Ma trận lũy đẳng

Trong đại số tuyến tính, ma trận lũy đẳng là ma trận mà khi nhân với chính nó, sẽ cho ra chính nó. Có nghĩa là, ma trận formula_1 là lũy đẳng khi và chỉ khi formula_2. Để tính formula_3, phép nhân cần phải được xác định, do đó ma trận formula_1 nhất thiết phải là một ma trận vuông. Khi nhìn theo cách này, các ma trận lũy đẳng là các phần tử của các vành ma trận.
Thí dụ.
Ví dụ về ma trận lũy đẳng formula_5 là:formula_6Ví dụ về ma trận lũy đẳng formula_7 là:formula_8
Ma trận thực 2 x 2.
Nếu formula_9 lũy đẳng, thì:
Do đó điều kiện cần thiết để ma trận 2 x 2 lũy đẳng là ma trận thuộc dạng ma trận đường chéo hoặc vết của nó bằng 1.
Để ý rằng, đối với ma trận lũy đẳng đường chéo thì formula_20 và formula_21 bằng 1 hoặc bằng 0.
Nếu formula_22, ma trận formula_23 sẽ lũy đẳng nếu formula_24 do đó "a" phải thỏa mãn phương trình bậc 2 sau
Kết quả nhận được trên là một đường tròn với tâm (1/2, 0) và bán kính bằng 1/2. Khi chuyển sang viết bằng góc θ thì ta có,
Tuy nhiên formula_22 không phải là điều kiện cần thiết: mọi ma trận
Tính chất.
Tính chất chung.
Ma trận duy nhất vừa có tính khả nghịch vừa lũy đẳng là ma trận đơn vị; Bởi vì, nếu một ma trận không phải ma trận đơn vị mà lũy đẳng thì số hàng (cột) độc lập tuyến tính ít hơn số hàng (cột) của nó.
Hoặc ta có thể chứng minh bằng cách viết formula_2, giả sử có hạng đầy đủ (tức khả nghịch), rồi nhân hai vế bởi formula_32 thì nhận được formula_33.
Khi ma trận lũy đẳng bị trừ đi khỏi ma trận đơn vị, giá trị kết quả cũng là ma trận lũy đẳng. Thật vậy ta có:
Nếu ma trận lũy đẳng thì với mọi số nguyên dương n, formula_35. Điều này có thể chứng minh bằng phép quy nạp.
Giá trị riêng.
Ma trận lũy đẳng luôn chéo hóa được và các giá trị riêng của nó bằng 0 hoặc bằng 1.
Vết.
Vết của một ma trận lũy đẳng (tổng của các phần tử trên đường chéo chính) luôn bằng hạng của ma trận và do đó luôn là số nguyên. Điều này đưa ra một cách dễ dàng để tính hạng của ma trận hoặc tính vết của ma trận khi các phần tử không được biết trước (trở nên hữu ích trong thống kê, ví dụ như xác định độ chênh lệch khi dùng phương sai mẫu để ước lượng phương sai quần thể).
Quan hệ giữa các ma trận lũy đẳng.
Trong phân tích hồi quy, ma trận formula_36 được biết tính ra các phần dư e formula_37 từ hồi quy của vectơ các biến phụ thuộc formula_38 trên ma trận của đối biến formula_39. Gọi formula_40 là ma trận được tạo từ tập con của tập các cột trong ma trận formula_39, và đặt formula_42. Ta dễ chứng minh rằng cả hai ma trận formula_43 và formula_44 đều lũy đẳng, nhưng có một tính chất còn đặc biệt hơn đó là formula_45. Lý do tính chất này xảy ra là bởi formula_46 hay nói cách khác phần dư từ hồi quy các cột của formula_40 trêm formula_39 bằng 0 bởi formula_40 có thể được nội suy hoàn hảo vì nó là tập con của formula_39 (sử dụng thế trực tiếp cũng đủ để chứng minh formula_51). Điều này dẫn tới hai kết quả quan trọng: một là formula_52 lũy đẳng và đối xứng, và cái thứ hai là formula_53, tức là ma trận formula_52 trực giao với ma trận formula_43. Các kết quả này có ý nghĩa quan trọng trong một số nhánh toán học và kinh tế.
Các ứng dụng.
Các ma trận lũy đẳng thường xuyên xuất hiện trong phân tích hồi quy và kinh tế lượng. Lấy ví dụ, trong bình phương nhỏ nhất thường, bài toán yêu cầu tìm ra vectơ của các hệ số ước lượng để tìm tối thiểu của tổng các bình phương của các phần dư (tiên đoán sai) "e""i": dưới dạng ma trận,
trong đó formula_38 là vectơ của các quan sát biến phụ thuộc và formula_39 là ma trận mà mỗi cột của nó là cột của các quan sát trên một trong những biến độc lập. Kết quả ước lượng tìm ra được là
chữ "T" viết trên cùng ký hiệu chuyển vị, và vectơ các phần dư là
Ở đây cả hai ma trận formula_43 và formula_62(cái sau được gọi là ma trận đội mũ) đều lũy đẳng và đối xứng, bằng cách này ta có thể dùng biểu thức sau khi tính tổng bình phương của các phần dư:
Tính lũy đẳng của formula_43 cũng đóng vai trò trong các tính toán khác như xác định phương sai của ước lượng formula_65.
Toán tử lũy đẳng tuyết tính formula_66 là toán tử xạ ảnh trên không gian ảnh cùng với không gian hạch của nó . formula_66 là toán tử chiếu trực giao khi và chỉ khi nó lũy đẳng và đối xứng.