【快乐数】
快乐数有以下的特性：在给定的进位制下，该数字所有数位（digits）的平方和，得到的新数再次求所有数位的平方和，如此重复进行，最终结果必为1。
以十进位为例：
2 8 → 2^2+8^2 → 6^2+8^2 → 1^2+0^2+0^2
3 2 → 3^2+2^2 → 1^2+3^2 → 1^2+0^2
3 7 → 3^2+7^2 → 5^2+8^2 → 8^2+9^2 → 1^2+4^2+5^2 → 4^2+2^2 → 2^2+0^2 → 4^2 → 1^2+6^2
5 6 → 5^2+6^2 → 6^2+1^2 → 3^2+7^2 → 5^2+8^2 → 8^2+9^2 → 1^2+4^2+5^2 → 4^2+2^2 → 2^2+0^2 → 4^2 → 1^2+6^2
因此28和32是快乐数，而在37和56的计算过程中，数字会重复出现，继续计算的结果只会是上述数字的循环（不快乐数循环），不会出现1，因此37和56不是快乐数。
不是快乐数的数称为不快乐数（unhappy number），所有不快乐数的数位平方和计算，最后都会进入 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 的循环中。
在十进位下，100以内的快乐数有id=A007770：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100，共20个。
==快乐数表格==
以下是小于100的快乐数表格，绿色数字表示它是快乐数，红色数字表示它是不快乐数循环。
以下是100到小于200的快乐数表格，绿色数字表示它是快乐数，红色数字表示它是不快乐数循环。
以下是200到小于300的快乐数表格，绿色数字表示它是快乐数。
300以内的快乐数没有其中一位是5，300以内的数其中有一位是5，它一定不是快乐数。
以下是300到小于400的快乐数表格，绿色数字表示它是快乐数。
发现10*10、100*100等表格的快乐数表格有线对称。
==快乐数的因数==
以下是300以内的快乐数因数。
由表格可知：
*128以内快乐数没有因数3、6、9等数，如果128以内的数是3的倍数等，它一定不是快乐数。
*1000以内快乐数没有因数9、15、18、21等数，如果1000以内的数是9的倍数等，它一定不是快乐数。
*1000以内快乐数同样也没有能被25整除但不能被100整除，即尾数是（25、50或75的数），如果1000以内的数是25的倍数但不是100的倍数，它一定不是快乐数。
*1000以内的快乐数有143个，只有7个是3的倍数，129、192、219、291、888、912、921，机率:5%。
*1000以内的快乐数有143个，有其中一位是5的只有12个，356、365、536、556、563、565、566、635、653、655、656、665，机率:8%。
*1000以内的快乐数有143个，只有3个是25的倍数，100、700、1000，机率:2%。
==快乐质数==
在十进位下，300以内的快乐质数有id=A035497：7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293，共15个。
==快乐完全数==
已知的51个完全数，只有3个是快乐数：28、496、8128。
==其他进制的快乐数==
*三进制：1, 3, 9, 13, 17, 23, 25, 27, 31, 35, 37, 39, 47, 51, 53, 59, 61, 65, 69, 71, 73, 75, 77, 79, 81, 85, 89, 91, 93 id=A239320
*五进制：1, 5, 7, 11, 19, 23, 25, 27, 33, 35, 41, 43, 49, 51, 55, 79, 81, 83, 91, 93, 95, 99 id=A240849
*任何进制（最小快乐数且大于1）：2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 17, 2, 5, 2, 21, 22, 23, 24, 5, 26, 27, 28, 3, 2, 31, 32, 33, 3, 35, 6, 31, 38, 39, 40, 13, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 7, 50, 51, 52, 31, 54, 53, 56, 57, 58, 59, 54, 61, 62, 63, 8, 65, 66, 67, 12, 69, 70, 71, 72
==其他进制的不快乐数循环==
2进制
每个数都是快乐数
3进制
2 →11 →2
written in base 10:
2 →4 →2
4进制
每个数都是快乐数
5进制
4  →31  →20  →4
23  →23
written in base 10:
4  →16  →10  →4
13  →13
6进制
5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5
written in base 10:
5 → 25→ 17 → 29 → 41 → 26 → 20 → 13 → 5
7进制
2 →4 →22 →11 →2
34 →34
written in base 10:
2 →4 →16 →8 →2
25 →25
8进制
4 → 20 → 4
5 → 31 → 12 → 5
32 → 15 → 32
written in base 10:
4 → 16 → 4
5 → 25 → 10 → 5
26 → 13 → 26
9进制
58 →108 →72 →58
55→55
written in base 10:
53→89→65→53
50→50
10进制
4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4
11进制
75 →68 →91 →75
23 →12 →5 →23
written in base 10:
82→74→100→82
25→13→5→25
12进制
22→8 →54 →35 →2A →88 →A8 →118 →56 →51 →22
21 →5 →21
written in base 10:
26 →8 →64 →41 →34 →104 →128 →164 →66 →61 →26
25 →5 →25
13进制
79 →A0 →79
36 →36
B2 →98 →B2
67 →67
14 →14
written in base 10:
100 →130 →100
45→45
145→125→145
85→85
17→17
16进制
D → A9 → B5 → 92 → 55 → 32 → D
written in base 10:
13→169→181→146→85→50→13
==其他性质==
*快乐数加入数字0或交换的数也是快乐数，不快乐数的情况也是。例如：49是快乐数，94、4900也是快乐数；123不是快乐数，321、10203、123000也不是快乐数
*通过检查十进制中前一百万个快乐数，它们的自然密度似乎约为0.15。十进制快乐数也许没有渐近密度。快乐数的自然密度上限大于0.18577，下限小于0.1138。
*十进位不快乐数的循环只有一个，是 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 。
== Python程式码 ==
#ishappy number
def ishappy(n):
a =
while n not in a:
a.append(n)
n = sum(int(x) **2 for x in str(n))
return 'happy' if n == 1 else 'unhappy'
==相关条目==
*Fortunate number
*哈沙德数
*幸运数
==外部连结==
* Happy number calculator - 可以线上判断数字是否为快乐数〔英文〕