# தன்மைகாட்டி

இயற்கணிதத்தில், ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் **தன்மைகாட்டி** (*discriminant*) என்பது, அப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் உறுப்புகளின் மூலங்களின் தன்மையை விளக்கும் கோவையாகும். எடுத்துக்காட்டாக,  
:<math>ax^2+bx+c\,</math> என்ற இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி:  
:<math>\Delta = \,b^2-4ac</math> ஆகும். இந்த இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு,  

Δ > 0 எனில், இரண்டு மெய்யெண் மூலங்கள் உண்டு;  
Δ = 0 எனில், ஒரு மெய்யெண் மூலம் உண்டு;  
Δ < 0 எனில் மெய்யெண் மூலங்களே கிடையாது.  

:<math>ax^3+bx^2+cx+d\,</math> என்ற முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி:  

:<math>\,b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd.</math> ஆகும்.  

பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் அடுக்குகள் அதிகமாக அதிகமாக, தன்மைகாட்டிகளின் நீளமும் அதிகமாகும். நாற்படி பல்லுறுப்புக் கோவையின் தன்மைகாட்டியில் 16 உறுப்புகளும் ஐம்படி பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டியில் 59 உறுப்புகளும் மற்றும் ஆறுபடி பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டியில் 246 உறுப்புகளும் இருக்கும்.  

ஒருபல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி பூச்சியமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அக்கோவைக்கு மடங்கு மூலங்கள்(multiple roots) சிக்கலெண்களாக இருக்கும்.  

சிக்கலெண்களால் அமையாத களத்திலுள்ள கெழுக்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் இக்கருத்து பொருந்தும். இவ்வகைப் பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு ஒரு மடங்கு மூலம், அதன் பிளக்கும் களத்தில் (splitting field) இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அக்கோவையின் தன்மைகாட்டி பூச்சியமாகும்.  

## வரையறை
### வாய்ப்பாடு -மூலங்கள் வாயிலாக
மூலங்களின் வாயிலாகத் தரப்படும் தன்மைகாட்டி:  

:<math>a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}</math>  

இங்கு <math>a_n</math> , முதன்மைக் கெழு. <math>r_1, ..., r_n</math> என்பன கோவையின், பிளக்கும் களத்தில் அமைந்த மூலங்கள்(மடங்கு மூலங்களையும் கருத்தில் கொண்டபின்).  

தன்மைகாட்டி, மூலங்களின் எளிய சமச்சீர் சார்பாக அமைவதால், அதைக் கெழுக்களின் வாயிலாகவும் எழுதலாம்.அத்தகைய வாய்ப்பாடு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.  

தன்மைகாட்டியை மூலங்கள் வாயிலாக எழுதுவது, கீழ்வரும் முக்கிய பண்பினைத் தெளிவுபடுத்துகிறது. அதாவது பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மடங்கு மூலம், இருந்தால் இருந்தால் மட்டுமே, தன்மைகாட்டியின் மதிப்பு பூச்சியமாகும். கோவையைக் காரணிப்படுத்தாமல் அம்மூலத்தைக் காண இயலாது என்பது தன்மைகாட்டியை மூலங்கள் வாயிலாக எழுதுவதால் தெளிவாகிறது. இம்முறையில் மூலங்களைக் கண்டுபிடித்த பின் அவை மடங்கு மூலங்களாக இருக்குமா என்பதையும் கூற முடியும். தன்மைகாட்டியைக் கெழுக்கள் வாயிலாக எழுதும் முறையில் காரணிப்படுத்தாமலேயே அதன் மூலங்களின் தன்மையைக் கூறமுடியும்.  

### வாய்ப்பாடு -கெழுக்கள் வாயிலாக
இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை:  
:<math>\displaystyle ax^2+bx+c</math>  

இதன் தன்மைகாட்டி:  
:<math>\Delta=b^2-4ac;\,</math>  

முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவை:  
:<math>\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d</math>  

இதன் தன்மைகாட்டி:  
:<math>\Delta=b^2c^2-4ac^3-4b^3d-27a^2d^2+18abcd.\,</math>  

இத்தன்மைகாட்டிகள், கெழுக்களில் அமைந்த சமபடித்தான பல்லுறுப்புக்கோவைகள். இவற்றின் படிகள், முறையே 2, 4. பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எளிமையானதாக இருந்தால் அவற்றின் தன்மைகாட்டிகளும் எளிமையான கோவைகளாக இருக்கும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
- தலையொற்றை இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை:
:<math>\displaystyle x^2+bx+c</math>  

