Ký hiệu bra-ket

Trong lĩnh vực cơ học lượng tử, ký hiệu bra-ket là biểu diễn chuẩn dùng để mô tả những trạng thái lượng tử. Nó còn có thể dùng để biểu diễn các vector hoặc hàm tuyến tính trong lĩnh vực toán học. Sở dĩ nó có tên gọi như thế là vì tích trong (hoặc tích chấm trong không gian vector phức) được ký hiệu bởi
với phần bên trái formula_2 gọi là bra và phần bên phải formula_3 gọi là ket. Ký hiệu được giới thiệu bởi nhà toán học Paul Dirac năm 1939 nên còn có tên gọi là ký hiệu Dirac, mặc dù Grassman đã dùng ký hiệu formula_4 cho tích vô hướng của mình cả trăm năm trước đó rồi.
Tuy vậy, ngày nay ứng dụng chủ yếu của ký hiệu bra-ket chủ yếu nằm ở cơ học lượng tử. Hầu hết các hiện tượng được giải thích bằng cơ học lượng tử (bao trùm cả một phần của vật lý hiện đại) đều được biểu diễn dưới dạng bra-ket. Nó thuận tiện hơn ở chỗ là tính độc lập trong biểu diễn trừu tượng của đối tượng mà nó ký hiệu, cộng với tính linh hoạt khi tạo ra những biểu diễn đặc thù (tọa độ, động lượng hoặc hàm riêng cơ sở) một cách dễ dàng, hoặc phụ thuộc quá nhiều vào không gian tuyến tính có liên quan. Kiểu biểu diễn chồng chéo formula_1 mang ý nghĩa biên độ xác suất để trạng thái lượng tử formula_6 sụp đổ về trạng thái formula_7.
Không gian vector.
"Bài chính: Không gian vector"
Trong vật lý, các vector cơ sở cho phép bất ki vector Euclid nào được biểu diễn dưới dạng độ dài và góc quay, dưới nhiều hướng khác nhau, dưới dạng định hướng trong không gian
Theo cách này, bất kỳ vector nào cũng có thể biểu diễn dưới dạng tổng các hình chiếu của nó lên các vector cơ sở của không gian ấy. Tổng quát hơn, các vector có thể ở cả dạng vector phức trong không gian Hilbert.
Biểu diễn bra và ket cho vector.
Vector có thể biểu diễn ở dạng ket formula_8 luôn là các vector cột (đọc là "ket-A")
formula_9
Tương tự như vậy, các vector cũng thể có thể biểu diễn dưới dạng bra, nhưng chỉ đối với các vector hàng
formula_10
formula_11 là liên hợp phức của formula_12. Chuyển vị liên hợp của một bra là ket và ngược lại:
formula_13
Vì thế, để chuyển một bra thành ket hay ngược lại, ta chỉ cần thực hiện phép lấy liên hợp tất cả phần tử rồi thực hiện phép chuyển vị.
Những biểu tượng, ký tự hay từ được sử dụng như dạng các nhãn cũng được sử dụng tương tự trong ket và bra. formula_8 và formula_15 có ý nghĩa toán học phổ quát và đặc thù còn A và B thì không. Ngoài ra, để cho tiện sử dụng, bên trong ket các nhãn có thể có sự sắp đặt, chẳng hạn như toán tử năng lượng trong cơ học lượng tử thông qua danh sách số lượng tử.
Tuy nhiên, không giống như các đối tượng toán học khác, ket không cần các vector cơ sở xác định. Vì thế thay vì dùng formula_16 ta sẽ dùng formula_17 (hiểu dưới nghĩa "biểu diễn dưới dạng").
Tích trong.
"Bài chính: Tích vô hướng"
Tích vô hướng là tổng quát hóa của tích chấm khi kết qua nhân hai vector là một số phức. Ký hiệu Bra-ket biểu diễn tích vô hướng dưới dạng
formula_18
Ví dụ, ở trong không gian 3 chiều tích trên sẽ là
formula_19
Trong trường hợp đặc biệt:
formula_20
Như công thức biến đổi trên, bra có thể hiểu gần như là hàm tuyến tính hay của ket, tức là đầu vào là một ket và đầu ra là một số phức.
Trạng thái chưa chuẩn hóa và không gian phi Hilbert.
Ký hiệu bra-ket có thể sử dụng cho cả những không gian phi Hilbert. Ví dụ đối với các hàm sóng có định mức vô hạn trong cơ học lượng tử.
Ngoài ra, với những trạng thái chưa chuẩn hóa thì bra-ket vẫn có thể áp dụng, theo D. Carfi. Và cả không gian Banach, một tổng quát hóa của không gian Hilbert.
Ứng dụng trong cơ học lượng tử.
Kiến trúc toán học của cơ học lượng tử phần lớn dựa vào toán học tuyến tính:
Hầu như tất cả tính toán trong cơ học lượng tử đều cần dùng đến vector và các toán tử tuyến tính, nó thường sử dụng ký hiệu bra-ket. Ví dụ:
Một số nhầm lẫn nên tránh.
Những nhà vật lý thường hay sử dụng những biểu tượng giống nhau cho cả nhãn và hằng số trong cùng một phương trình. Những hằng số thường đi kèm với những đối tượng đã gán nhãn, Ví dụ: α̂ |"α"⟩ = "α"|"α"⟩ thì biểu tượng "α "đồng thời là tên toán tử α̂, vector riêng |"α"⟩ và giá trị riêng "α".
Đôi khi việc ký hiệu nhanh tỉ lệ vector cũng dẫn đến hiểu lầm. Ví dụ: vector |"α"⟩ được nhân lên √2, nó có thể được ký hiệu |"α"/√2⟩, mặc dù điều này không có ý nghĩa gì vì "α" chỉ là cái nhãn, không phải hàm cũng chẳng phải số.
Thỉnh thoảng một số nhãn đánh số thì chỉ số lại nằm bên ngoài (đáng lẽ nó phải nằm chung với nhãn trong). 
Toán tử tuyến tính.
Bài chính: Toán tử tuyến tính
Toán tử tuyến tính trên ket.
Một toán tử tuyến tính là một ánh xạ lên một ket và tạo ra một ket (thuộc tính của toán tử tuyến tính). Tức là,nếu A là toán tử tuyến tính còn |"ψ"⟩ là ket, thì A|"ψ"⟩ cũng là một ket.
Trong không gian Hilbert n chiều, |"ψ"⟩ là một vector cột "N"×1, và A là ma trận vuông "N"×"N" với hệ số phức. Ket A|"ψ"⟩ có thể dùng phép nhân ma trận thông thường để tính.
Những toán tử tuyến tính rất phổ biến trong lý thuyết cơ học lượng tử. Những đại lượng có thể quan sát thường được biểu diễn dưới dạng các toán tử tự liên hợp (như năng lượng hay động lượng), trong khi tiến trình biến đổi lại được biểu diễn bằng toán tử tuyến tính đơn nhất như phép quay hoặc tiến trình thời gian.
Linear operators are ubiquitous in the theory of quantum mechanics. For 
example, observable physical quantities are represented by self-adjoint operators, such as energy or momentum, whereas transformative processes are represented by unitary linear operators such as rotation or the progression of time.
Toán tử tuyến tính trên bra.
Các toán tỉnh trên bra cũng thể nhìn nhận ở "bên phải bra". Nếu A là một toán tử tuyến tính còn ⟨"φ"| là một bra, thì ⟨"φ"|A cũng là một bra:
formula_26
(chính xác đây là hàm hợp) và hay được viết dưới dạng
formula_27
Tương tự như ket trong không gian n chiều Hilbert, nhưng bra formula_2 là một vector hàng 1×"N, A "vẫn ma trận vuông "N"×"N. "Kết quả ⟨"φ"|A được thực hiện bằng phép nhân ma trận.
Trong trường hợp một vector trạng thái xuất hiện ở cả vế ket và bra,
formula_29
thì biểu diễn trên đưa ra giá trị kỳ vọng, hoặc giá trị trung bình hoặc giá trị ý nghĩa, của lần quan sát biểu diễn bởi toán tử A trên hệ với trạng thái |"ψ"⟩.
Tích ngoài.
Một phương thức tiện lợi để định nghĩa toán tử tuyến tính trên "H "là tích ngoài: nếu ⟨"φ"| là bra và |"ψ"⟩ là ket, thì tích ngoài
formula_30
là ký hiệu toán tử bậc nhất ánh xạ |"ρ"⟩ vào ket |"φ"⟩⟨"ψ"|"ρ"⟩ (⟨"ψ"|"ρ"⟩ là phép nhân vô hướng của |"φ"⟩).
Ở không gian hữu hạn chiều, tích ngoài có thể biểu diễn dưới dạng:
formula_31
Tích ngoài có thể được dùng để định nghĩa phép chiếu. Ket |"ψ"⟩ với định mức 1, thì phép chiếu vuông góc vào không gian con tạo bởi |"ψ"⟩ là
formula_32
Toán tử liên hợp Hermit.
"Bài chính: Liên hợp Hermit"
Ket có thể chuyển sang dạng bra và ngược lại. Phần tử từ không gian kép tương ứng "A"|"ψ"⟩ là ⟨"ψ"|"A"†, "A"† ký hiệu liên hợp Hẻrmit (gọi tắt là liên hợp) của toán tử "A."
formula_33 khi và chỉ khi formula_34
Và nếu "A "biểu diễn dưới dạng ma trận "N×N, "thì "A"† được gọi là chuyển vị liên hợp.
Toán tử tự liên hợp là toán tử thỏa mãn "A" = "A"†, đóng vai trò quan trọng trong cơ học lượng tử. Mọi quan sát đều là toán tử tự liên hợp.A là toán tử tự liên hợp thì ⟨"ψ"|"A"|"ψ"⟩ là một số thực. Do đó giá trị kỳ vọng của quan sát cũng là thực.
Các tính chất.
