# மெர்சென் பகாத்தனி

## மெர்சென் எண்களைப் பற்றிய தேற்றங்கள்

- 1) *n* என்பது நேர்ம முழு எண்ணாக இருந்தால், ஈருறுப்புத் தேற்றத்தின்படி, நாம் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:  
:<math>c^n-d^n=(c-d)\sum_{k=0}^{n-1} c^kd^{n-1-k},</math>  
:வேறுவிதமாக எழுதுவதென்றால், *c*&nbsp;=&nbsp;2<sup>*a*</sup>, *d*&nbsp;=&nbsp;1, மற்றும் *n*&nbsp;=&nbsp;*b* என்று கொள்வதன் மூலம், கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்.  
:<math>(2^a-1)\cdot \(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\cdots+2^{(b-1)a}\)=2^{ab}-1</math>  
:*நிறுவல்*  
:<math>(a-b)\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-1-k}</math>  
:<math>=\sum_{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum_{k=0}^{n-1}a^kb^{n-k}</math>  
:<math>=a^n+\sum_{k=1}^{n-1}a^kb^{n-k}-\sum_{k=1}^{n-1}a^kb^{n-k}-b^n</math>  
:<math>=a^n-b^n</math>  
- 2) 2<sup>*n*</sup> − 1 என்பது பகாத்தனி (பகா எண்) எனில், அடுக்குப் படி *n* உம் பகாத்தனி.  
:*நிறுவல்*  
:கீழ்க்காணும் ஈடுகோளின் படி (சமன்பாட்டின் படி)  
:<math>(2^a-1)\cdot \(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\cdots+2^{(b-1)a}\)=2^{ab}-1</math>  
:அடுக்குப்படி *n*பகாத்தனியாக இல்லாவிடில், அதாவது *n* = *ab* (இரண்டெண்களின் பெருக்குத்தொகையாக பகு எண்ணாக இருந்தால்), 1 < *a*, *b* < *n*.
:எனவே, 2<sup>*a*</sup> − 1 என்பது 2<sup>*n*</sup> − 1 ஐ வகுக்கும், என்பதால் 2<sup>*n*</sup> − 1 என்பது பகாத்தனி அல்ல.  
- 3) *p* என்பது ஒற்றைப்படை பகா எண்ணாக இருந்தால், 2<sup>*p*</sup> − 1 ஐ வகுக்கும் *q* என்னும் எந்தப் பகா எண்ணும் *1* கூட்டல் 2*p* இன் முழு எண் பெருக்குத்தொகையாக இருத்தல் வேண்டும். 2<sup>*p*</sup> − 1 என்பது பகா எண்ணாக இருந்தாலும் இது உண்மையாக இருத்தல் வேண்டும்.  
எடுத்துக்காட்டு-1:
:2<sup>5</sup> − 1 = 31
என்பது ஒரு பகாத்தனி; 31 என்பது 1 கூட்டல் 2×5 என்பதின் முழு எண் பெருக்குத்தொகை.  
:எடுத்துக்காட்டு-2: 2<sup>11</sup> − 1 = 23×89,
23 = 1 + 2×11, மற்றும் 89 = 1 + 8×11, மேலும் 23×89 = 1 + 186×11.  
:*நிறுவல்*  
:2<sup>p</sup> − 1 என்பதை ‘’q’’ வகுக்கும் என்றால், 2<sup>p</sup> ≡ 1 (mod q). ஃவெர்மாவின் குட்டித் தேற்றத்தின்படி, 2<sup>(q − 1)</sup> ≡ 1 (mod q).
:p என்பதும் q − 1 என்பதும் ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்களாகக் கொள்வோம்.
மேற்காட்டியது போன்றே ஃவெர்மாவின் குட்டித் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தினால்,
:(q − 1)<sup>(p − 1)</sup> ≡ 1 (mod p) என்றாகும்.
:எனவே x ≡ (q − 1)<sup>(p − 2)</sup> என ஓரெண் உள்ளது, அதற்கு (q − 1)•x ≡ 1 (mod p).
:எனவே k என்னும் எண்ணானது (q − 1)•x − 1 = kp என்பதற்கு ஒப்புமாறு உள்ளது.
:2<sup>(q − 1)</sup> ≡ 1 (mod q) என்பதால், முற்றீடான இருபக்கத்தினையும் x படியாக உயர்த்தினால்
:: 2<sup>(q − 1)x</sup> ≡ 1 என்றாகும்.
:ஏனெனில், 2<sup>p</sup> ≡ 1 (mod q) என்பதால், முற்றீட்டின் இருபக்கத்தையும் k படியாக உயர்த்தினால் கிடைப்பது.
:: 2<sup>kp</sup> ≡ 1.
:எனவே 2<sup>(q − 1)x</sup> ÷ 2<sup>kp</sup> = 2<sup>(q − 1)x − kp</sup> ≡ 1 (mod q).
:ஆனால் வரையறையின்படி, (q − 1)x − kp = 1 என்பதால், என்ன சுட்டுகின்றது என்றால் 2<sup>1</sup> ≡ 1 (mod q);
:வேறு விதமாக சொல்வதென்றால், 1 ஐ q வகுக்கின்றது. ஆகவே முதலில் p யும் (q − 1) உம் ஒன்றுக்கொன்று பகா எண்கள் என்று கொண்ட முதற்கோள் (assumption) செல்லுபடியாகாது. P என்பது பகா எண் ஆகையால் q − 1 என்பது p யின் ஒரு முழு எண் பெருக்குத்தொகையாக இருத்தல் வேண்டும்.  
- 4) *p* என்பது ஒற்றைப்படை பகாத்தனியாக இருந்தால், <math>2^p-1</math> வகுக்கும் *q* என்னும் எந்த பகாத்தனியும் <math>\pm 1 \pmod 8</math> என்பதற்கு முற்றீடாக இருத்தல் வேண்டும். நிறுவல்: <math>2^{p+1} = 2 \pmod q</math>, எனவே <math>2^{(p+1)/2}</math> என்பது 2 modulo <math>q</math> என்பதின் வர்கமூலம் (square root). இருபடிய நேர் எதிர்மையின் படி, வர்க்க மூலம் கொண்ட எந்த பகாத்தனி மாடுலோவும் <math>\pm 1 \pmod 8</math> க்கு முற்றீடு (<small>இக்கூற்று சரி பார்த்தல் வேண்டும் </small>).