Phương trình vi phân Bernoulli

Trong toán học, một phương trình vi phân được gọi là phương trình vi phân Bernoulli khi nó có dạng
formula_1
với formula_2 là một số thực. Tùy vào các tác giả mà formula_2 có thể là số thực bất kì, hoặc là formula_2 phải khác 0 và 1. Phương trình này lần đầu tiên được đề cập trong một công trình của Jacob Bernoulli vào năm 1695, sau đó được lấy tên ông. Tuy nhiên, lời giải sớm nhất cho lớp phương trình này lại được công bố bởi Gottfried Leibniz, người đã công bố kết quả của ông cùng năm, và phương pháp giải này vẫn được sử dụng tới ngày nay.
Phương trình vi phân Bernoulli đặc biệt ở chỗ chúng là các phương trình vi phân phi tuyến luôn có nghiệm cụ thể. Một trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân Bernoulli là phương trình vi phân hàm logistic.
Trường hợp formula_5.
Nếu formula_5, phương trình Bernoulli có dạng:
formula_7
Nếu q(x) = 0, thì đây là một phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất"."
Nếu q(x) ≠0, thì đây là một là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
Cách giải.
2.1 Cách 1: Phương pháp thừa số tích phân:
Nhân 2 vế của (1) với thừa số formula_8
Ta được: formula_9
ta chú ý vế trái của phương trình sẽ thấy biểu thức ở vế trái chính là đạo hàm của tích số. Vậy ta viết lại phương trình (*) như sau:
formula_10
Lấy tích phân hai vế ta được:
formula_11
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (1) có dạng: formula_12
Lưu ý: hàm p(x) là hệ số của y trong trường hợp hệ số của y’ bằng 1.
2.2 Cách 2: Phương pháp Bernoulli "(pp tìm nghiệm dưới dạng tích)"
Từ cách thứ nhất, ta nhận thấy nghiệm của phương trình có dạng tích của hai hàm số. Vì vậy, ta sẽ tìm nghiệm của phương trình dưới dạng tích:formula_13
Ta có: formula_14
Thế vào phương trình ta có:formula_15
Hay: formula_16
Phương trình (*) có tới 4 thông số chưa biết là u, v, u’, v’ nên không thể giải tìm u, v bất kỳ. Để tìm u, v thỏa mãn phương trình formula_17, ta cần chọn u, v sao cho triệt tiêu đi 1 hàm chưa biết.
Muốn vậy, ta chọn u(x) sao cho  formula_18
Ta dễ dàng tìm được hàm u(x) thỏa (**) vì (**) chính là phương trình tách biến. Khi đó:
formula_19
Chọn C = 1 ta có:formula_20
Như vậy ta tìm được hàm u(x) nên từ (*) ta sẽ có:
formula_21
Vậy, nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:
formula_22
2.3 Cách 3: Phương pháp Larrange "(pp biến thiên hằng số)"
Từ cách 2 ta thấy nghiệm phương trình có dạng formula_13 với u(x) là nghiệm phương trình (**) – đây là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1.
Do vậy, giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 ta tìm được: formula_24
Mà công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) lại là: formula_25 chỉ sai khác so với u(x) ở chỗ thế hằng số  C bằng hàm cần tìm v(x).
Do vậy, ta chỉ cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất, sau đó thay hằng số C bằng hàm cần tìm v(x) sẽ giải được bài toán. Vậy:
Bước 1: giải phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 1 liên kết với phương trình (1):
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất có dạng:
formula_26
Bước 2: nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1) có dạng:
formula_25
Ta có:formula_28
Thế vào phương trình ta có:
formula_29
Suy ra: formula_30 . Từ đó tìm được v(x).
Nhận xét:
Trong 3 cách thì cách thứ 3 là cách mà ta không phải nhớ công thức như cách 1 và cách 2. Ngoài ra ở cách 3, trong bước 2 khi thế vào phương trình để tìm hàm v(x), ta luôn luôn khử được những gì liên quan đến v(x) và chỉ còn lại v’(x). Do đó, nếu khi thế vào mà ta không triệt tiêu được v(x) thì nghĩa là hoặc ta thế sai, hoặc ở bước 1 ta đã giải sai. Điều này sẽ giúp các bạn dễ dàng kiểm tra các bước giải của mình và kịp thời phát hiện sai sót
3. Phương trình Bernoulli:Phương trình Bernoulli là phương trình có dạng tổng quát:formula_1Cách giải:
Nhân 2 vế của phương trình cho formula_32 Ta có:
formula_33
Khi đó, ta đặt: formula_34 . Ta có: formula_35
Thế vào phương trình (4′) ta có:  
formula_36
Phương trình này chính là phương trình tuyến tính với u là hàm theo biến x. Từ đây ta giải theo những cách ở trên