# பித்தகோரசு பகாத்தனி

<math> 4n+1</math> என்ற வடிவில் அமையும் பகாத்தனிகள் **பித்தகோரசு பகாத்தனி**கள் அல்லது **பித்தகோரசு பகாஎண்கள்** (Pythagorean prime) என அழைக்கப்படுகின்றன.  
;எடுத்துக்காட்டுகள்  
5, 13, 17 ஆகிய மூன்று பகாத்தனிகளும் பித்தகோரசு பகாக்தனிகள்.  

இவை <math> 5= 4\times1+1</math> வடிவில் அமைவதைக் காணலாம்:  
:<math> 5= 4\times1+1</math>  
:<math> 13= 4\times3+1</math>  
:<math> 17= 4\times4+1</math>  

மேலும் பித்தகோரசு பகாத்தனிகள், ஒற்றைப் பகாத்தனிகளாக இருப்பதையும் இரு வர்க்கஎண்களின் கூடுதலாக இருப்பதையும் காணலாம்:  
:<math> 5= 2^2+1^2</math>  
:<math> 13= 3^2+2^2</math>  
:<math> 17= 4^2+1^2</math>  

இரு முழுஎண் தாங்குபக்கங்களைக் கொண்ட இரு வெவ்வேறு செங்கோண முக்கோணங்களின் செம்பக்கங்களாகப் பித்தாகரசு பகாத்தனி &nbsp;*p* ம், அதன் வர்க்கமூலமும் (<math>\sqrt p</math>) அமைகின்றன.  
செம்பக்கங்களாக இருப்பதைக் காணலாம்.]]  
;எடுத்துக்காட்டு  
5 ஒரு பித்தாகரசு பகாத்தனி; அதன் வர்க்கமூலம்: <math>\sqrt 5</math>  

1, 2 தாங்கு பக்கநீளங்கள் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கமாக <math>\sqrt 5</math>ம், 3, 4 தாங்கு பக்கநீளங்கள் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கமாக 5ம் இருப்பதை மேலேயுள்ள படத்தில் காணலாம்.  

## மதிப்புகளும் அடர்த்தியும்
சில பித்தகோரசு பகாத்தனிகள்:  
:5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113, … .  

திரிசிலேயின் (Dirichlet) கூட்டுத் தொடர்களுக்கானத் தேற்றத்தின்படி, பித்தகோரசு பகாத்தனிகளின் தொடர்முறை முடிவில்லாதது ஆகும்.  

ஒவ்வொரு எண் *n*க்கும், *n* வரையிலான பித்தகோரசு பகாத்தனிகளின் எண்ணிக்கையும், அவற்றைத் தவிர மீதமுள்ள பகாத்தனிகளின் எண்ணிக்கையும் கிட்டத்தட்ட சமமாக இருக்கும். எனினும் *n* வரையிலான பித்தகோரசு பகாத்தனிகளின் எண்ணிக்கையானது, அவற்றைத் தவிர மீதமுள்ள பிற பகாத்தனிகளின் எண்ணிக்கையைக் காட்டிலும் பெரும்பாலும் கொஞ்சம் சிறியதாகவே இருக்கும்.  

எடுத்துக்காட்டாக, 600000 வரையிலான *n* இன் மதிப்புகளில், *n* = 26861, 26862 என்ற இரண்டு மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே, அந்த எண்கள் வரையிலான பித்தாகரசு பகாத்தனிகளின் எண்ணிக்கையானது, மீதமுள்ள பித்தாகரசு பகாத்தனிகளல்லாத ஒற்றைப் பகாத்தனிகளின் எண்ணிக்கையைக் காட்டிலும் அதிகம்.  

## இருவர்க்கங்களின் கூடுதலாக அமைதல்
இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக அமையும் ஒற்றை எண்கள் அனைத்தும் மாடுலோ &nbsp;4 ஐப்பொறுத்து எண் 1 க்குச் சமானமாக இருக்கும். அதாவது, <math> 4n+1</math> என்ற வடிவில் அமையும். ஆனால் மாடுலோ &nbsp;4 ஐப்பொறுத்து எண் 1 க்குச் சமானமானதாக இருக்கும் ஒற்றை எண்கள் எல்லாம் இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக அமைவதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக,  
:<math>21 \equiv 1</math> (mod <math>4</math>). ஆனால் 21ஐ எந்த இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாகவும் எழுத முடிவதில்லை.  

;பெர்மாவின் தேற்றம் (இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல்)  
இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல் குறித்த இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல் மீதான பெர்மாவின் தேற்றத்தின் கூற்றின்படி:  

:எண் 2ம், மாடுலோ &nbsp;4 ஐப்பொறுத்து எண் 1 க்குச் சமானமாக இருக்கும் ஒற்றைப் பகாத்தனிகள் மட்டுமே, இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக எழுதக் கூடிய பகாத்தனிகள் ஆகும். மேலும், அவற்றை இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக எழுதும் முறையும் தனித்துவமானதாகும்.  

:எனவே, மாடுலோ &nbsp;4 ஐப்பொறுத்து எண் 1 க்குச் சமான (<math> 4n+1</math> என்ற வடிவில் அமையும்) ஒற்றைப்பகாத்தனிகள் பித்தாகரசு பகாத்தனிகள் என்பதால் பெர்மாவின் தேற்றப்படி, பித்தாகரசு பகாத்தனிகளை இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக தனித்துவமாக எழுதுவது சாத்தியமாகிறது.  

;வடிவவியல் விளக்கம்  
இவ்வாறு பித்தகோரசு பகாத்தனியை இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக எழுதும் முறையைப் பித்தகோரசு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வடிவவியலாக விளக்கலாம்:  

*p* ஒரு பித்தகோரசு பகாத்தனி எனில்,  
:<math>\sqrt p</math>ஐச் செம்பக்கமாகவும் இரு முழுஎண் தாங்கு பக்கங்களையும் கொண்ட ஒரு செங்கோண முக்கோணம் இருக்கும்.  

(அதாவது செங்கோண முக்கோணத்தில் பித்தகோரசு தேற்ற முடிவின் படி *p* பகாத்தனியை (செம்பக்கத்தின் வர்க்கம்) இரு வர்க்கங்களின் கூடுதல் (தாங்கு பக்கங்களின் வர்க்கங்களின் கூடுதலாக) எழுதலாம்.)  

எடுத்துக்காட்டு:  

13 ஓர் ஒற்றைப் பகாத்தனி. இதனை இரு வர்க்கங்களின் கூடுதலாக எழுத,  
:<math>\sqrt13 = 4 + 9 = 2^2 + 3^2. </math>  

எனவே பித்தகோரசு தேற்றப்படி, 2, 3, <math>\sqrt13</math> (செம்பக்கம்) மூன்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களாக உள்ளது.  

பித்தாகரசு பகாத்தனிகளுக்கு (*p*), அவற்றின் வர்க்கமூலங்களைச் செம்பக்கங்களாகக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணங்கள் மட்டுமல்லாது, அவற்றையே செம்பக்கமாகவும், இரு முழுஎண் தாங்கு பக்கங்களையும் கொண்ட செங்கோண முக்கோணங்களும் உண்டு.  

;விளக்கம் (படம் 1)  
*p* என்ற பித்தாகரசு பகாத்தனிக்குரிய செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் <math>\sqrt p,</math> (செம்பக்கம்) *x* , *y* எனில் பித்தகோரசு தேற்றப்படி,  
:<math>(x^2+y^2)^2 = p^2 \quad (*)</math>  

இப்போது, *x*<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;*y*<sup>2</sup>, 2*xy* இரண்டையும் தாங்கு பக்கங்களாகக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம் *p* ஆக இருக்கும் என்பதைக் காணலாம்:  

:<math>(x^2-y^2)^2 + (2xy)2</math>  
= <math>(x^2+y^2)^2</math>  
= <math>p^2 </math> (* ஐப் பயன்படுத்த)  

## இருபடிய எச்சங்கள்
இருபடி நேர்எதிர்மை விதிப்படி, *p* , *q* இரு வெவ்வேறான ஒற்றைப் பகாத்தனிகள்; மேலும் இரண்டில் ஒன்றாவது பித்தகோரசு பகாத்தனி எனில்:  
:*q* ஒரு இருபடிய எச்சமாக (மாடுலோ *p*) இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, *p* ஒரு இருபடிய எச்சமாக (மாடுலோ *q*) இருக்கும்.  

மாறாக, *p* , *q* இரண்டுமே பித்தகோரசு பகாத்தனிகள் இல்லையெனில்:  
:*q* இருபடிய எச்சமாக (மாடுலோ&nbsp;*p*) இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, *p* இருபடிய எச்சமாக (மாடுலோ *q*) இருக்கும்.  

*p* ஒரு பித்தகோரசு பகாத்தனி எனில்:  
:**Z**/*p* என்ற முடிவுறு களத்தில், சமன்பாடு *x*<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;&minus;1 சமன்பாட்டிற்கு இருதீர்வுகள் உள்ளன. &minus;1 இருபடிய எச்சமாக (மாடுலோ *p*) இருப்பதால் இத் தீர்வுகள் கிடைக்கின்றன.  

மாறாக, *p* ஒரு ஒற்றைப் பகாத்தனி ஆனால் பித்தகோரசு பகாத்தனி இல்லையெனில்:  
:**Z**/*p* என்ற முடிவுறு களத்தில், சமன்பாடு *x*<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;&minus;1 சமன்பாட்டிற்குத் தீர்வுகள் இல்லை.  

### பாலே வரைபடம்

ஒவ்வொரு பித்தகோரசு பகாத்தனிக்கும் பாலே வரைபடம் உள்ளது. *p* ஒரு பித்தகோரசு பகாத்தனி எனில் மாடுலோ &nbsp;*p* எண்களைக் குறிக்கும் பாலே வரைபடமானது &nbsp;*p* உச்சிகளைக் கொண்டிருக்கும். இரு மாடுலோ &nbsp;*p* எண்களின் வித்தியாசம் ஒரு இருபடிய எச்சமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்த இரு எண்களும் பாலே வரைபடத்தில் அடுத்தடுத்த உச்சிகளாக இருக்க முடியும்.