# சமானம், மாடுலோ n

வெளியிட்ட நூலின் முதல் பதிப்பு. புத்தகத்தின் தலைப்பு *டிஸ்க்விசிசனே அரித்மெட்டிக்கே* என்பதாகும்.]]  
கணிதத்தில், எண் கோட்பாட்டில், **சமானம், மாடுலோ n** (Congruence modulo n) என்பது சுழற்சி அடிப்படையில் எண்களைக் கொண்டு கணக்கிடும் ஒரு அடிப்படைக் கருத்து. 1801 இல் காஸ் என்னும் ஜெர்மானியக் கணிதப் பேரறிஞரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.  

## சமான எண்கணிதம் பயன்படும் ஓர் அன்றாட வழக்கு

இன்றைய நேரம் இப்பொழுது காலை 9 மணியென்றால், இன்னும் 8 மணிநேரம் கழித்து மணி 17 ஆக இருக்கும் என்று சொல்வதில் தவறொன்றுமில்லை. ஆனாலும் மக்கள் அதை மணி மாலை 5 ஆக இருக்கும் என்று சொல்வார்கள், அப்படிப் புரிந்தும் கொள்வார்கள். இங்கு நாம் நம்மை அறியாமலே ஒரு சமான எண்கணிதம் கணிக்கிறோம். அதாவது, 9 + 8 =17 ஆக இருந்தாலும் 17 -12 = 5, என்று 12 மணி ஆனவுடன் அதைத் 'தள்ளிவிட்டு', மறுபடியும் 1 இலிருந்து தொடங்கி 1,2,3, என்று எண்ணுகிறோம். இதுதான் *சமான எண்கணிதம்* (Congruence arithmetic).  

## வரலாறு
சமான எண்கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துகள் யூக்ளிடால் அவரது படைப்பான, *எலிமென்ட்சின்* ஏழாவது பாகத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.  

## கணிதத்தில் வரையறை

<math>a, b, n</math> முழு எண்களானால் <math>a</math> யும் <math>b</math> யும் <math>n</math> மாடுலோ சமானம் பெற்றிருக்கின்றன என்பதற்கு இலக்கணம்:  
::* <math>a - b,</math> எண் <math>n</math> இன் முழு எண் பெருக்காக இருக்கும்.(அ-து, n ஆல் சரியாக வகுபடும்)  

இதற்குக்குறியீடு:  
: <math>a \equiv b</math> (mod <math>n</math>)  
இதன் உச்சரிப்பு:  
: <math>a</math> சமானம் <math>b</math>, மாடுலோ <math>n</math>  

இங்கு 'mod' என்ற ஆங்கிலச்சொற்குறி, 'modulus' (மட்டு) என்ற சொல்லுக்காக நிற்கிறது. 'மாடுலோ' என்ற பயன்பாடும் அச்சொல்லிலிருந்து உருவானது. இச்சொல் உலகில் எல்லா மொழிகளிலும் இப்படியே பயன்படுத்தப்பட்டு வருவதாகத் தெரிகிறது.  

## உடன்விளைவு

'சமானம் மாடுலோ <math>n</math>' ஒரு சமான உறவு. ஏனென்றால்,  

- அது ஒரு எதிர்வு உறவு. அதாவது, <math> a \equiv a</math> (mod <math>n</math>)
- அது ஒரு சமச்சீர் உறவு. அதாவது, <math> a \equiv b</math> (mod <math>n</math>) <math>\Rightarrow b \equiv a</math> (mod <math>n</math>)
- அது ஒரு கடப்பு உறவு. அதாவது, <math>a \equiv b</math> (mod <math>n</math>) மற்றும் <math>b \equiv c</math> (mod <math>n</math>) <math>\Rightarrow a \equiv c</math> (mod <math>n</math>)

## எடுத்துக்காட்டுகள்

- <math>17 \equiv 5</math> (mod 12) ஏனென்றால், 17 - 5 = 12
- <math>365 \equiv 1</math> (mod 7) ஏனென்றால், 365 - 1 = 364; இது 7 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.
- <math>27 \equiv 0</math>(mod 3) ஏனென்றால், 27 - 0 =27; இது 3 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.
- <math>100 \equiv 34</math> (mod 6) ஏனென்றால், 100 - 34 = 66; இது 6 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.
- <math>-13 \equiv 2</math> (mod 5) ஏனென்றால் -13 -2 = -15; இது 5 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது

முதல் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளை வேறுவிதமாகவும் பார்க்கலாம்.  

:17 ஐ 12 ஆல் வகுத்தால் மீதி 5; அல்லது, 17ம் 5ம் 12 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன  
:365 ஐ 7 ஆல் வகுத்தால் மீதி 1; அல்லது, 365ம் 1ம் 7ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.  
:27 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால் மீதி 0; அல்லது 27ம் 0வும் 3 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.  

:100 ஐ 6 ஆல் வகுத்தால் 34 மீதி வராது. ஆனாலும், 100, 34 இரண்டும் 6 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.  
இந்த இரண்டாவது பண்பைக்கொண்டு சமானம் மாடுலோ n க்கு இப்படியும் இலக்கணம் வரையலாம்:  
n ஒரு நேர்ம முழுஎண்ணாகவும், a, b இரண்டும் எதிர்ம எண்களாக இல்லாமலும் இருந்தால் <math>a \equiv b</math> (mod <math>n</math>) க்கு இன்னொரு இலக்கணம்:  
::* <math>a</math> யும் <math>b</math> யும் <math>n</math> ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கும்.  
எனினும் a, n ஆல் வகுபடும்போது b மீதமாக வராத பட்சத்தில், இந்தச் சமானத்தை கணினிப் பொறியாளர்கள்  

<math>a \equiv b</math> (modulo <math>n</math>) என்று எழுதுகிறார்கள். ஆக <math>100 \equiv 34</math> (modulo 6)  

மேலும், <math>a \equiv 0</math> (mod <math>n</math>) என்று சொல்வதற்குப் பொருள்: a என்ற எண், n ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.  

எல்லாப்பட்சத்திலும் <math> a \equiv b</math> (mod <math>n</math>) <math>\Longleftrightarrow \exists</math> முழு எண் <math>q \ni a = nq + b</math>  

## மற்ற விளைவுகள்

- <math>a \equiv b</math>(mod <math>n</math>), மற்றும் <math>c \equiv d</math>(mod <math>n</math>) என்றால்
: <math>a + c \equiv (b + d)</math> (mod <math>n</math>)  
:<math> a - c \equiv (b-d)</math> (mod <math>n</math>)  
: <math>k</math> ஒரு முழு எண்ணானால், <math>ka \equiv kb</math> (mod <math>n</math>)  
: <math>ac \equiv bd</math> (mod <math>n</math>)  
: <math>m</math> ஒரு நேர்ம முழு எண்ணானால், <math>a^m \equiv b^m</math> (mod <math>n</math>)  

இவ்விளைவுகளெல்லாம் சேர்ந்ததுதான் **மாடுலோ எண் கணிதம்** (modular arithmetic) எனப்படும்.  

## எச்சத் தொகுதிகள்
மட்டு *n* இன் ஒவ்வொரு எச்சத் தொகுதியையும் அத்தொகுதிக்குரிய எந்தவொரு உறுப்பைக் கொண்டும் அடையாளப்படுத்தலாம். எனினும் அத்தொகுதிக்குரிய மிகச்சிறிய எதிர்மமில்லா முழுஎண்ணே அத்தொகுதியைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மட்டு *n* இன் இரு வெவ்வேறு எச்சத் தொகுதியின் உறுப்புகள் மட்டு *n* ஐப் பொறுத்து சமானமானதாக இருக்காது. மேலும், ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் மட்டு *n* இன் ஏதாவது ஒரேயொரு எச்சத் தொகுதியின் உறுப்பாக மட்டுமே இருக்கும்.  

{0, 1, 2, ..., *n*−1} என்ற முழுஎண் கணம், மட்டு ***n*** இன் ”மீச்சிறு எச்சத் தொகுதி” எனவும், மட்டு *n* ஐப் பொறுத்து ஒன்றுக்கொன்று சமானமாக இல்லாத *n* முழுஎண்களின் கணம், மட்டு ***n*** இன் ”முழுமையான எச்சத் தொகுதி” எனவும் அழைக்கப்படும்..  

மீச்சிறு எச்சத் தொகுதியானது முழுமையான எச்சத்தொகுதியாகவும் இருக்கும். மட்டு *n* இன் எச்சத் தொகுதிகள் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஒரு உறுப்பைக் கொண்டதாக முழுமையான எச்சத் தொகுதி அமையும்.  

:மட்டு 4 இன் மீச்சிறு எச்சத் தொகுதி: {0, 1, 2, 3}.  
:மட்டு 4 இன் முழுமையான எச்சத் தொகுதிகளில் சில:  
- {1, 2, 3, 4}
- {13, 14, 15, 16}
- {−2, −1 ,0, 1}
- {−13, 4, 17, 18}
- {−5, 0, 6, 21}
- {27, 32, 37, 42}

:மட்டு 4 இன் முழுமையற்ற எச்சத் தொகுதிகளில் சில:  

- {−5, 0, 6, 22} (மட்டு 4 ஐப் பொறுத்து 6, 22 க்குச் சமானம் இல்லை)
- {5, 15} (மட்டு 4 இன் எச்சத்தொகுதிகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு உறுப்பு என ஒரு மட்டு 4 இன் ஒரு முழுமையான எச்சத் தொகுதி 4 உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்)

## முற்றிசைவுப் பகுதிகள்
சமானம் மட்டு *n* ஒரு சமான உறவாகும். ஏதேனுமொரு முழு எண் *a* க்குரிய சமானப் பகுதி  
:<math>\overline{a}_n = \\{\ldots, a - 2n, a - n, a, a + n, a + 2n, \ldots \\}</math>.  

இது மட்டு *n* ஐப் பொறுத்து *a* க்குச் சமானமாக உள்ள முழுஎண்களைக் கொண்ட கணமாகும். இக்கணம் &nbsp;மட்டு&nbsp;*n* இன் ”முற்றிசைவுப் பகுதி” அல்லது ”எச்சப் பகுதி” அல்லது ”மட்டு&nbsp;*n* க்கான முழுஎண் *a* இன் எச்சம்” என அழைக்கப்படுகிறது. *n* அறியப்பட்ட நிலையில் இதனைச் சுருக்கமாக, <math>\displaystyle [a]</math> எனவும் குறிக்கலாம்.  

## முழுஎண்கள் மட்டு *n*
மட்டு *n* க்கான a இன் முற்றிசைவுப் பகுதிகள் அனைத்தையும் கொண்ட கணம், ”முழுஎண்கள் மட்டு *n* கணம்” என அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math>, <math>\mathbb{Z}/n</math> அல்லது <math>\mathbb{Z}_n</math>.  

முழுஎண்கள் மட்டு *n* கணத்தின் வரையறை:  

:<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \\{ \overline{a}_n | a \in \mathbb{Z}\\}. </math>  

எனில், <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> *n* உறுப்புகள் கொண்டிருக்கும்:  

:<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \\{ \overline{0}_n, \overline{1}_n, \overline{2}_n,\ldots, \overline{n-1}_n \\}.</math>  

When *n* = 0 எனில், <math>\overline{a}_0 = \\{a\\}</math> என்பதால் <math>\mathbb{Z}</math> உடன் சமஅமைவியம் கொண்டதாக <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} </math> இருக்கும்.  

<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> இல் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:  

- <math>\overline{a}_n + \overline{b}_n = \overline{(a + b)}_n</math>
- <math>\overline{a}_n - \overline{b}_n = \overline{(a - b)}_n</math>
- <math>\overline{a}_n \overline{b}_n = \overline{(ab)}_n.</math>