Thước Golomb

Trong toán học, thước Golomb là một tập hợp các vạch ở vị trí nguyên trên một thước thẳng sao cho không có hai cặp vạch nào đo cùng một khoảng cách. Số vạch của thước gọi là "bậc", và khoảng cách giữa hai vạch xa nhau nhất gọi là "chiều dài". Tịnh tiến và lấy đối xứng thước Golomb được coi là những biến đổi tầm thường, nên ta thường quy ước vạch nhỏ nhất nằm ở 0 và vạch thứ hai nằm ở vị trí nhỏ hơn trong số hai vị trí có thể (tùy vào việc có lấy đối xứng hay không).
Thước Golomb được đặt theo tên của Solomon W. Golomb và được phát hiện một cách độc lập bởi Sidon và Babcock.
Thước Golomb không nhất thiết phải đo được "tất cả" các khoảng cách nhỏ hơn hoặc bằng chiều dài của nó, nhưng khi nó có tính chất đó, nó được gọi là thước Golomb "hoàn hảo". Người ta đã chứng minh được rằng không tồn tại thước Golomb hoàn hảo với ít nhất năm vạch. Một thước Golomb là "tối ưu" nếu không tồn tại thước Golomb nào ngắn hơn có cùng bậc. Tạo một thước Golomb không khó, nhưng tìm thước Golomb tối ưu là một việc đòi hỏi nhiều công sức tính toán. Distributed.net đã hoàn thành quá trình tìm kiếm song song để tìm ra thước tối ưu bậc 24, bậc 25 và bậc 26, công nhận những dự đoán trước đó về thước tối ưu. Distributed.net cũng có kế hoạch tìm ra thước Golomb tối ưu bậc 27 và bậc 28. Tuy nhiên vì đã có một thuật toán cải tiến nên ước lượng thời gian thực hiện dự án này sẽ không lâu như những dự án trước. Distributed.net đang tìm kiếm thước tối ưu bậc 27; vào tháng 5 năm 2009, ước lượng thời gian đến khi tìm ra nó là 7 năm. , 47% công việc tính toán đã được hoàn thành sau 1063 ngày (2.9 năm) làm việc.
Hiện nay vẫn chưa rõ độ phức tạp tính toán của việc tìm ra thước tối ưu bậc "n" (trong đó "n" được cho dưới dạng nhất phân). Đã từng có những dự đoán nó là một bài toán NP-khó. Có những bài toán có liên hệ đến việc xây dựng thước Golomb được chứng minh là NP-khó, nhưng người ta cũng nhấn mạnh rằng không có bài toán NP-đầy đủ đã biết nào có dạng tương tự như việc tìm thước Golomb tối ưu.
Định nghĩa.
Thước Golomb dưới dạng tập hợp.
Một tập hợp số nguyên
formula_1
là một thước Golomb khi và chỉ khi
formula_2
"Bậc" của thước Golomb là formula_3 và "chiều dài" của thước là formula_4. Dạng chính tắc có formula_5 và nếu formula_6, formula_7. Có thể thu được dạng đó bằng cách thực hiện phép tịnh tiến và lấy đối xứng.
Thước Golomb dưới dạng hàm số.
Một đơn ánh
formula_8
với formula_9 và formula_10 là một thước Golomb khi và chỉ khi
formula_11
"Bậc" của thước là formula_3 và "chiều dài" của thước là formula_13. Dạng chính tắc có
Tối ưu.
Thước Golomb bậc formula_3 và chiều dài n có thể là tối ưu theo một trong hai tiêu chuẩn sau:
Thuật ngữ "thước Golomb tối ưu" thường được dùng để chỉ loại thứ hai.
Ứng dụng thực tiễn.
Lý thuyết thông tin/Sửa lỗi.
Thước Golomb được dùng trong lý thuyết thông tin, cụ thể là trong mã sửa lỗi.
Lựa chọn tần số radio.
Thước Golomb được dùng cho việc lựa chọn tần số radio để giảm ảnh hưởng của nhiễu biến điệu tương hỗ trong cả trường hợp gần mặt đất và trong không gian.
Vị trí đặt ăngten radio.
Thước Golomb được dùng trong thiết kế của mảng pha của ăngten vô tuyến, chẳng hạn như trong kính thiên văn vô tuyến. Ở các điểm thu phát sóng, các ăngten thường nằm ở vị trí như trong thước Golomb [0,1,4,6].
Phương pháp xây dựng.
Có nhiều phương thức xây dựng thước Golomb tiệm cận tối ưu.
Phương thức xây dựng của Erdős–Turan.
Cách xây dựng dưới đây của Paul Erdős và Pál Turán xây dựng được thước Golomb với mọi số nguyên tố lẻ p.
formula_17
Các thước Golomb tối ưu đã biết.
Bảng dưới đây chứa tất cả các thước Golomb tối ưu đã biết, ngoại trừ ảnh đối xứng của chúng. Bốn thước đầu tiên là hoàn hảo.