Nhóm trực giao

Trong toán học, nhóm trực giao với số chiều formula_1, được ký hiệu là formula_2, là nhóm gồm các phép biến đổi bảo toàn khoảng cách trong một không gian Euclid formula_1 chiều bảo toàn một điểm cố định, với phép toán nhóm được cho bởi phép hợp ánh xạ. Một định nghĩa tương đương, đó là nhóm các ma trận trực giao kích cỡ formula_4, và phép toán nhóm được cho bởi phép nhân ma trận (một ma trận trực giao là một ma trận thực mà nghịch đảo của nó cũng là chuyển vị). Nhóm trực giao đôi khi cũng được gọi là nhóm trực giao tổng quát, cách gọi này tương tự với nhóm tuyến tính tổng quát. Nhóm trực giao là một nhóm đại số, nhóm Lie và compact.
Nhóm trực giao với số chiều formula_1 gồm hai thành phần là các tập liên thông, trong đó tập hợp chứa phần tử đơn vị là một nhóm con chuẩn tắc, được gọi là nhóm trực giao đặc biệt, và được ký hiệu là formula_6. Nó gồm tất cả các ma trận trực giao với định thức bằng 1. Nhóm này còn được gọi là nhóm quay, tổng quát hóa cho điều rằng số chiều 2 và 3, các phần tử của nó là các phép quay quanh một điểm cố định (đối với 2 chiều) hoặc quanh một đường thẳng (đối với 3 chiều). Trong các số chiều thấp, những nhóm này đã được nghiên cứu rộng rãi, bao gồm , và . Tập hợp còn lại chứa các ma trận trực giao có định thức bằng . Thành phần này không lập thành một nhóm, bởi tích của hai phần tử bất kỳ của nó sẽ có định thức bằng 1, và do đó không phải là một phần tử của tập hợp này.
Một cách mở rộng, đối với một trường bất kỳ formula_7, một ma trận formula_4 với các phần tử trong formula_7 sao cho nghịch đảo của nó bằng chuyển vị được gọi là một "ma trận trực giao trên trường" formula_7. Các ma trận trực giao formula_4 lập thành một nhóm con, được ký hiệu là formula_12, thuộc nhóm tuyến tính tổng quát formula_13; tức làformula_14Khái quát hơn, cho một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến hay một dạng toàn phương trên một không gian vectơ trên một trường, "nhóm trực giao của dạng" là một nhóm các ánh xạ tuyến tính khả nghịch bảo toàn dạng. Nhóm trực giao trước là trường hợp đặc biệt mà trong đó, trên một số cơ sở, dạng song tuyến tính là tích vô hướng, hay một cách tương đương, dạng toàn phương là tổng bình phương của các tọa độ.
Tất cả các nhóm trực giao đều là nhóm đại số, bởi vì điều kiện bảo toàn một dạng có thể được biểu diễn bằng một đẳng thức giữa các ma trận.
Tên gọi.
Tên gọi "nhóm trực giao" ("orthogonal group") bắt nguồn từ tính chất sau đây của các phần tử của nó. Cho một không gian vectơ Euclid formula_15 với số chiều formula_1, các phần tử của nhóm trực giao formula_2 là tương đương dưới phép phóng tỉ lệ đồng nhất (phép vị tự), các ánh xạ tuyến tính từ formula_15 vào chính formula_15 trong đó ảnh của các vectơ trực giao cũng là các vectơ trực giao.
Trong hình học Euclid.
Nhóm trực giao formula_2 là nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát formula_21, và bao gồm tất cả các tự đồng cấu bảo toàn chuẩn Euclid; tức là các tự đồng cấu formula_22 sao cho formula_23
Cho formula_24 là nhóm các phép đẳng cự Euclid của một không gian Euclid formula_25 với số chiều formula_1. Nhóm này không phụ thuộc vào cách chọn một không gian cụ thể, bởi mọi không gian Euclid cùng số chiều là đẳng cấu. Nhóm con ổn định hóa của một điểm formula_27 là nhóm con của các phần tử formula_28 sao cho formula_29. Nhóm ổn định hóa này đẳng cấu với formula_2, do sự lựa chọn một điểm làm gốc định ra một đẳng cấu giữa không gian vectơ Euclid và không gian vectơ Euclid tương ứng với nó.
Tồn tại một đồng cấu nhóm tự nhiên formula_31 từ formula_24 vào formula_2, được xác định bởi:
trong đó, như bình thường phép trừ giữa hai điểm thể hiện vectơ tịnh tiến ánh xạ điểm thứ hai vào điểm thứ nhất. Đây là một đồng cấu xác định tốt, bởi dễ dàng kiểm chứng được rằng nếu hai cặp điểm có cùng hiệu thì điều này cũng đúng với ảnh của chúng qua formula_22 (xem thêm không gian afin và các tiên đề Weyl).
Hạt nhân của formula_31 là không gian vectơ của các phép tịnh tiến. Do đó, phép tịnh tiến lập thành một nhóm con chuẩn tắc của formula_24, ổn định hóa của hai điểm là liên hợp dưới tác động của phép tịnh tiến, và tất cả ổn định hóa đều đẳng cấu với formula_2.
Hơn nữa, nhóm Euclid là một tích nửa trực tiếp của formula_2 và nhóm các phép tịnh tiến. Từ điều này suy ra rằng việc nghiên cứu nhóm Euclid được đơn giản hóa chủ yếu về nghiên cứu nhóm formula_2.
Nhóm trực giao đặc biệt.
Bằng cách chọn một cơ sở trực chuẩn của một không gian vectơ Euclid, nhóm trực giao có thể được đồng nhất (dưới phép nhân ma trận) với nhóm các ma trận trực giao, tức là các ma trận sao cho
Từ phương trình này có thể suy ra rằng bình phương định thức của bằng , và do đó định thức của là hoặc . Các ma trận trực giao có định thức bằng lập thành một nhóm con được gọi là "nhóm trực giao đặc biệt", ký hiệu là , bao gồm tất cả phép đẳng cự trực tiếp của , tức là các nhóm bảo toàn định hướng không gian.
Nhóm là nhóm Abel hay giao hoán, nhưng điều này không đúng với các nhóm với mọi . Các nhóm con hữu hạn của là nhóm cyclic của các đối xứng quay bậc, với mỗi số nguyên dương . Tất cả những nhóm này đều là những nhóm chuẩn tắc của và .
Dạng chuẩn tắc.
Với một phần tử bất kỳ của tồn tại một cơ sở trực giao, trong đó ma trận của nó có dạng
ở đây các ma trận đều là các ma trận quay 2×2, tức là các ma trận có dạng
với formula_44
Điều này được suy ra từ định lý phổ bằng cách nhóm các cặp giá trị riêng là liên hợp phức, và chú ý rằng trị tuyệt đối của các giá trị riêng của một ma trận trực giao đều bằng 1.
Một phần tử thuộc khi và chỉ khi có một số chẵn các số trên đường chéo chính.
Trường hợp đặc biệt với được biết với định lý quay Euler, khẳng định rằng mọi phần tử khác đơn vị của là một sự quay với một góc quanh một trục đơn nhất.
Phép phản xạ.
Phép phản xạ là những phần tử của có dạng chuẩn tắc là
trong đó là ma trận đơn vị , và các số 0 thể hiện các hàng hoặc các cột ma trận zero. Nói cách khác, một phép phản xạ là một phép biến hình biến đổi không gian thành ảnh gương của nó qua một siêu phẳng nào đó.
Trong không gian hai chiều, mỗi phép quay là tích của hai phép phản xạ. Nói chính xác hơn, một phép quay với góc "θ" là tích của hai phép phản xạ trong đó các trục tạo một góc "θ"/2.
Mỗi phần tử của là tích của tối đa phép phản xạ. Điều này được suy ra ngay từ dạng chuẩn tắc trên và trường hợp số chiều 2.
Định lý Cartan–Dieudonné là tổng quát hóa của kết quả này cho nhóm trực giao của một dạng toàn phương không suy biến trên một trường có đặc số khác 2.
Phép đối xứng tâm qua gốc tọa độ (ánh xạ ) là một ví dụ của một phần tử trong không là một tích của ít hơn phép phản xạ.
Nhóm đối xứng của mặt cầu.
Nhóm trực giao là nhóm đối xứng của -mặt cầu (với không gian chiều , đây chỉ là mặt cầu) và mọi đối tượng với đối xứng cầu, nếu gốc tọa độ được chọn làm tâm. Nhóm đối xứng của một đường tròn là . Nhóm con bảo toàn định hướng là đẳng cấu (dưới dạng nhóm Lie "thực") với nhóm đường tròn, còn được ký hiệu là , tức là nhóm nhân của các số phức với trị tuyệt đối bằng 1. Đẳng cấu này ánh xạ số phức với trị tuyệt đối  tới ma trận trực giao đặc biệt
Trong số chiều cao hơn, có một cấu trúc phức tạp hơn (chẳng hạn, nó không còn giao hoán). Các cấu trúc tô pô của -mặt cầu và có liên hệ chặt chẽ, và sự liên hệ này được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu cả hai không gian tô pô nói trên.
Cấu trúc nhóm.
Các nhóm và là các nhóm Lie compact thực với số chiều . Nhóm có hai thành phần liên thông, với là thành phần đơn vị, tức là thành phần liên thông chứa ma trận đơn vị.
Nhóm đại số.
Nhóm trực giao có thể được đồng nhất với nhóm các ma trận sao cho formula_47 Do cả hai vế của phương trình này đều là các ma trận đối xứng, điều này dẫn đến formula_48 phương trình mà các hệ số của một ma trận trực giao phải thỏa mãn, và không phải tất cả chúng đều được thỏa mãn bởi các hệ số của một ma trận không trực giao bất kỳ.
Điều này chứng tỏ rằng là một tập đại số. Hơn nữa, có thể chứng minh được rằng số chiều của nó là
điều này dẫn đến rằng là một phần giao hoàn chỉnh, tức là mọi thành phần bất khả quy của nó đều có cùng số chiều, và nó không có thành phần nhúng. Thật vậy, có hai thành phần bất khả quy được phân biệt bởi dấu của định thức (tức là hoặc ). Cả hai đều là đa tạp đại số không suy biến với cùng số chiều . Thành phần với là .