Compact

Trong toán học, không gian compact là một khái niệm rất quan trọng của tô pô. Tùy theo không gian ta xét là không gian mêtric hay không gian Euclide mà có những định nghĩa khác nhau so với không gian tô pô tổng quát.
Giới thiệu.
Một ví dụ cơ bản về không gian compact là không gian con formula_1 của formula_2 với topo Euclide. Tức là nếu lấy tập vô hạn phần tử rời nhau trong formula_1 thì tập đó sẽ chứa ít nhất một điểm tụ. Ví dụ tập 
thì formula_5 sẽ là một điểm tụ của formula_6. Tổng quát hơn, định lý Heine-Borel cho ta formula_7 là không gian compact (không gian formula_7 là con của formula_2 với topo Euclide) khi và chỉ khi formula_7 đóng và bị chặn trong formula_2. Vì vậy, những khoảng mở, nửa khoảng và formula_2 là không compact.
Như ta đã biết, có nhiều cách định nghĩa một không gian compact, ví dụ như compact tổng quát, compact dãy... Các định nghĩa sẽ phụ thuộc vào cấp độ tổng quát của không gian topo. Ví dụ:
Tuy nhiên, trong không gian topo tổng quát, khái niệm compact dãy sẽ không tương đương với khái niệm compact tổng quát. Nghĩa là không gian formula_13 được gọi là compact khi và chỉ khi với mọi phủ mở của formula_14, ta có thể trích ra một phủ con hữu hạn. Khi đó, một tập đóng và bị chặn trong không gian Euclide là compact tổng quát được chứng minh qua định lý Heine-Borel.
Định nghĩa.
Xét formula_15 là một tập hợp con của một không gian tô-pô formula_14. formula_15 được gọi là một tập con compact của formula_14 nếu điều kiện sau được thỏa mãn: nếu formula_19 và với formula_20 là các tập con mở của formula_14, thì tồn tại một tập con hữu hạn formula_22 sao cho formula_23 (nghĩa là với mọi phủ mở của formula_15, có một phủ hữu hạn các tập mở bao hàm nó). Ngắn gọn, formula_15 là một tập con compact khi và chỉ khi "mọi phủ mở đều có phủ con hữu hạn".
Một không gian tô-pô formula_14 được gọi là compact nếu tập con tầm thường formula_27 là một tập con compact.
Không gian con compact.
Cho formula_6 là không gian con của không gian tô pô formula_14. Cho formula_30 là tập chỉ số của một phủ mở của formula_6. Với mỗi formula_32 là chỉ số của một tập mở của formula_6, thì ta có formula_34 mở trong formula_14 sao cho formula_36. Vì vậy, ta có họ các tập mở formula_37 của formula_14 mà có hội chứa formula_6. Nói cách khác, nếu có một họ formula_30 các tập mở trong formula_14 có hội chứa formula_6, thì họ formula_43 là một phủ mở của formula_6. Do đó, formula_6 là không gian con compact của formula_14 nếu cho họ formula_47 là họ các tập mở bất kì có phần hội chứa formula_6, thì tồn tại formula_22 và formula_50 sao cho formula_51 có hội chứa formula_6. Vì vậy, ta có thể định nghĩa không gian con formula_6 của formula_14 là compact qua hai cách: dùng họ phủ mở của formula_6 hoặc họ các tập mở trong formula_14 có hội chứa formula_6.
Nói cách khác, một tập con là compact khi và chỉ khi nó là một không gian con compact với tô-pô cảm sinh.
Những ví dụ.
Giải tích và Đại số.
là phủ formula_64 nhưng không trích ra được phủ con hữu hạn.
Ta có formula_7 là không gian metric với metric định bởi 
là không gian compact. Điều này được suy ra từ định lý Arzela-Ascoli.
Ý nghĩa.
Ý nghĩa của khái niệm này: Để đưa những vấn đề mang tính địa phương về toàn cục, cần phải hữu hạn hóa quá trình vô hạn. Nói cách khác, mỗi sự kiện phụ thuộc ở phạm vi địa phương (xét trong lân cận tại mỗi điểm thuộc A), toàn bộ tập A được bao phủ bởi tất cả các lân cận ấy. Nếu chỉ cần một số hữu hạn các lân cận ấy đủ để bao phủ A thì ta có thể chọn được những đại lượng lớn nhất, bé nhất liên quan đến tính hữu hạn này.
Trong tiếng Anh, "compact" có nghĩa là "nén chặt, gọn gàng, tinh tế". Qua định nghĩa trên, ta thấy một tập compact khá gọn gàng: Tưởng chừng phải có vô hạn cái túi để đựng tập A nhưng thật ra chỉ cần hữu hạn cái là đủ.
Trước đây, một số nhà toán học Việt Nam đưa những thuật ngữ tiếng Việt để dịch khái niệm này như là "tập compact", "tập cơm nén" (quá thuần Việt) hay "tập áp súc" (từ Hán-Việt). Có lẽ không được hưởng ứng nhiều, ngày nay ta dùng luôn từ "compact", đôi khi phiên âm thành "com-pắc".
Các định lý.
Khá nhiều định lý gắn chặt với tính chất compact của tập như:
Đặc trưng của tính compact.
Một không gian là compact nếu và chỉ nếu mỗi họ các tập đóng với tính chất giao hữu hạn có giao khác rỗng.
Không gian Euclide.
Với tập con formula_6 của không gian Euclide formula_86, những tính chất sau là tương đương:
1. formula_6 là compact.
2. Mỗi dãy trong formula_6 có dãy con hội tụ.
3. formula_6 là đóng và bị chặn (định lý Heine-Borel).