Primair onderwijs

Primair onderwijs | Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau

Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau
Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het

Balans van het reken-wiskundeonderwijs
aan het einde van de basisschool 5

einde van de basisschool 5
PPON-reeks nummer 51

Klantenservice
T (026) 352 11 11
F (026) 352 11 35
klantenservice@cito.nl

Fotografie: Ron Steemers

PPON 51 | Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Cito
Amsterdamseweg 13
Postbus 1034
6801 MG Arnhem
Telefoon (026) 352 11 11
Fax (026) 352 13 56
Internet www.cito.nl

PPON-reeks nummer 51

Balans van het rekenwiskundeonderwijs aan het
einde van de basisschool 5
Uitkomsten van de vijfde peiling in 2011
Floor Scheltens
Bas Hemker
Jorine Vermeulen
Met een bijdrage van:
Marije F. Fagginger Auer, Marian Hickendorff en
Cornelis M. van Putten, Universiteit Leiden
Rekenen-Wiskunde
PPON-reeks nummer 51
Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau
Uitgave Stichting Cito Instituut voor Toetsontwikkeling 2013

Cito | Arnhem

Colofon
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

Opdrachtgever: Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap
Projectleiding: Jan van Weerden en Floor Scheltens
Ontwerp peiling: Bas Hemker, Jan Janssen, Floor Scheltens
Coördinatie opgaven- en toetsconstructie: Jan Janssen en Floor Scheltens
Coördinatie gegevensverzameling: Jan van Weerden
Opzet vragenlijsten: Marije Fagginger Auer, Jan Janssen, Kees van Putten en Floor Scheltens
Secretariaat: Joke van Daal en Elsbeth Emmerink
Auteurs: Floor Scheltens, Bas Hemker en Jorine Vermeulen
Redactionele bijdrage: Henk Wagenaar
Psychometrische analyses: Bas Hemker
Bureauredactie: Loes Hiddink
Grafische vormgeving en opmaak: Service unit, MMS
Ontwerp grafieken: Henk Heusinkveld GGT
Foto omslag: Ron Steemers

© Stichting Cito Instistuut voor Toetsontwikkeling Arnhem (2013) | 1e druk
Niets uit dit werk mag zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van Stichting Cito
Instituut voor Toetsontwikkeling worden openbaar gemaakt en/of verveelvoudigd door middel
van druk, fotokopie/reprografie, scanning, computersoftware of andere elektronische
verveelvoudiging of openbaarmaking, microfilm, geluidskopie, film- of videokopie of op welke
wijze dan ook.
Stichting Cito Instituut voor Toetsontwikkeling heeft getracht alle rechthebbenden te
achterhalen. Indien iemand meent als rechthebbende in aanmerking te komen, kan hij of zij zich
tot Cito wenden.

2

PPON

3

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Samenvatting
In mei/juni 2011 is het vijfde peilingsonderzoek voor rekenenwiskunde einde basisonderwijs uitgevoerd. Het peilingsonderzoek
omvatte een inventarisatie van het onderwijsaanbod in de
jaargroepen 6, 7 en 8 en een gedetailleerd onderzoek naar de
rekenvaardigheid van leerlingen in jaargroep 8. In het bijzonder is
extra onderzoek gedaan naar strategiegebruik binnen Schattend
rekenen en binnen Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen. Ook is
een aanvullend onderzoek naar Hoofdrekenen met en zonder papier
verricht. De belangrijkste conclusies van dit peilingsonderzoek zijn
hier bij elkaar gezet.
Gebruik van reken-wiskundemethoden
De keuze van reken-wiskundemethoden is in vergelijking met de peiling van 2004 licht
veranderd. Het percentage scholen dat de methode Pluspunt gebruikt is gedaald.
Ondanks deze daling blijft Pluspunt in de jaargroepen 6, 7 en 8 de meest gebruikte
methode (ongeveer 40%). Het percentage scholen dat de methode Alles telt gebruikt, is
ten opzichte van 2004 toegenomen (van ongeveer 5% naar ongeveer 11%). Het gebruik
van De wereld in getallen (ongeveer 30%) en Rekenrijk (ongeveer 15%) is nagenoeg gelijk
gebleven. De overige methoden worden door minder dan 7% van de leraren genoemd.
paragraaf 3.2 | pagina 44

Andere leermiddelen
Bijna 40% van de leraren uit jaargroep 8 gebruikt naast de methode aanvullende
leermiddelen. Maatwerk wordt in de huidige peiling het vaakst genoemd. Maatwerk is
voornamelijk bedoeld voor leerlingen die moeite hebben met rekenen. Remelka wordt in
deze peiling door enkele leraren genoemd. Daarnaast noemt een klein aantal leraren Kien,
materiaal dat gericht is op leerlingen die snel en goed kunnen rekenen.
paragraaf 3.2 | pagina 44

Tijd voor reken-wiskundeonderwijs
De onderwijstijd in de bovenbouw van het basisonderwijs voor rekenen-wiskunde in
2011 is, net als in de jaren 1992, 1997 en 2004 ongeveer 5 uur per week. Voor zowel de
verschillende jaargroepen als voor de strata zijn geen verschillen in de lestijd gevonden.
paragraaf 3.3 | pagina 45

4

PPON

Differentiatie
De trend die in de peiling van 2004 is gevonden zet zich in 2011 door: steeds minder
leraren geven dezelfde instructie en oefenstof aan alle leerlingen. Ten opzichte van 2004
gaven de leraren aan dat ze vaker in hun instructie differentiëren per niveau- of
tempogroep met eventuele differentiatie bij de verwerking van de oefenstof. Het geven
van gelijke instructie gevolgd door gedifferentieerde oefenstof is in 2011 afgenomen,
maar wordt net als in 2004 nog wel het meest toegepast.
paragraaf 3.5 | pagina 48

Individuele ondersteuning van leerlingen
In de bovenbouw van het basisonderwijs krijgt ongeveer 35% van de leerlingen extra
steun. De meeste leraren rapporteerden dat het 1 of 2 leerlingen per klas betreft.
Ongeveer 15% van de leraren uit jaargroepen 6, 7 en 8 geeft aan dat individuele
ondersteuning wordt verzorgd door een intern begeleider of rekenspecialist. Een derde
van de leraren meldt dat deze ondersteuning alleen wordt verzorgd door een remedial
teacher.
paragraaf 3.5 | pagina 48

Gebruik van de zakrekenmachine
Het aantal leraren uit jaargroep 6 dat zegt tijdens de reken-wiskundeles gebruik te maken
van de zakrekenmachine is tussen 2004 en 2011 gestegen van 40% naar 53%. In jaargroep
7 en 8 wordt de zakrekenmachine algemeen gebruikt.
paragraaf 3.6 | pagina 51

Strategievoorkeur en -gebruik: kolomsgewijze strategie of
cijferalgoritme?
Uit dit peilingsonderzoek blijkt dat voor Optellen, Aftrekken en Vermenigvuldigen leraren
uit de bovenbouw van het basisonderwijs de voorkeur geven aan de inzet van het
cijferalgoritme ten opzichte van de kolomsgewijze strategie. Minder dan 20% van de
leraren geeft bij deze drie bewerkingen de voorkeur aan de kolomsgewijze strategie. Voor
Delen hebben evenveel leraren een voorkeur voor de kolomsgewijze strategie als voor het
cijferalgoritme. In vergelijking met de peiling van 2004 is het gebruik van alleen het
cijferalgoritme voor alle vier de hoofdbewerkingen toegenomen. Bij de kolomsgewijze
aanpak zijn geen grote verschillen te zien ten opzichte van 2004.
paragraaf 3.7 | pagina 52

5

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Aandacht voor hoofdrekenen en schattend rekenen
Uit deze peiling blijkt dat de aandacht voor een aantal onderdelen van Hoofdrekenen ten
opzichte van de vorige peilingen opnieuw is toegenomen. Opvallend hierbij is de groei in
aandacht voor basisvaardigheden bij het rekenen met breuken, procenten en komma­
getallen in jaargroep 6 (van 36% naar 50%).In jaargroepen 6 en 7 maakt ongeveer een
derde van de leraren gebruik van aanvullend materiaal met betrekking tot Hoofdrekenen
en Schattend rekenen. In jaargroep 8 is dit percentage afgenomen naar 25%. In jaargroep
6 en 7 besteedt ongeveer 80% van de leraren minimaal twee keer in de week aandacht
aan Hoofdrekenen en Schattend rekenen. In jaargroep 8 is dit minder, ongeveer 70%.
paragraaf 3.8 | pagina 54

Getallen en getalrelaties
Dit onderwerp betreft inzicht in de structuur van de telrij, de structuur van getallen en de
relaties tussen getallen. In de periode 1987-2004 was er sprake van een sterk positief
jaareffect voor het onderwerp Getallen en getalrelaties. In de periode 2004-2011 is
daarentegen een zeer lichte daling in de vaardigheid te zien.
paragraaf 4.1 en 9.7 | pagina 58 en 306

Basisoperaties
Voor Optellen en aftrekken is over de periode 1992-2004 een licht positief effect
gevonden. Uit de vergelijking van 2004 met 2011 blijkt een verwaarloosbaar klein
negatief effect. Voor Vermenigvuldigen en delen is over de periode 1997-2004 een
positieve trend waargenomen. In de periode 2004-2011 blijkt echter sprake van een
verwaarloosbaar klein negatief effect. De minieme effecten op het gebied van
basisoperaties en het ontbreken van een duidelijke jaartrend komen mogelijkerwijs
doordat er sprake is van een plafondeffect.
paragraaf 4.2-4.3 en 9.7 | pagina 69 en 306

Hoofdrekenen
Bij dit onderwerp gaat het om opgaven met gehele en kommagetallen die de leerling
vlot, handig en inzichtelijk moet kunnen maken. Ze mochten bij het oplossen geen
uitrekenpapier gebruiken. Terwijl in de periode 1987-2004 voor het onderwerp
Hoofdrekenen: optellen en aftrekken een duidelijk positieve ontwikkeling is waargenomen,
zijn de resultaten tussen 2004 en 2011 voor zowel Hoofdrekenen: optellen en aftrekken als
voor Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen gelijk gebleven.
paragraaf 4.4-4.5 en 9.7 | pagina 83 en 306

6

PPON

Hoofdrekenen met en zonder papier
In deze peiling is onderzocht of het verschil maakt of een opgave uit het hoofd moet
worden uitgerekend of dat er bij de berekening gebruik mag worden gemaakt van
uitrekenpapier. Voor alle vier de operaties (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en
delen) blijken de afnamecondities met en zonder papier niet één op één samen te hangen
met de moeilijkheid van de opgaven. Sommige opgaven zijn gemakkelijker met papier,
terwijl andere opgaven juist zonder papier gemakkelijker zijn. Wat betreft de gevolgde
oplossingsstrategie paste een derde tot de helft van de leerlingen bij Hoofdrekenen­
opgaven: optellen en aftrekken een algoritme toe als ze papier mochten gebruiken.
In minder dan 5% werd in dat geval een hoofdrekenstrategie gebruikt. Een deel van de
leerlingen noteerde in de conditie met papier geen uitwerking en rekende kennelijk uit
het hoofd. Voor de vermenigvuldig- en deelopgaven bleek het gebruik van een algoritme
in de conditie met papier sterk af te hangen van de kenmerken van de opgave. Over het
algemeen pasten leerlingen bij vermenigvuldig- en deelopgaven minder vaak een
algoritme toe dan bij de optel- en aftrekopgaven.
paragraaf 4.4 en 4.5 | pagina 93 en 103

Schattend rekenen
Het positieve effect voor het onderwerp Schattend rekenen dat zichtbaar was in de
1987‑2004 zet zich door in de periode 2004-2011. Over deze periode is een lichte toename
van de prestaties te zien. Van zes opgaven van dit onderdeel zijn door middel van
mondelinge individuele afnames oplossingsprocedures van leerlingen verzameld.
De belangrijkste conclusie uit dit deelonderzoek is dat leerlingen een voorkeur hebben
voor schatten via afronden.
paragraaf 4.6 en 9.7 | pagina 104 en 306

Bewerkingen
Het duidelijk negatieve effect van afnamejaar over de periode 1987-2004 op het onderdeel
Optellen en aftrekken zet enigszins door in de periode 2004-2011. Het effect is echter
minimaal. Bij het onderwerp Vermenigvuldigen en delen waren de leerlingen tussen 1997
en 2004 sterk achteruit gegaan. Het niveau is in de periode 2004-2011 echter gelijk
gebleven. Voor Samengestelde bewerkingen is de negatieve trend die over de periode 19872004 werd geobserveerd in 2004-2011 naar een licht positieve trend omgebogen.
Bij het onderwerp Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen zijn enkele opgaven
individueel afgenomen en is de relatie tussen strategiegebruik en succespercentages
onderzocht. Voor de vermenigvuldigopgaven bleek het gebruik van het cijferalgoritme
het meest succesvol, gevolgd door de kolomsgewijze methode. Een strategie zonder
algoritmisch schema was het minst succesvol. Bij deelopgaven werd een omgekeerd
patroon gevonden: een strategie zonder algoritmisch schema was het meest succesvol,
gevolgd door het gebruik van het cijferalgoritme en de kolomsgewijze methode.
paragraaf 4.7-4.9 en 9.7 | pagina 116 en 306

7

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Rekenen met de zakrekenmachine
In de kerndoelen voor het basisonderwijs staat dat leerlingen de rekenmachine met
inzicht moeten kunnen gebruiken en dat zij breuken in decimale breuken moeten kunnen
omzetten met behulp van een rekenmachine. Over de periode 1992-1997 is een licht
positieve tendens waargenomen, die zich tussen 1997 en 2004 heeft gestabiliseerd. In de
huidige peiling vinden we opnieuw een positieve trend over de periode 2004-2011.
paragraaf 4.10 en 9.7 | pagina 148 en 306

Verhoudingen, breuken en procenten
De jaareffecten voor de onderwerpen uit dit domein laten nauwelijks verschillen tussen
2004 en 2011 zien. Er blijkt geen duidelijke trend voor Verhoudingen: over de periode
1987-1997 is een licht positieve tendens waargenomen, over 1997-2004 zien we
daarentegen een lichte achteruitgang en over de periode 2004-2011 weer een zeer
minimale, niet significante vooruitgang. Het beeld omtrent de vaardigheid in het kunnen
omgaan met Breuken is in de periode 1987-2004 gelijk aan dat van het onderwerp
Verhoudingen. In de periode 2004-2011 is echter sprake van een lichte achteruitgang op
dit onderwerp. Op het onderdeel Procenten was in de vorige peilingen een positieve
ontwikkeling zichtbaar. die in de periode 2004-2011 is gestabiliseerd.
hoofdstuk 6 en paragraaf 9.7 | pagina 170 en 306

Meten en meetkunde
De jaareffecten voor de onderwerpen uit dit domein laten nauwelijks verschillen zien
tussen 2004 en 2011. Voor Lengte is, net zoals in de periode 1987-2004, in de periode
2004-2011 een verwaarloosbaar kleine negatieve trend gevonden. Op de onderwerpen
Oppervlakte en Inhoud zijn tussen 2004 en 2011 geen veranderingen in het vaardigheids­
niveau van de leerlingen opgetreden. Voor Gewicht wordt wel een duidelijk positief effect
over de totale periode 1987-2011 waargenomen. Het effect over de periode 2004-2011 is
echter verwaarloosbaar klein. Tot slot is voor het onderwerp Toepassingen een klein
positief effect in de periode 2004-2011 waargenomen. Hiermee komt een einde aan de
negatieve trend die in de periode 1987-2004 zichtbaar was. Voor het onderwerp
Meetkunde was het niet mogelijk om een jaareffect te berekenen.
paragraaf 7.1-7.6 en 9.7 | pagina 206 en 306

8

PPON

Tijd en geld
Nadat er zich over de periode 1987-1997 een licht positieve trend aftekende voor het
onderwerp Tijd, gevolgd door een negatief effect over de periode 1997-2004, is tussen
2004-2011 weer een zeer klein positief effect gevonden. In de periode 2004-2011 is het
vaardigheidsniveau op het onderwerp Geld niet significant veranderd.
paragraaf 7.7, 7.8 en 9.7 | pagina 260 en 306

Verbanden (Tabellen en grafieken)
Dit onderwerp heette in de vorige balans Tabellen en grafieken. Door de ontwikkelingen
rond de referentieniveaus is dit onderwerp uitgebreid met enkele opgaven over patronen.
Desalniettemin meet het grootste deel van de opgaven dezelfde vaardigheid als in 2004.
Daarom is het verantwoord een jaarvergelijking te maken. In de periode 2004-2011 is een
duidelijk positief effect te zien.
hoofdstuk 8 en paragraaf 9.7 | pagina 282 en 306

Effect van jaar
De verschillen tussen 2004 en 2011 in rekenniveau zijn bij de meeste onderwerpen zeer
klein. Bij zes onderwerpen is een klein tot zeer klein positief effect gevonden, bij vijf
onderwerpen is een zeer klein negatief effect. Bij acht onderwerpen is het rekenniveau
gelijk gebleven. Eén onderwerp, Verbanden (voorheen Tabellen en grafieken) springt er
positief uit door een matige effectgrootte.
paragraaf 9.7 | pagina 306

Effect van formatiegewicht
Diverse factoren bepalen de omvang van de lerarenformatie op een school. Een van deze
factoren – van oudsher aangeduid als het formatiegewicht – is gerelateerd aan de sociaaleconomische achtergrond van de leerlingen. Voor alle drie de domeinen geldt dat zowel
0.3-leerlingen als 1.2-leerlingen een achterstand hebben op 0.0-leerlingen. De resultaten
uit deze peiling zijn niet vergeleken met die uit 2004 omdat de definities voor formatie­
gewicht ingrijpend zijn gewijzigd.
paragraaf 9.2 | pagina 295

9

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Effect van stratum
Op basis van de formatiegewichten zijn schoolscores berekend en zijn de scholen
ingedeeld in drie strata, die in globale termen de samenstelling van de schoolbevolking
kenmerken. Binnen de domeinen Verhoudingen, breuken en procenten, Meten en
meetkunde en Verbanden vinden we een licht negatief effect voor stratum-2-scholen
ten opzichte van stratum-1-scholen. Binnen het domein Getallen en bewerkingen is dit
effect verwaarloosbaar klein. Voor stratum-3-scholen is er in het algemeen sprake van
een licht tot matig negatief effect ten opzichte van stratum-1-scholen. Voor zowel
stratum-2- als stratum-3-scholen is relatief vaak sprake van een additioneel negatief
stratumeffect ten opzichte van de beide andere strata. Wederom was een vergelijking
met 2004 niet mogelijk door wijzigingen in de definities voor formatiegewicht.
paragraaf 9.3 | pagina 297

Effect van geslacht
Uit de vergelijking van de rekenvaardigheid van meisjes en jongens blijkt dat jongens
op nagenoeg alle onderwerpen hoger scoren dan meisjes. De effectgroottes variëren
van zeer klein tot matig. Voor het onderwerp Bewerkingen: optellen en aftrekken is
echter, net als in 2004, een klein positief effect in omgekeerde richting gevonden:
meisjes doen het op dit onderdeel beter dan jongens. Voor de onderwerpen
Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen en Bewerkingen: toepassingen zijn geen
significante verschillen tussen jongens en meisjes gevonden. De resultaten wijken af
van die in de peiling in 2004. Tot slot is ook op het onderwerp Meetkunde geen
significant effect gevonden.
paragraaf 9.4 | pagina 298

Effect van leertijd
Uit deze peiling kan geconcludeerd worden dat er onveranderlijk sprake is van een
significant en matig negatief effect voor vertraagde leerlingen ten opzichte van hun
jongere groepsgenoten. De gemiddelde effectgrootten zijn voor alle domeinen matig
tot groot. In vergelijking met 2004 is de afstand tussen vertraagde en reguliere
leerlingen nauwelijks veranderd.
paragraaf 9.5 pagina 299

10

PPON

Effect van reken-wiskundemethode
In de vorige balans is geen vergelijking van methoden opgenomen, omdat ten tijde van
het peilingsonderzoek veel scholen wisselden van methode. In deze peiling is een
vergelijking gemaakt tussen de meest gebruikte methoden: De wereld in getallen,
Pluspunt, Rekenrijk en Alles telt.
De voornaamste verschillen tussen de methoden zijn gevonden in het domein Getallen
en bewerkingen. Op het gebied van Basisoperaties wordt met de methode De wereld in
getallen significant betere prestaties behaald dan met de andere drie methoden. Er is
sprake van matige effectgroottes.
Bij de onderwerpen Hoofdrekenen: optellen en aftrekken, Bewerkingen: optellen en
aftrekken en Bewerkingen: toepassingen verschilt De wereld in getallen in positieve zin
van de zwakste methode op deze onderwerpen. Op de onderwerpen Hoofdrekenen:
vermenigvuldigen en delen en Schattend rekenen wijkt Alles telt in positieve zin af van
de zwakste methode op dit onderwerp.
paragraaf 9.6 | pagina 300

11

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

12

PPON

Inhoud
		Samenvatting

4

		Inleiding

15

1

De domeinbeschrijving voor de peiling rekenen-wiskunde einde basisonderwijs

19

2

Het peilingsonderzoek

27

De peilingsinstrumenten
De steekproef van scholen en leerlingen
De uitvoering van het onderzoek
De analyse van de resultaten
Leerlandschappen
De rapportage van de resultaten

28
31
34
34
36
37

Het onderwijsaanbod voor rekenen-wiskunde

43

Inleiding
Lesmethoden en andere leermiddelen
Onderwijstijd
Instructievormen
Differentiatie en remediëring
Rekenmachine
Strategieën bij bewerkingen
Hoofdrekenen en schattend rekenen

44
44
45
47
48
51
52
54

Getallen en bewerkingen

57

Getallen en getalrelaties
Basisoperaties: optellen en aftrekken
Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen
Hoofdrekenen: optellen en aftrekken
Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen
Schattend rekenen
Bewerkingen: optellen en aftrekken
Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen
Bewerkingen: toepassingen
Rekenen met een zakrekenmachine

58
69
76
83
94
104
116
125
140
148

Strategiegebruik bij het oplossen van vermenigvuldig- en deelopgaven

157

5.1
5.1.1
5.1.2
5.2
5.2.1
5.2.1.1
5.2.2

Achtergrond
Veranderingen in strategiegebruik bij vermenigvuldigen en delen
Succes van de verschillende vermenigvuldig- en deelstrategieën
Peilingsonderzoek 2011: gebruik en succes van strategieën
Methode
Strategiecodering
Gebruik en succes van strategieën

158
158
159
160
160
160
161

13

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
3
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
5

5.2.3
5.2.4
5.3
5.3.1
5.4
		

Samenhang tussen geslacht en strategiegebruik
Patronen van strategiegebruik binnen leerlingen
Veranderingen in de tijd: peilingsonderzoeken van 1997, 2004 en 2011
Gebruik en succes van strategieën in 1997, 2004 en 2011
Conclusie
Literatuur hoofdstuk 5

163
164
164
164
166
166

Verhoudingen, breuken en procenten

169

Verhoudingen
Breuken
Procenten

170
182
193

7

Meten en meetkunde

205

7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8

Meten: lengte
Meten: oppervlakte
Meten: inhoud
Meten: gewicht
Meten: toepassingen
Meetkunde
Tijd
Geld

206
216
228
237
246
254
260
270

8

Verbanden

281

8.1

Verbanden

282

Verschillen tussen leerlingen

292

Inleiding
Het effect van formatiegewicht
Het effect van stratum
Het effect van geslacht
Het effect van leertijd
Het effect van de reken-wiskundemethode
Het effect van afnamejaar

294
295
297
298
299
300
306

6
6.1
6.2
6.3

9
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7

		
Literatuur

14

PPON

317

Inleiding

Inleiding

Inleiding
In 1986 is in opdracht van de Minister van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen het project
Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau (PPON) gestart. Het belangrijkste doel van het
project is periodiek gegevens te verzamelen over het onderwijsaanbod en de onderwijs­
resultaten in het basisonderwijs en het speciaal basisonderwijs. Deze onderzoeksresultaten
bieden een empirische basis voor de algemene maatschappelijke discussie over de inhoud en
het niveau van het onderwijs. Het onderzoek richt zich in hoofdzaak op drie vragen:
• Waaruit bestaat het onderwijsaanbod in een bepaald leer- en vormingsgebied?
• Welke resultaten in termen van kennis, inzicht en vaardigheden zijn er gerealiseerd?
• Welke veranderingen of ontwikkelingen in aanbod en opbrengst zijn er in de loop van de tijd
te traceren?
Eén van de uitgangspunten van peilingsonderzoek is dat zoveel mogelijk getracht wordt een
nauwkeurig en gedetailleerd beeld van de vaardigheden van leerlingen te schetsen. In dit geval
betreft het de rekenvaardigheid van leerlingen aan het einde van het basisonderwijs. Peilings­
onderzoek is een van de instrumenten van de overheid voor de externe kwaliteitsbewaking van
het onderwijs (Netelenbos, 1995). Maar daarnaast zijn de resultaten van peilingsonderzoek van
belang voor allen – onderwijsorganisaties, onderzoekers en ontwikkelaars van methoden,
onderwijsbegeleiders en lerarenopleiders, leraren basisonderwijs en ouders – die betrokken zijn
bij de discussie over en de vormgeving van het onderwijs in de basisschool.
In de periode mei-juni van 2011 is in jaargroep 8 van het basisonderwijs het vijfde peilings­
onderzoek voor rekenen-wiskunde aan het einde de basisschool uitgevoerd.
De opzet van deze peiling is in belangrijke mate vergelijkbaar met die van eerdere reken­
peilingen. Inhoudelijk is met dezelfde onderwerpen gewerkt als in de vorige peiling, zodat een
goede vergelijking van de uitkomsten over de tijd mogelijk is. Deze keer is ter aanvulling een
specifiek onderzoek opgenomen naar Strategiegebruik bij het oplossen van vermenigvuldig- en
deelopgaven. Dit onderzoek heeft plaatsgevonden in samenwerking met de Universiteit Leiden.
Anders dan bij de rapportage van de vorige peiling is er nu geen standaardenonderzoek gedaan.
In een dergelijk onderzoek worden de uitkomsten van ons onderzoek afgezet tegen de oordelen
van geïnformeerde beoordelaars. Omdat er nu door de Expertgroep Doorgaande Leerlijnen Taal
en Rekenen (Expertgroep doorlopende leerlijnen, 2008) duidelijke referentieniveaus zijn
geadviseerd waarmee de uitkomsten kunnen worden gewaardeerd, is dit keer afgezien van een
afzonderlijke onderzoek naar een niveaubepaling.
De balans begint in hoofdstuk 1 met een beschrijving van het leerstofdomein voor rekenenwiskunde in jaargroep 8. Vervolgens beschrijven we in hoofdstuk 2 de belangrijkste aspecten
van de uitvoering van het onderzoek. In dit hoofdstuk wordt ook uitleg gegeven over de wijze
waarop de kennis en vaardigheden van de leerlingen worden gerapporteerd en in het bijzonder
hoe dat grafisch in beeld wordt gebracht. De resultaten van de inventarisatie van het
onderwijsaanbod worden gerapporteerd in hoofdstuk 3. De resultaten van de leerlingen op de
verschillende onderwerpen beschrijven we in de hoofdstukken 4, 6, 7 en 8. Hoofdstuk 5 is
geheel gewijd aan het extra onderzoeksonderwerp Strategiegebruik bij het oplossen van
vermenigvuldig- en deelopgaven. In het laatste hoofdstuk rapporteren we over verschillen
tussen leerlingen. We beschrijven de effecten van de verschillende achtergrondkenmerken van
leerlingen, zoals geslacht, formatiegewicht, doorstroomniveau en peilingsjaar op de prestaties
bij de verschillende onderwerpen van rekenen-wiskunde. Ook wordt aandacht besteed aan een
vergelijking van resultaten gebaseerd op het verschil in de gebruikte methode voor rekenenwiskunde.

16

PPON

We hopen met deze rapportage een goede bijdrage te leveren aan het publieke debat over de
kwaliteit van het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool.
Jan van Weerden
Projectleider PPON

17

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

18

PPON

1	Domeinbeschrijving voor
rekenen-wiskunde einde
basisonderwijs

1	Domeinbeschrijving rekenen-wiskunde einde basisonderwijs

1	Domeinbeschrijving voor
rekenen-wiskunde einde
basisonderwijs
De domeinbeschrijving van het leerstofgebied rekenen-wiskunde
vormt de inhoudelijke basis voor het peilingsonderzoek, met name
voor de ontwikkeling van de instrumenten om vaardigheden bij
leerlingen te meten. Zij bestaat uit een structurele beschrijving van
het leerstofgebied in de vorm van een geordende lijst van leer- en
vormingsdoelen. De domeinbeschrijving voor rekenen-wiskunde
dekt de kerndoelen basisonderwijs voor rekenen-wiskunde in
het basisonderwijs en omvat voor het einde van de basisschool
22 onderwerpen.
Deze balans beschrijft de resultaten van het vijfde peilingsonderzoek voor rekenen-wiskunde
aan het einde van de basisschool dat in de maanden mei en juni 2011 in jaargroep 8 heeft
plaatsgevonden.
Bij de peilingsonderzoeken in de jaren 1987, 1992, 1997 en 2004 (zie respectievelijk Wijnstra,
1988; Bokhove, Van der Schoot en Eggen, 1996; Janssen, Van der Schoot, Hemker en Verhelst,
1999; Janssen, Van der Schoot en Hemker, 2005) zijn eerder al domeinbeschrijvingen opgesteld.
Na de domeinbeschrijving voor de peiling van 1987 zijn de domeinbeschrijvingen voor volgende
peilingen telkens op onderdelen herzien om zoveel mogelijk aan te sluiten bij de ontwikkelingen
in het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Om deze ontwikkelingen in kaart te brengen
is onder andere gebruikgemaakt van de nieuwe reken-wiskundemethoden voor het basis­
onderwijs, de verschillende edities van de kerndoelen (Ministerie van Onderwijs, Cultuur en
Wetenschappen, 1993, 1993a, 1998, 2004, 2008), de beschrijvingen van leerlijnen en
tussendoelen voor de bovenbouw van met name de onderwerpen Getallen en bewerkingen
(Van den Heuvel-Panhuizen, Buys en Treffers, 2000) en het rapport over de doorlopende
leerlijnen (Expertgroep doorlopende leerlijnen, 2008).
Het standaardenonderzoek dat bij eerdere peilingen heeft plaatsgevonden, is in verband met de
recente ontwikkeling van de referentieniveaus nu niet uitgevoerd. De nieuwe benadering
neemt de functie van het standaardenonderzoek over.
Ook voor deze vijfde peiling is de domeinbeschrijving op onderdelen aangepast. De drie
domeinen uit de vorige peiling (Getallen en bewerkingen, Verhoudingen, breuken en procenten
en Meten, meetkunde, tijd en geld) zijn uitgebreid met een vierde domein: Verbanden.
Hiermee is de opbouw in domeinen gelijk aan die van de Expertgroep doorlopende leerlijnen.
Het domein Verbanden omvat het eerder bij het domein Verhoudingen, breuken en procenten
ondergebrachte onderwerp Tabellen en grafieken. Dit onderwerp is echter uitgebreid met het
herkennen en ontdekken van regelmaat in patronen. Hierdoor is de naamgeving Tabellen en
grafieken niet meer dekkend en hebben we ervoor gekozen dit onderwerp ook Verbanden te
noemen.

20

PPON

Het aantal onderwerpen waarover gerapporteerd wordt, is gelijk aan het aantal onderwerpen in
2004, namelijk 22. De onderwerpen zijn verdeeld over vier domeinen:
• Getallen en bewerkingen met tien onderwerpen;
• Verhoudingen, breuken en procenten met drie onderwerpen;
• Meten, meetkunde, tijd en geld met acht onderwerpen;
• Verbanden met één onderwerp.
We geven hieronder een korte karakteristiek van de verschillende onderwerpen. In de
hoofdstukken 4, 6, 7 en 8 is voor elk onderwerp een meer uitvoerige beschrijving opgenomen.
Domeinen en onderwerpen voor de peiling rekenen-wiskunde in 2011
Domeinen

Onderwerpen

1		 Getallen en bewerkingen

1		 Getallen en getalrelaties
2		 Basisoperaties: optellen en aftrekken
3		 Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen
4		 Hoofdrekenen: optellen en aftrekken
5		 Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen
6		 Schattend rekenen
7		 Bewerkingen: optellen en aftrekken
8		 Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen
9 		 Samengestelde bewerkingen
10 Rekenen met een zakrekenmachine

2 		 Verhoudingen, breuken en procenten

11 Verhoudingen
12 Breuken
13 Procenten

3		 Meten, meetkunde, tijd en geld

14 Meten: lengte en omtrek
15 Meten: oppervlakte
16 Meten: inhoud
17 Meten: gewicht
18 Meten: toepassingen
19 Meetkunde
20 Tijd
21 Geld

4		 Verbanden

22 Verbanden

Domein Getallen en bewerkingen
Het domein Getallen en bewerkingen vormt een samenhangend gebied dat belangrijke aspecten
van gecijferdheid van leerlingen omvat. Gecijferdheid verwijst naar verschillende aspecten van
getalbegrip en rekenvaardigheid waarbij getallen, operaties en toepassingen aan elkaar
gerelateerd zijn. Het domein omvat de volgende tien onderwerpen:
1 Getallen en getalrelaties
	
Bij dit onderwerp staan centraal het doorzien van de structuur van de telrij, de structuur van
getallen en de relaties tussen getallen.

21

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

2 Basisoperaties: optellen en aftrekken
	
Bij dit onderwerp richten we ons op elementaire optellingen en aftrekkingen, die snel en
vaardig uitgerekend moeten kunnen worden door gebruik te maken van parate kennis,
gememoriseerde en geautomatiseerde kennis, begrip van getallen, relaties tussen getallen
en eigenschappen van getallen en bewerkingen. De opgaven van dit onderwerp worden
onder condities met een tijdslimiet afgenomen.
3 Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen
	
Hierbij gaat het om elementaire vermenigvuldigingen en delingen, die snel en vaardig
uitgerekend moeten kunnen worden door gebruik te maken van parate kennis,
gememoriseerde en geautomatiseerde kennis, begrip van getallen, relaties tussen getallen
en eigenschappen van getallen en bewerkingen. De opgaven van dit onderwerp worden
onder condities met een tijdslimiet afgenomen.
4 Hoofdrekenen: optellen en aftrekken
	
De opgaven bij dit onderwerp betreffen de vaardigheid van de leerlingen om de bewerkingen
optellen en aftrekken vlot, handig en inzichtelijk te kunnen uitvoeren. Daarbij kan de leerling
kennis van getallen, basisoperaties en eigenschappen van bewerkingen inzetten. De opgaven
worden zonder tijdslimiet aan de leerlingen voorgelegd en moeten ‘uit het hoofd’ – dat is
zonder uitrekenpapier – worden opgelost.
5 Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen
	
Bij dit onderwerp gaat het erom de bewerkingen vermenigvuldigen en delen vlot, handig en
inzichtelijk uit te voeren. Daarbij kan de leerling kennis van getallen, basisoperaties en
eigenschappen van bewerkingen inzetten. De opgaven worden zonder tijdslimiet aan de
leerlingen voorgelegd en moeten ‘uit het hoofd’ – dat is zonder uitrekenpapier – worden
opgelost.
6 Schattend rekenen
	
Ook bij schattend rekenen spelen eigenschappen van bewerkingen, het kunnen uitvoeren van
basisoperaties en het inzicht in getallen (onder andere in de orde van grootte van getallen,
de ligging van getallen in de getallenrij en de structuur van getallen) een belangrijke rol.
Vooral het kunnen afronden en weten wat de orde van grootte van een getal is, zijn bij dit
onderdeel erg belangrijk. Bij schattend rekenen wordt van leerlingen verwacht dat zij
bewerkingen met afgeronde getallen uitvoeren om de orde van grootte van de uitkomst aan
te geven. Ook deze opgaven worden zonder tijdslimiet aan de leerlingen voorgelegd en
moeten ‘uit het hoofd’ – dat is zonder uitrekenpapier – worden opgelost.
7 Bewerkingen: optellen en aftrekken
	
Dit onderwerp betreft de bewerkingen optellen en aftrekken waarbij de leerlingen wel
uitrekenpapier mogen gebruiken. De getallenkeuze bij de opgaven is meestal ook zodanig
dat het nodig of wenselijk is tussenuitkomsten te noteren of een standaardcijferprocedure
toe te passen.
8 Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen
	
Bij dit onderwerp betreft het de bewerkingen vermenigvuldigen en delen waarbij de
leerlingen wel uitrekenpapier mogen gebruiken. De getallenkeuze bij de opgaven is ook weer
zodanig dat het nodig of wenselijk is tussenuitkomsten te noteren of een standaardcijfer­
procedure uit te voeren.
9 Samengestelde bewerkingen
	Bij de opgaven van dit onderwerp moeten meerdere operaties (bijvoorbeeld zowel een
optelling als een deling) uitgevoerd worden. Daarbij mogen de leerlingen uitrekenpapier
gebruiken om tussenuitkomsten te noteren of kunnen ze op papier een of meer standaard­
cijferprocedures uitvoeren.
10 Rekenen met een zakrekenmachine
	
Het onderwerp Rekenen met een zakrekenmachine is in dit domein opgenomen omdat het
type opgaven hier het best bij past. De belangrijkste functie van de zakrekenmachine is
immers om snel en vaardig meer ingewikkelde bewerkingen uit te kunnen voeren.

22

PPON

Bij alle onderwerpen van dit domein zijn opgaven met gehele getallen en kommagetallen
opgenomen. Bij de onderwerpen Schattend rekenen en Rekenen met een zakrekenmachine
komen daarnaast opgaven voor met breuken, gemengde getallen en procenten.
Bij elk onderwerp bevat de opgavenverzameling opgaven zonder context en opgaven met
context, waarbij de leerlingen in diverse situaties met numerieke gegevens moeten opereren.
Bij de onderwerpen Basisoperaties (onderwerpen 2 en 3), Hoofdrekenen (onderwerpen 4
en 5) en Schattend rekenen (onderwerp 6) mogen de leerlingen geen gebruikmaken van
uitreken­papier. De getallenkeuze is bij deze onderwerpen zodanig dat bij het uitvoeren van de
bewerking zo weinig mogelijk een beroep op het geheugen wordt gedaan. Bij deze onderwerpen
is er door de toetsleiders bij de instructie aan de leerlingen expliciet op gewezen dat de opgaven
uit het hoofd uitgerekend moeten worden.
Bij de bewerkingen zijn de leerlingen er expliciet op gewezen gebruik te maken van de
beschikbare ruimte in het toetsboekje voor het noteren van tussenoplossingen of voor het
uitrekenen met een standaardcijferprocedure.
Domein Verhoudingen, breuken en procenten
Verhoudingen kunnen beschreven worden in verhoudingentaal (één op de tien kinderen), in
breukentaal (een kwart van de bevolking) of met procenten (20 procent van de aanwezigen).
Begrip van verhoudingen houdt in dat de relatie kan worden gelegd tussen die verschillende
beschrijvingen van verhoudingen. Binnen het domein Verhoudingen, breuken en procenten
onderscheiden we de volgende onderwerpen.
11 Verhoudingen
	
Bij dit onderwerp moeten leerlingen elementaire verhoudingsproblemen oplossen, waarbij
ook berekeningen uitgevoerd moeten worden.
12 Breuken
	
Bij dit onderwerp gaat het om basiskennis en elementaire begrippen die nodig zijn om met
breuken en gemengde getallen te kunnen werken en rekenen. Concreet betekent dat onder
andere: breuken op een getallenlijn plaatsen, breuken omzetten in kommagetallen, breuken
vereenvoudigen en breuken als gemengd getal schrijven. Daarnaast moeten leerlingen
elementaire operaties (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) met breuken kunnen
uitvoeren en die vaardigheid in contexten kunnen toepassen. De breuken en gemengde
getallen die daarbij voorkomen hebben een hoge gebruikswaarde.
13 Procenten
	
Bij dit onderwerp staat allereerst het begrijpen van wat procenten zijn centraal. Dat betekent
onder andere inzien dat het geheel 100 procent is en dat we de grootte van een deel van een
geheel met procenten kunnen aanduiden. Ook moet de relatie tussen procenten enerzijds en
breuken en verhoudingen anderzijds doorzien worden. Percentages worden gebruikt in
allerlei contexten. Daarbij staat niet alleen centraal het begrip van en de vaardigheid in het
rekenen met percentages, maar ook kennis van begrippen en afspraken in bepaalde sectoren.
Naast het toepassen van de procedure waarbij eerst 1 procent uitgerekend wordt, is het
soms efficiënter het percentage om te zetten naar een breuk of gebruik te maken van
verhoudingen.

23

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Domein Meten, meetkunde, tijd en geld
Voor dit domein is gekozen voor een indeling die hoofdzakelijk gebaseerd is op inhoudelijke
aspecten. Het domein Meten, meetkunde, tijd en geld bevat nu de volgende acht onderwerpen.
14 Meten: lengte
	
Bij dit onderwerp gaat het om basiskennis en begrip van de meetaspecten lengte en omtrek,
zoals het aflezen van meetinstrumenten en het onderling herleiden van lengtematen.
Het meetaspect omtrek ligt in het verlengde van het meetaspect lengte en wordt daarom tot
dit onderwerp gerekend.
15 Meten: oppervlakte
	
Bij dit onderwerp gaat het om basiskennis en begrip met betrekking tot het meetaspect
oppervlakte, zoals het afpassen met natuurlijke oppervlaktematen en het onderling
herleiden van enkele veel voorkomende oppervlaktematen.
16 Meten: inhoud
	
Bij dit onderwerp gaat het om basiskennis en begrip van het meetaspect inhoud, afpassen
met natuurlijke maten en het onderling herleiden van enkele veel voorkomen inhoudsmaten.
17 Meten: gewicht
	
Bij dit onderwerp gaat het om basiskennis en begrip van het meetaspect gewicht, zoals het
aflezen van meetinstrumenten en het onderling herleiden van gewichtsmaten.
18 Meten: toepassingen
	
Bij dit onderwerp overschrijden we de afzonderlijke meetgebieden. Dat is bijvoorbeeld het
geval als de leerling een relatie moet leggen tussen tijd en afstand of tussen omtrek en
oppervlakte of oppervlakte en prijs.
19 Meetkunde
	
Hierbij gaat het om eenvoudige begrippen waarmee de ruimte meetkundig geordend,
beschreven en verklaard kan worden. Centraal bij dit onderwerp staat de vaardigheid
‘ruimtelijk redeneren’.
20 Tijd
Bij dit onderwerp gaat het om het rekenen met tijd in toepassingssituaties.
21 Geld
	
Hierbij gaat het om toepassingsgericht rekenen met geld waarbij specifieke handelingen
met munten en bankbiljetten uitgevoerd moeten worden.
Domein Verbanden
22 Verbanden
	
Dit onderwerp bestaat uit opgaven over tabellen en grafieken maar ook over opgaven
waarbij het herkennen en ontdekken van regelmaat in patronen centraal staat.
	Tabellen en grafieken worden tegenwoordig veel gebruikt om kwantitatieve gegevens op
een compacte en overzichtelijke manier weer te geven. Tabellen en grafieken worden ook
wel bij opgaven van andere rekenonderwerpen gebruikt, om gegevens geordend te
presenteren. Met de opgaven van dit onderwerp kunnen we expliciet rapporteren over de
vaardigheid van leerlingen in het lezen van tabellen en grafieken en over het kunnen
opereren op basis van gegevens uit tabellen en grafieken.

24

PPON

De relatie tussen de kerndoelen basisonderwijs en de domeinbeschrijving
In 2004 heeft OCW het Voorstel herziene kerndoelen basisonderwijs (OCW, 2004) gepubliceerd.
Deze zijn in 2006 aangenomen (Ministerie van OC&W, 2008). Bij de vierde peiling in 2004 waren
nog de kerndoelen van 1998 van kracht.
De in 2006 verwoorde kerndoelen betreffen drie kerndoelen op het gebied van het wiskundig
inzicht en handelen en luiden:
• De leerlingen leren wiskundetaal gebruiken.
• De leerlingen leren praktische en formele reken-wiskundige problemen op te lossen en
redeneringen helder weer te geven.
• De leerlingen leren aanpakken bij het oplossen van reken-wiskundeproblemen te
onderbouwen en leren oplossingen te beoordelen.
In het peilingsonderzoek is aan de hier beschreven inhoudelijke en didactische aspecten
aandacht besteed. Mede door opgaven individueel met leerlingen te bespreken, waarmee we
onderzoek hebben gedaan naar oplossingsstrategieën van leerlingen.
Bij de wijzigingen binnen de domeinbeschrijving voor deze vijfde rekenpeiling is ervoor gezorgd
dat de volledige dekking van de kerndoelen gehandhaafd blijft. De relatie tussen de kerndoelen,
de doorlopende leerlijnen en de domeinbeschrijving voor de vijfde rekenpeiling is in het schema
op de volgende bladzijde in kaart gebracht.
De relatie met de referentieniveaus
In 2008 is het advies van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen uitgebracht met betrekking tot
de referentieniveaus. In deze domeinbeschrijving worden dezelfde vier domeinen onderscheiden
als de Expertgroep onderscheidt, namelijk Getallen, Verhoudingen, Meten en Meetkunde en
Verbanden (Expertgroep doorlopende leerlijnen, 2008).
De voorbeeldopgaven bij de referentieniveaus 1F en 1S aan het einde van het basisonderwijs
zijn grotendeels ontleend aan de rekenpeiling van PPON in 2004. De voorbeeldopgaven die
gebruikt zijn om het niveau 1F te illustreren, zijn de voorbeeldopgaven die door 75% van de
leerlingen beheerst werden (percentiel-25 leerling). Het niveau 1S is geïllustreerd door
voorbeeldopgaven die door 50% van de leerlingen beheerst werden (percentiel-50 leerling)
(Expertgroep doorlopende leerlijnen, 2008, p.24).
Om een vergelijking te maken tussen de situatie in 2004 en 2011 is in deze balans een
vergelijking gemaakt tussen het niveau dat in 2004 door 75% van de leerlingen beheerst werd
(1F) en hetzelfde niveau in 2011. Daarnaast is ook een vergelijking gemaakt tussen het niveau
dat in 2004 door 50% van de leerlingen beheerst werd (1S) en hetzelfde niveau in 2011.

25

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Domeinen / kerndoelen

Doorlopende leerlijnen

Onderwerpen peiling Rekenen-Wiskunde

23	De leerlingen leren wiskundetaal gebruiken

Alle domeinen

In alle opgaven wordt verondersteld dat de leerlingen dit
kunnen.

24	De leerlingen leren praktische en formele
rekenwiskundige problemen op te lossen
en redeneringen helder weer te geven.

Alle domeinen

In alle opgaven wordt verondersteld dat de leerlingen dit
kunnen, tevens wordt hier aandacht aan besteed bij de
individueel afgenomen opgaven.

25	De leerlingen leren aanpakken bij het
oplossen van rekenwiskundige problemen
te onderbouwen en leren oplossingen te
beoordelen.

Alle domeinen

In alle opgaven wordt verondersteld dat de leerlingen dit
kunnen.

26	De leerlingen leren structuur en
samenhang van aantallen, gehele getallen,
kommagetallen, breuken, procenten en
verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en
er in praktische situaties mee te rekenen.

Getallen
Verhoudingen
Verbanden

Bij de onderwerpen:
1		 Getallen en getalrelaties
4		 Hoofdrekenen: optellen en aftrekken
5		 Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen
6		 Schattend rekenen
7		 Bewerkingen: optellen en aftrekken
8		 Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen
9		 Samengestelde bewerkingen
11 Verhoudingen
12 Breuken
13 Procenten
22 Verbanden

27	De leerlingen leren de basisbewerkingen
met gehele getallen in elk geval tot 100
snel uit het hoofd uitvoeren, waarbij
optellen en aftrekken tot 20 en de tafels
van buiten gekend zijn.

Getallen

In alle opgaven wordt verondersteld dat de leerlingen dit
kunnen. Met name bij:
2 Basisoperaties: optellen en aftrekken
3 Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen

28	De leerlingen leren schattend tellen en
rekenen.

Getallen

6		 Schattend rekenen

29	De leerlingen leren handig optellen,
aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

Getallen

4		 Hoofdrekenen: optellen en aftrekken
5		 Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen

30	De leerlingen leren schriftelijk optellen,
aftrekken, vermenigvuldigen en delen
volgens meer of minder verkorte
standaardprocedures.

Getallen

7		 Bewerkingen: optellen en aftrekken
8		 Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen
9		 Samengestelde bewerkingen

31	De leerlingen leren de rekenmachine met
inzicht te gebruiken.

Getallen

10 Rekenen met een zakrekenmachine

32	De leerlingen leren eenvoudige
meetkundige problemen op te lossen.

Meten en meetkunde

19 Meetkunde

33	De leerlingen meten en leren te rekenen
met eenheden en maten, zoals bij tijd, geld,
lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud,
gewicht, snelheid en temperatuur.

Meten en meetkunde

14
15
16
17
18
20
21

26

PPON

Meten: lengte
Meten: oppervlakte
Meten: inhoud
Meten: gewicht
Meten: toepassingen
Tijd
Geld

2 Het peilingsonderzoek

2
Het peilingsonderzoek

2 Het peilingsonderzoek
De belangrijkste aspecten van het peilingsonderzoek voor rekenenwiskunde zijn de verschillende peilingsinstrumenten zoals vragen­
lijst en toetsen, de steekproef van scholen en leerlingen en de wijze
waarop het onderzoek wordt uitgevoerd. Vervolgens geven we een
korte inleiding op de leerlandschappen, één van de rapportage­
vormen. We besluiten het hoofdstuk met een beschrijving van de
kwalitatieve eigenschappen van de vaardigheidsschalen en met een
toelichting op de in de rapportage gebruikte afbeeldingen.
Het vijfde peilingsonderzoek voor rekenen-wiskunde in jaargroep 8 vond plaats in de periode
mei/juni 2011. Het vierde peilingsonderzoek in 2004 is tegelijk uitgevoerd met het onderzoek
voor een nieuw te ontwikkelen leerlingvolgsysteem voor de jaargroepen 6 en 7. Hierdoor was er
toen beschikking over een uitgebreidere opgavenverzameling en was het mogelijk om bij de
beschrijving van de leerlingresultaten drie aanvullende leermomenten te beschrijven, namelijk
halverwege en eind jaargroep 7 en halverwege jaargroep 8. Bij het vijfde peilingsonderzoek
waren er geen gegevens beschikbaar over deze aanvullende momenten, waardoor het niet
mogelijk was deze beschrijvingen te maken.

2.1

De peilingsinstrumenten

Met de peilingsinstrumenten wordt informatie verzameld over het onderwijsaanbod, de
rekenvaardigheid van de leerlingen en over enkele achtergrondkenmerken van de leerlingen.
Het onderwijsaanbod wordt geïnventariseerd met een aanbodvragenlijst. De rekenvaardigheid
van de leerlingen wordt onderzocht met schriftelijke toetsen. Met de leerlingenlijst worden
achtergrondgegevens van de leerlingen verzameld. Deze gegevens worden gebruikt voor het
schatten van de effecten van leerlingkenmerken op de rekenprestaties van de leerlingen.
De aanbodvragenlijst
Gegevens over het onderwijsaanbod voor rekenen-wiskunde zijn geïnventariseerd met behulp
van een schriftelijke aanbodvragenlijst. De vragenlijst is voorgelegd aan leraren van de
jaargroepen 6, 7 en 8, zodat in grote lijnen een beeld kan worden geschetst van enkele aspecten
het onderwijsaanbod in de bovenbouw van het basisonderwijs. De lijst bevat vragen over:
• lesmethoden en andere leermiddelen;
• onderwijstijd;
• instructievormen;
• differentiatie en remediëring;
• rekenmachine;
• strategieën bij bewerkingen;
• hoofdrekenen en schattend rekenen.
In hoofdstuk 3 beschrijven we de resultaten van deze inventarisatie van het onderwijsaanbod.

28

PPON

De toetsen
Het type onderzoeksdesign dat in 2004 is gebruikt is ook in 2011 gebruikt. Er is gekozen voor
een design waarbij alleen voor de onderwerpen Basisautomatismen, Hoofdrekenen, Schattend
rekenen en voor het Rekenen met de rekenmachine afzonderlijke toetsen zijn samengesteld.
De opgaven voor de overige onderwerpen zijn systematisch over de toetsboekjes verdeeld,
zodanig dat elk toetsboekje opgaven over meerdere onderwerpen bevatte. Daardoor
corresponderen deze toetsboekjes met de gebruikelijke opzet van rekentoetsen waarbij
leerlingen immers ook opgaven over diverse onderwerpen krijgen voorgelegd.
In totaal omvatte het peilingsonderzoek in 2011 596 opgaven. Er zijn in totaal veertien sets met
drie toetsboekjes samengesteld met per toetsboekje gemiddeld ongeveer dertig opgaven.
Elke opgave komt – in wisselende samenstellingen – voor in drie sets. De sets werden vooraf
zodanig geassembleerd dat leerlingen per groep zoveel mogelijk verschillende sets kregen
toegewezen. Daarnaast maakten de leerlingen, meestal aan het eind van de ochtend, nog een
rekendictee.
De eerste toets in zes van de veertien sets was een hoofdrekentoets. Hoofdrekenen is het
‘zonder uitrekenpapier’ kunnen uitrekenen van relatief eenvoudige opgaven. Om voor zowel
toetsleiders als leerlingen duidelijk te maken dat deze opgaven ‘uit het hoofd en dus zonder
uitrekenpapier’ opgelost moesten worden, zijn de opgaven afgedrukt op lichtgeel papier.
De eerste toets in zes andere sets was een toets Rekenen met de zakrekenmachine. Deze opgaven
waren op blauw papier afgedrukt zodat de toetsleider kon controleren welke leerlingen op welk
moment een zakrekenmachine nodig hadden.
Voor een extra onderzoek naar het effect van het moeten opschrijven van een berekening, is in
vier sets een roze boekje opgenomen. De opgaven in deze boekjes waren opgaven over de
verschillende onderwerpen van Bewerkingen, aangevuld met opgaven van andere onderwerpen.
Deze opgaven verschilden niet van de opgaven die in de gebruikelijke afnameconditie
afgenomen zijn, maar in de boekjes stond de volgende instructietekst: ‘Bij de volgende opgaven
is het belangrijk dat je de ruimte naast de opgave gebruikt om te laten zien hoe je het antwoord
uitrekent. Schrijf je antwoord daarna op de streep bij de opgave. Als je niets hebt uitgerekend
naast de opgave, wordt je antwoord fout gerekend.’ Het opschrijven heeft als nadeel gehad dat
leerlingen veel langer over deze opgaven gedaan hebben. Hierdoor is er een groot aantal
opgaven niet gemaakt en zijn er geen conclusies te trekken over het effect van het moeten
opschrijven op de moeilijkheid van een opgave.
De opgaven van de overige onderwerpen waren op wit papier afgedrukt. Iedere set bevatte
twee witte toetsboekjes. De toetsleiders kregen de opdracht de leerlingen er expliciet op te
wijzen dat zij de beschikbare ruimte in deze boekjes als uitrekenpapier mochten gebruiken.
De basisautomatismen zijn getoetst in de vorm van rekendictees. Elk dictee bestaat uit 20 tot
32 opgaven. De rekendictees zijn deels afgenomen volgens een nieuwe procedure waarbij de
opgaven klassikaal gepresenteerd werden door middel van een PowerPointpresentatie op het
digitale schoolbord. Hierbij zien de leerlingen de opgave op het scherm en wordt tegelijkertijd
de opgave voorgelezen. Zeven seconden na het oplezen van de opgave wordt de volgende
opgave aangeboden. De leerlingen geven hun antwoord op een antwoordblad waar de opgave
niet op staat. De andere afnameprocedure die we hebben gebruikt werd in het verleden bij
PPON ook toegepast. Daarbij worden de opgaven auditief aangeboden via een cd. De leerlingen
krijgen een apart rekendicteeboekje (A6-formaat) met op elke pagina één opgave. Dit om te
verhinderen dat leerlingen tijdens de afname op een later moment teruggaan naar
openstaande of vermoedelijk fout beantwoorde opgaven. Na de instructie aan de leerlingen
start de toetsleider de cd. Elke opgave wordt één keer voorgelezen. Na zeven seconden
antwoord­tijd volgt een signaal en daarna de volgende opgave.

29

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Zes rekendictees werden afgenomen met de nieuwe PowerPointprocedure, drie rekendictees
werden afgenomen met de PPON-procedure met cd en bij drie rekendictees bestond de eerste
helft uit een PowerPointgedeelte en de tweede helft uit een cd-gedeelte.
De leerlingenlijst
Met de leerlingenlijst hebben we achtergrondkenmerken van de leerlingen opgevraagd.
Deze gegevens gebruiken we voor de analyses van verschillen tussen leerlingen. Het gaat om
gegevens over geslacht, leeftijd en het formatiegewicht van de leerlingen. Bij dit onderzoek
hebben we de leraren ook gevraagd aan te geven naar welk type voortgezet onderwijs de
leerling komend jaar zal gaan. Deze variabele noemen we het doorstroomkenmerk van de
leerling.
De variabele leeftijd hebben we omgezet in de variabele leertijd, met de volgende twee
categorieën:
• regulier: de leerlingen in jaargroep 8 die in dat schooljaar 12 jaar worden of jonger zijn;
• vertraagd: de oudere leerlingen.
Het formatiegewicht van de leerlingen is een factor die door de school kan worden gebruikt bij
de bepaling van de formatieomvang van de school. In het schooljaar 2011-2012 golden voor de
leerlingen in jaargroep 8 nieuwe formatiegewichten. De leerlingen worden daarvoor
gecategoriseerd op basis van het opleidingsniveau van de ouders. Er worden drie categorieën
onderscheiden:
1 de ouder heeft maximaal basisonderwijs of (v)so-zmlk gehad;
2 	de ouder heeft maximaal lbo/vbo, praktijkonderwijs of vmbo basis- of kaderberoepsgerichte
leerweg gedaan. Of de ouder heeft maximaal twee jaar onderwijs in een andere
schoolopleiding in het voortgezet onderwijs aansluitend op het basisonderwijs gehad;
3 de ouder heeft na het basisonderwijs een verdergaande opleiding genoten.
De formatiegewichten zijn:
• 0.3 voor leerlingen van wie beide ouders of de ouder die belast is met de dagelijkse
verzorging een opleiding uit categorie 2 heeft gehad;
• 1.2 voor leerlingen van wie één van de ouders een opleiding heeft gehad uit categorie 1 en
de ander een opleiding uit categorie 1 óf 2;
• 0.0 voor leerlingen van wie één van de ouders of beide ouders een opleiding heeft gehad uit
categorie 3.
Deze indeling levert een andere verdeling van leerlingen op over de drie gewichtscategorieën
dan bij de vorige peiling, toen nog met de oude gewichtenregeling werd gewerkt. Bij de
analyses van de verschillen tussen leerlingen zal met de gewijzigde definities rekening
gehouden moeten worden wanneer de resultaten van deze peiling worden vergeleken met die
van de eerdere peilingen (zie ook paragraaf 2.4 en hoofdstuk 6).
Bij de analyse van de resultaten in relatie tot het doorstroomkenmerk van de leerlingen
onderscheiden we volgende vier categorieën:
• BB		basisberoepsgerichte leerweg (eventueel in combinatie met kaderberoepsgerichte
leerweg);
• KB		kaderberoepsgerichte leerweg (eventueel in combinatie met gemengde of
theoretische leerweg);
• GT		 gemengde of theoretische leerweg;
• havo leerlingen met doorstroomkenmerk havo;
• vwo leerlingen met doorstroomkenmerk vwo.

30

PPON

2.2

De steekproef van scholen en leerlingen

De stratumindeling voor de steekproeftrekking op basis van schoolscores
Peilingsonderzoek vindt altijd plaats bij een steekproef van basisscholen. Uitgaande van een
gemiddelde jaargroepgrootte van 25 leerlingen per school is de gewenste steekproefomvang
bepaald op 100 basisscholen, ongeveer 2500 leerlingen.
Het is voortdurend aangetoond dat het formatiegewicht duidelijk is gerelateerd aan de
resultaten van de leerlingen en wel in die zin dat een hoger formatiegewicht gepaard gaat met
lagere leerprestaties. Dat geldt voor de oude formatiegewichten die tot het schooljaar 2009-2010
werden gebruikt, en de verwachting is dat hetzelfde geldt voor de nieuwe formatie­gewichten.
Dat is ook het motief om aan de hand van deze formatiegewichten extra formatie aan de
scholen ter beschikking te stellen. Om nu zoveel mogelijk te waarborgen dat de steekproef van
leerlingen op het niveau van de formatiegewichten een adequate afspiegeling vormt van de
schoolpopulatie, wordt voor peilingsonderzoek een gestratificeerde steekproef getrokken op
basis van een schoolscore die wordt bepaald aan de hand van de formatie­gewichten.
De schoolscore is gebaseerd op de formatiegewichten van de leerlingen (zie paragraaf 2.1) en
bestaat uit de ratio van het gewogen aantal leerlingen en het nominale aantal leerlingen, met
aftrek van een correctieterm van het gewogen aantal leerlingen. Deze correctieterm bedraagt
9% van het nominale aantal leerlingen, waardoor de schoolscore (uitgaande van de voorheen
geldende formatiegetallen) een bereik heeft van 0.91 tot 1.81. Op basis van de schoolscores zijn
de basisscholen voor de steekproeftrekking in drie strata verdeeld. Hierbij is gebruikgemaakt
van het teldatumbestand van 2008. Deze stratumindeling weerspiegelt in globale termen een
indeling van de schoolpopulatie op basis van de sociaal-economische achtergrond van de
schoolbevolking.
De herdefinitie van het formatiegewicht heeft ook consequenties voor de variabele stratum,
immers de variabele stratum is gebaseerd op de formatiegewichten van de leerlingen.
De aangescherpte definitie van de formatiegewichten resulteert in minder leerlingen met een
formatiegewicht. Dit heeft weer tot gevolg dat er in de populatie minder scholen zijn met een
relatief hogere schoolscore. In vergelijking met vorige peilingen gelijkblijvende stratum­indeling
zouden er dan nog maar weinig scholen in stratum 2 en 3 voorkomen. Daarom is de stratum­
indeling aangepast. De stratumgrenzen zijn nu gelegd bij de schoolscores 1.0 en 1.20. In eerdere
peilingen lagen deze grenzen bij de schoolscores 1.05 en 1.15. Net als bij de variabele formatie­
gewicht is met de wijziging van de stratumdefinitie rekening gehouden in de analyses van de
verschillen tussen leerlingen (zie paragraaf 2.4 en hoofdstuk 9).

31

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De stratumindeling van de basisscholen in 2008 (N=7039) en de steekproef
Stratum

Schoolscore

Omschrijving*

Omvang in de populatie

Omvang in de steekproef

Stratum 1

≤1.00

Overwegend leerlingen met

65%

64%

22%

23%

12%

13%

formatiegewicht 1.00, weinig
1.90-leerlingen
Stratum 2

1.01-1.20

Relatief meer 1.25 leerlingen,
weinig 1.90-leerlingen

Stratum 3

≥1.20

Vooral 1.25-en1.90-leerlingen

* Op basis van oude formatiegewichten

De respons van scholen
Naar rato van de omvang van ieder stratum binnen de populatie basisscholen is een steekproef
van 1000 scholen getrokken. De werving voor de peiling rekenen-wiskunde en de peiling taal
heeft gelijktijdig plaatsgevonden. Scholen kregen de vraag deel te nemen aan ofwel de
rekenpeiling ofwel de taalpeiling. Het totaal aantal geworven scholen is evenredig verdeeld over
de twee peilingen.
De respons binnen de steekproef naar stratum voor taal- en rekenpeiling gezamenlijk
Stratum
1

2

3

Totaal
1000

Aangeschreven scholen

640

230

130

Positieve respons

142

50

26

218

Percentage positief

22%

22%

20%

22%

70

25

13

108

Aantal scholen rekenpeiling

De definitieve steekproefomvang was 108 scholen.
Er hebben in totaal 2403 leerlingen aan het peilingsonderzoek meegedaan. De toetsen zijn door
voldoende leerlingen gemaakt om een betrouwbaar beeld te kunnen schetsen van de
rekenvaardigheid in de populatie leerlingen.
Wat de leerlingkenmerken betreft is het opvallend dat er onder jongens meer vertraagde
leerlingen zijn dan onder meisjes (resp. 18% en 14%). Het percentage vertraagde leerlingen
neemt ook duidelijk toe met het formatiegewicht. Onder 0.0-leerlingen is het percentage
vertraagde leerlingen 14%, onder 0.3-leerlingen is dat 30% en onder 1.2-leerlingen 34%.

32

PPON

De samenstelling van de steekproef van leerlingen*
% scholen

% leerlingen

• 1

65

68

• 2

23

23

• 3

12

9

Stratum

Geslacht
• jongens

49

• meisjes

50

Leertijd
• regulier

80

• vertraagd

16

Formatiegewicht
• 0.0

87

• 0.3

9

• 1.2

4

Herkomst leerlingen
• Nederland

87,1

• Turkije

2,0

• Marokko, Tunesië

1,9

• Griekenland, Joegoslavië

0,3

• Spanje, Italië, Portugal

0,3

• Sur., Ned. Ant, Aruba

1,1

• overig/onbekend

7,3

Doorstroom
8

• basisberoepsgerichte leerweg (eventueel in combinatie met
kaderberoepsgerichte leerweg)
• kaderberoepsgerichte leerweg (eventueel in combinatie met gemengde of

11

theoretische leerweg)
• gemengde of theoretische leerweg (eventueel in combinatie met havo)

30

• havo (eventueel gecombineerd met havo/vwo)

30

• vwo

19

• overig (onbekend/doubleren)

2

Totaal aantal

108

2403

* Vanwege ontbrekende gegevens sommeren percentages niet altijd tot 100.

Binnen elk stratum is de verdeling van de steekproef van scholen over de schoolscores
representatief voor de verdeling in de populatie. Ook wat de regionale spreiding betreft, zijn er
binnen de steekproef geen significante afwijkingen ten opzichte van de schoolpopulatie
gevonden.

33

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

2.3

De uitvoering van het onderzoek

Het onderzoek is uitgevoerd door vooraf geïnstrueerde toetsleiders. De toetsleiders bezochten
meestal gedurende een ochtend een groep voor de afname van de toetsen.
Nadat de toetsleider zichzelf en het onderzoek kort had geïntroduceerd, kreeg elke leerling een
mapje met daarin de drie rekentoetsen. De toetsleider gaf vervolgens een klassikale instructie
aan de hand van een drietal voorbeeldopgaven.
De toetsleider was geïnstrueerd de leerlingen er expliciet op te wijzen dat zij in ‘witte’ boekjes
de ruimte naast de opgaven wél als uitrekenpapier mochten gebruiken.
Vóór de ochtendpauze maakten de leerlingen met een korte onderbreking twee rekentoetsen,
na de ochtendpauze maakten zij de derde rekentoets. In principe was er voor de afname van de
schriftelijke rekentoetsen 40 tot 45 minuten gereserveerd, maar meestal duurde de afname van
een toets niet veel langer dan 30 minuten.
De ochtend werd afgesloten met de klassikale afname van een rekendictee (zie voor de
gevolgde procedure paragraaf 2.1).
Op ongeveer de helft van de scholen vonden er in de namiddag bij enkele leerlingen (ongeveer
zes per groep) individuele afnames van vijf of zes rekenopgaven plaats. De leerlingen werden
geselecteerd op rekenniveau, twee goede leerlingen, twee gemiddelde leerlingen en twee
zwakke leerlingen. Deze individuele afnames waren erop gericht enig inzicht te krijgen in en te
kunnen rapporteren over de oplossingsprocedures die leerlingen bij het maken van de opgaven
gebruiken. Het betrof dan
• schattend rekenen;
• bewerkingen: vermenigvuldigen en delen.
Voor deze individuele afnames beschikten de toetsleiders over een afzonderlijke handleiding.

2.4

De analyse van de resultaten

Voor de analyse van de resultaten is gebruikgemaakt van twee gegevensbestanden:
• het gegevensbestand van het PPON-peilingsonderzoek in mei/juni 2004 in jaargroep 8;
• het gegevensbestand van het PPON-peilingsonderzoek in mei/juni 2011 in jaargroep 8.
In eerste instantie zijn op basis van de gegevensbestanden uit het PPON-onderzoek van mei/
juni 2011 psychometrische analyses uitgevoerd met behulp van OPLM (Verhelst, Glas en
Verstralen, 1993). Deze analyses hebben geresulteerd in 22 vaardigheidsschalen, een voor elk
onderwerp. De tabel geeft een overzicht van de psychometrische eigenschappen van deze
vaardigheidsschalen.

34

PPON

Psychometrische eigenschappen van de vaardigheidsschalen voor rekenen-wiskunde einde basisonderwijs
Analyses (vrij; behalve cursief)
discriminatie-

verdeling van p-waarden op Si-toetsen

R1c-toets

aantal leerlingen

range

gem

p

df

R1c

–1.0

–.9

–.8

–.7

–.6

–.5

–.4

–.3

–.2

–.1

≤.05

per opgave

geom. gem.

Range

schaal

aantal opgaven

indices

Getallen en bewerkingen
Getallen en getalrelaties

56

2-6

3.0

4

2

9

8

7

1

8

7

4

2

4

443.23

347

0.00

382

145 - 709

Basisoperaties: optellen en aftrekken

64

1-6

3.0

2

4

7

6

8

5

4

12

4

6

6

1122.05

883

0.00

1044

772 -1400

Hoofdrekenen: optellen en aftrekken

44

1-5

3.0

2

0

4

8

2

2

8

6

4

4

4

328.46

300

0.12

440

164 - 699

Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen

64

1-5

3.0

9

7

8

8

5

6

4

4

5

7

1

1570.40

985

0.00

1015

662 -1400

Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen

53

2-7

3.0

5

2

8

4

5

6

3

4

6

7

3

444.65

377

0.01

397

164 - 706

Schattend rekenen

63

1-5

2.9

1

4

6

4

5

9

8

6

6

7

7

636.04

594

0.11

475

318 - 701

Bewerkingen: optellen en aftrekken

31

2-6

3.0

3

2

6

0

5

2

2

5

2

3

0

249.02

200

0.01

454

284 - 705

Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen

41

2-5

3.0

3

3

5

2

4

3

6

6

3

3

3

1

418.76

278

0.00

393

145 - 689

Samengestelde bewerkingen

24

2-5

2.9

2

0

5

1

1

2

1

3

3

3

3

238.28

187

0.01

492

284 - 700

Zakrekenmachine

38

2-5

2.9

3

3

3

2

2

4

4

2

4

5

4

334.22

251

0.00

402

236 - 656

2

Verhoudingen, breuken en procenten
Verhoudingen

62

1-4

2.8

4

4

6

3

4

8

3

4

10

8

5

3

679.88

515

0.00

452

145 - 706

Breuken

62

2-5

3.1

1

2

4

7

5

5

9

7

2

7

11

2

677.88

540

0.00

390

236 - 656

Procenten

72

1-6

3.0

4

5

7

10

7

8

9

7

5

2

7

1

823.24

545

0.00

449

145 - 864

Meten en meetkunde
Meten: lengte

41

2-5

2.9

3

0

3

2

1

4

7

2

5

4

6

4

297.47

212

0.00

392

145 - 702

Meten: oppervlakte

38

1-6

2.9

0

1

4

2

2

0

7

6

4

8

3

1

243.12

197

0.01

372

169 - 693

Meten: inhoud

35

1-5

3.0

1

3

5

3

3

5

1

2

1

4

6

1

274.01

199

0.00

430

296 - 708

3

226.26

167

0.00

399

145 - 678

260.24

179

0.00

435

169 - 708

206.42

157

0.00

441

236 - 675

Meten: gewicht

29

2-5

3.1

2

2

4

1

2

3

0

3

5

2

2

Meten: toepassingen

33

2-4

2.8

1

3

3

5

3

2

4

6

2

1

3

Meetkunde

31

2-5

3.0

0

1

2

0

3

4

5

4

3

3

2

4

Tijd

32

2-5

2.9

1

2

1

2

4

4

6

4

4

1

1

2

322.24

229

0.00

509

312 - 850

Geld

31

1-6

3.1

3

3

1

0

2

3

5

5

2

2

4

1

267.86

178

0.00

436

236 - 701

53

2-5

3.0

2

0

5

2

6

14

2

5

4

6

3

4

332.71

269

0.00

387

236 - 782

Verbanden
Verbanden

Voor iedere vaardigheidsschaal is de

Overzicht van de overschrijdingskansen voor

De R1c-toets is een globale toets die beschouwd kan

omvang van de opgavenverzameling

de Si-toetsen (Verhelst, 1993). Si-toetsen zijn

worden als een combinatie van Si-toetsen (Verhelst,

gegeven.

bedoeld om tijdens de kalibratie van de

1993). De tabel bevat de toetsings­grootheid R1c, de

opgavenverzameling modelschendingen op

vrijheidsgraden (df) en de overschrijdingskans (p).

Range en geometrisch gemiddelde (geom.

opgavenniveau te ontdekken. De tabel toont

gem.) van de discriminatie-indices van deze

het eindresultaat van de kalibratie. In principe

opgaven. Deze indices bepalen de lengte van

wordt een rechte verdeling verwacht over de

Ten slotte vermeldt de tabel hoeveel leerlingen de opgaven hebben

de op de vaardigheidsschalen afgebeelde IRT-

onderscheiden intervallen, waarbij de eerste

gemaakt. Omdat het hier geen standaard toetsen betreft maar opgaven­

segmenten: relatief hogere indices leiden tot

twee intervallen dan samengenomen moeten

verzamelingen, varieert meestal het aantal leerlingen per opgave in een

kortere segmenten.

worden.

verzameling. Per schaal wordt daarom het gemiddeld aantal leerlingen
per opgave vermeld naast het minimum en maximum aantal (range).

35

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Het kalibreren van een opgavenverzameling is vaak een omvangrijk werk. Het is hier niet de
plaats om daar uitvoerig op in te gaan. In het intern projectmemo ‘Kwaliteitscontrole van PPONschalen’ heeft Verhelst een aantal procedures bijeengezet die een rol kunnen spelen bij de
kalibratie van de opgaven voor een vaardigheidsschaal. Zeker wanneer er onvoldoende passing
wordt verkregen tussen opgaven en schaal, vinden er controles plaats op multidimensionaliteit
van de opgavenverzameling en van homogeniteit van de leerlingpopulatie met betrekking tot
de opgaven. Uiteindelijk wordt een opgavenverzameling verkregen waarvoor in principe geldt
dat a) individuele opgaven binnen het model passen, b) opgaven in verschillende groepen op
dezelfde wijze functioneren, dus onafhankelijk van de groep (vrijwel) dezelfde itemparameters
hebben, c) er zoveel mogelijk een homogene verdeling is van de p-waarden op de Si-toetsen
over het interval (0,1) met zo weinig mogelijk significante waarden en waarbij d) de R1c-toets
niet significant is. Geconstateerd moet worden dat het laatste criterium bij geen van de schalen,
behalve schaal Hoofdrekenen: optellen en aftrekken en Schattend rekenen, het geval is. Dit kan
toegeschreven worden aan het grote aantal waarnemingen op de opgaven (vaak meer dan
duizend per opgave) waardoor relatief kleine verschillen toch significant worden. Additionele
analyses hebben dan inmiddels uitgewezen dat verdergaande itemselecties geen bijdrage meer
leveren aan een verbetering van de R1c-toets, waarop de schaal dus niettemin wordt
geaccepteerd.
Significante afwijkingen worden geacht weinig betekenis te hebben zolang de waarde van de
R1c niet veel afwijkt (niet meer dan een factor 1.5) van het aantal vrijheidsgraden van de
toetsingsgrootheid. Met factor 1.59 is dit het geval bij de vaardigheidsschaal voor het
onderwerp Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen, met factor 1.51 bij de vaardigheidsschaal
voor het onderwerp Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen en Procenten en met factor 1.50 bij
de vaardigheidsschaal voor het onderwerp Geld.
Vervolgens zijn er per onderwerp diverse additionele analyses uitgevoerd waarvan we de
belangrijkste hieronder vermelden. De eerste analyse betrof uitsluitend de gegevens van het
PPON-onderzoek in jaargroep 8. Op basis van deze gegevens worden in de hoofdstukken 4, 6, 7
en 8 de vaardigheden van leerlingen beschreven evenals de verschillen tussen leerlingen in
relatie tot formatiegewicht, geslacht en doorstroomkenmerk. Ten slotte zijn er twee analyses
uitgevoerd voor de vergelijking over de tijd. De eerste betrof de vergelijking over de laatste twee
peilingen 2004 en 2011 met correctie voor herkomst, geslacht en leertijd. Deze analyse is
herhaald met methode als toegevoegde variabele.

2.5

Leerlandschappen

Het begrip leerlandschap is voor het reken-wiskundeonderwijs geïntroduceerd door Fosnot en
Dolk (2002). Het begrip verwijst naar de wiskundige ideeën, strategieën en modellen die de
leerling in de loop van zijn leer- en ontwikkelingsproces construeert, onderzoekt en leert
gebruiken. Het leerlandschap van een leerling verwijst naar het geheel aan inzichten, kennis en
vaardigheden die leerlingen zich in een bepaald stadium van hun ontwikkeling eigen kunnen
maken. Het begrip leerlandschap is wat ons betreft nauw gerelateerd aan het begrip ‘zone van
naaste ontwikkeling’. Het verwijst naar het leer- en ontwikkelingspsychologische stadium van
leren waarvoor de leerling voldoende is toegerust omdat hij of zij over de gewenste voorkennis
of competenties beschikt.
In de hoofdstukken 4, 6, 7 en 8 zullen we bij ieder onderwerp het leerlandschap van de
leerlingen naar doorstroomkenmerk beschrijven. We sluiten ieder onderwerp af met een
beschrijving van de verschillen tussen leerlingen. Daarin is een overzicht opgenomen waarin
wordt aangegeven welke opgaven de gemiddelde leerling per onderscheiden doorstroom­
categorie goed beheerst, matig beheerst en onvoldoende beheerst. Beschouwen we de leerling
als een reiziger door het leerlandschap van het rekenen-wiskunde dan liggen de opgaven die

36

PPON

goed worden beheerst achter hem, de opgaven die matig worden beheerst in zijn directe
omgeving en de opgaven die onvoldoende worden beheerst liggen nog in het verdere verschiet.
Het overzicht laat aan de hand van de voorbeeldopgaven zien waar leerlingen zich bevinden en
dat er vaak grote afstanden bestaan tussen de posities die leerlingen in het leerlandschap
innemen.
Voor leraren in het voortgezet onderwijs illustreren de leerlandschappen mogelijke aangrijpings­
punten voor het onderwijs op het vakgebied rekenen-wiskunde.

2.6

De rapportage van de resultaten

In de hoofdstukken 4, 6, 7 en 8 beschrijven we per onderwerp de resultaten van de leerlingen.
Aan de hand van een reeks voorbeeldopgaven illustreren we voor ieder onderwerp over welke
kennis en inzichten leerlingen op een verschillend niveau van vaardigheid beschikken.
We maken verschillen tussen groepen leerlingen zichtbaar. Deze onderzoeksresultaten worden
in een figuur afgebeeld. Enerzijds wordt de figuur daardoor complex, anderzijds illustreert zo’n
afbeelding de samenhang tussen de verschillende resultaten. Op de volgende pagina’s wordt
een toelichting op de gebruikte figuren gegeven.
De afbeelding bestaat uit een brede kolom aan de linkerzijde en vier smallere kolommen aan de
linkerzijde. In het linker gedeelte staan afgebeeld:
• de vaardigheidsschaal met de verdeling in de leerlingpopulatie;
• de moeilijkheidsgraad van een aantal opgaven.
In het rechter deel van de afbeelding staan de vaardigheidsverdelingen van een aantal groepen
leerlingen. Weergegeven zijn de vaardigheidsverdelingen voor het verschillende niveaus van
vier variabelen, te weten jaar van afname, formatiegewicht, geslacht en doorstroomkenmerk.
De vaardigheidsschaal en de verdeling in de leerlingpopulatie
De vaardigheidsschalen zijn geconstrueerd met behulp van een zogenoemd itemresponsmodel.
De aanname is dat de vaardigheid zoals die met de schaal gemeten wordt, bij benadering
normaal verdeeld is in de populatie. De maatverdeling op de schaal is ter vrije keuze. In PPON is
ervoor gekozen om het landelijk gemiddelde van de leerlingpopulatie in de onderzoeksgroep –
eind jaargroep 8 in 2011 – op schaalwaarde 250 te stellen en de standaardafwijking op 50.
De vaardigheidsschaal wordt steeds afgebeeld tussen de vaardigheidsscores 100 en 400, een
bereik dus van drie standaardafwijkingen boven en drie onder het gemiddelde van 250. Geheel
rechts in de figuur staan de vaardigheidsscores vermeld, oplopend met een waarde van 50.
Links op de schaal zijn enkele percentielen weergegeven, en wel percentiel 10, 25, 50, 75 en 90.
Een percentiel geeft aan hoeveel procent van de leerlingen in de populatie de betreffende of een
lagere vaardigheidsscore heeft. Ter illustratie: percentiel 25 ligt op vaardigheidsscore 216.
Dit betekent dat 25% van de leerlingen een score van 216 of lager heeft en 75% van de
leerlingen heeft dus een hogere vaardigheidsscore. Percentiel 50 ligt uiteraard op vaardigheids­
score 250, zijnde de score van de gemiddelde leerling.
De moeilijkheidsgraad van de opgaven
Een bekende manier om de moeilijkheidsgraad van een opgave aan te geven, is met de
zogenoemde p-waarde. Een p-waarde van 0.80 betekent dat 80% van de leerlingen die opgave
correct heeft beantwoord. Een opgave met een p-waarde van 0.50 is moeilijker, omdat nu
slechts de helft van de leerlingen de opgave juist heeft gemaakt.

37

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Een voorbeeld

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

38

PPON

9

10

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

39

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Een opgave is echter niet voor alle leerlingen even moeilijk te maken. Over het algemeen zal
gelden dat naarmate een leerling een onderwerp beter beheerst, hij of zij een grotere kans heeft
om een opgave over dat onderwerp goed te beantwoorden. Die relatie wordt voor een aantal
opgaven afgebeeld in de linker kolom van de figuur met verticale balkjes. Het verticale balkje
begint op het punt dat de kans om die opgave goed te maken 0.5 is. Naarmate een opgave
moeilijker is, zal dat beginpunt steeds hoger op de schaal komen te liggen. De opgaven zijn dus
gerangschikt naar moeilijkheidsgraad. Het balkje eindigt op het punt dat de kans op het
correcte antwoord 0.8 bedraagt. Het kleurverloop in het balkje, van lichter naar donkerder,
symboliseert de toename in de kans om de opgave goed te maken.
Aan de hand van het balkje onderscheiden we drie niveaus in de beheersing van een opgave,
zoals ook de legenda laat zien:
• We spreken van goede beheersing wanneer de kans op een goed antwoord groter is dan 0.8.
De leerling heeft dan een vaardigheidsscore die hoger ligt dan het balkje aangeeft.
• Wanneer de kans op een goed antwoord tussen 0.5 en 0.8 ligt, spreken we van een matige
beheersing. Dit gebied op de vaardigheidsschaal komt dus overeen met wat het balkje
weergeeft.
• We spreken van onvoldoende beheersing van een opgave wanneer de kans op een goed
antwoord kleiner is dan 0.5. De vaardigheidsscore van de leerling ligt dan onder het
beginpunt van het balkje.
Laten we ter verdere illustratie opgave 8 nemen. Leerlingen met vaardigheidsscore 275 hebben
een kans van 0.50 om die opgave goed te maken. Leerlingen met een lagere vaardigheidsscore
beheersen opgave 8 dus onvoldoende. Als we nu naar de percentiellijnen kijken, dan zien we
dat ongeveer 60% van de leerlingen een vaardigheidsscore heeft die lager is dan 275.
Daaruit kunnen we concluderen dat 60% van de leerlingen deze opgave onvoldoende beheerst.
Dit betekent overigens niet dat alle leerlingen met een score lager dan 275 deze opgave altijd
fout zullen maken. Het betekent wel dat als deze leerlingen tien van deze opgaven zouden
maken, ze er gemiddeld minder dan de helft van goed maken.
Dezelfde leerlingen met vaardigheidsscore 275 hebben een kans van 0.80 om opgave 6 goed te
maken. Leerlingen met deze of een hogere vaardigheidsscore beheersen deze opgave dus goed.
Zij zullen gemiddeld minder dan twee op de tien soortgelijke opgaven fout maken. Uit de
percentiellijnen kunnen we weer afleiden dat ongeveer 40% van de leerlingen een hogere
vaardigheidsscore heeft en opgave 6 dus goed beheerst. De ondergrens van het balkje voor
opgave 6 ligt ongeveer bij vaardigheidsscore 215. Leerlingen met een vaardigheidsscore tussen
215 en 276 beheersen opgave 6 matig.
De afgebeelde opgaven vormen een selectie van alle opgaven op de schaal en zijn met zorg
gekozen. Zij vormen enerzijds een goede afspiegeling van de inhoudelijke aspecten die met de
opgaven worden gemeten. Anderzijds bestrijken zij een groot bereik van de vaardigheidsschaal,
dat wil zeggen dat zij een goed beeld geven van de spreiding van de moeilijkheidsgraad van de
opgaven over de gehele schaal.
De vaardigheidsverdelingen van groepen leerlingen
In het rechter gedeelte van de figuur zijn de vaardigheidsverdelingen van verschillende groepen
leerlingen afgebeeld. In deze figuur betreft het de vergelijking tussen leerlingen naar
formatiegewicht, geslacht en leertijd. Voor iedere onderscheiden groep leerlingen wordt de
geschatte vaardigheidsverdeling afgebeeld. Bij deze vaardigheidsverdelingen is niet
gecorrigeerd voor andere factoren die mogelijkerwijs van invloed zijn op de resultaten. De wijze
van afbeelding laat een vergelijking toe tussen de prestaties van de leerlingen wat betreft de
variabelen:

40

PPON

• jaar, met de niveaus 2004 en 2011;
• formatiegewicht, met de niveaus 0.0, 0.3 en 1.2;
• geslacht, met de niveaus jongen en meisje;
• doorstroom, met de niveaus BB, KB, GT, havo en vwo.
We onderscheiden voor iedere groep leerlingen vijf percentielpunten op de vaardigheidsschaal.
De gemiddelde vaardigheidsscore van een groep (percentiel 50) is met een wit sterretje
aangeduid. In dit geval leert de figuur ons bijvoorbeeld dat de gemiddelde vaardigheidsscore
van 0.0-leerlingen 255 bedraagt, van 0.3-leerlingen 227 en van 1.2-leerlingen 212.
De verschillen in vaardigheidsniveaus tussen de onderscheiden groepen leerlingen kunnen
vervolgens inhoudelijke betekenis krijgen aan de hand van de voorbeeldopgaven. Zo beheerst
de gemiddelde 0.0-leerling in dit geval de eerste vijf opgaven goed en de opgaven 6 en 7 en 9
redelijk goed tot matig, terwijl de gemiddelde 1.2-leerling alleen de eerste twee opgaven goed
beheerst en de opgaven 3 tot en met 5 matig.
Op een vergelijkbare manier illustreert de afbeelding ook de verschillen tussen jaar, jongens en
meisjes en doorstroomkenmerk.

41

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

42

PPON

3	Het onderwijsaanbod
voor rekenen-wiskunde

3
Het onderwijsaanbod voor rekenen-wiskunde

3	Het onderwijsaanbod voor
rekenen-wiskunde
Het onderwijsaanbod voor rekenen-wiskunde in de bovenbouw van
het basisonderwijs is geïnventariseerd met behulp van een
schriftelijke vragenlijst. De aanbodinventarisatie betrof de gebruikte
lesmethoden en andere leermiddelen, de onderwijstijd voor
rekenen-wiskunde en de werkvormen die leraren gebruiken.
Ook werden er vragen gesteld over de wijze waarop gedifferentieerd
wordt, over remediëring en een aantal inhoudelijke onderwerpen.
3.1

Inleiding

In dit hoofdstuk wordt verslag gedaan van de resultaten van de schriftelijke vragenlijst over het
onderwijsaanbod die is voorgelegd aan de leraren van de jaargroepen 6, 7 en 8 van de scholen
die aan het peilingsonderzoek hebben deelgenomen. De vragenlijst is beantwoord door
respectievelijk 96% (n =106), 95% (n=105) en 94% (n = 103) van de leraren. Er werden vragen
gesteld over de gebruikte lesmethoden en andere leermiddelen, de onderwijstijd voor rekenenwiskunde, de verschillende werkvormen die binnen de groep gebruikt worden. Daarnaast werd
er geïnventariseerd op welke wijze gedifferentieerd wordt en welke aandacht er aan
remediëring wordt besteed. Ook hebben we vragen gesteld over inhoudelijke onderwerpen: de
rekenmachine, strategieën bij bewerkingen en hoofdrekenen en schattend rekenen.

3.2

Lesmethoden en andere leermiddelen

In deze paragraaf wordt besproken welke lesmethoden en andere leermiddelen gebruikt
worden in de jaargroepen 6, 7 en 8. Aan de leraren is gevraagd welke lesmethode en welk
aanvullend materiaal ze gebruikten. In 2004 werd geconstateerd dat 20% van de scholen nog
werkte met een niet-euroversie van de lesmethode. Het is te verwachten dat dit percentage,
bijna 10 jaar na de invoering van de euro, nog verder is gedaald. De afgelopen jaren zijn
lesmethoden vernieuwd en zijn er nieuwe rekenmethoden bijgekomen.
Ten opzichte van 2004 is de verdeling van methoden over de scholen licht veranderd (zie
tabel 3.1). Met name bij de methode Pluspunt en Alles telt zijn er veranderingen in alle drie de
jaargroepen. Het percentage scholen met Pluspunt is gedaald, bijvoorbeeld in jaargroep 8 van
46% naar 37%. Het percentage scholen met Alles telt in jaargroep 8 is ten opzichte van 2011
toegenomen van 4% naar 11%. Doordat niet alle leraren de uitgavedatum bij de methode
hebben vermeld, is de versie in een aantal gevallen niet te achterhalen. Dit is de reden dat de
versies van de methoden bij elkaar opgeteld zijn. De methode Naar zelfstandig rekenen wordt in
2011 door geen enkele school meer gebruikt. De nieuwe methode Reken Zeker was op het
moment van dit peilingsonderzoek nog niet beschikbaar voor de jaargroepen 6, 7 en 8.

44

PPON

Tabel 3.1	Het gebruik van reken-wiskundemethoden in de jaargroepen 6, 7 en 8 in 2004 en
2011 in procenten
Jaargroep
6
2004

7
2011

2004

8
2011

2004

2011

Wereld in getallen oude versie of versie onbekend

9

7

13

Wereld in getallen, 2e versie

4

3

3

Wereld in getallen, 3e versie
Wereld in getallen totaal

13
24

Pluspunt oude versie of versie onbekend

26

18
24

24

Pluspunt nieuw

28

14
28

21

19

30
19

17

18

Pluspunt totaal

50

43

48

38

46

37

Wis en Reken*

4

5

4

7

7

6

Alles telt

5

11

5

13

4

11

Rekenrijk

15

13

16

12

14

14

Talrijk

2

2

2

2

2

2

Naar zelfstandig rekenen

1

* in 2004 inclusief Rekenen en Wiskunde

Behalve naar de reken-wiskundemethode is de leraren ook gevraagd naar aanvullend materiaal
dat zij gebruiken voor instructie, oefening of remediëring, voor zover zij dat als ‘belangrijk’
zouden willen aanmerken. 38% van de leraren in jaargroep 8 geeft aan dat ze naast de methode
nog ander materiaal gebruiken. Met name Maatwerk (21 keer genoemd), Kien (12 keer
genoemd) en Remelka (8 keer genoemd) worden door de leraren ingezet als extra materiaal.
Over het algemeen zijn leraren tevreden over de gebruikte rekenmethode. 73% van de leraren
geeft aan de methode goed tot heel goed bij hem/haar past. Slechts 5% van de leraren geeft
aan dat de methode niet goed bij hem/haar past. Op de vraag of de leraar onderdelen/
onderwerpen in de rekenmethode anders uitgewerkt wil zien, geeft 70% een bevestigend
antwoord. Van de 34 leraren die een toelichting bij deze vraag hebben gegeven noemt ongeveer
een derde deel Delen als het onderdeel dat ze graag anders uitgewerkt zouden zien. Ook Breuken
en Meten worden vaak genoemd.
In hoofdstuk 9 gaan we verder in op het effect van de rekenmethode op de prestaties van
leerlingen op de verschillende onderwerpen.

3.3

Onderwijstijd

In deze paragraaf doen we verslag van de vragen over onderwijstijd die we gesteld hebben.
We geven weer hoeveel tijd in totaal per week en per stratum aan rekenonderwijs besteed
wordt. Daarnaast hebben we ook informatie verzameld over de lestijd die aan specifieke
onderwerpen van rekenen-wiskunde wordt besteed. Het gaat om: Getallen, Optellen en
aftrekken, Vermenigvuldigen en delen, Verhoudingen, breuken en procenten en Meten,
meetkunde, tijd en geld. Net als in 2004 is ook aan de leraren gevraagd of ze extra tijd besteden
aan zwakke leerlingen.
De onderwijstijd voor rekenen-wiskunde wordt net als in de jaren 1992, 1997 en 2004 geschat
op ongeveer 5 uur per week (zie tabel 3.2). De standaardafwijking bedraagt in alle drie de
jaargroepen ongeveer 45 minuten. We vonden een variatie van 2 tot 10 uur per week. Er zijn

45

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

geen grote verschillen met 2004, 1997 en 1992, eveneens zijn er geen grote verschillen in lestijd
rekenen-wiskunde gevonden tussen de strata. Het in 2004 gevonden stratumeffect, waarbij
door stratum-3 scholen meer reken-wiskundeonderwijs gegeven werd, is niet teruggevonden in
2011. Mogelijk komt dit door de veranderde indeling van stratum.
Van de leraren van jaargroep 6 geeft 65% aan dat zwakke leerlingen extra tijd krijgen.
Dit neemt af in jaargroep 7 en 8: in jaargroep 7 is dit 57% en in jaargroep 8 is dit 43%. Voor
jaargroep 6 en 7 is dit een duidelijke toename ten opzichte van 2004. Het gemiddeld aantal
minuten dat de zwakke leerlingen extra tijd krijgen is in alle jaargroepen 40 minuten per week.
Tabel 3.2	Lestijd in minuten voor rekenen-wiskunde per week in de bovenbouw van het
basisonderwijs*
jaargroep 6
2004
Gemiddelde
Totaal
Standaarddeviatie

Gemiddelde

301

313

300

307

(5:01 uur)

(5:13 uur)

(5:00 uur)

(5:07 uur)

46,3

44,3

44,4

51,3

36,7

44,7

99

97

292

306

294

305

296

331

(5:06 uur)

(4:54 uur)

(5:05 uur)

(4:56 uur)

(5:31 uur)

47,8

44,7

45,3

63

56

60

306

308

306

331

299

307

(5:06 uur)

(5:08 uur)

(5:06 uur)

(5:31 uur)

(4:59 uur)

(5:07 uur)

36,7

67,4

52,9

24

23

25

328

295

325

311

327

300

(5:28 uur)

(4:55 uur)

(5:25 uur)

(5:11 uur)

(5:27 uur)

(5 uur)

Standaarddeviatie
Aantal leraren
Extra lestijd voor zwakke

90

(4:52 uur)

Standaarddeviatie

Gemiddelde

2011

305

Aantal leraren

Stratum 3

2004

(5:05 uur)

Standaarddeviatie

Gemiddelde

jaargroep 8

2011

300

Aantal leraren

Stratum 2

2004

(5 uur)
Aantal leraren

Stratum 1

jaargroep 7

2011

55%

40,1

36,2

25,6

12

11

12

65%

50%

57%

44%

43%

leerlingen

* De stratumindelingen van 2004 en 2011 verschillen.

We hebben ook gevraagd hoeveel minuten leraren per week per rekenonderdeel besteden.
De resultaten hiervan zijn in tabel 3.3 weergegeven. Aan Getallen besteden in jaargroep 6 de
meeste leraren 60 tot 90 minuten per week. In de jaargroepen 7 en 8 is dit minder; 30 tot
60 minuten per week. Deze zelfde verdeling zien we voor Optellen en aftrekken; in jaargroep 6 is
dit voor de meeste leraren 60 tot 90 minuten en in jaargroep 7 en 8 is dit 30 tot 60 minuten per
week. Het verschil tussen het percentage leraren dat 30 tot 60 minuten per week en het
percentage leraren dat 60 tot 90 minuten per week heeft ingevuld is echter niet erg groot.
Vermenigvuldigen en delen wordt in alle jaargroepen door de meeste leraren 60 tot 90 minuten
per week behandeld. Ook lijkt over de jaargroepen heen een trend te bestaan dat de leraren van
jaargroepen 7 en 8 per week steeds minder tijd besteden aan Vermenigvuldigen en delen in
vergelijking met jaargroep 6.

46

PPON

Tabel 3.3	Gemiddelde aantal lesminuten per week en per rekenonderdeel (percentage leraren)
jaargroep
Getallen

Optellen en aftrekken

Vermenigvuldigen en delen

<30 min

30-60 min

60-90 min

90-120 min

>120 min
13

6

16

31

34

6

7

25

46

20

6

3

8

35

38

17

6

4

6

3

20

36

29

13

7

4

49

33

10

4

8

9

45

38

6

2
10

6

0

17

47

26

7

3

28

46

21

3

8

4

42

42

12

0

Verhoudingen, breuken,

6

22

49

25

3

1

procenten

7

3

29

33

29

6

8

9

49

25

13

4

Meten, meetkunde, tijd en

6

26

51

19

1

3

geld

7

18

49

25

8

0

8

0

36

36

23

6

3.4

Instructievormen

In het onderwijs worden verschillende instructie- en werkvormen toegepast. Aan leraren is
gevraagd hoeveel tijd in minuten ze besteden aan klassikale instructie, individuele instructie en
zelfstandig werken. Alle drie de werkvormen worden door de leraren belangrijk tot zeer
belangrijk gevonden; meer dan 90% van de leraren heeft bij elke vorm ‘belangrijk’ ingevuld.
De tijdsbesteding aan verschillende werkvormen is weergegeven in tabel 3.4. Over het
algemeen duren klassikale instructie en individuele instructie 10 tot 20 minuten (respectievelijk
61% tot 70% en 57% tot 64%). Daarnaast werken de leerlingen ongeveer 30 tot 40 minuten
(48% tot 52%) zelfstandig. Deze trend is gelijk voor alle jaargroepen.

47

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Tabel 3.4

Tijdsbesteding van leraren per werkvorm (percentage leraren)
jaargroep.

Klassikale instructie

Individuele instructie

<10 min

10-20 min

20-30 min

30-40 min

>40 min

6

18

65

16

0

1

7

15

70

13

0

3

8

27

61

12

0

0

6

10

57

26

2

5

7

5

64

21

4

6

8

19

58

17

5

1

Zelfstandig/individueel

6

0

9

33

49

10

werken

7

0

6

27

52

15

8

0

3

37

48

12

3.5

Differentiatie en remediëring

Leraren kunnen op de verschillende onderwijsbehoeften van leerlingen inspelen door gebruik te
maken van differentiatie en remediëring. In de balans van het reken-wiskundeonderwijs
halverwege de basisschool (Hop, 2012), is een trend zichtbaar geworden wat betreft
differentiatievormen. De differentiatievorm waarbij de instructie per niveaugroep gegeven
wordt, is de laatste jaren in jaargroep 5 toegenomen ten koste van de vorm waarbij alle
leerlingen dezelfde instructie krijgen en er bij de verwerking van de oefenstof vervolgens
gedifferentieerd wordt.
De vraag over de toepassing van differentiatievormen is ook voorgelegd aan de leraren van de
jaargroepen 6, 7 en 8. Ook zijn er vragen gesteld over of iemand belast is met de extra
individuele ondersteuning van leerlingen, en de mate van extra steun die leerlingen ontvangen.
Daarnaast is er geïnventariseerd in hoeverre er sprake is van ondersteuning buiten school van
ouders en externe ondersteuning.
Wat betreft differentiatievormen hebben we grote overeenkomsten tussen de jaargroepen
gevonden (zie tabel 3.5). Het grootste deel van de leraren (53% tot 57%) houdt de instructie
voor alle leerlingen over het algemeen gelijk en differentieert bij de verwerking van de
oefenstof naar niveau en tempo. Ongeveer een derde deel van de leraren geeft de instructie per
niveau- of tempogroep, eventueel met verdere differentiatie bij de verwerking van de oefenstof.
Er zijn geen grote verschillen tussen de drie leerjaren. Ten opzichte van voorgaande peilingen
zijn er echter wel verschuivingen. Het geven van instructie per niveau- of tempogroep wordt in
2011 vaker genoemd dan in 2004.

48

PPON

Tabel 3.5	Toepassing van enkele differentiatievormen in peilingsonderzoeken van 1992 tot
2011
Percentage leraren
Differentiatievormen
1	Over het algemeen krijgen alle leerlingen
dezelfde instructie en oefenstof.

jaargroep

in 1992

in 1997

in 2004

in 2011

6

36

33

11

9

7

39

28

10

6

8

29

25

8

8

6

50

59

69

57

verwerking van de oefenstof wordt

7

44

60

68

55

gedifferentieerd naar niveau en tempo.

8

50

60

64

53

3	De instructie wordt per niveau- of tempo­groep

6

12

11

20

32

gegeven, eventueel met verdere differentiatie

7

13

12

19

34

bij de verwerking van de oefenstof.

8

15

14

25

34

6

2

3

0

2

7

5

4

4

5

8

6

7

3

4

2	De instructie is voor alle leerlingen gelijk; bij de

4	De instructie wordt individueel gegeven en de
oefenstof wordt per leerling bepaald.

Vergelijken we de resultaten op de vraag over differentiatie in 2011 met de resultaten van de
laatste vier peilingen dan zien we wederom een duidelijke toename van het percentage leraren
dat de eigen onderwijsorganisatie herkent in differentiatievorm 3. Ruim 30% van de leraren
kiest nu voor deze organisatievorm, ten opzichte van ongeveer 15% in 1992 en 25% in 2004.
Differentiatievorm 2, waarbij de differentiatie vooral wordt toegepast bij de verwerking van de
aangeboden leerstof, wordt nog steeds door het grootste percentage leraren gebruikt, maar dit
percentage neemt af ten opzichte van 2004 (in jaargroep 8 van 64% naar 53%). Deze resultaten
bevestigen de trend die in 2004 al zichtbaar was in de richting van meer differentiatie binnen
het reken-wiskundeonderwijs. Net als in jaargroep 5 neemt differentiatievorm 3, waarbij de
instructie per niveaugroep gegeven wordt, de laatste jaren toe in percentage ten koste van
differentiatievorm 2.
Van de leraren uit jaargroep 6 en 7 geeft 40% aan dat er binnen hun school geen persoon is die
speciaal belast is met de individuele ondersteuning van leerlingen voor rekenen. Van de leraren
in jaargroep 8 is dat 46%. Respectievelijk 12%, 18% en 14% van de leraren uit de jaargroepen 6,
7 en 8 geeft aan dat op hun school alleen een intern begeleider of rekenspecialist met de
individuele ondersteuning voor rekenen is belast. Meer leraren geven aan dat alleen een
remedial teacher belast is met deze ondersteuning, respectievelijk 37%, 33% en 27%.
Een combinatie van intern begeleider/rekenspecialist en remedial teacher wordt door
respectievelijk 11%, 9% en 13% van de leraren genoemd.
In tabel 3.6 kan worden afgelezen dat ongeveer een derde van de leraren heeft gerapporteerd
dat leerlingen uit zijn of haar klas gebruikmaken van extra individuele ondersteuning.
Gemiddeld zijn dit 3 leerlingen in een klas, maar het grootste deel van de leraren geeft aan dat
dit om 1 of 2 leerlingen per klas gaat. De relatief hoge standaarddeviaties geven aan dat er
grote verschillen zijn wat betreft het aantal leerlingen per groep dat extra individuele
ondersteuning ontvangt. Bij de meeste leerlingen gaat het om wekelijkse ondersteuning.

49

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Tabel 3.6	Aantal leerlingen met individuele ondersteuning en de frequentie van de
ondersteuning
jaargroep

aantal

%

gem. aantal lln

std

Extra steun

6

41

38

3,2

4,1

(algemeen)

7

36

34

2,8

4,3

8

34

33

3,0

2,7

Zeer intensieve (bijna

6

11

10

2,2

1,6

dagelijks) extra steun

7

17

16

2,2

2,5

8

12

12

4,0

2,9

1 x per week

1 à 2 keer per maand

6

31

29

3,4

3,4

7

20

19

3,9

3,9

8

23

22

2,7

2,6

6

5

5

2,0

1,5

7

7

7

3,0

1,7

8

5

5

2,4

1,6

Van de leraren in jaargroep 6 geeft 27% aan dat leerlingen uit zijn of haar klas buiten school
huiswerk- of studiebegeleiding krijgen. In jaargroep 7 wordt dit gerapporteerd door 39% van
de leraren en in jaargroep 8 is dit percentage ongeveer gelijk aan dat in jaargroep 6: 26%.
In jaargroep 6 gaat het gemiddeld om 4,7 leerlingen per groep, in de jaargroepen 7 en 8 om
2,6 leerlingen per groep. Het hoge gemiddelde in jaargroep 6 wordt veroorzaakt door twee
uitschieters: leraren die aangeven dat 19 en 20 leerlingen gebruikmaken van huiswerk- of
studiebegeleiding.
De meerderheid van de leraren is tevreden of zeer tevreden over de begeleiding van school (zie
tabel 3.7). Over de ondersteuning vanuit huis heeft ongeveer de helft neutraal/n.v.t. ingevuld.
Mogelijkerwijs hebben leraren minder zicht op de begeleiding vanuit huis dan op de
ondersteuning van school en externen. Van de leraren die hier wel zicht op hebben is de
meerderheid tevreden over de begeleiding van ouders en/of verzorgers. Wat betreft de
begeleiding van externen heeft de meerderheid van de leraren ingevuld hierover tevreden te
zijn. Ook over de begeleiding door externen, maar minder dan bij de begeleiding vanuit thuis,
heeft een relatief groot deel van de leraren aangegeven neutrale opvattingen te hebben.

50

PPON

Tabel 3.7	Tevredenheid van leraren over de resultaten van de ondersteuning (percentage en
totaal; n)
jaargroep

ontevreden

neutraal/ n.v.t.

tevreden

n*

Ondersteuning van de

6

7

22

73

106

school

7

5

8

87

105

8

0

14

86

82

Ondersteuning thuis

Ondersteuning extern*

6

15

53

32

106

7

16

47

38

105

8

10

48

42

93

6

0

29

71

106

7

12

35

53

105

8

4

50

46

87

* Alleen de leraren die aangegeven hebben dat er leerlingen zijn die gebruikmaken van externe ondersteuning.

3.6

Rekenmachine

In de actuele discussies rondom het gebruik van de rekenmachine in het basisonderwijs gaat
het onder andere over de vraag of de inzet waardevol is bij rekenzwakke leerlingen en leerlingen
met dyscalculie. Ook gaat het om de vraag of het wenselijk is dat door het gebruik van de
rekenmachine het aanleren van standaardalgoritmes minder prioriteit krijgt. Leerlingen hebben
tenslotte altijd een rekenmachine bij de hand. Daarbij speelt ook de ontwikkeling van rekenwiskundevaardigheden in het voortgezet onderwijs een rol. Aan leraren is, net als in 2004,
gevraagd of en wanneer leerlingen een rekenmachine gebruiken en welke functies aangeleerd
worden.
In tabel 3.8 is te zien dat in jaargroepen 7 en 8, net als in 2004, het grootste deel van de leraren
de leerlingen een rekenmachine laat gebruiken (respectievelijk 94% en 97%). In 2004 was dit
eveneens 94% in jaargroep 7 en 99% in jaargroep 8. De rekenmachine wordt in jaargroep 6
minder vaak gebruikt: 53% van de leraren geeft aan de rekenmachine te laten gebruiken. Ten
opzichte van 2004 is dit een toename, toen gaf 40% van de leraren in jaargroep 6 aan dat de
leerlingen de rekenmachine gebruiken.

51

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Tabel 3.8	Het gebruik van de zakrekenmachine in het reken-wiskundeonderwijs (percentage
leraren)
jaargroep 6

jaargroep 7

jaargroep 8

2004

2011

2004

2011

2004

2011

40

53

94

94

99

97

Gebruiken de leerlingen een zakrekenmachine?
Zo ja:
Verstrekt de school een rekenmachine?

65

64

66

73

69

71

Zelf meegebracht?

11

9

21

11

19

23
64

Alleen tijdens specifieke rekenmachinelessen?

76

64

68

79

58

Leerlingen zijn vrij in het gebruik

0

0

1

2

2

1

Alleen bij specifieke onderwerpen

37

30

42

23

49

32

Krijgen de leerlingen instructie in functies?

83

94

82

96

70

96

Het grootste deel van de scholen verstrekt de leerlingen een rekenmachine. De leerlingen zijn
niet vrij in het gebruik van de rekenmachine. De meerderheid van de leraren zet de reken­
machine alleen tijdens specifieke lessen in (respectievelijk 64%, 79% en 64%). Ten opzichte van
2004 zijn geen grote verschuivingen te zien in het gebruik van de rekenmachine. Leraren
konden bij het alternatief Alleen bij specifieke onderwerpen invullen voor welke onderwerpen dit
geldt. Opvallend is dat leraren de rekenmachine regelmatig inzetten bij zwakke leerlingen.
Ten opzichte van 2004 wordt meer aandacht besteed aan het aanleren van functies. Bijna alle
leraren die de rekenmachine laten gebruiken, geven de leerlingen instructie in het gebruik van
de functies. Functies zoals +, –, x en ÷ biedt 90% van de leraren aan. In jaargroep 8 leert twee
derde van de leraren de %-functie aan, in jaargroep 6 en 7 is dit respectievelijk 6% en 34%.
De functies ± en √ worden nagenoeg niet aangeboden. Een kwart van de leraren in jaargroep 8
geeft aan instructie te geven in de geheugenfuncties.

3.7

Strategieën bij bewerkingen

In de kerndoelen staat beschreven dat leerlingen aan het eind van de basisschool schriftelijk
kunnen Optellen, Aftrekken, Vermenigvuldigen en Delen volgens meer of minder verkorte
standaardprocedures. Deze standaardprocedures zijn bijvoorbeeld de kolomsgewijze strategie
of de cijferstrategie. In deze peiling is het niveau hiervan gemeten bij de verschillende
onderwerpen over Bewerkingen. In 2004 bleek het niveau van deze onderwerpen ten opzichte
van 1997 sterk achteruitgegaan te zijn. In de discussie hierover is veel aandacht geweest voor de
strategieën die aangeboden worden om het type bewerkingsopgaven uit te rekenen.
Om zicht te krijgen op de praktijk hebben we aan de leraren van jaargroep 6, 7 en 8 gevraagd
aan welke strategie zij de voorkeur geven. In 2004 is reeds gevraagd welke strategie het beste
aansluit bij de praktijk binnen de groep, en dit is in 2011 wederom gevraagd.
Tabel 3.8 laat zien dat de meeste leraren een voorkeur hebben voor de cijfermatige manier.
Het patroon voor Optellen, Aftrekken en Vermenigvuldigen ziet er ongeveer hetzelfde uit.
De ‘lange’, kolomsgewijze strategie is populairder onder de leraren in jaargroep 6 en 7 dan in
jaargroep 8. Bij Delen is de kolomsgewijze strategie populairder dan bij de overige operaties.
Voor het onderdeel Delen blijkt is de voorkeur van leraren ongeveer gelijk verdeeld over de twee
strategieën. Dit is niet verrassend, aangezien de cijfermatige strategie voor delen in de meeste
methoden niet aan de orde komt. Er zijn geen duidelijke verschillen tussen de jaargroepen in
strategievoorkeur gevonden.

52

PPON

Tabel 3.8	De voorkeur van de kolomsgewijze strategie of het cijferalgoritme voor de vier
hoofdbewerkingen (percentage leraren)
jaargroep

voorkeur

geen voorkeur

kolomsgewijs
Optellen

Aftrekken

Vermenigvuldigen

Delen

voorkeur
cijferalgoritme

6

17

10

73

7

12

14

74

8

7

13

80

6

15

11

74

7

6

9

85

8

5

10

85

6

19

16

65

7

16

10

74

8

10

12

78

6

49

11

40

7

41

15

44

8

45

10

45

Aan de leraren is, zowel in 2004 als in 2011, gevraagd welke oplossingsprocedure voor de
verschillende bewerkingen het beste aansluit bij de praktijk in de eigen groep. Voor elk van de
vier hoofdbewerkingen konden zij kiezen uit de kolomsgewijze benadering en het cijfer­
algoritme (zie tabel 3.9). In de loop van de leerjaren (van jaargroep 6 naar jaargroep 8) neemt
het gebruik van de kolomsgewijze aanpak af ten opzichte van het cijferalgoritme. Delen vormt
hierop, net als bij de hierboven beschreven voorkeur van leraren, een uitzondering: de koloms­
gewijze aanpak is prominenter in de onderwijspraktijk aanwezig dan bij de andere bewerkingen.
Bij de kolomsgewijze aanpak zijn geen grote verschillen te zien ten opzichte van 2004.
Het gebruik van beide methoden samen neemt echter af in alle leerjaren en bij alle bewerkingen.
Het gebruik van alleen het cijferalgoritme is daarentegen toegenomen.

53

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Tabel 3.9	Strategie per bewerking en jaargroep jaarvergelijking 2004 en 2011 (percentage
leraren)
Alleen
jaargroep
Optellen

Aftrekken

Vermenigvuldigen

Delen

3.8

Alleen

Beide

cijferalgoritme

kolomsgewijs

2004

2011

2004

2011

2004

Niet/missing
2011

2004

2011

6

34

44

20

20

45

30

1

6

7

53

66

5

9

42

20

0

5

8

69

70

6

7

25

22

0

1

6

40

48

22

22

36

24

2

6

7

59

77

7

7

34

11

0

5

8

72

81

5

7

23

11

0

1

6

22

43

42

35

31

14

5

8

7

34

61

23

17

42

16

1

6

8

57

65

13

14

31

20

0

1

6

4

16

75

73

9

3

12

8

7

9

23

73

65

17

6

1

6

8

17

25

58

66

24

8

2

1

Hoofdrekenen en schattend rekenen

In eerdere peilingsonderzoeken, in 1992, 1997 en 2004 is in de vragenlijst aandacht geweest
voor aspecten van Hoofdrekenen en Schattend Rekenen. Hoofdrekenen is daarbij gedefinieerd als
handig en flexibel rekenen, waarbij gebruik wordt gemaakt van basisvaardigheden, inzicht in
getalrelaties en eigenschappen van bewerkingen. Hoofdrekenen legt de basis voor het Schattend
Rekenen waarbij globaal gerekend wordt op basis van afgeronde getallen. Ook in 2011 is in de
vragenlijst aandacht besteed aan de onderwerpen Hoofdrekenen en Schattend Rekenen. Aan
leraren is gevraagd of en welk aanvullend materiaal gebruikt wordt op het gebied van deze
onderwerpen. Ook is gevraagd naar de frequentie waarop Hoofdrekenen en Schattend Rekenen
aan de orde komt en is gevraagd aan welke inhoudelijke aspecten aandacht wordt besteed.
In jaargroep 6 maakt 38% van de leraren gebruik van aanvullend materiaal met betrekking tot
Hoofdrekenen en Schattend rekenen. Dit percentage neemt af naar 30% in jaargroep 7 en 25% in
jaargroep 8. De aanvullende materialen die gebruikt worden zijn zeer divers. Leraren maken in
alle drie de jaargroepen veel gebruik van het digibord. Een enkele leraar noemt een
automatiseer­programma zoals Zoefi en Rekentuin. Ook Remelka en Maatwerk worden door een
enkele leraar genoemd. Hulpmiddelen zoals kubussen, MAB en breukenstokken worden ook
regelmatig ingezet.
In jaargroep 6 en 7 besteedt ongeveer 45 deel van de leraren minimaal twee keer in de week
aandacht aan Hoofdrekenen en Schattend rekenen (tabel 3.10). In jaargroep 8 is dit minder,
ongeveer 70%. Leraren die vaker dan twee keer per week tijd besteden aan deze onderwerpen,
doen dat minimaal drie en maximaal zeven keer per week. In jaargroep 6 wordt 25 minuten per
keer aan Hoofdrekenen en Schattend rekenen besteed. In jaargroep 7 is dit 20 minuten en in
jaargroep 8 is dit 23 minuten. In tabel 3.11 is voor specifieke aspecten van Hoofdrekenen
weergegeven hoeveel procent van de leraren regelmatig tot vaak aandacht besteedt aan deze
aspecten.

54

PPON

Tabel 3.10 Frequentie Hoofdrekenen en Schattend rekenen (percentage leraren)

< 1 keer per week

1 keer per week

2 keer per week

Vaker

55

jaargroep

2004

2011

6

3

6

7

6

1

8

9

4

6

31

16

7

30

16

8

31

28

6

33

41

7

39

40

8

35

34

6

28

37

7

24

43

8

25

34

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Tabel 3.11	Percentage leraren dat regelmatig tot vaak aandacht besteedt aan aspecten van het
Hoofdrekenen
Hoofdrekenaspecten
1

2

3

4

5

6

7

jaargroep.

1997

2004

2011

Basisvaardigheden bij het optellen en aftrekken

6

93

84

85

(vb. 74 – 28 is ... 54 – 8; 78 + 34 is 78 en 30 ... is 108 en 4).

7

80

74

86

8

79

70

84

Basisvaardigheden bij het vermenigvuldigen en delen

6

93

88

93

(vb. 7 x 42 is 7 x 40 en 14; 1200 : 40 is ... 120 : 4).

7

91

86

97

8

85

81

89

Basisvaardigheden bij het rekenen met breuken, procenten

6

30

36

50

en kommagetallen (vb. 20 procent van 400 is 1/5 deel van

7

75

80

92

400; 6/4 = 1,5; relaties 0,25 → 1/4 → 25 procent).

8

79

91

95

Het zoeken en hanteren van handige oplossings­

6

82

83

75

strategieën, afhankelijk van de getallen (vb. 69 + 28 is 70

7

76

82

86

en 28 min 1; 7 x 39 is 7 x 40 min 7; 21 x 25 is 5 x 100 en 25).

8

82

85

82

Het door de leerlingen laten hanteren van meerdere

6

76

81

75

oplossingsstrategieën voor eenzelfde (type) opgave.

7

68

79

78

8

75

80

86

Het via schatting komen tot het betrekkelijk ruwweg

6

52

72

63

bepalen van de uitkomst van een berekening

7

66

79

77

(vb. 28 x 82 is ongeveer 30 x 80).

8

76

79

74

Het passend omgaan met benaderingen, afrondingen en

6

51

66

60

schattingen in allerlei min of meer alledaagse

7

63

81

83

toepassingssituaties (vb. 6 x € 8,95 is ongeveer 6 x 9 euro;

8

72

82

82

€ 4,95 + € 7,90 + € 12,50 is iets meer dan € 25).
8

* Flexibel omgaan met afronden. Afronding aanpassen aan

6

45

de situatie. (vb. 10 049 – 34,95 is ongeveer 10 050 – 35 maar

7

72

70 000 – 10 049 is ongeveer 70 000 – 10 000)

8

76

* Deze vraag is in 1997 en 2004 niet gesteld.

56

PPON

4 Getallen en bewerkingen

4
Getallen en bewerkingen

4 Getallen en bewerkingen
Het domein Getallen en bewerkingen omvat tien onderwerpen.
We beschrijven de inhoud en wat leerlingen op verschillende
vaardigheidsniveaus kunnen. We illustreren dat met tal van
opgaven en komen bij de meeste onderwerpen tot een synthese in
de vorm van een ontwikkelingslijn. Bij een aantal onderwerpen
zullen we aandacht schenken aan oplossingsprocedures van
leerlingen die bij individuele afnames werden verkregen.
4.1

Getallen en getalrelaties

Inhoud
Bij het onderwerp Getallen en getalrelaties moeten de leerlingen betekenis kunnen geven aan
getallen, zowel in allerlei gebruikssituaties als in het geheel van de getallenrij. Er komen formele
aspecten van gehele getallen en kommagetallen aan de orde, die ook in toepassingsgerichte
contexten zijn aangeboden. Het betreft onder andere:
• uitspraak en schrijfwijze van gehele en kommagetallen;
• verder tellen en terugtellen met eenheden en sprongen van bijvoorbeeld 0,1 en 0,01 en
sprongen van 100 en 250;
• vergelijken en ordenen van getallen en meetuitkomsten;
• analyseren en samenstellen van getallen;
• aanvullen tot ronde getallen;
• afronden van getallen;
• het aangeven van de plaats van getallen op de getallenlijn, zowel precies als globaal;
• het omzetten van breuken en aanduidingen in gewone spreektaal, zoals bijvoorbeeld een
kwart miljoen en 0,2 miljoen naar getallen met cijfers.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst de voorbeeldopgaven 1 tot en met 3 goed en voorbeeld­
opgaven 4 tot en met 8 matig. De leerlingen met dit vaardigheidsniveau kunnen goed rekenen
met veelvouden van 100 (voorbeeldopgave 2), in deze voorbeeldopgave wordt leerlingen
gevraagd de punten te tellen die Irene met 5 knikkers heeft gegooid. Ongeveer 80% van alle
leerlingen die de opgave hebben gemaakt gaf het goede antwoord (2000). 1800 was het meest
voorkomende foute antwoord (ongeveer 14%). Waarschijnlijk hebben deze leerlingen de
tweede knikker in het poortje met de waarde 200 niet meegeteld. De percentiel-10 leerling kan
redelijk aangeven welk van drie gegeven kommagetallen het dichtst bij 3000 ligt (voorbeeld­
opgave 4). Daarnaast zijn deze leerlingen vaardig in het oplossen van contextopgaven waarin zij
op basis van de getalsstructuur honderdtallen moeten afhalen, zoals bij voorbeeldopgave 1.
Deze leerlingen zijn ook in staat aan te geven hoeveel één minder dan het tienduizendtal is,
voorbeeldopgave 3. De percentiel-10 leerlingen zijn matig vaardig in het oplossen van opgaven
met kommagetallen zoals in voorbeeldopgaven 5, 7 en 8. Ook 75 500 – 3 keer 20 000 wordt door
deze leerlingen matig beheerst (voorbeeldopgave 6).

58

PPON

Voorbeeldopgaven 1-8 Getallen en getalrelaties

1

5

	De supermarkten in Hollo hebben in totaal
30 335 winkelwagens. 300 winkelwagens zijn kapot.
Hoeveel winkelwagens zijn er nog over?
			 winkelwagens
Welke kaas is het zwaarst?
2
6	Rob en Jeanette kopen een boot van € 75 500,-.
Ze hebben al 3 keer € 20 000,- betaald.
Hoeveel euro moeten Rob en Jeanette nog betalen?
Irene gooit 5 knikkers. Je ziet wat ze gegooid heeft.
Hoeveel punten heeft Irene in totaal?

€

			 punten
7	“Anderhalf” geschreven als kommagetal
is
3

Welk getal is één minder dan 30 000?
			

4

8

Welke meterstand is het dichtst bij 3000 m3?

meter
Hoeveel liter water zit er in de maatbeker?
Schrijf je antwoord op als kommagetal.
			 liter

59

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De percentiel-25 leerling beheerst de eerste zes voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgaven 8
tot en met 17 matig. Voorbeeldopgaven 1 tot en met 8 zijn hiervoor al besproken. De percentiel-25
leerling heeft een matige beheersing als het gaat om het positioneren van kommagetallen op
de getallenlijn (voorbeeldopgaven 9 en 16). Bij voorbeeldopgave 10 is ook getalbegrip van
kommagetallen nodig, leerlingen moeten het verschil tussen 999,9 en 1000,0 berekenen. Deze
leerlingen beheersen dit matig. Ook hebben deze leerlingen een matige beheersing van het
vergelijken van de grootte van getallen op basis van de schrijfwijze in woorden in plaats van in
cijfers, zoals gevraagd wordt in voorbeeldopgave 11. Daarnaast hebben deze leerlingen een
matige beheersing van het afronden van kommagetallen zoals in voorbeeldopgave 12, maar
hebben ze een goede beheersing van het noteren en vergelijken van kommagetallen
(voorbeeld­opgaven 4, 5, 7 en 8). Een percentiel-25 leerling heeft een matige beheersing van het
terugtellen met sprongen van 25 zoals in voorbeeldopgave 13 wordt gevraagd, waarbij de
moeilijkheid ligt in het passeren van het getal 10 000 (10 050 → 10 025 → ? → ?). Ongeveer 97%
van alle leerlingen die de opgave heeft gemaakt had het eerste antwoord, 10 000 goed.
Het tweede juiste antwoord, 9975, werd door ongeveer 81% van de leerlingen gegeven. In
totaal had 79% van alle leerlingen beide antwoorden juist. Van de leerlingen die het eerste
antwoord juist hadden en het tweede antwoord fout, was 9075 het meest voorkomende foute
antwoord (8%). Daarnaast gaf 1% van alle leerlingen de antwoorden 1000 en 9975 wat inhoudt
dat ze het eerste antwoord fout hadden en het tweede antwoord goed. Bij voorbeeldopgave 14
moeten de leerlingen twee tiende miljoen in cijfers schrijven. Een percentiel-25 leerling
beheerst ook deze opgave matig. Dit geldt tevens voor voorbeeldopgave 15 waarin de leerlingen
moeten bepalen hoe vaak 0,001 in 1 past.
Voorbeeldopgaven 9-17 Getallen en getalrelaties

9

11

	Welk getal hoort op de getallenlijn op de plaats die de
pijl aanwijst?
			

10	De kilometerteller van de auto draait net door naar

Wie noemt het hoogste getal?

999,9 km.
	Hoeveel km moet de auto nog rijden voordat de teller

			

naar 1000,0 draait?
			 km

12

17,84269
Rond dit getal af op 2 cijfers achter de komma.
			

60

PPON

13

15 Hoe vaak past 0,001 in 1?
			 keer
Welke getallen moeten in de lege hokjes komen?
			 en

16

14

Welk getal hoort bij de plaats die de pijl aanwijst?
			

17

De bouw van dit theater kostte 6 miljoen euro.
Er was gerekend op 6,2 miljoen euro.

	Dit diertje is 10 keer zo groot getekend dan het in

Hoeveel euro heeft de bouw minder gekost?

werkelijkheid is.

(Schrijf het getal helemaal met cijfers!)

Wat is de lengte in cm van dit diertje in werkelijkheid?
Schrijf je antwoord op als kommagetal.

€
			 cm

De gemiddelde leerling beheerst de eerste dertien voorbeeldopgaven goed en de
voorbeeldopgaven 14 tot en met 20 en 23 matig. De gemiddelde leerling heeft dus een redelijk
tot goed begrip van kommagetallen. Voorbeeldopgaven 1 tot en met 16 zijn hiervoor
besproken. De overige opgaven die de gemiddelde leerling redelijk goed beheerst gaan over:
• het 10 keer verkleinen van 2 cm en noteren als kommagetal (voorbeeldopgave 17);
• het positioneren van gehele getallen boven de 100 op de getallenlijn (voorbeeldopgave 18);
• het bepalen hoe vaak 100 in één miljoen past (voorbeeldopgave 19);
• het afronden van 51 324 op een honderdtal (voorbeeldopgave 20);
• het schatten (in miljoenen) van 13 197 x 1000 (voorbeeldopgave 23).
Het afronden van getallen is voor deze leerlingen nog lastig. Voorbeeldopgave 20, waarbij naar
beneden afgerond moet worden, beheersen de leerlingen redelijk goed, echter wanneer
complexere afrondingsregels toegepast moeten worden gaat dat de gemiddelde leerling
minder goed af. Dat is het geval bij voorbeeldopgave 22. Minder dan de helft (46%) van de
leerlingen die deze opgave heeft gemaakt geeft het goede antwoord. Het meest voorkomende
onjuiste antwoord is 20 (17%). Deze leerlingen begrijpen de getalstructuur van geld nog niet.
Ook de leerlingen die 21 als antwoord gaven (2%) beheersen de afrondingsregels niet. Dat geldt
ook voor de leerlingen die 20,04 (6%), 20,50 (6%) en 20,10 (4%) als antwoord hebben gegeven.
De voorbeeldopgave 430,08 = 4 x 100 + 3 x 10 + 8 x
wordt ook nog niet door deze
leerlingen beheerst (voorbeeldopgave 21). Van alle leerlingen die deze opgave hebben gemaakt
heeft slechts 39% het goede antwoord (0,01) gegeven. Het antwoord 0,08 werd door 2% van
alle leerlingen gegeven. Het meest voorkomende foute antwoord was 0,1 (25%) wat impliceert
dat deze leerlingen nog onvoldoende inzicht hebben in de getalsstructuur van getallen achter

61

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

de komma. Ook de onjuiste antwoorden 0 (6%), 10 (3%) en 100 (2%) impliceren dat die
leerlingen deze getalstructuur nog niet begrijpen.
Voorbeeldopgaven 18-23 Getallen en getalrelaties

18

21 Vul in:

430,08 = 4 x 100 + 3 x 10 + 8 x
Gebruik je liniaal.
Welke pijl wijst de plaats van 6322 aan?
22	Cora koopt 2,25 m stof van € 8,91 per meter. Ze rekent
met haar rekenmachine uit dat dit € 20,0475 kost.

			

Welk bedrag moet Cora afrekenen?
19

€

23

Aantal fietsbezitters in 2003 in Nederland
X 1000
Mannen en
vrouwen

Mannen

Vrouwen

13 197

6 617

6 580

	Hoeveel Nederlanders ongeveer hadden in 2003 een
1 miljoen euro.

fiets?

Hoeveel briefjes van 100 euro is dat?

Kies de beste schatting.

			 briefjes

A

1,3 miljoen		

C

13,1 miljoen

B

13 miljoen		

D

13,2 miljoen

20

In de Arena is plaats voor 51 324 mensen.
Rond dit aantal af op een honderdtal.
			 mensen

De percentiel-75 leerling beheerst de voorbeeldopgaven 1 tot en met 19 goed. De voorbeeld­
opgaven 20 tot en met 28, met uitzondering van voorbeeldopgave 27 worden redelijk tot matig
3
seconde afhalen van 10.89 seconden.
beheerst. In voorbeeldopgave 24 moeten de leerlingen 100
Een percentiel-75 leerling zal gemiddeld genomen zo’n zes à zeven opgaven van tien opgaven
vergelijkbaar met voorbeeldopgave 24 goed maken. Dit is eveneens zo bij voorbeeldopgave 25
waarbij een stuk touw doorgeknipt wordt tussen de 9,9 m en 10 m en leerlingen moeten
bepalen hoe lang het grootste stuk touw is. Het juiste antwoord (9,95) wordt door 46% van alle
leerlingen gegeven. De meest gemaakte fout (14%) is dat leerlingen de helft nemen van 10, 5 in
plaats van de helft van het stuk touw tussen 9,9 en 10 m. Daarnaast heeft 4% van alle leerlingen

62

PPON

het antwoord 0,05 gegeven. Deze leerlingen hebben wel berekend hoeveel meter
de helft van het stuk tussen 9,9 en 10 m is, maar hebben vervolgens niet berekent hoe lang
het grootste stuk touw is. Ongeveer 3% van de leerlingen heeft het antwoord 0,1 gegeven,
wat impliceert dat deze leerlingen alleen de lengte van het stuk touw (10 – 9,9) hebben
berekent. Daarnaast zijn deze leerlingen matig succesvol in het afronden getallen, zoals
3437,48, op het dichtstbijzijnde gehele getal (voorbeeldopgave 26). Ook voorbeeldopgave 28
(7480 = 8 x 10 + 74 x
) wordt door de percentiel-75 leerling matig beheerst. Het omrekenen
van 460 miljoen munten van één eurocent naar euro’s is voor de percentiel-75 leerling nog te
moeilijk (voorbeeld­opgave 27).
Voorbeeldopgaven 24-28 Getallen en getalrelaties

24	Het oude record van Wadoebi op de 100 meter was
10.89 seconden.

26 Rond af op het dichtstbijzijnde gehele getal.

3437,48 →

3

	Hij verbetert zijn record met 100 seconde.
Wat is zijn nieuwe record?

27	In Nederland zijn 460 miljoen munten van één

			 seconde

eurocent.
Hoeveel euro zijn die samen waard?
25

9,9 m

10 m

			 euro

	Dit touw van 10 meter wordt op de plek van de pijl
doorgeknipt.
Hoeveel meter lang is het grootste stuk touw?
			 meter

28 Vul in:

7480 = 8 x 10 + 74 x

De percentiel-90 leerling beheerst de eerste 21 voorbeeldopgaven goed. Voorbeeldopgaven 22
tot en met 28 worden redelijk tot matig beheerst. Voorbeeldopgaven 29 en 30 vallen buiten het
vaardigheidsbereik van deze leerlingen. Het gaat om de opgave waarbij leerlingen het aantal
stemmen tussen 22.45 en 23.00 uur uit een grafiek moeten aflezen en vermenigvuldigen met
10 000 (voorbeeldopgave 29). Voorbeeldopgave 30 is de moeilijkste opgave. De leerlingen moet
eerst uitrekenen voor welk bedrag er prijzen van 100 euro zijn en vervolgens bepalen hoeveel
prijzen dat zijn. Zelfs de percentiel-90 leerlingen hebben een zeer kleine kans om deze opgave
goed te maken.

63

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 29 en 30 Getallen en getalrelaties

29

30

	Hoeveel stemmen zijn uitgebracht tussen 22.45 en

Hoeveel prijzen van 100 euro zijn dat?

23.00 uur?
			 prijzen
			 stemmen

Verschillen tussen 2011 en 2004
De groei op het gebied van Getallen en getalrelaties die te zien was in de periodes 1992-1997 en
1997-2004 wordt gevolgd door een lichte daling tussen 2004 en 2011. Het niveau dat in 2004
door 75% van de leerlingen beheerst werd, wordt in 2011 door een kleiner deel van de
leerlingen beheerst, namelijk 71%. Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen werd
behaald, wordt in 2011 door 45% behaald.
Verschillen tussen leerlingen
De posities van de vaardigheidsverdelingen van de 0.3-leerling en 1.2-leerling liggen betrekkelijk
dicht bij elkaar. Het vaardigheidsniveau van de 0.3-leerling ligt een fractie hoger dan het
vaardigheidsniveau van de 1.2-leerling. De afstand van de 0.3- en de 1.2-leerling tot de
0.0-leerling is relatief groot.
Net als in 2004 zijn er verschillen tussen jongens en meisjes gevonden. Jongens presteren
gemiddeld beter op het onderwerp Getallen en getalrelaties dan meisjes: de gemiddelde score
van jongens ligt boven het niveau van de percentiel-50 leerling en van de meisjes ligt het
gemiddelde daar net onder.
Ook voor de onderscheiden doorstroomniveaus zijn grote verschillen tussen leerlingen eind
groep 8 te zien. De gemiddelde BB-leerling presteert ongeveer gelijk aan de percentiel-10
leerling van de gehele populatie. De gemiddelde KB-leerling heeft een hoger vaardigheids­
niveau, maar het niveau van de percentiel-25 leerling wordt niet gehaald door deze leerling.
De gemiddelde vwo-leerling behaalt het niveau van de percentiel-75 leerling.

64

PPON

Tabel 4.1	Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Getallen en
getalrelaties
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

256

50

2011

250

50

0.0

255

48

0.3

227

49

1.2

212

49

Jongens

260

49

Meisjes

239

49

BB

179

36

KB

200

36

GT

234

36

havo

264

35

vwo

296

35

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 4.2

Getallen en getalrelaties: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011

2004

2011

75%

71%

50%

45%

Tabel 4.3	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Getallen en getalrelaties
Opgaven die de gemiddelde leerling:

65

Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

1 en 2

3 tot en met 8

9 tot en met 30

KB

1 tot en met 4

5 tot en met 12

13 tot en met 30

GT

1 tot en met 8

9 tot en met 19

20 tot en met 30

havo

1 tot en met 15

16 tot en met 24, 26

25, 27 tot en met 30

vwo

1 tot en met 19

20 tot en met 28

29 en 30

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Getallen en getalrelaties

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

66

PPON

27

28

29

30

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

67

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Getallen en getalrelaties
-

Een getal als 100 000 opdelen in 1 x 25 000 + 5 x 10 000 + 5 x 1000 + ? x 100 (opgave 30)
Aflezen van grafiek en vermenigvuldigen met 10 000 (opgave 29).

-

Aangeven hoeveel euro 460 miljoen munten van 1 eurocent samen waard zijn (opgave 27).

-

Analyseren van getallen zoals 7480 = 8 x 10 + 74 x _____ (opgave 28)

-

Analyseren van een getal zoals 430,08 = 4 x 100 + 3 x 10 + 8 x ____ (opgave 21)
Afronden van 20,0475 op twee cijfers achter de komma (opgave 22)
Afronden van 3437,48 op het dichtstbijzijnde getal (opgave 26)
Bepalen hoeveel miljoen 13 197 x 100 + 6617 x 100 + 6580 x 1000 ongeveer is (opgave 23)
Aangeven welke tijd 3/100 seconde sneller is dan 10,89 seconde (opgave 24)
Bepalen van de lengte van het grootste stuk touw, wanneer een touw exact tussen 9,9 m en 10 m wordt doorgeknipt (opgave 25)

-

Afronden van 51 324 op een honderdtal (opgave 20)

-

Aangeven hoeveel briefjes van 100 euro 1 miljoen is (opgave 19)

-

Met behulp van een liniaal op de getallenlijn met alleen de punten 6000
en 7000, aangeven waar het getal 6322 moet liggen (opgave 18)

-

Aangeven wat 10 x zo groot is als 2 (opgave 17)

-

Aangeven welk kommagetal halverwege 2,06 en 2,07 ligt op de getallenlijn (opgave 9)
Aangeven hoe groot het verschil is tussen 999,9 en 1000 (opgave 10)
Op basis van spreektaalaanduidingen bepalen wat het hoogste getal is (opgave 11)
Afronden van 17,84269 op twee cijfers achter de komma (opgave 12)
Terugtellen met sprongen van 25 over 10 000 heen (opgave 13)
Getallen in spreektaalaanduidingen als 0,2 miljoen kunnen schrijven met cijfers (opgave 14)
Aangeven hoe vaak 0,001 in 1 past (opgave 15)
Aangeven op de getallenlijn welk getal 0,125 voor 8 ligt (opgave 16)

-

Grootste getal bepalen van getallen met verschillend aantal cijfers achter de komma (opgave 5)
Terugtellen met veelvouden van 10 000 (opgave 6)
Spreekwijze kommagetal omzetten in getal (opgave 7)
Aangeven welk kommagetal hoort bij de inhoud van de maatbeker (opgave 8)

-

Tellen met veelvouden van 100 (opgave 2)
Afhalen van 100-tallen (opgave 1)
Aangeven wat 1 minder dan een tienduizendtal is (opgave 3)
Bepalen welk van drie kommagetallen het dichtst bij 30 000 ligt (opgave 4)
© Cito

10

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

68

PPON

4.2

Basisoperaties: optellen en aftrekken

Inhoud
Onder basisoperaties verstaan we de vaardigheid om snel en vaardig bepaalde opgaven uit te
rekenen door gebruik te maken van basiskennis, automatismen, getalrelaties en eigenschappen
van getallen en bewerkingen. Het gaat bij optellen en aftrekken om:
• optel- en aftrekopgaven met gehele getallen onder de 100;
• opgaven met grotere (ronde) getallen zoals 10 000 – 9750;
• opgaven van gehele getallen met nullen, analoog aan de tafels van optellen en aftrekken,
zoals 60 + 50; 170 – 80;
• optel- en aftrekopgaven waarbij kommagetallen worden gebruikt, zoals 100 – 0,5.
De opgaven zijn de leerlingen visueel en auditief aangeboden: ofwel via een cd met een
opgaven­boekje waarbij op elke pagina een opgave staat, ofwel via een PowerPointpresentatie.
Hierdoor werd de tijd die leerlingen kregen om te antwoorden, 7 seconden per opgave, onder
controle gehouden. Voor verschillen tussen de afnamecondities is gecorrigeerd.
De percentiel-10 leerling beheerst de eerste zeven voorbeeldopgaven goed en de voorbeeld­
opgaven 8 tot en met 17 matig. De eerste zeven voorbeeldopgaven zijn vier aftrekopgaven en
drie optelopgaven. Het aftrekken
• tot 100 met gehele getallen (voorbeeldopgave 2);
• met kommagetallen (voorbeeldopgave 5);
• met gehele getallen tot 1000 (voorbeeldopgave 6);
• met gehele getallen over de 1000 (voorbeeldopgave 7)
wordt door deze leerlingen goed beheerst. Voorbeeldopgave 8 is net als voorbeeldopgave 6 een
aftrekopgave met gehele getallen tot 1000, maar wordt door deze leerlingen matig beheerst.
De getallen in voorbeeldopgave 6 lenen zich voor compensatie, terwijl dit bij voorbeeldopgave 8
minder het geval is. Dit zou kunnen verklaren waarom voorbeeldopgave 8 voor deze leerlingen
moeilijker is dan voorbeeldopgave 6. Daarnaast moeten leerlingen in voorbeeldopgave 8 lenen
van 0, wat doorgaans moeilijker blijkt te zijn dan lenen van andere getallen. Ook in voorbeeld­
opgave 12 moeten leerlingen lenen van 0, maar nu met getallen boven de 1000. Ook deze
voorbeeldopgave wordt door de percentiel-10 leerling matig beheerst.
Wat betreft optellen heeft de percentiel 10-leerling een goede beheersing van het optellen van
gehele getallen over de 1000 (voorbeeldopgave 1 en 3) en het optellen van kommagetallen tot
20 (voorbeeldopgave 4). Deze leerlingen hebben een matige beheersing van het optellen van
kommagetallen tot 100 (voorbeeldopgaven 9, 10 en 13 tot en met 15). Het optellen van getallen
boven de 1000 wordt door deze leerlingen ook matig beheerst (voorbeeldopgaven 11, 16 en 17).
Voorbeeldopgaven 1-17 Basisoperaties: optellen en aftrekken

69

1

500 + 8900 =

4

0,53 + 9,47 =

2

100 – 35 =

5

1 – 0,75 =

3

6400 + 900 =

6

249 – 50 =

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

7

8050 – 100 =

13

0,625 + 0,375 =

8

500 – 13 =

14

0,25 + 9,5 =

9

4,60 + 0,80 =

15

5,5 + 0,25 =

10

29,25 + 10,75 =

16

3750 + 1250 =

11

5000 + 89 000 =

17

24 900 + 25 100 =

12

8000 – 7250 =

De percentiel-25 leerling heeft een goede beheersing van voorbeeldopgaven 1 tot en met 15 en
een redelijk goede beheersing van de voorbeeldopgaven 16 tot en met 20. Voorbeeldopgaven 21
tot en met 24, 28 en 29 worden door deze leerlingen matig beheerst. De eerste 17 voorbeeld­
opgaven zijn in de voorgaande paragraaf besproken. Voorbeeldopgaven 18 tot en met 20 zijn
alle drie aftrekopgaven die door de percentiel-25 leerlingen redelijk goed worden beheerst.
Wanneer deze leerlingen van deze drie voorbeeldopgaven tien vergelijkbare varianten zouden
maken, zouden zij er gemiddeld acht goed beantwoorden. Voorbeeldopgaven 18 en 19 zijn
beide opgaven waarin leerlingen een kommagetal moeten aftrekken van een geheel getal.
In voorbeeldopgave 20 wordt leerlingen gevraagd het verschil te berekenen tussen twee gehele
getallen boven de 1000. Voorbeeldopgaven 21 tot en met 23 zijn aftrekopgaven tot 100 waarin
leerlingen een kommagetal van een geheel getal moeten aftrekken. Alle drie deze opgaven
worden door de percentiel-25 leerling matig beheerst. Voorbeeldopgaven 24, 28 en 29 zijn
optelopgaven die door deze leerlingen matig worden beheerst. In voorbeeldopgave 24 en 29
gaat het om het optellen van twee kommagetallen en in voorbeeldopgave 28 moeten leerlingen
twee getallen boven de 1000 optellen.
Voorbeeldopgaven 18-24 Basisoperaties: optellen en aftrekken

70

18

75 – 74,3 =

22

100 – 0,5 =

19

10 – 0,45 =

23

1 – 0,125 =

20

6000 – 5750 =

24

60,42 + 50,58 =

21

12 – 3,6 =

PPON

De gemiddelde leerling beheerst de eerste 24 voorbeeldopgaven goed en de overige voorbeeld­
opgaven matig. De eerste 24 voorbeeldopgaven zijn reeds besproken. Voorbeeldopgaven 25 tot
en met 27 zijn aftrekopgaven. In voorbeeldopgaven 25 en 27 moeten leerlingen een komma­
getal van een afgerond geheel getal aftrekken. In voorbeeldopgave 26 moeten leerlingen 10 000
– 25 berekenen. Alle drie deze aftrekopgaven worden matig beheerst. De gemiddelde leerling
heeft ook een matige beheersing van voorbeeldopgaven 28 tot en met 30 waarin leerlingen
gevraagd wordt om gehele getallen boven de 100 of 1000 op te tellen (voorbeeldopgave 28 en
30), of om twee kommagetallen bij elkaar op te tellen (voorbeeld­opgave 29).
Voorbeeldopgaven 25-30 Basisoperaties: optellen en aftrekken

25

1200 – 600,50 =

29

0,7 + 3,04 =

26

10 000 – 25 =

30

836 + 299 =

27

30 – 5,95 =

28

23 400 + 8500 =

Vanaf percentiel 75 beheersen de leerlingen alle voorbeeldopgaven goed.
Verschillen tussen 2011 en 2004
Het vaardigheidsniveau van de leerlingen op het onderwerp Basisoperaties: optellen en aftrekken
is licht gedaald. De positieve trend die zichtbaar was in 2004 zet dus niet door.
Het niveau dat in 2004 door 75% van de leerlingen beheerst werd, wordt in 2011 door 71% van
de leerlingen beheerst. Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen beheerst werd, wordt
in 2011 door 45% van de leerlingen beheerst.
Verschillen tussen leerlingen
We vinden een daling van het vaardigheidsniveau met de toename van het formatiegewicht.
Vergelijken we de gemiddelde leerling naar formatiegewicht dan heeft een gemiddelde leerling
met formatiegewicht 1.2 de eerste 20 voorbeeldopgaven goed, een leerling met formatie­
gewicht 0.3 de eerste 22 voorbeeldopgaven en een gemiddelde leerling met formatiegewicht
0.0 de eerste 24.
Jongens halen net als in 2004 gemiddeld een hoger vaardigheidsniveau dan meisjes, 261 ten
opzichte van 239.
Er is, zoals te verwachten, een duidelijke toename in het gemiddelde vaardigheidsniveau van de
leerlingen in de vijf doorstroomniveaus. De verschillen tussen het gemiddelde vaardigheids­
niveau van de BB-leerling en het gemiddelde vaardigheidsniveau van de KB-leerling zijn groter
dan de verschillen tussen het gemiddelde vaardigheidsniveau van de KB-leerling en de GTleerling.

71

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De gemiddelde BB-leerling functioneert ongeveer op hetzelfde niveau als de percentiel-10
leerling in de gehele populatie. De gemiddelde KB-leerling functioneert op hetzelfde
vaardigheidsniveau als de percentiel-25 leerling. De gemiddelde vwo-leerling functioneert op
hetzelfde niveau als de percentiel-75 leerling.
Tabel 4.4	Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Basisoperaties:
optellen en aftrekken
Gemiddelde score

Standaardafwijking

256,316

50,641

0.0

252

49,61

0.3

239

50,03

1.2

231

49,434

Jongens

261

48,906

Meisjes

239

48,735

BB

187

41

KB

217

41

GT

236

41

havo

264

41

vwo

287

41

Afnamejaar
2004
2011
Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 4.5	Basisoperaties: optellen en aftrekken: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot
2011
2004

2011

75%

71%

50%

45%

Tabel 4.6	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Basisoperaties: optellen en aftrekken
Opgaven die de gemiddelde leerling:

72

Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

1 tot en met 7

8 tot en met 17

18 tot en met 30

KB

1 tot en met 15

16 tot en met 24, 26, 28 en 29

25, 27 en 30

GT

1 tot en met 21

22 tot en met 30

-

havo

1 tot en met 26

27 tot en met 30

-

vwo

1 tot en met 29

30

-

PPON

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Basisoperaties: optellen en aftrekken
-

Opgave zoals 836 + 299 (opgave 30)

-

Moeilijkere opgaven met kommagetallen, zoals 30 – 5,95 (opgave 27) en 0,7 + 3,04 (opgave 29)

-

Opgaven met veel nullen zoals 1200 – 600,50 (opgave 25) en 10 000 – 25 (opgave 26)

-

Opgave zoals 23 400 + 8500 (opgave 28)

-

Opgave zoals 6000 – 5750 (opgave 20)

-

Opgaven met kommagetallen, zoals 75 – 74,3, 10 – 0,45, 12 – 3,6, 100 – 0,5, 1 – 0,125, 60,42 + 50,58 (opgave 18, 19, 21 tot en met 24)

-

Opgaven zoals 3750 + 1250, 24 900 + 25 100 (opgave 16 en 17)

-

Opgaven met kommagetallen, zoals 4,60 + 0,80, 29,25 + 10,75, 0,625 + 0,375, 0,25 + 9,5, 5,5 + 0,25 (opgave 5, 9, 10, 13, 14 en 15)

-

Opgaven met gehele getallen, zoals 249 – 50, 500 – 13, 5000 + 89 000, 8000 – 7250, 8050 – 100 (opgave 6, 7, 8, 11, 12)

-

Eenvoudige opgaven met kommagetallen, zoals 0,53 + 9,47 en 1 – 0,75 (opgave 4 en 5)

-

Opgaven met nullen, veelal analoog aan opgaven in het getallengebied tot 100 zoals 500 + 8900, 100 – 35, 6400 + 900 (opgave 1, 2 en 3)

© Cito

10

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

73

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Basisoperaties: optellen en aftrekken

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

74

PPON

27

28

29

30

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

vw
o

GT
hav
o

BB

isje

Geslacht

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

75

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

4.3

Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen

Inhoud
Onder basisoperaties verstaan we de vaardigheid om snel en vaardig bepaalde opgaven uit te
rekenen door gebruik te maken van basiskennis, automatismen, getalrelaties en eigenschappen
van getallen en bewerkingen. Het gaat bij vermenigvuldigen en delen om:
• vermenigvuldig- en deelopgaven met gehele getallen onder de honderd;
• opgaven van gehele getallen met nullen en kommagetallen, analoog aan de tafels van
vermenigvuldigen en delen: zoals 420 : 6, 5 x 900, 0,60 x 500 en 2,4 : 3;
• opgaven waarbij vermenigvuldigd met of gedeeld door 10, 100, 1000 moet worden, zoals bij
1000 x 45; 3,75 x 100; 2,5 : 10 en 75 : 1000.
De opgaven zijn de leerlingen visueel en auditief aangeboden: ofwel via een cd met een
opgaven­boekje waarbij op elke pagina een opgave staat, ofwel via een PowerPointpresentatie.
Hierdoor werd de tijd die leerlingen kregen om te antwoorden, 7 seconden per opgave, onder
controle gehouden. Voor verschillen tussen de afnamecondities is gecorrigeerd.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst geen enkele voorbeeldopgave van deze schaal goed.
Voorbeeldopgaven 1 tot en met 8 worden door deze leerlingen matig beheerst en voorbeeld­
opgaven 9 tot en met 30 worden nog niet beheerst. Van de eerste acht voorbeeldopgaven die
door deze leerlingen matig worden beheerst, zijn er zes vermenigvuldigopgaven. Bij twee van
deze zes voorbeeldopgaven gaat het om het vermenigvuldigen van een geheel getal met een
kommagetal (voorbeeldopgaven 4 en 6). Voorbeeldopgaven 3 en 5 gaan om het vermenigvuldigen
van een geheel getal met een tiental of honderdtal. Ook voorbeeldopgave 8 wordt door de
percentiel-10 leerling matig beheerst. In deze opgave moeten leerlingen 40 vermenigvuldigen
met 25.
Voorbeeldopgaven 1-8 Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen

76

1

8 x 25 =

5

12 x 400 =

2

1800 : 10 =

6

10 x 0,5 =

3

11 x 80 =

7

24 000 : 100 =

4

4 x 0,15 =

8

40 x 25 =

PPON

De percentiel-25 leerling beheerst de eerste zeven voorbeeldopgaven goed en voorbeeld­
opgaven 8 tot en met 16 en 19 matig. Voorbeeldopgaven 9 tot en met 13 en 15 zijn
vermenigvuldig­opgaven waarin leerlingen:
• een kommagetal en een geheel getal moeten vermenigvuldigen (voorbeeldopgave 9 tot en
met 11, 13 en 15);
• een kommagetal met 100 moeten vermenigvuldigen (voorbeeldopgave 10 en 15);
• een kommagetal met 5 moeten vermenigvuldigen (voorbeeldopgave 12 en 13);
• een kommagetal met een getal dichtbij 5 (4) en 10 (11) moeten vermenigvuldigen
(voorbeeldopgave 9 en 11).
Deze zes vermenigvuldigopgaven worden door de percentiel-25 leerling matig beheerst.
Het vermenigvuldigen van een kommagetal met 1000 (voorbeeldopgave 17) en 11 x 2,50
(voorbeeldopgave 18) is voor deze leerlingen nog te moeilijk. Van de voorbeeldopgaven die door
deze leerlingen matig worden beheerst zijn er maar twee deelopgaven (voorbeeldopgave 14
en 16). In voorbeeldopgave 14 gaat het om de dubbele relatie van 48 en 24 en in voorbeeld­
opgave 16 moeten leerlingen een kommagetal delen door 10.
Voorbeeldopgaven 9-16 Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen

9

11 x 0,90 =

13

5 x 0,8 =

10

100 x 3,75 =

14

4800 : 240 =

11

4 x 0,5 =

15

100 x 0,1 =

12

5 x 48 =

16

6,3 : 10 =

De gemiddelde leerling heeft een goede beheersing van de eerste zeventien voorbeeldopgaven.
Voorbeeldopgaven 18 en 19 worden redelijk goed beheerst, van tien met deze voorbeeld­
opgaven vergelijkbare opgaven zouden deze leerlingen er gemiddeld acht goed beantwoorden.
In voorbeeldopgave 19 moeten leerlingen een honderdtal delen door 15. Hierbij gaat het om het
zien van de relatie tussen 60 en 15 (4 x 15 = 60).
Voorbeeldopgaven 20 tot en met 24 worden door de gemiddelde leerling matig beheerst.
Voorbeeldopgave 20 is vergelijkbaar met voorbeeldopgave 16 waarin leerlingen wordt gevraagd
een kommagetal te delen door 10. Voorbeeldopgave 16 wordt door de gemiddelde leerling
echter goed beheerst, terwijl voorbeeldopgave 20 matig wordt beheerst. Voorbeeldopgaven 21
en 22 zijn beide deelopgaven waarin leerlingen een veelvoud van tien (10 en 20) moeten delen
door 0,5. Beide voorbeeldopgaven worden door deze leerlingen matig beheerst. Ook het delen
van 120 door 8 (voorbeeldopgave 23) beheerst de gemiddelde leerling matig. Het delen van
1000 door 8 (voorbeeldopgave 25) wordt door deze leerlingen echter nog niet beheerst.
De gemiddelde leerling heeft al wel een matige beheersing van 10 : 0,20 (voorbeeldopgave 24).

77

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 17-24 Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen

17

0,05 x 1000 =

21

20 : 0,5 =

18

11 x 2,50 =

22

10 : 0,5 =

19

600 : 15 =

23

120 : 8 =

20

0,06 : 10 =

24

10 : 0,20 =

De percentiel-75 leerling heeft een goede beheersing van de voorbeeld­opgaven 1 tot en met 25.
De voorbeeldopgaven 26 tot en met 28 worden door deze leerlingen matig beheerst. In voorbeeld­
opgave 26 wordt leerlingen gevraagd om een geheel getal te delen door een geheel getal dat
groter is (20 : 50). In voorbeeldopgave 28 moeten leerlingen 10 delen door 8. De uitkomsten van
zowel voorbeeldopgave 26 als 28 zijn kommagetallen en de getallen zijn zo gekozen dat
leerlingen deze delingen zouden kunnen associëren met het vereenvoudigen en omzetten van
breuken naar kommagetallen. Ook voorbeeldopgave 27 is een deelopgave, in deze voorbeeld­
opgave moeten leerlingen de tafel van 12 herkennen en een geheel getal delen door een
kommagetal. Het vermenigvuldigen van twee kommagetallen (voorbeeldopgave 29) en het
delen van 25 door 1000 (voorbeeldopgave 30) is voor de percentiel-75 leerling nog te moeilijk.
De percentiel-90 leerling beheerst deze laatste twee voorbeeldopgaven al wel matig.
Voorbeeldopgaven 25-30 Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen

25

1000 : 8 =

28

10 : 8 =

26

20 : 50 =

29

0,2 x 0,05 =

27

3600 : 1,2 =

30

25 : 1000 =

Verschillen tussen 2011 en 2004
Net als bij het onderwerp Basisoperaties: optellen en aftrekken zien we een lichte daling in de
vaardigheid bij het onderwerp Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen. Het niveau dat in 2004
door 75% van de leerlingen beheerst werd, wordt in 2011 door 71% van de leerlingen beheerst.
Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen beheerst werd, wordt in 2011 door 45% van
de leerlingen beheerst.

78

PPON

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen
-

Complexe vermenigvuldigopgave, zoals 0,2 x 0,5 (opgave 29)
Complexe deelopgave waarbij een tweecijferig getal gedeeld moet worden door 1000, zoals 25 : 1000 (opgave 30)

-

Complexe deelopgave als 20 : 50 en 10 : 8 (opgave 26 en 28)
Deelopgave waarbij door een kommagetal gedeeld moet worden, zoals 3600 : 1,2 (opgave 27)

-

Complexe deelopgave als 1000 : 8 (opgave 25)
Deelopgave, waarbij door een kommagetal gedeeld moet worden, zoals 10 : 0,20 (opgave 24)

-

Complexe deelopgave, zoals 120 : 8 (opgave 23)
Deelopgaven met kommagetallen, zoals 0,06 : 10, 20 : 0,5 en 10 : 0,5 (opgave 20, 21 en 22)

-

Vermenigvuldigopgave, zoals 11 x 2,50 (opgave 18)

-

Vermenigvuldigopgave met kommagetal en 1000, zoals 0,05 x 1000 (opgave 17)

-

Deelopgave met kommagetal, zoals 6,3 : 10 (opgave 16)
Deelopgave zoals 4800 : 240 (opgave 14)

-

Vermenigvuldigopgaven met gehele getallen, zoals 5 x 48 (opgave 12)
Vermenigvuldigopgaven met kommagetallen, zoals 11 x 0,90, 100 x 3,75, 4 x 0,5, 100 x 0,1 en 5 x 0,8 (opgave 9, 10, 11, 13 en 15)

-

Vermenigvuldigopgave zoals 40 x 25 (opgave 8)
Deelopgave met nullen zoals 24 000 : 100 (opgave 7)

-

Vermenigvuldigopgaven met kommagetallen, zoals 4 x 0, 15 en 10 x 0,5 (opgave 4 en 6)

-

Eenvoudige deelopgave met nullen, zoals 1800 : 10 (opgave 2)

-

Vermenigvuldigopgaven zoals 8 x 25, 12 x 400, 11 x 80 (opgave 1, 3 en 5)

© Cito

10

In dit schema is de slecht discriminerende opgave 19 niet meegenomen.

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

79

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

80

PPON

27

28

29

30

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

vw
o

GT
hav
o

BB

isje

Geslacht

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

81

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Verschillen tussen leerlingen
De relatieve afstand van de 0.0-leerling tot de 0.3- en 1.2-leerling is niet zo groot.
Jongens halen gemiddeld een hoger vaardigheidsniveau dan meisjes, de verschillen
(respectievelijk 256 en 244) zijn niet zo groot als bij Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen.
Er is net als bij Basisoperaties: optellen en aftrekken, een duidelijke toename in het gemiddelde
vaardigheidsniveau van de leerlingen in de vijf doorstroomniveaus. De verschillen tussen het
gemiddelde vaardigheidsniveau van de BB-leerling en het gemiddelde vaardigheidsniveau van
de KB-leerling zijn groter dan de verschillen tussen het gemiddelde vaardigheidsniveau van de
KB-leerling en dat van de GT-leerling.
De gemiddelde BB-leerling functioneert een fractie lager dan de percentiel-10 leerling in de
gehele populatie. De gemiddelde KB-leerling functioneert op hetzelfde vaardigheidsniveau als
de percentiel-25 leerling. De gemiddelde vwo-leerling functioneert een fractie hoger als de
percentiel-75 leerling.
Tabel 4.7	Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Basisoperaties:
vermenigvuldigen en delen
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

257

50

2011

250

50

0.0

253

49

0.3

236

50

1.2

220

50

Jongens

256

50

Meisjes

244

50

BB

179

38

KB

214

38

GT

235

38

havo

262

38

vwo

295

38

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 4.8	Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen: 50%- en 75%-niveau in 2004 in
vergelijking tot 2011

82

2004

2011

75%

71%

50%

45%

PPON

Tabel 4.9	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen
Opgaven die de gemiddelde leerling:
Doorstroomkenmerk

goed beheerst

BB

-

1 tot en met 5, 7

6, 8 tot en met 30

KB

1 tot en met 6

1 tot en met 16, 19

17, 18, 19 tot en met 30

GT

1 tot en met 11

12 tot en met 23

24 tot en met 30

havo

1 tot en met 19

20 tot en met 24

25 tot en met 30

vwo

1 tot en met 24

25 tot en met 28, 30

29

4.4

matig beheerst

onvoldoende beheerst

Hoofdrekenen: optellen en aftrekken

Inhoud
Bij het onderwerp Hoofdrekenen: optellen en aftrekken gaat het om optel- en aftrekopgaven met
gehele en kommagetallen die de leerling vlot, handig en inzichtelijk moet kunnen maken. Bij de
instructie aan de leerlingen is er door de toetsleiders expliciet op gewezen dat deze opgaven uit
het hoofd uitgerekend moeten worden, dus zonder gebruik te maken van uitrekenpapier, en
zonder het noteren van tussenuitkomsten. Anders dan bij de vorige twee onderwerpen was er
nu geen tijdsdruk om het antwoord snel te geven. De leerlingen hadden dus de tijd om een
geschikte oplossingsstrategie te vinden en toe te passen.
Op basis van de gegeven getallen wordt van de leerling verwacht dat deze een adequate aanpak
kiest. Bij een aantal opgaven moet de leerling eerst uit de context afleiden welke bewerking
uitgevoerd moet worden.
De optelopgaven, zowel formeel als in context, nodigen uit tot het hanteren van
oplossingsprocedures zoals:
• het verwisselen of hergroeperen: 483 + 59 + 17 = 483 + 17 + 59 = 500 + 59 = 559;
• het splitsen en rekenen via een rond getal: 8,96 + 0,16 = 8,96 ….. 9 ..… 9,12;
• het vervangen van de oorspronkelijke getallen door één van de getallen te vergroten en het
andere getal in dezelfde mate te verkleinen of omgekeerd (194 + 210 = 200 + 204 = 404);
• het vervangen van één of meer van de getallen door een afgerond getal en daarvoor achteraf
compenseren (99 + 99 als 100 + 100 – 2);
Bij de aftrekopgaven gaat het om procedures zoals:
• hergroeperen;
• splitsen en rekenen via een rond getal;
• het vergroten of verkleinen van beide getallen in gelijke mate;
• het vervangen van één getal door een rond getal en daarvoor achteraf compenseren;
• aanvullen;
• het in één keer aftrekken van twee of meer getallen.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst de eerste voorbeeldopgave goed en voorbeeldopgaven 2 tot
en met 9 worden door deze leerling matig beheerst. Het optellen van getallen boven de 1000
zoals 2800 + 1250 wordt door deze leerlingen goed beheerst (voorbeeldopgave 1). Ook bij
voorbeeldopgave 2, waarbij leerlingen met kommagetallen rekenen: bij 3,75 moet eerst 2,25 en
vervolgens 3,62 opgeteld worden, wordt redelijk goed beheerst. Voorbeeldopgaven 3 en 4 zijn

83

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

contextopgaven die door de percentiel-10 leerling met redelijke kans op succes worden
beheerst. In voorbeeldopgave 3 moeten leerlingen uitrekenen hoeveel je overhoudt van
125 euro wanneer je 68 euro en 22 euro uitgeeft. In voorbeeldopgave 4 moeten leerlingen
bepalen hoeveel van de 108 paarden niet gefinisht zijn, wanneer er 79 wel finishen. Voor de
voorbeeld­opgaven 5 tot en met 7 geldt dat wanneer van deze voorbeeldopgaven tien
vergelijkbare opgaven zouden worden voorgelegd, de percentiel-10 leerlingen gemiddeld zes à
zeven van de tien opgaven goed zouden beantwoorden. Het gaat hierbij om opgaven waarin:
• leerlingen een aantal kleine bedragen (kleiner dan € 2,50) bij elkaar moeten optellen
(voorbeeldopgave 5);
• leerlingen het verschil tussen 1486 en 1887 (in een context) moeten bepalen
(voorbeeldopgave 6);
• leerlingen de kale optelopgave 645 + 565 moeten oplossen (voorbeeldopgave 7).
84% van alle leerlingen die voorbeeldopgave 7 gemaakt heeft, geeft het goede antwoord.
4% van alle leerlingen geeft 1200 als antwoord, 3% geeft 1110 als antwoord.
Het bepalen van een temperatuurverschil aan de hand van een tabel wordt slechts door een
enkele percentiel-10 leerling beheerst (voorbeeldopgave 8). Ook de vleksom 776 + ? + 700 =
2000 (voorbeeldopgave 9) wordt nog maar matig beheerst door deze leerlingen.
Voorbeeldopgaven 1-9 Hoofdrekenen: optellen en aftrekken

1

3	Eline heeft € 125,- gespaard. Ze koopt er spulletjes
voor haar mp3-speler voor. Ze koopt een
luidsprekerset van € 68,- en een waterdicht hoesje
van € 22,-.
Hoeveel euro heeft ze over?

	In de grote silo zit 2800 kg voer, in de kleine silo
1250 kg.

			 euro

Hoeveel kg is dat samen?
			 kg

2

4

Nieuw clubrecord van Borgi bij de hink-stap-sprong

	Hoe groot was de hink-stap-sprong van Borgi in

84

PPON

totaal?

Hoeveel paarden hebben de finish niet gehaald?

			 meter

			 paarden

5

7

8

Hoeveel kosten deze boodschappen samen?

645 + 565 =

plaats

weertype

Amsterdam
Berlijn
Boedapest
Dublin
Frankfort
Geneve
Helsinki
Madrid
Moskou
Praag
Rome
Wenen

onbewolkt
onbewolkt
zwaar bew.
zwaar bew.
onbewolkt
half bew.
licht bew.
licht bew.
zwaar bew.
licht bew.
zwaar bew.
onbewolkt

max.
temp.

mm
neerslag

4
-3
-4
7
-2

0.0
0.1
0.1
1
0.0
0.0
0.1
0.1
0.0
0.5
0.0
0.5

-9
14
-3
-6
12
-5

€
	Hoe groot is het verschil in temperatuur tussen
Amsterdam en Wenen?
6
			 graden

9
	De auto met de aanhanger wordt leeg en geladen
gewogen.
Hoeveel kg zand ligt op de aanhanger?
			 kg

Welk getal ligt onder de vlek?
			

De percentiel-25 leerling beheerst de eerste zes voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgaven 7
tot en met 12 matig. Voorbeeldopgave 10 is een contextopgave die gaat over het bepalen van
het verschil tussen 1662 en 998. 79% van alle leerlingen die deze opgave gemaakt hebben,
heeft het juiste antwoord (664) gegeven. Op deze voorbeeldopgave zijn 85 verschillende
onjuiste antwoorden geobserveerd. Het antwoord 660 kwam het meeste voor (22% van alle
leerlingen), dit antwoord kan het gevolg zijn van foutief compenseren. De leerling berekent
1662 – 1000 en haalt vervolgens 2 eraf in plaats van dit er weer bij te doen. De kale optelling
5,85 + 4,2 (voorbeeldopgave 11) beheersen deze leerlingen matig, net als voorbeeldopgave 10.
Het bepalen van het verschil tussen 24,3 en 15,7 wordt door deze leerlingen eveneens matig
beheerst (voorbeeldopgave 12). De percentiel-25 leerling beheerst de laatste zes voorbeeld­
opgaven nog niet.

85

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 10-12 Hoofdrekenen: optellen en aftrekken

10	Vroeger bouwde men vaak vele eeuwen over een

12

kerk. In de stad Maesdrecht kwam in 1662 de kerk
klaar. Men was in 998 met de bouw van de kerk
begonnen.
Hoeveel jaar heeft men over deze kerk gebouwd?
	De weg van Luca naar Loch over de berg is 24,3 km.
			 jaar

De weg door de tunnel is 15,7 km.
Hoeveel km is de weg door de tunnel korter?

11

5,85 + 4,2 =

			 km

De gemiddelde leerling beheerst de eerste elf voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgaven 12
tot en met 16 redelijk tot matig. Deze leerling heeft een matige beheersing van:
• het optellen en aftrekken van seconden (voorbeeldopgaven 13 en 14);
• het bepalen van het verschil tussen 75,50 en 115,45 (voorbeeldopgave 16);
• de kale aftrekopgave 1873 – 998 = (voorbeeldopgave 15). Deze opgave wordt door 75% van
alle leerlingen die deze opgave gemaakt hebben, goed gemaakt. 5% van alle leerlingen geeft
als antwoord 871. Ook dit kan het gevolg zijn van verkeerde compensatie.
Voorbeeldopgaven 13-16 Hoofdrekenen: optellen en aftrekken

13

14

	Brian finisht na 11,46 seconden.
	Falko schaatst twee keer 500 meter. De eerste keer

Joe finisht 0,6 seconde later dan Brian.

doet hij er 50,01 seconden over. De tweede keer

Welke tijd loopt Joe?

schaatst hij de afstand in 49,99 seconden.
Hoeveel seconden is Falko de tweede keer sneller?

			 seconden

			 seconden
15

86

PPON

1873 – 998 =

16

Boekenkast
Meubelplaat
Beukenhout

€ 75,50
€ 115,45

	Hoe groot is het verschil in prijs tussen de kast in
meubelplaat en de kast in beukenhout?
€

De percentiel-75 leerling beheerst de eerste vijftien voorbeeldopgaven goed en de laatste drie
voorbeeldopgaven matig.
De percentiel-90 leerling beheerst de eerste zestien voorbeeldopgaven goed en de laatste twee
voorbeeldopgaven matig. In voorbeeldopgave 17 moeten leerlingen het verschil tussen een
kwart miljoen en 189 500 bepalen. Percentiel-75 leerlingen beheersen dit matig en percentiel-90
leerlingen beheersen dit goed. Zowel de percentiel-75 als percentiel-90 leerlingen hebben een
matige beheersing van voorbeeldopgave 18 (80 – 3,5 =).
Voorbeeldopgaven 17 en 18 Hoofdrekenen: optellen en aftrekken

17	Het aantal inwoners van Obelin is in 6 jaar van 189

18

80 – 3,5 =

500 naar een kwart miljoen gestegen.
Hoeveel inwoners zijn er in die 6 jaar bijgekomen?
			 inwoners

Verschillen tussen 2011 en 2004
Op het gebied van Hoofdrekenen: optellen en aftrekken is tussen 1997 en 2004 geen groei of
achteruitgang geobserveerd. In de periode 2004-2011 is een minieme vooruitgang geobserveerd.
Het niveau dat in 2004 door 75% van de leerlingen beheerst werd, wordt in 2011 door 78%
beheerst. Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen werd behaald, wordt in 2011 door
53% behaald.
Verschillen tussen leerlingen
Leerlingen met verschillende formatiegewichten hebben ook een verschillend vaardigheids­
niveau op dit onderwerp. 0.0-leerlingen scoren het hoogst, gevolgd door de 0.3-leerlingen en
daarna de 1.2-leerlingen. De relatieve afstand tussen het vaardigheidsniveau van deze groepen
leerlingen is niet groot (zie tabel 4.10). De gemiddelde 0.0-leerling heeft een vaardigheid van
252, dit ligt ongeveer gelijk met het gemiddelde van de populatie. De gemiddelde 0.3-leerling
heeft een vaardigheid van 241 en de gemiddelde 1.2-leerling heeft een vaardigheid van 228.

87

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Dit ligt beide nog ruim boven het niveau van de percentiel-25 leerling, die een gemiddelde
vaardigheid heeft van 214.
Net als in 2004 zijn de gemiddelde prestaties van jongens beter dan die van meisjes.
Afhankelijk van het doorstroomniveau hebben leerlingen duidelijk onderscheidbare vaardigheids­
niveaus. De gemiddelde BB-leerling functioneert op dit onderwerp ongeveer op het niveau van
de percentiel-10 leerling, de gemiddelde KB-leerling functioneert op het niveau van de
percentiel-25 leerling. De gemiddelde GT-leerling functioneert met een score van 235 lager dan
het populatiegemiddelde (250), terwijl de gemiddelde havo-leerling met een score van 265
hoger functioneert. De gemiddelde vwo-leerling functioneert op het niveau van de percentiel-75
leerling.
Tabel 4.10	Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Hoofdrekenen:
optellen en aftrekken
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

246

51

2011

250

50

0.0

252

50

0.3

241

50

1.2

228

50

Jongens

260

49

Meisjes

239

49

BB

177

38

KB

214

38

GT

235

38

havo

265

37

vwo

289

37

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 4.11	Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen: 50%- en 75%-niveau in 2004 in
vergelijking tot 2011

88

2004

2011

75%

78%

50%

53%

PPON

Tabel 4.12	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Hoofdrekenen: optellen en aftrekken
Opgaven die de gemiddelde leerling:

89

Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

BB

-

1 tot en met 9

10 tot en met 18

KB

1 tot en met 5

6 tot en met 12

13 tot en met 18

GT

1 tot en met 8

9 tot en met 13

17 tot en met 18

havo

1 tot en met 12

13 tot en met 16

17 en 18

vwo

1 tot en met 14

15 tot en met 18

-

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

onvoldoende beheerst

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Hoofdrekenen: optellen en aftrekken

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

90

PPON

15

16

17

18

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

vw
o

GT
hav
o

BB

isje

Geslacht

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

91

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Hoofdrekenen: optellen en aftrekken
-

Opgave, zoals 80 – 3,5, waarbij een kommagetal wordt afgetrokken van een tiental (opgave 18)
Opgave waarbij moet worden uitgerekend hoeveel mensen er zijn bijgekomen als er een stijging is van 189 500 naar een kwart miljoen inwoners (opgave 17)

-

Opgave waarbij het verschil bepaald moet worden tussen € 75,50 en € 115,45 (opgave 16)

-

Kale opgave met mogelijkheid tot compensatie, 1873 – 998 (opgave 15)
Opgave waarbij aangegeven moet worden welke tijd 0,6 seconde langzamer is dan 11,46 seconde (opgave 14)
Opgave waarbij het verschil bepaald moet worden tussen twee getallen met twee cijfers achter de komma, 50,01 en 49,99 (opgave 13).

-

Opgave waarbij het verschil bepaald moet worden tussen getallen met 1 cijfer achter de komma, 24,3 – 15,7 (opgave 12)

-

Optelopgave met een ongelijk aantal cijfers achter de komma, 5,85 + 4,2 (opgave 11)
Opgave waarbij bepaald moet worden hoe lang over de bouw van een kerk gedaan is, de getallen lenen zich voor compenseren (1662 – 998) (opgave 10)

-

Vlekopgave waarbij de drie getallen samen 2000 moeten zijn (opgave 9)
Het verschil bepalen tussen een positief en een eenvoudig negatief getal (opgave 8).

-

Kale optelopgave waarbij het voor de hand ligt de honderdtallen samen te nemen en vervolgens de tientallen en eenheden (645 + 565) (opgave 7)
Aftrekopgave waarbij de getallen 1 meer dan een honderdtal verschillen (1887 – 1486)
Optelopgave waarbij leerling door het maken van de juiste combinaties handig de uitkomst kan bereken, zoals bij opgave 5 (eerst 2,05+ 0,95 en de 2,34 en 1,66)
Aftrekopgave, waarbij bepaald moet worden hoeveel paarden niet gefinisht zijn, waarbij een mogelijkheid is tot compenseren (opgave 4)

-

Optelopgave van drie gehele getallen, waarbij het tweede en derde getal samen een tiental vormen (opgave 3)
Optelopgave met drie kommagetallen, waarbij de eerste twee getallen samen een geheel getal vormen (opgave 2)
Eenvoudige optellingen in het getalgebied tot 10 000, 2800 + 1250 (opgave 1)
© Cito

10

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

92

PPON

Aanvullend onderzoek
Bij de vaardigheid Hoofdrekenen gaat het om het op een handige en vaak snelle manier een
opgave oplossen. Hierbij moet de leerling gebruikmaken van de getalskenmerken van de
getallen in de opgave. In tegenstelling tot bij de vaardigheid Bewerkingen is het dus niet de
bedoeling dat leerlingen een standaardalgoritme gebruiken om tot een uitkomst te komen.
Hoofdrekenen kan op twee manieren geoperationaliseerd worden: (1) als rekenen uit het hoofd,
waarbij leerlingen geen papier mogen gebruiken; en (2) als rekenen met het hoofd waarbij het
toegestaan is om tussenantwoorden of hulpberekeningen op papier te noteren (zie ook
Verschaffel, Greer & De Corte, 2007). De tweede operationalisatie zorgt enerzijds voor minder
belasting van het werkgeheugen, maar maakt het anderzijds voor sommige leerlingen
aantrekkelijker om een standaardalgoritme toepassen, met als gevolg dat het verschil tussen
het meten van de vaardigheid Hoofdrekenen en de vaardigheid Bewerkingen minder duidelijk
wordt.
Om meer kennis te krijgen over op welke wijze leerlingen hoofdrekenopgaven oplossen als ze
papier mogen gebruiken, is in dit peilingsonderzoek een deelonderzoek naar deze problematiek
uitgevoerd.
Een deel van de opgaven van de schaal Hoofdrekenen: optellen en aftrekken en Hoofdrekenen:
vermenigvuldigen en delen zijn afgenomen in twee condities:
1 De conditie zonder papier. De leerlingen moeten de opgaven uit hun hoofd uitrekenen.
2	De conditie met papier. Leerlingen mogen het papier gebruiken om berekeningen te doen en
tussenuitkomsten op te schrijven.
Van de voorbeeldopgaven waarbij papier gebruikt mocht worden is nagegaan op welke wijze de
leerling de opgave berekend heeft, door de aantekeningen die in de boekjes gemaakt zijn te
coderen met behulp van de volgende codes:
a	algoritmische strategie; hieronder valt zowel de traditionele cijferstrategie als de
kolomsgewijze strategie;
b	hoofdrekenstrategie waarbij aantekeningen op het papier gemaakt zijn; bijvoorbeeld
compenseren, beredeneren of splitsen;
c geen uitwerking;
d	misconceptie, leerling gebruikt de verkeerde operatie om de opgave op te lossen (komt niet
voor bij optellen en aftrekken)
e geen antwoord.
Bij het onderwerp Hoofdrekenen: optellen en aftrekken zijn tien opgaven in dit onderzoek
meegenomen. Van deze tien afgenomen opgaven zijn vier opgaven gemakkelijker in de conditie
zonder papier en vijf opgaven gemakkelijker in de conditie met papier. Eén opgave is even
moeilijk in beide condities. Van de voorbeeldopgaven zijn de voorbeeldopgaven 7, 10 en 15 in
beide condities afgenomen. Hierna worden de resultaten van deze drie opgaven besproken.
Voorbeeldopgave 7, waarbij leerlingen 645 + 565 = moeten uitrekenen, is in beide condities
even moeilijk. 37% van de leerlingen die deze opgave met papier gemaakt hebben, heeft een
algoritmische strategie gebruikt. 4% van de leerlingen gebruikt een hoofdrekenstrategie, en
55% noteert geen uitwerking bij het uitrekenen van deze opgave. Tot slot geeft 4% van de
leerlingen geen antwoord.
Voorbeeldopgave 10, waarbij leerlingen moeten bepalen hoeveel jaar aan een kerk gebouwd is,
wanneer men in 998 begonnen is en in 1662 geëindigd is met bouwen, wordt in de conditie
waarbij papier gebruikt mag worden een fractie beter gemaakt dan in de conditie waarbij geen
papier gebruikt mag worden (respectievelijk p-waarden van 0.75 en 0.73). Deze opgave wordt

93

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

minder vaak algoritmisch uitgerekend dan voorbeeldopgave 7, namelijk door 31% van de
leerlingen. Eveneens 4% gebruikt een hoofdrekenstrategie, zoals splitsen, en gebruikt hierbij
papier. 61% van de leerlingen noteert geen uitwerking bij het uitrekenen van deze opgave.
4% van de leerlingen geeft geen antwoord.
Voorbeeldopgave 15 is een kale aftrekopgave. Leerlingen moeten hierbij 1873 – 998 = uitrekenen.
71% van de leerlingen die deze opgave in de conditie waarbij papier gebruikt mocht worden
hebben gemaakt, heeft het antwoord goed. In de conditie waarbij geen uitrekenpapier gebruikt
mocht worden ligt dit percentage veel lager, namelijk op 59%.
Het percentage leerlingen dat een algoritme toepast wanneer uitrekenpapier gebruikt mag
worden, ligt veel hoger bij deze voorbeeldopgave dan bij voorbeeldopgave 7 en 10, namelijk
53%. 3% van de leerlingen gebruikt een hoofdrekenstrategie, zoals bijvoorbeeld splitsen, en
gebruikt hierbij papier. 36% van de leerlingen noteert geen uitwerking bij het uitrekenen van
deze opgave. Het percentage leerlingen dat niet tot een antwoord komt, ligt met 8% veel hoger
dan bij de twee hiervoor besproken opgaven.
Tabel 4.13 Strategiegebruik Hoofdrekenen: optellen en aftrekken met papier
Strategie

Voorbeeldopgave 7

Voorbeeldopgave 10

Voorbeeldopgave 15
53%

Algoritmisch

37%

31%

Hoofdrekenen met papier

4%

4%

3%

Zonder uitwerking

55%

61%

36%

Missing

4%

4%

8%

n (totaal)

343

334

321

4.5

Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen

Inhoud
Bij het onderwerp Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen gaat het om vermenigvuldig- en
deelopgaven met gehele en kommagetallen die de leerling vlot, handig en inzichtelijk moet
kunnen maken. De leerlingen moeten de opgaven ‘uit het hoofd’ uitrekenen, maar anders dan
bij de basisoperaties is er nu geen tijdsdruk om het antwoord snel te geven. De leerling heeft
dus de tijd om een geschikte oplossingsstrategie te vinden en toe te passen. De diversiteit van
de opgaven vraagt bovendien van de leerling om een flexibele instelling ten aanzien van de te
kiezen strategieën. Op basis van de gegeven getallen wordt van de leerling verwacht dat deze
een adequate aanpak kiest. Bij een aantal opgaven moet de leerling eerst uit de context afleiden
welke bewerking uitgevoerd moet worden. Bij enkele deelopgaven wordt geen exacte uitkomst
op basis van een deling met de gegeven getallen gevraagd, maar spelen afronden en
interpreteren van de rest een rol.
De vermenigvuldigopgaven, zowel formeel als in context, nodigen uit tot het hanteren van
oplossingsprocedures zoals:
• verwisselen of hergroeperen: 4 x 7 x 25 = 4 x 25 x 7;
• splitsen: 7 x 23 = 7 x 20 + 7 x 3;
• veranderen van één van de getallen in een rond getal en daarvoor een correctie toepassen:
8 x 98 = 8 x 100 – 8 x 2;

94

PPON

• vervangen van de opgave door een opgave met dezelfde uitkomst, door één van de factoren
te vermenigvuldigen met een getal en de andere factor door datzelfde getal te delen:
18 x 3,5 = 9 x 7;
Bij de deelopgaven gaat het om procedures zoals:
• splitsen van het deeltal: 1608 : 8 als 1600 : 8 en 8 : 8;
• veranderen van één van de getallen in een rond getal en daarvoor een correctie toepassen:
1592 : 8 = 1600 : 8 minus 8 : 8;
• vervangen van de opgave door een opgave met dezelfde uitkomst, door beide getallen met
eenzelfde getal te delen of te vermenigvuldigen: 22,5 : 2,5 = 45 : 5;
• afronden van de uitkomst. Bij die opgaven moet de leerling uit de context afleiden welke
betekenis aan de rest moet worden toegekend en of naar boven of naar beneden moet
worden afgerond.
Bij de instructie aan de leerlingen is er door de toetsleiders expliciet op gewezen dat deze
opgaven uit het hoofd uitgerekend moeten worden. Dus zonder gebruik te maken van
uitrekenpapier en zonder het opschrijven van tussenuitkomsten naast de opgaven.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst voorbeeldopgave 1 goed en 2 matig. In deze opgaven moet
vermenigvuldigd worden met kommagetallen. In voorbeeldopgave 1 moeten leerlingen 4 x 0,75
berekenen en in voorbeeldopgave 2 berekenen ze 4 x 35,50. Deze opgaven zijn beide op te
lossen door twee keer het dubbele te nemen. De rest van de opgaven wordt niet door de
percentiel 10-leerling beheerst.
Voorbeeldopgaven 1 en 2 Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen

1

2

Peter koopt 4 van deze blikken.
Hoeveel liter verf is dat in totaal?
			 liter

Samir koopt 4 cd-roms. Elke cd-rom kost € 35,50.
Hoeveel moet Samir betalen?
€

De percentiel-25 leerling beheerst de eerste voorbeeldopgave goed. Voorbeeldopgaven 2 tot
en met 10 worden matig beheerst. Deze leerlingen beheersen de kale delingen 217 : 7 en
80 000 : 400 redelijk (voorbeeldopgaven 3 en 6). Wanneer percentiel-25 leerlingen deze opgaven
voorgelegd krijgen, zullen ze deze in ongeveer zes van de tien keer goed maken. Voorbeeld­
opgave 4, 12 x 7,50, wordt ook redelijk beheerst. In voorbeeldopgave 5 moeten leerlingen
bepalen hoe vaak meneer Boersma met een kruiwagen van 60 liter naar de achtertuin moet

95

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

rijden om 2400 liter aarde te vervoeren. De percentiel-25 leerling beheerst deze opgave
eveneens redelijk. De delingen 600 : 12 (voorbeeldopgave 7) en 36 000 : 900 (voorbeeldopgave 10)
worden door deze leerlingen matig beheerst. Dit geldt ook voor de vermenigvuldigingen 200 x
1,75 (voorbeeldopgave 8) en 50 x 600 (voorbeeldopgave 9).
Voorbeeldopgaven 3-10 Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen

3

217 : 7 =

8

4

	De 200 leerlingen van de Augustschool gaan naar een
Meester Bart koopt 12 ijstaarten.

optreden van Doki de clown.

Hoeveel euro moet hij betalen?

Een kaartje kost € 1,75
Hoeveel moet er voor 200 leerlingen worden betaald?

€
€
5	De vrachtwagen van het tuincentrum heeft 2400 liter
aarde gebracht. Meneer Boersma brengt de aarde met

9

zijn kruiwagen naar de achtertuin. In de kruiwagen
gaat ongeveer 60 liter aarde.
	Hoe vaak moet meneer Boersma een kruiwagen naar
de achtertuin rijden?
			 keer

6

80 000 : 400 =

	Boer Harmsen heeft 50 kisten van 600 kg
aardappelen.
Hoeveel kg aardappelen is dit in totaal?

7

			 kg

10	In de haven van Rotterdam is een schip met 36 000
kisten sinaasappels aangekomen. Met een goederen­
trein worden de kisten verder vervoerd.
In één wagon gaan 900 kisten.
	Hoeveel wagons zijn er nodig om alle kisten te
Bakker Wim maakt deze reuzenpannenkoek.

vervoeren?

	Hoeveel dozen van 12 eieren heeft hij voor deze
pannenkoek nodig?
			 dozen

96

PPON

			 wagons

De gemiddelde leerling beheerst de eerste negen voorbeeldopgaven goed tot nagenoeg goed
en voorbeeldopgaven 10 tot en met 15 matig. Deze leerlingen kunnen redelijk een kommagetal
door 100 delen, zoals 52,7 : 100 (voorbeeldopgave 11). De deelopgave 364 : 7 in context
beheersen deze leerlingen matig (voorbeeldopgave 13). Hier moeten de leerlingen berekenen
hoeveel maanden oma al gespaard heeft, wanneer ze 7 euro per maand spaart en er al 364 euro
op de rekening staat. 65% van alle leerlingen heeft deze opgave goed beantwoord. 3% van de
leerlingen gaf 50 als antwoord. Waarschijnlijk hebben deze leerlingen eerst 350 : 7 gedaan,
maar zijn ze vergeten nog iets te doen met de overgebleven 14. 2% van de leerlingen geeft het
antwoord 48, deze leerlingen hebben waarschijnlijk de verkeerde kant op gecompenseerd
(14 : 7 = 2, afgetrokken van 50 in plaats van het opgeteld). Ook de deelopgave 50 : 2,40, waarbij
beredeneerd moet worden hoeveel jassen gemaakt kunnen worden (rest kan dus niet),
beheersen de leerlingen matig (voorbeeldopgave 14). De vermenigvuldiging 6,98 x 6 =
beheersen de gemiddelde leerlingen goed (voorbeeldopgave 12). Voorbeeldopgave 15 (11 x 5 =)
daarentegen beheersen deze leerlingen matig. Bij deze opgave moet het antwoord in centen
gegeven worden en hoeft er niet omgerekend te worden naar euro’s. 62% van de leerlingen gaf
het goede antwoord, 13% van de leerlingen gaf echter het antwoord in euro’s: € 6,05.
Voorbeeldopgaven 11-15 Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen

11

52,7 : 100 =

14 Een mode-ontwerper koopt 50 m stof.
Voor één jas gebruikt hij 2,40 m stof.
Hoeveel jassen kan hij in totaal maken?

12
			 jassen

15

Karel koopt 6 van deze tubes verf.
Hoeveel moet hij betalen?
€

	Voor het verjaardagspartijtje koopt moeder 11 van
deze mutsen.
Hoeveel cent is dit samen?

13	De oma van Martin spaart elke maand 7 euro voor
hem.

			 cent

Er staat nu al € 364,- op de spaarrekening van Martin.
Hoeveel maanden spaart de oma van Martin al?
			 maanden

De percentiel-75 leerling en de percentiel-90 leerling beheersen voorbeeldopgaven 1 tot en
met 15 goed of nagenoeg goed. De percentiel-75 leerling beheerst de voorbeeldopgaven 16 en
17 matig, voorbeeldopgave 18 (106 x 96 – 6 x 96 = ) ligt buiten het vaardigheidsbereik.
De percentiel-90 leerling beheerst de voorbeeldopgaven 16 en 17 goed, maar voor deze leerling
is voorbeeldopgave 18 nog erg uitdagend. In voorbeeldopgave 16 moeten leerlingen bepalen

97

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

hoeveel boeken van € 2,35 ze met € 25 en € 50 kunnen kopen. Bij deze opgave moesten
leerlingen twee antwoorden geven (10 en 21). 38% van de leerlingen had beide antwoorden
goed. 22% van de leerlingen had alleen het eerste antwoord goed en het tweede antwoord fout.
In voorbeeldopgave 17 moeten de leerlingen 250 x 4 x 0,75 uitrekenen.
Voorbeeldopgaven 16-18 Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen

16

BOEKEN IN DE UITVERKOOP
€ 2,35 PER STUK

17 De school houdt een ‘koekenactie’.
Er zitten 4 koeken van € 0,75 per stuk in één zakje.
	In totaal verkopen de leerlingen 250 zakjes met
koeken.

	Hoeveel van deze boeken kun je kopen als je
€ 25,- hebt?

Voor hoeveel geld is dat?

			 boeken

€

	En hoeveel van deze boeken kun je kopen als je
€ 50,- hebt?

18

106 x 96 6 x 96 =

			 boeken

Verschillen tussen 2011 en 2004
Op het gebied van Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen is een zeer lichte vooruitgang
waarneembaar. In de periode 1997-2004 was geen groei of achteruitgang zichtbaar.
Het niveau dat in 2004 door 75% van de leerlingen beheerst werd, wordt in 2011 door 79%
beheerst. Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen werd behaald, wordt in 2011 door
56% behaald.
Verschillen tussen leerlingen
Wat betreft het effect van formatiegewichten is te zien dat de gemiddelde 0.0-leerling op een
iets hoger niveau functioneert dan het gemiddelde van de populatie. De gemiddelde 1.2-leerling
functioneert op een niveau dat ongeveer gelijk ligt aan het niveau van de percentiel-25 leerling.
Het niveau van de gemiddelde 0.3-leerling ligt hoger dan het niveau van de gemiddelde
1.2-leerling, maar lager dan het niveau van de 0.0-leerling.
Het gemiddelde vaardigheidsniveau van jongens is 259 tegen 241 voor de meisjes. Jongens
presteren dus aanzienlijk beter op dit onderwerp dan meisjes.
Uit de vergelijking van de doorstroomniveaus blijkt dat de gemiddelde BB-leerling op dit
onderwerp lager functioneert dan de gemiddelde percentiel-10 leerling. Deze leerlingen
beheersen de eerste twee voorbeeldopgaven matig. De gemiddelde GT-leerling functioneert op
een niveau dat ligt tussen de percentiel-25 leerling en de gemiddelde leerling. Deze leerling
beheerst de eerste vier voorbeeldopgaven goed. De gemiddelde vwo-leerling heeft een
vaardigheidsniveau van 296, dit ligt hoger dan het vaardigheidsniveau van de percentiel-75
leerling (286, zie tabel 4.14). Deze leerling beheerst de eerste vijftien voorbeeldopgaven goed,
voorbeeldopgave 16 en 17 matig en opgave 18 nog niet.

98

PPON

Tabel 4.14	Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Hoofdrekenen:
vermenigvuldigen en delen
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

243

50

2011

250

50

0.0

254

49

0.3

232

50

1.2

220

50

Jongens

259

49

Meisjes

241

49

BB

174

35

KB

208

35

GT

230

34

havo

265

34

vwo

296

34

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 4.15	Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen: 50%- en 75%-niveau in 2004 in
vergelijking tot 2011
2004

2011

75%

79%

50%

56%

Tabel 4.16	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen
Opgaven die de gemiddelde leerling:

99

Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

-

1 en 2

3 tot en met 18

KB

1

2 tot en met 10

11 tot en met 18

GT

1 tot en met 4

5 tot en met 12,14

13, 15 tot en met 18

havo

1 tot en met 10

11 tot en met 15, 17

16 en 18

vwo

1 tot en met 15

16 en 17

18

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

100

PPON

15

16

17

18

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

vw
o

GT
hav
o

BB

isje

Geslacht

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

101

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen
-

Opgave waarbij inzicht in getallen en bewerkingen vereist is, zoals 106 x 96 – 6 x 96 (opgave 18)

-

Toepassingsopgave, waarbij leerlingen meerdere bewerkingen moeten uitvoeren nadat ze uit de context afgeleid hebben welke bewerking ze moeten uitvoeren (opgave 17)
Deelopgave waarbij beredeneerd moet worden hoeveel boeken van € 2,35 gekocht kunnen worden wanneer je respectievelijk 25 euro en 50 euro hebt (opgave 16)

-

Een toepassingsopgave waarbij 11 x 55 cent berekend moet worden (opgave 15)
Opgave waarbij gerendeerd moet worden hoeveel jassen gemaakt kunnen worden (50 meter stof, 2,40 meter per jas), de leerlingen moeten hier omgaan
met de rest (opgave 14)
Deelopgave waarbij berekend moet worden hoeveel maanden de oma van Martin 7 euro heeft gespaard (364 : 7) (opgave 13)
Vermenigvuldigopgave als 4 x 6,98 waarbij een aanpak voor de hand ligt via 6 x 7 en het toepassen van een correctie daarop (opgave 12)
Kale opgave waarbij een getal met 1 cijfer achter de komma gedeeld wordt door 100, 52,7: 100 (opgave 11)

-

Deelopgave waarbij een duizendtal gedeeld moet worden door een honderdtal, zoals 36 000 : 900, de getallen zijn afgeleid van een bekende berekening (36 : 9) (opgave 10)

-

Vermenigvuldigopgave waarbij een tiental met een honderdtal vermenigvuldigd moet worden, 50 x 600 (opgave 9)
Vermenigvuldigopgave van een honderdtal met een kommagetal, als 200 x 1,75 (opgave 8)
Deelopgave waarbij in een context 600 : 12 berekend moet worden (opgave 7)
Deelopgave waarbij de getallen afgeleid zijn van een bekende deling zoals 2400 : 60 (24 : 6) en 80 000 : 400 (8 : 4) (opgave 5 en 6))
Vermenigvuldigopgave van een geheel getal met een kommagetal, zoals 12 x 7,50 (opgave 4)
Een kale opgave als 217 : 7, die eenvoudig op te lossen is wanneer de leerling ziet dat het getal te splitsen is in 210 en 7 (opgave 3)

-

Vermenigvuldigopgave, als 4 x 35,50, die op te lossen is door bijvoorbeeld twee keer het dubbele te nemen (opgave 2)

-

Vermenigvuldigopgave, als 4 x 0,75, die op te lossen is door bijvoorbeeld twee keer het dubbele te nemen (opgave 1)

© Cito

10

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

102

PPON

Aanvullend onderzoek
Ook bij het onderwerp Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen zijn negen opgaven in twee
condities afgenomen:
1 De conditie zonder papier. De leerlingen moeten de opgaven uit hun hoofd uitrekenen.
2	De conditie met papier. Leerlingen mogen het papier gebruiken om berekeningen te doen en
tussenuitkomsten op te schrijven.
Van de negen opgaven blijken vier opgaven gemakkelijker wanneer ze zonder papier
uitgerekend worden, vier blijken gemakkelijker wanneer ze met papier uitgerekend mogen
worden en één opgave is even moeilijk in beide condities. De voorbeeldopgaven 3, 4, 11, 14, 16,
en 18 zijn in beide condities afgenomen en worden hieronder besproken. Van deze voorbeeld­
opgaven is nagegaan op welke wijze de leerling de opgave berekend heeft, door de aantekeningen
die in de boekjes gemaakt zijn te. Hiervoor zijn dezelfde codes gebruikt als beschreven in
Hoofdrekenen: optellen en aftrekken:
a	algoritmische strategie; hieronder valt zowel de traditionele cijferstrategie als de
kolomsgewijze strategie;
b	hoofdrekenstrategie waarbij aantekeningen op het papier gemaakt zijn; bijvoorbeeld
compenseren, beredeneren of splitsen;
c geen uitwerking;
d misconceptie; leerling gebruikt de verkeerde operatie om de opgave op te lossen;
e geen antwoord.
Voorbeeldopgave 3 is een kale deelopgave waarbij de leerlingen 217 : 7 moeten uitrekenen.
In de conditie waarbij de leerlingen geen uitrekenpapier mogen gebruiken komt 77% tot het
goede antwoord, in de conditie met papier ligt dit percentage iets hoger, 82%.
In de tweede conditie wordt 32% van de opgaven met een cijferalgoritme of een kolomsgewijze
strategie uitgerekend. Ruim de helft van de leerlingen gebruikt geen uitrekenpapier om deze
opgave op te lossen.
Voorbeeldopgave 4 is een vermenigvuldigopgave waarbij de leerlingen moeten uitrekenen
hoeveel 12 taarten van € 7,50 in totaal kosten. Deze opgave is in beide condities even moeilijk.
Interessant is dat bijna 30% van de leerlingen een hoofdrekenstrategie toepast en hierbij papier
gebruikt. Een leerling berekent bijvoorbeeld 10 x 7,50 en 2 x 7,50 en schrijft 75 en 15 op.
Voorbeeldopgave 11, een kale opgave waarbij 52,7 : 100 berekend moet worden, wordt beter
gemaakt wanneer leerlingen geen uitrekenpapier mogen gebruiken (63% correct ten opzichte
van 58%). Het percentage leerlingen dat geen berekening maakt, is wanneer uitrekenpapier
gebruikt mag worden, relatief hoog, namelijk 77%. Slechts 5% van de leerlingen gebruikt een
algoritme om deze opgave op te lossen.
Voorbeeldopgave 14 is een opgave waarbij 50 meter gedeeld moet worden door 2,40 meter.
Hierbij moet de rest correct geïnterpreteerd worden. Het verschil in moeilijkheid tussen de
eerste en tweede conditie is verwaarloosbaar (respectievelijk 59% versus 58,8%). Net als bij
voorbeeldopgave 11 rekent een groot deel van de leerlingen deze opgave uit het hoofd uit, ook
wanneer ze uitrekenpapier mogen gebruiken (70%). 17% van de leerlingen heeft een
hoofdreken­aanpak gebruikt waarbij ze papier hebben gebruikt, om bijvoorbeeld een tussen­
oplossing op te schrijven.
Voorbeeldopgave 16 is een moeilijke opgave, bij deze opgave moet beredeneerd worden
hoeveel boeken van € 2,35 gekocht kunnen worden voor 25 euro en hoeveel voor 50 euro. In de
eerste conditie, waarbij geen uitrekenpapier gebruikt mocht worden heeft slechts 42% de
opgave goed. In de tweede conditie, waarbij uitrekenpapier gebruikt mocht worden, is het

103

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

percentage goed nog lager: 30%. Het percentage leerlingen dat geen uitrekenpapier gebruikt bij
het oplossen van deze opgave is wederom hoog, 61%. Een kwart van de leerlingen gebruikt het
papier om bijvoorbeeld een tussenoplossing te noteren.
Voorbeeldopgave 18 is een kale opgave: 106 x 96 – 6 x 96 =. Ook deze opgave is moeilijk. In de
conditie zonder papier heeft 28% van de leerlingen deze opgave goed. In de tweede conditie
heeft 24% van de leerlingen deze opgave goed. In tegenstelling tot voorbeeldopgave 11, 14 en
16 gebruikt bij voorbeeldopgave 18 een groot percentage van de leerlingen een cijferalgoritme
of een kolomsgewijze methode. 19% van de leerlingen berekent dit uit het hoofd. Opvallend is
het hoge percentage leerlingen dat geen antwoord geeft op deze vraag, 22%.
Tabel 4.17 Strategiegebruik Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen met papier
Strategie

Voorbeeld­

Voorbeeld­

Voorbeeld­

Voorbeeld­

Voorbeeld­

Voorbeeld­

opgave 3

opgave 4

opgave 11

opgave 14

opgave 16

opgave 18

Algoritmisch

32%

29%

5%

8%

7%

42%

Hoofdrekenen met papier

10%

29%

7%

17%

25%

14%

Zonder uitwerking

51%

41%

77%

70%

61%

19%

1%

2%

Misconceptie
Missing

6%

1%

11%

5%

6%

22%

n (totaal)

334

324

334

326

303

298

4.6

Schattend rekenen

Inhoud
Bij het onderwerp Schattend rekenen gaat het om opgaven die niet exact uitgerekend hoeven te
worden. De leerlingen moeten bewerkingen uitvoeren met afgeronde getallen.
De volgende typen opgaven komen voor:
• aangeven welke berekening de beste schatting geeft;
• nagaan of de werkelijke uitkomst groter of kleiner is dan de met afgeronde getallen
berekende uitkomst;
• uitvoeren van een globale berekening om de orde van grootte van de uitkomst aan te geven
of te beslissen waar de komma komt te staan;
• gebruikmaken van ervaringsgegevens, bijvoorbeeld om aan te geven op welke schaal de
tekening van een auto is gemaakt.
Bij dit onderwerp komen naast opgaven met gehele getallen en kommagetallen ook opgaven
voor met breuken en procenten. Daarbij is van essentieel belang dat leerlingen de relatie zien
tussen gegeven getallen en die relatie kunnen aangeven met breuken of procenten, zoals
bijvoorbeeld in 398 van de 795 stemmers; dat is ongeveer de helft van de stemmers ofwel 50%.
In vergelijking met andere onderwerpen komen bij dit onderwerp vrij veel meerkeuze-opgaven
voor.

104

PPON

Bij de instructie door de toetsleiders is aangegeven dat de leerlingen deze opgaven al
hoofdrekenend moeten oplossen, dus zonder gebruik te maken van uitrekenpapier of het
opschrijven van tussenoplossingen.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst de eerste twee voorbeeldopgaven goed. Voorbeeldopgaven 3
tot en met 5 en 7 worden matig beheerst. In de eerste voorbeeldopgave moeten de leerlingen
uit vier schattingen de beste schatting van 309 x 892 kiezen. In de tweede voorbeeldopgave
moeten de leerlingen op basis van de kiloprijs schatten hoeveel een stukje kaas van 0,496 kg
kost. Beide voorbeeldopgaven worden door de percentiel-10 leerling beheerst. Voorbeeldopgave
3 (500 : 35 is ongeveer …) en voorbeeldopgave 4 (1000 : 123 is ongeveer …) worden door deze
leerlingen matig beheerst. De complexe schatting waarin leerlingen meerdere bedragen
moeten optellen (voorbeeldopgave 5) wordt door deze leerlingen matig beheerst. 88% van de
leerlingen die opgave 5 hebben gemaakt kiest voor het juiste antwoord B. D wordt gekozen
door 8% van de leerlingen. Op dit antwoord kan een leerling komen door alles naar het
bovengelegen tiental af te ronden. De leerling berekent dan dus 5 x een kaartje van 30 euro
(4 x 24, 95 en 1 x 21,95) en een parkeerkaartje van 10 euro (7,50).
Voorbeeldopgaven 1-7 Schattend rekenen

1

3	Het kopieerapparaat van de school maakt 35 kopieën

309 x 892 =

	Welke van de onderstaande berekeningen geeft de

per minuut. Juf Ans moet de uitnodiging voor de

beste schatting?

ouderavond 500 keer kopiëren.
Hoeveel minuten zal dat ongeveer duren?

A

300 x 800		

C

300 x 900

B

400 x 900		

D

400 x 800

A

5 minuten		

C

15 minuten

B

10 minuten		

D

20 minuten

2
4

Schatten!
In een pak zitten 1000 rietjes voor de schoolmelk.
Op een school gebruikt men 123 rietjes per week.

	Hoeveel weken ongeveer kan men dan met zo’n pak
rietjes doen?

Hoeveel euro ongeveer kost het kleine stukje kaas?

105

A

€ 4,-			C

€ 40,-

B

€ 32,-			D

€ 4000,-

A

ongeveer 6 weken

B

ongeveer 8 weken

C

ongeveer 10 weken

D

ongeveer 12 weken

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

5

6

5480 + 3129 = 367,7

	Leila is de komma’s in de som vergeten. Het antwoord
is goed.
	Schrijf de som over en zet de komma’s op de goede
plaats.
		
	Opa, oma, vader, moeder en Jan gaan naar het
pretpark. Ze kopen ook een parkeermunt.
Hoeveel ongeveer moeten ze in totaal betalen?
A

€ 110,-		

C

€ 150,-

B

€ 130,-		

D

€ 160,-

7

	Hoeveel bezoekers ongeveer heeft Diergaarde Blijdorp
van 2005 – 2008 gehad?
A

1,5 miljoen		

C

6 miljoen

B

4 miljoen		

D

8 miljoen

De percentiel-25 leerling beheerst de eerste vijf voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgaven 6
tot en met 9 matig. deze leerlingen kunnen matig in 5480 + 3129 de komma’s zo plaatsen dat er
367,7 uitkomt (voorbeeldopgave 6). Ook kunnen deze leerlingen matig schatten hoeveel
miljoen 1 478 513 + 1 428 098 + 1 558 104 + 1 608 325 is (voorbeeldopgave 7). Een percentiel-10
leerling zal van de tien met voorbeeldopgave 7 vergelijkbare opgaven er ongeveer vijf goed
beantwoorden, terwijl een percentiel-25 leerling ongeveer zes à zeven van de tien opgaven
goed zal maken. In voorbeeldopgave 8 moeten leerlingen het verschil tussen 76 303 387 en
281 421 906 schatten in miljoenen. Dit wordt door de percentiel-25 leerlingen matig beheerst.
Het schatten van een kwart van 3592,95 wordt eveneens matig beheerst (voorbeeldopgave 9).
73% van de leerlingen die voorbeeldopgave 9 gemaakt hebben komt tot het goede antwoord C.
Deze leerlingen hebben waarschijnlijk een kwart van 3600 genomen. 15% kiest voor alternatief B.
Tot dit antwoord komt een leerling door 3592,95 naar beneden af te ronden tot 3000 en hier
een kwart van te nemen. Tot slot wordt ook voorbeeldopgave 12 matig beheerst. In deze opgave
moeten leerlingen 2500 : 12 bij benadering berekenen. Voorbeeldopgave 11 is nog te moeilijk
voor deze leerlingen.

106

PPON

Voorbeeldopgaven 8-12 Schattend rekenen

8

Groei van het aantal inwoners
van de Verenigde Staten
in de afgelopen eeuw

10 Schatten!
66 van de 200 leden stemden voor het voorstel.
Welk deel van de leden stemde voor?
A

1900
1950
2000

B

76 303 387
151 325 798
281 421 906

C

ongeveer 16 deel		
ongeveer 13 deel		
1
ongeveer 12
deel

D
E

ongeveer 23 deel

1
ongeveer 33
deel

11	Alle 4983 werknemers van een bedrijf hebben een
eindejaarscadeau gekregen. Elk cadeau kostte

	Met hoeveel miljoen ongeveer is het aantal inwoners

€ 19,85.

van de Verenigde Staten tussen 1900 en 2000

	Hoeveel heeft dit het bedrijf ongeveer in totaal

gegroeid?

gekost?

Kies de beste schatting.
A

75 miljoen		

C

150 miljoen

A

€ 10 000,-			C

€ 80 000,-

B

100 miljoen		

D

200 miljoen

B

€ 50 000,-			D

€ 100 000,-

9	De opbrengst van de Rommelmarkt is € 3592,95.

12

Ongeveer een kwart is verdiend met de verkoop van

De vader van Sharon heeft geld geleend.

boeken.

Hij moet nu € 2500,- terugbetalen in 12 maanden.

	Ongeveer hoeveel euro is verdiend met de verkoop

Hoeveel is dat ongeveer per maand?

van boeken?
A

€ 120,-

A

€ 250,-			C

€ 900,-

B

€ 200,-

B

€ 750,-			D

€ 1000,-

C

€ 250,-

D

€ 300,-

De gemiddelde leerling beheerst de eerste twaalf voorbeeldopgaven redelijk goed tot goed en
voorbeeldopgave 14 matig. In voorbeeldopgave 10 moeten leerlingen bepalen een hoeveelste
deel 66 van de 200 ongeveer is. De gemiddelde leerling kan dit redelijk goed. Ook het bij
benadering berekenen van 4983 x 19,85 kunnen deze leerlingen redelijk goed (voorbeeld-­­
opgave 11). Voorbeeldopgave 13 (twee derde van 23 978) is nog te moeilijk voor de gemiddelde
leerling. 76 000 – 10 899,02 – 24 028,97 is ongeveer … wordt door de gemiddelde leerling al wel
matig beheerst (voorbeeldopgave 14). 52% van de leerlingen die voorbeeldopgave 14 hebben
gemaakt geeft het antwoord 41 000. 27% van de leerlingen kiest voor antwoord C. Deze leerlingen
hebben waarschijnlijk 76 000 – 10 000 – 24 000 berekend.

107

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 13 en 14 Schattend rekenen

13	Voor een schaatswedstrijd zijn 23 978 kaarten
verkocht.
	Twee derde deel hiervan is verkocht aan Nederlandse
schaatsfans.

14 Schatten.

	76 000 – 10 899,02 – 24 028,97
is ongeveer …

Hoeveel kaarten zijn dat ongeveer?
Ongeveer

A

40 000				C

42 000

B

41 000				D

46 000

De percentiel-75 leerling beheerst voorbeeldopgave 1 tot en met 13 redelijk goed tot goed.
Voorbeeldopgaven 14 en 15 worden matig beheerst. In opgave 15 moeten leerlingen op de
eerste plaats schatten hoeveel kilometer Henk zou rijden volgens de planning (12 000 + 10 000 +
11 000) en hoeveel kilometer Henk daadwerkelijk heeft gereden (12 493 + 10 247 + 10 749).
Vervolgens moeten de leerlingen bepalen hoeveel kilometer ongeveer Henk meer heeft gereden
dan gepland.
De percentiel-90 leerling beheerst voorbeeldopgave 1 tot en met 15 goed tot redelijk goed.
Deze leerling beheerst voorbeeld­opgave 16 (schatting van het verschil tussen 89 694 en
103 689) matig.
Voorbeeldopgaven 15 en 16 Schattend rekenen

15

maanden

gepland
aantal km

gereden
aantal km

oktober
november
december

12 000
10 000
11 000

12 493
10 247
10 749

16

	Henk werkt als vrachtwagenchauffeur. In de tabel zie
je hoeveel kilometer ongeveer Henk volgens de
planning zou rijden en hoeveel kilometer hij echt
heeft gereden.
	Henk heeft in totaal meer gereden dan gepland;

	Hoeveel kilometer ongeveer is gereden tussen beide
keuringen?

hoeveel meer ongeveer?
A

ongeveer 500 km meer

B

ongeveer 750 km meer

C

ongeveer 1000 km meer

D

ongeveer 2000 km meer

A

10 000			C

13 000

B

11 000			D

14 000

Verschillen tussen 2011 en 2004
De lichte vooruitgang op het gebied van Schattend rekenen die te zien was tussen 1997 en 2004,
is wederom zichtbaar in de vergelijking van 2004 en 2011. Het niveau dat in 2004 door 75% van
de leerlingen beheerst werd, wordt in 2011 door 79% beheerst. Het niveau dat in 2004 door
50% van de leerlingen werd behaald, wordt in 2011 door 55% behaald.

108

PPON

Verschillen tussen leerlingen
De posities van de vaardigheids­verdelingen van de 0.0-leerling, de 0.3-leerling en de 1.2-leerling
liggen ongeveer even ver van elkaar verwijderd. De 0.0-leerling heeft het hoogste
vaardigheidsniveau en de 1.2-leerling het laagste.
Meisjes hebben gemiddeld, net als in 2004, een achterstand ten opzichte van de jongens.
Meisjes hebben een gemiddeld een vaardigheidsniveau van 236 terwijl jongens een gemiddeld
vaardigheidsniveau van 263 hebben (zie tabel 4.18).
Het schattend rekenen blijkt voor leerlingen met een doorstroom naar vwo weinig problemen
op te leveren. Een gemiddelde vwo-leerling beheerst de eerste twaalf voorbeeldopgaven goed
en de andere vier opgaven matig. De BB-leerling beheerst de eerste twee voorbeeldopgaven
goed, voorbeeldopgave 3 tot en met 5 worden matig beheerst. Een gemiddelde GT-leerling
beheerst de eerste vijf voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgave 6 tot en met 12 matig.
Tabel 4.18 Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Schattend rekenen
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

244

51

2011

250

50

0.0

253

49

0.3

237

50

1.2

224

50

Jongens

263

48

Meisjes

236

48

BB

182

34

KB

202

34

GT

229

34

havo

263

33

vwo

300

34

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 4.19 Schattend rekenen: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011

109

2004

2011

75%

79%

50%

55%

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Tabel 4.20	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Schattend rekenen
Opgaven die de gemiddelde leerling:

110

Doorstroomkenmerk

Goed beheerst

BB

1 en 2

3 tot en met 5

6 tot en met 16

KB

1 en 2

3 tot en met 8

9 tot en met 16

GT

1 tot en met 5

6 tot en met 12

13 tot en met 16

havo

1 tot en met 8

9 tot en met 14

15 en 16

vwo

1 tot en met 12

13 tot en met 16

-

PPON

Matig beheerst

Onvoldoende beheerst

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Schattend rekenen
-

Aftrekopgave waarbij het verschil geschat moet worden tussen 103 689 en 89 694 (opgave 16)

-

Toepassingsopgave waarbij geschat moet worden met grote getallen (12 493 – 120 000) + (10 247 – 10 000) + (11 000 – 10 749) (opgave 15)

-

Ongeveer rekenen met breuken als ----23 deel van 23 978 is ongeveer ----23 deel van 24 000 (opgave 13)

-

Schattend aftrekken van grote getallen met twee cijfers achter de komma zoals 76 000 – 10 899,02 – 24 028,97 = (opgave 14)

-

Deelopgave waarbij 2500 gedeeld moet worden door 12 (opgave 12)
Schatten van de uitkomst van een vermenigvuldiging met grote getallen en waar beide getallen afgerond moeten worden, zoals 19,85 x 4983 (opgave 11)
Ongeveer rekenen met breuken in situaties als bij 66 van de 200 leden is ongeveer 1/3 deel van de leden (opgave 10)

-

Schatten wat ongeveer een kwart is van 3592,95 (opgave 9)

-

Bepalen wat het verschil is tussen 151 325 798 en 281 421 906 (opgave 8)
Kommaplaatsing in een optelopgave als 5480 + 3129 – 367,7 (opgave 6)

-

Schatten van een optelling met grotere getallen die vervolgens omgezet moeten worden naar miljoenen (opgave 7)

-

Schatten van een toepassingsopgave waarbij meerdere berekeningen nodig zijn (opgave 5)
Inschatten van de deelopgaven 500 : 35 (opgave 3) en 1000 : 123 (opgave 4)

-

Schatten van de uitkomst van een vermenigvuldiging als 0,496 x 7,99 (opgave 2)
Aangeven met welke berekening 309 x 892 het beste geschat kan worden (opgave 1)
© Cito

10

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

111

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Schattend rekenen

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

112

PPON

13

14

15

16

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

113

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Individuele opgaven
In hoofdstuk 3 blijkt uit tabel 3.10 dat leraren de afgelopen jaren meer onderwijstijd besteden
aan het onderdeel Schattend rekenen. De behoefte om in deze peiling aanvullend onderzoek te
doen naar schattend rekenen komt voort uit de onduidelijkheid over welke antwoorden goed
gerekend moeten worden wanneer leerlingen een opgave schattend oplossen. Het doel van het
onderzoek naar schattend rekenen is om inzicht te krijgen in de schatstrategieën van leerlingen
in jaargroep 8
Van zes opgaven zijn door middel van mondelinge individuele afnames oplossingsprocedures
van 331 leerlingen verzameld. De leerlingen mochten geen uitrekenpapier gebruiken en
rapporteerden mondeling aan de testleider, die de uitwerking noteerde. Op basis van deze
aantekeningen zijn de oplossingswijzen van de leerlingen gecodeerd. Hierbij zijn de volgende
codes gehanteerd:
1	Schatstrategie waarbij afgerond wordt volgens de afrondingsregels. Hierbij wordt 142,90
143 of 140.
2	Schatstrategie waarbij gehakt wordt. De leerling hakt aan de achterkant van het getal de
cijfers af. 142,90 wordt dan 142.
3	Schatstrategie waarbij aangepast wordt afgerond. De leerling past het getal zodanig aan,
dat het een ‘mooi’ getal wordt. Bijvoorbeeld 142,90 wordt veranderd in 150.
4	
Exact uitgerekend. De leerlingen rekent de opgave exact uit, de getallen worden niet
afgerond. Dit wil overigens niet zeggen dat de leerling altijd op het juiste exacte antwoord
uitkomt.
5 Rest/onduidelijk. Bij deze categorie is het niet duidelijk wat de leerling heeft gedaan.
Leerlingen kunnen daarnaast, na het gebruiken van één van de bovenstaande strategieën, hun
antwoord compenseren. Dit betekent dat leerlingen hun antwoord, afhankelijk van de gekozen
strategie, naar boven of beneden bijstellen. Naast het coderen van de strategieën is daarom ook
gecodeerd of een leerling zijn/haar antwoord heeft gecompenseerd.
In totaal zijn 1970 oplossingen van leerlingen gecodeerd. Hiervan viel 4% in de categorie rest/
onduidelijk (zie tabel 4.21). De meest toegepaste schatstrategie is volgens afrondingsregels
(50%). Bij alle opgaven, behalve aftrekopgave 5 en vermenigvuldigopgave 6, is de strategie
volgens afrondingsregels het meest door leerlingen toegepast. Bij zowel opgave 5 als 6 wordt in
de meeste gevallen een aangepaste afrondingsstrategie gebruikt. De aangepaste afrondings­
strategie is over alle zes de opgaven genomen de tweede vaakst geobserveerde strategie (28%).
De hakstrategie wordt als schatstrategie het minst toegepast. Het gebruik van de hakstrategie
lijkt samen te hangen met het type opgave omdat deze strategie bij opgave 4 in verhouding tot
de overige opgaven veel vaker is toegepast. Respectievelijk 25% tegenover 7, 3, 2, 1 en 3%.
12% van de gemaakte opgaven is exact berekend.

114

PPON

De afgenomen opgaven

Opgave 1

Opgave 5

Winterbanden alleen deze week:
€142,90 per stuk

Theo koopt 4 winterbanden in de aanbieding.
Hoeveel euro moet hij in totaal ongeveer betalen?

Jonathan heeft de hoofdprijs gewonnen. Hij koopt een
nieuwe auto.
Hoeveel euro heeft hij dan ongeveer nog over?

€

€
Opgave 2

€ 15 089 – € 49,95 is ongeveer

Opgave 6

Opgave 3
Naam school

Aantal leerlingen

De Wegwijzer

248

De Julianaschool

409

De Cirkel

452

De Triangel

193

Deze 4 scholen hebben samen sportdag.

Meneer Wim koopt voor school 4 laptops.

Hoeveel leerlingen ongeveer zijn dit samen?

Hoeveel euro moet hij ongeveer betalen?

leerlingen

€

Opgave 4

14,861 x 3,089 =
Vier kinderen rekenen deze som uit.
Eén van de kinderen heeft het goede antwoord.
Wat moet het goede antwoord zijn?

115

A

42,905629			C

45,905629

B

56,905629			D

60,905629

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Tabel 4.21 Gebruikte strategieën per opgave en voor het totaal aantal gemaakte opgaven (%)
Opgave

Percentage over

1

2

3

4

5

6

Operatie

x

–

+

x

–

x

het totaal

Volgens afrondingsregels

52

55

73

59

18

40

Hakstrategie

7

3

2

25

1

3

7

Aangepast afronden

21

27

3

5

63

47

28

Exact

17

10

17

6

14

7

12

Rest/onduidelijk

2

6

5

5

3

2

4

329

326

330

331

326

328

1970

n

50

Bij 3% van de berekeningen wordt door de leerlingen achteraf gecompenseerd. Een voorbeeld
hiervan is 14,861 x 3,089 is 14 x 3 en er een beetje bij. 14 van de 236 exact berekende antwoorden
is achteraf geschat. Bijvoorbeeld: “Dit is 571,60 maar ik moet schatten, dus schrijf ik 570 op.”
In tabel 4.22 is per opgave weergegeven in hoeveel procent van de geobserveerde oplossingen
is gecompenseerd.
Tabel 4.22	Oplossingen waarin leerlingen gecompenseerd hebben per opgave en in totaal (%)
Opgave
1

2

3

4

5

6

Operatie

x

–

+

x

–

x

Compensatie

15

5

4

11

3

5

Compensatie na exact

8

0

2

1

1

2

14

Aantal exacte berekeningen

49

32

54

20

46

21

222

n

329

326

330

331

326

328

1970

4.7

totaal

43

Bewerkingen: optellen en aftrekken

Inhoud
Bij het onderwerp Bewerkingen: optellen en aftrekken gaat het om het optellen en aftrekken van
gehele getallen en kommagetallen, waarbij de leerling uitrekenpapier kan gebruiken om
bijvoorbeeld tussenuitkomsten op te schrijven van hoofdrekenprocedures of om een cijfer­
procedure uit te voeren. De meeste opgaven worden in een eenvoudige context aangeboden.
De contexten zijn voor het merendeel ontleend aan het rekenen met geld en aan het meet­
domein, zonder dat daarbij herleidingen of specifieke kennis van rekenprocedures bij het meten
een rol spelen.
De taal speelt een belangrijke rol in de contextopgaven. Het optellen komt voor zowel in de
betekenis van ‘eraan toevoegen’ als in de betekenis van samennemen. Aftrekken kan betrekking
hebben op er iets afnemen of op vergelijken. In dat laatste geval gaat het om het verschil.
De vraag kan dan luiden: ‘Hoeveel kan er nog bij?’ of ‘Hoe lang is het geleden?’

116

PPON

Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst geen van de voorbeeldopgaven van het onderwerp
Bewerkingen: optellen en aftrekken goed. Voorbeeldopgaven 1, 2 en 7 worden matig beheerst.
Dit zijn alle drie optelopgaven, waarvan voorbeeldopgaven 1 en 2 kale opgaven zijn
(respectievelijk 352 + 86 + 149 = en 3208 + 8057 =). Voorbeeldopgave 7 is een contextopgave
waarbij leerlingen vijf kommagetallen bij elkaar moeten optellen.
Voorbeeldopgaven 1 en 2 Bewerkingen: optellen en aftrekken

1

352 + 86 + 149 =

2

3208 + 8057 =

De percentiel-25 leerling beheerst eveneens geen van de voorbeeldopgaven goed. Voorbeeld­
opgave 1 tot en met 3, 5 tot en met 7, 12 en 17 worden door deze leerlingen matig beheerst.
Deze leerlingen hebben een matige beheersing van kale aftrekopgaven zoals 48 – 9,75
(voorbeeldopgave 3) en 5,27 – 2,68 (voorbeeldopgave 6). 77% van de leerlingen die opgave 3
hebben gemaakt komen tot het correcte antwoord 38,25. 8,4% komt tot het antwoord 39,25.
Contextopgaven zoals voorbeeldopgaven 5, 7, 12 en 17 waarbij leerlingen vier of vijf getallen bij
elkaar moeten optellen worden eveneens matig beheerst. 71% van de leerlingen die voorbeeld­
opgave 12 hebben gemaakt kwamen tot het goede antwoord. 10% van de leerlingen kwam
echter tot het antwoord 15275. Deze leerlingen hebben in plaats in plaats van 804 ‘overigen’
gerekend met 8040. Een oorzaak hiervan kan zijn dat in de afbeelding het getal 804 links
uitgelijnd staat. In voorbeeldopgave 4 moeten leerlingen het verschil berekenen tussen 8848 en
5895. Dit is voor de percentiel-25 leerling nog te uitdagend.
Voorbeeldopgaven 3-7 Bewerkingen: optellen en aftrekken

3

48 – 9,75 =

4

Hoge bergen

5

Mount Everest

8848 m

Kilimanjaro

5895 m

totaal:
totaal:
35,7 l
totaal: totaal: 33,4 l
39,6 l
34,3 l

	Niek heeft in de vakantie vier keer getankt. Hierboven
zie je zijn bonnetjes.
Hoeveel liter benzine heeft Niek in totaal getankt?

	Hoeveel meter is de Mount Everest hoger dan de
Kilimanjaro?

			 liter

			 m
6

117

5,27 – 2,68 =

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

7

Unieke aanbieding!

Avonturen in de Melkweg
Deel 1 tot en met 5
Deel 2
€ 11,90
Deel 1
€ 11,90

Deel 3
€ 13,Deel 5
€ 12,60

Deel 4
€ 12,60

	Ingrid koopt deze 5 delen van Avonturen in de
Melkweg.
Hoeveel moet zij betalen?
€

De gemiddelde leerling beheerst de eerste voorbeeldopgave goed en voorbeeldopgaven 2 tot en
met 7 redelijk goed. Voorbeeldopgaven 8 tot en met 17 worden matig beheerst. In voorbeeld­
opgave 8 moeten leerlingen vier bedragen uit de tekst bij elkaar optellen. Een gemiddelde
leerlinge zal van tien van dergelijke opgaven er gemiddeld zes à zeven goed beantwoorden.
Dit geldt eveneens voor voorbeeldopgave 9 (3,45 + 3,4 + 5,05 + 4,6 = ) en voorbeeldopgave 10
(10 324 – 846 in context). Voorbeeldopgave 11 (10 072 – 4374) is iets moeilijker voor de
gemiddelde leerling. Voorbeeldopgaven 13 en 14 zijn beide contextaftrekopgaven en worden
door deze leerlingen matig beheerst. De kale variant van voorbeeldopgave 14: 55 – 23,67 =
(voorbeeldopgave 15) wordt eveneens matig beheerst. Deze opgave is nagenoeg even moeilijk
als opgave 14. 59% van de leerlingen die opgave 14 hebben gemaakt, hebben het correcte
antwoord 31,33 gegeven. 5% van de leerlingen geeft het antwoord 21,33 en eveneens 5% van
de leerlingen geeft het antwoord 26,33. Voorbeeldopgave 15 is door andere leerlingen gemaakt
dan voorbeeldopgave 14. We zien een licht afwijkend antwoordpatroon bij voorbeeldopgave 15
ten opzichte van voorbeeldopgave 14. 55% van de leerlingen die deze opgave gemaakt hebben,
geeft het goede antwoord. 8% van de leerlingen geeft hier het antwoord 21,33 en 6% het
antwoord 56,33. Het antwoord 32,67 wordt bij de kale opgave vaker gegeven dan bij de
contextopgave (voorbeeldopgave 14), respectievelijk 5% en 3%. In voorbeeldopgave 16 moeten
leerlingen zes getallen onder de 1000 bij elkaar optellen. De gemiddelde leerling beheerst dit
matig. Voorbeeldopgave 17, waarbij leerlingen meerdere getallen onder de 100 bij elkaar
optellen, wordt ook matig beheerst. Voorbeeldopgaven 18 en 19 vallen buiten het vaardigheids­
bereik van deze leerlingen.
Voorbeeldopgaven 8-17 Bewerkingen: optellen en aftrekken

8	Eugenie koopt een boek van € 23,95, een cd van
€ 17,35, een vulpen van € 13,85 en een agenda van
€ 12, .
Hoeveel heeft ze in totaal uitgegeven?
€

118

PPON

9

3,45 + 3,4 + 5,05 + 4,6 =

10	Aan een prestatieloop nemen 10 324 mensen deel.

15

55 – 23,67 =

Onderweg vallen 846 mensen uit.
Hoeveel deelnemers lopen de tocht uit?
16
			 deelnemers

11 10 072 – 4374 =

12

	Hoeveel nieuwe abonnees zijn er in totaal in deze zes
maanden bijgekomen?
			 nieuwe abonnees

17	Oma Riet koopt voor haar kleinkinderen de volgende
boeken:
	Hoeveel fietsen zijn er in 2010 in deze fietswinkel in
totaal verkocht?

Radeloos van Carry Slee

€ 12,95

	Harry Potter en de orde van de
			 fietsen

Feniks van J.K. Rowling

€ 21,50

	Harry Potter en de Vuurbeker
13	Een jas die eerst € 349,95 kostte, kost in de uitverkoop

van J.K. Rowling

€ 16,90

De Zevensprong van Tonke Dragt

€ 16,95

nog maar € 175,-.
Hoeveel euro is de korting?

Hoeveel moet ze betalen?

€

€

14

	Maarten tankt 23,67 liter bij de pomp. De tank zit nu
vol. Er zit 55 liter in.
	Hoeveel liter zat nog in de tank toen Maarten ging
tanken?
			 liter

119

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De percentiel-75 leerling beheerst de eerste elf voorbeeldopgaven goed, De voorbeeldopgaven
12 tot en met 17 worden redelijk beheerst. Een percentiel-75-leerling zal van tien van dergelijke
opgaven er zes à zeven goed beantwoorden. De voorbeeldopgaven 18 tot en met 21 worden
matig beheerst. In voorbeeldopgave 18 moeten de leerlingen het verschil tussen 38 796,00 en
40 372,00 berekenen. Deze leerlingen beheersen deze voorbeeldopgave matig. In voorbeeld­
opgave 19 moeten leerlingen 18,90, 298, 119,50 en 9,95 bij elkaar optellen, ook deze opgave
wordt door de leerlingen matig beheerst. Voorbeeldopgave 20 (2361 + 994 + 37 + 36 047) wordt
eveneens matig beheerst. In voorbeeldopgave 21 moeten leerlingen 1000, 1,5 miljoen en
tienduizend euro bij elkaar optellen. Ook deze voorbeeldopgave wordt door de percentiel-75
leerling matig beheerst.
De percentiel-90 leerling beheerst de eerste 19 opgaven goed, de voorbeeldopgaven 20 en 21
worden door deze leerlingen matig beheerst.
Voorbeeldopgaven 18-20 Bewerkingen: optellen en aftrekken

18

0 0 3 8 7 9 6 , 0 0

0 0 4 0 3 7 2 , 0 0

voor

na

	Pieter is met de auto op vakantie geweest. Hierboven

20

2361 + 994 + 37 + 36 047 =

21	Mevrouw Van der Laar heeft € 1000,- op haar

zie je de kilometerstand van zijn auto voor en na de

bankrekening staan. Ze wint 1,5 miljoen euro bij de

vakantie.

loterij. Uit de erfenis van tante Jo krijgt ze tienduizend

	Hoeveel kilometer heeft Pieter in de vakantie
gereden?

euro.
	Hoeveel staat er dan op de bankrekening van
mevrouw Van der Laar?

			 km
€
19

	Je ziet hierboven de prijskaartjes van de kleren die
Francien gekocht heeft.
Hoeveel heeft ze in totaal betaald?
€

Verschillen tussen 2011 en 2004
De in 2004 gesignaleerde terugval ten opzichte van 1997 zet niet door, maar herstelt zich
evenmin. Ten opzichte van 2004 is in 2011 een minieme achteruitgang op het onderwerp
Bewerkingen: optellen en aftrekken gevonden. Het niveau dat in 2004 door 75% van de
leerlingen beheerst werd, wordt in 2011 door 71% beheerst. Het niveau dat in 2004 door 50%
van de leerlingen werd behaald, wordt in 2011 door 46% behaald.

120

PPON

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Bewerkingen: optellen en aftrekken
-

Complexe contextopgave waarbij 1000, 1,5 miljoen en tienduizend bij elkaar opgeteld moeten worden (opgave 21)
Opgave als 236 + 994 +37 +36 047, waarbij vier getallen, waarvan één 1-cijferige,twee 3-cijferige en één 5-cijferige, bij elkaar opgeteld moeten worden (opgave 20)

-

Optellen van meerdere geldbedragen als € 18,90 + € 298 + € 119,50 + € 9,95 (opgave 19)
Opgave waarbij het verschil bepaald moet worden tussen 40 372 en 38 796 (opgave 18)

-

Optelopgave als 26 + 10 + 263 + 408 + 98 + 201, waarbij vier 3-cijferige en twee 2-cijferige getallen bij elkaar opgeteld moeten worden (opgave 16)
Kale aftrekopgave als 55 – 23,67, waarbij het verschil bepaald moet worden tussen een kommagetal en een geheel getal (opgave 15)
Verschil bepalen tussen een getal met twee cijfers achter de komma en een geheel getal, 23,67 + ___ = 55 (opgave 14)
Aftrekopgave waarbij berekend moet worden hoeveel korting is verkregen, 349,95 – 175 (opgave 13)

-

Kale aftrekopgave als 10 072 – 4374 (opgave 11)
Aftrekopgave in de context zoals 10 324 – 846 (opgave 10)
Kale optelopgave als 3,45 + 3,4 + 5,05 + 4,06 waarbij getallen met verschillend aantal cijfers achter de komma bij elkaar opgeteld moeten worden, de opgave
nodigt uit om 3,4 + 4,6 + 3,45 + 5,05 te berekenen (opgave 9)
Optellen van meerdere bedragen met cijfers achter de komma, 23,95 + 17,35 + 13,85 + 12,- (opgave 8)

-

Aftrekopgaven als 5,27 – 2,68, waarbij beide getallen twee cijfers achter de komma hebben (opgave 6)
Optellen van meerdere kommagetallen met een gelijk aantal cijfers achter de komma, 35,7 + 34,3 + 33,4 + 39,6 = (opgave 5)
Het verschil bepalen tussen 8848 en 5895 (opgave 4)

-

Aftrekopgave, als 48 – 9,75, waarbij een kommagetal afgetrokken moet worden van een geheel getal (opgave 3)

-

Optelopgave als 3208 + 8257, waarbij 4-cijferige getallen bij elkaar opgeteld moeten worden (opgave 2)
Optelopgave waar drie gehele getallen bij elkaar opgeteld moeten worden (opgave 1)
© Cito

10

In dit schema zijn de slecht discriminerende opgaven 7, 12 en 17 niet meegenomen.

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

121

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Bewerkingen: optellen en aftrekken

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

122

PPON

18

19

20

21

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

123

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Verschillen tussen leerlingen
Het vaardigheidsniveau van de 0.3- en 1.2-leerling liggen op dit onderwerp dicht bij elkaar.
De gemiddelde 0.3-leerling functioneert op een hoger niveau dan de gemiddelde 1.2-leerling.
De relatieve afstand ten opzichte van de 0.0-leerling is voor beide groepen groot.
Net als in voorgaande peilingsonderzoeken is bij dit onderwerp, tegen de algemene trend in,
waargenomen dat meisjes gemiddeld een hoger vaardigheidsniveau hebben dan jongens.
Meisjes hebben een gemiddeld vaardigheidsniveau van 260, zij functioneren hoger dan het
gemiddelde van de populatie (250, zie tabel 4.23). Jongens hebben een gemiddeld vaardigheids­
niveau van 241, dit is lager dan het populatiegemiddelde.
Wederom zien we grote verschillen tussen leerlingen met verschillende uitstroomniveaus,
echter zijn bij dit onderwerp de verschillen kleiner dan bij bijvoorbeeld Hoofdrekenen: optellen
en aftrekken. De gemiddelde BB-leerling functioneert hoger dan de percentiel-10 leerling en
lager dan de percentiel 25-leerling, de KB-leerling functioneert ongeveer als een percentiel-25
leerling. De verschillen tussen de GT- en de havo-leerling zijn op dit onderwerp niet groot. De
GT-leerling functioneert iets onder het gemiddelde en de havo-leerling functioneert iets boven
het gemiddelde. De gemiddelde vwo-leerling functioneert een fractie onder het niveau van de
percentiel 75-leerling.
Tabel 4.23	Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Bewerkingen:
optellen en aftrekken
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

255

50

2011

250

50

0.0

254

49

0.3

231

50

1.2

221

50

Jongens

241

49

Meisjes

260

49

BB

196

43

KB

209

42

GT

242

42

havo

259

42

vwo

282

43

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

124

PPON

Tabel 4.24	Bewerkingen: optellen en aftrekken: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot
2011
2004

2011

75%

71%

50%

46%

Tabel 4.25	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Bewerkingen: optellen en aftrekken
Opgaven die de gemiddelde leerling:
Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

-

1 tot en met 3, 7, 12

4 tot en met 6, 8 tot en met 11, 13

KB

-

1 tot en met 3, 5 tot en met 7, 12

4, 8 tot en met 11, 13 tot en met 21

GT

1

2 tot en met 17, 20

18, 19 en 21

tot en met 21

havo

1, 2 en 3

4 tot en met 17, 20

18, 19 en 21

vwo

1 tot en met 9

10 tot en met 21

-

4.8

Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen

Inhoud
Bij het onderwerp Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen gaat het om vermenigvuldigen en
delen van gehele getallen en kommagetallen. De leerling mag bij deze opgaven uitrekenpapier
gebruiken om bijvoorbeeld tussenuitkomsten op te schrijven van hoofdrekenprocedures of om
de standaardcijferprocedure uit te voeren of een aangepaste vorm daarvan. De getallen zijn zo
gekozen dat niet al te veel rekentijd nodig is.
Een aantal opgaven is zonder context aangeboden en de overige opgaven zijn in een eenvoudige
context geplaatst. De contexten zijn voor het merendeel ontleend aan het meten en het
rekenen met geld.
In de contexten bij het vermenigvuldigen ligt het accent op verschillende aspecten van het
vermenigvuldigen zoals herhaald optellen, het verhoudingsaspect (1 kg kost € 3,25. Hoeveel
kost 7 kg?), het sprongkarakter (7 dagen op pad, elke dag 25 km) en de rooster- of rechthoek­
structuur (aantal stoelen in een zaal).
Bij deelopgaven vereist de situatie soms dat er afgerond wordt of dat een verstandige beslissing
wordt genomen over de rest. In de contexten kan het accent liggen op verschillende aspecten
van het delen zoals: het verdelen, de verhouding en het delen als omgekeerd vermenigvuldigen.
Bij het delen door een kommagetal in opgaven zonder context worden relatief eenvoudige
getallen gebruikt waarbij men zich gemakkelijk een meet- of geldcontext kan voorstellen, zoals
bijvoorbeeld bij 85 : 0,25 =

125

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst van de voorbeeldopgaven bij het onderwerp Bewerkingen:
vermenigvuldigen en delen geen enkele voorbeeldopgave goed. Voorbeeldopgave 1 wordt door
deze leerlingen matig beheerst. In deze voorbeeldopgave moeten leerlingen uitrekenen hoeveel
treinstoelen een trein heeft door het aantal wagons (9) te vermenigvuldigen met het aantal
stoelen per wagon (48). Deze voorbeeldopgave wordt door 76% van alle leerlingen die deze
opgave gemaakt hebben goed beantwoord. 2% van de leerlingen geeft het antwoord 442 en 2%
van de leerlingen geeft het antwoord 532. Deze fouten kunnen de oorzaak zijn van foutief
optellen tijdens het cijferen of splitsen.
Voorbeeldopgave 1 Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen

1

	Deze trein heeft 9 treinstellen. Elk treinstel heeft
48 zitplaatsen.
Hoeveel zitplaatsen heeft de trein in totaal?
			 zitplaatsen

De percentiel-25 leerling beheerst eveneens geen enkele voorbeeldopgave goed en beheerst
voorbeeldopgaven 1, 3 en 10 matig. Voorbeeldopgaven 3 en 10 zijn, net zoals voorbeeldopgave
1, vermenigvuldigopgaven. Voorbeeldopgave 3 is een kale opgave waarin leerlingen 6 x 192
moeten berekenen. In voorbeeldopgave 10 moeten leerlingen berekenen hoeveel 6 meter stof
van € 14,95 per meter in totaal kost.
Voorbeeldopgaven 2 en 3 Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen

2

3

	Silvia spaart per week € 7,50 voor deze spelcomputer.
Hoeveel weken moet ze sparen?
			 weken

126

PPON

6 x 192 =

De gemiddelde leerling beheerst alleen de eerste voorbeeldopgave redelijk goed. Ook van
voorbeeldopgave 3 (6 x 192) kan gezegd worden dat de gemiddelde leerling deze opgave
redelijk goed beheerst. Verder beheersen deze leerlingen voorbeeldopgaven 2, 4 tot en met 12,
15 en 17 matig. Voorbeeldopgaven 4, 5, 9, 10, 12, 15 en 17 zijn vermenigvuldigopgaven.
Hiervan zijn voorbeeldopgaven 9 (209 x 76) en 15 (42 x 52) de enige kale voorbeeldopgaven.
De overige voorbeeldopgaven (4, 5, 10 en 12) zijn contextopgaven waarin leerlingen moeten
berekenen:
• hoeveel steentjes er op het terras komen als er 38 rijen van 56 steentjes komen te liggen
(38 x 56; voorbeeldopgave 4);
• hoeveel auto’s een pont in 56 keer hoogstens kan vervoeren als er per keer 23 auto’s op
passen (56 x 23; voorbeeldopgave 5);
• hoeveel 6 meter stof kost als één meter € 14,95 kost (6 x 14,95; voorbeeldopgave 10);
• hoeveel het schoolkamp voor 24 kinderen in totaal kost als één kind € 37,50 kost (24 x 37,50;
voorbeeldopgave 12);
• hoeveel 1,5 kg bananen kost als één kilo bananen € 1,80 kost (1,5 x 1,80; voorbeeldopgave 17).
Voorbeeldopgave 5 wordt door 62% van de leerlingen die deze opgave gemaakt hebben goed
beantwoord. 3% van de leerlingen geeft als antwoord 1188. Deze fout kan veroorzaakt worden
door het niet meenemen van het te onthouden getal bij cijferen.
De deelopgaven (voorbeeldopgaven 2, 6, 7, 8 en 11) die de gemiddelde leerling matig beheerst
zijn allen contextopgaven. In deze voorbeeldopgaven moeten leerlingen berekenen:
• hoeveel weken Silvia moet sparen voor een spelcomputer van € 157,50 als zij € 7,50 per week
spaart (157, 50 : 7,50; voorbeeldopgave 2);
• hoeveel één boek kost als 32 boeken samen € 736 kosten (736 : 32; voorbeeldopgave 6);
• hoeveel Gerard per keer voor een nieuwe fiets van € 872 moet betalen als hij elke keer één
kwart betaalt (872 : 4; voorbeeldopgave 7);
• hoeveel doosjes voor 8 pennen gevuld kunnen worden met 139 pennen en hoeveel losse
pennen er dan over blijven (139 : 8; voorbeeldopgave 8);
• hoeveel busjes nodig zijn om 432 kinderen te vervoeren als er 15 personen in één busje
passen (432 : 15; voorbeeldopgave 11).

127

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 4-12 Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen

4

8	139 balpennen worden verpakt in doosjes. In één
doosje kunnen 8 balpennen.
Hoeveel doosjes zijn nodig?
Hoeveel pennen blijven er over?

9

Nodig:

doosjes

Over:

pennen

209 x 76 =

10
	Op het terras komen 38 rijen met steentjes te liggen.
In elke rij liggen 56 steentjes.
Hoeveel steentjes zijn dat in totaal?
			 steentjes

	Linde maakt nieuwe gordijnen. De stof kost € 14,95
per meter. Linde koopt 6 meter.
Hoeveel euro moet ze betalen?

5	Op een pont kunnen in één keer 23 auto’s vervoerd
worden.

€

	Hoeveel auto’s kan die pont hoogstens vervoeren als
hij 56 keer oversteekt?
11	432 kinderen worden vervoerd in busjes voor
			 auto’s

15 personen.
Hoeveel busjes zijn nodig?

6

			 busjes

12	In groep 8 zitten 24 kinderen. Voor het schoolkamp
moet elk kind € 37,50 betalen.
	Hoeveel moet de meester van alle kinderen samen
	De Meibloem heeft 32 nieuwe geschiedenisboeken

ontvangen?

gekocht.
Hoeveel is de prijs per boek?
€

7	Gerard koopt een nieuwe fiets voor € 872,-. Hij mag
deze fiets in vier keer betalen. Elke keer een kwart.
Wat moet Gerard per keer betalen?
€

128

PPON

€

De percentiel-75 leerling beheerst de eerste negen voorbeeldopgaven goed, voorbeeldopgave
10 en 11 redelijk goed en voorbeeldopgaven 12 tot en met 19 matig. De eerste twaalf
voorbeeld­opgaven zijn hierboven besproken. In voorbeeldopgave 13 moeten leerlingen
berekenen hoeveel emmers verf van 16 m2 nodig zijn voor het schilderen van een muur van
1536 m2. In deze voorbeeldopgaven moeten leerlingen dus 1536 delen door 16. Deze voorbeeld­
opgave lijkt qua getalkeuze op voorbeeldopgave 19 waarin leerlingen moeten berekenen
hoeveel de moeder van Jos en Mia per keer moet betalen voor de muziekles als zij het totale
bedrag van 1470 euro in 12 delen betaalt. Hierbij gaat het dus om de deling 1470 : 12. Voor deze
leerlingen is voorbeeldopgave 13 gemakkelijker dan voorbeeldopgave 19, maar beide opgaven
worden matig beheerst. Daarnaast beheersen deze leerlingen ook voorbeeldopgave 16, waarin
leerlingen gevraagd wordt 57 te delen door 7 en af te ronden op 2 cijfers achter de komma,
matig. De percentiel-75 leerling heeft een matige beheersing van kale vermenigvuldigingen
zoals 99 x 99 (voorbeeldopgave 14), 42 x 55 (voorbeeldopgave 15) en 0,18 x 750 (voorbeeld­
opgave 18). 44% van de leerlingen die opgave 18 heeft gemaakt heeft het correcte antwoord
135 gegeven. 4% van de leerlingen geeft als antwoord 135 000. Deze leerlingen hebben
18 x 750 uitgerekend. Eveneens 4% van de leerlingen geeft het antwoord 1350.
Voorbeeldopgaven 13-19 Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen

13

16 Rond je uitkomst af op 2 cijfers achter de komma.

57 : 7 =

17

Hoeveel moet Sven voor de bananen betalen?
Voor 16 m2 is 1 emmer verf nodig.
	Hoeveel emmers verf zijn dan voor de hele

€

muurschildering nodig?

14

0,18 x 750 =

			 emmers

18

99 x 99 =

19	Jos en zijn zus Mia zitten op muziekles. Hun moeder
moet hiervoor in totaal 1470 euro per jaar betalen.

15

42 x 52 =

Ze betaalt dit bedrag in 12 gelijke delen.
Hoeveel euro betaalt hun moeder per deel?
€

De percentiel-90 leerling heeft een goede beheersing van de eerste zeventien voorbeeld­
opgaven en een redelijk tot matige beheersing van de overige voorbeeldopgaven. Voorbeeld­
opgaven 20 tot en met 23 zijn allen deelopgaven in context. In voorbeeldopgave 20 moeten

129

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

leerlingen 16 300 delen door het aantal kisten per wagon (420) om te berekenen hoeveel
treinwagons er nodig zijn om de 16 300 kisten te vervoeren. Deze voorbeeldopgave wordt door
deze leerlingen matig beheerst. Dit geldt ook voor voorbeeldopgave 21 waarin leerlingen
moeten berekenen hoeveel bossen van 40 Leonie kan maken van 2500 tulpen (2500 : 40). 41%
van de leerlingen die deze opgave hebben gemaakt kiest voor het correcte antwoord 62. 14%
van de leerlingen geeft als antwoord 62,5. Deze leerlingen hebben de opgave correct
uitgerekend, maar geen antwoord gegeven op de vraag hoeveel bossen Leonie kan maken.
Percentiel 90-leerlingen hebben daarnaast een matige beheersing van voorbeeldopgave 22
waarin leerlingen gevraagd wordt te berekenen hoeveel stukken touw van 2,75 meter de juf kan
halen uit een bol touw van 80 meter (80 : 2,75) en van voorbeeldopgave 23 waarin leerlingen de
waarde van één trouwring moeten berekenen door de totale waarde (€ 11 585) te delen door
het aantal ringen (14). Voorbeeldopgave 24 is de moeilijkste voorbeeldopgave van deze schaal.
Leerlingen moeten in deze voorbeeldopgave eerst bepalen welke getallen nodig zijn om
uitrekenen hoeveel kilometer de wielrenners in totaal moesten fietsen; het aantal wielrenners
(170) en het aantal landen (25) zijn overbodige getallen in deze voorbeeldopgave. Vervolgens
moeten de leerlingen de daadwerkelijke berekeningen uitvoeren door het aantal rondjes (17) te
vermenigvuldigen met de afstand van één rondje (14,2km). De percentiel-90 leerling beheerst
deze opgave matig.
Voorbeeldopgave 20-24 Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen

20

22	De juf heeft voor de handenarbeidles stukken touw
van 2,75 meter nodig. Ze heeft een bol touw van
80 meter.

	16 300 kisten met sinaasappelen worden met de trein

	Hoeveel stukken touw van 2,75 meter kan ze daar in
totaal uithalen?

vervoerd.
Hoeveel van deze treinwagons zijn nodig?

			 stukken
			 treinwagons
23
21

Leonie heeft 2500 tulpen.

Hoeveel is de waarde van één ring?

Ze maakt daarvan steeds bossen van 40 tulpen.
Hoeveel bossen van 40 tulpen kan zij in totaal maken?
			 bossen

130

PPON

€

24	Aan het wereldkampioenschap op de weg voor
professionals deden 170 wielrenners uit 25 landen
mee. De wielrenners moesten 17 rondjes van 14,2 km
afleggen.
	Hoeveel kilometers moesten de wielrenners in totaal
fietsen?
			 km

Verschillen tussen 2011 en 2004
Net als bij het onderwerp Bewerkingen: optellen en aftrekken is geen verdere achteruitgang ten
opzichte van 2004 geobserveerd, zoals wel te zien was tussen 1997 en 2004. Het vaardigheids­
niveau van de leerlingen dat in de huidige peiling is gemeten, is ten opzichte van 1997 ongeveer
gelijk gebleven. Het niveau dat in 2004 door 75% van de leerlingen beheerst werd, verschilt
nauwelijks van 2011, namelijk 76%. Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen is
behaald, wordt in 2011 door 51% behaald.
Verschillen tussen leerlingen
De posities van de vaardigheidsverdelingen van de 0.0-, 0.3- en de 1.2-leerling liggen ongeveer
even ver van elkaar verwijderd. Een gemiddelde 0.0-leerling functioneert ongeveer gelijk aan
een gemiddelde leerling uit de gehele populatie. Een gemiddelde 1.2-leerling functioneert
ongeveer als een percentiel-25 leerling en een gemiddelde 0.3-leerling zit daar precies tussen in.
Het vaardigheidsniveau van meisjes ligt iets hoger dan dat van jongens, dit komt overeen met
het resultaat uit eerdere peilingen.
De opgaven van dit onderwerp zijn voor leerlingen van alle doorstroomniveaus betrekkelijk
moeilijk. Voor de gemiddelde BB-leerling zijn alle voorbeeldopgaven te moeilijk. De gemiddelde
GT- en havo-leerling beheersen geen voorbeeldopgaven goed en respectievelijk negen en
veertien voorbeeldopgaven matig. Een gemiddelde vwo-leerling beheerst de eerste negen
voorbeeld­opgaven goed, twaalf opgaven matig en de rest nog niet.

131

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Tabel 4.26	Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Bewerkingen:
vermenigvuldigen en delen
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

249

51

2011

250

50

0.0

254

49

0.3

233

50

1.2

217

50

Jongens

247

50

Meisjes

253

50

BB

169

38

KB

212

38

GT

236

37

havo

263

37

vwo

293

37

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 4.27	Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking
tot 2011
2004

2011

75%

76%

50%

51%

Tabel 4.28	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen
Opgaven die de gemiddelde leerling:
Doorstroomkenmerk

132

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

-

-

1 tot en met 24

KB

-

1 en 3

2, 4 tot en met 24

GT

-

1 tot en met 5, 7 tot en met 10

6, 11 tot en met 24

havo

1

1 tot en met 12, 17

13 tot en met 16, 18 tot en met 24

vwo

1 tot en met 9

10 tot en met 19, 21, 24

20, 22 en 23

PPON

Individuele opgaven1
Het doel van dit deelonderzoek is om inzicht te krijgen in het strategiegebruik van leerlingen in
groep 8 bij deel- en vermenigvuldigopgaven. Van vijf opgaven zijn door middel van mondelinge
individuele afnames oplossingsprocedures verzameld. Per opgave is onderzocht welke
strategieën leerlingen gebruiken om de opgave op te lossen en of het succespercentage per
strategie verschilt.
Aan elke leerkracht is gevraagd een goede, een gemiddelde en een zwakke rekenaar te
selecteren. De drie leerlingen hebben de opgaven individueel in het bijzijn van een testleider
gemaakt. De vijf opgaven zijn gekozen omdat uit vooronderzoek bleek dat ze veel verschillende
oplossingsstrategieën uitlokken. Drie van deze opgaven zijn deelopgaven, twee zijn
vermenigvuldigopgaven.
De afgenomen opgaven

Opgave A

Opgave C

24 tennisballen voor € 36

Drie kinderen verdelen € 23,70 eerlijk.
Hoeveel euro krijgt ieder?
€

Hoeveel euro is dat per tennisbal?

Opgave D

€

24 x 19 =

Opgave B

Opgave E

Jozien belt voor € 0,15 per minuut met haar
mobiele telefoon.

Juf Mirjam koopt voor school 5 laptops.

Hoeveel minuten heeft ze gebeld?

Hoeveel moet ze betalen?

________ minuten

€

1 Zie voor een uitgebreidere rapportage van dit onderzoek Fagginger Auer & Scheltens (2012).

133

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

134

PPON

21

22

23

24

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

135

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen
-

Vermenigvuldigopgave in de context met daarin meerdere getallen die kunnen afleiden (opgave 24)
Deelopgave met grote getallen als 11 585 : 14 waarbij het antwoord een getal is (opgave 23)
Deelopgave waarbij een geheel getal gedeeld moet worden door een kommagetal, als 80 : 2,75 (opgave 22)
Deelopgave in context met grote getallen en rest, als 2500 : 40 (opgave 21)
Moeilijke deelopgave waarbij bepaald moet worden hoeveel wagons nodig zijn voor 16 300 kisten wanneer er 420 kisten in een wagon kunnen (opgave 20)

-

Deelopgave in context waarbij het antwoord in een kommagetal gegeven moet worden, als 1470 : 12 (opgave 19)

-

Vermenigvuldigopgave zonder context waarbij een kommagetal vermenigvuldigd moet worden met een 3-cijferig getal, zoals 0,18 x 750 (opgave 18)

-

Deelopgave waarbij het antwoord op twee cijfers achter de komma gegeven moet worden (opgave 16)
Vermenigvuldigopgave zonder context als 99 x 99 (opgave 14)
Deelopgave in de context, als 1536:16 (opgave 13)

-

Vermenigvuldigopgave als 24 x 37,50, waarbij een geheel getal met een kommagetal vermenigvuldigd moet worden (opgave 12)
Deelopgave met rest waarbij berekend moet worden hoeveel busjes nodig zijn wanneer 432 kinderen vervoerd moeten worden in busjes voor 15 personen (opgave 11)

-

Vermenigvuldigopgave zonder context van een 3-cijferig getal met een 2-cijferig getal, als 209 x 76 (opgave 9)
Deelopgave met rest in context, als 139 : 8 (opgave 8)
Deelopgave zonder rest in context, als 736 : 12 (opgave 6) en 872 : 4 (opgave 7)
Vermenigvuldigopgave in context, met twee 2-cijferige getallen, als 38 x 56 (opgave 4) en 23 x 56 (opgave 5)

-

Deelopgave in geldcontext zonder rest als 157,50 : 7,50 (opgave 2)

-

Kale vermenigvuldigopgave, als 6 x 192 (opgave 3)

-

Vermenigvuldigopgave in een context, als 9 x 48, die opgelost kan worden met een hoofdrekenstrategie (opgave 1)
© Cito

10

In dit schema zijn de slecht discriminerende opgaven 10, 15 en 17 niet meegenomen.

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

136

PPON

Alle opgaven zijn afgenomen bij 329 leerlingen. Het percentage goed van deze opgaven is
respectievelijk 72,3, 73,6, 76,0, 72,9 en 81,5, zie tabel 4.30.
Bij alle vijf de opgaven is geanalyseerd op welke wijze de leerlingen tot het antwoord zijn
gekomen. Hierbij is onderscheid gemaakt tussen het cijferalgoritme, de kolomsgewijze
methode, een aanpak zonder algoritmisch schema en gebruikmaken van compenseren,
halveren/verdubbelen, herhaald optellen, verkeerde bewerking of foutief splitsen. Bij de aanpak
zonder algoritmisch schema werd vaak op dezelfde wijze gerekend als bij de kolomsgewijze
methode, maar werden slechts tussenuitkomsten genoteerd. Zie tabel 4.29 voor voorbeelden
van deze strategieën.
In tabel 4.29 wordt het percentage gebruik van strategieën binnen elke opgave en binnen de
bewerkingen delen en vermenigvuldigen weergegeven. Tabel 4.30 laat de percentages goede
antwoorden binnen elke opgave en binnen de twee bewerkingen zien.
Zoals af te lezen is uit tabel 4.29 werd bij bijvoorbeeld de deelopgave A door 29,5% van de
leerlingen gebruikgemaakt van de kolomsgewijze methode, bij deelopgave B is dit 30,2% en bij
deelopgave C 31,8%. Verschillen tussen de opgaven wat betreft succespercentages van
verschillende strategieën (zie tabel 4.30) moeten met voorzichtigheid geïnterpreteerd worden,
aangezien het succespercentage niet alleen samenhangt met de strategie, maar ook met de
kenmerken van de opgave, zoals de moeilijkheid. De percentages goede antwoorden verschillen
tussen de opgaven. Bij opgave A is bijvoorbeeld de strategie zonder algoritmisch schema het
meest succesvol, 92,2% en bij opgave C is de meest succesvolle strategie het cijferalgoritme,
88,9%. Het cijferalgoritme werd bij de deelopgaven minder vaak gebruikt, dan de koloms­
gewijze methode en de methode zonder algoritmisch schema (14,3% tot 20,3%). Wanneer het
cijferalgoritme wordt toegepast varieert het succespercentage tussen de 75,5% en 88,9%.
Wanneer de opgave zich leent om een compensatiestrategie te gebruiken, zoals opgave B en C
wordt deze strategie regelmatig ingezet (7,5 tot 10,9%). Bij opgave B is deze strategie
succesvoller (95,8%), dan bij opgave C (70,6%).

137

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeelden van de strategieën
Strategiecategorie

Cijferalgoritme

Bewerking
delen

vermenigvuldigen

(C)

(D)

3/23,70\7,90
21-

19 x

27

216

27

240 +

00
Kolomsgewijze methode

24

3

456

(C)

(D)

3/2370

24

2100|700

19 x

270

36

270|90

180

790→7,90

40
200 +
456

Zonder algoritmisch schema
Compenseren
Halveren/ verdubbelen

(C)

(D)

7 x en 0,9 x

240 + 180 + 36 = 456

(C)

(D)

24 : 3 = 8, ieder 10 cent te veel → 7,90

24 x 20 = 480 → 480 – 24 = 456

(A)

(E)

24 voor 36

10 x is 7495

12 voor 18

5 x is 3747,50

6 voor 9
3 voor 4,50
1 voor 1,50
Herhaald optellen

Gevarieerd

(C)

(E)

3

749,50

6

749,50

9

749,50

12

749,50

15

749,50 +

18

3797,50

21
→ 7 x, dan nog 2,70 → 0,9 x
Verkeerde bewerking

(A)

Niet waargenomen

24

2

36 x
144
720 +
864
Fout splitsen

(C)
23,70 : 2 = 11,75
11,75 : 1 = 11,75

138

PPON

n.v.t.

Tabel 4.29	Het percentage gebruik van strategieën binnen elke opgave en binnen de
bewerkingen delen en vermenigvuldigen als totaal
Opgaven
vermenigvuldigen

B

C

D

E

delen

vuldigen

A

delen

Bewerking

vermenig-

Strategiecategorie

Cijferalgoritme

16,4

14,4

20,3

37,8

39,8

17,0

Kolomsgewijze methode

29,5

30,2

31,8

5,5

4,8

30,5

5,2

Zonder algoritmisch schema

30,1

35,2

32,2

32,0

6,7

32,6

19,3

Gevarieerd Compenseren

38,8

-

7,5

10,9

23,8

28,0

6,3

25,9

6,8

0,6

-

0,3

4,9

2,4

2,6

Herhaald optellen

-

4,4

0,3

-

15,2

1,6

7,6

Verkeerde bewerking

3,1

2,5

-

-

-

1,8

-

Fout splitsen

0,7

0,3

0,6

n.v.t

n.v.t.

0,5

n.v.t.

Ander of uitwerking niet codeerbaar

13,4

4,9

3,9

0,6

0,6

4,2

0,6

Halveren/ verdubbelen

Tabel 4.30	De percentages goede antwoorden binnen elke opgave en binnen de bewerkingen
delen en vermenigvuldigen als totaal
Opgaven

B

C

D

E

delen

vuldigen

vermenigvuldigen

A

delen

Bewerking

vermenig-

Strategiecategorie

Cijferalgoritme

75,5

76,1

88,9

83,9

91,6

81,0

87,8

Kolomsgewijze methode

79,6

79,4

82,2

77,8

81,3*

80,4

79,4

Zonder algoritmisch schema

92,2

79,3

82,2

60,0

100,0

84,0

66,9

-

95,8

70,6

74,4

68,5

81,0

71,2

Gevarieerd Compenseren

62,5*

100,0*

-

100,0*

68,8*

65,4*

70,6*

Herhaald optellen

Halveren/ verdubbelen

-

23,*5

0,0*

-

78,0

22,2*

78,0

Verkeerde bewerking

0,0*

0,0*

-

-

-

0,0*

n.v.t

Fout splitsen

0,0*

0,0*

0,0*

n.v.t

n.v.t

0,0*

Ander of uitwerking niet codeerbaar

70,8

75,0*

16,0*

0,0*

0,0*

40,4*

0,0*

Totaal percentage goed

72,3

73,6

76,0

72,9

81,5

74,0

77,2

*gebaseerd op zeer klein aantal waarnemingen (<5%, )

Bij de vermenigvuldigopgaven D en E was het cijferalgoritme de meest gebruikte strategie.
De kolomsgewijze methode werd door ongeveer 1 op de 20 leerlingen toegepast (5,5% en 4,9%).
De kolomsgewijze methode werd bij opgave D door 77,8% van de leerlingen succesvol
uitgevoerd, bij opgave E was dit 81,2%. Omdat slechts 4,8% van de leerlingen bij opgave E deze
strategie gebruikt heeft, moeten deze resultaten met voorzichtigheid geïnterpreteerd worden.
Opgave D werd vaker dan opgave E zonder algoritmisch schema opgelost (respectievelijk 32,0%
en 6,7%). Bij opgave E was deze strategie bij alle leerlingen succesvol, tegenover 60% bij opgave
D. Bij opgave D werd de strategie herhaald optellen niet ingezet, terwijl 15,2% van de leerlingen
deze strategie gebruikte bij opgave E. Deze strategie leidt bij 78% van de leerlingen tot het
goede antwoord. Zowel opgave D als E leenden zich om een compensatiestrategie toe te passen,

139

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

dit werd door respectievelijk 23,8% en 28,0% van de leerlingen gedaan. Compenseren is bij
opgave D in 74,4% van de oplossingen succesvol en bij opgave E bij 68,5%. De leerlingen die
niet succesvol zijn met compenseren, compenseren vaak het verkeerde getal. Bij opgave D
bijvoorbeeld, maken leerlingen regelmatig de fout: 24 x 19 = 24 x 20 – 19 = 461. Een enkele keer
compenseert een leerling op dezelfde wijze als bij optellen: 24 x 19 = 23 x 20 = 460.
In de laatste twee kolommen van tabel 4.29 en 4.30 is het strategiegebruik van de deel- en
vermenigvuldigopgaven bij elkaar genomen. Wanneer deel- en vermenigvuldigopgaven met
elkaar vergeleken worden, zien we dat de vermenigvuldigopgaven gemakkelijker zijn dan de
deelopgaven. Het cijferalgoritme wordt minder vaak ingezet bij delen dan bij vermenigvuldigen
(respectievelijk 17,0% en 38,8%), de kolomsgewijze methode wordt meer ingezet bij deel­
opgaven dan bij vermenigvuldigopgaven (30,5% versus 5,2%). Het cijfer­algoritme leidt bij 81,0%
van de deelopgaven tot een goed antwoord, bij vermenigvuldigen ligt dit percentage hoger,
87,8%. De kolomsgewijze methode is bij 80,4% van de deelopgaven succesvol. Deze methode
is bij vermenigvuldigen minder succesvol (79,4%). Bij vermenigvuldigen wordt meer
gebruikgemaakt van compenseren dan bij delen (25,9% versus 6,3%). Compenseren is bij
vermenigvuldigen minder succesvol dan bij delen (71,2% versus 81,0%).
Uit bovenstaande valt te concluderen dat leerlingen naast het cijferalgoritme en het koloms­
gewijze algoritme ook gebruikmaken van handige strategieën, wanneer de opgave zich hiervoor
leent. De succespercentages blijken te verschillen tussen strategieën, maar omdat de opgaven
erg van elkaar afwijken en sommige strategieën weinig gebruikt worden zijn aan het succes­
percentage geen overkoepelende conclusies te verbinden.
Het verschil in gebruik van het cijferalgoritme bij vermenigvuldigen en delen is te verklaren
vanuit het methodeaanbod. In de meeste methodes wordt het cijferalgoritme voor delen niet
aangeboden, het eindpunt van de methode is de kolomsgewijze aanpak.

4.9

Bewerkingen: toepassingen

Inhoud
De opgaven bij het onderwerp Bewerkingen: toepassingen zijn allemaal contextopgaven.
De gegevens worden in een tekst, een tabel of schema aangeboden. De leerling moet bij deze
opgaven meerdere getalsmatige gegevens met elkaar in verband brengen en relevante
gegevens uit de context of uit de afbeelding afleiden. De voorgelegde problemen doen een
beroep op het gecombineerde gebruik van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
Bij de opgaven gaat het naast het berekenen ook om de keuze van de relevante bewerkingen.
Bij een aantal opgaven is afronden noodzakelijk. Daarnaast zijn er opgaven waarbij het
gemiddelde uitgerekend moet worden.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling en de percentiel-25 leerling beheersen geen van de voorbeeldopgaven
goed en voorbeeldopgave 1 matig. In de eerste voorbeeldopgave moeten leerlingen berekenen
hoeveel 100 vulpennen, 100 potloden en 100 gummen samen kosten. Eén vulpen kost € 2,95,
één potlood kost € 0,25 en één gum kost € 0,20.

140

PPON

Voorbeeldopgave 1 Bewerkingen: toepassingen

1

	De meester bestelt voor school 100 vulpennen,
100 potloden en 100 gummen.
Hoeveel kost dat in totaal?
€

De gemiddelde leerling heeft een redelijk goede beheersing van voorbeeldopgave 1.
Voorbeeldopgaven 2, 4 en 6 tot en met 8 worden matig beheerst. In voorbeeldopgave 2 moeten
leerlingen het aantal bladzijden van vier Harry Potterboeken bij elkaar optellen. Vervolgens
moeten ze het aantal bladzijden van de vier delen van het totaal afhalen om te berekenen
hoeveel bladzijden het overgebleven vijfde deel heeft. De gemiddelde leerling beheerst deze
voorbeeldopgave matig. In voorbeeldopgave 3 moeten leerlingen berekenen hoeveel 16 deel van
186 + 216 is. Deze voorbeeldopgave wordt door de gemiddelde leerling nog niet beheerst.
Voorbeeldopgave 4 (45 x 15 x 2) wordt door deze leerlingen matig beheerst. Voorbeeldopgave 5
is ook nog te moeilijk voor deze leerlingen. In deze voorbeeldopgave moeten leerlingen
uitrekenen hoeveel mensen een stoomtreintje maximaal per dag kan vervoeren als het
stoomtreintje 4 keer per uur van 9.00 tot 18.00 uur rijdt en per keer 75 mensen kan vervoeren
(9 uur x 4 x 75). Voorbeeldopgaven 6 tot en met 8 worden door de gemiddelde leerling matig
beheerst. In deze opgaven moeten leerlingen berekenen:
• hoeveel 4 patat met, 2 patat zonder en 12 kroketten samen kosten (voorbeeldopgave 6);
• hoeveel de appels kosten op basis van het totaalbedrag en de bedragen van de overige
boodschappen (voorbeeldopgave 7);
• hoeveel de nieuwe motor van Bram kost wanneer hij 3250 en 500 euro korting krijgt
(voorbeeldopgave 8).
59% van de leerlingen die opgave 8 gemaakt hebben komt tot het antwoord 9200. 15% van de
leerlingen neemt de korting die in de tekening verwerkt is niet mee, deze leerlingen geven als
antwoord 9700.

141

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 2-8 Bewerkingen: toepassingen

2

6

KROKET

€ 1,25

PATAT

€ 1,50

PATAT MET € 0,50 EXTRA
Pieter haalt:
4 patat met
2 patat zonder

	Hierboven zie je hoeveel bladzijdes de eerste vijf delen

12 kroketten

van de Harry Potter boeken hebben.
Hoeveel bladzijdes heeft De vuurbeker?

Hoeveel moet hij betalen?
			 bladzijdes
€
3
7

	Op de maan weegt alles ongeveer 16 deel van het
gewicht op aarde.

	Hoeveel weegt de astronaut met zijn wagentje dan
op de maan?

Wat is de prijs van de appels?

			 kg

€

4

8

45 zakjes
met

15
knikkers

45 zakjes
met

15
knikkers

Hoeveel knikkers zitten in deze 2 dozen samen?
	Bram koopt deze motor in de aanbieding. Hij krijgt
			 knikkers
5	Een stoomtreintje maakt vier keer per uur een rondrit.
Iedere keer kunnen er 75 mensen in. Hij rijdt van

ook € 3250,- extra korting omdat hij zijn oude motor
inruilt.
Hoeveel euro moet hij dan nog betalen?

9.00 uur tot 18.00 uur.
	Hoeveel mensen kan dat treintje maximaal vervoeren
per dag?
			 mensen

142

PPON

€

De percentiel-75 leerling beheerst de eerste drie voorbeeldopgaven goed, voorbeeldopgaven 4
tot en met 8 redelijk goed en voorbeeldopgaven 9 tot en met 14 matig. Deze leerlingen hebben
een matige beheersing van voorbeeldopgave 9 waarin ze moeten berekenen hoeveel liter
benzine over is als een auto die 1 op 15 km rijdt 270 km heeft gereden. Het berekenen van het
gemiddelde, zoals de prijs per koe (voorbeeldopgave 10) of het aantal bezoekers per dag
(voorbeeldopgave 14) wordt door de percentiel-75 leerling matig beheerst. In voorbeeldopgave
11 moeten leerlingen uitrekenen hoeveel rollen vliegerpapier van 7 meter de leraar moet kopen
om voor 23 leerlingen één vlieger te maken als voor een vlieger 1,75 meter vliegerpapier nodig
is. 49% van de leerlingen die deze opgave gemaakt heeft, geeft het antwoord 6, het correcte
antwoord. 11% van de leerlingen geeft het antwoord 4 en 10% van de leerlingen geeft het
antwoord 5.
Ook het berekenen van het totaalbedrag voor 400 broodjes van 32 cent en 500 bekertjes koffie
van 24 cent (voorbeeldopgave 12) wordt door deze leerlingen matig beheerst. Ook voorbeeld­
opgave 13 wordt matig beheerst. In deze voorbeeldopgave moeten leerlingen berekenen
hoeveel meneer Steenberg moet betalen voor 40 bewaardozen die per 5 stuks voor € 8,49
worden verkocht.
Voorbeeldopgaven 9-13 Bewerkingen: toepassingen

9

In de tank zit 30 liter benzine.

12	Wilbert verkoopt koffie en broodjes. Hij verkocht

De auto verbruikt 1 liter op 15 km.
	Hoeveel liter zal er nog in de tank zitten als er 270 km

maandag 400 broodjes en 500 bekertjes koffie.
	Op de broodjes verdient hij 32 cent per stuk en op de

is gereden?

koffie 24 cent per bekertje.
Hoeveel verdiende Wilbert in totaal?

			 liter
€
10

€ 2100
€ 2350
€ 2650
€ 2700
€ 2950

13

Per 5 stuks

8.49

	Boer Jongsma heeft 5 koeien gekocht. Hierboven zie
je de prijzen die hij heeft betaald.
	Hoeveel heeft boer Jongsma gemiddeld per koe
betaald?
€

verhuis- en bewaardozen
32 x 48 x 36 cm
Meneer Steenberg koopt 40 dozen.
Hoeveel moet hij betalen?

11	23 leerlingen van groep 8 gaan ieder een vlieger

€

maken.
Voor één vlieger is 1,75 m vliegerpapier nodig.
Dit papier zit op rollen van 7 m.
Hoeveel rollen moet de leraar kopen?
			 rollen

143

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De percentiel-90 leerling heeft een goede beheersing van voorbeeldopgaven 1 tot en met 8, de
voorbeeldopgaven 9 tot en met 12 worden redelijk goed beheerst. De voorbeeldopgaven 13 tot
en met 15 worden matig beheerst. In voorbeeldopgave 15 moeten leerlingen uitrekenen
hoeveel moeder voor 6 flessen Fris & Fruit moet betalen. 3 flessen kosten € 2,69 en voor elke fles
moet € 0,25 statiegeld betaald worden.
Voorbeeldopgaven 14 en 15 Bewerkingen: toepassingen

14 Bezoekersaantallen tentoonstelling
dagen

aantallen bezoekers

di.

2306

wo.

1943

ma.

15

1756

do.

844

vr.

2406

Wat was het gemiddelde aantal bezoekers per dag?

	Moeder koopt 6 flessen FRIS & FRUIT. Voor elke fles
moet ze ook nog € 0,25 statiegeld betalen.
Hoeveel moet zij in totaal betalen?

			 bezoekers
€

Verschillen tussen 2011 en 2004
In 2004 is een duidelijke afname van het prestatieniveau op dit onderwerp ten opzichte van
1997 waargenomen. In deze peiling is een licht herstel van deze afname geconstateerd; er is
enige vooruitgang ten opzichte van 2004. Het niveau dat in 2004 door 75% van de leerlingen
beheerst werd, wordt in 2011 door een groter percentage van de leerlingen beheerst, namelijk
80%. Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen werd behaald, wordt in 2011 door 56%
behaald.
Verschillen tussen leerlingen
De posities van de vaardigheidsverdelingen van de 0.3-leerling en 1.2-leerling liggen dicht bij
elkaar. Het vaardigheidsniveau van de 0.3-leerling ligt enigszins hoger dan het vaardigheids­
niveau van de 1.2-leerling. De afstand tot de 0.0-leerling is tamelijk groot. De gemiddelde
1.2-leerling functioneert op hetzelfde niveau als een percentiel-25 leerling uit de gehele
populatie, een gemiddelde 0.0-leerling functioneert ongeveer op hetzelfde niveau als een
gemiddelde leerling uit de gehele populatie.
In 1997 zagen we dat de prestaties van jongens op dit onderwerp iets hoger waren dan die van
meisjes, in 2004 was dit andersom. In deze peiling is geen verschil tussen jongens en meisjes
waargenomen.
De opgaven zijn voor leerlingen van alle doorstroomniveaus lastig. De gemiddelde leerling
met vwo-doorstroomniveau beheerst slechts de eerste twee voorbeeldopgaven goed.
Een gemiddelde BB-leerling functioneert op het niveau van de percentiel-10 leerling.
Deze leerling beheerst geen van deze opgaven.

144

PPON

Tabel 4.31	Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Bewerkingen:
toepassingen
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

243

51

2011

250

50

0.0

255

48

0.3

223

50

1.2

216

50

Jongens

251

50

Meisjes

249

50

BB

181

37

KB

202

36

GT

229

36

havo

267

36

vwo

293

36

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 4.32 Bewerkingen: toepassingen: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011
2004

2011

75%

80%

50%

56%

Tabel 4.33	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Bewerkingen: toepassingen
Opgaven die de gemiddelde leerling:

145

Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

1 tot en met 15

BB

-

-

KB

-

1

2 tot en met 15

GT

-

1 en 2

3 tot en met 15

havo

-

1 tot en met 8, 13

12, 14 en 15

vwo

1 en 2

3 tot en met 15

-

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Bewerkingen: toepassingen

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

146

PPON

12

13

14

15

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

147

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

4.10

Rekenmachine

Inhoud
In de kerndoelen voor het basisonderwijs wordt aangegeven dat het onderwijs in rekenenwiskunde erop gericht is dat leerlingen de rekenmachine met inzicht kunnen gebruiken en dat
zij breuken in decimale breuken kunnen omzetten met behulp van een rekenmachine.
De opgaven bij het onderwerp Rekenmachine sluiten daar bij aan. Het zijn bijna allemaal
contextopgaven. Naast enkele opgaven die ook bij Bewerkingen: optellen en aftrekken,
Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen en Bewerkingen: toepassingen voorkomen, zijn ook
opgaven opgenomen met iets complexere situaties waarin met realistische getallen gewerkt
wordt. De rekenmachine kan het rekenwerk uitvoeren, nadat de leerling heeft vastgesteld welke
bewerking uitgevoerd moet worden om tot het goede antwoord te komen. In een aantal
opgaven is de keuze van de bewerking moeilijker omdat de getallen geen aanwijzing geven over
welke bewerking uitgevoerd moet worden. Bij enkele vermenigvuldig- en deelopgaven gaat het
om het afronden van de uitkomst op een bepaald aantal cijfers achter de komma. Bij delingen
kan de interpretatie van de rest een apart probleem vormen. De rest verschijnt op de reken­
machine namelijk niet als ‘rest’, maar als een deel van het getal achter de komma. Daarnaast
zijn er opdrachten waarbij gevraagd wordt een percentage van een bedrag uit te rekenen en een
breuk met behulp van de rekenmachine om te zetten in een kommagetal.
Bij de gemakkelijkste opgaven hoeven de leerlingen alleen maar de uitkomst van de optelling
van het afleesvenster van de rekenmachine over te nemen. Bij een aantal opgaven moet de
leerling voor het uitvoeren van de bewerking of het juist weergeven van de uitkomst de getallen
omzetten.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst geen van de voorbeeldopgaven goed. Voorbeeldopgaven 1
tot en met 3 worden door deze leerlingen matig beheerst. In de eerste voorbeeldopgave moeten
leerlingen berekenen hoeveel Bram voor zijn motor moet betalen door € 3250 en € 500 af te
trekken van € 12950. Deze opgave is ook afgenomen zonder rekenmachine, bij het onderwerp
Bewerkingen: toepassingen. Wanneer deze opgave gemaakt wordt zonder rekenmachine heeft
57% van de leerlingen het antwoord correct. Met rekenmachine is dit percentage 83%.
Het antwoord 9700 komt zonder rekenmachine vaker voor dan met rekenmachine,
respectievelijk 15% en 8%. Daarin is de korting die in het plaatje staat niet meegenomen.
De tweede voorbeeldopgave wordt ook matig beheerst. In deze opgave moeten leerlingen 57
delen door 7 en de uitkomst afronden op twee cijfers achter de komma. Het berekenen van het
totale aantal knikkers van 2 dozen met 45 zakjes van 15 knikkers wordt door de percentiel-10
leerling matig beheerst (voorbeeldopgave 3). Ook deze opgave is afgenomen zonder reken­
machine, bij het onderwerp Bewerkingen: toepassingen. Wanneer deze opgave gemaakt wordt
zonder rekenmachine heeft 55% van de leerlingen het antwoord correct, met rekenmachine is
dit percentage hoger, namelijk 79%. Zowel zonder als met rekenmachine geeft 7% van de
leerlingen geeft het antwoord 90. Deze leerlingen hebben alleen het aantal zakjes in de 2 dozen
berekend. 4% van de leerlingen komt tot het antwoord 2700.

148

PPON

Voorbeeldopgaven 1-3 Rekenmachine

1

2

Rond je uitkomst af op 2 cijfers achter de komma.

57 : 7 =

3

45 zakjes

45 zakjes

met

	Bram koopt deze motor in de aanbieding. Hij krijgt

met

15

ook € 3250,- extra korting omdat hij zijn oude motor

15

knikkers

knikkers

inruilt.
Hoeveel euro moet hij dan nog betalen?

Hoeveel knikkers zitten in deze 2 dozen samen?

€

			 knikkers

De percentiel-25 leerling beheerst de eerste drie voorbeeldopgaven redelijk. Voorbeeldopgaven
5 en 7 worden door deze leerlingen eveneens matig beheerst. Voorbeeldopgaven 4 en 6 zijn
voor deze leerlingen nog te moeilijk. Voorbeeldopgave 5 is een meerkeuzeopgave waarin
leerlingen gevraagd worden uit te rekenen hoeveel euro rente Liselot na een jaar krijgt als ze
€ 121,25 op haar spaarrekening heeft en 3,5% rente krijgt. Ook voorbeeldopgave 7 is een
meerkeuzeopgave. In deze voorbeeldopgave moeten leerlingen op basis van de kiloprijs (9,25)
en het gewicht van de kip (877 gram) berekenen hoeveel ze voor de kip moeten betalen.
In voorbeeldopgave 4 moeten leerlingen met de rekenmachine uitrekenen hoeveel 1 brief
ongeveer weegt als 329 brieven samen 5100 gram wegen. Leerlingen moeten hun antwoord op
hele grammen afronden. De percentiel-25 leerling beheerst deze opgave nog niet. Ook hebben
deze leerlingen nog geen beheersing van voorbeeldopgave 6. In die voorbeeldopgave worden
leerlingen gevraagd te berekenen hoeveel euro vader van zijn € 100 over houdt als hij zo veel
mogelijk struiken van € 5,75 per stuk koopt.
Voorbeeldopgaven 4-7 Rekenmachine

4	Een stapel van 319 brieven met reclamedrukwerk

5	Liselot heeft € 121,25 op haar spaarrekening. Ze krijgt
3,5% rente per jaar.

weegt 5100 gram.
	Reken uit op je rekenmachine hoeveel een brief

Welk bedrag krijgt ze na een jaar aan rente?

weegt.
Rond je antwoord op hele grammen af
Een brief weegt ongeveer

149

A

€ 4,24			C

€ 0,35

B

€ 3464,29		

€ 42437,50

gram

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

D

7

6

€

	Vader wil van deze struiken een heg om de tuin.

Hoeveel moet je voor deze kip betalen?

Hij wil niet meer uitgeven dan 100 euro. Vader koopt
zoveel mogelijk struiken.

A

€ 0,95		

C

€ 10,55

Hoeveel geld houdt hij dan over?

B

€ 8,11		

D

€ 81,12

€

De gemiddelde leerling beheerst de eerste drie voorbeeldopgaven goed en de voorbeeld­
opgaven 4 en 5 redelijk. De voorbeeldopgaven 6 tot en met 11 worden door deze leerlingen
matig beheerst. Voorbeeldopgaven 1 tot en met 7 zijn hierboven besproken. Voorbeeldopgaven
8 tot en met 10 zijn meerkeuzeopgaven. In voorbeeldopgave 8 moeten leerlingen berekenen
hoeveel euro Jamai voor een laptop van € 1530 moet betalen als hij 15% korting krijgt.
In voorbeeldopgave 9 moeten leerlingen berekenen hoeveel flessen een machine in 6 uur en
30 minuten heeft gevuld (6,5 uur x 10 800 flessen per uur). Ze moeten hun antwoord afronden
op een honderdtal. Daarnaast wordt in voorbeeldopgave 10 gevraagd hoeveel de aardappels per
kilo kosten als 4,100 kg € 1,41 per kilo kost. Deze drie meerkeuzeopgaven worden door de
gemiddelde leerling matig beheerst. Ten slotte hebben deze leerlingen ook een matige
beheersing van voorbeeldopgave 11. In deze voorbeeldopgave wordt aan leerlingen gevraagd
hoeveel klein geld aan het einde van de dag in de kassa zit. Leerlingen moeten dus het aantal
munten vermenigvuldigen met hun waarde en deze vervolgens bij elkaar optellen.
Voorbeeldopgaven 8-11 Rekenmachine

9	Een machine vult 10 800 flessen per uur. Iedere dag

8

werkt de machine 6 uur en 30 minuten.
	Hoeveel flessen zijn er op een dag dan ongeveer
gevuld?
Rond af op een honderdtal.

	Jamai koopt deze computer. Hij krijgt een korting
van 15%.
Hoeveel moet hij betalen?

150

PPON

A

€ 229,50		

C

€ 1428,-

B

€ 1300,50		

D

€ 1528,98

A

1700		C

68 000

B

42 100		

70 200

D

10

11

Hoeveel euro kosten deze aardappelen per kg?
A

€ 0,03			C

€ 3,33

B

€ 0,30			D

€ 6,63

	Aan het eind van de dag telt Lia het kleingeld in de
kassa.
Hoeveel euro is dat in totaal?
€

De percentiel-75 leerling beheerst de eerste acht voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgaven
9 tot en met 12 redelijk tot matig. In voorbeeldopgave 12 moeten leerlingen berekenen hoeveel
liter benzine vader heeft getankt (€ 37,45 : € 1,59). De leerlingen wordt gevraagd om hun
antwoord af te ronden op één cijfer achter de komma. De percentiel-75 leerling beheerst dit
matig.
De percentiel-90 leerling beheerst voorbeeldopgave 1 tot en met 12 goed en voorbeeldopgave
13 matig. Voorbeeldopgaven 14 en 15 zijn zelfs voor deze leerlingen nog te uitdagend.
Voorbeeldopgave 13 wordt door deze leerlingen matig beheerst. De leerlingen moeten
berekenen hoeveel mensen in Nederland er gemiddeld per vierkante kilometer wonen (41 528
km2 : 16,5 miljoen mensen). Ze moeten hun antwoord afronden op een geheel getal. 18% van de
leerlingen die deze opgave gemaakt heeft, geeft het correcte antwoord 397. 15% geeft het
antwoord 2517. Deze leerlingen hebben de oppervlakte van Nederland 41 528 gedeeld door
16,5. Ook de 5% leerlingen die tot het antwoord 2516 kwamen hebben deze berekening
uitgevoerd; alleen hebben deze leerlingen niet naar boven afgerond. Voorbeeldopgaven 14 en
15 vallen buiten het vaardigheidsbereik van de percentiel-90 leerling. In deze voorbeeldopgaven
moeten leerlingen berekenen wat de waarde van één Amerikaanse dollar is (voorbeeldopgave 14)
en hoeveel rondjes elke leerling gemiddeld bij de sponsorloop heeft gelopen (voorbeeld­opgave
15).
Voorbeeldopgaven 12-15 Rekenmachine

12 Vader tankt voor € 37,45 benzine.
De benzine kost € 1,59 per liter.
Hoeveel liter tankt hij?
(rond af op één cijfer achter de komma)

13	De oppervlakte van Nederland is 41 528 km2.
In Nederland wonen 16,5 miljoen mensen.
	Hoeveel mensen wonen gemiddeld in Nederland per
km2?
Rond af op een geheel getal.

			 liter
			

151

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

14

15

	Jitske gaat naar New York. Zij wisselt bij de bank
€ 500,- voor Amerikaanse Dollars. Zij ontvangt
467 dollar. Het omwisselen kost € 4,98.
Hoeveel euro is één Amerikaanse Dollar waard?

	128 leerlingen hebben meegedaan aan een
sponsorloop. De opbrengst was € 725,50.
	Hoeveel rondjes heeft elke leerling gemiddeld
gelopen?

