bger · 4A_278/2020 · 2020-07-09 · de
Räumung
Vertragsrecht


Bundesgericht

Tribunal fédéral

Tribunale federale

Tribunal federal

4A_278/2020

Urteil vom 9. Juli 2020

I. zivilrechtliche Abteilung

Besetzung

Bundesrichterin Kiss, Präsidentin,

Bundesrichter Rüedi,

Bundesrichterin May Canellas,

Gerichtsschreiber Stähle.

Verfahrensbeteiligte

A.________,

vertreten durch Rechtsanwalt Peter Nideröst,

Beschwerdeführer,

gegen

B.________ GmbH,

vertreten durch Rechtsanwalt Dr. Silvan Hauser,

Beschwerdegegnerin.

Gegenstand

Räumung,

Beschwerde gegen das Urteil des Obergerichts des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, vom 15. Mai 2020 (PF200048-O/U).

Sachverhalt:

A.

A.a.
A.________ (Beschwerdeführer) bewohnt ein Reihen-Einfamilienhaus in Zürich. Dieses gehörte zunächst C.C.________ und D.C.________. Am 10./19. August 2019 schlossen A.________ und C.C.________ eine mit "Gebrauchsleihe-Vertrag" betitelte Vereinbarung über "die Zwischennutzung der Liegenschaft".

Die Parteien vereinbarten, dass "keine Miete" geschuldet sei und die Überlassung der Liegenschaft unentgeltlich erfolge. Es wurde festgehalten, dass A.________ die Kosten, die "aus dem Gebrauch der Liegenschaft" entstünden, sowie die Kosten des gewöhn lichen Unterhalts übernehme. In der Folge bezahlte A.________ Fr. 200.-- pro Monat.

A.b.
Am 19. November 2019 wurde die Liegenschaft an die B.________ GmbH (Beschwerdegegnerin) verkauft. Im Kaufvertrag wurde festgehalten, dass "ein Gebrauchsleihe-Vertrag" bestehe und dass dieser gemäss
Art. 261 Abs. 1 OR
auf die B.________ GmbH übergehe.

Diese teilte A.________ mittels als "Kündigung" bezeichnetem Schrei ben vom 30. November 2019 mit, dass sie "den Gebrauchsleihe-Vertrag" kündige und er das Haus bis am 23. Dezember 2019 zu verlassen habe. Mit Schreiben vom 30. Dezember 2019 kündigte sie den "Gebrauchsleihe-Vertrag" sodann ausserordentlich per sofort.

B.

Am 10. Januar 2020 reichte die B.________ GmbH beim Bezirksgericht Zürich eine Eingabe ein, mit der sie unter anderem verlangte, A.________ sei zu verurteilen, die Liegenschaft zu räumen und ihr ordnungsgemäss zu übergeben.

Umstritten war im bezirksgerichtlichen Verfahren namentlich, ob die Vereinbarung vom 10./19. August 2019 als Mietvertrag nach
Art. 253 ff. OR
oder als Gebrauchsleihevertrag im Sinne von
Art. 305 ff. OR
zu qualifizieren ist. Mit Urteil vom 27. Februar 2020 hiess das Bezirksgericht Zürich, Einzelgericht Audienz, das Räumungsbegehren im Ver fahren nach
Art. 257 ZPO
(Rechtsschutz in klaren Fällen) gut. Es kam zum Ergebnis, dass keine Miete vorliege und der Gebrauchsleihevertrag gültig gekündigt worden sei.

Am 14. April 2020 focht A.________ dieses Urteil mit " Berufung und eventualiter Beschwerde" beim Obergericht des Kantons Zürich an. Mit Verfügung vom 15. April 2020 hielt das Obergericht fest, das Rechtsmittel sei als Beschwerde entgegenzunehmen und dieser sei die aufschiebende Wirkung zu erteilen. Mit Urteil vom 15. Mai 2020 wies es die Beschwerde ab. Wie bereits das Bezirksgericht stellte auch das Obergericht fest, dass die Parteien eine Gebrauchsleihe und nicht eine Miete vereinbart hätten.

C.

A.________ verlangt mit am 26. Mai 2020 eingereichter und am 18. Juni 2020 (fristgerecht) ergänzter Beschwerde in Zivilsachen und subsidiärer Verfassungsbeschwerde, das Urteil des Obergerichts sei aufzuheben und auf das Räumungsgesuch sei nicht einzutreten. Eventualiter sei das Verfahren an das Obergericht, subeventuell an das Bezirksgericht, zurückzuweisen. Ausserdem sei der Beschwerde, vorab superprovisorisch, die aufschiebende Wirkung zu erteilen.

Am 28. Mai 2020 ordnete das Bundesgericht an, dass bis zum Entscheid über das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung alle Vollziehungsvorkehrungen zu unterbleiben hätten.

Die Beschwerdegegnerin beantragt, das Gesuch um Erteilung der aufschiebenden Wirkung abzuweisen, soweit darauf einzutreten sei.

In der Sache wurden keine Vernehmlassungen eingeholt.

Erwägungen:

1.

1.1.
Das angefochtene Urteil des Obergerichts ist ein Endentscheid (
Art. 90 BGG
) einer Vorinstanz im Sinne von
Art. 75 BGG
. Gemäss
Art. 74 Abs. 1 BGG
ist die Beschwerde in Zivilsachen in vermögensrechtlichen Angelegenheiten nur zulässig, wenn der Streitwert mindestens beträgt: Fr. 15'000.-- in arbeits- und mietrechtlichen Fällen (lit. a); Fr. 30'000.-- in allen übrigen Fällen (lit. b).

Die Parteien sind sich über den Streitwert uneins. Das Bezirksgericht ging von einem Streitwert von Fr. 5'550.-- aus (gestützt auf die Angaben der Beschwerdegegnerin, welche vom Beschwerdeführer nicht bestritten wurden [vgl.
Art. 91 Abs. 2 ZPO
]). Das Obergericht setzte den Streitwert in der Verfügung vom 15. April 2020 auf Fr. 7'200.--, im Urteil vom 15. Mai 2020 auf Fr. 1'200.-- fest. Die Beschwerdegegnerin ist mit diesen Berechnungen einverstanden und erklärt im Sinne einer Eventualbegründung, dass der Streitwert auch auf Fr. 14'800.-- beziffert werden könne.

Der Beschwerdeführer bestimmt den Streitwert seinerseits auf Fr. 27'750.--, allenfalls auf Fr. 24'750.--, jedenfalls auf "nicht [...] unter Fr. 15'000.--".

1.2.

1.2.1.
Es stellt sich die Frage, welche Streitwertgrenze im vorliegenden Verfahren massgebend ist, und damit insbesondere, ob es sich um einen mietrechtlichen Fall im Sinne von
Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG
handelt. Streitigkeiten aus dem Recht der (Gebrauchs-) Leihe sind davon nicht erfasst (siehe Urteil 4A_61/2013 vom 20. Juni 2013 E. 1.2 am Ende; BERNARD CORBOZ, in: Commentaire de la LTF, 2. Aufl. 2014, N. 25 zu
Art. 74 BGG
).

Das Bundesgericht hat schon entschieden, dass im Rahmen des Eintretens von einem mietrechtlichen Fall im Sinne dieser Bestimmung auszugehen sei, wenn das Bestehen eines Mietvertrags umstritten sei (Urteile 4A_152/2015 vom 8. Juni 2015 E. 1.2; 4A_99/2010 vom 4. April 2011 E. 2.1; gleich zum Arbeitsvertrag etwa Urteile 4A_10/2017 vom 19. Juli 2017 E. 1 am Ende; 4A_71/2011 vom 2. Mai 2011 E. 1.2). Es hat dies mit Hinweis auf die Rechtsprechung zu "doppelrelevanten Tatsachen" begründet und ausgeführt, dass davon nur abgewichen werden könne, wenn der Tatsachenvortrag betreffend das Vorliegen eines Mietverhältnisses auf Anhieb fadenscheinig oder inkohärent erscheine (Urteil 4A_152/2015 vom 8. Juni 2015 E. 1.2).

1.2.2.
Vorliegend liegt klarerweise kein Mietvertrag vor, wie die Vorinstanzen zu Recht feststellten:

Entscheidendes Abgrenzungskriterium zur Gebrauchsleihe ist die Entgeltlichkeit: Während diese zwingend unentgeltlich ist (
Art. 305 OR
), hat die Miete zwingend entgeltlich zu sein (
Art. 253 OR
;
BGE 136 III 186
E. 3.2.3 S. 189 mit Hinweisen). Das Obergericht stellte fest, dass die Parteien ausdrücklich vereinbart haben, dass "keine Miete geschuldet" und der "Gebrauch" des Vertragsobjekts "unentgeltlich" erfolge. Der vom Beschwerdeführer monatlich bezahlte Betrag von Fr. 200.-- sei klarerweise als pauschale Kostenbeteiligung vereinbart gewesen, wie dies auch der gesetzlichen Regelung zur Gebrauchsleihe in
Art. 307 Abs. 1 OR
entspreche (wonach der Entlehner die gewöhnlichen Kosten für die Erhaltung der Sache trage), und ändere an der Unentgeltlichkeit des Vertragsverhältnisses nichts.

Soweit der Beschwerdeführer diesen Erwägungen auf der Sachverhaltsebene entgegentritt, ohne (mit hinreichender Begründung) Willkür darzutun, ist er von vornherein nicht zu hören (siehe
Art. 105 Abs. 2 BGG
), so etwa wenn er ausführt, was die Parteien (angeblich) gewollt, "vereinbart" oder "besprochen" hätten. Auch mit seiner in diesem Zusammenhang erhobenen Rüge, sein Anspruch auf rechtliches Gehör (
Art. 29 Abs. 2 BV
) sei verletzt, weil Beweise nicht - in seinem Sinn - gewürdigt worden seien, greift er genau besehen die vorinstanzlichen Sachverhaltsfeststellungen an.

Im Übrigen beschränkt er sich im Wesentlich darauf, einlässlich aus seinen eigenen Rechtsschriften zu zitieren und all jene Leistungen zu nennen, die er - über die Bezahlung der Fr. 200.-- hinaus - erbracht haben will (direkte Begleichung von in Rechnung gestellten Gebrauchskosten, Unterhalt der Liegenschaft samt Umschwung etc.), und schliesst daraus, dass er die Fr. 200.--

für die Überlassung der Sache
geleistet und somit ein Entgelt erbracht habe. Den vorinstanzlichen Schluss, die Parteien hätten eine (blosse) pauschale Kostenbeteiligung vereinbart und namentlich nicht eine Vereinbarung über ein Entgelt getroffen, vermag er mit diesen Ausführungen nicht umzustossen. Jedenfalls ist nicht festgestellt, dass die vertragliche Kostenübernahme durch den Beschwerdeführer der Beschwerdegegnerin wirtschaftliche Vorteile eingebracht hätte, die im Ergebnis einem Entgelt für den Gebrauch gleichkämen (vgl. PETER HIGI, Zürcher Kommentar, 3. Aufl. 2003, N. 76 zu
Art. 305 OR
). Ausserdem stellt der Beschwerdeführer nicht in Abrede, dass im Vertragstext einheitlich von der "Gebrauchsleihe" die Rede ist und etwa
Art. 309 Abs. 2 OR
(betreffend die vorzeitige Rückforderung der überlassenen Sache) fast wörtlich übernommen worden ist.

1.2.3.
Dementsprechend liegt kein mietrechtlicher Fall im Sinne von
Art. 74 Abs. 1 lit. a BGG
vor und ist die allgemeine Streitwertgrenze von Fr. 30'000.-- einschlägig.

Diese wird - unabhängig davon, welcher der zur Diskussion stehenden Berechnungsweisen gefolgt wird (vorstehende Erwägung 1.1) - nicht erreicht. Einzig in seiner ersten Beschwerdeschrift vom 26. Mai 2020 postulierte der Beschwerdeführer einen Streitwert von "mindestens" Fr. 48'000.--. Er stützte sich dabei auf den Betrag von monatlich Fr. 200.--, den er zunächst mit zwölf multipliziert (einjährige Nutzung) und dann unter Hinweis auf
Art. 92 Abs. 2 ZPO
verzwanzigfacht. Diese Kalkulation verficht er in seiner ergänzten Beschwerdeschrift allerdings nicht mehr. Es ist denn auch nicht ersichtlich, inwiefern die Kostenbeteiligung in Höhe von monatlich Fr. 200.-- für die Beurteilung des Interesses der Parteien an der im Streit liegenden Räumung der Liegenschaft (und vorfrageweise der Kündigung der Gebrauchsleihe) massgebend sein soll.

Mangels anderer Angaben des Beschwerdeführers, die auf einen Streitwert von über Fr. 30'000.-- deuten und dem Bundesgericht eine Festsetzung nach Ermessen gestatten würden (vgl.
Art. 51 Abs. 2 BGG
), hat es dabei sein Bewenden (siehe
BGE 136 III 60
E. 1.1.1 S. 62; Urteil 4A_273/2012 vom 30. Oktober 2012 E. 1.2.2, nicht publiziert in:
BGE 138 III 620
).

1.3.

1.3.1.
Unter diesen Umständen wäre die Beschwerde in Zivilsachen nach
Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG
zulässig, wenn sich eine Rechtsfrage von grundsätzlicher Bedeutung stellen würde. In der Beschwerde ist auszuführen, warum diese Voraussetzung erfüllt sein soll (
Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG
).

1.3.2.
Der Beschwerdeführer misst verschiedenen Fragen, die er in seinen Beschwerdeschriften aufgreift, "grundsätzliche Bedeutung" zu. Indes unterlässt er es, jeweils auf
Art. 74 Abs. 2 lit. a BGG
und die zu dieser Bestimmung entwickelten Voraussetzungen Bezug zu nehmen. Weder macht er geltend, dass hinsichtlich dieser Fragen eine erhebliche Rechtsunsicherheit bestehe, noch tut er dar, inwiefern sie höchstrichterlicher Klärung bedürften (siehe
BGE 144 III 164
E. 1 S. 165;
141 III 159
E. 1.2;
139 III 209
E. 1.2 S. 210; je mit weiteren Hinweisen). Die Beschwerde lässt jegliche Hinweise auf Rechtsprechung oder Doktrin vermissen und es wird namentlich auch nicht ausgeführt, inwiefern die aufgeworfenen Fragen über die Anwendung von Grundsätzen der Rechtsprechung auf den konkreten Fall hinausgehen sollen. Die Ausführungen genügen den Begründungsanforderungen von
Art. 42 Abs. 2 Satz 2 BGG
offensichtlich nicht.

1.4.
Schliesslich moniert der Beschwerdeführer, zufolge der unrichtigen Streitwertberechnung habe die Vorinstanz sein kantonales Rechtsmittel zu Unrecht als Beschwerde (statt richtigerweise als Berufung) behandelt. Dagegen müsse er sich vor Bundesgericht wehren können. Trete dieses mangels Erreichen der Streitwertgrenze auf die vorliegende Beschwerde nicht ein, entstünden ihm wesentliche verfahrensrechtliche Nachteile. Dass aber ein besonderer Zulässigkeitsgrund gemäss
Art. 74 Abs. 2 BGG
gegeben wäre, tut der Beschwerdeführer (auch) damit nicht dar.

1.5.
Die Beschwerde in Zivilsachen ist nicht zulässig. Es ist nicht darauf einzutreten.

2.

Folglich steht die vom Beschwerdeführer ebenfalls erhobene subsidiäre Verfassungsbeschwerde im Sinne der
Art. 113-119 BGG
offen.

2.1.
Mit der Verfassungsbeschwerde kann die Verletzung von verfassungsmässigen Rechten gerügt werden (
Art. 116 BGG
). Diesbezüglich gilt eine qualifizierte Rügepflicht. Die Verletzung von Grundrechten prüft das Bundesgericht nicht von Amtes wegen, sondern nur insofern, als eine solche Rüge in der Beschwerde vorgebracht und begründet worden ist (Art. 117 in Verbindung mit
Art. 106 Abs. 2 BGG
). Dies bedeutet, dass klar und detailliert anhand der Erwägungen des angefochtenen Entscheids darzulegen ist, inwiefern verfassungsmässige Rechte verletzt worden sein sollen (
BGE 135 III 232
E. 1.2
;
134 I 83
E. 3.2; je mit weiteren Hinweisen).

2.2.
Der Beschwerdeführer rügt an zahlreichen Stellen eine Verletzung des Willkürverbots (
Art. 9 BV
). Dabei verkennt er die in diesem Zusammenhang geltenden Begründungsanforderungen: Es genügt nicht, die Sachverhalts- und Rechtslage aus eigener Sicht zu schildern, um anschliessend zu beklagen, die Vorinstanz sei in Willkür verfallen, indem sie anders entschieden habe. Vielmehr hätte der Beschwerdeführer aufzeigen müssen, inwiefern das angefochtene Urteil offensichtlich unhaltbar ist, mit der tatsächlichen Situation in klarem Widerspruch steht, eine Norm oder einen unumstrittenen Rechtsgrundsatz krass verletzt oder in stossender Weise dem Gerechtigkeitsgedanken zuwiderläuft (vgl.
BGE 141 III 564
E. 4.1;
140 III 16
E. 2.1; je mit Hinweisen), und aus welchen Gründen der Entscheid nicht nur in der Begründung, sondern auch im Ergebnis willkürlich ist (vgl.
BGE 140 III 16
E. 2.1 S. 19 mit Hinweisen). Derartiges ist der Beschwerde nicht zu entnehmen.

2.3.
Sodann beklagt der Beschwerdeführer eine Verletzung der "Grundsätze eines fairen Verfahrens im Sinne von
Art. 29 Abs. 1 und 2 BV
und
Art. 6 Ziff. 1 EMRK
", an anderer Stelle auch von
Art. 29a und
Art. 30 BV
. Er meint, die Vorinstanz habe eine unzulässige "Motivsubstitution" vorgenommen:

2.3.1.
Das

Bezirksgericht
erwog, die Beschwerdegegnerin habe mit Schreiben vom 30. November 2019 in zulässiger Weise

ordentlich
per 30. Dezember 2019 gekündigt. Folglich halte sich der Beschwerdeführer ohne Rechtstitel in der Liegenschaft auf und sei dem Ausweisungsgesuch stattzugeben. Das

Obergericht
führte dagegen aus, es sei nicht (im Sinne von
Art. 257 Abs. 1 ZPO
) hinreichend klar, ob der Beschwerdegegnerin überhaupt ein Recht zur ordentlichen Kündigung zustehe. Zumindest sei sie aber zu einer

ausserordentlichen
Kündigung befugt gewesen, da der Beschwerdeführer einen Mitbewohner aufgenommen habe. Der Gebrauchsleihevertrag berechtige die Beschwerdegegnerin in einem solchen Fall, die Sache mit sofortiger Wirkung zurückzufordern. Gestützt auf diese "Ersatzbegründung" schützte das Obergericht das bezirksgerichtliche Urteil.

2.3.2.
Der Beschwerdeführer macht geltend, er könne diese "neue Ersatzbegründung" nicht von einer "zweiten Instanz vor dem Bundesgericht" überprüfen lassen. Deshalb werde sein Rechtsweg verfassungswidrig verkürzt. Ausserdem habe das Obergericht den Entscheid "nicht nur rechtlich, sondern auch in Bezug auf den Sachverhalt auf völlig neue Grundlagen" gestellt, ohne dass ihm dazu das rechtliche Gehör gewährt worden sei.

2.3.3.
Die Rechtsweggarantie (
Art. 29a BV
) gibt jeder Person bei Rechtsstreitigkeiten Anspruch auf Beurteilung durch eine richterliche Behörde. Sie verbietet aber - wie auch die anderen vom Beschwerdeführer genannten Verfassungsbestimmungen - der Beschwerdeinstanz nicht, einen angefochtenen Entscheid mit einer Begründung zu bestätigen, die von jener der Erstinstanz abweicht (siehe
BGE 144 III 462
E. 3.2.2; Urteil 4A_218/2017 vom 14. Juli 2017 E. 3.1.2 am Ende mit Hinweis; FRANCESCO TREZZINI, in: Commentario pratico al Codice di diritto processuale civile svizzero [CPC], Bd. I, 2. Aufl. 2017, N. 10 zu
Art. 57 ZPO
; zur Motivsubstitution im Verfahren vor Bundesgericht etwa
BGE 141 III 426
E. 2.4 mit Hinweisen). Im Übrigen gewährleistet diese Garantie keinen gerichtlichen Instanzenzug (siehe Urteil 5A_480/2016 vom 21. Februar 2017 E. 2.2 mit Hinweis).

Auch die behauptete Verletzung des Anspruchs auf rechtliches Gehör (
Art. 29 Abs. 2 BV
) ist nicht dargetan: Dass das Obergericht dem Grundsatz der Rechtsanwendung von Amtes wegen (
Art. 57 ZPO
) verpflichtet war, musste dem Beschwerdeführer bekannt sein (siehe auch
BGE 136 III 247
E. 4). Nach der bundesgerichtlichen Rechtsprechung besteht kein verfassungsrechtlicher Anspruch der Parteien, zur rechtlichen Würdigung der durch sie in den Prozess eingeführten Tatsachen noch besonders angehört zu werden. Eine Ausnahme besteht, wenn ein Gericht seinen Entscheid auf einen Rechtsgrund zu stützen beabsichtigt, auf den sich die beteiligten Parteien nicht berufen haben und mit dessen Erheblichkeit sie vernünftigerweise nicht rechnen mussten (
BGE 130 III 35
E. 5 S. 39; Urteil 4A_453/2019 vom 5. März 2020 E. 4.1). Die Beschwerdegegnerin stellte sich in ihrem Gesuch vom 10. Januar 2020 ausdrücklich und mit hinreichender Begründung auf den (Eventual-) Standpunkt, dem Räumungsantrag sei auch zufolge ausserordentlicher Kündigung (wegen unerlaubter Aufnahme eines [Mit-]Bewohners) stattzugeben. Das Bezirksgericht nahm darauf in der Folge Bezug, brauchte aber mangels Entscheidrelevanz (Bejahung bereits der Gültigkeit der ordentlichen Kündigung) darauf nicht weiter einzugehen. Vor diesem Hintergrund ist nicht erkennbar, inwiefern die Vorinstanz auf überraschende (mit dem Gehörsanspruch nicht vereinbare) Weise Recht angewandt haben soll. Auch soweit der Beschwerdeführer einzelne tatsächliche Elemente benennt, welche die Vorinstanz ihrer Ersatzbegründung zugrunde gelegt habe und zu denen er nicht angehört worden sei, übergeht er, dass aus dem Gehörsanspruch nicht folgt, dass die Parteien vom Gericht vorgängig auf den für den Entscheid wesentlichen Sachverhalt hinzuweisen wären (vgl.
BGE 130 III 35
E. 5 S. 39). Der Sachverhalt war aus dem Gesuch bekannt; der Beschwerdeführer hätte sich dazu - zumindest eventualiter - vor Obergericht äussern können.

Worin schliesslich die - pauschal und (einzig) unter Hinweis auf
Art. 29 Abs. 1 BV
behauptete - Verletzung des "Gleichbehandlungsgebots" bestehen soll, ist nicht erkennbar. Der Beschwerdeführer scheint vorbringen zu wollen, die Vorinstanz habe in ihrer Ersatzbegründung das Recht zu seinen Ungunsten von Amtes wegen angewandt, nicht aber amtswegig geprüft, ob sich die Beschwerdegegnerin rechtsmissbräuchlich verhielt. Damit kritisiert er unter dem Vorwand der Verfassungsverletzung eine unrichtige Handhabung von Gesetzesrecht. Darauf ist nicht einzutreten.

2.4.
Das angefochtene Urteil verletzt keine verfassungsmässigen Rechte. Mit der Kritik, die auf eine unrichtige Anwendung des Gesetzes (namentlich des
Art. 257 ZPO
, des
Art. 2 ZGB
und der
Art. 305 ff. OR
) zielt, ist der Beschwerdeführer im Rahmen der subsidiären Verfassungsbeschwerde nicht zu hören.

Dies gilt auch, soweit er unter Hinweis auf
Art. 317 und
Art. 326 ZPO
- in schwer nachvollziehbarer Weise - beantragt, die "Ausführungen und Urkunden der Eingabe der Beschwerdegegnerin vom 22. April 2020, die sie an die Vorinstanz einreichte", seien aus dem Recht zu weisen. Aus den nicht weiter begründeten Ausführungen ergibt sich nicht, um welche Unterlagen es sich dabei handelt und inwiefern diese zu Unrecht vor Obergericht zugelassen worden sein sollen. Jedenfalls erhebt der Beschwerdeführer keine Verfassungsrüge.

3.

Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde ist abzuweisen, soweit darauf eingetreten werden kann. Mit dem Entscheid in der Sache wird das Gesuch des Beschwerdeführers um Erteilung der aufschiebenden Wirkung gegenstandslos.

Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind die Gerichtskosten gemäss
Art. 66 Abs. 1 BGG
dem Beschwerdeführer aufzuerlegen. Der Beschwerdegegnerin, die sich nur zum Gesuch um aufschiebende Wirkung zu äussern hatte, ist für das bundesgerichtliche Verfahren eine reduzierte Parteientschädigung zuzusprechen (siehe
Art. 68 Abs. 1 und 2 BGG
).

Demnach erkennt das Bundesgericht:

1.

Auf die Beschwerde in Zivilsachen wird nicht eingetreten.

2.

Die subsidiäre Verfassungsbeschwerde wird abgewiesen, soweit darauf einzutreten ist.

3.

Die Gerichtskosten von Fr. 1'000.-- werden dem Beschwerdeführer auferlegt.

4.

Der Beschwerdeführer hat die Beschwerdegegnerin für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 500.-- zu entschädigen.

5.

Dieses Urteil wird den Parteien und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, schriftlich mitgeteilt.

Lausanne, 9. Juli 2020

Im Namen der I. zivilrechtlichen Abteilung

des Schweizerischen Bundesgerichts

Die Präsidentin: Kiss

Der Gerichtsschreiber: Stähle