Nhóm Heisenberg

Trong toán học, nhóm Heisenberg formula_1, được đặt tên theo nhà toán học Werner Heisenberg, là nhóm các ma trận tam giác trên 3 × 3 dưới dạng
dưới phép toán phép nhân ma trận. Các phần tử "a, b" và "c" có thể được lấy từ bất kỳ vành giao hoán nào có phần tử đơn vị, thường là vành số thực (tạo ra "nhóm Heisenberg liên tục") hoặc vành các số nguyên (tạo ra "nhóm Heisenberg rời rạc").
Nhóm Heisenberg liên tục phát sinh trong việc mô tả các hệ thống cơ lượng tử một chiều, đặc biệt là trong bối cảnh của định lý Stone – von Neumann.
Trường hợp ba chiều.
Tích của hai ma trận Heisenberg 3 x 3 được cho bởi:
Dễ thấy rằng bằng việc nhìn vào phần tử , nhóm này không phải là nhóm abel.
Phần tử đơn vị của nhóm Heisenberg là ma trận đơn vị còn phần tử nghịch đảo thì được đưa ra bằng
Nhóm Heisenberg là nhóm con của nhóm affine 2 chiều Aff(2): formula_2 tác động trên formula_6 tương ứng với biến đổi affin sau:formula_7.
Sau đây là một số ví dụ nổi bật trong trường hợp 3 chiều.
Nhóm Heisenberg liên tục.
Nếu , là các số thực (trong vành R) thì ta gọi nhóm đó là nhóm Heisenberg liên tục H3(R).
Nó là nhóm Lie thực lũy linh với chiều bằng 3.
Nhóm Heisenberg rời rạc.
Nếu , là các số nguyên (trong vành Z) thì ta gọi nhóm đó là nhóm Heisenberg rời rạc H3(Z). Nó là nhóm lũy linh không giao hoán. Nó có hai phần tử sinh sau,
và quan hệ
Với
là phần tử sinh tâm của H3. (Lưu ý rằng các nghịch đảo của "x", "y" và "z" thay thế 1 ở trên đường chéo chính bằng −1.)
Theo định lý Bass, nó có độ tăng trưởng cấp 4.
Ta có thể viết bất kỳ phần tử nào bằng cách
Nhóm Heisenberg modulo một số nguyên tố lẻ "p".
Nếu ta lấy "a, b, c" trong Z/"pZ với p là số nguyên tố "lẻ", thì ta gọi nhóm đó là nhóm Heisenberg modulo p". Nó là nhóm có cấp "p"3 với các phần tử sinh "x, y" và thỏa mãn quan hệ sau:
Nhóm Heisenberg modulo 2.
Nhóm Heisenberg modulo 2 có cấp 8 đẳng cấu với nhóm nhị diện D4 (các đối xứng của một hình vuông). Quan sát rằng nếu
Thì
và
Các phần tử "x" và "y" tương ứng với phản xạ (với 45° giữa chúng), trong khi "xy" và "yx" tương ứng với các phép quay 90 °. Các phản xạ khác là "xyx" và "yxy", và quay 180° là "xyxy"(="yxyx").
Đại số Heisenberg.
Đại số Lie formula_16 của nhóm Heisenberg formula_1 (trên các số thực) được gọi là đại số Heisenberg. 
Nó được biểu diễn bằng không gian của ma trận vuông kích thước 3×3 dưới dạng
với formula_19. 
Ba phần tử sau lập thành cơ sở cho formula_16,
Ba phần tử cơ sở này thỏa mãn quan hệ giao hoán,
Tên "nhóm Heisenberg" được lấy cảm hứng từ các quan hệ đó có cùng dạng với các quan hệ giao hoán chính tắc trong cơ học lượng tử.
trong đó formula_24 là toán tử vị trí, formula_25 là toán tử quán tính, và formula_26 là hằng số Planck.
Nhóm Heisenberg có tính chất đặc biệt khác là ánh xạ mũ là song ánh từ đại số Lie formula_16 sang nhóm ,
Trong lý thuyết trường bảo giác.