Bra-ket được xây dựng để tận dụng các thao tác đơn giản trong toán học tuyến tính. Một số tính chất cơ bản sẽ được liệt kê dưới đây. "c"1 và "c"2 là những số phức tùy ý, "c"∗ là liên hợp phức của "c", "A" và "B" là những toán tử tuyến tính tùy ý, các tính chất được liệt kê áp dụng đúng với mọi bra và ket.
Tính tuyến tính.
formula_35
formula_36
Tính kết hợp.
Với mọi biểu thức với số phức, bra, ket, tích trong, tích ngoài, cùng các toán tử tuyến tính, viết ở dạng braket, cách nhóm không quan trọng:
formula_37
formula_38
và tương tự như vậy. Tính chất này không đúng với những biểu thức chứa các toán tử phi tuyến tính,
Liên hợp Hermit.
Liên hợp Hermit, ký hiệu bởi †, được tính dễ dàng hơn dưới biểu diễn bra-ket. Những luật cơ bản là:
("x"†)† = "x"
formula_39
formula_40
formula_41
formula_42
formula_43
Tổng hợp bra và ket.
Với hai không gian vector "V" và "W "có thể tạo nên không gian thứ ba "V" ⊗ "W" bởi tích trong. Trong cơ học lượng tử, nó được dùng để miêu tả hệ thống hợp. Nếu một hệ thống gồm 2 hệ thống con "V" và "W", thì không gian Hilbert của cả hệ thống là tích trong của hai không gian đó. (Trừ khi hai hệ thống con đều hạt cơ bản).
Nếu |"ψ"⟩ là ket trong "V" và |"φ"⟩ là ket trong "W", phép nhân trực tiếp của hai ket là một ket trong "V" ⊗ "W "biểu diễn dưới dạng:
formula_44
Tổng hợp bra và ket được ứng dụng trong vướng víu lượng tử và nghịch lý EPR.
Toán tử đơn vị.
Với một hệ trực chuẩn hoàn chỉnh, formula_45 trong không gian Hilbert, tương ứng với định mức từ tích trong formula_46. Từ giải tích hàm cơ bản bất cứ ket |"ψ"⟩ nào cũng có thể viết được dưới dạng:
formula_47
Từ tính chất giao hoán của ket với phép nhân vô hướng số phức:
formula_48
là một toán tử đơn vị biến mỗi vector về chính nó. Toán tử này có thể thêm vào bất kỳ biểu thức nào mà không gây ảnh hưởng gì:
formula_49
biến đổi cuối cùng dựa vào quy ước tổng Einstein.
Trong cơ học lượng tử, toán tử đơn vị sẽ giúp ích khi hoàn toàn không có manh mối nào về tích trong formula_50 nhưng lại có thông tin về các hệ số khai triển formula_51 và formula_52 của những vector đó trong hệ cơ sở trực chuẩn nhất định. Trong trường hợp này, việc thêm toán tử đơn vị vào biểu thức một hay nhiều lần sẽ hữu ích hơn.
Một chú ý nhỏ nữa, là có thể biểu diễn (x là tọa độ còn p là động lượng)
1 = ∫ "dx" |"x"⟩⟨"x"| = ∫ "dp" |"p"⟩⟨"p"| với |"p"⟩ = ∫ "dx" ei"xp"/ħ|"x"⟩/√"2πħ "(vì ⟨"x"′|"x"⟩ = δ("x" − "x"′))
suy ra ⟨"x"|"p"⟩ = exp(i"xp"/ħ)/√"2πħ."
Biểu diễn dưới cái nhìn toán học.
Trong vật lý, các đối tượng biểu diễn dưới dạng bra-ket trong không gian Hilbert (không gian tích trong đầy đủ.
Gọi formula_53 là không gian Hilbert và formula_54 là một vector trong formula_53. Những nhà vật lý sẽ ký hiệu |"h"⟩ đơn thuần là một vector formula_56
Gọi formula_57 là không gian đối ngẫu với formula_53. Đó là không gian hàm tuyến tính với formula_53. Đẳng cấu formula_60 được định nghĩa formula_61 với mọi formula_62 ta có
formula_63
trong đó formula_64 và formula_65 là các ký hiệu khác nhau của tích trong của hai phần tử trong không gian Hilbert. Rắc rối xảy đến khi cần nhận diện formula_66 và formula_67 với formula_68 và formula_69 tương ứng vì ý nghĩa của các biểu tượng. Cho rằng formula_70 và formula_71 ta rút ra:
formula_72
Khi đã bỏ qua các cặp ngoặc tròn cũng như thanh sổ đôi thì các tính chất của hệ ký hiệu này trở nên tiện lợi khi phải xử lý với các toán tử tuyến tính và các hàm hợp hoạt động theo kiểu phép nhân vành.
Các nhà toán học còn cách biểu diễn khác cho hệ đôi trên, không dùng biểu tượng *, mà dùng gạch trên (các nhà vật lý sử dụng như giá trị trung bình và liên hợp Dirac) để ký hiệu các số phức liên hợp. Như trong tích vô hướng họ sẽ viết:
formula_73
còn những nhà vật lý thì viết với số lượng tương đương:
formula_74