# ஈருறுப்புச் செயலி

## பண்புகளும் எடுத்துக்காட்டுகளும்

எண்கள் மற்றும் அணிகளின் கூட்டல் (<math>+</math>), பெருக்கல், ஒரே கணத்தின் மீதமையும் சார்புகளின் தொகுப்பு ஆகிய செயல்கள் ஈருறுப்புச் செயலிக்கு நல்ல எடுத்துக்காட்டுகளாகும்.  
- இரு மெய்யெண்களின் கூட்டுத்தொகையானது மீண்டுமொரு மெய்யெண்ணாகவே இருக்குமென்பதால், மெய்யெண்களின் கணம் <math>\mathbb R</math> இன் மீதான <math>f(a,b)=a+b,</math> என்பது ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாகும்
- இரு இயலெண்களின் கூட்டுத்தொகையானது மீண்டுமொரு இயலெண்ணாகவே இருக்குமென்பதால், இயலெண்களின் கணம் <math>\mathbb N</math> இன் மீதான <math>f(a,b)=a+b,</math> என்பது ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாகும்.
- <math>2 \times 2</math> அணிகளில் <math>M(2,\mathbb R)</math> என்ற மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட அணிகளின் கணத்தின் மீதான <math>f(A,B)=A+B</math> ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி (ஏனெனில் மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட இரு <math>2 \times 2</math> அணிகளின் கூடுதலாகப் பெறப்படும் அணியும் மெய்யெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட <math>2 \times 2</math> அணிகளாகவே இருக்கும்).
- <math>2 \times 2</math> அணிகளில் <math>M(2,\mathbb R)</math> என்ற மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட அணிகளின் கணத்தின் மீதான <math>f(A,B)=AB</math> ஒரு ஈருறுப்புச் செயலி (ஏனெனில் மெய்யெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட இரு <math>2 \times 2</math> அணிகளின் பெருக்கலாகப் பெறப்படும் அணியும் மெய்யெண் உறுப்புகளைக்கொண்ட <math>2 \times 2</math> அணிகளாகவே இருக்கும்).
- <math>C</math> கணத்தின் மீதான <math>h \colon C \rightarrow C</math> என வரையறுக்கப்படும் சார்புகளின் கணத்தை <math>S</math> எனக் கொண்டு, <math>f \colon S \times S \rightarrow S</math> என்ற சார்பை <math>f(h_1,h_2)(c)=(h_1 \circ h_2)(c)=h_1(h_2(c)), \forall c \in C</math> என வரையறுக்க, <math>f</math> ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாக இருக்கும் (ஏனெனில் <math>C</math> மீது வரையறுக்கப்பட்ட இரு சார்புகளின் தொகுப்பும் <math>C</math> மீதான மற்றொரு சார்பாக இருக்கும்).  
இயற்கணிதம், முறைசார் ஏரணம் இரண்டிலுமுள்ள பல ஈருறுப்புச் செயலிகள்,
- பரிமாற்றுப் பண்பு
:<math>f(a,b)=f(b,a), \forall a, b \in S</math> அல்லது
- சேர்ப்புப் பண்பு
:<math>f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)) \forall a, b, c \in S</math> உள்ளவையாக இருக்கும்.  
மேலும் பல ஈருறுப்புச் செயலிகள் அவற்றுக்குரிய முற்றொருமை உறுப்புகளையும் நேர்மாறு உறுப்புகளையும் கொண்டிருக்கும். முதல் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளும் பரிமாற்றுப் பண்பும் அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளும் சேர்ப்புப் பண்பும் கொண்டவை.  
மெய்யெண்களின் கணம் <math>\mathbb R</math> இன் மீதான கழித்தல் <math>f(a,b)=a-b</math> செயலானது ஈருறுப்புச் செயலி. ஆனால் இச்செயலிக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் கிடையாது.
:<math>a-b \neq b-a</math>;
:<math>2-3=-1</math> ஆனால் <math>3-2=1</math>.
:<math>a-(b-c) \neq (a-b)-c</math>;
:<math>1-(2-3)=2</math> ஆனால் <math>(1-2)-3=-4</math>.  
இயலெண்களின் கணம் <math>\mathbb N</math> மீதான <math>f(a,b)=a^b</math> என்ற அடுக்கேற்றச் செயலி ஒரு ஈருறுப்புச் செயலியாகும். ஆனால் இச்செயலிக்குப் பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் கிடையாது.
:<math>a^b \neq b^a</math>
:<math>f(f(a,b),c) \neq f(a,f(b,c))</math>;
:<math>a=2</math>, <math>b=3</math>, <math>c=2</math>:
: <math>f(2^3,2)=f(8,2)=8^2=64</math>, <math>f(2,3^2)=f(2,9)=2^9=512</math>.  
முழு எண்களின் கணம் <math>\mathbb Z</math> மீதான <math>f(a,b)=a^b</math> என்ற அடுக்கேற்றச் செயலி ஒரு பகுதி ஈருறுப்புச் செயலியாகும். ஏனென்றால் <math>a=0,</math> <math>b</math> ஏதேனுமொரு எதிர்ம எண் என்ற நிபந்தனையில் இச்செயலி வரையறுக்கப்படவில்லை.  
இயல் எண்கள் கணத்திலும் முழு எண்கள் கணத்திலும் அடுக்கேற்றம் எனும் ஈருறுப்புச் செயலிக்கு வலது முற்றொருமை உறுப்பு (<math>1</math>) உண்டு:
:<math>f(a,1)==a^1=a, \forall a \in \mathbb N, \mathbb Z </math>  
எனினும், பொதுவாக <math>f(1,b)=1^b \neq b</math> என்பதால் <math>1</math> என்பது முற்றொருமை உறுப்பு (இருபக்க முற்றொருமை) அல்ல.  
மெய்யெண்கள் மற்றும் விகிதமுறு எண்களில் வகுத்தல் (<math>\div</math>) செயலானது ஒரு பகுதி ஈருறுப்புச் செயலாகும். மேலும் இதற்கு பரிமாற்றுப் பண்பும் சேர்ப்புப் பண்பும் கிடையாது.