Tính giao hoán

Trong toán học, một phép toán hai ngôi có tính giao hoán khi thay đổi thứ tự của hai toán hạng không làm thay đổi giá trị kết quả. Nó là tính chất cơ bản của nhiều phép toán hai ngôi và nhiều chứng minh toán học dựa trên tính chất này. Các ví dụ dễ thấy của tính chất là hay . Lý do cần nhận biết tính giao hoán là bởi có những phép toán như phép chia và phép trừ không có nó (lấy ví dụ, ); các phép toán đó "không" có tính giao hoán, nên thường được gọi là "phép toán không giao hoán". Bởi ý tưởng rằng các phép toán đơn giản như phép nhân và phép cộng của số thực luôn có tính giao hoán, tính giao hoán thường được mặc định trước trong rất nhiều năm. Do đó, phải tới thế kỷ 19 khi toán học đang được chuẩn hoá tính chất này mới có cái tên riêng. Có một tính chất tương tự dành cho quan hệ hai ngôi; một quan hệ hai ngôi được gọi là đối xứng nếu quan hệ đúng bất kể thứ tự toán hạng trong đó; ví dụ, quan hệ bằng nhau đối xứng là vì hai đối tượng toán học bằng nhau sẽ bằng nhau bất kể thứ tự của nó.
Định nghĩa.
Phép toán hai ngôi formula_1 trên tập "S" được gọi là "giao hoán" nếu
formula_2 
Phép toán không thoả mãn tính chất trên được gọi là phép toán "không giao hoán".
Có thể nói "giao hoán" với hay và "giao hoán" dưới phép toán formula_1 nếu
formula_4
Nói cách khác, phép toán hai ngôi có tính giao hoán khi mọi cặp phần tử giao hoán dưới phép toán đó.
Lưu ý.
Tính giao hoán chỉ cho phép thứ tự toán hạng có thể thay đổi trong một cặp phần tử đang tính. Ta chỉ được phép thay đổi tuỳ ý thứ tự các toán hạng trong các biểu thức có nhiều hơn hai toán hạng khi phép toán hai ngôi đang xét vừa có tính kết hợp vừa có tính giao hoán. Thật vậy, giả sử trong biểu thức a * b * c, ta muốn nhân a với c rồi mới nhân b. Thứ tự thực hiện phép toán như vậy không thể làm được bởi
formula_5
và formula_6
Các ví dụ.
Phép toán không giao hoán.
Một số phép toán không giao hoán:
Phép chia, phép trừ và phép mũ.
Phép chia không giao hoán, bởi formula_7.
Phép trừ không giao hoán bởi formula_8. Tuy nhiên ta có thể gọi nó có tính phản giao hoán, bởi formula_9.
Phép mũ không giao hoán bởi formula_10.
Hàm chân lý.
Một số hàm chân lý không có tính giao hoán, bởi bảng chân lý cho các hàm đó thay đổi khi ta thay đổi thứ tự toán hạng. Lấy ví dụ, bảng chân lý cho và là
Hợp các hàm tuyến tính.
Phép hợp các hàm tuyến tính từ các số thực sang số thực gần như luôn không giao hoán. Lấy ví dụ, đặt formula_11 và formula_12. Khi đó
và
Điều này cũng cho các biển đổi tuyến tính và biến đổi affin từ một không gian vectơ tới chính nó (xem biểu diễn ma trận bên dưới).
Phép nhân ma trận.
Phép nhân các ma trận vuông gần như luôn không giao hoán, lấy ví dụ:
Tích vectơ.
Tích vectơ của hai vectơ trong không gian ba chiều có tính phản giao hoán; tức là "b" × "a" = −("a" × "b").
Lịch sử và từ nguyên học.
Các bản ghi lại sử dụng tính giao hoán đã có từ thời cổ đại. Người Ai Cập sử dụng tính giao hoán của phép nhân để đơn giản hoá các tích trong tính toán. Euclid được biết đã mặc định tính chất giao hoán của phép nhân trong cuốn "Elements" của ông. Sử dụng tính chất này theo cách chuẩn tắc bất đầu vào cuối thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19, khi các nhà toán học bắt đầu nghiên cứu lý thuyết của các hàm số. Nay tính giao hoán được biết rộng rãi và được sử dụng trong đa số các nhánh của toán học.
Từ "commutative" (nghĩa là có giao hoán) được viết lần đầu trong hồi ký năm 1814 của François Servois, Bài viết sử dụng từ "commutatives" khi mô tả các hàm số có tính giao hoán. Từ này là kết hợp của từ "commuter" nghĩa là "để thay hoặc đổi" và hậu tố "-ative" nghĩa là "dẫn tới" nên toàn bộ từ có nghĩa "dẫn tới thay hoặc đổi". Thuật ngữ này xuất hiện trong tiếng Anh vào năm 1838 và trong mục của Duncan Farquharson Gregory với tiêu đề "Trên các tính chất tự nhiên của đại số ký hiệu", sau đó xuất bản vào năm 1840 trong các kỷ yếu của hiệp hội hoàng gia xứ Edinburgh.
Logic mệnh đề.
Quy tắc thay.
Trong logic mệnh đề, "Giao hoán", hay "tính giao hoán" thường nhắc tới hai quy tắc thay hợp lệ. Hay quy tắc cho phép ta chuyển vị các biến mệnh đề trong các công thức mệnh đề trong bài chứng minh logic. Các quy tắc thay như sau
và
trong đó "formula_18" là ký hiệu metalogic biểu diễn "có thể thay trong bài chứng minh với".
Liên kết logic mệnh đề.
"Tính giao hoán" là tính chất của một số liên kết logic của logic mệnh đề. Các tương đương logic sau là ví dụ của các liên kết có tính chất giao hoán.
Lý thuyết tập hợp.
Trong lý thuyết nhóm và lý thuyết tập hợp, nhiều cấu trúc đại số được gọi là giao hoán khi phép toán của nó thoả mãn tính chất giao hoán. Trong các nhánh cao hơn của toán học như giải tích hay đại số tuyến tính thì tính giao hoán của phép cộng và phép nhân trên tập số thực và số phức thường được mặc định trước không nhắc đến trong các bài chứng minh.
Các tính chất có liên quan.
Tính kết hợp.
Tính kết hợp có quan hệ gần gũi với tính giao hoán. Tính kết hợp trong biểu thức chứa hai hay nhiều hơn lần xuất hiện của cùng một phép toán phát biểu rằng thứ tự thực hiện phép toán không thay đổi kết quả cuối miễn là thứ tự các toán hạng không thay đổi. Ngược lại tính giao hoán phát biểu rằng thay đổi thứ tự các toán hạng khi tính trên một cặp sẽ không làm thay đổi kết quả cuối.
Các phép toán giao hoán thường thì sẽ cũng có tính kết hợp. Song, tính giao hoán không suy ra tính kết hợp. Một ví dụ phản chứng là hàm số sau
Hàm số này giao hoán (đổi "x" và "y" không thay đổi kết quả), nhưng nó không có tính kết hợp (bởi lấy ví dụ như formula_24 nhưng formula_25). Nhiều các ví dụ khác có thể tìm thấy trong các magma giao hoán không kết hợp. Ngược lại, tính kết hợp cũng không suy ra tính giao hoán. Lấy ví dụ, phép nhân ma trận luôn kết hợp nhưng chưa chắc đã giao hoán.
Tính đối xứng.
Một số dạng của đối xứng có thể liên hệ trực tiếp với tính giao hoán. Khi phép toán hai ngôi được viết thành hàm nhị phân formula_26 thì hàm số đó được gọi là hàm đối xứng, và đồ thị của nó trong không gian ba chiều đối xứng qua mặt phẳng formula_27. Ví dụ nếu hàm định nghĩa là formula_28 thì formula_29 là hàm đối xứng.
Trong đại số quan hệ, quan hệ đối xứng tương tự với tính giao hoán, nghĩa là nếu quan hệ "R" đối xứng thì formula_30.
Các toán tử không giao hoán trong cơ học lượng tử.
Trong phần cơ học lượng tử viết bởi Schrödinger, các biến vật lý được thay bằng các toán tử tuyến tính như formula_31 (nghĩa là nhân bởi formula_31), và formula_33. Hai toán tử này không giao hoán khi xem kết quả hợp của chúng formula_34 và formula_35 (cũng được gọi là tích các toán tử) trên hàm sóng một chiều formula_36:
Theo nguyên lý bất định của Heisenberg, nếu hai toán tử biểu diễn cặp phần tử không giao hoán nhau thì cặp hai phần tử đó bù nhau, nghĩa là chúng không thể đồng thời đo được hay biết được chính xác. Lấy ví dụ, vị trí và mô men tuyến tính trong hướng formula_31 của một hạt được biểu diễn bởi formula_31 và formula_40, tương ứng (trong đó formula_41 là hằng số Planck đã rút gọn). Ví dụ này tương tự ví dụ ngay trên nhưng thay vào đó là formula_42, do đó các toán tử không giao hoán, vào theo vật lý thì có nghĩa là vị trí và mô men tuyến tính theo một hướng đã cho sẽ bù nhau.