# ஈருறுப்பு உறவு

கணிதத்தில் ஒரு கணத்தின் மீதான **ஈருறுப்பு உறவு** (*binary relation*) என்பது அக்கணத்தின் உறுப்புகளாலான வரிசைச் சோடிகளின் தொகுப்பு ஆகும்.  

:அதாவது *A* கணத்த்தின் மீது வரையறுக்க்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவானது, *A* கணத்தின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனின் (*A*<sup>2</sup> = ) உட்கணமாக இருக்கும்.  

:*A* , *B* எனும் இரு கணங்களுக்கு இடையேயான ஈருறுப்பு உறவு இன் உட்கணம்.  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  
- முடிவுறு கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவு
:*A* = {1, 2, 3, 4, 5}  
:இக்கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படும் *விடப் பெரியது* என்ற ஈருறுப்பு உறவு:  
:<math> R = \{ (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (4,5) \} </math>  

- முடிவுறா கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவு
பகா எண்களின் கணம் **P**, முழு எண்களின் கணம் **Z** இரண்டுக்கும் இடையே வரையறுக்கப்படும் வகுஎண் என்ற உறவு ஈருறுப்பு உறவாகும். ஒவ்வொரு பகா எண் *p* ம் அதன் மடங்காக அமையும் ஒவ்வொரு முழுஎண்ணுடன் "வகுஎண்" என்ற உறவின் கீழ் தொடர்பு கொண்டுள்ளது. *p* இன் மடங்காக அமையாத முழுஎண்களுடன் *p* தொடர்பு கொண்டிருக்காது. பகாஎண் 2 ஆனது ...−4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10.... போன்ற இரண்டின் மடங்குகளோடு (இரட்டை முழுஎண்கள்) தொடர்புடையது, ஆனால் 1 , 3, 9 போன்ற இரண்டின் மடங்கற்ற (ஒற்றை எண்கள்) முழுஎண்களுடன் தொடர்பு கொண்டிருக்காது  

கணிதத்தில் "விடப் பெரியது, விடச் சிறியது", "சமன்"; எண்கணிதத்தில் "வகுக்கும்"; வடிவவியலில் "சர்வசமம்"; கோட்டுருவவியலில் "அடுத்துள்ளது";நேரியல் இயற்கணிதத்தில் "செங்குத்தானது" போன்ற கருத்துருக்களுக்கு ஈருறுப்பு உறவு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஈருறுப்பு உறவின் சிறப்புவகைக் கருத்துருவாக சார்பு வரையறுக்கப்படுகிறது. கணினியியலிலும் ஈருறுப்பு உறவு மேலதிகப் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.  

## வரையறை
(*X*, *Y*, *G*) என்ற மும்மையால் ஈருறுப்பு உறவு *R* குறிக்கப்படுகிறது. இதில், *X* , *Y* எவையேனும் இரு கணங்கள். இவ்விரு கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் *X* × *Y* இன் உட்கணம் *G* .  
*X* , *Y* இரண்டும் முறையே ஈருறுப்பு உறவின் ஆட்களம், இணையாட்களம் என்றும், *G* - உறவின் வரைபடம் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.  

(*x*,*y*) ∈ *G* எனில் *x* , *R*-இன் கீழ் *y* உடன் உறவு கொண்டிருக்கும்.  
:இதன் குறியீடு:  
:*xRy* (அல்லது) *R*(*x*,*y*)  
:*R*(*x*,*y*) என்ற குறியீட்டின் காரணமாக, *X* × *Y* இன் மீதான சுட்டுச் சார்பாக *R* எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.  

*G* இல் உள்ள ஒவ்வொரு சோடிக்கும் வரிசை முக்கியமானது. *a* ≠ *b* எனில் *aRb* , *bRa* இரண்டும் ஒன்றையொன்று சாராமல் உண்மையாகவோ அல்லது உண்மையில்லாமலோ இருக்கும். முழுஎண்கள் கணத்தில் *வகுஎண்* என்ற ஈருறுப்பு உறவை எடுத்துக்கொண்டால், 3, 9 ஐ வகுக்கும், *<sub>3</sub>R<sub>9</sub>* என்பது உண்மை. ஆனால் 9, 3 ஐ வகுக்காது என்பதால் *<sub>9</sub>R<sub>3</sub>* என்பது உண்மை இல்லை.  

(*X*, *Y*, *G*) என்ற மும்மையால் வரையறுக்கப்படும் உறவு சிலசமயங்களில் *தொடர்பு* எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.  

