Phương trình đường thẳng

Một số khái niệm.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Vectơ formula_1 và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với formula_2, vectơ formula_3 cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Vectơ formula_4 và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với formula_2, vectơ formula_6 cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó
Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có vectơ chỉ phương formula_7 thì có vectơ pháp tuyến là formula_8 hay formula_9. Ngược lại, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến formula_10 thì có vectơ chỉ phương là formula_11 hay formula_12 
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng d có vectơ formula_13 và vectơ formula_14 là 2 vectơ pháp tuyến thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa formula_15 với formula_16 hoặc giữa formula_16 với formula_15.
Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng.
Dạng tham số.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm formula_19 và nhận formula_20 làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d làformula_21 với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị formula_22 ta được một điểm thuộc đường thẳng.
Dạng chính tắc.
Nếu formula_23 và formula_24, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc formula_25 
Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc 
Dạng tổng quát.
Phương trình ax+by+c=0 với formula_26 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó formula_10 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Các trường hợp đặc biệt.
Đường thẳng by+c=0 (a=0) vuông góc với trục Oy tại điểm formula_28
Đường thẳng ax+c=0 (b=0) vuông góc với trục Ox tại điểm formula_29
Đường thẳng ax+by=0 (c=0) đi qua gốc tọa độ O(0;0)
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn.
Đường thẳng đi qua 2 điểm formula_30(formula_31) và formula_32(formula_33) thì có thể được viết dưới dạng phương trình formula_34 
Hệ số góc của đường thẳng.
Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc formula_35. Đặt formula_36, khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d.
Đường thẳng có vecto chỉ phương formula_20 thì có hệ số góc formula_38
Đường thẳng có vectơ pháp tuyến formula_10 thì có hệ số góc formula_40
Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.
Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là -1.
Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng.
Cho 2 đường thẳng: (D) Ax+By+C=0 và (d) ax+by+c=0
(D) cắt (d) formula_41 formula_42 khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình formula_43
(D) // (d)formula_41 formula_45 
(D)formula_46 (d)formula_41A:B:C = a:b:c
Góc giữa 2 đường thẳng.
Cho đường thẳng (D) và (d) cắt nhau tại điểm M. Gọi formula_48 là vectơ pháp tuyến của (D) và formula_49 là vectơ pháp tuyến của (d). Gọi formula_35 là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó formula_51 
2 đường thẳng vuông góc thì formula_52
2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì formula_53
Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương 
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.
Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và formula_54, khoảng cách từ điểm M đến (d) được tính theo công thức formula_55
Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng.
Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và 2 điểm formula_56, formula_57 không nằm trên (d). Xét các biểu thức formula_58 và formula_59, khi đó M và N nằm cùng phía với d khi m và n cùng dấu, khác phía khi m và n trái dấu
Phương trình đường thẳng trong không gian.
Dạng tham số.
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm formula_60 và nhận formula_61 làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là formula_62 với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị formula_22 ta được một điểm thuộc đường thẳng. 
Dạng chính tắc.
Nếu cả formula_64, formula_65, formula_66 đều khác 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc formula_67
Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng.
Cho đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương formula_61 và (d') có vectơ chỉ phương formula_69 . Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x',y',z') là một điểm nằm trên (d'). Ta có:
(d)formula_46(d') formula_41formula_72
(d)//(d')formula_41formula_74 và formula_75
(d) cắt (d')formula_41formula_77
(d) và (d') chéo nhau formula_41formula_79
Khoảng cách.
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.
Cho đường thẳng (d) đi qua điểm formula_80 và có vectơ chỉ phương formula_81. Khoảng cách từ điểm M đến (d) là formula_82 
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d'). Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương formula_61 và đường thẳng (d') có vectơ chỉ phương formula_69. Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x',y',z') là một điểm nằm trên (d'). Khi đó khoảng cách giữa (d) và (d') là formula_85
Xem thêm.
Đường thẳng
Liên kết ngoài.
__KHÔNG_MỤC_LỤC__