Chuyển vị liên hợp

Trong toán học, chuyển vị liên hợp ("conjugate transpose") của một ma trận phức formula_1 cỡ formula_2 là một ma trận thu được bằng cách chuyển vị formula_1 và lấy liên hợp phức của từng hệ số trong ma trận formula_1 (liên hợp phức của số phức formula_5 là formula_6, với hai số thực formula_7 và formula_8). Chuyển vị liên hợp có kích cỡ formula_9 và thường được ký hiệu là formula_10 hay formula_11 hay formula_12, hoặc một ký hiệu rất thường gặp trong vật lý là formula_13. Nó còn được gọi là chuyển vị Hermite, theo tên của nhà toán học Pháp Charles Hermite, hoặc chỉ đơn giản là liên hợp ("adjoint").
Đối với các ma trận thực, chuyển vị liên hợp chỉ đơn giản là chuyển vị, formula_14.
Định nghĩa.
Chuyển vị liên hợp của một ma trận formula_1 cỡ formula_2 được định nghĩa chính tắc là:|cellpadding=6|border colour=#0073CF|background colour=#F5FFFA}}trong đó chỉ số formula_17 ký hiệu cho hệ số thứ formula_18 trong ma trận, với formula_19 và formula_20, và gạch ngang trên ký hiệu liên hợp phức vô hướng.
Định nghĩa trên còn có thể được viết dưới dạng
trong đó formula_22 ký hiệu cho chuyển vị và formula_23 ký hiệu cho ma trận với các số hạng được lấy liên hợp phức.
Một số tên gọi khác cho chuyển vị liên hợp của một ma trận bao gồm chuyển vị Hermite, ma trận liên hợp hay chuyển hợp. Chuyển vị liên hợp của ma trận formula_1 có thể được ký hiệu bởi một trong các cách sau:
Trong một số ngữ cảnh, formula_11 ký hiệu cho ma trận chỉ với các hệ số được liên hợp phức và không có chuyển vị.
Ví dụ.
Giả sử chúng ta muốn tính toán chuyển vị liên hợp của ma trận formula_1 sau.
Đầu tiên ta chuyển vị ma trận:
Sau đó ta lấy liên hợp từng hệ số của ma trận:
Một số liên hệ cơ bản.
Một ma trận vuông formula_1 với các hệ số formula_35 được gọi là
Ngay cả nếu formula_1 không là ma trận vuông, hai ma trận formula_45 và formula_46 đều là hermite và chính là các ma trận nửa xác định dương.
Khái niệm a trận chuyển vị "liên hợp" formula_10 không được nhầm lẫn với ma trận phụ hợp ("adjugate"), formula_48, đôi khi cũng được gọi là "adjoint".
Chuyển vị liên hợp formula_10 của ma trận formula_1 với các hệ số thực đơn giản về chuyển vị formula_22 của formula_1, bởi liên hợp của một số thực là chính nó.
Đặt vấn đề.
Chuyển vị liên hợp được nảy sinh từ cách mà các số phức có thể được biểu diễn hữu ích bằng các ma trận thực formula_53, thỏa mãn các phép toán cộng và nhân:
Điều này nghĩa là, ký hiệu mỗi số "phức" formula_55 bằng một ma trận "thực" formula_53 biểu diễn biến đổi tuyến tính trên sơ đồ Argand (được coi là không gian vectơ "thực" formula_57), chịu ảnh hưởng của phép nhân phức với "formula_55" trên formula_59.
Do đó, một ma trận phức formula_2 cũng được biểu diễn hiệu quả bởi một ma trận formula_61 gồm các số thực. Chuyển vị liên hợp do đó được nảy sinh một cách tự nhiên từ kết quả của việc chuyển vị một ma trận như vậy—khi được xem lại là một ma trận formula_9 gồm các số phức.
Tổng quát hóa.
Tính chất cuối cùng bên trên cho thấy rằng nếu ta coi rằng formula_1 là một biến đổi tuyến tính từ không gian Hilbert formula_100 vào formula_101 thì ma trận formula_10 tương ứng với toán tử liên hợp của formula_103. Khái niệm toán tử liên hợp giữa các không gian Hilbert do đó có thể được xem là tổng quát hóa của khái niệm chuyển vị liên hợp của các ma trận đối với một cơ sở trực chuẩn.
Còn có một cách tổng quát hóa khác: giả sử formula_104 là một ánh xạ tuyến tính từ một không gian vectơ formula_105 vào một không gian khác, formula_106 thì ánh xạ tuyến tính liên hợp phức và ánh xạ tuyến tính chuyển vị được xác định, và do đó ta có thể lấy chuyển vị liên hợp của formula_104 là liên hợp phức của ánh xạ chuyển vị của formula_104. Nó ánh xạ đối ngẫu liên hợp của formula_106 vào đối ngẫu liên hợp của formula_105.