# கணக் கோட்பாடு

## அடிப்படைக் கருத்தினங்களும் குறிமானங்களும்

கணக் கோட்பாடு, பொருள் வுக்கும் கணம் வுக்கும் இடையில் அமையும் அடிப்படை இரும உறவில் தொடங்குகிறது . என்பது வின் உறுப்பு (அல்லது *கூறு*); அப்போது எனும் குறிமானம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. காற்குறியிட்டு பிரிக்கப்பட்ட, பட்டியலிடப்பட்ட உறுப்புகளை இரட்டை அடைப்புக்குறிக்குள் { } எழுதுவதே கணத்தின் குறியீடாகும். ஒவ்வொரு கணமும் பொருளாக அமைதலால், இந்த உறுப்பாண்மை உறவு கணங்களுக்கும் பொருந்தும். அதாவது ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளாக வேறு சில கணங்கள் இருக்க முடியும்.  
இருகணங்களுக்கு இடையில் கொணரப்பட்ட இரும உறவு "உட்கண உறவு" அல்லது உட்கணம் எனப்படுகிறது.  
கணத்தின் அனைத்து உறுப்புகளும் கணத்தின் உறுப்புகளாக அமைந்தால், அப்போது என்பது கணத்தின் **உட்கணம்** ஆகும். இது எனக் குறிக்கப்படுகிறது.  
எடுத்துகாட்டாக,  
என்பது கணத்தின் உட்கணம் ஆகும். அதே சமயம், கணமும் கணமும் கணத்தின் உட்கணங்களாக அமைவதில்லை. இதேபோல,  
இன் உறுப்புகளாக 1, 2, 3 ஆகியவை அமைகின்றன. ஆனால், அவை அக்கணத்தின் உட்கணங்கள் அல்ல. மேலும் உட்கணங்களும் அதேபோல கணத்தின் உறுப்புகளாக அமைதல் இல்லை.  
இந்த வரையறையில் இருந்து, ஒவ்வொரு கணம் அதன் உட்கணமும் ஆகிறது. இந்நிலை பொருந்திவராத வாய்ப்பில் அல்லது புறந்தள்ளப்படுமளவுக்கு பொருளற்றதாக அமையும் நிலையில், **சரிநிலை உட்கணம்** அல்லது **தகு உட்கணம்** எனும் சொல் வரையறுக்கப்படுகிறது:  
கணம், கணத்தின் சரிநிலை உட்கணம் என அழைக்கப்பட வேண்டுமானால், கணம் யின் உட்கணமாகவும், ஆனால், கணம், கணத்துக்குச் சமமாக இல்லாமலும் அமையவேண்டும்.  
எண்ணியலில் எண்களின் மீது இரும வினைகள் செயல்படுதலைப் போலவே கணக்கோட்பாட்டில் கணங்களின் மீது இரும வினைகள் செயல்படுகின்றன:  
- , ஆகிய இரண்டு கணங்களின் **சேர்ப்பு கணம்** என்பது எனும் குறிமானத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது. இது , அல்லது , அல்லது இவ்விரண்டின் உறுப்புகளாக உள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் கணமாகும்.  
எடுத்துகாட்டாக, , ஆகிய இரண்டு கணங்களின் சேர்ப்பு கணம் ஆகும்.  
- , ஆகிய இரண்டின் **வெட்டுகணம்** என்பது எனும் குறிமானத்தால் குறிப்பிடப்படுகிறது. இது , ஆகிய இரண்டிலும் பொதுவாக அமையும் உறுப்புகளின் கணம் ஆகும்.  
எடுத்துக்காட்டாக, {math|{1, 2, 3} }}, ஆகிய இரண்டு கணங்களின் வெட்டுகணம் என்பது ஆகும்.  
- , ஆகிய இரண்டின் **கண வேறுபாடு** என்பது எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. இது, எனும் கணத்தில் உறுப்புகளாக அமையாத, வின் அனைத்து உறுப்புகளின் கணமாகும்.  
என்பதன் கண வேறுபாடு ஆகும்; மாறாக, என்பதன் கண வேறுபாடு ஆகும்.  
இங்கு, என்பது என்பதன் உட்கணமானால், அப்போது என்பது வில் வின் **நிரப்பு கணம்** என அழைக்கப்படும். இந்நேர்வில், சூழல் சார்ந்து கணத்தின் தேர்வு தெளிவாக அமைந்தால், அதாவது குறிப்பாக ஆனது, வென் விளக்கப்படங்களில் அமைதலைப் போல, அனைத்துப்பொதுக் கணமாக அமையும்போது, எனும் குறிமானத்திற்குப் பதிலாக எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படும்.  
- , ஆகிய இரண்டின் **கணச் சீரொருமை வேறுபாடானது** அல்லது எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.  
இது இலும் இலும் ஏதாவதொன்றில் மட்டும் ஓர் உறுப்பாக (இரண்டிலும் அமையாமல் ஆனால், ஏதாவது ஒன்றில் மட்டுமே அமையும் உறுப்புகள்) அமையும் அனைத்து உறுப்புகளின் கணமாகும்.  
எடுத்துகாட்டாக, , ஆகிய கணங்களின் கணச் சீருமை வேறுபாடு என்பதாகும். இது சேர்ப்பு கணம், வெட்டு கணம் ஆகிய இரண்டின் கண வேறுபாடாகும்.  
- , ஆகிய இரண்டின் **கார்ட்டீசியப் பெருக்கல் கணம்** என்பது எனும் குறிமானத்தால் குறிக்கப்படுகிறது.  
இது எனும் கணத்தின் அனைத்து வாய்ப்புள்ள வரிசைப்படுத்தல் இணைகள் உறுப்புகளாக அமைந்த கணமாகும். இங்கு, என்பது வின் உறுப்பாகும்; என்பது யின் உறுப்பாகும்.  
எடுத்துக்காட்டாக,  
- கணத்தின்**அடுக்கு கணம்** என்பது கணத்தின் அனைத்து வாய்ப்புள்ள உட்கணங்கள் உறுப்புகளாக அமைந்த கணமாகும். எடுத்துகாட்டாக, கணத்தின் அடுக்கு கணம் என்பதாகும்.  
சில முதன்மையான அடிப்படை கணங்களாக, இயல் எண்களின் கணம், மெய் எண்களின் கணம், வெற்றுக் கணம் ஆகியவை அமைகின்றன. வெற்றுக் கணம் என்பது, உறுப்புகள் இல்லாத தனிதன்மை வாய்ந்த கணம் ஆகும்; சிலவேளைகளில் இது *இன்மைக் கணம்* எனப்படுவதுண்டு எனினும் இப்பெயர் சற்றே குழப்பமானதாகும்.