Vành

Trong toán học, vành là một trong những cấu trúc đại số cơ bản. Nhiều đối tượng toán học có thể được xem xét như là vành, ví dụ như vành các hàm số liên tục trên một không gian, vành các đa thức một ẩn với hệ số thực, vành các ma trận với hệ số thực, vân vân. Vành có nhiều thuộc tính hơn là nhóm, nhưng lại ít thuộc tính hơn trường, nên nó có một vị trí cân bằng đặc biệt giữa các ngành của toán học.
Một vành có thể là giao hoán hoặc không giao hoán, tùy thuộc xem phép nhân của nó có tính giao hoán hay không. Các vành giao hoán có một vị trí đặc biệt trong lý thuyết số và hình học đại số. Ngành nghiên cứu về các vành giao hoán và các i-đê-an trên vành giao hoán được gọi là đại số giao hoán.
Các vành (không giao hoán) là những đối tượng nghiên cứu quan trọng trong đại số trừu tượng.
Định nghĩa.
Một tập hợp khác rỗng "R" được gọi là vành nếu trên đó có hai luật hợp thành trong "R" mà ta ký hiệu là "+" (phép cộng) và "×" (phép nhân) thoả mãn các điều kiện sau:
Tuy nhiên, có trường phái khác, định nghĩa một vành không có điều kiện phép nhân phải có phần tử đơn vị. Trong trường phái này, vành có phần tử đơn vị được gọi là "vành có đơn vị".
Nhiều trường phái cho rằng vành không cần tính chất phần tử đơn vị và không cần tính chất kết hợp trong phép nhân. Thí dụ, các loại vành Lie được gọi là vành nhưng phép nhân không có tính chất kết hợp. Người theo trường phái này dùng chữ "vành kết hợp" để gọi một vành trong đó phép nhân có tính kết hợp và để phân biệt giữa hai "vành kết hợp" và "vành không kết hợp".
Ví dụ.
Một số nguyên Gauss (hay số nguyên phức) là một số phức mà các phần thực và phần ảo của nó là các số nguyên. Các số nguyên Gauss, với phép toán cộng và phép toán nhân các số phức tạo thành một vành, gọi là vành số nguyên Gauss, thường ký hiệu là Z["i"]. 
Trong vành số nguyên Gauss, ta cũng có thể xây dựng các khái niệm tương tự như trong vành số nguyên như: chia hết, số nguyên tố Gauss, đồng dư... Khái niệm đóng vai trò quan trọng đối với các số nguyên Gauss là chuẩn của số nguyên Gauss được định nghĩa là: formula_31. Có những kết quả khá thú vị như: nếu formula_32 là số nguyên tố thì Z là số nguyên tố Gauss.
Vành con.
Định nghĩa.
Tập con "A" của vành "R" được gọi là vành con của "R" nếu chính "A" là một vành với hai phép toán cộng và nhân trên "R" (bao gồm cả tính đóng của hai phép toán này trên "A".
Các điều kiện tương đương.
Cho "R" là một vành, tập con "A" formula_35 "R". Các mệnh đề sau là tương đương:
Giao của các vành con.
Giao của họ bất kỳ các vành con của "R" là vành con của "R"
I-đê-an (Ideal).
Một số kết quả.
là tập hợp các phần tử dạng:
trong đó x1,x2...,xk formula_33 "R"
Vành thương.
Khi đó có thể chứng minh "R"/"A" là một vành, vành này được gọi là vành thương của "R" theo "A".
Cho "n" là số nguyên dương. Tập formula_53 là ideal của formula_54. Vành thương formula_54/formula_53 chính là vành các lớp đồng dư theo môđun "n".
Phạm trù các vành.
Vành cùng với đồng cấu vành tạo thành phạm trù các vành, được ký hiệu là Ring (từ "vành" trong tiếng Anh). Ring là một phạm trù lớn, cụ thể.
Phạm trù các vành giao hoán được ký hiệu là CRing. CRing tương đương với phạm trù các lược đồ a-phin.
Sơ lược về lịch sử nghiên cứu vành đại số.
Những người góp công lớn trong việc nghiên cứu vành đại số và ideal là các nhà toán học Đức mà đại diện là: E. Kummer (1810-1893); R. Dedekin (1831-1936) và đặc biệt là nhà toán học nữ E. Noether (1882-1935). Khi chứng minh bài toán Fermat lớn, E. Kummer đã sử dụng phương pháp xuống thang trên tập số nguyên nhưng mọi cố gắng đều thất bại. Để khắc phục ông đã xét bài toán trong lớp vành thực sự chứa Z. Trên lớp vành này ông phải làm việc với các số ideal là mầm mống của khái niệm ideal sau này.người đưa khái niệm ideal là Dedekin và người có công lớn trong việc phát triển lý thuyết vành và ideal trừu tượng là E. Noether.