Bổ đề Euclid

Trong lý thuyết số, bổ đề Euclid là một bổ đề nắm một thuộc tính cơ bản của số nguyên tố, đó là:Bổ đề Euclid — Nếu một số nguyên tố là ước của tích của hai số nguyên và , thì phải chia được hết bởi tối thiểu một trong các số nguyên và .Ví dụ, nếu , , , thì , và vì tích này chia hết cho 19, theo bổ đề thì một trong hai hoặc cả hai số 133 hoặc 143 cũng phải chia hết cho 19. Thật vậy, .
Vốn dĩ, nếu điều kiện của bổ đề không được thỏa mãn, chẳng hạn như nếu là một hợp số, kết quả sẽ có thể là đúng hoặc sai. Ví dụ, trong trường hợp , , , hợp số 10 chia hết tích , nhưng 10 không chia hết 4 hay 15.
Tính chất này cần thiết cho chứng minh của định lý cơ bản của số học. Nó được dùng để định nghĩa phần tử nguyên tố, một tổng quát hóa của số nguyên tố cho các vành giao hoán bất kỳ. Bổ đề Euclid cho thấy rằng đối với tập số nguyên các phần tử tối giản cũng là phần tử nguyên tố. Chứng minh định lý sử dụng quy nạp nên nó không áp dụng với tất cả các miền nguyên.
Công thức.
Lấy formula_1 là một số nguyên tố và giả thiết rằng formula_1 chia hết (hay "đo được") tích của hai số nguyên formula_3 và formula_4. (Trong cách viết ký hiệu, điều này được viết là formula_5. Mệnh đề phủ định của nó, formula_1 không chia hết formula_7 được viết là formula_8.) Vậy thì formula_9 hoặc formula_10 (hoặc cả hai). Các phát biểu tương đương bao gồm:
Bổ đề Euclid có thể được tổng quát hóa từ cho các số nguyên tố tới cho bất kỳ số nguyên nào:Định lý — Nếu formula_17, và formula_18 nguyên tố cùng nhau với formula_3, thì formula_20.Đây là một tổng quát hóa bởi vì nếu formula_18 cũng là số nguyên tố thì hoặc là
Lịch sử.
Bổ đề xuất hiện lần đầu dưới dạng mệnh đề số 30 trong Quyển VII của bộ "Cơ sở" của Euclid. Nó được kèm trong trên thực tế tất cả cuốn sách viết về lý thuyết số cơ bản.
Sự tổng quát hóa của bổ đề lên với mọi số nguyên xuất hiện trong sách giáo khoa "Nouveaux Elémens de Mathématiques của" Jean Prestet năm 1681.
Trong chuyên luận "Disquisitiones Arithmeticae của" Carl Friedrich Gauss, phát biểu của bổ đề là Định đề 14 của Euclid (Mục 2), mà ông sử dụng để chứng minh sự duy nhất của phân tích các thừa số nguyên tố của một số nguyên (Định lý 16), thừa nhận sự tồn tại là "hiển nhiên." Từ sự tồn tại và tính duy nhất này, sau đó, ông suy ra tổng quát hóa của bổ đề từ số nguyên tố thành số nguyên. Vì lý do này, tổng quát hóa của bổ đề Euclid đôi khi còn được gọi là bổ đề Gauss, nhưng một số người tin rằng cách sử dụng này là không chính xác do sự nhầm lẫn với bổ đề Gauss về thặng dư bậc hai.
Chứng minh.
Chứng minh bằng bổ đề Bézout.
Chứng minh thông thường liên quan tới một bổ đề khác được gọi là bổ đề Bézout, phát biểu rằng nếu và là các số nguyên tố cùng nhau (tức là chúng không có ước số chung nào khác ngoài 1 và -1) thì tồn tại các số nguyên và sao cho
Cho và nguyên tố cùng nhau, và giả thiết rằng . Theo bổ đề Bézout, tồn tại và thỏa
Nhân cả hai vế với :
Số hạng đầu tiên ở vế trái chia hết cho và số hạng thứ hai chia hết cho , theo giả thiết thì số hạng này chia hết cho . Do đó tổng của chúng, , cũng chia hết cho . Đây là tổng quát hóa của bổ đề Euclid đã đề cập ở trên.
Chứng minh của bộ "Cơ sở".
Bổ đề Euclid được chứng minh ở Mệnh đề 30 trong Quyển VII của bộ sách "Cơ sở" của Euclid. Chứng minh gốc khá khó để hiểu được, vì thế chúng tôi trích dẫn lời bình của .