Mệnh đề toán học

Trong logic toán, một phân ngành logic, cơ sở của mọi ngành toán học, mệnh đề, hay gọi đầy đủ là mệnh đề logic là một khái niệm nguyên thủy, không định nghĩa.
Thuộc tính cơ bản của một mệnh đề là giá trị chân lý của nó, được quy định như sau:
Ký hiệu:
Chẳng hạn, để ký hiệu a là mệnh đề "Paris là thủ đô của nước Pháp" ta sẽ viết:
Ở đây, "a" là mệnh đề đúng nên G("a") = 1.
"Chú ý:"
Mệnh đề và câu.
Mệnh đề có thể là một câu nhưng không phải mọi câu đều là mệnh đề. Có thể chia các câu trong khoa học cũng như trong cuộc sống ra làm hai loại: loại thứ nhất gồm những câu phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan và loại thứ hai gồm những câu không phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào. Những câu thuộc loại thứ nhất là chính những "mệnh đề". Vì vậy có thể nói: "Mệnh đề là một câu "khẳng định" có tính chất hoặc đúng hoặc sai".
Ví dụ:
Nhận xét: nói chung những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu mệnh lệnh đều không phải là mệnh đề.
Mệnh đề logic và mệnh đề mờ.
Nếu như trong logic toán, một mệnh đề chỉ có thể nhận một trong hai giá trị chân lý 0 hoặc 1 thì trong Trí tuệ nhân tạo người ta dùng "logic mờ", mà ở đó giá trị chân lý của một mệnh đề là một số nằm giữa 0 và 1. Mệnh đề có giá trị chân lý 0 là sai, có giá trị chân lý 1 là đúng. Còn giá trị chân lý nằm giữa 0 và 1 chỉ ra mức độ thay đổi của chân lý.
Các phép toán logic cơ bản.
Trong toán học, khi có hai số, người ta dùng các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia...) tác động vào chúng để nhận được những số mới. Tương tự, khi có mệnh đề, người ta dùng các phép logic tác động vào chúng để nhận được những mệnh đề mới. Dưới đây ta trình bày định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phép toán này.
Phép phủ định.
"Mệnh đề phủ định": Mệnh đề phủ định của mệnh dề a là mệnh đề có giá trị đối lập với mệnh đề a, kí hiệu là formula_1.
"Phủ định" của mệnh đề "a" là một mệnh đề, ký hiệu là formula_1, đúng khi "a" sai và sai khi "a" đúng.
Ví dụ 1:
Nếu "a" = "Paris là thủ đô của nước Pháp" thì mệnh đề phủ định formula_1 có thể diễn đạt như sau:
Ở đây G("a") = 1 còn G(formula_1) = 0.
Ví dụ 2:
Nếu "b" = "15 lớn hơn 30" thì mệnh đề phủ định formula_7 có thể diễn đạt như sau:
Ở đây G("b") = 0 còn G(formula_7) = 1.
Ví dụ 3:
Nếu "c" = "Chuyến tàu TN1 hôm nay bãi bỏ" thì mệnh đề phủ định formula_12 có thể diễn đạt như sau:
Nếu qua xác minh mệnh đề "c" đúng (hoặc sai) thì mệnh đề phủ định formula_12 sẽ sai (hoặc đúng).
"Chú ý:" Mệnh đề phủ định "a" thường được diễn đạt là "không phải a".
Phép hội (Tương Đương Hàm Min).
Hội của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề, đọc là a và b, ký hiệu a b (hoặc a.b, \[a\intersec b\]), đúng khi cả hai mệnh đề a, b cùng đúng và sai trong các trường hợp còn lại.
"Chú ý:" Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề "a, b" ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ "và" hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó là: mà, nhưng, song, đồng thời, vẫn, cùng... hoặc dùng dấu phẩy hoặc không dùng liên từ gì.
Ví dụ 1:
"Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội và thành phố Hồ Chí Minh" là hội của hai mệnh đề a = "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở Hà Nội" và b = "Lúc 8 giờ sáng nay Hà có mặt ở thành phố Hồ Chí Minh". Vì hai mệnh đề này không thể cùng đúng, nên G(a b) = 0.
Ví dụ 2:
"Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước nhưng không phải là thủ đô" là hội của hai mệnh đề a = "Thành phố Hồ Chí Minh là thành phố lớn nhất trong cả nước" và b = "Thành phố Hồ Chí Minh không phải là thủ đô". Rõ ràng là G(a) = 1 và G(b) = 1 nên G(a b) = 1.
Ví dụ 3:
"Chú ý:" Đôi khi trong mệnh đề có liên từ "và" nhưng không có nghĩa của mệnh đề hội. Chẳng hạn:
Phép tuyển (Tương Đương Hàm Max).
