# E (ค่าคงตัว)
e เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าประมาณ 2.71828 สามารถนิยามได้หลายวิธี เช่น e เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า ฟังก์ชัน  มีค่าเท่ากับความชัน (derivative) ของตัวเองสำหรับทุกจำนวนจริง x หรือกล่าวได้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวมีค่าเท่ากับตัวมันเองเสมอ ซึ่งฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้จะอยู่ในรูป  เมื่อ  เป็นค่าคงตัวใด ๆ  นอกจากนี้ e ยังมีค่าเท่ากับ  ซึ่งเป็นสมการที่พบในการคำนวณเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest) นอกจากนี้  สามารถคำนวณได้โดยสูตรอนุกรมอนันต์นี้ :Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D

ค่าคงที่  สามารถทำให้อยู่ในรูปสมการได้หลายรูปแบบ ยกตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน  เรียกว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function) เป็นฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับอนุพันธ์ (Derivative) ของตัวเอง มีเอกลักษณ์แตกต่างจากฟังก์ชันอื่น

ส่วนลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithm) หรือ ลอการิทึมฐาน e (Logarithm to base e) คือ ฟังก์ชันที่ผกผันกับฟังก์ชันเอ็กโพเนเนเชียล ลอการิทึมธรรมชาติของเลขที่มากกว่า 1 (k>1) สามารถหาได้โดยตรงจากพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน  ระหว่าง x=1 และ x=k ยกตัวอย่างเช่น เมื่อ k = e พื้นที่ใต้กราฟระหว่าง 1 และ e จะเท่ากับ  (ลอการิทึมธรรมชาติของ e) หรือ 1

thumb|กราฟสมการ y = 1/x ในที่นี้ e คือตัวเลขเดียวจากเลขหนึ่ง ที่ทำให้พื้นที่ใต้กราฟมีค่าเท่ากับ 1|209x209px

e มักเรียกกันว่า จำนวนของออยเลอร์ (Euler's number) (ระวังสับสนกับ γ, ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี) ตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) ผู้ริเริ่มการใช้สัญลักษณ์ e เพื่อแทนจำนวนนี้ และเป็นคนแรกที่ศึกษาสมบัติของจำนวนนี้อย่างละเอียด e ยังมีอีกชื่อหนึ่งว่า ค่าคงตัวเนเปียร์ ตามจอห์น เนเปียร์ (John Napier) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตผู้ค้นพบลอการิทึม อนึ่ง ค่า e ถูกค้นพบครั้งแรกโดย ยาค็อบ แบร์นูลลี (Jacob Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ในการศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้นO'Connor, J J; Robertson, E F. "The number e". MacTutor History of Mathematics.

e เป็นจำนวนที่มีความสำคัญมากในคณิตศาสตร์ โดย e เป็นจำนวนอตรรกยะ และ จำนวนอดิศัย เหมือนกับค่า  โดยค่าคงตัวทั้งสองนี้ ประกอบกับ 0 1 และ  มีบทบาทที่สำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์ และมักปรากฏตัวในสมการทางคณิตศาสตร์ โดยมีสมการหนึ่งที่รวมค่าคงตัวทั้งห้านี้เอาไว้ในสมการเดียว เรียกว่า เอกลักษณ์ของออยเลอร์ อันได้ชื่อว่าเป็นสมการที่สวยงามที่สุดในคณิตศาสตร์ 

ค่า e ที่ปัดเป็นเลขทศนิยม 50 หลัก เท่ากับ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995... (ลำดับ A001113 ใน OEIS)

 การประยุกต์ใช้ e 
 การคิดดอกเบี้ยทบต้น 
ยาค็อพ แบร์นุลลี (Jacob Bernoulli) ค้นพบค่า  ในปี 1683 ในการศึกษาปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น ลักษณะดังนี้:

หากทบทุก 6 เดือน จะได้สองครั้ง ครั้งละ 50% นั่นคือ 1 บาท ตอนแรกจะคูณ 1.5 สองครั้ง ได้  1.52 = 2.25 บาท หากทบทุก 3 เดือนก็จะคูณ 1.25 สี่ครั้ง ได้ 1.254 = 2.44140625 บาท หากทบรายเดือนก็จะได้ (1+1/12)12 = 2.613035... บาท และยิ่งถี่ขึ้นก็จะได้เงินมากขึ้นไปอีก โดยถ้าทบต้น  ครั้งต่อปี จะได้ดอกเบี้ยครั้งละ  และเมื่อจบปีก็จะมีเงิน  บาท

แบร์นูลลีสังเกตว่าการเพิ่มขึ้นเมื่อทบต้นถี่ขึ้นนี้มีขีดจำกัด โดยเมื่อทบต้นอย่างต่อเนื่องจะมีเงินเมื่อจบปีมากที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยดอกเบี้ยอัตรานี้ ก็คือ ค่า  นั่นเอง ในทำนองเดียวกัน บัญชีใด ๆ ที่เริ่มต้นด้วยเงิน บาท และได้ดอกเบี้ยอย่างต่อเนื่องด้วยอัตรา  ต่อปี จะมีเงินจำนวน  เมื่อเวลาผ่านไป  ปี (ในที่นี้ R เป็นจำนวนทศนิยมของอัตราดอกเบี้ย เสมือนการใช้ % ยกตัวอย่างเช่น ดอกเบี้ยเงินกู้ 5%, R = 0.05)

 การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (สถิติศาสตร์) 
การแจกแจงปรกติ (Normal distribution) ที่มีค่า μ = 0 และ σ 2 = 1 จะถูกเรียกว่า การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (standard normal distribution) โดยใช้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (Probability density function):รองศาสตราจารย์ ดร.ปิยะ โควินท์ทวีวัฒน์ (2015). มหาวิทยาลัยราชภัฏนครปฐม. "การสื่อสารดิจิตัล ตัวแปรสุ่มและกระบวนการสุ่ม ".

เมื่อ  เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ  เป็นค่าเฉลี่ย

 ความน่าจะเป็น 
ในวิชาความน่าจะเป็น พบ e ในปัญหาเกี่ยวกับการสลับคู่ ดังนี้Grinstead, C.M. and Snell, J.L.Introduction to probability theory  (published online under the GFDL), p. 85.: สมมุติว่ามีแขกร่วมงานเลี้ยง n คน เดินเข้าประตูมาแล้วฝากหมวกของตนเองไว้กับคนใช้ ซึ่งนำหมวกเหล่านี้ไปใส่ในกล่อง n ใบ โดยหมวกและกล่องแต่ละใบมีชื่อของแขกแต่ละคน แต่คนใช้ไม่ทราบชื่อของแขกแต่ละคน จึงนำหมวกเหล่านี้ใส่ในกล่องอย่างสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ไม่มีหมวกใบไหนเลย ที่อยู่ในกล่องที่ถูกต้อง คิดเป็น

ซึ่งเมื่อจำนวนแขก  เพิ่มสู่อนันต์แล้ว ความน่าจะเป็นนี้จะลู่เข้าหา 

 การประมาณของสเตอร์ลิง 
e ใช้ในการประมาณค่าของแฟกตอเรียลของจำนวนค่ามากได้ตามสูตร

ซึ่งแปลว่า

 แคลคูลัส 
thumb|250px|กราฟแสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = ex ที่จุด x = 0
หนึ่งในความสำคัญของการนิยามค่า  คือการนำไปใช้ในการหาอนุพันธ์หรือปริพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม โดยเมื่อพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน  จากนิยามของอนุพันธ์

จะสังเกตได้ว่าลิมิตในวงเล็บไม่ขึ้นกับ  แต่ขึ้นกับฐาน  เพียงอย่างเดียว โดยที่  คือจำนวนที่ทำให้ลิมิตนี้เป็น 1 สอดคล้องกับสมบัติที่ว่า

e จึงเป็นฐานที่เหมาะสมต่อการทำแคลคูลัส เพราะเมื่อเลือกใช้เป็นฐานแล้วทำให้ง่ายต่อการคำนวณอนุพันธ์

ในทำนองเดียวกัน หากพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน  จะได้

โดย 

ดังนั้นถ้าแทน  เป็น  จะได้ว่าลอการิทึมในผลเป็น 1 ดังนั้น

ลอการิทึมฐาน  นี้เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติและตามปกติเขียนแทนด้วย  ดังนั้นจึงเห็นได้เช่นเดียวกันว่า  เป็นฐานที่สะดวกต่อแคลคูลัส

จากคุณสมบัติที่  มี  เป็นอนุพันธ์ นำไปสู่วิธีนิยาม  อีกวิธีคือ

 ทฤษฎีจำนวน 
 เป็นจำนวนอตรรกยะและอดิศัย นั่นแปลว่า  ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่เศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มได้ และไม่เป็นคำตอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ออยเลอร์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่า  เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยการแสดงว่า  เขียนเป็นเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ได้  สำหรับการที่  เป็นจำนวนอดิศัยนั้นเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทลินเดอมาน-ไวเออร์ชตราส โดยผู้พิสูจน์ครั้งแรกว่า  เป็นจำนวนอดิศัยคือชาลส์ แอร์มิต

 จำนวนเชิงซ้อน 
ในระบบจำนวนจริง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล  สามารถเขียนเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ได้เป็น

ซึ่งอนุกรมนี้คงคุณสมบัติหลายประการของ  ไว้ในระนาบเชิงซ้อน จึงถือเป็นนิยามของฟังก์ชัน  สำหรับจำนวนเชิงซ่อนใด ๆ

จากการเทียบเคียงสมการนี้กับอนุกรมของ  และ  นำไปสู่สูตรของออยเลอร์  (ซึ่งมีเอกลักษณ์ออยเลอร์  เป็นกรณีพิเศษที่) เมื่อนำสูตรของออยเลอร์ไปยกกำลังจะได้ทฤษฎีบทเดอมัวร์