# பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரித்தல்

இயற்கணிதத்தில், **பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரித்தல்** (*Partial fraction decomposition*) என்பது, ஒரு விகிதமுறு சார்பை ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையினதும் ஒன்று அல்லது பல எளிய பகுதிகளைக் கொண்ட பின்னங்களினதும் கூடுதலாக எழுதும் செயலாகும். சில சமயங்களில், அவ்வாறு பிரித்து எழுதுவதில் இருக்கக்கூடிய பல்லுறுப்புக்கோவை பூச்சியமாகவும் இருக்கக் கூடும். இச்செயல் *பகுதிப் பின்னங்களாக விரித்தல்* (partial fraction expansion) எனவும் அழைக்கப்படும். விகிதமுறு சார்புகளின் எதிர்வகைக்கெழு காண்பதற்குப் பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரிப்பது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.  

*ƒ* , *g* பல்லுறுப்புக்கோவைகளைக் கொண்ட விகிதமுறு சார்பு <math> \frac{f(x)}{g(x)} </math> எனில் அதனைப் பின்வருமாறு பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரிக்கலாம்:  

: <math> \sum_j \frac{f_j(x)}{g_j(x)} </math> இதில் *g*<sub>*j*</sub>&nbsp;(*x*) என்பவை *g*(*x*) இன் காரணிகளாக அமையும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும். எனவே அவற்றின் படி *g*(*x*) இன் படியை விடச் சிறியதாக இருக்கும்.  

ஒரு விகிதமுறு பின்னத்தைப் பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரித்தெழுதும்போது அதிலுள்ள பின்னங்களின் பகுதிகள் காரணிப்படுத்தப்பட முடியாத பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகவும், தொகுதிகள் அவற்றுக்கான பகுதியை விடச் சிறிய படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவைகளாவும் இருக்கும்.  

எடுத்துக்காட்டுகள்:  

: <math>f(x)=x^2+3x+4+\frac{1}{(x-1)} + \frac{1}{(x - 1)^3} + \frac{x + 1}{x^2+1}+\frac{1}{(x^2+1)^2}.</math>  

: <math>\frac{1}{x^2+2x-3} =\frac{1}{4}\(\frac{-1}{x+3}+\frac{1}{x-1}\)</math>  

## வழிமுறை
### வகை 1
:<math>\frac{P(x)}{Q(x)}, </math> இதில் <math>P(x)</math>, <math>Q(x)</math> இரண்டும் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்.  

<math>Q(x)</math> ஐக் காரணிப்படுத்த:  
:<math>Q(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2) \cdots (x-\alpha_n)</math>, இதில் *α*<sub>*i*</sub> வெவ்வேறான மாறிலிகள்; deg&nbsp;*P*&nbsp;<&nbsp;*n*  

: <math>\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{c_1}{x-\alpha_1} + \frac{c_2}{x-\alpha_2} + \cdots + \frac{c_n}{x-\alpha_n}</math>  

இதில், பிரதியிடல் மற்றும் *x* இன் ஒத்த அடுக்குகொண்ட உறுப்புகளின் கெழுக்களைச் சமப்படுத்தல் மூலமாக *c*<sub>*i*</sub> களின் மதிப்புகள் கணக்கிடப்படுகின்றன.  

;எடுத்துக்காட்டு  

: <math>f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3}</math>  

<math>x^2+2x-3</math> ஐக் காரணிப்படுத்த:  

: <math>q(x)=x^2+2x-3=(x+3)(x-1)</math>  

எனவே பகுதிப்பின்னங்களின் வடிவம்:  
: <math>f(x)=\frac{1}{x^2+2x-3} =\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x-1}</math>  

*x*<sup>2</sup> + 2*x* − 3 ஆல் பெருக்க  
: <math>1=A(x-1)+B(x+3)</math>  

*x* = −3 எனப் பதிலிட *A* = −1/4; *x* = 1 எனப் பதிலிட *B* = 1/4 எனக் கிடைக்கிறது.  
: <math>f(x) =\frac{1}{x^2+2x-3} =\frac{1}{4}\(\frac{-1}{x+3}+\frac{1}{x-1}\)</math>  

### வகை 2
சுருக்கவியலாக் காரணிகளால் ஆனதாக *Q*(*x*) அமையுமானால், ஒவ்வொரு பகுதிப் பின்னத்தின் தொகுதியும் அப்பின்னத்தின் பகுதியின் படியைவிடக் குறைந்த படியுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையாக இருக்கும்.  

