# ตรรกศาสตร์
ตรรกศาสตร์ (- มีรากศัพท์จากภาษากรีกคือ λόγος, logos) โดยทั่วไปประกอบด้วยการศึกษารูปแบบของข้อโต้แย้งอย่างเป็นระบบ ข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผลคือข้อโต้แย้งที่มีความสัมพันธ์ของการสนับสนุนเชิงตรรกะที่เฉพาะเจาะจงระหว่างข้อสมมุติพื้นฐานของข้อโต้แย้งและข้อสรุป

ตรรกศาสตร์เป็นการศึกษาเชิงปรัชญาว่าด้วยการให้เหตุผล โดยมักจะเป็นส่วนสำคัญของวิชาปรัชญา,คณิตศาสตร์, คอมพิวเตอร์ และยังรวมถึงภาษาศาสตร์ ตรรกศาสตร์เป็นการตรวจสอบข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผล (valid argument) หรือการให้เหตุผลแบบผิดๆ (fallacies) .(.โดยเกิดจากความคิดในตัวบุคคลที่ยึดความคิดตัวเองเป็นหลักเราจะพบได้บ่อยๆในยุคที่ทุกคนอยู่ในเน็ตเวิรค์จนเปรียบว่าตรรกะป่วย.)ตรรกศาสตร์ เป็นการศึกษาที่มีมานานโดยมนุษยชาติที่เจริญแล้ว เช่น กรีก จีน หรืออินเดีย และถูกยกขึ้นเป็นสาขาวิชาหนึ่งโดย อริสโตเติล

 ที่มาของคำว่า ตรรกศาสตร์ 
คำว่า "ตรรกศาสตร์" ในปัจจุบัน เป็นศัพท์บัญญัติที่ใช้แทนแนวคิดเรื่อง Logic ในภาษาอังกฤษ ซึ่งมีรากศัพท์มาจากคำว่า λόγος (logos) ในภาษากรีก ที่มีความหมายเดิมว่าคำ หรือสิ่งที่ถูกกล่าว  หลาย ๆ ประเทศที่ใช้อักษรโรมันในการเขียนก็มีศัพท์ที่พูดถึงแนวคิดนี้ในลักษณะชื่อที่คล้ายๆกัน

ในภาษาไทย เดิมมีคำนี้ใช้อยู่แล้ว ซึ่งน่าจะได้มาจากภาษาบาลี สันสกฤต (อย่างเช่นใน กาลามสูตร 10 ข้อ  ที่ มีกล่าวไว้ว่าข้อหนึ่งว่า  "อย่าเชื่อ เพราะ ได้คิดคำนึงเอาด้วย ตักฺกะ") ซึ่งอาจจะมีความหมายไม่ตรงทีเดียวนักกับคำว่าตรรกศาสตร์ที่ใช้ในภาษาปัจจุบัน

 คณิตศาสตร์ 

 ประพจน์ 
คือ ประโยคที่มีค่าความจริง เป็นจริงหรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ง โดย

 ประโยคที่เป็นประพจน์ จะมีลักษณะเป็นประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ

 ประโยคที่ไม่เป็นประพจน์ จะมีลักษณะเป็นประโยคคำถาม คำสัง ขอร้อง และประโยคอุทาน
 ประโยคที่มีค่าความจริงไม่แน่นอน หรือไม่อาจระบุได้ว่ามีค่าความจริงว่าเป็นจริงหรือเท็จได้ จะไม่เป็นประพจน์

 ตัวเชื่อมของประพจน์ 
ถ้าให้ p และ q เป็นประพจน์ เมื่อนำประพจน์มาเชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมแล้ว เราเรัยกประพจน์ใหม่ว่า ประพจน์เชิงประกอบ ซึ่งตัวเชื่อมที่ใช้จะมี 5 ตัว คือ

 “และ” ใช้สัญลักษณ์ ∧
 “หรือ” ใช้สัญลักษณ์ ∨
 “ถ้า…แล้ว…” ใช้สัญลักษณ์ →
 “ก็ต่อเมื่อ” ใช้สัญลักษณ์ ↔
 “นิเสธ” ใช้สัญลักษณ์ ~

ประพจน์ที่สมมูลกัน (Equivalent) คือ รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบที่มีค่าความจริงเหมือนกันทุกกรณี เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ≡

 คุณสมบัติของการสมมูลของรูปแบบของประพจน์ 
กำหนดให้ p, q และ r เป็นรูปแบบของประพจน์

 การสะท้อน: p ≡ p
 การสมมาตร: ถ้า p ≡ q แล้ว q ≡ p
 การถ่ายทอด: ถ้า p ≡ q แล้ว q ≡ r แล้ว p ≡ r

 p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p
 p ∨ q สมมูลกับ q ∨ p
 (p ∧ q) ∧ r สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r)
 (p ∨ q) ∨ r สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r)
 p ∧ (q ∨ r) สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
 p ∨ (q ∧ r) สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
 p → q สมมูลกับ ~p ∨ q
 p → q สมมูลกับ ~q → ~p
 p ↔ q สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p)

 ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน 
คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามทุกกรณี ใช้สัญลักษณ์ ~ แทนนิเสธ
จากนิยาม รูปแบบประพจน์ A เป็นนิเสธของ รูปแบบประพจน์ B ก็ต่อเมื่อ

 ค่าความจริงของ A และ B ต่างกันทุกกรณี
 ค่าความจริงของ A และ ~B เหมือนกันทุกกรณี
 A ≡ ~B
 ดังนั้น A เป็นนิเสธของ B ก็ต่อเมื่อ A สมมูลกับ ~B

ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรรู้

 ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q
 ~(p ∨ q) สมมูลกับ ~p ∧ ~q
 ~(p → q) สมมูลกับ p ∧ ~q
 ~(p ↔ q) สมมูลกับ (p ↔ ~q) ∨(q ↔ ~p)
 ~(p ↔ q) สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ (q ∧~p)

 สัจนิรันดร์ 
คือ รูปแบบของประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี

ประโยคเปิด (Open Sentence) คือ ข้อความที่อยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือปฏิเสธ ที่มีตัวแปรและสื่อแทนค่าของตัวแปรนั้น จะได้ค่าความจริงแน่นอน หรือเป็นประพจน์ นิยมใช้สัญลักษณ์ P(x), P(x , y), Q(x , y) แทนประโยคเปิดที่มีตัวแปรระบุในวงเล็บ

 ตัวบ่งปริมาณ (∀,∃) 
คือ ตัวระบุจำนวนสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์ ตัวบ่งปริมาณมี 2 ชนิด คือ

 ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ ∀ อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x ทุกตัว”
 ตัวบ่งปริมาณที่กล่าวถึงสมาชิกบางตัวในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ ∃ อ่านว่า “สำหรับสมาชิก x บางตัว”

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

 ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
 ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
 ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
 ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง

นิเสธของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ

 ~∀x[P(x)] สมมูลกับ ∃x[~P(x)]

 ~∃x[P(x)] สมมูลกับ ∀x[~P(x)]
 ~∀x[~P(x)] สมมูลกับ ∃x[P(x)]
 ~∃x[~P(x)] สมมูลกับ ∀x[P(x)]

 การอ้างเหตุผล 
คือ การอ้างว่า สำหรับเหตุการณ์ P1, P2,…, Pn ชุดหนึ่ง สามารถสรุปผลที่ตามมา C ได้ โดยการอ้างเหตุผลประกอบด้วย 2 ส่วน คือ เหตุ (สิ่งที่กำหนดให้) และ ผล (สิ่งที่ตามมา)

สำหรับการพิจารณาว่า การอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลหรือไม่ สามารถพิจารณาได้จากประพจน์

ถ้าประพจน์ดังกล่าวมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) เราสามารถสรุปได้ว่าการอ้างเหตุผลดังกล่าวเป็นการอ้างที่สมเหตุสมผล