Phương trình Euler–Lagrange

trong Phép tính biến phân và cơ học cổ điển, những phương trình Euler-Lagrange là một hệ thống những phương trình vi phân thường bậc 2, có nghiệm là những điểm uốn của cho trước. Những phương trình ấy được khám phá thập niên 1750 bởi nhà toán học Thuỵ Sĩ Leonhard Euler và nhà toán học Ý Joseph-Louis Lagrange.
bởi vì một hàm số khả vi là điểm uốn tại điểm cực trị cục bộ của hàm ấy, phương trình Euler-Lagrange sẽ hữu ích cho giải những bài toán tối ưu mà theo đó, cho trước hàm số nào đó, ta tìm hàm số tối thiểu hoặc tối đa nó. Đây tương tự với trong vi tích phân, tuyên bố rằng tại bất cứ điểm nào thoả mãn một hàm số khả vi đạt một điểm cực trị cục bộ thì đạo hàm của nó sẽ bằng không. Trong cơ học Lagrange, tuân theo nguyên lý của Hamilton về tác dụng tối thiểu, tiến triển của một hệ vật lý sẽ được miêu tả bởi những nghiệm cho phương trình Euler cho hoạt động của hệ thống. Trong văn cảnh này, những phương trình Euler thường gọi tên là những phương trình Lagrange. Trong cơ học cổ điển, nó tương đương với các định luật chuyển động của Newton; đúng là, các phương trình Euler-Lagrange sẽ sản sinh ra cùng những phương trình giống như các định luật của Newton. Đây đặc biệt hữu ích khi phân tích những hệ thống có những vectơ lực đặc biệt phức tạp. Nó có lợi thế vì nó giữ nguyên hình thức trong bất cứ hệ thống toạ độ suy rộng nào, nó sẽ hợp hơn cho việc khái quát hoá. Trong , có một để tính những động lực của một trường.
Lịch sử.
phương trình Euler-Lagrange được phát triển thập niên 1750 bởi Euler và Lagrange liên quan đến những nghiên cứu của họ về vấn đề . Đây là vấn đề quyết định một đường cong mà trên đó một hạt có khối lượng sẽ rơi xuống một điểm cố định trong một khoảng thời gian cố định, độc lập với điểm bắt đầu.
Lagrange giải quyết vấn đề này năm 1755 và gửi nghiệm cho Euler. Cả hai đã phát triển thêm phương pháp của Lagrange và ứng dụng nó vào cơ học, đã dẫn đến hình thành cơ học Lagrange. Hai người trao đổi thư từ, sau rốt, đã dẫn đến phép tính biến phân là thuật ngữ được Euler đặt tên năm 1766
Phát biểu.
đặt (X, L) là một hệ thống cơ học có n bậc tự do. Tại đây, X là và L = L (t, q, v) Lagrange là một hàm số giá trị thực trơn thoả mãn q formula_1 X và v là một vectơ tốc độ n chiều (cho ai quen thuộc với hình học vi phân thì X là một đa tạp trơn, và L : Rt x TX -&gt; R sao cho TX là của X)
đặt P (a, b, xa ,xb ) là tập hợp những trơn q : [a, b] -&gt; X sao cho q(a) = xa và q(b) = xb . S : P (a, b, xa, xb) -&gt; R được định nghĩa là
S [q] = formula_2
một đường q formula_1 P (a, b, xa, xb) là một điểm uốn của S khi và chỉ khi
formula_4(t, q(t), q'(t)) - formula_5formula_6(t, q(t), q'(t)) = 0, i = 1, ..., n
ở đây q'(t) là đạo hàm thời gian của q(t). Khi ta nói đến điểm uốn, ta ám chỉ rằng một điểm uốn của S đối với bất cứ rung động nhỏ nào trong q. Xem chứng minh dưới đây để thêm chi tiết cụ thể.Nguồn gốc của phương trình Euler-Lagrange một chiều
nguồn gốc của phương trình Euler-Lagrange một chiều là một trong những chứng minh kinh điển trong toán học. Nó dựa vào định lý căn bản của giải tích
ta muốn tìm một hàm số f thoả mãn những điều kiện giới hạn f(a) = A và f(b) = B và sẽ cực trị hoá hàm số:
J = formula_7
ta giả thiết rằng L khả vi liên tục hai lần. Một giả thiết lỏng lẻo hơn có thể được sử dụng, nhưng chứng minh sẽ trở nên khó khăn hơn.
nếu f cực trị hoá chủ thể hàm số đến những điều kiện giới hạn, thì bất cứ rung động nhỏ nào của f miễn là bảo toàn những giá trị giới hạn sẽ phải hoặc tăng J (nếu f là một hàm cực tiểu) hoặc giảm J (nếu f là một hàm cực đại)
đặt gformula_8(x) = f (x) + formula_8formula_10(x) là kết quả của một rung động formula_11(x) của f mà formula_8 là nhỏ và formula_10(x) là một hàm số khả vi thoả mãn formula_14 sau đó định nghĩa:
Jformula_8 = formula_16(x, gformula_8(x), g'formula_8(x))dx = formula_16formula_8 dx
với Lformula_8 = L(x, gformula_8(x), g'formula_8(x))
giờ, ta muốn tính đạo hàm toàn phần của Jformula_8 với cân nhắc đến formula_8
formula_26 = formula_27 formula_28 + formula_29 formula_30 + formula_31 formula_32 = formula_29 formula_30 + formula_31 formula_32 = formula_10(x) formula_30 + formula_10'(x) formula_32
với dữ kiện rằng x không phụ thuộc vào formula_8 tức là formula_42 
cho nên
formula_43 = formula_44 
khi formula_8 = 0 ta có formula_46 và formula_47 và formula_48 có một giá trị cực trị, sao cho
formula_49 = formula_50
bước tiếp theo là để sử dụng tích phân từng phần lên số hạng thứ hai của hàm lấy tích phân, sẽ được
formula_51 
sử dụng những điều kiện giới hạn formula_14 
formula_53
áp dụng định lý căn bản của giải tích ta sẽ được phương trình Euler-Lagrange
formula_54Nguồn gốc khác của phương trình Euler-Lagrange một chiều
cho một hàm số
formula_55
trên C1([a, b]) với những điều kiện giới hạn y(a) = A và y(b) = B ta tiếp tục bằng cách ước lượng đường cong cực trị bởi một một có n đoạn thẳng và đạt đến giới hạn khi số lượng những đoạn thẳng tăng lớn tuỳ ý.
chia khoảng [a, b] thành n đoạn thẳng bằng nhau với những điểm cuối t0 = a, t1, t2, ... , tn = b và đặt formula_56 
thay vì một hàm số trơn y(t), ta cân nhắc đường khấp khuỷu có những đỉnh (t0, y0), ... ,(tn, yn) với y0 = A và yn = B. Theo đó, hàm số của ta trở thành một hàm số thực của n - 1 biến số 
formula_57
những cực trị của hàm số mới này sẽ được định nghĩa trên những điểm rời rạc t0, ... , tn tương ứng với những điểm mà
formula_58
ước lượng đạo hàm riêng này ta được
formula_59
chia phương trình trên cho formula_60 ta được
formula_61
và lấy giới hạn tại formula_62 -&gt; 0 của vế tay phải của biểu thức này, ta được
formula_63
vế tay trái của biểu thức trên là đạo hàm formula_64 của hàm số J
một điều kiện cần thiết cho một đạo hàm có một cực trị trên hàm số nào đó là rằng đạo hàm của nó tại hàm số đó sẽ biến mất, đúng như miêu tả bởi biểu thức cuối cùng ở trên
Ví dụ.
một ví dụ tiêu chuẩn là tìm hàm số giá trị thực y(x) trên khoảng [a, b] sao cho y(a) = c và y(b) = d tại đó độ dài quãng đường dọc theo đường cong vẽ bởi y sẽ ngắn nhất có thể
formula_65
hàm lấy tích sẽ là 
formula_66
những đạo hàm riêng của L sẽ là
formula_67
formula_68
bằng cách thay thế những đạo hàm riêng này vào phương trình Euler-Lagrange, ta được
formula_69
formula_70
formula_71
formula_72
thế là, đạo hàm bậc nhất của hàm số trên là một hằng số, do đó đồ thị của nó là một đường thẳng
Suy rộng.
Hàm số duy nhất của biến số duy nhất với những đạo hàm bậc cao.
những giá trị điểm uốn của hàm số
formula_73
formula_74
formula_75
formula_76
có thể lấy được từ phương trình Euler-Lagrange 
formula_77
dưới những điều kiện giới hạn cố định cho bản thân hàm số cũng như cho những đạo hàm từ bậc k-1 trở xuống (tức là cho tất cả f(i) với formula_78)
những giá trị điểm cuối của đạo hàm bậc cao nhất f(k) sẽ vẫn linh hoạt
Nhiều hàm số của biến số duy nhất với đạo hàm duy nhất.
nếu vấn đề liên quan đến tìm nhiều hàm số formula_79 của một biến độc lập duy nhất (x) sẽ định nghĩa một cực trị của hàm số
formula_80
formula_81
thì những phương trình Euler-Lagrange tương ứng sẽ là 
formula_82
formula_83
Hàm số duy nhất của nhiều biến số với đạo hàm duy nhất.
một suy rộng đa chiều đã đến từ cân nhắc một hàm số trên n biến số. Nếu formula_84 là bề mặt nào đó, thì
formula_85
formula_86
đạt cực trị chỉ khi f thoả mãn phương trình đạo hàm riêng 
formula_87
khi n = 2 và hàm số formula_88 là , đây sẽ dẫn đến vấn đề bề mặt tối thiếu của 
Nhiều hàm số của nhiều biến số với đạo hàm duy nhất.
nếu có nhiều hàm số chưa biết cần được xác định và nhiều biến số, sao cho
formula_89
formula_90
hệ phương trình Euler-Lagrange sẽ là 
formula_91
formula_92
formula_93
Hàm số duy nhất của hai biến số với những đạo hàm bậc cao.
nếu có một hàm số đơn chưa biết f cần được xác định, mà phụ thuộc vào hai biến số x1 và x2 và nếu hàm số phụ thuộc vào hàm số bậc cao của f lên đến bậc thứ n sao cho
formula_94
formula_95
formula_96
thì phương trình Euler-Lagrange sẽ là 
formula_97
có thể viết gọn lại thành
formula_98
với formula_99 là các chỉ số sẽ trải ra một số biến số, mà, ở đây chúng đi từ 1 đến 2. Ở đây, tóm lại những chỉ số formula_99 sẽ chỉ với formula_101 để tránh đếm cùng một đạo hàm riêng nhiều lần, lấy ví dụ formula_102 xuất hiện chỉ một lần trong phương trình trước đó
Nhiều hàm số của nhiều biến số với những đạo hàm bậc cao.
nếu có p phương trình chưa biết fi cần được xác định, mà phụ thuộc vào m biến số formula_103 và nếu hàm số phụ thuộc vào đạo hàm bậc cao của fi lên đến bậc thứ n sao cho
formula_104
formula_105
formula_106
với formula_107 là các chỉ số trải ra một số biến số, sẽ đi từ 1 đến m. Sau đó, phương trình Euler-Lagrange sẽ là
formula_108
với tổng những formula_107 sẽ tránh đếm cùng đạo hàm formula_110 lại nhiều lần, giống như phần trên. Đây có thể viết gọn thành
formula_111
Suy rộng ra những đa tạp.
đặt M là một đa tạp trơn và đặt formula_112 biểu thị khoảng không gian của những formula_113 sau đó với những hàm số formula_114 của dạng thức
formula_115
với formula_116 là Lagrange, phát biểu formula_117 sẽ tương đương với phát biểu rằng: với tất cả formula_118 thì mỗi khung toạ độ formula_119 của một vùng lân cận của formula_120 ra được những phương trình M chiều
formula_121