【冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论】
冯·诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论（von Neumann–Bernays–Gödel Set Theory，NBG）是种以类为直观动机的一阶公理化集合论，它是配上选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（Zermelo-Fraenkel Set Theory with the axiom of Choice，ZFC）的保守扩展（ZFC里可以证明的定理也都是NBG的定理），而且NBG仅需在一阶逻辑基本的公理模式上添加有限数目的公理，但ZFC需添加与集合有关的公理模式。
NBG首先由冯·诺伊曼在1920年代提出，从1937年开始由保罗·博内斯作修改，在1940年由哥德尔进一步简化。
== 基本符号 ==
在NBG下，「属于关系」以一个双元断言符号  来表示，  通常简记为  ，并被直观理解成「x属于y」；类似地，  的否定   通称被简记为  ，并被直观理解为「x不属于y」。
以下都把  简写为普通的 。
本条目定理的证明会频繁引用一阶逻辑的定理，定理的代号可以参见一阶逻辑#常用的推理性质一节。
=== 类与集合 ===
「类」这个名词在公理化集合论出现之前，通常被理解为「以集合为元素的集合。」或是集合（如等价类）。
但对NBG来说，理论理所谈及的一切对象（变数和项）都是类。而所谓的集合，是属于某个类的类，也就是说以下的合式公式（ 来自德语的"集合"「Menge」）
可直观理解为「x是集合」，特别注意到，为了避免跟其他合式公式的变数产生混淆，  必须是展开  时首次出现的变数。反之合式公式
可称为「  是真类（proper class）」。
=== 子类 ===
直观上「x包含于y」意为「所有x的元素a都会属于y」，以此为动机，NBG定义以下的符号简写
可称为「x包含于y」或「x是y的子类（subclass）」；在  和  成立的前提下（也就是「x和y都是集合」），可称为「x是y的子集（subset）」。
=== 与集合相关的量词简写 ===
仿造量词的简写，对于任意变数  与合式公式  ，可作如下的符号定义
（对所有  ，  是集合则  ）
（存在  不但是集合且  ）
也有书籍以小写字母来表示被量化的集合变数，但考虑到一般的非逻辑数学书籍都将大小写的差异挪作他用，为避免混淆本条目采用以上的上标表示法。
== 等号公理 ==
=== 看待等号的不同方式 ===
直观上，两个集合相等意为「x的元素就是y的元素」，也就是朴素集合论的外延公理，换句话说，可用以下的严谨合式公式重写为
但一阶逻辑的等号可以视为单独的断言符号，也可以视为一条复合的合式公式。具体来说，视为一个新的断言符号  并简记为  的话，需在NBG内额外添加以下的公理
（T'）
直观上可理解为「类x的元素就是类y的元素，等价于类x等于类y」。
但视为一条合式公式，则仅需做以下的符号定义不管是何种看待方法，习惯上都会把  简记成  （直观上的「不相等」）。
=== 等号的良置 ===
为了确保  的确符合直观上对等号的要求，还需添加以下的公理（T） 直观上，这个公理确保「x等于y，则x属于z等同于y属于z」。
这样，以下的元定理就确保了如此定义的等号是「成功的」。元定理NBG 是带相等符号  的一阶逻辑理论
=== 真子类 ===
在定义「相等」以后，可以把「相等的类」排除出子类的定义中，换句话说，NBG有以下的符号定义可直观理解为「x是y的真子类（proper subclass），定义为x包含于y且x不等于y」；在  和  成立的前提下（也就是「x和y都是集合」），可称为「x是y的真子集（proper subset）」。
=== 外延定理 ===
为以下的定理可直观理解为「x等于y等价于，对所有集合z，z属于x等价于z属于y」，也就是说，等于的定义可以「限缩」成元素为集合的状况。
根据以下的公理引入新的函数符号前，常需要唯一存在性的证明，而外延定理大大简化了证明的难度。
=== 特定条件下的存在性 ===
以下关于一阶逻辑的一般性定理，也大大简化了 NBG 引入新公理的过程所需的证明
（DC, Definition under certain condition）
于合式公式  完全不自由且   是常数符号。若
则有
