Nửa nhóm

Trong toán học, nửa nhóm là cấu trúc đại số bao gồm một tập hợp đi cùng với một phép toán hai ngôi có tính kết hợp.
Phép toán hai ngôi của nửa nhóm thường được ký hiệu theo phép nhân: "x"·"y", hoặc đơn giản là "xy", ký hiệu cho kết quả của phép toán cho cặp được sắp . Tính kết hợp thường được viết như sau: với mọi "x", "y" và "z" thuộc nửa nhóm.
Nửa nhóm được coi là một trường hợp đặc biệt của các magma, trong đó phép toán có tính kết hợp, hoặc là dạng tổng quát của các nhóm bởi không cần đến phần tử đơn vị hay phần tử nghịch đảo. Giống như nhóm hoặc magma, phép toán trong nửa nhóm không cần phải có tính giao hoán, nên "x"·"y" không nhất thiết phải bằng với "y"·"x"; Một ví dụ nổi bật về phép toán có tính kết hợp nhưng không có tính giao hoán là phép nhân ma trận. Nếu phép toán có tính giao hoán, thì nửa nhóm đó được gọi là "nửa nhóm giao hoán" hoặc (tương tự cách gọi nhóm Abel nhưng ít khi gọi hơn) là "nửa nhóm abel".
Monoid là cấu trúc đại số trung gian nằm giữa nửa nhóm và nhóm, là nửa nhóm đi kèm theo phần tử đơn vị, do đó thỏa mãn tất cả các tiên đề của nhóm ngoại trừ tiên đề phần tử nghịch đảo. Một ví dụ chẳng hạn như tập các xâu cùng với phép nối xâu làm phép toán hai ngôi và phần tử đơn vị là xâu rỗng. Nếu bỏ đi xâu rỗng thì tập các xâu này tạo thành một nửa nhóm không phải monoid. Tập các số nguyên dương cùng phép cộng tạo thành nửa nhóm giao hoán nhưng không phải monoid, trong khi tập các số nguyên không âm có tạo thành một monoid. Nửa nhóm có thể dễ dàng biến thành monoid bằng cách thêm phần tử đơn vị. Bởi vậy, các monoid thường được nghiên cứu trong lý thuyết nửa nhóm thay vì trong lý thuyết nhóm. Ta không nên nhầm lẫn giữa nửa nhóm với tựa nhóm, tựa nhóm là dạng tổng quát của nhóm theo hướng khác; phép toán trong tựa nhóm không cần tính giao hoán nhưng cần bảo toàn phép chia. Phép chia trong nửa nhóm (hoặc trong monoid) thường không khả thi.
Nghiên cứu các nửa nhóm chính thức bắt đầu từ ban đầu thế kỷ 20. Các kết quả ban đầu bao gồm định lý Cayley cho các nửa nhóm, trong đó các hàm tùy ý thay thế vị trí của các song ánh trong lý thuyết nhóm. Một kết quả sâu hơn nằm trong phân loại các nửa nhóm hữu hạn là lý thuyết Krohn–Rhodes, tương tự với phân tích Jordan–Hölder cho nhóm hữu hạn. Một số kỹ thuật để nghiên cứu nửa nhóm như các quan hệ của Green, không có trong lý thuyết nhóm.
Lý thuyết của các nửa nhóm hữu hạn có ứng dụng quan trọng trong khoa học máy tính lý thuyết kể từ những năm 1950 bởi liên hệ tự nhiên giữa các nửa nhóm hữu hạn và automata hữu hạn qua monoid cú pháp. Trong lý thuyết xác suất, nửa nhóm thường được xét trong các tiến trình Markov. Trong các nhánh khác của toán học ứng dụng, nửa nhóm là mô hình cơ bản cho các hệ thống tuyến tính bất biến thời gian. Trong các phương trình vi phân riêng phần, Nửa nhóm thường được xét với các phương trình có tiến hóa không phụ thuộc vào thời gian.
Có nhiều lớp đặc biệt của nửa nhóm, là các nửa nhóm đi kèm thêm một số tính chất đặc biệt. Một số lớp còn biểu hiện gần hết các tính chất của nhóm. Trong đó bao gồm: nửa nhóm chính quy, nửa nhóm cùng phép chập, nửa nhóm khả nghịch và nửa nhóm khử được.
Định nghĩa.
Nửa nhóm là tập hợp formula_1 đi cùng phép toán hai ngôi "formula_2" (hay là hàm formula_3) thỏa mãn tính kết hợp:
Ngắn gọn hơn, nửa nhóm là magma có tính kết hợp.
Các khái niệm cơ bản.
Phần tử đơn vị và phần tử không.
Phần tử đơn vị trái của nửa nhóm formula_1 (hoặc tổng quát hơn là của magma) là phần tử formula_7 sao cho với mọi formula_8 thuộc formula_1, formula_10. Tương tự như vậy, phần tử đơn vị phải là phần tử formula_11 sao cho với mọi phần tử formula_8 thuộc formula_1, formula_14. Phần tử đơn vị trái và phải đều được gọi là phần tử đơn vị một phía. Một nửa nhóm có thể có một hoặc nhiều hơn số phần tử đơn vị trái nhưng không có phần tử đơn vị phải nào và ngược lại.
Phần tử đơn vị hai phía (hay gọi ngắn đi là phần tử đơn vị) là phần tử đồng thời vừa là đơn vị trái, vừa là đơn vị phải. Nửa nhóm có phần tử đơn vị hai phía được gọi là monoid. Một nửa nhóm chỉ có tối đa một phần tử đơn vị hai phía. Nếu nửa nhóm có một phần tử đơn vị hai phía, thì phần tử đơn vị hai phía đó là phần tử đơn vị một phía duy nhất trong nửa nhóm. Nếu một nửa nhóm có cả hai đơn vị trái và đơn vị phải, thì nó có một phần tử đơn vị hai phía (là phần tử đơn vị duy nhất).
Nửa nhóm formula_1 không có phần tử đơn vị có thể được nhúng trong monoid được tạo bằng cách hợp phần tử formula_16 với formula_1 và định nghĩa formula_18 for all formula_19. Ký hiệu formula_20 ký hiệu cho monoid được tạo từ formula_1 bằng cách thêm phần tử đơn vị "nếu cần thiết" (formula_22 cho monoid).
Tương tự như vậy, mỗi magma có tối đa một phần tử hút, mà trong lý thuyết nửa nhóm ta gọi nó là phần tử không. Tương tự với cách xây trên, với mọi nửa nhóm formula_1, ta có thể định nghĩa formula_24 là nửa nhóm cùng với 0 nhúng lên formula_1.
Nửa nhóm con và ideal.
Từ nửa nhóm quy nạp ra được phép toán trên họ các tập con của nửa nhóm: Cho các tập con "A" và "B" của nửa nhóm "S", tích của chúng , thường viết là "AB", là tập hợp (Thuật ngữ này tương đương với nhóm.) Dùng phép toán này, tập con "A" được gọi là
Nếu "A" vừa là ideal trái vừa là ideal phải thì nó được gọi là ideal (hoặc ideal hai phía).
Nếu "S" là nửa nhóm, thì giao của bất cứ họ các nửa nhóm con của "S" cũng là nửa nhóm con của "S".
Do đó tập các nửa nhóm con của "S" tạo thành một dàn đầy đủ.
Một ví dụ của nửa nhóm không có ideal tối tiểu là tập các số nguyên dương dưới phép cộng. Ideal tối tiểu của nửa nhóm giao hoán, nếu nó tồn tại thì nó là nhóm.
Quan hệ Green là tập năm quan hệ tương đương mô tả các phần tử bằng các ideal chính chúng sinh ra, là kỹ thuật quan trọng để phân tích các ideal của nửa nhóm và cấu trúc có quan hệ.
Tập con có tính chất mọi phần tử thuộc tập đó giao hoán với các phần tử còn lại trong nửa nhóm được gọi là tâm của nửa nhóm. Tâm của nửa nhóm là nửa nhóm con.
Đồng cấu và tương đẳng.
Đồng cấu nửa nhóm là hàm bảo toàn cấu trúc của nửa nhóm. Hàm giữa hai nửa nhóm là đồng cấu nếu phương trình
thỏa mãn với mọi "a", "b" thuộc "S", tức kết quả là như nhau khi áp dụng phép toán trước hay sau khi tính hàm "f".
Đồng cấu nửa nhóm giữa các monoid bảo toàn phần tử đơn vị nếu nó là đồng cấu monoid. Bởi có các đồng cấu nửa nhóm nhưng không phải đồng cấu monoid. Ví dụ chẳng hạn như phép nhúng chính tắc của nửa nhóm formula_1 không phần tử đơn vị vào formula_20. Gọi formula_28 là đồng cấu nửa nhóm. Ảnh của formula_11 cũng là nửa nhóm. Nếu formula_30 là monoid cùng phần tử đơn vị formula_31, thì formula_32 là phần tử đơn vị trong ảnh của formula_11. Nếu formula_34 là monoid cùng phần tử đơn vị formula_35 và formula_35 thuộc ảnh của formula_11, thì formula_38, tức là formula_11 là đồng cấu monoid. Cụ thể hơn, nếu formula_11 là toàn ánh, thì nó là đồng cấu monoid.
Hai nửa nhóm "S" và "T" được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại đồng cấu nửa nhóm có tính song ánh . Nửa nhóm đẳng cấu với nhau có cấu trúc như nhau.
Tương đẳng nửa nhóm formula_41 là quan hệ tương đương tương thích với phép toán hai ngôi của nửa nhóm. Nghĩa là, một tập con của formula_42 là quan hệ tương đương và formula_43 và formula_44 suy ra formula_45 với mọi formula_46 thuộc "S". Giống bất kỳ quan hệ tương đương, tương đẳng nửa nhóm formula_41 cảm sinh các lớp tương đẳng
và phép toán của nửa nhóm cảm sinh phép toán hai ngôi formula_49 trên tập các lớp tương đẳng:
Bởi formula_41 là tương đẳng, tập các lớp tương đương dưới phép formula_41 tạo thành nửa nhóm với phép toán formula_49, được gọi là nửa nhóm thương hau nửa nhóm nhân tử, và được ký hiệu là formula_54. Ánh xạ formula_55 là đồng cấu nửa nhóm, hay được gọi là ánh xạ thương, toàn xạ chính tắc hoặc phép chiếu chính tắc; nếu "S" là monoid thì nửa nhóm thương là monoid cùng với phần tử đơn vị formula_56. Ngược lại, nhân của bất cứ đồng cấu nửa nhóm là tương đẳng nửa nhóm. Lớp tương đẳng và monoid nhân tử là các đối tượng được nghiên cứu trong các hệ thống viết lại xâu.