Ma trận chéo hóa được

Trong đại số tuyến tính, một ma trận vuông formula_1 được gọi là chéo hóa được hay không khiếm khuyết nếu nó đồng dạng với một ma trận đường chéo, tức là tồn tại một ma trận khả nghịch formula_2 và một ma trận đường chéo formula_3 sao cho formula_4, hay tương đương là formula_5. (Các formula_6 như vậy không phải duy nhất.) Cho một không gian vectơ hữu hạn chiều formula_7, biến đổi tuyến tính formula_8 được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại một cơ sở có thứ tự của formula_7 gồm các vectơ riêng của formula_10. Các định nghĩa trên là tương đương: nếu formula_10 có biểu diễn ma trận formula_5 như trên thì các vectơ cột của formula_2 tạo thành một cơ sở cho tất cả vectơ riêng của formula_10, và các phần tử trên đường chéo của ma trận formula_3 là các giá trị riêng tương ứng của formula_10; hay đối với cơ sở vectơ riêng này, ma trận formula_1 được biểu diễn bởi formula_3.
Nói một cách hình học, một ma trận chéo hóa được là một phép giãn không đồng nhất (hay phép co giãn "dị hướng") vì nó co giãn từng vectơ trong không gian giống như "phép giãn đồng nhất" nhưng với hệ số khác theo mỗi trục vectơ riêng, hệ số đó được cho bởi giá trị riêng tương ứng.
Chéo hóa là quá trình tìm các ma trận formula_2 và formula_3 trên. Các ma trận và biến đổi chéo hóa được rất dễ tính toán, sau khi đã tìm được các giá trị riêng và vectơ riêng của chúng. Ta có thể đưa một ma trận chéo formula_3 nâng lên lũy thừa bậc bất kỳ bằng cách lấy lũy thừa bậc đó trên từng phần tử trên đường chéo, và định thức của một ma trận chéo đơn giản là bằng tích của các phần tử trên đường chéo, những tính toán như vậy cũng dễ dàng được thực hiện tổng quát với formula_22.
Một ma trận vuông mà không chéo hóa được thì được gọi là "khiếm khuyết." Có thể xảy ra trường hợp một ma trận formula_1 có các phần tử số thực khiếm khuyết trên trường số thực, nghĩa là không thể có ma trận formula_2 khả nghịch và formula_3 chéo với các phần tử số thực sao cho formula_5, nhưng lại có thể có với các phần tử số phức, sao cho formula_1 là chéo hóa được trên trường số phức. Chẳng hạn, đây là trường hợp của ma trận phép quay thông thường.
Định nghĩa.
Một ma trận vuông formula_1 cỡ formula_29 trên một trường formula_30 được gọi là chéo hóa được hay không khiếm khuyết nếu tồn tại một ma trận khả nghịch formula_2 sao cho formula_32 là một ma trận đường chéo. Một cách chính tắc,
Đặc tính.
Một kết quả cơ bản về các ma trận và biến đổi chéo hóa được được trình bày sau đây:
Một đặc tính nâng cao khác: Một ma trận hay biến đổi tuyến tính chéo hóa được trên trường formula_30 khi và chỉ khi đa thức tối tiểu của nó là một tích của các nhân tử tuyến tính phân biệt trên formula_30. (Nói cách khác, một ma trận là chéo hóa được khi và chỉ khi tất cả các ước nguyên sơ của nó là tuyến tính.)
Điều kiện đủ (nhưng chưa cần) sau đây rất hữu dụng.Cho formula_1 là một ma trận trên formula_30. Nếu formula_1 chéo hóa được thì các lũy thừa bậc bất kỳ của nó cũng vậy.
Nhiều kết quả cho các ma trận chéo hóa được chỉ đúng trên một trường đại số đóng (ví dụ như trường số phức). Trong trường hợp này, tập các ma trận chéo hóa được là trù mật trong không gian các ma trận, nghĩa là mỗi ma trận khiếm khuyết có thể biến thành ma trận chéo hóa được do một nhiễu loạn nhỏ; và định lý dạng chuẩn tắc Jordan phát biểu rằng mỗi ma trận là tổng duy nhất của một ma trận chéo hóa được và một ma trận lũy linh. Trên một trường đại số đóng, các ma trận chéo hóa được tương đương với các ma trận nửa đơn.
