# நேர்ம-வரைவு அணி

## மேலும் சில பண்புகள்

- *M* ஒரு நேர்ம-அரைவரைவு ஹெர்மைட் அணியென்பதைக் குறிக்க, சிலசமயங்களில் *M*&nbsp;≥&nbsp;0 என்றும், *M* ஒரு நேர்ம-வரைவு ஹெர்மைட் அணியென்பதைக் குறிக்க *M*&nbsp;>&nbsp;0 எனவும் எழுதப்படுகிறது.  
- *M*, *N* என்ற இரு சதுர அணிகளுக்கு *M*&nbsp;−&nbsp;*N*&nbsp;≥&nbsp;0 எனில் *M*&nbsp;≥&nbsp;*N*. அதாவது, *M*&nbsp;−&nbsp;*N* அணியானது நேர்ம அரைவரைவு அணியாகும். இதன் மூலம் சதுர அணிகளின் கணத்தில் ‘பகுதி வரிசைப்படுத்தும் செயல்” வரையறுக்கப்படுகிறது. இதுபோல கண்டிப்பான பகுதி வரிசைப்படுத்தலையும் (*M*&nbsp;>&nbsp;*N*) வரையறுக்கலாம்.  
- ஒவ்வொரு நேர்ம வரைவு அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாகும். அதன் நேர்மாறு அணியும் நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.
: *M*&nbsp;≥&nbsp;*N*&nbsp;>&nbsp;0 எனில், *N*<sup>−1</sup>&nbsp;≥&nbsp;*M*<sup>−1</sup>&nbsp;>&nbsp;0. *M* இன் மிகப்பெரிய *k*ஆவது ஐகென் மதிப்பானது *N* இன் மிகப்பெரிய *k*ஆவது ஐகென் மதிப்பை விடப்பெரியதாக இருக்கும்.  
- *M* ஒரு நேர்ம வரைவு அணி; மேலும் *r*&nbsp;>&nbsp;0 ஒரு மெய்யெண் எனில்
:*rM* அணியும் நேர்ம வரைவாக இருக்கும்.
:*M* , *N* இரண்டும் நேர்ம வரைவு அணிகள் எனில், *M*&nbsp;+&nbsp;*N*  
- மூலைவிட்ட உறுப்புகள் *m<sub>ii</sub>* மெய்யெண்களாகவும் எதிர்மமற்றவையாகவும் இருக்கும். இதனால் அணியின் சுவடு, tr(*M*)&nbsp;≥&nbsp;0 ஆக இருக்கும். மேலும் ஒவ்வொரு முதன்மை உள்ளணியும் (குறிப்பாக 2 x 2 அணிகள்) நேர்ம வரைவணிகளாக இருக்கும் என்பதால்,
::<math>|m_{ij}| \leq \sqrt{m_{ii}m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}</math>
::இவற்றிலிருந்து
::<math> \max |m_{ij}| \leq \max|m_{ii}|</math>  
- *B*<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;*M* என்றவாறு ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணி *B* இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, *M* ஒரு நேர்ம அரைவரைவு அணியாக இருக்க முடியும். இவ்வாறு அமையும் *B* அணி தனித்ததாக இருக்கும். மேலும் *M* இன் வர்க்கமூலம் (*B*&nbsp;=&nbsp;*M*<sup>1/2</sup>) என்றும் அழைக்கப்படும்.
::*M*&nbsp;>&nbsp;*N*&nbsp;>&nbsp;0 எனில் *M*<sup>1/2</sup>&nbsp;>&nbsp;*N*<sup>1/2</sup>&nbsp;>&nbsp;0.  
- *M* ஒரு சமச்சீர் அணியாகவும் (*m<sub>ij</sub>* = *m*(*i*−*j*)), <math>\sum\nolimits_{j\neq 0}|m(j)|< m(0)</math> ஆகவும் இருந்தால்,
:: *M* ஒரு கண்டிப்பான நேர்ம வரைவு அணியாக இருக்கும்.  
- *M*&nbsp;>&nbsp;0, *N* ஒரு ஹெர்மைட் அணி; *MN*&nbsp;+&nbsp;*NM*&nbsp;≥&nbsp;0 (*MN*&nbsp;+&nbsp;*NM*&nbsp;>&nbsp;0) எனில்,
:: *N*&nbsp;≥&nbsp;0 (*N*&nbsp;>&nbsp;0).  
- *M*&nbsp;>&nbsp;0 ஒரு மெய்யெண் அணி எனில்,
::*M*&nbsp;>&nbsp;δI, δ&nbsp;>&nbsp;0. இதில் *I* என்பது முற்றொருமை அணி.  
- நேர்ம அரைவரைவு சமச்சீர் அணிகளின் கணம் ஒரு குவிவுக் கணம் ஆகும்.
::*M* , *N* இரண்டும் நேர்ம அரைவரைவு அணிகள் எனில், 0, 1 க்கு இடைப்பட்ட எந்தவொரு α மதிப்பிற்கும், α*M* + (1−α)*N* நேர்ம அரைவரைவு அணியாகும்.
::*x* என்ற ஏதேனுமொரு திசையனுக்கு:
:: <math> x^\mathrm{T} (\alpha M + (1-\alpha) N ) x = \alpha x^\mathrm{T} M x + (1-\alpha) x^\mathrm{T} N x \geq 0. </math>  
- *M*&nbsp;=&nbsp;(*m<sub>ij</sub>*)&nbsp;≥&nbsp;0, *N*&nbsp;≥&nbsp;0 ஆகிய இரு நேர்ம அரைவரைவு அணிகளின் [[ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்)|ஆடமார்டு பெருக்கலுக்குக் கீழ்வரும் இரு சமனிலிகள் உள்ள
::: <math>\det(M \circ N) \geq \det (N) \prod\nolimits_{i} m_{ii}.</math>
:::det(*M*&nbsp;○&nbsp;*N*) ≥ det(*M*) det(*N*).  
- *M*&nbsp;=&nbsp;(*m<sub>ij</sub>*)&nbsp;≥&nbsp;0, *N*&nbsp;≥&nbsp;0 ஆகிய இரு நேர்ம அரைவரைவு அணிகளின் [[ஆடமார்டு பெருக்கல் (அணிகள்)|ஆடமார்டு பெருக்கலுக்குக் கீழ்வரும் இரு சமனிலிகள் உள்ள
::: <math>\det(M \circ N) \geq \det (N) \prod\nolimits_{i} m_{ii}.</math>
:::det(*M*&nbsp;○&nbsp;*N*) ≥ det(*M*) det(*N*).