# அதிபரவளையச் சார்பு



கணிதத்தில் **அதிபரவளைவுச் சார்பு**கள் அல்லது **அதிபரவளையச் சார்பு**கள் (*hyperbolic functions*) என்பன வட்டச் சார்புகள் என அழைக்கப்படும் முக்கோணவியல் சார்புகளுடன் ஒத்த சார்புகள் ஆகும்.  

அடிப்படை அதிபரவளையச் சார்புகள்:  

- அதிபரவளைவு சைன்: "sinh"
- அதிபரவளைவு கொசைன்: "cosh"
- அதிபரவளைவு டேன்ஜெண்ட்: "tanh"
- அதிபரவளைவு கொசீக்கெண்ட்: "csch" அல்லது "cosech"
- அதிபரவளைவு சீக்கெண்ட்: "sech"
- அதிபரவளைவு கோடேன்ஜெண்ட்: "coth"

ஒவ்வொரு அதிபரவளையச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பினைக் குறிப்பதற்கு அச்சார்போடு *area hyperbolic* (அ) "ar" (அ) "a" (அ) "arc" என்ற முன்னொட்டுகளைச் சேர்த்து எழுதப்படுகிறது. (cos&nbsp;*t*,&nbsp;sin&nbsp;*t*) என்ற புள்ளிகள் அலகு வட்டத்தை உருவாக்குவது போல, புள்ளிகள் (cosh&nbsp;*t*,&nbsp;sinh&nbsp;*t*), சமபக்க அதிபரவளைவின் வலப்பாதிப் பகுதியை உருவாக்குகின்றன.  

அதிபரவளையச் சார்புகள், வின்சென்சோ ரிக்கட்டி மற்றும் ஜோகன் கெயின்ரிச் லாம்பெர்டு எனும் இரு கணிதவியலாளர்களால் தனித்தனியே 1760 களில் கண்டறியப்பட்டது. ரிக்கட்டி, வட்டச் சார்புகளைக் குறிப்பதற்கு *Sc.* மற்றும் *Cc.* (*[co]sinus circulare*) குறியீடுகளையும், அதிபரவளையச் சார்புகளுக்கு *Sh.* மற்றும் *Ch.* (*[co]sinus hyperbolico*) ம் பயன்படுத்தினார். லாம்பெர்டு அதே பெயர்களை அப்படியே எடுத்துக் கொண்டு குறியீடுகளை மட்டும் தற்போது பயன்படுத்தப்படும் குறியீடுகளுக்கு மாற்றினார். சுருக்கக் குறியீடுகள் *sh* , *ch* இன்றளவும் பிரெஞ்சு, உருசியா போன்ற சில மொழிகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறன.  

## திட்ட இயற்கணித வடிவம்
அதிபரவளையச் சார்பு:  

- அதிபரவளைய சைன் (Hyperbolic sine):
::<math>\sinh x = \frac {e^x - e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} - 1} {2e^x} = \frac {1 - e^{-2x}} {2e^{-x}}</math>  

- அதிபரவளைய கொசைன் (Hyperbolic cosine):
::<math>\cosh x = \frac {e^x + e^{-x}} {2} = \frac {e^{2x} + 1} {2e^x} = \frac {1 + e^{-2x}} {2e^{-x}}</math>  

- அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட் (Hyperbolic tangent):
::<math>\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {e^x - e^{-x}} {e^x + e^{-x}} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1} = \frac{1 - e^{-2x}} {1 + e^{-2x}}</math>  

- அதிபரவளைய கோடேன்ஜெண்ட் (Hyperbolic cotangent):
::<math>\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac {e^x + e^{-x}} {e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1} {e^{2x} - 1} = \frac{1 + e^{-2x}} {1 - e^{-2x}}</math>  

- அதிபரவளைய சீக்கெண்ட் (Hyperbolic secant):
::<math>\operatorname{sech}\,x = \(\cosh x\)^{-1} = \frac {2} {e^x + e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} + 1} = \frac{2e^{-x}} {1 + e^{-2x}}</math>  

- அதிபரவளைய கொசீக்கெண்ட் (Hyperbolic cosecant):
::<math>\operatorname{csch}\,x = \(\sinh x\)^{-1} = \frac {2} {e^x - e^{-x}} = \frac{2e^x} {e^{2x} - 1} = \frac{2e^{-x}} {1 - e^{-2x}}</math>  

கற்பனை வட்டக் கோணங்கள் மூலமாகவும் அதிபரவளையச் சார்புகளை எழுதலாம்:  

- அதிபரவளைய சைன்:
::<math>\sinh x = - {\rm{i}} \sin {\rm{i}}x \!</math>  

- அதிபரவளைய கொசைன்:
::<math>\cosh x = \cos {\rm{i}}x \!</math>  

- அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட்:
::<math>\tanh x = -{\rm{i}} \tan {\rm{i}}x \!</math>  

- அதிபரவளைய கோடேன்ஜெண்ட்:
::<math>\coth x = {\rm{i}} \cot {\rm{i}}x \!</math>  

- அதிபரவளைய சீக்கெண்ட்:
::<math>\operatorname{sech}\,x = \sec { {\rm{i}} x} \!</math>  

- அதிபரவளைய கொசீக்கெண்ட்:
::<math>\operatorname{csch}\,x = {\rm{i}}\,\csc\,{\rm{i}}x \!</math>  

இங்கு *i* என்பது கற்பனை அலகு; *i*<sup>2</sup> = −1.  

## பயனுள்ள தொடர்புகள்
- ஒற்றை மற்றும் இரட்டைச் சார்புகள்:
:<math>\begin{align}  
\sinh (-x) &= -\sinh x \\  
\cosh (-x) &= \cosh x  
\end{align}</math>  

எனவே:  
:<math>\begin{align}  
\tanh (-x) &= -\tanh x \\  
\coth (-x) &= -\coth x \\  
\operatorname{sech} (-x) &= \operatorname{sech} x \\  
\operatorname{csch} (-x) &= -\operatorname{csch} x  
\end{align}</math>  

cosh *x* மற்றும் sech *x* இரண்டும் இரட்டைச் சார்புகளாகவும் மற்ற அதிபரவளையச் சார்புகள் ஒற்றைச் சார்புகளாகவும் இருப்பதைக் காணலாம்.  

- நேர்மாறுச் சார்புகள்
:<math>\begin{align}  
\operatorname{arsech} x &= \operatorname{arcosh} \frac{1}{x} \\  
\operatorname{arcsch} x &= \operatorname{arsinh} \frac{1}{x} \\  
\operatorname{arcoth} x &= \operatorname{artanh} \frac{1}{x}  
\end{align}</math>  

- அதிபரவளைய சைன் மற்றும் கொசைன் சார்புகள் இரண்டும் பின்வரும் முற்றொருமையை நிறைவு செய்கின்றன:
:<math>\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1\,</math>  

இம்முற்றொருமை பித்தாகரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமையை ஒத்துள்ளது.  

மேலும் பிற சார்புகளுக்கு:  
:<math>\begin{align}  
\operatorname{sech} ^{2} x &= 1 - \tanh^{2} x \\  
\operatorname{csch} ^{2} x &= \coth^{2} x - 1  
\end{align}</math>  

:<math>\frac{1}{2} f'' = f^3 - f ; \quad f(0) = f'(\infty) = 0</math> இன் தீர்வாக tanh அமைகிறது.  

- cosh&nbsp;(*x*) இன் கீழமையும் பரப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வில்லின் நீளத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:
:<math>\text{area} = \int_a^b{ \cosh{(x)} } \ dx = \int_a^b\sqrt{1 + \(\frac{d}{dx} \cosh{(x)}\)^2} \ dx = \text{வில்லின் நீளம்}</math>  

- கோணங்களின் கூட்டல்:
:<math>\begin{align}  
\cosh (x + y) &= \sinh x \sinh y + \cosh x \cosh y \\  
\sinh (x + y) &= \cosh x \sinh y + \sinh x \cosh y  
\end{align}</math>  
குறிப்பாக,  
:<math>\begin{align}  
\cosh (2x) &= \sinh^2{x} + \cosh^2{x} = 2\sinh^2 x + 1 = 2\cosh^2 x - 1\\  
\sinh (2x) &= 2\sinh x \cosh x  
\end{align}</math>  

- cosh மற்றும் sinh இன் கூடுதலும் வித்தியாசமும்:
:<math>\begin{align}  
\cosh x + \sinh x &= e^x \\  
\cosh x - \sinh x &= e^{-x}  
\end{align}</math>  
## மடக்கைகளாக-நேர்மாறுச் சார்புகள்
:<math>\begin{align}  
\operatorname {arsinh} (x) &= \ln \(x + \sqrt{x^{2} + 1} \) \\  

\operatorname {arcosh} (x) &= \ln \(x + \sqrt{x^{2} - 1} \); x \ge 1 \\  

\operatorname {artanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \( \frac{1 + x}{1 - x} \); \ x \ < 1 \\  

\operatorname {arcoth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \( \frac{x + 1}{x - 1} \); \ x \ > 1 \\  

\operatorname {arsech} (x) &= \ln \( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \); 0 < x \le 1 \\  

\operatorname {arcsch} (x) &= \ln \( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\ x \} \); x \ne 0  
\end{align}</math>  

## வகைக்கெழுக்கள்
:<math> \frac{d}{dx}\sinh x = \cosh x \,</math>  

:<math> \frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x \,</math>  

:<math> \frac{d}{dx}\tanh x = 1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x = 1/\cosh^2 x \,</math>  

:<math> \frac{d}{dx}\coth x = 1 - \coth^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -1/\sinh^2 x \,</math>  

:<math> \frac{d}{dx}\ \operatorname{csch}\,x = - \coth x \ \operatorname{csch}\,x \,</math>  

:<math> \frac{d}{dx}\ \operatorname{sech}\,x = - \tanh x \ \operatorname{sech}\,x \,</math>  

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsinh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}</math>  

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcosh}\,x =\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}</math>  

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{artanh}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}</math>  

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcsch}\,x =-\frac{1}{\ x \\sqrt{1+x^{2}}}</math>  

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arsech}\,x =-\frac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}</math>  

:<math>\frac{d}{dx}\, \operatorname{arcoth}\,x =\frac{1}{1-x^{2}}</math>  

## தொகையீடுகள்
அனைத்து அதிபரவளையச் சார்புகளின் தொகையீடுகளுக்கு அதிபரவளைவுச் சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல் பார்க்கவும்.  

:<math>\begin{align}  
\int \sinh (ax)\,dx &= a^{-1} \cosh (ax) + C \\  
\int \cosh (ax)\,dx &= a^{-1} \sinh (ax) + C \\  
\int \tanh (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\cosh (ax)) + C \\  
\int \coth (ax)\,dx &= a^{-1} \ln (\sinh (ax)) + C \\  
\int \operatorname{sech} (ax)\,dx &= a^{-1} \arctan (\sinh (ax)) + C \\  
\int \operatorname{csch} (ax)\,dx &= a^{-1} \ln \( \tanh \( \frac{ax}{2} \) \) + C  
\end{align}</math>  

:<math>\begin{align}  
\int {\frac{du}{\sqrt{a^2 + u^2}}} & = \sinh ^{-1}\( \frac{u}{a} \) + C \\  
\int {\frac{du}{\sqrt{u^2 - a^2}}} &= \cosh ^{-1}\( \frac{u}{a} \) + C \\  
\int {\frac{du}{a^2 - u^2}} & = a^{-1}\tanh ^{-1}\( \frac{u}{a} \) + C; u^2 < a^2 \\  
\int {\frac{du}{a^2 - u^2}} & = a^{-1}\coth ^{-1}\( \frac{u}{a} \) + C; u^2 > a^2 \\  
\int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 - u^2}}} & = -a^{-1}\operatorname{sech}^{-1}\( \frac{u}{a} \) + C \\  
\int {\frac{du}{u\sqrt{a^2 + u^2}}} & = -a^{-1}\operatorname{csch}^{-1}\ \frac{u}{a} \ + C  
\end{align}</math>  

இவற்றில் *C* -தொகையீட்டு மாறிலி.  

## டெய்லர் தொடர்கள்
அதிபரவளையச் சார்புகளை டெய்லர் தொடர்களாக எழுத முடியும்:  
:<math>\sinh x = x + \frac {x^3} {3!} + \frac {x^5} {5!} + \frac {x^7} {7!} +\cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>  

:<math>\cosh x = 1 + \frac {x^2} {2!} + \frac {x^4} {4!} + \frac {x^6} {6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n)!}</math>  

sinh மற்றும் cosh தொடர்களின் கூடுதல், படிக்குறிச் சார்பின் டெய்லர் தொடராக (முடிவிலாத் தொடராக) இருக்கும்.  

:<math>\begin{align}  

\tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \ |x \ | < \frac {\pi} {2} \\  

\coth x &= x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \ |x \ | < \pi \\  

\operatorname {sech}\, x &= 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \ |x \ | < \frac {\pi} {2} \\  

\operatorname {csch}\, x &= x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = x^{-1} + \sum_{n=1}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , 0 < \ |x \ | < \pi  

\end{align}</math>  

இங்கு,  

:<math>B_n, \,</math> *n* ஆவது பெர்னொலி எண் (Bernoulli number)  
:<math>E_n, \,</math> *n* ஆவது ஆய்லர் எண் (Euler number)  

## வட்டச் சார்புகளுடன் ஒப்பீடு

வட்டச் சார்புகளையும் தாண்டிய முக்கோணவியலின் நீட்டிப்பாக அதிபரவளையச் சார்புகள் அமைகின்றன. இருவகையான சார்புகளுமே முறையே, வட்டக் கோணம் மற்றும் அதிபரவளையக் கோணத்தைச் சார்ந்திருக்கின்றன. வட்டத்தின் ஆரம் *r* = √2 இன் வர்க்கமூலமாக இருக்கும் போது, வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பளவு <math>\frac {r^2 u} {2} = u.</math>. இத்தகைய வட்டம் (*r* = √2) அதிபரவளையம் *x y* = 1 ஐ (1,1) புள்ளியில் தொடுகிறது.(படத்தில் காண்க.) மஞ்சள் பகுதி வட்டக் கோணப்பகுதியின் கோணம் மற்றும் பரப்பையும் தருகிறது. சிவப்புப் பகுதி அதிபரவளையப் பகுதியின் கோணத்தையும் பரப்பையும் தருகிறது.  

*u* கோணத்தை வரையறுக்கும் கதிரை, செம்பக்கமாகக் கொண்ட இரு செங்கோண முக்கோணங்களின் தாங்கு பக்கங்கள் முறையே, வட்டச் சார்புகள் மற்றும் அதிபரவளையச் சார்புகளின் √2 மடங்குகளாக, அதாவது √2cosu, √2sinu மற்றும் (√2coshu, √2sinhu) என உள்ளன. (படத்தில் காண்க)  

## முற்றொருமைகள்
முக்கோணவியல் சார்புகளின் முற்றொருமைக்களுக்கு ஒத்த பல முற்றொருமைகளை அதிபரவளையச் சார்புகள் நிறைவு செய்கின்றன:  
- <math>\begin{align}
\sinh(x + y) &= \sinh (x) \cosh (y) + \cosh (x) \sinh (y) \\  
\cosh(x + y) &= \cosh (x) \cosh (y) + \sinh (x) \sinh (y) \\  
\tanh(x + y) &= \frac{\tanh (x) + \tanh (y)}{1 + \tanh (x) \tanh (y)}  
\end{align}</math>  

- <math>\begin{align}
\sinh 2x &= 2\sinh x \cosh x \\  
\cosh 2x &= \cosh^2 x + \sinh^2 x = 2\cosh^2 x - 1 = 2\sinh^2 x + 1 \\  
\tanh 2x &= \frac{2\tanh x}{1 + \tanh^2 x}  
\end{align}</math>  

- அரைக்கோண முற்றொருமைகள்:
:<math>\sinh \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{1}{2}(\cosh x - 1)} \,</math> :<math>\cosh \frac{x}{2} = \sqrt{ \frac{1}{2}(\cosh x + 1)} \,</math>  
:<math> \tanh \frac{x}{2} = \sqrt \frac{\cosh x - 1}{\cosh x + 1} = \frac{\sinh x}{\cosh x + 1} = \frac{\cosh x - 1}{\sinh x} = \coth x - \operatorname{csch}x.</math>  

## சிக்கலெண்களுக்கு அதிபரவளையச் சார்புகள்
ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு:  
:<math>\begin{align}  
e^{i x} &= \cos x + i \;\sin x \\  
e^{-i x} &= \cos x - i \;\sin x  
\end{align}</math>  

எனவே:  

:<math>\begin{align}  
\cosh ix &= \frac{1}{2} \(e^{i x} + e^{-i x}\) = \cos x \\  
\sinh ix &= \frac{1}{2} \(e^{i x} - e^{-i x}\) = i \sin x \\  
\cosh(x+iy) &= \cosh(x) \cos(y) + i \sinh(x) \sin(y) \\  
\sinh(x+iy) &= \sinh(x) \cos(y) + i \cosh(x) \sin(y) \\  
\tanh ix &= i \tan x \\  
\cosh x &= \cos ix \\  
\sinh x &= - i \sin ix \\  
\tanh x &= - i \tan ix  
\end{align}</math>  

அதிபரவளையச்ச் சார்புகள், காலமுறையளவு <math>2 \pi i</math> (<math>\pi i</math> -அதிபரவளைய டேன்ஜெண்ட் மற்றும் கோடேன்ஜெண்ட் சார்புகளுக்கு) கொண்ட காலமுறைச் சார்புகளாக உள்ளன. .  

**சிக்கலெண் தளத்தில் அதிபரவளயச் சார்புகள்**

| <math>\operatorname{sinh}(z)</math> | <math>\operatorname{cosh}(z)</math> | <math>\operatorname{tanh}(z)</math> | <math>\operatorname{coth}(z)</math> | <math>\operatorname{sech}(z)</math> | <math>\operatorname{csch}(z)</math> | } |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

## வரைபடங்கள்

cosh(*x*).]]