【斯托尔兹-切萨罗定理】
斯托-{zh-hans:尔兹; zh-tw:尔兹}-－切-{zh-hans:萨罗; zh-tw:萨罗}-定理（Stolz–Cesàro theorem）是-{zh-hans:数学; zh-tw:数学}-分析-{zh-hans:学; zh-tw:学}-中的一个用-{zh-hans:于; zh-tw:于}-证明数列收歛的定理。-{zh-hans:该; zh-tw:该}-定理以-{zh-hans:奥; zh-tw:奥}-地利人Otto Stolz和意大利人恩-{zh-hans:纳; zh-tw:纳}-斯托·切-{zh-hans:萨罗; zh-tw:萨罗}-命名。
== -{zh-hans:内; zh-tw:内}-容 ==
=== ∙/∞ 情况的叙述===
令  以及  为两个实数数列。假设  是个严格单调且发散的数列(亦即严格递增并接近无穷大，或者严格递减并接近负无穷大)，以及下述极限存在:
那么，可以推得极限
=== 0/0 情况的叙述===
令  以及  为两个实数数列。假设  以及 ，并且  是严格单调。如果
则
=== 用法-{zh-hans:说; zh-tw:说}-明 ===
-{zh-hans:该; zh-tw:该}-定理-{zh-hans:虽; zh-tw:虽}-然主要被用-{zh-hans:来处; zh-tw:来处}-理-{zh-hans:数; zh-tw:数}-列不定型-{zh-hans:极; zh-tw:极}-限，但-{zh-hans:该; zh-tw:该}-定理在-{zh-hans:没; zh-tw:没}-有-{zh-hans:这; zh-tw:这}-一限制-{zh-hans:条; zh-tw:条}-件-{zh-hans:时; zh-tw:时}-也是成立的。-{zh-hans:虽; zh-tw:虽}-然-{zh-hans:该; zh-tw:该}-定理通常是以分母为正数数列的情形加以-{zh-hans:叙; zh-tw:叙}-述的，但注意到-{zh-hans:该; zh-tw:该}-定理-{zh-hans:对; zh-tw:对}-分子的正-{zh-hans:负没; zh-tw:负没}-有限制，所以原-{zh-hans:则; zh-tw:则}-上把-{zh-hans:对数; zh-tw:对数}-列的限制-{zh-hans:条; zh-tw:条}-件替-{zh-hans:换为“严; zh-tw:换为「严}-格-{zh-hans:单调递减; zh-tw:单调递减}-且-{zh-hans:趋于负无穷; zh-tw:趋于负无穷}-大-{zh-hans:”; zh-tw:」}-也是-{zh-hans:没; zh-tw:没}-有-{zh-hans:问题; zh-tw:问题}-的。
-{zh-hans:与; zh-tw:与}-罗必-{zh-hans:达; zh-tw:达}-法-{zh-hans:则; zh-tw:则}-的迭代用法-{zh-hans:类; zh-tw:类}-似，在-{zh-hans:尝试应; zh-tw:尝试应}-用斯托-{zh-hans:尔兹; zh-tw:尔兹}-－切-{zh-hans:萨罗; zh-tw:萨罗}-定理考察-{zh-hans:数; zh-tw:数}-列的-{zh-hans:极; zh-tw:极}-限-{zh-hans:时; zh-tw:时}-，如果-{zh-hans:发现两个数; zh-tw:发现两个数}-列差分的商仍然是不定型，可以-{zh-hans:尝试; zh-tw:尝试}-再使用1次-{zh-hans:该; zh-tw:该}-定理，考察其2-{zh-hans:阶; zh-tw:阶}-差分之商的-{zh-hans:极; zh-tw:极}-限。
-{zh-hans:应当; zh-tw:应当}-注意，-{zh-hans:当; zh-tw:当}-不存在-{zh-hans:时; zh-tw:时}-，不能-{zh-hans:认; zh-tw:认}-定必定也不存在。-{zh-hans:换; zh-tw:换}-句-{zh-hans:话说; zh-tw:话说}-，-{zh-hans:确实; zh-tw:确实}-有-{zh-hans:“; zh-tw:「}-有-{zh-hans:穷极; zh-tw:穷极}-限存在，但有-{zh-hans:穷极; zh-tw:穷极}-限不存在-{zh-hans:”; zh-tw:」}-的情-{zh-hans:况; zh-tw:况}-（-{zh-hans:详见; zh-tw:详见}-下文-{zh-hans:针对; zh-tw:针对}-此逆命-{zh-hans:题; zh-tw:题}-所-{zh-hans:举; zh-tw:举}-的反例）。
== 证明 ==
=== ∙/∞的情况 ===
假设为严格递增并发散至, 而且, 于是存在  使得 。因此我们有  而且 。
那么，给定，注意到 。因为 , 我们有 。
令，由于, 于是。因此我们有。那么，对于，我们有 。同样地，对于 与 ,
存在  使得对于所有 , 我们有 。于是，如果
# , 那么 。因此 。
# , 那么 。因此 。
# , 那么对于所有 使得，存在一个 (上述的最大值)，使得对于所有，我们有 。因此。
对于为严格递减并发散至的情况，注意到 且 为一个严格递增至的数列即得证。
=== 0/0的情况 ===
假设为严格递减收敛至, 而且, 于是存在  使得 。因此我们有  而且 。
那么，给定，注意到 。因为 , 我们有 。
令，由于, 于是。那么，当, 我们有 。同样地，对于和
存在  使得对于所有 , 我们有 。于是，如果
# , 那么 。因此 。
# , 那么 。因此 。
# , 那么对于所有 使得，存在一个 (上述的最大值)，使得对于所有，我们有 。因此。
对于为严格递增并收敛到的情况，注意到 且 为一个严格递增至的数列即得证。
=== 直观解释 ===
利用-{zh-hans:与; zh-tw:与}-折-{zh-hans:线; zh-tw:线}-斜率的-{zh-hans:类; zh-tw:类}-比，-{zh-hans:该; zh-tw:该}-定理具有直-{zh-hans:观; zh-tw:观}-的-{zh-hans:几; zh-tw:几}-何意-{zh-hans:义; zh-tw:义}-。
== 应用 ==
=== 算术平均 ===
令  为一个收敛到的实数数列, 定义
那么 为一个递增至  的数列. 计算
因此
=== -{zh-hans:几何; zh-tw:几何}-平均 ===
令  为一个收敛到的正数数列, 定义
计算
这边我们使用到对数函数是连续的。 因此
再一次，因为对数函数是连续和单调的，我们有
.
=== 根号与比值 ===
令  为一个收敛到的正数数列, 定义
其中。那么我们有 。于是，
我们有
。
== 相-{zh-hans:关; zh-tw:关}-命-{zh-hans:题; zh-tw:题}- ==
-{zh-hans:这个; zh-tw:这个}-用-{zh-hans:于; zh-tw:于}-解-{zh-hans:决数; zh-tw:决数}-列不定型-{zh-hans:极; zh-tw:极}-限的定理-{zh-hans:与; zh-tw:与}-用-{zh-hans:于; zh-tw:于}-解-{zh-hans:决; zh-tw:决}-函-{zh-hans:数; zh-tw:数}-不定型-{zh-hans:极; zh-tw:极}-限的洛必-{zh-hans:达; zh-tw:达}-法-{zh-hans:则; zh-tw:则}-在形式上非常-{zh-hans:类; zh-tw:类}-似。求-{zh-hans:数; zh-tw:数}-列的差分-{zh-hans:对应于; zh-tw:对应于}-求函-{zh-hans:数; zh-tw:数}-的-{zh-hans:导; zh-tw:导}-函-{zh-hans:数; zh-tw:数}-，斯托-{zh-hans:尔兹; zh-tw:尔兹}-－切-{zh-hans:萨罗; zh-tw:萨罗}-定理就相-{zh-hans:当于; zh-tw:当于}-是洛必-{zh-hans:达; zh-tw:达}-法-{zh-hans:则; zh-tw:则}-的-{zh-hans:离; zh-tw:离}-散化版本。但在-{zh-hans:类; zh-tw:类}-比-{zh-hans:记忆时应当; zh-tw:记忆时应当}-注意，斯托-{zh-hans:尔兹; zh-tw:尔兹}-－切-{zh-hans:萨罗; zh-tw:萨罗}-定理要求-{zh-hans:数; zh-tw:数}-列要具有-{zh-hans:严; zh-tw:严}-格的-{zh-hans:单调; zh-tw:单调}-性（或者至少-{zh-hans:当项数; zh-tw:当项数}-足-{zh-hans:够; zh-tw:够}-大-{zh-hans:时; zh-tw:时}-，要具有-{zh-hans:严; zh-tw:严}-格-{zh-hans:单调; zh-tw:单调}-性），而洛必-{zh-hans:达; zh-tw:达}-法-{zh-hans:则没; zh-tw:则没}-有-{zh-hans:对; zh-tw:对}-函-{zh-hans:数; zh-tw:数}-的-{zh-hans:单调; zh-tw:单调}-性作出要求；洛必-{zh-hans:达; zh-tw:达}-法-{zh-hans:则; zh-tw:则}-要求函-{zh-hans:数; zh-tw:数}-在所考察-{zh-hans:点; zh-tw:点}-的-{zh-hans:邻; zh-tw:邻}-域上具有可求-{zh-hans:导; zh-tw:导}-性，但斯托-{zh-hans:尔兹; zh-tw:尔兹}-－切-{zh-hans:萨罗; zh-tw:萨罗}-定理-{zh-hans:对数; zh-tw:对数}-列不存在-{zh-hans:类; zh-tw:类}-似限制（-{zh-hans:数; zh-tw:数}-列-{zh-hans:没; zh-tw:没}-有-{zh-hans:“; zh-tw:「}-可差分性-{zh-hans:”; zh-tw:」}-一-{zh-hans:说; zh-tw:说}-）。-{zh-hans:并; zh-tw:并}-非所有的函-{zh-hans:数; zh-tw:数}-都可以-{zh-hans:进; zh-tw:进}-行求-{zh-hans:导运; zh-tw:导运}-算，但任何-{zh-hans:数; zh-tw:数}-列都是可以-{zh-hans:进; zh-tw:进}-行差分-{zh-hans:运; zh-tw:运}-算的。
此定理的逆命-{zh-hans:题; zh-tw:题}-不成立。也即-{zh-hans:当满; zh-tw:当满}-足-{zh-hans:条; zh-tw:条}-件的存在-{zh-hans:时; zh-tw:时}-，未必存在。如-{zh-hans:设; zh-tw:设}-，，-{zh-hans:这; zh-tw:这}-2-{zh-hans:个; zh-tw:个}-正-{zh-hans:实数数; zh-tw:实数数}-列都是-{zh-hans:严; zh-tw:严}-格-{zh-hans:单调递; zh-tw:单调递}-增的且-{zh-hans:发; zh-tw:发}-散至-{zh-hans:无穷; zh-tw:无穷}-大。易知存在，且-{zh-hans:数; zh-tw:数}-值-{zh-hans:为; zh-tw:为}-1。但是-{zh-hans:当; zh-tw:当}--{zh-hans:时; zh-tw:时}-是震-{zh-hans:荡; zh-tw:荡}-的，即此差分之商的-{zh-hans:极; zh-tw:极}-限值不存在。目前可找出的例子都是借助震-{zh-hans:荡; zh-tw:荡}-型-{zh-hans:数; zh-tw:数}-列-{zh-hans:构; zh-tw:构}-造的，而用-{zh-hans:于说; zh-tw:于说}-明洛必-{zh-hans:达; zh-tw:达}-法-{zh-hans:则; zh-tw:则}-的逆命-{zh-hans:题; zh-tw:题}-不成立的例子也用到了震-{zh-hans:荡; zh-tw:荡}-型的函-{zh-hans:数; zh-tw:数}-。
== 推-{zh-hans:广; zh-tw:广}- ==
-{zh-hans:该; zh-tw:该}-定理的一-{zh-hans:个; zh-tw:个}-推-{zh-hans:广; zh-tw:广}-形式如下：
如果 和是-{zh-hans:两个数; zh-tw:两个数}-列，而是-{zh-hans:单调无; zh-tw:单调无}-界的，那-{zh-hans:么; zh-tw:么}-
=== 证明 ===
假设为严格递增并发散至, 而且, 于是存在  使得 。因此我们有  而且 。
那么，给定，注意到 。因为 , 我们有 。
令，由于, 于是。因此我们有。那么，对于，我们有 。
于是，当，我们有。因为是任意大于的数，。当，不等式显然成立。
假设, 于是存在  使得 。因此我们有  而且 。
那么，给定，注意到 。因为 , 我们有 。
令，由于, 于是。因此我们有。那么，对于，我们有 。
于是，当，我们有。因为是任意小于的数，。当，不等式显然成立。
对于为严格递减并发散至的情况，注意到 且 为一个严格递增至的数列即得证。
== -{zh-hans:参; zh-tw:参}-考-{zh-hans:资; zh-tw:资}-料 ==
== 外部-{zh-hans:链; zh-tw:链}-接 ==
* Marian Mureşan: A Concrete Approach to Classical Analysis. Springer 2008, ISBN 978-0-387-78932-3, p. 85 (page=85)