Định lý bất biến của miền xác định

 Định lý bất biến miền (Invariance of domain) còn có tên gọi là Định lý Brouwer về tính bất biến của miền (domain), được chứng minh bởi nhà toán học Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966) vào năm 1912. Định lý này được phát biểu cho không gian formula_1 với tôpô Euclid (hiện nay đã có phát biểu cho các không gian khác). Từ "miền" (domain) (với nghĩa hiện nay không phổ biến) chỉ tập mở.
Chứng minh.
Chứng minh dưới đây là chứng minh phổ biến của hiện nay, tuy vậy đây không phải mà chứng minh của Brouwer. Mọi chứng minh cho đến hiện tại của định lý này ít nhiều đều phải nhờ đến các kết quả của tôpô đại số.
Cho "formula_2 là tập mở. "Với mỗi formula_8, có một quả cầu đóng formula_9 tâm formula_10 sao cho formula_11, có biên là formula_12 và phần trong là formula_13. Ta sẽ chứng minh rằng formula_14 mở trong formula_15, suy ra formula_16 mở trong formula_15.
Tuy vậy, do có một sự “gần giống nhau” giữa formula_15 và formula_19, cùng với việc nhiều kết quả đã đạt được đối với mặt cầu formula_19, nên người ta thay việc chứng minh đối với formula_21 thành việc chứng minh đối với formula_22. Các mệnh đề về compắc hóa dưới đây cho thấy sự “gần giống nhau” đó. Chứng minh các mệnh đề này có thể xem trong [1].
Mệnh đề. "Compắc hóa Alexandroff của một không gian Hausdorff compắc địa phương thì Hausdorff."
Do đó các compắc hóa Alexandroff của formula_15 và formula_24 đều Hausdorff.
Mệnh đề. "Nếu formula_25 đồng phôi với formula_26 thì compắc hóa một-điểm Hausdorff (Hausdorff one-point compactification) của formula_25 đồng phôi với compắc hóa một-điểm Hausdorff của formula_26."
 Do đó vì formula_29, nên với formula_30 và formula_19 lần lượt là các compắc hóa một-điểm Hausdorff của formula_32 và formula_33, ta có formula_34.
 Với formula_35 là ánh xạ chứa trong. Ta lưu ý rằng cách xây dựng compắc hóa Alexandroff formula_36 của formula_25 cho thấy mọi tập mở trong formula_25 vẫn mở trong formula_36, tức formula_40 là ánh xạ mở. Nên với formula_41, formula_16 mở trong formula_15 formula_44 formula_45 mở trong formula_30 formula_47 formula_48 mở trong formula_19.
 Ta thấy formula_50 là một đơn ánh, nên nếu với mọi formula_51 là đơn ánh liên tục, ta chứng minh được formula_52 mở trong formula_19 thì định lý bất biến miền được chứng minh.
Định lý. "Cho formula_2 là một tập mở trong formula_15 và formula_51 là đơn ánh liên tục. Khi đó formula_52 cũng mở trong formula_58."
Chứng minh. Với mỗi formula_8, có một quả cầu đóng formula_9 tâm formula_10 sao cho formula_11, có biên là formula_12 và phần trong là formula_13. Ta sẽ chứng minh formula_65 mở trong formula_19. Chứng minh này cần kết quả quan trọng sau (chứng minh mệnh đề sau đây khá dài, ta có thể xem trong [2]).
Mệnh đề. Cho formula_67 là một ánh xạ liên tục sao cho formula_68. Khi đó formula_69. (Tổng quát của mệnh đề này là, cho formula_67 là một ánh xạ liên tục sao cho formula_68, khi đó formula_72, formula_73, với formula_74 là nhóm đồng điều rút gọn (reduced simplicial homology group) thứ formula_40 của formula_25. Định lý này có tên là định lý phân chia Jordan - Brouwer, xem trong [2] hoặc [3]).
Áp dụng cho formula_77. Do formula_51 là đơn ánh liên tục, formula_9 compắc và formula_19 Hausdorff nên formula_77 là một đồng phôi từ formula_9 sang formula_83, ta có formula_84. Suy ra theo mệnh đề trên, ta có formula_85. Ta có formula_86 là liên thông đường, bên cạnh đó formula_65 cũng liên thông đường do formula_13 liên thông đường. Vậy nên formula_89 chia formula_19 thành 2 thành phần liên thông đường rời nhau formula_86 và formula_65. Do formula_12 là compắc nên formula_89 cũng compắc, suy ra formula_89 đóng trong formula_19 (do formula_19 Hausdorff). Suy ra
formula_98
mở trong formula_19. Do đó hai thành phần liên thông đường formula_86 và formula_65 cũng là hai thành phần liên thông của formula_102. Vậy nên chúng đều mở trong formula_102, nói riêng formula_65 mở trong formula_102, do đó formula_65 mở trong S^{n}. Ta có đpcm.
Hệ quả.
"formula_107 và formula_32 đồng phôi thì formula_109 phải bằng formula_110."
Chứng minh. Giả sử có đồng phôi formula_111 và formula_112. Khi đó với mọi tập mở formula_113 ta có formula_16 mở trong formula_15. Do formula_112, xét ánh xạ chứa trong formula_117, ta thấy các phần tử của formula_118 sẽ được viết dưới dạng formula_119. Mặt khác do formula_40 là một đơn ánh liên tục nên formula_121, theo định lý bất biến miền, phải mở trong formula_122, điều này là không thể bởi formula_123 không có lân cận mở nào trong formula_122 chứa trong formula_121. Vậy formula_126.
Làm ngược lại với formula_127, ta có formula_128. Vậy formula_109 và formula_110 phải bằng nhau.
Định lý này có thể chứng minh ngắn gọn bằng cách dùng kết quả về các nhóm đồng điều formula_131.
Ý nghĩa trực quan. Định lý này cho thấy nếu xem phép đồng phôi, một cách trực quan, là phép co bóp kéo giãn mà không cắt hay dán, thì ta không thể kéo hay co bóp một "đường thẳng" formula_132, mặt phẳng formula_133 hay cả không gian formula_134 thành hai thứ còn lại.