Tiêu chuẩn ổn định Nyquist

Trong lý thuyết điều khiển tự động và lý thuyết ổn định, tiêu chuẩn ổn định Nyquist, được phát minh bởi kỹ sư điện người Thụy Điển-Mỹ Harry Nyquist tại Bell Telephone Laboratories vào năm 1932, là một kỹ thuật đồ họa để xác định sự ổn định của một hệ thống động lực. Bởi vì nó chỉ nhìn vào biểu đồ Nyquist của các hệ thống vòng hở, nó có thể được áp dụng mà không cần tính toán một cách rõ ràng các cực và zero của hoặc hệ thống vòng kín hoặc hệ thống vòng hở (mặc dù số lượng của mỗi loại kỳ dị ở mặt phẳng bên phải phải được biết). Kết quả là, nó có thể được áp dụng cho các hệ thống được xác định bởi các hàm không phải là hàm phân thức, chẳng hạn như hệ thống có độ trễ. Ngược lại với biểu đồ Bode, nó có thể xử lý các hàm truyền với các kỳ dị ở mặt phẳng bên phải. Ngoài ra, có một tổng quát hóa tự nhiên cho nhiều hệ thống phức tạp với nhiều đầu vào và nhiều đầu ra,chẳng hạn như các hệ thống điều khiển cho máy bay.
Tiêu chuẩn Nyquist được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật điện tử và kỹ thuật điều khiển tự động, cũng như các lĩnh vực khác, để thiết kế và phân tích các hệ thống với thông tin phản hồi. Trong khi Nyquist là một trong những kiểm tra sự ổn định tổng quát nhất, nó còn có nhiều hạn chế đối với các hệ thống tuyến tính, các hệ thống thời gian bất biến(LTI). Các hệ thống phi tuyến tính phải sử dụng tiêu chuẩn ổn địnhphức tạp hơn, chẳng hạn như Lyapunov hoặc tiêu chuẩn vòng tròn. Trong khi Nyquist là một kỹ thuật đồ họa, nó chỉ cung cấp một số lượng hạn chế trực quan để giải thích tại sao một hệ thống là ổn định hay không ổn định, hoặc làm thế nào để biến một hệ thống từ không ổn định sang ổn định. Các kỹ thuật như biểu đồ Bode, ít tổng quát, đôi khi lại là một công cụ thiết kế hữu ích hơn.
Cơ sở.
Chúng ta xem xét một hệ thống có hàm truyền vòng hở (OLTF-open loop transfer function) là formula_1; khi thay vào một vòng kín với vòng phản hồi âm formula_2, hàm truyền vòng kín (CLTF-closed loop transfer function) sẽ trở thành formula_3. Độ ổn định có thể được xác định bằng cách kiểm tra các nghiệm của đa thức formula_4, ví dụ sử dụng bảng Routh, nhưng phương pháp này hơi tẻ nhạt. Kết luận cũng có thể đạt được bằng cách kiểm tra OLTF, sử dụng biểu đồ Bode của nó hoặc, như ở đây, biểu đồ cực của OLTF sử dụng tiêu chuẩn Nyquist, như sau.
Bất kỳ hàm truyền trong miền Laplace nào  formula_5 cũng có thể được diễn đạt thành tỉ số của hai đa thức: formula_6
Các nghiệm của formula_7 được gọi là các "zero của" formula_5, và các nghiệm của formula_9 được gọi là các cực của formula_5. Các cực của formula_5 cũng được gọi là các nghiệm của "phương trình đặc tính" formula_12.
Độ ổn định của formula_5 được xác định bởi các giá trị của các cực của nó: để ổn định, các phần thực của mỗi cực phải là số âm. Nếu formula_5 được tạo bởi một vòng phản hồi đơn vị âm xung quanh hàm truyền vòng hởformula_15, thì các nghiệm của phương trình đặc tính cũng là zero của formula_16, hoặc đơn giản là nghiệm của formula_17.
Nguyên lý argument của Cauchy.
Từ giải tích phức, đặc biệt nguyên lý argument, chúng ta biết rằng một đường bao formula_18 vẽ trong một mặt phẳng phức formula_19, bao quanh nhưng không vượt qua bất kỳ zero và cực nào của hàm formula_20, có thể được ánh xạ sang một mặt phẳng khác (mặt phẳng formula_20) bởi hàm formula_20. Biểu đồ Nyquist của formula_20, trong đó đường bao formula_24 sẽ bao quanh điểm formula_25 của mặt phẳng formula_20  formula_27 lần, trong đó formula_28. Với formula_29 và formula_30 lần lượt là số zero của formula_31 và cực của formula_20 bên trong đường bao formula_18. Lưu ý rằng chúng ta đếm các đường bao trong mặt phẳng formula_20 theo cùng nghĩa với đường bao formula_18 và các đường bao theo hướng ngược lại là các đường bao "âm". Trong đó, chúng ta xem các đường bao theo chiều kim đồng hồ là âm và các đường bao ngược chiều kim đồng hồ là dương.
Thay vì nguyên lý argument của Cauchy, tài liệu gốc của Harry Nyquist vào năm 1932 sử dụng một cách tiếp cận ít thanh lịch hơn. Cách tiếp cận này đã giải thích ở đây là tương tự như phương pháp được sử dụng bởi Leroy MacColl (lý thuyết cơ bản của các cơ cấu servo năm 1945) hoặc bởi Hendrik Bode (Phân tích mạng và thiết kế bộ khuếch đại hồi tiếp năm 1945), cả hai người họ cũng làm việc cho Phòng thí nghiệm Bell. Cách tiếp cận này xuất hiện trong hầu hết các giáo trình hiện đại về lý thuyết điều khiển.
Tiêu chuẩn Nyquist.
Chúng ta đầu tiên xây dựng đường bao Nyquist, một đường viền bao quanh phần bên phải của mặt phẳng phức:
Đường bao Nyquist được ánh xạ thông qua hàmformula_42 thu được một biểu đồ của formula_42 trong mặt phẳng phức. Bằng Nguyên lý Argument, số lượng đường bao theo chiều kim đồng hồ của hàm gốc phải là số zero của formula_42 trong mặt phẳng phức bên phải trừ đi cực của formula_42 trong mặt phẳng phức bên phải. Nếu không, đường bao sẽ được ánh xạ thông qua hàm truyền vòng hở formula_1, kết quả là ta được Biểu đồ Nyquist của formula_1. Bằng cách đếm kết quả các đường bao quanh điểm -1, chúng ta tìm sự khác nhau giữa số cực và zero trong mặt phẳng phức bên phải của formula_42. Nhắc lại là các zero của formula_42 là các cực của hệ thống vòng kín, và chú ý là các cực của formula_42 là giống với các cực của formula_1, bây giờ chúng ta sẽ phát biểu Tiêu chuẩn Nyquist:
Cho một đường bao Nyquist formula_18, với formula_30 là số cực của formula_1 bao quanh bởi formula_18, và formula_29 là số zero của formula_42 bao quanh bởi formula_18. Nói cách khác, và cốt yếu hơn, formula_29 là số cực của hệ thống vòng kín trong mặt phẳng phức bên phải. Đường bao tổng hợp trong mặt phẳng formula_1, formula_61 sẽ bao quanh (theo chiều kim đồng hồ) điểm formula_62 formula_27 lần như formula_28.
Nếu hệ thống bắt đầu là vòng hở không ổn định, cần phải hồi tiếp để ổn định hóa hệ thống. Các cực ở mặt phẳng bên phải (RHP) thể hiện là không ổn định. Đối với độ ổn định vòng kín của một hệ thống, số nghiệm vòng kín trong mặt phẳng s bên phải phải là zero. Do đó, số vòng bao theo chiều kim đồng hồ khoảng formula_65 phải bằng với số cực vòng hở trong RHP. Bất kỳ vòng bao theo chiều kim đồng hồ nào của điểm đánh giá bởi đáp ứng tần số vòng hở (khi đánh giá từ tần số thấp đến tần số cao) sẽ chỉ ra rằng hệ thống điều khiển phản hồi sẽ gây bất ổn định nếu vòng điều khiển là vòng kín. (Sử dụng các zero trên RHP "triệt" các cực trên RHP không loại bỏ sự bất ổn định, mà là đảm bảo rằng hệ thống sẽ vẫn ổn định ngay cả khi có sự hiện diện của tín hiệu phản hồi, vì các nghiệm của vòng kín di chuyển giữa các cực và zero vòng hở trong sự hiện diện của thông tin phản hồi. Trong thực tế, zero RHP có thể làm cho cực không ổn định không thể quan sát được và do đó không thể ổn định bằng phản hồi).
Tiêu chuẩn Nyquist cho các hệ thống với cực nằm trên trục ảo.
Việc xem xét trên đã được tiến hành với một giả định rằng hàm truyền vòng hở formula_1 không có bất kỳ cực nào trên trục ảo (có nghĩa là các cực có dạng formula_67). Đây là kết quả từ điều kiện của nguyên lý argument rằng các đường bao không thể đi qua bất kỳ cực nào của hàm ánh xạ. Trường hợp phổ biến nhất là những hệ thống với các máy (bộ) tích phân (cực ở zero).
Để có thể phân tích các hệ thống với các cực nằm trên trục ảo, Đường Bao Nyquist có thể được biến đổi để tránh việc đi qua điểm formula_67. Một cách để làm điều này là xây dựng một vòng cung bán nguyệt với đường kính formula_69 xung quanh formula_67, bắt đầu tại formula_71 và đi ngược  chiều tới formula_72. Một điều chỉnh như vậy ngụ ý rằng pha formula_1 đi dọc một cung có bán kính vô cùng bởi formula_74, trong đó formula_75 là bội số của cực trên trục ảo.
Đạo hàm toán học.
Mục tiêu của chúng ta là, thông qua quá trình này, kiểm tra sự ổn định của hàm truyền của hệ thống phản hồi đơn vị của chúng ta với độ lợi k, được cho bởi
formula_76
Đó là chúng ta cần phải kiểm tra phương trình trạng thái của hàm truyền trên, cho bởi formula_77
có các zero nằm bên ngoài mặt phẳng bên trái (thường khởi tallaff OLHP).
Chúng ta giả định là có một đường bao theo chiều kim đồng hồ (nghĩa là theo chiều âm)  formula_18 bao quanh mặt phẳng bên phải, với các vết lõm để tránh đi qua các zero hoặc cực của hàm formula_1. Nguyên lý argumentcủa Cauchy phát biểu rằng
formula_80
Trong đó formula_29 là số zero của formula_9 bao quanh bởi đường bao và formula_30 là số cực của formula_9 bởi cùng đường bao. Sắp xếp lại, ta cóformula_85, nghĩa là
formula_86
Chúng ta cũng cần nhớ lại là formula_87 có cùng chính xác các cực của formula_1. Do đó, chúng ta có thể tìm thấy formula_30 bằng cách đếm các cực của formula_1 mà nằm trong đường bao đó, do đó, nằm trong mặt phẳng hở bên phải (ORHP).
Bây giờ ta sắp xếp lại tích phân ở trên bằng cách gom lại. Cho formula_91, ta có
formula_92
Sau đó ta gom tiếp với formula_93. Ta có
formula_94
Cần lưu ý là formula_95 cho ta ảnh của đường bao dưới formula_1, nghĩa là biểu đồ Nyquist mà ta có. Ta sẽ tối giảm tích phân trên tiếp
formula_97
bằng cách áp dụng công thức tích phân Cauchy. Thật ra, ta thấy rằng tích phân trên tương ứngchính xác với số lần biểu đồ Nyquist bao quanh điểm formula_98 theo chiều kim đồng hồ. Do đó, ta có thể kết luật rằng
formula_99
=(số lần biểu đồ Nyquist bao quanh -1/k theo chiều kim đồng hồ)+(số cực của G(s) trong ORHP
Do đó chúng ta thấy rằng formula_100 được định nghĩa ở trên tương ứng với một hệ thống phản hồi đơn vị ổn định, như đã tính toán ở trên, là bằng 0.