wickkiey/tamil-wikipedia-markdown huggingface dataset:
# நிகர தேசிய உற்பத்தி

ஒரு நாட்டின் **நிகர தேசிய உற்பத்தி** (*Net National Product*) என்பது அந்நாட்டின் குடிமக்கள் (வசிப்பவர்கள் மற்றும் புலம்பெயர்ந்தவர்கள்) மூலம் ஓர் ஆண்டில் உற்பத்தி செய்யப்படும் மொத்த தேசிய உற்பத்தியிலிருந்து தேய்மான மதிப்பை நீக்கியபின் கிடைக்கும் பண மதிப்பாகும். ஒரு வருட காலத்தில் இயந்திரங்கள் மற்றும் உற்பத்தி அமைப்புகளில் தேய்வு ஏற்பட்டிருக்கும், அந்த மூலதன தேய்மானத்தைக் கழிப்பதன் மூலம் நிகர தேசிய உற்பத்தி கணக்கிடப்படுகிறது.  

- நிகர தேசிய உற்பத்தி = மொத்த தேசிய உற்பத்தி -தேய்மானம
# ஜோர்ஜியா ஓ'கீஃப்



**ஜோர்ஜியா டோட்டோ ஓ'கீஃப்** (*Georgia O'Keeffe*, நவம்பர் 15, 1887 &ndash; மார்ச் 6, 1986) ஓர் அமெரிக்க ஓவியக் கலைஞர். குறிப்பிடத்தக்க நவீன அமெரிக்க ஓவியர்களில் ஒருவராகக் கருதப்படுகிறார்.  

விசுகொன்சின் மாநிலத்தின் சன் பிரைய்ரி நகரில் பிறந்த ஓ'க்கீஃப் 1916களில் தான் நியூயார்க் நகரின் கலைச் சமூகத்தின் கவனத்தைக் கவர்ந்தார். அந்தக் காலகட்டத்தில் அமெரிக்கப் பல்கலைக்கழகங்களிலும் கல்லூரிகளிலும் பெண்கள் கலைத்துறையில் பயிற்சிபெறுவதும் பெண் கலைஞர்கள் புகழ்பெறுவதும் பாராட்டப்படுவதும் அரிதாக இருந்தது. பத்தாண்டுகளுக்குள்ளேயே அமெரிக்காவின் மிக முக்கிய நவீனத்துவ ஓவியர்களில் ஒருவராக தம்மை நிலைநிறுத்திக்கொண்டார். எனவே முற்றிலும் ஆண்கள் ஆதிக்கம் செலுத்தி வந்த அமெரிக்க ஓவியத்துறையில் பெண்களின் இடத்திற்கு வழிவகுத்தார். 1986ஆம் ஆண்டில் தமது 98வது அகவையில் காலமானபோது அமெரிக்காவின் மிகவும் பாராட்டப்பட்ட பண்பாட்டுச் சின்னமாக விளங்கினார்.  

அவரது 1910, துவக்க 1920களின் பண்பியல் ஓவியங்கள் அமெரிக்கக் கலைஞர் ஒருவரால் ஆக்கப்பட்ட சிறந்த படைப்புக்களாகக் கருதப்படுகின்றன. 1920களில் மலர்களின் மலரும் பொழுதை ஒரு உருப்பெருக்கி மூலம் காட்டுவதைப் போல அண்மைக் காட்சிகளாக பெரும் வடிவில் ஆக்கியது வழமையான மலர் ஓவியங்களிலிருந்து வேறுபட்டு புதுமையாக இருந்தது. ஓ;கீஃப் வரைந்த நியூயார் நகரத்தின் பல ஓவியக்காட்சிகள் இன்றளவும் இந்த நகரத்தைக் குறித்த சிறந்த ஓவியங்களாக விளங்குகின்றன. 1929ஆம் ஆண்டு முதல் ஆண்டின் சில காலங்களில் வடக்கு நியூ மெக்சிகோவில் கழித்தார்; 1949ஆம் ஆண்டு முதல் இங்கேயே வசிக்கத் துவங்கினார். இந்தக் காலங்களில் அப்பகுதியைக் குறித்த பல ஓவியங்கள் மூலம் - கடினமண் கட்டமைப்பிலான தேவாலயங்கள், பண்பாட்டு சின்னங்கள், பாலவனத் தரையில் அவர் கண்டெடுத்த எலும்புகளும் கற்களும் - அமெரிக்க தன்மேற்கு கலாச்சாரத்தின் பிரதிநிதியாக விளங்கினார். ஓ'கீஃப் வாழந்து பணிபுரிந்த இந்தப் பகுதி “ஓ'கீஃப் நாடு" என அழைக்கப்படலாயிற்று.
# தாராளமயமாக்கல்

**தாராளமயமாக்கல்** என்பது பொதுவாகப் பொருளாதார அல்லது சமூகக் கொள்கைகளில் அரசின் கட்டுபாடுகளைத் தளர்த்தல் என்று பொருள்படும். சமூகத் தளத்தில் தாராளமயமாக்கல் என்பது திருமண முறிவு, போதைப்பொருள், ஓரினச்சேர்க்கை போன்ற சமூக ஒழுங்குகளின் கட்டுப்பாட்டைத் தளர்த்துவதாகும்.  

பொருளாதாரத் தளத்தில், அந்நிய முதலீடுகளை ஆதரிப்பதும், அரசின் நிறுவனங்களைத் தனியாரிடம் வழங்குவதும், முதலீடுகளை ஆதரிக்க வரிகளைக் குறைப்பதும் போன்ற பொருளாதார தடைகளைத் தடுத்து அமைப்பதாகும்.
# புனே வாரியர்சு இந்தியா



**புனே வாரியர்சு இந்தியா** (ஆங்கிலம்: *Pune Warriors India*, மராத்தி: *पुणे वॉरियर्स इंडिया*) என்பது மகாராட்டிராவின் புனே நகரம் சார்பாக இந்தியன் பிரீமியர் லீக்கில் விளையாடுகின்ற துடுப்பாட்ட அணி ஆகும். இந்த அணி 2011ஆம் ஆண்டில் இந்தியன் பிரீமியர் லீக்கில் இணைத்துக் கொள்ளப்பட்டது.  

## அணி

| **துடுப்பாட்ட வீரர்கள்**
* <span>07</span> அபிசேக் ஜுன்ஜுன்வாலா
* <span>09</span> மோனிஷ் மிஸ்ரா
* <span>15</span> கிரயெம் சிமித்
* <span>21</span> கலம் பேர்க்சன்
* <span>24</span> சௌரவ் கங்குலி (அணித் தலைவர்)
* <span>35</span> மிதுன் மன்ஹாஸ்
* <span>69</span> மனிஷ் பாண்டே
* <span>--</span> தீரஜ் ஜாதவ்
* <span>--</span> ஹர்ஷத் க்ஹடிவாலே
* <span>--</span> ஹார்ப்ரீத் சிங்

**சகல துறை விளையாட்டு வீரர்கள்**
* <span>12</span> யுவராஜ் சிங் (துணை அணித் தலைவர்)
* <span>20</span> மிட்செல் மார்ஷ்
* <span>22</span> நாதன் மெக்கல்லம்
* <span>69</span> அஞ்செலோ மத்தியூஸ்
* <span>77</span> ஜெசி ரைடர்
* <span>--</span> கணேஷ் கைக்வாத்
* <span>--</span> இளங்கோ கார்த்திக் | **இலக்குமுனைக் காப்பாளர்கள்**
* <span>17</span> ராபின் உத்தப்பா
* <span>23</span> டிம் பெயின்
* <span>--</span> ஏகலவ்யா திய்வேதி

**பந்துவீச்சாளர்கள்**
* <span>03</span> ராகுல் ஷர்மா
* <span>08</span> அல்போன்சோ தாம்ஸ்
* <span>11</span> முரளி கார்த்திக்
* <span>57</span> இம்டியாஸ் அகமது
* <span>64</span> ஆசீஷ் நேரா
* <span>75</span> ஜெரோம் டெய்லர்
* <span>91</span> கம்ரான் கான்
* <span>94</span> வேயின் பார்னெல்
* <span>99</span> ஸ்ரீகாந்த் வாக்
* <span>--</span> புவ்நேஷ்வர் குமார்
* <span>--</span> ஸ்ரீகாந் முந்தே | } |
| --- | --- | --- |

## முடிவுகள்
### இந்தியன் பிரீமியர் லீக்கில்
| ஆண்டு | வெற்றிகள் | தோல்விகள் | முடிவு இல்லை | வெற்றி பெற்ற சதவீதம் | நிலை |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2011 | 4 | 9 | 1 | 28.71% | 9/10 |
| 2012* | 4 | 12 | 0 | 26.66% | 9/9 |
| **மொத்தம்** | **8** | **21** | **1** | **27.58%** | } |
# முகமது வாகித் அசன்


**முகமது வாகித் அசன்** (*Mohammed Waheed Hassan*, ; பிறப்பு: 3 சனவரி 1953) மாலைதீவுகளின் அரசுத்தலைவரும், மாலைதீவுகள் தேசிய பாதுகாப்புப் படையின் முதற்பெரும் படைத் தலைவரும் ஆவார். 2012 பெப்ரவரி 7 ஆம் நாள் முகமது நசீது அரசுத்தலைவர் பதவியைத் துறந்ததை அடுத்து வாகித் அசன் புதிய அரசுத்தலைவராகப் பதவியேற்றார். 2008 முதல் 2012 ஆம் ஆண்டு வரையில் இவர் நாட்டின் பிரதி அரசுத்தலைவராக பதவியில் இருந்தார். யூனிசெப்பின் முதுநிலை உறுப்பினராகப் பதவியில் இருந்த வாகித் அசன் கலிபோர்னியாவின் ஸ்டான்போர்டு பல்கலைக்கழகத்தில் கலாநிதிப் பட்டம் பெற்றவர்.
# ஜெயசம்வர்தனி

**ஜெயசம்வர்தனி** இராகம் கருநாடக இசையில் பயன்படும் இராகங்களில் ஒன்றாகும். இது 17வது மேளகர்த்தா இராகமும், "அக்னி" என்றழைக்கப் படும் 3 ஆவது சக்கரத்தின் 5 ஆவது மேளமாகிய சூர்யகாந்தம் இராகத்தின் ஜன்னிய இராகம் ஆகும்.  

