Cung (hình học)

Cung trong hình học (ký hiệu: ⌒) là đoạn đóng của một đường cong khả vi trong một đa tạp. Cung tròn là một phần của đường tròn hay là một phần của chu vi (biên) của hình tròn.
Nếu không có ghi chú gì khác thì cung trong bài viết này được hiểu là cung tròn, tức quỹ tích các điểm thuộc đường tròn nằm giữa hai điểm.
Độ dài cung tròn.
Độ dài cung tròn.
Độ dài cung tròn của đường tròn bán kính formula_1, chắn góc ở tâm formula_2 (đo bằng radian) được tính bằng công thức formula_3. Điều này là vì
tương đương
tương đương
Nếu số đo góc ở tâm là formula_7 độ thì sẽ có số đo bằng radian là:
Thế vào phương trình trên, thu được công thức tương đương
Một cách thực hành tính độ dài cung tròn là vẽ hai đoạn thẳng từ hai đầu mút giới hạn cung tròn đến tâm đường tròn, đo góc tạo bởi hai đoạn thẳng đó rồi từ đó nhân chéo để tính ra độ dài L:
Ví dụ: cho số đo góc là 60 độ, chu vi là 24 cm
Độ dài cung parabol.
Cho điểm X nằm trên đường parabol (có tiêu cự formula_13) và gọi formula_14 là khoảng cách vuông góc từ X đến trục đối xứng của parabol. Giả thiết formula_15 và formula_14 cùng đơn vị đo và gọi formula_17 là độ dài cung parabol tính từ X đến đỉnh của parabol thì formula_17 được tính như sau:
Từ đây suy ra độ dài cung parabol giới hạn bởi điểm X và điểm đối xứng của nó qua trục đối xứng của parabol là bằng formula_22.
Khoảng cách vuông góc formula_14 có thể mang giá trị đại số âm hoặc dương, ngụ ý điểm X nằm về bên nào của trục đối xứng. Khi đó nếu formula_24 và formula_17 cũng mang dấu thì độ dài cung giới hạn bởi hai điểm "bất kỳ" trên đường parabol luôn bằng với chênh lệch giữa hai giá trị formula_17 của chúng. Đơn giản hóa công thức bằng các dùng các tính chất của hàm lô-ga-rít, thu được:
Công thức này có thể hữu ích khi muốn tính kích thước vật liệu cần thiết để làm ra gương phản xạ parabol hoặc chảo gương parabol.
Cách tính này có thể dùng trong mọi trường hợp parabol chứ không chỉ giới hạn trong trường hợp trục đối xứng của đường parabol nằm song song với trục y.
Diện tích hình quạt tròn.
Diện tích phần giới hạn bởi cung tròn và tâm đường tròn (tức hình quạt tròn) là:
Chia hai vế cho formula_29
Tỷ lệ giữa diện tích formula_30 và diện tích phần giới hạn trong đường tròn bằng với tỷ lệ giữa số đo góc formula_31 và số đo góc cả đường tròn
Giản lược formula_33 ở cả hai vế
Nhân hai vế với formula_35, thu được
Tương tự phần trên, công thức tương đương nếu số đo góc đo bằng độ: 
Gọi l là độ dài cung tròn formula_38 khi đó công thức trên trở thành formula_39
Diện tích hình viên phân.
Hình được giới hạn bởi cung tròn và dây căng cung được gọi là hình viên phân. Diện tích của hình này:
Để tính diện tích hình viên phân, cần lấy diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi dây cung và hai bán kính trừ đi diện tích hình tam giác tạo bởi tâm đường tròn và hai điểm mút của dây cung.
Bán kính cung tròn.
Có thể tính được bán kính formula_1 của đường tròn nếu biết chiều cao formula_42 và chiều rộng formula_43 của cung tròn qua việc áp dụng định lý dây cung giao cắt (còn gọi là định lý cát tuyến tiếp tuyến):
Xét dây trương cung của một cung tròn, tạm gọi là dây cung số 1. Đường trung trực của nó là một dây cung khác và là đường kính hình tròn, tạm gọi là dây cung số 2. Dây cung số 1 có độ dài là formula_43 và được dây cung số 2 chia làm hai nửa bằng nhau; mỗi phần có độ dài là formula_45. Dây cung số 2 có độ dài formula_46 và được dây cung số 1 chia làm hai phần: một phần gọi là chiều cao cung tròn, ký hiệu là formula_42; phần còn lại có độ dài là formula_48. Áp dụng định lý dây cung giao cắt:
suy ra:
do đó: