Đa giác đều

Trong hình học Euclid, đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc
bằng nhau.Đa giác đều được chia làm hai loại là: đa giác lồi đều và đa giác sao đều.
Tính chất tổng quát.
Các tình chất này được áp dụng cho cả hình đa giác lồi đều và hình đa giác sao đều.
Tất cả các đỉnh của đa giác đều đều nằm trên một đường tròn. Chúng là các điểm đồng viên. Tất cả các đa giác đều đều có một đường tròn ngoại tiếp
Cũng với tính chất độ dài các cạnh của đa giác đều thì bằng nhau, kéo theo rằng tất cả các đa giác đều đều có các đường tròn nội tiếp.
Một đa giác đều "n" cạnh có thể được dựng bằng compa và thước kẻ khi và chỉ khi các thừa số nguyên tố lẻ của "n" khác số nguyên tố Fermat.
Tính đối xứng.
Nhóm đối xứng của đa giác đều là hình vuông"n" "D"2, "D"3, "D"4... Nó bao gồm sự quay quanh tâm "Cn" (tâm đối xứng), cùng với tính đối xứng của "n" trục đi qua tâm này. Nếu "n" là chẵn thì một nửa số trục đối xứng đi qua hai đỉnh đối nhau của đa giác và nửa còn lại đi qua trung điểm của hai cạnh đối. Nếu "n" là lẻ thì tất cả các trục đới xứng đều đi qua một đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện với đỉnh ấy.
Đa giác lồi đều.
Tất các đa giác đơn đều (một đa giác đơn là một đa giác mà không tự cắt)là các đa giác lồi đều. Các đa giác mà có cùng số đo các cạnh thì đồng dạng.
Một đa giác lồi đều "n" cạnh được chỉ rõ bởi công thức Schläfli của nó: {"n"}.
Trong một số hoàn cảnh các đa giác đã được xét đến đều là các đa giác đều. Trong nhiều trường người ta thường bỏ chữ "đều" đi. Ví dụ như mọi mặt của đa diện đều có thể là các hình đa giác đều như: tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, etc.
Góc.
Với một đa giác đều n đỉnh, số đo góc trong được tính bằng công thức:
hay formula_3 độ radian,
hay formula_4 tính theo vòng,
và với mỗi góc ngoài (kề bù với góc trong)được tính theo công thức formula_5 độ, với tổng của các góc ngoài bằng 360 độ hay 2π độ radian hay vòng quay.
Đường chéo.
Với formula_6 số đường chéo là formula_7\n=0, 2, 5, 9... Chúng chia đa giác thành 1, 4, 11, 24... phần.
Diện tích.
Diện tích A của đa giác lồi đều "n" cạnh là:
theo độ
hay theo độ radian formula_9,
với "t" là độ dài của một cạnh.
Nếu biết bán kính, hay độ dài đoạn thẳng nối tâm với một đỉnh, diện tích là:
tính theo độ
hay theo độ radian
với "r" là độ lớn của bán kính
Đồng thời, diện tích cũng bằng nửa chu vi nhân với độ dài của trung đoạn, "a", (đoạn vuông góc hạ từ tâm của đa giác xuống một cạnh). Vì vây ta có "A" = "a.n.t"/2, với chu vi là "n.t", và ở dạng đơn giản hơn 1/2 "p.a".
Với cạnh "t"=1, ta có:
theo độ
hay theo độ radian ("n" khác 2)
giá trị được viết trong bảng sau:
The amounts that the areas are less than those of circles with the same perimeter, are (rounded) equal to 0.26, for n&lt;8 a little more (the amounts decrease with increasing "n" to the limit π/12).
Đa giác sao đều.
Một đa giác đều không lồi là một đa giác sao đều. Ví dụ phổ biến nhất là hình sao 5 cánh, có cùng số đỉnh với ngũ giác đều, nhưng có cách nối các đỉnh khác.
Với một đa giác sao "n" cạnh, công thức Schläfli được sửa cho phù hợp với dạng hình sao "m" của đa giác, ví dụ như {"n"/"m"}. Nếu "m" bằng 2, thì mỗi đỉnh đều được nối với hai đỉnh khác cách nó 2 đỉnh. Nếu "m" bằng 3, thì mỗi đỉnh đều được nối với hai đỉnh khác cách nó 3 đỉnh. Đường biên của đa giác đi quanh tâm "m" lần, và "m" đôi khi còn được gọi là mật độ của đa giác sao đều.
Một vài ví dụ:
"m" và "n" phải nguyên tố cùng nhau, hoặc hình sẽ suy biến. Phụ thuộc vào nguồn gốc rõ ràng của công thức Schläfli, có nhiều các ý kiến bất đồng về các hình suy biến. Ví dụ như {6/2} có thể được hiểu theo 2 cách: