Hàm sinh mô men

Trong lý thuyết xác suất và thống kê, hàm sinh mô men (moment-generating function hay MGF) của một biến ngẫu nhiên là một mô tả thay thế cho hàm phân phối xác suất của nó. Do đó, nó cung cấp một cách tiếp cận khác đến các kết quả phân tích dữ liệu so với làm việc trực tiếp với hàm mật độ xác suất hay hàm phân phối tích lũy. Một số kết quả đặc biệt đơn giản tồn tại cho hàm sinh mô men của các phân phối được định nghĩa bởi tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên. Tuy nhiên, không phải biến ngẫu nhiên nào cũng có hàm sinh mô men.
Hàm sinh mô men, như tên gọi, có thể được sử dụng để tính toán các mô men của một phân phối xác suất: mô men thứ "n" tại điểm 0 là đạo hàm cấp "n" của hàm sinh mô men tại 0.
Ngoài các phân bố giá trị thực một biến, hàm sinh mô men cũng có thể được định nghĩa cho các biến ngẫu nhiên giá trị vectơ hoặc ma trận, và còn có thể được mở rộng cho các trường hợp tổng quát hơn.
Hàm sinh mô men của một phân bố giá trị thực không nhất thiết phải tồn tại, không giống hàm đặc trưng. Có một số quan hệ giữa hành vi của hàm sinh mô men của một phân phối và các tính chất của phân phối đó, chẳng hạn sự tồn tại của các mô men.
Định nghĩa.
Cho formula_1 là một biến ngẫu nhiên với hàm phân phối (cdf) formula_2. Hàm sinh mô men (mgf) của formula_3 (hay của formula_2), ký hiệu formula_5, được định nghĩa là
với điều kiện là kỳ vọng này tồn tại cho mỗi điểm formula_7 trong một lân cận của 0. Tức là, tồn tại số formula_8 sao cho với mọi formula_7 trên khoảng formula_10, formula_11 tồn tại. Nếu kỳ vọng không tồn tại trong một lân cận của điểm 0, ta nói rằng hàm sinh mô men không tồn tại.
Nói cách khác, hàm sinh mô men của "X" chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên formula_12. Tổng quát hơn, nếu formula_13, hay với một vectơ ngẫu nhiên formula_14-chiều, và formula_15 là một vectơ cố định, ta sử dụng tích vô hướng formula_16 thay vì formula_17:
formula_19 luôn tồn tại và bằng 1. Tuy nhiên một vấn đề quan trọng với hàm sinh mô men đó là các mô men và hàm sinh mô men có thể không tồn tại, vì các tích phân không nhất thiết phải hội tụ tuyệt đối. Trong khi đó, hàm đặc trưng hay biến đổi Fourier của hàm mật độ luôn tồn tại (do nó là tích phân của một hàm bị chặn trên một không gian với độ đo hữu hạn), và có thể thay vào đó được sử dụng cho một số mục đích.
Hàm sinh mô men có tên như vậy bởi vì nó có thể được sử dụng để tìm các mô men của phân phối. Khai triển chuỗi của formula_20 là
Từ đó ta có
trong đó formula_23 là mô men cấp formula_14. Lấy đạo hàm formula_5 formula_26 lần theo biến formula_7 và đặt formula_28, ta nhận được mô men cấp thứ formula_26 quanh điểm gốc, formula_30.
Nếu formula_3 là một biến ngẫu nhiên liên tục, quan hệ sau đây giữa hàm sinh mô men của nó formula_5 và biến đổi Laplace hai phía của hàm mật độ xác suất của nó formula_33 được thỏa mãn:
bởi biến đổi Laplace hai phía của hàm mật độ được cho bằng
và hàm sinh mô men được định nghĩa mở rộng (bởi luật hàm biến ngẫu nhiên) là
Hàm đặc trưng formula_37 có liên hệ sau với hàm sinh mô men: formula_38 hàm đặc trưng chính là hàm sinh mô men của "iX" hay hàm sinh mô men của "X" khi được tính trên trục ảo.
Ví dụ.
Dưới đây là một số ví dụ về hàm sinh mô men và hàm đặc trưng của một số phân phối xác suất để so sánh. Có thể thấy rằng hàm đặc trưng là một phép quay Wick của hàm sinh mô men formula_5 khi nó tồn tại.
formula_40
Tính toán.
Hàm sinh mô men là kỳ vọng của một hàm của biến ngẫu nhiên, nó có thể được viết dưới dạng:
Chú ý rằng đối với trường hợp mà formula_3 có hàm mật độ xác suất liên tục formula_48, thì formula_49 là biến đổi Laplace hai phía của formula_48.
trong đó formula_23 là mô men cấp thứ formula_14.
Biến đổi tuyến tính của các biến ngẫu nhiên.
Nếu biến ngẫu nhiên formula_3 có hàm sinh mô men formula_5, thì formula_56 có hàm sinh mô men formula_57
Tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên độc lập.
Nếu formula_59, trong đó các "X""i" là các biến ngẫu nhiên độc lập và các "a""i" là hằng số, thì hàm mật độ xác suất của "S""n" là tích chập của các hàm mật độ tương ứng của mỗi "X""i", và hàm sinh mô men của "S""n" được cho bởi:
Biến ngẫu nhiên giá trị vectơ.
Đối với biến ngẫu nhiên giá trị vectơ formula_61 với các thành phần thực, hàm sinh mô men được cho bởi:
trong đó formula_15 là một vectơ và formula_64 là tích vô hướng.
Tính chất quan trọng.
Hàm sinh mô men là dương và lồi logarit, với "M"(0) = 1.
Một tính chất quan trọng của hàm sinh mô men đó là nó xác định duy nhất phân phối xác suất. Nói cách khác, nếu formula_3 và formula_66 là hai biến ngẫu nhiên và với mọi giá trị của "t", ta có
thì
đối với mọi giá trị của "x" (hay một cách tương đương là "X" và "Y" có cùng phân phối xác suất). Tuy nhiên, phát biểu này không tương đuơng với phát biểu "nếu hai phân phối có các mô men giống nhau thì chúng bằng nhau tại mọi điểm." Điều này là do trong một số trường hợp, các mô men tồn tại nhưng hàm sinh mô men thì không, bởi vì giới hạn
có thể không tồn tại. Phân phối log-chuẩn là một ví dụ về khi điều này xảy ra.
Tính toán các mô men.
Hàm sinh mô men có tên gọi như vậy bởi vì nếu nó tồn tại trên một khoảng mở quanh "t" = 0, thì nó là hàm sinh lũy thừa của các mô men của phân phối xác suất:
Điều này tức là, với "n" là một số nguyên không âm, mô men gốc cấp thứ "n" (tại điểm 0) chính là đạo hàm cấp "n" của hàm sinh mô men, tính ở điểm "t" = 0.