Đại số

Đại số là một phân nhánh lớn của toán học, cùng với lý thuyết số, hình học và giải tích. Theo nghĩa chung nhất, đại số là việc nghiên cứu về ký hiệu toán học và các quy tắc cho các thao tác các ký hiệu trên; nó là một chủ đề thống nhất của hầu hết tất cả lĩnh vực của toán học. Như vậy, đại số bao gồm tất cả mọi thứ từ Giải phương trình cấp tiểu học cho đến các nghiên cứu trừu tượng như nhóm, vành và trường. Phần cơ bản hơn của đại số được gọi là đại số sơ cấp, phần trừu tượng hơn của nó được gọi là đại số trừu tượng hoặc đại số hiện đại. Đại số sơ cấp thường được coi là cần thiết cho bất kỳ nghiên cứu toán học, khoa học, hoặc kỹ thuật nào, cũng như các ứng dụng khác như các ngành y học và kinh tế. Đại số trừu tượng là một lĩnh vực quan trọng trong Toán học tiên tiến, là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của các nhà toán học chuyên nghiệp. Hầu hết các thành tựu đầu tiên của môn đại số đều có nguồn gốc tiếng Ả Rập như cái tên của nó đã gợi ý, đã được các nhà toán học người Ba Tư nghiên cứu tại Trung Đông như Al-Khwārizmī (780–850) và Omar Khayyam (1048–1131).
Đại số sơ cấp khác số học trong việc sử dụng các khái niệm trừu tượng, chẳng hạn như sử dụng chữ cái để thay cho con số hoặc là chưa biết hoặc cho phép có nhiều giá trị. Ví dụ, trong phương trình formula_1 chữ cái formula_2 là chưa biết, nhưng luật nghịch đảo có thể được sử dụng để tìm ra giá trị của nó: formula_3 Trong biểu thức , các chữ cái formula_4 và formula_5 là các biến số, còn chữ cái formula_6 là một hằng số, tốc độ ánh sáng trong chân không. Đại số tạo ra phương pháp để giải phương trình và thể hiện công thức dễ dàng hơn (đối với những người biết làm thế nào để sử dụng chúng) so với phương pháp cũ dùng ngôn ngữ viết ra tất cả mọi thứ bằng lời.
Từ "đại số" cũng được sử dụng trong cách chuyên ngành nhất định. Các phân ngành của đối tượng toán học trong đại số trừu tượng được gọi là "đại số", và từ này được sử dụng trong các cụm từ như đại số tuyến tính và tô pô đại số.
Từ nguyên.
"Đại số" là một từ Hán-Việt (代數), chỉ đến việc sử dụng ký hiệu để đại diện cho các con số. Từ này được nhà toán học Trung Quốc Lý Thiện Lan (李善蘭) dịch ra từ khái niệm từ Tây phương. Trong các ngôn ngữ Tây phương, từ đại số (algebra) phát nguồn từ tiếng Ả Rập ("", có nghĩa là phục chế). Nó được lấy từ tựa đề quyển sách "Ilm al-jabr wa'l-muḳābala" của al-Khwarizmi.
Đại số như một phân nhánh của toán học.
Đại số bắt đầu với các tính toán tương tự như số học, với chữ cái thay cho chữ số. Điều này cho phép chứng minh các định lý hay công thức là đúng mà không phải quan tâm đến các số có liên quan. Ví dụ, trong phương trình bậc hai
formula_8 có thể là bất kỳ số nào (ngoại trừ formula_9 phải khác formula_10), và công thức giải phương trình bậc hai có thể được sử dụng nhanh chóng và dễ dàng tìm thấy những giá trị của biến số formula_2.
Trong quá trình phát triển, đại số đã được mở rộng đến các đối tượng không phải số khác, chẳng hạn như vectơ, ma trận và đa thức. Sau đó, các thuộc tính cấu trúc của các đối tượng không phải số này được tóm tắt để xác định các cấu trúc đại số như nhóm, vành và trường.
Trước thế kỷ 16, toán học được chia thành hai lĩnh vực số học và hình học. Mặc dù một số phương pháp đã được phát triển từ trước, có thể được coi là đại số, nhưng sự xuất hiện của đại số, và không lâu sau đó, các phép vi phân và tích phân như một lĩnh vực của toán học chỉ có từ thế kỷ 16 hoặc 17. Từ nửa sau của thế kỷ 19 trở đi, nhiều lĩnh vực mới của toán học xuất hiện, hầu hết trong số đó đã sử dụng cả số học và hình học, và gần như tất cả trong số đó đều sử dụng đại số.
Ngày nay, đại số đã phát triển đến khi nó đã bao gồm nhiều ngành của toán học, như có thể thấy trong Phân loại Chủ đề Toán học nơi không có lĩnh vực nào trong số các lĩnh vực mức độ đầu tiên (với hai chữ số) được gọi là "đại số". Ngày nay đại số bao gồm các phần 08 – Hệ thống đại số chung, 12 – Lý thuyết trường và đa thức, 13 – Đại số giao hoán, 15 – Đại số tuyến tính và đại số đa tuyến; Lý thuyết ma trận, 16 – Vành kết hợp và đại số, 17 – Vành không kết hợp và đại số, 18 – Lý thuyết thể loại; đại số đồng điều, 19 – Thuyết K và 20 – Lý thuyết nhóm. Đại số cũng được sử dụng rộng rãi trong 11 – Lý thuyết số và 14 – Hình học đại số.
Lịch sử.
Lịch sử ban đầu của đại số.
Cội nguồn của đại số có nguồn gốc từ người Babylon cổ đại, vốn đã phát triển một hệ thống số học tiên tiến mà họ đã có thể làm các phép tính theo phong cách thuật toán. Người
Babylon đã phát triển các công thức để tính toán các lời giải cho các bài toán mà ngày nay thường được giải quyết bằng cách sử dụng phương trình tuyến tính, phương trình bậc hai, và phương trình tuyến tính không xác định. Ngược lại, hầu hết người Ai Cập của thời đại này, cũng như các nhà toán học Hy Lạp và Trung Quốc trong thiên niên kỷ 1 TCN, thường giải các phương trình như vậy bằng phương pháp hình học, chẳng hạn như những mô tả trong "sách toán viết trên giấy lau sậy Rhind", "Cơ sở" của Euclid và "Cửu chương toán thuật". Lời giải bằng hình học của người Hy Lạp, tiêu biểu trong cuốn "Cơ sở", 
cung cấp một khuôn khổ cho việc khái quát công thức không chỉ dành cho lời giải của các bài toán cụ thể mà còn đưa chúng vào một hệ thống chung hơn để mô tả và giải phương trình, mặc dù điều này sẽ không được thực hiện cho đến khi toán học phát triển trong Hồi giáo thời kỳ Trung Cổ.
Đến thời của Plato, toán học Hy Lạp đã trải qua một sự thay đổi mạnh mẽ. Người Hy Lạp cổ đại tạo ra một dạng đại số hình học, trong đó các từ ngữ được đại diện bằng các bên của các đối tượng hình học, thường là các dòng kẻ với các chữ cái liên kết ở bên cạnh. Diophantus (thế kỷ 3) là một nhà toán học Hy Lạp ở Alexandria và là tác giả của một loạt các cuốn sách có tên "Arithmetica". Những cuốn sách này tập trung vào việc giải quyết phương trình đại số, và đã đưa lý thuyết số đến với phương trình Diophantos.
Các phương pháp đại số hình học đã thảo luận ở trên có ảnh hưởng trực tiếp đến nhà toán học người Ba Tư Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (khoảng 780 – 850). Ông sau đó đã viết cuốn sách "Cách tính toán dựa trên khôi phục và cân bằng". Cuốn sách này đã chính thức đưa đại số thành một phân nhánh độc lập của toán học, tách rời đại số khỏi hình học và số học.
Các nhà toán học thời Hellenistic Hero của Alexandria và Diophantus cũng như các nhà toán học Ấn Độ như Brahmagupta 
tiếp tục truyền thống của Ai Cập và Babylon, mặc dù tác phẩm của "Arithmetica" của Diophantus và tác phẩm "Brāhmasphuṭasiddhānta" của Brahmagupta ở đẳng cấp cao hơn. 
Ví dụ, giải pháp số học đầy đủ đầu tiên (bao gồm cả các nghiệm là số không và số âm) của phương trình bậc hai được Brahmagupta mô tả trong cuốn sách "Brahmasphutasiddhanta". Sau đó, các nhà toán học Ba Tư và Ả Rập phát triển phương pháp đại số ở một mức độ tinh tế cao hơn nhiều. Mặc dù Diophantus và người Babylon sử dụng phương pháp tại chỗ đặc biệt để giải quyết các phương trình, đóng góp của Al-Khwarizmi là cơ bản. Ông đã giải quyết phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai mà không dùng biểu tượng đại số, số âm hoặc số không, do đó ông đã phải tách biệt phương trình bậc hai tổng quát thành một số loại phương trình khác nhau.
Trong bối cảnh đại số được xác định với các lý thuyết của phương trình, nhà toán học người Hy Lạp Diophantus được biết đến như là "cha đẻ của đại số" nhưng trong thời gian gần đây có nhiều cuộc tranh luận về việc liệu al-Khwarizmi, người sáng lập ra phép biến đổi "al-jabr (khôi phục)", xứng đáng hơn với danh hiệu trên. 
Những người ủng hộ Diophantus chỉ ra thực tế là các phép biến đổi đại số trong "Al-Jabr" có phần sơ cấp hơn khi so sánh với các phép biến đổi đại số trong "Arithmetica" và "Arithmetica" ngắn gọn hơn trong khi "Al-Jabr" hoàn toàn dùng ngôn ngữ thường. 
Những người ủng hộ Al-Khwarizmi chỉ ra thực tế là ông đã giới thiệu phương pháp "giảm" và "cân bằng" (bỏ đi hoặc trừ đi cả hai vế của phương trình cho cùng một số), từ đó có thuật ngữ "al-jabr", và ông đã giải thích đầy đủ về cách giải phương trình bậc hai, kèm theo là các chứng minh bằng hình học, trong khi coi đại số là một ngành độc lập của riêng nó. Đại số của ông cũng đã không còn liên quan "với một loạt các bài toán cần được giải quyết, mà đã trở thành một cuộc triển lãm bắt đầu với các khái niệm nguyên thủy, trong đó các trường hợp đưa ra phải bao gồm tất cả khả năng có thể cho phương trình, điều này đã chỉ rõ đối tượng thực sự của việc nghiên cứu". Ông cũng nghiên cứu phương trình không phụ thuộc vào bài toán và "một cách chung chung, phương trình không chỉ đơn giản là xuất hiện trong quá trình giải quyết một bài toán, nhưng nó được tạo ra để giải quyết vô số bài toán cùng loại".
Một nhà toán học người Ba Tư khác là Omar Khayyám đã được ghi công với việc xác định các nền tảng của hình học đại số và tìm thấy cách giải bằng phương pháp hình học tổng quát của phương trình bậc ba. Tuy nhiên, một nhà toán học người Ba Tư khác tên Sharaf al-Dīn al-Tusi, tìm thấy cách giải đại số và số học cho hàng loạt trường hợp khác nhau của phương trình bậc ba. Ông cũng phát triển các khái niệm về hàm số. Các nhà toán học Ấn Độ Mahavira và Bhaskara II, nhà toán học Ba Tư Al-Karaji, 
và nhà toán học Trung Quốc Chu Thế Kiệt giải quyết một số phương trình bậc ba, bốn, năm và bậc cao hơn sử dụng các phương pháp số. Trong thế kỷ 13, cách giải một phương trình bậc ba của Fibonacci 
là đại diện cho khởi đầu của hồi sinh trong nghiên cứu đại số ở châu Âu. Khi thế giới Hồi giáo dần suy tàn, thế giới châu Âu dần phát triển. Và từ đó đại số đã phát triển hơn nữa.
Lịch sử đại số hiện đại.
François Viète là người đã có những nghiên cứu mới về đại số vào cuối thế kỷ 16. Năm 1637, René Descartes xuất bản cuốn "La Géométrie", phát kiến ra hình học giải tích và giới thiệu ký hiệu đại số hiện đại. Các sự kiện quan trọng đánh dấu sự phát triển của đại số là giải pháp đại số chung của phương trình bậc ba và bậc bốn, được phát triển vào giữa thế kỷ 16. Ý tưởng về định thức được nhà toán học Nhật Seki Kōwa phát triển vào thế kỷ 17, cùng với nghiên cứu độc lập của Gottfried Leibniz 10 năm sau đó nhằm giải quyết hệ phương trình tuyến tính sử dụng ma trận. Gabriel Cramer cũng đã nghiên cứu về ma trận và định thức trong thế kỷ 18. Hoán vị được Joseph-Louis Lagrange phân tích trong luận văn năm 1770 "Réflexions sur la résolution algébrique des équations", tập trung vào các lời giải của phương trình đại số, trong đó ông giới thiệu đa thức giảm bậc Lagrange. Paolo Ruffini là người đầu tiên phát triển các lý thuyết về nhóm hoán vị, 
và cũng như những người đi trước, tập trung vào việc giải phương trình đại số.
Đại số trừu tượng đã được phát triển trong thế kỷ 19, xuất phát từ sự quan tâm tới việc giải quyết các phương trình, ban đầu tập trung vào những gì bây giờ được gọi là lý thuyết Galois, và về các vấn đề số có khả năng xây dựng. George Peacock là người sáng lập tư duy tiên đề trong số học và đại số. Augustus De Morgan phát kiến ra đại số quan hệ trong cuốn sách "Syllabus of a Proposed System of Logic". Josiah Willard Gibbs phát triển đại số của các vectơ trong không gian ba chiều, và Arthur Cayley phát triển đại số của ma trận (đây là một đại số không giao hoán).
Các lĩnh vực toán học có tên gắn với đại số.
Một số lĩnh vực của toán học thuộc về đại số trừu tượng có tên gắn với đại số; đại số tuyến tính là một ví dụ. Một số khác không có tên gắn với đại số, chẳng hạn như lý thuyết nhóm, lý thuyết vành và lý thuyết trường. 
Trong phần này sẽ liệt kê một số lĩnh vực của toán học với từ "đại số" trong tên.
Nhiều cấu trúc toán cũng được gọi là đại số:
Đại số sơ cấp.
Đại số sơ cấp
là hình thức cơ bản nhất của đại số. Nó được dạy cho những học sinh không có kiến thức nào về toán học ngoài các nguyên tắc cơ bản của số học. 
Trong số học, chỉ số và phép toán số học (chẳng hạn như +, -, ×, ÷) được dùng. Trong đại số, số thường được biểu diễn bằng các ký hiệu được gọi là biến số (như là "a", "n", "x", "y" hoặc "z"). 
Điều này rất hữu ích vì:
Đa thức.
Một đa thức là một biểu thức gồm tổng của một số hữu hạn các đơn thức khác không, mỗi đơn thức bao gồm tích của một hằng số và một số hữu hạn các biến số với số mũ là số nguyên. Ví dụ, "x"2 + 2"x" − 3 là một đa thức của biến số "x". Một biểu thức đa thức 
là một biểu thức có thể được viết lại như một đa thức, bằng cách sử dụng các phép giao hoán, kết hợp và phân phối phép cộng và phép nhân. Ví dụ, ("x" − 1)("x" + 3) là một biểu thức đa thức, nếu nói cho đúng thì nó không phải là đa thức. Một hàm đa thức là một hàm được định nghĩa bằng một đa thức hoặc một biểu thức đa thức.. Hai ví dụ trên định nghĩa cùng một hàm đa thức..
Hai vấn đề quan trọng và có liên quan trong đại số là các nhân tử của đa thức, nghĩa là thể hiện một đa thức như là một tích của các đa thức khác mà không thể giảm bậc hơn nữa, và việc tính toán các ước chung lớn nhất của đa thức. Ví dụ đa thức trên có thể được viết thành nhân tử như ("x" − 1)("x" + 3). Một nhóm các bài toán có liên quan là tìm nghiệm số của một đa thức một biến số bằng căn thức.
Giáo dục.
Môn đại số sơ cấp được gợi ý là cần phải được dạy cho học sinh ở độ tuổi mười một, mặc dù trong những năm gần đây môn này bắt đầu được dạy ở cấp lớp tám (≈ 13 tuổi) ở Mỹ.
Tại Việt Nam, môn đại số được dạy như một phân môn của môn Toán trong ba lớp 7, 8, 9 (12, 13, 14 tuổi), và chính thức cùng với môn Hình học được dạy như một môn độc lập (Đại số &amp; Hình học) từ năm lớp 10 (15 tuổi).
Đại số trừu tượng.
Đại số trừu tượng mở rộng các khái niệm quen thuộc trong đại số sơ cấp và số học với các con số đến những khái niệm tổng quát hơn. Dưới đây là liệt kê các khái niệm cơ bản trong đại số trừu tượng.