Tuyển của hai mệnh đề a, b là một mệnh đề đọc là "a hoặc b", ký hiệu là a ν b (hoặc a+b), sai khi cả hai mệnh đề cùng sai và đúng trong trường hợp còn lại.
Phép tuyển trên còn được gọi là phép tuyển không loại trừ.
Phép tuyển loại trừ của hai mệnh đề a và b, chỉ đúng khi hoặc a, hoặc b đúng.
"Chú ý:" Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề a, b ta ghép hai mệnh đề đó bởi liên từ "hoặc" (hay liên từ khác cùng loại).
Ví dụ 1:
"Tháng 12 có 31 ngày hoặc 2 + 2 = 4" là tuyển của hai mệnh đề a = "Tháng 12 có 31 ngày" và b = "2 + 2 = 4".
Ở đây G(a ν b) = 1.
Ví dụ 2:
"Chú ý:" Trong thực tế, liên từ "hoặc" thường được dùng với hai nghĩa "loại trừ" và "không loại trừ". 
Chẳng hạn:
Phép kéo theo.
"a kéo theo b" là một mệnh đề, ký hiệu là a formula_15 b, chỉ sai khi "a đúng và b sai" và đúng trong các trường hợp còn lại.
"Chú ý:" Mệnh đề "a kéo theo b" thường được diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn: 
"Nếu a thì b"&lt;br&gt;"Có b khi có a"&lt;br&gt;"Từ a suy ra b"&lt;br&gt;"a là điều kiện đủ để có b"&lt;br&gt;"b là điều kiện cần (ắt có) để có a"&lt;br&gt;...
Ví dụ:
"Chú ý:"
Phép tương đương.
"a tương đương b" là một mệnh đề, ký hiệu là a formula_31 b, nếu cả hai mệnh đề a và b cùng đúng hoặc cùng sai.
"Chú ý:"
==Sự tương đương logic
Công thức.
Trong phần trên ta đã xét năm phép toán trên các mệnh đề. Như vậy, nếu có các mệnh đề a, b, c... khi dùng các phép toán logic tác động vào, chúng ta sẽ nhận được những mệnh đề ngày càng phức tạp hơn. Mỗi mệnh đề như thế và cả những mệnh đề xuất phát ta gọi là "công thức". Hay nói cách khác:
Mỗi công thức được tạo thành từ những mệnh đề dưới tác dụng của các phép toán logic. Như vậy ta gán cho mỗi mệnh đề có mặt trong công thức P một giá trị chân lý, dùng bảng chân lý của các phép logic ta khẳng định được công thức P là mệnh đề đúng hoặc sai. Nếu P là mệnh đề đúng (hoặc sai) thì ta nói công thức P có giá trị chân lý bằng 1 (hoặc 0 ).
Ví dụ:
Sự tương đương logic.
Cho P và Q là hai công thức. Ta nói rằng hai công thức P, Q "tương đương logic" với nhau, ký hiệu là P ≡ Q, nếu với mọi hệ chân lý gán cho các mệnh đề có mặt trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân lý như nhau.
Đặc biệt, "hai mệnh đề a, b gọi là tương đương logic", ký hiệu là a ≡ b, nếu chúng cùng đúng hoặc cùng sai.
"Chú ý:"
Đẳng thức.
Dưới đây là một số đẳng thức thường gặp trong logic mệnh đề:
Các đẳng thức về 0 và 1.
Người ta còn dùng ký hiệu 1 (hoặc 0) để chỉ một mệnh đề luôn luôn đúng (hoặc luôn luôn sai). Ta có các "đẳng thức sau về 0 và 1":
Chứng minh đẳng thức.
Để chứng minh một đẳng thức trong logic mệnh đề ta thường dùng phương pháp lập bảng giá trị chân lý.
Ví dụ 1: Chứng minh: formula_61   ≡   formula_62
Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức   formula_61   và   formula_62   luôn nhận giá trị chân lý như nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 2: Chứng minh: formula_65   ≡   formula_66
Nhìn cột 3 và 4 trong bảng trên ta thấy hai công thức   formula_65   và   formula_66   luôn nhận giá trị chân lý như nhau. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Hàm mệnh đề. Các lượng từ tồn tại và tổng quát.
Khái niệm về hàm mệnh đề.
Ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: "Số tự nhiên n chia hết cho 5".
Về phương diện ngôn ngữ thì đây là một câu. Nhưng câu này chưa phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào, cho nên nó chưa phải là mệnh đề. Song nếu ta thay n bằng số tự nhiên cụ thể, chẳng hạn:
Ví dụ 2: "x + 3 &gt; 7".
Tương tự như trong ví dụ 1, x + 3 &gt; 7 chưa phải là mệnh đề, song nếu ta thay x bởi một số thực cụ thể, chẳng hạn:
Ví dụ 3: "Ông A là nhà toán học vĩ đại".
