Phương tích của một điểm

Trong hình học phẳng sơ cấp, phương tích của một điểm là một số thực thể hiện khoảng cách tương đối của điểm đó đối với một đường tròn cho trước. Khái niệm này được giới thiệu bởi nhà toán học Jakob Steiner năm 1826.
Một cách cụ thể, phương tích formula_1 của một điểm formula_2 đối với một đường tròn formula_3 với tâm formula_4 và bán kính formula_5 được định nghĩa bởi
Nếu formula_2 nằm "bên" "ngoài" đường tròn thì formula_8,
nếu formula_2 nằm "trên" đường tròn thì formula_10, và
nếu formula_2 nằm "bên trong" đường tròn thì formula_12.
Do định lý Pythagoras, số formula_1 có ý nghĩa hình học đơn giản thể hiện trong sơ đồ bên phải: Đối với một điểm formula_2 nằm ngoài đường tròn thì formula_1 là bình phương khoảng cách theo tiếp tuyến formula_16 của điểm formula_2 tới đường tròn formula_3.
Những điểm có cùng phương tích đối với một đường tròn formula_3, tức là các đường đẳng giá trị formula_1, là các đường tròn đồng tâm với formula_3.
Steiner đã sử dụng phương tích của một điểm để chứng minh một vài khẳng định về đường tròn, ví dụ:
Những công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu các đường tròn là trục đẳng phương của hai đường tròn và tâm đẳng phương của ba đường tròn.
Sơ đồ phương tích là một tập hợp các đường tròn chia mặt phẳng thành các miền, một miền tương ứng với một đường tròn cho trước gồm những điểm có phương tích đối với đường tròn đó nhỏ hơn phương tích của tất cả các đường tròn khác.
Tổng quát hơn, nhà toán học Pháp Edmond Laguerre đã định nghĩa phương tích của một điểm đối với một đường cong đại số bất kỳ theo cách tương tự.
Tính chất hình học.
Ngoài những tính chất đã nêu trên, sau đây là một số tính chất sâu hơn:
Đường tròn trực giao.
Đối với một điểm bất kỳ formula_2 "bên ngoài" đường tròn formula_3 tồn tại hai tiếp điểm formula_24 nằm trên đường tròn formula_3, với những khoảng cách bằng nhau tới formula_2. Do đó đường tròn formula_27 với tâm formula_2 đi qua formula_29 cũng đi qua formula_30, và được gọi là cắt đường tròn formula_3 trực giao:
Nếu bán kính formula_35 của đường tròn tâm formula_2 khác formula_33, ta có thể định nghĩa góc giao formula_38 giữa hai đường tròn, nhờ áp dụng định lý cosin (xem hình vẽ):
Nếu formula_2 nằm bên trong đường tròn màu xanh lam thì formula_12 và formula_45 luôn khác formula_46.
Nếu góc formula_38 đã cho thì có thể tính bán kính formula_35 bằng cách giải phương trình bậc hai
Định lý cát tuyến cắt nhau và định lý dây cung cắt nhau.
Đối với các "định lý cát tuyến cắt nhau" và "định lý dây cung cắt nhau", phương tích của một điểm đóng vai trò là một bất biến:
Trục đẳng phương.
Cho formula_2 là một điểm và formula_67 là hai đường tròn không đồng tâm với các tâm tương ứng formula_68 và các bán kính tương ứng formula_69. Điểm formula_2 có phương tích formula_71 đối với đường tròn formula_72. Tập hợp tất cả các điểm formula_2 với formula_74 là một đường thẳng được gọi là trục đẳng phương. Nó chứa những điểm có thể là điểm chung của hai đường tròn và vuông góc với đường nối tâm formula_75.
Chứng minh chung của định lý cát tuyến và định lý dây cung.
Cả hai định lý, và bao gồm cả "định lý tiếp tuyến-cát tuyến", có thể được chứng minh đồng thời:
Cho formula_76 là một điểm với biểu diễn vectơ, formula_77 là một đường tròn với tâm ở gốc tọa độ và formula_78 là một vectơ đơn vị chỉ hướng bất kỳ. Các tham số formula_79 của các điểm chung của đường thẳng formula_80 (đi qua formula_2) với đường tròn formula_3 có thể được xác định bằng cách thay phương trình tham số của đường thẳng vào phương trình của đường tròn:
Từ định lý Viète có thể tìm ra:
formula_1 là phương tích của formula_2 đói với đường tròn formula_3.
Bởi vì formula_89 ta có những kết luận sau đây đối với các điểm formula_54:
Trong trường hợp formula_96 thì đường thẳng formula_56 là một tiếp tuyến và formula_1 là bình phương khoảng cách theo phương tiếp tuyến từ điểm formula_2 tới đường tròn formula_3.
Phương tích của một điểm đối với một mặt cầu.
Khái niệm phương tích của một điểm đối với một đường tròn có thể được mở rộng cho một mặt cầu. Các định lý cát tuyến và dây cung cũng đúng đối với một mặt cầu, và có thể được chứng minh tương tự trường hợp đường tròn.