Có thể điều khiển được

Có thể điều khiển được là một thuộc tính quan trọng của một hệ thống điều khiển và thuộc tính có thể điều khiển được đóng một vai trò quan trọng trong nhiều bài toán điều khiển, chẳng hạn như độ ổn định của các hệ thống không ổn định theo thông tin phản hồi hoặc điều khiển tối ưu.
Tính có thể điều khiển được và có thể quan sát được là những hai mặtcủa cùng một vấn đề.
Gần như, khái niệm về tính có thể điều khiển được biểu thị khả năng di chuyển một hệ thống xung quanh trong toàn bộ không gian cấu hình của nó bằng cách sử dụng chỉ là một số thao tác có thể chấp nhận. Định nghĩa chính xác thay đổi một chút trong khuôn khổ hoặc các loại mô hình áp dụng.
Sau đây là những ví dụ về các biến thể của khái niệm có thể điều khiển được đã được giới thiệu trong các tài liệu hệ thống và điều khiển:
Trạng thái có thể điều khiển được.
Trạng thái của một hệ thống xác định, là tập hợp các giá trị của tất cả các biến trạng thái của hệ thống (những biến được đặc trưng bởi phương trình động học), hoàn toàn mô tả hệ thống tại bất kỳ thời điểm nào. Đặc biệt, không có thông tin về quá khứ của một hệ thống là cần thiết để giúp ích cho việc dự đoán tương lai, nếu các trạng thái tại thời điểm hiện tại được biết đến và tất cả các giá trị hiện tại và tương lai của các biến điều khiển (những trạng thái này có thể được lựa chọn) đã biết.
Trạng thái hoàn toàn có thể điều khiển được (hoặc đơn giản có thể điều khiển được nếu không có bối cảnh khác được đưa ra) mô tả khả năng của một đầu vào bên ngoài (vector của các điều khiển biến) di chuyển trạng thái bên trong của một hệ thống từ bất kỳ trạng thái ban đầu nào tới bất kỳ trạng thái cuối cùng nào trong một khoảng thời gian hữu hạn.
Lưu ý rằng tính có thể điều khiển được không có nghĩa rằng khi một trạng thái được đạt đến, thì trạng thái đó có thể duy trì được, nhưng chỉ đơn thuần (hoặc bất kỳ) trạng thái đó có thể đạt được.
Các hệ thống tuyến tính liên tục.
Xem xét hệ thống tuyến tính liên tục  
Tồn tại một điều khiển formula_3 từ trạng thái formula_4 tại thời điểm formula_5 tới trạng thái formula_6 tại thời điểm formula_7 nếu và chỉ nếu formula_8 là không gian cột của
trong đó formula_10 là ma trận dịch chuyển trạng thái, và formula_11 là Gram có thể điều khiển được.
Thực ra, nếu formula_12 là một lời giải cho formula_13 thì một điều khiển cho bởi formula_14 sẽ tạo ra chuyển đổi mong muốn.
Lưu ý rằng ma trận formula_15 được định nghĩa như trên có những tính chất sau:
Các hệ thống liên tục tuyến tính thời gian-bất biến (LTI).
Xem xét hệ thống tuyến tính liên tục thời gian bất biến
Trong đó
Ma trận có thể điều khiển  formula_39 được cho bởi
Hệ thống là có thể điều khiển được nếu ma trận có thể điều khiển có đủ xếp hạng hàng (tức là formula_41).
Các hệ thống rời rạc tuyến tính thời gian-bất biến (LTI).
Đối với một hệ thống không gian trạng thái tuyến tính thời gian rời rạc (tức là biến hời gian formula_42) phương trình trạng thái là
trong đó formula_31 là một ma trận formula_32 và formula_33 là một ma trận formula_34  (tức là formula_29 là các đầu vào r được tập hợp trong một vector formula_30). Việc kiểm tra tính có thể điều khiển được là ma trận formula_39 
có rank hàng đầy đủ (cụ thể, formula_52). Do đó, nếu hệ thống là có thể điều khiển được, formula_53 sẽ có formula_54 cột độc lập tuyến tính; nếu formula_54 cột của formula_53 là độc lập tuyến tính, mỗi trạng thái  formula_54 sẽ có thể đạt được bằng cách đưa vào các đầu vào hệ thống thích hợp thông qua biến formula_58.
