# คณิตศาสตร์ประยุกต์
คณิตศาสตร์ประยุกต์  เป็นการประยุกต์ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์กับสาขาวิชาที่แตกต่างกัน เช่น ฟิสิกส์ วิศวกรรม การแพทย์ ชีววิทยา การเงิน ธุรกิจ วิทยาการคอมพิวเตอร์ และอุตสาหกรรม ดังนั้น คณิตศาสตร์ประยุกต์ เป็นการรวมกันของคณิตศาสตร์ กับความรู้เฉพาะทาง คำว่า "คณิตศาสตร์ประยุกต์" ยังหมายถึงความเชี่ยวชาญพิเศษทางวิชาชีพที่นักคณิตศาสตร์ใช้แก้ปัญหาในทางปฏิบัติด้วยการกำหนดและศึกษาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

ในอดีต การใช้งานจริงได้กระตุ้นการพัฒนาทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ ซึ่งต่อมาได้กลายเป็นหัวข้อของการศึกษาในวิชาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ โดยที่แนวคิดเชิงนามธรรมได้รับการศึกษาเพื่อผลประโยชน์ของตนเอง กิจกรรมของคณิตศาสตร์ประยุกต์จึงเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการวิจัยทางคณิตศาสตร์บริสุทธิ์

 ประวัติ 
thumb|right|การแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสมการความร้อน บนแบบจำลองเปลือกห่อหุ้มของปั๊มซึ่งใช้ระเบียบวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์

ในอดีต คณิตศาสตร์ประยุกต์ ประกอบด้วย หลักการของการวิเคราห์เป็นหลัก ที่โดดเด่นที่สุดคือสมการเชิงอนุพันธ์; ทฤษฎีการประมาณค่า (ตีความอย่างกว้าง ๆ รวมถึงการเป็นตัวแทน วิธีการเชิงซีมโทติก วิธีการแปรผัน และการวิเคราะห์เชิงตัวเลข) และความน่าจะเป็นประยุกต์ 
สาขาวิชาคณิตศาสตร์เหล่านี้เกี่ยวข้องโดยตรงกับการพัฒนาฟิสิกส์ของนิวตัน และที่จริงแล้ว ในช่วงก่อนกลางคริสต์ศตวรรษที่ 19 ความแตกต่างระหว่างนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ไม่ได้ชัดเจน ประวัติศาสตร์นี้ทิ้งมรดกการสอนไว้ในสหรัฐอเมริกา จนถึงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 20 วิชา เช่น กลศาสตร์ดั้งเดิม มักได้รับการสอนในแผนกคณิตศาสตร์ประยุกต์ที่มหาวิทยาลัยในอเมริกามากกว่าในแผนกฟิสิกส์ และกลศาสตร์ของเหลว อาจถูกสอนในวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ นอกจากนี้ แผนกวิศวกรรมศาสตร์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์มักใช้คณิตศาสตร์ประยุกต์ด้วย เช่นกัน

 การจำแนก 
left|thumb|กลศาสตร์ของไหล มักจะถือว่าเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ประยุกต์ และวิศวกรรมเครื่องกล

ในปัจจุบัน คำว่า "คณิตศาสตร์ประยุกต์" ได้ใช้ในความหมายที่กว้างขึ้น ซึ่งรวมถึงสาขาวิชาดั้งเดิมที่ระบุไว้ข้างกัน ตลอดจนด้านอื่น ๆ ที่ได้มีความสำคัญมากขึ้นในการประยุกต์ แม้แต่ทฤษฎีจำนวนซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ซึ่งปัจจุบันมีความสำคัญในการประยุกต์ (เช่น การเข้ารหัส) แม้ว่าโดยทั่วไปจะไม่ถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของสาขาวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์ก็ตาม

ไม่มีความเห็นเป็นเอกฉันท์ว่าสาขาต่าง ๆ ของคณิตศาสตร์ประยุกต์คืออะไรบ้าง การจัดหมวดหมู่ดังกล่าวทำได้ยากโดยวิธีที่คณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์เปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา และโดยวิธีการที่มหาวิทยาลัยจัดแผนก หลักสูตร และปริญญา

นักคณิตศาสตร์หลายคนแยกแยะระหว่าง "คณิตศาสตร์ประยุกต์" ซึ่งเกี่ยวข้องกับวิธีการทางคณิตศาสตร์และ "การประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์" ในสาขาวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมศาสตร์ นักชีววิทยา ที่ใช้แบบจำลองประชากร และการประยุกต์ใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ มักจะใช้ความรู้เหล่านี้แทนคณิตศาสตร์ประยุกต์ นักชีววิทยาคณิตศาสตร์ได้กำหนดปัญหาที่กระตุ้นการเติบโตของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ นักคณิตศาสตร์ เช่น ปวงกาเร และอาร์โนลด์ ไม่ยอมรับการมีอยู่ของ "คณิตศาสตร์ประยุกต์" และอ้างว่ามีเพียง "การประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์" เท่านั้น เช่นเดียวกันกับ ผู้ที่ไม่ใช่นักคณิตศาสตร์ที่ได้ผสมผสานคณิตศาสตร์ประยุกต์ และการประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์ เข้าด้วยกัน ส่วนการพัฒนาคณิตศาสตร์เพื่อใช้แก้ปัญหาในอุตสาหกรรมนั้นเรียกว่า "คณิตศาสตร์อุตสาหกรรม"

ความสำเร็จของวิธีการ และซอฟต์แวร์ทางคณิตศาสตร์เชิงตัวเลขสมัยใหม่ ได้นำไปสู่การเกิดขึ้นของคณิตศาสตร์คณนา, วิทยาการคำนวณ และวิศวกรรมคอมพิวเตอร์ ที่ใช้การคำนวณด้วยประสิทธิภาพสูง เพื่อการจำลองปรากฏการณ์และการแก้ปัญหาทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม สิ่งเหล่านี้มักถือว่าเป็นสหวิทยาการ

 คณิตศาสตร์ประยุกต์ใช้ 
บางครั้ง คำว่า คณิตศาสตร์ประยุกต์ใช้ ได้ถูกใช้เพื่อจำแนกความแตกต่างระหว่างคณิตศาสตร์ประยุกต์ดั้งเดิมที่พัฒนาควบคู่ไปกับฟิสิกส์ และคณิตศาสตร์หลาย ๆ ด้านที่ได้ประยุกต์ใช้แก้ปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริง ถึงแม้ว่าจะไม่มีความเห็นเป็นเอกฉันท์เกี่ยวกับคำนิยามที่ชัดเจน

นักคณิตศาสตร์มักจะแยกแยะระหว่าง "คณิตศาสตร์ประยุกต์" (applied mathematics) ในด้านหนึ่งกับ "การประยุกต์ใช้คณิตศาสตร์" (applications of mathematics) หรือ "คณิตศาสตร์ประยุกต์ใช้" (applicable mathematics) ทั้งภายในและภายนอกวิทยาศาสตร์ และวิศวกรรมศาสตร์H. Christiansen, A.G. Howson, M. Otte (editors). 
Perspectives on Mathematics Education: Papers Submitted by Members of the Bacomet Group. pp. 82–83. in Volume 2 of Mathematics Education Library. Springer Science & Business Media. 2012. . นักคณิตศาสตร์บางคนให้ความสำคัญกับคำว่า คณิตศาสตร์ประยุกต์ใช้ เพื่อจำแนกแยกแยะระหว่างการประยุกต์ดั้งเดิม กับการประยุกต์ใหม่ที่เกิดขึ้นจากสาขาที่ก่อนหน้านี้ถูกมองว่าเป็นคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ตัวอย่างเช่น จากมุมมองนี้ นักนิเวศวิทยา หรือนักภูมิศาสตร์ โดยใช้แบบจำลองประชากร และการประยุกต์ใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ โดยไม่ใช้คณิตศาสตร์ประยุกต์ แม้แต่สาขา เช่น ทฤษฎีจำนวน ที่เป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ล้วนมีความสำคัญในการใช้งาน (เช่น วิทยาการเข้ารหัสลับ), แม้ว่าโดยทั่วไปจะไม่ถือว่าเป็นส่วนหนึ่งของสาขาคณิตศาสตร์ประยุกต์ด้วยตัวของมันเอง คำอธิบายเช่นนี้สามารถนำไปสู่ คณิตศาสตร์ประยุกต์ใช้ ถูกมองว่าเป็นส่วนหนึ่งของวิธีการทางคณิตศาสตร์ เช่น การวิเคราะห์เชิงจริง, พีชคณิตเชิงเส้น, แบบจำลองทางคณิตศาสตร์, การหาค่าเหมาะที่สุด, คณิตศาสตร์เชิงการจัด, ความน่าจะเป็น และสถิติ ซึ่งมีประโยชน์นอกเหนือจากคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิม และไม่เฉพาะเจาะจงกับฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์

ผู้เขียนรายอื่นมักชอบที่จะอธิบายคำว่า คณิตศาสตร์ประยุกต์ใช้ โดยรวมกันระหว่างคณิตศาสตร์ประยุกต์แบบใหม่ กับคณิตศาสตร์ประยุกต์แบบดั้งเดิมSurvey of Applicable Mathematics, pg xvii (Foreword).  K. Rektorys; 2nd edition, illustrated. Springer, 2013. . THOUGHTS ON APPLIED MATHEMATICS. Department of Mathematics, HKUST. 
ด้วยทัศนะนี้คำว่า คณิตศาสตร์ประยุกต์ และคณิตศาสตร์ประยุกต์ใช้ จึงใช้แทนกันได้

 ประโยชน์ 
right|thumb|คณิตศาสตร์ประกันภัย เกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองของตลาดการเงิน

ตามประวัติศาสตร์ คณิตศาสตร์ มีความสำคัญที่สุดในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ และวิศวกรรม อย่างไรก็ตาม นับตั้งแต่สงครามโลกครั้งที่สอง สาขาที่นอกเหนือจากวิทยาศาสตร์กายภาพได้เป็นจุดกำเนิดของการสร้างสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ เช่น ทฤษฎีเกม และทฤษฎีทางเลือกทางสังคม ซึ่งเติบโตจากการพิจารณาทางเศรษฐกิจ นอกจากนี้ การใช้ประโยชน์ และการพัฒนาวิธีการทางคณิตศาสตร์ได้ขยายไปสู่ด้านอื่น ๆ ที่นำไปสู่การสร้างสาขาใหม่ เช่น การเงินคณิตศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ข้อมูล

การกำเนิดของคอมพิวเตอร์ได้ทำให้เกิดการประยุกต์ใหม่ ๆ ทั้งการศึกษา และการใช้เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ใหม่ ๆ (วิทยาการคอมพิวเตอร์) เพื่อศึกษาปัญหาที่เกิดขึ้นในสาขาอื่น ๆ ของวิทยาศาสตร์ (วิทยาการคำนวณ) เช่นเดียวกับคณิตศาสตร์ของการคำนวณ (เช่น วิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี พีชคณิตคอมพิวเตอร์Geddes, K. O., Czapor, S. R., & Labahn, G. (1992). Algorithms for Computer Algebra. Springer Science & Business Media. .Albrecht, R. และคณะ (2012). Computer Algebra: Symbolic and Algebraic Computation. Volume 4. Springer Science & Business Media. .Mignotte, M. (กรกฎาคม 2012). Mathematics for Computer Algebra. Springer Science & Business Media. . และการวิเคราะห์เชิงตัวเลขStoer, J., & Bulirsch, R. (2013). Introduction to Numerical Analysis. Springer Science & Business Media. .Conte, S. D., & De Boor, C. (27 ธันวาคม 2017). Elementary Numerical Analysis: an Algorithmic approach. Society for Industrial and Applied Mathematics. .Greenspan, D. (2018). Numerical Analysis. 1st ed. CRC Press. .Linz, P. (12 มิถุนายน 2019). Theoretical Numerical Analysis. Courier Dover Publications. .)

 คณิตศาสตร์ และวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง 
thumb|right|คณิตศาสตร์ประยุกต์มีความคาบเกี่ยวอย่างมากกับสถิติ

คณิตศาสตร์ประยุกต์เกี่ยวข้องกับวิทยาศาสตร์ และคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้

 การคำนวณทางวิทยาศาสตร์ 
คณิตศาสตร์ประยุกต์ ยังเกี่ยวรวมกับการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ (โดยเฉพาะการวิเคราะห์เชิงตัวเลข)ในปัจจุบันการวิเคราะห์เชิงตัวเลขประกอบด้วยสาขาย่อยคือ numerical linear algebra, numerical integration, และ validated numerics) วิทยาการคอมพิวเตอร์ (โดยเฉพาะการคำนวณประสิทธิภาพสูง)Hager, G., & Wellein, G. (2010). Introduction to High Performance Computing for Scientists and Engineers. CRC Press. .Geshi, M. (2019). The Art of High Performance Computing for Computational Science, Vol. 1. Springer. . และการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในสาขาวิชาวิทยาศาสตร์

 วิทยาการคอมพิวเตอร์ 
วิทยาการคอมพิวเตอร์ ต้องพึ่งพาอาศัยตรรกศาสตร์, พีชคณิต, วิยุตคณิต เช่น ทฤษฎีกราฟWest, D. B. (2001). Introduction to Graph Theory (2nd ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. .Bondy, J. A., & Murty, U. S. R. (1976). Graph Theory with Applications (Vol. 290). London: Macmillan. . และคณิตศาสตร์เชิงการจัด

 การวิจัยดำเนินงาน และวิทยาการจัดการ 
การวิจัยดำเนินงานWinston, W. L., & Goldberg, J. B. (2004). Operations Research: Applications and Algorithms (4th ed., internat. student ed.). Belmont: Thomson Brooks/Cole. . และวิทยาการจัดการ มักได้รับการสอนในคณะวิศวกรรมศาสตร์ ธุรกิจ และนโยบายสาธารณะ

 สถิติ 
คณิตศาสตร์ประยุกต์ มีความคาบเกี่ยวอย่างมากกับสาขาวิชาสถิติ นักทฤษฎีสถิติ ได้ศึกษาและปรับปรุงขั้นตอนทางสถิติด้วยคณิตศาสตร์ และงานวิจัยทางสถิติ มักทำให้เกิดการตั้งคำถามทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีทางสถิติอาศัยความน่าจะเป็น และการตัดสินใจ และใช้การคำนวณทางวิทยาศาสตร์ การวิเคราะห์ และการหาค่าเหมาะที่สุดอย่างครอบคลุม สำหรับการออกแบบการทดลอง นักสถิติใช้พีชคณิต และการออกแบบเชิงการจัด  นักคณิตศาสตร์ประยุกต์และนักสถิติ มักทำงานในภาควิชาคณิตศาสตร์ (โดยเฉพาะในวิทยาลัย และมหาวิทยาลัยขนาดเล็ก)

 คณิตศาสตร์ประกันภัย 
คณิตศาสตร์ประกันภัย เป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็น สถิติ และเศรษฐศาสตร์ ในการประเมินความเสี่ยงทางประกันภัย การเงิน และอุตสาหกรรม อาชีพอื่น ๆBoland, P. J. (5 มีนาคม 2007). Statistical and Probabilistic Methods in Actuarial Science. 1st ed. Chapman and Hall/CRC. .

 คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์ 
คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์ เป็นการนำวิธีการทางคณิตศาสตร์มาประยุกต์ใช้แทนทฤษฎี และการวิเคราะห์ปัญหาทางเศรษฐศาสตร์Wainwright, K., & Chiang, Alpha C. (1 ตุลาคม 2004). Fundamental Methods of Mathematical Economics (4th ed.). Boston, MA: McGraw-Hill/Irwin. .Kusuoka, Shigeo; & Maruyama, Toru (2016). Advances in Mathematical Economics. Volume 20. Springer. .Lancaster, K. (10 ตุลาคม 2012). Mathematical Economics. Dover Publications. . วิธีการที่ใช้มักจะเป็นเทคนิค หรือวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ไม่สำคัญ คณิตศาสตร์เศรษฐศาสตร์ ใช้พื้นฐานของสถิติ ความน่าจะเป็น และการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์ (ตลอดจนวิธีการคำนวณอื่น ๆ) การวิจัยดำเนินงาน ทฤษฎีเกม และวิธีการบางอย่างจากการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ สิ่งเหล่านี้มีความคล้ายคลึงแต่ก็ไม่ได้เหมือนกับคณิตศาสตร์การเงิน ซึ่งเป็นอีกส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ประยุกต์ เช่นกันRoberts, A. J. (12 มีนาคม 2009). Elementary Calculus of Financial Mathematics. (Illustrated ed.). SIAM. .

ตามการจำแนกประเภทวิชาคณิตศาสตร์ (Mathematics Subject Classification; MSC) เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ ถูกจำแนกอยู่ในคณิตศาสตร์ประยุกต์/อื่น ๆ ในหมวดหมู่ที่ "91: ทฤษฎีเกม เศรษฐศาสตร์ สังคมศาสตร์ และพฤติกรรมศาสตร์" โดยการจัดประเภท MSC2010 สำหรับ 'ทฤษฎีเกม' มีรหัส 91Axx และสำหรับ 'เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์' มีรหัส 91Bxx

 สาขาวิชาอื่น ๆ 
เส้นแบ่งระหว่างคณิตศาสตร์ประยุกต์ กับสาขาวิชาเฉพาะมักจะไม่ชัดเจน มหาวิทยาลัยหลายแห่งสอนหลักสูตรคณิตศาสตร์และสถิติร่วมไปในสาขาที่เกี่ยวข้อง นอกเหนือออกไปจากภาควิชาหลัก เช่น ในสาขาธุรกิจ วิศวกรรม ฟิสิกส์ เคมี จิตวิทยา ชีววิทยา วิทยาการคอมพิวเตอร์ การคำนวณทางวิทยาศาสตร์ และฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์