Tập hợp: Thay vì chỉ xem xét các loại số khác nhau, đại số trừu tượng làm việc với các khái niệm tổng quát hơn - tập hợp: một loạt của tất cả các đối tượng (gọi là phần tử) được lựa chọn theo một đặc điểm nào đó. Tất cả các nhóm các loại số quen thuộc đều là các tập hợp. Ví dụ khác về tập hợp bao gồm tập hợp của tất cả ma trận hai-nhân-hai, tập hợp tất cả các đa thức bậc hai ("ax"2 + "bx" + "c"), tập hợp của tất cả các vectơ hai chiều trong một mặt phẳng, và hàng loạt nhóm hữu hạn như các nhóm cyclic, đó là nhóm các số nguyên đồng dư modulo "n". Lý thuyết tập hợp là một nhánh của logic và về mặt lý thuyết không phải là một nhánh của đại số.
Phép toán hai ngôi: Dấu của phép cộng (+) được trừu tượng hóa để dùng cho" phép toán hai ngôi", chẳng hạn phép ∗. 
Các khái niệm về phép toán hai ngôi là vô nghĩa nếu tập hợp mà trên đó các phép toán trên được định nghĩa. Đối với hai phần tử "a" và "b" trong một tập "S", "a" ∗ "b" cũng là một phần tử cúa S; điều kiện này được gọi là tính đóng của tập hợp đối với phép toán. Phép cộng (+), phép trừ (−), phép nhân (×, ·), và phép chia (÷, /, :) có thể là phép toán hai ngôi khi xác định trên các tập hợp khác nhau, cũng như phép cộng và phép nhân các ma trận, vectơ và đa thức.
Phần tử đơn vị: Những con số 0 và 1 được trừu tượng hóa để tạo ra khái niệm về một "phần tử đơn vị" cho một phép toán. 0 là phần tử đơn vị cho phép cộng và 1 là phần tử đơn vị cho phép nhân. Đối với một phép toán hai ngôi ∗ phần tử đơn vị "e" phải thỏa mãn "a" ∗ "e" = "a" và "e" ∗ "a" = "a", và nếu nó tồn tại thì nó phải là duy nhất. Điều này đúng với phép cộng vì "a" + 0 = "a" và 0 + "a" = "a" và phép nhân khi "a" × 1 = "a" và 1 × "a" = "a". Không phải tất cả các tập hợp và phép toán hai ngôi đều có phần tử đơn vị; Ví dụ, tập hợp số tự nhiên (1, 2, 3...) không có phần tử đơn vị cho phép cộng.
Phần tử nghịch đảo: Các số âm đã đưa ra khái niệm các phần tử nghịch đảo. Đối với phép cộng, phần tử nghịch đảo của a được viết là -a, và cho phép nhân phần tử này được viết là a−1. Một yếu tố đảo ngược tổng quát a−1 thỏa mãn thuộc tính: a * a−1 = e và a−1 * a = e, trong đó e là phần tử đơn vị.
Tính kết hợp: Phép cộng các số nguyên có một thuộc tính được gọi là kết hợp. Nghĩa là, việc nhóm các số được thêm vào không ảnh hưởng đến tổng. Ví dụ: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Nói chung, điều này trở thành "(a * b) * c = a * (b * c)". Thuộc tính này là đúng với hầu hết các phép toán nhị phân, trừ phép trừ hoặc phép chia hoặc phép nhân octonon.
Tính giao hoán: Phép cộng và phép nhân của số thực đều là giao hoán. Điều này nghĩa là thứ tự của các số không ảnh hưởng đến kết quả. Ví dụ: 2 + 3 = 3 + 2. Nói chung, điều này sẽ trở thành "a * b = b * a". Thuộc tính này không đúng cho tất cả các phép toán nhị phân. Ví dụ, phép nhân ma trận và phép chia bậc bốn đều không giao hoán.
Nhóm.
Kết hợp các khái niệm trên cho một trong những cấu trúc quan trọng nhất trong toán học: nhóm. Một nhóm là sự kết hợp của một tập hợp S và một phép toán nhị phân duy nhất, được xác định theo bất kỳ cách nào bạn chọn, với các thuộc tính sau:
Nếu một nhóm cũng có tính giao hoán - nghĩa là, với bất kỳ hai thành viên "a" và "b" của "S", "a" * "b" bằng "b" * "a" - thì nhóm được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel.
Các chủ đề chính.
Dưới đây là một số chủ đề chính của đại số:
Linh tinh.
Từ đại số còn được sử dụng cho các cấu trúc đại số khác: