# அண்டம்

## கருத்தியல் மாதிரிகள்

### ஐன்ஸ்டீனின் புலச் சமன்பாடுகளைத் தீர்த்தல்

சுழலும் விண்மீன் திரள்களுக்கு இடையே உள்ள தொலைவானது, காலம் அதிகரிக்கையில் அதிகரிக்கிறது. ஆனால் ஒவ்வொரு விண்மீன் திரளிலும் உள்ள விண்மீன்களுக்கிடையே உள்ள தொலைவு தோராயமாக மாறாமலே உள்ளது. அவற்றுக்கிடையே உள்ள ஈர்ப்பியல் விசையே இதற்குக் காரணமாகும். இந்த அசைவூட்டம் ஒரு மூடிய ஃப்ரைட்மேன் அண்டத்தை விளக்குகிறது, இதில் பூச்சிய அண்டவியல் மாறிலி Λ இடம்பெறுகிறது; இதுபோன்ற அண்டமானது பெருவெடிப்பு மற்றும் அண்டச் சுருக்கம் ஆகிய நிகழ்வுகளுக்கிடையே அலைகிறது.  
கார்ட்டீசியன் அல்லாத (சதுரவடிவற்ற) அல்லது வளைவான ஆய அச்சு அமைப்புகளில், பித்தாகோரியன் தேற்றமானது மிக மிகச் சிறிய நீள அளவுகளுக்கு மட்டுமே பொருந்துகிறது, ஆகவே அது இடத்திற்கு இடம் மாறும் மற்றும் குறிப்பிட்ட ஆய அச்சு அமைப்பில் அக வடிவியலை விவரிக்கும் பொதுவான அளவீட்டுப் பண்புருவான *g* <sub>μν</sub> ஐக் கொண்டு மேலும் விரிவாக்கப்பட வேண்டும். இருப்பினும், அண்டமானது ஒருபடித்தானதும் திசை ஒருமியதாகவும் உள்ளது என்னும் அண்டவியல் கொள்கையைக் கருதினால், வெளியில் உள்ள ஒவ்வொரு புள்ளியும் மற்றொரு புள்ளியைப் போன்றதே; ஆகவே அளவீட்டுப் பண்புருவானது எங்கும் மாறாமல் ஒரே மதிப்பைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். இந்தக் கருத்து, அளவீட்டுப் பண்புருவின் ஒற்றை வடிவத்திற்கு வழி வகுத்தது, அது பிரீட்மேன்-லேமைட்ரீ-ராபர்ட்சன்-வாக்கர் அளவீடு எனப்பட்டது  
:<math> ds^2 = -c^{2} dt^2 + R(t)^2 \( \frac{dr^2}{1-k r^2} + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta \, d\phi^2 \) </math>  
இதில் (*r* , θ, φ) ஆகியவை ஒரு கோள ஆய அச்சு அமைப்பைக் குறிக்கின்றன. இந்த அளவீட்டில் இரண்டு தீர்மானிக்கப்படாத அளவுருக்களே உள்ளன: காலத்தைப் பொறுத்து மாறக்கூடிய ஒட்டுமொத்த நீள அளவு *R* மற்றும் ஒரு தட்டையான யூக்ளிடியன் வடிவியல் அல்லது நேர்க்குறி அல்லது எதிர்க்குறி வளைவின் வெளியைப் பொறுத்து 0, 1, அல்லது -1 என்ற மூன்று மதிப்புகளையே கொண்டிருக்ககூடிய வளைவு எண் *k* ஆகியவையே. அண்டவியலில், அண்டத்தின் வரலாற்றைக் கணக்கிடுவதற்கு *R* என்பதை நேரத்தின் சார்பாகக் கணக்கிடுகின்றனர், இதில் *k* மற்றும் ஐன்ஸ்டீனின் புலச் சமன்பாடுகளில் வரும் சிறிய அளவுருவான அண்டவியல் மாறிலி *Λ* ஆகியவை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. *R* என்பது காலத்தைப் பொறுத்து எவ்வாறு மாறுகிறது என்பதை விளக்கும் சமன்பாட்டை, அதைக் கண்டறிந்தவரான அலெக்ஸாண்டர் ஃப்ரைடுமேன் அவர்களின் பெயரால் பிரீட்மேன் சமன்பாடு என அழைக்கின்றனர்.  
