# திசையன் வெளியின் அடுக்களம்

கணிதத்தில் ஒரு திசையன் வெளி V இல், ஒரு உட்கணம் B நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருந்து, அதனுடைய அளாவல் முழுவெளியாகவும் இருக்குமானால், அவ்வுட்கணம் V இன் **அடுக்களம்** (Basis) எனப்படும். இவ்வடுக்களம் B இன் எண் அளவை என்னவோ அதே எண் அளவை தான் மற்ற எல்லா அடுக்களத்திலும் இருக்கும். இந்த பொது எண்ணளவைக்கு திசையன் வெளி V இன் **பரிமாணம்** (Dimension) என்று பெயர். இதை dimV என்ற குறியீட்டால் குறிப்பது கணித மரபு.  

இவ்வுட்கணம் B முடிவுள்ளதானால் V முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ளது என்றும், B முடிவற்றதாக இருந்தால், V முடிவிலிப்பரிமாணமுள்ளது என்றும் சொல்லப்படும்.  

நாம் இக்கட்டுரையில் முடிவுள்ள பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகளைப்பற்றியே பேசுவோம்.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்

1. <math>V = V_3</math>. *B* = {***i, j, k***} என்று கொள்வோம். இங்கு ***i*** = (1,0,0), ***j*** = (0,1,0) மற்றும் ***k*** = (0,0,1)  

அடுக்களத்திற்குள்ள இரண்டு இலக்கணங்களையும் *B* நிறைவேற்றுவதால், *B* ஒரு அடுக்களமாகும். <math>V_3</math> க்கு இந்த அடுக்களத்தை **இயற்கை அடுக்களம்** என்று சொல்வர்.  

2. V = <math>\mathcal{P}_n</math>: மெய்யெண் மதிப்புள்ள, படித்தரம் n க்குமேல்போகாத, எல்லா பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அடங்கிய திசையன் வெளி.இதனில் ஒவ்வொரு பல்லுறுப்புக்கோவையும் <math>B = \{1, x, x^2, ... x^n\}</math> இலுள்ள உறுப்புகளின் முடிவுள்ள நேரியல் சேர்வு. மற்றும் *B* ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். ஃ *B* ஒரு அடுக்களமாகிறது.  

dim <math>\mathcal{P}_n = n + 1</math>.  

## அடிப்படை உண்மைகள்

V ஒரு திசையன் வெளி எனக்கொள்வோம்.  

:* சூனியத்திசையனை ஒர் உறுப்பாகக்கொண்ட எந்தக்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதுதான்.  

:* ஒரு அளாவும் உட்கணத்தில் உள்ளதைவிட அதிகமான எண்ணிக்கையில் நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருக்கமுடியாது. அ-து,  
: <math>[\{v_1, v_2, ..., v_n\}] = V</math> ஆகவும், <math>\{w_1, w_2, ... , w_m\}</math> நேரியல் சார்பற்றதாகவும் இருக்குமானால், <math>m \leq n.</math>  

:* Vஇல் n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு அடுக்களம் இருக்குமானால், n ஐவிட அதிக உறுப்புகள் கொண்ட எந்த உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளது.அதனால் எல்லா உட்கணங்களும் n உறுப்புகள் கொண்டதே.  

:* n-பரிமாணமுள்ள ஒவ்வொரு Vஇலும்,  
:(1):n உறுப்புகள் கொண்ட ஒரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணம் இருந்தாகவேண்டும்;  
:(2): n+1 உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு உட்கணமும் நேரியல் சார்புள்ளதே.  
:(3): n உறுப்புகள் கொண்ட ஒவ்வொரு நேரியல் சார்பற்ற உட்கணமும் ஒரு அடுக்களம்.  

:* <math>B = \{v_1, v_2, ..., v_n\},</math> மற்றும் <math>[B] = V</math> ஆக இருக்குமானால், கீழேயுள்ள இரண்டும் சமானம்:  
: (a): <math>B</math> நேரியல் சார்பற்றது.  
: (b):<math> V</math> இலுள்ள ஒவ்வொரு <math>v</math> க்கும், <math>v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n</math> என்ற கோவை தனிப்பட்டது (= இரண்டற்றது, unique).  

## ஆயத்திசையன்

இதனால் ** B ஒரு அடுக்களம் என்ற கருத்துக்கு ஒரு மாற்று வரையறை** இப்படிக்கொடுக்கலாம்:  

<math>B \subset V; [B] = V;</math> **மற்றும்,** <math>V</math> **இலுள்ள ஒவ்வொரு** <math>v</math> **க்கும்** <math>B</math> **இனுடைய உறுப்புகளின் மூலம் கோவைப்படுத்தும் ** <math>v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n</math> **என்ற கோவை தனிப்பட்டது** .  

ஒரு அடுக்களம் <math>B</math> இலுள்ள உறுப்புகளை வரிசைப்படுத்தினால், அ-து, <math>B = \{v_1, v_2, ..., v_n\}</math>, என்று உறுதிப்படுத்திய பிறகு, <math>V</math> இலுள்ள ஒவ்வொரு <math>v</math> க்கும், <math>B</math> இன் உறுப்புகளின் மூலம் <math>v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + ... + \alpha_n v_n</math> என்ற கோவையும் உறுதிப்படுத்தப்படுவதால், ஆயவரிசை <math>(\alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_n)</math> ம் உறுதிப்படுத்தப்பட்டது. இந்த ஆயவரிசைக்கு <math>v</math> இன் **ஆயத்திசையன்** (co-ordinate vector) எனப்பெயர். வேறு ஒரு அடுக்களத்தைக்கொண்டும் v க்கு இன்னொரு ஆயத்திசையன் உண்டுபண்ணலாம். அதனால் அவசியமுள்ளபோது, 'B யைப்பொருத்த ஆயத்திசையன்' என்று விவரமாகச்சொல்லவேண்டி வரும். ஆய்த்திசையன்களை நிரல்திசையனாகச்சொல்வதில் ஒரு வசதி இருக்கிறது.  

: எ.கா.: முப்பரிமாண வெளி <math>V_3</math> ஐ எடுத்துக்கொள்வோம்.  
: B = <math>\{(1,1,0), (1,0,1) (0,1,1),\}</math> எனக்கொள்க. <math>B</math> ஒரு வரிசைப்படுத்திய அடுக்களம்.  
: <math>v</math> = (2,3,-1) எனக்கொண்டால், <math>v</math> = **3**(1,1,0) **-1**(1,0,1) +**0**(0,1,1)  
: அதனால், (2,3,-1) இன் B-ஐப்பொருத்த ஆயத்திசையன் <math>\begin{pmatrix}  
3 \\  
-1 \\  
0  
\end{pmatrix}</math>  

: <math>v = (2,3,-1)</math> என்பதே ஒரு ஆயத்திசையன்தான். இயற்கை அடுக்களத்தைப்பொருத்து அதனுடைய ஆயத்திசையன் <math>\begin{pmatrix}  
2 \\  
3 \\  
-1  
\end{pmatrix}</math>. ஏனென்றால்  
: (2,3,-1) = 2(1,0,0) + 3(0,1,0) -1(0,0,1).  

## அடுக்கள ஆக்கச்செயல்முறை

: கொடுக்கப்பட்ட ஒரு n-பரிமாணமுள்ள திசையன்வெளி V இல், <math>A = \{v_1, v_2, ... , v_k\}</math> ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணமானால்,<math> k\leqslant n</math> ஆகத்தான் இருக்கவேண்டும்.  
: <math>k = n</math> என்ற பட்சத்தில், <math>A</math> யே ஒரு அடுக்களமாகிவிடுகிறது.  
: <math>k < n</math> என்ற பட்சத்தில், <math>[A] \neq V</math>. அதனால், <math>V</math> இல் <math>[A]</math>க்கு வெளியில் ஏதாவதொரு உறுப்பு இருக்கவேண்டும். அதை <math>v_{k+1}</math> என்று அழைப்போம். இப்பொழுது <math>\{v_1, v_2, ..., v_k, v_{k+1}\}</math> ஒரு நேரியல் சார்பற்ற கணம். <math>k+1 = n</math> என்ற பட்சத்தில், நாம் வேண்டிய அடுக்களம் இதுதான். <math>k+1 \neq n</math> என்ற பட்சத்தில், இதே செயல்முறையை திரும்பவும் செய்.  

## நேரியல் கோப்பு ஆக்கச்செயல்முறை

<math>U, V</math> ஒரே அளவெண்களங்களையுடைய இரு திசையன்வெளிகள் எனக்கொள்வோம். <math>U</math> வின் ஒரு அடுக்களமாக <math>B = \{u_1, u_2, ... , u_n\}</math> ஐக்கொள்க. இப்பொழுது <math>T(u_i)</math> ஐ (<math> i= 1,2, ..., n) V</math> இல் **எந்தத் திசையன்களாகவும்** கொண்டு <math>T</math> யை ஒரு நேரியல் கோப்பாக்க முடியும். நாம் செய்யவேண்டியதெல்லாம் ஒரேஒரு வரையறைதான். அ-து,  

:: <math>T(\alpha_1 u_1 + \alpha_2 u_2 + ... +\alpha_n u_n) = \alpha_1 T(u_1) +\alpha_2 T(u_2) + .... + \alpha_n T(u_n)</math>  

::எ.கா.: <math>V_2 \rightarrow V_4</math>  
: <math>B = \{(1,1), (1,-1)\}.</math> இது <math>V_2</math> வில் ஒரு அடுக்களம்.  

: <math>T(1,1)</math> = ? <math>\in V_4</math>  
: <math>T(1,-1)</math> = ? <math>\in V_4.</math>  

: (*) <math>T(1,1) = (1,1,0,0)</math> என்றும்  
: (**) <math>T(1,-1) = (0,0,0,0)</math> என்றும் கொள்வோமாக.  
: <math>V</math> இல் <math>(x,y)</math> ஏதாவதொரு உறுப்பானால், முதலில் நாம் தீர்மானிக்கவேண்டியது <math>(x,y)</math> = ?(1,1) + ?(1,-1).  
: எளிதில் இதை கண்டுபிடித்துவிடலாம்.  
: <math>(x,y) = \frac {x+y}{2} (1,1) + \frac{x-y}{2} (1,-1)</math>  

: ஃ <math>T(x,y)) = \frac{x+y}{2} T(1,1) + \frac{x-y}{2} T(1,-1)</math>  

::: = <math>\frac{x+y}{2} (1,1,0,0) + \frac{x-y}{2} (0,0,0,0)</math>  

::: = <math>\(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}, 0, 0\). </math>  

: ஆக,நாம் வேண்டிய நேரியல் கோப்பு <math> T : (x,y) \mapsto \(\frac{x+y}{2}, \frac{x+y}{2}, 0, 0\).</math>  

: (*), (**) இரண்டையும் நம் விருப்பப்படி மாற்ற, மாற்ற, வெவ்வேறு நேரியல் கோப்புகள் கிடைக்கும்.