# விகிதம்

## வரலாறும் சொற்பிறப்பியலும்

### யூக்ளிடின் வரையறைகள்

யூக்ளிடின் எலிமெண்ட்சின் புத்தகம் V இல் விகிதம் தொடர்பான 18 வரையறைகள் உள்ளன. மிகவும் சாதாரணமான, பயன்பாட்டிலுள்ள கருத்துகளையே அவர் இவ்வரையறைகளில் பயன்படுத்தியுள்ளதால், அக்கருத்துக்களுக்கெனத் தனிப்பட்ட வரையறைகளை அவர் தரவில்லை.  
- முதல் இரண்டு வரையறைகளும், ஒரு அளவின் பங்கு மற்றும் மடங்கு குறித்த விவரங்களைத் தருகின்றன:
:*பங்கு* என்பது ஒரு அளவையை அளக்கும். மறுதலையாக, *மடங்கு* என்பது ஒரு அளவால் அளக்கப்படும்.  
தற்காலச் சொற்பயன்பாட்டில்,
:எந்தவொரு எண்ணை ஒன்றைவிடப் பெரிய முழுஎண்ணால் பெருக்கினால் எடுத்துக்கொண்ட அளவு கிடைக்கிறதோ, அந்த எண்ணானது எடுத்துக்கொண்ட எண்ணின் பங்கு (வகுஎண்).
:மடங்கு என்பது, எடுத்துக்கொண்ட அளவை ஒன்றைவிடப் பெரிய முழுஎண்ணால் பெருக்கக் கிடைப்பதாகும்.  
"அளக்கும்" என்பது இங்கு பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளவாறு யூக்ளிடால் வரையறுக்கப்படவில்லை. எனினும், ஒரு அளவை அளவீட்டின் அலகாக எடுத்துக் கொண்டு மற்றொரு அளவை இந்த அலகின் முழுஎண் மடங்காக எழுத முடிந்தால், முதல் அளவானது இரண்டாவதை அளக்கும் என அறிந்து கொள்ளலாம். இந்த வரையறைகள் புத்தகம் VII இல் மூன்றாவது மற்றும் ஐந்தாவது வரையறைகளாக கிட்டத்தட்ட ஒரேமாதிரியான சொற்பயன்பாட்டுடன் தரப்பட்டுள்ளதைக் காணலாம்.  
- மூன்றாவது வரையறை, விகிதம் என்றால் என்ன என்பதைப் பொதுவாக விளக்குகிறது.
கணிதரீதியாக இவ்வரையறை அவ்வளவாக சீராக இல்லையென்பதால் சிலர் இதனை யூக்ளிட் தந்ததல்ல; அவரது பதிப்பாளர்களால் இணைக்கப்பட்டது என்று கருதுகின்றனர்.  
:ஒரேவகையான அளவைகளிடைப்பட்டதாக, யூக்ளிட் விகிதத்தை வரையறுக்கிறார். எனவே இதன்படி, இரு நீளங்கள் அல்லது இரு பரப்பளவுகளின் விகிதங்களை வரையறுக்கலாம். ஆனால் ஒரு நீளம் மற்றும் பரப்பளவுக்கிடையே விகிதத்தை வரையறுக்க முடியாது.  
- நான்காவது வரையறையானது மூன்றாவது வரையறையை மேலும் மேம்படுத்துகிறது. இவ்வரையறைப்படி,  
:ஒன்றின் மடங்கானது மற்றதைவிட அதிகமானதாக உள்ளவாறு இரு அளவுகளுக்கும் மடங்குகள் இருந்தால், அவ்விரு அளவுகளின் விகிதம் காணமுடியும்.  
நவீனக் குறியீட்டில்,
:*mp*>*q* , *nq*>*p* என்றவாறு முழுஎண்கள் *m* , *n* இருந்தால், *p* , *q* இரண்டின் விகிதம் காணமுடியும். இது ஆர்க்கிமிடீயப் பண்பு என அழைக்கப்படுகிறது.  
- ஐந்தாம் வரையறையில் சம விகிதங்கள் குறித்து பேசப்பட்டுள்ளது. தற்காலத்தில், அளவுகளின் ஈவுகள் சமமாக இருந்தால் அவற்றின் விகிதங்கள் சமம் எனக் கூறி விடலாம். ஆனால் அளவுக்கிணங்கா எண்களின் ஈவுகளை யூக்ளிட் ஏற்றுக்கொள்ளாததால், இவ்விளக்கம் அவரைப் பொறுத்தவரை சரியானதாகாது. எனவே, மேலும் நுட்பமான வரையறை தேவைப்படுகிறது. ஒரு விகிதத்துடன் விகிதமுறு மதிப்பொன்றை இணைக்க முடியாவிட்டாலும் அதனை ஒரு விகிதமுறு எண்ணுடன் ஒப்பிடலாம்.  
தரப்பட்டுள்ள இரு அளவுகள் *p* , *q*; *m*/*n* ஒரு விகிதமுறு எண் எனில், *np* ஆனது, *mq* ஐ விடச் சிறியதாக அல்லது சமமானதாக அல்லது பெரியதாக இருப்பதைப் பொறுத்து, *p* : *q* ஆனது முறையே, *m*/*n* ஐ விடச் சிறியதாக அல்லது சமமாக அல்லது பெரியதாக இருக்கும் எனலாம்.  
விகித சமம் குறித்த யூக்ளிடின் வரையறைப்படி, ஒரு விகிதமுறு எண்ணைவிடச் சிறியதாக, சமமாக அல்லது பெரியதாக இருப்பதில் ஒத்த நிலைப்பாடு கொண்டுள்ள இரு விகிதங்கள் சமமாகும்.  
தற்காலக் குறியீட்டில்,  
*p*, *q*, *r* , *s* தரப்பட்டுள்ள அளவுகள்; *m* , *n* நேர்ம முழுஎண்கள் எனில்,
:*nr*<*ms*, *nr*=*ms*, *nr*>*ms* என்பதைப் பொறுத்து முறையே, *np*<*mq*, *np*=*mq*, *np*>*mq* என இருக்குமானால்:
::*p*:*q* :: *r*:*s* ஆகும்.  
- ஆறாம் வரையறைப்படி, ஒரே விகிதமுடைய அளவுகள் விகிதசமனானவை (*proportional*) எனப்படும். விகிதசமன் என்பதற்கு யூக்ளிட் பயன்படுத்திய கிரேக்கச் சொல் ἀναλόγον (analogon) ஆகும்.
- ஏழாம் வரையறையில் ஒரு விகிதம் மற்றொரு விகிதத்தைவிடச் சிறியதாக அல்லது பெரியதாக இருப்பதை விளக்குகிறது. இவ்வரையறை ஐந்தாம் வரையறையை அடிப்படையாய்க் கொண்டது.  
தற்காலக் குறியீட்டில்,
:*p*, *q*, *r* , *s* நான்கும் தரப்பட்ட அளவுகள் எனில், *m* , *n* முழுஎண்களுக்கு *np*>*mq* மற்றும் *nr*≤*ms* என்பது உண்மையானால் *p*:*q* > *r*:*s* ஆகும்.  
- எட்டாம் வரையறை யூக்ளிடின் பதிப்பாளர்களால் சேர்க்கப்பட்டதாக இருக்கவேண்டும் என்பது சிலரது கருத்தாக உள்ளது.  
இவ்வரையறையின்படி,
:*p*:*q* :: *q*:*r* எனில், *p*, *q* , *r* மூன்றும் விகிதசமனானவை.  
இது நான்கு அளவுகளுக்கும் நீட்டிக்கப்படுகிறது:
:*p*:*q* :: *q*:*r* :: *r*:*s* எனில், *p*, *q*, *r* , *s* நான்கும் விகிதசமனானவை.  
- அடுத்தடுத்த உறுப்புகளின் விகிதங்களைச் சமமாகக் கொண்ட பெருக்குத் தொடர் கருத்தை ஒன்பதாம் மற்றும் பத்தாம் வரையறைகள் கொண்டுள்ளன.  
:*p*, *q* , *r* மூன்றும் விகிதசமனானவை எனில், *p*:*r* என்பது *p*:*q* இன் இருபடிவிகிதம்.
:*p*, *q*, *r* , *s* நான்கும் விகிதசமனானவை எனில், *p*:*s* என்பது *p*:*q* இன் முப்படிவிகிதம்.  
: *p*, *q* , *r* மூன்றும் விகிதசமத்தில் இருந்தால், *q* (பெருக்கல் சராசரி ஆனது *p* , *r* இன் இடைவிகிதசமன் எனப்படும். அதேபோல *p*, *q*, *r*, *s* நான்கும் விகிதசமம் எனில், *q* , *r* இரண்டும் *p*, *s* இன் இடைவிகிதசமன்களாகும்.