# எண் பிரிவினை

ஒரு நேர்ம முழு எண் <math>n</math> என்ற **எண்ணின் பிரிவினை** என்பது கீழ்க்கண்ட பண்புடன் கூடிய <math>a, b, c, d, ... ,r</math> என்ற நேர்ம முழு எண்களாலான ஒரு முடிவுறுத் தொடர்:  

:: <math>a + b + c + d + ... + r = n.</math>  

எ.கா.: 4, 3, 3, 2 என்ற தொடர்வு 12 என்ற எண்ணின் பிரிவினை. 4,3,3,2 - இவை அப்பிரிவினையின் *பாகங்கள்*.  
இப்பிரிவினையை பாகங்களுக்கு நடுவில் 'கமா' இல்லாமல் 4332 என்றே எழுதுவது வழக்கம். மற்றும் பிரிவினை எழுதுவதில் இன்னொரு மரபு பாகங்களை இறங்குவரிசையில் எழுதுவது.  

: 522111 என்பது 12 இன் இன்னொரு பிரிவினை.  

## முதல் கேள்வி

<math>n</math> என்ற ஒரு எண்ணிற்கு எத்தனை பிரிவினைகள் இருக்கமுடியும்? அப்படி இருக்கக்கூடிய பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை <math> * p*(n)</math> என்ற குறியீட்டால் காட்டப்படும்.  

சில முதல் மதிப்புகள் :  

*p*(1) = 1  

*p*(2) = 2; ஏனென்றால் 2 இன் பிரிவினைகள் 2; 11 மட்டுமே.  

*p*(3) = 3: ஏனென்றால் 3 இன் பிரிவினைகள் 3; 21; 111.  

*p*(4) = 5; *p*(5) = 7; *p*(6) = 11; *p*(7) = 15; *p*(8) = 22; *p*(9) = 30; *p*(10) = 42;  

*p*(20) = 627;  

*p*(100) = 190,569,292  

*p*(200) = 397299029388.  

*p*(1000) = 24,061,467,864,032,622,473,692,149,727,991 ≈ 2.4 × 10<sup>31</sup>  

ஆக, p(n) வெகு வேகமாக பெரிய எண்ணிக்கையை எட்டிவிடுகிறது.  
p(n) க்கு ஒரு பொது வரையறை கொடுப்பதற்காக p(0) = 1 என்றும் p(-n) = 0 என்றும் வைத்துக்கொள்வது வழக்கம்.  

ஹார்டி யும் இராமானுசனும் 1918 இலும் உஸ்பென்ஸ்கி 1920இலும் கண்டுபிடித்தது:  

:<math>p(n) \sim \frac {\exp \( \pi \sqrt {2n/3}\) } {4n\sqrt{3}} \mbox { as } n\rightarrow \infty.</math>  

## பொதுவான வரையறை

இப்பொது வரையறையின் மூலம் குறிப்பிட்ட n என்ற எண் எவ்வளவு பாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டிருக்கிறது என்பதும் வெளிப்படையாகத் தெரியும்.  

எப்பொழுதெல்லாம் λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>, ... , λ<sub>m</sub> என்ற நேர்ம முழு எண்கள் கீழ்க்கண்ட இரண்டு பண்புகளுக்குட்பட்டு இருக்கின்றனவோ,  

:: λ<sub>1</sub> + λ<sub>2</sub> + ... + λ<sub>m</sub> = n  

:: λ<sub>1</sub>≥λ<sub>2</sub>≥ ... ≥ λ<sub>m</sub>≥ 1  

அப்பொழுதெல்லாம் λ<sub>1</sub>,λ<sub>2</sub>, ... , λ<sub>m</sub> என்ற தொடர்வு n -இன் பிரிவினை என்று சொல்லப்படும். இதை λ = (λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>, ... , λ<sub>m</sub>) என்றோ அல்லது, காற்புள்ளியோ அடைப்போ இல்லாமல் λ<sub>1</sub>λ<sub>2</sub> ... λ<sub>m</sub> என்றோ எழுதுவது வழக்கம்.  

இதற்கு சுருக்கமான குறியீடு λ <math>\vdash</math> n.  

: எ.கா. எண் 14 இன் ஒரு பிரிவினை, கீழ்க்கண்டபடி பலவிதமாக எழுதப்படலாம்:  

:: 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1  

:: 4,3,3,2,1,1  

:: 433211  

:: 43<sup>2</sup>21<sup>2</sup>  

## பிரிவினையைக்காட்ட ஃபெற்றர்ஸ் படிமங்கள்

ஓர் எண் பிரிவினை λ <math>\vdash</math> n இன் **ஃபெற்றர்ஸ் படிமம்** என்பது i-ஆவது *நிரலில்* λ<sub>i</sub> புள்ளிகள் கொண்ட ஒரு செங்கோண வரிசை.  

| 6 4 3 1 | } |
| --- | --- |
இது 14 இன் பிரிவினை. 14 புள்ளிகள், 4 நிரல்களில் காட்டப்பட்டிருக்கின்றன. ஒவ்வொரு நிரலின் அளவும் பிரிவினையின் ஒரு பாகமே.  

இதே முறையில் 4 இன் ஐந்து பிரிவினைகளும் கீழே படிமங்களாகக் காட்டப்பட்டிருக்கின்றன  
| 4 | 31 | 22 | 211 | 1111 | } |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
:: **முக்கிய குறிப்பு**: ஃபெற்றர்ஸ் படிமத்தை சிலர் ' i-ஆவது *வரிசையில்* λ<sub>i</sub> புள்ளிகள் கொண்ட ஒரு செங்கோண வரிசை' என்றும் வரையறுப்பதுண்டு.  

## இணைப்பிரிவினை

ஒரு எண் பிரிவினையின் ஃபெற்றர்ஸ் படிமத்தில் நிரல்களை வரிசைகளாக மாற்றினால் கிடைக்கும் படிமமும் அதே எண்ணின் மற்றொருபிரிவினையின் ஃபெற்றர்ஸ் படிமம் ஆகும். இவ்விரண்டு பிரிவினைகளும் ஒன்றுக்கொன்று **இணைப்பிரிவினை** (Conjugate partition) என்று சொல்லப்படும்.  

:: எ.கா.  
**↔**

| 6 4 3 1 | = | 4 3 3 2 1 1 | } |
| --- | --- | --- | --- |
: ஆக, 6431 ம் 433211 ம் 14 இன் இணைப்பிரிவினைகள்.  

இணைப்பிரிவினையை ஃபெர்ரர்ஸ் படிமத்தின் மூலமே மூன்று விதமாகக் கண்டுபிடிக்கலாம்:  

:: நிரல்களை வரிசையாக்கலாம்  

:: வரிசைகளை நிரல்களாக்கலாம்  

:: படிமத்தின் குறுக்கு மையக்கோட்டில் கீழுள்ளதை மேலும் மேலுள்ளதைக் கீழுமாக பிரட்டிப்போடலாம். இதையே வேறுவிதமாகச் சொன்னால், குறுக்குக் கோட்டை கண்ணாடியாகக் கொண்டு எல்லாப் புள்ளிகளுக்கும் எதிர்வு காணலாம். மேலேயுள்ள எடுத்துக்காட்டில் குறுக்குக்கோட்டிலுள்ள புள்ளிகள் சிவப்பாகக் காண்பிக்கப்பட்டிருக்கின்றன.  

## படிம அமைப்பைக்கொண்டே சில தேற்றங்கள்

ஒரு முழு எண் n இன் ஒரு பிரிவினையின் ஃபெற்றர்ஸ் படிமத்தில் m நிரல்கள் இருந்தால் அப்பிரிவினையின் பாகங்களின் எண்ணிக்கையும் m தான். இதே படிமத்தை அதன் வரிசைகளை பிரிவினையின் பாகங்களாகக் கொண்டால் அதுவும் அதே n இன் மற்றொரு பிரிவினையாகும்.(சொல்லப்போனால் இது முதல் பிரிவினையின் இணைப் பிரிவினையாகும்). ஆனால் இப்பொழுது m என்பது பிரிவினையின் மீப்பெரு பாகத்தைக் குறிக்கும். இதனால் நமக்குக் கிடைப்பது கீழே யுள்ள தேற்றம்:  

:: **தேற்றம் 1**. *ஒரு முழு எண்ணுக்கு, m பாகங்கள் உள்ள பிரிவினைகள் எத்தனையோ அத்தனைதான் மீப்பெருபாகம் m ஆகவுள்ள பிரிவினைகள்.*  

:: எ.கா. எண் 10 என்று கொள். நான்கு பாகங்கள் உள்ள இதன் 9 பிரிவினைகளையும் மீப்பெரு பாகம் 4 ஆகவுள்ள இதன் 9 பிரிவினைகளையும் ஒன்றுக்கொன்று இணையாகவுள்ளபடி கீழே சோடி சேர்க்கப் பட்டிருக்கின்றன :  

:: 4321 <math>\leftrightarrow</math> 4321  

:: 4411 <math>\leftrightarrow</math> 4222  

:: 4222 <math>\leftrightarrow</math> 4411  

:: 5311 <math>\leftrightarrow</math> 42211  

:: 5221 <math>\leftrightarrow</math> 43111  

:: 6211 <math>\leftrightarrow</math> 421111  

:: 7111 <math>\leftrightarrow</math> 4111111  

:: 3331 <math>\leftrightarrow</math> 433  

:: 3322 <math>\leftrightarrow</math> 442  

:குறிப்பு: மேலேயுள்ள 9 சோடிகளில் முதல் சோடியில் உள்ள பிரிவினை ஒவ்வொன்றும் தனக்கே இணையாக உள்ளன. இவ்விதம் தனக்கே இணையாகவுள்ள பிரிவினையை **தன்னிணைப்பிரிவினை** (self-conjugate partition) என்று சொல்வோம்.  

::**தேற்றம் 2**: ஒரு முழு எண்ணுக்கு தன்னிணைப் பிரிவினைகள் எத்தனையோ அத்தனைதான் வெவ்வேறு ஒற்றைப்படை பாகங்களைக்கொண்ட பிரிவினைகள்.  

: இதனுடைய நிறுவலில் துருப்புச்சீட்டு என்னவென்றால் படிமத்தில் ஒவ்வொரு ஒற்றைப்படை பாகத்தையும்  
மையத்தில் 'மடித்தால்' ஒரு தன்னிணைப் பிரிவினையின் படிமம் கிடைக்கும்.  

| ↔ | } |
| --- | --- |
அதனால் வெவ்வேறு ஒற்றைப்படை பாகங்களாலேற்பட்ட பிரிவினைகளைக் கொண்ட கணத்திற்கும், தன்னிணைப் பிரிவினைகளைக் கொண்ட கணத்திற்கும் ஒன்றுக்கொன்றான இயைபு உண்டாக்கமுடியும். கீழே இதற்கு ஓர் எடுத்துக்காட்டு:  
**↔**

| 9 7 3 | <math>\leftrightarrow</math> | 5 5 4 3 2 |
| --- | --- | --- |
| வெவ்வேறு ஒற்றைப்படை பாகங்கள் | தன்னிணைப்பிரிவினையின் பாகங்கள் | } |
தேற்றம் 2 க்கு ஒரு முழு எடுத்துக்காட்டாக, எண் 10 க்குள்ள 42 பிரிவினைகளுள் இரண்டேஇரண்டு தான் வெவ்வேறு ஒற்றைப்ப்படை பாகங்களையுடையவை. இவை  

:: 9 1 மற்றும் 7 3.  

இவை ஒவ்வொன்றுக்கும் ஃபெற்றர்ஸ் படிமம் நிறுவி, ஒவ்வொரு நிரலையும் மையப் புள்ளியில் மடித்தால், கிடைக்கும் படிமங்களுக்குரிய பிரிவினைகள் முறையே  

:: 52111 மற்றும் 4321.  

இவையிரண்டும் தன்னிணைப் பிரிவினைகள். அது மாத்திரமல்ல, இதர 40 பிரிவினைகளும் தன்னிணைப் பிரிவினைகளல்ல.