## இலக்கணம்

இந்த இராகத்தில் சட்சம் (ச), சுத்த ரிசபம் (ரி<sub>1</sub>), அந்தர காந்தாரம் (க<sub>3</sub>), சுத்த மத்திமம் (ம<sub>1</sub>), பஞ்சமம், சதுச்ருதி தைவதம் (த<sub>2</sub>), காகளி நிசாதம் (நி<sub>3</sub>) ஆகிய சுரங்கள் வருகின்றன. இதன் ஆரோகண அவரோகணங்கள் பின்வருமாறு:  

| அவரோகணம்: | ச் நி<sub>3</sub> ப ம<sub>1</sub> க<sub>3</sub> ரி<sub>1</sub> ச | } |
| --- | --- | --- |

இந்த இராகத்தில் எல்லாச் சுரங்களும் முழுமையாக அமையாததால் இது "வர்ஜ" இராகம் எனப்படுகிறது. இதன் ஆரோகணத்தில் 6 சுரங்களும் அவரோகணத்தில் 6 சுரங்களும் உள்ளன. இதனால் இது "சாடவ-சாடவ" இராகம் எனப்படுகின்றது.
# விக்கிப்பீடியா:பிப்ரவரி 4, 2012 சென்னை தமிழ் விக்கிப்பீடியா பட்டறை

சென்னைக்கு அருகிலுள்ள திருநின்றவூரில் அமைந்திருக்கும் ஜெயா பொறியியல் கல்லூரியில் பிப்ரவரி 4, 2012 அன்று தமிழ் விக்கிப்பீடியா பட்டறை ஒன்று நடத்தப்பட்டது. இதில் தமிழ் விக்கிப்பீடியா தொடர்பான அறிமுகத்தையும் தொகுத்தல் வழிமுறைகளையும் பயனர் சூர்யபிரகாஷ் விளக்கினார். இந்தப் பட்டறையில் தோராயமாக 70 பேர் கலந்து கொண்டனர். அனைவரும் அப்பொறியியல் கல்லூரியில் படிக்கும் கணினி அறிவியல் பொறியியல் (CSE) மாணவர்கள்.  

அதைத் தொடர்ந்து இந்திய விக்கிமீடியா அலுவலகத்தில் பணிபுரியும் சுபாசிஷ் பனிக்ரஹி பொதுவாக விக்கிப்பீடியா பற்றியும் பிற சகோதரத் திட்டங்களைப் பற்றியும் விளக்கினார். மேலும் எவ்வாறு கோப்பைப் பதிவேற்றுவது என்று விளக்கப்பட்டது. உரிமங்கள் குறித்தும் விளக்கம் அளிக்கப்பட்டது. மேலும் தமிழ் விக்கி ஊடகப்போட்டி குறித்த சிறு அறிமுகமும் தரப்பட்டது.  

கலந்து கொண்ட இருவருக்கும் கல்லூரி சார்பில் பரிசுப் பொருட்கள் வழங்கப்பட்டன. மேலும், கல்லூரி முதல்வருடன் சிறிய கலந்துரையாடலுக்கும் ஏற்பாடு செய்திருந்தனர். கல்லூரி முதல்வர் விக்கிப்பீடியா குறித்த அதிக தகவல்களைக் கேட்டறிந்தார். மேலும், கல்லூரியில் மாணவர் மன்றம் ஒன்றை அமைக்கவும் விருப்பம் தெரிவித்தார்.
# விக்கிப்பீடியா:பிப்ரவரி 4, 2012 சென்னை விக்கிப்பீடியா அறிமுகம்

ஜெயா பொறியியல் கல்லூரியில் பட்டறை முடிந்தவுடன் பயனர் சூர்யபிரகாசும் விக்கிமீடியா நிறுவன ஊழியர் சுபாசிஷ் பனிக்ரஹியும் சென்னை கிண்டி பொறியியல் கல்லூரியில் (அண்ணா பல்கலைக்கழகம்) நடந்த குருட்சேத்திரா என்ற ஒரு தொழில்நுட்ப விழாவில் விக்கிப்பீடியா பற்றிய அறிமுகத்தைக் கொடுத்தனர். இது குறித்து குருட்சேத்திரா இணையதளத்திலும் அறிவிக்கப்பட்டிருந்தது.  

இந்த அறிமுக நிகழ்வில் சுபாசிஷ் பனிக்ரஹி விக்கிப்பீடியா குறித்த ஓர் அறிமுகத்தை வழங்கினார். மாணவர்கள் பல வகையான வினாக்களை எழுப்பினர். அனைத்துக்கும் உரிய முறையில் பதிலளிக்கப்பட்டது. பலருக்கு விக்கிப்பீடியா இதுபோன்றதொரு பின்னணி உடையது என்று அறிந்து கொள்ளும் வாய்ப்பாக இது இருந்தது. பின்னர், பயனர் சூர்யபிரகாஷ் தமிழ் விக்கிப்பீடியா குறித்த ஒரு சிறு அறிமுகத்தையும் ஊடகப்போட்டி குறித்த அறிமுகத்தையும் தமிழ் விக்கிப்பீடியாவில் பங்களிக்க வேண்டியதன் நோக்கத்தையும் பார்வையாளர்களின் கருத்துகளின் வாயிலாக எடுத்துரைத்தார்.  

பின்னர், மாணவர்கள் பலரும் தாங்களும் பங்களிக்க ஆர்வமாக இருப்பதாகக் கூறி விடைபெற்றனர்.  

மேலதிக படங்கள் இந்த இணைப்பில் உள்ளன.
# கார்னோ தேற்றம்



வடிவவியலில் **கார்னோ தேற்றம்** என்பது இலசார் கார்னோ (Lazare Carnot) ( 1753&ndash;1823) என்பவரின் பெயரால் ஒரு முக்கோணத்தைப் பற்றியும் அதன் சூழ்தொடு வட்டம், உள்தொடு வட்டங்கள் பற்றியும் வழங்கும் ஒரு தேற்றம். *ABC* என்பது ஏதோ ஒரு முக்கோணமாக இருக்கட்டும். இப்பொழுது அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொட்டுக்கொண்டு ஓடும் உள்தொடு வட்டம் ஒன்றையும், முக்கோணத்தின் முனைகளின் வழியாக ஓடும் சூழ்தொடு வட்டம் ஒன்றும் வரைவோம். சூழ்தொடு வட்டத்தின் ஆரம் *R* என்றும், உள்தொடு வட்டத்தின் ஆரம் *r* என்றும் கொள்வோம் . சூழ்தொடு வட்டத்தின் நடுப்புள்ளி *D* என்றும், உள்தொடு வட்டத்தின் நடுப்புள்ளி *E* என்றும் குறித்துக் கொள்வோம். ஒரு புள்ளியின் தொலைவை மூடிய எல்லைக்குள்ளும், அதற்கு வெளியேயும் அளக்கும் பொழுது, முறையே நேர்மத் தொலைவாகவும் (பாசிடிவ்), எதிர்மத் தொலைவாகவும் (மறைஎண் தொலைவாகவும், நெகடிவ்) அளக்கும் திசைசார் தொலைவு சார்பியம் விதிப்படி அளந்தால், சூழ்தொடு வட்டத்தின் நடுப்புள்ளியில் இருந்து, முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் "திசைசார் தொலைவின்" கூட்டுத்தொகை இவ்விரண்டு வட்டங்களின் ஆரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் ஆகும்:  

:<math>DF + DG + DH = R + r,\ </math>  

இங்கே ஒரு தொலைவு ஏதாவது ஒரு தொலைவு *DX* (*X* = *F*, *G*, *H*) என்பது முக்கோணத்துக்கு வெளியே இருந்தால் மட்டுமே அது எதிர்ம எண்ணாக (மறை எண்ணாக)க் கொள்ளப்படும். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளவாறு, *DF* என்பது எதிர்மத் தொலைவு (மறையெண் தொலைவு), தொலைவுகள் *DG* உம் , *DH* உம் நேர்மத் தொலைவுகள்.  

இக் கார்னோ தேற்றமானது சப்பானிய பல்கோணங்களின் சூழ்தொடுவட்டத் தேற்றத்தை நிறுவப் பயன்படுகின்றது.  

## வெளியிணைப்புகள்
- 
- கட்-த-நாட் எனும் தளத்தில் கார்னோ தேற்றம்
- பல பயன்பாடுகள் உள்ள இன்னொரு கார்னோ தேற்றம்
- கிரிசு பூழ்செர் (Chris Boucher) ஆல் காட்டப்படும் செய்காட்சி Carnot's Theorem . "The Wolfram Demonstrations Project"
# வெள்ளெருக்கு விநாயகர் சிலைகள்

வெள்ளெருக்கு வேரைப் பயன்படுத்தி வடிக்கப்படும் விநாயகர் சிலைகள் **வெள்ளெருக்கு விநாயகர் சிலைகள்** (பிள்ளையார்) என்றழைக்கப்படுகின்றன.  
## நம்பிக்கைகள்
வெள்ளெருக்கு வேருக்கு தெய்வீக சக்தியுள்ளது. எனவே இந்த வேரைப் பயன்படுத்தி வடிக்கப்படும் சிலையும் மிகுந்த சக்தி வாய்ந்ததாகும். வெள்ளெருக்கு விநாயகர் வழிபாடு மிகவும் சிறப்புடையதாகக் கருதப்படுகிறது. வீட்டிலோ அல்லது பொது இடங்களிலோ ஒரு சுத்தமான இடத்தில் வெள்ளெருக்கு விநாயகரை வைத்து வழிபடலாம். விநாயகருக்கு நீரில் அபிஷேகம் செய்தல் கூடாது. அடிக்கடி கைகளால் தீண்டி வழிபடுவதைத் தவிர்க்க வேண்டும். அத்தர், புனுகு, சவ்வாது முதலிய நறுமணப் பொருட்களைச் அணிவிக்கலாம். உலர்ந்த பூக்களைச் சூட்டலாம். இவ்வாறு வழிபாடு செய்பவருக்கு அனைத்து நலன்களும் கைகூடும். செல்வம், செல்வாக்கு, பெருமை கூடும். பீடைகள் ஒழியும். பனிரெண்டு ஆண்டுகட்கு மேல் வளர்ந்த வெள்ளெருக்கு வேரில் விநாயகரது வடிவம் சுயம்புவாகத் தோன்றும் என்கிறார்கள். இது போன்ற சுயம்பு விநாயகர்கள் தோன்றியதாக பத்திரிகை வாயிலாக அறிய முடிகிறது. இது போன்ற சுயம்பு விநாயகர்கள் அற்புத சக்தி வாய்ந்தவர்கள்.  

## சிலை வடிப்பு
வெள்ளெருக்கு விநாயகர் சிலை வடிக்கும் கைவினைக் கலைஞர்களை பல கோவில்களின் எதிரே காணலாம். சென்னைக்கு அருகில் ஒரகடத்தில் வெள்ளெருக்கு விநாயகர் கோவில் உள்ளது. இங்கே முறைப்படி வெள்ளெருக்கு விநாயகரை தயாரித்து விற்பனையும் செய்கிறார்கள். வெள்ளெருக்கு செடிக்கு உயிர்ப்பு சக்தி உள்ளதால், அதனைப் பார்த்தவுடன் வெட்டிவிடாமல் சில பரிகார முறைகளை கடைப்பிடிக்கச் சொல்கிறார்கள். சிலை வடிக்க தேர்வு செய்யும் வெள்ளெருக்கு வேர் நன்கு முற்றி பக்குவப்பட்டிருக்க வேண்டும். வடக்கு நோக்கிச் செல்லும் வேரைத் தேர்ந்தெடுத்து அதில் விநாயகர் உருவம் செதுக்கி வழிபடுதல் சிறப்பு என கருதப்படுகிறது.  

