Lũy thừa

Lũy thừa (từ Hán-Việt: nghĩa là "nhân chồng chất lên") là một phép toán toán học, được viết dưới dạng , bao gồm hai số, cơ số và "số mũ" hoặc "lũy thừa" , và được phát âm là " lũy thừa ". Khi là một số nguyên dương, lũy thừa tương ứng với phép nhân lặp của cơ số (thừa số): nghĩa là là tích của phép nhân cơ số:
Số mũ thường được hiển thị dưới dạng chỉ số trên ở bên phải của cơ số. Trong trường hợp đó
Ta có , và, với mọi số nguyên dương và , ta có . Để mở rộng thuộc tính này thành số mũ nguyên không dương, (với a khác 0) được định nghĩa là , (với n là số nguyên dương và khác 0) được định nghĩa là . Đặc biệt, bằng , "nghịch đảo" của .
Định nghĩa về lũy thừa có thể được mở rộng để cho phép bất kỳ số mũ thực hoặc phức nào. Luỹ thừa theo số mũ nguyên cũng có thể được định nghĩa cho nhiều loại cấu trúc đại số, bao gồm cả ma trận.
Luỹ thừa được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm kinh tế học, sinh học, hóa học, vật lý và khoa học máy tính, với các ứng dụng như lãi kép, tăng dân số, động học phản ứng hóa học, hành vi sóng và mật mã khóa công khai.
Lũy thừa với số mũ nguyên.
Lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:
Các tính chất quan trọng nhất của lũy thừa với số mũ nguyên dương "m", "n" là
Đặc biệt, ta có:
Trong khi các phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, phép tính lũy thừa không có tính giao hoán.
Tương tự các phép cộng và nhân có tính kết hợp, còn phép tính lũy thừa thì không. Khi không có dấu ngoặc, thứ tự tính của các lũy thừa là từ trên xuống, chứ không phải là từ dưới lên:
Lũy thừa bậc chẵn của một số âm là số dương.
Lũy thừa bậc lẻ của một số âm là số âm.
Lũy thừa với số mũ 0.
Lũy thừa với số mũ 0 của số "a" ≠ 0 được quy ước bằng 1. 
Chứng minh:
Lũy thừa với số mũ nguyên âm.
Lũy thừa của "a" với số mũ nguyên âm -n, "a" khác 0 và "n" là số nguyên dương là: 
Ví dụ 
Cách suy luận ra "lũy thừa với số mũ nguyên âm" từ "lũy thừa với số mũ 0":
Trường hợp đặc biệt: lũy thừa của số a ≠ 0 với số mũ −1 là số nghịch đảo của nó.
formula_22
Lũy thừa của số thực dương với số mũ hữu tỷ.
Căn bậc n của một số thực dương.
Một căn bậc "n" của số "a" là một số "x" sao cho "xn" = "a".
Nếu "a" là số thực dương, "n" là số nguyên dương thì có đúng một số thực dương "'x sao cho "xn" = "a".
Số x này được gọi là căn số học bậc n của "a". Nó được ký hiệu là "n"√"a", trong đó √  là ký hiệu căn.
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương.
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản b/c ("b, c" là số nguyên, trong đó "c" dương), của số thực dương "a" được định nghĩa là
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ, với cơ số âm là không có nghĩa.
Lũy thừa với số mũ thực.
Lũy thừa của số e.
Số e là hằng số toán học quan trọng, xấp xỉ 2.718 và là cơ số của logarit tự nhiên. Số "e" được định nghĩa qua giới hạn sau: 
Hàm e mũ, được định nghĩa bởi 
ở đây "x" được viết như số mũ vì nó thỏa mãn đẳng thức cơ bản của lũy thừa
Hàm e mũ xác định với tất cả các giá trị nguyên, hữu tỷ, thực và cả giá trị phức của "x".
Có thể chứng minh ngắn gọn rằng hàm "e" mũ với "x" là số nguyên dương "k" chính là "e""k" như sau:
Chứng minh này cũng chứng tỏ rằng "e""x"+"y" thỏa mãn đẳng thức lũy thừa khi "x" và "y" là các số nguyên dương. Kết quả này cũng có thể mở rộng cho tất cả các số không phải là số nguyên dương.
Lũy thừa với số mũ thực.
Vì mỗi số thực có thể được tiệm cận bởi các số hữu tỷ nên lũy thừa của với số mũ thực "x" có thể định nghĩa nhờ giới hạn
trong đó "r" tiến tới "x" chỉ trên các giá trị hữu tỷ của "r".
Chẳng hạn, nếu 
thì 
Lũy thừa với số mũ thực cũng thường được định nghĩa bằng cách sử dụng logarit thay cho sử dụng giới hạn của các số hữu tỷ.
