# พาย (ค่าคงตัว)
พาย หรือ ไพ (อักษรกรีก:  ภาษาอังกฤษ: pi)เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เกิดจากความยาวเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ค่า π มักใช้ในคณิตศาสตร์, ฟิสิกส์ และวิศวกรรม π เป็นอักษรกรีกที่ตรงกับตัว "p" ในอักษรละติน มีชื่อว่า "pi" (อ่านว่า พาย ในภาษาอังกฤษ แต่อ่านว่า พี ในภาษากรีก) บางครั้งเรียกว่า ค่าคงตัวของอาร์คิมิดีส (Archimedes' Constant) หรือจำนวนของลูดอล์ฟ (Ludolphine number หรือ Ludolph's Constant)

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด π มีนิยามว่าเป็นอัตราส่วนของเส้นรอบวงหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม หรือเป็นอัตราส่วนของพื้นที่วงกลม หารด้วย รัศมียกกำลังสอง ในคณิตศาสตร์ชั้นสูงจะนิยาม π โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น π คือจำนวนบวก x ที่น้อยสุดที่ทำให้ sin (x) = 0
360px|thumb|การเกิดค่าพาย

ค่า π โดยประมาณ 125 ตำแหน่งคือ

 
ส่วนมากจะใช้ค่าประมาณ คือ 3.14159...

แม้ว่าค่านี้มีความละเอียดพอที่จะใช้ในงานวิศวกรรมหรือวิทยาศาสตร์แล้ว ปัจจุบันมีการคำนวณค่า π ได้หลายตำแหน่ง ซึ่งหาได้ทั่วไปจากอินเทอร์เน็ต คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลโดยทั่วไปสามารถคำนวณค่า π ได้พันล้านหลัก ขณะที่ซูเปอร์คอมพิวเตอร์คำนวณค่า π ได้เกินล้านล้านหลัก และไม่พบว่ามีรูปแบบที่ซ้ำกันของค่า π ปรากฏอยู่

 สูตรที่เกี่ยวข้องกับ π 

alt=An complex black shape on a blue background.|thumb|สามารถคำนวณไพได้จาก เซตม็องแดลโบรต, โดยการคำนวณจำนวน iterations required before point  diverges.
 เรขาคณิต 

π มักปรากฏในสูตรที่เกี่ยวกับวงกลมและทรงกลม

รูปร่างทางเรขาคณิตสูตรเส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมี r และเส้นผ่านศูนย์กลาง dพื้นที่ของวงกลมที่มีรัศมี rพื้นที่ของวงรีที่มีแกนเอก a และแกนโท bปริมาตรของทรงกลมที่มีรัศมี r และเส้นผ่านศูนย์กลาง dพื้นที่ผิวของทรงกลมที่มีรัศมี rปริมาตรของทรงกระบอกที่สูง h และรัศมี rพื้นที่ผิวของทรงกระบอกที่สูง h และรัศมี rปริมาตรของกรวยที่สูง h และรัศมี rพื้นที่ผิวของกรวยที่สูง h และรัศมี r

 การวิเคราะห์ 

 François Viète, 1593:

 สูตรของไลบ์นิซ:

หรือเขียนอีกแบบได้เป็น:

 ผลคูณของ Wallis:

 

 สูตรปริพันธ์จากแคลคูลัส:

 ปัญหาของBasel, ถูกแก้เป็นครั้งแรกโดย ออยเลอร์ (ดูเพิ่มเติม ฟังก์ชันซีตาของรีมันน์):

 ฟังก์ชันแกมมา เมื่อหาค่า 1/2:

 สูตรของสเตอร์ลิง:

 เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (เรียกโดย ริชาร์ด ไฟน์แมน):

 เศษส่วนต่อเนื่อง 
π เขียนในรูปเศษส่วนต่อเนื่องได้หลายแบบ เช่น

 ทฤษฎีจำนวน 
 ความน่าจะเป็นในการสุ่มจำนวนเต็มขึ้นมา 2 จำนวน แล้วเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน เท่ากับ 6/π2                    ...

 ฟิสิกส์ 
 หลักการความไม่แน่นอนของไฮเซนเบิร์ก:

 สมการสนามของไอน์สไตน์ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป:

 กฎของคูลอมบ์ สำหรับแรงไฟฟ้า:

 สูตรที่นอกเหนือจากคณิตศาสตร์ 
 การอธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพ 
แม้ว่า  จะไม่เป็นค่าคงตัวทางฟิสิกส์ แต่ก็มีปรากฏในสมการที่ใช้อธิบายเกี่ยวกับหลักการพื้นฐานของจักรวาลอยู่บ่อยครั้ง เนื่องจากความสัมพันธ์ของ  กับวงกลม และระบบพิกัดทรงกลม จากสูตรง่าย ๆ จากกลศาสตร์ดั้งเดิม เช่น ให้ระยะเวลาโดยประมาณเป็น   ของลูกตุ้มที่มีความยาว  แกว่งด้วยแอมพลิจูดขนาดเล็ก (คือ ความเร่งโน้มถ่วงของโลก)Halliday, David; Resnick, Robert; Walker, Jearl, Fundamentals of Physics, 5th Ed., John Wiley & Sons, 1997, p. 381, .

หนึ่งในสูตรสำคัญของกลศาสตร์ควอนตัมคือหลักความไม่แน่นอนของไฮเซนแบร์ก ซึ่งแสดงให้เห็นความไม่แน่นอนในการวัดตำแหน่งของอนุภาค (Δ) และโมเมนตัม (Δ) ซึ่งไม่สามารถมีขนาดเล็กโดยปราศจากเหตุผลในเวลาเดียวกันได้ (เมื่อ  เป็นค่าคงตัวของพลังค์)

ความจริงที่ว่า  มีค่าประมาณเท่ากับ 3 นั้น มีบทบาทในอายุการใช้งานที่ยาวนานของออร์โธโพสิโทรเนียม ซึ่งอายุการใช้งานนั้นจะผกผันไปสู่ลำดับต่ำสุดในค่าคงที่โครงสร้างละเอียด  คือ

เมื่อ  คือมวลของอิเล็กตรอน