# குறுக்குப் பெருக்கல்

கணிதத்தில் **குறுக்குப் பெருக்கல்** (*Cross-multiplication*) என்பது அடிப்படை எண்கணிதம், அடிப்படை இயற்கணிதத்தில் இரு பின்னங்கள் அல்லது இயற்கணிதக் கோவை#விகிதமுறு கோவைகளுக்கிடையேயான சமன்பாட்டை எளிய வடிவிற்கு மாற்றவும் அவற்றிலுள்ள மாறிகளின் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடித்து அச்சமன்பாட்டின் தீர்வு காணவும் பயன்படும் எளிய கணக்கீட்டு முறையாகும்.  

தரப்பட்டுள்ள சமன்பாடு:  
:<math>\frac a b = \frac c d.</math> இங்கு , இரண்டும் பூச்சியமல்ல  

இச்சமன்பாட்டைக் குறுக்கே பெருக்கிப் பின்வரும் முடிவைப் பெறலாம்:  
:<math>ad = bc \qquad \mathrm{or} \qquad a = \frac {bc} d.</math>  

யூக்ளிடிய வடிவவியலின் விகிதங்களை வடிவொத்த முக்கோணங்களின் விகிதங்களைப் போன்று கருதுவதன் மூலம் யூக்ளிடிய வடிவவியலிலும் குறுக்குப் பெருக்கலைச் செய்யலாம்.  

## செய்முறை
குறுக்குப் பெருக்கலில் விகிதமுறு சமன்பாட்டின் இருபுறம் உள்ள பின்னங்களில்,  
- வலப்புற பின்னத்தின் பகுதி இடப்புறத்துக்கு மாற்றப்பட்டு, இடப்புற பின்னத்தின் தொகுதியோடு பெருக்கப்படுகிறது.
- அதேபோல, இடப்புற பின்னத்தின் பகுதி வலப்புறத்துக்கு மாற்றப்பட்டு, வலப்புற பின்னத்தின் தொகுதியோடு பெருக்கப்படுகிறது.

:<math>\frac a b \nwarrow \frac c d \quad \frac a b \nearrow \frac c d.</math>  

குறுக்குப் பெருக்கலை முறையை கீழுள்ள கணிதச் செயற்பாடுகளின் மூலம் சரிபார்க்கலாம்:  

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் விகிதமுறு சமன்பாடு:  
:<math>\frac a b = \frac c d</math>  

எந்தவொரு சமன்பாட்டையும் அதன் இருபுறமும் ஒரே உறுப்பால் பெருக்கும்போது அச்சமன்பாடு மாறாது என்ற முடிவின்படி, இச்சமன்பாட்டை இருபுறமும் ஆல் பெருக்க:  
:<math>\frac a b \times bd = \frac c d \times bd</math>  

ஒவ்வொரு புறமுமுள்ள பொதுக்காரணியால் சுருக்க:  
:<math>ad = bc</math>  

குறுக்குப் பெருக்கலை கீழுள்ள மற்றொரு முறையிலும் சரிபார்க்கலாம்:  
:<math>\frac a b = \frac c d</math>  

இடதுபுறம் = 1 ஆலும், வலதுபுறம் = 1 ஆலும் பெருக்க:  

:<math>\frac a b \times \frac d d = \frac c d \times \frac b b</math>  
:<math>\frac {ad} {bd} = \frac {cb} {db}.</math>  

, இரண்டும் பூச்சியமல்ல என்பதால், இருபுறமும் பொதுவான பகுதியாகவுள்ள = ஐ நீக்க:  
:<math>ad = cb.</math>  

## பயன்பாடு
பின்னச் சமன்பாடுகளைச் சுருக்கவும், தீர்க்கவும் குறுக்குப் பெருக்கல் பயன்படுகிறது.  
:<math>\frac x b = \frac c d</math>  

இச்சமன்பாட்டில் *x* இன் மதிப்பைக் காண வேண்டுமெனில் குறுக்குப் பெருக்கலைப் பயன்படுத்த,  
:<math>x = \frac {bc} d.</math>  

எடுத்துக்காட்டு:  

மாறாத வேகத்தில் ஓடிக்கொண்டிருக்கும் ஒரு மகிழுந்து கடந்த மூன்று மணி நேரத்தில் 90 கிமீ கடந்துள்ளது என்றால், ஏழு மணி நேரத்தில் அது கடக்கும் தூரம் எவ்வளவு?  

இக்கணக்கின் விடைகாண்பதற்கு, தரவு கீழ்வரும் விகிதச் சமனாக எழுதப்படுகிறது. இதில் *x* என்பது 7 மணி நேரத்தில் கடக்கும் தொலைவைக் குறிக்கிறது.  

:<math>\frac x {7\ \mathrm{hours}} = \frac {90\ \mathrm{km}} {3\ \mathrm{hours}}.</math>  

குறுக்குக் பெருக்கலின்படி:  

:<math>x = \frac {7\ \mathrm{hours} \times 90\ \mathrm{km}} {3\ \mathrm{hours}}</math>  

:<math>x = 210\ \mathrm{km}.</math>  

:<math>a = \frac {x} {d}</math> என்ற எளிய வடிவில் சமன்பாடு அமைந்தால் = 1 எனக் கொள்ள:  
:<math>\frac a 1 = \frac x d.</math>  

இப்போது குறுக்குப் பெருக்கலைப் பயன்படுத்தி *x* இன் மதிப்பைக் காணலாம்:  
:<math>x = \frac {ad} 1 = ad.</math>  

## மூன்றின் விதி
*மூன்றின் விதி* (*Rule of Three*) என்பது குறுக்குப் பெருக்கலுக்கான ஒரு சுருக்கு வழிமுறையாகும். பிரெஞ்சு தேசிய பள்ளிக்கல்விப் பாடத்திட்டத்தில் இது இடம் பெற்றுள்ளது.  

தரப்பட்டுள்ள சமன்பாடு:  
:<math>\frac a b = \frac c x</math>  

இதில் மதிப்பு காணப்பட வேண்டிய மாறியானது வலதுபக்கத்தில் பகுதியாக உள்ளது. மூன்றின் விதிப்படி:  

:<math>x = \frac {bc} a.</math>  

இதில் , ”ஓரமதிப்பு”” (*extreme*) எனவும் , இடைமதிப்புகள் (*means*) எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன..