微積分

context: 微積分學是研究極限、微分學、積分學和無窮級數等的一個數學分支，並成為了現代大學教育的重要組成部分。歷史上，微積分曾經指無窮小的計算。更本質的講，微積分學是一門研究變化的科學，正如：幾何學是研究形狀的科學、代數學是研究代數運算和解方程的科學一樣。微積分學又稱為「初等數學分析」。微積分學在科學、經濟學、商業管理學和工業工程學領域有廣泛的應用，用來解決那些僅依靠代數學和幾何學不能有效解決的問題。微積分學在代數學和解析幾何學的基礎上建立起來，主要包括微分學、積分學。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和斜率等均可用一套通用的符號進行演繹。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算長度、面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們能以兩者中任意一者為起點來討論微積分學，但是在教學中一般會先引入微分學。在更深的數學領域中，高等微積分學通常被稱為分析學，並被定義為研究函數的科學，是現代數學的主要分支之一。
qas: answers: text: 微積分學
question: 「初等數學分析」指的是哪一門數學學科?

answers: text: 微分學
question: 一套關於變化率的理論指的是哪一門數學學科?

answers: text: 研究函數的科學
question: 高等微積分學又被定義為甚麼?

context: 在古代數學中，產生了一些引申出後來積分學的思想，但當時對該些思想的探討方式並不嚴格、系統。埃及的莫斯克紙莎草手卷記載了對不同種類的體積和面積的計算，而這即是積分學的目標之一。不過它的公式只屬簡單指示，沒有提及推導方法，有的公式也只是粗疏的估算。積分的起源很早，古希臘時期歐多克索斯就曾用窮舉法來求面積與體積。阿基米德用內接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率的近似值；也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形，以求得其面積。這些都是窮盡法的古典例子。中國的劉徽在公元三世紀也應用窮舉法求圓的面積。在公元五世紀，祖沖之採用祖垣原理計算出球體積，該原理後來也被稱之為卡瓦列里原理。文藝復興之後，基於實際的需要及理論的探討，積分技巧有了進一步的發展。譬如為了航海的方便，傑拉杜斯•麥卡托發明了所謂的麥卡托投影法，使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線。
qas: answers: text: 古希臘時期
question: 阿基米德是哪一個時期的科學家?

answers: text: 公元五世紀
question: 祖沖在哪一個世紀的時候，計算出球體積?

answers: text: 使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線
question: 麥卡托投影法有何貢獻?

context: 在歐洲，基礎性的論證來自博納文圖拉•卡瓦列里，他提出體積和面積應該用求無窮小橫截面/段的體積/面積的總和來計算。他的想法類似於阿基米德在《方法論》所提出的，但是卡瓦列里的著述丟失了，直到20世紀初期再被找到。卡瓦列里的努力沒有得到認可，因為他的方法的誤差巨大，而且他提出的那些無窮小的量一開始也不獲認同。17世紀的前半是微積分學的醞釀時期，觀念在摸索中，計算是個別的，應用也是個別的。而後戈特弗里德•威廉•萊布尼茨和艾薩克•牛頓兩人幾乎同時使微積分觀念成熟，澄清微、積分之間的關係，使計算系統化，並且把微積分大規模使用到幾何與物理研究上。在他們創立微積分以前，人們把微分和積分視為獨立的學科，之後才確實劃分出「微積分學」這門學科。在對微積分的正式研究中，卡瓦列里提出的無窮小量，與當時在歐洲發展起來的有限差分演算連繫到了一起。皮埃爾•德•費馬聲稱他借用了丟番圖的成就，引入了「准等式」概念，表示兩個項在除卻一個無窮小誤差項下等同。而把無窮小量與有限差分演算連繫起來的工作，是由約翰•沃利斯、伊薩克•巴羅和詹姆斯•格雷果里完成的。後兩者在1670年左右證明了微積分第二基本定理。
qas: answers: text: 阿基米德
question: 《方法論》的作者是誰?

answers: text: 17世紀
question: 微積分學的醞釀時期指的哪一個世紀的前期?

answers: text: 卡瓦列里
question: 無窮小量的概念是何人提出的?

context: 牛頓的老師伊薩克•巴羅雖然知道微分和積分之間有互逆的關係，但他不能體會此種關係的意義，其原因之一就是求導數還沒有一套有系統的計算方法。古希臘平面幾何的成功給予西方數學非常深遠的影響：一般認為唯有幾何的論證方法才是嚴謹、真正的數學，代數不過是輔助的工具而已。直到笛卡兒及費馬倡導以代數的方法研究幾何的問題，這種態度才漸有轉變。可是一方面幾何思維方式深植人心，而另一方面代數方法仍然未臻成熟，實數系統遲遲未能建立，所以許多數學家仍然固守幾何陣營而不能發展出有效的計算方法，巴羅便是其中之一。牛頓雖然放棄了他老師的純幾何觀點而發展出了有效的微分方法，可是他遲遲未敢發表。雖然他利用了微積分的技巧，由萬有引力及運動定律出發說明了他的宇宙體系，但因害怕當時人的批評，所以在他1687年的巨著《自然哲學的數學原理》中仍把微積分的痕跡抹去，而以古典的幾何論證方式論述。
qas: answers: text: 求導數還沒有一套有系統的計算方法
question: 伊薩克•巴羅為何無法體會微分和積分之間互逆關係的意義?

answers: text: 笛卡兒
question: 費馬和哪一位數學家提倡以代數方法研究幾何的問題?

answers: text: 牛頓
question: 《自然哲學的數學原理》的作者是誰?

context: 牛頓利用了微積分的技巧，由萬有引力及運動定律出發說明了他的宇宙體系，解決天體運動，流體旋轉的表面，地球的扁率，擺線上重物的運動等問題。牛頓在解決數學物理問題時，使用了其獨特的符號來進行計算，並提出了乘積法則、鏈式法則、高階導數、泰勒級數。在其它著作中，牛頓給出了函數的級數展開式，當中包括分數和無理數的乘冪，而且明顯地牛頓知道泰勒級數的原理。但是他沒有發表所有的這些發現，因為無窮小方法在當時仍然飽受爭議。上述思想被戈特弗里德•威廉•萊布尼茨整合成為真正的無窮小演算，而牛頓指責前者抄襲。萊布尼茨在今天被認為是獨立發明微積分的另一人。他的貢獻在於成功提供一套明確的規則來處理無窮小的量，能夠允許計算二階或更高階的導數，以微分和積分的形式給出乘積法則和鏈式法則。與牛頓不同，萊布尼茨很注重形式，往往花上數天決定對概念予以什麼適當的符號。萊布尼茨和牛頓都被普遍認為是獨立的微積分發明者。牛頓最先將微積分應用到普通物理當中，而萊布尼茨創作了不少今天在微積分所使用的符號。牛頓、萊布尼茨都給出了微分、積分的基本規則，二階與更高階導數，近似多項式級數的記法等。在牛頓的時代，微積分基本定理是已知的事實。
qas: answers: text: 運動定律
question: 牛頓宇宙體系的基礎是萬有引力和哪一個定律?

answers: text: 因為無窮小方法在當時仍然飽受爭議
question: 牛頓為何沒有發表泰勒級數的原理?

answers: text: 萊布尼茨
question: 獨立的微積分發明者有二人，除了牛頓之外，另一個人是誰?

context: 當牛頓和萊布尼茨第一次發表各自的成果時，數學界就發明微積分的歸屬和優先權問題爆發一場曠日持久的大爭論。牛頓最先得出結論，而萊布尼茨最先將其發表。牛頓稱萊布尼茨從他未發表的手稿中盜取了想法，皇家學會的一些成員也跟牛頓持同一觀點。這場大紛爭將使數學家分成兩派：一派是英國數學家，捍衛牛頓；另一派是歐洲大陸數學家。結果是對英國數學家不利。日後對牛頓和萊布尼茨的論文的小心檢視，證實兩人是獨立得出自己的結論。萊布尼茨從積分推導，牛頓從微分推導。在今天，牛頓和萊布尼茨被譽為發明微積分的兩個獨立創始者。不過，「微積分」之名則是萊布尼茨所創。而牛頓將其成果稱為「流數術」。微積分實際被許多人不斷地完善，也離不開巴羅、笛卡兒、費馬、惠更斯和沃利斯的貢獻。最早的及最完整的一部有關有限和無窮小分析的著作由瑪利亞•阿涅西於1748年所著。
qas: answers: text: 牛頓
question: 「流數術」一詞的發明人是誰?

answers: text: 萊布尼茨
question: 何人最先將微積分的理論發表?

answers: text: 微分
question: 牛頓是以哪一個方向推導並得出微積分的結論?

context: 牛頓和萊布尼茨雖然把微積分系統化，但是它還是不夠嚴謹。可是當微積分被成功地用來解決許多問題，卻使得十八世紀的數學家偏向其應用，而少致力於其嚴謹。當時，微積分學的發展幸而掌握在幾個非常優越的數學家，如歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、達朗貝爾及伯努利世家等人的手裡。研究的問題由自然現象而來，所以能以自然現象的數據來驗合微積分的許多推論，使微積分學不因基礎不穩而隱含錯誤。在這些眾數學家的手中，微積分學的範圍很快地超過現在大學初階段所授的微積分課程，而邁向更高深的解析學。在微積分中，「基礎」意味將一個概念從明確的公理和定義中嚴格地建構出來。早期微積分所使用的無窮小被認為是不嚴謹的，遭到了一些作者的嚴厲批評，特別是米歇爾•羅爾和喬治•貝克萊主教。貝克萊因在他1734年出版的《分析學家》中將無窮小描述為「消失量之鬼」而著名。近代的一篇分析認為萊布尼茨版微積分比起貝克萊的經驗主義批評還更嚴密。為微積分予以嚴謹基礎，成為數學家們在牛頓、萊布尼茨之後幾世紀的重要工作，直至今日仍在某程度上是研究的活躍領域。
qas: answers: text: 十八世紀
question: 拉格朗日是哪一個世紀著名的數學家?

answers: text: 將一個概念從明確的公理和定義中嚴格地建構出來
question: 微積分的「基礎」指的是什麼?

answers: text: 1734年
question: 《分析學家》於何年問世?

context: 一些數學家，包括科林•麥克勞林，試圖證明使用無窮小是可靠的做法，但直到150多年之後才得以成功。奧古斯丁•路易•柯西和卡爾•魏爾斯特拉斯的工作，實現了對無窮小的記號的迴避。微分和積分的基礎終於被打下了。在柯西的著作中，可以看到一系列的基礎進路嘗試，包括通過無窮小來對連續進行定義，和在微分定義中一個不太精確的極限定義原型。而在魏爾斯特拉斯的著述中，對極限概念作了形式化，迴避了無窮小的使用。繼魏爾斯特拉斯之後，微積分就常以極限作為基礎，而非無窮小了。波恩哈德•黎曼使用這些概念來對積分進行嚴格定義。在這一時期，微積分的概念也被推廣到歐幾里得空間和複平面。在現代數學裡，微積分基礎被包含在實變函數論中，後者包括了對微積分理論的完全數學證明。微積分的範圍也被大大拓寬了。昂利•勒貝格建立了測度論，以測度概念來定義絕大多數函數上的積分。洛朗•施瓦茨引入了分布概念，可以用其取任意函數的導數。
qas: answers: text: 科林•麥克勞林
question: 哪一位數學家試圖證明使用無窮小是可靠的做法?

answers: text: 魏爾斯特拉斯
question: 微積分在何人的理論提出之後，就開始以極限作為基礎?

answers: text: 昂利•勒貝格
question: 測度論的創建者是誰?

context: 極限不是對微積分基礎唯一的嚴格進路。另一種方法是採用亞伯拉罕•魯濱遜的非標準分析。羅賓遜在1960年左右所採取的進路襲承了牛頓——萊布尼茨的最初概念，借用數理邏輯的技術將實數系統擴大，得以將無窮小和無窮大數包含在內。所得出的數為超實數，可以用它們來對微積分法則作萊布尼茨式的推導。早期的微積分概念來自於埃及、希臘、中國、印度、伊拉克、波斯、日本，但現代微積分來自於歐洲。17世紀時，艾薩克•牛頓與戈特弗里德•萊布尼茨在前人的基礎上提出微積分的基本理論。微積分基本概念的產生是建立在求瞬間運動和曲線下面積這兩個問題之上的。微分應用包括對速度、加速度、曲線斜率、最優化等的計算。積分應用包括對面積、體積、弧長、質心、做功、壓力的計算。更高級的應用包括冪級數和傅立葉級數等。微積分也使人們更加精確地理解到空間、時間和運動的本質。多個世紀以來，數學家和哲學家都在爭論除以零或無限多個數之和的相關悖論。這些問題在研究運動和面積時常常出現。古希臘哲學家埃利亞的芝諾便給出了好幾個著名的悖論例子。微積分提供了工具，特別是極限和無窮級數，以解決該些悖論。微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、複分析、時域微分和微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析。
qas: answers: text: 可以用它們來對微積分法則作萊布尼茨式的推導
question: 超實數的功能是?

answers: text: 求瞬間運動
question: 微積分基本概念是建立在曲線下面積和哪一個問題之上?

answers: text: 微分應用
question: 曲線斜率的計算指的是哪一領域的範疇?

answers: text: 微積分
question: 實分析指的是哪一數學概念的現代版本?