Rapport
Technische werkgroep economische scenario’s

10 februari 2022
dr. Maarten Gelderman (voorzitter, DNB)
dr. Jan Bonenkamp (APG)
dr. Bart Diris (DNB)
drs. Sacha van Hoogdalem (Ortec Finance)
prof. dr. Antoon Pelsser (Universiteit Maastricht en Universiteit van Amsterdam)
prof. dr. ir. Michel Vellekoop (Universiteit van Amsterdam)
prof. dr. Bas Werker (Universiteit van Tilburg)

2

Conclusie en aanbevelingen
De werkgroep heeft - als voorbereiding op het werk van de Commissie Parameters - een verkennend
onderzoek uitgevoerd naar modellen voor het genereren van zowel economische scenario’s (Pscenario’s) als risico-neutrale scenario’s (Q-scenario’s). Zulke scenariosets zijn, conform het
Wetsvoorstel Toekomst Pensioenen, nodig voor berekeningen die pensioenfondsen en wetgever
moeten maken in het nieuwe pensioenstelsel en tijdens de overgang naar dat stelsel. De conceptwet gebruikt de P-scenario’s voor vier toepassingen – communicatie, berekening fiscale
premiegrens, de balans tussen premie en pensioendoelstelling, en het toetsen van het
beleggingsbeleid en de risicotoedelingsregels aan de risicohouding. De P-scenario’s blijven verder
relevant voor de haalbaarheidstoets in uitkeringsovereenkomsten. De Q-scenario’s worden gebruikt
voor twee toepassingen – berekeningen voor invaren met de vba-methode en netto profijt
berekeningen.
Om tot haar advies te komen heeft de werkgroep een met die van de Commissie Parameters in 2019
vergelijkbare werkwijze gevolgd:
•
•

•

Indien er overtuigende eenduidige wetenschappelijke argumenten zijn voor een bepaalde
parameterwaarde of modelkeuze, dan neemt de werkgroep deze over.
Indien er geen overtuigende of eenduidige wetenschappelijke argumenten zijn, dan maakt de
werkgroep een keuze die rekening houdt met de consequenties voor de zes genoemde wettelijke
toepassingen.
Indien bovenstaande uitgangspunten niet doorslaggevend zijn, dan kiest de werkgroep voor de
pragmatische lijn om de complexiteit te beperken.

De werkgroep merkt op dat de lagere regelgeving, met de nadere uitwerking van de zes wettelijke
toepassingen, ten tijde van haar onderzoek nog niet (in concept) gereed was, waardoor het niet
mogelijk was om de effecten van model- en parameterkeuzes op de zes toepassingen conform het
wettelijk kader door te rekenen. De werkgroep heeft daarom een aantal aannames in haar
berekeningen moeten maken (zie hoofdstuk 4) en het is mogelijk dat uitkomsten significant
veranderen als de lagere regelgeving vastgesteld is.
De werkgroep komt tot onderstaande conclusies.
Advies
De werkgroep acht het KNW*-model een logisch uitgangspunt voor vervolgonderzoek door de
Commissie Parameters. Hierbij liggen de drie gemaakte aanpassingen aan het bestaande KNWmodel voor de hand:
o

o

o

Inflatie: Bij de kalibratie van zowel P- als Q-scenario’s is ook gebruikt gemaakt van
instrumenten die van de toekomstige ontwikkeling van de Europese prijsinflatie afhangen
om deze marktconsistent te waarderen. Een aandachtspunt hierbij is dat
pensioenregelingen gebaseerd zijn op Nederlandse prijs- of looninflatie, waarvoor geen
marktinformatie beschikbaar is.
Rentetermijnstructuur: Bij de kalibratie van Q-scenario’s is gebruik gemaakt van een
model met in de tijd variërende risicoprijzen, opdat de scenario’s aansluiten bij de op het
moment van kalibratie geobserveerde nominale en reële rentetermijnstructuren.
Factoren: Bij de kalibratie van zowel P- als Q-scenario’s is gebruik gemaakt van drie in
plaats van twee factoren. Dit leidt tot een nauwkeuriger aansluiting bij zowel historische
data (voor P-scenario’s) als marktprijzen op de kalibratiedatum (voor Q-scenario’s).

Ook wanneer de Commissie Parameters voor een andere modelstructuur zal kiezen, lijkt het de
werkgroep verstandig dat bij de kalibratie gebruik wordt gemaakt van derivaten die van
prijsinflatie afhangen, dat gestreefd wordt naar een perfecte fit van de rentetermijnstructuren en
dat geanalyseerd wordt hoe de kwaliteit van de kalibratie afhangt van het aantal stochastische
processen die de dynamica bepalen.

3

Nader onderzoek en beleidsafwegingen vereist
De werkgroep acht het verstandig dat de Commissie Parameters nader onderzoek uitvoert naar de
volgende keuzes:
o

o
o

o

Data: De historische data-periode die gebruikt wordt voor de kalibratie van de Pscenario’s, de geselecteerde marktinstrumenten voor de kalibratie van de Q-scenario’s en
de weging van die instrumenten tijdens de kalibratie.
UFR: De wijze waarop de UFR-methodiek geïntegreerd wordt in de modellering en
kalibratie van de rente voor zowel de P- als Q-scenario’s.
Renterestrictie: De hoogte van een eventueel op te leggen maximale kans op negatieve
rentes op de lange termijn voor de P-scenario’s. De UFR-methodiek en de renterestrictie
beïnvloeden allebei het lange eind van de rentecurve en moeten daarom in samenhang
geanalyseerd worden.
Volatiliteit: Het al dan niet constant veronderstellen van de volatiliteit over de tijd.

De werkgroep kan op grond van de in de taakopdracht geformuleerde criteria geen voorkeuren
uitspreken voor bovenstaande keuzes. De uitkomsten van de impactanalyse in hoofdstuk 4 en de
vergelijking van scenariosets in hoofdstuk 5 bevatten belangrijke aanknopingspunten voor het
nadere onderzoek van de Commissie Parameters.
De werkgroep adviseert dat de Commissie Parameters tijdens haar onderzoek de invloed van lastig
te maken model- en parameterkeuzes op de uitkomsten voor de verschillende toepassingen van de
economische scenario’s in kaart brengt. Het is aan de wetgever om aan te geven hoe met die
onzekerheid omgegaan moet worden.

4

Inhoudsopgave
Conclusie en aanbevelingen

3

1.

Inleiding

7

2.

Definities, wettelijke toepassingen en criteria

8

2.1. Toelichting op economische en risico-neutrale scenario’s

8

2.2. Wettelijke toepassingen

8

3.

4.

2.2.1. Wettelijke toepassingen economische scenario’s (P-scenario’s)

8

2.2.2. Wettelijke toepassingen risico-neutrale scenario’s

9

2.3. Criteria

10

Modellen voor het genereren van scenariosets

11

3.1. Het KNW-model

11

3.2. Modelspecificatie Commissie Parameters in 2019

11

3.3. Definitie Q-scenario’s en nieuwe toepassingen maken aanpassingen noodzakelijk

14

3.4. Kalibratie van risico-neutrale scenario’s

14

3.5. Een mogelijke aanpassing: Het KNW*-model

15

3.6. Model- en parameteronzekerheid

16

3.7. Modeleigenschappen en alternatieven

17

3.8. Geen eenduidige, objectief te motiveren, keuze mogelijk

19

Economische doorrekeningen

20

4.1. Kalibratie P-scenario’s

20

4.1.1. Methodologie

20

4.1.2. Kalibratie

20

4.1.3. Economische doorrekening

25

4.2. Kalibratie Q-scenario’s

5.

26

4.2.1. Methodologie

26

4.2.2. Kalibratie

27

4.2.3. Economische doorrekening

29

Vergelijking uitkomsten Q-set met externe modellen

32

5.1. Vergelijking van kenmerken van Q-scenario’s

32

5.2. Vergelijking van vba-waarde en netto profijt

33

5.2.1. Modellering van het pensioencontract

33

5.2.2. Impact op vba-waarde

34

5.2.3. Impact op netto profijt

36

5.3. Conclusie

37

Bijlage A – Verzoek technische werkgroep economische scenario’s

38

Bijlage B – Invulling criteria

42

5

Bijlage C – Validatie van de kalibratie

44

Bijlage D – Nadere beschrijving methodologie

45

Bijlage E – Specificatie modelfonds

51

6

1. Inleiding
Op 6 juli 2019 heeft de Commissie Parameters advies uitgebracht over een uniforme set met
economische scenario’s.1 Dit advies is door De Nederlandsche Bank (hierna DNB) vanaf 1 januari
2020 geïmplementeerd.2 Deze uniforme set wordt in het huidige pensioenstelsel gebruikt voor het
communiceren van pensioenuitkeringen in verschillende scenario’s en bij de haalbaarheidstoets.
Het kabinet heeft besloten om in 2022 opnieuw een Commissie Parameters een advies te laten
uitbrengen over de economische scenario’s. De reden is dat in het advies van de Commissie
Parameters uit 2019 geen rekening is gehouden met het wetsvoorstel Wet toekomst pensioenen. 3
Toen de Commissie Parameters in 2019 onderzoek deed naar de economische scenario’s waren de
onderhandelingen over het pensioenakkoord dat de basis vormt voor het wetsvoorstel nog niet
afgerond. In het wetsvoorstel zijn additionele wettelijke toepassingen voor de economische
scenario’s voorzien. Naast communicatie over toekomstige pensioenuitkeringen wordt voorgesteld
ze ook te gebruiken voor de bepaling van de fiscale premiegrens, voor het in beeld brengen van de
balans tussen de doelstelling en premie en voor het vaststellen van de risicohouding van de
deelnemers en het toetsen van de aansluiting van het beleggingsbeleid en de toedeelregels op de
vastgestelde risicohouding. Tevens is voor de transitie naar het nieuwe pensioenstelsel een nieuw
type economische scenario’s noodzakelijk, de zogenoemde risico-neutrale4 economische scenario’s.
Deze scenario’s zijn nodig voor het berekenen van netto profijt effecten en voor het invaren van
opgebouwde pensioenaanspraken en -rechten met de value-based ALM methode (hierna de vbamethode).
Gegeven de breedte van het benodigde onderzoek door de Commissie Parameters over de
economische scenario’s, heeft het ministerie van Sociale Zaken en Werkgelegenheid voorafgaand
aan de instelling van de Commissie Parameters aan DNB verzocht om een technische werkgroep
(hierna de werkgroep) economische scenario’s met onafhankelijke experts in te stellen. Deze
werkgroep is gevraagd om een verkennend onderzoek uit te voeren ten aanzien van beide types
economische scenario’s met het oog op bovengenoemde wettelijke toepassingen. Het verzoek is
opgenomen in bijlage A bij dit rapport.
Het voorliggende rapport beschrijft de bevindingen van de werkgroep en dient als voorbereiding
voor het werk van de Commissie Parameters. Op basis van het advies van de Commissie Parameters
wordt DNB vervolgens gevraagd om binnen het wettelijk kader de desbetreffende economische
scenario’s en risico-neutrale scenario’s vast te stellen en periodiek te publiceren.
De werkgroep is tevens gevraagd om een verkennend onderzoek uit te voeren naar het benodigde
aantal scenario’s. De werkgroep heeft in haar onderzoek eerst de focus gelegd op de te kiezen
economische modellen en onderliggende parameters voor beide type economische scenario’s.
Vanwege de korte doorlooptijd is de werkgroep niet meer toegekomen aan de vervolgvraag over
het benodigd aantal scenario’s. De werkgroep legt dit onderzoek daarom neer bij de Commissie
Parameters.
De werkgroep dankt Wouter Honig voor zijn intensieve en uitstekende ondersteuning bij de
berekeningen die nodig waren bij het schrijven van dit rapport.

1

Advies Commissie Parameters in 2019. Zie deze link.
De onderliggende modelparameters zijn per 1 januari 2021 aangepast door DNB. Zie deze link.
3
Consultatieversie Wet toekomst pensioenen. Zie deze link.
4
In de taakopdracht voor de werkgroep is sprake van risico-gecorrigeerde scenario’s. De werkgroep geeft echter de voorkeur
aan de term risico-neutrale scenario’s, aangezien dit een in de wetenschappelijke literatuur precies gedefinieerd concept is.
Hiermee wordt hetzelfde type scenario’s bedoeld.
2

7

2. Definities, wettelijke toepassingen en criteria
Dit hoofdstuk geeft een nadere toelichting op de economische en de risico-neutrale scenario’s.
Daarna volgt een beschrijving van de voorgestelde wettelijke toepassingen voor de scenariosets.
Vervolgens gaat het hoofdstuk in op de criteria die in de taakopdracht zijn opgenomen om de
modellen om de scenario’s te genereren te beoordelen, en de manier waarop de werkgroep deze
criteria heeft gebruikt.
2.1.

Toelichting op economische en risico-neutrale scenario’s

De werkgroep heeft onderzoek gedaan naar modellen om economische en risico-neutrale scenario’s
te simuleren. Hieronder volgt een conceptuele beschrijving van beide type scenario’s.
a) Economische scenario’s (P-scenario’s)5
De economische scenario's (P-scenario’s) hebben als doel inzicht te geven in de onzekerheid in de
toekomstige ontwikkeling van financieel-economische variabelen, zoals rente, aandelenprijzen en
inflatie. Die onzekerheid komt tot uitdrukking door verschillende ontwikkelingen (scenario’s) van de
variabelen te presenteren. Elk van deze ontwikkelingen representeert een mogelijke toekomstige
ontwikkeling. De variabelen worden in samenhang gemodelleerd. Daarbij ontstaat een beeld van de
bandbreedtes in de variabelen in de (verre) toekomst. Op basis van deze economische scenario’s
kunnen pensioenuitvoerders bijvoorbeeld de risico’s in pensioenuitkeringen voor deelnemers in kaart
brengen.
b) Risico-neutrale scenario’s (Q-scenario’s)6
De risico-neutrale scenario’s (Q-scenario’s) worden gebruikt voor het (financieel actuarieel)
waarderen van onzekere toekomstige kasstromen. Voor complexe financiële producten, zoals een
pensioenaanspraak, kan de waardering worden uitgevoerd op basis van Monte Carlo simulatie. De
hiervoor gebruikte risico-neutrale scenario’s worden gekalibreerd op marktprijzen van financiële
instrumenten. Hierdoor wordt marktinformatie over de prijs van marktonzekerheden meegenomen.
Vanwege risicopremies in, bijvoorbeeld, aandelen- en obligatieprijzen is de prijs waarop deze
verhandeld worden op financiële markten namelijk niet gelijk aan de gemiddelde (met de risicovrije
rente) verdisconteerde uitbetaling. Een fundamenteel resultaat uit de beleggingstheorie 7 stelt dat,
onder bepaalde algemeen geaccepteerde aannamen, deze financieel actuariële waarde gelijk is aan
de gemiddelde (met de risicovrije rente) verdisconteerde uitbetaling, mits deze scenario’s risiconeutraal gegenereerd zijn. Deze risicocorrectie wordt berekend aan de hand van de marktprijzen
van relevante financiële instrumenten op de analysedatum. Indien onzekere toekomstige
kasstromen afhangen van financiële risico’s waarvoor geen (liquide) markt bestaat, dan zijn risiconeutrale scenario’s niet eenduidig te bepalen aan de hand van marktgegevens.
2.2.

Wettelijke toepassingen

De werkgroep constateert dat er in een aantal gevallen geen eenduidige wetenschappelijke
argumenten zijn om bepaalde keuzes bij het bepalen van de P- en Q-scenario’s te onderbouwen (zie
hoofdstuk 3). De werkgroep kijkt in dat geval naar de impact van die keuzes op de diverse
voorgenomen wettelijke toepassingen (zie hoofdstuk 4 en 5). Hieronder volgt een beschrijving van
deze toepassingen, uitgesplitst naar toepassingen van de P-, respectievelijk de Q-scenario’s.
2.2.1. Wettelijke toepassingen economische scenario’s (P-scenario’s)
In het nieuwe pensioenstelsel wordt volgens het wetsvoorstel Wet Toekomst Pensioenstelsel (WTP)8
voor vier toepassingen gebruik gemaakt van economische scenario’s. Daarnaast zijn deze scenario’s,
in het huidige stelsel, ook relevant voor de haalbaarheidstoets9. Hieronder volgt een korte toelichting
per functie zoals voorzien in het wetsvoorstel.
a) Communicatie
5

De term P-scenario’s is gebruikelijk in de wetenschappelijke literatuur. Ze worden daar ook wel aangeduid als objectieve of
real-world scenario’s.
6
De term Q-scenario’s is wederom gebruikelijk in de wetenschappelijke literatuur. Ze staan ook bekend onder de aanduidingen
risico-neutrale scenario’s en risico-gecorrigeerde scenario’s.
7
Zie, bijvoorbeeld, https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_asset_pricing.
8
Zie consultatieversie van het wetsvoorstel: link
9
Gegeven de beoogde opleverdatum heeft de werkgroep er voor gekozen om de impact van model- en parameterkeuzes voor
de P-scenario’s op de haalbaarheidstoets niet te bestuderen.

8

Deze toepassing bestaat ook al in het huidige stelsel (de zogenoemde Uniforme RekenMethodiek;
URM). Pensioenuitvoerders dienen deelnemers jaarlijks informatie te verstrekken over hun
toekomstige pensioenuitkeringen (in een drietal scenario’s). Deze pensioenuitkeringen worden
berekend door, gegeven de afspraken in de pensioenregeling en karakteristieken van de deelnemer,
de pensioenuitkering te bepalen onder de veronderstelling dat de financiële variabelen zich
ontwikkelen conform de P-scenario’s. Pensioenuitvoerders zijn verplicht, ten behoeve van de
vergelijkbaarheid tussen pensioenregelingen, om voor dit doel gebruik te maken van de door DNB
per kwartaal gepubliceerde P-scenario’s. De WTP voorziet geen wijziging in deze toepassing in het
nieuwe stelsel.
b) De fiscale premiegrens
Uitgangspunt bij het vaststellen van de fiscale premiegrens is dat ten hoogste een pensioenambitie
van 75% middelloon in 40 opbouwjaren `op prudente wijze’ fiscaal wordt gefaciliteerd. In het
wetsvoorstel is opgenomen dat het bepalen van de premiegrens gebeurt aan de hand van de
economische scenario’s. Met behulp van de economische scenario’s wordt het verwachte
meetkundig gemiddelde reële rendement bepaald over de periode die de scenario’s beschrijven.
c) De balans tussen de doelstelling en de premie
De economische scenario’s spelen een rol bij het bepalen van de balans tussen
pensioendoelstelling en de premie. Sociale partners zijn primair verantwoordelijk voor deze
consistentie. Hierbij spelen twee aspecten een rol: het beoogde niveau van toekomstige
pensioenuitkeringen en de kans dat deze pensioendoelstelling wordt gehaald. In het wetsvoorstel
is opgenomen dat de sociale partners voor dit doel een voorgeschreven set met economische
scenario’s gebruiken. Ook wordt bij de solidaire premieregeling wettelijk voorgeschreven dat het
pensioenfonds sociale partners moet informeren op basis van een voorgeschreven set met
economische scenario’s over de kans dat de door sociale partners beoogde pensioendoelstelling
met de door sociale partners gewenste premie wordt behaald.
d) Toetsen van het beleggingsbeleid en de toedelingsregels aan de vastgestelde risicohouding
van de deelnemers
In het wetsvoorstel is vastgelegd dat, op grond van het prudent person principe, periodiek
getoetst wordt of het beleggingsbeleid en de toedeelregels10 van het fonds passen bij de
vastgestelde risicohoudingen van de deelnemersgroepen. Het wetsvoorstel beschrijft hiervoor drie
maatstaven:
•
een maatstaf waarin het maximaal aanvaardbare risico tot uitdrukking komt, namelijk het
risico dat deelnemers maximaal willen en kunnen nemen met oog op het (resterende)
pensioen in een pessimistisch scenario ten opzichte van het (resterende) pensioen in een
verwacht scenario. In de uitkeringsfase gaat het daarbij om de jaarlijkse aanpassing in de
pensioenuitkering.
•
een maatstaf waarin de doelstelling tot uitdrukking komt, dat wil zeggen het rendement dat
deelnemers tenminste willen behalen met oog op een adequaat pensioen in een verwacht
scenario.
•
een maatstaf voor de uitkeringsfase, die in geval van spreiding wordt voorgeschreven, is
gericht op het risico op de lange termijn. Deze is gerelateerd aan de afwijking van het
pensioen gedurende de gehele uitkeringsperiode ten opzichte van het pensioen in een
pessimistisch scenario gedurende de gehele uitkeringsperiode.

2.2.2. Wettelijke toepassingen risico-neutrale scenario’s
De risico-neutrale scenario’s spelen een rol bij de transitie naar het nieuwe pensioenstelsel. Deze
risico-neutrale scenario’s worden gebruikt bij het berekenen van de marktwaarde van bestaande
pensioenaanspraken en -rechten binnen het invaren met de vba-methode en bij het berekenen van
de netto profijt effecten als onderdeel van het toetsen, door pensioenfondsen en sociale partners,
van de evenwichtigheid van hun besluiten.

10

Inclusief een mogelijke solidariteits- of risicodelingsreserve.

9

a) Berekenen van inclusieve marktwaarde t.b.v. invaren met vba-methode
In een uitkeringsovereenkomst heeft iedereen in het deelnemersbestand pensioenaanspraken en
-rechten die worden geïndexeerd als een pensioenfonds er financieel goed voorstaat en gekort als
het slecht gaat, op grond van het fondsbeleid binnen het huidige financieel toetsingskader (nFTK).
Bij het bepalen van de inclusieve marktwaarde van de opgebouwde pensioenaanspraken en -rechten
in de uitkeringsovereenkomst wordt waarde toegekend aan deze voorwaardelijke elementen.
Daarnaast zijn fondsspecifieke kenmerken zoals de dekkingsgraad, bestandssamenstelling en
financiële opzet van het pensioenfonds (waaronder inbegrepen het beleggings-, premie- en
indexatie- en kortingsbeleid) van invloed op de hoogte van de inclusieve marktwaarde. De inclusieve
marktwaarde wordt berekend met behulp van value-based ALM berekeningen, waarvoor, zoals
eerder toegelicht, risico-neutrale scenario’s nodig zijn.
b) Verandering in netto profijt
Het netto profijt is het verschil tussen de marktwaarde van de toekomstige pensioenuitkeringen
(zowel op basis van bestaande als toekomstige opbouw) en de marktwaarde van de toekomstige
premie-inleg. De verandering in netto-profijt wordt gebruikt om herverdelingseffecten (tussen
deelnemersgroepen) die optreden door de transitie in kaart te brengen. Dit gebeurt door het netto
profijt van de situatie dat er overgestapt wordt naar een nieuwe pensioenregeling (inclusief het
afschaffen van de doorsneesystematiek en eventuele compensatie) af te zetten tegen het netto
profijt van de situatie dat de huidige pensioenregeling ongewijzigd wordt voortgezet onder het huidig
financiële toetsingskader. Het wetsvoorstel vereist dat deze effecten inzichtelijk gemaakt worden
ten behoeve van de besluitvorming over de transitie. Netto profijt wordt net als de inclusieve
marktwaarde berekend met behulp van value-based ALM berekeningen, daarom zijn ook voor deze
berekeningen risico-neutrale scenario’s nodig.
2.3.

Criteria

In het verzoek aan de werkgroep is gevraagd mogelijke modellen en de daaruit volgende
scenario’s te beoordelen aan de hand van een aantal criteria (zie bijlage A). De werkgroep heeft de
criteria in het kader van het verkennend onderzoek ingevuld om de verschillende model- en
parameterkeuzes te beoordelen. Tijdens het onderzoek is de werkgroep tot de conclusie gekomen
dat de criteria niet in voldoende mate onderscheidend zijn om tot een unieke model- of
parameterkeuze te komen. In bijlage B is de wijze waarop de werkgroep de criteria heeft ingevuld
opgenomen, waarbij de werkgroep ingaat op de redenen dat sommige criteria niet objectief en
onderscheidend zijn te definiëren.

10

3. Modellen voor het genereren van scenariosets
Dit hoofdstuk gaat in op mogelijke modellen voor het simuleren van de scenario’s. Het hoofdstuk
bespreekt het model dat door de Commissie Parameters in 2019 is geadviseerd en beschouwt een
aantal mogelijke uitbreidingen en aanpassingen van dit model.
3.1.

Het KNW-model

De uniforme set P- scenario’s die momenteel gebruikt wordt voor de Uniforme Rekenmethodiek
(URM) en de haalbaarheidstoets is gebaseerd op het KNW-model van Koijen, Nijman & Werker11.
De Commissie Parameters motiveerde in 2014 deze keuze door op te merken dat het realistische
scenario’s genereert die gebaseerd zijn op algemeen geldende economische principes. De KNWscenarioset bleek bovendien een verdeling van pensioenresultaten te genereren die vergelijkbaar
was met de verdelingen die verkregen werden door middel van meer geavanceerdere modellen
van Ortec Finance en APG. De Commissie Parameters concludeerde toen dat sprake is van een
relatief eenvoudig toepasbaar model dat aansluit bij de doelstelling van de URM en de
haalbaarheidstoets.
De Commissie Parameters adviseerde in 2019, op grond van vergelijkbare argumenten, om de Pscenarioset te blijven baseren op het KNW-model. Wel werd een aanpassing gemaakt om het
aantal scenario’s met erg lage en erg hoge rentes te beperken, aangezien de Commissie
Parameters die minder bij de toen geldende economische omstandigheden vond passen. Om die
reden werd een ander startpunt voor de kalibratieperiode gekozen en een restrictie op de
verdeling van toekomstige rentestanden ingevoerd.
De door de Commissie Parameters in 2019 bepaalde P-scenarioset bestaat uit mogelijke
toekomstige paden voor de (nominale) risicovrije rente, het rendement op aandelen en de
prijsinflatie. In het KNW-model bepaalt een beperkt aantal onderliggende factoren de onderlinge
samenhang tussen deze drie bronnen van risico voor pensioenfondsen. De parameters van het
model worden geschat aan de hand van historische gegevens. Daarbij worden naast een
randvoorwaarde die de kans op negatieve rentes in de toekomst beperkt ook a priori de
verwachtingswaarden op de lange termijn12 vastgelegd voor de prijsinflatie, het
aandelenrendement en nominale forward rentes. Die grootheden zijn immers slechts in zeer
beperkte mate in te schatten aan de hand van historische data.
3.2.

Modelspecificatie Commissie Parameters in 2019

In de vorm van het KNW-model zoals dat gebruikt is door de Commissie Parameters in 2019
worden de instantane nominale rente 𝑟𝑡 en de instantane verwachte prijs-inflatie 𝜋𝑡 gespecificeerd
met behulp van het een factor-proces 𝑋𝑡 :

In het model dat gebruikt werd door de Commissie Parameters in 2019 was de dimensie 𝑘 van het
proces 𝑋𝑡 gelijk aan 2. Voor 𝑋𝑡 werd een zogenoemd Ornstein-Uhlenbeck proces gekozen waarvan
de verwachtingswaarde op den duur naar nul convergeert en de covariantiematrix naar een
constante waarde. Dat zorgt ervoor dat de verwachtingswaarden van rente 𝑟𝑡 en inflatie 𝜋𝑡 vanuit
startwaarden, die bepaald worden door de keuze van 𝑋0 , convergeren naar waarden op de lange
termijn die gegeven worden13 door de parameters 𝔼 𝑟∞ en 𝔼 π∞ . De snelheid waarmee deze
convergentie plaatsvindt, en de onderlinge afhankelijkheid tussen nominale rente en inflatie, wordt

11

Koijen, R. S., T. E. Nijman, and B. J. Werker (2010) When can life cycle investors benefit from time-varying bond risk
premia? Review of Financial Studies 23(2):741–780.
12
We merken op dat de waarde op de lange termijn van een stochastisch proces niet hetzelfde is als de termijnstructuur; met
dat laatste wordt de (huidige) marktwaarde van obligatieprijzen met verschillende looptijden aangeduid.
13
Merk op dat 𝑟𝑡 en 𝜋𝑡 ook op de lange termijn rondom de waarden 𝔼 𝑟∞ en 𝔼 π∞ blijven fluctueren want de varianties van deze
processen convergeren niet naar nul maar naar positieve constanten. Op de duur zullen de processen ongeveer de helft van de
tijd boven en de andere helft onder 𝔼 𝑟∞ en 𝔼 π∞ liggen.

11

bepaald door de factorcoëfficiënten14 𝛽𝑟 en 𝛽𝜋 en door de dynamica van het proces 𝑋𝑡 , dat gegeven
wordt door

̃ℙ een standaard 𝑘-dimensionale Brownse beweging en 𝐾 een matrix die zo gekozen dient te
met 𝑊
worden dat het model stabiel15 is. Onder die voorwaarde wordt de term 𝑒 −𝐾𝑡 steeds kleiner en
convergeert de covariantiematrix voor het proces 𝑋𝑡 naar een constante die ook de
covariantiematrix van de rente en inflatie op de lange termijn bepaalt. Het proces 𝑋𝑡 heeft op ieder
moment een normale verdeling en dat geldt daarom ook voor de instantane nominale rente 𝑟𝑡 en
de instantane verwachte prijs-inflatie 𝜋𝑡 .
De aangroei van de prijsindex Π𝑡 en de aandelenindex 𝑆𝑡 over een tijdsinterval van lengte Δ𝑡 wordt
gespecificeerd als

De standaard Brownse beweging 𝑊 ℙ waarover geïntegreerd wordt bevat naast de 𝑘-dimensionale
̃ ℙ die de processen 𝑟𝑡 en 𝜋𝑡 aandrijft, nog een tweetal extra standaard
Brownse beweging 𝑊
′
̃ℙ , 𝑊
̅̅̅̅̅
ℙ
̅̅̅̅ℙ zodat 𝑊 ℙ = (𝑊
Brownse componenten 𝑊
) . Alle Brownse bewegingen worden, zonder verlies
𝑡

𝑡

𝑡

𝑡

van algemeenheid van de modelspecificatie, onderling stochastisch onafhankelijk verondersteld.
De laatste integralen in de twee vergelijkingen hierboven hebben verwachtingswaarde nul, dus de
verwachte verandering in de indexwaarden is proportioneel aan de indices zelf, en die wordt voor
de prijs-index bepaald door de verwachte prijsinflatie en voor de aandelen-index door de nominale
rente plus een risicopremie η𝑆 . De volatiliteitsparameters σΠ en σ𝑆 bepalen de mate van
onzekerheid in de toekomstige ontwikkeling van prijzen en aandelen.
De specificatie impliceert, vanwege Itô’s lemma, dat

Dit laat zien dat beide indices lognormaal verdeeld zijn en dat de bijbehorende volatiliteiten
respectievelijk ‖𝜎Π ‖ en ‖𝜎𝑆 ‖ bedragen. De parameters σΠ en σ𝑆 bepalen ook de correlatie tussen
de veranderingen van de indices en de correlaties met veranderingen in 𝑟𝑡 en 𝜋𝑡 .
De instantane nominale rente en verwachte prijsinflatie (en het onderliggende factor-proces)
kunnen niet direct geobserveerd worden. Daarom wordt bij het kalibreren van het model gebruik
gemaakt van instrumenten die van de rente afhangen, zoals nominale bonds. In affiene modellen
zoals het KNW-model is de zero coupon rate (of spot rate) 𝑦𝑡 (τ) van een bond met looptijd τ op
tijdstip t gerelateerd aan het factor-proces aangezien
𝜏 𝑦𝑡 (𝜏) = 𝐴(𝜏) + 𝐵(𝜏)′ 𝑋𝑡
voor deterministische functies 𝐴 en 𝐵 die bepaald worden door de modelparameters. Voor de
versie van het KNW-model zoals dat door de Commissie Parameters in 2019 gebruikt werd, geldt
dat zowel 𝐴 als 𝐵 alleen afhangen van de resterende looptijd τ. Voor lange looptijden τ convergeert
𝐵(τ) naar nul; daarom convergeren de spot rate en de forward rate naar 16

14

De notatie die we gebruiken wijkt voor sommige symbolen af van die van de Commissie Parameters in 2019.
Het reële deel van alle eigenwaarden van de matrix 𝐾 moet strikt positief zijn.
16
Rates worden hier meetkundig gedefinieerd (of op basis van continuous compounding). De gebruikelijke UFR die
rekenkundig gedefinieerd wordt (op basis van annual compounding) is dan 𝑈𝐹𝑅𝑎𝑛𝑛 = 𝑒 𝑈𝐹𝑅𝑐 − 1.
15

12

Om de functies 𝐴 en 𝐵 te bepalen moeten naast de eerder geïntroduceerde modelparameters ook
market prices of risk λ𝑡 voor rente en inflatie gespecificeerd worden. Prijzen van obligaties zijn dan
verwachtingen onder een nieuwe zogenaamde risico-neutrale17 kansmaat ℚ als die zo gekozen
ℚ
wordt dat de processen 𝑊𝑡 gedefinieerd door

standaard Brownse bewegingen zijn onder ℚ. De market prices of risk λ𝑡 bepalen de risicopremies
voor investeringen in obligaties en aandelen. Consistentie met de eerder geïntroduceerde
parameter η𝑆 legt op dat σ𝑆 ’λ0 = η𝑠 en σ𝑆 ’Λ1 = 0. De functies 𝐴 en 𝐵 die nodig zijn om
obligatieprijzen uit te rekenen volgen dan uit

̃1 bestaat uit de eerste 𝑘 rijen en kolommen van de matrix Λ1 . Wanneer voor λ0 een
waarbij Λ
constante in plaats van een deterministisch in de tijd variërende functie gekozen wordt, kan ook 𝐴
enkel als functie van de resterende looptijd τ geschreven worden. Die aanname is gemaakt in het
model van de Commissie Parameters in 2019.
In 2019 is door de Commissie Parameters een aantal restricties opgelegd die ervoor zorgen dat de
gemiddelde waarden op de lange termijn van de aangroei van de aandelenindex en de prijsindex
alsook de forward rate voor lange looptijden vastgelegd worden. Concreet gelden hiervoor de
waarden van respectievelijk 5,6%, 1,9% en 2,1%, die overeenkomen met het advies in 2019 van
de Commissie Parameters over het (maximale) meetkundig rendement voor aandelen, het
(minimale) meetkundige gemiddelde voor inflatie en het UFR-niveau per 31 december 2018:

Dit impliceert dat bij de kalibratie de parameters 𝔼 𝑟∞ , 𝔼 π∞ en η𝑆 niet meer geschat worden, omdat
ze volgen uit de overige parameterwaarden en deze restricties. Daarnaast wordt bij de kalibratie
de eis opgelegd dat over 60-jaar de spot rates voor obligaties met een looptijd van tien jaar met
een kans van 2.5% of minder negatief zijn:

Onder deze voorwaarden worden de parameters gekalibreerd aan de hand van maandelijkse
observaties in de periode tussen Januari 1999 en December 2018 voor de HICP-prijsindex in de
Eurozone, de MSCI-aandelenindex in euro’s en uit swap data verkregen nominale zero-coupon
rentes voor looptijden 1, 5, 10, 15, 20 en 30 jaar. Vervolgens wordt een startwaarde voor het
factorproces 𝑋0 gekozen met het doel om de startwaarde van de door het model gegeneerde
nominale rentetermijnstructuur zo goed mogelijk aan te laten sluiten bij wat op het moment van
kalibratie geobserveerd wordt. Dit leidt tot een parameterset

17

Het begrip risico-neutrale kans wordt hier bedoeld zoals omschreven in de wetenschappelijke literatuur.

13

waarmee economische scenario’s gegenereerd kunnen worden, de zogenaamde P-scenario’s. De
Commissie Parameters stelt in 2019 voor om λ0 en 𝑋0 elk kwartaal opnieuw te kalibreren, om zo
goed mogelijk aan te sluiten bij de dan geldende waarden voor de UFR en voor de
rentetermijnstructuur voor looptijden tot en met 30 jaar.
3.3.

Definitie Q-scenario’s en nieuwe toepassingen maken aanpassingen noodzakelijk

Op grond van de overwegingen van de eerdere Commissies Parameters vindt de werkgroep het
KNW-model een natuurlijk startpunt voor de modellering van economische scenariosets. De
bestaande aanpak om scenario’s te genereren kan evenwel niet ongewijzigd overgenomen worden
voor alle in hoofdstuk 2 besproken toepassingen van de scenariosets. Er moeten nu immers ook
risico-neutrale scenario’s (Q-scenario’s) gegenereerd worden voor netto profijt berekeningen en
berekeningen voor invaren met de vba-methode. Ook krijgen de P-scenario’s meerdere nieuwe
functies in het wetsvoorstel. Dat betekent niet op voorhand dat de eerdere methode om Pscenario’s te genereren niet langer geschikt is, maar is wel een reden voor de werkgroep om
mogelijke aanpassingen voor het hele model, dus voor zowel P- als Q-scenario’s opnieuw te
beschouwen.
De Q-scenario’s worden gebruikt voor het waarderen van onzekere toekomstige kasstromen. Zoals
uiteengezet in hoofdstuk 2 verschillen deze risico-neutrale scenario’s van de P-scenario’s omdat er
gecorrigeerd is voor de prijs van risico’s. Voor sommige daarvan, zoals renterisico en de
onzekerheid in aandelenrendementen, is de prijs relatief makkelijk te relateren aan vrij in de
markt verhandelde instrumenten zoals obligaties, aandelenderivaten en inflatieswaps/-opties.
Marktprijzen van deze instrumenten kunnen dan ook gebruikt worden bij het bepalen van de Qscenarioset. Maar kenmerkend voor risicodeling in pensioencontracten is ook dat het deelnemers
beschermt tegen risico’s die niet (makkelijk) te mitigeren zijn met liquide marktinstrumenten.
Daarbij kan men denken aan langlevenrisico, renterisico voor lange looptijden en (Nederlandse)
loon/prijsinflatie.
Voor zulke risico’s kan de prijs niet eenduidig uit marktgegevens gehaald worden: de in de Qscenario’s verwerkte compensatie voor een mogelijk risico kan alleen bepaald worden uit de
prijzen van marktinstrumenten die gevoelig zijn voor zo’n risicofactor. Men kan dus wel een
nauwkeurige aansluiting krijgen bij de prijzen van obligaties, kortlopende opties op aandelen en
andere derivaten op het moment van kalibratie. Maar voor andere relevante risicofactoren kan die
compensatie niet eenduidig bepaald worden, omdat de daarvoor benodigde marktgegevens
ontbreken18. Dit is bijvoorbeeld het geval voor het risico in illiquide assets zoals vastgoed, private
equity, hypotheken, opties die een lange looptijd hebben of ver out-of-the-money19 zijn, maar ook
voor systematisch langlevenrisico of Nederlandse (loon)inflatie. Voor het inflatierisico kunnen we
gebruik maken van marktprijzen van instrumenten die gebaseerd zijn op de Europese HICP
prijsindex20.
Bij het door de Commissie Parameters in 2019 gehanteerde model om P-scenario’s te genereren
was sprake van risicopremies voor rente, aandelen en prijsinflatie. Parameters die de risicopremie
voor rente bepalen waren onderdeel van de kalibratie, omdat die van invloed zijn op de rentetermijnstructuur, en dus mede de prijzen van de obligaties bepalen die tijdens de kalibratie gefit
zijn. De risicopremie voor aandelen werd vastgelegd via door de Commissie Parameters in 2019
gemaakte aannamen over het rendement op aandelen op de lange termijn. De risicopremie voor
onverwachte inflatie werd niet gekalibreerd. In de kalibratie van de P- en Q-scenario’s zoals
voorgesteld door deze werkgroep zal die laatste risicopremie wel ingeschat worden.
3.4.

Kalibratie van risico-neutrale scenario’s

Voor het kalibreren van een risico-neutrale scenarioset is belangrijk welke (impliciete) opties er
worden gewaardeerd. Het is van belang om voor de kalibratie van het model marktprijzen van

18

In de wetenschappelijke literatuur wordt dit aangeduid met ‘incompleetheid’ van de markt.
Dit zijn opties die enkel uitbetalen wanneer een onderliggende waarde, zoals een (swap-)rente of een aandelenprijs naar een
waarde bewegen die ver van de huidige waarde afligt. Daarmee wordt dus informatie verkregen over de (risico-neutrale) kans
op zulke extremere scenario’s.
20
De werkgroep heeft niet onderzocht in hoeverre de Europese HICP aansluit bij Nederlandse (loon)inflatie.
19

14

verhandelde optie te selecteren die zo goed mogelijk aansluiten bij de (impliciete) opties in het
pensioencontract waarvan we de waarde willen berekenen met de Q-scenario’s.
Alle deelnemers in het pensioenfonds hebben gezamenlijk nominale aanspraken die kunnen
worden verhoogd om prijsstijgingen te compenseren. Deze aanpassing wordt indexatie genoemd.
Een pensioenfonds mag echter pas indexeren bij een voldoende hoge dekkingsgraad. De
dekkingsgraad is de verhouding tussen de marktwaarde van de beleggingen en de marktwaarde
van de (nominale) aanspraken. Een pensioenfonds mag pas volledige indexatie toekennen als de
dekkingsgraad hoog genoeg21 is en moet korten als de dekkingsgraad langdurig te laag is.
Bovendien kan bij een voldoende hoge dekkingsgraad gecompenseerd worden voor in het verleden
misgelopen indexatie. Aangezien de mate waarin indexatie misgelopen is afhangt van de periode
waarin een huidige deelnemer bij het fonds aangesloten was, verschilt de hoogte van deze
zogenaamde inhaalindexatie per deelnemer.
Door deze indexatie- en kortingsregels, is een pensioencontract een complex financieel derivaat
waarvan we de marktwaarde kunnen inschatten met behulp van de Q-scenario’s. De marktwaarde
van de pensioenaanspraken wordt in belangrijke mate bepaald door de relatieve waarde van de
(impliciete) indexatieopties ten opzichte van de kortingsopties. Zeker voor jongere generaties met
weinig opgebouwde rechten, waarbij de pensioendatum nog ver in de toekomst ligt, wordt de
waarde van de uiteindelijke aanspraken in belangrijke mate bepaald door de indexatie- en
kortingsopties. Omdat deze opties pas bij langdurig hoge of lage dekkingsgraden in werking
treden, is de waarde van deze opties gevoelig voor de “staarten” van de kansverdeling van het
dekkingsgraad-proces. Anders dan bij de P-scenarioset, waarbij het adequaat inschatten van het
gemiddelde en de variantie van de dekkingsgraad leidt tot een plausibel en bruikbaar model, is het
bij het kalibreren van de Q-scenarioset belangrijk om de vorm van de gehele kansverdeling te
kalibreren. Marktprijzen van opties met verschillende uitoefenprijzen (“strikes”) geven een goed
inzicht in de vorm van de gehele risico-neutrale kansverdeling van aandelen, rente en inflatie.
Hierbij is van belang dat de range van uitoefenprijzen van impliciete opties in het pensioencontract
zo goed mogelijk gedekt wordt door de range van uitoefenprijzen van in de markt verhandelde
opties. In de kalibratie van Q-scenario-set moeten we dan ook borgen dat het risico-neutrale
model zo goed mogelijk aansluit bij de gehele kansverdeling van de onderliggende marktprijzen.
Dit kunnen we doen door, voor meerdere looptijden en meerdere strikes, de modelprijzen en
marktprijzen met elkaar te vergelijken.
3.5.

Een mogelijke aanpassing: Het KNW*-model

De werkgroep stelt een aantal wijzigingen voor ten opzichte van de aanpak van de Commissie
Parameters in 2019 om een eerste mogelijke set van P- en Q-scenario’s te kunnen genereren.
1. Bij de kalibratie van P- en Q-scenario’s is gebruik gemaakt van instrumenten met uitbetalingen
die van de toekomstige ontwikkeling van de (Europese) prijsinflatie afhangen, om de
compensatie voor onverwachte inflatie in te kunnen schatten. Zulke instrumenten zijn nodig
om Q-scenario’s voor de prijsinflatie marktconsistent te maken22.
2. Rentetermijnstructuren hangen af van het toekomstig verloop van de risicopremie voor rente.
De werkgroep kiest twee componenten van de vector λ0 , niet langer constant maar
deterministisch in de tijd variërend, zodat de op het moment van kalibratie geobserveerde
rentetermijnstructuur exact gefit kan worden. De waardering van deterministische
uitbetalingen in de toekomst middels de Q-scenario’s zal dan automatisch consistent zijn met
de op dat moment geldende nominale en reële risicovrije disconteringscurves.
3. In het KNW-model beschrijven twee factoren het verband tussen de prijsinflatie en de
risicovrije rente. De werkgroep heeft ook een versie van het model onderzocht waarin een
extra dimensie toegevoegd is aan het 𝑋𝑡 proces, dus een overgang van 𝑘 = 2 naar 𝑘 = 3 in
termen van de eerder geïntroduceerde parameters. Daarmee ontstaat een breder spectrum
21

De bovengrens ligt niet vast maar wordt bepaald door het niveau van de dekkingsgraad waarop toekomstbestendig volledige
indexatie mogelijk is. Toekomstbestendig wil zeggen dat een indexatie niet alleen nu verleend kan worden, maar tot aan de
horizon waarop de laatste kasstroom het fond verlaat.
22
Het modelleren van inflatierisico, gegeven een model voor nominaal renterisico, is equivalent is aan het modelleren van
reëel renterisico. Een aandachtspunt is hierbij dat de marktprijzen voor inflatieswaps niet gebruik maken van de Nederlandse
prijs- of looninflatie index, maar van de Europese HICP prijsindex en dat zij alleen voor looptijden tot 10 jaar liquide zijn.

15

aan mogelijke toekomstige nominale en reële disconteringscurves, omdat de termijnstructuur

op elk moment 𝑡 een gewogen combinatie vormt van k curves die een tijdelijk effect
beschrijven plus een extra curve die het gedrag op de lange termijn vastlegt:
Toevoegen van een extra factor kan daarom bijvoorbeeld helpen om de kans op scenario’s met
onrealistisch hoge of lage rentes te verkleinen. Daar staat tegenover dat onderzocht moet
worden of het model niet lijdt onder overfitting.
De kalibratie van deze aanpassing, die we aanduiden met KNW*, wordt in twee stappen
uitgevoerd:
A. In de eerste stap wordt het model gekalibreerd onder P en onder de aanname dat de
parameters die risicoprijzen voor rente- en inflatierisico bepalen constant zijn. De
verwachtingswaarden op de lange termijn voor prijsinflatie, aandelenrendement en
forward rentes worden daarbij a priori opgelegd. Deze eerste stap verschilt daarmee alleen
van de door de Commissie Parameters in 2019 gebruikte kalibratiemethode doordat er een
extra 𝑋-factor wordt toegevoegd23, dus de keuze voor 𝑘 = 3 in plaats van 𝑘 = 2. Met het op
deze wijze bepaalde model worden P-scenariosets gegenereerd.
B. In de tweede stap worden (enkel) de parameters die de volatiliteiten en risicopremies
bepalen herschat24, door nu ook een zo goed mogelijke aansluiting te zoeken bij de prijzen
van marktinstrumenten op analysedatum die gevoelig zijn voor rente- en inflatierisico (zie
1. en 2. hierboven) en voor volatiliteit van aandelen. Met het op deze wijze bepaalde
model worden Q-scenariosets gegenereerd.
Deze kalibratiemethode is consistent met de veronderstelling dat market prices of risk constant
waren in het verleden maar kunnen variëren in de toekomst. Die aanname stelt de werkgroep in
staat om:
o
o
o

3.6.

met eenzelfde soort model zowel mogelijke P-scenario’s als Q-scenario’s te genereren,
historische gegevens te gebruiken om de P-scenario’s te bepalen, op vergelijkbare wijze
als eerder voorgesteld door de Commissie Parameters in 2019, en
marktprijzen van derivaten op analysedatum alleen te gebruiken bij kalibratie van de
parameters die de Q-scenario’s bepalen.
Model- en parameteronzekerheid

Risicofactoren die relatief lastig af te dekken zijn in financiële markten zijn langlevenrisico,
Nederlandse inflatie, lange termijn rentes (zowel nominaal als reëel) en de volatiliteit op de lange
termijn. Voor berekeningen die fondsen nu al uit moeten voeren bij de bepaling van
dekkingsgraden en de URM wordt dit deels ondervangen door aan te nemen dat toekomstige
sterftekansen en toekomstige lange termijn rentes bekend verondersteld kunnen worden. Fondsen
rekenen immers op elk moment met de op dat moment relevante (cohort)sterftetafel, zonder
rekening te houden met onzekerheden in toekomstige sterftekansen. De rente voor lange
looptijden wordt vastgelegd door de Ultimate Forward Rate waarmee DNB de rentetermijnstructuur
berekent die fondsen moeten gebruiken bij de bepaling van de waarde van de verplichtingen.
Hierdoor is er bij de berekeningen geen sprake meer van langlevenrisico of onzekerheid over
forward rentes voor lange looptijden. Bovendien wordt er bij de P-scenario’s van uitgegaan dat de
volatiliteit van aandelen op de lange termijn hetzelfde is als de volatiliteit op de korte termijn, en
die kan met behulp van marktinstrumenten ingeschat worden.

23

In het bijzonder wordt λ0 in deze fase van het kalibratieproces constant verondersteld; pas bij de kalibratie van de Qscenario’s wordt 𝜆0 een deterministisch in de tijd variërende functie.
24
Eerst worden de parameters Λ1, δ1,𝑟 , σ𝑠 en σπ die de volatiliteiten bepalen geschat middels derivaten (aandelenopties,
swaptions en year-on-year inflation caps) waarbij om overfitting te voorkomen voor δ1,π de voor de P-scenariosets geschatte
waarde wordt gebruikt. Vervolgens worden de eerste twee componenten van de vector λ0 (τ) gebruikt om de nominale en reële
rentetermijnstructuur voor looptijd τ te fitten. De derde en laatste component van λ0 (τ) volgt dan uit de restrictie σ𝑆 ’λ0 (τ) = η𝑆 .

16

Als a priori waarden gekozen worden voor parameters die niet uit marktgegevens bepaald kunnen
worden, leidt het KNW*-model onder deze aannamen, en na kalibratie, tot een unieke definitie van
zowel P- als Q-scenario’s. Die scenario’s, en daarmee de uitkomsten van netto profijt
berekeningen en berekeningen voor invaren met de vba-methode, hangen af van de volgende
keuzes die a priori gemaakt moeten worden (dat wil zeggen, voor de kalibratie plaats kan vinden):
I.

Instrumenten die ingezet worden voor kalibratie.
Daarbij moet naast het type van elk instrument (zoals de in het volgende hoofdstuk
gebruikte prijzen van nominale en reële zero-coupon obligaties, rendementen van een
aandelenindex25 en een prijsindex, swaptions, year-on-year inflation caps en
aandelenindexopties) ook per instrument gekozen worden: de gebruikte periode van
historische observaties, contractparameters zoals de looptijd en bij derivaten
uitoefenprijzen of -rentes, evenals de weging van het instrument in de doelfunctie van het
optimalisatieproces om een zo goed mogelijke fit te bepalen.

II.

Waarden voor de lange termijn parameters.
Het betreft parameters zoals de UFR (zowel nominaal als reëel), en de verwachting en
variantie op de lange termijn van zowel het rendement op aandelen als de onverwachte
inflatie op de lange termijn, die niet uit marktgegevens af te leiden zijn.

III.

Al dan niet opgelegde randvoorwaarden, zoals een bovengrens voor de kans op negatieve
rentes op de lange termijn.
Bij de Commissie Parameters in 2019 was de restrictie dat de kans (onder P) dat 𝑡 jaar na
de datum van kalibratie de rente voor looptijd τ lager dan 𝑦̅ wordt met een kans die kleiner
is dan α. De keuze van de parameters betrof τ = 10, 𝑡 = 60, 𝑦̅ = 0% en α = 2.5%. Deze
restrictie speelt, in tegenstelling tot de andere twee hierboven, enkel een rol bij de
kalibratie van de P-set.

Er zijn uiteraard ook andere modelstructuren mogelijk en we bespreken daarom eigenschappen
van het KNW*-model en enige alternatieven in de volgende paragraaf. Maar ook wanneer ervoor
gekozen wordt om scenario’s met behulp van een ander model te genereren moeten bovenstaande
keuzes gemaakt worden. Wanneer dat het geval is, lijkt het de werkgroep verstandig dat nog
steeds gestreefd wordt naar een perfecte fit van de rentetermijnstructuren, dat bij de kalibratie
gebruik gemaakt wordt van derivaten die van prijsinflatie afhangen en dat geanalyseerd wordt hoe
de kwaliteit van de kalibratie afhangt van het aantal stochastische processen dat de dynamica
bepaalt.
3.7.

Modeleigenschappen en alternatieven

De werkgroep heeft, vanwege de doelstelling om in een beperkte tijd een model op te zetten
waarmee zowel P- als Q-scenario’s gegenereerd kunnen worden, een aantal expliciete keuzes
gemaakt. We bespreken hieronder een aantal modeleigenschappen met de bijbehorende voor- en
nadelen. Er zijn in de markt op dit moment al diverse alternatieve generatoren voor economische
scenario’s, zoals de methoden die ontwikkeld zijn door Ortec Finance en APG.
Het door APG ontwikkeld model is een autoregressief vectorproces met toestandsafhankelijke
volatiliteiten en neerwaartse sprongen, waarin naast de dynamica voor rente, inflatie en
aandelenrendementen ook dividenden, (US) kredietrisico, nominale en reële
rentetermijnstructuren, opties en swaptions gemodelleerd worden. Risicopremies worden ook in dit
model affien verondersteld en volgen uit de kalibratie. Omdat de kans op een sprong en de
spronggrootte niet van de toestand afhangen is sprake van een compleet model en ligt na
kalibratie zowel de dynamica voor P- als Q-scenario’s vast. Er is een gesloten formule voor
optieprijzen met een looptijd van 3 maanden, wat overeenkomt met een enkele tijdstap in het
model.
Het model van Ortec Finance combineert modelspecificaties voor de lange termijn (trend),
middellange termijn (business cycle) en de korte termijn (binnen het jaar). Per horizon wordt een
factor model gebruikt met stochastische volatiliteiten, waardoor verdelingen buiten de normale
25

Een belangrijk aandachtspunt betreft de munteenheid waarin de waarden van de aandelenindex en aandelenindexopties
uitgedrukt worden, aangezien dat bepaalt of er sprake is van extra volatiliteit als gevolg van schommelingen in wisselkoersen.

17

verdeling gegenereerd kunnen worden en correlatie op kan lopen in de staarten van de
verdelingen. Dynamica van rente, inflatie en aandelenrendement worden aangevuld met
rendement op vastgoed en valuta en deze economische variabelen worden wereldwijd
gemodelleerd. Modellen voor P- en Q-scenario’s zijn verschillend. Zo wordt voor de rente onder P
een Diebold-Li model gebruikt en onder Q een Cheyette model.
We bespreken een aantal overeenkomsten met en verschillen tussen de KNW*-specificatie en deze
bestaande methoden.
a.

Affien Gaussisch Markov model voor rentetermijnstructuren
Het KNW- en KNW*-model vallen onder de affiene Gaussische Markov modellen. Binnen
die klasse is het relatief eenvoudig om het verloop van niet (of lastig) observeerbare
modelvariabelen zoals de instantane rente en verwachte inflatie in te schatten aan de hand
van observeerbare grootheden. Bovendien worden rentetermijnstructuren beschreven als
een factor-gewogen gemiddelde van een aantal vaste curves, hetgeen de interpretatie van
de dynamica vergemakkelijkt. Er zijn gesloten formules voor de prijs van relevante
marktinstrumenten in termen van parameters, hetgeen de kalibratie vereenvoudigt en de
invloed van parameters op marktprijzen inzichtelijk maakt.
Als het model in staat moet zijn om de rentetermijnstructuren op analysedatum (nominaal
en reëel) precies te repliceren legt dat eisen op aan de risicopremies voor rente- en
inflatierisico. In de praktijk betekent deze eis meestal dat voor een Gaussisch short-rate
model gekozen wordt zoals in het 2-factor-Hull-White model (dat lijkt op KNW*) en het
Cheyette model (dat gebruikt wordt door Ortec Finance).

b.

Afhankelijkheden tussen rendement op beleggingen
De toestandsafhankelijke volatiliteiten en de mogelijkheid dat jumps optreden in
factorprocessen leiden bij de aanpak van APG tot correlaties tussen rendementen op
aandelen en obligaties onder P die kunnen variëren in de tijd. Bij Ortec Finance zijn
correlaties tijdsafhankelijk onder P maar constant onder Q. Correlaties die in de tijd
veranderen maken de dynamica onder P realistischer omdat toenemende afhankelijkheid
tussen de rendementen op verschillende beleggingen in tijden van crisis vooraf
veronderstelde diversificatievoordelen deels teniet kan doen. Bij het KNW- en KNW*-model
zijn ze constant onder zowel P als Q.

c.

Volatiliteit
In het KNW*-model wordt de volatiliteit van rente, inflatie en aandelen constant gekozen
onder zowel P als Q. Zoals eerder aangegeven, kunnen we optieprijzen met verschillende
strikes gebruiken om inzicht te krijgen in de vorm van de gehele risico-neutrale
kansverdeling. De marktprijzen van opties laten zien dat de risico-neutrale kansverdeling
van de aandelenrendement, rente en inflatie aanzienlijk schever is dan de perfect
symmetrische Gaussische verdeling van het KNW*-model.
Om een verbeterde fit aan de risico-neutrale kansverdeling te verkrijgen, moeten we de
Gaussische kansverdelingen loslaten. Een mogelijke uitbreiding van het KNW*-model ligt
in stochastische volatiliteit van de variabelen. Een stochastische versie kan gegenereerd
worden door introductie van nieuwe factoren (zoals in de aangepaste versie van het
Heston model dat Ortec Finance gebruikt) of door de volatiliteit te specificeren als een
deterministische functie van bestaande stochastische toestandsvariabelen (zoals in de
aanpak van APG).
Een andere uitdaging voor het KNW*-model is gelegen in het verschil in volatiliteiten voor
de modellen waarmee P- en Q-sets gegenereerd worden. Dit maakt dat de P-specificatie
en Q-specificatie niet langer equivalent zijn, wat impliceert dat het niet meer mogelijk is
om marktprijzen onder Q van instrumenten exact te repliceren op basis van de P-scenarioset. Equivalentie van P en Q sluit uit dat er een arbitragemogelijkheid gecreëerd wordt,

18

wanneer de uitbetalingen van een contract middels een portefeuille gerepliceerd kunnen
worden volgens de P-scenario’s, terwijl de huidige waarde van het contract en die
portefeuille niet overeenkomen volgens de Q-scenario’s26. Zowel APG als Ortec Finance
leggen deze eis van equivalentie niet op in hun modellen. Zij stellen dan wel de eis dat de
P- en Q-sets separaat gebruikt moeten worden. Dat wil zeggen dat de Q-scenario’s alleen
gebruikt mogen worden om prijzen uit te rekenen en P-scenario’s alleen gebruikt mogen
worden voor projecties van verwachte pensioenresultaten. Als er in P-scenario’s derivaten
worden gebruikt, worden deze gewaardeerd met analytische formules waarbij de
volatiliteit van de P-scenario’s gebruikt wordt. In de praktijk wordt overigens bij geen
enkele van de wettelijke toepassingen van de scenariosets tegelijkertijd gebruik gemaakt
van P- en Q-scenario’s.
3.8.

Geen eenduidige, objectief te motiveren, keuze mogelijk

Met de in de opdracht aan de werkgroep geformuleerde criteria, zoals het criterium dat modellen
wetenschappelijk verdedigbaar moeten zijn, kunnen niet alle model- en parameterkeuzes beslecht
worden. Er is dus sprake van model- en parameteronzekerheid in zowel de P- als de Q-scenario’s.
We zullen in het volgende hoofdstuk laten zien dat de gevoeligheid voor de keuze van de lange
termijnparameters die niet uit marktgegevens volgen groot kan zijn, voor zowel de P- als de Qscenario’s. De werkgroep adviseert daarom dat de Commissie Parameters de modelkeuze en de
invloed van deze parameters op de uitkomsten voor de verschillende toepassingen van de
economische scenario’s in kaart brengt. Het is aan de wetgever om aan te geven hoe met die
onzekerheid omgegaan moet worden.

26

Een illustratief voorbeeld: als voor aandelen een Black-Scholes model onder P gebruikt wordt en een Heston model onder Q
dan zal de Black-Scholes delta-hedge-strategie de at-the-money-call perfect repliceren voor alle P-scenario’s wanneer het
hedging account start met een inleg van de Black-Scholes prijs. Maar de waarde van de call volgens Q zal de over het
algemeen hiervan verschillende Heston-prijs zijn.

19

4. Economische doorrekeningen
De werkgroep analyseert zowel de P-scenario’s als de Q-scenario’s in dit hoofdstuk op basis van
het in het vorige hoofdstuk besproken KNW*-model. In de bespreking wordt nader ingegaan op
zowel de statistische eigenschappen (onderliggende modelparameters, modelfit, eigenschappen
scenario’s) als de economische eigenschappen (doorrekening modelfonds). Details over de
validatie van de resultaten staan in bijlage C.
4.1.

Kalibratie P-scenario’s

4.1.1. Methodologie
We onderzoeken de gevoeligheid voor met name de keuzes van lange-termijnparameters die niet
uit de marktgegevens volgen door de onderstaande vier varianten van het KNW-model met elkaar
te vergelijken:
1. KNW (2019). KNW-model met twee latente factoren, waarvoor de kalibratie van de
Commissie Parameters in 2019 is gebruikt.
2. KNW*. KNW-model met drie latente factoren, waarbij zowel de UFR-restrictie als de negatieve
rente restrictie is opgelegd. Dit is het in het vorige hoofdstuk beschreven model.
3. KNW*, geen UFR. KNW-model met drie latente factoren, waarvoor in vergelijking met KNW*
de UFR-restrictie wordt losgelaten in de kalibratie.
4. KNW*, negatieve renterestrictie 5%. KNW-model met drie latente factoren, waarvoor in
vergelijking met KNW* niet 2,5% maar 5% van de 10-jaars rentes in de lange-termijn
verdeling negatief mag zijn.
We vergelijken de uitkomsten van modellen 2 en 3 en modellen 2 en 4 met elkaar om nader
inzicht te krijgen in, respectievelijk, de impact van de UFR- en renterestrictie.
We baseren de kalibratiemethode op die van de Commissie Parameters in 2019, zie bijlage D1.
4.1.2. Kalibratie
We bespreken allereerst de kalibratie van de vier P-sets op basis van de resultaten in tabel 4.1.27
Tabel 4.1 toont dat de kalibratie van modellen 2-4 significant verschilt van de kalibratie van model
1. Dit kan onder andere verklaard worden door het gebruik van de andere data-periode in de
kalibratie (juni 2004 – december 2020 vs. januari 1999 – december 2018), wat illustreert dat de
historische data-periode een belangrijke impact op de resultaten heeft28.
Param
𝛿0𝜋
𝛿1𝜋,1
𝛿1𝜋,2
𝛿1𝜋,3
𝛿0𝑟
𝛿1𝑟,1
𝛿1𝑟,2
𝛿1𝑟,3
𝐾11
𝐾21
𝐾22
𝐾31
𝐾32
𝐾33

KNW (2019)
1,88%
-0,21%
0,00%
2,12%
-0,77%
-0,08%
6,56%
23,66%
30,32%
-

KNW*
1,88%
0,12%
0,21%
1,30%

KNW*, geen UFR
1,88%
0,50%
0,05%
-1,07%

KNW*, renterestr 5%
1,88%
0,16%
0,13%
1,32%

1,75%
0,64%
0,16%
-0,30%

1,80%
0,60%
-0,09%
0,03%

1,57%
0,64%
0,12%
-0,30%

21,41%
-30,73%
13,36%
-21,94%
10,06%
178,29%

10,44%
-49,99%
90,43%
-41,42%
-20,83%
200,00%

18,18%
-34,82%
14,71%
-20,53%
8,39%
170,98%

27

Om vergelijking makkelijker te maken hanteren we hier de symbolen zoals gebruikt door de Commissie Parameters in 2019.
In hoofdstuk 3 gebruikten we voor sommige parameters andere symbolen: δ0,π = 𝔼 π∞ , δ0,𝑟 = 𝔼 𝑟∞ , δ 1,𝑟 = β𝑟 , δ 1,π = βπ .
28
We hebben in een gevoeligheidsanalyse het KNW(2019) model ook op de kortere data-periode gekalibreerd en vinden dat
deze kalibratie dichter bij de KNW* specificatie ligt dan bij de bestaande kalibratie van KNW(2019).

20

η𝑠
σ𝑠,1
σs,2
𝜎𝑠,3
σ𝑠,4
𝜎𝑠,5
σπ,1
σπ,2
σπ,3
σπ,4
σπ,5

4,33%
-5,28%
-1,14%
0,05%
13,07%
-

4,56%
3,11%
0,07%
6,29%
2,28%
-10,89%

4,54%
3,05%
3,06%
-4,07%
0,90%
-11,99%

4,73%
3,22%
-0,19%
5,96%
2,57%
-10,93%

-0,10%
0,06%
0,55%
0
-

0,12%
0,05%
0,21%
-0,46%
0

0,12%
0,20%
-0,15%
-0,49%
0

0,14%
0,04%
0,20%
-0,45%
0

𝜆0,1
𝜆0,2
𝜆0,3
λ0,4

0,614
0,108
0
0,589

-0,738
-0,050
-0,287
-1,660

-0,520
-0,212
-0,078
-0,875

-0,641
-0,040
-0,234
-1,697

Λ1,1
Λ 2,1
Λ 3,1
Λ 4,1

0,091
-0,209
0
0,018

0,001
0,324
0,241
0,124

0,478
0,547
0,441
-0,071

0,029
0,352
0,238
0,144

Λ1,2
Λ 2,2
Λ 3,2
Λ 4,2

0,208
-0,228
0
0,064

-0,194
-0,116
-0,117
-0,319

-1,018
-1,005
-0,035
-0,382

-0,207
-0,118
-0,114
-0,282

Λ1,3
Λ 2,3
Λ 3,3
Λ 4,3

-

-0,205
-0,037
-1,454
-1,629

-0,259
0,025
-1,713
0,720

-0,177
-0,018
-1,360
-1,582

Tabel 4.1: De geschatte parameters voor de vier modellen. De parameters van de eerste
specificatie volgen uit de kalibratie van de Commissie Parameters in 2019 (analysedatum ultimo
2020), terwijl de overige specificaties gekalibreerd zijn op maandelijkse data tussen 2004-2020.
We gebruiken de notatie van Pelsser (2019).
Daarnaast toont de tabel dat de UFR- en renterestrictie in KNW*, net zoals in KNW (2019)29,
impact op het renteniveau heeft. Zo varieert de asymptotische nominale instantane rente δ0r =
𝔼 𝑟∞tussen de 1,57% en de 1,80% voor de drie varianten van het KNW*-model en zien we een
vergelijkbare impact voor de λ0 parameters die de hoogte van het lange eind van de rentecurve
beïnvloeden.
Tot slot blijkt dat zowel de UFR- als renterestrictie ervoor zorgen dat het proces voor de
factorvariabelen minder persistent wordt.
Figuren 4.1 en 4.2 tonen de verdeling van aandelenrendementen en inflatie over tijd. We zien dat
er op lange-termijn geen grote verschillen bestaan tussen de specificaties. De gemiddeldes zijn op
de lange termijn – door het opleggen van asymptotische meetkundige gemiddeldes voor inflatie en
aandelen in de schatting – gelijk, en in 90% van de scenario’s bewegen de aandelenrendementen
voor alle modellen tussen de -20% en 30% en de inflatie tussen de 0% en 4%.

29

Zie Pelsser (2019). Technical note: Kalman Filter Estimation of the KNW Model.

21

Figuur 4.2 laat wel een verschil in inflatie voor korte looptijden zien. Een verklaring hiervoor is dat
de startwaardes voor de KNW*-modellen niet enkel op basis van de nominale rentecurve maar ook
op basis van de reële rentecurve gekalibreerd zijn. De lagere mediane inflatie gedurende de eerste
jaren in deze scenariosets is in lijn met de reële rentecurve ultimo 2020 in de data.

Figuur 4.1: De verdeling van meetkundige (in natuurlijke logaritme, ln) jaarlijkse
aandelenrendementen over de tijd voor de vier modellen.

22

Figuur 4.2: De verdeling van de meetkundige (in natuurlijke logaritme, ln) jaarlijkse inflatie over
tijd voor de vier modellen.
Figuren 4.3 en 4.4 tonen de verdeling van de 20-jaars rente en de evenwichtsrentecurves voor het
KNW-model en de drie varianten van het KNW*-model. We zien hier dat de restricties een
significante impact op zowel de gemiddelde rentes als de spreiding in de rentes hebben. Zowel het
opleggen van de UFR restrictie als de striktere variant van de renterestrictie (2.5%) zorgen ervoor
dat de gemiddelde rente hoger komt te liggen en de spreiding kleiner wordt. De KNW (2019)
evenwichtsrente ligt het hoogst en dat is in lijn met de hogere gemiddelde rente in de langere
dataset waarop KNW (2019) gekalibreerd is.

23

Figuur 4.3: De verdeling van de meetkundige 20-jaars nominale zero-coupon rente over tijd voor
de vier modellen.

Figuur 4.4: De evenwichtsrentecurves voor de vier modellen. Dit zijn de rentes voor de
factorvariabelen gelijk aan 0.

24

4.1.3. Economische doorrekening
Deze sectie illustreert de impact van modelaannames op de vier toepassingen voor een P-set (zie
hoofdstuk 2) voor een modelfonds, waarvan de eigenschappen beschreven staan in bijlage E.
De werkgroep illustreert de impact op de vier30 toepassingen als volgt:
1. URM. De werkgroep toont voor drie maatmensen de pensioenuitkering in een pessimistisch (5 e
percentiel), mediaan (50e percentiel) en optimistisch (95e percentiel) scenario. Het gaat voor
actieven om de pensioenuitkering op pensioendatum en voor de gepensioneerde om de
pensioenuitkering 10 jaar in de toekomst. We normaliseren de absolute hoogte van de
uitkeringen per leeftijdscohort door te delen door de mediane uitkering in de KNW (2019)
specificatie, aangezien de absolute hoogte van uitkeringen sterk afhangt van fonds specifieke
eigenschappen.
2. Fiscale grens. De werkgroep toont het 27e percentiel van het meetkundig gemiddeld reëel
portefeuillerendement per 60-jaars scenario voor een fonds dat 50% belegt in aandelen en 50%
belegt in een 30-jaars zero-coupon obligatie conform de methodiek in hoofdstuk ‘Wijziging
fiscaal pensioenkader’ in de Memorie van Toelichting 31. De fiscale premiegrens volgt uit deze
uitkomst.
3. Premie-ambitie. De werkgroep toont dezelfde informatie als voor de URM om de onzekerheid
in de verdeling van uitkeringen tussen scenariosets te illustreren voor een gegeven premieniveau
voor de drie maatmensen32.
4. Risicohouding. De werkgroep toont de risicomaatstaven voor DC-regelingen conform het
huidig wettelijk kader, aangezien de nieuwe risicomaatstaven op moment van schrijven nog
uitgewerkt dienen te worden in de lagere regelgeving. De doorgerekende risicomaatstaven zijn
gelijk aan de afwijking van het pensioen in een pessimistisch scenario t.o.v. een
mediaanscenario. In de opbouwfase gaat het hierbij om het mediane pensioen op
pensioendatum, in de uitkeringsfase om de afwijking van het pensioen van jaar-op-jaar.
We laten voor toepassingen 1 en 3 geen absolute hoogtes voor de ingelegde premie, de
pensioenuitkeringen en de ambitie zien, aangezien de uitkomsten gevoelig zijn voor fonds specifieke
eigenschappen en nog niet alle details van het wettelijk kader bekend zijn. De Commissie Parameters
zou dit wel in beeld kunnen brengen.
We bespreken de resultaten van de impactanalyse op basis van tabel 4.2, waarbij we eerst de
nadruk leggen op de verschillen tussen de specificaties:
-

-

-

URM en premie-ambitie: We zien dat de gekozen specificatie een behoorlijke impact heeft
op de resultaten. Zo varieert de uitkering van een 57-jarige tussen de 0,98 en 1,04 in een
mediaan scenario en tussen de 0,50 en 0,60 in een pessimistisch scenario. Daarnaast zien we
dat de impact op het verwachte pensioen voor een 27- jarige varieert tussen de 0,9 en 1.
Ofwel een impact van 10% op het verwachte pensioen. Ook het slecht weer pensioen van deze
jonge deelnemer vertoont een variatie tussen de 0,36 en 0,45, een verschil van 20%.
Fiscale grens: Het meetkundig gemiddelde portefeuillerendement varieert tussen de 1,35%
en 1,74% wat conform de Memorie van Toelichting leidt tot een variatie in de fiscale
premiegrens op lange termijn van circa 2%-punten (circa van 30% tot 32%)33. Het
meetkundig reëel portefeuillerendement is hierbij het hoogst in de variant zonder UFR.
Risicohouding: De maximale toegestane afwijking in een pessimistisch scenario verschilt, in
procentpunten, het meest voor de 27-jarige maatmens. De afwijking varieert tussen de 52,1%
en de 64,3%.

Een nadere bestudering van de resultaten laat zien dat de verschillen tussen varianten mede
verklaard worden door een verschil in correlaties. Het meetkundig gemiddeld
portefeuillerendement is bijvoorbeeld het hoogst voor de set zonder UFR, aangezien deze set de
minste diversificatie kent tussen de rendementen op de 30-jaars obligatie en aandelen, waardoor
30

De werkgroep heeft er voor gekozen, vanwege de beschikbare tijd, de invloed op de haalbaarheidstoets niet in kaart te
brengen.
31
Zie deze link.
32
We realiseren ons dat deze aanpak niet direct aansluit bij de uitgangspunten in het concept-wetsvoorstel waarin een
koppeling wordt gelegd tussen de premie, het beoogde doel en de kans dat dit doel wordt gehaald.
33
De fiscale premiegrens wordt gebaseerd op een tabel, waarbij voor een rendement tussen minimale en maximale waardes
een fiscale grens staat weergegeven. De grens is op de korte termijn constant, tenzij afwijkingen groter zijn dan 5%-punt.

25

het meetkundig portefeuillerendement hoger uitvalt. De factorvariabelen zijn voor deze set relatief
persistent, waardoor de verschillende reeksen een grotere afhankelijkheid kennen.
KNW (2019)

KNW*

KNW*, geen UFR

KNW, restr5%

27 jarige

[0,36; 1; 2,19]

[0,45; 0,94; 1,72]

[0,44; 0,99; 1,92]

[0,41; 0,9; 1,69]

57 jarige

[0,50; 1; 1,78]

[0,60; 1,03; 1,64]

[0,59; 1,04; 1,69]

[0,56; 0,98; 1,58]

77 jarige

[0,66; 1; 1,50]

[0,74; 1,05; 1,44]

[0,71; 1,02; 1,42]

[0,73; 1,03; 1,41]

2. Fiscale grens

Reëel rend.

1,35%

1,50%

1,74%

1,43%

4. Risicohouding

27 jarige

64,3%

52,1%

55,5%

54,0%

57 jarige

50,1%

41,3%

43,4%

42,7%

77 jarige

0,9%

1,3%

1,3%

1,3%

1. URM,
3.Premie/ambitie

Tabel 4.2: De tabel toont de impactanalyse voor de P-scenario’s. De uitkomsten voor toepassingen
1 & 3 geven reële uitkomsten in een pessimistisch, mediaan en optimistisch scenario weer en zijn
per leeftijdscohort genormaliseerd op de mediane uitkering in de KNW(2019) specificatie. De
uitkomsten voor toepassing 2 geven het 27e percentiel van het meetkundig gemiddeld reële
rendement per 60-jaars scenario weer. De uitkomsten voor toepassing 4 geven de procentuele
afwijking van de pensioenuitkering in het pessimistische scenario ten opzichte van het mediane
scenario weer op pensioendatum voor de niet-gepensioneerden en voor het eerstvolgende jaar
voor gepensioneerden. De werkgroep geeft, vanwege de beperkte tijd, geen inzicht in de
numerieke onnauwkeurigheid in de hier gepresenteerde getallen gegeven het aantal gebruikte
scenario’s van 20.000.
4.2.

Kalibratie Q-scenario’s

4.2.1. Methodologie
Deze sectie beschrijft de methodologie die de werkgroep gebruikt om het KNW*-model op de
marktprijzen van 31 december 2020 te kalibreren. Deze methodologie wordt uitgebreider uitgelegd
(incl. een beschrijving van de gebruikte data) in bijlage D2.
We analyseren de impact van de UFR-restrictie en de in de kalibratie gebruikte instrumenten door
het KNW*-model te vergelijken met twee alternatieven:
1. KNW*. KNW-model met drie latente factoren, waarvoor de werkgroep de UFR restrictie
oplegt. Dit model gebruikt tijdsvariërende risicopremies zoals beschreven in het vorige
hoofdstuk.
2. KNW*, geen UFR. KNW-model met drie latente factoren, waarvoor in vergelijking met KNW*
de UFR-restrictie wordt losgelaten.
3. KNW*, andere instrumenten (KNW* a.i.). KNW-model met drie latente factoren en UFR
restrictie, waarbij in vergelijking met KNW* extra out-of-the-money (OTM) opties in de
kalibratie worden gebruikt.
We brengen de impact van de UFR restrictie en het gebruik van andere instrumenten in beeld door
de resultaten voor variant 1 en 2 en variant 1 en 3 met elkaar te vergelijken.
De werkgroep kiest de modelparameters zodanig dat de modelprijzen voor de geselecteerde
instrumenten zo dicht mogelijk aansluiten bij de in markt geobserveerde prijzen op de
analysedatum van 31 december 2020. Dit betekent concreet dat we de gekwadrateerde fout
tussen waarden van het model en waarden in de markt voor prijzen en implied volatilities
minimaliseren.
We houden bij de selectie van de instrumenten rekening met de liquiditeit van de gebruikte
financiële instrumenten. We gebruiken daarom in de kalibratie hoofdzakelijk at-the-money opties
en beperken ons bij de aandelenopties en de inflatie-caps tot looptijden t/m 10 jaar. We doen in

26

variant 3 van het KNW*-model wel een gevoeligheidsanalyse op de in de kalibratie te gebruiken
instrumenten. Deze selectie kan in vervolgonderzoek verder verfijnd worden.
4.2.2. Kalibratie
Figuren 4.5 en 4.6 geven een overzicht van de swaption en optie data - uitgedrukt in (annualized)
implied volatility - die we gebruiken bij het kalibreren van de modelparameters.

Figuur 4.5. De volatility surfaces ultimo 2020 van EURIBOR swaptions (6M floating rate) en SP500
opties, waarbij de implied volatility afgezet wordt tegen de tenor en maturity (swaptions) en de
strike en maturity (aandelenopties). De hoogte van de SP500 ultimo 2020 is 3755.

Figuur 4.6: Dit figuur geef de implied volatilities ultimo 2020 weer voor respectievelijk EURIBOR
swaptions met maturity 5Y en tenor 5Y en een SP500 optie met looptijd 5 jaar voor verschillende
strikes. De hoogte van de SP500 ultimo 2020 is 3755.
Figuren 4.5 en 4.6 tonen dat het verschil in implied volatilities voor de 5Yx5Y EURIBOR swaptions
voor verschillende strikes 16 basispunten bedraagt en voor SPX 5Y opties 0.8%. Het KNW*-model
kan dit patroon niet exact fitten, aangezien de implied volatilities voor opties met verschillende
uitoefenprijzen maar dezelfde looptijden gelijk zijn. Dat volgt uit de lognormale risico-neutrale
verdeling van aandelenrendementen in dit model.

27

Tabel 4.3 toont de belangrijkste parameters voor de kalibratie van het Q-model34. De tabel laat
zien dat de parameters significant verschillen van de parameterschattingen voor de P-kalibratie
(zie vorige sectie). Zo is volatiliteit van aandelenrendementen (berekend als de wortel van de
gekwadrateerde som van de volatiliteitsparameters) voor aandelenrendementen niet circa 13%,
maar circa 21%. Daarnaast zien we dat het gebruik van aanvullende out-of-the-money
instrumenten ook een behoorlijke impact heeft, aangezien de aandelenvolatiliteit licht daalt en de
inflatievolatiliteit stijgt.
KNW*
𝑀

KNW*, a.i.

0,354

0

0

0,380

0

0

-0,801

0,029

0

-0,803

0,031

0

0,968

0,513

0,848

0,985

0,494

0,891

Λ(4,:)

0.534

0.888

0.964

0,535

0,887

0,966

𝜎𝑠

18,68%

18,29%

9,42%

7,90%

-0,06%

1,18%

0,08%

-0,18%

0,08%

-0,18%

-0,14%

-0,63%

0,00%

-0,47%

-0,59%

-0,71%

0,59%

0,05%

0

0

-0,73%

0,05%

0,07%

0,96%

-0,39%

1,03%

σπ

𝑅1

Tabel 4.3: Kalibratie Q-set. De tabel geeft de gekalibreerde vrije Q-parameters weer voor zowel de
KNW* als de KNW* a.i., specificatie. We berekenen de parameters door de gekwadrateerde fout
tussen de prijs/implied volatility in het model en de markt te minimaliseren. Zie bijlage D2 voor
nadere details over de gebruikte notatie.
We analyseren de aansluiting tussen de modelprijzen en de marktprijzen in tabel 4.4.
We zien allereerst dat de Q-set gebaseerd op de P-parameters niet goed in staat is om de actuele
prijzen te fitten. Dit toont dat het lastig is om parameters te kiezen, waarvoor de P-set aansluit bij
de historische data en de Q-set bij de actuele marktdata. Daarnaast laat de tabel zien dat de op
marktdata gekalibreerde varianten van het KNW*-model wel in staat zijn om de gebruikte
marktinstrumenten te fitten. Zo is de kalibratiefout voor een 10-jaars ATM aandelenoptie ruim 800
basispunten op basis van de P-parameters maar slechts 9 basispunten op basis van de
modelparameters voor het KNW*-model. Een aandachtspunt is de fit van de inflatie-caps,
aangezien deze minder goed is vanwege de scheefheid in de betreffende risico-neutrale verdeling.

34

De tabel toont geen gekalibreerde modelparameters voor KNW*, geen UFR, aangezien deze, behoudens de niet
gerapporteerde waardes voor de tijdsafhankelijke parameter λ0 (𝑡), gelijk zijn aan de parameters voor KNW*.

28

Tot slot leidt de kalibratie van de KNW*a.i. specificatie tot een lagere aandelenvolatiliteit en een
hogere rente- en inflatievolatiliteit (zie ook tabel 4.3). We zien dat – in lijn met de gekozen
kalibratiemethode - de KNW* specificatie de ATM opties het beste fit, terwijl de KNW*, a.i. de
totale set aan opties het beste fit.
Stock Options

Vol (%)

Vol (%)

Maturity

ATM strike 3755

OTM strike 3850

1

20,7

19,5

3

20,7

20,2

5

20,9

20,6

10

22,3

22,2

Swaptions
Maturity

Tenor

Vol (bp)
ATM

KNW*

KNW*, a,i,

Vol
13,2

Vol
20,7

Vol
20,2

13,3

20,7

20,5

13,4

21,0

20,8

13,9

22,2

22,2

Vol

Vol

Vol

53,5

49,2

54,2

51,0

52,2

55,5

53,2

53,1

56,9

48,6

50,7

53,6

49,3

51,1

54,2

43,0

45,6

47,8

Price

Price

Price

7,6

5,7

3,8

63,7

22,3

25,8

197,3

79,2

79,8

0,5

0,2

0,1

11,6

1,0

1,6

48,0

6,8

6,5

0,08

2,69E-04

1,44E-04

Vol (bp)
OTM +2%

5

5

43,1

58,4

20

5

49,6

58,3

5

10

51,5

59,7

20

10

51,3

56,9

5

20

52,0

57,4

20

20

47,7

53,3

YoY Inflation Cap
Maturity
Strike

P-Param

Price

1

2%

5,6

5

2%

21,9

10

2%

79,1

1

3%

0,9

5

3%

5,1

10

3%

12,3
SSE:

Tabel 4.4. Het eerste deel van de tabel geeft marktprijzen/volatilities weer voor een deel van de
financiële instrumenten ultimo 2020. Het tweede deel geeft de modelprijzen/volatilities weer van
het KNW-model met de eerder geschatte P-parameters en het KNW*-model met vrije parameters,
voor twee verschillende sets van instrumenten die gebruikt zijn voor de kalibratie van Q-sets. De
KNW* specificatie is alleen op ATM opties/2% inflatiecaps gefit, de KNW* a.i. specificatie is ook op
de OTM opties/3% inflatiecaps gefit. De SSE toont het gekwadrateerde verschil tussen de markten modelprijzen voor de dataset van deze laatste specificatie.
4.2.3. Economische doorrekening
We illustreren in deze sectie de impact van modelaannames op de twee toepassingen voor de Q-set
(zie hoofdstuk 2) voor een modelfonds. Dit modelfonds heeft een dekkingsgraad van 100%, belegt
60% in aandelen en 40% in renteafdekking, hanteert het genoeg is genoeg principe, en heeft een
premiedekkingsgraad van 100%. Het is een ander fonds35 dan in hoofdstuk 5, waardoor de
resultaten in deze sectie niet één-op-één vergeleken kunnen worden met de resultaten uit hoofdstuk
5. Zie bijlage E voor nadere details.
De werkgroep rekent de twee toepassingen voor de Q-set als volgt door:
5.

Vba-waarde. De werkgroep toont voor drie maatmensen de vba-waarde (value-based ALM
waarde) van de huidige aanspraken onder het FTK gedeeld door de waarde van de huidige
technische voorziening (berekend via de nominale rentecurve aan het begin van de

35

De reden hiervoor is praktisch; de analyses zijn door verschillende werkgroepleden uitgevoerd met gebruik van hun eigen
fondsmodel.

29

6.

desbetreffende scenarioset). Deze waardes liggen onder de 100%, aangezien het onverdeeld
vermogen in het FTK in deze doorrekening niet toebedeeld wordt.
Verandering in netto profijt. De werkgroep toont voor drie maatmensen het verschil (Δ) in
het netto profijt tussen 1) een individuele DC-regeling waarbij deelnemers als startvermogen
de technische voorziening onder het FTK meekrijgen en 2) het huidige FTK met
doorsneesystematiek. Het verschil in netto profijt wordt in de tabel gedeeld door de vbawaarde van de toekomstige uitkeringen in het FTK. Een positief (negatief) verschil in netto
profijt betekent dat de deelnemer er bij de overstap van het FTK naar de individuele DCregeling op vooruit (achteruit) gaat.

Zoals aangegeven in de inleiding heeft de werkgroep, gezien de beschikbare tijd, geen analyse
kunnen doen van het aantal benodigde scenario’s. Voor de toepassingen in deze paragraaf geven
we wel inzicht in de simulatie (on)nauwkeurigheid door intervallen te presenteren voor de valuebased ALM waarde en het verschil in netto profijt bij het door de werkgroep gebruikte aantal van
20.000 scenario’s. Deze intervallen zijn gebaseerd op het 0,5% en 99,5% kwantiel van de
simulatieverdeling.
Tabel 4.5 toont de resultaten, waarbij we bij KNW (2019) “-“ noteren, aangezien dit model geen
op de markt gekalibreerde Q-set kent:
-

Vba-waarde: We zien dat het gebruik van andere instrumenten en de UFR-restrictie een
behoorlijke impact op de resultaten heeft. Zo zien we dat de vba-waarde (uitgedrukt als
percentage van de technische voorziening) varieert tussen de 42,8% en de 56,1% voor een
27-jarige.36 Beide varianten zorgen ervoor dat het fonds in de scenario’s meer fondsvermogen
aan de huidige opbouw toekent. De UFR-restrictie leidt, via rentecurves die voor het lange eind
gemiddeld hoger liggen, tot een lagere kans op kortingen in het begin van de simulaties,
terwijl de kalibratie op basis van andere instrumenten, via een lagere uitvallende Qaandelenvolatiliteit en een hogere uitvallende Q-inflatievolatiliteit, leidt tot een onverdeeld
vermogen dat lager uitvalt door de kleinere kans op hoge dekkingsgraden in de simulaties.

-

Verandering in netto profijt: We zien hier dat zowel het gebruik van andere instrumenten
als het opleggen van de UFR-restrictie een behoorlijke impact op de resultaten heeft. De
specificatie met de andere instrumenten leidt in dit voorbeeld tot de kleinste netto profijt
effecten, terwijl de specificatie zonder UFR tot de grootste netto profijt effecten leidt. Bij netto
profijt berekeningen speelt - naast de waarde van de huidige opbouw in het oude contract en
de individuele DC-regeling - ook de impact van het afschaffen van de doorsneesystematiek
een rol. De resultaten zijn in het algemeen in lijn met de resultaten voor de vba-waarde. Hoe
hoger de vba-waarde in het FTK, hoe lager het voordeel (verandering in netto profijt) in deze
berekeningen om over te stappen naar een individuele DC-regeling.

5. Vba-waarde

6. ΔNetto profijt

KNW(2019)

KNW*

KNW*, geen UFR

KNW*, a.i.

27 jarige

-

[46,5% ; 47,0%]

[42,8% ; 43,4%]

[55,5% ; 56,1%]

57 jarige

-

[81,1% ; 81,6%]

[78,2% ; 78,6%]

[83,7% ; 84,1%]

77 jarige

-

[96,0% ; 96,1%]

[94,1% ; 94,2%]

[96,0% ; 96,1%]

27 jarige

-

[26,6% ; 28,0%]

[29,0% ; 30,4%]

[11,1% ; 12,3%]

57 jarige

-

[18,1% ; 18,7%]

[22,5% ; 23,2%]

[14,2% ; 14,8%]

77 jarige

-

[4,3% ; 4,5%]

[6,5% ; 6,7%]

[4,3% ; 4,5%]

Tabel 4.5: Impactanalyse Q-sets (20.000 scenario’s). We rapporteren voor elk resultaat het 0,5e
en 99,5e percentiel. Voor toepassing 5 tonen we de vba-waarde van de huidige aanspraken
gedeeld door de waarde van de technische voorziening van deze aanspraken. Toepassing 6 geeft

36

We delen bij de vba-waarde toepassing, zoals hierboven aangegeven, de berekende vba-waarde door de waarde van de
verplichtingen, waarbij de waarde van de verplichtingen uitgerekend wordt met de startrentecurve in de desbetreffende
scenarioset. Dit zorgt ervoor dat de verdiscontering in zowel de teller (vba-waarde) als de noemer (waarde verplichtingen)
consistent zijn met elkaar. We vinden dat de gerapporteerde waarde voor een 27-jarige significant stijgt (van gemiddeld
43,0% naar 66,2%) als we de noemer in KNW*, geen UFR met de UFR-curve berekenen, aangezien zijn of haar aanspraken
ver in de toekomst liggen. De verdiscontering in de teller (vba-waarde) en de noemer (waarde verplichtingen) zijn dan niet
meer consistent met elkaar. De impact voor de andere, oudere maatmensen is beperkt.

30

het verschil in netto profijt tussen het FTK en een individuele DC-regeling, gedeeld door de vbawaarde van toekomstige uitkeringen in het FTK, weer.

31

5. Vergelijking uitkomsten Q-set met externe modellen
Zowel bij de P- als Q-sets is er sprake van model- en parameteronzekerheid (zie hoofdstuk 3). In
dit hoofdstuk wordt een vergelijking gemaakt van het KNW*-model voor Q-scenario’s (KNW*) met
een tweetal complexere scenariomodellen (Ortec Finance en APG). Deze twee externe modellen
gebruiken we als toets, waarbij onderzocht wordt in welke mate het gebruikte scenariomodel (en
dus de daarin gemaakte modelkeuzes) van invloed zijn op uitkomstmaten voor de wettelijke
toepassingen van Q-scenariosets.
Voor een toelichting op de verschillende modellen op hoofdlijn verwijzen we naar hoofdstuk 3.
5.1.

Vergelijking van kenmerken van Q-scenario’s

Om de vergelijking zo zuiver mogelijk te maken zijn de modellen zo veel mogelijk op dezelfde data
gekalibreerd. Een volledige modelvergelijking op precies dezelfde inputdata is niet mogelijk binnen
de gestelde tijdlijnen van dit rapport.
De gegenereerde scenariosets bevatten de volgende variabelen:
•
•
•

Prijsinflatie;
Aandelenrendement;
Nominale rentetermijnstructuur (swap rente).

De sets zijn gekalibreerd op data van 31 december 2020.
Binnen het KNW*- en het APG-model wordt de (impliciete) aandelenvolatiliteit in de Q-set geschat
met behulp van de Black-Scholes implied volatility van SPX opties. Deze opties zijn in dollars
genoteerd. In de kalibratie van KNW* en APG wordt aangenomen dat er geen valutarisico is. Binnen
het Ortec Finance model wordt valutarisico wel gemodelleerd. De aangeleverde risico-neutrale
scenario’s voor aandelenrendementen in het Ortec Finance model zijn daarmee een combinatie van
lokale aandelenrendementen (in dollars), valutarendementen en de rendementen resulterend uit het
hedgen van de valutakoersen. In deze aandelenrendementen is het valuta risico voor 50% afgedekt.
Dit verschil in methodologie heeft (enige) invloed op de uitkomsten omdat de resulterende Qvolatiliteit van aandelenrendementen in de Ortec Finance set hierdoor hoger ligt.
De drie scenariosets bevatten elk 5.000 scenario’s met een horizon van 100 jaar. Figuur 5.1 toont
de Q-verdeling (5%, 50% en 95% percentiel) van bovengenoemde variabelen. Hierbij benadrukken
we dat deze verdelingen Q-verdelingen zijn en geen directe koppeling hebben met real world
verwachtingen van variabelen zoals in P-sets. De rentevariabelen vertonen de grootste
overeenkomsten. De APG-set heeft de hoogste Q-kans op hoge inflatiescenario’s, de KNW*
scenario’s de laagste. Met betrekking tot het aandelenrendement valt op dat de APG-set relatief
weinig upside kent: het 95% percentiel van de Q-verdeling ligt beduidend lager dan in de andere
sets. Daarnaast valt op dat de Q-verdeling van log rendementen in de KNW*-set (vrijwel)
symmetrisch is terwijl in de Ortec Finance en APG-set sprake is van negatieve scheefheid (dus een
grotere kans op lagere waarden). Figuur 5.2 toont de jaarvolatiliteit van de variabelen in de Q-set.
De APG-set heeft de hoogste inflatie- en rentevolatiliteit en de Ortec Finance de hoogste
aandelenvolatiliteit. Dit laatste hangt samen met het valuta-effect dat in de Ortec Finance set
expliciet wordt meegemodelleerd (en voor 50% is afgedekt), en in de andere modellen niet.
De verschillen in karakteristieken tussen de sets kunnen verklaard worden uit een combinatie van
het gebruik van andere inputdata als verschillen in modelstructuur. Zo is de APG-set gekalibreerd
op inflatieopties met zowel hoge drempelwaarden (4% caplets) als met lage drempelwaarden (1%
floorlets). De opties met hoge drempelwaardes zijn duurder (hebben een hogere implied volatility)
en dit kan verklaren waarom de Q-volatiliteit hoger is dan in de andere sets. Binnen de Ortec Finance
kalibratie zijn alleen at the money caplets gebruikt. Voor het aandelenrendement speelt de gekozen
modelstructuur een belangrijke rol. In de KNW*-set wordt in tegenstelling tot de andere sets
opgelegd dat de log rendementen normaal verdeeld zijn.

32

Figuur 5.1: verdeling (5%, 50% en 95% percentielen) van de Q-scenario’s. De eenheid van de xas is jaren en van de y-as procenten.

Figuur 5.2: volatiliteit van de van de Q-scenario’s. De eenheid van de x-as is jaren en van de y-as
procenten.
5.2.

Vergelijking van vba-waarde en netto profijt

De Q-scenario’s zijn nodig voor de berekening van netto profijt effecten waarmee pensioenfondsen
mede de evenwichtigheid van de transitie beoordelen. Tevens spelen deze Q-scenario’s een rol bij
het invaren met de vba-methode, één van de twee methodes waarmee het collectieve vermogen
van een pensioenfonds verdeeld kan worden over de deelnemers.
In deze paragraaf wordt voor een gemiddeld pensioenfonds in kaart gebracht in welke mate de VBAwaardes en de netto profijt waardes verschillen tussen bovengenoemde scenariosets.
5.2.1. Modellering van het pensioencontract
We passen de vergelijking toe op een representatief pensioenfonds uitgaande van de vigerende
uitkeringsregeling. Hierbij merken we op dat de analyses in dit hoofdstuk uitgevoerd zijn op een

33

ander pensioenfonds met een ander beleid dan de analyses in hoofdstuk 4. De verschillen in
bestandsamenstelling, bestandprojectie en premie-, indexatie- en beleggingsbeleid leiden tot
verschillen in uitkomsten tussen hoofdstuk 4 en 5.
Het geanalyseerde fonds in dit hoofdstuk heeft ruwweg de volgende kenmerken:
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Beleggingsmix: 60% aandelen en 40% vastrentend;
Renteafdekking: 50%;
Aanvangsdekkingsgraad: 100%;
Aantal jaren in dekkingstekort: 0
Initiële indexatieachterstand: 12%;
Geen maximale inhaalduur;
Pensioenopbouw van 1.875%, waarbij deze alleen verlaagd wordt als de gedefinieerde
maximale premie bereikt wordt;
Premie: kostendekkende premiesystematiek op basis van RTS+UFR (premiedekkingsgraad
100%), met een maximale premie van 30%;
Indexatie: FTK indexatiebeleid, met fiscale begrenzing (‘genoeg is genoeg’).

Als gevoeligheidsanalyse wordt ook gekeken naar een situatie waarin ‘genoeg is genoeg’ wordt
losgelaten.
Voor elk van de drie scenariosets bepalen we:
•
•

de vba-waarde van de bestaande FTK-aanspraken, zowel op fondsniveau als voor een aantal
cohorten (geboortejaren 1920, 1930, 1940, …, 2000);
het netto profijt van het huidige FTK contract inclusief nieuwe opbouw.

Het netto profijt van het huidige contract beschouwen we in afwijking van de waarde van de
bestaande Voorziening Pensioen Verplichtingen (VPV). Op die manier kan dit verschil als een
verandering in het netto profijt beschouwd worden ten opzichte van de situatie waarbij deelnemers
invaren naar een zuivere DC-regeling, en bij het invaren hun VPV meekrijgen. Immers bij een zuivere
DC-regeling is de waarde van de uitkeringen per definitie gelijk aan het startkapitaal plus de in de
toekomst in te leggen premie. Netto profijt is bij een zuivere DC-regeling gelijk aan het
startvermogen. Het op deze wijze berekende verschil in netto profijt wordt uitgedrukt als percentage
van de vba-waarde van de volledige pensioenuitkeringen (dus inclusief nog op te bouwen
aanspraken) in het FTK contract. Deze verandering van netto profijt kan geïnterpreteerd worden als
de mate waarin een deelnemer er in waarde op voor- of achter uitgaat als percentage van de vbawaarde van de toekomstige pensioenuitkeringen in het huidige FTK-contract. Bij een positieve
waarde ondervinden deelnemers een voordeel van het op deze wijze invaren naar een zuivere DCregeling, bij een negatieve waarde is er een nadelige impact.
5.2.2. Impact op vba-waarde
Figuur 5.3 toont voor de verschillende cohorten en op fondsniveau de vba-waarde van de huidige
aanspraken ten opzichte van de VPV. De bandbreedte van de zwarte lijnen geeft het 99%
betrouwbaarheidsinterval weer van de gesimuleerde vba-waarden.

34

Figuur 5.3: vba-waarde van huidige aanspraken t.o.v. initiële voorziening
De verschillen in vba-waarden tussen de sets zijn groter voor de jongere dan oudere cohorten. Dit
is logisch: hoe ouder de deelnemer, hoe korter de horizon van toekomstige pensioenuitkeringen en
dus hoe minder de invloed van parameter- en modelonzekerheid. De vba-waarde van het cohort
1940 is in de APG-set (met genoeg is genoeg) [98,9% ; 99,5%]37, in de Ortec Finance set [97,4%
; 98,0%] en in de KNW*-set [98,9% ; 99,4%]. Het cohort 1980 heeft in de APG-set een vba-waarde
van [88,1%;92,1%], in de Ortec Finance set [82,7% ; 88,5%] en in de KNW*-set [77,9% ; 80,7%].
Op fondsniveau zijn de vba-waarden in de drie sets respectievelijk [93,5% ; 95,5%], [88,6% ;
91,5%] en [87,6% ; 88,4%].
De verschillen in de uitkomsten kunnen als volgt verklaard worden:
•

•

•

•

•

De APG set kent de hoogste Q-volatiliteit (en Q-niveaus) van inflatie, de KNW* set de
laagste. Hogere (lagere) indexaties in de Q-set dragen bij aan een hogere (lagere) waarde
van de indexatie-optie en daarmee een hogere (lagere) vba-waarde.
Daar staat tegenover dat de Q-set van APG de minst hoge aandelenrendementen kent
(gedreven door de scheefheid van de rendementen). Hierdoor zal er juist minder ruimte zijn
voor indexaties. Dit element drukt de waarde van de indexatie-optie voor de huidige
generaties en er wordt meer vermogen doorgeschoven naar de toekomst. Dit effect treedt
vooral op als genoeg is genoeg wordt losgelaten.
De scheefheid in de aandelenrendementen in de Ortec Finance en de APG-sets, zorgen voor
hogere risico-neutrale kansen op lage dekkingsgraden in de simulatie. Hierdoor zal de
negatieve waarde van de kortingsoptie toenemen. Dit heeft een nadelig effect op de vbawaardes.
Het fonds start met een dekkingsgraad van 100%. Meevallende rendementen zullen in
eerste instantie in de buffer komen, en niet ten goede komen aan de indexaties van ouderen.
Dit drukt de waarde van de indexatie-optie van met name ouderen met uitkeringen op de
kortere termijn. De buffer wordt vervolgens later in de toekomst ingezet om indexaties van
jongeren te kunnen financieren. Deze toekomstige hogere dekkingsgraden komen het meest
voor in de KNW*-set, daarna in de Ortec Finance set en als laatst in de APG set, en zijn het
gevolg van de Q-kansverdeling van de aandelenrendementen. Hierdoor kan in de KNW*-set
de waarde zelfs boven de 100% nominale VPV uitkomen voor de jongste cohorten.
Het loslaten van genoeg is genoeg leidt in alle sets tot hogere vba-waarden en een lager
onverdeeld vermogen. Dit komt doordat de indexatie-optie meer waard wordt. De relatieve

37

Doordat de vba-waarde berekend wordt met simulatie en er sprake is van een eindig aantal scenario’s, is er sprake van een
betrouwbaarheidsinterval van de berekende grootheden. Dit betrouwbaarheidsinterval is tussen haken weergegeven. Het
betreft hier het 99% betrouwbaarheidsinterval. Er is in de berekening van de betrouwbaarheidsintervallen geen rekening
gehouden met de gebruikte simulatietechnieken (zoals wel of niet antithetisch simuleren).

