# การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง
การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง  เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบหนึ่งซึ่งทำการแมพฟังก์ชันหนึ่งไปยังอีกฟังก์ชันหนึ่ง อีกนัยหนึ่งการแปลงฟูรีเยนั้นเป็นการแยกองค์ประกอบของฟังก์ชัน ตามสเปกตรัมของความถี่ที่มีค่าต่อเนื่อง และใช้หมายถึง ค่าสัญญาณใน "โดเมนของความถี่" ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม

(ดูเพิ่มเติมที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย)

 นิยาม 
สมมุติ f เป็นฟังก์ชัน ที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน และสามารถหาปริพันธ์ลูเบกได้ การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง F และการแปลงกลับ จะกำหนดโดย

 การแปลงฟูรีเยต่อเนื่อง การแปลงกลับ

โดยที่ จำนวนจริง ω คือค่าความถี่เชิงมุม และมีค่าของการแปลง F(ω) เป็นจำนวนเชิงซ้อน ประกอบด้วย ขนาด และ มุม ขององค์ประกอบของฟังก์ชัน f(t) ที่แต่ละความถี่

สัมประสิทธิ์ของการปรับขนาด (normalization factor)  ที่อยู่ในส่วนการแปลง และ การแปลงกลับนั้น สามารถเปลี่ยนแปลงได้ โดยมีเงื่อนไขที่ผลคูณของสัมประสิทธิ์การแปลงไปและกลับ จะต้องเท่ากับ  เช่น อาจเลือกสัมประสิทธิ์ของการแปลงเท่ากับ 1 และสัมประสิทธิ์ของการแปลงกลับเท่ากับ  (ซึ่งเป็นค่าที่นิยมใช้ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม ส่วนค่าสัมประสิทธิ์ที่ใช้ในนิยามด้านบนนั้นนิยมใช้ในทางคณิตศาสตร์เนื่องจากความสมมาตร) เหตุผลของเงื่อนไขผลคูณของสัมประสิทธิ์นี้ เพื่อให้การแปลงครบรอบนั้นเป็นการแปลงเอกลักษณ์ เช่น เมื่อทำการแปลง f(t) ไปเป็น F(ω) และแปลงกลับ จะได้ f(t) โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงขนาด เรียกคุณสมบัติว่า ยูนิแทรี (unitary)

ในทางฟิสิกส์และวิศวกรรม อาจใช้การแปลงไปเป็นฟังก์ชันของความถี่ แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม ω นิยมใช้สัญลักษณ์ f หรือ  แทนความถี่โดยที่ 

ตารางต่อไปนี้สรุปการแปลงฟูรีเยต่อเนื่องแบบต่างๆ ที่นิยมใช้ เพื่อป้องกันความสับสน ในตารางข้างล่างนี้ f หมายถึงความถึ่ ส่วนฟังก์ชัน ใช้ x(t) แทน f(t) ส่วนเนื้อหาในหัวข้อถัดๆไป จะใช้การแปลงแบบแรกในตารางเป็นหลัก

+ สรุปรูปแบบที่นิยมของการแปลงฟูรีเย ความถี่เชิงมุม  (rad/s)
| align = "center" style="color: darkblue" | ยูนิแทรี|  

|-
| align = "center" style="color: darkblue" | ไม่เป็นยูนิแทรี|  

|-
| rowspan = "2" align = "center" style="color: darkred"| ความถี่   (hertz) ยูนิแทรี 

 รูปทั่วไป 
คู่ของการแปลงไปกลับดังกล่าวข้างต้น จึงสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปดังนี้

โดยที่ ค่าคงที่ a และ b เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่สามารถเลือกได้โดยอิสระตามบริบท ของการประยุกต์ใช้งาน ตามบริบทของบทความนี้ในนิยามข้างต้นเลือก  สำหรับการแปลงไม่เป็นยูนิทารี 

ค่า a และ b ที่นิยมใช้ใน การประมวลผลสัญญาณคือ  ซึ่งในกรณีนี้  จะหมายถึงความถี่ (แทนที่จะเป็นความถี่เชิงมุม) และมักจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์  หรือ f ในกรณีที่ a และ b เป็นค่าที่มีหน่วย ผลคูณของทั้งสองจะต้องเป็นค่าทีไม่มีหน่วย เช่น หาก a มีหน่วยเวลา b จะมีหน่วยเป็น เฮิรตซ์ หรือ เรเดียนต่อวินาที

 การแปลงในมิติที่สูงขึ้น 
สำหรับฟังก์ชัน f(x) ของ เวกเตอร์ x ซึ่งเป็นเวกเตอร์ในปริภูมิมิติ N และ k (หรือเรียก เวกเตอร์คลื่น) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิของการแปลง การแปลงฟูรีเยต่อเนื่องจะกำหนดโดย

 

โดยที่ dx เป็นอนุภาคของปริมาตรในมิติ N และสัญลักษณ์การคูณในค่ายกกำลัง หมายถึง การคูณภายใน (dot product) และจากคุณสมบัติ ออทอโกนัล ในมิติ N:

 

เราจะได้การแปลงกลับ ดังนี้:

 

 คู่ของการแปลง 
ตรารางแสดงคู่ของการแปลงที่สำคัญ โดยใช้การแปลงตามนิยามในตอนต้นของบทความ
โดยที่สัญลักษณ์  หมายถึง 

 คุณสมบัติ ฟังก์ชัน ผลการแปลงฟูรีเย    ความเป็นเชิงเส้น   การสลับ *   การเลื่อน (translation)   การมอดูเลต (modulation)   สังยุค (conjugation)   การสเกล   การคอนโวลูท (convolution) *   การคูณ *   อนุพันธ์ของเวลา   อนุพันธ์ของความถี่   ปฏิยานุพันธ์ของเวลา   

หมายเหตุ : * คือ คู่ของการแปลง ที่อาจมีสัมประสิทธิ์  แตกต่างไป ขึ้นกับสัมประสิทธิ์ของการปรับขนาดที่ใช้ในนิยามของการแปลง