# அடுக்குச் சராசரி


கணிதத்தில் **பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி** (*generalized mean*) அல்லது **அடுக்குச் சராசரி** (*power mean*) என்பது பித்தாகரசின் சராசரிகளான கூட்டுச் சராசரி, பெருக்கல் சராசரி மற்றும் இசைச் சராசரிகளின் சாராம்சமாகும்.  

## வரையறை
*p* ஒரு பூச்சியமில்லா மெய்யெண் எனில், <math>x_1,\dots,x_n</math> என்னும் நேர்ம மெய்யெண்களின் *p* -அடுக்கு கொண்ட பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரி அல்லது அடுக்குச் சராசரி:  
:<math>  
M_p(x_1,\dots,x_n) = \( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^p \)^{1/p}  
</math>  

*p* -ன் மதிப்பு பூச்சியமெனில் இச்சராசரி, பெருக்கல் சராசரியாக இருக்குமெனக் கொள்ளல் வேண்டும்:  

:<math>  
M_0(x_1, \dots, x_n) = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}  
</math>  

மேலும் <math>w=\sum w_i</math> என அமையும் நேர்ம எடைகள் <math>w_i</math> -களுக்கு எடையிடப்பட்ட அடுக்குச் சராசரியினைப் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:  

:<math>  
M_p(x_1,\dots,x_n) = \( \frac{1}{w}\sum_{i=1}^n w_ix_{i}^p \)^{1/p}  
</math>  

:<math>  
M_0(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[w]{\prod_{j=1}^n x_j^{w_j}}  
</math>  

இவ்வாய்ப்பாடு எளிமையாக அமைய எடைகளை இயல்நிலைப்படுத்திக் கொள்ளலாம்:  

அதாவது, <math> \sum_{i=1}^n {w_i} = 1</math>  

:<math>M_p(x_1,\dots,x_n) = \(\sum_{i=1}^n w_ix_{i}^p \)^{1/p}</math>  

:<math>M_0(x_1,\dots,x_n) = \prod_{i=1}^n x_i^{w_i}</math>  

சம எடைகள் (&nbsp;*1/n*) கொண்ட தரவாகக் எடுத்துக்கொள்வதன் மூலம் எடையிடப்படாத சராசரிகளைக் காணமுடியும். அடுக்கு, நேர்ம அல்லது எதிர்ம முடிவிலியாக இருக்கும்போது அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்பு முறையே பெரும அல்லது சிறும மதிப்பாக அமையும்(எடைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளாமல்).  

:<math>M_\infty (x_1,\dots,x_n)=\max(x_1,\dots,x_n)</math>  

:<math>M_{-\infty}(x_1,\dots,x_n)=\min(x_1,\dots,x_n)</math>  

## சிறப்பு வகைகள்

| <math>M_{-1}(x_1,\dots,x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1}+\dots+\frac{1}{x_n}}</math> | இசைச் சராசரி |  |
| --- | --- | --- |
| <math>\lim_{p\to0} M_p(x_1,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1\cdot\dots\cdot x_n}</math> | பெருக்கல் சராசரி |  |
| <math>M_1(x_1,\dots,x_n) = \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}</math> | கூட்டுச் சராசரி |  |
| <math>M_2(x_1,\dots,x_n) = \sqrt{\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n}}</math> | இருபடிச் சராசரி |  |
| <math>\lim_{p\to\infty} M_p(x_1,\dots,x_n) = \max \{x_1,\dots,x_n\}</math> | பெரும மதிப்பு | } |

## பண்புகள்

- எல்லாச் சராசரிகளையும் போல பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியும் சமச்ச்சீர்தன்மை உடையது.
: *b* ஒரு நேர்ம மெய்யெண் என்க.  

<math>M_p(bx_1,\dots,bx_n) </math> = <math>bM_p(x_1,\dots,x_n) </math>  

- <math>M_p(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) =
M_p(M_p(x_1,\dots,x_{k}),  
M_p(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}),  
\dots,  
M_p(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))  
</math>  

### சமனின்மை

*p*&nbsp;<&nbsp;*q* எனில்,  

<math>M_p(x_1,\dots,x_n) \le M_q(x_1,\dots,x_n)</math>  

<math>x_1 = x_2 = \cdots = x_n</math> என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே<math>M_p</math>, <math>M_q</math> இரண்டும் சமம்.  

*p* -ன் பூச்சிய மதிப்பு, பூச்சியமற்ற மெய்யெண் மதிப்பு, நேர்ம மற்றும் எதிர்ம முடிவிலி மதிப்புகளுக்கு இச்சமனின்மை உண்மையாகும்,  

குறிப்பாக <math>p\in\{-1, 0, 1\}</math> எனில் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மை பித்தாரசின் சராசரிகளின் சமனின்மை மற்றும் கூட்டுச் சராசரி மற்றும் பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனின்மையுமாகும்.  

எடையிடப்பட்ட பொதுமைச் சராசரியின் சமனின்மைமையை நிறுவ,  

:<math>w_i\in (0;1]</math>  

:<math>\sum_{i=1}^nw_i=1</math> எனவும்,  

எடையிடப்படாத பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட சராசரியின் சமனின்மையை நிறுவ <math>w_i=\frac{1}{n}</math> எனவும் எடுத்துக்கொள்ளல் வேண்டும்.  

### எதிர்க்குறி அடுக்கு கொண்ட சராசரிகளின் சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மை

*p* மற்றும் *q* எனும் இரு அடுக்குகளுக்கு அடுக்குச் சராசரிகள் பின்வரும் சமனின்மையைக் கொண்டிருந்தால்:  

:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>  

இதிலிருந்து  

:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^p}}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^q}}</math> என எழுதலாம்.  

இருபுறமும் அடுக்கினை −1 க்கு உயர்த்த (நேர்ம மெய் குறையும் சார்பு):  

:<math>\sqrt[-p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-p}}=\sqrt[p]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^p}}}\geq \sqrt[q]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^q}}}=\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}</math>  

எனவே அடுக்குகள், −*p* மற்றும் −*q* -க்கான அடுக்குச் சராசரிகளிக்கான சமனின்மை கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து முன்பு செய்த இதே செயல்முறைகளை எதிர்வரிசையில் செய்து சமனின்மைகளின் சமானத்தன்மையை நிறுவலாம்.  

### பெருக்கல் சராசரியுடன் சமனின்மை
*q* அடுக்கு கொண்ட அடுக்குச் சராசரிக்கும் பெருக்கல் சராசரிக்குமிடையே அமையும் சமனின்மை:  

:<math>\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>...................(*q* -நேர்மம்).  

:<math>\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} </math>.....................(*q* -எதிர்மம்).  

இருபுறமும் அடுக்கு *q* -க்கு உயர்த்த:  

:<math>\prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i^q</math>  

:<math>\sum_{i=1}^nw_ix_i^q \leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q}</math>  

இவ்விரண்டும் <math>x_i^q</math> என்ற தொடரின் எடையிடப்பட்ட கூட்டுச் சராசரி மற்றும் எடையிடப்பட்ட பெருக்கல் சராசரிகளுக்கிடையேயான சமனின்மையாக அமையும்.  

மடக்கைச் சார்புகள் குழிவானவை என்பதால்:  

:<math>\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i) \leq \log\( \sum_{i=1}^nw_ix_i \)</math>  

:<math>\log \( \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \) \leq \log \( \sum_{i=1}^nw_ix_i \)</math>  

இருபுறமும் அடுக்குக்குறிச் சார்புக்கு மாற்ற:  

:<math>\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i</math>  

எனவே எந்தவொரு நேர்ம *q* - மதிப்பிற்கும்:  

:<math>\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>  

எனவே பெருக்கல் சராசரிக்கும் அடுக்குச் சராசரிக்குமிடையேயான சமனின்மை நிறுவப்படுகிறது.  

### இரு அடுக்குச் சராசரிகளுக்கிடயேயான சமனின்மை

*p*&nbsp;<&nbsp;*q* - அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் சமனின்மை உண்மை என நிறுவ வேண்டும்:  

:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>  

*p* எதிர்மம், *q* நேர்மமாக இருந்தால் இச்சமனின்மை ஏற்கனவே நிறுவப்பட்ட பின்வரும் சமனின்மைக்குச் சமானமானதாகும்:  

:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>  

*p* , *q* இரண்டும் நேர்மமாக இருக்கும்போது நிறுவல் பின்வருமாறு:  

சார்பு f -ஐ பின்வருமாறு வரையறுத்துக் கொள்ளலாம்:  

:<math>f:{\mathbb R_+}\rightarrow{\mathbb R_+},</math> <math>f(x)=x^{\frac{q}{p}}</math>.  

*f* அடுக்குச் சார்பானதால் அதற்கு இரண்டாம் வகைக்கெழு உண்டு:  

: <math>f''(x) = \(\frac{q}{p} \) \( \frac{q}{p}-1 \)x^{\frac{q}{p}-2},</math>  

*f* -ன் ஆட்களத்தில் இவ்வகையீட்டின் மதிப்பு எப்பொழுதும் நேர்மமாகவே இருக்கும். மேலும் *q*&nbsp;>&nbsp;*p* என்பதால் *f* குவிச் சார்பாக இருக்கும்.  

எனவே ஜென்சன் சமனின்மையின்படி:  

:<math>f \( \sum_{i=1}^nw_ix_i^p \) \leq \sum_{i=1}^nw_if(x_i^p)</math>  

:<math>\sqrt[\frac{q}{p}]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sum_{i=1}^nw_ix_i^q</math>  

இருபுறமும் 1/*q* அடுக்குக்கு உயர்த்த:  

:<math>\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}</math>  

முன்பு நிறுவிய அடுக்குச் சராசரிகளின் சமானத்தன்மையைப் பயன்படுத்தி, *p* , *q* -க்குப் பதிலாக முறையே &minus;*q* and &minus;*p*, பிரதியிட்டு இச்சமனின்மையை *p* , *q* இரண்டும் எதிர்மமாக இருக்கும்போதும் உண்மை என்பதை நிறுவலாம்.  

