# பின்னம்


**பின்னம்** (*fraction*) என்பது முழுப்பொருள் ஒன்றின் பகுதி அல்லது பகுதிகளைக் குறிக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பொருளை நான்கு சமப் பங்குகளாகப் பிரித்தால், அதில் 3 பங்குகள் (அதாவது நான்கில் மூன்று பங்கு) 3/4 எனக் குறிக்கப்படும்.  

பின்ன அமைப்பில், கிடைக்கோட்டிற்குக் கீழுள்ள எண் *பகுதி* எனவும், மேலுள்ள எண் *தொகுதி* எனவும் அழைக்கப்படும். எடுத்துக்கொள்ளப்படும் சம பங்குகளின் எண்ணிக்கையைத் தொகுதியும், எத்தனை சம பங்குகள் சேர்ந்து முழுப்பொருளாகும் என்பதைப் பகுதியும் குறிக்கின்றன. ஒரு பின்னத்தின் பகுதி பூச்சியமாக இருக்க முடியாது.  

எடுத்துக்காட்டு:  
ஒரு முழுப்பொருளானது நான்கு சம பங்குகளாகப் பிரிக்கப்பட்டால், அதிலுள்ள மூன்று சம பங்குகள் 3/4 எனக் குறிக்கப்படும். இப்பின்னத்தின் தொகுதி - 3, பகுதி - 4.  

பின்னமானது *பிள்வம் அல்லது பிள்ளம்* என்றும் அழைக்கப்படும். தமிழில் இதற்குக் *கீழ்வாய் எண்கள்* என்பது பெயர்.  

பின்ன எண்களைத் தொகுதி-பகுதி வடிவில் மட்டுமல்லாது, தசம பின்னங்களாக, சதவீதங்களாக, எதிர்ம அடுக்கேற்ற எண்களாகவும் எழுதலாம்.  

எடுத்துக்காட்டு,  

:1/100 என்ற பின்ன எண்ணின் மாற்று வடிவங்கள்: 0.01, 1%, 10<sup>−2</sup>  

எந்தவொரு முழுஎண்ணையும், பகுதி 1 ஆகக் கொண்ட பின்னமாகக் கொள்ளலாம்: 7 = 7/1.  

விகிதங்களையும், வகுத்தலையும் குறிப்பதற்கும் பின்னங்கள் பயன்படுகிறது. 3/4 என்பது 3:4 என்ற விகிதத்தையும், 3 ÷ 4 என்ற வகுத்தலையும் குறிக்கும்.  

a, b முழு எண்கள் எனில், a/b என்ற வடிவில் எழுதப்படக்கூடிய எண்களின் கணம் விகிதமுறு எண்களின் கணம் எனப்படும். விகிதமுறு எண்கள் கணத்தின் குறியீடு **Q**. ஒரு எண்ணைப் பின்ன வடிவில் எழுத முடியுமா இல்லையா என்பதைக் கொண்டு அவ்வெண் விகிதமுறு எண்ணா இல்லையா என்பதை அறிந்து கொள்ளலாம்.  

விகிதமுறு எண்களைத் தவிர வேறுசில கணிதக் கோவைகளுக்கும் பின்னங்கள் என்ற பெயர் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  
:இயற்கணித பின்னங்கள்: <math>\frac{3x}{x^2+2x-3}</math>,  
:விகிதமுறா எண்கள் கொண்ட கோவைகள்: √2/2 , π/4  

பின்ன வகைகள்:  
பின்னங்களைத் தகு பின்னம், தகாபின்னம், கலப்பு பின்னம் என மூன்று வகையாகக் கூறலாம்.  

தகு பின்னம் :  
தொகுதி பகுதியை விடச்சிறியதாக இருந்தால், அது தகு பின்னம்(முறைமை பின்னங்கள்).  

தகாபின்னம் :  
தொகுதி பகுதியை விடப் பெரியதாக இருந்தால் தகாபின்னம்.(முறையில்லா பின்னங்கள்)  

கலப்பு பின்னம் :  
இயல் எண்ணும் தகு பின்னமும் சேர்ந்து வருவது கலப்பு பின்னம். இதனை தகாபின்னமாக மாற்றி திட்ட வடிவில் எழுதலாம்.  

## பின்னங்களின் வடிவங்கள்

### எளிய பின்னங்கள்
*a*/*b* அல்லது <math>\tfrac{a}{b}</math>, (*a* , *b* இரண்டும் முழு எண்கள்) என்ற வடிவில் எழுதப்படும் விகிதமுறு எண்களெல்லாம் எளிய பின்னங்கள் எனப்படுகின்றன. ஏனைய பின்னங்களைப் போன்றே இவற்றிலும் பகுதியின் (*b*) மதிப்பு பூச்சியமாக இருக்க முடியாது  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  
<math>\tfrac{1}{2}</math>, <math>-\tfrac{8}{5}</math>, <math>\tfrac{-8}{5}</math>, <math>\tfrac{8}{-5}</math>, 3/17.  

எளிய பின்னங்கள் நேர்மமாகவோ, எதிர்மமாகவோ, தகு அல்லது தகா பின்னங்களாகவோ அமையலாம். கூட்டு பின்னங்கள், கலப்பு எண்கள், தசமங்கள் ஆகியவற்றை எளிய பின்னமாக மாற்ற முடியுமென்றாலும் அவை எளிய பின்னங்கள் ஆகா.  

### முறைமை பின்னங்களும் முறையில்லா பின்னங்களும்
எளிய பின்னங்களை தகு அல்லது தகா பின்னங்களாக வகைப்படுத்தலாம். பகுதியும் தொகுதியும் நேர்ம எண்களாகக் கொண்ட ஒரு பின்னத்தின் தொகுதியானது, அதன் பகுதியை விடச் சிறியதாயின் அப்பின்னம் *தகு பின்னம்* எனப்படும். மாறாக, அதன் தொகுதியானது, பகுதியை விடப் பெரியதாயின் அப்பின்னம் *தகா பின்னம்* எனப்படும். பொதுவாக, ஒரு பின்னத்தின் தனி மதிப்பு 1 ஐ விடச் சிறியதாக இருந்தால் (-1 ஐ விடப் பெரியது, 1 ஐ விட சிறியது) அது ஒரு தகு பின்னமாகும். ஒரு பின்னத்தின் தனி மதிப்பு 1 க்குச் சமமாகவோ அல்லது பெரியதாக இருந்தால் அது ஒரு தகா பின்னமாகும்  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  
:தகு பின்னங்கள்: 2/3, -3/4, 4/9  
:தகா பின்னங்கள்: 9/4, -4/3, 3/3.முறைமை  

### கலப்பு பின்னங்கள்
*கலப்பு பின்னம்* அல்லது *கலப்பு எண்* என்பது, ஒரு பூச்சியமற்ற முழுஎண் மற்றும் தகுபின்னம் இரண்டின் கூடுதலாக அமையும். முழுஎண்ணுக்கும் தகுபின்னத்துக்கும் இடையே "+" குறியீடு எழுதப்படுவதில்லை.  

எடுத்துக்காட்டு:  
: <math>2+\frac{3}{4}=2\tfrac{3}{4}</math>.  

இயற்கணிதத்தில் இரு கோவைகளின் பெருக்கலை எழுதும்போது அவற்றுக்கிடையே பெருக்கல் குறியானது இல்லாமலே எழுதுவது வழக்கில் உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, இயற்கணிதத்தில் <math> a \tfrac{b}{c} </math> என்பது ஒரு கலப்பு பின்னம் அல்ல, அது a, b/c ஆகிய இரு கோவைகளின் பெருக்கலாகும்: <math> a \tfrac{b}{c} = a \times \tfrac{b}{c}</math>.  

இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்கு, பெருக்கல் குறி வெளிப்படையாகக் குறிக்கப்படுகிறது:  
:<math> a \tfrac{b}{c} = a \times \tfrac{b}{c}</math>,  
:<math> a \cdot \tfrac{b}{c}</math>,  
:<math> a (\tfrac{b}{c})</math>.  

