Tác động nhóm

Trong toán học, một tác động nhóm trên một không gian là phép đồng cấu nhóm của một nhóm thành nhóm các phép biến đổi của không gian. Tương tự, một tác động nhóm trên một cấu trúc toán học là một phép đồng cấu nhóm của một nhóm vào nhóm tự đồng cấu của cấu trúc. Người ta nói rằng nhóm đó "tác động" lên không gian hoặc cấu trúc. Nếu một nhóm tác động lên một cấu trúc nào đó, nó thường cũng sẽ tác động lên các đối tượng được xây dựng từ cấu trúc đó. Lấy ví dụ như, nhóm các đối xứng của một khối đa diện tác động lên các đỉnh, các cạnh và các mặt của khối đa diện đó.
Tác động nhóm trên không gian vectơ (hữu hạn chiều) được gọi là biểu diễn nhóm. Nó cho phép người ta xác định nhiều nhóm là các nhóm con của , nhóm các ma trận khả nghịch bậc trên trường .
Định nghĩa.
Tác động trái.
Nếu là một nhóm với phần tử đơn vị và là một tập hợp, thì một "tác động trái của nhóm" của trên là một hàm
thỏa mãn hai tiên đề sau: 
với mọi và thuộc và mọi thuộc 
Nhóm được gọi là tác động lên tập (từ trái qua). Tập hợp cùng với một tác động của được gọi là "tập" "(bên trái").
Từ hai tiên đề này, dễ nhận thấy rằng cho bất kỳ cố định trong , hàm từ vào chính nó ánh xạ tới là một song ánh, với ánh xạ ngược tương ứng cho .Do đó, người ta có thể định nghĩa một cách tương đương một tác động nhóm của trên như một phép đồng cấu nhóm từ sang nhóm đối xứng của tất cả các song ánh từ với chính nó. 
Tác động phải.
Tương tự như vậy, tác động phải của nhóm tác động lên tập là một hàm
thỏa mãn hai tiên đề sau: 
với mọi và thuộc và mọi thuộc .
Khác biệt giữa tác động trái và phải là thứ tự phép toán của tích tác động . Đối với tác động trái, tác động trước rồi mới đến . Còn với tác động phải, tác động trước rồi đến . Bởi công thức , tác động trái xây được từ tác động phải bằng cách nhân với phần tử nghịch đảo trong nhóm. Ngoài ra, tác động phải của nhóm trên có thể được coi là tác động trái của nhóm đối trên .
Do vậy, khi xét các tính chất của tác động nhóm, ta chỉ cần xét mỗi tác động trái. Tuy nhiên, cũng có trường hợp điều này không khả thi. Lấy ví dụ, phép nhân của nhóm sinh cả tác động trái và tác động phải trên chính nhóm đó.
Một số tính chất đặc biệt.
Gọi formula_3 là nhóm tác động lên tập formula_4. Tác động nhóm được gọi là ' hay ' nếu formula_5 với mọi formula_6 thì formula_7. Hoặc tương đương là, cấu xạ từ formula_3 đến nhóm các song ánh của formula_4 tương ứng với tác động nhóm là đơn ánh.
Tác động được gọi là "" (hoặc "nửa chính quy" hoặc "không điểm cố định") nếu ta chỉ cần lấy một vài phần tử formula_6 sao cho formula_5 để suy ra formula_7.Nói cách khác, không có phần tử không tầm thường nào của formula_3 cố định một điểm thuộc formula_4. Tính chất này mạnh hơn tính trung thành của tác động nhóm.
Lấy ví dụ ,tác động của mọi nhóm lên chính nó theo phép nhân trái là tác động tự do. Từ quan sát này sẽ suy ra định lý Cayley rằng bất cứ nhóm nào đều có thể nhúng trong một nhóm đối xứng (nhóm đối xứng vô hạn khi nhóm đó vô hạn). Nhóm hữu hạn có thể tác động trung thành lên tập có kích thước nhỏ hơn lực lượng của nó (tuy nhiên tác động đó sẽ không tự do). Ví dụ cụ thể như 2-nhóm abel formula_15 (có lực lượng formula_16) tác động trung thành lên tập có kích thước formula_17. Điều này cũng luôn không đúng, ví dụ nhóm cyclic formula_18 không thể tác động trung thành lên tập có kích thước nhỏ hơn formula_16.
Nhìn chung thì tập nhỏ nhất có thể định nghĩa tác động trung thành lên đó phụ thuộc vào nhóm tác động, kể cả khi các nhóm đó cùng kích thước. Lấy ví dụ, ba nhóm có kích thước 120 là nhóm đối xứng formula_20, nhóm hai mươi mặt formula_21 và nhóm cyclic formula_22. Tập nhỏ nhất có thể định nghĩa tác động trung thành lên có kích thước là 5, 12, và 16 tương ứng.
Tính chất bắc cầu.
Tác động của nhóm formula_3 lên formula_4 được gọi là "" nếu cho hai điểm formula_25, tồn tại formula_26 sao cho formula_27. 
Tác động của nhóm được gọi là ' (hoặc hay gọi là ') nếu nó vừa có tính bắc cầu vừa tự do. Nghĩa là cho formula_25, thì phần tử formula_29 trong định nghĩa bắc cầu là duy nhất. Nếu formula_4 bị tác động bắc cầu đơn bởi nhóm formula_3 thì nó được gọi là không gian thuần nhất chính cho formula_3 hoặc là formula_3-xoắn tử. 
Cho số nguyên formula_34, tác động được gọi là nếu formula_4 có ít nhất formula_36 phần tử, và cho bất kỳ cặp bộ formula_36 phần tử formula_38 phân biệt từng cặp chỉ số (tức là formula_39, formula_40 khi formula_41) , tồn tại formula_26 sao cho formula_43 với formula_44. Nói cách khác tác động trên tập con của formula_45 chứa các bộ mà không phần tử nào bị lặp lại có tính bắc cầu. Lớp các nhóm 2-bắc cầu (tức là, các nhóm con của nhóm đối xứng hữu hạn có tác động 2-bắc cầu) và tổng quát hơn là các nhóm bắc cầu nhân được nghiên cứu kỹ lưỡng trong lý thuyết nhóm hữu hạn.
Các ví dụ.
Tác động của nhóm đối xứng của formula_4 có tính bắc cầu, thậm chí formula_36-bắc cầu cho bất kỳ formula_36 lên tới lực lượng của formula_4. Nếu formula_4 có lực lượng formula_51 tác động của nhóm thay phiên lên nó sẽ có tính formula_52-bắc cầu nhưng không formula_53-bắc cầu. 
Tác động của nhóm tuyến tính tổng quát của không gian vectơ formula_54 trên tập formula_55 của các vectơ khác không có tính bắc cầu, nhưng không 2-bắc cầu (tương tự với tác động của nhóm tuyến tính đặc biệt nếu chiều của formula_56 ít nhất 2). Tác động của nhóm trực giao của không gian Euclid không có tính bắc cầu khi tác động lên các vecto khác không, nhưng có tính bắc cầu khi tác động lên mặt cầu đơn vị.
Tác động nguyên thuỷ.
Tác động của formula_3 lên formula_4 được gọi là "nguyên thuỷ" nếu không có phân hoạch nào của formula_4 được bảo toàn bởi toàn bộ các phần tử của formula_3 ngoại trừ phân hoạch tầm thường (phân hoạch thành một phần tử và đối ngẫu của phần tử đó và phân hoạch về duy nhất các tập có duy nhất một phần tử).