# பை (கணித மாறிலி)



**பை (π)** என்பது கணக்குத்துறையில் மிக அடிப்படையான சிறப்பு எண்களில் ஒன்று. ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு (பரிதி), அதன் விட்டத்தைப்போல பை (π) மடங்கு ஆகும். இந்த பை (π) என்பது சற்றேறக் குறைய 3.14159 ஆகும். பழங்காலத்தில் இதனை தோராயமாக <math>\tfrac{22}{7}</math> என்றும் குறித்து வந்தனர். பை அறிவியலிலும் பொறியியல் துறையிலும் மிகவும் பயன்படுவதால், இதனைக் கணிக்க பல சமன்பாடுகளும் தோராயமாக கணக்கிடும் முறைகளும் உண்டு.  

பைக்கு கி.பி.400-500 ஆண்டுகளில் வாழ்ந்த இந்திய அறிஞர் ஆரியபட்டா அவர்கள் கணக்கிட்ட அளவு அண்மைக்காலம் வரையிலும் மிகத் துல்லியமானது. இன்றோ பையின் (π ) அளவை ஒரு டிரில்லியன் பதின்ம (தசம) எண்களுக்கும் மேலாக, மாபெரும் வல்லமை படைத்த கணினிகளைக் கொண்டு கணித்து இருக்கிறார்கள். என்றாலும் பையின் பதின்ம எண் வரிசையிலே, எண்கள் எந்த முறையிலும் மீண்டும் மீண்டும் வாராமல் இருப்பது எதிர்பார்க்கப்பட்டது எனினும் ஒரு வியப்பான செய்தி. இந்த பையின் பதின்ம(தசம) எண்கள் வரிசையில் முடிவேதும் இல்லை. இவ்வகை எண்கள் முடிவிலா துல்லியவகையைச் சேர்ந்த சிறப்பு எண்கள். இதனை வேர்கொளா சிறப்பு எண்கள் என அழைக்கப்படும்.  

பை (π) என்னும் எழுத்தானது வட்டத்தின் விட்ட வகுதியை குறித்ததற்கு வரலாற்றுக் காரணம், கிரேக்கர்கள் வட்டத்தின் சுற்றளவை குறிக்க *பெரிமீட்டர்* "*περίμετρον*" (பரிதி) என்னும் சொல்லை ஆளுவதால் அதன் முதல் எழுத்தாகிய பை (π) யைப் பயன்படுத்தினர். இன்று அனைத்துலக மொழிகளிலும் இவ்வெழுத்தே  
எடுத்தாளப்பெறுகின்றது.  

**பை**யின் மதிப்பு சற்று கூடிய துல்லியத்தோடு இதோ:  

| 3. | 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 | } |
| --- | --- | --- |
பையானது ஒரு கணித மாறிலி ஆகும் இது சராசரியாக 3.14159 ஆகும். யூக்ளிடின் வடிவியலில் இது வட்டத்தின் சுற்றளவிற்கும் விட்டத்திற்கும் இடையிலான விகிதமாக கூறப்படும். கணிதத்திலும் பௌதிகவியலிலும் இது பரவலாக பயன்படுத்தப்படும் ஒரு மாறிலி ஆகும் பைக்கான கிரேக்க கணித குறியீடு வில்லியம் john's அவர்களால் 1706 இல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது அத்துடன் இது ஆக்கிமிடிசின் மாரிலியாகவும் கூறப்படுகின்றது.  

பையானது விகிதமுறா எண்ணாக காணப்படுவதால் தனி ஒரு பெண்ணாக இது எடுத்துரைக்க பட முடியாதது ஆகும் அத்துடன் இதன் பெறுமதி சராசரியாக 22/7 ஆக பயன்படும் மீளுவதாகவும் அல்லது முடிவதாகவும் பையின் பெறுமதி காணப்படுவதில்லை.  

பையானது ஒரு விஞ்சிய ஆக காணப்படுகின்றது ஆகையினால் சார்ந்த சில கணித புதிர்கள் இன்னும் தீர்க்கப்படாமல் உள்ளன புராதான பாபிலோனியர்கள் உம் எகிப்தியர்களும் பையின் தோராய மதிப்பு எட்டியுள்ளனர்  

ஆர்க்கிமிடிஸ் பைக்கான ஒரு தோராய அல்கோரிதத்தினை உருவாக்கினார் அத்துடன் சீன கணிதம் இதற்கு ஏழு வசனங்களிலும் இந்திய கணிதம் ஐந்து தசமங்கள் இடம் சீரான மதிப்பினை பெற்றனர் இங்கு இரு தரப்பினரும் வடிவியல் நுட்பங்களை பயன்படுத்தினர் என்பது குறிப்பிடத்தக்கது நுண் கணிதத்தின் வருகையின் பின் பையின் பெறுமதியை தோராயமாக 100 தசமங்களுக்கு பெறப்பட்டது இது விஞ்ஞான மற்றும் கணித சாதாரண தேவைகளுக்கு போதுமானதாக இருந்தது 20 இருபத்தி ஓராம் நூற்றாண்டில் தொழில்நுட்பத்தின் அபார வளர்ச்சியின் காரணமாக பையின் பெறுமதி கோடிக்கணக்கான தசமங்களிற்கு பெறப்பட்டது கைக்கான பெறுமதி திரிகோண கணிதத்திலும் வடிவியலில் உம் வட்டங்கள்  நீள் வட்டங்கள் கோலங்கள் சார்பாக பல சமன்பாடுகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன தனது ஆதிக்கத்தினை கணிதத்திலும் பகுதிகளிலும் பரவலாக செலுத்துகின்றது இதனால் பை சார்பான புத்தகங்கள் வெளியிடப்பட்டுள்ளன *அடிப்படைகள்*  

_பெயர்_  

பையின் பெயர் கிரேக்க எழுத்துகளில் இருந்து பெறப்பட்டதாகும் இது சுற்றளவு எனப் பொருள்படுகிறது  

_விளக்கம்_  

பையானது பொதுவாக வட்டத்தின் சுற்றளவு மற்றும் திட்டத்திற்கு இடையிலான வீதமாக குறிப்பிடப்படுகின்றது இது ஒரு பொதுவான ஒரு மாறிலியாக காணப்படுகின்றது உதாரணமாக ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு இருமடங்காக அதிகரிக்கும் போது அதனுடைய விட்டமும் அதிகரிக்கின்றது இருமடங்காக அத்துடன் எந்த ஒரு ஒழுங்கான வட்டத்திற்கும் இந்த விகிதம் சமமாக ஆனதாகவும் இந்த நியதி போதுமானதாகும் காணப்படுகின்றது  

## **பை** (<math>\pi</math>) யின் சில பண்புகள்
- *π* என்பது ஒரு வகுனி அல்லா எண் (irrational number). அதாவது விகிதம் போல் வகு கோட்டுக்கு மேலும் கீழும் முழு எண்களைக்கொண்ட ஒரு வகுனி எண்ணாக எழுத இயலாத எண் [குறிப்பு: வகுனி எண்= வகும எண் = விகித எண், வகுதி எண்]. இம்முடிவை 1761 ஆம் ஆண்டு திரு. *சோஃஆன் ஃஐன்ரிச் லாம்பெர்ட்* (Johann Heinrich Lambert) என்பார் நிறுவினார் (நிறுவுதல் = எண்பித்தல், எண் என்றால் எளிய என்றும் பொருள்).
- *π* ஒரு வேர்கொளா எண். இம்முடிவை 1882 ஆம் ஆண்டு திரு. *ஃவெர்டினாண்டு ஃவான் லிண்டமன்* (Ferdinand von Lindemann) நிறுவினார் (எண்பித்தார்). பை என்பது துல்லியம் கடந்த எண் என்பதால் இதனை வகுனிகளால் ஆன குணகள் கொண்ட எந்தவொரு ஒரு பல்லடுக்கனின் (பல்லடுக்குத் தொடரால் ஆன ஒரு செயற்கூறின்) (polynomial]) வேர் எண்ணாகவும் (root) பெறமுடியாது.

## சில பயனுடைய ஈடுகோள்கள் (formulae, equations)
### வடிவவியல்
*π* என்பது இயல்பாகவே வடிவவியலில் வட்டம் உருண்டை, உருளை போன்றவற்றை பற்றிய உண்மைகளைக் குறிக்கும் பல சமன்பாடுகளில் (ஈடுகோள்களில்) வரக் காணலாம்.  

| ஆரம் *r* மற்றும் விட்டம் *d* எனில் வட்டத்தின் சுற்றளவு, | <math>C = 2 \pi r = \pi d \,\!</math> |  |
| --- | --- | --- |
| *r* என்பது ஆரம், *d* என்பது விட்டம் எனில் வட்டத்தின் பரப்பு | <math>A = \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi d^2 \,\!</math> |  |
| ஒரு நீள்வட்டத்தின் இரு அச்சுகளும் *a* மற்றும் *b* ஆனால் அதன் பரப்பு | <math>A = \pi a b \,\!</math> |  |
| ஆரம் *r* மற்றும் விட்டம் *d* எனில் ஒரு கோளத்தின் கனவளவு | <math>V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{1}{6} \pi d^3 \,\!</math> |  |
| ஆரம் *r* மற்றும் விட்டம் *d* எனில் ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பளவு | <math>A = 4 \pi r^2 = \pi d^2 \,\!</math> |  |
| ஆரம் *r*, உயரம் *h* எனில் உருளையின் கனவளவு | <math>V = \pi r^2 h \,\!</math> |  |
| ஆரம் *r*, உயரம் *h* எனில் உருளையின் மேற்பரப்பளவு | <math>A = 2 ( \pi r^2 ) + ( 2 \pi r ) h = 2 \pi r (r + h) \,\!</math> |  |
| ஆரம் *r*, உயரம் *h* எனில் ஒரு கூம்பின் கனவளவு | <math>V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \,\!</math> |  |
| ஆரம் *r*, உயரம் *h* எனில் ஒரு கூம்பின் மேற்பரப்பளவு | <math>A = \pi r \sqrt{r^2 + h^2} + \pi r^2 = \pi r (r + \sqrt{r^2 + h^2}) \,\!</math> | } |

கோணத்தில் 180° பாகை என்பது *π* ரேடியன் ஆகும் (ரேடியன் = ஆரையம்?)  

### பகுப்பாய்வில் பயன்படும் சில ஈடுகோள்கள்

- ஓரலகு வட்டையின் (unit disc) பரப்பின் பாதி:
:<math>\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}</math>  

- ஓரலகு வட்டத்தின் (unit circle) சுற்றளவின் பாதி:
:<math>\int_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi</math>  

- ஃவிரான்சுவா வியெட் (François Viète), 1593 (நிறுவல்):
:<math>\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots = \frac2\pi</math>  

- Leibniz' formula (proof):
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}</math>  

- Wallis product (proof):
:<math> \prod_{n=1}^{\infty} \ ( \frac{n+1}{n} \ )^{(-1)^{n-1}} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2} </math>  

- Faster product (see Sondow, 2005 and Sondow web page )
:<math> \ ( \frac{2}{1} \ )^{1/2} \ (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \ )^{1/4} \ (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \ )^{1/8} \ (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \ )^{1/16} \cdots = \frac{\pi}{2} </math>  

- Symmetric formula (see Sondow, 1997)
:<math> \frac {\prod_{n=1}^{\infty} \ (1 + \frac{1}{4n^2-1} \ )}{\sum_{n=1}^{\infty} \frac {1}{4n^2-1}} = \frac {\ (1 + \frac{1}{3} \ ) \ (1 + \frac{1}{15} \ ) \ (1 + \frac{1}{35} \ ) \cdots} { \frac{1}{3} + \frac{1}{15} + \frac{1}{35} + \cdots} = \pi </math>  

- Bailey-Borwein-Plouffe algorithm (See Bailey, 1997 and Bailey web page )
:<math>\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\(\frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\) = \pi</math>  

- An தொகையீடு formula from நுண்கணிதம் (see also பிழைச் சார்பு and இயல்நிலைப் பரவல்):
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>  

- Basel problem, first solved by Euler (see also ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்):
:<math>\zeta(2)= \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}</math>  
:<math>\zeta(4)= \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}</math>  
:and generally, <math>\zeta(2n)</math> is a rational multiple of <math>\pi^{2n}</math> for positive integer n  
- காமா சார்பியம் evaluated at 1/2:
:<math>\Gamma\({1 \over 2}\)=\sqrt{\pi}</math>  

