Số nguyên tố Mersenne

Số nguyên tố Mersenne là một số nguyên tố có giá trị bằng 2n − 1. Ví dụ 31 là số nguyên tố Mersenne vì 31 = 25 − 1 (31 và 5 đều là số nguyên tố)
Điều kiện cần để số Mn nguyên tố là "n" là số nguyên tố, 24 -1 = 15 là hợp số vì 4 không là nguyên tố, nhưng suy đoán ngược lại không đúng: ví dụ số Mersenne 2047 = 211 − 1 không là nguyên tố vì nó chia hết cho 89 và 23, mặc dù số 11 là số nguyên tố.
Hiện nay, các số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy thường là số nguyên tố Mersenne.
Các số nguyên tố Mersenne có quan hệ chặt chẽ với các số hoàn thiện, nghĩa là các số bằng tổng các ước chân chính của nó. Trong lịch sử, việc nghiên cứu các số nguyên tố Mersenne đã từng bị thay đổi do các liên quan này; vào thế kỷ IV TCN, Euclid phát biểu rằng nếu M là số nguyên tố Mersenne thì M(M+1)/2 là số hoàn thiện. Vào thế kỷ XVIII, Leonhard Euler chứng minh rằng tất cả các số hoàn thiện chẵn đều có dạng này. Không một số hoàn thiện lẻ nào được biết, và người ta nghi ngờ rằng chúng không tồn tại.
Tìm các số nguyên tố Mersenne.
Đẳng thức sau
cho biết rằng "Mn" có thể là số nguyên tố chỉ nếu chính "n" là số nguyên tố, điều đó làm giản lược bớt việc tìm các số nguyên tố Mersenne. Mệnh đề đảo, nói rằng "Mn" là số nguyên tố nếu "n" là số nguyên tố là sai. Số nhỏ nhất cho ví dụ này là 211-1 = 23×89, là hợp số.
Đã có một số thuật toán tối ưu hóa để tìm số nguyên tố Mersenne, do đó hiện nay người ta đã biết các số nguyên tố Mersenne rất lớn.
Bốn số nguyên tố Mersenne đầu tiên formula_2, formula_3, formula_4 và formula_5 đã được biết từ cổ xưa. Số thứ năm, formula_6, được tìm thấy vào trước năm 1461; hai số tiếp theo (formula_7 và formula_8) tìm thấy bởi Cataldi vào năm 1588, đồng thời ông còn dự đoán cho các số mũ 23 (đã bị Fermat bác bỏ), 29 (đã bị Fermat bác bỏ), 37(đã bị Euler bác bỏ). Sau hơn một thế kỷ formula_9 được kiểm tra bởi Euler vào năm 1750 bằng Lý thuyết chỉ số. Số tiếp theo (trong lịch sử, không theo thứ tự số) là formula_10, do Lucas tìm thấy vào năm 1876, sau đó formula_11 do Pervushin tìm vào năm 1883. Hai số nữa (formula_12 và formula_13) được tìm thấy vào thế kỷ XX, bởi Powers vào năm 1911 và 1914.
Từ thế kỷ XVII, các số này được mang tên nhà toán học Pháp Marin Mersenne, người đã chứng minh và dự đoán một loạt các số nguyên tố Mersenne với các số mũ: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 67, 127, 257. Danh sách của ông đã mắc một số sai lầm, như bao gồm cả "M"67 (được Kohler chứng minh là hợp số vào năm 1901, cụ thể: formula_14), "M"257 (được chứng minh là hợp số vào năm 1952), và bị bỏ quên "M"61, "M"89 và "M"107.
Phương pháp tốt nhất để kiểm tra tính nguyên tố của các số Mersenne được dựa vào sự tính toán một dãy tuần hoàn, được phát biểu đầu tiên bởi Lucas năm 1878 và chứng minh bởi Lehmer vào những năm 1930. Hiện nay nó được gọi là kiểm tra Lucas-Lehmer với số Mersenne. Đặc biệt, ta có thể chứng minh rằng (với formula_15) formula_16 là số nguyên tố nếu và chỉ nếu "Mn" chia hết cho "Sn-2", trong đó formula_17 và với formula_18, formula_19.
Việc tìm các số nguyên tố Mersenne thực sự được cách mạng bởi các máy tính điện tử số. Thành công đầu tiên của tư tưởng này thuộc về số nguyên tố Mersenne, "M"521, nhờ nỗ lực khéo léo vào lúc 10:00 P.M. ngày 30-1, 1952 khi sử dụng máy tính tự động Western U.S. National Bureau of Standards (SWAC) tại Institute for Numerical Analysis thuộc Đại học California tại Los Angeles, dưới sự điều khiển trực tiếp của Lehmer, sử dụng chương trình viết và chạy bởi GS R.M. Robinson. Nó là số nguyên tố Mersenne đầu tiên tìm thấy sau 38 năm; số tiếp theo, "M"607, đã được tìm thấy do computer này sau gần hai giờ chạy máy. Ba số tiếp theo  — "M"1279, "M"2203, "M"2281 — đã được tìm thấy với cùng chương trình trên sau nhiều tháng nữa. "M"4253 là số nguyên tố Mersenne đầu tiên là số nguyên tố siêu lớn (trên 1000 chữ số thập phân - titanic), và "M"44497 là số nguyên tố đầu tiên có trên 10.000 chữ số thập phân (gigantic).
Đến tháng 9 năm 2008, chỉ mới biết 46 số nguyên tố Mersenne; số lớn nhất đã biết là số (243 112 609 − 1). Cũng như nhiều số nguyên tố Mersenne trước đó, nó được tìm ra nhờ dự án tính toán phân tán trên Internet, được biết với tên gọi "Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng lồ trên Internet" (Great Internet Mersenne Prime Search - GIMPS).
Các định lý về số nguyên tố Mersenne.
hay
nhờ đặt formula_22, formula_23, và formula_24
"Chứng minh:"
"Chứng minh"
Do
Nếu formula_30 không phải là nguyên tố, hoặc formula_33 trong đó formula_34. Do đó, formula_35 là ước của formula_29, hoặc formula_29 không là nguyên tố.
"Chứng minh"
Gọi q là ước nguyên tố của 2p - 1 ta có:
Theo định lý nhỏ Fermat ta có:
Từ đó ta có q là ước chung của 2p - 1 và 2q - 1 - 1, hay là formula_41(*).
Ta xét bổ đề sau: Nếu a và b là hai số nguyên dương phân biệt thì formula_42.
Thật vậy, giả sử formula_43, suy ra a = k1d và b = k2d.
Suy ra:
Tức là bổ đề ta đã đặt ra là đúng.
Từ bổ đề suy ra: formula_46.
Giả sử formula_47 thì suy ra được formula_48, mâu thuẫn với (*). Do đó ta phải có formula_49. Do p là số nguyên tố nên formula_50 hay "q - 1 = bp".
Do q là ước của Mp lẻ nên q lẻ, suy ra b = 2k hay q = 2kp + 1.
Do 2p ≡ 1 (mod q) nên 2p + 1 ≡ 2 (mod q), suy ra formula_51 là căn bậc hai của 2 theo modulo (môđun) q, tức nó là nghiệm của:
Theo luật tương hỗ bậc hai:
Danh sách các số nguyên tố Mersenne đã biết cho đến nay.
 có 51 số nguyên tố Mersenne 2"p" − 1 tương ứng với số mũ "p" dưới đây: