# ஹர்ஷத் எண்

பொழுதுபோக்குக் கணிதத்தில், தனது இலக்கங்களின் கூட்டலால் வகுபடக்கூடிய முழு எண், **ஹர்ஷத் எண்** (*Harshad number* அல்லது *Niven number*) எனப்படும்.  
*n* அடிமானத்தில் அமையும் ஹர்ஷத் எண்கள் ***n*-ஹர்ஷத் எண்கள் ** அழைக்கப்படுகின்றன.  
இந்தியக் கணிதவியலாளரான கப்ரேக்கரால் இவ்வெண்கள் வரையறுக்கப்பட்டன. **' (மகிழ்ச்சி) + **' (தரும்) என்ற சமசுகிருத சொற்களிலிருந்து "ஹர்ஷத்" என்ற இப்பெயர் உருவானது. 1977 ஆம் ஆண்டு நடந்த எண் கோட்பாட்டு மாநாட்டில் இவ்வெண்கள் குறித்து, கனடிய-அமெரிக்கக் கணிதவியலாளரான ஐவான் எம். நிவின் சமர்ப்பித்த கட்டுரையின் காரணமாக “நிவின் எண்கள்” என்ற பெயராலும் அழைக்கப்படுகின்றன. சுழிக்கும் *n* க்கும் இடைப்பட்ட அனைத்து முழு எண்களும் *n*-ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்கும்.  

எந்தவொரு அடிமானத்திலும் ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்கும் எண் **அனைத்து-ஹர்ஷத் எண் ** அல்லது **அனைத்து-நிவின் எண் ** (*all-Harshad number*, *all-Niven number*) என அழைக்கப்படும். அவ்வாறான எண்கள் நான்கு மட்டுமே உள்ளன: 1, 2, 4, 6 ஆகிய நான்கு எண்கள் மட்டுமே அனைத்து அடிமானங்களிலும் ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்கும். எண் 12 ஆனது எட்டடிமானம் தவிர ஏனைய அடிமானங்களில் ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்கும்.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்
:பத்தடிமானத்தில் 18 ஒரு ஹர்ஷத் எண். ஏனெனில், அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் . மேலும் 18 ஆனது ஒன்பதால் வகுபடுகிறது.  
: ஆனால் பத்தடிமானத்தில் 19 ஹர்ஷத் எண் அல்ல; ஏனெனில் அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் . ஆனால் எண் 19 ஆனது பத்தால் வகுபடாது.  

## வரையறை
*n* அடிமான நேர் முழுஎண் *X* இன் இலக்கங்கள் *a<sub>i</sub>* (*i* = 0, 1, ..., *m*&nbsp;&minus;&nbsp;1) எனில், *X* ஐப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:  
:<math>X=\sum_{i=0}^{m-1} a_i n^i.</math>  

பின்வரும் கூற்று உண்மையாகுமாறு *A* என்றதொரு முழு எண் இருக்குமானால் *X* ஒரு *n* அடிமான ஹர்ஷத் எண்ணாகும்.:  
:<math>X=A\sum_{i=0}^{m-1} a_i.</math>  

பத்தடிமான ஹர்ஷத் எண்களின் தொடர்முறை:  
:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, ...  

## பண்புகள்
:ஒன்பதால் வகுபடும் தன்மையறியும் சோதனையால், ஒன்பதால் வகுபடும் எண்கள் அனைத்தும் ஹர்ஷத் எண்கள் போலத் தோன்றலாம். ஆனால் அது உண்மையல்ல. எடுத்துக்காட்டாக 99 ஒரு ஹர்ஷத் எண் அல்ல. ஏனென்றால் அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 9 +9 = 18, ஆனால் 99 ஆனது 18 ஆல் வகுபடாது.  

:அடிமான எண்ணும் அதன் அடுக்குகளும் அதே அடிமானத்தில் ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்கும்.  

:ஒரு பகா எண் ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்க வேண்டுமானால், அது அடிமான எண்ணுக்குச் சமமான எண்ணாகவோ அல்லது அதைவிடச் சிறிய எண்ணாகவோ இருக்க வேண்டும். பத்தடிமானத்தில் 11 ஒரு பகா எண்; மேலும் அது அடிமான எண்ணான 10 ஐவிடப் பெரியது. அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 1+ 1 = 2. ஆனால் 11 ஆனது 2 ஆல் வகுபடாது. அதனால் 11 ஒரு ஹர்ஷத் எண் அல்ல.  

:பத்தடிமானத்தில் தொடர்பெருக்கங்களின் தொடர்முறையானது ஹர்ஷத் எண்களைக் கொண்டு தொடங்குவதால், அனைத்து தொடர்பெருக்கங்களும் ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்குமெனக் கூறமுடியாது. ஹர்ஷத் எண்ணாக அமையாத முதல் தொடர்பெருக்கம் 432! ஆகும்.  

## மடங்கு ஹர்ஷத் எண்கள்
இலக்கங்களின் கூடுதலால் வகுக்கப்படும் போது கிடைக்கும் ஈவு எண்ணும் ஒரு ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்கக்கூடிய ஹர்ஷத் எண் ** மடங்கு ஹர்ஷத் எண் ** ( *multiple Harshad number*) எனப்படும்.  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  
:6804 "மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-3" ஆகும்:  
:<math>  
\begin{array}{l}  
6804/18=378\\  
378/18=21\\  
21/3=7  
\end{array}  
</math>  
:2016502858579884466176 , "மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-12" ஆகும்.  
: 10080000000000 = 1008·10<sup>10</sup>, மற்றொரு "மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-12" ஆகும். பொதுவாக, 1008·10<sup>*n*</sup> ஒரு "மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-(*n*+2)" ஆக இருக்கும்.