# การหารสังเคราะห์พหุนาม
ในพีชคณิต การหารสังเคราะห์พหุนาม หรือการหารสังเคราะห์ (อังกฤษ: synthetic division) เป็นการคำนวนโดยใช้วิธีการหารพหุนามยุคลิด และเป็นวิธีที่สั้นกว่าการหารยาวพหุนาม 

ส่วนใหญ่จะสอนใช้กับแค่พหุนามโมนิกเชิงเส้น (กฎของรัฟฟินี) แต่สามารถวางนัยกับพหุนามทั่วไปได้

ข้อดีของการหารสังเคราะห์คือ สามารถทดได้โดยไม่ต้องเขียนตัวแปร คำนวนน้อย และใช้พื้นที่น้อยกว่าการหารยาว อีกทั้งการลบในการหารยาวเปลี่ยนเป็นการบวกแทนโดยเปลี่ยนเครื่องหมายตอนแรก ๆ ช่วยป้องกันการเขียนเครื่องหมายผิด

 การหารสังเคราะห์ปกติ 
ตัวอย่างแรกคือการหารสังเคราะห์ที่มีตัวส่วนเป็นโมนิกเชิงเส้น 

ตัวเศษเขียนใหม่ได้เป็น 

รากของตัวส่วน  คือ 

สัมประสิทธิ์ของ  เรียงได้ดังนี้ โดยเขียนรากของ  ไว้ทางซ้าย

หลังเส้นกั้น ถูกดึงลงมาแถวสุดท้าย

คูณกับ วางทแยงไปขวาบนในหลักถัดไป

กันภายในหลักถัดไป

ทำสองขั้นตอนที่แล้วไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงหลักสุดท้าย

ที่นี้ หลักสุดท้าย (-123) คือเศษเหลือ ที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

ผลหารและเศษเหลือจะเป็นดังนี้

 การประยุกต์ใช้จากทฤษฎีบทเศษเหลือ 
รูปแบบการหารสังเคราะห์ข้างต้นมีประโยชน์ในการหาเศษเหลือจากพหุนามตัวแปรเดียวจากทฤษฎีบทเศษเหลือ โดยสรุป ค่าของ  ณ  จะเท่ากับเศษเหลือจากการหาร  ด้วย 

ข้อดีจากการใช้วิธีนี้ตือการคูณน้อยลงประมาณครึ่งหนึ่งจากการแทนค่าเข้าไปตรง ๆ อีกวิธีทางเลือกคือวิธีของฮอร์เนอร์

 การหารสังเคราะห์ส่วนขยาย 
วิธีนี้วางนัยได้กับการหารพหุนามโมนิกทั่วไปได้ ข้อแตกต่างจากวิธีปกติจะทำเส้นหนา ใช้ขั้นตอนเหมือนกับวิธีปกติกับการหารพหุนามต่อไปนี้

ดูเฉพาะสัมประสิทธิ์ของตัวเศษ เขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนามตัวตั้งข้างบน

กลับเครื่องหมายตัวหาร

เขียนทุกตัวยกเว้นตัวแรกทางซ้ายก่อนเส้นกั้น เขียนทแยงไปทางขวาบน (ดูภาพถัดไป)

สังเกตการเปลี่ยนแปลงเครื่องหมายจาก 1 เป็น -1 และจาก -3 เป็น 3 ดึงหลังเส้นกั้นลงมาแถวสุดท้าย

คูณกับ วางทแยงไปขวาบนจนกว่าจะคูณครบทุกเลขหน้าเส้นกั้นในหลักถัด ๆ ไป

กันภายในหลักถัดไป

ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าเส้นทแยงผลคูณจะเลยหลักสุดท้าย

แล้วก็บวกหลักที่เหลือ

นับจำนวนตัวเลขหน้าเส้นกั้น เนื่องจากมีสองตัว เศษเหลือจึงมีดีกรีเป็นหนึ่ง สังเกตได้ว่าหลักที่ไม่ได้ถูกคูณจะเป็นเศษเหลือ ซึ่งเป็นสองหลักใต้เส้นกั้นที่นับจากทางขวา เขียนเส้นกั้นลงไป 

เขียนดีกรีจ่ากน้อยไปมากโดยเริ่มจากด้านขวา โดยเริ่มจากดีกรีศูนย์ทั้งเศษเหลือและผลหาร

ผลลัพท์จากการหารจะได้ดังนี้

 สำหรับตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก 
วิธีนี้ยังสามารถวางนัยทั่วไปให้สามารถใช้ได้กับพหุนามทั่วไป ไม่ใช่แค่พหุนามโมนิกโดยการดัดแปลงเล็กน้อย โดยปกติจะหารตัวหาร  ด้วยสัมประสิทธิ์นำ 

แล้วหารสังเคราะห์โดยใช้  เป็นตัวหาร แล้วหารผลหารที่ได้ด้วย  ถึงจะได้ผลหารจากการหารด้วย  (เศษเหลือยังคงเดิม) แต่วิธีนี้ผิดพลาดได้ง่ายเนื่องจากตัวคูณในการหารสังเคราะห์เป็นเศษส่วน

จากการสังเกตจากการหารยาวพหุนามด้วยตัวหารที่ไม่เป็นโมนิก สัมประสิทธิ์  จะถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของ  หลังถูกดึงและก่อนคูณ

โดยแสดงจากการหารพหุนามดังต่อไปนี้

ใช้ตารางที่ถูกดัดแปลงเล็กน้อย

สังเกตว่ามีแถวเพิ่มขึ้นข้างล่าง ใช้เพื่อเขียนค่าหลังจากหารตัวที่ถูกดึงด้วยสัมประสิทธิ์นำของ  (ในที่นี้คือ /3 สังเกตว่าตัวเลขนี้ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมาย ต่างจากสัมประสิทธิ์ตัวอื่น ๆ ของ)

ของ  ถูกดึงลงมาตามเดิม

ลงมาหารด้วย 3 แล้วเขียนลงไปในแถวถัดไป

ที่ถูกหารนี้ ไปคูณกับเลขหน้าเส้นกั้นและเขียนในแถวที่เป็นพหุคูณของ  ดังที่ได้อธิบายไว้ในวิธีส่วนขยายที่กล่าวไป

ถูกดึงและบวกกับ 4 ผลลัพท์จะถูกหารด้วย 3

ทำเข่นเดียวกันกับ

ณ จุดนี้หลัวจากได้ผลบวกตัวที่สาม เส้นทแยงผลคูณจะ "ตกขอบขวา" ดังนั้นผลบวกตัวนี้จะเป็นสัมประสิทธิ์ตัวแรกของเศษเหลือ เหมือนในวิธีส่วนขยายที่ได้กล่าวไป แต่ค่าของเศษเหลือจะไม่ถูกหารด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร

เหมือนในการหารสังเคราะห์แบบขยาย สองหลักสุดท้ายจะเป็นสัมประสิทธิ์เศษเหลือ (ดีกรีของตัวหารเป็น 2) ส่วนค่าที่เหลือจะเป็นสัมประสิทธิ์ของผลหาร

ผลลัพท์จะได้ดังนี้

 การหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ 
แต่ว่าการเขียนแนวทแยงจากที่ได้กล่าวมานั้น จะกินพื้นที่เมื่อดีกรีตัวหารเกินครึ่งหนี่งของตัวตั้ง พิจารณาได้จากการหารต่อไปนี้

จะเห็นได้ว่าจะเขียนผลคูณไว้ที่บรรทัดไหนก็ได้ ขอให้แค่ถูกหลักก็พอ โดยใช้กลยุทธ์แบบละโมบในการย่อขั้นตอนวิธี ดังการหารต่อไปนี้

ต่อไปนี้คือขั้นตอนวิธีของการหารสังเคราะห์ส่วนขยายแบบย่อ สามารถใช้ได้กับพหุนามไม่เป็นโมนิกอีกด้วย

 เขียนสัมประสิทธิ์ตัวตั้งบนเส้นกั้น

 กลับเครื่องหมายสัมประสิทธิ์ของตัวหาร ยกเว้นสัมประสิทธิ์ตัวนำ แล้วเขียนลงทางซ้ายของเส้นกัั้น

 นับจำนวนสัมประสิทธิ์ตัวหารให้เท่ากับสัมประสิทธิ์หน้าเส้นกั้น โดยเริ่มจากหลักขวาสุด แล้วเขียนเส้นกั้นลงทางซ้ายเพื่อแบ่งหลักที่เป็นสัมประสิทธิ์ผลหารกับเศษเหลือ

 ดึงสัมประสิทธิ์หลักแรกลงใต้เส้นกั้น

 หารจำนวนที่ถูกดึง/บวกมาด้วยสัมประสิทธิ์นำของตัวหาร แล้วเขียนผลหารลงแถวข้างล่าง (ขั้นตอนนี้ไม่จำเป็นถ้าสัมประสิทธิ์ตัวนำตัวหารเป็น 1) ในที่นี้  ซึ่งดัชนีของ  เป็น  นั้นเกิดจากการลบดัชนีของตัวตั้งกับตัวหาร
 คูณจำนวนที่ถูกดึง/บวกหรือที่ถูกหาร ด้วยสัมประสิทธิ์ตัวหารที่ถูกกลับเครื่องหมายหน้าเส้นกั้น (เริ่มจากซ้ายสุด) ข้ามขั้นตอนนี้ถ้าจำนวนที่ถูกดึง/บวกหรือที่ถูกหารเป็นศูนย์ เขียนผลคูณในหลักถัด ๆ ไปตามลำดับ
 ทำการบวกภายในหลักถัดไป ในที่นี้ 

 ทำสองขั้นตอนที่แล้วซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะถึงเลขหน้าเส้นกั้น i. ให้ 
 ii.ให้ 
 iii.ให้ 

 ทำการบวกหลักที่เหลือ (เพื่อคำนวนหาเศษเหลือ)

 ในแถวล่างสุดใต้เส้นกั้เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ส่วนหน้าเส้นกั้นเป็นของผลหาร ส่วนหลังเส้นกั้นเป็นเศษเหลือ สัมประสิทธิ์เหล่านี้มีดีกรีเพิ่มขึ้นจากขวาไปซ้าย โดยเริ่มที่ศูนย์ทั้งผลหารและเศษเหลือ