Phép chia

Trong toán học, đặc biệt là trong số học sơ cấp, phép chia (tiếng Anh: Division) thường được biểu thị bằng dấu ":", "/" hoặc "÷" là một phép toán số học. Cụ thể, nếu "b" nhân "c" bằng "a", viết là:
trong đó "b" không phải là số không, thì "a" chia "b" bằng "c", viết là:
Ví dụ, 
bởi vì
Trong biểu thức trên, "a" gọi là số bị chia, "b" là số chia và "c" gọi là thương.
Khái niệm phép chia có liên quan đến khái niệm phân số. Không giống như phép cộng, phép trừ và phép nhân, tập hợp số nguyên không đóng trên phép chia. Kết quả của phép chia hai số nguyên có thể trả về phần dư. Để tiếp tục thực hiện phép chia cho phần dư, hệ thống số cần được mở rộng thêm với phân số hoặc số hữu tỉ.
Ký hiệu.
Phép chia thường được biểu diễn trong đại số và khoa học bằng cách đặt "số bị chia" trên "số chia" với một dòng kẻ ngang đặt giữa chúng, còn được gọi là vinculum hay thanh phân số. Ví dụ, "a" chia "b" được viết là
Có thể đọc là "a bị chia bởi b", "a chia cho b", "a trên b" hay "a phần b". Một cách để biểu diễn phép chia trên cùng một dòng là viết "số bị chia" (còn gọi là tử số), rồi dấu gạch chéo, rồi "số chia" (còn gọi là mẫu số) như sau:
Đây là cách thông thường để biểu diễn phép chia trong hầu hết ngôn ngữ lập trình của máy tính bởi vì nó có thể dễ dàng gõ thành một loạt các ký tự với bảng mã ASCII.
Trong bản in, người ta còn sử dụng một dạng biểu diễn giữa hai cách này, đó là sử dụng dấu gạch chéo nhưng viết số bị chia lên trên và số chia ở dưới:
Bất kỳ dạng nào ở trên đều có thể sử dụng để biểu diễn một phân số. Phân số là một dạng biểu diễn phép chia trong đó số bị chia (tử số) và số chia (mẫu số) đều là số nguyên.
Ngoài ra, một cách thông thường trong số học (không dùng dạng phân số) để thể hiện phép chia là sử dụng dấu obelus (dấu chia), ví dụ như:
Dạng này không được sử dụng thường xuyên ngoại trừ số học sơ cấp ở các quốc gia như Anh hay Mỹ. Tiêu chuẩn ISO 80000-2-9.6 khuyến cáo không nên sử dụng dạng này. Ở các nước như Ý, Nga, Ba Lan và Việt Nam, ký hiệu này thường được dùng trong kỹ thuật để biểu thị một khoảng giá trị. Một số quốc gia châu Âu khác (như Na Uy) sử dụng dấu này để chỉ phép trừ (chủ yếu trong các văn bản hành chính). Dấu obelus được giới thiệu bởi nhà toán học Johann Rahn vào năm 1659 trong sách "Teutsche Algebra". Dấu này khi sử dụng một mình thì nhằm để biểu diễn phép toán chia, ví dụ như biểu tượng phép chia trên máy tính bỏ túi.
Trong tiếng Việt hay một số quốc gia có ngôn ngữ khác tiếng Anh, dấu hai chấm được sử dụng - "a chia cho b" được viết là
Ký hiệu này được đưa ra vào năm 1631 bởi William Oughtred trong quyển "Clavis Mathematicae" và sau đó được phổ biến bởi Gottfried Wilhelm Leibniz trong quyển "Acta eruditorum" (1684). Leibniz không thích việc sử dụng hai dấu khác nhau cho hai khái niệm phép chia và tỉ số. Tuy nhiên trong tiếng Anh, cách sử dụng dấu hai chấm thường chỉ được dùng để diễn giải khái niệm tỉ số.
Trong toán học sơ cấp, ký hiệu formula_10 or formula_11 được sử dụng để biểu thị "a" bị chia bởi "b". Ký hiệu này lần đầu được giới thiệu bởi Michael Stifel trong "Arithmetica integra", xuất bản năm 1544.
Tính chất.
formula_12
formula_13
formula_14
formula_16
tuy nhiên formula_17. Ví dụ formula_18, nhưng formula_19.
Tính toán.
Phương pháp thủ công.
Chia đoạn.
Phép chia thường được biết tới thông qua khái niệm "chia đều" một tập hợp, ví dụ như chia kẹo thành những phần bằng nhau. Cách phân chia một số vật cho mỗi phần theo từng vòng dẫn tới cách "chia đoạn", nghĩa là chia bằng cách lặp lại phép trừ. Ví dụ trong phép chia formula_20
, ta bắt đầu với số 20 rồi trừ mỗi lần 4 đơn vị, để về lại số 0:
Cần thực hiện 5 phép trừ, vậy formula_26.
Đặt tính.
Cách chia có hệ thống và hiệu quả hơn (nhưng cũng mang tính hình thức và gò ép hơn, và khó thấy được một cách tổng quan về ý nghĩa của phép chia) được thực hiện thông qua bảng cửu chương với phép chia ngắn nếu số chia nhỏ. Phép chia dài được sử dụng cho số chia lớn hơn. Nếu số bị chia có phần lẻ phân số không chia hết (còn gọi là phần thập phân), ta có thể tiếp tục phép chia tới khi đạt được độ chính xác mong muốn. Nếu số chia chứa phần lẻ thập phân, ta dịch phần thập phân qua phải 1 đơn vị cho cả số bị chia và số chia rồi thực hiện phép chia như cách trên cho tới khi không còn phần lẻ nữa. Phương pháp này phổ biến trên toàn thế giới.
 127 |4 
 −12 |31,75 (12 : 4 = 3)
 07 (hạ chữ số 7)
 − 4 (7 : 4 = 1 dư 3)
 30 (đánh dấu phẩy ở thương, hạ chữ số 0)
 −28 (30 : 4 = 7 dư 2)
 20 (hạ chữ số 0)
 −20 (20 : 4 = 5)
 0 
Cách tính được trình bày như sau:
 127 |4 
 −12 |31,75
 07 |
 − 4 |
 30 |
 −28 |
 20|
 −20|
 0|
 127 : 4 = 31,75
 −12
 07
 −4
 30
 −28
 20
 −20
 0
Cách viết này cũng được sử dụng ở Đan Mạch, Na Uy, Bungari, Bắc Macedonia, Ba Lan, Croatia, Slovenia, Hungary, Cộng hòa Séc, Slovakia, Việt Nam và Serbia.
 12 / 135 \ 11,25 
 12
 15
 12
 30
 24
 60
 60
 0
 31.75 
 4)127.00
 12 
 07 
 4 
 3.0 
 2.8 
 20 
 20 
 0
 127 ÷ 4 = 31,75
 12
 07
 4
 30
 28
 20
 20
 0
 31.75 
 4)127.00 
 07 (12 - 12 = 0) 
 3.0 (7 - 4 = 3) 
 20 (30 - 28 = 2)
 0
 127 |4 
 −12 31,75 
 07 
 − 4 
 30 
 −28 
 20 
 −20 
 0
Các dụng cụ khác.
Người ta có thể tính chia với bàn tính bằng cách lặp lại đặt số bị chia trên bàn tính, trừ số chia với vị trí của mỗi chữ số trong kết quả, đếm số lượng phép chia có thể tại mỗi vị trí.
Người ta có thể sử dụng bảng lôgarit để chia hai số bằng cách trừ lôgarit của hai số đó, sau đó tra bảng lôgarit ngược của hiệu số.
Người ta có thể tính chia với thước trượt bằng cách canh số chia trên vạch đo C với số bị chia trên vạch đo D. Thương số được đọc trên vạch đo D tại vị trí ngay hàng với lề trái của vạch đo C. Tuy nhiên, người sử dụng phải tự tính nhẩm phần thập phân.
Sử dụng máy tính.
Những máy tính hiện đại ngày nay có thể thực hiện tính chia bằng những phương pháp nhanh hơn cả phép chia dài: xem Thuật toán phép chia.
Trong đồng dư số học, khi một số có nghịch đảo nhân mô-đun, ta có thể thực hiện phép chia với số này bằng cách nhân với nghịch đảo nhân của nó. Phương pháp này rất hữu ích trong máy tính không hỗ trợ phép chia nhanh.
Phép chia phân số.
formula_27
formula_28
formula_29