### பெருக்கல் சராசரி - ஒரு எல்லையாக

அடுக்குச் சராசரியில் அடுக்கின் மதிப்பு பூச்சியத்தை நோக்கி நெருங்கும் எல்லை மதிப்பாக பெருக்கல் சராசரியைக் கொள்ளலாம்.  

:<math>  
\begin{align}  
& \lim_{p \to 0} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}  
\end{align}  
</math>  

இதை நிறுவுவதற்குத் தேவையான, பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவலாம்:  

:<math>\lim_{p\to0} \frac{\log\(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\)}{p}=\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)</math>  

இவ்வெல்லையின் பகுதி மற்றும் தொகுதிகளின் எல்லை மதிப்புகள் பூச்சியமாக இருப்பதால் லாபிதாலின் விதியைப் பயன்படுத்த:  

:<math>\lim_{p\to 0} \frac{\log\(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\)}{p}=\lim_{p\to 0}\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\cdot\(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\)'=</math>  

:<math>=\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i}\cdot \lim_{p\to 0}\sum_{i=1}^n(w_i\cdot\log(x_i)\cdot x_i^p)=\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)</math>  

அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித் தன்மையின்படி:  

:<math>  
\begin{align}  
& \lim_{p \to 0} \sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\lim_{p \to 0} \exp\(\frac{\log\(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\)}{p}\) \\  
& = \exp\(\lim_{p \to 0} \frac{\log\(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\)}{p}\)=\exp\(\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i)\)=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}  
\end{align}  
</math>  

என்வே பெருக்கல் சராசரியானது அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கு பூச்சியத்தை நெருங்கும் எல்லை மதிப்பு என்பது நிறுவப்பட்டது.  

### சிறும மற்றும் பெரும மதிப்பு
அடுக்குச் சராசரியின் அடுக்கின் மதிப்பு, <math>- \infty</math> மற்றும் <math>+\infty</math> -ஆக நெருங்கும் எல்லைநிலையில் அடுக்குச் சராசரியின் மதிப்புகள் சிறும மற்றும் பெரும மதிப்புகளாக அமையும்.  

அனைத்து *x<sub>i</sub>* -களில் பெரும மதிப்பு - *x*<sub>1</sub>, சிறும மதிப்பு - *x<sub>n</sub>* என்க.  

பின்வரும் எல்லை மதிப்பை முதலில் நிறுவிக் கொள்ளலாம்:  

:<math>\lim_{p \to \infty}\(\frac{1}{p}\ln\(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\)\)=0</math>  

*p* நேர்மம் எனில்:  

:<math>\frac{1}{p}\ln(w_1)=\frac{1}{p}\ln\(\frac{w_1x_1^p}{x_1^p}\)\leq\frac{1}{p}\ln\(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\)\leq\frac{1}{p}\ln\(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_1^p}{x_1^p}\)=\ln(1)=0</math>  

இந்த எல்லை மதிப்பைப் பயன்படுத்த:  

:<math> \lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\)=\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\(x_1^p\cdot\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\)=\lim_{p \to \infty}\(\frac{\ln(x_1^p)}{p}\)+\lim_{p \to \infty}\(\frac{1}{p}\ln\(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_1^p}\)\)=\ln(x_1)+0=\ln(x_1)</math> என நிறுவலாம்.  

இறுதியாக அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:  

:<math>\lim_{p \to \infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\lim_{p \to \infty}\exp\(\frac{1}{p}\ln\(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\)\)=\exp\(\lim_{p \to \infty}\frac{1}{p}\ln\(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\)\)=x_1</math>  

*p* எதிர்மம் என்க:  

:<math>\lim_{p \to -\infty}\(\frac{1}{p}\ln\(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_n^p}{x_n^p}\)\)=0</math>  

*p*&nbsp;<&nbsp;0 எனில்:  

:<math>\frac{1}{p}\ln(w_n)=\frac{1}{p}\ln\(\frac{w_nx_n^p}{x_n^p}\)  
\geq\frac{1}{p}\ln\(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_n^p}\)\geq\frac{1}{p}\ln\(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_n^p}{x_n^p}\)=\ln(1)=0</math>  

எனவே:  

:<math> \lim_{p \to-\infty}\frac{1}{p}\ln\(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\)=\lim_{p \to -\infty}\(\frac{\ln(x_n^p)}{p}\)+\lim_{p \to -\infty}\(\frac{1}{p}\ln\(\frac{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}{x_n^p}\)\)=\ln(x_n)</math>  

மீண்டும் அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்ச்சித்தன்மையின்படி:  

:<math>\lim_{p \to-\infty}\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}=\exp\(\lim_{p \to -\infty}\frac{1}{p}\ln\(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\)\)=x_n</math>  

## பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட <math>f</math>-சராசரி

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட <math>f</math>- சராசரியாக அடுக்குச் சராசரியை மேலும் பொதுமைப்படுத்தலாம்:  

:<math> M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1}  
\({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\) </math>