# வில் (வடிவவியல்)



வடிவவியலில் **வில்** (*arc*) என்பது இருபரிமாணத் தளத்திலமைந்த ஒரு வகையிடக்கூடிய வளைவரையின் மூடிய துண்டாகும். எடுத்துக்காட்டாக, *வட்ட வில்* என்பது ஒரு வட்டத்தின் பரிதியின் ஒரு துண்டாகும். பெரு வட்டம் அல்லது பெரு நீள்வட்டத்தின் பகுதியாக அமையும் வில், *பெரு வில்* என அழைக்கப்படும்.  

## வில்லின் நீளம்
எந்தவொரு வகையிடக்கூடிய சார்பின் வளைவரையின் வில்லின் நீளத்தையும் வரையறுத்த தொகையீட்டின் மூலம் காணலாம்.  

சார்பு <math>\ f(x) </math> மற்றும் அதன் வகைக்கெழுச் சார்பு <math>\ f^{\prime}(x) </math> இரண்டும் மூடிய [a, b] இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானதாக இருப்பின் x = a முதல் x = b வரையிலான வளைவரையின் வில்லின் நீளம்:  

<math> L = \int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}dx</math>  

சார்பு, <math> x = \phi(t), </math> <math> y = \psi(t) </math> துணையலகுச் சமன்பாடுகளால் வரையறுக்கப்பட்டிருக்கும் போது, <math> \phi(t), </math> <math> \psi(t) </math> இரண்டும் [<math>\alpha,</math> <math> \beta </math>] இடைவெளியில் தொடர்ச்சியானவையாகவும் <math>\phi^{\prime}(t) </math> பூச்சியமற்றதாகவும் இருப்பின் <math> t =\alpha,</math> முதல் <math> t = \beta </math> வரையிலான வில்லின் நீளம்:  

<math> L = \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{(\phi(t))^2 + (\psi(t))^2}dt</math>  

## வட்டவில்
வட்டவில்லின் நீளத்தை வரையறுத்த தொகையீட்டு வாய்ப்பாட்டினைப் பயன்படுத்திக் காணும் முறையில் மட்டுமில்லாது வடிவவியல் முறையிலும் பின்வருமாறு காணலாம்.  

### வட்டவில்லின் நீளம்
<math>r</math>-அலகு ஆரமுள்ள வட்டத்தின் ஒரு வில்லின் மையக்கோணம் <math>\theta\,\!</math> (ரேடியனில்) எனில் அவ்வட்ட வில்லின் நீளம்:  

:<math>L = \theta r\,\!</math>.  

விளக்கம்:  

வட்டத்தின் முழுச் சுற்றளவும் வட்டமையத்தில் தாங்கும் கோணம் <math>2 \pi </math> ரேடியன்கள் அல்லது 360 பாகைகள். L அலகு நீளமுள்ள வட்டச்சுற்றளவுப் பகுதி வட்டமையத்தில் தாங்கும் கோணம் <math>\theta\,\!</math>. எனவே:  

:<math>\frac{L}{\mathrm{circumference}}=\frac{\theta}{2\pi}.\,\!</math>  

வட்டத்தின் சுற்றளவைப் பிரதியிட:  

:<math>\frac{L}{2\pi r}=\frac{\theta}{2\pi},\,\!</math>  

இதிலிருந்து வட்டவில்லின் நீளம் <math>L</math>:  

:<math>L=\theta r.\,\!</math>  

மையக்கோணம் பாகைகளில் <math>\alpha</math> எனில் அதனை ரேடியன்களாக மாற்ற:  

:<math>\theta=\frac{\alpha}{180}\pi,\,\!</math>  

எனவே வட்டவில்லின் நீளம்:  

:<math>L=\frac{\alpha\pi r}{180}.\,\!</math>  

நடைமுறையில் எளிதாக வட்டவில்லின் நீளம் காணபதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு:  

24" சுற்றளவு கொண்ட வட்டத்தின் ஒரு வில்லின் மையக்கோணம் 60 பாகைகள் எனில்:  

:60/360 = L/24  

:360L=1440  

:L = 4".  

### வட்டவில்லின் பரப்பளவு

ஒரு வட்டவில்லுக்கும் வட்டமையத்துக்கும் இடைப்பட்ட (வட்டக்கோணப்பகுதி)பரப்பளவு:  

:<math>A=\frac{1}{2} r^2 \theta.</math>  

முழுவட்டத்தின் பரப்பு (<math>\pi r^2</math>) மற்றும் வட்டவில்லால் அடைபெறும் பரப்பு (A) இவை இரண்டின் விகிதமும் வட்டத்தின் முழுச்சுற்றளவு வட்டமையத்தில் தாங்கும் கோணம் (<math>2\pi.</math>)  
மற்றும் வட்டவில் வட்டமையத்தில் தாங்கும் கோணம் <math>\theta</math> இவை இரண்டின் விகிதமும் சமமாக இருக்கும்:  

:<math>\frac{A}{\pi r^2}=\frac{\theta}{2\pi}.</math>  

:<math>\frac{A}{r^2}=\frac{\theta}{2}.</math>  

:<math>A=\frac{1}{2} r^2 \theta.</math>  

வட்டவில்லின் மையக்கோணம் பாகைகளில் தரப்பட்டிருந்தால் இப்பரப்பு:  

:<math>A=\frac{\alpha}{360} \pi r^2.</math>  

### வட்டவில் துண்டின் பரப்பு
வட்டவில் மற்றும் அவ்வில்லின் இருமுனைகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு இவற்றால் அடைபடும் பரப்பு:  

:<math>\frac{1}{2} r^2 (\theta - \sin{\theta}).</math>  

வட்டவில் மற்றும் வட்டவில்லின் முனைகளிலில் அமையும் இரு ஆரங்களால் அடைபெறும் வட்டக்கோணப்பகுதியின் பரப்பிலிருந்து வட்டவில்லின் இரு முனைகள் மற்றும் வட்டமையம் ஆகிய மூன்று புள்ளிகளால் ஆன முக்கோணத்தின் பரப்பைக் கழித்து மேற்கண்ட பரப்பு கணக்கிடபடுகிறது. இந்த வட்டவில் துண்டானது வட்டத்துண்டு என அழைக்கப்படும்.  

### வட்டவில் ஆரம்

எடுத்துக்கொண்ட வட்டவில்லின் அகலம்: <math>W,</math> உயரம் <math>H</math> எனில் அந்த வட்டத்தின் ஆரம்:  

:<math>r=\frac{W^2}{8H}+\frac{H}{2}</math>