# சமபக்க முக்கோணி

## பிற பண்புகள்

ஆய்லரின் சமனின்மையின்படி, சுற்றுவட்ட ஆரத்திற்கும் உள்வட்ட ஆரத்திற்குமான விகிதம் *R*/*r* ஆனது எல்லா முக்கோணங்களையும்விட சமபக்க முக்கோணத்தில்தான் மிகச்சிறியதாக இருக்கும். சமபக்க முக்கோணத்தில் *R*/*r* = 2 ஆகும்.  
ஒரு வட்டத்தினுள் வரையப்படும் முக்கோணங்களில் அதிகபட்ச பரப்பளவுள்ள முக்கோணமானது ஒரு சமபக்க முக்கோணம். அதேபோல, ஒரு வட்டத்தைத் தொட்டவாறு வெளிப்புறமாக வரையப்படும் முக்கோணங்களில் குறைந்தபட்ச பரப்பளவுள்ள முக்கோணமானது ஒரு சமபக்க முக்கோணம்.  
வேறெந்த அசமபக்க முக்கோணங்களையும் விட, ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உள்வட்டத்தின் பரப்புக்கும் அம்முக்கோணத்தின் பரப்புக்கும் உள்ள விகிதம் <math>\frac{\pi}{3\sqrt{3}}</math> இன் மதிப்பு மிக அதிகபட்சமானதாக இருக்கும்.  
வேறெந்த முக்கோணங்களையும்விட ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தில் அதன் பரப்பிற்கும் சுற்றளவின் வர்க்கத்திற்குமுள்ள விகிதம் <math>\frac{1}{12\sqrt{3}},</math> மிகப் பெரியதாக இருக்கும்.  
சமச் சுற்றளவுகளும், *A*<sub>1</sub> , *A*<sub>2</sub> பரப்பளவுகளும் கொண்ட இரு பகுதிகளாக ஒரு சமபக்க முக்கோணம் பிரிக்கப்பட்டால் கீழுள்ள முடிவு உண்மையாகும்:  
:<math>\frac{7}{9} \leq \frac{A_1}{A_2} \leq \frac{9}{7}.</math>  
சிக்கலெண் தளத்தில் வரையப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் உச்சிகள் *z*<sub>1</sub>, *z*<sub>2</sub>, *z*<sub>3</sub>; மெய்யெண் அல்லாத ஒன்றின் முப்படி மூலம் <math>\omega</math>. கீழுள்ள முடிவு உண்மையாக ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’ அந்த முக்கோணம் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.  
:<math>z_1+\omega z_2+\omega^2 z_3 =0.</math>  
ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உட்புறமுள்ள ஒரு புள்ளி *P* எனில், இப்புள்ளிக்கும் சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிகளுக்கும் இடைப்பட்ட தூரங்களின் கூடுதலுக்கும், பக்கங்களிலிருந்து இப்புள்ளியின் தூரங்களின் கூடுதலுக்கும் உள்ள விகிதத்தின் அளவு 2 ஆகும். வேறெந்த முக்கோணத்திலும் விட சமபக்க முக்கோணத்தில் இந்த அளவு மிகக் குறைந்த அளவாகும்.  
*ABC* முக்கோணத்தின் தளத்திலமைந்த ஒரு புள்ளி *P*. முக்கோணத்தின் உச்சிகள் *A* *B* *C* லிருந்து இப்புள்ளிக்குள்ள தூரங்கள் முறையே *p*, *q*, *t* எனில்,  
:<math>\displaystyle 3(p^{4}+q^{4}+t^{4}+a^{4})=(p^{2}+q^{2}+t^{2}+a^{2})^{2}.</math>  
ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் உள்வட்டத்தின் மேலமையும் புள்ளி *P* ; இப்புள்ளிக்கும் சமபக்க முக்கோணத்தின் உச்சிக்கும் இடைப்பட்ட தொலைவுகள் *p*, *q*, *t* எனில்:  
:<math>\displaystyle 4(p^{2}+q^{2}+t^{2})=5a^{2}</math>
:<math>\displaystyle 16(p^{4}+q^{4}+t^{4})=11a^{4}.</math>  
சமபக்க முக்கோணம் *ABC* இன் சுற்றுவட்டத்தின் சிறுவில்லான *BC* இன் மேலமையும் புள்ளி *P* ; முக்கோணத்தின் உச்சிகள் *A* *B* *C* லிருந்து இப்புள்ளிக்குள்ள தூரங்கள் முறையே *p*, *q*, *t* எனில்:  
:<math>\displaystyle p=q+t</math>
:<math>\displaystyle q^{2}+qt+t^{2}=a^{2} ;</math>  
மேலும் சமபக்க முக்கோணத்தின் BC பக்கத்தின் மீதமையும் புள்ளி D ஆனது, PD = *y*, DA = *z* என்றவாறு PA ஐப் பிரிக்குமானால்:
:<math>z= \frac{t^{2}+tq+q^2}{t+q},</math>
:<math>\tfrac{t^{3}-q^{3}}{t^{2}-q^{2}}</math> (*t* ≠ *q* எனில்)
:<math>\frac{1}{q}+\frac{1}{t}=\frac{1}{y},</math>  
சமபக்க முக்கோணமாக ’இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே’, சமக்குறிக்கு உண்மையாகும் பல முக்கோணச் சமனிலிகள் உள்ளன.  
சமபக்க முக்கோணம், அதிகபட்ச சமச்சீர் கொண்ட முக்கோணமாகும். சமபக்க முக்கோணத்திற்கு அதன் மையத்தைப் பொறுத்து, மூன்று எதிரொளிப்பு அச்சுகளும், மூன்று சுழற்சி அச்சுகளும் உள்ளன. சமபக்க முக்கோணத்தின் சமச்சீர் குலமானது வரிசை ஆறு கொண்ட ஒரு இருமுகக் குலமாகும் (*D*<sub>3</sub>).  
முக்கோணங்களிலேயே, சமபக்க முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே அதன் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் ஒரு வட்டமாகும், அதாவது அதன் உள்வட்டமாகும்.  
பல வெவ்வேறு வடிவவியல் அமைவுகளில் சமபக்க முக்கோணங்கள் காணப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக ஒரு ஒழுங்கு நான்முகியானது நான்கு சமபக்க முக்கோணங்களால் உருவானதாகும்.