# ஈருறுப்புப் பரவல்


</math>  
| kurtosis = <math>\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}</math>  
| entropy = <math> \frac12 \log_2 \big( 2\pi e\, np(1-p) \big) + O \( \frac{1}{n} \) </math>  
| mgf = <math>(1-p + pe^t)^n \!</math>  
| char = <math>(1-p + pe^{it})^n \!</math>  
}}  

நிகழ்தகவுக் கோட்பாடு, புள்ளியியல் இரண்டிலும் *n*, *p* பண்பளவைகளைக் கொண்ட **ஈருறுப்பு பரவல்** (*binomial distribution*) ஒரு தனிநிலை நிகழ்தகவுப் பரவலாகும். *n* - ஆனது சார்பற்ற, "வெற்றி" அல்லது "தோல்வி" என்ற இரு விளைவுகளை மட்டுமே கொண்ட, சார்பற்ற, தொடர்ச்சியான பெர்னௌலி முயற்சிகளின் எண்ணிக்கையையும், *p* ஆனது ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவையும் குறிக்கும் (தோல்வியின் நிகழ்தகவு (<math>q=1-p</math>)). *n*&nbsp;=&nbsp;1, எனில் ஈருறுப்புப் பரவல் பெர்னௌலியின் பரவல் எனப்படும். புள்ளியியல் பொருளுண்மையின் ஈருறுப்புச் சோதனைக்கு ஈருறுப்புப் பரவலே அடிப்படையானதாகும்  
இந்தப் பரவல் கணிதவியலாளர் ஜேக்கப் பெர்னெளலியால் கண்டறியப்பட்டது. பெர்னௌலி *p* = *r*/(*r*&nbsp;+&nbsp;*s*) (*p* - வெற்றியின் நிகழ்தகவு; *r* , *s* இரண்டும் நேர்ம முழுஎண்கள்) எனவும் பிலைசு பாஸ்கல் *p*&nbsp;=&nbsp;1/2 எனவும் எடுத்துக்கொண்டனர்.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்
- ஒரு சீரான பகடையை பத்து முறை உருட்டிவிட்டு, "ஆறு" எத்தனை முறை விழுகிறது என்பதை எண்ணிக்கொள்க. சமவாய்ப்புள்ள இந்த எண்ணின் பரவல், *n* = 10 மற்றும்*p* = 1/6 உள்ள ஒரு ஈருறுப்பு பரவலாகும்.

- ஒரு நாணயத்தை மூன்று முறை சுண்டிவிட்டு எத்தனை முறை "தலை" விழுகிறது என எண்ணுதல். சமவாய்ப்புள்ள இந்த எண்ணின் பரவல், *n* = 3 மற்றும் *p* = 1/2 உள்ள ஒரு ஈருறுப்பு பரவலாகும்.

## வரையறைகள்
### நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு
சமவாய்ப்பு மாறி *K* இன் *n* மற்றும் *p* பண்பளவைகளைக் கொண்ட ஈருறுப்பு பரவலைப் பின்பற்றுகிறது என்பதைக் குறிக்கும் குறியீடு:  
:*K* ~ B(*n* , *p*)  

ஈருறுப்புப் பரவலில், *n* சார்பற்ற முயற்சிகளில் சரியாக *k* வெற்றிகள் கிடைக்கும் நிகழ்தகவு பின்வரும் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பால் (நிகழ்தகவுப் பொருண்மச் சார்பு) தரப்படுகிறது:  
:<math> \Pr(K = k) = f(k;n,p) </math>  
::<math> \Pr(K = k) = {n\choose k}p^k(1-p)^{n-k},</math> *k* = 0, 1, 2, ..., *n*  

இதிலுள்ள  
:<math>{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> என்பது ஈருறுப்புக் குணகமாதலால் இப்பரவல் ஈருறுப்புப் பரவலெனப்படுகிறது.  

