wickkiey/tamil-wikipedia-chunked huggingface dataset:
# வலைவாசல்:கணிதம்

## வெளி இணைப்புகள் - தமிழ்

- இந்தியா - கேரளா - ஆண்டு 10 பாட புத்தகத்தின் இணையப் பிரதி - அருமையான நடை, விளக்கம்
- தமிழ் இணைய பல்கலைகழகத்தின் கணித கலைச்சொல் அகராதி
- Chennai Mathematical Institute
# வரிசைச் சோடி

<math>A = \{p, q\}, </math> <math>B = \{1, 2, 3\}, </math> என்பவை வெற்றில்லாத இரு கணங்கள் எனில் <math> (p, 1), (p, 2), (p, 3), (q, 1), (q, 2), (q, 3) </math>ஆகியவை **வரிசை சோடிகள்** அல்லது **வரிசைப்படுத்தப்பட்ட இணை** எனப்படும்.  
இந்த சோடிகள் வரிசைப்படுத்தப்பட்டவை என்பது கவனத்தில் கொள்ளப்பட வேண்டும். அதாவது அவை ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட வரிசை முக்கியம். (p, 1) என்பது (1, p) இருந்து வேறுபட்டது.  
இரு வரிசைச் சோடிகளில் இரண்டிலுமுள்ள முதல் உறுப்புகள் இரண்டும் சமமாகவும் இரண்டாவது உறுப்புகள் இரண்டும் சமமாகவும் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே வரிசைச் சோடிகள் இரண்டும் சமமாக இருக்கும்:  
:<math>(a_1, b_1) = (a_2, b_2)\quad\text{if and only if}\quad a_1 = a_2\text{ and }b_1 = b_2.\!</math>  
*X* கணத்திலிருந்து முதல் உறுப்பையும் *Y* கணத்திலிருந்து இரண்டாம் உறுப்பையும் கொண்டுள்ள வரிசைச் சோடிகள் அனைத்தையும் கொண்ட கணம் *X* மற்றும் *Y* கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் எனப்படும். கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனின் குறியீடு: <math>X \times Y </math>.  
*X* மற்றும் *Y* கணங்களுக்கு இடையே அமையும் ஈருறுப்புச் செயலி அக்கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் *X*&times;*Y* இன் உட்கணமாகும்.
# ஆர்க்காவதி ஆறு

ஆர்க்காவதி ஆறு காவிரியின் துணை ஆறுகளில் ஒன்றாகும். இது கர்நாடகத்தின் கோலார் மாவட்டத்திலுள்ள நந்தி மலையில் உற்பத்தியாகி கோலார், பெங்களூர் ஊரக மாவட்டங்கள் வழியாக பாய்ந்து இராமநகரா மாவட்டத்தின் கனகபுரா அருகே சங்கமம் என்னுமிடத்தில் காவிரியுடன் கலக்கிறது.  
பெங்களூர் குடிநீர் வடிகால் வாரியம் மூலமாக இவ்வாற்றிலிருந்து நாளொன்றுக்கு 135 மில்லியன் லிட்டர் குடி நீரானது பெங்களூரு நகருக்கு வழங்கப்படுகிறது. இது அந்நகரின் 20% தண்ணீர் தேவையாகும். . ஆர்க்காவதி ஆரானது பெங்களூர் மாநகர கழிவுகளால் மாசுபடுகிறது.
# அலகல்லை

**அலகல்லை** (*Alagalle*) இலங்கையின் சபரகமுவா மாகாணம், கேகாலை மாவட்டத்தில் அமைந்துள்ள ஒரு நகரமாகும். இது இலங்கை தொடருந்து வலையமைப்பின் கொழும்பு-பேராதனை-பதுளை பாதையில் கடிகமுவை, பலனை தொடருந்து நிலையங்களுக்கிடயே அமைந்துள்ளது. பொடிமெனிகே, உடரடமெனிகே, செங்கடகள மெனிகே என்ற பெயருடைய தொடருந்துகள் இந்நகரைக் கடந்து செல்கின்றன.
# அலகல்லை

## ஆதாரம்

- அமைவிடம் பற்றிய தகவல்கள்
# பலனை

**பலனை** (*Balana*) இலங்கையின் மத்திய மாகாணம், கண்டி மாவட்டத்தில் அமைந்துள்ள ஒரு நகரமாகும். இது யட்டிநுவரை பிரதேச செயலாளர் பிரிவில் அமைந்துள்ளது. இது இலங்கை தொடருந்து வலையமைப்பின் கொழும்பு-பேராதனை-பதுளை பாதையில் அலகல்லை, கடுகண்ணாவை தொடருந்து நிலையங்களுக்கிடையே அமைந்துள்ளது. பொடிமெனிகே, உடரடமெனிகே, செங்கடகள மெனிகே என்ற பெயருடைய தொடருந்துகள் இந்நகரைக் கடந்து செல்கின்றன.
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

**பிதாகரஸ் தேற்றம்** அல்லது **பித்தேகோரசு தேற்றம்** அல்லது **பைத்தகரசின் தேற்றம்** (*Pythagorean theorem* அல்லது *Pythagoras' theorem*) என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள மூன்று பக்கங்களுக்கும் இடையே உள்ள தனிச்சிறப்பான ஒரு தொடர்பைக் கூறும் ஒரு கூற்று.  
;தேற்றத்தின் கூற்று
ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், அதன் செம்பக்கத்தின் (கர்ணத்தின்) நீளத்தின் இருமடியானது, மற்ற பக்க நீளங்களின் இருமடிகளின் கூட்டுக்கு ஈடு (சமம்).  
இத்தேற்றத்தை கிரேக்க நாட்டு கணிதவியல் அறிஞர், மெய்யியல் அறிஞராகிய பித்தகோரசு கண்டுபிடித்தார் என்று பொதுவாக நம்பப்படுவதால், அவர் பெயரால் இத்தேற்றம் வழங்குகின்றது . ஆனால் இத்தேற்றத்தின் உண்மை அவர் காலத்திற்கு மிக முன்னமேயே அறியப்பட்டுப் பயன்பாட்டில் இருந்து வந்துள்ளது.  
செங்கோண முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கமாகிய செம்பக்கம் அல்லது *கர்ணத்தின்* நீளத்தை <math>c \,</math> என்று கொண்டு, மற்ற இரு பக்கங்களின் (“தாங்கிப் பக்கங்களின்”) நீளங்களை <math>a, b \,</math>என்று குறித்தால், பித்தகோரசு தேற்றம் தரும் சமன்பாடு:
: <math>a^2 + b^2 = c^2\, </math>  
இப்பொழுது செம்பக்கத்தின் (கர்ணத்தின்) நீளத்தை நேரடியாக அறிய:
: <math> c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,</math>  
செம்பக்கத்தின் நீளமும், மற்றொரு பக்கத்தின் நீளமும் தெரிந்திருந்தால் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளத்தைக் கீழ்க்காணுமாறு அறியலாம்:
: <math> a = \sqrt{c^2 - b^2}. \,</math>
: <math> b = \sqrt{c^2 - a^2}. \,</math>  
இந்தப் பித்தேகோரசின் தேற்றத்தின் நீட்சியாக அல்லது பொதுமைப்பாடாகச் செங்கோண முக்கோணம் மட்டுமல்லாமல் எந்த ஒரு (யூக்கிளிடிய சமதள) முக்கோணத்திற்கும் பொருந்துமாறு கோசைன்களின் விதி வகுக்கப்படுகின்றது. இந்தக் கோசைன்களின் விதிப்படி, மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளத்தை அறிய, மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களும், அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணமும் அறிந்திருக்க வேண்டும். மற்ற இரு பக்கங்களுக்கும் இடையே உள்ள கோணம் செங்கோணமாக (90°) இருந்தால், கோசைன்களின் விதி பித்தகோரசின் விதியாகச் சுருங்கிவிடும்.  
பித்தேகோரசின் விதியை வடிவங்களின் துணைகொண்டு காட்ட ஒவ்வொரு பக்கத்தின் இருமடியைக் காட்ட ஒவ்வொரு பக்கத்தின் மீதும் ஒரு கட்டம் (சதுரம்) வரைந்து காட்டப்பட்டுள்ளது; அது போலவே, சீரான எவ்வடிவும் இருக்கலாம் என்பதற்காக, அருகில் உள்ள படத்தில் ஒவ்வொரு பக்கங்களின் மீதும் அரைவட்டங்கள் காட்டப்பட்டுள்ளன. செம்பக்கத்தின் மீதுள்ள சீரான வடிவத்தின் பரப்பளவு மற்ற இரு பக்கங்களின் மீதுள்ள சீரான வடிவங்களின் பரப்புகளின் கூட்டுக்கு ஈடு. இதே போலச் சமபக்க முக்கோணங்கள், சீர் அறுகோணங்கள் போன்றவற்றையும் அமைத்துக் காட்டலாம்.
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## தேற்றத்தின் பிற வடிவங்கள்

செங்கோண முக்கோணத்தின் மிகப்பெரிய பக்கமாகிய செம்பக்கம் அல்லது *கர்ணத்தின்* நீளத்தை <math>c \,</math> என்று கொண்டு, மற்ற இரு பக்கங்களின் (“தாங்கிப் பக்கங்களின்”) நீளங்களை <math>a, b \,</math>என்று குறித்தால், பித்தகோரசு தேற்றம் தரும் சமன்பாடு:
: <math>a^2 + b^2 = c^2\, </math>  
இப்பொழுது செம்பக்கத்தின் நீளத்தை பின்வரும் வாய்ப்பாட்டால் கணிக்கலாம்:
: <math> c = \sqrt{a^2 + b^2}. \,</math>  
செம்பக்கத்தின் நீளமும், மற்றொரு பக்கத்தின் நீளமும் தெரிந்திருந்தால் மூன்றாவது பக்கத்தின் நீளத்தைக் கீழ்க்காணுமாறு அறியலாம்:
: <math> a = \sqrt{c^2 - b^2}. \,</math>
: <math> b = \sqrt{c^2 - a^2}. \,</math>  
பித்தாகரசு தேற்றம் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பைத் தருகிறது. இதனால் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் இரு பக்க அளவுகள் தெரிந்தால் அதன் மூன்றாவது பக்கத்தை இத் தேற்றத்தின் முடிவைப் பயன்படுத்திக் கணிக்க முடியும்.  
இத் தேற்றத்தின் கிளைமுடிவாக, ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கத்தின் அளவு மற்ற இரு பக்க அளவுகளைவிட அதிகமானதாகவும், ஆனால் மற்ற இரு பக்க அளவுகளின் கூடுதலைவிடச் சிறியதாகவும் இருக்கும் என்ற கூற்றைக் கொள்ளலாம்.  
பித்தகோரசின் தேற்றத்தின் நீட்சியாக அல்லது பொதுமைப்பாடாகச் செங்கோண முக்கோணம் மட்டுமல்லாமல் எந்த ஒரு (யூக்கிளிடிய சமதள) முக்கோணத்திற்கும் பொருந்துமாறு கோசைன்களின் விதி உள்ளது. இவ்விதியைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு முக்கோணத்திலும் அதன் இரு பக்கங்களும் அவற்றுக்கு இடைப்பட்ட கோணமும் தெரிந்தால் முக்கோணத்தின் மூன்றாவது பக்கத்தைக் கணிக்கலாம். மற்ற இரு பக்கங்களுக்கும் இடையே உள்ள கோணம் செங்கோணமாக (90°) இருந்தால், கோசைன்களின் விதி பித்தகோரசின் விதியாகச் சுருங்கிவிடும்.
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## நிறுவல்

பித்தேகோரசு தேற்றத்திற்குப் பல நிறுவல் வழிகள் உள்ளன. அதிக நிறுவல்கள் பெற்ற தேற்றம் என்னும் புகழ் பெற்றது இத்தேற்றம். எலிசா சுகாட் லூமிசு (Elisha Scott Loomis) எழுதிய *பித்தகோரியன் முன்மொழிவு* (*Pythagorean Proposition*), என்னும் நூலில் 367 நிறுவல்களைத் தொகுத்து வழங்கியுள்ளார்.
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## நிறுவல்

### பித்தகோரசின் நிறுவல்

பித்தகோரசு தேற்றமானது பித்தகோரசின் காலத்திற்கு முன்பாகவே அறியப்பட்டிருந்தாலும், பித்தகோரசு தான் அத் தேற்றத்தை முதலில் நிரூபித்தவர் ஆவார். அவர் அளித்த நிறுவல் மிகவும் எளிமையானது. மேலும் அது மறுவரிசைப்படுத்தல் மூலமான நிறுவல் என அழைக்கப்படுகிறது.  
படத்தில் உள்ள இரு பெரிய சதுரங்கள் ஒவ்வொன்றும் நான்கு முற்றொப்பான முக்கோணங்களைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் இரு சதுரங்களிலும் அவை வெவ்வேறு இடங்களில் உள்ளன. எனவே இவ்விரு சதுரங்களுக்குள்ளும் காணப்படும் வெள்ளை நிறப்பகுதிகள் சமமான பரப்பளவு கொண்டிருக்க வேண்டும். அந்த பரப்பளவுகளைச் சமப்படுத்த பித்தகோரசு தேற்றத்தின் கிடைக்கும்.
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## நிறுவல்

### வடிவொத்த முக்கோணங்கள் வாயிலாக நிறுவல்

ABC என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக இருக்கட்டும். C என்னும் முனையில் செங்கோணம் உள்ளது. C இல் இருந்து எதிர்ப் பக்கத்துக்கு ஒரு செங்குத்துக் கோடு வரைவோம். இது எதிர்ப்பக்கமாகிய AB இல் H என்னும் இடத்தில் வெட்டட்டும். இப்பொழுது புதிய முக்கோணமாகிய ACH முதலில் எடுத்துக்கொண்ட ABC என்னும் முக்கோணத்துடன் வடிவொத்த முக்கோணம் ஆகும். ஏனெனில் இரண்டுமே செங்கோண முக்கோணத்தையும், A என்னும் கோணத்தை பொதுவாகவும் கொண்டிருப்பதால் (மூன்றாவது கோணமும் ஒன்றாகத்தான் இருத்தல் வேண்டும்), இரு முக்கோணங்களும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். இதே போன்ற காரணங்களால், முக்கோணங்கள் ABC, CBH ஆகிய இரண்டும் வடிவொத்த முக்கோணங்கள். வடிவொத்த முக்கோணங்கள் ஆகையால், அவற்றின் பக்க நீளங்களின் விகிதங்கள் ஒத்ததாக இருக்கும்.  
:<math> BC=a, AC=b, \text{ and } AB=c, \!</math>
எனவே
:<math> \frac{a}{c}=\frac{HB}{a} \mbox{ and } \frac{b}{c}=\frac{AH}{b}.\,</math>  
இவற்றைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:
:<math>a^2=c\times HB \mbox{ and }b^2=c\times AH. \,</math>  
இவ்விரண்டு சமன்பாடுகளையும் கூட்டினால், நாம் பெறுவது:
:<math>a^2+b^2=c\times HB+c\times AH=c\times(HB+AH)=c^2 .\,\!</math>  
மேலுள்ளவற்றில் இருந்து பித்தகோரசு தேற்றத்தைப் பெறுகின்றோம்:
:<math>a^2+b^2=c^2.\,\!</math>
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## நிறுவல்

### யூக்ளிடின் நிறுவல்

யூக்ளிடின், "கூறுகள்" ("Elements") என்னும் நூலில் முதல் புத்தகத்தில் முன்வைப்பு 47 இல், பித்தகோரசின் தேற்றத்தைக் கீழ்க்காணும் ஏரண காரணங்களைக் கொண்டு நிறுவியுள்ளார்:  
படம் 1 இல்,
- *A*, *B*, *C* ஆகிய மூன்றும் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் மூலைகளாக இருக்கட்டும்.
- செங்கோணம் *A* இல் இருக்கட்டும். *A* இல் இருந்து எதிர்ப்புறமாகிய செம்பக்கத்துக்கு (கர்ணத்துக்கு) ஒரு செங்குத்துக்கோடு வரையப்படுகிறது.
- இந்தச் செங்குத்துக்கோடு செம்பக்கத்தின் மீதுள்ள சதுரத்தின் வழியாக நீண்டு செல்லட்டும்.
- இந்தச் செங்குத்துக் கோடு, செம்பக்கத்தின் மீதுள்ள சதுரத்தை இரண்டு செவ்வகங்களாகப் பிரிக்கின்றது.
- இந்த இரண்டு செவ்வகங்களும் மற்ற இரு பக்கங்களின் மீதுள்ள சதுரங்களின் பரப்பளவுக்குச் சமம்.
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## நிறுவல்

### யூக்ளிடின் நிறுவல்

#### முறையான நிறுவல்

யூக்ளிடின் முறையான நிறுவலுக்கு நான்கு சிறுதேற்றங்கள் தேவை:
1. இரு முக்கோணங்களுக்கிடையே முறையாக இரு பக்கங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இருந்து, அவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணமும் ஒன்றாக இருந்தால் அம் முக்கோணங்கள் முற்றொருமை முக்கோணங்களாகும்.
1. ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு, அதன் அடியாகக் கொண்ட பக்கத்தைக் கொண்டு முக்கோணத்தின் குத்துயரமே கொண்ட ஒரு இணைகரத்தின் பரப்பளவில் பாதி.
1. ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவு அதன் பக்க நீளத்தின் இருமடி
1. எந்த ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவும் அதன் இரு அண்டைப் பக்கநீளங்களின் பெருக்குத்தொகை (மேலுள்ள சிறுதேற்றம் 3 இன் விளைவு).  
;நிறுவல்  
1. ACB என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக இருக்கட்டும். அதன் செங்கோணம் CAB.
1. BC, AB, CA, ஆகிய ஒவ்வொரு பக்கத்தின் மீதும் CBDE, BAGF, ACIH, என்னும் சதுரங்களை முறையாக வரையவும்.
1. A இல் இருந்து , BD, CE களுக்கு இணையாக கோடுவரையவும். இது BC மற்றும் DE ஐ K மற்றும் L, இடங்களில் முறையே செங்க்குத்தாக வெட்டும்.
1. CF, AD முதலியவற்றை இணைத்து BCF, BDA. ஆகிய முக்கோணங்களை ஆக்குக.
1. கோணங்கள் CAB , BAG ஆகிய இரண்டும் செங்கோணங்கள்; ஆகவே C, A, G ஆகிய மூன்றும் ஒருகோட்டில் அமரும் புள்ளிகள். #அதைப்போலவே B, A, H ஆகிய மூன்றும் ஒருகோட்டுப்புள்ளிகள்.
1. கோணங்கள் CBD, FBA ஆகிய இரண்டும் செங்கோணங்கள்; ஆகவே கோணம் ABD, கோணம் FBC ஆகிய இரு கோணங்களும் செங்கோணம் கூட்டல் கோணம் ABC ஆக இருப்பதால் இரண்டும் சமம்.
1. AB, BD ஆகிய இரண்டும் FB, BC ஆகிய இரண்டுக்கும் முறையே ஈடு ஆகையால், முக்கோணம் ABD, முக்கோணம் FBC இக்கு ஈடாக இருத்தல் வேண்டும்.
1. புள்ளி A ஆனது K , L உடன் நேர்க்கோட்டில் அமர்வதால் BDLK என்னும் செவ்வகம் ABD என்னும் முக்கோணத்தின் பரப்பளவை போல் இரு மடங்காகும்..
1. முனை C ஆனது A, G உடன் நேர்க்கோட்டில் அமர்வதால், BAGF என்னும் சதுரம் FBC என்னும் முக்கோணத்தை போல் இருமடங்கு பரப்பளவு கொண்டது.
1. எனவே BDLK என்னும் செவ்வகம் BAGF என்னும் சதுரத்தின் பரப்பளவு கொண்டிருக்கும். அது AB<sup>2</sup> சமம்.
1. அதே போல, CKLE என்னும் செவ்வகம் ACIH என்னும் சதுரத்தின் பரப்பளவிற்கு ஈடாக இருக்கும். அது AC<sup>2</sup> இக்குச் சமம்.
1. மேலுள்ள இரண்டு முடிவுகளையும் சேர்த்தால், AB<sup>2</sup> + AC<sup>2</sup> = BD × BK + KL × KC
1. BD = KL என்பதால், BD* BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
1. எனவே AB<sup>2</sup> + AC<sup>2</sup> = BC<sup>2</sup>, ஏனெனில் CBDE என்பது ஒரு சதுரம்.  
இந்த நிறுவல் யூக்கிளிடின் "கூறுகள்" நூலில் முதல் தொகுதியில் 47 ஆவது முன்வைப்பாக உள்ளது 1.47.
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## நிறுவல்

### இயற்கணித நிறுவல்

இயற்கணித முறையைப் பின்பற்றிக் கீழ்க்காணும் காரண கருத்தோட்டத்தின் படி நிறுவலாம். இதற்கு அருகில் உள்ள படம் உதவும்.
- படத்தில் நீல நிறத்தில் C என்னும் பக்கம் கொண்ட சதுரமானது, நான்கு ஒரே அளவும் வடிவும் உடைய செங்கோண முக்கோணங்களை அடுக்கி நடுவே அமைக்கப்பட்டுள்ளது.
- நீல நிறச் சதுரமும், மற்ற நான்கு முக்கோணங்களும் சேர்ந்து இன்னும் பெரிய சதுரம் உருவாகி இருப்பதையும் பார்க்கவும்.
- இப்பெரிய சதுரத்தின் பக்க நீளம் (A+B) என்பதையும் நோக்கவும்.
- *A* , *B* பக்கநீளங்களுடைய ஒரு சிறு செங்கோண முக்கோணத்தின் பரப்பளவு:
:<math>\frac{1}{2} AB.</math>
- நடுவே நீல நிறத்தில் சதுரத்தின் பரப்பளவு *C*<sup>2</sup>.
- எனவே, இப்படத்தில் உள்ள பல்வேறு வடிவங்களின் மொத்தப் பரப்பளவு:
:<math>4\(\frac{1}{2}AB\)+C^2. \quad (1)</math>
- ஆனால் யாவற்றையும் அடக்கி இருக்கும் பெரிய சதுரத்தின் பக்க அளவு *A*&nbsp;+&nbsp;*B*, எனவே அதன் பரப்பளவு:
:<math> (A + B)^2 = A^2 +2AB + B^2 \quad (2)</math>
- (1), (2) இரண்டும் பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவையே தருகின்றன. எனவே அவற்றைச் சமப்படுத்த:
:<math>A^2+2AB+B^2=4\(\frac{1}{2}AB\)+C^2.\,\!</math>
: <math> \Rightarrow A^2+2AB+B^2=2AB+C^2\,\!</math>
இப்பொழுது 2*AB* ஐ மேலுள்ள ஈடுகோளின் இருபக்கங்களில் இருந்தும் கழித்தால்,
:<math>\Rightarrow A^2+B^2=C^2\,\!</math>
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## நிறுவல்

### மீள்வரிசைப்படுத்தல் வாயிலாக நிறுவல்

என்பவர்.]]
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## நிறுவல்

### வகையீடுகளைப் பயன்படுத்தி நிறுவுதல்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு பக்க அளவில் ஏற்படும் மாற்றத்தினால் அதன் கர்ணத்தின் அளவில் ஏற்படும் மாற்றத்தைக் கணித்து, நுண்கணிதத்தையும் பயன்படுத்தினால் பித்தகோரசு தேற்றத்தைப் பெறலாம்.  
படத்தின் மேற்பக்கத்தில்,
:முக்கோணம் *ABC* ஒரு செங்கோண முக்கோணம். அதன் செம்பக்கம் *BC*.
படத்தின் கீழ்பக்கத்தில்,
:செம்பக்கம் *BC* இன் நீளம் *y*; பக்கம் *AC* இன் நீளம் *x*; பக்கம் *AB* இன் நீளம் *a*.  
:செம்பக்கம் *BC*க்குச் செங்குத்தாக *CE* இருக்குமாறு *E* எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.  
;நிறுவல்
- *x* இன் அளவு அதிகரிக்கும் மிகச்சிறிய அளவு *dx* எனில், பக்கம் *AC* ஐ *D* வரை சற்று நீட்டிக்க, *y* ம் *dy* அளவு அதிகரிக்கிறது.
- *dx* , *dy* இரண்டும் *CDE* முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களாகின்றன.
- முக்கோணம் *CDE* ஒரு செங்கோண முக்கோணமாக அமைகிறது. மேலும் அது முக்கோணம் *ABC* க்குத் தோராயமாக வடிவொத்ததாகவும் அமைகிறது. இதனால் இவ் விரு முக்கோணங்களின் ஒத்தபக்கங்களின் விகிதங்கள் சமமாக இருக்கும்:
:<math> \frac{dy}{dx} = \frac xy.</math>
:<math> \Rightarrow y \cdot dy - x \cdot dx = 0.\,</math>
- இது ஒரு வகையீட்டுச் சமன்பாடு ஆகும். இச் சமன்பாட்டின் தீர்வு:
:<math>y^2 - x^2 = C,\,</math>
இத்தீர்வில் *x* = 0, *y* = *a* எனப் பிரதியிட *C* = *a* <sup>2</sup> கிடைக்கிறது.
:<math>y^2 = x^2 + a^2.\,</math>
(*dx* , *dy* க்குப் பதிலாக எல்லைகளைப் பயன்படுத்தினால் இந் நிறுவம் மேலும் மேம்பட்டதாக அமையும்.)
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## மறுதலை

பித்தகோரசு தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும்:
;மறுதலைக் கூற்று
<blockquote> என்ற முடிவை நிறைவு செய்யும் நேர் எண்கள் *a*, *b*, *c* எனில், இம் மூன்று எண்களையும் பக்கங்களாகக் கொண்டு ஒரு முக்கோணம் வரையலாம்; மேலும் அம் முக்கோணம், *a* , *b* பக்கங்களுக்கு இடையே செங்கோணத்தைக் கொண்ட செங்கோண முக்கோணமாகவும் இருக்கும்.</blockquote>  
;மாற்றுக் கூற்று
<blockquote>*a*, *b*, *c* ஐப் பக்கங்களாகக் கொண்ட முக்கோணத்தில் எனில், *a* , *b* பக்கங்களுக்கிடையேயான கோணம் 90° ஆகும்.</blockquote>  
இந்த மறுதலை யூக்ளிடின் ’கூறுகள்’ புத்தகத்தில் உள்ளது (புத்தகம் I, முன்வைப்பு 48):
<blockquote>ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் மீது வரையப்படும் சதுரம் முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களின் மீது வரையப்படும் இரு சதுரங்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த இரு பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் செங்கோணம் ஆகும்.அம் முக்கோணம் செங்கோண முக்கோணமாகும்.</blockquote>  
இக் கூற்றினை கொசைன் விதியைப் பயன்படுத்தி நிறுவலாம். கீழ்க்கண்டவாறும் நிறுவலாம்:
;நிறுவல்
- *a*, *b*, *c* ஐப் பக்கங்களாகக் கொண்ட முக்கோணம் *ABC* என்க. மேலும்
- *a* and *b* க்கு இடையே செங்கோணம் கொண்ட ஒரு இரண்டாவது முக்கோணத்தை வரைந்தால் பித்தாகரசு தேற்றத்தின்படி, அதன் செம்பக்கத்தின் நீளம் ஆகும்.
- இது முதல் முக்கோணத்தின் பக்கமான *c* க்குச் சமமாகும்.
- இரு முக்கோணங்களின் பக்கங்கள் சமமாக இருப்பதால் அவையிரண்டும் சர்வசமமாகும்.
- இரு சர்வசம முக்கோணங்களில் அவற்றின் ஒத்த கோணங்கள் சமமாக இருக்கும் என்பதால், இரண்டாம் முக்கோணத்தில் உள்ளது போலவே முதல் முக்கோணத்திலும் *a* , *b* பக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணமும் செங்கோணமாகும். அதாவது, முதல் முக்கோணம் ஒரு செங்கோண முக்கோணம்.  
பித்தகோரசு தேற்றத்தின் மறுதலையின் இந் நிறுவலில் பித்தகோரசு தேற்றம் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. எனினும் பித்தகோரசு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தாமலும் அதன் மறுதலையை நிறுவலாம்.  
;மறுதலையின் கிளைமுடிவு
பித்தகோரசுத் தேற்றத்தின் மறுதலையின் கிளைமுடிவுவானது, எடுத்துக்கொள்ளப்படும் முக்கோணம் விரிகோண முக்கோணமா, குறுங்கோண முக்கோணமா அல்லது செங்கோண முக்கோணமா என வகைப்படுத்தப் பயன்படுகிறது.  
எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் *a* , *b* , *c* . இவற்றில் மிக நீளமான பக்கம் *c* எனில், கீழ்க்காணும் கூற்றுகள் முக்கோணத்தின் வகையைத் தருகின்றன:
- எனில், முக்கோணம் செங்கோண முக்கோணம்.
- எனில், முக்கோணம் குறுங்கோண முக்கோணம்.
- எனில், முக்கோணம் விரிகோண முக்கோணம்.
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## விளைவுகளும் பயன்பாடுகளும்

### பித்தகோரசின் மும்மை

பைதகரசின் விதியை திருப்தி செய்யும் வகையில் செங்கோண முக்கோணமொன்றின் பக்கங்களின் நீளத்தொடர்புகள் பித்தகோரசின் மும்மை எனப்படும். முழு எண்களினாலான முதலாவது பித்தாகோரசு மும்மை 3, 4, 5 என்பதாகும். இதன் மடங்குகளும் அதாவது (6,8,10) , (9,12,15), (30,40,50) என்பனவும் முழு எண்ணினாலான பித்தகோரசின் மும்மையைத் தரும். இது தவிர (8,15,17), (7,24,25).... என்றவாறு பித்தகோரசின் முழு எண் மும்மைகளை அமைக்கலாம்.  
பித்தகோரசின் முழு எண் மும்மை துணியப்படும் முறை:
- ஒரு எண் இரட்டை எண்ணாயின் அதன் அரைவாசியின் வர்க்கத்துடன் ஒன்றைக் கூட்டிய, கழித்த எண்கள் அடுத்தடுத்த எண்களாக அமையும்.  
எடுத்துக்காட்டு:
எண் 6 எனின் அதன் அரைவாசி 3. மூன்றின் வர்க்கம் 9. ஆகவே பித்தகோரசின் முழு எண் மும்மையின் அடுத்த எண்கள் 8, 10. இங்கு பித்தகோரசின் முழு எண் மும்மை (6,8,10)  
- ஒரு எண் ஒற்றை எண்ணாயின் அது வர்க்கிக்கப்படும். வரும் பெறுமானத்தின் (அதுவும் ஒற்றை எண்) அரைவாசியில் ஒன்று குறைந்த தொகையும் ஒன்று கூடிய தொகையும் அடுத்தடுத்த எண்களாக அமையும்.  
எடுத்துக்காட்டு:
எண் 7 எனின் அதன் வர்க்கம் 49. அரைவாசி 25 உம் 24 உம் ஆகும். இங்கு பித்தகோரசின் முழு எண் மும்மை (7,24,25)
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## விளைவுகளும் பயன்பாடுகளும்

### சிக்கல் எண்கள்

:<math>z = x + iy,\,</math> என்றதொரு சிக்கலெண்ணின் தனி மதிப்பு அல்லது மட்டு மதிப்பு:
:<math>r = |z|=\sqrt{x^2 + y^2}.\,</math>
எனவே *r*, *x* , *y* மூன்றும் பித்தகோரசு தேற்றத்தின் முடிவை நிறைவு செய்கின்றன:
:<math>r^2 = x^2 + y^2.\,</math>  
*r* நேர் எண்ணாகவோ அல்லது பூச்சியமாகவோ அமையலாம்; *x* , *y* நேர் அல்லது எதிர் எண்களாக இருக்கலாம்.  
சிக்கலெண் தளத்தில், *z* க்கும் ஆதிப்புள்ளி *O* க்கும் இடைப்பட்ட தூரம் *r* ஆகும். இதனைப் பொதுமைப்படுத்தி சிக்கலெண் தளத்திலமையும் இரு புள்ளிகளுக்கிடைப்பட்ட தூரத்தைக் காணலாம்.  
*z*<sub>1</sub> , *z*<sub>2</sub> இரு சிக்கலெண் புள்ளிகள் எனில் அவற்றுக்கிடையே உள்ள தூரம்:
:<math>|z_1 - z_2|=\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2},\,</math>  
இதுவும் பித்தாகரசு தேற்ற முடிவாகிறது:
:<math>|z_1 - z_2|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2.\,</math>
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## விளைவுகளும் பயன்பாடுகளும்

### வேறுபட்ட ஆள்கூற்று முறைமைகளில் யூக்ளிடின் தொலைவு

#### கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமை

கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில் இரு புள்ளிகளுக்கிடையேயுள்ள தொலைவைக் கணக்கிட பயன்படும் வாய்ப்பாடு பித்தகோரசு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திப் பெறப்படுகிறது.  
கார்ட்டீசியன் தளத்திலமையும் ஆகிய இருபுள்ளிகளுக்கிடையேயுள்ள தொலைவு (யூக்ளிடிய தொலைவு) காணும் வாய்ப்பாடு:
:<math> \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}. </math>  
பொதுவாக, யூக்ளிடிய *n*-வெளியில் அமையும் இரு புள்ளிகளுக்கு (<math>A\,=\,(a_1,a_2,\dots,a_n),</math> <math>B\,=\,(b_1,b_2,\dots,b_n)</math>) இடையேயுள்ள யூக்ளிடிய தொலைவானது பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பித்தகோரசு தேற்றத்தின் மூலம் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:
:<math>\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.</math>
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## விளைவுகளும் பயன்பாடுகளும்

### வேறுபட்ட ஆள்கூற்று முறைமைகளில் யூக்ளிடின் தொலைவு

#### வளைகோட்டு ஆள்கூறுகள்

கார்ட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமைக்குப் பதில் போலார் ஆள்கூறுகள் அல்லது மேலும் பொதுவான வளைகோட்டு ஆள்கூறுகள் பயன்படுத்தப்படும்போதும், யூக்ளிடிய தொலைவு காணும் வாய்ப்பாட்டினைப் பித்தகோரசு தேற்றத்தின் மூலம் பெறமுடியும். இதற்கு கார்ட்டீசியன் ஆள்கூறுகளையும் வளைகோட்டு ஆள்கூறுகளையும் இணைக்கும் தொடர்புச் சமன்பாடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.  
எடுத்துக்காட்டாக, இருபரிமாணத் தளத்திலமைந்த ஒரு புள்ளியின் போலார் ஆள்கூறுகள் கார்ட்டிசியன் ஆள்கூறுகள் எனில்:
:<math> x = r \cos \theta, \ y = r \sin \theta.\, </math>  
என்ற இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு *s* பின்வருமாறு கார்ட்டீசியன் தொலைவு வாய்ப்பாட்டிலிருந்து போலார் ஆள்கூறுகளில் பெறப்படுகிறது:
:<math>s^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 = (r_1 \cos \theta_1 -r_2 \cos \theta_2 )^2 + (r_1 \sin \theta_1 -r_2 \sin \theta_2)^2.\, </math>
:<math>\begin{align}s^2 &= r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \( \cos \theta_1 \cos \theta_2 +\sin \theta_1 \sin \theta_2 \)\\
&= r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos \( \theta_1 - \theta_2\)\\
&=r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos \Delta \theta, \end{align}\,</math>  
இந்த வாய்ப்பாடு கொசைன்களின் விதியாகும். இது சில சமயங்களில் ’பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பித்தகோரசு தேற்றம்’ எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.  
எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட இரு புள்ளிகளின் ஆரைத் திசையன்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருக்குமானால் ஆகும். இந்நிலையில் மேலேயுள்ள தொலைவு வாய்ப்பாடு <math>s^2 = r_1^2 + r_2^2.\, </math> என்றாகி விடுகிறது. இதனால் செங்கோண முக்கோணங்களுக்குப் பொருந்தும் பித்தகோரசு தேற்றத்தை, எந்தவொரு முக்கோணத்துக்கும் பொருந்துகின்ற கொசைன்களின் விதியின் சிறப்புவகையாகக் கொள்ளலாம்.
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## விளைவுகளும் பயன்பாடுகளும்

### பித்தகோரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் *a*, *b*, *c* (செம்பக்கம்); பக்கம் *a*க்கும் செம்பக்கத்துக்கும் இடைப்பட்ட கோணம் *θ* எனில்:
:<math>\sin \theta = \frac{b}{c}, \quad \cos \theta = \frac{a}{c}.</math>
:<math>\Rightarrow {\cos}^2 \theta + {\sin}^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1</math>  
இதில் <math>c^2 = a^2 + b^2 </math> என்ற பித்தகோரசு தேற்ற முடிவு பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. சைனுக்கும் கொசைனுக்கும் இடையேயான இந்தத் தொடர்பு அடிப்படையான பித்தகோரசின் முக்கோணவியல் முற்றொருமை என அழைக்கப்படுகிறது.
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## விளைவுகளும் பயன்பாடுகளும்

### குறுக்குப் பெருக்கத்துடன் தொடர்பு

பித்தகோரசு தேற்றம், குறுக்குப் பெருக்கத்தையும் புள்ளிப் பெருக்கத்தையும் தொடர்புபடுத்துகிறது:  
:<math> \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 + (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2.\,</math>  
;நிறுவல்
திசையன் இயற்கணிதத்தில் குறுக்குப் பெருக்கம், புள்ளிப் பெருக்கம் இரண்டின் வரையறை:
:<math>\begin{align} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= ab \mathbf{n} \sin{\theta} \\
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= ab \cos{\theta}, \end{align}</math> (**a** , **b** திசையன்களுக்கு செங்குத்தான அலகு திசையன் **n**)  
:<math> \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 + (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \,</math>
இதில் மேலுள்ள வரையறைகளைப் பயன்படுத்த,
:<math> =\|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2 \|\mathbf{(n)}\|^2 \sin^2{\theta} + \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2 \cos^2{\theta} \,</math> (<math>\|\mathbf{(n)}\|^2 =1 </math>)
:<math> =\|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2 (\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta}) \,</math> (பித்தாகரசு முக்கோணவியல் முற்றொருமையின்படி, <math>\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1 </math>)
:<math> =\|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2.\,</math>  
மேலே தரப்பட்ட தொடர்பினை சற்று மாற்றியமைத்து குறுக்குப் பெருக்கத்தைக் கீழுள்ளவாறு வரையறையறுக்கலாம்:
:<math> \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2.\,</math>
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## பொதுமைப்படுத்தல்

### வெவ்வேறு வடிவொத்த வடிவங்கள்

செங்கோண முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் மீதும் சதுரங்களுக்குப் பதிலாக வெவ்வேறு மூன்று வடிவொத்த வடிவங்களை வரைந்து பித்தகோரசு தேற்றத்தினைப் பொதுமைப்படுத்தியவர் கிமு ஐந்தாம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த கிரேக்கக் கணிதவியலார் இப்போகிரசு (சியோசு) ஆவார். இதே கருத்து யூக்ளிடின் ’கூறுகள்’ புத்தகத்திலும் உள்ளது (புத்தகம் VI, முன்வைப்பு VI 31):  
:யூக்ளிடின் ’கூறுகள்’ புத்தகம் VI, முன்வைப்பு VI 31:
<blockquote>ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் மீது வடிவொத்த வடிவங்கள் வரையப்பட்டால், இரு சிறிய பக்கங்களின் மீது வரையப்பட்ட வடிவங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல் பெரிய பக்கத்தின் மீது வரையப்பட்ட வடிவத்தின் பரப்பளவுக்குச் சமமாக இருக்கும்.</blockquote>  
தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தல் முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் ஒவ்வொன்றும் அவற்றின் மீது வரையப்படும் வடிவத்தின் ஒரு பக்கமாக உள்ளது என்ற கூற்றின் அடிப்படையில் பித்தகோரசு தேற்றம் இவ்வாறு பொதுமைப்படுத்தப்படுகிறது.  
செங்கோண முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் மீது வரையப்படும் குவிவுப் பல்கோணங்களுக்கு மட்டும் இத்தேற்றத்தினை யூக்ளிடின் நிறுவல் தருகிறது என்றாலும், தேற்றமானது குழிவுப் பல்கோணங்களுக்கும், வளைகோட்டு வரம்புகளுடைய வடிவங்களுக்குங்கூடப் (அவ் வடிவங்களின் ஒரு வரம்பு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கமாக இருக்கும்பட்சத்தில்) பொருந்தும்.  
;கொசைன்களின் விதி
:: <math>a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2, \,</math>  
:*a* , *b* பக்கங்களுக்கு இடைப்பட்ட கோணம் θ.
:<math> \theta = {90}^o </math>
:<math> \Rightarrow cos\theta = {90}^o = 0</math>
எனவே இந்நிலையில் இவ்விதி பித்தகோரசு தேற்றமாகிறது.
# பித்தேகோரசு தேற்றம்

## மேற்கோள்களும் அடிக்குறிப்புகளும்

<div>
- Bell, John L., *The Art of the Intelligible: An Elementary Survey of Mathematics in its Conceptual Development*, Kluwer, 1999. .
- Euclid, *The Elements*, Translated with an introduction and commentary by Sir Thomas L. Heath, Dover, (3 vols.), 2nd edition, 1956.
- Hardy, Michael, "Pythagoras Made Difficult". *Mathematical Intelligencer*, **10** (3), p.&nbsp;31, 1988.
- Heath, Sir Thomas, *A History of Greek Mathematics* (2 Vols.), Clarendon Press, Oxford (1921), Dover Publications, Inc. (1981), .
- Loomis, Elisha Scott, *The Pythagorean proposition*. 2nd edition, Washington, D.C : The National Council of Teachers of Mathematics, 1968.
- Maor, Eli, *The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History*. Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 2007, .
- Stillwell, John, *Mathematics and Its History*, Springer-Verlag, 1989. and .
- Swetz, Frank, Kao, T. I., *Was Pythagoras Chinese?: An Examination of Right Triangle Theory in Ancient China*, Pennsylvania State University Press. 1977.
- van der Waerden, B.L., *Geometry and Algebra in Ancient Civilizations*, Springer, 1983.
</div>
# ஹாரங்கி ஆறு

**ஹாரங்கி ஆறு** காவிரியின் துணை ஆறுகளில் ஒன்றாகும். சங்கப்பாடல்கள் அயிரி ஆறு எனக் கூறுவது இது எனக் கொள்ளத் தக்கது. இது 50 கி.மீ. நீளமுடையது. குடகு மாவட்டத்திலுள்ள புஷ்பகிரி மலையில் உற்பத்தியாகும் ஹாரங்கி குசால்நகர் அருகே காவிரியுடன் கலக்கிறது. இதன் நீர்பிடிப்பு பகுதி 717 சதுர கி.மீ. ஆகும். ஹாரங்கி அணையானது இவ்வாற்றின் குறுக்கே கட்டப்பட்டுள்ளது. இது குசால்நகர் - மடிக்கேரி சாலையிலிருந்து 6 கி.மீ. தொலைவில் உள்ளது.
# மைக்கல் ஃபெல்ப்ஸ்

**மைக்கல் ஃப்ரெட் பெல்ப்ஸ் II** (மைக்கல் பிரெட் பெல்ப்சு II) (*Michael Fred Phelps II*, பி ஜூன் 30, 1985, பால்ட்டிமோர், மேரிலன்ட்) பல நீச்சல் வகைகளில் உலக சாதனைகளைப் படைத்த அமெரிக்க நீச்சல் வீரர் ஆவார். 28 ஒலிம்பிக் தங்கப் பதக்கங்களை பெற்ற ஃபெல்ப்ஸ் ஒலிம்பிக் வரலாற்றில் மிக அதிக தங்கப் பதக்கம் பெற்றவர் ஆவார்.  
ஏதென்ஸ், கிரீசில் நடந்த 2004 ஒலிம்பிக் விளையாட்டுப் போட்டிகளில் 8 பதக்கங்களை (6 தங்கம், 2 வெண்கலம்) வென்றார். 2008 ஒலிம்பிக் விளையாட்டுப் போட்டிகளில் 8 தங்கப் பதக்கங்களை வென்றுள்ளார். ஓராண்டின் ஒலிம்பிக் போட்டிகளில் வென்ற மிகக் கூடிய தங்கப் பதக்க எண்ணிக்கை இதுவேயாகும். 2012 ஒலிம்பிக்கில் 6 பதக்கங்களையும் (4 தங்கம், 2 வெள்ளி) 2016 ஒலிம்பிக்கில் 5 பதக்கங்களையும் (4 தங்கம், 1 வெள்ளி) பெற்றார். எல்லாமாக 27 பதக்கங்களைப் பெற்று, அதிக பதக்கம் பெற்றோர் பட்டியலில் முதலிடத்தில் உள்ளார்.  
ஓர் ஒலிம்பிக்கில் ஒருவர் பெற்ற அதிகூடிய பதக்க எண்ணிக்கையான 8 பதக்கங்களை பெல்ப்ஸ் இருதடவை பெற்றுள்ளார். இரசியரான அலெக்சாந்தர் டித்யாதின் ஓர் ஒலிம்பிக்கில் 8 பதக்கம் பெற்ற இன்னொருவர்.
# பஞ்சாப் (பாக்கிஸ்தான்)

**பஞ்சாப் மாகாணம்** (Punjab province) பாகிஸ்தான் நாட்டின் மக்கள் தொகை மிகுந்த மாகாணம் ஆகும். பஞ்சாப் மாகாணத்தின் தலைநகரம் லாகூர் ஆகும். சிந்துவெளி நாகரீகங்களின் சான்றுகள் அமைந்துள்ள பண்டைய நகரங்கள் ஹராப்பாவும், மொஹஞ்சதாரோவும், சோலிஸ்தான் பாலைவனமும் பஞ்சாப் மாகாணத்தில்தான் அமைந்துள்ளன.
# பஞ்சாப் (பாக்கிஸ்தான்)

## வருவாய் கோட்டங்கள்

| வ. எண் | கோட்டம் | தலைமையிடம் | பரப்பளவு
(km²) | மக்கள் தொகை
(1998) |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | பகவல்பூர் கோட்டம் | பகவல்பூர் | 45,588 | 2,433,091 |  |
| 2 | தேரா காஜி கான் கோட்டம் | தேரா காசி கான் | 38,778 | 4,635,591 |  |
| 3 | பைசலாபாத் கோட்டம் | பைசலாபாத் | 17,917 | 7,429,547 |  |
| 4 | குஜ்ரன்வாலா கோட்டம் | குஜ்ரன்வாலா | 17,206 | 4,800,940 |  |
| 5 | லாகூர் கோட்டம் | லாகூர் | 16,104 | 14,318,745 |  |
| 6 | முல்தான் கோட்டம் | முல்தான் | 21,137 | 5,116,851 |  |
| 7 | ராவல்பிண்டி கோட்டம் | ராவல்பிண்டி | 22,255 | 5,363,911 |  |
| 8 | சாகிவால் கோட்டம் | சாகிவால் | 10,302 | 2,643,194 |  |
| 9 | சர்கோதா கோட்டம் | சர்கோதா | 26,360 | 4,557,514 | } |
# பாபேல் கோபுரம்

பாபேல் கோபுரத்தின் சித்தரிப்பு (1563).]]  
**பாபேல் கோபுரம்** என்பது தொடக்க நூலின் படி, சினயார் சமவெளியில் கட்டப்பட்ட ஒரு கோபுரம் ஆகும்.  
விவிலியத்தின் படி, வெள்ளப்பெருக்கிற்குப் பின் உலகம் முழுவதிலும் ஒரே மொழியும் ஒரே விதமான சொற்களும் இருந்தன. மனிதர்கள் கிழக்கிலிருந்து வந்து சினயார் சமவெளியில் குடியேறினர். அப்பொழுது அவர்கள், ″வாருங்கள், உலகம் முழுவதும் நாம் சிதறுண்டு போகாதபடி வானளாவிய கோபுரம் கொண்ட நகர் ஒன்றை நமக்காகக் கட்டி எழுப்பி, நமது பெயரை நிலை நாட்டுவோம்″ என்றனர். மானிடர் கட்டிக்கொண்டிருந்த நகரையும் கோபுரத்தையும் காண்பதற்கு ஆண்டவர் கீழே இறங்கி வந்தார். அப்பொழுது ஆண்டவர், ″இதோ! மக்கள் ஒன்றாக இருக்கின்றனர். அவர்கள் எல்லோரும் ஒரே மொழி பேசுகின்றனர். அவர்கள் செய்யவிருப்பதன் தொடக்கமே இது! அவர்கள் திட்டமிட்டுச் செய்யவிருப்பது எதையும் இனித்தடுத்து நிறுத்த முடியாது. வாருங்கள், நாம் கீழே போய் அங்கே ஒருவர் மற்றவரின் பேச்சைப் புரிந்து கொள்ள முடியாதபடி, அவர்கள் மொழியில் குழப்பத்தை உண்டாக்குவோம்″ என்றார். ஆண்டவர் அவர்களை அங்கிருந்து உலகம் முழுவதிலும் சிதறுண்டுபோகச் செய்ததால் அவர்கள் நகரைத் தொடர்ந்து கட்டுவதைக் கைவிட்டனர். ஆகவே அது ″பாபேல்″ என்று வழங்கப்பட்டது. ஏனெனில் அங்கே ஆண்டவர் உலகெங்கும் வழங்கி வந்த மொழியில் குழப்பத்தை உண்டாக்கினார். அங்கிருந்து அவர்களை ஆண்டவர் உலகம் முழுவதிலும் சிதறுண்டு போகச் செய்தார். (தொடக்க நூல் 11:5-8).
# வலு

இயற்பியலில், காலத்தால் வேலையை செய்யும் அல்லது ஆற்றும் விரைவைக் குறிக்கும். அதாவது ஒர் அலகு கால இடைவெளியில் எவ்வளவு வேலை ஆற்றப்படுகின்றது (செய்யப்படுகின்றது அல்லது கடக்கின்றது) என்பது **ஆற்றுதிறன்** அல்லது ** வலு** ஆகும். **ஆற்றுதிறன்** அல்லது **வலு** என்பதை **P** என்னும் குறியால் குறிப்பது வழக்கம். ஆங்கிலத்தில் பவர் (power) என்பதன் அடிப்படையில் இக்குறி அமைந்துள்ளது. இதனை நாம் **வ** அல்லது வேறு எழுத்துக்களாலும் குறிக்கலாம்.  
இதற்கு திசையேதும் இல்லாததால், இது திசையிலி அல்லது அளவெண் (Scalar) அளவை ஆகும். அனைத்துலக முறை அலகுகளில் அதன் அலகு சூல்/நொடி அல்லது வாட்டு என்ற அலகாலும் அளக்கப்படுகிறது. பதினெட்டாம் நூற்றாண்டில் நீராவி இயந்திரத்தைக் கண்டறிந்த சேம்சு வாட்டின் நினைவாக இப்பெயர் வழங்கப்பட்டுள்ளது. குதிரைத் திறன் என்பது பொதுவான அல்லது மரபாக பயன்படுத்தப்படும் அலகாகும்.  
வேலை செய்யும் வீதமே திறன் அல்லது வலு ஆகும். திறனுக்கான சமன்பாடு கீழ்கண்டவாறு வழங்கப்பட்டுள்ளது.  
திறன் = (வேலை) / (காலம்)  
இயற்பியல் கருத்துப்படி, திறன் என்பது குறிப்பிட்ட நேரத்தில் இயற்பியல் உலகத்தில் ஏற்படும் மாற்றம் ஆகும். மாடிப்படியில் ஏறும் ஒரு நபர், நடந்தோ அல்லது ஓடியோ படியை கடப்பது, அவர் செய்த வேலை ஆகும். அதே வேலையை குறிப்பிட்ட காலத்தில் செய்து முடித்தால், அது அவருடைய திறனாகும்.  
ஒரு மின் மோட்டார் வெளிவிடும் திறனின் அளவு முறுக்கு விசை மற்றும் கோண திசை வேகம் (angular velocity) ஆகியவற்றின் பெருக்கற் தொகைக்குச் சமம். ஒரு பேருந்தின் திறன் என்பது பேருந்தின் மீது செயல்படும் விசை மற்றும் பேருந்தின் திசை வேகம் ஆகியவற்றின் பெருக்கற் தொகைக்குச் சமம். ஒளிரும் விளக்கு ஒன்று மின் ஆற்றலை, வெப்ப ஆற்றல் மற்றும் ஒளி ஆற்றல் மாற்றுகிறது. இது வாட் என்ற அலகால் அளக்கப்படுகிறது.
# வலு

## அலகுகள்

திறனின் பரிமாண வாய்பாடு ஆற்றல் காலத்தால் வகுக்கக் கிடைப்பது ஆகும். அனைத்துலக முறை அலகுகளில்]] அதன் அலகு சூல் / நொடி அல்லது வாட்டு (W) என்ற அலகாலும் அளக்கப்படுகிறது. திறனின் மற்ற அலகுகள் எர்க் / விநாடி (erg/s), குதிரை திறன் (hp), அடி-பவுண்ட் / நிமிடம் (foot-pound), ஒரு குதிரை திறன் என்பது 33,000 அடி-பவுண்ட் / நிமிடம் அல்லது 746 வாட்டுகளுக்குச் சமம். உணவின் திறன் கலோரி / மணி என்ற அலகிலும் பிரித்தானிய வெப்ப அலகு / மணி என்ற அலகிலும் அளக்கப்படுகிறது. (12,000 BTU/h) 12,000 பிரித்தானிய வெப்ப அலகு / மணி அலகு குளிரரூட்டும் சாதனத்தின் ஒரு டன் என்ற அலகாகும்.
# வலு

## திறனின் அளவீடுகள்

**ஆற்றுதிறன்** அல்லது **வலு** = (ஆற்றல்)/(கால இடைவெளி) = (வேலை)/(கால இடைவெளி)  
:<math>
P = \frac{W}{t} = \frac{E}{t}
</math>  
இங்கு *P* திறன், *W* வேலை, *t* நேரம் எனக் கொள்வோம்.  
திறனின் அளவை அலகுகள், ஆற்றலின் அலகுகளை நேரத்தால் வகுத்தால் கிடைப்பனவாகும். திறனின் SI அலகு வாட் (W) ஆகும். ஒரு வாட் என்பது, ஒரு நொடிக்கு ஒரு ஜூல் ஆற்றல் செலவீடு ஆகும்.  
1 வாட் = 1 ஜூல்/நொடி (= 0.738 அடி . பவுண்டு/நொடி)  
கால இடைவெளியைச் சுருக்கிக்கொண்டே போனால், எந்த ஒரு காலப்புள்ளியிலும் இயங்கும் ஆற்றுதிறனை, வலுவை அறியலாம். கணித முறைப்படி இதனைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:
:<math>
P (t)= \lim_{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\Delta W}{\Delta t} =\frac{dW}{dt}\,
</math>  
ஆற்றுதிறன் காலத்துக்குக் காலம் மாறுமடுமாயின், சராசரியான ஆற்றுதிறனை அறிய மொத்த வேலை அல்லது ஆற்றல் எவ்வளவு என்று கண்டு அது எத்தனைக் கால இடைவெளியில் நிகழ்ந்தது என்று அறிந்து கீழ்க்காணுமாறு கணக்கிடலாம்:  
:<math>
P_\mathrm{avg}= \frac{W}{\Delta t}\,
</math>  
வேலையை (<math>W \,</math>) என்றும், விசையை (<math>F \,</math>) என்றும், இடப்பெயர்ச்சியை (<math>\Delta x \,</math>) என்றும் குறித்தால்,
:<math> W = F .\Delta x \,</math>,  
:<math> v = \frac{\Delta x}{\Delta t} \,</math> &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; என்றும் எழுதலாம். ஆகவே இவற்றைப் பயன்படுத்தி
ஆற்றுதிறன் அல்லது வலு என்பதற்குக் கீழ்க்காணும் பயனுடைய வாய்பாட்டைப் பெறலாம்:  
:<math> P = F \frac{\Delta x}{\Delta t} = F.v \, </math> &nbsp; &nbsp; = &nbsp; விசை <math> \times \,</math> விரைவு
# வலு

## சராசரி திறன்

எடுத்துக்காட்டாக ஒரு கிலோ கிராம் எடையுள்ள டிரை நைட்ரோ டொலுவின் (Trinitrotoluene|TNT) டி.என்.டி யை வெடிக்கச் செய்யும் போது வெளிவிடப்படும் ஆற்றலை விட ஒரு கிலோ கிராம் எடையுள்ள நிலக்கரியை எரிக்கும் போது கிடைக்கும் ஆற்றலை விட மிக அதிகம். இது எதனால் என்றால், டிரை நைட்ரோ டொலுவின் வெளிவிடும் ஆற்றல் மிக வேகமாகவும், மிக அதிகமாகவும் உள்ளது.  
Δ*W* என்பது ஒரு பொருள் Δ*t* என்ற நேரத்தில் செய்த வேலையின் அளவு என்றால், அதன் சராசரி திறன் *P*<sub>avg</sub> கீழ்க்கண்ட சமன்பாட்டின் மூலம் கணக்கிடப்படுகிறது.
:<math>
P_\mathrm{avg} = \frac{\Delta W}{\Delta t}\,.
</math>  
ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்தில் செய்யப்பட்ட வேலை அல்லது ஆற்றலின், சராசரி அளவு ஆகும்.  
ஒரு கணத்தில் நிகழ்கின்ற திறனின் எல்லை நிலை, அது Δ*t* காலத்தில் செய்யப்பட்ட வேலையின் சராசரி சுழியை நோக்கி செல்கிறது.
:<math>
P = \lim _{\Delta t\rightarrow 0} P_\mathrm{avg} = \lim _{\Delta t\rightarrow 0} \frac{\Delta W}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t}\,.
</math>  
*P* என்பது மாறாத திறனின் அளவு எனில், *T* காலத்தில் செய்யப்பட்ட வேலைக்கான சமன்பாடு  
:<math>
W = Pt\,.
</math>  
ஆற்றல் என்பதைக் குறிக்க *W' என்ற குறியீட்டை விட *E'' என்ற குறியீட்டைத் தான் பயன்படுத்த வேண்டும்.
# வலு

## இயந்திரத் திறன்

இயந்திர அமைப்பகளில் திறனின் அளவு என்பது விசையையும் நகர்வின் அளவையும் பொறுத்தது. திறன் என்பது பொருளின் விசை மற்றும் திசைவேகம் அல்லது முறுக்குத்திறன் மற்றும் கோணத் திசை வேகம் ஆகியவற்றை பெருக்கக் கிடைக்கிறது.  
இயந்திரத் திறன் என்பது வேலையின் நேரத்திற்கான வகைக்கெழு ஆகும். விசையியலில் *C* என்ற வழியாகச் செயல்படும் **F** என்ற விசையினால் செய்யப்படும் வேலையின் கோட்டுத் தொகையீடு (line integral) :  
: <math>W_C = \int_{C}\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}\,\mathrm{d}t =\int_{C} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{x},</math>  
இதில் **x** என்பது *C* யின் பாதையையும் மற்றும் **v** திசைவேகத்தையும் குறிக்கிறது.  
ஒரு பரிமாணத்தில் சமன்பாடு கீழ்க்கண்டவாறு சுருக்கப்படுகிறது.  
:<math>P(t) = F\cdot v.</math>  
சுழலும் அமைப்புகளில், திறன் என்பது முறுக்கு விசை <var>τ</var> மற்றும் கோண திசைவேகத்தின் <var>ω</var> பெருக்கலுக்குச் சமம்,  
:<math>P(t) = \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\omega}, \,</math>
இதில் **ω** என்பது ரேடியன் / விநாடி என்ற அலகால் அளக்கப்படுகிறது.  
திரவ அமைப்புகளில் இயங்கும் இயந்திரங்களில் திறனின் அளவு,  
:<math> P(t) = pQ, \!</math>  
இதில் *p* அழுத்தத்தின் அளவாகும். இது பாசுக்கல் என்ற அலகால் அளக்கப்படுகிறது. *Q* என்பது திரவங்கள் பாயும் வீதமாகும். இது m<sup>3</sup>/s என்ற அலகால் அளக்கப்படுகிறது.
# வாட்டு (அலகு)

**வாட்டு** (Watt) (குறியீடு: **W**) என்பது திறனை அளக்கும் ஓர் அனைத்துலக (எசு.ஐ) அலகு. ஒரு வாட்டு என்பது ஒரு நொடிக்கு ஒரு சூல் ஆற்றல் உருவாகுவதையோ, செல்வதையோ அல்லது கடப்பதையோ குறிக்கும் ஓர் அலகு. நீராவிப் பொறியின் உருவாக்கத்தில் பெரும்பங்களித்த சேமுசு வாட்டு (James Watt) என்பாரைச் சிறப்பிக்கும் வகையில், திறனின் அலகுக்கு *வாட்டு* என்ற பெயரிட்டனர்.
# வாட்டு (அலகு)

## வரையறை

ஒரு நியூட்டன் விசையை எதிர்த்து ஒரு நொடிக்கு ஒரு மீட்டர் செல்லும் பொருள் செய்யும் வேலையின் வீதம் ஒரு வாட்டு அளவு ஆகும்.  
:<math>
1~\rm{W} = 1~\dfrac{\rm{J}}{\rm{s}} = 1~\dfrac{\rm{kg} \cdot \rm{m^2}}{\rm{s^3}} = 1~\dfrac{\rm{N\cdot m}}{\rm{s}} \,
</math>.
# வாட்டு (அலகு)

## எடுத்துக்காட்டுகள்

படியேறிச் செல்பவர் 200&nbsp; வாட்டு வீதத்தில் வேலை செய்கிறார். ஒரு வழமையான தானுந்து (மகிழுந்து) 25,000 வாட்டு வீதத்தில் எந்திர ஆற்றலை உருவாக்குகிறது. ஒரு குதிரைத்திறன் என்பது 746 வாட்டுத் திறன் ஆகும்.  
| முன்னொட்டு குறியீடு | பதின்ம (தசம) |  |
| --- | --- | --- |
| 1&nbsp;mW | 0.001 W |  |
| 1 W | 1W |  |
| 1&nbsp;KW | 1000 W |  |
| 1 MW | 1,000,000 W |  |
| 1 GW | 1,000,000,000 W |  |
| 1 TW | 1,000,000,000,000 W | } |
# உறுப்பு (கணிதம்)

கணிதத்தில் **உறுப்பு** (*element*) என்பது ஒரு கணத்தை உருவாக்கும் உருவாக்கும் வெவ்வேறான கணிதப் பொருள்களுள் ஒன்றாகும்.  
சில கணங்களின் உறுப்புகளைச் சொற்களால் விரித்துரைக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக:  
:*A* என்பது முதல் நான்கு நேர்ம முழு எண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட ஒரு கணம்.
:*B* என்பது இந்தியக் கொடியில் உள்ள நிறங்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட ஒரு கணம்.  
அதைப் பின்வருமாறு சுருக்கமாகக் குறிக்கலாம்.
:*A* = {4, 2, 1, 3}
:*B* = {காவி, வெள்ளை, பச்சை, நீலம்}  
ஒரு பொருள் ஒரு கணத்தினுள் உள்ள ஓர் உறுப்பு என்றோ அல்லது ஓர் உறுப்பு அல்ல என்றோ குறிக்கக் கீழ்க்காணும் குறிவடிவுகளை முறையே பயன்படுத்தப்படுகிறது:
:<math>\in</math> , <math>\notin</math>.  
எடுத்தக்காட்டாக, மேலே A என்னும் கணத்தைப் பார்த்தால் அதில் 4 என்பது A யில் உள்ள ஓர் உறுப்பு என அறியலாம். எனவே அதனைக் கீழ் காணுமாறு குறிக்கப்படுகிறது:
:*<math>4 \in A</math>  
ஆனால் ஒரு பொருள் உறுப்பு அல்ல என்பதைக் கீழ்க்காணுமாறு குறிக்கப்படும்:
:*<math>9 \notin A</math>
# உறுப்பு (கணிதம்)

## கணங்கள்

*A*&nbsp;=&nbsp;{1,&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;4} என்பதிலிருந்து கணம் *A* யின் உறுப்புகளாக 1, 2, 3 and&nbsp;4 ஆகிய எண்கள் உள்ளன என அறியலாம்.  
{1,&nbsp;2} போன்ற *A* இன் உறுப்புகளாலான கணங்கள் *A* இன் உட்கணங்கள் எனப்படும். ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளாக கணங்களே அமையலாம். எடுத்துக்காட்டாக ஒரு கணத்தின் அடுக்கு கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்துமே மூல கணத்தின் உட்கணங்களாக இருக்கும்.  
:<math>C</math> = {*x*, *y*, *z*} இன் அடுக்கு கணம்:
:<math>\mathcal{P}(C</math>) =<math>\\{\{\}, \{x\}, \{y\}, \{z\}, \{x, y\}, \{x, z\}, \{y, z\}, \{x, y, z\}\\}\,\!.</math>
# உறுப்பு (கணிதம்)

## குறியீடும் சொல்லியலும்

"இன் ஓர் உறுப்பு", அல்லது * இல் உள்ளது * என்ற ஈருறுப்பு உறவின் குறியீடு &nbsp;"∈" ஆகும்.  
இக்குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி "*x* ஆனது &nbsp;*A* இன் ஓர் உறுப்பு" அல்லது "*x* ஆனது &nbsp;*A* இல் உள்ளது" என்ற கூற்றானது பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது:  
:<math>x \in A </math>  
ஒருசில கணித நூலாசிரியர்கள் "*A* , *x* ஐ உள்ளடக்கியுள்ளது" and "*A* , *x* ஐக் கொண்டுள்ளது" என்ற கூற்றுகளை ஒரு கணத்தின் உறுப்பைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தினாலும் வேறு சிலர் இவற்றை உட்கணங்களுக்கு உரியவையாகக் கருதுகின்றனர். தருக்கவியலாளர் ஜார்ஜ் பூலோசு என்பவர் "கொண்டுள்ளது" என்பதை உறுப்புகளுக்கும் "உள்ளடக்கியுள்ளது" என்பதை உட்கணங்களுக்கும் பயன்படுத்த வேண்டுமென வலியுறுத்துகிறார்.  
"*A* , *x* ஐக் கொண்டுள்ளது" என்பதைக் கீழ்வருமாறு குறிக்கலாம்.
:<math>A \ni x,</math>
:இக்குறியீடு பெரும்பாலும் நடைமுறையில் கையாளப்படுவதில்லை.  
"*x* ,&nbsp;*A* இன் உறுப்பல்ல". என்ற எதிர்மறைக் கூற்றுக் கீழுள்ளவாறு குறியீட்டில் (&nbsp;"∉") எழுதப்படுகிறது:
:<math>x \notin A</math>  
<math> \in </math> என்பது, கிரேக்க எழுத்து எச்சைலன் ("ε") இன் சிற்றெழுத்து வடிவமாக அமைந்துள்ளது.
# உறுப்பு (கணிதம்)

## கணங்களின் எண்ணளவை

ஒரு கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையானது அக்கணத்தின் ”எண்ணளவை” எனப்படுகிறது. மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டு கணங்களில்
:&nbsp;|*A*| = &nbsp;4
:&nbsp;|*B*| = &nbsp;3
:&nbsp;|*C*| = &nbsp;3  
இவை முடிவுறு கணங்கள். முடிவுறாக கணங்களின் எண்ணளவை முடிவுறா எண்ணாக இருக்கும்.
# உறுப்பு (கணிதம்)

## எடுத்துக்காட்டுகள்

:*A* = {1, 2, 3, 4 }, *B* = {1, 2, {3, 4}}, *C* = { சிவப்பு, பச்சை, நீலம் } ஆகிய மூன்று கணங்களில் பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மையாகும்:
- 2 ∈ *A*
- {3,4} ∈ *B*
- 3,4 ∉ *B*
- {3,4}, *B* இன் ஓர் உறுப்பு.
- Yellow ∉ *C*  
:*D*&nbsp;=&nbsp;{&nbsp;2,&nbsp;4,&nbsp;&nbsp;8,&nbsp;10,&nbsp;12&nbsp;} இன் எண்ணளவை &nbsp;5 ஆகும்.
:*P*&nbsp; =&nbsp;{&nbsp;2,&nbsp;3,&nbsp;5,&nbsp;7,&nbsp;11,&nbsp;13,&nbsp;...} ( பகா எண்களின் கணம்) இன் எண்ணளவை முடிவிலி ஆகும்.(இக்கூற்று யூக்ளிடால் நிறுவப்பட்டது).
# சேர்ப்பு (கணக் கோட்பாடு)

கணக் கோட்பாட்டில், இரு கணங்களின் **சேர்ப்பு** (*union*) என்பது இரு கணங்களுக்கு இடையே அமுல்படுத்தக் கூடிய ஒரு செயல்முறை ஆகும். இதை **ஒன்றிப்பு** என்றும் குறிப்பிடலாம். சேர்ப்பின் போது இரு கணங்களின் உறுப்புகளையும் சேர்த்து புது கணம் ஒன்று உருவாக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு ∪ ஆகும். இது தர்க்க செயற்பாடு அல்லது கூட்டலுக்கு இணையானது.  
இரண்டு கணங்களைக் "கூட்ட" முடியும். *A* இனதும் *B* இனதும் **ஒன்றிப்பு** *A*&nbsp;U&nbsp;*B* என்பதால் குறிக்கப்படும். இதுவே *A* அல்லது *B* இன் உறுப்புக்களாக இருந்த எல்லா வெவ்வேறான பொருட்களையும் கொண்ட கணமாகும்.
இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட கணங்களின் ஒன்றிப்பையும் காணமுடியும்.
# சேர்ப்பு (கணக் கோட்பாடு)

## வரையறை

*A* , *B* கணங்களின் சேர்ப்பு கணம் என்பது *A* கணத்திலுள்ள உறுப்புகள், *B* கணத்திலுள்ள உறுப்புகள் அல்லது *A* மற்றும் *B* இரண்டுக்கும் பொதுவான உறுப்புகள் அனைத்தையும் கொண்ட கணமாகும்.  
கணக் கட்டமைப்பு முறையில் சேர்ப்பு கணம்:
:<math>A \cup B = \{ x: x \in A \text{ or } x \in B\}</math>.  
எடுத்துக்காட்டுகள்:
:*{1, 2}&nbsp;U&nbsp;{சிவப்பு, வெள்ளை} = {1, 2, சிவப்பு, வெள்ளை}
:*{1, 2, பச்சை}&nbsp;U&nbsp;{சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை} = {1, 2, சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை}
:*{1, 2}&nbsp;U&nbsp;{1, 2} = {1, 2}
# சேர்ப்பு (கணக் கோட்பாடு)

## அடிப்படை இயல்புகள்

:**A*&nbsp;U&nbsp;*B*&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;&nbsp;*B*&nbsp;U&nbsp;*A*, கணங்களின் ஒன்றிப்புச் செயல் பரிமாற்றுப் பண்பு கொண்டது
:**A*&nbsp;&nbsp; , *B*&nbsp;&nbsp; இரண்டும் &nbsp;&nbsp;*A*&nbsp;U&nbsp;*B* இன் உட்கணங்களாகும்.
:**A*&nbsp;U&nbsp;*A*&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;*A*
:**A*&nbsp;U&nbsp;ø&nbsp;&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;*A*
:**A* ∪ (*B* ∪ *C*) = (*A* ∪ *B*) ∪ *C*, கணங்களின் ஒன்றிப்புச் செயல் சேர்ப்புப் பண்பு கொண்டது.
# கணக் கோட்பாடு

**கணக் கோட்பாடு** *(Set theory)* கணித ஏரணத்தின் ஒரு கிளைப்பிரிவாகும். இதுபொருள்களின் திரட்டல்களாகிய கணங்களை ஆய்கிறது. ஒரு கணத்தில் எந்த வகைப் பொருளும் திரட்டப்படலாம் என்றாலும், கணக் கோட்பாடு பெரும்பாலும் கணிதவியலோடு தொடர்புள்ள பொருள்களையே பயன்பாட்டில் எடுத்துக் கொள்கிறது. அனைத்துக் கணிதவியல் உருப்படிகளிலும் கணக் கோட்பாட்டு மொழிவைப் பயன்படுத்தலாம்.  
கணக்கோட்பாட்டின் புத்தியல் ஆய்வை கியார்கு காண்டரும் இரிச்சர்டு டெடிகைண்டும் 1870 களில் தொடங்கி வைத்தனர். இரசலின் முரண்புதிர் போன்ற முரண்புதிர்களைக் கணக் கோட்பாட்டில் கண்டுபிடித்ததும், 20 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் பல அடிக்கோளியல் அமைப்புகள் முன்மொழியப்பட்டன. இவற்றில் தேர்வுநிலை அடிக்கோள் அமைந்த செருமெலோ–பிரேங்கல் கணக் கோட்பாடு மிகவும் நன்கு அறிந்தவகை ஆகும்.  
கணக் கோட்பாடு, குறிப்பாக தேர்வுநிலை அடிக்கோள் அமைந்த செருமெலோ–பிரேங்கல் கணக் கோட்பாடு, கணிதவியலின் அடித்தள அமைப்பாகப் பயன்படுகிறது. இதன் அடித்தளப் பாத்திரத்துக்கும் அப்பால், முனைவான ஆய்வில், கணக் கோட்பாடு கணிதவியலின் ஒரு கிளைப்பிரிவும் ஆகும். கணக்கோட்பாட்டின் வளராய்வு பல்வேறுபட்ட தலைப்புகளை உள்ளடக்குகிறது. இவற்றில் மெய்யெண் கோட்டின் கட்டமைப்பு முதல் பேரளவு முதலெண்களின் (Cardinals) ஒத்திணக்க(consistency) ஆய்வு வரை அடங்குகிறது.
# கணக் கோட்பாடு

## சற்றே இருப்பியல் (மெய்யியல்) குறித்து

தன் உறுப்புகள் அனைத்துமே கணங்களாகவும் அக்கணங்களின் உறுப்புகள் அனைத்துமே கணங்களாகவும் மேலும் இதன்படியே தொடர்ந்தமையும் கணம் தூய கணம் எனப்படும். புத்தியல் கணக்கோட்பாட்டில், பொதுவாக, தூய கணங்களின் **வான் நியூமன் புடவி** பற்றி மட்டுமே கவனம் குவிப்பது வழக்கம் ஆகும். அடிக்கோளியல் கணக் கோட்பாட்டின் பல அமைப்புகள் தூய கணங்களை மட்டுமே அடிக்கோளியற்படுத்தி வடிவமைக்கப்படுகின்றன. முழு வான் நியூமன் புடவியும் *V* குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.
# சல்மான் ருஷ்டி

**சர் அகமது சல்மான் ருசிடி** (*Sir Ahmed Salman Rushdie*; பிறப்பு: 19 சூன் 1947) இந்தியாவில் பிறந்த பிரித்தானிய-அமெரிக்கபெழுத்தாளர் ஆவார். இவரது பணி பெரும்பாலும் வரலாற்றுப் புனைகதைகளுடன் மந்திர யதார்த்தத்தை ஒருங்கிணைக்கிறது, முக்கியமாகக் கிழக்கு, மேற்கத்திய நாகரிகங்களுக்கிடையேயான தொடர்புகள், இடையூறுகள், இடம்பெயர்வுகள், ஆகியவை இந்தியத் துணைக்கண்டத்தைக் களமாகக் கொண்டு அமைக்கப்பட்டது.  
ருசிடியின் இரண்டாவது புதினம் *நள்ளிரவின் சிறுவர்கள்*, 1981 இல் புக்கர் பரிசை வென்றது, அத்துடன் இப்புதினம் இரண்டு சந்தர்ப்பங்களில் "அனைத்து வெற்றியாளர்களின் சிறந்த நாவலாக" கருதப்பட்டது. இவரது நான்காவது நாவலான *த சாத்தானிக் வெர்சசு* (1988) வெளிவந்த பின்னர், ருஷ்டி பல படுகொலை முயற்சிகளுக்கு உட்பட்டார், ஈரானின் ஈரானின் அதியுயர் தலைவர் அவரது மரணத்திற்கு அழைப்பு விடுத்தமை உலகப் புவிசார் அரசியல் சர்ச்சையை எழுப்பியது. இவ்வழைப்பு மத ரீதியாக தூண்டப்பட்ட வன்முறை பற்றிய விவாதத்தை உருவாக்கி, புத்தகத்தை உந்துதலாக மேற்கோள் காட்டும் தீவிரவாதிகளால் ஏராளமான கொலைகள் மற்றும் குண்டுவெடிப்புகள் நடத்தப்பட்டன.  
1983 இல், இலக்கியத்துக்கான வேத்தியர் கழகத்தின் உறுப்பினராக ருசிடி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார். 1999 இல் பிரான்சின் "கலை மற்றும் கடிதங்களின் ஆணையின் தளபதி" ஆக நியமிக்கப்பட்டார். ருசிடி இலக்கியத்திற்கான அவரது சேவைகளுக்காக 2007 இல் சர் பட்டம் பெற்றார். 2008 ஆம் ஆண்டில், *தி டைம்சு* இதழ் 1945 முதல் 50 சிறந்த பிரித்தானிய எழுத்தாளர்களின் பட்டியலில் அவருக்கு பதின்மூன்றாவது இடத்தைக் கொடுத்தது. 2000 ஆம் ஆண்டு முதல், ருசிடி அமெரிக்காவில் வசித்து வருகிறார். முன்னதாக, இவர் எமோரி பல்கலைக்கழகத்தில் கற்பித்தார். அவர் கலை மற்றும் கடிதங்களுக்கான அமெரிக்க அகாடமிக்கு தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டார். 2012 இல், *தி சாத்தானிக் வெர்சசு* நூலின் மீதான சர்ச்சையை அடுத்து *யோசப் ஆன்டன்: நினைவுக் குறிப்புகள்* என்ற அவரது வாழ்க்கை வரலாற்றை வெளியிட்டார்.  
2022 ஆகத்து 12 அன்று, நியூயார்க்கின் சட்டக்குவாவில் நடைபெற்ற ஒரு நிகழ்வில் சல்மான் ருசிடி சொற்பொழிவாற்றத் திட்டமிடப்பட்டிருந்த மேடையில் விரைந்து வந்த ஒரு நபர் ருசிடியைக் கத்தியால் குத்திப் படுகாயப்படுத்தினார்.
# சல்மான் ருஷ்டி

## செய்ப்பூர் இலக்கிய விழா

2012ஆம் ஆண்டில் சனவரி 20 – 24 நாட்களில் செய்ப்பூரில் நடைபெற்ற செய்ப்பூர் இலக்கிய விழாவில் ருசிடி கலந்து கொள்வதாக இருந்தது. இந்திய இசுலாமிய அமைப்புகள் பத்வா வழங்கப்பட்டுள்ள நிலையில் அவருக்கு இந்தியா வர நுழைவிசைவு வழங்கக்கூடாது என்று எதிர்ப்பு தெரிவித்தன. இருப்பினும் இந்தியா வந்த ருசிடி தமக்கு கொலை மிரட்டல் இருப்பதாக ராசத்தான் காவல்துறை கூறி பயணத்தை கைவிட்டார்.இருப்பினும் இவரது சர்ச்சைக்குரிய *சாத்தானிக் வெர்சசு* என்ற நூலிலிருந்து சில பகுதிகளை அரி குன்சுரு, அமிதவா குமார், சீத் தாயில், ருசிர் சோசி என்ற எழுத்தாளர்கள் பேசியதற்கு சிலர் எதிர்ப்பு தெரிவித்தனர்.இதனையடுத்து நால்வரும் விழாவிலிருந்து வெளியேற்றப்பட்டனர்.
# ரிச்சர்ட் நிக்சன்

**ரிச்சர்ட் மில்ஹவுஸ் நிக்சன்** (*Richard Milhous Nixon*, ஜனவரி 9, 1913-ஏப்ரல் 22, 1994) அமெரிக்காவின் 37ஆம் குடியரசுத் தலைவர் ஆவார். அமெரிக்க அரசியல் வரலாற்றில் பதவியிலிருந்து அகற்றப்பட்ட குடியரசுத் தலைவர் இவர் ஒருவரே ஆவார்.  
யோர்பா லின்டா, கலிபோர்னியாவில் பிறந்த நிக்சன் கலைப்பயிற்சியால் வழக்கறிஞர் ஆவார். இரண்டாம் உலகப் போரில் அமெரிக்கக் கடற்படையில் பணி புரிந்தார். டுவைட் ஐசனாவர் பதவியிலிருக்கும் பொழுது நிக்சன் துணைத் தலைவராக இருந்தார்.  
நிக்சன் 1968இல் குடியரசுத் தலைவர் தேர்தலில் வெற்றி பெற்றுள்ளார். இவர் பதவியிலிருந்க்கும் பொழுது வியட்நாம் போரில் போர் நிறுத்தம் படைத்தார். வாட்டர்கேட் இழிப்பு காரணமாக 1974இல் அகற்றினார். 1994இல் 81 வயதில் இறந்தார்.
# 1913

**1913** (**MCMXIII**) ஒரு புதன்கிழமையில் ஆரம்பமான ஒரு சாதாரண கிரிகோரியன் ஆண்டாகும்.
# 1913

## நிகழ்வுகள்

- ஜனவரி 20 - யாழ்ப்பாணம், உடுவிலில் இந்து மகளிருக்காக இராமநாதன் பெண்கள் கல்லூரி நிறுவப்பட்டது.
- மார்ச் 18 - கிரேக்கத்தின் முதலாம் ஜோர்ஜ் மன்னன் படுகொலை செய்யப்பட்டான்.
- ஏப்ரல் 24 - வானளாவிக் கோபுரம் வூல்வேர்த் கோபுரம் நியூயார்க் நகரில் கட்டப்பட்டது.
- மே 13 - நான்கு இயந்திரங்களினால் ஆன முதலாவது விமானத்தை ஈகர் சிபோர்ஸ்கி என்ற ரஷ்யர் இயக்கினார்.
- மே 30 - முதலாம் பால்க்கன் போர்: லண்டன் உடன்பாடு, 1913 எட்டப்பட்டு போர் முடிவுக்கு வந்தது. அல்பேனியா தனி நாடாகியது.
- அக்டோபர் 29 - எல் சல்வடோரில் பெரும் வெள்ளம் காரணமாக ஆயிரக்கணக்கானோர் இறந்தனர்.
# 1913

## பிறப்புகள்

- ஜனவரி 9 - ரிச்சர்ட் நிக்சன், ஐக்கிய அமெரிக்கக் குடியரசுத் தலைவர்
- மார்ச் 5 - கங்குபாய், இந்துஸ்தானி இசைப் பாடகி (இ. 2009)
- மார்ச் 26 - பால் ஏர்டோசு, அங்கேரிய கணிதவியலாளர்
- மே 1 - பி. சுந்தரய்யா, இந்திய விடுதலைப் போராட்ட வீரர், மார்க்சியக் கட்சித் தலைவர் (இ. 1985)
- மே 18 - நீலம் சஞ்சீவ ரெட்டி, இந்தியாவின் ஆறாவது குடியரசுத் தலைவர்
- ஆகஸ்ட் 2 - தனிநாயகம் அடிகள், ஈழத்து உலகத் தமிழாராய்ச்சி மன்றம் அமைக்க அடிகோலியவர்
- ஆகஸ்ட் 30 - சௌமியமூர்த்தி தொண்டமான், இலங்கையின் அரசியல் தலைவர் (இ. 1999)
- செப்டம்பர் 2 - இசுரேல் கெல்ஃபாண்ட், சோவியத் கணிதவியலர் (இ. 2009)
- செப்டம்பர் 7 - அப்துல் காதர் லெப்பை, இலங்கை கவிஞர் (இ. 1984)
- செப்டம்பர் 8 - ஆர். மகாதேவன், தமிழக நகைச்சுவை எழுத்தாளர்
- அக்டோபர் 10 - கிளோட் சைமன், பிரான்சிய எழுத்தாளர்
- நவம்பர் 7 - அல்பேர்ட் காம்யு, பிரான்சிய எழுத்தாளர்
- நவம்பர் 29 - எஸ். வி. சகஸ்ரநாமம், நாடகக் கலைஞர், திரைப்பட நடிகர் (இ. 1988)
# 1913

## இறப்புகள்

- மார்ச் 10: ஹாரியெட் டப்மன், அமெரிக்க அடிமை நீக்க எழுச்சி செய்தவர் (பி. 1820)
# 1913

## நோபல் பரிசுகள்

- இயற்பியல்: ஹைக்க காமர்லிங்-ஒன்ஸ்
- வேதியியல்: ஆல்பிரெட் வெர்னர்
- மருத்துவம்: சார்ல்ஸ் ராபர்ட் ரிசேட்
- இலக்கியம்: இரவீந்திரநாத் தாகூர்
- அமைதி: ஹென்றி லா ஃபொன்டெய்ன்
# 1913

## 1913 நாட்காட்டி

nv:1901 – 1950
# மாயாவதி குமாரி

**மாயாவதி நைனா குமாரி** (இந்தி: मायावती) ஒரு இந்திய அரசியல்வாதியும், உத்தரப் பிரதேச மாநிலத்தின் முன்னாள் முதல்வரும் ஆவார். இவர் நான்கு முறை உத்தரப்பிரதேச முதல்வராகப் பொறுப்பு வகித்துள்ளார். 2008இல் ஃபோர்ப்ஸ் இதழ் வெளியிட்ட உலகின் சக்தி வாய்ந்த 100 பெண்கள் பட்டியலில் மாயாவதியின் பெயரும் இடம் பெற்றது.  
1984இல் கான்ஷி ராமால் தலித் மக்களுக்காக தொடங்கிய பகுஜன் சமாஜ் கட்சியில் மாயாவதி ஒரு முக்கிய அரசியல்வாதியாக இருந்தார்.
# மாயாவதி குமாரி

## இளமைப்பருவம்

மாயாவதி இந்தியாவின் தலைநகர் புது தில்லியில் பிறந்து வளர்ந்தவர். 1956-ம் வருடம் சனவரி 15 அன்று இரண்டாவது பெண் குழந்தையாக பிறந்தார். இவரது தந்தை ஒரு அஞ்சல் அலுவலக ஊழியர். தமது அன்னையின் அரவணைப்பால் கலை மற்றும் கல்வியில் இளங்கலை பட்டப்படிப்புகளைப் பயின்றார். பின்னாளில் சட்டத்தில் இளங்கலை பட்டம் பெற்றுள்ளார்.