# இசுட்டெர்லிங் எண்கள்

கணிதத்தில் **இசுடர்லிங் எண்கள்** (*Sterling numbers*) இருவகைப்படும். ஒரு *n*-கணத்தை எத்தனை விதமாகச் சுழல்களாகப் பிரித்துக் காட்டலாம் என்ற பிரச்சினையை முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்களாலும்,எத்தனை விதமாக உட்கணங்களாகப் பிரித்துக் காட்டலாம் என்ற பிரச்சினையை இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்களாலும் ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. ஜேம்ஸ் ஸ்டர்லிங் (1692 - 1770) என்ற ஸ்காட்லாந்து நாட்டுக் கணிதவியலர் 1730 இல் தன்னுடைய நூலில் இவைகளை அறிமுகப்படுத்தினார். ஆய்லர் எண்கள், ஈருறுப்புக் கெழுக்கள், பெல் எண்கள் -- இவைகளுடன் ஸ்டர்லிங் எண்கள் நெருங்கிய தொடர்பு கொண்டவை.  

## முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள்

ஒரு* n*-கணத்தை *k* சுழல்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை **முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்** எனப் பெயர் பெறும்.அதாவது எத்தனை *n*-திரிபுகள் *k* சுழல்களாலானவை என்ற கேள்விக்கும் இதே எண்ணிக்கைதான் விடை. இதற்கு ஒரு குறியீடு ***s(n,k).*** இக்கட்டுரையில்  
<math>\begin{bmatrix}  
n\\  
k  
\end{bmatrix}</math> என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்.இதை n-cycle-k என்றோ n-சுழல்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம். 1930 இல் காராமாடா என்பவரால் இக்குறியீடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு தற்காலத்தில் பரவலாக எங்கும் புழக்கத்திலுள்ளது.  

எடுத்துக்காட்டாக, <math>\begin{bmatrix}  
4\\  
2  
\end{bmatrix}</math> = 11  

ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இருசுழற்பிரிவுகள்:  

: ***a/bcd; a/bdc; b/cda; b/cad; c/dab; c/dba; d/abc; d/acb; ab/cd; ac/db; ad/bc***  

அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் **ஸ்டர்லிங் சுழல் எண்** என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.  

## முதல்வகை எண்அட்டவணை

<math>\begin{bmatrix}  
n\\  
k  
\end{bmatrix}</math>  

| <math>n \downarrow

k \rightarrow</math> | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **1** | 1 |  |  |  |  |  |  |
| **2** | 1 | 1 |  |  |  |  |  |
| ** 3** | 2 | 3 | 1 |  |  |  |  |
| **4** | 6 | 11 | 6 | 1 |  |  |  |
| **5** | 24 | 50 | 35 | 10 | 1 |  |  |
| **6** | 120 | 274 | 225 | 85 | 15 | 1 |  |
| **7** | 720 | 1764 | 1624 | 735 | 175 | 21 | 1 |

## இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள்

ஒரு *n*-கணத்தை *k* உட்கணங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை **இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்** எனப் பெயர் பெறும். இதற்கு ஒரு குறியீடு ***S(n,k)***. இக்கட்டுரையில்  
<math>\\{\begin{matrix}  
n\\  
k  
\end{matrix}\\}</math> என்ற் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம். இதை n-subset-k என்றோ n-உட்கணம்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம்.  

எடுத்துக்காட்டாக, <math>\\{\begin{matrix}  
4\\  
2  
\end{matrix}\\}</math> = 7  

ஏனென்றால், {a, b, c, d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இரு-உட்கணப்பிரிவுகள்:  

: *** {a}/{b,c,d}; {b}/{c,d,a}; {c}{d,a,b}; {d}{a,b,c}; {a,b}/{c,d}; {a,c}/{b,d}; {a,d}/{b,c}.***  

அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் **ஸ்டர்லிங் உட்கண எண்** என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.  

