# யங் டாபிலூ

கணிதத்தில் **யங் டாபிலூ** (Young Tableau ) என்பது சேர்வியலிலும், சமச்சீர்குலத்தின் குறிகாட்டிக் கோட்பாட்டிலும் (Representation theory of the Symmetric Group), கணிசமாகப் பயன்படுத்தப்படும் ஒரு பொருள். எண் பிரிவினையில் பயன்படுத்தப் பட்டிருக்கும் ஃபெற்ற்ர்ஸ் படிமத்தில் புள்ளிகளுக்குப் பதில் ஒரு குறிப்பிட்டவிதிக்குட்பட்டு எண்களால் நிரப்பினால் அது *யங் டாபிலூ * எனப்படும். இருபதாவது நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் ஆல்ஃப்ரெட் யங் என்பவர் சமச்சீர்குலத்தைப் பற்றிய ஆய்வுகளில் இவைகளை அறிமுகப்படுத்தியதோடல்லாமல், சமச்சீர்குலத்தின் குறிகாட்டிகளைக் கணிப்பதற்கு, இந்த டாபிலூக்களை இன்றியமையாதவை என்று காட்டினார்.  

## டாபிலூ வரையறை

::λ <math>\vdash</math> N என்று கொள். இதனுடைய ஃபெற்றர்ஸ் படிமத்திலுள்ள புள்ளிகளுக்குப் பதில் நேர்ம முழு எண்கள்  
கீழுள்ள விதிகளுட்பட்டு எழுதப்படட்டும்:  

:::ஒவ்வொரு வரிசையிலும் இடமிருந்து வலமாகப்போக எண்கள் கண்டிப்பு ஏறுமுகமாக இருத்தல், மற்றும்  

:::ஒவ்வொரு நிரலிலும் மேலிருந்து கீழ் போக எண்கள் கண்டிப்பு ஏறுமுகமாக இருத்தல்.  

இப்படி உருவாக்கப்படும் எண்தொகுப்பிற்கு 'யங் டாபிலூ' என்று பெயர். எண் பிரிவினை μால், λ-வடிவ யங் டாபிலூ என்றும் சொல்லப்படும்.  

கண்டிப்பு ஏறுமுகத்திற்குப் பதில் நிரல்களும் வரிசைகளும் இறங்குமுகமாக இல்லாதிருத்தல் என்ற விதிக்கு மட்டும் உட்பட்டால் அவ்வெண்தொகுப்பு 'பொதுமை யங் டாபிலூ' என்று குறிக்கப்படும்.  

வரிசைகள் மட்டும் கண்டிப்பு ஏறுமுகமாக இருந்தால் அது *வரிசைக்கண்டிப்பு டாபிலூ* என்றும் நிரல்கள் மட்டும் கண்டிப்பு ஏறுமுகமாக இருந்தால் *நிரல்கண்டிப்பு டாபிலூ* என்றும் குறிக்கப்படும்.  

::எ.கா. (4,3,1) என்ற எண் பிரிவினைக்குகந்தபடி கீழே , நான்கு (4,3,1)-வடிவ டாபிலூக்கள் காட்டப்பட்டிருக்கின்றன:  

:: யங் டாபிலூ:  
:: <math>  
\begin{matrix}  
1 & 2 & 5 & 7\\  
4 & 5 & 7\\  
6  
\end{matrix}  
</math> ,  

:: வரிசைக்கண்டிப்பு டாபிலூ:  
:: <math> \begin{matrix}  
1 & 2 & 6 & 7\\  
4 & 5 & 6\\  
4  
\end{matrix}  
</math>,  

::நிரல்கண்டிப்பு டாபிலூ:  
:: <math> \begin{matrix}  
1 & 2 & 5 & 5\\  
4 & 4 & 7\\  
6  
\end{matrix}  
</math>  

::பொதுமை யங் டாபிலூ:  
:: <math> \begin{matrix}  
1 & 3 & 4 & 4\\  
2 & 5 & 5\\  
2  
\end{matrix}  
</math>  

::ஒரு யங் டாபிலூவில் 1,2,3, ..., k ஆகிய <math>k</math> எண்கள் மட்டும் இருந்தால் அது ** k-கிரம இயல்நிலை டாபிலூ** எனப்படும்.  

::எ.கா. இயல்நிலை டாபிலூ (4 3 1)-வடிவமுடையது:  

:: <math> \begin{matrix}  
1 & 2 & 4 & 5\\  
3 & 6 & 8\\  
7  
\end{matrix}  
</math>  

::இது 8-கிரம இயல்நிலை டாபிலூ. அதாவது, இதனுடைய கிரமம் (order) 8.  

## தளப்பிரிவினை

::மேலேயுள்ள 'டாபிலூ' வரையறைகளில் 'ஏறுமுகம்' என்பதை 'இறங்குமுகம்' என்றும், 'இறங்குமுகம்' என்பதை 'ஏறுமுகம்' என்றும் மாற்றினால் கிடைக்கும் எண்தொகுப்பிற்கு 'λ-வடிவ தளப்பிரிவினை' என்று பெயர். 'நிரல் கண்டிப்பு தளப்பிரிவினை', 'வரிசை கண்டிப்பு தளப்பிரிவினை', 'யங் தளப்பிரிவினை', 'இயல்நிலை தளப்பிரிவினை' -- இவையெல்லாம் அதே பாங்கில் வரையறுக்கப்படும்.  

