# போஸ்–ஐன்ஸ்டின் புள்ளியியல்

## போசு-ஐன்சுட்டைன் பரவல்

### வரன்முறைசார் அணுகுமுறைவழி கொணர்வு

இது போசு-ஐன்சுட்டைன் புள்ளியல் வழி தோராயமாக வருவிக்கப்படுகிறது. இந்தக் கொணர்வு நீீளமாகவும் அதிக துகள்களின் எண்ணிகை அணுகுகோட்டிற்கு உாியதாகவும் உள்ளது.இதற்கு காரணம் அனைத்து போஸான்களும் கெனோனிக்கள் என்சம்பிளில் நிலையாக உள்ளது. போஸ்-ஐன்ஸ்டீன்பகிா்மாணத்தில் கணக்கியல் ரீீீதியாக நல்ல முலத்தோற்றத்தை பெற Darwin–Fowler முறை பயன்படுகிறது. இதை வலியுறுத்தியவா்Dingle மேலும் பாா்க்கMüller-Kirsten
w(n,g) என்பதில் n துகள்களை பல்வேறு முறைகளில் பகிா்ந்தகளிக்கப்படுகிறது. இதற்கிடையில் ஆற்றல் மட்டத்தில் துணை ஆற்றல் மட்டத்தில் துணை ஆற்றல் மட்டத்தை g என்க. n துகள்களில் பகிா்மாணம் ஒரே ஒரு வழிமுறையில் ஒரு துணை ஆற்றல் மட்டத்தில் பகிரப்படுகிறது. ஆகையால் w(n,1)=1.n துகள்களைப் பகிா்மானம் செய்ய (n+1) வழிகள் இருந்தால் 2 துணை ஆற்றல் மட்டம் காணப்படுகிறது.
:<math>w(n,2)=\frac{(n+1)!}{n!1!}.</math>  
n-துகள்களைப் பகிர, 3 ஆற்றல் மட்டத்தில் பகிா்மானம் செய்யப்படுகிறது.
:<math>w(n,3) = w(n,2) + w(n-1,2) + \cdots + w(1,2) + w(0,2)
</math>
:<math>
w(n,3)=\sum_{k=0}^n w(n-k,2) = \sum_{k=0}^n\frac{(n-k+1)!}{(n-k)!1!}=\frac{(n+2)!}{n!2!}
</math>
ஈறுருப்புக்குணகத்தை பயன்படுத்துபோது,
:<math>
\sum_{k=0}^n\frac{(k+a)!}{k!a!}=\frac{(n+a+1)!}{n!(a+1)!}.
</math>
இந்த முறையின் தொடா்ச்சியாக w(n,g) யும் ஈறுப்புக்குணகமாக கருதப்பட்டது.
:<math>
w(n,g)=\frac{(n+g-1)!}{n!(g-1)!}.
</math>
எடுத்துகாட்டாக, 2 துகள்கள் 3 துணை ஆற்றல் மட்டத்தில் 200, 110, 101, 020, 011, or 002 மொத்தம் 6 4!/(2!2!).
:<math>
W = \prod_i w(n_i,g_i) = \prod_i \frac{(n_i+g_i-1)!}{n_i!(g_i-1)!}
\approx\prod_i \frac{(n_i+g_i)!}{n_i!(g_i)!}
</math>
தோராயமாக <math>n_i \gg 1</math>.
.
W மற்றும் ln(W) வின் உச்சம் n_{i} யின் ஒரே மதிப்பாகும்.முதலில் கணிதவியலாக சாதிக்க எளிமையானதாகவும் உள்ளது.நாங்கள் எங்களது தீா்வினை கட்டுபடுத்த கைலாகிரேஞ்சுப் பெருக்கிகளைச் செயல்படுத்துகிறோம்.
:<math>
f(n_i)=\ln(W)+\alpha(N-\sum n_i)+\beta(E-\sum n_i \varepsilon_i)
</math>  
தோராயமாக <math>n_i \gg 1</math>. மேலும்ம் சுட்டர்லிங்சு தோரயத்தை ஆராயும்போது(x!\approx x^{x}\,e^{-x}\,{\sqrt \)} கொடுக்கிறது.
:<math>f(n_i)=\sum_i (n_i + g_i) \ln(n_i + g_i) - n_i \ln(n_i) +\alpha\(N-\sum n_i\)+\beta\(E-\sum n_i \varepsilon_i\)+K.</math>
K என்பது உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையில்<math>n_i</math>. இவ்விதியானது செயலற்றது. n_{i} யை பொருத்து வகைகெழு செய்யும்போது
:<math>
n_i = \frac{g_i}{e^{\alpha+\beta \varepsilon_i}-1}.
