# நிறைவெண் (கணிதம்)

## இரட்டை நிறைவெண்கள்

முதல் நான்கு நிறைவெண்களும் பின்வரும் வாய்ப்பாட்டினால் பிறப்பிக்கப்படுவதை யூக்ளிடு கண்டறிந்தார்:  
2<sup>*p*−1</sup>(2<sup>*p*</sup>−1), *p* ஒரு பகா எண்  
:*p* = 2 எனில்: &nbsp; 2<sup>1</sup>(2<sup>2</sup>−1) = 6
:*p* = 3 எனில்: &nbsp; 2<sup>2</sup>(2<sup>3</sup>−1) = 28
:*p* = 5 எனில்: &nbsp; 2<sup>4</sup>(2<sup>5</sup>−1) = 496
:*p* = 7 எனில்: &nbsp; 2<sup>6</sup>(2<sup>7</sup>−1) = 8128.  
இந்நான்கிலும் 2<sup>*p*</sup>−1 -ன் மதிப்பு பகா எண்களாக இருப்பதைக் கண்ட யூக்ளிட், 2<sup>*p*</sup>−1 பகா எண்ணாக இருக்கும்போதெல்லாம் 2<sup>*p*−1</sup>(2<sup>*p*</sup>−1), ஒரு இரட்டை நிறைவெண்ணாக இருக்கும் என்பதை நிரூபித்தார்.(Euclid, Prop. IX.36).  
2<sup>*p*</sup>−1, ஒரு பகா எண்ணாக இருப்பதற்கு *p* ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தாக வேண்டும். 17ம் நூற்றாண்டில் வாழ்ந்த பிரெஞ்சு துறவி *மேரின் மெர்சேன்* பெயரால் 2<sup>*p*</sup>−1 -வடிவில் அமையும் பகா எண்கள், *மெர்சேன் பகா எண்கள்* என அழைக்கப்படுகின்றன. எனினும் 2<sup>*p*</sup>−1, (*p* ஒரு பகா எண்) வடிவில் அமையும் எல்லா எண்களும் பகா எண்களாக இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, 2<sup>11</sup>−1 = 2047 = 23 × 89- இது ஒரு பகா எண் இல்லை. மெர்சேன் பகா எண்கள் அரிதானவை. 1,000,000 -க்கும் கீழுள்ள 78,498 பகா எண்கள் *p* -களில், 33 மட்டுமே, 2<sup>*p*</sup>−1 வடிவில் அமையும் எண் பகா எண்களாக உள்ளன.  
யூக்ளிடின் காலத்திற்கு ஆயிரமாண்டுகளுக்குப் பின் கிபி 1000-ல் இயற்பியலாளரும் கணிதவியலாளருமான *இப்னு அல் ஹேத்தம்* ஒவ்வொரு இரட்டை நிறைவெண்ணும் 2<sup>*p*−1</sup>(2<sup>*p*</sup>−1) (இதில் 2<sup>*p*</sup>−1 ஒரு பகா எண்) வடிவில் அமையும் என்ற அனுமான கூற்றை முன்வைத்தார். ஆனால் அவரால் அக்கூற்றை நிரூபிக்க இயலவில்லை. 18ம் நூற்றாண்டு கணிதவியலாளர் ஆய்லர், 2<sup>*p*−1</sup>(2<sup>*p*</sup>−1) -வாய்ப்பாடு அனைத்து இரட்டை நிறைவெண்களைத் தருமென நிரூபித்தார். எனவே இரட்டை நிறைவெண்களுக்கும் மெர்சேன் பகா எண்களுக்குமிடையே ஒரு ஒன்றுக்கொன்று தொடர்பு உள்ளது. இந்தத் தொடர்பு யூக்ளிடு-ஆய்லர் தேற்றம் எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது.  
முதல் 48 இரட்டை நிறைவெண்கள்:
:<math>2^{p-1}(2^p-1)</math>;
: = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609 and 57885161 .  
= 74207281, 77232917, 82589933 ஆகிய மூன்று மதிப்புக்களுக்கு, மேலும் மூன்று இரட்டை நிறைவெண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. இவற்றுக்கு இடைப்பட்ட பிற நிறைவெண்களுமிருக்கக்கூடும். ஆனால் இணையவழி மெர்சென் பெருந்தேடல் திட்டத்தின்மூலம், 109332539 க்குக் குறைவான இன் மதிப்புகளுக்கு எந்தவொரு நிறைவெண்களும் இல்லையென்பது சரிபார்க்கப்பட்டுள்ளது. திசம்பர் 2018 வரை, 51 மெர்சென் பகாஎண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே அதுவரையிலான கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இரட்டை நிறைவெண்களின் எண்ணிக்கையும் 51 ஆகும் (இவற்றுள் மிகப்பெரிய எண், 49,724,095 இலக்கங்கொண்ட ). இரட்டை நிறைவெண்களோ அல்லது மெர்சென் பகா எண்களோ முடிவிலா எண்ணிக்கையில் உள்ளனவா என்ற கேள்விக்கான விடை இன்னமும் அறியப்படவில்லை.  
ஒவ்வொரு இரட்டை நிறைவெண்ணும் 2<sup>*p*−1</sup>(2<sup>*p*</sup>−1) வடிவில் அமைவதால் அவ்வெண், (2<sup>*p*</sup>−1) -வது முக்கோண எண்ணாகவும் 2<sup>*p*−1</sup> -வது அறுகோண எண்ணாகவும் இருக்கும். மேலும் முதல் எண்ணைத் தவிர மற்ற இரட்டை நிறைவெண்கள் ஒவ்வொன்றும் ((2<sup>*p*</sup>+1)/3) -வது மையப்படுத்தப்பட்ட நவகோண எண்ணாகவும் முதல் 2<sup>(*p*−1)/2</sup>, ஒற்றைக் கன எண்களின் கூடுதலாகவும் அமையும்:  
:<math>
\begin{align}
6 & = 2^1(2^2-1) & & = 1+2+3, \\[8pt]
28 & = 2^2(2^3-1) & & = 1+2+3+4+5+6+7 = 1^3+3^3, \\[8pt]
496 & = 2^4(2^5-1) & & = 1+2+3+\cdots+29+30+31 \\
& & & = 1^3+3^3+5^3+7^3, \\[8pt]
8128 & = 2^6(2^7-1) & & = 1+2+3+\cdots+125+126+127 \\
& & & = 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3, \\[8pt]
33550336 & = 2^{12}(2^{13}-1) & & = 1+2+3+\cdots+8189+8190+8191 \\
& & & = 1^3+3^3+5^3+\cdots+123^3+125^3+127^3.
\end{align}
</math>