# ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต
ในคณิตศาสตร์สาขาทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต, ทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิต หรือ ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้แบบเดียว   เป็นทฤษฎีบทซึ่งกล่าวว่าจำนวนเต็มบวกทุกจำนวนที่มากกว่า 1 สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้เพียงวิธีเดียวเท่านั้น หากไม่สนใจการเรียงลำดับ ตัวอย่างเช่น เราสามารถเขียน

6936 = 23 · 3 · 172   หรือ   1200 = 24 · 3 · 52

และไม่มีทางที่จะแยกตัวประกอบเฉพาะของ 6936 หรือ 1200 ได้เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะในรูปแบบอย่างอื่น (หากเราไม่คำนึงถึงลำดับของตัวประกอบ)

เงื่อนไขที่ว่าตัวประกอบทั้งหมดในผลคูณเป็นตัวประกอบเฉพาะนั้นจำเป็น เพราะการเขียนในรูปผลคูณของตัวประกอบที่ไม่ใช่ตัวประกอบเฉพาะอาจไม่ได้มีเพียงแบบเดียว เช่น 

ทฤษฎีบทนี้เป็นอีกเหตุผลหนึ่งที่ทำไม 1 จึงไม่ถือว่าเป็นจำนวนเฉพาะ เพราะถ้าหาก 1 เป็นจำนวนเฉพาะ แล้วการแยกตัวประกอบเฉพาะจะไม่ได้มีแบบเดียว เช่น 

ทฤษฎีบทนี้สามารถขยายไปยังโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่นที่เรียกว่า โดเมนแยกตัวประกอบได้แบบเดียว (unique factorization domain หรือ UFD) ซึ่งรวมโครงสร้างริงจำนวนมากในพีชคณิต ตั้งแต่ โดเมนไอดีลมุขสำคัญ (principal ideal domain หรือ PID) โดเมนยูคลิเดียน (Euclidean domain) และจนถึงริงพหุนามเหนือฟีลด์ในริงของจำนวนเตIn a ring of algebraic integers, the factorization into prime elements may be non unique, but one can recover a unique factorization if one factors into ideals. ด้วยเหตุที่ทฤษฎีบทการแยกตัวประกอบได้แบบเดียวไม่จำเป็นจริงต้องเป็นจริงในริงทั่ว ๆ ไป เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ทำให้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มามีความซับซ้อน

เพื่อที่จะให้ทฤษฏีบทนี้ใช้ได้กับจำนวน 1 เราสามารถมองว่า 1 เป็นผลคูณของของจำนวนเฉพาะศูนย์จำนวน (ดูใน ผลคูณว่าง)

 ประวัติ 
ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตสามารถพิสูจน์ได้จากประพจน์ที่ 30, 31 และ 32 เล่ม VII และประพจน์ 14, เล่ม IX ในตำราเอเลเมนส์ของยุคลิด: "Even in Euclid, we fail to find a general statement about the uniqueness of the factorization of an integer into primes; surely he may have been aware of it, but all he has is a statement (Eucl.IX.I4) about the l.c.m. of any number of given primes." ยุคลิดเป็นผู้แรกที่เขียนถึงการมีอยู่ของการแยกตัวประกอบเฉพาะ ในขณะที่อัล-ฟาริสีเป็นบุคคลแรกที่พิจารณาการมีแบบเดียว และระบุข้อความของทฤษฎีบทหลักมูลของเลขคณิตที่รวมทั้งการมีอยู่และการมีได้แบบเดียว (existence and uniqueness)

เกาส์ได้เขียนไว้ใน Article 16 (ข้อที่ 16) ในหนังสือ Disquisitiones Arithmeticae ถึงรูปแบบสมัยใหม่อันแรกของทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต พร้อมกับให้บทพิสูจน์ที่ใช้เลขคณิตมอดุลาร์

 บทประยุกต์ 

 รูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มบวก 
ทุกจำนวนเต็มบวก  สามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณของจำนวนเฉพาะเพียงแบบเดียว 

 

เมื่อ  เป็นจำนวนเฉพาะ และ  เป็นจำนวนเต็มบวก การเขียนเช่นนี้อาจขยายไปสำหรับทุกจำนวนเต็มบวกได้โดยรวม 1 โดยอาศัยข้อกำหนดที่ว่า ผลคูณว่างจะเท่ากับ 1 (ผลคูณว่างคือกรณีเมื่อ)

การเขียนแบบนี้เรียกว่ารูปแบบบัญญัติ (canonical representation) ของ  หรือรูปแบบมาตรฐาน (standard form) ของ n ตัวอย่างเช่น

 999 = 33×37,
 1000 = 23×53,
 1001 = 7×11×13.

