Biến đổi tuyến tính

Trong toán học, một phép biến đổi tuyến tính (còn được gọi là toán tử tuyến tính hoặc là ánh xạ tuyến tính) là một ánh xạ formula_1 giữa hai mô đun (cụ thể, hai không gian vectơ) mà bảo toàn được các thao tác cộng và nhân vô hướng vectơ. Nói một cách khác, nó bảo toàn tổ hợp tuyến tính. Nếu ánh xạ tuyến tính là một song ánh thì nó được gọi là đẳng cấu tuyến tính.
Một trường hợp quan trọng là khi formula_2, khi đó ánh xạ tuyến tính được gọi là một tự đồng cấu (tuyến tính) trong formula_3. Đôi khi thuật ngữ toán tử tuyến tính chỉ ánh xạ trong trường hợp này, nhưng nó có thể mang ý nghĩa khác tùy theo các quy ước: ví dụ, thuật ngữ này có thể được dùng để nhấn mạnh rằng formula_3 và formula_5 là các không gian vectơ thực (không nhất thiết là formula_2), hay để nhấn mạnh rằng formula_3 là một không gian hàm (đây là một quy ước thông thường trong giải tích hàm). Đôi khi thuật ngữ "hàm tuyến tính" cũng mang nghĩa là "ánh xạ tuyến tính", nhưng không phải trong hình học giải tích.
Một biến đổi tuyến tính từ "V" vào "W" luôn ánh xạ gốc tọa độ của "V" tới gốc tọa độ của "W". Hơn nữa, nó luôn là ánh xạ từ một không gian con (tuyến tính) vào một không gian con (có thể với số chiều khác nhau); ví dụ, ánh xạ từ một mặt phẳng qua gốc tọa độ trong "V" vào một mặt phẳng qua gốc tọa độ trong "W", hoặc tới một đường thẳng đi qua gốc tọa độ trong "W," hoặc chỉ tới điểm gốc tọa độ của "W". Ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bởi các ma trận, các ví dụ đơn giản là các ma trận của các phép biến đổi tuyến tính quay và phản xạ.
Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, một phép biến đổi tuyến tính là một đồng cấu giữa các mô đun. Trong ngôn ngữ của lý thuyết phạm trù, nó là một cấu xạ trong phạm trù các mô đun trên một vành đã cho.
Định nghĩa và các hệ quả đầu tiên.
Một cách chính thức, nếu "formula_3" và "formula_5" là các không gian vectơ trên cùng một trường "formula_10", chúng ta nói rằng ánh xạ formula_11 là một (phép) biến đổi tuyến tính nếu cho bất kỳ hai vectơ formula_12 và bất kỳ vô hướng formula_13, chúng ta có
Điều này có ý nghĩa tương đương với khẳng định formula_14 "bảo toàn tổ hợp tuyến tính", có nghĩa là không quan trọng là ánh xạ được áp dụng trước (vế phải ở các đẳng thức trên) hay sau (vế trái) khi thực hiện các phép toán cộng và nhân vô hướng.
Cho bất kỳ các vectơ formula_15 và các vô hướng formula_16 bởi tính kết hợp của phép cộng chúng ta có
Ký hiệu các phần tử không của các không gian vectơ formula_3 và formula_5 tương ứng là formula_20 và formula_21, ta suy ra formula_22
Cho formula_23 và formula_24 trong phương trình của tính thuần nhất bậc 1:
Thông thường, formula_3 và formula_5 có thể xem như là các không gian vectơ trên các trường khác nhau, và khi đó điều quan trọng là xác định trường nào được dùng cho định nghĩa "tuyến tính". Nếu formula_3 và formula_5 là các không gian trên trường formula_10 như xác định ở trên, chúng ta nói về formula_10-ánh xạ tuyến tính. Ví dụ, phép lấy liên hợp của một số phức là một formula_32-ánh xạ tuyến tính formula_33, nhưng nó không phải là formula_34-tuyến tính, trong đó các trường formula_32 và formula_34 tương ứng là các trường số thực và số phức.
Một ánh xạ tuyến tính formula_37 với trường formula_10 được xem như là một không gian vectơ 1 chiều trên chính nó được gọi là một phiếm hàm tuyến tính.
Các mệnh đề trên đây có thể được tổng quát hóa đối với một mô đun trái bất kỳ formula_39 trên một vành formula_40 mà không cần sửa lại, và đối với một mô đun phải bất kỳ nhưng phải đổi thứ tự của phép nhân vô hướng.
Ma trận.
Nếu "formula_3" và "formula_5" là các không gian vectơ hữu hạn chiều và một cơ sở được xác định cho mỗi không gian vectơ, thì mọi ánh xạ tuyến tính từ "formula_3" vào "formula_5" có thể được biểu diễn bởi một ma trận. Điều này hữu ích vì nó cho phép tính toán các ánh xạ một cách cụ thể. Các ma trận chính là các ví dụ của ánh xạ tuyến tính: Nếu "formula_48" là ma trận thực formula_49, thì formula_78 mô tả một ánh xạ tuyến tính formula_79 (xem không gian Euclid).
Cho "formula_80" là một cơ sở của . Vậy thì mỗi vectơ "formula_81" được xác định duy nhất bởi các hệ số (tọa độ) "formula_82"trong trường formula_51:
Nếu formula_55 là một ánh xạ tuyến tính thì ta có
từ điều này suy ra rằng hàm "formula_57" hoàn toàn được xác định bởi các vectơ "formula_88". Ta có "formula_89" là một cơ sở của "formula_5". Vậy thì ta có thể biểu diễn từng vectơ "formula_91" dưới dạng
Vì vậy, biến đổi "formula_57" hoàn toàn được xác định bởi các giá trị "formula_94". Nếu ta đặt các giá trị này vào một ma trận "formula_95" với kích thước formula_49, thì ta có thể sử dụng để tính toán một cách thuận tiện vectơ đầu ra của "formula_57" cho một vectơ bất kỳ trong "formula_3". Để xây dựng "formula_95", mỗi cột "formula_100" của "formula_95" là một vectơ
tương ứng với "formula_91" được định nghĩa như trên. Để định nghĩa một cách rõ ràng hơn, đối với một cột "formula_100" tương ứng với ánh xạ "formula_91"thì
trong đó formula_95 là ma trận của biến đổi "formula_57". Nói cách khác, ở mỗi cột "formula_109" có một vectơ tương ứng "formula_91"với tọa độ formula_111 là các phần tử của cột "formula_100". Một ánh xạ tuyến tính có thể được biểu diễn bởi nhiều ma trận. Điều này là bởi các giá trị của các phần tử trong một ma trận phụ thuộc vào cơ sở được chọn.
Ví dụ của ma trận biến đổi tuyến tính.
Trong không gian hai chiều R2 các ánh xạ tuyến tính được biểu diễn bởi các ma trận thực 2 × 2. Dưới đây là một số ví dụ:
Không gian các ánh xạ tuyến tính.
Ánh xạ hợp của các ánh xạ tuyến tính cũng là ánh xạ tuyến tính: nếu các ánh xạ và là tuyến tính, thì ánh xạ hợp formula_122 cũng vậy. Từ đây suy ra rằng lớp các không gian vectơ trên một trường cho trước "K", cùng với các "K"-ánh xạ tuyến tính là các cấu xạ, tạo thành một phạm trù.
Ánh xạ ngược của một ánh xạ tuyến tính nếu tồn tại cũng là tuyến tính.
Nếu formula_123 và formula_124 là tuyến tính, thì hàm tổng của chúng formula_125 cũng tuyến tính, được định nghĩa là formula_126.
Nếu formula_55 là tuyến tính và "formula_128" là một phần tử của trường bên dưới "formula_129", thì ánh xạ "formula_130", định nghĩa bởi "formula_131" cũng là tuyến tính.
Vì thế tập hợp "formula_132" gồm các ánh xạ tuyến tính từ "formula_133" vào "formula_134" cũng là một không gian vectơ trên trường "formula_129", đôi khi ký hiệu là "formula_136". Hơn nữa, trong trường hợp "formula_137" thì không gian này, ký hiệu "formula_138", là một đại số kết hợp dưới phép hợp ánh xạ, vì hợp của hai ánh xạ tuyến tính cũng là một ánh xạ tuyến tính, và phép hợp ánh xạ có tính kết hợp. Trường hợp này được nói cụ thể hơn ở dưới.
Trong trường hợp hữu hạn chiều, nếu các cơ sở đã được chọn trước thì phép hợp các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép nhân ma trận, phép cộng các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép cộng ma trận, và phép nhân vô hướng các ánh xạ tuyến tính tương ứng với phép nhân ma trận với vô hướng.
Tự đồng cấu, tự đẳng cấu.
Một biến đổi tuyến tính formula_139 là một tự đồng cấu trên "formula_133"; tập hợp các tự đồng cấu "formula_138" cùng với phép cộng, phép hợp và phép nhân vô hướng được định nghĩa như trên tạo thành một đại số kết hợp có đơn vị trên trường "formula_129" (và cụ thể hơn là một vành). Phần tử đơn vị phép nhân của đại số này là ánh xạ đồng nhất formula_143.
