# மெர்சென் பகாத்தனி

## மெர்சென் பகாத்தனி பற்றி

மெர்சென் பகாத்தனி பற்றிய பல அடிப்படையான கேள்விகளுக்கு இன்னும் விடை காண முடியாமல் உள்ளன. மெர்சென் பகாத்தனிகளின் எண்ணிக்கை முடிவிலியாக இருக்குமா என்பது அறியப்படவில்லை. ஆனால் முடிவிலி எண்ணிக்கையில் மெர்சென் பகாத்தனிகள் இருக்க வேண்டும் என்றும் அவற்றின் அடுக்கின் போக்கு பற்றியும் "இலென்ச்ட்ரா-பொமெரான்சு-வாக்சுடாஃவ் ஊகம் (Lenstra-Pomerance-Wagstaff conjecture) கூறுகின்றது. அதே போல பகா எண்களாக இல்லாமல், பகு எண்களின் (வகுபடும் எண்களாக) அடுக்கெண்களைப் பகாத்தனிகளாகக் கொண்ட மெர்சென் எண்களும் எண்ணிக்கையில் முடிவிலியாக இருக்குமா என்றும் தெரியவில்லை. ஆனால் சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி போன்ற பகாத்தனிகள் முடிவிலி எண்ணிக்கையில் இருக்கும் என்னும் ஊகம் போன்றே இதுவும் இருக்கக்கூடும் என்னும் கருத்து உள்ளது.  
மெர்சென் எண்களைப் பற்றிய ஓர் அடிப்படையான தேற்றம் கூறுவது: ஒரு மெர்சென் எண் *M*<sub>*n*</sub>, மெர்சென் பகாத்தனி ஆக இருக்க வேண்டுமெனில் அதன் அடுக்கு படி (exponent) *n* என்பதே பகாத்தனியாக இருத்தல் வேண்டும். இதன் அடிப்படையில் மெர்சென் எண்ணாகிய *M*<sub>4</sub> = 2<sup>4</sup>−1 = 15 முதலியவற்றின் பகா எண் தன்மை இல்லாமையை காட்டுகின்றது: ஏனெனில் அடுக்குப்படி 4 = 2×2 என்பது ஒரு வகுபடும் எண், எனவே தேற்றத்தின் கூற்றின்படி 15 என்பது ஒரு பகு எண். உண்மையில், 15 = 3×5. ஆகவே இது உண்மையாகின்றது.  
இன்று அறியப்படுவனவற்றிலேயே மிகச் சிறிய மெர்சென் பகாத்தனிகள்:  
: *M*<sub>2</sub> = 3, *M*<sub>3</sub> = 7, *M*<sub>5</sub> = 31.  
*M*<sub>*p*</sub> என்னும் மெர்சென் எண்ணின் அடுக்குப் படி *p* ஆனது பகாத்தனியாக, *p* = 2, 3, 5, … , என இருந்தால் மட்டுமே அந்த மெர்சென் எண் பகாத்தனியாக இருக்க முடியும் என்றாலும், அடுக்குப்படி *p* பகாத்தனியாக இருந்தும் சில மெர்சென் எண்கள், மெர்சென் பகாத்தனியாக இல்லாமல் இருக்க முடியும். இந்த எதிர்நிலைக்கு சிறிய எண்ணில் ஓர் எடுத்துக்ககட்டு: *M*<sub>*p*</sub>  
: *M*<sub>11</sub> = 2<sup>11</sup> − 1 = 2047 = 23 × 89,  
மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டில், 11 என்னும் அடுக்குப் படி பகாத்தனியாக இருந்த பொழுதும், 2047 என்னும் மெர்சென் எண் பகாத்தனி அல்ல. இது 23 × 89 என்று எழுதக்கூடிய வகுபடும் எண், பகு எண். இப்படி அடுக்குப்படி ஒரு பகாத்தனியாக இருந்தபோதும் அந்த மெர்சென் எண் பகாத்தனியாக இருக்குமா இருக்காதா என்பதற்கு ஒரு தெளிவான விதி இல்லாததால், மெர்சென் பகாத்தனிகளைத் தேடுவது கடினமானதாகவும் ஆர்வத்தைத் தூண்டுவதாகவும் உள்ளது. ஏனெனில் மெர்சென் எண்கள் விரைவாக மிகப்பெரிய எண்களாக உருவெடுக்கின்றன. இதனால் பல கணினிகளின் உதவியால் பகிர்ந்து கணிக்கும் திட்டப்படி மெர்சென் பகாத்தனிகளைத் தேடுகின்றார்கள். இப்பணிக்கு மிகவும் உதவுவது, ஓரெண் பகாத்தனியா என மெய்த்தேர்வு செய்வதில் திறன்மிக்க லூக்காசு-லேமர் மெர்சென் எண் மெய்த்தேர்வின் பயன்பாடு ஆகும். முறைப்படி பகாத்தனியா என்னும் மெய்த்தேர்வு, மிகப் பெரிய மெர்சென் பகாத்தனியைத் தேடி கண்டுபிடிப்பது என்பது ஒரு சிலரால் மிகுந்த ஈடுபாடோடு பின்பற்றும் ஒரு கலையாக உள்ளது.  
இந்த மெர்சென் பகாத்தனிகள் பலவகையான இடங்களில் பயன்படுகின்றன. ஏறத்தாழ சீருறா எண்களைத் தரும், போலிச்சீருறா எண் ஆக்கிகளில் (pseudorandom number generator) பயன்படுகின்றது. எடுத்துக்காட்டுகள்: 1997 இல் தொடங்கிய, மிக விரைந்து எண்களைத் தரும், போலிச் சீருறா எண் ஆக்கியாகிய மெர்சென் டுவிஸ்டர், பார்க்-மில்லர் சீருறா எண் ஆக்கி, பொது பதிகைமாற்றி, ஃவிப்நாக்சி சீருறா எண் ஆக்கி (Fibonacci RNG).  
கணினி அறிவியலில் (computer science) குறியில்லா *n*-பிட்டு முழு எண்களைக் கொண்டு M<sub>n</sub> வரையிலான மெர்சென் எண்களைக் குறிப்பிட முடியும் என்று நிறுவப்பட்டுள்ளது.  
*n* வட்டைகள் கொண்ட அனோய் கோபுரம் (Hanoi Tower) என்னும் சிக்கல்தீர் விளையாட்டில், தீர்வு காண குறைந்தது M<sub>n</sub> நகர்வுகள் தேவை என்று நிறுவப்பட்டுள்ளது.