Quy tắc l'Hôpital

Trong giải tích, Quy tắc l'Hôpital (cách viết khác l'Hospital, , phát âm như "Lô-pi-tan"), cũng được gọi là quy tắc Bernoulli, là quy tắc sử dụng đạo hàm để tính toán các giới hạn có dạng vô định. Ứng dụng của quy tắc này là đưa dạng vô định trở thành dạng hữu hạn, cho phép tính toán giới hạn một cách dễ dàng. Quy tắc này được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Guillaume de l'Hôpital. Ông đã phát biểu quy tắc này trong cuốn sách "Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes" (1696) của mình - cuốn sách đầu tiên về vi phân. Tuy nhiên, công thức này được cho là do nhà toán học người Thụy Sĩ Johann Bernoulli phát hiện.
Định lý Stolz–Cesàro là một kết quả tương tự về giới hạn của các dãy, nhưng nó chỉ sử dụng sai phân hữu hạn thay vì đạo hàm.
Dạng đơn giản nhất của quy tắc l'Hôpital được phát biểu như sau: Cho hai hàm số "ƒ" và "g":
Nếu formula_1
hoặc formula_2 và formula_3 tồn tại, thì
Việc lấy đạo hàm của tử số và mẫu số thường làm đơn giản thương số, hoặc làm khử dạng vô định.
Dạng tổng quát.
Dạng chung của quy tắc l'Hôpital bao gồm nhiều trường hợp khác. Giả sử "c" và "L" là các số thuộc tập số thực mở rộng (tức là bao gồm tập số thực và hai giá trị dương vô cùng và âm vô cùng). Nếu
hoặc
Và giả sử
thì
Quy tắc này vẫn đúng đối với giới hạn một bên.
Điều kiện tồn tại giới hạn.
Điều kiện giới hạn
tồn tại là cần thiết. Thực hiện phép lấy vi phân của một giới hạn dạng vô định có thể dẫn đến một giới hạn không tồn tại, và nếu điều này xảy ra thì quy tắc l'Hôpital sẽ không đúng. Ví dụ, nếu "ƒ"("x") = "x" + sin("x") và "g"("x") = "x", thì
không tồn tại, trong khi
Các dạng vô định khác.
Các dạng vô định khác, bao gồm 1∞, 00, ∞0, 0.∞, và ∞ − ∞, đôi lúc có thể tính được dựa vào quy tắc l'Hôpital. Ví dụ, để tính giới hạn dạng ∞ − ∞, chuyển hiệu của hai hàm số thành một thương hai hàm số:
Ở trên quy tắc l'Hôpital đã được áp dụng ở các bước (1) và (2).
Quy tắc l'Hôpital có thể được dùng đối với dạng vô định liên quan đến số mũ bằng cách sử dụng phép tính logarit để chuyển số mũ xuống dưới. Đây là một ví dụ về dạng 00:
Ta được phép chuyển giới hạn vào trong hàm số mũ vì hàm mũ là hàm liên tục. Số mũ "x" đã được "chuyển xuống dưới". Giới hạn formula_26 thuộc dạng vô định 0•(−∞), nhưng như ta thấy ở trên, quy tắc l'Hôpital có thể được dùng để xác định giới hạn này:
Do đó
Trường hợp "f" và "g" khả vi tại "c".
Chứng minh của quy tắc l'Hôpital rất đơn giản trong trường hợp "ƒ" và "g" khả vi tại điểm "c". Đây không phải là chứng minh của quy tắc l'Hôpital tổng quát.
Cho hai hàm số "ƒ" và "g" liên tục và khả vi tại "c", "ƒ"("c") = "g"("c") = 0, và "g"′("c") ≠ 0. Khi đó
(chú ý là "ƒ"("c") = "g"("c") = 0). Điều này bắt nguồn từ quy tắc tính giới hạn của thương và định nghĩa đạo hàm.
Điều này gợi một cách chứng minh cho quy tắc l'Hôpital tổng quát, không yêu cầu hai hàm "ƒ" và "g" phải khả vi tại điểm "c". Xem chứng minh bên dưới.
Cách hiểu hình học.
Cho đường cong trong mặt phẳng, trong đó trục O"x" được cho bởi "g"("t") và trục O"y" cho bởi "ƒ"("t") – ví dụ
Giả sử "ƒ"("c") = "g"("c") = 0. Giới hạn của tỉ số "ƒ"("t")/"g"("t") khi "t" → "c" là slope của tiếp tuyến đến đường cong tại điểm [0, 0]. Tiếp tuyến của đường cong tại điểm "t" được cho bởi formula_31. Quy tắc l'Hôpital nói rằng slope của tiếp tuyến tại 0 là giới hạn của các slope của các tiếp tuyến tại các điểm "rất gần" 0.
Chứng minh của quy tắc l'Hôpital.
Một chứng minh phổ biến của quy tắc l'Hôpital là sử dụng định lý giá trị trung gian Cauchy. Chứng minh quy tắc l'Hôpital có một số điểm khác nhau trong các trường hợp khác nhau như: "c" và "L" hữu hạn hay vô hạn, "ƒ" và "g" hội tụ về 0 hay về vô cùng, giới hạn là một bên hay hai bên. Tuy nhiên, tất cả chúng đều dựa theo hai trường hợp chính sau:
0/0.
Giả sử "c" và "L" là các số thực và "ƒ" và "g" hội tụ về 0.
Trước hết, ta có "ƒ"("c") = "g"("c") = 0. Vì thế "ƒ" và "g" liên tục tại "c", nhưng không thay đổi giới hạn (vì theo định nghĩa, giới hạn không phụ thuộc vào giá trị hàm tại điểm "c"). Vì formula_32 tồn tại nên có một khoảng ("c" − "δ", "c" + "δ") mà với mọi "x" thuộc khoảng, với trường hợp ngoại lệ "x" = "c", cả formula_33 và formula_34 tồn tại và formula_34 khác 0.
Nếu "x" nằm trong khoảng ("c", "c" + "δ"), thì theo định lý giá trị trung gian và định lý giá trị trung gian Cauchy đều áp dụng đúng với khoảng ["c", "x"] (và tương tự trong trường hợp "x" thuộc khoảng ("c" − "δ", "c")). Định lý giá trị trung gian nói rằng "g"("x") khác 0 (vì nếu ngược lại thì tồn tại "y" trong khoảng ("c", "x") mà "g"'("y") = 0). Từ định lý giá trị trung gian Cauchy, ta suy ra có một "ξ""x" thuộc ("c", "x") thỏa mãn
Nếu "x" tiến đến "c", thì "ξ""x" tiến tới "c" (theo nguyên lý kẹp). Do formula_32 tồn tại, suy ra
Vô cực trên vô cực.
Giả sử "L" là một số hữu hạn, "c" là một số hữu hạn dương, "ƒ" và "g" hội tụ về dương vô cực.
Với mọi "ε" &gt; 0, tồn tại một số "m" sao cho
Theo định lý giá trị trung gian, nếu "x" &gt; "m", thì "g"("x") ≠ "g"("m") (vì nếu ngược lại thì tồn tại "y" trong khoảng ("m", "x") sao cho formula_41). Áp dụng định lý giá trị trung gian Cauchy cho khoảng ["m", "x"], ta có
Vì "ƒ" hội tụ về dương vô cực nên nếu "x" đủ lớn, ta có "ƒ"("x") ≠ "ƒ"("m"). Viết
Khi đó,
Với "x" đủ lớn, cái này nhỏ hơn "ε" và do đó