# சார்புகளின் தொகுப்பு



கணிதத்தில் **சார்புகளின் தொகுப்பு** அல்லது **சார்புகளின் இணைப்பு** (*composition of functions*) என்பது ஒரு சார்பின் விளைவின் மீது மற்றொரு சார்பைப் பயன்படுத்துவதாகும். மற்றும் என்ற இரு சார்புகளை எடுத்துக்கொண்டால், *f* சார்பின்படி உள்ளீடு *x* -ன் வெளியீடு *f*(*x*) -ஐ *g* சார்பின் உள்ளீடாக எடுத்துக்கொண்டு அதற்குரிய வெளியீட்டைக் கணக்கிடுவது இவ்விரு சார்புகளின் தொகுப்பாகும்.  

தொகுப்புச் சார்பு : பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:  

:<math> g \circ f (x) = g(f(x)), </math> <math> \forall a\in\mathbb{X} </math>  

சேர்ப்புப் பண்பு:  

சார்புகளின் தொகுப்பு சேர்ப்புப் பண்புடையது.  

*f*, *g*, மற்றும் *h* மூன்றும் தகுந்த ஆட்களம், இணையாட்களம் கொண்ட மூன்று சார்புகள் எனில்:  

:<math> g \circ (f \circ h ) = (g \circ f ) \circ h </math>  

அடைப்புக்குறிகளை இடம் மாற்றுவதால் எந்தவொரு பாதிப்பும் இராது என்பதால் இக்கூற்றை அடைப்புக்குறிகள் இல்லாமலும் எழுதலாம்.  

பரிமாற்றுப் பண்பு:  

:<math> g \circ f = f \circ g </math> எனில் *g* மற்றும் *f* ஆகிய இரு சார்புகளும் பரிமாற்றத்தக்க சார்புகள்.  

பொதுவாக, சார்புகளின் தொகுப்புக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பு கிடையாது. சில குறிப்பிட்ட சார்புகள் மட்டுமே அதுவும் சில சிறப்புச் சூழ்நிலைகளில் மட்டுமே பரிமாற்றுப் பண்பு கொண்டிருக்கும்.  

<math>x \ge 0</math> என்னும்போது மட்டுமே  
:<math>\ x \ + 3 = \ x + 3 \\,</math> என்பது உண்மை.  

## எடுத்துக்காட்டு
*EFA* -ஐ முக்கோணம் *ATB* -ஆக மாற்றும் வடிவொப்புமை உருமாற்றமானது ஒத்தநிலை உருமாற்றம் &nbsp; மற்றும் சுழற்சி உருமாற்றம் ஆகிய இரு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பாகும். இவ்விரு உருமாற்றங்களின் மையங்கள் ஒரே புள்ளி(*S*) ஆகும். &nbsp; -சுழற்சியால் *A*&nbsp; -ன் எதிருரு *U*, அதாவது, மேலும் , ]]  
*t* நேரத்தில் ஒரு வானூர்தி பறக்கும் உயரத்தைக் குறிக்கும் சார்பு *h*(*t*) மற்றும் *x* உயரத்தில் இருக்கக்கூடிய ஆக்ஸிஜனின் அளவைக் குறிக்கும் சார்பு *c*(*x*) எனில், இவ்விரண்டு சார்புகளின் தொகுப்புச் சார்பு , *t* நேரத்தில் அந்த வானூர்தியைச் சுற்றியுள்ள பகுதியின் ஆக்ஸிஜன் அளவைக் குறிக்கும்.  

## சார்பின் அடுக்குகள்
<math>Y \subseteq X</math> எனில் <math>f\colon X\rightarrow Y</math> சார்பை அதனுடனேயே தொகுக்கலாம்.  

அவ்வாறு செய்யப்படும் தொகுப்புச் சார்பின் குறியீடு: <math>f^2\,</math>.  

:<math>(f\circ f)(x) = f(f(x)) = f^2(x)</math>  

:<math>(f\circ f\circ f)(x) = f(f(f(x))) = f^3(x)</math>  

ஒரு சார்பை அச்சார்புடனேயே மீண்டும் மீண்டும் தொகுப்பு காண்பது சார்புத் தொடர்தல் எனப்படும்.  

:<math>f\circ f^n=f^n\circ f=f^{n+1}, </math> <math>n\,</math> இயல் எண்  

- <math>f^0= id_{D(f)}\,</math> (<math>f\big)</math> -ன் ஆட்களத்தின் மீதான முற்றொருமைச் சார்பு).
- <math>f\colon X\rightarrow X</math> நேர்மாற்றத்தக்கது மற்றும் அதன் நேர்மாறுச் சார்பு <math>(f^{-1}\,</math> எனில்:

:<math>f^{-k} = f^{-1})^k\,</math> <math>(k>0\,)</math>  

**குறிப்பு:** *f* -ன் மதிப்புகள் ஒரு வளையத்தில் அமையுமானால் *f&nbsp;<sup>n</sup>* என்பது சார்புத் தொடர்தலை மட்டுமில்லாது *f*, -ன் *n* மடங்கினையும் குறிக்கலாம்:  

.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:.  

இங்கும் எதிரெண் அடுக்குகள், குறிப்பாக &minus;1, மடங்கைக் குறிக்காமல் நேர்மாறுச் சார்பைக் குறிக்கும்:  

:tan<sup>&minus;1</sup> = arctan (≠ 1/tan).  

## மாற்றுக் குறியீடுகள்

- பெரும்பாலான கணிதவியலாளர்கள் என்பதற்குப் பதில் தொகுப்புக் குறி சிறுவட்டத்தை விட்டுவிட்டு *gf* எனக் குறிக்கின்றனர்.
- இருபதாம் நூற்றாண்டின் இடைக்காலத்தில் சில கணிதவியலாளர்கள், முதலில் சார்பு *f* ஐயும் அடுத்து சார்பு *g* -ஐயும் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதைச் சொல்வதற்கு எனக் குறித்தல் குழப்பத்தை ஏற்படுத்துகிறது என எண்ணி குறியீட்டை மாற்றுவதற்கு முற்பட்டனர். அவர்கள் "*f*(*x*)" என்பதற்குப் பதிலாக "*xf*"எனவும் மற்றும் "*g*(*f*(*x*))" என்பதற்குப் பதிலாக "(*xf*)*g*" எனவும் பயன்படுத்தினர்.