Định lý về hạng

Định lý về hạng (còn gọi là định lý về hạng và số vô hiệu, định lý về số chiều) là một trong những định lý cơ bản của đại số tuyến tính. Định lý phát biểu rằng, đối với một ánh xạ tuyến tính thì tổng của hạng (số chiều của ảnh) và "số vô hiệu" (số chiều của hạt nhân) bằng số chiều của miền xác định của nó.
Phát biểu định lý.
Cho formula_1, formula_2 là các không gian vectơ, trong đó formula_1 hữu hạn chiều. Cho formula_4 là một biến đổi tuyến tính. Ta có
trong đó "Rank" là hạng của phép biến đổi, còn "Nullity" là số vô hiệu tức là số chiều của hạt nhân của phép biến đổi.
Dựa vào bổ đề tách, ta có thể phát biểu định lý này dưới dạng một mệnh đề về sự đẳng cấu giữa các không gian, chứ không chỉ riêng về số chiều của chúng. Một cách rõ ràng, vì ánh xạ tạo ra một đẳng cấu từ không gian thương formula_8 vào không gian formula_9 nên từ sự tồn tại một cơ sở của có thể suy ra từ bổ đề tách rằng formula_10. Chuyển sang số chiều, ta có định lý về hạng.
Ma trận.
Vì formula_11 nên ta nghĩ ngay đến ma trận khi nói về ánh xạ tuyến tính. Với trường hợp một ma trận formula_12, số chiều của miền xác định là formula_13, cũng là số cột của ma trận. Vì thế đẳng thức của định lý về hạng đối với một ma trận formula_14 cho trước trở thành
Chứng minh.
Ở đây trình bày hai chứng minh. Chứng minh đầu tiên là đối với trường hợp tổng quát, sử dụng ánh xạ tuyến tính. Chứng minh thứ hai xét hệ tuyến tính đồng nhất formula_16 trong đó ma trận formula_17 có hạng formula_18 và chứng tỏ tồn tại một tập hợp gồm đúng formula_19 các nghiệm độc lập tuyến tính và span hạt nhân của formula_20.
Trong khi định lý yêu cầu miền xác định của ánh xạ tuyến tính phải là hữu hạn chiều, đối với miền giá trị lại không có yêu cầu như vậy. Điều này có nghĩa là có những ánh xạ tuyến tính thỏa mãn định lý nhưng không được cho bởi các ma trận. Tuy nhiên, chứng minh thứ nhất thực ra không tổng quát hơn chứng minh thứ hai: bởi vì ảnh của ánh xạ tuyến tính là hữu hạn chiều, chúng ta có thể biểu diễn được ánh xạ đó từ miền xác định vào ảnh bằng một ma trận, sau đó chứng minh định lý đối với ma trận đó, cuối cùng đưa ảnh vào tập đích đầy đủ.
Chứng minh thứ nhất.
Cho formula_21 là các không gian vectơ trên một trường formula_22 và biến đổi formula_23 được định nghĩa như phát biểu của định lý với formula_24.
Vì formula_25 là một không gian con của formula_1 nên tồn tại một cơ sở. Giả sử formula_27 và gọi
là cơ sở của nó. Bây giờ theo bổ đề trao đổi Steinitz ta có thể mở rộng cơ sở formula_29 bằng cách bổ sung thêm vào formula_30 vectơ độc lập tuyến tính formula_31 để có một cơ sở đầy đủ của formula_1. Đặt
sao cho
là một cơ sở của formula_1. Từ đây, ta có
Ta chứng minh rằng hệ formula_37 là một cơ sở của formula_38. Từ đẳng thức trên ta có formula_37 là hệ sinh của formula_38; việc còn lại là chứng tỏ hệ vectơ trên là độc lập tuyến tính để kết luận rằng nó là cơ sở.
Giả sử hệ formula_37 không độc lập tuyến tính, và cho rằng
Do đó, nhờ tính tuyến tính của formula_23, từ đây suy ra rằng
Điều này mâu thuẫn với formula_46 là một cơ sở, trừ khi tất cả các hệ số formula_47 đều bằng 0. Ta suy ra hệ formula_37 phải là độc lập tuyến tính, và hơn nữa hệ này là cơ sở của formula_49.
Nói tóm lại, ta có hệ formula_29 là cơ sở của formula_51, và hệ formula_37 là cơ sở của formula_49.
Cuối cùng ta có thể khẳng định rằng
Ta có điều phải chứng minh.
Chứng minh thứ hai.
Cho ma trận formula_17 với formula_18 cột độc lập tuyến tính (nói cách khác formula_57). Để có định lý ta sẽ chứng tỏ rằng:Để bắt đầu ta sẽ xây dựng một ma trận formula_58 với các cột tạo thành một cơ sở cho không gian hạt nhân của formula_20.
Không mất tính tổng quát, giả thiết rằng formula_18 cột đầu tiên của formula_20 là độc lập tuyến tính. Vì vậy ta có thể biểu diễn
trong đó
Điều này có nghĩa là formula_68 với một ma trận formula_69 (xem bài phân tích hạng) và vì thế,
Đặt
trong đó formula_72 là ma trận đơn vị formula_73. Lưu ý rằng formula_58 thỏa mãn
Vì vậy, mỗi cột trong số formula_19 cột của formula_77 là các nghiệm của hệ formula_78.
Hơn nữa, formula_19 cột của formula_77 là độc lập tuyến tính bởi vì formula_81 suy ra formula_82 với vectơ formula_83 gồm các hệ số:
Vì vậy, các vectơ cột của formula_77 tạo thành một tập hợp gồm formula_19 nghiệm độc lập tuyến tính của hệ formula_78.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh một nghiệm "bất kỳ" của hệ formula_78 phải là một tổ hợp tuyến tính của các cột trong formula_77.
Để có điều này, cho
là một vectơ bất kỳ sao cho formula_91. Lưu ý rằng bởi vì các cột của formula_67 là độc lập tuyến tính nên formula_93 dẫn đến formula_94.
Vì vậy,
Điều này cho thấy một vectơ formula_97 là nghiệm của formula_16 cũng phải là một tổ hợp tuyến tính của formula_19 các nghiệm đặc biệt cho bởi các cột của formula_77. Mà ta đã chứng minh rằng các cột của formula_77 là độc lập tuyến tính. Vì thế các cột của formula_77 tạo ra một cơ sở cho không gian hạt nhân của ma trận formula_20. Vậy số chiều hạt nhân, hay số vô hiệu của formula_20 là formula_19. Vì formula_18 bằng hạng của formula_20, ta suy ra formula_108. Đến đây ta kết thúc chứng minh.