# கணம் (கணிதம்)

காணப்படும் பல்கோணிகளின் கணம்]]  
கணிதத்தில், **கணம்** அல்லது **தொடை** (*set*) என்பது பல்வேறு பொருட்களின் திரட்டு அல்லது தொகை ஆகும். இது மிகவும் எளிய கருத்தாகத் தோன்றினாலும், கணிதத்தின் ஆழம் உடைய ஓர் அடிப்படைக் கருத்துருக்களில் ஒன்றாக விளங்குகிறது. **கணம்** அல்லது **தொடை** என்பதில் உள்ள பொருட்களை *உறுப்புகள்* என்பர். எடுத்துக்காட்டாக, 4, 7, 9 ஆகிய எண்களை ஒரு தொகுதியாகக் கொண்டு அதனை C என்னும் பெயர் கொண்ட ஒரு கணமாகக் கொண்டால், C யின் உறுப்புகள் 4, 7, 9 என்பன ஆகும். ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளை நெளிந்த அடைப்புக் குறிகளுக்கு இடையே குறிப்பது வழக்கம். எடுத்துக்காட்டாக, C என்னும் கணத்தை C = {4, 7, 9} என்று குறிப்பர். கணத்தில் அளவிடக்கூடிய எண்ணிக்கையுடைய உறுப்புகள் இருப்பவையும் உண்டு, அளவிட இயலா எண்ணிக்கை உடைய உறுப்புகள் கொண்டவையும் உண்டு. ஒல்லத்தக்க (இயலக்கூடிய) கணங்களின் அமைப்புகளையும் தொடர்புகளையும் பற்றிய கோட்பாடுகளுக்குக் கணக் கோட்பாடு என்று பெயர். இத்துறை மிகவும் வளமையானது.  

கணக் கோட்பாடு, 19 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட போதிலும், இது தொடக்க வகுப்புக்களிலேயே அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு, கணிதக் கல்வியில் எங்கும் காணப்படும் ஒரு பகுதியாக ஆகியுள்ளது. தற்காலக் கணிதக் கல்விக்குப் பயன்படும் அடிப்படைக் கணித மொழிகளில் இது முக்கியமான ஒன்றாகும்.  

## வரைவிலக்கணம்
**கணம்** அல்லது **தொடை** என்பது **நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட பொருள்களின் ஒரு தொகுப்பு** ஆகும். கணமொன்றிலுள்ள பொருள்கள் **உறுப்புகள்** (elements) எனப்படுகின்றன. கணமொன்றின் உறுப்புகள், எண்கள், மக்கள், எழுத்துகள், வேறு கணங்கள் என எதுவாகவும் இருக்கலாம். கணங்களை *A*, *B*, *C*, முதலிய ஆங்கில அகர வரிசையின் பெரிய (தலைப்பு) எழுத்துக்களினால் குறிப்பது மரபு. *A* யும் *B* யும் ஆகிய இரண்டு கணங்களும் ஒரே உறுப்புக்களைக் கொண்டிருப்பின், அவையிரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று ஈடாகும் (சமனாகும்). அதாவது *A* யில் உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றும் *B* யில் உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் ஈடு (=சமம்) எனின் *A* = *B* எனக் குறிக்கப்படும்.  

அன்றாட வாழ்க்கையின் பொருட்தொகுப்புகள் அல்லது பல்கு கணங்களில் உள்ளதைப் போல ஒரு கணத்தில் இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட உறுப்புகள் ஒத்ததாக இருத்தல் கூடாது.  

### வாய்ப்பாடு

கணங்களை விவரித்தல் முறை, பட்டியல் முறை, கணக் கட்டமைப்பு முறை ஆகியவற்றின் மூலம் குறிக்கலாம்.  

### விவரித்தல் அல்லது வருணனை முறை
கணங்களை அவற்றின் உறுப்புகளின் பண்பினை விளக்கும் சொற்களைக் கொண்டு குறிக்கும் முறை விவரித்தல் முறை அல்லது வருணனை முறை (Desciption Methed) எனப்படும்.  

:எடுத்துக்காட்டாக:  
:*A* = முதல் நான்கு நேர்ம முழு எண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட கணம்.  
:*B* = இந்தியக் கொடியில் உள்ள நிறங்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட கணம்.  

### பட்டியல் முறை
நெளிந்த அடைப்புக் குறிக்குள் உறுப்புகளைப் பட்டியலிடுவதன் மூலம் (Listing Method) கணங்களை விளக்கலாம்.  

:எடுத்துக்காட்டாக:  
:*C* = {4, 2, 1, 3}  
:*D* = {காவி, வெள்ளை, பச்சை, நீலம்}  

ஏராளமான உறுப்புகளைக் கொண்ட பெரிய கணங்களைப் பொறுத்தவரை, அத்தனை உறுப்புகளையும் ஒவ்வொன்றாக எழுதிப் பட்டியலிடுதல் செயல்முறையில் மிகவும் கடினமானது. எடுத்துக்காட்டாக, *E* = {முதல் ஆயிரம் நேர்ம முழு எண்கள்} என்பதைப் பட்டியல் இடுவதென்பது எழுதுபவருக்கும், அதனை வாசிப்பவருக்கும்கூட மனச்சோர்வூட்டுகின்ற வேலையாகும். எனினும் ஒரு கணிதவியலாளர் இவ்வாறு பட்டியலிடுவதில்லை என்பதுடன், சொற்களாலும் விரித்துரைப்பதில்லை. மாற்றாகச் சுருக்கமான குறியீட்டு முறையில் பின்வருமாறு எழுதுவார்:  
:*E* = {1, 2, 3, ..., 1000}  

வாசிப்பவருக்குப் புரியக்கூடிய வகையில் ஒழுங்குமுறையில் அமைந்த உறுப்புக்களைக் கொண்ட *E* போன்ற கணமொன்றைப் பொறுத்தவரை, பட்டியலைச் சுருக்கக் குறியீடாக எழுதி விளக்க முடியும். முழுப் பட்டியலும் எச்சப்புள்ளி (**...**) குறியீட்டைப் பயன்படுத்திச் சுருக்கப்பட்டுள்ளது.  

முடிவுறாக் கணங்களையும் முப்புள்ளியைப் பயன்படுத்தி விளக்கலாம்.  
:எடுத்துக்காட்டாக:  
அனைத்து இரட்டை முழுவெண்களின் கணம்:  
:  

இக்குறியீட்டைப் பயன்படுத்தும்போது, ஒழுங்குமுறை தெளிவாகப் புரியும் வகையில் போதிய அளவு உறுப்புகள் காட்டப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, கீழேயுள்ள கணம் முதல் பதினாறு முழு எண்களையோ அல்லது இரண்டின் முதல் ஐந்து அடுக்குகளையோ குறிக்கக் கூடும்:  
:*X* = {1, 2, ..., 16}  

- அமைந்திருக்கும் ஒழுங்குமுறை இலகுவில் புரிந்துகொள்ள முடியாதபடி அமையுமாயின், மேற்காட்டிய சுருக்கிய பட்டியலின் பயன்பாட்டைத் தவிர்ப்பது நல்லது. எடுத்துக்காட்டாக,
:*F* = {–4, –3, 0, ..., 357}  
என்பதை வாசிக்கும்போது இக்கணமானது,  
:*F* = {வர்க்க எண்ணிலும் நான்கு குறைவான முதல் 20 எண்கள்},  
என்பது வெளிப்படையாகவோ தெளிவாகவோ தெரியவில்லை. இக்குறைபாட்டைக் கணக்கட்டமைப்பு முறை நிவர்த்தி செய்கிறது.  

### கணிதக்கட்டமைப்பு முறை
ஒரு கணத்திலுள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் பண்புகளை நிறைவு செய்யும் வகையில் அமைவது கணிதக்கட்டமைப்பு முறையாகும் (Set Builder Notation).  
கணிதக்கட்டமைப்பு முறையில் கணத்தை விளக்குவதற்கு கணிதக் குறியீடுகளும் சில மரபான குறிப்பு மொழிகளும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  

:எடுத்துக்காட்டாக:  
:*F* = {வர்க்க எண்ணிலும் நான்கு குறைவான முதல் 20 எண்கள்} - வருணனை முறை  
::*F* = {–4, –3, 0, ..., 357} - பட்டியல் முறை  
:*F* = {<math>n^2</math> – 4 **:** *n* ஒரு முழு எண், மற்றும் 0 ≤ *n* ≤ 19} -கணக்கட்டமைப்பு முறை  

கணக்கட்டமைப்பு முறையில் பயன்படுத்தப்படும் முக்கால் புள்ளி அல்லது விளக்கக்குறி (**:**) என்பதனை "எப்படி எனில்" அல்லது ஆங்கிலத்தில் **such that** என்று படிக்க வேண்டும்.  
:கணக்கட்டமைப்பு முறையை வாசிக்க வேண்டிய விதம்:  
“மேற்கண்ட F என்னும் கணத்தின் உறுப்புகளாவன <math>n^2</math> – 4 என்னும் வகையான எண்களாகும்; எப்படி எனில் n என்னும் முழு எண்ணானது, 0 முதல் 19 வரை, இவ்விரு எண்களும் உட்பட, உள்ள எண்களாகும்”.  

:முக்கால் புள்ளி (:)என்னும் விளக்கக் குறிக்குப் பதிலாக சில நேரங்களில் பைப் (pipe) என்னும் நெடுங்கோடும் **|** குறியாகப் பயன்படுத்தப்படும்.  

=