Hàm số

Trong toán học, một hàm số hay hàm là một quan hệ hai ngôi giữa hai tập hợp liên kết mọi phần tử của tập hợp đầu tiên với đúng một phần tử của tập hợp thứ hai. Ví dụ điển hình là các hàm từ số nguyên sang số nguyên hoặc từ số thực sang số thực.
Các hàm số ban đầu là sự lý tưởng hóa cách một đại lượng thay đổi phụ thuộc vào một đại lượng khác. Ví dụ, vị trí của một hành tinh là một "hàm số" của thời gian. Về mặt lịch sử, khái niệm này được xây dựng dựa trên phép tính vi tích phân vào cuối thế kỷ 17, và cho đến thế kỷ 19, các hàm được coi là khả vi (nghĩa là chúng có mức độ mịn cao). Khái niệm hàm số được chính thức hóa vào cuối thế kỷ 19 dưới dạng lý thuyết tập hợp, và điều này đã mở rộng đáng kể các lĩnh vực ứng dụng của khái niệm này.
Một hàm số là một quá trình hoặc một mối quan hệ mà liên kết mỗi phần tử của một tập hợp , được gọi là "miền xác định" của hàm số, đến một phần tử duy nhất của một tập hợp (có thể là cùng một tập hợp như X), và gọi là "tập hợp đích" của hàm số này. Hàm số thường được ký hiệu bằng các chữ cái như , và .
Nếu hàm được gọi là , quan hệ này được ký hiệu là (đọc là " của "), trong đó phần tử là "đối số" hoặc "đầu vào" của hàm và là "giá trị của hàm", "đầu ra" hoặc "ảnh" của theo . Ký hiệu được sử dụng để biểu diễn đầu vào là biến của hàm (ví dụ: là hàm của biến ).
Một hàm số được biểu diễn duy nhất bởi tập hợp tất cả các cặp số , được gọi là đồ thị của hàm số. Khi miền và miền là tập hợp các số thực, mỗi cặp như vậy có thể được coi là tọa độ Descartes của một điểm trong mặt phẳng. Tập hợp các điểm này được gọi là đồ thị của hàm số; nó là một phương tiện phổ biến để minh họa một hàm số.
Các hàm số được sử dụng rộng rãi trong khoa học và trong hầu hết các lĩnh vực toán học. Người ta đã nói rằng các hàm là "đối tượng trung tâm của nghiên cứu" trong hầu hết các lĩnh vực toán học.
Khái niệm.
Nói một cách trực quan, hàm là một quá trình liên kết từng phần tử của tập hợp với một phần tử của tập hợp .
Về mặt hình thức, một hàm từ tập đến tập được xác định bởi tập gồm các cặp có thứ tự sao cho , , và mọi phần tử của là thành phần đầu tiên của đúng một cặp có thứ tự ghép đôi trong Nói cách khác, với mọi trong , có đúng một phần tử sao cho cặp có thứ tự thuộc tập các cặp xác định hàm . Tập hợp được gọi là đồ thị của hàm số. Về mặt hình thức, nó có thể được xác định với hàm số trên, nhưng điều này che giấu cách giải thích thông thường về một chức năng như một quá trình. Do đó, trong cách sử dụng thông thường, hàm số thường được phân biệt với đồ thị của nó.
Hàm còn được gọi là "ánh xạ", mặc dù một số tác giả phân biệt giữa "ánh xạ" và "hàm số".
Trong định nghĩa về hàm số, và tương ứng được gọi là "tập/miền xác định" và "tập đích"/ "miền giá trị" của hàm Nếu thuộc tập xác định , thì là "ảnh" của thông qua , hoặc "giá trị" của được áp dụng cho "đối số" . Đặc biệt, trong ngữ cảnh của các con số, người ta cũng nói rằng là giá trị của đối với "giá trị của biến của nó", hay ngắn gọn hơn, là "giá trị của" "của" , được ký hiệu là .
Hai hàm và là bằng nhau, nếu miền và tập hợp miền xác định của chúng giống nhau và giá trị đầu ra của chúng giống nhau trên toàn miền xác định đó. Chính thức hơn, nếu với mọi , trong đó và 
Miền xác định và miền giá trị không phải lúc nào cũng được cung cấp rõ ràng khi một hàm được xác định và, nếu không có một số tính toán (có thể khó), người ta có thể chỉ biết rằng miền được chứa trong một tập hợp lớn hơn. Thông thường, điều này xảy ra trong giải tích toán học, trong đó "một hàm thường đề cập đến một hàm có thể có một tập con thích hợp của là miền xác định. Ví dụ, một "hàm từ giá trị thực đến giá trị thực" có thể tham chiếu đến một hàm có giá trị thực của một biến thực. Tuy nhiên, một "hàm từ số thực đến số thực" không có nghĩa là miền của hàm là toàn bộ tập các số thực, mà chỉ có nghĩa miền là tập các số thực có chứa khoảng mở không rỗng. Khi đó một hàm như vậy được gọi là hàm một phần. Ví dụ: nếu là một hàm có các số thực là miền xác định và miền giá trị, thì một hàm ánh xạ giá trị với giá trị formula_1 là một hàm từ miền số thực đến miền số thực, có miền xác định là tập các số thực , sao cho .
Phạm vi của một hàm là tập hợp các ảnh của tất cả các phần tử trong miền. Tuy nhiên, "phạm vi" đôi khi được sử dụng như một từ đồng nghĩa của miền giá trị, thường sử dụng trong các sách cũ.
Định nghĩa dùng quan hệ.
Bất kỳ tập con nào của tích Descartes gồm hai tập hợp formula_2 và formula_3 xác định một quan hệ hai ngôi formula_4 giữa hai tập hợp này. Rõ ràng là một quan hệ tùy ý có thể chứa các cặp đôi vi phạm các điều kiện cần thiết cho một hàm số đã cho ở trên.
Một quan hệ hai ngôi là có tính hàm số (còn được gọi là duy nhất bên phải) nếu
formula_5
Một quan hệ nhị phân là có tính nối tiếp (còn được gọi là tổng bên trái) nếu
formula_6
Một hàm một phần là một quan hệ hai ngôi mà có tính hàm số..
Một hàm số là một quan hệ hai ngôi có tính hàm số và nối tiếp.
Các thuộc tính khác nhau của hàm số và thành phần hàm số có thể được định dạng lại bằng ngôn ngữ của các quan hệ. Ví dụ, một hàm số là đơn ánh nếu quan hệ ngược formula_7 là có tính hàm số, trong đó quan hệ ngược được định nghĩa là formula_8 
Cách cho hàm số.
Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc bằng biểu đồ hoặc bằng 1 biểu thức hoặc nhiều biểu thức trên từng khoảng, đoạn, nửa khoảng.
Ví dụ: X = {1,2,3,4,5}, Y = {5,6,7,8,9,10}.
Hàm formula_9 được cho bảng sau:
Các hàm cho bằng biểu thức như formula_10, formula_11, formula_12...
Lưu ý: Trong chương trình môn Toán ở bậc Trung học phổ thông của Việt Nam (chỉ đề cập đến Hàm số biến số thực) quy ước rằng:
Các dạng của hàm số.
Đơn ánh, song ánh, toàn ánh.
Như trên đã đề cập, hàm số là một trường hợp ánh xạ, nên người ta cũng miêu tả hàm số dưới 3 dạng là đơn ánh, toàn ánh và song ánh.
Đơn ánh.
Một hàm số là đơn ánh khi nó áp dụng lên 2 đối số khác nhau luôn cho 2 giá trị khác nhau.
Một cách chặt chẽ, hàm "f", xác định trên "X" và nhận giá trị trong "Y", là đơn ánh nếu như nó thỏa mãn điều kiện với mọi "x"1 và "x"2 thuộc "X" và nếu "x"1 ≠ "x"2 thì "f"("x"1) ≠ "f"("x"2).
Nghĩa là, hàm số "f" là đơn ánh khi và chỉ khi:
Với đồ thị hàm số y = f(x) trong hệ tọa độ Đề các, mọi đường thẳng vuông góc với trục đối số Ox sẽ chỉ cắt đường cong đồ thị tại nhiều nhất là một điểm
Toàn ánh.
Hàm số "f" được gọi là toàn ánh nếu như với mọi số "y" thuộc "Y" ta luôn tìm được ít nhất một số "x" thuộc X sao cho "f"("x") = "y". Theo cách gọi của ánh xạ thì điều kiện này có nghĩa là mỗi phần tử "y" thuộc "Y" đều là "ảnh" của ít nhất một "tạo ảnh" "x" thuộc "X" qua ánh xạ "f".