สามารถเพิ่มตัวประกอบ  โดยไม่เปลี่ยนค่าของ  (ตัวอย่างเช่น) ยิ่งไปกว่านั้นทุกจำนวนเต็มสามารถเขียนได้ในรูปของผลคูณอนันต์ของจำนวนเฉพาะบวก 

 

โดยมี  เพียงจำกัดจำนวนเท่านั้นที่เป็นจำนวนเต็มบวก ที่เหลือมีค่าเป็นศูนย์

หากยอมให้เลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็มลบจะได้รูปแบบบัญญัติของจำนวนตรรกยะ 

 การดำเนินการทางเลขคณิต 
รูปแบบบัญญัติของผลคูณ, รูปแบบบัญญัติของห.ร.ม. และ รูปแบบบัญญัติของค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนสามารถเขียนได้ในเทอมของรูปแบบบัญญัติของจำนวนเต็มทั้งสอง

 

อย่างไรก็ตาม การแยกตัวประกอบจำนวนเต็ม นั้นยากกว่าการหาผลคูณ, ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวน

 ฟังก์ชันเลขคณิต 

ฟังก์ชันเลขคณิตจำนวนมากนิยามผ่านรูปแบบบัญญัติข้างต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งค่าของฟังก์ชันเลขคณิตที่เป็นฟังก์ชันแยกบวก หรือเป็นฟังก์ชันแยกคูณขึ้นอยู่กับค่าของมันสำหรับกำลังของจำนวนเฉพาะ

 การพิสูจน์ 
การพิสูจน์ด้านล่างจประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนแรก เราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าจำนวนทุกจำนวน สามารถเขียนอยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ จากนั้นจะพิสูจน์ว่าการเขียน 2 แบบใด ๆ จะเหมือนกันเสมอ

 การมีอยู่ 
สมมติว่ามีจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 ที่ไม่สามารถเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ดังนั้นจะต้องมีจำนวนที่น้อยสุดในจำนวนพวกนั้นโดยหลักการจัดอันดับดี ให้จำนวนนั้นคือ  จะเห็นได้ว่า  ไม่สามารถเป็นจำนวนเฉพาะได้เพราะ  เป็นผลคูณของตัวมันเองตัวเดียวซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น  จะต้องเป็นจำนวนประกอบ จะได้

 

เมื่อ  และ  เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่า  แต่  เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ทำให้ทฤษฎีบทไม่จริง ดังนั้น  และ  ต้องเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ ทำให้ได้ว่า

 

ฉะนั้น  เขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะได้ เกิดข้อขัดแย้ง

 การเขียนได้แบบเดียว 
เราจะใช้บทตั้งของยุคลิดที่ว่า ถ้าจำนวนเฉพาะ p หารผลคูณ ab ลงตัวแล้ว มันจะหาร a ลงตัว หรือหาร b ลงตัว เป็นบทตั้งในการพิสูจน์

พิจารณาการแยก  ให้อยู่ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ  และ  สองแบบ

 

จะเห็นว่า  จะหาร  ลงตัว จากบทตั้งของยุคลิด จะต้องหารตัวประกอบ  ในผลคูณ  ลงตัวอย่างน้อย 1 ตัว โดยไม่เสียนัยทั่วไปให้เป็น  แต่ตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะทั้งหมด ดังนั้น  จะต้องเท่ากับ  ดังนั้นเราจึงตัด  และ ออกจากทั้งสองผลคูณได้ จะได้ว่า
 

และทำซ้ำอย่างนี้ไปเรื่อย ๆ จะเห็นว่าตัวประกอบเฉพาะของผลคูณสองผลคูณจะจับคู่กันเสมอจนหมด (เทียบเท่ากับการใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์บนจำนวนตัวประกอบเฉพาะ) 

 หมายเหตุ