# ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล
ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล  หรือที่รู้จักในนามว่า ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์, ขั้นตอนของรอย-วอร์แชล หรือ ขั้นตอนวิธีของรอย-ฟลอยด์ เป็นขั้นตอนวิธีการวิเคราะห์กราฟเพื่อที่จะหาระยะทางของเส่นทางสั้นสุดในกราฟที่มีน้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นบวก หรือ น้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นลบ ก็ได้แต่ไม่สามารถหาได้ถ้ามีวงจรลบ โดยการทำงานหนึ่งครั้งของขั้นตอนวิธีนี้จะได้คำตอบของระยะทางของเส้นทางสั้นสุดของทุกๆคู่ปมบนกราฟ อย่างไรก็ตามจะไม่สามารถคืนค่ารายละเอียดของเส้นทางสั้นสุดในแต่ละคู่ปมได้ ยกเว้นมีการเพิ่มเติมเข้าไป ขั้นตอนวิธีนี้เป็นตัวอย่างของกำหนดการพลวัตแบบด้านล่างขึ้นด้านบน โดยขั้นตอนวิธีนี้ถูกคิดขึ้นโดย โรเบิร์ต ฟลอยด์ ในปี 1962 อย่างไรก็ตามขั้นตอนวิธีนี้มีส่วนสำคัญเหมือนกับอัลกอริทึมของเบอร์นาร์ด รอยด์ ในปี 1959 และของสตีเฟน วอร์แชล ในปี 1962 ในการค้นหา ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดของกราฟ 

 แนวคิด 

 ใช้ได้กับ กราฟที่มีน้ำหนักของเส้นเชื่อมทั้งบวกและลบ แต่ไม่สามารถใช้ได้กับ กราฟที่มีวงจรลบ
 คืนค่า ระยะทางของเส้นทางที่สั้นสุดของทุกๆคู่ปม
 ใช้กำหนดการพลวัต กำหนดการพลวัต แบบล่างขึ้นบน 
 path (i,j,0) คือ ไม่มีปมระหว่างทาง จึงมีค่าเท่ากับระยะทางจาก i ไป j

 ขั้นตอนวิธี 

ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล ใช้ในการเปรียบเทียบระยะทางเส้นทางทั้งหมดที่เป็นไปได้ของกราฟระหว่างแต่ละคู่ของปม โดยมีอัตราการเติบโตของการทำงานเป็น "Θ (|V|^3)"

พิจารณากราฟ G กับปม V ตั้งแต่ปม 1 ถึง ปม N พิจารณาฟังก์ชัน shortestPath (i,j,k) ที่จะคืนค่าระยะทางของเส้นทางสั้นสุดที่เป็นไปได้จาก i ไป j โดยมีปม 1,2,3,...,k เท่านั้นที่เป็นปมระหว่างทางได้
และ path (i,j,k) สามารถหาได้มาจาก path (i,j,k-1) หรือ path (i,k,k-1) +path (k,j,k-1) โดยดูว่าค่าไหนน้อยกว่ากัน และมีกรณีพื้นฐานคือ
path (i,j,0) คือ ระยะทางโดยตรงจาก i ไป j ที่ไม่มีปมระหว่างทางนั่นเอง
จึงสามารถเขียนได้เป็น การเวียนเกิด ได้ดังนี้

path (i,j,0) = ระยะทางจาก i ไป j
path (i,j,k) = ค่าน้อยสุด (path (i,j,k-1),path (i,k,k-1) +path (k,j,k-1))

thumb|left|600px

 คำอธิบาย 

 path (i,j,k) คือ ระยะทางของเส้นทางสั้นสุดจากปม i ไป j โดยมีปมที่อยู่ระหว่างทางได้คือ {1,2,3,...,k}
 path (i,j,k-1) คือ ระยะทางของเส้นทางสั้นสุดจากปม i ไป j โดยมีปมที่อยู่ระหว่างทางได้คือ {1,2,3,...,k-1}
 path (i,k,k-1) คือ ระยะทางของเส้นทางสั้นสุดจากปม i ไป kโดยมีปมที่อยู่ระหว่างทางได้คือ {1,2,3,...,k-1}
 path (k,j,k-1) คือ ระยะทางของเส้นทางสั้นสุดจากปม k ไป j โดยมีปมที่อยู่ระหว่างทางได้คือ {1,2,3,...,k-1}

