Tối ưu hóa (toán học)

Trong toán học, thuật ngữ tối ưu hóa chỉ tới việc nghiên cứu các bài toán có dạng
Một phát biểu bài toán như vậy đôi khi được gọi là một quy hoạch toán học ("mathematical program"). Nhiều bài toán thực tế và lý thuyết có thể được mô hình theo cách tổng quát trên.
Miền xác định "A" của hàm "f" được gọi là không gian tìm kiếm.
Thông thường, "A" là một tập con của không gian Euclid R"n", thường được xác định bởi một tập các "ràng buộc", các đẳng thức hay bất đẳng thức mà các thành viên của "A" phải thỏa mãn. Các phần tử của "A" được gọi là các "lời giải khả thi". Hàm "f" được gọi là hàm mục tiêu, hoặc hàm chi phí. Lời giải khả thi nào cực tiểu hóa (hoặc cực đại hóa, nếu đó là mục đích) hàm mục tiêu được gọi là "lời giải tối ưu".
Thông thường, sẽ có một vài cực tiểu địa phương và cực đại địa phương, trong đó một "cực tiểu địa phương" x* được định nghĩa là một điểm thỏa mãn điều kiện:
với giá trị δ &gt; 0 nào đó và với mọi giá trị x sao cho
công thức sau luôn đúng
Nghĩa là, tại vùng xung quanh x*, mọi giá trị của hàm đều lớn hơn hoặc bằng giá trị tại điểm đó. 
Cực đại địa phương được định nghĩa tương tự. Thông thường, việc tìm cực tiểu địa phương là dễ dàng – cần thêm các thông tin về bài toán (chẳng hạn, hàm mục tiêu là hàm lồi) để đảm bảo rằng lời giải tìm được là cực tiểu toàn cục.
Ký hiệu.
Các bài toán tối ưu hóa thường được biểu diễn bằng các ký hiệu đặc biệt. Dưới đây là một vài ví dụ:
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Xét ký hiệu sau đây:
formula_4
Đây là ký hiệu cho giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu formula_5, với formula_6 nằm trong tập số thực formula_7. Giá trị nhỏ nhất trong trường hợp này là formula_8, xảy ra tại formula_9.
Tương tự thì ký hiệu
formula_10
chỉ ra giá trị lớn nhất cho hàm mục tiêu formula_11, với formula_6là một số thực. Trong trường hợp này, không có giá trị đó do biểu thức không bị chặn trên, vậy kết quả là "giá trị vô cùng" hoặc "không xác định".
Đối số tối ưu.
Xét ký hiệu sau đây:
formula_13
hay tương đương là
formula_14
Ký hiệu này biểu diễn một hoặc nhiều giá trị của đối số formula_6trong đoạn formula_16sao cho hàm mục tiêu formula_17đạt giá trị nhỏ nhất (chứ không yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất đó). Kết quả là formula_18, do không như ví dụ đầu tiên, formula_9không nằm trong tập khả thi.
Tương tự,
formula_20
hay ký hiệu tương đương
formula_21
Biểu diễn một hay nhiều cặp formula_22làm cho hàm mục tiêu formula_23đạt giá trị lớn nhất, với ràng buộc là "x" nằm trong đoạn formula_24. (Một lần nữa, giá trị tối ưu của hàm mục tiêu không quan trọng, hàm formula_25chỉ cho ra cặp formula_22thỏa mãn yêu cầu trên.) Trong trường hợp này, kết quả là các cặp số có dạng formula_27và formula_28, với formula_29 là số nguyên tùy ý.
Các kỹ thuật.
Đối với các hàm khả vi hai lần ("twice-differentiable"), có thể giải các bài toán không ràng buộc bằng cách tìm các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm mục tiêu bằng 0 (điểm dừng) và sử dụng ma trận Hesse để xác định xem đó là cực tiểu, cực đại, hay điểm yên ngựa.
Ta có thể tìm các điểm dừng bằng cách bắt đầu từ một điểm dự đoán là điểm dừng rồi tiến về điểm dừng bằng cách lặp đi lặp lại các phương pháp như
Nếu hàm mục tiêu là hàm lồi trong vùng quan tâm thì cực tiểu địa phương sẽ là cực tiểu toàn cục. Có các phương pháp số nhanh chóng và hiệu quả cho việc tối ưu hóa các hàm lồi khả vi hai lần.
Các bài toán ràng buộc thường có thể được biến đổi thành một bài toán không có ràng buộc bằng phương pháp nhân tử Lagrange ("Lagrange multiplier").
Dưới đây là một số phương pháp thông dụng:
Ứng dụng.
Các bài toán trong động lực học vật rắn (cụ thể là động lực học vật rắn chính xác) thường đòi hỏi các kỹ thuật quy hoạch toán học, do ta có thể coi động lực học vật rắn như là việc giải các phương trình vi phân thường ("ordinary differential equation") trên một đa tạp ràng buộc ("constraint manifold"); các ràng buộc là các ràng buộc hình học không tuyến tính đa dạng, chẳng hạn "hai điểm này phải luôn trùng nhau", "bề mặt này không được xuyên qua các bề mặt khác", hoặc "điểm này phải nằm đâu đó trên đường cong này". Ngoài ra, vấn đề tính toán các lực tiếp xúc có thể được thực hiện bằng cách giải một bài toán bù tuyến tính (linear complementarity problem). Dạng bài nài cũng có thể được coi là bài toán quy hoạch bậc hai.
Nhiều bài toán thiết kế cũng có thể được biểu diễn dưới dạng các chương trình tối ưu hóa. Áp dụng này được gọi là tối ưu hóa thiết kế. Một lĩnh vực con mới phát triển trong thời gian gần đây là multidisciplinary design optimization. Nó hữu ích cho nhiều bài toán và đã được áp dụng cho các bài toán kỹ nghệ hàng không ("aerospace engineering").
Vận trù học (operations research) là lĩnh vực sử dụng rất nhiều đến các kỹ thuật tối ưu hóa.
Liên kết ngoài.
Phần mềm: