# விகிதமுறு சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல்

**விகிதமுறு சார்புகளின் தொகையீடுகளின் பட்டியல்** (List of integrals of rational functions) கீழே தரப்பட்டுள்ளது.  

- *C* ஆனது தொகையிடலின் குறிப்பிலா மாறிலி ஆகும்.

## பலவகைப்பட்ட தொகையீட்டுச் சார்புகள்

:<math>\int\frac{f'(x)}{f(x)} \, dx= \ln\f(x)\ + C</math>  

:<math>\int\frac{1}{x^2+a^2} \, dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\,\! + C</math>  
:<math>\int\frac{1}{x^2-a^2} \, dx = \begin{cases} \displaystyle -\frac{1}{a}\,\operatorname{arctanh}\frac{x}{a} = \frac{1}{2a}\ln\frac{a-x}{a+x} + C & \text{(for }|x| < |a|\mbox{)} \\[12pt] \displaystyle -\frac{1}{a}\,\operatorname{arccoth}\frac{x}{a} = \frac{1}{2a}\ln\frac{x-a}{x+a} + C & \text{(for }|x| > |a| \mbox{)} \end{cases}</math>  

: <math>\int \frac{dx}{x^{2^n} + 1} = \sum_{k=1}^{2^{n-1}} \ \{ \frac{1}{2^{n-1}} \ [ \sin \(\frac{(2k -1) \pi}{2^n}\) \arctan\[\(x - \cos \(\frac{(2k -1) \pi}{2^n} \) \ ) \csc \(\frac{(2k -1) \pi}{2^n} \) \] \] - \frac{1}{2^n} \ [ \cos \(\frac{(2k -1) \pi}{2^n} \) \ln \ | x^2 - 2 x \cos \(\frac{(2k -1) \pi}{2^n} \) + 1 \ | \ ] \ \} + C </math>  

எந்தவொரு விகிதமுறு சார்பையும் பகுதி பின்னங்களாகப் பிரித்துத் தொகையிடமுடியும். தரப்பட்ட விகிதமுறு சார்பை பின்வரும் வடிவங்களுக்கு மாற்றித் தொகையிடலாம்.  
: <math>\frac{a}{(x-b)^n}</math>, and <math>\frac{ax + b}{\((x-c)^2+d^2\)^n}.</math>  

## *x*<sup>*m*</sup>(*a x* + *b*)<sup>*n*</sup> வடிவில் அமையும் தொகையீட்டுச் சார்புகள்

:<math>\int\frac{1}{ax + b} \, dx= \frac{1}{a}\ln\ax + b\ + C</math>  
::பொதுவாக,  
::<math>\int\frac{1}{ax + b} \, dx= \begin{cases}  
\frac{1}{a}\ln\ax + b\ + C^- & x < -b/a \\  
\frac{1}{a}\ln\ax + b\ + C^+ & x > -b/a  
\end{cases}</math>  
:<math>\int (ax + b)^n \, dx= \frac{(ax + b)^{n+1}}{a(n + 1)} + C \qquad\text{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\!</math>  
:<math>\int\frac{x}{ax + b} \, dx= \frac{x}{a} - \frac{b}{a^2}\ln\ax + b\ + C</math>  
:<math>\int\frac{x}{(ax + b)^2} \, dx= \frac{b}{a^2(ax + b)} + \frac{1}{a^2}\ln\ax + b\ + C</math>  
:<math>\int\frac{x}{(ax + b)^n} \, dx= \frac{a(1 - n)x - b}{a^2(n - 1)(n - 2)(ax + b)^{n-1}} + C \qquad\text{(for } n\not\in \{1, 2\}\mbox{)}</math>  
:<math>\int x(ax + b)^n \, dx= \frac{a(n + 1)x - b}{a^2(n + 1)(n + 2)} (ax + b)^{n+1} + C \qquad\text{(for }n \not\in \{-1, -2\}\mbox{)}</math>  
:<math>\int\frac{x^2}{ax + b} \, dx= \frac{b^2\ln(\ax + b\)}{a^3}+\frac{ax^2 - 2bx}{2a^2} + C</math>  
:<math>\int\frac{x^2}{(ax + b)^2} \, dx= \frac{1}{a^3}\(ax - 2b\ln\ax + b\ - \frac{b^2}{ax + b}\) + C</math>  
:<math>\int\frac{x^2}{(ax + b)^3} \, dx= \frac{1}{a^3}\(\ln\ax + b\ + \frac{2b}{ax + b} - \frac{b^2}{2(ax + b)^2}\) + C</math>  
:<math>\int\frac{x^2}{(ax + b)^n} \, dx= \frac{1}{a^3}\(-\frac{(ax + b)^{3-n}}{(n-3)} + \frac{2b (ax + b)^{2-n}}{(n-2)} - \frac{b^2 (ax + b)^{1-n}}{(n - 1)}\) + C \qquad\text{(for } n\not\in \{1, 2, 3\}\mbox{)}</math>  
:<math>\int\frac{1}{x(ax + b)} \, dx = -\frac{1}{b}\ln\\frac{ax+b}{x}\ + C</math>  
:<math>\int\frac{1}{x^2(ax+b)} \, dx = -\frac{1}{bx} + \frac{a}{b^2}\ln\\frac{ax+b}{x}\ + C</math>  
:<math>\int\frac{1}{x^2(ax+b)^2} \, dx = -a\(\frac{1}{b^2(ax+b)} + \frac{1}{ab^2x} - \frac{2}{b^3}\ln\\frac{ax+b}{x}\\) + C</math>  

## *x*<sup>*m*</sup> / (*a x*<sup>2</sup> + *b x* + *c* <sup>*n*</sup> வடிவில் அமையும் தொகையீட்டுச் சார்புகள்

<math>a\neq 0</math> எனில்,  

:<math>\int\frac{1}{ax^2+bx+c} dx =  
\begin{cases}  
\displaystyle \frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} + C & \text{(for }4ac-b^2>0\mbox{)} \\[12pt]  
\displaystyle -\frac{2}{\sqrt{b^2-4ac}}\,\mathrm{arctanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} + C = \frac{1}{\sqrt{b^2-4ac}}\ln\\frac{2ax+b-\sqrt{b^2-4ac}}{2ax+b+\sqrt{b^2-4ac}}\ + C & \text{(for }4ac-b^2<0\mbox{)} \\[12pt]  
\displaystyle -\frac{2}{2ax+b} + C & \text{(for }4ac-b^2=0\mbox{)}  
\end{cases}</math>  
:<math>\int\frac{x}{ax^2+bx+c} \, dx = \frac{1}{2a}\ln\ax^2+bx+c\-\frac{b}{2a}\int\frac{dx}{ax^2+bx+c} + C</math>  

:<math>\int\frac{mx+n}{ax^2+bx+c} \, dx = \begin{cases}  
\displaystyle \frac{m}{2a}\ln\ax^2+bx+c\+\frac{2an-bm}{a\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} + C &\text{(for }4ac-b^2>0\mbox{)} \\[12pt] \displaystyle \frac{m}{2a}\ln\ax^2+bx+c\-\frac{2an-bm}{a\sqrt{b^2-4ac}}\,\mathrm{arctanh}\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}} + C &\text{(for }4ac-b^2<0\mbox{)} \\[12pt] \displaystyle \frac{m}{2a}\ln\ax^2+bx+c\-\frac{2an-bm}{a(2ax+b)} + C &\text{(for }4ac-b^2=0\mbox{)}\end{cases}</math>  
: <math>\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^n} \, dx= \frac{2ax+b}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}+\frac{(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^2)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}} \, dx + C</math>  

: <math>\int\frac{x}{(ax^2+bx+c)^n} \, dx= -\frac{bx+2c}{(n-1)(4ac-b^2)(ax^2+bx+c)^{n-1}}-\frac{b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^2)}\int\frac{1}{(ax^2+bx+c)^{n-1}} \, dx + C</math>  
: <math>\int\frac{1}{x(ax^2+bx+c)} \, dx= \frac{1}{2c}\ln\\frac{x^2}{ax^2+bx+c}\-\frac{b}{2c}\int\frac{1}{ax^2+bx+c} \, dx + C</math>  

## *x*<sup>*m*</sup> (*a* + *b x*<sup>*n*</sup>)<sup>*p*</sup> வடிவில் அமையும் தொகையீட்டுச் சார்புகள்

:<math>  
\int x^m \(a+b\,x^n\)^p dx =  
\frac{x^{m+1} \(a+b\,x^n\)^p}{m+n\,p+1}\,+\,  
\frac{a\,n\,p}{m+n\,p+1}\int x^m \(a+b\,x^n\)^{p-1}dx  
</math>  

:<math>  
\int x^m \(a+b\,x^n\)^p dx =  
-\frac{x^{m+1} \(a+b\,x^n\)^{p+1}}{a\,n (p+1)}\,+\,  
\frac{m+n (p+1)+1}{a\,n (p+1)}\int x^m \(a+b\,x^n\)^{p+1}dx  
</math>  

