# வரிசைமாற்றத்தின் சுழலமைப்பு

கணிதத்தில் வரிசைமாற்றங்களை சுழல்களின் சேர்வைகளாக மட்டுமல்ல, வெட்டாத (disjoint)சுழல்களின் சேர்வைகளாகக் குறிகாட்டலாம். இப்படிச் செய்வதால் வரிசைமாற்றங்களின் பண்புகள் எளிதாக்கப்படுகின்றன. **வரிசைமாற்றத்தின் சுழலமைப்பு** (Cycle Structure of a Permutation) வரிசைமாற்றக் குலங்களின் கோட்பாட்டில் ஒரு அடித்தளக் கருத்து.  

## வரிசைமாற்றங்களின் சேர்வைக்கு எடுத்துக்காட்டு

{1,2,3,4,5} என்ற 5-கணத்தை எடுத்துக் கொள்ளுவோம்.  

::<math>\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\  
5 & 4 & 3 & 1 & 2  
\end{pmatrix}</math>  

::<math>\tau = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\  
2 & 4 & 5 & 1 & 3  
\end{pmatrix}</math>  

என்றால்,  

::<math>\sigma \circ \tau = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\  
4 & 1 & 2 & 5 & 3  
\end{pmatrix}</math>  

அதாவது, முதலில் <math>\tau</math>; பிறகு <math>\sigma</math>. வேறுவிதமாகச் சொன்னால், சேர்வை வலமிருந்து இடம் போகிறது. இதை மாற்றிச்சொல்லும் நூல்களும் பழக்கமும் உண்டு. ஆனால், குழப்பமில்லாமலிருப்பதற்காக இக்கட்டுரையில் ஒரே வழி பின்பற்றப்படுகிறது.  

<math>\sigma \circ \tau</math> வை <math>\sigma\tau</math> என்றே எழுதவும் செய்யலாம்.  

## சமச்சீர் குலம்

<math>n</math> பொருள்களின் வரிசைமாற்றங்கள் எல்லாம் அடங்கிய கணம் <math>S_n</math> என்று குறிக்கப்படும். இதனில் <math>n!</math> வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன. இது மேலே வரையறுக்கப்பட்ட சேர்வைக்கு குலம் ஆகிறது. இது **n பொருள்களின் சமச்சீர் குலம்** (Symmetric Group on n objects) எனப்படும். இது <math>n!</math> உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு முடிவுறு குலம். ஒரு பொருள்களையும் இடம் மாற்றாத முற்றொருமை வரிசைமாற்றம் தான் இந்த குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு ; அதாவது,  

:: <math>e = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 &\dots & n\\  
1 & 2 & 3 &\dots & n  
\end{pmatrix}</math>.  

மற்றும் ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் எளிதில் அதனுடைய நேர்மாற்றைத் தெரிந்துகொள்ள முடியும்.  

எ.கா. ::<math>\sigma = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\  
5 & 4 & 3 & 1 & 2  
\end{pmatrix}</math> என்றால் அதன் நேர்மாறு  

= <math>\sigma^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\  
4 & 5 & 3 & 2 & 1  
\end{pmatrix}</math>  

## சுழல்

::<math>\sigma = \begin{pmatrix}a_1 & a_2 &\dots & a_n\\  
\sigma(a_1) & \sigma(a_2) &\dots & \sigma(a_n)  
\end{pmatrix}</math> என்ற வரிசைமாற்றத்தை  
::<math>a_1\rightarrow \sigma(a_1)\rightarrow\sigma(\sigma(a_1)) ......</math>என்று எழுதும்போது தொடக்கப்பொருளும் முடிவுப்பொருளும் ஒன்றாக இருந்தால் அவ்வரிசைமாற்றம் **சுழல்** எனப்படும்.  

எ.கா.: <math>\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5\\  
5 & 3 & 4 & 1 & 2  
\end{pmatrix}</math>  

இதனில் <math>1 \rightarrow 5\rightarrow 2\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 1</math> என்ற கணக்கில் பொருள்கள் மாறுகின்றன.  

இதே சுழலை எளிதான முறையில் (15234) என்றும் குறிப்பிடலாம். ஆனால் இப்படி எழுதும்போது, இதையே ஐந்து விதமாகக் குறிப்பிடலாம் என்பது கவனத்துக்குரியது. அதாவது,  
::(15234) = (52341) = (23415) = (34152) =(41523).  
வேறு விதமாகச்சொன்னால், ஒரு சுழலை எந்த உறுப்பிலும் தொடங்குவதாகக் காட்டலாம். ஒரு சுழலின் 'நீளம்' என்பது அதனில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையே.  

