# เส้นโค้งเชิงวงรี
ในคณิตศาสตร์ เส้นโค้งเชิงวงรี  คือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตโปรเจคทีฟที่เป็นเส้นโค้งเรียบและมีจีนัสเท่ากับ 1 และจุดพิเศษ O กำหนดบนเส้นโค้ง เส้นโค้งเชิงวงรีนิยามบนฟีลด์ K และประกอบไปด้วยจุดใน  ถ้าค่าแคแรคเตอริสติกของฟีลด์นั้นไม่เท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วเส้นโค้งเชิงวงรีสามารถเขียนอยู่ในรูปผลเฉลยของสมการ

 

สำหรับบาง  และ  ใน  

เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเส้นโค้งที่ไม่เอกฐาน นั่นคือจะต้องไม่มีบัพแหลม (cusp) และไม่ตัดตัวเอง (non-self-intersecting) ซึ่งสมมูลกับเงื่อนไขที่ว่า  นั่นคือสมการข้างต้นไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ในตัวแปร  โดยทั่วไปถือว่าเส้นโค้งเชิงวงรีอยู่บนระนาบเชิงการฉายโดยมีจุด O  ผู้เขียนหลายคนนิยามให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งที่กำหนดด้วยสมการข้างต้น (ถ้า K มีแคแรคเตอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการข้างต้นจะไม่ครอบคลุมเส้นโค้งกำลังสามทั้งหมด, ดูหัวข้อ  ด้านล่าง)

เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นวาไรอิตีอาบีเลียน นั่นคือมีกรุปอาบีเลียนนิยามบนเส้นโค้งดังกล่าว และ O เป็นเอกลักษณ์ของกรุป

ถ้า  เมื่อ  เป็นพหุนามกำลังสามใด ๆ ที่ไม่มีรากซ้ำ แล้วเซตของผลเฉลยของสมการข้างต้นจะเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่ไม่เอกฐานและมีจีนัสเท่ากับ 1 ทำให้เซตดังกล่าวเป็นเส้นโค้งเชิงวงรี แต่ถ้า  มีดีกรีเท่ากับ 4 และปลอดกำลังสองแล้วสมการข้างต้นเป็นเส้นโค้งบนระนาบที่มีจีนัสเท่ากับ 1 แต่ไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์ที่เลือกมาแบบธรรมชาติได้ ยิ่งไปกว่างนั้น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตที่มีจีนัสเท่ากับ 1 ใด ๆ เช่นที่เกิดจากรอยตัดระหว่างพื้นผิวกำลังสอง (quadric surface) ในปริภูมิเชิงภาพฉายสามมิติ (three-dimensional projective space) จะเป็นเส้นโค้งเชิงวงรีหากมีจุดพิเศษที่ระบุให้เป็นเอกลักษณ์

โดยใช้ทฤษฎีของฟังก์ชันเชิงวงรี (elliptic function) เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อนจะสัมพันธ์กันกับการฝังทอรัสเข้าไปในปริภูมิเชิงภาพฉายเชิงซ้อน ทอรัสนั้นเป็นกรุปอาบีเลียน และความสัมพันธ์ที่ว่าจะเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานระหว่างกรุปทั้งสองด้วย

เส้นโค้งเชิงวงรีมีความสำคัญมากโดยเฉพาะในทฤษฎีจำนวน และเป็นหัวข้อวิจัยสำคัญหัวข้อหนึ่งในปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาใช้เส้นโค้งเชิงวงรี นอกจากนี้เส้นโค้งเชิงวงรียังมีบทประยุกต์ในการเข้ารหัสโดยเส้นโค้งเชิงวงรี (elliptic curve cryptography, ECC) และการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม

เส้นโค้งเชิงวงรีไม่ใช่วงรี ที่เป็นภาคตัดกรวยเชิงภาพฉายซึ่งต้องมีจีนัสเป็น 0 ที่มาของชื่อมาจากปริพันธ์เชิงวงรี (elliptic integral) อย่างไรก็ตาม เรามีการระบุเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำนวนจริงผ่านตัวยืนยัง  ซึ่งสามารถแสดงแทนได้เป็นวงรีบนระนาบไฮเพอร์บอลิก 

ในเชิงทอพอโลยี เส้นโค้งเชิงวงรีเชิงซ้อนเป็นทอรัส และวงรีเชิงซ้อนเป็นทรงกลม

 เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริง 
right|frame|Graphs of curves  and 
ถึงแม้ว่าบทนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องใช้เรขาคณิตเชิงพีชคณิต แต่เราอาจแสดงลักษณะที่สำคัญของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนจริงผ่านพีชคณิตและเรขาคณิตพื้นฐานได้

ภายใต้มุมมองพื้นฐาน เส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งบนระนาบที่สามารถเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้นให้อยู่ในรูป

 

เมื่อ  และ   เป็นจำนวนจริง สมการในรูปแบบนี้เรียกว่าสมการไวเออร์ชตราส (Weierstrass equation) และเรียกเส้นโค้งเชิงวงรีในรูปแบบนี้ว่าอยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราส (Weierstrass form) หรืออยู่ในรูปแบบไวเออร์ชตราสปรกติ (Weierstrass normal form)

นิยามของเส้นโค้งเชิงวงรีระบุเพิ่มเติมอีกว่าเส้นโค้งนั้นต้องไม่เอกฐาน นั่นคือกราฟของเส้นโค้งไม่มีบัพแหลม ไม่ตัดตัวเอง และไม่มีจุดเอกเทศ (isolated point) ซึ่งจะเกิดขึ้นหากดิสคริมิแนนต์  ไม่เท่ากับศูนย์:

 

