# பல்கோண எண்

கணிதத்தில், ஒரு **பல்கோண எண் (Polygonal number)** என்பது, ஒழுங்கான பல்கோண வடிவில் ஒழுங்குபடுத்தக்கூடிய ஒரு எண்ணாகும். பண்டைய கணிதவியலாளர்கள், எண்கள் கற்கள், விதைகள் போன்றவற்றால் குறிக்கப்படும்போது, அவற்றைக் குறிக்கப்பட்ட விதங்களில் ஒழுங்குபடுத்த முடியும் எனக் கண்டறிந்தனர். எடுத்துக்காட்டாக எண் 10 ஐ, ஒரு முக்கோணமாக ஒழுங்குபடுத்தமுடியும் (முக்கோண எண் பார்க்கவும்):  

:{|  
| |  

|}  

ஆனால் 10 ஐ ஒரு சதுரமாக அடுக்கமுடியாது. எண் 9 ஐ அவ்வாறு அடுக்கமுடியும். (சதுர எண் பார்க்கவும்):  

:{|  
| |  

|}  

36 போன்ற சில எண்களைச் சதுரமாகவும், முக்கோணமாகவும் அடுக்கமுடியும். ( முக்கோண சதுர எண்):  

:{|  
|-  


|}  

ஒரு பல்கோணத்தின் இரு அடுத்துள்ள பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு புள்ளியை அதிகப்படுத்தி அப்புள்ளிகளுக்கிடையே மற்ற தேவையான பக்கங்களைச் சேர்த்தால் இதற்கு அடுத்த அளவுப் பல்கோணம் கிடைக்கும். கீழேயுள்ள படங்களில் புதிதாகச் சேர்க்கப்பட்ட புள்ளிகள் சிவப்பு நிறத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.  

## பல்கோண எண்களின் வகைகள் சில

**முக்கோண எண்கள்**  

**சதுர எண்கள்**  

ஐங்கோணி, அறுகோணி போன்ற கூடிய பக்கங்களைக்கொண்ட பல்கோணிகளும் புள்ளிகளின் அடுக்காகக் காட்டப்படக்கூடியவை. (convention படி, எத்தனை பக்கங்கொண்ட பல்கோணிக்கும் 1 முதலாவது பல்கோண எண்ணாகும்).  

ஐங்கோண எண்கள்:  

அறுகோண எண்கள்  

36: (இது முக்கோண எண்ணும், ஒரு சதுர எண்ணுமாகும்.)  

## வாய்ப்பாடு
*s* -பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை எனில்,  

*n* -வது *s*-கோண எண், *P*(*s*,*n*) காணும் வாய்ப்பாடு:  

:<math>P(s,n) = {(\frac{s}{2}-1)n^2-(\frac{s}{2}-2)n}\, .</math>  

*n*-வது *s*- கோண எண்ணுக்கும் முக்கோண எண் *T*<sub>*n*</sub> -க்குமுள்ள தொடர்பு:  

:<math>P(s,n) = (s-2)T_{n-1} + n = (s-3)T_{n-1} + T_n\, .</math>  

எனவே:  

