Đường tròn

Trong hình học phẳng, đường tròn (hoặc vòng tròn) là tập hợp của tất cả những điểm trên một mặt phẳng, cách đều một điểm cho trước bằng một khoảng cách nào đó. Điểm cho trước gọi là tâm của đường tròn, còn khoảng cho trước gọi là bán kính của đường tròn.
Đường tròn tâm O bán kính R ký hiệu là (O;R)
Đường tròn là một hình khép kín đơn giản chia mặt phẳng ra làm 2 phần: phần bên trong và phần bên ngoài. Trong khi "đường tròn" ranh giới của hình, "hình tròn" bao gồm cả ranh giới và phần bên trong.
Đường tròn cũng được định nghĩa là một hình elíp đặc biệt với hai tiêu điểm trùng nhau và tâm sai bằng 0. Đường tròn cũng là hình bao quanh nhiều diện tích nhất trên mỗi đơn vị chu vi bình phương.
Sự xác định đường tròn.
Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của nó, hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính của nó.
Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta có thể vẽ được một và chỉ một đường tròn.
Hình tròn.
Trong hình học phẳng, đường tròn và hình tròn là hai khái niệm khác nhau. Hình tròn là tập hợp tất cả các điểm nằm trong và nằm trên đường tròn hay tập hợp các điểm cách tâm một khoảng nhỏ hơn hoặc bằng bán kính. Đường tròn không có diện tích như hình tròn.
Lịch sử.
Từ "circle" có nguồn gốc từ tiếng Hy Lap κίρκος/κύκλος ("kirkos/kuklos"), nghĩa là "vòng" hay "nhẫn".
Đường tròn đã được biết đến từ trước khi lịch sử ghi nhận được. Những hình tròn trong tự nhiên hẳn đã được quan sát, ví dụ như Mặt Trăng, Mặt Trời... Đường tròn là nền tảng để phát triển bánh xe, mà cùng với những phát minh tương tự như bánh răng, là thành phần quan trọng trong máy móc hiện đại. Trong toán học, việc nghiên cứu đường tròn đã dẫn đến sự phát triển của hình học, thiên văn học và vi tích phân.
Khoa học sơ khai, đặc biệt là hình học, thiên văn học và chiêm tinh học, thường được nhiều học giả thời trung cổ kết nối với thánh thần, và nhiều người tin rằng có gì đó "thiêng liêng" và "hoàn hảo" ở hình tròn.
Một số dấu mốc trong lịch sử đường tròn:
Đặc điểm.
Độ dài đường tròn (chu vi hình tròn).
Tỉ số của độ dài đường tròn với đường kính của nó là (pi), một hằng số vô tỉ có giá trị xấp xỉ bằng 3.141592654, vậy chu vi của hình tròn (còn được gọi là viên chu), là độ dài của đường tròn, bằng tích của pi với đường kính hoặc 2 lần pi nhân với bán kính. Công thức:
Diện tích bao kín.
Trong bản luận Sự đo đạc của một hình tròn của Archimedes, diện tích hình tròn "A" bằng diện tích của tam giác có cạnh đáy bằng chu vi đường tròn và đường cao bằng bán kính hình tròn, tức "A" bằng nhân cho bình phương bán kính:
Tương tự, ký hiệu đường kính là "d",
tức khoảng 79% diện tích hình vuông ngoại tiếp đường tròn (với độ dài cạnh là "d"). Đường tròn cũng là hình phẳng bao kín nhiều diện tích nhất với chu vi cho trước.
Phương trình.
Hệ tọa độ Descartes.
Trong hệ tọa độ Descartes, vòng tròn có tâm tại ("a", "b") và bán kính "r" là tập hợp tất cả các điểm ("x", "y") thỏa mãn:
Phương trình này, được biết là Phương trình đường tròn, xuất phát từ Định lý Pytago áp dụng cho một điểm trên đường tròn: Như trong hình bên, bán kính là cạnh huyền của một tam giác vuông với 2 cạnh góc vuông |"x" − "a"| và |"y" − "b"|. Nếu tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ (0, 0), thì phương trình được thu gọn thành:
Phương trình có thể viết dưới dạng tham số sử dụng các hàm lượng giác sin và cosine như sau
với "t" là tham số trong khoảng từ 0 đến 2, một cách hình học, "t" tương đương với góc tạo bởi tia đi qua ("a", "b"), ("x", "y") và trục "x" dương.
Một phương trình tham số khác của đường tròn là:
Tuy nhiên ở sự tham số hóa này, "t" không chỉ chạy qua tất cả số thực mà còn chạy tới vô hạn, nếu không thì điểm dưới cùng của đường tròn sẽ không được thể hiện.
Trong hệ tọa độ đồng nhất, mỗi đường conic với phương trình của đường tròn có dạng:
Hệ tọa độ cực.
Trong hệ tọa độ cực phương trình của một đường tròn là:
với "a" là bán kính của đường tròn, formula_13 là tọa độ cực của một điểm trên đường tròn, và formula_14 là tọa độ cực của tâm đường tròn (tức "r"0 là khoảng cách từ gốc tọa độ đến tâm, và "φ" góc ngược chiều kim đồng hồ từ trục hoành đường thẳng đi qua tâm và gốc tọa độ). Với đường tròn có tâm ở gốc tọa độ, tức "r"0 = 0, thì được đơn giản hóa còn . Khi , hay gốc tọa độ nằm trên đường tròn thì phương trình trở thành:
Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình cho "r"
Chú ý rằng nếu không có dấu ±, trong một số trường hợp phương trình chỉ mô tả nửa đường tròn.
Mặt phẳng phức.
Trong mặt phẳng phức, một đường tròn có tâm tại "c" và bán kính ("r") có phương trình formula_17. Ở dạng tham số hóa: formula_18.
Phương trình tổng quát formula_19 cho các số thực "p", "q" và số phức "g" đôi khi được gọi là đường tròn tổng quát. Phương trình này trở thành phương trình ở trên với formula_20, vì formula_21. Không phải đường tròn tổng quát nào cũng là đường tròn thực sự: đường tròn tổng quát hoặc là đường tròn thực sự hoặc là một đường thẳng.
Đường tiếp tuyến.
Đường tiếp tuyến qua một điểm "P" trên đường tròn vuông góc đường kính đi qua "P". Nếu và đường tròn có tâm ("a", "b") và bán kính "r", thì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng đi qua ("a", "b") và ("x"1, "y"1), nên nó có dạng . Tính với ("x"1, "y"1) xác định giá trị của "c" và kết quả phương trình của đường tiếp tuyến là:
hay
Nếu thì độ dốc của đường thẳng là
Kết quả này cũng có thể được suy ra sử dụng đạo hàm hàm ẩn.
Nếu tâm đường tròn nằm ở gốc tọa độ thì phương trình tiếp tuyến là formula_25và độ dốc của nó là formula_26
Tính chất.
Sagitta.
Một chứng minh khác của kết quả này sử dụng tính chất hai dây cung như sau: Cho dây cung có độ dài "y" và sagitta có độ dài "x", vì sagitta đi qua trung điểm của dây cung, nó phải là một phần đường kính. Do đường kính dài gấp đôi bán kinh, phần "bị thiếu" của đường kính có độ dài (). Do một phần của một dây cung này nhân phần kia không đổi khi dây quay quanh giao điểm, ta tìm được formula_33. Giải tìm "r", ta nhận được kết quả như trên.
Dựng hình.
Có nhiều phép dựng hình bằng thước kẻ và compa cho ra đường tròn.
Đơn giản và căn bản nhất là phép dựng hình đã biết tâm đường tròn và một điểm nằm trên đường tròn. Đặt chân trụ của com-pa trên tâm, chân xoay lên điểm trên đường tròn và quay com-pa.
Dựng tiếp tuyến đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn.
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ đường tròn đường kính AO cắt đường tròn O tại 2 điểm, khi đó 2 điểm đó là tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đi qua điểm A.
Đường tròn của Apollonius.
Apollonius của Pergaeus chỉ ra rằng đường tròn còn có thể định nghĩa là tập hợp các điểm trên mặt phẳng có "tỉ số" không đổi (khác 1) của khoảng cách tới hai tiêu điểm, "A" và "B". (Nếu tỉ số là 1 thì tập hợp ấy là đường trung trực của đoạn thẳng AB.)
Chứng minh gồm hai phần. Đầu tiên ta cần chứng minh, cho hai tiêu điểm "A" và "B" một tỉ số, bất kì điểm "P" thỏa mãn tỉ số phải nằm trên một đường tròn nhất định. Gọi "C" là một điểm thỏa mãn tỉ số và nằm trên đoạn thẳng "AB". Từ định lý đường phân giác suy ra "PC" sẽ chia đôi góc trong "APB":
Tương tự, đoạn thẳng "PD" qua điểm "D" trên đường thẳng "AB" chia đôi góc ngoài "BPQ" với "Q" nằm trên tia "AP" kéo dài. Do góc ngoài và góc trong bù nhau, góc "CPD" phải bằng 90 độ. Tập hợp các điểm "P" sao cho góc "CPD" là góc vuông tạo thành một đường tròn với "CD" là đường kính.
Thứ hai, xem để chứng minh rằng các điểm trên đường tròn vừa tạo thỏa mãn tỉ số.
Tỉ số kép.
