# புள்ளியியல்

## மீள்பார்வை

புள்ளியியல் முறைகளை அறிவியல், தொழில் அல்லது சமூகம் சார்ந்த பிரச்சினைகளுக்கு பயன்படுத்தும்போது, அதனை மக்கள்தொகை (கூட்டுத்தொகை) அல்லது வழிப்படுத்துதலை முதலில் வைத்துக்கொண்டு துவங்குவது பயில்வதற்கு முக்கியமாகும். மக்கள் தொகை அல்லது கூட்டுத்தொகை என்பது "ஒரு நாட்டில் வசிக்கும் அனைத்து மக்கள்" போன்றதோ அல்லது "ஒரு படிகத்தை சார்ந்த ஒவ்வொரு அணு" வாகவோ வேறுபட்டு இருக்கலாம். ஒரு கூட்டுத்தொகையானது ஒரு வழிபடுத்துதலுக்கான வெவ்வேறு நேரங்களில் எடுத்த பல அவதானிப்புகள் கொண்டவையாக இருக்கலாம், ஒவ்வொரு அவதானிப்பிலும் கிடைத்த தரவு மொத்த குழுமத்தில் ஒரு தனிப்பட்ட அங்கமாக இருக்கலாம். இவ்வகை "கூட்டுத்தொகை"யில் இருந்து சேகரித்த தரவு காலத்தொடர் வரிசை எனப்படும் முறையை சார்ந்ததாகும்.  
நடைமுறை காரணங்களுக்காக, மொத்த குழுவையும் சார்ந்த தரவுகளை பயன்படுத்துவதற்கெதிராக (இந்த நடவடிக்கையை மக்கள் தொகைக்கணக்கு என்பார்கள்) – கூட்டுத்தொகையில் இருந்து தெரிவுசெய்த ஒரு மாதிரி பயன்படுகிறது. பயன்படும் கூட்டுத்தொகையை பிரதிநிதியாகக்கொண்ட ஒரு மாதிரி வரையறுத்ததும், அவ்வகை மாதிரி அங்கங்களிடமிருந்து ஒரு நோக்குதற்குரிய அமைப்பிலோ அல்லது சோதனைக்குரிய அமைப்பிலோ இருந்து தரவுகள் சேகரிக்கலாம். இந்தத்தரவு பிறகு புள்ளியியல் ஆய்விற்கு உள்ளாக்கப்படும், அவை இரு தொடர்புள்ள காரணங்களுக்கு பயன்படும்; விரித்துரைப்பு (விவரணம்) மற்றும் உய்த்துணர்வு.  
- விரித்துரைப்பு <span>புள்ளியியல்</span> மாதிரிகளை ஆராய்ந்ததில் தெரியவந்ததை எண்ணளவில் அல்லது வரைபட அமைப்பு மூலமாக கூட்டுத்தொகை பற்றிய விவரங்கள் சுருக்கப்படுகின்றன. எண்ணளவிலுள்ள விவரிப்புகளில் நடுமட்டம் மற்றும் தரவிலக்கம், (திட்ட விலக்கம்) போன்றவை தொடர்ந்து வரக்கூடிய தரவு வகைகளுக்கும் (உயரம், எடை போன்றவை), அதே நேரத்தில் அலைவெண் மற்றும் விழுக்காடு கணக்கு போன்ற ஆணித்தரமான தரவுகளை (ஓட்டப்பந்தயம் போன்ற) விவரிக்க மிகவும் பயனுள்ளதாக காணப்படுகின்றன.
