# வடிவியற்கட்டம்

மரபார்ந்த மற்றும் குவாண்டம் இயங்கியலில், **வடிவியல் கட்டம்** (*(Geometric and topological phases*), அல்லது **பஞ்சரத்தினம்-பெர்ரி கட்டம்** (*Pancharatnam–Berry phase*) எனப்படுவது ஒளியியலில் தளவிளைவுற்ற ஒளிக்குறுக்கீட்டு விளைவில் தளவிளைவுநிலையில் உண்டாகும் மாறுபாட்டில சோதனைரீதியாகவும் கோட்பாட்டுரீதியாகவும் சி. பஞ்சரத்தினம் என்பவரால், 1955-ஆம் ஆண்டு கண்டறியப்பட்டது. இருப்பினும், அவற்றின் முக்கியத்துவம் படிக ஒளியியலையும், மின்காந்த அலை வானியற்பியலையும் (Radio astronomy) கடந்து பெரிதாக அறியப்படவில்லை. அதே போன்ற விளைவை, குவாண்டவியலில் குவாண்டத் துகளின் குவாண்டநிலையானது அது சூழப்பட்டிருக்கும் சூழ்நிலையில் ஏற்படும் மாற்றத்தால், குவாண்டத்துகளின் நிலையில் எவ்வாறுப் பாதிக்கிறது என்பதை கோட்பாட்டுரீதியாக, மைக்கேல் பெர்ரி என்பவர் 1984 ஆம் ஆண்டு விளக்கினார்.  

## விளக்கம்
எந்தவொரு சீரான எளிய இயக்கத்தையும் அலைகளாகக் குறிப்பிடும் பொருட்டு, அதன் வீச்சு (அகடு-முகடு), அதிர்வெண் அல்லது அலைநீளம், அலை ஆரம்பிக்கும் போது கட்டம் என சிலப் பண்புகளைக் குறிப்பது வழக்கம். எந்த இடத்திலிருந்து அலை ஆரம்பிக்கிறது என்பது கட்டத்தில் பொதிந்துள்ளது. கட்ட வேறுபாடு என்பது ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட அலைகளை, ஏதாவது ஒருப் புள்ளியில் அல்லது நேரத்தில், அதன் வீச்சின் அளவில் மாறுபாடு இருக்கும் பட்சத்தில், அவ்வலைகள் கட்டவேறுபாட்டுடன் உள்ளது எனலாம். இவ்வகைக் கட்ட வேறுபாடானது, நாம் எந்த நேரத்தில் அலைகளைக் காண்கிறோம் என்பதைப் பொறுத்து மாறும் வகையன, அலைகளின் தன்மையை அறியும் பொருட்டு, இந்த கட்டவேறுபாட்டை அறிந்து ஒதுக்கி விடலாம், அதாவது, ஒரு செய்தியை மீண்டும் மீண்டும் அலைவடிவில் அனுப்பும் போது, செய்தியைக் கேட்க ஆரம்பிக்கும் பொழுது, பாதியில் இருந்து ஆரம்பித்தால் கூட மீண்டும் அதே செய்தியைக் கேட்டுவிட்டால், முழுமையான செய்தி கிடைத்துவிடும். ஆக கட்டவேறுபாடானது சில நேரங்களில், முக்கியத்துவமில்லாதவை.  

ஆனால் வடிவியல் கட்டங்கள் தளவியல் அடிப்படையிலும், இயக்கத்தின் சார்பகத்தையும் (functional) -- சார்பு<nowiki/>சார்ந்த சார்பையும் -- பொறுத்து அமைவன. உதாரணமாக, ஃஇல்பர்ட் வெளியில் (Hilbert space) குவாண்டவியலின் நிலைகளைக் குறிக்கும் பொழுது, வடிவியல் கட்டங்களை ஃஇல்பர்ட் வீழல் வெளியிலேயேத் (Projected Hilbert Space) தெரிவன. இவை தவிர்க்கமுடியாத கட்டவேறுபாடு ஆகும். உதாரணமாக <math>| \psi\rangle \in \mathcal{H}^{\otimes d} </math> என்பது d-பரிமாணங்கொண்ட ஃஇல்பர்ட் வெளியில் உள்ளன. <math> \alpha_1 |\psi_1\rangle, \alpha_2 |\psi_1\rangle, \alpha_3 |\psi_1\rangle, \ldots </math>, இதில் <math> \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \ldots \in \mathbb{C}</math> வெறும் சிக்கலெண்கள் கெழுக்களே, அவை ஒரே குவாண்ட நிலையைக் குறிப்பன. அதே சமயம் <math> \alpha_1 |\psi_1\rangle, \alpha_2 |\psi_1\rangle, \alpha_3 |\psi_1\rangle, \ldots \in \mathbb{C}P^1 </math> என்பன வீழல் ஃஇல்பர்ட் வெளியில், வெவ்வேறு குவாண்டநிலையைக் குறிப்பனவாக அமையும்.  

ஒளியியலுக்கும், அணிகள் வழியான குவாண்டவியலுக்கும் நேரியல் இயற்கணிதத்திற்கும் தொடர்புகள் உண்டு, இதன்படி, குவாண்டநிலைகளை அணிவழியாகக் குறிப்பிடுவது போல், அணி-வழி-ஒளியியலில் தளவிளைவை அணிகள் மூலமாகக் குறிப்பிடலாம். இதன் படி ஃஇல்பர்ட், ஃஇல்பர்ட் வீழல் வெளிகளுக்கு சமானமான கணித அமைப்புகளை ஒளியியலிலும் காணலாம். தளவிளைவுற்ற ஒளியின் தளப் பண்பை போன்கரே கோளத்தில் (<math>S^2</math> (2-sphere)) குறிக்க முடியும். யூக்ளிட்/கார்டீசியின் வெளியில் உள்ள தளவிளைவுப் பண்பை, துணைமாறிகளைக் கொண்டு ஒரு கோளத்திற்கு மாற்றி உருவாக்கியதே ஒளியியல் போன்கரே கோளமும், குவாண்டவியல் பிளாஃக் கோளமும்.  

## பஞ்சரத்தின வடிவியற்கட்டம்

### ஒளியியல் ஆய்வுகள்
ஒளிக்கடத்திகளில் உள்ள மூலக்கூறுகள், மின்காந்தக் குறுக்கலைகளாகப் பரவும் ஒளி அலைகளுடன் ஊடாடி, அவை வெவ்வேறு வகைகளில் விலக்கவும் வேறு அலைநீளங்கள் கொண்ட ஒளிகளாகவும் ஆக்குவன. எடுத்துக்காட்டாக, ஆடிகள், ஒளி குவி, குழி வில்லைகள் எல்லாம் அம்மாதிரியான விளைவுகளை உண்டு பண்ணுவது. சில வகையான ஒளிக்கடத்திகள் அவ்வாறு ஒளியைக் கடத்தும் பொழுது, ஒளி ஊடகத்திற்குள்ளேயே ஒவ்வொரு திசையிலும் ஒவ்வொரு மாதிரியான ஒளிப் பண்புகளை மாற்றக் கூடியன. டூர்மலைன் எனப்படும் படிகங்கள் இரண்டு விதமான விலகல் திறனை வெவ்வேறு திசைகளில் கொண்டிருப்பன. அப்படி இரு விலகல் திறன் கொண்ட ஊடகங்கள் தளவிளைவுற்ற ஒளிக் கற்றைகளைக் கொண்டதாகவும் இருக்கும்.  

