# கனம் (கணிதம்)


எண்கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதம் இரண்டிலும் ஒரு எண்ணின் **கனம்** (*Cube*) என்பது அந்த எண்ணின் மூன்றாம் அடுக்காகும். அதாவது அந்த எண்ணையே மூன்றுமுறை பெருக்கக் கிடைக்கும் எண்ணாகும்:  

:<math> n^3 = n \times n \times n </math>  

இந்த மதிப்பு, *n* அலகு பக்கங்கொண்ட ஒரு கனசதுரத்தின் கனஅளவாகும். இதிலிருந்துதான் இக்கருத்துருவிற்கு கனம் எனப் பெயரிடப்பட்டிருக்க வேண்டும்.  

ஒரு எண்ணின் கனம் காணும் செயலுக்கு நேர்மாறுச் செயல் *கனமூலம்* காண்பது ஆகும். எந்த எண்ணை அந்த எண்ணாலேயே மூன்றுமுறை பெருக்க *n* கிடைக்குமோ அந்த எண் *n* -ன் கனமூலம் எனப்படும். ஒரு கனசதுரத்தின் கனஅளவு *n* எனில் *n* -ன் கனமூலம் அக்கனசதுரத்தின் பக்க அளவிற்குச் சமம்.  

*n* -ன் கனமூலத்தின் குறியீடு:  

:<math>\sqrt[3]{n} </math> அல்லது n<sup>1/3</sup>  

ஒரு முழு எண்ணின் கனமானது *முழுகனம்* அல்லது *கன எண்* அல்லது *கனசதுர எண்* என அழைக்கப்படும். இவ்வெண்கள் வடிவ எண்களில் ஒரு வகையாகும்.  

எதிர்மமல்லாத முழுகனங்களின் தொடர்வரிசை :  

:0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167, 13824, 15625, 17576, 19683, 21952, 24389, 27000, 29791, 32768, 35937, 39304, 42875, 46656, 50653, 54872, 59319, 64000, 68921, 74088, 79507, 85184, 91125, 97336, 103823, 110592, 117649, 125000, 132651, 140608, 148877, 157464, 166375, 175616, 185193, 195112, 205379, 216000, 226981, 238328...  

வடிவியல் முறையில் பார்த்தோமானால் *m* எண்ணிக்கை கொண்ட ஓரலகு திட கனசதுரங்களை ஒரு பெரிய கனசதுரத்துக்குள் சரியாக அடுக்க முடிந்தால், முடிந்தால் மட்டுமே *m* ஒரு கன எண்ணாக இருக்க முடியும் (*m* ஒரு நேர்ம எண்). எடுத்துக்காட்டாக , 27 சிறிய கனசதுரங்களை ஒரு பெரிய கன சதுரத்துக்குள் (ரூபிக்கின் கனசதுரம்) அடுக்க முடியும். ஏனென்றால்:  

:<math> 27 = 3^3 = 3 \times 3 \times 3 </math>  

எதிர்ம முடிவிலியிலிருந்து நேர்ம முடிவிலி வரையுள்ள ஒவ்வொரு கன எண்ணின் அமைப்பு:  

:<math>n^3 = (n - 1)^3 + 3(n - 1)n + 1 \,</math>  

அல்லது  

:<math>n^3 = (n + 1)^3 - 3(n + 1)n - 1 \,</math>  

முதல் *n* கன எண்களின் கூடுதல் *n* -ஆம் வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட முக்கோண எண்ணாகும்:  

:<math>1^3+2^3+\dots+n^3 = (1+2+\dots+n)^2=\(\frac{n(n+1)}{2}\)^2.</math>  

எடுத்துக்காட்டாக முதல் ஐந்து கன எண்களின் கூடுதல் ஐந்தாவது முக்கோண எண்ணான 15 -ன் வர்க்கத்திற்குச் சமம்.  

:<math>1^3+2^3+3^3+4^3+5^3 = 15^2 \,</math>  

### கூட்டுத்தொடரில் அமைந்த கன எண்களின் கூடுதல்

கூட்டுத்தொடரில் உள்ள கன எண்களின் கூடுதல் ஒரு கன எண்ணாக அமையும்  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  

:<math>3^3+4^3+5^3 = 6^3</math>  

:<math>11^3+12^3+13^3+14^3 = 20^3</math>  

:<math>31^3+33^3+35^3+37^3+39^3+41^3 = 66^3</math>  

மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுக்களில் முதலாவது, *பிளாட்டோவின் எண்* எனப்படும்.  

பொது வித்தியாசம் *d* மற்றும் முதல் உறுப்பு *a<sup>3</sup>* கொண்ட *n* கன எண்களின் கூடுதல் காணும் வாய்ப்பாடு *F* :  

:<math>F(d,a,n) = a^3+(a+d)^3+(a+2d)^3+...+(a+dn-d)^3 \,</math>  

:<math>F(d,a,n) = (n/4)(2a-d+dn)(2a^2-2ad+2adn-d^2n+d^2n^2) \,</math>  

:<math>F(d,a,n) = y^3 \,</math> -ன் தீர்வு:  

- சிறப்பு வகையான *d* = 1 எனும் அடுத்தடுத்த கன எண்களுக்கு உள்ளது.
- ஆனால் *d* > 1 ஆக உள்ள முழு எண் மதிப்புகளுக்கு, ( *d* = {2,3,5,7,11,13,37,39,...}) இடையிடையே உள்ள தீர்வுகள் மட்டுமே காணப்பட்டுள்ளன.

## வரலாறு
பண்டைக் காலத்தில் மிகவும் சாதாரணமாக பெரிய எண்களின் கனங்கள் காணப்பட்டன. பழங்கால இந்திய கணிதவியலாளர் ஆரியபட்டர் அவரது புகழ்பெற்ற படைப்பான *ஆரியபட்டியத்தில்* கன எண்ணைப் பற்றி விளக்கியுள்ளார் (ஆரியபட்டியம், 2-3):  
"மூன்று சமன்களின் தொடர் பெருக்கலும், அதைப்போலவே 12 சம விளிம்புகள் கொண்ட செவ்வக திடப்பொருளும் கனம் என அழைக்கப்படுகின்றன." இதைப்போன்ற வரையறைகளை *பிரம்மபுத்தர் சித்தாந்தம்* (XVIII. 42), *கணித சார சங்கிரகா* (II. 43) மற்றும் *சித்தாந்த சேகரா* (XIII. 4) ஆகியவற்றில் காணலாம். சமஸ்கிருத்தில் உள்ளது போலவே நவீனகால கணிதத்திலும் கனம் என்ற வார்த்தை இருவிதமான கணிதப்பொருளைத் தருவது குறிப்பிடத்தக்கது. சமஸ்கிருதத்தில், *Ghhana* என்ற வார்த்தை தனக்குத்தானே மூன்று முறை பெருக்கிக் கொள்ளப்படும் ஒரு எண்ணின் அடுக்குக்காரணியையும் மற்றும் ஒரு கனவடிவையும் குறிக்கும்.