Phân số

Phân số là sự biểu diễn số hữu tỷ dưới dạng tỷ lệ của hai số nguyên, trong đó số ở trên được gọi là tử số, còn số ở dưới được gọi là mẫu số. Điều kiện bắt buộc là mẫu số phải khác 0.
Với tử số là "a" và mẫu số là "b", "b" khác 0, "a, b" là số nguyên. 
Phân số còn được hiểu là một dạng số được dùng để biểu thị tỉ lệ của một đại lượng này so sánh với một đại lượng khác. Ví dụ như: 
Phân số và phép chia số tự nhiên.
Một phép chia có thể viết ra được là phân số: có tử số là số bị chia, mẫu số là số chia khác 0. Ví dụ:
Phân số âm.
Phân số âm là phân số mà trong đó chỉ có tử số hoặc mẫu số nhận giá trị nhỏ hơn 0.
Nếu tử số trái dấu với mẫu số, phân số sẽ nhỏ hơn không.
formula_11
Không nên nhầm lẫn giữa dấu của phân số, trong trường hợp dưới đây, phân số nhận giá trị lớn hơn 0 do tử số cùng dấu với mẫu số.
formula_12
Phân số tối giản.
Phân số tối giản là phân số có tử số và mẫu số không thể cùng chia hết cho số nào ngoại trừ số 1 (hoặc -1 nếu lấy các số âm). Nói cách khác phân số formula_13 là tối giản nếu a và b là nguyên tố cùng nhau, nghĩa là a và b có ước số chung lớn nhất là 1.
So sánh hai phân số.
Phân số bằng nhau.
Nếu có hai phân số formula_13 và formula_15 formula_16 ta luôn có formula_17 khi formula_18
Tính chất cơ bản của phân số.
Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được phân số bằng phân số đã cho.
                            formula_19 với formula_20 và formula_21.
Nếu chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.
                           formula_22, với formula_23.
Nếu ta đổi dấu cả tử và mẫu của một phân số thì được phân số bằng phân số đã cho (vì việc đổi dấu một số tương đương với việc nhân số đó với -1).
Tính chất của dãy phân số bằng nhau.
Cho các phân số bằng nhau, ta có thể tìm phân số mới bằng phân số đã cho bằng cách lấy tổng (hoặc hiệu) các tử số chia cho tổng (hoặc hiệu) các mẫu số.
Ví dụ 1:
formula_24
Ví dụ 2:
formula_25
formula_26
So sánh 2 phân số cùng mẫu.
Nếu có hai phân số formula_13 và formula_28 formula_29
Nếu tử số nhỏ hơn thì giá trị nhỏ hơn.
So sánh 2 phân số cùng tử.
Nếu có hai phân số formula_13 và formula_32 formula_33
Nếu mẫu số lớn hơn thì giá trị nhỏ hơn.
So sánh phân số với 1.
Nếu một phân số có tử số và mẫu số cùng là số nguyên dương thì:
Ứng dụng tính chất cơ bản của phân số.
Rút gọn phân số.
Một phân số chưa tối giản có thể chuyển về dạng tối giản bằng cách chia tử số và mẫu số của phân số cho ước số chung lớn nhất của chúng. Cách chuyển này được gọi là rút gọn phân số.
Quy đồng mẫu số các phân số.
Để quy đồng mẫu số của 2 hay nhiều phân số khi mẫu số dương, ta làm như sau:
Các phép toán trên phân số.
Phép cộng.
formula_37
Phép trừ.
formula_38
Phép nhân.
formula_39
Để dễ tính toán, ta có thể rút gọn các tử số và mẫu số tương ứng trong phép nhân bằng cách cùng chia chúng cho một ước số chung của chúng. Ví dụ:
Trong ví dụ này, tử số 4 và mẫu số 8 có ước chung lớn nhất là 4, nên ta cùng chia chúng cho 4. Tương tự, tử số 3 và mẫu số 9 có ước chung lớn nhất là 3, nên ta cùng chia chúng cho 3.
formula_41
Cách làm này dựa trên cơ sở rằng số nguyên c có thể viết dưới dạng phân số formula_42.
Phép chia.
formula_43
formula_44
formula_45
Biểu diễn thập phân.
Phân số thập phân là một phân số có mẫu số là một luỹ thừa của 10. Ví dụ:
Hỗn số.
Hỗn số (hay phân số hỗn tạp) là kết quả của một số tự nhiên cộng với một phân số. Hỗn số được viết dưới dạng formula_50.
Số tự nhiên a được gọi là phần nguyên, phân số formula_52 được gọi là phần phân số của hỗn số. Phần phân số của hỗn số luôn nhỏ hơn 1.
Nếu phân số có tử lớn hơn mẫu (thương số có giá trị lớn hơn 1), ta có thể viết thành hỗn số bằng cách lấy tử số chia cho mẫu số, thương tìm được là phần nguyên của hỗn số, viết phần nguyên kèm theo phân số có tử số là số dư của phép chia và mẫu số là mẫu số của phân số.
Ví dụ: 8 : 5 = 1 (dư 3), khi đó ta có formula_53
Cách đổi hỗn số thành phân số: