Phép giao

Cho "A" và "B" là hai tập hợp. 
Giao của "A" và "B" là tập gồm những phần tử thuộc cả "A" và "B", ngoài ra không có phần tử nào khác. Giao của "A" và "B" được viết là ""A" ∩ "B"". Nói một cách đơn giản, giao của hai tập hợp "A" và "B" là tập hợp tất cả các phần tử mà cả "A" và "B" có điểm chung.
A ∩ B = {x/ x ∈ A và x ∈ B}.
Biểu tượng giao nhau đôi khi được thay thế bằng từ “và” giữa hai tập hợp. Từ này gợi ý ký hiệu nhỏ gọn hơn cho giao lộ thường được sử dụng. Một cách để nhớ rằng biểu tượng ∩ này đề cập đến giao lộ là nhận thấy sự giống nhau của nó với chữ A viết hoa, viết tắt của từ "và" trong tiếng Anh.
Ký hiệu và ví dụ.
Phép giao được ký hiệu bằng "formula_1"; Ví dụ chẳng hạn:
Giao của nhiều hơn hai tập hợp (phép giao tổng quát) thường được viết là:
formula_6.
tương tự với ký hiệu sigma viết hoa.
Định nghĩa.
Giao của hai tập hợp formula_7 và formula_8, ký hiệu bởi formula_9, là tập các đối tượng vừa thuộc tập hợp formula_7 và vừa thuộc tập hợp formula_11
Khi viết bằng ký hiệu:
formula_12
Nghĩa là, formula_13 là phần tử của giao formula_9 khi và chỉ khi formula_13 vừa là phần tử của formula_7 và vừa là phần tử của formula_11
Thêm ví dụ:
Tập hợp không giao nhau.
Ta nói tập hợp nếu tồn tại phần tử formula_13 vừa thuộc formula_7 vừa thuộc formula_8. 
Ngược lại, ta nói tập hợp hay rời nhau nếu formula_7 không giao với formula_11 Nghĩa là chúng không chung một phần tử nào cả. Tập hợp formula_7 và formula_24 không giao nhau nếu giao của chúng là tập rỗng, được ký hiệu là formula_25
Ví dụ chẳng hạn, tập formula_26 và formula_27 không giao nhau, còn tập các số chẵn giao với tập của các số chia hết cho 3 tại các bội của 6.
Tính chất đại số.
Phép giao là phép toán có tính kết hợp; tức là, cho bất kỳ tập formula_28 và formula_29 ta có
formula_30Do vậy, dấu ngoặc có thể bỏ đi mà không làm mất giá trị: cả hai cái trên đều có thể viết thành formula_31. Phép giao còn có tính giao hoán. Tức là cho bất kỳ tập formula_7 và formula_8 ta có formula_34
Giao của bất kỳ tập hợp với tập rỗng sẽ ra tập rỗng; nghĩa là cho bất kỳ tập hợp formula_7,
formula_36
Ngoài ra, phép giao còn có tính lũy đẳng; tức là, cho bất kỳ tập formula_7, formula_38. Tất cả tính chất này đều đương tự với phép hội.
Phép giao phân phối trên phép hợp và ngược lại. Nghĩa là cho bất kỳ tập formula_28 và formula_29 ta có
formula_41
Trong vũ trụ formula_42 ta định nghĩa phần bù formula_43 của formula_7 là tập các phần tử thuộc formula_45 nhưng không thuộc formula_46 Sử dụng định nghĩa này, giao của formula_7 và formula_24 có thể viết lại thành bù của hợp của bù của mỗi phần tử, dễ dàng suy ra từ luật De Morgan:formula_49
Giao của họ tập hợp.
Giao của họ khác rỗng.
Dạng tổng quát nhất là giao của một họ tập hợp .
Nếu formula_50 là tập hợp khác rỗng trong đó các phần tử là các tập hợp, thì formula_13 là phần tử của của formula_50 khi và chỉ khi với mọi phần tử formula_7 thuộc formula_54 formula_13 là phần tử thuộc formula_46
Viết bằng ký hiệu:
formula_57
Ký hiệu này có nhiều các viết khác khác nhau. Các nhà lý thuyết tập hợp sẽ đôi khi viết "formula_58", trong khi một số sẽ viết "formula_59".
Ký hiệu sau có thể tổng quát hóa thành "formula_60", tức là giao của họ formula_61
Trong đó formula_62 là tập chỉ số khác rỗng và formula_63 là tập hợp với mọi formula_64
Khi tập chỉ số formula_62 là tập các số tự nhiên, ký hiệu giao có thể viết lại thành:
formula_66
giống với chuỗi.
Nếu khó khi định dạng, ta cũng có thể viết "formula_67". 
Giao của họ rỗng.
Trong phần trước, ta vẫn chưa xét trường hợp formula_50 là tập hợp rỗng (formula_69). Lý do là bởi: Giao của họ formula_50 được định nghĩa là tập (xem ký pháp xây dựng tập hợp)
formula_71
Nếu formula_50 rỗng, thì không có tập formula_7 nào thuộc formula_50, nên câu hỏi trở thành "phần tử formula_13's sẽ thỏa mãn điều kiện trong định nghĩa?". Câu trả lời có vẻ như là . Khi formula_50 rỗng, điều kiện cho trên là một ví dụ của chân lý rỗng. Do đó, giao của họ rỗng phải là tập phổ dụng (phần tử đơn vị cho phép giao),
, song trong lý thuyết tập hợp Zermelo–Fraenkel, tập phổ dụng không tồn tại.
Mặc dù vậy, nếu giới hạn về các tập con của một tập formula_77 cho trước, thì giao của họ rỗng các tập con của formula_77 được định nghĩa tốt. Trong trường hợp này, nếu formula_50 rỗng thì giao của nó sẽ là formula_80. Bởi formula_81 đều thỏa mãn điều kiện, nên giao của họ rỗng các tập con của formula_77 là toàn bộ của formula_83 Nói bằng công thức, formula_84Cách hiểu này khớp với ý nghĩ rằng khi họ các tập con càng ngày càng nhỏ đi thì giao tương ứng của chúng càng trở nên lớn hơn; và trong trường hợp đặc biệt, giao của họ rỗng sẽ là toàn bộ tập nền.