:<math>P(s,n+1)-P(s,n) = (s-2)n + 1\, ,</math>  

:<math>P(s+1,n) - P(s,n) = T_{n-1} = \frac{n(n-1)}{2}\, .</math>  

தரப்பட்ட *s*-கோண எண் *P*(*s*,*n*) = *x* எனில்  

:<math>n = \frac{\sqrt{(8s-16)x+(s-4)^2}+s-4}{2s-4}.</math>  

## அட்டவணை

<table ="3" cellpadding="3"><tr><b>  
<td align=>பெயர்</td><td align=>Formula</td><td align=>*n*=1</td><td align=>2</td><td align=>3</td><td align=>4</td><td align=>5</td><td align=>6</td><td align=>7</td><td align=>8</td><td align=>9</td><td align=>10</td><td align=>11</td><td align=>12</td><td align=>13</td></b></tr>  
<tr><td align=>முக்கோணம்</td><td align=>½*n*(1*n* + 1)</td>  
<td align=>1</td><td align=>3</td><td align=>6</td><td align=>10</td><td align=>15</td><td align=>21</td><td align=>28</td><td align=>36</td><td align=>45</td><td align=>55</td><td align=>66</td><td align=>78</td><td align=>91</td></tr>  
<tr><td align=>சதுரம்</td><td align=>½*n*(2*n* - 0)</td>  
<td align=>1</td><td align=>4</td><td align=>9</td><td align=>16</td><td align=>25</td><td align=>36</td><td align=>49</td><td align=>64</td><td align=>81</td><td align=>100</td><td align=>121</td><td align=>144</td><td align=>169</td></tr>  
<tr><td align=>ஐங்கோணம்</td><td align=>½*n*(3*n* - 1)</td>  
<td align=>1</td><td align=>5</td><td align=>12</td><td align=>22</td><td align=>35</td><td align=>51</td><td align=>70</td><td align=>92</td><td align=>117</td><td align=>145</td><td align=>176</td><td align=>210</td><td align=>247</td></tr>  
<tr><td align=>அறுகோணம்</td><td align=>½*n*(4*n* - 2)</td>  
<td align=>1</td><td align=>6</td><td align=>15</td><td align=>28</td><td align=>45</td><td align=>66</td><td align=>91</td><td align=>120</td><td align=>153</td><td align=>190</td><td align=>231</td><td align=>276</td><td align=>325</td></tr>  
<tr><td align=>எழுகோணம்</td><td align=>½*n*(5*n* - 3)</td>  
<td align=>1</td><td align=>7</td><td align=>18</td><td align=>34</td><td align=>55</td><td align=>81</td><td align=>112</td><td align=>148</td><td align=>189</td><td align=>235</td><td align=>286</td><td align=>342</td><td align=>403</td></tr>  
<tr><td align=>எண்கோணம்</td><td align=>½*n*(6*n* - 4)</td>  
<td align=>1</td><td align=>8</td><td align=>21</td><td align=>40</td><td align=>65</td><td align=>96</td><td align=>133</td><td align=>176</td><td align=>225</td><td align=>280</td><td align=>341</td><td align=>408</td><td align=>481</td></tr>  
<tr><td align=>நவகோணம்</td><td align=>½*n*(7*n* - 5)</td>  
<td align=>1</td><td align=>9</td><td align=>24</td><td align=>46</td><td align=>75</td><td align=>111</td><td align=>154</td><td align=>204</td><td align=>261</td><td align=>325</td><td align=>396</td><td align=>474</td><td align=>559</td></tr>  
<tr><td align=>தசகோணம்</td><td align=>½*n*(8*n* - 6)</td>  
<td align=>1</td><td align=>10</td><td align=>27</td><td align=>52</td><td align=>85</td><td align=>126</td><td align=>175</td><td align=>232</td><td align=>297</td><td align=>370</td><td align=>451</td><td align=>540</td><td align=>637</td></tr>  
<tr><td align=>11-கோணம்</td><td align=>½*n*(9*n* - 7)</td>  
<td align=>1</td><td align=>11</td><td align=>30</td><td align=>58</td><td align=>95</td><td align=>141</td><td align=>196</td><td align=>260</td><td align=>333</td><td align=>415</td><td align=>506</td><td align=>606</td><td align=>715</td></tr>  
<tr><td align=>12-கோணம்</td><td align=>½*n*(10*n* - 8)</td>  
<td align=>1</td><td align=>12</td><td align=>33</td><td align=>64</td><td align=>105</td><td align=>156</td><td align=>217</td><td align=>288</td><td align=>369</td><td align=>460</td><td align=>561</td><td align=>672</td><td align=>793</td></tr>  
<tr><td align=>13-கோணம்</td><td align=>½*n*(11*n* - 9)</td>  
<td align=>1</td><td align=>13</td><td align=>36</td><td align=>70</td><td align=>115</td><td align=>171</td><td align=>238</td><td align=>316</td><td align=>405</td><td align=>505</td><td align=>616</td><td align=>738</td><td align=>871</td></tr>  
<tr><td align=>14-கோணம்</td><td align=>½*n*(12*n* - 10)</td>  
<td align=>1</td><td align=>14</td><td align=>39</td><td align=>76</td><td align=>125</td><td align=>186</td><td align=>259</td><td align=>344</td><td align=>441</td><td align=>550</td><td align=>671</td><td align=>804</td><td align=>949</td></tr>  
<tr><td align=>15-கோணம்</td><td align=>½*n*(13*n* - 11)</td>  
<td align=>1</td><td align=>15</td><td align=>42</td><td align=>82</td><td align=>135</td><td align=>201</td><td align=>280</td><td align=>372</td><td align=>477</td><td align=>595</td><td align=>726</td><td align=>870</td><td align=>1027</td></tr>  
<tr><td align=>16-கோணம்</td><td align=>½*n*(14*n* - 12)</td>  
<td align=>1</td><td align=>16</td><td align=>45</td><td align=>88</td><td align=>145</td><td align=>216</td><td align=>301</td><td align=>400</td><td align=>513</td><td align=>640</td><td align=>781</td><td align=>936</td><td align=>1105</td></tr>  
<tr><td align=>17-கோணம்</td><td align=>½*n*(15*n* - 13)</td>  
<td align=>1</td><td align=>17</td><td align=>48</td><td align=>94</td><td align=>155</td><td align=>231</td><td align=>322</td><td align=>428</td><td align=>549</td><td align=>685</td><td align=>836</td><td align=>1002</td><td align=>1183</td></tr>  
<tr><td align=>18-கோணம்</td><td align=>½*n*(16*n* - 14)</td>  
<td align=>1</td><td align=>18</td><td align=>51</td><td align=>100</td><td align=>165</td><td align=>246</td><td align=>343</td><td align=>456</td><td align=>585</td><td align=>730</td><td align=>891</td><td align=>1068</td><td align=>1261</td></tr>  
<tr><td align=>19-கோணம்</td><td align=>½*n*(17*n* - 15)</td>  
<td align=>1</td><td align=>19</td><td align=>54</td><td align=>106</td><td align=>175</td><td align=>261</td><td align=>364</td><td align=>484</td><td align=>621</td><td align=>775</td><td align=>946</td><td align=>1134</td><td align=>1339</td></tr>  
<tr><td align=>20-கோணம்</td><td align=>½*n*(18*n* - 16)</td>  
<td align=>1</td><td align=>20</td><td align=>57</td><td align=>112</td><td align=>185</td><td align=>276</td><td align=>385</td><td align=>512</td><td align=>657</td><td align=>820</td><td align=>1001</td><td align=>1200</td><td align=>1417</td></tr>  
<tr><td align=>21-கோணம்</td><td align=>½*n*(19*n* - 17)</td>  
<td align=>1</td><td align=>21</td><td align=>60</td><td align=>118</td><td align=>195</td><td align=>291</td><td align=>406</td><td align=>540</td><td align=>693</td><td align=>865</td><td align=>1056</td><td align=>1266</td><td align=>1495</td></tr>  
<tr><td align=>22-கோணம்</td><td align=>½*n*(20*n* - 18)</td>  
<td align=>1</td><td align=>22</td><td align=>63</td><td align=>124</td><td align=>205</td><td align=>306</td><td align=>427</td><td align=>568</td><td align=>729</td><td align=>910</td><td align=>1111</td><td align=>1332</td><td align=>1573</td></tr>  
<tr><td align=>23-கோணம்</td><td align=>½*n*(21*n* - 19)</td>  
<td align=>1</td><td align=>23</td><td align=>66</td><td align=>130</td><td align=>215</td><td align=>321</td><td align=>448</td><td align=>596</td><td align=>765</td><td align=>955</td><td align=>1166</td><td align=>1398</td><td align=>1651</td></tr>  
<tr><td align=>24-கோணம்</td><td align=>½*n*(22*n* - 20)</td>  
<td align=>1</td><td align=>24</td><td align=>69</td><td align=>136</td><td align=>225</td><td align=>336</td><td align=>469</td><td align=>624</td><td align=>801</td><td align=>1000</td><td align=>1221</td><td align=>1464</td><td align=>1729</td></tr>  
<tr><td align=>25-கோணம்</td><td align=>½*n*(23*n* - 21)</td>  
<td align=>1</td><td align=>25</td><td align=>72</td><td align=>142</td><td align=>235</td><td align=>351</td><td align=>490</td><td align=>652</td><td align=>837</td><td align=>1045</td><td align=>1276</td><td align=>1530</td><td align=>1807</td></tr>  
<tr><td align=>26-கோணம்</td><td align=>½*n*(24*n* - 22)</td>  
<td align=>1</td><td align=>26</td><td align=>75</td><td align=>148</td><td align=>245</td><td align=>366</td><td align=>511</td><td align=>680</td><td align=>873</td><td align=>1090</td><td align=>1331</td><td align=>1596</td><td align=>1885</td></tr>  
<tr><td align=>27-கோணம்</td><td align=>½*n*(25*n* - 23)</td>  
<td align=>1</td><td align=>27</td><td align=>78</td><td align=>154</td><td align=>255</td><td align=>381</td><td align=>532</td><td align=>708</td><td align=>909</td><td align=>1135</td><td align=>1386</td><td align=>1662</td><td align=>1963</td></tr>  
<tr><td align=>28-கோணம்</td><td align=>½*n*(26*n* - 24)</td>  
<td align=>1</td><td align=>28</td><td align=>81</td><td align=>160</td><td align=>265</td><td align=>396</td><td align=>553</td><td align=>736</td><td align=>945</td><td align=>1180</td><td align=>1441</td><td align=>1728</td><td align=>2041</td></tr>  
<tr><td align=>29-கோணம்</td><td align=>½*n*(27*n* - 25)</td>  
<td align=>1</td><td align=>29</td><td align=>84</td><td align=>166</td><td align=>275</td><td align=>411</td><td align=>574</td><td align=>764</td><td align=>981</td><td align=>1225</td><td align=>1496</td><td align=>1794</td><td align=>2119</td></tr>  
<tr><td align=>30-கோணம்</td><td align=>½*n*(28*n* - 26)</td>  
<td align=>1</td><td align=>30</td><td align=>87</td><td align=>172</td><td align=>285</td><td align=>426</td><td align=>595</td><td align=>792</td><td align=>1017</td><td align=>1270</td><td align=>1551</td><td align=>1860</td><td align=>2197</td></tr>  
</table>  

## ஆதாரங்கள்

- *The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers*, David Wells (Penguin Books, 1997) [].
- MathWorldல் பல்கோண எண்கள்

ru:Последовательность двенадцатиугольника