Lãi

Lãi hay lãi vay hay tiền lãi là phí trả cho một khoản vay tài sản cho chủ sở hữu như một hình thức bồi thường cho việc sử dụng của tài sản. Phổ biến nhất là giá phải trả cho việc sử dụng tiền vay, hoặc tiền thu được của khoản tiền gửi.
Khi tiền được vay, lãi vay thường được trả cho người cho vay như một phần của số tiền gốc, còn nợ người cho vay. Tỷ lệ phần trăm của vốn gốc được trả phí trong một thời gian nhất định (thường là một tháng hoặc năm) được gọi là lãi suất. Một khoản tiền gửi ngân hàng được hưởng lãi vay do ngân hàng trả tiền cho việc được sử dụng khoản tiền gửi này. Tài sản mà đôi khi được cho mượn với lãi vay bao gồm tiền, cổ phần, hàng hóa tiêu dùng thông qua thuê mua, các tài sản lớn như tàu bay, và thậm chí toàn bộ nhà máy thông qua các sắp xếp thuê tài chính. Tiền lãi được tính trên giá trị của tài sản trong cùng một cách thức như trên tiền.
Lãi vay là bồi thường thiệt hại cho bên cho vay, đối với a) nguy cơ mất số tiền gốc, được gọi là rủi ro tín dụng và b) quên đi các sử dụng khác có thể đã được thực hiện với các tài sản cho mượn. Các khoản đầu tư bị bỏ qua được gọi là chi phí cơ hội. Thay vì người cho vay sử dụng tài sản trực tiếp, chúng được đem cho khách hàng mượn. Người vay sau đó được hưởng những lợi ích của việc sử dụng tài sản trước các nỗ lực cần thiết để trả tiền cho họ, trong khi người cho vay được hưởng những lợi ích của các khoản phí trả của người đi vay cho các đặc quyền. Trong kinh tế học, lãi vay được coi là giá cả của tín dụng.
Lãi vay thường là lãi kép, có nghĩa là lãi vay thu được trên cho vay trước đó được thêm vào số tiền gốc. Tổng số tiền nợ tăng lên theo cấp số nhân, đặc biệt là khi tính lãi kép tại các thời kỳ cực nhỏ, và nghiên cứu toán học về điều này đã dẫn đến việc phát hiện ra số e. Tuy nhiên, trong thực tế, lãi vay thường được tính toán trên cơ sở hàng ngày, hàng tháng, hoặc cơ sở hàng năm, và tác động của nó bị ảnh hưởng rất nhiều bởi tần suất tính lãi kép của nó.
Lịch sử lãi vay.
Theo sử gia Paul Johnson, cho vay "tiền thức ăn" đã phổ biến trong các nền văn minh Trung Đông từ 5000 năm TCN. Họ coi lãi vay là hợp pháp vì các hạt giống và động vật có thể "sinh sản"; trong khi những điều cấm tôn giáo của người Do Thái cổ đại chống lại cho vay nặng lãi lại có một "quan điểm khác".
Trong Đế quốc La Mã, lãi vay thường được tính toán trên cơ sở hàng tháng và thiết lập như là bội số của 12, rõ ràng tính xảo bởi các cá nhân giàu có đã làm hầu hết các cho vay tiền.
Các Hội đồng Đầu Nicea, vào năm 325, đã cấm giáo sĩ tham gia vào cho vay nặng lãi được định nghĩa là cho vay lãi suất trên một phần trăm một tháng (APR 12,7%). Sau các Hội đồng đại kết áp dụng quy định này đến giáo dân. Giáo hội Công giáo đối lập với lãi suất cứng trong thời đại của học giả, ngay cả khi bảo vệ nó được coi là một dị giáo. Thánh Thomas Aquinas, một nhà thần học hàng đầu của Giáo hội Công giáo, cho rằng tính lãi vay là sai bởi vì nó số tiền để "sạc đôi", sạc cho cả hai điều và việc sử dụng các điều.
