Phân tích nhân tử

Phân tích nhân tử là một thuật ngữ toán học dùng để chỉ một cách viết một số nguyên, hay tổng quát là một vật thể toán học, thành một phép nhân của các số nguyên khác, hay tổng quát là các vật thể toán học khác. Các số nguyên, hay vật thể toán học, nằm trong phép nhân gọi là nhân tử.
Ví dụ.
Phép tính nhân tử với số nguyên.
Ví dụ một phép phân tích nhân tử với số nguyên: 
Đa thức và phân tích nhân tử.
Các đa thức cũng có thể được phân tích thành tích của các đa thức khác. Ví dụ:
formula_3 formula_4formula_5formula_6formula_7formula_8
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Phương pháp đặt nhân tử chung.
Nếu các hạng tử của đa thức đều có nhân tử chung thì ta có thể đặt nhân tử chung đó làm thừa số. VD:
Áp dụng hằng đẳng thức.
Nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biểu diễn đa thức này thành tích các đa thức. VD: 
Những hằng đẳng thức đáng nhớ.
1. formula_9
2. formula_10
3. formula_11
4. formula_12
5. formula_13
6. formula_14
7. formula_15
Hệ thức liên quan.
1. formula_16
2. formula_17
3. formula_18
4. formula_19
5. Tổng quát:
formula_20 formula_21
Hằng đẳng thức mở rộng.
8. formula_22
9. formula_23 (n lẻ)
Nhị thức Newton.
Với đa thức formula_24 ta có:
Ta nhận thấy khi khai triển formula_31 ta được một đa thức chứa n+1 hạng tử, trong đó, hạng tử đầu là formula_32, hạng tử cuối là formula_33 và các hạng tử còn lại chứa các nhân tử formula_34 và formula_35.
Vì vậy: formula_36
Tam giác Pascal.
Nếu viết riêng các hệ số bên phải, ta được bảng sau:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Ta nhận thấy từ hàng thứ hai trở đi một số bất kì ở trong tam giác đúng bằng tổng của số cùng cột trên một hàng và số trước một cột trên một hàng, cụ thể:
Phương pháp nhóm các hạng tử.
Nếu một đa thức có nhiều hạng tử, nhóm lại với nhau mà phân tích thành nhân tử chung được thì nhóm chúng lại theo từng nhóm thích hợp để phân tích đa thức đó thành nhân tử. VD:
Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
Phương pháp dựa vào nghiệm tìm được của đa thức.
- Nếu đa thức có nghiệm là a thì đa thức đó phân tích được thành nhân tử mà một nhân tử là x-a.
1. Nhẩm nghiệm
+ Nếu đa thức f(x) có nghiệm nguyên thì đó phải là ước của hệ số tự do.
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x–1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x+1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1);f(−1) khác 0 thì formula_37và formula_38 đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do.
Ta nhận thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = ±1;±2;±4, chỉ có f(2)=0 nên x=2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x–2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x–2.
Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x+1.
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng formula_39 trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất.
+ Tính chất: Nếu một đa thức formula_40 có nghiệm formula_41 thì đa thức formula_40 sẽ được phân tích thành: formula_43 trong đó formula_44.
VD: PTĐT thành nhân tử:
formula_45.Coi đa thức này là 1 đa thức có biến x, các biến còn lại là hệ số. Thay formula_46, ta có:formula_47
formula_48 là một nghiệm của đa thức formula_49 formula_50
formula_51
formula_52
formula_53
formula_54
formula_55 có thể được tìm bằng cách dùng phép chia đa thức 1 biến đã sắp xếp hoặc sử dụng lược đồ Horner để xác định các hệ số của nó.
VD: Phân tích đa thức formula_56 thành nhân tử, biết x=3 là 1 nghiệm của P(x)
Vì x=3 là nghiệm của đa thức nên đa thức có nhân tử là x-3. Để tìm nhân tử còn lại, ta có thể đặt phép chia như hình.
Vậy formula_57
Ngoài ra có thể xác định hệ số của nhân tử cần tìm bằng lược đồ Horner như sau: 
2. Biệt số delta Δ (Áp dụng với các tam thức bậc hai) 
Xét tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Gọi Δ = b2 - 4ac
Nếu Δ formula_58 0 thì đa thức có nghiệm:
Nếu Δ formula_66 0 thì đa thức vô nghiệm. Đa thức không thể phân tích thành nhân tử
Ngoài ra để phân tích f(x) thành nhân tử, ta tách hệ số b như sau:
ax2 + bx + c = ax2 + b­1x + b2x + c với formula_67
Một số phương pháp tách hạng tử khác.
VD 1: PTĐT sau thành nhân tử:formula_68Ta có: formula_68formula_70formula_71formula_72formula_73formula_74formula_75
Phương pháp thêm bớt hạng tử.
Các đa thức có dạng formula_76 formula_77 như:
formula_78; formula_3; formula_80; formula_81; formula_82;…đều có nhân tử chung là formula_83
VD: Ở đây
Thêm bớt hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương.
VD: formula_84
formula_85
formula_86
formula_87
Phương pháp đổi biến.
VD: PTĐT sau thành nhân tửA =formula_88Aformula_89
formula_90
Đặt formula_91 khi đó:
A formula_92
formula_93
formula_94
formula_95
formula_96
Trong bài toán trên ta đã đổi đa thức biến x trên thành đa thức biến y. Vì vậy, phương pháp trên được gọi là phương pháp đổi biến.
Phương pháp xét giá trị riêng.
VD: PTĐT sau thành nhân tử:
A = formula_68Thay x = y ta có: A = 0
Do đó: x = y là một nghiệm của đa thức trên hay đa thức trên chứa nhân tử x-y.
Lại có x, y, z có vai trò bình đẳng nên A = formula_98Vì A là 1 đa thức bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z và (x - y)(y - z)(z - x) là 1 đat thức bậc 3 đối với tập hợp các biến x, y, z nên a là 1 hằng số.
Vì formula_99 đúng với formula_100 x, y, z nên ta gán cho x, y, z các giá trị riêng.
Chẳng hạn x=1, y=0, z=-1 ta có:
formula_101
formula_102 formula_103
formula_102 formula_105
Vậy formula_106
Phương pháp dùng các đẳng thức đặc biệt.
Với mọi x, y, z thực ta luôn có:&lt;br&gt;1. (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 3(x + y)(y + z)(z + y)&lt;br&gt;2. x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)&lt;br&gt;"Hệ quả:&lt;br&gt; Nếu x + y + z = 0 hoặc x = y = z = 0 thì" x3 + y3 + z3 = 3xyz
Phương pháp hệ số bất định (Đồng nhất Hệ số).
VD: PTĐT sau thành 2 tam thức có hệ số nguyên:
A = formula_107Đặt A = formula_108
formula_109
Đồng nhất hệ số ta có:
formula_110
Vậy A = formula_111