# การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์
ในคณิตศาสตร์ การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์  คือการแสดงให้เห็นว่า ถ้าหากประพจน์ (หรือในบางกรณีเป็นสัจพจน์) บางอย่างเป็นจริงแล้ว ประพจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นผลจากสมมุติฐานดังกล่าวที่จะต้องเป็นจริงด้วยCupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. Page 3.Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7 เราจะเห็นได้ว่าการพิสูจน์เป็นการให้เหตุผลเชิงนิรนัย  มากกว่าที่จะเป็นการให้เหตุผลเชิงอุปนัย  หรือได้จากการวิพากษ์เชิงประจักษ์ หรือ ได้โดยจากประสบการณ์หรือการทดลอง  การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์นั้น ต้องแสดงให้เห็นให้ได้ว่าประพจน์ที่เรากำลังพิสูจน์นั้นต้องเป็นจริงในทุกกรณี ซึ่งในกรณีที่ง่ายที่สุดอาจทำได้โดยการจำแนกให้เห็นทุกกรณีที่เป็นไปได้ และแสดงให้เห็นแต่ละกรณีนั้นเป็นจริงอย่างไร ไม่ใช่เพียงแค่แจกแจงแต่กรณีที่เราสามารถยืนยันได้เท่านั้น ในทางกลับกัน ประพจน์ที่ถูกเชื่อกันว่าเป็นจริง โดยที่เรายังหาวิธีพิสูจน์ไม่ได้เราเรียก ประพจน์เช่นนี้ว่า ข้อความคาดการณ์คณิตศาสตร์๑๙ ก.ค. ๒๕๔๗  เช่น ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาค  และ สมมุติฐานของรีมันน์  เป็นต้น

การพิสูจน์นั้นใช้ประโยชน์จากตรรกศาสตร์ซึ่งมักเป็นภาษาที่รัดกุมแต่ในบางครั้งก็มักจะใช้ภาษาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเพื่อการสื่อสารหรือ ภาษาธรรมชาติ ในการอธิบายด้วยซึ่งก่อให้เกิดความกำกวม

 วิธีการพิสูจน์ 

 การพิสูจน์ตรง 

การพิสูจน์ตรง ข้อสรุปได้จากนำผลลัพธ์จากสัจพจน์ นิยาม และทฤษฎีบทก่อนหน้าCupillari, page 20. การพิสูจน์ตรงใช้ยืนยันว่าผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนเป็นจำนวนคู่

พิจารณาจำนวนเต็ม x และ y เพราะเป็นจำนวนคู่ เราสามารถเขียน x = 2a และ y = 2b ตามลำดับ สำหรับบางจำนวนเต็ม a และ b จะได้ x + y = 2a + 2b = 2 (a+b) ดังนั้น ชัดเจนว่า x+y มี 2 เป็นตัวประกอบ ดังนั้นผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนใด ๆ เป็นจำนวนคู่เสมอ

การพิสูจน์นี้ใช้นิยามจำนวนเต็มคู่ สมบัติของการปิดของจำนวนเต็มภายใต้การบวกและการคูณ และ สมบัติการแจกแจง

 การพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ 

การพิสูจน์โดยการอุปนัยไม่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบอุปนัยเชิงตรรกศาสตร์ แม้ว่าแนวคิดรวบยอดจะคล้ายกัน การพิสูจน์แบบนี้ มีการพิสูจน์ "ขั้นฐาน" หนึ่งประพจน์ และพิสูจน์ "กฎการอุปนัย" ที่กล่าวว่าถ้ากรณีใดกรณีหนึ่งเป็นจริงแล้วกรณีอื่นก็เป็นจริง เมื่อใช้กฎการอุปนัยซ้ำหลายครั้ง จาก "ขั้นฐาน" ที่พิสูจน์แยกกัน นำมาพิสูจน์กรณีอื่น ๆ เป็นอนันต์กรณีCupillari, page 46. เพราะว่าขั้นฐานเป็นจริง กรณีอื่น ๆ อีกอนันต์กรณีก็ต้องเป็นจริง แม้ว่าเราไม่สามารถพิสูจน์กรณีทั้งหมดโดยตรงได้ เพราะมีเป็นอนันต์ ส่วนหนึ่งของการอุปนัยคือ การลดหลั่นอนันต์ (infinite descent) สามารถใช้พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของ 

การใช้งานโดยทั่วไปโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์คือพิสูจน์ว่าสมบัติอย่างหนึ่งที่เป็นจริงกับจำนวนหนึ่งเป็นจริงกับจำนวนนับทุกจำนวน:Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers
ให้ } เป็นเซตของจำนวนนับ และ  เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนนับ  เป็นสมาชิกของ  ที่
 (i)  เป็นจริง กล่าวคือ  เป็นจริงสำหรับ 
 (ii)  เป็นจริงเมื่อ  เป็นจริงเสมอ กล่าวคือ  เป็นจริง แปลว่า  ก็เป็นจริง
 แล้ว  เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ 

เช่น เราสามารถพิสูจน์ว่าจำนวนนับทุกจำนวนในรูป  เป็นจำนวนคี่ ให้ P(n) แทน "2n+1 เป็นจำนวนคี่":
 (i)  สำหรับ  จะได้ว่า  และ  เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น  เป็นจริง
 (ii) สำหรับทุก  ถ้า  เป็นจำนวนคี่แล้ว (2n + 1) + 2 ก็เป็นจำนวนคี่เพราะการบวก  กับจำนวนคี่จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนคี่ แต่   ดังนั้น  เป็นจำนวนคี่  ดังนั้น  เป็นจริงถ้า  เป็นจริง
ฉะนั้น  เป็นจำนวนคี่สำหรับทุกจำนวนนับ 

ภาษาอังกฤษนิยมใช้คำว่า  หมายถึงการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มากกว่า Proof by induction , University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology