# மெர்சென் பகாத்தனி

## மெர்சென் பகாத்தனிகளின் தேடல்

கீழ்க்காணும் ஈடுகோள்,  
:<math>2^{ab}-1=(2^a-1)\cdot \(1+2^a+2^{2a}+2^{3a}+\cdots+2^{(b-1)a}\)</math>  
காட்டுவது என்னவென்றால், *M<sub>n</sub>* பகாத்தனியாக இருக்க வேண்டுமெனில் அடுக்குப் படி *n* தானே ஒரு பகாத்தனியாக இருத்தல் வேண்டும். ஆனால் *n* பகாத்தனியாக இருப்பது மட்டும் *M<sub>n</sub>* பகாத்தனியாக இருக்கப் போதுமானதல்ல. அதாவது *M<sub>n</sub>* பகாத்தனியாக இருக்க, *n* பகாத்தனியாக இருக்க வேண்டும் ஆனால், *n* பகாத்தனியாக இருந்தால் மட்டும் மெர்சென் எண் *M<sub>n</sub>* பகாத்தனியாக இருக்கும் என்பது உறுதியல்ல. *n* பகாத்தனியாக இருப்பது தேவை ஆனால் போதுமானதல்ல. எனவே எதிர்நிலை கூற்றாகிய, *n* பகாத்தனியாக இருந்தால் *M<sub>n</sub>* பகாத்தனியாக இருக்கவேண்டும் என்பது சரியான கூற்று இல்லை. இப் பண்பால் மெர்சென் பகாத்தனியைத் தேடுதல் ஒரு வகையில் எளிதாகின்றது.  
மெர்சென் பகாத்தனிகளை விரைவாகத் தேடும் தீர்முறைத் திட்டங்கள் வகுக்கப்பட்டுள்ளன. 2023 வரை கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஆறு மிகப்பெரிய பாகாத்தனிகள் மெர்சென் பகாத்தனிகளாகும். இவை யாவும் மேற்சுட்டிய தீர்முறைத் திட்டங்களை கொண்டு கண்டுப்டித்தவையே.  
- முதல் நான்கு மெர்சென் பகாத்தனிகள், <math>M_2=3</math>, <math>M_3=7</math>, <math>M_5=31</math> and <math>M_7=127</math> வெகு காலமாக அறியப்பட்டவை.
- ஐந்தாவது மெர்சென் பகாத்தனியாகிய <math>M_{13}=8191</math>, யாரோ பெயர்தெரியாதவரால் 1461 இல் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அடுத்த இரண்டை, <math>M_{17}</math> and <math>M_{19}</math>, இத்தாலிய கணிதவியலாளர் கட்டால்டி, 1588 இல் கண்டுபிடித்தார். *இரண்டு நூற்றாண்டுகளுக்குப் பின் <math>M_{31}</math> ஒரு பகாத்தனி என லியோனார்டு ஆய்லர் 1772 இல் உறுதிசெய்தார். *கணித வரலாற்றில் அடுத்ததாக எடுவர்டு லூக்காஸ் 1876 இல், <math>M_{127}</math> ஐ கண்டு பிடித்தார். ஆனால் இடையே உள்ள மெர்சென் பகாத்தனியாகிய <math>M_{61}</math> இவான் மிக்கீவிச் பெர்வுசின் என்னும் உருசிய கணிதவியலாளரால் 1883இல் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.
- இடைப்பட்ட இன்னும் இரண்டு பகாத்தனிகளாகிய (<math>M_{89}</math> , <math>M_{107}</math>)ஐ ஆர். இ. பவர்ஸ் என்பவர் 1911 லும், 1914 லும் முறையே கண்டுபிடித்தார்.  
ஒரு மெர்சென் எண் மெர்சென் பகாத்தனியாக இருக்குமா என மெய்த்தேர்வு செய்ய எடுவர்டு லூக்காஸ் 1856 இல் முன்மொழிந்த ஒருவகையான மீளுறுப்பு தொடர்வரிசை முறை மிகவும் பயனுடையதாக உள்ள ஒன்று . இதனை டெரிக் லேமர் 1930 இல், மேலும் வளர்த்தார். இம்முறை இன்று "மெர்சென் எண்களுக்கான லூக்காஸ்-லேமர் மெய்த்தேர்வு" என்று அறியப்படுகின்றது. குறிப்பாக இம்முறை என்ன கூறுகின்றதென்றால், இரண்டைவிட பெரிய அடுக்குப்படியாக இருந்தால், <math>n>2</math>, மெர்சென் எண் <math>M_n=2^n-1</math> ஆனது *S<sub>n−2</sub>* எண்ணை ஈவின்றி வகுத்தால் மட்டுமே <math>M_n</math> என்பது பகாத்தனியாகும். இந்த *S<sub>n−2</sub>* என்ன வென்றால், முதலில் <math>S_0=4</math> என்று கொண்டு, பின்னர் <math>k>0</math>, <math>S_k=S_{k-1}^2-2</math> என்னும்படியாக மீளுறுப்பு ஈடுகோளாக கொள்ளப்படுகின்றது.  
- மின்கணினிகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பின் மெர்சென் பகாத்தனிகளைக் கண்டுபிடிப்பதில் புரட்சிகரமான வளர்ச்சி அடைந்துள்ளது. இம்முறையைக் கைக்கொண்டு கண்டுபிடித்த முதல் மெர்சென் பகாத்தனி *M*<sub>521</sub> ஆகும். இது காலை 10 மணிக்கு ஜனவரி 30, 1962 ஆண்டு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. இதற்குப் பயன்பட்ட கணினி, ஐக்கிய அமெரிக்க சீர்தர நிறுவகம் வைத்திருந்த, சுவாக் (SWAC) என்றழைக்கப்பட்ட வெஸ்டர்ன் ஆட்டொமாட்டிக் கம்ப்யூட்டர் ஆகும். இக்கணினியைப் பயன்படுத்தி டெரிக் லேமர் தலைமையின் கீழ் பேராசிரியர் ரஃவீல் ராபின்சன் எழுதிய கணிநிரல் ஆணைகளைக் கொண்டு இம் மெர்சென் பகா எண்ணைக் கண்டுபிடித்தனர். இந்த எண்ணே 38 ஆண்டுகளுக்குப் பின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மெர்சென் பகாத்தனி.
- அடுத்த மெர்சென் பகாத்தனியாகிய *M*<sub>607</sub>, அடுத்த இரண்டுமணி நேரத்தில் கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.
- அடுத்த மூன்று மெர்சென் பகாத்தனிகளையும் &nbsp;— *M*<sub>1279</sub>, *M*<sub>2203</sub>, *M*<sub>2281</sub>&nbsp;— இதே கணிநிரலைக் கொண்டு அடுத்த சில மாதங்களில் கண்டுபிடித்தனர்.
- அடுத்ததாக கண்ட பிடித்த *M*<sub>4253</sub> மெர்சென் பகாத்தனியே 1000 இலக்கங்களைத் தாண்டிய நீளமுடைய டைட்டானிக் பகாத்தனி என்றழைக்கப்படும் பகாத்தனி ஆகும். அதன் பின்னர் ஜைகாண்டிக் பகாத்தனி என்றழைக்கப்பட்ட 10,000 இலக்கங்களையும் தாண்டிய நீளம் கொண்ட *M*<sub>44497</sub> கண்டுபிடிக்கப்பட்டது. அதன் பின்னர் மெகா பகாத்தனி என்றழைக்கப்படும் ஒரு மில்லியன் இலக்கங்களையும் தாண்டிய நீளமுடைய *M*<sub>6,972,593</sub> கண்டுபிடிக்கப்பட்டது இவை மூன்றும்தான் இவ்வளவு பெரியதாக உள்ள முதல் பகாத்தனிகள்.
- செப்டம்பர் 2008 இல் “கிம்ப்” இல் பங்கு கொண்டு ஏறத்தாழ 13 மில்லியன் இலக்கங்கள் நீளம் கொண்ட மெர்சென் பகாத்தனியை லாஸ் ஏஞ்சலஸ் பல்கலைக்கழகம்|லாஸ் ஏஞ்சலஸ் பல்கலைக்கழகக் கணிதவியலாளர்கள் கண்டுபிடித்து, எலெக்ட்ரானிக் ஃவிராண்டியர் பவுண்டேசன் அறிவித்திருந்த, அமெரிக்க $100,000 பரிசை வென்றார்கள். இப்பரிசை 10 மில்லியல் இலக்கத்திற்கும் கூடுதலான நீளம் உடைய பகாத்தனி எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பவருக்குத் தருவதாக அறிவிக்கப்பட்டு இருந்தது. இதுவே யூசிஎல்ஏ ஆய்வாளர்கள் கண்டுபிடித்த 8 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனி.  
- ஏப்பிரல் 12, 2009 இல் 47 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனி கண்டுபிடிக்கப்பட்ட சாத்தியமுள்ளதாக கிம்ப்சின் வழங்கி குறிப்பேடு அறிவித்தது. இக்கண்டுபிடிப்பு முதலில் ஜூன் 4, 2009 இல் கவனிக்கப்பட்டு, பின்னர் ஒரு வாரம் கழித்து உறுதி செய்யப்பட்டது. என்பதே இந்தப் பகாத்தனி. காலக்கணக்கின்படி இது 47 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனியாக இருந்தாலும், அப்போது 45 ஆவதாக அறியப்பட்டிருந்த மிகப்பெரியதான 45 ஆவதைவிடச் சிறியதாக இருந்தது.  
- ஜனவரி 25, 2013 இல் மத்திய மிசூரி பல்கலைக்கழகத்தில் கணிதவியலாளர் கர்டிசு கூப்பர், 48 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனி, (17,425,170 இலக்கங்களுடையது) ஐ கிம்ப்சு திட்டத்தின்கீழ் கண்டுபிடித்தார்.  
- கிம்ப்சு திட்டத்தின்கீழ் மற்றொரு கண்டுபிடிப்பாக ஜனவரி 19, 2016 இல், மீண்டும் கூப்பர் 49 ஆவது பெர்சென் பகாத்தனியான (22,338,618 இலக்கவெண்) ஐக் கண்டுபிடித்து வெளியிட்டார். இது பத்தாண்டுகளில் கூப்பர் மற்றும் அவரது குழுவினரால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட நான்காவது மெர்சென் பகாத்தனியாகும்.  
- செப்டம்பர் 2, 2016 இல் கிம்ப்சு, M<sub>37,156,667</sub> கீழிருக்கக்கூடிய அனத்து மெர்சென் பகாத்தனிகளுக்கான மெய்த்தீர்வுகளையும் சரிபார்த்துமுடித்து, M<sub>37,156,667</sub>, 45 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனி என உறுதிசெய்யபட்டது.  
- இதே கிம்ப்சு திட்டத்தில் ஜனவரி 3, 2018 இல் டென்னிசியைச் சேர்ந்த ஜோனாதன் பேஸ் என்ற மின்பொறியியலாரர் 50 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனி (23,249,425 இலக்கவெண்) ஐக் கண்டுபிடித்தார். அவரது ஊரிலிலுள்ள ஒரு தேவாலயத்திலிருந்த கணினி மூலம் இதனைக் கண்டறிந்தார்.  
- திசம்பர் 21, 2018 இல் கிம்ப்சு தேடலின் விளைவாக மிகப்பெரிய பகாத்தனியான, 51 ஆவது மெர்சென் பகாத்தனி , (24,862,048 இலக்கவெண்) கன்டறியப்பட்டது.