# தன்மைகாட்டி

## பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டியின் வாய்ப்பாட்டினைக் கெழுக்கள் வாயிலாகக் காண்பதற்கு, தொகுபயனைப் பற்றி அறிந்து கொள்ள வேண்டும். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி, அதன் வெவ்வேறான மூலங்களின் வித்தியாசத்தின் வர்க்கங்களின் பெருக்குத்தொகை என்பதுபோல, இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் தொகுபயன் என்பது அவற்றின் மூலங்களின் வித்தியாசங்களின் பெருக்குதொகையாகும். ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்கள், மடங்கு மூலங்களாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அதன் தன்மைகாட்டி பூச்சியமாகும் என்பதுபோல இரு பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கிடையே ஒரு பொது மூலம் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, தொகுபயன் பூச்சியமாகும்.  
<math>p(x)</math> என்ற பல்லுறுப்புக்கோவைக்கும் அதன் வகைக்கெழு <math>p'(x),</math> கோவைக்கும் ஒரு பொது மூலம் இருந்தால் இருந்தால் மட்டுமே, <math>p(x)</math> -க்கு ஒரு மடங்கு மூலம் உண்டு. இதனால் <math>p(x)</math> -க்கு ஒரு மடங்கு மூலம் இருந்தால் இருந்தால் மட்டுமே, தன்மைகாட்டி <math>D(p)</math> மற்றும் தொகுபயன் <math>R(p,p')</math> இரண்டும் பூச்சியமாகும். மேலும் அநேகமாக இவை இரண்டும் கிட்டத்தட்ட ஒரே படி உடையவையாக இருக்கும்.(தொகுபயனின் படி தன்மைகாட்டியின் படியை விட 1 அதிகமாக இருக்கும்.)  
தொகுபயனால் நமக்குக் கிடைக்கும் நன்மை என்னவென்றால் அதை ஒரு அணிக்கோவையாக கணக்கிட முடிவதாகும்.அந்த அணிக்கோவை (2*n*&nbsp;&minus;&nbsp;1)&times;(2*n*&nbsp;&minus;&nbsp;1) சில்வெஸ்டர் அணியின்(Sylvester matrix) அணிக்கோவையாகும்.  
<math>p(x)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\ldots+a_1 x+a_0</math> என்ற பொது பல்லுறுப்புக்கோவையின் தொகுபயன் <math>R(p,p'),</math> ஒரு காரணிவரை, பின்வரும் அணிக்கோவைக்கு சமமாகும். இந்த அணிக்கோவை,
(2*n*&nbsp;&minus;&nbsp;1)&times;(2*n*&nbsp;&minus;&nbsp;1) சில்வெஸ்டர் அணியின் அணிக்கோவையாகும்.  
:<math>\[\begin{matrix}
& a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & \ldots & 0 \\
& 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 & 0 \ldots & 0 \\
& \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
& 0 & \ldots\ & 0 & a_n & a_{n-1} & a_{n-2} & \ldots & a_1 & a_0 \\
& na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots &\ldots & 0 \\
& 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2} & \ldots\ & 1a_1 & 0 & \ldots & 0 \\
& \vdots\ &&&&&&&&\vdots\\
& 0 & 0 & \ldots & 0 & na_n & (n-1)a_{n-1} & (n-2)a_{n-2}& \ldots\ & 1a_1 \\
\end{matrix}\].</math>  
தன்மைகாட்டி, <math>D(p)</math> -ன் வாய்ப்பாடு:  
:<math>D(p)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}\frac{1}{a_n}R(p,p').\,</math>  
எடுத்துக்காட்டு:  
: *n* = 4 எனில்,  
:<math>\begin{vmatrix}
& a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 & 0 \\
& 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\
& 0 & 0 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\
& 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 & 0 \\
& 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 & 0 & 0 \\
& 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1& 0 \\
& 0 & 0 & 0 & 4a_4 & 3a_3 & 2a_2 & 1a_1 \\
\end{vmatrix}.</math>  
இந்த அணிக்கோவையை <math>a_4</math> -ஆல் வகுக்க நாற்படி பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி கிடைக்கும்.  
*r*<sub>1</sub>, ..., *r*<sub>*n*</sub> என்பன பல்லுறுப்புக்கோவையின் சிக்கலெண் மூலங்கள் எனில்,  
<math>\begin{matrix}p(x)&=&a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0\\
&=&a_n(x-r_1)(x-r_2)\ldots (x-r_n).\end{matrix}</math>  
மூலங்கள் வாயிலாக தன்மைகாட்டி :  
:<math>a_n^{2n-2}\prod_{i<j}{(r_i-r_j)^2}</math>  
தன்னிச்சையான எந்தவொரு களத்திலும் அமைந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு, தன்மைகாட்டியை இதுபோலவே வரையறுக்கலாம். மூலங்கள், *r*<sub>*i*</sub> -ன் பெருக்குத்தொகை வாய்ப்பாடு இங்கும் பொருந்தும்; மூலங்களைப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் பிளக்கும் தளத்தில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்.