# எண்ணளவை

கணிதத்தில், ஒரு கணத்தின் **எண்ணளவை** (*cardinality*) என்பது அக்கணத்திலுள்ள உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கையின் அளவாகும். எடுத்துக்காட்டாக கணம் A = {1,2,3} வில் மூன்று உறுப்புகள் உள்ளன. எனவே A வின் எண்ணளவை மூன்றாகும். இருவழிக்கோப்புகள், உள்ளிடுகோப்புகளைக் கொண்டு கணங்களை நேரிடையாக ஒப்பீடு செய்தல், முதலெண்களைப் பயன்படுத்தல் என இரு வழிகளில் எண்ணளவையானது அணுகப்படுகிறது.  

மற்ற அளவைகளோடு குழப்பம் ஏற்படாதவரை ஒரு கணத்தின் எண்ணளவையானது அக்கணத்தின் **அளவு** எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.  

எண்ணளவையைக் குறிக்க |A|, card(A), #A, n(A) <span>*A*</span> போன்ற குறியீடுகள் பயன்படுத்தப் படுகின்றன.  

## கணங்களை ஒப்பிடுதல்

ஒரு முடிவுறு கணங்களைப் பொறுத்தவரை எண்ணளவை என்பது அக்கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பதாகும். எண்ணளவைக் கருத்துருவை முடிவிலி கணங்களுக்கு நீட்டிக்கும்போது குறிப்பிலா கணங்களை ஒப்பிடும்முறையை வரையறுத்தல் அவசியமாகிறது.  

### வரையறை 1 : | *A* | = | *B* |
:*A* , *B* கணங்களுக்கிடையில், *A* இலிருந்து *B* க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு இருவழிக்கோப்பு (உள்ளிடு மற்றும் முழுக்கோப்பாக அமையும் ஒரு சார்பு) இருக்குமானால், அவ்விரு கணங்களின் எண்ணளவைகள் சமமானவையாக இருக்கும். அதாவது, | *A* | = | *B* |.  
:எண்ணளவை சமமாகவுள்ள கணங்கள் *≈*, *~* ஆகிய குறியீடுகளால் இணைக்கப்படுகின்றன:  
::*A≈B* அல்லது *A~B*  

:எடுத்துக்காட்டு:  
:*E* = {0, 2, 4, 6, ...} - எதிர்மமில்லா இரட்டை எண்களின் கணம்.  
:*N*' = {0, 1, 2, 3, ...} - இயல் எண்களின் கணம்.  
:*f*(*n*) = 2*n* என்ற சார்பு, **N** இலிருந்து *E* க்கு வரையறுக்கப்பட்ட இருவழிக்கோப்பாக உள்ளதால் | *E* | = | *N* | ஆக இருக்கும்.  

### வரையறை 2: | *A* | ≤ | *B* |
*A* இலிருந்து *B* க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உள்ளிடு சார்பு இருக்குமானால், *A* இன் எண்ணளவை *B* இன் எண்ணளவையை விடச் குறைந்ததாகவோ சமமானதாகவோ இருக்கும்.  
::| *A* | ≤ | *B* |  

### வரையறை 3: | *A* | < | *B* |
*A* இலிருந்து *B* க்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு உள்ளிடு சார்பு இருந்து, இருவழிச் சார்பு இல்லாமல் இருந்தால் *A* இன் எண்ணளவை *B* இன் எண்ணளவையை விடக் கண்டிப்பாகக் குறைந்ததாக இருக்கும்.  
::| *A* | < | *B* |  

:எடுத்துக்காட்டு:  
**N** = இயல் எண்களின் கணம்.  
:**R** = மெய்யெண்களின் கணம்.  
: *உள்ளடக்கல்* கோப்பு, *i* : **N** → **R** ஒரு உள்ளிடு சார்பாகும். ஆனால் **N** → **R** வரையறுக்கப்பட்ட எந்தவொரு இருவழிச் சார்பும் கிடையாது என்பதால்  
::| *N* | < | *R* |  

:| *A* | ≤ | *B* | மற்றும் | *B* | ≤ | *A* | எனில் | *A* | = | *B* | (Cantor–Bernstein–Schroeder theorem).  
:தெரிவு அடிக்கோளானது (axiom of choice), *A*,*B* கணங்களுக்கு,| *A* | ≤ | *B* | அல்லது | *B* | ≤ | *A* | ஆக இருக்கும் என்ற கூற்றுக்குச் சமானமானதாகும்.  

## எடுத்துக்காட்டுகளும் பண்புகளும்
- *X* = {*a*, *b*, *c*}, *Y* = {ஆப்பிள், ஆரஞ்சு, கொய்யா} கணங்களுக்கிடையில் { (*a*, ஆப்பிள்), (*b*,ஆரஞ்சு), (*c*, கொய்யா)} என்ற இருவழிச் சார்பு அமைந்துள்ளதால் | *X* | = | *Y* | = 3.
- | *X* | &lt; | *Y* |, எனில் | *X* | = | *Z* | மற்றும் *Z* ⊆ *Y* என்றவாறு *Z* என்ற கணம் இருக்கும்.
- | *X* | ≤ | *Y* | மற்றும் | *Y* | ≤ | *X* | எனில் | *X* | = | *Y* |. இக்கூற்று முடிவிலி கணங்களுக்கும் பொருந்தும்.

## ஒன்றிப்பும் வெட்டும்

*A* , *B* என்பவை சேர்ப்பில்லா கணங்கள் எனில்:  
:<math>\\vert A \cup B \\vert = \\vert A \\vert + \\vert B \\vert.</math>  

இதிலிருந்து ஒன்றிப்பு கணங்கள் மற்றும் வெட்டு கணங்களின் எண்ணளவைகள் கீழ்வருமாறு தொடர்புபடுத்தப்படுகின்றன:  
:<math> \\vert C \cup D \\vert + \\vert C \cap D \\vert = \\vert C \\vert + \\vert D \\vert \,.</math>