Giới hạn của một dãy

Khi số nguyên formula_1 càng lớn, giá trị formula_2 trở nên gần một cách tùy ý với formula_3. Ta nói rằng "giới hạn của dãy số formula_2 bằng formula_3."
Trong toán học, giới hạn của một dãy là giá trị mà các số hạng của dãy "tiến tới". Nếu một giới hạn tồn tại, dãy được gọi là hội tụ, nếu không, dãy được gọi là phân kì. Giới hạn của một dãy số là một khái niệm quan trọng trong giải tích.
Giới hạn có thể được định nghĩa trong bất kỳ không gian metric hay tôpô nào, nhưng thường được sử dụng trước tiên với số thực.
Lịch sử.
Nhà triết học Hy Lap Zeno xứ Elea nổi tiếng với việc hình thành những nghịch lý về giới hạn.
Leucippus, Democritos, Antiphon, Eudoxus và Archimedes phát triển phương pháp vét cạn (method of exhaustion), dùng chuỗi vô hạn xấp xỉ để xác định một diện tích hay thể tích. Archimedes đã thành công trong việc tính tổng một dạng dãy số gọi là chuỗi hình học.
Newton sử dụng dãy số trong những công trình "Giải tích dãy vô hạn" ("Analysis with infinite series", viết năm 1669, lưu hành qua bản viết tay, xuất bản năm 1711), "Phương pháp thông lượng" ("Method of Fluxions", viết năm 1671, xuất bản bằng tiếng Anh năm 1736, bản gốc Latin xuất bản muộn hơn) và "Tractatus de Quadratura Curvarum" (viết năm 1693, xuất bản năm 1704 và là phụ lục cho "Optiks"). Trong những tác phẩm sau này, Newton nghiên cứu khai triển nhị thức của formula_6 rồi tuyến tính hóa bằng cách "lấy giới hạn" (cho formula_7).
Đến thế kỷ 18, các nhà toán học như Euler thành công trong việc tính tổng của một số chuỗi phân kỳ bằng cách dừng đúng lúc; họ không quan tâm liệu giới hạn có tồn tại hay không, miễn là nó tính được. Cuối thể kỷ 18, Lagrange trong "Théorie des fonctions analytiques" (1797) cho rằng sự thiếu tính chặt chẽ ngăn chặn sự phát triển của giải tích. Gauss trong quá trình nghiên cứu những dãy siêu hình học (1813) lần đầu tiên xem xét một cách chặt chẽ dưới những điều kiện nào thì một dãy số hội tụ đến một giới hạn.
Định nghĩa hiện đại của giới hạn (định nghĩa formula_8) được đưa ra bởi Bernard Bolzano ("Der binomische Lehrsatz", Prague năm 1816, ít được chú ý tại thời điểm đó) và Karl Weierstrass trong những năm 1870.
Số thực.
Đối với số thực, một số formula_9 là giới hạn của một dãy số formula_10 nếu những số trong dãy trở nên gần một cách tùy ý với formula_9 và không phải số nào khác.
Định nghĩa.
Ta gọi formula_28 là giới hạn của một dãy số formula_10 nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Nói cách khác, với mọi giá trị độ gần formula_34, các số hạng của dãy sẽ tiến gần đến giới hạn trong khoảng đó.
Dãy số formula_10 khi ấy được gọi là hội tụ về hoặc tiến tới giới hạn formula_28, viết là formula_37 hoặc formula_38.
Định nghĩa trên có thể biểu diễn bằng ký hiệu:
Nếu một dãy số có tồn tại giới hạn thì đó là dãy hội tụ; ngược lại nó là dãy phân kỳ.
Tính chất.
Giới hạn của dãy số có những tính chất tương tự như những phép tính số học thông thường. Nếu formula_40 và formula_41 thì formula_42, formula_43 và, nếu formula_44 và tất cả formula_45 đều khác 0, formula_46.
Với mọi hàm số liên tục "f", nếu formula_37 thì formula_48. Thực ra, bất kỳ hàm số "f" nào có giá trị thực liên tục khi và chỉ khi nếu nó bảo toàn giới hạn của dãy số (điều này không nhất thiết đúng với những định nghĩa tổng quát hơn của tính liên tục).
Một số tính chất quan trọng của giới hạn cho dãy số thực như sau(với điều kiện, trong mỗi đẳng thức ở dưới, giới hạn ở vế phải tồn tại).
Những tính chất trên được sử dụng rất nhiều để chứng minh giới hạn mà không cần sử dụng định nghĩa cồng kềnh trên. Chẳng hạn, một khi chứng minh được formula_62 ta dễ dàng chứng minh được formula_63, (formula_64), sử dụng những tính chất trên.
Giới hạn vô cùng.
Một dãy số formula_10 được gọi là tiến tới vô cùng, viết là formula_66 hay formula_67 nếu, với mọi formula_68, tồn tại formula_31 sao cho với mọi formula_32 thì formula_71; tức là các số hạng của dãy dần lớn hơn bất kì formula_68 cố định nào. Tương tự, formula_73 nếu, với mọi formula_68, tồn tại formula_31 sao cho với mọi formula_32 thì formula_77. Nếu một dãy số tiến tới cộng hoặc trừ vô cùng thì nó phân kỳ (tuy nhiên, một chuỗi phân kỳ có thể không tiến tới cộng hay trừ vô cùng: ví dụ như dãy số formula_78).
Không gian metric.
Định nghĩa.
Một điểm formula_28 trong không gian metric formula_80 là giới hạn của dãy formula_10 nếu, với mọi formula_30, tồn tại formula_31 sao cho với mọi formula_32, formula_85. Định nghĩa này trỏ thành định nghĩa cho số thực khi formula_86 và formula_87.
Tính chất.
Với hàm số liên tục "f" bất kỳ, nếu formula_37 thì formula_48. Thực chất, hàm số "f" liên tục khi và chỉ khi nó bảo toàn giới hạn của dãy số.
Giới hạn của dãy số, nếu tồn tại, là duy nhất, do những điểm khác nhau cách nhau một khoảng dương. Nếu dãy số có hai giới hạn khác nhau, với formula_34 nhỏ hơn một nửa khoảng cách giữa chúng, các số hạng của dãy không thể cách mỗi giới hạn một khoảng đều bé hơn formula_34.
Không gian tôpô.
Định nghĩa.
Một điểm formula_28 trong không gian tôpô formula_93 là giới hạn của dãy số ("xn") nếu, với mọi lân cận formula_94 của formula_28, tồn tại formula_31 sao cho, với mọi formula_32, formula_98. Định nghĩa này trở thành định nghĩa cho không gian metric nếu formula_80 là một không gian metric và formula_100 là tôpô tạo ra bởi formula_101.
Giới hạn của một dãy các điểm formula_102 trong không gian tôpô formula_103 là một trường hợp đặc biệt của giới hạn của một hàm số: tập xác định là formula_104 trong không gian formula_105 với tôpô cảm sinh của tập số thực mở rộng, miền giá trị là formula_103, và đối số formula_1 tiến tới formula_108, ở đây là một điểm giới hạn của formula_104.
Tính chất.
Nếu formula_110 là một không gian Hausdorff thì giới hạn của dãy số là duy nhất nếu chúng tồn tại. Tuy nhiên điều này không đúng trong tổng quát; cụ thể, nếu formula_28 và formula_112 là không thể phân biệt tôpô (tức chúng có cùng lân cận), bất kỳ chuỗi nào hội tụ đến formula_28 cũng phải hội tụ đến formula_112 và ngược lại.
Dãy Cauchy.
Một dãy Cauchy là một dãy có các số hạng trở nên gần nhau một cách tùy ý, sau khi bỏ qua những số hạng đầu. Dãy Cauchy có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các dãy trong không gian metric, và cụ thể là trong giải tích thực. Một kết quả đặc biệt quan trong giải tích thực là "tiêu chuẩn Cauchy về tính hội tụ của dãy số": một dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là một dãy Cauchy. Kết quả này vẫn đúng trong những không gian metric đầy đủ khác.
Định nghĩa cho số siêu thực.
Định nghĩa của giới hạn cho số siêu thực cụ thể hóa cảm nhận rằng với số thứ tự "rất lớn", số hạng tương ứng "rất gần" với giới hạn. Chính xác hơn, một dãy số thực formula_10 hội tụ về formula_9 nếu với mọi số siêu nguyên vô hạn "H", số hạng formula_117 gần vô hạn với formula_9, tức là hiệu formula_119 nhỏ vô cùng. Nói cách khác, formula_9 là phần chuẩn của formula_117:
Do đó, giới hạn có thể được định nghĩa bằng công thức
và giới hạn tồn tại khi và chỉ khi vế phải không phụ thuộc vào cách chọn một số "H" vô cùng.