Mặt Mobius

Mặt Mobius hay dải Mobius (Mobius band/ Mobius strip), về toán học là một khái niệm topo cơ bản về một dải chỉ có một phía và một biên. Lúc đầu chỉ như một trò chơi vì xuất xứ từ một dải băng giấy (do Mobius công bố) được dán dính 2 đầu sau khi lật ngược một đầu 1 hoặc 2 lần. Về sau các nhà toán học nâng lên thành lý thuyết, lập công thức tính toán. Không chỉ vậy, lý thuyết về dải Mobius còn được ứng dụng vào thực tế trong các lĩnh vực như: kiến trúc, xây dựng... Ngạc nhiên hơn, dải Mobius còn được ứng dụng vào nghệ thuật, bao gồm: Âm nhạc (Bach), hội họa (M.C. Escher), điêu khắc, kim hoàn, thủ công.v.v.
Đây là một mô hình có thể dễ dàng được tạo ra bằng cách dùng một dải giấy và cho xoắn một nửa và sau đó dán hai đầu của dải với nhau để tạo thành một vòng. Trong không gian Euclid có hai loại dải Mobius tùy thuộc vào chiều xoắn: thuận chiều kim đồng hồ và ngược chiều kim đồng hồ.
Sơ lược.
Đặc trưng Euler của dải Mobius là bằng 0.
Tính chất đặc biệt của dải Mobius.
Dải Mobius có một số tính chất đặc biệt như sau:
Hình học và Topo.
Mặt Mobius là một tập con chính tắc trong R3 có được bằng cách tham số hoá:
trong đó và . Công thức này cho ta dải Mobius có chiều rộng 1 đơn vị, vòng có bán kính 1 nằm trong mặt phẳng tọa độ "Oxy" với tâm đặt tại gốc tọa độ . Biến "u" thay đổi vòng quanh dải mobius trong khi v thay đổi chạy vòng quanh biên.
Trong toạ độ cầu , dải Möbius mở không biên được biểu diễn bằng công thức sau:
Hình học Topo.
Trong topo, dải Mobius được định nghĩa giống như hình vuông với dòng đầu của và dòng dưới được xác định bởi quan hệ với như trong sơ đồ bên phải.
Một bài viết ít được sử dụng của dải Mobius là thương quỹ đạo đa tạp của một xuyến.. Một hình xuyến có thể được xây dựng như hình vuông với các cạnh được xác định là (nối từ trái sang phải) và (nối từ dưới lên trên).
Nếu nó cũng được xác định bởi , thì ta sẽ có được một dải Mobius. Đường chéo của hình vuông (những điểm (x,x) có hai tọa độ giống nhau) trở thành biên của dải Mobius, và mang một cấu trúc quỹ đạo đa tạp, trong đó hình học tương ứng với "ảnh phản xạ" - trắc địa (đường thẳng) trong dải Mobius phải chiếu ra khỏi mép sau vào trong dải. Về mặt ký hiệu, nó được viết là T2/S2 – thương 2 xuyến bởi các hoạt động nhóm của nhóm đối xứng trên hai ký tự (chuyển đổi tọa độ), và nó có thể được coi là không gian cấu hình của hai điểm bất kỳ trên vòng tròn, có thể là cùng (cạnh tương ứng với các điểm là như nhau), với các đường gờ tương ứng với hai điểm đặt trên vòng tròn.
Dải Mobius là đa tạp compact hai chiều (tức là một bề mặt) có biên. Nó là một ví dụ tiêu biểu của một bề mặt không định hướng. Trong thực tế, dải Mobius là hình ảnh thu nhỏ của hiện tượng topo của sự không định hướng. Điều này là do:
Dải Mobius cũng là một ví dụ điển hình được sử dụng để minh họa cho khái niệm toán học của không gian phân thớ chính. Cụ thể, nó là một phân thớ không tầm thường trên hình tròn "S"1 với một thớ là đoạn đơn vị, "I" = [0,1]. Chỉ cần nhìn vào cạnh của dải Mobius ta sẽ thấy 1 bó 2 điểm không tầm thường (hoặc Z2) quanh "S"1.
Đồ họa máy tính.
Một cấu trúc đơn giản của dải Mobius có thể được tạo ra bởi phương pháp số hoá, bằng cách nối kết một tập các đoạn thẳng hay các trục đứng với nhau và xoắn đều theo một đường tròn hoặc elip.
