# சுற்றுக்கூம்புவெட்டு

முக்கோண வடிவவியலில் **சுற்றுக்கூம்புவெட்டு** (*circumconic*) என்பது ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளின் வழியாகச் செல்லும் கூம்பு வெட்டு ஆகும். அதேபோல **உட்கூம்புவெட்டு** (*inconic*) என்பது முக்கோணத்தின் உட்புறமாக வரையப்பட்ட கூம்புவெட்டு ஆகும்.  

- *A*, *B*, *C* ஒரே கோட்டிலமையாத மூன்று வேறுபட்ட புள்ளிகள்.
- *ΔABC* முக்கோணத்தின் உச்சிகள் *A*, *B*, *C*.
- *A* முக்கோணத்தின் உச்சி மட்டுமல்லாது *A* இல் அமையும் முக்கோணத்தின் உச்சிக்கோணம் *BAC* ஐயும் குறிக்கும். இதேபோல *B* , *C* இரண்டும் முறையே முக்கோணத்தின் உச்சிக்கோணங்கள் *ABC* *BCA* ஐக் குறிக்கின்றன.
- *a* = |*BC*|, *b* = |*CA*|, *c* = |*AB*|, Δ*ABC* முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்கள்.

முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகளில், ஒரு பொதுச் சுற்றுக்கூம்புவெட்டானது *X* = *x* : *y* : *z* என்ற முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகள் கொண்ட புள்ளி *X* இன் இயங்குவரையாகும்.  

மேலும் அக்கூம்புவெட்டு கீழ்வரும் சமன்பாட்டினை நிறைவு செய்யும்:  

:<math> uyz + vzx + wxy = 0 </math> (*u* : *v* : *w* ஏதேனுமொரு புள்ளி)  

சுற்றுக்கூம்புவெட்டின் மீதமையும் *A*, *B*, *C* தவிர பிற புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றின் சமகோண இணையியங்களும் கீழ்க்காணும் கோட்டின் மீதமையும்.  

:<math>ux + vy + wz </math> = 0.  

இக்கோடானது *ΔABC* இன் சுற்றுவட்டத்தை வெட்டும் புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை  
- சுற்றுக்கூம்புவெட்டு நீள்வட்டமாக இருக்கும்பொழுது 0 ஆகவும்;
- சுற்றுக்கூம்புவெட்டு பரவளையமாக இருக்கும்பொழுது 1 ஆகவும்;
- சுற்றுக்கூம்புவெட்டு அதிபரவளையமாக இருக்கும்பொழுது 2 ஆகவும் இருக்கும்.

*ΔABC* இன் பொது உட்கூம்புவெட்டின் சமன்பாடு:  

:<math>u^{2}x^{2} + v^{2}y^{2} + w^{2}z^{2} - 2vwyz - 2wuzx - 2uvxy = 0</math>.  

## மையங்களும் தொடுகோடுகளும்

### சுற்றுக்கூம்புவெட்டு
பொதுச் சுற்றுக்கூம்புவெட்டின் மையப்புள்ளி:  

:<math>u(-au + bv + cw) : v(au -bv + cw) : w(au + bv -cw)</math>.  

சுற்றுக்கூம்புவெட்டுக்கு முக்கோணத்தின் உச்சிகள் *A*, *B*, *C* இல் தொடுகோடாக அமையும் கோடுகள்:  

:<math>wv + vz</math> = 0,  
: <math>uz + wx</math> = 0,  
: <math>vx + uy</math> = 0.  

### உட்கூம்புவெட்டு

பொது உட்கூம்புவெட்டின் மையப்புள்ளி:  

:<math>cy + bz : az + cx : bx + ay</math>.  

*ΔABC* இன் பக்கக்கோடுகள் உட்கூம்புவெட்டின் தொடுகோடுகளாக அமையும். அவற்றின் சமன்பாடுகள்:  

:<math>x = 0, y = 0, z = 0 </math>.  

## பிற பண்புகள்
### சுற்றுக்கூம்புவெட்டு

- வட்டமல்லாத ஒவ்வொரு சுற்றுக்கூம்புவெட்டும் *ΔABC* இன் சுற்றுவட்டத்தை *A*, *B*, *C* அல்லாத வேறொரு புள்ளியில் சந்திக்கும். ”நான்காம் வெட்டும் புள்ளி” என அழைக்கப்படும் இப்புள்ளியின் முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகள்:

:<math> (cx - az)(ay - bx) : (ay - bx)(bz - cy) : (bz - cy)(cx -az) </math>  

- பொது சுற்றுக்கூம்புவெட்டின் மீதமைந்த புள்ளி *P = p : q : r* எனில், *P* இல் சுற்றுக்கூம்புவெட்டிற்குத் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு:

:<math> (vr + wq)x + (wp + ur)y + (uq + vp)z = 0.</math>  

- <math> u^{2}a^{2} + v^{2}b^{2} + w^{2}c^{2} - 2vwbc - 2wuca - 2uvab = 0 </math> என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, பொது சுற்றுக்கூம்புவெட்டு ஒரு பரவளையமாகும்.
- <math> u cos A + v cos B + w cos C = 0 </math> என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, பொது சுற்றுக்கூம்புவெட்டு ஒரு செவ்வக அதிபரவளையமாகும்.

### உட்கூம்புவெட்டு

- <math>ubc + vca + wab = 0 </math> என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, பொது உட்கூம்புவெட்டு ஒரு பரவளையமாகும். இது முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தினைத் தொட்டவாறும் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீட்சியைத் தொட்டவாறும் அமையும்.
- <math>p_1 : q_1 : r_1 </math>, <math>p_2 : q_2 : r_2 </math> இரண்டும் வேறுபட்ட புள்ளிகள்;
:<math>X = (p_1 + p_2t) : (q_1 + q_2t) : (r_1 + r_2t) </math>எனில்:  

*t* இன் மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கு *X* இன் இயங்குவரை ஒரு கோடாகும்.  

- <math>X^2 = (p_1 + p_2t)^2 : (q_1 + q_2t)^2 : (r_1 + r_2t)^2</math> என வரையறுக்கப்பட்டால், *X*<sup>2</sup> இன் இயங்குவரை ஒரு உட்கூம்புவெட்டாக, ஒரு நீள்வட்டமாக இருக்கும். அந்நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு:

:<math>L^4x^2 + M^4y^2 + N^4z^2 -2M^2N^2yz - 2N^2L^2zx - 2L^2M^2xy = 0. </math>  

இதில்:  
::*L* = *q*<sub>1</sub>*r*<sub>2</sub> &minus; *r*<sub>1</sub>*q*<sub>2</sub>,  

::*M* = *r*<sub>1</sub>*p*<sub>2</sub> &minus; *p*<sub>1</sub>*r*<sub>2</sub>,  

::*N* = *p*<sub>1</sub>*q*<sub>2</sub> &minus; *q*<sub>1</sub>*p*<sub>2</sub>.  

- முக்கோணத்தின் உட்புறமுள்ள ஒரு புள்ளியானது அம்முக்கோணத்தின் நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தினுள் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்தப் புள்ளி மூலமுக்கோணத்தின் உள்நீள்வட்டத்தின் மையப்புள்ளியாக இருக்க முடியும். நடுப்புள்ளி முக்கோணத்துக்குள் அமையும் புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட உள்நீள்வட்டம் தனித்துவமானது. அதாவது அத்தகைய உள்நீள்வட்டம் ஒன்றேயொன்றுதான் இருக்கும்.
- முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தியை மையமாகக் கொண்ட உள்நீள்வட்டம் ”நடுப்புள்ளி நீள்வட்டம்” என அழைக்கப்படும். ஒரு முக்கோணத்தின் உள்நீள்வட்டங்களிலேயே அதிகவளவு பரப்பளவு கொண்ட இந்த நீள்வட்டம் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் அழைக்கப்படுகிறது.

: <math>(\alpha , \beta , \gamma)</math> உள்நீள்வட்ட மையத்தின் ஈர்ப்புமைய ஆயதொலைவுகள் எனில்:  

::<math>\frac{\text{Area of inellipse}}{\text{Area of triangle}}= \pi \sqrt{(1-2\alpha)(1-2\beta)(1-2\gamma)},</math>  

- உள்நீள்வட்டமானது முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகளையும் அந்தந்த புள்ளிகளுக்கான முக்கோணத்தின் எதிர் உச்சிகளையும் இணைக்கும் கோடுகள் ஒருபுள்ளியில் சந்திக்கின்றன.

## நாற்கரங்களில்
ஒரு நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் மீது அந்நாற்கரத்தின் உள்நீள்வட்டங்களின் மையங்கள் அமைகின்றன.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்

- **சுற்றுக்கூம்புவெட்டுகள்**
  - முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளின் வழியே செல்லும் சுற்றுவட்டம்
  - ஸ்டெயினர் சுற்றுநீள்வட்டம்-முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள் மற்றும் நடுக்கோட்டுச்சந்தி வழியாகச் செல்லும் தனித்த சுற்றுநீள்வட்டம்
  - கீபெர்ட் அதிபரவளையம்-முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள் மற்றும் நடுக்கோட்டுச்சந்தி, செங்கோட்டுச்சந்தி வழியாகச் செல்லும் தனித்த சுற்றுஅதிபரவளையம்
  - ஜெராபெக் அதிபரவளையம் -முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மேல் மையப்புள்ளி கொண்டதும், முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள், செங்கோட்டுச்சந்தி மற்றும் சில குறிப்பிடத்தக்க மையங்களின் வழியாகச் செல்வதுமான செவ்வக அதிபரவளையம்.
  - ஃப்யூயர்பக் அதிபரவளையம்-முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மேல் மையப்புள்ளி கொண்டதும், முக்கோணத்தின் செங்கோட்டுச்சந்தி, நாகெல் புள்ளி, மற்றும் பிற குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிகள் வழியாகச் செல்வதுமான செவ்வக அதிபரவளையம்.
- **உட்கூம்புவெட்டுகள்**
  - முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களையும் உட்புறமாகத் தொடுகின்ற உள்வட்டம்
  - ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம்-முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களையும் அவற்றின் நடுப்புள்ளிகளில் தொடுகின்ற தனித்த நீள்வட்டம்.
  - மாண்டார்ட் நீள்வட்டம், முக்கோணத்தின் வெளிவட்டங்கள் முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும் புள்ளிகளில் அப்பக்கங்களைத் தொடுகின்ற தனித்த நீள்வட்டம்.
  - கீபெர்ட் பரவளையம்