【布朗运动】
模拟的大颗粒尘埃粒子碰撞到更小的粒子，而其以不同的速度在不同方向移动的布朗运动。
粒子的立体空间进行布朗运动的示意图。
布朗运动（Brownian motion）是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W(t)是期望为0、方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W(t)-W(s)独立于的W(r)，且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。
它是在西元1827年英国植物学家罗伯特·布朗利用一般的显微镜观察悬浮于水中由花粉所迸裂出之微粒，发现其会呈现不规则状的运动，因而称它布朗运动。布朗运动也能测量原子的大小，因为就是由水中的水分子对微粒的碰撞产生的，而不规则的碰撞越明显，就是原子愈小，因此根据布朗运动，定义原子的直径为10-8厘米。
==定义==
自1860年以来，许多科学家都在研究此种现象，后来发现布朗运动有下列的主要特性：
# 粒子的运动由平移及转移所构成，显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线。
# 粒子之移动显然互不相关，甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此。
# 粒子越小或液体粘性越低或温度越高时，粒子的运动越活泼。
# 粒子的成分及密度对其运动没有影响。
# 粒子的运动永不停止。
== 对于布朗运动之误解 ==
值得注意的是，布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。
一般而言，花粉之直径分布于30～50μm、最小亦有10μm之谱，相较之下，水分子直径约0.3nm（非球形，故依部位而有些许差异。），略为花粉的十万分之一。因此，花粉难以产生不规则振动，事实上花粉几乎不受布朗运动之影响。在罗伯特·布朗的手稿中，「tiny particles from the pollen grains of flowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」，而非指花粉本身。然而在翻译为诸国语言时，时常受到误解，以为是「水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动」。积非成是之下，在大众一般观念中，此误会已然根深蒂固。
花粉具备足够大小，几乎无法观测到布朗运动。
在日本，以鹤田宪次『物理学丛话』为滥觞，岩波书店『岩波理科辞典』、花轮重雄『物理学読本』、汤川秀树『素粒子』、坂田昌一『物理学原论（上）』、平凡社『理科辞典』、福冈伸一著『生物与无生物之间』，甚至日本的理科课本等等，皆呈现错误之叙述。
直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著书『植物之SEX‐不为人知的性之世界』中，点出此误谬之前，鲜少有人注意。国立教育研究所物理研究室长板仓圣宣在参与制作岩波电影『回动粒子』（1970年）时，实际摄影漂浮在水中之花粉，却发现花粉完全没有布朗运动。遂于1975年3月，以「外行人与专家之间」为题，解说有关布朗运动之误会。
== 爱因斯坦的理论 ==
在1905年，爱因斯坦提出了相关理论。他的理论有两个部分：第一部分定义布朗粒子扩散方程式，其中的扩散系数与布朗粒子平均平方位移相关，而第二部分连结扩散系数与可测量的物理量。以此方式，爱因斯坦的理论可决定原子的大小，一莫耳有多少原子，或气体的克分子量。根据阿伏伽德罗定律，所有理想气体在标准温度和压力下体积为22.414升，其中包含的原子的数目被称为「阿伏伽德罗常数」。由气体的莫耳质量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。
爱因斯坦论证的第一部分是，确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。date=October 2012 经典力学无法确定这个距离，因为布朗粒子将会受到大量的撞击，每秒大约发生 1014 次撞击。 因此，爱因斯坦将之简化，即讨论一个布朗粒子团的运动date=October 2012。
他把粒子在一个的空间中，把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值（ 或者 x，并对其坐标进行变换，让原点成为粒子运动的初始位置）并给出概率密度函数 。另外，他假设粒子的数量有限，并扩大了密度（单位体积内粒子数量)，展开成泰勒级数 。
第一行中的第二个等式是被  这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数，第二项和其他偶数项（即第一项和其他奇数项）由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系：
拉普拉斯算子之前的系数，是下一刻的随机位移量 ，让 D 为质量扩散系数：
那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程：
假设在初始时刻t = 0时，所有的粒子从原点开始运动，扩散方程的解
== 数学模型 ==
=== 定义 ===
满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动
# 这个鞅是关于时间连续的。
# 他的平方减去时间项也是一个鞅。
是一个布朗运动当且仅当为鞅，且也为鞅.
=== 其他定义 ===
3000步的2维布朗运动的模拟。
1000步的3维布朗运动模拟。
一维的定义
一维布朗运动是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：
#（独立增量）设时间t和s满足t > s,增量独立于时间s前的过程。
#（稳定增量和正态性）设时间t和s满足t > s,增量服从均值为0方差为t−s的正态分布。
# 几乎处处连续， 也就是说在任何可能性下， 函数是连续的.
# 通常假设。这种布朗运动我们称它为标准的。
等价定义
一维布朗运动是关于时间t的一个随机过程，他满足 ：
# 是一个高斯过程，也就是说对于所有的时间列：,随机向量：服从高维高斯分布（正态分布）。
# 几乎处处连续。
#对于所有s和t,均值，协方差.
高维定义
是d维布朗运动，只需满足为独立的布朗运动。
换句话说，d维布朗运动 取值于，而它在空间上的投影均为布朗运动。
Wiener测度的定义
设为从到的连续函数空间，为概率空间。布朗运动为映射
.
Wiener测度 （或称为布朗运动的分布）设为,是映射B关于的图测度。
换句话说，  W是上的一个概率测度，满足对于任何，有
。
备忘
* 布朗运动是一种增量服从正态分布的莱维过程。
* 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性，比如几乎处处连续，轨迹几乎处处不可微等等。
* 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来， 即： 轨迹连续且二次变差为的随机过程为布朗运动。
=== 性质 ===
* 布朗运动的轨道几乎处处不可微：对于任何,轨道为一个连续但是零可微的函数。
* 协方差。
* 布朗运动具有强马氏性： 对于停时T,取条件,过程为一个独立于的布朗运动。
* 它的Fourier变换或特征函数为。可见，布朗运动是一个无偏，无跳跃，二项系数为1/2的Levy过程。
* 布朗运动关于时间是齐次的： 对于s > 0, 是一个独立于的布朗运动。
* -B是一个布朗运动。
* （稳定性） 对于c > 0，  是布朗运动。
*（时间可逆性）在t=0之外是布朗运动。
* （常返性）只有1维和2维布朗运动是常返的：
如果,集合不是有界的，对于任何，
如果（几乎处处）。
* （反射原理）
=== 布朗运动的数学构造 ===
==== 利用Kolmogorov一致性定理====
设为空间中一列实值函数。设：
这列函数满足：
，任意的,矩阵为对称半正定的。
利用Kolmogorov一致性定理，我们可以构造高斯过程，它的均值任意， 协方差为上面定义的。
当，为不依赖于t的常数，为上的示性函数。则：
在这个情况下，矩阵是对称且正定的。
我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0，协方差为s。，当时， 称之为 标准的布朗运动.
==== 利用随机过程 ====
Donsker定理（1951）证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。
其中（Un, n ≥ 1） 独立同分布， 均值为0,方差为σ的随机变量序列。
==== 利用傅立叶级数 ====
设2列独立的正态随机变量序列和。定义：
为布朗运动。