Toán học của thuyết tương đối rộng

Toán học của thuyết tương đối rộng là mô hình chứa đựng cấu trúc và kỹ thuật toán học được sử dụng để nghiên cứu và thiết lập lên thuyết tương đối rộng của Einstein. Công cụ chính sử dụng trong lý thuyết hình học về lực hấp dẫn này là trường tenxơ xác định trên đa tạp Lorentz biểu diễn không thời gian. Bài viết này miêu tả tổng quan về toán học của thuyết tương đối tổng quát.
Ký hiệu
Trong toàn bộ bài viết, chúng ta sử dụng dấu metric kiểu không gian formula_1 và hệ đơn vị hình học trong đó formula_2 mặc dù khi cần thiết chúng ta sẽ viết rõ tốc độ ánh sáng, c. Chúng ta sẽ viết đậm các tenxơ, ví dụ formula_3, và các mũi tên bên ám chỉ các vectơ ba chiều hoặc các toán tử, ví dụ formula_4 hoặc formula_5. Đạo hàm hiệp biến và đạo hàm riêng bốn chiều sẽ được ký hiệu dạng tổng quát lần lượt là formula_6 và formula_7 nhưng những ký hiệu khác có thể được sử dụng cho các khái niệm ít gặp hơn hoặc khi muốn so sánh với các công thức của cơ học Newton. Với quy ước chuẩn về cách tính tổng khi gặp các chỉ số lặp lại, các chỉ số Hy Lạp sẽ có giá trị từ 0 đến 3, trong khi các chỉ số Latin chạy từ 1 đến 3.
Khái niệm không thời gian.
Bước quan trọng đầu tiên để hiểu đúng đắn thuyết tương đối rộng, và từ đó là cấu trúc toán học của nó, chính là sự từ bỏ ý tưởng của Galilei về một "không gian tuyệt đối" và "thời gian tuyệt đối". Hơn thế, điều này đưa đến đề xuất cách mạng về sự từ bỏ ý nghĩ không gian và thời gian như là những thành phần của một phông nền cố định, một đối tượng mà mọi quá trình xảy ra trên nó. Từ đây, các nhà vật lý cần thiết phải coi không gian và thời gian là những yếu tố động lực trong các định luật của tự nhiên, và cũng vì thế mà những định luật này bị ảnh hưỏng sâu sắc bởi chúng. Ý tưởng cách mạng này nằm ở trung tâm của thuyết tương đối và là một trong những thành tựu khoa học có ảnh hưởng lớn nhất của mọi thời đại.
Việc từ bỏ ý tưởng về một không gian tuyệt đối và một thời gian tuyệt đối dẫn tới sự giới thiệu không tránh khỏi của một khái niệm mới, đó là "không thời gian", một đối tượng bốn chiều đơn nhất formula_8, mà tuy nhiên, không nên chỉ coi nó như là một sân khấu cho tiến trình của một hệ vật lý xác định, mà nó còn là một trường động lực tham gia vào sự tiến triển của chính hệ vật lý đó. Những thành phần cơ bản của đối tượng trừu tượng này được gọi là "sự kiện", một khái niệm dường như cũng trừu tượng nhưng không hẳn là vậy. Chúng ta chắc chắn đã quen với khái niệm ""cái gì đó ở nơi nào đấy" vì nó trở thành một phần nhận thức của chúng ta về thế giới khi còn là đứa trẻ con. Tương tự, khái niệm sự kiện có thể đi kèm với ý tưởng về "cái gì đó xảy ra ở nơi nào đấy", chẳng hạn như photon từ Mặt Trời tới võng mạc của chúng ta lúc bình minh. Do đó, các nhà vật lý thích nghĩ về các sự kiện như là các "điểm" formula_9 trong không thời gian formula_8, và sự tồn tại của chúng như là các phần tử của không thời gian độc lập với cách chọn hệ tọa độ để định vị chúng tại một vị trí không gian cụ thể trong một thời gian cho trước. Các sự kiện do đó tự chúng là những phần tử của không thời gian, mà tính động lực được điều chỉnh bởi các định luật vật lý.
Với tư duy như thế, nhà vật lý nghĩ tới vấn đề các sự kiện liên hệ với nhau bằng cách nào. Nếu coi một sự kiện là "một cái gì đó xảy ra ở nơi nào đó", thì hai hay nhiều sự kiện có thể được liên hệ (vd, thông qua các định luật vật lý) và đưa vào thành "một dãy các sự kiện" rằng, trong trường hợp dãy được xếp thứ tự sử dụng thời gian như là một tham số, chúng thuộc về một tập hợp gọi là "tuyến thế giới"" (worldline). Cũng trong trường hợp này, khá niệm trừu tượng về tuyến thế giới quả thực hiển nhiên giống với một cách giải thích quen thuộc khi chúng ta nghĩ tới tuyến đường trên một bản đồ (đoạn đường từ nhà tới nơi làm việc) như tuyến thế giới trong không thời gian miêu tả về chuyển động của chúng ta. Sự tài tình ở đây đó là trong khi tuyến đường trên bản đồ kết nối các điểm (không gian) khác nhau mà chúng ta chiếm chỗ tại những thời điểm khác nhau, thì tuyến thế giới kết nối các sự kiện khác nhau của không thời gian, tức là, những sự kiện mà chúng ta tham gia vào khi đi từ nhà đến nơi làm việc. Một hệ quả rõ ràng từ định nghĩa của tuyến thế giới ở trên đó là khi không có một không gian tuyệt đối và một thời gian tuyệt đối, bất kỳ sự lựa chọn theo thứ tự các sự kiện chỉ có thể là "tùy ý" (hoặc tương đối!) khi có thể thay thế bằng những sự kiện tương đương và khả dĩ trên cùng một tập hợp các sự kiện. Tuy nhiên, kết quả này không nên chỉ coi đó là một giới hạn, nhưng mà là một đặc điểm quan trọng trong bức tranh mới về không gian và thời gian, cái căn bản trong thuyết tương đối rộng. Nói chung khái niệm như tính đồng thời không bị mất nhưng phải được thể hiện một cách đúng đắn, và điều này được nhắc tới ở phần sau.
Đa tạp không thời gian.
Thuyết tương đối tổng quát đề xuất ý tưởng miêu tả các hiện tượng vật lý bằng một tập hợp các "sự kiện", tạo thành continuum bốn chiều là không thời gian. Khái niệm toán học phù hợp nhất để đặc trưng cho không thời gian đó là một "đa tạp khả vi", formula_11, một khái niệm kết hợp giữa những khái niệm của không gian tô pô và tính khả vi được. Tức là, khi nói đến không thời gian bằng tập hợp các sự kiện, là một không gian tô pô, chúng ta đang cung cấp thông tin về bằng cách nào mà những vùng khác nhau của continuum này được liên hệ với nhau. Hơn nữa, khi đã trở lên rõ ràng lúc chúng ta nói về nguyên lý tương đương, thuyết tương đối rộng đòi hỏi rằng các sự kiện khác nhau của không thời gian cho phép các lân cận địa phương không giao nhau (rời rạc). Từ đây, không gian tô pô cần thiết phải là "không gian tô pô Hausdorff". Ngoài cấu trúc tô pô, chúng ta cần trang bị cho không thời gian một cấu trúc vi phân thông qua phép "tham số hóa liên tục" bằng các tọa độ được gắn cho mỗi sự kiện. Những cách đặt tham số hóa này được thực hiện thông qua các hàm số của lớp formula_12 với formula_13, mà ánh xạ lân cận địa phương của mỗi sự kiện vào formula_14. Do vậy một đa tạp khả vi là một không gian tô pô Hausdorff vi phôi địa phương vào formula_15. Ví dụ đơn giản về đa tạp đó là bề mặt của một hình cầu ba chiều (""mặt cầu 2 chiều") hoặc bất kỳ một siêu mặt m chiều nào trong không gian n chiều với formula_16.
Có rất nhiều sách và bài viết thảo luận về định nghĩa và tính chất của không gian tô pô và của đa tạp, chẳng hạn và . Cho những mục đích ứng dụng chúng ta có thể coi formula_11 là "tập hợp chứa các sự kiện được tham số hóa", những thứ tạo nên không thời gian bốn chiều, và các tham số của chúng là những hàm khả vi tới một số bậc nhất định.
