Đẳng cấu nhóm

Trong đại số trừu tượng, đẳng cấu nhóm là hàm thiết lập quan hệ tương ứng một-một giữa hai nhóm trong đó vẫn bảo toàn được phép toán nhóm. Nếu tồn tại đẳng cấu giữa hai nhóm, thì hai nhóm đó được gọi là đẳng cấu cùng nhau. Từ góc nhìn của lý thuyết nhóm, các nhóm đẳng cấu cùng nhau có chung tính chất và không cần phải phân biệt.
Định nghĩa và ký hiệu.
Cho hai nhóm formula_1 và formula_2 một "đẳng cấu nhóm" từ formula_1 tới formula_4 là một đồng cấu nhóm có tính song ánh từ formula_5 đến formula_6 Nói rõ ra, đẳng cấu nhóm là một song ánh formula_7 sao cho với mọi formula_8 và formula_9 thuộc formula_5 đẳng thức sau được thỏa mãn
Hai nhóm formula_1 và formula_4 đẳng cấu với nhau nếu tồn tại đẳng cấu giữa chúng. Khi đó ta thường ký hiệu là
Để gọn hơn, ta thường loại bỏ dấu ngoặc và phép toán của mỗi nhóm
Đôi khi, ta có thể viết là formula_16 Song khi nào viết được như vậy mà không gây khó hiểu dựa vào bối cảnh bài viết. Lấy ví dụ, dấu bằng không nên dùng khi hai nhóm đều là nhóm con của một nhóm nào đó.
Ngược lại, khi cho nhóm formula_17 và tập formula_18 cùng với song ánh formula_19 ta có thể tạo nhóm formula_20 formula_4 bằng cách định nghĩa
Nếu formula_23 và formula_24 thì song ánh này trở thành tự đẳng cấu.
Theo trực giác, các nhà lý thuyết nhóm thường xem hai nhóm đẳng cấu với nhau như sau: với mọi phần tử formula_25 thuộc nhóm formula_26 tồn tại phần tử formula_27 thuộc formula_20 sao cho formula_27 "hoạt động hệt như" formula_25 (có nghĩa là formula_27 có các phép toán giống hệt với formula_25). Ví dụ chẳng hạn, nếu formula_25 sinh formula_26 thì phần tử formula_27 cũng vậy với nhóm formula_20.
Đẳng cấu nhóm có thể định nghĩa tương đương là một đồng cấu nhóm khả nghịch (nghịch đảo của một đồng cấu nhóm song ánh cũng là đồng cấu nhóm]].
Các ví dụ.
Một số cặp nhóm có thể được chứng minh đẳng cấu với nhau, dựa trên tiên đề chọn, Song bài chứng minh sẽ không chỉ ra cách xây một đẳng cấu cụ thể. Các ví dụ bao gồm:
Các tính chất.
Nhân của đẳng cấu từ formula_1 đến formula_4 luôn là {eG}, trong đó eG là phần tử trung hòa của nhóm formula_1
Nếu formula_1 và formula_4 đẳng cấu với nhau, thì formula_5 là nhóm Abel khi và chỉ khi formula_20 là nhóm Abel.
Nếu formula_66 là đẳng cấu từ formula_1 đến formula_2 thì với bất kỳ formula_69 , cấp của formula_70 bằng với cấp của formula_71
Nếu formula_1 và formula_4 đẳng cấu với nhau , thì formula_1 là nhóm hữu hạn địa phương khi và chỉ khi formula_4 cũng hữu hạn địa phương. 
Số các nhóm phân biệt (xê xích đẳng cấu) có cấp formula_49 được cho bởi dãy số A000001 trong OEIS. Các giá trị đầu tiên là 0, 1, 1, 1 và 2 nghĩa là 4 là cấp nhỏ nhất có hai nhóm phân biệt.
Nhóm cyclic.
Tất cả các nhóm cyclic cấp "n" đẳng cấu với formula_77 trong đó formula_78 ký hiệu phép cộng mô đun formula_79
Đặt formula_5 là nhóm cyclic và formula_49 là cấp của formula_82 Gọi formula_83 là phần tử sinh của formula_5, formula_5 khi đó bằng với formula_86 
Ta sẽ chứng minh rằng
Định nghĩa
Dễ thấy formula_90 có tính song ánh và
từ đó chứng minh được formula_87
Hệ quả.
Từ định nghĩa, ta sẽ chứng minh được formula_7 sẽ ánh xạ phần tử trung hòa của formula_5 sang phần tử trung hòa của formula_18 
và nghịch đảo sang nghịch đảo
tổng quát hơn, từ lũy thừa bậc "n" sang lũy thừa bậc "n",
và ánh xạ nghịch formula_99 cũng là đồng cấu nhóm.
Quan hệ "đẳng cấu với" là quan hệ tương đương. Nếu formula_66 là đẳng cấu nhóm giữa hai nhóm formula_5 và formula_18 thì bất cứ cái gì đúng về cấu trúc của nhóm formula_5 cũng đúng với cấu trúc của nhóm formula_20 thông qua formula_66 và ngược lại.
Tự đẳng cấu nhóm.
Một đẳng cấu nhóm formula_1 sang chính nó được gọi là tự đẳng cấu của nhóm. Do vậy, nó là song ánh formula_107 sao cho
Ảnh dưới tự đẳng cấu của lớp liên hợp luôn là lớp liên hợp.
Hợp của hai tự đẳng cấu cũng là tự đẳng cấu, do đó với phép hợp là phép toán nhóm, tập các tự đẳng cấu của một nhóm lập thành nhóm các tự đẳng cấu của nhóm formula_26 ký hiệu bởi formula_110, hay được gọi là "nhóm tự đẳng cấu" của formula_82