# டி மாவர்-லாப்லாசு தேற்றம்

## நிரூபணம்

ஸ்டெர்லிங் சூத்திரப்படி ஒரு மிகப் பெரிய எண்ணின் தொடர் பெருக்கலைக் கீழ்க்கண்டவாறு தோரயப்படுத்தலாம்.
: <math>n! \simeq \sqrt{2 \pi n} \(\frac{n}{e}\)^n \text{ , as n} \rightarrow \infty</math>
அல்லது:
: <math>n! \simeq n^n e^{-n}\sqrt{2 \pi n} \text{ , as n} \rightarrow \infty.</math>  
எனவே
: <math>
\begin{align}
{n \choose k}\, p^k q^{n-k} & = \frac{n!}{k!\(n-k\)!} p^k q^{n-k} \\
& \simeq \frac{n^ne^{-n}\sqrt{2\pi n} }{k^ke^{-k}\sqrt{2\pi k} {(n-k)}^{n-k}e^{-(n-k)}\sqrt{2\pi (n-k)} }p^k q^{n-k}\\
& =\[\frac{\sqrt{2\pi n} }{\sqrt{2\pi k} \sqrt{2\pi (n-k)} }\]\[\frac{n^n }{k^k {(n-k)}^{n-k} }\]\[\frac{e^{-n}}{e^{-k}e^{-(n-k)} }\]p^k q^{n-k}\\
& =\[\frac{\sqrt{n} }{\sqrt{k} \sqrt{2\pi (n-k)} }\]\[\frac{n^n }{k^k {(n-k)}^{n-k} }\]\[\frac{e^{-n}}{e^{-k} e^{-n}{ e}^k }\]p^ kq^{n-k}\\
& =\[\sqrt{\frac{n}{2\pi k(n-k)}}\]\[n^n{\(\frac{p }{k }\)}^k{\(\frac{q }{n-k }\)}^{(n- k)}\] e^{-n+k+n-k}\\
& =\[\sqrt{\frac{n}{2\pi k(n-k)}}\]\[n^{n-k+k}{\(\frac{p }{k }\)}^k{\(\frac{q }{n-k }\)}^{(n- k)}\]\\
& =\[\sqrt{\frac{n}{2\pi k(n-k)}}\] \[ n^{n-k} n^k {\(\frac{p}{k}\)}^k {\(\frac{q}{n-k}\)}^{(n-k)}\]\\
& =\[\sqrt{\frac{n}{2\pi k(n-k)}}\]\[{\(\frac{np }{k }\)}^k{\(\frac{nq }{n-k }\)}^{(n- k)} \]\\
& =\[\sqrt{\frac{n}{2\pi k(n-k)}}\]\[{\(\frac{k }{np }\)}^{-k}{\(\frac{n-k}{nq }\)}^{-(n- k)}\]\\
\end{align}
</math>  
,இப்பொழுது
: <math>x=\frac{(k-np)}{\sqrt{npq}}</math> என்க.
: <math>\Rightarrow \ k=np+x\sqrt{npq }</math> &nbsp;
ஃ &nbsp; <math>n-k=nq- x\sqrt{npq }</math>
: <math>\Rightarrow \ \frac{k}{np}=1+x\sqrt{\frac{q}{np}}</math>&nbsp; மற்றும் &nbsp; <math>\frac{n-k}{nq}=1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}</math>
: <math>\Rightarrow\ {n \choose k}p^kq^{n-k}\simeq \[\sqrt{\frac{n}{2{\mathbf \pi }k(n-k)}}\]\[{\(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\)}^{-k}{\(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\)}^{-(n - k)}\]</math>  
- முதல் வர்க்கமூல உறுப்பு:
: <math>
\begin{align}
\sqrt{\frac{n}{2\pi k\(n-k\)}} & =\sqrt{\frac{n}{2\pi k\(n-k\)}\times \frac} \\
& =\sqrt{\frac} \\
& =\sqrt{\frac{2\pi \frac{k}{n}\frac{(n-k)}{n}}}\\
& =\sqrt{\frac{2\pi \frac{k}{n}\(1-\frac{k}{n}\)}} \\
& =\sqrt{\frac{2\pi p\(1-p\)}} \qquad \qquad \qquad \[\because k\to np\Rightarrow \frac{k}{n}\to p\] \\
& =\sqrt{\frac{2\pi pq}} \qquad \qquad \qquad \[\because p+q=1\Rightarrow q=1-p\]\\
& =\sqrt{\frac{1}{2\pi npq}}\\
& =\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\\
\end{align}
</math>
: <math>\Rightarrow{n \choose k}p^kq^{n-k}\simeq \frac{1}{\sqrt{2{\mathbf \pi }npq}}\[{\(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\)}^{-k}{\(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\)}^{-(n - k)}\]</math>  
- <math>e^{\ln(y)}=y</math> என்ற முடிவைப் பயன்படுத்த:  
: <math>\[{\(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\)}^{-k}{\(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\)}^{-\(n - k\)}\]=e^{\ln \[{\(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\)}^{-k}{\(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\)}^{-\(n - k\)}\]}</math> : <math>\Rightarrow {n \choose k}p^kq^{n-k}\simeq \frac{1}{\sqrt{2{\mathbf \pi }npq}}e^{\ln \[{\(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\)}^{-k}{\(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\)}^{-\(n - k\)}\]}</math>  
- : <math>
\begin{align}
\ln\[{\(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\)}^{-k}{\(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\)}^{-\(n-k\)}\] & =\ln{\(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\)}^{-k}+\ln{\(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\)}^{-\(n-k\)}\\
& =-k\ln\(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\)-\(n-k\)\ln\(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\)\\
\end{align}
</math>  
பின்வரும் மடக்கை விரிவுகளைப் பயன்படுத்த:-
: <math>\ln\(1+y\)=y-\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}-\frac{y^4}{4}+\cdots </math>
: <math>\ln\(1-y\)=-y-\frac{y^2}{2}-\frac{y^3}{3}-\frac{y^4}{4}-\cdots </math>
- : <math>\Rightarrow \ln\(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\)=x\sqrt{\frac{q}{np}}-\frac{x^2q}{2np}+\cdots </math>
- :<math>\ln\(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\)=-x\sqrt{\frac{p}{nq}}-\frac{x^2p}{2nq}-\cdots </math>
: <math>
\begin{align}
\Rightarrow{\ln \[{\(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\)}^{-k}{\(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\)}^{-\(n-k\)}\]}& =-k\(x\sqrt{\frac{q}{np}}-\frac{x^2q}{2np}+\cdots \)-\(n-k\)\(-x\sqrt{\frac{p}{nq}}-\frac{x^2p}{2nq}-\cdots \)\\
& =-\(np+x\sqrt{npq}\)\(x\sqrt{\frac{q}{np}}-\frac{x^2q}{2np}+\cdots \)\\
& -\(nq-x\sqrt{npq}\)\(-x\sqrt{\frac{p}{nq}}-\frac{x^2p}{2nq}-\cdots \)\\
\end{align}
</math>  
( <math>k=np+x\sqrt{npq}</math>,
: <math>n-k=nq-x\sqrt{npq}</math> எனப் பிரதியிடப்பட்டுள்ளது )  
: <math>
\begin{align}
\Rightarrow {\ln \[{\(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\)}^{-k}{\(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\)}^{-\(n-k\)}\]}& =-\(np\times x\sqrt{\frac{q}{np}}-np\times \frac{x^2q}{2np}+x\sqrt{npq}\times x\sqrt{\frac{q}{np}}-x\times \frac{x^2q}{2np}+\cdots \)\\
& -\(-nq\times x\sqrt{\frac{p}{nq}}-nq\times \frac{x^2p}{2nq}+x\sqrt{npq}\times x\sqrt{\frac{p}{nq}}+x\sqrt{npq}\times \frac{x^2p}{2nq}+\cdots \)\\
& =-\(x\sqrt{npq}-\frac{x^2q}{2}+x^2q+\cdots \)-\(-x\sqrt{npq}-\frac{x^2p}{2}+x^2p+\cdots \)\\
& =-\(x\sqrt{npq}+\frac{x^2q}{2}+\cdots \)-\(-x\sqrt{npq}+\frac{x^2p}{2}+\cdots \)\\
& =-x\sqrt{npq}-\frac{x^2q}{2}+x\sqrt{npq}-\frac{x^2p}{2}-\cdots \\
& =-\frac{x^2q}{2}-\frac{x^2p}{2}-\cdots \\
& =-\frac{x^2}{2}\(q+p\)-\cdots \\
& =-\frac{x^2}{2}-\cdots \\
\end{align}
</math>
: <math>\Rightarrow {\ln \[{\(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\)}^{-k}{\(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\)}^{-\(n-k\)}\]} \simeq -\frac{x^2}{2}</math>
: <math>\Rightarrow {n \choose k}p^kq^{n-k}\simeq \frac{1}{\sqrt{2{\mathbf \pi }npq}}e^{\ln\[{\(1+x\sqrt{\frac{q}{np}}\)}^{-k}{\(1-x\sqrt{\frac{p}{nq}}\)}^{-\(n-k\)}\]}\simeq \frac{1}{\sqrt{2{\mathbf \pi }npq}}e^</math>  
(n இன் மதிப்பு அதிகமாகும்போது x இன் மதிப்பு பூச்சியத்தை நெருங்கும் என்பதால் மூன்றுக்கும் அதிகமான x இன் அடுக்குகளை விட்டுவிடலாம்.)  
- : <math>x = \frac{ (k-np) }{ \sqrt{npq} }</math>
- : <math>\Rightarrow \frac{x^2}{2}=\frac\)}^2}{2}=\frace^</math> (தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.)