Chéo hóa.
Nếu một ma trận formula_1 chéo hóa được, tức là
thì:
Viết formula_2 dưới dạng ma trận khối gồm các vectơ cột của nó formula_59
phương trình trên có thể được viết lại dưới dạng
Vì vậy các vectơ cột của formula_2 là các vectơ riêng bên phải của formula_1 (còn các vectơ hàng của formula_64 là các vectơ riêng bên trái), và các giá trị trên đường chéo tương ứng với các giá trị riêng của chúng. Từ sự khả nghịch của formula_2 cũng có thể thấy rằng các vectơ riêng là độc lập tuyến tính và tạo thành một cơ sở của formula_66. Đây là điều kiện cần và đủ cho sự chéo hóa được và là cách tiếp cận chính tắc của việc chéo hóa: tức là ta biểu diễn formula_1 đối với cơ sở riêng của nó.
Khi một ma trận phức formula_68 là ma trận Hermite (hay tổng quát hơn, là ma trận chuẩn tắc), các vectơ riêng của formula_1 có thể được chọn để tạo ra một cơ sở trực chuẩn của formula_70, khi đó formula_2 có thể được chọn là ma trận unita. Ngoài ra nếu formula_72 là một ma trận đối xứng thực thì các vectơ riêng của nó có thể được chọn là một cơ sở trực chuẩn của formula_73 và formula_2 có thể được chọn là ma trận trực giao.
Đối với hầu hết các mục đích thực tiễn, các ma trận được chéo hóa bằng số nhờ sử dụng các phần mềm máy tính. Nhiều thuật toán đã ra đời để thực hiện điều này.
Chéo hóa đồng thời.
Một tập hợp các ma trận được gọi là "chéo hóa được đồng thời" nếu tồn tại duy nhất một ma trận khả nghịch formula_2 sao cho formula_32 là ma trận chéo đối với mọi ma trận formula_1 trong tập. Định lý sau đây đặc trưng cho các ma trận chéo hóa được đồng thời: Một tập hợp các ma trận chéo hóa được giao hoán khi và chỉ khi tập hợp ma trận đó chéo hóa được đồng thời.
Tập hợp các ma trận formula_29 chéo hóa được (trên formula_79) với formula_80 không chéo hóa được đồng thời. Lấy ví dụ, hai ma trận
đều chéo hóa được nhưng không chéo hóa được đồng thời vì chúng không giao hoán.
Một tập hợp chứa các ma trận chuẩn tắc giao hoán khi và chỉ khi nó chéo hóa được đồng thời bởi một ma trận unita; tức là tồn tại một ma trận unita formula_82 sao cho formula_83 là ma trận chéo với mọi formula_1 trong tập hợp.
Ví dụ.
Ma trận không chéo hóa được.
Ma trận của phép quay nói chung là không chéo hóa được trên trường số thực nhưng có thể trên trường số phức.
Một số ma trận không thể chéo hóa được trên bất kỳ trường nào, đáng chú ý nhất là các ma trận lũy linh khác không. Điều này thường xảy ra hơn nếu số bội đại số và số bội hình học của một giá trị riêng không bằng nhau.
Tuy nhiên, ngay cả khi một ma trận không chéo hóa được, ta vẫn luôn có thể thay vào đó tìm dạng chuẩn tắc Jordan của nó.
Một vài ma trận thực không chéo hóa được trên trường số thực. Xét ví dụ ma trận đối xứng chéo sau
Ma trận formula_91 không có giá trị riêng thực, vì vậy không tồn tại ma trận khả nghịch thực formula_87 sao cho formula_93 là ma trận đường chéo. Tuy nhiên, ta có thể chéo hóa formula_91 nếu cho phép dùng số phức. Thật vậy nếu ta chọn
thì formula_93 là ma trận đường chéo. Dễ tìm ra rằng B là ma trận của phép quay ngược chiều kim đồng hồ một góc formula_97.
Cách chéo hóa một ma trận.
Chéo hóa ma trận là quá trình tương tự việc tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của nó, trong trường hợp các vectơ riêng tạo thành cơ sở. Ví dụ, xét ma trận
Các nghiệm của đa thức đặc trưng formula_99 là các giá trị riêng formula_100. Giải hệ tuyến tính formula_101 ta có các vectơ riêng formula_102 và formula_103, trong khi hệ formula_104 cho formula_105; tức là formula_106 với formula_107. Các vectơ trên tạo thành một cơ sở của formula_108, vì vậy ta có thể đặt chúng vào các vectơ cột của một ma trận chuyển cơ sở formula_2 để có:formula_110Ta có thể hiểu phương trình này theo các biến đổi tuyến tính: formula_2 chuyển cơ sở chuẩn tắc sang cơ sở riêng: formula_112, vì thế ta có:formula_113sao cho ma trận formula_40 nhận các vectơ cơ sở chuẩn tắc là các vectơ riêng của nó, đây là tính chất định nghĩa của ma trận formula_3.
Chú ý rằng không có thứ tự ưu tiên nào đối với các cột vectơ riêng trong formula_2; việc đổi chỗ các vectơ riêng trong formula_2 chỉ làm thay đổi thứ tự của các giá trị riêng trong dạng chéo của formula_1.
Áp dụng vào hàm ma trận.
Chéo hóa có thể được sử dụng để tính toán hiệu quả lũy thừa của một ma trận formula_22:
dạng này rất dễ tính toán bởi nó chỉ liên quan đến việc tính lũy thừa của một ma trận chéo. Ví dụ với ma trận formula_1 với các giá trị riêng formula_122 ở ví dụ trên ta tính:
Tiếp cận này có thể được tổng quát hóa lên với hàm mũ ma trận và các hàm ma trận khác mà có thể được định nghĩa theo chuỗi lũy thừa. Ví dụ, định nghĩa hàm formula_124, ta có:
Điều này đặc biệt hữu ích trong việc tìm tường minh biểu thức dạng đóng cho các số hạng của các dãy số đệ quy tuyến tính, ví dụ như các số Fibonacci.
Một áp dụng cụ thể.
Ví dụ, xét ma trận sau:
Tính các lũy thừa của formula_127 cho thấy một quy luật thú vị:
Hiện tượng trên có thể được giải thích bằng cách việc chéo hóa formula_127. Để thực hiện điều này, ta cần một cơ sở của formula_130 gồm các vectơ riêng của formula_127. Một cơ sở vectơ riêng như vậy được cho bởi
trong đó e"i" ký hiệu cho cơ sở chuẩn tắc của R"n". Phép chuyển cơ sở nghịch đảo được cho bởi
Tính toán trực tiếp cho thấy
Vì vậy, "a" và "b" là các giá trị riêng tương ứng với u và v. Bởi tính tuyến tính của phép nhân ma trận ta có
Chuyển trở lại cơ sở chuẩn tắc ta có
Các liên hệ trên được thể hiện dưới dạng ma trận là
vì thế ta đã giải thích được hiện tượng trên.
Chéo hóa trong cơ học lượng tử.
Trong các tính toán của cơ học lượng tử và hóa lượng tử, chéo hóa ma trận là một trong những quy trình số thường được áp dụng nhất. Lý do cơ bản là do phương trình không phụ thuộc thời gian Schrödinger là một phương trình giá trị riêng, mặc dù nó là trên một không gian vô hạn chiều (một không gian Hilbert) trong hầu hết các tình huống vật lý.
Một phép xấp xỉ phổ biến là hiệu chỉnh không gian Hilbert về số chiều hữu hạn, sau đó phương trình Schrödinger có thể được trình bày dưới dạng một bài toán giá trị riêng của một ma trận thực đối xứng hoặc một ma trận phức Hermite. Về mặt hình thức, xấp xỉ này được thiết lập dựa trên nguyên lý biến phân, phù hợp với các Hamiltonian bị chặn dưới.
Lý thuyết nhiễu loạn bậc một cũng dẫn đến một bài toán giá trị riêng ma trận cho các trạng thái suy biến.