# உட்குலம் (கணிதம்)

கணிதத்தில் ஈருறுப்புச் செயலி&nbsp;* ஐப் பொறுத்த ஒரு குலம் *G* இன் உட்கணம் *H* ஆனது அதே ஈருறுப்புச் செயலி &nbsp;* ஐப் பொறுத்து குலமாக அமையுமானால் *G* இன் **உட்குலம்** (*subgroup*) எனப்படும். இது குறியீட்டில் *H* ≤ *G* எனக் குறிக்கப்பட்டு, "*H* ஆனது *G* இன் உட்குலம்" என வாசிக்கப்படுகிறது.  

*G* இன் தகு உட்கணமாக *H* (*H* ≠ *G*) இருந்தால், *H* ஒரு **தகு உட்குலம்** எனப்படும். எந்த ஒரு குலத்துக்கும் அதன் முற்றொருமை உறுப்பை மட்டும் கொண்ட கணம் {*e*} மிக எளியதொரு உட்குலமாகும் (trivial subgroup).  

## அடிப்படைப் பண்புகள்

- *G* குலத்தின் ஒரு உட்கணம் *H* அடைவுப் பண்பும் நேர்மாறு உறுப்புகளும் கொண்டிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, *H* , *G* இன் உட்குலமாகும்.
- குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பே உட்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பாக இருக்கும்.
- உட்குலத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் நேர்மாறும், குலத்தில் அதன் நேர்மாறாகவே இருக்கும்.
- ஒரு குலத்தின் இரு உட்குலங்கள் *A* , *B* எனில் அவற்றின் வெட்டுக்கணமும் அதே குலத்தின் உட்குலமாக இருக்கும். ஆனால் அவை இரண்டில் ஏதாவது ஒன்று மற்றொன்றின் உட்கணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அவற்றின் ஒன்றிப்பு கணம் உட்குலமாக இருக்கும்.
- *G* இன் ஒரு உட்கணம் *S* எனில், *S* ஐ அடக்கிய அனைத்து உட்குலங்களின் வெட்டுக்கணமானது, *S* ஐ அடக்கிய மிகச்சிறிய உட்குலமாக அமையும். இந்த மிகச்சிறிய உட்குலம், *S* ஆல் பிறப்பிக்கப்பட்ட உட்குலம் எனப்படும். இதன் குறியீடு <*S*>.
- *G* இன் ஒவ்வொரு உறுப்பும் (*a*) ஒரு சுழற் குலத்தைப் பிறப்பிக்கும் (<*a*>). **Z**/*n***Z** உடன் சம அமைவியமுடையதாக <*a*> இருந்தால், *a*<sup>*n*</sup> = *e* என அமையும் மிகச்சிறிய நேர் எண் *n* , *a* இன் வரிசை (கிரமம்) எனப்படும். **Z** உடன் சம அமைவியமுடையதாக <*a*> இருந்தால், *a* இன் வரிசை முடிவிலி ஆகும்..
- *G* குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு *e* எனில், {*e*} ஆனது *G* இன் மிக எளிய உட்குலம். *G* ஆனது *G* இன் மிகப் பெரிய உட்குலம்.
- லாக்ராஞ்சி தேற்றத்தின்படி, ஒரு முடிவுறு குலத்தின் வரிசையை அதன் ஒவ்வொரு உட்குலத்தின் வரிசையும் சரியாக வகுக்கும்; அதாவது மீதமின்றி வகுக்கும்.
- *H* இன் இடது இணைக்கணமும் வலது இணைக்கணமும் சமமாக இருந்தால், அதாவது:

:<math>\forall a\in H,</math> <math>aH = Ha </math> எனில் *H* இயல்நிலை உட்குலம் எனப்படும்.  

- முடிவுறுகுலம் *G* இன் வரிசையை மீதியின்றி வகுக்கும் மிகச்சிறிய பகா எண் *p* ஐக் குறியெண்ணாகக் கொண்டு ஒரு உட்குலம் *G* -க்கு இருந்தால் அது இயல்நிலை உட்குலமாகும்.

## எடுத்துக்காட்டு: Z<sub>8</sub> இன் உட்குலங்கள்

:<math>G=\\{0,2,4,6,1,3,5,7\\}</math> இது ஈருறுப்புச் செயலி கூட்டல் மாடுலோ 8 ஐப் பொறுத்து ஒரு சுழற் குலமாகும். இதற்குரிய கெய்லி அட்டவணை:  
| <span>7</span> |
| --- |

இக்குலத்திற்கு மிகஎளியதல்லாத இரு உட்குலங்கள் <span>J = {0,4} </span>, <span>*H* = {0,2,4,6}</span> உள்ளன. இவற்றுள் *H* இன் உட்குலமாக *J* உள்ளது. மேலுள்ள கெய்லி அட்டவணையின் இடதுமேற் காற்பகுதி *H* இன் கெய்லி அட்டவணையாகும். *G* ஒரு சுழற் குலமாக இருப்பதால் *H,* *J* இரண்டும் சுழற் குலங்கள். பொதுவாக ஒரு சுழற் குலத்தின் உட்குலங்கள் எல்லாம் சுழற் குலங்களாகவே இருக்கும்.  

## எடுத்துக்காட்டு: S<sub>4</sub> இன் உட்குலங்கள்
ஒரு குலத்திற்கு அதன் கெய்லி அட்டவணையின் முதன்மை மூலைவிட்டத்திலுள்ள முற்றொருமை உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையளவு உட்குலங்கள் இருக்கும்.  

### 12 உறுப்புகள்
A<sub>4</sub>  

உட்குலங்கள்:  


### 8 உறுப்புகள்
| உட்குலங்கள்:
]] | &nbsp; | உட்குலங்கள்:
]] | &nbsp; | } |
| --- | --- | --- | --- | --- |

### 6 உறுப்புகள்

### 4 உறுப்புகள்
| ]] | } |
| --- | --- |

| Z<sub>4</sub>]] | } |
| --- | --- |

### மூன்று உறுப்புகள்
| Z<sub>3</sub>]] | } |
| --- | --- |