wickkiey/tamil-wikipedia-chunked huggingface dataset:
# நாற்கரம்

## இருநடுக்கோடுகள்

ஒரு நாற்கரத்தின் எதிர்ப்பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் **இருநடுக்கோடுகள்** எனப்படும். இரு நடுக்கோடுகள் வெட்டும்புள்ளி நாற்கரத்தின் உச்சிகளின் திணிவு மையம் ஆகும்.
- இணைகரத்தின் சுற்றளவு, மூல நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.
- இணைகரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் மூல முக்கோணத்தின் இருநடுக்கோடுகளாக இருக்கும்.  
மூல நாற்கரத்தின் இரண்டு இருநடுக்கோடுகளும் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டும் ஒரே புள்ளியில் சந்திக்கும் கோடுகளாக இருக்கும். மேலும் அவை சந்திக்கும் புள்ளி அவற்றை இருசமக்கூறிடும்.  
ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் *a*, *b*, *c*, *d* எனில், *a*, *c* பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் இருநடுக்கோட்டின் நீளம்:
:<math>m=\tfrac{1}{2}\sqrt{-a^2+b^2-c^2+d^2+p^2+q^2}</math> (*p*, *q* மூலைவிட்ட நீளங்கள்)  
*b*, *d* பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் இருநடுக்கோட்டின் நீளம்:
:<math>n=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2-b^2+c^2-d^2+p^2+q^2}.</math>  
இவ்விரு முடிவுகளிலிருந்து பின்வரும் மதிப்பைப் பெறலாம்.
:<math>\displaystyle p^2+q^2=2(m^2+n^2).</math>
- இரு மூலைவிட்டங்களும் செங்குத்தாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இருநடுக்கோடுகள் இரண்டும் சமநீளமுள்ளவை.
- இரு மூலைவிட்டங்களும் சமநீளமுள்ளவையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இருநடுக்கோடுகள் இரண்டும் செங்குத்தானவை.
# நாற்கரம்

## முக்கோணவியல் முற்றொருமைகள்

நாற்கரம் *ABCD* இன் நான்கு கோணங்களும் பின்வரும் முற்றொருமைகளை நிறைவு செய்யும்:
:<math>\sin{A}+\sin{B}+\sin{C}+\sin{D}=4\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A+C}{2}}\sin{\frac{A+D}{2}}</math>
:<math>\frac{\tan{A}\tan{B}-\tan{C}\tan{D}}{\tan{A}\tan{C}-\tan{B}\tan{D}}=\frac{\tan{(A+C)}}{\tan{(A+B)}}.</math>
:<math>\frac{\tan{A}+\tan{B}+\tan{C}+\tan{D}}{\cot{A}+\cot{B}+\cot{C}+\cot{D}}=\tan{A}\tan{B}\tan{C}\tan{D}.</math>  
tan&nbsp;90° இன் மதிப்பு வரையறுக்கப் படாததால், கடைசி இரு முற்றொருமைகளிலும் எந்தவொரு கோணமும் செங்கோணமாக இருக்க முடியாது.  
<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math>, <math>d</math> குவிவு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள்; <math>s</math> அரைச்சுற்றளவு; <math>A,</math> <math>C</math> எதிர்கோணங்கள் எனில்:
:<math>ad\sin^2{\frac{A}{2}}+bc\cos^2{\frac{C}{2}}=(s-a)(s-d)</math>
:<math>bc\sin^2{\frac{C}{2}}+ad\cos^2{\frac{A}{2}}=(s-b)(s-c)</math>.  
இவற்றைப் பயன்படுத்தி பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாட்டைப் பெறலாம்.
# நாற்கரம்

## சமனிலிகள்

### பரப்பளவு

குவிவு நாற்கரத்தின் பக்க நீளங்கள் *a*, *b*, *c*, *d*; மூலைவிட்டங்கள் *p*, *q* எனில் பரப்பளவு *K* நிறைவு செய்யும் சமனிலிகள்:
:<math>K\le \tfrac{1}{4}(a+c)(b+d)</math> செவ்வகத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.
:<math>K\le \tfrac{1}{4}(a^2+b^2+c^2+d^2)</math> சதுரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.
:<math>K\le \tfrac{1}{4}(p^2+q^2)</math> மூலைவிட்டங்கள் செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.
:<math>K\le \tfrac{1}{2}\sqrt{(a^2+c^2)(b^2+d^2)}</math> செவ்வகத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.
:<math>\displaystyle K\le \tfrac{1}{2}\sqrt[3]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}.</math>  
நாற்கரத்தின் சுற்றளவு *L* எனில் சதுரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.  
:<math> K \leq \frac{1}{3+\sqrt{3}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)- \frac{1}{2(1+\sqrt{3})^2}(a^2+b^2+c^2+d^2) </math> சதுரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.
# நாற்கரம்

## சமனிலிகள்

### மூலைவிட்டங்கள், இருநடுக்கோடுகள்

ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றத்தின் கிளைமுடிவுச் சமனிலி:
:<math> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \ge p^2 + q^2 ,</math> இணைகரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.  
வட்ட நாற்கரத்துக்குச் சமனியாகவுள்ள தொலெமியின் தேற்ற முடிவைப் பொதுமைப்படுத்தி குவிவு நாற்கரத்துக்கு சமனிலியாக ஆய்லர் மாற்றியுள்ளார்:
:<math> pq \le ac + bd </math> <math>m^2+n^2=\tfrac{1}{2}(p^2+q^2).</math> முற்றொருமையிலிருந்து இச்சமனிலி நேரிடையாகப் பெறப்படுகிறது.
# நாற்கரம்

## சமனிலிகள்

### பக்கங்கள்

நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் *a*, *b*, *c*, *d* நிறைவுசெய்யும் சமனிலிகள்:
:<math>a^2+b^2+c^2 > \frac{d^2}{3}</math>
:<math>a^4+b^4+c^4 \geq \frac{d^4}{27}.</math>
# நாற்கரம்

## குவிவு நாற்கரங்களின் பிற பண்புகள்

- நாற்கரத்தி எல்லாப் பக்கங்களின் மீதும் வெளிப்புறமாக சதுரங்கள் வரையப்பட்டால், எதிரெதிர் சதுரங்களின் மையங்களை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் சம நீளமுள்ளவை; செங்த்தானவை. இவை ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரத்தின் உச்சிகளாக இருக்கும்.
- ஒரு எளிய நாற்கரத்தின் பக்கங்களுக்கு சமமான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு வட்ட நாற்கரம் இருக்கும்.
- நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்கள், பக்கங்களால் உருவாகும் நான்கு முக்கோணங்களில், ஒரு சோடி எதிர் முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் பெருக்குத்தொகை மற்ற இரு முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.
# விஜயரகுநாத தொண்டைமான்

**இராஜா விஜய ரகுநாத தொண்டைமான் பகதூர்** (Vijaya Raghunatha Tondaiman) (1759 –1807) விஜயரகுநாத தொண்டமான் என அறியப்படும் இவர் புதுக்கோட்டையை 1789 முதல் 1807 பெப்ரவரி முதல்தேதி வரை வரை ஆண்ட மன்னர் ஆவார்.
# விஜயரகுநாத தொண்டைமான்

## துவக்க வாழ்க்கை

விஜய ரகுநாத தொண்டைமான் 1759 மே அன்று திருமலைராயா தொண்டைமான் சாகிப்புக்கு மகனாகப் பிறந்தார். இவர் தனி ஆசிரியரிடம் கல்வி பயின்றார்.
# விஜயரகுநாத தொண்டைமான்

## ஆட்சி

இராயரகுநாத தொண்டைமானின் சிறிய தந்தையாகிய திருமலை தொண்டைமானின் மூத்த மகனான இவர், இராயரகுநாத தொண்டைமான் ஆண் வாரீசு இன்றி இறந்த பிறகு, தன் முப்பதாவது வயதில் அரியணை ஏறினார். விஜய ரகுநாத தொண்டைமானின் ஆட்சிக் காலமானது தென்னிந்தியாவில் தொடர்ச்சியான போர்களைக் கொண்ட காலமாகும். விஜய ரகுநாத தொண்டைமான் பிரித்தானியருக்கு ஆதரவாக போரிட்டார். 1796 அக்டோபர் 17 அன்று ஆற்காடு நவாபான முகமது அலி கான் வாலாஜா இவருக்கு "ராஜா பகதூர்" என்ற பட்டத்தை வழங்கினார். பாளையக்காரர் போர்களில் விஜயரகுநாத தொண்டைமான் முக்கியப் பங்கு வகித்தார். வீரபாண்டிய கட்டபொம்மன் மற்றும் அவரது சகோதரர் ஊமைத்துரையை பிடிக்க பிரித்தானியருக்கு உதவியாக இருந்தார். இவரது சேவையை அங்கீகரிக்கும்விதமாக 1803 ஆம் ஆண்டு கீழாநிலைப் பிரதேசத்தை பிரித்தானியர் இவரிடம் ஒப்படைத்து அங்கீகரித்தனர்.  
தஞ்சாவூர் மராத்திய அரசை 1799 ஆம் ஆண்டு பிரித்தானிய கிழக்கிந்திய கம்பெனி தன் ஆட்சிப்பகுதியோடு இணைத்துக்கொண்டது, அதைத் தொடர்ந்து இராமநாதபுரம் மற்றும் சிவகங்கை போன்றவை நாடு என்ற நிலையில் இருந்து சமீன்கள் என்ற நிலைக்குத் தாழ்த்தப்பட்டன. 1801 ஆம் ஆண்டு ஆற்காடு நவாப்பின் கர்நாடகப் பிரதேசங்களையும் தன் இராச்சியத்துடன் பிரித்தானிய கிழக்கிந்திய கம்பெனி இணைத்துக் கொண்டது. பிரித்தானிய கிழக்கிந்திய நிறுவனத்துக்கு புதுக்கோட்டை அரசர்கள் வழங்கிய உதவியை அங்கீகாரம் அளிக்கும் விதமாக தென் இந்தியாவின் மிகப்பெரிய சக்தியான புதுக்கோட்டை சமஸ்தானத்தை சுயாதீனமாக இருக்க அனுமதித்தனர்.
# விஜயரகுநாத தொண்டைமான்

## குடும்பம்

விஜயரகுநாத தொண்டமான் முதலில் ராணி பிரயநாயகி ஆய் சாகீப்பை மணந்தர். பின்னர் ராணி ஆயிஅம்மாள் ஆயை மணந்தார். விஜயரகுநாத தொண்டமானுக்கு ஐந்து மகன்கள் பிறந்தனர், அவர்களின் இரு மகன்களான விஜயரகுநாதராய தொண்டைமான் (1797-1825) மற்றும் ரகுநாத தொண்டைமான் (1798-1839) ஆகியோர் அவருக்குப் பின் ஒருவர்பின் ஒருவராக ஆண்டனர்.
# விஜயரகுநாத தொண்டைமான்

## இறப்பு

விஜய ரகுநாத தொண்டமான் 1807 பிப்ரவரி முதல் நாள் அன்று தன் 47 ஆம் வயதில் இறந்தார். இளைய ராணியாகிய ஆயிஅம்மாள் ஆய் உடன் கட்டை ஏறினார்.
# சரிவகம்