ஒரே வரைபடம் கொண்ட இரு உறவுகளின் ஆட்களங்களோ அல்லது இணையாட்களங்களோ வெவ்வேறாக இருந்தால் அவ்வுறவுகளும் வெவ்வேறானவை.  
எடுத்துக்காட்டாக, <math>G = \{(1,2),(1,3),(2,7)\}</math> எனில்,  
:<math>(\mathbb{Z},\mathbb{Z}, G)</math>,  
:<math>(\mathbb{R}, \mathbb{N}, G)</math>,  
:<math>(\mathbb{N}, \mathbb{R}, G)</math> மூன்றும் வெவ்வேறு உறவுகள் (<math>\mathbb{Z}</math> முழு எண்கள் கணம், <math>\mathbb{R}</math> மெய்யெண்கள் கணம், <math>\mathbb{N}</math> இயல் எண்கள் கணம்).  

;கணக் கோட்பாட்டில்  
கணக் கோட்பாட்டில், ஈருறுப்பு உறவுகள் வரிசைச் சோடிகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன.  
ஆட்களம்:  
:<math>X = \{x : \exists y : (x,y) \in R \}</math>  

வீச்சு:  
:<math>Y = \{y : \exists x : (x,y) \in R \}</math>  

ஈருறுப்பு உறவு:  
:<math>R = (x,y)</math>  

## பொதுவான ஈருறுப்பு உறவுகள்
- வரிசை உறவுகள்
  - விடப் பெரியது
  - விடப் பெரியது அல்லது சமம்
  - விடச் சிறியது
  - விடச் சிறியது அல்லது சமம்
  - வகுக்கும்
  - உட்கணம்
- சமான உறவுகள்
  - சமன்
  - இணை
  - இருவழிக்கோப்பு
  - சமஅமைவியம்
- சார் உறவு - ஒரு முடிவுறு, சமச்சீர், எதிர்வு உறவு
- சாரா உறவு - ஒரு சமச்சீர், எதிர்வற்ற உறவு. சார், சாரா உறவுகள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்பிகள்.

## ஈருறுப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை
*n*-உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படக்கூடிய வெவ்வேறான ஈறுருப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை 2<sup>*n*<sup>2</sup></sup> :  

## வகைகள்
*X* கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு *R* இன் சில வகைகள்:  

- **எதிர்வு**:
:<math>\forall x \in X,\ x R x </math>  
:எடுத்துக்காட்டு:  
:∀ *x*, *x* ≥ *x* என்பது உண்மை என்பதால்  
:"விடப்பெரியது அல்லது சமம்" (≥) என்பது எதிர்வு உறவு  

- **எதிர்வற்றது**
:<math>\forall x \in X, \lnot R(x,x) .</math>  

: எந்தவொரு எண்ணும் அதே எண்ணை விடப் பெரியதாக இருக்க முடியாது என்பதால் "விடப் பெரியது" என்பது எதிர்வற்ற உறவு.  

- **சமச்சீர்**
:<math>\forall x, y \in X,\ x R y \Rightarrow \; y R x.</math>  

- **எதிர்சமச்சீர்**
:<math>\forall x, y \in X,\ R(x,y) \land R(y,x) \; \Rightarrow \; x = y</math>  

:*விடப்பெரியது அல்லது சமம்* ( ≥ ) ஒரு எதிர்சமச்சீர் உறவு.  

- **சமச்சீரற்றது**
:<math>\forall x, y \in X,\ x R y \; \Rightarrow \lnot(y R x)</math>  

:ஒரு உறவு, எதிர்சமச்சீரானதாகவும், எதிர்வற்றதாகவும் ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது சமச்சீரற்றதாக இருக்க முடியும்.  

- **கடப்பு**
:<math>\forall x, y, z \in X: (xRy \wedge yRz) \Rightarrow xRz</math>  

:ஒரு கடப்பு உறவு சமச்சீரற்றதாக ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது எதிர்வற்றதாகும்.  

- **முழுமை**
:<math>\forall x, y \in X,\ x R y \lor y R x.</math>  

- **முப்பிரிவு**
:<math>\forall x, y \in X, \ x R y \lor y R x \lor x = y </math>  

:அதாவது, *xRy*, *yRx* , *x* = *y* ஆகிய மூன்றில் ஏதாவது ஒன்று மட்டுமே உண்மையாகும்.  

## ஈருறுப்பு உறவுகள் மீதான செயலிகள்
*X* , *Y* கணங்கள் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவுகள் *R*, *S* எனில் கீழே தரப்பட்டுள்ளவையும் *X* , *Y* மீதான ஈருறுப்பு உறவாக இருக்கும்:  

- **ஒன்றிப்பு**
:*R* ∪ *S* = {&thinsp;(*x*, *y*) | (*x*, *y*) ∈ *R* அல்லது (*x*, *y*) ∈ *S*&thinsp;} எனில்:  
: *R* ∪ *S* ⊆ *X* × *Y*  
:எடுத்துக்காட்டு: > , = ஆகிய இரு ஈருறுப்பு உறவுகளின் ஒன்றிப்பு ≥ .  
- **வெட்டு**
:*R* ∩ *S* = {&thinsp;(*x*, *y*) | (*x*, *y*) ∈ *R* மற்றும் (*x*, *y*) ∈ *S*&thinsp;} எனில்:  
: *R* ∩ *S* ⊆ *X* × *Y*  

- **தொகுப்பு**
:*X* , *Y* கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு *R*; *Y* , *Z* கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு *S* எனில், இவ்விரு உறவுகளின் தொகுப்பு, *X* , *Z* கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவாகும்.  

- **நேர்மாறு** அல்லது **மறுதலை**
:*R* இன் நேர்மாறு:  
:*R*&nbsp;<sup>&minus;1</sup> = {&thinsp;(*y*, *x*)&thinsp;|&thinsp;(*x*, *y*) ∈ *R*&thinsp;}.  

:எடுத்துக்காட்டு:  
"விடச் சிறியது" (<) -இதன் நேர்மாறு "விடப் பெரியது" (>).  

*X* கணத்தின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு *R* எனில் கீழ்வரும் ஒவ்வொன்றும் ஈருறுப்பு உறவாகும்:  

- **எதிர்வு அடைப்பு ** - *R*&thinsp;<sup>=</sup>
: *R*&thinsp;<sup>=</sup> = {&thinsp;(*x*, *x*) | *x* ∈ *X*&thinsp;} ∪ *R*  
:இது *X* மீது *R* ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய எதிர்வு உறவு.  

- **எதிர்வு ஒடுக்கம்** - *R*&thinsp;<sup>≠</sup>
:*R*&thinsp;<sup>≠</sup> = *R* \ {&thinsp;(*x*, *x*) | *x* ∈ *X*&thinsp;}  
:இது *X* மீது *R* ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகப் பெரிய எதிர்வற்ற உறவு.  

- **கடப்பு அடைப்பு** - *R*&thinsp;<sup>+</sup>
:கடப்பு அடைப்பு உறவானது, *X* மீது *R* ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய கடப்பு உறவு. இது *X* மீது *R* ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட கடப்பு உறவுகளின் வெட்டாக இது அமையும்.  

### நிரப்பி
*X* , *Y* மீதான ஈருறுப்பு உறவு *R* எனில்:  

- *R* இன் நிரப்பி உறவு *S* ம் ஒரு ஈருறுப்பு உறவு.

:*x* *S* *y* என்பது உண்மையானால் *x* *R* *y* உண்மையாக இருக்காது.  
:<math>\lnot(x R y) \; \Rightarrow \ x S y</math>  

:எடுத்துக்காட்டு:  
:மெய்யெண்களில், > இன் நிரப்பி ≤.  

- ஒரு ஈருறுப்பு உறவின் நேர்மாறின் நிரப்பி, அந்த ஈருறுப்பு உறவின் நிரப்பியின் நேர்மாறாக இருக்கும்.

*X* = *Y* எனில் நிரப்பி உறவு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:  
- சமச்சீர் உறவின் நிரப்பியும் சமச்சீரானது.
- எதிர்வு உறவின் நிரப்பி எதிர்வற்றதாகவும், எதிர்வற்ற உறவின் நிரப்பி எதிர்வு உறவாகவும் இருக்கும்.

:நேர்மாறின் நிரப்பியும் இதே பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.  

### ஒடுக்கம்
*X* கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்பு உறவு *R* இன் ஒடுக்கம் என்பது *X* ஐ ஆட்களமாகக் கொள்வதற்குப் பதில் அதன் ஏதேனுமொரு உட்கணத்தை (*S*) ஆட்களமாகக் எடுத்துக்கொண்டால், அந்த உறவு ***R* இன் ஒடுக்கம்** எனப்படுகிறது.  

எதிர்வு, எதிர்வற்ற, சமச்சீர், எதிர்சமச்சீர், சமச்சீரற்ற, கடப்பு, முழுமை, சமானம் ஆகிய ஈருறுப்புறவுகளின் ஒடுக்கங்களும் அதே தன்மையைக் கொண்டிருக்கும்.