wannaphong/clean_thaiwikipedia huggingface dataset:
# อุทยานแห่งชาติภูเวียง
อุทยานแห่งชาติภูเวียง ตั้งอยู่ในท้องที่ของอำเภอภูเวียง อำเภอเวียงเก่า อำเภอหนองนาคำ อำเภอสีชมพู และอำเภอชุมแพ จังหวัดขอนแก่น

ลักษณะภูมิประเทศ
อุทยานแห่งชาติภูเวียง มีลักษณะภูมิประเทศโดยทั่วไปเป็นเทือกเขาล้อมรอบเป็นวงอยู่ 2 ชั้น ตรงกลางเป็นแอ่งขนาดใหญ่ คล้ายแอ่งกระทะซึ่งเป็นที่ราบและลอนลาด ส่วนพื้นที่โดยรอบแอ่งมีลักษณะเป็นเทือกเขาซึ่งมีมุมเทเข้าหาใจกลางแอ่ง ประกอบด้วยเทือกเขาที่มีความลาดชันปานกลางถึงลาดชันสูง เทือกเขาชั้นนอกสุดมียอดเขาสูงสุด 844 เมตร จากระดับน้ำทะเลปานกลาง บริเวณทิศตะวันตกเฉียงใต้ของพื้นที่ และเทือกเขาชั้นในมียอดเขาสูงสุด 470 เมตร จากระดับน้ำทะเลปานกลาง บริเวณทิศเหนือของพื้นที่เทือกเขาชั้นในนี่เองที่เป็นแหล่งฟอสซิลไดโนเสาร์ ส่วนระดับต่ำสุดของเชิงเขาอยู่ระดับ 210 เมตร จากระดับน้ำทะเลปานกลาง 

อุทยานแห่งชาติภูเวียงตั้งอยู่บนที่ราบสูงโคราชมีลักษณะเป็นหินตะกอนหรือหินชั้น ซึ่งเกิดจากการสะสมตัวของตะกอนบนแผ่นดินหนากว่า 4,000 เมตร ชั้นของหินตะกอนมักมีสีแดงเกือบทั้งหมดเรียกว่าหินชั้นตะกอนแดง หรือกลุ่มหินโคราช ประกอบด้วย หน่วยหินเขาพระวิหาร หินเสาขัว หินภูพาน และหินโคกกรวด หินดังกล่าวถูกปกคลุมด้วยตะกอนร่วนและดินยุคควอเทอร์นารี่ และยุคปัจจุบัน ซึ่งในพื้นที่อุทยานแห่งชาติภูเวียงนั้นยังมีการสำรวจสายแร่ยูเรเนียมในพื้นที่อีกด้วย อุทยานแห่งชาติภูเวียงเป็นแหล่งต้นน้ำลำธารของห้วยทรายขาวซึ่งจะไหลลงลำน้ำพอง ห้วยบั้งทิ้ง ห้วยน้ำไหล ซึ่งจะไหลลงลำน้ำเชิญ ห้วยเรือ ห้วยขุมปูน ห้วยน้ำบอง และห้วยมะนาว ซึ่งจะไหลลงห้วยบอง ทั้งลำน้ำพอง หัวยบอง และลำน้ำเชิญ จะไหลลงอ่างเก็บน้ำอุบลรัตน์

เมื่อประมาณปี พ.ศ. 2519 ได้มีการค้นพบรอยเท้าและซากกระดูกไดโนเสาร์ และสัตว์โลกดึกดำบรรพ์อายุเกือบ 200 ล้านปี

ลักษณะภูมิอากาศ
อุทยานแห่งชาติภูเวียงได้รับอิทธิพลจากลมมรสุมตะวันออกเฉียงใต้ จึงแบ่งออกเป็น 3 ฤดู ดังนี้ 
ฤดูร้อน เริ่มต้นตั้งแต่ระหว่างเดือนมีนาคม – เมษายน อุณหภูมิเฉลี่ยสูงสุดในเดือนเมษายน 36.5 องศาเซลเซียส 
ฤดูฝน เริ่มต้นตั้งแต่ระหว่างเดือนพฤษภาคม – ตุลาคม ปริมาณน้ำฝนเฉลี่ยรายปี 1,199 มิลลิเมตร 
ฤดูหนาว เริ่มต้นตั้งแต่ระหว่างเดือนพฤศจิกายน - กุมภาพันธ์ อุณหภูมิเฉลี่ยต่ำสุดในเดือนธันวาคม 16.6 องศาเซลเซียส

แหล่งท่องเที่ยว
ด้านธรรมชาติ
 ทุ่งกูกดิ
 ทุ่งใหญ่เสาอาราม
 น้ำตกซำจำปา
 น้ำตกตาดกลาง
 น้ำตกตาดจำปา
 น้ำตกตาดฟ้า
 น้ำตกตาดฮางริน
 น้ำตกทับพญาเสือ
 น้ำตกวังสักสิ่ว
 โปร่งยุบ
 สุสานหอย
 หินลาดกกกุ่ม
 อ่างเก็บน้ำหัวภูชน

ด้านธรณีวิทยาและประวัติศาสตร์
 ถ้ำคนนอน
 ถ้ำฝ่ามือแดง
 ถ้ำหินลาดหัวเมย
 พระพุทธไสยาสน์
 ร่องน้ำจั่น
 รอยพิมพ์เท้าไดโนเสาร์ ที่หินลาดป่าชาด
 ซากไดโนเสาร์ ที่สามารถเยี่ยมชมได้มี 4 หลุม ได้แก่ (ดูเพิ่มที่บทความ พิพิธภัณฑ์ไดโนเสาร์ภูเวียงและแหล่งขุดค้นไดโนเสาร์ในอุทยานแห่งชาติภูเวียง)
 หลุมขุดค้นที่ 1 ภูประตูตีหมา
 หลุมขุดค้นที่ 2 ถ้ำเจีย
 หลุมขุดค้นที่ 3 ห้วยประตูตีหมา
 หลุมขุดค้นที่ 9 หินลาดยาว
# เมทริกซ์แต่งเติม
เมทริกซ์แต่งเติม  คือเมทริกซ์ที่เกิดจากการรวมกันของเมทริกซ์อื่นสองเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากัน เพื่อประโยชน์ในการคำนวณหาตัวผกผันของเมทริกซ์และการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเป็นต้น

ตัวอย่าง กำหนดให้เมทริกซ์ A และ B

จะได้เมทริกซ์แต่งเติม (A|B) เท่ากับ

ตำราบางเล่มอาจใช้เส้นตรงคั่นระหว่างกลางในตัวเมทริกซ์ เพื่อแยกแยะว่าสมาชิกตัวไหนเป็นของเมทริกซ์ใด

 การนำไปใช้ 
 เมทริกซ์ผกผัน 
สำหรับเมทริกซ์จัตุรัสที่ไม่เป็นเมทริกซ์เอกฐาน สามารถมีตัวผกผันได้ทุกเมทริกซ์ โดยการคำนวณผ่านเมทริกซ์แต่งเติมเป็นอีกวิธีหนึ่งที่ทำได้ เช่น กำหนดให้เมทริกซ์ C

การหาเมทริกซ์ผกผันเริ่มจากการนำเมทริกซ์เริ่มต้น มาผนวกกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีมิติเท่ากัน เป็นเมทริกซ์ (C|I)

แล้วใช้การดำเนินการตามแถวบนเมทริกซ์ (C|I) จนกระทั่งเมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และได้ตัวผกผันของเมทริกซ์ที่ซีกขวา

 ระบบสมการเชิงเส้น 
เมทริกซ์แต่งเติมมีส่วนช่วยในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น สมการจะต้องมีจำนวนไม่ต่ำกว่าจำนวนตัวแปรของทั้งระบบสมการ เช่นตัวแปรมี 3 ตัว จำเป็นต้องใช้ 3 สมการ ดังตัวอย่าง

เมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายจะประกอบไปด้วยสัมประสิทธิ์ของตัวแปรที่อยู่ตามลำดับ ส่วนซีกขวาเป็นค่าคงตัวของสมการนั้นๆ

เราจะได้เมทริกซ์แต่งเติม (A|B)

แล้วใช้การดำเนินการตามแถวบนเมทริกซ์ (A|B) จนกระทั่งเมทริกซ์แต่งเติมซีกซ้ายกลายเป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และได้ค่าของตัวแปรแต่ละตัวที่ซีกขวา

ตแต่งเติม
# องแซแตเมอาโกซ
"องแซแตเมอาโกซ" (, "เราเคยรักกันเพราะเหตุว่า") เป็นซิงเกิลที่ 4 ของเซลีน ดิออน จากอัลบัม แดล ได้รับการเผยแพร่ทางนีวิทยุเป็นครั้งแรกในรัฐเกแบ็ก ประเทศแคนาดา เมื่อวันที่ 20 สิงหาคม พ.ศ. 2550

เนื้อเพลงประพันธ์โดยฟร็องซวซ ดอแร็ง ส่วนทำนองโดยมาร์ก ดูว์เพร และมีฌ็อง-ฟร็องซัว โบร เป็นผู้อำนวยเพลงนี้ ทั้งนี้ ฟร็องซวซยังเป็นผู้ประพันธ์เพลง "เอซีลน็องแร็สแตกูน (เฌอเซอแรแซล-ลา)" กับทั้งเซลีนยังเคยร่วมงานกับผู้ประพันธ์ทำนองและผู้อำนวยเพลงทั้งสองในเพลง "ปลูว์โอเกอมัว (Plus haut que moi)" เมื่อ พ.ศ. 2536 และเพลง "ตูแพรดูว์บอเนอร์" ใน พ.ศ. 2548 อีกด้วย

ไม่มีมิวสิกวิดีโอองแซแตเมอาโกซ

ทั้งนี้ เพลงองแซแตเมอาโกซยังมีฉบับหนึ่งซึ่งบันทึกเสียงในภายหลัง เรียก เพลง "อาโกซ" ซึ่งมีทำนองเร็ว

เพลงองแซแตเมอาโกซสขึ้นสู่อันดับสูงสุดที่ 5 ในชาร์ทเกแบ็กแอร์เพลเมื่อวันที่ 15 ตุลาคม พ.ศ. 2550

 รูปแบบและรายชื่อเพลง 

ซิงเกิลวิทยุหนึ่งเพลง (ประเทศแคนาดา)

"องแซแตเมอาโกซ" – 4:04

 ชาร์ต 
ชาร์ต (พ.ศ. 2550)ตำแหน่งสูงสุดCanadian MSN Music Store All Track Downloads53Canadian MSN Music Store Pop Track Downloads17Canadian Palmares Digital Singles12Canadian Palmares Pop Digital Singles6Canadian Radio & Records AC National Airplay23Quebec Radio Correspondants Francophone Chart5Quebec RockDétente Radio Chart1Quebec Rythme FM Radio Chart1
# เมทริกซ์เครื่องหมาย
เมทริกซ์เครื่องหมาย  คือเมทริกซ์ทแยงมุมที่มีสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักเป็น +1 หรือ −1 เท่านั้น ส่วนสมาชิกอื่นเป็น 0 สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบทั่วไปดังนี้
 

เมทริกซ์เครื่องหมายทุกเมทริกซ์เป็นเมทริกซ์อาวัตนาการ (involutory matrix) กล่าวคือตัวผกผันของเมทริกซ์มีค่าเท่ากับเมทริกซ์ตัวเดิม เมทริกซ์เครื่องหมายเป็นผลลัพธ์ที่เกิดจากการหารากที่สองของเมทริกซ์เอกลักษณ์ อย่างไรก็ตาม รากที่สองของเมทริกซ์เอกลักษณ์ ไม่ได้มีคำตอบเป็นเมทริกซ์เครื่องหมายเพียงอย่างเดียว

เนื่องจากเมทริกซ์เครื่องหมายเป็นทั้งเมทริกซ์อาวัตนาการและเมทริกซ์สมมาตร ดังนั้นเมทริกซ์เครื่องหมายจึงจัดว่าเป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก (orthogonal matrix) ซึ่งทำให้การแปลงเชิงเส้นที่ใช้เมทริกซ์เครื่องหมาย เกิดคุณสมบัติสมมิติ (isometry)

คเครื่องหมาย
# เมทริกซ์แลกเปลี่ยน
เมทริกซ์แลกเปลี่ยน  คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่ประกอบด้วยสมาชิกบนเส้นทแยงมุมรองเป็น 1 และสมาชิกอื่นเป็น 0 หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง เมทริกซ์แลกเปลี่ยนมีลักษณะคล้ายเมทริกซ์เอกลักษณ์ แต่การเรียงตัวของเลข 1 กลับทิศทางกัน (จากมุมล่างซ้ายไปยังมุมบนขวา ↗) เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  หรือเพียงแค่  (เจ) ตัวอย่างเมทริกซ์แลกเปลี่ยนเช่น

นิยามทั่วไปของเมทริกซ์แลกเปลี่ยนประกอบด้วยนิยามดังนี้

ซึ่ง J เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n×n

 คุณสมบัติ 
 
  เมื่อ n เป็นจำนวนคู่ และ  เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
 ดังนั้นเมทริกซ์แลกเปลี่ยนจึงเป็นเมทริกซ์อาวัตนาการ (involutory matrix) ชนิดหนึ่ง เพราะว่า 
 รอยเมทริกซ์ (trace) ของ J มีค่าเท่ากับ 0 เมื่อ n เป็นจำนวนคู่ และเป็น 1 เมื่อ n เป็นจำนวนคี่
 เมทริกซ์ A ใด ๆ ที่ทำให้เงื่อนไข  เป็นจริง เมทริกซ์ A นั้นจะเป็นเมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลาง (centrosymmetric matrix)

ลแลกเปลี่ยน
# ลำดับเรขาคณิต
ในทางคณิตศาสตร์ ลำดับเรขาคณิต  คือลำดับของจำนวนซึ่งอัตราส่วนของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งอัตราส่วนนั้นเรียกว่า อัตราส่วนร่วม (common ratio) ตัวอย่างเช่น ลำดับ 2, 6, 18, 54, ... เป็นลำดับเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ 3 และลำดับ 10, 5, 2.5, 1.25, ... มีอัตราส่วนเท่ากับ 0.5 เป็นต้น

ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของลำดับเรขาคณิตลำดับหนึ่งคือ a1 และมีอัตราส่วนร่วม r ≠ 0 ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ
 
หรือในกรณีทั่วไป จะได้
 
หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด
 

 สมบัติเบื้องต้น 
การที่จะทำให้ทราบได้ว่าลำดับที่กำหนดให้เป็นลำดับเรขาคณิตหรือไม่ สามารถตรวจสอบได้จากอัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกัน ซึ่งจะมีค่าเท่ากันทั้งลำดับ อัตราส่วนร่วมอาจเป็นค่าติดลบก็ได้ ซึ่งจะทำให้เกิดลำดับสลับเครื่องหมาย หมายความว่าจำนวนจะสลับเครื่องหมายบวกลบตลอดทั้งลำดับ เช่น 1, −3, 9, −27, 81, −243, ... เป็นลำดับเรขาคณิตซึ่งมีอัตราส่วนร่วมเท่ากับ −3

พฤติกรรมของจำนวนในการลำดับเรขาคณิตขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วนร่วม ดังนี้
 ถ้าเป็นจำนวนบวก ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายเหมือนกับพจน์แรก
 ถ้าเป็นจำนวนลบ ทุกพจน์จะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน
 ถ้ามากกว่า 1 ลำดับนั้นจะเพิ่มแบบชี้กำลัง (exponential growth) ไปยังอนันต์
 ถ้าเท่ากับ 1 ลำดับนั้นจะคงที่ทุกพจน์
 ถ้ามีค่าอยู่ระหว่าง −1 ถึง 1 แต่ไม่เป็น 0 ลำดับนั้นจะลดแบบชี้กำลัง (exponential decay) ไปยัง 0
 ถ้าเท่ากับ −1 ลำดับนั้นจะมีเครื่องหมายบวกลบสลับกัน แต่ค่าตัวเลขไม่เปลี่ยนแปลง
 ถ้าน้อยกว่า −1 ค่าสัมบูรณ์ของพจน์ต่าง ๆ จะเพิ่มแบบชี้กำลังไปยังอนันต์
จะเห็นว่าลำดับเรขาคณิต (ที่มีอัตราส่วนไม่ใช่ −1, 1 หรือ 0) แสดงให้เห็นถึงการเพิ่มหรือการลดแบบชี้กำลัง ต่างกับการเพิ่ม (หรือลด) แบบเชิงเส้นของลำดับเลขคณิต แต่ลำดับทั้งสองชนิดก็มีความเกี่ยวข้องกัน นั่นคือ ถ้าหากใส่ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลงในทุกพจน์ของลำดับเลขคณิตก็จะได้ลำดับเรขาคณิต และหากใส่ฟังก์ชันลอการิทึมลงในทุกพจน์ของลำดับเรขาคณิตก็จะได้ลำดับเลขคณิต

 ผลรวม 

ผลรวมของสมาชิกในลำดับเรขาคณิต เรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต 
 

เราสามารถทำสูตรให้ง่ายขึ้นโดยการคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย  แล้วเราจะได้
 
ซึ่งพจน์อื่น ๆ จะตัดกันหายไปหมด จัดรูปแบบใหม่ จะได้สูตรสำหรับคำนวณผลรวม โดยที่ r ≠ 1
 
ดังนั้นกรณีทั่วไปของสูตรนี้คือ
 

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ คูณทั้งสองข้างด้วย 
 
จะได้สูตร
 

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่
 
จะได้สูตร
 

 อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด 
อนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัด คืออนุกรมเรขาคณิตที่มีจำนวนพจน์ไม่จำกัดหรือเป็นจำนวนอนันต์ อนุกรมนี้จะลู่เข้าค่าใดค่าหนึ่งก็ต่อเมื่อ ค่าสัมบูรณ์ของอัตราส่วนร่วมมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง  ค่าของอนุกรมเรขาคณิตไม่จำกัดสามารถคำนวณได้จากสูตรของผลรวมจำกัด
 

