【沙普利-福克曼引理】
此处以四个集合的闵可夫斯基和为沙普利-福克曼引理的例证。在左边，四个非凸集中的点(+)之和，就是右边，其闵氏和凸包中的点(+)。左边四点之中，有两点位于相应的非凸集中，另有两点位于非凸集的凸包中。各凸包以浅粉红色画出。原来的集合各只有两点（以红点表示）。
沙普利-福克曼引理是Convex geometry的一条引理，其于数理经济学有应用。引理描述向量空间子集的闵可夫斯基和有何性质。若干个集合的闵可夫斯基和，即从各集合分别取一个元素相加，组成的集合：例如，将整数和组成的集合，与自身相加，得到由组成的集合，以符号可写成：
「许多个集合的闵氏和，是否必定近似凸集？」沙普利-福克曼引理和相关的结果表明，问题的答案为肯定。集合称为凸，意思是连接其中任意两点的线段，必为该集合的子集：举例，实心圆盘  为凸集，但圆  则不然，因为连接相异两点的线段  并不是圆的子集。沙普利-福克曼引理大致断言，若求和项的数目超出向量空间的维数，则其闵氏和将近凸。
沙普利-福克曼引理引入时，是作为证明沙普利-福克曼定理的一步，该定理断言闵氏和与其凸包的距离不超过某个上界。所谓集合的凸包，是包含的最小凸集。而当且仅当和为凸时，上述距离为零。定理中，距离的上界取决于维数及求和项的形状，但不取决于求和的项数，而只需。只要其中个求和项的形状，就足以确定个集合的闵可夫斯基平均集
与其凸包的距离的上界。当趋向无穷时，该上界递减至零（需要各求和项的大小一致有界）。斯塔（Starr）的推论将沙普利-福克曼定理的上界压得更低，故又称为沙普利-福克曼-斯塔定理。
劳埃德·沙普利和Jon Folkman的引理，最先由经济学家Ross Starr发表，其时斯塔正在肯尼斯·阿罗门下，研究经济均衡的存在性。斯塔在论文中，研究凸化（convexified）经济体，即将非凸集换成其凸包。斯塔证明，凸化之后，有些均衡由原经济体的「准均衡」（quasi-equilibria）逼近；还证明，每个准均衡都具有真均衡的许多最优性质，而凸经济体中则必定存在真均衡。斯塔1969年的论文发表后，沙普利-福克曼-斯塔的结果得到广泛应用，用作证明（凸）经济理论的若干核心结果，尽管不适用于有非凸部分的大经济体，但在此等经济体中，仍是良好的近似。Roger Guesnerie评论：「这些结论的一般形式的推导，是战后经济理论的重大成就。」许多诺贝尔奖得主都曾研究经济学中的非凸集，除了前述的劳埃德·沙普利（2012年获奖）外，还有：阿罗（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、杰拉德·德布鲁（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保罗·克鲁曼（2008）、保罗·萨缪尔森（1970）。至于互补的主题「经济学中的凸集」，除以上得主著重外，还有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都著重。
沙普利-福克曼引理在优化论和概率论皆有应用。优化论中，可以引理解释，在求多个函数之和的最小值时，为何一些解法可以成功。概率论中，引理适用于证明随机集的「大数定律」。此定理先前仅在凸集的情况得证。
== 简单例子 ==
考虑凸的实数区间，其包含整数子集，且是其凸包（添加了两点所连线段上的所有点）。仅得两个元素的集合，复制成三份，并按元素求和，得到
（此处集合的和，是从各集合分别取一个元素相加，得到的可能结果的集合，称为闵氏和。）和集的凸包则为区间。
区间中，每个数都可以写成区间中某三个实数（允许重复）之和，例如将等分成三份即可。但使用沙普利-福克曼引理，则有更强的结论：的每个数，都可以写成中某两个整数（允许重复），与中某一个实数之和。
凸包中的点，到的距离，至多为：
然而，考虑三个区间的闵氏平均
与其凸包的距离，仅为，即未平均前与距离（）的三分之一。越多个集合相加，其闵氏平均就将凸包填得越满：由闵氏平均至凸包的最远距离，随被加项数增加，而趋向于零。此为沙普利-福克曼定理的结论。
== 前置概念 ==
沙普利-福克曼引理需要用到convex geometry的若干定义和定理，本节将作简介。
=== 实向量空间 ===
二维的实向量空间上，有笛卡儿坐标系，将每点视为一对实数，称为「坐标」，按惯例记为。笛卡儿平面上的两点，可以逐个坐标相加：
此外，点也可以逐个坐标与实数相乘：
更一般而言，任何维（有限维）实向量空间，均可视为个实数组成的D元组的集合，并配备两种运算：向量加法和标量乘法。有限维实空间的此两种运算，皆定义成逐个坐标运算，与笛卡儿平面上的运算类似。
=== 凸集 ===
实向量空间中，非空子集称为凸集，意思是，对于的任意两个点，连接两点成一线段，其上的所有点仍在中。例如，实心圆盘  为凸，但圆  则不然，因为连接相异两点的线段  并不是圆的子集。三个整数的集合非凸，但其为区间的子集，而该区间为凸。又例如，实心立方体为凸，然而任何空心或凹陷的图形，如Crescent，则非凸。空集也是凸集，视乎作者偏好，这可能是专门的定义，也可能是因为要满足的条件是Vacuous truth。
更严谨而言，集合称为凸，意思是，对中任意两点，和单位区间中的任意实数，点
仍是的元素。
由数学归纳法，集合为凸，当且仅当其任意多个元素的凸组合仍在中。所谓向量空间子集的凸组合，是其元素的任意加权平均，而各可以是总和为的任意非负实数，即只需。
凸集的定义推出，两个凸集的交集仍是凸集。更甚者，任意一族凸集的交也是凸集。作为特例，若取两个不交的凸集，则其交集为空集，故应当称空集为凸。
=== 凸包 ===
红色集的凸包中，每个蓝点都是若干个红点的凸组合。
对于实向量空间的每个子集，其凸包是包含的最小凸集。所以，是所有覆盖的凸集的交。等价地，可以将定义成的点的所有凸组合的集合。作为例子，整数集合的凸包，是实数闭区间，其两端为原有的整数。单位圆的凸包则是闭单位圆盘，其包含单位圆。
=== 闵可夫斯基和 ===
集合的闵可夫斯基和。两个小正方形和的和，是大正方形。
在任何向量空间（或有定义加法的代数结构）中，两个非空子集的闵可夫斯基和，定义为其元素之和的集合，即 （参见)。例如：
此运算定义在非空子集族上，且满足结合律和交换律。既然有结合律和交换律，就可以递归定义多个被加项的运算结果。由数学归纳法，可见
=== 闵可夫斯基和的凸包 ===
闵可夫斯基和与凸包运算可以交换。具体而言，对实向量空间的任意子集，其闵氏和的凸包等于其凸包的闵氏和。换言之，
故由数学归纳法得
对任意和非空子集（）成立。
== 各命题的敍述 ==
闵氏和。左图每个非凸集由两个红点组成，其凸包（浅粉红色）包含标记加号（+）的点，而右图中的加号等于左图各个标加号的点之和。
由前一段的恒等式，对和的凸包中的每点，都存在各凸包的（取遍至），使得。各点的位置取决于。
=== 引理 ===
劳埃德·沙普利，2012年诺贝尔经济学奖得主。他与Jon Folkman一同证明沙普利-福克曼引理。
有了以上背景，沙普利-福克曼引理断言，的表示法
中，仅需要不多于个被加项取自凸包，而其他被加项，则只需取自原来的集合。以符号复述，即有以上方法表示，且满足。不妨将下标重新排序，然后就有
其中对，有，而对，则有。注意，倘若重排，则排序的方式也取决于点。再精简，沙普利-福克曼引理可以写成
举例，集合中的每个点，根据引理，必定可以写成的某个元素，与的某个元素之和。
==== 实向量空间的维数 ====
反之，沙普利-福克曼引理刻划了有限维实向量空间的维数。具体而言，若某向量空间，对于某个自然数满足引理的结论，但对小于的数不满足，则其维数恰好为。引理仅对有限维向量空间成立。
=== 沙普利-福克曼定理及斯塔的推论 ===
某点集（深红）的凸包以浅红虚线围起。点集的内半径（绿色）必定小于其外接圆半径（蓝色），除非所有点共圆，此时两个半径相等。
沙普利与福克曼运用其引理，证明沙普利-福克曼定理，给出集合的闵氏和与其凸包（称为凸化（convexified）和）的距离上界。定理的敍述如下：凸化和的任一点，到（未凸化）和集的欧氏距离平方，不超过各集合的外接半径中，最大个的平方和。(所谓外接半径，定义为包围该集合的最小球面的半径。）此上界与求和项数无关（但要求，且集合不能越来越大）。上述定理给出闵氏和及其凸包之间距离的上界。当且仅当闵氏和为凸集时，此距离为零。该上界取决于维数及各被加项的形状，但只要，就不取决于项数。
通常，外接半径会大于内半径，而无论如何，外接半径总不能小于内半径。集合的内半径定义为：
最小的正实数，满足：若在凸包中，则在若干点的凸包中，而该些点皆在同一个半径为的球内。
斯塔将沙普利-福克曼定理中的外接半径换成内半径，从而压低沙普利-福克曼定理的上界：
沙普利-福克曼定理的斯塔推论：
凸化和的任一点，到（未凸化）和集的欧氏距离平方，不超过各集合的内半径中，最大个的平方和。
斯塔的推论确定，个集合的闵氏和与其凸包之间，欧氏距离的上界。此距离可以衡量闵氏和非凸的程度，故为简单起见，下文称为非凸度。于是，斯塔对非凸度的上界，仅取决于个最大内半径之值，但不取决于求和的项数（假设）。
例如，非凸集的非凸度为，因为与其凸包（区间）的距离为所以，既然的非凸度有不取决于项数的上界，就知平均集
非凸度上界，会随增加而递减。例如，平均集
和其凸包的距离仅为，等于被加项与其凸包的距离（）之半。仅要最大个求和项的形状，已足以计算和集与凸包的距离的上界，故除以后，平均集与凸包的距离，在趋向无穷时，会递减至零（对均匀有界的求和项成立，即各个求和项的大小需有同一个上界）。若使用斯塔的上界，则前一句结论的条件可以放宽，只需各求和项的内半径有同一个上界。
=== 证明和计算 ===
沙普利-福克曼引理的原证明，仅确定存在该种表示法，而无说明如何构造。阿罗与哈恩、盖士利、斯奈德（Schneider）和其他人都曾给出类似的证明。阿特斯泰因（Artstein）扩展了埃科兰德的简洁抽象证明。也有未经出版的另证。1981年，斯塔发表一种叠代法，可以计算给定点的表示法，然而，此计算方法给出的上界，较非构造性证明的上界差。博赛卡斯的书有讲述有限维空间沙普利-福克曼引理的初等证明，并将引理应用于估计可分优化（separable optimization）问题与零和赛局的对偶间隙。
== 应用 ==
有沙普利-福克曼引理，学者就得将有关凸集闵氏和的结果，套用到（无需凸的）一般集合之和。此种和见于经济学、最优化理论、概率论。此三领域的应用中，非凸性起到重要作用。
=== 经济学 ===
偏好位于无差异曲线上的任意篮子，胜过位于上的篮子。篮子，是预算线（蓝色）支撑的位置，所以是最优而又可行。相反，虽然消费者更偏好上的任意篮子，但无足够预算，所以并不可行。
经济学中，消费者对每一「篮子」商品（basket，即商品的组合）有其偏好程度。每篮子可用一个非负向量表示，其坐标为篮中各商品的量。所有篮子组成的集合中，每个消费者有自己的一族无差异曲线，满足：在同一条曲线上的各篮子，对该消费者是等价的，即消费者并不觉该曲线上有篮子胜于另一个篮子。每篮子恰好处于一条无差异曲线上。消费者相对于一条无差异曲线的偏好集，定义为该无差异曲线与其更偏好的区域的并集。称消费者的偏好为凸，意思是其所有偏好集皆为凸。
如图所示，消费者认为的最优篮子，是在预算线支撑某个偏好集时取到，因为此时，所选的篮子是整条预算线上，达到最高的无差异曲线的一点。所谓预算线，是由商品的价格向量与消费者的收入计算得出的限制，消费者无足够收入购买高于此线的篮子。所以，最优篮子的集合是各价格的函数，称为消费者的需求。若偏好集为凸，则不论价格为何，消费者认为的最优篮子总是组成凸集，例如可能是单元集，或是一条线段。
==== 非凸偏好 ====
若消费者的偏好有凹陷，则消费者的决定可以不连续，从一个篮子跳到另一个隔开的篮子。
然而，若有偏好集非凸，则某些价格确定的预算线，可能在两个分开的最优篮子支撑该偏好集。例如，可以设想，动物园购买狮子或鹰的价钱一样，且其预算恰好够买一只狮子或一只鹰。此外，假设园主亦认为两只动物价值相同，则动物园有可能买狮子，也可能买鹰，但当然不可能买半只狮子加半只鹰（狮鹫）。所以，园主的偏好非凸：买两只动物中的任一只，胜于两者的严格凸组合。
若消费者有非凸偏好集，则对于某些价格，需求不连通。不连通的需求，会导致消费者的行为出现不连续的间断。引述哈罗德·霍特林的话（宜配合所附动图理解）：
若考虑波浪形的无差异曲线，即在某些区域向原点凸，而在其他区域向原点凹，则我等被迫推论，仅有向原点凸的部分需要理会，因为几乎不可能观测到其他部分。要侦测该些部分，唯一方法是，观察价格之比率变化时，需求的不连续变化。此变化的效果是，当直线旋转时，切点会突然跃过某凹陷。虽然此种不连续的表现，揭示有凹陷，但却不可能量度缺口的深度。倘若无差异曲线，或其高维推广，有凹陷部分，则定必因永远无法测量，而不为人知。
书中，称Herman Wold有强调研究非凸偏好的困难，也引述保罗·萨缪尔森称凹陷处「被永恒的黑暗遮蔽」Betwixt Damiata and Mount Casius old,Where Armies whole have sunk.弥尔顿对凹陷的描写，是p=169第7章"Markets with non-convex preferences and production"［非凸偏好与生产的市场］的epigraph (literature)。该章讲解1969的成果。。
尽管有上述困难，《Journal of Political Economy》（JPE）在1959年至1961年间，刊登一系列的论文，解明非凸偏好。投稿人包括：法雷尔（Farrell）、巴托尔、科普曼斯、罗森博格（Rothenberg）。其中，罗森博格讨论非凸集和的近似凸性。该些JPE论文，促使劳埃德·沙普利和马丁·舒比克也合著论文，研究凸化的消费者偏好，并引入「近似均衡」（approximate equilibrium）的概念。JPE论文和沙普利-舒比克论文又启发了罗伯特·奥曼提出另一个概念，称为「准均衡」（quasi-equilibrium）。
==== 斯塔1969年的论文与当代经济学 ====
肯尼斯·阿罗（1972年诺贝尔奖得主）帮助Ross Starr研究非凸经济体。
肯尼斯·阿罗收集前人研究经济学中的非凸集的文献，列成表，并加入注解，交给Ross Starr。斯塔当时仍是本科生，但已在修读阿罗开设的高等数理经济学（研究生）课程。斯塔在学期论文中，考虑将非凸偏好换成其凸包所得的假想经济体，研究其一般均衡。凸化经济体中，在每个价位，总需求皆是各消费者需求的凸包之和。斯塔的想法吸引数学家劳埃德·沙普利和Jon Folkman参与，两人「在私人通信中」证明现以两人命名的引理和定理，到1969年，斯塔才于论文报告此事。
斯塔1969年的论文中，应用沙普利-福克曼-斯塔定理，证明「凸化」经济体有一些一般均衡，只要参与者足够多，能以原经济体的「准均衡」近似。具体而言，斯塔证明，至少存在一个价格向量为的准均衡，满足下列条件：
* 对每个准均衡，所有消费者都可以选到其最优的篮子（在预算限制内，且最偏好）。
* 在该价格，凸化经济体中，每种商品的市场皆均衡，即供给等于需求。
* 每个准均衡的价格，皆「几乎出清」原经济体的市场：凸化经济体均衡组成的集合，与原经济体的准均衡集合，两者的距离有上界。此结论是根据沙普利-福克曼定理的斯塔推论得到。
斯塔确立以下结论：
「总体中，［取各消费及生产集的凸包］所得的假想经济体的分配，与真实经济体的某个分配，两者的差异，有不取决于参与者数目的上界。因此，当参与者数目趋向无穷时，平均参与者感受到，与拟作行动的偏差，近乎可以忽略不计。」
斯塔1969年论文发表后，沙普利-福克曼-斯塔的结论，在经济理论获广泛应用。Roger Guesnerie如此总结该结论对经济学的意义：「假设凸性，所得的若干重要结果，在不具凸性的情况下，仍（近似）适用。例如，若经济体具有大消费侧，则偏好的非凸性不影响适用标准结果」，还称「这些结论的一般形式的推导，是战后经济理论的重大成就。」许多诺贝尔奖得主都曾研究经济学中的非凸集，除了前述的劳埃德·沙普利（2012年获奖）外，还有：阿罗（1972）、罗伯特·约翰·奥曼（2005）、杰拉德·德布鲁（1983）、特亚林·科普曼斯（1975）、保罗·克鲁曼（2008）、保罗·萨缪尔森（1970）。至于互补的主题「经济学中的凸集」，除以上得主著重外，还有里奥尼德·赫维克兹、列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇（1975）、罗伯特·索洛（1987）都著重。
沙普利-福克曼-斯塔的结论，在经济学各分支的文献都经常出现，包括微观经济学、一般均衡理论、公共经济学（包括市场失灵）、博弈论、数理经济学、经济学中的应用数学。沙普利-福克曼-斯塔的结论，也使经济学更多使用测度论和积分理论。
=== 最优化理论 ===
函数称为凸，意思是图像上方的区域为凸集。
沙普利-福克曼引理可以解释，为何大规模的最小化问题，即使非凸，仍可用迭代法近似求解（仅对于凸问题，有证明叠代法收敛到最优解）。沙普利-福克曼引理，促使学者将凸优化方法，用于优化多个（无需凸的）函数之和。
==== 最优化理论的前置概念 ====
非线性规划依赖下列有关函数的若干定义：
* 函数（定义在集合上）的图像，是所有参数与相应取值组成的二元组的集合：
* Real-valued function的Epigraph (mathematics)是图像上方的点的集合：
正弦函数并非凸函数。
* 实值函数称为凸函数，意思是其盖图为凸集。
举例，二次函数为凸，而绝对值函数亦然，但正弦函数（如图）则不然，因为在区间的盖图非凸（而有向上的凹陷）。
==== 加性优化问题 ====
许多优化问题中，目标函数可分离变数（可分），即是多个函数之和，而各个函数的参数不同，如：
又例如，线性规划问题就可分离变数。考虑一个可分问题，及一个最优解
在该点取到最小值。对此可分问题，同时考虑其「凸化问题」的最优解，即将每个求和项的图像换成其凸包。此种最优解，会是凸化问题的某点列的极限，其中
当然，因为此点是个图像凸包的点之和，由沙普利-福克曼引理，就可以写成原图像的点与少数图像凸包的点之和。
以上分析，1974年由埃科兰德发表，以解释为何可分问题有许多项时，即使各项非凸，总问题仍看似凸。对非线性最小值问题而言，对偶问题的解，不一定就是原问题的解（但若已知原问题为凸，且满足特定条件，则两者的的最优解相等），但是，1973年，青年数学家Claude Lemaréchal诧异，对已知非凸的问题使用凸问题的方法，竟然也成功。勒马雷沙尔的问题，正是上段加性可分离变数的形式，而每个和项皆非凸函数，但对偶问题的解，仍近似原问题的最优解。埃科兰德的分析说明，「大而可分」的最小值问题，即使各和项有凹陷，仍可运用凸优化的方法。埃科兰德及其后的作者主张，因为变数可以加性分离，所得的总问题近似凸。该等著作以沙普利-福克曼引理为关键一步。沙普利-福克曼引理促使学者将凸优化方法，应用到目标函数为多个函数之和的情况。
=== 概率与测度论 ===
凸集常与概率论一同研究。卡拉西奥多里定理说明，维空间的（非空）子集凸包中的点，是取值于的简单随机向量的期望值，而所谓简单，意思是仅在不多于个点处有非零概率。所以，对非空集，取值自的简单随机向量组成的集合，等于的凸包。由此便可在概率论中，套用沙普利-福克曼-斯塔的结果。反之，藉期望值与凸包之间的联系，概率论亦能用作研究凸集，尤其可用作分析沙普利-福克曼-斯塔的结果。沙普利-福克曼-斯塔的结果，广泛用于随机集的概率论，例如证明随机集的大数定律、中央极限定理、大离差原理。要证明前列概率极限定理，可以使用沙普利-福克曼-斯塔的结果，来避免假设随机集为凸。
概率测度是有限的测度，而沙普利-福克曼引理还可以应用到非概率的测度论，如体积或向量测度的理论。沙普利-福克曼引理可以加强Brunn–Minkowski theorem。该不等式断言，闵氏和的体积，相较于各和项的体积不能太大，即闵氏和的体积有上界，以各和项的体积的表示。欧氏空间子集的体积，此处定义为其勒贝格测度。
高等测度论中，沙普利-福克曼引理适用于证明李亚普诺夫定理，即向量测度的值域为凸。值域（或像集）是函数所有可能取值的集合，而向量测度则将测度推广到允许取向量值。例如，若某测度空间有两种概率测度和，则可定义一个向量测度，是对每个事件，将其两个概率结合为一个二元组，即
李亚普诺夫定理在经济学、(砰砰)控制论、Statistical theory皆有应用。李亚普诺夫定理是沙普利-福克曼引理的连续版，而沙普利-福克曼引理是李亚普诺夫定理的离散类比。
== 注 ==
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