ஒரு தளத்தில் தளவிளைவு பெற்ற ஒளியை, மற்றொரு தளத்தில் உள்ள தளவிளைவாக்கியுள் அனுப்பினால், மூலக்கூறின் ஒளிப் பண்பானது ஒரு தளத்திலும், ஒளியின் தளம் இன்னொரு தளத்திலும் இருப்பதால்., இரண்டும் ஊடாட முடியாது, அதன் விளைவாய் உள்ளே அனுப்பபடும் ஒளியானது, தளவிளைவாக்கியை விட்டு, இயற்பியல் கோட்பாட்டின் படி, வெளிவர முடியாது.  

அதே போல, இரு வேறு தளங்களில் தளவிளைவுற்ற ஒளிக்கற்றைகளைக் குறுக்கிடச் செய்வதும், மேலுள்ள சோதனையைப் போன்றே ஒளிக்கற்றைகள் ஒன்றையொன்று ஊடாடாமல் செல்லும் தன்மை கொண்டதாக அமையவேண்டும். பஞ்சரத்தினம் இம்மாதிரியான தளவிளைவுற்ற ஒளி ஒன்றையொன்று ஊடாடி, குறுக்கீட்டுவிளைவு ஏற்படுத்துவதின் கோட்பாட்டைக் கண்டறிந்தார்.  

#### தளவிளைவற்ற ஒளியின் குறுக்கீட்டுவிளைவு
மேலும். ஒரே நிறம் கொண்ட தளவிளைவுறா ஒளியில், அதாவது, சோடியம் விளக்கில் இருந்து வரும் மஞ்சள் ஒளிக் கற்றைகள் ஒன்றையொன்று ஊடாடிக் குறுக்கீட்டு விளைவை உண்டு பண்ணும் பொழுது, அவை, அலைகளின் அகடு முகட்டிற்கு ஏற்பவும், கட்ட வேறுபாட்டைப்--இரு வேறு ஒளிக் கற்றைகளை கடந்து வரும் பாதையில் உள்ள தொலைவு வேறுபாட்டினால் உண்டாகும் கட்ட வேறுபாடு,-- பொறுத்தும் உண்டாகும். இக்கட்ட வேறுபாடானது எதாவது ஒரு ஒளிக்கற்றையையோ அல்லது இரு ஒளிக்கற்றைகளின் தூரத்தை மாற்றும் போது, குறுக்கீட்டு விளைவினால் உண்டாகும், வெண் மற்றும் இருள் பட்டைகளின் தன்மையை மாற்ற இயலும். எடுத்துக்காட்டாக, O<sub>1</sub> மற்றும் O<sub>2</sub> என்பதை இரண்டு ஒளிக்கற்றைகளின் அலைவீச்சின் அளவாகக் கொண்டால், அந்த ஒளிக்கற்றைகள் கூடினால், ஒளிச்செறிவில் (அலைவீச்சின் இருமடி) ஏற்படும் மாற்றம் இவ்வாறுக் குறிக்கப்படுகிறது.  

:<math>\begin{align}  
I &= O \cdot O \\  
&= (O_1 + O_2) \cdot (O_1+O_2)\\  
&= O_1 \cdot O_1 + O_2 \cdot O_2 + O_1 O_2 \cos{\delta} + O_1 O_2 \cos{\delta} \\  
&= O_1^2 +O_2^2 +2 O_1 O_2 \cos{\delta}  
\end{align}</math>  
என வழங்கப் பெறும். <math>\delta</math> என்பது கட்டவேறுபாடு ஆகும்.  

தற்பொழுது, தளவிளைவுற்ற ஒளிக்கற்றைகளை வைத்து இவ்வாறு குறுக்கிடச் செய்யும் பொழுது, கோட்பாட்டின் படி குறுக்கீட்டு விளைவு நடைபெறாமல் இருந்தாலும், சோதனையில், கருவிகள், ஊடகங்களில் இயற்கையாகவே உள்ள ஒழுங்கற்றத் தன்மையால், கோட்பாட்டின் படி நடக்காமல் எதிர்பாராத விளைவுகள் உண்டாகும். அம்மாதிரியான விளைவுகளை அறியும் பொருட்டு பஞ்சரத்தினம் செய்த சோதனைகளில். ஒளி வரும் பாதையில் உண்டான கட்ட வேறுபாட்டுடன், வேறொரு தவிர்க்கவியலாத கட்ட வேறுபாடும் உண்டானதைக் கண்டறிந்தார். இதை மூன்றுக் கதிர்களுடன் விளக்கும் பட்சத்தில் ஏதுவாக இருக்கும்.  

#### தளவிளைவான ஒளிக்கற்றைகளில் குறுக்கீட்டுவிளைவு

முதலாம் தளவிளைவுற்ற ஒளிக்கற்றை <math>O_1</math>, <math>O_2</math> கற்றையாக வேறு தளத்தில் அமைந்த தளவிளைவாக்கியால் உருவாக்க முடியும். அதே போல், <math>O_3</math> எனற மற்றொருத் தளவிளைவாக்கிக் கொண்டு மூன்றாவதுக் கற்றையை உருவாக்கமுடியும். அதாவது, ஒரு விதமான தளவொளி, இன்னொன்றாக மாற்றப்பட்டு, கடைசியில் இன்னொன்றாக மாற்றப்பட்டிருக்கிறது. இதை. போன்கரே கோளம் என்பதைக் கொண்டு ஒளியியலில் குறிப்பர். இதுவொரு <math>S^2</math> கோளம் (2-sphere தளவியல், குலங்கள் குறியீட்டில்) ஆகும். அதை, பஞ்சரத்தினம், போன்கரே கோளத்தைக் கொண்டு விளக்கவும் செய்தார்.  

மேலோட்டமாகக் குறிக்கும்பட்சத்தில், ஒரு சமதளத்தில் காகிதத்தில் வரைந்த முக்கோணத்திற்கும் (அல்லது சதுரத்திற்கும்) அதே அளவுகளுடன் ஒரு கோளத்தின் மேல் வரையும் பொழுது, அது முக்கோணமாக (அல்லது சதுரமாக) அமையமுடியாது, அது வரையப்படும் தளத்தின் வளைவைப் பொறுத்து அமைவது. வேறொரு காட்டாக, நாம் துருவப் பகுதியின் அருகில் உள்ள அட்சரேகையையொட்டி 100 கிமீ பயணம் செய்தால் கூட, முழு பூமியைச் சுற்றிவரமுடியும், அதே நேரம், புவிநடுக்கோட்டில் 1000 கி.மீ பயணித்தல் என்பது கூட மிகக் குறைவான தூரமேயாகும். ஆக வளைபரப்பிற்கு தக்கன ஒரு செயல் முழுமையாகவும் முழுமையற்றதாகவும் ஆகிவிடும்.  

ஆக, போன்கரே கோளத்தில் தளவிளைவுற்ற ஒளிக்கற்றைகளைக் குறிக்கும் பொழுது, அக்கோளத்தின் வளைவுத்தன்மையானால் உண்டானப் பரப்பினால் உண்டாகும் வேறுபாடு பஞ்சரத்தினத்தின் வடிவக்கட்டம் என அழைக்கப்படுகிறது.  

#### கணித விளக்கம்

### பஞ்சரத்தினத்தின் சோதனையின் எளிய வடிவம்
தளவிளைவுற்ற ஒளியைக் (<math>O_1</math>) கொண்டு செய்த சிறு சோதனைகள் மூலம் தளவிளைவில் ஏற்படும் மாறுதலைக் காணலாம். கணினித்திரையில் "!!வாழ்க தமிழ்!!" எனும் சொல் தளவிளைவுற்ற ஒளியாக வெளிவருகிறது. தளவிளைவாக்கும் கறுப்புக் கண்ணாடி கொண்டு, ஒரு குறிப்பிட்டக் கோணத்தில் காணும் பொழுது சில எழுத்துகள் மறைக்கப்படுகிறது. அதாவது வெளிவரும் ஒளியின் தளமும் கறுப்புக் கண்ணாடியின் தளமும் முற்றிலும் 90 பாகையில் இருக்கிறது என்பது அதன் பொருள். அதே போல், செலோஃபேன் எனப்படும் ஒட்டிழையானது நீண்ட பல்படித்தான மூலக்கூறுகளைக் கொண்டவை. அவற்றிற்கும் ஒளியை விலகச் செய்யும் பண்பு உள்ளது.  

அப்படியான் ஒரு ஒட்டிழையை இடைசெருகும் பொழுது, அவை கணினியில் இருந்து வெளிவரும் தளவிளைவாக்கிய ஒளியின் தளத்தை மாற்றியமைக்கிறது (<math>O_2</math>), அதன் விளைவாக, தளவிளைவாக்கும் கறுப்புக் கண்ணாடி வழியாக மறைந்திருந்த எழுத்துகள் (<math>O_3</math>) தெரிய ஆரம்பிக்கின்றன. இங்கு <math>O_1</math> மற்றும் <math>O_3</math> ஒளியின் தளவிளைவு ஒரேவிதமானவையாகக் கொள்ளலாம் (அதனால் தான் நமக்குத் தெரிகிறது), ஏனெனில் ஒட்டிழை வழி வராத எழுத்துகள், இன்னும் தெரியவில்லை. இதன் படி தளவிளைவாக்கலின் மாறுபாட்டை உணரமுடிகிறது.  

இதையே மேலேக் குறிப்பிட்டுள்ள படத்தில் போன்கரே கோளம் வழியாகவும் இராபர்ட்சன்-பெர்மி-வாக்கர் பாதையின் வழியாகவும் காண இயலும்.  

## பெரியின் வடிவியற்கட்டம்
மைக்கேல் பெரி, ஓர் அரைச் சூழல் கொண்ட குவாண்டத்துகளை, காந்தப் புலத்தில் வைக்கும் பொழுது. அவற்றின் சுழல் குவாண்ட எண்கள் -1/2, +1/2 என அமையக்கூடும். ஆற்றல்நிலையும் காந்தப்புலத்திற்கு தக்கவாறு அமையும். நாம் தற்பொழுது காந்தப் புலத்தை (காந்தப் புலத்தை துணைமாறியாகக் கொள்க.) மெதுவாக மாற்றும் பொழுது, அதன் ஆற்றல்நிலையும் மாற்ற வேண்டும். ஆனால், மாற்றும் வேகம் மிக மிக மெதுவாக இருக்கும் பொருட்டு (ஒத்த மாற்றம், Parallel Transport), காந்தநிலை மொத்தமாக மாறி, மீண்டு பழையநிலைக்கேத் திரும்பிய பொழுதும், குவாண்டநிலையின் தன்மை மாறாமல் அப்படியே இருக்கும். இதன் மூலம் உருவாகும் குவாண்டநிலையில் உருவாகும் வடிவக்கட்டம், வழக்கமான இயங்குநிலை வடிவக்கட்டத்துடன் வழமையில்லாத மற்றொரு வடிவக்கட்டமும் ஒட்டிக் கொண்டு வருவதைக் கண்டறிந்தார்.  

## அஹரனோவ்-ஆனந்தன் வடிவியற்கட்டம்
அஹரனோவ் மற்றும் ஆனந்தன் ஆகிய இயற்பியலர், இதே மாதிரியான வடிவியற்கட்டத்தை, துணைமாறிகளின் மாற்றங்கள், மெதுவாக இல்லாமலும் ஒரு முழுமையான சுற்றாக இல்லாத போதும், இதே வகையான வடிவியற்கட்டங்கள் குவாண்டநிலைகளுடன் வருவதைக் கண்டறிந்தனர்.  

இது அஹரனோவ்-போம் விளைவை விளக்கும் வகையிலும் அமைந்தது.