Phép nhân

 
Phép nhân (tiếng Anh: Multiplication) là phép tính toán học của một số bởi số khác. Nó là một trong 4 phép tính cơ bản của số học (3 phép tính còn lại là cộng, trừ, chia). Phép nhân tác động tới hai hay nhiều đối tượng toán học ("thừa số", còn gọi là "nhân tử") để tạo ra một đối tượng toán học mới. Ký hiệu của phép nhân là "×" (ngắn gọn hơn là "·", trong lập trình là dấu *). Phép nhân số nguyên có thể coi là việc cộng một số với một số lần nhất định; ví dụ, ta lấy 3 + 3 + 3 + 3 thì ra được 12. Khi ta sử dụng nhân thì nó sẽ nhanh hơn: 3 × 4 = 12 (tức thừa số thứ nhất là số hạng, còn thừa số thứ hai là số lượng số hạng).
Phép toán nhân hai số
với A là số nhân, B là số bị nhân (A và B đều là thừa số); C là tích.
Kí hiệu.
Trong số học và đời sống thông thường, dấu nhân được kí hiệu là "×" (đừng nhầm lẫn với chữ cái x). Kí hiệu này thường được giảng dạy ở cấp bậc tiểu học ở đa số các nước trên thế giới. Ví dụ:
Ngoài ra còn có một số kí hiệu khác:
formula_4 hay formula_5
Tính chất.
formula_14
formula_15
formula_16
formula_17
formula_18 trong đó formula_19
formula_20
formula_21
Các phương pháp tính.
Trên thế giới có nhiều phương pháp thực hiện các phép tính nhân (chủ yếu là cho số học và đại số cơ bản). Các phương pháp này thường đều đòi hỏi sự hiểu biết về bảng cửu chương (từ 1–9), ngoại trừ phương pháp tá điền Nga.
Đặt tính thông thường.
Khi một hệ cơ số được sử dụng (thông dụng nhất là hệ cơ số 10), phương pháp phổ biến nhất là đặt tính theo hàng. Các thừa số và tích đều được đặt thẳng cột với nhau. Ta lấy thừa số thứ nhất nhân với từng chữ số của thừa số thứ hai để ra các "tích riêng" rồi cộng các tích riêng với nhau để ra đáp số cuối cùng.
Nhân với số có một chữ số.
Khi nhân (một thừa số thứ nhất) với số có một chữ số, ta nhân từng chữ số của thừa số thứ nhất với (chữ số của) thừa số thứ hai, theo thứ tự từ phải sang trái. Có thể viết phép tính trên một hàng duy nhất hoặc theo một trong hai biến thể (hàng ngang/hàng dọc) được trình bày ở dưới. Ví dụ, phép nhân 268 × 7 được tính theo hàng dọc như sau:
 4 5
 2 6 8
 × 7
 1 8 7 6
Biến thể hàng dọc.
Ví dụ này sử dụng phương pháp đặt tính theo hàng dọc được sử dụng ở đa số các nước trên thế giới (trong đó có Việt Nam) để tính phép nhân 234 × 705.
 234
 × 705
 1170 ( = 234 × 5)
 000 ( = 234 × 0)
 1638 ( = 234 × 700)
 164970 ( = 234 × 705)
Mỗi chữ số của thừa số thứ hai được nhân đúng theo hàng của nó. Ví dụ, tích riêng thứ ba là kết quả của phép tính 234 × 7 trăm = 1638 trăm (vì thế ta lùi tích riêng này hai chữ số sang bên trái, hoặc có thể viết hai chữ số 0 tận cùng).
Chú ý: Vì số nào nhân với 0 cũng bằng 0, tích riêng thứ hai trong ví dụ trên (000) không ảnh hưởng đến kết quả, nên có thể bỏ qua không viết.
Biến thể hàng ngang.
Ở một số nước như Đức, phép tính trên thường được đặt tính theo hàng ngang như sau (chú ý rằng hàng lớn nhất của thừa số thứ hai được nhân trước): 
 234 · 705
 1638 
 000
 1170
 164970
Áp dụng cho tạp số.
Tạp số được định nghĩa là số không được viết theo đơn vị thập phân (như số đo thời gian, số đo góc...). Để nhân một tạp số với số nguyên, ta nhân từng đơn vị một rồi đổi các đơn vị nhỏ sang đơn vị lớn (trong kết quả) nếu cần. Ví dụ dưới đây là kết quả của phép nhân 2 giờ 25 phút 16 giây với 6. 
