# பகுமுறை வடிவவியல்

## வரலாறு

பண்டைய கிரேக்க கணிதவியலாளர் *மேனெக்ம்ஸ்* (Menaechmus) கணக்குகளையும் தேற்றங்களையும் தீர்ப்பதற்குப் பயன்படுத்திய முறை ஆள்கூறுகளைப் பயன்படுத்தும் முறையைப் போன்று அமைந்துள்ளது. ஆள்கூறுகள் பயன்பாட்டுக்கும் இம்முறைக்கும் இடையேயுள்ள நெருங்கிய ஒற்றுமை இவர்தான் பகுமுறை வடிவவியலிலை அறிமுகப்படுத்தியவராக இருக்க வேண்டும் என்ற எண்ணைத்தினைத் தோற்றுவிப்பதாகவும் உள்ளது.  
*பெர்காவின் அப்பலோனியஸ்* கையாண்ட கணக்குகள், ஒரு பரிமாண பகுமுறை வடிவவியலை ஒத்துள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, அவர் கையாண்ட ஒரு கோட்டின் மீது மற்ற புள்ளிகளோடு குறிப்பிட்ட விகிதத்தில் அமையும் புள்ளிகளைக் காணும் கணக்கினைக் கொள்ளலாம். அப்பலோனியஸ் தனது படைப்பான *Conics* இல் பகுமுறை வடிவவியலைப் போலுள்ள ஒரு முறையைப் பயன்படுத்தியுள்ளார். இது டெக்கார்ட் அறிமுகப்படுத்திய பகுமுறை வடிவவியலுக்கு, 1800 ஆண்டுகளுக்கு முந்தைய முன்னோடியாக அமைந்துள்ளது. அப்போலோனியஸ் ஆதாரக் கோடுகளாக எடுத்துக்கொண்ட ஒரு விட்டம் மற்றும் தொடுகோடு இரண்டும் நாம் தற்போது பயன்படுத்தும் ஆள்கூற்று அச்சுகளுகளை ஒத்துள்ளன. தொடுபுள்ளியிலிருந்து விட்டத்தின் போக்கில் அளக்கப்படும் தூரம் கிடைமட்டத்தூரத்தையும் அச்சுக்கும் வளைவரைக்கும் இடைப்பட்ட, தொடுகோட்டுக்கு இணையாக அமையும் பகுதி நிலைக்குத்துத் தூரத்தையும் ஒத்துள்ளன. இவர் மேலும் கண்டறிந்த இந்த கிடைமட்டத் தூரத்திற்கும் நிலைக்குத்து தூரத்திற்கும் இடையேயுள்ள தொடர்புகள் வளைவரைகளின் சமன்பாடுகளின் முன்னோடியாக அமைகின்றன. அப்பலோனியசின் முறைகள் பின்னால் நெறிமுறைப்படுத்தப்பட்ட பகுமுறை வடிவவியலுக்கு மிகவும் நெருக்கமானதாக ஒத்து அமைந்தாலும் அவர் எதிர் மதிப்பு அளவுகளை (negative magnitudes) கருத்தில் எடுத்துக் கொள்ளாததால் அவர் பயன்படுத்திய முறை முழுமையான பகுமுறை வடிவவியலாக அமையவில்லை.  
11 நூற்றாண்டின் பாரசீகக் கணிதவியலாளர் உமர் கயாம், வடிவவியலுக்கும் இயற்கணிதத்திற்கும் இடையே ஒரு நெருங்கிய தொடர்புள்ளதைக் கண்டறிந்தார். அவ்வழியில் தனது செயற்பாடுகளை அமைத்து அவர் கண்டுபிடித்த முப்படியச் சமன்பாடுகளுக்கான வடிவவியல் தீர்வுகள், எண் இயற்கணிதத்திற்கும் வடிவவியலுக்குமிடையே உள்ள தூரத்தைக் குறைத்தது. எனினும் பகுமுறை வடிவவியலுக்கான முறையான அடித்தளமிட்டது டெக்கார்ட்ட் தான்.  
வழக்கமாக பகுமுறை வடிவவியல் டெக்கார்ட்டால் உருவாக்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது. டெக்கார்ட் தனது *La Geometrie* (வடிவவியல்) கட்டுரையில் பகுமுறை வடிவவியல் முறைகளைப் பற்றிய விவரங்களை மேம்படத் தந்துள்ளார். *Discourse on the Method for Rightly Directing One's Reason and Searching for Truth in the Sciences* (பொதுவாக அழைக்கப்படும் பெயர்:*Discourse on Method*) என்ற படைப்புடன் சேர்ந்த இணைப்பாக 1637 இல் வெளியான மூன்று கட்டுரைகளில் இதுவும் ஒன்று. இது பிரெஞ்சு மொழியில் வெளியிடப்பட்டிருந்தது. ஆரம்பத்தில் சரியான வரவேற்பைப் பெறவில்லை. 1649 இல் லத்தீனில் *வான் ஸ்கூட்டன்* என்பவரின் விளக்கங்களுடனும் விமரிசனங்களுடன் வெளியான பின்னர் டெக்கார்ட்டின் படைப்புக்கு அங்கீகாரம் கிடைத்தது.  
பகுமுறை வடிவவியலின் மேம்பாட்டில் கணிதவியலாளர் *பெர்மா*வின் பங்கும் குறிப்பிடத்தக்கது. இவர் உயிரோடு இருந்த போது அறியப்படாமல் இருந்தாலும்,டெக்கார்ட்டின் *Discourse on Method* வெளியிடப்படுவதற்கு முன்பாக இவரது *Ad locos planos et solidos isagoge* (Introduction to Plane and Solid Loci)[ இன் கையெழுத்துப் பிரதி 1637 இல் பாரிசு நகரில் புழக்கத்தில் இருந்தது. தெளிவாகவும் பிறரால் ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டதுமான இந்தப் படைப்பே பகுமுறை வடிவவியல் உருவாவதற்கு அடிகோலியது. பெர்மா ஓர் இயற்கணிதச் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொண்டு அச்சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் வளைவரையை விளக்கினார்; ஆனால் டெக்கார்ட் ஒரு வளைவரையை எடுத்துக்கொண்டு அவற்றுக்குரிய இயற்கணிதச் சமன்பாட்டை அவ்வளைவரையின் பல பண்புகளில் ஒன்றாகத் தந்துள்ளார். இதுவே பெர்மா மற்றும் டெக்கார்ட்டஸ் இருவரின் அணுகுமுறைகளிலும் இருந்த அடிப்படை வேறுபாடாகும். டெக்கார்ட்டின் இந்த அணுகு முறையால் அவர் மிகவும் சிக்கலான சமன்பாடுகளையும் உயர் படி பல்லுறுப்புக்கோவைச் சமன்பாடுகளையும் எதிர்கொள்ள வேண்டியிருந்தது.