Số nguyên tố chính quy

Trong lý thuyết số, số nguyên tố chính quy là một loại đặc biệt của số nguyên tố, được định nghĩa bởi Ernst Kummer trong 1850 để chứng minh một số trường hợp của định lý lớn Fermat. Số nguyên tố chính quy có thể định nghĩa qua tính chia hết của số lớp hoặc của số Bernoulli.
Các số nguyên tố chính quy đầu tiên là:
Lịch sử và động lực.
Trong 1850, Kummer đã chứng minh rằng định lý lớn Fermat đúng với số mũ là lũy thừa của "p" nếu "p" chính quy. Do đó đưa sự chú ý vào các số nguyên tố chính quy. Trong 1852, Genocchi chứng minh được thêm rằng trường hợp đầu tiên của định lý lớn Fermat đúng cho số nguyên tố "p", khi không phải cặp số phi chính quy. Kummer cải tiến thêm vào 1857 rằng đối với "trường hợp đầu" của định lý lớn Fermat (xem định lý Sophie Germain), ta đủ để chứng minh rằng hoặc hoặc không phải cặp phi chính quy.
Kummer tìm được các số nguyên tố phi chính quy cho tới 165. Trong 1963, Lehmer tăng giới hạn lên 10000 , sau đó Selfridge và Pollack báo cáo trong 1964 đã hoàn thành bảng các số nguyên tố phi chính quy lên tới 25000. Mặc dù hai bản sau không được in ra giấy, Johnson tìm ra rằng là cặp số phi chính quy với và đây là trường hợp duy nhất cho . Ta tìm được thêm một số khác vào năm 1993 với ; xem thêm số nguyên tố Wolstenholme.
Định nghĩa.
Định nghĩa bằng số lớp.
Số nguyên tố lẻ "p" là số nguyên tố chính quy nếu nó không phải là ước của số lớp của trường cyclotomic thứ p :Q("ζ""p"), với "ζ""p" là căn đơn vị nguyên thủy thứ "p", danh sách các số được liệt kê trong . Số 2 cũng được coi là số nguyên tố chính quy
Số lớp của trường cyclotomic là số các ideal của vành số nguyên
Z(ζ"p") xê xích tương đương. Hai ideal "I", "J" được gọi là tương đương nhau nếu tồn tại "u" khác không thuộc Q("ζ""p") sao cho .
Định nghĩa theo Kummer.
Ernst Kummer đưa ra một định nghĩa tương đương khác rằng "p" chính quy khi và chỉ khi "p" không phải là ước của bất kỳ số Bernoulli "B""k" với .
Bài chứng minh của Kummer rằng định nghĩa này tương đương với định nghĩa bằng số lớp được gia cố thêm bằng định lý Herbrand–Ribet
Giả thuyết Siegel.
Hiện đang có giả thuyết rằng có vô hạn số nguyên tố chính quy. Và chính xác hơn thì giả thuyết thêm rằng khoảng "e"−1/2, hay khoảng 60.65% của tất cả các số nguyên tố là số nguyên tố chính quy theo ngôn ngữ tiệm cận với mật độ tự nhiên. Hiện giờ chưa có giả thuyết nào được chứng minh.
Số nguyên tố phi chính quy.
Số nguyên tố lẻ không chính quy được gọi là số nguyên tố phi chính quy (hay B-phi chính quy để phân biệt với các dạng phi chính quy bên dưới). Một số số nguyên tố phi chính quy đầu tiên là:
Tính vô hạn.
K. L. Jensen (một học trò của Nielsen) trong 1915 đã chứng minh được rằng có vô số số nguyên tố phi chính quy dưới dạng .
Trong 1954 Carlitz đưa ra kết quả yếu hơn rằng nhìn chung có vô số nguyên tố phi chính quy.
Metsänkylä chứng minh rằng với bất kỳ số nguyên , có vô số số nguyên tố phi chính quy không nằm dưới dạng hay , sau này tổng quát thêm.
Cặp số phi chính quy.
Nếu "p" là số nguyên tố phi chính quy và "p" là ước của số Bernoulli "B"2"k" cho , thì được gọi là cặp phi chính quy. Nói cách khác, cặp số này được dùng để kiểm tra xem với số nguyên tố "p", xem chỉ số của số Bernoulli mà tại đó mất tính chính quy. Các cặp đầu tiên (xếp thứ tự bởi k) là:
Các số "k" chẵn nhỏ sao cho số nguyên tố phi chính quy thứ "n" là ước của "Bk là
Đối với số nguyên tố "p", số các cặp chứa "p" được gọi là chỉ số phi chính quy của "p". Do đó, số nguyên tố được gọi là chính quy khi chỉ số phi chính quy của nó bằng không. Tương tự như vậy, số nguyên tố phi chính quy khi chỉ số phi chính quy của nó dương.
Ta phát hiện ra rằng là cặp phi chính quy cho và . Không có "p" nào khác cho .
Chỉ số phi chính quy.
Số nguyên tố "p" có chỉ số phi chính quy "n" khi và chỉ khi có "n" giá trị "k" thỏa mãn "p" là ước của "B2k" và các giả trị "k" này đều nhỏ hơn . Số nguyên tố lẻ đầu tiên có chỉ số phi chính quy lớn hơn 1 là số 157, là ước của "B"62 và "B"110, nên nó có chỉ số bằng 2. Chỉ số của số nguyên tố chính quy bằng 0.
