# இடைவெளி (கணிதம்)

கணிதத்தில் ஒரு (**மெய்யெண்**) **இடைவெளி** ((*real*) *interval*) என்பது, தனது உறுப்புகளான இரு மெய்யெண்களுக்கு இடைப்பட்ட எந்தவொரு மெய்யெண்ணும் அதன் மற்றொரு உறுப்பாகவே அமைகின்ற பண்புடைய மெய்யெண்களின் கணம் ஆகும்.  

சில எடுத்துக்காட்டுக்கள்:  
- என்னும் கட்டுப்பாட்டுக்குட்பட்ட அனைத்து *x* எண்களின் கணம் ஓர் இடைவெளி. இவ்விடைவெளி , மற்றும் இவ்விரு எண்களுக்கிடையே அமையும் அனைத்து மெய்யெண்களையும் உள்ளடக்கியது.

- அனைத்து மெய்யெண்களின் கணம் <math>\R</math> ஓர் இடைவெளி
- அனைத்து எதிர் மெய்யெண்களின் கணம் ஓர் இடைவெளி.
- வெற்றுக்கணம் ஓர் இடை32 noவெளி.

## குறியீடுகள்
*a*, *b* என்ற இரு எண்களுக்கிடையுள்ள எண்களின் (அவ்விரு எண்கள் உட்பட) இடைவெளியின் குறியீடு:  
:<math>[a , b]</math>  

:*a*, *b* இரண்டும் இடைவெளியின் *முனைப் புள்ளிகள்* (*ஓரப் புள்ளிகள்*) எனப்படும்.  

### முனைப்புள்ளிகள் நீங்கலாக
ஏதாவதொரு முனைப்புள்ளி நீங்கிய இடைவெளியைக் குறிப்பதற்கு, அந்த முனையிலுள்ள சதுர அடைப்புக்குறிக்குப் பதில் பிறை அடைப்புக்குறி பயன்படுத்தப்படுகிறது:  
: <math> \begin{align}  
(a,b) = \mathopen{]}a,b\mathclose{[} &= \{x\in\R\,|\,a<x<b\}, \\{}  
[a,b) = \mathopen{[}a,b\mathclose{[} &= \{x\in\R\,|\,a\le x<b\}, \\{}  
(a,b] = \mathopen{]}a,b\mathclose{]} &= \{x\in\R\,|\,a<x\le b\}, \\{}  
[a,b] = \mathopen{[}a,b\mathclose{]} &= \{x\in\R\,|\,a\le x\le b\}.  
\end{align} </math>  

(*a*, *a*), [*a*, *a*), (*a*, *a*] ஆகிய இடைவெளிகள் வெற்றுக்கணத்தைக் குறிக்கின்றன; [*a*, *a*] இடைவெளி *a* எண்ணை மட்டும் கொண்டிருக்கும். *a* > *b* எனில் மேலே தரப்பட்டுள்ள நான்கு இடைவெளிகளுமே வெற்றுக் கணத்தைக் குறிக்கும்.  

இடைவெளியின் இருவகையான குறியீடுகளும் கணிதத்தில் வேறுசில இடங்களில் பயன்படுத்தப்படும் குறியீடுகளுடன் ஒத்ததாக அமைகின்றன.  

எடுத்துக்காட்டாக,  
:<math>(a,b)</math>  

இக்குறியீடு, கணக்கோட்பாட்டில் வரிசைச் சோடிகளைக் குறிக்கிறது; பகுமுறை வடிவவியலில் ஒரு புள்ளியின் ஆயதொலைவுகளைக் குறிக்கிறது; ஒரு திசையனைக் குறிக்கிறது; மேலும் ஒரு சிக்கலெண்ணையும் குறிக்கிறது.  

:<math>[a,b]</math> என்பது கணினி அறிவியலில் மிகச்சில சமயங்களில் வரிசைச்சோடியைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  

(*a*, *b*) இடைவெளியின் நிரப்பியைக் குறிப்பதற்கு சில கணித எழுத்தாளர்கள் <math>]a,b[</math> என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகிறார்கள். அதாவது, இது *a* மற்றும் அதைவிடச் சிறிய மெய்யெண்களையும், *b* மற்றும் அதைவிடப் பெரிய மெய்யெண்களையும் கொண்ட இடைவெளி என்பதாகும்.  

### முடிவிலியான முனைப்புள்ளிகள்
இடைவெளியின் இருவிதமானக் குறியீடுகளிலும், ஒரு முனையில் வரம்பு கிடையாது என்பதைக் குறிக்க முடிவிலியைப் பயன்படுத்தலாம். அதாவது <math>a=-\infty</math> அல்லது <math>b=+\infty</math> (அல்லது இரண்டையுமே) பயன்படுத்தலாம்.  

எடுத்துக்காட்டாக,  
:(−∞, 0) இடைவெளி குறை மெய்யெண்கள் கணத்தியும்;  
:(0, +∞) இடைவெளி நேர் மெய்யெண்களின் கணத்தையும்;  
:(−∞, +∞) இடைவெளி அனைத்து மெய்யெண்களின் கணத்தையும் குறிக்கின்றன.  

### முழுஎண் இடைவெளிகள்
*a* , *b* என்பன இரு முழு எண்கள் எனில் அவற்றுக்கு இடையேயுள்ள முழு எண்களின் (அவை இரண்டும் உட்பட) இடைவெளியானது, [*a* .. *b*] அல்லது {*a* .. *b*}  அல்லது *a* .. *b* என சில இடங்களில் குறிக்கப்படுகிறது.  

கீழ் அல்லது மேல் முனைப்புள்ளியை முடிவுறு எண்ணாகக் கொண்ட முழுஎண் இடைவெளி எப்பொழுதும் அம்முனைப்புள்ளியையும் உள்ளடக்கியதாக இருக்கும். எனவே முனைப்புள்ளிகள் சேர்க்கப்படவில்லை எனபதை எழுத வேண்டிய முறை:  
:*a* .. *b* − 1 , *a* + 1 .. *b* , அல்லது *a* + 1 .. *b* − 1.  
:[*a* .. *b*) அல்லது [*a* .. *b*[ என்னும் குறியீடுகள் முழுஎண் இடைவெளிகளுக்கு அரிதாகவே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.  

## சொல்லியல்

### திறந்த இடைவெளி
முனைப்புள்ளிகளை உள்ளடக்காத இடைவெளி *திறந்த இடைவெளி* எனப்படும். இந்த இடைவெளியைக் குறிப்பதற்குப் பிறை அடைப்புக்குறிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.  

எடுத்துக்காட்டு:  

திறந்த இடைவெளி (0,1), *0* ஐ விட பெரிய எண்களையும் *1* ஐ விடச் சிறிய எண்களையும் கொண்டது.  

### மூடிய இடைவெளி
முனைப்புள்ளிகளை உள்ளடக்கிய இடைவெளி *மூடிய இடைவெளி* எனப்படும். இந்த இடைவெளியைக் குறிப்பதற்குச் சதுர அடைப்புக்குறிகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.  

எடுத்துக்காட்டு:  

மூடிய இடைவெளி [0,1], *0* மற்றும் *0* ஐ விட பெரிய எண்களையும், *1* மற்றும் *1* ஐ விடச் சிறிய எண்களையும் கொண்டது.  

### சிதைந்த இடைவெளி
ஒரேயொரு மெய்யெண் மட்டும் கொண்டுள்ள ஓருறுப்புக் கணம் *சிதைந்த இடைவெளி* எனப்படும். சில கணித எழுத்தாளர்கள், வெற்றுக்கணத்தையும் இந்த வரையறையில் சேர்த்துக் கொள்வர்.  

### தகு இடைவெளி
வெற்றாகவோ அல்லது சிதைந்ததாகவோ இல்லாத ஒரு மெய்யெண் இடைவெளி, *தகு இடைவெளி* எனப்படும். இந்த இடைவெளி, முடிவுறா எண்ணிக்கையிலான உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.  

### இடது மற்றும் வலது வரம்புடைய இடைவெளி

ஓர் இடைவெளியின் எல்லா உறுப்புகளையும் விடச் சிறியதான ஒரு மெய்யெண் இருக்குமாயின் அந்த இடைவெளி *இடது-வரம்புடைய இடைவெளி* (*-bounded*) என்றும், மாறாக எல்லா உறுப்புகளையும் விடப் பெரியதான ஒரு மெய்யெண் இருக்குமாயின் அந்த இடைவெளி *வலது-வரம்புடைய இடைவெளி* (*-bounded*) என்றும் அழைக்கப்படும்.  

ஓர் இடைவெளி இடது வரம்புடைய இடைவெளியாகவும், வலது-வரம்புடைய இடைவெளியாகவும் இருந்தால் அது *வரம்புடைய இடைவெளி* (*bounded*) எனப்படும். இல்லையெனில் அது *வரம்பில்லாத இடைவெளி* எனப்படும். பொதுவாக, வரம்புடைய இடைவெளிகள் *முடிவுறு இடைவெளிகள்* எனவும் அழைக்கப்படும்.  

வரம்புடைய இடைவெளிகளின் விட்டங்கள் (முனைப்புள்ளிகளின் வித்தியாசத்தின் தனி மதிப்பு) முடிவுறு மதிப்புகளாக இருக்கும். இந்த மதிப்பு, அந்த இடைவெளியின் நீளம் அல்லது அகலம் அல்லது அளவை எனப்படும்.  

வரம்பில்லா இடைவெளிகளின் நீளம் +∞; வெற்று இடைவெளியின் நீளம் 0 அல்லது வரையறுக்காததாகக் கொள்ளப்படும்..  

*a*  , *b* ஐ முனைப்புள்ளிகளாக உடைய வரம்புடைய இடைவெளியின் மையம் (*a* + *b*)/2; அதன் ஆரம் |*a* − *b*|/2. வரம்பில்லா இடைவெளிகளுக்கும் வெற்று இடைவெளிகளுக்கும் மையமோ ஆரமோ வரையறுக்கப்படவில்லை.  

## வகைப்பாடு
கீழே தரப்பட்டுள்ளவாறு மெய்யெண் இடைவெளிகளை பதினோரு வகைகளாகப் பிரிக்கலாம்.  

*a* , *b* மெய்யெண்கள்; <math>a < b</math>:  

: வெற்று இடைவெளி: <math>[b,a] = (a,a) = [a,a) = (a,a] = \{ \} = \emptyset</math>  
: சிதைந்த இடைவெளி: <math>[a,a] = \{a\}</math>  
: தகு மற்றும் வரம்புடைய இடைவெளி:  
:: திறந்த இடைவெளி: <math>(a,b)=\{x\,|\,a<x<b\}</math>  
:: மூடிய இடைவெளி: <math>[a,b]=\{x\,|\,a\leq x\leq b\}</math>  
:: இடது-மூடிய, வலது-திறந்த இடைவெளி: <math>[a,b)=\{x\,|\,a\,\leq x<b\}</math>  
:: இடது-திறந்த, வலது-மூடிய: <math>(a,b]=\{x\,|\,a<x\leq b\}</math>  
: இடது-வரம்புடைய மற்றும் வலது-வரம்பில்லா இடைவெளி:  
:: இடது-திறந்த இடைவெளி: <math>(a,\infty)=\{x\,|\,x>a\}</math>  
:: இடது-மூடிய இடைவெளி: <math>[a,\infty)=\{x\,|\,x\geq a\}</math>  
: இடது-வரம்பில்லாத மற்றும் வலது வரம்புடைய இடைவெளி:  
:: வலது-திறந்த இடைவெளி: <math>(-\infty,b)=\{x\,|\,x<b\}</math>  
:: வலது-மூடிய இடைவெளி: <math>(-\infty,b]=\{x\,|\,x\leq b\}</math>  
: இருமுனைகளிலும் வரம்பில்லாத இடைவெளி: <math>(-\infty,+\infty)=\R</math>  

### நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டின் இடைவெளிகள்
சில சூழ்நிலைகளில் இடைவெளிகளை நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டின் உட்கணங்களாக வரயறுக்கலாம். , இரண்டையும் சேர்த்து விரிவுபடுத்தப்பட்ட மெய்யெண்கோடு நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண்கோடு எனப்படுகிறது.  

,  ,  ,  
ஆகிய குறியீடுகள் இவ்விளக்கத்தால் பொருளுள்ளவையாகவும் வெவ்வேறானவையாகவும் இருக்கும். குறிப்பாக,  

- , சாதாரண மெய்யெண் கோட்டையும்
- ,நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டையும் குறிக்கும்.

இடைவெளிகளை நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண் கோட்டின் உட்கணங்களாகக் கருதுவதால் மேலேயுள்ள வரையறைகளிலும் பெயர்களிலும் குழப்பங்கள் ஏற்படலாம். எடுத்துக்காட்டாக &nbsp;=&nbsp;<math>\R</math> என்ற இடைவெளி சாதாரண மெய்யெண்கோட்டில் மூடிய இடைவெளியாகவும், நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்யெண்கோட்டில் திறந்த இடைவெளியாகவும் இருக்கும்.  

## பண்புகள்
- ஓர் இடைவெளிக்கு, தொடர்ச்சியான சார்பினால் கிடைக்கக்கூடிய எதிருருவும் ஒரு இடைவெளியாகவே அமையும்.
- இடைவெளிகள் <math>\R</math> இன் குவிவுக் கணங்களாகும்.
- எத்தனை இடைவெளிகளை எடுத்துக்கொண்டாலும் அவற்றின் வெட்டு ஓர் இடைவெளியாகும்;

இரு இடைவெளிகளின் வெட்டு வெற்றுக்கணமாக இல்லாமல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அவற்றின் ஒன்றிப்பு ஓர் இடைவெளியாக இருக்கும்.  

அதாவது, ஒரு இடைவெளியின் திறந்த முனை மற்றொரு இடைவெளியின் மூடிய முனையாக இருக்க வேண்டும்.  

: <math>(a,b) \cup [b,c] = (a,c]</math>.  

- இடைவெளி <math>I</math>இன் ஓர் உறுப்பு *x* அவ்விடைவெளியை மூன்று பொது உறுப்புகள் இல்லாத இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கும்:
- <math>I_1 </math> = x ஐ விடச் சிறியதான உறுப்புகள் கொண்ட இடைவெளி
- <math> I_2= [x,x] = \{x\}</math> இடைவெளி
- <math>I_3 </math> = x ஐ விடப் பெரியதான உறுப்புகள் கொண்ட இடைவெளி

&nbsp;, <math>I </math> இன் உட்புறத்தில் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இடைவெளிகள் <math>I_1 </math> <math>I_3 </math>இரண்டும் வெற்றற்றவையாக இருக்க முடியும்.  

## பொதுமைப்படுத்தல்
### பல-பரிமாண இடைவெளிகள்
*<math>n</math>-பரிமாண இடைவெளி* என்பது <math>\R^n</math> இன் ஓர் உட்கணமாகும்.  

:இவ்விடைவெளி, <math>n</math> ஆய அச்சுக்கள் ஒவ்வொன்றின் மீதமையும் <math>I = I_1\times I_2 \times \cdots \times I_n</math> இடைவெளிகளின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனாக இருக்கும்.  

:<math>n=2</math> எனில் இந்த இரு பரிமாண இடைவெளி, ஆய அச்சுக்களுக்கு இணையான பக்கங்களைக் கொண்ட செவ்வகம். :<math>n=3</math> எனில் இந்த முப்பரிமாண இடைவெளி, ஆய அச்சுக்களை பக்கங்களாகக் கொண்ட செவ்வகப் பெட்டி.  

### சிக்கலெண்களின் இடைவெளி
சிக்கலெண் தளத்தின் பகுதிகளாக சிக்கலெண்களின் இடைவெளிகளை வரையறுக்கலாம். இவை செவ்வகங்களாகவோ வட்டத் தகடுகளாகவோ இருக்கும்.