# ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு

கணிதத்தில், குறிப்பாக எண் கோட்பாட்டில்,**ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு** (*Euler's totient function*) ஒரு முக்கியமான சார்பு.  

## வரையறை

<math>n</math> ஒரு நேர்ம முழு எண் ணானால், <math>n</math>-ஐ விடப் பெரியதல்லாததாகவும், <math>n</math>-ஐப் பகாத எண் ணாகவும் (அ-து,<math>n</math>-உடன் 1 ஐத்தவிர வேறு எந்த பொதுக் காரணியையும் கொள்ளாதது) இருக்கும் நேர்ம முழு எண்களின் எண்ணிக்கை <math>\varphi(n)</math> எனப்படும். <math>\varphi: n\mapsto\varphi(n)</math> என்ற சார்பிற்கு **ஆய்லர் டோஷண்ட் சார்பு** அல்லது **ஆய்லர் <math>\varphi</math>-சார்பு** எனப் பெயர்.  

எ.கா.:  
:* <math>\varphi(6) = |\{1,5\}| = 2.</math>  

:* <math>\varphi(20) = |\{ 1,3,7,9,11,13,17,19\}| = 8</math>.  

:* சிறப்பு எடுத்துக்காட்டு: <math>p</math> ஒரு பகா எண்ணானால், <math>\varphi(p) = p - 1</math>.  

## டோஷண்ட் சார்பின் முதல் 100 மதிப்புகள்

| <math>\varphi(n)</math> | 1 | **1** | **2** | 2 | **4** | 2 | **6** | 4 | 6 | 4 | **10** | 4 | **12** | 6 | 8 | 8 | **16** | 6 | **18** | 8 |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| <math>n\,</math> | 21 | 22 | **23** | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | **29** | 30 | **31** | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | **37** | 38 | 39 | 40 |  |
| <math>\varphi(n)</math> | 12 | 10 | **22** | 8 | 20 | 12 | 18 | 12 | **28** | 8 | **30** | 16 | 20 | 16 | 24 | 12 | **36** | 18 | 24 | 16 |  |
| <math>n\,</math> | **41** | 42 | **43** | 44 | 45 | 46 | **47** | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | **53** | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | **59** | 60 |  |
| <math>\varphi(n)</math> | **40** | 12 | **42** | 20 | 24 | 22 | **46** | 16 | 42 | 20 | 32 | 24 | **52** | 18 | 40 | 24 | 36 | 28 | **58** | 16 |  |
| <math>n\,</math> | **61** | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | **67** | 68 | 69 | 70 | **71** | 72 | **73** | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | **79** | 80 |  |
| <math>\varphi(n)</math> | **60** | 30 | 36 | 32 | 48 | 20 | **66** | 32 | 44 | 24 | **70** | 24 | **72** | 36 | 40 | 36 | 60 | 24 | **78** | 32 |  |
| <math>n\,</math> | 81 | 82 | **83** | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | **89** | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | **97** | 98 | 99 | 100 |  |
| <math>\varphi(n)</math> | 54 | 40 | **82** | 24 | 64 | 42 | 56 | 40 | **88** | 24 | 72 | 44 | 60 | 46 | 72 | 32 | **96** | 42 | 60 | 40 | } |

## சார்பின் பண்புகள்

### பெருக்குச்சார்பு

<math>m, n</math> என்ற இரண்டு நேர்ம முழு எண்கள் (1 ஐத்தவிர) பொதுக்காரணியற்றதானால்,  

:: <math>\varphi(m)\times \varphi(n)= \varphi(m \times n).</math>  

எ.கா.: <math>\varphi(4)\times \varphi(15) = 2 \times 8 = 16 = \varphi(60)</math>  

### பகா எண்ணின் அடுக்குகள்

<math>p</math> ஒரு பகா எண்ணாகவும், <math>k</math> ஓர் இயல்பெண்ணாகவும் இருக்குமானால், <math>p^k</math> உடன் காரணிகளைப் பங்கு போட்டுக்கொள்ளும் எண்கள் <math>p</math>-இனுடைய அடுக்குகள் மட்டுமே. அவைகளில் <math>p^k</math> ஐவிடப் பெரியதல்லாதவை : <math>1.p, 2.p, 3.p, ..., p^{k-1}.p</math>. இதனால்,  

::<math>\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^{k-1}(p - 1) = p^k\(1 - \frac{1}{p}\)</math>  

எ.கா.: <math>\varphi(81) = \varphi(3^4) = 3^4 - 3^3 = 3^4\(1 - \frac{1}{3}\) = 54</math>  

### சார்பிற்குப் பொது வாய்பாடு

::<math>n = \prod_{p|n} p^{k_p}</math>  

::<math>\varphi(n) = \prod_{p|n}p^{k_p - 1}(p - 1) = n \prod_{p|n}\(1 - \frac{1}{p}\)</math>  

### கணிப்பு

<math>\varphi(60) = \varphi(5.2^2.3) = 60.\(1 - \frac{1}{5}\)\(1 - \frac{1}{2}\)\(1 - \frac{1}{3}\) = 16</math>