# சமச்சீர் பல்லுறுப்பு

கணிதத்தின் எல்லாத்துறைகளிலும் மற்றும் கணிதத்தின் எல்லா பயன்பாடுகளிலும் சமச்சீர் கருத்து அடிக்கடி தோன்றுமென்பது எதிர்பார்க்கத்தக்கதே.பல்லுறுப்பு என்ற கணிதக்கருத்தோடு சமச்சீர் கருத்து உறவாடும்போது ஏற்படும் எல்லா கணிதச் சூழ்நிலைகளையும் உருவகப்படுத்துவதுதான் **சமச்சீர் பல்லுறுப்பு** அல்லது **சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவை** (*Symmetric polynomial*) அல்லது **சமச்சீர் சார்பு** பற்றிய கோட்பாடு. இது முக்கியமாக சேர்வியல் என்ற கணிதத்துறையில் ஆய்வு பெறப்படும்.  

## வரையறை

<math>\mathcal{P}</math>(α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, ... , α<sub>n</sub>) என்ற பல்லுறுப்பின் மாறிகள் α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, .... , α<sub>n</sub> இன் எந்த வரிசைமாற்றத்திற்கும் பல்லுறுப்பு மாறாமல் இருந்தால் அப்பல்லுறுப்பு **சமச்சீர் பல்லுறுப்பு** அல்லது **சமச்சீர் சார்பு** எனப்படும். குறிப்பாக, இதை n மாறிகளின் சமச்சீர் பல்லுறுப்பு என்று கூறுவதுண்டு.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்

1. α<sup>3</sup> + β<sup>3</sup> + γ<sup>3</sup>.  

2.α<sup>2</sup>β + α<sup>2</sup>γ + β<sup>2</sup>α + β<sup>2</sup>γ +γ<sup>2</sup>α + γ<sup>2</sup>β  

3. α<sub>1</sub>.α<sub>2</sub>... .α<sub>n</sub>  

இவைகளை **'Σ**' குறியீடு கொண்டும் குறிப்பிடமுடியும்; ஆனால் அதற்கு, எத்துணை மாறிகள் பயன்படுத்தப் படுகின்றன என்ற கருதுகோள் தொக்கிநிற்கவேண்டும். அப்படி நின்றால் மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளனைத்தையும் சுருக்கமாகக் கீழே கண்டபடி எழுதலாம்:  

1.**Σ**α<sup>3</sup>  

2.**Σ**α<sup>2</sup>β  

3.α<sub>1</sub>.α<sub>2</sub>... .α<sub>n</sub> இதனில் இருப்பதே ஓருறுப்பு தான். அதனால் **'Σ**' குறியீடு தேவையில்லை.  

## மாற்று வரையறைக்கான முன்னோடி

:α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>, ... , α<sub>n</sub> ஆகிய n குறியீடுகளைக்கொண்டு தொடங்கலாம். இவைகள் கணிதமாறிகளாக இருக்கவேண்டியதுமில்லை. N என்பது ஒரு முழு நேர்ம எண்ணாகவும்,  

:λ = (λ<sub>1</sub> λ<sub>2</sub>....λ<sub>p</sub>) என்பதை N இன் ஒரு பிரிவினை (partition)யாகவும் கொள். இப்பிரிவினையில் ஓர் அடிப்படை மரபொழுங்கையும் பின்பற்றுவோம்; அ-து,  

:λ<sub>1</sub> ≥ λ<sub>2</sub> ≥ ... ≥ λ<sub>p</sub> > 0 ; மற்றும் p ≤ n.  
: λ, N இன் பிரிவினை என்பதை λ <math>\vdash</math> N என்ற குறியீட்டால் சுருக்கமாக எழுதலாம்.  

:எடுத்துக்காட்டாக (31) என்பது எண் 4 இன் பிரிவினை. (31) <math>\vdash</math> 4  
: (22) என்பதும் எண் 4 இன் பிரிவினை. இதையே (2<sup>2</sup>) என்றும் எழுதுவதுண்டு. (2<sup>2</sup>) <math>\vdash</math> 4.  
: (5), (41), (32), 4.  
: (31<sup>2</sup>), ((2<sup>2</sup>)1),(21<sup>3</sup>), (1<sup>5</sup>)  
: ஆகிய ஏழும் எண் 5 இன் பிரிவினைகள்.  

## ஓரங்க சமச்சீர் சார்பு

ஓரங்க சமச்சீர் சார்பின் (Monomial symmetric function) குறியீடு k<sub>λ</sub>. இதன் விரிவாக்கத்தை சில எடுத்துக்காட்டுகளால் புரிந்துகொள்வது எளிது.  

:k<sub>(31)</sub> = **Σ**α<sub>1</sub><sup>3</sup>α<sub>2</sub>  
::= α<sub>1</sub><sup>3</sup>α<sub>2</sub> + α<sub>1</sub><sup>3</sup>α<sub>3</sub> + α<sub>1</sub><sup>3</sup>α<sub>4</sub> + ... + α<sub>1</sub><sup>3</sup>α<sub>n</sub> + α<sub>2</sub><sup>3</sup>α<sub>1</sub> + α<sub>2</sub><sup>3</sup>α<sub>3</sub> + α<sub>2</sub><sup>3</sup>α<sub>4</sub> + ..... .Σ. + ....  

: k<sub>(2<sup>2</sup>)</sub> = **Σ**α<sub>1</sub><Σsup>2</sup> α<sub>2</sub><sup>2</sup>  
: = α<sub>1</sub><sup>2</sup> α<sub>2</sub><sup>2</sup> + α<sub>1</sub><sup>2</sup> α<sub>3</sub><sup>2</sup> + α<sub>1</sub><sup>2</sup> α<sub>4</sub><sup>2</sup> + .... + α<sub>2</sub><sup>2</sup> α<sub>3</sub><sup>2</sup> + α<sub>2</sub><sup>2</sup> α<sub>4</sub><sup>2</sup> + .... + α<sub>3</sub><sup>2</sup> α<sub>4</sub><sup>2</sup> + .... + ....  

பொதுவாக, k<sub>λ</sub> = Σ α<sub>1</sub><sup>λ<sub>1</sub></sup> α<sub>2</sub><sup>λ<sub>2</sub></sup> .... α<sub>p</sub><sup>λ<sub>p</sub></sup>. இன்னொரு குறியீடும் இதற்கு உண்டு. அ-து,  
:: k<sub>λ</sub> = <λ>.  

## ஒருபடித்தான முழு சமச்சீர் சார்பு
ஒருபடித்தான முழு சமச்சீர் சார்பு (Complete Homogeneous Symmetric Function):  
:h<sub>N</sub> = Σ<sub>λ<math>\vdash</math>N</sub> k<sub>λ</sub>.  

எடுத்துக்காட்டாக,  

: h<sub>4</sub> = <4> + <31> + <2<sup>2</sup>> + <21<sup>2</sup>> + <1<sup>4</sup>> (*)  

:: = Σ α<sub>1</sub><sup>4</sup> + Σ α<sub>1</sub><sup>3</sup> α<sub>2</sub> + Σ α<sub>1</sub><sup>2</sup> α<sub>2</sub><sup>2</sup> + Σ α<sub>1</sub><sup>2</sup> α<sub>2</sub> α<sub>3</sub> + Σ α<sub>1</sub> α<sub>2</sub> α<sub>3</sub> α<sub>4</sub>.  

இங்கு ஒரு விஷயம் கவனிக்கப்படவேண்டும். குறியீடுகளின் எண்ணிக்கை n ஐப்பற்றியது.  

n < 1 ஆக இருக்குமானால், (*)இல், பின் நான்கு உறுப்புகளும் இருக்காது, அ-து, மறைந்துவிடும்.  

n = 2 ஆக இருக்குமானால், (*)இல், பின் இரண்டு உறுப்புகளும் மறைந்துவிடும்.  

n = 3 ஆக இருக்குமானால், (*)இல்,கடைசி உறுப்பு மறைந்துவிடும்.  

n ≥ 4 ஆக இருக்குமானால், (*)இல், எல்லாஐந்து உறுப்புகளும் மறையாமல் இருக்கும்.  

இப்பொழுது ஒருபடித்தான முழு சமச்சீர் சார்பின் வரையறையைக் கொடுக்க முடியும். அதாவது,  
:: ** h<sub>λ</sub> = h<sub>λ<sub>1</sub></sub> h<sub>λ<sub>2</sub></sub> ... h<sub>λ<sub>p</sub></sub>**  
எடுத்துக்காட்டாக,  

:: h<sub>(31)</sub> = h<sub>3</sub> h<sub>1</sub> = (Σ α<sub>1</sub><sup>3</sup> + Σ α<sub>1</sub><sup>2</sup> α<sub>2</sub> + Σ α<sub>1</sub> α<sub>2</sub> α<sub>3</sub>)(Σα<sub>1</sub>).  

:: h<sub>(2<sup>2</sup>)</sub> = h<sub>2</sub> h<sub>2</sub> = (Σ α<sub>1</sub><sup>2</sup> + Σ α<sub>1</sub>α<sub>2</sub>)<sup>2</sup>.  

## தனித்த சமச்சீர் சார்பு
தனித்த சமச்சீர் சார்பு (Elementary Symmetric Function):  
:: a<sub>N</sub> = k<sub>(1<sup>N</sup>)</sub>.  

எ.கா. a<sub>4</sub> = Σ α<sub>1</sub>α<sub>2</sub>α<sub>3</sub>α<sub>4</sub>  

a<sub>4</sub> சூன்ய உறுப்பாக இல்லாமல் இருப்பதற்கு, n ≥ 4 உண்மையாக இருக்கவேண்டும்.  

இப்பொழுது தனித்த சமச்சீர் சார்பின் வரையறையைக் கொடுக்க முடியும். அதாவது,  

:: **a<sub>λ</sub> = a<sub>λ<sub>1</sub></sub> a<sub>λ<sub>2</sub></sub> ... a<sub>λ<sub>p</sub></sub>.**  
எ.கா. a<sub>(31)</sub> = a<sub>3</sub> a<sub>1</sub> = (Σ α<sub>1</sub>α<sub>2</sub>α<sub>3</sub>)(Σα<sub>1</sub>).  

:: a<sub>(2<sup>2</sup>)</sub> = a<sub>2</sub>a<sub>2</sub> = (Σ α<sub>1</sub>α<sub>2</sub>)<sup>2</sup>.  

## அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பு
அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பு (Power Sum Symmetric function):  
:: s<sub>N</sub> = k<sub>(N)</sub> = Σα<sub>1</sub><sup>N</sup>  

குறிப்பு: ஒரு குறியீடு இருந்தாலும் s<sub>N</sub> சூன்யமாகாது.  

இப்பொழுது அடுக்குத்தொகை சமச்சீர் சார்பின் வரையறையைக் கொடுக்க முடியும். அதாவது  

:: **s<sub>λ</sub> = s<sub>λ<sub>1</sub></sub> s<sub>λ<sub>2</sub></sub> ... s<sub>λ<sub>p</sub></sub>.**  

எ.கா.: s<sub>4</sub> = Σα<sub>1</sub><sup>4</sup>.  

:: s<sub>(31)</sub> = (Σα<sub>1</sub><sup>3</sup>) (Σα<sub>1</sub>).  

:: s<sub>(2<sup>2</sup>)</sub> = s<sub>2</sub>s<sub>2</sub> = (Σα<sub>1</sub><sup>2</sup>)<sup>2</sup>  

:: முக்கிய விளைவு: (λ) = (1,1, ...λ<sub>1</sub>முறை,2,2, ...λ<sub>2</sub>முறை, ..., p,p, ...λ<sub>p</sub>முறை) என்று கொண்டால், அதாவது, (λ) = (1<sup>λ</sup><sub>1</sub>2<sup>λ</sup><sub>2</sub>3<sup>λ</sup><sub>3</sub> .... ) என்று கொண்டால்,  

:: **s<sub>λ</sub> = s<sub>1</sub><sup>λ<sub>1</sub></sup>s<sub>2</sub><sup>λ<sub>2</sub></sup>s<sub>3</sub><sup>λ<sub>3</sub></sup> ....**  

## சமச்சீர் சார்புகளின் நேரியல் அளாவல்

ஒரு குறிப்பிட்ட முழு எண் N உடைய எல்லாப்பிரிவினைகள் λ வுக்கும் அவைகளுக்கு இணைவான k<sub>λ</sub> க்கள் எல்லாம் கொண்ட கணத்தை SYM<sub>N</sub> என்ற குறியீட்டால் குறிப்பிடுவோம். இக்கணத்தில்,  

:: Σ α<sub>1</sub><sup>λ<sub>1</sub></sup> α<sub>2</sub><sup>λ<sub>2</sub></sup> .... α<sub>p</sub><sup>λ<sub>p</sub></sup> + Σ α<sub>1</sub><sup>μ<sub>1</sub></sup> α<sub>2</sub><sup>μ<sub>2</sub></sup> .... α<sub>q</sub><sup>μ<sub>q</sub></sup> ::  
என்பது கூட்டல் வரையறை ஆகும்.  

:: மற்றும் **Q** என்ற விகிதமுறு எண்களின் களத்தை அளவெண்களமாகக் கொண்டால்,  

: a x Σ α<sub>1</sub><sup>λ<sub>1</sub></sup> α<sub>2</sub><sup>λ<sub>2</sub></sup> .... α<sub>p</sub><sup>λ<sub>p</sub></sup> = Σaα<sub>1</sub><sup>λ<sub>1</sub></sup> α<sub>2</sub><sup>λ<sub>2</sub></sup> .... α<sub>p</sub><sup>λ<sub>p</sub></sup>  

: என்ற வரையறை அளவெண் பெருக்கலின் வரையறை ஆகும்.  

இவ்விரண்டு செயல்பாடுகளுக்கு SYM<sub>N</sub> நேரியல் வெளியாகின்றது.  

இவ்வெளிக்கு அடுக்களம் {k<sub>λ</sub>, λ <math>\vdash</math> N} : பரிமாணம் p(N), அ-து, N உடைய பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை. இதைவிட மேலாக பின்வரும் தேற்றமே நிறுவப்படக்கூடியது .  

:**தேற்றம்**: *{k<sub>λ</sub>, λ <math>\vdash</math> N}, {a<sub>λ</sub>, λ <math>\vdash</math> N}, {h<sub>λ</sub>, λ <math>\vdash</math> N}, {s<sub>λ</sub>, λ <math>\vdash</math> N}, -- இவை நான்குமே ஒவ்வொன்றும் SYM<sub>N</sub> க்கு அடுக்களமாக அமைகின்றது*.