Chỉ số của nhóm con

Trong toán học, đặc biệt là trong lý thuyết nhóm, chỉ số của nhóm con "H" trong "G" là số
lớp kề trái của "H" trong "G", hoặc tương đương là số lớp kề phải của "H" trong "G".Chỉ số này thường được ký hiệu là formula_1 hoặc formula_2 hoặc formula_3.
Bởi vì là "G" là hợp của các lớp kề không giao nhau và vì mỗi lớp kề có cùng kích thước với "H", nên chỉ số này liên hệ cấp giữa hai nhóm qua công thức
(coi các giá trị này là số lực lượng nếu một trong số chúng vô hạn).
Do vậy, chỉ số formula_1 đo "tỷ lệ" giữa "G" và "H".
Ví dụ chẳng hạn, đặt formula_6 là nhóm của các số nguyên dưới phép cộng và formula_7 là nhóm con của các số nguyên chẵn. Khi đó, formula_8 có hai lớp kề trong formula_9 là tập các số nguyên chẵn và tập số nguyên lẻ, do đó chỉ số formula_10 bằng 2. Tổng quát hơn, formula_11 với bất kỳ số nguyên dương "n".
Khi "G" hữu hạn, công thức trên có thể viết lại thành formula_12, suy ra
định lý Lagrange rằng formula_13 chia hết cho formula_14 .
Khi "G" vô hạn, formula_1 là số lực lượng khác không có thể hữu hạn hoặc vô hạn.
Ví dụ chẳng hạn, formula_16, nhưng formula_17 là vô hạn.
Nếu "N" là nhóm con chuẩn tắc của "G", thì formula_18 bằng với cấp của nhóm thương formula_19, bởi vì tập của formula_19 là tập các lớp kề của "N" trong "G".
Chỉ số vô hạn.
Nếu "H" có vô số lớp kề trong "G", thì chỉ số của "H" trong "G" là vô hạn. Trong trường hợp này, chỉ số formula_1 là số lực lượng. Lấy ví dụ, chỉ số của "H" trong "G" có thể đếm được hoặc không đếm được, dựa trên việc liệu "H" có số lớp kề trong "G" đếm được hay không. Để ý rằng cấp nhóm con "H" không bao giờ quá "G," số lực lượng của tập lớp kề của "H" cũng không quá "G."
Chỉ số hữu hạn.
Nhóm con "H" có chỉ số hữu hạn trong nhóm "G" (hữu hạn hay vô hạn) luôn chứa nhóm con chuẩn tắc "N" (của "G") có chỉ số hữu hạn.Thậm chí, nếu "H" có chỉ số "n", thì chỉ số của "N" sẽ là ước của "n"! và là bội của "n"; thật vậy, "N" có thể coi là nhân của phép đồng cấu tự nhiên từ "G" sang nhóm hoán vị của các lớp kề trái (hoặc phải) của "H".
Ta sẽ chứng minh như sau, sử dụng lớp kề phải:
Các phần tử của "G" giữ nguyên các lớp kề tạo thành một nhóm.
Nếu "Hca" ⊂ "Hc" ∀ "c" ∈ "G" và "Hcb" ⊂ "Hc" ∀ "c" ∈ "G", thì "Hcab" ⊂ "Hc" ∀ "c" ∈ "G". Nếu "h"1"ca" = "h"2"c" với mọi "c" ∈ "G" (với "h"1, "h"2 ∈ H) thì "h"2"ca"−1 = "h"1"c", do vậy "Hca"−1 ⊂ "Hc".
Gọi nhóm đó là nhóm "A". Gọi "B" là tập các phần tử thuộc "G" thực hiện phép thế trên các lớp kề của "H". Thì "B" là lớp kề phải của "A".
Đầu tiên chứng minh rằng nếu "b"∈"B", thì bất kỳ phần tử "b" khác của "B" bằng với "ab"với một số "a"∈"A". Giả sử nhân lớp kề "Hc" từ bên phải bằng các phần tử của "B" ra các phần tử thuộc lớp kề "Hd". Nếu "cb"1 = "d" và "cb"2 = "hd", thì "cb"2"b"1−1 = "hc" ∈ "Hc", hay nói cách khác "b"="ab"với một số "a"∈"A", như mong đợi. Giờ chứng minh với bất kỳ "b"∈"B" và "a"∈"A", "ab" sẽ là phần tử thuộc "B". Cái này là bởi "Hc" bằng với "Hca", do đó "Hcb" = "Hcab". Điều này thoả mãn với bất kỳ "c" (tức là với bất kỳ lớp kề), nó suy ra rằng nhân ở bên phải với "ab" tạo cùng một hoán vị lớp kề khi nhân với "b", do đó "ab"∈"B".
Những gì ở trên áp dụng bất kể chỉ số của "H" hữu hạn hay vô hạn. Giờ giả định rằng nó có chỉ số hữu hạn "n". Bởi số hoán vị của các lớp kề là hữu hạn (cụ thể hơn, chỉ có "n"!), thì hữu hạn số tập hợp giống "B". (Nếu "G" vô hạn thì các tập hợp đó cũng vô hạn.) Tập của các tập hợp tạo thành một nhóm đẳng cấu với nhóm con của nhóm các hoán vị, do đó số các tập hợp này phải là ước của "n"!. Hơn nữa, nó phải là bội của "n" vì mỗi lớp kề của "H" chứa cùng số lớp kề của "A". Cuối cùng, nếu cho một số "c" ∈ "G" và "a" ∈ "A" sao cho "ca = xc", thì với bất kỳ "d" ∈ "G, dca = dxc", và "dca = hdc" với một số "h" ∈ "H" (theo định nghĩa nhóm "A"), nên "hd = dx". Điều này đúng với bất kỳ "d", và "x" phải là phần tử thuộc A, để "ca = xc" suy ra "cac" ∈ "A" và do đó "A" là nhóm con chuẩn tắc.