# முக்கோணச் சமனிலிகளின் பட்டியல்

வடிவவியலில் **முக்கோணச் சமனின்மைகள்** அல்லது **முக்கோணச் சமனிலிகள்** (*triangle inequalities*) என்பவை முக்கோணத்தின் அளவுருக்களை உள்ளடக்கியச் சமனிலிகளாகும். முக்கோணத்துடன் தொடர்புடைய பெரும்பாலான சமனிலிகள் இக் கட்டுரையில் தரப்பட்டுள்ளன. இவை அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் பொருந்தக் கூடியவை. முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள், அரைச்சுற்றளவு, கோணஅளவுகள், அக் கோணங்களின் முக்கோணவியல் சார்புகள், பரப்பளவு, பக்கங்களின் நடுக்கோடுகள், குத்துக்கோடுகள், உட்கோண இருசமவெட்டிகளின் நீளங்கள், பக்கங்களின் நடுக்குத்துக்கோடுகள், உள் ஆரமும் வெளி ஆரங்களும் ஆகியவை முக்கோணச் சமனின்மைகளில் காணப்படும் பெரும்பாலான முக்கோண அளவுருக்கள் ஆகும். இங்கு தரப்படும் முக்கோணச் சமனின்மைகள் யூக்ளிடிய தளத்துக்குரியனவையாகும்.  

## முக்கிய அளவுருக்களும் அவற்றின் குறியீடுகளும்
முக்கோணச் சமனின்மைகளில் பெரும்பாலும் காணப்படும் அளவுருக்கள்:  

முக்கோணத்தின்  
- பக்க நீளங்கள் *a*, *b*, *c*;
- அரைச்சுற்றளவு *s* = (*a+b+c*) / 2 (சுற்றளவு *p* இல் பாதியளவு);
- *a*, *b*, *c* பக்கங்களுக்கு எதிராக அமையும் உச்சிகளின் கோண அளவுகள் *A*, *B*, *C*;
- கோணங்கள் *A*, *B*, *C* இன் முக்கோணவியல் சார்புகள்;
- பரப்பளவு *T* ;
- மூன்று நடுக்கோடுகளின் நீளங்கள் *m*<sub>*a*</sub>, *m*<sub>*b*</sub>, *m*<sub>*c*</sub>;
- மூன்று குத்துக்கோடுகளின் நீளங்கள் *h*<sub>*a*</sub>, *h*<sub>*b*</sub>, *h*<sub>*c*</sub>;
- மூன்று உட்கோண இருசமவெட்டிகளின் நீளங்கள் *t*<sub>*a*</sub>, *t*<sub>*b*</sub>, and *t*<sub>*c*</sub> ;
- முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நடுப்புள்ளிக்கும், அந்த நடுப்புள்ளியில் வரையப்படும் நடுக்குத்துக்கோடு முக்கோணத்தின் மற்றொரு பக்கத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளிக்குமிடைப்பட்ட கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்கள் *p*<sub>*a*</sub>, *p*<sub>*b*</sub>, and *p*<sub>*c*</sub>;
- முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சிக்கும் தளத்திலமையும் ஏதேனுமொரு புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவுகள்: தளத்திலமையும் ஏதேனுமொரு புள்ளி *P* எனில் *PA* , *PB* ‘ *PC*;
- உள்வட்ட ஆரம் *r* , வெளிவட்ட ஆரங்கள் *r*<sub>*a*</sub> , *r*<sub>*b*</sub> , and *r*<sub>*c*</sub> , சுற்றுவட்ட ஆரம் *R*.

## பக்க நீளங்கள்
முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்களில் அமைந்த சில சமனிலிகள்:  

- அடிப்படை முக்கோணச் சமனின்மை:
:<math>a < b+c, \quad b < c + a, \quad c < a + b</math>  
இதன் மாற்று வடிவம்:  
:<math>\text{max}(a, b, c)<s.</math>  
மேலும்,  
- <math>\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} < 2,</math>
- <math>3\( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\) \geq 2\( \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c} \) +3.</math>
:<math>a^2+b^2 > \frac{c^2}{2},</math>  

- முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தி அம் முக்கோணத்தின் உள்வட்டத்தினுள் இருந்தால்,
:<math>a^2 < 4bc, \quad b^2 < 4ac, \quad c^2 < 4ab.</math>  

- <math>\frac{3abc}{ab+bc+ca} \leq \sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3},</math>
- <math>\sin A + \sin B + \sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}.</math>
- <math>\sin A+\sin B \cdot \sin C \leq \varphi</math>
- <math>\sin A \cdot \cos B +\sin B \cdot \cos C+\sin C \cdot \cos A \leq \frac{3\sqrt{3}}{4}.</math>