:<math>  
\int x^m \(a+b\,x^n\)^p dx =  
\frac{x^{m+1} \(a+b\,x^n\)^p}{m+1}\,-\,  
\frac{b\,n\,p}{m+1}\int x^{m+n} \(a+b\,x^n\)^{p-1}dx  
</math>  

:<math>  
\int x^m \(a+b\,x^n\)^p dx =  
\frac{x^{m-n+1} \(a+b\,x^n\)^{p+1}}{b\,n (p+1)}\,-\,  
\frac{m-n+1}{b\,n (p+1)}\int x^{m-n} \(a+b\,x^n\)^{p+1}dx  
</math>  

:<math>  
\int x^m \(a+b\,x^n\)^p dx =  
\frac{x^{m-n+1} \(a+b\,x^n\)^{p+1}}{b (m+n\,p+1)}\,-\,  
\frac{a (m-n+1)}{b (m+n\,p+1)}\int x^{m-n}\(a+b\,x^n\)^pdx  
</math>  

:<math>  
\int x^m \(a+b\,x^n\)^p dx =  
\frac{x^{m+1} \(a+b\,x^n\)^{p+1}}{a (m+1)}\,-\,  
\frac{b (m+n (p+1)+1)}{a (m+1)}\int x^{m+n}\(a+b\,x^n\)^pdx  
</math>  

## (*A* + *B x*) (*a* + *b x*)<sup>*m*</sup> (*c* + *d x*)<sup>*n*</sup> (*e* + *f x*)<sup>*p*</sup> வடிவில் அமையும் தொகையீட்டுச் சார்புகள்

:<math>  
\int (A+B\,x) (a+b\,x)^m (c+d\,x)^n (e+f\,x)^p dx=  
-\frac{(A\,b-a\,B)(a+b\,x)^{m+1} (c+d\,x)^n(e+f\,x)^{p+1}}{b (m+1) (a\,f-b\,e)}\,+\,  
\frac{1}{b (m+1) (a\,f-b\,e)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int (b\,c(m+1) (A\,f-B\,e)+(A\,b-a\,B) (n\,d\,e+c\,f(p+1))+d(b(m+1) (A\,f-B\,e)+f(n+p+1) (A\,b-a\,B))x)(a+b\,x)^{m+1} (c+d\,x)^{n-1}(e+f\,x)^p dx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int (A+B\,x) (a+b\,x)^m (c+d\,x)^n (e+f\,x)^p dx=  
\frac{B(a+b\,x)^m (c+d\,x)^{n+1}(e+f\,x)^{p+1}}{d\,f(m+n+p+2)}\,+\,  
\frac{1}{d\,f(m+n+p+2)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int (A\,a\,d\,f(m+n+p+2)-B (b\,c\,e\,m+a(d\,e(n+1)+c\,f(p+1)))+(A\,b\,d\,f(m+n+p+2)+B (a\,d\,f\,m-b(d\,e(m+n+1)+c\,f(m+p+1)))) x)(a+b\,x)^{m-1} (c+d\,x)^n(e+f\,x)^p dx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int (A+B\,x) (a+b\,x)^m (c+d\,x)^n (e+f\,x)^p dx=  
\frac{(A\,b-a\,B)(a+b\,x)^{m+1} (c+d\,x)^{n+1}(e+f\,x)^{p+1}}{(m+1)(a\,d-b\,c)(a\,f-b\,e)}\,+\,  
\frac{1}{(m+1)(a\,d-b\,c)(a\,f-b\,e)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int ((m+1) (A (a\,d\,f-b(c\,f+d\,e))+B\,b\,c\,e)-(A\,b-a\,B) (d\,e(n+1)+c\,f(p+1))-d\,f(m+n+p+3) (A\,b-a\,B)x)(a+b\,x)^{m+1} (c+d\,x)^n(e+f\,x)^p dx  
</math></ul></ul>  

## *x*<sup>*m*</sup> (*A* + *B x*<sup>*n*</sup>) (*a* + *b x*<sup>*n*</sup>)<sup>*p*</sup> (*c* + *d x*<sup>*n*</sup>)<sup>*q*</sup> வடிவில் அமையும் தொகையீட்டுச் சார்புகள்