ซึ่ง  จะมีค่าเข้าใกล้ 0 เมื่อ k มีค่าเข้าใกล้อนันต์และ  ดังนั้น
 

สำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีแต่เลขชี้กำลังของ r เป็นจำนวนคู่ จะได้สูตร
 

ส่วนเลขชี้กำลังของ r ที่มีแต่จำนวนคี่ จะได้สูตร
 

โดยที่สูตรทั้งหมดด้านบนจะใช้ได้เมื่อ  เท่านั้น นอกเหนือจากนี้จะเป็นอนุกรมลู่ออก

 ผลคูณ 
ผลคูณของลำดับเรขาคณิตก็คือผลคูณของทุกพจน์ในลำดับ และถ้าหากพจน์ทั้งหมดเป็นจำนวนบวก เราจะสามารถคำนวณผลคูณได้ด้วยการหาค่ามัชฌิมเรขาคณิตของพจน์แรกกับพจน์สุดท้าย แล้วยกกำลังด้วยจำนวนพจน์ทั้งหมด ดังนี้
  เมื่อ 

พิสูจน์
กำหนดให้ผลคูณของลำดับเลขคณิตแทนด้วย P
 

รวมผลจากการคูณเข้าด้วยกัน จะได้
 

นำสูตรผลรวมของอนุกรมเลขคณิตมาใช้กับเลขชี้กำลังของ r
 
 

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
 

และในที่สุดก็จะได้
# ภาษาเวสทรอน
ภาษาเวสทรอน  เป็นภาษาประดิษฐ์ของ เจ. อาร์. อาร์. โทลคีน ที่ใช้ในนิยายชุด มิดเดิลเอิร์ธ ในฉบับนิยายถือว่า ภาษาเวสทรอนเป็นเสมือน 'ภาษากลาง' ของโลกแห่งนั้น โดยเฉพาะในยุคสมัยในเรื่อง เดอะลอร์ดออฟเดอะริงส์ คำว่า "เวสทรอน" เป็นคำภาษาอังกฤษที่เลือกมาใช้ในการ 'แปล' ภาษานี้ (ตามที่โทลคีนว่า) มีที่มาจากคำว่า "ตะวันตก" (West) ซึ่งเป็นรากคำดั้งเดิมมาจากคำว่า อดูนิ (Adûni) ในภาษาอดูนาอิก ของชาวนูเมนอร์  ชื่อภาษาเวสทรอนในภาษาซินดารินเรียกว่า อันนูไนด์ (Annúnaid) หมายถึง ภาษาของชาวตะวันตก (Westron) บางครั้งก็เรียกว่า ฟาลาเธรน (Falathren) หมายถึง ภาษาชาวฝั่ง (Shore-language)

ภาษาเวสทรอนพัฒนามาจากภาษาอดูนาอิกของชาวนูเมนอร์ หลังจากที่ชาวนูเมนอร์เริ่มบุกเบิกและติดต่อสมาคมกับมนุษย์ทางชายฝั่งตะวันตกของทวีปมิดเดิลเอิร์ธ จึงใช้ภาษานี้แพร่หลายทั่วไป แต่รากฐานดั้งเดิมของภาษานี้ก็มาจาก ภาษาของชาวเบออร์และฮาดอร์ ซึ่งเป็นชาวเอไดน์ บรรดามนุษย์ทางชายฝั่งตะวันตกเหล่านั้นก็มีบรรพบุรุษเดียวกันกับชาวเอไดน์ ในภายหลังชนเหล่านี้เป็นพลเมืองท้องถิ่นของอาณาจักรกอนดอร์ และอาร์นอร์

ภาษาเวสทรอนใช้แพร่หลายอยู่ตามแนวชายฝั่ง และตลอดทั่วทั้งเขตแคว้นเอเรียดอร์ แต่ดินแดนอื่นๆ เช่น โรห์วาเนียน ไม่ได้ใช้ภาษานี้ด้วย ชนพื้นเมืองที่เป็นมนุษย์ในหลายๆ ท้องถิ่นมีภาษาเป็นของตัวเอง เช่นชาวดันเลนดิง มนุษย์บนเทือกเขาขาว เป็นต้น

ตามท้องเรื่องที่ปรากฏใน เดอะฮอบบิท และ เดอะลอร์ดออฟเดอะริงส์ โทลคีนบอกว่าเขาได้แปลเรื่องทั้งหมดจากภาษาเวสทรอน ออกมาเป็นภาษาอังกฤษ ตัวอย่างการถอดความที่สำคัญเช่น ชื่อของตัวละครต่างๆ  เมอเรียด็อค แบรนดี้บั๊ก  เป็นชื่อในภาษาอังกฤษที่แปลมาจากชื่อจริงของเขาว่า คาลิมัก บรันดากัมบา (Kalimac Brandagamba) ชื่อย่อว่า คาลิ (หมายถึง ความสนุกสนานรื่นเริง)  ชื่อ เมอเรียด็อค และชื่อย่อ เมอร์รี่ จึงเป็นชื่อที่ถอดความมาจากภาษาเวสทรอนให้คงความหมายดั้งเดิมไว้  หรือชื่อ เปเรกริน ตุ๊ก กับชื่อย่อ ปิ๊ปปิ้น ก็มาจากชื่อจริงว่า ราซานัวร์ ทูค (Razanur Tûk) ชื่อย่อว่า ราซาร์ (หมายถึง แอ๊ปเปิ้ลผลเล็กๆ) ที่ถอดความมาให้ได้ความหมายใกล้เคียงกันนั่นเอง

นอกจากนี้ยังมีชื่อสถานที่อื่นๆ ที่ตั้งชื่อไว้ในภาษาเวสทรอน เช่น "ริเวนเดลล์" (ภาษาซินดาริน เรียกว่า "อิมลาดริส" หมายถึง หุบเขาในร่องผา) มาจากชื่อจริงว่า "คาร์นินกุล" (Karningul)  หรือ "แบ๊กเอนด์" มาจากคำว่า "ลาบิน-เนค" (Labin-nec) เป็นชื่อสถานที่ที่ตั้งตามชื่อนามสกุล "ลาบินกิ" (Labingi) หรือ "แบ๊กกิ้นส์" นั่นเอง 

คำในภาษาเวสทรอนต่างๆ ที่ยกมานี้ เป็นงานที่โทลคีนประดิษฐ์ขึ้นภายหลังการเขียนนิยายเป็นเวลาหลายปี แต่เขาไม่ได้สร้างภาษานี้ไว้ให้สมบูรณ์มากพอจะใช้งานได้ เหมือนอย่างภาษาเควนยา หรือภาษาซินดาริน
# พิซซ่าฮัท
พิซซ่าฮัท (Pizza Hut) เป็นธุรกิจแฟรนไชส์ร้านอาหารพิซซ่า เริ่มก่อตั้งในปี พ.ศ. 2501 โดยสองพี่น้อง แฟรงค์ และ แดน คาร์นี ชาวเมืองวิชิทอ รัฐแคนซัส ประเทศสหรัฐอเมริกา โดยเปิดร้านแรกที่เมืองวิชิทอ รัฐแคนซัส และในปีถัดมา พ.ศ. 2502 พิซซ่าฮัทได้เริ่มระบบตัวแทนจำหน่าย (แฟรนส์ไชส์) "ร้านพิซซ่าฮัท" โดยร้านตัวแทนแห่งแรกอยู่ที่เมืองโทเพกา รัฐแคนซัส ซึ่งร้านตัวแทนสาขาจะต้องทำตามสูตรการทำพิซซ่าต้นตำรับ และทางด้านการบริหารต้องได้รับการอบรมจากสองพี่น้องตระกูลคาร์นีย์

พิซซ่าฮัทมีสาขาต่างประเทศครั้งแรกในปี พ.ศ. 2511 ที่ประเทศแคนาดา ต่อมาในปี พ.ศ. 2520 พิซซ่าฮัท อิงค์รวมตัวเข้ากับ เป๊ปซี่ โค ไอเอ็นซี (Pepsi Co., Inc.) และได้เริ่มโครงการขยายสาขาไปทั่วโลก 

ต่อมา เป๊ปซี่ โค อิงค์ มีนโยบายแยกตัวกลุ่มธุรกิจร้านอาหารในเครือ ซึ่งได้แก่ พิซซ่าฮัท เคเอฟซี และ ทาโก้เบลล์ และได้ก่อตั้งเป็นบริษัท ไทรคอน โกลบอล เรสเทอรองตส์ จำกัด (Tricon Global Restaurants) เมื่อวันที่ 7 ตุลาคม พ.ศ. 2540

เดือนพฤษภาคม ปี พ.ศ. 2545 ไทรคอน โกลโบล เรสเทอรองตส์ (Tricon Global Restaurants) เปลี่ยนชื่อเป็น ยัม! แบรนด์ส ไอเอ็นซี (Yum! Brands, Inc.) และ ไทรคอน เรสเทอรองตส์ อินเตอร์เนชั่นแนล (Tricon Restaurants International) เปลี่ยนเป็น ยัม! เรสเทอรองตส์ อินเตอร์เนชั่นแนล (Yum Restaurants International) หลังจากได้เข้าซื้อกิจการร้านอาหารลอง จอห์น ซิลเวอร์ และ เอ แอนด์ ดับบลิว จึงทำให้มีแบรนด์อาหารเพิ่มขึ้นเป็น 5 แบรนด์คือ เคเอฟซี, พิซซ่าฮัท, ทาโก้ เบลล์, ลอง จอห์น ซิลเวอร์ และ เอ แอนด์ ดับบลิว
# อีโม
อีโม   คือแนวดนตรีร็อกประเภทหนึ่งที่อธิบายถึงแนวเพลงหลายประเภทรวมกันที่มีการถกเถียงที่มาว่ามีที่มาจากแนวดนตรีแนวไหน ในช่วงกลางคริสต์ทศวรรษ 80 คำว่าอีโมเคยถูกอธิบายเป็นหนึ่งในแนวย่อยของฮาร์ดคอร์พังก์ ที่มีต้นกำเนิดในวอชิงตัน ดี.ซี. ในช่วงกลางคริสต์ทศวรรษ 80 คำว่าอีโมมีที่มาจากข้อเท็จจริงที่สมาชิกในวงบางครั้งจะใส่อารมณ์ (emotional) ในการแสดงบวกกับแต่ละวงมักจะมีแฟนคลับหรือสาวกที่มีชื่อเรียกอย่าเป็นทางการ เช่น blessthefall (ยุคแรก) black veil brides จะมี BVB Army เป็นต้น สังเกตได้จากวงอีโมในยุคแรก ๆ อย่างไรตส์ออฟสปริง, เอ็มเบรซ และวันลาสต์วิช

คำว่าอีโมย่อมาจาก "อีโมชันนัลฮาร์ดคอร์" (emotional hardcore) เน้นการแสดงสดที่เน้นถึงอารมณ์และความรู้สึก แต่แตกต่างจากฮาร์ดคอร์ เนื่องจากเนื้อหาในสัดส่วนของอีโมร็อกนั้นเน้นสำรวจความรู้สึกภายในจิตใจของตัวเอง มากกว่าวนเวียนด่าถึงสิ่งที่อยู่รอบข้างตัวเอง โดยในช่วงคริสต์ทศวรรษ 90 มีวงอีโมเกิดขึ้นมาโดยเฉพาะจากย่านมิดเวสต์หลายวง ไม่ว่าจะเป็นเดอะเก็ตอัปหรือจิมมีอีตเวิลด์ที่ได้รับอิทธิพลมาแบบเต็ม ๆ จากวงรุ่นพี่อย่าง ฟูกาซิ

จนกระทั่งปลายคริสต์ทศวรรษ 90 วงอีโมหลายวงปิดตัวไปหรือก้าวเข้าสู่กระแสแนวเพลงหลัก วงใหม่ ๆ ได้พัฒนาให้มีแนวสู่กระแสหลักมากขึ้น ผลคือคำว่าอีโม ในปัจจุบันมีความคลุมเครือที่จะอธิบายแนวดนตรีให้ชัดเจนได้
# อิลูวาทาร์
เอรู อิลูวาทาร์ เป็นชื่อภาษาเอลฟ์ของ "พระเจ้า" แห่งปกรณัมชุดมิดเดิลเอิร์ธ ของ เจ. อาร์. อาร์. โทลคีน ในฐานะเป็นพระผู้สร้างเพียงหนึ่งเดียว เป็นผู้สร้างเหล่าเทพไอนัวร์ เป็นผู้สร้าง เออา หรืออาร์ดา และสรรพชีวิตทั้งหลายบนโลกใบนั้น แม้จะเป็นตัวละครที่มีบทบาทสำคัญที่สุด แต่ก็มิได้ถูกเอ่ยถึงเลยในนิยายฉบับแรกๆซึ่งสร้างชื่อเสียงให้แก่เขา คือ เดอะฮอบบิท และ เดอะลอร์ดออฟเดอะริงส์ (มีกล่าวถึงในภาคผนวกของ เดอะลอร์ดออฟเดอะริงส์ เล็กน้อยด้วยคำว่า "พระผู้เป็นหนึ่ง")

โทลคีนระบุในจดหมายหลายครั้งว่า งานประพันธ์ของเขาไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับศาสนา อย่างไรก็ดี โทลคีนถือได้ว่าเป็นคาทอลิกผู้เคร่งครัด เห็นได้ว่าโทลคีนไม่สามารถสร้างโลกที่ "ปราศจากพระเจ้า" ได้ บทประพันธ์ชุดมิดเดิลเอิร์ธ ของโทลคีน เป็นงานเขียนที่เขาจินตนาการว่า เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในอดีตเมื่อนานแสนนานมาแล้ว และการตีความเรื่อง "พระเจ้า" ของผู้คนในอดีตกาล ก็ย่อมอยู่ในรูปแบบที่แตกต่างออกไป

ชื่อ 'อิลูวาทาร์' เชื่อว่าอาจได้รับแรงบันดาลใจมาจากชื่อเทพีแห่งสรวงสวรรค์ อิลมาทาร์ (Ilmatar) หนึ่งในจิตวิญญาณบริสุทธิ์ที่ปรากฏในมหากาพย์ คาเลวาลา

 อิลูวาทาร์ในนิยาย 

อิลูวาทาร์คือพระผู้สร้าง พระผู้เป็นหนึ่ง ผู้ทรงสร้างจิตวิญญาณเริ่มแรก คือเหล่าไอนัวร์ วาลาร์และไมอาร์ ทรงสร้างเออา และโลกอาร์ดา จากนั้นจึงทรงสร้างบุตรแห่งอิลูวาทาร์ ได้แก่เผ่าพันธุ์เอลฟ์ และมนุษย์ อิลูวาทาร์ทรงรับ คนแคระ ไว้เป็นบุตรบุญธรรมด้วย เนื่องจากเทพอาวเลไม่อาจทนรอการมาถึงของบุตรแห่งอิลูวาทาร์ จึงแอบสร้างเหล่าคนแคระขึ้นมาเสียก่อน

งานสร้างสรรค์ของอิลูวาทาร์ ทรงสร้างผ่านเสียงดนตรี ที่เรียกว่า มหาคีตาแห่งไอนัวร์ โดยเหล่าไอนัวร์ได้มีส่วนร่วมสร้างด้วย บทเพลงที่บรรเลงร่วมกันนั้นเป็นเรื่องราวความเป็นไปของแผ่นดินโลก ซึ่งแม้เหล่าไอนัวร์เองก็มิได้ล่วงรู้มาก่อน

สิ่งมีค่าที่สุดซึ่งมีแต่องค์อิลูวาทาร์ผู้เดียวทรงครอบครองและประทาน คือ 'อัคคีอมตะ' (Flame Imperishable) อันเป็นสิ่งที่ทุกผู้คนเฝ้าค้นหา แม้เมลคอร์เทพอสูรก็เคยออกไปเที่ยวค้นหาในสุญญภูมิ แต่ก็หาไม่พบ เพราะอัคคีอมตะมีอยู่แต่ในองค์อิลูวาทาร์เท่านั้น บทพยากรณ์แห่งอาร์ดาทำนายว่า ในวันสิ้นยุค เมื่อถึงกาลสิ้นสุดของกาลเวลา และเหล่าบุตรแห่งอิลูวาทาร์ได้มาร่วมบรรเลงบทเพลงสุดท้ายร่วมกับพระองค์ เมื่อนั้นพระองค์จึงจะประทานอัคคีอมตะให้กับทุกคน และมีชีวิตอยู่อย่างเป็นสุขตลอดไป
# ภาษาโรเฮียร์ริค
ภาษาโรเฮียร์ริค  เป็นภาษาประดิษฐ์ของ เจ. อาร์. อาร์. โทลคีน ที่ปรากฏในนิยายชุด เดอะลอร์ดออฟเดอะริงส์ ในฐานะที่เป็นภาษาของชาวโรฮัน  ภาษาโรฮันนิส (Rohanese) ก็เรียก

ในฉบับนิยาย โทลคีนเลือกใช้ภาษาแองโกล-แซกซอน มาแทนที่ภาษาของชาวโรฮัน เนื่องจากมีรากภาษาใกล้เคียงกันกับภาษาเวสทรอน ซึ่งโทลคีนเลือกใช้ภาษาอังกฤษไปแล้ว มีเพียงคำศัพท์โบราณไม่กี่คำที่โทลคีนตั้งไว้โดยไม่แปลงคำแทนที่ด้วยภาษาแองโกล-แซกซอน เช่นคำว่า 'คูดดูคัน (kûd-dûkan)' ซึ่งเป็นคำเก่าแก่หมายถึง "ผู้อยู่ในโพรง" เป็นที่มาของคำว่า 'คูดุค' ชื่อที่ชาวฮอบบิทเรียกตัวเองในภาษาของพวกเขา แม้แต่คำว่า "ฮอบบิท" เอง ก็มีที่มาจากภาษาแองโกล-แซกซอนว่า 'โฮลบีตลา' หมายถึง "ผู้ขุดโพรง" 

