# வகையிடலின் நேர்மாறுச் சார்பு விதி

களாக அமைகின்றன.  

இது சங்கிலி விதியிலிருந்து பின்வருமாறு பெறப்படுகிறது:  

:<math>y = f(x) </math> எனில்,  
:<math>x = f^{-1}(y) </math>  

சங்கிலி விதியைப் பயன்படுத்தி ஐப் பொறுத்து வகையிட:  

:<math> \frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{dx} = 1 </math>  

(<math>x</math> ஐப் பொறுத்து <math>x</math> இன் வகைக்கெழு 1)  

ஒரு சார்பின் வரைபடமும் அதன் நேர்மாறுச் சார்பின் வரைபடமும் ஒன்றுக்கொன்று , கோட்டைப் பொறுத்த பிரதிபலிப்புகளாக அமையும். பிரதிபலிப்புச் செயலால் ஒரு கோட்டின் சாய்வும் அக்கோட்டின் பிரதிபலிப்பு எதிருவாக அமையும் கோட்டின் சாய்வும் தலைகீழிகளாக இருக்கும்.  

<math>f</math> சார்புக்கு <math>x</math> இன் அண்மையகத்தில் நேர்மாறுச் சார்பு இருந்து, புள்ளி <math>x</math> இல் <math>f</math> இன் வகைக்கெழு பூச்சியமற்றதாகவும் இருந்தால், அப்புள்ளியில் நேர்மாறுச் சார்பும் வகையிடத்தக்கதாக இருக்கும். மேலும் அந்த வகைக்கெழுவை மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாட்டின் மூலம் காணவும் முடியும்.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்

- <math>\,y = x^2</math>

இச்சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு (<math>x</math> இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு மட்டும்):  

<math>x = \sqrt{y}</math>.  

:<math> \frac{dy}{dx} = 2x  
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };  
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }  
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{2\sqrt{y}} </math>  

:<math> \frac{dy}{dx}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} = 2x \cdot\frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{2x}{2x} = 1. </math>  

எனினும் , இல் ஒரு சிக்கல் உள்ளது: வர்க்கச் சார்பின் வரைபடத்தின் கிடைமட்டத் தொடுகோட்டிற்கு ஒத்தவாறு வர்க்கமூலச் சார்பின் வரைபடம் நிலைக்குத்தாக அமையும்.  

- <math>\,y = e^x</math>

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு (<math>y</math> இன் நேர்ம மதிப்புகளுக்கு மட்டும்)  

:<math>\,x = \ln{y}</math>  

:<math> \frac{dy}{dx} = e^x  
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };  
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }  
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{y} </math>  

:<math> \frac{dy}{dx}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} = e^x \cdot \frac{1}{y} = \frac{e^x}{e^x} = 1 </math>  

## கூடுதல் பண்புகள்
நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாட்டைத் தொகையிட,  

:<math>{f^{-1}}(x)=\int\frac{1}{f'({f^{-1}}(x))}\,{dx} + c</math>  

:இத் தொகையீட்டின் மதிப்புக் காண முடிந்தால் மட்டுமே இம்முடிவு பயனுள்ளதாக இருக்கும். குறிப்பாக, தொகையிடப்படும் எல்லைக்குள், <math>f'(x)</math> இன் மதிப்பு பூச்சியமற்றதாக இருக்க வேண்டும்.  

:இதிலிருந்து தொடர்ச்சியான வகைக்கெழு உடைய சார்புகளுக்கெல்லாம், வகைக்கெழுவின் மதிப்பு பூச்சியமாகாத புள்ளிகளின் அண்மையகத்தில் நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும் என்பது தெரிய வருகிறது. வகைக்கெழுச் சார்பு தொடர்ச்சியானது இல்லையெனில் இது உண்மையாக இருக்காது.  

## உயர்வரிசை வகைக்கெழுக்கள்

முதல் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாடு:  

:<math>\frac{dx}{dy}\,\cdot\, \frac{dy}{dx} = 1 \quad\quad(1)</math>  

இவ்வாய்ப்பாட்டை மீண்டும் <math> x </math> ஐப் பொறுத்து வகையிட:  

:<math> \frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} + \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\(\frac{dy}{dx}\)^2 = 0 </math>  

:<math> \frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\frac{dx}{dy} = - \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\(\frac{dy}{dx}\)^2 </math>  

:<math>\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} </math> எனப்பிரதியிட,  

:<math> \frac{d^2y}{dx^2} = - \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\(\frac{dy}{dx}\)^3 \quad\quad(2)</math>.  

:<math> \frac{d^2x}{dy^2} = - \frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{(\frac{dy}{dx})^3} \quad\quad(**)</math>. -நேர்மாறுச் சார்பின் இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாடு  

லாக்ராஞ்சியின் குறியீட்டில்:  

:<math> \(f^{-1}\)*(y) = \frac{-f*(y)}{[f'(y)]^3}</math>  

முடிவு (2) ஐ மீண்டும் <math> x </math> ஐப் பொறுத்து வகையிட,  

:<math> \frac{d^3y}{dx^3} = - \frac{d^3x}{dy^3}\,\cdot\,\(\frac{dy}{dx}\)^4 -  
3 \frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,\frac{d^2y}{dx^2}\,\cdot\,\(\frac{dy}{dx}\)^2</math>  

இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்த,  

:<math> \frac{d^3y}{dx^3} = - \frac{d^3x}{dy^3}\,\cdot\,\(\frac{dy}{dx}\)^4 +  
3 \(\frac{d^2x}{dy^2}\)^2\,\cdot\,\(\frac{dy}{dx}\)^5</math>  

:<math> \frac{d^3x}{dy^3} = \frac{\frac{-d^3y}{dx^3}+  
3 \(\frac{d^2x}{dy^2}\)^2\,\cdot\,\(\frac{dy}{dx}\)^5}{\(\frac{dy}{dx}\)^4}\quad\quad(***)</math> -நேர்மாறுச் சார்பின் மூன்றாம் வகைக்கெழுவிற்கான வாய்ப்பாடு.  

இவ்வாய்ப்பாடுகளின் பொதுமைப்படுத்தலே *ஃபா டி புருனோ*வின் வாய்ப்பாடு ஆகும்.  

## எடுத்துக்காட்டு

- <math>\,y = e^x</math>

இதன் நேர்மாறுச் சார்பு,  

:<math>\,x = \ln y</math>.  

:<math> \frac{dy}{dx} = e^x = y ;</math>  

:<math> \frac{d^2y}{dx^2} = e^x = y ;</math>  

:<math>\(\frac{dy}{dx}\)^3 = y^3;</math>  

இரண்டாம் வகைக்கெழுவிற்கான நேர்மாறு விதியின் வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட,  
:<math>  
\frac{d^2x}{dy^2}\,\cdot\,y^3 + y = 0  
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ };  
\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }\mbox{ }  
\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{1}{y^2}  
</math>,  

:<math>\,x = \ln y</math>. இதனை நேரிடையாக இருமுறை வகையிட்டாலும் இதே முடிவு கிடைப்பதைக் காணலாம்.