【直言三段论】
直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。
例子：
所有动物都会死。
所有人都是动物。
所以，所有人都会死。
前两个命题被分别称为大前提和小前提。如果这个三段论是有效的，这两个前提逻辑上蕴含了最后的命题，它叫做结论。结论的真实性建立在前提的真实性和它们之间的联系之上：中项在前提中必须周延（distribute）至少一次，形成在结论中的主词和谓词之间的连接。即使直言三段论是有效的，但如果有前提为假的话结论仍可能是假，例如以下的三段论：
所有的鱼都在水里游。
乌鸦是鱼。
所以，所有的乌鸦都在水里游。
此为第一格AAA三段论，为有效，但是因为前提是错的（乌鸦事实上不是鱼），因而导致结论为假。
==语气和格==
对立四边形图，揭示传统逻辑四种命题语气的关系（红色表示非空，黑色表示空）
三段论形式如下：
大前提：所有M是P
小前提：所有S是M
结论：所有S是P
其中S代表结论的主词（Subject），P代表结论的谓词（Predicate），M代表中词（Middle）。
三段论的命题可分为全称（universal）、特称（particular），及肯定、否定，组合起来有以下四类语气（Mood）：
三段论中，结论中的谓词称作大词（P，或称大项），包含大词在内的前提称作大前提；结论中的主词称作小词（S，或称小项），包含小词在内的前提称作小前提；没有出现在结论，却在两个前提重复出现的称作中词（M，或称中项）。大词、中词、小词依不同排列方式，可分成四种格（Figure）：
将以上整合在一起，三段论的大前提、小前提、结论分别可为A、E、I、O型命题之一，又可分为4格，故总共有256种三段论（若考虑大前提与小前提对调，便有512种，但逻辑上是相同的）。
三段论依语气与格的分类缩写，例如AAA-1（也可以写成1-AAA）代表「大前提为A型，小前提为A型，结论为A型，第1格」的三段论。
此外，三段论的四种格之间可相互转换：
*第1格：对换大前提的前后两项的位置就变成第2格，对换小前提的前后两项的位置就变成第3格。
*第2格：对换大前提的前后两项的位置就变成第1格，对换小前提的前后两项的位置就变成第4格。
*第3格：对换大前提的前后两项的位置就变成第4格，对换小前提的前后两项的位置就变成第1格。
*第4格：对换大前提的前后两项的位置就变成第3格，对换小前提的前后两项的位置就变成第2格。
E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置，但可以在前项确实有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的I命题（E命题亦可在后项确实有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的O命题）。O命题不能对换前后两项的位置。
==有效性==
考虑各种直言三段论的有效性将是非常冗长耗时的。幸运的是前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有论式。
还可以通过构造文氏图的方法得到有效形式。因为有三种项，文氏图需要三个交叠的圆圈来表示每一个类。首先，为小项构造一个圆圈。临近小项的圆圈的是同小项有着交叠的大项的圆圈。在这两个圆圈之上是中项的圆圈。它应当在三个位置有着交叠：大项，小项和大项与小项交叠的地方。一个三段论是有效的，其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论，因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中，对M不与P交叠的所有区域加黑影，包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是，不能推出类P的所有成员都是类S的成员。
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作为文氏图方法的另一个例子，考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”，它的小前提是“有些S是M”，它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P;它的小项是S，它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而，我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符号来表示“有些S是M”。（注意：黑影区域和存在量化区域是互斥的）。接着因为存在符号位于S内但在P外，所以结论“存在一些S不是P”是正确的。
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本文最后一节列出了所有24个有效论式的文氏图。
最后一种方法是记住下面非形式表述的几条规则以避免谬论。尽管文氏图对于诠释目的是好工具，有人更喜欢用这些规则来检验有效性。
基本规则：
# 结论中周延的词必须在前提中周延（谬误：大词不当、小词不当）（若不能确定所有提及的集合非空，则一个项在结论中周延，若且唯若该项在前提中周延）
# 中词必须周延至少一次（谬误：中词不周延）（若不能确定所有提及的集合非空，则中词必须刚好周延一次）
# 结论中否定命题的数目必须和前提中否定命题的数目相等：
## 二前提皆肯定，则结论必须为肯定（谬误：肯定前提推得否定结论）
## 一前提是否定，则结论必须为否定（谬误：否定前提推得肯定结论）
## 二前提皆否定，则三段论必无效（谬误：排它前提谬误）
# 结论中特称命题的数目必须和前提中特称命题的数目相等：
## 二前提皆全称，则结论必须为全称（此条件适用于不能确定所有提及的集合非空的情况）
## 一前提是特称，则结论必须为特称
## 二前提皆特称，则三段论必无效
若一个三段论式满足以上的所有规则，就必定有效。
其他检查：
* 如果语境上不能假设所有提及的集合非空，部分推论将会无效（谬误：存在谬误）
* 必须包含严格的三个词，不多不少。且须注意所有关键词和结构的语义是否一致（谬误：四词谬误、歧义谬误）
=== 有效三段论式 ===
有加括号者必须假设所有提及的集合非空才有效。
唯有第一格的所有有效三段论式的结论涵盖了AEIO全部四种命题，第二格的所有有效三段论式皆为否定结论（E或O），第三格的所有有效三段论式皆为特称结论（I或O），第四格的所有有效三段论式皆为否定结论或特称结论（E、I或O）。
1-AAA, (1-AAI), 1-EAE, (1-EAO), 1-AII, 1-EIO
2-AEE, (2-AEO), 2-EAE, (2-EAO), 2-AOO, 2-EIO
(3-AAI), (3-EAO), 3-AII, 3-IAI, 3-OAO, 3-EIO
(4-AAI), 4-AEE, (4-AEO), (4-EAO), 4-IAI, 4-EIO
在全部256种三段论式中，有24种有效，但是如果不能确定所有提及的集合为非空，则只有15种有效。
=== 常犯的无效三段论式 ===
1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO
==三段论式列表==
总共有19个有效的论式（算结论弱化（全称弱化为特称）的5个论式则为24个有效论式，其中每一格刚好各有6个有效论式），为便于记忆，中世纪的学者将这些有效论式分别取了对应的拉丁语名字，每个名字的元音即是对应的语气，例如Barbara代表AAA。
===经典三段论式===
下面列出的是亚里士多德的《前分析篇》中关于前3个格的14个三段论式。
====第1格====
* AAA（Barbara）
所有M是P.
所有S是M.
∴所有S是P.
* EAE（Celarent）
没有M是P.
所有S是M.
∴没有S是P.
* AII（Darii）
所有M是P.
有些S是M.
∴有些S是P.
* EIO（Ferio）
没有M是P.
有些S是M.
∴有些S不是P.
====第2格====
* EAE（Cesare）
没有P是M.
所有S是M.
∴没有S是P.
* AEE（Camestres）
所有P是M.
没有S是M.
∴没有S是P.
* EIO（Festino）
没有P是M.
有些S是M.
∴某些S不是P.
* AOO（Baroco）
所有P是M.
某些S不是M.
∴某些S不是P.
====第3格====
* AAI（Darapti）
所有M是P.
所有M是S.
∴有些S是P.
（这种形式需要假定某些M确实存在。）
* IAI（Disamis）
有些M是P.
所有M是S.
∴有些S是P.
* AII（Datisi）
所有M是P.
有些M是S.
∴有些S是P.
* EAO（Felapton）
没有M是P.
所有M是S.
∴有些S不是P.
（这种形式需要假定某些M确实存在。）
* OAO（Bocardo）
某些M不是P.
所有M是S.
∴某些S不是P.
* EIO（Ferison）
没有M是P.
有些M是S.
∴某些S不是P.
===增补的论式===
第4格由亚里士多德的学生泰奥弗拉斯托斯补充。
====第4格====
* AAI（Bramantip）
所有P是M.
所有M是S.
∴有些S是P.
（这种形式需要假定某些P确实存在）
* AEE（Camenes）
所有P是M.
没有M是S.
∴没有S是P.
* IAI（Dimaris）
有些P是M.
所有M是S.
∴有些S是P.
* EAO（Fesapo）
没有P是M.
所有M是S.
∴有些S不是P.
（这种形式需要假定某些M确实存在）
* EIO（Fresison）
没有P是M.
有些M是S.
∴有些S不是P.
====结论弱化的论式====
在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可弱化论式中的结论A为I，结论E为O，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。它们是：
AAI-1（弱化的AAA-1），EAO-1（弱化的EAE-1），EAO-2（弱化的EAE-2），AEO-2（弱化的AEE-2），AEO-4（弱化的AEE-4）。
==对附加的谓词演算公式的注解==
按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为：集合（类）S和集合M有某种二元关系，并且集合P和集合M有某种二元关系，从而推论出集合S和集合P是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种：
* A（全称肯定）命题：所有X是Y，确定了X“包含于”Y的关系，X是Y的子集，Y是X的超集，这是一种偏序关系，所有X是Y并且所有Y是Z则所有X是Z，所有X是Y并且所有Y是X则X同于Y。
* E（全称否定）命题：所有X不是Y，确定了X和Y是“无交集”的关系，这是一种对称关系，所有X不是Y同于所有Y不是X。（X与Y无交集，Y与Z无交集，不能推出X与Z无交集）。
* I（特称肯定）命题：有些X是Y，确定了X和Y是“有交集”的关系，这是一种对称关系，有些X是Y同于有些Y是X。（X与Y有交集，Y与Z有交集，不能推出X与Z有交集）。
* O（特称否定）命题：有些X不是Y，确定了X“不包含于”Y的关系。（从X不包含于Y不能推出X包含Y）。
将参与推理的命题分为两类：规则和事实，全称命题是规则，而特称命题只陈述事实：
* A命题：所有X是Y，它允许两个推理方向，从肯定的X推出肯定的Y，从否定的Y推出否定的X。
* E命题：所有X不是Y，它允许两个推理方向，从肯定的X推出否定的Y，从肯定的Y推出否定的X。
* I命题：有些X是Y，它确定了有些个体存在于X与Y的交集中。
* O命题：有些X不是Y，它确定了有些个体存在于X-Y的差集中。
两个规则可以推出一个新规则，一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实，两个存在事实什么也推不出来。A命题可以和所有四种命题一起工作。E命题还可以和I命题一起工作。两个E命题无法推理。E命题和O命题不能一起工作，因为推出的是两个否定的合取，不属于这四种命题之一（此为互斥前提谬误），IE的组合都得出P不包含于S结论，不属于四种命题之一。有效的论式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA这8种组合和4种格共32种情况中检验。
首先是推出新规则的推理。第1格和第4格的中项分别位于两前提的主词和谓词位置上，所以是可直接推出结论。AA组合推出A，其中只有AAA-1是合理的，它推论出S包含于P的关系；第4格AA组合推论出P包含于S的关系，这不是四种命题之一，只能在P确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。AE及EA组合推出E，其中EAE-1和AEE-4是直接推出的，其中AEE-4需要对换结论E命题的主词和谓词位置，EAE-2和AEE-2分别是它们二者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。
AA和EA的第3格组合通过合成推理在中项确定有元素存在情况下形成AAI-3和EAO-3。EAO-4是EAO-3对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。AE第3格组合得出  P不包含于S的结论，不属于四种命题之一。
其他论式都是一个全称命题作为规则，而另一个特称命题提出两个事实的合取，规则消去一个事实形成一个新事实，从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的，其中IAI-4需要对换结论I命题的主词和谓词位置，AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分别是它们三者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。OAO-3是直接推出的，它没有等价者。AOO-2没有等价者，这里对A命题采用了否定后件推理，历史上采用反证法，假定结论O命题不成立，它与大前提A命题推出与小前提O命题矛盾的结果，所以结论成立。
历史上，对于AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4，如它们的拉丁语名字中的p所指示的，通过把A命题是被弱化为I命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。后人认为它们不是直言的（直言的意思就是无条件），这个问题被称为存在性引入问题。
最后，有全称结论的5个论式AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4的弱化结论可得出AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4，也可算入有效论式中。
==24论式图示==
下表以文氏图展示24个有效直言三段论，不同栏表示不同的前提，不同外框颜色表示不同的结论，需要存在性预设的推理以虚线与斜体字标示。