# பிழைச் சார்பு


கணிதத்தில் **பிழைச் சார்பு** அல்லது **காஸ் பிழைச் சார்பு** (*error function*, *Gauss error function*) என்பது நிகழ்தகவு, புள்ளியியல் பகுதிவகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் ஆகிய பிரிவுகளில் காணப்படும் ஒரு சிறப்புச் சார்பு ஆகும். இது கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:  

பிழைச் சார்பு (குறியீடு: *erf*) :  
:<math>\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^x e^{-t^2}\,\mathrm dt.</math>  

நிரப்புப் பிழைச் சார்பு (குறியீடு: *erfc*) :  
:<math>\begin{align}  
\operatorname{erfc}(x) & = 1-\operatorname{erf}(x) \\  
& = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt.  
\end{align}</math>  

கற்பனை பிழைச் சார்பு (குறியீடு: *erfi*) :  
:<math>\operatorname{erfi}(z) = -i\,\,\operatorname{erf}(i\,z).</math>  

பிழைச் சார்புக்கும் குவிவுப் பரவல் (cumulative distribution) <math>\Phi</math> க்குமுள்ள தொடர்பு புள்ளியியலில், முழுத்தொகுதியின் சராசரியைப் பொறுத்து அம் முழுத்தொகுதியின் எந்தவொரு மாதிரியின் சராசரியும் எவ்வாறு இருக்கும் என்பதை முன்கூட்டியே அறிந்துகொள்ள இச் சார்பு பயன்படுத்தப்படுகிறது. குவிவுப் பரவற் சார்பின் நிரப்புச் சார்பான Q-சார்பின் பயன்பாட்டைப் போல இது அமைகிறது. Q-சார்பைப் பிழைச் சார்பின் மூலமாக எழுத முடியும்.  

## வரைபடம்

- *z* ஒரு சிக்கலெண் எனில்:

:<math>\operatorname{erf} (\overline{z}) = \overline{\operatorname{erf}(z)} </math>  

இதில் *z* இன் இணையியச் சிக்கலெண் <math>\overline{z}</math>.  

படத்தில், தொகையிடப்படும் சார்புகள் *ƒ*&nbsp;=&nbsp;exp(&minus;*z*<sup>2</sup>)மற்றும் *ƒ*&nbsp;=&nbsp;erf(*z*) இரண்டும் சிக்கலெண் தளமான *z*-தளத்தில் வரையப்பட்டுள்ளன.  

- Im(*ƒ*)&nbsp;=&nbsp;0 க்குரியவை அடர்த்தியான பச்சை நிறக் கோடுகளாலும்
- Im(*ƒ*) இன் எதிர் முழு எண் மதிப்புகளுக்கானவை அடர்த்தியான சிவப்பு நிறக் கோடுகளாலும்
- Im(*f*) இன் நேர் முழு எண் மதிப்புகளுக்கானவை அடர்த்தியான நீல நிறக் கோடுகளாலும்
- இடைப்பட்ட Im(*ƒ*)&nbsp;=&nbsp;மாறிலி -க்குரியவை மெல்லிய பச்சை நிறக் கோடுகளாலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.
- இடைப்பட்ட Re(*ƒ*)&nbsp;=&nbsp;மாறிலி, இன் எதிர் மதிப்புகளுக்குரியவை மெல்லிய சிவப்பு நிறக் கோடுகளாலும், நேர் மதிப்புகளுக்குரியவை மெல்லிய நீல நிறக் கோடுகளாலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.

மெய் அச்சில் பிழைச் சார்பின் மதிப்பு, *z*&nbsp;→&nbsp;+∞ எனில் 1 ஐயும், *z*&nbsp;→&nbsp;&minus;∞ எனில் &minus;1 ஐயும் erf(*z*) அணுகுகிறது. கற்பனை அச்சில் ±i∞ ஐ அணுகுகிறது.  

## பண்புகள்
- பிழைச் சார்பு ஒரு ஒற்றைச் சார்பு.
:<math>\operatorname{erf} (-z) = -\operatorname{erf} (z)</math>  

- பிழைச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் அல்லது டெய்லர் விரிவு:
:<math>\operatorname{erf}(z)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}-\ \cdots\)</math>  

பின்வருமாறும் இதனை மாற்றி அமைக்கலாம்:  
:<math>\operatorname{erf}(z)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\(z \prod_{k=1}^n {\frac{-(2k-1) z^2}{k (2k+1)}}\) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{z}{2n+1} \prod_{k=1}^n \frac{-z^2}{k}</math>  

- +∞ இல் பிழைச் சார்பின் மதிப்பு 1

- பிழைச் சார்பின் வகைக்கெழு:
:<math>\frac{\rm d}\,e^{-z^2}.</math>  

- பிழைச் சார்பின் எதிர்வகைக்கெழு (தொகையீடு):
:<math>z\,\operatorname{erf}(z) + \frac{e^{-z^2}}{\sqrt{\pi}}.</math>  

- நேர்மாறு பிழைச் சார்பு
நேர்மாறு பிழைச் சார்பின் வரையறை மெக்லாரின் தொடர் வாயிலாக:  
:<math>\operatorname{erf}^{-1}(z)=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\ (\frac{\sqrt{\pi}}{2}z\ )^{2k+1}, \,\!</math>  

*c*<sub>0</sub> = 1 மற்றும்  

:<math>c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\frac{4369}{2520},\ldots\\}.</math>  

:<math>\operatorname{erf}^{-1}(z)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}\ (z+\frac{\pi}{12}z^3+\frac{7\pi^2}{480}z^5+\frac{127\pi^3}{40320}z^7+\frac{4369\pi^4}{5806080}z^9+\frac{34807\pi^5}{182476800}z^{11}+\cdots\ ).\ </math>  

- நேர்மாறு நிரப்பு பிழைச் சார்பு:
:<math>\operatorname{erfc}^{-1}(1-z) = \operatorname{erf}^{-1}(z).</math>  

- நிரப்புப் பிழைச் சார்பின் அணுகுமுறை விரிவு (asymptotic expansion):

*x* இன் பெரிய மெய்மதிப்புகளுக்கு,  

:<math>\mathrm{erfc}(x) = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\ [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\ ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n-1)!!}{(2x^2)^n},\,</math>  

(2*n*&nbsp;–&nbsp;1)!! என்பது (2*n*&nbsp;–&nbsp;1) வரையிலான ஒற்றை எண்களின் தொடர் பெருக்கம்.  

- தொடரும் பின்ன விரிவு
நிரப்புப் பிழைச் சார்பின் தொடரும் பின்ன விரிவு:  

: <math>\mathrm{erfc}(z) = \frac{z}{\sqrt{\pi}}e^{-z^2}  
\cfrac{a_1}{z^2+  
\cfrac{a_2}{1+  
\cfrac{a_3}{z^2+  
\cfrac{a_4}{1+\dotsb}}}}  
\qquad a_1 = 1,\quad a_m = \frac{m-1}{2},\quad m \geq 2.  
</math>  

## தொடர்புள்ள சார்புகள்
திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் குவிவுப் பரவற் சார்பு Φ க்கும் பிழைச் சார்புக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பு:  
: <math>\Phi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^\tfrac{-t^2}{2}\,\mathrm dt = \frac{1}{2}\[1+\operatorname{erf}\(\frac{x}{\sqrt{2}}\)\]=\frac{1}{2}\,\operatorname{erfc}\(-\frac{x}{\sqrt{2}}\)</math>  

:<math>\begin{align}  
\mathrm{erf}(x) &= 2 \Phi \ ( x \sqrt{2} \ ) - 1 \\  
\mathrm{erfc}(x) &= 2 \Phi \ ( - x \sqrt{2} \ )=2\(1-\Phi \ ( x \sqrt{2} \)\).  
\end{align}</math>  

Q-சார்புக்கும் பிழைச் சார்புக்குமான தொடர்பு:  
:<math>  
Q(x) =\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{erf} \( \frac{x}{\sqrt{2}} \)=\frac{1}{2}\operatorname{erfc}\(\frac{x}{\sqrt{2}}\).  
</math>  

குவிவுப் பரவற் சார்பின் நேர்மாறுக்கும் பிழைச் சார்புக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பு:  
:<math>  
\operatorname{probit}(p) = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2p-1) = -\sqrt{2}\,\operatorname{erfc}^{-1}(2p).  
</math>  

### பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்பு

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்பின் வரையறை:  
:<math>E_n(x) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^n}\,\mathrm dt  
=\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,.</math>  

- *E*<sub>0</sub>(*x*) என்பது ஆதிவழிச் செல்லும் கோடு
: <math>\scriptstyle E_0(x)=\frac{x}{e \sqrt{\pi}}</math>  
- *E*<sub>2</sub>(*x*) என்பது பிழைச் சார்பு erf(*x*).

## அட்டவணை

:{|  
|--  
!x  
!erf(x)  
!erfc(x)  
|rowspan=24|  
!x  
!erf(x)  
!erfc(x)  
|-  
|0.00  
|0.0000000  
|1.0000000  
|1.30  
|0.9340079  
|0.0659921  
|-  
|0.05  
|0.0563720  
|0.9436280  
|1.40  
|0.9522851  
|0.0477149  
|-  
|0.10  
|0.1124629  
|0.8875371  
|1.50  
|0.9661051  
|0.0338949  
|-  
|0.15  
|0.1679960  
|0.8320040  
|1.60  
|0.9763484  
|0.0236516  
|-  
|0.20  
|0.2227026  
|0.7772974  
|1.70  
|0.9837905  
|0.0162095  
|-  
|0.25  
|0.2763264  
|0.7236736  
|1.80  
|0.9890905  
|0.0109095  
|-  
|0.30  
|0.3286268  
|0.6713732  
|1.90  
|0.9927904  
|0.0072096  
|-  
|0.35  
|0.3793821  
|0.6206179  
|2.00  
|0.9953223  
|0.0046777  
|-  
|0.40  
|0.4283924  
|0.5716076  
|2.10  
|0.9970205  
|0.0029795  
|-  
|0.45  
|0.4754817  
|0.5245183  
|2.20  
|0.9981372  
|0.0018628  
|-  
|0.50  
|0.5204999  
|0.4795001  
|2.30  
|0.9988568  
|0.0011432  
|-  
|0.55  
|0.5633234  
|0.4366766  
|2.40  
|0.9993115  
|0.0006885  
|-  
|0.60  
|0.6038561  
|0.3961439  
|2.50  
|0.9995930  
|0.0004070  
|-  
|0.65  
|0.6420293  
|0.3579707  
|2.60  
|0.9997640  
|0.0002360  
|-  
|0.70  
|0.6778012  
|0.3221988  
|2.70  
|0.9998657  
|0.0001343  
|-  
|0.75  
|0.7111556  
|0.2888444  
|2.80  
|0.9999250  
|0.0000750  
|-  
|0.80  
|0.7421010  
|0.2578990  
|2.90  
|0.9999589  
|0.0000411  
|-  
|0.85  
|0.7706681  
|0.2293319  
|3.00  
|0.9999779  
|0.0000221  
|-  
|0.90  
|0.7969082  
|0.2030918  
|3.10  
|0.9999884  
|0.0000116  
|-  
|0.95  
|0.8208908  
|0.1791092  
|3.20  
|0.9999940  
|0.0000060  
|-  
|1.00  
|0.8427008  
|0.1572992  
|3.30  
|0.9999969  
|0.0000031  
|-  
|1.10  
|0.8802051  
|0.1197949  
|3.40  
|0.9999985  
|0.0000015  
|-  
|1.20  
|0.9103140  
|0.0896860  
|3.50  
|0.9999993  
|0.0000007  
|}  

:{|  
|--  
!x  
!erfc(x)/2  
|-  
|1  
|7.86496e−2  
|-  
|2  
|2.33887e−3  
|-  
|3  
|1.10452e−5  
|-  
|4  
|7.70863e−9  
|-  
|5  
|7.6873e−13  
|-  
|6  
|1.07599e−17  
|-  
|7  
|2.09191e−23  
|-  
|8  
|5.61215e−30  
|-  
|9  
|2.06852e−37  
|-  
|10  
|1.04424e−45  
|-  
|11  
|7.20433e−55  
|-  
|12  
|6.78131e−65  
|-  
|13  
|8.69779e−76  
|-  
|14  
|1.51861e−87  
|-  
|15  
|3.6065e−100  
|-  
|16  
|1.16424e−113  
|-  
|17  
|5.10614e−128  
|-  
|18  
|3.04118e−143  
|-  
|19  
|2.45886e−159  
|-  
|20  
|2.69793e−176  
|-  
|21  
|4.01623e−194  
|-  
|22  
|8.10953e−213  
|-  
|23  
|2.22063e−232  
|-  
|24  
|8.24491e−253  
|-  
|25  
|4.15009e−274  
|-  
|26  
|2.8316e−296  
|-  
|27  
|2.61855e−319  
|}