# வகையிடல் விதிகள்

**வகையிடல் விதிகள்** (*differentiation rules*) என்பவை நுண்கணிதத்தில் ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காண்பதற்குப் பயன்படுத்தப்படும் விதிமுறைகள் ஆகும். இக்கட்டுரையில் அத்தைகையப் பல்வேறு விதிகளும் தொகுத்தளிக்கப்பட்டுள்ளன.  

## வகையிடலின் அடிப்படை விதிகள்

கீழ்க்காணும் விதிகளில் தரப்பட்டச் சார்புகளின் தன்மை குறிப்பிடப்படாமல் இருந்தால், அவை மெய்யெண்களில் அமைந்த மெய்மதிப்புச் சார்புகளாகவே எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. எனினும் நன்கு வரையறை செய்யப்பட்ட அனைத்துச் சார்புகளுக்கும் (சிக்கலெண்கள் உட்பட) இவை உண்மையாக அமையும்.  

### வகையிடலின் நேரியல்பு
*f* மற்றும் *g* எவையேனும் இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகள்; *a* மற்றும் *b* மெய்யெண்கள் எனில்,  

என்ற சார்பின் *x* -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:  

:<math> h'(x) = a f'(x) + b g'(x).\, </math>  

இது லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:  

:<math> \frac{d(af+bg)}{dx} = a\frac{df}{dx} +b\frac{dg}{dx}.</math>  

சிறப்பு வகைகள்:  
- வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதி

:<math>(af)' = af' \,</math>  

- வகையிடலின் கூட்டல் விதி

:<math>(f + g)' = f' + g'\,</math>  

- *வகையிடலின் கழித்தல் விதி*

:<math>(f - g)' = f' - g'.\,</math>  

### பெருக்கல் விதி

வகையிடலின் பெருக்கல் விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம் லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.  

தரப்பட்ட இரு சார்புகள் *f* , *g* எனில்,  

*h*(*x*) = *f*(*x*) *g*(*x*) -சார்பின் *x* -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:  

:<math> h'(x) = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).\, </math>  

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:  

:<math>\frac{d(fg)}{dx} = \frac{df}{dx} g + f \frac{dg}{dx}.</math>  

### சங்கிலி விதி

வகையிடலின் சங்கிலி விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்பாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இவ்விதிப்படி,  

*h*(*x*) = *f*(*g*(*x*)) எனும் சார்பின் x -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:  

:<math> h'(x) = f'(g(x)) g'(x)\, </math>  

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:  

:<math>\frac{dh}{dx} = \frac{df}{dg} \frac{dg}{dx}\,</math>  

இது பின்வருமாறும் எழுதப்படுகிறது.  

:<math>\frac{dh}{dx} = \frac{dh}{dg} \frac{dg}{dx}\,</math>  

### நேர்மாறுச் சார்பு விதி

இவ்விதி ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது.  

*f* சார்பின் நேர்மாறு சார்பு *g* எனில்,  

, , என இருந்தால்:  

:<math>g' = \frac{1}{f'\circ g}\,</math>  

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:  

:<math> \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy/dx}</math>  

### அடுக்கு விதி

வகையிடலின் அடுக்கு விதியின் கூற்று:  
<math>f(x) = x^n</math>, *n* ஒரு முழு எண் எனில்:  

:<math>f'(x) = nx^{n-1}.\,</math>  

இவ்விதியின் சிறப்பு வகைகள்:  

- *மாறிலி விதி*:

*f* ஒரு மாறிலிச் சார்பு, <math>f(x) = c </math>எனில்:  
:<math> f' (x) = 0</math>  

- <math>f(x) = x </math> (முற்றொருமைச் சார்பு எனில்,

:<math> f'(x) = 1 </math>  

- *நேரியல் சார்பின் வகைக்கெழு ஒரு மாறிலியாகும்*:

:<math>f(x) = ax + b </math> எனில்,  
:<math> f'(x) = a </math>  

இவ்விதியையும் வகையிடலின் நேரியல்பையும் இணைத்து எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் வகையிடலாம்.  

### தலைகீழி விதி

:<math> h(x) = \frac{1}{f(x)}\ </math> ( *f* (*x*) பூச்சியமற்றதாக இருத்தல் அவசியம்) எனில்:  

:<math> h'(x) = -\frac{f'(x)}{[f(x)]^2}\ </math>  

இவ்விதி லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:  
:<math> \frac{d(1/f)}{dx} = -\frac{1}{f^2}\frac{df}{dx}\,</math>  

அடுக்கு விதியையும் சங்கிலி விதியையும் இணைத்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.  

### வகுத்தல் விதி

*f* , *g* என்பன வகையிடத்தக்க இரு சார்புகள் எனில்:  

:<math>\(\frac{f}{g}\)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad</math>, (*g* பூச்சியமற்றதாக இருத்தல் வேண்டும்.)  

பெருக்கல் விதியையும் தலைகீழி விதியையும் இணைத்து இவ்விதியைப் பெறலாம். மறுதலையாக, இவ்விதியிலிருந்து *f*(*x*) = 1 எனும் சிறப்பு வகையாகத் தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.  

### பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட அடுக்குவிதி
*f* , *g* என்பன இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்,  
:<math>(f^g)' = \(e^{g\ln f}\)' = f^g\(f'{g \over f} + g'\ln f\),\quad</math>  

இருபுறமும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்டிருத்தல் அவசியம்.  

சிறப்பு வகைகள்:  

- *a* ஏதேனும் ஒரு மெய்யெண் மற்றும் *x* நேர்மம் எனில்:

:<math>f(x) = x^a </math> என்பதன் *x* -ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு:  

:<math> f'(x) = a x^{a-1}</math>  

- *g*(*x*) = −1 எனில் இவ்விதியிலிருந்து தலைகீழி விதியைப் பெறலாம்.

## அடுக்குக்குறிச் சார்பு, மடக்கைச் சார்பின் வகையீடுகள்

:<math> \(c^{ax}\)' = {c^{ax} \ln c \cdot a }\qquad c > 0</math>  
இச்சமன்பாடு, *c* இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்; c < 0 என்பது சிக்கலெண்ணைத் தரும்.  

:<math> \(e^x\)' = e^x</math>  

:<math> \( \log_c x\)' = {1 \over x \ln c}\qquad c > 0, c \ne 1</math>  
மேலுள்ள சமன்பாடு *c* இன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் சரியாக இருக்கும்; ஆனால் சிக்கலெண்ணைத் தரும்.  

:<math> \( \ln x\)' = {1 \over x}\qquad x \ne 0</math>  

:<math> \( \ln |x|\)' = {1 \over x}</math>  

:<math> \( x^x \)' = x^x(1+\ln x)</math>  

:<math> \frac{d}{dx}[\ln(f(x))] = \frac{f'(x)}{f(x)}</math>  
மடக்கையின் அடிமாற்று விதியைப் பயன்படுத்த,  

: <math>\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{d}{dx} \frac {\ln(x)}{\ln(b)} = \frac{1}{x \ln(b)} = \frac{\log_b(e)}{x}</math>  

### மடக்கை வகையிடல்
மடக்கை வகையிடல் என்பது ஒரு சார்பின் மடக்கையை வகையிடுவதாகும்.  

:<math> (\ln f)'= \frac{f'}{f} \quad</math> இங்கு *f* நேர்மமாக இருத்தல் வேண்டும்.  

## முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்
முக்கோணவியல் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.  
| <math> (\cos x)' = -\sin x \,</math> | <math> (\arccos x)' = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,</math> |  |
| --- | --- | --- |
| <math> (\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,</math> | <math> (\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,</math> |  |
| <math> (\sec x)' = \sec x \tan x \,</math> | \sqrt{x^2 - 1}} \,</math> |  |
| <math> (\csc x)' = -\csc x \cot x \,</math> | \sqrt{x^2 - 1}} \,</math> |  |
| <math> (\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)\,</math> | <math> (\operatorname{arccot} x)' = -{1 \over 1 + x^2} \,</math> | } |

## மீவளையச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்
| <math>(\cosh x )'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> | <math>(\operatorname{arcosh}\,x)' = {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}}</math> |  |
| --- | --- | --- |
| <math>(\tanh x )'= {\operatorname{sech}^2\,x}</math> | <math>(\operatorname{artanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}</math> |  |
| <math>(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x</math> | <math>(\operatorname{arsech}\,x)' = -{1 \over x\sqrt{1 - x^2}}</math> |  |
| <math>(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x</math> | \sqrt{1 + x^2}}</math> |  |
| <math>(\operatorname{coth}\,x )' =

-\,\operatorname{csch}^2\,x</math> | <math>(\operatorname{arcoth}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}</math> | } |

## சிறப்புச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்

## தொகையீடுகளின் வகைக்கெழுக்கள்

*x* ஐப் பொறுத்து வகையிட வேண்டிய சார்பு-  

:<math>F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt;</math>  

:<math>a(x)\leq t\leq b(x),</math> <math>x_0\leq x\leq x_1\,</math> இரண்டையும் உள்ளடக்கிய <math>(t,x)\,</math> தளத்தின் ஒரு பகுதியில், <math>f(x,t),\,</math> <math>\frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)\,</math> என்ற இரு சார்புகளும் <math>t\,</math> மற்றும் <math>x\,</math> களில் தொடர்ச்சியானவையாகவும்;  

<math>x_0\leq x\leq x_1\,</math> இடைவெளியில், சார்புகள் <math>a(x)\,</math> and <math>b(x)\,</math> இரண்டும் தொடர்ச்சியான சார்புகளாகவும் தொடர்ச்சியான வகைக்கெழுக்களும் கொண்டிருந்தால்:  

:<math> F'(x) = f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt,\, </math> <math>\,x_0\leq x\leq x_1\,\,</math>  

இவ்வாய்ப்பாடு *லைப்னிட்சின் தொகையீட்டு விதி*யின் பொதுமைப்படுத்தலாகும். மேலும் இதனை *நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றத்தைப்* பயன்படுத்தி நிறுவலாம்.  

## *n* ஆம் வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

### ஃபா டி புரூனோவின் வாய்ப்பாடு

*f* , *g* இரண்டும் *n* தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்:  

:<math> \frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}}^{} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \(g^{(m)}(x) \)^{k_m}</math>  

இங்கு <math> r = \sum_{m=1}^{n-1} k_m,</math> <math> \{k_m\}</math> இரண்டும்,  

:<math> \sum_{m=1}^{n} m k_m = n</math> -*டியோஃபாண்டைன் சமன்பாட்டின்* எதிர்மமற்ற முழு எண் தீர்வுகள் அனைத்தையும் கொண்டவை  

### பொது லைப்னிட்ஸ் விதி
வகையிடலின் பெருக்கல் விதியின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவமே பொது லைப்னிட்ஸ் விதியாகும்.  

*f* , *g* இரண்டும் *n* தடவைகள் வகையிடக் கூடிய சார்புகள் எனில்:  

:<math> \frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}} f(x) \frac{d^k}{d x^k} g(x)</math>