# நம்பக இடைவெளி

## எடுத்துக்காட்டுகள்

### நடைமுறை உதாரணம்

ஒரு இயந்திரம் வெண்ணெயை கோப்பைகளில் நிரப்புகிறது, கோப்பையின் கொள்ளளவு 250 மில்லிகிராம் வெண்ணெயாக இருக்க சரிசெய்யப்படக்கூடியதாக இருக்கிறது. இயந்திரமானது எல்லாக் கோப்பைகளையும் துல்லியமாக 250 கிராம்கள் நிரப்ப முடியாது என்றால் கோப்பையின் கொள்ளளவு சில மாறுபாட்டைக் காட்டும், அத்துடன் இது தற்போக்கு மாறுபாடு X என்று கருதப்படும். இந்த மாறுபாடு 2.5 கிராம் என்ற நியமச்சாய்வோடு ஏறத்தாழ 250 கிராம் சராசரி என்ற விரும்பிய இயல்பான பகி்ர்மானமாக இருப்பதாக யூகிக்கப்படுகிறது. இந்த இயந்திரம் போதுமான அளவிற்கு சரிசெய்துகொள்ளக்கூடியதா என்பதைத் தீர்மானிப்பதற்கு, *n* = 25 கோப்பைகள் விளிம்பின் மாதிரி தற்போக்காக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டு கோப்பைகள் எடையிடப்படும். வெண்ணெயின் எடைகள் *X* <sub>1</sub>, ..., *X* <sub>25</sub>, *X* ஐச் சேர்ந்த தற்போக்கு மாதிரி.  
எதிர்பார்ப்பு μ இன் தாக்கத்தைப் பெறுவதற்கு ஒரு மதிப்பீட்டைத் தருவதே போதுமானது. சரிவிகிதமான மதிப்பிடுவான் மாதிரி சராசரி:  
:<math>\hat \mu=\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i.</math>  
இந்த மாதிரி காட்டும் முற்றான எடைகள் *x* <sub>1</sub>,&nbsp;...,&nbsp;*x* <sub>25</sub>, சராசரி:  
:<math>\bar x=\frac {1}{25} \sum_{i=1}^{25} x_i = 250.2\,\text{grams}.</math>  
நாம் மற்றொரு 25 கோப்பைகள் மாதிரியை எடுத்துக்கொண்டால், 250.4 அல்லது 251.1 கிராம்கள் போன்ற மதிப்புக்களை கண்டுபிடிக்க நாம் சுலபமாக எதிர்பார்க்கலாம். இருப்பினும், கோப்பைகளின் சராசரி உள்ளடக்கம் கி்ட்டத்தட்ட 250 கிராம்களுக்கு இருந்தால் 280 கிராம்களின் ஒரு மாதிரி சராசரி மதிப்பு அதிபட்ச அளவிற்கு அரிதானது. முழு இன சராசரியும் உண்மையில் இதே அளவிலான மதிப்பை எடுத்துக்கொள்கிறது என்றால், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தரவு குறிப்பாக வழக்கத்திற்கு மாறானது என்று கருதப்படாததற்குள்ளாக மாதிரி சராசரியின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட 250.2 மதிப்பிற்கு கிட்டத்தட்ட முழு இடைவெளியும் இருக்கும். இதுபோன்ற இடைவெளி *μ* அளவுருக்கான நம்பக இடைவெளி என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதுபோன்ற இடைவெளியை நாம் எவ்வாறு கணக்கிடலாம்? இடைவெளியின் முடிவுப்புள்ளிகள் மாதிரியிலிருந்து கணக்கிடப்பட வேண்டும், இதனால் அவை புள்ளிவிவரங்கள், *X* <sub>1</sub>, ..., *X* <sub>25</sub> மாதிரியின் செயல்பாடுகள் என்பதோடு அவ்வகையில் அவற்றிற்குள்ளேயான தற்போக்கு மாறுபாடுகளாக இருக்கின்றன.  
நம்முடைய விவகாரத்தில், அதே எதிர்பார்ப்பு *μ* உடன் இயல்பாக பகிர்ந்தளிக்கப்பட்ட இயல்பான பகிர்வு மாதிரியிலிருந்து வரும் மாதிரி சராசரியை பரிசீலிப்பதன் மூலம் நாம் முடிவுப்புள்ளிகளை தீர்மானிக்கலாம், ஆனால் நிலைப்படுத்தப்பட்ட பிழை *σ* /√*n* = 0.5 (கிராம்கள்). நிலைப்படுத்துவதன் மூலம் நாம் பெறும் தற்போக்கு மாறுபாடு  
:<math>Z = \frac {\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} =\frac {\bar X-\mu}{0.5} </math>  
அளவுரு μ மதிப்பிடப்பட வேண்டிதன் அடிப்படையில் அமைந்திருக்கிறது, ஆனால் அளவுரு *μ* இன் நிலையான இயல்பு பகிர்மான சார்பற்ற நிலையுடன் இருக்கிறது. ஆகவே, *μ* இன் சார்புநிலையற்ற எண்கள் −*z* மற்றும் *z* ஐக் கண்டுபிடிப்பது சாத்தியம், இங்கே *Z* நம்பக இடைவெளியின் அளவீடு எப்படி இருக்க வேண்டும் என்று நாம் விரும்புகிறோமோ அதன்படி நிகழ்தகவு 1 − α உடன் இடைப்பட்ட நிலையில் இருக்கிறது. நாம் எடுத்துக்கொள்வது 1&nbsp;−&nbsp;α = 0.95. அதனால் நாம் பெறுவது:  
:<math>P(-z\le Z\le z) = 1-\alpha = 0.95. \, </math>  
எண் *z* குவிவு பகிர்மான செயல்பாட்டிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது:  
:<math> \begin{align} \Phi(z) &amp; = P(Z \le z) = 1 - \tfrac{\alpha}2 = 0.975,\\[6pt] z &amp; = \Phi^{-1}(\Phi(z)) = \Phi^{-1}(0.975) = 1.96, \end{align} </math>  
மேலும் நாம் பெறுவது:  
:<math> \begin{align} 0.95 &amp; = 1-\alpha=P(-z \le Z \le z)=P \(-1.96 \le \frac {\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le 1.96 \) \\[6pt] &amp; = P \( \bar X - 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar X + 1.96 \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\) \\[6pt] &amp; = P\(\bar X - 1.96 \times 0.5 \le \mu \le \bar X + 1.96 \times 0.5\) \\[6pt] &amp; = P \( \bar X - 0.98 \le \mu \le \bar X + 0.98 \). \end{align} </math>  
இது பின்வருமாறு விளக்கப்படலாம்: நிகழ்தகவு 0.95 உடன் தற்போக்கு மாறுபாடுகளுக்கு இடையில் உள்ள அளவுரு *μ* ஐ நாம் எதிர்கொள்வதிலான நம்பக இடைவெளியை நாம் கண்டுபிடிக்கலாம்  
:<math> \bar X - 0{.}98 \, </math>  
அத்துடன்  
:<math> \bar X + 0.98. \, </math>  
கணக்கிடப்பட்ட இடைவெளியில் அளவுரு μ ஐ எதிர்கொள்வதன் நிகழ்தகவு 0.95 இருக்கிறது என்பதை இது குறிக்காது. இந்த அளவீடுகள் திரும்ப நிகழ்த்தப்படுகின்ற ஒவ்வொரு முறையும், மாதிரியின் சராசரிக்கான மற்றொரு மதிப்பாக இருக்கும். 95 சதவிகித நிகழ்வுகளில் *μ* இந்த சராசரியிலிருந்து கணக்கிடப்படும் முடிவுப்புள்ளிகளுக்கிடையில் இருக்கிறது, ஆனால் 5 சதவிகித நிகழ்வுகளில் இவ்வாறு இல்லை. உண்மையான நம்பக இடைவெளி சூத்திரத்தில் உள்ள அளவிட்ட எடைமானங்களை உள்ளிடுவதன் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது. நம்முடைய 0.95 நம்பக இடைவெளி:  
:<math>(\bar x - 0.98;\bar x + 0.98) = (250.2 - 0.98; 250.2 + 0.98) = (249.22; 251.18).\,</math>  
*μ* இன் விரும்பத்தகுந்த மதிப்பு 250 முடிவாகப் பெற்ற நம்பக இடைவெளிக்குள்ளாக இருக்கிறது, இயந்திரம் தவறாக சரிசெய்துகொள்கிறது என்பதை நம்புவதற்கு எந்தக் காரணமும் இல்லை.  
கணக்கிடப்பட்ட இடைவெளியானது μ இடைநிலையில் (அல்லது இல்லாமல்) இருக்கக்கூடியவிடத்தில் நிலையான முடிவுப்புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கிறது. ஆகவே இந்த நிகழ்வு 0 அல்லது 1 என்ற நிகழ்தகவைக் கொண்டிருக்கிறது. "(1 − α) நிகழ்தகவால் அளவுரு *μ* நம்பக இடைவெளியில் இருந்துகொண்டிருக்கிறது" என்றும் நம்மால் கூற **முடியாது** . μ கணக்கிடப்பட்ட இடைவெளிக்குள்ளாக இருக்கும் என்ற நிகழ்வுகளின் 100(1 − α) % இல் திரும்ப நிகழ்த்தல்கள் மூலமே என்பதை மட்டுமே நாம் தெரிந்துகொள்கிறோம். இருப்பினும் 100α % நிகழ்வுகளில் இப்படி இருப்பதில்லை. அத்துடன் எதிர்பாராதவிதமாக இந்த நிகழ்வுகளில் உள்ள எதில் இது நடக்கிறது என்பதும் நமக்குத் தெரிவதில்லை. அதனால்தான் நாம் கூறுகிறோம்: "**நம்பக இடைவெளி** 100(1&nbsp;−&nbsp;α)&nbsp;% உடன், *μ* &nbsp;நம்பக இடைவெளியில் இருந்துகொண்டிருக்கிறது."  
வலதுபக்கம் இருக்கும் எண்கள் கொடுக்கப்பட்ட இன சராசரி μக்கான நம்பக இடைவெளியின் 50 மெய்ப்படுத்தல்களைக் காட்டுகிறது. நாம் தற்போக்காக ஒரு மெய்ப்படுத்தலை தேர்வுசெய்தால், நிகழ்தகவு 95% இல் நாம் முடிக்கிறோம் என்பது அளவுருவைக் கொண்டிருக்கும் இடைவெளியை தேர்வுசெய்கிறது; இருப்பினும் நாம் அதிர்ஷ்டமில்லாவதவர்களாகவும், தவறான வழியைத் தேர்வுசெய்பவர்களாகவும் இருக்கிறோம். நமக்குத் தெரியப்போவதில்லை; நாம் நம்முடைய இடைவெளியில் மாட்டிக்கொண்டிருக்கிறோம்.