# உள்ளிடுகோப்பு

கணிதத்தில் <math>f : X\rightarrow Y</math> என்ற சார்பில்/கோப்பில் ஒவ்வொரு <math>y \in Y</math> க்கும் <math>X</math> இல் <math>f(x) = y</math> ஆகும்படி அதிக பட்சம் ஒரு <math>x</math> தான் இருக்குமானால் <math> f</math> **உள்ளிடுகோப்பு** (*Injection*) எனப்படும்; அதாவது, முன்னுரு உள்ள எந்த <math>y \in Y</math> க்கும் முன்னுரு ஓருறுப்புக் கணமாகத்தான் இருக்கும்.  

இதையே வேறுவிதமாகச்சொன்னால், <math>X</math> இன் உறுப்புகள் <math>x_1, x_2</math> க்கு <math>f(x_1) = f(x_2)</math>ஆக இருக்குமானால் <math>x_1</math> ம் <math>x_2</math> ம் சமமாக இருந்தாகவேண்டும். அதாவது, ஆட்களத்திலுள்ள தனித்தனி <math>x</math> க்கு இணை ஆட்களத்தில் தனித்தனி <math>f(x)</math> இருந்தாகவேண்டும்.  

## துல்லியமான வரையறை

<math>f: X \rightarrow Y</math> ஒரு உள்ளிடுகோப்பு எனப்படுவதற்கு இலக்கணம்:  

:<math>\forall (x,y) \in X^2,\, \(x \neq y \,\Longrightarrow\, f(x) \neq f(y) \)</math>  

## உலகவழக்கில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு

சுற்றுலாப்பயணிகளின் கூட்டமொன்று இராத்தங்க, எல்லா அறைகளும் காலியாக இருக்கும் ஒரு விடுதியில் வந்து சேருகின்றனர். பயணிகளுக்கு அறைகள் வழங்கும் முறையை ஒருகோப்பாக விவரிக்கலாம். (பயணிகள் கணம்: X ; அறைகள் கணம்: Y.)  

ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கவேண்டுமென்றால், அறைகளின் எண்ணிக்கை பயணிகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது.அப்பொழுது ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். இது உள்ளிடுகோப்பு (*injective map; injection; one-one map*).  

ஒவ்வொரு அறையும் நிரப்பப்படவேண்டுமென்றால், பயணிகளின் எண்ணிக்கை அறைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வொரு அறையிலும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பயணியாவது இருப்பர். இது முழுக்கோப்பு (*surjective map; surjection; onto map*).  

சில அறைகள் நிரப்பப்படாமலும், சில அறைகளில் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பயணிகளும் இருக்கும்படி செய்யப்பட்ட கோப்பு, உள்ளிடுகோப்புமல்ல, முழுக்கோப்புமல்ல. இதை வெறும் உட்கோப்பு (*into map*) என்று மட்டும் சொல்லலாம்.  

பயணிகளின் எண்ணிக்கையும் அறைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். ஒரு அறையும் காலியாக இருக்காது. இது இருவழிக்கோப்பு (*bijective map; bijection; one-one onto map*). அதாவது, இது உள்ளிடுகோப்பு, முழுக்கோப்பு ஆகிய இரு பண்புகளையும் கொண்டது.  

## கணிதத்தில் எடுத்துக்காட்டுகளும் மாற்றுக்காட்டுகளும்
- <math>f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}</math>
:<math>f(x) = 2x - 1</math>  
:இது ஒரு உள்ளிடுகோப்பு. ஏனென்றால் <math>2x_1 - 1 = 2x_2 - 1 \Rightarrow x_1 = x_2.</math>  
- <math>g:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}</math>
:<math>g(x) = x^2</math>  
:இது உள்ளிடுகோப்பல்ல. ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, g(1) = g(-1).  
- <math>h:\mathbf {R}^{+} \rightarrow \mathbf {R}</math>
:<math>h(x) = x^2</math>  
:இது உள்ளிடுகோப்பு.  
- அடுக்குச் சார்பு:
:<math>exp: \mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}^{+} : x \mapsto e^x</math>  
- மடக்கைச்சார்பு<math>\ln : (0,+\infty) \to \mathbf{R} : x \mapsto \ln{x}</math>
:இவையிரண்டும் உள்ளிடுகோப்புகளே.  

## சில விளைவுகள்

- எந்த <math>X</math> க்கும் <math>I : X \rightarrow X</math> என்ற முற்றொருமைச்சார்பு ஒரு உள்ளிடுகோப்பு.
- <math>f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R}</math> என்ற சார்பு :ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், அதனுடைய வரைவு ஒவ்வொரு கிடைக்கோட்டையும் அதிகபட்சம் ஒரு புள்ளியில் தான் சந்திக்கும்.
- <math>g \circ f</math> என்ற சேர்ப்புச் சார்பு உள்ளிடுகோப்பானால், <math>f</math> ஒரு உள்ளிடுகோப்பாக இருக்கும். ஆனால் <math>g</math> உள்ளிடுகோப்பாக இருக்கவேண்டியதில்லை. (படிமம் பார்க்கவும்)
- <math>f, g</math> இரண்டும் உள்ளிடுகோப்புகளானால் <math> g \circ f</math> ஒரு உள்ளிடுகோப்பாகும்.
- <math>f: X \rightarrow Y</math> ஒரு உள்ளிடுகோப்பு, <math>A \subset X</math>, <math>B \subset X</math> என்றால்
: <math>f^{-1}(f(A)) = A</math>, மற்றும்  
: <math>f(A \cap B) = f(A) \cap f(B)</math>  

- X ம் Y ம் முடிவுறுகணங்களாக இருந்தால், <math>f: X \rightarrow Y</math> உள்ளிடுகோப்பாக இருப்பதும் முழுக்கோப்பாக இருப்பதும் ஒன்றுதான்.
- <math>f : X \rightarrow Y</math> ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், Y இன் எண்ணளவை X இன் எண்ணளவையைவிடக் குறைவாக இருக்கமுடியாது.

## உள்ளிடுகோப்புகளுக்கு நேர்மாற்றுக்கோப்புகள்

உள்ளிடுகோப்புகளுடைய் இலக்கணத்தை இன்னொருவிதமாக எழுதலாம். அதாவது  
:<math>f: X \rightarrow Y</math> உள்ளிடுகோப்பாகவேண்டுமென்றால்,  
:<math>g \circ f</math> = <math>I: X \rightarrow X</math> ஆக இருக்கும்படி  
:<math>g: Y \rightarrow X</math> என்ற கோப்பு ஒன்று இருக்கவேண்டும்.  
: ஆனால் இந்த <math>g</math> ஐ <math>f</math> இன் நேர்மாற்றுக்கோப்பாகக் கருதிவிடமுடியாது. ஏனென்றால் <math>f \circ g</math> முற்றொருமையாக இல்லாமல் இருக்கலாம்.  
: எனினும், <math>f</math> இனுடைய இணையாட்களத்தை மாற்றுவதால் நாம் இதைச்சாதித்துவிடலாம். அதாவது, <math>Y</math> க்கு பதிலாக, <math>f</math> இன் வீச்சை எடுத்துக்கொள்வதால் <math>f \circ g</math> யும் முற்றொருமை ஆகிவிடும்.