Phép hợp

Cho "A" và "B" là các tập hợp, khi đó hợp (cũng được gọi là hội hay union) của "A" và "B" là tập gồm tất cả các phần tử "A" và các phần tử của "B", và không chứa phần tử nào khác. Hợp của "A" và "B" được viết là ""A" ∪" B"". Hợp là khi chúng ta "gộp" 2 tập hợp lại với nhau.
Hợp của hai tập hợp.
Hợp của hai tập hợp "A" và "B" là tập các phần tử vừa thuộc "A", vừa thuộc "B", hoặc thuộc cả hai "A" và "B". Sử dụng ký pháp xây dựng tập hợp,
Lấy ví dụ, nếu "A" = {1, 2, 3, 4} and "B" = {1, 2, 4, 6, 7} thì "A" ∪ "B" = {1, 2, 3, 4, 6, 7}. Một ví dụ bao gồm hai tập vô hạn là:
Một ví dụ nữa về tính chất là phần tử của: số 9 "không" nằm trong hợp của các số nguyên tố {2, 3, 5, 7, 11, ...} và tập các số chẵn {2, 4, 6, 8, 10, ...}, vì 9 không nguyên tố và cũng không chẵn.
Tập hợp không thể lặp lại phần tử, nên hợp của hai tập {1, 2, 3} và {2, 3, 4} là {1, 2, 3, 4}.
Tính chất đại số.
Phép hợp hai tập hợp là phép toán hai ngôi có tính kết hợp; nghĩa là, cho bất kỳ tập formula_3
formula_4
Do vậy, có thể bỏ dấu ngoặc đi mà không làm mất giá trị: cả hai cách viết ở trên đều có thể viết thành formula_5 Ngoài ra phép hợp còn có giao hoán,do đó có thể đổi chỗ các tập hợp trong biểu thức .
Tập rỗng là phần tử trung hòa cho phép hợp. Tức là, formula_6 với mọi tập formula_7 Bên cạnh đó phép hợp còn có tính lũy đẳng: formula_8 Tất cả tính chất này đều tương tự với phép tuyển.
Phép giao phân phối trên phép hợp
formula_9 
và ngược lại, phép hợp phân phối trên phép giao
formula_10
Tập lũy thừa của tập hợp formula_11 cùng với phép hợp, phép giao, và phép bù là đại số Boole. Trong đại số Boole này, phép hợp có thể biểu diễn bằng phép giao và bù bằng công thức
formula_12
trong đó chữ formula_13 viết trên ký hiệu phần bù trong tập phổ dụng formula_14
Hợp hữu hạn các tập hợp.
Mở rộng hơn, ta có thể xét hợp của nhiều tập hợp cùng một lúc.Ví dụ chẳng hạn: hợp của ba tập "A", "B", và "C" chứa tất cả các phần tử thuộc "A", và tất cả thuộc "B", và tất cả thuộc "C", và không gì khác nữa. Do vậy, "x" là phần tử thuộc "A" ∪ "B" ∪ "C" khi và chỉ khi "x" thuộc ít nhất một trong ba tập "A", "B", và "C".
Hợp hữu hạn là hợp của hữu hạn số các tập hợp; song điều này không có nghĩa phép hợp chỉ áp dụng với hữu hạn số các tập hợp hay phép hợp chỉ áp dụng với tập hữu hạn.
Hợp của một họ tập hợp.
Cách viết tổng quát nhất là hợp của một họ tùy ý các tập hợp, đôi khi được gọi là "họ vô hạn". Nếu M là tập hợp hay lớp mà các phần tử là các tập hợp thì "x" là phần tử thuộc hợp của M khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một phần tử "A" thuộc M sao cho "x" là phần tử của "A". Dưới ký hiệu:
Cách viết này tổng quát hóa cho ví dụ trước, "A" ∪ "B" ∪ "C" là hợp của họ {"A", "B", "C"}. Ngoài ra, nếu họ M rỗng, thì hợp của M cũng rỗng.
Ký hiệu.
Ký hiệu cho hợp của một họ có thể khác nhau. Đối với họ hữu hạn các tập formula_16, ta có thể viết formula_17 hoặc formula_18. Các cách ký hiệu khác bao gồm formula_19, formula_20, và formula_21. Cách ký hiệu cuối formula_22 được dùng khi "I" là tập chỉ số và formula_23 là tâp hợp với mọi formula_24. Trong trường hợp tập chỉ số "I" là tập các số tự nhiên, ta có thể dùng ký hiệu formula_25, tương tự với tổng vô hạn trong chuỗi.
Mã hóa ký hiệu.
Trong Unicode, phép hợp được biểu diễn bằng ký tự . Trong TeX, formula_26 được viết là codice_1 còn formula_27 được viết từ codice_2.