- உய்த்துணர்வு <span>புள்ளியியல்</span> உருப்படிமங்களை மாதிரி தரவுகளில் பயன்படுத்தி கூட்டுத்தொகையைப்பற்றிய உய்த்துணர்வுகளை அறிந்திட பயன்படுத்தப்படுகின்றன, அவை சீரற்ற இயல்பினை பிரதிநிதியாக கொண்டவையாகும். இவ்வகையான உய்த்துணர்வுகள் கிழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வடிவங்களை எடுக்கலாம்: தரவுகள் குறித்த ஆம்/இல்லை பதில்களை கொண்ட கேள்விகள் (எடுகோள் சோதனை) (hypothesis testing) தரவுகளின் எண்ணுக்குரிய சிறப்பியல்புகளை மதிப்பிடுதல் (எண் கணிப்பு) (*estimation*), தரவுகளில் காணப்படும் கூட்டாளிகளை விவரித்தல் (இயைபுப்படுத்தல்) (*correlation*), தரவுகளுக்கிடையே காணப்படும் மாதிரி உறவுகளை கண்டறிதல் (தொடர்புப்போக்கு) (*regression*), புறமதிப்பிடல் (*extrapolation*), இடைச்செருகல் (*interpolation*), அல்லது இதர மாதிரியமைத்தல் (modeling) இயல் நுட்பக்கூறுகள் (*techniques*) அநோவா (ANOVA), காலத்தொடர் வரிசை (time series), மற்றும் தரவுகளை சுரண்டி எடுத்தல் (*data mining*).  
இயைபுப்படுத்தல் எனும் கருத்துப்படிவம் குழப்பத்தை ஏற்படுத்தக் கூடிய தன்மை கொண்டது என்பது குறிப்பிடத்தக்கதாகும். தரவு தொகுப்பு (*data set*) ஒன்றினை புள்ளிவிவர ஆய்விற்கு உட்படுத்தும்போது, கூட்டுத்தொகையின் இரு வேறுபட்ட குணங்கள் (*properties*) இணைந்து வேறுபடுவதாக காணலாம், ஏதோ அவர்களுக்கிடையே இணக்கம் இருப்பதுபோல. எடுத்துக்காட்டாக, வருடாந்தர வருவாய் பற்றிய ஆய்வறிக்கை ஒன்றில் இறந்தவர்களின் வயதுடன் கணக்கிடும் போது, பணக்காரர்களுக்கிடையே இருப்பதை விட, ஏழை மக்கள் குறைந்த வயதிலேயே இறந்து விடுவதாக காணப்படுவது. இவ்விரு மாறிகள் இயைபுப்படுத்தல் கொண்டவையாக கருதப்படுகின்றன; இருந்தாலும் அவை ஒன்றோடு ஒன்று நிகழ்வதற்கான காரணிகளாகவோ, அல்லாமலோ இருக்கலாம். இத்தகைய இயைபுப்படுதலுக்கான காரணம் ஒரு மூன்றாவதான, முன்பு கருதப்படாத ஒரு தோற்றப்பாடாக இருக்கலாம், அது ஒரு பதுங்கியிருக்கும் மாறியாக (*lurking variable*) இருக்கலாம் அல்லது ஒரு திகைப்பூட்டும் மாறியாக (*confounding variable*) இருக்கலாம். இக்காரணத்தினால், இவ்விரு மாறிகளுக்கிடையே ஒரு இயைபுப்படுத்தல் இருப்பதாக உடனுக்குடன் ஒரு காரணத்தொடர்பு உடையவையாக இருக்கும் என்று கூற இயலாது (பாருங்கள் இயைபுப்படுத்தல் என்பது தூண்டு காரணமாக இருக்கலாம் என்று எண்ண இயலாது).  
ஒரு மாதிரி, முழு அளவின் ஒரு காட்டாக ஆவதற்கு, அது அதன் கூட்டுமொத்த அளவின் உண்மையான பிரதிநிதியாக இருத்தல் வேண்டும். ஒரு உண்மை பிரதிநிதியாக இருப்பது உறுதியானால், உய்த்துணர்வுகள் மற்றும் முடிவுகளை மாதிரிகளில் இருந்து முழு கூட்டுத்தொகைக்கு மொத்தமாக விரிவாக்கலாம். ஒரு தெரிவு செய்த மாதிரியானது எந்த அளவிற்கு உண்மையான பிரதிநிதியாக இருக்கும் என்பதை முடிவு செய்வது ஒரு பெரிய பிரச்சினையாகும். புள்ளியியல் மூலமாக ஒரு மாதிரிக்குள் ஏதேனும் இயைபிலா போக்கினை திருத்தவோ, மதிப்பீடு செய்வதற்கோ இயலும் மற்றும் தரவுகளை சேகரிக்கும் முறையையும் சரிசெய்யும். ஒரு பயில்வின் தொடக்கத்திலேயே இது போன்ற விவகாரங்களை குறைத்திடும் வகையான சோதனைகளை வடிவமைக்கவும் இயலும், அதன் மூலமாக அதன் கூட்டுத்தொகையின் உண்மை நிலவரத்தை அறிந்து கொள்ளும் திறமையை மேலும் வலுவடைகின்றது. புள்ளியியல் வல்லுனர்கள் வலுவான முறைகளை "கம்பீரமானவை" என கருதுகின்றனர் (செய்முறைத் திட்டத்தைபார்க்கவும்).  
சீரற்ற இயல்புகளை புரிந்துகொள்வதற்கான கணித கருத்துப்படிவம் ஊக அளவை ஆகும். கணித புள்ளியியல் புள்ளியியல் கோட்பாடு எனவும் அறியப்படுவது, இது பயன்பாட்டுக் கணிதத்தின் கிளையாகும், இது ஊக அளவை கோட்பாடு மற்றும் பகுப்பாய்வு போன்றவைகளுடன் புள்ளியியலின் அறிமுறை அடிப்படையை சோதிக்க பயன்படுகிறது. எந்த முறையான புள்ளிவிபரமுறை பயன்பாட்டிற்கும் அதன் மக்கள்தொகை அல்லது கூட்டுத்தொகையானது அந்த முறையின் கணிதமுறையிலான அனுமானங்களுடன் ஒத்துப்போக வேண்டும், அப்போது தான் அவை ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கதாக இருக்கும்.  
புள்ளியியல் முறைகளை தவறுதலாக பயன்படுத்தினால், அப்போது நேர்த்தியான மற்றும் கடுமையான பிழைகள் மற்றும் அதன் பொருள் விளக்கம் பிழைவடையும்- நேர்த்தியானது என்பது ஏன் என்றால் அனுபவம் வாய்ந்த வல்லுனர்கள் கூட இது போன்ற தவறுகளை செய்வார்கள், மற்றும் கடுமையான என்பது அதன் காரணமாக சூறையாடும் வகையான தவறுதலான முடிவுகள் எடுப்பதற்கு காரணமாகலாம் என்பதே ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக, சமூகக் கொள்கை, மருத்துவ பயிற்சி மற்றும் பாலங்கள் போன்ற அமைப்புகளின் நம்பகம் யாவும் புள்ளியியலின் சரியான பயன்பாட்டை பொறுத்து இருப்பதேயாகும்.
<span>புள்ளியியல்</span> சரியாக பயன்பட்டு இருந்தாலும், சரியான தேர்ச்சி இல்லாதவர்களால் முடிவுகளை சரியான விதத்தில் பொருள் விளக்கம் செய்து கொள்ள இயலாது. தரவுகளில் காணப்படும் புள்ளிவிவர முறைப்பொருளுடைய தனிச்சிறப்புடன் கூடிய போக்கு - மாதிரியில் எந்த அளவுக்கு இயைபிலா மாறுபாடுகள் காரணமாக போக்குகள் பாதிக்கப்படுவது- அதனுடைய ஒரு உள்ளுணர்வு அளிக்கும் தனிமுறைச்சிறப்புடன் ஒத்துபோகலாம் அல்லது போகாமலும் இருக்கலாம். பொது மக்கள் தமது அன்றாட வாழ்க்கையில் தெரிந்து வைத்துக்கொள்ள வேண்டிய அடிப்படையான புள்ளியியல் திறமைகள் (மற்றும் சந்தேகம்) போன்றவைகளை புள்ளியியல் எழுத்தறிவு என்று அறியப்படுகிறது.