# கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம்


வடிவவியலில், **கோண இருசமவெட்டித் தேற்றமானது**(*Angle bisector theorem*) முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் இரு சமவெட்டியானது அக்கோணத்திற்கு எதிரேயுள்ள பக்கத்தினை வெட்டுவதால் கிடைக்கும் கோட்டுத் துண்டுகளின் நீளங்களின் விகிதங்களைப்பற்றிக் கூறும் தேற்றமாகும். இத்தேற்றத்தின்படி அக்கோட்டுத் துண்டுகளின் நீளங்களின் விகிதம் முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.  

## தேற்றம்
ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் உட்புற கோண இரு சம  
வெட்டியானது, அக்கோணத்தின் எதிர்பக்கத்தை உட்புறமாக அக்கோணத்தினை அடக்கிய பக்கங்களின் சம விகிதத்தில் பிரிக்கும்.  

அதாவது முக்கோணம் <math>\triangle ABC</math> -ஐ எடுத்துக் கொள்க.  
- <math>\angle A</math> -ன் இருசமவெட்டி, <math>\ BC</math> பக்கத்தை <math>\ D</math> புள்ளியில் வெட்டட்டும்.
- கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, கோட்டுத் துண்டுகள் <math>\ BD</math> மற்றும் <math>\ DC</math> -ன் விகிதமானது, <math>\ AB</math> மற்றும் <math>\ AC</math> பக்கங்களின் நீளங்களின் விகிதத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்:

:<math>{\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}. </math>  

- பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றத்தின்படி, <math>\ D</math> புள்ளியானது பக்கம் <math>\ BC</math> -ன் மீது அமைந்தால்(அ-து, AD கோண இருசமவெட்டியாக இருக்க வேண்டியதில்லை) :

:<math>{\frac {|BD|} {|DC|}}={\frac {|AB| \sin \angle DAB}{|AC| \sin \angle DAC}}. </math>  

- இதிலிருந்து, கோணம் <math> \angle BAC</math> -ன் இருசமவெட்டியாக, <math>\ AD</math> இருக்கும்போது முதலிலுள்ள தேற்றத்தைப் பெறலாம்.

## நிறுவல்

- மேலேயுள்ள படத்தில், <math>\triangle ABD</math> மற்றும் <math>\triangle ACD</math> முக்கோணங்களுக்கு* சைன் விதியைப்* பயன்படுத்த:

:<math>{\frac {|AB|} {|BD|}} = {\frac {\sin \angle BDA} {\sin \angle BAD}} </math> ..... (சமன்பாடு 1)  

:<math>{\frac {|AC|} {|DC|}} = {\frac {\sin \angle ADC} {\sin \angle DAC}} </math> ..... (சமன்பாடு 2)  

- கோணங்கள் <math> \angle BDA</math> மற்றும் <math> \angle ADC</math> இரண்டும் மிகைநிரப்புக் கோணங்கள். எனவே அவற்றின் *சைன்* மதிப்புகள் சமம்.
- கோணங்கள் <math> \angle BAD</math> மற்றும் <math> \angle DAC</math> இரண்டும் சமமானவை.
- எனவே சமன்பாடுகள் (1), (2) -ன் வலதுகைப் பக்கங்கள் சமம். ஆகவே அவற்றின் இடதுகைப் பக்கங்களும் சமமாக இருக்க வேண்டும்:

:<math>{\frac {|AB|} {|BD|}}={\frac {|AC|}{|DC|}} </math>  

எனவே, கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.  

கோட்டுத்துண்டு <math>\ AD</math> கோண இருசமவெட்டி இல்லையென்றால்  

- கோணங்கள் <math> \angle BAD</math> மற்றும் <math> \angle DAC</math> இரண்டும் சமமில்லை.
- சமன்பாடுகள் (1), (2) இரண்டையும் பின்வருமாறு மாற்றி எழுதலாம்:

:<math> {\frac {|AB|} {|BD|} \sin \angle\ BAD = \sin \angle BDA}</math>  

:<math> {\frac {|AC|} {|DC|} \sin \angle\ DAC = \sin \angle ADC}</math>  

கோணங்கள் <math> \angle BDA</math> மற்றும் <math> \angle ADC</math> இரண்டும் இப்பொழுதும் மிகைநிரப்பு கோணங்கள். எனவே இரு சமன்பாடுகளின் வலதுபுறங்களும் சமம். ஆகவே இடதுபுறங்களும் சமமாக அமையும்:  

:<math> {\frac {|AB|} {|BD|} \sin \angle\ BAD = \frac {|AC|} {|DC|} \sin \angle\ DAC}</math>  

இது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட தேற்றத்தை நிறுவுகிறது.  

### நிறுவல்-மாற்றுமுறை

- <math>\triangle ABD</math> -க்கு, உச்சி <math>\ B</math> வழியே வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் அடி ***B*<sub>1</sub>** என்க. <math>\triangle ACD</math> -க்கு, உச்சி <math>\ C</math> வழியே வரையப்பட்ட குத்துக்கோட்டின் அடி ***C*<sub>1</sub>** என்க.
- <math>\triangle </math> ***DB*<sub>1</sub>*B*** மற்றும் <math>\triangle</math> ***DC*<sub>1</sub>*C*** இரண்டும் செங்கோண முக்கோணங்கள்.
- <math>\ D</math> புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு <math>\ BC</math> -ன் மேல் இருந்தால், கோணங்கள் <math> \angle</math>***B*<sub>1</sub>*DB*** மற்றும்
<math> \angle</math>***C*<sub>1</sub>*DC*** இரண்டும் சர்வசமமாகவும்  

- <math>\ D</math> புள்ளியானது கோட்டுத்துண்டு <math>\ BC</math> -ன் மேல் இல்லையெனில் அவ்விரு கோணங்களும் முற்றுமொத்தவையாகவும் அமையும்.
- எனவே முக்கோணங்கள், <math>\triangle </math>***DB*<sub>1</sub>*B*** மற்றும் <math>\triangle </math> ***DC*<sub>1</sub>*C*** இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்களாகும் (AAA).

:<math>{\frac {|BD|} {|CD|}}= {\frac {|BB_1|}{|CC_1|}}=\frac {|AB|\sin \angle BAD}{|AC|\sin \angle CAD}.</math>  

எனவே பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட கோண இருசமவெட்டித் தேற்றம் நிறுவப்படுகிறது.