# வரிசைமாற்றக்குலத்தில் இணையியத்தல்

கணிதத்தில் குலக்கோட்பாட்டில், குறிப்பாக, பரிமாற்றலற்ற குலங்களில், **இணை இயத்தல்** (Conjugation) என்ற செயல்பாடு குலத்தின் உட்கூறுகளை ஆழ்ந்து நோக்கப் பயன்படுகிறது. இக்கட்டுரை ஒற்றுமை வகுப்பு (Permutation group) இச்செயல்பாட்டைப் பற்றிப் பேசுகிறது.  

## இணையியம்

G ஒரு குலம் என்று கொள்க. <math>b \in G, a \in G</math> இனுடைய **இணையியம்** (Conjugate) என்பதற்கு இலக்கணம்:  
:: ஏதாவதொரு <math>g \in G</math> க்கு, <math>b = gag^{-1}</math>.  

எளிதாகவே **இணையியத்தல்** ஒருசமான உறவு என்று கண்டுகொள்ளலாம்.  

<math>a</math> என்ற ஓர் உறுப்புக்கு இணையியமாக உள்ளதையெல்லாம் ஒரு பகுதியில் போட்டால், <math>a</math> இன் இணையியச் சமானப்பகுதி (Conjugate equivalence class of a)கிடைக்கும். உண்மையில்,  

<math>a</math> இன் இணையியச் சமானப்பகுதி = <math>\{gag^{-1} : g \in G\}</math>. இதற்குக்குறியீடு: <math>Cl(a).</math>  

## அவதானக் குறிப்பு

இணையியத்திற்காக உள்ள வாய்பாடு <math>b = gag^{-1}</math> ஐ நினைவில் வைத்துக்கொள்ள பாமர வழக்கில் ஒரு குறிப்பு:  

'கண்களை மூடு; பரம்பொருளை மனதில் நிறுத்து; மூடின கண்களைத்திற'. இதுதான் <math>gag^{-1}</math>.  

## வரிசைமாற்றக் குலங்களில் எடுத்துக் காட்டுகள்

- <math>S_3</math> ஐ நோக்குவோம். உறுப்பு <math>(b)(ca),</math> உறுப்பு <math>(a)(bc)</math> இன் இணையியம். ஏனென்றால், <math>g = (c)(ab)</math> என்ற உறுப்பு இணையியத்துக்கு வேண்டிய செயல்பாட்டைச் சரிசெய்கிறது. அதாவது,
:: <math>((c)(ab)) ((a)(bc))((c)(ab))^{-1}</math>  
:: = <math>((c)(ab)) ((a)(bc))((c)(ab));</math>  
:: = <math>((c)(ab)) (acb);</math> ஏனென்றால், <math>a \rightarrow b \rightarrow c, b\rightarrow a\rightarrow a, c \rightarrow c \rightarrow b.</math>  
:: = <math>(b)(ac)</math> ஏனென்றால், <math>a \rightarrow c \rightarrow c, b\rightarrow a \rightarrow b, c \rightarrow b \rightarrow a.</math>  

- மறுபடியும், <math>S_3</math> இல்,
:: <math>Cl((c)(ab)) = \{(c)(ab), (b)(ac), (a)(bc)\}</math>  
:: <math>Cl(abc) = \{(abc), (acb)\}</math>  

## இணையியமும் சுழலமைப்பும்

**தேற்றம்**: <math>S_n</math> இல் இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்புள்ளதாக இருந்தால், இருந்தால்தான், அவை இணையியங்களாக இருக்கும்.  

முதலில் 'இருந்தால்தான்' பாகத்தை நிறுவுவோம்.  

அதாவது வரிசைமாற்றங்கள் <math>\sigma</math> வையும் அதன் இணையியம் <math>\tau \sigma \tau^{-1}</math> ஐயும் பார்ப்போம்.  

<math>\tau \sigma \tau^{-1}</math> = <math>\begin{pmatrix} i \\  
\tau(i)  
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}  
i \\  
\sigma(i)  
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}  
\tau(i) \\  
i  
\end{pmatrix}  

=\begin{pmatrix}  
\tau(i) \\  
\tau\sigma(i)  
\end{pmatrix}</math> இதன் சுழலமைப்பு <math>\sigma</math> வின் சுழலமைப்புதான்.  

மாறாக, 'இருந்தால்' பாகத்தை நிறுவ, <math>\sigma</math> <math>\sigma^*</math> என்ற இரண்டு வரிசைமாற்றங்கள் ஒரே சுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதாகக் கொள்வோம்.இரண்டும் ஒரேசுழலமைப்பைப் பெற்றிருப்பதால்,அவைகளை பின்வருமாறு குறிகாட்டலாம்:  

:<math>\sigma = (a_1...a_r)(b_1...b_s)(c_1...c_t)...(f_1)(f_2)...(f_q)</math>  
:<math>\sigma^* = (a_1^*...a_r^*)(b_1^*...b_s^*)(c_1^*...c_t^*)...(f_1^*)(f_2^*)...(f_q^*)</math>  

இப்பொழுது, <math>\sigma</math> வும் <math>\sigma^*</math> ம் இணையியங்கள் என்று காட்டுவோம்.  

<math>\tau </math> என்ற ஒரு வரிசைமாற்றத்தை பின்வருமாறு வரையறை செய்யலாம்:  

::<math>\tau(a_i) = a_i^*, i = 1,...,r</math>  
::<math>\tau(b_i) = b_i^*, i = 1,...,s</math>  
::<math>\tau(c_i) = c_i^*, i = 1,...,t</math>  
:: .....  
::<math>\tau(f_i) = f_i^*, i = 1,...,q</math>  

ஆகக்கூடி, இப்பொழுது, <math>\tau\sigma\tau^{-1} = \sigma^* </math> என்பதை எளிதில் சரிபார்ர்த்துவிடலாம்.  
<math>\therefore \sigma</math> வும் <math>\sigma^*</math> ம் இணையியங்கள். Q.E.D.