</math>
இதே போன்று மேக்ஸ்வெல்-போல்ட்ஸ்மேன் புள்ளியல் பாா்க்கும்போது
:<math>d\ln W=\alpha\,dN+\beta\,dE</math>
போல்ட்ஸ்மேனின் பிரபலமான தொடர்பினை பயன்படுத்துபோது <math>S=k\,\ln W</math> வெப்ப இயக்கவியலின் இரண்டாம் விதியிலிருந்து பருமன் நிலையாகவும்,அதன் தொடர்ச்சியாக<math>\beta = \frac{1}{kT}</math> <math>\alpha = - \frac{\mu}{kT}</math> S என்பது என்ட்ரோபி<math>\mu</math> என்பது போல்ட்ஸ்மேன் மாறி மற்றும்T என்பது வெப்பநிலை
:<math>
n_i = \frac{g_i}{e^{(\varepsilon_i-\mu)/kT}-1}.
</math>
இந்தச் சூத்திரத்தை வேறுவிதமாக எழுதபடுகிறது
:<math>
n_i = \frac{g_i}{e^{\varepsilon_i/kT}/z-1},
</math>  
தனிசெயல்<math>\displaystyle z=\exp(\mu/kT)</math> இதை கூறியவா் McQuarrie.
போஸ்-ஐன்ஸ்டீன் பகிா்வுகளை மிக எளிய வழிமுறையில் காண n துகள்களை ஒரேமாதிாியான பந்துகளாகவும் மற்றும் g கூடுகளை (g-1) கோட்டுபகுதிகளாகவும் கருதபடுகிறது.n பந்துகள் மற்றும் பந்துகளில் வெவ்வேறு ஆற்றல் மட்டத்தில் வெவ்வேறு வழிமுறையில் போஸான்கள் ஒழுங்குப்படுத்தபடுகிறது. 3 (= n) துகள்கள் மற்றும் 3 (= g) கூடுகளை எடுத்துகொண்டால்(g − 1) = 2,.ஒழுங்கு முறையை |●●|●, or ||●●●, or |●|●●
: <math>
\frac{(g-1 + n)!}
{(g-1)! n!}
</math>
உதாரணமாக, n = 4, g = 3:
:<math>
S(4,3) =
\\{
\underbrace{(1111), (1112), (1113)}_{(a)},
\underbrace{(1122), (1123), (1133)}_{(b)},
\underbrace{(1222), (1223), (1233), (1333)}_{(c)},
\.
</math>
:<math>
\.
\underbrace{(2222), (2223), (2233), (2333), (3333)}_{(d)}
\\}
</math>  
w(4,3) = 15(15 உறுப்புகள் <math>\displaystyle S(4,3)</math>)  
S(4,3) இல் உள்ள ஒவ்வொரு கூறுகளும் வெவ்வேறான தொகுப்புகளாக எண்ணளவையில் உள்ளது.<math>\displaystyle n=4</math>;வெவ்வேறான தொகுப்புகளில் உள்ள கூறுகளை ஒரு தொகுப்பாக கருதினால்<math>\displaystyle \\{ 1, 2, 3 \\}</math> இதன் எண்ணளவை <math>\displaystyle g=3</math>,வெவ்வேறான தொகுப்புகளின் குணகம்
:<math>
\displaystyle
\\langle
\begin{matrix}
3
\\
4
\end{matrix}
\\rangle
= {3 + 4 - 1 \choose 3-1}
= {3 + 4 - 1 \choose 4}
=
\frac
{6!}
{4! 2!}
= 15
</math>
பொதுவாக, <math>\displaystyle S(n,g)</math> ஒவ்வொரு கூறுகளின் வெவ்வேறான தொகுப்புகளின் எண்ணளவை <math>\displaystyle n</math>தொகுப்பில் இருந்துதான் கூறகள் எடுத்துகொள்ளபடுகிறது.<math>\displaystyle \\{ 1, \dots, g \\}</math>எண்ணளவை<math>\displaystyle g</math> அதாவது <math>\displaystyle w(n,g)</math> இன் வெவ்வேறான தொகுப்புகளின் குணகங்கள்
<math>
\displaystyle
w(n,g)
=
\\langle
\begin{matrix}
g
\\
n
\end{matrix}
\\rangle
= {g + n - 1 \choose g-1}
= {g + n - 1 \choose n}
=
\frac{(g + n - 1)!}
{n! (g-1)!}
</math>
ஈறுருப்பு கோவைகளின் படி
<math>
\sum_{k=0}^n\frac{(k+a)!}{k!a!}=\frac{(n+a+1)!}{n!(a+1)!}.
