# பிரம்மகுப்தர் முற்றொருமை

இயற்கணிதத்தில், **பிரம்மகுப்தர்-ஃபிபனாச்சி முற்றொருமை** அல்லது **ஃபிபனாச்சி முற்றொருமை** (*Brahmagupta–Fibonacci identity*, *Fibonacci's identity*) என்பது இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகைகள் இரண்டின் பெருக்குத்தொகையும் இரண்டு வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாக இருக்கும் என்பதுதான். அதாவது இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக அமையும் முழு எண்களின் கணம் பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்து அடைவுப் பண்புடையது.  

இந்த முற்றொருமை, லெக்ராஞ்சியின் முற்றொருமையின் சிறப்புவகையாக (*n*&nbsp;=&nbsp;2) உள்ளது. கணிதவியலாளர் டையோபண்டசால் இம் முற்றொருமை கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. பிரம்மகுப்தர் அதனை நிரூபித்து அதற்குச் சமானமான, அதைவிடப் பொதுமையான முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தினார்.  

;பிரம்மகுப்தரின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட முற்றொருமை  
:<math>\begin{align}  
\(a^2 + nb^2\)\(c^2 + nd^2\) & {}= \(ac-nbd\)^2 + n\(ad+bc\)^2 & & & (3) \\  
& {}= \(ac+nbd\)^2 + n\(ad-bc\)^2, & & & (4)  
\end{align}</math>  

இதிலிருந்து, <math>x^2 + ny^2</math> வடிவிலமையும் எண்களின் கணம் பெருக்கலைப் பொறுத்து அடைவுப் பண்புடையதாக இருப்பதைக் காணலாம்.  

(1), (2) சமன்பாடுகளை அவற்றின் இருபுறமுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளை விரிவுபடுத்தி சுருக்குவதன் மூலம் சரிபார்க்கலாம். மேலும் இரு சமன்பாடுகளிலும் *b* க்குப் பதில் &nbsp;&minus;*b* ஐப் பதிலிடுவதன் மூலம் ஒன்றிலிருந்து மற்றொன்றைப் பெறலாம்.  

இந்த முற்றொருமை முழு எண்களின் வளையத்திலும், விகிதமுறு எண்கள் வளையத்திலும் உண்மையாகும். மேலும் பொதுவாக எந்தவொரு பரிமாற்று வளையத்திலும் இந்த முற்றொருமை உண்மையாக இருக்கும்.  

## வரலாறு
கிபி மூன்றாம் நூற்றாண்டு வெளியீடான டயபாண்டசின் அரித்மெட்டிக்காவில் (III, 19) இந்த முற்றொருமை முதன்முதலாக காணப்பட்டது. பின் இந்தியக் கணிதவியலாளர் பிரம்மகுப்தரால் (598&ndash;668) மீண்டும் கண்டறியப்பட்டது. அவர் இந்த முற்றொருமையை மேலும் பொதுமைப்படுத்தி அதனைத் தன் ஆய்விற்குப் (தற்போது பெல்லின் சமன்பாடு) பயன்படுத்தினார். அவரது ’பிரம்மஸ்புடசித்தாந்தம்’ சமசுகிருதத்திலிருந்து அரபுமொழியில் மொகமது அல்-ஃபசாரியால் மொழிபெயர்க்கப்பட்டு, அதன் பின்னர் 1126 இல் லத்தீன் மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டது 1225 இல் ஃபிபனாச்சி யின் ’புக் ஆஃப் ஸ்கொயர்ஸ்’ (Book of Squares) இல் இடம் பெற்றது. ஃபிபனாச்சியின் நூலினால் தான் இது மேற்கத்திய கணித உலகத்திற்கு அறிமுகமானதால் **ஃபிபனாச்சி முற்றொருமை** என்று வழங்கப் பெற்றது.  

## சிக்கலெண்களுடன் தொடர்பு
*a*, *b*, *c*, *d* மெய்யெண்கள் எனில்:  
:<math> | a+bi | | c+di | = | (a+bi)(c+di) | \,</math>  
:<math> | a+bi | | c+di | = | (ac-bd)+i(ad+bc) |,\,</math>  

இருபுறமும் வர்க்கப்படுத்த:  
:<math> | a+bi |^2 | c+di |^2 = | (ac-bd)+i(ad+bc) |^2,\,</math>  

தனி மதிப்பின் வரையறைப்படி:  
:<math> (a^2+b^2)(c^2+d^2)= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2. \,</math>  

## நெறிம வழித் தொடர்பு
விகிதமுறு எண்களின் களத்தை <math>\mathbf{Q}</math> என்றும் அத்துடன் <math>i</math> என்ற உறுப்பை சேர்த்து களத்தை விரிவாக்கினால் ஏற்படும் விரிவாக்கப்பட்ட களத்திற்ற்கு <math>\mathbf{Q}(i)</math> என்றும் குறிப்பது வழக்கம். <math>\mathbf{Q}(i)</math> இலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு <math>(a+ib)</math> க்கும் ஒரு நெறிமம் உளது. அதாவது  
:<math>N(a + ib) = \sqrt{(a^2 + b^2)}.</math>  

இப்பொழுது பிரம்மகுப்தர் முற்றொருமையை கீழே கண்டபடி உருவகப்படுத்தலாம்:  
: <math>N(a+bi) = a^2 + b^2 , N(c+di) = c^2 + d^2, \,</math>  
: <math>N((a+bi)(c+di)) = N((ac-bd)+i(ad+bc)) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2. \,</math>  

::<math>N(a+ib) N(c+id) = N((a+ib)(c+id))</math>  

## பெல்லின் சமன்பாடு
பிரம்மகுப்தர் தான் கண்டறிந்த முற்றொருமையைப் பெல்லின் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்குப் பயன்படுத்தினார்:  

:பெல்லின் சமன்பாடு:  
:<math>x^2 - Ny^2 = 1 </math>  
:பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிரம்மகுப்தர் முற்றொருமை:  
:<math>(x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2) = (x_1x_2 + Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2, \, </math>  

இந்த முற்றொருமையைப் பயன்படுத்தி பெல்லின் சமன்பாட்டின் தீர்வாக அமையும் (*x*<sub>1</sub>,&nbsp;*y*<sub>1</sub>,&nbsp;*k*<sub>1</sub>) மும்மைகளை உருவாக்கி அதன் மூலம் <math>(x_1x_2 + Ny_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2)</math> என்ற புது மும்மையையும் அவர் உருவாக்கினார். இது பெல்லின் சமன்பாட்டிற்கு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான தீர்வுகளைக் காண வழிவகுத்தது.  

1150 இல் இரண்டாம் பாஸ்கரரால் கண்டறியப்பட்ட பெல்லின் சமன்பாட்டின் தீர்வு காணும்முறையும் இந்த முற்றொருமையை அடிப்படையாகக் கொண்டே அமைந்துள்ளது.