# நாற்கரம்



நான்கு பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு பல்கோணம் **நாற்கரம்** அல்லது **நாற்பக்கல்** (*quadrilateral*) எனப்படும். மிகவும் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நாற்கோணம் நான்கு சமனற்ற பக்கங்களைக் கொண்டது. <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> and <math>D</math> என்ற நான்கு உச்சிகளைக்கொண்ட நாற்கரம் <math>\square ABCD</math> எனக் குறிக்கப்படுகிறது.  

எளிய நாற்கரம் *ABCD* இன் உட்கோணங்களின் கூடுதல் 360 பாகைகள், அதாவது,  

- குறுக்கு சரிவகம்: ஒரு சோடி அடுத்தில்லாத பக்கங்களை இணையாகக் கொண்ட குறுக்கு நாற்கரம்.
- எதிர் இணைகரம்: ஒவ்வொரு சோடி அடுத்தில்லாத பக்கங்களும் சமநீளமுள்ளவையாகக் கொண்ட குறுக்கு நாற்கரம்.
- குறுக்கு செவ்வகம்: ஒரு செவ்வகத்தின் இரு எதிர்ப்பக்கங்களையும் இரு மூலைவிட்டங்களையும் கொண்ட குறுக்கு நாற்கரம்.
- குறுக்கு சதுரம்: இரு பக்கங்கள் செங்கோணத்தில் வெட்டிக்கொள்ளும் குறுக்கு செவ்வகம்.
| குறுக்கு இருசமபக்கச்
சரிவகம் | எதிர் இணைகரம் | குறுக்கு செவ்வகம் | } |
| --- | --- | --- | --- |

## பெயரிடல் வகைப்பாடு
நாற்கரங்களின் பெயரிடல் வகைப்பாட்டைக் (taxonomic classification) கீழேயுள்ள வரைபு காட்டுகின்றது. கீழுள்ள வடிவங்கள் மேலுள்ள வடிவங்களின் சிறப்பு நிலைகளாகும்.  

## குவிந்த நாற்கரத்தின் பரப்பளவு
ஒரு குவிந்த செவ்வகத்தின் பரப்பளவு காண்பதற்கு பல வாய்பாடுகள் உள்ளன.  
எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குவிந்த நாற்கரம் *ABCD* இன் பக்கங்கள்: ; பரப்பளவு .  

### முக்கோணவியல் வாய்பாடுகள்
:<math>K = \frac{pq}{2} \sin \theta,</math> , செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள்; அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் .  

செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரமாக இருந்தால் (எ.கா. சாய்சதுரம், சதுரம், பட்டம் போன்றவை)), பரப்பளவின் இவ்வாய்பாடு பின்னுள்ளபடி சுருங்கும்:  
: <math>K=\tfrac{pq}{2}</math> ( = , = ).  

இருநடுக்கோடுகளின் வாயிலாகப் பரப்பளவின் வாய்பாடு:  
:<math>K = \frac{\\tan \theta\}{4} \cdot \ a^2 + c^2 - b^2 - d^2 \.</math>  

இணைகரத்துக்கு இந்த வாய்பாடு:  
:<math>K = \frac{\\tan \theta\}{2}\cdot \ a^2 - b^2 \.</math> (, )  

, , , ஆகிய நான்கு பக்கங்கள் வாயிலாக மற்றொரு வாய்பாடு:  
:<math>K=\frac{\sqrt{((a^2+c^2)-2x^2)((b^2+d^2)-2x^2)}}{2}\sin{\varphi}</math>  
இதில், ஆனது மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தூரம்; என்பது இருநடுக்கோடுகளுக்கு இடைப்பட்ட கோணம்.  

### முக்கோணவியல் சார்புகளற்ற வாய்பாடுகள்
:<math>K = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - \tfrac{ac+bd+pq}{4}(ac+bd-pq)},</math>  
:இதில் நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் , , , ; அரைச்சுற்றளவு ; மூலைவிட்டங்கள் , வட்ட நாற்கரத்தில் ஆக இருக்கும் என்பதால் இது பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு ஆகச் சுருங்கும்.  

:<math>K = \frac{\sqrt{4p^{2}q^{2}- \( a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2} \) ^{2}}}{4}.</math>  

இருநடுக்கோடுகள் , , மூலைவிட்டங்கள் , வாயிலாகப் பரப்பளவு:  
:<math>K=\frac{\sqrt{(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}}{2},</math>  

:<math>K=\frac{\sqrt{p^2q^2-(m^2-n^2)^2}}{2}.</math>  

, , , நான்கும் <math>p^2+q^2=2(m^2+n^2)</math>எனத் தொடர்புடையவை. இவை நான்கில் எவையேனும் மூன்றின் அளவுகளை மட்டும்கொண்டும் பரப்பளவு காண முடியும்.  

இருநடுக்கோடுகளின் நீளங்களும் ஒரு மூலைவிட்டமும் பயன்படுத்தி பரப்பளவின் வாய்பாடு:  
:<math>K=\frac{\sqrt{[(m+n)^2-p^2]\cdot[p^2-(m-n)^2]}}{2},</math>  

இரு மூலைவிட்டங்களும் ஒரு இருநடுக்கோடும் கொண்ட வாய்பாடு:  
:<math>K=\frac{\sqrt{[(p+q)^2-4m^2]\cdot[4m^2-(p-q)^2]}}{4},</math>  

### திசையன் வாய்பாடுகள்
திசையன்களைப் பயன்படுத்தி நாற்கரம் இன் பரப்பளவின் வாய்பாடு:  
:<math>K = \frac{|\mathbf{AC}\times\mathbf{BD}|}{2},</math> (, திசையன்கள், நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள்)  

இது, , திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கத்தின் மட்டு அளவில் பாதியாகும். இரு பரிமாண யூக்ளிடிய தளத்தில் இவ்விரு திசையன்களும் , எனில் பரப்பளவின் வாய்பாடு பின்வருமாறு அமையும்:  
:<math>K = \frac{|x_1 y_2 - x_2 y_1|}{2}.</math>  

## மூலைவிட்டங்கள்
### மூலைவிட்டங்களின் பண்புகள்
கீழுள்ள அட்டவணையில் சில அடிப்படையான நாற்கரங்களின் மூலைவிட்டங்கள் இருசமக்கூறிடுபவையா, செங்குத்தானவையா அல்லது சமமானவையான எனத் தரப்பட்டுள்ளது.  

| சம மூலைவிட்டங்கள் |
| --- |

### மூலைவிட்டங்களின் நீளங்கள்
*ABCD* நாற்கரத்தின் இரு பக்கங்கள், ஒரு மூலைவிட்டம் ஆகியவற்றால் அமையும் முக்கோணங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் கோசைன் விதியைப் பயன்படுத்தி மூலைவிட்டங்களின் நீளங்களைக் காணலாம்:  
:<math>p=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos{B}}=\sqrt{c^2+d^2-2cd\cos{D}}</math>  
:<math>q=\sqrt{a^2+d^2-2ad\cos{A}}=\sqrt{b^2+c^2-2bc\cos{C}}.</math>  

மேலும் சமச்சீர்மையுள்ள பிற வாய்பாடுகள்:  
:<math>p=\sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos{B}+\cos{D})}{ab+cd}}</math>  
:<math>q=\sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos{A}+\cos{C})}{ad+bc}}.</math>  

### இணைகரவிதியும், தொலெமியின் தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலும்
எந்தவொரு குவிவு நாற்கரத்திலும் அதன் நான்கு பக்க நீளங்களின் வர்க்கங்ளின் கூட்டுத்தொகையானது, அதன் மூலைவிட்ட நீளங்களின் வர்க்கங்கள், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தின் வர்க்கத்தின் நான்கு மடங்கு இவற்றின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும். அதாவது குவிவு நாற்கரம் *ABCD* எனில்:  
:<math> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = p^2 + q^2 + 4x^2 </math> இதில், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளம் *x*.  
:<math> p^2q^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos{(A+C)}.</math>  

இதனை நாற்கரங்களுக்கான கோசைன் விதியாகக் கொள்ளலாம். வட்ட நாற்கரத்தில் *A* + *C* = 180° என்பதால் cos (*A* + *C*) = &minus;1. எனவே இம்முடிவு *pq = ac + bd* எனச் சுருங்கும்.  

## கோண இருசமவெட்டிகள்
ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் உட்கோண இருசமவெட்டிகள் ஒரு வட்ட நாற்கரத்தை அமைக்கும்  

## இருநடுக்கோடுகள்

ஒரு நாற்கரத்தின் எதிர்ப்பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் **இருநடுக்கோடுகள்** எனப்படும். இரு நடுக்கோடுகள் வெட்டும்புள்ளி நாற்கரத்தின் உச்சிகளின் திணிவு மையம் ஆகும்.  
- இணைகரத்தின் சுற்றளவு, மூல நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.
- இணைகரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் மூல முக்கோணத்தின் இருநடுக்கோடுகளாக இருக்கும்.

மூல நாற்கரத்தின் இரண்டு இருநடுக்கோடுகளும் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டும் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகளாக இருக்கும். மேலும் அவை சந்திக்கும் புள்ளி அவற்றை இருசமக்கூறிடும்.  

ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் *a*, *b*, *c*, *d* எனில், *a*, *c* பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் இருநடுக்கோட்டின் நீளம்:  
:<math>m=\tfrac{1}{2}\sqrt{-a^2+b^2-c^2+d^2+p^2+q^2}</math> (*p*, *q* மூலைவிட்ட நீளங்கள்)  

*b*, *d* பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் இருநடுக்கோட்டின் நீளம்:  
:<math>n=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2-b^2+c^2-d^2+p^2+q^2}.</math>  

இவ்விரு முடிவுகளிலிருந்து பின்வரும் மதிப்பைப் பெறலாம்.  
:<math>\displaystyle p^2+q^2=2(m^2+n^2).</math>  
- இரு மூலைவிட்டங்களும் செங்குத்தாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இருநடுக்கோடுகள் இரண்டும் சமநீளமுள்ளவை.
- இரு மூலைவிட்டங்களும் சமநீளமுள்ளவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இருநடுக்கோடுகள் இரண்டும் செங்குத்தானவை.

## முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள்
நாற்கரம் *ABCD* இன் நான்கு கோணங்களும் பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிறைவு செய்யும்:  
:<math>\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}+\sin{D}=4\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A+C}{2}}\sin{\frac{A+D}{2}}</math>  
:<math>\frac{\tan{A}\tan{B}-\tan{C}\tan{D}}{\tan{A}\tan{C}-\tan{B}\tan{D}}=\frac{\tan{(A+C)}}{\tan{(A+B)}}.</math>  
:<math>\frac{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}+\tan{D}}{\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}+\cot{D}}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\tan{D}.</math>  

tan&nbsp;90° இன் மதிப்பு வரையறுக்கப் படாததால், கடைசி இரு முற்றொருமைகளிலும் எந்தவொரு கோணமும் செங்கோணமாக இருக்க முடியாது.  

<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> குவிவு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள்; <math>s</math> அரைச்சுற்றளவு; <math>A,</math> <math>C</math> எதிர்கோணங்கள் எனில்:  
:<math>ad\sin^2{\frac{A}{2}}+bc\cos^2{\frac{C}{2}}=(s-a)(s-d)</math>  
:<math>bc\sin^2{\frac{C}{2}}+ad\cos^2{\frac{A}{2}}=(s-b)(s-c)</math>.  

இவற்றைப் பயன்படுத்தி பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாட்டைப் பெறலாம்.  

## சமனிலிகள்
### பரப்பளவு
குவிவு நாற்கரத்தின் பக்க நீளங்கள் *a*, *b*, *c*, *d*; மூலைவிட்டங்கள் *p*, *q* எனில் பரப்பளவு *K* நிறைவு செய்யும் சமனிலிகள்:  
:<math>K\le \tfrac{1}{4}(a+c)(b+d)</math> செவ்வகத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.  
:<math>K\le \tfrac{1}{4}(a^2+b^2+c^2+d^2)</math> சதுரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.  
:<math>K\le \tfrac{1}{4}(p^2+q^2)</math> மூலைவிட்டங்கள் செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.  
:<math>K\le \tfrac{1}{2}\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+d^2)}</math> செவ்வகத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.  
:<math>\displaystyle K\le \tfrac{1}{2}\sqrt[3]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}.</math>  

நாற்கரத்தின் சுற்றளவு *L* எனில் சதுரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.  

:<math> K \leq \frac{1}{3+\sqrt{3}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)- \frac{1}{2(1+\sqrt{3})^2}(a^2+b^2+c^2+d^2) </math> சதுரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.  

### மூலைவிட்டங்கள், இருநடுக்கோடுகள்
ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றத்தின் கிளைமுடிவுச் சமனிலி:  
:<math> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge p^2 + q^2 ,</math> இணைகரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.  

வட்ட நாற்கரத்துக்குச் சமனியாகவுள்ள தொலெமியின் தேற்ற முடிவைப் பொதுமைப்படுத்தி குவிவு நாற்கரத்துக்கு சமனிலியாக ஆய்லர் மாற்றியுள்ளார்:  
:<math> pq \le ac + bd </math> <math>m^2+n^2=\tfrac{1}{2}(p^2+q^2).</math> முற்றொருமையிலிருந்து இச்சமனிலி நேரிடையாகப் பெறப்படுகிறது.  

### பக்கங்கள்
நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் *a*, *b*, *c*, *d* நிறைவுசெய்யும் சமனிலிகள்:  
:<math>a^2+b^2+c^2 > \frac{d^2}{3}</math>  
:<math>a^4+b^4+c^4 \geq \frac{d^4}{27}.</math>  

## குவிவு நாற்கரங்களின் பிற பண்புகள்
- நாற்கரத்தி எல்லாப் பக்கங்களின் மீதும் வெளிப்புறமாக சதுரங்கள் வரையப்பட்டால், எதிரெதிர் சதுரங்களின் மையங்களை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் சம நீளமுள்ளவை; செங்த்தானவை. இவை ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரத்தின் உச்சிகளாக இருக்கும்.
- ஒரு எளிய நாற்கரத்தின் பக்கங்களுக்கு சமமான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு வட்ட நாற்கரம் இருக்கும்.
- நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள், பக்கங்களால் உருவாகும் நான்கு முக்கோணங்களில், ஒரு சோடி எதிர் முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் பெருக்குத்தொகை மற்ற இரு முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.