【珠算】
珠算，义为使用算珠来进行计算，一般特指用中式算盘来计算，对四则运算统整出了一套系统的计算规则，统称珠算法则。其源于中国筹算，在东汉徐岳所著《数术记遗》记载上古十四种算法，珠算为其一。不过，当时尚无现在的算盘，是把算珠放于以凹槽为档的板上作为算盘。
2013年，联合国教科文组织将其列入人类非物质文化遗产代表作名录。
== 术语 ==
珠算已发展成一系统，亦衍生出许多相关术语，为便于说明，参考国珠联的《珠算统一用语表》略简述之：
* 算盘术语
** 框
** 梁
** 上珠
** 下珠
* 运珠相关
* 算术术语
** 加算：即加法计算。
*** 被加数：
*** 加数：
*** 和  的 c
** 减算：即减法计算
*** 被减数：
*** 减数：
*** 差：  的 c
** 乘算：即乘法计算
*** 实、被乘数：
*** 法、乘数：
*** 积：  的 c
** 除算：即除法计算
*** 实、被除数：
*** 法、除数：
*** 商：  的 c
*** 余：  的 d
== 运珠 ==
有两种方式：
# 双手拨珠，以中国为主，另有俄罗斯、哈萨克、南非、乌兹别克、土耳其、摩洛哥及中东的伊朗、沙乌地阿拉伯、阿联酋、约旦、黎巴嫩等。
# 单手运珠，以台湾、日本、韩国为主，另有马来西亚、新加坡、泰国、香港、美国、加拿大、巴西、澳洲等。
二五珠算盘
一般只用拇指、食指和中指拨珠（亦有极少数非常熟练的人五指全用），三个手指的基本分工是：
* 拇指拨下珠向上靠梁。
* 食指拨下珠向下离梁。
* 中指拨上珠靠梁和离梁。
一四珠算盘
（或一五珠算盘）：两个手指的基本分工是：
* 食指拨上珠向下靠梁。
* 食指拨上珠向上离梁。
* 拇指拨下珠向上靠梁。
* 食指拨下珠向下离梁。
一五珠算盘
两个手指的基本分工是：
* 食指拨上珠向下靠梁。
* 食指拨上珠向上离梁。应该是拇指
* 拇指拨下珠向上靠梁。
* 食指拨下珠向下离梁。
== 算法 ==
=== 布数 ===
布数是指表现数字的算珠摆放方式。
=== 加算 ===
方法为同位值相加，逢十进一，计算时由又高位档向低位档依次相加。
（例）1937+284
口诀
可辅助学习，熟练后亦可不用。
以 +3 为例:
*「三上三」是指「（若下珠够加）直接上拨三颗」(=+3)。
*「三下五去二」是指「（若下珠不够加，且没有上珠），则拨下一颗上珠，去掉两伙下珠」（=+5-2）。
*「三去七进一」是指「（若下珠不够加，且有上珠），则去掉七，再高一位进一」（=+10-7）。
其中，「三下五去二」亦是成语中「三下五除二」的由来。
=== 减算 ===
方法为同位值相减，不够借位，计算时由高位档向低位档依次相减。
（例）2756-957
口诀
可辅助学习，熟练后亦可不用。
以 -3 为例:
「三去三」是指「（若下珠够减）直接拨去三颗」(=-3)。
「三上二去五」是指「（若下珠不够减，且有上珠），则拨去上珠，并加上二颗下珠」（=-5＋2）。
「三退一还七」是指「（若下珠不够减，且没有上珠），则更高一位减一，并加上七」（=-10+7）。
负数
遇到小数减大数时，可以用到一种技巧叫作悬珠来代表负数。悬珠是指将算珠移到不靠梁，也不靠框。其观念同计算机中的二补数。
=== 乘算 ===
基本原则就是，将乘数分解为每分数，分别乘上被乘数后相加。如：要计算 32×97
:
:
更进一步分解，
:
:
计算时，不用考虑位值，则只需计算一位×一位，如：30×90 ，只需计算 3×9 ，再加至百位即可。如此，可以先将每个一位×一位的结果先计算出来，此即为乘法口误——九九歌。
而使用珠算计算时，因为数字都在盘面上，所以要考虑是否要将实（被乘数）、法（乘数）放置盘面上，放的位置（因计算结果会愈来愈长，可能会与原本被乘数、乘数放置的地方重叠而影响）、计算顺序、如何定位等。而根据计算方法，主要有两大类：
* 看头乘法，被乘数、乘数放置盘面上。
** 看头乘法，又称见乘法，乘法速算法。
* 破头乘法，被乘数、乘数不放置盘面上。
** 破头乘法，又称头乘法
** 破头乘法别法，又称新头乘法，或称隔位乘法。
此外，另有一种技巧 凑倍乘法，古称金蝉脱壳，又称迭皮乘、加减乘法、变积乘法、倍数乘法、加乘法。可将乘法转为加减算，从而不需要九九乘法。
其基本想法为：「因为将每个乘数分解成多个一位数，最多只有 9 种可能（0 不用计算）」，而这 9 种可能，都可以改为「×1、×2、×5的某种组合」如：被乘数×8 相当于 被乘数x(10-2)。而「×1、×2、×5」这三种运算是容易心算的。
看头乘法
破头乘法
新头乘法
（例）32×97
}
→
→
→
32