கலப்பு பின்னத்தைத் தகா பின்னமாகவும் தகா பின்னத்தைக் கலப்பு பின்னமாகவும் மாற்றலாம்:  

- கலப்பு பின்னம்: <math>2\tfrac{3}{4}</math>
:<math>2\tfrac{3}{4} = 2+\tfrac{3}{4}</math>.  
:இதிலுள்ள முழுஎண் 2 ஐ, தகுபின்னத்தின் பகுதியான நான்கைப் பகுதியாகக் கொண்ட சமான தகா பின்னமாக மாற்றிக் கொள்ளவேண்டும்:  
:<math>2=\tfrac{8}{4}</math>.  
:பின் அவ்விரு பின்னங்களையும் கூட்ட,  
:<math>2\tfrac{3}{4}=\tfrac{8}{4}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{11}{4}</math>.  

இதேபோல ஒரு தகா பின்னத்தை கலப்பு பின்னமாக மாற்றலாம்:  
- தகாபின்னம்: <math>\tfrac{11}{4}</math>
:தொகுதியைப் பகுதியால் வகுத்து ஈவு, மீதி இரண்டையும் கணக்கிட வேண்டும்.  
: 11 ÷ 4 : ஈவு =2 , மீதி = 3.  

இந்த ஈவு தேவையன கலப்பு பின்னத்தின் முழுஎண் பகுதியாகக் கொள்ளப்படுகிறது. மீதியைத் தொகுதியாகவும், எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட தகாபின்னத்தின் பகுதியைப் பகுதியாகவும் கொண்ட தகுபின்னமானது பின்னப்பகுதியாகவும் கொண்டு கலப்பு பின்னம் காணப்படுகிறது.  
:<math>\tfrac{11}{4} =2\tfrac{3}{4}</math>.  

கலப்பு பின்னங்கள் எதிர்ம எண்களாகவும் இருக்கலாம்.  
எடுத்துக்காட்டு:  
:<math>-2\tfrac{3}{4} = -(2+\tfrac{3}{4}) = -2-\tfrac{3}{4}</math>  

### விகிதங்கள்
ஒரு விகிதம் என்பது, இரண்டு அல்லது இரண்டுக்கு மேற்பட்ட எண்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பைக் குறிக்கும். எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட பொருட்களை குழுக்களாகப் பிரித்து, ஒவ்வொரு குழுவிலும் இருக்கும் பொருட்களின் எண்ணிக்கையின் வாயிலாக, அவை எண்ணளவில் ஒப்பீடு செய்யப்படுகின்றன.  

எடுத்துக்காட்டாக, ஓரிடத்தில் நிறுத்திவைக்கப்பட்டுள்ள 12 தானுந்துகளில் அவற்றின் நிற வகைப்பாடு பின்வருமாறு உள்ளது:  
- 2 வெள்ளை
- 6 சிவப்பு
- 4 மஞ்சள்

:வெள்ளை, சிவப்பு, மஞ்சள் தானுந்துகளின் விகிதம்: 2:6:4 = 1:3:2  
:வெள்ளை, சிவப்பு தானுந்துகளின் விகிதம்: 2:6 = 1:3  
:வெள்ளை, மஞ்சள் தானுந்துகளின் விகிதம்: 2:4 = 1:2  
:சிவப்பு, மஞ்சள் தானுந்துகளின் விகிதம்: 6:4 = 3:2  

குறிப்பிட்ட பாகத்திற்கும் முழுவதற்குமான விகிதங்களைப் பின்ன வடிவில் எழுதலாம்.  

:மொத்த தானுந்துகளில் வெள்ளை தானுந்துகளின் விகிதம்: 2:12 = 1:6.  
:இதன் பின்ன வடிவம் = 1/6.  
:அதாவது மொத்த தானுந்துகளில் ஆறில் ஒரு பங்கு வெள்ளை தானுந்துகள் உள்ளன.  

:மொத்த தானுந்துகளில் சிவப்பு தானுந்துகளின் விகிதம்: 6:12 = 1:2  
:இதன் பின்ன வடிவம் 1/2.  
அதாவது மொத்த தானுந்துகளில் இரண்டில் ஒரு பங்கு சிவப்பு தானுந்துகள் உள்ளன.  

:மொத்த தானுந்துகளில் மஞ்சள் தானுந்துகளின் விகிதம்: 4:12 = 1:3.  
:இதன் பின்ன வடிவம் = 1/3.  
:அதாவது மொத்த தானுந்துகளில் மூன்றில் ஒரு பங்கு மஞ்சள் தானுந்துகள் உள்ளன.  

எனவே அந்தத் தானுந்து நிறுத்தத்திலிருந்து, ஒருவர் சமவாய்ப்பு முறையில் ஒரு தானுந்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது அது வெள்ளையாக இருப்பதற்கான வாய்ப்பு (நிகழ்தகவு) 1/6; சிவப்பாக இருப்பதற்கான வாய்ப்பு 1/2; மஞ்சளாக இருப்பதற்கான வாய்ப்பு 1/3.  

### தலைகீழிகள்
ஒரு பின்னத்தின் தலைகீழி மற்றொரு பின்னமாகும். மூலப் பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதிகளைப் பரிமாற்றி அதன் தலைகீழியைப் பெறலாம்.  
:<math>\tfrac{8}{23}</math> இன் தலைகீழி <math>\tfrac{23}{8}</math>.  

ஒரு பின்னத்தையும் அதன் தலைகீழியையும் பெருக்கக் கிடைக்கும் விடை 1 ஆகும். எனவே ஒரு பின்னத்தின் தலைகீழியானது அப்பின்னத்தின் பெருக்கல் நேர்மாறு ஆகும்.  

ஒரு தகு பின்னத்தின் தலைகீழி தகாபின்னமாக இருக்கும்:  
:<math>\tfrac{2}{41}</math> இன் தலைகீழி <math>\tfrac{41}{2}</math>  

எண் 1 க்குச் சமமில்லாத தகாபின்னத்தின் (பகுதியும் தொகுதியும் சமமாக இல்லாதவை) தலைகீழி தகுபின்னமாக இருக்கும்.  
:<math>\tfrac{89}{21}</math> இன் தலைகீழி <math>\tfrac{21}{89}</math>  

எந்தவொரு முழு எண்ணையும் எண் 1 ஐ பகுதியாகக் கொண்ட பின்னமாக எழுதலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 5 ஐ <math>\tfrac{5}{1}</math> என எழுதலாம். இங்கு எண் 1 ஆனது "கண்ணுக்குத்தெரியாத பகுதி" (*invisible denominator*) எனப்படும். எனவே பூச்சியம் தவிர்த்த அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் தலைகீழி உண்டு. 5 இன் தலைகீழி <math>\tfrac{1}{5}</math>.  

### சிக்கல் பின்னங்கள்
:*சிக்கலெண்களாலான பின்னங்களோடு இவற்றை குழப்பிக்கொள்ளக் கூடாது*  
ஒரு சிக்கல் பின்னத்தின் (complex fraction) தொகுதி, பகுதி இரண்டுமே ஒரு பின்னமாக அல்லது கலப்பு பின்னமாக இருக்கும். அதாவது, ஒரு சிக்கல் பின்னமானது, இரு பின்னங்களின் வகுத்தலாக அமையும்.  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  
<math>\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}</math>, <math>\frac{12\tfrac{3}{4}}{26}</math> இரண்டும் சிக்கல் பின்னங்களாகும்.  

ஒரு சிக்கல் பின்னத்தைச் சுருக்குவதற்கு, அதன் தொகுதிக்கும் பகுதிக்கும் இடைப்பட்ட அதிநீள பின்னக் கோட்டை வகுத்தல் குறியாக எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.  

:<math>\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1}{2}\times\tfrac{3}{1}=\tfrac{3}{2}=1\tfrac{1}{2}</math>  

:<math>\frac{12\tfrac{3}{4}}{26} = 12\tfrac{3}{4} \cdot \tfrac{1}{26} = \tfrac{12 \cdot 4 + 3}{4} \cdot \tfrac{1}{26} = \tfrac{51}{4} \cdot \tfrac{1}{26} = \tfrac{51}{104}</math>  

:<math>\frac{\tfrac{3}{2}}5=\tfrac{3}{2}\times\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{10}</math>  

:<math>\frac{8}{\tfrac{1}{3}}=8\times\tfrac{3}{1}=24</math>.  

ஒரு சிக்கல் பின்னத்தில் எந்த பின்னக்கோடு முதன்மையானது எனத் தெளிவாகத் தரப்பட்டிருக்காவிட்டால், அப்பின்னம் சரியான முறையில் அமைக்கப்படாத ஒன்றாகும். எடுத்துக்காட்டாக 5/10/20/40 என்பது சரியான முறையில் அமைக்கப்படாத கணிதக்கோவையாகும். மேலும் இதன் மதிப்பும் பலவிதங்களில் கணிக்கிடக்கூடியதாக அமையும்.  

### கூட்டு பின்னங்கள்
ஒரு கூட்டு பின்னம் (*compound fraction*) என்பது ஒரு பின்னத்தின் பின்னமாக இருக்கும்.  

:<math>(a,b) + (c,d) = (ad+bc,bd) \,</math>  
:<math>(a,b) - (c,d) = (ad-bc,bd) \,</math>  
:<math>(a,b) \cdot (c,d) = (ac,bd)</math>  
:<math>(a,b) \div (c,d) = (ad,bc) \quad(\text{with, additionally, } c \ne 0) </math>  

கணிதச் செயல்களின் இந்த வரையறைகள் கட்டுடையின் மேற்பகுதியில் தரப்பட்ட வரையறைகளோடு எல்லாவிதத்திலும் ஒத்திருக்கின்றன; குறியீட்டளவில் மட்டுமே வேறுபடுகிறது.  

கழித்தலையும் வகுத்தலையும் செயலிகளாக வரையறுப்பதற்குப் பதிலாக கூட்டல் மற்றும் பெருக்கலின் நேர்மாறு பின்னங்களாக கீழ்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:  

:<math>\begin{array}{llrrl}  
&-(a,b) &= &(-a, b) &\quad \text{additive inverse fractions,} \\  
&&&&\quad\text{with } (0,b) \text{ as additive unities, and}\\  
&\;\;\ (a,b)^{-1} &= &(b,a) &\quad \text{multiplicative inverse fractions, for } a \ne 0, \\  
&&&&\quad\text{with } (b,b) \text{ as multiplicative unities}.  
\end{array}</math>  

மேலும்,  
:<math>(a, b) \sim (c, d)\quad \iff \quad ad=bc,</math> என்ற உறவு, பின்னங்களின் சமான உறவாக உள்ளது.  

## இயற்கணித பின்னங்கள்

இரு இயற்கணிதக் கோவைகளின் வகுத்தலாக அமைவது ஒரு இயற்கணித பின்னமாகும்.  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  
- <math>\frac{3x}{x^2+2x-3}</math>
- <math>\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}</math>.

இயற்கணித பின்னங்களும் சாதரண எண்கணித பின்னங்களின் விதிமுறைகளுக்குட்பட்டவையாகும்.  

தொகுதியும் பகுதியும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகக் கொண்ட இயற்கணிதப் பின்னமானது விகிதமுறு கோவை அல்லது விகிதமுறு பின்னம் எனப்படும்.  

எகா: <math>\frac{7x+5}{x^3+2x^2-3}</math>  

தொகுதி அல்லது பகுதியிலுள்ள இயற்கணிதக் கோவையானது பின்ன அடுக்குகொண்ட மாறியில் அமைந்திருந்தால் அந்த இயற்கணித பின்னமானது விகிதமுறா பின்னம் எனப்படும்..  

எகா: <math>\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-3}</math>  

சாதாரண பின்னங்களைப் போன்றே இயற்கணித பின்னத்தின் தொகுதி, பகுதி கோவைகளுக்கு பொதுக் காரணிகள் இல்லாத இயற்கணிதப் பின்னங்கள் எளிய வடிவில் அமைந்துள்ளதாகக் கருதப்படும்.  