இயூக்கிளிடிய வடிவியலில், ஒரு **சரிவகம்** (*trapezoid* அல்லது *trapezium*) என்பது ஒரு சோடி எதிர்ப்பக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமாந்தரமாக (இணையாக) அமைந்துள்ள ஒரு குவிவு நாற்கரம் ஆகும். இரு சோடி எதிர்ப்பக்கங்களும் இணையாக உள்ள சரிவகம் இணைகரம் என்று அழைக்கப்படும்.  
இணை பக்கங்கள் இரண்டும் சரிவகத்தின் "அடிப்பக்கங்கள்" எனவும், மற்ற இணையற்ற இரு பக்கங்களும் "தாங்கி பக்கங்கள்" எனவும் அழைக்கப்படும். இரு சோடி எதிர்ப்பக்கங்களும் இணையானவையாக இருந்தால், சரிவகம் ஒரு இணைகரமாகி விடும். இந்நிலையில் அதற்கு இரு சோடி இணை பக்கங்களும் அடிப்பக்கங்களாக இருக்கும். எந்த பக்கங்களும் சமமாக இல்லாவிடில் அச்சரிவகம், "அல்சமபக்கச் சரிவகம்" எனப்படும்.
# சரிவகம்

## மாறுபட்ட வரையறைகள்

இரு சோடி இணைபக்கங்களுடைய இணைகரங்களைச் சரிவகங்களாக எடுத்துக்கொள்ளலாமா இல்லையா என்பதில் கருத்து வேறுபாடு உள்ளது. சிலர் சரிவகத்தை ஒரேயொரு சோடி இணைபக்கங்கள் கொண்ட நாற்கரமாகவும், வேறு சிலர் குறைந்தது ஒரு சோடி இணைபக்கங்கள் கொண்ட நாற்கரமாகவும் வரையறுக்கின்றனர். முதல் வரையறையின் படி இணைகரங்களை சரிவகங்களாகக் கருத முடியாது. Others இரண்டாவது வரையறையின்படி இணைகரங்கள் ஒரு சிறப்புவகையான சரிவகங்களாக இருக்கும்.)  
நுண்கணிதம் போன்ற உயர் கணிதத்தில் இரண்டாவது வரையறை பயனுள்ளதாக அமைகிறது. இந்தக் கட்டுரையிலும் இரண்டாவது வரையறையே கணக்கில் கொள்ளப்படுகிறது. சாய்சதுரங்கள், செவ்வகங்கள், சதுரங்கள் உட்பட்ட அனைத்து இணைகரங்களும் சரிவகங்களாகும். செவ்வகங்கள் நடு-விளிம்புகளைப் பொறுத்து ஆடி சமச்சீர்மை உடையது; சாய்சதுரங்கள் உச்சிகளில் ஆடி சமச்சீர்மை கொண்டவை; சதுரங்கள் நடு-விளிம்புகள், உச்சிகள் இரண்டையும் பொறுத்து ஆடி சமச்சீர்மை உடையவை.
# சரிவகம்

## சிறப்பு வகைகள்

- இரு அடுத்துள்ள கோணங்களைச் செங்கோணங்களாகக் கொண்ட சரிவகம், *நேர் சரிவகம்*  
- நீள அடிப்பக்கத்தின் இரு அடுத்துள்ள கோணங்களைக் குறுங்கோணங்களாகக் கொண்ட சரிவகம், *குறு சரிவகம்* (*acute trapezoid*) என்றும் ஒவ்வொரு அடிப்பக்கத்தின் இரு அடுத்துள்ள கோணங்களில் ஒன்று குறுங்கோணமாகவும் மற்றொன்று விரிகோணமாகவும் இருந்தால் அச்சரிவகம் *விரி சரிவகம்* (*obtuse trapezoid*) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.  
- அடிப்பக்க கோணங்கள் இரண்டும் சமமாக இருந்தால் அச்சரிவகம், *இருசமபக்க சரிவகம்* ஆகும். இருசமபக்க சரிவகத்தின் இரு தாங்கிப் பக்கங்களும் சமமாக இருப்பதோடு எதிரொளிப்பு சமச்சீர்மை கொண்டவையாக இருக்கும். இது குறு சரிவகங்களுக்கும் நேர் சரிவகங்களுக்கும் சாத்தியமாகும்.  
- இரு சோடி எதிர்ப்பக்கங்களும் இணையாகவுள்ள சரிவகம் *இணைகரம்* ஆகும்.  
- *தொடு சரிவகம்* என்பது அதன் நான்கு பக்கங்களும் அதனுள் அமையும் வட்டத்துக்குத் தொடுகோடுகளாக அமைந்துள்ள சரிவகம்.
# சரிவகம்

## சரிவகம் அமைவதற்கான நிபந்தனைகள்

*a*, *c*, *b*, *d* - நான்கு பக்கங்களின் நீளங்கள் எனில்,
- *a*, *b* பக்கங்களை மட்டும் இணையாகக் கொண்ட சரிவகம் அமையக் கட்டுபாடு:
:<math>\displaystyle |d-c| < |b-a| < d+c.</math>  
- இணைகரமாக இருப்பதற்கான கட்டுபாடு:
:<math>d-c = b-a = 0</math>
:<math>|d-c| = |b-a| \neq 0</math> ஆக இருந்தால் வெளி-தொடு நாற்கரமாக இருக்கும் (வெளி-தொடு நாற்கரம் ஒரு சரிவகம் இல்லை).
- ஒரு மூலைவிட்டத்தால் கிடைக்கும் இரு முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் பெருக்குத்தொகை, மற்றொரு மூலைவிட்டத்தால் கிடைக்கும் இரு முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமமாக இருக்கும்.  
இவ்வாய்பாட்டை மேலும் சமச்சீரான வடிவில் காரணிப்படுத்தி எழுதலாம்:
:<math>\frac{1}{FG}=\frac{1}{2} \( \frac{1}{AB}+ \frac{1}{DC} \).</math>  
இணையில்லாத இரு பக்கங்களின் நீட்டிப்புக்கோடுகள் வெட்டும் புள்ளி மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளி வழியாகச் செல்லும் கோடானது, அடிப்பக்கம் ஒவ்வொன்றையும் இருசமக்கூறிடும்
:<math>x = \frac{h}{3} \( \frac{2a+b}{a+b}\).</math>  
இக்கோட்டுத்துண்டை பரப்பளவு மையம் பிரிக்கும் விகிதம் (சிறிய இணை பக்கத்திலிருந்து நீள இணை பக்கத்துக்கு எடுத்துக்கொள்ள)
:<math>\frac{a+2b}{2a+b}.</math>  
*A*, *B* கோணங்களின் இரு சமவெட்டிகள் வெட்டும் புள்ளி *P*; *C*, *D* கோணங்களின் இருசமவெட்டிகள் வெட்டும் புள்ளி *Q* எனில்:
:<math>PQ=\frac{|AD+BC-AB-CD|}{2}.</math>
# சாய்சதுரம்

பட்டத்திலோ அல்லது இணைகரத்திலோ மாற்றம் ஏற்படுத்தும் பொது உருவாகிறது.]]  
இயூக்ளீட் வடிவியலில், **சாய்சதுரம்** (*rhombus*) என்பது எளிய பல்கோணம் (தன்னைத் தானே வெட்டிக்கொள்ளாது). அதன் நான்கு பக்கமும் சம அளவில் கொண்டுள்ளது. இதனை சமபக்க நாற்கரம் என்றும் அழைப்பார்கள். இதனைச் சிலர் வைரம் என்று அழைப்பார்கள் ஏனெனில், இது சீட்டுக்கட்டிலுள்ள டயமண்ட் போன்று இருப்பதால் அவ்வாறு அழைப்பார்கள். இந்த வடிவம் எண்முக முக்கோணகத்தின் அல்லது லோஜெங்கேயின் முன்னிருத்தலைப் போன்றுள்ளது. எண்முக முக்கோணகத்தின் 60°யிலும் லோஜெங்கேயின் 45° யிலும், ஒரு சாய்சதுரத்தையும் காணலாம்.  
அனைத்து சாய்சதுரமும் இணைகரம் மற்றும் பட்டமே. எல்லா கோணங்களையும் செங்கோணமாகக் கொண்ட சாய்சதுரம் சதுரம் ஆகும். .
__TOC__
# சாய்சதுரம்

## சொற்பிறப்பியல்

சரிவகம்(ஆங்கிலத்தில் ரொம்பஸ்) என்னும் சொல் ரோம்போஸ் என்ற கிரேக்க சொல்லிலிருந்து பெறப்பட்டுள்ளது. ரோம்போஸ் என்ற சொல்லுக்கு மீண்டும் மீண்டும் சுற்றுதல் (கிரேக்கத்தில் ரெம்போ) என்று பொருள். , யூக்ளிடு, ஆர்க்கிமிடீஸ் என்ற இரு அறிஞர்களும் இந்த சொல்லைப் பயன்படுத்தியுள்ளனர். அவர்கள் ஒரே அடிப்பாகத்தைக் கொண்ட இரு செங்கோண வட்டக் கூம்பினை “திடமான சரிவகம்” என்று அழைக்கின்றனர்.  
சாய்சதுரம் என்ற இந்த வடிவம், திடமான சாய்சதுரத்தில் இரு கூம்பின் உச்சியில் குறுக்காக வெட்டும் பொது ஏற்படுகிறது.
# சாய்சதுரம்

## குணங்கள்

ஒரு எளிய பல்கோணம்(தன்னைத் தானே வெட்டிக்கொள்ளாது) கீழ்க்கண்ட நிபந்தங்களைச் சந்திக்கும் பட்சத்தில் மட்டுமே அது ஒரு சாய்சதுரம் என்று அழைக்கப்படும்:  
- நான்கு சமபக்கங்களைக் கொண்ட நாற்கரமாக இருக்க வேண்டும்.
- இரண்டு மூலைவிட்டங்களும் ஒன்றை ஒன்று செங்குத்தாக இருகூறாக வெட்டும் நாற்கரமாக இருக்க வேண்டும்
- எதிர் எதிர் உள்கோணங்களை இருகூறாகவெட்டும் மூலைவிட்டங்களைக் கொண்ட நாற்கரமாக இருக்க வேண்டும்.
- உள்கோணங்களை இருகூறாக்கும் மூலைவிட்டங்களைக் கொண்ட இணைகரமாக இருக்க வேண்டும்.
- அடுத்தடுத்த இரு பக்கங்களும் சமமான அளவைக் கொண்ட இணைகரமாக இருக்க வேண்டும்.
- செங்குத்தான இரு மூலைவிட்டங்களைக் கொண்ட இணைகரமாக இருக்க வேண்டும். ( செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம்).
# சாய்சதுரம்

## அடிப்படை இயல்புகள்

எல்லா சாய்சதுரமும் எதிர் எதிர் உச்சிகளை இணைக்கும் மூலைவிட்டத்தைகயும், இரு சோடி இணை கோடுகளையும் கொண்டுள்ளது. சர்வசமமான முக்கோணத்தைக் கொண்டு, சாய்சதுரம் மூலைவிட்டத்தின் இருபக்கமும் சர்வசமமாக உள்ளது என்று நிரூபிக்கலாம். கீழ்க்கண்டவை சாய்சதுரத்தின் இயல்புகள் ஆகும்.
- சாய்சதுரத்தின் எதிர்க்கோணங்கள் ஒரே அளவிலானவை.
- சாய்சதுரத்தின் இரு மூலைவிட்டங்களும் செங்குத்தாக உள்ளன; சாய்சதுரம் ஒரு செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரம் ஆகும்.
- சாய்சதுரத்தின் இரு மூலைவிட்டங்களும் எதிர் எதிர் கோணங்களை இருசமக்கூறாக்குகிறது.  
முதல் இயல்பிலிருந்து எல்லா சரிவகமும் ஒரு இணைகரம் என்று புரிகிறது. ஒரு சாய்சதுரம் இணைகரத்தின் எல்லா இயல்புகளையும் கொண்டுள்ளது. உதாரணத்திற்கு, எதிர் எதிர் பக்கங்கள் இணைகோடுகள்;அருகிலிருக்கும் கோணங்கள் துணைக் கோணங்கள் ஆகும். இரு மூலைவிட்டங்களும் ஒன்றை ஒன்று இருசமக்கூறாக்குகின்றது. நடுப்புள்ளியின் வழியாகச் செல்லும் எந்த கோட்டுத்துண்டும் பரப்பளவை இரண்டாகப் பிரிக்கிறது. நான்கு பக்கங்களின் சதுக்கத்தின் கூட்டுத் தொகையும் இரண்டு மூலைவிட்டத்தின் சதுக்கத்தின் கூட்டுத் தொகையும் ஒன்றே. (இணைவக விதி). ஒவ்வொரு பக்கத்தையும் ‘a’ என்ற எழுத்தாலும், இரு மூலைவிட்டங்களை ‘p’, ‘q’ என்ற எழுத்தாலும் குறிக்கலாம்.
:<math>\displaystyle 4a^2=p^2+q^2.</math>  
எல்லா இணைகரங்களும் சாய்சதுரம் ஆகாது. செங்குத்தான மூலைவிட்டங்களைக் கொண்ட இணைகரம்(இரண்டாவது குணம்) சாய்சதுரம் ஆகும். பொதுவாக, எந்த சரிவாகத்தில் செங்குத்தான மூலைவிட்டங்கள் உள்ளதோ, அதில் ஒன்று, சமச்சீரான நேர்கோட்டாக இருந்தால் அது பட்டம் என்று அழைக்கப்படும். எல்லா சாய்சதுரமும் ஒரு பட்டமே. எந்த சாய்சதுரம் பட்டமாகவும் இணைகரமாகவும் உள்ளதோ அது சாய்சதுரம் ஆகும்  
ஒரு சாய்சதுரம் தொடுகோட்டு நாற்கரம் ஆகும். இந்த இந்த வடிவம் சாய்சதுரத்தின் நான்கு பக்கங்களுக்கும் தொடுகோடாக ஒரு உள்தொடு வட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது.
# சாய்சதுரம்

## பரப்பளவு

இணைவகத்தைப் பொறுத்த வரைக்கும், சாய்சதுரத்தின் பரப்பளவு *K*, அதன் அடிக்கும் உயரத்திற்குமான( *h*) பெருக்கலின் அளவு. அடி என்பது பக்கத்தின் நீலம் *a*:
:<math>K = a \cdot h .</math>  
மாறாக, பரப்பளவு அடியின் சதுக்கத்திற்கும் கோணத்தின் சைனிற்குமான பெருக்கலின் மதிப்பு. :
:<math>K = a^2 \cdot \sin \alpha = a^2 \cdot \sin \beta ,</math>  
அல்லது உயரம் மற்றும் உச்சி கோணத்தின் அடிப்படையில்:
:<math>K=\frac{h^2}{\sin\alpha},</math>  
அல்லது இரு மூளைவிட்டங்களைப் பெருக்கி, அதில் பாதியைக் கண்டுபிடித்தால் பரப்பளவு கிடைக்கும்:
:<math>K = \frac{p \cdot q}{2} ,</math>  
அல்லது, சாய்சதுரத்தின் உள்தொடு வட்டத்தின் ஆரத்தையும், சாய்சதுரத்தின் அரைச்சுற்றளவையும் பெருக்குவதால் பரப்பளவு கிடைக்கும். :
:<math>K = 2a \cdot r .</math>
# சாய்சதுரம்

## உள்ஆரம்

உள்ஆரம்(உள்தொடுவட்டத்தின் ஆரம்) r, மூலைவிட்டம் p, q யின் அடிப்படையில் :
- சாய்சதுரத்தின் எல்லா பக்கங்களும் ஒரே அளவுடையவை; செவ்வகத்தின் எல்லா கோணங்களும் ஒரே அளவுடையவை.
- சாய்சதுரத்தின் எதிர் எதிர் கோணங்கள் ஒரே அளவிலானவை; செவ்வகத்தின் எதிர் எதிர் பக்கங்கள் ஒரே அளவிலானவை.
- சாய்சதுரம் உள்தொடு வட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது;செவ்வகம் சூழ்தொடுவட்டத்தைக் கொண்டுள்ளது.
- சாய்சதுரம் எதிர் எதிர் உச்சிக் கோணங்கள் வழியாக செல்லும் ஒரு சோடி சமச்சீர் அச்சினைக் கொண்டுள்ளது; செவ்வகம் எதிர் எதிர் பக்கங்கள் வழியாகச் செல்லும் ஒரு சோடி சமச்சீர் அச்சினைக் கொண்டுள்ளது.
- சாய்சதுரத்தின் நீள்வட்டங்கள் சமகோணத்தில் ஒன்றை ஒன்று வெட்டிக் கொள்கிறது;செவ்வகத்தின் நீள்வட்டங்கள் ஒரே நீளமுடையவை.
- சாய்சதுரத்தின் பக்கங்களின் மையப்புள்ளியை இணைத்தால் ஒரு செவ்வகம் உருவாகும். இந்த விதியின் மறுதலையாகவும் பொருந்தும்.
# சாய்சதுரம்

## பலகோணத்திண்மத்தின் பக்கங்கள்

சாய்சதுரத்திண்மம் என்பது கனசதுரத்தைப் போன்ற மூன்று பரிமாண உருவம். அதன் ஆறு பக்கங்களும் சாய்சதுரம் ஆகும்.
சாய்சதுர பன்னிரண்டுமுக ஐங்கோணகம் என்பது ஒரு குவி பல்கோணத்திண்மம் ஆகும்; அதன் 12 பக்கங்களும் சர்வசமமான சாய்சதுரம் ஆகும்.
# சாய்சதுரம்

## பார்க்கவும்

- சாய்செவ்வகம், இணைகரத்திண்மையைக் குறிக்கும்; சாய்சதுரமும் அல்லாது செவ்வகமும் அல்லாது.
# தொடுகோட்டு நாற்கரம்

நாற்கரம் அல்லது நாற்கோணம் ஒன்றின் நான்கு பக்கங்களும், அந்த நாற்கரத்தின் உள்ளே வரையப்பட்ட வட்டம் ஒன்றுக்குத் தொடுகோடுகளாக அமையும் என்றால் அந்த நாற்கரம் **தொடுகோட்டு நாற்கரம்** அல்லது **தொடுநாற்கரம்** (*Tangential quadrilateral*) எனப்படும். இந்த வட்டமானது நாற்கரத்தின் உள்வட்டம் என்றும் அதன் மையம் உள்வட்டமையம் என்றும் ஆரம் உள்வட்ட ஆரம் எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. தொடு பல்கோணங்களின் ஒரு வகையாகத் தொடுநாற்கரங்கள் அமையும்.  
எல்லா முக்கோணங்களுக்கும் உள்வட்டம் உண்டு. ஆனால் எல்லா நாற்கரங்களுக்கும் உள்வட்டம் இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக, செவ்வகத்திற்கு உள்வட்டம் கிடையாது. அதாவது செவ்வகம் ஒரு தொடுநாற்கரமல்ல.
# தொடுகோட்டு நாற்கரம்

## சிறப்பு வகைகள்

தொடு நாற்கரங்களுக்கான எடுத்து பட்டங்கள் தொடு நாற்கரங்களாகும். சாய்சதுரங்கள் பட்டங்களுக்குள் அடங்குவதால் அவையும் தொடுநாற்கரங்கள். சதுரங்கள், சாய்சதுரங்களுக்குள் அடங்கும் என்பதால் சதுரங்களும் தொடுநாற்கரங்கள். சதுரம். பட்டங்கள், செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரங்களாகவுமுள்ள தொடுநாற்கரங்கள். ஒரு செங்கோணப் பட்டத்துக்குச் சுற்றுவட்டமும் உண்டு என்பதால் அது தொடுநாற்கரமாகவும் வட்டநாற்கரமாகவும் இருக்கும். தொடுநாற்கரமாகவும் வட்டநாற்கரமாகவுமுள்ள நாற்கரங்கள் இருமைய நாற்கரங்கள் எனப்படும். தொடு நாற்கரமாகவும் சரிவகமாகவுமுள்ள நாற்கரம், தொடு சரிவகம் எனப்படும்.
# தொடுகோட்டு நாற்கரம்

## பண்பாக்கங்கள்

- ஒரு தொடுநாற்கரத்தின் நான்கு கோண இருசமவெட்டிகளும் உள்வட்ட மையத்தில் சந்திக்கும். மறுதலையாக, ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் நான்கு கோண இருசமவெட்டிகளும் ஒரு புள்ளியில் சந்தித்தால் அந்த நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக இருக்கும். மேலும், அந்த சந்திக்கும் புள்ளி நாற்கரத்தின் உள்வட்ட மையமாக இருக்கும்.  
:<math>\displaystyle BE+BF=DE+DF</math> அல்லது <math>\displaystyle AE-EC=AF-FC.</math> என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக முடியும்.  
இரண்டாவது முடிவு கிட்டத்தட்ட உர்க்கார்ட்டின் தேற்றத்தின் சமனிகளுள் ஒன்றாகும். இருபுறமுமுள்ள குறிகள் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன. இரண்டாவது முடிவில் வித்தியாசங்களும், உர்க்கார்ட்டின் தேற்ற முடிவில் கூடுதல்களும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டுள்ளன.  
- *ABCD* நாற்கரம் ஒரு தொடுநாற்கரமாக இருப்பதற்கான மற்றுமொரு தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடு: *ABC*, *ADC* ஆகிய இரு முக்கோணங்களின் உள்வட்டங்கள் இரண்டும் ஒன்றையொன்று தொடும் வட்டங்களாக இருக்க வேண்டும்.  
- <math>\tan{\frac{\angle ABD}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle BDC}{2}}=\tan{\frac{\angle ADB}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle DBC}{2}}.</math> என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, குவிவு நாற்கரம் *ABCD* ஒரு தொடுநாற்கரமாகும்.  
- <math>R_aR_c=R_bR_d</math> என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, *a*, *b*, *c*, *d* ஐ தொடர் பக்கங்களாக்கொண்ட குவிவு நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக இருக்கும். இதிலுள்ள *R*<sub>*a*</sub>, *R*<sub>*b*</sub>, *R*<sub>*c*</sub>, *R*<sub>*d*</sub> என்பவை *a*, *b*, *c*, *d* பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றையும், அவற்றின் இரு அயல்பக்கங்களின் நீட்சிகளையும் வெளிப்பக்கமாகத் தொடும் வட்டங்களின் ஆரங்கள்.
# தொடுகோட்டு நாற்கரம்

