Vectơ

Trong toán học, vật lý và kỹ thuật, véctơ (tiếng Anh: vector hay Hán-Việt: hướng lượng) là một đoạn thẳng có hướng. Đoạn thẳng này biểu thị phương, chiều, độ lớn (chiều dài của vectơ). Ví dụ trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt A và B bất kì ta có thể xác định được vectơ formula_1.
Một vectơ là những gì cần thiết để "mang" điểm A đến điểm B; từ "vector" trong tiếng Latin có nghĩa là "người vận chuyển", lần đầu tiên được sử dụng bởi các nhà thiên văn học thế kỷ 18 trong cuộc cách mạng khảo sát các hành tinh quay quanh Mặt trời. Độ lớn của vectơ là khoảng cách giữa 2 điểm và hướng dịch chuyển từ điểm A đến điểm B. Nhiều phép toán đại số trên các số thực như cộng, trừ, nhân và phủ định có sự tương tự gần gũi với vectơ, phép toán tuân theo các quy luật đại số quen thuộc của giao hoán, kết hợp và phân phối. Mỗi vectơ là một phần tử trong không gian vectơ, được xác định bởi ba yếu tố: điểm đầu (hay điểm gốc), hướng (gồm phương và chiều) và độ lớn (hay độ dài). Ví dụ, đoạn thẳng AB có điểm gốc là A, hướng từ A đến B được gọi là vectơ AB, ký hiệu là formula_2. Vectơ được ký hiệu là formula_2 hoặc formula_4, formula_5, formula_6, formula_7.
Trong giải tích, một vectơ trong không gian Euclid Rn là một bộ "n" số thực ("x""1", "x""2"..., "x""n").
Có thể hình dung một vectơ trong không gian Rn là đoạn thẳng có hướng (thường vẽ theo hình mũi tên), đuôi ở gốc tọa độ 0, mũi ở điểm ("x""1", "x""2"..., "x""n").
Vectơ đóng vai trò quan trọng trong ngành vật lý học: vận tốc, gia tốc của một vật và lực tác động lên nó có thể được biểu diễn bằng vectơ.
Lịch sử.
Khái niệm về vectơ, như chúng ta biết ngày nay, đã phát triển dần dần trong khoảng thời gian hơn 200 năm. Khoảng một chục người đã bỏ nhiều công sức để đóng góp.
Giusto Bellavitis đã trừu tượng hóa ý tưởng cơ bản vào năm 1835 khi ông thiết lập khái niệm về sự trang bị. Làm việc trong một mặt phẳng Euclide, ông ta đã tạo ra bất kỳ cặp phân đoạn đường nào có cùng độ dài và hướng. Về cơ bản, ông nhận ra một mối quan hệ tương đương trên các cặp điểm (lưỡng cực) trong mặt phẳng và do đó dựng lên không gian đầu tiên của vectơ trong mặt phẳng.
Thuật ngữ vectơ được William Rowan Hamilton giới thiệu như là một phần của tứ phương, là tổng q = s + v của một số thực s (còn gọi là vô hướng) và vectơ 3 chiều. Giống như Bellavitis, Hamilton đã xem các vectơ là đại diện của các lớp phân khúc được định hướng trang bị. Khi các số phức sử dụng một đơn vị tưởng tượng (số ảo) để bổ sung cho phần số thực, Hamilton coi vectơ v là phần số ảo của một phần tư:
Một số nhà toán học khác đã phát triển các hệ thống giống như vectơ vào giữa thế kỷ XIX, bao gồm Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Möbius, Comte de Saint-Venant và Matthew O'Brien. Công trình năm 1840 của Grassmann Theorie der Ebbe und Flut (Lý thuyết về Ebb và Flow) là hệ thống phân tích không gian đầu tiên tương tự như hệ thống ngày nay và có ý tưởng tương ứng với tích có hướng, tích vô hướng và vectơ vi phân. Các nghiên cứu của Grassmann phần lớn bị bỏ quên cho đến những năm 1870.
Peter Guthrie Tait mang tiêu chuẩn bậc bốn sau Hamilton. Chuyên luận về Đệ tứ năm 1867 của ông bao gồm điều trị rộng rãi cho người điều hành nabla hoặc del ∇.
Năm 1878, yếu tố năng động được xuất bản bởi William Kingdon Clifford. Clifford đã đơn giản hóa nghiên cứu Quaternion bằng cách tách tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ từ phương trình Quaternion hoàn chỉnh. Cách tiếp cận này làm cho các tính toán véc tơ có sẵn cho các kỹ sư và những người làm việc theo không gian ba chiều và hoài nghi về không gian bốn chiều.
Josiah Willard Gibbs, ông đã được tiếp xúc với các nhóm tứ phương thông qua chuyên luận về điện và từ tính của James Clerk Maxwell, đã tách ra khỏi phần vectơ của họ để tính toán độc lập. Nửa đầu của Phân tích vectơ của Gibbs, xuất bản năm 1881, trình bày về cơ bản hệ thống phân tích vectơ hiện đại. Năm 1901, Edwin Bidwell Wilson đã xuất bản Phân tích Vectơ, phỏng theo các bài giảng của Gibb, trong đó đã loại bỏ vectơ tứ phương (Quaternion) trong việc phát triển phép tính vectơ.
Góc giữa 2 vectơ.
Cho 2 vectơ formula_23 và formula_24. Từ điểm O vẽ formula_25 và formula_26. Khi đó formula_27 chính là góc giữa formula_4 và formula_5. Ký hiệu formula_30
Quy ước trong hình học
Phép toán trên vectơ.
Phép cộng hai vectơ.
Quy tắc.
Phép cộng hai vectơ: tổng của hai vectơ formula_2 và formula_35 là một vectơ được xác định theo quy tắc:
Tính chất Vectơ.
formula_45
formula_46
Hiệu hai vectơ.
Ta có:  formula_52 
Quy tắc trừ: Với 3 điểm A, B, C, ta có formula_53
Tích vectơ với một số.
Điều kiện để hai vectơ cùng phương.
Điều kiện cần để hai vectơ formula_66 và formula_67 formula_68 cùng phương là có một số k để formula_69
Nếu formula_66 và formula_67 cùng hướng thì formula_72
Nếu formula_66 và formula_67 ngược hướng thì formula_75
Tích vô hướng của hai vectơ.
Biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
Trong mặt phẳng: formula_85
Trong không gian 3 chiều: formula_86