# உள்வெளி

கணிதத்தின் ஒரு பிரிவான நேரியல் இயற்கணிதத்தில் திசையன் வெளி என்ற கருத்துடன் கூடவே திசையன் **உள்வெளி** (Vector subspace) என்ற கருத்தும் உண்டு.  

## வரையறை

V என்ற திசையன் வெளியில் அடங்கிய S என்ற ஒரு வெற்றில்லாத உட்கணம், V இலுள்ள அதே கூட்டலுக்கும் அளவெண் பெருக்கலுக்கும் ஒரு திசையன் வெளியாகுமானால் அது V இனுடைய *(திசையன்) உள்வெளி* எனப் பெயர் பெறும்.  

எடுத்துக்காட்டாக, யூக்ளிடின் தளம் <math>V_2</math> வை எடுத்துக்கொள்வோம். தொடக்கப்புள்ளி வழியாகச்செல்லும் எந்த நேர்கோடும் ஒரு உள்வெளி.  

யூக்ளிடின் முப்பரிமாண வெளி <math>V_3</math> இல், தொடக்கப்புள்ளி வழியாகச் செல்லும் எந்த நேர்கோடும், எந்தத் தளமும் உள்வெளிகளே.  

சுருங்கச்சொன்னால், திசையன்வெளி V இல், ஒரு குறிப்பிட்ட உறுப்பு <math>u_0</math> இன் எல்லா அளவெண் மடங்குகளும் சேர்ந்து ஒரு உள்வெளியாகும்.  

வரையறைப்படி பார்த்தால் ஒவ்வொரு முறை உள்வெளி என்று உறுதிப்படுத்துவதற்கும் திசையன்வெளியின் எல்லா நிபந்தனைகளையும் சரிபார்க்கவேண்டும் தான். ஆனால், இரண்டே நிபந்தனைகளைச் சரிபார்த்தால் போதும் என்பதற்கு ஒரு தேற்றத்தை நிறுவமுடியும். அத்தேற்றத்தின்படி,  

**V என்ற திசையன் வெளியில் அடங்கிய S என்ற ஒரு வெற்றில்லாத உட்கணம், ஒரு உள்வெளி யாவதற்கு கீழுள்ள இரண்டும் சரிபார்க்கப்பட்டால் போதும்:**  

**(உ.வெ. 1) S இல் உள்ள எந்த u, v க்கும், <math>u + v \in S</math>;**  

**(உ.வெ. 2) <math>\alpha</math> ஒரு அளவெண்ணானால், S இல் உள்ள எந்த u க்கும், <math>\alpha u \in S.</math>**  

## சில சார்பு வெளிகளில் உள்வெளிகள்

**குறிப்பு**: வெளிகளின் குறியீடுகளுடைய விபரங்களுக்கு இங்கே பார்க்கவும்.  

கீழேயுள்ள உட்கணக்குறியீடுகள் காட்டும் உட்கணங்களெல்லாம் உள்வெளிகளே:  

<math>\mathcal{P}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{F}_{\mathbf{R}}[a, b]</math>,  

ஒவ்வொரு <math>1 \leq m \leq n </math> க்கும், <math>\mathcal{C}^{\infty}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}^{(n)}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}^{(m)}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}^{(1)}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{C}_{\mathbf{R}}[a, b] \subset \mathcal{F}_{\mathbf{R}}[a, b]</math>.  

## உள்வெளிகளின் வெட்டு

V ஒரு திசையன் வெளியெனக்கொள்வோம்.  

:* <math>U</math> வும் <math>W</math> வும் இரண்டு உள்வெளிகளானால், <math>U \cap W</math> வும் ஒரு உள்வெளிதான்.  

இதனுடைய முக்கியமான விளைவுகளில் ஒன்று ஒருங்கமைச்சமன்பாடுகளை விடுவிக்கும்போது ஏற்படுகிறது. கீழேயுள்ள மூன்று சமன்பாடுகளையும் சரியாக்கும் n-திசையன்களை எடுத்துக்கொள்வோம்:  

:: <math>W = \{\overline {x} = (x_1, x_2, ...,x_n) \in V_n</math> : (1), (2), (3) ஐ சரியாக்குகிறது}  
:::: <math>\alpha_1 x_1 +\alpha_2 x_2 + ... + \alpha_n x_n = 0 </math> ....... (1)  
:::: <math>\beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + ... + \beta_n x_n = 0 </math> ....... (2)  
:::: <math>\gamma_1 x_1 + \gamma_2 x_2 + ... + \gamma_n x_n = 0</math> .......(3)  

இதனால் <math> W = W_1 \cap W_2 \cap W_3</math>; இங்கு <math>W_i</math>, i = 1,2,3 என்பது 1-வது, 2-வது, 3-வது சமன்பாட்டின் விடைத்திசையன்களின் கணம்.  

## உள்வெளிகளின் ஒன்றிப்பு

U, W இரண்டும் V இன் உள்வெளிகள் எனக்கொள்வோம்.  

இரண்டு உள்வெளிகளின் ஒன்றிப்பு உள்வெளியாக இருக்கவேண்டிய அவசியமில்லை. ஆனால் <math>[U \cup W],</math> அதாவது, <math>U \cup W</math> இன் அளாவல் <math>U \cup W</math> ஐ அடக்கிய மிகச்சிறிய உள்வெளி. மற்றும் <math>U + W = \{u+w: u\in U, w\in W\}</math> ஒரு உள்வெளிதான். உண்மையில்,  

:: <math> U + W = [U \cup W] </math>  

என்று எளிதில் காட்டிவிடலாம்.  

இதற்கு மேலும் <math>U \cap W = \{\overline {0}\}</math> ஆக இருக்குமானால், U + W ஐ ஒரு **நேரிடைக்கூட்டல்** (direct sum) என்று சொல்வோம். இதற்கு கணிதவழக்குப்படி ஒரு பொதுக்குறியீடு உள்ளது: அ-து, <math>U \oplus W</math>.  

## முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளியின் உள்வெளி

V ஒரு முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளியென்று கொள்வோம்.  

:* V இன் ஒவ்வொரு உள்வெளி U க்கும்,  
:: <math>dim U \leqslant dimV</math> .  
:: U , V இரண்டும் ஒன்றாக ஆகும்போதுதான் பரிமாணங்களும் சமமாக இருக்கும்.  

:* U, W இரண்டு உள்வெளிகளானால்,  

:: <math>dim(U + W) = dim U + dim W - dim (U \cap W)</math>  

:* <math>U, W</math> இரண்டும் <math>U \cap W = \{\overline {0}\}</math> ஆக இருக்கும்படி இரண்டு உள்வெளிகளானால்,  

:: <math>dim(U \oplus W) = dim U + dim W</math>