Elip

Trong toán học, một hình elip là một đường cong phẳng xung quanh hai tiêu điểm, sao cho với mọi điểm trên đường cong, tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là hằng số. Hình tròn là trường hợp đặc biệt của đường elip khi hai tiêu điểm trùng nhau. Độ dẹt của hình elip được biểu diễn bằng tâm sai của nó, chạy từ (trường hợp của đường tròn) đến (độ dẹt vô hạn, không còn là elip mà là một parabol).
Phương trình chính tắc của một elip với tâm là gốc tọa độ và chiều dài và chiều rộng là:
Giả sử , các tiêu điểm có tọa độ với formula_2. Phương trình tham số của elip là:
Elíp là một loại đường conic đóng: một đường cong phẳng bao quanh mặt cắt của một hình nón với một mặt phẳng nghiêng (xem hình bên). Elíp có nhiều điểm tương đồng với hai đường conic khác là parabol và hyperbol, cả hai đều hở và không có giới hạn. Một mặt cắt nghiêng của một hình trụ tròn cũng có hình elíp.
Một hình elíp cũng có thể được định nghĩa chỉ với một tiêu điểm và một đường thẳng nằm ngoại elíp gọi là đường chuẩn: elíp là quỹ tích các điểm có tỉ số khoảng cách tới tiêu điểm và đường chuẩn là hằng số. Hằng số tỉ lệ này chính là tâm sai của elíp được tạo thành:
Hình elíp rất thông dụng trong vật lý, thiên văn và kỹ thuật. Ví dụ, quỹ đạo của mỗi hành tinh trong hệ Mặt Trời gần giống một hình elíp với Mặt Trời là một tiêu điểm (chính xác, tiêu điểm là tâm tỉ cự của cặp Mặt Trờihành tinh). Quỹ đạo của mặt trăng xoay quanh hành tinh và tất cả cả hệ hai thiên thể khác đều như thế. Hình dạng của các hành tinh và sao thường được mô tả bằng hình ellipsoid. Một hình tròn nhìn từ một góc nghiêng trông giống một hình elíp, tức hình elíp là ảnh của hình tròn qua một phép chiếu song song hay vuông góc. Hình elíp cũng là dạng đường cong Lissajous đơn giản nhất, với chuyển động theo chiều ngang và dọc là các đường hình sin với cùng tần số. Hiện tượng tương tự dẫn đến phân cực elíp của ánh sáng trong quang học.
Từ nguyên.
Tên gọi "elíp" (tiếng Anh: "ellipse"), xuất phát từ tiếng Hy Lạp cổ đại: (, "thiếu"), được đưa ra bởi Apollonius xứ Perga trong quyển "Conics" của ông.
Định nghĩa quỹ tích.
Một đường elíp có thể được xác định là tập hợp hay quỹ tích các điểm trên mặt phẳng Euclid:
Trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm gọi là "tâm" của elíp. Đường thẳng nối hai tiêu điểm là "trục lớn", và đường vuông góc với nó đi qua tâm là "trục bé". Các trục của hình elíp cắt elíp tại bốn điểm, gọi là các "đỉnh" của elíp. Độ dài đoạn thẳng được gọi là "tiêu cự", và là "bán tiêu cự". Tỉ số được gọi là "độ lệch tâm" hay "tâm sai".
Trường hợp cho ta một đường tròn, trường hợp đặc biệt của "elíp".
Phương trình có thể được xem theo cách khác:
Đường tròn gọi là "đường tròn chuẩn" (với tâm là tiêu điểm ) của elíp. Ngoài ra, còn một định nghĩa thường dùng của elíp sử dụng đường chuẩn được nêu ở dưới.
Sử dụng mặt cầu Dandelin, ta có thể chứng minh bất kì mặt cắt nghiêng của một hình nón là một hình elíp, với điều kiện mặt phẳng cắt không đi qua đỉnh và có độ dốc bé hơn độ dốc đường sinh của mặt nón.
Hệ tọa độ Descartes.
Phương trình chính tắc.
Trong suốt phần còn lại của bài, là elíp trong hệ tọa độ Descartes với tâm tại gốc tọa độ, trục lớn là trục và
trong đó .
Với một điểm có tọa độ nằm trên elíp , bán kính qua tiêu điểm là formula_7 và bán kính qua tiêu điểm còn lại là formula_8. Do điểm nằm trên elíp nên
Biến đổi thích hợp và đặt ẩn phụ cho ta phương trình chính tắc của elíp :
Giải tìm , ta được
Chiều rộng và chiều cao được gọi là "bán trục lớn" và "bán trục bé" của elíp. Bán kính qua tiêu điểm trái và phải của lần lượt là và .
Từ phương trình này dễ thấy hình elíp "đối xứng" qua các trục tọa độ và qua gốc tọa độ.
Từ phương trình tổng khoảng cách
Chuyển vế một dấu căn rồi bình phương hai vế, ta được
Rút gọn phương trình trên cho ta
Rút gọn phương trình trên và sắp xếp lại các hạng tử, ta được:
Đặt rồi chia cả hai vế của phương trình trên cho ta , ta được phương trình chính tắc của elíp.
Bán trục lớn và bé.
Trong suốt bài viết này, sẽ là bán trục lớn còn là bán trục bé, tức . Trong dạng chính tắc của elíp , nếu thì elíp sẽ dài chứ không dẹt.
Bán tiêu cự.
Bán tiêu cự là khoảng cách từ một tiêu điểm đến tâm elíp: formula_15.
Độ lệch tâm.
Độ lệch tâm hay tâm sai là
với điều kiện . Một elíp với hai trục bằng nhau () có tâm sai bằng 0, và là một đường tròn. Một elíp với trục bé bằng 0 có tâm sai bằng 1, và là một parabol.
Bán trục bên.
Độ dài của dây cung qua một tiêu điểm và vuông góc với trục lớn được gọi là "trục bên" (tiếng Anh: "latus rectum"). Một nửa độ dài đó là "bán trục bên", thường được ký hiệu là và bằng
Bán trục bên bằng bán kính cong của đường tròn mật tiếp elíp tại các đỉnh trên trục lớn.
Tiếp tuyến.
Một đường thẳng tùy ý cắt elíp tại 2 điểm gọi là "cát tuyến", tại 1 điểm là "tiếp tuyến". Tiếp tuyến của elíp tại điểm có phương trình tọa độ là:
Phương trình tham số của tiếp tuyến này là:
Hoặc viết theo dạng vectơ thì:
Nếu hai điểm trên elíp và thỏa formula_21, thì chúng nằm trên hai "đường kính liên hợp" (xem ở dưới). Nếu , elip là hình tròn và "liên hợp" ở đây là "vuông góc".
Xét điểm nằm trên elíp và formula_22 là phương trình đường thẳng bất kỳ đi qua . Như vậy một điểm nằm trên đường thẳng có tọa độ .
Giả sử điểm cũng nằm trên elíp . Thay tọa độ của vào phương trình chính tắc của elíp , ta được
Đến đây ta có hai trường hợp:
Tâm khác gốc tọa độ.
Nếu elíp chuẩn trên có tâm tại thì phương trình chính tắc của nó là:
Các trục của elíp vẫn song song với trục và .
Elíp tổng quát.
Trong hình học giải tích, hình elíp là một mặt bậc hai: tập hợp các điểm formula_31 trên mặt phẳng Descartes thỏa mãn phương trình ẩn
với điều kiện formula_32
Để phân biệt với trường hợp suy biến, đặt là định thức
Khi ấy hình elíp là một elíp thực (tức có nghiệm thực) không suy biến khi và chỉ khi . Nếu , phương trình không có nghiệm thực, và nếu , elíp suy biến thành một điểm.
Nếu một elíp có bán trục lớn , bán trục bé , tọa độ của tâm là , và góc quay (góc giữa trục dương đến bán trục lớn của elíp) thì hệ số của phương trình là:
Những biểu thức này có thể suy ra từ phương trình chính tắc formula_35 bằng phép biến đổi afin của tọa độ:
Ngược lại, từ phương trình tổng quát ta có thể suy ra phương trình chính tắc như sau:
Biểu diễn tham số.
Biểu diễn tham số chính tắc.
Sử dụng các hàm lượng giác, biểu diễn tham số của elíp chuẩn formula_38 là:
Tham số (gọi là "dị thường lệch tâm" trong thiên văn học) không phải là góc giữa điểm với trục hoành, mà có ý nghĩa hình do Philippe de La Hire đưa ra (xem "Vẽ elíp" ở dưới).
Biểu diễn hữu tỉ.
Bằng phép đổi biến formula_40, ta được các biểu thức hữu tỉ cho các hàm lượng giác:
và phương trình tham số "hữu tỉ" của hình elíp
Phương trình trên cho ta tất cả các điểm trên elíp chính tắc formula_35 ngoại trừ đỉnh trái 
Với formula_44, công thức này biểu diễn góc phần tư thứ nhất (phần trên bên phải) của hình elíp, đi ngược chiều kim đồng hồ khi tăng dần. Đỉnh bên trái là giới hạn formula_45
Dạng hữu tỉ của các đường conic thường được dùng trong các phần mềm CAD (xem đường cong Bézier).
Độ dốc tiếp tuyến làm tham số.
Một biểu diễn tham số khác sử dụng độ dốc của tiếp tuyến tại điểm . Độ dốc này có thể được tính từ đạo hàm của phương trình tham số ở trên. Cụ thể là:
Sử dụng các đẳng thức lượng giác ta tính được:
Thay các biểu thức trên cho và trong dạng tham số chuẩn ở trên, ta được:
Ở đây là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm trên elíp. Khi dấu trước căn thức ở dưới mẫu là dương, điểm thuộc nửa trên của elíp, ngược lại nếu dấu âm thì điểm đó thuộc nửa dưới của elíp. Hai đỉnh trái phải không được biểu diễn do có tiếp tuyến thẳng đứng (độ dốc là vô cùng).
Phương trình tiếp tuyến tại điểm có dạng . Hệ số tự do có thể được xác định bằng cách thay tọa độ của điểm trên elíp tương ứng, cho ta:
Phương trình tiếp tuyến này có thể được dùng để xác định phương khuy của hình elíp.
Elíp tổng quát.
Một định nghĩa khác cho elíp sử dụng biến đổi afin là:
Một phép biến đổi afin của mặt phẳng Euclid có dạng formula_51, trong đó là một ma trận (với định thức khác không) và formula_52 là một vectơ bất kỳ. Nếu formula_53 là các vectơ cột của ma trận , đường tròn đơn vị , trong đó , biến thành hình elíp:
Ở đây formula_52 là tâm và formula_55 là hướng của của hai đường kính liên hợp, không nhất thiết phải vuông góc.
Bốn đỉnh của elíp là formula_56, trong đó tham số là nghiệm của:
(Nếu formula_58, thì .) Phương trình trên được suy ra như sau. Vectơ tiếp tuyến tại điểm formula_59 is:
Tại đỉnh của với tham số , tiếp tuyến với elíp vuông góc với bán trục lớn/bé, do đó:
Khai triển và sử dụng các đẳng thức lượng giác cho ta phương trình trên.
Giải phương trình tham số cho sử dụng quy tắc Cramer và để ý rằng , ta được phương trình ẩn
Định nghĩa của elíp tổng quát trong phần này cho ta biểu diễn tham số của một elíp bất kỳ, thậm chí trong không gian ba chiều, nếu ta cho formula_63 là các vectơ trong không gian.
Dạng cực.
Dạng cực đối với tâm.
Trong hệ tọa độ cực, với gốc tọa độ là tâm của elíp và với tọa độ góc tính từ bán trục lớn, phương trình elíp là
Dạng cực đối với tiêu điểm.
Nếu ta dùng tọa độ cực với gốc đặt tại một trong hai tiêu điểm, và tọa độ góc tính từ bán trục lớn, phương trình của elíp khi ấy là
trong đó dấu ở mẫu là âm nếu chiều của chỉ về tâm elíp, và dương nếu chiều đó chỉ ra xa tâm elíp.
Trong trường hợp tổng quát hơn, với elíp có một tiêu điểm ở gốc tọa độ và tiêu điểm còn lại ở tọa độ góc là , phương trình dạng cực là:
Góc trong những công thức này được gọi là dị thường thực của điểm đang xét. Tử số là bán trục bên.
Tâm sai và đường chuẩn.
Hai đường thẳng song song và cách bán trục bé một đoạn bằng , được gọi là "đường chuẩn" của elíp.
Ta có thể chứng minh cho trường hợp cặp . Để ý rằng formula_68 và formula_69 thỏa mãn phương trình
Điều ngược lại cũng đúng và thường được dùng để định nghĩa elíp sử dụng đường chuẩn (giống với định nghĩa của một parabol:
Trong trường hợp , là tâm sai của đường tròn, ta có thể coi đường chuẩn của đường tròn nằm ở vô hạn. Nếu , quỹ tích tạo thành một hình parabol, và nếu , một hình hyperbol.)
Giả sử và đường chuẩn có phương trình . Khi ấy gốc tọa độ nằm trên đường cong tạo thành. Giả sử điểm thỏa mãn . Biến đổi, ta được phương trình:
Đây là phương trình của một "elíp" nếu , một "parabol" nếu , hoặc một "hyperbol" nếu . Cả ba conic không suy biến này đều có một đỉnh là gốc tọa độ.
Trong trường hợp , lấy hai số sao cho và Phương trình ở trên trở thành
Đây chính là phương trình của elíp với tâm , trục chính là trục hoành và bán trục lớn và bé lần lượt là 
Elíp tổng quát.
Nếu tiêu điểm và đường chuẩn có phương trình , ta có phương trình của elíp là:
Tính chất phản chiếu.
Một elíp có tính chất sau:
Ta sẽ chứng minh điều tương đương là tiếp tuyến là đường phân giác ngoài của tam giác 
Lấy điểm trên tia sao cho với là bán trục lớn của elíp. Gọi đường thẳng là phân giác ngoài đỉnh của tam giác Để chứng minh là tiếp tuyến tại điểm , lấy điểm khác nằm trên , ta sẽ chứng minh không thuộc elíp. Khi ấy đường thẳng chỉ cắt elíp tại một điểm là , nên nó là tiếp tuyến với elíp tại 
Từ hình vẽ bên, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta thấy formula_76, do đó: formula_77 Nhưng nếu nằm trên elíp thì tổng đó phải bằng Như vậy không thuộc elíp, ta có điều phải chứng minh.
Các tia từ một tiêu điểm bị phản chiếu bởi elíp đến tiêu điểm thứ hai, dẫn đến ứng dụng quang và âm thanh tương tự với tính chất phản chiếu của một parabol (xem phòng thì thầm).
Đường kính liên hợp.
Một đường tròn có tính chất sau:
Đường kính đó vuông góc với các dây cung song song. Qua một phép biến đổi afin, tính song song và trung điểm của các đoạn thẳng được giữ nguyên, nên tính chất này vẫn đúng với hình elíp. Tuy nhiên khi ấy đường kính và các dây cung song song không vuông góc với nhau. Đường kính liên hợp của elíp tổng quát hóa đường kính vuông góc trong đường tròn.
Hai đường kính của một elíp gọi là "liên hợp" nếu trung điểm các dây cung song song với nằm trên 
Từ hình vẽ ta thấy:
Trong phương trình tham số cho elíp tổng quát ở trên:
bất kỳ hai điểm formula_79 tạo thành một đường kính, và cặp formula_80 tạo thành đường kính liên hợp với nó.
Định lý Apollonius về đường kính liên hợp.
Cho elíp với hai bán trục . Giả sử là hai bán kính liên hợp của elíp, tức một nửa của dường kính liên hợp. Khi ấy ta có:
Đẳng thức đầu tiên được gọi là định lý thứ nhất của Apollonius về đường kính liên hợp, còn công thức diện tích là định lý Apollonius thứ hai.
Giả sử elíp ở dạng chuẩn (tâm ở gốc tọa độ, hai bán trục là hai trục hoành và tung), với phương trình tham số:
Hai điểm formula_83 là hai đường kính liên hợp (xem phần trên). Từ công thức lượng giác ta có formula_84. Biến đổi đại số ta dễ chứng minh:
Diện tích của tam giác tạo bởi formula_86 và dây cung nối hai điểm là:
Từ hình vẽ ta thấy diện tích hình bình hành ngoại tiếp elíp bằng 8 lần diện tích tam giác đó, suy ra diện tích hình bình hành là 
Tính chất đo lường.
Tất cả tính chất sau áp dụng cho elíp với phương trình formula_1
Diện tích.
Diện tích formula_89 của elíp là:
Trong đó và là độ dài các bán trục lớn và bé của elíp. Công thức này khá tự nhiên: bắt đầu từ đường tròn có bán kính và diện tích và kéo dài nó với tỉ số formula_91 để tạo thành elíp. Việc kéo dài này làm tăng diện tích lên tỉ số bằng nhau: formula_92 Ta cũng có thể chứng minh chặt chẽ tính chất này bằng tích phân như sau.
Phương trình có thể được viết lại thành formula_93 với formula_94 đường cong này lànửa trên của elíp. Vậy diện tích elíp bằng hai lần tích phân của trên đoạn :
Tích phân thứ hai là diện tích của đường tròn với bán kính bằng Do đó
Một elíp với phương trình formula_97 có diện tích formula_98
Chu vi.
Chu vi của một elíp là:
trong đó là độ dài của bán trục lớn, formula_100 là tâm sai của elíp, và hàm số là tích phân elliptic đầy đủ loại II,
Chuỗi vô hạn của công thức này là:
trong đó là giai thừa đôi. Chuỗi này hội tụ, nhưng bằng cách đặt James Ivory và Bessel cho một công thức khác hội tụ nhanh hơn nhiều:
Srinivasa Ramanujan đưa ra hai xấp xỉ cho chu vi trong phần §16 của "Modular Equations and Approximations to ":
và
Sai số của những xấp xỉ này lần lượt cỡ bậc của và 
Một số bất đẳng thức về chu vi của elíp chuẩn với là
Ở đây chặn trên là chu vi của đường tròn ngoại tiếp đi qua hai đỉnh của trục lớn elíp, và chặn dưới formula_107 là chu vi của một hình thoi nối bốn đỉnh của elíp.
Độ cong.
Độ cong của elíp là
Bán kính cong tại điểm :
Bán kính cong tại hai đỉnh và tâm cong là:
Bán kính cong tại hai đỉnh và tâm cong là: