# மெக்லாரின் தொடர்

டெய்லர் தொடரின் கருத்துரு ஸ்காட்லாந்து கணிதவியலாளர் *ஜேம்ஸ் கிரகரி*யால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, 1715 இல் ஆங்கில கணிதவியலாளர் *புரூக் டெய்லரால்* முறையாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. டெய்லர் தொடர் பூச்சியத்தில் மையப்படுத்தப்படும்போது அது **மெக்லாரின் தொடர்** (*Maclaurin series*) என அழைக்கப்படுகிறது. 18 ஆம் நூற்றாண்டில் இந்த டெய்லர் தொடரின் சிறப்பு வகையைப் பெரிதும் பயன்படுத்திய ஸ்காட்லாந்து கணிதவியலாளர் *காலின் மெக்லாரின்* நினைவாக இப்பெயர் இடப்பட்டது.  

- *ƒ*(*x*) சார்பின் டெய்லர் தொடர் (*a* புள்ளியில்) :
:<math>f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots. </math>  

- *ƒ*(*x*) சார்பின் மெக்லாரின் தொடர் (பூச்சியத்தில்):
:<math>f(0)+\frac {f'(0)}{1!} x+ \frac{f''(0)}{2!} x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3+ \cdots. </math>  

## வரையறை
*ƒ*(*x*) என்பது ஒரு மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் மதிப்புச் சார்பு. *a* என்ற புள்ளியில் இச் சார்பு முடிவுறா தடவைகள் தொடர்ந்து வகையிடக் கூடியது எனில், இச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் கீழ்க்கண்ட அடுக்குத் தொடராக அமையும்:  

:<math>f(a)+\frac {f'(a)}{1!} (x-a)+ \frac{f''(a)}{2!} (x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+ \cdots. </math>  

இத் தொடரில் * எனப் பதிலிடக் கிடைப்பது மெக்லாரின் தொடர்:  

:<math>f(0)+\frac {f'(0)}{1!} x+ \frac{f''(0)}{2!} x^2+\frac{f^{(3)}(0)}{3!} x^3+ \cdots. </math>  

- *n*! - *n* இன் தொடர் பெருக்கம்.
- *ƒ*<sup>&nbsp;(*n*)</sup>(*0*) - *0* இல், சார்பு *ƒ* இன் *n* ஆம் வகைக்கெழு.
- *ƒ* இன் பூச்சிய வரிசை வகைக்கெழு *ƒ* மற்றும் =1, 0! = 1.

## மெக்லாரின் தொடர்கள்
வழக்கமான சார்புகள் சிலவற்றின் மெக்லாரின் தொடர்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன இத் தொடர்கள் அனைத்தும் *x* இன் சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும்:  

- படிக்குறிச் சார்பு
:<math>e^{x} = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\quad\forall x\!</math>  

- இயல் மடக்கை:
:<math>\log(1-x) = - \sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n,\quad\forall |x|<1</math>  

:<math>\log(1+x) = \sum^\infty_{n=1} (-1)^{n+1}\frac{x^n}n,\quad\forall |x|<1</math>  

- பெருக்குத் தொடர்:

:<math>\frac{1}{1-x} = \sum^\infty_{n=0} x^n\quad\ |x|<1\!</math>  

- ஈருறுப்புத் தொடர் (*α* = 1/2 மற்றும் *α* = &minus;1 உட்பட):

:<math>(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad |x| < 1, \text{ அனைத்து சிக்கலெண் } \alpha \!</math>  

:<math>(1+x)^{0.5} = \textstyle 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 - \frac{5}{128}x^4 + \frac{7}{256}x^5 - \cdots</math>  

:<math>(1+x)^{-0.5} = \textstyle 1 -\frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 - \frac{5}{16}x^3 + \frac{35}{128}x^4 - \frac{63}{256}x^5 + \cdots</math>  

: <math>{\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math>- பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட ஈருறுப்புக் கெழுக்களுடன்.  

- முக்கோணவியல் சார்புகள்:

:<math>\sin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots\quad\forall x\!</math>  

:<math>\cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots\quad\forall x\!</math>  

:<math>\tan x = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1} = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots\quad |x| < \frac{\pi}{2}\!</math>  

:<math>\sec x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad |x| < \frac{\pi}{2}\!</math>  

:<math>\arcsin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad|x| \le 1\!</math>  

:<math>\arccos x ={\pi\over 2}-\arcsin x={\pi\over 2}- \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad|x| \le 1\!</math>  

:<math>\arctan x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad|x| \le 1, x\not=\pm i\!</math>  

- அதிபரவளையச் சார்புகள்:

:<math>\sinh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots\quad\forall x\!</math>  

:<math>\cosh x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\quad\forall x\!</math>  

:<math>\tanh x = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1} = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5-\frac{17}{315}x^7+\cdots \quad|x| < \frac{\pi}{2}\!</math>  

:<math>\mathrm{arcsinh} (x) = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad |x| \le 1\!</math>  

:<math>\mathrm{arctanh} (x) = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \quad|x| \le 1, x\not=\pm 1\!</math>  

tan(*x*) மற்றும் tanh(*x*) இன் தொடர்களிலுள்ள எண்கள் *B*<sub>*k*</sub>, பெர்னொலி எண்கள் ஆகும். sec(*x*) தொடரிலுள்ள *E*<sub>*k*</sub> ஆய்லர் எண்கள்.