Hyperbol

Trong toán học, hyperbol hay hypecbol (từ tiếng Hy Lạp: ὑπερβολή, nghĩa đen là "vượt quá" hay "thái quá") là một kiểu Đường cô-nic, được định nghĩa là đường giao của một mặt nón với một mặt phẳng cắt cả hai nửa của hình nón.
Đường hyperbol còn được nghĩa định là quỹ tích của những điểm trong mặt phẳng có giá trị tuyết đối của hiệu khoảng cách tới hai điểm cố định là một hằng số bằng 2"a". "a" đồng thời cũng bằng độ dài bán trục lớn của Hyberbol. Hai điểm cố định đó gọi là hai tiêu điểm của hyperbol. Đường thẳng đi qua hai tiêu điểm này được gọi là trục thực của hyberbol và trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm này được gọi là tâm của hình hyperbol.
Trong đại số, đường hyperbol là một đường cong trên mặt phẳng Descartes được định nghĩa bằng công thức tổng quát
với formula_2, trong đó A, B, C, D, E đều là các hệ số thực, và có nhiều hơn một cách giải, với mỗi điểm (x, y) thuộc hình Hyperbol.
Định nghĩa.
Hình hyberbol có thể được định nghĩa theo 3 cách:
Đường hyperbol có hai nhánh với hai tiêu điểm và hai đường tiệm cận. Hai đường tiệm cận đi qua tâm của hình hyperbol có phương trình formula_3 và formula_4
Đường hyperbol có tính chất là một tia bắt đầu tại một tiêu điểm sẽ bị phản xạ qua giao điểm của nó với hyperbol (đường tiếp tuyến với hyberbol tại điểm đó là đường pháp tuyến) tạo thành một đường thẳng đi qua tiêu điểm còn lại, và ngược lại.
Trường hợp đặc biệt của hyperbol theo tên tiếng Anh được gọi là "rectangular hyperbola" khi hai đường tiệm cận tạo thành một góc vuông. Hình hyperbol đều với trục tọa độ là các đường tiệm cận được xác định bởi công thức "xy=formula_5", trong đó "c" là một hằng số (theo hình bên dưới). Điểm nằm trên Hyperbol gần gốc tọa độ nhất có tọa độ là formula_6. Đồng thời, đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm đó thì vuông góc với tiếp tuyến tại điểm đó.
Vì hàm số sin và hàm số cos là hàm lượng giác dành cho đường elíp, nên hàm sin của hyperbol và hàm cos của hyperbol là hàm lượng giác của hyperbol.
Công thức.
Hình hyper tuyển.
"Hình Hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây với tâm có tọa độ là (h,k):"
Phương trình chính tắc của đường hyperbol trong hệ tọa độ Descartes khi có tâm trùng với gốc tọa độ:
Trong đó formula_9 và 2c là tiêu cự
Tính khoảng cách từ một điểm bất kì tới hai tiêu điểm, hiệu hai giá trị này luôn luôn bằng "2a".
Nếu "c" bằng khoảng cách từ tâm cho đến mỗi tiêu điểm, ta có
trong đó
Khoảng cách "c" được hiểu là nửa tiêu cự của hyperbol. Khoảng cách giữa hai tiêu điểm (tiêu cự) bằng 2"c" hay 2"aε".
và đối với đường hyperbol Bắc-Nam được xác định bởi công thức
và đối với đường hyperbol nằm theo hướng Bắc-Nam được xác định bởi công thức
Hình hyperbol đều.
Đối với đường hyperbol đều có trục tọa song song với các đường tiệm cận:
Ví dụ đơn giản nhất của hình hyperbol đều
Cực của đường hyperbol.
Hình hyperbol nằm theo hướng đông-tây:
Hình hyperbol nằm theo hướng bắc-nam:
Hình hyperbol nằm theo hướng Đông Bắc-Tây Nam:
Hình hyperbol nằm theo hướng Tây Bắc-Đông Nam
Hàm số.
"Hình hyperbol nằm theo hướng Đông-Tây"
"Hình hyperbol nằm theo hướng Bắc-Nam:"
Trong công thức ("h","k") là tọa độ tâm của hyperbol, "a" bằng nửa độ dài trục thực, và "b" bằng nửa độ dài trục ảo.
Hyperbol chữ nhật.
Hyperbol chữ nhật, hyperbol đều, hoặc hyperbol vuông là một hyperbol với hai đường tiệm cận vuông góc.
Phương trình của Hyperbol chữ nhật trong hệ trục tọa độ song song với hai đường tiệm cận:
Phương trình tối giản của hyperbol chữ nhật có dạng sau đây:
Một conic ngoại tiếp đi qua trực tâm của một tam giác là một hyperbol chữ nhật.
Định lý Feuerbach phát biểu rằng nếu một hyperbol chữ nhật đi qua ba điểm A,B,C thì tâm của hyperbol này nằm trên đường tròn chín điểm của tam giác ABC.
Một hyperbol chữ nhật đi qua ba điểm A,B,C và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại T thì tâm của hyperbol này là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm tam giác ABC và T.
Trong tam giác có ba đường hyperbol chữ nhật nổi tiếng là hyperbol Kiepert, hyperbol Jerabek và hyperbol Feuerbach.