 2 giờ 25 phút 16 giây
 × 6
 12 giờ 150 phút 96 giây
 12 giờ 151 phút 36 giây
 14 giờ 31 phút 36 giây
Ta nhận thấy: khi nhân xong các đơn vị riêng lẻ, phải đổi từng đơn vị từ nhỏ đến lớn:
Kẻ bảng.
Phương pháp này được đưa vào giáo trình chính thức của Anh Quốc và Xứ Wales từ thập niên 1990 cũng như một số nơi ở Hoa Kỳ trong khoảng thập niên 2010. Nó dựa trên tính chất phân phối giữa phép cộng và phép nhân. Để dễ hiểu, nó còn được thể hiện tương đương với diện tích của một hình chữ nhật.
Phương pháp.
Mỗi thừa số được tách ra thành từng phần hàng (nghìn, trăm, chục, đơn vị...) và viết lần lượt vào các hàng/cột của một bảng. Nhân tất cả các hàng và cột riêng với nhau rồi cộng các kết quả lại, ta được đáp số của bài toán.
Ví dụ.
Ví dụ này sử dụng phương pháp kẻ bảng để tính phép nhân 156 × 89. Trong đó:
 8000
 4000
 480
 900
 450
 + 54
 13884 Vậy 156 × 89 = 13884
Với những thừa số gồm nhiều chữ số, số lượng tích riêng có thể trở nên quá lớn, gây khó khăn nhất định cho việc cộng kết quả. Tuy nhiên, đây cũng được coi là một phương pháp hữu ích để giới thiệu về phép nhân nhiều chữ số và có thể là phương pháp cần thiết duy nhất với một số người trong thời đại tự động hóa, khi các phép tính thường được thực hiện bởi máy tính bỏ túi hay bảng tính.
Phương pháp tá điền Nga.
Phương pháp này, còn được gọi là phương pháp nhị phân, đã được sử dụng bởi những tá điền trước đây, vốn là những người không học thuộc bảng cửu chương. Nó cũng được sử dụng trong thời kỳ Ai Cập cổ đại. Ưu điểm của nó là có thể được dạy nhanh chóng, không cần ghi nhớ, và có thể sử dụng mà không cần giấy bút. Nhược điểm của nó là dài dòng với các thừa số có nhiều chữ số.
Phương pháp.
Trên giấy, hãy ghi thừa số thứ nhất vào một cột. Sau đó ghi một nửa con số trên ở ngay dưới đó (bỏ qua phần dư), lặp lại cho đến khi còn lại số 1. Ở một cột bên cạnh, viết thừa số thứ hai và sau đó viết số gấp đôi của số trên ở ngay dưới; lặp lại cho đến khi viết xong hàng có ghi số 1 ở bên kia. Bây giờ nếu hàng nào có số thứ nhất là số chẵn, hãy gạch hàng đó đi. Rồi ở các hàng không bị gạch còn lại, cộng các số ở cột thứ hai để ra đáp số cuối cùng.
Ví dụ.
Phép tính 163 × 7 được thực hiện theo phương pháp tá điền như sau. Các số được cộng lại là 7, 14, 224, 896 tương đương với các số cột đầu tiên trong hàng là 163, 81, 5, 1 (đều là số lẻ), cho ra kết quả phép tính là 7 + 14 + 224 + 896 = 1141. 
 163 7 
 81 14 
 40 28
 20 56
 10 112
 5 224
 2 448
 1 896
 1141 Vậy 163 × 7 = 1141 
Giải thích.
Phương pháp này dựa trên việc khai triển thừa số thứ nhất ra hệ nhị phân. Trong ví dụ trên, 163 = 101000112 hay nói cách khác,
formula_22
Vậy formula_23
Nhân số thập phân.
Để nhân hai số thập phân, ta nhân như số nguyên (không cần đặt các dấu phẩy thẳng hàng nếu đặt tính hàng dọc). Sau đó ta đếm xem ở hai thừa số có tổng cộng bao nhiêu chữ số ở phần thập phân thì tích số sẽ có bấy nhiêu chữ số ở phần thập phân. Ví dụ:
formula_24
Ở đây ta nhân hai số nguyên 128 với 153 trước. Vì hai thừa số ban đầu có 3 chữ số ở phần thập phân nên khi ra kết quả (19584) ta lùi dấu thập phân về 3 hàng, được số 19,584.
Lũy thừa.
Phép toán nhân của một số lặp đi lặp lại n lần:
Từ đó,
Phép nhân phân số.
Để nhân phân số, ta nhân các tử số với nhau và các mẫu số với nhau.
formula_29
Để nhân một phân số với số nguyên, ta nhân tử số với số nguyên và giữ nguyên mẫu số.formula_30