# பகாத்தனி-எண்ணும் சார்பு

கணிதத்தில் **பகாத்தனி-எண்ணும் சார்பு** (*prime-counting function*) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட மெய்யெண் *x* -க்குச் சமமான அல்லது அதைவிடச் சிறிய பகாத்தனிகளின் எண்ணிக்கையைத் தரும் சார்பு. இச் சார்பின் குறியீடு <math>\scriptstyle\pi(x)</math> (இது எண் π அல்ல).  
களுக்கான π(*n*) இன் மதிப்புகள்]]  

## வரலாறு
எண் கோட்பாட்டில் பகாத்தனி எண்ணும் சார்பு குறித்த ஆய்வுகள் அதிவேகத்தில் வளர்ந்துள்ளது. 18ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் கணிதவியலாளர் காஸ் இதனை நிறுவக்கூடிய கூற்றாக (conjecture) அளித்தார். பின்னர் கணிதவியலாளர் லெஜெண்டரே (Adrien-Marie Legendre) இதனைப் பின்வருமாறு தோராயப்படுத்தினார்:  

:<math> x/\operatorname{ln}(x)\!</math>  

அதாவது,  
:<math>\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{x/\operatorname{ln}(x)}=1.\!</math>  

இது பகா எண் தேற்றத்தின் கூற்றாகும். இதனை கீழுள்ளவாறும் எழுதலாம்:  

:<math>\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1\!</math>  

இதில் *li* என்பது மடக்கைத் தொகையீட்டைக் குறிக்கும். இச்சார்பினைக் கணிக்கும் மேம்பட்ட துல்லியமான முறைகள் கண்டறியப்பட்டுள்ளன.  

## அட்டவணை
பத்தின் அடுக்குகளில் π(*x*), *x* / ln *x* மற்றும் li(*x*) சார்புகளுக்கான ஒப்பீட்டை கீழுள்ள அட்டவணை காட்டுகிறது. மேலும் பார்க்க,  

:{|  
! *x*  
! π(*x*)  
! π(*x*) &minus; *x* / ln *x*  
! li(*x*) &minus; π(*x*)  
! *x* / π(*x*)  
|-  
| 10  
| 4  
| &minus;0.3  
| 2.2  
| 2.500  
|-  
| 10<sup>2</sup>  
| 25  
| 3.3  
| 5.1  
| 4.000  
|-  
| 10<sup>3</sup>  
| 168  
| 23  
| 10  
| 5.952  
|-  
| 10<sup>4</sup>  
| 1,229  
| 143  
| 17  
| 8.137  
|-  
| 10<sup>5</sup>  
| 9,592  
| 906  
| 38  
| 10.425  
|-  
| 10<sup>6</sup>  
| 78,498  
| 6,116  
| 130  
| 12.740  
|-  
| 10<sup>7</sup>  
| 664,579  
| 44,158  
| 339  
| 15.047  
|-  
| 10<sup>8</sup>  
| 5,761,455  
| 332,774  
| 754  
| 17.357  
|-  
| 10<sup>9</sup>  
| 50,847,534  
| 2,592,592  
| 1,701  
| 19.667  
|-  
| 10<sup>10</sup>  
| 455,052,511  
| 20,758,029  
| 3,104  
| 21.975  
|-  
| 10<sup>11</sup>  
| 4,118,054,813  
| 169,923,159  
| 11,588  
| 24.283  
|-  
| 10<sup>12</sup>  
| 37,607,912,018  
| 1,416,705,193  
| 38,263  
| 26.590  
|-  
| 10<sup>13</sup>  
| 346,065,536,839  
| 11,992,858,452  
| 108,971  
| 28.896  
|-  
| 10<sup>14</sup>  
| 3,204,941,750,802  
| 102,838,308,636  
| 314,890  
| 31.202  
|-  
| 10<sup>15</sup>  
| 29,844,570,422,669  
| 891,604,962,452  
| 1,052,619  
| 33.507  
|-  
| 10<sup>16</sup>  
| 279,238,341,033,925  
| 7,804,289,844,393  
| 3,214,632  
| 35.812  
|-  
| 10<sup>17</sup>  
| 2,623,557,157,654,233  
| 68,883,734,693,281  
| 7,956,589  
| 38.116  
|-  
| 10<sup>18</sup>  
| 24,739,954,287,740,860  
| 612,483,070,893,536  
| 21,949,555  
| 40.420  
|-  
| 10<sup>19</sup>  
| 234,057,667,276,344,607  
| 5,481,624,169,369,960  
| 99,877,775  
| 42.725  
|-  
| 10<sup>20</sup>  
| 2,220,819,602,560,918,840  
| 49,347,193,044,659,701  
| 222,744,644  
| 45.028  
|-  
| 10<sup>21</sup>  
| 21,127,269,486,018,731,928  
| 446,579,871,578,168,707  
| 597,394,254  
| 47.332  
|-  
| 10<sup>22</sup>  
| 201,467,286,689,315,906,290  
| 4,060,704,006,019,620,994  
| 1,932,355,208  
| 49.636  
|-  
| 10<sup>23</sup>  
| 1,925,320,391,606,803,968,923  
| 37,083,513,766,578,631,309  
| 7,250,186,216  
| 51.939  
|-  
| 10<sup>24</sup>  
| 18,435,599,767,349,200,867,866  
| 339,996,354,713,708,049,069  
| 17,146,907,278  
| 54.243  
|-  
| 10<sup>25</sup>  
| 176,846,309,399,143,769,411,680  
| 3,128,516,637,843,038,351,228  
| 55,160,980,939  
| 56.546  
|}  
ஐ நெருங்குகிறது. *x*/ln *x* உடனான விகிதம் மேலிருந்து மெதுவாக ஒருங்குகிறது; Li(*x*) உடனான விகிதம் கீழிருந்து வேகமாக ஒருங்குகிறது.]]  

நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியத்தில்:  
- π(*x*) :
- π(*x*) - *x* / ln *x* :
- li(*x*) − π(*x*) : .