Bộ ba số Pythagoras

 
Một bộ ba số Pythagoras (còn gọi là bộ ba số Pytago hay bộ ba số Pythagore) gồm ba số nguyên dương a, b, và c, sao cho a2 + b2 = c2. Khi đó ta viết bộ ba đó là (a, b, c), và bộ ba số nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện là (3, 4, 5).
 Nếu (a, b, c) là bộ ba số Pythagore, thì cả bộ ba (ka, kb, kc) với số nguyên dương k bất kỳ cũng là Pythagoras. Một bộ ba số Pythagoras được gọi là bộ ba số Pythagoras nguyên tố nếu a, b và c là các số nguyên tố cùng nhau.
Tên gọi của các bộ ba số này xuất phát từ Định lý Pythagoras. Các bộ ba số Pytago có thể lấy làm độ dài các cạnh của tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là c. Tuy nhiên, độ dài các cạnh của một tam giác vuông không tạo thành bộ ba số Pythagoras nếu chúng không là các số nguyên. Chẳng hạn, tam giác với các cạnh a = b = 1 và c = √2 là tam giác vuông, nhưng (1, 1, √2) không là bộ ba số Pythagoras vì √2 không là số nguyên.
Không tồn tại bộ ba số Pythagoras nào có 2 số chẵn
Chỉ có một bộ ba số Pythagoras gồm 3 số tự nhiên liên tiếp nhau là (3, 4, 5).
Có 159 bộ ba Pythagoras nguyên thủy với c ≤ 1000.
Công thức tổng quát.
Công thức sau tổng quát tất cả các bộ ba số Pythagoras (không đơn trị):
Trong đó m và n là hai số nguyên tố cùng nhau, có một số chẵn và một số lẻ, với m &gt; n và k là số nguyên dương tùy ý. Hai số a và b có thể hoán đổi vai trò cho nhau. Đặc biệt với k = 1 nó dẫn tới công thức cổ điển cho bởi Euclid (kh. 300 TCN) trong cuốn sách Elements của ông, thường được gọi là công thức Euclid:
Bộ ba số sinh bởi công thức Euclid là nguyên tố chỉ nếu m và n là các số nguyên tố cùng nhau và đúng một trong chúng là số chẵn. Nếu cả n và m cùng là chẵn (hoặc lẻ), thì a, b, và c sẽ là chẵn, và bộ ba số đó không nguyên tố cùng nhau. Mọi bộ ba nguyên tố (có thể đổi vai trò giữa a và b) sinh ra từ một cặp duy nhất các số nguyên tố cùng nhau m, n, mà một trong chúng là lẻ.
Tính chất sơ cấp.
Trong một bộ ba Pythagoras nguyên thủy, ký hiệu:
Vì a, b, c là ba số nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên chúng không thể cùng là số chẵn.
Do đó trong hai số a và b có một số lẻ và một số chẵn; c là số lẻ.
Suy ra: formula_18 chia 3 dư 2, vô lí vì formula_19 là số chính phương.
Mặt khác a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 3.
c là số lẻ nên không chia hết cho 4.
Suy ra: formula_18 chia 8 dư 5, vô lí vì formula_19 là số chính phương lẻ.
Do đó trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 4.
Mọi số chính phương đều chia hết cho 25 hoặc chia 5 dư 1 hoặc 4.
Mặt khác, a, b, c là ba số nguyên tố cùng nhau từng đôi một, do đó trong ba số a, b, c có đúng một số chia hết cho 5.
Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 4
Tương tự, nếu b chia hết cho 4 thì (c + b), (c – b) là số lẻ, một trong hai số (c + a), (c – a) chia hết cho 8.
Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 3
Tương tự, nếu b chia hết cho 3 thì (c + b), (c – b) không chia hết cho 3, một trong hai số (c + a), (c – a) chia hết cho 9.
Giả sử formula_10 có ước nguyên tố p có dạng 4k+3, suy ra: 
Do m,n nguyên tố cùng nhau, do đó chúng đều không chia hết cho p.
Suy ra, theo định lý Fermat nhỏ formula_48 đồng dư với 1 mod p, và formula_49 đồng dư với -1 mod p.
Suy ra 1+1 chia hết cho p, vô lý vì p có dạng 4k+3.
Mặt khác c lẻ do đó p lẻ. Tóm lại p chỉ có dạng 4k+1. Suy ra mọi ước của c đều có dạng 4k+1.