Không gian định chuẩn

Cùng với khái niệm không gian mêtric, không gian định chuẩn cũng đóng vai trò rất quan trọng trong giải tích nói chung và topo nói riêng.
Sơ lược về không gian định chuẩn.
Định nghĩa.
Cho "E" là không gian vectơ trên trường số formula_1 và ánh xạ formula_2
Ta nói formula_3 là chuẩn trên "E" nếu nó thỏa 3 tính chất sau:
Nếu formula_3 là chuẩn trên "E", ta nói formula_9 là không gian vecto định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn).
Ta có thể định nghĩa chuẩn bằng công thức: formula_10 và có thể hiểu phép định chuẩn như là vi phân độ dài của vector x.
Một số ví dụ về chuẩn.
lần lượt có các chuẩn tương ứng sau:
Khi "p=1";
Khi formula_24;
Khi formula_26;
Khi "n=1";
Khi formula_32;
Khi formula_34;
Trong đó 
Cấu trúc tô-pô.
Một không gian định chuẩn được trang bị một cấu trúc tô-pô với một cơ sở là tập hợp các quả cầu mở. Các khái niệm tô-pô (như đóng, mở, trù mật...) có thể được diễn đạt theo ngôn ngữ của không gian định chuẩn.
Tính chất
Các định nghĩa, định lý liên quan khác.
Không gian định chuẩn sinh với chuẩn sinh bởi metric.
Cho formula_39 là không gian mêtric, ta nói chuẩn formula_40 tạo bởi metric formula_41 tức là:
Do đó, không gian định chuẩn cũng có cơ sở trên không gian tôpô dưới dạng họ các quả cầu mở như trên với chuẩn là các metric tương ứng.
Quả cầu mở, quả cầu đóng.
Cho formula_45 là không gian định chuẩn; formula_46 và formula_47.
formula_48
formula_49
Tập mở, tập đóng, tập bị chặn, trù mật.
Cho formula_45 là không gian định chuẩn; formula_46 và formula_56.
Ta nói:
formula_57 là tập mở trong formula_45 nếu có họ các quả cầu mở formula_59 trong formula_45 sao cho:
formula_57 là tập đóng trong formula_45 nếu formula_64 là tập mở trong formula_45.
formula_57 là tập bị chặn trong formula_45 nếu có quả cầu đóng formula_68 trong formula_45 sao cho:
formula_57 là tập trù mật trong formula_45 nếu formula_73 
Liên tục.
Cho formula_57 là tập con trong không gian định chuẩn formula_75
formula_76 và
formula_77.
Ta nói:
formula_78 liên tục tại formula_79 nếu formula_80, formula_81 sao cho formula_82,formula_83, formula_84
formula_78 liên tục trên formula_57 nếu formula_78 liên tục tại mọi formula_88 
Ngoài ra ta còn có định nghĩa liên tục qua khái niệm tập mở như sau:
formula_78 liên tục trên formula_57 nếu và chỉ nếu với mọi tập mở formula_91 trong formula_92 có tập mở formula_93 trong formula_94 sao cho
Dãy hội tụ, Cauchy.
Cho "(E, ||.||)" là không gian định chuẩn; "f" là ánh xạ từ tập các số nguyên dương vào "E".
Đặt formula_96; formula_97 và cho formula_98.
Khi đó formula_99 là dãy trong formula_45.
Dãy formula_101 là dãy hội tụ về formula_52 trong formula_94 nếu và chỉ nếu:
Lúc đó, formula_52 là giới hạn của dãy formula_99.
Dãy formula_101 là dãy Cauchy trong formula_94 nếu và chỉ nếu:
Nếu dãy formula_101 là dãy hội tụ trong formula_94 thì nó sẽ Cauchy trong formula_94.
Nếu mọi dãy formula_101 Cauchy đều hội tụ trong không gian định chuẩn formula_45 thì formula_94 là không gian Banach.
Ví dụ:
Dãy formula_120 trong formula_121 \0 là dãy Cauchy nhưng không hội tụ trong formula_121\ 0 với không gian định chuẩn formula_123 (formula_124).
Chuẩn tương đương.
Tương tự như metric tương đương trên không gian metric, ta cũng có khái niệm chuẩn tương đương như sau:
Cho 2 chuẩn formula_125 trên cùng không gian vectơ "E".
Ta nói 2 chuẩn này là tương đương nếu tồn tại formula_126 sao cho:
với mọi formula_128 
Ví dụ
Với các chuẩn sau trên formula_129 sau:
trong đó formula_133. Ta có:
Phạm trù các không gian định chuẩn.
Các ánh xạ quan trọng nhất giữa hai không gian định chuẩn là các ánh xạ tuyến tính liên tục. Tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa hai không gian định chuẩn formula_94 và formula_92 được ký hiệu là formula_137. Không gian định chuẩn cùng với các ánh xạ tuyến tính liên tục lập thành một phạm trù.
Ta cũng có phạm trù các không gian Banach (là một phạm trù con đầy của phạm trù các không gian định chuẩn).