Số phức

Số phức (tiếng Anh: Complex number) là số có thể viết dưới dạng "formula_1", trong đó "a" và "b" là các số thực, formula_2 là đơn vị ảo, với formula_3 hay formula_4. Trong biểu thức này, số "a" gọi là phần thực, "b" gọi là phần ảo của số phức. Số phức có thể được biểu diễn trên mặt phẳng phức với trục hoành là trục số thực và trục tung là trục số ảo, do đó một số phức formula_5 được xác định bằng một điểm có tọa độ "(a,b)". Một số phức nếu có phần thực bằng không thì gọi là số thuần ảo (số ảo), nếu có phần ảo bằng không thì trở thành số thực R. Việc mở rộng trường số phức để giải những bài toán mà không thể giải trong trường số thực.
Số phức được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học, như khoa học kỹ thuật, điện từ học, cơ học lượng tử, toán học ứng dụng chẳng hạn như trong lý thuyết hỗn loạn. Nhà toán học người Ý Gerolamo Cardano là người đầu tiên đưa ra số phức. Ông sử dụng số phức để giải các phương trình bậc ba trong thế kỉ 16.
Lịch sử.
Nhà toán học người Ý R. Bombelli (1526-1573) đã đưa định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "số ảo" trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó (số phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai của formula_6.
Nhà toán học người Pháp D’Alembert vào năm 1746 đã xác định được dạng tổng quát "formula_1" của chúng, đồng thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu "formula_2" để chỉ căn bậc hai của formula_6, năm 1801 Gauss đã dùng lại ký hiệu này.
Tổng quan.
Số phức cho phép giải một phương trình nhất định mà không giải được trong trường số thực. Ví dụ, phương trình 
không có nghiệm thực, vì bình phương của một số thực không thể âm. Các số phức cho phép giải phương trình này. Ý tưởng là mở rộng trường số thực sang đơn vị ảo formula_2 với formula_3, vì vậy phương trình trên được giải. Trong trường hợp này các nghiệm là và , có thể kiểm tra lại nghiệm khi thế vào phương trình và với formula_3:
Thực tế không chỉ các phương trình bậc hai mà tất cả các phương trình đại số có hệ số thực hoặc số ảo với một biến số có thể giải bằng số phức.
Định nghĩa.
Số phức được biểu diễn dưới dạng formula_1, với "a" và "b" là các số thực và formula_17 là "đơn vị ảo", thỏa mãn điều kiện formula_3. Ví dụ formula_19 là một số phức.
Số thực "a" được gọi là "phần thực" của formula_1; số thực "b" được gọi là "phần ảo" của formula_1. Theo đó, phần ảo không có chứa đơn vị ảo: do đó "b", không phải , là phần ảo. Phần thực của số phức được ký hiệu là hay ; phần ảo của phức được ký hiệu là hay . Ví dụ:
Do đó, nếu xét theo phần thực và phần ảo, một số phức sẽ được viết là formula_23. Biểu thức này đôi khi được gọi là dạng Cartesi của .
Một số thực "a" có thể được biểu diễn ở dạng phức là formula_24 với phần ảo là 0. Số thuần ảo formula_25 là một số phức được viết là formula_26 với phần thực bằng 0. Ngoài ra, khi phần ảo âm, nó được viết là formula_27 với formula_28 thay vì formula_29, ví dụ formula_30 thay vì formula_31.
Tập hợp tất cả các số phức hay trường số phức được ký hiệu là , formula_32 hay formula_33. Có nhiều phương pháp xây dựng trường số phức một cách chặt chẽ bằng phương pháp tiên đề.
Gọi formula_34 là trường số thực. Ký hiệu formula_33 là tập hợp các cặp (a,b) với formula_36.
Trong formula_33, định nghĩa hai phép cộng và phép nhân như sau:
thì formula_33 là một trường (xem cấu trúc đại số).
Ta có thể lập một đơn ánh từ tập số thực formula_34 vào formula_33 bằng cách cho mỗi số thực a ứng với cặp formula_43. Khi đó formula_44... Nhờ phép nhúng, ta đồng nhất tập các số thực formula_45 với tập con các số phức dạng formula_46, khi đó tập các số thực formula_45 là tập con của tập các số phức formula_48 và formula_48 được xem là một mở rộng của formula_45.
Ký hiệu formula_2 là cặp (0,1) formula_52. Ta có
formula_53.
Tất cả các số phức dạng formula_25 được gọi là các số thuần ảo.
Một số khái niệm quan trọng trong trường số phức.
Dạng đại số của số phức.
Trong trường số phức, tính chất của đơn vị ảo formula_2 đặc trưng bởi biểu thức 
Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:
trong đó "a", "b" là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức "z".
Với cách biểu diễn dưới dạng đại số, phép cộng và nhân các số phức được thực hiện như phép cộng và nhân các nhị thức bậc nhất với lưu ý rằng formula_56. Như vậy, ta có:
Mặt phẳng phức.
Trong hệ toạ độ Descartes, có thể dùng trục hoành chỉ tọa độ phần thực còn trục tung cho tọa độ phần ảo để biểu diễn một số phức 
Khi đó mặt phẳng tọa độ được gọi là mặt phẳng phức.
Số thực và số thuần ảo.
Mỗi số thực formula_65 được xem là một số phức có "formula_66".
Ta có: formula_45formula_68formula_33
Nếu "formula_70", số phức formula_71 được gọi là thuần ảo.
Số phức liên hợp.
Cho số phức dưới dạng đại số formula_72, số phức formula_73 được gọi là số phức liên hợp của z.
Một số tính chất của số phức liên hợp:
Module và Argument.
 formula_92
formula_93
formula_94
Dạng lượng giác của số phức.
Định nghĩa.
Số phức formula_85 có thể viết dưới dạng
Khi đặt
ta có
Cách biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức formula_90.
Phép toán trên các số phức viết dưới dạng lượng giác.
Cho hai số phức dưới dạng lượng giác
Khi đó
Mọi số phức z khác 0 đều có đúng n căn bậc n, là các số dạng
trong đó formula_106, formula_107