# லெஜாண்டர் குறியீடு

கணிதத்தில் எண் கோட்பாடு என்ற பிரிவில் ஆய்லர் (1707-1783), லெஜாண்டர்(1752-1833) முதலியோர் தொடங்கிவைத்த இருபடிய எச்சம் என்ற கருத்துக்கு **லெஜாண்டர் குறியீடு** (Legendre Symbol) மிக்க பயனளிப்பது.  

## இருபடிய எச்சம்

: <math>a</math> என்ற எண் <math>p</math> என்ற எண்ணின் **இருபடிய எச்சம்** என்பதற்கு இலக்கணம்:  

: ஏதாவதொரு எண் <math>x</math> க்கு, <math>a \equiv x^2 (mod p)</math> என்ற சமான உறவு.  

: '<math>a</math> என்ற எண் <math>p</math> என்ற எண்ணின் இருபடிய எச்சம்'  

என்பதை வேறுவிதமாக, அதாவது,  

: 'மாடுலோ <math>p</math> க்கு, <math>a</math> ஒரு இருபடிய எச்சம்'  

என்றும் சொல்வதுண்டு:  

எடுத்துக்காட்டாக,  

: <math>2 \equiv 3^2 (mod 7) \therefore 2, 7</math> இனுடைய இருபடிய எச்சம். அல்லது, மாடுலோ 7 க்கு 2 ஒரு இருபடிய எச்சம்.  

## லெஜாண்டர் உண்டாக்கிய குறியீடு

a, p இரண்டும் **பரஸ்பரப்பகாதனிகள்** (coprime) என்று கொள்வோம். இப்பொழுது,லெஜாண்டர்  

::<math>\(\frac{a}{p}\)</math>  

என்ற குறியீட்டுக்கு கீழ்க்கண்டபடி பொருள் கற்பித்தார். அதாவது  

மாடுலோ <math>p</math> க்கு, <math>a</math> ஒரு **இருபடிய எச்சம்** என்பதை <math>\(\frac{a}{p}\) = +1 </math> என்றும்  

மாடுலோ <math>p</math> க்கு, <math>a</math> ஒரு **இருபடிய எச்சமல்லாதது** என்பதை <math>\(\frac{a}{p}\) = -1</math> என்றும்  

குறிகாட்டுவோம்.  

## எடுத்துக்காட்டு

<math>{25}^2 = 13(mod 17) \therefore \(\frac{13}{17}\) = +1.</math>  

<math>x^2 = 5(mod 17)</math> க்கு தீர்வு கிடையாது. <math> \therefore \(\frac{5}{17}\) = -1.</math>  

## லெஜாண்டர் குறியீட்டின் சில பண்புகள்

- <math>a \equiv b(mod p),</math> என்றால்
<math>\(\frac{a}{p}\) = \(\frac{b}{p}\)  
</math>  
- <math>
\(\frac{1}{p}\) = 1  
</math>  
- <math>a, p</math> இரண்டும் பரஸ்பரப்பகாதனிகள் என்றால், <math>\(\frac{a^2}{p}\) = +1</math>
- <math>a, p</math> பரஸ்பரப்பகாதனிகளகவும், <math>b, p</math> பரஸ்பரப்பகாதனிகளகவும் இருந்தால்,
: <math>\(\frac{ab}{p}\) = \(\frac{a}{p}\)\(\frac{b}{p}\)</math>  

- <math>
\(\frac{-1}{p}\)</math> = <math>(-1)^{(p-1)/2}</math> =<math>\begin{cases}  
1 & if p \equiv 1(mod 4)\\  
-1 & if p \equiv 3(mod 4)  
\end{cases}</math>  

  - <math>
\(\frac{2}{p}\) = (-1)^{(p^2-1)/8}=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }7 \pmod{8} \\-1\mbox{ if }p \equiv 3\mbox{ or }5 \pmod{8} \end{cases}</math>  

- <math>
\(\frac{2}{p}\) = (-1)^{(p^2-1)/8}=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }7 \pmod{8} \\-1\mbox{ if }p \equiv 3\mbox{ or }5 \pmod{8} \end{cases}</math>  
- <math>
\(\frac{3}{p}\)=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }11 \pmod{12} \\-1\mbox{ if }p \equiv 5\mbox{ or }7 \pmod{12} \end{cases}</math>  
- p > 2 ஒரு பகாதனி என்றால்

<math>\(\frac{5}{p}\)=\begin{cases}1\mbox{ if }p \equiv 1\mbox{ or }4 \pmod5 \\-1\mbox{ if }p \equiv 2\mbox{ or }3 \pmod5 \end{cases}</math>  

## இருபடிய நேர் எதிர்மையின் லெஜாண்டர் குறியீட்டு வாசகம்

காஸின் ** இருபடிய நேர் எதிர்மை ** இப்பொழுது ஒரு எளிதான வாசகத்தைக்கொள்கிறது:  

::p > 2, q > 2 இரண்டும் பகாதனிகள் என்றால்,  

:<math>  
\(\frac{q}{p}\) = \(\frac{p}{q}\)(-1)^{ ((p-1)/2) ((q-1)/2) }  
</math>  

## குறியீட்டின் பயன்பாடு

எ.கா.: <math>-70 , 93</math> இன் ஒரு இருபடிய எச்சமா அல்லவா என்பதைப்பார்ப்போம்:  

::<math>\(\frac{-70}{93}\) = \(\frac{(-1)(7)(2)(5)}{93}\)</math>  

= <math> \(\frac{-1}{93 }\)\(\frac{7}{93}\)\(\frac{2}{93}\)\(\frac{5}{93}\)</math>  

<math>= (-1)^{46} \(\frac{93}{7 }\) (-1)^{1081} \(\frac{93}{5}\)  

=(-1)\times \(\frac{2}{7}\)\(\frac{3}{5}\)  

= (-1) \times (+1)(-1) = +1 </math>  

<math>\therefore -70, 93</math> இன் இருபடிய எச்சமே.