- வீட்சென்பாக்கின் சமனிலி (Weitzenböck's inequality)
- <math>T \leq \frac{abc}{2}\sqrt{\frac{a+b+c}{a^3+b^3+c^3+abc}} \leq \frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{2/3};</math> (சமபக்க முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்)

- ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றளவை சமநீளங்கொண்ட துண்டுகளாகப் பிரிக்கும் புள்ளிகளை உச்சிகளாகக்கொண்டு, அம் முக்கோணத்துக்குள் ஒரு உள்முக்கோணம் வரையப்பட்டால் அவற்றின் பரப்பளவுகளின் விகிதம்

:<math>p_a \geq p_b</math>  

:<math>p_c \geq p_b.</math>  

### உள்வட்ட ஆரமும் சுற்றுவட்ட ஆரமும்
- ஆய்லரின் சமனிலி:

:<math>\frac{R}{r} \geq 2.</math>  

- இதைவிட அழுத்தமான சமனிலி:

:<math>1 \geq \frac{x_a}{x_b} \geq \frac{2\sqrt{2}}{3} \approx 0.94.</math>  

மேலும் எந்தவொரு முக்கோணத்துக்குள்ளும் வரையப்படும் சதுரத்தின் பரப்பளவும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவும் பின்வருமாறு அமையும்:  

:<math>\frac{d}{s} < \frac{d}{u} < \frac{d}{v} < \frac{1}{3}.</math>  

- உள்வட்ட மையத்திலிருந்து ஆய்லரின் கோட்டின் தொலைவு *d* *முக்கோணத்தின் பெரிய நடுக்கோட்டின் நீளம் *v*
- முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கத்தின் நீளம் *u*
- முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு *s*

## செங்கோண முக்கோணம்
*a* , *b* தாங்கு பக்கங்களையும் *c* செம்பக்கத்தையும் உடைய செங்கோண முக்கோணத்தில்:  

- <math>a+b \leq c\sqrt{2}.</math>

இருசமபக்க முக்கோணத்தில் மட்டும் சமக்குறி உண்மையாகும். மேலும்,  

- <math>2r \leq c(\sqrt{2}-1),</math>
- <math>h_c \leq \frac{\sqrt{2}}{4}(a+b).</math>

## இருசமபக்க முக்கோணம்
ஒரு இருசமபக்க முக்கோணத்தின் சமபக்கங்களின் நீளம் *a* மற்றும் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளம் *c*, சமகோணங்களில் ஒன்றின் உட்கோண இருசமவெட்டி *t* எனில்:  

:<math>\frac{2ac}{a+c} > t > \frac{ac\sqrt{2}}{a+c}.</math>  

## சமபக்க முக்கோணம்
சமபக்க முக்கோணம் *ABC* இன் தளத்தில் உள்ள ஒரு புள்ளி *P* . இப்புள்ளியானது முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மீது இல்லாமல் இருந்தால் மட்டும், *PA*, *PB*, *PC* மூன்றும் கீழ்க்காணும் சமனிலிகளை நிறைவு செய்யும்:  

:<math>PA+PB > PC, \quad PB+PC > PA, \quad PC+PA > PB.</math>  

அதாவது *PA*, *PB*, *PC* மூன்றும் அடிப்படை முக்கோணச் சமனிலியை நிறைவு செய்கின்றன. எனவே அவை மூன்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களாக அமைகின்றன.  

*P* சுற்றுவட்டத்தின் மீது அமையும்போது *P* க்கும் அதன் அருகேயுள்ள இரு முக்கோண உச்சிகளுக்கும் இடையேயுள்ள தொலைவுகளின் கூடுதல் *P* லிருந்து தொலைவிலுள்ள முக்கோண உச்சிக்கும் *P* க்கும் இடைப்பட்ட தொலைவிற்குச் சமமாக இருக்கும்.  

ஒரு முக்கோணம் *ABC* இன் தளத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளி *P* க்கும் அம் முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கும் இடைப்பட்டத் தொலைவுகள் *PD*, *PE*, *PF* மற்றும் முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கும் *P* க்கும் இடைப்பட்டத் தொலைவுகள் *PA*, *PB*, *PC* கீழுள்ளவாறு இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, முக்கோணம் *ABC* சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்:  

::<math>4(PD^2+PE^2+PF^2) \geq PA^2+PB^2+PC^2.</math>