# புள்ளிப் பெருக்கல்

கணிதத்தில் **புள்ளிப் பெருக்கல்** என்பது இரு திசையன்களுக்கு இடையே நிகழ்த்தும் ஒரு செயல் அல்லது வினை. இப் புள்ளிப் பெருக்கலின் விளைவாய்ப் பெறும் விடை ஒரு பரும அளவுள்ள மெய்யெண்ணே (**R**) தவிர ஒரு திசையன் அல்ல. மாறாக இதே இரு திசையன்களைக் கொண்டு செய்யும் குறுக்குப் பெருக்கலில் கிடைக்கும் பெருக்கு விளைவு ஒரு திசையன் ஆகும். இந்த புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது யூக்ளீடிய இட வெளியில் உள்முகப் பெருக்கல் எனப்படும்.  

## வரையறை
**a**, **b** என்னும் இரு திசையன்களை எடுத்துக்கொள்வோம். இவ்விரு திசையன்களும் திசையன் வெளியில் உள்ள முழுதும் வேறுபட்டவைகளாகக் கொள்வோம். ஈவிரு திசையன்களையும் கீழ்காணுமாறு கொண்டால்  
**a** = [*a*<sub>1</sub>, *a*<sub>2</sub>, … , *a*<sub>*n*</sub>] மற்றும் **b** = [*b*<sub>1</sub>, *b*<sub>2</sub>, … , *b*<sub>*n*</sub>], புள்ளிப்பெருக்கலானது:  
:<math>\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n </math>  
மேலுள்ளதில் Σ என்னும் குறி தொடர் கூட்டுத் தொகைக் குறி ஆகும்.  

எடுத்துக்காட்டாக முத்திரட்சி (முப்பரிமாணம்) கொண்ட இரு திசையன்கள் [1, 3, −5] மற்றும் [4, −2, −1] ஆகியவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல்:  

:<math>\begin{bmatrix}1&3&-5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}4&-2&-1\end{bmatrix} = (1)(4) + (3)(-2) + (-5)(-1) = 3.</math>  

அணி கணிதத்தில் வழங்கும் பெருக்கலைப் பயன்படுத்த திசையன்களை *n*&times;1 அணிகளாகக் கொண்டும் புள்ளிப் பெருக்கலை அறிய கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்.:  

:<math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^T \mathbf{b} \,</math>  

மேலுள்ளதில் **a**<sup>T</sup> **a** யின் அணித் திருப்பம் என்பதைக் குறிக்கும். மேற்கண்ட எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதை கணித்தால் 1&times;3 அணி (இங்கு திசையனைக் குறிக்கின்றது) பெருக்கல் 3&times;1 அணி (அணிப்பெருக்கலில் கிடைப்பது 1&times;1 அணியாகும். இது ஒரு பரும அளவு கொண்டதே.):  

:<math>\begin{bmatrix}  
1&3&-5  
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}  
4\\-2\\-1  
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  
3  
\end{bmatrix}.</math>  

## வடிவவியல் விளக்கம்

யூக்ளீடிய இட வெளியில் இந்த புள்ளிப் பெருக்கலுக்கும் நீளத்திற்கும் கோணத்திற்கும் நெருங்கிய தொடர்புண்டு. **a** என்னும் திசையன் தொடர்பாக **a**•**a** என்பது a ஐ பக்கமாகக் கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமம். இன்னும் பொதுவாக எண்ணினால் இரண்டாவது திசையன் **b** ஆக இருக்குமானால்  

:<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| \, |\mathbf{b}| \cos \theta \,</math>  

மேலுள்ளதில் |**a**| யும் |**b**| யும் **a** மற்றும் **b** நீளத்தை (பரும அளவைக்) குறிக்கும். θ என்பது இரண்டிற்கும் இடையே உள்ள கோணத்தைக் குறிக்கும்.  