இதன் தன்மைகாட்டி:  
:<math>\Delta=b^2-4c;\,</math>  

- தலையொற்றை முப்படிக்கோவை:
:<math>\displaystyle x^3+bx^2+cx+d</math>  

இதன் தன்மைகாட்டி:  
:<math>\Delta=b^2c^2-4c^3-4b^3d-27d^2+18bcd;\,</math>  

- இருபடி உறுப்பில்லாத, தலையொற்றை முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவை:
:<math>\displaystyle x^3+px+q</math>  

இதன் தன்மைகாட்டி:  
:<math>\Delta=-4p^3-27q^2.\,</math>  

மூலங்கள் வாயிலாக இத்தன்மைகாட்டிகள் எழுதப்படும்போது, அவை இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இருபடி சமபடித்தான பல்லுறுப்புக்கோவையாகவும், முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு 6 படி கொண்ட சமபடித்தான கோவையாகவும் இருக்கும்.  

## இருபடி வாய்ப்பாட்டில் தன்மைகாட்டி
இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை:  
:*P*(*x*) = *ax*<sup>2</sup> + *bx* + *c*  
:இதன் தன்மைகாட்டி:  

:*Δ* = *b*<sup>2</sup> &minus; 4*ac*, இது இருபடி வாய்ப்பாட்டில் வர்க்கமூலக் குறிக்குள் அமையும் கோவையாகும்.  
: *a*, *b*, *c* -ன் மதிப்புகள் மெய்யெண்கள் எனில்,  
- *Δ* > 0; *P*(*x*) -ன் இரு வெவ்வேறான மெய்யெண் மூலங்கள்:

:<math>x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>  

மேலும் இருபடிச் சார்பின் வரைபடம் *x* -அச்சை இரு இடங்களில் சந்திக்கும்.  

- *Δ* = 0; *P*(*x*) -ன் இரு சமமான மெய்யெண் மூலங்கள்:

:<math>x_1=x_2=-\frac{b}{2a}</math>  

மேலும் இருபடிச் சார்பின் வரைபடம் *x* -அச்சுக்குத் தொடு வளைகோடாக அமையும்.  

- *Δ* < 0 *P*(*x*) -க்கு மெய் மூலங்கள் கிடையாது. இருபடிச் சார்பின் வரைபடம் முழுவதுமாக *x* – அச்சுக்கு மேல் அல்லது கீழ் அமையும்.

## பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி
ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டியின் வாய்ப்பாட்டினைக் கெழுக்கள் வாயிலாகக் காண்பதற்கு, தொகுபயனைப் பற்றி அறிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி, அதன் வெவ்வேறான மூலங்களின் வித்தியாசத்தின் வர்க்கங்களின் பெருக்குத்தொகை என்பதுபோல, இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகுபயன் என்பது அவற்றின் மூலங்களின் வித்தியாசங்களின் பெருக்குதொகையாகும். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்கள், மடங்கு மூலங்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அதன் தன்மைகாட்டி பூச்சியமாகும் என்பதுபோல இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கிடையே ஒரு பொது மூலம் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொகுபயன் பூச்சியமாகும்.  

<math>p(x)</math> என்ற பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் அதன் வகைக்கெழு <math>p'(x),</math> கோவைக்கும் ஒரு பொது மூலம் இருந்தால் இருந்தால் மட்டுமே, <math>p(x)</math> -க்கு ஒரு மடங்கு மூலம் உண்டு. இதனால் <math>p(x)</math> -க்கு ஒரு மடங்கு மூலம் இருந்தால் இருந்தால் மட்டுமே, தன்மைகாட்டி <math>D(p)</math> மற்றும் தொகுபயன் <math>R(p,p')</math> இரண்டும் பூச்சியமாகும். மேலும் அநேகமாக இவை இரண்டும் கிட்டத்தட்ட ஒரே படி உடையவையாக இருக்கும்.(தொகுபயனின் படி தன்மைகாட்டியின் படியை விட 1 அதிகமாக இருக்கும்.)  

