# ஒன்பது-புள்ளி வட்டம்

## பிற தகவல்கள்

- ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் ஆரமானது, அம்முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் ஆரத்தைப்போல் இருமடங்காகும்.  
- ஒரு முக்கோணத்தின் செங்குத்துச்சந்தியிலிருந்து அதன் சுற்றுவட்டத்தின் மேல் அமையும் எந்தவொரு புள்ளியையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை அம்முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டமானது இருசமக்கூறிடும்.  
- ஒரு முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டமையம் அம்முக்கோணத்தின் செங்குத்துச்சந்தியையும் சுற்றுவட்டமையங்களையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளியில் அம்முக்கோணத்தின் ஆய்லரின் கோட்டைச் சந்திக்கிறது.  
- ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள் மற்றும் அதன் செங்குத்துச்சந்தி ஆகிய நான்கு புள்ளிகளின் திணிவு மையமானது, அம்முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மையமாக அமைகிறது.  
- ஒன்பது புள்ளிகளில், முக்கோணத்தின் உச்சிகளையும் செங்குத்துச்சந்தியையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகளின் நடுப்புள்ளிகளானவை ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மையத்தைப் பொறுத்து, அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளின் பிரதிபலிப்புகளாகும். (*reflections*)  
- முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் வழியாகச் செல்லும் அனைத்து செவ்வக அதிபரவளையங்களின் (rectangular hyperbolas) மையங்களும் அம்முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மீது அமையும். இந்த விவரமானது **ஃபோயர்பாக் கூம்புவெட்டுத் தேற்றம்** (Feuerbach conic theorem) என அழைக்கப்படுகிறது.  
இத்தேற்றத்திற்கான எடுத்துக்காட்டுக்களில் *கைபெர்ட்*, *ஜெராபெக்*, *ஃபோயர்பாக்கின்* செவ்வக அதிபரவளையங்களும் அடங்கும்.  
- *A*, *B*, *C* *H* ஆகிய நான்கு புள்ளிகளாலான செங்குத்துச்சந்தி தொகுதி தரப்பட்டிருந்தால் இவை நான்கிலிருந்து எந்த மூன்று புள்ளிகளையும் கொண்டு அமைக்கப்படும் நான்கு முக்கோணங்களுக்கும் ஒன்பது-புள்ளி வட்டமானது ஒரே வட்டமாக அமையும். இதன் விளைவாக இந்த நான்கு முக்கோணங்களின் சுற்றுவட்டங்களின் ஆரங்கள் சமமாக இருக்கும்.  
இந்தப் பொது ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மையம் *N* எனில்:  
:<math>NA^2+NB^2+NC^2+NH^2 = 3R^2.\,</math> இங்கு *R* - சுற்றுவட்டங்களின் சமஆரம்.  
*P* - செங்குத்துமையத் தொகுதியின் தளத்தில் அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி மற்றும் <math>PA^2+PB^2+PC^2+PH^2 = K^2,\,</math> (இங்கு *K* மாறிலியாக வைக்கப்படுகிறது) எனில்:  
*P*-இன் இயங்குவரை *N* -ஐ மையமாகவும்; <math>\scriptstyle \frac{1}{2} \sqrt{K^2-3R^2}\,</math> ஆரமும் கொண்ட ஒரு வட்டமாகும்.  
*P* - ஆனது *N* -ஐ அணுகும்போது அதற்குரிய *K* -இன் மதிப்பிற்கு *P* -இன் இயங்குவரையானது, ஒன்பது-புள்ளி வட்டமையம் *N* -ஆகிவிடும்.  
:<math>PA^2+PB^2+PC^2+PH^2 = 4R^2,\,</math> எனில் *P* -ன் இயங்குவரையானது ஒன்பது-புள்ளி வட்டமாக அமையும்:  
- ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்டமையமும், மூன்று வெளிவட்ட மையங்களும் ஒரு செங்குத்துச்சந்தித் தொகுதியை அமைக்கும். இத்தொகுதியின் ஒன்பது-புள்ளிவட்டம் அம்முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டமாக அமையும். இத்தொகுதியிலுள்ள நான்கு முக்கோணங்களின் குத்துக்கோடுகளின் அடிகள் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முதல் முக்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமையும்.  
- *A*, *B*, *C*, *D* ஆகிய நான்கு புள்ளிகளும் ஒரு செங்குத்துமையத் தொகுதியை அமைக்காவிடில், *ABC*, *BCD*, *CDA*, *DAB* என்ற முக்கோணங்களின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டங்கள் ஏழு புள்ளிகளில் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்கின்றன. இவற்றுள் ஒரு புள்ளி மொத்தமுள்ள நான்கு ஒன்பது-புள்ளி வட்டங்களுக்கும் பொதுவான வெட்டும் புள்ளியாக இருக்கும். மீதமுள்ள ஆறு வெட்டும் புள்ளிகள், நான்கு முக்கோணங்களின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளோடு ஒன்றுபடும். *A*, *B*, *C*, *D* ஆகிய நான்கு புள்ளிகளின் திணிவு மையத்தை மையமாகக்கொண்டு, ஏழு வெட்டும் புள்ளிகளின் வழியாகச் செல்லும் ஒரு ஒன்பது-புள்ளி தனித்த கூம்புவெட்டு ஒன்று உள்ளது. மேலும் ஃபோயர்பாக் கூம்புவெட்டுத் தேற்றத்தின்படி, நான்கு, ஒன்பது-புள்ளி வட்டங்களின் பொது வெட்டும் புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட தனித்த ஒரு செவ்வக அதிபரவளையம் அமையும். இந்த செவ்வக அதிபரவளையமானது மேலே தரப்பட்ட நான்கு முக்கோணங்களின் செங்குத்து மையங்களின் வழியாகச் செல்லும்.  
- முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகளில்:
- ஒன்பது-புள்ளிவட்டத்தின் மையம்:  
cos (*B*&nbsp;−&nbsp;*C*) : cos (*C*&nbsp;−&nbsp;*A*) : cos (*A*&nbsp;−&nbsp;*B*)  
- ஃபோயர்பாக் புள்ளி:  
1&nbsp;−&nbsp;cos (*B*&nbsp;−&nbsp;*C*) : 1&nbsp;−&nbsp;cos (*C*&nbsp;−&nbsp;*A*) : 1&nbsp;−&nbsp;cos (*A*&nbsp;−&nbsp;*B*)  
- கைபெர்ட் அதிபரவளையத்தின் மையம்:  
(*b*<sup>2</sup>*&nbsp;−&nbsp;c*<sup>2</sup>)<sup>2</sup>/*a* : (*c*<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;*a*<sup>2</sup>)<sup>2</sup>/*b* : (*a*<sup>2</sup>&nbsp;−&nbsp;*b*<sup>2</sup>)<sup>2</sup>/*c*  
- ஜெராபெக் அதிபரவளையத்தின் மையம்:  
cos *A* sin<sup>2</sup>(*B*&nbsp;−&nbsp;*C*) : cos *B* sin<sup>2</sup>(*C*&nbsp;−&nbsp;*A*) : cos *C* sin<sup>2</sup>(*A*&nbsp;−&nbsp;*B*)  
- *x* : *y* : *z* -ஒரு மாறும் புள்ளி எனில் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் சமன்பாடு:  
: *x*<sup>2</sup>sin&nbsp;*2A* + *y*<sup>2</sup>sin&nbsp;2*B* + *z*<sup>2</sup>sin&nbsp;2*C*&nbsp;−&nbsp;2(*y*z sin&nbsp;*A* + *zx* sin&nbsp;*B* + *xy* sin&nbsp;*C*) = 0.