## வெள்ளெருக்கு தலமரம்
திருஎருக்கத்தம்புலியூர், திருக்கானாட்டுமுள்ளூர் ஆகிய சிவன் கோவில்களில் தலமரம் வெள்ளெருக்கு ஆகும். எருக்கத்தம்புலியூரில் விழாக் காலங்களில் வெள்ளெருக்கம் பூவால் பூசிக்கப்படுகிறது. திருக்கானாட்டுமுள்ளூரில் வெள்ளெருக்குடன் அத்தியும் தலமரமாக உள்ளது. வட திருமுல்லைவாயில் மாசிலாமணீஸ்வரர் கோவிலில் சுவாமி சன்னதியில் மிகப் பெரிய இரண்டு வெள்ளெருக்குத் தூண்கள் உள்ளன.  
## மருத்துவ குணம்
புதர்செடி வகையைச் சேர்ந்த வெள்ளெருக்கு அல்லது வெள்ளை எரு‌க்கு (Calotropis procera, dogbane family, Apocynaceae) ஒரு மருத்துவ குணம் வாய்ந்த தெய்வீக மூலிகையாகும். அரிதான பொருள் (புதையல், ரத்தினங்கள், சிலைகள் பதுக்கி வைத்திருக்கும் இடங்களில்) இருக்கும் இடத்தில்தான் வெள்ளெருக்கு செடி முளைக்கும் என சங்க கால நூல்களில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. வெள்ளெருக்கு வேர் பாம்புக்கு ஆகாது என்று சொல்லி யிருக்கிறார்கள். சக்தி வாய்ந்த வெள்ளெருக்குச் செடியின் இலை, பூ, பால், பட்டை, வேர் முதலியன மருத்துவப் பயனுடையது. வெள்ளெருக்கிலிருந்து மருத்துவ குணங்களின் அடிப்படையாக உள்ள சைகுளோ சேடால், புரோசெஸ்டிரால், கலோடிரோஃபின், கைகேன்சியோல் சைரியோ ஜெனின் போன்ற பல வேதிப்பொருட்கள் பிரித்தெடுக்கப்பட்டுள்ளன.  
## உள்ளிணைப்பு
1. Calotropis procera
1. விநாயகர்
## வெளி இணைப்பு
1. வெள்ளெருக்கு விநாயகர்!
1. வெள்ளெருக்கு விநாயகரை உருவாக்குவது எப்படி?
# ஏழுவட்டத் தேற்றம்



வடிவவியலில் **எழுவட்டத் தேற்றம்** அல்லது **ஏழுவட்டத் தேற்றம்** என்பது யூக்ளீடிய சமதளத்தில், ஒவ்வொரு வட்டமும் மற்ற இரண்டு வட்டங்களைத் தொட்டுக்கொண்டிருக்குமாறு அமைக்கப்பட்ட ஆறு வட்டங்களையும் தொட்டுக்கொண்டிருக்குமாறு அமைந்த ஏழாவது வட்டம் பற்றிய ஓர் உண்மை பற்றியது ஆகும். இந்த ஆறு வட்டங்களும், ஏழாவது வட்டத்தைத் தொடும் புள்ளிகளை இணைக்கும் மூன்று கோடுகளும் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும் (படத்தைப் பார்கக்வும்) என்று 1974 இல் எவலின், மனி-கூட்ஃசு, இட்டிரிலின் (Evelyn, Money-Coutts, TyrrelIn ) என்பவர்கள் கண்டுபிடித்தனர்.  

- 
- 
- 

## வெளியிணைப்புகள்
- 
- Java applet - மைக்கேல் போர்ச்செர்டு (Michael Borcherds) GeoGebra -வைப் பயன்படுத்து எழுவட்டத் தேற்றத்துக்கான வட்டங்களை வரைதல்
# திருநாவலூர்

**திருநாவலூர்**, தமிழ்நாட்டின் கள்ளக்குறிச்சி மாவட்டம், உளுந்தூர்பேட்டை வட்டம், திருநாவலூர் ஊராட்சி ஒன்றியத்தில் உள்ள திருநாவலூர் ஊராட்சியில் அமைந்த சிற்றூர் ஆகும். இது உளுந்தூர்பேட்டை சட்டமன்றத் தொகுதிக்கு உட்பட்டது. இங்கு புகழ் பெற்ற திருநாவலூர் பக்தஜனேஸ்வரர் கோயில் எனும் சிவன் கோயில் உள்ளது. சுந்தரர் திருமணம் இங்கு நிகழ இருந்த போது சிவன் தடுத்தாட்கொண்டதாக வரலாறு உள்ளது.  

## பெயர்
பழங்காலத்தில் நாவல் மரங்கள் நிறைந்திருந்ததால் நாவலூர் என்னும் பெயர் ஏற்பட்டதாகச் சொல்லப்படுகிறது. ஆனால், பேச்சு வழக்கில் திருநாம நல்லூர் என்னும் பெயரே பெருவாரியாக புழங்குகிறது.
# மாங்கொழுக்கட்டை

**மாங்கொழுக்கட்டை** என்பது ஒருவர் குத்த மற்றொருவர் அதனைப் பிடிக்கும் விளையாட்டு. சிறுவர் சிறுமியர் இதனை விளையாடுவர். உன்னிப்புத் திறனை இது வளர்க்கும்.  

; ஆடும் போது பாடும் பாடல்  
:மாங் கொழுக்கடை  
:மஞ்சள் கொழுக்கட்டை  
:பிள்ளையார் கொழுக்கட்டை  
:பிடிச்சுக்கோ கொழுக்கட்டை.  

இப்படிச் சொல்லிக்கொண்டு குத்தும்போது நான்காவது அடி நான்காவது குத்தினைப் பிடிக்க வேண்டும். பிடித்துவிட்டால் பிடித்தவர் குத்தலாம்.
# இரௌத்தின் தேற்றம்



வடிவவியலில் **இரௌத்தின் தேற்றம்** அல்லது **இரூத்தின் தேற்றம்** (*Routh's theorem*) என்பது ஏதாவது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணம் ஒன்றின் பரப்பளவுக்கும், அம் முக்கோணத்தின் விழுகோடுகள் தங்களை வெட்டிக்கொள்வதால் இடையே உண்டாகும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கும் உள்ள விகிதத்தைப் பற்றியது ஆகும். இத் தேற்றம் என்ன சொல்லுகின்றது என்றால்  
* ABC* என்னும் முக்கோணத்தின் பரப்பு A<sub>ABC</sub> (படத்தில் வெளியில் உள்ள முக்கோணம்) என்றும், * F*,* D* , * E* ஆகிய மூன்று புள்ளிகளும் முறையே விழுகோடுகள் பக்கங்கள் *AB* , *BC*, * AC* ஆகியவற்றை முட்டும் இடங்களாகவும் கொண்டால், வெளி முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் வெட்டுப் பகுதிகளைக் கீழ்க்காணும் விகிதமாக முதலில் எழுதலாம்:  

: <math>\overline{AF}/\overline{BF} = r </math>  
: <math>\overline{BD}/\overline{CD} = s </math>  
: <math>\overline{CE}/\overline{AE} = t </math>  

இப்பொழுது விழுகோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளிகளாக * I*,* G* , *H* ஆகிய மூன்றையும் கொண்டால்,  
*GHI* என்னும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு(உள்ளே சிறிய சிவப்பு நிற முக்கோணம்):  
:<math>A_{GHI} = \frac{(rst-1)^2}{(st+s+1)(rt+t+1)(rs+r+1)} A_{ABC}.</math>  

என்று கூறுகின்றது இத் தேற்றம்.  

இத்தேற்றத்தை எடுவர்டு சான் இரௌத்து (Edward John Routh), 1896 இல் வெளியான *Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples* என்னும் நூலில் 82 ஆம் ப்க்கத்தில் விளக்கியுள்ளார்.  

- Murray S. Klamkin and A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", *Crux Mathematicorum* 7:199&ndash;203.
- H. S. M. Coxeter (1969) *Introduction to Geometry*, statement p.&nbsp;211, proof pp.&nbsp;219&ndash;20, 2nd edition, Wiley, New York.
- J. S. Kline and D. Velleman (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) *Crux Mathematicorum* 21:37&ndash;40
- *Routh's Theorem,* Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
- 
- Routh's Theorem by Cross Products at MathPages
# மதுரை முக்குறுணிப் பிள்ளையார்


**முக்குறுணிப் பிள்ளையார்** சன்னிதி மதுரை மீனாட்சி அம்மன் கோவிலில் அமைந்துள்ளது. மீனாட்சி அம்மன் சன்னதிக்கும் சுந்தரேசுவரர் சன்னதிக்கும் இடையே கிளிக்கூண்டு மண்டபத்துக்கு வடக்குப் புறம் அமைந்துள்ளது. இந்த பிள்ளையார் சிலை மிகப் பெரியது. பத்தடி உயரமிருக்கலாம்.  

## வரலாறு
மீனாட்சி அம்மன் கோவில் கட்டிய போது மன்னர் திருமலை நாயக்கர் கோவில் கட்ட மண் வேண்டி மதுரை நகருக்கு வெளியில் அமைந்துள்ள வண்டியூர் என்ற இடத்தில் ஒரு பெரிய தெப்பக்குளத்தை வெட்டினார். அப்போது அங்குள்ள ஒரு பாறையை வெட்டி எடுத்து மிகப்பெரிய பிள்ளையார் சிலையை செய்து மீனாட்சி அம்மன் கோவிலில் பிரதிஷ்டை செய்ததாக கூறப்படுகிறது. பின்னாளில் முக்குறுணி பிள்ளையார் என்று அழைக்கப்படுகிறது..  

## விநாயக சதுர்த்தி கொழுக்கட்டை
விநாயக சதுர்த்தி மீனாட்சி அம்மன் கோவிலில் விமரிசையாகக் கொண்டாடப்படுகிறது. இந்த நிகழ்வின்போது இந்த முக்குறுணிப் பிள்ளையாருக்கு மிகப் பெரிய ஒற்றைக் கொழுக்கட்டையைப் படைக்கிறார்கள். இந்தக் கொழுக்கட்டை செய்வதற்கு மூன்று குறுணி அரிசி பயன்படுத்தப்படுகிறதாம். குறுணி என்பது பண்டைய பாண்டிய நாட்டு முகத்தலளவை ஆகும். அதாவது ஒரு குறுணி என்பது நான்கு படிகள். மூன்று குறுணி என்றால் 12 படிகள். பிள்ளையாருக்கு படைக்கப்பட்ட பின் கொழுக்கட்டை பிரசாதமாக பக்தர்களுக்கு வழங்கப்படுகிறது.  

மூன்று குறுணி அரிசியை மாவாக இடித்து, அதில் ஒரே கொழுக்கட்டையாகச் செய்து, விநாயக சதுர்த்திக்குப் படைப்பதால் இந்தப் பிள்ளையாரை 'முக்குறுணிப் பிள்ளையார்' என்கின்றனர்.  

## மேலும் பார்க்க
- ஓம்
- பிள்ளையார் சுழி
- விநாயகர்
- கோவை புலியகுளம் விநாயகர் கோவில்
- திருச்சி உச்சிப்பிள்ளையார் கோயில்
# மாட்டுக்கால் தாண்டல்

**மாட்டுக்கால் தாண்டல்** என்பது சிறுவர்கள் கல்லுக்குக் கல் தாண்டிச் செல்லும் ஒருவகை விளையாட்டு.  

## ஆடும் முறை
மாடு நாலு காலில் நடக்கும்போது அதன் காலடிகள் இரு வரிசையில் பதிவது போன்ற இடங்களில் கற்கள் அல்லது செங்கற்கள் வைக்கப்படும். சிறுவர்கள் தம் இரண்டு கால்களையும் அந்தக் கற்களின்மீது வைத்து அங்குமிங்குமாக முன்னும் பின்னும் நடப்பர். வெறுந்தரையில் கால் ஊன்றுதல் தப்பாட்டம்.
# மாட்டுப் பந்தயம்


**மாட்டுப் பந்தயம்** ஒரு விழாக்கால விளையாட்டு.  

இரு மாடுகளை நுகத்தில் பூட்டியும், வண்டியில் பூட்டியும் விரட்டி ஓட்டி முதலில் உத்தியை அடையும் மாட்டுக்காரர் வென்றதாய்க் கருதப்படுவது இந்த விளையாட்டு.  