Dẫn xuất.
Cho trạng thái formula_59 tại thời điểm ban đầu, được ký hiệu bất kỳ là "k"=0, phương trình trạng thái cho bởiformula_60 thìformula_61 và như vậy với các thay thế ngược lại của biến trạng thái, cuối cùng ta được
Hoặc tương đương
Áp đặt bất kỳ giá trị mong muốn của vector trạng thái \textbf{x}(n) vào bên trái, điều này có thể luôn luôn được giải quyết cho vector xếp chồng của các vector điều khiển nếu và chỉ nếu ma ma trận đầu bên phải có rank hàng đầy đủ.
Ví dụ.
Ví dụ, xem xét trường hợp khi formula_64 và formula_65 (tức là chỉ một đầu vào điều khiển). Do đó, formula_33 và formula_67 là các vector formula_68. Nếu formula_69 có rank 2 (full rank), và do đó formula_33 và formula_71 là độc lập tuyến tính và băng qua toàn bộ mặt phẳng. Nếu rank là 1, thì formula_33 và formula_71 đường thẳng và không trải dài trên mặt phẳng.
Giả sử rằng trạng thái ban đầu là zero.
Tại thời điểm formula_74: formula_75
Tại thời điểm formula_76: formula_77
Tại thời điểm formula_74 tất cả các trạng thái có thể đạt được đều nằm trên đường thẳng được tạo bởi vector formula_33. Tại thời điểm formula_76 tất cả các trạng thái có thể đạt được là kết hợp tuyến tính của formula_71 và formula_33. Nếu hệ thống là có thể điều khiển được và 2 vector trên có thể mở rộng trong toàn bộ mặt phẳng và có thể thực hiện trong thời điểm formula_83. Giả định này được thực hiện rằng trạng thái ban đầu là zero là chỉ đơn thuần làm cho việc khảo sát thuận tiện. Rõ ràng nếu tất cả các trạng thái có thể đạt được từ gốc thì bất kỳ trạng thái nào cũng có thể đạt được từ một trạng thái khác (chỉ đơn thuần là một sự dịch chuyển trong hệ tọa độ).
Ví dụ này đúng đối với tất cả các số dương formula_54, nhưng trường hợp formula_64 là dễ hình dung hơn cả.
Tương tự cho ví dụ n = 2.
Hãy xem xét một hệ thống tương tự ví dụ trước. Bạn đang ngồi trong xe trên một mặt phẳng vô hạn, và đang hướng về phía Bắc. Mục đích là để đạt được bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng bằng cách lái một khoảng trong một đường thẳng, đến với một điểm dừng, rẽ, và lái xe một khoảng, lặp lại, trong một đường thẳng. Nếu xe của bạn Nếu xe của bạn không có thiết bị lái thì bạn chỉ có thể lái xe thẳng, có nghĩa là bạn có thể lái xe theo một đường thẳng (trong trường hợp này, đường thẳng theo hướng Bắc-Nam bắt đầu từ khi bạn hướng ra phía Bắc). Trường hợp thiếu thiết bị lái cũng tương tự khi rank của formula_35 là 1 (hai khoảng cách mà bạn lái xe nằm trên cùng một đường thẳng).
Bây giờ, nếu xe của bạn đã có thiết bị lái thì bạn có thể dễ dàng lái xe đến bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng và điều này sẽ là trường hợp tương tự với khi rank của formula_35 là 2.
Nếu bạn thay ví dụ này cho formula_88 thì tương tự sẽ bay trong không gian để đạt được bất kỳ vị trí nào trong không gian 3D (bỏ qua hướng máy bay). Bạn được phép:
Mặc dù trường hợp 3-chiều khó hình dung hơn, khái niệm về tính có thể điều khiển được vẫn tương tự.
