# การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรลดทอน
ในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ การหาปริพันธ์โดยใช้สูตรลดทอน เป็นวิธีการที่ใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิด ใช้เมื่อนิพจน์ที่มีตัวแปรเสริมเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งโดยปกติอยู่ในรูปของเลขยกกำลังของฟังก์ชันเบื้องต้น หรือผลคูณของฟังก์ชันอดิศัย และพหุนามที่มีดีกรีใด ๆ ไม่สามารถหาปริพันธ์โดยตรงได้ แต่การใช้วิธีการหาปริพันธ์อื่น ๆ สามารถกำหนดสูตรลดทอนเพื่อให้ได้ปริพันธ์ของนิพจน์เดียวกันหรือคล้ายกันที่มีตัวแปรจำนวนเต็มเสริมที่ต่ำลง โดยจะลดความซับซ้อนของปริพันธ์ลงทีละน้อยจนกระทั่งสามารถหาค่าได้ Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010,  วิธีหาปริพันธ์นี้เป็นหนึ่งในวิธีแรก ๆ ที่ใช้กัน

 วิธีการหาสูตรลดทอน 
สูตรลดทอนสามารถหาได้โดยใช้วิธีการหาปริพันธ์ทั่วไป เช่นการหาปริพันธ์โดยการแทนค่า การหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน การหาปริพันธ์โดยการแทนค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ การหาปริพันธ์โดยการหาเศษส่วนย่อย ฯลฯ แนวคิดหลักคือให้ปริพันธ์ที่มีตัวแปรเสริมจำนวนเต็ม (เช่น เลขยกกำลัง) ของฟังก์ชันเป็น In ปริพันธ์ที่มีกับค่าตัวแปรเสริมที่ต่ำลง (เลขยกกำลังต่ำกว่า) ของฟังก์ชันนั้นให้เป็น เช่น In -1 หรือ In -2 ซึ่งทำให้สูตรลดทอนเป็นประเภทหนึ่งของความสัมพันธ์เวียนเกิด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สูตรลดทอนจะทำให้ปริพันธ์

 

อยู่ในรูปของ

 

เมื่อ

 

 วิธีการคำนวณหาปริพันธ์ 
ในการคำนวณหาปริพันธ์ เราให้ n เป็นค่าของตัวแปรเสริม และใช้สูตรลดทอนเพื่อแสดงอยู่ในรูปของปริพันธ์ของ (n – 1) หรือ (n – 2) ปริพันธ์ที่มีเลขยกกำลังต่ำกว่าสามารถนำมาใช้คำนวณปริพันธ์เลขยกกำลังสูงกว่าได้ โดยกระบวนการนี้ทำต่อไปซ้ำ ๆ จนกว่าจะถึงจุดที่สามารถหาปริพันธ์ฟังก์ชันได้ โดยปกติเมื่อเลขยกกำลังของฟังก์ชันดังกล่าวเป็น 0 หรือ 1 จากนั้นเราทำการแทนค่าผลลัพธ์ก่อนหน้านั้นอีกครั้งจนกระทั่งเราหา In ได้Further Elementary Analysis, R.I. Porter, G. Bell & Sons Ltd, 1978, 

 ตัวอย่าง 
ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของวิธีการใช้สูตรลดทอน

 ปริพันธ์ของฟังก์ชันโคไซน์ 
โดยทั่วไปปริพันธ์เช่น

 

สามารถหาค่าได้โดยการใช้สูตรลดทอน
thumb| , สำหรับ n = 1, 2 ... 30
เริ่มต้นโดยการตั้งให้

 

สามารถเขียนใหม่ได้เป็น

 

หาปริพันธ์โดยการแทนค่าดังนี้

 

 

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

 

 

 

 

ดังนั้นสูตรลดทอนคือ

 

ตัวอย่างเพิ่มเติมจากตัวอย่างด้านบนสามารถนำมาใช้หาปริพันธ์สมมติให้ n = 5

 

คำนวนหาปริพันธ์ที่มีเลขดัชนีต่ำกว่า

 

 

แทนค่ากลับได้

 

 

 

โดยที่ C เป็นค่าคงที่

 ปริพันธ์ของเลขชี้กำลัง 
ตัวอย่างทั่วไปอีกอันคือ

 

เริ่มโดยการตั้งให้

 

หาปริพันธ์โดยการแทนค่า

 

 

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

 

 

เลื่อนดัชนีกลับไป 1 (n + 1 → n และ n → n – 1)

 

แก้หา In 

 

ดังนั้นสูตรลดทอนคือ

 

วิธีทางเลือกอื่นในการหาสูตรลดทอนทำได้โดยเริ่มจากการแทนค่า  

หาปริพันธ์โดยการแทนค่า

สามารถหาปริพันธ์โดยการแยกส่วน

ซึ่งให้สูตรลดลดทอนเมื่อแทนค่ากลับ

ซึ่งเท่ากับ

 

อีกทางเลือกหนึ่งในการหาสูตรลดทอนได้โดยการบูรณาการแบบแยกส่วน

 

 

 

 

 

จำไว้ว่า

 

 

ซึ่งให้สูตรลดทอนเมื่อแทนค่ากลับ

 

ซึ่งเท่ากับ

 

 รายการสูตรลดทอนจำนวนเต็ม 

 ฟังก์ชันตรรกยะ 
ปริพันธ์ต่อไปนี้http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> รายการปริพันธ์ไม่จำกัดเขต ประกอบด้วย

 ตัวประกอบของรากเชิงเส้น 
 ตัวประกอบเชิงเส้น  และรากเชิงเส้น 
 ตัวประกอบกำลังสอง 
 ตัวประกอบกำลังสอง , สำหรับ 
 ตัวประกอบกำลังสอง , สำหรับ 
 ตัวประกอบกำลังสอง (ลดทอนไม่ได้) 
 รากที่สองของตัวประกอบกำลังสองที่ลดทอนไม่ได้ 

ปริพันธ์ สูตรลดทอน          
ปริพันธ์ สูตรลดขนาด      
ปริพันธ์ สูตรลดขนาด      
ปริพันธ์ สูตรลดขนาด      
ปริพันธ์ สูตรลดขนาด      
ปริพันธ์ สูตรลดขนาด      
ปริพันธ์ สูตรลดขนาด    

 

 ฟังก์ชันอดิศัย 
ปริพันธ์ต่อไปนี้http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> รายการปริพันธ์ไม่จำกัดเขต ประกอบด้วย

 ตัวประกอบของไซน์
 ตัวประกอบของโคไซน์
 ตัวประกอบของผลคูณและผลหารของไซน์และโคไซน์
 ผลคูณ/ผลหารของตัวประกอบเลขชี้กำลังและกำลังของ x
 ผลคูณของตัวประกอบเลขชี้กำลังและไซน์/โคไซน์

ปริพันธ์สูตรลดทอนสูตรเหล่านี้สามารถรวมกันให้อยู่ในรูป In

และในรูป Jn
ปริพันธ์ สูตรลดรูป        
ปริพันธ์ สูตรลดทอน