# புவியிடங்காட்டி

## முப்பரிமாணங்களுக்கு மேல் கொண்ட ஜி.பி.எஸ்ஸின் நியுடன்-ராப்சன் முறை

இந்த பகுதியானது பொசிசன் கால்குலேஷன் அட்வான்சிடு என்பதில் உள்ள இரண்டாவாவது முறையில் பயன்படுத்தும் சமன்பாடுகளை பற்றி விரிவாக விவாதிக்கிறது.  
ஒரே வரிசை சமன்பாடுகள் சரியான பகுதி வரையறுப்புகள், மற்றும் அது படிப்படியாக எவ்வாறு வரையறுக்கப்படுகின்றது என்பதை பொறுத்து அவைகள் முழுமையாக கொடுக்கப்படுகின்றன. என்ற இடத்தில் அதே முறை விவாதிக்கப்படுகிறது ஆனால் சமன்பாடுகள் கொடுக்கப்படுவதில்லை. <math>\ t</math> ஆகியவை ஜி.பி.எஸ் பெறுதல் அமைப்பின் நேரத்தை பொறுத்த உண்மையான சார்பு மதிப்புகள் என கொள்வோம். <math>\ b</math> என்பது தெரியாத பிழை மதிப்பு அல்லது சோதனைகள் மூலம் இல்லாது அனுமானிக்கப்பட்ட கருத்து காரணமாக பெறுதல் கடிகாரம் மெதுவாக உள்ளது என்று கருதுவோம். செயற்கைக்கோள் மற்றும் அனுப்பிய செய்திகள் ஆகியவற்றின் ஒரு அச்சு சார்ந்த ஆதார மதிப்புகள் என <math>\ [x_i, y_i, z_i, t_i\ ]</math> -ஐ கொள்க. ஜி.பி.எஸ் கடிகாரத்தின் குறிப்பிடப்பட்ட பெறுதல் நேரம் <math>tr_i\; \mbox{for} \ i=1,2,3,4</math> என கொள்க. 'c'' என்பது ஒளியின் வேகம் என கொள்க. சூடோரேஞ்ச் என்பது எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது என்றால்
<math>p_i = \ (tr_i - t_i \ )c</math>. செய்தியானது ஒளியின் வேகத்தில் போகிறது என்று கொள்வோமாயின் சூடோரேஞ்ச் எனும் கிட்டத்தட்ட தூரம் செயற்கைகோளுக்கும் ஜி.பி.எஸ் பெறுதல் அமைப்புக்கும் என்பது சமன்பாட்டை நிறைவு செய்கிறது.  
:<math>p_i = \sqrt{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 + (z-z_i)^2}- bc, </math> <math>\;\;\mbox{for} \; i=1,2,3,4. \qquad (1)</math>  
உத்தேச மதிப்பீடு <math>\ [x^{(k)}, y^{(k)}, z^{(k)}, b^{(k)}\ ]</math> கொண்டு சரியான மதிபபீடு , <math>\ [x, y, z, b\ ]</math> அல்லாமல் சமன்பாடு ஒன்றில் பயன்படுத்துவோமாயின் <math>f_i^{(k)}</math> என்பது அங்கே வரும் மீதம் ஆகும் . <math>\ p_i</math> என்பதை சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்திற்கு மாற்று செய்வோமாயின் அங்கே கிடைப்பதை கீழே காண்க.  
:<math>f_i^{(k)} = \sqrt{(x^{(k)}-x_i)^2 + (y^{(k)}-y_i)^2 + (z^{(k)}-z_i)^2}- b^{(k)}c - p_i, \;\; </math>
::<math>\mbox{for} \; i=1,2,3,4. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\;\;\; (2)</math>  
ஒரு முடிவு எப்பொழுது காணப்படுகிறது என்றால் எப்பொழுது <math>f_i^{(k)}</math>
என்பது பூஜ்யம் அல்லது பூஜ்யத்தை ஒட்டி என கீழ் கண்ட மதிப்புகளான <math> \ i=1,2,3,4</math> ஆகிய இவைகளை சமன்பாட்டில் இடும் போது வருகிறதோ அப்பொழுது காணப்படுகின்றது.  
சமன்பாடு 2 ஐ ஒரு வரிசையாக மற்ற, அதன் சார் பகுதி வரையறுப்புகள் கணக்கிடப்படுகிறது எவ்வாறு என்றால்  
:<math>\frac{\partial f_i^{(k)}} {\partial x^{(k)}} = \frac {(x^{(k)} - x_i)} {R_i^{(k)} }, \frac{\partial f_i^{(k)}} {\partial y^{(k)}} = \frac {(y^{(k)}-y_i)} {R_i^{(k)}}, </math>
::<math>\frac{\partial f_i^{(k)}} {\partial z^{(k)}} = \frac {(z^{(k)} -z_i)} {R_i^{(k)} }, \frac{\partial f_i^{(k)}} {\partial b^{(k)}} = -c \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\;(3)</math>  
அங்கே  
:<math>R_i^{(k)} = \sqrt{(x^{(k)}-x_i)^2 + (y^{(k)}-y_i)^2 + (z^{(k)}-z_i)^2}</math>.  
சமன்பாடு 2 - ன் வலது பக்கத்தை ஒரு வரிசையாக உத்தேச மதிப்பிடு முறை மூலம் மாற்ற இவ்வாறு வருகிறது.  
:<math>f_i^{(k)} = \frac {(x^{(k)}-x_i)} {R_i^{(k)}} x^{(k)} + \frac {(y^{(k)}-y_i)} {R_i^{(k)}} y^{(k)} + \frac {(z^{(k)}-z_i)} {R_i^{(k)}} z^{(k)} - b^{(k)}c - p_i + \epsilon_i, \;\; </math>
::<math>\mbox{for} i=1,2,3,4 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad(4)</math>  
<math>\ \epsilon_i</math> என்ற மீதமானது ஒரு வரிசை அல்லது சார் சமன்பாட்டு முறைப்படி வந்ததாகும். இது மீதமான <math>f_i^{(k)} </math> என்பதுடன் உத்தேசமான மதிப்பு முறை மூலம் கூடுதலான வந்த மீதமாகும்  
இந்த மதிப்பான <math>f_i^{(k+1)}</math> பூஜ்யத்திற்கு மிக அருகில் கொண்டு வருவதற்கு மதிப்புகளான <math>\ [x^{(k+1)}, y^{(k+1)}, z^{(k+1)}, b^{(k+1)}\ ]</math> என்பவைகளை ஒரு முறை கொண்டு தேர்ந்தெடுக்க  
:<math>- f_i^{(k)} = \frac {(x^{(k)}-x_i)} {p_i} (x^{(k+1)}- x^{(k)}) + \frac {(y^{(k)}-y_i)} {p_i} (y^{(k+1)}- y^{(k)})\;+</math>
::<math>\frac {(z^{(k)}-z_i)} {p_i} (z^{(k+1)}- z^{(k)}) - (b^{(k+1)} - b^{(k)})c - p_i. \qquad \qquad \qquad \qquad (5)</math>  
அதாவது மதிப்புகளை தேர்ந்தெடுக்க  
:<math>\ [x^{(k+1)}, y^{(k+1)}, z^{(k+1)}, b^{(k+1)}\ ]</math>  
சமன்பாடு 2 - ல் வரும் மீதமானது சற்றே ஏறக்குறைய மதிப்புடன் வருகிறது என  
கொள்க  
:<math>\Delta x^{(k+1)}\ =\ (x^{(k+1)}- x^{(k)}), \Delta y^{(k+1)}\ =\ (y^{(k+1)}- y^{(k)}),</math>
::<math>\Delta z^{(k+1)}\ =\ (z^{(k+1)}- z^{(k)}), \Delta b^{(k+1)}\ =\ (b^{(k+1)}- b^{(k)}).</math>  
இடம் மாற்றி <math>\ p_i </math> - ன் மதிப்பை சமன்பாட்டின் இடப்புறம் கொள்வோமானால் அங்கே வருவதாவது  
:<math>- f_i^{(k)} + p_i = \frac {(x^{(k)}-x_i)} {p_i} \Delta x^{(k+1)} + \frac {(y^{(k)}-y_i)} {p_i} \Delta y^{(k+1)} \;+</math>
::<math>\frac {(z^{(k)}-z_i)} {p_i} \Delta z^{(k+1)} - \Delta b^{(k+1)} c. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;\;\;\;\;(6)</math>
சமன்பாடு 6 ஒரு நான்கு ஒரு சார் சமன்பாடுகளை நான்கு டெல்டா வகை வரையறுப்புகளை கொண்டு கொடுக்கின்றது. அவைகள் தீர்வுக்கான முறையில் உள்ளன. மதிப்புகளான மற்றும் என்பவைகள் மூலம் ஒரு சார் சமன்பாடு தீர்வு மூலம் கணக்கிடப்படுகின்றன.  
:<math>\ [x^{(k+1)}, y^{(k+1)}, z^{(k+1)}, b^{(k+1)}\ ]</math>  
கணக்கிடப்படுவது எப்படி என்றால் கீழ் கொடுக்கப்பட்ட முறையின் கீழ் செய்யப்படுகின்றது.  
:<math>\ x^{(k+1)}\ =\ x^{(k)}\ +\Delta x^{(k+1)}, \ y^{(k+1)}\ =\ y^{(k)}\ +\Delta y^{(k+1)}, </math>
::<math>\ z^{(k+1)}\ =\ z^{(k)}\ +\Delta z^{(k+1)}, \ b^{(k+1)}\ =\ b^{(k)}\ +\Delta b^{(k+1)}. \qquad \qquad \;\;\;\;\;\; (7)</math>  
அதன் பிறகு <math>\ k = k + 1</math> என்பதை சமன்பாடு 2 -ல் இருந்து சமன்பாடு 6 வரை வரையறுப்பு கொள்க.  
:<math>\ \{ x^{(k+1)}, y^{(k+1)}, z^{(k+1)}, b^{(k+1)} \ \} </math>  
சமன்பாடு 7 ஐ சமன்பாடு 2 - ல் கொள்க, அதாவது சமன்பாடு 7 -ல் உள்ள <math>\ k = k + 1</math> என்பதை சமன்பாடு 2 - ல் போட்டு மீதி வருவதை சமன்பாடு 2 - ல் காண்க. இந்த முறையானது மீதி வருவது தேவையான அளவு சிறிதாகும் வரை செய்யப்படுகிறது.