# ஆய்லரின் முற்றொருமை


கணிதத்தில் **ஆய்லரின் முற்றொருமை** (*Euler's identity*)  

:<math>e^{i \pi} + 1 = 0</math> எனும் சமன்பாடு ஆகும்.  

இதில்:  
:**** என்பது ஆய்லர் மாறிலி; இயல் மடக்கையின் அடிமானம்,  
:**** என்பது கற்பனை அலகு; <sup>2</sup>&nbsp;= −1, and  
:**** என்பது ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் அதன் விட்டத்துக்குமான விகிதம்.  

கணிதவியலாளர் ஆய்லரின் பெயரால் இம் முற்றொருமை ”ஆய்லரின் முற்றொருமை” என அழைக்கப்படுகிறது. இம் முற்றொருமை, **ஆய்லரின் சமன்பாடு** என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.  

## விளக்கம்
ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு]]  
சிக்கலெண் தளத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின் சிறப்பு வகையாகவே ஆய்லரின் முற்றொருமை அமைகிறது.  

;ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு  

ஏதேனுமொரு மெய்யெண் எனில்:  
: <math>e^{ix} = \cos x + i\sin x \,\!</math>  
இங்கு முக்கோணவியல் சார்புகளான *sine* , *cosine* இரண்டும் ரேடியனில் தரப்படுகின்றன.  

&nbsp;=&nbsp;** எனும்போது ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு ஆய்லரின் முற்றொருமையாகிறது.  

&nbsp;=&nbsp;** என ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட,  
: <math>e^{i \pi} = \cos \pi + i\sin \pi.\,\!</math>  

மேலும் <math>\cos \pi = -1 ,\sin \pi = 0 \, \! </math> என்பதால்,  
: <math>e^{i \pi} = -1 + 0 i\,\!</math>  
: <math>e^{i \pi} = -1 \,\!</math>  
: <math>e^{i \pi} +1 = 0.\,\!</math> (ஆய்லரின் முற்றொருமை)  

## சிறப்புகள்
- அடிப்படைக் கணிதச் செயல்களான கூட்டல், பெருக்கல், அடுக்கேற்றம் ஆகிய மூன்று செயல்களும் இம் முற்றொருமையில் ஒவ்வொன்றும் ஒரேயொரு முறை காணப்படுகின்றன.
- ஐந்து அடிப்படைக் கணித மாறிலிகளை இணைக்கிறது:
  - கூட்டல் சமனியான எண் 0.
  - பெருக்கல் சமனியான எண் 1.
  - ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் விட்டத்துக்குமான விகிதமாக அமையும் ( = 3.14159265...)
  - இயற்மடக்கையின் அடிமானமான ( = 2.718281828...).
  - கற்பனை அலகு
- கணித எழுத்தாளர் கான்ஸ்டன்ஸ் ரீட் (Constance Reid), ஆய்லரின் முற்றொருமையை “கணிதத்திலேயே மிக அதிகமாகப் புகழ்பெற்ற வாய்ப்பாடு” என்று கூறியுள்ளார்.
- 1990 இல் *தி மேத்தமெட்டிகல் இண்டெலிஜென்சர்* (The Mathematical Intelligencer) நடத்திய வாக்கெடுப்பில் ஆய்லரின் முற்றொருமை, "கணிதத்தின் மிக அழகிய தேற்றம்" என்ற பெயர் பெற்றது.
- *பிசிக்கிஸ் வொர்ல்டு* 2004 இல், வாசகர்களிடையே நடத்திய வாக்கெடுப்பில் மின்காந்தவியலின் மாக்சுவெல்லின் சமன்பாடுகள், ஆய்லரின் முற்றொருமை இரண்டும் சமமாக "எப்பொழுதும் மீப்பெரு சமன்பாடு" என்ற பட்டத்தைப் பெற்றன.

## பொதுமைப்படுத்தல்
எண் 1 இன் *n*ஆம் மூலங்களின் கூடுதல் சுழி (*n* > 1) என்ற முற்றொருமையின் சிறப்புவகையாகவும் ஆய்லரின் முற்றொருமை உள்ளது:  

:<math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i k/n} = 0 .</math>  

இதில் **&nbsp;= 2 எனப் பதிலிட்டால் ஆய்லரின் முற்றொருமை கிடைக்கிறது:  

**&nbsp;= 2 எனப் பதிலிட,  
:<math>\sum_{k=0}^{1} e^{\pi i k} = 0</math>  
:<math>\Rightarrow e^{0} + e^{\pi i } = 0</math>  
:<math>\Rightarrow 1 + e^{\pi i } = 0</math> (ஆய்லரின் முற்றொருமை)  

## வரலாறு
1748 இல் வெளியிடப்பட்ட ஆய்லரின் *Introductio in analysin infinitorum* என்ற அவரது புத்தகத்தில் இந்த முற்றொருமை காணப்பட்டதாகக் கூறப்பட்டது. எனினும் அவர் இது குறித்து எதுவும் தெரிவிக்காததால் அம்முற்றொருமையைக் கண்டுபிடித்தது ஆய்லர்தானா என்பதும் கேள்விக்குரியதாகிறது. (மேலும் ஆய்லர் தனது புத்தகத்தில் (*Introductio*) குறிப்பிட்டது , *கொசைன்* , *சைன்* ஆகிய மூன்றையும் சிக்கலெண் தளத்தில் தொடர்புபடுத்தும் ஆய்லரின் வாய்ப்பாடாகும். ரோஜர் கோட்சு என்ற ஆங்கிலக் கணிதவியலாளரும் இவ் வாய்ப்பாட்டினை அறிந்திருந்தார். ஆய்லர் இதனைத் தனது சக சுவிஸ் கணிதவியலாளர் ஜோகன் பெர்னௌலி வாயிலாக அறிந்திருக்கக் கூடும் என்ற கருத்தும் உள்ளது.)