Theo Charles Joseph Matthews, dải Mobius được coi là mặt 3 chiều không có độ dày. Vì thế, khi có độ dày, nó sẽ trở thành dạng lăng trụ xoắn trong không gian 3 chiều.
Ngoài ra, còn có thể dùng mô hình sau để xây dựng một mặt Mobius tổng quát:
Dải Mobius mở.
Dải Mobius mở được hình thành bằng cách xóa các biên (boundary) của dải Mobius chuẩn, được xây dựng từ tập } bằng cách xác định các điểm (0,"y") và (1,1−"y") với mọi 
Ngoài ra, ta cũng có thể được xây dựng như một bề mặt đầy đủ, bằng cách phân chia mặt phẳng R2 trên đó xác định y trong đoạn 0 ≤ y ≤ 1 và từ (x,0) tới (-x,1) với mọi x trong R (tập hợp các số thực). Ta thấy trong không gian metric hình thành dải "Mobius mở" trên mặt phẳng đầy đủ (geodesically) (tức là, có độ cong Gauss bằng 0 ở khắp mọi nơi). Đây là metric duy nhất trên dải Mobius, thỏa trên cả không gian phẳng và đầy đủ.
Như các mặt phẳng và các hình trụ mở, dải Mobius mở nhận không chỉ có một metric đầy đủ chứa các độ cong hằng bằng 0, mà còn chứa metric đầy đủ các độ cong hằng âm = -1. Một cách để thấy điều này là bắt đầu với (Poincaré) mô hình nửa mặt phẳng trên của mặt phẳng hyperbol ℍ, cụ thể là ℍ = {(x,y) ∈ ℝ2 | y &gt; 0} với (dx2 + dy2) / y2 được cho trong metric Riemann.
Các phép đẳng cự được định hướng bảo toàn trong metric này là tất cả các ánh xạ 
z là một số phức với Im(z) &gt; 0, {z ∈ ℂ | Im(z) &gt; 0}. Một phép đẳng cự đổi ngược hướng g của ℍ được là g(z):= -conj(z), với conj(z) là ký hiệu các số phức liên hợp của z. Điều này cho ta biết các ánh xạ h: ℍ → ℍ với h(z):= -2⋅conj(z) là một phép đẳng cự đổi ngược hướng của ℍ tạo ra một nhóm tuần hoàn vô hạn G của phép đẳng cự. Thương của ℍ / G của hai nhóm này có thể dễ dàng tính được là một dạng hình học của dải Mobius. Nhưng cũng dễ dàng để kiểm tra phép chia trên tạo thành một không gian đầy đủ và không compắc, với độ cong âm hằng= -1.
Không gian chứa các đường thẳng không định hướng đồng phôi với dải Mobius mở .
Đặt L(θ) là đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ trục x dương một góc θ Với mỗi L(θ) có một họ P(θ) của tất cả các đường thẳng trong mặt phẳng đó trực giao với L(θ). Theo topo, họ các P(θ)chỉ là một đường thẳng (vì mỗi đường thẳng trong P(θ) cắt đường L(θ) tại một điểm duy nhất). Vì vậy, khi θ tăng trong phạm vi 0° ≤ θ &lt; 180°, đường thẳng L(θ) represents a line's worth of distinct lines in the plane. Nhưng khi θ tiến tới 180°, L(180°)đồng nhất với L(0), vì vậy P(0°) và P(180°) của các đường thẳng trực giao cũng thuộc cũng một họ. Đường L(0°) khi trở thành đường L(180°) lại đi theo hướng ngược lại.
Tất cả các đường trong các mặt phẳng tương ứng với đúng một đường thẳng trong một họ P(θ), cho một θ, từ 0° ≤ θ &lt; 180°, và P(180°) đồng nhất P(0°) nhưng theo hướng ngược lại. Điều này đảm bảo rằng không gian của tất cả các đường trong mặt phẳng – là hội của tất cả các L(θ) từ 0° ≤ θ &lt; 180° — là một dải Mobius mở.
Các chuyển động cứng nhắc trong mặt phẳng đã cho tạo ra song ánh trong không gian đường trong mặt phẳng của chính nó, tự đồng cấu với không gian các đường thẳng. Nhưng không tồn tại metric trong không gian các đường thẳng bất biến dưới tác động của các nhóm tự đồng cấu.
Kết quả cuối cùng là các dải Mobius có một nhóm Lie tự nhiên 4 chiều tự đồng cấu (được tạo ra từ những chuyển động cứng của mặt phẳng), nhưng mức đối xứng cao không được thể hiện dưới nhóm đẳng cự của bất kỳ chuẩn đo nào.
Dải Mobius có biên tròn.
Cạnh hay biên của một dải Mobius là đồng phôi (topo tương đương) với một vòng tròn. Theo phép nhúng thường của dải trong không gian Euclide như ở trên, biên không phải là một vòng tròn. Tuy nhiên, nó có thể nhúng một dải Mobius trong không gian ba chiều để các biên là tròn như một vòng tròn. Tham khảo chi tiét hơn tại "Geometry and the imagination"..
Để dễ dàng thấy điều này, ta xét phép nhúng vào quả cầu "S"3 là một tập hợp con của R4.
Tham số hoá phép nhúng bằng {z1(η,φ), z2(η,φ)}, với
Ở đây ta ký hiệu số phức trong R4 như trong C2. Tham số η chạy từ 0 đến π và φ là khoảng từ 0 đến 2π. Khi | "z"1 |2 + | "z"2 |2 = 1 thì phép nhúng thuộc hoàn toàn vào "S"3. Biên của dãy là | "z"2 | = 1 (tương ứng với η=(0,π)), rõ ràng là 1 hình tròn trong không gian 3 chiều.
Để có được một phép nhúng của dải Mobius trong R3 ánh xạ "S"3 vào R3 thông qua một phép chiếu lập thể. Điểm chiếu có thể là bất kỳ điểm nào trên "S"3 mà không nằm trên phép nhúng dải Mobius (quy tắc này không áp dụng cho tất cả những điểm chiếu thông thường). Chọn formula_8. Phép chiếu lập thể ánh xạ vòng để kết nối và bảo toàn biên của dải. Kết quả là một dải Mobius trơn được nhúng vào R3 với một cạnh tròn và không có phần tự giao.
Các dạng hình học liên quan.
Để dễ hình dung điều này, tốt nhất là bạn hãy làm biến dạng biên của dải Mobius thành 1 vòng tròn bình thường (xem ở trên). Mặt phản xạ thực, cũng như chai Klein, không thể được tạo ra trong không gian 3 chiều mà không có nút tự giao.
Vào năm 1968, Gonzalo Vélez Jahn (UCV, Caracas, Venezuela) phát hiện ra thể ba chiều với đặc điểm Möbius đặc trưng, sau đó đã được mô tả thành vòng lăng trụ bởi Martin Gardner – sau này là khối đa diện.
Ứng dụng.
Âm thanh.
Một số ứng dụng kỹ thuật cho các dải Mobius như dải Mobius được áp dụng nguyên lý như băng tải kéo dài trên toàn bộ diện tích bề mặt của vành đai nên có cùng một lượng hao mòn. Chẳng hạn như băng ghi âm liên tục được thiết kế có các vòng lặp (tăng gấp đôi thời gian ghi âm). Mobius phổ biến trong sản xuất máy in vi tính trên vải và băng rôn.
Dải Mobius là không gian cấu hình của hai điểm có thứ tự trên một vòng tròn. Do đó, về mặt lý thuyết âm nhạc, không gian của tất cả các hợp hai nốt âm, được biết đến như những cặp, đều có hình dạng của một dải Mobius, điều này và khái quát đến các điểm là một ứng dụng quan trọng của lý thuyết âm nhạc.
Vật lý / điện công nghệ.
Lý thuyết về Mobius ứng dụng khá rộng trong lĩnh vực vật lý, tạo ra nhiều thiết bị có tính ứng dụng cao, có thể liệt kê:
Hóa học / công nghệ nano.
Trong hóa học cũng có nhiều ứng dụng quan trọng của Mobius:
Kiến trúc.
Trong kiến trúc, Peter Eisenman có lẽ là người tiên phong phiên chuyển (tuy còn sơ khai) dạng Mobius vào toà nhà "Max Reinhardt Haus". Ở đây tác giả đã gọt phẳng phần tiếp đất nên đã làm hỏng tầm nhìn liên tục của hình Mobius. Mô hình toán học của dải Mobius không được đưa trực tiếp vào công trình nhưng nó lại được khái niệm hoá, và được nhìn thấy trong từng thành phần kiến trúc, chẳng hạn hệ thống ánh sáng, cầu thang và lối đi vào ra của ngôi nhà.