Số chiều Hausdorff

Trong toán học, Số chiều Hausdorff (còn được biết đến như là Số chiều Hausdorff - Besicovitch) là một số thực không âm mở rộng (có thể có giá trị formula_1) ứng với một không gian metric nào đó. Số chiều Hausdorff tổng quát hóa khái niệm chiều của một không gian vectơ thực. Đó là, số chiều Hausdorff của một không gian tích trong "n"-chiều bằng "n". Ví dụ như số chiều Hausdorff của một điểm là không, số chiều Hausdorff của một đường thẳng là một, và số chiều Hausdorff của mặt phẳng là hai. Tuy nhiên có, rất nhiều tập kì dị có số chiều Hausdorff không phải là số nguyên. Khái niệm này được đưa ra vào năm 1918 bởi nhà toán học Felix Hausdorff. Nhiều sự phát triển mang tính kĩ thuật được sử dụng để tính số chiều Hausdorff cho những tập hợp có tính kì dị cao được đạt được bởi Abram Samoilovitch Besicovitch.
Việc đưa ra số chiều Hausdorff nhằm khắc phục những khuyết điểm của số chiều Topo. Chẳng hạn như số chiều Topo không thể nói lên được bất cứ điều gì về kích thước của vật. Đường cong phủ không gian là một ví dụ điển hình cho khuyết điểm này. Những đường như đường Peano hay đường Hilbert có thể phủ toàn bộ hình vuông đơn vị có số chiều Topo là hai mặc dù chúng chỉ có số chiều Topo là một. Điều đó cho thấy đường Peano hay đường Hilbert "hành xử" như có số chiều Topo là hai.
Độ đo Hausdorff.
Định nghĩa.
Cho formula_2 là một tập con không rỗng của formula_3, đường kính của formula_2, ký hiệu formula_5, được định nghĩa là formula_6. Cho formula_7, nếu formula_8 là một họ đếm được (hay hữu hạn) những tập hợp thỏa formula_9 và formula_10 với mỗi formula_11, thì formula_8 được gọi là một formula_13-phủ của F.
Giả sử formula_14 là một tập con của formula_3 và formula_16 là một số không âm. Với mỗi formula_17, đặt
Độ đo Hausdorff "s"-chiều của formula_14, ký hiệu là formula_20 được định nghĩa là formula_21.
Ở đây ta cho phép giới hạn bằng formula_1. Định nghĩa trên xác định vì khi formula_13 giảm thì số bao phủ của formula_14 giảm. Do đó formula_25 tăng, vì vậy formula_25 hội tụ khi formula_27.
Định lý.
với formula_46 và formula_47 thì với mỗi formula_48, formula_49
Số Chiều Hausdorff.
Xét tính chất sau của độ đo Hausdorff.
Nếu formula_50 và formula_8 là một formula_13-phủ của F thì 
formula_53
Do đó 
formula_54 Cho formula_27, nếu formula_56 thì formula_57 với mọi formula_50. Điều đó cho thấy có một giá trị formula_59 mà tại đó formula_60 "nhảy" từ formula_1 xuống formula_62. Giá trị đó được gọi là số chiều Hausdorff của formula_14.
Định nghĩa.
Cho formula_43. Số chiều Hausdorff của F, ký hiệu formula_65, được định nghĩa là 
Quy ước formula_67.
Số chiều Hausdorff của các Fractal.
Định nghĩa.
Một Fractal (fractal) là một vật thể hình học thường có hình dạng gấp khúc trên mọi tỷ lệ phóng đại, và có thể được tách ra thành từng phần: mỗi phần trông giống như hình tổng thể, nhưng ở tỷ lệ phóng đại nhỏ hơn. Như vậy fractal có vô hạn các chi tiết, các chi tiết này có thể có cấu trúc tự đồng dạng ở các tỷ lệ phóng đại khác nhau. Nhiều trường hợp, có thể tạo ra fractal bằng việc lặp lại một mẫu toán học, theo phép hồi quy.
Hình học Fractal là ngành toán học chuyên nghiên cứu các tính chất của fractal; những tính chất không dễ gì giải thích được bằng hình học thông thường. Ý niệm cơ bản của môn này là xây dựng phép đo đạc mới về kích thước của vật thể, do các phép đo thông thường của hình học Euclid và giải tích thất bại khi mô tả các fractal.
Tập tự đồng dạng.
Đặc điểm chung của nhiều fractal là tính tự đồng dạng, biểu hiện ở chỗ chúng có thể phân tích thành bộ phận nhỏ tùy ý mà mỗi bộ phận ấy lặp lại y hệt cấu trúc toàn thể. Tính tự đồng dạng ấy thể hiện rõ ở tập Cantor hay đường Peano, tam giác Spierpinki...
Cho formula_90 là một tập con đóng của formula_3. Một ánh xạ: formula_92 được gọi là co nếu tồn tại formula_93 sao cho formula_94
Trường hợp có dấu bằng, nghĩa là formula_95, thì S được gọi là một phép tự đồng dạng.
Cho formula_96 là các ánh xạ co. Tập con formula_97 được gọi là bất biến đối với họ các ánh xạ co formula_98 nếu
formula_99
Đặt formula_100 là tập hợp tất cả các tập con compact khác trống của formula_90.
Một formula_13-phủ của formula_103 là tập hợp những điểm cách formula_104 quá lắm là formula_13: formula_106
Lúc đó formula_100 trở thành không gian metric với khoảng các formula_108 cho bởi formula_109
Số chiều Hausdorff của tập tự đồng dạng.
Cho formula_125: formula_126 là các phép đồng dạng với tỷ số tương ứng formula_127. Một tập bất biến với họ các phép đồng dạng trên được gọi là tập tự đồng dạng (self-similar-set).Nếu tồn tại một tập mở bị chặn, không trống formula_128 sao cho formula_129 với các formula_130 rời nhau đôi một thì ta nói họ formula_98 thỏa điều kiện tập mở.
thì formula_138 với s cho bởi formula_139. Hơn thế nữa với formula_140 có được thì formula_141."
Ví dụ.
Tập Cantor được xây dựng từ đoạn thẳng formula_142 và hai phép đồng dạng formula_143 (tỉ số đồng dạng formula_144). Điều kiện tập mở được thoả mãn với formula_145 là khoảng formula_146. Vậy số chiều Hausdorff formula_16 là nghiệm của phương trình formula_148, tức formula_149.
Đệm Sierpinski được xây dựng bằng cách xuất phát từ một tam giác đều, chia nó ra bốn tam giác đều nhỏ bởi các đường nối trung điểm của các cạnh, bỏ tam giác ở giữa, rồi lặp lại cách làm đó cho mỗi tam giác còn lại, cứ thế tiếp tục mãi. Cụ thể, đệm Sierpinski được tạo bởi ba phép đồng dạng có tỉ số formula_150. Đó là formula_151,formula_152, formula_153. Điều kiện tập mở được thỏa mãn với formula_128 là phần trong của tập formula_155 trong đó formula_155 là hình tam giác ban đầu, nên số chiều Hausdorff formula_140 là nghiệm duy nhất của phương trình formula_158. Do đó formula_159.