# அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்)

கணிதத்தில் **அடுக்குத் தொடர்** (*power series*) என்பது கீழ்க்காணும் வடிவில் அமையும் முடிவிலாத் தொடர் ஆகும்:  

:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \( x-c \)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1</math><math> + a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots</math>  

இத் தொடர் ஒரு மாறியிலமைந்த அடுக்குத் தொடர்.  

இதில்:  
:*a<sub>n</sub>* *n* ஆம் உறுப்பின் கெழு;  
: *c* ஒரு மாறிலி;  
: *x* ஆனது *c* இன் மதிப்பைச் சுற்றி மாறுபடும். பொதுவாக, ஒரு சார்பின் டெய்லர் தொடராகவே ஒரு அடுக்குத் தொடர் அமையும்.  

பெரும்பாலான சமயங்களில் *c* இன் மதிப்பு பூச்சியமாக அமையும். அப்போது அடுக்குத் தொடரின் வடிவம்:  
:<math>  
f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.  
</math>  

## எடுத்துக்காட்டுகள்
ம் (நீலம்) அதன் மெக்லாரின் தொடரின் முதல் *n*+1 உறுப்புகளின் கூடுதலும் (சிவப்பு).]]  
- எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் ஒரு மையம் *c* உடன் அடுக்குத் தொடராக எளிதாக எழுத முடியும்.
:<math>f(x) = x^2 + 2x + 3</math> என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை மையம் <math>c=0</math> எனக் கொண்டு பின்வரும் அடுக்குத் தொடராக எழுதலாம்:  
::<math>f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,</math>  

அல்லது மையத்தை <math>c=1</math> எனக்கொண்டால்:  
::<math>f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2</math><math> + 0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,</math>  

- பெருக்குத் தொடரின் வடிவம்:
::<math> \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,</math>, இவ் வாய்ப்பாடு <math>|x|<1</math> எனும் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாகும்.  

- அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்:
::<math> e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,</math>  

சைன் சார்பின் தொடர்:  
::<math> \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,</math> இத் தொடர் x இன் அமைத்து மெய்மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும்.  

அடுக்குத் தொடரில் எதிர் எண்கள் மாறியின் அடுக்குகளாக இருக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக பின்வருவது அடுக்குத் தொடராகாது:  
:<math>1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots</math>  

இதேபோல <math>x^{1/2}</math> போன்ற பின்ன அடுக்குகளும் இருக்காது. மேலும் கெழுக்கள் மாறி <math>x</math> ஐச் சார்ந்தவையாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக கீழே தரப்படுவது அடுக்குத் தொடர் அல்ல:  
:<math>\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \,</math>  

## கணிதச் செயல்கள்
### கூட்டலும் கழித்தலும்
*f* , *g* ஆகிய இரு சார்புகள் *c* எனும் ஒரே மையத்தைக் கொண்டு அடுக்குத் தொடர்களாக எழுதப்பட்டால், அவற்றின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலை உறுப்புவாரிக் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலாகச் செய்யலாம்.  
:<math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n</math>  
:<math>g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n</math> எனில்:  

:<math>f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.</math>  

### பெருக்கலும் வகுத்தலும்

:<math> f(x)g(x) = \(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\)\(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\)</math>  

:<math> = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j (x-c)^{i+j}</math>  

:<math> = \sum_{n=0}^\infty \(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\) (x-c)^n.</math>  

:<math> {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n</math>  

:<math> f(x) = \(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\)\(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\)</math>  

### வகையிடலும் தொகையிடலும்
அடுக்குத் தொடராக எழுதப்படும் சார்பின் வகைக்கெழு மற்றும் தொகையீடு  
::<math>  
f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \( x-c \)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \(n+1 \) \( x-c \)^{n}  
</math>  

::<math>  
\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \( x-c \)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \( x-c \)^{n}} {n} + k.  
</math>