:: கீழே ஐந்து (5 3 2 1)-வடிவ தளப்பிரிவினைகள் காட்டப்பட்டிருக்கின்றன  

::யங் தளபிரிவினை:  

:: <math> \begin{matrix}  
7 & 6 & 4 & 3 & 1\\  
6 & 4 & 3\\  
3 & 2\\  
2  
\end{matrix}  
</math>  

:: வரிசை கண்டிப்பு தளப்பிரிவினை  

:: <math> \begin{matrix}  
7 & 6 & 4 & 3 & 1\\  
7 & 3 & 2\\  
4 & 3\\  
1  
\end{matrix}  
</math>  

::நிரல் கண்டிப்பு தளப்பிரிவினை:  

:: <math> \begin{matrix}  
7 & 7 & 5 & 3 & 3\\  
5 & 4 & 4\\  
4 & 3\\  
2  
\end{matrix}  
</math>  

:: பொதுமை தளப்பிரிவினை:  

:: <math> \begin{matrix}  
7 & 7 & 5 & 5 & 4\\  
7 & 3 & 2\\  
4 & 3\\  
2  
\end{matrix}  
</math>  

:: இயல்நிலை தளப்பிரிவினை:  

:: <math> \begin{matrix}  
11 & 7 & 6 & 4 & 3\\  
10 & 5 & 1\\  
9 & 2\\  
8  
\end{matrix}  
</math>  

## டாபிலூ-தளப்பிரிவினை இருவழிக்கோப்பு

::λ = (λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>, ... ,λ<sub>p</sub>) <math>\vdash</math> N ;  

::μ = (μ<sub>1</sub>, μ<sub>2</sub>, ... ,μ<sub>n</sub>) <math>\vdash</math> N  

:: என்று கொண்டால் கீழுள்ள இரண்டு கணங்களுக்கும் ஓர் இருவழிக்கோப்பு உள்ளது. அவைகளின் பொதுவான எண்ணிக்கை அளவையை **கோஸ்ட்கா நிலைப்பி** என்று சொல்வர். அதன் குறியீடு  

:::: K<sub>λμ</sub>  

:: (a) μ<sub>i</sub> பாகங்கள் i ஆகக்கொண்ட (i = 1,2, ..., n) λ-வடிவ நிரல் (முறையே, வரிசை) கண்டிப்பு டாபிலூ க்கள் எல்லாம் அடங்கிய கணம்;  

:: (b) μ<sub>i</sub> பாகங்கள் n-i+1 ஆகக்கொண்ட (i = 1,2, ..., n) λ-வடிவ நிரல் (முறையே, வரிசை) கண்டிப்பு தளப்பிரிவினைகள் எல்லாம் அடங்கிய கணம்.  

::ஏனென்றால் <math> j \mapsto n-j+1 </math> என்ற கோப்பு வேண்டியதைச்செய்கின்றது  

::எ.கா.λ = (32), μ = (2111) என்றால், K<sub>λμ</sub> = 3, கீழே காட்டியபடி:  

::<math> \begin{matrix}  
1 & 1 & 3\\  
2 & 4  
\end{matrix}  
</math> <math> \longleftrightarrow</math> <math>\begin{matrix}  
4 & 4 & 2\\  
3 & 1  
\end{matrix}  
</math>  
---

::<math> \begin{matrix}  
1 & 1 & 2\\  
3 & 4  
\end{matrix}  
</math> <math> \longleftrightarrow</math> <math>\begin{matrix}  
4 & 4 & 3\\  
2 & 1  
\end{matrix}  
</math>  
---

::<math> \begin{matrix}  
1 & 1 & 4\\  
2 & 3  
\end{matrix}  
</math> <math> \longleftrightarrow</math> <math>\begin{matrix}  
4 & 4 & 1\\  
3 & 2  
\end{matrix}  
</math>  

## கோஸ்ட்கா நிலைப்பியைப் பற்றிய குனூத் (Knuth) தேற்றம்

λ,μ இரண்டும் எண் N இன் தளப்பிரிவினைகளென்றும், ν, μ இன் பாகங்களின் ஒரு வரிசைமாற்றம் என்றும் கொண்டால்,  

:::: K<sub>λμ</sub> = K<sub>λν</sub>.  

::எ.கா.:  

:: λ = (542), μ = (4421), ν = (1244) என்று கொண்டு, μ<sub>i</sub> பாகங்கள் i ஆகக்கொண்ட (i = 1,2,3,4) λ-வடிவ நிரல் கண்டிப்பு டாபிலூ க்களையும், ν<sub>i</sub> பாகங்கள் i ஆகக்கொண்ட (i = 1,2,3,4) λ-வடிவ நிரல் கண்டிப்பு டாபிலூ க்களையும் கணக்கிட்டுப்பார்த்தால் இரு கணங்களிலும் நான்கே டாபிலூக்கள் கிடைப்பதைக்காணலாம்.  

## துணைநூல்கள்

::D.E. Knuth. Permutations, Matrices & Generalised Young Tableaux. Pacific J. Math. 34 709-27 (1970)  
::R.P. Stanley. Theory and Application of Plane Partitions, I, II. Stud. Appl. Math. 50, 167-188, 259-279 (1971)  
::V. Krishnamurthy.Combinatorics - Theory and Applications.Ellis Horwood. 1986