算「2」字
2×90
→
→
→
算「3」字
=3104
凑倍乘法
=== 除算 ===
方法跟长除法类似，即逐位（由高位向低位）来决定适合的商。计算方式主要分两步骤估商（或试商）和减积。
计算方法有：商除法、归除法、凑倍除法。
==== 商除法 ====
以约率为例。为简单起见，先以两个算盘（一个记录商，一个记录余）说明之。
（例）
* 第一位
* 第二位
* 第三位
得到 。
而实际在计算时，会使用一个算盘同时放置商数和余数，就是分区放。要如何有效利用有限的档位，又不影响计算，其规律就是够除，隔位置商；不够除，挨位置商。
以密率为例，说明完整的商除法。
以  为例
* 第一位
* 第二位
* 第三位
* 第四位
* 第五位
* 第六位。注意，这位是不够除，挨位置商。
* 第七位。
得
修正商
计算过程中，若发现所估的商过大，则要退商；若估商太小，则要补商。
==== 归除法 ====
其基本想法是，将一些可能的除算先计算出结果，并将商与除数化作口诀，来加速计算除法。
除数为一位的称为单归法，除数为多位的，则为归除法。
===== 九归诀 =====
目前可知最早的记载为朱世杰所撰《算学启蒙》卷上《归除歌诀》：「
一归如一进、见一进成十；
二一添作五、逢二进成十、四进二十、六进三十、八进四十；
三一三十一、三二六十二、逢三进成十、六进二十、九进三十；
四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四进成十、八进二十；
五归添一倍、逢五进成十；
六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六进成十；
七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七进成十；
八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八进成十；
九归随身下、逢九进成十
」
整个歌诀的作用为，「罗列所有被除数及除数的首数的可能，得出商数和余数」。
以三一三十一为例，第一个数字为三，是除数的首数为三，第二个数字为一，是被除数首数为一，数字虽为 1，但计算的是  。
而三十一意指商为 3 ，余为 1。同样的，三二六十二是指。逢三进成十是指。
有些语句是用下加几来表示，是指商数不变（与被除数首数相同），余数则为那个几。以七二下加六为例，。
五归添一倍是指「用 5 去除一个数，相当于此数加倍」（如：）
其中，部分口诀，也成了成语。如二一添作五意味两者平分，三一三十一意味三者平分。
其他版本
也有几种不同的版本，如简化版：「
一归如一进，见一进成十；
二一添作五，逢二进成十；
三一三十一，三二六十二，逢三进成十；
四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四进成十；
五归添一倍，逢五进成十；
六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六进成十；
七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七进成十；
八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八进成十；
九归随身下，逢九进成十。
」
或者，改为更易理解的语句，如将「三一三十一」改为「三一三余一」，「逢三进成十」改为「逢三进一」。如：「
一归：逢一进一，逢二进二，逢三进三，逢四进四，逢五进五，逢六进六，逢七进七，逢八进八，逢九进九。
二归：逢二进一，逢四进二，逢六进三，逢八进四，二一添作五。
三归：逢三进一，逢六进二，逢九进三，三一三余一，三二六余二。
四归：逢四进一，逢八进二，四二添作五，四一二余二，四三七余二。
五归：逢五进一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。
六归：逢六进一，逢十二进二，六三添作五，六一下加四，六二三余二，六四六余四，六五八余二。
七归：逢七进一，逢十四进二，七一下加三，七二下加六，七三四余二，七四五余五，七五七余一，七六八余四。
八归：逢八进一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六余二，八六七余四，八七八余六。
九归：逢九进一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。
」
===== 单归法（除数为一位）=====
以约率为例。
（例）
得
===== 归除法（除数为多位）=====
跟单归法类似，也是借助九归歌。可以理解成使用九归歌来估商。
以  为例，可以先用 300 来估商，因此使用口诀中的三归口诀。口诀已完成了 300 的减积（如「三一三余一」中，余一的部分已加入下一档）。但 21 的部分仍未减积。因此归除法区分两个观念：除数的首数称为归，除数的首数以外的数称为除。除数为 321 的话，称作3归21除，意味著用 3归求商及其减积，再以 21 来完成乘下的减积。
减积后，有可能发现的估商需要调整。若过小，需要增商，这部分口诀中已包含「逢 n 进为十」；若过大，则需退商，则有退商口诀：
* 一归：无除起一下还一
* 二归：无除起一下还二
* 三归：无除起一下还三
* 四归：无除起一下还四
* 五归：无除起一下还五
* 六归：无除起一下还六
* 七归：无除起一下还七
* 八归：无除起一下还八
* 九归：无除起一下还九
这口诀有明显规律：「无除起（也有作「退」）一下还 n」，无需特别记忆。
另外，也有可能发现在某些情况（即除数、被除数差不多大，却又不够除时）下，无法估商，则使用撞归口诀：
* 一归：见一无除撞九一
* 二归：见二无除撞九二
* 三归：见三无除撞九三
* 四归：见四无除撞九四
* 五归：见五无除撞九五
* 六归：见六无除撞九六
* 七归：见七无除撞九七
* 八归：见八无除撞九八
* 九归：见九无除撞九九
这口诀也有明显规律：「见 n 无除撞（也有作「作」）九 n」，无需特别记忆。它的意思是，在「除数、被除数的首数同为 n，却又不够除，直接估商为 9，下一档要 +n」时。当首数相同，却又无法进 1 （代表 10），则估商就从 9 开始。减积后，需要在下一档 +n 。
以密率为例，因为除数为 ，故称之为「一归十三除」，相关口诀如下：
* 九归口诀：逢一进一，逢二进二，逢三进三，逢四进四，逢五进五，逢六进六，逢七进七，逢八进八，逢九进九。
* 退商口诀：无除起一下还一。
* 撞归口诀：见一无除撞九一。
（例）
* 第一位
* 第二位
* 第三位
* 第四位
* 第五位
* 第六位
* 第七位
得 。
==== 凑倍除法 ====
或称累减除法、大扒皮，首见于《九章详注比类算法大全》，是一种不用九九乘法而用累减的计算方式。
=== 开平方 ===
开平方必须至少三副都是至少十三档算盘, 一副是根, 一副是廉, 一副是隅
== 验算 ==
还原验算法
一、交换律
加法算式:被加数+加数=和数
验算公式:加数+被加数=和数
减法算式:被减数-减数=差数
验算公式:被减数-差数=减数
乘法算式：被乘数*乘数=积
验算公式：乘数*被乘数=积
二、逆运算
加法算式:被加数+加数=和数
验算公式:和数-加数=被加数  或  和数-被加数=加数
减法算式:被减数-减数=差数
验算公式:差数+减数=被减数
乘法算式：被乘数*乘数=积
验算公式：积/被乘数=乘数
除法算式：被除数/除数=商(及余数)
验算公式：(除数*商)+余数=被除数
三、尾错复尾
只再计算最后几位数一次
九余数法
只能验加法,减法,乘法和乘幂
范例一、 123+456=599
123=1+2+3=6(mod 9)
456=4+5+6=6(mod 9)
599=5+9+9=5(mod 9)
因6+6=3(mod 9)不等于5(mod 9), 所以计算错误,正确答案是579
范例二、  123*456=68934
123=1+2+3=6(mod 9)
456=4+5+6=6(mod 9)
68934=6+8+9+3+4=3(mod 9)
因6*6=0(mod 9)不等于3(mod 9), 所以计算错误, 正确答案是56088
范例三、  22*68*53=369780
22=4(mod 9)
68=5(mod 9)
53=8(mod 9)
369780=3+6+9+7+8+0=6(mod 9)
因4*5*8=7(mod 9)不等于6(mod 9), 所以计算错误, 正确答案是79288
范例四、  23^4=367981
23^4=(-4)^4=4(mod 9)
367981=34=7(mod 9)
因4(mod 9)不等于7(mod 9), 所以计算错误, 正确答案是279841
九余数法不能查到答案是换位错误(error of transposition)的问题, 例如计算岀567, 但正确答案是576便会显示正确。勿过度倚赖九余数法。
九除法
十一除法
二除法
== 珠算竞技 ==
珠算竞技可分为珠算竞技和心算竞技两大类，心算竞技是运用珠算式心算技巧。
== 参考文献 ==