Chu kỳ Rabi

Trong vật lý, chu trình Rabi (hoặc Rabi flop) là sự tuần hoàn của một hệ lượng tử hai trạng thái trong sự hiện diện của một trường dao động. Một loạt các quá trình vật lý thuộc các lĩnh vực tính toán lượng tử, vật chất cô đặc, vật lý nguyên tử và phân tử và vật lý hạt nhân và hạt có thể được nghiên cứu thuận tiện thông qua các hệ thống cơ học lượng tử hai trạng thái, và thể hiện chu kỳ Rabi khi nằm trong một trường dao dộng. Hiệu ứng này là quan trọng trong quang học lượng tử, cộng hưởng từ và tính toán lượng tử, và được đặt tên theo Isidor Isaac Rabi , một nhà vậy lý người Mỹ.
Một hệ thống có hai mức năng lượng khác nhau có thể trở nên "kích thích" khi nó hấp thụ một lượng tử năng lượng. Khi một nguyên tử (hoặc một số hệ thống hai trạng thái khác) được chiếu sáng bởi một chùm các photon, nó sẽ hấp thụ photon theo chu kỳ và tái phát ra chúng bằng phát xạ kích thích. Một chu kỳ như vậy được gọi là một chu kỳ Rabi và nghịch đảo thời gian của nó là tần số Rabi. Hiệu ứng có thể được mô hình hóa bằng cách sử dụng mô hình Jaynes-Cummings và vector hình thức Bloch.
Mô tả bằng toán học.
Một mô tả toán học chi tiết của các hiệu ứng có thể được tìm thấy trên trang Rabi Problem. Ví dụ, đối với một nguyên tử hai trạng thái (một nguyên tử trong đó, điện tử, hoặc có thể ở trạng thái ban đầu hoặc kích thích) trong một trường điện từ có tần số điều chỉnh để năng lượng kích thích, xác suất tìm thấy các nguyên tử ở trạng thái kích thích được tìm thấy từ phương trình Bloch:
formula_1
với formula_2 là tần số Rabi.
Tổng quát hơn, người ta có thể xem xét một hệ thống mà hai cấp được coi như không có trạng thái riêng năng lượng riêng. Do đó, nếu hệ thống được khởi tạo trong một trong các cấp này, thời gian tiến hóa sẽ làm cho số phần tử của từng mức độ dao động với một số đặc tính tần số, có tần số góc [1] còn được gọi là tần số Rabi. Các trạng thái của một hệ lượng tử hai cấp có thể được biểu diễn như là vectơ hai chiều phức hợp không gian Hilbert, có nghĩa là mỗi vectơ trạng thái formula_3 được biểu diễn bởi hai tọa độ phức tạp.
formula_4 với formula_5 và formula_6 là hai tọa độ của vectơ.
Nếu vectơ đã được chuẩn hóa, formula_5 và formula_6 liên hệ với nhau qua phương trình formula_9. Vectơ cơ sở được biểu diễn như sau formula_10 and formula_11
Tất cả các đại lượng vật lý có thể quan sát kết hợp với hệ thống này là ma trận Hermitian 2 x 2, có nghĩa là Hamiltonian của hệ thống cũng là một ma trận tương tự.
Chuẩn bị thí nghiệm dao động trong một hệ lượng tử.
Người ta có thể xây dựng một thí nghiệm dao động bao gồm các bước sau đây: [1]
(1) Chuẩn bị hệ thống trong một trạng thái cố địnhformula_12
(2) Hãy để nhà nước phát triển một cách tự do, theo một Hamilton H cho thời gian t
(3) Tìm xác suất P (t), mà trạng thái là formula_12
Nếu formula_12 là một trạng thái riêng của H, P (t) = 1 và không có dao động. Ngoài ra nếu hai quốc gia đang thoái hóa, mỗi trạng thái chứa formula_12 là một trạng thái riêng của H. Kết quả là, không có dao động. Vì vậy, nếu H không có trạng thái thoái hóa riêng, không phải trong đó là formula_12, sau đó sẽ có dao động. Hình thức tổng quát nhất của Hamiltonian của hệ hai trạng thái thể hiện sau đây
formula_17
formula_18 và formula_19 là số thực. Ma trận trên có thể phân tích như sau,
formula_20
Ma trận formula_21 là 2 formula_22 2 và các ma trận formula_23 là Ma trận Pauli. phân tích này đơn giản hóa việc phân tích các hệ thống đặc biệt là trong trường hợp thời gian độc lập, nơi các giá trị của formula_24 và formula_19 là hằng số. Xét trường hợp của một spin-1/2 hạt trong một từ trường formula_26. Các Hamiltonian tương tác cho hệ thống này là
formula_27.Where formula_28
với formula_29 là độ lớn của hạt nhân magnetic moment,formula_30 là tỉ lệ Gyromagnetic và formula_31 là vectơ Pauli matrices. Ở đây các trạng thái riêng của Hamiltonian là trạng thái riêng của formula_32 đó là formula_12 và formula_34. Xác suất để hệ có trạng thái formula_35 sẽ được tìm thấy ở trong trạng thái tùy ý formula_36 được cho bởi formula_37. Hệ thống ban đầu với formula_38 ở trạng thái formula_39 đó là trạng thái riêng của formula_40, formula_41. Đó là formula_42. Ở đây, Hamiltonian là độc lập về thời gian. Vì vậy, bằng cách giải quyết phường trình thời gian độc lập Schrödinger, ta nhận được trạng thái sau thời gian t là formula_43, với E tổng năng lượng của hệ. Do đó trạng thái sau thời gian t là formula_44. Giả sử phép quay theo hướng x tại thời điểm t, xác suất tìm thấy spin-up làformula_45 với formula_2 là một đặc tính của tần số góc đựuoc cho bởiformula_47 khi ta giả sử formula_48. Vì vậy, trong trường hợp này xác suất tìm thấy quay lên trạng thái theo hướng X là dao động trong thời gian t khi hệ thống ban đầu theo hướng +X. Tương tự như vậy nếu chúng ta đo phép quay theo hướng z xác suất phát hiện formula_49 của hệformula_50.Trong trường hợp này formula_51, đó là khi Hamilton là thoái hóa không có dao động. Do đó ta có thể kết luận rằng nếu trạng thái riêng của ma trận Hamiltonian nêu trên biểu diễn trạng thái của một hệ, thì xác suất của hệ trở thành trạng thái đó không dao động, nhưng nếu chúng ta tìm thấy xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái khác, nó là dao động. Điều này đúng với ma trận phụ thuộc thời gian Hamiltonian. Ví dụ formula_52, xác suất mà một phép đo của hệ theo hướng Y tại thời gian t là formula_53 is formula_54, với trạng thái khởi tạo formula_55.
Đạo hàm của công thức Rabi theo phương pháp bất định bằng ma trận Pauli.
Cho một ma trận Hamiltonian formula_56.
Trị riêng của ma trận là formula_57.
Tại đây xác suất để hệ có trạng thái formula_58 sẽ được tìm thấy như một trạng thái tùy ý formula_59 được cho bởi formula_60
Rút gọn &lt;math&gt; P_1\to_2(t)=\sin^2(\theta)\sin^2(\frac{(E_+-E_-)t}{2\hbar})=\frac