 รหัสเทียม 

สะดวกเมื่อคำนวณ กรณีที่ k โดยสามารถเขียนทับข้อมูลที่เคยบันทึกไว้จากการคำนวณของกรณีที่ผ่านมา k-1 หมายความว่าใช้พื้นที่ในการเก็บข้อมูลในหน่วยความจำเพียงแค่สมการกำลังสอง หรือเพียง อาเรย์สองมิติ นั่นเอง

  1  /* สมมุติให้ฟังก์ชัน edgeCost (i,j) คืนค่า น้ำหนักของเส้นเชื่อมจาก i ไป j
  2  */
  3
  4  จำนวนเต็ม path[][];
  5  /* อาเรย์ 2 มิติ path[i][j] เป็นเส้นทางสั้นที่สุดจากปม i ไป j โดยใช้ ปมเริ่มต้น (1..k−1).
  6  ในแต่ละขั้นตอนของ ขั้นตอนวิธี  โดยแต่ละ path[i][j] มีค่าเริ่มต้นคือ  edgeCost (i,j).
  7  */
  8
  9  /* ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล */
 10   ขั้นตอน  ฟลอยด์-วอร์แชล 
 11      ตั้งแต่ k := 1 ถึง n
 12        ตั้งแต่ i := 1 ถึง n
 13           ตั้งแต่ j := 1 ถึง n
 14              path[i][j] = ค่าน้อยที่สุด (path[i][j], path[i][k]+path[k][j]) ;

 พฤติกรรมเมื่อเจอวงจรติดลบ 

วงจรติดลบ คือ วงจรที่มีผลรวมของระยะทางของเส้นเชื่อมเป็นค่าลบ ระยะทางสั้นสุดไม่สามารถกำหนดได้เนื่องจาก เส้นทางสามารถติดลบไปเรื่อยๆ ก็จะน้อยลงเรื่อยไม่มีที่สิ้นสุด สำหรับ ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล นั้นจะสังเกตวงจรลบได้จาก path[i][j] เมื่อ i มีค่าเท่ากับ j โดยถ้า path[i][j]<0 เมื่อ i มีค่าเท่ากับ j แสดงว่ามีวงจรลบ จะไม่สามารถหาคำตอบได้

 เริ่มต้น ความยาวของเส้นทาง (i,i) เป็น 0
 เส้นทาง {(i,k), (k,i)} สามารถเปลี่ยนไปเรื่อยๆ
 หลังจากทำขั้นตอนวิธีนี้แล้ว (i,i) จะเป็นลบ ถ้ามี เส้นทางความยาวติดลบมาจาก i
 ถ้ามีความยาวจาก i กลับมา i เป็นลบ จะได้ว่า ระยะทางสั้นสุดที่ได้ผ่านปมระหว่างทางมามีค่าน้อยกว่า 0 จะเรียกว่าวงจรลบ

  1  /* สมมุติให้ฟังก์ชัน edgeCost (i,j) คืนค่า น้ำหนักของเส้นเชื่อมจาก i ไป j
  2  */
  3
  4  จำนวนเต็ม path[][];
  5  /* อาเรย์ 2 มิติ path[i][j] เป็นเส้นทางสั้นที่สุดจากปม i ไป j โดยใช้ ปมเริ่มต้น (1..k−1).
  6  ในแต่ละขั้นตอนของ ขั้นตอนวิธี  โดยแต่ละ path[i][j] มีค่าเริ่มต้นคือ  edgeCost (i,j).
  7  */
  8
  9  /* ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล */
 10   ขั้นตอน  ฟลอยด์-วอร์แชล 
 11      ตั้งแต่ k := 1 ถึง n
 12        ตั้งแต่ i := 1 ถึง n
 13           ตั้งแต่ j := 1 ถึง n
 14              path[i][j] = ค่าน้อยที่สุด (path[i][j], path[i][k]+path[k][j]) ;
 15   ตั้งแต่ i := 1 ถึง
 16      ถ้า path[i][i] < 0 เมื่อนั้น
 17         มีวงจรติดลบอยู่

 การสร้างเส้นทาง 

ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชลนั้นโดยปกติแล้วจะหาแค่ระยะทางของเส้นทางที่สั้นที่สุดของแต่ละคู่ปม แต่สามารถปรับเปลี่ยนเพิ่มเติมส่วนของการจำเส้นทางที่ผ่านระหว่างทางได้ด้วยโดยการ เพิ่ม next[i][j] ที่เอาไว้จำค่า ปมที่ผ่านระหว่างทางที่ทำให้มีค่าระยะทางเส้นทางสั้นสุดของคู่ปมมากที่สุด โดย next[i][j] จะได้รับการเปลี่ยนค่าไปเรื่อยๆ ถ้าเกิด ปมที่ผ่านระหว่างทางของแต่ละคู่ปมต้นทางปลายทางที่สนใจอยู่ ทำให้เกิดระยะทางสั้นสุดระหว่างคู่ปมนั้น

  1 ขั้นตอน ฟลอยด์-วอร์แชลกับการสร้างเส้นทาง 
  2    ตั้งแต่ k := 1 ถึง n
  3       ตั้งแต่ i := 1 ถึง n
  4          ตั้งแต่ j := 1 ถึง n
  5             ถ้า path[i][k] + path[k][j] < path[i][j] เมื่อนั้น
  6                path[i][j] := path[i][k]+path[k][j];
  7                next[i][j] := k;
  8
  9  ขั้นตอน GetPath (i,j)
 10    ถ้า path[i][j] เท่ากับอนันต์  เมื่อนั้น
 11       คืนค่า "ไม่มีเส้นทาง";
 12    จำนวนเต็ม ค่ากลาง := next[i][j];
 13    ถ้า ค่ากลางเท่ากับ  null เมื่อนั้น
 14       คืนค่า ""  /* มีเส้นเชื่อมจาก i ไป j ที่ไม่มีปมอยู่ระหว่างเส้นเชื่อมนั้น */
 15    มิฉะนั้น
 16       คืนค่า GetPath (i,ค่าเริ่มต้น) + ค่ากลาง + GetPath (ค่าเริ่มต้น,j) ;

 การวิเคราะห์อัตราการเติบโต 

เพื่อที่จะหา shortest path ของคู่ปมจำนวน n^2 คู่ปม จาก path (i,j,k-1) ต้องการ 2n^2 คำสั่ง เนื่องจากเราเริ่มจาก path (i,j,0) = edgeCost (i,j) และคำนวณ path (i,j,1) , path (i,j,2), ..., path (i,j,n) ดังนั้นเราจึงได้คำสั่งรวมเท่ากับ n · 2n^2 = 2n^3 จึงสรุปได้ว่ามีอัตราการเติบโตเป็น Θ (n^3).

 การนำไปใช้งาน 

ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชลนั้นสามารถนำไปแก้ปัญหาปัญหาต่างๆได้ดังนี้

 วิถีสั้นสุดในกราฟมีทิศทาง
 ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอด (Transitive closure) ของ กราฟมีทิศทาง
 การกำหนดเส้นทางที่เหมาะสมที่สุด
 การผกผันของเมทริกซ์จริง
 ตรวจสอบว่า กราฟไม่มีทิศทาง เป็นกราฟสองส่วนหรือไม่
 การคำนวณหาเส้นทางของเครือข่าย
 คำนวณหาเส้นทางที่มีปริมาณข้อมูลใดๆ ที่จะผ่านเข้า/ออกช่องทางสัญญาณหนึ่งๆได้ในระยะเวลาที่กำหนดมากที่สุด ในเครือข่าย

 บันทึก 
จากขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล จะเห็นได้ว่ามีประโยชน์มากในการนำมาหาเส้นทางสั้นสุดของทุกคู่ปม เนื่องจากประสิทธิภาพโดยรวมนั้น เป็น Θ (|V|^3) ซึ่งถ้าเทียบกับ
ขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา O (V* (|E|+|V|log|V|)) และของ ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด O (V* (|V||E|)) ในกรณีแย่สุด E ประมาณได้ V^2 นั้น
จะเห็นได้ว่ามีประสิทธิภาพที่ดีกว่า

 ตัวอย่างรหัสในภาษาต่างๆ 
 Java 
 C 
 C++
 Perl
 PHP 

 การเขียนโปรแกรม 

การเขียนโปรแกรม สามารถทำได้หลายภาษามากมาย :en:programming language.
 สำหรับ C++, อยู่ใน boost::graph library
 สำหรับ C#, ที่ QuickGraph
 สำหรับ :en:Clojure, ที่ paste.lisp.org 
 สำหรับ Java, อยู่ใน Apache commons graph  library, หรือที่ Algowiki 
 สำหรับ MATLAB, อยู่ใน Matlab_bgl  package
 สำหรับ Perl, อยู่ใน Graph module
 สำหรับ PHP, บน page  and :en:PL/pgSQL, บน page  at Microshell
 สำหรับ Python, อยู่ใน :en:NetworkX library
 สำหรับ R, ใน e1017
 สำหรับ Ruby, ใน script

D[k] และ n[k] เมื่อ กราฟถูกคำนวณด้วยขั้นตอนวิธีนี้