# ஒன்பது-புள்ளி வட்டம்


வடிவவியலில் **ஒன்பது-புள்ளி வட்டம்** (*Nine-point circle*) என்பது கொடுக்கப்பட்ட எந்த ஒரு முக்கோணத்துக்கும் வரையத்தக்க ஒரு வட்டம் ஆகும். முக்கோணத்தின் ஒன்பது முக்கியமான புள்ளிகளின் வழியே செல்வதால் இந்த வட்டம் இவ்வாறு பெயரிடப்பட்டுள்ளது. அந்த ஒன்பது புள்ளிகளாவன:  
- முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்,
- முக்கோணத்தின் மூன்று குத்துக்கோடுகளின் அடிகள்,
- முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு உச்சியையும் அதன் செங்குத்து மையத்தையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகளின் நடுப்புள்ளிகள்(இக்கோட்டுத்துண்டுகள் அந்தந்த குத்துக்கோடுகளின் ஒரு பகுதியாக அமையும்).
ஒன்பது-புள்ளி வட்டமானது, *ஃபோயர்பாக் வட்டம்*, *ஆய்லர் வட்டம்*, *டெர்க்கெம் வட்டம்*, *ஆறு-புள்ளி வட்டம்*, *பன்னிரெண்டு-புள்ளி வட்டம்*, *n*-*புள்ளி வட்டம்*, *நடுவரைவட்டம்*, *நடுவட்டம்* அல்லது *சுற்று-நடுவட்டம்* எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.  

## குறிப்பிட்ட ஒன்பது புள்ளிகள்

மேலுள்ள படத்தில், ABC என்னும் முக்கோணத்தை எடுத்துக்கொண்டால், அதன் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் குறிப்பிட்ட 9 புள்ளிகள் காட்டப்பட்டுள்ளன.  
- *D*, *E*, மற்றும் *F* - முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்
- *G*, *H*, மற்றும் *I* - முக்கோணத்தின் மூன்று குத்துக்கோடுகளின் அடிகள்
- *J*, *K*, மற்றும் *L* - முக்கோணத்தின் செங்குத்துமையத்தையும் (*S*) ஒவ்வொரு குத்துக்கோட்டின் முக்கோண உச்சியையையும்(*A*, *B*, *C*) இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகளின் நடுப்புள்ளிகள்.

ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்திற்கு முதல் ஆறு புள்ளிகளும் முக்கோணத்தின் மேல் அமையும். ஒரு விரிகோண முக்கோணத்திற்கு இரு குத்துக்கோடுகளின் அடிகள் முக்கோணத்திற்கு வெளியே அமையும். எனினும் அவை இரண்டும் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மீதும் அமையும்.  

## கண்டுபிடிப்பு

ஒன்பது-புள்ளி வட்டமானது *கார்ல் வில்லெம் ஃபோயர்பாக்கின்* கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்பட்டாலும், ஒன்பது புள்ளிகளும் அவரால் அடையாளம் காணப்படவில்லை. முதல் ஆறு புள்ளிகள் (படத்தில் D, E, F, G, H, I-புள்ளிகள்.) மட்டுமே அவரது கண்டுபிடிப்பாகும். (இதற்குச் சிலநாட்களுக்கு முன்பாக, *சார்லஸ் பிரியான்கோன்* மற்றும் *ஜான் விக்டர் போன்ஸ்லெட்* இருவரும் இத்தேற்றத்தை நிறுவியிருந்தனர்.) ஃபோயர்பாக்கைத் தொடர்ந்து கணிதவியலாளர் *ஓர்லி டெர்க்கெம்* இவ்வட்டம் இருப்பதை நிறுவினார். இவர்தான் கடைசி மூன்று புள்ளிகள் (படத்தில் J, K, L-புள்ளிகள்) இவ்வட்டத்தின் மீது உள்ளதை முதலில் கண்டுபிடித்ததார். இவ்வட்டத்திற்கு ஒன்பது-புள்ளி வட்டம் எனப் பெயரிட்டதும் டெர்க்கெம்தான்.  

