【庞特里亚金对偶性】
2进整数相互关系图示,它们是庞特里亚金对偶性群的元素。
在数学上，特别是在调和分析与拓扑群的理论中，庞特里雅金对偶定理解释了傅立叶变换的一般性质。它统合了实数线上或有限阿贝尔群上的一些结果，如：
* 实数线上够「好」的复数值周期函数能表成傅立叶级数，反之也能从傅立叶级数推出原函数。
* 实数线上够「好」的复数值函数有傅立叶变换；一如周期函数，在此也能从其傅立叶变换反推出原函数。
* 有限阿贝尔群上的复数值函数有离散傅立叶变换，这是在对偶群上的函数。此外，也从离散傅立叶变换反推原函数。
此理论由庞特里亚金（Lev Pontryagin）首开，并结合了约翰·冯·诺伊曼与安德烈·韦伊的哈尔测度理论，它依赖于局部紧阿贝尔群的对偶群理论。
==哈尔测度==
一个拓扑群被称作局部紧的，若且唯若其单位元素e有个紧邻域。明白地说，这代表存在一个包含e的开集，使得它在里的闭包是紧的。局部紧群最值得注意的性质之一是它带有一个唯一的自然测度，称作哈尔测度，这使得我们可以一致地为中「够好」的子集测量大小；在此「够好」的明确意义是博雷尔集，即由紧集生成的σ-代数。更明确地说，局部紧群的一个右哈尔测度是指一个有限可加的博雷尔测度μ，并在的意义下满足「右不变性」；此测度尚须满足一些正则性（详见主条目哈尔测度）。任两个右不变哈尔测度至多差一个正的比例常数。准此要领，亦可定义左不变哈尔测度，当是阿贝尔群时两者符应。
此测度让我们得以定义上的复数值博雷尔函数的积分，特别是可以考虑相关的空间：
以下是局部紧阿贝尔群的若干例子：
* ，配上向量加法。
* 正实数配上乘法。此群透过指数及对数映射同构于。
* 任意赋以离散拓扑的有限阿贝尔群。根据有限阿贝尔群的结构定理，任何这样的群都是循环群的直积。
* 整数配上加法，并赋予离散拓扑。
* 圆群。这是绝对值为一的复数在乘法下构成的群。我们有同构。
* p进数配上加法及其p进拓扑。
==对偶群==
若是局部紧致阿贝尔群，的特征标是一个从到圆群的连续群同态；特征标在逐点乘法下构成一个群，一个特征标的反元素是它的复共轭。可证明所有上的特征标在紧致开拓扑（即：以紧集上的一致收敛定义收歛性）下构成一个局部紧致阿贝尔群，称作对偶群，记为或。若可分，则可度量化，对一般的则不尽然。
这可用线性代数中的对偶空间来类比，就像一个布于的向量空间有对偶空间，对偶群可看成。更抽象的说，这两者都是可表函子，被及所表示。
定理：二次对偶与有个自然同构。
在此，「自然」或「典范」同构意谓一个「自然地」定义的映射，要点是它在范畴中满足函子性（详见条目范畴论）。举例明之：任何有限阿贝尔群都同构于其对偶群，但并不存在典范同构。
定理中的自然同构定义如下：
。
换言之，我们藉著将一个元素在每个的特征上求值，得到一个上的特征。
==例子==
在整数对加法形成的无穷循环群 （配上离散拓扑）上，设χ为一特征，则，因此χ决定于χ(1)的值；反之，给定一个，必存在特征χ使得χ(1)=α，由此得到群同构。此外也容易验证上的紧-开拓扑对应到诱导自的拓扑。
因此，的对偶群自然地同构于。
反之，上的特征皆形如，其中n是整数。由于是紧的，其对偶群上的拓扑由一致收敛性给出，对应的不外是上的离散拓扑。因此的对偶群自然地同构于。
实数对加法构成的群同构于自身的对偶群；上的特征皆形如，其中r是实数。藉著这些对偶性，下节描述的傅立叶变换将符应于上的古典版本。
==傅立叶变换==
对于一个局部紧阿贝尔群，傅立叶变换的值域是其对偶群。设，则其傅立叶变换是下述上的函数：
其中μ是上的一个哈尔测度。可以证明是上的有界连续函数，且在无穷远处趋近零。同理可给出的傅立叶逆变换
其中ν是上的一个哈尔测度。
==群代数==
局部紧阿贝尔群上的可积函数构成一个代数，其乘法由卷积给出：设，则卷积定义为
。
定理：巴拿赫空间在卷积下构成一个交换结合代数。
此代数称作的群代数。根据的完备性，它是个巴拿赫空间。巴拿赫代数一般没有乘法单位元，除非离散。但它有个近似单位元，这是个网，以一有向集为索引，写作并满足下述性质。
。
傅立叶变换将卷积映至逐点乘法，即：
。
特别是，对任意上的特征χ，可在群代数上定义一积性线性泛函
。
群代数的重要性质之一，在于这些线性泛函穷竭了群代数上所有非平凡（即：非恒零）的积性线性泛函。见文献中Loomis著作的第34节。
==普朗歇尔暨傅立叶反转定理==
如前所述，一个局部紧阿贝尔群的对偶群依然是局部紧阿贝尔群，因而带有一族哈尔测度，彼此至多差一个比例常数。
定理：对偶群上存在一个哈尔测度，使得傅立叶变换在紧支集连续函数空间上的限制为等距同构。它可以唯一地延拓为一个么正算子。
其中是对偶群上既取的哈尔测度。
注意到：若非紧，并不包含，所以我们须诉诸一些技巧，例如限制于一个稠密子空间。
依循Loomis书中术语，我们称一对与其对偶群上的哈尔测度是相系的，若且唯若傅立叶反转公式成立。傅立叶变换之么正性遂蕴含：对所有上的连续紧支集复数值函数都有
在平方可积函数空间上，我们考虑的傅立叶变换是透过上述么正延拓得到的算子。对偶群本身也有个傅立叶逆变换；它可以刻划为傅立叶变换之逆（或其伴随算子，因为傅立叶变换是么正的），这是以下傅立叶反转公式的内涵。
定理：取定一对相系哈尔测度；对于傅立叶变换在紧支集连续函数上的限制，其伴随算子是傅立叶逆变换：
*在的情形，我们有，若取下述相系的哈尔测度，则回到傅立叶变换的古典定义：
（勒贝格测度）
（勒贝格测度）
* 在的情形，对偶群自然同构于，而上述算子归于计算周期函数的傅立叶系数。
* 若为有限群，则得到离散傅立叶变换。此情形易直接证明。
==玻尔紧化==
庞特里亚金对偶定理的重要应用之一是下述刻划：
定理：一个局部紧阿贝尔群为紧，若且唯若对偶群为离散。另一方面，为离散若且唯若为紧。
对任何拓扑群，无论局部紧或交换与否，皆可定义玻尔紧化。上述对偶性的用处之一是刻划局部紧阿贝尔群的玻尔紧化。对一个局部紧阿贝尔群，考虑拓扑群，其中就群结构而言是，但带离散拓扑。由于下述包含映射
是个连续同态，其对偶同态
是个映至一个紧群的同态；可以证明它满足定义玻尔紧化的泛性质，因而确为的玻尔紧化。
==范畴论观点==
函子的观点对于研究对偶群是很有用的。以下将以LCA表示所有局部紧阿贝尔群及其间的连续群同态构成之范畴。
对偶群的构造给出一个对偶函子。其二次迭代遂给出函子。
定理：对偶函子是一个范畴等价。
定理：对偶函子的二次迭代自然同构于LCA上的恒等函子。
此同构可以类比于有限维向量空间的二次对偶（特别是实与复向量空间）。
庞特里亚金对偶性将离散群与紧群的子范畴交换。若是一个环，而是个左-模，则从对偶性可推知离散左-模与紧右-模对偶。LCA里的自同态环依对偶性对应至其反环（即：环的乘法次序交换）。举例明之：取，则；前者满足，对后者亦然。
==非交换理论==
对非交换群没有类似的理论，因为此时对偶的对象={的不可约表示之同构类}不只有一维表示，因此不构成一个群。在范畴论中类似的推广称作Tannaka-Krein对偶定理；但它缺乏与调和分析的联系，因而无法处理关于上的普朗歇尔测度的问题。
某些非交换群的对偶理论以C*-代数的语言表述。
==源流==
庞特里亚金在1934年为局部紧阿贝尔群及其对偶性的理论奠下基础。他的进路须假定群是第二可数的，并且是紧群或离散群。此条件先后由E.R. van Kampen（1935年）与安德鲁·韦伊（1953年）改进为局部紧阿贝尔群。
==文献==
下列书籍（可在大部分大学图书馆找到）都有局部紧阿贝尔群、对偶定理与傅立叶变换的相关章节。Dixmier的著作有非交换调和分析的材料，也有英译本。
* Jacques Dixmier, Les C*-algèbres et leurs Représentations, Gauthier-Villars,1969.
* Lynn H. Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand Co, 1953
* Walter Rudin, Fourier Analysis on Groups, 1962
* Hans Reiter, Classical Harmonic Analysis and Locally Compact Groups, 1968（2nd ed produced by Jan D. Stegeman, 2000）。
* Hewitt and Ross, Abstract Harmonic Analysis, vol 1, 1963.