தொகுதி அல்லது பகுதியில் அல்லது இரண்டிலும் பின்னக் கோவைகளைக் கொண்டவை சிக்கல் பின்னம் எனப்படும்.  

எகா: <math>\frac{1 + \tfrac{1}{x}}{1 - \tfrac{1}{x}}</math>  

ஒரு இயற்கணித பின்னத்தை விகிதமுறு கோவைகளின் கூட்டலாக எழுதும் போது அந்த விகிதமுறு கோவைகள் பகுதி பின்னங்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. தரப்பட்டு இயற்கணித பின்னத்தின் பகுதியாகவுள்ள கோவையின் படியை விடக் குறைந்த படியுள்ள கோவையைப் பகுதியாகக் கொண்ட விகிதமுறு கோவைகளின் கூடுதலாக மூல பின்னம் எழுதப்படுகிறது.  

எடுத்துக்காட்டு:  
: <math>\textstyle{2x \over x^2-1} = \textstyle{1 \over x+1}</math> + <math>\textstyle{1 \over x-1}</math>  

## தமிழில் கீழ்வாய் எண்கள்

- 15/16 = 0.9375 = முக்காலே மூன்று வீசம்
- 3/4 = 0.75 = முக்கால்
- 1/2 = 0.5 = அரை
- 1/4 = 0.25 = கால்
- 1/5 = 0.2 = நால்மா/நான்மா
- 3/16 = 0.1875 = மூன்று வீசம்
- 3/20 = 0.15 = மூன்றுமா
- 1/8 = 0.125 = அரைக்கால்
- 1/10 = 0.1 = இருமா
- 1/16 = 0.0625 = வீசம்
- 1/20 = 0.05 = மா
- 3/64 = 0.046875 = முக்கால் வீசம்
- 3/80 = 0.0375 = முக்காணி
- 1/32 = 0.03125 = அரை வீசம்
- 1/40 = 0.025 = அரை மா
- 1/64 = 0.015625 = கால் வீசம்
- 1/80 = 0.0125 = காணி
- 3/320 = 0.009375 = அரைக்காணி முந்திரி
- 1/160 = 0.00625 = அரைக் காணி
- 1/320 = 0.003125 = முந்திரி
- 3/1280 = 0.00234375 = கீழ் முக்கால்
- 1/640 = 0.0015625 = கீழ் அரை
- 1/1280 = 0.00078125 = கீழ்க் கால்
- 1/1600 = 0.000625 = கீழ் நால்மா
- 3/5020 = 0.000597609 = கீழ் மூன்று வீசம்
- 1/2560 =0.000390625 = கீழ் அரைக்கால்
- 1/3200 = 0.0003125 = கீழ் இருமா
- 1/5120 = 0.000195312= கீழ் மாகாணி
- 1/6400 = 0.00015625 = கீழ் மா
- 3/25600 = 0.000117187 = கீழ் முக்காணி
- 1/12800 = 0.000078125 = கீழ் அரைமா
- 1/25600 = 0.000039062 = கீழ்க்காணி
- 1/51200 = 0.000019531 = கீழ் அரைக்காணி
- 1/102400 = 0.000009765 = கீழ் முந்திரி}
- 1/2,150,400= இம்மி
- 1/23,654,400= மும்மி
- 1/165,580,800= அணு
- 1/1,490,227,200= குணம்
- 1/7,451,136,000= பந்தம்
- 1/44,706,816,000= பாகம்
- 1/312,947,712,000= விந்தம்
- 1/5,320,111,104,000= நாகவிந்தம்
- 1/74,481,555,456,000= சிந்தை
- 1/1,489,631,109,120,000= கதிர்முனை
- 1/59,585,244,364,800,000= குரல்வளைப்பிடி
- 1/3,575,114,661,888,000,000= வெள்ளம்
- 1/357,511,466,188,800,000,000= நுண்மணி
- 1/2,323,824,530,227,200,000,000= தேர்த்துகள்