# வட்ட வரிசைமாற்றம்

கணிதத்தில் **சுழல் வரிசைமாற்றம்** அல்லது **வட்ட வரிசைமாற்றம்** (*cyclic permutation* அல்லது *Circular permutation*) என்பது வரிசைமாற்றங்களில் ஒரு சிறப்புவகையாகும். *X* கணத்தின் மீதான ஒரு வரிசைமாற்றம், *X* இன் ஒரு உட்கணம் *S* இன் உறுப்புகளை அவற்றுக்குள்ளாகவே ஒரு சுழலமைப்பில் வரிசைமாற்றப்படுத்தி, *S* இல் இல்லாத ஏனைய *X* இன் உறுப்புகளை தமக்குத்தாமே வரிசைமாற்றப்படுத்துமானால் அது வட்ட வரிசைமாற்றம் எனப்படுகிறது.  

எடுத்துக்காட்டு:  
{1, 2, 3, 4} என்ற கணத்தின் ஒரு வரிசைமாற்றம்:  
- <math>\sigma_1 = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}</math>
:1 → 3, 3 → 2, 2 → 4, 4 → 1 என எடுத்துக்கொண்ட கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் சுழலமைப்பில் மாறுகின்றன. இது ஒரு வட்ட வரிசைமாற்றமாகும்.  
- <math>\sigma_2 = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\3 & 2 & 1 & 4 \end{pmatrix}</math> என்ற வரிசைமாற்றத்தின்கீழ் 1 → 3, 3 → 1 என ஒரு சுழலும்; 2 → 2, 4 → 4 (2, 4 ஆகிய உறுப்புகளும் தமக்குத்தாமே இணைக்கப்படுகின்றன) என அமைகிறது. இவ்வரிசைமாற்றமும் வட்ட வரிசைமாற்றமாகும்.

மாறாக,  
:<math>\sigma_3 = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\3 & 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}</math> என்ற வரிசைமாற்றத்தின்கீழ் 1 → 3, 3 → 1; 2 → 4, 4 → 2 என எடுத்துக்கொண்ட கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்தும் ஒரே சுழலாக அமையாமல் (1 3), (2, 4) என இரு சோடி உறுப்புகளாகப் பிரிந்து இரு சுழல்களாக அமைவதால் இது வட்ட வரிசைமாற்றமாகாது.  

ஒரு வரிசைமாற்றத்தின் **சுழல்** என்பது வட்ட வரிசைமாற்றத்துக்குட்படும் உறுப்புகளின் ஒரு உட்கணம் ஆகும்.  
:முதல் எடுத்துக்காட்டில் (1 3 2 4) ஒரு சுழலாகும்.  
:இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில் (1, 3), (2, 4) என இரு சுழல்கள் உள்ளன.  

கணம் *S* ஆனது, சுழலின் சுற்றுப்பாதை (orbit (குலம்)) என அழைக்கப்படும். சேர்ப்பில்லாச் சுற்றுப்பாதைக் கணங்களின் மீதான சுழல்களின் தொகுப்பாக, ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்தையும் எழுதலாம்; சில சமயங்களில் ஒரு வட்ட வரிசைமாற்றம் முழுவதும் ஒரே சுழலாகவும் அமையும்.  

## வரையறை

ஒரு வரிசைமாற்றத்துக்கு 1 விட அதிக நீளமுள்ள ஒரு சுழல் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அவ்வரிசைமாற்றம் வட்டவரிசை மாற்றமாகும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  

:<math>  
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 2 & 7 & 6 & 5 & 8 & 1 & 3 \end{pmatrix} =  
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 & 8 & 3 & 7 & 2 & 5 \\ 4 & 6 & 8 & 3 & 7 & 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} =  
(146837)(2)(5)</math>  

சில கணித அறிஞர்கள் ஒரே சுழலாக அமையும் வரிசை மாற்றங்களை மட்டுமே வட்ட வரிசை மாற்றங்களாகக் கருதுகின்றனர்.  

எடுத்துக்காட்டு:  

:<math>  
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 5 & 7 & 6 & 8 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} =  
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 & 2 & 5 & 8 & 3 & 7 \\ 4 & 6 & 2 & 5 & 8 & 3 & 7 & 1 \end{pmatrix} =  
(14625837)</math>  

*X* இல் வரையறுக்கப்பட்ட இருவழிக்கோப்பாகவுள்ள வரிசைமாற்றம்  
<math>\sigma:X\to X</math> வட்ட வரிசைமாற்றமாக அமையவேண்டுமானால், ஒன்றுக்குமேல் உறுப்புகள் கொண்ட சுற்றுப்பாதை அதிகபட்சம் ஒன்றாவது இருக்கவேண்டும். *X* முடிவுறுகணமாக இருக்கும்போது (அதன் மிகப்பெரிய சுற்றுப்பாதை *S* உம் முடிவுறுகணமாகவே இருக்கும்) வட்ட வரிசைமாற்றத்திற்கான வரையறை இவ்விதமாகக் கொள்ளப்படுகிறது.  

*S* இன் ஏதேனுமொரு உறுப்பு <math>s_0</math> மற்றும் <math>s_i=\sigma^i(s_0), i\in\mathbf{Z} \,</math> என்க. *S* முடிவுறு கணமாக இருந்தால் <math>s_k=s_0</math> எனப் பொருந்துமாறு ஒரு மிகச்சிறிய எண் <math>k \geq 1</math> இருக்கும். இப்போது <math>S=\{ s_0, s_1, \ldots, s_{k-1}\}</math> ஆகும். மேலும் வரிசைமாற்றம் <math>\sigma</math> இன் வரையறை:  

:<math>\sigma(s_i) = s_{i+1} \quad\mbox{for }0\leq i<k</math>  
:<math>\sigma(x)=x, </math> <math> x\in X\setminus S</math>.  

<math>\sigma</math> ஆல் மாற்றமடையாத உறுப்புகள் தவிர *S* இன் ஏனைய உறுப்புகளின் மாற்றத்தை பின்வருமாறு காட்டலாம்:  

:<math>s_0\mapsto s_1\mapsto s_2\mapsto\cdots\mapsto s_{k-1}\mapsto s_k=s_0</math>.  

ஒரு வட்ட வரிசைமாற்றத்தை சுழல் குறியீட்டைப் பயன்படுத்திச் சுருக்கமாக எழுதலாம்:  
: <math>\sigma = (s_0~s_1~\dots~s_{k-1})</math>  
:சுழலிலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை அச்சுழலின் மிகப்பெரிய சுற்றுப்பாதையின் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையாகும். *k* நீளமுள்ள சுழலானது ** *k*-சுழல்** எனப்படும்.  

1-சுழலின் சுற்றுப்பாதை வரிசைமாற்றத்தின் *நிலைத்த புள்ளி* எனப்படும். எனினும் ஒரு வரிசைமாற்றமாகக் கருதும்போது ஒவ்வொரு 1-சுழலும் ஒரு வரிசைமாற்றமாகும். ஒரு வரிசைமாற்றத்தை சுழல் குறியீட்டில் எழுதும்போது பொதுவாக 1-சுழல்கள் குறிக்காமல் விட்டுவிடப்படுகின்றன.  

## இடமாற்றங்கள்
ஒரு வரிசைமாற்றத்தில், இரண்டு உறுப்புகள் மட்டுமே கொண்ட சுழல், **இடமாற்றல்** (*transposition*) என அழைக்கப்படும்.  

எடுத்துக்காட்டு:  
{1, 2, 3, 4} கணத்தில் 1 → 1, 2 → 4, 3 → 3, 4 → 2 என மாற்றும் வரிசைமாற்றம் ஒரு இடமாற்றம் ஆகும்.  

இவ்வரிசைமாற்றத்தின் சுழல் குறியீடு:  
:<math>  
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} =  
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 \\ 1 & 4 & 2 & 3 \end{pmatrix} =  
(24)(1)(3)</math>  
இவ்வரிசைமாற்றத்தில் உள்ள சுழல் இரண்டு உறுப்புகள் மட்டுமே கொண்டுள்ளது.