# สมดุลแบบแนช
สมดุลแบบแนช  เป็นแนวคิดในวิชาทฤษฎีเกมที่อธิบายสถานการณ์ที่ผู้เล่นแต่ละคนเลือกทางเลือกที่ดีสุดสำหรับตัวเองเมื่อพิจารณาถึงทางเลือกของผู้เล่นอื่นในจุดสมดุลนั้น ผู้เล่นแต่ละคนจึงไม่สามารถได้ประโยชน์มากขึ้นด้วยการเปลี่ยนทางเลือกของตัวเองแต่เพียงฝ่ายเดียวได้ในจุดสมดุล สมดุลแบบแนชเรียกตามชื่อของจอห์น แนช นักคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นผู้นิยามสมดุลในลักษณะนี้

 ประวัติ 
ชื่อแนวคิดสมดุลแบบแนชมีที่มาจากจอห์น แนช ผู้ที่นิยามแนวคิดสมดุลในรูปแบบที่ใช้กันในปัจจุบันเมื่อปี 1950 แต่การใช้แนวคิดที่มีลักษณะของสมดุลแบบแนชนั้นย้อนไปได้ถึงงานเขียนของอ็องตวน-โอกุสแต็ง กูร์โน ที่ตีพิมพ์ในปี 1838
ในหนังสือ Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses  กูร์โนได้เขียนถึงวิเคราะห์การแข่งขันระหว่างผู้ผลิตสินค้าในตลาดผู้ขายน้อยราย (เรียกภายหลังว่าเป็นแบบจำลองการแข่งขันแบบกูร์โน) ในแบบจำลองนี้ กำไรของผู้ผลิตสินค้าแต่ละราย ไม่เพียงขึ้นอยู่กับปริมาณการผลิตของตัวเอง แต่ขึ้นอยู่กับการผลิตของคู่แข่งด้วย ผลลัพธ์ของแบบจำลองของกูร์โนเป็นจุดสมดุลแบบแนชรูปแบบหนึ่ง แต่กูร์โนไม่ได้ขยายความให้แนวคิดมีนัยทั่วไปกับสถานการณ์อื่น ๆ

แนวคิดทฤษฎีเกมในแบบที่ใช้กันในปัจจุบัน มีรากฐานจากงานของจอห์น ฟอน นอยมันน์และอ็อสคาร์ มอร์เกินสแตร์น ในหนังสือ The Theory of Games and Economic Behavior  ซึ่งตีพิมพ์ครั้งแรกในปี 1944 ได้นิยามเกมและแนวคิดกลยุทธ์แบบผสม ซึ่งเป็นหมายถึงการที่ผู้เล่นในเกมเลือกแจกแจงความน่าจะเป็นที่จะใช้ทางเลือกแต่ละทางที่ตนเองมี หนังสือยกตัวอย่างแนวคิดกลยุทธ์แบบผสมในเกมเป่ายิ้งฉุบว่า "สามัญสำนึกจะบอกได้ว่าวิธีที่ดีที่จะเล่นเกมนี้คือการเลือกทางเลือกทั้งสามทางด้วยความน่าจะเป็นแต่ละทางเท่ากับ 1/3" ฟอนนอยมันน์กับมอร์เกินสแตร์นได้เสนอแนวคิดคำตอบของเกมที่มีกลยุทธ์แต่ผสม แต่แนวคิดนี้ใช้ได้เฉพาะกับเกมผลรวมเป็นศูนย์

ในปี 1950 จอห์น แนชได้นิยามกลยุทธ์แบบผสมสำหรับเกมใด ๆ ที่ผู้เล่นมีทางเลือกจำกัด และพิสูจน์ว่าสมดุลชนิดนี้มีอยู่ในเกมลักษณะดังกล่าวใด ๆ ที่ผู้เล่นสามารถใช้กลยุทธ์แบบผสม บทพิสูจน์ในตอนแรกของแนชใช้ทฤษฎีบทจุดตรึงของคาคูทานิ ถัดมาในปี 1951 แนชได้ตีพิมพ์บทความวิชาการอีกบทความหนึ่งซึ่งใช้ทฤษฎีบทจุดตรึงของเบราเวอร์ในการพิสูจน์แทน

 นิยาม 
ในทางทฤษฎีเกม การนิยามเกมแบบพื้นฐานประกอบไปด้วยองค์ประกอบสามอย่าง ได้แก่ ผู้เล่น ทางเลือกของผู้เล่นแต่ะละคนในเกม (เรียกในทฤษฎีเกมว่า "กลยุทธ์") และความพึงพอใจของผู้เล่นแต่ละคนที่มีต่อผลลัพธ์แต่ละแบบของเกม ซึ่งมักเขียนในรูปแบบที่เรียกว่าฟังก์ชันอรรถประโยชน์ ค่าของอรรถประโยชน์ของผู้เล่นแต่ละคน ขึ้นอยู่กับกลยุทธ์ของผู้เล่นทุกคนในเกม หากเขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ นิยามพื้นฐานของเกมสามารถกำหนดได้ดังต่อไปนี้
 เซตของผู้เล่น 
 เซตของกลยุทธ์  สำหรับผู้เล่น  แต่ละคนในเซตผู้เล่น
 ค่าอรรถประโยชน์  สำหรับผู้เล่น  แต่ละคนในเซตผู้เล่น ที่อิงจากกลยุทธ์  ที่ผู้เล่นแต่ละคนเลือก
โพรไฟล์กลยุทธ์  หมายถึงเวกเตอร์ที่ระบุกลยุทธ์ของผู้เล่นทุกคน นั่นคือ  และใช้สัญลักษณ์  หมายถึงโพรไฟล์กลยุทธ์ของผู้เล่นทุกคนยกเว้น  ค่าอรรถประโยชน์ของผู้เล่น  จึงสามารถเขียนได้เป็น และ  ด้วย

จากนิยามเกมข้างต้น โพร์ไฟล์กลยุทธ์  ถือว่าเป็นจุดสมดุลแบบแนช ถ้ากลยุทธ์  ที่ผู้เล่น  เลือก เป็นกลยุทธ์ที่ให้อรรถประโยชน์สูงสุดแก่ผู้เล่น  เมื่อผู้เล่นคนอื่นๆ เลือกเล่นกลยุทธ์ที่ระบุใน  กล่าวอีกทางหนึ่งคือ ผู้เล่นแต่ละคนในเกมไม่สามารถทำให้อรรถประโยชน์ของตัวเองสูงขึ้นด้วยการเลือกกลยุทธ์อื่นที่ไม่ใช่  ตราบใดที่ผู้เล่นคนอื่นทุกคนเลือกกลยุทธ์ของตัวเองตามที่กำหนดในโพรไฟล์กลยุทธ์  เงื่อนไขนี้เขียนด้วยสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ได้ว่า 

ทฤษฎีบทของแนชพิจารณาเกมที่สามารถมีกลยุทธ์แบบผสมได้ กลยุทธ์แบบผสม หมายถึงการที่ผู้เล่นแต่ละคนเลือกความน่าจะเป็นที่จะเลือกทางเลือกแต่ละทางให้แก่ทุกสมาชิกในเซตกลยุทธ์ (ความน่าจะเป็นของสมาชิกแต่ละอันอาจจะเป็น 0 หรือ 1 ได้) โดยผลรวมของความน่าจะเป็นของทุกตัวเลือกเท่ากับ 1 ตามนิยามของการแจกแจงความน่าจะเป็น ในกรณีนี้ เซตกลยุทธ์ที่เป็นกลยุทธ์แบบผสม จะกลายเป็นมีลักษณะเป็นซิมเพล็กซ์แทน

 การมีอยู่ของสมดุลแบบแนช 
แนชพิสูจน์ว่า ถ้าหากเกมมีจำนวนผู้เล่นจำกัด และผู้เล่นแต่ละคนมีเซตกลยุทธ์ที่จำกัด และเราพิจารณากลยุทธ์แบบผสม เกมนั้นจะมีสมดุลแบบแนชในกลยุทธ์แบบผสมอย่างน้อยหนึ่งจุดเสมอ แต่หากเราไม่อนุญาตให้มีการผสมกลยุทธ์แล้ว (นั่นคือ มีเพียงเซตกลยุทธ์ที่เป็นเซตจำกัด) เกมนั้นอาจไม่มีสมดุลแบบแนชก็ได้ ในกรณีนี้ เรียกว่าเกมนั้นไม่มีกลยุทธ์แบบแท้

วิธีพิสูจน์ด้วยทฤษฎีบทจุดตรึงที่แนชใช้นั้น สามารถใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทที่มีนัยทั่วไปกว่านั้นได้ กล่าวคือ ถ้าหากว่าเกมนั้นมีเซตกลยุทธ์เป็นเซตย่อยของปริภูมิแบบยุคลิดที่กระชับ คอนเวกซ์ และไม่เป็นเซตว่าง และฟังก์ชันอรรถประโยชน์ของผู้เล่นแต่ละคนเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในเซตโพรไฟล์กลยุทธ์ และกึ่งเว้าต่อกลยุทธ์ของตัวเอง เกมนั้นก็จะมีจุดสมดุลแบบแนชอย่างน้อยหนึ่งจุด เกมที่มีกลยุทธ์แบบผสมถือเป็นกรณีเฉพาะอันหนึ่งของเกมในนัยทั่วไปนี้