Phương trình bậc ba

Trong đại số, một phương trình bậc ba có một biến là một biểu thức có dạng:
trong đó khác 0.
Lời giải của đẳng thức này được gọi là các không điểm của hàm số bậc ba được định nghĩa bởi vế trái của biểu thức. Nếu tất cả những hệ số a, b, c và d của phương trình là số thực, thì nó có ít nhất 1 không điểm (điều này đúng với mọi phương trình bậc lẻ). Tất cả các không điểm của phương trình bậc ba có thể được tìm ra bằng những cách sau:
Các hệ số không cần thiết phải là số thực. Các nghiệm của phương trình bậc ba không nhất thiết phải thuộc cùng trường với hệ số. Ví dụ, một số phương trình bậc ba với hệ số hữu tỉ có nghiệm là số vô tỉ (hay thậm chí là số phức).
Lịch sử.
Phương trình bậc ba được đề cập lần đầu tiên bởi nhà toán học Ấn Độ cổ Jaina khoảng giữa năm 400 TCN và 200 CN.
Nhà toán học Ba-tư Omar Khayyám (1048–1123) đã công bố việc giải phương trình bậc ba nhờ giao của một tiết diện co-nic với đường tròn. Ông công bố rằng lời của y có thể dùng để cho các lời giải số nhờ các bảng lượng giác.
Sau này vào thế kỷ XVI, nhà toán học người Ý Scipione del Ferro (1465-1526) đã tìm ra cách giải một lớp các phương trình bậc ba dạng formula_2 với formula_3. Thực ra, mọi phương trình bậc ba có thể đưa về dạng này. Tuy nhiên có thể dẫn đến căn bậc hai của những số âm, điều bấy giờ chưa giải quyết được. Del Ferro giữ kín điều này cho đến trước khi ông chết mới nói cho học trò ông là sinh viên Antonio Fiore.
Vào 1530, Niccolo Tartaglia (1500-1557) tiếp nhận hai bài toán trong phương trình bậc ba từ Zuanne da Coi và công bố ông đã giải được chúng. Ông nhận lời thách thức của Fiore, và từ đó dấy lên cuộc cãi vã giữa hai người. Mỗi người hàng ngày đặt một số tiền và đưa ra một số bài toán cho đối thủ giải. Ai giải được nhiều bài toán hơn trong 30 ngày thì nhận tất cả số tiền.
Tartaglia khi giải quyết các biểu thức trong dạng formula_2, đã đề xuất một phương pháp tổng quát hơn. Fiore phải giải quyết các vấn đề trong dạng formula_5 khó hơn và Tartaglia đã thắng cuộc.
Sau này, Tartaglia được Gerolamo Cardano (1501-1576) thuyết phục tiết lộ bí mật của cách giải phương trình bậc ba. Tartaglia đã đặt điều kiện yêu cầu Cardano không tiết lộ nó. Ít năm sau, Cardano hiểu được công trình của Ferro và vi phạm lời hứa khi công bố phương pháp Tartaglia trong cuốn sách của ông nhan đề "Ars Magna" (1545) với lời ca ngợi dành cho Tartaglia.
Với trường hợp đặc biệt là số formula_6 âm, người ta hay dùng phương pháp lượng giác để giải quyết nó, tuy vậy, đây là phương pháp không đại số và nghiệm tính ra vẫn là gần đúng do phải sử dụng các hàm số formula_7 và formula_8. Và công thức đại số cho nghiệm tổng quát vẫn chưa thể hoàn thiện. (Công thức đại số nghiệm tổng quát là công thức tìm ra nghiệm của phương trình tổng quát mà chỉ dùng hữu hạn lần 6 phép toán cơ bản là cộng (formula_9), trừ (formula_10), nhân (formula_11), chia (:), lũy thừa (^) và khai căn (√)).
Thông thường. trong toán học sơ cấp, các hệ số formula_13 là các số thực. Tuy nhiên đa số lý thuyết cũng đúng nếu các hệ số lấy trong môi trường số phức (x thuộc C). Ta luôn giả sử rằng formula_14 ≠ 0. Có thể giải được một phương trình bậc ba bằng căn thức.
Phương pháp Cardano.
Nghiệm của phương trình có thể tìm được bằng phương pháp sau, đề xuất bởi Scipione del Ferro và Niccolò Tartaglia, công bố bởi Gerolamo Cardano năm 1545.
Trước tiên, chia phương trình cho formula_14 để đưa về dạng
Đặt formula_17 và biến đổi ta có phương trình
Nó được gọi là phương trình bậc ba "suy biến".
Ta sẽ tìm các số formula_21 và formula_22 sao cho 
một nghiệm của nó tìm được từ việc đặt 
có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị formula_26 vào (2), nhờ hằng đảng thức lập phương của nhị thức
Hệ (3) có thể giải từ phương trình thứ hai rút "formula_22", ta có 
Thay vào phương trình thứ nhất trong (3) ta có
Phương trình này tương đương với một phương trình bậc hai với "u"3. Khi giải, ta tìm được
1) Nếu formula_32
formula_34
formula_35
formula_36
formula_38