- Stirling's approximation:
:<math>n! \sim \sqrt{2 \pi n} \(\frac{n}{e}\)^n</math>  

- ஆய்லரின் முற்றொருமை (called by ரிச்சர்டு பெயின்மான் "the most remarkable formula in mathematics"):
:<math>e^{i \pi} + 1 = 0\;</math>  

- A property of ஆய்லரின் டோஷண்ட் சார்பு (see also Farey sequence):
:<math>\sum_{k=1}^{n} \phi (k) \sim \frac{3n^2}{\pi^2}</math>  

- An application of the residue theorem
:<math>\oint\frac{dz}{z}=2\pi i ,</math>  
:where the path of integration is a closed curve around the origin, traversed in the standard counterclockwise direction.  

### தொடர் பின்னம் (= தொடர் பிள்வம்) (Continued fractions)
கீழ்க்காணும் தொடர் பின்னத்தில், முழு எண்கள் ஒற்றைப் படைத் தொடராக 1,3,5,7.. என்றும் பின்னத்தில் மேலே உள்ள எண்கள் ஈரடுக்கு எண்களாக (2<sup>2<sup>, 3<sup>2<sup>,4<sup>2<sup>, 5<sup>2<sup> ), 4,9,16,25.. எனவும் ஒரு சீராக மாறுவதைப் பார்க்கலாம்.  

:<math> \frac{4}{\pi} = 1 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{4}{5 + \cfrac{9}{7 + \cfrac{16}{9 + \cfrac{25}{11 + \cfrac{36}{13 + \cdots}}}}}} </math>  
(மற்ற முறைகளில் அமைத்த ஈடுகோள்களை வுல்ஃபரம் வலைத்தளத்தில் காணலாம்  

### எண் கருத்தியல் கொள்கை
எண்ணியல் கொள்கைகளில் இருந்து சில முடிவுகள்::  
- இரு சீரிலி எண்களை தேர்ந்தெடுத்தால், அவை ஒன்றுக்கொன்று பகாஎண்களாக இருப்பதன் வாய்ப்பு 6/*π*<sup>2</sup> என்பதாகும்.

### இயற்பியல்
அடிப்படை வானவியல் போன்ற இயற்பியல் துறைகளில் உண்மைகளைக் காணும்பொழுது *π* என்னும் எண் பரவலாக வரக் காணலாம்.  

- பிரபஞ்சவியல் மாறிலி:
:<math>\Lambda = \rho</math>  
- ஐசன்பர்கின் ஐயப்பாட்டுக் கொள்கை:
:<math> \Delta x \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} </math>  
- பொதுச் சார்புக் கோட்பாட்டில் ஐன்ஸ்டைனின் மண்டலச் சமன்பாடுகள்:
:<math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} </math>  
### மின் மற்றும் காந்தவியலில்
- மின்விசைக்கான கூலோமின் விதி:
:<math> F = \frac{\q_1q_2\}{4 \pi \epsilon_0 r^2}</math>  
- வெற்றிடத்தில் காந்த உட்புகு திறன்:
:<math> \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,</math>  

### நிகழ்தகவும் புள்ளியியலும்
நிகழ்தகவிலும் புள்ளியியலிலும்<math>\pi </math> -ஐக் கொண்டுள்ள வாய்ப்பாடுடைய நிகழ்தகவுப் பரவல்கள் பல உள்ளன, அவற்றில் சில கீழே தரப்பட்டுள்ளன:  
- சராசரி - மற்றும் திட்ட விலக்கம் - கொண்ட இயல்நிலைப் பரவலின் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு (காசியன் தொகையீட்டின்படி):

:: <math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}</math>  
- கோஷி பரவலின் நிகழ்தவு அடர்த்திச் சார்பு:

:: <math>f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}.</math>  

எந்தவொரு நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு -க்கும் <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1</math> என்பதால் மேலே தரப்பட்டுள்ள வாய்ப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி <math>\pi </math> -க்கான ஏனைய தொகையீட்டு வாய்ப்பாடுகளைக் காணலாம்.