# டி மாவரின் வாய்ப்பாடு

கணிதத்தில், **டி மாவரின் வாய்ப்பாடு** (*de Moivre's formula*) என்பது,  

:<math>\(\cos x+i\sin x\)^n=\cos\(nx\)+i\sin\(nx\)\,</math> ஆகும்.  

இங்கு *x* ஒரு சிக்கலெண் (குறிப்பாக மெய்யெண்), *n* ஒரு முழு எண். பிரஞ்சு கணிதவியலாளர் *ஆபிரகாம் டி மாவரால்* அறிமுகப்படுத்தப்பட்டதால் இவ்வாய்ப்பாடு அவரது பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. சிக்கலெண்களையும் முக்கோணவியலையும் இணைப்பதால் இந்த வாய்ப்பாடு மிகவும் முக்கியம் வாய்ந்ததாக உள்ளது.  

சில சமயங்களில் cos *x* + *i* sin *x* என்பது சுருக்கமாக cis *x* என குறிக்கப்படும்.  

இதன் இடதுபுறத்தை விரித்து, ( *x* மெய்யெண் எனக்கொள்க.) இருபுறமும் உள்ள மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளை சமப்படுத்துவதன் மூலம் cos (*nx*) மற்றும் sin (*nx*) இவற்றுக்கான விரிவுக்கோவைகளைப் பெறாலாம். அக்கோவைகள் cos *x* மற்றும் sin *x* களால் ஆனவையாக இருக்கும். மேலும் இவ்வாய்ப்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி 1 ன் *n* ஆம் படி மூலங்களைக் ( *n* th roots of unity) காணலாம். அதாவது, *z<sup>n</sup>* = 1 என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் சிக்கலெண், *z* ன் மதிப்புகளைக் காணலாம்.  

## முழுஎண் அல்லாத அடுக்குகளுக்குப் பொருந்தாமை

டி மாவரின் வாய்ப்பாடு, அடுக்குகள் முழுஎண்களாக இல்லாவிட்டால் பொருந்தாது. முழுஎண்ணல்லாத அடுக்குகளையுடைய சிக்கலெண்களுக்கு பல மதிப்புகள் உண்டு. இவ்வாய்ப்பாட்டினைப் பொதுமைப்படுத்தலின் மூலம்  
<math>\cos\(nx\)+i\sin\(nx\)\,</math> என்பது <math>\(\cos x+i\sin x\)^n\,</math> ன் பல மதிப்புகளுள் ஒன்று என்பதைக் காணலாம்.  

எடுத்துக்காட்டு:  

*n*&nbsp;=&nbsp;&frac12; எனில் வாய்ப்பாட்டின்படி,  

: *x*&nbsp;=&nbsp;0 எனும்போது 1<sup>&frac12;</sup>&nbsp;=&nbsp;1,  
: *x*&nbsp;=&nbsp;2*π* எனும்போது 1<sup>&frac12;</sup>&nbsp;=&nbsp;−1 என இரு மதிப்புகள் கிடைக்கின்றன.  

கோணங்கள் 0 மற்றும் 2π இரண்டும் ஒன்றுதான் என்றாலும் அவை 1 மற்றும் -1 என்ற இரு வேறுபட்ட மதிப்புகளைத் தருகின்றன. பொதுமைப்படுத்தலும் 1ன் வர்க்கமூலங்கள் 1, -1 என்பதை உறுதிப்படுத்துகின்றது.  

## நிறுவுதல்

### ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு மூலம்
ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி டிமாவரின் வாய்ப்பாட்டை எளிதாக நிறுவலாம்.  

ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு:  

:<math>e^{ix} = \cos x + i\sin x\,</math>  

முழுஎண்களுக்கான அடுக்கேற்ற விதிப்படி,  

:<math>\( e^{ix} \)^n = e^{inx} .</math>  

மீண்டும் ஆய்லர் வாய்ப்பாட்டின்படி,  

:<math>e^{i(nx)} = \cos (nx) + i\sin (nx).\,</math>  

அதாவது, <math>\(\cos x+i\sin x\)^n=\cos\(nx\)+i\sin\(nx\).\,</math>  

### கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறை

டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டினை ஒரு இயல் எண் அடுக்கிற்கு கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில் நிறுவலாம். பின் அதன்மூலம் எல்லா முழு எண் அடுக்குகளுக்கும் நிரூபிக்கலாம்.  

- இயல் எண் அடுக்கிற்கு

*S*(*n*): <math>(\cos x + i \sin x)^n = \cos (nx) + i \sin (nx), n \in \mathbb{Z}</math>  

கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறைப்படி *n*&nbsp;>&nbsp;0, விற்கு முதலில் நிறுவலாம்.  

*S*(1) என்பது தெளிவாக உண்மையென அறியலாம்.  

*S*(*k*) உண்மையென எடுத்துக் கொள்ள வேண்டும். அதாவது,  

:<math>\(\cos x + i \sin x\)^k = \cos\(kx\) + i \sin\(kx\). \,</math> என்பது உண்மை.  

