Pentation

 
Trong toán học, pentation hoặc hyper-5 trong hyperoperation là phép toán bậc tiếp theo sau tetration và trước hexation. Pentation được định nghĩa là phép lặp của tetration, giống như tetration là phép lặp của lũy thừa. Ký hiệu của pentation là ký hiệu chỉ số dưới bên trái formula_1, ký hiệu hyperoperation formula_2, ký hiệu mũi tên ba formula_3 (hoặc viết gọn là formula_4) trong ký hiệu mũi tên lên Knuth hay ký hiệu mũi tên xích Conway: formula_5.
Pentation là một phép toán hai ngôi được xác định với hai số formula_6 và formula_7, trong đó formula_6 được tetration chồng chính nó với formula_7 lần. Ví dụ: formula_10 đọc là "2 pentation bậc 3" có nghĩa là 2 được "tetration chồng" chính nó 3 lần, hoặc formula_11. Điều này sau đó có thể giảm xuống thành formula_12.
Từ nguyên.
Tên "pentation" theo tiếng Anh được Reuben Goodstein đặt ra vào năm 1947, nó được ghép bởi từ penta- nghĩa là "năm" trong tiền tố Hy Lạp và từ iteration nghĩa là "sự lặp lại" để chỉ phép lặp tạm dịch là "sự lặp lại lần thứ năm". Đây là một phần trong kế hoạch đặt tên chung của ông ấy cho các hyperoperation.
"Lưu ý: Hiện nay tên gọi tiếng Việt của từ pentation hiện chưa có một tài liệu nghiên cứu khoa học nào đề cập đến. Nếu có thì chỉ là tên gọi được "bịa đặt" hay "sáng tạo" chứ hoàn toàn không phải là tên gọi có cơ sở."
Thứ tự của phép toán.
Pentation được coi là phép toán thứ năm trong năm phép toán bên dưới, là phép toán kế tiếp dưới tetration (trong đó phép cộng, nhân và luỹ thừa là ba phép toán cơ bản). Phép toán một ngôi successor, được định nghĩa là formula_13.
Phép toán sau là sự lặp lại của phép toán liền trước đó.
Lưu ý rằng khi biến đổi một biểu thức pentation ra một "tháp tetration", thì tháp tetration ấy sau đó phải được tính ở tầng tetration trên cùng trước tiên (ở đỉnh) tức theo hướng từ trên xuống dưới giống với hướng tính của tetration: formula_29 có nghĩa là formula_30 chứ không phải formula_31.
Tương tự, hexation được định nghĩa là phép lặp của pentation nên cũng được biểu diễn dưới dạng lặp lại của pentation như sau:
Không giống như "tháp mũ" hay "tháp tetration", "tháp pentation" lại được tính từ tầng pentation dưới cùng trước tiên (ở đáy) tức theo hướng từ dưới lên trên vì đây là ký hiệu chỉ số dưới chứ không phải ký hiệu chỉ số trên tức ký hiệu số mũ: formula_35 có nghĩa là formula_36 chứ không phải formula_37. Như vậy, quy tắc tính toán vẫn được đảm bảo là thực hiện ở tầng sâu nhất của biểu thức.
Kí hiệu hyperoperation cho pentation.
Pentation có thể được viết dưới dạng ký hiệu hyperoperation là formula_2. Trong dạng này, formula_39 có thể được hiểu là kết quả của sự áp dụng liên tục hàm formula_40 cho sự lặp lại theo formula_7, bắt đầu từ số 1. Tương tự, formula_42, tetration, biểu thị giá trị thu được bằng cách liên tục áp dụng hàm formula_43, cho sự lặp lại theo formula_7, bắt đầu từ số 1, và formula_2 biểu thị giá trị thu được bằng cách liên tục áp dụng hàm formula_46, cho sự lặp lại theo formula_7, bắt đầu từ số 1.
Các ví dụ.
Các giá trị của hàm pentation cũng có thể được lấy từ các giá trị trong hàng thứ tư của bảng giá trị của một biến thể của hàm Ackermann: Nếu formula_48 được định nghĩa bằng sự tái diễn Ackermann formula_49 với điều kiện ban đầu formula_50 và formula_51. Khi đó, formula_52.
Cũng như tetration, cơ số và chiều cao của pentation chưa được mở rộng đến các số không phải số nguyên không âm, formula_1 hiện chỉ được xác định cho các giá trị nguyên của formula_6 và formula_7 trong đó formula_56 và formula_57, và một vài giá trị nguyên khác "có thể" được xác định duy nhất. Như với tất cả các phép toán khác vượt ra khỏi bậc 3 (luỹ thừa) và cao hơn, có các trường hợp tầm thường sau đây (đồng nhất) chứa hết tất cả giá trị formula_6 và formula_7 trong miền của nó:
Ngoài ra, chúng ta có thể định nghĩa:
Khác với những trường hợp tầm thường ở trên, pentation tạo ra những số cực kỳ lớn rất nhanh đến nỗi chỉ có một vài trường hợp không tầm thường tạo ra những con số có thể được viết theo ký hiệu thông thường, như minh họa dưới đây: