# แมนิโฟลด์
thumb|right|พื้นผิวของโลกจำเป็นต้องใช้ชาร์ทอย่างน้อยสองชุดเพื่อให้ครอบคลุมทุกจุด ในรูปนี้ลูกโลกถูกแยกออกเป็นสองชาร์ทรอบขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้

ในคณิตศาสตร์ แมนิโฟลด์  เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่ใกล้ ๆ แต่ละจุดจะเหมือนปริภูมิยูคลิเดียน หรือให้รัดกุมกว่านั้นคือแมนิโฟลด์มิติ  หรือเรียกว่า  -แมนิโฟลด์  เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่แต่ละจุดมีย่านใกล้เคียงที่สมานสัณฐานกับเซตเปิดในปริภูมิยุคลิเดียนมิติ 

ตัวอย่างแมนิโฟลด์หนึ่งมิติ เช่น เส้นตรงและวงกลม แต่ไม่รวมเส้นโค้งที่ตัดตัวเองเช่นรูปเลข 8 ในขณะที่แมนิโฟลด์สองมิตินิยมเรียกว่าพื้นผิว (surface) ตัวอย่างพื้นผิวเช่น ระนาบ ทรงกลม ทอรัส และรวมไปถึงขวดไคลน์ และระนาบจริงเชิงภาพฉาย

แนวคิดเรื่องแมนิโฟลด์เป็นหัวใจหลักของเรขาคณิตและฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์สมัยใหม่ ทั้งนี้เพราะแมนิโฟลด์สามารถใช้อธิบายปริภูมิหรือโครงสร้างที่สลับซับซ้อนในเทอมของทอพอโลยีของปริภูมิที่ง่ายกว่าได้ นอกจากนี้อาจมองแมนิโฟลด์ว่าผลเฉลยของระบบสมการ หรือกราฟของฟังก์ชันได้ ซึ่งมีประยุกต์ใช้ในงานคอมพิวเตอร์กราฟิกส์ที่ต้องสร้างภาพจากระบบพิกัด เช่น ระบบซีทีสแกน 

แมนิโฟลด์อาจมีโครงสร้างเพิ่มขึ้นมาได้อีก ตัวอย่างชั้นของแมนิโฟลด์ที่สำคัญได้แก่ แมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ (differentiable manifold) ซึ่งมีโครงสร้างหาอนุพันธ์ได้ทำให้สามารถใช้แคลคูลัสบนแมนิโฟลด์ได้ การระบุเมทริกรีมันเนียนบนแมนิโฟลด์สามารถใช้วัดระยะทางและมุมได้ แมนิโฟลด์ซิมเพลคติกเป็นปริภูมิเฟสในกลศาสตร์ดั้งเดิมรูปแบบแฮมิลโทเนียน และแมนิโฟลด์ลอเรนเซียนสี่มิติใช้จำลองปริภูมิ-เวลาในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

 ตัวอย่างของแมนิโฟลด์ 

 วงกลม 

right|thumb|รูป 1: ชาร์ททั้งสี่บนวงกลมส่งแต่ละส่วนของวงกลมไปยังช่วงเปิด และทั้งสี่ส่วนสามารถคลุมวงกลมทั้งวงได้พอดี
วงกลมเป็นตัวอย่างของแมนิโฟลด์ที่ง่ายที่สุดถัดจากเส้นตรง ในวิชาทอพอโลยีไม่สนใจการบิดงอ ดังนั้นชิ้นส่วนเล็ก ๆ ของวงกลมจึงมีสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือนกันกับเส้นตรง พิจารณาส่วนของวงกลมหนึ่งหน่วย  x2 + y2 = 1 เฉพาะส่วนท่อนบนที่ค่าพิกัด y เป็นค่าบวก (แสดงด้วยส่วนสีเหลืองในรูป 1) ทุกจุดบนส่วนนี้สามารถระบุได้เพียงแบบเดียวโดยอาศัยค่าพิกัด x เท่านั้น  

ดังนั้นการฉายส่วนของวงกลมนี้ลงบนแกน x จะเป็นการส่งที่ต่อเนื่องและหาอินเวอร์สได้จากส่วนโค้งบน (top) ไปยังช่วงเปิด (−1, 1)

ฟังก์ชันแบบดังกล่าว และบริเวณเปิดที่ส่งไปหาเรียกรวมกันว่า ชาร์ท (charts, แผนที่) ในทำนองเดียวกันมีชาร์ทสำหรับส่วนล่าง (bottom) ส่วนซ้าย (left) และส่วนขวา (right) ของวงกลม 

รวมกันแล้วชาร์ททั้งหมดคลุมวงกลมทั้งวง และชาร์ททั้งสี่ประกอบกันเป็นแอตลาส (atlas) ของวงกลม

ชาร์ทบน  และชาร์ทขวา   ต่างมีส่วนทับกันบนโดเมนของมัน จะเห็นว่าเป็นบริเวณซ้อนทับระหว่างสีเหลืองและสีเขียว ซึ่งเป็นส่วนของวงกลมที่พิกัด  และ  เป็นบวกทั้งคู่ ชาร์ททั้งสองส่งส่วนซ้อนทับนี้ไปบนช่วง  แต่ว่าส่งต่างกัน ดังนั้นเราอาจพิจารณาฟังก์ชัน  ได้

ให้ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ ในช่วง  แล้ว:

ฟังก์ชัน  แบบข้างต้นเรียกว่า transition map

right|thumb|ภาพที่ 2: ชาร์ทของวงกลมที่ใช้ความชัน ครอบคลุมทุกจุกยกเว้นจุดเพียงจุดเดียวบนวงกลม

ชาร์ททั้งสี่ไม่ใช่แอตลาสเดียวที่เป็นไปได้สำหรับวงกลม พิจารณาชาร์ท

และ

ในที่นี้ s คือความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด (x, y) และจุด (−1, 0) ในทำนองเดียวกัน t เป็นค่าลบของความชันของเส้นตรงที่ผ่านพิกัด (x, y) และ (+1, 0) จะได้การส่งอินเวอร์สจาก s ไปยัง (x, y) นั้นกำหนดโดย

สามารถตรวจสอบได้ว่า x2 + y2 = 1 สำหรับทุกค่า s และ t ชาร์ททั้งสองเป็นแอตลาสอันที่สองสำหรับวงกลม โดยมี transition map คือ

(สำหรับทุกจุดที่ทั้ง s และ t ไม่เป็นศูนย์)

แต่ละชาร์ทจะไม่มีจุดอยู่หนึ่งจุด ได้แก่ (−1, 0) สำหรับ s หรือ (+1, 0) สำหรับ t ตามลำดับ ฉะนั้นชาร์ทเดียวจึงไม่สามารถคลุมวงกลมทั้งวงได้ และสามารถพิสูจน์ได้ว่าไม่มีชาร์ทเดียวอันใดสามารถคลุมวงกลมได้ทั้งหมด 

 ทรงกลม 
ทรงกลมเป็นตัวอย่างของพื้นผิว ทรงกลมหนึ่งหน่วยที่กำหนดโดยสมการโดยปริยาย

สามารถใช้ชาร์ทหกอันคลุมได้ดังนี้ ระนาบ  จะตัดทรงกลมออกเป็นสองครึ่ง (และ) ซึ่งสามารถส่งไปยังดิสก์  ด้วยการฉายลงบนระนาบ   ทำให้ได้ชาร์ทสองอัน และอีกสี่ชาร์ทที่เหลือนั้นทำคล้าย ๆ กัน

เช่นเดียวกันกับวงกลม เราอาจหาชาร์ทที่เกือบคลุมทั้งทรงกลมเว้นแต่เพียงจุดหนึ่ง ฉะนั้นสองชาร์ทนั้นเพียงพอในการคลุมทรงกลม แต่ไม่สามารถทำได้ด้วยชาร์ทเดียว

ตัวอย่างนี้สำคัญในทางประวัติศาสตร์ และเป็นที่มาของคำว่าชาร์ทและแอตลาส พื้นผิวของโลกไม่สามารถทำออกมาเป็นแผนที่ระนาบเพียงอันเดียวได้ ฉะนั้นต้องใช้แอตลาสหรือสมุดแผนที่ (atlas) เพื่อครอบคลุมพื้นผิวของโลกทั้งหมด

 เส้นโค้งอื่น ๆ 
right|thumb|แมนิโฟลด์สี่อันจากเส้นโค้งเชิงพีชคณิต:  วงกลม,  พาราโบลา,  ไฮเพอร์โบลา,  เส้นโค้งกำลังสาม
แมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเชื่อมโยง (ติดกันเป็นชิ้นเดียว) ตัวอย่างเช่น วงกลมสองวงเป็นแมนิโฟลด์ และแมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตปิด ฉะนั้นส่วนของเส้นตรงที่ไม่มีจุดปลายก็เป็นแมนิโฟลด์ 

ตัวอย่างของแมนิโฟลด์ เช่น  พาราโบลา, ไฮเพอร์โบลา และทางเดินของจุดบนเส้นโค้งกำลังสาม  ซึ่งมีสองส่วน

ตัวอย่างของปริภูมิที่ไม่ใช่แมนิโฟลด์เช่น รูปเลข 8 ซึ่งไม่มีชาร์ทที่เหมาะสมสำหรับจุดตัดของวงกลมทั้งสองได้

 นิยามทางคณิตศาสตร์ 

ถ้าจะกล่าวโดยง่าย แมนิโฟลด์คือปริภูมิที่จำลองมาจากปริภูมิยูคลิเดียน แมนิโฟลด์อื่นที่ศึกษาเกิดจากการระบุโครงสร้างเพิ่มเติมไปบนแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีซึ่งจะได้นิยามด้านล่าง

 แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี 
ให้  เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี จะกล่าวว่า  เป็นแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี (topological manifold) หากมีสมบัติดังต่อไปนี้

  เป็นปริภูมิเฮาสดอร์ฟฟ์ (Hausdorff space) 
  เป็นปริภูมินับได้อันดับสอง (second countable)
  สมานสัณฐานเฉพาะที่กับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ  (locally homeomorphic to)

เงื่อนไขการเป็นเป็นปริภูมิเฮาสดอร์ฟฟ์และการเป็นปริภูมินับได้อันดับสองเป็นเงื่อนไขทางทอพอโลยีที่ตัดกรณีที่ "ไม่เหมาะ" จะพิจารณาเช่น เส้นตรงยาว (long line) หรือเส้นตรงที่มีจุดกำเนิดสองจุด (line with two origins) 

เงื่อนไขที่เสนอว่าแมนิโฟลด์จำลองมาจากปริภูมิยูคลิเดียน คือการที่  สมานสัณฐานเฉพาะที่กับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ  นั่นคือแต่ละจุดจะมีย่านใกล้เคียงที่สมานสัณฐานกับปริภูมิยูคลิเดียนมิติ  สำหรับบางจำนวนนับ  ภาวะสมานสัณฐานสื่อถึงการมีคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีเหมือน ๆ กันระหว่างปริภูมิยูคลิเดียนและย่านใกล้เคียงรอบแต่ละจุด

ค่า  ที่ปรากฎเรียกว่ามิติเฉพาะที่ (local dimension) ของแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี โดยทั่วไปเรากำหนดให้แมนิโฟลด์จะต้องมีมิติเฉพาะที่เท่ากันทุกจุด ซึ่งเป็นจริงสำหรับแมนิโฟลด์เชื่อมโยง แต่หนังสือบางเล่มอาจยอมให้แมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเป็นปริภูมิเชื่อมโยง และแต่ละจุดอาจจะมีมิติที่แตกต่างกันE.g. see ; . 

ในมุมมองทางทฤษฎีชีฟ แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีเป็นปริภูมิมีริงเฉพาะที่ (locally ringed space) ที่มีชีฟโครงสร้างที่สมสัณฐานเฉพาะที่กับชีฟของฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิยูคลิเดียน นี่เป็นมุมมองสำหรับแมนิโฟลด์ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

 หมายเหตุ