Câu trên chưa phải là mệnh đề. Nhưng nếu ta chọn "ông A" là "Gausơ" sẽ được mệnh đề đúng: "Gausơ là nhà toán học vĩ đại", nếu ta chọn "ông A" là "Đinh Bộ Lĩnh" thì sẽ được mệnh đề sai: "Đinh Bộ Lĩnh là nhà toán học vĩ đại".
Từ các ví dụ trên ta đi đến định nghĩa sau:
Những câu có chứa các biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề nhưng khi ta thay các biến đó bởi các phần tử thuộc tập xác định X thì nó trở thành mệnh đề (đúng hoặc sai) ta sẽ gọi là "hàm mệnh đề" (hoặc "vị từ, hàm phán đoán, mệnh đề không xác định, mệnh đề chứa biến"). Tập X gọi là miền xác định của hàm mệnh đề đó.
Ta dùng ký hiệu: T(n), F(x)... để chỉ các hàm mệnh đề.
Chẳng hạn:
Mệnh đề tồn tại.
Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Nếu ta đặt thêm cụm từ "Tồn tại formula_69 sao cho..." vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:
Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là "mệnh đề tồn tại". Ký hiệu là:
formula_70
hoặc formula_71&lt;br&gt;formula_69
Ký hiệu formula_73 gọi là "lượng từ tồn tại".
Ví dụ:
"Chú ý:"
Mệnh đề tổng quát.
Cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Nếu ta đặt thêm cụm từ "Với mọi formula_69 ta có..." vào trước hàm mệnh đề T(x) ta được mệnh đề:
Ta gọi mệnh đề có cấu trúc như trên là "mệnh đề tổng quát" (hoặc toàn thể, phổ biến, phổ cập...). Ký hiệu là:
formula_83
hoặc formula_84
hoặc formula_85 &lt;br&gt; formula_69
Ký hiệu formula_87 gọi là "lượng từ tổng quát" (hay toàn thể, phổ biến, phổ cập...)
Phủ định của mệnh đề tồn tại và tổng quát.
Phủ định các mệnh đề tồn tại và tổng quát được thiết lập theo hai quy tắc dưới đây:
formula_88
Như vậy, hai mệnh đề:
Ví dụ:
Ứng dụng..
Giải bài toán bằng suy luận logic.
Thông thường khi giải một bài toán dùng công cụ của logic mệnh đề ta tiến hành theo các bước sau:
Ví dụ:
Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapore, Thái Lan và Indonesia. Trước khi thi đấu vòng bán kết, ba bạn Dụng, Quang, Trung dự đoán như sau:
Kết quả, mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội. Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?
"Giải:"
Ký hiệu các mệnh đề:
Vì Dụng có một dự đoán đúng và một dự đoán sai, nên có hai khả năng:
Vậy Singapore nhất, Việt Nam nhì, Thái Lan ba còn Indonesia đạt giải tư.
Giải bài toán trong kĩ thuật.
Mệnh đề logic còn được ứng dụng trong kĩ thuật lắp ráp các mạch điện và thiết bị trong nhà máy. Dưới đây là một ví dụ minh họa.
Ví dụ:
Giữa công tắc và dây may so của một chiếc Bàn là có rơle tự ngắt (để khi dây may so nóng đến nhiệt độ quy định cho phép thì rơle tự ngắt mạch điện cho Bàn là được an toàn). Hãy thiết lập nguyên tắc logic của quá trình hoạt động của chiếc Bàn là đó (thiết lập mối liên hệ giữa việc đóng, ngắt mạch của công tắc, rơle với nhiệt độ cho phép của dây may so).
"Giải:"
Ký hiệu các mệnh đề:
Mối liên hệ giữa trạng thái an toàn của Bàn là và giá trị chân lý của các mệnh đề c, r, t có thể biểu diễn bởi bảng sau:
Nhìn vào bảng trên ta thấy:
Các trạng thái còn lại: 2, 3, 6 và 7 đều đảm bảo an toàn. Các trạng thái đó được mô tả bằng các công thức logic sau:
Vậy Bàn là hoạt động an toàn khi và chỉ khi:
Áp dụng các đẳng thức về luật phân phối, các đẳng thức về 0 và 1 cho trạng thái 2 với 6 và 3 với 7, ta có:
Dùng bảng chân lý ta nhận được:
Từ (1), (2), (3) và (4) ta suy ra:
Bàn là hoạt động an toàn khi và chỉ khi formula_107
Quy trình trên ta có thể phát biểu thành lời như sau: để Bàn là hoạt động an toàn phải đảm bảo nguyên tắc: "Công tắc rơle đóng mạch khi và chỉ khi nhiệt độ dây may so chưa tới hạn cho phép" hay "nhiệt độ dây may so tới hạn cho phép khi và chỉ khi công tắc rơle ngắt mạch điện".