# สูตรของเฮรอน
ในทางเรขาคณิต สูตรของเฮรอน หรือ สูตรของเฮโร  จะจัดรูปให้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม อยู่ในรูปของความยาวด้านของทั้งสามด้าน ⁠⁠⁠ ⁠ และ ⁠ โดยกำหนดให้ ⁠⁠ เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (semiperimeter) จะได้ว่า  ทำให้ได้พื้นที่ ⁠⁠ เป็น 

 

สูตรข้างต้นถูกตั้งชื่อตามวิศวกรในคริสต์ศตวรรษที่ 1 ซึ่งมีชื่อว่าเฮรอนแห่งอะเล็กซานเดรีย (หรือเฮโร) ซึ่งผลงานของเขามีชื่อว่า เมตริกา (Metrica) ถึงแม้ว่าสูตรนี้จะรู้จักกันมานานหลายศตวรรษแล้วก็ตาม

 ตัวอย่าง 
กำหนดให้ ⁠⁠  มีด้านทั้งสามยาว   และ  โดยครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (semiperimeter) เป็น   จะได้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้เป็น

 

จากตัวอย่างนี้ ความยาวด้านและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นจำนวนเต็มทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียน ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด อย่างไรก็ตามสูตรของเฮรอนจะใช้ได้ดี ในกรณีที่ความยาวด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมขึ้นไปไม่ใช่จำนวนเต็ม

 การเขียนสมการในรูปอื่น ๆ 
สูตรของเฮรอนยังสามารถเขียนในรูปของความยาวด้านเพียงอย่างเดียว แทนที่จะใช้ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมนั้นสามารถทำได้ในหลายวิธี ดังนี้

 

หลังจากจัดนิพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้ว พจน์ที่อยู่ในรากที่สองจะเป็นพหุนามกำลังสองของความยาวด้านแต่ละด้านยกกำลังสอง ได้แก่   และ    

ความสัมพันธ์ที่คล้ายกันนี้ สามารถจัดรูปได้โดยใช้ฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์เคย์ลีย์–เมงเงอร์

 

 ประวัติ 
สูตรข้างต้นนั้นได้ยกย่องให้เป็นสูตรของเฮรอน (หรือเฮโร) แห่งอะเล็กซานเดรีย (ค.ศ. 60) และหลักฐานนั้นสามารถพบได้ในหนังสือชื่อ เมตริกา (Metrica) ซึ่งนักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ โทมัส ฮีธ ได้เสนอว่า อาร์คิมิดีสรู้สูตรนี้มาก่อนถึงสองศตวรรษ และเนื่องจาก เมตริกา คือหนังสือที่เป็นการรวบรวมความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ในโลกยุคโบราณ จึงเป็นไปได้ที่สูตรดังกล่าวอาจมีอายุก่อนการอ้างอิงที่ให้ไว้ในผลงานนั้น

สูตรที่คล้ายกับของเฮรอน คือ

 

สูตรนี้ถูกค้นพบโดยชาวจีน ได้รับการตีพิมพ์ใน Mathematical Treatise in Nine Sections (ฉิน จิ่วฉาว, 1247)

 บทพิสูจน์ 
มีหลายวิธีในการพิสูจน์สูตรของเฮรอน เช่น การใช้ตรีโกณมิติดังด้านล่าง หรือการใช้วงกลมที่แนบในและแนบนอกรูปสามเหลี่ยม หรือเป็นกรณีพิเศษในทฤษฎีบทของเดอ กวา (เฉพาะสำหรับกรณีที่สามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม) หรือใช้ในกรณีพิเศษในสูตรของพรหมคุปต์ (สำหรับกรณีของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม)

 การพิสูจน์ด้วยตรีโกณมิติโดยใช้กฎของโคไซน์ 
จากข้อพิสูจน์สมัยใหม่ซึ่งใช้พีชคณิตมีความแตกต่างจากหลักฐานที่เฮรอนให้ไว้ มีดังนี้ โดยกำหนดให้ ด้าน    และ  ของสามเหลี่ยม มีมุมตรงข้ามเป็น   และ  ตามลำดับ เมื่อนำมาใช้กับกฎของโคไซน์ จะได้ว่า

 

thumb|รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน   และ 
จากการพิสูจน์นี้เราจะได้สมการว่า

 

โดยความสูงของสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็น  มีความยาวเป็น  และจะได้ดังนี้

 

 การพิสูจน์ด้วยพีชคณิตโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส 
thumb|270x270px|สามเหลี่ยมที่มีความสูงยาว  ซึ่งลากตัดฐานยาว  ทำให้ c เป็น 
หลักฐานข้างต้นนี้คล้ายกับหลักฐานที่ Raifaizen ให้ไว้มาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้  และ  ตามรูปด้านขวา หลังจากนั้นนำสมการทั้งสองสมการมาลบกันจนได้ผลลัพธ์ดังนี้  ทำให้สามารถแสดงนิพจน์ของ  ในรูปของด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ว่า

 

โดยสำหรับความสูงของสามเหลี่ยม จะได้  จากนั้นทำการแทนค่า  จากสมการข้างต้นเข้าไปและจะใช้สูตรเอกลักษณ์ผลต่างของกำลังสอง จะได้

 

จากนั้นใช้ผลลัพธ์ที่มาใช้กับสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจากความสูง เป็น

 

 การพิสูจน์ด้วยตรีโกณมิติโดยใช้กฎของโคแทนเจนต์ 
right|thumb|270x270px| นัยสำคัญทางเรขาคณิตของ   และ  ตามกฎของโคแทนเจนต์
ถ้า  เป็นรัศมีของวงกลมที่แนบในรูปสามเหลี่ยม ทำให้สามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็น 3 รูปที่มีความสูงเท่ากับ  และมีฐานยาว   และ  จะได้ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งสามเป็น

 

โดยที่  คือความยาวครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยม 6 รูป ที่เป็นคู่ที่เท่ากันทั้งหมด 3 คู่ ที่มีความสูง  และมีฐานยาว   และ  จะได้ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งหกรูปเป็น (จากกฎของโคแทนเจนต์)

 

ขั้นตอนต่อจากข้างต้น คือ  ตามเอกลักษณ์ของโคแทนเจนต์ (triple cotangent identity) ซึ่งนำมาใช้ได้เนื่องจากผลรวมของครึ่งหนึ่งของมุมคือ 

เมื่อรวมทั้งสองเข้าด้วยกัน จะได้

 

ซึ่งทำให้ได้ผลลัพธ์ของพื้นที่ตามมา

 ความเสถียรเชิงตัวเลข 
สูตรของเฮรอนที่ให้ไว้ข้างต้นมีความไม่เสถียรในเชิงตัวเลข (numerically unstable) สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมเล็กมาก เมื่อใช้เลขแบบจำนวนจุดลอยตัว (floating-point arithmetic) เพื่อทำให้มีความเสถียรทางตัวเลขจะการจัดเรียงความยาวของด้านเพื่อให้  จากการคำนวณได้ว่า

 

จำเป็นต้องมีวงเล็บในสูตรข้างต้นเพื่อป้องกันความไม่เสถียรของตัวเลขในการหาค่า

 สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมคล้าย 
อีกสามสูตรของสูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั่วไป จะมีโครงสร้างคล้ายกับสูตรของเฮรอน แต่จะแสดงในรูปของตัวแปรที่ต่างกัน

ขั้นตอนแรก กำหนดให้   และ ⁠ คือเส้นมัธยฐาน (medians) ของด้าน   และ  ตามลำดับ และครึ่งหนึ่งของผลรวมความยาวเส้นมัธยฐาน คือ  จะได้Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette 87, July 2003, 324–326.

 

ถัดไป ให้   และ  คือความสูงจากด้าน   และ  ตามลำดับ และครึ่งหนึ่งของผลรวมส่วนกลับความสูง คือ  จะได้Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494. 

 

จะได้ว่า ให้   และ  เป็นมุมทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม และครึ่งหนึ่งของผลรวมของไซน์ของรูปสามเหลี่ยมคือ  จะได้

 

โดย  คือ เส้นผ่านศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมวงกลมล้อม (circumcircle)  สูตรสุดท้ายนี้สอดคล้องกับสูตรในรูปมาตรฐานของเฮรอน เมื่อวงกลมล้อมรูปสามเหลี่ยมมีความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง

 การสรุปโดยทั่วไปจากกรณีเฉพาะ 
right|thumb|192x192px| รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (Cyclic quadrilateral)
สูตรของเฮรอนเป็นกรณีเฉพาะของสูตรของพรหมคุปต์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic quadrilateral) สูตรของเฮรอนและสูตรของพรหมคุปต์ ทั้งสองสูตรเป็นกรณีเฉพาะของสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม สูตรของเฮรอนสามารถหาได้จากสูตรของพรหมคุปต์หรือสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ โดยให้ด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมให้เป็นศูนย์

จากสูตรของพรหมคุปต์ให้พื้นที่  เป็นพื้นที่ของ⁠รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic quadrilateral) ที่มีความยาวด้านเป็น    และ  ทำให้ได้

 

โดย  คือ ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม

สูตรของเฮรอนยังเป็นกรณีเฉพาะของสูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยพิจารณาจากด้านเท่านั้น สูตรของเฮรอนได้มาโดยการกหนดให้ด้านขนานที่เล็กกว่าความยาวเป็นศูนย์

สามารถแสดงสูตรของเฮรอนด้วยฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์เคย์ลีย์–เมงเงอร์ ในรูปของกำลังสองของระยะทางระหว่างจุดยอดทั้งสามที่กำหนดให้

 

แสดงให้เห็นถึงความคล้ายกับสูตรของตาร์ตาเญีย สำหรับปริมาตรของ 3-ซิมเพล็กซ์หรือทรงสี่หน้า

ข้อสรุปทั่วไปของสูตรของเฮรอนของรูปห้าเหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยมวงกลมล้อมถูกค้นพบโดย เดวิด พี. ร็อบบินส์ D. P. Robbins, "Areas of Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.

 สูตรการหาปริมาตรของทรงสี่หน้าแบบเฮรอน 
ให้        และ  เป็นความยาวขอบของทรงสี่หน้า (สามด้านแรกนำมาประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยม โดย  ตรงข้ามกับ  และต่อไปตามลำดับ) จะได้W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?",, pp. 16–17.

 

โดยที่

 

 สูตรของเฮรอนในเรขาคณิตนอกแบบยุคลิด 
นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลม (Spherical geometry) หรือเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา (hyperbolic plane) อีกด้วย  สำหรับรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลมที่มีความยาวด้าน   และ  และครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปเป็น  และมีพื้นที่เป็น  ตามสูตรดังกล่าวจะได้

 

ตามเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา จะได้