# இசுடர்லிங் உட்கண எண்

கணிதத்தில் இசுடர்லிங் எண் என்பது இரண்டு வகையாகப் புழங்குகிறது. அவைகளில் ஒரு* n*-கணத்தை *k* உட்கணங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை **இர ண்டாவது வகை இசுடர்லிங் எண்** அல்லது **இசுடர்லிங் உட்கண எண்** (Stirling Subset Number) எனப் பெயர் பெறும். இதற்குக் குறியீடு *S(n,k)* என்றோ அல்லது  
<math>\\{\begin{matrix}  
n\\  
k  
\end{matrix}\\}</math> என்றோ பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதை *n*-subset-*k* என்றோ *n*-உட்கணம்-*k* என்றோ உச்சரிக்கலாம்.  

எடுத்துக்காட்டாக, <math>\\{\begin{matrix}  
4\\  
2  
\end{matrix}\\}</math> = 7  

ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இரண்டு உட்கணங்கள் கொண்ட பிரிவுகள்:  

: **{a,b}/{c,d}; {a,c}/{b,d}; {a,d}/{b,c}; {a}/{b,c,d}; {b}/{a,c,d}; {c}/{a,b,d}; {d}/{a,b,c}**  

இவ்வெண்களின் முதல் சில மதிப்புகளின் அட்டவணையை ஸ்டர்லிங் எண்கள் என்ற கட்டுரையில் பார்க்கவும்.  

## மீள்வரு தொடர்பு

n > 0 என்றால்,  

:<math>\\{\begin{matrix}  
n\\  
k  
\end{matrix}\\} = k \\{\begin{matrix}  
n - 1\\  
k  
\end{matrix}\\} + \\{\begin{matrix}  
n - 1\\  
k - 1  
\end{matrix}\\}</math>  

*n* பொருட்களை உட்கணங்களாகப்பிரிக்கும்போது, ஏதாவதொரு குறிப்பிட்ட பொருளை (<math>x_0</math> என்று சொல்லலாமே) கவனித்தால் அது ஒற்றையாகவே ஓர் உட்கணமாக இருந்தாலும் இருக்கலாம்; அல்லது ஏதாவது மற்றோர் உட்கணத்தோடு அதில் ஒன்றாக இருந்தாலும் இருக்கலாம். முதல் பட்சத்தில், மற்ற *n-1* பொருள்கள் <math>\\{\begin{matrix}  
n - 1\\  
k - 1  
\end{matrix}\\}</math> வழிகளில் உட்கணங்களாகப் பிரிகின்றன. இரண்டாவது பட்சத்தில் மற்ற *n-1* பொருள்கள் <math>\\{\begin{matrix}  
n - 1\\  
k  
\end{matrix}\\}</math> வழிகளில் உட்கணங்களாகப்பிரிவதால், அவை ஒவ்வொன்றின் *k* உட்கணங்களில் ஏதாவதொன்றில் <math>x_0</math> சேர்ந்துகொள்ளலாம். இதனுடைய உருவாக்கம்தான் மீள்வரு தொடர்பு (Recurrence Relation).  

## இறங்குமுகக் காரணியத்துடன் உறவு

: *n > 0* ஆக இருக்குமானால்,  

:(*): <math>x^n = \sum_k \\{\begin{matrix}  
n\\  
k  
\end{matrix}\\} x(x - 1)(x - 2) ... (x - k + 1)</math>  

இதற்கு இரண்டுவிதமாக நிறுவல் அளிக்கலாம். உய்த்தறிதல் முறை ஒரு முறை. இன்னொன்று சேர்வியல் முறை.  

**சேர்வியல் முறையில் நிறுவல்**: *x* ஒரு நேர்ம முழுஎண் என்று கொள். *|X| = x, |N| = n* இருக்கும்படி இரண்டு கணங்கள் *X, N* இருப்பதாகக் கொள். *N* இலிருந்து *X* க்குப்போகும் எல்லாக் கோப்புகளின் எண்ணிக்கை <math>x^n</math>. இதே எண்ணிக்கையை இப்பொழுது வேறுவிதமாகக் கணிப்போம்.  

ஒரு குறிப்பிட்ட கோப்பைக் கவனி. இதனுடைய வீச்சில் (Range)அடங்கிய உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை *k* என்று கொள். இந்த குறிப்பிட்ட மதிப்புள்ள 'k'க்கு, <math>\\{\begin{matrix}  
n\\  
k  
\end{matrix}\\}</math> வழிகளில் * N* இன் உறுப்புக்களை *X* இலுள்ள ஓர் உறுப்புக்குக் கோப்பிடலாம் (may be mapped).இவ்வழிகளில் ஒவ்வொன்றும் *N* ஐ உட்கணங்களால் பிரிக்கும் ஒரு பிரிவினை. ஒவ்வொரு பிரிவினையிலும் உள்ள ஒவ்வொரு பிரிவுக்கும் (அ-து. உட்கணத்திற்கும்)* X* இல் ஒரு பிம்பம் (Image) -- வெவ்வேறு பிரிவுக்கு வெவ்வேறு பிம்பம்--குறிப்பிடப்பட வேண்டும். இதற்குள்ள வழிகள்:  
: *x(x - 1)(x - 2) ... (x - k +1).* இப்படிச் செய்துவிட்டால் எல்லாக் கோப்புகளையும் கணக்கிட்டாய்விடும்.ஆக, *k* என்ற வீச்சையுடைய எல்லாக் கோப்புகளின் எண்ணிக்கை:  
: <math>\\{\begin{matrix}  
n\\  
k  
\end{matrix}\\}x (x-1)... (x-k+1).</math>  

<math>x</math> ஒரு நேர்ம முழு எண்ணாக இருக்கும்போது (*)இன் உண்மைக்கு இது நிறுவலாகிறது. ஆனால் இதனாலேயே, <math>x</math> ஐ மாறியாகக் கொண்டால், (*) இன் இருபக்கங்களிலும் உள்ள பல்லுருப்புகள் <math>x</math> இன் முடிவிலா எண்ணிக்கையுள்ள மதிப்புகளுக்கு உண்மையான சமன்பாடாகின்றன. இதன்பொருள் (*) ஒரு முற்றொருமைச் சமன்பாடு.  

## ஏறுமுகக் காரணியத்துடன் உறவு

: (**) n > 0 ஆக இருக்குமானால்  

:<math>x^n = \sum_k \\{\begin{matrix}  
n\\  
k  
\end{matrix}\\} (-1)^{n-k} x (x + 1)(x + 2) ... (x + k - 1)</math>  

இறங்குமுகக்காரணியத்துடன் உறவு (*) இல் காட்டப்பட்டது. அதனில் <math>x</math> ஐ <math>(-x)</math> ஆக மாற்றினால் (**) கிடைத்துவிடும்.