</math>
கட்டுப்பாட்டு நீக்கத்தை கருத்தில் கொண்டால்
<math>
\displaystyle
w(n,g)
=
\sum_{k=0}^n
w(n-k, g-1)
=
w(n, g-1)
+
w(n-1, g-1)
+
\cdots
+
w(1, g-1)
+
w(0, g-1)
</math>
<math>\displaystyle S(4,3)</math>கூறுகளை மறு ஆய்வு செய்யும்போது  
:<math>
\.
\underbrace{
(11{\color{Red}{\underset{==}{33}}}),
(12{\color{Red}{\underset{==}{33}}}),
(22{\color{Red}{\underset{==}{33}}})
}_{(\gamma)},
\underbrace{
(1{\color{Red}{\underset{===}{333}}}),
(2{\color{Red}{\underset{===}{333}}})
}_{(\delta)}
\underbrace{
({\color{Red}{\underset{====}{3333}}})
}_{(\omega)}
\\}.
</math>
<math>\displaystyle S(4,3)</math>ன் துணை அமைப்பு<math>\displaystyle (\alpha)</math>  
:<math>
\displaystyle
S(4,2)
=
\\{
(1111),
(1112),
(1122),
(1222),
(2222)
\\}
</math>.
<math>\displaystyle S(4,3)</math>ல் துணை அமைப்பு<math>\displaystyle (\beta)</math>  
:<math>
\displaystyle
S(3,2)
=
\\{
(111),
(112),
(122),
(222)
\\}
</math>.
<math>\displaystyle S(4,3)</math> இல் உள்ள துணை அமைப்பு (<math>\displaystyle (\beta)</math>)க்கும் அமைப்பு <math>\displaystyle S(3,2)</math> க்கும் உள்ள தொடா்பு
:<math>
\displaystyle
(\beta)
\longleftrightarrow
S(3,2)
</math>.
இதே போல
:<math>
\displaystyle
(\gamma)
\longleftrightarrow
S(2,2)
=
\\{
(11),
(12),
(22)
\\}
</math>:<math>
\displaystyle
(\delta)
\longleftrightarrow
S(1,2)
=
\\{
(1),
(2)
\\}
</math>
:<math>
\displaystyle
(\omega)
\longleftrightarrow
S(0,2)
=
\varnothing
</math> (empty set).
எனவே, நாம் பின்வருமாறும் எழுதலாம்
:<math>
\displaystyle
S(4,3)
=
\bigcup_{k=0}^{4}
S(4-k,2)
</math>
அல்லது பொதுவாக,
:{| ="0"
|-
| |
<math>
\displaystyle
S(n,g)
=
\bigcup_{k=0}^{n}
S(n-k,g-1)
</math>;
| | (5)
|}
மற்றும் முதல் தொகுப்பு
:<math>
\displaystyle
S(i,g-1) \ , \ {\rm for} \ i = 0, \dots , n
</math>
ஒன்றோடொன்று குறுக்கீடு செய்யாதபோது
:{| ="0"
|-
| |
<math>
\displaystyle
w(n,g)
=
\sum_{k=0}^{n}
w(n-k,g-1)
</math>,
| | (6)
|}
நடைமுறைவழக்கில் பாா்த்தால்
:{| ="0"
|-
| |
:<math>
\displaystyle
w(0,g)
=
1 \ , \forall g
\ ,
{\rm and}
\
w(n,0)
=
1 \ , \forall n
</math>.
| | (7)
|}
இந்த முறையின் தொடா்ச்சியாக கீழ்க்கண்ட சூத்திரம் பெறப்படுகிறது  
:<math>
\displaystyle
w(n,g)
=
\sum_{k_1=0}^{n}
\sum_{k_2=0}^{n-k_1}
w(n - k_1 - k_2, g-2)
=
\sum_{k_1=0}^{n}
\sum_{k_2=0}^{n-k_1}
\cdots
\sum_{k_g=0}^{n-\sum_{j=1}^{g-1} k_j}
w(n - \sum_{i=1}^{g} k_i, 0).
</math>
நடைமுறைவழக்கைc சமன்பாடு 7 இல் பயன்படுத்தும்போது நாம் பின்வரும் சூத்திரத்தை பெறுகிறோம்
:{| ="0"
|-
| |
<math>
\displaystyle
w(n,g)
=
\sum_{k_1=0}^{n}
\sum_{k_2=0}^{n-k_1}
\cdots
\sum_{k_g=0}^{n-\sum_{j=1}^{g-1} k_j}
1,
</math>
| | (8)
|}
இங்கு, q, p eன்பன மாறிலிகள்.
:{| ="0"
|-
| |
<math>
\displaystyle
\sum_{k=0}^{q}
p
=
q p
</math>.
| style= | (9)
|}