# பெருக்கல் சார்பு

எண் கோட்பாட்டில் **பெருக்கல் சார்பு** (*multiplicative function*) என்பது ஒரு எண்கணிதச் சார்பு ஆகும். *n* ஒரு நேர்ம முழுஎண் எனில், பெருக்கல் சார்பு *f*(*n*) இன் மதிப்பு கீழ்க்கண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:  

:<math> f(1) = 1 </math>  
:<math> f(ab) = f(a) f(b)</math>, (a, b சார்பகா எண்கள்)  

;முழுமையான பெருக்கல் சார்பு  
பெருக்கல் சார்பின் வரையறையானது சார்பகா எண்களுக்கு மட்டுமல்லாது அனைத்து நேர்ம முழுஎண்களுக்கும் பொருந்துவதாக இருந்தால் அச் சார்பு, **முழுமையான பெருக்கல் சார்பு** (*completely multiplicative* அல்லது *totally multiplicative*) என அழைக்கப்படும்.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்
- மாறிலிச் சார்பு:
:<math>1(n) = 1 </math>என வரையறுக்கப்படும் மாறிலிச் சார்பு <math>1(n)</math>, ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு.  

- முற்றொருமைச் சார்பு:
:<math>Id(n) = n</math> என வரையறுக்கப்படும் முற்றொருமைச் சார்பு <math>Id(n)</math> முழுமையான பெருக்கல் சார்பு  

- <math>Id_k(n) = n^k, </math> (k ஒரு சிக்கலெண்)
என வரையறுக்கப்படும் அடுக்குச் சார்பு <math>Id_k(n)</math> ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு.  

இதன் சிறப்பு வகைகள்:  
: <math>Id_0<(n) = 1(n)</math>  
:<math>Id_1(n) = Id(n)</math>.  
- மீபொவ (*n*,*k*):
*k* ஐ ஒரு நிலையான முழுஎண்ணாகக் கொண்டால்*n* , *k* இரண்டின் மீப்பெரு பொது வகுத்தியானது, *n* மீதான பெருக்கல் சார்பாகும்.  
- ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு
<math>n</math>-ஐ விடப் பெரியதல்லாததாகவும், <math>n</math>-ஐப் பகாத எண் ணாகவும் (அ-து,<math>n</math>-உடன் 1 ஐத்தவிர வேறு எந்த பொதுக் காரணியையும் கொள்ளாதது) இருக்கும் நேர்ம முழு எண்களின் எண்ணிக்கையைத் தரும் ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு (<math>\varphi</math>(*n*)) ஒரு பெருக்கல் சார்பு  
- மோபியஸ் சார்பு
;வரையறை  
:*n* ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற நேர் முழு எண் மற்றும் அதன் பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை இரட்டையெண் எனில்:  
:::*μ*(*n*) = 1  

:*n* ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற நேர் முழு எண் மற்றும் அதன் பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றையெண் எனில்:  
::: *μ*(*n*) = &minus;1  

:*n* க்கு ஒரு பகாக்காரணி வர்க்க எண்ணாக இருந்தால்:  
:::*μ*(*n*) = 0  
மோபியஸ் சார்பு <math>\mu</math>(*n*) ஒரு பெருக்கல் சார்பு.  
- வகுஎண் சார்பு
நேர் வகுஎண்களின் கூடுதல் சார்பு, *x* ஒரு மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் எனில்,  
:<math>\sigma_{x}(n)=\sum_{d|n} d^x\,\! ,</math>, <math>{d|n}</math>  
என வரையறுக்கப்படும் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதல் சார்பு σ<sub>*x*</sub>(*n*) ஒரு பெருக்கல் சார்பு.  

இதன் சிறப்புவகைகள்:  
:<math>\sigma_0(n) = d(n)</math>, *n* இன் நேர் வகுஎண்களின் மொத்த எண்ணிக்கை,  
:<math>\sigma_1(n) = \sigma(n)</math>, *n* இன் நேர் வகுஎண்களின் கூடுதல்.  

## பண்புகள்
*f*(*n*) ஒரு பெருக்கல் சார்பு மற்றும் *n* வெவ்வேறான பகா எண்களின் அடுக்குகளின் பெருக்கமாக, *n* = *p*<sup>*a*</sup> *q*<sup>*b*</sup> ..., எழுதப்பட்டால்:  

<math>f(n) = f(p^a) f(q^b) ...</math>  

எடுத்துக்காட்டு:  

:<math>n = 144 = 2^4 \times 3^2</math> எனில்:  
: <math>d(144) = \sigma_{0}(144) = \sigma_{0}(2^4) \sigma_{0}(3^2) = (1^0 + 2^0 + 4^0 + 8^0 + 16^0)(1^0 + 3^0 + 9^0) = 5 \times 3 = 15</math>  
: <math>\sigma(144) = \sigma_{1}(144) = \sigma_{1}(2^4)\sigma_{1}(3^2) = (1^1 + 2^1 + 4^1 + 8^1 + 16^1(1^1 + 3^1 + 9^1) = 31 \times 13 = 403</math>  
: <math>\sigma^{*}(144) = \sigma^{*}(2^4)\sigma^{*}(3^2) = (1^1 + 16^1)(1^1 + 9^1) = 17 \times 10 = 170.</math>  

இதேபோல:  

:<math>\varphi (144) = \varphi (2^4) \varphi (3^2) = 8 \times 6 = 48 </math>  

பொதுவாக, *f*(*n*) ஒரு முழுமையான பெருக்கல் சார்பு மற்றும் *a*, *b* இரண்டும் ஏதேனும் இரு நேர் முழுஎண்கள் எனில்:  

:*f*(*a*) · *f*(*b*) = *f*(மீபொவ(*a*,*b*)) · *f*(மீபொம(*a*,*b*)).  

## டிரிழ்ச்லெட் தொடர்
சில பெருக்கல் சார்புகளுக்கான டிரிழ்ச்லெட் தொடர்கள்:  
- <math>\sum_{n\ge 1} \frac{\mu(n)}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)}</math>
- <math>\sum_{n\ge 1} \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}</math>
- <math>\sum_{n\ge 1} \frac{d(n)^2}{n^s} = \frac{\zeta(s)^4}{\zeta(2s)}</math>
- <math>\sum_{n\ge 1} \frac{2^{\omega(n)}}{n^s} = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}</math>