# வகையிடலின் வகுத்தல் விதி

நுண்கணிதத்தில் **வகையிடலின் வகுத்தல் விதி** அல்லது சுருக்கமாக **வகுத்தல் விதி** (*quotient rule*) என்பது வகையிடல் விதிகளுள் ஒன்று. இரு வகையிடத்தக்கச் சார்புகளின் விகிதமுறு சார்பாக அமையும் சார்பின் வகைக்கெழுவைக் காணும் முறையை இவ்விதி தருகிறது.  

இவ்விதியின் கூற்று:  

- லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில்:

:<math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}; \qquad h(x)\not=0</math> எனில் அதன் வகைக்கெழு,  

:<math>f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}.</math>  

இவ்விதியை இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கும் நீட்டிக்கலாம்:  

<math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}; \qquad h(x)\not=0</math> என்பதை  
:<math>f(x)=g(x)(h(x))^{-1}</math>  

என எடுத்துக் கொண்டு வகையிடலின் பெருக்கல் விதியையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி இருமுறை வகையிட:  

:<math>f*(x)=\frac{g*(x)[h(x)]^2-2g'(x)h(x)h'(x)+g(x)[2[h'(x)]^2-h(x)h''(x)]}{[h(x)]^3}.</math>  

லைப்னிட்சின் குறியீட்டில்:  

:<math> y = \frac{u}{v}\,</math>,  

:<math>\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{du}}{v^2}\,</math>  

## எடுத்துக்காட்டுகள்

- <math>(4x - 2)/(x^2 + 1)</math> இன் வகைக்கெழு:

:<math>\begin{align}\frac{d}{dx}\[\frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}\] &= \frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}\\  
& = \frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}\end{align}</math>  

- <math>\frac{sinx}{x^2}; x \not = 0</math> இன் வகைக்கெழு:

:<math>\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}</math>  

- <math>f(x) = \frac{2x^2}{x^3}</math> இன் வகைக்கெழு:

:<math>g(x) = 2x^2;</math> <math>h(x) = x^3</math>  
:<math>g'(x) = 4x;</math> <math>h'(x) = 3x^2</math>.  

வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்த:  

:<math>f'(x) = \frac {\(4x \cdot x^3 \) - \(2x^2 \cdot 3x^2 \)} {\(x^3\)^2} = \frac{4x^4 - 6x^4}{x^6} = \frac{-2x^4}{x^6} = -\frac{2}{x^2}</math>  

இச் சார்பை அடுக்குக்குறி விதிகளையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்திப் பின்வருமாறும் வகையிடலாம்:  

:<math>f(x) = \frac{2x^2}{x^3} = \frac{2}{x} = 2x^{-1}</math>  
:<math>f'(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}</math>  

### குறைபாடு

ஒரு விகிதமுறு சார்பின் தொகுதியிலுள்ள சார்பும் பகுதியிலுள்ள சார்பும் தனித்தனியே வகையிட முடியாதவையாக இருந்தால் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி அச்சார்பை வகையிட முடியாது. ஆனால் அந்த விகிதமுறு சார்பு முழுமையாகத் தனியே வகையிடக் கூடியதாக இருக்குலாம்.  

எடுத்துக்காட்டு:  

<math>f(x) = \frac{|x|+1}{|x|+1},</math>  

|*x*| என்பது *x* இன் தனிமதிப்பு.  

இச்சார்பை <math>f(x) = \frac{|x|+1}{|x|+1} = 1</math> என எடுத்துக்கொண்டால் இதனை வகையிடுதல் சாத்தியமாகும்.  

இதன் வகைக்கெழு,  
:<math>f'(x) = 0</math>  

ஆனால் இதே சார்பை, <math> x = 0</math> இல் வகுத்தல் விதியைப் பயன்படுத்தி வகையிட முயன்றால், வரையறுக்கப்படாத மதிப்பே விடையாகக் கிடைக்கும். ஏனெனில் |*x*| இன் மதிப்பு *x*&nbsp;=&nbsp;0 இல் வரையறுக்கப்படவில்லை.  

## நிறுவல்கள்

### அடிப்படைக் கொள்கையைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்

:<math>f(x) = \frac{g(x)}{h(x)};\qquad h(x) \neq 0</math>  
:<math>g,</math> <math>h</math> இரண்டும் வகையிடத்தக்க சார்புகள் எனில்:  

:<math>f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)- f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}</math>  

:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \(\frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \)</math>  

தொகுதியில் <math>g(x)h(x)</math> ஐக் கூட்டிக் கழிக்க,  

:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \)</math>  

:<math>= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}</math>  

:<math>= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\)}{h(x)\lim_{\Delta x \to 0}h( x+\Delta x)}</math>  

வகைக்கெழுக்களின் வரையறைப்படி,  

:<math>= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}</math>  

### சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்

:<math> \frac{u}{v}\; =\; \frac{1}{4}\[ \( u+\frac{1}{v} \)^{2}-\; \( u-\frac{1}{v} \)^{2} \]</math>  

இந்த முற்றொருமையை <math>x</math> ஐப் பொறுத்து வகையிட:  

:<math>\frac{d\( \frac{u}{v} \)}{dx}\; =\; \frac{d}{dx}\frac{1}{4}\[ \( u+\frac{1}{v} \)^{2}-\; \( u-\frac{1}{v} \)^{2} \]</math>  

வலப்புற வகையிடலுக்குச் சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்த:  

:<math>\frac{d\( \frac{u}{v} \)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\[ 2\( u+\frac{1}{v} \)\( \frac{du}{dx}-\frac{dv}{v^{2}dx} \)-\; 2\( u-\frac{1}{v} \)\( \frac{du}{dx}+\frac{dv}{v^{2}dx} \) \]</math>  

வலப்புறம், பெருக்கிச் சுருக்க:  

:<math>\frac{d\( \frac{u}{v} \)}{dx}\; =\; \frac{1}{4}\[ \frac{4}{v}\frac{du}{dx}-\frac{4u}{v^{2}}\frac{dv}{dx} \]</math>  

:<math>\frac{d\( \frac{u}{v} \)}{dx}\; =\; \frac{\[ v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx} \]}{v^{2}}</math>  

### பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவல்

;<math> y = \frac{u}{v}</math> எனில்,  

<math> y = \frac{u}{v} = uv^{-1}.</math>  

பெருக்கல் விதியையும் சங்கிலி விதியையும் பயன்படுத்தி வகையிட,  

: <math>\frac{dy}{dx} = u'v^{-1} - v^{-2}uv' = \frac{u'}{v} - \frac{uv'}{v^{2}} </math>  

தொகுதி, பகுதி இரண்டையும் <math>v</math> ஆல் பெருக்க வகையிடலின் வகுத்தல் விதி கிடைக்கிறது.  

: <math>\frac{dy}{dx} = \frac{vu'}{v^2} - \frac{uv'}{v^{2}} = \frac{vu' - uv'}{v^{2}} </math>