# நேர்மாறுச் சார்பு


கணிதத்தில் **நேர்மாறுச் சார்பு** (*inverse function*) என்பது ஒரு சார்பினால் ஏற்படக்கூடிய விளைவை இல்லாமல் செய்யக்கூடிய விளைவுடைய மற்றதொரு சார்பாகும். *x* எனும் உள்ளீட்டின் ƒ சார்புக்குரிய வெளியீடு *y* எனில் நேர்மாறுச் சார்பு *g* ஆனது *y* -ஐ உள்ளிடாகவும் *x* -ஐ வெளியீடாகவும் கொண்டிருக்கும். அதாவது:  

:ƒ(*x*)=*y* எனில், *g*(*y*)=*x*.  

இரண்டையும் ஒன்றாகச் சேர்த்து ஒரே குறியீட்டில் *g*(ƒ(*x*))=*x* எனக் குறிக்கலாம். சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பயன்படுத்தி, *g*(*x*) சார்பை ƒ(*x*) சார்புடன் சேர்க்கக் கிடைக்கும் இப்புதுச் சார்பு மாறி *x* -ஐ எந்தவொரு மாற்றமுமின்றி அப்படியேத் திருப்பித் தருகின்றது.  

ஒரு சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு இருந்தால் அச்சார்பு *நேர்மாற்றத்தக்கச் சார்பு* எனப்படும். நேர்மாற்ற்றத் தக்க சார்புகளின் நேர்மாறுச் சார்புகள் தனித்தன்மை உடையவை. அதாவது ஒரு நேர்மாற்றத்தக்கச் சார்புக்கு ஒரேயொரு நேர்மாறுச் சார்புதான் உண்டு. ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பின் குறியீடு: ƒ<sup>−1</sup> (வாசிக்க: *f -ன் நேர்மாறு*. இக்குறியீட்டைத் தவறாக ƒ -ன் அடுக்கு -1 என எடுத்துக்கொள்ளக் கூடாது.)  

## வரையறை
*Y* கணமாக மாற்றினால் ƒ<sup>–1</sup> மறுபடியும் *Y* கணத்தை *X* கணமாக மாற்றுகிறது.]]  
ƒ சார்பின் ஆட்களம் *X*, வீச்சு *Y* எனில்:  
:*Y* -ஐ ஆட்களமாகவும் *X* -ஐ வீச்சாகவும் கொண்டு,  
:<math>f(x) = y\,\,\text{if and only if}\,\,g(y) = x\text{.}\,\!</math>  
:என்பதையும் நிறைவு செய்யும் ஒரு தனித்த சார்பு *g* இருக்குமானால் சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாகும். *g* சார்பு, ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு என அழைக்கப்படும். மேலும் நேர்மாறுச் சார்பின் குறியீடு ƒ<sup>−1</sup>.  

ஒரு சார்பின் நேர்மாறு உறவு அச்சார்பின் வீச்சு *Y* -ன் மீது ஒரு சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அச்சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதாகும். அப்பொழுது அந்த நேர்மாறுத் தொடர்பே சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாகவும் இருக்கும்.  

அனைத்து சார்புகளுக்கும் நேர்மாறுச் சார்புகள் இருக்காது. ஒரு சார்பின் வீச்சிலில் உள்ள ஒவ்வொரு *y*&nbsp;∈&nbsp;*Y* -ம் ஆட்களத்தின் ஒரேயொரு உறுப்புக்கு மட்டும் (*x*&nbsp;∈&nbsp;*X*) எதிருருறுப்பாக இருந்தால்தான் அச்சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு. இப்பண்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று பண்பு எனவும் இப்பண்புடைய சார்புகள் உள்ளிடு சார்புகள் எனவும் அழைக்கப்படும்.  

### நேர்மாறல் சார்பும் எதிர்மாறல் சார்பும்

*நேர் மாறல் சார்பு* :  
:<math> y = kx.</math>  
இச்சார்பில் அமைந்துள்ள கணிதச் செயல் பெருக்கல். பெருக்கல் செயலுக்கு எதிர் கணிதச் செயல் வகுத்தல். பெருக்கலுக்குப் பதில் வகுத்தலைப் பயன்படுத்த இச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக எதிர் மாறல் சார்பு கிடைக்கின்றது.  