:: <math>\frac{x^2 + 1}{(x+2)(x-1)\color{Blue}(x^2+x+1)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-1} + \frac{\color{OliveGreen}cx + d}{\color{Blue}x^2 + x + 1}.</math>  

### வகை 3
:<math>\frac{P(x)}{Q(x)}</math> இல் *Q*(*x*) = (*x* − *α*)<sup>*r*</sup>*S*(*x*) , *S*(*α*)&nbsp;≠&nbsp;0. எனில், *Q*(*x*) இன் மூலம் *α* இன் மடங்கெண் *r*. <math>\frac{P(x)}{Q(x)}</math> ஐப் பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரிக்கும்போது அதில் *r* பின்னங்களின் பகுதிகள் (*x* − *α*) இன் அடுக்குகளாக அமையும்.  

எடுத்துக்காட்டாக *S*(*x*) =&nbsp;1 எனக் கொண்டால்:  
:<math>\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{(x-\alpha)^r} = \frac{c_1}{x-\alpha} + \frac{c_2}{(x-\alpha)^2} + \cdots + \frac{c_r}{(x-\alpha)^r}.</math>  

;எடுத்துக்காட்டு:  

: <math>\frac{3x + 5}{(1-2x)^2} = \frac{A}{(1-2x)^2} + \frac{B}{(1-2x)}.</math>  
:.  

*x* இன் அடுக்குகளின் குணகங்களைச் சமப்படுத்த:  
: 5 = *A* + *B* , 3*x* = &minus;2*Bx*  
:இச்சமன்பாடுகளிலிருந்து *A* , *B* இன் மதிப்புகள்: *A* = 13/2 and *B* = &minus;3/2.  
:எனவே <math>\frac{3x + 5}{(1-2x)^2}</math> இன் பகுதிப்பின்ன விரிவு:  
: <math>\frac{3x + 5}{(1-2x)^2} = \frac{13/2}{(1-2x)^2} + \frac{-3/2}{(1-2x)}.</math>  

### வகை 4
deg&nbsp;*P*&nbsp; <math> \ge </math> &nbsp;deg&nbsp;*Q* எனில், பல்லுறுப்புக்கோவை நீள்வகுத்தல் முறையில் *P* ஐ *Q* ஆல் வகுத்துக்கொள்ள வேண்டும். இந்த வகுத்தலில் கிடைக்கும் மீதிச் சார்பின் படி வகுக்கும் சார்பின் படியை விடச் சிறியதாக இருக்கும். எனவே மீதிச் சார்பைப் பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரிக்கலாம்.  
::<math>\frac{P(x)}{Q(x)} = E(x) + \frac{R(x)}{Q(x)},</math> (deg&nbsp;*R*</sub>&nbsp;<&nbsp;*n*)  
: இதில் deg&nbsp;*R*</sub>&nbsp;<&nbsp;deg&nbsp;*Q* என்பதால் <math> \frac{R(x)}{Q(x)},</math> ஐப் பகுதி பின்னங்களாகப் பிரிக்கலாம்.  

;எடுத்துக்காட்டு  
: <math>f(x)=\frac{x^3+16}{x^3-4x^2+8x}</math>  
: <math>x^3+16</math> ஐ <math>x^3-4x^2+8x</math> ஆல் வகுக்க:  
: <math>f(x)=1+\frac{4x^2-8x+16}{x^3-4x^2+8x}=1+\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}</math>  

(&minus;4)<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;4×8 = &minus;16 < 0, என்பதால் *x*<sup>2</sup> &minus; 4*x* + 8 ஒரு சுருக்கவியலாக் காரணியாகும். எனவே,  

: <math>\frac{4x^2-8x+16}{x(x^2-4x+8)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-4x+8}</math>  

இருபுறமும் *x*<sup>3</sup> &minus; 4*x*<sup>2</sup> + 8*x* ஆல் பெருக்க,  

: <math>4x^2-8x+16 = A(x^2-4x+8)+(Bx+C)x</math>  

இதில்,  
:*x* = 0 எனப் பதிலிட, 16 = 8*A*, *A* = 2 எனக் கிடைக்கிறது.  
:*x*<sup>2</sup> இன் குணகங்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த, 4 = *A* + *B* = 2 + *B*, *B* = 2 ஆகும்.  
:*x* இன் குணகங்களை இருபுறமும் சமப்படுத்த, &minus;8 = &minus;4*A* + *C* = &minus;8 + *C*, *C* = 0.  
:*A* , *B* ,*C* இன் மதிப்புகளைப் பதிலிட,  
: <math>f(x)=1+2\(\frac{1}{x}+\frac{x}{x^2-4x+8}\)</math>  

### கலப்பு வகை

மேலே தரப்பட்ட அனைத்து வகைகளும் கலந்த ஒரு விகிதமுறு பின்னத்தை பகுதிப் பின்னங்களாகப் பிரித்தலுக்கான ஓர் எடுத்துக்காட்டு:  

: <math>f(x)=\frac{x^9-2x^6+2x^5-7x^4+13x^3-11x^2+12x-4}{x^7-3x^6+5x^5-7x^4+7x^3-5x^2+3x-1}</math>  

இப்பின்னத்தில் தொகுதியின் படியானது பகுதியின் படியை விடப் பெரியதாக இருப்பதால், முதலில் நீள்வகுத்தல் மூலம் கீழுள்ள வடிவிற்கு மாற்றப்படுகிறது.  
: <math>f(x)=x^2+3x+4+\frac{2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x}{(x-1)^3(x^2+1)^2}</math>  

மீதிச் சார்பைப் பகுதிப் பின்னமாக்க,  
: <math>\frac{2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x}{(x-1)^3(x^2+1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{(x-1)^3}+\frac{Dx+E}{x^2+1}+\frac{Fx+G}{(x^2+1)^2}</math>  

இருபுறமும் (*x*&nbsp;&minus;&nbsp;1)<sup>3</sup>(*x*<sup>2</sup> + 1)<sup>2</sup> ஆல் பெருக்க,  

: <math>  

\begin{align}  
& {} \quad 2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x \\  
& =A(x-1)^2(x^2+1)^2+B(x-1)(x^2+1)^2+C(x^2+1)^2+(Dx+E)(x-1)^3(x^2+1)+(Fx+G)(x-1)^3  
\end{align}  
</math>  
இதில்,  
: *x* = 1 எனப் பதிலிட, 4 = 4*C*, *C* = 1.  
: *x* = *i* எனப் பதிலிட, 2 + 2*i* = (*Fi* + *G*)(2 + 2*i*), *Fi* + *G* = 1. இதிலுள்ள மெய் மற்றும் கற்பனைப் பகுதிகளைச் சமப்படுத்த, *F* = 0 , *G* = 1 எனக் கிடைக்கிறது.  
:*x* = 0 எனப் பதிலிட, *A* − *B* + 1 − *E* − 1 = 0, *E* = *A* − *B*.  

: <math>  
\begin{align}  
& {} 2x^6-4x^5+5x^4-3x^3+x^2+3x \\  
& = A(x-1)^2(x^2+1)^2+B(x-1)(x^2+1)^2+(x^2+1)^2+(Dx+(A-B))(x-1)^3(x^2+1)+(x-1)^3 \\  
& = A((x-1)^2(x^2+1)^2 + (x-1)^3(x^2+1)) + B((x-1)(x^2+1) - (x-1)^3(x^2+1)) + (x^2+1)^2 + Dx(x-1)^3(x^2+1)+(x-1)^3  
\end{align}  
</math> ஐ விரித்து x இன் அடுக்குகளின் படி பிரித்தெழுத,  

: <math>  
\begin{align}  
& {} 2 x^6 -4 x^5 +5 x^4 -3 x^3 + x^2 +3 x \\  
& = (A + D) x^6 + (-A - 3D) x^5 + (2B + 4D + 1) x^4 + (-2B - 4D + 1) x^3 + (-A + 2B + 3D - 1) x^2 + (A - 2B - D + 3) x  

\end{align}  
</math>  

x இன் சம அடுக்கு உறுப்புகளின் குணகங்களைச் சமப்படுத்த,  

: <math>  
\begin{align}  
A + D &=& 2 \\  
-A - 3D &=& -4 \\  
2B + 4D + 1 &=& 5 \\  
-2B - 4D + 1 &=& -3 \\  
-A + 2B + 3D - 1 &=& 1 \\  
A - 2B - D + 3 &=& 3 ,  
\end{align}  
</math>  

:*A* = 2 − *D* , −*A* −3 *D* =−4 இரண்டையும் தீர்க்க, *A* = *D* = 1 எனக் கிடைக்கிறது.  
:2B + 4D + 1 &=& 5 இல் *D* = 1 எனப் பதிலிட, *B* = 0 ஆகும்.  
: *E* = *A* − *B* = 1  

*A* , *B* *C* *D*, *E* *F* *G* இன் மதிப்புகளைப் பதிலிட,  

: <math>f(x)=x^2+3x+4+\frac{1}{(x-1)} + \frac{1}{(x - 1)^3} + \frac{x + 1}{x^2+1}+\frac{1}{(x^2+1)^2}.</math>