【拉格朗日点】
绿色的点表示第三个物体与前两个物体保持相对静止的拉格朗日点。
例如黄色圆型为太阳，蓝色点为地球，动画中为约略位置，详细位置与轨道需考虑质量比例和质心而稍异于动画位置。
在拉格朗日点之外的其他位置，引力将牵引第三个物体进入不稳定的轨道。
bibcode=2004ApJ...603..283S点击观看动画
拉格朗日点（Lagrangian point）又称平动点（libration points）在天体力学中是限制性三体问题的五个特殊解（particular solution）。就平面圆型三体问题，1767年数学家欧拉根据旋转的二体引力场推算出其中三个点为nolink=yes、nolink=yes、nolink=yes，1772年数学家拉格朗日推算出另外两个点（特解）为nolink=yes、nolink=yes。例如，两个天体环绕运行，在空间中有五个位置可以放入第三个物体（质量忽略不计），使其与另两个天体的相对位置保持不变。理想状态下，两个同轨道物体以相同的周期旋转，两个天体的万有引力在拉格朗日点平衡，使得第三个物体与前两个物体相对静止。
== 位置 ==
五个拉格朗日点之定义及位置如下：
=== nolink=yes ===
在M1和M2两个大天体的连线上，且在它们之间。
其中：r 表示 nolink=yes 与较小的物体之间的距离，R 表示两个主要物体之间的距离，M1 和 M2 分别表示较大物体和较小物体的质量。
求解 r 需要求解五次方程，但是当小物体的质量（M2）远小于大物体的质量（M1）时，nolink=yes近似于希尔球的半径，求解如下：
例如一个围绕太阳旋转的物体，它距太阳的距离越近，它的轨道周期就越短。但是这忽略地球的万有引力对其产生的拉力的影响。如果这个物体在地球与太阳之间，地球引力的影响会减弱太阳对这物体的拉力，因此增加这个物体的轨道周期。物体距地球越近，这种影响就越大。在nolink=yes点，物体的轨道周期恰好等于地球的轨道周期。
太阳及日光层探测仪（SOHO）即在日-地系统的nolink=yes点上运行。嫦娥五号的轨道器由于原登月任务完成后仍有充足的燃料，所以安排拓展任务，飞进到日-地系统的L1点进行进一步的太阳探测任务。
=== nolink=yes ===
在两个大天体的连线上，且在较小的天体一侧。
同样的，当小物体的质量（M2）远小于大物体的质量（M1）时：
日地系统的nolink=yes在地球远离太阳的一侧。一般来讲，一个物体距太阳的距离越远，它的轨道周期通常就越长，但nolink=yes点上的物体还受到地球的引力，所以轨道周期变得与地球的相等。日地系统的nolink=yes通常用于放置-{zh-hans:空间天文台; zh-hant:太空望远镜;}-。因为nolink=yes上的物体可以保持背向太阳和地球的方位，易于保护和校准。威尔金森微波各向异性探测器已经在日-地系统的nolink=yes点上运行。詹姆斯韦伯太空望远镜也在日-地系统的nolink=yes点上。嫦娥二号亦于2011年进入日-地系统的nolink=yes点的环绕轨道，为从月球轨道出发进入日-地系统nolink=yes点的首例。
地月系统的nolink=yes在月球远离地球的一侧（月球背面）。2014年中国探月工程三期再入返回飞行试验器服务舱曾进入环绕地月pt=yes的李萨如轨道开展试验，服务舱实现了环绕地月pt=yes飞行三圈，验证了轨道设计、轨道控制和轨道维持技术。之后嫦娥4号的通信中继卫星鹊桥号则是在该位置使用晕轮轨道维持运转。
=== nolink=yes ===
在两个大天体的连线上，且在较大的天体一侧。
例如：第三个拉格朗日点，nolink=yes，位于太阳的另一侧，与太阳的距离略小于地球与太阳的距离，但是位于地球轨道的外部，这个看上去矛盾的表述是因为地球公转轨道的焦点，是太阳与地球的共同质心，尽管对于日地系统来说共同质心在太阳内部，太阳同时也在围绕这个共同质心转动，所以这种状态成为可能。
一些科幻小说和漫画会在nolink=yes点创造一个「反地球」。
=== nolink=yes ===
pt=yes受两天体重力的合力指向系统的质心
在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的前方。此点稳定的原因在于，它到两大物体的距离相等，其对两物体分别的引力之比，正好等于两大物体的质量之比。因此，两个引力的合力正好指向该系统的质心，合力大小正好提供该物体公转所需之向心力，使其旋转周期与质量较小天体相同并达成轨道平衡。该系统中，两大物体和pt=yes上物体围绕质心旋转，旋转中心与质心重合。事实上，pt=yes上的物体的质量不须小到可忽略。pt=yes处，小物体受太阳和地球的引力的合力指向日地共同质心且大小正合适。
=== nolink=yes ===
在以两天体连线为底的等边三角形的第三个顶点上，且在较小天体围绕两天体系统质心运行轨道的后方。
和nolink=yes有时称为三角拉格朗日点或特洛伊点。科幻作品（如漫画、小说）所说的用于放置殖民卫星的拉格朗日点特指nolink=yes和nolink=yes，不包括3nolink=yes。
例如：nolink=yes和nolink=yes在地球围太阳运行的轨道之前和之后成60°角处。
实质上是三个物体围绕共同质心转动。
== 平衡性 ==
pt=yes的物体是不稳定平衡，处于nolink=yes与nolink=yes的物体是稳定平衡。
严格而言，首先拉格朗日点只算是二星体连线之法平面内的稳定点，而在三维空间内则不稳定：考虑nolink=yes：若垂直于中线地推移测试质点，则有一力将其推回平衡点（稳定平衡）；但若测试质点漂向任一星体，则该星体之引力会将其拉向自己（不稳定平衡）。pt=yes在这条直线上不稳定，如果把物体放在这上面的话，它马上会离开这个点。所以，有一种轨道的设计就是，它是围绕pt=yes做周期运动（晕轮轨道），这样的话，我们的卫星只需少量调节便能维持其轨道。
此对比：若M1比M2大于24.96，则处于nolink=yes与nolink=yes的物体是稳定平衡：当一测试质点偏离此平衡点，则科里奥利力会将其轨道扭曲成（相对于旋转座标之）扁豆状。太阳－木星系统有几千枚小行星，通称为「特洛伊小行星」，俱划此等轨迹。太阳－火星、太阳－土星、木星－木衞、土星－土衞等系统亦有类似星体。日－地系统中亦有 2010 TK7（第一颗地球特洛伊小行星），在二十世纪五十年代发现尘雾围绕nolink=yes与nolink=yes。在地－月系统之nolink=yes与nolink=yes点亦发现比对日照更微弱之尘雾。
== 行星特洛伊的轨道动画 ==
2013 ND15 相对于太阳和金星的动画 太阳金星
1999 UJ7相对于太阳和火星的动画太阳火星
2相对于太阳和火星的动画 太阳火星
nolink=yes，周期等于 海王星 的轨道周期。
地球的伴星（companion object）克鲁特尼以类似特洛伊之轨道「围绕」地球，但不是真正的特洛伊衞星，它基本上以一周期略小于一年之椭圆轨道环绕太阳，接近地球时从地球公转提取动能而进入较高之轨道。当克鲁特尼被地球追上，则会交回此动能，跌落低能轨道，重新开始循环。
克鲁特尼与地球在各自的轨道上运转，看起来像在彼此追赶
从地球的角度来观察，克鲁特尼像是绕行著豆子形状的轨道
土卫十一（Epimetheus）与土卫十（Janus）有类似关系，唯因其质量相若，故周期性地互换轨道。
另一类似位形为轨道共振，其中各星体之周期，因其相互作用，成简单整数比。
土卫三（Tethys）的nolink=yes和nolink=yes点有两个小卫星，土卫十三（Telesto）和土卫十四（Calypso）。土卫四（Dione）的nolink=yes点有一个卫星土卫十二（Helene）和nolink=yes点有一个卫星土卫三十四（Polydeuces）。
土星legend2| Lime| 土卫十 legend2|Magenta| 土卫十一
土卫三十四 legend2|Cyan|土卫十二legend2|Lime|土卫四legend2|DarkOrange|土星
== 流行文化 ==
科幻作品 (例如漫画和小说) 所说的放置殖民卫星的拉格朗日点指L4和L5，不包括L1和L2。例如L4和L5在地球围太阳运行的轨道之前和之后成60°角处。
== 参考文献 ==
==相关==
* Venus trojan
* 地球特洛伊
* 火星特洛伊
* 木星特洛伊
* 天王星特洛伊
* 海王星特洛伊
* 小行星带
== 外部连结 ==
*  欧洲太空总署有关拉格朗日点的介绍和动画 date=20151209211053