# குலச் சமஅமைவியம்

நுண்புல இயற்கணிதத்தில் **குலச் சமஅமைவியம்** (*group isomorphism*) என்பது இரு குலங்களின் உறுப்புகளுக்கிடையில் ஒன்றுக்கு-ஒன்று தொடர்பினை ஏற்படுத்தும் சார்பாகும். இரு குலங்களுக்கிடையே சமஅமைவியம் இருக்குமானால் அவையிரண்டும் *சமஅமைவியமுடைய குலங்கள்* எனப்படும். சமஅமைவியமுடைய குலங்களின் பண்புகள் ஒரேமாதிரியாக அமைந்திருக்கும்.  

## வரையறையும் குறியீடும்
(<var>G</var>, *) , (<var>H</var>, <math>\odot</math>) ஆகிய இரு குலங்களுக்கிடையே குலச் சமஅமைவியமானது G லிருந்து H க்கு வரையறுக்கப்படும் இருவழிக் குலக் காப்பமைவியமாகும்.  

*வரையறை*:  
:<math>f : G \rightarrow H</math>  
: <math> f(u * v) = f(u) \odot f(v) , \forall u , v \in G</math>.  

*குறியீடு*:  
(<var>G</var>, *) , (<var>H</var>, <math>\odot</math>) இரண்டும் சம அமைவியமுடைய குலங்கள் என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு:  
: <math>(G, *) \cong (H, \odot)</math>  

இரு குலங்களின் ஈருறுப்புச் செயலிகளும் நன்கறியப்பட்டவையாக இருப்பின், அவையில்லாமல் இக்குறியீட்டைச் சுருக்கமாக எழுதலாம்:  
: <math>G \cong H</math>  

சிலசமயங்களில் <var>G</var> = <var>H</var> எனவும் குறிக்கப்படலாம். ஆனால் இது எல்லா சூழ்நிலைகளிலும் சரியாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக இரு குலங்களும் ஒரே குலத்தின் உட்குலங்களாக இருந்தால் சமஅமைவியத்திற்கு சமக்குறிமட்டும் இடுதல் பொருந்தாது.  

மறுதலையாக, குலம் (<var>G</var>, *); கணம் <var>H</var>; இருவழிக்கோப்பு <math>f : G \rightarrow H</math> மூன்றும் தரப்பட்டால்,  

: <math>f(u) \odot f(v) = f(u * v)</math>  

என வரையறுப்பதன் மூலம் <var>H</var> கணத்தை (<var>H</var>, <math>\odot</math>) எனும் குலமாக்கலாம்.  

<var>H</var> = <var>G</var> , <math>\odot</math> = * எனில் இச்சார்பு தன்னமைவியம் எனப்படும்.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்

- மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (<math>\mathbb{R}</math>,+), நேர் மெய்யெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் (<math>\mathbb{R}</math><sup>+</sup>,&times;): சமஅமைவியமுடையது:
: <math>(\mathbb{R}, +) \cong (\mathbb{R}^+, \times)</math>  
சமஅமைவியம்:  
: <math>f(x) = e^x , \forall x \in \mathbb{R}</math>  

- மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (<math>\mathbb{R}</math>,+) இன் உட்குலம் முழு எண்களின் கூட்டல் குலம் (<math>\mathbb{Z}</math>, +). காரணி குலம் <math>\mathbb{R}/\mathbb{Z},</math> தனி மதிப்பு 1 கொண்ட சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் (<math>S^1</math>, &times;) சமஅமைவியமுடையது:

: <math>\mathbb{R}/\mathbb{Z} \cong S^1</math>  
சமஅமைவியம்:  
: <math>f(x + \mathbb{Z}) = e^{2 \pi xi} ,\forall x \in \mathbb{R}</math>  

- கிளைன் நான்குறுப்புக்குலம், <math>\mathbb{Z}_2 = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> இன் இரு நகல்களின் நேர்பெருக்கல் குலத்துடன் (<math>\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2</math>) சமஅமைவியமுடையது.
- (*G*, *) ஒரு முடிவுறா சுழற் குலம் எனில் முழு எண்களின் கூட்டல் குலத்துடன் (*G*, *) சமஅமைவியம் கொண்டது.
- மெய்யெண்களின் கூட்டல் குலம் (<math>\mathbb{R}</math>, +) சிக்கலெண்களின் கூட்டல் குலத்துடன் (<math>\mathbb{C}</math>, +) சமாமைவியமுடையது.
- பூச்சியமற்ற சிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலம் (<math>\mathbb{C}</math><sup>*</sup>, ·) தனிமதிப்பு 1 உடையசிக்கலெண்களின் பெருக்கல் குலத்துடன் (<math>S^1</math>, &times;) சமஅமைவியமுடையது.

## பண்புகள்
- (*G*, *) லிருந்து (*H*, <math>\odot</math>) க்குள்ள சம அமைவியத்தின் உட்கரு (kernel) எப்பொழுதும் {e<sub>G</sub>} ஆக இருக்கும். இங்கு e<sub>G</sub>, (*G*, *) குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு.
- (*G*, *) , (*H*,<math>\odot</math>) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது *G* ஏபெல் குலமாக இருந்தால் *H* ம் ஏபெல் குலமாக இருக்கும்.
- (*G*, *) , (*H*, <math>\odot</math>) உடன் சமஅமைவியம் உடையதாக இருக்கும்போது (*f*), *G* இன் ஒரு உறுப்பு *a* இன் வரிசை *n* எனில், *H* இல் *f(a)* இன் வரிசையும் *n* ஆக இருக்கும்.
- (*G*, *) இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமெனில் (locally finite group) அதனுடன் சமஅமைவியம் கொண்ட (*H*, <math>\odot</math>) ம் இடஞ்சார்ந்த முடிவுறு குலமாக இருக்கும்
- குலத்தின் பண்புகள் எப்பெழுதும் சம அமைவியத்தின் கீழ் பாதுகாக்கப்படுகின்றன என்பதை மேலே தரப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் மூலம் அறியலாம்.

## சுழற் குலங்கள்
தரப்பட்ட கிரமமுள்ள அனைத்து சுழற் குலங்களும் <math>(\mathbb{Z}_n, +_n)</math> உடன் சமஅமைவியம் கொண்டவை.  

;நிறுவல்  

*G* , *n* கிரம குலம் என்க. *G* ஐப் பின்வரும் பிறப்பிக்கப்பட்ட குலமாகக் கொள்ளலாம்.  

:<math><x>=\{e,x,...,x^{n-1}\}</math>.  

<math>\varphi </math> எனும் சார்பு கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:  
: <math>\varphi : G \rightarrow \mathbb{Z}_n=\{0,1,...,n-1 \},</math> :<math>\varphi(x^a)=a</math>.  

இச்சார்பு இருவழிக்கோப்பாக உள்ளது.  

: <math>\varphi(x^a \cdot x^b) = \varphi(x^{a+b}) = a+b = \varphi(x^a)+_n \varphi(x^b)</math>  

எனவே,  
:<math>G \cong \mathbb{Z}_n, +_n</math>.  

## விளைவுகள்
<math>f : G \rightarrow H</math> எனும் சமஅமைவியம், <var>G</var> இன் முற்றொருமை உறுப்புடன் <var>H</var> இன் முற்றொருமை உறுப்பை இணைக்கிறது:  
: <math>f(e_G) = e_H</math>;  

அதேபோல் *G* இல் உள்ள நேர்மாறு உறுப்பை *H* இல் அதற்கொத்த நேர்மாறு உறுப்புடன் இணைக்கிறது:  
: <math>f(u^{-1}) = \[ f(u) \]^{-1}</math>  

பொதுவாக,  
: <math>f(u^n)= \[ f(u) \]^n , \forall u \in G</math>  

மேலும் *f* இன் நேர்மாறு <math>f^{-1} : H \rightarrow G</math> ம் ஒரு குல சம அமைவியம்.  

"சமஅமைவியமானது" என்ற உறவு, ஒரு சமான உறவிற்கான அனைத்து அடிக்கோள்களையும் நிறைவுசெய்கிறது.  

<math>f : G \rightarrow H</math> என்பது சமஅமைவியம் எனில் <var>G</var> இல் உண்மையாக அமையும் கூற்றுகளில் குல அமைப்புத் தொடர்பானவற்றை மட்டுமே <var>f</var> மூலம் <var>H</var> இல் அமையும் உண்மைக்கூற்றுகளாக மாற்றமுடியும் (அதேபோலத்தான் <var>H</var> லிருந்து <var>G</var> க்கும்).  

## தன்னமைவியம்
குலம் (<var>G</var>,*) லிருந்து (<var>G</var>,*) க்கே அமையும் சமஅமைவியம், தன்னமைவியம் எனப்படும் இத்தன்னமைவியம் பின்வரும் இருவழிக்கோப்பாகும்:  

<math>f : G \rightarrow G,</math>  
:<math>f(u) * f(v) = f(u * v), \forall u, v \in G</math>.  

தன்னமைவியமானது குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பை, முற்றொருமை உறுப்பாகவே மாற்றுகிறது; ஒரு இணையியப் பகுதியை அதே இணையியப் பகுதியாகவோ அல்லது வேறொரு இணையியப் பகுதியாகவோ மாற்றுகிறது; தன்னமைவியத்தின் கீழ் ஒரு உறுப்பின் கிரமமும் அதன் எதிருருவின் கிரமமும் சமமாக இருக்கும்.  

இரு தன்னமைவியங்களின் சேர்ப்பும் மற்றொரு தன்னமைவியமாக இருக்கும். இச்செயலியின்கீழ் <var>G</var> குலத்தின் அனைத்து தன்னமைவியங்களின் கணம் ஒரு குலமாகும். இக்குலம் <var>G</var> இன் *தன்னமைவியக் குலம்* என அழைக்கப்படும். மேலும் அதன் குறியீடு: Aut(<var>G</var>).