# กรุป (คณิตศาสตร์)
กรุป  ในพีชคณิตนามธรรม คือ เซตกับการดำเนินการทวิภาคซึ่งสอดคล้องกับสมบัติดังต่อไปนี้: การดำเนินการต้องเป็นการดำเนินการเปลี่ยนหมู่ มีสมาชิกเอกลักษณ์ของการดำเนินการ และทุกสมาชิกมีตัวผกผัน

โครงสร้างจำนวนมากในคณิตศาสตร์คือกรุปที่มีสมบัติเพิ่มเติม ตัวอย่างของกรุปที่ง่ายที่สุดคือเซตของจำนวนเต็มภายใต้การบวกปรกติซึ่งเป็นกรุปแบบหนึ่ง สาขาของคณิตที่ศึกษาเกี่ยวกับกรุปโดยเฉพาะเรียกว่า ทฤษฎีกรุป แต่กรุปยังปรากฏในสาขาอื่น ๆ ทั้งในคณิตศาสตร์สาขาอื่น ๆ และศาสตร์อื่น ๆ นอกเหนือจากคณิตศาสตร์

กรุปเป็นเครื่องมือที่สำคัญในการศึกษาสมมาตรของวัตถุในรูปแบบต่าง ๆ หลักการที่ว่า "สมมาตรของวัตถุใด ๆ ก่อให้เกิดกรุป" เป็นหลักพื้นฐานของคณิตศาสตร์มากมาย ตัวอย่างโดยตรงคือกรุปสมมาตรของวัตถุ ซึ่งเป็นเครื่องมือหนึ่งในการอธิบายสมมาตรของวัตถุเชิงเรขาคณิต กรุปสมมาตรมีสมาชิกประกอบไปด้วยการแปลง (การหมุน การพลิกรูป การสะท้อน ฯลฯ) ที่คงรูปทรงของวัตถุนั้น ลีกรุปเป็นกรุปสมมาตรชนิดหนึ่งที่ปรากฏในแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค กรุปปวงกาเรเป็นลีกรุปที่มีสมาชิกเป็นสมมาตรของกาลอวกาศในสัมพัทธภาพพิเศษ ในขณะที่กรุปจุดสามารถอธิบายสมมาตรของโมเลกุลเคมีได้

กรุปมีจุดกำเนิดเริ่มแรกจากการศึกษาสมการเชิงพหุนาม ในช่วงคริสต์ทศวรรษที่ 1830 เอวาริสต์ กาลัวเป็นคนแรกที่ใช้คำว่า กรุป (Groupe ในภาษาฝรั่งเศส) เรียกกรุปสมมาตรของรากของพหุนาม ซึ่งปัจจุบันเราเรียกกรุปเหล่านั้นว่า กรุปกาลัว ตั้งแต่นั้นมามีการศึกษากรุปจากสาขาอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น ทฤษฎีจำนวน และ เรขาคณิต ก่อนที่แนวความคิดเกี่ยวกับกรุปทั่ว ๆ ไปจะได้รับการนิยามในช่วงปีคริสต์ศักราชที่ 1870 ในช่วงเวลาเดียวกันกับที่คณิตศาสตร์พัฒนาไปในทิศทางที่เป็นนามธรรมขึ้นเรื่อย ๆ ทฤษฎีกรุปจึงเป็นสาขาสำคัญของพีชคณิตนามธรรม 

ในปัจจุบัน ทฤษฎีกรุปสมัยใหม่ศึกษากรุปในตัวมันเอง ซึ่งนำไปสู่แนวคิดมากมาย เช่น สับกรุป กรุปผลหาร และ กรุปเชิงเดี่ยว นอกจากนี้นักคณิตศาสตร์ยังศึกษากรุปในมุมมองที่เป็นรูปธรรมมากขึ้น และสามารถระบุได้อย่างเจาะจง การศึกษานี้นำไปสู่ทฤษฎีตัวแทนและทฤษฎีกรุปเชิงการคำนวณ

 นิยามพื้นฐาน 

กรุป  ประกอบด้วย เซตไม่ว่าง  กับ การดำเนินการทวิภาค  ซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์ทุกข้อต่อไปนี้ 
 การเปลี่ยนหมู่: สำหรับทุก  และ  ใน  จะได้ว่า 
 การมีสมาชิกเอกลักษณ์: มีสมาชิก  ใน  ที่ทำให้สำหรับทุก  ใน  จะได้ว่า  เรียก  ว่าเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ (identity) ของ 
 สมาชิกผกผัน: สำหรับทุก  ใน , จะมีสมาชิก  ใน  ที่ทำให้  เมื่อ  คือสมาชิกเอกลักษณ์ และเรียก  ดังกล่าวว่าเป็นสมาชิกผกผันของ  สามารถพิสูจน์ได้ว่า สมาชิกผกผันในกรุปจะมีได้เพียงตัวเดียว และนิยมเขียนสมาชิกผกผันของ  ด้วย 
บางครั้งผู้เขียนอาจกำหนดสัจพจน์ที่กรุปต้องสอดคล้องเพิ่มเติม เพื่อเน้นย้ำความเป็นการดำเนินการทวิภาคของ 

 สมบัติปิด: สำหรับทุก  ใน  จะได้ว่า  ด้วย

เมื่อเป็นที่เข้าใจ อาจละการเขียนตัวดำเนินการ และเรียกกรุป  แทนด้วย  แทน

 ความคิดพื้นฐานในทฤษฎีกรุป 

 ฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป 
ฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป หรือ โฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างกรุป (group homomorphism) คือฟังก์ชันที่รักษาโครงสร้างการเป็นกรุป ฟังก์ชัน  ระหว่างกรุป  และ  จะเป็นฟังก์ชันสาทิสสัณฐานระหว่างกรุป ก็ต่อเมื่อ

สำหรับทุก 

สมบัติที่ได้จากนิยามข้างต้นคือ 

  รักษาเอกลักษณ์ของกรุป:  เมื่อ  เป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของกรุป  และกรุป  ตามลำดับ
  รักษาการหาผกผัน:  ทุกสมาชิก 

สมบัติข้างต้นเน้นย้ำว่าฟังก์ชันสาทิสสัณฐานรักษาโครงสร้างของกรุป 

 อันดับของกรุปและอันดับของสมาชิก 
อันดับ (order) ของกรุป  (นิยมเขียนแทนด้วย , หรือ) จะหมายถึงจำนวนสมาชิกของกรุป  ในกรณีที่  เป็นเซตจำกัด และจะเรียก  ว่าเป็นกรุปจำกัด (Finite group) ในขณะที่  เป็นเซตอนันต์ จะเรียกว่ากรุปนั้นเป็นกรุปอนันต์ นิยมเขียนด้วย 

อันดับของสมาชิก  ในกรุป G คือจำนวนเต็ม n ที่น้อยที่สุดที่ทำให้ an = e โดยที่ an คือ a คูณตัวมันเอง n ครั้ง (หรือองค์ประกอบที่เหมาะสมอื่น ๆ ขึ้นอยู่กับตัวดำเนินการของกรุป) ถ้าไม่มีจำนวนนับ n ดังกล่าว จะเรียกว่า a มีอันดับเป็นอนันต์

 อาบีเลียนกรุป 
กรุป G จะเป็น อาบีเลียนกรุป หรือ กรุปสลับที่ ถ้าการดำเนินการของกรุปมีสมบัติสลับที่ได้ นั่นคือสำหรับทุก ๆ a,b ใน G จะได้ว่า a * b = b * a 

คำว่า อาบีเลียน (Abelian) ตั้งขึ้นตามชื่อเพื่อเป็นเกียรติแก่ นีลส์ อะเบล นักคณิตศาสตร์ชาวนอร์เวย์

 กรุปวัฏจักร 
กรุปวัฏจักร คือกรุปซึ่งสมาชิกของมันอาจถูกก่อกำเนิดโดยการประกอบที่ต่อเนื่องกันของการดำเนินการซึ่งนิยามโดยกรุปจะถูกใช้กับสมาชิกเดี่ยวของ
กรุปนั้น สมาชิกเดี่ยวนี้เรียกว่า ตัวก่อกำเนิดหรือสมาชิกปฐมฐานของกรุปนั้น

กรุปวัฏจักรการคูณซึ่ง G เป็นกรุป และ a เป็นตัวก่อกำเนิด

กรุปวัฏจักรการบวก ตัวก่อกำเนิดเป็น a

ถ้าการประกอบที่ต่อเนื่องกันของการดำเนินการซึ่งนิยามโดยกรุปถูกใช้กับสมาชิกไม่ปฐมฐานของกรุป กรุปย่อยวัฏจักรจะถูกก่อกำเนิด อันดับของกรุปย่อยวัฏจักรแบ่งอันดับของกรุปนั้น ดังนั้นถ้าอันดับของกรุปเป็นจำนวนเฉพาะ สมาชิกทุกตัวยกเว้นสมาชิกเอกลักษณ์จะเป็นสามชิกปฐมฐานของกรุป

ควรระลึกไว้ด้วยว่า กรุปประกอบด้วยกรุปย่อยวัฏจักรซึ่งถูกก่อกำเนิดโดยสมาชิกแต่ละตัวในกรุป อย่างไรก็ตามกรุปซึ่งประกอบขึ้นจากกรุปย่อยวัฏจักรนั้น ตัวมันเองไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นกรุปวัฏจักรเสมอไป ตัวอย่างเช่น กรุปไคลน์ไม่เป็นกรุปวัฏจักรแม้ว่าจะประกอบขึ้นมาจากกรุปวัฏจักรที่มีอันดับเป็น 2 ที่เหมือนกันสองกรุปก็ตามที

 สัญกรณ์สำหรับกรุป 
กรุปสามารถใช้สัญกรณ์ต่าง ๆ กันขึ้นอยู่กับบริบทและการดำเนินการ
 กรุปการบวก ใช้ + เพื่อแสดงถึงการบวก และเครื่องหมายลบ - แสดงถึงสมาชิกผกผัน เช่น a + (-a) = 0 ใน Z
 กรุปการคูณ ใช้ *,. หรือสัญลักษณ์ทั่วไป  เพื่อแสดงถึงการคูณ และตัวยก -1 เพื่อแสดงสมาชิกผกผัน เช่น a*a-1 = 1 เป็นเรื่องธรรมดาที่จะไม่เขียน * และเขียนเป็น aa-1 แทน
 กรุปแบบฟังก์ชัน ใช้ • เพื่อแสดงการประกอบฟังก์ชัน และตัวยก -1 เพื่อแสดงสมาชิกผกผัน เช่น g • g-1 = e เป็นเรื่องทั่วไปที่จะไม่เขียน • และเขียนเป็นgg-1 แทน

การละเลยตัวดำเนินการเป็นเรื่องทั่วไปที่ยอมรับได้ และทิ้งให้ผู้อ่านรู้บริบทและการดำเนินการเอาเอง

เมื่อจะนิยามกรุป มีสัญกรณ์มาตรฐานที่ใช้วงเล็บในการนิยามกรุปและการดำเนินการของมัน ตัวอย่างเช่น (H, +) แสดงว่าเซต H เป็น
กรุปภายใต้การบวก

สมาชิกเอกลักษณ์ e หรือบางครั้งก็เรียกว่า สมาชิกกลาง และบางครั้งก็ถูกแสดงโดยใช้สัญลักษณ์อื่น ๆ ขึ้นอยู่กับกรุปนั้น ๆ :
 ในกรุปการคูณ สมาชิกเอกลักษณ์คือ 1
 ในกรุปเมทริกซ์หาตัวผกผันได้ สมาชิกเอกลักษณ์มักแทนด้วย I
 ในกรุปการบวก สมาชิกเอกลักษณ์อาจเขียนเป็น 0
 ในกรุปแบบฟังก์ชัน สมาชิกเอกลักษณ์มักใช้เป็น f0

 ตัวอย่างของกรุป 
 อาบีเลียนกรุป : จำนวนเต็มภายใต้การบวก 
กรุปที่คุ้นเคยกันก็คือกรุปของจำนวนเต็มภายใต้การบวก ให้ Z เป็นเซตของจำนวนเต็ม {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} และให้สัญลักษณ์ + แสดงการดำเนินการบวก แล้ว (Z,+) เป็นกรุป

พิสูจน์ :
 สมบัติการปิด ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม แล้ว a+b ก็เป็นจำนวนเต็ม
 สมบัติการเปลี่ยนหมู่ ถ้า a b และ c เป็นจำนวนเต็มแล้ว (a + b) + c = a + (b + c)
 สมาชิกเอกลักษณ์ 0 เป็นจำนวนเต็ม สำหรับจำนวนเต็ม a ใด ๆ 0 + a = a + 0 = a
 สมาชิกผกผัน ถ้า a เป็นจำนวนเต็มแล้ว -a สอดคล้องกับกฎการผกผัน a + (−a) = (−a) + a = 0

กรุปนี้เป็นอาบีเลียนกรุปด้วยเพราะ a + b = b + a