Định nghĩa (ε, δ) của giới hạn

Trong giải tích, định nghĩa formula_1 của giới hạn (định nghĩa giới hạn bằng ký tự epsilon–delta) là một phát biểu chặt chẽ cho khái niệm của giới hạn. Khái niệm này xuất phát từ Augustin-Louis Cauchy, tuy không định nghĩa formula_1 trong quyển "Cours d'Analyse" của mình, nhưng thỉnh thoảng dùng phép lập luận bằng formula_1 trong các chứng minh của mình. Định nghĩa chặt chẽ đầu tiên được đưa bởi Bernard Bolzano năm 1817, và phát biểu hoàn chỉnh hiện đại do Karl Weierstrass đưa ra. Nó làm chặt chẽ định nghĩa không chính thức sau: hàm số formula_4 tiến tới giá trị formula_5 khi biến số formula_6 tiến tới giá trị formula_7 nếu formula_4 có thể ở gần formula_5 tùy ý như mong muốn khi đưa formula_6 đủ gần đến formula_11.
Lịch sử.
Mặc dù người Hy Lạp cổ đại từng xem xét các quá trình giới hạn, như là phương pháp Babylon, nhiều khả năng họ không có khái niệm giới hạn giống như ngày nay. Nhu cầu cho khái niệm giới hạn xuất hiện trong thế kỷ 17 khi Pierre de Fermat cố tìm độ dốc của đường tiếp tuyến tại một điểm của một hàm số như là . Sử dụng một đại lượng khác không nhưng gần bằng không , Fermat đã tính độ dốc bằng cách sau:
Điểm then chốt cho phép tính trên là do khác không nên ta có thể chia cho , nhưng do gần bằng không, cũng giống như . Đại lượng như được gọi là infinitesimal (vô cùng bé). Tuy nhiên, các nhà toán học thời đó không thể định nghĩa chặt chẽ một đại lượng với tính chất của như trên, nhưng các nhà toán học vận thường dùng các đại lượng vô cùng bé như thế và có vẻ vẫn cho ra kết quả đúng.
Vấn đề này lại xuất hiện sau đó trong việc phát triển bộ môn giải tích do những tính toán như của Fermat được dùng để tính đạo hàm. Isaac Newton lần đầu phát triển giải tích bằng một đại lượng vô cùng bé gọi là fluxion. Ông phát triển chúng với ý tưởng về một "khoảng khắc vô cùng ngắn..." Tuy nhiên, Newton sau đó từ bỏ fluxion mà thay vào đó là một lý thuyết về tỉ số gần giống với định nghĩa hiện đại của giới hạn. Hơn nữa, Newton biết rằng giới hạn của tỉ số hai đại lượng gần bằng không "không" phải là tỉ số, như ông đã viết:
Thêm vào đó, Newton đôi khi giải thích giới hạn theo nghĩa giống với định nghĩa epsilon–delta. Gottfried Wilhelm Leibniz xây dựng một infinitesimal và cố gắng làm nó chặt chẽ, nhưng vẫn bị một số nhà toán học và triết học nghi ngờ.
Augustin-Louis Cauchy đưa ra định nghĩa của giới hạn bằng một khái niệm đơn giản hơn mà ông gọi là một "đại lượng biến thiên". Ông chưa bao giờ đưa ra định nghĩa epsilon–delta cho giới hạn (Grabiner 1981), tuy nhiên một số chứng minh của ông chứa dấu hiệu của phương pháp này. Liệu cách tiếp cận của ông có thể coi là tiền đề cho Weierstrass là một vấn đề được tranh cãi; Grabiner cho là có, trong khi Schubring (2005) thì nghĩ là không.
Cuối cùng, Weierstrass và Bolzano đều được công nhận là đã đưa ra nền tảng chặt chẽ cho giải tích sử dụng định nghĩa của giới hạn.
 Đại lượng vô cùng bé trở nên không cần thiết và thay vào đó là giới hạn:
Tuy nhiên định nghĩa này không hẳn là không có vấn đề, dù nó loại bỏ đại lượng vô cùng bé, nhưng lại cần việc xây dựng số thực của bởi Richard Dedekind. Đại lượng vô cùng bé cũng không hẳn bị lãng quên, chúng vẫn có chỗ đứng trong toán học nhờ vào sự hình thành của các tập số siêu thực (hyperreal number) hay số kỳ quái (surreal number). Hơn nữa, ta có thể xây dựng giải tích một cách chặt chẽ bằng những đại lượng này và chúng được dùng trong những tình huống khác.
