Không gian Sobolev

Trong toán học, không gian Sobolev là một không gian vectơ của các hàm số trang bị với một chuẩn là tổng của chuẩn "Lp" của hàm số đó cùng với các đạo hàm cho tới một bậc nào đó. Các đạo hàm được hiểu theo một nghĩa yếu thích hợp để làm không gian trở thành đầy đủ, và do vậy là một không gian Banach. Nó được đặt theo tên của Sergei L. Sobolev. Sự quan trong của các không gian Sobolev nằm ở sự kiện là nghiệm của các phương trình vi phân thường nằm trong các không gian Sobolev hơn là các không gian thông thường của các hàm số liên tục với các đạo hàm được hiểu theo nghĩa thông thường.
Giới thiệu.
Có nhiều tiêu chuẩn để định nghĩa độ trơn của hàm số. Tiểu chuẩn cơ bản nhất có lẽ là tính liên tục. Một khái niệm mạnh hơn của độ trơn là tính khả vi (bởi vì hàm số khả vi thì cũng liên tục) và một khái niệm còn mạnh hơn độ trơn là sự liên tục của đạo hàm của hàm số (những hàm số này được gọi là formula_1 — xem hàm trơn). Hàm số khả vi đóng vai trò quan trọng trong nhiều lãnh vực, và đặc biệt trong các phương trình vi phân. Vào thế kỷ XX, người ta thấy rằng không gian formula_1 (hay formula_3, v.v.) không phải là không gian đúng để nghiên cứu phương trình vi phân.
Các không gian Sobolev là sự thay thế của toán học hiện đại cho các không gian cổ điển đó khi đi tìm nghiệm của các phương trình vi phân.
Không gian Sobolev trên hình tròn đơn vị.
Trong trường hợp này không gian Sobolev formula_4 được định nghĩa là một tập con của "L"p sao cho "f" và các đạo hàm yếu của nó tới bậc "k" nào đó có chuẩn "L"p hữu hạn, với "p" ≥ 1 cho trước. Phải cẩn thận để định nghĩa đạo hàm một cách chặt chẽ. Trong bài toán 1 chiều đủ để giả sử rằng formula_5 là khả vi hầu như mọi nơi và bằng nhau hầu như khắp nơi với tích phân Lebesgue của đạo hàm của nó (điều này sẽ giúp loại bỏ các ví dụ như hàm số Cantor mà nó không liên quan gì đến định nghĩa mà chúng ta đang cố tiến tới).
Với định nghĩa này, không gian Sobolev có dạng một không gian vectơ định chuẩn tự nhiên sau đây,
formula_4 trang bị với chuẩn formula_8 là một không gian Banach. Chỉ cần lấy phần đầu và phần cuối của tổng này, nghĩa là chuẩn được định nghĩa bằng
cũng tương đương với chuẩn định trên.
Trường hợp "p" = 2.
Các không gian Sobolev với "p" = 2 là đặc biệt quan trọng bởi sự liên quan của chúng với chuỗi Fourier và bởi vì chúng tạo thành một không gian Hilbert. Một ký hiệu đặc biệt được dùng cho trường hợp này:
Không gian formula_11 có thể được định nghĩa một cách tự nhiên theo chuỗi Fourier, với cách sau,
với formula_13 là hệ số trong khai triển thành chuỗi Fourier của formula_14. Tương tự như trên, chúng ta có thể sử dụng chuẩn tương đương
Cả hai cách thể hiện này suy theo định lý Parseval và đạo hàm tương đương với phép nhân hệ số Fourier với "in".
Thêm vào đó, không gian "H""k" có một tích vô hướng, giống như là "H"0 = "L"2. Thật ra, tích vô hướng trong "H""k" được định nghĩa theo tích vô hướng "L"2 sau đây:
Không gian "H""k" trở thành một không gian Hilbert với tích vô hướng đó.
Các ví dụ khác.
Some other Sobolev spaces permit a simpler description. For example, formula_17 is the space of absolutely continuous functions on formula_18, while "W"1,∞("I") is the space of Lipschitz functions on formula_19, for every interval formula_19.
All spaces "W"k,∞ are (normed) algebras, i.e. the product of two elements is once again a function of this Sobolev space, which is not the case for "p" &lt; ∞. (E.g., functions behaving like |"x"|−1/3 at the origin are in "L"2, but the product of two such functions is not in "L"2).
Không gian Sobolev với "k" không phải là số tự nhiên "k".
Để tránh nhầm lẫn, khi nói về "k" không phải là số tự nhiên người ta thường ký hiệu bằng "s", i.e. formula_21 hay là formula_22
Trường hợp "p" = 2.
Trường hợp "p" = 2 là trường hợp đơn giản nhất, chúng ta định nghĩa chuẩn sau
và không gian Sobolev formula_24 là không gian chứa các hàm số mà chuẩn này hữu hạn.
Đạo hàm bậc phân số.
Một cách tương tự có thể được sử dụng nếu "p" khác 2. Trong trường hợp này định lý Parseval không còn đúng nữa, nhưng phép lấy đạo hàm vẫn tương ứng với phép nhân trong miền Fourier và có thể tổng quát hóa lên các bậc không phải là số tự nhiên. Do đó ta định nghĩa một toán tử của "đạo hàm bậc phân số" bậc "s" bởi
hay nói một cách khác, lấy biến đổi Fourier, nhân với formula_26 rồi lấy biến đổi Fourier nghịch (các toán tử được định nghĩa theo Fourier-nhân-nghịch Fourier được gọi là các toán tử nhân và là đề tài nghiên cứu riêng). Điều này cho phép chúng ta định nghĩa chuẩn Sobolev formula_27 bởi
và, như lệ thường, không gian Sobolev là không gian các hàm số mà chuẩn này là hữu hạn.
