# காப்பமைவியம் (கணிதம்)

கணிதத்தில், முக்கியமாக நுண்புல இயற்கணிதத்தில், அமைவியம் (Morphism) என்பது கணித அமைப்புகளுக்கிடையேயுள்ள போக்குவரத்து. அமைப்பை சிதறாமல் காக்கக்ககூடிய அமைவியத்திற்கு **காப்பமைவியம்** (Homomorphism) என்று பெயர். இவையிரண்டுமே நுண்புலக் கருத்துக்கள். இவைகள் கணிதக் கண்டிப்புடன் வரையறுக்கப்பட வேண்டுமானால் நாம் விகுதிக் கோட்பாடுக்கும் (Category Theory), அனைத்தியற்கணிதத்துக்கும் (Universal Alagebra) செல்லவேண்டும். இக்கட்டுரையில், இதற்குக்கீழ்ப்படியில், குறிப்பிட்ட கணித அமைப்புகளுக்கே இவை பேசப்படுகின்றன.  

## குலம் காப்பமைவியம்

இது ஆங்கிலத்தில் Group Homomorphism எனப்படும். இரண்டு குலங்கள் G, H என்றும், அவைகளில் செயலிகள் முறையே *<sub>1</sub>, *<sub>2</sub> என்றும் கொண்டால்,  

<math>f : G \rightarrow H</math> ஒரு காப்பமைவியம் என்பதற்கு இலக்கணம்:  

: <math>G</math> இலுள்ள ஒவ்வொரு <math>a, b</math> க்கும் <math>f(a *_1 b) = f(a) *_2 f(b)</math>  

### விளைவுகள்

- <math>G, H</math> இவைகளுடைய முற்றொருமை உறுப்புக்களை முறையே <math>e_G, e_H</math> என்று கொண்டால், <math>f(e_G) = e_H</math>. ஏனென்றால்,

::<math>e_H = f(e_G) *_2 (f(e_G))^{-1}</math>  

::: <math>=f(e_G *_1 e_G) *_2 ((f(e_G))^{-1}</math>  

::: <math>=f(e_G) *_2 f(e_G) *_2 ((f(e_G))^{-1}</math>  

::: <math>=f(e_G)</math>  

இதன் பொருள்: காப்பமைவியம் முற்றொருமையை முற்றொருமைக்கே எடுத்துச்செல்கிறது.  

- <math>a \in G</math> என்று கொள். இப்பொழுது, <math>f(a^{-1}) = ((f(a))^{-1}</math>, ஏனென்றால்,

:: <math>f(a^{-1}) = f(a^{-1}) *_2 e_H</math>  

::: <math>= f(a^{-1})*_2 f(a) *_2 (f(a))^{-1}</math>  

::: <math>= f(a^{-1} *_1 a) *_2 ((f(a))^{-1}</math>  

::: <math>= f(e_G) *_2 ((f(a))^{-1}</math>  

::: <math>= e_H *_2 ((f(a))^{-1}</math>  

::: = <math>((f(a))^{-1}.</math>  

இதன் பொருள்: காப்பமைவியமும் நேர்மாறும் ஒன்றுக்கொன்று ஒத்துப்போகின்றன, அதாவது பரிமாறிக்கொள்கின்றன. அதாவது,  

: நேர்மாறின் காப்பமைவிய பிம்பம் = காப்பமைவிய பிம்பத்தின் நேர்மாறு.  

### எடுத்துக்காட்டுகள்

- <math>\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}</math>
: <math>x \mapsto 2x</math>  

இது கூட்டல் குலம் <math>\mathbf{R}</math> இலிருந்து அதற்கே செல்லும் ஒரு குலம் காப்பமைவியம்; ஏனென்றால்  
:<math>f(a + b) = 2(a+b) = f(a) + f(b).</math>  

- <math>ln: \mathbf{R}^+ \rightarrow \mathbf{R}</math>
: <math>x \mapsto ln x</math>  

இது பெருக்கல் குலம் <math>\mathbf{R}^+</math> இலிருந்து கூட்டல் குலம் <math>\mathbf{R}</math> க்கு ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால்,  
:<math>ln(a \times b) = ln a + ln b</math>  

- <math>exp: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}^+</math>
: <math>x \mapsto e^x</math>  

இது கூட்டல் குலம் <math>\mathbf{R}</math> இலிருந்து பெருக்கல் குலம் <math>\mathbf{R}^+ </math> க்கு ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால்  
: <math>e^{a + b} = e^a \times e^b</math>  

- <math>\mathbf{R} \rightarrow </math> அலகுவட்டம் <math>\{z \in \mathbf{C}:|z| = 1\}</math>
: <math>\theta \mapsto e^{i\theta}</math>  

இது இடது பக்கத்து கூட்டல் குலத்திலிருந்து வலது பக்கத்து பெருக்கல் குலத்திற்குச் செல்லும் ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால்,  
: <math>e^{i(\theta + \phi)} = e^{i\theta} \times e^{i\phi}</math>  

- ஒரு சமபக்க நான்முகியில், ஒரு உச்சியிலிருந்து எதிர்முகத்திற்குப்போகும் அச்சைச்சுற்றிப்போகும் சுழற்சிகளில் மூன்று சுழற்சிகள் <math>( 0^{\circ},120^{\circ},240^{\circ})</math> நான்முகிவடிவத்தை இடமாற்றாது. இம்மூன்று சுழற்சிகளும் சுழற்சிச்சேர்வைக்கு ஒரு குலமாகிறது. இது {0, 1, 2} என்ற modulo 3 கூட்டல் குலத்திற்கு காப்பமைவியம் உள்ளதாக இருக்கும்.
- சமச்சீர் குலம் <math>S_n</math> க்கும் 2-ஆவது கிரம சுழற்குலம் <math>C_2 = \{+1, -1\}</math> க்கும் இடையில் <math>\chi </math> என்ற ஒரு சீலக்கோப்பு (Character map) உண்டாக்கலாம். அதாவது,
:: <math>\chi: S_n \rightarrow \{+1, -1\}</math>  

:: <math>A \mapsto sgn(A)</math>  
இது ஒரு காப்பமைவியம்.  

## வளையம் காப்பமைவியம்

இது Ring Homomorphism. <math>(X, +_1, \circ_1) (Y, +_2, \circ_2)</math> இரண்டு வளையங்கள் என்று கொண்டால்,  

<math>f : X \rightarrow Y</math> ஒரு காப்பமைவியம் என்பதற்கு இலக்கணம்:  

: <math>X</math> இலுள்ள ஒவ்வொரு <math>a, b</math> க்கும் , <math>f(a +_1 b) = f(a) +_2 f(b)</math>, மற்றும்,  
:<math>f(a \circ_1 b) = f(a) \circ_2 f(b)</math>  

### விளைவுகள்

- ஒவ்வொரு வளையம் காப்பமைவியமும், <math>(X, +_1), (Y, +_2)</math> ஆகிய குலங்களுக்கிடையே ஒரு குலம் காப்பமைவியமாகவும் ஆகிறது. இதனால்

: <math>f(0_X) = (0_Y);</math> மற்றும்  
:ஒவ்வொரு <math>a \in X</math> க்கும் <math>f(-a) = -f(a).</math>  

- <math>ker f = \{x \in X: f(x) = 0_Y\}</math> என்ற <math>f</math> இன் உட்கரு <math>X</math> இல் ஒரு சீர்மமாகும்.

### எடுத்துக்காட்டுகள்

- <math>\mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{Z}_n</math>
: <math>a \mapsto a</math>(mod <math>n</math>)  

- <math>\mathcal{C}[a, b] \rightarrow \mathbf{R}</math>
: <math>f \mapsto f(x_0)</math> , இங்கு <math>x_0</math> என்பது <math>[a,b]</math> யில் ஒரு நிலையான புள்ளி.  

- <math>\mathcal{P} \rightarrow \mathbf{R}</math>
: <math>f \mapsto f(1)</math>  
:அ-து: <math>a_0 + a_1 x +a_2 x^2 + ... + a_n x^n \mapsto a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_n</math>  

## திசையன் வெளி காப்பமைவியம்

இரண்டு அமைப்புகளும் ஒரே அளவெண்களத்தையுடைய திசையன் வெளி யாக இருக்கும் பட்சத்தில், அமைப்பைக் காக்கும் காப்பமைவியங்கள் நேரியல் கோப்பு களே.  

## காப்பமைவியங்களுக்குள் பாகுபாடுகள்

மேலுள்ள எல்லா சூழ்நிலையிலும், ஒரு காப்பமைவியம், கூடவே,  

- முழுக்கோப்பாகவும் இருந்தால் அது **முழு அமைவியம்** (epimorphism) எனவும்,
- உள்ளிடுகோப்பாகவும் இருந்தால் அது **ஒன்றமைவியம்** (monomorphism)எனவும்,
- முழுகோப்பாகவும், உள்ளிடுகோப்பாகவும் இருந்தால் அது **சம அமைவியம்** (isomorphism) எனவும்,
- ஓர் அமைப்புள்ள கணத்திலிருந்து அதற்குள்ளேயே செல்வதாயிருந்தால் அது **உள்ளமைவியம்** (endomorphism) எனவும்,
- ஒர் அமைப்புள்ள கணத்திலிருந்து அதற்குள்ளேயெ செல்வதாகவும், முழுக்கோப்பாகவும், உள்ளிடு கோப்பாகவும் இருந்தால் அது **தன்னமைவியம்** (automorphism) எனவும் சொல்லப்படும்.