Lý thuyết nhóm hình học

Lý thuyết nhóm hình học là một nhánh trong toán học chuyên nghiên cứu các nhóm hữu hạn sinh qua các mối liên hệ giữa tính chất đại số của các nhóm đó với các tính chất tô pô và hình học của các không gian mà các nhóm đó tác động lên (tức là, các nhóm đang xét thực ra là các đối xứng hình học hoặc là biến đổi liên tục của một số không gian). 
Một ý tưởng quan trọng khác trong lý thuyết nhóm hình học là coi các nhóm hữu hạn sinh đó làm đối tượng hình học. Để đạt được ý tưởng này, ta thường dùng đồ thị Cayley của các nhóm đó, và bên cạnh cấu trúc đồ thị còn có cấu trúc của không gian mêtric, cảm sinh từ mêtric từ. 
Bởi lý thuyết nhóm hình học là nhánh phân biệt và vẫn còn khá là mới nên dễ nhận được sự để ý của các nhà toán học cuối những năm 1980. Lý thuyết nhóm hình học tương tác gần với tô pô số chiều nhỏ, hình học hyperbol, tô pô đại số, lý thuyết nhóm nhóm tính toán và hình học vi phân. Ngoài ra có các mối liên hệ với lý thuyết độ phức tạp tính toán, logic toán học, nghiên cứu các nhóm Lie và các nhóm con rời rạc của nó, hệ thống động lực, lý thuyết xác suất, K-lý thuyết, và các nhánh khác trong toán học. 
Trong phần giới thiệu của cuốn "Topics in Geometric Group Theory (dịch: Các chủ đề trong lý thuyết nhóm hình học)", Pierre de la Harpe đã viết: "Một trong những gì tôi tin là thích thú với các đối xứng và nhóm là một cách để đương đầu với các giới hạn của cuộc sống:chúng ta thích nhận nhận ra các đối xứng cho phép ta nhìn thấy nhiều hơn những gì có thể thấy. Theo cách hiểu đó, việc nghiên cứu lý thuyết nhóm hình học do đó là một phần của văn hoá, và làm tôi nhớ tới một số hoạt động Georges de Rham thường làm trong nhiều lúc, chẳng hạn như dạy toán, ngâm thơ của Mallarmé, hoặc đón chào một người bạn".
Lịch sử.
Lý thuyết nhóm hình học được hình từ lý thuyết nhóm tổ hợp, lý thuyết này chủ yếu nghiên cứu các tính chất của nhóm rời rạc qua việc phân tích biểu diễn nhóm bằng tập hợp để mô tả nhóm bằng thương của nhóm tự do. Nhánh lý thuyết nhóm hình học được nghiên cứu lần đầu bởi Walther von Dyck, một học trò của Felix Klein, vào đầu những năm 1880, và sau đó xuất hiện trong nghiên cứu các phép tính hai mươi mặt năm 1856 của William Rowan Hamilton, khi đó ông đang nghiên cứu nhóm đối xứng hai mươi mặt qua đồ thị cạnh của hình đa diện hai mươi mặt. Hiện tại phần lớn lý thuyết nhóm tổ hợp được gộp chung với lý thuyết nhóm nhóm hình học. Hơn nữa, khi nói "nghiên cứu lý thuyết nhóm hình học", ta thường bao trùm cả nghiên cứu các nhóm rời rạc sử dụng các phương pháp như xác suất, độ đo, số học, giải tích và các cách tiếp cận khác nằm ngoài những gì nằm trong lý thuyết nhóm tổ hợp.
Trong nửa đầu của thế kỷ 20, các công trình mở đường của Max Dehn, Jakob Nielsen, Kurt Reidemeister và Otto Schreier, J. H. C. Whitehead, Egbert van Kampen, cùng với một số người khác đã giới thiệu một số ý tưởng tô pô và hình học trong nghiên cứu các nhóm rời rạc. Các tiền chất khác của lý thuyết nhóm hình học bao gồm lý thuyết khử nhỏ và lý thuyết Bass-Serre. Lý thuyết khử nhỏ được giới thiệu bởi Martin Grindlinger trong những năm 1960 và được mở rộng bởi Roger Lyndon và Paul Schupp. Nó nghiên cứu các biểu đồ van Kampen, tương ứng với biểu diễn tập hợp hữu hạn cho nhóm qua các điều kiện độ cong tổ hợp và đưa ra các tính chất đại số và thuật toán dựa trên các phân tích đó. Lý thuyết Bass–Serre, được giới thiệu vào năm 1977 trong một quyển sách của Serre, tìm ra thông tin về cấu trúc đại số của các nhóm bằng cách nghiên cứu các tác động nhóm trên cây phức đơn.
Các tiền chất khác bao gồm nghiên cứu mạng nhóm con trong các nhóm Lie, đặc biệt là định lý độ cứng của Mostow, nghiên cứu nhóm Klein, và các thành tựu đạt được trong quá trình nghiên cứu tô pô số chiều nhỏ và hình học hyperbol trong những năm 1970 và đầu năm 1980, được khởi lên bởi chương trình hình học hoá của William Thurston.
Sự nổi dậy của lý thuyết nhóm hình học là một nhánh phân biệt bắt nguồn từ cuối năm 1980 và đâu năm 1990.Bắt đầu từ chuyên khảo năm 1987 của Mikhail Gromov với tên ""Hyperbolic groups" (dịch: Các nhóm hyperbol)", cuốn sách đó giới thiệu về các nhóm hyperbol (hay còn gọi là "nhóm hyperbol Gromov" hoặc "nhóm có độ cong âm"), đặt ra ý tưởng rằng về một nhóm hữu hạn sinh có độ cong âm cực lớn. Chuyên khảo sau đó của ông với tên "Asymptotic Invariants of Infinite Groups (dịch: Các bất biến tiệm cận của các nhóm vô hạn)", đề xuất ra chương trình tìm hiểu của Gromov về các nhóm rời rạc xê xích nhau phép tựa đẳng cự. Công trình của Gromov có ảnh hưởng lớn trong nghiên cứu các nhóm rời rạc và cụm từ "lý thuyết nhóm hình học" xuất hiện ngay sớm sau đó. (xem ).
Các chủ đề đang trong nghiên cứu.
Các chủ đề và quá trình phát triển trong lý thuyết nhóm hình học của những năm 1990 và năm 2000 bao gồm:
Các ví dụ.
Các nhóm sau là các nhóm hay được nghiên cứu trong lý thuyết nhóm hình học:
Chú thích.
Tài liệu tham khảo.
Các cuốn sách sau đề cập nội dung lý thuyết nhóm hình học và các chủ đề liên quan.