|**a**|•cos(θ) என்பது **b** யின் மீது படியும் **a** யின் நிழல் ஆகையால், புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது **b** யின் நீளத்தோடு பெருக்கப்படும் **a** யின் படிநிழல் என்று புரிந்து கொள்ளலாம்.  

cosine 90° இன் மதிப்பு சுழி (0) ஆகையால் இரு செங்குத்தான திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கல் தொகை சுழியாகும் (0). **a** , **b** ஆகிய இரண்டின் நீளம் ஓர் அலகாக இருப்பின் , அவைகளின் புள்ளிப் பெருக்கல் அவைகளுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் மதிப்பைத் தரும். எனவே இரு திசையன்களுக்கும் இடையே உள்ள கோணத்தை அறிய கீழ்க்காணும் வாய்பாட்டை (வாய்பாடு = உண்மைக் கூற்று, சமன்பாடு) பயன்படுத்தலாம்:  

: <math>\theta = \arccos \( \frac {\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}} {|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}\).</math>  

## இயற்பியலில் புள்ளிப் பெருக்கல்

இயற்பியலில் புள்ளிப் பெருக்கலின் விளைவு பரும அளவுள்ள எண்ணாக இல்லாமைல் அது ஒரு இயற்பியல் பண்புடைய ஒன்றின் அலகோடு குறிக்கப்படும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
- செய்யப்படும் வேலை என்பது விசை, நகரும் தொலைவு ஆகிய இரு திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்குத் தொகையாகும். வேலை என்பது திசை ஏதும் கொள்ளாத (திசையன் அல்லாத) பரும அளவு மட்டுமே கொண்ட அலவுப் பொருள்.

## சில பண்புகள்

**a**, **b**, மற்றும் **c** ஆகிய மூன்றும் திசையன்களாக இருப்பின், *r* என்பது பரும அளவு கொண்ட ஒன்றாக இருப்பின், கீழ்க்காணும் பண்புகள் உண்மையாகும்:  

புள்ளிப் பெருக்கல் இடமாற்றம் பண்பு கொள்ளும் (commutative):  
:<math> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}.</math>  

புள்ளிப் பெருக்கல் இருநேர்ப் பகிர்வுப் பண்பு கொள்ளும் (bilinear):  
:<math> \mathbf{a} \cdot (r\mathbf{b} + \mathbf{c})  
= r(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) +(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c}).  
</math>  

புள்ளிப் பெருக்கல் பகிர்ந்தளிப் பண்பு கொள்ளும் (distributive):  
:<math> \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}. </math>  

பரும அளவால் பெருக்கப்பட்டால் புள்ளிப்பெருக்கல் கீழ்க்காணும்படி இயங்கும்:  
:<math> (c_1\mathbf{a}) \cdot (c_2\mathbf{b}) = (c_1c_2) (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) </math>  
(இந்த கடைசி இரண்டு பண்புகளும் முதல் இரண்டு பண்புகளில் இருந்து பெறப்படும்).  

- **a** • **b** = 0 என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, திசையன்கள் **a** மற்றும் **b** இரண்டும் செங்குத்தாக இருக்கும்.

சாதாரண எண்களின் நீக்கல்விதி:  

:*ab* = *ac* எனில் *b* = *c*. (*a* ≠ 0) இவ்விதி புள்ளிப் பெருக்கத்திற்குப் பொருந்தாது.  

திசையன்களுக்கு:  

: **a** • **b** = **a** • **c** மற்றும் **a** ≠ **0** எனில்,  

: **a** • (**b** − **c**) = 0 (பங்கீட்டுப் பண்பின்படி)  

எனவே **a** மற்றும் (**b** − **c**) திசையன் இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமைகின்றன. இம்முடிவினால்:  

:(**b** − **c**) ≠ **0**, அதாவது **b** ≠ **c**.  

## அணிக் கணித ஒப்புரு

உள்முக பெருக்கலை அணிக் கணித ஒப்புரு வழிக் காட்டலாம். எடுத்துக்காட்டாக இரு திசையன்ங்கள்:  

:<math>  
\mathrm{a} = \begin{bmatrix} a_u \\ a_v \\ a_w \end{bmatrix},  
\mathrm{b} = \begin{bmatrix} a_u \\ a_v \\ a_w \end{bmatrix}  
</math>  

என்பதை அடிப்படைக் கணம் வழிக் குறிப்பிடலாம்.  

<math>\mathrm{S}</math>:  

:<math>  
\mathrm{S} = \{ \mathrm{u}, \mathrm{v} ,\mathrm{w} \} = \{  
\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{bmatrix},  
\begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix},  
\begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{bmatrix} \}  
</math>  

இதன் எந்த உள்முகப் பெருக்கலையும் கீழ்க்காணுமாறு குறிக்கலாம்:  

:<math>  
< \mathrm{a} , \mathrm{b} > =  
\mathrm{a^T} \cdot \mathrm{M} \cdot \mathrm{b}  
</math>  

இங்கு உள்முகப் பெருக்கலைக் குறிக்கும் 3x3 அணி <math>\mathrm{M}</math>  

<math>\mathrm{S}</math> மூலமாகத் தரப்பட்ட உள்முகப் பெருக்கலின் அணி <math>\mathrm{C_S}</math> எனில், <math>\mathrm{M}</math> -ன் மதிப்பைப் பின்வரும் சமன்பாட்டுத் தொகுதியைத் தீர்ப்பதன் மூலம் காணலாம்:  

<math>  
\mathrm{C_S} =  
\begin{bmatrix}  
<u,u> & <u,v> & <u,w> \\  
<v,u> & <v,v> & <v,w> \\  
<w,u> & <w,v> & <w,w>  
\end{bmatrix}  

=  
\begin{bmatrix}  
u^T \cdot M \cdot u & u^T \cdot M \cdot v & u^T \cdot M \cdot w \\  
v^T \cdot M \cdot u & v^T \cdot M \cdot v & v^T \cdot M \cdot w \\  
w^T \cdot M \cdot u & w^T \cdot M \cdot v & w^T \cdot M \cdot w  
\end{bmatrix}  
</math>  

### எடுத்துக்காட்டுகள்

அடிப்படைக் கணங்களைக் கீழ்க்காணுமாறு கொடுத்தால்  

:<math>  
\mathrm{S} = \{ \mathrm{u}, \mathrm{v} ,\mathrm{w} \} = \{  
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix},  
\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},  
\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \}  
</math>  

<math>\mathrm{S}</math> மூலமாகத் தரப்பட்ட உள்முகப் பெருக்கலின் அணி:  

:<math>  
\mathrm{C_S} =  
\begin{bmatrix}  
5 & 2 & 0 \\  
2 & 6 & 2 \\  
0 & 2 & 7  
\end{bmatrix}  
</math>  

<math>\mathrm{C_S}</math>-ன் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பின்வருமாறு இரு அடிப்படைத் திசையன்களின் உள்முகப் பெருக்கலுக்குச் சமப்படுத்தலாம்.  

:<math>  
\mathrm{C_S}[i,j] = <\mathrm{S}[i],\mathrm{S}[j]>  
</math>  

:<math>  
\mathrm{C_S}[0,0] = 5 = <\mathrm{u},\mathrm{u}> =  
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot  
\mathrm{M} \cdot  
\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}  
</math>  

:<math>  

\mathrm{C_S}[0,1] = 2 = <\mathrm{u},\mathrm{v}> =  
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot  
\mathrm{M} \cdot  
\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}  
</math>  
:<math>  

\cdots  
</math>  

இது ஒன்பது சமன்பாடுகளையும் ஒன்பது மதிப்பறியா மாறிகளையும் தருகிறது.  

இச்சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க:  

<math>  
\mathrm{M} =  
\begin{bmatrix}  
5 & -3 & -2 \\  
-3 & 7 & -2 \\  
-2 & -2 & 9  
\end{bmatrix}  
</math>