Một tính chất của đường tròn liên quan đến hình học của tỉ số kép của các điểm trên mặt phẳng phức. Nếu "A", "B", và "C" cho như trên thì đường tròn của Apollonius của ba điểm là tập hợp các điểm "P" sao cho giá trị tuyệt đối của tỉ số kép bằng 1:
Nói cách khác, "P" là điểm trên đường tròn của Apollonius khi và chỉ khi tỉ số kép ("A","B";"C","P") nằm trên đường tròn đơn vị trên mặt phẳng phức.
Đường tròn tổng quát.
Nếu "C" là trung điểm của đoạn "AB" thì tập hợp các điểm "P" thỏa mãn điều kiện Apollonius
không tạo thành một đường tròn mà thành một đường thẳng.
Vậy nên nếu "A", "B", "C" là các điểm phân biệt trên mặt phẳng thì quỹ tích điểm "P" thỏa mãn phương trình trên gọi là "đường tròn tổng quát". Nó có thể là một đường tròn hoặc một đường thẳng. Trong trường hợp này, một đường thẳng là một đường tròn tổng quát có bán kính vô hạn.
Đường tròn nội tiếp hay ngoại tiếp.
Trong mỗi tam giác, một đường tròn duy nhất, gọi là đường tròn nội tiếp nếu nó tiếp xúc với ba cạnh tam giác.
Với mọi tam giác một đường tròn duy nhất, gọi là đường tròn ngoại tiếp, nếu nó đi qua ba đỉnh của tam giác.
Một đa giác ngoại tiếp là một đa giác lồi bất kỳ mà một đường tròn có thể nội tiếp được và tiếp xúc với các cạnh của đa giác. Tất cả đa giác đều và tam giác đều là một đa giác ngoại tiếp.
Một đa giác nội tiếp, ví dụ tứ giác nội tiếp, là một đa giác lồi bất kỳ mà một đường tròn có thể bao quanh, đi qua tất các các đỉnh. Một trường hợp được nghiên cứu kỹ càng là tứ giác nội tiếp. Tất cả đa giác đều và tam giác đều là một đa giác nội tiếp. Một đa giác vừa ngoại tiếp vừa nội tiếp được gọi là đa giác lưỡng tâm.
Bất kỳ đa giác đều nào cũng đều có đúng 1 đường tròn ngoại tiếp và có đúng 1 đường tròn nội tiếp
Một đường cong hypocycloid là đường cong nằm trong một đường tròn, vẽ bằng cách theo dấu một điểm cố định trên một đường tròn nhỏ hơn lăn trong đường tròn đã cho và tiếp xúc với nó..
Vị trí tương đối.
Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn.
Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d. Ta có bảng sau:
Vị trí tương đối giữa 2 đường tròn.
Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường tròn tâm I bán kính r. Ta có bảng sau:
Đường tròn dưới dạng đặc biệt của những hình khác.
Đường tròn có thể xem là một trường hợp giới hạn của một số hình khác:
Góc với đường tròn.
Góc ở tâm - số đo cung.
2 cạnh của góc ở tâm cắt nhau tại 2 điểm, chia đường tròn thành 2 cung:
Góc bẹt là góc ở tâm chắn nửa đường tròn. Số đo của nửa đường tròn là formula_42
Khi 2 đầu của cung trùng nhau, ta có "cung không" có số đo formula_43 và cả đường tròn có số đo formula_44
Trong cùng một đường tròn hoặc trong các đường tròn bằng nhau, 2 cung có số đo bằng nhau thì bằng nhau.
Cho điểm C nằm trên cung AB và chia cung AB thành 2 cung là cung AC và cung CB. Khi đó số đo của cung AB bằng tổng số đo cung AC và cung CB.
Góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung.
Góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung là góc có 1 cạnh là dây của đường tròn, cạnh kia tạo bởi tia tiếp tuyến của đường tròn và đỉnh là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn.
Số đo của góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung thì bằng nửa số đo cung bị chắn.
Góc hợp bởi tia tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó
Tính chất của góc có đỉnh nằm trong hoặc ngoài đường tròn.
Số đo của góc có đỉnh nằm trong đường tròn bằng nửa tổng số đo 2 cung bị chắn.
Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và chắn trên đường tròn đó 2 cung thì số đo của góc đó bằng nửa hiệu số đo 2 cung bị chắn.
Cầu phương hình tròn.
Cầu phương hình tròn là bài toán đưa ra bởi các nhà hình học cổ đại, yêu cầu dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn đã cho trong hữu hạn bước bằng thước thẳng và com-pa.
Năm 1882, bài toán được chứng minh là không thể thực hiện được, như một hệ quả của định lý Lindemann–Weierstrass chứng minh rằng pi () là một số siêu việt, chứ không phải là một số đại số vô tỉ; nghĩa là nó không phải là nghiệm của bất cứ đa thức với hệ số hữu tỉ.