Lý thuyết hình thái đồng luân

Trong logic toán và khoa học máy tính, lý thuyết hình thái đồng luân (tiếng Anh: homotopy type theory, HoTT ) đề cập đến các dòng phát triển khác nhau của lý thuyết hình thái trực giác, dựa trên việc diễn giải các hình thái như là các đối tượng mà lý thuyết đồng luân trừu tượng có thể áp dụng được.
Lịch sử.
Tiền sử: mô hình groupoid.
Ngày xửa ngày xưa, trong cộng đồng toán học lan truyền ý tưởng rằng các hình thái trong lý thuyết hình thái tăng cường cùng với các hình thái đẳng thức của chúng có thể được coi là các groupoid. Ý tưởng này được chính xác hóa lần đầu tiên vào năm 1998 bởi Martin Hofmann và Thomas Strerich trong bài báo "The groupoid interpretation of type theory", trong đó họ cho thấy rằng lý thuyết hình thái tăng cường có một mô hình trong phạm trù các nhóm. Đây là mô hình "đồng luân" đầu tiên của lý thuyết hình thái, mặc dù chỉ là "1 chiều" (các mô hình truyền thống trong phạm trù tập hợp là "0 chiều đồng luân").
Lịch sử sơ khai: các phạm trù mô hình và groupoid bậc cao.
Các mô hình cao chiều đầu tiên của lý thuyết hình thái tăng cường được xây dựng bởi Steve Awodey và sinh viên Michael Warren vào năm 2005 bằng cách sử dụng các phạm trù mô hình Quillen. Những kết quả này lần đầu tiên được trình bày trước công chúng tại hội nghị FMCS 2006 trong đó Warren đã có một bài nói với tiêu đề "Homotopy models of intensional type theory", cũng đóng vai trò là bản cáo bạch luận án tiến sỹ của ông (hội đồng luận án là Awodey, Nicola Gambino và Alex Simpson). Một bản tóm tắt được lưu trong bản tóm tắt luận án của Warren.
Các khái niệm chính.
"Mệnh đề là hình thái".
HoTT sử dụng một phiên bản sửa đổi của diễn giải " mệnh đề là hình thái " của lý thuyết hình thái (diễn giải mà theo đó một hình thái là một mệnh đề và một đối tượng là một chứng minh của mệnh đề). Trong HoTT, không giống như trong diễn giải "mệnh đề là hình thái" tiêu chuẩn, "các mệnh đề đơn thuần" đóng một vai trò đặc biệt: đó là các hình thái có nhiều nhất một đối tượng, xê xích một đẳng thức mệnh đề.
Đẳng thức.
Khái niệm cơ bản của lý thuyết hình thái đồng luân là đường dẫn. Trong HoTT, hình thái formula_1 là hình thái của tất cả các đường dẫn từ điểm formula_2 đến điểm formula_3. (Do đó, một chứng minh cho thấy một điểm formula_2 bằng một điểm formula_3 cũng là một đường dẫn từ điểm formula_2 đến điểm formula_3.) Với mọi điểm formula_2, tồn tại một đường dẫn với hình thái formula_9, tương ứng với tính chất phản xạ của đẳng thức. Một đường dẫn với hình thái formula_1 có thể được nghịch đảo, tạo thành một đường dẫn với hình thái formula_11, tương ứng với tính chất đối xứng của đẳng thức. Hai đường dẫn với các hình thái formula_1 và.formula_13 có thể được nối, tạo thành một đường dẫn với hình thái formula_14; điều này tương ứng với tính chất bắc cầu của đẳng thức.
Sau đây, ta sẽ dùng "đường" thay cho "đường dẫn" và "loại" thay cho "hình thái".
Quan trọng nhất, cho trước một đường formula_15 và một chứng minh cho thuộc tính formula_16, chứng minh đó có thể được chuyển dịch dọc theo đường formula_17 để cho ta một chứng minh của thuộc tính formula_18. (Nói một cách tương đương, một đối tượng loại formula_16 có thể được biến thành một đối tượng loại formula_18.) Điều này tương ứng với tính chất thay thế của đẳng thức. Ở đây, một sự khác biệt quan trọng giữa HoTT và toán học cổ điển xuất hiện. Trong toán học cổ điển, một khi đẳng thức giữa hai giá trị formula_2 và formula_3 đã được thành lập, formula_2 và formula_3 có thể được sử dụng thay thế cho nhau và sau đó không còn bất kỳ sự phân biệt nào giữa chúng. Tuy nhiên, trong lý thuyết hình thái đồng luân, có thể có nhiều đường khác nhau cùng có hình thái formula_1, và chuyển dịch một đối tượng dọc theo hai đường khác nhau sẽ mang lại hai kết quả khác nhau (tức là ta có hai chứng minh khác nhau cho thuộc tính formula_18). Do đó, trong lý thuyết hình thái đồng luân, khi áp dụng thuộc tính thay thế, cần phải nêu đường dẫn nào đang được sử dụng.
Nói chung, một "mệnh đề" có thể có nhiều chứng minh khác nhau. (Ví dụ, hình thái tất cả các số tự nhiên, khi được coi là một mệnh đề, có một chứng minh tương ứng với mỗi số tự nhiên.) Ngay cả khi một mệnh đề chỉ có một chứng minh formula_2, không gian các đường dẫn loại formula_9 có thể không tầm thường theo một cách nào đó. Một "mệnh đề đơn thuần" là bất kỳ hình thái nào hoặc là rỗng, hoặc là chỉ chứa một điểm với không gian đường dẫn tầm thường..
Lưu ý rằng ta viết formula_1 cho formula_30, do đó ngầm hiểu có một hình thái formula_31 cho các đối tượng formula_32. Đừng nhầm lẫn với formula_33, biểu thị hàm đồng nhất trên formula_31.
Hình thái tương đương.
Hai hình thái formula_31 và formula_36 thuộc một vũ trụ formula_37 được định nghĩa là "tương đương" nếu tồn tại sự "tương đương" giữa chúng. Một sự tương đương là một hàm
có cả nghịch đảo trái và nghịch đảo phải, theo nghĩa với việc lựa chọn formula_39 và formula_40 phù hợp, các hình thái sau đây đều là "inhabited":
tức là
Các ứng dụng.
Chứng minh định lý.
HoTT cho phép các chứng minh toán học được dịch sang ngôn ngữ lập trình máy tính dễ dàng hơn nhiều so với trước đây. Cách tiếp cận này cung cấp tiềm năng cho máy tính để kiểm tra các chứng minh khó.