# ஏது மூலம், மாடுலோ p

கணிதத்தில், **முதன்மை மூலம், மட்டு p** அல்லது **ஏது மூலம், மாடுலோ p** (*primitive root, modulo p*) என்பது எண் கோட்பாட்டில் வரும் ஒரு முக்கியமான கருத்தாகும். எண் கோட்பாட்டிற்குள் உள்ள பயன்பாடுகளைத்தவிர இது குறியாக்கவியல், வழுதிருத்தும் குறியீடுகள் போன்ற துறைகளுக்குத் தேவைப்படும் கருத்து.  

## அறிமுகம்
எல்லா முழு எண்களின் வளையம் <math>\mathbf{Z}</math> என்று குறிக்கப்படும். <math> p</math> ஒரு பகா எண் ஆனால் <math>p\mathbf{Z}</math>, தாய்வளையம் <math>\mathbf{Z}</math> இன் ஒரு உள்வளையம். <math>\frac{Z}{p\mathbf{Z}}</math> எச்சவகைகளின் கூட்டல், பெருக்கலுக்கு ஒரு களமாகிறது. இக்களத்தை <math>\mathbf{Z}_p</math> என்றும் எழுதுவதுண்டு. இதனிலிருந்து சூனியமல்லாத உறுப்புகளின் கணத்தை <math>\mathbf{Z}_p^{*}</math> என்று குறிப்பிட்டு அதை பெருக்கல் குலமாகக் கொள்ளுவோம். இக்குலத்தின் பிறப்பி ஒவ்வொன்றும், **ஏது மூலம், மாடுலோ p** எனப்படுகிறது. இதையே <math>\mathbf{Z}_p^{*}</math> இன் **ஏது-உறுப்பு** என்றும் சொல்வதுண்டு.  

## எடுத்துக்காட்டு

- 2ம் 3ம் மாடுலோ 5க்கு ஏது மூலங்கள்; ஏனென்றால்,

:<math>2^1 = 2 = 2(mod 5);  
2^2 = 4 = 4(mod 5);  
2^3 = 8 = 3(mod 5);  
2^4 = 16 = 1(mod 5).</math>  
மற்றும்  

:<math>3^1 = 3 = 3(mod 5);  
3^2 = 9 = 4(mod 5);  
3^3 = 27 = 2(mod 5);  
3^4 = 81 = 1(mod 5).</math>  

- <math>\mathbf{Z}_7</math> ஐ எடுத்துக்கொள்வோம். இதனின் பெருக்கல் குலம் {1,2,3,4,5,6 மாடுலோ 7}. இதனில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு <math>a</math> க்கும் <math>a^n</math> இனுடைய மதிப்புகளை அட்டவணையாக எழுதுவோம்:

:{|  
|-  
! <math>\frac{n\rightarrow}{a\downarrow}</math>  
! 1  
! 2  
! 3  
! 4  
! 5  
! 6  
|-  
| 1  
| 1  
| 1  
| 1  
| 1  
| 1  
| 1  
|-  
| 2  
| 2  
| 4  
| 1  
| 2  
| 4  
| 1  
|-  
| **3**  
| 3  
| 2  
| 6  
| 4  
| 5  
| 1  
|-  
| 4  
| 4  
| 2  
| 1  
| 4  
| 2  
| 1  
|-  
| **5**  
| 5  
| 4  
| 6  
| 2  
| 3  
| 1  
|-  
| 6  
| 6  
| 1  
| 6  
| 1  
| 6  
| 1  
|}  

இதிலிருந்து நமக்குத்தெரிவது 3 ம் 5 ம் <math>\mathbf{Z}_7^{*}</math> க்கு பிறப்பிகள். அதனால் 3ம் 5ம் ஏது மூலம், மாடுலோ7. இதர எண்கள் 1,2,4,6 ஆகிய நான்கும் ஏது மூலங்களல்ல.  

## சில குறிப்புகள்

- ஒவ்வொரு <math>\mathbf{Z}_p^{*}</math> க்கும் ஏது மூலங்கள் இருக்கும் என்பதை நிறுவுவது அவ்வளவு எளிதானதல்ல. அப்படி இருந்தாலும் அதைக் கண்டுபிடிக்க எந்தக் கணிப்புச்செயல்பாடும் இருப்பதாகத்தெரியவில்லை.
- **காஸ் இன் தேற்றம்**: <math>p \neq 1</math> ஒரு பகா எண்ணாகவும், <math>\alpha</math> ஒரு இயல் எண்ணாகவும் கொண்டால், <math> m = 1, 2, 4, p^\alpha, 2p^\alpha</math> க்கு கட்டாயம் ஏது மூலம் மாடுலோ <math>m</math> இருக்கும்.
- <math>q</math> ஒரு பகா எண்ணாக இருந்து, <math>p = 4q + 1</math> ஆக இருந்தால், <math>\mathbf{Z}_p^{*}</math> க்கு 2 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும்.
- <math>p</math> ஒரு பகாஎண்ணாக இருந்தால், எந்த <math>\mathbf{Z}_p</math> இலும், அதனில் அடங்கிய எந்த பகா எண் <math>a</math> க்கும்,
:: <math>a^{p-1} = 1(mod p).</math>  
:இதற்கு ஃபெர்மாவின் சிறிய தேற்றம் என்று பெயர். <math>a</math> ஓர் ஏது மூலமாகவும் இருப்பதன் சிறப்புப்பண்பு என்னவென்றால்,  
:: <math>p - 1</math> ஐ விட சிறிய <math>n</math> க்கு <math>a^n \neq 1(mod p).</math>  

- p < 100 ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், <math>\mathbf{Z}_p^{*}</math> க்கு 2 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும் p-மதிப்புகள்
:: 5, 13, 29, 53 மட்டுமே.  

- p < 100 ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், <math>\mathbf{Z}_p^{*}</math> க்கு 10 ஓர் ஏது மூலமாக இருக்கும் p-மதிப்புகள்:
:: 7, 17, 19, 23, 47, 59,61, 97 மட்டுமே.  
:: 10 ஓர் ஏதுமூலமாக இருக்கும் பிரச்சினை மீள்வரு தசம பின்னங்களைப்பற்றிய ஆய்வுகளில் தேவைப்படுகிறது.  
:: p < 100 என்ற கட்டுப்பாட்டை எடுத்துவிட்டால்,, இந்த p-மதிப்புகளின் தொடர் முடிவில்லாமல் இருக்குமா என்பது காஸ் இன் ஒரு புகழ் பெற்ற யூகம்.  

- 1920 களில், எமில் ஆர்டின் ஒரு சிறப்பான யூகத்தை கணித உலகின் முன் வைத்தார். அதாவது,
:: a ஒரு வர்க்கமில்லாத முழு எண்ணாக இருந்தால், அது முடிவில்லாத எண்ணிக்கையுள்ள p-மதிப்புகளுக்கு ஏது மூலமாக இருக்கும்.  
:: இந்த யூகம் மிகப்புகழ்பெற்றதன் காரணம், இதற்கும் ரீமான் கருதுகோளின் உண்மைக்கும் நெருங்கிய தொடர்பு உள்ளதுதான். 1967இல் ஹூலி என்பவர் ரீமான் யூகத்தை நுண்புலப்படுத்திய இன்னொரு யூகம் உண்மையாயிருந்தால், ஆர்டினின் யூகமும் உண்மையாக ஆகிவிடும் என்று நிறுவினார்.