:<math>  
\int x^m\(A+B\,x^n\)\(a+b\,x^n\)^p\(c+d\,x^n\)^qdx=  
-\frac{(A\,b-a\,B) x^{m+1} \(a+b\,x^n\)^{p+1} \(c+d\,x^n\)^q}{a\,b\,n (p+1)}\,+\,  
\frac{1}{a\,b\,n (p+1)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int x^m\(c (A\,b\,n (p+1)+(A\,b-a\,B) (m+1))+d (A\,b\,n (p+1)+(A\,b-a\,B) (m+n\,q+1)) x^n\)\(a+b\,x^n\)^{p+1}\(c+d\,x^n\)^{q-1}dx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int x^m\(A+B\,x^n\)\(a+b\,x^n\)^p\(c+d\,x^n\)^qdx=  
\frac{B\,x^{m+1} \(a+b\,x^n\)^{p+1} \(c+d\,x^n\)^q}{b (m+n (p+q+1)+1)}\,+\,  
\frac{1}{b (m+n (p+q+1)+1)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int x^m\(c ((A\,b-a\,B) (1+m)+A\,b\,n (1+p+q))+(d(A\,b-a\,B) (1+m)+B\,n\,q(b\,c-a\,d)+A\,b\,d\,n (1+p+q))\,x^n\)\(a+b\,x^n\)^p\(c+d\,x^n\)^{q-1}dx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int x^m\(A+B\,x^n\)\(a+b\,x^n\)^p\(c+d\,x^n\)^qdx=  
-\frac{(A\,b-a\,B) x^{m+1} \(a+b\,x^n\)^{p+1} \(c+d\,x^n\)^{q+1}}{a\,n (b\,c-a\,d) (p+1)}\,+\,  
\frac{1}{a\,n(b\,c-a\,d)(p+1)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int x^m\(c(A\,b-a\,B)(m+1)+A\,n (b\,c-a\,d)(p+1)+d(A\,b-a\,B) (m+n (p+q+2)+1) x^n\)\(a+b\,x^n\)^{p+1}\(c+d\,x^n\)^qdx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int x^m\(A+B\,x^n\)\(a+b\,x^n\)^p\(c+d\,x^n\)^qdx=  
\frac{B\,x^{m-n+1} \(a+b\,x^n\)^{p+1} \(c+d\,x^n\)^{q+1}}{b\,d (m+n (p+q+1)+1)}\,-\,  
\frac{1}{b\,d (m+n (p+q+1)+1)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int x^{m-n}\(a\,B\,c (m-n+1)+(a\,B\,d (m+n\,q+1)-b (-B\,c (m+n\,p+1)+A\,d (m+n (p+q+1)+1))) x^n\)\(a+b\,x^n\)^p\(c+d\,x^n\)^qdx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int x^m\(A+B\,x^n\)\(a+b\,x^n\)^p\(c+d\,x^n\)^qdx=  
\frac{A\,x^{m+1} \(a+b\,x^n\)^{p+1} \(c+d\,x^n\)^{q+1}}{a\,c (m+1)}\,+\,  
\frac{1}{a\,c (m+1)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int x^{m+n}\(a\,B\,c (m+1)-A (b\,c+a\,d) (m+n+1)-A\,n (b\,c\,p+a\,d\,q)-A\,b\,d (m+n (p+q+2)+1) x^n\)\(a+b\,x^n\)^p\(c+d\,x^n\)^qdx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int x^m\(A+B\,x^n\)\(a+b\,x^n\)^p\(c+d\,x^n\)^qdx=  
\frac{A\,x^{m+1} \(a+b\,x^n\)^{p+1} \(c+d\,x^n\)^q}{a (m+1)}\,-\,  
\frac{1}{a (m+1)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int x^{m+n}\(c(A\,b-a\,B)(m+1)+A\,n (b\,c (p+1)+a\,d\,q)+d ((A\,b-a\,B) (m+1)+A\,b\,n (p+q+1)) x^n\)\(a+b\,x^n\)^p\(c+d\,x^n\)^{q-1}dx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int x^m\(A+B\,x^n\)\(a+b\,x^n\)^p\(c+d\,x^n\)^qdx=  
\frac{(A\,b-a\,B) x^{m-n+1} \(a+b\,x^n\)^{p+1} \(c+d\,x^n\)^{q+1}}{b\,n (b\,c-a\,d) (p+1)}\,-\,  
\frac{1}{b\,n(b\,c-a\,d)(p+1)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int x^{m-n}\(c(A\,b-a\,B)(m-n+1)+(d(A\,b-a\,B)(m+n\,q+1)-b\,n(B\,c-A\,d)(p+1)) x^n\)\(a+b\,x^n\)^{p+1}\(c+d\,x^n\)^qdx  
</math></ul></ul>  

## (*d* + *e x*)<sup>*m*</sup> (*a* + *b x* + *c x*<sup>2</sup>)<sup>*p*</sup> (இங்கு *b*<sup>2</sup> − 4 *a c* = 0) வடிவில் அமையும் தொகையீட்டுச் சார்புகள்

:<math>  
\int (d+e\,x)^m \(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx=  
\frac{(d+e\,x)^{m+1} \(a+b\,x+c\,x^2\)^p}{e(m+1)}\,-\,  
\frac{p (d+e\,x)^{m+2}(b+2 c\,x) \(a+b\,x+c\,x^2\)^{p-1}}{e^2(m+1)(m+2 p+1)}\,+\,  
\frac{p(2 p-1)(2 c\,d-b\,e)}{e^2(m+1)(m+2 p+1)} \int (d+e\,x)^{m+1}\(a+b\,x+c\,x^2\)^{p-1}dx  
</math>  

:<math>  
\int (d+e\,x)^m \(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx=  
\frac{(d+e\,x)^{m+1} \(a+b\,x+c\,x^2\)^p}{e(m+1)}\,-\,  
\frac{p (d+e\,x)^{m+2}(b+2\,c\,x)\(a+b\,x+c\,x^2\)^{p-1}}{e^2(m+1)(m+2)}\,+\,  
\frac{2\,c\,p\,(2\,p-1)}{e^2(m+1)(m+2)} \int (d+e\,x)^{m+2} \(a+b\,x+c\,x^2\)^{p-1}dx  
</math>  

:<math>  
\int (d+e\,x)^m\(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx=  
-\frac{e(m+2 p+2)(d+e\,x)^m \(a+b\,x+c\,x^2\)^{p+1}}{(p+1)(2p+1)(2 c\,d-b\,e)}\,+\,  
\frac{(d+e\,x)^{m+1}(b+2 c\,x) \(a+b\,x+c\,x^2\)^p}{(2p+1)(2 c\,d-b\,e)}\,+\,  
\frac{e^2m(m+2 p+2)}{(p+1)(2p+1)(2 c\,d-b\,e)} \int (d+e\,x)^{m-1} \(a+b\,x+c\,x^2\)^{p+1}dx  
</math>  

:<math>  
\int (d+e\,x)^m \(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx=  
-\frac{e\,m(d+e\,x)^{m-1} \(a+b\,x+c\,x^2\)^{p+1}}{2c (p+1) (2p+1)}\,+\,  
\frac{(d+e\,x)^m(b+2 c\,x)\(a+b\,x+c\,x^2\)^p}{2c (2p+1)}\,+\,  
\frac{e^2m(m-1)}{2c (p+1) (2p+1)} \int (d+e\,x)^{m-2} \(a+b\,x+c\,x^2\)^{p+1}dx  
</math>  

:<math>  
\int (d+e\,x)^m \(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx=  
\frac{(d+e\,x)^{m+1} \(a+b\,x+c\,x^2\)^p}{e(m+2p+1)}\,-\,  
\frac{p(2 c\,d-b\,e)(d+e\,x)^{m+1}(b+2 c\,x)\(a+b\,x+c\,x^2\)^{p-1}}{2c\,e^2(m+2 p)(m+2p+1)}\,+\,  
\frac{p (2 p-1)(2 c\,d-b\,e)^2}{2c\,e^2(m+2 p)(m+2p+1)} \int (d+e\,x)^m \(a+b\,x+c\,x^2\)^{p-1}dx  
</math>  

:<math>  
\int (d+e\,x)^m \(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx=  
-\frac{2c\,e(m+2p+2)(d+e\,x)^{m+1} \(a+b\,x+c\,x^2\)^{p+1}}{(p+1) (2 p+1)(2 c\,d-b\,e)^2}\,+\,  
\frac{(d+e\,x)^{m+1}(b+2 c\,x)\(a+b\,x+c\,x^2\)^p}{(2 p+1)(2 c\,d-b\,e)}\,+\,  
\frac{2c\,e^2(m+2p+2)(m+2 p+3)}{(p+1) (2 p+1)(2 c\,d-b\,e)^2} \int (d+e\,x)^m \(a+b\,x+c\,x^2\)^{p+1}dx  
</math>  

:<math>  
\int (d+e\,x)^m \(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx=  
\frac{(d+e\,x)^m (b+2 c\,x)\(a+b\,x+c\,x^2\)^p}{2c (m+2p+1)}\,+\,  
\frac{m(2 c\,d-b\,e)}{2c (m+2p+1)} \int (d+e\,x)^{m-1}\(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx  
</math>  

:<math>  
\int (d+e\,x)^m\(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx=  
-\frac{(d+e\,x)^{m+1} (b+2 c\,x)\(a+b\,x+c\,x^2\)^p}{(m+1)(2 c\,d-b\,e)}\,+\,  
\frac{2c (m+2p+2)}{(m+1)(2 c\,d-b\,e)} \int (d+e\,x)^{m+1} \(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx  
</math>  

## (*d* + *e x*)<sup>*m*</sup> (*A* + *B x*) (*a* + *b x* + *c x*<sup>2</sup>)<sup>*p*</sup> வடிவில் அமையும் தொகையீட்டுச் சார்புகள்

:<math>  
\int (d+e\,x)^m (A+B\,x) \(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx=  
\frac{(d+e\,x)^{m+1} (A\,e (m+2 p+2)-B\,d (2 p+1)+e\,B (m+1) x) \(a+b\,x+c\,x^2\)^p}{e^2(m+1) (m+2 p+2)}\,+\,  
\frac{1}{e^2(m+1) (m+2 p+2)}p\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int (d+e\,x)^{m+1} (B (b\,d+2 a\,e+2 a\,e\,m+2 b\,d\,p)-A\,b\,e (m+2 p+2)+(B (2 c\,d+b\,e+b\,e m+4 c\,d\,p)-2 A\,c\,e (m+2 p+2))x)\(a+b\,x+c\,x^2\)^{p-1}dx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int (d+e\,x)^m (A+B\,x) \(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx=  
\frac{(d+e\,x)^m (A\,b-2 a\,B-(b\,B-2 A\,c) x)\(a+b\,x+c\,x^2\)^{p+1}}{(p+1)\(b^2-4 a\,c\) }\,+\,  
\frac{1}{(p+1)\(b^2-4 a\,c\) }\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int (d+e\,x)^{m-1}(B (2 a\,e\,m+b\,d (2 p+3))-A (b\,e\,m+2 c\,d (2 p+3))+e(b\,B-2 A\,c) (m+2 p+3) x)\(a+b\,x+c\,x^2\)^{p+1}dx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int (d+e\,x)^m (A+B\,x) \(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx=  
\frac{(d+e\,x)^{m+1} (A\,c\,e (m+2 p+2)-B (c\,d+2 c\,d\,p-b\,e\,p)+B\,c\,e(m+2 p+1) x)\(a+b\,x+c\,x^2\)^p}{c\,e^2(m+2 p+1) (m+2 p+2)}\,-\,  
\frac{p}{c\,e^2(m+2 p+1) (m+2 p+2)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int (d+e\,x)^m (A\,c\,e (b\,d-2 a\,e) (m+2 p+2)+B (a\,e (b\,e-2 c\,d\,m+b\,e\,m)+b\,d (b\,e\,p-c\,d-2 c\,d\,p))+  
</math>  

<ul><ul><math>  
\(A\,c\,e (2 c\,d-b\,e) (m+2 p+2)-B \(-b^2 e^2 (m+p+1)+2 c^2 d^2 (1+2 p)+c\,e (b\,d (m-2 p)+2 a\,e (m+2 p+1))\)\) x)\(a+b\,x+c\,x^2\)^{p-1}dx  
</math></ul></ul></ul></ul>  

:<math>  
\int (d+e\,x)^m (A+B\,x) \(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx=  
\frac{(d+e\,x)^{m+1} \(A \(b\,c\,d-b^2 e+2 a\,c\,e\)-a\,B (2 c\,d-b\,e)+c (A (2 c\,d-b\,e)-B (b\,d-2 a\,e)) x\)\(a+b\,x+c\,x^2\)^{p+1}}{(p+1)\(b^2-4 a\,c\) \(c\,d^2-b\,d\,e+a\,e^2\)}\,+\,  
</math>  

<ul><ul><math>  
\frac{1}{(p+1)\(b^2-4 a\,c\) \(c\,d^2-b\,d\,e+a\,e^2\)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int (d+e\,x)^m (A \(b\,c\,d\,e (2 p-m+2)+b^2 e^2 (m+p+2)-2 c^2 d^2 (3+2 p)-2 a\,c\,e^2 (m+2 p+3)\)-  
</math>  

<ul><ul><math>  
B (a\,e (b\,e-2 c\,d m+b\,e\,m)+b\,d (-3 c\,d+b\,e-2 c\,d\,p+b\,e\,p))+c\,e(B (b\,d-2 a\,e)-A (2 c\,d-b\,e)) (m+2 p+4) x)\(a+b\,x+c\,x^2\)^{p+1}dx  
</math></ul></ul></ul></ul></ul></ul>  

:<math>  
\int (d+e\,x)^m (A+B\,x) \(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx=  
\frac{B(d+e\,x)^m\(a+b\,x+c\,x^2\)^{p+1}}{c(m+2 p+2)}\,+\,  
\frac{1}{c(m+2 p+2)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int (d+e\,x)^{m-1} (m(A\,c\,d-a\,B\,e)-d(b\,B-2 A\,c)(p+1) +((B\,c\,d-b\,B\,e+A\,c\,e) m-e(b\,B-2 A\,c)(p+1))x) \(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int (d+e\,x)^m (A+B\,x) \(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx=  
-\frac{(B\,d-A\,e) (d+e\,x)^{m+1} \(a+b\,x+c\,x^2\)^{p+1}}{(m+1)\(c\,d^2-b\,d\,e+a\,e^2\)}\,+\,  
\frac{1}{(m+1)\(c\,d^2-b\,d\,e+a\,e^2\)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int (d+e\,x)^{m+1} ((A\,c\,d-A\,b\,e+a\,B\,e) (m+1)+b (B\,d-A\,e) (p+1)+c (B\,d-A\,e) (m+2 p+3) x)\(a+b\,x+c\,x^2\)^pdx  
</math></ul></ul>  

## *x*<sup>*m*</sup> (*a* + *b x*<sup>*n*</sup> + *c x*<sup>2*n*</sup>)<sup>*p*</sup> (இங்கு *b*<sup>2</sup> − 4 *a c* = 0) வடிவில் அமையும் தொகையீட்டுச் சார்புகள்

:<math>  
\int x^m \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p dx=  
\frac{ x^{m+1}\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p}{m+2 n\,p+1}\,+\,  
\frac{n\,p\,x^{m+1} \(2 a+b\,x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p-1}}{(m+1)(m+2 n\,p+1)}\,-\,  
\frac{b\,n^2 p (2 p-1)}{(m+1)(m+2 n\,p+1)} \int x^{m+n} \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p-1}dx  
</math>  

:<math>  
\int x^m \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p dx=  
\frac{(m+n(2 p-1)+1) x^{m+1}\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p}{(m+1)(m+n+1)}\,+\,  
\frac{n\,p\,x^{m+1} \(2 a+b\,x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p-1}}{(m+1)(m+n+1)}\,+\,  
\frac{2 c\,p\,n^2(2 p-1)}{(m+1)(m+n+1)} \int x^{m+2n} \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p-1}dx  
</math>  

:<math>  
\int x^m \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p dx=  
\frac{(m+n(2 p+1)+1) x^{m-n+1}\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p+1}}{b\,n^2 (p+1) (2p+1)}\,-\,  
\frac{x^{m+1} \(b+2 c\,x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p}{b\,n (2p+1)}\,-\,  
\frac{(m-n+1)(m+n(2 p+1)+1)}{b\,n^2 (p+1) (2p+1)} \int x^{m-n} \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p+1}dx  
</math>  

:<math>  
\int x^m \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p dx=  
-\frac{(m-3 n-2 n\,p+1) x^{m-2n+1}\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p+1}}{2 c\,n^2(p+1)(2p+1)}\,-\,  
\frac{ x^{m-2n+1} \(2 a+b\,x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p}{2 c\,n(2p+1)}\,+\,  
\frac{(m-n+1)(m-2n+1)}{2 c\,n^2(p+1)(2p+1)} \int x^{m-2n} \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p+1}dx  
</math>  

:<math>  
\int x^m \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p dx=  
\frac{x^{m+1}\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p}{m+2 n\,p+1}\,+\,  
\frac{n\,p\,x^{m+1} \(2 a+b\,x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p-1}}{(m+2 n\,p+1) (m+n(2 p-1)+1)}\,+\,  
\frac{2 a\,n^2 p (2 p-1)}{(m+2 n\,p+1) (m+n(2 p-1)+1)} \int x^m \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p-1}dx  
</math>  

:<math>  
\int x^m \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p dx=  
-\frac{(m+n+2 n\,p+1) x^{m+1}\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p+1}}{2 a\,n^2 (p+1) (2p+1)}\,-\,  
\frac{x^{m+1} \(2 a+b\,x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p}{2 a\,n(2p+1)}\,+\,  
\frac{(m+n(2 p+1)+1)(m+2 n (p+1)+1)}{2 a\,n^2 (p+1) (2p+1)} \int x^m \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p+1}dx  
</math>  

:<math>  
\int x^m\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p dx=  
\frac{x^{m-n+1} \(b+2c\,x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p}{2c (m+2n\,p+1)}\,-\,  
\frac{b (m-n+1)}{2c (m+2n\,p+1)} \int x^{m-n} \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p dx  
</math>  

:<math>  
\int x^m\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p dx=  
\frac{x^{m+1} \(b+2c\,x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p}{b (m+1)}\,-\,  
\frac{2c (m+n(2 p+1)+1)}{b (m+1)} \int x^{m+n} \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p dx  
</math>  

## *x*<sup>*m*</sup> (*A* + *B x*<sup>*n*</sup>) (*a* + *b x*<sup>*n*</sup> + *c x*<sup>2*n*</sup>)<sup>*p*</sup> வடிவில் அமையும் தொகையீட்டுச் சார்புகள்

:<math>  
\int x^m \(A+B\,x^n\) \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^pdx=  
\frac{x^{m+1} \(A (m+n (2 p+1)+1)+B (m+1) x^n\) \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p}{(m+1) (m+n (2 p+1)+1)}\,+\,  
\frac{n\,p}{(m+1) (m+n (2 p+1)+1)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int x^{m+n} \(2 a\,B (m+1)-A\,b (m+n (2 p+1)+1)+(b\,B (m+1)-2\,A\,c (m+n (2 p+1)+1)) x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p-1}dx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int x^m \(A+B\,x^n\) \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^pdx=  
\frac{x^{m-n+1} \(A\,b-2 a\,B-(b\,B-2 A\,c) x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p+1}}{n(p+1) \(b^2-4 a\,c\)}\,+\,  
\frac{1}{n(p+1) \(b^2-4 a\,c\)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int x^{m-n}\((m-n+1)(2 a\,B-A\,b)+(m+2n (p+1)+1) (b\,B-2 A\,c) x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p+1}dx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int x^m \(A+B\,x^n\) \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^pdx=  
\frac{x^{m+1} \(b\,B\,n\,p+A\,c (m+n (2 p+1)+1)+B\,c (m+2 n\,p+1) x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^p}{c (m+2 n\,p+1) (m+n (2 p+1)+1)}\,+\,  
\frac{n\,p}{c (m+2 n\,p+1) (m+n (2 p+1)+1)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int x^m \(2 a\,A\,c (m+n (2 p+1)+1)-a\,b\,B (m+1)+\(2 a\,B\,c (m+2 n\,p+1)+A\,b\,c (m+n (2 p+1)+1)-b^2 B (m+n\,p+1)\) x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p-1}dx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int x^m \(A+B\,x^n\) \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^pdx=  
-\frac{x^{m+1} \(A\,b^2-a\,b\,B-2 a\,A\,c+(A\,b-2 a\,B) c\,x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p+1}}{a\,n(p+1) \(b^2-4 a\,c\)}\,+\,  
\frac{1}{a\,n(p+1) \(b^2-4 a\,c\)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int x^m \((m+n (p+1)+1) A\,b^2-a\,b\,B(m+1)-2(m+2n (p+1)+1)a\,A\,c+(m+n (2p+3)+1)(A\,b-2 a\,B) c\,x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p+1}dx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int x^m \(A+B\,x^n\) \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^pdx=  
\frac{B\,x^{m-n+1}\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p+1}}{c (m+n (2 p+1)+1)}\,-\,  
\frac{1}{c (m+n (2 p+1)+1)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int x^{m-n} \(a\,B (m-n+1)+(b\,B (m+n\,p+1)-A\,c (m+n (2 p+1)+1)) x^n\) \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^pdx  
</math></ul></ul>  

:<math>  
\int x^m \(A+B\,x^n\) \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^pdx=  
\frac{A\,x^{m+1} \(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^{p+1}}{a(m+1)}\,+\,  
\frac{1}{a(m+1)}\,\cdot  
</math>  

<ul><ul><math>  
\int x^{m+n} \(a\,B (m+1)-A\,b (m+n (p+1)+1)-A\,c (m+2 n(p+1)+1) x^n\)\(a+b\,x^n+c\,x^{2 n}\)^pdx  
</math></ul></ul>