Trong lý thuyết trường bảo giác, thuật ngữ đại số Heisenberg được dùng để chỉnh dạng tổng quát vô hạn chiều của đại số. Nó được span bởi các phần tử formula_29, cùng các quan hệ giao hoán
Khi bị thay đổi tỷ lệ, thì nó trờ thành số bản sao vô hạn và đếm được của đại số trên.
Số chiều cao hơn.
Các nhóm Heisenberg tổng quát formula_31 có thể định nghĩa cho số chiều cao hơn trong không gian Euclide, và tổng quát hơn trong không gian vectơ symplectic. Thường hợp tổng quát đơn giản nhất là nhóm Heisenberg thực có số chiều formula_32, với bất kỳ formula_33. Bởi là nhóm của các ma trận, formula_31 (hoặc formula_35 được dùng để chỉ đây là nhóm các ma trận trên trường formula_36 của các số thực ) và được định nghĩa là nhóm các ma trận kích thước formula_37 có các phần tử thuộc formula_36 và ma trận nằm dưới dạng sau:
Trong đó
Cấu trúc nhóm.
Quả thực đây vẫn là một nhóm, bởi phép toán nhân của nó:
và trong nghịch đảo:
Đại số Lie.
Nhóm Heisenberg là nhóm Lie đơn liên có đại số Lie chứa các ma trận sau
rong đó 
Bằng cách đặt e1, ..., e"n" là cơ sở chính tắc của R"n", và đặt
Đại số Lie đi cùng có thể được đặc trưng hóa bằng các quan hệ giao hoán chính tắc,
trong đó "p"1, ..., "p""n", "q"1, ..., "q""n", "z" là các phần tử sinh đại số.
Cụ thể hơn, "z" là phần tử "tâm" của đại số Lie Heisenberg. Lưu ý rằng đại số Lie của nhóm Heisenberg có tính lũy linh.
Ánh xạ mũ.
Đặt 
khi đó formula_45. Giá trị của ánh xạ mũ qua formula_46 là
Ánh xạ mũ của bất kỳ đại số Lie lũy linh là vi đồng phôi giữa đại số Lie và nhóm Lie đơn liên liên đới duy nhất đơn liên.
Các ý trên (bên cạnh các mệnh đề về số chiều và nhóm Lie) vẫn áp dụng được khi ta thay R bằng bất kỳ vành giao hoán "A". Nhóm tương ứng được ký hiệu là "H""n"("A" ).
Dưới giả định thêm số nguyên tố 2 khả nghịch trong vành "A", ánh xạ mũ cũng định được được bởi nó rút gọn thành tổng hữu hạn và có dạng như trên (ví dụ chẳng hạn. "A" có thể là vành Z/"p" Z với p là số nguyên tố lẻ hoặc bất kỳ trường đặc số không).
Lý thuyết biểu diễn.
Lý thuyết biểu diễn của nhóm Heisenberg lúc đầu vẫn còn đơn giản sau – sau được tổng quát hóa bởi lý thuyết Mackey và được giới thiệu trong vật lý lượng tử.
Cho bất kỳ số thực khác không formula_26, ta có thể định nghĩa biểu diễn unita bất khả quy formula_49 của formula_31 tác động trên không gian Hilbertformula_51 bằng công thức:
Phép biểu diễn này còn được gọi là biểu diễn Schrödinger. Động cơ thúc đẩy của phép biểu diễn này là tác động của các toán tử vị trí và toán tử quán tính được mũ lên trong cơ học lượng tử. Tham số formula_53 mô tả các phép tịnh tiến trong không gian vị trí, tham số formula_54 mô tả các phép tịnh tiến trong không gian quán tính, còn tham số formula_55 thì cho hệ số pha. Hệ số pha được dùng để thu về nhóm các toán tử, bởi phép tịnh tiếp trong không gian vị trí và không gian quán tính không giao hoán với nhau. 
Kết quả quan trọng thu về được là định lý Stone–von Neumann, định lý phát biểu rằng mọi biểu diễn unita bất khả quy (liên tục mạnh) của nhóm Heisenberg có tâm tác động không tầm thường thì tương đương với formula_49 cho một số formula_26. Hoặc là, chúng đều tương đương với đại số Weyl (hoặc đại số CCR) trên không gian symplectic số chiều 2"n".