc} {4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}</math> (முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட ஆரம் *R*)
- <math>r = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}} </math> (முக்கோணத்தின் உள்வட்ட ஆரம் *r*)
- கோடேன்ஜெண்ட் விதி
: <math>\cot{ \frac{\alpha}{2 }} = \frac{s-a}{r }</math>  

: <math>\cot{ \frac{\beta}{2 }} = \frac{s-b}{r }</math>  

: <math>\cot{ \frac{\gamma}{2 }} = \frac{s-c}{r}</math>  

- முக்கோணத்தில், *a* நீளம் கொண்ட பக்கத்திற்கு எதிர்க் கோணத்தின் உட்கோண இருசமவெட்டியின் நீளம்

:<math>t_a= \frac{2 \sqrt{bcs(s-a)}}{b+c}.</math>  

செங்கோண முக்கோணத்தில்,  
- செம்பக்கத்தின் வெளிவட்ட ஆரமானது முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.
- உள்வட்டம் மற்றும் சுற்றுவட்டத்தின் இருமடங்கு ஆகிய இரண்டின் கூட்டுத்தொகையானது அரைச்சுற்றளவிற்குச் சமமாக இருக்கும்.
- செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு:
:<math>(s-a)(s-b)</math> (*a* , *b* செங்கோண முக்கோணத்தின் தாங்கு பக்கங்கள்)  

## நாற்கரங்கள்
*a*, *b*, *c* , *d* பக்கநீளங்கள் கொண்ட நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவின் வாய்ப்பாடு:  
:<math>s = \frac{a+b+c+d}{2}.</math>  

- அரைச்சுற்றளவு மற்றும் உள்வட்ட ஆரம் அடங்கிய முக்கோணத்தின் பரப்பளவு காணப் பயன்படும் வாய்ப்பாடு தொடு நாற்கரங்களுக்குக்கும் பொருந்தும்.

:தொடு நாற்கரத்தின் உள்வட்ட ஆரம் *r*, அரைச்சுற்றளவு *s*, பரப்பளவு *k* எனில்:  

:<math> K = rs</math>  

- பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் எளிய வடிவம் *a*, *b*, *c*, *d* -ஐ பக்க நீளங்களாகக் கொண்ட வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பளவைத் தருகிறது:

:<math>K = \sqrt{\(s-a\)\(s-b\)\(s-c\)\(s-d\)}</math>  

:இதனை பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு அனைத்துக் குவிவு நாற்கரங்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்துகிறது:  

:<math> K = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \(\frac{\alpha + \gamma}{2}\)}</math>  
(<math>\alpha, \,</math> <math>\gamma \,</math> இரண்டும் நாற்கரத்தின் எதிர்க் கோணங்கள்)  

## ஒழுங்குப் பல்கோணம்
ஒரு குவிவு ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் பரப்பளவானது, பல்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு, பக்கநடுக்கோட்டின் நீளம் ஆகிய இரண்டின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.