Cây đỏ đen

 
Cây đỏ đen (tiếng Anh: "red-black tree") là một dạng cây tìm kiếm nhị phân tự cân bằng, một cấu trúc dữ liệu được sử dụng trong khoa học máy tính. Cấu trúc ban đầu của nó được đưa ra vào năm 1972 bởi Rudolf Bayer. Ông gọi chúng là các "B-cây cân bằng" còn tên hiện nay được đưa ra từ 1978 bởi Leo J. Guibas và Robert Sedgewick. Nó là cấu trúc phức tạp nhưng cho kết quả tốt về thời gian trong trường hợp xấu nhất. Các phép toán trên chúng như tìm kiếm (search), chèn (insert), và xóa (delete) trong thời gian O (log "n"), trong đó "n" là số các phần tử của cây.
Thuật ngữ.
Một cây đỏ-đen là một cây nhị phân, là một cấu trúc dữ liệu trong khoa học máy tính để tổ chức các thành phần dữ liệu có thể so sánh, chẳng hạn các số. Trong cây nhị phân các thành phần dữ liệu được đưa vào các nút (node). Trong các nút có một nút nằm ở vị trí khởi đầu không là con của nút nào được gọi là gốc. Các nút khác đều là con của một nút nào đó và có không quá hai con. Từ nút gốc có một đường đi duy nhất đến mỗi nút khác trên cây.
Các nút không có con được gọi là lá (leaf node). Trong cây đỏ đen, các lá được gán giả là "null"; nghĩa là chúng không chứa bất kỳ dữ liệu nào.
Các cây tìm kiếm nhị phân, bao gồm cả cây đỏ-đen, thỏa mãn tính chất: mỗi nút được gán một giá trị sao cho giá trị trên mỗi nút nhỏ hơn hoặc bằng tất cả các giá trị trên các nút thuộc cây con phải và lớn hơn các giá trị nằm trên cây con trái. Điều đó làm cho quá trình tìm kiếm nhanh hơn.
Thuận lợi khi sử dụng.
Các cây đỏ đen cùng với các cây AVL, thường đảm bảo một thời gian tốt nhất trong trường hợp xấu nhất cho các phép toán chèn (insertion), xóa (deletion),và tìm kiếm (search)..
Các cây đỏ-đen là một đồng cấu của các cây 2-3-4. Ngược lại, cho một cây 2-3-4, có ít nhất một cây đỏ-đen với các thầnh phần dữ liệu theo đúng thứ tự ấy. Các phép chèn và xóa trên cây 2-3-4 cũng tương đương với đổi màu và quay trong cây đỏ đen. Điều này làm cho các cây 2-3-4 có một công cụ quan trọng tương đương lôgic với cây đỏ-đen. Do đó các giải thuật trên các cây 2-3-4 tuy có trước cây đỏ-đen nhưng thường ít được dùng hơn cây đỏ đen.
Các tính chất.
Mỗi nút của cây đỏ-đen có thuộc tính "màu" nhận một trong hai giá trị "đỏ" hoặc "đen". Ngoài ra:
Tính chất 5 còn được gọi là tính chất "cân bằng đen". Số các nút đen trên một đường đi từ gốc tới mỗi lá được gọi là độ dài đen của đường đi đó. Trong bài này chỉ xét các đường đi từ gốc tới các lá nên ta sẽ gọi tắt các đường đi như vậy là đường đi.
Sức mạnh của cây đỏ đen nằm trong các tính chất trên. Từ các tính chất này suy ra trong các đường đi từ gốc tới các lá đường đi dài nhất không vượt quá hai lần đường đi ngắn nhất. Do đó cây đỏ đen là gần cân bằng. Vì các thuật toán chèn, xóa, tìm kiếm trong trường hợp xấu nhất đều tỷ lệ với chiều cao của cây nên cây đỏ đen rất hiệu quả trong các trường hợp xấu nhất,không giống như cây tìm kiếm nhị phân thông thường.
