# கோள முக்கோணவியல்

## முக்கோணங்களின் தீர்வு

### சாய்வு முக்கோணங்கள்

ஒரு கோளமுக்கோணத்தின் ஆறு கூறுகளில் மூன்று, நான்கு அல்லது ஐந்து கூறுகள் தரப்பட்டிருக்கும்போது மீதமுள்ள கூறுகளின் மதிப்பைக் கண்டறிவதே முக்கோணங்களின் தீர்வு காண்பதாகும்.
- ஐந்து கூறுகள் தரப்பட்டால் மீதமுள்ள ஒரு கூறினை எளிதாக சைன் விதியைப் பயன்படுத்திக் கண்டுவிட முடியும்.
- நான்கு கூறுகள் தரப்பட்டிருந்தால் மீதமுள்ள இரண்டைக் கணக்கிடும் வழி கீழே தரப்பட்டுள்ளது.
- மூன்று கூறுகள் மட்டுமே தரப்பட்டிருந்தால் அது ஆறு வகையில் அமையும்:
- 3 பக்கங்கள்; 2 பக்கங்களும் அவற்றுக்கு இடையேயுள்ள கோணம்
- எதிருள்ள கோணம்; மூன்று கோணங்கள். (சமதள வடிவவியலில் கடைசி வகைக்கு ஒத்தவகை இல்லை).  
ஒரே முறையைப் பயன்படுத்தி எல்லா வகைகளுக்கும் தீர்வு காண முடியாது.  
கீழுள்ள படத்தில் ஏழு வகைகளும் காட்டப்பட்டுள்ளன. முக்கோணத்தின் தரப்பட்டுள்ள பக்கங்கள் ஒரு சிறுகுறுக்கோடிட்டும், தரப்பட்டுள்ள கோணங்கள் வில்லிட்டும் காட்டப்பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு படத்தின் கீழும் அந்தந்த வகையில் முக்கோணத்தின் தரப்பட்டுள்ள கூறுகள் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.  
கீழுள்ள குறியீடுகளில், எடுத்துக்காட்டாக ASA என்பதில், A தரப்பட்ட கோணத்தையும், S தரப்பட்ட பக்கத்தையும், A, S இன் தொடர்முறை முக்கோணத்தில் உள்ள தொடர்முறைக்கு ஒத்ததாக இருக்கும்.  
- **வகை 1: மூன்று பக்கங்கள் தரப்பட்டுள்ளன (SSS)**:
:கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்தி *A*, *B*, *C* ஆகிய மூன்று கோணங்களையும் காணலாம். எனினும் ஈரடியான விடைகளைத் தவிர்க்கும்பொருட்டு அரைக்கோண விதிகள் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
- **வகை 2: தரப்பட்டவை: இரு பக்கங்களை, இடைப்பட்ட கோணம் (SAS)**:
:கொசைன் விதியைக்கொண்டு மூன்றாவது பக்கத்தைக் கண்டுபிடிக்கலாம். இப்போது இது முதல் வகையாக ஆகிவிடும்.
- **வகை 3: தரப்பட்டவை: இரு பக்கங்கள், அவற்றுக்கு எதிருள்ள ஒரு கோணம் (SSA)**:
:சைன் விதியைப் பயன்படுத்தி *C* கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்கலாம். பின்னர் இது வகை 7 ஆகிவிடும். இவ்வகைக்கு ஒன்று அல்லது இரண்டு தீர்வுகள் உண்டு.
- **வகை 4: தரப்பட்டவை: இரு கோணங்கள், இடைப்பட்ட பக்கம் (ASA)**:
:(*cBaC*), (*BaCb*) இரண்டிற்கும் நான்கு-பகுதி கோடேன்ஜென்ட் வாய்பாடுகளைக் கொண்டு *c*, *b* பக்கங்களைக் கண்டுபிடிக்கலாம். பின்னர் சைன்விதியைப் பயன்படுத்தி *A* கோணத்தைக் கண்டுபிடிக்கலாம்.
- **வகை 5: இரு கோணங்கள், எதிர்ப்பக்கம் (AAS)**:
:சைன் விதியைப் பயன்படுத்தி *b* பக்கத்தைக் காணலாம். பின்னர் இது வகை 7 ஆகிவிடும். இதற்கு ஒன்று அல்லது இரண்டு தீர்வுகள் உண்டு.
- **வகை 6: தரப்பட்டவை: மூன்று கோணங்கள் (AAA)**:
:துணை கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்தி *a*, *b*, *c* பக்கங்கங்களைக் கண்டுபிடிக்கலாம். ஈரடியான விடைகளைத் தவிர்க்கும்பொருட்டு, அரைப்பக்க வாய்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
- **வகை 7: தரப்பட்டவை: இரு கோணங்கள், இரு எதிர்ப்பக்கங்கள் (SSAA)**:
:*a*, *A* இரண்டையும் நேப்பியரின் ஒப்புமைகளைப் பயன்படுத்திக் கண்டுபிடிக்கலாம்; அல்லது வகை மூன்றையோ (SSA) அல்லது வகை ஐந்தையோ (AAS) பயன்படுத்தலாம்.  
மேலே தரப்பட்டவை தவிர மேலும் பல தீர்வுமுறைகளும் உண்டு. டோதுந்தேர் நூலில் சாய்வு முக்கோணங்களின் தீர்வுகள் குறித்த முழு விவரங்களும் தரப்பட்டுள்ளன. இத்தேற்றத்தின் நிறுவல் முன்னர் ஆங்கிலக் கணிதவியலாளர் தாமசு ஃஆரியட்டால் கண்டுபிடிக்கப்பட்டாலும் வெளியிடப்படவில்லை. பல்கோணி அமையும் கோளத்தின் ஆரம் *R* அலகுகள் எனில் பல்கோணி, முக்கோணம் இரண்டின் மேலுள்ள பரப்பளவு வாய்பாடுகள் *R*<sup>2</sup> ஆல் பெருக்கிக்கொள்ளப்படும். முக்கோணத்தின் கோள மிகுதியின் அளவு, கோளத்தின் ஆரவளவைப் பொறுத்ததில்லை  
மேலுள்ள முடிவின் மறுதலை முடிவைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:  
:<math> A+B+C=\pi+ \frac{4\pi \times \text{Area of triangle}}{\text{Area of the sphere}}.</math>  
கோளமுக்கோணத்தின் பரப்பளவு எதிர்மமாக இருக்காது என்பதால் கோளமிகுதியின் அளவு எப்பொழுதும் நேர்மமாகவே இருக்கும். கோள மிகுதியைக் காண்பதற்குப் பல வாய்பாடுகள் உள்ளன. டோதுந்தேர் பத்து வாய்பாடுகளைத் தனது நூலில் தந்திருக்கிறார். (Art.101—103). அவற்றுள் ஒன்று:
:<math>\tan\tfrac{1}{4}E
= \sqrt{\tan\tfrac{1}{2}s\, \tan\tfrac{1}{2}(s-a)\,
\tan\tfrac{1}{2}(s-b)\,\tan\tfrac{1}{2}(s-c)}</math>
இதில் <math>s = (a+b+c)/2</math>.  
கோள மிகுதியைக் காண உகந்த வாய்பாடு
:<math>\tan\frac E2 = \frac
{\tan\frac12a\tan\frac12b\sin C}{1 + \tan\frac12a\tan\frac12b\cos C}.</math> ஆகும்.