ஒற்றைமாட்டு வண்டிப் பந்தயமும் நடைபெறுவது உண்டு.  

இக்காலத்தில் இந்தியாவிலும் உலக நாடுகளிலும் ஒட்டக ஓட்டப் போட்டிகளும், எருமை-ஓட்டப் போட்டி, யானை-ஓட்டப் போட்டி போன்றனவும் நடைபெறுகின்றன.
# பெர்மா புள்ளி


வடிவவியலில் **பெர்மா புள்ளி** (*Fermat point*) அல்லது **தாரிசெல்லிப் புள்ளி** (*Torricelli point*), என்பது எந்தவொரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று முனைகளில் இருந்தும் கணக்கிடப்படும் தொலைவுகளின் கூட்டுத்தொகை யாவற்றினும் மிகக்குறைவாக உள்ளதோ அந்தப் புள்ளியே பெர்மா புள்ளி அல்லது தாரிசெல்லிப் புள்ளி என்பதாகும். பெர்மா இக் கேள்வியை முதலில் தனி மடலில் எவாஞ்செலித்தா தாரிசெல்லி என்பவருக்கு எழுப்பினார், அதற்கான தீர்வை தாரிசெல்லி கண்டுபிடித்தார். எனவே இப்பெயர் ஏற்பட்டது.
# இலெசிட்டரின் தேற்றம்



யூக்ளிடிய சமதள வடிவவியலில், **இலெசிட்டர் தேற்றம்** (Lester's theorem) என்பது சூன் இலெசிட்டர் (June Lester) என்பாரின் பெயரால் வழங்கும் ஓர் உண்மைக்கூற்று. இத்தேற்றம் என்ன சொல்கின்றது என்றால், மூன்று பக்கங்களும் வெவ்வேறு அளவுள்ள எந்தவொரு முக்கோணத்திலும் (ஒன்றா முக்கோணம்), இரண்டு பெர்மா புள்ளிகளும், ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் நடுவும், முக்கோணத்தின் சூழ்தொடு வட்ட நடுவும் *வட்டத்தில் அமரும் புள்ளிகளாகும்* (வட்டமர் புள்ளிகளாகும்) .  

- Clark Kimberling, "Lester Circle", *Mathematics Teacher*, volume 89, number 26, 1996.
- June A. Lester, "Triangles III: Complex triangle functions", *Aequationes Mathematicae*, volume 53, pages 4&ndash;35, 1997.
- Michael Trott, "Applying GroebnerBasis to Three Problems in Geometry", *Mathematica in Education and Research*, volume 6, pages 15&ndash;28, 1997.
- Ron Shail, "A proof of Lester's Theorem", *Mathematical Gazette*, volume 85, pages 225&ndash;232, 2001.
- John Rigby, "A simple proof of Lester's theorem", *Mathematical Gazette*, volume 87, pages 444&ndash;452, 2003.
- J.A. Scott, "On the Lester circle and the Archimedean triangle", *Mathematical Gazette*, volume 89, pages 498&ndash;500, 2005.
- Michael Duff, "A short projective proof of Lester's theorem", *Mathematical Gazette*, volume 89, pages 505&ndash;506, 2005.
- Stan Dolan, "Man versus Computer", *Mathematical Gazette*, volume 91, pages 469&ndash;480, 2007.

## வெளியிணைப்புகள்
- The Lester Circle Details of its discovery.
- Lester Circle at MathWorld
# மாது மாது

**மாது மாது** எனத் தொடங்கும் பாடலுடன் விளையாடப்படும் இது ஒரு சிறுமியர் விளையாட்டு.  

## ஆடும் முறை
கெட்டியான தரையில் ஒரு வட்டம் வரையப்படும். அந்த வட்டத்தில் 10 குழிகளும் வட்டத்தின் நடுவில் 4 குழிகளும் உருவாக்கப்படும். பட்டவரின் கண்கள் பொத்தப்படும். முன்பே பட்டவருக்குக் காட்டப்பட்ட புளியங்கொட்டை போன்றதொரு அடையாளப் பொருளை மற்றொருவர் ஒரு குழியில் மறைந்து வைப்பார். பட்டவரின் கண்கள் திறந்து விடப்படும்.  

எந்தக் குழியில் அடையாளப் பொருள் உள்ளது எனச் சொல்லி அதனை எடுத்துத் தரவேண்டும். 3 வாய்ப்புகள் தரப்படும். அதற்குள் கண்டுபிடிக்காவிட்டால் மீண்டும் கண் பொத்தப்படுவார். கண்டுபிடித்துவிட்டால் அவர் மற்றவர் கண்களைப் பொத்தலாம்.  

;மறைக்கும்போது பாடும் பாடல்  

:மாது மாது மன்னந்தம்பி  
:கோது கோது கொழுந்து வெற்றிலை  
:ஆத்தாளோ அக்காளோ காட்டிக் கொடுத்தால்  
:தூஉ ...
# முக்குழியாட்டம்

எலுமிச்சங்காய் அளவுள்ள இரும்புக் குண்டுகளை உருட்டிப் பெரியவர்கள் பொழுதுபோக்காக விளையாடும் விளையாட்டு **முக்குழியாட்டம்**.  

## ஆடும் முறை
கெட்டியான தரையில் 3 குழிகள் உருவாக்கப்படும். குழியில் விழுமாறு குண்டுகள் உருட்டப்படும். குழிகள் நேர்க்கோட்டில் இருக்கும். அதே நேர்க்கோட்டுத் திசையிலிருந்து குண்டை உருட்டுவர்.  

முதல் குழியில் விழுந்தால் 1 பழம்.  

இரண்டாம் குழியில் விழுந்தால் 2 பழம்.  

மூன்றாம் குழியில் விழுந்தால் 3 பழம்.  

அதிக பழங்கள் வாங்கியவர் வெற்றி.
# மூக்குப்பிடி

சிறுவர்கள் தொட்டு விளையாடும் விளையாட்டுகளில் ஒன்று **மூக்குப்பிடி**.  

கால் கவட்டிக்குள் கையை விட்டு மூக்கைப் பிடித்துக்கொண்டு நிற்பவரைத் தொடக்கூடாது என்பது இதன் விதிமுறை.  

இந்த விளையாட்டில் தொட வருபவர் தன் மூக்கை ஒரு கையால் பிடித்துக்கொண்டு, பாடிக்கொண்டே வரவேண்டும்.  

## காட்சி
<></>
# நெப்போலியனின் தேற்றம்



வடிவவியலில் **நெப்போலியன் தேற்றம்** என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் மீதும் உள்நோக்கியோ வெளி நோக்கியோ சமபக்க முக்கோணங்களை வரைந்தால், அவற்றின் நடுப்புள்ளிகளும் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தை உருவாக்கும். அப்படி உருவாக்கிய சமபக்க முக்கோணம், நெப்போலியன் முக்கோணம் (உள், வெளி ஆகிய இரண்டும்) என்று அழைக்கப்படுகின்றது.  

இத்தேற்றம் நெப்போலியன் (1769–1821) பெயரில் வழங்கப்பட்டாலும், இரதர்போர்டு என்பார் 1825 இல், நெப்போலியன் இறந்து நான்கு ஆண்டுகளில் வெளியிட்ட, "த லேடீசு டையரி" (The Ladies' Diary) என்னும் வெளியீட்டில் வந்திருந்ததே முதல் அறிவிப்பாக இருக்கலாம் என்னும் கருத்து நிலவுகின்றது.  

## நிறுவல்
இது எளிதான விளக்கம் அன்று எனினும் இப்படிச் செல்கின்றது இவ்விளக்கம்: முக்கோணம் LMN என்பது சமபக்க முக்கோணம் என்று அறிய, முதலில் MN என்பது மணிகாட்டி நகரும் திசையில் 30°, A -யைச்சுற்றி நகர்ந்தால் CZ ஆக மாறும், அதே நேரம் அதே மையத்திலிருந்து √<span>*3*</span> விகிதம் நீட்டமுறும் "ஒத்தவகை மாற்றம்" (Homothety or Homothetic transformation) கொள்ளும்; அடுத்து LN என்பதும் மணிகாட்டிக்கு எதிர்த்திசையில் B -யைச் சுற்றி 30° சுழற்றினால் CZ ஆக மாறும், அதே நேரம் அதே மையத்திலிருந்து √<span>*3*</span> விகிதம் நீட்டமுறும் "ஒத்தவகை மாற்றம்" கொள்ளும். இவற்றின் சுழற்சி ஒற்றுமையில் இருந்து A(√<span>*3*</span>,-30°), B(√<span>*3*</span>,30°). என்பதை உணரலாம். இதிலிருந்து MN = LN என்றும், அவற்றின் இடையே உள்ள கோணம் 60° என்றும் அறியலாம்.  

ஆள்கூறு வடிவவியல் வழி, LMN முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நீளமும் கீழ்க்காணும் கணிக்கோவையால் (கணிச்சரத்தால்) குறிக்கலாம்:  
:<math>\sqrt}}</math>  

இதற்கு முக்கோணவியல் வழியும் ஒரு நிறுவல் உள்ளது.  


## வெளியிணைப்புகள்
- Napoleon's Theorem and Generalizations
- To see the construction
- Napoleon's Theorem by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
- 
- 
- Napoleon's Theorem and some generalizations, variations & converses at Dynamic Geometry Sketches
- Napoleon's Theorem, Two Simple Proofs
# வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம்


**வடிவவியலில் ஆய்லரின் தேற்றம்** (*Euler's theorem in geometry*), ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையத்திற்கும் சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரத்தின் மதிப்பினைப் பின்வருமாறு தருகிறது:  
:<math> d^2=R (R-2r) \,</math>  
:: (அல்லது)  
:<math display=block> \frac{1}{R-d} + \frac{1}{R+d} = \frac{1}{r},</math>  

இதில் *R* - சுற்றுவட்ட ஆரம், *r* - உள்வட்ட ஆரம்.  

1765 இல் இதனை வெளியிட்ட கணிதவியலாளர் லியோனார்டு ஆய்லரின் பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது. 1746 இல் வில்லியம் சாப்பல் என்பவராலும் இத்தேற்றத்தின் முடிவு வெளியிடப்பட்டதாகும்.  

இத்தேற்றத்தின் கூற்றிலிருந்து கிடைக்கும் சமனின்மை  
:<math>R \ge 2r </math> *ஆய்லரின் சமனின்மை* என அழைக்கப்படுகிறது.. இதிலுள்ள சமக்குறி சமபக்க முக்கோணத்திற்கு மட்டுமே பொருந்தும்.  

இரு மைய நாற்கரத்தின் கார்லிட்ஸின் முற்றொருமை, இத்தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகும்.  

## ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம்
ஆய்லர் சமனின்மையின் வலுவான வடிவம்:  
:<math display=block>\frac{R}{r} \geq \frac{abc+a^3+b^3+c^3}{2abc} \geq \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-1 \geq \frac{2}{3} \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \) \geq 2,</math>  
:<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> ஆகிய மூன்றும் முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களைக் குறிக்கின்றன.  

## நிறுவல்

- முக்கோணம் *ABC* -ன் சுற்றுவட்ட மையம் *O* , உள்வட்ட மையம் *I* என்க.
- கோட்டுத்துண்டு *AI* -ன் நீட்டிப்பு சுற்றுவட்டத்தைப் புள்ளி *L* -ல் சந்தித்தால், வட்டவில் *BC* -ன் நடுப்புள்ளியாக *L* இருக்கும்.
- கோட்டுத்துண்டு LO வரைந்து நீட்டிக்க, அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி *M* என்க.
- *I* -லிருந்து AB -க்கு வரையப்பட்ட செங்குத்தின் அடி, புள்ளி D என்க.
- <math>ID = r\,</math>.

:<math>\triangle ADI\sim\triangle MBL \, </math> (வடிவொத்த முக்கோணங்கள்)  

:<math>\frac{ID}{BL} = \frac{AI}{ML}</math>  

:<math>ID \times ML = AI \times BL</math>  

:<math>2Rr = AI \times BL\,</math>----------------(1)  

- <math>BI</math> வரைக.

:<math>\triangle BIL</math> -ல்:  
: <math>\angle BIL = \frac{\angle ABC}{2}+ \frac{\angle A}{2} </math> --------(முக்கோணம் ABI -ன் ஒரு வெளிக்கோணம் BIL. மேலும் ஒரு முக்கோணத்தின் இரு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, மூன்றாவது வெளிக்கோணத்திற்குச் சமம்.)  

: <math>\angle IBL = \frac{\angle ABC}{2} + \angle CBL = \frac{\angle ABC}{2} + \frac{\angle A}{2}</math>  

:(கோணங்கள் CBL, A/2 இரண்டும் சுற்றுவட்ட வில் LC -ஆனது மீதியுள்ள வட்டவில்லின் மீது அமையும் B மற்றும் A புள்ளிகளில் தாங்கும் கோணங்களாக அமைவதால் இரண்டும் சமம்.)  

:<math>\angle BIL = \angle IBL</math>  

எனவே முக்கோணம் BIL ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம்.  

:<math>BL = IL\,</math>,  

:இம்மதிப்பை (1)-ல் பிரதியிட:  

:<math>2Rr = AI \times IL </math>--------(2)  

- <math>OI</math> -ஐ நீட்டிக்க அது சுற்றுவட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிகள் *P* , *Q* என்க.

:<math> PI \times QI = AI\times IL</math> ----(ஒரு வட்டத்தின் இரு வெட்டிக்கொள்ளும் நாண்கள் ஒவ்வொன்றின் வெட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்கற்பலன்கள் சமம்)  

:<math> PI \times QI = 2Rr \,</math>-----( (1)-ன் படி)  

:<math>(R+d)(R-d) = 2Rr\,</math> --------(d -சுற்றுவட்ட மையத்திற்கும் உள்வட்ட மையத்திற்கும் இடையேயுள்ள தூரம்.)  

:<math>d^2 = R(R-2r)\,</math>. ---------(தேற்ற முடிவு நிறுவப்படுகிறது.)
# டிராவலர்சு குழுமங்கள்


**டிராவலர்சு குழுமங்கள்** என்பது சந்தை மதிப்பீடின் படி அமேரிக்காவின் மிகப்பெரிய காப்பீட்டு நிறுவனமாகும். இது பின்வரும் மூன்று திட்டங்களில் காபீடுகளை வழங்குகிறது.  
1. சுய காப்பீடு
1. வர்த்தக காப்பீடு
1. தொழில் நெறி மற்றும் சர்வதேச காப்பீடு.

## வரலாறு
செயின்ட் பவுல் ஃப்யர் மற்றும் மெரைன் நிறுவனம் டிராவலர்சு குழுமங்களின் முன்னிருந்த நிறுவனமாகும். மேலும் 2004 வரை செயின்ட் பவுல் நிறுவனமும் டிராவலர்சு பிராப்பர்டி கேசுவலிட்டி கூட்டுரிமை நிறுவனமும் செயின்ட் பவுல் டிராவலர்சு என்ற பெயருடன் செயல்பட்டு வந்தது. 2007ல் இருந்து டிராவலர்சு கம்பெனிசு என்ற பெயருடன் தனித்து செயல்பட தொடங்கியது.
# தெய்வம் (பழந்தமிழ்)

கடவுளுக்குக் கற்பிக்கப்பட்ட உருவங்களைத் **தெய்வம்** என்கிறோம்.  

தெய்வம் என்னும் சொல் 'தெய்' என்னும் உரையசைக் கிளவியிலிருந்து தோன்றியது.  

அண்டவெளியில் உள்ள அனைத்துப் பொருள்களும் ஒன்றோடொன்று உரசித் தேய்வதில் உயிரோட்ட ஆற்றல் பிறக்கிறது. இந்தத் தேய்தலில் பிறக்கும் ஆற்றலைத் தேய்வு < தேய்வம் < தெய்வம் என்றனர்.  

## இருபெருந் தெய்வம்
;பலராமன், திருமால்  
- பால்நிறத் தெய்வம் பலராமன், நீலநிறத் தெய்வம் திருமால் ஆகிய இருவரையும் இருபெருந் தெய்வங்கள் எனக் குறிப்பிட்டு சோழமன்னன் ஒருவனையும் பாண்டிய மன்னன் ஒருவனையும் அந்த இருபெருந் தெய்வங்கள் போல விளங்கியதாக ஒரு பாடல் குறிப்பிடுகிறது.
;சிவன், திருமால்  
- அந்தி வானமும் கடலும் சிவப்பும், நீல நிறமும் கொண்டு விளங்கியது இது சிவபெருமானும் திருமாலும் ஒருங்கு இருப்பது போல் தோற்றமளிப்பதாக ஒரு பாடல் குறிப்பிடுகிறது.
- அம்மையப்பர் தோற்றத்தை நற்றிணைப் பாடல் ஒன்று இருபெருந் தெய்வம் எனக் குறிப்பிடுகிறது.

## நாற்பெருந் தெய்வம்

- தொல்காப்பியம் மாயோன், சேயோன், வேந்தன், வருணன் என்னும் தெய்வங்களை நானிலத் தெய்வங்களாகக் காட்டுகிறது.
- ஞாலம் காக்கும் நால்வர் பற்றியும், அவர்களது *தோல்வி காணாத ஆற்றல்* பற்றியும் புறநானூற்றுப் பாடல் ஒன்று குறிப்பிடுகிறது.
1. காளைமாட்டின்மேல், விரிந்த தீ நிறச் சடை, கையில் சூலம்,நஞ்சுண்ட நீலநிறத் தொண்டை ஆகியவற்றுடன் தோன்றும் சிவனாகிய கூற்றுவன் சீற்றம் கொள்வதில் ஈடு இணை அற்றவன்.
1. கடல் சங்கு போன்ற வெண்ணிறமு, யாஞ்சில் என்னும் உழுபடை, பணைமரச் சின்னம் பொறித்த கொடி ஆகியவற்றுடன் விளங்கும் பலராமன் வலிமையில் சிறந்து விளங்குபவன்.
1. கழுவிய நீலமணி போன்ற மேனிநிறமு, கருடப் பறவைச் சின்னம் பொறித்த கொடி, ஆகியவற்றைக் கொண்ட திருமால் ஆகியவற்றுடன் பகைவரை வெல்லும் புகழில் மேலோங்கி நிற்பவன்.
1. மயிலைக் கொடியாகவும், ஊர்தியாகவும் கொண்டு விளங்கும் முருகன் நினைத்ததைச் செய்து முடிக்கும் ஆற்றலில் சிறந்து விளங்குபவன்.
- திருமுருகாற்றுப்படை முருகனின் ஆறுபடை வீடுகளில் ஒன்றான ஆவினன்குடி (பழனி, பொதினி) என்னும் ஊரினை புள்ளணி நீள்கொடிச் செல்வன் (திருமால்), மூவெயில் முருக்கிய செல்வன் (சிவன்), நான்கு கொம்பு யானை ஏறிய செல்வன் (இந்திரன்), தாகரை பயந்த நான்முக ஒருவன் (பிரமன்) என்னும் நாற்பெருந் தெய்வம் பேணிவந்ததாகக் குறிப்பிடுகிறது.

## திருக்குறளில் தெய்வம்

- தெய்வம் என்பது உடலில் உயரோடு பூத்துக் கிடக்கும் ஊழ்
- தெய்வம் வானம் என்னும் மழையாக உறைகிறது
- குறிப்பறிந்து நடந்துகொள்பவனைத் தெய்வத்துக்கு ஒப்பாகக் கொள்ளவேண்டும்.
- இல்வாழ்வான் ஓம்பிப் பாதுகாக்க வேண்டிய ஐவருள் ஒருவர் தெய்வம்.
- வாழ்க்கைத் துணைவிக்கு வாழ்க்கைத் துணைவனே தெய்வம்
- குடும்பத்தைக் காப்பாற்றுபவனுக்குத் தெய்வம் தானே முன்னின்று உதவும்

## சங்கப்பாடல்களில் தெய்வம்

## அடிக்குறிப்பு
# பிட்டின் இந்தியா சட்டம்

**பிட்டின் இந்தியா சட்டம்** (*Pitt's India Act*) அல்லது **கிழக்கிந்திய நிறுவனச் சட்டம், 1784** என்பது பெரிய பிரித்தானிய இராச்சியத்தின் நாடாளுமன்றத்தால் 1784 இல் இயற்றப்பட்ட ஒரு சட்டம். இந்தியத் துணைகண்டத்தில் |கிழக்கிந்திய கம்பெனி ஆட்சியையும் நடவடிக்கைகளையும் பிரித்தானிய அரசின் கட்டுப்பாட்டில் கொண்டு வருவதற்காக இது இயற்றப்பட்டது. இச்சட்டம், இந்தியாவில் கிழக்கிந்தியக் கம்பனியின் கட்டுப்பாட்டில் இருந்த பகுதிகளை கம்பனியும் பிரித்தானிய அரசும் கூட்டாக நிருவாகம் செய்ய ஒரு கட்டுப்பாட்டு வாரியத்தை அமைத்தது.  

1773 இல் கிழக்கிந்திய நிறுவனம் தனக்கேற்பட்ட நிதிப்பற்றாக்குறையைப் போக்க பிரித்தானிய அரசின் உதவியை நாடியது. இந்தியாவிலிருந்த நிறுவன அதிகாரிகளிடையே ஊழல் மலிந்திருந்த காரணத்தால், நிதி உதவி செய்வதற்கு நிபந்தனையாக, நிறுவனச் செயல்பாடுகளை மேற்பார்வையிட ஒரு சட்டத்தை பிரித்தானிய அரசு ஏற்படுத்தியது. 1773 மேற்பார்வைச் சட்டம் (*Regulating Act of 1773*) என்றழைக்கப்பட்ட அச்சட்டம் தோல்வியடைந்தது. நிறுவனச் செயல்பாடுகளில் காணப்பட்ட முறைகேடுகளையும் ஊழலையும் அதனால் தடுக்க முடியவில்லை. இச்சட்டத்தின் குறைபாடுகளைத் தீர்க்க 1784 இல் பிரித்தானியப் பிரதமர் வில்லியம் பிட் 1784 இல் ஒரு புதிய சட்டத்தை இயற்றினார்.  

1784 கிழக்கிந்திய நிறுவனச் சட்டத்தின் படி ஒரு நிருவாக வாரியம் உருவாக்கப்பட்டது. அது மொத்தம் ஆறு உறுப்பினர்களைக் கொண்டிருந்தது. அவர்களில் இருவர் அரசினால் நியமிக்கப்பட்டனர். எஞ்சிய நாலு பேர், பிரிவி கவுன்சிலின் உறுப்பினர்களில் இருந்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டனர். வாரியத்தின் தலைவர், கிழக்கிந்திய நிறுவன விவகார அமைச்சர் போன்று செயல்பட்டார். நிறுவனத்தின் இராணுவ, குடிசார், வருவாய்சார் செயல்பாடுகள் அனைத்தும் இவ்வாரியத்தின் கட்டுப்பாட்டில் வந்தன. மேலும் இச்சட்டம் நிறுவனத்தின் நிருவாகக் குழு உறுப்பினர் எண்ணிக்கையை மூன்றாகக் குறைத்தது. மும்பை மற்றும் சென்னை மாகாணங்களில் ஆளுனர்கள் தன்னிச்சையாகச் செயல்படும் உரிமையை இழந்தனர். கொல்கத்தா மாகாண ஆளுனரின் மேற்பார்வையில் செயல்படத் தொடங்கினர். கல்கத்தா இந்தியாவில் கிழக்கிந்திய நிறுவனத்தின் கட்டுப்பாட்டில் இருந்த பகுதிகளின் நிருவாகத் தலைநகராகச் செயல்படத் தொடங்கியது.
# அனுபவம்


**பட்டறிவு** அல்லது **அனுபவம்** (*experience*) என்பது புதியதாக தோன்றும் அக அறிவு. அனுபவம் என்ற சொல் பவ என்ற சம்க்கிருத மூலவேர் கொண்டது. பவ என்றால் நிகழ்வது, ஆவது என இருபொருள். நிகழ்வதை அறிவதும் ஆவதை உணர்வதுமே அனுபவம்.  

## அறிவும் பட்டறிவும்
**அறிவு** என்பது ஒரு மனிதனைப் பற்றியோ, ஒரு நிறுவனத்தைப் பற்றியோ அல்லது ஏதாவது ஒரு பொருள் பற்றியோ (அறிந்து)தெரிந்து கொள்வது ஆகும்.  
இந்த அறிவைப் பெறும் வழிகள்:  
1. கூரிய நோக்கு(perception)
1. கல்வி கற்கும் முறை(learning process)
1. விவாதித்து முடிவுக்கு வருதல்(debates)
1. செவிகளைத் திறந்து வைத்துக் கொள்ளுதல்(open ears) - கேள்வி அறிவு
1. தனக்குத்தானே விவாதிக்கும் முறை(reasoning)

## அறிவைப் பெறும் வழிகள்
நாம் அனுபவத்தினாலோ, புத்தகங்களைப் படிப்பதன் மூலமாகவோ அல்லது ஏதாவது காரண, காரியங்களினாலோ பெறுகிறோம். அறிவு என்பதன் முழுமையான விளக்கம் நம் தத்துவ மேதைகளிடையே காலம் காலமாக நடந்து வரும் விவாதமாகும். இன்றும் இந்த விவாதம் தொடர்ந்து கொண்டுதான் இருக்கிறது. அறிவு என்பதற்கு சரியான விளக்கம் தரவேண்டுமென்றால் ஒரு செயல் ஏரண விதிகளால்(logically) நியாயப்படுத்தபட்டதாகவும், உண்மையாகவும், அனைவராலும் நம்பக்கூடியதாகவும் இருக்க வேண்டும். (Plato) ஆனால் இவை மட்டுமே ஒரு செயலை அறிவு என்று சொல்லுவதற்கு தகுதியான அளவுகோல் இல்லை என்று வாதிடுவோரும் உண்டு. அறிவு பல வகைப்படும்.  

## பட்டறிவும் அதனை வளர்த்துக் கொள்ளும் முறையும்
ஒவ்வொரு கணத்திலும் நாம் பாடுபட்டு(அநுபவித்து) அறியும் அறிவு பட்டறிவு(experience). ஒவ்வொரு சூழ்நிலையிலும் ஏற்படும் அறிவுத்திறனை சூழ்நிலை அறிவு என்று வகைப்படுத்தலாம். புத்தகங்களில் பெறுவதை புத்தக அறிவு என்றும், சமூக வழி பெறுவதை சமூக அறிவு என்றும் பல வகை உண்டு. சூழ்நிலை அறிவு மொழி, கலாச்சாரம், பண்பாடு இவற்றோடு நெருங்கிய தொடர்பு உடையது.  

## பழமொழிகள்
:*பட்டா தான் புத்தி வரும்*,  
:*பட்டு தான் திருந்தப்போறான்* போன்ற பழமொழிகள் பட்டறிவைப் பற்றியதாகும்.  

## குறிப்புகளும் மேற்கோள்களும்
# மூணுகட்டை

**மூணுகட்டை** ஒரு சூது-விளையாட்டு. திருவிழாக் காலத்தில் மக்கள் பணம் கட்டி விளையாடுவர். இதில் பொதுவாக மக்களுக்கு ஏமாற்றமாகவே முடியும்.  

## ஆடும் முறை
6 கட்டங்கள் போடப்பட்ட அட்டையில் எண்களும் எண்ணைக் காட்டும் புள்ளிக்குறிகளும் வரையப்பட்டிருக்கும். மக்கள் தம் விருப்பம் போல எந்தக் கட்டத்தில் வேண்டுமானாலும் எவ்வளவு பணம் வேண்டுமானாலும் கட்டலாம்.  

ஆட்டம் காட்டுபவர் தாயக் கட்டையை உருட்டுவார். அதில் எந்த எண் விழுகிறதோ அந்த எண்-கட்டத்தில் கட்டப்பட்டிருக்கும் பணம் கட்டியவருக்கு இரு மடங்காகத் திருப்பித் தரப்படும். பிற கட்டங்களில் கட்டிய பணத்தை விளையாட்டுக் காட்டுபவர் சுருட்டிக்கொள்வார். இக்காலத்தால் இந்த விளையாட்டு தடை செய்யப்பட்டுள்ளது.
# சம்மக்கா சாரக்கா

**சம்மக்கா சாரக்கா** என்பது ஆந்திராவின் தெலுங்கானாபிரதேசத்தில் பழங்குடியின பெண்களைக் காட்டுத் தெய்வங்களாகக் கருதி நடத்த்தப்படும் காட்டுத் திருவிழா ஆகும். இது இரு ஆண்டுகளுக்கு ஒரு முறை நடைபெறும். **சம்மக்கா சாரக்கா யாத்திரா** எனவும் இது அழைக்கப்படும்.  

## ஐதீகக் கதை
ஆந்திராவின் மேடாரம் பகுதியில் வசித்த பழங்குடி மக்களிடம் காக்கத்தியா மன்னன் வரி கேட்டுத் துன்புறுத்தி வந்துள்ளான். வறட்சிக் காலமாகையால் மக்கள் வரிசெலுத்த முடியாது தமது பழங்குடியினத் தலைவனிடம் முறையிட்டுள்ளனர். தம் தலைவனின் ஆலோசனைப் படி வரி செலுத்துவதில்லை என முடிவு செய்தனர். மன்னனின் படையினர் மக்கள் மீது தாக்குதல் நடத்தின. இக்கடும் போரில் இருப்பக்கமும் இறப்புகள் நிகழ்ந்தன. பழங்குடியினத் தலைவனும் இறந்தான். தலைவனின் மகன் ஐம்பன்னாவும் போரில் ஈடுகொடுக்கமுடியாமல் ஏரியில் மூழ்கி இறந்தான். இதன் பின் தலைவரின் மனைவி சம்மக்காவும் அவரது மகள் சாரலம்மா எனப்படும் சாரக்காவும் போரைத் தொடர்ந்தனர்.இவர்களின் பலம் குறையவே காட்டுக்குள் சென்றுவிட்டனர். காட்டுக்குள் சென்றவர்கள் திரும்பி வரவே இல்லை. பல ஆண்டுகள் சென்ற பிறகு பழங்குடியினப் பெண்கள் காட்டுக்குள் சென்ற பொழுது அங்குள்ள மரம் மற்றும் புற்றுக்கு அருகில் குங்குமம் சிதறிக் கிடந்ததை அவதானித்தனர். இன்னும் சம்மக்கா சாரக்கா வனதேவதைகளாக வாழ்வதாகக் கருதிய பழங்குடியினரின் நம்பிக்கை விழாவாகக் கொண்டாடப்படுகின்றது.  

## கொண்டாடப்படும் முறை
இப்பயணம் வாரங்கல் மாவட்டத்தின் தத்வை மந்தலில் இருக்கின்ற மேடாரம் வனப்பகுதியில் இருந்து ஆரம்பமாகும். . நான்கு நாட்கள் நடைபெறும் இவ்விழாவில் பெருந்தொகையான பக்தர்கள் கலந்துகொள்வர். இவ்விழாவின் போது கோவில் வளாகத்திலுள்ள மரங்களுக்கு எடைக்கு எடை வெல்லத்தை வீசி எறிந்தால் நினைத்தது நிறைவேறும் என்பது ஐதீகம்.  
## ஆதாரம்
# ரேக்ளா வண்டிப் பந்தயம்



**ரேக்ளா வண்டிப் பந்தயம்** (**ரேக்ளா ரேஸ்**, ஆங்கிலம்: Rekla Race) என்பது, திருவிழாக் காலங்களில் தமிழகத்தின் கிராமப்புரங்களில் நடைபெறும் காளை மாட்டுவண்டிப் பந்தயம் ஆகும். இது முதன் முதலில் தமிழ்நாட்டின் தேனி மாவட்டம் *உ. அம்மாபட்டி*என்ற கிராமத்தில்தான் உதயம் ஆனது என்பது குறிப்பிடத்தக்கது இதனை தொடர்ந்து தென் மாவட்டங்களிலும், கொங்கு நாட்டிலும் இந்த வகைப் பந்தயங்கள் தொடர்ந்து நடைபெறுகின்றன. மதுரை மாவட்டத்தில் அவனியாபுரம், தூத்துக்குடி மாவட்டத்தில் விளாத்திகுளம், ஒட்டப்பிடாரம், திருப்பூர் மாவட்டத்தில் உடுமலைப்பேட்டை, கோவை மாவட்டத்தில் பொள்ளாச்சி ஆகிய பகுதிகளிலும் இதுபோன்ற ரேக்ளா வண்டிப் பந்தயங்கள் பரவலாக நடத்தப்படுகின்றன. பெரும்பாலும் இவ்வகை போட்டிகளில் காளை மாடுகள் ஈடுபடுத்தப்படுகின்றன. நீலகிரி மாவட்டப் பகுதிகளில் எருமைக் கடாவையும் பந்தயங்களில் ஈடுபடுத்துகின்றனர்.  

## ரேக்ளா
ரேக்ளா என்பது ஒருவர் மட்டும் அமரக்கூடிய ஒருவகை மாட்டு வண்டி ஆகும், இது பந்தயத்தை கருத்தில் கொண்டே உருவாக்கப்பட்ட சிறிய வகை மாட்டு வண்டி ஆகும். இதன் சக்கரங்கள் சிறிய அளவிலும் வேகமாகவும் சுழலக்கூடிய வகையிலும் வடிவமைக்கப்படுகின்றன.  

## போட்டியாளர்கள்
சிவகங்கை, தூத்துக்குடி, இராமநாதபுரம், ஈரோடு, கரூர், கோயம்புத்தூர், மதுரை, தஞ்சாவூர், திண்டுக்கல், தேனி , திருச்சி ஆகிய மாவட்டங்களிலிருந்து உழவர்கள் தங்கள் ரேக்ளா வண்டிகளுடனும் காளைகளுடனும் பந்தயங்களில் கலந்து கொள்கின்றனர். பந்தயம் நடைபெறும் குறிப்பிட்ட கிராமத்தையோ நகரையோச் சேர்ந்த பஞ்சாயத்து அமைப்புகள் இந்த ரேக்ளா வண்டிப் பந்தயத்தை நடத்துகின்றன. சில இடங்களில் தனியார் அமைப்புகளும் இந்தப் போட்டியை நடத்துவதுண்டு.  

## பந்தையக் காளைகள்
பந்தயத்தில் ஈடுபடும் காளைகளின் உயரம், திறன், பலம் போன்றவற்றைக் கருத்தில் கொண்டு இவற்றை நான்கு பிரிவுகளாக வகைப்படுத்துகின்றனர்:  
- பெரிய மாடு
- நடுத்தர மாடு
- கரிச்சான் மாடு
- பூஞ்சிட்டு மாடு

பந்தய தூரம் மாடுகளின் வகைகளை வைத்தே முடிவுசெய்யப்படுகின்றது. தமிழகத்தின் அய்யம்பாளையம் என்ற ஊரில் நடக்கும் பந்தயத்தில் பெரிய மாடு 15 கி.மீ தூரமும், நடுத்தரம் 12 கி.மீ தூரமும், கரிச்சான் 10 கி.மீ தூரமும், பூஞ்சிட்டு 07 கி.மீ தூரமும் ஓட வேண்டும் என்று தீர்மானித்துள்ளனர்.  

## காளைகளின் பரிசு பெறும் திறன்
ரேக்ளா வண்டிப் பந்தயத்திற்குத் தேர்வாகும் ஓர் இணை காளைகள் 25 ஆயிரம் இந்திய ரூபாய் முதல் ஒரு லட்சம் இந்திய ரூபாய் வரை விற்கப்படுகின்றன. கொங்கு நாட்டு உழவர்கள் தங்கள் காளைகள் வெற்றி பெறுவதை பெருமையாக நினைக்கின்றனர். இப்போட்டியில் ஈடுபடும் மாடுகளுக்கு உணவாக இஞ்சி, எலுமிச்சை, கருப்பட்டி, பேரீச்சை, வெங்காயம் ஆகியவற்றை வெந்நீரிற் பிசைந்து கவளம் கவளமாக ஊட்டுகின்றனர்.  

வேகமாக ஓடுவதில் காங்கேயம் காளைகளுக்கு இணையாக வேறு எந்த காளைகளும் இல்லை என்பது பரவலான கருத்து. கொங்குநாட்டில் தற்போது காங்கேயம், மூலனூர், வெள்ளகோவில், சிவகிரி, கரூர் ஆகிய பகுதிகளில் மட்டுமே இந்த இன காளைகள் வளர்க்கப்படுகின்றன. காங்கேயம் காளைகளுக்கு போட்டியாக, தற்போது பந்தயத்தில் "லம்பாடி" இன காளைகளையும் ஈடுபடுத்துகிறார்கள். ஆனால், காங்கேயம் காளைகளே பெரும்பாலும் பரிசுகளைப் பெறுகின்றன. பரிசு பெறும் காளைக்கு ஒரு சவரன், அரைச் சவரன் தங்க நாணயங்கள் பரிசாக வழங்கப்படுகின்றன.
# பீட்டோ தேற்றம்



வடிவவியலில் **பீட்டோ தேற்றத்தின்** (*Pitot theorem*) கூற்றின்படி, ஒரு தொடு நாற்கரத்தின் எதிரெதிர் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைகள் சமமாக இருக்கும். அதாவது ஒரு நாற்கரத்தின் நான்கு பக்கங்களையும் தொட்டுக்கொண்டவாறு அந்நாற்கரத்துக்குள் ஒரு வட்டம் வரையக் கூடுமானால் அந்நாற்கரத்தின் எதிரெதிர்ப் பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகைகள் சமம். மேலும், இக்கூட்டுத்தொகை ஒவ்வொன்றும் நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவுக்குச் சமம்.]]  

ஒரு வட்டத்தின் வெளிப்பக்கமாக அமையும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து வட்டத்துக்கு வரையப்படும் இரு தொடுகோடுகளின் நீளங்கள் சமம் (படம் 1). இம்முடிவை பயன்படுத்தி பீட்டோ தேற்றத்தினை விளக்கலாம்:  

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டது தொடுநாற்கரம் என்பதால் அதன் உள்வட்டத்திற்கு நான்கு பக்கங்களும் தொடுகோடுகளாக அமையும். மேலும் நாற்கரத்தின் ஒவ்வொரு முனையின் இரு அடுத்துள்ள பக்கங்களும் ஒரே புள்ளியிலிருந்து வரையப்பட்ட உள்வட்டத் தொடுகோடுகள் என்பதால் அவற்றின் நீளங்கள் சமம். நான்கு சோடி சமதொடுகோட்டுத் துண்டுகள் உள்ளன. எதிரெதிர் சோடி பக்க நீளங்களைக் கூட்டுத்தொகைகளை இந்த சமதொடுகோட்டுத் துண்டுகளாகப் பிரித்து அக்கூட்டுத்தொகைகள் சமமாக இருப்பதை படத்தில் உள்ளவாறு நிறுவலாம் (படம் 2).  

மறுதலைக் கூற்றும் உண்மை. எதெரெதிர் சோடிப் பக்க நீளங்களின் கூட்டுத்தொகைகள் சமமாகவுள்ள நாற்கரத்தின் உட்புறமாக அதன் பக்கங்களைத் தொட்டவாறு ஒரு வட்டம் வரையலாம்.  

1725 இல் பீட்டோ இத்தேற்றத்தை நிறுவினார். இதன் மறுதலை கணதவியலாளர் ஜேக்கப் இசுட்டெயினரால் 1846 இல் நிறுவப்பட்டது.
# 1946 அமைச்சரவையின் இந்தியாவுக்கான தூதுக்குழு

**1946 அமைச்சரவையின் இந்தியாவுக்கான தூதுக்குழு** (* 1946 Cabinet Mission to India*) 1946 இல் இந்தியாவுக்கு விடுதலை வழங்குவது பற்றி பேச்சுவார்த்தை நடத்த ஐக்கிய ராச்சியத்தின் அரசு, அமைச்சர்களை உறுப்பினர்களாகக் கொண்ட ஒரு தூதுக் குழுவை இந்தியாவுக்கு அனுப்பியது. இது பிரித்தானிய **அமைச்சர்களின் தூதுக்குழு** (*Cabinet Mission*) என்றழைக்கப்பட்டது.  

இக்குழு ஐக்கிய இராச்சியத்தின் பிரதமர் கிளமண்ட் அட்லியின் முயற்சியின் பலனாக இக்குழு உருவானது. பிரித்தானிய இந்தியாவின் ஆட்சிப் பொறுப்பை இந்தியர்களிடம் ஒப்படைக்கும் முறையினையும், சுதந்திரா இந்தியா எத்தகைய ஆட்சிமுறையைப் பின்பற்ற வேண்டுமென்று முடிவு செய்யவும் இக்குழுவை அட்லி உருவாக்கினார். முக்கிய இந்தியக் கட்சிகளான இந்திய தேசிய காங்கிரசு, அகில இந்திய முஸ்லிம் லீக் ஆகியவற்றுடன் பேச்சுவார்த்தை நடத்த இக்குழு இந்தியா வந்தது. இதில் இந்தியாவுக்கான வெளியுறவுச் செயலர் பெத்விக் லாரன்சு பிரபு, வர்த்தக வாரியத்தின் தலைவர் சர் ஸ்டாஃபோர்ட் கிரிப்ஸ், அடிமிரால்டியின் முதல் பிரபு (கடற்படை முதன்மைத் தளபதி) ஏ. வி. அலெக்சாந்தர் ஆகியோர் இடம் பெற்றிருந்தனர்.  

காங்கிரசு மற்றும் முஸ்லிம் லீக் தலைவர்களுடன் பேச்சுவார்த்தை நடத்திய தூதுக்குழு உறுப்பினர்கள் இரு வகைத் திட்டங்களை மே 1946 இலும் ஜூன் 1946 இலும் முன்வைத்தனர். இதன்படி இந்திய தேசியக் காங்கிரசு தலைமையில் ஒரு நடுவண் அரசு உருவானது. ஆனால் இத்திட்டங்களில் முன்வைக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைந்த விடுதலை இந்தியா கருத்துரு அனைத்து இந்தியத் தரப்புகளாலும் ஏற்றுக்கொள்ளப்படவில்லை. இதனால் பிரித்தானிய இந்தியா, இந்தியா மற்றும் பாகிஸ்தான் ஆக 1947 இல் பிரிவினை செய்யப்பட்டது.
# திருமண்



**திருமண் (திருநாமம்)** வைணவர்களால் இட்டுக்கொள்ளப்படும் புனிதமான வைணவ சமயச் சின்னம். இந்த சின்னம் உருமாறிய அபிரகம் (வெள்ளை நிறத்தின் சின்னம்) மற்றும் மஞ்சள் காப்பு அல்லது மஞ்சள் மற்றும் சுண்ணாம்பு கலந்து உருவான **ஶ்ரீ சூரணம்** (மஞ்சள் அல்லது சிவப்பு நிறத்தின் கோடு) கொண்டு இட்டக்கொள்ளபடுகிறது. இதைத் திருமண் காப்பு தரித்தல் என்று வைணவர்கள் கூறுகிறார்கள்.  

## விளக்கம்
வைணவத்தின் முழுமுதற் கடவுளான சிரீமன் நாராயணனின் பாதங்களைக் குறிப்பது திருமண் என்னும் திருநாமம் ஆகும். வைணவ ஆதார தத்துவம் நாராயணன் ஒருவனே பரமபுருசன். சீவன்கள் அனைத்தும் அவனது தேவிமார்கள் என்பதாகும்.  
திருமண்ணை சிரீசூர்ணம் என்றும் அழைக்கிறார்கள். சிரீசூர்ணம் மகாலட்சுமியின் அடையாளமாகும். இந்தத் திருமண் புனிதமான இடங்களிலிருந்து சேகரிக்கப்படுகிறது. எப்படி உவர் மண்ணானது நம் ஆடையினைத் தூய்மைப்படுத்துகிறதோ, அவ்வாறே திருமண்ணும் வைணவனின் உள்ளத்தைத் தூய்மையாக்குகிறது.  
வைணவத்தின் இரகசியத் தத்துவம் உணர்த்துவது என்னவெனில், ‘திருமண் சிரீமன் நாராயணனின் திருப்பாதங்கள் ஆகும். என்றாவது ஒரு நாள் உடம்பு மண்ணோடு மண்ணாகிப் போகும். எனவே சிரீமன் நாராயணனின் திருப்பாதங்களைப் பற்றிக் கொள்ளுங்கள்‘ என்று அறிவுறுத்துவது திருமண் காப்பாகும்.  

## வைணவ சம்பிரதாயம்: வடகலை தென்கலை
வைணவ சம்பிரதாயத்தில் வடகலை, தென்கலை என்ற இருவேறு பிரிவுகளும் உண்டு. வடகலை வைணவத்தினர், மர்கட நியாயப்படி சிரீமன் நாராயணனைச் சரணாகதி அடைகின்றனர். பெருமாளை விடாபிடியாகப் பக்தன் பிடித்துக்கொள்ள வேண்டும். பிடித்துக்கொள்ளாவிடில் அவன் கருணை வைணவனுக்குக் கிடைப்பதில்லை பிடித்துக்கொண்ட பின்னரே பெருமாளின் அருட்கரங்கள் அவர்களைக் காக்கின்றன என்பது வடகலை வைணவர்கள் நம்பிக்கை.  

திருமண் இட்டுக் கொள்வதில் "வடகலை", "தென்கலை" என இரண்டு யோக முறைகள் உண்டு.  

## தென்கலை திருமண்
பாதம் வைத்துப் திருமண் போடும் வழக்கம் தென்கலை நாமம் எனப்படும்.  

## வடகலை திருமண்

வடகலை திருமண்காப்பு: பாதம் இல்லாமல் போடும் வடகலை நாமம் (நெற்றியில் நேர்கோடு போடுவது - நாமம்).  

## திருநாமம் இட்டுக் கொள்ளும் முறை
நாராயணனின் பனிரெண்டு பெயர்களைக் குறிக்கும் வகையில் பனிரெண்டு இடங்களில் திருமண் காப்பு இட்டுக்கொள்வது இவர்கள் சம்பிரதாயம்.  

1. நெற்றி
1. மார்பு (மார்பு)
1. வயிறு (நாபி)
1. கழுத்து
1. வலது வயிற்றில்
1. வலது தோள்பட்டை
1. வலது கழுத்து
1. இடது வயிற்றில்
1. இடது தோள்பட்டை
1. இடது கழுத்து
1. பின்புறம் அடிமுதுகு
1. பின்புறம் பிடரி

## மந்திரங்கள்
திருமண் காப்பும் ஸ்ரீசூர்ணமும் தரிக்கும்போது சொல்ல வேண்டிய பெருமாளின் நாமங்கள்:  

:கேசவாய நம என்று நெற்றியிலும்  
:நாராயணாய நம என்று நாபியிலும்  
:மாதவாய நம என்று மார்பிலும்  
:கோவிந்தாய நம என்று நெஞ்சிலும்  
:விஷ்ணுவே நம என்று வலது மார்பிலும்  
:மதுசூதனாய நம என்று வலது புயத்திலும்  
:திரிவிக்ரமாய நம என்று வலது தோளிலும்  
:வாமனாய நம என்று இடது நாபியிலும்  
:ஸ்ரீதராய நம என்று இடது புயத்திலும்  
:ஹ்ருஷீகேசாய நம என்று இடது தோளிலும்  
:பத்மநாபாய நம என்று அடிமுதுகிலும்  
:தாமோதராய நம என்று பிடரியிலும்  
:திருமண் தரித்துக் கொள்ள வேண்டும்.
# ஏபலின் ஈருறுப்புத் தேற்றம்


**ஏபலின் ஈருறுப்புத் தேற்றம்** (*Abel's binomial theorem*) என்பது நீல்சு என்றீக்கு ஏபல் (*Niels Henrik Abel*) என்னும் புகழ்பெற்ற நோர்வேயின் கணிதவறிஞர் பெயரால் வழங்கும் ஒருவகையான ஈருறுப்புத் தேற்றம் ஆகும். இது கூறுவது:  

: <math>\sum_{k=0}^m \binom{m}{k} (w+m-k)^{m-k-1}(z+k)^k=w^{-1}(z+w+m)^m.</math>  

## எடுத்துக்காட்டு
### *m* = 2
: <math>  
\begin{align}  
& {} \quad \binom{2}{0}(w+2)^1(z+0)^0+\binom{2}{1}(w+1)^0(z+1)^1+\binom{2}{2}(w+0)^{-1}(z+2)^2 \\  
& = (w+2)+2(z+1)+\frac{(z+2)^2}{w} \\  
& = \frac{(z+w+2)^2}{w}.  
\end{align}  
</math>
# பல்லுறுப்புக் கோவை மீதியத் தேற்றம்

இயற்கணிதத்தில் **பல்லுறுப்புக் கோவை மீதியத் தேற்றம்** (*Polynomial remainder theorem*) என்பதும் **சிறிய பெசூவின் தேற்றம்** (*Little Bézout's theorem*) என்பதும் பல்லுறுப்புக் கோவை ஒன்றை இன்னொரு பல்லுறுப்புக் கோவையால் வகுத்தலைப் பற்றியும் அதன் மீதத்தைப் பற்றியதும் ஆகும். இது, பல்லுறுப்புக் கோவை<math>f(x)\,</math> என்பதை நேரியல் <math>x-a\,</math> என்பதால் வகுத்தால் (நெடிய வழி வகுத்தல்) மீதியாகக் கிட்டுவது <math>f(a) \,</math> என்று கூறுகிறது. குறிப்பாக, <math>f(r)=0 ,</math> ஆக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, <math>f(x)</math> இன் வகுஎண்ணாக <math>x-r</math> இருக்கும். இப்பண்பு காரணித் தேற்றம் என அறியப்படுகிறது.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்
### எடுத்துக்காட்டு 1
<math>f(x) = x^3 - 12x^2 - 42\,</math> என்று கொண்டால். பல்லுறுப்புக் கோவை <math>f(x)\,</math> -ஐ <math>(x-3)\,</math> -ஆல் வகுத்தால் கிடைக்கும் ஈவு <math>x^2 - 9x - 27\,</math>, மீதம்: <math>-123\,</math>. ஆகவே, <math>f(3)=-123\,</math>.  

### எடுத்துக்காட்டு 2
<math>f(x) = ax^2 + bx + c</math> என்ற இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இயற்கணிதமுறையில் கணக்கிட்டு மீதியத் தேற்றம் உண்மையாவதைக் காணலாம்:  
:<math>  
\begin{align}  
\frac{f(x)} &= \frac \\  
&= \frac \\  
&= \frac \\  
&= ax + \frac \\  
&= ax + b + ar + \frac \\  
&= ax + b + ar + \frac  
\end{align}</math>  

இருபுறமும் (*x*&nbsp;&minus;&nbsp;*r*) ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது:  
:<math>f(x) = ax^2 + bx + c = (ax + b + ar)(x - r) + {a{r^2} + br + c}</math>.  

இதிலிருந்து கிடைக்கும் மீதிப்பகுதி <math>R = ar^2 + br + c</math> ஆனது <math>f(r) </math> ஆக இருப்பதைக் காணலாம். எனவே மீதியத் தேற்றக்கூற்று (<math>f(r) = R</math>) என்பது உண்மையென அறியலாம்.  

## நிறுவல்

பல்லுறுப்புக் கோவை மீதியத் தேற்றத்தை நிறுவக் கீழ்க்காணுமாறு அணுகுவோம். பல்லுறுப்புக் கோவை ஒன்றை நெடியவழியாக வகுப்பதாகக் கொண்டால், அதில் பயன்படும் வகுப்பி, கிட்டும் ஈவு, மீதி ஆகியவற்றை முறையே, <math>g(x)\,</math>, <math>q(x)\,</math>, <math>r(x)\,</math>, என்று குறிப்போம், நெடியவழி வகுத்தல், கீழ்க்காணும் சமன்பாட்டுக்குத் தீர்வு தருகின்றது (அல்லது நெடியவழி வகுத்தலின் பகுதிகளை இணைக்கும் சமன்பாடு).  
:<math>f(x)=q(x)g(x) + r(x)\,,</math>  
இதில் <math>r(x)\,</math> என்னும் மீதியின் அடுக்குக்குறி எண் (உயர்த்தி எண் அல்லது படிமை அல்லது மடிமை) <math>g(x)\,</math> என்பதைவிடச் சிறியது.  

இப்பொழுது <math>g(x) = x-a\,</math> என்பதை வகுப்பியாகக் கொண்டால், மீதி <math>r(x)\,</math> -இன் அடுக்குக்குறி (படி அல்லது உயர்த்தி) 0 (சுழியம்), அதாவது <math>r(x) = r\,</math>:  
:<math>f(x)=q(x)(x-a) + r\,.</math>  

இப்பொழுது <math>x=a \!\,</math> என்று பொருத்தினால், கிடைப்பது:  
:<math>f(a)=r\,.</math>  

## பயன்பாடுகள்

மீதியாகிய <math>r</math> என்பதைக் கணக்கிட்டு இந்தப் பல்லுறுப்புக் கோவை மீதியத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி <math>f(a)\,</math> -ஐ மதிப்பிடப் பயன்படுத்தலாம்.
# உதயகிரி, கந்தகிரி குகைகள்

, ஒடிசா, இந்தியா]]  
**உதயகிரி, கந்தகிரி குகைகள்** (*Udayagiri and Khandagiri Caves*, ஒதிசா : ଉଦୟଗିରି ଓ ଖଣ୍ଡଗିରି ଗୁମ୍ଫା)) இயற்கை மற்றும் செயற்கையான ஒன்றாகும். இவ்விடம் தொல்லியல், வரலாறு, சமயம் சார்ந்து முகமை வாய்ந்தது ஆகும். இக்குகைப்பகுதி இந்தியாவின் ஒரிசா மாநிலத் தலைநகர் புவனேசுவரத்திற்கு அருகில் உள்ளது. இக்குகைகள் உதயகிரி-கந்தகிரி மலைப்பகுதியில் அமைந்து உள்ளன. இங்கு மிகச் சிறப்பான முறையில் அமைக்கப்பெற்ற குகைகள் உள்ளன. கி மு இரண்டாம் நூற்றாண்டில் மன்னர் காரவேலன் காலத்திய இக்குகைகளில் சமணத் துறவிகளும், பௌத்த பிக்குகளும் தங்கியிருந்தனர்.  

உதய கிரி என்றால், பரிதி எழும் மலை என்று பொருள் ஆகும்; இதில் 18 குகைகளும், கந்தகிரியில் 15 குகைகளும் உள்ளன. இதனருகில் லலித்கிரி எனும் பௌத்த தொல்லியற் களம் உள்ளது.  

## காட்சிக்கூடம்

## இதனையும் காண்க
- லலித்கிரி
- இரத்தினகிரி, ஒடிசா
- புஷ்பகிரி
- பௌத்த யாத்திரைத் தலங்கள்
- பௌத்த தொல்லியற்களங்கள்