Giai thừa

Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. Cho n là một số tự nhiên dương, "n giai thừa", ký hiệu "formula_1" là tích của "n" số tự nhiên dương đầu tiên.
formula_2
Ví dụ: formula_3
Đặc biệt, với formula_4, người ta quy ước formula_5, đúng theo quy ước của một tích trống.
Ký hiệu "n"! được dùng lần đầu bởi Christian Kramp vào năm 1808. Giai thừa được phổ biến trong nhiều mảng khác nhau của toán học, chủ yếu là mảng tổ hợp, vì đây là số cách khác nhau để xáo trộn một nhóm formula_6 đối tượng nào đó.
Định nghĩa đệ quy.
Ta có thể định nghĩa đệ quy (quy nạp) n! như sau
Một số tính chất của giai thừa.
Đây là công thức ước lượng của Srinivasa Ramanujan.
Mở rộng cho tập số rộng hơn.
Theo công thức đệ quy nói trên, thì ta có 0! = 1, còn các giai thừa của số âm không tồn tại. Như vậy giai thừa trên tập số nguyên đã giải quyết xong.
Một vấn đề được đặt ra: phải mở rộng giai thừa cho tập số rộng hơn. Nhưng làm thế nào?
Công thức Gamma.
Là công thức mang tên một chữ cái Hy Lạp do nhà toán học Pháp, Adrien-Marie Legendre đề ra. Hàm số này có dạng sau:
Bằng phương pháp tích phân từng phần ta có được:
Khi đó ta có:
Sau này Euler và Weierstrass đã biến đổi lại thành:
Tính chất quan trọng nhất của nó đã được chính Euler chứng minh, đó là:
Thay z = 1/2 ta thu được:
Một công thức khác cũng không kém phần quan trọng là:
Hai công thức dưới đây là do Gauss chứng minh:
Giai thừa với số thực.
Theo công thức tương ứng giữa giai thừa với công thức Gamma, các nhà toán học đã đề ra công thức Pi có dạng sau:
Như vậy:
Ví dụ:
Giai thừa với số phức.
Công thức chính để tính giai thừa trong trường hợp này là ước lượng Laurent:
với |z| &lt; 1. Khai triển ra ta có bảng các hệ số như sau:
Ở đây formula_38 là hằng số Euler - Mascheroni còn formula_39 là hàm zeta Riemann.
Ngoài ra, còn có thể sử dựng ước lượng gần đúng theo dạng nang cao của công thức Stirling với một số bổ sung kèm vơi đó.
Cụ thể:
formula_40
Các khái niệm tương tự.
Giai thừa nguyên tố ("primorial").
Bài chi tiết: Giai thừa nguyên tố
Giai thừa nguyên tố (ký hiệu "n"#) với n&gt;1 là tích của tất cả các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng "n". Chẳng hạn, 7# = 210 là tích các số nguyên tố (2 · 3 · 5 · 7). Tên này đặt theo Harvey Dubner và là từ ghép của "prime" và "factorial". Các "giai thừa nguyên tố" đầu tiên là:
Giai thừa kép.
Có thể coi "n!" là tích n phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu bằng 1 và công sai bằng 1. Mở rộng với công sai bằng 2 ta có:
Giai thừa kép là tích "n" phần tử đầu của cấp số cộng với phần tử đầu "1" và công sai là "2".
Ví dụ:
Dãy các giai thừa kép đầu tiên là:
Định nghĩa trên có thể mở rộng cho các số nguyên âm như sau:
Các giai thừa kép nguyên âm lẻ đầu tiên với "n"= -1, -3, -5, -7...là
Các giai thừa kép của số nguyên âm chẵn là không xác định.
Một vài đẳng thức với giai thừa kép:
Cũng nên phân biệt "n"!! với ("n"!)!.
Giai thừa bội.
Ta có thể tiếp tục mở rộng với các giai thừa bội ba ("n"!!!),bội bốn ("n!!!!")...
Tổng quát, giai thừa bội "k" ký hiệu là "n"!("k"), được định nghĩa đệ quy như sau
Siêu giai thừa("superfactorial").
Neil Sloane và Simon Plouffe đã định nghĩa siêu giai thừa (năm 1995) là tích của "n" giai thừa đầu tiên. Chẳng hạn, siêu giai thừa của 4 là
Tổng quát
Các siêu giai thừa đầu tiên bắt đầu từ "n" = 0) là
Vào năm 2000, tư tưởng này được Henry Bottomley mở rộng thành siêu giả giai thừa (superduperfactorial) là tích của "n" siêu giai thừa đầu tiên. Những giá trị đầu tiên của chúng là (bắt đầu từ "n" = 0):
và tiếp tục đệ quy với siêu giai thừa bội (multiple-level factorial) trong đó siêu giai thừa bội cấp "m" của "n" là tích của "n" siêu giai thừa bội cấp("m" − 1), nghĩa là
trong đó formula_50 for formula_9 and formula_52.