*எதிர்மாறல் சார்பு*:  
:<math> y = kx.</math>  

### வர்க்கச் சார்பும் வர்க்கமூலச் சார்பும்

வர்க்கச் சார்பு:  
:<math> f(x) = x^2 </math>  
வர்க்கச் சார்பின் ஆட்களத்தைப் பொறுத்து அது நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும். அதாவது வர்க்கமூலச் சார்பு அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.  

ஆட்களம் மெய்யெண் கணமாக இருந்தால் வீச்சில் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் இரண்டு முன்னுருக்கள் ஆட்களத்தில் இருக்கும்.( எடுத்துக்காட்டாக, 5 மற்றும் -5 இரண்டின் வர்க்கமும் 25 தான்.) எனவே நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது.  

ஆட்களம் எதிரெணில்லா மெய்யெண்களின் கணமாக இருந்தால் வர்க்கச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பாக வர்க்கமூலச் சார்பு அமையும்.  

### நேர்மாறுச் சார்புகளும் சார்புகளின் தொகுப்பும்
ƒ ஒரு நேர்மாற்றத் தக்க சார்பு மற்றும் அதன் ஆட்களம் *X*, வீச்சு *Y* எனில்:  
:<math> f^{-1}\( \, f(x) \, \) = x, \forall x \in X\text{.} </math>  

சார்புகளின் தொகுப்புச் செயலியைப் பயன்படுத்தி இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:  
:<math> f^{-1} \circ f = \mathrm{id}_X\text{,} </math>  

இதில் id<sub>*X*</sub> என்பது *X* கணத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு.  

### குறியீடு பற்றி ஒரு குறிப்பு
ƒ<sup>−1</sup>(*x*), ƒ(*x*)<sup>−1</sup> இரண்டும் ஒன்றல்ல. ƒ<sup>−1</sup>(*x*) -லுள்ள "&minus;1" அடுக்கைக் குறிக்காது. நேர்மாறுச் சார்பைப் போலவே தொடரும் சார்புகளும் (iterated function) குறிக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, ƒ<sup>2</sup> என்பது சார்பு ƒ -ஐ இருமுறைத் தொடர்ந்து செயல்படுத்துவதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,  

எனில்:  

.  

குறியீட்டில் இத்தொடர் செயல்முறையைக் கீழ்க்கண்டவாறு எழுதலாம்:  
: <math>f^2(x) = f(f(x)) = (f \circ f)(x). </math>  

நுண்கணிதத்தில், ƒ<sup>(*n*)</sup> என்பது ƒ சார்பின் *n* -ம் வகைக்கெழுவைக் குறிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக,  
: <math>f^{(2)}(x) = \frac{d^{2}}{dx^{2}}f(x).</math>  

முக்கோணவியலில் sin<sup>2</sup>&nbsp;*x* என்பது வழக்கமாக sin&nbsp;*x* -ன் வர்க்கத்தைக் குறிக்கம்:  
:<math> \sin^2 x = (\sin x)^2. \,\!</math>  

எனினும் sin<sup>−1</sup>&nbsp;*x* என்பது sin&nbsp;*x* -ன் பெருக்கல் தலைகீழியைக் குறிப்பதில்லை, மாறாகச் சைன் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பைக் குறிக்கிறது. இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் முக்கோணவியல் சார்புகளின் பெயர்களுக்கு முன் "arc" என்ற முன்னொட்டைச் சேர்த்து எழுதப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, சைன் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பானது sin<sup>−1</sup>&nbsp;*x* என்பதற்குப் பதில் arcsin எனக் குறிக்கப்படுகிறது.  
:<math>\sin^{-1} x = \arcsin x. \,\!</math>  

என்ற சைன் சார்பின் பெருக்கல் தலைகீழி csc&nbsp;*x*:  
:<math> \csc x = (\sin x)^{-1} = \frac{1}{\sin x}. \,\!</math>  

## பண்புகள்
### தனித்தன்மை
ஒரு சார்பு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதற்கு ஒரேயொரு நேர்மாறுச் சார்பு மட்டுமே இருக்கும். அதாவது ஒரு சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு தனித்தன்மையுடையது. மேலும் அச்சார்பின் நேர்மாறுத் தொடர்பே அதன் நேர்மாறுச் சார்பாக அமையும்.  

