Hiện tượng vận chuyển

Sự lan truyền của các phân tử của một hỗn hợp ở trong chất lỏng hay chất khí từ nơi chúng đưa vào, trong điều kiện không có các dịch chuyển vĩ mô ở trong chất lỏng hay chất khí, được gọi là "hiện tượng khuếch tán". Sự xuất hiện các lực ma sát giữa hai lớp chất lỏng hay chất khí chuyển động với các vận tốc khác nhau là biểu hiện của "lực ma sát nội" hay "tính nhớt". Sự chuyển của năng lượng từ các miền nóng hơn sang các miền lạnh hơn, khi không có các sự dịch chuyển của chất lỏng hay chất khí hay các sự chảy đối lưu trong chúng được gọi là "sự dẫn nhiệt". Cơ chế bên trong của ba hiện tượng đó là một - đó là chuyển động nhiệt hỗn loạn của các phân tử đã dẫn đến sự dịch chuyển của chúng. Các hiện tượng đó được gọi là các hiện tượng vận chuyển vì trong sự khuếch tán có sự vận chuyển chất của hỗn hợp, trong sự ma sát nội có sự vận chuyển xung lượng, còn trong sự dẫn nhiệt có sự vận chuyển nhiệt lượng.
Lý thuyết.
Đoạn đường tự do của các phân tử.
Đoạn đường tự do trung bình của các phân tử là khoảng cách trung bình mà phân tử đi qua giữa các va chạm kế tiếp của nó với các phân tử khác. Trong một đơn vị thời gian, phân tử được tách ra va chạm với tất cả các phân tử, mà tâm của chúng nằm trong hình trụ gẫy có bán kính bằng đường kính formula_1 của phân tử, còn độ dài của nó bằng vận tốc trung bình tương đối formula_2 của phân tử. Thể tích của hình trụ đó bằng formula_3, còn số các phân tử trong đó bằng formula_4. Vì trong mỗi va chạm, có đồng thời hai phân tử tham gia, nên tổng số các va chạm trong một đơn vị thể tích sau một đơn vị thời gian bằng formula_5.
Sau một đơn vị thời gian, phân tử va chạm formula_6 lần trên đoạn đường formula_7, do đó đoạn đường tự do trung bình bằng formula_8, hay vì formula_9 nên formula_10
Hiện tượng khuếch tán.
Nếu trong chất khí có phân bố một hỗn hợp với nồng độ formula_11, thì khi gradient nồng độ formula_12, chuyển động hỗn loạn của các phân tử sẽ tạo điều kiện san bằng nồng độ dọc theo trục Ox.
Dòng các phân tử của hỗn hợp qua diện tích formula_13 đặt vuông góc với trục Ox theo chiều dương bằng formula_14, trong đó formula_15 là nồng độ của hỗn hợp ở bên trái diện tích, formula_16 là khoảng thời gian.
Dòng các phân tử của hỗn hợp qua cùng diện tích đó theo chiều âm bằng formula_17, trong đó formula_18 là nồng độ các phân tử của hỗn hợp ở bên phải diện tích.
Hệ số formula_19 trong các đẳng thức trên là do tính xác suất của chuyển động hỗn loạn của các phân tử.
Vì sự san bằng các nồng độ xảy ra do các va chạm của những phần tử nên các nồng độ formula_15 và formula_18 cần được coi là xác định trên các khoảng cách bằng độ dài của đoạn đường tự do formula_22 tính từ diện tích formula_13.
Dòng các phân tử của hỗn hợp qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian bằng:
formula_24
Tích formula_25 được gọi là "hệ số khuếch tán".
Định luật Fick.
Dòng các phân tử của hỗn hợp qua một đơn vị diện tích sau một đơn vị thời gian tỷ lệ thuận với gradient của nồng độ:
formula_26
Dấu trừ chứng tỏ rằng, dòng khuếch tán hướng theo chiều giảm của nồng độ hỗn hợp.
Phương trình khuếch tán.
Nếu nhân đẳng thức trên với khối lượng của phân tử, ta có thể tìm được định luật cơ bản Fick cho hiện tượng khuếch tán thông qua qua dòng chất khuếch tán formula_27 và nồng độ formula_28 của chất dưới dạng formula_29
Dòng khuếch tán qua một mặt kín formula_30 sau khoảng thời gian formula_31 bằng:
formula_32, trong đó formula_33 là pháp tuyến ngoài với mặt.
Nếu formula_34là mật độ của nguồn chất của hỗn hợp, nghĩa là lượng chất được tạo thành sau một đơn vị thời gian trong một đơn vị thể tích do các phản ứng hóa học, thì trong thể tích formula_35 giới hạn bởi mặt formula_30 trong khoảng thời gian formula_16 sẽ xuất hiện khối lượng:
formula_38
Các quá trình đã mô tả có kèm theo sự biến thiên của nồng độ hỗn hợp tại mỗi điểm, sau khoảng thời gian formula_16, độ biến thiên của lượng chất hỗn hợp trong toàn bộ thể tích formula_35 bằng:
formula_41
Phương trình cân bằng khối lượng có dạng formula_42. Biến đổi tích phân mặt theo công thức:formula_43
Xét đến sự cân bằng các khối lượng, chúng ta thu được:
formula_44
Từ đó ta suy ra được phương trình khuếch tán trong môi trường đứng yên:
formula_45
Đó là phương trình vi phân với các đạo hàm riêng loại parabolic, tương tự với phương trình dẫn nhiệt.
Nội ma sát hay tính nhớt.
Nếu một lớp khí dịch chuyển đối với một lớp khác, nghĩa là gradient vận tốc theo hướng vuông góc với mặt của lớp khác không thì do sự dời chuyển của các phân tử từ lớp này sang lớp khác trong chuyển động hỗn loạn, sự vận xung lượng từ lớp này sang lớp khác sẽ được thực hiện.
Xung lượng được chuyển qua diện tích formula_13 ở trên mặt phân giới của các lớp theo một hướng bằng: formula_47, trong đó formula_48 là vận tốc dịch chuyển định hướng của chất khí ở trong lớp có các phân tử thoát qua đến những khoảng cách bằng đoạn đường tự do tính từ mặt formula_13 trên.
Xung lượng được chuyển qua theo chiều ngược lại bằng: formula_50, trong đó formula_51 là vận tốc dịch chuyển định hướng của chất khí đến những khoảng cách bằng đoạn đường tự do về phía kia của diện tích.
Độ biến thiên xung lượng của lớp bằng xung lực ma sát:
formula_52
Lực ma sát tác dụng lên một đơn vị diện tích của mặt phân giới giữa các lớp lân cận bằng:
formula_53
Tích số formula_54 được gọi là "hệ số ma sát nội" hay "độ nhớt."
Lực ma sát nội khi các lớp trong chất khí chuyển động tỷ lệ thuận với gradient vận tốc:
formula_55
Công thức Stokes (Gabriel Stokes, 1819 - 1903) đúng cho quả cầu bán kính formula_56 chuyển động với vận tốc formula_57 trong chất lỏng có độ nhớt formula_58, theo công thức này lực cản bằng:
formula_59
Tính dẫn nhiệt.
Cho một dòng nhiệt truyền qua chất khí đựng giữa các thành song song có các nhiệt độ formula_60 và formula_61 theo phương của trục Ox vuông góc với các thành. Các phân tử đi qua diện tích formula_13 vuông góc với trục mang theo chiều dương của trục một năng lượng bằng:
formula_63
Năng lượng được mang theo chiều ngược lại bằng:
formula_64
Ở đây formula_65 là số bậc tự do của các phân tử khí, còn formula_60 và formula_61 lần lượt là các giá trị nhiệt độ trong các mặt phẳng formula_68 và formula_69. Dòng nhiệt đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian bằng:
formula_70
Đại lượng formula_71 được gọi là "hệ số dẫn nhiệt."
Định luật Fourier.
Dòng nhiệt đi qua một đơn vị diện tích trong một đơn vị thời gian tỷ lệ thuận với gradient nhiệt độ:
formula_72
Dấu trừ chủng tỏ rằng dòng nhiệt hướng từ lớp có nhiệt độ cao hơn sang lớp có nhiệt độ thấp hơn.
Phương trình dẫn nhiệt.
Theo định luật Fourier, nhiệt lượng toàn phần đi qua mặt kín formula_30 trong khoảng thời gian formula_74 bằng:
formula_75
Nếu formula_34 là mật độ của các nguồn nhiệt thì trong thể tích formula_35 sau khoảng thời gian formula_16, lượng nhiệt tỏa ra bằng:
formula_79
Các quá trình nêu trên có kèm theo sự biến thiên nhiệt độ tại mỗi điểm của vật và độ biến thiên toàn phần của lượng nhiệt trong vật sau khoảng thời gian formula_16bằng:formula_81, trong đó formula_82 là nhiệt dung riêng, còn formula_83 là mật độ.
Nếu dùng phương trình cân bằng nhiệt formula_42 và biến đổi tích phân mặt theo công thức Ostrogradski:
formula_85, chúng ta sẽ thu được:
formula_86, từ đó suy ra phương trình dẫn nhiệt:
formula_87
Đó là phương trình vi phân với các đạo hàm riêng loại parabolic. Đôí với môi trường đồng nhất formula_88 là một hằng số, phương trình sẽ đơn giản hơn và có dạng:
formula_89, trong đó formula_90 là toán tử Laplace, còn formula_91 là hệ số dẫn nhiệt, formula_92.
Nếu cho các điều kiện giới hạn vá các điều kiện ban đầu, chúng ta có thể chọn được nghiệm duy nhất của phương trình truyền nhiệt.