# மெர்சென் பகாத்தனி


கணிதத்தில் **மெர்சென் எண்** (Mersenne number), **மெர்சென் பகாத்தனி** என இரண்டு கருத்துகள் உள்ளன. மெர்சென் எண் என்பது இரண்டின் அடுக்கு எண் கழித்தல் ஒன்று (இரண்டடுக்குக்கு ஒன்று குறை) என்னும் வடிவில் எழுதத்தக்க ஒரு நேர்ம முழு எண்.:  

:<math> M_n=2^n-1.\,</math>  

மேற்கண்டவாறு எழுதத்தக்க மெர்சென் எண் பகா எண்ணாக (பகாத்தனியாக) *இருந்தால்* அதனை **மெர்சென் பகாத்தனி** என்று வரையறை செய்வர். எடுத்துக்காட்டாக <math> M_3=2^3-1=7 </math> என்பது <math> M_3 </math> என்று அழைக்கப்படும், 7 என்னும் மதிப்பு கொண்ட, பகாத்தனி (பகா எண்). ஆனால் <math> M_4=2^4-1=15 </math> என்பது <math> M_4 </math> என்று அழைக்கப்படும், 15 என்னும் மதிப்பு கொண்ட, *மெர்சென் எண்*, ஆனால் *பகா எண் அல்ல*. ஏனெனில் 15 என்பதை 3x5 என எழுதலாம். அது ஒரு வகுபடும் எண். சற்று மாறுதலான சில வரையறைகளில், மெர்சென் எண் என்பது இரண்டின் அடுக்குப்படியாக உள்ள *n* என்பது ஒரு பகாத்தனியாக (பகா எண்ணாக) இருக்கவேண்டும் என்பர்.  

## மெர்சென் பகாத்தனி எண்கள் எத்தனை உள்ளன?
மெர்சென் பகாத்தனி அல்லது மெர்சென் பகா எண் என்பது மெர்சென் எண்ணாக உள்ள பகாத்தனி. இதுகாறும் (2008) மொத்தம் 46 மெர்சென் பகாத்தனிகள்தாம் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. இன்று அறியப்பட்டுள்ள பகா எண்களிலேயே மிகப்பெரிய பகா எண் ஒரு, மெர்சென் பகா எண்ணாகும்: (2<sup>43,112,609</sup> − 1). அண்மைக் காலத்தில் அறியப்பட்ட எல்லா மிகப்பெரிய பகாத்தனிகளும் மெர்சென் பகாத்தனிகளாக உள்ளன.முன்னர் கண்டுபிடித்த மெர்சென் பகாத்தனிகள் போலவே இதுவும் இணையவழி மெர்சென் பெருந்தேடல் (Great Internet Mersenne Prime Search) (GIMPS), “கிம்ப்”, என்னும் திட்டத்தினூடாக கூட்டுழைப்பில் கண்டுபிடித்ததாகும். இந்த பகாத்தனியே முதன்முறையாக 10 மில்லியன் இலக்கங்களையும் தாண்டிய நீளமான பகா எண்.  

சோதனை  

## மெர்சென் பகாத்தனி பற்றி

மெர்சென் பகாத்தனி பற்றிய பல அடிப்படையான கேள்விகளுக்கு இன்னும் விடை காண முடியாமல் உள்ளன. மெர்சென் பகாத்தனிகளின் எண்ணிக்கை முடிவிலியாக இருக்குமா என்பது அறியப்படவில்லை. ஆனால் முடிவிலி எண்ணிக்கையில் மெர்சென் பகாத்தனிகள் இருக்க வேண்டும் என்றும் அவற்றின் அடுக்கின் போக்கு பற்றியும் "இலென்ச்ட்ரா-பொமெரான்சு-வாக்சுடாஃவ் ஊகம் (Lenstra-Pomerance-Wagstaff conjecture) கூறுகின்றது. அதே போல பகா எண்களாக இல்லாமல், பகு எண்களின் (வகுபடும் எண்களாக) அடுக்கெண்களைப் பகாத்தனிகளாகக் கொண்ட மெர்சென் எண்களும் எண்ணிக்கையில் முடிவிலியாக இருக்குமா என்றும் தெரியவில்லை. ஆனால் சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி போன்ற பகாத்தனிகள் முடிவிலி எண்ணிக்கையில் இருக்கும் என்னும் ஊகம் போன்றே இதுவும் இருக்கக்கூடும் என்னும் கருத்து உள்ளது.  