Số các tham số độc lập cần thiết để định ra một sự kiện trong formula_11 chính là "số chiều" của đa tạp và cách chọn những tham số này sẽ biểu diễn cách chọn hệ tọa độ cần thiết để phủ đa tạp, và có vô số cách chọn như thế. Ví dụ, hệ tọa độ sử dụng kinh độ và vĩ độ để xác định vị trí của điểm trên bề mặt Trái Đất. Khi áp dụng, chúng ta cần thiết định nghĩa một quy tắc gán tương ứng một điểm của đa tạp formula_11, tức là sự kiện, vào không gian thực n chiều formula_15. Quy tắc này gọi là phép ánh xạ và cách chọn hệ tọa độ tương ứng sẽ phủ một phần hoặc toàn bộ đa tạp không thời gian. Các điểm lưu ý:
Hệ tọa độ.
Ý tưởng về không thời gian (tập hợp chứa mọi sự kiện), như là một đa tạp (không gian phủ bởi các hệ tọa độ), là rất hấp dẫn từ quan điểm "hình học", nhưng cũng phải là nguồn để đề cập đến từ quan điểm "vật lý học", vì sự lựa chọn tùy ý hệ tọa độ có thể đưa đến việc làm mất các thông tin vật lý. Tuy vậy, đây là một lập luận không đúng và "các phép đo" phải là "độc lập" với hệ tọa độ, tức là, các phép đo sẽ cho cùng một kết quả trong mọi hệ tọa độ được lựa chọn. Tương tự, vẫn có thể dẫn ra được các "phương trình" độc lập với hệ tọa độ khi không thời gian được coi là một đa tạp.
Bước đầu tiên để học quá trình này đó là làm quen với các đối tượng cơ bản của một đa tạp, như đường cong, đại lượng vô hướng và vectơ, và cách chúng biến đổi như thế nào khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác. Kể từ đây chúng ta giả sử rằng formula_11 có bốn chiều (ba chiều không gian và một chiều thời gian), nhưng việc tổng quát hóa các tính chất của đa tạp lên đa tạp N chiều là trực tiếp.
Xét không thời gian được phủ bởi hai hệ tọa độ, formula_27 và formula_28 hoặc tương đương xét hai ánh xạ khác nhau formula_29 và formula_30 của đa tạp khả vi formula_11 vào formula_14. Mỗi điểm P trong formula_11 do đó được biểu diễn bằng hai tập hợp khác nhau mỗi tập chứa bốn phần tử, formula_34 và formula_35. "Phép biến đổi tọa độ" formula_36 tại điểm P được biểu diễn bằng bốn hàm số đơn trị, liên tục và khả vi formula_37 sao cho
mà ở đây ký hiệu x có bốn tọa độ formula_38 ám chỉ những đối tượng bôi đậm thuộc về formula_11. Bởi vì đa tạp là khả vi, do vậy phép biến đổi tọa độ không chỉ đúng tại điểm P, tức là
Hàm f cũng phải khả nghịch, do đó hàm f−1 là phép biến đổi tọa độ nghịch đảo formula_40 và
với phép toán kết hợp formula_41 trở thành đồng nhất, nghĩa là formula_42.
Ví dụ coi mặt phẳng là một đa tạp hai chiều với hai hệ tọa độ formula_43 và formula_44 do vậy
 \theta = tan^{-1} \left(\frac{y}{x} \right),
&lt;/math&gt;|}} 
và nếu áp dụng hàm hợp formula_41 đối với tập tọa độ thứ nhất ta thu được đồng nhất thức formula_46
Khai thác tính khả vi của đa tạp, chúng ta có thể lấy vi phân của tọa độ x' theo x và thu được "ma trận biến đổi"
 \dfrac{\partial x^{0'}}{\partial x^0} &amp; \dfrac{\partial x^{0'}}{\partial x^1} &amp; \dfrac{\partial x^{0'}}{\partial x^2} &amp; \dfrac{\partial x^{0'}}{\partial x^3} \\
 \dfrac{\partial x^{1'}}{\partial x^0} &amp; \dfrac{\partial x^{1'}}{\partial x^1} &amp; \dfrac{\partial x^{1'}}{\partial x^2} &amp; \dfrac{\partial x^{1'}}{\partial x^3} \\
 \dfrac{\partial x^{2'}}{\partial x^0} &amp; \dfrac{\partial x^{2'}}{\partial x^1} &amp; \dfrac{\partial x^{2'}}{\partial x^2} &amp; \dfrac{\partial x^{2'}}{\partial x^3} \\
 \end{array} \right).
với định thức
là "định thức Jacobi" (hay Jacobian) của biến đổi tọa độ formula_47 trong (). Nếu J' khác 0 khắp nơi khi đó phương trình () sẽ có nghiệm và chúng ta nhận được phép biến đổi ngược (). Ngược lại, nếu J' = 0 tại một điểm, ta nói biến đổi trở thành "kỳ dị" tại điểm đó. Tương tự ta có thể lấy vi phân tọa độ x theo x' và thu được ma trận biến đổi ngược
Đến đây, sử dụng quy tắc dây chuyền đối với đạo hàm riêng, sẽ không khó để chứng minh được rằng hai ma trận () và () là nghịch đảo của nhau, tức là
với formula_48 lần lượt là các ma trận tương ứng của formula_49 và ma trận đơn vị. Hệ quả trực tiếp của () đó là định thức Jacobi của hai ma trận là nghịch đảo của nhau, tức là J' = 1/J.
Ví dụ ma trận biến đổi giữa hai hệ tọa độ trong () là
và
với formula_50
Đường cong (curve) và quỹ đạo (path).
Sau khi đã giới thiệu khái niệm hệ tọa độ và biến đổi tọa độ, bây giờ chúng ta xét tới đối tượng đơn giản nhất trong đa tạp formula_11 mà sẽ dẫn tới định nghĩa tenxơ.
Xét trong không thời gian formula_8 một chuỗi các sự kiện formula_53 mà được liên hệ với nhau theo những cách nào đó. Như đã nói ở mục "Khái niệm không thời gian", chúng ta có thể liên hệ hoặc xếp thứ tự các sự kiện và sẽ thu được tuyến thế giới (worldline) khi tham số xếp thứ tự là tọa độ thời gian "t". Bây giờ chúng ta mở rộng ý tưởng và xét các sự kiện mà không nhất thiết phải liên hệ thông qua thời gian, mà thông qua một tham số tổng quát hơn là formula_54. Đối tượng thu được gọi là "đường cong" (curve) formula_55 và là ánh xạ từ một đoạn formula_56 vào một tập hợp các điểm có tọa độ formula_27 tức là 
Rõ ràng rằng, cùng một tập hợp các điểm trong formula_8 có thể được tham số hóa vô hạn lần khi thay đổi cách lựa chọn tham số formula_54. Cách xem xét này giúp chúng ta phân biệt với khái niệm "quỹ đạo" (path) - như là tập hợp các sự kiện trong formula_8, so với "đường cong" đi qua các sự kiện này. Trong khi "quỹ đạo" là một đối tượng nội tại trong không thời gian formula_8 thì "đường cong" lại phụ thuộc vào cả cách tham số hóa nó cũng như việc chọn hệ tọa độ để lập bản đồ (chart) cho đa tạp formula_11. Khi thay đổi tham số formula_54 sẽ dẫn tới đường cong mới đi qua cùng quỹ đạo trong formula_8 và cùng hệ tọa độ biểu diễn trong formula_11 (trong trường hợp này nó được gọi là "ảnh"). Tuy nhiên, khi thay đổi hệ tọa độ sẽ đem lại một đường cong mới đi qua cùng một quỹ đạo trong formula_8, nhưng rõ ràng nó sẽ không chứa cùng những tọa độ biểu diễn trong formula_11. Nói cách khác, khái niệm quỹ đạo mang ý nghĩa cơ bản hơn so với khái niệm đường cong và ảnh, chúng ta có thể xây dựng hai đường cong:
và
sao cho chúng chứa cùng một quỹ đạo trong formula_8, với formula_69 và formula_70 có cùng ảnh, nhưng formula_55 và formula_72 có ảnh khác nhau.
Cuối cùng, chúng ta có thể mở rộng khái niệm đường cong cho một "mặt" với hai tham số,
Mặt được gọi là "siêu mặt" của đa tạp nếu số tham số cần thiết để miêu tả nó bằng số chiều của đa tạp trừ đi một, ví dụ siêu mặt 3 chiều đối với không thời gian bốn chiều.
Vectơ tiếp tuyến.
Tất cả những khái niệm đã giới thiệu về các đường cong và mặt có thể được coi như là những công cụ cơ bản để định nghĩa khái niệm rất quan trọng và hữu ích, đó là "vectơ tiếp tuyến" (tangent vector) với đường cong formula_55. Nếu coi đường cong là tập hợp các điểm với mỗi điểm được đánh dấu bởi một bộ các tọa độ sắp thứ tự bằng một tham số λ, thì vectơ tiếp tuyến là khái niệm dùng để diễn giải sự thay đổi tọa độ như thế nào dọc theo đường cong này. Nói cách khác, khi cho trước một hệ tọa độ formula_74 trong đa tạp formula_11 và một đường cong formula_76, vectơ tiếp tuyến formula_77 tại điểm P dọc cung formula_55 được định nghĩa là tập hợp gồm bốn tọa độ 
Chú ý rằng tại mỗi điểm P chỉ có duy nhất một vectơ tiếp tuyến với đường cong và thậm chí hai đường cong có thể có chung một vectơ tiếp tuyến tại điểm chung P, và hai đường này sẽ có thể có một số điểm chung ở một số nơi (hai đường khác nhau) hoặc hoàn toàn đồng nhất giống nhau. Vì điểm P là bất kỳ, do vậy có thể viết biểu thức tổng quát cho định nghĩa của vectơ tiếp tuyến formula_3 cho đường cong formula_55 là
Chúng ta nên phân biệt giữa vectơ là đối tượng hình học, viết là formula_3, và cách biểu diễn nó trong một hệ tọa độ cụ thể, mà trong trường hợp này chúng ta nói đến các "thành phần tọa độ" của nó formula_82.
Sự quan trọng của biểu thức () là nó cho phép chúng ta có khả năng định nghĩa một đại lượng hình học theo các tính chất của phép biến đổi đối với nó dưới ảnh hưởng của sự thay đổi hệ tọa độ. Quả vậy, chúng ta xét một hệ tọa độ mới formula_83 và sử dụng biểu thức () để tính toán các thành phần tọa độ của cùng một vectơ tiếp tuyến formula_3 đối với hệ tọa độ mới này
với phương trình thứ hai đã áp dụng định nghĩa của vi phân
và phương trình cuối cùng () có được từ định nghĩa của ().
Bởi vì cách đặt ký hiệu tốt rất quan trọng và điều này càng có ý nghĩa đặc biệt trong thuyết tương đối rộng, đầu tiên chúng ta có thể viết gọn lại () bằng cách áp dụng quy tắc tính tổng do Einstein đặt ra, mà khi ta gặp một chỉ số xuất hiện hai lần điều này sẽ hàm ý việc tính tổng giữa các chỉ số từ 0 đến 3, và thứ hai chúng ta có thể áp dụng cách viết rút ngắn hơn nhờ phương trình () cho phép biến đổi ma trận, tức là
Biểu thức () cần được giải thích rõ hơn, đầu tiên đó là chỉ số formula_85 là chỉ số được tính tổng (hay chỉ số "rút gọn"-contraction) tức là nó xuất hiện một lần với vai trò là chỉ số trên ("phản biến"-contravariance) trong formula_82 và một lần với vai trò là chỉ số dưới ("hiệp biến"-covariance) trong formula_87. Chỉ số này còn được gọi là chỉ số "câm" (dummy) để phân biệt với chỉ số "tự do" formula_88 xuất hiện như là một chỉ số không thể thu gọn được ở cả hai vế của phương trình tenxơ (). Bằng cách kiểm tra số lượng các chỉ số tự do có ở hai vế của phương trình là cách đơn giản nhất, ít nhất về mặt toán học, đó là phương trình tenxơ đã đúng hay chưa (và có thể có nhiều lý do để phương trình chưa đúng).
Phương trình () là rất tổng quát và biểu diễn "quy tắc biến đổi" cho các "vectơ phản biến". Về cơ bản, bốn phương trình trong () cho chúng ta cách tính các thành phần tọa độ của vectơ formula_89 trong hệ tọa độ formula_28 một khi chúng ta biết các thành phần của nó trong hệ tọa độ formula_27.
Chúng ta có thể mở rộng biểu thức () cho trường hợp "biến đổi tọa độ tổ hợp", tức là khi xét hai hệ tọa độ: biến đổi hệ tọa độ thứ nhất từ hệ formula_74 thành formula_83 và sau đó chuyển sang formula_94 hay
và coi đó như là một lần biến đổi
do vậy vectơ ("phản biến") sẽ biến đổi theo quy tắc
Như đã nói ở phần trước, chúng ta có thể viết ra "phép biển đổi ngược" của () là
Bốn phương trình () cho chúng ta cách tính thành phần tọa độ của vec tơ formula_89 trong hệ formula_27 một khi đã biết các thành phần của nó trong hệ formula_28. Rõ ràng là hai ma trận biến đổi của hai phép biến đổi ngược là ma trận nghịch đảo của nhau, hay
Điều này cũng đúng cho phép biến đổi ngược lại
Chú ý rằng cả hai phương trình () và () là tương đương với "Jacobian" của biến đổi khác 0, 
Đại lượng formula_98 được gọi là "ký hiệu Kronecker".
Ở phần này, chúng ta đã giới thiệu một tập hợp tổng quát chứa các điểm được liên hệ với nhau thông qua một "tham số", hay "đường cong" trong đa tạp, sau đó nêu ra định nghĩa khái niệm "vectơ tiếp tuyến" tại một điểm P và học được cách biểu diễn đại lượng hình học này biến đổi như thế nào dưới những hệ tọa độ khác nhau. Điều này dẫn chúng ta tới một khái niệm tổng quát hơn đó là "không gian tiếp tuyến" của đa tạp formula_11 tại điểm P: đó là không gian chứa mọi vectơ phản biến tại P.
Gradien của hàm số.
Một vec tơ bất kỳ có thể được xây dựng dựa trên khái niệm "đường cong". Chúng ta có thể thấy điều này bằng cách áp dụng định nghĩa () của đường cong formula_55 trong đa tạp và giới thiệu ra hàm vô hướng formula_101, một hàm giá trị thực ánh xạ điểm P bất kỳ có tọa độ formula_102 trong formula_11 vào một số thực formula_104. Bây giờ chúng ta có thể tính được hàm thực này biến đổi như thế nào dọc đường cong formula_55 bằng
Phương trình thứ hai trong phương trình () chỉ đơn giản là định nghĩa của "vectơ tiếp tuyến" đã gặp ở (), trong khi ở phương trình thứ ba là định nghĩa của "gradien của hàm số" formula_101 
với chỉ số tự do "phải" là chỉ số nằm ở dưới (tức là "hiệp biến") và đây là đặc điểm phân biệt với vectơ formula_107.
Để hiểu tốt hơn tại sao chỉ số trong formula_108 phải ở dưới, chúng ta có thể nghiên cứu cách đối tượng hình học này hành xử dưới một phép biến đổi tọa độ và làm rõ ý nghĩa của nó hơn. Một lần nữa, nếu formula_108 là thành phần của đối tượng này trong hệ tọa độ formula_74 thì thành phần của nó trong formula_83 là
Hay nói cách khác, quy tắc biến đổi cho gradien của hàm số formula_101 là
và có thể được sử dụng làm định nghĩa cho khái niệm "vectơ hiệp biến" (covariant vector).
Chú ý rằng biến đổi () là biến đổi "ngược" của quy tắc đã gặp cho các thành phần của vectơ [xem phương trình ()]. Lý do cho điều này đến từ thực tế rằng vectơ phản biến và vectơ hiệp biến là đại lượng "đối ngẫu" của nhau, do đó không gian chứa mọi vectơ hiệp biến là "không gian đối ngẫu" của không gian tiếp tuyến mà chúng ta đã gặp ở phần trước. Bởi vì đây là một kết quả quan trọng và mối liên hệ sâu sắc giữa vectơ hiệp biến và vectơ phản biến sẽ được trình bày rõ ở phần sau. Như đối với vectơ phản biến, chúng ta có thể đưa ra biến đổi ngược cho vectơ hiệp biến và dễ dàng thu được
Người đọc thận trọng có thể tự hỏi tại sao chúng ta không viết () như sau
và tại sao không viết () như sau
Lý do đằng sau sự lựa chọn này là ở cách ký hiệu ma trận theo cách viết trong () và () có thể sẽ gây ra sự nhầm lẫn một khi chúng ta coi formula_113 giống như ở trong phương trình (). Điều này sẽ trở lên rõ ràng nếu chúng ta quay trở lại ví dụ về biến đổi tọa độ miêu tả ở trong phần "Hệ tọa độ". Quả thực, khi chúng ta biến đổi gradien của một vô hướng từ tọa độ formula_114 sang formula_115, ma trận đúng viết trong () mà nhân với vectơ cột formula_116 phải là
mà chính là ma trận chuyển vị của ma trận được định nghĩa trong ().
Ở những phần sau, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu formula_87 đại diện cho formula_118 và formula_119 đại diện cho formula_120.
Ý nghĩa hình học của vectơ phản biến và vectơ hiệp biến.
