Trọng trường Trái Đất

Trọng trường Trái Đất (Gravity of Earth), ký hiệu là g, đề cập đến gia tốc mà Trái Đất gây ra cho các đối tượng ở trên hoặc gần của bề mặt Trái Đất. Trong hệ đơn vị SI gia tốc này được đo bằng mét trên giây bình phương (ký hiệu (m/s2 hoặc m•s−2), hoặc tương đương với Newtons trên kilogram (N/kg hoặc N•kg−1). Nó có giá trị xấp xỉ 9,81 m/s2, tức là nếu bỏ qua ảnh hưởng của sức cản không khí, tốc độ của một vật rơi tự do gần bề mặt Trái Đất sẽ tăng thêm khoảng 9,81 m/s (32,2 ft/s) sau mỗi giây. Giá trị này đôi khi được gọi không chính thức là "g" nhỏ (ngược lại, các hằng số hấp dẫn "G" được gọi là "G" lớn).
Nghiên cứu trọng trường Trái Đất là một lĩnh vực của "địa vật lý". Kết quả của nghiên cứu cũng áp dụng để miêu tả trọng trường tại các hành tinh, các thiên thể khác.
Trên thực tế, trọng lực Trái Đất thật sự phụ thuộc vào vị trí. Xét trên bề mặt Trái Đất, giá trị trung bình của trọng lực Trái Đất là 9,80665 m/s², với nhiều ký hiệu khác nhau, lần lượt là gn, ge (đôi khi là giá trị pháp tuyến xích đạo của Trái Đất, 9,78033 m/s2),g0, hoặc đơn giản là g.
Trọng lượng của một vật trên bề mặt Trái Đất là lực hướng xuống của vật đó, được đề cập ở Định Luật II Newton, hay F = ma (lực kéo = trọng lượng x gia tốc). Gia tốc trọng trường cũng góp phân vào gia tốc trọng lực, nhưng đối với các yếu tố khác, chẳng hạn như sự tự chuyển động của Trái Đất cũng đóng góp một phần vào và làm ảnh hưởng đến trọng lượng của vật. Trọng lực thường không bao gồm lực hút của Mặt Trời hay Mặt Trăng (liên quan đến hiện tượng thủy triều).
Sự thay đổi về độ lớn.
Một hình cầu hoàn hảo không quay có mật độ khối đồng nhất, hoặc có mật độ chỉ thay đổi theo khoảng cách từ tâm (đối xứng hình cầu), sẽ tạo ra một trường trọng lực đồng nhất về độ lớn tại mọi điểm trên bề mặt của nó. Trái Đất tuy nhiên luôn luôn xoay quay trục và không phải là một hình cầu đối xứng vì sự lệch nhau của hai cực trên Trái Đất nên được xem là hình cầu dẹt. Bởi thế nên trọng lực Trái Đất tại mọi vị trí trên bề mặt của nó là khác nhau.
Trọng lực trên bề mặt Trái Đất dao động vào khoảng 0,7%, từ 9,7639 m/s2 tại núi Nevado Huascarán ở Peru đến 9,8337 m/s2 tại bề mặt của biển Bắc Băng Dương. Ở những thành phố lớn nó dao động từ 9,7760 tại Kuala Lumpur, thành phố Mexicô và Singapore cho đến 9,825 tại Oslo và Helsinki.
Giá trị quy ước.
Năm 1901, tại Hội nghị toàn thể về Cân đo (lần thứ 3), đã đưa ra một gia trị tiêu chuẩn cho gia tốc trọng trường trên bề mặt Trái Đất là: gn= 9,80665 m/s2. Nó được dựa trên kết quả đo lường được thực hiện tại Pavillon de Breteuil gần Paris năm 1888, với sự hiệu chỉnh lý thuyết được áp dụng để chuyển đổi thành vĩ độ 45° ở mực nước biển. Tuy nhiên đây không phải là một giá trị của một nơi cụ thể nào đó hay là giá trị trung bình, mà thực chất chỉ là giá trị tạm để sử dụng và sẽ được thay thế nếu có phát hiện mới.
Vĩ độ.
Bề mặt Trái Đất luôn chuyển động, vì thế nó không phải là khung tham chiếu không quán tính. Tại những vĩ độ gần đường xích đạo, lực ly tâm hướng ra ngoài do vòng quay của Trái Đất tạo ra lớn hơn ở vĩ độ hai cực. Điều này làm cho trọng lực Trái Đất giảm xuống một mức độ nhỏ hơn – lên đến tối đa 0.3% tại đường xích đạo – và làm giảm gia tốc hướng xuống của các vật rơi một cách rõ ràng.
Lý do chính thứ hai cho sự khác biệt về trọng lực ở các vĩ độ khác nhau là do sự phình của đường xích đạo của Trái Đất (một phần cũng từ lực ly tâm khi quay) khiến các vật thể ở xích đạo nằm xa trung tâm của Trái Đất hơn các vật ở hai cực. Bởi vì lực do lực hấp dẫn giữa hai vật thể (Trái Đất và vật thể nặng) dao động ngược chiều với bình phương khoảng cách giữa chúng, một vật ở xích đạo chịu lực hấp dẫn yếu hơn khi được đặt ở hai cực Trái Đất.
Tóm lại, độ phình của đường xích đạo và tác dụng của lực ly tâm do sự tự quay quanh trục của Trái Đất làm cho trọng lực mực nước biển tăng từ khoảng 9,780 m/s2 tại xích đạo đến 9,832 m/s2 tại hai cực. Do đó một vật bất kì sẽ nặng hơn khoảng 0,5% nhiều hơn tại hai cực so với tại xích đạo.
Độ cao.
Trọng lực giảm dần theo độ cao (khi độ cao càng tăng thì trọng lực càng giảm và ngược lại) vì độ cao càng lớn thì khoảng cách tính từ tâm Trái Đất lớn hơn. Tất cả các thứ khác đều bằng nhau, việc tăng độ cao từ mực nước biển lên 9000 m (30.000 ft) khiến trọng lượng giảm khoảng 0,29% (Một yếu tố bổ sung ảnh hưởng đến trọng lượng rõ ràng là sự giảm mật độ không khí ở độ cao, làm giảm độ nổi của vật thể. Điều này sẽ làm tăng trọng lượng của một người ở độ cao 9000m khoảng 0,08%).
Một quan niệm sai lầm phổ biến rằng các phi hành gia trên quỹ đạo là không trọng lượng vì cho rằng họ đã bay đủ cao để thoát khỏi lực hấp dẫn của Trái Đất. Nhưng trên thực tế, ở độ cao 400 km (250 dặm), tương 
Sự ảnh hưởng của độ cao mặt đất phụ thuộc vào mật độ của mặt đất (xem hình bên). Một trường đang bay ở độ cao là 30000 ft so với mực nước biển trên núi sẽ cảm thấy sự hiện diện của trọng lực nhiều hơn so với một người ở cùng độ cao nhưng đang trên biển. Tuy nhiên, một người đứng trên về mặt Trái Đất cảm thấy ít trọng lực hơn khi độ cao cao hơn.
Công thức sau đây xấp xỉ thể hiện trọng lực Trái Đất theo độ cao:
formula_1
Trong đó:
Trong công thức này, Trái Đất được xem là một khối cầu hoàn hảo với sự phân bố khối lượng đối xứng hoàn toàn.
Độ sâu.
Một giá trị gần đúng cho trọng lực ở khoảng cách r từ tâm Trái Đất có thể thu được bằng cách giả sử rằng mật độ của Trái Đất là một hình cầu đối xứng. Trọng lực chỉ phụ thuộc vào duy nhất khối lượng bên trong khối cầu có bán kính là r. Tất cả các sự tác dụng từ bên ngoài huỷ bỏ do kết quả của nghịch đảo bình phương trọng lực. Một kết quả khác là trọng lực được xem là tổng khối lượng được tập trung tại tâm. Do đó, gia tốc trọng trường tại bán kính này là:
formula_2
Trong đó là hằng số hấp dẫn và là tổng khối lượng trong vòng bán kính . Nếu Trái Đất có mật độ không đổi thì tổng khối lượng sẽ là và sự phụ thuộc của trọng lực vào độ sâu sẽ là:
formula_3
 tại độ sâu là sẽ được tính bằng , trong đó là gia tốc do trọng lực gâu ra trên bề mặt Trái Đất. là độ sâu và là bán kính của Trái Đất. Nếu mật độ giảm tuyến tính so với bán kính tăng từ mật độ tại trung tâm đến trên bề mặt thì và sự phụ thuộc sẽ là:
formula_4.
Sự phụ thuộc của độ sâu vào mật độ và trọng lực, được suy ra từ địa chấn qua các mốc thời gian (xem phương trình Adams-Williamson), được thể hiện trong các biểu đồ dưới đây.
Địa hình và địa chất.
Sự khác biệt cục bộ về địa hình (như sự hiện diện của núi), địa chất (như mật độ đá ở vùng lân cận) và cấu trúc kiến tạo sâu hơn gây ra sự khác biệt cục bộ và khu vực trong trường hấp dẫn của trái Đất, được gọi là dị thường hấp dẫn. Một số trong những dị thường này có rất sâu rộng, dẫn đến sự phình ra ở mực nước biển và đồng hồ quả lắc chạy không đồng bộ.
Nghiên cứu về những dị thường này tạo nên nền tảng của địa vật lý hấp dẫn. Các dao động được đo bằng ống đo trọng lực có độ chính xác cao, sự ảnh hưởng của địa hình và các yếu tố đã biết khác đã bị loại bỏ, từ đó tìm ra được dữ liệu và kết quả đã được rút ra. Những kỹ thuật như vậy hiện đang được các nhà thăm dò địa chất sử dụng để tìm kiếm các mỏ dầu và khoáng sản. Đá dày đặc hơn (thường chứa quặng khoáng sản) gây ra lớn hơn so với các trường hấp dẫn cục bộ trên bề mặt Trái Đất. Đá trầm tích ít dày đặc gây ra điều ngược lại.
Các yếu tố khác.
Trong không khí, các vật thể trải qua một lực nổi hỗ trợ làm giảm cường độ của trọng lực (được đo bằng trọng lượng của vật thể đó). Độ lớn của hiệu ứng này phụ thuộc vào mật độ không khí (và do đó có liên quan đến áp suất không khí).
Sự tác động lực từ Mặt Trăng và Mặt Trời (cũng là nguyên nhân của thủy triều) có ảnh hưởng rất nhỏ đến cường độ trọng lực của Trái Đất, tuỳ thuộc vào vị trí tương đối của chúng; các biến thể điển hình là 2 µm/s2 (0,2 mGal) trong vòng một ngày.
Sự thay đổi theo hướng.
Gia tốc trọng trường là một đại lượng véc-tơ. Trong một Trái Đất đối xứng hình cầu, trọng lực sẽ hướng thẳng vào tâm của quả cầu. Vì Trái Đất hơi phẳng hơn nên sẽ có những sai lệch nhỏ về hướng của trọng lực.
Các giá trị so sánh trên toàn thế giới.
Các công cụ tồn tại để tính toán sức mạnh của trọng lực tại các thành phố khác nhau trên thế giới. Ảnh hưởng của vĩ độ có thể thấy rõ với lực hấp dẫn ở các thành phố có vĩ độ cao: Anchorage (9,826 m/s2), Helsinki (9,825 m/s2), lớn hơn khoảng 0,5% so với các thành phố gần xích đạo: Kuala Lumpur (9,776 m/s2), Manila (9,780 m/s2). Ảnh hưởng của độ cao có thể thấy ở thành phố Mexicô (9,776 m/s2; độ cao 2,240 m (7.350 ft)) và bằng cách so sánh Denver (9,798 m/s2; 1.616 m (5.302 ft)) với Washington, DC (9.801 m/s2; 30 m (98 ft)), cả hai đều gần 39° Bắc. Các giá trị đo được có thể được lấy từ Bảng vật lý và Toán học bằng T.M.Yarwood và F.Castle, Macmillan, phiên bản sửa đổi 1970.
Mô hình toán học.
Mô hình vĩ độ.
Nếu như địa hình đang ở mực nước biển, ta có thể ước tính được formula_5, gia tốc ở vĩ độ formula_6:
formula_7.
Đây là công thức trọng lực quốc tế 1967, Công thức hệ thống tham chiếu trắc địa năm 1967, phương trình của Helmert hoặc công thức của Clairaut.
Một công thức thay thế cho g với dạng một hàm vĩ độ là WGS (hệ thống trắc địa thế giới) 84 công thức trọng lực Ellipsoidal.
formula_8
Trong đó:
Trong đó formula_13,
Sự khác biệt giữa công thức WGS-84 và phương trình của Helmert nhỏ hơn 0.68μm•s−2
Độ chính xác không khí tự do.
Điều chỉnh đầu tiên được áp dụng cho mô hình là độ chính xác không khí tự do (FAC) chiếm độ cao trên mực nước biển. Gần bề mặt Trái Đất (mực nước biển), trọng lực giảm dần theo độ cao sao cho phép ngoại suy tuyến tính sẽ cho trọng lực bằng không ở độ cao bằng một nửa bán kính Trái Đất – (9,8 m/s −2 trên mỗi 3.200 km). Tốc độ giảm được tính bằng cách phân biệt "g"("r") đối với "r" và khai triển bằng "r"="r"Trái Đất.
Với việc sử dụng khối lượng và bán kính của Trái Đất:
Hệ số hiệu chỉnh FAC (Δ"g") có thể được lấy từ định nghĩa gia tốc do trọng lực tính theo G, hằng số hấp dẫn (xem ước tính g từ định luật vạn vật hấp dẫn, bên dưới):
Trong đó:
Ở độ cao "h" được tính từ bề mặt Trái Đất, "gh" được cho bởi:
Vì vậy, FAC với mỗi độ cao "h" được tính từ bán kính Trái Đất có thể được biểu thị:
Biểu thức này có thể dễ dàng được sử dụng để lập trình hoặc đưa vào bảng tính. Thu thập các thuật ngữ, đơn giản hoá và bỏ qua các thuật ngữ nhỏ ("h"«"r"Trái Đất), tuy nhiên điều đó mang lại sự gần đúng.
Sử dụng các giá trị số ở trên với một chiều cao h nhất định tính bằng mét:
Tổng hợp các yếu tố vĩ độ và FAC, biểu thức thường thấy nhất trong tài liệu là:
Trong đó: formula_24 là gia tốc với đơn vị là m•s−2 tại vĩ độ formula_25 và độ cao "h" (mét)
Các mảng kiến tạo.
Đối với địa hình bằng phẳng trên mực nước biển, một thuật ngữ thứ hai được thêm vào cho trọng lực do khối lượng tăng thêm; với mục đích này, khối lượng tăng thêm có thể được xấp xỉ bằng một mảng ngang vô hạn và chúng ta nhận được gấp 2π"G" lần khối lượng trên một đơn vị diện tích, tức là 4,2 m³•s−2•kg−1 (0,042 μGal•kg−1•m²) (hiệu chỉnh của Bouguer). Đối với mật độ đá trung bình là 2,67 g•cm−3 thì ta có 1,1 s−2 (0.11 mGal•m−1). Kết hợp với độ chính xác không khí tự do, điều này có nghĩa là giảm trọng lực ở bề mặt của Trái Đất. 2 µm•s−2 (0,20 mGal) cho mỗi mét độ cao của địa hình. (Hai hiệu ứng này sẽ bị huỷ ở mật độ đá bề mặt bằng 4/3 lần mật độ trung bình của toàn Trái Đất. Mật độ của toàn Trái Đất là 5,515 g•cm−3, do đó, đứng trên một mảng của một thứ gì đó giống như sắt có mật độ trên 7,35 g•cm−3 sẽ tăng trọng lượng của người đó.)
Đối với trọng lực bên dưới bề mặt Trái Đất, chúng ta phải áp dụng độ chính xác không khí tự do cũng như hiệu chỉnh của Bouguer kép. Với mô hình mảng vô tận, điều này là do việc di chuyển điểm quan sát bên dưới mảng đó làm thay đổi trọng lực do nó và điểm đối diện với nó. Ngoài ra, chúng ta có thể xem xét một Trái Đất đối xứng hình cầu và trừ đi khối lượng của vỏ Trái Đất từ điểm quan sát từ khối lượng của Trái Đất, bởi vì điều đó không gây ra sự thay đổi về trọng lực bên trong. Điều này cho kết quả tương tự.
Ước tính "g" từ định luật vạn vật hấp dẫn.
Từ định luật vạn vật hấp dẫn, lực tác dụng lên một cơ thể tác động bởi lực hấp dẫn của Trái Đất được đưa ra bởi:
Trong đó: "r" là khoảng cách giữa tâm Trái Đất và bề mặt (xem bên dưới), ở đây chúng ta lấy "m"1 là khối lượng của Trái Đất và "m"2 là khối lượng của bề mặt.
Ngoài ra, định luật thứ hai của Newton, F =ma, trong đó m là khối lượng và a là gia tốc, ở đây cho chúng ta biết rằng:
So sánh hai công thức với nhau, cho ta thấy:
Vì vậy, để tìm gia tốc do trọng lực ở mực nước biển, hãy thay thế các giá trị của hằng số hấp dẫn, "G", khối lượng của Trái Đất (tính bằng kg), "m"1 và bán kính Trái Đất (tính bằng mét), "r", để tính giá trị của "g".
Lưu ý rằng công thức này chỉ hoạt động vì theo như thực tế toán học, trọng lực của một vật đồng nhất, như được do bên trên hay trên bề mặt của vật đó, giống như khi tất cả khối lượng của vật đó tập trung tại một điểm tại tâm của nó. Đây là những gì cho phép chúng ta sử dụng "r" là bán kính Trái Đất.
Giá trị thu được đồng ý xấp xỉ với giá trị đo được của "g". Sự khác biệt có thể được quy cho một số yếu tố, được đề cập trong phần "Biến thể":
Có sự không chắc chắn đáng kể trong các giá trị của "r" và "m"1 như được sử dụng trong tính toán này và giá trị của "G" cũng khá khó để đo chính xác.
Nếu biết "G", "g" và "r" thì phép tính ngược sẽ đưa ra ước tính khối lượng của Trái Đất. Phương pháp này đã được Henry Cavendish sử dụng.