# 0
0 (ศูนย์) เป็นทั้งจำนวนและเลขโดดที่ใช้สำหรับนำเสนอจำนวนต่าง ๆ ในระบบเลข มีบทบาทเป็นตัวกลางในทางคณิตศาสตร์ คือเป็นเอกลักษณ์การบวกของจำนวนเต็ม จำนวนจริง และโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่น ๆ ศูนย์ในฐานะเลขโดดใช้เป็นตัววางหลักในระบบเลขเชิงตำแหน่ง

 0 ในฐานะจำนวน 
0 คือจำนวนเต็มที่อยู่ก่อนหน้า 1 ในระบบส่วนใหญ่ การใช้ 0 เริ่มขึ้นมาก่อนที่จะมีการยอมรับแนวคิดเกี่ยวกับจำนวนติดลบ 0 เป็นจำนวนคู่ Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd, in  0 ไม่เป็นทั้งจำนวนบวกหรือจำนวนลบ นิยามบางอย่างกำหนดว่า 0 ก็เป็นจำนวนธรรมชาติเช่นกัน ซึ่งทำให้จำนวนธรรมชาติไม่จำเป็นว่าจะต้องเป็นจำนวนบวก

ศูนย์คือจำนวนที่บ่งบอกปริมาณของสิ่งที่นับได้ในเซตว่าง อาจหมายถึงไม่มีสมาชิกอยู่ในเซต ตัวอย่างเช่น ถ้ามีจำนวนคนเท่ากับศูนย์ ก็เทียบเท่ากับว่าไม่มีคนอยู่เลย หรือสิ่งของที่มีน้ำหนักเท่ากับศูนย์ ซึ่งก็แปลว่าไม่มีน้ำหนัก ถ้าความแตกต่างของจำนวนสิ่งของสองกองเป็นศูนย์
หมายความว่าสิ่งของสองกองนี้มีจำนวนเท่ากันหรือไม่แตกต่าง เป็นต้น ก่อนที่จะนับสิ่งใด ๆ ผลของการนับจะถูกสมมติให้เป็นศูนย์ในตอนเริ่มต้น นั่นหมายความว่ายังไม่ได้นับ และเมื่อนับสิ่งของชิ้นแรกไปแล้ว ผลของการนับจึงจะเป็นหนึ่ง

การนับปีคริสต์ศักราช นักประวัติศาสตร์แทบทั้งหมดได้ละทิ้งปีที่สูญออกไปจากปฏิทินก่อนเกรโกเรียนและปฏิทินก่อนจูเลียน ในขณะที่นักดาราศาสตร์ยังคงไว้ซึ่งปีที่ศูนย์ในปฏิทินดังกล่าว อย่างไรก็ตามคำว่า "ปีที่สูญ" อาจใช้เพื่ออธิบายเหตุการณ์บางอย่างที่มีนัยสำคัญในการเริ่มต้นจุดนับเวลาใหม่

 0 ในฐานะเลขโดด 
100px|thumb|เลข 0 ในไทป์เฟซ text figures
เลขศูนย์ในสมัยใหม่มักจะเขียนแทนด้วยวงกลม วงรี หรือสี่เหลี่ยมมุมมน ให้ออกมามีลักษณะเป็นห่วงหนึ่งวง เช่น "0" ในเลขอารบิก "๐" ในเลขไทย "〇" ในเลขจีน ขณะที่ในบางระบบเลขไม่มีสัญลักษณ์แทนเลขศูนย์ และบางระบบก็อาศัยการเว้นว่างในของตำแหน่งนั้น ๆ แทน ในไทป์เฟซปัจจุบัน ความสูงของเลข 0 มักจะสูงเท่ากับเลขโดดอื่น ๆ ถึงแม้ว่าจะมีบางไทป์เฟซเช่นประเภท text figures จะมีความสูงเท่ากับอักษร x ตัวเล็ก (x-height) เท่านั้น

 60px|เลข 0 ขนาดเล็กลงพบได้ยากกว่า 60px|เลข 0 ปกติที่พบได้ทั่วไป
ในเครื่องคิดเลข นาฬิกา และเครื่องใช้ไฟฟ้าอื่น ๆ ที่มีตัวแสดงผลเจ็ดส่วน (seven-segment display) 0 มักจะแสดงด้วยส่วนรอบนอกหกส่วนเว้นตรงกลาง ถึงแม้ว่าเครื่องคิดเลขในอดีตบางรุ่นจะแสดงเพียงแต่สี่ส่วนตามภาพ

