# முற்றொருமை (கணிதம்)

கணிதத்தில் **முற்றொருமை** (*identity*) என்பது வெவ்வேறான பல கருத்துக்களைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது இயற்கணிதத்தில் சமன்பாடுகளின் சிறப்புவகைகளையும் கணங்களில் முற்றொருமை உறுப்புகளையும் சார்புகளில் முற்றொருமைச் சார்புகளையும் குறிக்கிறது.  

## முற்றொருமைகள்
ஒரு **முற்றொருமை** என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகக் கூடிய ஒரு உறவு.  

இயற்கணிதத்திலுள்ள ஒரு சமன்பாடு, அதில் அமைந்துள்ள மாறிகளுக்கு தரப்படும் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாக இருக்குமானால் அச்சமன்பாடு ஒரு *முற்றொருமை* எனப்படும். ஒரு சமன்பாடு, முற்றொருமையாக இருக்கும்போது அச்சமன்பாட்டிலுள்ள சமன் குறிக்குப் பதிலாக மூன்று கிடைக்கோடுகள் குறியீடு ≡, பயன்படுத்தப்படுவது மரபு.  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  

:<math>(a + b)^2 \equiv a^2 + 2ab + b^2 </math>  
:<math>\cos^2\theta + \sin^2\theta \equiv 1\!</math> (பித்தாகரசின் முற்றொருமை)  

சைன் மற்றும் கோசைன் இரண்டின் ஆட்களமும் கலப்பெண் கணம் <math>\mathbb{C}</math> -ஆக அமைவதால் இது <math>\theta</math> -ன் அனைத்து சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகும்.)  

:<math>\cos \theta = 1,\,</math> இது ஒரு முற்றொருமை அல்ல. ஏனெனில்  
<math>\theta</math> -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் இது உண்மையாக இராது. <math> \theta = 0,\,</math> எனில் உண்மையாகவும் <math>\theta = 2\,</math> எனில் உண்மையாக இல்லாமலும் இருக்கிறது.  

:≡ என்ற குறியீடுட்டுக்குச் *சமானமானது* போன்ற பிற பயன்பாடுகளும் உண்டு  

## முற்றொருமை உறுப்பு

ஒரு கணம் *S* -ன் முற்றொருமை அல்லது முற்றொருமை உறுப்பு *e* என்பது *S* -லுள்ள எந்தவொரு உறுப்பு *a* -உடன் சேர்ந்து ஈருறுப்புச் செயலிக்குப் உட்படுத்தப்படும்போது கிடைக்கும் விடை *a* -ஆகவே இருக்குமாறுள்ள ஒரு உறுப்பாகும்.  

<math>e * a = a = a * e\, </math>.  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  

- மெய்யெண்கள் கணத்தில் கூட்டல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு எண் 0.

<math>a\in\mathbb{R},</math>  

:<math>0 + a = a,\,</math>  

:<math>a + 0 = a,\,</math> :<math>0 + 0 = 0.\,</math>  

- மெய்யெண்கள் கணத்தில் பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு எண் 1.

:<math>a\in\mathbb{R},</math>  

:<math>1 \times a = a,\,</math>  

:<math>a \times 1 = a,\,</math> and  

:<math>1 \times 1 = 1.\,</math>  

- அணிகளின் கணத்தில் பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு முற்றொருமை அணி <math> \mathbf I. </math>
- அணிகளின் கணத்தில் கூட்டல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு பூச்சிய அணி <math> \mathbf 0. </math>

## முற்றொருமைச் சார்பு

*S* கணத்திலிருந்து *S* -க்கு வரையறுக்கப்பட்ட முற்றொருமைச் சார்பு பொதுவாக <math>\mathrm{id}</math> அல்லது <math>\mathrm{id}_S</math> எனக் குறிக்கப்படுகிறது. இச்சார்பின் கீழ், *S* -ன் அனைத்து உறுப்புகளின் பின்னுருக்கள் அந்தந்த உறுப்புகளாகவே அமையும்.  

*S* -ன் அனைத்து உறுப்புகள் *x* -க்கும்:  
:<math>\mathrm{id}(x) = x</math>  

:<math>f\colon S \rightarrow S </math> என வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து சார்புகளின் கணத்திற்குச் சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பொறுத்து முற்றொருமை உறுப்பாக முற்றொருமைச் சார்பு அமையும்.  

முற்றொருமைச் சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு *முற்றொருமை வரிசை மாற்றமாகும்*. முற்றொருமை வரிசை மாற்றமானது, கணம் <math>\{ 1, 2, \ldots, n \}</math> அல்லது <math>\{a_1,a_2, \ldots, a_n \}</math> உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றையும் அதே உறுப்பாக இயல்பான வரிசைப்படி மாற்றும்.  

:<math>\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & n\end{pmatrix}.</math>  

:<math>\begin{pmatrix}a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & n \\ a_1 & a_2 & a_3 & \cdots & n\end{pmatrix}.</math>  

## ஒப்பிடல்
முற்றொருமை என்பதன் வெவ்வேறு பயன்பாடுகள் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புள்ளவையாக உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக முற்றொருமை வரிசை மாற்றமானது <math>\{ 1, 2, \ldots, n \}</math> கணத்தின் வரிசைமாற்றங்களின் குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பாக சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பொறுத்து அமைகிறது.