# குலம் (கணிதம்)

## எடுத்துக்காட்டுகளாக குறிப்பிடத்தக்க குலங்கள்

- <math>\mathbf{Q}, \mathbf{R}, \mathbf{C}</math> இவைகள் மூன்றும் கூட்டலுக்கு பரிமாற்றுக் குலங்கள். ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒற்றொருமை சூனியம். ஒவ்வொன்றிலும்<math> a</math> இன் நேர்மாறு= <math>-a</math>.
- நேர்ம எண்களை மாத்திரம் கொண்ட <math>\mathbf{Q}</math>*, <math>\mathbf{R}</math>*, <math>\mathbf{C}</math>* இவைகள் மூன்றும் பெருக்கலுக்கு பரிமாற்றுக் குலங்கள். ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒற்றொருமை 1. ஒவ்வொன்றிலும் <math>a</math> இன் நேர்மாறு <math>1/a</math>.
- ஏதாவதொரு களம் <math>\mathbf{F}</math> இலிருந்து வரும் உறுப்புக்களைக் கொண்ட<math> m\times n</math> அணிகளெல்லாம் அடங்கிய கணம் அணிக்கூட்டலுக்கு ஒரு பரிமாற்றுக் குலமாகும். இங்கு ஒற்றொருமை சூனிய அணி. <math>(a)_{m,n}</math> இன் நேர்மாறு = <math>(-a)_{m,n}.</math>
- ஏதாவதொரு களம் <math>\mathbf{F}</math> இலிருந்து வரும் உறுப்புக்களைக் கொண்ட<math> n\times n</math> வழுவிலா அணிகளெல்லாம் அடங்கிய கணம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு **பரிமாற்றாக் குலமாகும்**. இங்கு ஒற்றொருமை எல்லா மூலைவிட்டங்களும் 1 ஆக இருக்கும் முற்றொருமை அணி. இதனில் உள்ள எல்லா அணிகளுக்கும் நேர்மாறு இருப்பினும் அவைகளைக் கண்டுபிடிப்பதென்பது அணிக்கோட்பாட்டின் ஒரு தலையாய பிரச்சினையாகும். <math>\mathbf{F}, \mathbf{R}</math> ஆகவோ <math>\mathbf{C}</math> ஆகவோ இருந்தால் இந்த குலம் GL(n, <math>\mathbf{R}</math>), அல்லது GL(n,<math>\mathbf{C}</math>) என்ற குறியீட்டுடன்,பொது நேரியற்குலம் என்ற பெயரால் அழைக்கப்படும்.
- <math>n</math> பொருட்கள் உள்ள கணத்தின் வரிசைமாற்றங்கள் அவைகளுடைய சேர்வை என்ற செயல்பாட்டிற்கு <math>S_n</math> என்ற வரிசைமாற்றக்குலமாகிறது. இங்கு ஒற்றொருமை
:<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & \dots & n\\
1 & 2 & 3 & \dots & n
\end{pmatrix}</math>
:என்ற முற்றொருமை வரிசைமாற்றம்.ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும், அதை அணியாக எழுதி முதல் வரிசையையும் இரண்டாவது வரிசையையும் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாற்றி எழுதினால் நேர்மாறு வரிசைமாற்றம் கிடைக்கும்.
: குறிப்பு. <math>n \geq 3</math> ஆனால், <math>S_n</math> ஒரு **பரிமாற்றாக்குலம்**. <math>S_n</math> களுக்கு பொதுப்பெயர் **'n-கிரமச்சமச்சீர்குலம்**' (Symmetric Group of order n)  
- மாடுலோ எண்கணிதத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட முழு எண் <math>n</math> உடன் உறவுபடுத்தப்பட்ட <math>\{0, 1, 2, 3, ... , n-1 (modn)\}</math> கணம் மாடுலோ கூட்டலுக்கு ஒரு குலம் ஆகும். இங்கு ஒற்றொருமை <math>0(mod n).</math> <math>m</math> இன் நேர்மாறு <math>(n - m)(modn).</math>
- மாடுலோ எண்கணிதத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட பகா எண் <math>p</math> உடன் உறவுபடுத்தப்பட்ட <math>\{1,2, ... p-1 (modp)\}</math> கணம் மாடுலோ பெருக்கலுக்கு ஒரு குலம் ஆகும். இங்கு ஒற்றொருமை <math>1(modp</math>). ஒரு குறிப்பிட்ட <math> m</math> இன் நேர்மாறு அவ்வப்போது கண்டுபிடிக்கவல்லது.
- <math>\{1, i, -i, -1\}:</math> நான்கு சிக்கலெண்களைக்கொண்ட இக்கணம் சிக்கலெண் பெருக்கலுக்கு ஒரு குலம். இங்கு ஒற்றொருமை 1. <math>i</math> யும் <math>-i</math> யும் நேர்மாறுகள். -1 க்கு நேர்மாறு அதுவே.
- மெய்யெண்களைக்கொண்ட M என்ற சதுர அணி <math>M^T = M^{-1}</math> என்ற பண்பைக் கொண்டிருக்குமானால் அது செங்குத்து அணி எனப்படும். <math>{n \times n}</math> செங்குத்து அணிகளெல்லாம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலத்திற்கு **n-கிரமச்செங்குத்துக்குலம்** என்று பெயர். இதற்குக் குறியீடு O(n).
- சிக்கலெண்களைக்கொண்ட U என்ற சதுர அணி <math>{U^*}^{T} = U^{-1}</math> என்ற பண்பைக்கொண்டிருக்குமானால் அது அலகுநிலை அணி எனப்படும். இங்கு <math>U^*</math> என்பது U வின் இணையியஅணி. <math>{U^*}^{T}</math> என்பது U வின் இடமாற்று இணையிய அணி. <math>{n \times n}</math> அலகுநிலை அணிகளெல்லாம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலத்திற்கு **n-கிரம அலகுநிலைக்குலம்** என்று பெயர். இதற்குக் குறீயீடு: U(n).