Để thấy rõ sức mạnh này, ta chú ý rằng không có đường đi nào từ gôc tới một lá chứa hai nút đỏ liền nhau (theo tính chất 4). Do đó trên mỗi đường số nút đỏ không nhiều hơn số nút đen. Đường đi ngắn nhất là đường đi chỉ có nút đen, đường đi dài nhất có thể là đường đi xen kẽ giữa các nút đỏ và đen. Theo tính chất 5, số các nút đen trên hai đường đi đó bằng nhau, và do đó đường đi dài nhất không vượt quá hai lần đường đi ngắn nhất.
Trong nhiều biểu diễn của dữ liệu cây, có thể có các nút chỉ có một con và có các lá có chứa dữ liệu. Tuy nhiên có thể biểu diễn cây đỏ đen ta có một chút thay đổi mà không làm thay đổi tính chất cơ bản của cây và độ phức tạp của các thuật toán. Với mục đích này, ta đưa thêm các "lá null" vào làm con phải hoặc con trái hoặc cả hai của những nút không có chúng, các lá này không chứa dữ liệu mà chỉ làm nhiệm vụ thông báo rằng tại đây cây đã kết thúc, như hình vẽ ở trên. Việc thêm các nút này làm cho tất cả các nút trong của cây đều chứa dữ liệu và có hai con, hay khác đi cây đỏ đen cùng với các lá null là cây nhị phân đầy dủ. Khi đó số các "lá null" nhiều hơn số các nút chứa dữ liệu của cây một lá.
Một số người định nghĩa cây đỏ đen bằng cách gán màu đỏ đen cho các cạnh chứ không phải các nút. Tuy nhiên điều đó không tạo nên sự khác biệt. Khi ấy màu của mỗi nút tương ứng với màu của cạnh nối nó với nút cha.
Các phép toán trên cây đỏ đen.
Có thể áp dụng ngay các phép chèn, xóa trong cây tìm kiếm nhị phân vào cây đỏ đen mà không cần sửa chữa gì vì cây đỏ đen là trường hợp riêng của cây tìm kiếm nhị phân. Tuy nhiên, khi đó có thể có một số tính chất trong định nghĩa của cây đỏ đen sẽ bị vi phạm. Việc khôi phục các tính chất đỏ đen sẽ cần một số nhỏ cỡ O(log "n") hoặc trung bình chỉ O(1) các phép đổi màu (tốn rất ít thời gian) và không quá ba phép quay cho phép xóa, hai cho phép chèn. Toàn bộ các giải thuật chèn và xóa có độ phức tạp thời gian cỡ O(log "n").
Phép chèn.
Phép chèn bắt đầu bằng việc bổ sung một nút như trong cây tìm kiếm nhị phân bình thường và gán cho nó màu đỏ. Ta xem xét để bảo toàn tính chất đỏ đen từ các nút lân cận với nút mới bổ sung. Thuật ngữ "nút chú bác" sẽ dùng để chỉ nút anh (hoặc em) với nút cha của nút đó như trong cây phả hệ. Chú ý rằng:
Mỗi trường hợp được giới thiệu bằng một đoạn mã C. Nút chú bác và nút ông dễ dàng xác định nhờ các hàm sau:
 struct node *grandparent(struct node *n) {
 return n-&gt;parent-&gt;parent;
 struct node *uncle(struct node *n) {
 if (n-&gt;parent == grandparent(n)-&gt;left)
 return grandparent(n)-&gt;right;
 else
 return grandparent(n)-&gt;left;
Trường hợp 1: Nút mới thêm N ở tại gốc. Trong trường hợp này, gán lại màu đen cho N, để bảo toàn tính chất 2 (Gốc là đen). Vì mới chỉ bổ sung một nút, Tính chất 5 được bảo đảm vì mọi đường đi chỉ có một nút.
 void insert_case1(struct node *n) {
 if (n-&gt;parent == NULL)
 n-&gt;color = BLACK;
 else
 insert_case2(n);
Trường hợp 2: Nút cha P của nút mới thêm là đen, khi đó Tính chất 4 (Cả hai nút con của nút đỏ là đen) không bị vi phạm vì nút mới thêm có hai con là "null' là đen. Tính chất 5 cũng không vi phạm vì nút mới thêm là đỏ không ẩnh hưởng tới số nút đen trên tất cả đường đi.
 void insert_case2(struct node *n) {
 if (n-&gt;parent-&gt;color == BLACK)
 return; /* Tree is still valid */
 else
 insert_case3(n);
 void insert_case3(struct node *n) {
 if (uncle(n)!= NULL &amp;&amp; uncle(n)-&gt;color == RED) {
 n-&gt;parent-&gt;color = BLACK;
 uncle(n)-&gt;color = BLACK;
 grandparent(n)-&gt;color = RED;
 insert_case1(grandparent(n));
 else
 insert_case4(n);
 void insert_case4(struct node *n) {
 if (n = = n-&gt;parent-&gt;right &amp;&amp; n-&gt;parent = = grandparent(n)-&gt;left) {
 rotate_left(n-&gt;parent);
 n = n-&gt;left;
 } else if (n = = n-&gt;parent-&gt;left &amp;&amp; n-&gt;parent = = grandparent(n)-&gt;right) {
 rotate_right(n-&gt;parent);
 n = n-&gt;right;
 insert_case5(n);
 void insert_case5(struct node *n) {
 n-&gt;parent-&gt;color = BLACK;
 grandparent(n)-&gt;color = RED;
 if (n == n-&gt;parent-&gt;left &amp;&amp; n-&gt;parent == grandparent(n)-&gt;left) {
 rotate_right(grandparent(n));
 } else {
 /* Here, n == n-&gt;parent-&gt;right &amp;&amp; n-&gt;parent == grandparent(n)-&gt;right */
 rotate_left(grandparent(n));
Phép xóa.
Trong cây tìm kiếm nhị phân bình thường khi xóa một nút có cả hai con (không là "lá null"), ta tìm phần tử lớn nhất trong cây con trái hoặc phần tử nhỏ nhất trong cây con phải, chuyển giá trị của nó vào nút đang muốn xóa (xem Cây tìm kiếm nhị phân). Khi đó chúng ta xóa đi nút đã được copy giá trị, nút này có ít hơn hai con (không là "lá null"). Vì việc copy giá trị không làm mất tính chất đỏ đen nên không cần phải sửa chữa gì cho thao tác này. Việc này chỉ đặt ra khi xóa các nút có nhiều nhất một con (không là "lá null").
Chúng ta sẽ thảo luận về việc xóa một nút có nhiều nhất một con (không là lá null).
Nếu ta xóa một nút đỏ, ta có thể chắc chắn rằng con của nó là nút đen. Tất cả các đường đi đi qua nút bị xóa chỉ đơn giản bớt đi một nút đỏ do đó tính chất 5 không thay đổi. Ngoài ra, cả nút cha và nút con của nút bị xóa đều là nút đen, do đó tính chất 3 và 4 vẫn giữa nguyên..
Một trường hợp đơn giản khác là khi xóa một nút đen chỉ có một con là nút đỏ. Khi xóa nút đó các tính chất 4 và 5 bị phá vỡ, nhưng nếu gán lại màu cho nút con là đen thì chúng lại được khôi phục.
Trường hợp phức tạp xảy ra khi cả nút bị xóa và nút con của nó đều là đen. Chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc thay nút bị xóa bằng nút con của nó. Chúng ta sẽ gọi nút con này (trong vị trí mới của nó là N, và anh em với nó (con khác của nút cha mới) là S.
Tiếp theo ta vẫn dùng P chỉ cha mới của N, SL chỉ con trái của S, và SR chỉ con phải của S (chúng tồn tại vì S không thể là lá).
Chúng ta sẽ sử dụng hàm sau tìm người anh em của "N"':
 struct node *sibling(struct node *n) {
 if (n = = n-&gt;parent-&gt;left)
 return n-&gt;parent-&gt;right;
 else
 return n-&gt;parent-&gt;left;
Trước mỗi bước ta có thể dùng hàm (function) codice_1 thay thế nút con codice_2 vào vị trí của nút bị xóa trên cây. Để thuận tiện các đoạn code trong mục này quy ước rằng các "lá null" được biểu diễn bằng các đối tượng nút thực sự khác biệt một chút với NULL (code trong "phép chèn" có biểu diễn không nư vậy).
 void delete_one_child(struct node *n) {
 /* Giả thiết: n có ít nhất một nút con "null" */
 struct node *child = is_leaf(n-&gt;right) ? n-&gt;left: n-&gt;right;
 replace_node(n, child);
 if (n-&gt;color == BLACK) {
 if (child-&gt;color == RED)
 child-&gt;color = BLACK;
 else
 delete_case1(child);
 free(n);
Nếu cả N và gốc ban đầu của nó là đen thì sau khi xóa các đường qua "N" giảm bớt một nút đen. Do đó vi phạm Tính chất 5, cây cần phải cân bằng lại. Có các trường hợp sau:
Trường hợp 1.
Trường hợp 1: N là gốc mới. Trong trường hợp này chúng ta dừng lại. Ta đã giải phóng một nút đen khỏi mọi đường đi và gôc mới lại là đen. Không tính chất nào bị vi phạm.
 void delete_case1(struct node *n) {
 if (n-&gt;parent == NULL)
 return;
 else
 delete_case2(n);
 void delete_case2(struct node *n) {
 if (sibling(n)-&gt;color == RED) {
 n-&gt;parent-&gt;color = RED;
 sibling(n)-&gt;color = BLACK;
 if (n == n-&gt;parent-&gt;left)
 rotate_left(n-&gt;parent);
 else
 rotate_right(n-&gt;parent);
 delete_case3(n);
 
 void delete_case3(struct node *n) {
 if (n-&gt;parent-&gt;color == BLACK &amp;&amp;
 sibling(n)-&gt;color == BLACK &amp;&amp;
 sibling(n)-&gt;left-&gt;color == BLACK &amp;&amp;
 sibling(n)-&gt;right-&gt;color == BLACK)
 sibling(n)-&gt;color = RED;
 delete_case1(n-&gt;parent);
 else
 delete_case4(n);
 void delete_case4(struct node *n) {
 if (n-&gt;parent-&gt;color == RED &amp;&amp;
 sibling(n)-&gt;color == BLACK &amp;&amp;
 sibling(n)-&gt;left-&gt;color == BLACK &amp;&amp;
 sibling(n)-&gt;right-&gt;color == BLACK)
 sibling(n)-&gt;color = RED;
 n-&gt;parent-&gt;color = BLACK;
 else
 delete_case5(n);
 
 void delete_case5(struct node *n) {
 if (n == n-&gt;parent-&gt;left &amp;&amp;
 sibling(n)-&gt;color == BLACK &amp;&amp;
 sibling(n)-&gt;left-&gt;color == RED &amp;&amp;
 sibling(n)-&gt;right-&gt;color == BLACK)
 sibling(n)-&gt;color = RED;
 sibling(n)-&gt;left-&gt;color = BLACK;
 rotate_right(sibling(n));
 else if (n == n-&gt;parent-&gt;right &amp;&amp;
 sibling(n)-&gt;color == BLACK &amp;&amp;
 sibling(n)-&gt;right-&gt;color == RED &amp;&amp;
 sibling(n)-&gt;left-&gt;color == BLACK)
 sibling(n)-&gt;color = RED;
 sibling(n)-&gt;right-&gt;color = BLACK;
 rotate_left(sibling(n));
 delete_case6(n);
 
 void delete_case6(struct node *n) {
 sibling(n)-&gt;color = n-&gt;parent-&gt;color;
 n-&gt;parent-&gt;color = BLACK;
 if (n == n-&gt;parent-&gt;left) {
 /* Here, sibling(n)-&gt;right-&gt;color == RED */
 sibling(n)-&gt;right-&gt;color = BLACK;
 rotate_left(n-&gt;parent);
 else
 /* Here, sibling(n)-&gt;left-&gt;color == RED */
 sibling(n)-&gt;left-&gt;color = BLACK;
 rotate_right(n-&gt;parent);
Nhắc lại rằng các hàm này có lời gọi đệ quy. Thêm nữa lời gọi không đệ quy sẽ được goi sau một phép quay, do đó số lần thực hiện các phép quay là không đổi (không quá 3).