Diện tích

Diện tích là đại lượng biểu thị phạm vi của hình hoặc hình hai chiều hoặc lamina phẳng, trong mặt phẳng. Diện tích bề mặt là tương tự của diện tích trên bề mặt hai chiều của một vật thể ba chiều. Diện tích có thể được hiểu là lượng vật liệu có độ dày nhất định sẽ cần thiết để tạo kiểu cho mô hình hình dạng hoặc lượng sơn cần thiết để phủ lên bề mặt bằng một lớp sơn. Nó là tương tự về mặt hai chiều đối với chiều dài của đường cong (khái niệm một chiều) hoặc thể tích của vật rắn (khái niệm ba chiều).
Diện tích của hình có thể được đo bằng cách so sánh hình với các hình vuông có kích thước cố định. Trong Hệ thống đơn vị quốc tế (SI), đơn vị diện tích tiêu chuẩn là mét vuông (viết là m²), là diện tích của một hình vuông có cạnh dài một mét. Một hình có diện tích ba mét vuông sẽ có cùng diện tích với ba hình vuông như vậy. Trong toán học, hình vuông đơn vị được xác định là có diện tích bằng một và diện tích của bất kỳ hình dạng hoặc bề mặt nào khác là một số thực không thứ nguyên.
Có một số công thức nổi tiếng cho các diện tích có hình dạng đơn giản như hình tam giác, hình chữ nhật và hình tròn. Sử dụng các công thức này, diện tích của bất kỳ đa giác nào đều có thể được tính toán bằng cách chia đa giác thành các hình tam giác. Đối với các hình có ranh giới cong, tích phân thường được dùng để tính diện tích. Thật vậy, vấn đề xác định diện tích các hình phẳng là một động lực chính cho sự phát triển lịch sử của tích phân.
Đối với một hình dạng rắn như hình cầu, hình nón hoặc hình trụ, diện tích bề mặt ranh giới của nó được gọi là diện tích bề mặt. Các công thức cho các diện tích bề mặt của các hình dạng đơn giản đã được người Hy Lạp cổ đại tính toán, nhưng tính toán diện tích bề mặt của một hình dạng phức tạp hơn thường đòi hỏi tích phân đa biến.
Diện tích đóng một vai trò quan trọng trong toán học hiện đại. Ngoài tầm quan trọng rõ ràng của nó trong hình học và tính toán, diện tích có liên quan đến định nghĩa các yếu tố quyết định trong đại số tuyến tính, và là một tính chất cơ bản của các bề mặt trong hình học vi phân. Trong phân tích, diện tích của một tập hợp con của mặt phẳng được xác định bằng cách sử dụng thước đo Lebesgue, mặc dù không phải mọi tập hợp con đều có thể đo được. Nói chung, diện tích trong toán học cấp cao hơn được coi là một trường hợp đặc biệt về thể tích cho các vùng có hai chiều.
Diện tích có thể được xác định thông qua việc sử dụng các tiên đề, xác định nó là một hàm của một tập hợp các hình mặt phẳng nhất định chiếu đến tập hợp các số thực. Nó có thể được chứng minh rằng một hàm như vậy là tồn tại.
Định nghĩa hình thức.
Một cách tiếp cận để xác định ý nghĩa của "diện tích" là thông qua các tiên đề. "Diện tích" có thể được định nghĩa là một hàm a từ tập hợp M gồm các hình phẳng đặc biệt (gọi là tập hợp có thể đo được) đến tập các số thực, thỏa mãn các tính chất sau:
Có thể chứng minh rằng một hàm diện tích như vậy thực sự tồn tại.
Đơn vị.
Mọi đơn vị độ dài đều có một đơn vị diện tích tương ứng là diện tích hình vuông có độ dài cạnh bằng đơn vị độ dài đã cho. Do đó diện tích có thể được đo bằng mét vuông (m2), vuông cm (cm2), milimét vuông (mm2), kilômét vuông (km²),feet vuông (ft 2), yard vuông (yd 2), dặm vuông (mi2), v.v. Về mặt đại số, các đơn vị này có thể được coi là bình phương của các đơn vị độ dài tương ứng.
Đơn vị diện tích SI là mét vuông, được coi là một đơn vị dẫn xuất SI.
Chuyển đổi.
Tính diện tích của một hình vuông có chiều dài và chiều rộng là 1 mét sẽ là:
1 mét × 1 mét = 1 m²
và do đó, một hình chữ nhật có các cạnh khác nhau (giả sử chiều dài 3 mét và chiều rộng 2 mét) sẽ có diện tích tính bằng đơn vị hình vuông có thể được tính như sau:
3 mét × 2 mét = 6 m². Điều này tương đương với 6 triệu mm vuông. Các chuyển đổi hữu ích khác là:
Đơn vị không phải hệ mét.
Trong đơn vị không thuộc hệ mét, việc chuyển đổi giữa hai đơn vị vuông là bình phương của việc chuyển đổi giữa các đơn vị chiều dài tương ứng.
1 foot = 12 inch,
mối quan hệ giữa feet vuông và inch vuông là
1 foot vuông = 144 inch vuông,
trong đó 144 = 122 = 12 × 12. Tương tự:
Ngoài ra, các yếu tố chuyển đổi bao gồm:
Các đơn vị khác bao gồm các đơn vị mang tính lịch sử.
Có một số đơn vị phổ biến khác cho diện tích. A là đơn vị diện tích ban đầu trong hệ mét, với:
Mặc dù đã không còn sử dụng, hecta vẫn thường được sử dụng để đo đất:
Mẫu Anh cũng thường được sử dụng để đo diện tích đất
Một mẫu Anh là khoảng 40% của một hecta.
Trên quy mô nguyên tử, diện tích được đo bằng đơn vị barn:
Barn được sử dụng phổ biến trong việc mô tả vùng tương tác mặt cắt ngang trong vật lý hạt nhân.
Ở Ấn Độ,
Lịch sử.
Diện tích hình tròn.
Vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, Hippocrates xứ Chios là người đầu tiên chỉ ra rằng diện tích của một cái đĩa (vùng được bao quanh bởi một vòng tròn) tỷ lệ với bình phương đường kính của nó, như một phần của việc cầu phương của ông, nhưng không xác định được hằng số tỷ lệ. Eudoxus của Cnidus, cũng vào thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên, cũng phát hiện ra rằng diện tích của một cái đĩa tròn tỷ lệ thuận với bình phương bán kính của nó.
Sau đó, Quyển I của "Cơ sở" của Euclid đề cập đến sự bằng nhau về diện tích giữa các hình hai chiều. Nhà toán học Archimedes sử dụng các công cụ của Euclid để chứng minh rằng diện tích bên trong một vòng tròn là tương đương với của một tam giác vuông có đáy là chiều dài của chu vi của vòng tròn và có chiều cao tương đương với bán kính của vòng tròn, trong cuốn sách của ông "Đo một hình tròn". (Chu vi là 2 "r", và diện tích của một tam giác bằng một nửa đáy nhân với chiều cao, mang lại diện tích "r" 2 cho hình tròn.) Archimedes đã tính gần đúng giá trị của π (và do đó là diện tích của một hình tròn bán kính đơn vị) bằng phương pháp nhân đôi của mình, trong đó ông nội tiếp một tam giác đều trong một vòng tròn và ghi nhận diện tích của nó, sau đó nhân đôi số cạnh để tạo ra một hình lục giác đều., sau đó liên tục nhân đôi số cạnh khi diện tích của đa giác ngày càng gần với diện tích của hình tròn (và thực hiện tương tự với đa giác ngoại tiếp).
Nhà khoa học người Thụy Sĩ Johann Heinrich Lambert năm 1761 đã chứng minh rằng π, tỷ số giữa diện tích hình tròn với bán kính bình phương của nó, là số vô tỉ, nghĩa là nó không bằng thương số của hai số nguyên bất kỳ. Năm 1794, nhà toán học người Pháp Adrien-Marie Legendre đã chứng minh rằng π2 là vô tỉ; điều này cũng chứng tỏ rằng π là vô tỉ. Năm 1882, nhà toán học người Đức Ferdinand von Lindemann đã chứng minh rằng π là số siêu việt (không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức nào với hệ số hữu tỉ), chứng minh này xác nhận một phỏng đoán của cả Legendre và Euler. 
Diện tích tam giác.
Heron (hay Hero) của Alexandria đã tìm ra cái được gọi là công thức Heron cho diện tích tam giác tính theo các cạnh của nó, và một phép chứng minh có trong cuốn sách của ông, "Metrica", được viết vào khoảng năm 60 CN. Có ý kiến cho rằng Archimedes đã biết công thức hơn hai thế kỷ trước đó, và vì "Metrica" là tập hợp các kiến thức toán học có sẵn trong thế giới cổ đại, nên có thể công thức có trước tham chiếu được đưa ra trong công trình đó.
Năm 499, Aryabhata, một nhà toán học - thiên văn học vĩ đại của thời đại cổ điển của toán học Ấn Độ và thiên văn học Ấn Độ, đã biểu thị diện tích của một tam giác bằng một nửa đáy nhân với chiều cao trong "Aryabhatiya" (phần 2.6).
Một công thức tương đương với Heron đã được người Trung Quốc tìm ra độc lập với người Hy Lạp. Nó được xuất bản vào năm 1247 trong "Shushu Jiuzhang" ("Cửu chương toán thuật"), tác phẩm của Qin Jiushao.
Diện tích tứ giác.
Trong thế kỷ thứ 7, Brahmagupta đã phát triển một công thức, bây giờ được gọi là công thức Brahmagupta, cho diện tích của một tứ giác nội tiếp (một tứ giác có các đỉnh nằm trên một vòng tròn) theo các cạnh của nó. Năm 1842, các nhà toán học người Đức Carl Anton Bretschneider và Karl Georg Christian von Staudt đã độc lập với nhau, cùng tìm ra một công thức, được gọi là công thức Bretschneider, cho diện tích của bất kỳ hình tứ giác nào.
Diện tích đa giác.
Sự phát triển của tọa độ Descartes do René Descartes xây dựng vào thế kỷ 17 cho phép phát triển công thức cho diện tích của bất kỳ đa giác nào có vị trí đỉnh đã biết của Gauss vào thế kỷ 19.
Diện tích được xác định bằng phép tính tích phân.
Sự phát triển của phép tính tích phân vào cuối thế kỷ 17 đã cung cấp các công cụ sau đó có thể được sử dụng để tính toán các diện tích phức tạp hơn, chẳng hạn như diện tích hình elip và diện tích bề mặt của các vật thể ba chiều cong khác nhau.
Công thức diện tích.
Đa giác.
Đối với một đa giác không tự cắt (đa giác đơn), tọa độ Descartesformula_1 ("i" = 0, 1..., "n" -1) của "n" đỉnh đã biết, diện tích được cho bởi công thức của người đóng móng:
formula_2
trong đó khi "i" = "n" -1, thì "i" +1 được biểu thị dưới dạng môđun "n" và do đó quy về 0.
Hình chữ nhật.
Công thức diện tích cơ bản nhất là công thức diện tích hình chữ nhật. Cho một hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng , công thức của diện tích là:
Nghĩa là, diện tích của hình chữ nhật bằng chiều dài nhân với chiều rộng. Trong trường hợp đặc biệt, vì trong trường hợp hình vuông, diện tích của hình vuông có độ dài cạnh được cho bởi công thức:
Công thức cho diện tích hình chữ nhật trực tiếp dựa trên các tính chất cơ bản của diện tích, và đôi khi được coi là một định nghĩa hoặc tiên đề. Mặt khác, nếu hình học được phát triển trước số học, công thức này có thể được sử dụng để định nghĩa phép nhân các số thực.