## சிறப்பு கோட்டுத்துண்டுகள்

தொடுநாற்கரத்தின் உள்வட்டத்திற்கு எட்டு தொடுகோட்டுத் துண்டுகள் உள்ளன. தொடுநாற்கரத்தின் ஒவ்வொரு உச்சியையும் அந்த உச்சியைப் பொதுப்புள்ளியாகக் கொண்ட இரு பக்கங்களை உள்வட்டம் தொடும் புள்ளிகளையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகளே தொடுகோட்டுத்துண்டுகளாகும். (*e*, *f*, *g*, *h* ) ஆகும். ஒவ்வொரு உச்சியிலிருந்தும் அமையும் இரு தொடுகோடுகளும் முற்றொத்தவை (சமநீளமுள்ளவை).  
தொடுநாற்கரத்தின் எதிரெதிர் பக்கங்களிலுள்ள தொடுபுள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் தொடுநிலை நாண்களாகும் (படத்தில் *k*, *l*). நான்கு தொடுபுள்ளிகளால் அமையும் நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டங்களாக இந்நாண்கள் அமையும்.
# தொடுகோட்டு நாற்கரம்

## பரப்பளவு

### முக்கோணவியலற்ற வாய்பாடுகள்

தொடுநாற்கரத்தின் பரப்பளவு (*K*):
- <math>\displaystyle K = r \cdot s,</math> *s* - அரைச்சுற்றளவு; *r* - உள்வட்ட ஆரம்.
- <math>\displaystyle K = \tfrac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(ac-bd)^2}</math> இரு மூலைவிட்டங்களுக்கு இடைப்பட்ட ஒரு கோணம் *θ*. பட்டங்களில் *θ* = 90° ஆக இருக்கும் என்பதால் இவ்வாய்பாடு பட்டங்களுக்குப் பொருந்தாது.
# தொடுகோட்டு நாற்கரம்

## பரப்பளவு

### சமனிலிகள்

- <math>K\le\sqrt{abcd},</math> தொடுநாற்கரத்தின் பக்கங்கள் *a*, *b*, *c*, *d*. இருமைய நாற்கரங்களுக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்.  
- அரைச்சுற்றளவு *s*; உள்வட்ட ஆரம் *r* எனில் <math>s\ge 4r.</math> (சதுரங்களுக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்) இதனைத் தொடுநாற்கரத்தின் பரப்பளவு வாய்பாடு *K* = *rs* இல் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும் சமனிலி
:<math>K\ge 4r^2</math> (சதுரத்துக்கு மட்டுமே சமக்குறி பொருந்தும்)
# தொடுகோட்டு நாற்கரம்

## பரப்பளவு

### பிரிப்பு பண்புகள்

- உள்வட்ட மையத்தையும், உள்வட்டம் தொடுநாற்கரத்தின் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகளையும் இணைக்கும் நான்கு கோட்டுத்துண்டுகளும் நாற்கரத்தை நான்கு நேர் பட்டங்களாகப் பிரிக்கும்.
- தொடு நாற்கரத்தை சமபரப்பளவும் சம சுற்றளவுமுள்ள இரு பல்கோணங்களாகப் பிரிக்கும் கோடு உள்வட்ட மையத்தின் வழியாகச் செல்லும்.
- நாற்கரம் *ABCD* இன் உள்வட்டமையம் *I*; *u = AI*, *v = BI*, *x = CI*, *y = DI* எனில்:
:<math>r=2\sqrt{\frac{(\sigma-uvx)(\sigma-vxy)(\sigma-xyu)(\sigma-yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}},</math> <math>\sigma=\tfrac{1}{2}(uvx+vxy+xyu+yuv)</math>.
- *ABC*, *BCD*, *CDA*, *DAB* முக்கோணங்களின் உள்வட்ட ஆரங்கள் முறையே <math>r_1, r_2, r_3, r_4</math> எனில்:
:<math>r=\frac{G+\sqrt{G^2-4r_1r_2r_3r_4(r_1r_3+r_2r_4)}}{2(r_1r_3+r_2r_4)},</math> <math>G=r_1r_2r_3+r_2r_3r_4+r_3r_4r_1+r_4r_1r_2</math>.
# தொடுகோட்டு நாற்கரம்

## கோணங்களின் வாய்பாடு

தொடு நாற்கரம் *ABCD* இன் உச்சிகள் *A*, *B*, *C*, *D* களிலிருந்து உள்வட்டத்துக்குத் தொடுகோட்டு நீளங்கள் முறையே *e*, *f*, *g*, *h* எனில் நாற்கரத்தின் கோணங்களின் வாய்பாடுகள்:  
தொடு நாற்கரம் *ABCD* இல் *AB* பக்கத்தின் தொடுநிலை புள்ளி *W*; *CD* பக்கத்தின் மீதான தொடுநிலை புள்ளி *Y*. மேலும் *WY* நாண், *BD* மூலைவிட்டத்தைச் சந்திக்கும் புள்ளி *M* எனில்:
:<math>\tfrac{BW}{DY} = \tfrac{BM}{DM}</math>
# தொடுகோட்டு நாற்கரம்

## ஒருகோட்டுப் புள்ளிகள்

தொடுநாற்கரம் *ABCD* இன் மூலைவிட்டங்கள் *AC*, *BD* இன் நடுப்புள்ளிகள் முறையே *M<sub>1</sub>*, *M<sub>2</sub>*; உள்வட்டமையம் *I*; எதிர்பக்க சோடிகள் சந்திக்கும் புள்ளிகள் *J*, *K*; *JK* இன் நடுப்புள்ளி *M<sub>3</sub>* எனில், *M<sub>3</sub>*, *M<sub>1</sub>*, *I*, *M<sub>2</sub>* ஆகிய நான்கு புள்ளிகளும் ஒரே கோட்டின் மீதமையும்.  
தொடுநாற்கரத்தின் *AB*, *BC*, *CD*, *DA* பக்கங்களை உள்வட்டம் தொடும்புள்ளிகள் முறையே *T<sub>1</sub>*, *T<sub>2</sub>*, *T<sub>3</sub>*, *T<sub>4</sub>*. மேலும் இப்புள்ளிகளின் சமவியல்பு இணையியங்கள் முறையே *N<sub>1</sub>*, *N<sub>2</sub>*, *N<sub>3</sub>*, *N<sub>4</sub>* (அதாவது, *AT<sub>1</sub>* = *BN<sub>1</sub>* ...) எனில், *N<sub>1</sub>N<sub>3</sub>*, *N<sub>2</sub>N<sub>4</sub>*. கோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளியானது தொடுநாற்கரத்தின் *நாகெல் புள்ளி*யென வரையறுக்கப்படுகிறது. இவ்விரு கோடுகளும் நாற்கரத்தின் சுற்றளவை இரு சமபாகங்களாகப் பிரிக்கின்றன.நாகெல் புள்ளி *N*, நாற்கரத்தின் பரப்பளவு திணிவுமையம் *G*, உள்வட்டமையம் *I* மூன்றும் இதே வரிசையில் ஒரே கோட்டிலமையும். மேலும் *NG* = 2*GI*. இக்கோடு தொடுநாற்கரத்தின் *நாகெல் கோடு* எனப்படும்.  
தொடுநாற்கரம் *ABCD* இன் உள்வட்டமையம் *I*. அதன் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டும் புள்ளி *P*. *AIB*, *BIC*, *CID*, *DIA* முக்கோணங்களின் செங்குத்து மையங்கள் *H<sub>X</sub>*, *H<sub>Y</sub>*, *H<sub>Z</sub>*, *H<sub>W</sub>* எனில், *P*, *H<sub>X</sub>*, *H<sub>Y</sub>*, *H<sub>Z</sub>*, *H<sub>W</sub>* நேர்கோட்டிலமையும்.  
தொடுநாற்கரத்தின் எதிர்பக்கங்களின் நீட்சிகள் *J*, *K* புள்ளிகளிலும் மூலைவிட்டங்கள் *P* இலும் சந்தித்தால், *JK*, *IP* இன் நீட்சிக்குச் செங்குத்தானது (*I* உள்வட்டமையம்).  
தொடுநாற்கரத்தின் எதிர்பக்கங்களின் விகிதத்தை அதன் உச்சிகளுக்கும் உள்வட்டமையத்துக்கும் இடைப்பட்ட தூரங்களின் வாயிலாக எழுதலாம்:
:<math>AB\cdot BC=IB^2+\frac{IA\cdot IB\cdot IC}{ID}.</math>  
தொடுநாற்கரம் *ABCD* இல்
:<math>\frac{IM_p}{IM_q}=\frac{IA\cdot IC}{IB\cdot ID}=\frac{e+g}{f+h}</math>
*A*, *B*, *C*, *D* உச்சிகளிலிருந்தமையும் தொடுகோட்டு நீளங்கள் முறையே *e*, *f*, *g*, *h*.  
ஒரு நான்கு தண்டு இயங்கமைவு தொடுநாற்கர வடிவிலமைக்கப்பட்டிருந்தால், இணைப்புகளை நெகிழ்த்தினாலும் குவிந்ததாக இருக்கும்வரை தொடுநாற்கரமாகவே இருக்கும். (எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு சதுரத்தின் வடிவை சாய்சதுரமாக்கினாலும் தொடுவட்டம் சிறிதாவதைத் தவிர,அதன் தொடுநாற்கரத்தன்மை மாறுவதில்லை). ஒரு பக்கத்தை நிலையாக வைத்துக்கொண்டு நாற்கரத்தை நெகிழ்த்தும்போது அதன் உள்வட்டமைய வழிப்பாதை <math>\sqrt{abcd}/s</math> ஆரமுள்ள ஒரு வட்டமாக இருக்கும். இதில் *a, b, c, d* நாற்கரத்தின் தொடர்பக்கங்கள்; *s* அரைச்சுற்றளவு.
# தொடுகோட்டு நாற்கரம்

## நான்கு உள்முக்கோணங்களில் பண்பாக்கங்கள்

குவிவு நாற்கரம் *ABCD* இன் முக்கோணங்கள் *P* புள்ளியில் வெட்டிக்கொள்கின்றன. இதனால் நாற்கரம் ஒன்றுக்கொன்று பொதுப்பகுதிகள் இல்லாத *APB*, *BPC*, *CPD*, *DPA* ஆகிய நான்கு முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கப்படுகிறது. இந்நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக அமைவதற்கான பண்பாக்கங்கள்:  
*APB*, *BPC*, *CPD*, *DPA* முக்கோணங்களின் உள்வட்ட ஆரங்கள் முறையே *r*<sub>1</sub>, *r*<sub>2</sub>, *r*<sub>3</sub>, *r*<sub>4</sub> எனில் கீழுள்ள முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடுநாற்கரமாக இருக்கும்:
:<math>\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}.</math>  
மேலே தரபட்ட அதே நான்கு முக்கோணங்களின் குத்துக்கோடுகள் *h*<sub>1</sub>, *h*<sub>2</sub>, *h*<sub>3</sub>, *h*<sub>4</sub> எனில் கீழேயுள்ள முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடுநாற்கரமாக இருக்க முடியும்.
:<math>R_1+R_3=R_2+R_4.</math>  
*APB*, *BPC*, *CPD*, *DPA* முக்கோணங்களின் உள்வட்ட மையங்கள் ஒரு வட்டநாற்கரத்தை (செங்குத்து மூலைவிட்ட வட்ட நாற்கரம்) அமைத்தால், அமைத்தால் மட்டுமே நாற்கரம் தொடுநாற்கரமாக இருக்கும்.
:<math>ap_2q_2 + cp_1q_1 = bp_1q_2 + dp_2q_1</math>
::: (அல்லது)
:<math>\frac{(p_1+q_1-a)(p_2+q_2-c)}{(p_1+q_1+a)(p_2+q_2+c)}=\frac{(p_2+q_1-b)(p_1+q_2-d)}{(p_2+q_1+b)(p_1+q_2+d)}</math>
# தொடுகோட்டு நாற்கரம்