தொகுபயனால் நமக்குக் கிடைக்கும் நன்மை என்னவென்றால் அதை ஒரு அணிக்கோவையாக கணக்கிட முடிவதாகும்.அந்த அணிக்கோவை (2*n*&nbsp;&minus;&nbsp;1)&times;(2*n*&nbsp;&minus;&nbsp;1) சில்வெஸ்டர் அணியின்(Sylvester matrix) அணிக்கோவையாகும்.  

<math>p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1 x+a_0</math> என்ற பொது பல்லுறுப்புக்கோவையின் தொகுபயன் <math>R(p,p'),</math> ஒரு காரணிவரை, பின்வரும் அணிக்கோவைக்கு சமமாகும். இந்த அணிக்கோவை,  
(2*n*&nbsp;&minus;&nbsp;1)&times;(2*n*&nbsp;&minus;&nbsp;1) சில்வெஸ்டர் அணியின் அணிக்கோவையாகும்.  

:<math>\[\begin{matrix}  
& a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\  
& 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\  
& \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\  
& 0 & \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\  
& na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\  
& 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots & 0 \\  
& \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\  
& 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2}& \ldots\ & 1a_1 \\  
\end{matrix}\].</math>  

தன்மைகாட்டி, <math>D(p)</math> -ன் வாய்ப்பாடு:  

:<math>D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{a_n}R(p,p').\,</math>  

எடுத்துக்காட்டு:  

: *n* = 4 எனில்,  

:<math>\begin{vmatrix}  
& a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\  
& 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\  
& 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\  
& 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\  
& 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\  
& 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1& 0 \\  
& 0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\  
\end{vmatrix}.</math>  

இந்த அணிக்கோவையை <math>a_4</math> -ஆல் வகுக்க நாற்படி பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி கிடைக்கும்.  

*r*<sub>1</sub>, ..., *r*<sub>*n*</sub> என்பன பல்லுறுப்புக்கோவையின் சிக்கலெண் மூலங்கள் எனில்,  

<math>\begin{matrix}p(x)&=&a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0\\  
&=&a_n(x-r_1)(x-r_2)\ldots (x-r_n).\end{matrix}</math>  

மூலங்கள் வாயிலாக தன்மைகாட்டி :  

:<math>a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}</math>  

தன்னிச்சையான எந்தவொரு களத்திலும் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு, தன்மைகாட்டியை இதுபோலவே வரையறுக்கலாம். மூலங்கள், *r*<sub>*i*</sub> -ன் பெருக்குத்தொகை வாய்ப்பாடு இங்கும் பொருந்தும்; மூலங்களைப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பிளக்கும் தளத்தில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.  

## மூலங்களின் தன்மை
தன்மைகாட்டியானது, பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மடங்கு மூலங்கள் இருப்பதை மட்டும் தெரிவிப்பதில்லை. அதற்கும் மேல் மூலங்கள் மெய் அல்லது சிக்கலெண்களா, விகிதமுறு அல்லது விகிதமுறா எண்களா என்பதையும் காட்டுகிறது. இன்னும் முறையாகச் சொல்ல வேண்டுமானால், தன்மைகாட்டியானது, பல்லுறுப்புக்கோவை அமையும் களத்திலேயே மூலங்களும் அமைகின்றனவா அல்லது அதை விட நீட்டிக்கப்பட்ட களங்களில் அமைகின்றனவா என்பதைக் காட்டுகிறது. இருபடி மற்றும் முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு இக்கருத்தைத் தன்மைகாட்டி மூலமாக தெளிவாகத் தெரிந்து கொள்லலாம். ஆனால் நான்கு மற்றும் அதற்கும் அதிகமான படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு இதனைப் பற்றிக் கூறுவது கஷ்டமானது.  

### இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை
இருபடி வாய்ப்பாட்டில் ஒரு இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்கள், தன்மைகாட்டியின் வர்க்கமூலத்தாலான விகிதமுறு சார்பாக தரப்படுகிறது. எனவே தன்மைகாட்டி ஒரு வர்க்கமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்கள், அக்கோவையின் கெழுக்கள் அமையும் களத்திலேயே அமையும்.  

- Δ > 0: இரு வெவ்வேறான மெய்யெண் மூலங்கள்;
- Δ < 0: இரு வெவ்வேறான சிக்கலெண் மூலங்கள்;
- Δ = 0: ஒரு மெய்யெண் மூலம். இதன் மடங்கெண்(multiplicity) 2

### முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவை
மெய்யெண் கெழுக்களை உடைய முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களின் தன்மையை, தன்மைகாட்டிப் பின்வருமாறு தருகிறது:  
- Δ > 0: மூன்று வெவ்வேறான மெய்யெண் மூலங்கள்;
- Δ < 0, ஒரு மெய்யெண் மூலம். இரண்டு சிக்கலெண் மூலங்கள்;
- Δ = 0: குறைந்தது இரு சமமான மூலங்கள். எல்லா மூலங்களும் மெய்யெண்கள்.
- :இரு மெய்யெண் மூலங்கள் சமமானதாகவும் மற்றொன்று தனி மெய்யெண் மூலமாகவும் இருக்கலாம். அல்லது மூன்றுமே சமமான மெய்யெண் மூலங்களாக இருக்கலாம்.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு மூன்று சமமான மூலங்கள் உள்ளதா என்பதைக் காண அக்கோவை மற்றும் அதன் வகையீட்டுக் கோவை இரண்டின் தன்மைகாட்டிகளையும் காண வேண்டும். அவை இரண்டும் பூச்சியமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அக்கோவைக்கு மூன்று சமமான மூலங்கள் இருக்கும். அல்லது இதற்குச் சமானமானதாக, தொகுபயன்கள் <math>R(p,p')</math> மற்றும் <math>R(p,p*)</math> (அல்லது <math>R(p',p*)</math>) பூச்சியமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே கோவைக்கு மூன்று சம மூலங்கள் உண்டு எனவும் கூறலாம்.  

## பொதுமைப்படுத்துதல்
தன்மைகாட்டி என்ற கருத்தானது, ஒருமாறியில் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு மட்டுமில்லாமல்,  
- கூம்பு வெட்டுகள்;
- இருபடி வடிவங்கள்;
- இயற்கணித எண் களங்கள் போன்ற மற்ற இயற்கணித அமைப்புகளுக்கும் விரிவாக்கப்பட்டுள்ளது. இயற்கணித அமைப்புகளின் தன்மைகாட்டிகள் அவற்றுக்குள்ளேயே நெருக்கமான தொடர்புள்ளவை. மேலும் அவை கிளைத்தலைப்(ramification) பற்றிய விவரங்களைத் தருகின்றன. உண்மையில், வடிவவியல் வகையிலான கிளைத்தல்கள் அதிக அளவில், தன்மைகாட்டிகளோடு தொடர்பு கொண்டிருப்பது, பெரும்பாலான பயன்பாடுகளில் இதை மைய இயற்கணிதக் கருத்தாக ஆக்குகிறது.

### கூம்பு வெட்டின் தன்மைகாட்டி
தள வடிவவியலில் கூம்பு வெட்டியைக் குறிக்கும் மெய் மதிப்பு பல்லுறுப்புக்கோவை:  
:<math>Ax^2+ Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 ,\,</math>  
இதன் தன்மைகாட்டி:  
:<math>B^2 - 4AC,\,</math> கூம்புவெட்டின் வடிவத்தைத் தீர்மானிக்கிறது.  

- <math>B^2 - 4AC\,</math> < 0, கூம்புவெட்டு ஒரு நீள்வட்டம்;
- <math>B^2 - 4AC\,</math> = 0, கூம்புவெட்டு ஒரு பரவளையம்;
- <math>B^2 - 4AC\,</math> > 0 கூம்புவெட்டு ஒரு அதிபரவளையம்.

கூம்புவெட்டைக் குறிக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை காரணிகளாகும்போது இந்த வாய்ப்பாடு பொருந்தாது.  

### வகையிடக் கூடிய சார்பின் தன்மைகாட்டி
வகையீட்டு இடவியலில், வகையிடக்கூடிய சார்பின் தன்மைகாட்டியானது சார்பு *f* -ன் மாறுநிலைப் மதிப்புகளின்(critical values) தொகுப்பிற்குச் சமமானதாகும். எனவே இத்தன்மைகாட்டி, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டியுடன் ஓரளவு தொடர்புடையதாகும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  

*f(x)=ax<sup>2</sup>+bx+c* , (*a≠0*) என்ற இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவை மாறுநிலை மதிப்பு:  

:<math>\frac{-1}{4a}(b^2-4ac).</math> இது கோவையின் தன்மைகாட்டிக்குச் சமமாகும்.