35

impact verschilt echter wel tussen de sets. De impact is het grootst in de KNW*-set, gevolgd
door de Ortec Finance en APG-set. Deze verschillen zijn grotendeels terug te voeren op de
kansverdeling van het aandelenrendement. In een symmetrische verdeling (KNW*) is de
impact van het loslaten van genoeg is genoeg groter dan in een set met negatieve scheefheid
(Ortec Finance, APG). Immers een minder scheve verdeling zal leiden tot hogere
dekkingsgraden en daarmee tot meer toeslagverlening in de situaties van het loslaten van
genoeg is genoeg. Daarnaast geldt dat in de APG set de inflaties een hogere Q-volatiliteit en
een gemiddeld hoger niveau hebben. Dit wil zeggen dat de waarde van de indexatie-optie
in de situatie met genoeg is genoeg in de APG set al hoger is. Het loslaten van de genoeg is
genoeg restrictie en toestaan dat hoge dekkingsgraden ook omgezet kunnen worden in
toeslagverlening, leidt in de andere sets ook tot meer toeslagverlening.
5.2.3. Impact op netto profijt
Figuur 5.4 toont de resultaten van de verandering in het netto profijt.38 Net als bij de vba-waarden
nemen de verschillen in generatie-effecten tussen de sets toe voor de jongere cohorten.
De verschillen in de uitkomsten kunnen als volgt verklaard worden:
•

•

•

Een grote positieve verandering van netto profijt betekent dat de waarde van de nominale
VPV relatief veel afwijkt van het netto profijt van het huidige contract. Netto profijt van het
bestaande contract is de vba-waarde van de uitkeringen inclusief de nieuwe opbouw,
verminderd met de vba-waarde van de nog te betalen premies. Ook hier kunnen de
verschillen tussen de sets verklaard worden doordat de waarde van de indexatie-optie in
de KNW*-set lager is door de lagere Q-kans op positieve en hogere inflaties in deze set.
Hierdoor loopt het verschil in netto profijt in de KNW*-set voor jongeren verder op ten
opzichte van de andere sets.
De verschillen in Q-kansverdeling van de aandelenrendementen, welke de waarde van de
kortingsoptie verhogen in de APG en de Ortec Finance set, lijken gedomineerd te worden
door de hogere waarde van de indexatie-optie (ten gevolge van de hogere Q-kans op hogere
inflaties) in de APG set, daarna de Ortec Finance set en daarna de KNW* set. Immers, de
veranderingen van netto profijt zijn het kleinst in de APG-set, gevolgd door de Ortec Finance
en KNW*-set.
Met het loslaten van genoeg is genoeg nemen de veranderingen van netto profijt voor de
meeste bestaande cohorten af omdat de uitgangssituatie (in het FTK blijven opbouwen)
meer waard wordt. De impact is het grootst in de KNW*-set. Ook dit hangt weer samen met
de Q-verdeling van de aandelenrendementen en inflaties. In de KNW*-set is de Q-kans op
meevallers groter, waardoor het loslaten van genoeg is genoeg in het huidige contract tot
meer waarde leidt (en daarmee tot kleinere veranderingen in netto profijt). Daarnaast
krijgen door het loslaten van het genoeg is genoeg principe de indexatie-opties in met name
de Ortec Finance en de KNW*-set meer waarde. Immers door de relatief lagere inflaties in
deze sets worden toeslagen strenger begrensd in de situatie met genoeg is genoeg.

38

Ook de resultaten in figuur 5.4 zijn onderhevig aan numerieke onnauwkeurigheid vanwege de begrenzing van het aantal
scenario’s (op 5.000). Anders dan in figuur 5.3 is de noemer van de gepresenteerde uitkomstmaatstaf nu ook onzeker
waardoor het lastiger is dit te vertalen naar een betrouwbaarheidsinterval.

36

Figuur 5.4: verandering in netto profijt39 in % waarde huidig pensioen
5.3.

Conclusie

De uitgevoerde analyse laat zien dat, ondanks dat de kalibratie van de scenariomodellen
plaatsvindt op dezelfde analysedatum en gebruik gemaakt wordt van hetzelfde
pensioenfondsmodel, zowel de vba-waarde als netto profijt berekeningen tot verschillende
uitkomsten leiden. De verschillen zijn met name groot voor jongere deelnemers.
De verschillen zijn te verklaren uit een combinatie van de gekozen modelstructuur en de bij de
kalibratie gebruikte (optie)data. Een voorbeeld van de impact van de modelstructuur is het al dan
niet opleggen van (log)normaliteit van de Q-kansverdeling voor aandelenrendementen en rentes.
Ook de wijze waarop valutarisico meegenomen wordt in de analyse beïnvloedt de uitkomsten.
De verschillen in met name de Q-kansverdeling van de prijsinflatie vinden zijn oorsprong voor een
deel in de gebruikte optiedata voor inflatie. Door meer out of the money inflatie-opties toe te
voegen wordt er een hogere implied volatility aangenomen, hetgeen invloed heeft op de waarde
van de indexatie-optie in de modellen.

39

Verandering van netto profijt is gedefinieerd als de VPV verminderd met de netto profijt waarde van het bestaande contract.
Netto profijt van het bestaande contract is de vba-waarde van de uitkeringen inclusief de nieuwe opbouw, verminderd met de
vba-waarde van de nog te betalen premies.

37

Bijlage A – Verzoek technische werkgroep economische scenario’s

38

39

40

41

Bijlage B – Invulling criteria
Hieronder volgt de wijze waarop de werkgroep de criteria zoals opgenomen in de taakopdracht
heeft ingevuld en heeft meegenomen in haar verkenning.
Nauwkeurigheid in relatie tot de wettelijke toepassingen
Zoals in paragraaf 2.2 besproken worden P-scenario’s gebruikt om het niveau en de onzekerheid
daarin van toekomstige pensioenuitkeringen te bepalen. Het is daarbij van belang dat voldoende
financieel economische variabelen worden meegenomen en dat de gemodelleerde ontwikkeling in
lijn is met (empirische en theoretische) financieel economische wetenschappelijke inzichten.
Tevens dienen er voldoende scenario’s te zijn om numeriek nauwkeurige inschattingen te kunnen
maken, ongeacht welk model gekozen wordt.
De Q-scenario’s zijn, zoals in paragraaf 2.2 beschreven, relevant voor het bepalen van de
financieel actuariële waarde van (onzekere) toekomstige premiebetalingen en pensioenuitkeringen.
Naast de aansluiting bij financiële markten, betekent dit dat de numerieke nauwkeurigheid van de
waardering bepaald wordt door de (simulatie)onzekerheid in de berekeningen.
De werkgroep heeft geconcludeerd dat met het criterium nauwkeurigheid niet alle model- en
parameterkeuzes beslecht kunnen worden.
Aansluiting bij financiële markten
Voor P-scenario’s is van belang dat de onzekerheid in financieel economische variabelen aansluit
bij empirische en theoretische inzichten daarover. In lijn met eerdere adviezen van Commissies
Parameters adviseert de werkgroep om daarbij te kijken naar de aansluiting bij historische
ontwikkelingen op financiële markten. Zoals eerder opgemerkt door het CPB leidt dit niet tot
uitsluitsel voor alle modelkeuzes (zie ook hoofdstuk 3).40
Het wetsvoorstel legt vast dat pensioenuitkeringen marktconsistent gewaardeerd moeten worden.
Dat impliceert dat waardering van op financiële markten verhandelde activa, indien gewaardeerd
met de Q-scenario’s, ook de op de markt waargenomen prijs oplevert. Dit betekent dat primair
marktprijzen op datum van vaststelling van de Q-scenario’s relevant zijn (zie, echter, hoofdstuk 3
voor additionele overwegingen). Een aantal risico’s die relevant zijn voor pensioenuitkeringen (o.a.
langleven risico, Nederlands inflatierisico, aandelenrendement op de lange termijn) zijn echter niet
verhandeld op financiële markten zodat geen marktprijzen beschikbaar zijn.
Aansluiting bij wetenschappelijke literatuur41
De werkgroep heeft waar mogelijk wetenschappelijke inzichten gehanteerd als randvoorwaarde bij
de adviezen. Dat betekent dat indien er overtuigende en eenduidige wetenschappelijke
argumenten zijn voor een bepaalde parameterwaarde, kalibratiemethode of model, de werkgroep
deze invulling overneemt. Wanneer dit niet het geval is, dan beoordeelt de werkgroep de keuzes
aan de hand van hun impact op de diverse toepassingen en de doelstelling die de wetgever
daaraan meegegeven heeft (of nog moet meegeven). De werkgroep heeft geconcludeerd dat niet
alle model- en parameterkeuzes beslecht kunnen worden op basis van het criterium aansluiting bij
de wetenschappelijke literatuur.
Transparantie en repliceerbaarheid42
De werkgroep maakt zoveel mogelijk gebruik van openbare bronnen en repliceerbare analyses.
Transparantie en repliceerbaarheid ziet de werkgroep als een randvoorwaarde, en niet als een
criterium om modelkeuzes te beslechten.
Stabiliteit
Stabiliteit betekent in het algemeen een beperkte gevoeligheid voor uitkomsten voor
veranderingen in aannamen (zoals de te kalibreren marktinstrumenten). Merk op dat dit niet
betekent dat het model robuust moet zijn voor veranderende marktomstandigheden in de zin dat
die geen of nauwelijks invloed mogen hebben op de parameters. De stabiliteit kan soms bevorderd
worden door bepaalde randvoorwaarden op te leggen die een visie op macro-economische

40

Zie CPB (2021) De ‘uniforme’ scenarioset voor pensioenberekeningen
Tekst voor dit criterium is gebaseerd op tekst van Commissie Parameters in 2019.
42
Tekst voor dit criterium is gebaseerd op tekst van Commissie Parameters in 2019.
41

42

variabelen ondersteunen. De werkgroep concludeert dat dit criterium onvoldoende onderscheidend
is om model- en parameterkeuzes eenduidig te beslechten.
Uitlegbaarheid
De werkgroep constateert dat uitlegbaarheid subjectief is, en daarom moeilijk is te
operationaliseren. De werkgroep ziet wel mogelijke aandachtspunten rondom uitlegbaarheid.
Uitvoerbaarheid
Uitvoerbaarheid heeft twee dimensies. De eerste dimensie is de uitvoerbaarheid voor de
toezichthouder (DNB). Ieder kwartaal moeten immers nieuwe scenario’s opgesteld worden door
DNB. De andere dimensie is de uitvoerbaarheid voor de gebruikers (pensioenuitvoerders). Het
aantal scenario’s en het aantal variabelen in die scenario’s moeten dusdanig zijn dat berekeningen
in redelijke (reken)tijd plaats kunnen vinden.

43

Bijlage C – Validatie van de kalibratie
De parameters die gekozen moeten worden binnen het model dat gebruikt is om een eerste
voorbeeld van P- en Q-scenariosets te genereren zijn gekalibreerd volgens de in appendices D1 en
D2 van dit rapport beschreven methode. Nadat de parameterwaarden door een werkgroeplid, met
ondersteuning vanuit DNB, op deze wijze zijn vastgesteld, zijn de berekeningen voor parameters die
nodig zijn voor het genereren van de P-scenario’s gerepliceerd door een ander werkgroeplid, en
weer een ander werkgroeplid heeft de parameters gerepliceerd die het mogelijk maken om Qscenario’s te definiëren.
Beide replicaties hebben plaatsgevonden door (enkel) gebruik te maken van een beschrijving van
de modelspecificatie en van de in appendices D1 en D2 beschreven datasets die historische gegevens
en de prijzen van marktinstrumenten op analysedatum bevatten. Er zijn tijdens het validatieproces
geen computercodes of Excel-macro’s uitgewisseld tussen de betrokken werkgroepleden, om de
controle van de berekeningen volledig onafhankelijk plaats te laten vinden.
Bij de validatie is vastgesteld dat de gekalibreerde parameterwaarden nauwkeurig gerepliceerd
konden worden. De bij de P-scenario’s behorende kalibratie maakt gebruik van een
optimaliseringscriterium dat gebaseerd is op de zogenaamde log-likelihood waarde, die aangeeft hoe
goed historische observaties aansluiten bij een bepaalde keuze van de modelparameters. Voor de
Q-scenario’s is de kwadraatsom geminimaliseerd van verschillen tussen in de markt geobserveerde
grootheden en diezelfde door het model gegenereerde grootheden bij een bepaalde keuze van de
modelparameters. De tijdens de validatie geconstateerde verschillen bedroegen ongeveer 0.012%
voor de log-likelihood en 0.15% voor de kwadraatsom van afwijkingen.

44

Bijlage D – Nadere beschrijving methodologie
D1. Kalibratie en generatie P-scenario’s
Algemeen
De kalibratie is grotendeels in lijn met de kalibratie zoals beschreven in het rapport van de
Commissie Parameters in 2019. Belangrijkste verschillen zijn dat de werkgroep een kortere
dataperiode gebruikt, reële rentes meeneemt bij het schatten van het onderliggende model en een
extra factor heeft toegevoegd.
Data
De kalibratie is gebaseerd op een dataset met maandelijkse waarnemingen van juni 2004 tot en
met december 2020 op basis van de volgende databronnen:
•
•
•

•

Inflatie: De seasonally adjusted HICP overall index (Euro area) van de ECB website (code:
ICP.M.U2.Y.000000.3.INX).
Aandelen: De total returns voor de MSCI World index (in Euro’s) uit Bloomberg (code:
MSDEWIN).
Nominale rentes: De zero-coupon rentes voor looptijden 1, 5, 10, 15, 20 en 30 jaar:
o 1/2004 t/m 11/2008: Zero-coupon rentes van de openbare statistiek website van DNB.
o 12/2008 t/m 12/2020: Gebootstrapte swap data voor looptijden 1-10, 12, 15, 20, 25 en
30 jaar uit Bloomberg om zero-coupon rentes uit af te leiden (code: EUSAX Curncy met X
de looptijd).
Reële rentes: De zero-coupon rentes zijn geconstrueerd op basis van de nominale rentes (zie
hierboven) en de HICP break-even inflatie voor looptijden 1, 5 en 10 jaar (code: EUSWIX
Curncy met X de looptijd).

De werkgroep kiest in haar analyses voor juni 2004 als startdatum, aangezien de HICP break-even
inflatie reeks niet eerder beschikbaar is in Bloomberg.
Model
De werkgroep heeft het model – net als de Commissie Parameters in 2019 – geschat door middel
van maximum likelihood, waarbij een Kalman filter wordt gebruikt om de waarden van
ongeobserveerde variabelen in te schatten. Hierbij wordt de gebruikelijke aanname gemaakt dat
de nominale en reële rentes met onderling onafhankelijke en normaal verdeelde meetfouten
worden geobserveerd.
Er wordt gebruik gemaakt van een Kalman filter met 11 measurement equations en 3 transition
equations:
•

•

Measurement equations: Deze betreffen (i) inflatie, (ii) aandelenrendementen, (iii)
nominale zero-coupon rentes voor looptijden 1, 5, 10, 15, 20 en 30 jaar, (iv) reële zerocoupon rentes voor looptijden 1, 5 en 10 jaar.
Transition equations: Dit zijn de drie transitie-vergelijkingen voor de
toestandsvariabelen 𝑋𝑡 in paragraaf 3.4.

Schatting
De schatting volgt de in het rapport van de Commissie Parameters in 2019 beschreven methode:
•
•
•

Initiële conditie: De werkgroep neemt aan dat de verdeling van de variabele 𝑋0 op tijdstip
𝑡 = 0 gelijk is aan de limietverdeling (voor 𝑡 naar oneindig) van 𝑋𝑡 .
Kalman filter: De werkgroep gebruikt het Kalman filter uit De Jong en Shephard (1995)43.
ML: De werkgroep gebruikt de zogenoemde prediction error decomposition methode om de
likelihood te bepalen.44 De optimalisatie wordt uitgevoerd vanuit meerdere willekeurig
gekozen startwaardes om te voorkomen dat de optimizer een lokaal optimum vindt.

43

De Jong en Shephard (1995). The simulation smoother for time series models. Biometrika, 82(2), page 339 – 350.
Zie bijvoorbeeld hoofdstuk 7 in Durbin, J., & Koopman, S. J. (2012). Time series analysis by state space methods (Vol. 38).
OUP Oxford.
44

45

De werkgroep legt in haar analyses soms restricties op de modelparameters op:
•

•

•

Parameters: De meetkundige gemiddeldes voor inflatie en nominale aandelenrendementen
geïmpliceerd door het model worden, in lijn met het advies van de Commissie Parameters
in 2019, gelijk gesteld aan respectievelijk 1,9% en 5,6%. Deze restricties worden in alle
doorgerekende varianten opgelegd.
UFR: De Ultimate Forward Rate (UFR) geïmpliceerd door het model wordt gelijkgesteld aan
de UFR in de door DNB gepubliceerde nominale rentecurve op 31 december 2020 van
1,8%. Deze restrictie wordt opgelegd wanneer dit expliciet vermeld is in de hoofdtekst.
Negatieve rentes: De werkgroep legt op dat, in de limietverdeling, maximaal 2,5% van de
10-jaars rentes negatief mag zijn. Deze restrictie wordt opgelegd, tenzij dit expliciet
anders vermeld wordt in de hoofdtekst.

Bij het genereren van scenario’s wordt het startpunt van de factorvariabelen 𝑋𝑡 bepaald door de
gekwadrateerde som van de verschillen tussen modelrentes en werkelijke rentes te minimaliseren
voor de eerste 30 jaar van de nominale rentecurve en de eerste 10 jaar van de reële rentecurve
op het moment van de modelschatting, december 2020.
D2. Kalibratie en generatie Q-scenario’s
Algemeen
Het model dat wordt gebruikt voor het genereren van de Q-scenario’s is het KNW*-model met
deterministisch tijdsafhankelijke risicopremies λ0 (𝑡). Deze tijdsafhankelijke risicopremies zorgen
ervoor dat de reële en nominale modelcurves exact overeenkomen met de geobserveerde curves
op 𝑡 = 0.
Het schatten van het risico-neutrale KNW*-model en het, vervolgens, genereren Q-scenario’s vindt
in stappen plaats. In de eerste stap wordt een deel van de parameters van het model (naast λ0 (𝑡))
zodanig geschat dat geobserveerde marktprijzen op analysedatum (december 2020) zo
nauwkeurig mogelijk benaderd worden. Hierbij wordt nog geen rekening gehouden met de
nominale en reële rentecurves op analysedatum. In de tweede stap wordt λ0 (𝑡) gekozen zodat het
model deze beide rentecurves exact repliceert. In een aantal gevallen, zie hoofdtekst, worden
sommige parameters gelijk gehouden aan de waardes uit de P-kalibratie. Tenslotte worden de Qscenario’s gegenereerd door te simuleren uit de modelvergelijking op basis van de geschatte
parameters.
De werkgroep maakt gebruik van data uit Bloomberg, waarbij als analysedatum 31 december
2020 is gekozen:
o YoY inflatiecaps: looptijden 1, 2, 5 en 10-jaar, strike +2% (EUIZC, prijs x10,000)
o Swaptions: tenor 5, 10 en 20-jaar; maturity 5, 10, 15 en 20-jaar, ATM (Euribor 6M
ATM volatility cube, implied normal volatility in BP)
o Aandelenopties: looptijden 1, 2, 3, 4, 5, 7 en 10-jaar, ATM (strike 3755) (SPX ATM
volatility surface, implied volatility in %)
o Nominale rentecurve: looptijden 1-128 jaar (DNB UFR, zie bijlage D1)
o Inflatiecurve: looptijden 1-128 jaar (EUSWI, waarbij de waardes voor looptijden langer
dan 20 jaar verkregen zijn door de forward rate gelijk te stellen aan de 20y-30y
forward rate)
Voor de alternatieve specificatie van het Q-model (zie hoofdstuk 4), waar andere instrumenten
worden gebruikt, voegen we voor alle bovenstaande looptijden/tenors opties met onderstaande
strikes toe (met analysedatum 31 december 2020):
o YoY inflatiecaps: strike +3%. (EUIZC, prijs x10,000)
o Swaptions: strike +2%. (Euribor 6M volatility cube strike +2%, implied normal
volatility in BP)
o Aandelenopties: strike 3850. (SPX volatility surface strike 3850, implied volatility in %)

46

Stap 1: Kalibreren van parameters op marktprijzen
Voor het schatten van de parameters op marktprijzen maken we gebruik van de analytische
uitdrukkingen voor de prijzen van swaptions en equity options zoals afgeleid in Bouwman en Lord
(2016)45. Voor swaptions benaderen we de implied volatility uit de markt via de vergelijkingen uit
dit paper. Voor inflatiecaps heeft de werkgroep zelf de modelprijzen afgeleid, zie vergelijkingen
(11) –(15) hieronder. Onze specificatie van het KNW-model bevat drie factoren in de vector 𝑋, vijf
Brownian motions in de vector 𝑊 en een tijdsafhankelijke λ0 .
We leggen de volgende restricties op, waarbij (1) een identificatie-restrictie is en (2) volgt uit
vergelijking (19) van Bouwman en Lord (2016)

𝑀 = 𝐾 + 𝛬̂1 𝑙𝑜𝑤𝑒𝑟 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
𝜎𝜋,5 = 0 , 𝜎𝑠′ 𝛬1 = 0′ , 𝜎𝑠′ 𝜆0 (𝑡) = 𝜂𝑠 𝑣𝑜𝑜𝑟 𝑡 = 1 … 𝑇

(1)
(2)

We maken gebruik van de volgende vectoren en matrices:

𝜐𝛱 = [0,0,0,1,0,0]′ ,

𝜐𝑆 = [0,0,0,0,1,0]′ ,

𝜐𝐵 = [0,0,0,0,0,1]′

(3)

en
−(𝐾𝑥 + 𝛴𝑥 𝛬1 ) 03×3
𝛴𝑋
′
𝛿1,𝜋
− 𝜎𝜋′ 𝛬1
0′3
𝜎𝜋′
𝑄
𝐷 =
, 𝛴= ′
′
𝜎𝑆
𝛿1,𝑟
0′3
′
′
′
0
[
𝛿1,𝑟
03 ]
[
5]

,

𝛴𝑋 = [𝐼3×3 03×2 ]

(4)

Tevens definiëren we voor later gebruik 𝐴(Δ) en 𝐺(Δ) als oplossing van

−𝐷𝑄
exp (( 0
0

𝛴𝛴′ 0
𝐷𝑄′ 𝐼 ) 𝛥)
0 0

=

∗
(0
0

𝐺(𝛥)
∗
𝐴(𝛥)′ 𝐵(𝛥)′)
0
∗

(5)

en 𝐶(Δ) = 𝐴(Δ)𝐺(Δ).

Methodologie kalibratie
Bij het schatten van modelparameters minimaliseren we het verschil tussen de marktprijzen (soms
uitgedrukt in implied volatilities) en de bijbehorende modelprijzen (soms uitgedrukt in implied
volatilities), waarbij elk instrument hetzelfde gewicht krijgt.
De parameters Λ1 , δ1,𝑟 , σ𝑠 𝑒𝑛 σπ worden geoptimaliseerd, voor δ1,π gebruiken we de volgende
waardes46 (om overfitting te vermijden).

45

Bouwman en Lord (2016). An Overview of Derivative Pricing in Gaussian Affine Asset Pricing Models; An application to the
KNW model. Netspar discussion paper No. 04/2016-018. Zie vergelijkingen (11), (12), (17) en (19) in dat paper.
46
Deze waardes zijn gebaseerd op de KNW* P-schatting zonder een restrictie op het aantal negatieve rentes, aangezien de Qschatting van KNW* geen restrictie oplegt op het aantal negatieve rentes.

47

0.0038
δ1,π = (0.0053)
0.0123

Swaptions
Voor het fitten van de geobserveerde prijzen van swaptions op analysedatum benaderen we de
(annualized) swaption implied volatility σS n,N in het KNW*-model. Om de implied volatility te
bepalen definiëren we eerst de ‘present value of a basis point’ van een swap met maturity 𝑇𝑛 en
tenor 𝑇𝑁 − 𝑇𝑛 op tijdstip 𝑡 als volgt:

𝑁

𝑃𝑉01𝑛+1,𝑁
= ∑ 𝑃𝑡 (𝑇𝑖 )
𝑡

(6)

𝑖=𝑛+1

waar 𝑃𝑡 (𝑇𝑖 ) de prijs op tijdstip 𝑡 is van een nominale zero-coupon obligatie met looptijd 𝑇𝑖 − 𝑡.
Verder definiëren we de ‘par swap rate’ als:

𝑆𝑡𝑛,𝑁 =

𝑃𝑡 (𝑇𝑛 ) − 𝑃𝑡 (𝑇𝑁 )
𝑃𝑉01𝑛+1,𝑁
𝑡

(7)

We berekenen de implied volatility van een optie op deze swap als volgt:

𝜎𝑆 𝑛,𝑁 (𝜏) = √

𝒒′ 𝑪(𝝉)𝒒
𝝉

(8)

Met τ = 𝑇𝑛 − 𝑡 en

′
𝑁
𝑛,𝑁
𝒒=−
[𝑃𝑡 (𝑇𝑛 )𝐼6𝑥6 − 𝑃𝑡 (𝑇𝑁 )𝐴(𝑇𝑁 − 𝑇𝑛 ) − 𝑆𝑡
∑ 𝑃𝑡 (𝑇𝑖 )𝐴(𝑇𝑖 − 𝑇𝑛 )] 𝜐𝐵
𝑃𝑉01𝑛+1,𝑁
𝑡
𝑖=𝑛+1

1

(9)

met 𝐴 en 𝐶 zoals gedefinieerd in (5) en met 𝐼6×6 de 6x6 identiteitsmatrix.

Aandelenopties
De kwadratische variatie van de prijs van een aandelenoptie met time to maturity τ wordt gegeven
door de hieronder gegeven expressie voor 𝑠𝑆2 (τ) die door de constante volatiliteit enkel van de time
to maturity afhangt. De annualized implied volatility wordt gekregen door de wortel van die
expressie te nemen en te delen door √τ, zie Bouwman en Lord (2016)

48

𝑠𝑆2 (𝜏) = [𝜐𝑆 − 𝜐𝐵 ]′ 𝛴𝛴 ′ [𝜐𝑆 − 𝜐𝐵 ]𝜏 + 2[𝜐𝑆 − 𝜐𝐵 ]′ 𝛴𝛴 ′ 𝐵(𝜏)′ 𝜐𝐵 + 𝜐𝐵′ 𝐶(𝜏)𝜐𝐵

(10)

Inflatiecaps
Om tot de prijs van een inflatiecap met maturity 𝑇 te komen, sommeren we de waarde van 𝑇 − 𝑡
year-on-year inflatiecaps. Een year-on-year inflatiecap met maturity 𝑇 heeft één uitbetaling
gebaseerd op de gerealiseerde inflatie van 𝑇 − 1 tot 𝑇. De prijs op tijdstip 𝑡 van een inflatiecap met
uitoefenprijs 𝐾 is dan:
𝑇

𝐶𝑎𝑝𝑇,𝐾 = ∑ 𝑌𝑜𝑌𝐶𝑎𝑝𝑖,𝐾

(11)

𝑖=𝑡+1

met
𝑌𝑜𝑌𝐶𝑎𝑝𝑖,𝐾 = 𝑃𝑡 (𝑇𝑖 )[𝐹𝑖 𝑁(𝑑+ ) − (1 + 𝐾)𝑁(𝑑− )]
𝑑± =

𝐹𝑖 =

𝑙𝑛(𝐹𝑖 /(1+𝐾))±𝜎𝐹2 /2
𝑖

(12)
(13)

𝜎𝐹𝑖

𝑃𝑡𝑅 (𝑇𝑖 )/𝑃𝑡 (𝑇𝑖 )
𝑅 (𝑇
𝑃𝑡 𝑖−1 )/𝑃𝑡 (𝑇𝑖−1 )

(14)

waar 𝑃𝑡𝑅 (𝑇𝑖 ) de prijs van een reële obligatie met maturity 𝑇𝑖 is. De volatiliteit σ2𝐹𝑖 wordt als volgt
berekend,
𝑇𝑖

𝜎𝐹2𝑖 =

(𝑇𝑖 − 𝑇𝑖−1 )σ′Π σΠ + 2ξ′ ( ∫ 𝑏(𝑢, 𝑇𝑖−1 )𝑑𝑢 ) [σΠ1:3 ] ′
𝑇𝑖−1

𝑇𝑖−1

+ 2ξ′ ( ∫ (𝑏(𝑢, 𝑇𝑖 ) −

𝑇𝑖

𝑏(𝑢, 𝑇𝑖−1 ))(𝑏(𝑢, 𝑇𝑖 ) − 𝑏(𝑢, 𝑇𝑖−1 ))′𝑑𝑢 + ∫ 𝑏(𝑢, 𝑇𝑖 )𝑏(𝑢, 𝑇𝑖 )′𝑑𝑢) ξ

𝑡

(15)

𝑇𝑖−1

′
waar ξ′ = δ1,π
− σ′Π Λ1 en 𝑏(𝑡, 𝑇) = 𝑀−1 (𝐼 − 𝑒 (−𝑀(𝑇−𝑡)) ).

Stap 2. Exact fitten van rentecurves
Na het schatten van alle parameters in (4) vindt er voor de andere parameters een schatting
plaats waarmee zowel de nominale als reële rentecurves op analysedatum exact gefit worden.
Hiervoor wordt een iteratief proces gebruikt om λ0 (𝑡) te kalibreren. Dit wil zeggen dat λ0 (1) wordt
gebruikt om de nominale en reële rentecurves voor looptijd 1 te fitten, λ0 (2) voor looptijd 2
enzovoort. Na elke iteratie wordt het laatste element van λ0 (𝑡) bepaald zodanig dat σ′s λ0 (t) = ηs .

De prijs van een nominale obligatie met looptijd 𝑇 op tijdstip 𝑡 is als volgt:

𝑃𝑡 (𝑇) = exp(−𝐴𝐷 (𝑡, 𝑇) − 𝐵𝐷 (𝑡, 𝑇)′ 𝑋𝑡 )

(16)

met
𝐵𝐷 (𝑡, 𝑇) = 𝑀′−1 (𝐼 − exp(−𝑀′ (𝑇 − 𝑡)))𝛿1,𝑟 = 𝐵(𝑇 − 𝑡)

(17)

en
𝑇−𝑡

𝐴𝐷 (𝑡, 𝑇) = ∫
0

1
̂0 (𝑇 − 𝑢)] 𝑑𝑢.
[𝛿0,𝑟 − 𝐵(𝑢)′ 𝐵(𝑢) − 𝐵(𝑢)′ 𝜆
2

(18)

49

̂0 (𝑡) bestaat uit de eerste 3 componenten van de vector 𝜆0 (𝑡). De prijs van een reële
waarin 𝜆
obligatie met looptijd 𝑇 op tijdstip 𝑡 is als volgt:

𝑃𝑡𝑅 (𝑇) = exp(−𝐴𝑃 (𝑡, 𝑇) − 𝐵𝑃 (𝑡, 𝑇)′ 𝑋𝑡 )

(19)

𝐵𝑃 (𝑡, 𝑇) = 𝑀′−1 (𝐼 − exp(−𝑀′ (𝑇 − 𝑡)))(𝛿1,𝑟 − 𝛿1,𝜋 + 𝛬1 ′𝜎𝛱 ) = 𝐵𝑃 (𝑇 − 𝑡)

(20)

met

𝐵 (𝑢)
en (met 𝐵̅𝑃 (𝑢) ∶= [ 𝑃 ])
02𝑥1
𝑇−𝑡

𝐴𝑃 (𝑡, 𝑇) = ∫
0

1
′
[𝛿0,𝑟 − 𝛿0,𝜋 + 𝜎′𝛱 𝐵̅𝑃 (𝑢) − 𝐵𝑃 (𝑢)′ 𝐵𝑃 (𝑢) + (𝜎𝛱 − 𝐵̅𝑃 (𝑢)) 𝜆0 (𝑇 − 𝑢)] 𝑑𝑢.
2

(21)

50

Bijlage E – Specificatie modelfonds
De onderstaande opsomming toont - op hoofdlijnen - de in hoofdstuk 4 voor de impactanalyse
gebruikte contract- en fondsspecificatie voor de analysedatum:
Modelspecificaties FTK:
-

Soort pensioen:
o Ouderdomspensioen
Risicoprofiel fondsniveau:
o Aandelen 60% | Obligaties 40%
Portefeuille obligaties:
o 20-Jaars zero-coupon obligaties
Dekkingsgraad:
o 100% o.b.v. initiële rentecurve KNW* (P-schatting)
Opbouwpercentage:
o Maximaal 1,875%
(Doorsnee)premie:
o 20% van de pensioengrondslagsom
Premiedekkingsgraad:
o Minimaal 100%
Premiekorting/premievakantie:
o Nee
Respecteren genoeg is genoeg:
o Ja
Indexatie:
o Maximaal binnen regels wettelijk kader (conform regels toekomstbestendig indexeren)
Inhaalindexatie:
o Ja, conform regels wettelijk kader.
Indexatieachterstand aanvang:
o 12%, in modellering open toegekend
Terugblikkende horizon indexatieachterstand:
o 10 jaar
Jaren in tekort bij aanvang:
o 5 jaar
Spreiden MVEV korting:
o 10 jaar
Kritische dekkingsgraad VEV:
o Gelijkgesteld aan 95% voor alle scenario’s en periodes.

Modelspecificaties NPC:
-

Risicoprofiel fondsniveau:
o Aandelen 60% | Obligaties 40%
Portefeuille obligaties:
o Matchende looptijden verwachte uitkeringen
Projectierendement:
o Risicovrije rente
Start omvang solidariteitsreserve:
o 0%
Minimale omvang solidariteitsreserve:
o 0%
Maximale omvang solidariteitsreserve:
o 15%
Vulling solidariteitsreserve uit premie:
o 10%
Vulling solidariteitsreserve uit overrendement:
o 10%
Uitdelen reserve:
o 10% van negatief overrendement

51

-

o 0% < Reserve < 5% : 1/15 deel
o 5% < Reserve < 10% : 1/10 deel
o 10% < Reserve < 15% : 1/5 deel
o Reserve > 15%: geheel
Spreiden overrendementen:
o Geen spreiding
Risicodraagkrachtafhankelijke toedeling overrendement:
o Overrendement wordt gelijkelijk toebedeeld naar het verwachte pensioen.
o

-

-

47

Mate van deling in overrendement deelnemer 𝑖: 𝐿𝐶𝑖 = ∑

∑𝑖 𝐹𝑖

𝑖 𝐹𝑖 +∑𝑖 𝐻𝑖

𝐹 +𝐻𝑖

𝑥 𝑖

𝐹𝑖

o 𝐹𝑖 : Huidig vermogen deelnemer 𝑖
o 𝐻𝑖 : Contante waarde toekomstige premie-inleg deelnemer 𝑖
o i: Leeftijd deelnemer
Leeftijdsafhankelijke renterisico:
o Het beschermingsrendement wordt op basis van de verandering in de nominale
rentetermijnstructuur bepaald, waarbij het renterisico voor alle cohorten met 40%
wordt afgedekt. Zie pag. 5 van CPB (2020)47 voor meer details.
Negatief overrendement:
o Negatieve overrendementen kleiner dan -50% voor specifieke leeftijdscohorten worden
aangevuld uit de persoonlijke vermogens van andere deelnemers tot een
overrendement van -50%.

CPB (2020). Het doorontwikkelde contract: beschrijving van varianten, opties en resultaten. CPB Achtergronddocument.

52

Bijlage F – Standaardfouten van de berekende vba-waarden
Figuur F.1 toont de standaardfout van de vba-waarde (uitgedrukt in percentage van die waarde)
voor de drie sets. Deze standaardfout bepaalt de numerieke onnauwkeurigheid van berekende
vba-waarden. De standaardfout neemt toe voor de jongeren cohorten (vanwege de langere
resterende horizon). In de figuur is goed zichtbaar dat een hogere volatiliteit van de aandelen
rendementen (Ortec Finance set) of de hogere volatiliteit van inflaties (zoals bij de APG set), leiden
tot een grotere spreiding van de uitkomsten en daardoor tot een hogere standaardfout.

Figuur F.1: Standaardfout van de vba-waarde als percentage van de berekende vba-waarde voor
drie Q-sets voor een aantal geboortecohorten en voor het onverdeelde fondsvermogen.48

48

Bij het berekenen van de standaardfouten is geen rekening gehouden met de gebruikte simulatietechnieken (zoals wel of
niet antithetisch simuleren).

53