# இருபடிச் சமன்பாடு

## இருபடி வாய்ப்பாடு காணும் முறை

### லெக்ரெஞ்சி கூறாக்கிகள் முறை

இருபடி வாய்ப்பாட்டைக் காணும் மற்றொரு முறை லாக்ராஞ்சி கூறாக்கிகள் முறையாகும்.(Lagrange resolvents]) இது கால்வா கோட்பாட்டின் ஆரம்பப் பகுதியாகும்.
இம்முறையானது, முப்படி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் நான்குபடி பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் தீர்வு காணும் முறையைப் பொதுமைப்படுத்துகிறது. எனவே, ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் அடுக்கு எத்தனையாக இருந்தாலும் அக்கோவையின் மூலங்களின் சமச்சீர் குலத்தின் வாயிலாக அம்மூலங்களைப் பற்றித் தெரிந்துகொள்ள வழிவகுக்கும் கால்வாகோட்பாட்டிற்கு இது ஆரம்பமாக அமைகிறது. மூலங்களின் சமச்சீர் குலம் கால்வா குலம் எனப்படும்.  
இந்த அணுகுமுறை மூலச்சமன்பாட்டின் வடிவத்தை மாற்றி அமைப்பதை விட மூலங்களின் மேல் அதிக கவனம் கொண்டுள்ளது.
:<math>x^2+px+q\!</math> என்ற தலையொற்றை இருபடிப் பல்லுறுப்புக்கோவையை எடுத்துக் கொள்க.  
அதன் காரணிகள்,  
:<math>x^2+px+q=(x-\alpha)(x-\beta).\!</math> எனக் கொள்க.  
வலதுபுறத்தை விரித்தெழுத,  
:<math>x^2+px+q=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta,\!</math>  
இங்கு  
:<math>p=-(\alpha+\beta)\!</math>  
மற்றும்  
:<math>q=\alpha \beta.\!</math>  
பெருக்கலில் உறுப்புகளின் வரிசை அவசியமில்லாததால் *α* மற்றும் *β* இரண்டையும் அவற்றுக்குள்ளாக மாற்றுவதால் *p* மற்றும் *q* -ன் மதிப்புகள் மாறாது. *p* மற்றும் *q* இரண்டும் *α* , *β* -ல் அமைந்த சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் எனப்படும். அவை அடிப்படை சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஆகும். *α*, *β* -ல் அமைந்த எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் α + β மற்றும் *αβ* வாயிலாக எழுதலாம்.  
பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பகுப்பாய்தலுக்கும் தீர்ப்பதற்குமான கால்வா கோட்பாட்டின் அணுகுமுறை:  
மூலங்களின் சமச்சீர் சார்புகளில் சமச்சீர்தன்மையை உடைத்து மூலங்களை மீளப்பெறமுடியக் கூடியவை எவை?  
எனவே *n* படிகொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தீர்ப்பது என்பது, *n* எழுத்துக்களின் சமச்சீர் குலமான <math>S_n.</math> -லுள்ள *n* உறுப்புகளை வரிசைமாற்றப்படுத்தும் வழிகளுடன் தொடர்புடையதாகும். இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையில் இரு உறுப்புகளை வரிசைமாற்றுவது என்பது அவற்றை ஒன்றுக்கொன்று மாற்றிக் கொள்வதாகும். எனவே இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தீர்ப்பது எளிதானது.  
மூலங்கள் *α* , *β* காண:
:<math>\begin{align}
r_1 &= \alpha + \beta\\
r_2 &= \alpha - \beta.\\
\end{align}</math>
இவை பல்லுறுப்புக்கோவையின் லெக்ரெஞ்சி கூறாக்கிகள் எனப்படும். மூலங்களின் வரிசை இதில் மிகவும் முக்கியம். இச்சமன்பாடுகளைத் தீர்த்து மூலங்களைப் பெறலாம்:
:<math>\begin{align}
\alpha &= \textstyle{\frac{1}{2}}\(r_1+r_2\)\\
\beta &= \textstyle{\frac{1}{2}}\(r_1-r_2\).\\
\end{align}</math>  
முன்பு இக்கூறாக்கிகள் இரண்டாம் வரிசை கொண்ட தனித்த வூரியே மாற்று என அழைக்கப்பட்டன.(discrete Fourier transform (DFT) of order 2)  
இம்மாற்றின் அணி வடிவம்:  
<math>\(\begin{smallmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\),</math>  
இந்த அணியின் நேர்மாறு:
<math>\(\begin{smallmatrix}1/2 & 1/2\\ 1/2 & -1/2\end{smallmatrix}\).</math>  
<math>r_1=\alpha + \beta</math> *α* , *β* -ல் அமைந்த சமச்சீர் சார்பாகும். எனவே அதை *p* , *q* வாயிலாக எழுத முடியும்.
:<math>r_1 = -p,</math>  
<math>r_2=\alpha - \beta</math> இதில் *α* , *β* இரண்டையும் ஒன்றுக்கொன்று மாற்றக் கிடைப்பது:
:<math>-r_2=\beta - \alpha</math>
**ஃ** <math>r_2</math> சமச்சீர் சார்பு கிடையாது.
எனவே மூலங்களின் சமச்சீர் சார்பாக அமையும் *p* , *q* வாயிலாக இதை எழுத முடியாது. எனினும் வரிசையை மாற்றுவதால் <math>r_2</math> ல் ஏற்படும் மாற்றம் காரணி <math>-1,</math> என்பதால்,
:<math>\scriptstyle r_2^2 = (\alpha - \beta)^2</math> என்பது மூலங்களின் சமச்சீர் சார்பாகும். இதை *p* , *q * வாயிலாக எழுதலாம்.
:<math>(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta\!</math>
:<math>r_2^2 = p^2 - 4q\!</math>
வர்க்கமூலம் காண,
:<math>r_2 = \pm \sqrt{p^2 - 4q}\!</math>.
நேர்ம வர்க்க மூலத்தைமட்டும் எடுத்துக்கொண்டால்,
:<math>\begin{align}
r_1 &= -p\\
r_2 &= \sqrt{p^2 - 4q}\\
\end{align}</math>  
:<math>\begin{align}
\alpha &= \textstyle{\frac{1}{2}}\(-p+\sqrt{p^2 - 4q}\)\\
\beta &= \textstyle{\frac{1}{2}}\(-p-\sqrt{p^2 - 4q}\)\\
\end{align}</math>
எனவே மூலங்கள்:
:<math>\textstyle{\frac{1}{2}}\(-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}\)</math>
இதுவே இருபடி வாய்ப்பாடு.
:<math>\scriptstyle p=\tfrac{b}{a}, q=\tfrac{c}{a}\!</math> என பதிலிட தலையொற்றை அல்லாத வழக்கமான வடிவம் கிடைக்கும்.  
கூறாக்கிகளைப் பின்வருமாறு கருதலாம்.
:<math>\scriptstyle \frac{r_1}{2} = \frac{-p}{2}=\frac{-b}{2a}\!</math>: உச்சிப்புள்ளி.
:<math>\scriptstyle r_2^2=p^2-4q\!</math>: தலையொற்றைப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் தன்மைகாட்டி  
இதே போன்று, ஆனால் மிகவும் சிக்கலான முறை மூலம் ஒரு முப்படிச் சமன்பாட்டையும் தீர்க்க முடியும். இதற்கு மூன்று கூறாக்கிகள் மற்றும் ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு தேவை(தீர்மானிக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை). அவ்விருபடிச் சமன்பாடு <math>r_2</math> மற்றும் <math>r_3</math> உடன் தொடர்புடையவை. இவ்விருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் முப்படிச் சமன்பாட்டை தீர்க்கலாம். இதே போன்று நாற்படிச் சமன்பாட்டின்(4 அடுக்குச் சமன்பாடு) தீர்மானிக்கும் பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு முப்படிச் சமன்பாடு ஆகும். மேற்கூறிய முறைப்படி முப்படிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதன் மூலம் நாற்படிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முடியும். எனினும், ஒரு ஐந்துபடிச் சமன்பாட்டை இதே முறையில் தீர்க்க இயலாது. ஏனெனில் அவ்வாறு தீர்ப்பதன் மூலம் அது எளிதில் தீர்க்க முடியாத ஒரு 24 அடுக்குப் பல்லுறுப்புக்கோவையைத் தரும். பொதுவாக ஐந்துபடிச் சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளை மூலங்களை மட்டுமே பயன்படுத்தி வெளிப்படுத்த முடியாது.