== 空集合公理 ==
（N）这个公理的直观意思是「存在集合x，使的所有集合y都不属于x」。
事实上这个公理还确保了空集的唯一性，严格来说，它确保了：
也就是直观上，「空集是唯一存在的」，这样根据函数符号与唯一性一节，可以在NBG加入新的常数符号  和以下的新公理（严格来说，把只有属于跟等号的NBG扩展成有  的新NBG，但两个理论是等效的）（N'）这个新公理直观上以「为集合，且任意集合y都不属于」，把  定义成了空集的表示符号。
== 配对公理 ==
注意这个公理允许有序对的定义，并与类概括一起，允许把在集合上的关系适用于类的情况（对于特定的类关系，也可以使用函数、单射或双射的术语了，只不过是「由类到类」而不是「由集合到集合」）。
（P）
== 类的存在公理 ==
* 类成员公理：类  存在。
* 补类公理：对于任何类 A，补集  是类。
* 交类公理：对于任何类 A 和 B，交集  是类。
现在我们需要处理量化。为了处理多个变量，我们需要能够表示关系。有序对  被定义为平常的 （我们假定了其他 NBG 公理所以有配对）。
* 积类公理：对于任何类 A 和 B，类  是类（ 实际上就是我们所需要的全部）。
* 类逆转公理：对于任何类 R， 类  和  存在。
* 类结合公理：对于任何类 R，类  和  存在。
通过这些公理，我们可以自由的增加哑变元（dummy argument）并在任意元数关系中重排变元的次序。看起来有点奇特的结合公理，它正是设计用来作调动，使得我们可以把任一变元提到列表前面（加上逆转公理的辅助）。我们把变元的列表  表示为 （它是第一个变元作为它的第一个投影，而列表的“尾部”作为它的第二个投影的有序对）。想法是一直应用 Assoc1 ，直到这个要提到前面的变元位于第二个投影，接着适当地应用 Conv1 或 Conv2 ，把第二个变元提到前面，接着应用 Assoc2 直到最初 Assoc1 一系列应用的效果（现在在被移动的变元之后）被改正。
== 集合的公理 ==
*并集公理：对于任何集合 x，有一个集合精确的包含 x 的元素的元素。
* 幂集公理：对于任何集合 x，有一个集合精确的包含 x 的子集。
== 无穷公理 ==
存在一个集合 y，空集是 y 的元素，且对每个 y 的元素 a ，  也是 y 的元素。
== 取代公理及其替代 ==
* 大小限制公理：对于任何类 C，存在一个集合 x 使得  （谓 x 是 C 的表示，即 C 和 x 所包含的元素一样），当且仅当没有在 C 和所有集合的类 V 之间的双射。
这个公理贡献自冯·诺伊曼，并一下实现了分离公理、替代公理和全局选择公理。如果需要的话，它可以被弱化为“若类函数的定义域被包含在一个集合中，则其值域亦为集合”；这将去除选择公理（如果需要可以把它替代为更加有用的局部形式的选择公理）。完全的大小限制公理蕴涵了全局选择公理，因为序数的类不是集合，所以有从序数到全集的双射
== 选择公理 ==
== 引用 ==
*  id=ISBN 978-0-486-66637-2
* John von Neumann, 1925, "An Axiomatization of Set Theory." English translation in Jean van Heijenoort, ed., 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press.
* Mendelson, Elliott, 1997 (1964). An Introduction to Mathematical Logic, 4th ed. Chapman & Hall. The classic textbook treatment of NBG set theory, showing how it can found mathematics.
* Richard Montague, 1961, "Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I," in Infinitistic Methods, Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics, (Warsaw, 2-9 September 1959). Pergamon: 45-69.
* urlname=vonneumannbernaysgodelsettheory