## தொடு வட்டங்கள்

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டமானது, அம்முக்கோணத்தின் மூன்று வெளிவட்டங்களை வெளிப்புறமாகவும் உள்வட்டத்தை உட்புறமாகவும் தொடும் எனவும் 1822 -ல் *கார்ல் ஃபோயர்பாக்* கண்டு பிடித்தார். இக்கண்டுபிடிப்பு **ஃபோயர்பாக் தேற்றம்** என அழைக்கப்படுகிறது.  

அத்தேற்றத்தின் கூற்று:  
:*… ஒரு முக்கோணத்தின் குத்துக்கோடுகளின் அடிகளின் வழியாகச் செல்லும் வட்டமானது, முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொட்டுக்கொண்டு அமையும் உள்வட்டம் மற்றும் மூன்று வெளிவட்டங்களைத் தொடுகிறது...*  

உள்வட்டமும் ஒன்பது-புள்ளி வட்டமும் தொட்டுக்கொள்ளும் புள்ளியானது **ஃபோயர்பாக் புள்ளி** என அழைக்கப்படுகிறது.  

## பிற தகவல்கள்
- ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் ஆரமானது, அம்முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் ஆரத்தைப்போல் இருமடங்காகும்.

- ஒரு முக்கோணத்தின் செங்குத்துச்சந்தியிலிருந்து அதன் சுற்றுவட்டத்தின் மேல் அமையும் எந்தவொரு புள்ளியையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை அம்முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டமானது இருசமக்கூறிடும்.

- ஒரு முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டமையம் அம்முக்கோணத்தின் செங்குத்துச்சந்தியையும் சுற்றுவட்டமையங்களையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளியில் அம்முக்கோணத்தின் ஆய்லரின் கோட்டைச் சந்திக்கிறது.

- ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள் மற்றும் அதன் செங்குத்துச்சந்தி ஆகிய நான்கு புள்ளிகளின் திணிவு மையமானது, அம்முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மையமாக அமைகிறது.

- ஒன்பது புள்ளிகளில், முக்கோணத்தின் உச்சிகளையும் செங்குத்துச்சந்தியையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகளின் நடுப்புள்ளிகளானவை ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மையத்தைப் பொறுத்து, அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளின் பிரதிபலிப்புகளாகும். (*reflections*)

- முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் வழியாகச் செல்லும் அனைத்து செவ்வக அதிபரவளையங்களின் (rectangular hyperbolas) மையங்களும் அம்முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மீது அமையும். இந்த விவரமானது **ஃபோயர்பாக் கூம்புவெட்டுத் தேற்றம்** (Feuerbach conic theorem) என அழைக்கப்படுகிறது.

இத்தேற்றத்திற்கான எடுத்துக்காட்டுக்களில் *கைபெர்ட்*, *ஜெராபெக்*, *ஃபோயர்பாக்கின்* செவ்வக அதிபரவளையங்களும் அடங்கும்.  

- *A*, *B*, *C* *H* ஆகிய நான்கு புள்ளிகளாலான செங்குத்துச்சந்தி தொகுதி தரப்பட்டிருந்தால் இவை நான்கிலிருந்து எந்த மூன்று புள்ளிகளையும் கொண்டு அமைக்கப்படும் நான்கு முக்கோணங்களுக்கும் ஒன்பது-புள்ளி வட்டமானது ஒரே வட்டமாக அமையும். இதன் விளைவாக இந்த நான்கு முக்கோணங்களின் சுற்றுவட்டங்களின் ஆரங்கள் சமமாக இருக்கும்.

இந்தப் பொது ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மையம் *N* எனில்:  

:<math>NA^2+NB^2+NC^2+NH^2 = 3R^2.\,</math> இங்கு *R* - சுற்றுவட்டங்களின் சமஆரம்.  

*P* - செங்குத்துமையத் தொகுதியின் தளத்தில் அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி மற்றும் <math>PA^2+PB^2+PC^2+PH^2 = K^2,\,</math> (இங்கு *K* மாறிலியாக வைக்கப்படுகிறது) எனில்:  

*P*-இன் இயங்குவரை *N* -ஐ மையமாகவும்; <math>\scriptstyle \frac{1}{2} \sqrt{K^2-3R^2}\,</math> ஆரமும் கொண்ட ஒரு வட்டமாகும்.  

*P* - ஆனது *N* -ஐ அணுகும்போது அதற்குரிய *K* -இன் மதிப்பிற்கு *P* -இன் இயங்குவரையானது, ஒன்பது-புள்ளி வட்டமையம் *N* -ஆகிவிடும்.  

:<math>PA^2+PB^2+PC^2+PH^2 = 4R^2,\,</math> எனில் *P* -ன் இயங்குவரையானது ஒன்பது-புள்ளி வட்டமாக அமையும்:  

- ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்டமையமும், மூன்று வெளிவட்ட மையங்களும் ஒரு செங்குத்துச்சந்தித் தொகுதியை அமைக்கும். இத்தொகுதியின் ஒன்பது-புள்ளிவட்டம் அம்முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டமாக அமையும். இத்தொகுதியிலுள்ள நான்கு முக்கோணங்களின் குத்துக்கோடுகளின் அடிகள் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முதல் முக்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமையும்.

- *A*, *B*, *C*, *D* ஆகிய நான்கு புள்ளிகளும் ஒரு செங்குத்துமையத் தொகுதியை அமைக்காவிடில், *ABC*, *BCD*, *CDA*, *DAB* என்ற முக்கோணங்களின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டங்கள் ஏழு புள்ளிகளில் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்கின்றன. இவற்றுள் ஒரு புள்ளி மொத்தமுள்ள நான்கு ஒன்பது-புள்ளி வட்டங்களுக்கும் பொதுவான வெட்டும் புள்ளியாக இருக்கும். மீதமுள்ள ஆறு வெட்டும் புள்ளிகள், நான்கு முக்கோணங்களின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளோடு ஒன்றுபடும். *A*, *B*, *C*, *D* ஆகிய நான்கு புள்ளிகளின் திணிவு மையத்தை மையமாகக்கொண்டு, ஏழு வெட்டும் புள்ளிகளின் வழியாகச் செல்லும் ஒரு ஒன்பது-புள்ளி தனித்த கூம்புவெட்டு ஒன்று உள்ளது. மேலும் ஃபோயர்பாக் கூம்புவெட்டுத் தேற்றத்தின்படி, நான்கு, ஒன்பது-புள்ளி வட்டங்களின் பொது வெட்டும் புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட தனித்த ஒரு செவ்வக அதிபரவளையம் அமையும். இந்த செவ்வக அதிபரவளையமானது மேலே தரப்பட்ட நான்கு முக்கோணங்களின் செங்குத்து மையங்களின் வழியாகச் செல்லும்.

- முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகளில்:
- ஒன்பது-புள்ளிவட்டத்தின் மையம்:

cos (*B*&nbsp;−&nbsp;*C*) : cos (*C*&nbsp;−&nbsp;*A*) : cos (*A*&nbsp;−&nbsp;*B*)  

- ஃபோயர்பாக் புள்ளி:

1&nbsp;−&nbsp;cos (*B*&nbsp;−&nbsp;*C*) : 1&nbsp;−&nbsp;cos (*C*&nbsp;−&nbsp;*A*) : 1&nbsp;−&nbsp;cos (*A*&nbsp;−&nbsp;*B*)  

- கைபெர்ட் அதிபரவளையத்தின் மையம்:

(*b*<sup>2</sup>*&nbsp;−&nbsp;c*<sup>2</sup>)<sup>2</sup>/*a* : (*c*<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;*a*<sup>2</sup>)<sup>2</sup>/*b* : (*a*<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;*b*<sup>2</sup>)<sup>2</sup>/*c*  

- ஜெராபெக் அதிபரவளையத்தின் மையம்:

cos *A* sin<sup>2</sup>(*B*&nbsp;−&nbsp;*C*) : cos *B* sin<sup>2</sup>(*C*&nbsp;−&nbsp;*A*) : cos *C* sin<sup>2</sup>(*A*&nbsp;−&nbsp;*B*)  

- *x* : *y* : *z* -ஒரு மாறும் புள்ளி எனில் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் சமன்பாடு:

: *x*<sup>2</sup>sin&nbsp;*2A* + *y*<sup>2</sup>sin&nbsp;2*B* + *z*<sup>2</sup>sin&nbsp;2*C*&nbsp;−&nbsp;2(*y*z sin&nbsp;*A* + *zx* sin&nbsp;*B* + *xy* sin&nbsp;*C*) = 0.