Chuỗi hội tụ

Trong toán học, một chuỗi là một tổng hình thức các số hạng của một dãy số vô hạn.
Cho một dãy vô hạn formula_1 tổng thành phần thứ "n" của nó "S""n" là tổng của "n" số hạng đầu tiên của chuỗi. Tức là,
Một chuỗi được gọi là hội tụ nếu dãy các tổng thành phần của nó formula_3 hội tụ đến một giới hạn; điều đó có nghĩa là các tổng thành phần dần dần tiến gần hơn và gần hơn đến một số xác định.
Chính xác hơn, một chuỗi là hội tụ, nếu tồn tại một số xác định formula_4 sao cho với mỗi số dương nhỏ tùy ý formula_5, tồn tại một số nguyên (đủ lớn) formula_6, sao cho với mọi formula_7,
Nếu chuỗi hội tụ, số formula_4 (nhất thiết phải là duy nhất) được gọi là "tổng của chuỗi".
Bất kỳ chuỗi nào không hội tụ được gọi là phân kỳ.
Các tiêu chuẩn hội tụ.
Có một số phương pháp xác định xem một chuỗi hội tụ hay phân kỳ, được gọi là các tiêu chuẩn hội tụ. 
Tiêu chuẩn so sánh. Nếu,
với mọi "n", formula_21 và formula_22 hội tụ, thế thì formula_23 hội tụ.
Nếu,
với mọi "n", formula_24 và formula_22 phân kỳ, thế thì formula_26 phân kỳ.
Tiêu chuẩn D'Alembert (hay tiêu chuẩn tỷ lệ). Giả sử rằng với mọi "n", formula_27 khác 0. Giả sử tồn tại formula_28 sao cho
Nếu "r" &lt;1, thì chuỗi hội tụ tuyệt đối. Nếu thì chuỗi phân kỳ. Nếu tiêu chuẩn D'Alembert không áp dụng, cần sử dụng phương pháp khác.
Tiêu chuẩn Cauchy (hay tiêu chuẩn căn thức). Giả sử rằng các số hạng của chuỗi là không âm. Xác định "r" như sau:
Nếu "r" &lt;1, thì chuỗi hội tụ. Nếu thì chuỗi phân kỳ. Nếu tiêu chuẩn Cauchy không áp dụng, cần sử dụng phương pháp khác.
Tiêu chuẩn tích phân Cauchy.Giả sử formula_31 với formula_32 là một hàm số dương đơn điệu giảm. Nếu
thì chuỗi hội tụ. Nếu tích phân phân kỳ thì chuỗi phân kỳ.
Tiêu chuẩn so sánh giới hạn. Nếu formula_34 và giới hạn formula_35 tồn tại và khác không, thì formula_26 hội tụ khi và chỉ khi formula_22 hội tụ.
Tiêu chuẩn Leibniz. Với một chuỗi đan dấu formula_38, nếu formula_39 giảm đơn điệu và có giới hạn bằng 0 ở vô cực thì chuỗi hội tụ.
Dấu hiệu Abel
Dấu hiệu Dirichlet
Hội tụ tuyệt đối và hội tụ có điều kiện.
Với một dãy bất kỳ formula_40, formula_41 với mọi "n". Vì thế,
Điều này có nghĩa là (theo dấu hiệu so sánh) nếu formula_43 hội tụ, thì formula_26 cũng phải hội tụ (nhưng đảo lại không đúng).
Nếu chuỗi formula_43 hội tụ, thì formula_26 được gọi là hội tụ tuyệt đối. Một dãy hội tụ tuyệt đối là dãy mà độ dài đoạn thẳng tạo ra khi nối lại tất cả các phần tăng thêm của tổng riêng có độ dài hữu hạn. Chuỗi lũy thừa của hàm mũ hội tụ tuyệt đối ở mọi nơi.
Nếu chuỗi formula_26 hội tụ nhưng chuỗi formula_43 lại phân kỳ, thì chuỗi formula_26 là hội tụ có điều kiện. Đoạn đường tạo ra khi nối các tổng riêng của một chuỗi hội tụ có điều kiện có độ dài vô hạn. Thí dụ, chuỗi lũy thừa của hàm logarit là hội tụ có điều kiện.
Định lỹ chuỗi Riemann khẳng định rằng nếu một chuỗi hội tụ có điều kiện, có thể đổi chỗ các số hạng trong chuỗi theo một cách sao cho chuỗi hội tụ đến giá trị tùy ý, hay thậm chí là phân kỳ.
Hội tụ đều.
Cho formula_50 là một dãy các hàm số. Chuỗi formula_51 được gọi là hội tụ đều đến "f" nếu dãy các tổng riêng formula_52 xác định bởi
hội tụ đều đến "f".
Có một tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi hàm vô hạn giống với tiêu chuẩn so sánh trên, được gọi là Dấu hiệu M Weierstrass.
Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy.
Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy khẳng định rằng một chuỗi
hội tụ khi và chỉ khi dãy tổng riêng là một dãy Cauchy. Điều này nghĩa là với mỗi formula_55 tồn tại một số nguyên dương formula_6 sao cho với mọi formula_57 ta có
điều này tương đương với