Logarit tự nhiên formula_32 là hàm ngược của hàm e-mũ "e""x". Theo đó formula_33 là số b sao cho x = eb .
Nếu "a" là số thực dương, "x" là số thực bất kỳ ta có a = e ln "a"
nên nếu ax được định nghĩa nhờ hàm logarit tự nhiên thì ta cần phải có
Điều này dẫn tới định nghĩa
với mọi số thực "x" và số thực dương "a".
Định nghĩa này của lũy thừa số mũ thực phù hợp với định nghĩa lũy thừa thực nhờ giới hạn ở trên và với cả lũy thừa với số mũ phức dưới đây.
Lũy thừa với số mũ phức.
Lũy thừa số mũ phức của số e.
Dựa vào biểu diễn lượng giác của các số phức, người ta định nghĩa lũy thừa số mũ phức của số e như sau.
Trước hết, lũy thừa với số mũ thuần ảo của "e" định nghĩa theo công thức Euler:
Sau đó với số phức formula_37, ta có
Lũy thừa số mũ phức của số thực dương.
Nếu "a" là một số thực dương và "z" là số phức thì lũy thừa "a""z" được định nghĩa là
trong đó "x" = ln("a") là nghiệm duy nhất của phương trình "e""x" = "a".
Nếu formula_37, ta có
Tính chất lũy thừa.
Tính chất cơ bản.
1) formula_45 (n thừa số a)
2) formula_46
3) formula_47
4) formula_48
5) formula_49 
6) formula_50
7) formula_51
Tính chất thường găp.
1) formula_52
2) formula_53 formula_10
3) formula_55
4) formula_12
5) formula_57
6)formula_14
7) formula_59
8) formula_35
9) formula_36
Hàm số lũy thừa.
Hàm số lũy thừa là hàm số có dạng formula_62 với formula_63
Tập xác định.
Tập xác định của hàm số trên phụ thuộc vào số mũ formula_64
Đạo hàm.
Hàm số formula_72có đạo hàm tại mọi x &gt; 0 và formula_73 là đạo hàm cấp 1 của f(x)
Chiều biến thiên của hàm số lũy thừa với biến số dương.
Xét hàm số formula_62 trên x&gt;0:
Đồ thị.
Đồ thị hàm số lũy thừa với số mũ thực và biến số dương.
Đồ thị hàm số formula_62trên x&gt;0 có tính chất sau:
Đồ thị hàm số lũy thừa với số mũ nguyên.
Đồ thị hàm số formula_82 với formula_83 có tính chất tương tự như trên với x&gt;0. Ngoài ra, phần đồ thị với x&lt;0 có tính đối xứng với phần đồ thị x&gt;0 phụ thuộc vào n:
Hàm số mũ.
Hàm số formula_84 với a là số thực dương khác 1 được gọi là hàm số mũ với cơ số a.
Đạo hàm.
Hàm số formula_84 với a là số thực dương khác 1 thì có đạo hàm tại mọi x và formula_86 là đạo hàm cấp 1 của formula_87
Đặc biệt hàm số formula_88 có đạo hàm cấp 1 là formula_89
Chiều biến thiên.
Hàm số formula_84 đồng biến trên R nếu a&gt;1 và nghịch biến trên R nếu 0y=f(x)=a^x&lt;/math&gt;có những tính chất sau:
Tìm chữ số tận cùng.
Tìm chữ số tận cùng của lũy thừa.
Để tìm chữ số tận cùng, ta có thể lập bảng để biết chữ số tận cùng được thay đổi như thế nào.
Ví dụ: Tìm chữ số tận cùng của 72004
Phân tích:
Giải:
Chữ số tận cùng được lặp lại theo dãy: 7, 9, 3, 1, 7... (gồm dãy 4 số hạng lặp lại)
2004 : 4 = 501 dư 0
Vậy chữ số tận cùng của 72004 là 1.
Tìm số các số 0 tận cùng của một tích.
Vì 2 × 5 = 10 nên muốn tìm số các số 0 tận cùng ta có thể phân tích tích ban đầu ra thừa số nguyên tố, tìm số cặp thừa số {2, 5} là ra luôn số các số 0 tận cùng.
Ví dụ: Số 12! (12 giai thừa) bao gồm bao nhiêu chữ số 0 tận cùng? 
Giải:
Ta có: 12! = 1 × 2 × 3 × ... × 12
Phân tích ra thừa số nguyên tố: 12! = 210 × 35 × 52 × 7 × 11
Vì có 10 thừa số 2 và 2 thừa số 5 nên tạo được 2 cặp {2, 5}. 
Vậy 12! có 2 chữ số 0 tận cùng.