Không gian tích trong

Trong toán học, một không gian tích trong hay không gian Hausdorff tiền Hilbert là một không gian vectơ được trang bị một phép toán hai ngôi gọi là tích trong. Phép toán này liên kết mỗi cặp vectơ trong không gian với một đại lượng vô hướng gọi là tích trong của các vectơ, thường được ký hiệu bởi dấu bra-ket (ví dụ formula_1.) Tích trong cho phép định nghĩa các khái niệm trực quan hình học như độ dài của một vectơ hay góc giữa hai vectơ. Chúng cũng cung cấp các cách định nghĩa tính trực giao giữa hai vectơ (tích trong bằng 0). Không gian tích trong tổng quát hóa không gian Euclid (trong đó tích trong chính là tích vô hướng) cho các không gian vectơ với số chiều bất kỳ (có thể vô hạn), và được nghiên cứu trong giải tích hàm. Không gian tích trong trên trường số phức đôi khi được gọi là không gian unita. Khái niệm không gian vectơ với một tích trong lần đầu tiên được sử dụng bởi Giuseppe Peano, vào năm 1898.
Một không gian tích trong thường tạo ra một chuẩn liên hệ với nó, (trong ảnh, |"x"| và |"y"| là các chuẩn của và ), một cách chính tắc nó làm cho mọi không gian tích trong là không gian vectơ định chuẩn. Nếu không gian định chuẩn này cũng là một không gian Banach thì không gian tích trong được gọi là không gian Hilbert. Nếu một không gian tích trong không là không gian Hilbert thì nó có thể được "bổ sung" để trở thành không gian Hilbert , gọi là làm đầy đủ hóa. Nói một cách rõ ràng, điều này nghĩa là được nhúng tuyến tính và đẳng cự vào một không gian con trù mật của và sao cho tích trong trên là sự bổ sung liên tục của không gian tích trong ban đầu .
Định nghĩa.
Trong bài này, trường vô hướng, ký hiệu là trường số thực formula_2 hoặc trường số phức formula_3.
Không gian tích trong, một cách chính thức là một không gian vectơ trên trường cùng với một ánh xạ
gọi là một tích trong nếu nó thỏa mãn các điều kiện tiên đề (1), (2), và (3) sau đây đối với mọi vectơ và mọi vô hướng :
Ba điều kiện trên là các tính chất định nghĩa một tích trong, đó là lý do tại sao tích trong đôi khi được định nghĩa (một cách tương đương) là một "dạng Hermite xác định dương". Một tích trong có thể được định nghĩa một cách tương đương là một dạng nửa tuyến tính xác định dương.
Giả thiết rằng (1) được thỏa mãn, điều kiện (3) cũng sẽ được thỏa mãn khi và chỉ khi hai điều kiện thêm (4) và (5) dưới đây được thỏa mãn:
Các điều kiện (1) đến (5) được thỏa mãn bởi mọi tích trong.
Tính chất sơ cấp.
Tính xác định dương và tuyến tính tương ứng đảm bảo rằng:
Từ tính đối xứng liên hợp suy ra là thực với mọi , bởi vì
Tính đối xứng liên hợp và tuyến tính đối với đối số thứ nhất dẫn đến
đây tức là tính tuyến tính liên hợp đối với đối số thứ hai. Vì vậy, một không gian tích trong là một dạng nửa tuyến tính.
Có thể suy ra tổng quát hóa sau đây của khai triển bình phương của tổng:
Các tính chất sau đây hợp thành tính tuyến tính đối với đối số thứ nhất và thứ hai:
còn được gọi là "tính cộng".
Với trường hợp formula_19 tính đối xứng liên hợp được đơn giản về tính đối xứng, còn tính nửa tuyến tính trở thành tính song tuyến. Vì thế một tích trong trên một không gian vectơ thực là một . Tức là,
và khai triển nhị thức trở thành:
Định nghĩa, ký hiệu khác và chú thích.
Một trường hợp đặc biệt thường gặp của tích trong là tích vô hướng của hai vectơ, thường được ký hiệu bởi dấu chấm ở giữa formula_22
Một số tác giả, đặc biệt trong lĩnh vực vật lý và đại số ma trận thường định nghĩa tích trong và dạng nửa tuyến tính nhưng với tính tuyến tính của nó là ở đối số thứ hai thay vì thứ nhất. Vậy đối số thứ nhất có tính tuyến tính liên hợp thay vì thứ hai. Trong các ngành này chúng ta thường viết tích trong formula_23 là formula_24 (ký hiệu bra-ket của cơ học lượng tử), tương ứng là (tích vô hướng với quy ước lập tích ma trận , lấy hàng của nhân cột của ).
Một số ví dụ.
Số thực.
Ví dụ đơn giản nhất là các số thực với tích thông thường giữa các số là tích trong
Không gian vectơ Euclid.
Tổng quát, không gian thực chiều formula_26 với tích vô hướng là một không gian tích trong, là một ví dụ của không gian vectơ Euclid.
trong đó là chuyển vị của .
Không gian tọa độ phức.
Dạng tổng quát của một tích trong trên formula_28 được gọi là dạng Hermite và được cho bởi
trong đó là một ma trận Hermite nửa xác định dương và là chuyển vị liên hợp của .
Tích trong phức thường gặp nhất là tích vô hướng chính tắc phức, trong đó ma trận được chọn là ma trận đơn vị.
Không gian Hilbert.
Bài viết về không gian Hilbert có một số ví dụ về không gian tích trong, trong đó metric được tạo bởi tích trong tạo ra không gian metric đầy đủ. Một ví dụ của không gian tích trong tạo ra một metric không đầy đủ là không gian formula_30 của các hàm giá trị phức liên tục formula_31 và formula_32 trên đoạn formula_33 Tích trong của chúng là
Không gian này là không đầy đủ; lấy ví dụ, trên đoạn [−1; 1] với dãy hàm "bước" liên tục được xác định bởi:
Dãy này là một dãy Cauchy với chuẩn tạo bởi tích trong trước không hội tụ thành "hàm liên tục".
Biến ngẫu nhiên.
Với hai biến ngẫu nhiên và , giá trị kỳ vọng của tích của chúng là một tích trong.
Trong trường hợp này, khi và chỉ khi (tức là gần như chắc chắn ). Định nghĩa tích trong dưới dạng giá trị kỳ vọng này còn có thể được mở rộng đối với các vectơ tự do.
Ma trận thực.
Với hai ma trận thực vuông cùng cỡ, với chuyển vị chính là phép liên hợp, tức là
là một tích trong.
Chuẩn.
Không gian tích trong là không gian vectơ định chuẩn với chuẩn ("norm") được định nghĩa bởi
Vì với mọi không gian vectơ định chuẩn, không gian tích vô hướng là không gian metric với khoảng cách được định nghĩa bởi
Các tiên đề của tích trong đảm bảo rằng ánh xạ trên tạo ra một chuẩn, có các tính chất sau.