# การให้เหตุผลแบบนิรนัย
การให้เหตุผลแบบนิรนัย  หรือ การให้เหตุผลจากบนลงล่าง  เป็นกระบวนการการให้เหตุผลจากข้อความหรือข้อตั้งหนึ่งข้อขึ้นไปซึ่งอาจเป็นกฎ ข้อตกลง ความเชื่อ หรือบทนิยาม ซึ่งเป็นสิ่งที่รู้มาก่อน และยอมรับว่าเป็นความจริงเพื่อนำไปสู่ข้อสรุปที่แน่นอนทางตรรกศาสตร์ เป็นการอ้างเหตุผลที่มีข้อสรุปตามเนื้อหาสาระที่อยู่ภายในขอบเขตของข้ออ้างที่กำหนด

การให้เหตุผลแบบนิรนัยจะเป็นไปในทิศทางเดียวกับเงื่อนไข คือการเชื่อมข้อตั้งกับข้อสรุป (Consequent) เมื่อข้อตั้งเป็นจริงทั้งหมด พจน์แต่ละพจน์ชัดเจน และทำตามกฎของตรรกศาสตร์แบบนิรนัยครบถ้วน ข้อสรุปที่ได้ก็จำเป็นที่จะเป็นจริง (logical truth)

การให้เหตุผลแบบนิรนัย ("การให้เหตุผลจากบนลงล่าง") ต่างจากการให้เหตุผลแบบอุปนัย ("การให้เหตุผลจากล่างขึ้นบน") ในด้านต่อไปนี้ ในการให้เหตุผลแบบนิรนัยข้อสรุปได้มาอย่างลดทอน (Reductionism) โดยการประยุกต์ใช้กฎทั่วไปที่เป็นจริงทั่วขอบเขตของสัมพันธสารที่ปิด (closed world assumption) ทำให้พิสัยที่อยู่ใต้การพิจารณาแคบลงเรื่อย ๆ จนเหลือแค่ข้อสรุป (คือไม่มีความไม่แน่นอนทางญาณวิทยา เช่นส่วนที่ไม่ได้ถูกรับรู้ของเซตที่มีอยู่ปัจจุบัน ทุกส่วนของเซตที่มีอยู่ปัจจุบันจะต้องมีอยู่และถูกรับรู้) ในการให้เหตุผลแบบอุปนัยข้อสรุปได้มาโดยการวางนัยทั่วไปหรือการพาดพิงกรณีเฉพาะไปสู่กฎทั่วไป คือมีความไม่แน่นอนทางญาณวิทยาอยู่ (ส่วนที่ไม่ได้ถูกรับรู้ของเซตที่มีอยู่ปัจจุบัน) แต่ทว่าการให้เหตุผลที่พูดถึง ณ ที่นี้ไม่ใช่การอุปนัย (Mathematical Induction) ที่ใช้ในการพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์ การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์นั้นแท้จริงแล้วเป็นรูปแบบหนึ่งของการให้เหตุผลแบบนิรนัย

การให้เหตุผลแบบนิรนัยต่างจากการให้เหตุผลแบบจารนัย (abductive reasoning) โดยทิศทางของการให้เหตุผลเทียบกับเงื่อนไข การให้เหตุผลแบบนิรนัยไปในทิศทางเดียวกับเงื่อนไข ในขณะที่การให้เหตุผลแบบจารนัยไปในทิศทางตรงกันข้าม คือการพยายามหาข้อตั้งที่สมเหตุสมผลที่สุดเมื่อให้ข้อสรุปมา ตัวอย่างเช่นงานสอบสวนในคดีฆาตกรรมที่ต้องหาตัวผู้ร้ายจากข้อสรุปหรือหลักฐานที่ฉากและสภาพศพyrprincess, "สืบจากการ์ตูนโคนัน Holmes และ CSI (ตอนที่2) การให้เหตุผลแบบ Abductive" www.scimath.org, 27 กุมภาพันธ์ 2558, 6 มิถุนายน 2563

