# விளிம்பு விளைவு

## வழக்கமான துளையின் விளிம்பு விளைவு

ஐகன்சின் கோட்பாட்ட மட்டும் பயன்படுத்தி, ஒற்றைப் பிளவு விளிம்பு விளைவை அடைய நாம் பயன்படுத்திய பண்பு ரீதியான விவாதங்களை உண்மையில் ஒழுங்கற்ற வடிவங்களைக் கொண்டுள்ள துளைகளுக்குப் பய்ன்படுத்துவது கடினமாகும். ஒரு புள்ளி மூலத்திலிருந்து உருவாகி வரும் அலைக்கு r எனும் இடத்தில் அதன் வீச்சு <math>\psi</math> ஆனது ஒரு புள்ளி மூலத்திற்கான அதிர்வெண்களை அலைச் சமன்பாட்டின் (எல்ம்கோல்ட்சுச் சமன்பாடு) தீர்விலிருந்து பெறப்படுகிறது,  
:<math>\nabla^2 \psi + k^2 \psi = \delta(\mathbf r)</math>  
இதில் <math> \delta(\mathbf r)</math> என்பது முப்பரிமாண டெல்டா சார்பாகும். டெல்டா சார்புக்கு ஆரவழிச் சார்புத் தன்மையே உள்ளது, ஆகவே கோள ஆய அச்சு அமைப்பிலுள்ள இலாப்பிளாசு செயலி (*பருமைய இலாப்லாசியான்* எனவும் அழைக்கப்படுவது) பின்வருமாறு சுருங்குகிறது:  
:<math>\nabla ^2\psi= \frac{1}{r} \frac {\partial ^2}{\partial r^2} (r \psi) </math>  
நேரடியாகப் பதிலீடு செய்கையில் இந்தச் சமன்பாட்டின் தீர்வு கிரீன் சார்பின் பருமையனாக இருப்பதைக் காணலாம். அது கோள ஆய அச்சு அமைப்பில் (மற்றும் இயற்பியல் கால மரபைப் பயன்படுத்தி <math>e^{-i \omega t}</math>) பின்வருமாறு காணப்படும்:  
:<math>\psi(r) = \frac{e^{ikr}}{4 \pi r}</math>  
இந்தத் தீர்வு டெல்டா சார்பு மூலமானது தொடக்கப் புள்ளியில் உள்ளதாகக் கருதுகிறது. மூலமானது <math>\mathbf r'</math> என்ற திசையனால் (வெக்டரால்) குறிக்கப்படும் ஒழுங்கற்ற ஒரு மூலப் புள்ளியிலும் புலப் புள்ளியானது <math>\mathbf r</math> இலும் அமைந்திருந்தால் நாம் (ஒழுங்கற்ற மூல அமைவிடத்திற்கான) பருமையன் கிரீன் சார்பைப் பின்வருமாறு எழுதுவோம்:  
:<math>\psi(\mathbf r | \mathbf r') = \frac{e^{ik | \mathbf r - \mathbf r' | }}{4 \pi | \mathbf r - \mathbf r' |}</math>  
ஆகவே மின் புலம் E<sub>inc</sub>(*x* ,*y* ) துளையின் மீது விழுந்து, அந்தத் துளை விரவலினால் உருவாகும் புலமானது மேற்பரப்புத் தொகையிடுதல் மூலம் பெறப்படுகிறது:  
:<math>\Psi(r)\propto \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y')~ \frac{e^{ik | \mathbf r - \mathbf r'|}}{4 \pi | \mathbf r - \mathbf r' |} \,dx'\, dy',</math>  
இங்கு துளையிலுள்ள மூலப் புள்ளியானது பின்வரும் திசையனால் பெறப்படுகிறது  
:<math>\mathbf r' = x' \mathbf \hat x + y' \mathbf \hat y</math>  
இணைக் கதிர்களின் தோராயமாக்கலைப் பயன்படுத்தக்கூடிய தொலைப் புலத்தில், கிரீன் சார்பு பின்வருமாறு:  
:<math>\psi(\mathbf r | \mathbf r') = \frac{e^{ik | \mathbf r - \mathbf r' |} }{4 \pi | \mathbf r - \mathbf r' |}</math>  
இதைச் சுருக்கினால்,  
:<math> \psi(\mathbf r | \mathbf r') = \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} e^{-ik ( \mathbf r' \cdot \mathbf \hat r)}</math>  
இதை வலப்புறம் உள்ள படத்தில் காணலாம் (பெரிதாக்க சொடுக்கவும்).  
தொலை-பகுதிக்கான கோவை (பிரௌன்கோவர் பகுதி) புலமானது:  
:<math>\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-ik ( \mathbf r' \cdot \mathbf \hat r ) } \, dx' \,dy',</math>  
இதில்,  
:<math>\mathbf r' = x' \mathbf \hat x + y' \mathbf \hat y</math>  
மற்றும்  
:<math>\mathbf \hat r = \sin \theta \cos \phi \mathbf \hat x + \sin \theta ~ \sin \phi ~ \mathbf \hat y + \cos \theta \mathbf \hat z</math>  
என்ற அளவில், தள வடிவத் துளையிலிருந்து உருவாகும் பிரௌன்கோவர் பகுதிப் புலத்திற்கான கோவை பின்வருமாறு அமைகிறது:  
:<math>\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-ik \sin \theta (\cos \phi x' + \sin \phi y')} \, dx'\, dy'</math>  
இதில்,  
:<math>k_x = k \sin \theta \cos \phi \,\!</math>  
மற்றும்
:<math>k_y = k \sin \theta \sin \phi \,\!</math>  
எனக் கொண்டால், அந்த தள வடிவ துளையின் பிரௌன்கோவர் பகுதியின் பூரியே உருமாற்றம் பின்வருமாறு அமையும்:  
:<math>\Psi(r)\propto \frac{e^{ik r}}{4 \pi r} \int\!\!\!\int_\mathrm{aperture} E_{inc}(x',y') e^{-i (k_x x' + k_y y') } \,dx'\, dy',</math>  
தொலைப்புலம்/பிரௌன்கோவர் பகுதியில் இது துளை விரவலின் இடவியல் பூரியே உருமாற்றமாக மாறுகிறது. ஒரு துளைக்கு ஐகன்சின் கருத்தியத்தைப் பயன்படுத்துகையில், தொலைப் புல விளிம்பு விளைவு வடிவத்தொகுப்பு என்பது துளையின் வடிவத்தின் இடவியல் பூரியே உருமாற்றமே ஆகும் என அது கூறுகிறது. மேலும் இணைக் கதிர்கள் தோராயமாக்கலைப் பயன்படுத்துவதனால் விளையும் ஒரு நேரடி உப விளைவாகும். இது துளைப் புலங்களின் தள அலை சிதைவாக்கங்களைச் செய்வதற்கு ஒத்ததாகும்.