【初等群论】
本篇的目的在于讨论群的基本性质，群的定义可见参见群#正式定义。
==基本定理==
===拉丁方阵性质===
定理 1.3: 对于所有 G 中元素 a,b，存在唯一的 G 中的 x 使得 a*x = b。
证明。的确存在至少一个这种 x，因为如果我们设 x = a -1*b，则 x 在 G 中(通过 A1，闭包)并且:
* a*x = a*(a -1*b) (代换 x)
* a*(a -1*b) = (a*a -1)*b (结合律 A2)。
*(a*a -1)*b = e*b = b. (单位元 A3)。
*因此总是存在一个 x 满足 a*x = b。
为了证明这是唯一性的，如果 a*x = b，则
* x = e*x
* e*x = (a -1*a)*x
* (a -1*a)*x = a -1*(a*x)
* a -1*(a*x) = a -1*b
* 因此，x = a -1*b
类似的，对于所有 G 中的 a,b，存在唯一的一个 G 中的 y 使得 y*a = b。
===两次逆换回到起点===
定理 1.6: 对于所有群 G 中的元素 a，(a -1) -1 = a。
证明。a -1*a = a -1*(a -1) -1=e。(A4)
由定理 1.5知定理1.6成立。
===ab的逆元===
定理 1.7: 对于所有群 G 中元素 a,b，(a*b) -1 = b -1*a -1。
证明。(a*b)*(b -1*a -1) = a*(b*b -1)*a -1 = a*e*a -1 = a*a -1 = e。结论得出自定理 1.4。
===消除===
定理 1.8: 对于所有群 G 中的元素 a,x 和 y，如果 a*x = a*y，则 x = y；并且如果 x*a = y*a，则 x = y。
证明。如果 a*x = a*y 则:
* a -1*(a*x) = a -1*(a*y)
* (a -1*a)*x = (a -1*a)*y
* e*x = e*y
* x = y
如果 x*a = y*a 则
* (x*a)*a -1 = (y*a)*a -1
* x*(a*a -1) = y*(a*a -1)
* x*e = y*e
* x = y
===幂===
对于  和  我们定义:
定理 1.9: 对于所有群  中的 a，:
类似的如果 G 使用了加法符号，我们有:
并且:
==阶==
===群元素的阶===
群 G 中的元素 a 的阶是最小正整数 n 使得 an = e。有些它写为“o(a)=n”。n 可以是无限的。
定理 1.10: 其非平凡元素都是 2 阶的群是阿贝尔群。换句话说，如果所有群 G 中的元素 g 都有 g*g=e 成立，则对于所有 G 中的 a,b，a*b = b*a。
证明 1。设 a, b 是群 G 中任何 2 个元素。
由 公理 A1 可知 (a*b) 是群 G 的元素，所以 (a*b) 是群 G 的 2 阶元素
* a*b*a*b = (a*b)*(a*b) = e  ...(1) by 公理 A2
* a*b*b*a = a*e*a = a*a= e ...(2) by a,b都是群 G 的 2 阶元素
* a*b*b*a = a*b*a*b ...(3) by 式(1),式(2)两式皆等于e
* b*b*a = b*a*b  ...(4) by 定理 1.8
* b*a = a*b  ...(5) by 定理 1.8
因为群运算 * 是符合交换律的，这个群是阿贝尔群。
证明 2。设 a, h 是群 G 中任何 2 个元素。通过 A1，a*h 也是 G 的成员。使用给定条件，我们知道 (a*h)*(a*h) = e。因此:
* a*(a*b)*(a*b) = a*e
* a*(a*b)*(a*b)*b = a*e*b
* (a*a)*(b*a)*(b*b) = (a*e)*b
* e*(b*a)*e = a*b
* b*a = a*b。
因为群运算 * 是符合交换律的，这个群是阿贝尔群。
===群的阶===
群 G 的阶，通常指示为 |G| 或偶尔指示为 o(G)，在  是有限群的情况下是集合 G 中元素的数目。如果 G 是无限集合，则群  有等于 G 的势的阶，而且是无限群。
==子群==
G 的子集 H 被称为群  的子群，如果使用相同的算子 "*"，并限制于子集 H 内，H 满足群公理。因此如果 H 是  的子群，则  也是群，并在限制于 H 内，满足上述定理。子群 H 的阶是 H 中元素的数目。
群 G 的真子群是不同于 G 的子群。G 的非平凡子群(通常)是包含至少一个不是 e 的元素的 G 的真子集。
定理 2.1: 如果 H 是  的子群，则 在 H 中的单位元 eH 同一于 (G,*) 中的单位元 e。
证明。如果 h 在 H 中，则 h*eH = h；因为 h 必定也在 G 中，h*e = h；所以通过定理 1.4，eH = e。
定理 2.2: 如果 H 是 G 的子群，并且 h 是 H 的元素，则 h 在 H 中的逆元同一于 h 在 G 中的逆元。
证明。设 h 和 k 是 H 的元素，使得 h*k = e；因为 h 必定也在 G 中，h*h -1 = e；所以通过定理 1.5，k = h -1。
给定 G 的子集 S，我们经常想要确定 S 是否也是 G 的子群。一个手头的定理对无限群和有限群都是有效的:
定理 2.3: 如果 S 是 G 的非空子集，则 S 是 G 的子群，当且仅当对于所有 S 中的 a,b，a*b -1 在 S 中。
证明。如果对于所有 S 中的 a, b，a*b -1 在 S 中，则
* e 在 S 中，因为 a*a -1 = e 在 S 中。
* 对于所有 S 中的 a，e*a -1 = a -1 在 S 中。
* 对于所有 S 中的 a, b，a*b = a*(b -1) -1 在 S 中。
因此，满足了闭包、单位元和逆元公理，而结合律是继承来的，所以 S 是子群。
反过来说，如果 S 是 G 的子群，则它满足群公理。
* 如上所述，S  中单位元同一于 G 中的单位元 e。
* 通过 A4，对于所有 S 中的 b，b -1 在 S 中。
* 通过 A1，a*b -1 在 S 中。
两个或更多个子群的交集也是子群。
定理 2.4: 群 G 的子群的任何非空集合的交集是子群。
证明。设 {Hi} 是 G 的子群的集合，并设 K = ∩{Hi}。通过定理 2.1，e 是所有 Hi 的成员；因此 K 非空。如果 h 和 k 是 K 的两个元素，则对于所有 i，
* h 和 k 在 Hi 中。
* 通过前面的定理，h*k -1 在 Hi。
* 所以，h*k -1 在 ∩{Hi} 中。
因此对于 K 中的所有 h, k，h*k -1 在 K 中。接著通过前面的定理，K=∩{Hi} 是 G 的子群；并且事实上 K 是每个 Hi 的子群。
给定一个群 ，定义 x*x 为 x², x*x*x*...*x (n 次)为 xn，并定义 x0 = e。类似的，定义 x -n 为 (x -1)n。则我们有:
定理 2.5: 设 a 是群 (G,*) 的元素。则集合 { an: n 是整数 } 是 G 的子群。
证明。这种类型的子群叫做循环子群；a 的幂的子群经常写为 ，并称为 a 生成 。
==陪集==
如果 S 和 T 是 G 的子集，并且 a 是 G 的元素，我们写“a*S”来提及形如 a*s 的所有元素构成的 G 的子集，这里的 s 是 S 的元素；类似的，我们写“S*a”来指示形如 s*a 的元素的集合。我们写 S*T 表示形如 s*t 的元素构成的 G 的子集，这里的 s 是 S 的元素而 t 是 T 的元素。
如果 H 是 G 的子群，则 H 对于某个 G 中的 a 的左陪集是集合 a*H。右陪集是集合 H*a。
如果 H 是 G 的子群，则下面陈述而不带证明的有用定理对所有陪集都成立:
* 如果 x 和 y 是 G 的元素，则要么 x*H = y*H，要么 x*H 和 y*H 有空交集。
* 所有 H 在 G 中的左(右)陪集都包含相同数目的元素。
* G 是 H 的左(右)陪集们的不交并集。
* 那么 H 的不相同的左陪集的数目等于 H 的不相同的右陪集的数目。
定义群 G 的子群 H 的指标(写为“G:H”)为 H 在 G 中不同的左陪集的数目。
从这些定理，我们可以推导出重要的拉格朗日定理，它有关于群的子群的阶:
* 拉格朗日定理: 如果 H 是 G 的子群，则 |G| = |H|*G:H。
对于有限群，它可以重申为:
*拉格朗日定理: 如果 H 是有限群 G 的子群，则 H 的阶整除 G 的阶。
*如果群 G 的阶是素数，G 是循环群。