Định lý Đào về sáu tâm đường tròn

Định lý Đào về sáu tâm đường tròn còn có tên đầy đủ là định lý Đào về sáu tâm đường tròn kết hợp với một lục giác nội tiếp một định lý trong lĩnh vưc hình học phẳng nói về mối quan hệ đồng quy của ba đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua tâm của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác trong cấu trúc hình học liên quan tới một lục giác nội tiếp. Nội dung định lý như sau:
"Cho một lục giác nội tiếp, khi đó đường thẳng nối tâm của các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác đối diện mà các tam giác này tạo bởi một cạnh của lục giác và giao điểm của đường thẳng kéo dài của hai cạnh liền kề của lục giác đó sẽ đồng quy."
Giới thiệu.
Đào Thanh Oai đề xuất một vấn đề về hình học trên trang Cut-The-Knot với tiêu đề là Another seven circles theorem, tiếng Việt: Định lý khác về bảy đường tròn, vào năm 2013. Sau đó gần một năm (năm 2014), định lý được Nikolaos Dergiades, nhà nghiên cứu toán học người Hy Lạp và một học sinh tại Đài Loan là Telv Cohl công bố với hai chứng minh độc lập..
Theo lời giới thiệu khi công bố trên bài báo của Nikolaos Dergiades tại tạp chí Forum Geometricorum của khoa toán đại học Florida Atlantic: "Định lý Đào về sáu tâm đường tròn được cho là một định lý đẹp Định lý Đào về sáu tâm đường tròn được cho là mới trong một bài nhận xét đăng trong cơ sở dữ liệu toán học Zentralblatt MATH.
Nikolao Dergiades tính toán bằng phương pháp tọa độ tỉ cự tính toán bằng phần mềm Mathematica kết quả cho điểm đồng quy dài hơn 72 trang A4.
Trong Bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác một trường hợp đặc biệt của định lý Đào được thể hiện qua điểm formula_1. Trường hợp này được phát biểu như sau: Gọi formula_2 là tam giác bàn đạp ứng với tâm nội tiếp của tam giác formula_3 khi đó tam giác tạo bởi tâm ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác formula_4, formula_5, formula_6 sẽ thấu xạ với tam giác formula_2 tại điểm formula_1. Điểm này chính là điểm Kosnita của tam giác formula_2.
Một số chứng minh.
Mặc dù phương pháp tọa độ tỉ cự cho kết quả rất dài nhưng các chứng minh cho định lý này cũng khá ngắn gọn. Bài báo của Nikolaos Dergiades sử dụng phương pháp số phức để chứng minh định lý Đào, với tiêu đề tiếng Anh là "Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon" (tạm dịch sang tiếng Việt là "Định lý Đào về sáu tâm đường tròn kết hợp với một lục giác nội tiếp"). Tác giả Telv Cohl chứng minh định lý Đào hoàn toàn thuần túy bằng hình học cổ điển.. Gregoire Nicollier đưa ra một chứng minh thông qua tính toán cho định lý này năm 2016.. Một số chứng minh khác đưa ra bởi hai người Việt Nam là Nguyễn Minh Hà và Nguyễn Tiến Dũng vào năm 2017, có thể xem tại đây .
Một phiên bản của định lý Đào đưa ra bởi Nguyễn Ngọc Giang nếu thay đường tròn bởi đường conic có thể xem tại đây .
Một số vấn đề liên quan.
Cho sáu đường thẳng formula_10, lấy module 6. Gọi formula_11, sao cho formula_12 nằm trên một đường tròn. Gọi formula_13 là đường tròn ngoại tiếp formula_14 với tâm formula_15. Gọi formula_16 là giao điểm còn lại của formula_13 và formula_18. Khi đó ta có một số kết quả sau đây:
Trường hợp đặc biệt.
Trường hợp lục giác suy biến thành tam giác định lý Đào về sáu tâm đường tròn sẽ trực tiếp suy biến thành định lý Kosnita. Định lý Kosnita phát biểu như sau: "Cho tam giác" formula_3 "có" formula_55 "là tâm đường tròn ngoại tiếp," formula_56"," formula_57"," formula_58 "là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác" formula_59"," formula_60"," formula_61 "thì" formula_62"," formula_63"," formula_64 "đồng quy."