Chúng ta có thể kết hợp các định nghĩa trên đây để đi đến một miêu tả thống nhất về vectơ phản biến và vectơ hiệp biến. Đặc biệt, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa gradien dọc một đường cong () và viết lại thành
do đó vectơ phản biến formula_89 có thể được coi như là một đối tượng hình học tiếp tuyến với đường cong có tham số formula_54 và đo tỉ số formula_123 cho một hàm vô hướng bất kỳ formula_101 dọc đường cong. Theo cách này, có thể coi vectơ là đại lượng độc lập với hệ tọa độ, và xác định lên, ít nhất trong một miền lân cận nhất định, đường cong mà nó tiếp xúc. Thành phần phản biến formula_82 của nó cho phép đo sự thay đổi của hệ tọa độ dọc theo đường cong đó và những thứ này có mối liên hệ chặt với cách lựa chọn hệ tọa độ; một hệ tọa độ khác sẽ dẫn tới những thành phần tọa độ khác, cũng như hàm gradien formula_126 khác.
Tất nhiên, chúng ta có thể thực hiện mà không cần hàm vô hướng formula_101 trong () và coi vectơ như là một đối tượng xác định bằng 
mà chúng ta đưa ra ký hiệu
để chỉ bốn "vectơ cơ sở" formula_128 dọc theo hướng xác định bởi tọa độ formula_129 Những cơ sở vectơ này, mà có liên hệ chặt với hệ tọa độ đang áp dụng, được gọi là "tọa độ cơ sở". Theo cách này, biểu thức () nói một cách đơn giản rằng formula_89 là tổ hợp của các thành phần phản biến formula_82 dọc theo hướng tọa độ.
Định nghĩa vectơ theo phương trình () mang bản chất hình học của vectơ và có vẻ rất khác thường. Nhưng thực ra nếu xem xét kỹ, khi coi đa tạp ba chiều đi kèm với đạo hàm theo hướng (directional derivative) formula_132 với cơ sở vectơ formula_133 của giải tích vectơ cổ điển, khi đó rõ ràng rằng vectơ trong () lại được biểu diễn trùng với hệ ba "vectơ ba chiều", tức là
khi formula_134 được biểu diễn trong hệ tọa độ DeCartes (phương trình thứ hai) và trong hệ tọa độ cầu (phương trình thứ ba) hoặc trong bất kỳ cơ sở tọa độ nào. Cách nhìn mới về vec tơ này cũng hữu ích khi mở ra cách nhìn mới về đối vectơ hay một "dạng một" (covector, one form). Quả vậy, chúng ta có thể quay trở lại định nghĩa trong () và xét tới vectơ hiệp biến formula_135 như là một toán tử formula_136 tác dụng lên vectơ sao cho khi áp dụng đối với vectơ formula_137 nó trả lại một số thực, nghĩa là
Khi coi là một toán tử tác dụng lên vectơ, đối vec tơ là một toán tử tuyến tính tức là 
với a, b là các hệ số hằng số. Ngoài ra, nó còn tuân theo luật phân phối
Cách giải thích hình học này đã thực sự thống nhất các khái niệm vectơ và đối vectơ (dạng một, one form). Theo cách này, một vec tơ formula_89 xác định lên đường cong mà nó tiếp tuyến với, trong dạng một formula_139 xác định gradien của một hàm vô hướng dọc cùng cung đó. Hơn nữa, dạng một tác dụng lên vectơ tạo ra một số độc lập với tọa độ và do vậy là bất biến tương đối tính. Tính chất quan trọng này được chứng minh bắt đầu bằng định nghĩa () khi viết trong hệ tọa độ mới formula_28
Tính chất bất biến này cũng áp dụng cho định nghĩa () của vectơ và cho phép chúng ta suy ra quy tắc biến đổi của cơ sở vectơ
do đó, gộp các thành phần của vectơ formula_89 ta được
Vì thế, đối với mọi vectơ không tầm thường ta có
Mặc dù biểu thức () không phải là phương trình biến đổi cho thành phần tọa độ, nhưng chúng ta nhận ra ngay lập tức sự tương tự giữa () và quy tắc biến đổi cho thành phần của đối vectơ trong (). Vì vậy có thể nói rằng cơ sở vectơ biến đổi theo quy tắc giống như các thành phần của đối vectơ biến đổi và theo "cách ngược lại"" với thành phần của vectơ. Chú ý rằng chữ "ngược" trong dấu hai phẩy vì nếu ta đọc biến đổi vectơ cơ sở trong () như là biểu diễn ma trận của sự thay đổi cơ sở, thì biểu diễn ma trận tương ứng trong () chấp nhận nghịch đảo của "ma trận chuyển vị" sử dụng trong () chứ không phải nghịch đảo của ma trận này (xem ở phần Gradien của hàm số).
Cuối cùng, khi đã giới thiệu định nghĩa cơ sở vectơ, sẽ tự nhiên khi đặt ra câu hỏi về định nghĩa "cơ sở của đối vectơ" do vectơ và đối vectơ (hay dạng một) là những đại lượng đối ngẫu, nghĩa là
do đó một cơ sở vectơ formula_142 sinh ra một cơ sở đối vectơ formula_143, và bất kỳ một đối vectơ formula_144 có thể biểu diễn theo các thành phần của nó
Để chứng minh () là đúng, chúng ta có thể sử dụng () và () để nhận được
&amp; = p_\mu \boldsymbol{\tilde \omega}^\mu (V^\nu \boldsymbol e_\nu) \\
&amp; = p_\mu V^\nu \boldsymbol{\tilde \omega}^\mu (\boldsymbol e_\nu)=p_\mu V^\nu \delta^\mu_\nu. \\
Tenxơ.
Định nghĩa của vectơ và đối vectơ đã giới thiệu ở phần trước là cơ sở cho nội dung của phần này. Chúng đã được giới thiệu để xác định các đối tượng hình học độc lập với bất kỳ hệ tọa độ nào và chúng ta đã học được rằng khi đưa ra một hệ tọa độ và chuyển đổi sang hệ tọa độ khác, các vectơ phản biến và vectơ hiệp biến biến đổi theo những quy tắc đơn giản trong () và ().
Có ít nhất hai khía cạnh của vec tơ (hoặc đối với vectơ phản biến hoặc hiệp biến) mà khá rõ ràng. Thứ nhất đó là chúng ta không nhất thiết phải giới hạn định nghĩa vectơ tại một điểm. Mặt khác chúng ta có thể nghĩ tới toàn bộ miền của đa tạp formula_11 và thông qua một hàm trơn khả vi chúng ta gắn mỗi vectơ tại mỗi điểm của miền này, qua đó định nghĩa lên "trường vectơ"
với formula_146 là giá trị của trường tại điểm P. Hơn nữa, trường vectơ được nói là "khả vi" nếu các thành phần của nó là những hàm tọa độ khả vi trong mọi hệ tọa độ. Khía cạnh thứ hai đó là vectơ chỉ là thành phần đơn giản nhất của một lớp đối tượng hình học tổng quát hơn gọi là "tenxơ". Cũng như đối vectơ hiệp biến và vectơ phản biến, ten xơ có thể coi như là những đối tượng hình học mà được "xác định" hoàn toàn theo những tính chất dưới một phép biến đổi tọa độ.
Nhất quán với cách tiếp cận này, chúng ta định nghĩa một "tenxơ phản biến hạng hai" là một đối tượng hình học formula_147, mà các thành phần biến đổi tuân theo quy tắc sau khi chuyển từ hệ tọa độ formula_27 sang hệ mới formula_28
Tương tự chúng ta có thể định nghĩa "tenxơ hiệp biến hạng hai" là một đối tượng hình học formula_147, mà các thành phần biến đổi tuân theo quy tắc sau khi chuyển từ hệ tọa độ formula_27 sang hệ formula_28
Nếu hệ tọa độ là thông thường, cả hai biểu thức () và () sẽ thừa nhận phép biến đổi ngược và có thể suy ra trực tiếp dựa trên các biểu thức () và (). Một cách tự nhiên, chúng ta có thể định nghĩa "tenxơ hỗn hợp" là một đối tượng hình học có cả thành phần hiệp biến và phản biến. Do vậy, ví dụ, chúng ta có thể định nghĩa tenxơ hỗn hợp loại (4,2) (tức là nó có bốn thành phần phản biến và hai thành phần hiệp biến) formula_153 mà quy tắc biến đổi khi chuyển từ hệ tọa độ formula_27 sang hệ formula_28 là
và biến đổi ngược sẽ là
Từ hai ví dụ trên sẽ không khó để hình dung ra cách xây dựng một tenxơ với số thành phần phản biến và hiệp biến là bất kỳ. Chúng ta có thể xây dựng lên không gian vectơ formula_156 là tập hợp mọi tenxơ kiểu (m, n), ví dụ formula_157.
