# வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு

வரிசைமாற்றங்கள் என்பது கணிதத்தில் மாத்திரமல்ல, பற்பல சூழ்நிலைகளிலும் எல்லாப் பயன்பாடுகளிலும் நேரக்கூடிய ஒரு கணிதக் கருத்து. வரிசை மாற்றங்கள் அவைகளின் சேர்வு என்ற செயல்பாட்டினால் குலம் என்ற கணித அமைப்பாகக் கூடும். அப்படி ஏற்படும் **வரிசைமாற்றக் குலம்** (Permutation Group) ஒவ்வொன்றுக்கும் அதைத் தனிப்படுத்திக் காட்டக் கூடிய ஒரு கருத்து தான் அவைகளின் **சுழற் குறியீடு** (Cycle Index). ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் ஒரு சுழலமைப்பு உண்டு. ஒரு வரிசைமாற்றக்குலத் திலுள்ள வரிசைமாற்றங்களின் சராசரிச் சுழலமைப்பிற்கு அதன் சுழற்குறியீடு என்று பெயர்.  

## முறையான வரையறை

<math>n</math> குறியீடுகளின் வரிசைமாற்றங்களின் குலம் <math>G</math> ஒன்றை எடுத்துக் கொள்வோம். <math>G</math> இனுடைய **சுழற்குறியீடு** என்பது கீழே வரையறுக்கப்பட்டபடி நேரும் <math>Z(G)</math> என்ற ஓர் அடையாளப் பல்லுறுப்புக் கோவை. அதன் மாறிகளாகத் திகழ்வது <math>s_1, s_2, ..., s_n</math> என்ற தேரவியலாக் குறியீடுகள்:  

:: <math>Z(G) = Z(G: s_1, s_2, ..., s_n) = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} s_1^{\lambda_1(g)}s_2^{\lambda_2(g)}... s_n^{\lambda_n(g)}</math> ; இங்கு,  

:: <math>\lambda_k(g)</math> என்பது <math> g</math> -இன் சுழற்பிரிவினையில் உள்ள <math>k</math>-சுழல்களின் எண்ணிக்கை.  

:<math>s_1^{\lambda_1(g)}s_2^{\lambda_2(g)}... s_n^{\lambda_n(g)}</math> என்பது <math>g</math> -இன் சுழலமைப்பு. அதனால் <math>Z(G)</math> ஐ <math>G</math>-இலுள்ள **வரிசைமாற்றங்களின் சராசரிச் சுழலமைப்பு** என்று சொல்லலாம்.  

ஏதாவதொரு <math>\lambda_k(g) </math> வெறும் 1 ஆக இருந்தால், <math>s_k^{\lambda_k(g)}</math> ஐ <math>s_k</math> என்றே எழுதலாம்.  

<math>s_1^{\lambda_1(g)}s_2^{\lambda_2(g)}... s_n^{\lambda_n(g)} </math> ஐ <math> s_{(\lambda)}</math> என்றும் எழுதுவதுண்டு. இங்கு, <math>(\lambda)</math> என்பது <math>(1^{\lambda_1} 2^{\lambda_2} ... n^{\lambda_n})</math> என்ற சுழலமைப்பைக் குறிக்கும்.  

## எடுத்துக்காட்டுகள்

- <math>S_2 = \{e, (12)\}</math>
:: <math>Z(S_2: s_1, s_2) = \frac{1}{2}(s_1^2 + s_2)</math>  

- <math>S_3 = \{e, (1)(23), (2)(31), (3)(12), (123), (132)\}</math>

::{|  
|-  
! வரிசைமாற்றம்  
! அதிலுள்ள சுழல்கள்  
! சுழலமைப்பு  
|-  
| e  
| மூன்று 1-சுழல்கள்  
| <math>s_1^3</math>  
|-  
| (1)(23)  
| ஓர் 1-சுழலும் ஓர் 2-சுழலும்  
| <math>s_1 s_2</math>  
|-  
| (2)(31)  
| ஓர் 1-சுழலும் ஓர் 2-சுழலும்  
| <math>s_1 s_2</math>  
|-  
| (3)(12)  
| ஓர் 1-சுழலும் ஓர் 2-சுழலும்  
| <math>s_1 s_2</math>  
|-  
| (123)  
| ஒரு 3-சுழல்  
| <math>s_3</math>  
|-  
| (132)  
| ஒரு 3-சுழல்  
| <math>s_3</math>  
|}  

::<math>\therefore Z(S_3: s_1, s_2, s_3) = \frac{1}{6}(s_1^3 + 3s_1s_2 + 2 s_3)</math>  

- இதேபோல் <math>Z(S_4) = \frac{1}{24}\(s_1^4 + 3 s_2^2 + 8 s_1 s_3 + 6 s_1^2 s_2 + 6 s_4\)</math>

## சமச்சீர் குலத்தின் சுழற் குறியீடு

மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து <math>n</math>-கிரமச் சமச்சீர் குலத்தின் (அதாவது, <math>S_n</math> இன்) சுழற்குறியீட்டைக் கணிப்பதற்கு நமக்குத்தெரிய வேண்டியதெல்லாம் ஒன்றே ஒன்றுதான்: அ-து, <math>S_n</math> **இலுள்ள ஒவ்வொரு சுழலமைப்பு வகையிலும் எத்தனை வரிசைமாற்றங்கள் உள்ளன**, என்பதுதான். இக்கேள்விக்கு விடை கோஷி தேற்றத்தில் இருக்கிறது. அதைப் பயன்படுத்தினால்,  

::<math>Z(S_n: s_1, s_2, ... ) = \(\sum_{\lambda_1+2\lambda_2+...+k\lambda_k = n} \frac{s_1^{\lambda_1}s_2^{\lambda_2}...s_k^{\lambda_k}}{1^{\lambda_1} 2^{\lambda_2} ... k^{\lambda_k}\lambda_1! \lambda_2! ...\lambda_k!}\)</math>  

அல்லது, <math>Z(S_n) = \sum_{(\lambda)\vdash n} \frac{s_{(\lambda)}}{\Pi(\lambda)} = \frac{1}{n!}\sum_{(\lambda)\vdash n} g_{\lambda} s_{\lambda}.</math>  

:: இங்கு <math>\Pi(\lambda) = 1^{\lambda_1} 2^{\lambda_2} ... k^{\lambda_k}\lambda_1! \lambda_2! ...\lambda_k!</math>. மற்றும் <math>g_{\lambda} = \frac{n!}{\Pi({\lambda})}</math>  

## நான்முகியின் சமச்சீர்கள்

ஓர் ஒழுங்கு நான்முகியின் சுழற்சிச் சமச்சீர் குலத்தில் இவை பன்னிரண்டும் அடக்கம்:  
- நான்கு உச்சிப் புள்ளிகளிலிருந்து போகும் நடு அச்சுகளைச் சுற்றி வலச்சுற்றாக <math>120^{\circ}</math> சுழற்சிகள், இடச்சுற்றாக <math>120^{\circ}</math> சுழற்சிகள்; ஆக 8 சுழற்சிகள்;
- எதிரெதிர் ஓரக்கோடுகளின் மையங்களைச் சேர்க்கும் அச்சைச் சுற்றிய <math>180^\circ</math> சுழற்சிகள்; இவை மூன்று;
- ஒரு முற்றொருமைச் செயல்பாடு.

இவைகளின் செயல்பாட்டினால் ஏற்படும் பாதிப்புகளை மாதிரிக்காக கீழ்க்கண்டபடி அட்டவணைப் படுத்தலாம்:(குறிப்பு: உச்சிகளை 1,2,3,4 என்றும், ஓரக்கோடுகளை 1-2, 1-3, 3-4, .. என்றும் முகங்களை 1-2-3, 2-3-4, .. என்றும் குறிப்போம்).  

| முதல் வகைச் சுழற்சியால் பாதிப்பு: | மாதிரிச் செயற்பாடு | சுழல் | சுழலமைப்பு |
| --- | --- | --- | --- |
| உச்சிகளில் | <math>1\rightarrow 1; 2\rightarrow3\rightarrow4\rightarrow2</math> | (1)(234) | <math>s_1 s_3</math> |
| ஓரக்கோடுகளில் | <math>1-2 \rightarrow 1-3\rightarrow 1-4\rightarrow 1-2;
2-3\rightarrow 3-4\rightarrow4-2\rightarrow 2-3</math> | (1-2 1-3 1-4)(2-3 3-4 4-2) | <math>s_3^2</math> |
| முகங்களில் | <math>1-2-3\rightarrow1-3-4\rightarrow1-4-2;
2-3-4\rightarrow2-3-4</math> | (1-2-3 1-3-4 1-4-2)(2-3-4) | <math>s_1 s_3</math> |

| 2-வது சுழற்சியால் பதிப்பு | மாதிரிச்செயற்பாடு | சுழல் | சுழலமைப்பு |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| உச்சிகளில் | <math>1\rightarrow3\rightarrow1;
2\rightarrow4\rightarrow2</math> | (13)(24) | <math>s_2^2</math> |  |
| ஓரக்கோடுகளில் | <math>1-2\rightarrow3-4\rightarrow1-2;1-4\rightarrow3-2\rightarrow1-4;
1-3\rightarrow 1-3; 2-4\rightarrow2-4</math> | (1-2 3-4)(1-4 3-2)(1-3)(2-4) | <math>s_1^2 s_2^2</math> |  |
| முகங்களில் | <math>1-2-3 \rightarrow 1-3-4\rightarrow 1-2-3;
1-2-4\rightarrow 2-3-4\rightarrow 1-2-4</math> | (1-2-3 1-3-4)(1-2-4 2-3-4) | <math>s_2^2</math> | } |

- **உச்சிகளினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

::<math>\frac{1}{12}\(s_1^4 + 8s_1s_3 + 3 s_2^2\)</math>.  

- **ஓரக்கோடுகளினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

::<math>\frac{1}{12}\(s_1^6 + 8s_3^2 + 3 s_1^2 s_2^2 \)</math>.  

- **முகங்களினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

::<math>\frac{1}{12}\(s_1^4 + 8s_1 s_3 + 3 s_2^2\)</math>  

## கன சதுரத்தின் சமச்சீர்கள்

முதற்கண் **சுழற்சிச் சமச்சீர்களை** கவனிப்போம். இவை 24. அதாவது:  

- எதிரெதிர் உச்சிகளைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச்சுற்றி <math>120^{\circ}</math> வலச்சுற்றுச்சுழற்சிகள், <math>120^{\circ}</math> இடச்சுற்றுச் சுழற்சிகள்; ஆக 8.
- எதிரெதிர் ஓரக்கோடுகளின் மையங்களைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச் சுற்றி <math>180^{\circ}</math> சுழற்சிகள்; இவை 6.
- எதிர் முகங்களின் மையங்களைச் சேர்க்கும் அச்சுகளைச் சுற்றி <math>90^{\circ}</math> வலச்சுற்றுச் சுழற்சிகள், <math>90^{\circ}</math> இடச்சுற்றுச் சுழற்சிகள்; இவை 6.
- அதே அச்சுகளைச்சுற்றி <math>180^{\circ}</math> சுழற்சிகள்; இவை 3.
- ஒரு முற்றொருமைச் சுழற்சி.

இவைகளின் செயல்பாட்டினால்  

- **உச்சிகளினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

::<math>\frac{1}{24}\(s_1^8 + 6s_4^2 + 9 s_2^4 + 8s_1^2s_3^2\)</math>.  

- **ஓரக்கோடுகளினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

::<math>\frac{1}{24}\(s_1^{12} +6s_4^3 + 3 s_2^6 + 8s_3^4 + 6 s_1^2 s_2^5 \)</math>.  

- **முகங்களினிடையில்** இழைக்கப்படும் வரிசைமாற்றக் குலத்தின் சுழற் குறியீடு:

::<math>\frac{1}{24}\(s_1^6 +6 s_1^2 s_4 + 3 s_1^2 s_2^2 + 8 s_3^2 + 6 s_2^3\)</math>