# மீச்சிறு பொது மடங்கு

கணிதத்தில் எண் கோட்பாட்டில் **மீச்சிறு பொது மடங்கு** (**மீபொம**) (இலங்கை வழக்கு: **பொது மடங்குகளுள் சிறியது** - **பொ.ம.சி**; ஆங்கிலத்தில் least common multiple, அல்லது lowest common multiple (**LCM**) அல்லது smallest common multiple) என்பது பொதுவாக *a*, *b* ஆகிய இரண்டு எண்களின் பெருக்குத்தொகையாக அமைந்த மிகச்சிறிய நேர்ம முழு எண் ஆகும். இவ்வெண் பெருக்குத்தொகை ஆகையால் *a*, *b* ஆகிய இரண்டு எண்களும் தனித்தனியாக இதனை மீதியின்றி வகுக்கும். *a* ஓ *b* ஓ சுழியாக (0) இருந்தால், மீபொம (*a*,&nbsp;*b*)= 0. மீபொம = LCM.  

இவ்வரையறை இரண்டு எண்களுக்கும் கூடுதலான எண்ணிகையில் உள்ள எண்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்திக் கூறுவதுண்டு. முழு எண்கள் *a*<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;*a<sub>n</sub>* ஆகியவற்றின் மீச்சிறு பொது மடங்கு என்பது *a*<sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;*a<sub>n</sub>* ஆகிய ஒவ்வொன்றும் மீதியின்றி வகுக்ககூடிய மிகச்சிறிய எண்.  

## எடுத்துக்காட்டு
எண் 4 என்பதன் மடங்குகள்:  

: 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48, ...  
(அடுத்த மடங்கைப் பெற ஒவ்வொன்றுக்கும் 4 என்னும் எண்ணைக் கூட்டுக).  

எண் 6 என்பதன் மடங்குகள்:  

: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, ...  

(அடுத்த மடங்கைப் பெற ஒவ்வொன்றுக்கும் 6 என்னும் எண்ணைக் கூட்டுக).  

மேலே உள்ள 4 இன் மடங்குகளுக்கும் 6 இன் மடங்குகளுக்கும் *பொதுவான மடங்குகள்*:  

: 12, 24, 36, 48, ....  

ஆனால் இவற்றுள், 4, 6 உக்கான மிகச்சிறிய பொது மடங்கு (மீச்சிறு பொது மடங்கு) (least common multiple) :&nbsp;12.''  

## பயன்பாடுகள்

பின்னங்களைக் கூட்டும்பொழுதும் கழிக்கும்பொழுதும் ஒப்பிடும் பொழுதும் , அப் பின்னங்களுக்குப் பொதுவான ஒரு கீழ் எண்களைக் கண்டுபிடிக்க மீச்சிறு பொது மடங்கு (lowest common denominator) தேவைப்படுகின்றது தேவைப்படுகின்றது. எடுத்துக்காட்டாக,  

:<math>{2\over21}+{1\over6}={4\over42}+{7\over42}={11\over42},</math>  

மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டில் பின்னங்களின் கீழெண்ணாக 42 பயன்படுத்தப்பட்டது, ஏனெனில் அதுவே 21 மற்றும் 6 ஆகியவற்றின் மிகச்சிறிய பொது மடங்கு (மீச்சிறு பொது மடங்கு).  

## மீச்சிறு பொது மடங்கைக் கணக்கிடுதல்

### மீப்பெரு பொது வகுத்தியால் குறைத்தல்

கீழ்க்காணும் வாய்பாடு, மீச்சிறு பொது மடங்கைக் காண மீப்பெரு பொது வகுத்தியைக் கணக்கிடுவதாக மாற்றுக்கின்றது:  

:<math>\operatorname{lcm}(a,b)=\frac{|a\cdot b|}{\operatorname{gcd}(a,b)}.</math>  

மீப்பெரு பொது வகுத்தியைக் கண்டுபிடிக்க விரைந்து இயங்கும் படித்தீர்வு முறைகள் உண்டு. இவை யூளிட்டின் படித்தீர்வு முறையைப் போல எண்ணின் காரணிகளை கண்டுபிடிக்கத்தேவை இல்லை.மேற்குறிப்பிட்ட எடுத்துக்குக் காட்டுக்கு மீண்டும் செல்ல,  

:<math>\operatorname{lcm}(21,6)  
={21\cdot6\over\operatorname{gcd}(21,6)}  
={21\cdot 6\over 3}= 21\cdot\frac{6}{3} = 21\cdot 2 =42.</math>  

மீப்பெரு பொது வகுத்தி மீபொவ (*a*, *b*) [gcd(*a*, *b*] என்பது *a* மற்றும் *b* ஆஅகிய இரண்டின் வகுத்தி (வகுக்கும் எண்)) ஆகையால், மீச்சிறு பொது மடங்கைக் காண பெருக்குவதற்கு முன்னர் பொது வகுத்தியால் முதலில் வகுப்பது திறன் மிக்கதாகும்:  

:<math>\operatorname{lcm}(a,b)=\({|a|\over\operatorname{gcd}(a,b)}\)\cdot |b|=\({|b|\over\operatorname{gcd}(a,b)}\)\cdot |a|.</math>  

இம்முறை உள்ளிடும் எண்ணின் மதிப்பை வகுப்பதிலும் பெருக்குவதிலும் குறைப்பதால் இடை நிலைகளில் (intermediate steps) எழும் எண்களை நினைவில் கொள்ளவோ சேமிக்கவோ எளிதாகும். இவ்வாறு செய்வதால் முன்னர் காட்டிய எடுத்துக்காட்டைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:  

:<math>\operatorname{lcm}(21,6)={21\over\operatorname{gcd}(21,6)}\cdot6={21\over3}\cdot6=7\cdot6=42.</math>