Đa tạp

Một đa tạp tô pô formula_1 chiều là một không gian tô pô mà mỗi điểm có lân cận đồng phôi với tập con mở của formula_2, nói một cách khác, là không gian tôpô tách được với mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với một tập mở trong không gian Euclide formula_1 chiều. Đa tạp chính là khái niệm toán học mở rộng của đường và mặt.
Định nghĩa.
A đa tạp là một không gian tô pô formula_4 thỏa mãn:
Ta cũng có thể thay điều kiện các hàm trơn bằng các hàm khả vi formula_20 lần. Khi đó đa tạp được gọi là trơn bậc formula_20.
Ví dụ theo số chiều.
Đường: Đa tạp một chiều.
Một " đa tạp tô pô 1 chiều" là một không gian topo mà mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với không gian Euclid formula_22
Một đa tạp 1 chiều liên thông được gọi là 1 đường.
Nếu formula_23 liên tục thì đồ thị của formula_24 là một đa tạp 1 chiều. (Nói chung, cho formula_25 là một hàm liên tục, với formula_26n là một tập mở. Khi đó, đồ thị của formula_24, tập formula_28 là một không gian con của formula_22n+1, là một đa tạp formula_30 chiều.)
Đường thẳng thực formula_22, đường tròn formula_32, đường thẳng xạ ảnh formula_33 đều là các đa tạp một chiều.
Mặt: đa tạp hai chiều.
Một " đa tạp tô pô 2 chiều" là một không gian topo Hausdorff mà mỗi điểm của nó có một lân cận đồng phôi với không gian Euclid formula_222
Một đa tạp 2 chiều liên thông được gọi là một mặt 
Mặt phẳng là một mặt. Nó liên thông và Hausdorff. Cho điểm formula_35, quả cầu mở tâm formula_11, bán kính bằng 1 là một lân cận của formula_11 và đồng phôi với hình đĩa mở. Hơn nữa, mặt phẳng có một cơ sở đếm được được cho bởi tập những quả cầu mở, bán kính hữu tỉ, tâm tại điểm formula_38 với formula_39 hữu tỉ.
Mọi tập con mở liên thông của mặt phẳng cũng là một mặt.
Hình xuyến là một đa tạp 2 chiềuDải Mobius là một đa tạp hai chiều.Mặt cầu formula_40, mặt phẳng xạ ảnh thức formula_41, chai Klein, hình trụ formula_42, chai Klein bậc bốn (Klein quartic) đều là các đa tạp hai chiều.
Một mặt chứa một dải Mobius nhúng thì được gọi là một mặt không định hướng. Ngược lại thì là một mặt có định hướng.
3-đa tạp: Đa tạp ba chiều.
Một đa tạp 3 chiều là không gian topo trong đó mỗi điểm có lân cận đồng phôi với không gian Euclid 3 chiều formula_43.
Phần trong của khối lập phương, mặt cầu ba chiều formula_44, nhóm Lie - không gian xạ ảnh formula_45, mặt xuyến formula_46, các quả cầu đồng điều Poincaré (Poincaré homology spheres), đa tạp Whitehead, đạ tạp Weeks, Khối xuyến, Chai Klein rắn (Solid Klein bottle) đều là các đa tạp 3 chiều.
Một đa tạp 3 chiều là không định hướng nếu nó chứa 1 chai Klein (i.e. tồn tại một phép nhúng từ chai Klein tới đa tạp đó). Nếu không thì khi đó đa tạp 3 chiều được gọi là có định hướng.
4-đa tạp: Đa tạp 4 chiều.
Hình cầu ngoại lai (exotic), formula_47, đa tạp formula_48.
Đa tạp vô hạn chiều.
Đa tạp Hilbert, đa tạp Banach, đa tạp Fréchet, đa tạp các phép đồng phôi trên một đa tạp vi phân.
Đa tạp con.
Đa tạp con là một tập hợp con của một đa tạp mà chính nó là một đa tạp, nhưng có số chiều nhỏ hơn. Đường xích đạo của một hình cầu là một đa tạp con. Nhiều ví dụ phổ biến của đa tạp là đa tạp con của không gian Euclid.
Một đa tạp con formula_59 cũng là một phép nhúng formula_60.
Các đối tượng nghiên cứu.
Mỗi lớp các đối tượng nghiên cứu sau đây lập thành một phạm trù. Ta có phạm trù các đa tạp đại số, các đa tạp với biên, các đa tạp với góc cạnh, vân vân.
