# อนุพันธ์อันดับสอง
ในแคลคูลัส อนุพันธ์อันดับสอง  ของฟังก์ชัน  คือ อนุพันธ์ของอนุพันธ์ของ  อนุพันธ์อันดับสองสามารถกล่าวในลักษณะไม่เป็นทางการได้ว่าเป็น "อัตราการเปลี่ยนแปลงของอัตราการเปลี่ยนแปลง" ตัวอย่างเช่น อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่งของวัตถุเทียบกับเวลาคือความเร่งขณะหนึ่งของวัตถุ หรืออัตราที่ความเร็วของวัตถุเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา 

ในสัญกรณ์ไลบ์นิซโดยที่  คือ ความเร่ง,  คือ ความเร็ว,  คือ เวลา,  คือ ตำแหน่ง และ d คือ "เดลตา" หรือการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่ง นิพจน์สุดท้าย  คือ อนุพันธ์อันดับสองของตำแหน่ง  เทียบกับเวลา

บนกราฟของฟังก์ชัน อนุพันธ์อันดับสองสอดคล้องกับความโค้ง หรือความเว้าของกราฟ กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเว้าบนในขณะที่กราฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะโค้งในทิศตรงกันข้าม

 กฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสอง 
กฎยกกำลังสำหรับอนุพันธ์อันดับหนึ่ง หากกระทำสองครั้งจะสามารถสร้างกฎยกกำลังอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้

 สัญกรณ์ 
อนุพันธ์อันดับสองของ  โดยมากจะเขียนเป็น  ซึ่งคือ

เมื่อใช้สัญกรณ์ของไลบ์นิซสำหรับอนุพันธ์ อนุพันธ์อันดับสองของตัวแปรตาม  เทียบตัวแปรอิสระ  จะเขียนได้ว่าที่มาของสัญกรณ์นี้คือ

 ตัวอย่าง 
เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน

อนุพันธ์ของ  คือ ฟังก์ชัน

อนุพันธ์อันดับสองของ  คือ อนุพันธ์ของ  กล่าวคือ

 ความสัมพันธ์กับกราฟ 
thumb|500x500px| กราฟของ  จาก  ถึง  - เส้นสัมผัสเป็นสีน้ำเงินตรงที่เส้นโค้งเว้าขึ้น สีเขียวตรงที่เส้นโค้งเว้าลง และเป็นสีแดงที่จุดเปลี่ยนเว้า (0,  /2, และ)

 ความเว้า 
อนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชัน  สามารถใช้เพื่อกำหนด ความเว้า ของกราฟของ  ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นบวกเรียก เว้าบน (หรือ นูน) ซึ่งมีความหมายว่าใกล้จุดที่สัมผัสกับฟังก์ชัน เส้นสัมผัสจะอยู่ใต้กราฟของฟังก์ชัน ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบจะเรียกว่า เว้าล่าง (หรือ เว้า) และเส้นสัมผัสใกล้กับจุดที่สัมผัสจะอยู่เหนือกราฟของฟังก์ชัน

 จุดเปลี่ยนเว้า 
ถ้าอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันเปลี่ยนเครื่องหมาย กราฟของฟังก์ชันจะเปลี่ยนจากเว้าล่างไปเป็นเว้าบนหรือกลับกัน จุดที่ทำให้เครื่องหมายเปลี่ยนนี้เรียกว่า จุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) หากอนุพันธ์อันดับสองเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้วอนุพันธ์อันดับสองต้องมีค่าเป็นศูนย์ที่จุดเปลี่ยนเว้าใด ๆ แม้ว่าไม่ใช่ทุกจุดที่อนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์จะต้องเป็นจุดเปลี่ยนเว้าก็ตาม

 การทดสอบอนุพันธ์อันดับสอง 
ความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์อันดับสองกับกราฟสามารถใช้เพื่อทดสอบว่าจุดนิ่งของฟังก์ชัน (คือ จุดที่) ว่าใช่ค่าสูงสุดเฉพาะที่หรือค่าต่ำสุดเฉพาะที่ไหม

 ถ้า , แล้ว  มีค่าสูงสุดเฉพาะที่ที่  
 ถ้า , แล้ว  มีค่าต่ำสุดเฉพาะที่ที่ 
 ถ้า  การทดสอบอนุพันธ์อันดับสองใช้ไม่ได้กับจุด  นี้ อาจเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้

เหตุผลที่อนุพันธ์อันดับสองให้ผลลัพธ์เหล่านี้สามารถเห็นได้จากการเปรียบเทียบในชีวิตจริง พิจารณารถคันหนึ่งวิ่งไปข้างหน้าด้วยความเร็วสูงในตอนแรกแต่มีความเร่งเป็นลบ เห็นได้ชัดว่าตำแหน่งของรถ ณ จุดที่ความเร็วถึงศูนย์จะมีระยะทางเป็นค่าสูงสุดจากตำแหน่งเริ่มต้น หลังจากเวลานี้ ความเร็วจะกลายเป็นลบและรถจะถอยหลัง การเปรียบเทียบนี้ใช้ได้เช่นเดียวกับค่าต่ำสุด โดยทำให้รถในตอนแรกมีความเร็วเป็นลบมากแต่มีความเร่งเป็นบวกตรงกันข้ามกับกรณีของค่าสูงสุด

 ลิมิต 
สามารถเขียนลิมิตเพียงลิมิตเดียวแทนอนุพันธ์อันดับสองได้ดังนี้ลิมิตนี้เรียกว่าอนุพันธ์สมมาตรอันดับสอง อนุพันธ์สมมาตรอันดับสองอาจหาค่าได้ แม้ว่าอนุพันธ์อันดับสองโดยนิยามปกติจะหาไม่ได้ก็ตาม

นิพจน์ทางขวาสามารถเขียนเป็นผลหารเชิงผลต่างของผลหารเชิงผลต่างได้ดังนี้ลิมิตนี้สามารถมองได้เป็นรูปแบบที่ต่อเนื่องของผลต่างอันดับสองของลำดับ

อย่างไรก็ตาม การที่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ไม่ได้หมายว่าฟังก์ชัน  นั้นมีอนุพันธ์อันดับสอง ลิมิตข้างต้นให้ความเป็นไปได้ในการคำนวณอนุพันธ์อันดับสอง แต่ไม่ใช่นิยาม ตัวอย่างค้าน เช่น ฟังก์ชันเครื่องหมาย  ซึ่งนิยามว่าฟังก์ชันเครื่องหมายไม่ต่อเนื่องที่ศูนย์ ดังนั้นอนุพันธ์อันดับสองที่  หาค่าไม่ได้ แต่ลิมิตข้างต้นหาค่าได้ที่ 

 การประมาณกำลังสอง 
เช่นเดียวกับอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการประมาณเส้นตรง อนุพันธ์อันดับสองก็เกี่ยวข้องกับการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของฟังก์ชัน   เป็นฟังก์ชันกำลังสองซึ่งมีอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองที่เหมือนกับของ  ที่จุดหนึ่ง ๆ  สูตรของการประมาณกำลังสองที่ดีที่สุดของ  รอบ ๆ จุด  คือการประมาณกำลังสองคือพหุนามเทย์เลอร์อันดับที่สองสำหรับฟังก์ชันที่มีจุดศูนย์กลางที่ 

 ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง 
เงื่อนไขขอบจำนวนมากสามารถหาสูตรสำหรับค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสองออกมาได้โดยชัดแจ้ง สมมติให้  และเงื่อนไขขอบดิริชเลต์เอกพันธ์ุ (เช่น  โดยที่  เป็นเวกเตอร์เฉพาะ) ค่าเฉพาะเป็น  และเวกเตอร์เฉพาะที่สอดคล้องกัน (เรียกอีกอย่างว่า ฟังก์ชันเฉพาะ) คือ  จะได้  เมื่อ 

สำหรับกรณีอื่น ๆ ที่เป็นที่รู้จัก ดูที่ค่าเฉพาะและเวกเตอร์เฉพาะของอนุพันธ์อันดับสอง

 การวางนัยทั่วไปสู่มิติที่สูงขึ้น 

 เมทริกซ์เฮสเซียน 

อนุพันธ์อันดับสองวางนัยทั่วไปในมิติที่สูงกว่าผ่านแนวคิดของอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง สำหรับฟังก์ชัน  อนุพันธ์ย่อยอันดับสองประกอบด้วยอนุพันธ์ย่อยดังนี้

และอนุพันธ์ย่อยผสม

ในบางกรณี เช่นเมื่ออนุพันธ์อันดับสองทุกตัวเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราสามารถนำอนุพันธ์อันดับสองทั้งหมดประกอบกันเป็นเมทริกซ์สมมาตร เรียกว่า เมทริกซ์เฮสเซียน ค่าเฉพาะของเมทริกซ์นี้สามารถใช้ทดสอบอนุพันธ์อันดับสองของฟังก์ชันหลายตัวแปร (ดูเพิ่มที่ การทดสอบอนุพันธ์ย่อยอันดับสอง)

 ตัวดำเนินการลาปลาส 

การวางนัยทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุพันธ์อันดับสอง คือ ตัวดำเนินการลาปลาส ซึ่งเป็นตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียล  (หรือ) ที่กำหนดโดย

ลาปลาเซียนของฟังก์ชันเท่ากับไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนต์ และเท่ากับรอยของเมทริกซ์เฮสเซียน