# நடுப்புள்ளி முக்கோணம்


வடிவவியலில் ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைத்து வரையப்படும் முக்கோணமானது மூல முக்கோணத்தின் **நடுப்புள்ளி முக்கோணம்** (*medial triangle*, *midpoint triangle*) எனப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டாக, முக்கோணம் *ABC* இன் பக்கம் BC இன் நடுப்புள்ளி D, CA இன் நடுப்புள்ளி E, AB இன் நடுப்புள்ளி F எனில், முக்கோணம் *DEF* ஆனது முக்கோணம் *ABC* இன் நடுப்பக்க முக்கோணம் ஆகும். *n* பக்கங்கள் கொண்டஒரு பல்கோணத்தின் நடுப்பக்க பல்கோணத்தின் *n*=3 என்ற மதிப்பிற்கான சிறப்புவகையாக ஒரு முக்கோணத்திற்கு அதன் நடுப்பக்க முக்கோணம் அமைகிறது.  

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று நடுக்கோடுகளுக்கு இணையாகவும் அவற்றின் நீளங்களுக்குச் சமநீளங்கள் கொண்டதாகவும் உள்ள மூன்று கோட்டுத்துண்டுகளால் உருவாக்கப்படும் "நடுக்கோட்டு முக்கோணமும்" நடுப்புள்ளி முக்கோணமும் ஒன்றல்ல; வெவ்வேறானவை.  

## பண்புகள்
- மூல முக்கோணத்தின் நடுக்கோடுகளும், நடுக்கோட்டுச்சந்தியும் நடுப்புள்ளி முக்கோணத்திற்கும் நடுக்கோடுகளாகவும் நடுக்கோட்டுச் சந்தியாகவும் இருக்கும்.
- நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் சுற்றளவானது, மூல முக்கோணத்தின் சுற்றளவில் பாதியளவாகும்.
- நடுப்புள்ளி முக்கோணம் வரையப்படுவதால் மூல முக்கோணத்தில் உண்டாகும் நான்கு முக்கோணங்களும் (நடுப்புள்ளி முக்கோணம் அடங்கலான) ஒன்றுக்கொன்று சர்வசமமான முக்கோணங்களாக இருப்பதால், நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் பரப்பளவானது மூல முக்கோணத்தின் பரப்பளவில் நான்கில் ஒரு பங்காக இருக்கும்.
- நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் செங்கோட்டுச்சந்தி, மூல முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட மையமாகும்.
- நடுப்புள்ளி முக்கோணமானது, மூல முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்ட மையத்தின் பாத முக்கோணம் ஆகும்.
- மூல முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டம், நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் சுற்று வட்டமாக அமையும்.
- நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் நாகெல் புள்ளியானது மூல முக்கோணத்தின் உள்வட்ட மையம் ஆகும்.
- மூல முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கும் செங்கோட்டுச்சந்தியையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகளின் நடுப்புள்ளிகளை உச்சிகளாகக் கொண்ட முக்கோணமானது, நடுப்புள்ளி முக்கோணத்திற்குச் சர்வ சமமாக இருக்கும்.
- மூல முக்கோணத்துக்குள் உள்ள ஒரு புள்ளியானது நடுப்புள்ளி முக்கோணத்துக்குள்ளும் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அப்புள்ளி மூல முக்கோணத்தின் உள்நீள்வட்டத்தின் மையமாக இருக்க முடியும்.
- மூல முக்கோணத்துக்குள் வரையப்படும் முக்கோணங்களுக்குள், அவ்வாறு வரையப்படும்போது கிடைக்கக்கூடிய மீதி மூன்று முக்கோணங்களைவிட அதிகளவுப் பரப்பளவு இல்லாமல் இருக்கக்கூடிய ஒரே முக்கோணம் நடுப்புள்ளி முக்கோணம் மட்டும்தான்.

## ஆட்கூறுகள்
முக்கோணம் ABC இன் பக்க நீளங்கள் a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| எனில் நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள் ( Trilinear coordinates):  
- D = 0 : 1/b : 1/c
- E = 1/a : 0 : 1/c
- F = 1/a : 1/b : 0

## எதிர்நிரப்பு முக்கோணம்
முக்கோணம் *ABC* இன் நடுப்புள்ளி முக்கோணம் *DEF* எனில், *DEF* முக்கோணத்தின் **எதிர்நிரப்பு முக்கோணம்** (anticomplementary triangle) அல்லது எதிர்நடுப்புள்ளி முக்கோணம் (*antimedial triangle*) என *ABC* முக்கோணம் அழைக்கப்படும்.  

முக்கோணம் *ABC* இன் எதிர்நிரப்பு முக்கோணம்:  

உச்சி *C* வழியாக, *AB* பக்கத்துக்கு இணையாகவும், உச்சி **B** வழியாக, *AC* பக்கத்துக்கு இணையாகவும், உச்சி *A* வழியாக, *BC* பக்கத்துக்கு இணையாகவும் வரையப்படும் மூன்று கோடுகளாலும் அடைவுபெறும் முக்கோணம் *ABC* முக்கோணத்தின் எதிர்நிரப்பு முக்கோணமாக இருக்கும் .  

முக்கோணம் *ABC* இன் எதிர்நிரப்பு முக்கோணம் *D'E'F*' எனில் அதன் உச்சிகளின் முக்கோட்டு ஆட்கூறுகள்:  
- D' = &minus;1/a : 1/b : 1/c
- E' = 1/a : &minus;1/b : 1/c
- F' = 1/a : 1/b : &minus;1/c