# திசையிலி முப்பெருக்கம்

வெக்டர் இயற்கணிதத்தில் **திசையிலி முப்பெருக்கம்** (*scalar triple product*) என்பது தரப்பட்ட மூன்று திசையன்களில் முதலில் ஏதேனும் இரு திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கம் கண்டுபிடித்துக் கொண்டு பின் அதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் திசையனுடன் மூன்றாவது திசையனின் புள்ளிப் பெருக்கம் காண்பதாகும்.  

## குறியீடு

தரப்பட்ட மூன்று திசையன்கள் **a**, **b**, **c** எனில் அவற்றின் திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் வழக்கமான குறியீடு:  

:<math> \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) </math>  

இம்முப்பெருக்கத்தின் மதிப்பு ஒரு திசையிலியாக அமைவதால் இது திசையிலி முப்பெருக்கம் என அழைக்கப்படுகிறது.  

இதனைப் பின்வரும் குறியீட்டிலும் எழுதலாம்.  

:<math>[\mathbf{a}\mathbf{b}\mathbf{c}] </math>  

இவ்வாறு பெட்டி அடைப்புக்குறிக்குள் தரப்படுவதால் இம்முப்பெருக்கம், *பெட்டிப்பெருக்கம்* எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.  

இம்முப்பெருக்கத்தில் புள்ளிப் பெருக்கம் மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கல் இரண்டும் உள்ளதால், இது *கலப்புப் பெருக்கம்* எனவும் அழைக்கப்படும்.  

## வடிவவியல் விளக்கம்

மூன்று திசையன்களின் திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் தனிமதிப்பு அம்மூன்று திசையன்களால் அமையும் இணைகரத்திண்மத்தின் கன அளவாகும்.  

### விளக்கம்

திசையன்கள் **a** = (*a*<sub>1</sub>, *a*<sub>2</sub>, *a*<sub>3</sub>), **b** = (*b*<sub>1</sub>, *b*<sub>2</sub>, *b*<sub>3</sub>) மற்றும் **c** = (*c*<sub>1</sub>, *c*<sub>2</sub>, *c*<sub>3</sub>) ஆகிய மூன்றையும் ஒரு முனை விளிம்புகளாகக் கொண்டு அமையும் இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவு, இம்மூன்று திசையன்களின் திசையிலி முப்பெருக்கம் **a**&nbsp;·&nbsp;(**b**&nbsp;×&nbsp;**c**) -ன் தனிமதிப்பாகும்:  

:<math>V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| = |\mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a})| = |\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})|</math>  

**b** மற்றும் **c** -இரண்டையும் இணைகரத்திண்மத்தின் அடிப்பக்க இணைகரத்தின் அடுத்துள்ள விளிம்புகளாகக் கொண்டால், குறுக்குப் பெருக்கத்தின் வடிவவியல் விளக்கத்தின்படி:  

:*A* = |**b**| |**c**| sin *θ* = |**b**&nbsp;×&nbsp;**c**|,  

இங்கு *θ* , **b** மற்றும் **c** -இவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணம்.  

இணைகரத்திண்மத்தின் உயரம்:  

:*h* = |**a**| cos *α*,  

இங்கு *α* , **a** மற்றும் *h* -இவற்றுக்கு இடையே உள்ள உட்கோணம்.  

படத்திலிருந்து கோணம் α -ன் மதிப்பு: 0°&nbsp;≤&nbsp;*α*&nbsp;<&nbsp;90°.  

மாறாக திசையன் **b**&nbsp;×&nbsp;**c** , **a** திசையனுடன் உருவாக்கும் கோணம் *β* , 90°-ஐ விட அதிகமாகவும் இருக்கலாம்:  

: (0°&nbsp;≤&nbsp;*β*&nbsp;≤&nbsp;180°).  

**b**&nbsp;×&nbsp;**c** , *h* -க்கு இணையாக அமைவதால்:  
:  
*β*&nbsp;=&nbsp;*α* அல்லது *β*&nbsp;= 180°&nbsp;−&nbsp;*α*.  

: ஃ cos&nbsp;*α*&nbsp;= ±cos *β*&nbsp;= |cos *β*|,  

:*h* = |**a**| |cos *β*|.  

எனவே இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவு:  

:*V* = *Ah* = |**a**| |**b**&nbsp;×&nbsp;**c**| |cos *β*|,  

திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் வரையறைப்படி, மேலுள்ள கனஅளவு **a** · (**b**&nbsp;×&nbsp;**c**) -ன் தனிமதிப்பிற்குச் சமம்.  

:<math> V = \ a . (b \times c) \. </math>  

## பண்புகள்

- பின்வரும் திசையிலி முப்பெருக்கங்கள் மூன்றுமே a ,b ,c திசையன்களின் திசையிலி முப்பெருக்கத்தைத் தரும் சமான வடிவங்களாகும்:

:<math>  
\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})=  
\mathbf{b}\cdot(\mathbf{c}\times \mathbf{a})=  
\mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})  
</math>  

- குறுக்குப் பெருக்கல் காணும் இரு திசையன்களின் வரிசை மாற்றப்பட்டால் திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் குறி எதிர்மமாக மாறிவிடும்:

:<math> \mathbf{c}\cdot(\mathbf{a}\times \mathbf{b})=-\mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{a}) </math>.  

- திசையிலி முப்பெருக்கத்தை அதன் மூன்று திசையன்களை நிரையாகவோ அல்லது நிரலாகவோ கொண்ட (ஒரு அணி மற்றும் அதன் நிரல் மாற்று அணி இரண்டின் அணிக்கோவை மதிப்புகளும் சமம்.) 3&nbsp;×&nbsp;3 அணியின் அணிக்கோவை மதிப்பாகவும் கொள்ளலாம்:

:<math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c}) = \det \begin{bmatrix}  
a_1 & a_2 & a_3 \\  
b_1 & b_2 & b_3 \\  
c_1 & c_2 & c_3 \\  
\end{bmatrix}.</math>  

- திசையிலி முப்பெருக்கத்தின் மதிப்பு பூச்சியம் எனில் திசையன்கள் **a**, **b**, மற்றும் **c** மூன்றும் ஒரேதள அமைவு திசையன்கள். ஏனெனில் இம்மூன்று திசையன்களைக் கொண்டு அமையும் இணைகரத்திண்மத்தின் கன அளவின் மதிப்பு பூச்சியம் என்றால் அத்திண்மம் தட்டையானதாக அமையும். எனவே இந்நிலையில் இம்மூன்று திசையன்களும் ஒரே தளத்தில் அமைகின்றன.
- :<math>
[\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\times \mathbf{c})] \mathbf{a}=(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times (\mathbf{a}\times \mathbf{c})  
</math>