Nghĩa là, hàm số "f" là toàn ánh khi và chỉ khi:
Đồ thị hàm formula_33 cắt đường thẳng formula_34
Song ánh.
Trong toán học, song ánh, hoặc hàm song ánh, là một hàm số "f" từ tập "X" vào tập "Y" thỏa mãn tính chất, đối với mỗi "y" thuộc "Y", có duy nhất một "x" thuộc "X" sao cho "f"("x") = "y".
Nói cách khác, "f" là một song ánh nếu và chỉ nếu nó là tương ứng một-một giữa hai tập hợp; tức là nó vừa là đơn ánh và vừa là toàn ánh.
Ví dụ, xét hàm "f"xác định trên tập hợp số nguyên  vào, được định nghĩa "f"("x") = "x" + 1. Ví dụ khác, đối với mỗi cặp số thực ("x","y") hàm "f" xác định bởi "f"("x","y") = ("x" + "y", "x" − "y") là một song ánh
Hàm song ánh đôi khi còn gọi là hoán vị.
Tập hợp tất cả các song ánh từ tập "X" vào tập "Y" được ký hiệu là "X" ↔ "Y". Thông thường tập các hoán vị của tập "X" được ký hiệu là "X"!.
Song ánh đóng nhiều vai trò quan trọng trong toán học, như nó dùng để định nghĩa đẳng cấu (và những khái niệm liên quan như phép đồng phôi và vi phôi), nhóm hoán vị, ánh xạ xạ ảnh, và nhiều định nghĩa khác
Hàm hợp và hàm ngược.
Hàm hợp.
Cho các hàm số:
trong đó "X", "Y", "Z" là các tập hợp số nói chung. Hàm hợp của "f"1 và "f"2 là hàm số:
được định nghĩa bởi:
Có thể ký hiệu hàm hợp là:
Ví dụ, hàm số "f"(x) = sin ("x"2+1) là hàm số hợp "f"2("f"1(x)), trong đó "f"2(y) = sin("y"), "f"1("x") = ("x"2 +1).
Việc nhận biết một hàm số là hàm hợp của các hàm khác, trong nhiều trường hợp có thể khiến các tính toán giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản hơn.
Hàm ngược.
Cho hàm số song ánh:
trong đó "X", "Y" là tập hợp số nói chung.Khi đó mỗi phần tử "y" = "f"("x") với "y" nằm trong "Y" đều là ảnh của một và chỉ một phần tử "x" trong "X". Như vậy, có thể đặt tương ứng mỗi phần tử "y" trong "Y" với một phần tử "x" trong "X". Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số, ánh xạ từ "Y" sang "X", hàm số này được gọi là hàm số ngược của hàm số "f" và được ký hiệu là:
Nếu "f"−1("x") tồn tại ta nói hàm số "f"("x") là khả nghịch. Có thể nói tính chất song ánh là điều kiện cần và đủ để hàm "f"("x") khả nghịch, tức là nếu "f"("x") là song ánh thì ta luôn tìm được hàm ngược "f"−1("x") và ngược lại.
Đồ thị của hàm số.
Thông thường thì hàm số được xác định bằng một biểu thức tổng quát "y" = "f"("x") nào đó, ví dụ như "y" = "x"2 - 5. Tuy nhiên cũng có những hàm đặc biệt mà quy tắc cho tương ứng "x" với "y" của nó không theo bất kỳ một quy luật nào để có thể diễn đạt bằng một biểu thức toán học. Trong trường hợp này ta có thể lập bảng cho các giá trị đối số "x" và các giá trị hàm số "y" tương ứng với chúng. Ngoài ra hàm số còn có thể được xác định một cách triệt để bằng đồ thị của nó.
Đối với hàm số một biến số thực (có miền xác định thực), đồ thị hàm số được định nghĩa như sau: 
Ký hiệu đồ thị hàm số theo định nghĩa trên là: formula_42
Các tính chất của hàm số.
Tính đơn điệu.
Giả sử hàm số y= f(x) xác định trên K. Ta nói:
Tính chẵn lẻ.
Điều kiện để một hàm số chẵn hoặc lẻ.
Cho hàm số y=f(x) xác định trên D
Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ.
Trong mặt phẳng tọa độ Descartes: