Tập có hướng

Trong toán học, tập có hướng (hay tiền thứ tự có hướng hay tập bị lọc và đôi khi tập được định hướng) là một tập hợp khác rỗng formula_1 kèm theo một quan hệ hai ngôi có tính bắc cầu và phản xạ formula_2 (tức là tiền thứ tự), và kèm theo một tính chất khác là mọi cặp phần tử phải có cận trên. Nói cách khác, cho bất kỳ formula_3 và formula_4 thuộc formula_1 thì phải tồn tại formula_6 thuộc formula_1 sao cho formula_8 và formula_9 Tiền thứ tự của tập có hướng được gọi là hướng của tập hợp đó.
Khái niệm trên đôi được gọi trên là '. ' được định nghĩa tương tự như vậy, nghĩa là mọi cặp phần tử đều có cận dưới. 
Một số tác giả (và ngay cả bài viết này) sẽ giả định trước rằng tập có hướng sẽ hướng lên, trừ phi nhắc trước trong bài. Một số tác giả khác gọi một tập là tập có hướng khi nó vừa hướng lên vừa hướng xuống.
Tập có hướng là dạng tổng quát của các tập hợp sắp thứ tự toàn phần khác rỗng. Do vậy, mọi tập sắp thứ tự toàn phần là tập có hướng (trái ngược với đó. các tập hợp sắp thứ tự riêng phần không nhất thiết phải có hướng. Nửa dàn có nối (và cũng là tập sắp thứ tự riêng phần) cũng là tập có hướng, nhưng không phải ngược lại. Tương tự như vậy, dàn là các tập có hướng lên vừa hướng lên vừa hướng xuống.
Trong tô pô, các tập có hướng được dùng định nghĩa lưới, lưới được dùng để dùng tể tổng quát hoá cho khái niệm dãy số và nhiều khác niệm khác của giới hạn được dùng trong giải tích. Bên cạnh đó, từ tập có hướng còn sinh ra khái niệm giới hạn trực tiếp trong đại số trừu tượng và tổng quát hơn là trong lý thuyết phạm trù.
Định nghĩa tương đương.
Bên cạnh định nghĩa ở trên, có một định nghĩa khác tương đương như sau: Tập có hướng là tập hợp formula_1 đi kèm tiền thứ tự sao cho mọi tập con hữu hạn của formula_1 bị chặn trên. Trong định nghĩa này, sự tồn tại của cận trên của tập con rỗng sẽ suy ra formula_1 khác rỗng.
Ví dụ.
Tập hợp các số tự nhiên formula_13 đi kèm thứ tự thông thường formula_2 là một trong những ví dụ quan trọng về tập có hướng (và cũng về tập hợp sắp thứ tự toàn phần). Theo định nghĩa, là một hàm số từ tập có hướng đi từ tập có hướng, còn dãy số là hàm từ tập các số tựn hiên formula_15 Mỗi dãy số đều chính tắc trở thành một lưới bằng cách đi kèm với formula_13 thêm quan hệ formula_17 
Một ví dụ dễ gặp về tập sắp thứ tự riêng phần nhưng có hướng là tập formula_18 cùng với hai quan hệ thứ tự duy nhất formula_19 và formula_20
Nếu formula_21 là một số thực nào đó thì tập hợp formula_22 có thể biến đổi thành tập có hướng bằng cách định nghĩa formula_23 if formula_24 (để các số "lớn hơn" sẽ gần hơn với formula_21). Khi đó ta nói rằng các số thực đang hướng về formula_26 Đây là ví dụ về một tập có hướng nhưng sắp thứ tự riêng phần hay toàn phần. Lý do nó như vậy là bởi vì tính phản đối xứng không còn đúng cho mọi cặp formula_3 và formula_4 có cùng khoảng cách với formula_29 và formula_3 và formula_4 ở hai bên của formula_26 Cụ thể, nó xảy ra khi formula_33 cho một số thực formula_34 Khi đó sẽ có formula_23 và formula_36 mặc dù formula_37 Nếu tiền thứ tự này được định nghĩa ngay trên formula_38 thay vì formula_39 thì nó vẫn sẽ lập thành tập có hướng nhưng đồng thời nó sẽ có phần tử lớn nhất (duy nhất) chính là formula_21; tuy nhiên, kể cả vậy nó vẫn sẽ không phải là tập sắp thứ tự toàn phần. Ví dụ này có thể tổng quát hoá cho không gian mêtric formula_41 bằng cách định nghĩa trên formula_42 hay formula_43 tiền thứ tự formula_44 khi và chỉ khi formula_45
Sử dụng ví dụ "các số thực hướng về formula_21" ở trước nhưng đổi sao cho luật sắp xếp chỉ áp dụng với các cặp phần tử ở cùng một bên của formula_21 thì tập đó sẽ không có hướng nữa (bởi vì, nếu ta lấy formula_3 ở bên trái của formula_29 và formula_4 ở bên phải, thì formula_3 và formula_4 không so sánh được với nhau, và do vậy, tập con formula_53 không có cận trên).
