# ฟังก์ชันประกอบ
ในทางคณิตศาสตร์ ตัวดำเนินการประกอบฟังก์ชัน  จะนำฟังก์ชันสองตัว  และ  มารวมกันและให้ฟังก์ชันใหม่กำหนดโดย นั่นคือทำฟังก์ชัน  หลังจากทำฟังก์ชัน  กับ  

ฟังก์ชัน  อ่านว่า ฟังก์ชันประกอบของ  และ  เรียกการดำเนินการนี้ว่าการประกอบฟังก์ชัน   

การประกอบฟังก์ชันย้อนกลับ (Reverse Composition) บางครั้งเขียนแทนด้วย  ซึ่งหมายถึงการทำงานในลำดับตรงกันข้าม โดยใช้ฟังก์ชัน  ก่อนและ  หลัง ในเชิงสัญชาตญาณ การประกอบย้อนกลับเป็นกระบวนการต่อเนื่องที่ผลลัพธ์ของฟังก์ชัน  จะถูกส่งเข้าเป็นอินพุตของฟังก์ชัน 

การประกอบฟังก์ชันเป็นกรณีพิเศษของการประกอบความสัมพันธ์ (Composition of Relations) ซึ่งบางครั้งใช้สัญลักษณ์  ด้วยเช่นกัน ดังนั้นคุณสมบัติทั้งหมดของการประกอบความสัมพันธ์จึงสามารถนำมาใช้กับการประกอบฟังก์ชันได้ เช่น สมบัติการจัดกลุ่มของความสัมพันธ์

ตัวอย่าง
thumb|ตัวอย่างชัดแจ้งสำหรับการประกอบฟังก์ชันสองฟังก์ชัน
 การประกอบฟังก์ชันบนเซตจำกัด: ถ้า  และ  จะได้ว่า  ตามที่แสดงในภาพ
 การประกอบฟังก์ชันบนเซตอนันต์: ถ้า  (โดยที่  คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด) กำหนดโดย  และ  กำหนดโดย , จะได้ว่า:  
 ถ้าความสูงของเครื่องบินในเวลา  คือ  และความดันอากาศที่ความสูง  คือ  ดังนั้นจะได้ว่า  คือความดันอากาศรอบเครื่องบินที่เวลา 

สมบัติ
การประกอบฟังก์ชันมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ ซึ่งเป็นสมบัติที่ได้รับจากการประกอบความสัมพันธ์ นั่นคือ ถ้า ,  และ  เป็นฟังก์ชันที่สามารถประกอบกันได้ จะมีความสัมพันธ์ ดังนี้:  เนื่องจากวงเล็บไม่ส่งผลต่อผลลัพธ์ในการประกอบฟังก์ชัน จึงนิยมละการเขียนวงเล็บออก

การประกอบฟังก์ชันมีนิยามที่แตกต่างกันหลายระดับ ในแง่ที่รัดกุมเข้มงวดที่สุด ฟังก์ชันประกอบ  จะมีความหมายก็ต่อเมื่อโคโดเมนของ  เท่ากับโดเมนของ  แต่มีการนิยามฟังก์ชันประกอบที่กว้างขึ้น โดยยอมให้ฟังก์ชันประกอบ   มีความหมายได้เมื่อ โคโดเมนของ  เป็นสับเซตของโดเมนของ  

นอกจากกรณีข้างต้น หลายครั้งที่การประกอบฟังก์ชันใช้งานสะดวกขึ้นหากยอมให้จำกัดโดเมนของ  ลงไป โดยจำกัดโดเมนของ  ไปยังเซตของสมาชิกทั้งหมดที่เมื่อส่งผ่าน  แล้วลงไปอยู่ในโดเมนของ  ตัวอย่างเช่น ผลลัพธ์ของการประกอบฟังก์ชัน  ระหว่างฟังก์ชัน  ที่กำหนดโดย  และ  ที่กำหนดโดย  สามารถนิยามได้ในช่วง  ภายใต้นิยามนี้

thumb|upright=1|การประกอบฟังก์ชันค่าจริงสองตัว ได้แก่ ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์และฟังก์ชันกำลังสาม ในลำดับที่แตกต่างกัน แสดงให้เห็นว่าการประกอบฟังก์ชันไม่มีสมบัติสลับที่
ฟังก์ชัน  และ  จะเรียกว่าสลับที่ได้ ถ้า  ซึ่งหมายความว่าการประกอบฟังก์ชันในลำดับใด ๆ จะให้ผลลัพธ์เหมือนกัน สมบัติการสลับที่กันได้นั้นเป็นสมบัติพิเศษที่เกิดขึ้นเฉพาะกับฟังก์ชันบางคู่ และมักจะเกิดขึ้นในสถานการณ์พิเศษ ตัวอย่างเช่น  จะเป็นจริงเมื่อ  ชภาพด้านข้างแสดงตัวอย่างอื่น ๆ อีกเช่นกัน

การประกอบฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งสองตัวจะได้ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเสมอ ในทำนองเดียวกันการประกอบฟังก์ชันทั่วถึงสองตัวจะได้ฟังก์ชันทั่วถึงเสมอ ดังนั้นการประกอบฟังก์ชันสองตัวที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง จะได้ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเช่นเดียวกัน

ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันประกอบ (หากมีฟังก์ชันผกผันอยู่จริง) มีคุณสมบัติว่า 

อนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันประกอบที่มีหาอนุพันธ์ได้สามารถหาได้โดยใช้กฎลูกโซ่ สำหรับอนุพันธ์อันดับสูงของฟังก์ชันเหล่านี้หาได้จากสูตรของ Faà di Bruno

เราอาจมองว่าการประกอบฟังก์ชันเป็นการคูณชนิดหนึ่งบนปริภูมิของฟังก์ชัน แต่จะมีสมบัติแตกต่างจากการคูณรายจุดของฟังก์ชัน (เช่น การประกอบฟังก์ชันไม่เป็นการคูณที่สลับที่ได้)

โมนอยด์การประกอบฟังก์ชัน
หากเรามีฟังก์ชันสองตัว   ซึ่งมีโดเมนและโคโดเมนเดียวกัน ฟังก์ชันเหล่านี้มักเรียกว่าการแปลง (transformation) เราสามารถประกอบฟังก์ชันต่อกันไปเรื่อย ๆ เป็นลูกโซ่ เช่น  ลูกโซ่เหล่านี้มีโครงสร้างทางพีชคณิตแบบโมนอยด์ ซึ่งเรียกว่าโมนอยด์การแปลง (transformation monoid) หรือโมนอยด์การประกอบฟังก์ชัน (composition monoid) โมนอยด์การแปลงโดยทั่วไปอาจมีโครงสร้างที่ซับซ้อนมากเช่นในกรณีของเส้นโค้งเดอรัง 

เซตของฟังก์ชัน  ทั้งหมดเรียกว่า กึ่งกรุปของการแปลงเต็ม (full transformation semigroup) หรือ กึ่งกรุปสมมาตร (symmetric semigroup) บน 
thumb|การประกอบกันของการส่งแบบเฉือน (สีแดง) และการหมุนตามเข็มนาฬิกา 45° (สีเขียว) ด้านซ้ายคือวัตถุเดิม ด้านบนคือการเปลี่ยนรูปเชิงเฉียงก่อน แล้วจึงหมุน ด้านล่างคือการหมุนก่อน แล้วจึงเปลี่ยนรูปเชิงเฉียง
หากการแปลงเหล่านี้เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (ดังนั้นสามารถหาฟังก์ชันผกผันได้) แล้วเซตของฟังก์ชันประกอบทั้งหมดที่เป็นไปได้จะสร้างกรุปการแปลง (transformation group) หรือกรุปการจัดเรียง (permutation group) และจะกล่าวว่ากรุปการจัดเรียงก่อกำเนิดโดยฟังก์ชันฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง 

ผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีกรุปชื่อว่าทฤษฎีบทของเคย์ลีย์กล่าวว่ากรุปใด ๆ จะเป็นสับกรุปของกรุปการจัดเรียง (จนถึงขั้นภาวะสมสัณฐาน) เซตของฟังก์ชัน  หนึ่งต่อหนึ่งทั้งหมดบนเซต  (ฟังก์ชันเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าการเรียงสับเปลี่ยน) ประกอบกันเป็นกรุปภายใต้การรวมฟังก์ชันเรียกว่ากรุปสมมาตร