Ổn định Lyapunov

Có nhiều loại ổn định có thể được thảo luận cho các lời giải của phương trình vi phân hay phương trình vi phân mô tả các hệ thống động học. Loại quan trọng nhất liên quan đến sự ổn định của các lời giải gần đến một điểm cân bằng. Điều này có thể được thảo luận bởi lý thuyết của Lyapunov. Trong thuật ngữ đơn giản, nếu các lời giải mà bắt đầu gần một điểm cân bằng formula_1 ở gần formula_1 vĩnh viễn, thì formula_1 là ổn định Lyapunov. Mạnh hơn, nếu formula_1 là ổn định Lyapunov và tất cả các lời giải đó bắt đầu gần formula_1 hội tụ về formula_1, thì formula_1 là ổn định tiệm cận. Khái niệm về sự ổn định mũ đảm bảo một tốc độ tối thiểu của phân rã, tức là, ước tính một cách nhanh chóng các lời giải hội tụ như thế nào. Ý tưởng về sự ổn định Lyapunov có thể được mở rộng cho các đa tạp có chiều vô hạn, nơi được gọi là ổn định cấu trúc, trong đó liên quan đến hành vi của các lời giải khác nhau nhưng "gần" với các phương trình vi phân. Ổn định đầu vào trạng thái (ISS) áp dụng các khái niệm Lyapunov cho các hệ thống với các đầu vào.
Lịch sử.
Ổn định Lyapunov được đặt theo tên nhà toán học người Nga, Aleksandr Lyapunov, người đã xuất bản cuốn sách B"ài toán Tổng quát về sự ổn định chuyển động "vào năm 1892. Lyapunov là người đầu tiên xem xét những sửa đổi cần thiết trong các hệ thống phi tuyến vào lý thuyết tuyến tính của sự ổn định dựa trên việc tuyến tính hóa gần một điểm cân bằng. Công trình của ông ban đầu được xuất bản bằng tiếng Nga và sau đó được dịch sang tiếng Pháp, và ít nhận được sự chú ý trong nhiều năm. Sự quan tâm đến nó đột ngột bắt đầu trong thời kỳ chiến tranh lạnh khi những cái gọi là "phương pháp thứ hai của Lyapunov" (xem dưới đây) đã được tìm thấy khả năng áp dụng đối với sự ổn định của các hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ thường chứa các yếu tố phi tuyến mạnh mẽ không có thể xử lý bằng các phương pháp khác. Một số lượng lớn các ấn phẩm đã xuất hiện sau đó và ở trong các tài liệu chuyên ngành điều khiển và hệ thống. Gần đây hơn khái niệm về số mũ Lyapunov (liên quan đến phương pháp đầu tiên của Lyapunov thảo luận về sự ổn định) đã nhận được nhiều sự quan tâm liên quan đến lý thuyết hỗn loạn. Các phương pháp ổn định Lyapunov cũng đã được áp dụng để tìm ra các lời giải cân bằng trong các bài toán phân luồng giao thông.
Định nghĩa cho các hệ thống thời gian liên tục.
Hãy xem xét một hệ thống động lực học phi tuyến tự hành như sau
trong đó formula_9 nghĩa là vector trạng thái hệ thống, formula_10 một tập mở chứa gốc, vàformula_11 liên tục trên formula_10. Giả sử formula_13 có một điểm cân bằng tại formula_1 do đó formula_15 thì
Một cách khái niệm, ý nghĩa của các điều khoản ở trên là như sau:
Quỹ đạo "x" là (địa phương) "thu hút "nếu
(trong đó y(t) là ký hiệu của đầu ra hệ thống) từ formula_33 cho tất cả các quỹ đạo mà bắt đầu đủ gần, và "hấp dẫn trên toàn cục "nếu thuộc tính này được giữ cho tất cả các quỹ đạo.
Đó là, nếu "x" thuộc về nội bộ của đa tạp ổn định của nó, nó là ổn định tiệm cận nếu nó vừa hấp dẫn và vừa ổn định. (Có những ví dụ cho thấy tính hấp dẫn không hàm ý sự ổn định tiệm cận. Những ví dụ như vậy rất dễ tạo các kết nối homoclinic.)
Nếu Jacobian của hệ thống động học ở trạng thái cân bằng sẽ xảy ra là một ma trận ổn định (ví dụ, nếu một phần thực của mỗi vectơ riêng là hoàn toàn âm), thì trạng thái cân bằng là ổn định tiệm cận.
Ví dụ.
Thì "V(x)" được gọi là một hàm Lyapunov ứng viên và hệ thống là ổn định trong ý nghĩa của Lyapunov (lưu ý rằng formula_42 là yêu cầu bắt buộc; Mặt khác ví dụ formula_43 "chứng minh" rằngformula_44). Một điều kiện khác được gọi là "tính đúng đắn" hoặc "tính quá độ tia" là cần thiết để kết luận sự ổn định toàn cục. Ổn định tiệm cận toàn cục (GAS) cũng tương tự.
Sẽ dễ dàng hơn để hình dung phương pháp phân tích này bằng cách nghĩ đến một hệ thống vật lý (ví dụ như lò xo dao động và khối lượng) và xem xét năng lượng của một hệ thống như vậy. Nếu hệ thống này tiêu hao năng lượng theo thời gian và năng lượng này không bao giờ phục hồi được và cuối cùng nó phải buộc dừng lại và đạt tới một trạng thái nghỉ cuối cùng nào đó. Trạng thái cuối cùng này được gọi là điểm thu hút. Tuy nhiên, việc tìm kiếm một hàm để miêu tả chính xác năng lượng của một hệ thống vật lý có thể rất khó, và đối với các hệ thống toán học trừu tượng, hệ thống kinh tế hay các hệ thống sinh học, khái niệm về năng lượng có thể không dùng được.
Việc thực hiện hóa của Lyapunov đó là sự ổn định có thể được chứng minh mà không đòi hỏi kiến ​​thức về năng lượng vật lý thực sự, cung cấp một hàm Lyapunov có thể được tìm thấy để đáp ứng các hạn chế trên.
Định nghĩa cho các hệ thống thời gian rời rạc.
Định nghĩa của ổn định Lyapunov cho các hệ thống thời gian rời rạc cũng gần giống như đối với các hệ thống thời gian liên tục. Định nghĩa dưới đây sử dụng một ngôn ngữ thay thế thường được sử dụng trong các văn bản toán học nhiều hơn.
Cho ("X", "d") là một không gian metric và "f": "X" → "X" là một hàm liên tục. Một điểm "x" trong "X" được gọi là Ổn định Lyapunov, nếu,
trong đó formula_9 nghĩa là vectơ trạng thái hệ thống, formula_10 một tập mở chứa gốc, vàformula_11 liên tục trên formula_10. Giả sử formula_13 có một điểm cân bằng tại formula_1 do đó formula_15 thì
Ví dụ.
Hãy xem xét một phương trình, trong đó so sánh với phương trình dao động Van der Pol, yếu tố ma sát thay đổi theo:
Trạng thái cân bằng tại:formula_55
Dưới đây là một ví dụ tốt về một nỗ lực không thành công để tìm hàm Lyapunov để chứng minh sự ổn định:
Cho
do đó hệ thống tương ứng là
Hãy lựa chọn như là một hàm Lyapunov
mà rõ ràng là xác định dương. Đạo hàm của nó là
Dường như là nếu tham số formula_60 là dương, độ ổn định sẽ là tiệm cận đối với formula_61 Nhưng điều này là sai, bởi vì formula_62 không phụ thuộc vào formula_63, và sẽ là 0 mọi nơi trong trục formula_63. Hệ thống này là ổn định Lyapunov.
Bổ đề Barbalat và sự ổn định của hệ thống thời gian biến đổi.
Giả sử f là hàm số chỉ theo thời gian.
Bổ đề Barbalat cho biết:
Thông thường, rất khó để phân tích sự ổn định "tiệm cận "của các hệ thống thời gian biến đổi vì rất khó để tìm ra hàm Lyapunov với một đạo hàm xác định âm.
Chúng ta biết rằng trong trường hợp của các hệ thống tự hành (thời gian bất biến), nếu formula_83 là nửa xác định âm (NSD), thì cũng có thể biết được các hành vi tiệm cận bằng cách sử dụng định lý bất biến nào đó. Tuy nhiên, sự linh hoạt này không sẵn có cho các hệ thống thời gian biến đổi. Đây là nơi "bổ đề Barbalat " được sử dụng tới. Nó nói rằng:
Ví dụ sau đây được lấy từ trang 125 của cuốn sách của Slotine và Li: Điều khiển phi tuyến ứng dụng.
Xem xét một hệ thống không tự hành sau
Đây là hệ thống phi tự hành bởi vì đầu vào formula_93 là một hàm số theo thời gian. Giả sử rằng đầu vào formula_94 bị chặn.
Lấy formula_95 ta có formula_96
Điều này nó lên rằng formula_97 bởi hai điều kiện đầu tiên và do đó formula_98 và formula_99 là bị chặn. Nhưng nó không nói bất cứ điều gì về sự hội tụ của formula_98 về zero. Hơn nữa, định lý tập bất biến không thể được áp dụng, vì các đặc tính động lực học là không tự hành.
Sử dụng bổ đề Barbalat:
Hàm này là bị chặn bởi vì formula_98, formula_99 và formula_93 là bị chặn. Điều này nghĩa là formula_105 khi formula_67 và do đó formula_107. Điều này chứng tỏ rằng các sai số là hội tụ.