Các hệ thống phi tuyến.
Các hệ thống phi tuyến trong hình thức điều khiển afin
là có thể truy cập cục bộ khoảng formula_4 nếu phân phối truy cập formula_91 mở rộng n không gian formula_54, khi formula_54 bằng rank của formula_94 và R được cho bởi:
Ở đây, formula_96 phép toán hoán tử Lie lặp lại được định nghĩa bởi
Ma trận có thể điều khiển được cho các hệ thống tuyến tính trong phần trước trong thực tế có thể được bắt nguồn từ phương trình này.
Đầu ra có thể điều khiển được.
Đầu ra có thể điều khiển được là khái niệm có liên quan đến đầu ra của hệ thống (ký hiệu là y trong các phương trình trước đó); đầu ra có thể điều khiển được mô tả khả năng của một đầu vào bên ngoài để di chuyển đầu ra từ bất kỳ điều kiện ban đầu nào đến bất kỳ điều kiện cuối cùng trong một khoảng thời gian hữu hạn. Không cần thiết là có bất kỳ mối quan hệ nào giữa tính có thể điều khiển trạng thái và tính có thể điều khiển đầu ra. Đặc biệt:
Đối với một hệ thống tuyến tính thời gian liên tục, giống như ví dụ ở trên, được mô tả bởi các ma trận formula_31, formula_33, formula_35, vàformula_37, "ma trận đầu ra có thể điều khiển được" formula_102 
có rank hàng đầy đủ (cụ thể rank formula_104) nếu và chỉ nếu hệ thống là đầu ra có thể điều khiển được. Kết quả này còn được gọi là tiêu chuẩn Kalman về tính có thể điều khiển được.
Tính có thể điều khiển được dưới những hạn chế đầu vào.
Trong các hệ thống với quyền điều khiển bị giới hạn, thường không còn có thể di chuyển bất kỳ trạng thái ban đầu nào tới bất kỳ trạng thái cuối cùng trong không gian con có thể điều khiển. Hiện tượng này là do các hạn chế về đầu vào có thể vốn có của hệ thống (ví dụ do bộ chấp hành bão hòa) hoặc được áp dụng trên hệ thống vì các lý do khác (ví dụ: lý do liên quan đến an toàn). Tính có thể điều khiển được của các hệ thống với những hạn chế đầu vào và trạng thái được nghiên cứu trong bối cảnh của tính có thể tiếp cận và lý thuyết khả thi.
Có thể điều khiển được trong khuôn khổ hành vi.
Trong hướng tiếp cận lý thuyết hệ thống hành vi bởi Willems, các mô hình được coi là không trực tiếp xác định một cấu trúc đầu vào-đầu ra. Trong khuôn khổ này các hệ thống được mô tả bởi các quỹ đạo có thể chấp nhận một tập hợp các biến, một số trong đó có thể được hiểu như là đầu vào hoặc đầu ra.
Một hệ thống được định nghĩa là có thể điều khiển trong thiết lập này, nếu bất kỳ phần hành vi nào trong quá khứ (quỹ đạo của các biến bên ngoài) có thể được nối với bất kỳ quỹ đạo tương lai của hành vi đó theo cách thức mà kết nối đó được chứa trong hành vi đó, tức là một phần của hành vi của hệ thống có thể chấp nhận được.
Tính ổn định.
Một khái niệm hơi yếu hơn so với tính có thể điều khiển được là độ ổn định-stabilizability. Một hệ thống được gọi là có thể ổn định được khi tất cả các biến trạng thái không thể điều khiển có thể được thực hiện để có động học ổn định. Vì vậy, mặc dù một số của các biến trạng thái không thể được điều khiển (được xác định bằng kiểm tra điều khiển ở trên) tất cả các biến trạng thái sẽ vẫn còn bị chặn trong hành vi của hệ thống.
&lt;ref name="Anderson+Moore/book:1989"&gt;&lt;/ref&gt;