# வகையிடலின் பெருக்கல் விதி

நுண்கணிதத்தில் **வகையிடலின் பெருக்கல் விதி** அல்லது **பெருக்கல் விதி** (*product rule*) என்பது, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகின்ற ஒரு விதியாகும்.  

இவ்விதியின் கூற்று:  

*f* , *g* வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்:  

:<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g' \,\! </math>  

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் இவ்விதி:  

:<math>\dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u\cdot \dfrac{dv}{dx}+v\cdot \dfrac{du}{dx}</math>.  

வகையீடுகளின் குறியீட்டில் இவ்விதியைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:  

:<math> d(uv)=u\,dv+v\,du</math>.  

இவ்விதியின்படி மூன்று சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் வகைக்கெழு:  

:<math>\dfrac{d}{dx}(u\cdot v \cdot w)=\dfrac{du}{dx} \cdot v \cdot w + u \cdot \dfrac{dv}{dx} \cdot w + u\cdot v\cdot \dfrac{dw}{dx}</math>.  

## லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பு

இந்தப் பெருக்கல் விதி லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்படுகிறது (மாற்றுக் கருத்தும் உள்ளது). லைப்னிட்ஸ் இவ்விதியை வகையீடுகளைக் கொண்டு விளக்கியுள்ளார்.  

*u*(*x*) , *v*(*x*) இரு வகையிடக்கூடிய சார்புகள் எனில் *uv* இன் வகையீடு:  

: <math>  
\begin{align}  
d(u\cdot v) & {} = (u + du)\cdot (v + dv) - u\cdot v \\  
& {} = u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv.  
\end{align}  
</math>  

*du*·*dv* மதிப்புத் தவிர்க்கத்தக்க அளவு சிறியதாகையால் அதை விட்டுவிடக் கிடைப்பது,  

:<math>d(u\cdot v) = v\cdot du + u\cdot dv \,\! </math>  

இது பெருக்கல் விதியின் வகையீட்டு வடிவமாகும்.  

*dx* ஆல் வகுக்க,  

:<math>\frac{d}{dx} (u\cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx} \,\! </math>  

இதனைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்:  

:<math>(u\cdot v)' = v\cdot u' + u\cdot v'. \,\! </math>  

## எடுத்துக்காட்டுகள்

- வகையிட வேண்டிய சார்பு

:<math> f(x) = x^2 sinx </math> எனில் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த,  

:<math>(f(x))' = sinx (x^2)' + x^2 (sinx)' \,\! </math>  

:::<math> = sinx (2x) + x^2 (cosx) \,\! </math>  

:::<math> = 2xsinx + x^2cosx \,\! </math>  

- பெருக்கல் விதியின் ஒரு சிறப்பு வகையாக வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியை அடையலாம்.

பெருக்குத்தொகையில் உள்ள இரு சார்புகளில் ஒன்று மாறிலியாக இருந்தால் பெருக்கல் விதியானது மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாக மாறிவிடும்.  

பெருக்கல் விதிப்படி,  
:<math>(cf(x))' = c(f(x))' + f(x)(c)' \,\! </math>  

மாறிலி c இன் வகைக்கெழு பூச்சியம் என்பதால்,  

::<math> (cf(x))' = cf'(x) \,\! </math> இது வகையிடலின் மாறிலிப் பெருக்கல் விதியாகும்.  

## பொதுவான பிழை

பொதுவாக வகையிடும்போது நிகழக்கூடிய ஒரு பிழை (*uv*) இன் வகைக்கெழுவை (*u*&nbsp;&prime;)(*v*&nbsp;&prime;) எனக் கருதிவிடுவது ஆகும். லைப்னிட்சுக்கும் இத்தவறு நேர்ந்ததுண்டு ஆனால் இவ்வாறு உண்மையில் அமையாது என்பதற்கு எளிதாக மாற்று எடுத்துக்காட்டுகளைத் தரமுடியும்.  

## நிறுவல்

பெருக்கல் விதியை எல்லைகளின் பண்புகளையும் வகையிடலின் வரையறையும் பயன்படுத்தி நிறுவுதல்.  

:<math> h(x) = f(x)g(x),\,</math>  

*&fnof;* , *g* -என்பவை *x* இல் வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் எனில்,  

:<math>h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x} \qquad\qquad(1)</math>  

இதிலுள்ள <math> f(w)g(w) - f(x)g(x)\qquad\qquad(2) </math> என்பது பெரிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்கும் சிறிய செவ்வகத்தின் பரப்புக்குமுள்ள வித்தியாசம் ஆகும்.  

இவ்விரண்டு செவ்வகங்களுக்கு இடையேயுள்ள பகுதியை இரு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கலாம். இவ்விரு பகுதிகளின் பரப்புகளின் கூடுதல்:  

:<math> f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg).\qquad\qquad(3) </math>  

<math>\qquad(2)</math> = <math>\qquad(3)</math> என்பதால்,  

:<math> f(w)g(w) - f(x)g(x) = f(x) \Bigg( g(w) - g(x) \Bigg) + g(w)\Bigg( f(w) - f(x) \Bigg)\qquad\qquad(4) </math>  

இதை (1) இல் பயன்படுத்த,  

:<math>\lim_{w\to x}\( f(x) \( {g(w) - g(x) \over w - x} \) + g(w)\( {f(w) - f(x) \over w - x} \) \)\qquad(4)</math>  

இதிலுள்ள அனைத்து எல்லைகளின் மதிப்பையும் காண முடியும் என எடுத்துக்கொண்டால்,  

:<math> \(\lim_{w\to x}f(x)\) \(\lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x}\)  
+ \(\lim_{w\to x} g(w)\) \(\lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} \)  
\qquad(5) </math>  

இப்பொழுது  

- <math>\lim_{w\to x}f(x) = f(x),</math> (&nbsp;*w*&nbsp;→&nbsp;*x* எனும்போது *f*(*x*) மாறுவதில்லை)
- <math>\lim_{w\to x} g(w) = g(x),\, </math> (வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் தொடர்ச்சியானவை என்பதால் இது உண்மை)
- <math> \lim_{w\to x} {f(w) - f(x) \over w - x} = f'(x) </math> &nbsp;&nbsp; and &nbsp;&nbsp; <math> \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x) </math> (*f* , *g* இரண்டும் *x* இல் வகையிடத்தக்கதாய் இருப்பதால்)

இம்முடிவுகளை (5) இல் பயன்படுத்த,  

:<math> h'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x). \,</math> எனவே வகையிடலின் பெருக்கல் விதி நிறுவப்பட்டது.  

வேறுபல முறைகளிலும் இவ்விதியை நிறுவ முடியும்.  

## பொதுமைப்படுத்துதல்
### இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கு

பெருக்கல் விதியை இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கும் விரிவுபடுத்தலாம்:  

- மூன்று சார்புகளுக்கு:

:<math>\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}\,\! </math>.  

- <math>f_1, \dots, f_k</math> ஆகிய *k*-சார்புகளுக்கு:

:<math>\frac{d}{dx} \ [ \prod_{i=1}^k f_i(x) \ ]  
= \sum_{i=1}^k \(\frac{d}{dx} f_i(x) \prod_{j\ne i} f_j(x) \)  
= \( \prod_{i=1}^k f_i(x) \) \( \sum_{i=1}^k \frac{f'_i(x)}{f_i(x)} \).</math>  

### உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

பெருக்கல் விதியை இரு சார்புகளின் பெருக்கலாக அமையும் சார்பின் *n* ஆம் வரிசை வகையிடலுக்குப் பொதுமைப்படுத்தலாம்:  

:<math>(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).</math>  

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி, பொது லைப்னிட்ஸ் விதி அல்லது லைப்னிட்ஸ் விதி என அழைக்கப்படுகிறது.  

### உயர்வரிசை பகுதி வகைக்கெழுக்கள்

உயர்வரிசை பகுதி வகையிடலுக்கான பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பெருக்கல் விதி:  

:<math>{\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv)  
= \sum_S {\partial^{|S|} u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}</math>  

மூன்றாம் வரிசைப் பகுதி வகையிடல்:  

:<math>\begin{align} &{}\quad {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv) \\ \\  
&{}= u \cdot{\partial^3 v \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_1}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_2\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_2}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_3} + {\partial u \over \partial x_3}\cdot{\partial^2 v \over \partial x_1\,\partial x_2} \\ \\  
&{}\qquad + {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_2}\cdot{\partial v \over \partial x_3}  
+ {\partial^2 u \over \partial x_1\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_2}  
+ {\partial^2 u \over \partial x_2\,\partial x_3}\cdot{\partial v \over \partial x_1}  
+ {\partial^3 u \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3}\cdot v. \end{align}</math>