คำโรเฮียร์ริคแท้ๆ อีกคำหนึ่งที่โทลคีนตั้งไว้ คือคำว่า "โล-" (lô–/loh–) ซึ่งพ้องกับคำในภาษาแองโกล-แซกซอนว่า "เอโอ" (éo) ใช้ในความหมายเกี่ยวกับม้า คำที่เกี่ยวข้องได้แก่ "โลกรัด" หมายถึง ดินแดนแห่งม้า/ผู้ขี่ม้า  และคำว่า "โลทูร์" หมายถึงผองชนชาวอาชา  ดังนั้นชื่อต่างๆ ที่ขึ้นด้วยคำว่า "เอโอ-" จึงเป็นชื่อที่ขึ้นด้วยคำว่า "โล-" ในภาษาโรเฮียร์ริคนั่นเอง ดังเช่น เอโอแมร์ เอโอวีน หรือชื่ออื่นๆ ของชาวโรฮัน 
(ข้อน่าสังเกตประการหนึ่งคือ คำในภาษาโรเฮียร์ริคที่หมายถึง ม้า คำนี้ ก็พ้องกับคำในภาษาฮังกาเรียนที่หมายถึง ม้า ด้วย คือคำว่า "โล" (ló)) 

นอกจากนี้ยังมีคำที่น่าสนใจอีกคำ คือคำว่า 'ทูรัค/ทูร์' (Tûrac/Tûr) ซึ่งถูกถอดภาษาเป็น "เธอ์ด" (théod) มีความหมายถึง ผองชน,ดินแดน หรือราชันแห่งดินแดนและปวงชนก็ได้ ดังในคำว่า "โลทูร์" ที่ถอดภาษาไว้เป็น เอโอเธอ์ด (Éothéod) หมายถึงชนชาวอาชา และในพระนามของกษัตริย์เธโอเดน (Théoden) ด้วยเช่นกัน

อนึ่ง ภาษาของชาวโรห์วาเนียน ชาวเอสการ็อธ และชาวเดล (คือพลเมืองแดนเหนือในแผ่นดินโรห์วาเนียนทั้งหมด) ล้วนมีรากภาษาใกล้เคียงกับภาษาโรเฮียร์ริคทั้งสิ้น

 โรเฮียร์ริค หรือ โรฮันนิส? 

คำว่า "โรเฮียร์ริค" ปรากฎในฐานะชื่อเรียกภาษาของชาวโรฮันครั้งแรกโดย โรเบิร์ต ฟอสเตอร์ ผู้เรียบเรียงหนังสือ The Complete Guide to Middle-earth (1971) โดยประดิษฐ์ขึ้นเลียนรูปคำว่า โรเฮียร์ริม ที่หมายถึงชาวโรฮัน และคำนี้ก็ได้รับความนิยมใช้มาโดยตลอดแม้แต่ในกลุ่มผู้เชี่ยวชาญด้านภาษาประดิษฐ์ของโทลคีน

อย่างไรก็ตาม เมื่อมีการค้นพบและศึกษาเอกสารมากมายอันเกี่ยวเนื่องกับปกรณัมของโทลคีน จึงได้พบว่า แต่เดิมท่านเคยใช้คำว่า “โรฮัน” เพื่อหมายถึงภาษาของชาวโรฮันเช่นกัน กระทั่งระหว่างปีค.ศ.1967-1969 จึงมีคำว่า “โรฮันนิส Rohanese” ปรากฎขึ้น โดยมีปรากฏใช้เพียงสองครั้งเท่านั้น-ในเอกสารสองชิ้น  เนื้อความเหล่านี้ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในวารสารเฉพาะกลุ่มราวปีค.ศ.2001 และต่อมาตีพิมพ์ในหนังสือ The Nature of Middle-earth (2021: Carl F. Hostetter)

ภายหลัง กลุ่มผู้ศึกษาภาษาประดิษฐ์ของโทลคีนจึงเห็นว่า เป็นการควรกว่าที่จะใช้คำว่า “โรฮันนิส” เรียกชื่อภาษาของชาวโรฮัน ทว่าคำว่าโรเฮียร์ริคก็ยังสามารถใช้ได้โดยมีความหมายเดียวกัน
 อ้างอิง 
 เจ. อาร์. อาร์. โทลคีน, ประวัติศาสตร์มิดเดิลเอิร์ธ เล่ม 5 และ 12, ว่าด้วย Etymology of Middle-earth Languages
# ตุรกุ
ตุรกุ หรือโอบู (ฟินแลนด์: ; สวีเดน: ) เป็นเมืองในประเทศฟินแลนด์ ก่อตั้งในคริสต์ศตวรรษที่ 13 เป็นเมืองที่เก่าแก่ที่สุดของฟินแลนด์ ตุรกุเป็นเมืองสำคัญในประวัติศาสตร์สมัยที่ฟินแลนด์เป็นส่วนหนึ่งของสวีเดน และเป็นเมืองหลวงของราชรัฐฟินแลนด์ในช่วงปี 1809 ถึง 1812 ก่อนจะเปลี่ยนเป็นเฮลซิงกิ ตุรกุตั้งอยู่ที่ปากแม่น้ำเอาราทางตอนใต้ของประเทศ เป็นเมือง (เขตเทศบาล) ขนาดใหญ่อันดับที่ห้าของฟินแลนด์ มีประชากรราว 1.7 แสนคน (สิ้นปี 2006)   ตุรกุเป็นเมืองเอกของจังหวัดฟินแลนด์ตะวันตก ใช้ทั้งภาษาฟินแลนด์และสวีเดนเป็นภาษาทางการของเขตเทศบาล
# เมทริกซ์แบบบล็อก
เมทริกซ์แบบบล็อก (block matrix) หมายถึงเมทริกซ์ใด ๆ ที่สามารถแบ่งกลุ่มสมาชิกออกเป็นเมทริกซ์ย่อยที่เรียกว่า บล็อก (block) เมทริกซ์แบบบล็อกจะถูกแบ่งที่ตำแหน่งของสมาชิกที่สามารถเข้ากันได้จัดอยู่ในกลุ่มเดียวกัน และจะต้องแบ่งตามเส้นแนวตั้งหรือเส้นแนวนอนของแถวและหลักทั้งหมด เปรียบเสมือนการตีตารางลงในเมทริกซ์แล้วตัดแบ่งออกเป็นส่วน ๆ

ตัวอย่างเมทริกซ์แบบบล็อก เช่น กำหนดให้เมทริกซ์ P

จะเห็นว่ามีสมาชิกที่คล้ายกันอยู่เป็นกลุ่ม ๆ ซึ่งสามารถตัดแบ่งออกเป็นเมทริกซ์ย่อยขนาด 2×2

ดังนั้น เมทริกซ์ P จึงสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งเป็น

 เมทริกซ์ทแยงมุมแบบบล็อก 
เมทริกซ์ทแยงมุมแบบบล็อก (block diagonal matrix) คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีบล็อกของเมทริกซ์ย่อยพาดผ่านเส้นทแยงมุมหลัก ซึ่งบล็อกนั้นก็เป็นเมทริกซ์จัตุรัสเช่นกัน และบล็อกอื่น ๆ ที่อยู่นอกแนวเส้นทแยงมุมเป็นเมทริกซ์ศูนย์ทั้งหมด หากเขียนในรูปทั่วไปจะได้ว่า

หรืออาจเรียกได้ว่า เมทริกซ์ A คือผลบวกโดยตรง (direct sum) ของเมทริกซ์  เขียนแทนได้ด้วย

หรือเขียนแทนด้วยสัญกรณ์ของเมทริกซ์ทแยงมุม

สำหรับค่าของดีเทอร์มิแนนต์กับรอยเมทริกซ์ของเมทริกซ์ทแยงมุมแบบบล็อก มีคุณสมบัติ ดังนี้

บแบบบล็อก
# เมทริกซ์ทวิสมมาตร
เมทริกซ์ทวิสมมาตร (bisymmetric matrix) หมายถึงเมทริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกมีความสมมาตรกับเส้นทแยงมุมหลักและเส้นทแยงมุมรอง เมทริกซ์จัตุรัส A มิติ n×n จะเป็นเมทริกซ์ทวิสมมาตรก็ต่อเมื่อ

และ

เมื่อ J คือเมทริกซ์แลกเปลี่ยน (exchange matrix) ในมิติ n×n

ตัวอย่างเมทริกซ์ทวิสมมาตร

จะพบว่าสมาชิกของเมทริกซ์ดังกล่าวมีความสมมาตรกับเส้นทแยงมุมทั้งสอง

เมทริกซ์ทวิสมมาตร เป็นทั้งเมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลาง (centrosymmetric matrix) และ persymmetric matrix

ทวิสมมาตร
# เมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลาง
เมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลาง (centrosymmetric matrix) หมายถึงเมทริกซ์จัตุรัสที่สมาชิกมีความสมมาตรกับจุดกึ่งกลางสมมติในเมทริกซ์ เมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลางนิยามโดยเมทริกซ์ A มิติ n×n ดังนี้

เมื่อ i และ j มีค่าตั้งแต่ 1 ถึง n

นิยามอีกแบบหนึ่ง เมทริกซ์ A จะเป็นเมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลางก็ต่อเมื่อ

เมื่อ J คือ เมทริกซ์แลกเปลี่ยน (exchange matrix) มิติ n×n

ตัวอย่างเมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลาง

จะพบว่าจุดกึ่งกลางของเมทริกซ์ซึ่ง n เป็นจำนวนคี่ อยู่บนสมาชิกตรงกลางพอดี (สมาชิกบนแถวที่  หลักที่) ส่วน n ที่เป็นจำนวนคู่จะอยู่ที่จุดสมมติระหว่างกลางเมทริกซ์

เมทริกซ์สมมาตรศูนย์กลางที่มีความสมมาตรกับเส้นทแยงมุมเส้นใดเส้นหนึ่ง จะทำให้เกิดความสมมาตรกับเส้นทแยงมุมอีกเส้นหนึ่งโดยปริยาย สามารถเรียกได้ว่าเป็นเมทริกซ์ทวิสมมาตร (bisymmetric matrix)

สมมาตรศูนย์กลาง
# ขั้นตอนวิธีโฟรเบนีอุส
ขั้นตอนวิธีโฟรเบนิอุส  เป็นวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่อยู่ในรูปแบบ

 
หรือที่เราเรียกกันว่ารูปแบบที่ทำให้เกิดจุดเอกฐานปกติ(Regular Singular Point) ซึ่งรูปแบบที่หารสมการด้วย ตลอดแล้วจะได้
 
รูปแบบนี้จะไม่มีผลเฉลยเป็นอนุกรมกำลังทั่วไป

 วิธีการ 
รูปแบบของผลเฉลยจะพบว่ามี ค่าหนึ่งคูณเข้าไปในอนุกรมกำลังทำให้ ไม่ได้เป็นสัมประสิทธิ์ของ  รูปแบบอนุกรมเป็นดังนี้
 

เมื่อหาอนุพันธ์ของอนุกรมทั้งอันดับหนึ่งและอันดับสองจะได้
 
 

เมื่อแทนค่าแล้วจะได้
 
 
 
 
 
เมื่อจัดพจน์แล้วเราพบว่าทั้งอนุกรมนี้จะให้คำตอบเท่ากับศูนย์ทุกๆค่า  ดังนั้นสัมประสิทธิ์แต่ละตัวของ  จะต้องเป็นศูนย์ด้วย
สำหรับส่วนที่เกินขึ้นมานอก  เป็นส่วนที่ใช้หาค่า r โดยเฉพาะ โดยการแทนค่าเพื่อหาค่า r ที่ทำให้สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นศูนย์โดยที่  ไม่เท่ากับศูนย์ ส่วนใน จะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิดซึ่งใช้หา  ต่อไป