ตัวอย่างง่าย ๆ
ตัวอย่างของการอ้างเหตุผลโดยการใช้การให้เหตุผลแบบนิรนัย:
 มนุษย์ทุกคนเป็นมรรตัย (ข้อตั้งแรก)
 โสกราตีสเป็นมนุษย์ (ข้อตั้งที่สอง)
 เพราะฉะนั้น โสกราตีสเป็นมรรตัย (ข้อสรุป)

ข้อตั้งแรกกล่าวว่าวัตถุทุกชิ้นที่จัดหมวดหมู่เป็น "มนุษย์" มีคุณสมบัติ "มรรตัย" ข้อตั้งที่สองกล่าวว่า "โสกราตีส" จัดหมวดหมู่เป็น "มนุษย์" หรือเป็นสมาชิกของเซต "มนุษย์" ข้อสรุปจึงกล่าวว่า "โสกราตีส" จำเป็นต้องเป็น "มรรตัย" เพราะเขาได้รับคุณสมบัตินี้จากการจัดเขาเข้าหมวดหมู่ "มนุษย์"

(หมายเหตุ: มรรตัย หรือภาษาอังกฤษ mortal แปลว่าผู้ที่ต้องตาย)

การให้เหตุผลด้วยกฎการแจงผลตามเหตุ กฎการแจงผลค้านเหตุ และกฎของตรรกบท
กฎการแจงผลตามเหตุ

 หรือโมดัส โพเนนส์ บ้างก็เรียกว่า "การยืนยันข้อนำ" (affirming the antecedent) หรือ "กฎของการแยกออก" (law of detachment) เป็นกฏของการอนุมานแบบนิรนัยหลักซึ่งจะนำไปใช้กับการอ้างเหตุผลที่มีข้อตั้งแรกเป็นเงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์  และมีข้อตั้งที่สองเป็นข้อนำของเงื่อนไขนั้น ๆ   โดยจะได้ข้อตาม (consequent) ของเงื่อนไขนั้น ๆ เป็นข้อสรุป  รูปแบบของการอ้างเหตุผลนี้เป็นไปตามด้านล่าง:
   (ข้อตั้งแรกเป็นเงื่อนไข)
   (ข้อตั้งที่สองเป็นข้อนำ)
   (ข้อสรุปที่นิรนัยได้คือข้อตาม)

ในการให้เหตุผลแบบนิรนัยรูปแบบนี้ ข้อตาม  เป็นข้อสรุปจากข้อตั้งที่เป็นเงื่อนไข  และข้อนำของมัน  แต่มว่าข้อนำนั้น  ไม่สามารถเป็นข้อสรุปจากข้อตั้งที่เป็นเงื่อนไข  และข้อตามได้  การอ้างเหตุผลแบบนี้เป็นตรรกะวิบัติ (logical fallacy) ที่เรียกว่าการยืนยันข้อตาม (affirming the consequent) หรือกลับกันเป็น "การแจงเหตุจากผล"

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการอ้างเหตุผลที่ใช้กฏการแจงผลตามเหตุ:
 ถ้ามุม  มีขนาด 90° <  < 180° แล้วมุม  เป็นมุมป้าน
  = 120°
  เป็นมุมป้าน

เนื่องจากการวัดค่ามุม  มีขนาดมากกว่า 90° และน้อยกว่า 180° เราสามารถนิรนัยจากเงื่อนไข (ถ้า แล้ว) ได้ว่ามุม  เป็นมุมป้าน แต่ถ้าเรารู้ว่ามุม  เป็นมุมป้าน เราไม่สามารถนิรนัยจากเงื่อนไขได้ว่า 90° <  < 180° อาจเป็นจริงได้ว่ามุมที่อยู่นอกพิสัยนี้ก็เป็นมุมป้านด้วย

กฎการแจงผลค้านเหตุ

 หรือโมดัส โทลเลนส์ บ้างก็เรียกว่า "กฎของการแย้งสลับที่" (law of contrapositive) เป็นกฎของการอนุมานแบบนิรนัยซึ่งให้ความสมเหตุสมผลการอ้างเหตุผลที่มีข้อตั้งเป็นเงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์  และนิเสธของข้อตาม  และมีข้อสรุปเป็นนิเสธของข้อนำ   ต่างจากกฎการแจงผลตามเหตุ การให้เหตุผลด้วยการแจงผลค้านเหตุไปในทิศทางตรงกันข้ามกับเงื่อนไข นิพจน์ทั่วไปของการแจงผลค้านเหตุเป็นไปดังต่อไปนี้:

 . (ข้อตั้งแรกเป็นเงื่อนไข)
 . (ข้อตั้งที่สองเป็นนิเสธของข้อตาม)
 . (ข้อสรุปที่นิรนัยได้คือนิเสธของข้อนำ)

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการอ้างเหตุผลที่ใช้กฏการแจงผลค้านเหตุ:

 ถ้าฝนตก แล้วท้องฟ้าจะมีเมฆ
 ท้องฟ้าไม่มีเมฆ
 ดังนั้น ฝนไม่ตก

กฎของตรรกบท
 ในแคลคูลัสเชิงประพจน์ กฎของตรรกบท ใช้เงื่อนไขสองข้อความและหาข้อสรุปด้วยการรวมสมมุติฐานของข้อความหนึ่งเข้ากับข้อสรุปของอีกข้อ รูปแบบทั่วไปเป็นดังต่อไปนี้:
 
 
 เพราะฉะนั้น 

ตัวอย่างเป็นดังต่อไปนี้:

 ถ้าสัตว์เป็นยอร์กเชอร์เทร์เรียร์ แล้วมันเป็นสุนัข
 ถ้าสัตว์เป็นสุนัข แล้วมันเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้ำนม
 เพราะฉะนั้น ถ้าสัตว์เป็นยอร์กเชอร์เทร์เรียร์ แล้วมันเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยน้ำนม

เรานิรนัยข้อความสุดท้ายด้วยการรวมสมมุติฐานของข้อความแรกเข้ากับข้อสรุปของข้อที่สอง และเราก็อนุญาตให้ข้อความอาจเป็นเท็จได้ นี่เป็นตัวอย่างของสมบัติการถ่ายทอด (Transitive relation) ในคณิตศาสตร์ อีกตัวอย่างของสมบัติการถ่ายทอดคือภาวะเท่ากัน (Equality (mathematics)) ซึ่งกล่าวได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

 
 
 เพราะฉะนั้น 

ความสมเหตุสมผลและความสมบูรณ์
thumb|400px|ศัพทวิทยาของการอ้างเหตุผล
การอ้างเหตุผลแบบนิรนัยวัดได้โดย ความสมเหตุสมผล และ ความสมบูรณ์

การอ้างเหตุผลจะ “สมเหตุสมผล”  ถ้าเป็นไปไม่ได้ที่ข้อตั้งจะเป็นจริงแต่ข้อสรุปเป็นเท็จ หรือพูดอีกแบบคือ ข้อสรุปต้องเป็นจริงถ้าข้อตั้งเป็นจริง การอ้างเหตุผลก็สามารถ "สมเหตุสมผล" ได้แม้ข้อตั้งบางข้อจะเป็นเท็จก็ตาม

การอ้างเหตุผลจะ "สมบูรณ์"  หรือสมบูรณ์ถ้ามัน สมเหตุสมผล และข้อตั้งทั้งหมดเป็นจริง

การอ้างเหตุผลแบบนิรนัยที่สมเหตุสมผล แต่ไม่สมบูรณ์ เป็นไปได้ การอ้างเหตุผลวิบัติมักจะอยู่ในรูปแบบนั้น

ต่อไปนี้คือตัวอย่างของการอ้างเหตุผลที่ สมเหตุสมผล แต่ไม่สมบูรณ์:
 ทุกคนที่กินแคร์รอตเป็นกองหลัง
 จอห์นกินแคร์รอต
 เพราะฉะนั้น จอห์นเป็นกองหลัง

ข้อตั้งแรกของตัวอย่างเป็นเท็จ อาจจะมีคนที่กินแคร์รอตที่ไม่ได้เป็นกองหลัง แต่ข้อสรุปนั้นจะเป็นจริงเมื่อข้อตั้งเป็นจริงและข้อสรุปไม่มีวันเป็นเท็จเมื่อข้อตั้งเป็นจริง ก็คือการอ้างเหตุผลนี้ "สมเหตุสมผล" แต่ "ไม่สมบูรณ์" การวางนัยทั่วไปเท็จ เช่น "ทุกคนที่กินแคร์รอตเป็นกองหลัง" มักจะถูกใช้ในการอ้างเหตุผลที่ไม่สมบูรณ์หรือไม่สมบูรณ์ ความจริงที่ว่าคนบางคนกินแคร์รอตแต่ไม่ได้เป็นกองหลังพิสูจน์ข้อบกพร่องของการอ้างเหตุผลนี้

การให้เหตุผลแบบนิรนัยสามารถเปรียบต่างกับการให้เหตุผลแบบอุปนัยในเรื่องของความสมเหตุสมผลและความสมบูรณ์ ในกรณีของการให้เหตุผลแบบอุปนัยถึงแม้ข้อตั้งจะเป็นจริงและการอ้างเหตุผล "สมเหตุสมผล" ข้อสรุปก็ยังเป็นไปได้ที่จะเป็นเท็จ (ตัดสินว่าเป็นเท็จได้ด้วยตัวอย่างค้านหรือวิธีอื่น)

 ประวัติ 
แอริสตอเติล นักปรัชญากรีกโบราณ เริ่มบันทึกการให้เหตุผลแบบนิรนัยในศตวรรษที่สี่ก่อนคริสต์ศักราช ในหนังสือ Discourse on the Method ของเรอเน เดการ์ต เขากลั่นกรองแนวคิดสำหรับการปฏิวัติทางวิทยาศาสตร์ เดการ์ตพัฒนากฎสี่ข้อให้ทำตามเพื่อการพิสูจน์แนวคิดอย่างนิรนัยและวางรากฐานสำหรับส่วนที่เป็นนิรนัยของระเบียบวิธีแบบวิทยาศาสตร์ พื้นหลังของเดการ์ตในเรขาคณิตและคณิตศาสตร์มีอิทธิพลต่อแนวคิดของเขาเรื่องความจริงและการให้เหตุผลและเป็นเหตุให้เขาพัฒนาระบบของการให้เหตุผลทั่วไปที่ปัจจุบันนำมาใช้ในการให้เหตุผลเชิงคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ เดการ์ตเชื่อว่าแนวคิดสามารถชัดแจ้งในตัวและแค่การให้เหตุผลเท่านั้นที่สามารถพิสูจน์ว่าการสังเกตเชื่อถือได้คล้ายกับมูลบท แนวคิดเหล่านี้ก็วางรากฐานสำหรับแนวคิดของเหตุผลนิยม (rationalism)

ดูเพิ่ม

 การให้เหตุผลแบบจารนัย 
 การให้เหตุผลแบบแนวเทียบ (Analogy)
 การอ้างเหตุผล (Argument (logic))
 ทฤษฎีวิธีการให้เหตุผล (Argumentation theory)
 ทฤษฎีความจริงแบบสมนัย (Correspondence theory of truth)
 การตัดสินใจ (Decision making)
 ทฤษฎีการตัดสินใจ (Decision theory)
 การให้เหตุผลแบบเพิกถอนได้ (Defeasible reasoning)
 เหตุผลวิบัติ
 การวิเคราะห์ต้นไม้แห่งความล้มเหลว (Fault tree analysis)
 เรขาคณิต
 ตัวแบบสมมติฐาน-นิรนัย (Hypothetico-deductive model)
 การอนุมาน
 การสอบสวน (Inquiry)
 ตรรกบททางกฎหมาย (Legal syllogism)
 ตรรกศาสตร์และความมีเหตุผล (Logic and rationality)
 ผลพวงเชิงตรรกะ (Logical consequence)
 การให้เหตุผลเชิงตรรกะ (Logical reasoning)
 คณิตตรรกศาสตร์
 การนิรนัยธรรมชาติ (Natural deduction)
 ทฤษฎีการให้เหตุผลแบบนิรนัยของเพิร์ซ (Peirce's theory of deductive reasoning)
 แคลคูลัสเชิงประพจน์
 ระเบียบวิธีแบบวิทยาศาสตร์
 ตรรกศาสตร์อัตวิสัย (Subjective logic)
 การให้ความถูกต้อง (Justification)