## நான்கு உள்முக்கோணங்களில் பண்பாக்கங்கள்

### பட்டம்

பின்வரும் முடிவுகளுள் ஏதாவது ஒன்று உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ஒரு தொடுநாற்கரம் பட்டமாக இருக்க முடியும்:
- மூலைவிட்ட நீளங்களின் பெருக்குத்தொகையில் பாதியாக நாற்கரப் பரப்பளவு இருக்க வேண்டும்.
- மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருக்க வேண்டும்.
- எதிரெதிர் தொடுநிலைப் புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் (தொடுநிலை நாண்கள்) சமநீளமுள்ளவை
- ஒரு சோடி எதிர் தொடுகோட்டு நீளங்கள் சமம்
- தொடுநாற்கரத்தின் இருநடுக்கோடுகள் சமநீளமுள்ளவை.
- தொடுநாற்கரத்தின் எதிர்பக்க நீளங்களின் பெருக்குத்தொகைகள் சமம்.
- சுழற்சி அச்சாகவுள்ள மூலைவிட்டத்தின் மீது உள்வட்டமையம் அமையும்.
# தொடுகோட்டு நாற்கரம்

## நான்கு உள்முக்கோணங்களில் பண்பாக்கங்கள்

### இருமைய நாற்கரம்

நாற்கரம் *ABCD* இன் பக்கங்களை (*AB*, *BC*, *CD*, *DA*) உள்வட்டம் தொடும் புள்ளிகள் முறையே, *W*, *X*, *Y*, *Z* எனில், கீழுள்ள முடிவுகளில் ஏதாவது ஒன்று உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, நாற்கரம் இருமைய நாற்கரமாக இருக்கும்:
# தொடுகோட்டு நாற்கரம்

## நான்கு உள்முக்கோணங்களில் பண்பாக்கங்கள்

### சரிவகம்

தொடுநாற்கரத்தின் *AB*, *CD* பக்கங்களை உள்வட்டம் தொடும்புள்ளிகள் முறையே *W*, *Y* எனில், கீழுள்ள முடிவு உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொடுநாற்கரம் *ABCD* ஆனது *AB*, *CD* பக்கங்களை இணைபக்கங்களாகக் கொண்ட சரிவகமாக இருக்கும்:
:<math>AW\cdot DY=BW\cdot CY</math>  
*AD*, *BC* இணைபக்கங்களாகக் கொண்ட சரிவகமாக இருப்பதற்கு:
:<math>AW\cdot BW=CY\cdot DY.</math>
# பட்டம் (வடிவவியல்)

யூக்ளீடிய வடிவவியலில் **பட்டம்** (*kite*) என்பது ஒருவகை நாற்கரம். இதன் நான்கு பக்கங்களில் அடுத்துள்ள இரண்டிரண்டு பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும். இணைகரத்திலும் ஒரு சோடி பக்கங்கள் சமமாக இருக்கும். ஆனால் அவை அடுத்துள்ள பக்க சோடி அல்ல, அவை எதிரெதிர் பக்கங்கள் கொண்ட சோடிகளாகும். இந்த வடிவில் அமைவதால்தான் காற்றில் பறக்கும் பட்டங்கள், இப்பெயரைப் பெற்றுள்ளன. மேலும் இதிலிருந்துதான் வேகமாக பறக்கக்கூடிய ஒரு குறிப்பிட்ட வகைப் பறவையும் *கைட்* என ஆங்கிலத்தில் அழைக்கப்படுகிறது. இக்கட்டுரையில் இனிவரும் பகுதிகளில் இச்சிறப்பு வகை நாற்கரங்கள், அவற்றின் வடிவமைப்பின் காரணத்தால் **பட்டவடிவ நாற்கரங்கள்** என அழைக்கப்படும். பட்டவடிவ நாற்கரங்கள், குவிவு அல்லது குழிவாக அமையலாம். ஆனால் பட்டவடிவ நாற்கரம் என்பது பெரும்பாலும் குவிவு பட்டவடிவ நாற்கரங்களையே குறிக்கும்.
# பட்டம் (வடிவவியல்)

## சிறப்பு வகைகள்

ஒரு பட்டவடிவ நாற்கரத்தின் நான்கு பக்கங்களும் சமமாக இருந்தால் அது ஒரு சாய்சதுரமாகும்.  
நான்கு கோணங்களும் சமமாக இருந்தால் அதன் பக்கங்களும் சமமாகவே இருக்கும் எனவே அது ஒரு சதுரமாகும்.  
அனைத்து நாற்கரங்களிலும் சுற்றளவுக்கும் விட்டத்துக்கும் இடையேயான விகிதம் மிகப்பெரிய அளவாக இருப்பது π/3, 5π/12, 5π/6, 5π/12 கோணங்கள் கொண்ட பட்டவடிவ நாற்கரத்தில்தான்.  
வட்ட நாற்கரமாக அமையும் ஒரு பட்டவடிவ நாற்கரம், (ஒரு வட்டத்துக்குள் வரையக் கூடியது). இரு சர்வசம செங்கோண முக்கோணங்கள் சேர்ந்து உருவானதாக இருக்கும். இவ்வகையான பட்டவடிவ நாற்கரத்தின் சமச்சீர் அச்சின் எதிர்ப்புறங்களில் அமையும் இரு சமகோணங்கள் ஒவ்வொன்றும் 90° ஆக இருக்கும். இவை *செங்கோண பட்டவடிவ நாற்கரங்கள்* என அழைக்கப்படும்.
# பட்டம் (வடிவவியல்)

## பண்புகள்

பின்வரும் கூற்றுகளில் ஏதேனும் ஒன்று உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே ஒரு நாற்கரம் பட்டவடிவ நாற்கரமாக அமையும்:
இரு மூலைவிட்டங்களில் ஒன்று:
- மற்றொரு மூலைவிட்டத்தின் நடுக்குத்துக்கோடாக இருக்கும்.  
பட்டவடிவ நாற்கரங்கள் ஒரு மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து சுழற்சி சமச்சீர் கொண்டவை.  
தனக்குத்தானே வெட்டிக்கொள்ளாத எந்தவொரு நாற்கரமும்:
- மூலைவிட்டத்தைச் சமச்சீர் அச்சாக கொண்டிருந்தால் ஒரு பட்டவடிவ நாற்கரமாகவும்,
- சமச்சீர் அச்சு இரு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளின் வழியாகச் சென்றால் ஒரு இருசமபக்க சரிவகமாகவும் அமையும்.
- இரு சமச்சீர் அச்சுகள் கொண்ட சாய்சதுரமும் செவ்வகமும் பட்டவடிவ நாற்கரங்கள்.
- நான்கு சமச்சீர் அச்சுகள் கொண்ட சதுரம் பட்டவடிவ நாற்கரமாகவும் இருசமபக்க சரிவகமாகவும் அமையும்.
# பட்டம் (வடிவவியல்)

## பரப்பு

பட்டவடிவ நாற்கரத்தின் இரு மூலைவிட்டங்களும் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமையும். மேலும் ஒரு மூலைவிட்டம் (சமச்சீர் அச்சு) மற்றதன் நடுக்குத்துக் கோடாகவும், அது சந்திக்கும் இரு கோணங்களின் கோண இருசமவெட்டியாகவும் அமையும்.  
பின்வரும் கட்டுப்பாடுகளில் ஏதேனும் ஒன்று உண்மையாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ஒரு தொடு நாற்கரம் பட்டவடிவ நாற்கரமாக அமையும்:
- மூலைவிட்டங்களின் பெருக்குத்தொகையில் பாதி நாற்கரத்தின் பரப்பாகும்.
- மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்து.
- எதிரெதிர் தொடுபுள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகள் சமநீளமாக இருக்கும்.
- ஒரு சோடி எதிரெதிர் தொடுகோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்கள் சமமாக இருக்கும்.
- இருநடுக்கோடுகளின் (bimedians) நீளங்கள் சமமாக இருக்கும்.
- எதிரெதிராக அமையும் சோடிப்பக்க நீளங்களின் பெருக்குத்தொகை சமமாக இருக்கும்.
- உள்வட்ட மையம் இரு மூலைவிட்டங்களில் அதிக நீளமுள்ளதன் மீது அமையும்.  
எனவே செங்குத்து மூலைவிட்ட நாற்கரமாகவும் தொடுநாற்கரமாகவும் ஒரு பட்டவடிவ நாற்கரம் அமையும்.
# எஸ்கிமோ உறவுமுறை

இம்முறை, எஸ்கிமோ இனத்தவரைத் தழுவிப் பெயரிடப்பட்டிருப்பினும், ஆங்கிலேயர் உட்படப் பல ஐரோப்பிய இனங்கள் மத்தியிலும், அமெரிக்கர்களிடமும் புழக்கத்தில் உள்ளது **எஸ்கிமோ உறவுமுறைப் பெயரிடல் வகை**யே ஆகும்.  
இம்முறையில் பேசுபவரின் நேரடி உறவினர்கள் மட்டுமே தனிச் சொற்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றனர். ஏனைய உறவினர்களைக் குறிக்க வகைச்சொற்களே பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இதன் காரணமாக இந்தமுறையில் உறவுச் சொற்களின் எண்ணிக்கை குறைவாகவே காணப்படுகின்றது.
# ஹவாய் உறவுமுறை

**ஹவாய் உறவுமுறைப் பெயரிடல்** குடும்பத்தின் உறவுமுறைகளைப் பெயரிடும் ஓர் முறையாகும். இது 1871ல் ஹென்றி லூயிஸ் மார்கன் என்பவரால் கண்டறியப்பட்டது. உள்ள உறவுமுறைகளில் இதுவே மிகவும் எளிய முறையாகும்.  
ஹவாய் பெயரிடல் முறையில் பேசுபவரின் தந்தையும் அவருடைய தலைமுறையில் உள்ள அனைத்து ஆண்களும் ஒரே பெயராலும் தாயும் அவருடைய தலைமுறையில் உள்ள அனைத்து பெண்களும் ஒரே பெயராலும் அழைக்கப்படுகின்றனர். இதே போல் பேசுவரின் சகோதரனும் அவரது தலைமுறையில் உள்ள அனைத்து ஆண்களும் சகோதரியும் அனைத்து பெண்களும் ஒரே பெயராலும் அழைக்கப்படுகின்றனர்.
# இரோகுவாயிஸ் உறவுமுறை

