# கூட்டுத் தொடர்வரிசை

கணிதத்தில், **கூட்டுத் தொடர்வரிசை அல்லது கூட்டுத் தொடர்முறை** அல்லது **எண்கணிதத் தொடர்முறை** (*Arithmetic progression*) என்பது, அடுத்தடுத்து வரும் *எந்த* இரு எண்களுக்கும் இடையே *ஓரே எண்* வேறுபாடாக இருக்குமாறு அமைந்த, வரிசையாக வரும் எண்கள்.  

எடுத்துக்காட்டாக 3, 5, 7, 9, 11, 13, … என்பது ஒரு கூட்டுத்தொடர், ஏனெனில் அடுத்தடுத்து வரும் *எந்த* இரண்டு எண்களுக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு இங்கே 2. அதாவது, இத்தொடரை 3, 3+2, (3+2)+2,... என்று எழுதலாம்; அடுத்தடுத்து, ஒரு வரிசையில் வரும் எண்களை அறிய, ஓர் உறுப்பின் முன்னுள்ள எண்ணுடன் 2 ஐச் சேர்த்தால் கிட்டும். ஒரு கூட்டுத் தொடரில் அடுத்தடுத்து வரும் *எந்த* இரண்டு எண்களுக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு *பொது வேறுபாடு* எனப்படும்.  

கூட்டுத்தொடர்வரிசையில் வரும் முதல் எண் <math>a_1</math> என்றும், பொது வேறுபாடு *d* என்றும் கொண்டால், வரிசையில் *n*-ஆவது உறுப்பு என்ன என்பதைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:  
:<math>\ a_n = a_1 + (n - 1)d,</math>  

இதையே, இன்னும் பொதுமைப்படுத்தி,  
:<math>\ a_n = a_m + (n - m)d.</math> எழுதலாம்.  

இந்தக் கூட்டுத் தொடர்வரிசை முடிவிலியாய்ப் போய்க்கொண்டே இருக்கலாம். *வரம்புடைய* எண்ணிக்கையில் அதாவது முடிவுறு உறுப்புகள் கொண்ட கூட்டுத்தொடர்வரிசையை, *வரம்புள்ள கூட்டுத் தொடர்வரிசை* என்று அழைப்பர் அல்லது பொதுவான சொல்லான கூட்டுத் தொடர்வரிசை என்றும் அழைப்பர்.  

ஒரு கூட்டுத்தொடர்வரிசை எப்படி வளர்கின்றது என்பது, அதன் பொதுவேறுபாட்டு எண்ணைப் பொருத்துள்ளது. பொதுவேறுபாட்டு எண்ணானது,  
- நேர்ம எண்ணாக இருந்தால், அடுத்தடுத்து வரும் உறுப்புகள் பெருகிக்கொண்டே போய் முடிவிலிக்குப் போகும்;
- எதிர்ம எண்ணாக இருந்தால், எதிர்திசையில் பெருகிக்கொண்டே போய் எதிர்ம முடிவிலிக்குப் போகும்.

## கூட்டுத் தொடர்வரிசையின், கூட்டுத்தொகை
களின் கூட்டுத்தொகை (1+2+...+n) காணும் வாய்பாட்டின் நிறுவல்]]  

ஒரு வரம்புள்ள கூட்டுத்தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளைக் கூட்டி அதன் *கூட்டல் மதிப்பு* அல்லது *கூட்டுத்தொகை*யைக் கணிக்கலாம். ஒரு கூட்டுத்தொடர்வரிசையின் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை <math> S_n </math> எனக் குறிப்பதாகக் கொண்டால், இந்தக் கூட்டுத்தொகையை இருவேறு விதமாக எழுதலாம் (இப்படி இருவேறு விதமாகக் கணக்கிடும் முறை, நிறுவலுக்குப் பயன்படும் ஒரு தனி முறையாகவும் கொள்ளப்படுகின்றது):  

:<math> S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)</math>  
:<math> S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.</math>  

மேலே உள்ளதில், முதல் தொடரானது <math>a_1</math> ஓடு d, 2d, 3d என்று படிப்படியாகக் *கூட்டிக்கொண்டே* போவது, ஆனால் இரண்டாவது தொடரானது, கடைசி உறுப்பாகிய <math>a_n</math> இல் இருந்து (n-1)d, (n-2)d என்று படிப்படியாக *கழித்துக்கொண்டே* செல்வது. இப்படியாக மேலே உள்ளவாறு இருவேறு விதமாக எழுதப்பட்ட இரண்டு கூட்டுத்தொடர்களின் கூட்டுத்தொகைகளைக் கூட்டினால், பொதுவேறுபாடான *d* ஒன்றோடு ஒன்று *கழிபட்டுப்* போகின்றது:  
:<math>\ 2S_n=n(a_1+a_n).</math>  

சமன்பாட்டின் இருபுறத்தையும் இரண்டால் வகுத்து கூட்டுத்தொகையை அடையலாம்:  
:<math> S_n=\frac{n}{2}( a_1 + a_n).</math>  

இன்னொரு மாற்று வடிவத்தைப் பெற, மீண்டும் <math>a_n = a_1 + (n-1)d</math> எனப் பதிலிட்டுப் பெறலாம்:  
:<math> S_n=\frac{n}{2}[ 2a_1 + (n-1)d].</math>  

499 கி.பி யில் இந்திய வானியல், கணித வல்லுநர் ஆரியபட்டா என்பவர் தன்னுடைய ஆரியபட்டியம் என்னும் நூலில் இம்முறையைத் தந்துள்ளார். (section 2.18)  
.  

எடுத்துக்காட்டாக, *a*<sub>*n*</sub> = 3 + (*n*-1)(5) குறிக்கும் கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் 50 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகை:  
:<math>S_{50} = \frac{50}{2}[2(3) + (49)(5)] = 6,275.</math>  

## உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை
ஒரு வரம்புள்ள கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளைப் பெருக்கினால் வரும் பெருக்குத்தொகையைக் கணிக்கலாம். முதல் உறுப்பு அல்லது உருப்படி *a*<sub>1</sub> என்றும், பொதுவேறுபாடு *d* என்றும், மொத்த உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை *n* என்றும் கொண்டால், அந்த n உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகையை முடிவுறும் வாய்பாடாகக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:  

:<math>a_1a_2a_3\cdots a_n = a_1(a_1+d)(a_1+2d)...(a_1+(n-1)d)= \prod_{k=0}^{n-1} (a_1+kd) = d^n \frac{\Gamma \(\frac{a_1}{d} + n\) }{\Gamma \( \frac{a_1}{d} \)}</math>  

இதில் காணப்படும் <math>\Gamma</math> என்பது காமா சார்பியம். (<math>a_1/d</math> என்பது எதிர்ம எண்ணாகவோ சுழியாகவோ இருந்தால் இந்த வாய்பாடு செல்லாது).  

தொடர்பெருக்கம் <math>n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n</math> மற்றும்  
:<math>m \times (m+1) \times (m+2) \times \cdots \times (n-2) \times (n-1) \times n \,\! = \frac{n!}{(m-1)!}.</math> என்ற இரு முடிவுகளின் பொதுமைப்படுத்தலாக மேலுள்ள பெருக்குத்தொகை அமைகிறது  

எடுத்துக்காட்டு:  
மேலே கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் n ஆவது உறுப்பை *a*<sub>*n*</sub> = 3 + (*n*-1)(5) எனக்கொண்டு 50 ஆவது உறுப்புவரை பெருக்க:  
:<math>P_{50} = 5^{50} \cdot \frac{\Gamma \(3/5 + 50\) }{\Gamma \( 3 / 5 \) } \approx 3.78438 \times 10^{98} </math>  

இப்பொழுது கூட்டுத் தொடர்வரிசை ஒன்றைக் கருதுக:  
:<math>a,(a+d),(a+2d),.................(a+(n-1)d)</math>  

இதில் முதல் மூன்று உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை  
:<math>a(a+d)(a+2d)</math>  
::<math>=(a^{2}+ad)(a+2d)</math>  
<math>=a^{3}+3a^{2}d+2ad^{2}</math>  

இது கீழ்க்காணும் வடிவில் உள்ளது:  
:<math> a^{n} + na^{n-1} d^{n-2} + (n-1)a^{n-2}d^{n-1}</math>  

ஆகவே, <math>n</math> உறுப்புகளின் இன் பெருக்குத்தொகை:  
:<math> a^{n} + na^{n-1} d^{n-2} + (n-1)a^{n-2}d^{n-1}</math>  
இதற்கு முடிவுதரும் தீர்வுகள் இல்லை.  

## திட்டவிலக்கம்
ஒரு கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் திட்டவிலக்கத்தைக் கீழுள்ள வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:  
:<math> \sigma = |d|\sqrt{\frac{(n-1)(n+1)}{12}}</math>  
:<math> n</math> = கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை  
:<math> d</math> = கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளுக்கு இடையுள்ள பொதுவேறுபாடு  

## கூட்டுத் தொடர்வரிசைக்கான வாய்பாடுகள்
:<math>a_1</math> -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் முதல் உறுப்பு.  
:<math>a_n</math> -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் n ஆவது உறுப்பு.  
:<math>d</math> -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் அடுத்தடுத்த இரு உறுப்புகளுக்கு இடையுள்ள பொதுவேறுபாடு.  
:<math>n</math> -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை.  
:<math>S_n</math> -கூட்டுத் தொடர்வரிசையின் n உறுப்புகளின் கூடுதல்.  
:<math> \overline{n}</math> கூட்டுத்தொடர்வரிசையின் சராசரி மதிப்பு.  

வாய்பாடுகள்:  
1. <math>\ a_n = a_1 + (n - 1)d,</math>
1. <math>\ a_n = a_m + (n - m)d.</math>
1. <math> S_n=\frac{n}{2}[ 2a_1 + (n-1)d].</math>
1. <math> S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}</math>
1. <math> \overline{n}</math> = <math>S_n / n</math>
1. <math> \overline{n} =\frac{a_1 + a_n}{2}.</math>