# ஈருறுப்புத் தேற்றம்

பாஸ்கலின் முக்கோணத்தின் எண்களாக அமைந்துள்ளன.]]  

அடிப்படை இயற்கணிதத்தில் **ஈருறுப்புத் தேற்றம்** (*Binomial theorem*) என்பது, ஓர் ஈருறுப்புக் கோவையின் அடுக்குகளின் இயற்கணித விரிவுகளைத் தருகிறது.  

(*x*&nbsp;+&nbsp;*y*)<sup>*n*</sup> என்பதின் விரிவை, *ax*<sup>*b*</sup>*y*<sup>*c*</sup> என்ற வடிவில் உள்ள (*n*&nbsp;+&nbsp;*1*) உறுப்புகளின் கூட்டலாக எழுதலாம். b, c ஆகிய இரண்டும் எதிர்மமற்ற முழு எண்கள், மற்றும் ஆகும். ஒவ்வொரு உறுப்பின் குணகமான a ஆனது n, b -ன் மதிப்புகளைப் பொருத்து ஒரு குறிப்பிட்ட மிகை முழுஎண்ணாகும். விரிவிலுள்ள உறுப்புகளில், பூச்சியஅடுக்கு கொண்ட பகுதி இருந்தால் அப்பகுதியை எழுதாமலேயே விட்டு விடலாம். எடுத்துக்காட்டாக,  

:<math>(x+y)^4 \;=\; x^4 y^0 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\,x^0 y^4</math> என்ற விரிவினை,  

:<math>(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4</math> என எழுதலாம்.  

*x*<sup>*b*</sup>*y*<sup>*c*</sup> என்ற உறுப்பின் குணகமான a -ன் மதிப்பு,  
<math>\tbinom nb</math> அல்லது <math>\tbinom nc</math> ஆகும். (இரண்டும் சமம்) இது ஈருறுப்புக் குணகம் என அழைக்கப்படுகிறது. <math>\tbinom nb</math> என்பது n உறுப்புகள் கொண்ட கணத்திலிருந்து b உறுப்புகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். <math>\tbinom nb</math>ல் n,b இரண்டிற்கும் வெவ்வேறு மதிப்புகளைத் தரும்போது கிடைக்கும் குணகங்களைக் கொண்டு பாஸ்கலின் முக்கோணத்தை அமைக்கலாம்.  

## வரலாறு
ஈருறுப்பு குணகங்களும் அவற்றின் முக்கோண அமைப்பும், கி.பி 17ம் நூற்றாண்டின் பிரான்சியக் கணிதவியலாளர் பிலைசு பாஸ்கலின் கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்பட்டாலும், அவருக்கு முந்தைய காலத்துக் கணிதவியலாளர்கள் அவற்றைப் பற்றி அறிந்திருந்தனர். இந்தியக் கணிதவியலாளரான பிங்கலர் கி.மு. 3ம் நூற்றாண்டில் உயர்வரிசை அடுக்குகளுக்கான விரிவினைக் குறிப்பிட்டுள்ளார். கி.மு 4ம் நூற்றாண்டில் கிரேக்கக் கணிதவியலாளர் யூக்ளிடு, இரண்டாம் அடுக்குக்கான ஈருறுப்புத் தேற்றத்தினைப் பற்றிக் குறிப்பிட்டுள்ளார். கி.பி 10ம் நூற்றாண்டில் இந்தியக் கணிதவியலாளர் ஹலயுதரும் பாரசீகக் கணிதவியலாளர் அல் கராஜியும் மற்றும் கி.பி 13ம் நூற்றாண்டில் சீனக் கணிதவியலாளர் யாங் உயியும், பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பற்றியும் பாஸ்கலின் முக்கோணம் என்று பின்னர் பெயர்பெற்ற முக்கோண அமைப்பு எண்களைப் பற்றியும் அறிந்திருந்தனர். அல் கராஜி ஈருறுப்புத் தேற்றத்திற்கும் பாஸ்கலின் முக்கோண அமைப்பிற்கும் கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவல் அளித்துள்ளார்.  

r ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் எனில் ஈருறுப்பு விரிவு:  

:<math>  
\begin{align}  
(x+y)^r & =\sum_{k=0}^\infty {r \choose k} x^{r-k} y^k \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(2) \\  
& = x^r + r x^{r-1} y + \frac{r(r-1)}{2!} x^{r-2} y^2 + \frac{r(r-1)(r-2)}{3!} x^{r-3} y^3 + \cdots.  
\end{align}  
</math>  

r ஒரு குறையிலா முழுஎண்ணாக இருந்தால், k > r எனும்போது ஈருறுப்புக் குணகங்கள் பூச்சியமாகின்றன. எனவே விரிவு (2) ஆனது விரிவு (1) ஆக மாறுகிறது. இதில் அதிகபட்சம் r+1 பூச்சியமில்லா உறுப்புகள் இருக்கும். r இன் ஏனைய மதிப்புகளுக்கு விரிவு (2) முடிவிலா பூச்சியமல்லாத உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.(x, y பூச்சியமில்லாமல் இருந்தால்)  

*r*&nbsp;=&nbsp;&minus;*s* எனில்,  

:<math>\frac{1}{(1-x)^s} = \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose k} x^k \equiv \sum_{k=0}^\infty {s+k-1 \choose s-1} x^k.</math>  

*s*&nbsp;=&nbsp;1 எனில் இவ்விரிவு பெருக்குத் தொடரின் வாய்ப்பாடாக அமையும்.  

### பல்லுறுப்புத் தேற்றம்

இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட உறுப்புகளைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடுக்குகளை விரித்தெழுதுவதற்கும் ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைப் பொதுமைப்படுத்தலாம்.  

:<math>(x_1 + x_2 + \cdots + x_m)^n  
= \sum_{k_1,k_2,\ldots,k_m} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}  
x_1^{k_1} x_2^{k_2} \cdots x_m^{k_m}. </math>  

அனைத்து *k*<sub>*i*</sub> ன் கூடுதல் &nbsp;*n* ஆக இருக்கும். குணகங்கள், <math> \tbinom n{k_1,\cdots,k_n} </math> பல்லுறுப்புக் குணகங்கள் என அழைக்கப்படும். அவற்றின் மதிப்புகளைக் காணும் சூத்திரம்,  

:<math> {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}  
= \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}.</math>