Siêu logarit

Trong toán học, siêu logarit (tiếng Anh: Super-logarithm) là một trong hai hàm nghịch đảo của tetration. Cũng giống như lũy thừa có hai hàm nghịch đảo, căn và logarit, tetration có hai hàm nghịch đảo, siêu căn và siêu logarit. Có một số cách giải thích siêu logarit:
Đối với các giá trị nguyên dương, các siêu logarit với cơ số- "e" là tương đương với số lần logarit phải được lặp để có được 1 (logarit lặp). Tuy nhiên, điều này không đúng với các giá trị âm và do đó không thể được coi là một định nghĩa đầy đủ. Định nghĩa chính xác của siêu logarit phụ thuộc vào định nghĩa chính xác của tetration không tích phân (nghĩa là, formula_1 cho "y" không phải là số nguyên). Không có kết luận rõ ràng về định nghĩa của tetration không tích phân và do đó không có sự đồng thuận rõ ràng tương tự như vậy không rõ ràng nào về siêu logarit cho các đầu vào không nguyên.
Định nghĩa.
Siêu logarit, viết formula_2 được định nghĩa ngầm bởi
Định nghĩa này ngụ ý rằng siêu logarit chỉ có thể có đầu ra số nguyên và nó chỉ được xác định cho các đầu vào có dạng formula_5 và như thế. Để mở rộng miền của siêu logarit từ tập số thưa thớt này thành số thực, một số phương pháp đã được theo đuổi. Chúng thường bao gồm một yêu cầu thứ ba ngoài những yêu cầu được liệt kê ở trên, khác nhau tùy theo tác giả. Những cách tiếp cận như sau:
Xấp xỉ.
Thông thường, các hàm đặc biệt được xác định không chỉ cho các giá trị thực của (các) đối số, mà còn cho mặt phẳng phức, và biểu diễn vi phân và/hoặc tích phân, cũng như mở rộng trong chuỗi hội tụ và tiệm cận. Tuy nhiên, không có đại diện như vậy có sẵn cho chức năng slog. Tuy nhiên, các xấp xỉ đơn giản dưới đây được đề xuất.
Xấp xỉ tuyến tính.
đó là một hàm được xác định bằng piecewise với một "phần quan trọng" tuyến tính. Hàm này có thuộc tính là liên tục cho tất cả "z" thực (formula_7 tiếp diễn). Các tác giả đầu tiên nhận ra sự gần đúng này là Rubstov và Romerio, mặc dù nó không có trong bài báo của họ, nó có thể được tìm thấy trong thuật toán của họ được sử dụng trong nguyên mẫu phần mềm của họ. Mặt khác, gần đúng tuyến tính với tetration, đã được biết đến bởi Ioannis Galidakis. Đây là một nghịch đảo tự nhiên của xấp xỉ tuyến tính với tetration.
Các tác giả như Holmes nhận ra rằng siêu logarit sẽ là một ứng dụng tuyệt vời cho sự phát triển tiếp theo của số học dấu phẩy động máy tính, nhưng với mục đích này, hàm không cần phải khác biệt vô cùng. Do đó, với mục đích đại diện cho số lượng lớn, phương pháp gần đúng tuyến tính cung cấp đủ tính liên tục (formula_7 tính liên tục) để đảm bảo rằng tất cả các số thực có thể được biểu diễn theo thang siêu logarit.
Xấp xỉ bậc hai.
Phép tính gần đúng bậc hai với siêu logarit là:
đó là một hàm được xác định bằng piecewise với một "phần quan trọng" bậc hai. Hàm này có thuộc tính là liên tục và khác biệt cho tất cả "z" thực (formula_10 tiếp diễn). Tác giả đầu tiên công bố xấp xỉ này là Andrew Robbins trong bài báo này.
Phiên bản siêu logarit này cho phép các hoạt động tính toán cơ bản được thực hiện trên siêu logarit, mà không yêu cầu một số lượng lớn giải quyết trước. Sử dụng phương pháp này, điều tra cơ bản về các thuộc tính của siêu logarit và tetration thể được thực hiện với một số lượng nhỏ của chi phí tính toán.
Phương pháp tiếp cận chức năng Abel.
Hàm Abel là bất kỳ hàm nào thỏa mãn phương trình hàm của Abel:
Cho hàm Abel formula_12 một giải pháp khác có thể thu được bằng cách thêm bất kỳ hằng số formula_13. Do đó, siêu logarit được xác định bởi formula_14 và thuộc tính đặc biệt thứ ba khác nhau giữa các cách tiếp cận, hàm Abel của hàm số mũ có thể được xác định duy nhất.
Tính chất.
Có lẽ là ví dụ đầu tiên của vấn đề toán học trong đó giải pháp được thể hiện dưới dạng siêu logarit, như sau:
Siêu logarit như nghịch đảo của tetration.
Như tetration (hoặc siêu mũ) &lt;math&gt;{\rm sexp}_b(z):=