Số hình học

Một số hình học ("figurate number") là một số có thể dùng để biểu diễn một cách chính quy và rời rạc một hình hình học bằng các điểm. Nếu hình biểu diễn gồm nhiều miền, số hình học có thể được gọi là số đa miền ("polytopic"), tương tự cũng có các số đa giác hoặc số đa diện.
Một số các số tam giác đầu tiên có thể xây dựng từ các tam giác 1, 2, 3, 4, 5, và 6 dòng như sau:
Các hình trên biểu diễn các tam giác 2 chiều, có thể khái quát cho các số tam giác 3 chiều (tứ diện), 4 chiều (một chiều thời gian).
Số tam giác "r"-chiều thứ "n" được tính theo công thức:
formula_1
formula_2 là giai thừa của formula_3, formula_4 là hệ số nhị thức, và formula_5 là siêu giai thừa (super factorial).
Với r = 2, 3, và 4 ta có:
Tương tự có thể xem xét các số hình vuông và "số lập phương".
Gnomon.
Các số hình học có liên quan đến hình học Pythagoras, vì Pythagoras đã tạo ra chúng đầu tiên và cho rằng các số này là tổng quát từ các số tổng quát hoá từ một glomon hay một đơn vị cơ sở. Glomon là thành phần cần thiết phải thêm vào một số hình học để chuyển nó thành số tiếp theo.
Chẳng hạn, "gnomon" của một số hình vuông là số lẻ dạng 2"n" + 1, "n" = 1, 2, 3... Một hình vuông cớ 8 của các "gnomon" dạng như sau:
&lt;br&gt;8   8   8   8   8   8   8   8
8   7   7   7   7   7   7   7
&lt;br&gt;8   7   6   6   6   6   6   6
&lt;br&gt;8   7   6   5   5   5   5   5
&lt;br&gt;8   7   6   5   4   4   4   4
&lt;br&gt;8   7   6   5   4   3   3   3
&lt;br&gt;8   7   6   5   4   3   2   2
&lt;br&gt;8   7   6   5   4   3   2   1
Để chuyển từ hình vuông cạnh "n" thành hình vuông cạnh "n" + 1, phải bổ sung 2"n" + một phần tử: vào cuối mỗi dòng một phần tử (n phần tử), vào cuối mỗ cột một phần tử ("n" phần tử), và một phần tử vào góc. Chẳng hạn khi chuyển hình vuông cạnh 7 thành hình vuông cạnh 8 phải bổ sung 15 phần tử.
Chú ý rằng kỹ thuật "gnomonic" này cũng đã được cứng minh bằng toán học 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 82.
Căn bậc hai.
Người ta có thể tính căn bậc hai của một số bất kỳ nhờ dãy liên tiếp các phép trừ các số lẻ. Chẳng hạn, 64 - 1 = 63; 63 - 3 = 60; 60 - 5 = 55; 55 - 7 = 48; 48 - 9 = 39; 39 - 11 = 28; 28 - 13 = 15; 15 - 15 = 0. Kết quả của các phép trừ đi 8 số lẻ đầu tiên vào 64 bằng 0. do đó căn bậc hai của 64 bằng 8.
Chẳng hạn 1225 = 35 x 35, Ghi nhớ tổng các chữ số của căn bậc hai này bằng 3 + 5 = 8. Căn bậc hai này có thể quy từ 35 phép trừ về chỉ 8 phép trừ. Một cách ngắn gọn, việc này gồm hai "thủ thuật": thủ thuật tách nhóm và thủ thuật chuuyển tiếp.
Thủ thuật tách nhóm đã biết từ giải thuật tính căn bậc hai quen thuộc. Dùng một ký hiệu tách các cặp chữ số từ bên phải, chẳng hạn 1225 thành 12'25; sau đó, bắt đầu tính với cặp chữ số đầu từ bên trái. Vì bình phương của số có một chữ số là số có 1 hoặc 2 chữ số. Như vậy, 1, 2, 3 có bình phương là các số có 1 chữ số: 1, 4, 9, nhưng 4, 5, 6, 7, 8, 9 có bình phương gồm 2 chữ số.
Thủ thuật chuyển tiếp (trong giải thuật này) chuyển từ một cặp này sang sang cặp hai chữ số kế tiếp bên phải.
Ta áp dụng tính căn bậc hai của 1225.
Để nhìn lại, xét 144 = 122. Căn bậc hai này dễ dàng tính được từ 12 phép trừ. Tuy nhiên, việc tách nhóm và chuyển tiếp chỉ tốn 1+2=3 phép trừ các số lẻ.
cho kết quả sau hai phép trừ, chữ số tứ hai là 2: 10 + 2 = 12 là căn bậc hai của 144.
Khối lập phương và căn bậc ba.
Lập phương của các số tự nhiên dương có thể tính từ dãy S các số S = 1, 3, 5, 7, 9..., 2n - 1...; n = 1, 2, 3..., bằng các "tổng chuyển":
Như vậy hiệu các, "hiệu chuyển" của S là căn bậc ba.
Biểu diễn các tính chất toán học.
Có thể dùng các viên sỏi,nút chai v.v để biểu diễn các số hính học cho trẻ em ở trường phổ thông. Sẽ tốt cho trẻ nếu dùng các số hình học cho trẻ em khám phá các luật giao hoán và luật kết hợp với phép cộng và phép nhân.
Chẳng hạn, tính chất giao hoán của phép cộng 2 + 3 = 3 + 2 = 5 là:
và tính chất giao hoán của phép nhân 2 * 3 = 3 * 2 = 6: