# இயற்கணிதப் பின்னம்

**இயற்கணிதப் பின்னம்** (*algebraic fraction*) என்பது இயற்கணிதக் கோவைகளைத் தொகுதியாகவும், பகுதியாகவும் கொண்ட பின்னமாகும்.  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  
:<math>\frac{3x}{x^2+2x-3}</math>  
:<math>\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}</math>  

எண்கணிதப் பின்னங்களின் விதிமுறைகளெல்லாம் இயற்கணிதப் பின்னங்களுக்கும் பொருந்தும். ஒரு இயற்கணிதப் பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதி இரண்டும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருந்தால், அது விகிதமுறு பின்னம் (*rational fraction*) எனப்படும். எடுத்துக்காட்டாக <math>\frac{3x}{x^2+2x-3}</math> என்பது ஒரு விகிதமுறு பின்னம்; ஆனால் <math>\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}</math> இன் தொகுதி ஒரு வர்க்கமூலச் சார்பாக உள்ளதால் அது ஒரு விகிதமுறு பின்னம் அல்ல.  

## சொல்லியல்
<math>\tfrac{a}{b}</math> என்ற இயற்கணிதப் பின்னத்தின் பொதுவடிவில் வகுபடு கோவையான *a* ஆனது தொகுதி என்றும், வகுக்கும் கோவை *b* ஆனது பகுதி என்றும், தொகுதி, பகுதி இரண்டும் இயற்கணிதப் பின்னத்தின் உறுப்புகள் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.  

தொகுதி/பகுதி அல்லது இரண்டையும் பின்னங்களாகக் கொண்டது *சிக்கல் பின்னம்* (*complex fraction*). தொகுதியிலும் பகுதியிலும் பின்னங்களைக் கொண்டிராத பின்னம் *எளிய பின்னம்* ஆகும். தொகுதி, பகுதிகளின் பொதுக்காரணியாக எண் 1 மட்டுமே இருந்தால், அந்த இயற்கணிதப் பின்னமானது *சுருக்கிய வடிவ பின்னம்* ஆகும்.  

பின்ன வடிவில் இல்லாத முழுமைக்கோவைகளை, எண் ஒன்றைப் பகுதியாகக் கொண்ட பின்ன வடிவில் எழுதலாம். ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முழுமைக்கோவைகள் மற்றும் ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பின்னக்கோவைகளின் கூட்டுத் தொகையாக அமைவது *கலப்புக் கோவை* எனப்படும்.  

## விகிதமுறு பின்னங்கள்

தொகுதியையும் பகுதியையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகக் கொண்ட இயற்கணிதப் பின்னமானது *விகிதமுறு இயற்கணிதப் பின்னம்* அல்லது சுருக்கமாக *விகிதமுறு பின்னம்* எனப்படும்.  

;தகு விகிதமுறு பின்னம்  
<math>\tfrac{f(x)}{g(x)}</math> என்ற விகிதமுறு பின்னத்தில் <math>\deg f(x) < \deg g(x)</math> எனில், அது ஒரு தகு விகிதமுறு பின்னம்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>\tfrac{2x}{x^2-1}</math> ஒரு தகு விகிதமுறு பின்னம்  

இரு தகு விகிதமுறு பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையானது ஒரு தகு விகிதமுறு பின்னமாக இருக்கும். ஒரு தகு விகிதமுறு பின்னத்தை இரு தகு விகிதமுறு பின்னங்களாகப் பிரிப்பது ”பகுதி பின்னங்களாகப் பிரித்தல்” எனப்படும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  

:<math>\frac{2x}{x^2-1} = \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1}.</math>  

வலதுபுறமுள்ள இரு தகு விகிதமுறுகோவைகளும் இடப்புறமுள்ள கோவையின் பகுதி பின்னங்கள் ஆகும்.  

;தகா விகிதமுறு பின்னம்  
<math>\tfrac{f(x)}{g(x)}</math> என்ற விகிதமுறு பின்னத்தில் <math>\deg f(x) > \deg g(x)</math> எனில், அது ஒரு தகா விகிதமுறு பின்னம்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>\tfrac{x^3+x^2+1}{x^2-5x+6}</math>  
: <math>\tfrac{x^2-x+1}{5x^2+3}</math> இவை இரண்டும் தகா விகிதமுறு பின்னங்கள் ஆகும்.  

எந்தவொரு தகா விகிதமுறு பின்னத்தையும் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் ஒரு தகு விகிதமுறுகோவையின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>\frac{x^3+x^2+1}{x^2-5x+6} = (x+6) + \frac{24x-35}{x^2-5x+6}</math>  

## விகிதமுறா பின்னங்கள்
ஒரு இயற்கணிதப் பின்னத்தின் பகுதி அல்லது தொகுதியாக அமையும் கோவைகளின் உறுப்புகளில், மாறியானது பின்ன அடுக்கு கொண்டிருக்குமானால் அந்த பின்னம் விகிதமுறா பின்னம் எனப்படும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>\frac{x^\tfrac12 - \tfrac13 a}{x^\tfrac13 - x^\tfrac12}.</math>  

பின்ன அடுக்குகள் கொண்டவை ஓருறுப்புக் கோவைகளாக இருந்தால், தகுந்த பதிலிடல் மூலமாக விகிதமுறா பின்னத்தை விகிதமுறு பின்னமாக மாற்றலாம்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>\frac{x^\tfrac12 - \tfrac13 a}{x^\tfrac13 - x^\tfrac12}.</math>  

இதிலுள்ள பின்ன அடுக்குகளின் பகுதிகளின் மீச்சிறு பொது மடங்கு 6. இதனை அடுக்காகக் கொண்ட மாறியை மூல மாறிக்குப் பதிலிட வேண்டும் (x = z<sup>6</sup>).  
:<math>x = z^6</math> எனப் பதிலிடக் கிடைக்கும் விகிதமுறு கோவை:  
:<math>\frac{z^3 - \tfrac13 a}{z^2 - z^3}.</math>