# செங்கோண முக்கோணம்


வடிவவியலில் ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு கோணம் செங்கோணம் (அதாவது 90°) எனில் அம்முக்கோணம் **செங்கோண முக்கோணம்** (* triangle* அல்லது *-angled triangle*) என அழைக்கப்படும். செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் கோணங்களுக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்புதான் முக்கோணவியலின் அடிப்படையாக அமைகிறது.  

## சொல்லியல்
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செங்கோணத்திற்கு எதிரில் உள்ள பக்கம் செம்பக்கம் (hypotenuse) எனவும், செங்கோணத்தைத் தாங்கும் இரு பக்கங்களும் தாங்கிப் பக்கங்கள் (*catheti* -plural; cathetus -singular) எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன . படத்தில் செம்பக்கம் a. பக்கம் *a*, B கோணத்திற்கு அடுத்தள்ள பக்கமாகவும், A கோணத்திற்கு எதிர்ப்பக்கமாகவும் உள்ளது. பக்கம் b, A கோணத்திற்கு அடுத்துள்ள பக்கமாகவும், B கோணத்திற்கு எதிர்ப்பக்கமாகவும் அமைகிறது.  

மூன்று பக்க அளவுகளும் முழு எண்களாக இருந்தால் அச்செங்கோண முக்கோணம் *பித்தாகரசு முக்கோணம்* எனப்படும். அம்மூன்று பக்க அளவுகளும் *பித்தாகரசின் மும்மை* எனப்படும்  

## முதன்மைப் பண்புகள்

### பரப்பு

ஏனைய முக்கோணங்களுக்குப் போலவே செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பு, அதன் அடிப்பக்கம் மற்றும் அந்த அடிப்பக்கத்தின் குத்துயரம் இரண்டின் பெருக்குத்தொகையில் பாதியாகும். செங்கோண முக்கோணத்தில் ஒரு தாங்கிப் பக்கத்தை அடிப்பக்கமாக எடுத்துக் கொண்டால் மற்றொரு தாங்கிப் பக்கம் குத்துயரமாக இருக்கும்.  

பரப்பு *T* -ன் வாய்ப்பாடு:  

:<math>T=\tfrac{1}{2}ab</math>  

இங்கு *a* மற்றும் *b* இரண்டும் தாங்கிப் பக்கங்கள்.  

செங்கோண முக்கோணத்தின் உள்வட்டமானது செம்பக்கம் AB -ஐ புள்ளி P -ல் தொடுகிறது எனில்,  

:<math>PA = s - a \,</math>  
:<math>PB = s - b \,</math>  

பரப்பு T:  

:<math>T=\text{PA} \cdot \text{PB} = (s-a)(s-b).</math>  

### குத்துயரம்

செங்கோணத்தைக் கொண்ட உச்சியிலிருந்து செம்பக்கத்துக்கு வரையப்படும் குத்துயரம் செங்கோண முக்கோணத்தை இரண்டு சிறிய செங்கோண முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கும். இவ்விரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று வடிவொத்தவையாகவும் மூல முக்கோணத்திற்கும் வடிவொத்தவையாகவும் இருக்கும்.  

எனவே:  

இக்குத்துயரம் செம்பக்கத்தின் இரு கோட்டுத்துண்டுகளின் பெருக்கல் சராசரியாக (இடை விகிதசமன்) அமையும்.  

:<math>\displaystyle f^2=de,</math> (சில நேரங்களில் இம்முடிவானது *செங்கோண முக்கோணக் குத்துயரத் தேற்றம்* என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.)  

தாங்கிப் பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றும் செம்பக்கம் மற்றும் அத்தாங்கிப் பக்கத்தை அடுத்துள்ள செம்பக்க கோட்டுத்துண்டு இரண்டின் இடை விகிதசமனாக இருக்கும்.  

அதாவது:  

:<math>\displaystyle b^2=ce,</math>  
:<math>\displaystyle a^2=cd</math>  

இங்கு *a*, *b*, *c*, *d*, *e*, *f* என்பவை படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளவாறு அமையும்.  

இவ்விரண்டு முடிவுகளிலிலிருந்து:  

:<math>f=\frac{ab}{c}.</math>  

மேலும் செம்பக்கத்திற்கு வரையப்படும் குத்துயரமானது செங்கோணத்தைத் தாங்கும் பக்கங்களோடு பின்வருமாறு தொடர்பு கொண்டுள்ளது.  

:<math>\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{ f^2}. </math>  

### பித்தாகரசு தேற்றம்

பித்தாகரசு தேற்றத்தின் கூற்று:  
<blockquote>*எந்தவொரு செங்கோண முக்கோணத்திலும் செம்பக்கத்தின் மீது வரையப்படும் சதுரத்தின் பரப்பு, தாங்கிப் பக்கங்களின் மீது வரையப்படும் சதுரங்களின் பரப்புகளின் கூடுதலுக்குச் சமம்*.</blockquote>  

இதன் சமன்பாடு வடிவம்:  
:::<math>c^2 = a^2 + b^2 \,</math>  

## தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடுகள்
முக்கோணம் *ABC* இன் பக்கங்கள் <math>a \le b < c</math>, அரைச்சுற்றளவு *s*, பரப்பளவு *T*, மிகநீளமான பக்கத்தின் செங்குத்துயரம் *h* , சுற்றுவட்ட ஆரம் *R*, உள்வட்ட ஆரம் *r*, வெளிவட்ட ஆரங்கள் *r<sub>a</sub>*, *r<sub>b</sub>*, *r<sub>c</sub>* , நடுக்கோடுகளின் நீளங்கள் *m<sub>a</sub>*, *m<sub>b</sub>*, *m<sub>c</sub>* எனில் கீழுள்ள ஆறுவகைகளிலுள்ள எவையேனும் ஒரு முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அம்முக்கோணம் செங்கோண முக்கோணம் ஆகும். இம்முடிவுகள் அனைத்துமே ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பண்புகள் ஆகும்.  

### பக்கங்களும் அரைச்சுற்றளவும்
- <math>\displaystyle a^2+b^2=c^2\quad (\text{Pythagorean theorem})</math>
- <math>\displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)</math>
- <math>\displaystyle s=2R+r.</math>
- <math>\displaystyle a^2+b^2+c^2=8R^2.</math>
- <math>\displaystyle \cos{A}\cos{B}\cos{C}=0.</math>
- <math>\displaystyle \sin^2{A}+\sin^2{B}+\sin^2{C}=2.</math>

### உள்வட்ட ஆரமும் வெளிவட்ட ஆரங்களும்
- <math>\displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2</math>
- <math>\displaystyle r_a=s-b=(a-b+c)/2</math>
- <math>\displaystyle r_b=s-a=(-a+b+c)/2</math>
- <math>\displaystyle r_c=s=(a+b+c)/2</math>
- <math>\displaystyle r_a+r_b+r_c+r=a+b+c</math>
- <math>\displaystyle r_a^2+r_b^2+r_c^2+r^2=a^2+b^2+c^2</math>
- <math>\displaystyle r=\frac{r_ar_b}{r_c}</math>

### குத்துயரங்களும் நடுக்கோடுகளும்
- <math>\displaystyle h=\frac{ab}{c}</math>
- <math>\displaystyle m_a^2+m_b^2+m_c^2=6R^2.</math>
- ஒரு நடுக்கோட்டின் நீளம், சுற்றுவட்ட ஆரத்திற்குச் சமம்.
- குத்துயரங்களிலேயே சிறிய குத்துயரமானது, அதற்கு எதிர்ப்பக்கத்தைப் பிரிக்கும் கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களின் பெருக்கல் சராசரியாக இருக்கும் (செங்கோண முக்கோணக் குத்துயரத் தேற்றம்).

### சுற்றுவட்டமும் உள்வட்டமும்
- முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கம் விட்டத்துடன் ஒன்றுமாறு முக்கோணத்தை ஒரு அரைவட்டத்துக்குள் வரையலாம் (தேலேசுத் தேற்றம்).
- சுற்றுவட்ட மையம் முக்கோணத்தின் மிகநீளப் பக்கத்தின் நடுப்புள்ளியாக இருக்கும்.
- முக்கோணத்தின் மிகநீளமான பக்கம் சுற்றுவட்டத்தின் விட்டமாகும்.<math>\displaystyle (c=2R).</math>
- சுற்றுவட்டத்தை, ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தைத் தொடும்.
- செங்கோட்டுச்சந்தி சுற்றுவட்டத்தின் மீதமையும்.

:<math> \frac{A}{H} = \frac{A^{2}}{G^{2}} = \frac{G^{2}}{H^{2}} = \phi \, </math>  

மற்றும்  

:<math>\frac{a}{b} = \phi^{3}, \, </math>  

இங்கு <math>\phi,</math> என்பது *தங்க விகிதம்* <math>\tfrac{1+ \sqrt{5}}{2}. \, </math> ஆகும்.  

## ஏனைய பண்புகள்

*a*, *b* -தாங்கிப் பக்கங்களாகவும் *c* -செம்பக்கமாகவும் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் உள்வட்ட ஆரம்:  

:<math> r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{ab}{a+b+c}.</math>  

*p*, *q* நீளமுள்ள கோட்டுத்துண்டுகள் உச்சி *C* லிருந்து செம்பக்கத்தை *c*/3 நீளமுள்ள மூன்று சமதுண்டுகளாகப் பிரித்தால்:  

:<math> p^2 + q^2 = 5\(\frac{c}{3}\)^2.</math>  

முக்கோணத்துக்குள் வெவ்வேறான இரண்டு சதுரங்கள் வரையக்கூடிய முக்கோணங்கள் செங்கோண முக்கோணங்கள் மட்டும்தான்  

அவ்வாறு ஒரு செங்கோண முக்கோணத்துக்குள் வரையப்பட்ட வெவ்வேறு இரு சதுரங்களின் பக்க நீளங்கள் *h*, *s* (*h*>*s*). செம்பக்கம் *c* எனில்:  

:<math>\frac{1}{c^2} + \frac{1}{h^2} = \frac{1}{s^2}.</math>