เส้นกราฟเชิงจริงของเส้นโค้งไม่เอกฐานจะมีสองชิ้น (เรียกว่า คอมโพแนนต์ (component)) หากดิสคริมิแนนต์เป็นบวก และมีชิ้นเดียวหากดิสคริมิแนนต์เป็นลบ ในกราฟด้านข้างสมการ  มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ 64 จึงมีคอมโพแนนต์ของเส้นกราฟสองส่วน ในขณะที่สมการ  มีดิสคริมิแนนต์เท่ากับ -368 จึงมีคอมโพแนนต์เดียว

 กรุปลอว์ของเส้นโค้งเชิงวงรี 
เมื่อเราทำงานในระนาบเชิงภาพฉาย (projective plane) สมการของเส้นโค้งเชิงวงรีในระบบพิกัดเอกพันธ์ (homogeneous coordinate) จะกลายเป็น :

 

สมการข้างต้นไม่นิยามบนเส้นตรงที่อนันต์ (line at infinity) แต่เราสามารถคูณตลอดด้วย  เพื่อให้ได้สมการที่นิยามทุกที่บนระนาบเชิงภาพฉาย :

 

เส้นโค้งข้างต้นสามารถฉายลงให้ได้เส้นโค้งเชิงวงรีบนระนาบในหัวข้อข้างต้น เพื่อหาว่าเส้นโค้งนี้ตัดกับเส้นตรงที่อนันต์ที่ใด เราแทนค่า  ซึ่งจะทำให้ได้   นั่นคือ  ส่วนค่า  จะเป็นจำนวนใดก็ได้ดังนั้นทุกสามสิ่งอันดับ  สอดคล้องกับสมการข้างต้น ในเรขาคณิตเชิงภาพฉายจะได้ว่าเซตของทุกสามสิ่งอันดับแทนด้วยจุดเดียว ฉะนั้นจุดตัดมีเพียงจุดเดียวซึ่งคือจุด 

เนื่องจากเส้นโค้งข้างต้นเป็นเส้นโค้งเรียบ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าจุดที่อนันต์นี้เป็นเอกลักษณ์ของโครงสร้างกรุปที่เราจะนิยามต่อไป

เส้นโค้งนี้สมมาตรเมื่อเทียบกับแกน  หากกำหนดจุด  บนเส้นโค้งมา เรานิยาม  ให้เป็นจุดที่อยู่ตรงข้ามกับมันเมื่อเทียบกับแกน  เราจะได้   เพราะ  อยู่บนระนาบ  ฉะนั้น  เป็นจุดที่สมมาตรกับจุด  เมื่อเทียบกับแกน  

ถ้า  และ  เป็นจุดบนเส้นโค้ง เรานิยาม  ให้เป็นจุดที่กำหนดดังต่อไปนี้ ลากเส้นตรงเชื่อมระหว่าง  และ  เส้นตรงนี้มักจะตัดเส้นโค้งเชิงวงรีที่จุดที่สาม กำหนดให้เป็นจุด  แล้วจะนิยาม  ให้เป็นจุด  ที่อยู่ตรงข้ามกับ 

นิยามข้างต้นใช้ได้ทั่วไปเว้นแต่กรณีเฉพาะบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับจุดที่อนันต์และการตัดซ้ำซ้อน ในกรณีที่มีจุดบางจุดเป็น  เราจะนิยามให้  ส่งผลให้  เป็นเอกลักษณ์ของกรุป ถ้า  เราจะมีจุดเพียงจุดเดียว ฉะนั้นจะนิยามเส้นตรงที่ผ่านจุดทั้งสองไม่ได้เพราะไม่ได้มีเพียงเส้นตรงเดียว เราจึงเลือกเส้นที่สัมผัสเส้นโค้งแทน โดยทั่วไปเส้นสัมผัสจะตัดเส้นโค้งนี้อีกครั้งซึ่งเราสามารถกำหนดให้เป็น  และหา  ได้ ในขณะที่หาก  และ  เป็นจุดบนเส้นโค้งที่อยู่ตรงข้ามกัน เรานิยามให้   และสุดท้าย หาก  เป็นจุดเปลี่ยนเว้า เรานิยาม  ให้เป็นจุด  เอง และ  คือจุดที่ตรงข้ามตัวมันเอง ซึ่งก็คือจุด  เอง

ไฟล์:ECClines.svg

ให้  เป็นฟีลด์ที่เส้นโค้งนี้นิยามบนฟีลด์นั้น หรือก็คือสัมประสิทธิ์ของสมการนิยามเส้นโค้งอยู่ใน  และเขียนแทนเส้นโค้งด้วย  แล้วจุด -rational points ของ  คือจุดบน  ที่ทุกพิกัดอยู่ใน  รวมถึงจุดที่อนันต์ 

เซตของจุด -rational point กำหนดโดย  จะเป็นกรุปภายใต้การบวกจุดข้างต้น นอกจากนี้ หาก  เป็นฟีลด์ย่อยของ  แล้ว  จะเป็นสับกรุปของ 

 มุมมองเชิงพีชคณิต 
โครงสร้างกรุปข้างต้นสามารถกำหนดได้ด้วยพีชคณิตเช่นเดียวกับที่ใช้เรขาคณิตกำหนด ให้  เป็นเส้นโค้งเหนือฟีลด์  (ที่แคแรกเทอริสติกของฟีลด์ไม่ใช่ 2 หรือ 3) และกำหนดให้จุด  และ  อยู่บนเส้นโค้ง สมมติเสียก่อนว่า  (ให้เป็นกรณีที่ 1) ให้  เป็นสมการของเส้นตรงที่ตัดเส้นโค้งที่จุด  และ  ดังนั้นจะมีความชันเท่ากับ

 

เส้นโค้งและเส้นตรงตัดกันที่จุด , , และ  เมื่อแทนค่า  ลงในสมการเส้นโค้งแล้วจะได้ว่า

