# வகையிடலின் சங்கிலி விதி

நுண்கணிதத்தில் **வகையிடலின் சங்கிலி விதி** அல்லது **சங்கிலி விதி** (*chain rule*) என்பது வகையிடல் விதிகளுள் ஒன்றாகும். இவ்விதி, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்பினை வகையிடும் வழிமுறையைத் தருகிறது. இதன் வாய்ப்பாட்டில், *f* , *g* எனும் இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்பான இன் வகைக்கெழு *f* , *g* இன் வகைக்கெழுக்கள் மூலம் தரப்படுகிறது.  

வகையிடலிலுள்ள இந்தச் சங்கிலி விதிக்கு ஒத்ததாக தொகையிடலிலுள்ள விதி, பிரதியிடல் விதியாகும்.  

## வரலாறு
சங்கிலி விதி முதன்முதலில் லைப்னிட்சால் பயன்படுத்தப்பட்டதாகத் தெரியவருகிறது. <math>\sqrt{a + bz + cz^2}</math> என்ற சார்பை வகையிடும் போது இவ்விதி லைப்னிட்சால் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. மேலே தரப்பட்ட சார்பானது, வர்க்கமூலம் காணல் மற்றும் <math>a + bz + cz^2</math> ஆகிய சார்புகளின் சேர்ப்பாக அமைகிறது. அவரது நினைவுக் குறிப்பொன்றில் அவரால் இதுபற்றிய குறிப்பு தரப்பட்டுள்ளது. சங்கிலி விதியின் பொதுக் குறியீடு, லைப்னிட்சினுடையதாகும். பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் *லோபிதால்* (L'Hôpital) தனது *Analyse des infiniment petits* புத்தகத்தில் சங்கிலி விதியை மறைமுகமாகப் பயன்படுத்தியிருந்தாலும் வெளிப்படையாக அதுபற்றி எதுவும் குறிப்பிடவில்லை. லைப்னிட்சின் கண்டுபிடிப்பிற்கு நூறாண்டுகளுப்பின் எழுதப்பட்ட ஆய்லரின் பகுப்பியல் புத்தகங்களிலும் சங்கிலி விதி குறித்த எந்தவிதமானதொரு கருத்தும் காணப்படவில்லை.  

## ஒரு பரிமாணத்தில்

### எடுத்துக்காட்டு 1
வானூர்தியிலிருந்து ஒருவர் வானில் குதித்த *t* வினாடிகளுக்குப் பின்,  

:கடல் மட்டத்திலிருந்து அவருள்ள இடத்தின் உயரம், .  
:*h* அலகு உயரத்தில் வளிமண்டல அழுத்தம், .  

இவ்விரண்டு சார்புகளையும் வகையிட்டும், இரண்டையும் சேர்த்தும் பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறலாம்:  

- <math>g'(t) = -9.8t</math> இது குதித்தவரின் திசைவேகத்தை *t* நேரத்தில் தருகிறது.
- <math>f'(h) = -10.1325 e^{-0.0001h} </math> இது *h* உயரத்தில், வளிமண்டல அழுத்தத்தின், உயரத்தைப் பொறுத்த மாறுவீதத்தைத் தருகிறது. மேலும் இது கடல் மட்டத்திலிருந்து *h* மீட்டர் உயரத்தில், குதித்தவர் மீது செயல்படும் மிதப்பு விசைக்கு விகிதத்தில் அமையும்.
- <math>(f \circ g)(t) </math> இது குதித்து *t* வினாடிகள் ஆனபின், குதித்தவர் உணரும் வளிமண்டல அழுத்தமாகும்.
- <math>(f \circ g)'(t) </math> இது, குதித்து *t* வினாடிகளுக்குப்பின் குதித்தவர் உணரும் வளிமண்டல அழுத்தத்தின், நேரத்தைப் பொறுத்த மாறுவீதமாகும். மேலும் இது குதித்து *t* வினாடிகளுக்குப் பின் குதித்தவர் மீது செயல்படும் மிதப்பு விசைக்கு விகிதத்தில் அமையும்.

