Giá trị kỳ vọng

Trong Lý thuyết xác suất, giá trị kỳ vọng, giá trị mong đợi (hoặc kỳ vọng toán học), hoặc trung bình ("mean") của một biến ngẫu nhiên là trung bình có trọng số của tất cả các giá trị cụ thể của biến đó, hay là được tính bằng tổng các tích giữa xác suất xảy ra của mỗi giá trị có thể của biến với giá trị đó. Như vậy, nó biểu diễn giá trị trung bình mà người ta "mong đợi" thắng cược nếu đặt cược liên tục nhiều lần với khả năng thắng cược là như nhau. Lưu ý rằng bản thân giá trị đó có thể không được mong đợi theo nghĩa thông thường; nó có thể ít có khả năng xảy ra hoặc không thể xảy ra. Một trò chơi hoặc một tình huống trong đó giá trị kỳ vọng bằng 0 được gọi là một "trò chơi công bằng" ("fair game").
Ví dụ, một vòng quay roulette có 38 kết quả có thể có khả năng như nhau. Mỗi đặt cược vào một số duy nhất thắng 35 (nghĩa là nếu thắng, ta được trả 35 lần số tiền đặt cược; ngược lại mất tiền). Do đó, xét cả 38 kết quả có thể, giá trị kỳ vọng của khoản lợi thu được từ 1 đôla đặt cược cho một số duy nhất là:
nghĩa là khoảng -$0.0526. Do đó, giá trị kỳ vọng là ta sẽ mất trung bình hơn năm xu cho mỗi dola tiền đặt cược.
Định nghĩa toán học.
Thông thường, nếu formula_2 là một biến ngẫu nhiên xác định trên một không gian xác suất formula_3, thì giá trị kỳ vọng của formula_2 (ký hiệu formula_5 hoặc đôi khi formula_6 hoặc formula_7) được định nghĩa như sau
trong đó sử dụng tích phân Lebesgue. Lưu ý rằng không phải mọi biến ngẫu nhiên đều có một giá trị kỳ vọng, do có thể không tồn tại tích phân (ví dụ phân bố Cauchy). Hai biến ngẫu nhiên có cùng phân bố xác suất sẽ có giá trị kỳ vọng bằng nhau.
Nếu formula_9 là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị formula_10, formula_11... và các xác suất tương ứng là formula_12, formula_13... với tổng bằng 1, thì formula_14 có thể được tính bằng tổng của chuỗi
cũng như trong ví dụ đánh bạc nêu trên.
Nếu phân bố xác suất của formula_9 chấp nhận một hàm mật độ xác suất formula_17, thì giá trị kỳ vọng có thể được tính như sau
Định nghĩa của trường hợp rời rạc trực tiếp suy ra rằng nếu formula_9 là một hằng biến ngẫu nhiên ("constant random variable"), nghĩa là formula_20 với một formula_21 là một số thực không đổi nào đó, thì giá trị kỳ vọng của formula_9 cũng bằng formula_21.
Giá trị kỳ vọng của một hàm "g(x)" tùy ý của "x", với hàm mật độ xác suất "f(x)" có công thức
Các tính chất.
Tuyến tính.
Phép toán giá trị kỳ vọng (hay phép toán kỳ vọng) formula_25 là phép toán tuyến tính theo nghĩa sau
với hai biến ngẫu nhiên formula_9 và formula_28 bất kỳ (được định nghĩa trên cùng một không gian xác suất) và hai số thực bất kỳ formula_29 và formula_21.
Kỳ vọng có điều kiện.
Với hai biến ngẫu nhiên bất kỳ formula_31, ta có thể định nghĩa kỳ vọng có điều kiện ("conditional expectation"):
Khi đó giá trị kỳ vọng của formula_9 thỏa mãn
Do đó, đẳng thức sau là đúng:
Vế phải của đẳng thức được gọi là kỳ vọng lặp. Mệnh đề này được nói đến trong quy tắc kỳ vọng toàn thể ("law of total expectation")
Bất đẳng thức.
Nếu một biến ngẫu nhiên X luôn nhỏ hơn hay bằng một biến ngẫu nhiên Y khác, kỳ vọng của X cũng nhỏ hơn hay bằng kỳ vọng của Y:
Nếu formula_36, thì formula_37.
Đặc biệt, do formula_38 và formula_39, giá trị tuyệt đối của kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên nhỏ hơn hay bằng kỳ vọng của giá trị tuyệt đối của nó:
Biểu diễn.
Công thức sau đúng với mọi biến ngẫu nhiên giá trị thực không âm formula_41 (sao cho formula_42), và số thực formula_43 lớn hơn 0:
Không có tính nhân.
Nói chung, phép toán giá trị kỳ vọng không có tính nhân, nghĩa là formula_45 không nhất thiết bằng formula_46, ngoại trừ nếu formula_9 và formula_28 là độc lập hoặc không tương quan ("uncorrelated").
Sự không có tính nhân này dẫn đến nghiên cứu về hiệp phương sai ("covariance") và sự tương quan ("correlation").
Không bất biến về hàm.
Nói chung, phép toán kỳ vọng và hàm của các biến ngẫu nhiên không có tính hoán vị; nghĩa là
trừ trường hợp được ghi chú như ở trên.
Ứng dụng của giá trị kỳ vọng.
Các giá trị kỳ vọng của các lũy thừa của formula_9 được gọi là mômen ("moment") của formula_9; mômen quanh trung bình ("moment about the mean") của formula_9 là các giá trị kỳ vọng của các lũy thừa của formula_53. Mômen của một số biến ngẫu nhiên có thể được sử dụng để xác định phân bố của chúng, bằng các hàm sinh mômen ("moment generating function") của chúng.
Để ước lượng bằng thực nghiệm giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên, người ta liên tục thực hiện các quan sát về biến đó và tính trung bình cộng của các kết quả. Quy trình này ước lượng giá trị kỳ vọng thực sự bằng một cách không thiên lệch và có tính chất cực tiểu hóa tổng bình phương của các thặng dư (tổng bình phương của các hiệu giữa các quan sát và ước lượng). Luật số lớn chứng minh rằng (trong điều kiện ôn hòa) khi kích thước của mẫu thống kê lớn lên thì phương sai của ước lượng này sẽ nhỏ đi.
Trong Cơ học cổ điển, tâm khối ("center of mass") là khái niệm tương đương với giá trị kỳ vọng. Ví dụ, giả sử formula_9 là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị formula_55 và các xác suất tương ứng formula_56. Xét một thanh ngang có trọng lượng không đáng kể, trên đó đặt các quả cân, tại các vị trí formula_55 là các khối lượng formula_56 (với tổng bằng 1). Điểm mà tại đó thanh ngang được thăng bằng (trọng tâm của nó) là formula_14. (Tuy nhiên, cần lưu ý rằng tâm khối không đồng nghĩa với trọng tâm ("center of gravity").)
Kỳ vọng của ma trận.
Nếu formula_9 là một ma trận formula_61, giá trị kỳ vọng của formula_9 là một ma trận của các giá trị kỳ vọng:
Tính chất này được dùng trong các ma trận hiệp phương sai ("covariance matrix").