# நேரியல் சமன்பாடு


கணிதத்தில் ஒரு **நேரியல் சமன்பாடு** அல்லது **ஒருபடிச் சமன்பாடு** (*linear equation*) என்பது ஒரு இயற்கணிதச் சமன்பாடாகும். இச்சமன்பாட்டின் உறுப்புகள் மாறிலியாகவோ அல்லது மாறிலியால் பெருக்கப்பட்ட ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்டைமைந்த உறுப்புகளாகவோ அமையும். ஒரு உறுப்பிலுள்ள மாறியின் அடுக்கு ஒன்றுக்கு மேல் இருக்கக் கூடாது. நேரியல் சமன்பாடுகள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளைக் கொண்டிருக்கலாம்.  

## எளிய எடுத்துக்காட்டுகள்

ஒன்று, இரண்டு மற்றும் மூன்று மாறிகளில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகளுக்கான சில எளிய எடுத்துக்காட்டுகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன:  

:<math>2x + 3 = 7,\,</math>  
:<math>y = k,\,</math>  
:<math>x + 3y = 9,\,</math>  
:<math>ax + by + cz = d,\,</math>.....  

## இரு மாறிகளில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகள்

*x* மற்றும் *y* எனும் இரு மாறிகளில் அமைந்த ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டு பொதுவாக கீழ்க்காணும் வடிவில் எழுதப்படுகிறது:  

:<math>y = mx + b,\,</math>  

இங்கு *m* மற்றும் *b* மாறிலிகள்.  

:தளத்தில் அமைந்த ஒரு நேர்கோட்டின்மீது இச்சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் அமையும்.  

- மாறிலி *m* -கோட்டின் சாய்வு;
- "b" -அக்கோட்டின் y-வெட்டுத்துண்டு. அதாவது அக்கோடு y அச்சை வெட்டும் புள்ளிக்கும் ஆதிக்கும் இடைப்பட்ட y-அச்சுப்பகுதி.

### இருபரிமாண நேரியல் சமன்பாட்டு வடிவங்கள்

இரு மாறியில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகளை அடிப்படை இயற்கணித விதிமுறைகளைப் பயன்படுத்தி வெவ்வேறு வடிவங்களில் மாற்றி அமைக்கலாம். அவ்வாறு மாற்றி அமைக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள் நேர்கோடுகளைக் குறிக்கும் சமன்பாடுகளாக அமையும். அச்சமன்பாடுகளில் பயன்படுத்தப்படும் எழுத்துக்கள், *x*, *y*, *t*, மற்றும் *θ* மாறிகளையும் பிற எழுத்துக்கள் மாறிலிகளையும் குறிக்கும்.  

#### பொதுவடிவம்

:: <math>Ax + By + C = 0, \,</math>  

:இங்கு *A* மற்றும் *B* இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் பூச்சியமாக இருக்காது. எப்பொழுதும் *A* ≥ 0 என உள்ளவாறு சமன்பாட்டினை எழுதுவது வழமை.  

கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் இந்நேரியல் சமன்பாட்டின் வரைபடம் ஒரு நேர்கோடாக இருக்கும்.  

:<math>A \not = 0,</math> எனில்:  

: இக்கோட்டின் *x* -வெட்டுத்துண்டு: <math> -\frac{C}{A} \,</math>  

:<math>B \not = 0,</math> எனில்:  

:இக்கோட்டின் *y* -வெட்டுத்துண்டு: <math> -\frac{C}{B} \,</math>  
:மற்றும்  
:சாய்வு: <math> -\frac{A}{B} \,</math>  

#### திட்ட வடிவம்

:: <math>Ax + By = C,\,</math>  

:இங்கு *A* மற்றும் *B* இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் பூச்சியமாக இருக்காது; *A*, *B*, *C* ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்கள்; மற்றும் *A* எதிரெண் அல்ல.  

#### சாய்வு–வெட்டுத்துண்டு வடிவம்

::<math>y = mx + b,\,</math>  

:இங்கு *m* நேர்கோட்டின் சாய்வு மற்றும் *b* கோட்டின் *y*-வெட்டுத்துண்டு, அதாவது இக்கோடு *y*-அச்சை வெட்டும் புள்ளியின் *y* -அச்சுதூரம்.  
:வரையறுக்கப்படாத சாய்வு கொண்ட நிலைக்குத்துக் கோடுகளை இவ்வடிவில் குறிக்க இயலாது.  

#### புள்ளி–சாய்வு வடிவம்

::<math>y - y_1 = m( x - x_1 ),\,</math>  

:இங்கு *m* கோட்டின் சாய்வு; (*x*<sub>1</sub>,*y*<sub>1</sub>) கோட்டின் மீதமைந்த ஒரு புள்ளி.  

:புள்ளி–சாய்வு வடிவிலிருந்து, ஒரு கோட்டின் மீதமைந்த இரு புள்ளிகளின் *y* -அச்சுதூரங்களின் வித்தியாசம் (<math>y - y_1</math>) அப்புள்ளிகளின் *x* -அச்சுதூரங்களின் வித்தியாசத்துடன் விகிதசமமாக இருக்கும் எனவும் அந்த விகிதசம மாறிலி கோட்டின் சாய்வு *m* (the slope of the line) எனவும் அறியலாம்.  

#### இரு புள்ளி வடிவம்

::<math>y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1),\,</math>  

:இங்கு <math>(x_1,y_1)</math> மற்றும் <math>(x_2,y_2)</math> இரண்டும் கோட்டின் மீதமைந்த இரு வெவ்வேறான புள்ளிகள் (<math>x_2</math> ≠ <math>x_1</math>). :இவ்வடிவம் புள்ளி-சாய்வு வடிவத்துக்குச் சமானமாக அமைகிறது. அப்பொழுது கோட்டின் சாய்வின் மதிப்பு: <math>\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}</math>.  

#### வெட்டுத் துண்டு வடிவம்

:: <math>\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1,\,</math>  

: இங்கு *a* மற்றும் *b* பூச்சியமாக இருக்கக் கூடாது.  
:இச்சமன்பாட்டின் வரைபடம் தரும் கோட்டின்:  

: *x* -வெட்டுத்துண்டு *a*  
: *y* -வெட்டுத்துண்டு *b*.  

:*A* = 1/*a*, *B* = 1/*b* மற்றும் *C* = 1 எனப் பிரதியிட்டு வெட்டுத்துண்டு வடிவினை திட்ட வடிவிற்கு மாற்றலாம்.  

#### துணையலகு வடிவம்

::<math>\begin{cases} x = T t + U \\ y = V t + W \end{cases}\,</math>  
:இவை துணையலகு *t* -ல் அமைந்த இரு ஒருங்கமைந்த சமன்பாடுகள். இச்சமன்பாடுகள் குறிக்கும் கோட்டிற்கு:  

- சாய்வு *m* = *V* / *T*,
- *x* -வெட்டுத்துண்டு = (*VU*&minus;*WT*) / *V*
- *y* -வெட்டுத்துண்டு = (*WT*&minus;*VU*) / *T*.

#### போலார் வடிவம்

::<math>r=\frac{mr\cos\theta+b}{\sin\theta},</math>  

:இங்கு கோட்டின் சாய்வு m; y-வெட்டுத்துண்டு b.  

*θ = 0* எனும்போது சமன்பாட்டின் வரைபடம் வரையறுக்கப்படவில்லை. தொடர்ச்சியின்மையைச் சரிசெய்வதற்காக சமன்பாட்டினைப் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:  

::<math>r\sin\theta=mr\cos\theta+b.\,</math>  

#### செங்குத்து வடிவம்

:தரப்பட்ட கோட்டிற்கும் ஆதிப்புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட மிகச்சிறிய நீளமுள்ள கோட்டுத்துண்டு *செங்குத்து*.  

ஒரு கோட்டினைக் குறிக்கும் சமன்பாடு செங்குத்து வடிவில்:  

:: <math> y \sin \theta + x \cos \theta - p = 0,\,</math>  

: செங்குத்தின் சாய்வுகோணம் *θ*; செங்குத்தின் நீளம் *p*.  

## இரண்டிற்கு மேற்பட்ட மாறிகளில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடுகள்

ஒரு நேரியல் சமன்பாடு இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட மாறிகளைக் கொண்டிருக்கலாம்.  

*n* மாறிகளில் அமைந்த நேரியல் சமன்பாடு:  

:<math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b.</math>  

இந்த வடிவில். *a*<sub>1</sub>, *a*<sub>2</sub>, …, *a*<sub>*n*</sub> -மாறிலிகள்; *x*<sub>1</sub>, *x*<sub>2</sub>, …, *x*<sub>*n*</sub> -மாறிலிகள்.  

இத்தகைய சமன்பாடு, *n*-பரிமாண யூக்ளிடியன் வெளியில் அமைந்த (*n*–1)-பரிமாண மீத்தளத்தைக் குறிக்கும்.