# ஒன்றின் படிமூலம்


ஒரு சிக்கலெண்ணை ஏதேனுமொரு முழு எண் அடுக்குக்கு உயர்த்தும் போது அதன் மதிப்பு 1 ஆக இருக்குமானால் அந்தச் சிக்கலெண்ணானது **ஒன்றின் படிமூலம்** (*root of unity*) என அழைக்கப்படுகிறது. சில சமயங்களில் இது **டி மாவரின் எண்** எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.  

## வரையறை
:<math>z</math> ஒரு சிக்கலெண்; <math>n </math> ஒரு முழுஎண் என்க:  

:<math>z^n = 1 </math> என்ற சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் <math>z</math> ஆனது ”ஒன்றின் <math>n</math>ஆம் படிமூலம்” என வரையறுக்கப்படுகிறது.  

### தொடக்கநிலை மூலம்
<math>n</math> ஐ விடச் சிறிய எந்த முழுஎண் அடுக்கிற்கும் <math>z</math> இன் மதிப்பு எண் 1 இல்லையெனில், <math>z</math> ஆனது ”ஒன்றின் தொடக்கநிலை <math>n</math>ஆம் படிமூலம் எனப்படும். அதாவது <math>z</math> ஒன்றின் தொடக்கநிலை <math>n</math>ஆம் படிமூலம் எனில்,  

:<math>z^n = 1, </math>  
:<math>z^k \ne 1 \qquad (k = 1, 2, 3, \dots, n-1 ), </math> ஆகிய இரு முடிவுகளும் நிறைவு செய்யப்பட வேண்டும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>i^8 = 1</math> என்பது உண்மை; ஆனால்,  
:<math>i^4 = 1</math> என்பதும் உண்மை என்பதால் <math>i</math> ஆனது ஒன்றின் தொடக்கநிலை எண்படி மூலம் அல்ல; ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலமாக இருக்கும்.  

## சில அடிப்படை முடிவுகள்
- ஒன்றின் ஒவ்வொரு *n* ஆம் படிமூலமும் ஏதேனுமொரு மதிப்பு *a* க்கு ஒன்றின் தொடக்கநிலை *a*வதுபடி மூலமாக இருக்கும்.

- ஒன்றின் *n*ஆம் படிமூலம் *z*; எனில் <math>z^a = z^b. </math>
;விளக்கம்  
:சமானம், மாடுலோ n-வரையறைப்படி,  
: என்பதால் (*k* ஒரு முழுஎண்) என எழுதலாம். இதனைப் பயன்படுத்த:  
:<math> z^a = z^{b+kn} = z^b z^{kn} = z^b (z^n)^k = z^b 1^k = z^b.</math>  

- ஒன்றின் தொடக்கநிலை *n*ஆம் படிமூலம் *z* எனில்:
:<math>z^a = z^b \iff a\equiv b \pmod{ n}.</math>  

:*z* தொடக்கநிலை படிமூலம் இல்லையெனில்:  
:<math>a\equiv b \pmod{ n} \implies z^a = z^b.</math> என்பது மட்டுமே உண்மையாக இருக்கும்.  

- <math>(z^k)^n = z^{kn} = (z^n)^k = 1^k = 1.</math>

- <math>\frac{1}{z} = z^{-1} = z^{n-1} = \bar z.</math> (இணைச் சிக்கலெண்)

- *n*ஆம் படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாட்டிற்கு வெவ்வேறான *n* தீர்வுகள் மட்டுமே இருக்க முடியும். எனவே ஒன்றின் தொடக்கநிலை மூலம் *z* எனில் அதன் பின்வரும் அடுக்குகள்,

:*z* , , … , , ஆகியவை ஒன்றின் *n*ஆம் படிமூலங்களாக இருக்கும்.  

## ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு
டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டில் எனப் பதிலிட ஒன்றின் தொடக்கநிலை *n* ஆம் படிமூலம் கிடைக்கிறது:  

;டி மாவரின் வாய்ப்பாடு  
:<math>(\cos x + i \sin x)^n = \cos nx + i \sin nx.</math> (*x* மெய்யெண், *n* முழுஎண்)  

இதில் எனப் பதிலிட,  
:<math>\(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\)^n = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1,</math> எனக் கிடைக்கிறது.  

எனவே <math>\(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\) </math> ஆனது ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலம் ஆகும்.  

மேலும் <math>0 < k < n.</math> எனும்போது,  
:<math>\(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\)^k= \cos\tfrac{2k\pi}{n} + i \sin\tfrac{2k\pi}{n} \neq 1 </math> எனவும் அமைவதால் மேலே தரப்பட்ட ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலமானது தொடக்கநிலை படிமூலம் என்பதையும் அறியலாம்.  

:<math> \cos\tfrac{2k\pi}{n} + i \sin\tfrac{2k\pi}{n}, \quad (*)</math>  

இந்த வாய்ப்பாடு, மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தையும் தருகிறது.  

வாய்ப்பாட்டில் *k* இன் மதிப்புகளைப் பதிலிடக் கிடைக்கும் ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள்:  
: <math>1,</math> <math>\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n},</math> <math>\cos\tfrac{4\pi}{n} + i \sin\tfrac{4\pi}{n}</math>....<math>\cos\tfrac{(n-1)2\pi}{n} + i \sin\tfrac{(n-1)2\pi}{n}</math>  

மேலேயுள்ள வாய்ப்பாட்டில் ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணும் வாய்ப்பட்டைப் பின்வருமாறு பெறலாம்.  

;ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு  
:<math>e^{i x} = \cos x + i \sin x,</math> (*x* இன் அனைத்து மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும்)  
இதனை வாய்ப்பாடு <math>(*)</math> இல் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும், ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள் காணும் வாய்ப்பாடு:  

:<math>\cos\tfrac{2k\pi}{n} + i \sin\tfrac{2k\pi}{n} = e^{2\pi i \frac{k}{n}} \qquad 0 \le k < n.</math>  

இவ் வாய்ப்பாட்டில் சுருக்கவியலாப் பின்னமாக, அதாவது , இரண்டும் சார்பகா எண்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இந்த மூலம் ஒன்றின் தொடக்கநிலை படிமூலமாக இருக்கும்.  

இந்த வாய்ப்பாட்டின்படி ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள்:  
:<math>1,</math> <math>e^{i\frac{2\pi } {n}},</math> <math>e^{i\frac{4\pi }{n}}, </math> <math>e^{i\frac{6\pi }{n}}.... </math> <math>e^{i\frac{2(n-1)\pi }{n}}, </math>  

### முடிவுகள்
<math>\omega =e^{i\frac{2\pi } {n}} = \(\cos\tfrac{2\pi}{n} + i \sin\tfrac{2\pi}{n}\) </math> எனக் கொண்டால் ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள்:  

::<math>1, \omega, {\omega}^2, {\omega}^3, {\omega}^4, .... {\omega}^{(n-1)}</math>  

- <math>{\omega}^n = 1 </math>
- ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்களின் கூடுதல் 0
:<math>1 + \omega + {\omega}^2 + {\omega}^3 + {\omega}^4 + .... {\omega}^{(n-1)} = 0</math>  
- <math>1, \omega, {\omega}^2, {\omega}^3, {\omega}^4, .... {\omega}^{(n-1)}</math> <math> \omega </math> ஐப் பொதுவிகிதமாகக் கொண்ட பெருக்குத் தொடராக அமைகிறது (பெருக்குத்தொடரின் பொதுவிகிதம் <math> \omega </math>)
- சிக்கலெண் தளத்தில் ஒன்றின் *n* ஆம் படிமூலங்கள் அனைத்தும், அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட *n* பக்கங்கள் கொண்ட ஒழுங்குப் பல்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமைவதையும், ஒரு உச்சி 1 இல் அமைவதையும் அறியலாம்.

## ஒன்றின் பிற படிமூலங்கள்
;முதலாம் படிமூலம்  
: சமன்பாட்டிற்குள்ள ஒரேயொரு தீர்வாக +1 உள்ளது. இது மட்டுமே ஒன்றின் தொடக்கநிலை முதலாம் படிமூலமாகும். (+1 ஆனது, ஒன்றின் இரண்டாம், மூன்றாம், நான்காம்படி,... தொடக்கநிலையற்ற படிமூலமாக அமையும்)  

;இரண்டாம் படிமூலங்கள் (வர்க்க மூலம்)  
: சமன்பாட்டிற்கு +1 , −1 ஆகிய இரு தீர்வுகள் உள்ளன. இவற்றில், +1 ஒன்றின் தொடக்கநிலையற்ற இரண்டாம் படிமூலம்; −1 ஒன்றின் தொடக்கநிலை இரண்டாம் படிமூலம்.  

:±1 மட்டுமே ஒன்றின் மெய்யெண் படிமூலங்கள்; ஏனைய படிமூலங்கள் சிக்கலெண்களாகும்.  

;முப்படி மூலங்கள்:  

:<math>z^3 - 1 = 0 </math>  
:<math>(z-1)(z^2-z -1)= 0 </math>  

:இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்:  
:<math> 1, \\{e^{\frac{2 \pi i}{3}},e^{-\frac{2 \pi i}{3}}\\}= 1,\\{ \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \\}</math>  

:இம் மூன்றில் 1 தவிர்த்த மற்ற இரு மூலங்களும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களாகும். ஒன்றின் முப்படி மூலங்கள் மூன்றும் சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமைகின்றன (படத்தில் காண்க).  

;நான்காம் படிமூலங்கள்:  
:<math>z^4 - 1 = 0 </math>  
:<math>(z^2 - 1)(z^2 + 1) = 0 </math>  
:<math>(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)= 0 </math>  

:இச் சமன்பாட்டின் தீர்வுகள்:  
:<math>1, -1, \\{e^{\frac{2 \pi i}{4}},e^{-\frac{2 \pi i}{4}}\\}=1, -1, \\{\pm\sqrt{-1} \\}=1, -1, \\{+i, -i \\}.</math>  

:இவற்றில் <math>\\{+i, -i \\}</math> இரண்டும் ஒன்றின் தொடக்கநிலை நான்காம் படிமூலங்கள்.  

:ஒன்றின் நான்காம் படிமூலங்கள் நான்கும் சிக்கலெண் தளத்தில் அலகு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சதுரத்தின் உச்சிகளாக அமைகின்றன.  

;தொடக்கநிலை ஐந்தாம் படிமூலங்கள்:  
:<math>\\{\.e^{\frac{2 \pi i k}{5}}\ 1 \le k \le 4 \\}=\\{\ . \frac{u\sqrt 5-1}4+v\,i\,\sqrt{\frac{5+u\sqrt 5}8}\; \ |u,v \in \{-1,1\}\\}.</math>  

;தொடக்கநிலை ஆறாம் படிமூலங்கள்:  
:<math>\\{e^{\frac{2 \pi i}{6}},e^{-\frac{2 \pi i}{6}}\\}=\\{ \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2} \\}.</math>  
இவை இரண்டும் தொடக்கநிலை மூன்றாம் படிமூலங்களின் எதிர் எண்களாக உள்ளன.  

இதேபோல *n* இன் ஏனைய முழுஎண் மதிப்புகளுக்கு ஒன்றின் படிமூலங்களைக் காணலாம்.