சங்கிலி விதியின் வாய்ப்பாடு:  

:<math>(f \circ g)'(t) = f'(g(t))g'(t).</math>  

இவ்வாய்ப்பாட்டின்படி மேலே குறிப்பிடப்பட்ட வளிமண்டல அழுத்தத்தின் மாறுவீதம்:  

:<math>(f \circ g)'(t) = \big(\mathord{-}10.1325e^{-0.0001(4000 - 4.9t^2)}\big)\cdot\big(\mathord{-}9.8t\big).</math>  

### சங்கிலி விதியின் கூற்று

ஒருமாறியில் அமைந்த மெய்யெண் மதிப்புச் சார்புகளுக்கு இவ்விதி எளிய வடிவில் அமைகிறது.  

*g* என்ற சார்பு *c* புள்ளியில் வகையிடத்தக்கதாகவும் (*g*&prime;(*c*) உள்ளது), *f* சார்பு *g*(*c*) இல் வகையிடத்தக்கதாகவும் இருந்தால், இவ்விரண்டு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பு *f*&nbsp;∘&nbsp;*g* -ம் *c* இல் வகையிடத் தக்கதாக இருக்கும். மேலும் அதன் வகைக்கெழு:  

:<math> (f\circ g)'(c) = f'(g(c))\cdot g'(c) </math>  

:<math>(f\circ g)' = (f'\circ g) \cdot g'\, </math> எனச் சுருக்கமாக எழுதலாம்.  

, எனில் லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:  

:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.</math>  

வகையிடப்படும் இடங்களைக் குறிப்பிட்டுப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:  

:<math>\.\frac{dy}{dx}\_{x=c} = \.\frac{dy}{du}\_{u = g(c)} \cdot \.\frac{du}{dx}\_{x=c}.\, </math>  

#### இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளுக்கு
இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட சார்புகளின் சேர்ப்புச் சார்புக்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தலாம். *f*, *g*, *h* சார்புகளின் சேர்ப்பு என்பது (இதே வரிசையில்), *f* சார்புடன் சார்பின் சேர்ப்பாகும். சார்பின் வகைக்கெழு காண, *f* இன் வகைக்கெழுவும் இன் வகைக்கெழுவும் காண வேண்டும். *f* இன் வகைக்கெழுவை நேரிடையாகவும் இன் வகைக்கெழுவைச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தியும் காணலாம்.  

புள்ளியில்,  

:<math>(f \circ g \circ h)'(a) = f'((g \circ h)(a))(g \circ h)'(a) = f'((g \circ h)(a))g'(h(a))h'(a)</math>  

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:  

:<math>\frac{dy}{dx} = \.\frac{dy}{du}\_{u=g(h(a))}\cdot\.\frac{du}{dv}\_{v=h(a)}\cdot\.\frac{dv}{dx}\_{x=a}</math>  
அல்லது சுருக்கமாக,  
:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}</math>  

எடுத்துக்காட்டு:  

:<math>y = e^{\sin {x^2}}</math>  

இச்சார்பை கீழ்க்காணும் சார்புகளின் தொகுப்பாகக் கொள்ளலாம்:  

:<math>\begin{align}  
y &= f(u) = e^u, \\  
u &= g(v) = \sin v, \\  
v &= h(x) = x^2.  
\end{align}</math>  

இவற்றின் வகைக்கெழுக்கள்:  

:<math>\begin{align}  
\frac{dy}{du} &= f'(u) = e^u, \\  
\frac{du}{dv} &= g'(v) = \cos v, \\  
\frac{dv}{dx} &= h'(x) = 2x.  
\end{align}</math>  

சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:  
:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}</math>  

:<math>\frac{dy}{dx} = e^{\sin {x^2}}\cdot\cos{x^2}\cdot 2x</math>  

சார்பை மற்றும் *h* சார்புகளின் தொகுப்பாகவும் எடுத்துக் கொள்ளலாம்.  

இம்முறையில் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:  

:<math>(f \circ g \circ h)'(a) = (f \circ g)'(h(a))h'(a) = f'(g(h(a))g'(h(a))h'(a).</math>  

இந்த முடிவும் முதலில் கணக்கிட்டதும் சமமாகவே உள்ளதற்குக் காரணம்  
:<math>(f \circ g )\circ h = f \circ (g \circ h) </math> என்பதே.  

#### வகுத்தல் விதி
சில வகையிடல் விதிகளைச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி அடையலாம். எடுத்துக்காட்டாக, வகுத்தல் விதியைச் சங்கிலி விதி, பெருக்கல் விதி இரண்டையும் பயன்படுத்திப் பெறலாம்.  

:<math>\begin{align}  
\frac{d}{dx}\(\frac{f(x)}{g(x)}\)  
&= \frac{d}{dx}\(f(x)\cdot\frac{1}{g(x)}\) \\  
&= f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\frac{d}{dx}\(\frac{1}{g(x)}\).  
\end{align}</math>  

பெருக்கல் விதிப்படி இம்முடிவு கிடைத்துள்ளது. இதற்குப்பின் 1/*g*(*x*) சார்பானது, *g* மற்றும் தலைகீழிச் சார்பின் சேர்ப்பாக எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டு கொண்டு சங்கிலி விதிப்படி வகையிடப்படுகிறது. தலைகீழிச் சார்பு *x* உடன் 1/*x* ஐ இணைக்கிறது. 1/*x* இன் வகைக்கெழு &minus;1/*x*<sup>2</sup>.  

என்வே மேலுள்ள முடிவிற்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:  

:<math>f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\(-\frac{1}{g(x)^2}\cdot g'(x)\)  
= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2},</math>  
இதுவே வகையிடலின் வகுத்தல் விதியாகும்.  

#### நேர்மாறுச் சார்புகளின் வகைக்கெழுக்கள்
சார்புக்கு, நேர்மாறுச் சார்பு உள்ளது எனில் அதனை *f* எனக் கொண்டால், ஆகும். *f* இன் வகைக்கெழுவை, *g* இன் வகைக்கெழு மூலம் காண முடியும்.  

*g* இன் நேர்மாறுச் சார்பு *f* என்பதால்,  
:<math>f(g(x)) = x.</math>  

எனவே இருபுறமுமுள்ள சார்புகளின் வகைக்கெழுக்களும் சமமாக இருக்கும். *x* இன் வகைக்கெழு 1.  

:<math>f'(g(x))g'(x) = 1.</math>  

:<math> f(y) = x </math>எனப் பிரதியிட,  

:<math>\begin{align}  
f'(g(f(y)))g'(f(y)) &= 1 \\  
f'(y)g'(f(y)) &= 1 \\  
f'(y) = \frac{1}{g'(f(y))}.  
\end{align}</math>  

எடுத்துக்காட்டு:  

:<math> g(x) = e^x </math> எனில்,  

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு: <math> f(y) = \ln y </math>  

மேலும் வகைக்கெழு,  

:<math> g'(x) = e^x .</math>  

எனவே நேர்மாறுச் சார்பின் வகைக்கெழு காண மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாட்டின்படி:  

:<math>\frac{d}{dy}\ln y = \frac{1}{e^{\ln y}} = \frac{1}{y}.</math>  

*g* , அதன் நேர்மாறு *f* இரண்டும் வகையிடத் தக்கவையாக இருந்தால் இவ்வாய்ப்பாடு உண்மையாகும். இரண்டில் ஏதேனும் ஒன்று வகையிடத் தக்கதாக இல்லையெனில் இவ்வாய்ப்பாடு பயனளிக்காது.  

எடுத்துக்காட்டாக,  

:<math> g(x) = x^3 .</math> எனில் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு:  

:<math> f(y) = y^\frac{1}{3} </math>  

இச்சார்பு x=0 இல் வகையிடத்தக்கது இல்லை. எனவே சார்பு *f* இன் வகைக்கெழுவை x=0 இல் மேற்கூறப்பட்ட வாய்ப்பாட்டினைப் பயன்படுத்திக் காண முற்பட்டால் 1/0 எனக் கிடைக்கும். இது வரையறுக்கப்படாத ஒன்றாகும். எனவே இங்கு இவ்வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த முடியாது.  

### உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்
*ஃபா டி புருனோவின் வாய்ப்பாடு*, சங்கிலி விதியை உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்களுக்கு பொதுமைப்படுத்துகிறது.  

:<math>\frac{d (f \circ g) }{dx} = \frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}</math>  
:<math>  
\frac{d^2 (f \circ g) }{d x^2}  
= \frac{d^2 f}{d g^2}\(\frac{dg}{dx}\)^2  
+ \frac{df}{dg}\frac{d^2 g}{dx^2}  
</math>  
:<math>  
\frac{d^3 (f \circ g) }{d x^3}  
= \frac{d^3 f}{d g^3} \(\frac{dg}{dx}\)^3  
+ 3 \frac{d^2 f}{d g^2} \frac{dg}{dx} \frac{d^2 g}{d x^2}  
+ \frac{df}{dg} \frac{d^3 g}{d x^3}  
</math>  
:<math>  
\frac{d^4 (f \circ g) }{d x^4}  
=\frac{d^4 f}{dg^4} \(\frac{dg}{dx}\)^4  
+ 6 \frac{d^3 f}{d g^3} \(\frac{dg}{dx}\)^2 \frac{d^2 g}{d x^2}  
+ \frac{d^2 f}{d g^2} \\{ 4 \frac{dg}{dx} \frac{d^3 g}{dx^3} + 3\(\frac{d^2 g}{dx^2}\)^2\\}  
+ \frac{df}{dg}\frac{d^4 g}{dx^4}.  
</math>  

## உயர்பரிமாணங்களில் சங்கிலி விதி
உயர்பரிமாணங்களுக்கு சங்கிலி விதியின் எளிமையான பொதுமைப்படுத்தலில் முழு வகைக்கெழு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு சார்பின் முழு வகைக்கெழு அச்சார்பு எல்லாத் திசைகளிலும் எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதைக் குறிக்கும் நேரியல் உருமாற்றமாகும்.  

இரண்டும் வகையிடத்தக்க சார்புகள். *D* முதல் வகைக்கெழுச் செயலி எனில்,  

**R**<sup>*n*</sup> இல் அமைந்த ஒரு புள்ளி **a** எனில், உயர்பரிமாணச் சங்கிலி விதியின் வாய்ப்பாடு:  

:<math>D_{\mathbf{a}}(f \circ g) = D_{g(\mathbf{a})}f \circ D_{\mathbf{a}}g,</math>  
அல்லது சுருக்கமாக,  
:<math>D(f \circ g) = Df \circ Dg.</math>  

ஜேக்கோபிய அணிகளின் வாயிலாக இவ்விதி:  
:<math>J_{\mathbf{a}}(f \circ g) = J_{g(\mathbf{a})}(f)J_{\mathbf{a}}(g),</math>  

பகுதி வகைக்கெழுவிற்கு:  

மற்றும் எனில்:  

:<math>\frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)} = \frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial(u_1, \ldots, u_m)}\frac{\partial(g_1, \ldots, g_m)}{\partial(x_1, \ldots, x_n)}.</math>  

:<math>\frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial x_i} = \frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial(u_1, \ldots, u_m)}\frac{\partial(g_1, \ldots, g_m)}{\partial x_i}.</math>  
:<math>\frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial x_i} = \sum_{\ell = 1}^m \frac{\partial(f_1, \ldots, f_k)}{\partial u_\ell}\frac{\partial g_\ell}{\partial x_i}.</math>  

எனில், *f* ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பாகும். இதற்கான வாய்ப்பாடு:  
:<math>\frac{\partial f}{\partial x_i} = \sum_{\ell = 1}^m \frac{\partial f}{\partial u_\ell}\frac{\partial g_\ell}{\partial x_i}.</math>  

### எடுத்துக்காட்டு

:<math>\,u = x^2 + 2y,</math> <math>\,x = r\sin(t),</math> <math>\,y = \sin^2(t)</math>  

சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:  
:<math>\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r} = \(2x\)\(\sin(t)\)+\(2\)\(0\)=2r\sin^2(t)</math>  
மற்றும்  
:<math>\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t} = \(2x\)\(r\cos(t)\)+\(2\)\(2\sin(t)\cos(t)\)</math>  
:<math> = 2\(r\sin(t)\)r\cos(t)+4\sin(t)\cos(t) = 2\(r^2+2\)\sin(t)\cos(t).</math>  

### பலமாறிச் சார்புகளின் உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

ஃபா டி புருனோவின் வாய்ப்பாடு ஒரு மாறியில் அமைந்த சார்புகளின் உயர்வரிசை வகைடிடலைப் பலமாறிகளில் அமைந்த சார்புகளுக்குப் பொதுமைப்படுத்துகிறது.  

இன் சார்பாக *f* இருந்தால் இன் இரண்டாம் வகைக்கெழு:  

:<math>\frac{\partial^2 (f \circ g)}{\partial x_i \partial x_j} = \sum_k \frac{\partial f}{\partial u_k}\frac{\partial^2 g_k}{\partial x_i \partial x_j} + \sum_{k, \ell} \frac{\partial^2 f}{\partial u_k \partial u_\ell}\frac{\partial g_k}{\partial x_i}\frac{\partial g_\ell}{\partial x_j}.</math>