Dấu hiệu hội tụ

Trong toán học, các dấu hiệu hội tụ (hay tiêu chuẩn hội tụ) là các phương pháp kiểm tra sự hội tụ, hội tụ có điều kiện, hội tụ tuyệt đối, khoảng hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn formula_1.
Danh sách các dấu hiệu hội tụ.
Giới hạn của các số hạng.
Nếu giới hạn của dãy các số hạng của chuỗi là không xác định hoặc khác 0, tức là formula_2 thì chuỗi phải là phân kỳ. Theo nghĩa này, dãy các tổng riêng là Cauchy chỉ khi giới hạn này là tồn tại và bằng 0. Tuy nhiên, dấu hiệu này không chỉ ra một chuỗi có hội tụ hay không nếu thỏa mãn giới hạn của các số hạng bằng 0.
Dấu hiệu tỉ số.
Dấu hiệu này còn được gọi là tiêu chuẩn d'Alembert.
Dấu hiệu căn.
Dấu hiệu này còn được gọi là dấu hiệu căn bậc "n" hay tiêu chuẩn căn Cauchy.
Dấu hiệu căn là mạnh hơn dấu hiệu tỉ số: trong khi dấu hiệu tỉ số có thể xác định sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi vô hạn thì dấu hiệu căn cũng xác định được, nhưng đảo lại không đúng. Ví dụ, với chuỗi
sự hội tụ được suy ra từ dấu hiệu căn nhưng dấu hiệu tỉ số lại không kết luận được.
Tiêu chuẩn tích phân.
Chuỗi có thể được so sánh với một tích phân để xét sự hội tụ hay phân kỳ. Cho formula_8 là một hàm số không âm và đơn điệu giảm sao cho formula_9. Nếu tích phân vô địnhformula_10thì chuỗi hội tụ. Nhưng nếu tích phân trên là phân kỳ thì chuỗi cũng phân kỳ. Nói cách khác chuỗi formula_11 hội tụ khi và chỉ khi tích phân hội tụ.
Dấu hiệu p-chuỗi.
Một hệ quả thường được sử dụng của tiêu chuẩn tích phân là dấu hiệu p-chuỗi. Cho số formula_12. Vậy thì chuỗi formula_13 hội tụ khi và chỉ khi formula_14.
Trường hợp formula_15 ta có chuỗi điều hòa, là một chuỗi phân kỳ. Trường hợp formula_16 là bài toán Basel và chuỗi hội tụ đến formula_17. Tổng quát, với formula_18, chuỗi bằng hàm zeta Riemann áp dụng với formula_19 tức là formula_20.
Tiêu chuẩn so sánh trực tiếp.
Nếu chuỗi formula_21 là một chuỗi hội tụ tuyệt đối và các số hạng formula_22 với "n" đủ lớn, thì chuỗi formula_1 cũng hội tụ tuyệt đối.
Tiêu chuẩn so sánh giới hạn.
Nếu formula_24, (tức là mỗi phần tử của hai dãy là dương) và giới hạn formula_25 tồn tại, hữu hạn và khác 0 thì formula_1 phân kỳ khi và chỉ khi formula_21 phân kỳ.
Nói cách khác, các chuỗi trên là cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Tiêu chuẩn Cauchy cô đọng.
Cho formula_28 là một dãy dương không tăng. Vậy thì tổng vô hạn formula_29 hội tụ khi và chỉ khi tổng formula_30 hội tụ. Hơn nữa, nếu chúng hội tụ thì bất đẳng thức formula_31 được thỏa mãn.
Dấu hiệu hội tụ tuyệt đối.
Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối thì đều hội tụ.
Tiêu chuẩn hội tụ cho chuỗi đan dấu.
Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Vậy formula_34 và formula_35 là các chuỗi hội tụ. Tiêu chuẩn này còn được gọi là tiêu chuẩn Leibniz.
Dấu hiệu Abel.
Giả thiết rằng các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
Vậy thì chuỗi formula_39 cũng hội tụ.
Dấu hiệu Dirichlet.
Nếu formula_40 là một dãy số thực và formula_41 là một dãy số phức thỏa mãn
trong đó "M" là một hằng số, thì chuỗi
hội tụ.
Dấu hiệu hội tụ Raabe–Duhamel.
Cho dãy formula_46.
Định nghĩa dãy
Nếu giới hạn
tồn tại thì có ba khả năng:
Một công thức khác của dấu hiệu này như sau. Cho Σ là một chuỗi số thực. Vậy thì nếu "b" &gt; 1 và tồn tại một số tự nhiên "K" sao cho
với mọi "n" &gt; "K" thì chuỗi Σ"an" hội tụ.
Dấu hiệu Bertrand.
Cho { "an" } là một dãy số dương.
Định nghĩa
Nếu tồn tại giới hạn
thì có ba khả năng:
Dấu hiệu Gauss.
Cho { "an" } là một dãy số dương. Nếu formula_52 với một số β &gt; 1, thì formula_53 hội tụ nếu và phân kỳ nếu .
Thí dụ.
Xét chuỗi
formula_54
Theo tiêu chuẩn Cauchy cô đọng, (*) hội tụ hữu hạn khi
cũng hội tụ hữu hạn. Bởi
(**) là một chuỗi hình học với công bội formula_57. (**) hội tụ hữu hạn khi công bội của nó nhỏ hơn 1 (tức là formula_58). Vì thế, (*) hội tụ hữu hạn khi và chỉ khi formula_59.
Sự hội tụ của tích.
Trong khi hầu hết các dấu hiệu đề cập đến sự hội tụ của các chuỗi vô hạn, chúng cũng có thể được sử dụng để cho thấy sự hội tụ hay phân kỳ của các tích vô hạn. Điều này có được là do định lý sau: Cho formula_60 là một dãy số dương. Vậy thì tích vô hạn formula_61 hội tụ khi và chỉ khi chuỗi formula_1 hội tụ. Và tương tự, nếu thỏa mãn formula_63, thì formula_64 tiến đến một giới hạn khác 0 khi và chỉ khi chuỗi formula_1 hội tụ.
Có thể chứng minh điều đó bằng cách lấy logarit của tích và dùng dấu hiệu so sánh giới hạn.