# பின்னப்புள்ளி

கணிதவியலில் **பின்னப்புள்ளி** அல்லது **கீழ்வாய்ப்புள்ளி** என்பது, எண்குறியீடுகளில் முழு எண் பகுதியையும் (பின்னப்புள்ளிக்கு இடப்பக்கத்தில் உள்ள பகுதி), பின்னப் பகுதியையும் (பின்னப் புள்ளிக்கு வலப்பக்கத்தில் உள்ள பகுதி) பிரிக்கும் ஒரு குறியீடு ஆகும்.  

பின்னப்புள்ளி (*radix point*) என்பது முழு எண்களும், ஒன்றின் பகுதியாகிய பின்னமும் (கீழ்வாய் எண்ணும் அல்லது பிள்வமும்) சேர்ந்து ஒரே எண்தொடராகக் குறிக்கும் பொழுது, கீழ்வாய் எண்ணை, முழு எண்ணில் இருந்து *பிரித்துக்காட்டும் புள்ளி அல்லது ஒரு குறி* ஆகும். எடுத்துகாட்டாக மூன்றேகால் (3¼) என்பதை பதின்ம (தசம) முறையில் 3.25 என்று குறித்தால், அதில் புள்ளிக்கு அடுத்து வரும் 25 என்பது 2/10 + 5/100 என்னும் பகுதிகளை குறிக்கும் கீழ்வாய் எண். இதனை முழு எண்ணாகிய 3 என்பதில் இருந்து பிரித்துக்காட்ட ஒரு புள்ளி இடையே இடப்படுகின்றது. சில நாடுகளில் இது *கமா* அல்லது காற்புள்ளியாகவும் குறிக்கப்பெறுகின்றது. கீழ்வாய் எண்ணை முழு எண்ணில் இருந்து பிரித்துக் காட்டும் புள்ளி அல்லது குறிக்குக் கீழ்வாய்ப்புள்ளி என்று பெயர். பதின்ம முறையில் இல்லாமல் இரண்டின் அடிப்படையிலோ பிற எண்ணை அடியாகக் கொண்ட எண் முறையிலோ அமைந்த பிற அடி எண்முறையிலும் கீழ்வாய் எண்னைக் குறிக்க புள்ளி அல்லது காற்புள்ளி போன்றவை பயன்ப்டுகின்றது. இரண்டின் அடியான எண்ணாக இருந்தால் அதனை *இருமப் புள்ளி* (இருமக் கீழ்வாய்ப்புள்ளி) என்று அழைப்பர். எடுத்துக்காட்டாக 1101.11 என்னும் எண், ஓர் இரும எண்ணாக இருந்தால், இடமிருந்து வலமாக புள்ளிக்கு முன்னே நிற்கும் 1101 என்பது 1x2<sup>3</sup> + 1x2<sup>2</sup> + 0x2<sup>1</sup> + 1x2<sup>0</sup> = 8+4+0+1 = 13 (பதின்ம முறையில்) என்பதையும் கீழ்வாய்ப்புள்ளிக்கு அடுத்து உள்ள 11 என்பது 1x2<sup>−1</sup> + 1x2<sup>−2</sup> = (பதின்ம முறையில்) 1/2 + 1/4 = 3/4 = 0.75 என்பதையும் குறிக்கும். எனவே இரும எண் 1101.11 என்பது பதின்ம முறையில் 13.75 ஆகும். இவ்விரு எண்முறையிலும் இடையே நிற்கும் புள்ளிக்கு க் கீழ்வாய்ப்புள்ளி என்று பெயர்.  

இந்தியா, இலங்கை, உட்படப் பல நாடுகளில் ஒரு புள்ளியே (.) பின்னப்புள்ளியாகப் பயன்படுகிறது. ஆனால், வேறு சில நாடுகளில், காற்புள்ளியைப் (,) பின்னப்புள்ளியாகப் பயன்படுத்துவது உண்டு.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்
இருநூற்று ஐம்பத்து ஏழே கால் (57 1/4) என்னும் எண்ணை எடுத்துக்கொண்டால்,  
- பத்தை அடியாகக் கொண்ட குறியீட்டு முறையில் **57.25** என எழுதலாம். இங்கே **57** முழு எண், **25** காற்பங்கு என்பதைக் குறிக்கும் பின்னப் பகுதி. இவ்விரண்டுக்கும் இடையே அமைந்துள்ள புள்ளியே பின்னப்புள்ளி.
- இரண்டை அடியாகக் கொண்ட குறியீட்டு முறையில் இந்த எண் **111001.01** என எழுதப்படும். இங்கே **111001** என்பது ஐம்பத்து ஏழுக்குச் சமம் (1 x 2<sup>5</sup> + 1 x 2<sup>4</sup> + 1 x 2<sup>3</sup> + 0 x 2<sup>2</sup> + 0 x 2<sup>1</sup> + 1 x 2<sup>0</sup> = 32 + 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 57). **01** கால் அல்லது நாலில் ஒன்றுக்குச் சமம் (0 x 2<sup>−1</sup> + 1 x 2<sup>−2</sup> = 0 + .25 = .25). இவ்விரண்டுக்கும் இடையே பின்னப்புள்ளி அமைந்துள்ளது.

## மேலும் எடுத்துக்காட்டுகள்
- பதின்ம (10) முறையில் ஓர் எண்: 13.625
: இதில் 13 என்பது முழு எண்; இது கீழ்வாய்ப்புள்ளிக்கு இடப்புறம் உள்ளது. கீழ்வாய்ப்புள்ளிக்கு வலப்புறம் உள்ளது 625 (அதாவது 625/1000) என்பது கீழ்வாய் எண் அல்லது பின்னம் (பிள்வம்).  

- இரும எண் முறையில் : 1101.101
: இந்த இரும எண் 1101.101 கீழ்க்காணும் இடவெண்களைக் கொண்டுள்ளது:  
| −3 |
| --- |

எனவே இதன் பதின்ம மதிப்பு கீழ்காணுமாறு கணக்கிடப்படும்:  
:<math>  
\begin{align}  
1101.101_2  
&= 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 + 1 \times 2^{-1} + 0 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3} \\  
&= 1 \times 8 + 1 \times 4 + 0 \times 2 + 1 \times 1 + 1 \times 0.5 + 0 \times 0.25 + 1 \times 0.125 \\  
&= 8 + 4 + 0 + 1 + 0.5 + 0 + 0.125 \\  
&= 13.625_{10}  
\end{align}  
</math>  

எனவே கீழ்வாய்ப்புள்ளிக்கு இடப்புற உள்ள 1101 என்னும் எண் இரும எண் முறையில் 13 ஐக் குறிக்கின்றது (பதின்ம முறையில் 13). கீழ்வாய்ப்புள்ளிக்கு வலப்புறம் உள்ள 101 என்னும் இரும எண் பதின்ம முறையில் 625/1000 (அல்லது 5/8) என்னும் கீழ்வாய் எண்ணைக் குறிக்கும். .