Biến đổi Fourier lượng tử

Biến đổi Fourier lượng tử là một phép biến đổi tuyến tính trên các qubit (đơn vị cơ bản của thông tin lượng tử), phép biến đổi này tương tự như biến đổi Fourier rời rạc. Biến đổi Fourier lượng tử là một trong những thuật toán lượng tử quan trọng nhất, nó thường là một phần của các thuật toán lượng tử khác, đặc biệt là thuật toán Shor để phân tích thừa số nguyên tố và tính toán các logarit rời rạc.
Biến đổi Fourier lượng tử dựa trên thuật toán biến đổi Fourier nhanh của James Cooley và John Tukey. Nó có thể được thực hiện hiệu quả trên máy tính lượng tử, bởi nó có thể triệt tiêu các thành phần bằng cách nhân với các ma trận unita (áp dụng toán tử formula_1). Biến đổi Fourier lượng tử có thể được cài đặt và thực hiện trên một mạch lượng tử.
Định nghĩa.
Biến đổi Fourier rời rạc "cổ điển" được định nghĩa như sau:
Dãy của "N" số phức:formula_2 được biến đổi thành chuỗi của "N" số phức formula_3 bởi công thức sau đây:
với "e" là cơ số của lôgarit tự nhiên, formula_5 là đơn vị ảo (formula_6), và formula_7 là số pi.
Đặt formula_8, ta được:
formula_9
Như vậy, ta có thể xây dựng phép biến đổi Fourier thành ma trận unita formula_10 như sau:
Tương tự với "cổ điển", ta dùng các vector biểu diễn trạng thái lượng tử rồi áp dụng toán tử formula_1, hay nói cách khác là áp dụng ma trận trên.
Khi áp dụng cho một xâu n-qubit, ta được:
formula_13
Tính chất.
Tính đối xứng.
Xét với biến đổi Fourier "cổ điển":
Đặt 2 vector formula_14 và formula_15.Chúng ta có thể viết lại công thức formula_16 như sau:
formula_17
Với formula_18 là ma trận biến đổi tuyến tính của ma trận có các phần tử là:
formula_19
Từ công thức formula_20, ta suy ra:
formula_21
Hay nói cách khác, formula_18 là ma trận đối xứng.
Tương tự, ở biến đổi Fourier lượng tử, ta xét trạng thái formula_23.
Sử dụng toán tử formula_1 tác động và trạng thái formula_23, biến đổi sang trạng thái formula_26.
formula_27
Từ đó, ta thấy các phần tử ma trận của toán tử formula_1 là:
formula_29
Như vậy, formula_1 cũng đối xứng.
Unita.
Để chứng minh tính unita của biến đổi Fourier lượng tử, ta cần biết đến hai công thức sau:
Đầu tiên, ta cần biết đến tổng hình học:
formula_31
Tiếp theo là:
formula_32
Chứng minh công thức này như sau:
Do formula_37 và formula_38 với formula_35
Áp dụng 2 công thức formula_40 và formula_41, ta có:
formula_42
Như vậy ta đã chứng minh biến đổi Fourier lượng tử có tính Unita
Ví dụ.
Xét một vài trường hợp đơn giản.
Với trường hợp chỉ có 1 qubit, ta có formula_44 và formula_45 trạng thái lượng tử cơ bản. Biến đổi Fourier lượng tử trong trường hợp này như sau:
formula_46
formula_47
Trong trường hợp này ta dễ thấy ma trận biến đổi của phép biến đổi Fourier lượng tử là:
Ma trận trên tương tự như ma trận của cổng Hadamard. Vì thế, mạch lượng tử được sử dụng trong việc biến đổi Fourier lượng tử cho 1 qubit chỉ dùng 1 cổng Hadamard.
Xét trong trường hợp 2 qubit, ta có formula_49 và formula_50 trạng thái lượng tử cơ bản. Ta quy định formula_51, formula_52, formula_53, formula_54. Ta có:
formula_55
formula_57
formula_59
formula_61
Ma trận của phép biến đổi:
Với trường hợp này, mạch lượng tử của biến đổi Fourier lượng tử ngoài các cổng Hadamard, còn cần sử dụng thêm một cổng điều khiển xoay pha formula_64.
Mạch lượng tử của trường hợp 1, 2 và 3 qubit đầu vào được mô hình trình diễn trên wolfram
Sơ đồ mạch lượng tử.
Như đã nói ở trên, biến đổi Fourier lượng tử là một thuật toán lượng tử nên có thể được cài đặt và thực hiện nhờ một mạch lượng tử.
Với một hệ cơ sở trực chuẩn là các vector:
Ta có thể biểu diễn một số x dưới dạng sau:
formula_66
với formula_67
Theo công thức formula_68, thì ta thực hiện biến đổi Fourier lượng tử như sau:
Như vậy, biến đổi Fourier rời rạc trên trạng thái lượng tử của n qubit (để biểu diễn số formula_70) có thể thực hiện dễ dàng nhờ mạch lượng tử bên. Trên thực tế, mỗi qubit đơn có thể được thực hiện hiệu quả dựa vào cổng Hadamard và cổng điều khiển xoay pha. Tổng số lượng cổng sử dụng là formula_71 cổng.
Độ phức tạp.
Như các ví dụ trên và mạch lượng tử tổng quát, ta dễ thấy để triệt tiêu các thành phần, các phép biến đổi Fourier rời rạc được thực hiện qua formula_72 cổng Hadamard và các cổng điều khiển xoay pha formula_73, với formula_74 là số lượng qubit cần biến đổi, formula_75. Trong khi đó, phép biến đổi Fourier rời rạc "cổ điển" cần dùng formula_76 (với formula_74 là số lượng bit cần biến đổi). Đây là độ phức tạp thuật toán trong thời gian đa thức. Tuy nhiên, biến đổi Fourier lượng tử áp dụng trên một trạng thái lượng tử còn biến đổi Fourier rời rạc "cổ điển" lại áp dụng trên một vector, nên không phải tất cả công việc sử dụng biến đổi Fourier rời rạc "cổ điển" có thể tận dụng mức độ tăng độ phức tạp cấp số nhân này.
Ngày nay, trường hợp tốt nhất của thuật toán biến đổi Fourier lượng tử, chỉ sử dụng formula_78 cổng lượng tử, đã đạt được hiệu quả tốt.
Ứng dụng.
Biến đổi Fourier lượng tử là một thuật toán lượng tử quan trọng, nó thường là một phần của các thuật toán lượng tử khác, đặc biệt là thuật toán Shor để phân tích thừa số nguyên tố và tính toán các logarit rời rạc, thuật toán dự đoán pha lượng tử để ước tính giá trị riêng của các toán tử unita, và các thuật toán về vấn đề phân nhóm ẩn.