Phép chiếu (đại số tuyến tính)

Trong đại số tuyến tính và giải tích hàm, phép chiếu là một biến đổi tuyến tính formula_1 từ một không gian vectơ vào chính nó sao cho formula_2. Tức là khi nào formula_1 được thực hiện hai lần với một giá trị bất kỳ, nó cho kết quả tương tự khi nó được áp dụng chỉ một lần (tính lũy đẳng). Việc thực hiện lại phép chiếu không làm thay đổi ảnh của nó. Mặc dù là khái niệm trừu tượng, định nghĩa "phép chiếu" này hình thức hóa và tổng quát hóa ý tưởng phép chiếu đồ họa. Ta có thể xét tác động của một phép chiếu lên một đối tượng hình học bằng cách xét các tác động của phép chiếu lên từng điểm của đối tượng.
Định nghĩa.
Phép chiếu trên một không gian vectơ formula_4 là một toán tử tuyến tính tự đồng cấu formula_5 sao cho formula_6.
Khi formula_4 được trang bị tích trong và là đầy đủ (chẳng hạn khi formula_4 là không gian Hilbert), khái niệm trực giao có thể được sử dụng. Một phép chiếu formula_1 trên một không gian Hilbert formula_4 được gọi là phép chiếu trực giao nếu nó thỏa mãn điều kiện tự liên hợp formula_11 với mọi formula_12.
Phép chiếu trên một không gian Hilbert không phải là phép chiếu trực giao được gọi là phép chiếu xiên.
Ma trận chiếu.
Các giá trị riêng của một ma trận chiếu phải bằng 0 hoặc 1.
Ví dụ.
Phép chiếu trực giao.
Ví dụ, hàm ánh xạ một điểm formula_22 trong không gian 3 chiều formula_23 vào điểm formula_24 là một phép chiếu trực giao lên mặt phẳng "x"–"y". Hàm này được biểu diễn bởi ma trận sau
Tác động của ma trận này lên một vectơ bất kỳ là
Để xem liệu formula_1 có là một phép chiếu, tức là formula_28, ta tính
Ta còn có thể thấy rằng formula_30 (ma trận đối xứng), chứng tỏ phép chiếu này là phép chiếu trực giao.
Phép chiếu xiên.
Một ví dụ đơn giản cho phép chiếu xiên (không trực giao) là
Bằng phép nhân ma trận, ta thấy rằng
chứng tỏ rằng formula_1 chắc chắn là một phép chiếu.
Phép chiếu formula_1 là trực giao khi và chỉ khi formula_35 bởi vì chỉ khi đó mới có formula_30.
Tính chất và phân loại.
Tính lũy đẳng.
Theo định nghĩa, phép chiếu formula_1 là lũy đẳng (tức là formula_6).
Miền giá trị và hạt nhân.
Cho formula_39 là một không gian vectơ hữu hạn chiều và formula_1 là một phép chiếu trên formula_39. Giả sử rằng các không gian con formula_42 và formula_4 tương ứng là miền giá trị (ảnh) và hạt nhân của formula_1. Vậy thì formula_1 có các tính chất sau:
Miền giá trị và hạt nhân của một phép chiếu là "phần bù" của nhau, và cũng vậy với toán tử formula_1 và formula_57. Toán tử formula_58 cũng là một phép chiếu, với miền giá trị và hạt nhân của formula_1 tương ứng trở thành hạt nhân và miền giá trị của formula_58 và ngược lại. Ta nói formula_1 là phép chiếu theo phương formula_4 lên formula_42 (hạt nhân/miền giá trị) và formula_58 là phép chiếu theo phương formula_42 lên formula_4.
Phổ.
Trong các không gian vectơ hữu hạn chiều, phổ của một phép chiếu, có giá trị thuộc formula_67 là
Giá trị riêng của một phép chiếu chỉ có thể là 0 hoặc 1. Từ điều này suy ra rằng một phép chiếu trực giao formula_1 luôn là một ma trận nửa xác định dương. Tổng quát, các không gian con riêng (tương ứng) là hạt nhân và miền giá trị của phép chiếu. Sự phân tích không gian vectơ thành tổng trực tiếp là không duy nhất. Vì thế, cho một không gian con formula_4, có thể có nhiều phép chiếu có miền giá trị (hay hạt nhân) là formula_4.
Nếu phép chiếu là không tầm thường thì nó có đa thức cực tiểu formula_72 có thể phân tích được thành các nghiệm phân biệt, vì vậy formula_1 chéo hóa được.
Tích các phép chiếu.
Tích các phép chiếu nói chung không phải là phép chiếu ngay cả khi chúng trực giao. Nếu hai phép chiếu giao hoán được thì tích của chúng là một phép chiếu, nhưng điều ngược lại không đúng: tích của hai phép chiếu không giao hoán vẫn có thể là một phép chiếu.
Nếu hai phép chiếu là trực giao và giao hoán đựoc thì tích của chúng là phép chiếu trực giao. Nếu tích của hai phép chiếu trực giao cũng là một phép chiếu trực giao thì hai phép chiếu trực giao là giao hoán được (bởi vì tổng quát: hai tự đồng cấu tự liên hợp giao hoán được khi và chỉ khi tích của chúng tự liên hợp).
Phép chiếu trực giao.
Khi không gian vectơ formula_39 được trang bị một tích trong và là đầy đủ (là một không gian Hilbert) thì có thể sử dụng khái niệm trực giao. Phép chiếu trực giao là một phép chiếu sao cho miền giá trị formula_42 và hạt nhân formula_4 là các không gian con trực giao. Vì vậy, với mọi formula_77 và formula_78 thuộc formula_39, ta có formula_80. Một cách tương đương:
Một phép chiếu là trực giao khi và chỉ khi nó là tự liên hợp. Để chứng tỏ, sử dụng tính chất tự liên hợp và tính chất lũy đẳng của formula_1, với bất kỳ formula_77 và formula_78 trong formula_39 ta có formula_86, formula_87, và
trong đó formula_89 là tích trong được trang bị cho formula_39. Vì thế, formula_91 và formula_92 là các phép chiếu trực giao. Điều ngược lại, tức là nếu formula_1 là trực giao thì nó là tự liên hợp, suy ra từ
với mọi formula_77 và formula_78 trong formula_39; vì vậy formula_98.
Tính chất và các trường hợp riêng.
Một phép chiếu trực giao là một toán tử bị chặn. Điều này là do với mọi vectơ formula_99 trong không gian vectơ ta có bởi bất đẳng thức Cauchy–Schwarz:
Vì vậy formula_101.
Đối với không gian vectơ hữu hạn chiều thực hoặc phức, tích trong tiêu chuẩn có thể được thay thế cho formula_89.