# ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டின் தூரம்

கணிதத்தில் **ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு கோட்டின் தூரம்** (*distance from a point to a line*) என்பது ஒரு புள்ளிக்கும் ஒரு கோட்டிற்கும் இடைப்பட்ட மிகச்சிறிய தூரத்தைக் குறிக்கும். அப்புள்ளிக்குக் கோட்டிலிருந்து அமையும் செங்குத்துக் கோட்டின் போக்கில் தான் இரண்டிற்கும் இடையிலான மிகச்சிறிய தூரம் அமையும்.  

## கார்ட்டீசியன் ஆயங்கள்
கார்ட்டீசியன் ஆய முறைமையில் ஒரு புள்ளியிலிருந்து ஒரு நேர்கோட்டிற்குள்ள தூரம் காணல்:  

ஒரு தளத்தில் அமையும் நேர்கோட்டின் சமன்பாடு:  

( *a*, *b* , *c* மெய்யெண்கள். *a* , *b* இரண்டும் ஒரே சமயத்தில் பூச்சியமாகாது.)  

(*x*<sub>0</sub>,*y*<sub>0</sub>) என்ற புள்ளியிலிருந்து இக்கோட்டின் தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:  

:<math>\operatorname{distance}(ax+by+c=0, (x_0, y_0)) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. </math>  

## நிறுவல் 1 (இயற்கணித முறை)

தரப்பட்ட கோடு: ax + by + c = 0,  

தரப்பட்ட புள்ளி: (m,n)  

இப்புள்ளியிலிருந்து ax + by + c = 0 -க்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடும் ax + by + c = 0 -ம் வெட்டும் புள்ளி (x,y) என்க.  

இச்செங்குத்துகோட்டின் சாய்வு:  

:<math>\frac{n-y}{m-x} = \frac{b}{a}\,</math>  

:<math>a(n-y) - b(m-x) = 0,</math>  

:<math>(a(n-y) - b(m-x))^2 = 0,</math>  

:<math>a^2(n-y)^2 + b^2(m-x)^2 - 2ab(m-x)(n-y) = 0.</math>  

:<math>a^2(n-y)^2 + b^2(m-x)^2 = 2ab(m-x)(n-y) .</math>--------(1)  

மேலும்,  

:<math>[a(m-x) + b(n-y)]^2 = a^2(m-x)^2 + b^2(n-y)^2 + 2ab(m-x)(n-y),</math>  

:<math>a^2(m-x)^2 + b^2(n-y)^2 = [a(m-x) + b(n-y)]^2 - 2ab(m-x)(n-y),</math>--------(2)  

(1) மற்றும் (2) -ஐக் கூட்ட:  

:<math>(a^2+b^2)((m-x)^2+(n-y)^2)=[a(m-x)+b(n-y)]^2=(am+bn+c)^2.</math>  

:<math>[(m-x)^2+(n-y)^2]= \frac{(am+bn+c)^2}{a^2+b^2}.</math>---------(3)  

(m,n) மற்றும் (x,y) புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தூரம்:  

:<math>d=\sqrt{(m-x)^2+(n-y)^2}</math>----------(4)  

: ஃ <math>d=\sqrt{(m-x)^2+(n-y)^2}= \frac{|am+bn+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math>  

## நிறுவல் 2 (வடிவவியல் முறை)
தரப்பட்ட புள்ளி: S(m,n)  

தரப்பட்ட கோடு: ax+by+c=0.  

S-லிருந்து இக்கோட்டிற்கு வரையப்படும் செங்குத்துக் கோடு இக்கோட்டைச் சந்திக்கும் புள்ளி G(x,y).  

S -லிருந்து ax+by+c=0 -க்கு இணையாக ஒரு கோடு வரைந்து கொள்க. இந்த இணைகோட்டின் சமன்பாடு ax+by+d=0  

y அச்சுக்கு இணையாகவும், G மற்றும் இணைகோட்டின் மீது அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி F -ஐயும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நீளம்:  

:<math>|\frac{c-d}{b}| = |\frac{am+bn+c}{b}|\,</math>  

முக்கோணம் SGF ஒரு செங்கோண முக்கோணம். அதன் பக்கங்களின் விகிதம் a : b :<math>\sqrt{a^2+b^2} </math> ஆக இருக்கும்.  

இச்செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம் GF -ன் நீளம்:  

:<math> GF = |\frac{am+bn+c}{b}|\,</math>  

இதனை b-ன் தனிமதிப்பால் பெருக்கி <math>\sqrt{a^2+b^2}</math> -ஆல் வகுக்க பக்கம் SG-ன் மதிப்பு கிடைக்கிறது.  

: ஃ <math> SG = \frac{|am+bn+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \,</math>  

## திசையன் அமைப்பு

கோட்டின் சமன்பாட்டைத் திசையன்கள் மூலமாக எடுத்துக் கொண்டால்:  

: <math> \mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{n}</math>  

இங்கு ஒரு அலகு திசையன்.  

ஏதாவது ஒரு புள்ளி -லிருந்து இக்கோட்டிற்குள்ள தூரம் காணும் வாய்ப்பாடு:  

: <math>\operatorname{distance}(\mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{n}, \mathbf{p}) = \| (\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot \mathbf{n})\mathbf{n} \|. </math>  

இவ்வாய்ப்பாடு இரண்டிற்கும் மேற்பட்ட பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தும்.  

### விளக்கம்
: <math>\mathbf{a}-\mathbf{p}</math> என்பது புள்ளி -லிருந்து தரப்பட்ட கோட்டின் மீது அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி -க்கு வரையப்பட்ட திசையன்.  

: <math>(\mathbf{a} - \mathbf{p}) \cdot \mathbf{n}</math> என்பது தரப்பட்ட கோட்டின் மீது <math>\mathbf{a}-\mathbf{p}</math> திசையனின் வீழலின் நீளத்தைக் குறிக்கிறது.  

அதாவது <math>((\mathbf{a} - \mathbf{p}) \cdot \mathbf{n})\mathbf{n}</math>  
என்பது கோட்டின் மீதான <math>\mathbf{a}-\mathbf{p}</math> -ன் வீழல் திசையனைக் குறிக்கிறது.  

இக்கோட்டிற்கு செங்குத்துத் திசையில் <math>\mathbf{a}-\mathbf{p}</math> -ன் கூறு:  

:<math>(\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot \mathbf{n})\mathbf{n}</math>  

எனவே இத்திசையனின் அளவே -லிருந்து தரப்பட்ட கோட்டின் துரமாகும்.  

: <math>\operatorname{distance}(\mathbf{x} = \mathbf{a} + t\mathbf{n}, \mathbf{p}) = \| (\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot \mathbf{n})\mathbf{n} \|. </math>