Bổ đề Bézout

Trong lý thuyết số cơ bản, bổ đề Bézout được phát biểu thành định lý sau:
Nếu formula_1 là ước chung lớn nhất của hai số nguyên không âm formula_2 và formula_3 thì:
Hai số formula_4 và formula_5 được gọi là hệ số Bézout của cặp formula_14. Cặp formula_15 không phải là duy nhất. Có thể dùng giải thuật Euclid mở rộng để xác định giá trị của cặp formula_15. Nếu formula_2 và formula_3 đồng thời khác 0 thì từ giải thuật Euclid mở rộng ta có cặp formula_15 sao cho formula_20 và formula_21
(đẳng thức có thể xảy ra khi và chỉ khi "a" hoặc "b" là bội số của số còn lại).
Nhiều định lý khác trong lý thuyết số cơ bản là kết quả của bổ đề Bézout, chẳng hạn như bổ đề Euclid hoặc định lý số dư Trung Hoa.
Đại số giao hoán.
Đặt formula_22 là một vành. Ta nói formula_22 là một miền Bézout nếu với mọi i-đê-an chính formula_24 và formula_25 trong formula_22, ta có formula_27 là một i-đê-an chính. Phần tử sinh của nó cũng được gọi là ước số chung lớn nhất của formula_2 và formula_3.
Mọi miền Bézout đều thỏa mãn bổ đề Bézout (trừ điều kiện "nhỏ nhất", bởi trên vành formula_22 không nhất thiết phải có một thứ tự). Đặc biệt, đặc biệt các vành chính là các miền Bézout. Mỗi định lý rút ra từ bổ đề Bézout là đúng trong tất cả các vành đó.
Dạng của đáp án.
Với một cặp hệ số Bézout formula_15 được cho trước (bằng cách dùng giải thuật Euclid mở rộng), thì tất cả các cặp hệ số còn lại có dạng
với là một số nguyên ngẫu nhiên và các phân số được đơn giản hóa thành các số nguyên.
Có chính xác 2 cặp trong tất cả các cặp hệ số Bézout thỏa mãn:
và đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi và chỉ khi hoặc là bội số của số còn lại.
Kết quả này dựa trên tính chất của phép chia có dư: Cho 2 số nguyên "c" và "d", nếu "c" không chia hết cho "d" thì có chính xác một cặp formula_34 sao cho formula_35 và formula_36, và một cặp khác sao cho formula_35 và formula_38.
Có thể xác định hai cặp hệ số Bézout nhỏ trên bằng cách chọn trong công thức trên để lấy phần dư của phép chia cho formula_39.
Giải thuật Euclid mở rộng luôn cho ta một trong 2 cặp tối thiểu này.
Ví dụ.
Cho "a" = 12, "b" = 42 và gcd (12, 42) = 6. Thì ta có bổ đề Bézout sau (hệ số Bézout có màu đỏ khi là cặp nhỏ nhất và là màu xanh cho các cặp còn lại.):
Chứng minh.
Cho hai số nguyên và , đặt formula_41. Tập chứa các số nguyên dương và cũng chứa và . Cho 
formula_42 là số nguyên dương nhỏ nhất trong . Để chứng minh rằng là ước chung lớn nhất của và , ta chỉ cần chứng minh rằng là một ước số chung của và , bởi vì tất cả phần tử trong bao gồm cả là ước của ước chung lớn nhất. Thực tế, bất kỳ ước chung của và đều được chia hết bởi formula_43, do đó không thể lớn hơn .
Phép chia có dư của cho có thể ký hiệu
Số dư nằm trong tập do
Khi là số nguyên dương nhỏ nhất trong thì phần dư cần phải bằng 0, suy ra là một ước của . Tương tự cũng là một ước số của , ta có điều cần chứng minh.
Tổng quát.
Với nhiều hơn hai số nguyên.
Có thể mở rộng bổ đề Bézout với nhiều hơn hai số nguyên: nếu 
thì có các số nguyên formula_47 sao cho
trong đó:
Lịch sử.
Nhà toán học người Pháp Étienne Bézout (1730–1783) đã chứng minh bổ đề này cho đa thức. Tuy nhiên người chứng minh định lý này cho các số nguyên là nhà toán học người Pháp khác Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581–1638).