# இயல் மடக்கை

உள்ளது.]]  

ஒரு எண்ணின் மடக்கையின் அடிமானம் *e* ஆக இருக்கும்போது அந்த மடக்கை **இயல் மடக்கை** (*natural logarithm*) எனப்படுகிறது. இங்கு *e* ஆனது விகிதமுறா எண்ணாகவும் விஞ்சிய எண்ணாகவும் உள்ள கணித மாறிலியாகும். *e* இன்அதன் தோராய மதிப்பு 2.718.<span>281</span><span>828</span>. எண் *x* இன் இயல் மடக்கை ln *x* அல்லது log<sub>*e*</sub> *x* என எழுதப்படுகிறது. சிலசமயங்களில் அடிமானம் *e* இல்லாமல் சுருக்கமாக log *x* எனவும் எழுதப்படுகிறது. மடக்கை காணும் எண்ணானது ஒரு தனிஎண்ணாக இல்லாதபோது, தெளிவாகக் காட்டுவதற்காக அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தி ln(*x*), log<sub>*e*</sub>(*x*), log(*x*) என்றும் எழுதப்படுவதும் வழக்கம்.  

*x* க்குச் சமமான மதிப்பை அடைய *e* இன் அடுக்கை எந்த எண்ணுக்கு உயர்த்த வேண்டியிருக்குமோ அந்த எண்ணே *x* இன் இயல் மடக்கை ஆகும்.  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  

- ln(7.5) = 2.0149... ஏனென்றால் *e*<sup>2.0149...</sup>=7.5.
- ln(*e*) = 1 ஏனென்றால் *e*<sup>1</sup> = *e*,
- ln(1) = 0 ஏனென்றால் *e*<sup>0</sup> = 1.

இயல் மடக்கையை குறிப்பிட்ட வளைவரையின்கீழ், குறிப்பிட்ட எல்லைக்குட்பட்ட பரப்பளவாகவும் கூறலாம்.  

எடுத்துக்காட்டு:  

*a* ஏதாவது ஒரு நேர் மெய்யெண் எனில், log<sub>*e*</sub> *a* இன் மதிப்பு, *y* = 1/*x* என்ற வளைவரையின்கீழ், 1 முதல் *a* வரையிலான பரப்பளவாகும்.  

இயல் மடக்கையின் வரையறையை எதிர் எண்களுக்கும், சுழியற்ற சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். மெய்யெண் மாறியின் மெய்மதிப்புச் சார்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்படும்போது, இயல் மடக்கைச் சார்பானது அடுக்கேற்றச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும். இதிலிருந்து பெறப்படும் முற்றொருமைகள்:  

:<math>e^{\ln(x)} = x \qquad \mbox{if }x > 0\,\!</math>  

:<math>\ln(e^x) = x.\,\! </math>  

பிற மடக்கைகளைப் போன்றே இயல் மடக்கையும் பெருக்கலைக் கூட்டலாக மாற்றுகிறது.  

:<math> \ln(xy) = \ln(x) + \ln(y). \!\, </math>  

நேர்மெய்யெண் பெருக்கல் குலத்திலிருந்து, மெய்யெண் கூட்டல் குலத்திற்கு வரையறுக்கப்படும் சம அமைவியமாக (சம அமைவியம்) மடக்கைச் சார்பு அமையும் (<math>\ln \colon \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}.</math>).  

அடிமானம் *e* க்கு மட்டுமில்லாமல் எண் 1 ஐத் தவிர பிற நேரெண் அடிமானங்களுக்கும் மடக்கையை வரையறுக்கலாம். அவ்வாறு பிற அடிமானங்களுக்கு வரையறுக்கப்படும் மடக்கைகள் இயல் மடக்கையிலிருந்து ஒரு மாறிலி மடங்கால் மட்டுமே வேறுபடும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:<math> \log_2(x) = \frac {\log_e(x)}{\log_e (2)}. \,</math>  

| **குறியீடு** | <math>\ln x \,</math> |  |
| --- | --- | --- |
| **நேர்மாறு** | <math>e^x \,</math> |  |
| **வகைக்கெழு** | <math>\frac{1}{x} \,</math> |  |
| **வரையறா தொகையீடு** | <math>x\ln x - x + C \,</math> | } |

## குறியீடுகள்
*x* இன் இயல் மடக்கையைக் குறிப்பதற்கு , ஆகிய இரு குறியீடுகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. என அடிமானம் குறிக்கப்படாத குறியீடும் பொதுவாக இயல் மடக்கையையே குறிக்கும். எனினும் சிலசமயங்களில் அடிமானம் 10 க்குரிய *x* மடக்கையைக் குறிப்பதற்கும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  

## வரையறை

தொகையீடாக ln(*a*) பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:  
:<math>\ln(a)=\int_1^a \frac{1}{x}\,dx.</math>  

<math>\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b). \,\!</math> என்ற மடக்கையின் பண்பை இது நிறைவு செய்கிறது:  

:<math>\begin{align}  
\ln(ab)= \int_1^{ab}\frac{1}{x} \; dx  
&=\int_1^a \frac{1}{x} \; dx \; + \int_a^{ab} \frac{1}{x} \; dx\\  
&=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{at} \; d(at)\\  
&=\int_1^{a} \frac{1}{x} \; dx \; + \int_1^{b} \frac{1}{t} \; dt\\  
&= \ln (a) + \ln (b).  
\end{align}</math>  

ln(*a*)&nbsp;=&nbsp;1 ஆக அமையும் தனித்த மெய்யெண் *a* ஆக கணித மாறிலி *e* ஐ வரையறுக்கலாம். மாறாக படிக்குறிச் சார்பு முதலில் வரையறுக்கப்பட்டால், இயல் மடக்கையை அடுக்கேற்றச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக வரையறுக்கலாம் (exp(ln(*x*))&nbsp;=&nbsp;*x*).  

## பண்புகள்
- <math>\ln(1) = 0 \,</math>
- <math>\ln(-1) = i \pi \,</math>
- <math>\ln(x) < \ln(y) \quad{\rm for}\quad 0 < x < y \,</math>
- <math>\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1 \,</math>
- <math>\ln(x^y) = y \, \ln(x) \,</math>
- <math>\frac{x-1}{x} \leq \ln(x) \leq x-1 \quad{\rm for}\quad x > 0 \,</math>
- <math>\ln{( 1+x^\alpha )} \leq \alpha x \quad{\rm for}\quad x \ge 0, \alpha \ge 1 \,</math>