Đa tạp đại số.
Xét tập hợp tất cả các điểm formula_61 trong không gian phức formula_50 chiều thỏa mãn hệ phương trình dạng formula_63 trong đó formula_64 là các đa thức của các biến số formula_65.
Đa tạp với biên (manifold with boundary).
Một tờ giấy dài vô hạn nhưng rộng hữu hạn là một đa tạp 2 chiều với biên 1 chiều. Biên của một đa tạp n chiều với biên là một đa tạp (n-1) chiều. Một đĩa (vòng tròn cộng với phần trong) là đa tạp 2 chiều với biên. Biên của nó là một vòng tròn, một đa tạp 1 chiều. Một quả bóng (hình cầu cộng với phần trong) là một đa tạp 3 chiều với biên. Biên của nó là một mặt cầu, đa tạp 2 chiều.
Đa tạp với biên là một không gian có chứa cả điểm trong và các điểm biên. Tất cả các điểm trong có một lân cận đồng phôi với quả cầu formula_1-chiều mở formula_70. Tất cả các điểm biên có một lân cận đồng phôi với "một nửa" quả cầu formula_1-chiều formula_72. Các đồng phôi phải biến mỗi điểm biên thành một điểm có formula_73.
Đa tạp với góc cạnh (manifold with corners).
Đa tạp với góc cạnh khác đa tạp với biên ở điều kiện đồng phôi địa phương. Tất cả các điểm trong vẫn có một lân cận đồng phôi với quả cầu formula_1-chiều mở formula_70. Tuy nhiên, tất cả các điểm biên có một lân cận đồng phôi với "một góc" bậc formula_20 của quả cầu formula_1-chiều formula_78. Một góc bậc formula_79 là một điểm trong. Một góc bậc formula_80 là một điểm tại biên. Một góc bậc formula_81 không phải là một điểm trong hay một điểm tại biên Một hình vuông hay một tờ giấy hữu hạn tính cả phần trong cũng là một đa tạp 2 chiều với góc cạnh.
Một số định lý liên quan đến đa tạp.
Định lý nhúng Whitney.
Trong toán học, đặc biệt trong Topo vi phân, có hai định lý nhúng Whitney, được đặt theo tên nhà toán học người Mỹ, Hassler Whitney (1907 – 1989).
Định lý đa tạp ổn định.
Đặt:
formula_94
là 1 ánh xạ trơn với điểm hypebon cố định tại formula_95. Chúng ta ký hiệu formula_96 tập hợp ổn định và formula_97 tập hợp không ổn định của formula_11. Định lý [1][2][3] phát biểu rằng:
- formula_96 là một đa tạp trơn và không gian tiếp xúc của nó có cùng số chiều như không gian ổn định của khi tuyến tính hóa formula_100 tại formula_11.
- formula_102 là một đa tạp trơn và không gian tiếp xúc của nó có cùng số chiều như không gian không ổn định khi tuyến tính hóa formula_24 tại formula_11.
Theo đó, formula_105 là một đa tạp ổn định và formula_106 là một đa tạp không ổn định.
Định lý Birkhoff.
- Nhà toán học người Mỹ, Garrett Birkhoff (1911 – 1996) đã chứng minh tương tự hai định nghĩa của đa tạp ở trên, một kết quả có ý nghĩa cơ bản với đại số phổ quát và được biết đến như định lý Birkhoff hoặc là định lý HSP. H, S, và P viết tắt cho những phép tính đóng của phép đồng hình, đại số con và tích số.
- Một lớp phương trình (equational class) ký hiệu Σ nào đó, là tập hợp của tất cả mô hình, theo ý nghĩa của lý thuyết mô hình, nó đã thỏa tập hợp phương trình E nào đó, (asserting equality between terms). Một mô hình thỏa những phương trình đó nếu chúng đúng trong mô hình cho mọi giá trị của biến. Những phương trình trong E sau đó được gọi là những đồng nhất thức của mô hình. Ví dụ của những đồng nhất thức đó là luật giao hoán, đại số giao hoán đặc trưng, và luật hút thu, dàn (lattices) đặc trưng.
- Dễ dàng thấy rằng lớp đại số thỏa tập hợp phương trình nào đó sẽ đóng trong phép toán HSP. Chứng minh ngược lại – các lớp đại số đóng trong phép toán HSP phải thuộc phương trình – sẽ khó hơn nhiều.