Hàm số chẵn và lẻ

Trong toán học, hàm số chẵn và hàm số lẻ là các hàm số thỏa mãn các quan hệ đối xứng nhất định khi lấy nghịch đảo phép cộng. Chúng rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực của giải tích toán, đặc biệt trong lý thuyết chuỗi lũy thừa và chuỗi Fourier. Chúng được đặt tên theo tính chẵn lẻ của số mũ lũy thừa của hàm lũy thừa thỏa mãn từng điều kiện: hàm số formula_1 là một hàm chẵn nếu "n" là một số nguyên chẵn, và nó là hàm lẻ nếu "n" là một số nguyên lẻ.
Định nghĩa và ví dụ.
Hàm số thực thường được phân loại thành hàm chẵn hoặc lẻ, tức là các hàm số với giá trị thực của một biến thực. Tuy nhiên, có thể định nghĩa tổng quát hơn khi miền xác định và miền đích của hàm đều có tính nghịch đảo phép cộng. Các tập này bao gồm các nhóm Abel, mọi vành, trường và không gian vectơ. Vì thế, chẳng hạn một hàm thực hay một hàm giá trị phức của một biến vectơ đều có thể là hàm chẵn hoặc lẻ, và cứ như vậy.
Dưới đây là một số ví dụ về các hàm thực để minh họa tính đối xứng của đồ thị các hàm đó.
Hàm số chẵn.
Cho "f" là một hàm số giá trị thực của một đối số thực. Vậy thì "f" là chẵn nếu điều kiện sau được thỏa mãn với mọi "x" sao cho cả "x" và "-x" đều thuộc miền xác định của "f":
hoặc phát biểu một cách tương đương, nếu phương trình sau thỏa mãn với mọi "x" trong miền xác định:
Về mặt hình học, đồ thị của một hàm số chẵn đối xứng qua trục "y", nghĩa là đồ thị của nó giữ không đổi sau phép lấy đối xứng qua trục "y."
Ví dụ về các hàm chẵn là:
Hàm số lẻ.
Tiếp tục cho "f" là một hàm có giá trị thực của một đối số (biến) thực. Vậy "f" là hàm số lẻ nếu phương trình sau thỏa mãn với mọi "x" sao cho "x" và "-x" đều nằm trong miền xác định của "f":
hoặc một cách tương đương nếu phương trình sau đúng với mọi "x" thuộc miền xác định của "f":
Về mặt hình học, đồ thị của một hàm lẻ có tính đối xứng tâm quay qua gốc tọa độ, nghĩa là đồ thị của nó không đổi sau khi thực hiện phép quay 180 độ quanh điểm gốc.
Ví dụ về các hàm lẻ là:
Phân tích chẵn-lẻ.
Mọi hàm có thể được phân tích duy nhất thành tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ, được gọi tương ứng là phần chẵn và phần lẻ của một hàm số, nếu ta đặt như sau:
và
sau đó formula_13 là hàm chẵn, formula_14 là hàm lẻ, và
Ngược lại, nếu
trong đó là chẵn và là lẻ, thì formula_17 và formula_18 bởi vì
Ví dụ, hàm cosin hyperbolic và sin hyperbolic có thể được coi là các phần chẵn và phần lẻ của hàm số lũy thừa tự nhiên, bởi vì hàm thứ nhất là chẵn, hàm thứ hai là lẻ, và
formula_20
Các tính chất về mặt giải tích.
Một hàm là lẻ hay chẵn không suy ra được tính khả vi hay thậm chí là tính liên tục. Ví dụ, hàm Dirichlet là chẵn, nhưng không liên tục tại mọi nơi.
Trong phần tiếp theo, các tính chất liên quan tới đạo hàm, chuỗi Fourier và chuỗi Taylor, và cứ như vậy giả sử rằng các khái niệm trên đã được định nghĩa đối với hàm đang xét.
Các tính chất giải tích cơ bản.
formula_22
formula_23
Hàm điều hòa.
Trong xử lý tín hiệu, méo hài xảy ra khi một tín hiệu sóng sin được gửi qua một hệ thống phi tuyến không có bộ nhớ, tức là một hệ thống mà đầu ra tại thời điểm "t" chỉ phụ thuộc vào đầu vào tại chính thời điểm đó và không phụ thuộc vào đầu vào tại bất kỳ thời điểm nào trước đó. Một hệ thống như vậy được biểu diễn bằng một hàm đáp ứng formula_24. Loại hàm điều hòa sinh ra phụ thuộc vào hàm đáp ứng "f":
Cần lưu ý rằng điều này không còn đúng đối với các dạng sóng phức tạp hơn. Một sóng dạng răng cưa chẳng hạn, chứa cả điều hòa bậc chẵn và lẻ. Sau khi chỉnh lưu chẵn toàn sóng, nó trở thành một sóng tam giác, sóng này ngoài DC offset ra thì chỉ chứa các điều hòa bậc lẻ.
Tổng quát hóa.
Hàm đa biến.
Đối xứng chẵn:
Một hàm formula_30 được gọi là có "đối xứng chẵn" nếu thỏa mãn:
Đối xứng lẻ:
Một hàm formula_30 được gọi là có "đối xứng lẻ" nếu thỏa mãn:
Các hàm có giá trị phức.
Các định nghĩa cho đối xứng chẵn và lẻ cho các hàm giá trị phức với đối số thực là tương tự như trường hợp hàm giá trị thực nhưng liên quan đến liên hợp phức.
Đối xứng chẵn:
Một hàm giá trị phức với đối số thực formula_34 được gọi là có "đối xứng lẻ" nếu:
Đối xứng lẻ:
Một hàm giá trị phức với đối số thực formula_34 được gọi là có "đối xứng lẻ" nếu:
Dãy có độ dài hữu hạn.
Định nghĩa đối xứng lẻ và chẵn còn được mở rộng cho các dãy "N-"điểm (ví dụ các hàm có dạng formula_38) như sau:
Đối xứng chẵn:
Một dãy "N-"điểm được gọi là có "đối xứng chẵn" nếu
Một dãy như vậy thường được gọi là dãy palindrome; xem thêm Đa thức palindrome.
Đối xứng lẻ:
Một dãy "N"-điểm được gọi là có "đối xứng lẻ" nếu
formula_40
Một dãy như vậy đôi khi còn được gọi là một dãy anti-palindrome; xem thêm Đa thức antipalindrome.