Giờ đây chúng ta có thể coi vectơ và đối vectơ như là những tenxơ kiểu đặc biệt (lần lượt là kiểu (1, 0) và (0, 1)). Viết tenxơ theo các cơ sở vectơ () và cơ sở đối vectơ () để biểu diễn một tenxơ hỗn hợp như là đối tượng hình học độc lập với hệ tọa độ. Ví dụ đối với tenxơ hỗn hợp loại (1, 1) là
với ký hiệu formula_158 là "tích tenxơ". Chú ý rằng tích này không có tính giao hoán, tức là formula_159. Do vậy, hai tenxơ formula_160 và formula_161 là hai tenxơ khác nhau.
Tương tự như đối với vectơ, chúng ta có thể định nghĩa "trường tenxơ" bằng cách gán cho mỗi tenxơ kiểu (m, n) vào từng điểm P
với formula_162 là giá trị của trường tenxơ tại P. Cũng vậy, trường tenxơ được nói là khả vi nếu các thành phần của nó là những hàm tọa độ khả vi trong mọi hệ tọa độ. Kể từ đây, chúng ta luôn luôn ám chỉ đến trường tenxơ mặc dù đôi khi chỉ viết ngắn gọn là tenxơ.
Nói chung, nếu một tenxơ có "N chỉ số" xác định trên đa tạp có "D chiều", thì nó sẽ có formula_163 thành phần. Do vậy, trong đa tạp bốn chiều mà chúng ta quan tâm, chúng ta có thể coi tenxơ là những ma trận có 4, 16, 64, 256 thành phần tương ứng với các ten xơ có 1, 2, 3, và 4 chỉ số. Có thể xảy ra trường hợp những thành phần này không độc lập hoàn toàn với nhau, như sẽ nêu ở phần dưới.
Tóm lược lại phần này:
Đại số tenxơ.
Khi sử dụng thuyết tương đối rộng không thể tránh gặp phải những tính toán với sự có mặt của tenxơ và do vậy việc làm quen với các tính toán cơ bản của đại số tenxơ là điều cần thiết, và cuối cùng chúng ta đi tới giải tích tenxơ trong phần Không thời gian cong trong thuyết tương đối rộng. Bên cạnh những tính chất tuyến tính đã gặp ở đối vectơ hay dạng một (covector, one form) trong () mà đã được mở rộng thông thường khi coi vectơ formula_3 và dạng một formula_173 là những tenxơ. Chúng ta liệt kê dưới đây một số tính chất quan trọng nhất của tenxơ cũng như các phép toán liên quan:
Theo kết quả của () và () có thể xây dựng một tenxơ đối xứng hoặc phản xứng bằng một tenxơ bất kỳ 
với các dấu ngoặc tròn và ngoặc vuông ký hiệu cho tương ứng tenxơ đối xứng và tenxơ phản xứng. Và hệ quả rõ ràng từ () đó là một tenxơ bất kỳ luôn luôn có thể phân tích ra thành tổng của tenxơ đối xứng và tenxơ phản xứng
Biểu thức () có thể mở rộng ra cho ten xơ có kiểu bất kỳ, ví dụ ten xơ đối xứng và ten xơ phản xứng hiệp biến kiểu (0,3) có thể viết dưới dạng tổng của các ten xơ có chỉ số hoán vị của nó: 
Những tính chất cuối này cho phép chúng ta đưa ra khái niệm tenxơ Levi-Civita, nó là mở rộng bốn chiều của "ký hiệu Levi-Civita" formula_185. Cụ thể, đối với một tenxơ g loại (0, 2) và với định thức "g", formula_186, chúng ta định nghĩa tenxơ Levi-Civita là
với formula_187 là "ký hiệu phản xứng toàn phần" định nghĩa bởi
Thêm vào đó, khi thực hiện thu gọn tenxơ Levi-Civita chúng ta có "tenxơ hoán vị"
mà ten xơ hoán vị chính là mở rộng của "ký hiệu Kronecker" formula_188 tức là,
Tại sao chúng ta phải sử dụng tenxơ và đại số tenxơ đối với thuyết tương đối rộng? Bởi vì trong vật lý học nói chung và thuyết tương đối nói riêng, các nhà vật lý quan tâm tới định nghĩa và xác định các đại lượng độc lập với lựa chọn hệ tọa độ cụ thể sử dụng để phủ đa tạp. Chúng ta đã thấy các thành phần của tenxơ rất phụ thuộc vào hệ tọa độ, nhưng tenxơ và quan trọng nhất là "phương trình tenxơ" lại không phụ thuộc vào hệ tọa độ. Ví dụ, chúng ta xét phương trình tenxơ sau đây trong hệ tọa độ formula_74
với k là hằng số và ta có thể coi formula_190 như là một toán tử vi phân biểu diễn dưới dạng thành phần tenxơ. Để thu được phương trình () trong hệ tọa độ formula_83 ta sử dụng trực tiếp về biến đổi tọa độ cho mỗi vế của phương trình ()
khi nhóm thừa số chung lại ta có
Vì phương trình () phải đúng trong mọi hệ tọa độ, do vậy phải có
mà nó có dạng giống hệt với phương trình (). Hay phương trình tenxơ được nói là "hiệp biến" theo nghĩa chúng có "cùng dạng" trong mọi hệ tọa độ. Kết quả là nếu chúng đúng (hay thỏa mãn) trong một hệ tọa độ, thì chúng cũng đúng trong mọi hệ tọa độ. Tính hiệp biến của phương trình tenxơ thể hiện một tính chất rất quan trọng của tenxơ và có nguồn gốc rất sâu sắc từ thuyết tương đối rộng.
Tenxơ quan trọng nhất: Tenxơ metric.
Chúng ta vẫn chưa nói tới vấn đề làm thế nào để tính "tích vô hướng" giữa hai vectơ và đo được độ lớn của một vectơ. Cả hai phép toán tích vô hướng và tìm mô đun độ lớn đòi hỏi đa tạp không thời gian được trang bị một toán tử g, đó là ten xơ đối xứng hạng 2 hay kiểu (0, 2), mà khi nó tác dụng lên hai vectơ, formula_192 thì chúng ta thu được một số
Biểu thức trên chính là định nghĩa của tích vô hướng hai vectơ, và khi tích này bằng 0 ta nói hai vectơ "trực giao" với nhau. Theo cách tương tự đã chứng minh hàm formula_193 là không phụ thuộc hệ tọa độ (phương trình ()), chúng ta có thể chứng minh tích vô hướng cũng là một đại lượng bất biến, tức là formula_194. Định nghĩa mô đun độ lớn (hay độ dài) của một vectơ bất kỳ chính là trường hợp đặc biệt của () và tương ứng với tích vô hướng của chính nó,
Bây giờ chúng ta có thể quay trở lại phần Đa tạp không thời gian và coi không thời gian như là đa tạp formula_11 mà trên đó phủ một số hệ tọa độ. Khi có hai sự kiện P tại formula_196 và Q tại formula_197 trên formula_11, chúng ta mong muốn đo được "bình phương khoảng không thời gian vô cùng bé" (hay "yếu tố đoạn"-line element), ds2, theo vectơ dời chỗ vô cùng bé dx mà các thành phần của nó chính là formula_199. Khoảng cách này chính là tích vô hướng của hai vectơ và là đại lượng "độc lập" với hệ tọa độ 
Bởi vì có vai trò trong đo khoảng cách như ở phương trình () tenxơ đối xứng g thường được gọi là "tenxơ metric" (hay chỉ đơn giản là "metric") và nó là tenxơ quan trọng nhất trong thuyết tương đối tổng quát. "Dấu" của tenxơ metric được định nghĩa bằng số giá trị riêng dương, âm hay bằng 0 của metric.
Khi đã lựa chọn hệ tọa độ để định vị và xếp thứ tự các sự kiện trong "không thời gian", tenxơ metric cho phép chúng ta "đo" được khoảng cách giữa các sự kiện và do đó thực hiện được những "phép đo vật lý". Trong khi biểu thức () chỉ giới hạn ở khoảng cách vô cùng bé, chúng ta có thể mở rộng nó ra cho khoảng cách hữu hạn và "khoảng cách riêng" giữa hai sự kiện nối với nhau bằng cung formula_55 bằng
Chúng ta có thể dễ dàng nhận ra biểu thức () rất giống với định lý Pythagoras áp dụng cho không thời gian khác với không gian Euclid. Để rõ hơn, lấy ví dụ về khoảng cách giữa hai điểm P và Q trong không gian ba chiều theo các hệ tọa độ khác nhau
Ba biểu thức trên biểu diễn cùng một khoảng cách (tức là chúng thu được cùng một số) và xuất hiện trông khác nhau bởi vì chúng được viết ra trong ba hệ tọa độ khác nhau, lần lượt là hệ tọa độ Descartes formula_201; hệ tọa độ trụ formula_202 và hệ tọa độ cầu formula_203. Rõ ràng đối với mỗi hệ tọa độ, tenxơ metric sẽ có dạng lần lượt formula_204. Chúng ta cũng thấy rằng hệ tọa độ Descartes có metric dạng đơn giản nhất và viết tương đương thành formula_205.
Định thức của tenxơ metric ký hiệu bằng formula_186 và chúng ta sử dụng nó để tính "yếu tố thể tích riêng" (proper volume element) khi tích phân trên miền không gian bốn chiều giới hạn bởi siêu mặt ∑
Hơn nữa metric là không kỳ dị khi và chỉ khi formula_207 khắp nơi đối với ánh xạ. Trong trường hợp này formula_208 có nghịch đảo formula_209 sao cho
Tính chất () cho phép chúng ta thực hiện "nâng" và "hạ" chỉ số của tenxơ bằng cách thu gọn tenxơ với tenxơ metric hoặc nghịch đảo của nó. Trong phép toán này, chỉ số được thu gọn (hay chỉ số câm) bị triệt tiêu và các chỉ số còn lại của tenxơ metric hoặc là hạ thấp (khi metric được sử dụng trong phép thu gọn) hoặc được nâng lên (trong trường hợp metric nghịch đảo được sử dụng). Ví dụ, đối với tenxơ T loại (2, 2) phép thu gọn nó với metric và metric nghịch đảo là
hoặc tổng quát hơn đối với ten xơ bất kỳ
Hai trường hợp đặc biệt đối với thu gọn ten xơ bằng ten xơ metric đó là đối với ten xơ hạng hai, khi kết quả thu gọn hoặc là dẫn tới "vết" nếu ten xơ đối xứng, hoặc bằng 0 nếu ten xơ phản xứng
Tính chất nâng và hạ chỉ số không chỉ là cách thuận tiện khi làm việc với đại số ten xơ mà còn là một cách để chứng tỏ ten xơ metric có thể được sử dụng để "ánh xạ vectơ vào dạng một". Để thấy điều này, ta hãy xem lại phương trình () và coi metric như là một toán tử tác động lên hai vectơ. Hơn nữa, nếu cố định một vec tơ, U chẳng hạn, và coi nó như là một toán tử khi tác động lên một vectơ sẽ thu được một số (hay vô hướng)
mà ở cặp phương trình đầu tiên nhấn mạnh vào tính đối xứng của toán tử khi chúng ta có kết quả như nhau nếu "điền vào" dấu chấm một vectơ. Và khi cặp phương trình thứ nhất và cặp phương trình thứ hai tác động lên một vec tơ V sẽ cho cùng một kết quả
Về cơ bản phương trình () nói rằng ten xơ metric có thể dùng để ánh xạ một vec tơ U vào một đối vec tơ (hay dạng một) Ũ mà các thành phần sẽ là Uμ. Tương tự, nghịch đảo của metric g−1 sẽ cho ánh xạ từ đối vectơ vào vectơ, do đó hoàn thiện bức tranh đầy đủ về "tính đối ngẫu" giữa vectơ và dạng một. Ngoài ý nghĩa của tenxơ metric như đã nêu, chúng ta có thể viết lại tích vô hướng dưới đây
và viết lại thành
Hay nói cách khác, các thành phần của metric trong một hệ tọa độ biểu diễn tích vô hướng của các vectơ cơ sở của hệ đó. Đặc biệt, nếu hệ vectơ cơ sở thỏa mãn formula_210 thì hệ cơ sở này được gọi là "hệ cơ sở trực chuẩn".
Tách một tenxơ thông qua vectơ.
Một tính chất hữu ích của đại số tenxơ mà có thể áp dụng cho các phương trình vật lý đó là chúng ta có thể tách một tenxơ hạng 2 theo hướng song song và vuông góc với một vectơ. Xét một trường vec tơ U mà có trực chuẩn U.U = -1 và định nghĩa "toán tử chiếu" (hay "tenxơ chiếu") h trực giao với U như là một tenxơ với các thành phần
mà nó thỏa mãn những đẳng thức sau đây
Với toán tử này chúng ta có thể tách một trường vectơ V thành các phần song song với U và trực giao với U, nghĩa là
với số hạng formula_211 là thành phần của V dọc theo U, trong khi số hạng formula_212 là thành phần của V trong không gian trực giao với U. Tương tự, có thể tách một tenxơ hiệp biến hạng 2 W bằng cách sử dụng tenxơ chiếu trên từng thành phần c]ủa nó, nhận được
với
Có thể phân tích formula_213 thành các phần đối xứng và phản đối xứng như trong biểu thức () và có
với formula_214 trong phương trình () là thành phần không gian, đối xứng và "vết tự do" của tenxơ W, tức là:
Kết quả của phân tích () có thể viết thành dạng không khả quy là
Mặc dù chúng ta vẫn chưa giới thiệu ra công cụ toán học cần thiết để tính đạo hàm theo cách không bị phụ thuộc vào hệ tọa độ (theo nghĩa hiệp biến), chúng ta vẫn có đủ công cụ toán học để miêu tả không thời gian bốn chiều đơn giản nhất, không thời gian phẳng.
Không thời gian phẳng: Thuyết tương đối hẹp.
Xét hai hệ quy chiếu "quán tính" formula_215 và formula_216 chuyển động tương đối so với nhau với "tốc độ hằng số" Bởi vì tốc độ này là thuần túy thuộc về không gian và do vậy là vectơ-ba, chúng ta sẽ ký hiệu nó là "vận tốc-ba" formula_217 với các thành phần được tính bằng
ở đây chỉ số Latin "i" chạy từ 1 đến 3 và t là tọa độ thời gian. Trong phần này, chúng ta sẽ coi formula_217 hướng dọc theo trục x trong cả hai hệ quy chiếu formula_215 và formula_216. Do vậy, formula_221. Trong vật lý Newton, phép biến đổi đúng giữa hai hệ quy chiếu được miêu tả bằng "phép biến đổi Galilei":
chúng là cơ sở cho tính bất biến của các định luật động lực học Newton Ý tưởng về một cái gì đó bị sai đến với Einstein sau khi ông nhận ra rằng phương trình Maxwell không bất biến dưới phép biến đổi Galilei () và () Thuyết tương đối hẹp đã được phát triển để giải quyết sự không tương thích này và nó là lý thuyết vật lý đầu tiên về không thời gian như là một thực thể. Mặc dù đã có nhiều thí nghiệm kiểm chứng tính đúng đắn của lý thuyết, thuyết tương đối đặc biệt có cấu trúc toán học tiên đề rất rõ ràng, khi nó dựa trên những giả sử sau đây:
Chú ý rằng, và nó cũng là hệ quả của tiên đề thứ hai, và bởi vì tốc độ ánh sáng xuất hiện trong phương trình Maxwell, c phải có giá trị như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Cấu trúc tô pô và vi phân của thuyết tương đối hẹp là giống với cấu trúc toán học của lý thuyết Newton nhưng với định nghĩa khác về khoảng cách hay khác về mêtric. Trong hệ tọa độ Descarte, tenxơ metric formula_208 của không thời gian trong thuyết tương đối hẹp, hay không thời gian Minkowski là
Mêtric này còn gọi là "mêtric không thời gian phẳng" do độ cong hình học tương ứng của không gian bằng 0 ở khắp nơi (xem Tenxơ Riemann). Nguyên tố đoạn () viết theo metric () được viết thành
Rõ ràng là, trong cùng một không thời gian phẳng, một hệ tọa độ khác - ví dụ hệ tọa độ cầu, sẽ cho tenxơ mêtric khác với dạng của (). Tuy nhiên có một định lý quan trọng đối với không thời gian phẳng đó là: độc lập với hệ tọa độ dùng để bao phủ đa tạp không thời gian phẳng, luôn luôn có một biến đổi tọa độ "toàn cục" để đưa tenxơ mêtric của hệ tọa độ đó về dạng ().
Chúng ta vẫn phải tìm ra phép biến đổi chính xác thay thế cho biến đổi Galilei ở trong () và () và cũng là cốt lõi của thuyết tương đối hẹp. Bên cạnh thể hiện được sự chuyển đổi từ hệ quy chiếu quán tính formula_215 sang formula_216 và đáp ứng được đòi hỏi về tính bất biến của nguyên tố đoạn formula_225 (xem phần ), phép biến đổi cũng phải đáp ứng được những điều kiện khác. Không những formula_226 không thay đổi giá trị mà nó phải giữ nguyên dạng phương trình khi chuyển sang hệ quy chiếu quán tính khác, hay formula_227. Điều kiện thứ hai này là cần thiết vì nếu không sẽ có cách phân biệt các hệ quy chiếu quán tính. Phép biến đổi Lorentz đáp ứng được những điều kiện này:
trong đó
là "hệ số Lorentz" có giá trị bằng 1 (khi V = 0) và tiến tới formula_230 khi V formula_231 1. Sử dụng (), dạng ma trận cho biến đổi vectơ giữa các hệ tọa độ trong thuyết tương đối hẹp - hay "ma trận biến đổi Lorentz" (xem phần Vectơ tiếp tuyến)
mà cần nhấn mạnh một lần nữa đó là biến đổi tọa độ này tương đương với sự chuyển đổi giữa các hệ quy chiếu quán tính. Chú ý rằng ma trận biến đổi () có dạng đối xứng, và vì vậy nó bằng ma trận chuyển vị của nó, ma trận có định thức bằng 1 vì ma trận nghịch đảo có thể nhận được bằng cách thay V bằng -V. Ma trận nghịch đảo này có thể dùng cho phương trình () để tìm hệ cơ sở vectơ đơn vị của quan sát viên formula_232 theo hệ cơ sở vectơ đơn vị của quan sát viên formula_233.
Tất cả những hệ quả kỳ lạ của thuyết tương đối hẹp mà không có ở vật lý Newton, như khái niệm về "tính tương đối của sự đồng thời", "sự co độ dài Lorentz", sự "giãn thời gian", "nghịch lý sinh đôi" đều có thể rút ra từ các phương trình () (). Hai sự kiện P và Q được nói là "tách nhau kiểu thời gian" nếu nguyên tố đoạn giữa chúng ds2 &lt; 0, theo nghĩa trong mỗi hệ quy chiếu khoảng cách không gian giữa hai sự kiện formula_234 luôn có thể đạt tới bằng một vật chuyển động với vận tốc v &lt; c trong khoảng thời gian formula_235. Khi ds2 = 0 hai sự kiện được nói là "tách nhau rỗng" và chúng chỉ có thể liên hệ nhân quả được với nhau thông qua tia sáng. Lấy một sự kiện P(xi, t) bất kỳ trong không thời gian, tập hợp các tia sáng từ nó sẽ định ra nón ánh sáng của P về quá khứ và trong tương lai phụ thuộc vào hướng đến hay hướng ra của tia sáng. Cuối cùng hai sự kiện P và Q được nói là "tách nhau kiểu không gian" nếu ds2 &gt; 0, hàm ý rằng trong mọi hệ quy chiếu khoảng cách không gian dl giữa hai sự kiện luôn luôn lớn hơn khoảng cách mà ánh sáng có thể lan truyền trong khoảng thời gian formula_235. Nội dung này được thể hiện trong hình 1.1 với nón ánh sáng quá khứ và tương lai của sự kiện P. Hai sự kiện được nói là có "liên hệ nhân quả" nếu và chỉ nếu chúng nằm trong nón ánh sáng của nhau.
Chúng ta có thể mở rộng khái niệm này đối với vectơ: một vectơ-bốn bất kỳ U gọi là "vectơ kiểu thời gian", "kiểu không gian" và "vectơ rỗng" nếu có tương ứng U.U &lt; 0, U.U &gt; 0, U.U = 0, các ví dụ về những vec tơ này được thể hiện trong hình 1.1.
Nếu hai sự kiện tách nhau kiểu thời gian, thì khoảng thời gian tối thiểu dτ giữa chúng đo bởi một quan sát viên khi anh ta thực hiện gán cho mỗi sự kiện có cùng tọa độ không gian, hay dx = dy = dz = 0, do vậy ds2 = -dt2 = -dformula_2372. Bời vì tính bất biến của nguyên tố đoạn, điều kiện này phải thỏa mãn trong mọi hệ quy chiếu khác, nơi chúng có dạng
 
từ đó ta có
Bởi vì formula_237 là thời gian đo bởi quan sát viên từ đồng hồ gắn liền với anh ta, nên thời gian này thường được gọi là "thời gian riêng".
Từ đây, chúng ta định nghĩa ra "vectơ-bốn vận tốc" u:
mà chúng ta coi nó như là một vec tơ tiếp tuyến tiếp xúc với đường cong được xác định bởi tham số formula_237 (xem phương trình ()), ví dụ tuyến thế giới của hạt nếu u là vận tốc-bốn của hạt. Hơn nữa, theo định nghĩa của thời gian riêng formula_237 trong () có thể dễ dàng kết luận rằng vectơ-bốn vận tốc u phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
Các biểu thức () và () được viết cho trường hợp tổng quát, do vậy chúng cũng đúng cho trường hợp được viết trong không thời gian cong mà sẽ giới thiệu ở phần tiếp theo. Dễ dàng thiết lập lên mối liên hệ giữa vectơ-bốn vận tốc u và vận tốc-ba không gian formula_241 và nó được biểu diễn thông qua thành phần của vectơ-bốn vận tốc
từ đây vận tốc-ba được biểu diễn bằng
Lưu ý rằng trong hệ tọa độ mà hạt đứng yên, formula_242 vectơ-bốn vận tốc có thành phần formula_243. Kết quả là, trong hệ quy chiếu mà hạt đứng yên, vectơ-bốn vận tốc có hướng chỉ theo vectơ cơ sở thời gian formula_244. Bây giờ giả sử hệ quy chiếu formula_232 chuyển động với vận tốc V dọc theo trục x so với hệ quy chiếu formula_233, và vận tốc-ba của hạt trong formula_233 là formula_248 cũng như trong formula_232 là formula_250, chúng ta có "định luật cộng vận tốc" đối với vận tốc-ba
Có thể dễ dàng nhận ra rằng định luật () thu về "định luật cộng vận tốc Galilei" formula_251 khi formula_252.
Nếu "m" là "khối lượng nghỉ" của hạt thì "động lượng tương đối tính" của nó được định nghĩa bằng:
và các thành phần của nó là:
"Năng lượng tương đối tính" được định nghĩa bằng:
mà nó trùng với thành phần thứ 0 của động lượng-bốn
và thỏa mãn
Với formula_253, sử dụng khai triển Taylor theo đối số formula_254 giúp nhận rõ ra được năng lượng tương đối tính khác so với năng lượng trong cơ học Newton như thế nào:
Trong khi số hạng thứ hai chính là động năng của hạt trong cơ học Newton thì số hạng thứ nhất lại mới lạ và vắng mặt trong cơ học cổ điển. Nó biểu diễn cho "năng lượng nghỉ" của hạt
mà giá trị này khác 0 ngay cả khi hạt đứng yên. Hiệu số E - E0 được coi là "động năng tương đối tính"
Chú ý rằng, khi v = 1 cả động năng và năng lượng phân kỳ cho thấy bản chất không có một vật thể với khối lượng hữu hạn nào có thể chuyển động với vận tốc ánh sáng được. Tuy nhiên, photon, hạt lượng tử ánh sáng, có khối lượng bằng 0 nhưng nó vẫn có động lượng
Một lưu lý khác, đó là vận tốc-bốn () không xác định cho photon (và những hạt không có khối lượng khác) vì chúng di chuyển trên tuyến thế giới rỗng (null worldline), do vậy thời gian riêng của chúng bằng 0 và khoảng bất biến formula_255. Điều này tương đương với phát biểu không có hệ quy chiếu chuyển động cùng với photon và do đó chúng đứng yên trong hệ đó.
Không thời gian cong: Thuyết tương đối rộng.
Như đã thảo luận ở phần trước, thuyết tương đối hẹp dựa trên sự tồn tại của "hệ quy chiếu quán tính", những hệ chuyển động với vận tốc không đổi và luôn luôn có thể gắn lên chúng những hệ tọa độ mà khoảng cách riêng và thời gian riêng không phụ thuộc vào vị trí. Trong khi thuyết tương đối đặc biệt và những hệ quả của nó đã được kiểm tra vô số lần trong các máy gia tốc vật lý hạt năng lượng cao, nơi bỏ qua được tác động của lực hấp dẫn, rõ ràng rằng các tiên đề cơ sở của thuyết tương đối hẹp không phù hợp với sự có mặt của một trường hấp dẫn. Xem thêm các bài thí nghiệm Eötvös và GPS về những cơ sở thực nghiệm cho thấy điều này. Cũng nhận thấy rằng các phương trình của cơ học Newton không bất biến dưới phép biến đổi Lorentz (tính bất biến của phương trình Maxwell là một đòi hỏi cơ bản trong sự phát triển của thuyết tương đối hẹp). Kết quả là, tương tác hấp dẫn phải cần thiết xuất hiện thông qua sự mở rộng các định luật vật lý bao hàm các tiên đề của thuyết tương đối hẹp. Như chỉ ra ở bên dưới, điều này cho phép việc mở rộng các khái niệm và định nghĩa trong không thời gian như là một đa tạp phẳng sang thành một đa tạp cong.
Về mặt lịch sử, xuất phát điểm của sự phát triển thuyết tương đối tổng quát đó là trình bày cách phát biểu của "nguyên lý tương đương". Trong cách phát biểu "mạnh": nguyên lý tương đương khẳng định rằng "các định luật vật lý trong một hệ quy chiếu rơi tự do là giống với khi chúng ở trong hệ quy chiếu quán tính". Nội dung này đến từ thực tế rằng, ít nhất trên phạm vi cục bộ, không thể phân biệt được thông qua các thí nghiệm và đo đạc vật lý một hệ quy chiếu quán tính với một hệ quy chiếu đang rơi tự do trong trường hấp dẫn. Trong cả hai hệ, chuyển động của vật không phụ thuộc vào khối lượng cũng như thành phần vật liệu cấu tạo nên nó. Bản chất của nguyên lý đó là hấp dẫn ngăn cản sự tồn tại của một hệ quy chiếu quán tính và cách để tạo ra một hệ quy chiếu quán tính đó là loại bỏ hấp dẫn bằng quá trình rơi tự do. Cũng có dạng phát biểu "yếu"của nguyên lý tương đương, tạo thành phát biểu bổ sung cho nguyên lý tương đương mạnh: "các định luật vật lý trong một hệ quy chiếu không quán tính (có gia tốc) là như nhau so với khi chúng trong hệ quy chiếu nhúng vào một trường hấp dẫn." Bản chất của cách phát biểu thứ hai này đó là trường hấp dẫn thể hiện giống với hệ quy chiếu phi quán tính (có gia tốc).
Theo sau sự logic này, lý thuyết bao gồm các hiệu ứng hấp dẫn bắt đầu từ sự phân tích các hệ quy chiếu phi quán tính, cụ thể hơn, từ tính chất quan trọng của chúng khi được miêu tả bằng một metric mà không thể đưa về dạng (). Lúc đó nguyên lý tương đương được sử dụng để tìm ra sự biểu hiện của một trường hấp dẫn mà gắn liền với một tenxơ mêtric mà sẽ khác hẳn với dạng (). Ví dụ, giả sử trong không thời gian phẳng phủ bởi hệ tọa độ Descarte chúng ta thực hiện sự thay đổi hệ tọa độ thông qua biến đổi tọa độ, từ một hệ quy chiếu quán tính sang hệ quy chiếu khác quay với vận tốc góc formula_256 quanh trục z:
Hệ quy chiếu mới rõ ràng là phi quán tính (do xuất hiện lực hướng tâm và lực Coriolis) và mêtric trong hệ quy chiếu mới này thay đổi từ dạng chéo hóa như ở () thành dạng không chéo hóa biểu diễn bằng nguyên tố đoạn:
Ở đây, một hệ quy chiếu phi quán tính, mà chúng ta đã thấy là có liên quan đến trường hấp dẫn, có thể được miêu tả bằng một mêtric không có dạng đường chéo. Từ ví dụ này có thể phỏng đoán rằng mêtric miêu tả trường hấp dẫn có thể khác với dạng mêtric trong (). Theo nghĩa này, hấp dẫn không còn được coi là một dạng "lực nữa" mà là biểu hiện của sự cong không thời gian.
Chú ý rằng, trong ví dụ ở trên, không thời gian luôn luôn là phẳng độc lập với cách chọn hệ quy chiếu, do vậy luôn có thể từ mêtric () viết trở lại dạng biểu diễn ma trận có tính đối xứng với các hệ số không đổi. Điều này là không thể trong không thời gian cong chân chính và đây quả thực là một trong những tính chất khác biệt của không thời gian cong, mà chúng ta có thể coi nó là phẳng trên phạm vi cục bộ, trong khi không thời gian phẳng lại phẳng trên phạm vi toàn cục.
Bây giờ chúng ta có thể tóm lược những miêu tả ở trên, đặc biệt về tenxơ mêtric miêu tả trường hấp dẫn, để đi đến định nghĩa toán học chính xác về không thời gian không phẳng. Cụ thể hơn, chúng ta xác định một không thời gian cong là một đa tạp mà một điểm formula_257 trên nó có thể xác định được một tập hợp hệ tọa độ formula_38 sao cho mêtric giả sử có dạng
Nói cách khác, trong khi một không thời gian cong có thể xuất hiện dưới dạng phẳng cục bộ trong lân cận của một điểm của "bất kỳ", với formula_259, nó không thể phẳng khi xét trên "mọi" điểm. Kết luận này và với độ yếu của trường hấp dẫn trên Trái Đất cũng giải thích sự thành công của thuyết tương đối hẹp khi nó miêu tả với độ chính xác cao các hiện tượng và kết quả vật lý trên phạm vi nhỏ của mọi thí nghiệm trong các phòng thí nghiệm.
Đạo hàm Lie.
Một khái niệm hữu ích khi lần đầu tiên thảo luận về đạo hàm trong không thời gian cong đó là đạo hàm Lie của một trường vectơ tương ứng với một trường vectơ khác. Để đưa ra toán tử vi phân mới này, đầu tiên chúng ta cần gắn cho một trường vectơ bất kỳ formula_260 một họ các đường cong formula_261, gọi là "đoàn đường cong" của formula_3, với formula_3 là vectơ tiếp tuyến, tức là
với formula_54 là tham số thay đổi dọc cung. Thứ hai, chúng ta thấy rằng sự hội tụ cung cấp một ánh xạ formula_265 từ đa tạp vào chính nó. Thực tế, tại một điểm P bất kỳ trên đa tạp, tồn tại một và chỉ một đường cong thuộc đoàn đường cong đi qua nó. Do vậy điểm P có thể được ánh xạ vào điểm Q bằng cách "kéo" P dọc theo cung thuộc đoàn đường cong mà nó thuộc về, tức là
với formula_266 với formula_55 là đường cong thuộc đoàn đường cong đi qua hai điểm P và Q. Rõ ràng là ánh xạ () có thể "kéo" không chỉ các điểm mà còn là toàn bộ một đường cong hay tập hợp của các điểm. Bây giờ giả sử có một trường vectơ thứ hai formula_268 gắn với đoàn formula_269. Ý tưởng cơ bản về đạo hàm Lie của trường vectơ formula_268 tương ứng với trường vectơ formula_3 đó là so sánh vectơ formula_272 với vectơ nhận được sau khi kéo formula_273 dọc theo đoàn đường cong của formula_3. Theo đó, đạo hàm Lie của formula_268 dọc theo formula_3 là
với formula_277 là vectơ thu được bằng cách lấy vectơ tiếp tuyến tại điểm P thuộc đường cong của đoàn đường cong formula_269 và kéo (hay dịch chuyển) nó từ P tới Q. Hình 1.2 minh họa hai họ đoàn đường cong và các vectơ tiếp tuyến tương ứng trên chúng.
Theo thành phần tọa độ, phương trình () có thể biểu diễn theo phép biến đổi tọa độ như sau:
Vì lý do này mà cơ sở trực chuẩn như () và () còn được coi là "cơ sở phi tọa độ". Kể từ đây chúng ta sẽ ám chỉ cơ sở trực chuẩn với ký hiệu "mũ" bên trên chỉ số hiệp biến.
Định nghĩa đạo hàm Lie là rất cơ bản mà có thể xác định khi không cần một liên thông hay mêtric nào.
Đạo hàm hiệp biến và ký hiệu Christoffel.
Khi xây dựng một toán tử vi phân mới nhằm mở rộng khái niệm đạo hàm từng phần sang cho không thời gian cong, chúng ta đã biết nó phải có tính chất chính xác gì. Đó là, khi tác dụng lên một tenxơ, toán tử vi phân mới này sẽ phải cho kết quả là một tenxơ mới. Đạo hàm từng phần chỉ thỏa mãn tính chất này đối với các phép biến đổi tọa độ tuyến tính. Tuy nhiên, dưới những điều kiện tổng quát hơn, chẳng hạn cho các biến đổi phi tuyến, kết quả của đạo hàm riêng không có tính chất giống như tenxơ. Ví dụ, xét biến đổi