ஈருறுப்பு பரவல் நிகழ்தகவின் குறிப்பு அட்டவணைகளை தயாரிக்கும்போது, பொதுவாக அட்டவணை *n* /2 மதிப்புகள் வரை நிரப்பப்படுகிறது. ஏனெனில் *k* > *n* /2 ஆக இருக்கும்போது, நிகழ்தகவுகள் முன்னவற்றின் நிரப்பிகளாக இருக்கும்.  
:<math>f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p).\,\!</math>  

### எடுத்துக்காட்டு
சுண்டப்பட்ட நாணயம் சமச்சீரானதாக இல்லமால், தலை விழுவதற்கான (வெற்றி) நிகழ்தகவு 0.3 எனில், 6 நாணயச் சுண்டல்களில் சரியாக 4 தலைகள் விழுவதற்கான நிகழ்தகவு:  
:<math>f(4,6,0.3) = \binom{6}{4}0.3^4 (1-0.3)^{6-4}= 0.059535.</math>  

### குவிப் பரவல் சார்பு
குவிப் பரவல் சார்பு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:  
:<math>F(x;n,p) = \Pr(X \le x) = \sum_{i=0}^{\lfloor x \rfloor} {n\choose i}p^i(1-p)^{n-i}.</math>  
:<math>\lfloor x\rfloor</math> என்பது *x* க்கு சமமான அல்லது குறைவான மிகப் பெரிய முழு எண்.  

## பண்புகள்
### சராசரியும் பரவற்படியும்
:*X* ~ *B*(*n*, *p*); அதாவது சமவாய்ப்பு மாறி *X* ஆனது, *n* முயற்சிகளையும் ஒவ்வொரு முயற்சியிலும் வெற்றியின் நிகழ்தகவு *p* ஆகவும் கொண்ட ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றுகிறது எனில்,  
; பரவலின் சாராசரியின் மதிப்பு (எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு):  
:<math>\bar{X}= \operatorname{E}[X] = np.</math>  

ஒவ்வொரு சமவாய்ப்பு மாறியும் ஐ எதிர்பார்ப்பு மதிப்பாகக் கொண்ட, முற்றொத்த பெர்னௌலியின் சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூட்டுத்தொகையாக சமவாய்ப்பு மாறி இருக்கும். அதாவது, <math>X_1, \ldots, X_n</math> என்பவை முற்றொத்த, சாராத பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகள்; அவை ஒவ்வொன்றின் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பும் எனில்:  
:<math>X = X_1 + \cdots + X_n</math>  
:<math>\operatorname{E}[X] = \operatorname{E}[X_1 + \cdots + X_n] = \operatorname{E}[X_1] + \cdots + \operatorname{E}[X_n] = p + \cdots + p = np.</math>  

;பரவற்படி:  
:<math> \operatorname{Var}(X) = npq = np(1 - p).</math>  

### விலக்கப் பெருக்குத் தொகை
சமவாய்ப்பு மாறியின் விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள் இருவகைப்படும்.  
- ஆதியைப் பொறுத்த விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்
- சராசரியைப் பொறுத்த விலக்கப் பெருக்குத் தொகை அல்லது மைய விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள்

ஆதியைப் பொறுத்த முதல் இரு விலக்கப் பெருக்குத்தொகைகள்:  
:<math>\begin{align}  
\operatorname {E}[X] &= np, \\  
\operatorname {E}[X^2] &= np(1-p)+n^2p^2,  
\end{align}</math>  

பொதுவான வரையறை:  
:<math>  
\operatorname {E}[X^c] = \sum_{k=0}^c \\{ {c \atop k} \\} n^{\underline{k}} p^k,  
</math>  

இதில், <math>\textstyle \\ = n(n-1)\cdots(n-k+1)</math> என்பது <math>n</math> இன்<math>k</math> ஆவது வீழும் தொடர்பெருக்கம்.  

மைய விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்:  
;வரையறை:  
:<math> \mu _{c}=\operatorname {E} \[(X-\operatorname {E} [X])^{c}\] </math>  
:முதல் 6 மைய விலக்கப் பெருக்குத் தொகைகள்:  
:<math>\begin{align}  
\mu_1 &= 0, \\  
\mu_2 &= np(1-p),\\  
\mu_3 &= np(1-p)(1-2p),\\  
\mu_4 &= np(1-p)(1+(3n-6)p(1-p)),\\  
\mu_5 &= np(1-p)(1-2p)(1+(10n-12)p(1-p)),\\  
\mu_6 &= np(1-p)(1-30p(1-p)(1-4p(1-p))+5np(1-p)(5-26p(1-p))+15n^2 p^2 (1-p)^2).  
\end{align}</math>  

### முகடு
*B*(*n*, *p*) என்ற ஈருறுப்புப் பரவலின் முகடு <math>\lfloor (n+1)p\rfloor</math> ஆகும். இதில் <math>\lfloor\cdot\rfloor</math> ஆனது மீப்பெரு முழுஎண் சார்பு.  

- (*n*&nbsp;+&nbsp;1)*p* ஒரு முழுஎண்ணாகவும், *p* இன் மதிப்பு, 0 அல்லது 1 ஆகவும் இல்லாமல் இருந்தால் ஈருறுப்புப் பரவலுக்கு (*n*&nbsp;+&nbsp;1)*p*, (*n*&nbsp;+&nbsp;1)*p*&nbsp;−&nbsp;1 என்ற இரு முகடுகள் இருக்கும்.
- *p* இன் மதிப்பு 0 அல்லது 1 ஆக இருந்தால் முகடு முறையே 0 அல்லது *n* ஆக இருக்கும்.

இவற்றைப் பின்னுள்ளவாறு ஒன்றுபடுத்தி எழுதலாம்:  
: <math>\text{mode} =  
\begin{cases}  
\lfloor (n+1)\,p\rfloor & \text{if }(n+1)p\text{ is 0 or a noninteger}, \\  
(n+1)\,p\ \text{ and }\ (n+1)\,p - 1 &\text{if }(n+1)p\in\{1,\dots,n\}, \\  
n & \text{if }(n+1)p = n + 1.  
\end{cases}</math>  

;நிறுவல்:  
:<math>f(k)=\binom nk p^k q^{n-k}.</math> எனக் கொள்க.  

வகை 1  
:<math>p=0</math> அல்லது <math>p=1</math>:  
- <math>p=0</math> ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே <math>f(0)</math> க்கு சுழியமற்ற மதிப்பாக <math>f(0)=1</math> ஆக இருக்கும்.
- <math>p=1</math> எனில் <math>f(n)=1</math> மற்றும் <math>f(k)=0</math> (<math>k\neq n</math>) எனக் கண்டுபிடிக்கலாம்.

மேற்கண்ட இரு முடிவுகளிலுமிருந்து  
:<math>p=0</math> எனில் முகடு = 0; <math>p=1</math> எனில் முகடு = 1 எனப் பெறப்படுகிறது.  

வகை 2  
:<math>0 < p < 1</math>  
<math>0 < p < 1</math> எனில்:  
:<math>\frac{f(k+1)}{f(k)} = \frac{(n-k)p}{(k+1)(1-p)}</math>. இதிலிருந்து பின்வரும் முடிவுகளைப் பெறலாம்:  
:<math>\begin{align}  
k > (n+1)p-1 \Rightarrow f(k+1) < f(k) \\  
k = (n+1)p-1 \Rightarrow f(k+1) = f(k) \\  
k < (n+1)p-1 \Rightarrow f(k+1) > f(k)  
\end{align}</math>  

எனவே <math>(n+1)p-1</math> ஒரு முழுஎண்ணாக இருந்தால், <math>(n+1)p-1,</math> <math>(n+1)p</math> இரண்டும் முகடுகள். <math>(n+1)p-1\notin \Z</math> (முழுஎண் இல்லையெனில்) <math>\lfloor (n+1)p-1\rfloor+1=\lfloor (n+1)p\rfloor</math> மட்டுமே முகடு.  

### இடைநிலையளவு
பொதுவாக ஈருறுப்புப் பரவலின் இடைநிலையளவைக் காண்பதற்கான தனித்த வாய்பாடு எதுமில்லை. எனினும் இடைநிலையளவு குறித்து பல முடிவுகள் எட்டப்பட்டுள்ளன.  
- *np* ஒரு முழு எண் எனில் சராசரி, இடைநிலையளவு, முகடு ஆகிய மூன்றும் *np* க்குச் சமமாக இருக்கும்.
- இடைநிலையளவு *m* எனில், ⌊*np*⌋&nbsp;≤&nbsp;*m*&nbsp;≤&nbsp;⌈*np*⌉.
- இடைநிலையளவு *m*, சராசரியிலிருந்து அதிகத் தொலைவில் இருக்க முடியாது:
: }.  
- |*m*&nbsp;−&nbsp;*np*|&nbsp;≤&nbsp;min{*p*,&nbsp;1&nbsp;−&nbsp;*p*} (*p*&nbsp;=&nbsp; மற்றும் *n* ஒற்றையெண் என்ற நிலை தவிர) எனில், இடைநிலையளவு தனித்த மதிப்புடையது; *m*&nbsp;=&nbsp;முழுமை(*np*)
- *p*&nbsp;=&nbsp;1/2 மற்றும் *n* ஒற்றையெண் எனில், (*n*&nbsp;−&nbsp;1)&nbsp;≤&nbsp;*m*&nbsp;≤&nbsp;(*n*&nbsp;+&nbsp;1) என்ற இடைவெளியிலமைந்த எந்தவொரு எண் *m* உம் இடைநிலையளவாக இருக்கும்.
- *p*&nbsp;=&nbsp;1/2 மற்றும் *n* இரட்டையெண் எனில், *m*&nbsp;=&nbsp;*n*/2 என்பது முகட்டின் தனித்த மதிப்பாகும்.

## தொடர்புள்ள பிற பரவல்கள்

### ஈருறுப்புப் பரவல்களின் கூட்டுத்தொகை
*X*&nbsp;~&nbsp;B(*n*,&nbsp;*p*), *Y*&nbsp;~&nbsp;B(*m*,&nbsp;*p*) இரண்டும் சார்பற்ற ஆனால் சம நிகழ்தகவு *p* உடைய இரு ஈருறுப்புப் பரவல்கள் எனில், *X*&nbsp;+&nbsp;*Y* என்ற சமவாய்ப்பு மாறியும் அதே நிகழ்தகவுடன் ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றும்: *Z=X+Y*&nbsp;~&nbsp;B(*n+m*,&nbsp;*p*):  

:<math>\begin{align}  
\operatorname P(Z=k) &= \sum_{i=0}^k\[\binom{n}i p^i (1-p)^{n-i}\]\[\binom{m}{k-i} p^{k-i} (1-p)^{m-k+i}\]\\  
&= \binom{n+m}k p^k (1-p)^{n+m-k}  
\end{align}</math>  

ஈருறுப்புப் பரவலைப் பின்பற்றும் *X*&nbsp;~&nbsp;B(*n*,&nbsp;*p*) என்ற சமவாய்ப்பு மாறியை, *n* பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலாகக் கொள்ளமுடியும். *X*&nbsp;~&nbsp;B(*n*,&nbsp;*p*), *Y*&nbsp;~&nbsp;B(*m*,&nbsp;*p*) என்ற சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதல் *n*&nbsp;+&nbsp;*m* பெர்னௌலி சமவாய்ப்பு மாறிகளின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும். அதாவது *Z=X+Y*&nbsp;~&nbsp;B(*n+m*,&nbsp;*p*).  

*X* , *Y* இரண்டும் ஒரே நிகழ்தகவைக் (*p*) கொண்டிருக்காவிட்டால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகைப் பரவலின் பரவற்படியானது, <math>B(n+m, \bar{p}).\,</math> இன் பரவற்படியைவிடச் சிறியதாக இருக்கும்.  

### பெர்னௌலி பரவல்
பெர்னௌலி பரவல் என்பது *n* = 1 என உள்ள ஈருறுப்பு பரவலின் சிறப்புத் தன்மை ஆகும். குறியீடாக, *X* ~ B(1, *p*) என எழுதப்படுகிறது  

### பாய்ஸான் பரவல்
ஈருறுப்பு பரவலின் எல்லையாகப் பாய்சான் பரவல் பெறப்படுகிறது. *np* பெருக்குத்தொகை நிலையாக இருந்து நிகழ்வுகளின் எண்ணிக்கை *n* முடிவிலியை நோக்கியும் ஒவ்வொரு முயற்சியின் வெற்றியின் நிகழ்தகவு *p* இன் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கியும் செல்லும்போது ஈருறுப்புப் பரவலின் எல்லையாகப் பாய்சான் பரவல் அமைகிறது.  

## மேற்குறிப்புகள்