Phương pháp tách hình, hình bình hành và hình tam giác.
Hầu hết các công thức đơn giản khác cho diện tích đều tuân theo phương pháp tách hình. Điều này bao gồm việc cắt một hình thành từng hình nhỏ, và việc tính diện tích hình đó sẽ là việc dùng phép cộng các diện tích các hình con.
Ví dụ, bất kỳ hình bình hành nào cũng có thể được chia nhỏ thành hình thang và tam giác vuông, như thể hiện trong hình bên trái. Nếu tam giác được di chuyển sang phía bên kia của hình thang, thì hình thu được là một hình chữ nhật. Theo đó diện tích của hình bình hành bằng diện tích của hình chữ nhật đó:
  (hình bình hành).
Tuy nhiên, cùng một hình bình hành cũng có thể được cắt theo một đường chéo thành hai tam giác tương đẳng, như trong hình bên phải. Như vậy diện tích của mỗi tam giác bằng một nửa diện tích của hình bình hành:
formula_3 (Tam giác).
Các phép chứng minh tương tự có thể được sử dụng để tìm công thức diện tích cho hình thang cũng như các đa giác phức tạp hơn.
Diện tích các hình cong.
Hình tròn.
Công thức tính diện tích hình tròn (được gọi đúng hơn là diện tích được bao bởi hình tròn hay diện tích đĩa) dựa trên một phương pháp tương tự. Cho một vòng tròn bán kính nó có thể phân vùng các vòng tròn vào các lĩnh vực, như thể hiện trong hình bên phải. Mỗi cung có dạng hình tam giác gần đúng và các cung có thể được sắp xếp lại để tạo thành một hình bình hành gần đúng. Chiều cao của hình bình hành này là , và chiều rộng bằng nửa chu vi của hình tròn, hay . Như vậy, tổng diện tích của hình tròn là :
  (hình tròn).
Mặc dù việc phân tách hình tròn được sử dụng trong công thức này chỉ là gần đúng, nhưng sai số ngày càng nhỏ hơn khi vòng tròn được phân chia thành ngày càng nhiều cung. Giới hạn diện tích của các hình bình hành gần đúng là , là diện tích của hình tròn.
Lập luận này thực sự là một ứng dụng đơn giản của các ý tưởng của phép tính vi tích phân. Trong thời cổ đại, phương pháp cạn kiệt được sử dụng một cách tương tự để tìm diện tích hình tròn, và phương pháp này ngày nay được công nhận là tiền thân của phép tính tích phân. Sử dụng các phương pháp hiện đại, diện tích hình tròn có thể được tính bằng cách sử dụng một tích phân xác định:
formula_4
Hình elip.
Công thức cho diện tích được bao bởi một hình elip có liên quan đến công thức của một hình tròn; đối với một hình elip với các bán trục chính và bán trục phụ và , với công thức là:
formula_5
Diện tích bề mặt.
Hầu hết các công thức cơ bản cho diện tích bề mặt có thể thu được bằng cách cắt các bề mặt và làm phẳng chúng. Ví dụ, nếu bề mặt bên của một hình trụ (hoặc bất kỳ hình lăng trụ nào) được cắt theo chiều dọc, bề mặt đó có thể được làm phẳng thành hình chữ nhật. Tương tự, nếu một vết cắt được thực hiện dọc theo mặt bên của hình nón, bề mặt bên có thể được làm phẳng thành một phần của hình tròn và diện tích kết quả có thể được tính ra.
Công thức cho diện tích bề mặt của một hình cầu khó tìm hơn: bởi vì một hình cầu có độ cong Gauss khác 0, nó không thể bị cán dẹt ra. Công thức về diện tích bề mặt của một hình cầu lần đầu tiên được Archimedes thu được trong tác phẩm "Về hình cầu và hình trụ". Công thức là: