# ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส  เป็นทฤษฎีบทที่กล่าวว่าอนุพันธ์และปริพันธ์ซึ่งเป็นการดำเนินการหลักในแคลคูลัสนั้นผกผันกัน 

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถแบ่งได้เป็นสองส่วน ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนแรก (First fundamental theorem of calculus) กล่าวว่าสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง  ใด ๆ ปฏิยานุพันธ์ของ  สามารถหาได้จากการอินทิเกรต  เหนือช่วงสักช่วง แล้วให้ขอบเขตบนของการอินทิเกรตเป็นตัวแปรของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนที่สอง (Second fundamental theorem of calculus) กล่าวว่าปริพันธ์ของฟังก์ชัน  เหนือช่วงสักช่วง จะเท่ากับผลต่างของค่าของปฏิยานุพันธ์ของ  ที่จุดขอบของช่วง 

ทฤษฎีบททั้งสองเป็นหัวใจสำคัญของแคลคูลัส ผลสืบเนื่องสำคัญของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสทำให้เราสามารถคำนวณหาปริพันธ์โดยใช้ปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชัน

 ภาพโดยทั่วไป 
โดยทั่วไปแล้ว ทฤษฎีบทนี้กล่าวว่าผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยยิ่ง ในปริมาณในช่วงเวลา (หรือปริมาณอื่น ๆ) นั้นเข้าใกล้การเปลี่ยนแปลงรวม

เพื่อให้เห็นด้วยกับข้อความนี้ เราจะเริ่มด้วยตัวอย่างนี้ สมมติว่าอนุภาคเดินทางบนเส้นตรงโดยมีตำแหน่งจากฟังก์ชัน x(t) เมื่อ t คือเวลา อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้เท่ากับความเปลี่ยนแปลงที่น้อยมาก ๆ ของ x ต่อช่วงเวลาที่น้อยมาก ๆ (แน่นอนว่าอนุพันธ์ต้องขึ้นอยู่กับเวลา) เรานิยามความเปลี่ยนแปลงของระยะทางต่อช่วงเวลาว่าเป็นอัตราเร็ว v ของอนุภาค ด้วยสัญกรณ์ของไลบ์นิซ

เมื่อจัดรูปสมการใหม่จะได้

จากตรรกะข้างต้น ความเปลี่ยนแปลงใน x ที่เรียกว่า  คือผลรวมของการเปลี่ยนแปลงที่น้อยมาก ๆ dx มันยังเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างอนุพันธ์และเวลาที่น้อยมาก ๆ

ผลรวมอนันต์นี้ คือ ปริพันธ์ ดังนั้นการหาปริพันธ์ทำให้เราสามารถคืนฟังก์ชันต้นของมันจากอนุพันธ์เช่นเดียวกัน การดำเนินการนี้ผกผันกัน หมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของผลการหาปริพันธ์ ซึ่งจะได้ฟังก์ชันอัตราเร็วคืนมาได้

 เนื้อหาของทฤษฎีบท 
ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสมีสองส่วน

 ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนแรก 
ให้  เป็นฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด  และ  เป็นฟังก์ชันบนช่วง  นิยามโดย
       สำหรับทุก 
แล้ว  ต่อเนื่องบน  ยิ่งไปกว่านั้น ถ้า  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน  แล้ว  หาอุนพันธ์ได้ทุกจุดบน  และ  สำหรับทุก  ในช่วง 

 ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสส่วนที่สอง 
ให้  เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้บนช่วงปิด   ถ้า  หาปริพันธ์ได้บนช่วงปิด  แล้ว

 

สำหรับทุก 

 บทพิสูจน์ 

 ส่วนที่ 1 
กำหนดให้

ให้ x1 และ x1 + Δx อยู่ในช่วง [a, b] จะได้

และ

นำทั้งสองสมการมาลบกันได้

เราสามารถแสดงได้ว่า

(ผลรวมพื้นที่ของบริเวณที่อยู่ติดกัน จะเท่ากับ พื้นที่ของบริเวณทั้งสองรวมกัน)
ย้ายข้างสมการได้

นำไปแทนค่าใน (1) จะได้

ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยสำหรับการอินทิเกรต จะมี c อยู่ในช่วง [x1, x1 + Δx] ที่ทำให้

แทนค่าลงใน (2) ได้

หารทั้งสองข้างด้วย Δx จะได้

สังเกตว่าสมการข้างซ้าย คือ อัตราส่วนเชิงผลต่างของนิวตัน (Newton's difference quotient) ของ F ที่ x1

ใส่ลิมิต Δx → 0 ทั้งสองข้างของสมการ

สมการข้างซ้ายจะเป็นอนุพันธ์ของ F ที่ x1

เพื่อหาลิมิตของสมการข้างขวา เราจะใช้ทฤษฎีบท squeeze เพราะว่า c อยู่ในช่วง [x1, x1 + Δx] ดังนั้น x1 ≤ c ≤ x1 + Δx

จาก  และ 

ตามทฤษฎีบท squeeze จะได้ว่า

แทนค่าลงใน (3) จะได้

ฟังก์ชัน f มีความต่อเนื่องที่ c ดังนั้น เราสามารถนำลิมิตแทนในฟังก์ชันได้ ดังนั้น

จบการพิสูจน์

(Leithold et al, 1996)

 ส่วนที่ 2 
ต่อไปนี้คือบทพิสูจน์ลิมิตโดย ผลรวมของรีมันน์-ดาบูต์
thumb|ภาพแสดงแนวคิดของ ผลรวมรีมันน์-ดาบูต์ ซึ่งใช้ในการประมาณพื้นที่ภายใต้กราฟใด ๆ ด้วยกราฟแท่งจำนวนมาก
ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f พิจารณานิพจน์ต่อไปนี้

ให้  จะได้

แล้วบวกและลบด้วยจำนวนเดียวกัน จะได้

เขียนใหม่เป็น

เราจะใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย ซึ่งกล่าวว่า

ให้ f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และมีอนุพันธ์บนช่วง (a, b) แล้ว จะมี c อยู่ใน (a, b) ที่ทำให้ 

และจะได้

ฟังก์ชัน F เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วง [a, b] ดังนั้น มันจะหาอนุพันธ์และมีความต่อเนื่องบนแต่ละช่วง xi-1 ได้ ตามทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย จะได้

แทนค่าลงใน (1) จะได้

จาก 
และ  สามารถเขียนในรูป  ของผลแบ่งกั้น 

สังเกตว่าเรากำลังอธิบายพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีความกว้างคูณความสูง และเราก็บวกพื้นที่เหล่านั้นเข้าด้วยกันจากทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย สี่เหลี่ยมผืนผ้าแต่ละรูปอธิบายค่าประมาณของส่วนของเส้นโค้ง
สังเกตอีกว่า  ไม่จำเป็นต้องเหมือนกันในทุก ๆ ค่าของ  หรือหมายความว่าความกว้างของสี่เหลี่ยมนั้นไม่จำเป็นต้องเท่ากัน สิ่งที่เราต้องทำคือประมาณเส้นโค้งด้วยจำนวนสี่เหลี่ยม  รูป เมื่อขนาดของส่วนต่าง ๆ เล็กลง และ  มีค่ามากขึ้น ทำให้เกิดส่วนต่าง ๆ มากขึ้น เพื่อครอบคลุมพื้นที่ เราจะยิ่งเข้าใกล้พื้นที่จริง ๆ ของเส้นโค้ง

โดยการหาลิมิตของนิพจน์นี้เป็นเมื่อค่าเฉลี่ยของส่วนต่าง ๆ นี้ เข้าใกล้ศูนย์ เราจะได้ปริพันธ์แบบรีมันน์ นั่นคือ เราหาลิมิตเมื่อขนาดส่วนที่ใหญ่ที่สุดเข้าใกล้ศูนย์ จะได้ส่วนอื่น ๆ มีขนาดเล็กลง และจำนวนส่วนเข้าใกล้อนันต์

ดังนั้น เราจะใส่ลิมิตไปทั้งสองข้างของสมการ (2) จะได้

ทั้ง F(b) และ F(a) ต่างก็ไม่ขึ้นกับ ||Δ|| ดังนั้น ลิมิตของข้างซ้ายจึงเท่ากับ F(b) - F(a)

และนิพจน์ทางขวาของสมการ หมายถึง อินทิกรัลของ f จาก a ไป b ดังนั้น เราจะได้

จบการพิสูจน์

 ตัวอย่าง 
ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณต้องการคำนวณหา

ให้  เราจะได้  เป็นปฏิยานุพันธ์ ดังนั้น

ถ้าเราต้องการหา

จะได้ 

 นัยทั่วไป 
เราไม่จำเป็นต้องให้  ต่อเนื่องตลอดทั้งช่วง ดังนั้นส่วนที่ 1 ของทฤษฎีบทจะกล่าวว่า ถ้า  เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกบนช่วง  และ  เป็นจำนวนในช่วง  ซึ่ง  ต่อเนื่องที่  จะได้

สามารถหาอนุพันธ์ได้สำหรับ  และ  เราสามารถคลายเงื่อนไขของ  เพียงแค่ให้สามารถหาปริพันธ์ได้ในตำแหน่งนั้น ในกรณีนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าฟังก์ชัน  นั่นสามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ และ  จะเกือบทุกที่ บางทีเราเรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทอนุพันธ์ของเลอเบก

ส่วนที่ 2ของทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับทุกฟังก์ชัน  ที่สามารถหาปริพันธ์เลอเบกได้ และมีปฏิยานุพันธ์  (ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้)

ส่วนของทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวถึงพจน์ที่เกิดข้อผิดพลาดเป็นปริพันธ์สามารถมองได้เป็นนัยทั่วไปของทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

มีทฤษฎีบทหนึ่งสำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อน: ให้  เป็นเซตเปิดใน  และ  เป็นฟังก์ชันที่มี ปริพันธ์โฮโลมอร์ฟ  ใน  ดังนั้นสำหรับเส้นโค้ง  ปริพันธ์เส้นโค้งจะคำนวณได้จาก

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสสามารถวางนัยทั่วไปให้กับ ปริพันธ์เส้นโค้งและพื้นผิวในมิติที่สูงกว่าและบนแมนิโฟลด์ได้ผ่านทฤษฎีบทของสโตกส์