### சமச்சீர்
ஒரு சார்பும் அதன் நேர்மாறு சார்புக்கும் இடையே ஒரு சமச்சீர்த்தன்மை உள்ளது.  

ஆட்களம் *X* மற்றும் வீச்சு *Y* கொண்ட சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ<sup>−1</sup> -ன் ஆட்களம் *Y* கணமாகவும் வீச்சு *X* கணமாகவும் இருக்கும். மேலும் ƒ<sup>−1</sup> -ன் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ ஆக இருக்கும்.  

ƒ சார்பின் ஆட்களம் *X* மற்றும் வீச்சு *Y*. *g* சார்பின் ஆட்களம் *Y* மற்றும் வீச்சு *X* எனில்:  
:<math>g \circ f = \mathrm{id}_X</math> எனில்  

:<math>f \circ g = \mathrm{id}_Y </math> ஆகும்.  

ஒரு சார்பு மற்றும் அதன் நேர்மாறு இரண்டுக்குமுள்ள சமச்சீர்ப் பண்பினைப் பின்வருமாறு தரலாம்:  

:<math>\(f^{-1}\)^{-1} = f . \,\!</math>  

இரு சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு:  
:<math>(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}</math>  

இதில் *g* மற்றும் *f* -ன் வரிசை மாறுகிறது. *f* -ஐ தொடர்ந்த *g* -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்குவதற்கு, முதலில் *g* -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்கிப் பின் *f* -ன் விளைவைச் செயலற்றதாக்க வேண்டும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:  
:.  

சேர்ப்பு சார்பு என்பது முதலில் மூன்றால் பெருக்கிப் பின் ஐந்தைக் கூட்டும் விளைவை ஏற்படுத்தும் சார்பு.:  
:<math>(g \circ f)(x) = 3x + 5</math>  
இவ்விளைவை இல்லாமல் செய்வதற்கு முதலில் ஐந்தைக் கழித்துப் பின் மூன்றால் வகுக்க வேண்டும்:  
:<math>(g \circ f)^{-1}(y) = \tfrac13(y - 5)</math>  

இது என்ற சேர்ப்புச் சார்புக்குச் சமமாக உள்ளது.  

### தன் நேர்மாறு
*X* என்ற கணத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு தனக்குத்தானே நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்:  
:<math>\mathrm{id}_X^{-1} = \mathrm{id}_X</math>  

பொதுவாகச் சார்பு -க்கு,  
: id<sub>*X*</sub> என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ƒ தனக்குத்தானே நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.  

## நுண்கணிதத்தில் நேர்மாறுச் சார்புகள்
ஒரு-மாறி நுண்கணிதத்தில் மெய்யெண் கணத்திலிருந்து மெய்யெண் கணத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட சார்புகள்தான் முக்கியமாக எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. அச்சார்புகள் பெரும்பாலும் கீழ்க்காண்பது போன்ற வாய்ப்பாடுகளால் தரப்படுகின்றன:  

:<math>f(x) = (2x + 8)^3 . \,\!</math>  

சில முக்கிய சார்புகளும் அவற்றின் நேர்மாறுச் சார்புகளும் கொண்ட அட்டவணை:  
:{|  
|-  
!| சார்பு ƒ(*x*)  
!| நேர்மாறுச் சார்பு ƒ<sup>−1</sup>(*y*)  
!| குறிப்புகள்  
|-  
|| *x* + *a*  
|| *y* – *a*  
|-  
|| *a* – *x*  
|| *a* – *y*  
|-  
|| *mx*  
|| *y* / *m*  
| *m* ≠&nbsp;0  
|-  
|| *1 / x*  
|| *1 / y*  
| *x*, *y* ≠ 0  
|-  
|| *x*<sup>2</sup>  
|| <math>\sqrt{y}</math>  
| *x*, *y* ≥ 0 மட்டும்  
|-  
|| *x*<sup>3</sup>  
|| <math>\sqrt[3]{y}</math>  
| *x* மற்றும் *y* மீது கட்டுப்பாடு இல்லை  
|-  
|| *x*<sup>*p*</sup>  
|| *y*<sup>1/*p*</sup> (i.e. <math>\sqrt[p]{y}</math>)  
| பொதுவாக *x*, *y* ≥&nbsp;0 , *p* ≠ 0  
|-  
|| *e*<sup>*x*</sup>  
|| ln *y*  
| *y*&nbsp;>&nbsp;0  
|-  
|| *a*<sup>*x*</sup>  
|| log<sub>*a*</sub> *y*  
| *y*&nbsp;>&nbsp;0 and *a*&nbsp;&gt;&nbsp;0  
|-  
|| முக்கோணவியல் சார்புகள்  
|| நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள்  
| கட்டுப்பாடுகள்,கீழே தரப்பட்டுள்ள அட்டவணைப்படி*  
|}  
- 
:{|  
|-  
!சார்பு  
!வழக்கமான முதன்மை மதிப்பின் வீச்சு  
|-  
| sin<sup>−1</sup> || –<sup>π</sup>⁄<sub>2</sub> ≤ sin<sup>−1</sup>(*x*) ≤ <sup>π</sup>⁄<sub>2</sub>  
|-  
| cos<sup>−1</sup> || 0 ≤ cos<sup>−1</sup>(*x*) ≤ π  
|-  
| tan<sup>−1</sup> || –<sup>π</sup>⁄<sub>2</sub> &lt; tan<sup>−1</sup>(*x*) &lt; <sup>π</sup>⁄<sub>2</sub>  
|-  
| cot<sup>−1</sup> || 0 &lt; cot<sup>−1</sup>(*x*) &lt; π  
|-  
| sec<sup>−1</sup> || 0 ≤ sec<sup>−1</sup>(*x*) ≤ π  
|-  
| csc<sup>−1</sup> || −<sup>π</sup>⁄<sub>2</sub> ≤ csc<sup>−1</sup>(*x*) ≤ <sup>π</sup>⁄<sub>2</sub>  
|-  
|}  

### நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு
*y* = ƒ(*x*) என்ற சார்பின் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து *x* -ன் மதிப்பைக் கண்டுபிடித்தால் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ<sup>−1</sup> -ன் வாய்ப்பாடு கிடைக்கும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  

:<math>f(x) = (2x + 8)^3 \,\!</math>  

:<math>\begin{align}  
y & = (2x+8)^3 \\  
\sqrt[3]{y} & = 2x + 8 \\  
\sqrt[3]{y} - 8 & = 2x \\  
\dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x .  
\end{align}</math>  

நேர்மாறுச் சார்பு ƒ<sup>−1</sup> -ன் வாய்ப்பாடு:  
:<math>f^{-1}(y) = \dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} . \,\!</math>  

சிலசமயங்களில் நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு முடிவுறு எண்ணிக்கை கொண்ட வாய்ப்பாடாக அமையாமலும் இருக்கலாம்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>f(x) = x - \sin x , \,\!</math>  

இச்சார்பு ƒ, ஒன்றுக்கு-ஒன்றுச் சார்பாக இருப்பதால் இதற்கு நேர்மாறுச் சார்பு உண்டு. அந்நேர்மாறுச் சார்பின் வாய்ப்பாடு முடிவிலா எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:  

:<math> f^{-1}(y) =  
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}  
{\frac{y^{\frac{n}{3}}}{n!}} \lim_{ \theta \to 0} \(  
\frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d} \theta^{\,n-1}} \(  
\frac{ \theta }{ \sqrt[3]{ \theta - \sin( \theta )} } ^n \)  
\)  
</math>  

### நேர்மாறுச் சார்பின் வரைபடம்
. இடையிட்டக் கோடு: .]]  
:<math> y = f(x) </math> எனும் ƒ சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ƒ<sup>−1</sup> -ன் வரைபடம் <math>x = f(y) </math> எனும் சமன்பாட்டின் வரைபடமாக இருக்கும்.  

இச்சமன்பாடு மற்றும் ƒ சார்பின் சமன்பாடு என்பதில் *x* மற்றும் *y* இரண்டையும் பரிமாற்றம் செய்வதால் கிடைக்கக்கூடியது என்பதால் ƒ சார்பின் வரைபடத்தில் *x* மற்றும் *y*, அச்சுகளை பரிமாற்றம் செய்தால் ƒ<sup>−1</sup> -ன் வரைபடம் கிடைக்கும். இவ்வாறு அச்சுகளைப் பரிமாற்றுதல் கோட்டில் பிரதிபலிப்பதற்குச் சமம்.  

### நேர்மாறுச் சார்புகளும் வகையீடுகளும்
ஒருதொடர்ச்சியான சார்பு ƒ திட்டமாக ஏறும் அல்லது இறங்கும் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அது ஒரு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இருக்கும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  

:<math>f(x) = x^3 + x\,\!</math> இச்சார்பின் வகைக்கெழு:  

:<math>f \prime (x) = 3x^2 + 1\,\!</math> இவ்வாகைக்கெழுவின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மதிப்பாகத்தான் இருக்கும் என்பதால் சார்பு ƒ நேர்மாற்றத்தக்கதாக அமையும்.  

சார்பு ƒ வகையிடத்தக்கது எனில், என இருக்கும்வரை அதன் நேர்மாறு வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும். நேர்மாறுச் சார்பின் வகைக்கெழு:  

:<math>\(f^{-1}\)^\prime (y) = \frac{1}{f'\(f^{-1}(y)\)} . </math>  

எனக் கொண்டால் மேற்காணும் வாய்ப்பாட்டைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:  

:<math>\frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy / dx} . </math>  

## நடைமுறை வாழ்க்கையில் காணப்படும் எடுத்துக்காட்டுகள்

- ƒ என்பது வெப்ப அளவையின் அலகை செலியசிலிருந்து பாரன்ஹீட்டுக்கு மாற்றும் சார்பு எனில்:

:<math> f(C) = \tfrac95 C + 32 ; \,\!</math>  

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு வெப்ப அளவையின் அலகை பாரன்ஹீட்டிலிருந்து செலியசுக்கு மாற்றுகிறது:  

:<math> f^{-1}(F) = \tfrac59 (F - 32) , \,\!</math>  

:<math> f^{-1}\( \, f(C) \, \) = f^{-1}\( \, \tfrac95 C + 32 \, \) = \tfrac59 \( \( \, \tfrac95 C + 32 \, \) - 32 \) = C\text{, for every }C\text{.} </math>  

- ƒ என்பது ஒரு குடும்பத்திலுள்ள ஒவ்வொரு குழந்தைக்கும் அதன் பிறந்த ஆண்டினைத் தொடர்புபடுத்தும் ஒரு சார்பு எனில் அச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு ஒரு குறிப்பிட்ட ஆண்டில் எந்தக் குழந்தை பிறந்தது என்ற தொடர்பைத் தரும் சார்பு.

ஆனால் அக்குடும்பத்தில் இரட்டைக் குழந்தகள் பிறந்திருந்தால் ƒ சார்பு இரு குழந்தைகளை ஒரே ஆண்டுடன் தொடர்பு படுத்தும். அப்போது இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இராது. அதனால் அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பு அமையாது.  

அதேபோல அக்குடும்பத்தில் குழந்தைகள் பிறக்காத ஆண்டுகளை எடுத்துக் கொண்டாலும் அதனை ஒரு குழந்தையுடன் தொடர்பு படுத்தும் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்காது என்பதால் இந்நிலையிலும் ƒ -க்கு நேர்மாறுச் சார்பு கிடையாது.  

எனவே ஒவ்வொரு குழந்தையும் வெவ்வேறு ஆண்டுகளில் பிறந்திருந்து அந்த ஆண்டுகளை மட்டும் கணக்கில் எடுத்துக் கொண்டால் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
- <math> f(\text{mathivathani}) = 2005,</math> <math> f^{-1}(2005) = \text{mathivathani} </math>
- <math> f(\text{poonkuzali}) = 2007,</math> <math> f^{-1}(2007) = \text{poonkuzali} </math>
- <math> f(\text{yaazhini}) = 2009,</math> <math> f^{-1}(2009) = \text{yaazhini} </math>

## பொதுமைப்படுத்தல்
### பகுதி நேர்மாறுச் சார்புகள்

சார்பு ƒ ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாக இல்லாமல் இருந்தால் கூட அதன் ஆட்களத்தைக் கட்டுப்படுத்துவதன் மூலம் அதற்கு ஒரு *பகுதி நேர்மாறுச் சார்பை* வரையறுக்க முடியும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>  
:<math>f(x) = x^2\,\!</math>  

:<math>\pm x\in\mathbb{R},</math> இரண்டின் வர்க்கமும் ஒரே எண் என்பதால் இச்சார்பு ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பு அல்ல. ஆனால் இச்சார்பின் ஆட்களத்தை எனக் கட்டுப்படுத்தினால் (:<math>f\colon \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R}</math> என வரையறுத்தால்) ஒன்றுக்கு-ஒன்று சார்பாகிவிடும். அதற்கு நேர்மாறுச் சார்பும் இருக்கும்.  

:<math>f^{-1}(y) = \sqrt{y} . </math>  

### இடது மற்றும் வலது நேர்மாறுச் சார்புகள்
- ƒ: *X* → *Y* சார்பின் *இடது நேர்மாறுச் சார்பு* என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்:

:<math>g \circ f = \mathrm{id}_X . \,\!</math>  

அதாவது சார்பு *g* கீழ்க்காணும் விதியை நிறைவு செய்யும்.  

:<math>f(x) = y </math> எனில்  
:<math>g(y) = g(f(x)) = x. </math>  

ƒ சார்பின் வீச்சின் மீது நேர்மாறுச் சார்பு f<sup>−1</sup> ஆகவும் வீச்சிலில்லாத *Y* கணத்தின் உறுப்புகளுக்கு வேறு விதமாகவும் சார்பு *g* அமைகிறது. சார்பு ƒ ஒரு உள்ளிடு சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு இடது நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.  

- ƒ: *X* → *Y* சார்பின் *வலது நேர்மாறுச் சார்பு* என்பது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படும் சார்பாகும்:

:<math>f \circ h = \mathrm{id}_Y . \,\!</math>  

அதாவது சார்பு *g* கீழ்க்காணும் விதியை நிறைவு செய்யும்.  

:<math>h(y) = x </math> எனில்  
:<math>f(x) = f(h(y)) = x. </math>  

சார்பு ƒ ஒரு முழுச் சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அதற்கு வலது நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.  

ஒரு சார்பின் வலது நேர்மாறுச் சார்பு இடது நேர்மாறாகவும் வலது நேர்மாறு இடது நேர்மாறாகவும் இருக்கலாம் அல்லது இல்லாமலும் இருக்கலாம்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>f \colon \mathbb{R} \rightarrow [0,\infty)</math>  
:<math>f(x) = x^2, </math> <math>\forall x\in\mathbb{R},</math> மற்றும்  
:<math>g \colon [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R} </math>  
:<math>g(x) = \sqrt{x}, </math> x≥0 எனில்:  

:<math>f(g(x)) = x,</math> <math>\forall x\in [0,\infty),</math>  

அதாவது ƒ -ன் வலது நேர்மாறுச் சார்பு *g* . ஆனால் அது ƒ -ன் இடது நேர்மாறுச் சார்பு அல்ல. ஏனெனில் :<math>g(f(-1)) = 1 \not = -1. </math>