வரிசைமாற்றக் குலத்திலிருக்கும் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு **கிரமம்** (Order) உண்டு. **ஒரு உறுப்பின் 'கிரமம்' என்பது அதன் எத்தனையாவது அடுக்கு முற்றொருமையாகும் என்பதைச் சொல்வது**. ஒரு சுழலின் கிரமம் அதனுடைய நீளத்திற்குச் சமம். <math>S_5</math> இல் <math>\sigma</math> = (15234) இன் கிரமம் 5; ஏனென்றால்  
:: <math>(\sigma )^5 = e</math>  

ஒரே உறுப்புள்ள சுழல், அவ்வொரு உறுப்பை நிலைப்படுத்துகிறது என்று பொருள்.  

## வெட்டாத சுழல்கள்

சுழல்களின் சிறப்புகளில் முக்கியமானது பின்வரும் பண்பு:  

:<math>S_n</math> இல் முற்றொருமையல்லாத எந்த வரிசைமாற்றத்தையும் வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக் காட்டலாம்.  

எ.கா.: <math>\sigma = \begin{pmatrix}  
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9\\  
6 & 4 & 3 & 9 & 1 & 5 & 7 & 2 & 8  
\end{pmatrix}</math> = <math>(165)(2498)(3)(7)</math>  

வெட்டாத சுழல்கள் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாற்றக்கூடியது. எ.கா. <math>(165)(2498) = (2498)(165)</math>  

ஒரு வரிசைமாற்றம் வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக் குறிகாட்டப்பட்டால் அதனுடைய அடுக்குகளையும் நேர்மாறையும் எளிதில் குறிப்பிட்டுவிடலாம்.  

எ.கா.: <math>\sigma = (3)(7)(165)(2498)</math>  
::<math>(\sigma)^{-1} = (3)(7)(561)(2894)</math>  
:: <math>(\sigma)^2 = (3)(7)(156)(48)(92)</math>  
:: <math>(\sigma)^3 = (3)(7)(1)(6)(5)(4289)</math>  
:: <math>(\sigma)^4 = (3)(7)(165)(4)(2)(8)(9)</math>  
:: <math>(\sigma)^5 = (3)(7)(156)(2498)</math>  
:: .........  
:: <math>(\sigma)^{12} = (3)(7)(1)(6)(5)(4)(2)(8)(9)</math> = <math>e</math>  

- : வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக் காட்டப்பட்ட ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் கிரமம் அச்சுழல்களின் நீளங்களுடைய அதமப் பொதுமடங்கு.

எ.கா.: (3)(7)(165)(2498) இன் கிரமம் 1,3,4 இவைகளின் அ.பொ.ம. , அதாவது 12.  

:: (23)(1456) இன் கிரமம் 2,4 இவைகளின் அ.பொ.ம., அதாவது 4.  

## சுழலமைப்பு

ஒரு வரிசைமாற்றத்தை வெட்டாத சுழல்களின் சேர்வையாகக்குறிகாட்டும்போது அதனில்  

:நீளம் 1 உள்ள <math>\lambda_1</math> சுழல்களும்  
:நீளம் 2 உள்ள <math>\lambda_2</math> சுழல்களும்  
:நீளம் 3 உள்ள <math>\lambda_3</math> சுழல்களும்  
:......  
:நீளம் <math>k</math> உள்ள <math>\lambda_k</math> சுழல்களும்  

இருக்குமானால், அதனுடைய **சுழலமைப்பு**  

:: <math>1^{\lambda_1} 2^{\lambda_2} 3^{\lambda_3} ... k^{\lambda_k}</math>  
எனப்படும். ஏதாவதொரு <math>\lambda </math> 1 ஆக இருந்தால், அந்த 1ஐக் குறிக்கவேண்டிய அவசியமில்லை.  

எ.கா. <math>\tau = (3)(7)(561)(2894)</math> . இதன் சுழலமைப்பு <math>1^2 3 4</math>  

**தேற்றம்**: ஒரே சுழலமைப்புள்ள வரிசைமாற்றங்களின் கிரமங்கள் சமம்.  

:ஏனென்றால், சுழல்களின் நீளங்களைப் பொருத்தது தான் கிரமம்.