จำนวนหรือค่าของศูนย์ ไม่ได้มีความหมายเหมือนกับเลขโดดศูนย์ที่ใช้ในระบบเลขเชิงตำแหน่ง เลขโดดใด ๆ ที่อยู่ติดกันหลายตัวจะมีค่าประจำหลักไม่เท่ากัน ดังนั้นการใช้เลขโดดศูนย์ใส่ไว้ภายในก็เพื่อข้ามค่าประจำหลักบางค่าที่ไม่มี และให้ค่าประจำหลักที่ถูกต้องแก่เลขอื่นที่อยู่หน้าและหลัง แต่เลขโดดศูนย์ก็ไม่ได้จำเป็นเสมอไปในระบบเลขเชิงตำแหน่ง ตัวอย่างเช่น 02 ก็มีค่าเหมือน 2 เป็นต้น

ในการใช้งานบางอย่างที่พบได้ยากกว่า คือการใช้เลขโดด 0 ขึ้นต้นเป็นตัวแยกแยะ เช่นในเกมรูเลตต์ ตำแหน่ง 00 บนจานหมุนจะแตกต่างจากตำแหน่ง 0 (คนที่วางเงินพนันในช่อง 0 จะไม่ชนะถ้าลูกเหล็กตกลงในช่อง 00 และในทางกลับกัน) หรือในกีฬาบางชนิดที่ผู้แข่งขันจะต้องมีการกำหนดหมายเลข เช่นรถแข่งหมายเลข 07 จะแตกต่างกับรถอีกคันที่มีหลายเลข 7 เป็นต้น

 การแยกแยะเลข 0 กับอักษร O 
120px|thumb|left|การเปรียบเทียบระหว่างเลข 0 กับอักษร O
ตามธรรมเนียมที่ปฏิบัติกันมา ไทป์เฟซเพื่อการพิมพ์หลายชนิด ออกแบบรูปร่างของอักษร O (โอ) ให้กว้างและกลมมากกว่าเลข 0 ซึ่งรีและแคบ เพื่อให้เห็นความแตกต่าง  เดิมทีผู้ใช้เครื่องพิมพ์ดีดไม่มีการแยกแยะความแตกต่างระหว่างอักษร O หรือเลข 0 และในขณะนั้นเครื่องพิมพ์ดีดบางรุ่นก็ไม่มีแป้นแยกสำหรับเลข 0 โดยเฉพาะ เมื่อต้องการใช้จะต้องไปพิมพ์อักษร O แทน ความแตกต่างของเลข 0 กับอักษร O เพิ่งจะเห็นเด่นชัดเมื่อแสดงในจอคอมพิวเตอร์ 

เลข 0 ที่มีจุดตรงกลาง เริ่มต้นมีขึ้นเป็นทางเลือกบนจอภาพของ IBM 3270 ลักษณะปรากฏนี้ก็ได้นำมาใช้บนไมโครซอฟท์ วินโดวส์ ด้วยไทป์เฟซ Andalé Mono อีกลักษณะหนึ่งคือการใช้ขีดตั้งสั้น ๆ แทนจุดตรงกลาง สิ่งนี้อาจทำให้สับสนกับกับอักษรกรีกทีตา (Θ) บนจอภาพที่โฟกัสไม่ดี แต่ในทางปฏิบัติก็ไม่เกิดความสับสนเช่นนั้น เนื่องจากทีตาไม่ได้เป็นอักขระที่แสดงผลได้ (ในสมัยนั้น) และเป็นอักษรที่ใช้น้อยครั้ง

อีกรูปแบบหนึ่งคือเลข 0 ที่ขีดทับด้วยเครื่องหมายทับ (/) ใช้งานเป็นหลักในการเขียนรหัสด้วยลายมือก่อนที่จะแปลงไปบันทึกบนบัตรเจาะรูหรือเทป เคยใช้เป็นชุดกราฟิกแอสกีแบบเก่า ซึ่งพัฒนามาจากวงล้อพิมพ์ดีดใน ASR-33 Teletype รูปแบบนี้มีลักษณะคล้ายสัญลักษณ์เซตว่าง  หรือ  (U+2205) และอักษร Ø ที่มีใช้ในภาษากลุ่มเจอร์แมนิกเหนือ เครื่องกลและคอมพิวเตอร์บางเครื่องที่ผลิตโดย Burroughs/Unisys แสดงเลข 0 ที่ขีดทับด้วยเครื่องหมายทับกลับหลัง (\)

แต่ถึงกระนั้นก็ยังมีการกำหนดใช้ตรงข้ามกัน คืออักษร O ให้มีเครื่องหมายทับ และเลข 0 เขียนธรรมดา รูปแบบนี้สนับสนุนโดยกลุ่ม SHARE ซึ่งเป็นกลุ่มผู้ใช้ไอบีเอ็มที่มีชื่อเสียงกลุ่มหนึ่ง  เป็นที่แนะนำในการเขียนโปรแกรมภาษาฟอร์แทรนและภาษาอัลกอลโดยไอบีเอ็ม  และสนับสนุนโดยผู้ผลิตคอมพิวเตอร์เมนเฟรมบางราย ถึงแม้จะทำให้เกิดปัญหากับอักษร Ø สำหรับชาวสแกนดิเนเวียเพราะมีลักษณะอักษรเหมือนกันสองตัว อีกลักษณะหนึ่งที่มีใช้ในเครื่องพิมพ์รายบรรทัด (line printer) บางเครื่องในยุคก่อน คือเลข 0 ไม่มีการตกแต่งใด ๆ แต่จะเพิ่มหางหรือตะขอให้กับอักษร O ทำให้ดูคล้ายอักษร Q ที่กลับหัวหรืออักษรแบบลายมือ  

ฟอนต์บางชนิดที่ใช้กับคอมพิวเตอร์ ออกแบบอักษร O ให้กลม และออกแบบเลข 0 ให้เป็นเหลี่ยมจนคล้ายสี่เหลี่ยม ในขณะที่คอมพิวเตอร์ Texas Instruments TI-99/4A ได้นำเสนออักษร O ให้เป็นเหลี่ยม และแสดงเลข 0 ให้กลม

 ประวัติ 
ชาวบาบิโลนในตอนนั้นยังไม่ใช้เลข 0 แต่ใช้การเว้นช่องว่างในจำนวน แต่ก็ยังมีปัญหาเพราะการเว้นวรรคอาจทำให้สับสน ดังนั้นนักคณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลนจึงได้คิดสัญลักษณ์ขึ้นมาแทน ไม่ใช่ช่องว่างอีกต่อไป สัญลักษณ์ของบาบิโลนนี้ทำหน้าที่ระบุตำแหน่งได้ดี โดยจะพบเฉพาะกลางตัวเลขเท่านั้น จะไม่พบว่าอยู่หน้าและหลัง เลขศูนย์ของบาบิโลนยังคงแตกต่างจากศูนย์ในปัจจุบันคือเป็นเพียงสัญลักษณ์ กว่าพันปีให้หลังชาวมายาจึงคิดเลข 0 ขึ้น ความแตกต่างจากสัญลักษณ์ของชาวบาบิโลนคือ เลขศูนย์ของมายามีอยู่จริงไม่ใช่เป็นเพียงสัญลักษณ์ จากหลักฐานที่ว่าชาวมายาเรียกวันแรกของเดือนว่าวันที่ 0 เรียกวันสุดท้ายของเดือนว่าวันที่ 19 (หนึ่งเดือนมี 20 วัน) อาณาจักรมายาอยู่ไกลจากยุโรปมาก กว่ายุโรปจะรู้จักกับชาวมายาก็ผ่านไปถึงคริสต์ศวรรษที่ 16 หนึ่งพันปีหลังจากอดทนต่อความยุ่งยากในการคำนวณ นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียนามว่า พราหมณ์คุปตะ มหาวีระ และภัสการ สามารถคิดค้นเลขศูนย์และทำให้โลกรู้จักกับเลขศูนย์ตั้งแต่นั้น นิยามเกี่ยวกับเลขศูนย์ที่พราหมณ์คุปตะให้ไว้ เช่น 

การบวก "ผลรวมของจำนวนศูนย์กับจำนวนลบ ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ"

"ผลรวมของจำนวนศูนย์กับจำนวนบวก ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก"

"ผลรวมของจำนวนศูนย์กับจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนศูนย์" 

การลบ "จำนวนลบหักออกจากจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก"

"จำนวนบวกหักออกจากจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ"

"จำนวนศูนย์หักออกจากจำนวนลบได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบ"

"จำนวนศูนย์หักออกจากจำนวนบวกได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนบวก"

"จำนวนศูนย์หักออกจากจำนวนศูนย์ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนศูนย์"

พราหมณ์คุปตะมีปัญหาเกี่ยวกับการหารเลขศูนย์ เขาสามารถบอกได้ว่า 0 คูณกับจำนวน n ใด ๆ จะได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ แต่เมื่อเป็นการหาร ถ้า 0 เป็นตัวตั้งก็จะได้ผลลัพธ์เป็น เศษ 0/n หรือเท่ากับ 0 และเมื่อ 0 เป็นตัวหารก็จะได้ผลลัพธ์เป็น n/0 โดย 0 หารด้วย 0 มีค่าเท่ากับ 0 ต่อมา มหาวีระ นักคณิตศาสตร์ชาติเดียวกันจึงปรับปรุงนิยามของพราหมณ์คุปตะเสียใหม่เป็น "จำนวนใด ๆ คูณกับ 0 ได้ผลลัพธ์เป็น 0 และจะมีค่าเท่าเดิมถ้าหักออกด้วย 0" แต่เขาก็ยังผิดพลาดเมื่อนิยามว่า "จำนวนใด ๆ หารด้วย 0 จะมีค่าเท่าเดิม"

500 ปีต่อมา ภัสการนิยามการหารด้วย 0 ใหม่ว่า "จำนวนที่หารด้วย 0 จะมีค่าเป็นสัดส่วนโดยตัวส่วนเป็น 0 เศษส่วนนี้เรียกว่าจำนวนอนันต์ ซึ่งเป็นปริมาณที่มีตัวส่วนเป็น 0 และไม่อาจเปลี่ยนแปลงได้ ไม่ว่าจะมีการบวกเพิ่มหรือหักออกมากเท่าใดก็ตาม เช่นเดียวกับจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นกับเทพเจ้าเมื่อโลกได้ถือกำเนิดหรือสลายไป หรือสรรพสิ่งที่ได้มอบให้ (กับ) หรือออกมา (จากพระเจ้า) " แต่ก็ยังไม่สมบูรณ์อยู่ดี เพราะเขายังไม่สามารถมองทะลุไปจนถึงความจริงที่ว่า จำนวนใด ๆ ไม่สามารถหารด้วย 0 ได้

การที่ชาวอินเดียรู้จักกับเลข 0 ได้ลึกซึ้ง ส่วนหนึ่งมาจากความเชื่อทางศาสนาพราหมณ์ ฮินดู หรือพุทธ ต่างพูดถึงความว่างเปล่า นอกจากนี้ ชาวอินเดียยังเป็นอารยธรรมแรก ๆ ที่มีการใช้จำนวนขนาดมโหฬารด้วย อย่างเช่น มีเทพเจ้า 330 ล้านองค์ หรือในหนังสือรามายณะซึ่งพูดถึงกองทหารจำนวนหนึ่งที่ตามด้วย 0 ถึง 62 ตัว หรือแม้แต่ความเชื่อเรื่องกลียุคที่กินเวลายาวนานถึง 432,000 ปี จำนวนเหล่านี้จะบันทึกไม่ได้เลยถ้าไม่มีเลข 0

เมื่อเลข 0 กำเนิดขึ้นจึงได้มีการนำไปใช้พัฒนาแนวคิดทางคณิตศาสตร์ ที่เด่นชัดที่สุดคือการที่ชาวอาหรับนำตัวเลขทั้ง 10 ตัวไปใช้อย่างแพร่หลายทั่วโลกในชื่อของ "เลขอาหรับ" นั่นเอง

 ในทางคณิตศาสตร์ 
แม้ว่าโดยทั่วไปจะถือว่าศูนย์ไม่มีค่าในเชิงปริมาณ แต่มีคุณสมบัติในเชิงคำนวณหลายประการด้วยกัน หากไม่มีเลขศูนย์ การคำนวณจะทำได้ยาก คุณสมบัติโดยทั่วไปของศูนย์ มีดังนี้
เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ 
 a 1 = 1 (a) (การคูณ)
 a+0 = a (การบวก)
 a-0 = a
 a ยกกำลัง 0 = 1 ； ถ้า a ไม่เท่ากับ 0
 0 ไม่สามารถเป็นตัวหารของจำนวนใด ๆ ได้
 0 = a+ (-a)
 0 มีค่ามากกว่าจำนวนลบทุกจำนวน
 0 มีค่าน้อยกว่าจำนวนบวกทุกจำนวน
 0 ไม่สามารถหาตัวประกอบได้
 0 บอกดีกรีแน่นอนไม่ได้