【球对称位势】
球对称位势乃是一种只与径向距离有关的位势。许多描述宇宙交互作用的基本位势，像重力势、电势，都是球对称位势。这条目只讲述，在量子力学里，运动于球对称位势中的粒子的量子行为。这量子行为，可以用薛丁格方程式表达为
；
其中，是普朗克常数，是粒子的质量，是粒子的波函数，是位势，是径向距离，是能量。
由于球对称位势只与径向距离有关，与天顶角、方位角无关，为了便利分析，可以采用球坐标来表达这问题的薛丁格方程式。然后，使用分离变数法，可以将薛丁格方程式分为两部分，径向部分与角部分。
==薛丁格方程式==
采用球坐标，将拉普拉斯算子展开：
。
满足薛丁格方程式的本征函数的形式为：
，
其中，，，，都是函数。与时常会合并为一个函数，称为球谐函数，。这样，本征函数的形式变为：
。
==角部分解答==
参数为天顶角、方位角的球谐函数，满足角部分方程式
；
其中，非负整数是角动量的角量子数。（满足）是角动量对于z-轴的（量子化的）投影。不同的与给予不同的球谐函数解答：
；
其中，是虚数单位，是伴随勒让德多项式，用方程式定义为
；
而是阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为
。
==径向部分解答==
将角部分解答代入薛丁格方程式，则可得到一个一维的二阶微分方程式：
。(1)
设定函数。代入方程式(1)。经过一番繁杂的运算，可以得到
。(2)
径向方程式变为
；(3)
其中，有效位势。
这正是函数为，有效位势为的薛丁格方程式。径向距离的定义域是从到。新加入有效位势的项目，称为离心位势。
为了要更进一步解析方程式(2)，必须知道位势的形式。不同的位势有不同的解答。
==实例==
在这里，有四个很特别、很重要的实例。这些实例都有一个共同点，那就是，它们的位势都是球对称的。因此，它们的角部分解答都是球谐函数。这四个实例是：
#：原方程变为亥姆霍兹方程，使用球谐函数为正交归一基，解析真空状况实例。这实例可以做为别的实例的基础。
#当时，；否则，：这实例比第一个实例复杂一点，可以描述三维的圆球形盒子中的粒子的量子行为。
#：研讨三维均向性谐振子的实例。在量子力学里，是少数几个存在简单的解析解的量子模型。
#：关于类氢原子的束缚态的实例，也有简单的解析解。
===真空状况实例===
思考的状况，设定，在设定无因次的变数
。
代入方程式(2)，定义，就会得到贝塞尔方程式，一个二阶常微分方程式：
。
贝塞尔方程式的解答是第一类贝塞尔函数；而是第一类球贝塞尔函数（真空解的边界条件要求原点的函数值有限，因此在原点趋于无穷的第二类球贝塞尔函数项的系数必须为零）：
。(4)
在真空里，一个粒子的薛丁格方程（即自由空间中的齐次亥姆霍兹方程）的解，以球坐标来表达，是球贝塞尔函数与球谐函数的乘积：
；
其中，归一常数，是非负整数，是整数，，是实数，。
这些解答都是角动量确定态的波函数。这些确定态都有明确的角动量。
====波函数归一化导引====
波函数的角部分已经归一化，剩下来必须将径向部分归一化。径向函数的归一化条件为
。
根据球贝塞尔函数的封闭方程式，
；
其中，，为克罗内克δ。
所以，。取平方根，归一常数。
===球对称的三维无限深方形位势阱 ===
球贝塞尔函数。
思考一个球对称的无限深方形阱，阱内位势为0，阱外位势为无限大。用方程式表达：
。
其中，是球对称阱的半径。
立刻，可以察觉，阱外的波函数是0；而由于阱内的薛丁格方程式与真空状况的薛丁格方程式相同，波函数是球贝塞尔函数。为了满足边界条件，波函数必须是连续的。匹配阱内与阱外的波函数，球贝塞尔函数在径向坐标之处必须等于0：
。
设定为阶球贝塞尔函数的第个0点，则。
那么，离散的能级为
。
薛丁格方程式的整个解答是
；
其中，归一常数。
====波函数归一化导引====
波函数的角部分已经归一化，剩下来必须将径向部分归一化。径向函数的归一化条件为
；
将球贝塞尔函数与第一类贝塞尔函数的关系方程式(4)代入积分：
。
设定变数，代入积分：
。
根据贝塞尔函数的正交归一性方程式，
；
其中，，为克罗内克δ，表示的第个0点。
注意到的第个0点也是的第个0点。所以，
。
取平方根，归一常数。
===三维均向谐振子 ===
三维均向谐振子的位势为
；
其中，是角频率。
用阶梯算符的方法，可以证明N维谐振子的能量是
。
所以，三维均向谐振子的径向薛丁格方程式是
。(5)
设定常数，
。
回想，则径向薛丁格方程式有一个归一化的解答：
；
其中，函数是广义拉盖尔多项式，是归一化常数：
。
本征能级的本征函数，乘以球谐函数，就是薛丁格方程式的整个解答：
；
其中。假若是偶数，设定；否则，设定。
====导引====
在这导引里，径向方程式会被转换为广义拉盖尔微分方程式。这方程式的解是广义拉盖尔多项式。再将广义拉盖尔多项式归一化以后，就是所要的答案。
首先，将径向坐标无因次化，设定变数；其中，。则方程式(5)变为
；(6)
其中，是新的函数。
当接近0时，方程式(6)最显著的项目是
。
所以，与成正比。
又当无穷远时，方程式(6)最显著的项目是
。
因此，与成正比。
为了除去在原点与无穷远的极限性态，达到孤立解答函数的形式的目的，必须使用的替换方程式：
。
经过一番运算，这个替换将微分方程式(6)转换为
。(7)
=====转换为广义拉盖尔方程式=====
设定变数，则微分算子为
，
。
代入方程式(7)，就可得到广义拉盖尔方程式：
；
其中，函数。
假若，是一个非负整数，则广义拉盖尔方程式的解答是广义拉盖尔多项式：
。
因为是非负整数，要求
#。
#与同时为奇数或同时为偶数。这证明了前面所述必须遵守的条件。
=====波函数归一化=====
回忆到，径向函数可以表达为
；
其中，是归一常数。
的归一条件是
。
设定。将与代入积分方程式：
。
应用广义拉盖尔多项式的正交归一性，这方程式简化为
。
因此，归一常数可以表达为
。
应用伽玛函数的数学特性，同时注意与的奇偶性相同，可以导引出其它形式的归一常数。伽玛函数变为
。
在这里用到了双阶乘 (double factorial)的定义。
所以，归一常数等于
。
===类氢原子===
类氢原子只含有一个原子核与一个电子，是个简单的二体系统。两个物体之间，互相作用的位势遵守库仑定律：
；
其中，是真空电容率，是原子序，是单位电荷量，是电子离原子核的径向距离。
将位势代入方程式(1)，
。
这方程式的解答是
；
其中，。近似于波耳半径。假若，原子核的质量是无限大的，则，并且，约化质量等于电子的质量，。是广义拉盖尔多项式，定义为
；
其中，是拉盖尔多项式，可用罗德里格公式表示为
。
为了满足的边界条件，必须是正值整数，能量也离散为能级。随著量子数的不同，函数与都会有对应的改变。为了要结束广义拉盖尔多项式的递回关系，必须要求。
知道径向函数与球谐函数的形式，就可以写出整个类氢原子量子态的波函数，也就是薛丁格方程式的整个解答：
。
====导引====
为了要简化薛丁格方程式，设定能量与长度的原子单位 (atomic unit)
，
。
将变数与代入径向薛丁格方程式(2)：
。(8)
这方程式有两类解答：
#：量子态是束缚态，其本征函数是平方可积函数。量子化的造成了离散的能量谱。
#：量子态是散射态，其本征函数不是平方可积函数。
这条目只讲述第(1)类解答。设定正实数与。代入方程式(8)：
。(9)
当接近0时，方程式(9)最显著的项目是
。
所以，与成正比。
又当无穷远时，方程式(9)最显著的项目是
。
因此，与成正比。
为了除去在原点与无穷远的极限性态，达到孤立解答函数的形式的目的，必须使用的替换方程式：
。
经过一番运算，得到的方程式：
；
其中，。
假若，是个非负整数  ，则这方程式的解答是广义拉盖尔多项式
。
采用Abramowitz and Stegun的惯例。无因次的能量是
；
其中，主量子数满足，或。
由于，径向波函数是
。
能量是
。
==参阅==
*自由粒子
*无限深方形阱
*有限深方形阱
*有限位势垒
*Delta位势阱
*Delta位势垒
*连心力
*量子穿隧效应
* 盒中气体
==参考文献==
*id=ISBN 0-13-111892-7