# உட்குலத்தின் குறியெண்

குலக் கோட்பாட்டில் *G* என்ற குலத்தின் உட்குலம் *H* இன் **குறியெண்** (Index) என்பது *G* இல் இருக்ககூடிய *H* இன் இணைக்கணங்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். *G* இல் *H* இன் குறியெண்ணின் குறியீடு: |*G*&nbsp;:&nbsp;*H*| அல்லது *G*&nbsp;:&nbsp;*H* அல்லது (*G*:*H*). ஒரு உட்குலத்தின் குறியெண் முடிவுறு அல்லது முடிவுறா எண்ணாக அமையலாம்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
**Z** , முழு எண்களின் கணம் கூட்டல் செயலியைப் பொறுத்து ஒரு குலம். அதன் ஒரு உட்குலம் 2**Z** (இரட்டை முழு எண்களின் கணம்). **Z** இல் உட்குலம் 2**Z** க்கு இரண்டு இணைக்கணங்கள் உள்ளன. (ஒன்று இரட்டை முழு எண்கள் கணம். மற்றது ஒற்றை எண்களின் கணம்).  

எனவே **Z** இல் 2**Z** இன் குறியீடு:  
:<math>|\mathbf{Z}:2\mathbf{Z}| = 2</math>  

பொதுவாக,  
:<math>|\mathbf{Z}:n\mathbf{Z}| = n</math>, இங்கு *n* ஏதேனும் ஓர் நேர் முழு எண்.  

*N* என்பது குலம் *G* இன் இயல்நிலை உட்குலம் எனில், *G* இல் *N* இன் குறியெண் காரணி குலம் *G*&nbsp;/&nbsp;*N* இன் வரிசைக்குச் சமமாக இருக்கும்.  

*G* ஒரு முடிவுறா குலம் எனில் அதன் ஒரு உட்குலம் *H* இன் குறியெண் ஒரு பூச்சியமில்லா முதல் எண் (cardinal number). மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டிலுள்ளபடி அம் முதல் எண் ஒரு முடிவுறு எண்ணாகவும் இருக்கலாம்.  

*G* , *H* இரண்டும் முடிவுறு குலங்கள் எனில் *G* இல் *H* இன் குறியெண்:  
:<math>|G:H| = \frac{|G|}{|H|}.</math>  
இது லாக்ராஞ்சியின் தேற்றத்தின் முடிவாகும். இக்குறியெண் கண்டிப்பாக ஒரு நேர் முழுஎண்.  

## பண்புகள்
உட்குலத்தின் குறியெண்ணின் சில பண்புகள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன.  
- *G* இன் உட்குலம் *H* ; *H* இன் உட்குலம் *K* எனில்
::<math>|G:K| = |G:H|\,|H:K|.</math>  

- *H* ,*K* இரண்டும் *G* இன் உட்குலங்கள் எனில்:
::<math>|G:H\cap K| \le |G : H|\,|G : K|,</math>  
:இங்கு *HK*&nbsp;=&nbsp;*G* எனில் சமன்பாட்டுக்குறி பொருந்தும். (|*G*&nbsp;:&nbsp;*H*&nbsp;&cap;&nbsp;*K*| முடிவுறு எண் எனில், *HK*&nbsp;=&nbsp;*G* என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே சமன்பாட்டுக் குறி பொருந்தும்.)  

- இதற்கு சமானமாக:
*H* ,*K* இரண்டும் *G* இன் உட்குலங்கள் எனில்:  
::<math>|H:H\cap K| \le |G:K|,</math>  
:இங்கும் *HK*&nbsp;=&nbsp;*G* எனில் சமன்பாட்டுக்குறி பொருந்தும். (|*G*&nbsp;:&nbsp;*H*&nbsp;&cap;&nbsp;*K*| முடிவுறு எண் எனில், *HK*&nbsp;=&nbsp;*G* என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே சமன்பாட்டுக் குறி பொருந்தும்.)  

- If *G* , *H* இரண்டும் குலங்கள்; *φ*:&nbsp;*G*&nbsp;→&nbsp;*H* ஒரு காப்பமைவியம் எனில்:
::<math>|G:\operatorname{ker}\;\varphi|=|\operatorname{im}\;\varphi|.</math>  

## எடுத்துக்காட்டுகள்
- சமச்சீர் குலம் <math>S_n,</math> இல் மாறிசைக்குலம் <math>A_n</math> இன் குறியெண் 2. எனவே <math>A_n</math> ஒரு இயல்நிலை உட்குலம் ஆகும்.
- செங்குத்துக் குலம் *O*(*n*) இல் அதன் உட்குலமான சிறப்பு செங்குத்து குலம் *SO*(*n*) இன் குறியெண் 2. எனவே அது ஒரு இயல்நிலை உட்குலம்.
- கட்டற்ற ஏபெல் குலம் **Z**&nbsp;⊕&nbsp;**Z** -க்கு குறியெண் 2 கொண்ட மூன்று உட்குலங்கள் உள்ளன:
::<math>\{(x,y) \mid x\text{ is even}\},\quad \{(x,y) \mid y\text{ is even}\},\quad\text{and}\quad  
\{(x,y) \mid x+y\text{ is even}\}</math>.  

- பொதுவாக, *p* ஒரு பகா எண் எனில், **Z**<sup>*n*</sup> குலத்திற்கு, குறியெண் *p* கொண்ட (*p*<sup>*n*</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1) / (*p*&nbsp;&minus;&nbsp;1) எண்ணிக்கையிலான உட்குலங்கள் உள்ளன.
- இதேபோல் கட்டற்ற குலம் *F*<sub>*n*</sub> க்கு, குறியெண் *p* உடைய *p*<sup>*n*</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;1 எண்ணிக்கையிலான உட்குலங்கள் உள்ளன.
- ஒரு முடிவுறா இருமுகக் குலத்திற்கு குறியெண் 2 கொண்ட ஒரு சுழல் உட்குலம் இருக்கும், மேலும் அது இயல்நிலை உட்குலமாக இருக்கும்.