# குறுக்குப் பெருக்கு (திசையன்)

கணிதத்தில் **குறுக்குப் பெருக்கல்** அல்லது **குறுக்குப் பெருக்கு** அல்லது **திசையன் பெருக்கல்** (cross product or vector product) என்பது யூக்கிளீடிய இட வெளியில் (<math>\mathbb{R}^3</math>) உள்ள இரு திசையன்களுக்கு இடையே நிகழ்த்தும் கணிதச் செயல் (வினை) ஆகும். இந்த குறுக்கு பெருக்கலின் விளைவாக பெறப்படுவதும் ஒரு திசையனே. இந்தத் திசையன் பெருக்கப்படும் இரு திசையன்களுக்கும் செங்குத்தானதாக இருக்கும். அதாவது, அவ்விரு திசையன்கள் இருக்கும் தளத்திற்குச் செங்குத்தான திசையில் இருக்கும். இதன் குறியீடு <math>\times</math>.. இப் பெருக்கலைப் *புறப்பெருக்கல்* என்றும் கூறுவர். இப்பெருக்கல், **குறுக்குப் பெருக்கம்** எனவும் சில இடங்களில் குறிப்பிடப்படுகிறது.  

இரு திசையன்கள் ஒரே திசையில் இருந்தாலோ, நேரெதிர் திசைகளில் இருந்தாலோ அல்லது இரண்டில் ஏதாவது ஒரு திசையனின் பரும அளவு பூச்சியமாகவோ இருந்தால், அவ்விரு திசையன்களில் குறுக்குப் பெருக்கலின் மதிப்பு பூச்சியமாகும். குறுக்குப் பெருக்கல் எதிர்பரிமாற்றுப் பண்புடையது. அதாவது, . மேலும் கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப் பண்பும் கொண்டது. அதாவது, ).). இந்த **a** &times; **b** என்னும் குறுக்குப் பெருக்கானது இவ்விரண்டு திசையன்களுக்கும் செங்குத்தான திசையில் இருக்கும். பெருக்குத்தொகையின் பரும அளவு **a**, **b** ஆகியவற்றை பக்கங்களாகக் கொண்ட இணைகரத்தின் பரப்பளவு ஆகும். இதனைக் கீழ்க்காணும் வாய்பாடாகவும் குறிக்கலாம்  
:  
:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a b \sin \theta \ \mathbf{\hat{n}}</math>  

இதில் θ என்பது **a**க்கும், **b**க்கும் இடையே உள்ள கோணம் ஆகும். இக்கோணம் 0° ≤ θ ≤ 180°. *a* யும் *b* யும் **a**, **b** ஆகிய திசையன்களின் பரும அளவுகள் ஆகும். <math>\mathbf{\hat{n}}</math> என்பது **a**, **b**ஆகியவற்றுக்குச் செங்குத்தான திசையில் உள்ள அலகு திசையன் ஆகும். சில நேரங்களில் அலகு நெறிமத்தின் மேலே காட்டப்பட்டுள்ள கூரைக் குறி விடுபட்டும் இருக்கும். எனினும் அது அலகு திசையன்தான். குறுக்குப் பெருக்கலின் விளைவாக எழும் திசையனின் திசையை அறிய **a** என்னும் திசையனை **b** என்னும் திசையன் நோக்கிச் சுழற்றினால், ஒரு வலஞ்சுழி திருகாணி எத்திசையில் நகருமோ அதே திசையில் இருக்கும். இதனை படத்தில் காணலாம்.  

எண் கணிதத்தில் 2x4 = 8 என்றால், 4x2 என்பதும் 8 தான். ஆனால், திசையன்களின் பெருக்கலாகிய குறுக்குப் பெருக்கலில் **a** &times; **b** ≠ **b** &times; **a**.  

## குறுக்குப் பெருக்கம் கணக்கிடல்

### ஆயக் குறியீடு

ஒரு வலக்கை ஆள்கூற்று முறைமையில் அடிப்படை அலகு திசையன்களான **i**, **j**, **k** மூன்றும் பின்வரும் சமனி முடிவுகளை நிறைவு செய்யும்:  
:<math>\begin{align}  
\mathbf{a\times b} &=  
\begin{vmatrix}  
a_2&a_3\\  
b_2&b_3  
\end{vmatrix}\mathbf{i} -  
\begin{vmatrix}  
a_1&a_3\\  
b_1&b_3  
\end{vmatrix}\mathbf{j} +  
\begin{vmatrix}  
a_1&a_2\\  
b_1&b_2  
\end{vmatrix}\mathbf{k} \\  

&=(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} -(a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} +(a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k},  
\end{align}</math>  

இந்த விரிவு **a** **x** **b** திசையனின் கூறுகளை நேரடியாகத் தருகிறது.  

## பண்புகள்
### வடிவவியல் பொருள்

**a** , **b** திசையன்களின் குறுக்குப்பெருக்கலின் பரும அளவு **a** , **b** திசையன்களை அடுத்துள்ள பக்கங்களாகக் கொண்ட இணைகரத்தின் நேர்மப் பரப்பளவுக்குச் சமமாக இருக்கும்:]]  

- இரு திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கல் ஒரு பூச்சிய திசையன் எனில் (:
அவ்விரு திசையன்களில் ஏதேனும் ஒரு திசையன் பூச்சியத் திசையனாகவோ ( அல்லது ) அல்லது இரு திசையன்களும் இணை அல்லது எதிர் இணையானவையாகவோ இருக்கும். ( => அல்லது => ).  

- தன் குறுக்குப் பெருக்கல் ஒரு பூச்சியத் திசையனாகும்:
:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{a} = \mathbf{0}</math>  
- எதிர்பரிமாற்றுத்தன்மை கொண்டது,
:<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a}),</math>  
- கூட்டலின் மீதான பங்கீட்டுப்பண்டுடையது:
: <math>\mathbf{a} \times (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) + (\mathbf{a} \times \mathbf{c}),</math>  
- திசையிலி பெருக்கத்துடன் இயைபுடையது:
:<math>(r\,\mathbf{a}) \times \mathbf{b} = \mathbf{a} \times (r\,\mathbf{b}) = r\,(\mathbf{a} \times \mathbf{b}).</math>  

- சேர்ப்புப் பண்பு கொண்டதில்லை எனினும் ஜேக்கோபி முற்றொருமையை நிறைவு செய்கிறது:
:<math>\mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) + \mathbf{b} \times (\mathbf{c} \times \mathbf{a}) + \mathbf{c} \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) = \mathbf{0}.</math>  

- நீக்கல் விதியை நிறைவு செய்வதில்லை:
: எனும்போது என்பது உண்மையாகாது. எனினும்:  
:<math> \begin{align}  
\mathbf{0} &= (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) - (\mathbf{a} \times \mathbf{c})\\  
&= \mathbf{a} \times (\mathbf{b} - \mathbf{c}).\\  
\end{align}</math>  

இதிலிருந்து **a** , இரண்டும் இணை திசையன்கள். எனவே ஒன்று மற்றொன்றின் திசையிலி மடங்காக இருக்கும்:  
:<math>\mathbf{b} - \mathbf{c} = t\,\mathbf{a},</math>  
:<math>\mathbf{c} = \mathbf{b} + t\,\mathbf{a},</math> இங்கு *t* ஒரு திசையிலி.  

மேலும் , மற்றும் ஆக இருக்கும்பட்சத்தில்:  
:<math>\begin{align}  
\mathbf{a} \times (\mathbf{b} - \mathbf{c}) &= \mathbf{0} \\  
\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} - \mathbf{c}) &= 0,  
\end{align}</math>  
, **a** ஆகிய இரு திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கல் பூச்சியமாகையால் அவை இணை திசையன்கள்; மேலும் அவற்றின் புள்ளிப்பெருக்கல் பூச்சியம் என்பதால் அவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தானவை. ஆனால் இரு திசையன்கள் ஒரே சமயத்தில் இணையானதாகவும் செங்குத்தானதாகவும் இருக்க முடியாது. எனவே ஒரு பூச்சியத் திசையனாக இருக்க வேண்டும். அதாவது .