Một tự đồng cấu trên "formula_133" mà đồng thời cũng là một đẳng cấu được gọi là một tự đẳng cấu trên "formula_133". Hợp của hai tự đẳng cấu cũng là một tự đẳng cấu, và tập hợp các tự đẳng cấu trên "formula_133" tạo thành một nhóm gọi là nhóm các tự đẳng cấu trên "formula_133" và được ký hiệu là "formula_148" hay "formula_149". Vì các tự đẳng cấu cũng chính là các tự đồng cấu có ánh xạ ngược dưới phép hợp ánh xạ nên "formula_148" là nhóm các đơn vị trên vành "formula_138".
Nếu "formula_133" có số chiều hữu hạn "formula_153", thì "formula_138" đẳng cấu với đại số kết hợp gồm các ma trận vuông "formula_155" với các phần tử trong "formula_129". Nhóm các tự đẳng cấu trên "formula_133" đẳng cấu với nhóm tuyến tính tổng quát "formula_158" gồm các ma trận khả nghịch "formula_155" với các phần tử trong "formula_129".
Hạt nhân, ảnh và định lý về hạng.
 Nếu biến đổi formula_161 là tuyến tính, ta định nghĩa hạt nhân của "formula_57" ký hiệu formula_163, ảnh của "formula_57" và hạng của "formula_57" như sau:
formula_163 là một không gian con của formula_3 và formula_170 là không gian con của formula_5. Công thức sau đây được xem là định lý về số chiều:
Số formula_173 cũng được gọi là "hạng của "formula_57 ký hiệu là formula_175, hoặc formula_176; còn số formula_177 được gọi là "số vô hiệu (nullity) của "formula_57 và ký hiệu là formula_179 hay formula_180. Nếu formula_3 và formula_5 là hữu hạn chiều, và "formula_57" được biểu diễn bởi ma trận formula_48, thì hạng và số vô hiệu của "formula_57" tương ứng bằng hạng và số vô hiệu của ma trận formula_48.
Phân loại đại số của các biến đổi tuyến tính.
Không có cách phân loại các biến đổi tuyến tính nào là triệt để. Sau đây là một số phân loại đặc biệt mà không xét bất kỳ cấu trúc bổ sung nào trên không gian vectơ.
Cho formula_3 và formula_5 là các không gian vectơ trên một trường formula_189 và cho formula_190 là một ánh xạ tuyến tính.
Định nghĩa: formula_191 được gọi là "biến đổi đơn ánh" hay là một "đơn cấu" không gian vectơ nếu một trong số các điều kiện tương đương sau đây được thỏa mãn:
Định nghĩa: formula_191 được gọi là "biến đổi toàn ánh" hay một "toàn cấu" không gian vectơ nếu một trong các điều kiện tương đương sau đây được thỏa mãn:
Định nghĩa: formula_191 được gọi là một "đẳng cấu" nếu nó đồng thời là khả nghịch trái và là khả nghịch phải. Điều này là tương đương với formula_191 đồng thời là đơn ánh và là toàn ánh (tức là một song ánh) hay formula_191 đồng thời là một đơn cấu và là một toàn cấu.
Cho formula_221 gọi là một tự đồng cấu, ta có:
Chuyển cơ sở.
Cho một ánh xạ tuyến tính và là một tự đồng cấu có biểu diễn ma trận là "A", đối với cùng một cơ sở "B" của không gian, "A" biến đổi tọa độ vectơ [u] thành [v] = "A"[u]. Khi chuyển từ một cơ sở khác sang "B" ta thực hiện biến đổi [v] = "B"[v'].
Thay vào biểu thức thứ nhất ta được
suy ra
Vì vậy, ma trận của biến đổi ấy trong cơ sở kia là "A′" = "B"−1"AB", trong đó "B" là ma trận của cơ sở đã cho. Hai ma trận "A" và "A"' được gọi là hai ma trận đồng dạng.
Ứng dụng.
Một ứng dụng cụ thể của ánh xạ tuyến tính là cho các biến đổi hình học, ví dụ như trong đồ họa máy tính, khi các phép di chuyển tịnh tiến, quay và phóng tỉ lệ một đối tượng 2D hoặc 3D được thực hiện nhờ sử dụng một ma trận biến đổi. Các ánh xạ tuyến tính cũng được sử dụng như một cơ chế để mô tả sự thay đổi: như trong giải tích ứng với đạo hàm; hay trong thuyết tương đối, được dùng như một phương tiện để theo dõi các biến đổi cục bộ trong các hệ quy chiếu.
Một ứng dụng khác của các biến đổi tuyến tính là trong việc tối ưu hóa trình biên dịch đối với các đoạn mã lồng nhau, và trong việc song song hóa kỹ thuật biên dịch.