# பெர்மாவின் சிறிய தேற்றம்

**ஃபெர்மாவின் சிறிய தேற்றம்** (Fermat's Little Theorem) என்பது கணிதத்தில் எண்கோட்பாட்டுப்பிரிவில் அடிப்படையான முதல் தேற்றம். மற்ற பல பிரிவுகளிலும் பயன்படுத்தப்படுவது. அது என்ன சொல்கிறதென்றால்,  

: <math>n</math> ஒரு முழு எண்ணாகவும், <math>p</math> ஒரு பகா எண்ணாகவும் இருந்தால், <math>n^p - n</math> என்ற எண் <math>p</math> ஆல் சரியாக வகுபடும்.  

எ.கா.  
: <math>5^3 - 5 = 120 = 3 \times 40</math>  
: <math>2^{11} - 2 = 2046 = 11 \times 186;</math>  
: <math>4^5 - 4 = 1020 = 5 \times 204.</math>  

ஃபெர்மாவின் கடைசித் தேற்றம் என்று வரலாற்றுப் புகழ் பெற்ற தேற்றம், வேறு ஒன்று. அதனிலிருந்து பிரித்துக் காட்டுவதற்குத்தான் மேலேயுள்ள தேற்றம் *சிறிய* தேற்றம் என வழங்குகிறது.  

சிறிய தேற்றம் என்று பெயரிருந்தாலும் இதன் கீர்த்தி பெரிதாகையால் இதற்கு மூன்று வித நிறுவல்களைக் கீழே பார்க்கலாம்.  

## எளிய முதல் நிறுவல்

இந்நிறுவல் உய்த்தறிதல் முறையில் செல்லும். <math>p | n^p - n</math> என்பது தேற்றம். <math>n = 1</math> க்கு நிச்சயமாக இது உண்மை; ஏனென்றால்,<math> 1^p - 1 = 0, p</math> ஆல் வகுபடுகிறது. இப்பொழுது <math>p | n^p - n</math> என்பது உண்மையானால்  

:: <math>p | (n+1)^p - (n+1)</math>  

என்று காட்டவேண்டும்.  

:: <math>(n+1)^p - (n + 1)</math>  
:: <math>= n^p - n + \sum_{i=1}^{i=(p-1)}\begin{pmatrix}  
p \\  
i  
\end{pmatrix}</math>  

இது <math>p</math> ஆல் வகுபடுகிறது; ஏனென்றால், உய்த்தறிதல் கருதுகோளினால் <math>n^p - n, p</math> ஆல் வகுபடுகிறது; மற்றும், ஒவ்வொரு <math>\begin{pmatrix}  
p \\  
i  
\end{pmatrix}</math> ம் <math>p</math> ஆல் வகுபடுகிறது.  

## இரண்டாவது நிறுவல்

இந்நிறுவல் எண்களின் சமான உறவுக் கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துகிறது.முதலில் உ.பொ.கா(n,p) = 1 என்று கொள்வோம். இப்பொழுது,  

:: <math>n, 2n, 3n, ... , (p-1)n</math> (*)  

என்ற தொடரைப் பார். இதனில் எந்த இரண்டு உறுப்புகளும் மாடுலோ <math>p</math> சமானமல்ல; ஏனென்றால்,  

:: <math>i\times n \equiv k\times n (mod p)</math> என்றால் ,  

:: <math>i \equiv k (mod p)</math> ; அ-து, <math>i = k</math>  

இதனால் (*) இலுள்ள ஒவ்வொரு எண்ணும் <math>1,2,3, ..., (p-1)</math> இல் வெவ்வேறு எண்களுக்கு, அதுவும் ஒரே ஒரு எண்ணுக்கு சமானமாக இருக்கும். இந்த சமானங்களின் பெருக்குத்தொகை  

:: <math>n^{p-1}. 1.2. ... .(p-1) \equiv 1.2.3. ... (p-1) (mod p)</math>  

: <math>(p-1)!</math> ம் <math> p</math> ம் ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்களாதலால் நமக்குக் கிடைப்பது  

: <math>n^{p-1} \equiv 1 (mod p)</math>  
: இதிலிருந்து, <math>n^p \equiv n(mod p).</math>  

## மூன்றாவது நிறுவல்

இந்நிறுவல் சேர்வியல் கருத்துக்களைப் பயன்படுத்துவது. <math>p</math> மணிகள் கொண்ட மணிமாலைகளைக்கணக்கிடுவோம். ஒவ்வொரு மணியும் <math>n</math> நிறங்களில் கிடைப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம். இவைகளைக்கொண்டு நாம் <math>n^p</math> மாலைகள் உண்டாக்கலாம். அவைகளில் எல்லா மணிகளும் ஒரே நிறமாக உள்ள மாலைகளின் எண்ணிக்கை <math>n</math>. மீதமுள்ள <math>n^p - n</math> மாலைகளைப் பார்ப்போம். இவைகளில் ஒவ்வொன்றும் அவைகளைப் போலவே உள்ள மற்ற சில மாலைகளின் சுழல்மாற்றம் தான். சுழல்மாற்றத்தின் மூலம் ஒன்றுக்கொன்று சமானமாக இருக்கக்கூடிய மாலைகளின் எண்ணிக்கை <math>p</math>. இதனால்(சுழல் சமான மில்லாத) தனித்துவம் வாய்ந்த மாலைகளின் எண்ணிக்கை  

:: <math>(n^p - n ) \div p.</math>  
இது ஒரு முழு எண்ணாதலால் <math> n^p - n, p</math> ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.  

## மறுதலை உண்மையல்ல

இத்தேற்றத்தின் மறுதலை உண்மையல்ல என்பதற்கு ஒரு மாற்றுக்காட்டு:  

<math>2^{341} - 2 = 2(2^{340} - 1) = 2(({2^{10})}^{34} - 1^{34}) = 2(2^{10}-1)(.....) = 2.3.341.(....)</math>  

இதனால் <math>2^{341} - 2</math> ஐ 341 சரியாக வகுக்கிறது. ஆனாலும் 341 ஒரு பகா எண்ணல்ல; ஏனென்றால், <math>341 = 31\times11.</math>