Dãy chỉ số phi chính quy của số nguyên tố thứ "n" là
Dãy chỉ số phi chính quy của số nguyên tố phi chính quy thứ "n" là
Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 1 là
Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 2 là
Các số nguyên tố với chỉ số phi chính quy bằng 3 là
Các dạng tổng quát.
Số nguyên tố phi chính quy Euler.
Tương tự đối với các số Euler, ta định nghĩa số nguyên tố phi chính quy Euler (hay E-phi chính quy) là số nguyên tố "p" là ước của ít nhất một số Euler "E2n" với . Các số nguyên tố phi chính quy Euler đầu tiên là
Dãy các cặp phi chính quy Euler là
Vandiver chứng minh rằng định lý lớn Fermat () không có nghiệm nguyên "x", "y", "z" với nếu "p" là số nguyên tố chính quy Euler. Gut chứng minh rằng không có nghiệm nguyên nếu "p" có chỉ số phi chính quy Euler nhỏ hơn 5.
Hiện đã chứng minh được rằng có vô hạn số nguyên tố phi chính quy Euler. Một kết quả mạnh hơn thu được như sau: có vô hạn số nguyên tố phi chính quy Euler đồng dư với 1 khi mô đun 8. Giống với trường hợp B-chính quy của Kummer, hiện vẫn chưa biết được liệu có vô số số nguyên tố chính quy Euler.
Số nguyên tố phi chính quy mạnh.
Số nguyên tố "p" được gọi là phi chính quy mạnh nếu nó vừa B-phi chính quy và E-phi chính quy (chỉ số của số Bernoulli và số Euler chia hết cho "p" có thể bằng nhau hoặc khác nhau). Các số nguyên tố phi chính quy mạnh đầu tiên là
Chứng minh định lý lớn Fermat cho số nguyên tố phi chính quy mạnh "p" khó hơn nhiều (bởi Kummer đã chứng minh trước trường hợp đầu tiên của định lý lớn Fermat cho các số nguyên tố B-chính quy, và Vandiver chứng minh định lý lờn Fermat cho các số nguyên tố E-chính quy), điểm khó nhất gặp phải là không chỉ "p" là số nguyên tố phi chính quy mạnh, mà các số , , , , , và còn đều là hợp số (Legendre chứng minh định lý lờn Fermat cho các số nguyên tố "p" thoả mãn ít nhất một trong các số , , , , , và là số nguyên tố), các số nguyên tố "p" thoả mãn tính chất đó nằm trong dãy
Số nguyên tố phi chính quy yếu.
Số nguyên tố "p" được gọi là phi chính quy yếu nếu nó không B-phi chính quy hoặc E-phi chính quy (hoặc không cả hai). Các số nguyên tố phi chính quy yếu đầu tiên là
Giống với tính phi chính quy Bernoulli, phi chính quy yếu có quan hệ với tính chia hết của số lớp của trường cyclotomic. Cụ thể, số nguyên tố "p" phi chính quy yếu khi và chỉ khi "p" là ước của trường cyclotomic thứ 4"p" (tức trường Q("ζ""4p").
Cặp phi chính quy yếu.
Trong đoạn dưới đây, lưu ý rằng ""an" là tử số của số Bernoulli thứ "n" nếu "n" chẵn, và là số Euler thứ nếu "n" lẻ .
Bởi với mọi số nguyên tố lẻ "p", "p" là ước của "ap" khi và chỉ khi "p" đồng dư với 1 mô đun 4, và bởi vì "p" là ước của mẫu số của số Bernoulli thứ với mọi số nguyên tố lẻ "p", nên cho bất kỳ số nguyên tố lẻ "p", "p" không thể là ước của "a""p"−1. Bên cạnh đó, "p" là ước của "an" (và 2"p" không là ước của "n") khi và chỉ khi "p" cũng là ước của "a""n"+"k"("p"−1) (nếu 2"p" là ước của "n", thì câu này phải đổi thành "p" cũng là ước của "a""n"+2"kp"". Hơn nữa, nếu 2"p" là ước của "n" và không phải là ước của "n", thì "p" là ước của "a""n".) cho mọi số nguyên "k" (cần điều kiện &gt; 1). Ví dụ chẳng hạn, bởi 19 là ước của "a"11 và không phải là ước của 11, nên 19 là ước của "a"18"k"+11 với mọi "k". Do đó, trong định nghĩa của cặp phi chính quy , giá trị "n" nên không quá .
Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy thoả mãn số nguyên tố lẻ :
Các số nguyên tố dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 3 là 307, 311, 353, 379, 577, 587, 617, 619, 647, 691, 751, và 929. Bên cạnh đó, 491 là số nguyên tố duy nhất dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 4, và các số nguyên tố lẻ còn lại dưới 1000 có chỉ số phi chính quy yếu bằng 0, 1, hoặc 2. (Chỉ số phi chính yếu được định nghĩa là số các số nguyên thoả mãn "p" là ước của "an".)
Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy với "n" ≤ 63. (Để tìm ra các cặp này, ta chỉ cần phân tích thừa số 
của "an". Lấy ví dụ, , nhưng , nên cặp phi chính quy duy nhất với là ) (đối với các "n" chẵn lên tới 300 và các "n" lẻ lên tới 201, xem ).
Bảng sau liệt kê các cặp phi chính quy (), hiện ta đang phỏng đoán rằng có vô hạn cặp phi chính quy với mọi số tự nhiên , nhưng mới chỉ một ít được tìm thấy khi cố định "n" và thậm chí còn có một số giá trị của "n" vẫn chưa tìm thấy số nguyên tố "p" đi kèm.