Trong nền kinh tế thời trung cổ, các khoản vay được hoàn toàn một hệ quả của sự cần thiết (thu hoạch xấu, hỏa hoạn tại nơi làm việc), và dưới những điều kiện, nó được coi là reproachable về mặt đạo đức để tính lãi. Nó cũng được coi là đáng ngờ về mặt đạo đức, vì không có hàng hóa được sản xuất thông qua việc cho vay tiền, và do đó nó không được bồi thường, không giống như các hoạt động khác với sản lượng vật lý trực tiếp như rèn hoặc nuôi. Đối với lý do tương tự, lãi vay thường được nhìn xuống trong nền văn minh Hồi giáo, với hầu hết các học giả đồng ý rằng kinh Qur'an rõ ràng cấm tính lãi.
Các luật gia thời trung cổ phát triển một số công cụ tài chính để khuyến khích cho vay có trách nhiệm và phá vỡ cấm cho vay nặng lãi, chẳng hạn như Contractum trinius.
Trong thời đại Phục Hưng, tính di động cao hơn của người dân tạo điều kiện cho sự gia tăng thương mại và sự xuất hiện của điều kiện thích hợp cho các nhà doanh nghiệp để bắt đầu mới, các doanh nghiệp sinh lợi. Cho rằng tiền vay không còn đúng tiêu dùng nhưng sản xuất là tốt, tiền lãi đã không còn bị xem theo cách tương tự. Các Trường Salamanca xây dựng trên lý do khác nhau mà biện minh cho tính lãi: người nhận được khoản vay được hưởng lợi, và người ta có thể xem xét lãi vay như tiền bảo hiểm trả cho rủi ro được thực hiện bởi bên cho vay.
Ngoài ra còn có các câu hỏi của chi phí cơ hội, trong đó bên cho vay mất các khả năng khác của việc sử dụng tiền vay. Cuối cùng và có lẽ ban đầu nhất là việc xem xét tiền chính nó như là hàng hóa, và việc sử dụng tiền của một người như một cái gì đó mà người ta phải nhận được một lợi ích trong các hình thức lãi.
Martín de Azpilcueta cũng xem xét tác động của thời gian. Điều khác là như nhau, người ta sẽ muốn nhận được một tốt cho bây giờ chứ không phải trong tương lai. Này ưu tiên chỉ ra giá trị lớn hơn. Tiền lãi, theo lý thuyết này, là thanh toán cho thời gian cá nhân cho vay bị thiếu tiền.
Về kinh tế, lãi suất là chi phí vốn và tuân theo quy luật của cung và cầu của cung tiền. Nỗ lực đầu tiên để kiểm soát lãi suất thông qua thao tác của cung tiền đã được thực hiện bởi Ngân hàng Trung ương Pháp vào năm 1847.
Các nghiên cứu chính thức đầu tiên của lãi suất và tác động của xã hội đã được thực hiện bởi Adam Smith, Jeremy Bentham và Mirabeau trong sự ra đời của tư tưởng kinh tế cổ điển. Trong cuối thế kỷ XIX đầu kinh tế Thụy Điển Knut Wicksell vào năm 1898 "lãi và giá của mình" xây dựng một lý thuyết toàn diện của cuộc khủng hoảng kinh tế dựa trên một sự phân biệt giữa lãi suất tự nhiên và danh nghĩa. Trong những năm đầu thế kỷ XX, Irving Fisher làm một bước đột phá lớn trong phân tích kinh tế của lãi suất bằng cách phân biệt lãi suất danh nghĩa với lãi suất thực tế. Một số quan điểm về tính chất, tác động của lãi suất đã phát sinh kể từ đó.
Nửa sau của thế kỷ XX chứng kiến ​​sự nổi lên của hoạt động ngân hàng Hồi giáo và tài chính cho vay không lãi, một phong trào cố gắng để áp dụng luật tôn giáo phát triển trong thời kỳ trung cổ với nền kinh tế hiện đại. Một số quốc gia, trong đó có Iran, Sudan và Pakistan, đã tiến hành các bước để loại trừ hoàn toàn tiền lãi khỏi hệ thống tài chính của họ. Thay vì tính lãi, cổ phiếu không lãi suất cho vay rủi ro bằng cách đầu tư như một đối tác trong chương trình chia sẻ mất lợi nhuận, vì trả nợ được xác định trước như tiền lãi đều bị cấm, cũng như làm tiền trong tiền là không thể chấp nhận. Tất cả các giao dịch tài chính phải có tài sản đảm bảo và không tính bất kỳ khoản "lệ phí" nào cho các dịch vụ cho vay.
Các loại lãi vay.
Lãi đơn.
Lãi đơn được tính toán chỉ trên số tiền gốc, hoặc phần tiền gốc còn lại chưa thanh toán.
Số tiền lãi đơn được tính theo công thức sau:
ở đây "r" là lãi suất kỳ hạn (I/m), "B0" là số dư ban đầu và "m t" số kỳ hạn tính lãi.
Để tính toán lãi suất kỳ hạn "r", một phân chia lãi suất "i" bằng của số thời gian "m t".
Ví dụ, hãy tưởng tượng rằng một chủ thẻ tín dụng có số dư của 2500 đô-la và lãi suất đơn là 12,99% một năm. Lãi vay được thêm vào cuối mỗi 3 tháng sẽ là,
và họ sẽ phải trả 2.581,19 đô-la để trả hết số dư tại thời điểm này.
Nếu thay vào đó họ thanh toán lãi vay cho mỗi 3 tháng ở mức lãi suất kỳ hạn "r", số tiền lãi phải trả sẽ là,
Số dư của họ vào cuối 3 tháng vẫn sẽ là 2500 đô-la.
Trong trường hợp này, giá trị thời gian của tiền không phải là một yếu tố. Các khoản thanh toán ổn định có một chi phí bổ sung mà cần phải được xem xét khi so sánh các khoản vay. Ví dụ, cho một vốn gốc 100 đô-la:
Có hai biến chứng liên quan khi so sánh các mời chịu lãi đơn khác nhau.
Một tài khoản ngân hàng chỉ cung cấp lãi đơn, số tiền đó có thể được rút ra tự do là không giống, vì việc rút tiền và ngay lập tức gửi lại một lần nữa sẽ được lợi.
Thành phần lãi suất.
Trong kinh tế, lãi vay được coi là giá cả của tín dụng, do đó, nó cũng là đối tượng của biến dạng do lạm phát. Lãi vay danh nghĩa, trong đó đề cập đến giá trước điều chỉnh lạm phát, là một trong những thứ có thể nhìn thấy đối với người tiêu dùng ("nghĩa là", lãi vay được gắn thẻ trong hợp đồng vay tiền, sao kê thẻ tín dụng, vv.) Lãi vay danh nghĩa là sáng tác của lãi suất thực tế cộng với lạm phát, trong số các yếu tố khác. Một công thức đơn giản cho lãi vay danh nghĩa là:
formula_4
Ở đây "i" là lãi vay danh nghĩa, "r" là tiền lãi thực tế và "formula_5" là lạm phát.
Công thức này cố gắng để đo lường giá trị của lãi vay trong các đơn vị của sức mua ổn định. Tuy nhiên, nếu tuyên bố này là đúng, nó có thể phạm phải ít nhất hai quan niệm sai lầm. Đầu tiên, tất cả các lãi suất trong một khu vực chia sẻ cùng lạm phát (có nghĩa là, cùng một quốc gia) nên giống nhau. Thứ hai, những người cho vay biết lạm phát trong khoảng thời gian mà họ sẽ cho vay tiền.
Một lý do đằng sau sự khác biệt giữa lãi vay làm lợi cho một trái phiếu kho bạc và lãi vay làm lợi cho một cho vay thế chấp là rủi ro mà người cho vay có từ tiền cho vay đối với một tác nhân kinh tế. Trong trường hợp này, một chính phủ có nhiều khả năng để trả tiền hơn một công dân tư nhân. Do đó, lãi suất tính cho một công dân tư nhân là lớn hơn so với lãi suất tính cho chính phủ.
Để đưa vào tài khoản bất đối xứng thông tin nói trên, cả hai giá trị của lạm phát và giá cả thực tế của tiền được thay đổi để giá trị dự kiến của chúng kết quả trong phương trình sau:
formula_6
Ở đây, formula_7 là lãi vay danh nghĩa tại thời điểm vay tiền, formula_8 là lãi vay thực tế dự kiến sau thời gian vay tiền, formula_9 là lạm phát dự kiến sau thời gian vay tiền và formula_10 là giá trị đại diện cho rủi ro tham gia vào hoạt động.
Lãi vay hay hoàn vốn tích lũy.
Công thức tính toán cho lãi vay tích lũy là (FV/PV)-1. Nó bỏ qua quy ước 'mỗi năm' và giả định tính lãi kép tại mỗi ngày thanh toán. Nó thường được sử dụng để so sánh hai cơ hội dài hạn.
Các quy ước và sử dụng khác.
Các trường hợp ngoại lệ:
Các khoản vay lãi suất không đổi và quy tắc 78: Một số khoản vay tiêu dùng được cấu trúc như các khoản vay lãi suất không đổi, với dư nợ cho vay được xác định bằng cách phân bổ tổng số tiền lãi trên thời hạn của khoản vay bằng cách sử dụng "Quy tắc 78 hoặc phương pháp "Tổng các chữ số". Bảy mươi tám là tổng các số từ 1 đến 12. Thực hành này cho phép tính toán nhanh chóng lãi vay trong thời gian chưa có máy tính. Trong một khoản vay với lãi suất tính theo quy tắc 78, tổng số tiền lãi trong suốt thời hạn vay được tính như lãi đơn hoặc lãi kép và số tiền giống như một trong hai phương pháp. Trả tiền không thay đổi trong suốt thời hạn vay, tuy nhiên, các khoản trả được phân bổ để lãi vay tiến đến số lượng dần dần nhỏ hơn. Trong một khoản vay một năm, trong tháng đầu tiên, 12/78 tất cả các lãi vay nợ trong suốt thời gian vay là đến hạn, trong tháng thứ hai, 11/78, tiến đến tháng thứ mười hai khi chỉ còn 1/78 của tất cả lãi vay là đến hạn. Hiệu quả thực tế của Quy tắc 78 là làm cho các khoản trả những tháng đầu bị đắt hơn. Đối với khoản vay một năm, khoảng 3/4 của tất cả lãi vay đến hạn được thu thập chỉ sau sáu tháng, và trả hết của vốn gốc sau đó sẽ làm cho lãi vay thực tế cao hơn nhiều so với APY được sử dụng để tính toán các khoản trả.
Vào năm 1992, Hoa Kỳ đã cấm việc sử dụng lãi vay "Quy tắc 78" liên quan đến việc tái tài trợ thế chấp và các cho vay tiêu dùng khác có thời hạn hơn năm năm. Một số nước khác đã cấm áp dụng quy tắc 78 trong một số loại cho vay, đặc biệt là cho vay tiêu dùng.
" 'Quy tắc 72"': "Quy tắc 72" là một phương pháp "nhanh chóng và bẩn" để tìm cách tăng nhanh chóng tiền lên gấp đôi cho một mức lãi suất nhất định. Ví dụ, nếu bạn có một lãi suất 6%, sẽ mất 72/6 hoặc 12 năm để tiền của bạn sẽ tăng gấp đôi, được gộp lãi ở mức 6%. Đây là một xấp xỉ mà bắt đầu bị phá vỡ ở trên 10%.
Lãi suất thị trường.
Có các thị trường đầu tư (trong đó bao gồm thị trường tiền tệ, thị trường trái phiếu, cũng như các tổ chức tài chính như ngân hàng bán lẻ) thiết lập các lãi suất. Từng khoản nợ cụ thể tính đến các yếu tố sau trong việc xác định lãi suất của nó:
Chi phí cơ hội.
Chi phí cơ hội bao gồm bất cứ việc sử dụng nào khác mà tiền có thể được đặt vào, bao gồm cả cho vay đối với những người khác, đầu tư ở nơi khác, nắm giữ tiền mặt (ví dụ, cho an toàn), và chỉ đơn giản là chi tiêu tiền này.
Lạm phát.
Vì người cho vay đang trì hoãn tiêu dùng, họ sẽ "muốn", như một tối thiểu, phục hồi đủ để thanh toán các chi phí gia tăng của hàng hóa do lạm phát. Vì lạm phát trong tương lai là không rõ, có ba cách mà điều này có thể đạt được:
Tuy nhiên các lãi suất được thiết lập bởi thị trường, và vẫn xảy ra thường xuyên việc chúng không đủ để bù đắp cho lạm phát: ví dụ ở thời kỳ lạm phát cao trong ví dụ cuộc khủng hoảng dầu và hiện nay (2011) khi lợi suất thực tế trên nhiều mã trái phiếu chính phủ có liên kết lạm phát là âm.
Rủi ro tín dụng.
Luôn luôn có nguy cơ người vay sẽ trở thành phá sản, bỏ trốn hay vỡ nợ trên khoản vay. Các phí bảo hiểm rủi ro cố gắng để đo lường sự toàn vẹn của người vay, rủi ro của thành công doanh nghiệp của anh ta và an ninh của tài sản ký quỹ bất kỳ. Ví dụ, các khoản vay cho các nước đang phát triển có phí bảo hiểm rủi ro cao hơn so với cho chính phủ Mỹ do sự khác biệt trong mức độ tín nhiệm. Một đường dây tín dụng vận hành cho một doanh nghiệp có tỷ lệ phí cao hơn so với một cho vay thế chấp.
Các tín dụng của các doanh nghiệp được đo lường bởi các dịch vụ xếp hạng trái phiếu và điểm tín dụng cá nhân bởi các văn phòng tín dụng. Những rủi ro của khoản nợ cá nhân có thể có một độ lệch chuẩn xác suất lớn. Người cho vay có thể muốn bù đắp rủi ro tối đa của mình, nhưng những người cho vay với danh mục nợ có thể làm giảm phí bảo hiểm rủi ro để bù đắp chỉ là các kết quả có khả năng xảy ra nhiều nhất.
Lãi vay rủi ro tín dụng.
Lãi vay rủi ro tín dụng là lãi vay mà người vay sẽ phải trả nếu người vay không thực hiện đầy đủ các thỏa thuận cho vay. Lãi vay rủi ro tín dụng thường là cao hơn nhiều so với lãi vay ban đầu vì nó đã phản ánh tình tiết tăng nặng trong các rủi ro tài chính của khách hàng vay. Lãi vay rủi ro tín dụng đền bù cho vay đối với nguy cơ gia tăng.
Các ngân hàng có xu hướng thêm lãi vay rủi ro tín dụng vào các hợp đồng vay tiền để phân tách giữa các kịch bản khác nhau.
Tiêu thụ hoãn lại.
Tính lãi vay chỉ bằng lạm phát sẽ để lại cho người cho vay với sức mua tương tự, nhưng họ muốn tiêu thụ của mình càng sớm càng tốt. Sẽ có một phí bảo hiểm lợi ích của sự chậm trễ. Họ có thể không muốn tiêu dùng, nhưng thay vào đó sẽ đầu tư vào một sản phẩm khác. Hoàn vốn có thể họ có thể nhận ra trong đầu tư cạnh tranh sẽ quyết định lãi vay mà họ muốn tính là bao nhiêu.
Kỳ hạn của khoản vay.
Kỳ hạn ngắn hơn thường có ít nguy cơ vỡ nợ và tiếp xúc với lạm phát vì tương lai gần là dễ dàng hơn để dự đoán. Trong những trường hợp này, lãi vay ngắn hạn thấp hơn lãi vay dài hạn (một đường cong lãi suất đi lên dốc).
