# வர்க்கம் (கணிதம்)

## பண்புகள்

- *m* புள்ளிகளை ஒரு சதுரமாக அடுக்க முடிந்தால், முடிந்தால் மட்டுமே எண் *m* ஒரு வர்க்க எண்ணாகும்:
**m = 4<sup>2</sup> = 16**  
| m = 5<sup>2</sup> = 25 | } |
| --- | --- |  
இங்கு *n* -ஆம் வர்க்க எண் *n*<sup>2</sup>. இது முதல் *n* ஒற்றை எண்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமம். இக்கூற்றைப் படத்தில் காணலாம். படத்தில் ஒவ்வொரு சதுரமும் அதற்கு முந்தைய சதுரத்துடன் ஒற்றை எண்ணிக்கைப் புள்ளிகளைச் சேர்ப்பதால் உண்டாவதையும் காணலாம்.  
:<math>n^2 = \sum_{k=1}^n(2k-1).</math>  
எடுத்துக்காட்டு:  
5<sup>2</sup> = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.  
- ஒரு வர்க்க எண்ணிற்கும் அதற்கு முந்தைய வர்க்க எண்ணிற்குமுள்ள தொடர்பு:  
: <math> n ^ 2 = (n - 1) ^ 2 + (2 n - 1) \, </math>.  
அல்லது:  
: <math> n ^ 2 = (n - 1) ^ 2 + (n - 1) + n \, </math>.  
மற்றொரு வாய்ப்பாடு:
: <math> n ^ 2 = 2(n - 1) ^ 2 - (n - 2)^2 + 2 \, </math>.  
எடுத்துக்காட்டு:  
: 2 &times; 5<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;4<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;2 = 2 &times; 25&nbsp;&minus;&nbsp;16&nbsp;+&nbsp;2 = 50&nbsp;&minus;&nbsp;16&nbsp;+&nbsp;2 = 36 = 6<sup>2</sup>.  
- ஒரு வர்க்க எண் அடுத்தடுத்த இரு முக்கோண எண்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.
- அடுத்தடுத்த இரு வர்க்க எண்களின் கூடுதல் ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்.
- ஒவ்வொரு ஒற்றை வர்க்க எண்ணும் ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட எண்கோண எண்ணாகவும் இருக்கும்
- ஒரு வர்க்க எண்ணின் வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை ஒற்றை யெண்ணாக இருக்கும். பிற எண்களின் வகுத்திகளின் எண்ணிக்கை இரட்டை யெண்ணாக இருக்கும்.
- பத்தடிமானத்தில், ஒரு வர்க்க எண் 0,1,4,6,9, அல்லது 25 ஆகிய இலக்கங்களைக் கொண்டு பின்வருமாறு முடிவடையும்:
- 0 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், இரட்டை எண்ணிக்கை கொண்ட 0 -க்களைக் கொண்டு முடிவடையும். மேலும் கடைசியில் உள்ள 0-க்களுக்கு முந்தைய இலக்கங்கள் ஒரு முழு வர்க்க எண்ணைத் தரும்.
: 10<sup>2</sup> = **1**00; 20<sup>2</sup> = **4**00;....
- 1 அல்லது 9 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 1-ஐக் கொண்டு முடிவடையும். மேலும் கடைசியில் உள்ள 1-க்கு முந்தைய இலக்கங்கள் குறிக்கும் எண் நான்கால் வகுபடும்.
: 11<sup>2</sup> = **12**1; 21<sup>2</sup>= **44**1;......
: 9<sup>2</sup>=81; 29<sup>2</sup> = **84**1;.....
- 2 அல்லது 8 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 4 -ஐக் கொண்டு முடியும். மேலும் கடைசியில் உள்ள 4-க்கு முந்தைய இலக்கம் இரட்டை எண்ணாக இருக்கும்.
: 12<sup>2</sup> = 1**4**; 22<sup>2</sup> = 4**8**4;....
: 8<sup>2</sup>=**6**4; 18<sup>2</sup>=3**2**4;....
- 3 அல்லது 7 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 9 -ஐக் கொண்டு முடியும். மேலும் கடைசியில் உள்ள 9-க்கு முந்தைய இலக்கங்கள் குறிக்கும் எண் நான்கால் வகுபடும்.
: 3<sup>2</sup>=9; 13<sup>2</sup>=**16**9;....
: 7<sup>2</sup>=**49**; 17<sup>2</sup>=**28**9;....
- 4 அல்லது 6 -ல் முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 6 -ஐக் கொண்டு முடியும்.மேலும் கடைசியில் உள்ள 6-க்கு முந்தைய இலக்கம் ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும்.
: 4<sup>2</sup>=**1**6; 14<sup>2</sup>=1**9**6; 24<sup>2</sup>=5**7**6;....
: 6<sup>2</sup>=**3**6; 16<sup>2</sup>=2**5**6; 26<sup>2</sup>=6**7**6....
- 5 -ஐக் கொண்டு முடியும் எண்ணின் வர்க்கம், 25 -ஐக் கொண்டு முடியும்.மேலும் கடைசியில் உள்ள 25-க்கு முந்தைய இலக்கங்கம் 0, 2, 6, 25 -ஆக இருக்கும்.
: 5<sup>2</sup>=25; 25<sup>2</sup>=**6**25; 35<sup>2</sup>=1**2**25;.....  
- பொதுவாக ஒரு பகா எண் *p* , வர்க்க எண் *m* -ஐ வகுக்குமானால் *p*<sup>2</sup> -ம் *m* -ஐ வகுக்கும்.
- வர்க்க எண் ஒரு செவ்விய எண் அல்ல.
- வர்க்க எண்களின் கூடுதல் காணும் வாய்ப்பாடு:
: <math>\sum_{n=0}^N n^2 = 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \cdots + N^2 = \frac{N(N+1)(2N+1)}{6}</math>
: <math>\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}.</math> -தொடரின் உறுப்புகள் (வர்க்கப் பிரமிடு எண்கள்):
<blockquote>
0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201... .
</blockquote>