Căn bậc n

Trong toán học, căn bậc của một số là một số , mà lũy thừa bậc của sẽ bằng :
trong đó là "bậc" của căn. Căn bậc của hai được gọi là căn bậc hai, căn bậc của ba được gọi là căn bậc ba. Các bậc cao hơn được gọi theo đúng tên số thứ tự, "căn bậc bốn", "căn bậc mười hai"..v.v.
Phép tính căn bậc của một số được gọi là khai căn hay căn thức.
Ví dụ:
Một số thực hoặc số phức có căn của bậc . Trong khi căn của 0 không có sự khác biệt (tất cả đều bằng 0), căn bậc của bất cứ số thực hay số phức nào khác đều khác biệt nhau. Nếu là số chẵn và số dưới căn là số thực và số dương, một căn của nó là số dương và một căn là số âm, các số còn lại là số phức nhưng không phải số thực; nếu là số chẵn và số dưới căn là số thực và âm, không có căn nào của nó là số thực. Nếu là số lẻ và số dưới căn là số thực, một căn của nó sẽ là số thực và cùng dấu với số dưới căn, trong khi các căn khác không phải số thực.
Trong vi tích phân, căn được biểu diễn dưới dạng lũy thừa, trong đó số mũ là một phân số:
Định nghĩa và ký hiệu.
Căn bậc n của một số , với là số nguyên dương, là một số với số mũ bằng :
Tất cả các số thực dương có một căn dương duy nhất, được viết là formula_7. Với bằng 2 ta gọi đó là căn bậc hai và không cần phải viết . Căn có thể biểu diễn dưới dạng lũy thừa là 1/n.
Với là giá trị chẵn, các số dương có cả căn âm, trong khi các số âm không có căn thực nào. Với là giá trị lẻ, tất cả các số âm có một căn âm thực. Ví dụ, -2 có căn bậc 5, formula_8 nhưng -2 không có căn bậc sáu thực.
Tất cả các số khác không, dù là số thực hay số phức, có căn số phức khác nhau, bao gồm căn dương và căn âm. Căn bậc của 0 bằng 0.
Với phần lớn các số, căn bậc là một số vô tỉ, ví dụ:
Tất cả các căn bậc của số nguyên, hoặc của bất cứ một số đại số nào, đều thuộc đại số.
Các mã ký tự cho các biểu tượng căn là
Căn bậc hai.
Căn bậc hai của một số là một số , mà khi bình phương, sẽ bằng :
Tất cả các số thực dương có hai căn bậc hai, một số dương và một số âm. Ví dụ, căn bậc hai của 25 là 5 và -5. Căn bậc hai dương được gọi là căn bậc hai chính hoặc căn bậc hai số học hoặc căn bậc hai dương (principal square root), được biểu diễn bằng một ký hiệu căn: formula_11
Do bình phương của tất cả các số thực là một số thực dương nên các số âm không có căn bậc hai thực sự. Tuy nhiên, mọi số âm có hai căn bậc hai ảo. Ví dụ, căn bậc hai của -25 là và , với đại diện cho căn bậc hai của -1.
Căn bậc ba.
Căn bậc ba của một số là một số mà khi lũy thừa bậc ba, sẽ bằng :
Mọi số thực có duy nhất một căn bậc ba thực, được viết là formula_13. Ví dụ:
Mọi số thực có thêm hai căn bậc ba phức.
Tính chất.
Mọi số thực dương (a,b &gt; 0) có một căn bậc dương, quy luật các phép tính như sau:
Sử dụng dạng mũ formula_17 cũng giúp khử số mũ và số căn.
Vấn đề cũng có thể xảy ra khi tính căn bậc của số âm và số phức. Ví dụ:
trong khi
Dạng giản lược của biểu thức căn.
Một biểu thức căn được coi là giản lược nếu:
Ví dụ, để biểu diễn biểu thức căn formula_21 dưới dạng giản lược, chúng ta có thể tiến hành như sau. Đầu tiên, tìm một số chính phương dưới dấu căn và bỏ ra ngoài.
Tiếp theo, có một phân số dưới dấu căn, chúng ta có thể thay đổi như sau:
Cuối cùng, chúng ta bỏ căn số khỏi mẫu số như sau:
Khi ta có mẫu số với các số vô tỉ, ta có thể tìm một nhân tử để nhân cả tử số lẫn mẫu số nhằm giản lược biểu thức. Ví dụ, sử dụng phân tích nhân tử tổng của hai số có lũy thừa bậc ba:
Chuỗi vô hạn.
Căn thức hay căn có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi vô hạn:
với formula_27. Biểu thức này được rút ra từ chuỗi nhị thức.