# வகை நுண்கணிதம்

## வகைக்கெழு

### சார்பின் வகைக்கெழு

ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவானது தொடுகோட்டின் சாய்வுக்குச் சமம். தொடுகோடு சார்பின் வரைபடத்தைத் தொடுபுள்ளியில் மட்டுமே தொடும் என்றாலும் வரைபடத்தின் மீது தொடுபுள்ளிக்கு அருகாமையிலமையும் இரு புள்ளிகளை இணைக்கும் வெட்டுக்கோட்டின் தோராயமாகத் தொடுகோட்டைக் கருதலாம். எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட இரு புள்ளிகளும் ஒன்றுக்கொன்று ஒருங்குமளவிற்கு மிகமிக அருகாக நெருங்கும் சூழலில் வெட்டுக்கோடானது தொடுகோடாக தோராயப்படும். இந்நிலையில் வெட்டுக்கோட்டின் சாய்வானது தொடுகோட்டின் சாய்வாகவும் இருக்கும்.  
பட விளக்கம்:
:<math>y=x^2</math> வளைவரைமீது <math>(2,4),</math> <math>(3,9)</math> புள்ளிகளின் வழியே வரையப்பட்டுள்ள இடைப்புள்ளியிட்ட கோடானது வெட்டுக்கோட்டைக் காட்டுகிறது. இப்புள்ளிகள் ஒன்றுக்கொன்று மிக அருகிலுள்ளதால் வெட்டுக்கோட்டின் சாய்வும் தொடுகோட்டின் சாய்வும் தோராயமாகச் சமம். புள்ளிகள் ஒன்றிணையும் நிலையில் சாய்வுகளின் தோராயப் பிழை மிகமிகக் குறைவானதாக இருக்கும்.  
வெட்டுக்கோட்டை பயன்படுத்தினால் சாய்வை நேரிடையாகக் கணக்கிட முடியும். <math>(x,f(x)),</math> <math>(x+\Delta x,f(x+\Delta x))</math> ஆகிய இரு புள்ளிகள் வரைபடத்தின் மீது உள்ளவை. இங்கு <math>\Delta x</math> என்பது மிகச்சிறிய எண்ணைக் குறிக்கும். இவ்விரு புள்ளிகளின் வழியே செல்லும் கோட்டின் சாய்வை <math>\text{slope } = \frac{\Delta y}{\Delta x}</math> வாய்பாட்டின் மூலம் கணக்கிட:
:<math>\text{slope} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}</math>  
<math>\Delta x</math> இன் மதிப்பு <math>0</math> ஐ நெருங்க, நெருங்க, இரு புள்ளிகளின் வழியே செல்லும் வரைபடத்தின் வெட்டுக்கோடானது தொடுகோடாக மாறும். எனவே அப்போது வெட்டுக்கோட்டின் சாய்வானது தொடுகோட்டின் சாய்வாகும். இதனை பின்வருமாறு முறைப்படுத்தி எழுதலாம்:
:<math>\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}</math>  
மேலுள்ள முடிவை '<math>\Delta x</math> இன் மதிப்பு 0 க்கு மிகவருகில் செல்லச் செல்ல, வெட்டுக்கோட்டின் சாய்வானது ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பை நெருங்குகிறது' எனக் கூறலாம். இவ்வாறு வெட்டுக்கோட்டின் சாய்வு நெருங்கும் மதிப்பானது சார்பு <math>f(x)</math> இன் வகைக்கெழு எனப்படும்; <math>f(x)</math> இன் வகைக்கெழு <math>f'(x)</math> எனக் குறிக்கப்படுகிறது. சார்பு <math>y=f(x)</math> எனக் குறிக்கப்பட்டால், அதன் வகைக்கெழு <math>\frac{dy}{dx}</math> எனக் குறிக்கப்படுகிறது. இதில் <math>d</math> என்பது மீநுண்ணளவு மாற்றத்தைக் குறிக்கிறது. அதாவது <math>dx</math> என்பது x இன் மீநுண்ணளவு மாற்றத்தைக் குறிக்கும்.  
:<math>y=f(x)</math> எனில், <math>f(x)</math> இன் வகைக்கெழு:
:<math>
\frac{dy}{dx}=f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
</math> (இவ்வெல்லை மதிப்பு காணக்கூடியதாக இருக்குமானால்).  
இவ்வாறு ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவானது தொடுகோட்டின் சாய்வு என்ற பொருளில் முறையாக வரையறுக்கப்படுகிறது. மேலேதரப்பட்டுள்ள வரையறைப்படி ஒரு சார்பை வகையிடுவது "முதல் கொள்கையிலிருந்து வகையிடல்" என அழைக்கப்படுகிறது.  
<math>y=x^2</math> சார்பின் வகைக்கெழு <math>2x</math> என்பதை முதல் கொள்கையிருந்து வகையிடல் முறையில் பின்வருமாறு நிறுவலாம்:
:<math>
\begin{align}
\frac{dy}{dx}&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x} \\
&= \lim_{\Delta x \to 0}2x+\Delta x \\
\end{align}
</math>  
<math>\Delta x</math> இன் மதிப்பு <math>0</math> ஐ நெருங்கும்போது, <math>2x+\Delta x</math> இன் மதிப்பு <math>2x</math> ஐ நெருங்கும். எனவே <math>\frac{dy}{dx}=2x</math> ஆகும்.  
இந்த நிறுவலைப் பொதுமைப்படுத்தி <math>\frac{d(ax^n)}{dx}=anx^{n-1}</math> (<math>a,</math> <math>n</math> மாறிலிகள்) என்பதையும் நிறுவலாம். இம்முடிவு, வகையிடலின் அடுக்கு விதி என அழைக்கப்படும்.  
எடுத்துக்காட்டு:
:<math>\frac{d}{dx}(5x^4)=5(4)x^3=20x^3</math>.  
எனினும் பல சார்புகளை பல்லுறுப்புக்கோவை சார்புகளைப் போல எளிதாக வகையிட முடியாது. அடுக்கு விதியைத் தவிர வகையிடலின் சங்கிலி விதி, வகையிடலின் பெருக்கல் விதி, வகையிடலின் வகுத்தல் விதி போன்ற மேலும் பல விதிகளைப் பயன்படுத்திதான் அவற்றை வகையிட முடியும். வகையிடவே முடியாத சார்புகளும் உண்டு. வகையிடக் கூடிய சார்புகள், வகையிடத்தக்கச் சார்புகள் என அழைக்கப்படும்.