Tập sinh của nhóm

Trong đại số trừu tượng, tập sinh của nhóm là tập hợp con của nhóm sao cho mỗi phần tử của nhóm có thể biểu diễn thành tích của hữu hạn các phần tử (và các nghịch đảo của phần tử) trong tập con.
Nói cách khác, nếu "S" là tập con của nhóm "G", thì , "nhóm con sinh bởi S", là nhóm con nhỏ nhất của "G" chứa mọi phần tử thuộc "S", tương đương với giao của tất cả các nhóm con chứa phần tử của "S"; hoặc, là nhóm con của tất cả các phần tử thuộc "G" có thể biểu diễn thành tích của hữu hạn các phần tử thuộc "S" và nghịch đảo của chúng. (Trường hợp nghịch đảo chỉ cần thiết nếu nhóm đang xét vô hạn, trong trường hợp nhóm hữu hạn, nghịch đảo của phần tử có thể biểu diễn thành lũy thừa của phần tử đó.)
Nếu "G" = , thì ta có thể nói "S" "sinh" "G", và các phần tử thuộc "S" được gọi là "phần tử sinh" hoặc "phần tử sinh nhóm". Nếu "S" là tập rỗng, thì là nhóm tầm thường {"e"}, bởi ta thường xét tích rỗng là phần tử đơn vị.
Khi chỉ có duy nhất một phần tử "x" thuộc "S", thường được viết là . Trong trường hợp này, được gọi là "nhóm con cyclic" chứa các lũy thừa của "x", hay gọi ngắn đi là nhóm cyclic, và ta nói nhóm này được sinh bởi "x". Một cách nói tương đương là: Phần tử "x" sinh nhóm "G" thì tương đương với bằng với nhóm "G". Trong nhóm hữu hạn, ta cũng có thể nói "x" có cấp bằng với |"G"|.
Nhóm có thể có vô hạn các phần tử sinh. Lấy ví dụ chẳng hạn nhóm cộng tính của các số hữu tỉ Q không hữu hạn sinh. Nhóm được sinh bởi nghịch đảo của tất cả các số nguyên, và chỉ cần bỏ đi một phần tử thì tập đó sẽ không sinh được toàn bộ nhóm Q.
Nếu "G" là nhóm tô pô thì tập con "S" của "G" được gọi là tập các "phần tử sinh tô pô" nếu trù mật trong "G", tức là bao đóng của là toàn bộ nhóm "G".
Nhóm hữu hạn sinh.
Nếu "S" hữu hạn, thì nhóm được gọi là "nhóm hữu hạn sinh". Cấu trúc của các nhóm giao hoán hữu hạn sinh thường là các ví dụ dễ tiếp cập nhất. Có nhiều định lý chỉ đúng cho nhóm hữu hạn sinh chứ không phải cho trường hợp nhóm tổng quát. Hiện ta đã chứng minh được nếu một nhóm hữu hạn được sinh bởi tập con S thì mỗi phần tử trong nhóm có thể biểu diễn thành từ từ bảng chữ cái S, từ đó sẽ có độ dài nhỏ hơn hoặc bằng cấp của nhóm.
Mọi nhóm hữu hạn đều là hữu hạn sinh bởi . Tập số nguyên cùng phép cộng là ví dụ của nhóm vô hạn nhưng là nhóm hữu hạn sinh, nhóm này được sinh bởi 1 và −1. Mặt khác, nhóm các số hữu tỉ cùng phép cộng không phải là nhóm hữu hạn sinh. Không có nhóm không đếm được nào là nhóm hữu hạn sinh cả. Ví dụ về nhóm không đếm được bao gồm nhóm các số thực cùng phép cộng (R, +).
Các tập con khác nhau có thể làm các tập sinh. Lấy ví dụ, nếu "p" và "q" là hai số nguyên thỏa mãn , thì sẽ sinh nhóm các số nguyên dưới phép cộng theo bổ đề Bézout.
Mặc dù đúng rằng thương của nhóm hữu hạn sinh cũng là nhóm hữu hạn sinh (ảnh các phần tử sinh trong nhóm thương sẽ sinh ra nhóm hữu hạn sinh), nhóm con của nhóm hữu hạn sinh không nhất thiết cũng phải hữu hạn sinh. Ví dụ như sau: Gọi "G" là nhóm tự do được sinh bởi hai phần tử "x" và "y" (do đó "G" là nhóm hữu hạn sinh, bởi "G" = ), và gọi "S" là tập con của "G" chứa mọi phần tử dưới dạng "y""n""xy"−"n" với "n" là số tự nhiên. đẳng cấu với nhóm có vô hạn và đếm được số phần tử sinh, do đó nhóm này không thể hữu hạn sinh. Tuy nhiên nếu nhóm mẹ có tính giao hoán thì mọi nhóm con của nhóm giao hoán hữu hạn sinh cũng sẽ hữu hạn sinh. Ngoài ra: Lớp các nhóm hữu hạn sinh còn được đóng dưới mở rộng nhóm. Để chứng minh, xét tập sinh cho nhóm con chuẩn tắc hữu hạn sinh và nhóm thương hữu hạn sinh, khi đó các phần tử sinh nhóm con chuẩn tắc cùng với tiền ảnh của các phần tử sinh nhóm thương sẽ sinh ra nhóm.
Nhóm tự do.
Nhóm thường được hay sinh bởi "S" là nhóm tự do sinh bởi "S". Mọi nhóm sinh bởi S đều đẳng cấu với thương của chính nhóm đó.
Nhóm con Frattini.
Một chủ đề khác cũng được quan tâm tới là các "phần tử không sinh". Phần tử "x" thuộc nhóm "G" không sinh nếu mọi tập "S" chứa "x" sinh ra "G", vẫn sinh ra "G" khi bỏ "x" khỏi tập "S". Trong tập các số nguyên cùng phép cộng, phần tử duy nhất không sinh là số 0. Tập các phần tử không sinh tạo thành nhóm con của "G", còn được gọi là nhóm con Frattini.
Nửa nhóm và Monoid.
Nếu "G" là nửa nhóm hoặc monoid, thì ta vẫn có thể dùng thuật ngữ tập sinh "S" của "G". "S" là tập sinh nửa nhóm/monoid "G" nếu "G" là nửa nhóm/monoid nhỏ nhất chứa "S".
Định nghĩa cho nhóm sử dụng tổng hữu hạn ở trên cần phải đổi một chút khi chuyển sang xét với nửa nhóm hoặc monoid. Điều kiện phần tử nghịch đảo không còn cần thiết khi xét nửa nhóm hoặc monoid nữa. Tập "S" được gọi là tập sinh nửa nhóm "G" nếu mỗi phần tử thuộc "G" là tổng hữu hạn các phần tử thuộc "S". Tương tự như vậy, Tập "S" được gọi là tập sinh monoid "G" nếu mỗi phần tử khác không thuộc "G" là tổng hữu hạn các phần tử thuộc "S".
Lấy ví dụ {1} là phần tử sinh monoid của các số tự nhiên formula_4. Tập {1} cũng là tập sinh cho nửa nhóm các số tự nhiên formula_5. Tuy nhiên, số 0 không thể biếu diễn thành tổng (không rỗng) của 1, do đó {1} không thể là tập sinh nửa nhóm của các số nguyên không âm.