# மெர்சென் அனுமானங்கள்

## புதிய மெர்சென் அனுமானம்

"புதிய மெர்சென் அனுமானம்" அல்லது "பாட்மன் செல்ஃபிரிட்ஜ் மற்றும் வாக்சுடாஃப் அனுமான"த்தின் கூற்று:  
*p* என்ற ஏதேனுமொரு ஒற்றை, இயலெண்ணுக்கு கீழ்வரும் மூன்று முடிவுகளில் எவையேனும் இரண்டு உண்மையாக இருக்கும்பட்சத்தில், மூன்றாவதும் உண்மையாக இருக்கும்:  
1. *p* = 2<sup>*k*</sup> ± 1 அல்லது *p* = 4<sup>*k*</sup> ± 3 (*k* ஒரு இயல் எண்).
1. 2<sup>*p*</sup> − 1 ஒரு பகா எண்i ( மெர்சென் பகாத்தனி).
1. (2<sup>*p*</sup>&nbsp;+&thinsp;1)/3 ஒரு பகா எண் (வாக்சுடாஃப் பகாஎண்).  
*p* , ஒரு ஒற்றைப் பகுஎண் எனில், 2<sup>*p*</sup>&nbsp;−&nbsp;1, (2<sup>*p*</sup>&nbsp;+&nbsp;1)/3 இரண்டும் பகுஎண்கள். எனவே *p* இன் பகாஎண் மதிப்புகளுக்கு மட்டும் அனுமானத்தின் உண்மையைச் சரிபார்த்தல் போதும்.  
தற்போதுவரை, மேலுள்ள மூன்று நிபந்தனைகளையும் நிறைவு செய்யக்கூடிய 9 எண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன:  
: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127
இந்த மூன்று நிபந்தனைகளையும் ஒருங்கே நிறைவு செய்யக்கூடிய, 127 ஐ விடப் பெரிய எண்கள் எதுவும் இல்லையெனவும், இரு நிபந்தனைகளையாவது நிறைவு செய்ய்யக்கூடிய 127 ஐ விட பெரிய எண்கள் எதுவும் இல்லையெனவும் கண்டறிந்தார். இவரது இக்கூற்றால் புதிய மெர்சென் அனுமானத்தின் உண்மைத்தன்மை எளிமையானதாகிறது.  
2024 வரை, 2<sup>57885161</sup> − 1 வரையிலான மெர்சென் பகாஎண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. ஆனால் முன்னர் குறிப்பிட்டவை தவிர, இவற்றுள் வேறு எந்தவொரு எண்ணும் மூன்றாவது நிபந்தனையை நிறைவு செய்வதாக இல்லை.  
குறைந்தபட்சம் ஒரு முடிவை நிறைவு செய்யும் பகாஎண்கள்:  
:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 67, 79, 89, 101, 107, 127, 167, 191, 199, 257, 313, 347, 521, 607, 701, 1021, 1279, 1709, 2203, 2281, 2617, 3217, 3539, 4093, 4099, 4253, 4423, 5807, 8191, 9689, 9941, ...  
மூல மெர்சென் அனுமானத்தை நிறைவு செய்யாத எண்கள் 67, 257 இரண்டும் புதிய அனுமானத்தின் முதல் நிபந்தனையை நிறைவு செய்கின்றன:  
:67 = 2<sup>6</sup> + 3,
:257 = 2<sup>8</sup> +&thinsp;1  
ஆனால் மெர்சென் கண்டுபிடிக்காமல் விட்ட 89, 107 ஆகிய இரு எண்களும் இரண்டாவது நிபந்தனையை நிறைவு செய்கின்றன; மற்ற இரு நிபந்தனைகளையும் நிறைவு செய்வதில்லை.  
*p* = 2<sup>*k*</sup> ± 1 அல்லது *p* = 4<sup>*k*</sup> ± 3 என 'இருந்தால்', 2<sup>*p*</sup> − 1 என்பது ஒரு பகா எண்ணாக இருக்குமென மெர்சென் கருதியிருக்கலாம்; ஆனால் *p* = 2<sup>*k*</sup> ± 1 அல்லது *p* = 4<sup>*k*</sup> ± 3 என "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", 2<sup>*p*</sup> − 1 என்பது ஒரு பகா எண்ணாக இருக்குமெனக் கருதியிருந்தால், அவர் 61 ஐயும் பட்டியலில் சேர்த்திருக்கக்கூடும்.  
**முதல் 100 பகாஎண்களின் புதிய மெர்சென் அனுமான நிலை**  
| 41 | 59 | 71 |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *79* | 89 | *101* | 107 | 109 | 113 |  |  |  |  |
| 179 | *191* | 193 | *199* | 211 | 223 | 227 | 229 |  |  |
| 233 | 239 | 241 | 251 | **257** | 263 | 269 | 271 | 277 | 281 |
| 283 | 293 | 307 | *313* | 317 | 331 | *347* | 349 |  |  |
| 353 | 359 | 367 | 373 | 379 | 383 | 389 | 397 | 401 | 409 |
| 419 | 421 | 431 | 433 | 439 | 443 | 449 | 457 | 461 | 463 |
| 467 | 479 | 487 | 491 | 499 | 503 | 521 | 523 | 541 | } |  
குறைந்தபட்சம் ஒரு நிபந்தனையை நிறைவுசெய்யும் அறியப்பட்ட பகாஎண்களை முறைப்படுத்திப் பட்டியலிடுவதன் மூலமாக, 30402457 க்குச் சமமான அல்லது சிறிய அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் புதிய மெர்சென் அனுமானம் உண்மை என்பதை, பிரைம் பெய்ஜசு என்ற இணையதளம் காட்டியுள்ளது.  
இதிலுள்ள 'காமா' (<math>\gamma</math>) என்பது ஆய்லரின் மாறிலி ஆகும்.  
இதற்குச் சமானமான கூற்று:  
*y* ஐவிடச் சிறிய *p* அடுக்குள்ள மெர்சென் பகாஎண்களின் எண்ணிக்கை கீழ்வரும் மதிப்பை நெருங்கும்:
:<math>e^\gamma\cdot\log_2(y).</math> ஆனால் இவ்வனுமானத்தின்படியான எண்ணிக்கை கிட்டத்தட்ட 3.7 தான்.