Định lý nhỏ Fermat

Định lý nhỏ của Fermat (hay định lý Fermat nhỏ - phân biệt với định lý Fermat lớn) khẳng định rằng nếu formula_1 là một số nguyên tố, thì với số nguyên formula_2 bất kỳ, formula_3 sẽ chia hết cho formula_1. Bằng kí hiệu đồng dư ta có:
Ví dụ: với formula_6.
Một cách phát biểu khác của định lý như sau: nếu formula_1 là số nguyên tố và formula_2 là số nguyên không chia hết cho formula_1, thì formula_10 sẽ chia hết cho formula_1. Nghĩa là:
Ví dụ: với formula_13
Cũng có một cách phát biểu khác là: Nếu formula_1 là một số nguyên tố và formula_2 là số nguyên không chia hết cho formula_1, thì formula_10 chia hết cho formula_1.
Định lý Fermat nhỏ là cơ sở để kiểm tra tính nguyên tố theo xác suất trong kiểm tra Fermat và là một trong những kết quả nền tảng của lý thuyết số.
Lịch sử.
Pierre de Fermat là người đầu tiên phát biểu định lý trong một bức thư gửi ngày 18 tháng 10 năm 1640 cho người bạn tri kỉ Frénicle de Bessy. Ý kiến của ông tương đương với câu sau:
Nếu formula_1 là số nguyên tố và formula_2 là một số nguyên không chia hết cho formula_1 thì formula_10 sẽ chia hết cho formula_1.
Thực tế, phát biểu gốc là
Như thường lệ, Fermat không chứng minh định lý này mà chỉ thông báo:
Euler lần đầu tiên công bố một chứng minh vào năm 1736 trong bài báo tựa đề "Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio" trong tờ "Proceedings" của Viện St. Petersburg, nhưng Leibniz đã có chứng minh với ý tưởng tương tự trong bản thảo không được công bố vào khoảng trước năm 1683.
Tên gọi "định lý nhỏ của Fermat" được dùng lần đầu vào năm 1913 trong "Zahlentheorie" bởi Kurt Hensel:
Lịch sử xa hơn.
Một cách độc lập các nhà toán học Trung Quốc đưa ra một giả thuyết (thường gọi là giả thiết Trung Quốc) rằng formula_24 là một số nguyên tố thì formula_25. Đúng là nếu formula_24 là số nguyên tố, thì formula_25. Đây là trường hợp đặc biệt của định lý nhỏ của Fermat. Tuy thế, điều ngược lại (nếu formula_28 thì formula_24 là số nguyên tố) là sai. Chẳng hạn, formula_30, nhưng formula_31 là hợp số (gọi là số giả nguyên tố [pseudoprime]).
Chứng minh.
Bắt đầu bằng cách liệt kê formula_32 bội của formula_2: 
formula_34
Nhân từng bội với nhau, ta được:
formula_35
Hay
formula_36
Fermat phát biểu định lý mà không chứng minh. Đã có nhiều chứng minh của định lý. Tuy nhiên định lý thường được chứng minh bằng cách dùng hệ quả của định lý Euler.
Tổng quát hóa.
Một dạng tổng quát của định lý này là: nếu "p" là số nguyên tố và "m" và "n" là các số nguyên dương thỏa mãn formula_37, thì formula_38.
Định lý Fermat còn được tổng quát hóa bởi Định lý Euler: với modulo "n" bất kỳ và số nguyên "a" bất kỳ là số nguyên tố cùng nhau vớí "n", ta có
trong đó φ("n") là ký hiệu của phi hàm Euler đếm số các số nguyên giữa 1 và "n" nguyên tố cùng nhau với "n". Đây là tổng quát hóa của định lý nhỏ Fermat vì nếu "n" = "p" là số nguyên tố thì φ("p") = "p" − 1.
Tổng quát hơn nữa là Định lý Carmichael.
Một định lý khác tống quát hóa của nó nằm trong các trường hữu hạn.
Hệ quả đảo.
Luận điểm đảo của định lý nhỏ Fermat là không đúng do nó sai với các số Carmichael. Tuy vậy dạng chính xác hơn của định lý là đúng với tên gọi là định lý Lehmer. Định lý đó được phát biểu như sau:
Nếu tồn tại số nguyên sao cho
và với mọi số nguyên tố là ước số của để
thì là số nguyên tố.
Định lý này tạo nền tảng cho phép kiểm tra Lucas–Lehmer, một phép kiểm tra tính nguyên tố quan trọng.
Số giả nguyên tố.
Nếu "p" là hợp số và có số nguyên "a" sao cho formula_42 chia hết cho "p", thì "p" được gọi là số giả nguyên tố cơ sở "a". F. Sarrmus vào năm 1820 đã tìm thấy 341 = 11×31 là số giả nguyên tố đầu tiên,với cơ số 2.
Một số "p" là số giả nguyên tố cơ số "a" với mọi ("a,p")=1 thì được gọi là số Carmichael (chẳng hạn 561).