# கணக் கோட்பாடு

## வரலாறு

கணிதவியல் தலைப்புகள் பொதுவாக பல ஆய்வாளர்களின் ஊடாட்டத்தில் தோன்றிப் படிமலர்கின்றன. என்றாலும் கணக்கோட்பாடு, கியார்கு காண்ட்டர் 1874 இல் வெளியிட்ட தனி ஆய்வுக் கட்டுரையான "அனைத்து இயற்கணித மெய் எண்களின் திரட்டு சார்ந்த இயல்பைப் பற்றி (On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers)" எனும் ஆய்வினால் தோற்றுவிக்கப்பட்டது.  
கி.மு 5 ஆம் நூற்றாண்டில் இருந்து, அதாவது, மேற்கில் கிரேக்கக் கணிதவியலாளர் எலியாவின் சீனோவில் இருந்தும் கிழக்கில் தொடக்கநிலை இந்தியக் கணிதவியலில் இருந்தும், கணிதவியலாளர்கள் ஈறிலி கருத்தினம் குறித்த புரிதலுக்குத் திண்டாடிக் கொண்டிருந்தனர். இவற்றில் குறிப்பிட்த் தகுந்த பணி, 19 ஆம் நூற்றாண்டின் முதல் அரைப்பகுதியில் உருவாக்கப்பட்ட பெர்னார்டு போல்சானோவின் ஆய்வாகும். ஈறிலி சார்ந்த தற்காலப் புரிதல் 1867–71 களில் காண்டரின் எண் கோட்பாட்டில் அமைந்த்து. காண்டரும் டெடிகைண்டும் 1872 இல் சந்தித்ததும், அது காண்டரின் சிந்தனையில் தாக்கம் விளைவித்து அவரது 1874 ஆம் ஆண்டு ஆய்வு வெளிவர வழிவகுத்தது.  
காண்டரின் ஆய்வு முதலில் அவரது சமகாலக் கணிதவியலாளர்களை இவரோடு முரண்பட வைத்தது. ஆனால், கார்ல் வியர்சுட்டிராசும் டெடிகைண்டும் காண்டரையும் ஆதரித்தனர். ஆனால், கணிதக் கட்டுமானவியலின் தந்தையாகிய இலியோபோல்டு குரோனெக்கர் காண்டரை ஏற்கவில்லை. காண்டரியக் கணக் கோட்பாடு பின்வரும் கருத்தினங்களின் பயன்பாட்டுக் காரணங்களால் பரவலானது. அவை, கணங்களுக்கு இடையிலான ஒன்றுக்கொன்றாய் அமையும் நேரடித் தொடர்பு, முற்றெண்களை விட கூடுதலான மெய்யெண்கள் நிலவுதலுக்கான நிறுவல், "ஈறிலிகளின் ஈறிலி", திறன்கண வினையில் விளையும் ("காண்டரின் துறக்கம் (Cantor's paradise)") என்பனவாகும். கணக் கோட்பாட்டின் இந்தப் பயன்பாடு, கிளீன் களஞ்சியத்துக்கு ஆர்த்தர் சுசோயெபிளிசு "Mengenlehre" எனும் கட்டுரையை 1898 இல் அளிக்க வழிவகுத்தது.  
கணக் கோட்பாட்டின் அடுத்த அலை, காண்டரியக் கணக் கோட்பாட்டின் சில விளக்கங்கள் அதன் எதிர்மைகள் அல்லது முரண்புதிர்களை எழுப்பியபோது, 1900 அளவில் கிளர்ந்தெழுந்தது. பெர்ட்ராண்டு இரசல் அவர்களும் எர்னெசுட்டு செருமெலோ அவர்களும் தனித்தனியாக இப்போது இரசல் முரண்புதிர் என அழிஅக்கப்படும் எளிய ஆனால் அனைவரும் அறிந்த முரண்புதிரைக் கண்டறிந்தனர்: "தமக்குள் உறுப்புகளாக அமையாத கணங்களின் கணத்தைக்" கருதுக. இது தனக்குள் ஒரு உறுப்பாகவும் தனக்குள் ஓர் உறுப்பாக அமையாத்தாகவும் உள்ள முரண்பாட்டைத் தோற்றுவிக்கிறது. காண்டர் 1899 இலேயே தனக்குள் ஒரு வினவலை "கணங்களின் கணத்தின் முதலெண் என்ன?" என எழுப்பி, சார்ந்த முரண்புதிரையும் அடையப் பெற்றுள்ளார். ஐரோப்பியக் கண்டக் கணிதவியலை மீள்பார்வையிடும் தனது நூலான *கணிதவியலின் நெறிமுறைகள் (The Principles of Mathematics)* என்பதில், இரசல் இந்த முரண்புதிரை ஒரு கருப்பொருளாகவே பயன்படுத்தியுள்ளார்.  
ஆங்கில வாசகர்கள் 1906 இல் *புள்ளிகளின் கணங்கள் சார்ந்த கோட்பாடு (Theory of Sets of Points)*எனும் கணவனும் மனைவியுமாகிய வில்லியம் என்றி யங், கிரேசு சிசோல்ம் யங் ஆகிய இருவரும் எழுதி, கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக்கழக அச்சகம் வெளியிட்ட நூலைப் படிக்கும் வாய்ப்பைப் பெற்றனர்.  
முரண்பாடுகள் பற்றிய விவாதம் கணக்கோட்பாட்டைப் புறந்தள்ளாமல், மாறாக, அதன் உந்துதல், 1908 இல் செருமெலோவையும் 1922 இல் பிரேங்கலையும் ZFC எனும் அடிக்கோள்களின் கணத்தை உருவாக்க வழிவகுத்தது. இது கணக் கோட்பாட்டில் மிகப் பரவலாகப் பயன்படுத்தும் அடிக்கோள்களின் கணம் ஆகியது. என்றி இலெபெசுக்யூவின் மெய் எண் பகுப்பாய்வுப் பணி,கணக்கோட்பாட்டின் மாபெரும் கணிதவியல் பயன்பாட்டை செயல்முறையில் விளக்கிக் காட்டுவதாய் அமைந்தது. எனவே கணக்கோட்பாடு புதுமைக் கணிதவியலின் ஊடும் பாவுமாய் மாறியது. சில கணிதவியல் புலங்களில் பகுப்பினக் கோட்பாடு விரும்பப்படும் அடித்தளமாகக் கருதப்பட்டாலும், பொதுவாக கணக்கோட்பாடே கணிதவியலின் அடித்தளமாகக் கொள்ளப்படுகிறது.