# மீப்பெரு பொது வகுத்தி

கணிதத்தில் **மீப்பெரு பொது வகுத்தி** (மீ.பொ.வ) (இலங்கை வழக்கு: **பொதுக் காரணிகளுள் பெரியது - பொ.கா.பெ**), *greatest common divisor* (gcd), , *greatest common factor* (gcf), அல்லது *highest common factor* (hcf)) அல்லது **பொதுச் சினைகளுள் பெரியது** (பொ.சி.பெ) என்பது சுழியாக இல்லாத இரண்டு அல்லது அதற்கும் கூடுதலான முழு எண்களை மீதம் விழாமல் வகுக்கக்கூடிய மிகப்பெரிய எண் ஆகும். ஓர் எண்ணை மீதமில்லாமல் வகுக்கும் எண்னை *வகுத்தி* (இலங்கை வழக்கு: *காரணி*) என்பர்.  

## பொது விளக்கம்

*a*, *b* ஆகிய இரண்டு எண்களுக்கு இடையேயான **மீப்பெரு பொது வகுத்தி** (மீ.பொ.வ.) என்பதை மீபொவ (*a*,&nbsp;*b*)என்று எழுதிக்காட்டுவது வழக்கம்; எடுத்துக்காட்டாக மீபொவ (12,&nbsp;18)&nbsp;=&nbsp;6, மீபொவ(−4,&nbsp;14)&nbsp;=&nbsp;2. இரண்டு எண்களுக்கு இடையே மீபொவ-ஆக 1 என்னும் எண் மட்டும் இருந்தால், பிற பொது வகுத்திகள் அவ்விரு எண்களுக்கும் இடையே இல்லை என்பதால் அவ்விரு எண்ணையும் *ஒன்றுக்கு ஓன்று பகா எண்கள்* (relatively prime அல்லது co-prime) என்று அழைப்பர். இதனை *ஒப்பீட்டு பகா எண்* அல்லது *இடைத்தொடர்புப் பகாத்தனி* (*relatively prime*) என்றும் கூறுவர். எடுத்துக்காட்டாக 7 ம் 16 உம் ஒன்றுக்கு ஒன்று பகா எண்கள்.  

மீப்பெரு பொது வகுத்தி என்னும் கருத்து பின்னங்களை மேலும் சுருக்கமாக எழுதமுடியாத எளிமையான வடிவத்துக்கு மாற்ற உதவுவது. எடுத்துக்காட்டாக மீபொவ(42,&nbsp;56)&nbsp;=&nbsp;14, ஆகவே,  

:<math>{42 \over 56}={3 \cdot 14 \over 4 \cdot 14}={3 \over 4}.</math>  

## மீபொவ-ஐ கணக்கிடுவது

### எண் காரணி முறை
மீப்பெரு பொது வகுத்திகளை அறிய எண் காரணியைப் (ஓர் எண்னைப் பல எண்களின் பெருக்குத்தொகையாக பகுத்தறியும் முறை) பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக: மீபொவ(18,&nbsp;84) ஐ அறிய, 18 இன் எண்-காரணிகளை அறிவோம்: 18&nbsp;=&nbsp;2&nbsp;·&nbsp;3<sup>2</sup>, பிறகு 84 இன் எண்-காரணிகளை அறிவோம்: 84&nbsp;=&nbsp;2<sup>2</sup>&nbsp;·&nbsp;3&nbsp;·&nbsp;7, அப்படி செய்த பிறகு இவ்விரண்டு எண்களின் எண்-காரணிகளிலும் *பொதுவாக உள்ள* காரணிகளை நோக்கினால் 2&nbsp;·&nbsp;3; என்று அறியலாம்; எனவே மீபொவ(18,&nbsp;84)&nbsp;=&nbsp;6. வழக்கத்தில் இம்முறை சிறிய எண்களின் மீபொவ-ஐ அறிய மட்டுமே எளிதாக இருக்கும். எண்-காரணிகளை (பெருக்கு எண்களை) அறிய நெடு நேரம் எடுக்கலாம்.  

கீழே இன்னொரு முறை, வென் படம் (Venn diagram) என்னும் இன்னொரு முறைப் படி ஒரு எடுத்துக்காட்டு. 48 உம்&nbsp;180 உம் ஆகிய இரண்டு எண்களுக்கும் இடையே ஆன மீப்பெரு பொது வகுத்தியை அறிவதாகக் கொள்வோம். முதலில் இவ்விரண்டு எண்களுக்குமான எண் காரணிகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.  
: 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3,  
: 180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5.  

இவை இரண்டுக்கும் பொதுவாக உள்ளவை: இரண்டு "2"களும் ஒரு "3" உம்:  

:  

: மீச்சிறு பொது மடங்கு (மீ.பொ.ம. அல்லது பொது மடங்குகளுள் சிறியது - பொ.ம.சி. *Least common multiple*) = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 720  
: மீப்பெரு பொது வகுத்தி (*Greatest common divisor*) = 2 × 2 × 3 = 12.  

### யூக்ளிட்டின் படிமுறைத் தீர்வு
யூக்ளிட் படிமுறைத்தீர்வு (Euclidean algorithm) என்பது வகுக்கும் முறையைக் கொண்டு மீப்பெரு பொது வகுத்தியைக் காணும் முறை. எடுத்துக்காட்டாக 84 ஐ 18 ஆல் வகுத்தால் ஈவு 4 என்பதும் மீதி 12 என்பதையும் பெறலாம். அடுத்து அந்த 18 என்னும் எண்ணை மீதியாகிய 12 ஆல் வகுத்தால் கிடைப்பது ஈவு 1, மீதி 6. அடுத்து 12 ஐ மீதியாகிய 6 ஆல் வகுத்தால் கிட்டும் மீதி சுழி (0), ஆகவே மீப்பெரு பொது வகுத்தி (மீபொவ) 6 ஆகும். இதனைக் கணக்குக் குறியீட்டுடன் பொதுப்பட கீழ்க்காணுமாறு சொல்லலாம் [gcd = மீபொவ] :  

:<math>\operatorname{gcd}(a,0) = a</math>  
:<math>\operatorname{gcd}(a,b) = \operatorname{gcd}(b,a - b \\lfloor {a \over b} \\rfloor).</math>  

யூக்ளிட் முறையில் எழும் ஈவுகள் ஒரு தொடர் பின்னம் (continued fraction) ஒன்றைத் தருவது.  

### மற்ற முறைகள்

*a* யும் *b* யும் இரண்டும் சுழியாக இல்லை என்றால், அவற்றின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியை அவற்றின் மீச்சிறு பொது மடங்கு என்னும் எண்ணால் கணிக்க இயலும்  
(gcd = மீபொவ):  

:<math>\operatorname{gcd}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\operatorname{lcm}(a,b)}.</math>  

எடுத்துக்காட்டாக 12, 18 ஆகிய இரண்டு எண்களின் மீபொவ = 6, இதன் மீச்சிறு மடங்கு 36. இவற்றின் பெருக்குத்தொகை 216 = 6*36. இரண்டு எண்களின் பெருக்குத்தொகையில் இருந்து மீபொவ-ஐ வகுத்துவிட்டால் எஞ்சி இருப்பது மீச்சிறு பொது மடங்குதான்.  

*a*&nbsp;≥&nbsp;1 எனில் ஒற்றைப்படையான எண்களுக்கு கீத் சிலாவின் (Keith Slavin) என்பவர் காட்டிய முற்றொருமை:  

:<math>\operatorname{gcd}(a,b)=\log_2\prod_{k=0}^{a-1} (1+e^{-2i\pi k b/a})</math>  

மேலுள்ளதில் b என்னும் எண் சிக்கலெண்ணாக இருந்த பொழுதும் கணக்கிட இயலும் , மேலும் வுல்ஃவ்காங் இஃழ்ச்றம் (Wolfgang Schramm) காட்டியபடி:  

:<math>\operatorname{gcd}(a,b)=\sum\limits_{k=1}^a {\exp (2\pi ikb/a)} \cdot \sum\limits_{d\ a\.} {\frac{c_d (k)}{d}} </math>  

என்னும் சமன்பாட்டில் எல்லா நேர்ம முழு எண் *a* வுக்கும் *b* என்னும் மாறியால் ஆன முழுத்தொகை சார்பியம் (entire function) ஆகும்; இதில் *c*<sub>*d*</sub>(*k*) என்பது இராமானுசன் கூட்டு (Ramanujan's sum) ஆகும். எல்லா நேர்ம முழு எண் *a*,*b* -களுக்கும், மார்சேலோ பொலேட்ஃசி (Marcelo Polezzi) கீழ்க்கண்ட சமன்பாட்டை நிறுவியுள்ளார் :  

:<math>\operatorname{gcd}(a,b)=2\sum_{k=1}^{a-1} \lfloor k b/a\rfloor+a+b-a b</math>  

மேலும், *a*, *b* ஆகிய எதிர்மமல்லா முழு எண்களுக்கு (non-negative integers), அவை இரண்டுமே சுழியாக இல்லாது இருக்குமெனில், டொனால்டு குனுத் (Donald Knuth) கீழ்க்காணும் சுருக்க வடிவை (எளிமைப்படுத்துதலை) நிறுவியுள்ளார்:  

:<math>\operatorname{gcd}(2^a-1,2^b-1)=2^{\operatorname{gcd}(a,b)}-1</math>  

எடுத்துக்காட்டாக a = 4 என்றும் b = 6 என்று கொண்டால், 2<sup>4</sup>-1 = 15; அதே போல 2<sup>6</sup>- 1 = 63, ஆகவே 15, 63 ஆகிய இரண்டின் மீபொவ= 3. இந்த மீபொவ-ஐ சிறிய எண்களாகிய a,b ஆகியவற்றின் மீபொவ-வைக் கொண்டே கண்டுபிடிக்கலாம் என்பதே இச்சமன்பாட்டின் முக்கியப் பயன்பாடு. 4, 6 ஆகியவற்றின் மீபொவ = 2. ஆகவே 2<sup>2</sup> – 1 = 4-1 = 3, இதுவே 15, 63 இன் மீபொவ. மேலுள்ளவாறு (2<sup>n</sup> -1) என எழுதக்கூடிய இரண்டு பெரிய ஒற்றைப்படை எண்களின் மீபொவ-ஐ இவ்வகையில் எளிதாகக் கணக்கிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக 4095, 262143 ஆகிய இரண்டு எண்களின் மீபொவ = 63 ஆகும். ஆனால் 4095, 262143 ஆகிய இரண்டு எண்களை 2<sup>12</sup> – 1, 2<sup>18</sup> – 1 என்று எழுதலாம் என்று அறிந்தால், மடி எண்களாகிய 12,18 ஆகியவற்றின் மீபொவ = 6 என்பதால் 2<sup>6</sup> – 1 = 64 – 1= 63 என்பதை 4095, 262143 ஆகிய இரண்டு எண்களின் மீபொவ என எளிதாக அறிந்துகொள்ள உதவும்.