## இரண்டாவது வகை எண் அட்டவணை

<math>\\{\begin{matrix}  
n\\  
k  
\end{matrix}\\}</math>  

| <math>n \downarrow

k \rightarrow</math> | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **1** | 1 |  |  |  |  |  |  |
| **2** | 1 | 1 |  |  |  |  |  |
| **3** | 1 | 3 | 1 |  |  |  |  |
| **4** | 1 | 7 | 6 | 1 |  |  |  |
| **5** | 1 | 15 | 25 | 10 | 1 |  |  |
| **6** | 1 | 31 | 90 | 65 | 15 | 1 |  |
| **7** | 1 | 63 | 301 | 350 | 140 | 21 | 1 |

## சில எளிதான பொதுவிளைவுகள்

:* <math>n\geqslant 2</math> ஆக இருந்தால் <math>\\{\begin{matrix}  
n\\  
2  
\end{matrix}\\}</math> = <math>2^{n-1} - 1</math>.  

:* <math>n\geqslant 1</math> ஆக இருந்தால் <math>\begin{bmatrix}  
n\\  
1  
\end{bmatrix}</math> = <math>(n - 1)!</math>  

:* <math>\begin{bmatrix}  
n\\  
n  
\end{bmatrix}</math> = <math>\\{\begin{matrix}  
n\\  
n  
\end{matrix}\\}</math> = 1  

:* <math>\begin{bmatrix}  
n\\  
n - 1  
\end{bmatrix}</math> = <math>\\{\begin{matrix}  
n\\  
n - 1  
\end{matrix}\\}</math> = <math>\binom{n}{2}</math>  

## செங்குத்துத்தன்மை உறவுகள்

முதல் வகை, இரண்டாவது வகை ஆகிய இரண்டு ஸ்டர்லிங் எண்களுக்கும், இறங்குமுகக் காரணியத்துடன் உறவுகள் உள்ளன. முதல்வகை ஸ்டர்லிங் எண்ணில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து,  

: (*) <math>x(x - 1)(x - 2) ... (x - n + 1) = \sum_{k} \begin{bmatrix}  
n\\  
k  
\end{bmatrix} (-1)^{n-k} x^k</math>.  

இரண்டாவதுவகை ஸ்டர்லிங் எண்ணில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து,  

: (**) <math> x^n = \sum_k \\{\begin{matrix}  
n\\  
k  
\end{matrix}\\}x(x-1)(x-2) ... (x-k+1)</math>  

(*)ஐ (**) இல் பொருத்தினால் நமக்குக் கிடைப்பது:  

:<math>x^n = \sum_k \\{\begin{matrix}  
n\\  
k  
\end{matrix}\\} \sum_m \begin{bmatrix}  
k\\  
m  
\end{bmatrix} (-1)^{k-m} x^m</math>  

= <math>\sum_m \biggl(\sum_k\\{\begin{matrix}  
n\\  
k  
\end{matrix}\\}\begin{bmatrix}  
k\\  
m  
\end{bmatrix} (-1)^{k-m}\biggr)x^m</math>  

ஆனால் <math>x^n</math> பல்லுறுப்புகளெல்லாம் சேர்வியல் சார்பற்றவை.  

:::ஃ (**செ.உ.1**): <math>\sum_k \\{\begin{matrix}  
n\\  
k  
\end{matrix}\\}\begin{bmatrix}  
k\\  
m  
\end{bmatrix}(-1)^{k-m} = \delta_{nm}</math>. இங்கு <math>\delta_{nm} = \begin{cases}  
1 , n=m \\  
0 , n\neq m  
\end{cases}</math>.  

மாற்றாக, (**)ஐ (*) இல் பொருத்தி, பல்லுறுப்புகள் x(x-1)(x-2)...(x-n+1) சேர்வியல் சார்பற்றவை என்பதைப் பயன்படுத்தினால், நமக்குக்கிடைப்பது, இதற்கு இணையான் இன்னொரு செங்குத்துத்தன்மை உறவு (Orthogonality Relation):  

:::ஃ (**செ.உ.2**):<math>\sum_k\begin{bmatrix}  
n\\  
k  
\end{bmatrix}\\{\begin{matrix}  
k\\  
m  
\end{matrix}\\} (-1)^{n-k} = \delta_{nm}</math>  

ஸ்டர்லிங் எண்களைப்பற்றிய மற்ற தேற்றங்களையும் மீள்வரு தொடர்புகளையும் முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண், இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண் என்ற தனிக்கட்டுரைகளில் பார்க்கவும்.