மெர்சென் எண்களைப் பற்றிய ஓர் அடிப்படையான தேற்றம் கூறுவது: ஒரு மெர்சென் எண் *M*<sub>*n*</sub>, மெர்சென் பகாத்தனி ஆக இருக்க வேண்டுமெனில் அதன் அடுக்கு படி (exponent) *n* என்பதே பகாத்தனியாக இருத்தல் வேண்டும். இதன் அடிப்படையில் மெர்சென் எண்ணாகிய *M*<sub>4</sub> = 2<sup>4</sup>−1 = 15 முதலியவற்றின் பகா எண் தன்மை இல்லாமையை காட்டுகின்றது: ஏனெனில் அடுக்குப்படி 4 = 2×2 என்பது ஒரு வகுபடும் எண், எனவே தேற்றத்தின் கூற்றின்படி 15 என்பது ஒரு பகு எண். உண்மையில், 15 = 3×5. ஆகவே இது உண்மையாகின்றது.  

இன்று அறியப்படுவனவற்றிலேயே மிகச் சிறிய மெர்சென் பகாத்தனிகள்:  

: *M*<sub>2</sub> = 3, *M*<sub>3</sub> = 7, *M*<sub>5</sub> = 31.  

*M*<sub>*p*</sub> என்னும் மெர்சென் எண்ணின் அடுக்குப் படி *p* ஆனது பகாத்தனியாக, *p* = 2, 3, 5, … , என இருந்தால் மட்டுமே அந்த மெர்சென் எண் பகாத்தனியாக இருக்க முடியும் என்றாலும், அடுக்குப்படி *p* பகாத்தனியாக இருந்தும் சில மெர்சென் எண்கள், மெர்சென் பகாத்தனியாக இல்லாமல் இருக்க முடியும். இந்த எதிர்நிலைக்கு சிறிய எண்ணில் ஓர் எடுத்துக்ககட்டு: *M*<sub>*p*</sub>  

: *M*<sub>11</sub> = 2<sup>11</sup> − 1 = 2047 = 23 × 89,  

மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டில், 11 என்னும் அடுக்குப் படி பகாத்தனியாக இருந்த பொழுதும், 2047 என்னும் மெர்சென் எண் பகாத்தனி அல்ல. இது 23 × 89 என்று எழுதக்கூடிய வகுபடும் எண், பகு எண். இப்படி அடுக்குப்படி ஒரு பகாத்தனியாக இருந்தபோதும் அந்த மெர்சென் எண் பகாத்தனியாக இருக்குமா இருக்காதா என்பதற்கு ஒரு தெளிவான விதி இல்லாததால், மெர்சென் பகாத்தனிகளைத் தேடுவது கடினமானதாகவும் ஆர்வத்தைத் தூண்டுவதாகவும் உள்ளது. ஏனெனில் மெர்சென் எண்கள் விரைவாக மிகப்பெரிய எண்களாக உருவெடுக்கின்றன. இதனால் பல கணினிகளின் உதவியால் பகிர்ந்து கணிக்கும் திட்டப்படி மெர்சென் பகாத்தனிகளைத் தேடுகின்றார்கள். இப்பணிக்கு மிகவும் உதவுவது, ஓரெண் பகாத்தனியா என மெய்த்தேர்வு செய்வதில் திறன்மிக்க லூக்காசு-லேமர் மெர்சென் எண் மெய்த்தேர்வின் பயன்பாடு ஆகும். முறைப்படி பகாத்தனியா என்னும் மெய்த்தேர்வு, மிகப் பெரிய மெர்சென் பகாத்தனியைத் தேடி கண்டுபிடிப்பது என்பது ஒரு சிலரால் மிகுந்த ஈடுபாடோடு பின்பற்றும் ஒரு கலையாக உள்ளது.  

இந்த மெர்சென் பகாத்தனிகள் பலவகையான இடங்களில் பயன்படுகின்றன. ஏறத்தாழ சீருறா எண்களைத் தரும், போலிச்சீருறா எண் ஆக்கிகளில் (pseudorandom number generator) பயன்படுகின்றது. எடுத்துக்காட்டுகள்: 1997 இல் தொடங்கிய, மிக விரைந்து எண்களைத் தரும், போலிச் சீருறா எண் ஆக்கியாகிய மெர்சென் டுவிஸ்டர், பார்க்-மில்லர் சீருறா எண் ஆக்கி, பொது பதிகைமாற்றி, ஃவிப்நாக்சி சீருறா எண் ஆக்கி (Fibonacci RNG).  