 

ซึ่งสมมูลกับสมการ

 

และเนื่องจาก , , and  เป็นจุดที่เส้นตรงและเส้นโค้งตัดกัน จึงเป็นผลเฉลยของสมการข้างต้น และเป็นรากของสมการ

 

สมการทั้งสองมีรากเป็นตัวเดียวกัน ฉะนั้นจึงเป็นสมการเดียวกัน ด้วยการเทียบสัมประสิทธิ์หน้า  จะได้ว่า

 

แก้หาตัวแปร  ได้ว่า

 

 หาได้จากสมการเส้นตรง

 

จะเห็นได้ว่า  เป็นสมาชิกใน  เพราะ  เป็นสมาชิกใน  ด้วย

ถ้า  แล้วจะมีความเป็นไปได้สองแบบ หนึ่งคือ  (กรณีที่ 3) ซึ่งรวมกรณี  (กรณีที่ 4) เข้าไปด้วย แล้วเรานิยามให้ผลบวก  คือ 0 ดังนั้นอินเวอร์สของแต่ละจุดบนเส้นตรงหาได้จากสะท้อนจุดนั้นข้ามแกน 

และถ้า  แล้ว  และ  (กรณีที่สอง 2) ความชัดจะหาได้จากเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด (xP, yP):

 

 เส้นโค้งไม่อยู่ในรูปไวเออร์ชตราส 
สำหรับเส้นโค้งกำลังสามที่ไม่อยู่ในรูปแบบของไอเออร์ชตราส เราสามารถนิยามโครงสร้างกรุปบนมันได้โดยกำหนดให้จุดเปลี่ยนเว้าจุดหนึ่งจากทั้งหมดเก้าจุดของเส้นโค้งเป็นเอกลักษณ์  ในระนาบเชิงภาพฉาย เส้นตรงแต่ละเส้นจะตัดเส้นโค้งกำลังสามที่จุดสามจุด (เมื่อพิจารณาภาวะรากซ้ำเข้าไปด้วย) สำหรับแต่ละจุด  นิยามให้  เป็นจุดที่สามที่เป็นจุดตัดของเส้นโค้งและเส้นตรงที่ผ่าน  และ  แล้วสำหรับแต่ละ  และ  ให้  นิยามเป็น  เมื่อ  คือจุดที่สามบนเส้นตรงที่ผ่านจุด  และ 

 เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนตรรกยะ 
เส้นโค้งเชิงวงรี E นิยามเหนือฟีลด์ของจำนวนตรรกยะก็นิยามบนฟิลด์ของจำนวนจริงด้วย ดังนั้นวิธีการบวกจุดที่มีคู่อันดับเป็นจำนวนจริงที่นิยามผ่านเส้นสัมผัสสามารถทำได้บน E เช่นกัน สูตรที่เกี่ยวข้องแสดงให้เห็นว่าผลบวกระหว่างจุด P และ Q ที่มีพิกัดทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะจะมีพิกัดเป็นจำนวนตรรกยะด้วย เนื่องจากสมการเส้นตรงเชื่อมระหว่างจุด P และ Q มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ ฉะนั้นเซตของจุดตรรกยะบน E เป็นสับกรุปของเซตของจุดค่าจริงบน E และเป็นกรุปอาบีเลียน

 จุดจำนวนเต็ม 
เส้นโค้งเชิงวงรีอาจมีจุดที่เป็นจำนวนเต็มได้หลายจุด

ตัวอย่างเช่นสมการ  มีผลเฉลยจำนวนเต็มทั้งหมด 8 จำนวนที่ y > 0:T. Nagell, L'analyse indéterminée de degré supérieur, Mémorial des sciences mathématiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56–59.OEIS: https://oeis.org/A029728

 (x, y) = (−2, 3), (−1, 4), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (,)

อีกตัวอย่างหนึ่ง คือสมการของลยุงเกริน (Ljunggren's equation) ทีมี่รูปแบบไวเออร์ชตราสคือ  มีผลเฉลยเพียง 4 ผลเฉลยที่ y ≥ 0 :

 (x, y) = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338,)

 โครงสร้างของจุดตรรกยะ 
จุดตรรกยะทั้งหมดสามารถหาได้จากวิธีเส้นสัมผัสและจุดตัด ถ้ามีจุดตรรกยะเริ่มต้นมาให้จำกัดจุด หรืออาจกล่าวให้ชัดเจนยิ่งไปกว่านี้ได้โดยทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์ (Mordell–Weil theorem) ซึ่งระบุว่ากรุปของจุดตรรกยะ E(Q) เป็นกรุปก่อกำเนิดจำกัด (finitely generated group) ที่เป็นกรุปอาบีเลียน โดยทฤษฎีบทหลักมูลของกรุปก่อกำเนิดจำกัดอาบีเลียน เราจะได้ว่า E(Q) เป็นผลบวกตรงจำกัดตัวของ Z และกรุปวัฏจักรจำกัด

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์มีสองส่วน ส่วนแรกแสดงให้เห็นว่าสำหรับทุกจำนวนเต็ม m > 1 กรุปผลหาร E(Q)/mE(Q) เป็นกรุปจำกัด (นี่คือทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน (weak Mordell–Weil theorem)) และส่วนที่สองนิยามฟังก์ชันชื่อ height function h บนจุดตรรกยะของ E(Q) นิยามโดย h(P0) = 0 และ  ถ้า P (ที่ไม่ใช่จุดที่อนันต์ P0) มีคู่อันดับตัวหน้าเป็นจำนวนตรรกยะในรูป x = p/q (เมื่อ p และ q เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์) ฟังก์ชัน h มีสมบัติว่า h(mP) ประพฤติตัวมีค่าใกล้เคียงรากที่สองของ m ยิ่งไปกว่านั้นมีจุดตรรกยะเพียงจำกัดจุดเท่านั้นที่มี height น้อยกว่าค่าคงตัวใด ๆ

บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทจึงเหมือนวิธี infinite descent รูปแบบหนึ่งดูเพิ่มใน J. W. S. Cassels, Mordell's Finite Basis Theorem Revisited, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 100, 3–41 และข้อคิดเห็นของ A. Weil ในจุดกำเนิดของงานของเขา: A. Weil, Collected Papers, vol. 1, 520–521. และใช้ขั้นตอนวิธีของยุคลิดบน E: ให้ P ∈ E(Q) เป็นจุดตรรกยะบนเส้นโค้ง และเขียน P ในรูปผลบวก 2P1 + Q1 เมื่อ Q1 เป็นตัวแทนสักตัวหนึ่งของ P ใน E(Q)/2E(Q) แล้ว height ของ P1 จะมีค่าประมาณ  ของ height ของ  P (หรือโดยทั่วไปกว่านั้น สามารถเปลี่ยน 2 ด้วย m > 1 ใด ๆ ก็ได้ และจะเปลี่ยน  ให้เป็น) แล้วทำเช่นนี้กับ P1 นั่นคือให้ P1 = 2P2 + Q2 และ P2 = 2P3 + Q3,ไปเรื่อย ๆ เราสามารถเขียนจุด P ให้เป็นผลรวมเชิงเส้นของจุด Qi ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และ height ของจุดดังกล่าวมีขอบเขตสักค่าหนึ่งที่เลือกไว้ก่อนหน้า ฉะนั้นโดยทฤษฎีบทมอร์เดลล์-แวย์แบบอ่อน และสมบัติของ height function จะได้ว่า P เขียนอยู่ในรูปผลรวมเชิงเส้นของจุดจำกัดตัวและมีสัมประสิทธิ์ในผลรวมเชิงเส้นเป็นจำนวนเต็ม

อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทข้างต้นไม่ได้ให้วิธีหาตัวแทนใด ๆ ของ E(Q)/mE(Q).

แรงก์ของกรุป E(Q) หรือจำนวนซ้ำของ Z ที่ปรากฎใน E(Q) ซึ่งเท่ากับจำนวนจุดอิสระที่มีอันดับเป็นอนันต์ จะถูกเรียกว่าแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี E ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) เกี่ยวข้องกับการหาแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรี โดยกล่าวว่าแรงก์จะมีค่ามากที่สุดเท่าใดก็ได้ ถึงแม้ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีที่เรารู้จักจะมีแรงก์น้อย ๆ เท่านั้น เส้นโค้งเชิงวงรีที่มีแรงก์มากที่สุดเท่าที่ทราบในปัจจุบันคือ

 y2 + xy + y = x3 − x2 − x + 

ซึ่งมีแรงก์เท่ากับ 20 และค้นพบโดย Noam Elkies และ Zev Klagsbrun ในปี 2020 เส้นโค้งที่มีแรงก์สูงกว่า 20 เราทราบว่ามีอยู่ตั้งแต่ปีค.ศ. 1994 โดยมีขอบเขตล่างตั้งแต่ 21 ถึง 28 แต่ไม่ทราบค่าแรงก์ที่แน่นอน และยังไม่มีบทพิสูจน์ว่าเส้นโค้งเชิงวงรีไหนมีแรงก์สูงกว่ากัน

สำหรับกรุปที่เป็นทอร์ชันสับกรุป (torsion subgroup) ของ E(Q) เรามีทฤษฎีบทดังต่อไปนี้: ทอร์ชันสับกรุปของ E(Q) ที่เป็นไปได้อยู่ใน 15 กรุปดังต่อไปนี้ (ทฤษฎีบทนี้ชื่อทฤษฎีบททอร์ชันของมาซูร์ (Mazur's torsion theorem) โดย Barry Mazur): Z/NZ สำหรับ N = 1, 2, ..., 10, หรือ 12, หรือ Z/2Z × Z/2NZ โดย N = 1, 2, 3, 4. เรารู้ส้นโค้งเชิงวงรีที่มีทอร์ชันสับกรุปตามทฤษฎีบทข้างต้นในทุกกรณี และเส้นโค้งเชิงวงรีที่มี Mordell–Weil groups เหนือ Q และมีทอร์ชันกรุปเดียวกันสามารถเขียนอยู่ในรูปอิงตัวแปรเสริมระหว่างกันได้

 ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ 

ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, BSD) เป็นหนึ่งในปัญหารางวัลมิลเลนเนียมของสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ ข้อคาดการณ์นี้เกี่ยวข้องกับวัตถุทางพีชคณิตและคณิตวิเคราะห์ที่นิยามจากเส้นโค้งเชิงวงรี

จากด้านคณิตวิเคราะห์ เรามีส่วนสำคัญคือฟังก์ชันเชิงซ้อน L ที่เรียกว่าฟังก์ชันซีตาของฮัสเซอ-แวย์ (Hasse–Weil zeta function) ของเส้นโค้งเชิงวงรี E เหนือ Q ฟังก์ชันนี้คล้ายคลึงกับฟังก์ชันซีตาของรีมัน (Riemann zeta function) และ แอล-ฟังก์ชันของดิริชเลต์ (Dirichlet L-function) ฟังก์ชันนี้นิยามเป็นผลคูณออยเลอร์ (Euler product) โดยมีตัวประกอบหนึ่งตัวสำหรับแต่ละจำนวนเฉพาะ  p

สำหรับแต่ละเส้นโค้ง E เหนือ Q กำหนดโดยสมการในรูป

 

เมื่อ  เป็นสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม หากเราลดทอนลงไปในมอดุโล p จะได้เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด Fp ยกเว้นที่จำนวนเฉพาะ p จำกัดตัว ที่เมื่อลดทอนไปแล้วเส้นโค้งจะมีภาวะเอกฐาน ทำให้ไม่เป็นเส้นโค้งเชิงวงรี ในกรณีนี้เราเรียกว่า E มี bad reduction ที่ p (E is of bad reduction at p)

เราอาจมองได้ว่าฟังก์ชันซีตาของเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด Fp เป็นฟังก์ชันก่อกำเนิด ที่รวบรวมข้อมูลของจำนวนจุดของ E ที่มีค่าในฟีลด์ภาคขยายจำกัด Fpn ของ Fp ซึ่งกำหนดโดยThe definition is formal, the exponential of this power series without constant term denotes the usual development.

