Quá trình Poisson

Một quá trình Poisson, đặt theo tên nhà toán học người Pháp Siméon-Denis Poisson (1781 - 1840), là một quá trình ngẫu nhiên được định nghĩa theo sự xuất hiện của các biến cố. 
Một quá trình ngẫu nhiên "N"("t") là một quá trình Poisson (thời gian-thuần nhất, một chiều) nếu:
trong đó số λ dương là một tham số cố định, được gọi là tham số tỉ lệ ("rate parameter"). Có nghĩa là, biến ngẫu nhiên formula_4 mô tả số lần xuất hiện trong khoảng thời gian formula_2 tuân theo một phân bố Poisson với tham số formula_6.
Tổng quát hơn, một quá trình Poisson là một quá trình gán cho mỗi khoảng thời gian bị chặn hay mỗi vùng bị chặn trong một không gian nào đó (chẳng hạn, một mặt phẳng Euclid hay một không gian Euclid 3 chiều) một số ngẫu nhiên các biến cố, sao cho:
Quá trình Poisson là một trong các quá trình Lévy nổi tiếng. Các quá trình Poisson thời gian thuần nhất ("time-homogeneous") còn là các ví dụ của các quá trình Markov thời gian liên tục thời gian thuần nhất. Một quá trình Poisson một chiều thời gian thuần nhất là một quá trình sinh sản thuần túy ("pure-birth process") - ví dụ đơn giản nhất về một quá trình sinh-tử ("birth-death process")
Các quá trình Poisson một chiều.
Một quá trình Poisson một chiều trên khoảng từ 0 đến ∞ (nghĩa là khi đồng hồ bắt đầu từ thời điểm 0 và là khi ta bắt đầu đếm) có thể được xem là một hàm ngẫu nhiên không giảm với giá trị nguyên "N"("t"), hàm này đếm số lần "xuất hiện" trước thời điểm "t". Cũng như mỗi biến ngẫu nhiên Poisson được đặc trưng bởi một tham số vô hướng ("scalar parameter") λ, mỗi quá trình Poisson được đặc trưng bởi một hàm tỉ lệ λ("t"), đó là kỳ vọng của số "lần xuất hiện" hay "biến cố" xảy ra trong mỗi đơn vị thời gian. Nếu tỉ lệ đó là hằng số, thì số "N"("t") biến cố xảy ra trước thời điểm "t" có một phân bố Poisson với giá trị kỳ vọng λ"t".
Cho "X""t" là số lần xuất hiện trước thời điểm "t", "T""x" là thời điểm của lần xuất hiện thứ "x", với "x" = 1, 2, 3... (Ta dùng ký hiệu "X" lớn và "T" lớn cho các biến ngẫu nhiên, và "x" nhỏ và "t" nhỏ cho các giá trị không ngẫu nhiên.) Biến ngẫu nhiên "X""t" có một phân bố xác suất "rời rạc"—một phân bố Poisson—và biến ngẫu nhiên "T""x" có một phân bố xác suất "liên tục".
Rõ ràng, số lần xuất hiện trước thời điểm "t" nhỏ hơn "x" khi và chỉ khi thời gian đợi cho đến lần xuất hiện thứ "x" lớn hơn "t". Bằng ký hiệu, biến cố [ "X""t" &lt; "x" ] xảy ra khi và chỉ khi biến cố [ "T""x" &gt; "t" ]. Vậy, xác suất của các biến cố này là bằng nhau:
Thực tế này cộng với kiến thức về phân bố Poisson cho phép ta tìm phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên liên tục này. Trong trường hợp tỷ lệ, nghĩa là kỳ vọng của số lần xuất hiện trong mỗi đơn vị thời gian, là hằng số, công việc này khá đơn giản. Cụ thể, xét thời gian đợi cho tới lần xuất hiện thứ nhất. Dễ thấy, thời gian đó lớn hơn "t" khi và chỉ khi số lần xuất hiện trước thời điểm "t" là bằng 0. Nếu tỷ lệ là λ lần xuất hiện trong mỗi đơn vị thời gian, ta có
Do đó, thời gian đợi cho đến lần xuất hiện đầu tiên tuân theo một phân phối mũ. Phân phối mũ này có giá trị kỳ vọng 1/λ. Nói cách khác, nếu tỷ lệ bình quân của các lần xuất hiện là 6 lần mỗi phút chẳng hạn, thì thời gian đợi trung bình tới khi có lần xuất hiện đầu tiên là 1/6 phút. Phân phối mũ không có khả năng nhớ, nghĩa là ta có:
Công thức trên có nghĩa là xác suất có điều kiện cho việc "ta phải đợi lần xuất hiện đầu tiên thêm nhiều hơn, chẳng hạn, 10 giây nữa, biết rằng ta đã đợi 30 giây rồi mà chưa được" không khác với xác suất của việc "ta vừa mới bắt đầu đợi và ta phải đợi thêm ít nhất 10 giây nữa". Sinh viên học môn xác suất thường gặp phải nhầm lẫn đó. Thực tế rằng P("T"1 &gt; 40 | "T"1 &gt; 30) = P("T"1 &gt; 10) không có nghĩa rằng các biến cố "T"1 &gt; 40 và "T"1 &gt; 30 là độc lập. Tóm lại, tính chất không bộ nhớ của phân bố xác suất của thời gian chờ đợi T cho đến lần xuất hiện tiếp theo có nghĩa là
Nó "không" có nghĩa là
Xem thêm.
Compound Poisson distribution, Compound Poisson process, Continuous-time Markov process