# தொடர் பெருக்கம்

ஒரு நேர்ம முழு எண்ணின் **தொடர் பெருக்கம்** அல்லது **காரணியம்** அல்லது **காரணீயம்** (factorial) என்பது அதற்கு சமமாகவும் குறைவாகவும் உள்ள எல்லா நேர்ம முழு எண்களின் பெருக்கல் ஆகும். இது *n*! எனக் குறிக்கப்படும்.  

எ.கா:  
:<math>5 ! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \ </math>  
:<math>4 ! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \ </math>  
:<math>3 ! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \ </math>  
:<math>2 ! = 2 \times 1 = 2 \ </math>  
:<math>1 ! = 1 \ </math>  
:<math>0 ! = 1 \ </math> (வெற்றுப் பெருக்கத்தின் வழமைப்படி).  

தொடர் பெருக்கச் செய்கையைக் கணிதத்தில் பல பகுதிகளில் காணமுடியும். குறிப்பாக சேர்மானவியல், இயற்கணிதம், கணிதப் பகுப்பாய்வு என்பவற்றைக் குறிப்பிடலாம். இதன் மிக அடிப்படையாக பயன்பாட்டை, வரிசை மாற்றத்தில், வெவ்வேறான *n* பொருட்களை *n*! வழிகளில் தொடராக ஒழுங்குபடுத்தலாம்" என்பதில் காணமுடிகிறது. இந்த உண்மை ஆகப் பிந்தியது 12ம் நூற்றாண்டிலேயே இந்திய அறிஞர்களுக்குத் தெரிந்திருக்கிறது. பிரான்சு நாட்டைச் சேர்ந்த கணிதவியலாளர் கிறித்தியன் கிறாம்ப் என்பவர் n! குறியீட்டை 1808 ஆம் ஆண்டில் முதன் முதலில் அறிமுகப்படுத்தினார்.  

## வரைவிலக்கணம்
தொடர் பெருக்கச் சார்பு பின்வருமா று வரையறுக்கப்படுகிறது:  

:<math> n!=\prod_{k=1}^n k \!</math>  

அல்லது பின்வரும் தொடர்பின் மூலமும் இது தரப்படலாம்:  

:<math> n! = \begin{cases}  
1 & \text{if } n = 0, \\  
(n-1)!\times n & \text{if } n > 0  
\end{cases}  
</math>  

அடுக்கு விதியைப் பயன்படுத்தியும் பின்வருமாறு இதை வரையறுக்க முடியும்:  

:<math> n! = D^nx^n \;</math>  

மேற்காட்டிய எல்லா வரைவிலக்கணங்களும் :<math>0! = 1, \ </math> என்பதை உட்படுத்துகின்றன.  

## பயன்பாடுகள்
பெரும்பாலும் சேர்மானவியலைச் சேர்ந்தது என்றாலும் கணிதத்தின் பல பிரிவுகளிலுள்ள வாய்ப்பாடுகளில் தொடர் பெருக்கம் காணப்படுகிறது.  

- வெவ்வேறான *n* பொருட்களை வெவ்வேறான *n*! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். அதாவது வெவ்வேறான *n* பொருட்களின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை *n*! ஆகும்.
- வரிசைப்படுத்தல் தவிர்க்கப்பட வேண்டுமென்பதற்காகப் பெரும்பாலும் தொடர் பெருக்கமானது வாய்ப்பாடுகளில் பகுதியில் காணப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:  
*n* பொருட்கள் கொண்ட கணத்திலிருந்து *k* பொருட்களைத் தேர்வுசெய்து அவற்றை வரிசைப்படுத்தும் வழிகளின் எண்ணிக்கை:  
::<math>n^{\underline k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)</math>  

இந்த வழிகளில் தேர்வுகள் ஒவ்வொன்றிலும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட *k* பொருட்களை வரிசைப்படுத்தக்கூடிய *k*! வெவ்வேறான வழிகளும் அடங்கும் எனபதால் வரிசைப்படுத்தலைத் தவிர்த்து, *n* பொருட்கள் கொண்ட கணத்திலிருந்து *k* பொருட்களின் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கான வாய்ப்பாடு:  
::<math>\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots1} =\frac{n!}{(n-k)!}</math>  

இந்த வாய்ப்பாடு விரிவில் *X*<sup>*k*</sup> இன் கெழுவாகவும் அமைவதால் ஈருறுப்புக் கெழு (<math>\tbinom nk</math>) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.  
- நுண்கணிதத்தில் டெயிலரின் தேற்றத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

டெயிலரின் தேற்றம்:  

*k*&nbsp;&ge;&nbsp;1 ஒரு முழு எண்; புள்ளியில், சார்பு *k* தடவைகள் வகையிடத்தக்கது எனில், என்ற ஒரு சார்பு பின்வருமாறு இருக்கும்:  
:<math> f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + h_k(x)(x-a)^k,</math>  
<math>\mbox{and}\quad\lim_{x\to a}h_k(x)=0</math>  
- நிகழ்தகவின் பல வாய்ப்பாடுகளில் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு:  
- பாய்சான் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின் வாய்ப்பாடு:
:<math>\!f(k; \lambda)= \Pr(X=k)= \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math>  
இவ்வாய்ப்பாட்டில்,  
:தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி *X*; *λ* > 0; *k* =0,1,2,…, *e* = 2.71828....  

## எண் கோட்பாடு
- &nbsp;*n* மற்றும் அதைவிடச் சிறியதான அனைத்து பகா எண்களாலும் *n* வகுபடும். இதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் முடிவுகள்:
  - *n* > 5 ஒரு பகு எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே
:<math>(n-1)!\ \equiv\ 0 \pmod n.</math>  
  - *p* ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே
:<math>(p-1)!\ \equiv\ -1 \pmod p</math> (வில்சனின் தேற்றம்)  

- பகா எண்ணாகவும் தொடர் பெருக்கமாகவும் அமையும் ஒரே எண் 2. &nbsp;*n*!&nbsp;±&nbsp;1, என்ற வடிவிலமையும் எண்கள் காரணீயப் பகாஎண்களென அழைக்கப்படுகின்றன.
- 1! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டின் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை இரட்டை எண்களாகும். 5! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டு மற்றும் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை பத்தின் மடங்குகளாக இருக்கும்.

## தலைகீழிகளின் தொடர்
தொடர் பெருக்கங்களின் பெருக்கல் தலைகீழிகளாலான தொடர், ஒருங்கும் தொடராக இருக்கும்:  
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} + \ldots = e\,.</math>  

இத் தொடரின் கூடுதல் ஒரு விகிதமுறா எண் என்றாலும், தொடரின் உறுப்பிலுள்ள தொடர் பெருக்கங்களை நேர் முழு எண்களைக் கொண்டு பெருக்கி, தொடரை விகிதமுறு எண்ணைக் கூடுதலாகக் கொண்ட ஒருங்கு தொடராக மாற்றலாம்:  
:<math>\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2)n!} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+\frac{1}{144}\ldots=1\,.</math>  
இதனால் தொடர் பெருக்கங்கள் விகிதமுறாத் தொடர்முறைகளை அமைக்காது.  

## ஒத்த பிற பெருக்கங்களும் சார்புகளும்
கணிதத்தில் தொடர் பெருக்கம் போன்ற பிற பெருக்கங்களும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. அவை:  

### பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம்
பகாத்தனி தொடர்பெருக்கம் (primorial) என்பது, பகாஎண்களின் தொடர்பெருக்கச் சார்பாக அமையும்.  

*n* வது பகா எண் *p<sub>n</sub>* இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம் *p<sub>n</sub>#* என்பது முதல் *n* பகா எண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:  
:<math>p_n\# = \prod_{k=1}^n p_k</math>  

*p<sub>k</sub>* என்பது *k* -வது பகா எண்.  

எடுத்துக்காட்டாக:  
:<math>p_5\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 = 2310.</math>  

முதல் ஆறு பகாஎண் தொடர்பெருக்கங்கள்:  
:1, 2, 6, 30, 210, 2310.  
(இதில் *p<sub>0</sub>#* = 1 என வெற்றுப் பெருக்கமாகக் கொள்ளப்படுகிறது.))  

பொதுவாக ஏதேனுமொரு இயல் எண்ணிற்கு கீழ்க்காண்டவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:  

ஒரு நேர் முழு எண் *n* இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம் *n#* என்பது *n* -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களின் பெருக்கமாக வரையறுக்கப்படுகிறது:  

:<math>n\# = \prod_{i=1}^{\pi(n)} p_i = p_{\pi(n)}\# </math>  

இங்கு, <math>\scriptstyle\pi(n)</math> பகாஎண்-எண்ணும் சார்பு , *n* -ஐ விடச்சிறிய பகாஎண்களைத் தருகிறது.  

இவ்வரையறை கீழுள்ள வரையறைக்கு ஈடானதாகும்:  
:<math>  
n\# =  
\begin{cases}  
1 & \text{if }n = 1 \\  
n \times ((n-1)\#) & \text{if }n > 1\ \And\ n \text{ is prime} \\  
(n-1)\# & \text{if }n > 1\ \And\ n \text{ is composite}.  
\end{cases}  
</math>  

எடுத்துக்காட்டாக, 12# என்பது 12க்கும் குறைந்த பகாஎண்களின் தொடர்பெருக்கம்:  

:<math>12\# = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11= 2310.</math>  

### இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்
ஒற்றை நேர் எண் *n* வரையிலான ஒற்றை எண்களின் பெருக்கம் ’இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம்’ (double factorial) எனப்படும். இதன் குறியீடு *n*.  
:<math>(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1) = \frac{(2k)!}{2^k k!} = \frac {_{2k}P_k} {2^k} = \frac {2^k}.</math>  

எடுத்துக்காட்டு:  
:9!!&nbsp;=&nbsp;1&nbsp;×&nbsp;3&nbsp;×&nbsp;5&nbsp;×&nbsp;7&nbsp;×&nbsp;9 =&nbsp;945.  

*n*&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;3,&nbsp;5,&nbsp;7,&nbsp;... எனில் இரட்டைத் தொடர்பெருக்கங்களின் தொடர்முறை:  
: 1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, ....  

முக்கோணவியல் தொகையீட்டில் இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.  

### பல்தொடர்பெருக்கம்
எதிரிலா முழு எண்களின் *k*-வது தொடர்பெருக்கம் <math>n!^{(k)}</math>:  
:<math>  
n!^{(k)}=  
\\{  
\begin{matrix}  
1,\qquad\qquad\ &&\mbox{if }0\le n<k,  
\\  
n((n-k)!^{(k)}),&&\mbox{if }n\ge k\,,\quad\ \ \,  
\end{matrix}  
\.  
</math>  

தொடர்பெருக்கம் <math>n!</math> எதிர் எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படாதது போல, இரட்டைத் தொடர்பெருக்கம் <math>n!!</math> எதிர் இரட்டை எண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை; பல்தொடர்பெருக்கம் <math>n!^{(k)}</math> <math>k</math> ஆல் வகுபடும் எதிர் முழுஎண்களுக்கு வரையறுக்கப்படவில்லை.