 

ผลรวมภายในฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลดูเหมือนฟังก์ชันลอการิทึม และสามารถแสดงได้ว่าฟังก์ชันซีตาข้างต้นนี้เป็นฟังก์ชันตรรกยะ:

 

เมื่อเทอม  (เรียกเทอมนี้ว่า trace of Frobeniussee for example) นิยามให้เป็นผลต่างระหว่างค่า"ที่ควรจะเป็น"คือ   และจำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี  เหนือ  เขียนได้เป็น

 

จัดรูปจะได้

 

เราสามารถนิยามปริมาณและฟังก์ชันที่คล้ายกันนี้เหนือฟีลด์จำกัดที่มีแคแรกเทอริสติก   โดยที่  ด้วยการแทนลงในทุกที่ที่   ปรากฎ

แอล-ฟังก์ชัน (L-function) ของ E เหนือ Q จะรวบรวมข้อมูลข้างต้นทั้งหมดเข้าด้วยกันสำหรับทุกจำนวนเฉพาะ p โดยเรานิยามดังต่อไปนี้

 

เมื่อ N คือ conductor ของ E ซึ่งเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะที่เป็น bad reduction ของ E โดยในกรณีดังกล่าว ap จะนิยามต่างออกไปจากข้างต้น (ดู Silverman (1986))

ผลคูณข้างต้นลู่เข้าเมื่อ Re(s) > 3/2 เท่านั้น ข้อความคาดการณ์ของฮัสเซอ (Hasse's conjecture) ยืนยันว่าแอล-ฟังก์ชันข้างต้นมีการต่อเนื่องวิเคราะห์ (analytic continuation) ไปยังระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด และสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชันที่เชื่อมโยงระหว่าง L(E, s) และ L(E, 2 − s) สำหรับทุก s มีการพิสูจน์ได้ในปีค.ศ. 1999 ว่าข้อความคาดการณ์ข้างต้นเป็นผลจากบทพิสูจน์ข้อความคาดการณ์ของชิมูระ-ทานิยามะ-แวย์ (Shimura–Taniyama–Weil conjecture) ซึ่งกล่าวว่าทุกเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ Q เป็นเส้นโค้งมอดูลาร์ (modular curve) และส่งผลให้แอล-ฟังก์ชันของมันเป็นแอล-ฟังก์ชันของมอดูลาร์ฟอร์ม ซึ่งเรารู้จักการต่อเนื่องวิเคราะห์ของมอดูลาร์ฟอร์มแล้ว ฉะนั้นเราสามารถพูดถึงค่าของ L(E, s) สำหรับทุกจำนวนเชิงซ้อน s

เมื่อ s=1 (ผลคูณของส่วน conductor สามารถตัดออกได้เพราะเป็นค่าจำกัด)  แอล-ฟังก์ชันจะเท่ากับ

 

ข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์เชื่อมโยงพีชคณิตของเส้นโค้งเชิงวงรีกับพฤติกรรมของแอล-ฟังก์ชันที่s = 1โดยกล่าวว่า vanishing order ของ แอล-ฟังก์ชันที่ s = 1 เท่ากับแรงก์ของ E และทำนายเทอมแรกของของอนุกรมโลรองต์ของ L(E, s) ที่จุดนั้นในเทอมของปริมาณต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเส้นโค้งเชิงวงรี

หากข้อความคาดการณ์ของเบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์ (BSD) เป็นจริง จะมีผลที่ตามมาจำนวนมาก โดยมีตัวอย่างสองข้อดังนี้

 จำนวนคอนกรูเอนต์ (Congruent number) คือจำนวนคี่ปลอดกำลังสอง n ที่เป็นพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านทั้งสามเป็นจำนวนตรรกยะ เราทราบว่า n จะเป็นจำนวนคอนกรูเอนต์ก็ต่อเมื่อเส้นโค้งเชิงวงรี  มีจุดตรรกยะที่มีอันดับเป็นอนันต์ หาก BSD เป็นจริง นี่จะสมมูลกับแอล-ฟังก์ชันของเส้นโค้งเชิงวงรีนี้มีรากที่ s = 1  ทันเนล (Tunnell) ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกันว่า หาก BSD เป็นจริง แล้ว n จะเป็นจำนวนคอนกรูเอนต์ก็ต่อเมื่อจำนวนสามสิ่งอันดับของจำนวนเต็ม (x, y, z) ที่สอดคล้องกับ  มีค่าเป็นสองเท่าของจำนวนของสามสิ่งอันดับที่สอดคล้องกับ   ส่วนที่น่าสนใจคือเงื่อนไขนี้สามารถตรวจสอบได้โดยง่าย
 ในอีกทิศทางหนึ่ง วิธีการทางคณิตวิเคราะห์แบบหนึ่งสามารถประมาณค่าอันดับของศูนย์ที่กึ่งกลางของแถบค่าวิกฤติ (critical strip) ของแอล-ฟังก์ชันบางตัวได้ หาก BSD เป็นจริง การประมาณค่านี้เกี่ยวข้องกับแรงก์ของเส้นโค้งเชิงวงรีจำนวนหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากข้อความคาดการณ์ของรีมันวางนัยทั่วไป (generalized Riemann hypothesis) และ BSD เป็นจริง แล้วโดยเฉลี่ยแล้ว แรงก์ของเส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ  จะไม่เกิน 2

 เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัด 
thumb|right|upright=1.2|เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี y2 = x3 − x เหนือฟีลด์จำกัด F61
ให้ K = Fq เป็นฟีลด์จำกัดที่มีสมาชิก q ตัว และ E เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีนิยามเหนือ K ถึงแม้ว่าจำนวนจุดตรรกยะของเส้นโค้งเชิงวงรี E เหนือ K โดยทั่วไปแล้วจะคำนวณออกมาได้ยาก แต่ทฤษฎีบทของฮัสเซอว่าด้วยเส้นโค้งเชิงวงรี (Hasse's theorem on elliptic curves) ให้อสมการด้านล่าง

 

อีกนัยหนึ่งคือ จำนวนจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีโตเป็นสัดส่วนโดยตรงกับจำนวนสมาชิกในฟีลด์ ผลลัพธ์นี้สามารถพิสูจน์ได้โดยทฤษฎีขั้นสูงที่ทั่วไปกว่า เช่น local zeta function และ étale cohomology

thumb|เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี y2 = x3 − x เหนือฟีลด์จำกัด F89

เซตของจุด E(Fq) จะเป็นกรุปอาบีเลียนจำกัด และเป็นกรุปวัฏจักรหรือผลคูณของกรุปวัฏจักรสองกรุปขึ้นกับภาวะคู่คี่ของ q ตัวอย่างเช่นSee  เส้นโค้งที่กำหนดโดยสมการ 

 

เหนือ F71 มีจุดทั้งหมด 72 จุด (71 จุดสัมพรรค รวมถึง (0,0) และหนึ่งจุด ณ อนันต์) ในฟีลด์นี้ ซึ่งมีโครงสร้างกรุปที่กำหนดโดย Z/2Z × Z/36Z. จำนวนจุดบนเส้นโค้งจำเพาะสามารถคำนวณได้ด้วยขั้นตอนวิธีของสคูฟ

right|thumb|เซตของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรี  y2 = x3 − x เหนือฟิลด์จำกัด F71

การศึกษาเส้นโค้งเหนือฟีลด์ภาคขยายของ Fq ทำได้โดยการสร้างฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่ (local zeta function) ของ E เหนือ Fq, นิยามโดยอนุกรมก่อกำเนิด

 

เมื่อฟิลด์ Kn เป็นฟีลด์ภาคขยาย (มีฟีลด์เดียวหากนับความสมสัณฐาน) ของ K = Fq ที่มีดีกรีเท่ากับ n (ซึ่งก็คือ Fqn).

ฟังก์ชันซีตานี้จะเป็นฟังก์ชันตรรกยะในตัวแปร T ซึ่งสามารถพิสูน์ได้ดังนี้: จำนวนเต็ม  ที่ทำให้

 

จะมีจำนวนเชิงซ้อน  ที่เกี่ยวข้องที่ทำให้

 

เมื่อ  เป็นสังยุคเชิงซ้อนของ  เราเลือก  เพื่อให้ขนาดของมันเท่ากับ  ดังนั้น   และ  ฉะนั้นเราจะได้ว่า   และ  หรืออีกนัยหนึ่งเราจะได้ว่า .

แล้ว  สามารถใช้แทนค่าลงไปฟังก์ชันซีตาเฉพาะที่เพราะค่าของมันเมื่อเราเปลี่ยเลขชี้กำลังจะมีค่าประมาณใกล้เคียงกับพฤติกรรมของ 

 

เนื่องจาก  ทำให้ได้ว่า

 

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันซีตาของ E : y2 + y = x3 เหนือฟีลด์ F2 กำหนดโดย

 

ซึ่งได้มากจาก:

 

สมการเชิงฟังก์ชันคือ

 

เนื่องจากสนใจเฉพาะพฤติกรรมของ  เราสามารถใช้ฟังก์ชันซีตาลดทอน

 

และจะได้ว่า

 

ทำได้ให้แอล-ฟังก์ชันเฉพาะที่ (local L-function)

 

ข้อความคาดการณ์ของซาโต-เทต (Sato–Tate conjecture) ระบุว่าเทอมความคาดเคลื่อน  ในทฤษฎีบทของฮัสเซอขึ้นกับจำนวนเฉพาะ q ที่ต่างกันหากเส้นโค้งเชิงวงรี E เหนือ Q อยู่ในรูปมอดุโล q ลดรูป ข้อความคาดการณ์ข้างต้นถูกพิสูจน์ (สำหรับเกือบทุกกรณีข้างต้น) ในปี 2006 โดย Taylor, Harris และ Shepherd-Barron 

เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีบทประยุกต์ใช้ในวิทยาการเข้ารหัสลับ และการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มค่ามาก ๆ ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรีจะอาศัยความเป็นกรุปของจุดบน E ฉะนั้นขั้นตอนวิธีที่ใช้ได้กับกรุปทั่วไป เช่นกรุปของสมาชิกที่หาอินเวอร์สได้ใน F*q จะสามารถประยุกต์ใช้กับกรุปของจุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ ตัวอย่างเช่น ขั้นตอนวิธีลอการิทึมวิยุต

 เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์ทั่วไป 
เส้นโค้งเชิงวงรีสามารถนิยามเหนือฟีลด์ K ใด ๆ ได้ โดยนิยามที่เป็นทางการของเส้นโค้งเชิงวงรีคือเส้นโค้งเชิงพีชคณิตเหนือ K เชิงภาพฉายไม่เอกฐานที่มีจีนัส 1 และมีจุดเฉพาะที่นิยามเหนือ K

ถ้าแคแรคเทอริสติกของ K ไม่ใช่ 2 หรือ 3 แล้วหลังจากการเปลี่ยนตัวแปรแบบเชิงเส้น ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือ K สามารถเขียนได้ในรูป

 

ในที่นี้ p และ q เป็นสมาชิกของ K ที่ทำให้พหุนาม x3 − px − q ทางฝั่งขวามือไม่มีรากซ้ำ ถ้าแคแรกเทอริสติกเท่ากับ 2 หรือ 3 แล้วสมการของเส้นโค้งเชิงวงรีจะต้องมีพจน์ที่กำจัดไม่ได้มากขึ้น ในแคแรคเทอริสติก 3 สมการของเส้นโค้งที่ทั่วไปที่สุดคือ

 

สำหรับค่าคงที่ b2, b4, b6 ที่ทำให้พหุนามมางขวามือของสมการมีรากที่แตกต่างกันทั้งหมด (สัญกรณ์ที่ใช้นี้มีที่มาทางประวัติศาสตร์) ในแคแรกเทอริสติก 2 จะต้องมีเทอมมากกว่านั้นอีก โดยมีสมการทั่วไปคือ 

 

เมื่อวาไรอิตี้ที่สมการนี้นิยามไม่เอกฐาน

โดยทั่วไป เรากำหนดให้เส้นโค้งเชิงวงรีคือเซตของจุด (x,y) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการข้างต้น โดยที่ x และ y เป็นสมาชิกในส่วนปิดคลุมเชิงพีชคณิตของ K จุดบนเส้นโค้งเชิงวงรีทั้งหมดที่พิกัดทั้งสองอยู่ใน K เรียกว่า K-rational points

ผลลัพธ์จำนวนมากในหัวข้อก่อนหน้าเป็นจริงเมื่อฟีลด์ที่นิยามเส้นโค้งเชิงวงรี E เป็นฟีลด์จำนวน (number field) K นั่นคือเป็นฟีลด์ภาคขยายจำกัดของ Q โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ากรุป E(K) ของจุด K-rational points บนเส้นโค้งเชิงวงรี E ที่นิยามเหนือ K จะเป็นกรุปก่อกำเนิดจำกัด (finitely generated) ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่วางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมอร์เดล-แวย์  ทฤษฎีบทหนึ่งของ Loïc Merel แสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละจำนวนเต็ม d จะมีกรุปเพียงจำนวนจำกัดตัวที่สามารถเป็นทอร์ชันกรุปของ E(K) สำหรับเส้นโค้งเชิงวงรีที่นิยามบนฟีลด์จำนวน K ดีกรี d ได้ ทฤษฎีบทนี้ส่งผลชัดแจ้งในแง่ที่ว่า หาก d > 1 ถ้าจุดทอร์ชันมีอันดับเท่ากับ p โดยที่ p เป็นจำนวนเฉพาะ แล้ว

 

สำหรับจุดอินทริกรัล ทฤษฎีบทของซีเกิลสามารถขยายออกได้ว่า หากเส้นโค้งเชิงวงรี E ที่นิยามเหนือฟีลด์จำนวน K โดยที่  x และ y เป็นพิกัดแบบไวเออร์ชตราส แล้วจะมีจุดเพียงจำกัดจำนวนใน E(K) ที่พิกัด x ของมันอยู่ในริงของจำนวนเต็ม OK

สมบัติของฟังก์ชันฮัสเซอ-แวย์และข้อคาดการณ์เบิร์ชและสวินเนอร์ตัน-ไดเออร์สามารถวางนัยทั่วไปให้ครอบคลุมกรณีข้างต้นนี้ได้ 

 เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน 

right|thumb|An elliptic curve over the complex numbers is obtained as a quotient of the complex plane by a lattice , here spanned by two fundamental periods  and . The four-torsion is also shown, corresponding to the lattice  containing .
เราสามารถมองเส้นโค้งเชิงวงรีว่าเป็นการฝังทอรัสลงในระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อนโดยอาศัยสมบัติพิเศษของฟังก์ชันเชิงวงรีของไวเออร์ชตราส โดยฟังก์ชันนี้และอนุพันธ์ของของมันสอดคล้องกับสมการ

 

ในที่นี้  และ  เป็นค่าคงที่ และ  เป็นฟังก์ชันเชิงวงรีไวเออร์ชตราส (Weierstrass elliptic function) สังเกตว่าความสัมพันธ์ข้างต้นสอดคล้องกับสมการเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันไวเออร์ตราสมีคาบแบบคู่  (doubly periodic) นั่นคือเป็นฟังก์ชันคาบเทียบกับแลตทิซ  ฉะนั้นฟังก์ชันไวเออร์ชตราสจึงนิยามได้บนทอรัส   โดยธรรมชาติ ทอรัสนี้สามารถฝังเข้าไปในระนาบเชิงภาพฉายเชิงซ้อนโดยการส่ง

 

การส่งนี้เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานของกรุปบนทอรัส (ภายใต้โครงสร้างกรุปตามธรรมชาติ) และกรุปลอว์ที่เกิดจากการสร้างเส้นคอร์ดและเส้นสัมผัสบนเส้นโค้งกำลังสามอันเป็นภาพของการส่งนี้ นอกจากนี้ยังเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานของพื้นผิวรีมันน์จากทอรัสไปยังเส้นโค้งกำลังสามนั้นด้วย เพราะฉะนั้นในทางทอพอโลยีแล้ว เส้นโค้งเชิงวงรีจึงเป็นทอรัส หากแลตทิซ  สัมพันธ์ภายใต้การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อน  ที่ไม่เป็นศูนย์กับแลตทิซ  แล้วเส้นโค้งที่ได้จะสมสัณฐานกัน ชั้นสมมูลของเส้นโค้งเชิงวงรีกำหนดได้ด้วยตัวยืนยงเรียกว่า -invariant

ชั้นสมมูลดังกล่าวสามารถมองได้ด้วยมุมมองที่ง่ายกว่าเช่นกัน ค่าคงตัว  และ  ซึ่งเรียกว่าตัวยืนยงมอดุลาร์ (modular invariants) ถูกกำหนดให้มีค่าได้เพียงค่าเดียวโดยแลตทิซ หรือก็คือโครงสร้างของทอรัส อย่างไรก็ตามทุกพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะแยกตัวประกอบเชิงเส้นเหนือจำนวนเชิงซ้อน (เพราะฟีลด์จำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ส่วนปิดเชิงพีชคณิตของฟีลด์จำนวนจริง) ฉะนั้นเราสามารถเขียนเส้นโค้งเชิงวงรีได้เป็น

 

เราจะได้ว่า

 

และ

 

โดยที่  เป็น -invariant และ  เรียกว่าฟังก์ชันแลมบ์ดามอดุลาร์ (modular lambda function) ตัวอย่างเช่น ให้  แล้ว  ซึ่งส่งผลให้ ,  และ  ในสมการข้างต้นเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตทั้งหมดหาก  เกี่ยวข้องกับฟีลด์ควอดราติกเชิงซ้อน (imaginary quadratic field) ในกรณีนี้เราได้จำนวนเต็ม  ด้วยซ้ำ 

ในทางกลับกัน ค่าดิสคริมิแนนท์มอดุลาร์ (modular discriminant)

 

มักจะเป็นจำนวนอดิศัย (transcendental number) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ค่าของฟังก์ชันอีตาดิริชเลต์ (Dedekind eta function)  คือ

 

สังเกตว่าทฤษฎีบทยูนิฟอร์มไมเซชัน (uniformization theorem) บ่งว่าทุกพื้นผิวรีมันน์ที่กระชับ (compact Riemann surface) ที่มีจีนัส 1 จะสามารถเขียนแทนได้ด้วยทอรัส นี่ทำให้เราสามารถเข้าใจจุดทอร์ชันบนเส้นโค้งเชิงวงรีได้ง่ายขึ้น: ถ้าแลตทิซ  ถูกสแปนโดยคาบพื้นฐาน  and  แล้วจุด -ทอร์ชัน (-torsion points) จะเป็นชั้นสมมูลของจุดในรูป

 

สำหรับจำนวนเต็ม  และ  ในช่วง 

ถ้า

 

เป็นเส้นโค้งเชิงวงรีเหนือจำนวนเฉพาะ และ

 

แล้วคู่ของคาบพื้นฐานของ  สามารถคำนวณได้อย่างรวดเร็วจาก

 

เมื่อ  คือค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต (Arithmetic-geometric mean) ของ  และ  ในแต่ละขั้นตอนของการคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต เครื่องหมายของ  ที่เกิดจากความกำกวมในการหาค่าเฉลี่ยเรขาคณิตจะถูกเลือกให้  เมื่อ  และ  คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตและค่าเฉลี่ยเลขคณิตในขั้นที่  ของ  และ  ตามลำดับ โดยเมื่อ  แล้วเรากำหนดเพิ่มเติมอีกว่า 

เหนือจำนวนเชิงซ้อน ทุกเส้นโค้งเชิงวงรีมีจุดเปลี่ยนเว้า (inflection point) เก้าจุด  เส้นตรงทุกเส้นที่ผ่านจุดเปลี่ยนเว้าสองจุดจะผ่านจุดเปลี่ยนเว้าอีกจุดเสมอ จุด 9 จุดและเส้นตรง 12 เส้นที่เกิดขึ้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของ Hesse configuration

 ขั้นตอนวิธีที่ใช้เส้นโค้งเชิงวงรี 
เส้นโค้งเชิงวงรีเหนือฟีลด์จำกัดมีการประยุกต์ใช้ในการเข้ารหัสและการแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม ไอเดียสำคัญที่สามารถพบได้ในการประยุกต์ใช้เหล่านี้ คือเปลี่ยนขั้นตอนวิธีเดิมที่ใช้กรุปจำกัดบางตัว ให้ใช้กรุปของจำนวนตรรกยะบนเส้นโค้งเชิงวงรี

 ระบบเข้ารหัสเส้นโค้งเชิงวงรี (Elliptic curve cryptography)
 การแลกเปลี่ยนกุญแจ Diffie–Hellman โดยใช้เส้นโค้งเชิงวงรี (Elliptic-curve Diffie–Hellman key exchange)
 Supersingular isogeny key exchange
 ขั้นตอนวิธี elliptic curve digital signature 
 ขั้นตอนวิธี EdDSA digital signature
 ระบบสุ่มตัวเลข Dual EC DRBG
 การแยกตัวประกอบโดยเส้นโค้งเชิงวงรีของเลนสตรา (Lenstra elliptic-curve factorization)
 การตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะโดยเส้นโค้งเชิงวงรี (Elliptic curve primality proving)

 ตัวแทนแบบอื่น ๆ ของเส้นโค้งเชิงวงรี 

 รูปแบบเฮสเซียนของเส้นโค้งเชิงวงรี (Hessian curve)
 เส้นโค้งเอ็ดเวิร์ดส์ (Edwards curve)
 Twisted curve
 Twisted Hessian curve
 Twisted Edwards curve
 Doubling-oriented Doche–Icart–Kohel curve
 Tripling-oriented Doche–Icart–Kohel curve
 เส้นโค้งจาโคเบียน
 เส้นโค้งมอนต์โกเมอรี