Phát biểu không chính thức.
Một định nghĩa không chính quy (tức là, theo trực cảm hay tạm thời) là một "hàm số tiếp cận giới hạn gần (bằng ký hiệu, formula_14) nếu ta có thể làm gần tùy ý bằng cách cho đủ gần, nhưng không bằng, ."
Khi ta nói hai đại lượng gần nhau (như là và hay hay ) ý chỉ hiệu (hay khoảng cách) giữa chúng là nhỏ. Trong trường hợp , , , và là các số thực, hiệu hay khoảng cách giữa hai số là giá trị tuyệt đối của hiệu hai số đó. Do đó, khi ta nói gần với nghĩa là nhỏ. Tương tự, khi ta nói gần , nghĩa là nhỏ.
Khi ta nói có thể làm gần tùy ý, nghĩa là với mọi khoảng cách lớn hơn 0, ta có thể làm khoảng cách giữa và nhỏ hơn 
Khi ta nói có thể làm gần tùy ý bằng cách cho đủ gần nhưng không bằng , nghĩa là với mọi khoảng cách khác không , tồn tại một khoảng cách khác không sao cho nếu khoảng cách giữa và nhỏ hơn thì khoảng cách giữa và nhỏ hơn 
Phát biểu chính xác.
Phát biểu cho hàm số thực.
Định nghĩa cho giới hạn của hàm số là:
Bằng ký hiệu:
Nếu hoặc , điều kiện là điểm giới hạn có thể được thay bằng thuộc , do khoảng số thực và toàn bộ tập số thực đều là các tập hợp đầy đủ.
Chú ý: trong định nghĩa, phần tử formula_28 là phụ thuộc vào formula_29 và đôi khi còn phụ thuộc vào cả hàm formula_30. Do đó, để tránh nhầm lẫn, nhiều người thường dùng kí hiệu formula_31 hay formula_32 thay vì formula_28.
Phát biểu cho hàm số giữa không gian mêtric.
Định nghĩa trên có thể được mở rộng cho hàm số giữa các không gian mêtric. Những không gian này mang một hàm số, gọi là một mêtric, lấy hai điểm trong không gian đó và trả về một số thực biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm đó. Định nghĩa tổng quát là:
Cụ thể, mêtric của tập số thực là , do đó định nghĩa trên là trường hợp tổng quát cho định nghĩa đầu tiên với hàm số thực.
Phát biểu phủ định.
Phủ định của định nghĩa trên cho không gian mêtric là như sau:
Ta nói formula_36 không tồn tại nếu với mọi formula_37, formula_35.
Trong trường hợp số thực, ta chỉ cần thay formula_39.
Phát biểu cho giới hạn ở vô cùng.
Phát biểu chính xác trong trường hợp giới hạn ở vô cùng như sau:
Ví dụ.
Ví dụ 1.
Ta sẽ chứng minh giới hạn sau bằng cách áp dụng định nghĩa trên
Cho trước số . Ta cần tìm một sao cho formula_42.
Do hàm sin bị chặn trên bởi 1 và chặn dưới bởi −1,
formula_43
Do đó, nếu ta lấy , thì từ , ta suy ra . Chứng minh hoàn tất.
Ví dụ 2.
Ta sẽ chứng minh
với mọi số thực 
Cố định số . Ta sẽ tìm một số sao cho formula_45.
Ta bắt đầu bằng cách phân tích nhân tử :
Do được tùy ý chọn nên ta có thể cho rồi sau đó chọn một số nhỏ hơn 1 làm 
Vậy ta có . Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có
Suy ra
Do đó, nếu ta giả sử thêm
thì
Tóm lại, ta chỉ cần đặt
Khi ấy, nếu thì
Như vậy, ta đã tìm được một số sao cho nếu thì . Từ đó, ta suy ra
với mọi số thực 
Ví dụ 3.
Ta sẽ chứng minh tính chất sau của giới hạn
với điều kiện các giới hạn ở vế phải tồn tại. Đặt formula_55 và formula_56
Cố định số . Ta cần tìm số sao cho nếu thì 
Từ định nghĩa của giới hạn, ta suy ra tồn tại các số và sao cho
Ta có thể chọn . Khi ấy, nếu thì cả hai bất đẳng thức trên đều đúng. Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta có
Như vậy đã chọn thỏa yêu cầu của giới hạn, ta có điều phải chứng minh.