# முழுக்கோப்பு



<math>f : X\rightarrow Y</math> என்ற ஒரு கோப்பில் / சார்பில் ஒவ்வொரு <math> y \in Y</math> க்கும் <math>f(x) = y</math> ஆக இருக்கும்படி குறைந்த பட்சம் ஒரு <math>x \in X</math> ஆவது இருக்குமானால் அக்கோப்பு/சார்பு **முழுக்கோப்பு** (*Surjection*) அல்லது **முழுக்கோப்புடைய சார்பு** (*Surjective function*) எனப்படும். வேறு விதமாகச்சொன்னால் ஒவ்வொரு <math>y \in Y</math> க்கும் <math>X</math> இல் ஒரு முன்னுரு உள்ளது.  

ஒரு முழுக்கோப்பு உள்ளிடுகோப்பாகவும் இருந்துவிட்டால், அது இருவழிக்கோப்பு எனப்படும்.  

## துல்லியமான வரையறை
<math>f</math> என்பது <math>X</math> இலிருந்து <math>Y</math> க்குப்போகும் ஒரு கோப்பு/சார்பு எனக்கொள்வோம்.  

<math>f</math> ஒரு முழுக்கோப்பு எனப்படுவதற்கு இலக்கணம்:  
:<math>\forall y \in Y,\, \exist x \in X,\ \backepsilon f(x)=y</math> .  

முழுக்கோப்பின் வீச்சும் இணையாட்களமும் சமமாக இருக்கும்.  

## உலகவழக்கில் ஒரு எடுத்துக்காட்டு

சுற்றுலாப்பயணிகளின் கூட்டமொன்று இராத்தங்க, எல்லா அறைகளும் காலியாக இருக்கும் ஒரு விடுதியில் வந்து சேருகின்றனர். பயணிகளுக்கு அறைகள் வழங்கும் முறையை ஒருகோப்பாக விவரிக்கலாம்.(பயணிகள் கணம்: X ; அறைகள் கணம்: Y.)  

ஒவ்வொரு அறையும் நிரப்பப்படவேண்டுமென்றால், பயணிகளின் எண்ணிக்கை அறைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வோரு அறையிலும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பயணியாவது இருப்பர். இது *முழுக்கோப்பு* (surjective map; surjection; onto map).  

ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கவேண்டுமென்றால், அறைகளின் எண்ணிக்கை பயணிகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது.அப்பொழுது ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். இது *உள்ளிடுகோப்பு* (injective map; injection; one-one map).  

பயணிகளின் எண்ணிக்கையும் அறைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். ஒரு அறையும் காலியாக இருக்காது. இது *இருவழிக்கோப்பு* (bijective map; bijection; one-one onto map). அதாவது, இது உள்ளிடுகோப்பு, முழுக்கோப்பு ஆகிய இரு பண்புகளையும் கொண்டது.  

## கணித எடுத்துக்காட்டுகளும் மாற்றுக்காட்டுகளும்
மெய்யெண் சார்புகள்:  
:* <math>f : \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}</math>  
: <math>f(x) = x^2</math>  
:இது முழுக்கோப்பல்ல. ஏனென்றால்,எடுத்துக்காட்டாக, <math>f(x) = -4</math> க்குச்சரியான <math>x</math> கிடையாது., ஆனால் நாம் வரையறையை மாற்றி எழுதலாம். அதாவது, இணையாட்களத்தை <math>\mathbf{R}^{+}</math> ஆகக்கொண்டால், அது முழுக்கோப்பாகும்.  

:*<math>f : \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}</math>  
: <math>f(x) = 2x - 1</math>  

:இது ஒரு முழுக்கோப்பு. ஏனென்றால் எந்த மெய்யெண் <math>y</math> க்கும் <math>y = 2x - 1</math> என்ற சமன்பாட்டைத்தீர்வு செய்து, <math>x = (y + 1)/2</math> என்று கண்டுபிடிக்கமுடியும். இதனால் <math>\mathbf{R}</math> இலுள்ள எல்லாமெய்யெண்ணுக்கும் ஒரு முன்னுரு உள்ளது.  

:*<math>g : \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}</math>  
:<math>f(x) = (cos x)^2</math>  

: இது முழுக்கோப்பல்ல. ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, <math>f(x) = -1</math> க்கு சரியான <math>x</math> கிடையாது.  

:* <math>h : \mathbf{R} \rightarrow [0, 1] </math>  
:<math>h(x) = (cos x)^2</math>  
: இது முழுக்கோப்பாகும். ஏனென்றால், [0,1] இலுள்ள ஒவ்வொரு <math>y</math> க்கும் <math>cos^{-1}(\surd {y}),</math> மற்றும் <math>cos^{-1}(-\surd {y})</math> என்ற இரண்டு முன்னுருக்கள் கிடைக்கின்றன.  

:*<math>f : \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{R} </math>  
:இந்த <math>f</math> எப்படி வரையறுக்கப்பட்டாலும் அது முழுக்கோப்பாக முடியாது. ஏனென்றால் வீச்சுக்கணம் = <math>\{f(1), f(2), f(3), ... \}</math>; இதனுடைய எண்ணளவை <math>\mathbf{R}</math> இன் எண்ணளவையைவிட ச் சிறியது.  

## சில விளைவுகள்

- <math>f: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}</math> ஒரு முழுக்கோப்பானால் அதனுடைய வரைவு எல்லா கிடைக்கோடுகளையும் வெட்டும்.
- <math>f: Y \rightarrow Z</math>; <math>g: X \rightarrow Y</math>
:<math>f \circ g</math>: <math>X \rightarrow Z</math> முழுக்கோப்பானால் <math>f</math> முழுக்கோப்பாக இருக்கவேண்டும். <math>g</math> முழுக்கோப்பாக இருக்கவேண்டிய தில்லை. (படிமம் பார்க்கவும்)  
- <math>f, g</math> இரண்டுமே முழுக்கோப்பானால் <math>f \circ g</math> முழுக்கோப்பாகும்.
- <math>f: X \rightarrow Y </math> ஒரு முழுக்கோப்பானால், ஒவ்வொரு உட்கணம் <math>B \subset Y</math> க்கும்,
: <math>f(f^{-1}(B)) = B</math>.  
- ஒரு சார்பு வலது நீக்கலைக் கொண்டிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது முழுக்கோப்பாக இருக்கும்.