Phần tử tối đại và phần tử lớn nhất.
Phần tử formula_54 của tập sắp tiền thứ tự formula_55 là "phần tử tối đại" nếu cho mọi formula_56 formula_57 suy ra formula_58
Nó là "phần tử lớn nhất" nếu với mọi formula_56 formula_58
Bất kỳ tập sắp tiền thứ tự đi cùng với một phần tử lớn nhất đều là tập có hướng với cùng tiền thứ tự đó.
Ví dụ chẳng hạn, trong poset formula_61 mọi Bao đóng dưới của một phần tử (bao đóng dưới là các tập con có dạng formula_62 trong formula_63 là phần tử cố định được cho trước từ formula_61) là tập có hướng. 
Mọi phần tử tối đại của tập sắp tiền thứ tự có hướng đều sẽ lớn nhất. Thật vậy, tập sắp tiền thứ tự có hướng có đặc trưng là tập các phần tử tối đại (có thể rỗng) và tập các phần tử lớn nhất bằng với nhau,
Tích của các tập có hướng.
Gọi formula_65 và formula_66 là hai tập có hướng. Khi đó, tích Descartes của chúng formula_67 có thể biến thành tập có hướng bằng cách định nghĩa formula_68 khi và chỉ khi formula_69 và formula_70 Tương tự với thứ tự tích, đây là hướng tích của tích Descartes. Ví dụ chẳng hạn, tập hợp formula_71 của các cặp số tự nhiên có thể biến thành tập có hướng bằng cách định nghĩa thêm quan hệ formula_72 khi và chỉ khi formula_73 and formula_74
Bao hàm tập hợp.
Quan hệ bao hàm tập hợp formula_75 cùng với đối ngẫu của nó formula_76 định nghĩa thứ tự riêng phần trên bất kỳ họ các tập hợp. Họ khác rỗng của các tập hợp là tập có hướng tương ứng thứ tự riêng phần (hoặc ngược lại formula_77) khi và chỉ khi phần giao (ngược lại là phần hợp) của bất kỳ hai trong số chúng chứa (ngược lại, là tập con của) một phần tử thứ ba nào đó. Viết dưới ký hiệu họ formula_78 của các tập hợp là tập có hướng theo quan hệ formula_79 (hoặc, formula_77) khi và chỉ khi 
hoặc tương đương, 
Nhiều ví dụ quan trọng của tập có hướng có thể định nghĩa bằng cách sử dụng các thứ tự riêng phần. Ví dụ chẳng hạn, theo định nghĩa, hay là họ tập hợp khác rỗng và là tập có hướng tương ứng với thứ tự riêng phần formula_79 và bên cạnh đó cũng không chứa tập rỗng (điều kiện này ngăn chặn tính tầm thường, bởi nếu kèm vào thì tập rỗng sẽ trở thành phần tử lớn nhất và phần tử nhỏ nhất tương ứng với formula_79). 
Mọi -hệ thống (-hệ thống là học tập hợp khác rỗng đóng dưới phép giao bất kỳ hai phần tử trong tập hợp) là tập có hướng tương ứng formula_93 Mọi λ-hệ thống (hay "hệ thống λ) là tập có hướng tương ứng với formula_94 Mọi bộ lọc, tô pô, và σ-đại số là tập có hướng tương ứng với formula_79 và formula_94 
Nếu formula_97 là bất kỳ lưới từ tập có hướng formula_55 thì cho bất kỳ chỉ số formula_99 tập hợp formula_100 được gọi là đuôi của formula_55 bắt đầu từ formula_102 Họ formula_103 của tất cả các đuôi là tập có hướng tương ứng với formula_104 thậm chí, nó còn là tiền bộ lọc.
Nếu formula_105 là không gian tô pô và formula_21 là một điểm trong formula_107 thì tập tất cả các lân cận của formula_21 có thể biến đổi thành tập có hướng bằng cách viết formula_109 khi và chỉ khi formula_110 chứa formula_111 Với mọi formula_112 formula_113 và formula_114:
Tập hợp formula_128 chứa tất cả tập con hữu hạn của tập formula_78 là tập có hướng tương ứng với formula_77 bởi cho bất kỳ hai formula_131 hợp của chúng formula_132 là cận trên của formula_1 trong formula_134 in formula_135 Tập có hướng này được dùng để định nghĩa tổng formula_136 của chuỗi đã tổng quát của họ đánh chỉ số formula_78 của các số formula_138 (hoặc tổng quát hơn là, tổng của các phần tử trong một nhóm tô pô giao hoán, ví dụ như các vectơ trong không gian vectơ tô pô) là giới hạn của lưới các tổng riêng phần formula_139 nghĩa là:
formula_140
Trái với nửa dàn.
Tập có hướng là khái niệm tổng quát hơn so với nửa dàn (có nối): mọi nửa dàn có nối là tập có hướng, bởi nối hay cận trên nhỏ nhất của hai phần tử bất kỳ là phần tử formula_141 cần tìm. Tuy nhiên, cái ngược lại chưa chắc đã đúng, xét tập có hướng {1000,0001,1101,1011,1111} sắp thứ tự theo từng bit (ví dụ formula_142 đúng, nhưng formula_143 thì không, bởi bit cuối 1 &gt; 0), trong đó tập con {1000,0001} có ba cận trên nhưng không có cận trên , xem hình vẽ. (Đồng thời lưu ý rằng nếu bỏ 1111 đi, thì tập hợp này sẽ mất hướng)
Tập con có hướng.
Quan hệ thứ tự trong tập có hướng không được yêu cầu là phải phản đối xứng, và do vậy tập có hướng không nhất thiết phải là sắp thứ tự riêng phần. Song, thuật ngữ được dùng nhiều trong ngữ cảnh của tập sắp thứ tự riêng phần. Trong bối cảnh này, tập con formula_1 của tập sắp thứ tự riêng phần formula_145 được gọi là tập con có hướng nếu nó là tập có hướng theo cùng thứ tự riêng phần đó: nói cách khác, nó không phải tập rỗng, và mỗi cặp hai phần tử phải cận trên. Ở đây, vì quan hệ thứ tự trên formula_1 lấy từ formula_147; nên không cần phải nhắc đến tính phản xạ và bắc cầu.
Tập con có hướng của tập sắp thứ tự riêng phần không nhất thiết phải đóng dưới; Tập con của tập sắp thứ tự riêng phần là tập có hướng khi và chỉ khi bao đóng xuống của nó là ideal. Trong khi định nghĩa (trong bài này) là cho tập "hướng lên", ta cũng có thể định nghĩa một tập hướng dưới sao cho mọi cặp phần tử đều có chung một cận dưới. Tập con của tập sắp thứ tự riêng phần là tập hướng xuống khi và chỉ khi bao đóng trên của nó là một bộ lọc.
Tập có hướng cũng được dùng trong lý thuyết miền, dùng để nghiên cứu các thứ tự riêng phần đầy đủ có hướng. Đây là các tập hợp sắp thứ tự riêng phần trong đó mỗi tập hướng lên được yêu cầu phải có cận trên nhỏ nhất.