Sự can thiệp của Chính phủ.
Lãi vay thường được quyết định bởi thị trường, nhưng sự can thiệp của chính phủ - thường là do ngân hàng trung ương - có thể ảnh hưởng mạnh lãi vay ngắn hạn, và là một trong những công cụ chính của chính sách tiền tệ. Ngân hàng trung ương cung cấp cho vay (hoặc cho vay) một lượng lớn tiền với một tỉ lệ mà họ xác định (đôi khi đây là tiền mà họ đã tạo ra "ex nihilo", tức là được in) có một ảnh hưởng lớn đến cung cầu và do đó đến lãi suất thị trường.
Hoạt động thị trường mở ở Mỹ.
Cục Dự trữ Liên bang (FED) thực hiện chính sách tiền tệ chủ yếu bằng cách hướng các lãi suất quỹ liên bang. Đây là mức mà các ngân hàng tính nhau cho vay qua đêm của quỹ liên bang. Quỹ liên bang là dự trữ của các ngân hàng tại Fed.
Nghiệp vụ thị trường mở cửa là một công cụ trong chính sách tiền tệ được thực hiện bởi Cục Dự trữ Liên bang để chỉ đạo lãi suất ngắn hạn. Sử dụng sức mạnh để mua và bán kho bạc chứng khoán, thị trường bàn mở tại Dự trữ Liên bang Ngân hàng New York có thể cung cấp trên thị trường với đô la bằng cách mua Mỹ Tín phiếu kho bạc, do đó tăng cung tiền của quốc gia. Bằng cách tăng cung tiền hoặc tổng hợp cung cấp của quỹ (ASF), lãi suất sẽ giảm do dư thừa đô la ngân hàng sẽ kết thúc với dự trữ của họ. Dự trữ dư thừa có thể được cho vay trong quỹ FED thị trường cho các ngân hàng khác, do đó lái xe xuống giá.
Lãi suất và rủi ro tín dụng.
Người ta ngày càng nhận ra rằng chu kỳ kinh doanh, lãi suất và rủi ro tín dụng là chặt chẽ liên quan đến nhau. Mô hình Jarrow-Turnbull là mô hình đầu tiên của rủi ro tín dụng một cách rõ ràng có lãi suất ngẫu nhiên cốt lõi của nó. Lando (2004), Darrell Duffie và Singleton (2003), và van Deventer và Imai (2003) thảo luận về lãi suất khi người phát hành công cụ lãi có thể vỡ nợ.
Tiền và lạm phát.
Các khoản vay và trái phiếu này có một số đặc điểm của tiền và có trong cung tiền.
Các chính phủ quốc gia (cung cấp, tất nhiên, rằng nước này đã giữ lại tiền tệ riêng của mình) có thể ảnh hưởng đến lãi suất và do đó việc cung cấp và nhu cầu vay vốn như vậy, làm thay đổi tổng số các khoản vay và trái phiếu phát hành. Nói chung, một tỷ lệ lãi suất thực tế cao hơn làm giảm cung tiền rộng.
Thông qua lý thuyết số lượng tiền, sự gia tăng trong cung tiền dẫn đến lạm phát. Điều này có nghĩa rằng lãi vay có thể ảnh hưởng đến lạm phát trong tương lai.
Lãi vay trong toán học.
Người ta cho rằng Jacob Bernoulli phát hiện ra hằng số toán học e bằng cách nghiên cứu một câu hỏi về lãi vay tổng quát. Ông nhận ra rằng nếu một tài khoản bắt đầu với 1,00 đô-la và trả tiền lãi 100% mỗi năm, vào cuối năm, giá trị là 2,00 đô-la, nhưng nếu lãi vay được tính toán và thêm hai lần trong năm, 1 đô-la được nhân với 1,5 hai lần, lợi suất 1,00 đô-la × 1.5² = 2,25 đô-la. Lợi suất lãi kép quý 1,00 đô-la × 1,25 4 = 2,4414 đô-la..., và cứ như vậy.
Bernoulli nhận thấy rằng nếu tần số của lãi kép được tăng lên mà không có giới hạn, trình tự này có thể được mô hình hóa như sau:
ở đây "n" là số lần lãi vay được tính lãi kép trong một năm.
Công thức.
Số dư của một khoản vay với các khoản thanh toán hàng tháng được tăng cường bởi các tính phí lãi vay hàng tháng và được giảm thanh toán để
ở đây
Bằng sự thay thế lặp đi lặp lại một biểu thức có được cho Bk, đó là tỷ lệ tuyến tính đối với B0 và p và sử dụng công thức này cho tổng số một phần của một chuối hình học kết quả trong
A solution of this expression for p in terms of B0 and Bn reduces to
Để việc trả lãi, nếu khoản vay sẽ được hoàn thành trong n trả lãi xác lập Bn = 0.
Hàm PMT được tìm thấy trong các chương trình bảng tính có thể được sử dụng để tính toán lãi vay hàng tháng của một khoản vay:
Một trả lãi chỉ bao gồm lãi vay trên số dư hiện có sẽ là
Lãi vay tổng cộng, IT, được trả cho khoản vay này là
Các công thức cho một chương trình tiết kiệm thông thường là tương tự nhưng các khoản trả được thêm vào số dư thay vì bị trừ đi và công thức cho thanh toán bị âm của một ở trên. Các công thức này chỉ là xấp xỉ vì số dư nợ thực tế bị ảnh hưởng bằng cách làm tròn. Để tránh trả thiếu vào cuối khoản vay, thanh toán này phải được làm tròn đến hàng phàn trăm tiếp theo. Thanh toán cuối cùng sau đó sẽ là (1+r)Bn-1.
Xem xét một khoản vay tương tự nhưng với một kỳ hạn mới bằng các kỳ hạn k của vấn đề trên. Nếu rk và pk là lãi suất và trả lãi mới, nay chúng ta có
Comparing this with the expression for Bk above we note that
and
The last equation allows us to define a constant that is the same for both problems,
and Bk can be written as
Solving for rk we find a formula for rk involving known quantities and Bk, the balance after k periods,
Since B0 could be any balance in the loan, the formula works for any two balances separate by k periods and can be used to compute a value for the annual interest rate.
B* is a scale invariant since it does not change with changes in the length of the period.
Rearranging the equation for B* one gets a transformation coefficient (scale factor),
and we see that r and p transform in the same manner,
Sự thay đổi trong số dư biến đổi tương tự như vậy
cung cấp cho một cái nhìn sâu sắc về ý nghĩa của một số các hệ số được tìm thấy trong các công thức trên. Lãi suất hàng năm, r12, giả định chỉ có một trả lãi mỗi năm và không phải là một lãi suất "hiệu quả" cho các trả lãi hàng tháng. Với các trả lãi hàng tháng lãi vay hàng tháng được chi trả mỗi lần trả lãi và do đó không nên bị tính lãi kép và lãi suất hàng năm là 12·r sẽ có ý nghĩa hơn. Nếu một chỉ thực hiện các trả lãi chỉ gồm lãi vay số tiền nộp trong năm sẽ là 12·r·B 0.
Thay thế pk = rk B* vào phương trình cho Bk chúng ta có được,
Since Bn = 0 we can solve for B*,
Substituting back into the formula for the Bk shows that they are a linear function of the rk and therefore the λk,
Đây là cách dễ nhất để ước tính số dư nếu λk được biết. Bằng cách trừ vào công thức thứ nhất đối với Bk bên trên và giải cho λk+1 chúng ta được,
λ0 và λn có thể tìm thấy bằng công thức cho λk bên trên hoặc bằng tính toán λk ngược từ λ0 = 0 tới λn.
Vì p=rB* công thức cho trả lãi này rút lại thành,
và lãi suất trung bình suốt kỳ hạn của khoản vay là
nhỏ hơn r nếu n&gt;1.