Hàm liên tục

Trong toán học, một hàm liên tục hay hàm số liên tục là một hàm số không có sự thay đổi đột ngột trong giá trị của nó, gọi là những điểm gián đoạn. Chính xác hơn, thay đổi rất ít đầu vào của hàm liên tục thì sự chênh lệch của đầu ra cũng nhỏ tùy ý. Một hàm số không liên tục còn gọi là "hàm gián đoạn". Đến trước thế kỷ 19, các nhà toán học phần lớn sử dụng những khái niệm liên tục cảm tính, dẫn đến những nỗ lực chặt chẽ hóa nó như là định nghĩa epsilon–delta.
Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của formula_1 như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập formula_2 luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của formula_3. Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.
Tính liên tục của hàm số là một khái niệm quan trọng trong tô pô học. Phần mở đầu của bài viết này tập trung vào trường hợp đặc biệt khi đầu vào và đầu ra của hàm số là những số thực. Một dạng mạnh hơn của tính liên tục là liên tục đều. Ngoài ra, bài viết này cũng có định nghĩa cho những trường hợp hàm số giữa hai không gian mêtric. Trong lý thuyết thứ tự, đặc biệt là lý thuyết miền, ta có khái niệm liên tục gọi là tính liên tục Scott.
Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.
Một ví dụ đơn giản, hàm số thể hiện chiều cao của một cây đang mọc tại thời gian có thể được coi là liên tục. Ngược lại, hàm số chỉ số tiền trong một tài khoản ngân hàng tại thời gian là không liên tục, vì nó sẽ "nhảy" mỗi lần một số tiền được gửi vào hay rút ra.
Lịch sử.
Dạng định nghĩa epsilon-delta được đề cập đầu tiên bởi Bernard Bolzano năm 1817. Định nghĩa liên tục ban đầu liên quan đến giới hạn được đưa ra bởi Augustin-Louis Cauchy. Cauchy định nghĩa liên tục của formula_1 như sau: Một sự tăng vô cùng nhỏ của biến độc lập formula_2 luôn luôn là một sự thay đổi tăng vô cùng nhỏ của formula_3. Cauchy định nghĩa trên một lượng vô cùng nhỏ của biến, định nghĩa của ông ta rất gần với định nghĩa của chúng ta sử dụng ngày nay.
Định nghĩa chính thức và phân biệt giữa liên tục điểm và liên tục đều được đưa ra đầu tiên bởi Bolzano vào năm 1830 nhưng điều đó không được công bố mãi đến năm 1930. Eduard Heine công bố lần đầu tiên định nghĩa liên tục đều năm 1872, nhưng dựa trên những ý tưởng từ bài giảng của Peter Gustav Lejeune Dirichlet năm 1854.
Hàm số thực.
Định nghĩa.
Một hàm số thực, ở đây nghĩa là hàm số từ tập số thực đến tập số thực, có thể được biểu diễn bằng đồ thị trong mặt phẳng tọa độ; một hàm số như thế là liên tục nếu, nói đại khái, đồ thị của nó là một đường cong duy nhất không bị đứt gãy chạy trên toàn tập số thực. Một định nghĩa chính xác hơn được đưa ở dưới.
Định nghĩa chặt chẽ cho tính liên tục của hàm số thực thường sử dụng khái niệm giới hạn. Hàm số theo biến được gọi là "liên tục tại điểm" trên trục số thực, nếu giới hạn của khi tiến tới , bằng giá trị ; và hàm số được gọi là "liên tục" nếu nó liên tục tại mọi điểm. Một hàm số được gọi là "gián đoạn" tại một điểm khi nó không liên tục tại điểm đó. Những điểm này gọi là các "điểm gián đoạn".
Có một số cách hiểu khác nhau cho tính liên tục của hàm số. Do đó, khi sử dụng khái niệm "liên tục", cần phải cẩn thận coi ý nghĩa liên tục nào được dùng. Khi nói một hàm số là liên tục, người ta có thể mang một trong các ý nghĩa sau:
Sử dụng ký hiệu toán học, có vài cách để định nghĩa hàm liên tục theo một trong ba cách hiểu nói trên.
Đặt là hàm số định nghĩa trên một tập con của tập số thực . Tập con này là tập xác định của . Một số khả năng cho bao gồm:
Trong trường hợp là một khoảng mở, và không phải là giá trị biên của tập xác định, và các giá trị và không ảnh hưởng đến tính liên tục của trên .
Định nghĩa liên tục theo giới hạn của hàm.
Hàm formula_1 gọi là liên tục tại điểm formula_11 trên miền xác định nếu giới hạn của formula_3 khi formula_2 tiến dần về formula_11 tồn tại và bằng giá trị của formula_15. Ta viết:
formula_16
hay chính là 3 điều kiện sau: 1 là formula_1 xác định tại formula_11, 2 là giới hạn bên vế trái là tồn tại, thứ 3 là giá trị của giới hạn phải bằng formula_15.
Hàm formula_1 là liên tục nếu liên tục tại mọi điểm trong miền xác định.
Định nghĩa theo giới hạn của dãy.
Cho dãy formula_21 bất kì trên miền xác định hội tụ về formula_11, thì tương ứng dãy formula_23 hội tụ về formula_15
Định nghĩa liên tục theo epsilon–delta.
Cho số thực bất kỳ formula_25, tồn tại số thực formula_26 sao cho với mọi formula_2 trong miền xác định của formula_1 với formula_29, giá trị của formula_3 thỏa
formula_31
Liên tục của formula_32 tại formula_11 là với mọi formula_25, tồn tại formula_26 sao cho với mọi formula_36
formula_37
Ví dụ.
Hàm 
formula_38
liên tục trên miền xác định formula_39
Phản ví dụ.
formula_40
Ví dụ về hàm không liên tục với formula_41, lấy với mọi formula_42, khi đó không tồn tại formula_43 sao cho formula_44 vì formula_45
Tính chất.
Định lý giá trị trung gian.
Cho formula_46 là liên tục, giả sử formula_47 nằm giũa formula_48 và formula_49. Khi đó tồn tại ít nhất một formula_50 sao cho formula_51.
Ví dụ như một đứa trẻ từ khi 4 tuổi đến khi 8 tuổi, chiều cao tăng từ 1m đến 1.5m, khi đó sẽ có 1 thời điểm nào đó trong khoảng 4 tuổi đến 8 tuổi, đứa trẻ cao 1.2m
Định lý giá trị cực biên.
Cho khoảng formula_52 (khoảng đóng và bị chặn) và formula_53 là liên tục, khi đó formula_1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên formula_52, hay tồn tại formula_56 sao cho formula_57 với mọi formula_58.
Định lý điểm cố định.
Cho formula_59 liên tục, khi đó tồn tại ít nhất một formula_50 sao cho formula_61.
Quan hệ với tính khả tích và khả vi.
Mọi hàm formula_62 khả vi đều liên tục, điều ngược lại không đúng.
Ví dụ hàm trị tuyệt đối
formula_63
là liên tục trên formula_64 nhưng không khả vi tại 0.
Đạo hàm formula_65 của hàm khả vi formula_3 không nhất thiết phải liên tục, nếu có đạo hàm liên tục thì ta gọi là khải vi liên tục. Tập các hàm này không gian hàm formula_67.
Xét tập các hàm
formula_68
Trong đó formula_69 là tập con mở trong formula_64 sao cho hàm formula_1 khả vi liên tục đến bậc formula_72.
Tập các hàm này là không gian formula_73.
Mọi hàm
formula_74
đều khả tích, điều ngược lạ không đúng, ví dụ như hàm formula_75
Liên tục đều.
Giả sử formula_69 là tập con của formula_64 khi đó
formula_68
liên tục đều trên formula_69 nếu với mọi formula_80 cho trước tồn tại formula_81 chỉ phụ thuộc vào formula_82 sao cho formula_83, formula_84 thì
formula_85
Ví dụ như hàm formula_86 và formula_87
Hội tụ của dãy hàm liên tục.
Cho dãy formula_88
các hàm liên tục sao cho
formula_89
tồn tại với mọi formula_36, khi đó hàm formula_3 là giới hạn từng điểm của hãy formula_92, hàm formula_1 không nhất thiết liên tục cho dù formula_94 là liên tục.
Tuy nhiên nếu formula_1 liên tục, khi đó dãy formula_92 hội tụ đều
Hàm không liên tục mọi nơi.
Là hàm không liên tục tại mọi điểm trên miền xác định.
Hàm Dirichlet
Cho formula_11 và formula_98 là hai số thực(thường lấy formula_99 và formula_100), định nghĩa bởi
là không liên tục mọi nơi, hàm có thể phân tích thành
formula_102
Nếu formula_103 là tập con bất kì của không gian tô pô formula_104 sao cho cả formula_103 và phần bù của formula_103 trù mật trong formula_104 sẽ không liên tục mọi nơi. Hàm này được nghiên cứu đầu tiên bởi Peter Gustav Lejeune Dirichlet.
Liên tục trên không gian mêtric.
Định nghĩa.
Liên tục trên không gian mê tric với định nghĩa:
Cho formula_108 và formula_109 là 2 không gian mê tric.
Ánh xạ formula_110 liên tục tại formula_111 nếu
formula_112
hay với mọi formula_113 tâm tại formula_3 khi đó formula_115 tâm tại formula_2 sao cho
formula_117.
Liên tục Lipchitz.
Cho hai không gian mêtric formula_123 và formula_124 với formula_125 là mêtric trên formula_104 và formula_127 là mêtric trên formula_128.
formula_129 là liên tục Lipchitz nếu tồn tại hằng số formula_130 sao cho với mọi formula_131
formula_132
Ví dụ.
Hàm formula_133 liên tục Lipchitz với formula_134.
Liên tục Holder.
Cho hai không gian mêtric formula_123 và formula_124 với formula_125 là mêtric trên formula_104 và formula_127 là mêtric trên formula_128, với formula_141 là số thực.
formula_129 là liên tục Holder nếu tồn tại hằng số formula_130 sao cho với mọi formula_131
formula_145
Ví dụ.
formula_146 là liên tục Holder với formula_147, nhưng không liên tục Lipchitz.
Liên tục Cauchy.
Cho formula_104 và formula_128 là hai không gian mêtric, formula_1 là hàm từ formula_104 vào formula_128.
Hàm formula_1 là liên tục Cauchy nếu và chỉ nếu cho dãy Cauchy bất kì formula_154 trong formula_104, dãy formula_156 là dãy Cauchy trong formula_128.
Mọi hàm liên tục đều thì liên tục Cauchy, liên tục Cauchy là liên tục.
Nếu formula_104 là không gian đầy đủ, thì mọi hàm liên tục trên formula_104 là liên tục Cauchy.
ví dụ.
Trên đường thẳng thực formula_64 liên tục cũng chính là liên tục Cauchy.
Hàm formula_161 khi formula_162 và formula_163 khi formula_164 với mọi số hữu tỉ formula_2. Hàm này liên tục trên formula_166 nhưng không liên tục Cauchy
Liên tục trong không gian tô pô.
Nghiên cứu về không gian Tô pô, ta có nhiều khái niệm khác nhau về quan hệ giữa các không gian tô pô với nhau và giữa các không gian con của chúng. Ta muốn xem xét hàm đưa một không gian tô pô vào không gian tô pô khác, Tính liên tục của là một trong những khái niệm cốt lõi của không gian tô pô, được mô tả trực quan tính sinh động trong không gian hình học.
Xem thêm.
Bổ đề dán (The Pasting Lemma).
thì formula_283 liên tục trên formula_104.
Liên tục trên không gian tích.
formula_319 là liên tục khi và chỉ khi formula_317 liên tục với mọi formula_321 thuộc formula_322