ஆறு வகைகளாகப்பிரிக்கப்பட்டுள்ள உறவுமுறை முறைமைகளுள் **இராகுவாயிஸ் உறவுமுறை** முறைமையும் ஒன்று. எஸ்கிமோ, ஹவாய், குரோ, ஒமஹா, சூடான் என்பன ஏனைய இந்து முறைமைகள் ஆகும். லூயிஸ் ஹென்றி மார்கன் (Louis Henry Morgan) என்பவர், 1871 ஆம் ஆண்டில், அமெரிக்க இந்தியப் பழங்குடிகளான *இரோகுவோய்ஸ்* மக்கள் மத்தியில் ஆய்வு நடத்தும்போது இம்முறையை முதன் முதலில் அறிந்து கொண்டதனால் இம் முறைமைக்கு அந்த இனத்தின் பெயர் சூட்டப்பட்டது.  
இம் முறையில் தாய் தந்தையருடன் பிறந்த ஒத்த பாலினரைத் தாய் தந்தையரைக் குறிக்கும் உறவுமுறைப் பெயராலேயே அழைக்கும்போது, அவர்களுடன் பிறந்த எதிர்ப் பாலார் வேறு உறவுப் பெயர்களிட்டு அழைக்கப்படுகின்றனர். எடுத்துக்காட்டாக, தந்தையின் சகோதரர்களை, *சிறிய தந்தை, பெரிய தந்தை, சித்தப்பா, பெரியப்பா* எனத் தந்தை உறவு நிலையிலும், தாயின் சகோதரிகளை, *சின்னம்மா, பெரியம்மா, சிற்றன்னை, பெரியன்னை* எனத் தாய் உறவுநிலையிலும் வைத்துப் பார்க்கும் இம்முறை, தந்தையின் சகோதரிகளையும், தாயின் சகோதரர்களையும், *அத்தை, மாமி, அம்மான், மாமா* போன்ற உறவுப் பெயர்களினால் குறிப்பிடுகின்றது.  
பெற்றோருடன் பிறந்த ஒத்த பாலாரின் மக்களையும், எதிர்ப் பாலாரின் பிள்ளைகளையும் வேறாகப் பிரித்துக் காண்பதும் இம்முறைமையின் சிறப்புத் தன்மைகளுள் ஒன்றாகும். அதவது, இம்முறையில், தந்தையின் சகோதரனின் பிள்ளைகளும், அவர் சகோதரியின் பிள்ளைகளும் வெவ்வேறு உறவுப் பெயர்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றனர். இதேபோல, தாயின் சகோதரனின் பிள்ளைகளும், தாயின் சகோதரியின் பிள்ளைகளும் வெவ்வேறு உறவுமுறைப் பெயர்களினால் குறிக்கப்படுகின்றனர். அதே சமயம், தாயின் சகோதரியினதும், தகப்பனின் சகோதரனதும் பிள்ளைகளும், பேசுனரின் சொந்தச் சகோதரர்களும் ஒரே உறவுப்பெயரால் (*அண்ணன், தம்பி, அக்கா, தங்கை*) குறிக்கப்பட, தாயின் சகோதரனினதும், தந்தையின் சகோதரியினதும் பிள்ளைகள் இவற்றிலிருந்து வேறுபட்ட ஒரே உறவுமுறைப் பெயரைக் (*மச்சான், மச்சாள்*) கொண்டுள்ளனர்.  
பெற்றோரின் எதிர்ப் பால் உடன்பிறந்தோரின் பிள்ளைகளைத் திருமணம் செய்து கொள்ளும் வழக்கம் இம்முறையைக் கைக்கொள்ளும் இனத்தினர் மத்தியில் காணப்படுவதாலேயே இவ்வேறுபாடு காட்டப்படுவதாக ஆய்வாளர் கூறுகிறார்கள்.  
தமிழர் உறவுமுறையும், ஏனைய திராவிட இனத்தவர் உறவு முறைகளும், இரோகுவோயிஸ் முறையைச் சேர்ந்தவையே. இம்முறை, தென்னிந்தியா, [இலங்கை], பிஜித்தீவுகள், அமெரிக்காவின் சில பகுதிகள், ஆப்பிரிக்காவின் பகுதிகள் முதலிய பல பகுதிகளில் காணப்படுகின்றது.
# இரோகுவாயிஸ் உறவுமுறை

## தமிழர் உறவுமுறை

தனிக்கட்டுரை: தமிழர் உறவுமுறை  
தமிழர் உறவுமுறையில் உள்ள பின்வரும் அம்சங்கள் அதனை இரோகுவோயிஸ் உறவுமுறையில் வகைப்படுத்தியுள்ளது.
1. தந்தையின் அண்ணன், தம்பி ஆகியோரையும் தந்தையின் உறவுநிலையிலேயே கருதுவதுடன் உறவுப் பெயர்களும் அதனை வெளிக்காட்டுவது,
1. தாயின் அக்கா, தங்கை ஆகியோரைத் தாய் உறவு நிலையில் பார்ப்பதும், அவர்களுக்கான உறவுப் பெயர்கள் அதைப் பிரதிபலிப்பதும்,
1. தந்தையின் அக்கா, தங்கை, தாயின், அண்ணன், தம்பி ஆகிய எதிர்ப்பால் உடன் பிறந்தாரின் உறவுப் பெயர்கள் வேறுபட்டிருப்பது,
1. தந்தையின் அண்ணன், தம்பி பிள்ளைகளும், தாயின் அக்கா, தங்கை பிள்ளைகளும், பேசுனரின் அண்ணன் தம்பி, அக்கா, தங்கை போலவே கருதப்படுவதும், அவர்களின் உறவுப்பெயர்களும் அவ்வாறு அமைந்திருப்பதும்,
1. தந்தையின் அக்கா, தங்கை, தாயின் அண்ணன், தம்பி ஆகியோரின் பிள்ளைகள் தனித்துவமான உறவுப் பெயர்களிட்டு அழைக்கப்படுதல்.  
கீழே தரப்பட்டுள்ள தமிழர் உறவுப் பெயர் அட்டவணை இதனை விளக்குகிறது.  
| அத்தை பிள்ளைகள் | பெரியப்பா, சித்தப்பா பிள்ளைகள் | சொந்தச் சகோதரர் | பெரியம்மா, சின்னம்மா பிள்ளைகள் | மாமா பிள்ளைகள் |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| அத்தை | பெரியப்பா, சித்தப்பா | அப்பா | அம்மா | பெரியம்மா, சின்னம்மா | அம்மான், மாமா |
| அத்தான் அல்லது மச்சான்(வயதில் பெரியவர்)
மைத்துனன் (சிறியவர்) | ஒன்றுவிட்ட அண்ணன் | அண்ணன் | ஒன்றுவிட்ட அண்ணன் | அத்தான் அல்லது மச்சான்(வயதில் பெரியவர்)
மைத்துனன் (சிறியவர்) |  |
| - | ஒன்றுவிட்ட தம்பி | தம்பி | ஒன்றுவிட்ட தம்பி | - |  |
| அண்ணி அல்லது மதினி (வயதில் பெரியவர்)
கொழுந்தியாள் (சிறியவள்) | ஒன்றுவிட்ட அக்கா | அக்கா | ஒன்றுவிட்ட அக்கா | அண்ணி அல்லது மதினி (வயதில் பெரியவர்)
கொழுந்தியாள் (சிறியவள்) |  |
| - | ஒன்றுவிட்ட தங்கை | தங்கை | ஒன்றுவிட்ட தங்கை | - | } |
# இருசமபக்க சரிவகம்

**இருசமபக்கச் சரிவகம்** என்பது நாற்பக்க சரிவகத்தில் இணையாகா பக்கங்கள் இரண்டும் சமமாகவும் ஒரே கோணத்தில் இணையான பக்கங்களோடும் சேரும் ஒரு முற்றுப்பெறும் வரிவடிவம். பரவலாக அறியப்படும் செவ்வகமும் (நீள்சதுரம்), சதுரமும் குறிப்பிட்ட சிறப்பான இருசமபக்கச் சரிவகம் ஆகும் ஆனால் சரியும் பக்கங்கள் இணையான பக்கங்களுக்குச் செங்குத்தான கோணத்தில் அமைந்துள்ளன.
# திறந்த பாடத்திட்டங்கள்

MIT திறந்த பாடத்திட்டமொன்றில் வழங்கிய விரிவுரை]]  
பல்கலைக்கழகங்களில் பயிற்றுவிக்கப்படும் பாடங்கள் எவ்வித கட்டணம், நிர்பந்தங்கள் இல்லாமல் இணையம் மூலம் வழங்கப்படும்பொழுது அவை **திறந்த பாடத்திட்டங்கள்** எனப்படும். அறிவியல் அனைவருக்கும் தடைகள் இன்றி கிடைப்பதே மனித மேன்பாட்டுக்கு உதவும் என்ற கோட்பாட்டின் செயல்பாட்டு வெளிப்பாடே திறந்த பாடத்திட்டங்கள். திறந்த பாடத்திட்டங்களின் முதன்மை எடுத்துக்காட்டு மாசற்சூசஸ் தொழிநுட்ப கல்லூரியின் திறந்த பாடத்திட்டம் ஆகும். அதன் முன்மாதிரியை பின்பற்றி யப்பான், சீனா, மற்றும் பல நாட்டு பல்கலைக்கழகங்கள் தங்கள் பாடங்களை திறந்த பாடத்திட்டங்களாக வழங்கிவருகின்றன.  
திறந்த பாடத்திட்டங்கள் மூலம் பாடங்களுக்குரிய தகவல்கள், பயிற்சிகள் தொகுக்கப்பட்டு பகிரப்படுகின்றன. ஆசிரியர்களின் உரைகளும் ("lectures") தொகுக்கப்பட்டு வழங்கப்படுகின்றன.  
பயனர்கள் தங்களுக்கு ஏற்ற முறையில் தரப்பட்ட வசதிகளை பயன்படுத்தலாம், ஆனால் பரீட்சையோ, சான்றிதழ்களோ, ஆசிரியர் பயனர் தொடர்பாடலோ தற்சமயம் திறந்த பாடத்திட்டங்கள் மூலம் வழங்கப்படுவதில்லை.
# தொடர்பியல்

தகவல் பரிமாற்ற சாதனங்களையும், அவற்றுக்குரிய கருத்துப்பொருள் அடிப்படைகளையும் ஆயும் இயல் **தொடர்பியல் (Communications)** ஆகும். இயற்பியல், கணிதம், இலத்திரனியல், கணினியியல், தகவல் தொழில்நுட்பம் ஆகிய இயல்களுடன் நெருங்கிய தொடர்புடையது.  
மனிதனின் அடிப்படை தேவைகளில் ஒன்று தகவல் பரிமாற்றம். பேச்சு, மொழி, எழுத்து, அச்சு, தூது (மனிதன், புறா), புகை சைகை, முரசு, தொலைவரி, தொலைபேசி, வானொலி, தொலைக்காட்சி, கணினி என பல நுட்ப முறைகளை தகவல் பரிமாற்றத்துக்கு பயன்படுகின்றன.  
1948 ஆண்டு பெல் ஆய்வு கூட விஞ்ஞானியான கிளாட் ஈ. ஷானான் அவர்களின் தொடர்பியலின் கணிதவியல் கோட்பாடுகள் என்ற ஆய்வுக்கட்டுரை இவ் துறையின் வளர்ச்சிக்கு அடித்தளமாக உள்ளது.
# தொடர்பியல்

## துணை நூல்கள்

:* க. அபிராமி. (2002). *தகவல் தொழில் நுட்பம்*. சென்னை: தமிழ்ப் புத்தகாலயம்.
# விக்கிப்பீடியா:Wikipedians/Malaysia

- பெயர்: சிவகுமார், தொழில்: மருத்துவம், நாடு:மலேசியா, மின்னஞ்சல்: sivastar@gmail.com, என்னுடைய வலைத்தளம்: www.tamila.tk, www.thamil.tk, www.eegarai.blogspot.com  
- பெயர்: சுப.நற்குணன், வலைப்பதிவு:திருத்தமிழ்  
- பெயர்: மலாக்கா முத்துக்கிருஷ்ணன், தொழில்: கணினி பயிற்றுநர், நாடு: மலேசியா, மின்னஞ்சல்: ksmuthukrishnan@gmail.com, வலைப்பதிவு:கணினியும் நீங்களும்  
- பெயர்: பிரேம்ஜி சார்மா, இளங்கலை பட்டதாரி, வலைப்பதிவு: Premjisharma, மின்னஞ்சல்: premjisharma@yahoo.com
# சூடானிய உறவுமுறை

**சூடானிய உறவுமுறைப் பெயரிடல் வகை** தற்காலத்தில் சூடானை அண்டியுள்ள ஆப்பிரிக்கக் கண்டப் பகுதிகளில் காணப்படுகின்றது. இம்முறையைக் கடைப்பிடிக்கின்ற சமுதாயங்கள் பொதுவாகத் தந்தைவழி மரபுமுறைச் சமுதாயங்களாகவும், பெருமளவு படிமுறையமைப்பைக் கொண்டனவாகவும் உள்ளன. பண்டைய ஐரோப்பாவிலும் இன்று வேறு முறைகளைக் கடைப்பிடிக்கும் பல சமுதாயங்களில் சூடானிய முறை பயன்படுத்தப்பட்டு வந்ததையும் அறிய முடிகின்றது. இன்று இறந்த மொழியாக உள்ள இலத்தீன், பழைய ஆங்கிலம் என்பன இதற்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.  
பெற்றோரின் தலைமுறையைச் சேர்ந்த தந்தை, தாய், தந்தையின் சகோதரர்கள், தாயின் சகோதரர்கள், தந்தையின் சகோதரிகள், தாயின் சகோதரிகள் ஆகிய ஆறு வகை உறவுமுறைகளும், பேசுனரின் தலைமுறையைச் சேர்ந்த சகோதரர்கள், சகோதரிகள், தந்தையின் சகோதரர்களின் பையன்கள் (மகன்கள்}, தந்தையின் சகோதரரின் பெண்கள், தந்தையின் சகோதரியின் பையன்கள், (மகள்கள்), தந்தையின் சகோதரியின் பெண்கள், தாயின் சகோதரர்களின் பையன்கள் (மகன்கள்}, தாயின் சகோதரரின் பெண்கள், தாயின் சகோதரியின் பையன்கள், (மகள்கள்), தாயின் சகோதரியின் பெண்கள் ஆகிய 10 வகை உறவுமுறைகளும் சேர்ந்த 16 வித உறவுமுறைகளுக்கும் தனித்தனி உறவுப்பெயர்கள் இருப்பதே சூடானிய முறையின் சிறப்பு அம்சமாகும்.
# ஒமஹா உறவுமுறை

**ஒமஹா** உறவுமுறை, எஸ்கிமோ, ஹவாய், இரோகுவாயிஸ், குரோ, ஒமஹா, சூடான் ஆறு வகைகளாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ள உறவு முறைகளுள் ஒன்றாகும். இது, ஒமஹா இனத்தவர் மத்தியில் காணப்பட்டதால், 1871 ஆம் ஆண்டில் உறவுமுறைகளைப் பற்றி ஆராய்ந்து நூலெழுதிய லூயிஸ் ஹென்றி மார்கன் (Louis Henry Morgan) என்பார், ஒமஹா என்னும் பெயரை இம்முறைமைக்கு இட்டார்.  
செயற்பாட்டுத் தன்மையில் இது, குரோ உறவுமுறைக்கு மிகவும் நெருங்கியது. எனினும், குரோ உறவுமுறை தாய்க்கால்வழியைச் சார்ந்தது. ஒமஹா முறை தந்தைக்கால்வழியோடு ஒட்டியது. இம்முறையில், பேசுனரின் தந்தையும், அவர் சகோதரர்களும் ஒரே உறவுமுறைப் பெயரால் குறிக்கப்படுகின்றார்கள். அதேபோல, தாயும், தாயின் சகோதரிகளும் ஒரே உறவுப் பெயரால் அழைக்கப்படுகின்றார்கள்.  
எனைய பல உறவுமுறை முறைமைகளைப் போலவே ஒமஹா முறையிலும், பெற்றோரின், ஒத்த பால், எதிர்ப் பால் உடன்பிறந்தாரின் மக்களிடையே வேறுபாடு காட்டப்படுகின்றது. ஆனால், இங்கே தாயின் சகோதரனின் பெண் பிள்ளைகள், தாய், தாயின் சகோதரிகள் ஆகியோரைக் குறிப்பிடப் பயன்படும் பெயர் கொண்டே குறிப்பிடப்படுகின்றார்கள். அதேவேளை தாயின் சகோதரனின் ஆண்பிள்ளைகள், தாயின் சகோதரனின் உறவுப் பெயர்கொண்டே அழைக்கப்படுகின்றார்கள். இதன்படி இரண்டு பரம்பரையைச் சேர்ந்தவர்களுக்கு ஒரே உறவுப் பெயர்கள் பயன்படுகின்றன. இன்னொரு வகையில் சொல்வதானால் தாயின் பக்கத்தில் உறவு முறையில் பால் வேறுபாடுகள் கட்டப்படுகின்றது, ஆனால் தலைமுறை வேறுபாடு காட்டப்படவில்லை.  
தந்தையின் பக்கத்தில், தந்தையின் சகோதரியின் பிள்ளைகள் வேறு பெயர்கள் கொண்டே குறிக்கப்படுகிறார்கள். ஆகவே தந்தையின் பக்கத்தில் பால் வேறுபாடும், தலைமுறை வேறுபாடும் காட்டப்படுகின்றது. இது தந்தைவழி உறவினருக்குக் கொடுக்கப்படும் முக்கியத்துவத்தைக் குறிப்பதாகக் கருதப்படுகின்றது. ஒமஹா முறை, குரோ முறையின் ஒரு கண்ணாடி விம்பத்தைப் போன்றது.
# கணினியியல்

<div>
<div>
<div>கணினியியல் தகவல் மற்றும் கணக்கிடுதல் தத்துவங்களை அடிப்படையாகக் கொண்டு நடைமுறைப்படுத்துதல் ஆகும்</div>
</div>
</div>  
கணினியை மையமாக கொண்ட துறை **கணினியியல்** ஆகும். கணினி கணினி வன்பொருள், மென்பொருள், கணினியின் பயன்பாடுகள், கணிமையின் அடிப்படைகள் என கணினியை மையமாக கொண்ட பல உட்துறைகளை ஒருங்கே இச் சொல் குறிக்கிறது. அதன் துணை தத்துவார்த்த மற்றும் நடைமுறை துறைகளில் பல்வேறு வகையாக பிரிக்கலாம்.
# கணினியியல்

## வரலாறு

முதல் கணிப்பொறி நிரலை எழுதியவர்.]]
military used the Enigma machine (shown here) during World War II for communication they thought to be secret. The large-scale decryption of Enigma traffic at Bletchley Park was an important factor that contributed to Allied victory in WWII.. இருநூறு ஆண்டுகளுக்கு பிறகு சார்லச்சு சேவியர் தாமஸ் (Charles Xavier Thomas) அலுவலக பயன்பாட்டிற்கான நம்பத்தகுந்த அரித்மாமீட்டர்(Arithmometer) என்னும் இயந்திர கணிப்பான் உருவாக்கி அதன் மூலம் இயந்திர கணிப்பான் தயாரிப்பில் முன்னோடியாக விளங்கினார்.  
சார்ல்ஸ் பாபேஜ் முதலில் இயந்திர கணிப்பானை வடிவமைக்க தொடங்கினார்,1882ல் அவரின் வித்தியாசப் பொறியின் கண்டுபிடிப்பு அவருக்கு பகுப்புப் பொறி எனப்படும் நிரலாக்க இயந்திர கணிப்பானை உருவாக்க தூண்டியது.. 1834 ஆம் ஆண்டு முதல் இந்த இயந்திரம் வளரத் தொடங்கியது, மேலும் இரண்டே ஆண்டுகளில் அவர் நவீன கணினியின் சிறப்புக்கூறுகளை தெளிவுபடுத்தினார். ஜெக்கார்டு தறி. மூலம் துளை அட்டை முறைகளை கண்டறிந்து அதன் மூலம் எண்ணற்ற நிரலாக்கம் செய்வதற்கான வழி கணினியியலில் மிகப்பெரிய அடுத்த படியாக இருந்தது.  
1843 ஆம் ஆண்டு அடா லவ்லேஸ் வித்தியாசப் பொறியை பிரெஞ்சு மொழியில் மொழிபெயர்க்கும் பொழுது பெர்னோளி என்கள் கணக்கீடு செய்வதற்கான படிமுறைத் தீர்வை எழுதினார். இதுவே முதல் கணிப்பொறி நிரலாக கருதப்படுகிறது.  
1885 ஆம் ஆண்டு வாக்கில் ஹெர்மன் ஹோலரித் என்பவர் புள்ளிவிவர தகவல் செயல்படுத்த துளை அட்டைகள் பயன்படுத்தி பட்டியலாக்கியை கண்டுபிடித்தார். 1924ல் இவருடைய நிறுவணம் ஐபிஎம் நிறுவணமாக மாறியது.சார்ல்ஸ் பாபேஜ் இயந்திர கணிப்பானை வடிவமைத்து நூறு வருடம் கழித்து அவார்டு அயிக்கன் என்பவர் ஆர்வர்டு மார்க் I பெரிய நிரல்படு கணிப்பானை ஐபிஎம் நிறுவனத்திற்கு வடிவமைத்து காட்டினார். இது சார்ல்ஸ் பாபேஜின் பகுப்புப் பொறியை சார்ந்து அமைக்கபெற்றிருந்தது. பலர் இதன் மூலம் சார்ல்ஸ் பாபேஜின் கனவு நினைவானதாக கூறினர்.  
1940களில் பல வகை சக்தி வாய்ந்த கணிப்பான்கள் வலம் வரத் தொடங்கியபோது "கணினி" (computer) என்ற சொல் இயந்திரங்களுக்கு இணையாக அழைக்கப்பெற்றது.. கணிதத்துறையைத் தாண்டி வெகுவாக கணினிகளை பயன்ப்படுத்த முடியும் என்ற எண்ணம் மேலோங்க ஆரம்பித்தவுடன் கணினியியல் வேகமாக வளர ஆரம்பித்தது. கணினியியல் அல்லது கணினி அறிவியல் 1950 மற்றும் 1960 களின் தொடக்கத்தில் ஒரு தனித்துவமான கல்வி ஒழுக்கமாக நிறுவப்பட தொடங்கியது. உலகின் முதல் கணினி அறிவியல் பட்டம் திட்டம் 1953 ஆம் ஆண்டு கேம்பிரிட்ச்சு பல்கலைக்கழகத்தில் தொடங்கியது.  
கணினியியல் ஓரு படிப்பிற்கான துறையாக இருக்கும் என்று நம்ப மறுத்த நிலையில் 1950க்கு பின்பு அனைவரிடமும் கணினியியல் துறை நல்ல வரவேற்பைப் பெற்றது.
# கணினியியல்

## உயர்படி நிலைகள்

ஒரு சாதாரண கல்வி துறையாக வரலாற்றை கொண்ட போதிலும், கணினி அறிவியல் துறை அறிவியல் மற்றும் சமூகத்திற்கு நிறைய பங்களிப்பு செய்துள்ளது.தொழிற் புரட்சி (1750-1850 CE) மற்றும் விவசாயப் புரட்சி (8000-5000 கி.மு.) க்கு பிறகு பின் மனித தொழில்நுட்ப முன்னேற்றத்திற்கு பெரிதும் உதவியது தகவல் புரட்சி எனலாம்.  
- தற்கால தகவல் காலம் மற்றும் இணையத்தை உள்ளடக்கிய எண்ணிமப் புரட்சி.
- நிரலாக்க மொழி ஒரு கருவியாக பல்வேறு மட்டங்களில் செயல்முறை தகவல்களை துல்லியமாக வெளியிடுவதற்காகவும் சுருக்கமாக பயன்படுத்தவும் வழிவகை உருவானது.
- மறையீட்டியலில் எனிக்மா குறியீட்டை குறிவிலக்கு செய்தது இரண்டாம் உலக போரில் நேச நாடுகள் வெற்றி பெற ஒரு முக்கியமான காரணியாக இருந்தது
- அறிவியல் கணிமை நடைமுறை செயல்முறைகள் மற்றும் பெரும் சிக்கலான சூழ்நிலைகளில் மதிப்பீடு, அத்துடன் பரிசோதனைகளை முற்றிலும் மென்பொருள் மூலம் செயல்படுத்த உதவியது.
- அறிவியல் கணிமை மூலம் மனம் தொடர்பான ஆய்வு மற்றும் மரபணுத்தொகுதி பகுப்பாய்வுக்கான முகப்புதல்களை செய்வதற்கு மனித மரபணுத்தொகைத் திட்டம் பயன்பட்டது..
- படிமுறையியல் வர்த்தகம் பெரிய அளவில் செயற்கை நுண்ணறிவு, இயந்திர கற்றல், புள்ளியியல் மற்றும் எண் நுட்பங்களை பயன்படுத்தி நிதி சந்தைகளின் திறன் மற்றும் எளிதில் பணமாக்கக்கூடிய தன்மையை அதிகரித்துள்ளது..
# கணினியியல்

## தத்துவம்

கணினியியலை மூன்று கருத்தியல்களாக பிரிக்க வேண்டும் என்று பல கணிணி அறிவியலறிஞர்கள் கருதினர்.பீட்டர் வேக்னர் அவை அறிவியல், தொழில்நுட்பம், மற்றும் கணிதம் கருத்தியல்களாக பிரிக்க வேண்டும் என வாதிட்டார்.பீட்டர் டென்னிங் தலைமையிலான குழு கோட்பாடு, சுருக்க (மாதிரியமைத்தல்), மற்றும் வடிவமைப்பு ஆகியவை எனக் கருதியது. .
# கணினியியல்

## தத்துவம்

### துறையின் பெயர்

"கணினியியல்" (Computer Science) என்ற சொல் முதலில் 1959ல் கம்யூனிக்கேஷன்ஸ் ஆப் ஏசிம் (Commuincations of ACM) என்ற மாத நாளிதழில் ஒரு கட்டுரையில் வெளிவந்தது. இதில் லூயிஸ் பெயின் 1921 ஆம் ஆண்டு ஹார்வர்ட் பிசினஸ் பள்ளி போன்று கணினி அறிவியலுக்கென ஒரு பட்டதாரி பள்ளி உருவாக்க வாதிடுகிறார்.
# கணினியியல்

## தமிழ் சொற்கள்

1. கணிப்பான் (calculator)
1. பகுப்புப் பொறி (analytical engine)
1. படிமுறைத் தீர்வு (algorithm)
1. கணினி (computer)
1. கணிமை (computing)
1. படிமுறையியல் வர்த்தகம்(Algorithmic Trading)
# கணினியியல்

## கணினியியல் பிரிவுகள்

### கணினியியல் கருத்தியல்

கருத்தியல் கணினி அறிவியலின் பரந்த துறையில் கணிமையில் பாரம்பரிய கோட்பாடு மற்றும் கணினியில் சுருக்கத்திற்கான தருக்கம், மற்றும் கணித அம்சங்களில் கவனம் செலுத்த வேண்டிய உள்ளடக்கப்பட்டுள்ளது.
# கணினியியல்

## கணினியியல் பிரிவுகள்

### கணிமையின் கருத்தியல்

பீட்டர் ஜே டென்னிங் படி அடிப்படை கணினியியல் "எதனை (திறமையாக) தானியங்கிப்படுத்த முடியும்?" என்பதற்கான பதிலை தரவேண்டும்.  
:* கணிமை வரலாறு - computing history
:* கணினி பொறியியல் - computer engineering
:* கணினி கட்டுமானம் - Computer Architecture
:* பதிகணினியியல் - Embedded Systems
:* கணினி அறிவியல் - computer science
:* நிரல் மொழிகள் - Computer Languages
:* படிமுறைத் தீர்வு - Algorithms
:* இடைமுக வடிவமைப்பியல் - (Human - Computer) Interface Design
:* செயற்கை அறிவாண்மை - Artificial Intelligence
:* கணினி வலையமைப்பியல் - Computer Networking
:* இணையம் - internet
# கணினி கட்டுமானம்

கணினிச் செயலகக் கூறுகள் (மையச் செயலகம், நினைவகம், கடிகாரம், பாட்டை), புறக்கருவிகள் (காட்சித் திரை, விசைப் பலகை, சுட்டி, இயக்க அமைப்புகள்), மென்பொருள்கள் ஆகியவற்றின் கட்டமைப்பும் அவற்றின் இணைந்த செயல்பாட்டையும் ஆயும் துறை **கணினிக் கட்டமைப்பு** *(Computer Architecture)* ஆகும். கணினிக் கட்டமைப்பு கணிமை நோக்கிய அடிப்படை கோட்பாடுகளை அல்லது கருத்துப் படிமங்களை ஆய்ந்து, விவரித்து அதற்கு ஏற்ற வன்பொருள், மென்பொருள் கட்டுமானங்களைத் தேர்வு செய்ய உதவுகின்றது.
# கணினி கட்டுமானம்

## கணினிக் கட்டமைப்புப் படம்

<br/>
# கணினி கட்டுமானம்

## நுட்பவியல் சொற்கள்

- கட்டுப்பாட்டகம் - Control Unit
- எண்ணியல் ஏரணவகம் - Arithmetic Logic Unit
- நினைவகம் - Memory
- உள்ளீடு - Input
- வெளியீடு - Output
- மையச் செயலகம் - Central Processing Unit
# செல்வராகவன்

**செல்வராகவன்** (*Selvaraghavan*, பிறப்பு: 5 மார்ச்சு 1976) ஓர் தமிழ்த் திரைப்பட இயக்குநர் ஆவார். இவரது தம்பி பிரபல நடிகர் தனுஷ். இயக்குநர் கஸ்தூரி ராஜாவின் மகனும் ஆவார்.
# செல்வராகவன்

## குடும்பம்

செல்வராகவன் காதல் கொண்டேன் படத்தில் தான் அறிமுகப்படுத்திய சோனியா அகர்வாலை காதலித்து திருமணம் செய்துகொண்டார். பின்பு இருவரும் கருத்து வேறுபாட்டால் விவாகரத்து செய்துகொண்டனர். 2011 ஆம் ஆண்டில் தன்னிடம் உதவி இயக்குநராக பணிபுரிந்த கீதாஞ்சலியை இரண்டாவதாக திருமணம் செய்துகொண்டார். இவர்களுக்கு லீலாவதி என்ற மகளும் ஓம்கார் , ரிஷிகேஷ் என்ற இரு மகன்களும் உள்ளனர்.  
இவர் இயக்கியுள்ள திரைப்படங்கள்:
# செல்வராகவன்

## இயக்குநர் மற்றும் எழுத்தாளராக

| ஆண்டு | திரைப்படம் | பதவி | மொழி | குறிப்புகள் |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2002 | *துள்ளுவதோ இளமை* | தமிழ் |  |  |
| 2003 | *காதல் கொண்டேன்* | தமிழ் |  |  |
| 2004 | *7ஜி ரெயின்போ காலனி* | தமிழ் |  |  |
| 2006 | *புதுப்பேட்டை* | தமிழ் |  |  |
| 2007 | ''ஆதவரி மடலக்கு அர்தலு வெருலே” | தெலுங்கு |  |  |
| 2008 | * யாரடி நீ மோகினி* | தமிழ் |  |  |
| 2010 | *ஆயிரத்தில் ஒருவன்* | தமிழ் |  |  |
| 2011 | *மயக்கம் என்ன* | தமிழ் |  |  |
| 2013 | *இரண்டாம் உலகம்* | தமிழ் |  |  |
| 2016 | *மாலை நேரத்து மயக்கம்* | தமிழ் |  |  |
| 2016 | *நெஞ்சம் மறப்பதில்லை* | தமிழ் |  |  |
| 2019 | *என். ஜி. கே* | தமிழ் | } |  |
# அமீர்

**அமீர் சுல்தான்** அல்லது **அமீர்** (*Ameer Sultan* பிறப்பு: ஏப்ரல் 2, 1966) தமிழ்த் திரைப்பட இயக்குநர், நடிகர் மற்றும் தயாரிப்பாளர்.  
இவர் தமிழ்நாட்டில் மதுரையில் பிறந்தார். இவர் பொருளியல் படித்தவர். 2002 ஆம் ஆண்டில் இயக்குநர் பாலாவிடம் உதவி இயக்குநராக திரைப்படவுலகில் நுழைந்தார். பின்னர் மௌனம் பேசியதே என்ற திரைப்படத்தை இயக்கியுள்ளார். சில திரைப்படங்களிலும் நடித்துள்ளார். *Teamwork Production House* என்ற பெயரில் சொந்த படத்தயாரிப்பு நிறுவனத்தையும் வைத்துள்ளார்.
# அமீர்

## இயக்கியுள்ள திரைப்படங்கள்

- மௌனம் பேசியதே (2002)
- ராம் (2005)
- பருத்திவீரன் (2007)
- ஆதிபகவன் (2013)
- பேரன்பு கொண்ட பெரியோர்களே (2015)
# விக்ரமன்

**விக்ரமன்** தமிழ்த் திரைப்பட இயக்குநர் ஆவார். இவர் இயக்குநர் பார்த்திபனிடம் உதவி இயக்குநராகப் பணி புரிந்தவர். இவருடைய திரைப்படங்கள் இனிமையான பாடல்களுக்காகவும் குடும்பப் பாங்கான கதை மற்றும் காட்சி அமைப்புகளுக்காகவும் அறியப்படுகின்றன. இவருடைய படங்களில் பெண்களின் மீதான சமூக அக்கறை அதிகமாகவே இருக்கும். தற்போது தமிழ்த் திரைப்பட இயக்குநர் சங்கத்தின் தலைவராக உள்ளார்.
# விக்ரமன்

## வாழ்க்கைக் குறிப்பு

இவர் சென்னையில் வசிக்கிறார். இவருக்கு ஒரு மகனும், ஒரு மகளும் உள்ளனர்.
# விக்ரமன்

## திரைப்பட வரலாறு

புது வசந்தம் என்ற திரைப்படத்தின் மூலம் தமிழ்த் திரையுலகிற்கு அறிமுகமானார்.