Công thức De Moivre

Trong toán học, công thức de Moivre (hay định thức de Moivre, đẳng thức de Moivre, tiếng Anh: "de Moivre's formula") phát biểu rằng với mọi số thực ' và số nguyên ', đẳng thức sau luôn xảy ra, với " là đơn vị ảo ():
Công thức được đặt theo tên của nhà toán học Abraham de Moivre, mặc dù ông chưa bao giờ đề cập nó trong các tác phẩm của mình.Công thức này có giá trị chủ yếu ở việc liên kết các số phức với công thức lượng giác. Bằng việc khai triển biểu thức ở vế trái sau đó sử dụng điều kiện để hai số phức bằng nhau, công thức de Moivre có thể được sử dụng để khai triển và dưới dạng đơn giản hơn là đa thức của và .
Như nội dung của công thức, đẳng thức này không được áp dụng hoàn toàn cho trường hợp " không phải là số nguyên.
Ví dụ.
Với formula_2 và formula_3, công thức de Moivre có thể được áp dụng như sau:formula_4hoặc tương đương vớiformula_5Trong ví dụ này, có thể kiểm tra được đẳng thức có đúng hay không bằng cách khai triển phép bình phuơng ở vế trái. 
Mối quan hệ với công thức Euler.
Công thức de Moivre là hệ quả cho công thức Euler - công thức thiết lập mối quan hệ giữa các hàm lượng giác và hàm mũ với số mũ phức:
formula_6
Sử dụng tính chất của phép lũy thừa, có thể sử dụng công thức Euler để suy ra công thức de Moivre, bằng cách viết như sau: 
formula_7
sử dụng công thức Euler cho vế trái, vế trái tuơng đuơng với formula_8, vế phải sẽ tuơng đuơng với: 
formula_9
Chứng minh bằng quy nạp.
Công thức de Moivre có thể được chứng minh bằng cách sử dụng phép quy nạp cho các số tự nhiên, từ đó mở rộng ra các số nguyên. Với số nguyên " cho trước, gọi mệnh đề sau đây là : 
formula_10
Với , phép quy nạp toán học bắt đầu từ đây. là một mệnh đề đúng, từ đó giả sử là mệnh đề đúng với số " nguyên nào đó, điều này tuơng đuơng với: 
formula_11
Xét mệnh đề : 
formula_12
Từ đó dẫn tới khi đúng, cũng đúng, từ đó theo phép quy nạp toán học, công thức này đúng với mọi số tự nhiên. cũng là mệnh đề đúng do . Với các số nguyên âm. xét một số nguyên âm là số đối của ", khi đó:
formula_13
Phuơng trình (*) là một phuơng trình đúng nhờ có tính chất:
formula_14 ở đó . 
Từ đó, đúng với mọi số nguyên "
Công thức hạ bậc của sin và cosin.
Để hai số phức có thể bằng nhau, phần thực và phần ảo của chúng đều phải đôi một bằng nhau. Nếu như ", hay và đều là những số thực, khi đó chúng đều có thể được sử dụng để thiết lập mối quan hệ bằng nhau bằng việc sử dụng định lý nhị thức. Công thức này được phát biểu lần đầu tiên vào thế kỷ thứ 16 bởi nhà toán học người Pháp François Viète: 
formula_15
Ở vế phải của cả hai đồng nhất thức, hệ số tự do hoặc là 1, -1 hay 0. Hai đồng nhất thức này đúng kể cả khi " là một số phức. Dưới đây là hai ví dụ cho trường hợp và : 
formula_16
Bản chất vế trái của đồng nhất thức với là giá trị của - một đa thức Chebyshev.
Số mũ không nguyên.
Công thức de Moivre không chắc chắn đúng khi số mũ không nguyên, do khi một số phức được lũy thừa hóa với số mũ không nguyên, có nhiều hơn một kết quả được thu lại. Ví dụ, với , công thức de Moivre khi được áp dụng cho ra kết quả: 
Điều này xảy ra do vừa bằng 1, vừa bằng -1, nên công thức không đúng trong trường hợp này. 
Phát biểu đồng dạng.
Hàm lượng giác hyperbolic.
Do , một phát biểu đồng dạng cũng xuất hiện với các hàm hyperbol, rằng với mọi số nguyên "": 
formula_17
Nếu "" là một số hữu tỉ, khi đó sẽ là một giá trị của 
Mở rộng với số phức.
Công thức với số phức formula_18 vẫn có dạng: 
formula_19, khi mà: 
formula_20
Ma trận vuông 2x2.
Xét ma trận formula_21, khi đó: 
formula_22
Đẳng thức này có thể được chứng minh bằng phép quy nạp như công thức de Moivre.