*R(t)* க்கான தீர்வானது *k* மற்றும் *Λ* ஆகியவற்றைச் சார்ந்துள்ளது, ஆனால் அது போன்ற தீர்வுகளின் பண்பியல் அம்சங்கள் பொதுவானவை. முதலும் முக்கியமுமாக, முதலில் ஆல்பர்ட் ஐன்ஸ்டீன் கூறியதைப் போல, அண்டமானது முழுமையாக திசை ஒருமியதும், நேர்க்குறி வளைவைக் (*k* =1) கொண்டதுமாகவும் இருந்து அனைத்து இடங்களிலும் ஒரே துல்லியமான அடர்த்தியைக் கொண்டிருந்தால் *மட்டுமே* அண்டத்தின் நீள அளவான *R* மாறிலியாக இருக்க முடியும். இருப்பினும் இந்தச் சமநிலையானது நிலையற்றது, பொது சார்பியலின் படி, அண்டமானது அதன் மிகச் சிறிய அளவீடுகளில் ஒருபடித்தானதாக இல்லாததால் *R* இன் மதிப்பு மாறக்கூடியதாக உள்ளது. *R* இன் மதிப்பு மாறும் போது, அண்டத்தின் வெளி சார்ந்த அனைத்துத் தொலைவுகளுமே மாறக்கூடும்; வெளியானது தானே ஒட்டு மொத்த விரிவாக்கம் மற்றும் சுருக்கத்துக்குட்பட்டுள்ளது. விண்மீன் திரள்கள் தனித்தனியாக அந்தரத்தில் மிதப்பதாகத் தோன்றுவதை இது விளக்குகிறது; அவற்றுக்கிடையே உள்ள வெளியானது விரிவடைகிறது. இரண்டு விண்மீன் திரள்கள் 13.7 பில்லியன் ஆண்டுகளுக்கு முன்பு ஒரே புள்ளியில் தொடங்கினாலும், மேலும் ஒரு போதும் ஒளியின் வேகத்தை விட அதிக வேகத்தில் அவை பயணித்ததில்லை எனினும், அவை இரண்டும் ஒன்றுக்கொன்று 40 பில்லியன் ஒளியாண்டுகள் தொலைவில் இருக்கும் விந்தையையும் இந்த வெளி விரிவாக்கக் கருத்து விளக்குகிறது.  
இரண்டாவதாக, அனைத்து முடிவுகளுமே *R* இன் மதிப்பு பூச்சியமாக இருந்து பருப்பொருளும் ஆற்றலும் வரையறுக்கப்படாத அளவு அடர்த்தியைக் கொண்டிருந்த கடந்த காலத்தில் ஈர்ப்பியல் ஒருமைத்தன்மை ஒன்று இருந்ததாகக் கூறுகின்றன. இந்தக் கருத்தானது முழுமையான ஒருபடித்தான தன்மை மற்றும் திசை ஒருமிய தன்மை (அண்டவியல் கொள்கை) மற்றும் ஈர்ப்பியல் விசை மட்டுமே முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது என்ற கருத்து, ஆகிய கேள்விக்குட்பட்ட கருத்தியல்களின் அடிப்படையில் அமைந்திருந்ததால், இந்தக் கருத்து உறுதியற்றதாகத் தோன்றலாம். இருப்பினும், பென்ரோஸ்-ஹாகிங் ஒருமைத்தன்மை தேற்றங்கள் படி, மிகவும் பொதுவான நிபந்தனைகளுக்கு மட்டுமே ஒருமைத்தமையானது இருக்க வேண்டும். இதனால், ஐன்ஸ்டீனின் புலச் சமன்பாடுகளின் படி, *R* இன் மதிப்பானது, (*R* இன் மதிப்பு மிகச் சிறியதும் வரையறுக்கப்பட்டதுமாக இருந்த) இந்த ஒருமைத்தன்மையிலிருந்த நிலையை அடுத்து, கற்பனைக்கும் எட்டாத வெப்பமான அடர்த்தியான நிலையிலிருந்து மிக அதிவேகத்தில் அதிகரித்துள்ளது; இதுவே அண்டத்தின் பெருவெடிப்பு மாதிரியின் அடிப்படையாகும். பருப்பொருளும் ஆற்றலும் காலம் மற்றும் வெளியின் ஒரு புள்ளியிலிருந்து வெடித்து உருவானது என்றே பெருவெடிப்பு மாதிரி கூறுகிறது என்பது ஒரு பொதுவான தவறான கருத்தாகும். இருப்பினும், வெளியானது பெரு வெடிப்பில் தோன்றி குறிப்பிட்ட அளவு பருப்பொருள் மற்றும் ஆற்றலால் நிரம்பியுள்ளது; வெளியானது விரிவடைவதால் ( அதாவது *R(t)* இன் மதிப்பு அதிகரிப்பதால்), பருப்பொருள் மற்றும் ஆற்றலின் அடர்த்தி குறைகிறது.  
| பெர்னார்ட் ரீமன் (1854) | } |
| --- | --- |  
மூன்றாவது, ஒரு பில்லியன் ஒளி ஆண்டுகளுக்கும் அதிகமான நீள அளவீடுகளின் சராசரியான காலவெளியின் வெளி சார்ந்த வளைவின் சராசரியின் குறியை வளைவு எண் *k* இன் மதிப்பே தீர்மானிக்கிறது. *k* =1 எனில், வளைவு நேர்க்குறி கொண்டதாகும், மேலும் அண்டத்திற்கு வரையறுக்கப்பட்ட பருமனுள்ளது. இது போன்ற அண்டங்களை சில நேரம், நான்கு பரிமாணங்கள் கொண்ட வெளியில் பொதிக்கப்பட்ட முப்பரிமாணக் கோளமாக *S*<sup>3</sup> காட்சிப்படுத்துகின்றனர். மாறாக, *k* என்பது பூச்சியம் அல்லது எதிர்க்குறி மதிப்பெனில், அண்டமானது அதன் ஒட்டு மொத்த பிரதேசவியலைச் சார்ந்து முடிவிலாப் பருமனைக் *கொண்டிருக்கலாம்* . முடிவிலாததும் முடிவிலா அடர்த்தி கொண்டதுமான அண்டமானது *R* =0 என்ற நிலையில் பெரு வெடிப்பின் போது ஒரு குறிப்பிட்ட கணத்தில் உருவாகியிருக்க முடியும் என்பது உண்மைக்கு எதிரானதாகத் தோன்றலாம், ஆனால் *k* இன் மதிப்பு 1 க்குச் சமமாக இல்லாதபட்சத்தில் கணிதவியலின் படி இவ்வாறே கணக்கிடப்படுகிறது. ஒப்பீட்டுக்கு, முடிவிலாத் தளமானது பூச்சிய வளைவும் முடிவிலாப் பரப்பும் கொண்டுள்ளது, முடிவிலா உருளையானது ஒரு திசையில் முடிவுள்ளதும் முடிவிலாச் சுருளானது இரு திசையிலும் முடிவுள்ளதுமாகவும் உள்ளது. முடிவிலாச் சுருள் அண்டமானது, ஆஸ்டிராய்ட்ஸ் போன்ற "உலகப் பயண" வீடியோ கேம்களில் உள்ளதைப் போன்ற கால இடைவெளிக்குட்பட்ட எல்லை நிபந்தனைகளைக் கொண்டு இயல்பான அண்டத்தைப் போலவே இருக்கும்; *வெளிநோக்கிச்* செல்லும் "எல்லையைக்" கடக்கும் ஒரு பயணி, *உள்நோக்கிச்* செல்லும் மற்றொரு எல்லையின் ஒரு புள்ளியில் மீண்டும் தோன்றுவார்.  
அண்டத்தின் முடிவான விதியை இதுவரை அறிய முடியவில்லை, ஏனெனில் அது வளைவு எண் *k* மற்றும் அண்டவியல் மாறிலி*Λ* ஆகியவற்றையே வெகுவாகச் சார்ந்துள்ளது. அண்டமானது போதுமான அளவு அடர்த்தியுள்ளதாக இருப்பின், *k* இன் மதிப்பு +1 க்குச் சமமாக இருக்கும், அதாவது அதன் சராசரி வளைவானது நேர்க்குறி கொண்டது, மேலும் அண்டமானது மீண்டும் ஒரு அண்டச் சுருக்கத்தில் சுருங்கிவிடும் வாய்ப்புள்ளது, பின்னர் ஒரு பெருந்துள்ளல் நிகழ்வில் மீண்டும் ஒரு புதிய அண்டம் உருவாக வாய்ப்புள்ளது. மாறாக, அண்டத்தின் அடர்த்தி போதுமானதாக இல்லை எனக் கொண்டால், *k* இன் மதிப்பு 0 அல்லது −1 க்குச் சமமாகும், அதாவது அண்டமானது தொடர்ந்து விரிந்துகொண்டே செல்லும், அது குளிர்ந்து திடம் குறைந்து எந்த உயிரும் வாழ முடியாமல் சென்று, விண்மீன்களெல்லாம் அழிந்து பருப்பொருள் அனைத்தும் மீண்டும் கருந்துளையால் விழுங்கப்படும் (பேருறைவு மற்றும் அண்டத்தின் வெப்ப இழப்பு). மேலே குறிப்பிட்டது போல் அண்டத்தின் விரிவானது எதிர்பார்த்தபடி குறையவில்லை என சமீபத்திய தரவு கூறுகிறது, மாறாக முடுக்கப்படுகிறது; இது முடிவின்றித் தொடர்ந்தால், அண்டம் தானகவே உடைந்து சிதறும் (பெரு உடைப்பு). சோதனைகளின் படி, அண்டமானது அதன் மீண்டும் சுருங்கும் நிலைக்கும் உயர் விரிவாக்கத்திற்கும் இடைப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட அடர்த்தி மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது; இந்தக் கேள்விக்கு பதிலளிக்க மேலும் கூடுதல் கவனமான வானியல் ஆய்வுகள் தேவை.