# காம்ப்டன் சிதறல்

## தோற்றப்பாட்டின் விவரிப்பு

### சிதறல் சமன்பாட்டை வருவித்தல்

<math>\lambda</math> அலைநீளம் கொண்ட ஒரு ஒளித்துகள் <math>\gamma</math> ஒரு அணுவில் உள்ள ஒரு எதிர்மின்னி <math>e</math> உடன் மோதுகிறது. அந்த மோதல் அவ் எதிர்மின்னியை எகிறச் செய்கிறது, மேலும் ஒளித்துகளின் உள்வரு பாதைக்கு <math>\theta</math> கோணத்தில் <math>{\lambda}'</math> அலைநீளம் கொண்ட ஒரு புதிய ஒளித்துகள் வெளிவருகிறது. <math>e'</math> என்பது சிதறலிற்குப் பின்னரான எதிர்மின்னியைக் குறிக்கட்டும். இந்த இடைவினை சில நேரங்களில் எதிர்மின்னியை ஒளியின் திசைவேகத்திற்கு அருகிலான வேகத்திற்கு முடுக்கும் என்ற சாத்தியக்கூற்றை காம்டன் அனுமதித்தார் – இதனால் எதிர்மின்னியின் ஆற்றலையும் திணிவுவேகத்தையும் முறையாக விவரிக்க ஐன்ஸ்டைனின் சிறப்புச் சார்பியல் கோட்பாட்டினைப் பயன்படுத்தினார்.  
தனது 1923ம் ஆண்டின் தாளின் இறுதியில் காம்டன் தனது சிதறல் சமன்பாட்டின் கணிப்புகளை உறுதி செய்யும் சோதனைகளைக் குறிப்பிட்டதன் மூலம் ஒளித்துகள்கள் திசைசார் திணிவுவேகமும் சொட்டாக்கம் செய்யப்பட்ட ஆற்றலையும் உடையன என்ற தனது அனுமானத்திற்கு ஆதரவு தந்தார். தனது வருவித்தலின் தொடக்கத்தில், நன்கறியப்பட்ட <math>E=mc^2</math> என்ற ஐன்ஸ்டைன் சமன்பாட்டினை, அவர் தனியாய் முன்மொழிந்திருந்த, ஒளித்துகளின் சொட்டாக்கம் செய்யப்பட்ட ஆற்றலான, <math>h f</math> என்பதுடன் தொடர்புபடுத்தி காம்டன் ஒரு ஒளித்துகளின் திணிவுவேகத்திற்கான சமன்பாட்டினை முன்மொழிந்தார். <math>mc^2 = hf</math> என்பதாயின், ஒளித்துகளின் நிகரான திணிவு <math>hf/c^2</math> என்பதாய் இருக்க வேண்டும். எனில், ஒளித்துகளின் திணிவுவேகம் என்பது இத் திணிவு மற்றும் அதன் மாறிலியான திசைவேகம் <math>hf/c^2</math> ஆகியவற்றின் பெருக்கல் ஆகும். ஒளித்துகள்களுக்கு, <math>p=hf/c</math>, எனவே கீழ்வரும் வருவித்தலில் எங்கெல்லாம் <math>p c</math> வருகிறதோ அங்கெல்லாம் அதற்குப் பதிலாய் <math>h f</math> என்பதைக் கொள்ளலாம். காம்டனின் ஆய்வுத்தாளில் இடம்பெற்ற வருவித்தல் இன்னும் சுருக்கமானதாய் இருக்கும், ஆயினும் பின்வரும் வருவித்தலின் ஏரணத்தையே இதே முறையிலேயே கொண்டிருக்கும்.  
ஆற்றல் <math>E</math>-இன் அழிவின்மை விதி சிதறலிற்கு முன்னும் பின்னும் உள்ள ஆற்றல்களை சமன்படுத்துகிறது.
:<math>E_\gamma + E_e = E_{\gamma'} + E_{e'}.\!</math>
ஒளித்துகள்கள் திணிவுவேகம் கொண்டவை என்று காம்டன் மொழிந்தார், எனவே திணிவுவேக அழிவின்மைக்காக துகள்களின் திணிவுவேகமும் சமன்படுத்தப்பட வேண்டும்:
:<math>\mathbf{p}_\gamma = \mathbf{p}_{\gamma'} + \mathbf{p}_{e'},</math>
:
:இதில் (<math>{p_e}</math>) தள்ளப்பட்டது, அது எப்படியும் சுழியமாய்த்தான் இருக்கும் என்ற அனுமானத்தால்.  
ஒளித்துகள் ஆற்றல்கள் அவற்றின் அதிர்வெண்களோடு கீழ்வருமாறு தொடர்புடையன:
:<math>E_{\gamma} = hf\!</math>
:<math>E_{\gamma'} = hf'\!</math>
:இங்கு *h* என்பது பிளாங்கின் மாறிலி.
சிதறலிற்கு முன்னர், எதிர்மின்னி ஓய்விற்கு மிக அருகிலான ஒரு நிலையில் இருப்பதாய்க் கொள்ளப்படுகிறது, எனவே அதன் மொத்த ஆற்றல் அதன் ஓய்வுத்திணிவு <math> m_e </math>-ஐச் சார்ந்த திணிவு-ஆற்றல் சமானத்தையே கொண்டிருக்கும்:
:<math>E_e = m_ec^2\!</math>
சிதறலிற்குப் பின்னர், எதிர்மின்னி ஒளியின் திசைவேகத்தின் குறிப்பிடத்தகுந்த ஒரு பின்ன அளவிற்கு முடுக்கப்படலாம் என்பதன் சாத்தியக்கூறு அதன் மொத்த ஆற்றல் சிறப்புச் சார்பியல் ஆற்றல்-திணிவுவேகச் சமன்பாட்டின்படி கொள்ளப்பட வேண்டும் என்று கோருகிறது:
:
:<math>E_{e'} = \sqrt{(p_{e'}c)^2 + (m_ec^2)^2}.</math>  
:
இந்த சமன்பாடுகளைக் கொண்டு ஆற்றல் அழிவின்மைச் சமன்பாட்டினை விரிவாக்க;
:<math>hf + m_e c^2 = hf' + \sqrt{(p_{e'}c)^2 + (m_e c^2)^2}.\,</math>
இரண்டு புறமும் வர்க்கப்படுத்தி, சிதறலிற்குப்பின்னான எதிர்மின்னி கூறுகளை இடப்பக்கம் தனிமைப்படுத்த;
:<math>p_{e'}^{\, 2}c^2 = (hf + m_{e}c^2- hf')^2-m_{e}^2c^4. \qquad\qquad (1) \!</math>  
திணிவுவேக அழிவின்மை சமன்பாட்டிலிருந்து,
:<math>\mathbf{p}_{e'} = \mathbf{p}_\gamma - \mathbf{p}_{\gamma'}.</math>
பின்னர் பின்வரும் அளவெண் பெருக்கலைப் பயன்படுத்தி,
:<math>\begin{align}
p_{e'}^{\, 2} &= \mathbf{p}_{e'}\cdot\mathbf{p}_{e'} = (\mathbf{p}_\gamma - \mathbf{p}_{\gamma'}) \cdot (\mathbf{p}_\gamma - \mathbf{p}_{\gamma'}) \\
&= p_{\gamma}^{\, 2} + p_{\gamma'}^{\, 2} - 2 p_{\gamma}\, p_{\gamma'} \cos\theta. \end{align}</math>
<math>p_{\gamma}c</math> என்பதை <math>h f</math> என்பதால் பதிலிடலாம் என்பதை மனதில் கொண்டு, இருபுறமும் <math>c^2</math>ஆல் பெருக்க:
:<math>p_{e'}^{\, 2}c^2 = p_{\gamma}^{\, 2}c^2 + p_{\gamma'}^{\, 2}c^2 - 2c^2 p_{\gamma}\, p_{\gamma'} \cos\theta.</math>  
ஒளித்துகள் திணிவுவேகக் கூறினை <math>h f/c</math>ஐக் கொண்டு பதிலிட, பின்வருமாறு பெறுவோம்:
:
:<math>p_{e'}^{\, 2}c^2 = (h f)^2 + (h f')^2 - 2(hf)(h f')\cos{\theta}. \qquad\qquad (2) </math>  
இனி, 1 மற்றும் 2 ஆகியவற்றை சமன்படுத்த,
:<math> (hf + m_e c^2-hf')^2 -m_e^{\, 2}c^4 = \(h f\)^2 + \(h f'\)^2 - 2h^2 ff'\cos{\theta}. ,</math>
:<math> 2 h f m_e c^2 - 2 h f' m_e c^2 = 2 h^2 f f' \( 1 - \cos \theta \). \,</math>
பிறகு இருபுறமும் ஆல் வகுக்க  
:<math> \frac{c}{f'} - \frac{c}{f} = \frac{h}{m_ec}\(1-\cos \theta \). \,</math> என்று பெறுகிறோம்.
<math>f\lambda = f^\prime\lambda^\prime = c,</math> என்பதினால்,
:<math>\lambda'-\lambda = \frac{h}{m_ec}(1-\cos{\theta}). \, </math>