Nội suy phức.
Một cách khác để đạt được các "không gian Sobolev bậc phân số" được đưa ra bởi nội suy phức(complex interpolation). Nội suy phức là một kỹ thuật tổng quát: với 0 ≤ t ≤ 1 và "X" và "Y" là hai không gian Banach được nhúng liên tục vào một không gian Banach lớn hơn nào đó chúng ta có thể tạo "không gian trung gian" ký hiệu là ["X","Y"]"t". 
Không gian "X" và "Y" như vậy được gọi là một cặp nội suy.
Chúng ta có một số định lý hữu dụng về nội suy phức:
"Định lý (reinterpolation): "[ ["X,Y"]"a", ["X,Y"]"b" ]"c" = ["X,Y"]"cb"+(1-"c")"a".
"Theorem (interpolation of operators): if "{"X,Y"}" and "{"A,B"}" are interpolation pairs, and if T là một linear map defined on X"+"Y into A"+"B so that T is continuous from X to A and from Y to B then T is continuous from "["X,Y"]"t to "["A,B"]"t. and we have the interpolation inequality:"
formula_29
Returning to Sobolev spaces, we want to get formula_21 for non-integer "s" by interpolating between formula_4-s. The first thing is of course to see that this gives consistent results, and indeed we have
"Theorem: formula_32 if n is an integer such that n=tm."
Hence, complex interpolation is a consistent way to get a continuum of spaces formula_21 between the formula_4. Further, it gives the same spaces as fractional order differentiation does (but see extension operators below for a twist).
Không gian nhiều chiều.
Bây giờ chúng ta xét đến các không gian Sobolev trong R"n" và các tập con của R"n". Việc thay đổi từ hình tròn sang đường thẳng chỉ làm thay đổi chuỗi Fourier thành biến đổi Fourier và tổng thành tích phân. Việc tổng quát lên không gian nhiều chiều cần thêm định nghĩa về đạo hàm theo lý thuyết phân bố.
Giả sử "D" là một tập mở trong không gian Rn. Chúng ta định nghĩa không gian Sobolev
như là tập của các hàm số "f" định nghĩa trên "D" sao cho mọi đa chỉ số (multi-index) formula_36 với
chúng ta có formula_38 là một hàm số và
Chuẩn là tổng của các chuẩn "Lp" trên các đa chỉ số α như vậy. Nó là đầy đủ, và do đó là một không gian Banach.
Thức ra thì cách tiếp cận này cũng đúng với trường hợp không gian 1 chiều, và không khác lắm với các định nghĩa trên.
Các ví dụ.
In multiple dimensions, it is no longer true that, for example, formula_40 contains only continuous functions. For example, 1/|"x"| belong to formula_41 where formula_42 is the unit ball in three dimensions. It is true that for "k" sufficiently large, formula_43 will contain only continuous functions, but for which "k" this is already true depends both on "p" and on the dimension.
However, the descriptions of "W"1,∞ and formula_44 above hold, mutatis mutandis.
Định lý nhúng Sobolev.
The Sobolev space formula_45 is a subset of formula_46 by definition. A natural question to ask is: are there other "Lp" spaces which contain formula_45? The following answer admits a simple representation (cf.):
"Theorem: Let formula_48 and formula_49. Then the following statements hold:"
Traces.
Let "s" &gt; ½. If "X" is an open set such that its boundary "G" is "sufficiently smooth", then we may define the "trace" (that is, "restriction") map "P" by
i.e. "u" restricted to "G". A sample smoothness condition is uniformly formula_57, "m" ≥ "s". (NB There is no connection here to trace of a matrix.)
This trace map "P" as defined has domain formula_58, and its image is precisely formula_59. To be completely formal, "P" is first defined for infinitely differentiable functions and is extended by continuity to formula_58. Note that we 'lose half a derivative' in taking this trace.
Identifying the image of the trace map for formula_21 is considerably more difficult and demands the tool of real interpolation, which we shall not go into. The resulting spaces are the Besov spaces. It turns out that in the case of the formula_21 spaces, we don't lose half a derivative; rather, we lose 1/"p" of a derivative.
Các toán tử mở rộng.
If "X" is an open domain whose boundary is not too poorly behaved (e.g., if its boundary is a manifold, or satisfies the more permissive but more obscure "cone condition") then there is an operator "A" mapping functions of "X" to functions of R"n" such that:
We will call such an operator "A" an extension operator for "X".
Extension operators are the most natural way to define formula_58 for non-integer "s" (we cannot work directly on "X" since taking Fourier transform is a global operation). We define formula_58 by saying that "u" is in formula_58 if and only if "Au" is in formula_68. Equivalently, complex interpolation yields the same formula_58 spaces so long as "X" has an extension operator. If "X" does not have an extension operator, complex interpolation is the only way to obtain the formula_58 spaces.
As a result, the interpolation inequality still holds.
Mở rộng bởi zero.
We define formula_71 to be the closure in formula_58 of the space formula_73 of infinitely differentiable compactly supported functions. Given the definition of a trace, above, we may state the following
"Theorem: Let X be uniformly Cm regular, m ≥ s and let P be the linear map sending u in formula_58 to "
"where d/dn is the derivative normal to G, and k is the largest integer less than s. Then formula_76 is precisely the kernel of P."
If formula_77 we may define its extension by zero formula_78 in the natural way, namely
"Theorem: Let s&gt;½. The map taking u to formula_80 is continuous into formula_81 if and only if s is not of the form n+½ for n an integer."