# வகுஎண்

கணிதத்தில் ஒரு முழு எண்ணின்**வகுஎண்** அல்லது **வகுத்தி** (*divisor*) என்பது, வேறு ஏதேனுமொரு முழுஎண்ணுடன் பெருக்கப்படும்போது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முழுஎண் கிடைக்குமாறு அமைகின்ற ஒரு முழுஎண்ணாகும். ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண் அம்முழு எண்ணின் ’காரணி’ எனவும் அழைக்கப்படும். எண் 1 ஆனது அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்ணாக அமையும். ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  
:1 இன் வகுஎண்கள் = {1}  
:2 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2}  
:3 இன் வகுஎண்கள் = {1, 3}  
:4 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 4}  
:......  
:10 இன் வகுஎண்கள் = {1, 2, 5, 10}  

## வரையறை
பொதுவாக வகுஎண் என்பது இருவிதமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:  

- <math>m,</math> <math>n</math> ஆகிய இரு முழுஎண்களுக்கு,
:<math>mk = n</math>. என்றவாறு <math>k</math> என்ற முழுஎண் இருக்குமானால்:  
:<math>m</math> ஆனது <math>n</math>ஐ வகுக்கும் என்றும்;  
:<math>n</math> இன் வகுஎண் <math>m</math> என்றும்;  
:<math>n</math> ஆனது <math>m</math> இன் மடங்கு என்றும் கூறப்படும்.  
:இக்கூற்றின் குறியீடு:  
:<math>m \mid n,</math>  

இந்த வரையறையின்படி <math>0 \mid 0</math> என்பது உண்மையாகும்.  

- மேற்காணும் வரையறையில், <math>m \neq 0</math>. என்ற கட்டுப்பாட்டைச் சேர்த்தால் <math>0 \mid 0</math> என்பது உண்மையாகாது.

## பொதுவானவை
- ஒரு முழுஎண்ணின் வகுஎண்கள் மிகைமுழுஎண்களாகவோ அல்லது குறை முழுஎண்களாகவோ இருக்கலாம். ஆனால் பொதுவாக வகுஎண்கள் என்னும்போது மிகைவகுஎண்கள் மட்டுமே குறிக்கப்படுகின்றன.

:எடுத்துக்காட்டு:  

வகுஎண்களின் வரையறைப்படி, 1, 2, 4, −1, −2, −4 ஆகிய ஆறு எண்களுமே 4 இன் வகுஎண்கள் ஆகும். ஆனால் 4 இன் வகுஎண்களென 1, 2, 4 ஆகிய மிகை வகுஎண்கள் மட்டுமே குறிப்பிடப்படுகின்றன.  

- 1 மற்றும் −1 ஆகிய இரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களையும் வகுக்கும். அதாவது அவையிரண்டும் அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் வகுஎண்களாகும்.
- ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் தனக்குத்தானே வகுஎண்ணாகும்.
- ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தினை வகுக்கும். அதாவது ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் பூச்சியத்தின் வகுஎண்ணாகும்.

எனினும் <math>a \mid b</math> மற்றும் <math>c \mid b</math> எனில், <math>(a + c) \mid b</math> என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகாது.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>2\mid6</math> and <math>3 \mid 6</math> ஆனால் 5 ஆனது 6ஐ வகுப்பதில்லை.  

- <math>a \mid bc</math> மற்றும் மீபொவ<math>(a, b) = 1</math> எனில், <math>a \mid c</math>. இது ’யூக்ளிடின் முற்கோள்’ (Euclid's lemma) என அழைக்கப்படுகிறது.
- <math>p</math> ஒரு பகா எண் மற்றும் <math>p \mid ab</math> எனில், <math>p \mid a</math> அல்லது <math>p \mid b</math>.

### தகு வகுஎண்கள்
- <math>n</math> இன் ’தகு வகுஎண்’ (proper divisor) அல்லது ‘மீதியில்லப் பகுதி’ (aliquot part) என்பது <math>n</math> அல்லாத அதன் ஒரு மிகைவகுஎண் ஆகும். <math>n</math> ஐ மீதியின்றி வகுக்காத எண் <math>n</math> இன் ‘சரிநேர் கூறாகாத பகுதி’ (aliquant part) எனப்படும்.
- <math>n > 1</math> மற்றும் <math>n</math> இன் ஒரேயொரு தகு வகுஎண் 1 மட்டுமேயெனில், <math>n</math> ஒரு பகாஎண்ணாகும். .

அதாவது, ஒவ்வொரு பகாஎண்ணுக்கும் இரண்டே இரண்டு வகுஎண்கள் மட்டுமே உண்டு. ( எண் 1 மற்றும் அதே எண்)  

### வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை
- <math> n = p_1^{\nu_1} \, p_2^{\nu_2} \cdots p_k^{\nu_k} </math> ஆனது <math>n</math> இன் பகாக் காரணியாக்கம்
எனில்,  
:<math>n</math> இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை (<math>d(n)</math>):  
:<math> d(n) = (\nu_1 + 1) (\nu_2 + 1) \cdots (\nu_k + 1), </math>  
- ஒவ்வொரு இயல் எண் <math>n</math> க்கும், <math>d(n) < 2 \sqrt{n}</math>.
- <math>n</math> இன் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு பெருக்கல் சார்பாகும் . அதாவது <math>m</math> மற்றும் <math>n</math> இரண்டும் சார்பகா எண்கள் எனில்:
:<math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math>.  
:எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>d(42) = 8 = 2 \times 2 \times 2 = d(2) \times d(3) \times d(7)</math>; (42 இன் எட்டு வகுஎண்கள்: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42)  

எனினும் நேர் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு கிடையாது. அதாவது <math>m</math> மற்றும் <math>n</math> ஆகிய இரு எண்களுக்கிடையே ஒரு பொது வகுஎண் இருந்தால் <math>d(mn)=d(m)\times d(n)</math> என்பது உண்மையாகாது.  
- <math>n</math> இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதலுமொரு பெருக்கல் சார்பாகும். இதன் குறியீடு: <math>\sigma (n)</math>

எடுத்துக்காட்டு:  
<math>\sigma (42) = 96 = 3 \times 4 \times 8 = \sigma (2) \times \sigma (3) \times \sigma (7) = 1+2+3+6+7+14+21+42</math>