கணினி அறிவியலில் (computer science) குறியில்லா *n*-பிட்டு முழு எண்களைக் கொண்டு M<sub>n</sub> வரையிலான மெர்சென் எண்களைக் குறிப்பிட முடியும் என்று நிறுவப்பட்டுள்ளது.  

*n* வட்டைகள் கொண்ட அனோய் கோபுரம் (Hanoi Tower) என்னும் சிக்கல்தீர் விளையாட்டில், தீர்வு காண குறைந்தது M<sub>n</sub> நகர்வுகள் தேவை என்று நிறுவப்பட்டுள்ளது.  

## மெர்சென் பகாத்தனிகளின் தேடல்
கீழ்க்காணும் ஈடுகோள்,  

:<math>2^{ab}-1=(2^a-1)\cdot \(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\cdots+2^{(b-1)a}\)</math>  

காட்டுவது என்னவென்றால், *M<sub>n</sub>* பகாத்தனியாக இருக்க வேண்டுமெனில் அடுக்குப் படி *n* தானே ஒரு பகாத்தனியாக இருத்தல் வேண்டும். ஆனால் *n* பகாத்தனியாக இருப்பது மட்டும் *M<sub>n</sub>* பகாத்தனியாக இருக்கப் போதுமானதல்ல. அதாவது *M<sub>n</sub>* பகாத்தனியாக இருக்க, *n* பகாத்தனியாக இருக்க வேண்டும் ஆனால், *n* பகாத்தனியாக இருந்தால் மட்டும் மெர்சென் எண் *M<sub>n</sub>* பகாத்தனியாக இருக்கும் என்பது உறுதியல்ல. *n* பகாத்தனியாக இருப்பது தேவை ஆனால் போதுமானதல்ல. எனவே எதிர்நிலை கூற்றாகிய, *n* பகாத்தனியாக இருந்தால் *M<sub>n</sub>* பகாத்தனியாக இருக்கவேண்டும் என்பது சரியான கூற்று இல்லை. இப் பண்பால் மெர்சென் பகாத்தனியைத் தேடுதல் ஒரு வகையில் எளிதாகின்றது.  

மெர்சென் பகாத்தனிகளை விரைவாகத் தேடும் தீர்முறைத் திட்டங்கள் வகுக்கப்பட்டுள்ளன. 2023 வரை கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஆறு மிகப்பெரிய பாகாத்தனிகள் மெர்சென் பகாத்தனிகளாகும். இவை யாவும் மேற்சுட்டிய தீர்முறைத் திட்டங்களை கொண்டு கண்டுப்டித்தவையே.  

- முதல் நான்கு மெர்சென் பகாத்தனிகள், <math>M_2=3</math>, <math>M_3=7</math>, <math>M_5=31</math> and <math>M_7=127</math> வெகு காலமாக அறியப்பட்டவை.
- ஐந்தாவது மெர்சென் பகாத்தனியாகிய <math>M_{13}=8191</math>, யாரோ பெயர்தெரியாதவரால் 1461 இல் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அடுத்த இரண்டை, <math>M_{17}</math> and <math>M_{19}</math>, இத்தாலிய கணிதவியலாளர் கட்டால்டி, 1588 இல் கண்டுபிடித்தார். *இரண்டு நூற்றாண்டுகளுக்குப் பின் <math>M_{31}</math> ஒரு பகாத்தனி என லியோனார்டு ஆய்லர் 1772 இல் உறுதிசெய்தார். *கணித வரலாற்றில் அடுத்ததாக எடுவர்டு லூக்காஸ் 1876 இல், <math>M_{127}</math> ஐ கண்டு பிடித்தார். ஆனால் இடையே உள்ள மெர்சென் பகாத்தனியாகிய <math>M_{61}</math> இவான் மிக்கீவிச் பெர்வுசின் என்னும் உருசிய கணிதவியலாளரால் 1883இல் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.
- இடைப்பட்ட இன்னும் இரண்டு பகாத்தனிகளாகிய (<math>M_{89}</math> , <math>M_{107}</math>)ஐ ஆர். இ. பவர்ஸ் என்பவர் 1911 லும், 1914 லும் முறையே கண்டுபிடித்தார்.

ஒரு மெர்சென் எண் மெர்சென் பகாத்தனியாக இருக்குமா என மெய்த்தேர்வு செய்ய எடுவர்டு லூக்காஸ் 1856 இல் முன்மொழிந்த ஒருவகையான மீளுறுப்பு தொடர்வரிசை முறை மிகவும் பயனுடையதாக உள்ள ஒன்று . இதனை டெரிக் லேமர் 1930 இல், மேலும் வளர்த்தார். இம்முறை இன்று "மெர்சென் எண்களுக்கான லூக்காஸ்-லேமர் மெய்த்தேர்வு" என்று அறியப்படுகின்றது. குறிப்பாக இம்முறை என்ன கூறுகின்றதென்றால், இரண்டைவிட பெரிய அடுக்குப்படியாக இருந்தால், <math>n>2</math>, மெர்சென் எண் <math>M_n=2^n-1</math> ஆனது *S<sub>n−2</sub>* எண்ணை ஈவின்றி வகுத்தால் மட்டுமே <math>M_n</math> என்பது பகாத்தனியாகும். இந்த *S<sub>n−2</sub>* என்ன வென்றால், முதலில் <math>S_0=4</math> என்று கொண்டு, பின்னர் <math>k>0</math>, <math>S_k=S_{k-1}^2-2</math> என்னும்படியாக மீளுறுப்பு ஈடுகோளாக கொள்ளப்படுகின்றது.  

- மின்கணினிகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பின் மெர்சென் பகாத்தனிகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் புரட்சிகரமான வளர்ச்சி அடைந்துள்ளது. இம்முறையைக் கைக்கொண்டு கண்டுபிடித்த முதல் மெர்சென் பகாத்தனி *M*<sub>521</sub> ஆகும். இது காலை 10 மணிக்கு ஜனவரி 30, 1962 ஆண்டு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இதற்குப் பயன்பட்ட கணினி, ஐக்கிய அமெரிக்க சீர்தர நிறுவகம் வைத்திருந்த, சுவாக் (SWAC) என்றழைக்கப்பட்ட வெஸ்டர்ன் ஆட்டொமாட்டிக் கம்ப்யூட்டர் ஆகும். இக்கணினியைப் பயன்படுத்தி டெரிக் லேமர் தலைமையின் கீழ் பேராசிரியர் ரஃவீல் ராபின்சன் எழுதிய கணிநிரல் ஆணைகளைக் கொண்டு இம் மெர்சென் பகா எண்ணைக் கண்டுபிடித்தனர். இந்த எண்ணே 38 ஆண்டுகளுக்குப் பின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மெர்சென் பகாத்தனி.
- அடுத்த மெர்சென் பகாத்தனியாகிய *M*<sub>607</sub>, அடுத்த இரண்டுமணி நேரத்தில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.
- அடுத்த மூன்று மெர்சென் பகாத்தனிகளையும் &nbsp;— *M*<sub>1279</sub>, *M*<sub>2203</sub>, *M*<sub>2281</sub>&nbsp;— இதே கணிநிரலைக் கொண்டு அடுத்த சில மாதங்களில் கண்டுபிடித்தனர்.
- அடுத்ததாக கண்ட பிடித்த *M*<sub>4253</sub> மெர்சென் பகாத்தனியே 1000 இலக்கங்களைத் தாண்டிய நீளமுடைய டைட்டானிக் பகாத்தனி என்றழைக்கப்படும் பகாத்தனி ஆகும். அதன் பின்னர் ஜைகாண்டிக் பகாத்தனி என்றழைக்கப்பட்ட 10,000 இலக்கங்களையும் தாண்டிய நீளம் கொண்ட *M*<sub>44497</sub> கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அதன் பின்னர் மெகா பகாத்தனி என்றழைக்கப்படும் ஒரு மில்லியன் இலக்கங்களையும் தாண்டிய நீளமுடைய *M*<sub>6,972,593</sub> கண்டுபிடிக்கப்பட்டது இவை மூன்றும்தான் இவ்வளவு பெரியதாக உள்ள முதல் பகாத்தனிகள்.
- செப்டம்பர் 2008 இல் “கிம்ப்” இல் பங்கு கொண்டு ஏறத்தாழ 13 மில்லியன் இலக்கங்கள் நீளம் கொண்ட மெர்சென் பகாத்தனியை லாஸ் ஏஞ்சலஸ் பல்கலைக்கழகம்|லாஸ் ஏஞ்சலஸ் பல்கலைக்கழகக் கணிதவியலாளர்கள் கண்டுபிடித்து, எலெக்ட்ரானிக் ஃவிராண்டியர் பவுண்டேசன் அறிவித்திருந்த, அமெரிக்க $100,000 பரிசை வென்றார்கள். இப்பரிசை 10 மில்லியல் இலக்கத்திற்கும் கூடுதலான நீளம் உடைய பகாத்தனி எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பவருக்குத் தருவதாக அறிவிக்கப்பட்டு இருந்தது. இதுவே யூசிஎல்ஏ ஆய்வாளர்கள் கண்டுபிடித்த 8 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனி.

- ஏப்பிரல் 12, 2009 இல் 47 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனி கண்டுபிடிக்கப்பட்ட சாத்தியமுள்ளதாக கிம்ப்சின் வழங்கி குறிப்பேடு அறிவித்தது. இக்கண்டுபிடிப்பு முதலில் ஜூன் 4, 2009 இல் கவனிக்கப்பட்டு, பின்னர் ஒரு வாரம் கழித்து உறுதி செய்யப்பட்டது. என்பதே இந்தப் பகாத்தனி. காலக்கணக்கின்படி இது 47 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனியாக இருந்தாலும், அப்போது 45 ஆவதாக அறியப்பட்டிருந்த மிகப்பெரியதான 45 ஆவதைவிடச் சிறியதாக இருந்தது.

- ஜனவரி 25, 2013 இல் மத்திய மிசூரி பல்கலைக்கழகத்தில் கணிதவியலாளர் கர்டிசு கூப்பர், 48 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனி, (17,425,170 இலக்கங்களுடையது) ஐ கிம்ப்சு திட்டத்தின்கீழ் கண்டுபிடித்தார்.

- கிம்ப்சு திட்டத்தின்கீழ் மற்றொரு கண்டுபிடிப்பாக ஜனவரி 19, 2016 இல், மீண்டும் கூப்பர் 49 ஆவது பெர்சென் பகாத்தனியான (22,338,618 இலக்கவெண்) ஐக் கண்டுபிடித்து வெளியிட்டார். இது பத்தாண்டுகளில் கூப்பர் மற்றும் அவரது குழுவினரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட நான்காவது மெர்சென் பகாத்தனியாகும்.

- செப்டம்பர் 2, 2016 இல் கிம்ப்சு, M<sub>37,156,667</sub> கீழிருக்கக்கூடிய அனத்து மெர்சென் பகாத்தனிகளுக்கான மெய்த்தீர்வுகளையும் சரிபார்த்துமுடித்து, M<sub>37,156,667</sub>, 45 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனி என உறுதிசெய்யபட்டது.

- இதே கிம்ப்சு திட்டத்தில் ஜனவரி 3, 2018 இல் டென்னிசியைச் சேர்ந்த ஜோனாதன் பேஸ் என்ற மின்பொறியியலாரர் 50 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனி (23,249,425 இலக்கவெண்) ஐக் கண்டுபிடித்தார். அவரது ஊரிலிலுள்ள ஒரு தேவாலயத்திலிருந்த கணினி மூலம் இதனைக் கண்டறிந்தார்.

- திசம்பர் 21, 2018 இல் கிம்ப்சு தேடலின் விளைவாக மிகப்பெரிய பகாத்தனியான, 51 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனி , (24,862,048 இலக்கவெண்) கன்டறியப்பட்டது.

## மெர்சென் எண்களைப் பற்றிய தேற்றங்கள்
- 1) *n* என்பது நேர்ம முழு எண்ணாக இருந்தால், ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின்படி, நாம் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:

:<math>c^n-d^n=(c-d)\sum_{k=0}^{n-1} c^kd^{n-1-k},</math>  

:வேறுவிதமாக எழுதுவதென்றால், *c*&nbsp;=&nbsp;2<sup>*a*</sup>, *d*&nbsp;=&nbsp;1, மற்றும் *n*&nbsp;=&nbsp;*b* என்று கொள்வதன் மூலம், கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்.  

:<math>(2^a-1)\cdot \(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\cdots+2^{(b-1)a}\)=2^{ab}-1</math>  

:*நிறுவல்*  

:<math>(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}</math>  

:<math>=\sum_{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-k}</math>  

:<math>=a^n+\sum_{k=1}^{n-1}a^kb^{n-k}-\sum_{k=1}^{n-1}a^kb^{n-k}-b^n</math>  

:<math>=a^n-b^n</math>  

- 2) 2<sup>*n*</sup> − 1 என்பது பகாத்தனி (பகா எண்) எனில், அடுக்குப் படி *n* உம் பகாத்தனி.

:*நிறுவல்*  

:கீழ்க்காணும் ஈடுகோளின் படி (சமன்பாட்டின் படி)  

:<math>(2^a-1)\cdot \(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\cdots+2^{(b-1)a}\)=2^{ab}-1</math>  

:அடுக்குப்படி *n*பகாத்தனியாக இல்லாவிடில், அதாவது *n* = *ab* (இரண்டெண்களின் பெருக்குத்தொகையாக பகு எண்ணாக இருந்தால்), 1 < *a*, *b* < *n*.  
:எனவே, 2<sup>*a*</sup> − 1 என்பது 2<sup>*n*</sup> − 1 ஐ வகுக்கும், என்பதால் 2<sup>*n*</sup> − 1 என்பது பகாத்தனி அல்ல.  

- 3) *p* என்பது ஒற்றைப்படை பகா எண்ணாக இருந்தால், 2<sup>*p*</sup> − 1 ஐ வகுக்கும் *q* என்னும் எந்தப் பகா எண்ணும் *1* கூட்டல் 2*p* இன் முழு எண் பெருக்குத்தொகையாக இருத்தல் வேண்டும். 2<sup>*p*</sup> − 1 என்பது பகா எண்ணாக இருந்தாலும் இது உண்மையாக இருத்தல் வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு-1:  
:2<sup>5</sup> − 1 = 31  
என்பது ஒரு பகாத்தனி; 31 என்பது 1 கூட்டல் 2×5 என்பதின் முழு எண் பெருக்குத்தொகை.  

:எடுத்துக்காட்டு-2: 2<sup>11</sup> − 1 = 23×89,  
23 = 1 + 2×11, மற்றும் 89 = 1 + 8×11, மேலும் 23×89 = 1 + 186×11.  

:*நிறுவல்*  

:2<sup>p</sup> − 1 என்பதை ‘’q’’ வகுக்கும் என்றால், 2<sup>p</sup> ≡ 1 (mod q). ஃவெர்மாவின் குட்டித் தேற்றத்தின்படி, 2<sup>(q − 1)</sup> ≡ 1 (mod q).  
:p என்பதும் q − 1 என்பதும் ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்களாகக் கொள்வோம்.  
மேற்காட்டியது போன்றே ஃவெர்மாவின் குட்டித் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தினால்,  
:(q − 1)<sup>(p − 1)</sup> ≡ 1 (mod p) என்றாகும்.  
:எனவே x ≡ (q − 1)<sup>(p − 2)</sup> என ஓரெண் உள்ளது, அதற்கு (q − 1)•x ≡ 1 (mod p).  
:எனவே k என்னும் எண்ணானது (q − 1)•x − 1 = kp என்பதற்கு ஒப்புமாறு உள்ளது.  
:2<sup>(q − 1)</sup> ≡ 1 (mod q) என்பதால், முற்றீடான இருபக்கத்தினையும் x படியாக உயர்த்தினால்  
:: 2<sup>(q − 1)x</sup> ≡ 1 என்றாகும்.  
:ஏனெனில், 2<sup>p</sup> ≡ 1 (mod q) என்பதால், முற்றீட்டின் இருபக்கத்தையும் k படியாக உயர்த்தினால் கிடைப்பது.  
:: 2<sup>kp</sup> ≡ 1.  
:எனவே 2<sup>(q − 1)x</sup> ÷ 2<sup>kp</sup> = 2<sup>(q − 1)x − kp</sup> ≡ 1 (mod q).  
:ஆனால் வரையறையின்படி, (q − 1)x − kp = 1 என்பதால், என்ன சுட்டுகின்றது என்றால் 2<sup>1</sup> ≡ 1 (mod q);  
:வேறு விதமாக சொல்வதென்றால், 1 ஐ q வகுக்கின்றது. ஆகவே முதலில் p யும் (q − 1) உம் ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்கள் என்று கொண்ட முதற்கோள் (assumption) செல்லுபடியாகாது. P என்பது பகா எண் ஆகையால் q − 1 என்பது p யின் ஒரு முழு எண் பெருக்குத்தொகையாக இருத்தல் வேண்டும்.  

- 4) *p* என்பது ஒற்றைப்படை பகாத்தனியாக இருந்தால், <math>2^p-1</math> வகுக்கும் *q* என்னும் எந்த பகாத்தனியும் <math>\pm 1 \pmod 8</math> என்பதற்கு முற்றீடாக இருத்தல் வேண்டும். நிறுவல்: <math>2^{p+1} = 2 \pmod q</math>, எனவே <math>2^{(p+1)/2}</math> என்பது 2 modulo <math>q</math> என்பதின் வர்கமூலம் (square root). இருபடிய நேர் எதிர்மையின் படி, வர்க்க மூலம் கொண்ட எந்த பகாத்தனி மாடுலோவும் <math>\pm 1 \pmod 8</math> க்கு முற்றீடு (<small>இக்கூற்று சரி பார்த்தல் வேண்டும் </small>).

## வரலாறு
இன்று நாம் மெர்சென் பகாத்தனி என்றழைக்கும் எண்கள் பற்றி, செவ்விய எண் எண்ணுடன் தொடர்பு படுத்தி யூக்ளிடு எழுதியுள்ளார். மெர்சென் என்னும் எண்ணின் பெயர் 17 ஆவது நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த மாரின் மெர்சென் என்னும் பிரான்சிய ஆய்வாளரின் பெயரை ஒட்டி சூட்டப்பட்டது. இவர் மெர்சென் பகாத்தனிகளின் பட்டியலை அடுக்குப்படி 257 வரை குறித்து வைத்திருந்தார், ஆனால் அப்பட்டியலில் உள்ள *M*<sub>67</sub> மற்றும் *M*<sub>257</sub> ஆகிய இரண்டும் பகு எண்கள் (பகா எண்கள் அல்ல); மேலும் கீழ்க்காணும் மெர்சென் பகா எண்களை குறிக்கத் தவறி விட்டார்: *M*<sub>61</sub>, *M*<sub>89</sub>, *M*<sub>107</sub>.மெர்சென் அவருடைய பட்டியலில் உள்ள எண்களை எவ்வாறு தேர்வு செய்தார் என்னும் விளக்கம் இல்லை, ஆனால் கூர்மையான மெய்த்தேர்வு இரண்டு நூற்றாண்டுகளுக்கும் பின் நிகழ்ந்தது.  

## தெரிந்த மெர்சென் பகாத்தனிகளின் பட்டியல்

2023 நிலவரப்படி அறியப்பட்ட 51 மெர்சென் பகாத்தனிகள் 2<sup>*p*</sup> − 1 இலுள்ள *p* இன் மதிப்புகள்:  
:2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933.  

## மெர்சென் எண்களைக் காரணிப்படுத்தல்
மெர்சென் எண்கள், தனிவகை எண் சல்லடை (SNFS) தீர்படித்திட்டத்தை, மெய்த்தேர்வு செய்ய சிறந்தவை. பெரும்பாலும் மிகப்பெரிய எண்கள் காரணிகளாக பிரித்தெடுக்கப்பட்ட பொழுது அவை மெர்சென் எண்களாக இருந்தன. ஜூன் 2019 வரை , என்னும் எண்ணே வெற்றிப்பதிவு-பெற்ற பெரிய எண்.  

கீழுள்ள அட்டவணை முதல் 20 மெர்சென் எண்களின் காரணியாக்கத்தைத் தருகிறது .  

| 11 | 2047 | 23 × 89 |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 23 | 8388607 | 47 × 178,481 |  |
| 29 | 536870911 | 233 × 1,103 × 2,089 |  |
| 37 | 137438953471 | 223 × 616,318,177 |  |
| 41 | 2199023255551 | 13,367 × 164,511,353 |  |
| 43 | 8796093022207 | 431 × 9,719 × 2,099,863 |  |
| 47 | 140737488355327 | 2,351 × 4,513 × 13,264,529 |  |
| 53 | 9007199254740991 | 6,361 × 69,431 × 20,394,401 |  |
| 59 | 576460752303423487 | 179,951 × 3,203,431,780,337 (13 இலக்கங்கள்) |  |
| 67 | 147573952589676412927 | 193,707,721 × 761,838,257,287 (12 இலக்கங்கள்) |  |
| 71 | 2361183241434822606847 | 228,479 × 48,544,121 × 212,885,833 |  |
| 73 | 9444732965739290427391 | 439 × 2,298,041 × 9,361,973,132,609 (13 இலக்கங்கள்) |  |
| 79 | 604462909807314587353087 | 2,687 × 202,029,703 × 1,113,491,139,767 (13 இலக்கங்கள்) |  |
| 83 | 967140655691...033397649407 | 167 × 57,912,614,113,275,649,087,721 (23 இலக்கங்கள்) |  |
| 97 | 158456325028...187087900671 | 11,447 × 13,842,607,235,828,485,645,766,393 (26 இலக்கங்கள்) |  |
| 101 | 253530120045...993406410751 | 7,432,339,208,719 (13 இலக்கங்கள்) × 341,117,531,003,194,129 (18 இலக்கங்கள்) |  |
| 103 | 101412048018...973625643007 | 2,550,183,799 × 3,976,656,429,941,438,590,393 (22 இலக்கங்கள்) |  |
| 109 | 649037107316...312041152511 | 745,988,807 × 870,035,986,098,720,987,332,873 (24 இலக்கங்கள்) |  |
| 113 | 103845937170...992658440191 | 3,391 × 23,279 × 65,993 × 1,868,569 × 1,066,818,132,868,207 (16 இலக்கங்கள்) |  |
| 131 | 272225893536...454145691647 | 263 × 10,350,794,431,055,162,386,718,619,237,468,234,569 (38 இலக்கங்கள்) | } |

முதல் 500 மெர்சென் எண்களுக்கான காரணிகளின் எண்ணிக்கையை இல் காணலாம்.  

## செவ்விய எண்கள்
செவ்விய எண்களுக்கும் மெர்சென் பகாத்தனிகளுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பு பலருக்கும் ஆர்வமூட்டுவட்து. கி.மு 4 வது நூற்றாண்டில், யூக்ளிடு நிறுவியது: *M*<sub>*n*</sub> மெர்சென் பகாத்தனி என்றால்  

: 2<sup>*n*−1</sup>×(2<sup>*n*</sup>−1) = *M*<sub>*n*</sub>(*M*<sub>*n*</sub>+1)/2  
என்பது இரட்டைப்படை செவ்விய எண். எல்லா இரட்டைப்படை செவ்விய எண்களும் இவ்வடிவம் கொண்டவை என்று 18 ஆவது நூற்றாண்டில், லியோனார்டு ஆய்லர் நிறுவினார். இதுபோல் ஒற்றைப்படையான செவ்விய எண்கள் உள்ளனவா என்று தெரியவில்லை.  

## பொதுமைப்பாடு
இரும எண் முறையில், 2<sup>*n*</sup> − 1 என்பது 1 ஐ *n* முறை பக்கவாட்டில் அடுக்கினால் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 2<sup>5</sup> − 1 = 11111<sub>2</sub> இரும எண் முறை வடிவ ஈடு (representation). எனவே மெர்சென் பகாத்தனிகள் இரும எண் முறையில் ஒற்றடுக்குப் பகாத்தனி (repunit prime).  

## பயன்பாடு
இன்றைய மின்வழி கருத்து, செய்திகள், வணிக தொடர்பாடல்களுக்கு மிகப் பெரிய பகா எண்கள் மிகவும் தேவைப்படும் ஒன்று. இவை கமுக்க (இரகசிய) அல்லது மறைவாக பொது ஊடங்கங்கள் வழியே செய்திகளை செலுத்தி வாங்கும் துறைகளில் மிகவும் பயன்படுகின்றது. இத்துறையைக் கமுக்கவியல் அல்லது *கமுக்கமுறையியல்* (கிரிப்டோகிராவி Cryptography) என்பர். இந்த கமுக்கவியல் கருத்துகளின் துணையுடன்தான் அன்றாடம் மக்கள் பயன்படுத்தும் தானியங்கி பணம்வழங்கி முதல், நாளொன்றுக்குப் பல பில்லியன்  
டாலர் கணக்கில் பண உறவாட்டம் நடைபெறும் பங்குச் சந்தைகள் கொடுக்கல்-வாங்கல்கள் முதலியன் நடைபெறுகின்றன.