இப்பொழுது  

*S*(*k*+1):  

:<math>  
\begin{alignat}{2}  
\(\cos x+i\sin x\)^{k+1} & = \(\cos x+i\sin x\)^{k} \(\cos x+i\sin x\)\\  
& = \[\cos\(kx\) + i\sin\(kx\)\] \(\cos x+i\sin x\) &&\qquad \text{by the induction hypothesis}\\  
& = \cos \(kx\) \cos x - \sin \(kx\) \sin x + i \[\cos \(kx\) \sin x + \sin \(kx\) \cos x\]\\  
& = \cos \[ \(k+1\) x \] + i\sin \[ \(k+1\) x \] &&\qquad \text{by the trigonometric identities}  
\end{alignat}  
</math>  

அதாவது *S*(*k*) யிலிருந்து *S*(*k*+1) கிடைக்கப்பெறுகிறது.  

எனவே கணிதத் தொகுத்தறிதலின் கொள்கையின்படி *S*(*n*) அனைத்து இயல் எண் அடுக்குகளுக்கும் உண்மையாகும்.  

- பூச்சிய அடுக்கு

*S*(0): cos&nbsp;(0*x*)&nbsp;+&nbsp;*i*&nbsp;sin(0*x*)&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;+*i*&nbsp;0&nbsp;=&nbsp;1, இது உண்மை என்பது தெளிவு.  

1. எதிர்ம முழு எண் அடுக்கு

அடுக்கு, ஒரு எதிர்ம முழுஎண்ணாக இருக்கும்போது அதனை, -*n* என எடுத்துக் கொண்டு இவ்வாய்ப்பாட்டை நிறுவலாம். இங்கு *n* ஒரு இயல் எண்.  

:<math>  
\begin{align}  
\(\cos x + i\sin x\)^{-n} & = \[ \(\cos x + i\sin x\)^n \]^{-1} \\  
& = \[\cos (nx) + i\sin (nx)\]^{-1} \\  
& = \cos(-nx) + i\sin (-nx). \qquad (*) \\  
\end{align}  
</math>  

சமன்பாடு (*), <math>z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}</math>, (*z* = cos *nx* + *i* sin *nx*) என்ற முற்றொருமைச் சமன்பாட்டின் விளைவாகும்.  

எனவே *S*(*n*), *n* இன் அனைத்து முழுஎண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகும்.  

## கொசைன் மற்றும் சைன் வாய்ப்பாடுகள்
டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டின் இருபுறங்களிலும் உள்ள சிக்கலெண்களின் மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்தி கொசைன், சைன் வாய்ப்பாடுகளைக் காணலாம்.  

*x*, cos&nbsp;*x* மற்றும் sin&nbsp;*x*, மெய்யெண்கள் எனில்,  

:<math>\begin{alignat}2  
\cos(nx)&=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k}}(-1)^k(\cos{x})^{n-2k}(\sin{x})^{2k}& &=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k}}(\cos{x})^{n-2k}((\cos{x})^2-1)^k\\  
\sin(nx)&=\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k+1}}(-1)^k(\cos{x})^{n-2k-1}(\sin{x})^{2k+1}& &=(\sin{x})\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}{\tbinom{n}{2k+1}}(\cos{x})^{n-2k-1}((\cos{x})^2-1)^k.  
\end{alignat}</math>  

இவை *x* சிக்கலெண்ணாக இருந்தாலும் பொருந்தும்.  

குறிப்பாக, *n*&nbsp;=&nbsp;2 , *n*&nbsp;=&nbsp;3:  

:<math>\begin{alignat}2  
\cos(2x) &= (\cos{x})^2 +((\cos{x})^2-1) &&= 2(\cos{x})^2-1\\  
\sin(2x) &= 2(\sin{x})(\cos{x})\\  
\cos(3x) &= (\cos{x})^3 +3\cos{x}((\cos{x})^2-1) &&= 4(\cos{x})^3-3\cos{x}\\  
\sin(3x) &= 3(\cos{x})^2(\sin{x})-(\sin{x})^3 &&= 3\sin{x}-4(\sin{x})^3.\\  
\end{alignat}</math>  

## பொதுமைப்படுத்தல்
*z* மற்றும் *w* சிக்கலெண்களெனில்  
:<math>\(\cos z + i\sin z\)^w</math>, ஒரு பன்மதிப்புச் சார்பு. ஆனால்  

:<math>\cos (wz) + i \sin (wz)\,</math> அப்படியானதல்ல.எனவே  

<math>\cos\(wz\)+i\sin\(wz\).\,</math> என்பது <math>\(\cos z+i\sin z\)^w\,</math> ன் பல மதிப்புகளுள் ஒன்றாகும்.  

## பயன்பாடுகள்
இவ்வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒரு சிக்கலெண்னின் *n* ஆம் படி மூலங்களைக் காணலாம்.  

*z* என்ற சிக்கலெண் போலார் வடிவில் தரப்பட்டுள்ளது.  

: <math>z=r\(\cos x+i\sin x\),\,</math>  

: <math>  
z^{1/n} = \[ r\( \cos x+i\sin x \) \]^{1/n} = r^{1/n} \[ \cos \( \frac{x+2k\pi}{n} \) + i\sin \( \frac{x+2k\pi}{n} \) \]  
</math> (*k* ஒரு முழுஎண்)  
*k* க்கு 0 விலிருந்து n-1 வரையிலான மதிப்புகளை அளித்து *z* ன் *n* மூலங்களையும் பெறலாம்.