€
			 rondjes

Verschillen tussen 2011 en 2004
Voor het onderwerp Rekenmachine is een vooruitgang ten opzichte van 2004 gevonden.
De afname in vaardigheid die gesignaleerd is in 2004 heeft niet doorgezet. Het niveau dat in
2004 door 75% van de leerlingen beheerst werd, wordt in 2011 door een groter percentage van
de leerlingen beheerst, namelijk 82%. Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen werd
behaald, wordt in 2011 door 60% behaald.
Verschillen tussen leerlingen
Het vaardigheidsniveau op dit onderwerp van 0.0-leerlingen ligt op een relatief grote afstand
ten opzichte van het vaardigheidsniveau van de 0.3- en 1.2-leerling. Het vaardigheidsniveau van
de 0.3- en 1.2-leerling is nagenoeg gelijk.
In tegenstelling tot de peiling in 1997 en in 2004 verschillen de prestaties van jongens en
meisjes in de huidige peiling niet. De prestaties van jongens waren in de vorige peilingen iets
beter dan die van meisjes.
Uit de vergelijking van de doorstroomniveaus blijkt dat de gemiddelde BB-leerling op dit
onderwerp lager functioneert dan de gemiddelde percentiel-10 leerling. Deze leerling beheerst
de eerste drie voorbeeldopgaven matig. De gemiddelde KB-leerling functioneert ongeveer op
hetzelfde niveau als de percentiel-25 leerling. Deze leerling beheerst de eerste drie voorbeeld­
opgaven beter, maar ook nog steeds matig. De gemiddelde leerling met vwo-doorstroomniveau
functioneert op een niveau hoger dan de gemiddelde percentiel-75 leerling. Deze leerling
beheerst de eerste acht voorbeeldopgaven goed, voorbeeldopgave 9 tot en met 12 matig en de
opgaven 13, 14 en 15 nog niet.

152

PPON

Tabel 4.34 Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Rekenmachine
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

237

49

2011

250

50

0.0

255

48

0.3

218

50

1.2

214

49

Jongens

251

50

Meisjes

248

50

BB

174

33

KB

210

34

GT

230

33

havo

266

32

vwo

305

33

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 4.35 Rekenmachine: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011
2004

2011

75%

82%

50%

60%

Tabel 4.36	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Rekenmachine
Opgaven die de gemiddelde leerling:

153

Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

-

1 en 3

2, 4 tot en met 15

KB

-

1 tot en met 3, 5 en 7

4, 6, 8 tot en met 15

GT

1 en 2

1 tot en met 7, 9,

8, 10 tot en met 15

havo

1 tot en met 5

6 tot en met 11

12 tot en met 15

vwo

1 tot en met 8

9 tot en met 12

13 tot en met 15

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Rekenen met een zakrekenmachine

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

154

PPON

12

13

14

15

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

155

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

156

PPON

5	Strategiegebruik bij het
oplossen van
vermenigvuldig- en
deelopgaven

5	Strategiegebruik bij vermenigvuldig- en deelopgaven

5	Strategiegebruik bij het oplossen
van vermenigvuldig- en
deelopgaven
	Marije F. Fagginger Auer, Marian Hickendorff &
Cornelis M. van Putten, Universiteit Leiden
5.1

Achtergrond

Deze balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het eind van de basisschool richt zich vooral
op het vaardigheidsniveau van leerlingen en kijkt daarvoor of de antwoorden die leerlingen
geven op opgaven goed of fout zijn. Daarnaast is een relevante vraag hoe de leerlingen opgaven
oplossen: met welke strategie? Inmiddels is er een sterke samenwerking opgebouwd tussen de
Universiteit Leiden en Cito waarin deze oplossingsstrategieën bij het onderwerp Bewerkingen:
vermenigvuldigen en delen in de peilingsonderzoeken in kaart worden gebracht. Voor de
peilingen van 1997, 2004 en nu ook die van 2011, is het strategiegebruik van leerlingen bepaald
door te kijken naar de uitwerkingen die zij noteerden in hun toetsboekjes. In de vorige balans
(Janssen, Van der Schoot & Hemker, 2005) werd in een apart hoofdstuk het strategiegebruik bij
delen in 1997 en 2004 beschreven (Van Putten, 2005). In het hoofdstuk dat u nu leest, wordt
meer verteld over het strategiegebruik bij vermenigvuldigen en delen in de peiling van 2011.
Voordat de nieuwe resultaten worden beschreven, geven we eerst een overzicht van de
bevindingen over het strategiegebruik in 1997 en 2004.
Na publicatie van het hoofdstuk over deelstrategieën in de balans van 2004 zijn statistisch
geavanceerdere analyses uitgevoerd op de gegevens. Het doel van deze analyses was om inzicht
te krijgen in hoeverre veranderingen in strategiegebruik een verklaring konden bieden voor de
sterke prestatiedaling bij vermenigvuldigen en delen tussen de peilingen van 1997 en 2004.
Hierbij werd geprobeerd om twee vragen te beantwoorden: (1) is het strategiegebruik
veranderd tussen 1997 en 2004 en (2) zijn de verschillende strategieën even succesvol en zijn
die succeskansen veranderd tussen 1997 en 2004? De resultaten van het onderzoek naar deze
vragen zijn eerder in verschillende nationale en internationale publicaties besproken
(Hickendorff, 2011; Hickendorff, Heiser, Van Putten & Verhelst, 2009; Van Putten & Hickendorff,
2006, 2009) en worden hieronder kort samengevat.
5.1.1

Veranderingen in strategiegebruik bij vermenigvuldigen en delen

Bij het in kaart brengen van het strategiegebruik werden vier hoofdstrategieën onderscheiden:
• het cijferalgoritme (cijferend onder elkaar vermenigvuldigen of de staartdeling voor delen;
zie ook tabel 5.1);
• niet-cijferende schriftelijke strategieën (kolomsgewijs vermenigvuldigen en delen, maar ook
andere schriftelijke strategieën zoals splitsen bij vermenigvuldigen of opvermenigvuldigen
bij delen);
• het antwoorden zonder het noteren van een schriftelijke uitwerking;
• overige strategieën (hoofdzakelijk overgeslagen opgaven).
Het bleek dat het strategiegebruik van leerlingen was veranderd tussen 1997 en 2004. Het
percentage leerlingen dat vooral het cijferalgoritme toepaste, daalde van 67 naar 44% bij

158

PPON

vermenigvuldigen en van 43 naar 17% bij delen. Een verrassend resultaat was dat het
percentage leerlingen dat antwoordde zonder schriftelijke uitwerking was toegenomen (van 13
naar 22% bij vermenigvuldigen en van 16 naar 36% bij delen). Bij vermenigvuldigen pasten
daarnaast meer leerlingen vooral de niet-cijferende schriftelijke strategieën toe (toename van 7
naar 22%), terwijl deze groep bij delen ongeveer dezelfde omvang had in 1997 als in 2004
(respectievelijk 27 en 31 procent).
Bij vermenigvuldigen lijkt dus het cijferalgoritme voor een deel plaats te hebben gemaakt voor
zowel niet-cijferende schriftelijke strategieën als voor antwoorden zonder enige schriftelijke
aantekeningen of berekeningen, maar blijft het cijferalgoritme wel de meest voorkomende
strategie. Bij delen lijkt voor de verdwijnende staartdeling vooral het antwoorden zonder
uitwerking in de plaats gekomen; een verschuiving die overigens grotendeels aan jongens
toegeschreven moet worden. Een vervolgstudie (Hickendorff, Van Putten, Verhelst & Heiser,
2010) heeft verder uitgewezen dat ‘antwoorden zonder schriftelijke uitwerking’ bij delen vooral
hoofdrekenen inhield (en niet bijvoorbeeld het zogenaamde ‘luchtcijferen’, waarbij
cijferalgoritmes in het hoofd worden uitgevoerd).
5.1.2

Succes van de verschillende vermenigvuldig- en deelstrategieën

Een logische vervolgvraag is wat deze verschuiving in strategiegebruik voor gevolgen heeft
gehad voor de prestaties. Daarom analyseerden we de succeskansen van de verschillende
strategieën: in hoeveel procent van de gevallen leidt een strategie tot het goede antwoord,
gecorrigeerd voor de moeilijkheidsgraad van de opgave en het vaardigheidsniveau van de
leerling?
In figuur 5.1 staan deze succeskansen van de strategieën afgebeeld. Op basis van het
statistische model zijn dit de geschatte kansen dat een gemiddelde leerling een gemiddelde
vermenigvuldig- (links) of deelopgave (rechts) goed beantwoordt. De categorie ’overige
strategieën’ is niet afgebeeld, omdat dit een heterogene categorie is die vooral bestaat uit
overgeslagen opgaven (die natuurlijk nooit goed beantwoord zijn).

1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4

1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4

0,3

0,3

0,2

0,2

0,1

0,1

0,0

159

kans op goed antwoord

kans op goed antwoord

Figuur 5.1	Succeskansen van de strategieën in de peiling van 1997 en 2004 voor een gemiddelde
leerling op een gemiddelde opgave bij vermenigvuldigen en delen.

peiling 1997

peiling 2004

cijferalgoritme

niet-cijferend

0,0

peiling 1997

zonder schriftelijke uitwerking

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

peiling 2004

Een aantal zaken valt op. Zo zijn de verschillende strategieën niet even succesvol. Zowel bij
vermenigvuldigen als bij delen, en zowel in 1997 als in 2004, waren de schriftelijke strategieën
(cijferend en niet-cijferend) significant succesvoller dan het antwoorden zonder schriftelijke
uitwerking. De verschuiving van gebruik van de cijferalgoritmes naar het antwoorden zonder
uitwerking heeft dus een ongunstig effect gehad op de prestaties. Bij vermenigvuldigen bleek
verder dat binnen de schriftelijke strategieën het cijferalgoritme significant succesvoller was
dan de niet-cijferende strategieën. Bij delen was dit onderlinge verschil in succeskansen niet
significant, hoewel uit een verdere analyse bleek dat dit weliswaar gold voor de zwakke en de
sterke rekenaars, maar dat voor leerlingen van gemiddeld rekenniveau de staartdeling wél
significant succesvoller was dan de niet-cijferende schriftelijke strategieën. Ten slotte valt op
dat elk van de drie strategieën, zowel bij vermenigvuldigen als delen, een lagere succeskans had
in 2004 dan in 1997. Met andere woorden: elke strategie heeft aan succes ingeboet. Leerlingen
die in de peiling van 1997 een bepaalde deelopgave met bijvoorbeeld een staartdeling oplosten,
kwamen vaker tot het goede antwoord dan leerlingen die in de peiling van 2004 dezelfde
opgave met een staartdeling oplosten.
De verklaring voor de prestatiedaling tussen 1997 en 2004 op het onderwerp Bewerkingen:
vermenigvuldigen en delen lijkt dus deels te liggen in het veranderde strategiegebruik: een
verschuiving van de succesvollere schriftelijke strategieën naar het riskantere antwoorden
zonder schriftelijke uitwerking. Daarnaast blijft echter nog een onverklaarde prestatiedaling
bínnen elke oplossingsstrategie over; een naar ons idee zorgelijke ontwikkeling.
Hierna volgen de beschrijvende resultaten van het strategiegebruik bij vermenigvuldigen en
delen in de peiling van 2011. Vervolgens zal een eerste verkennende analyse naar de
veranderingen in strategiegebruik en strategiesucces tussen de peilingen van 1997, 2004 en
2011 gepresenteerd worden. Wegens de beperkte tijd tot publicatie van deze balans was het
nog niet mogelijk om dezelfde geavanceerde analyses te doen als op het strategieënonderzoek
bij de peilingen van 1997 en 2004 is gedaan.

5.2

Peilingsonderzoek 2011: gebruik en succes van strategieën

5.2.1

Methode

Het onderwerp Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen bevatte in het peilingsonderzoek 2011
in totaal dertien vermenigvuldig- en acht deelopgaven. Daarvan maakten 1609 leerlingen 3 of
6 opgaven per persoon, waarvan tussen de 1 en 4 vermenigvuldigopgaven en tussen de 1 en
3 deelopgaven. In totaal hebben de leerlingen 4613 vermenigvuldig- en 2852 deelopgaven
gemaakt. De toetsleiders werden geïnstrueerd de leerlingen erop te wijzen dat zij geen
afzonderlijk uitrekenpapier mochten gebruiken, maar dat zij voor het noteren van berekeningen
de open ruimte in het toetsboekje moesten gebruiken (daarvoor was voldoende ruimte
gereserveerd). Op basis van de uitwerkingen in de boekjes werd bepaald welke oplossings­
strategieën de leerlingen gebruikten.
5.2.1.1 Strategiecodering
Van de vermenigvuldigopgaven werd 28% beantwoord zonder dat daarbij een schriftelijke
uitwerking in het boekje werd genoteerd, werd 7% niet gemaakt en werd 1% beantwoord met
een onduidelijke uitwerking die niet kon worden gecodeerd of met toepassing van een
verkeerde bewerking. Van de deelopgaven werd 35% beantwoord zonder dat daarbij een
uitwerking werd genoteerd, werd 13% niet gemaakt en werd 3% beantwoord met een
onduidelijke uitwerking die niet kon worden gecodeerd of met toepassing van een verkeerde
bewerking (meestal vermenigvuldigen van het deeltal en de deler in plaats van delen).

160

PPON

De uitwerkingen van de resterende 64% van de vermenigvuldigopgaven en 49% van de
deelopgaven werden geclassificeerd in drie hoofdcategorieën. De eerste hoofdcategorie omvat
de cijferalgoritmes voor vermenigvuldigen en delen (voor delen ook wel bekend als de traditionele
staartdeling). De tweede hoofdcategorie omvat de kolomsgewijze vermenigvuldigingen en
delingen, met bijbehorende schematische notatie. De derde hoofd­categorie omvat de overige
schriftelijke uitwerkingen, zoals compenseren (bijvoorbeeld 24 x 19 uitrekenen als 24 x 20 – 24)
of opvermenigvuldigen. Zie tabel 5.1 voor voorbeelden van uitwerkingen van vermenigvuldigen deelopgaven in elk van de drie hoofdcategorieën.
Binnen de hoofdcategorieën werd per bewerking nog verder onderscheid gemaakt.
Bij vermenigvuldigen werden binnen de derde hoofdcategorie van overige schriftelijke
uitwerkingen vier subcategorieën onderscheiden: het splitsen van één van de te vermenigvuldigen
getallen; het splitsen van de beide te vermenigvuldigen getallen (maar dan zonder de
schematische notatie van de kolomsgewijze aanpak); compenseren; en de rest van de
uitwerkingen. Bij delen werd binnen de hoofdcategorieën van de kolomsgewijze deling en de
overige schriftelijke uitwerkingen een onderscheid gemaakt naar de mate van verkorting van de
oplossing: ‘laag niveau’ (dat wil zeggen in veel kleine stappen tot het antwoord komen) en
‘hoog niveau’ (dat wil zeggen in een beperkt aantal efficiënte stappen tot het antwoord komen;
niet meer stappen dan wanneer de opgave zou worden opgelost met een staartdeling).
Tabel 5.1	Voorbeelden van uitwerkingen van vermenigvuldig- en deelopgaven in elk van drie
hoofdcategorieën van strategieën.
Strategiecategorie

Vermenigvuldigen
24

cijferalgoritme

kolomsgewijs

anders schriftelijk

Delen
3 / 23,70 \ 7,90

19x

21

216

27

240+

27

456

0

24

23,70 : 3 =

19x

15,00 – 5x

36

8,70

180

6,00 – 2x

40

2,70

200+

2,70 – 0,90x +

456

0 7,90x

24 x 20 = 480

3 x 7 = 21

480 – 24 = 456

3 x 7,50 = 22,50
3 x 7,90 = 23,70

5.2.2

Gebruik en succes van strategieën

Tabel 5.2 geeft het strategiegebruik bij vermenigvuldigopgaven in het peilingsonderzoek 2011
weer in het aantal en percentage vermenigvuldigopgaven waarop elke gecodeerde strategie is
toegepast. Het succes van de vermenigvuldigstrategieën wordt weergegeven in het percentage
goede antwoorden per strategie. Tabel 5.3 geeft dezelfde informatie over gebruik en succes van
strategieën voor de deelopgaven.

161

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Zowel bij vermenigvuldigen als bij delen werd een groot gedeelte van de opgaven beantwoord
zonder dat daarbij een uitwerking werd genoteerd: dit was het geval bij 28% van de
vermenigvuldig- en 35% van de deelopgaven. Dit terwijl deze strategie relatief (zeer) lage
succeskansen had; van 51% voor vermenigvuldigen en 22% voor delen. Daarnaast werd 7% van
de vermenigvuldig- en 13% van de deelopgaven überhaupt niet gemaakt. Daarentegen hadden
de vaste, gestructureerde kolomsgewijze strategieën en cijferalgoritmes die op 40% van de
opgaven werden toegepast relatief hoge succeskansen van 68% voor vermenigvuldigen en
respectievelijk 63 en 61% voor delen. De andere schriftelijke strategieën leidden gemiddeld tot
lagere percentages goede antwoorden (59% voor vermenigvuldigen en 50% voor delen), maar
dit verschilde sterk per specifieke strategie. Zo was 75% van de vermenigvuldigopgaven die
werden opgelost door middel van compenseren goed, terwijl vermenigvuldigingen waarbij de
beide te vermenigvuldigen getallen werden gesplitst zonder kolomsgewijs of cijferend schema
maar in 39% van de gevallen goed waren. Bij delen lagen de succeskansen van oplossingen met
een hoog niveau van verkorting een stuk hoger (76% goed) dan die van oplossingen met een
laag niveau van verkorting (42 dan wel 48% goed).
Tabel 5.2

Gebruik en succes van vermenigvuldigstrategieën in het peilingsonderzoek 2011
Gebruik op opgaven

Strategie

(%)

(% goed)
68

cijferalgoritme

1720

37

kolomsgewijze vermenigvuldiging

141

3

68

anders schriftelijk

1098

24

59

één getal gesplitst

601

13

62

twee getallen gesplitst

174

4

39

compenseren

181

4

75

rest

142

3

52

antwoord zonder uitwerking

1273

28

51

overige

381

8

3

16

0

0
24

verkeerde bewerking toegepast
uitwerking onduidelijk

49

1

opgave niet gemaakt

316

7

0

4613

100

56

totaal

162

Succes

(aantal)

PPON

Tabel 5.3

Gebruik en succes van deelstrategieën in het peilingsonderzoek 2011
Gebruik op opgaven

Strategie

Succes

(aantal)

(%)

(% goed)

cijferalgoritme

448

16

61

kolomsgewijze vermenigvuldiging

682

24

63

laag niveau

327

11

48

hoog niveau

355

12

76

anders schriftelijk

279

10

50

laag niveau

212

7

42

hoog niveau

67

2

76

antwoord zonder uitwerking

988

35

22

overige

455

16

4

13

0

0
29

verkeerde bewerking toegepast
uitwerking onduidelijk

63

2

opgave niet gemaakt

379

13

0

2852

100

38

totaal

5.2.3

Samenhang tussen geslacht en strategiegebruik

Wanneer we het strategiegebruik relateren aan het geslacht van de leerlingen, is er een
duidelijk patroon zichtbaar (zie figuur 5.2). Jongens gaven veel vaker antwoord zonder een
uitwerking te noteren dan meisjes, bij 38% tegenover 17% van de vermenigvuldigopgaven en
bij 44% tegenover 25% van de deelopgaven. Meisjes gebruikten daarentegen vaker het
cijferalgoritme en pasten het toe op 46% tegenover 28% van de vermenigvuldigopgaven en op
19% tegenover 13% van de deelopgaven. Ook gebruikten meisjes de kolomsgewijze deling op
31% van de deelopgaven, waar jongens dat maar bij 17% deden. Bij andere schriftelijke
strategieën en overige oplossingen waren er geen grote verschillen tussen jongens en meisjes.
Figuur 5.2 	Gebruik van vermenigvuldig- en deelstrategieën naar geslacht van de leerling in het
peilingsonderzoek 2011.
vermenigvuldigen

delen

cijferalgoritme
kolomsgewijs
anders schriftelijk
zonder uitwerking
overig
0

25
jongens

163

50

gebruik (% van de opgaven)

meisjes

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

25

0

5.2.4

Patronen van strategiegebruik binnen leerlingen

Is het een vaste groep leerlingen die steeds opgaven beantwoordt zonder uitwerking, of kiezen
veel leerlingen daar zo nu en dan voor? Gebruiken leerlingen die deelopgaven oplossen met de
staartdeling ook het cijferalgoritme voor vermenigvuldigen? Een statistische techniek waarmee
patronen van strategiegebruik binnen leerlingen in kaart kunnen worden gebracht is latenteklassen-analyse. Hierbij vormen leerlingen met gelijksoortige patronen van strategiegebruik
samen een latente klasse. Elke latente klasse vertegenwoordigt daarmee een specifiek profiel
van strategiekeuzes. De klassen worden latent genoemd omdat ze niet direct observeerbaar
zijn, maar alleen afgeleid kunnen worden uit strategiekeuzes die leerlingen maken. Meer
technische details over latente-klassen-analyse zijn te vinden in een artikel van Hickendorff en
anderen (2009).
Een latente-klassen-analyse op de strategiekeuzes van de leerlingen op de dertien
vermenigvuldig- en acht deelopgaven in peilingsonderzoek 2011 liet zien dat er vier
verschillende latente klassen van strategiekeuzes konden worden onderscheiden:
• 31% van de leerlingen werd geclassificeerd in een latente klasse waarin vooral opgaven
werden beantwoord zonder uitwerking en ook regelmatig opgaven niet gemaakt werden;
• 29% van de leerlingen werd geclassificeerd in een latente klasse waarin vermenigvuldig­
opgaven vooral werden opgelost met het cijferalgoritme en deelopgaven met de koloms­
gewijze deling;
• 21% van de leerlingen werd geclassificeerd in een latente klasse waarin vermenigvuldig­
opgaven vooral werden opgelost met andere schriftelijke strategieën en deelopgaven met
verschillende strategieën (vooral kolomsgewijs, zonder uitwerking en anders schriftelijk);
• en 19% van de leerlingen werd geclassificeerd in een latente klasse waarin vermenigvuldigen deelopgaven vooral werden opgelost met de cijferalgoritmes.
Leerlingen lijken dus vrij consequent één of twee voorkeursstrategieën toe te passen. Bijna de
helft van de leerlingen kiest meestal een gestructureerde algoritmische aanpak: bij
vermenigvuldigen cijferend en bij delen cijferend (19%) of kolomsgewijs (29%). De andere twee
klassen leerlingen maken regelmatig keuzes voor strategieën die minder vaak goede antwoorden
opleveren. Een op de vijf leerlingen noteert bij vermenigvuldigen meestal uitwerkingen die geen
vast algoritme volgen en heeft geen dominante aanpak voor delen. Bijna één op de drie
leerlingen benut zelden het cijferalgoritme of de kolomsgewijze aanpak en noteert meestal
geen uitwerking, of maakt zelfs opgaven niet.

5.3 	Veranderingen in de tijd: peilingsonderzoeken van 1997, 2004 en
2011
Het gebruik en succes van strategieën in de peiling van 2011 kan worden gerelateerd aan dat
van eerdere peilingsonderzoeken in 2004 en 1997, doordat bij de opeenvolgende peilings­
onderzoeken deels gemeenschappelijke opgaven aan de leerlingen worden voorgelegd. Zo
zaten zes van de vermenigvuldig- en vier van de deelopgaven uit PPON 2011 ook in PPON 2004
en vijf van de vermenigvuldig- en vier van de deelopgaven uit PPON 2004 ook in PPON 1997.
5.3.1

Gebruik en succes van strategieën in 1997, 2004 en 2011

Tabel 5.4 geeft het strategiegebruik en de prestaties op de gemeenschappelijke vermenigvuldig­
opgaven van PPON 1997 en 2004 en PPON 2004 en 2011. Tabel 5.5 geeft deze informatie voor
delen. Omdat de opgaven uit PPON 2004 die ook voorkwamen in PPON 1997 niet (allemaal)
dezelfde zijn als de opgaven uit PPON 2004 die ook voorkwamen in PPON 2011, staan er voor

164

PPON

2004 twee sets opgaven in de tabellen. Vergelijkingen kunnen dus alleen gemaakt worden
tussen aangrenzende kolommen.
Zoals in deze tabellen te zien is en zoals eerder in meer detail werd besproken in de inleiding,
werd in 2004 het cijferalgoritme zowel bij vermenigvuldigen als delen veel minder vaak
gebruikt dan in 1997. In plaats daarvan nam het antwoorden zonder het noteren van een
uitwerking toe, wat een veel lagere succeskans heeft dan het cijferalgoritme. Daarnaast daalden
de succeskansen van de meeste strategieën ook nog eens. De prestaties daalden dan ook sterk
tussen 1997 en 2004.
Tussen 2004 en 2011 traden zowel bij vermenigvuldigen als bij delen geen grote veranderingen
op in strategiegebruik. Ook bleef het percentage goede antwoorden, zowel over het geheel
genomen als per strategie, redelijk constant. Bij vermenigvuldigen daalde het percentage goede
antwoorden met het cijferalgoritme en de andere schriftelijke strategieën enigszins, terwijl
antwoorden zonder uitwerking iets vaker goed waren. Bij delen daalde de succeskans van
antwoorden zonder uitwerking verder van 27 naar 20%, maar stegen de succeskansen van de
andere strategieën juist met enkele procenten. Al met al lijkt er na de veranderingen tussen
1997 en 2004 vooral sprake te zijn van een stabilisatie van de situatie tussen 2004 en 2011.
Tabel 5.4 	Gebruik en succes van strategieën op de zes gemeenschappelijke
vermenigvuldigopgaven van PPON 1997 en 2004 en de vijf gemeenschappelijke
vermenigvuldigopgaven van PPON 2004 en 2011
Gebruik (% van de opgaven)
Strategie

Succes (% goed)

1997

2004

2004

2011

1997

2004

2004

2011

cijferalgoritme

65

45

36

35

73

64

59

52

kolomsgewijs

2

5

3

3

62

60

52

52

anders schriftelijk

5

13

15

20

53

45

54

48

zonder uitwerking

17

25

32

31

38

34

38

42

overig

10

12

13

11

5

5

4

2

totaal

100

100

100

100

59

47

41

39

aantal opgaven

2574

1876

2238

2130

2754

1876

2238

2130

Tabel 5.5 	Gebruik en succes strategieën op de vier gemeenschappelijke deelopgaven van PPON
1997 en 2004 en van PPON 2004 en 2011
Gebruik (% van de opgaven)
Strategie

165

Succes (% goed)

1997

2004

2004

2011

1997

2004

2004

2011

cijferalgoritme

37

14

18

17

84

78

63

66

kolomsgewijs

18

18

25

28

72

72

58

62

anders schriftelijk

5

5

3

8

81

72

45

48

zonder uitwerking

26

45

33

32

51

33

27

20

overig

14

19

21

15

1

6

3

5

totaal

100

100

100

100

61

43

37

40

aantal opgaven

2296

1548

1547

1419

2296

1548

1547

1419

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

5.4

Conclusie

Het bestuderen van de strategieën die leerlingen gebruiken bij vermenigvuldigen en delen kan
meer inzicht bieden in veranderingen in prestaties op dit gebied. Tussen 1997 en 2004 deed zich
een sterke daling in prestaties bij vermenigvuldigen en delen voor. Deze daling lijkt deels toe te
schrijven te zijn aan een afname in de frequentie van cijferalgoritmes. Die hebben een veel
hogere succeskans dan het antwoorden zonder uitwerking, wat er in veel gevallen voor in de
plaats kwam. Daarnaast werden de meeste strategieën in 2004 met minder succes uitgevoerd
dan in 1997.
De verkennende analyses van de nieuwe peiling in 2011 die werden gepresenteerd in dit
hoofdstuk laten geen herstel zien: antwoorden zonder uitwerking blijft even populair en
strategieën lijken in 2011 ongeveer dezelfde succeskans te hebben als in 2004. Jongens waren
opnieuw veel meer geneigd om te antwoorden zonder uitwerking dan meisjes en er lijkt een
aanzienlijke groep leerlingen te zijn die ongeacht de inhoud van de opgave grote kans heeft om
te antwoorden zonder uitwerking, of zelfs om de opgave niet eens te maken. Zowel bij
vermenigvuldigen als delen waren antwoorden met schriftelijke uitwerking (veel) vaker goed
dan zonder, waarbij oplossingen met het cijferalgoritme en de kolomsgewijze aanpak
vergelijkbaar waren in hun succes en andere, vrijere schriftelijke strategieën gemiddeld
achterbleven1.

Literatuur hoofdstuk 5
Hickendorff, M. (2011). Explanatory latent variable modeling of mathematical ability in primary
school: Crossing the border between psychometrics and psychology. Academisch proefschrift,
Universiteit Leiden.
Hickendorff, M., Heiser, W.J., Van Putten, C.M., & Verhelst, N.D. (2009). Solution strategies and
achievement in Dutch complex arithmetic: Latent variable modeling of change. Psychometrika,
74, 331-350.
Hickendorff, M., Van Putten, C. M., Verhelst, N. D., & Heiser, W. J. (2010). Individual differences
in strategy use on division problems: mental versus written computation. Journal of Educational
Psychology, 102, 438-452.
Janssen, J., Van der Schoot, F., & Hemker, B. (2005). Balans van het rekenwiskundeonderwijs aan
het einde van de basisschool 4. Arnhem: Stichting Cito Instituut voor Toetsontwikkeling.
Van Putten, C.M. (2005). Strategiegebruik bij het oplossen van deelsommen. In J. Janssen, F. van
der Schoot & B. Hemker (2005). Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de
basisschool 4. (p. 125-131). Arnhem: Cito.
Van Putten, C.M., & Hickendorff, M. (2006). Strategieën van leerlingen bij het beantwoorden
van deelopgaven in de periodieke peilingen aan het eind van de basisschool van 2004 en 1997.
Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 25, 16-25.
Van Putten, C.M. & Hickendorff, M. (2009). Peilstokken voor Plasterk: Evaluatie van
rekenvaardigheid in groep 8. Tijdschrift voor Orthopedagogiek, 48, 183-194.
1	Merk op dat bij deze resultaten nog niet statistisch is gecorrigeerd voor de moeilijkheidsgraad van de opgaven

en de vaardigheid van de leerlingen. We hopen op een later tijdstip de resultaten van geavanceerdere analyses
te kunnen presenteren.

166

PPON

Verantwoording
De auteurs zijn allen werkzaam bij de sectie Methoden & Technieken van het instituut
Psychologie van de Universiteit Leiden. Hickendorff en Van Putten zijn universitair docent en
Fagginger Auer is promovenda. Haar promotieproject wordt (deels) gefinancierd door NWO.
Het coderen van de uitwerkingen van de leerlingen in de toetsboekjes met vermenigvuldig- en
deelopgaven van PPON 1997 en 2004 is verricht door studenten Psychologie en Pedagogische
Wetenschappen van Universiteit Leiden. De uitwerkingen van PPON 2011 zijn gecodeerd met
medewerking van Max van den Boom, Laura Verkerk en Annabel Glas, in het kader van hun
bachelorscripties Psychologie.

167

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

168

PPON

6 	Verhoudingen, breuken
en procenten

6 	Verhoudingen, breuken en procenten

6 	Verhoudingen, breuken en
procenten
Dit hoofdstuk beschrijft de resultaten van het peilingsonderzoek
voor het domein Verhoudingen, breuken en procenten. Het centrale
thema in dit domein is het verhoudingsdenken in haar verschillende
vormen.
6.1

Verhoudingen

Inhoud
Bij het onderwerp Verhoudingen worden de basiskennis en de begrippen die nodig zijn om met
verhoudingen te kunnen werken gerelateerd aan het opereren met verhoudingsgetallen.
Verhoudingen kunnen beschreven worden:
• in verhoudingentaal, zoals bij ‘één op de tien Nederlanders’ of ‘het aantal fietsers is twee
keer zo groot als het aantal automobilisten’;
• in breukentaal, bijvoorbeeld ‘driekwart van de inwoners is ouder dan 25 jaar’;
• met procenten, zoals 70 procent van de mensen is voor de aanleg van een randweg.
Begrip van verhoudingen houdt in dat leerlingen de relatie tussen die verschillende
beschrijvingen kunnen leggen en dat ze dit begrip in kunnen zetten bij het oplossen van
eenvoudige verhoudingsvraagstukken.
De verhoudingentaal in de opgaven sluit aan bij de terminologie zoals die in het dagelijks leven
wordt gebruikt. Formele verhoudingsbeschrijvingen komen slechts sporadisch voor. De
presentatie in de opgaven vindt plaats door middel van eenvoudige situatiebeschrijvingen,
schema’s, tabellen, grafieken, plattegronden en kaarten. Een aantal opgaven gaat over situaties
die in het dagelijks leven vaak voorkomen, bijvoorbeeld de hoeveelheden in recepten aanpassen
aan het aantal personen. Bij dit onderwerp komen ook opgaven voor waarbij verhoudingsgewijs
vergeleken moet worden. Deze vergelijkingen kunnen soms gemaakt worden zonder dat
daarvoor allerlei berekeningen nodig zijn. Het gaat dan om het principe van het verhoudings­
gewijs vergelijken, niet om de berekeningstechniek die daarbij gebruikt wordt. Bij een aantal
andere opgaven is het wel nodig enkele berekeningen te maken. Gegevens moeten naar een
gemeenschappelijke noemer vertaald worden voordat ze goed met elkaar vergeleken kunnen
worden (bijvoorbeeld de prijs per kg van twee stukken kaas met een verschillend gewicht).
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling heeft een goede beheersing van de eerste voorbeeldopgave.
De voorbeeldopgaven 2 tot en met 4 worden door deze leerling matig tot slecht beheerst.
De overige opgaven liggen buiten het bereik van zijn vaardigheid. In voorbeeldopgave 1 moeten
leerlingen op basis van een recept voor 15 pannenkoeken (= 2 eieren) berekenen hoeveel eieren
nodig zijn voor 45 pannenkoeken. In deze voorbeeldopgave wordt een relatief eenvoudige
berekening gevraagd (45 = 3 x 15, dus 3 x 2 = 6 eieren) en moeten leerlingen de relatie tussen
twee getallen begrijpen om het ontbrekende getal te kunnen bepalen. De voorbeeldopgaven 2
en 3 gaan over het lezen van een aantal bladzijden per minuut en het afleggen van een aantal

170

PPON

kilometers per uur. Beide voorbeeldopgaven worden door deze leerling matig beheerst.
De percentiel-10 leerling heeft een zeer geringe beheersing van voorbeeldopgave 4. In deze
voorbeeldopgave moeten leerlingen op basis van een actie ‘3 kaartjes voor de prijs van 2’
berekenen hoeveel 9 kaartjes voor de film kosten (1 kaartje is 5 euro). In de voorbeeldopgaven 2
tot en met 4 is de relatie tussen de twee getallen iets moeilijker te doorzien, of is de berekening
complexer dan in voorbeeldopgave 1.
Voorbeeldopgaven 1-4 Verhoudingen

1

3	Een auto rijdt in 2 uur van Morden naar Barton met
een gemiddelde snelheid van 40 km per uur.
	Hoe lang doet de auto erover als hij met een
gemiddelde snelheid van 80 km per uur rijdt?
			 uur

	Voor het schoolfeest worden 45 pannenkoeken
gebakken volgens dit recept.

4

Hoeveel eieren zijn daarvoor nodig?
			 eieren

2	Aziz leest gemiddeld 4 bladzijden in ongeveer 3
minuten.
Ze moet nog 80 bladzijden.
Hoeveel minuten zal ze daar ongeveer over doen?
			 minuten
9 kinderen gaan naar de film.
Hoeveel moeten zij in totaal betalen?
€ 			

De percentiel-25 leerling beheerst de voorbeeldopgaven 1 tot en met 3 goed en de voorbeeld­
opgaven 4 tot en met 16, met uitzondering van voorbeeldopgave 12 matig. De eerste vier
voorbeeldopgaven zijn hierboven besproken. In voorbeeldopgave 5 wordt gegeven dat 1 op de
10 mensen tegen hebben gestemd en moeten leerlingen bepalen hoeveel mensen dat zijn.
Ook in de voorbeeldopgaven 7, 8, 9, 11, 13 en 14 gaat het om het berekenen of gebruiken van
variaties op ‘... op de .... mensen...’:
• in de voorbeeldopgaven 7, 9 en 13 moeten leerlingen aantallen omzetten in verhoudingen­
taal: 30 van de 120 is 1 op de 4, 500 van de 2500 is 1 op de 5, 24 van de 36 is 2 op de 3;
• in voorbeeldopgave 8 wordt leerlingen gevraagd hoeveel 24,3% van de 100 toeristen
ongeveer is. Leerlingen moeten dit percentage omzetten in verhoudingentaal: 1 van de
4 toeristen;
• in voorbeeldopgave 11 moeten leerlingen 2 op de 5 leerlingen gebruiken om te bepalen
hoeveel van de 30 leerlingen wel en hoeveel leerlingen geen huisdier hebben;
• in voorbeeldopgave 14 moeten leerlingen aan de hand van een cirkeldiagram 18 deel van het
aantal kinderen omzetten naar 1 van de 8 kinderen.

171

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

74% van alle leerlingen die opgave 14 hebben gemaakt geeft als antwoord (1 van de ) 8.
8% van de leerlingen geeft als antwoord 10 en 4% van de leerlingen geeft als antwoord 7.
De percentiel-25 leerling heeft een matige beheersing van het gebruik van verhoudingentaal
zoals in de hierboven besproken voorbeeldopgaven wordt gebruikt. Voorbeeldopgave 12 gaat
ook over het gebruik van verhoudingentaal (één op de drie bezoekers). Deze voorbeeldopgave
wordt door de percentiel-25 leerlingen echter nog niet beheerst. Waarschijnlijk komt dit
doordat de berekening die in deze opgave gevraagd wordt complexer is dan in de hierboven
besproken voorbeeldopgaven: leerlingen moeten 60% van de 100 mensen berekenen en
vervolgens, gegeven dat één op de drie bezoekers een volwassene was, berekenen hoeveel
volwassenen er waren.
In voorbeeldopgave 6 wordt leerlingen gevraagd te berekenen hoeveel gram broccoli nodig is
voor 10 personen als voor 4 personen 500 gram broccoli nodig is. Van alle leerlingen die deze
opgave gemaakt hebben, geeft 80% het goede antwoord, 1250 gram; 6% van de leerlingen
geeft als antwoord 1500 gram, dit is de hoeveelheid die nodig is voor 12 personen; 2% van de
leerlingen geeft als antwoord 5000, deze leerlingen hebben waarschijnlijk 500 gram
vermenigvuldigd met het aantal personen. De percentiel-25 leerling zal van 10 van dergelijke
opgaven er gemiddeld 6 à 7 goed beantwoorden. Voorbeeldopgave 10 wordt eveneens matig
beheerst. In deze voorbeeldopgave moeten leerlingen berekenen hoeveel 5 kg vlees kost,
gegeven dat 3 kg vlees 45 euro kost. In voorbeeldopgave 15 gaat het om een vergroting van een
foto. Gegeven is dat de oorspronkelijke foto 15 bij 10 cm is. De lengte van de vergrote foto is
90 cm lang. Leerlingen moeten aan de hand van deze gegevens berekenen wat de breedte van
de vergrote foto is. De percentiel-25 leerling heeft een matige beheersing van deze voorbeeld­
opgave. Ook voorbeeldopgave 16 wordt door deze leerlingen matig beheerst. In deze opgave
wordt leerlingen gevraagd hoeveel zakjes met spekjes en dropveters ze kunnen maken met
totaal 50 spekjes en 100 dropveters. In elk zakje komen 2 spekjes en 3 dropveters.
Voorbeeldopgaven 5-16 Verhoudingen

5

6

Slechts 1 op de 10 mensen waren tegen.
Hoeveel mensen stemden tegen?

	De moeder van Sumeya maakt broccolisoep voor
10 personen.

			 mensen

	Hoeveel gram broccoli moet de moeder van Sumeya
gebruiken?
			 gram

172

PPON

7	120 leerlingen van groep zeven en acht gaan naar een

12	In de bioscoop zijn 100 plaatsen. Op zondagmiddag

pretpark. 30 leerlingen willen niet in de achtbaan.

was 60% van de zaal vol. Eén op de drie bezoekers was

Wat is juist?

een volwassene.
Hoeveel volwassenen waren er?

A

1 op de 5 kinderen wil niet in de achtbaan.

B

4 op de 5 kinderen willen niet in de achtbaan.

C

1 op de 4 kinderen wil niet in de achtbaan.

D

3 op de 4 kinderen willen niet in de achtbaan.

			 volwassenen

13	De politie controleert 36 brommers. 24 van de
36 brommers rijden te hard.
8

Vul in.

Hoeveel brommers rijden te hard?

24,3% van de toeristen overnacht in een huisje.

Vul in:

Dat is ongeveer ...

			 op de 3 brommers

A

1 van de 4 toeristen.

B

1 van de 5 toeristen.

C

1 van de 20 toeristen.

D

1 van de 25 toeristen.

14

9	Op straat is een enquête gehouden. Van de 2500
kinderen krijgen er 500 minder dan 10 euro zakgeld
per maand.
Vul in.

	Op de Margrietschool is een grafiek gemaakt van het
aantal brildragers. Vul in.

	1 op de

kinderen krijgt minder dan 10 euro

zakgeld per maand.

	1 van de

kinderen op de Margrietschool

draagt een bril.
10 3 kg vlees kost € 45,-.
Hoeveel kost 5 kg vlees dan?

15	Harm laat een foto van 15 cm lang en 10 cm breed
vergroten.

€ 			

Vul in.
De vergroting wordt 90 cm lang en

11	In groep 7 van de prinses Julianaschool zitten
30 leerlingen.
2 op de 5 leerlingen hebben een huisdier.
Vul het schema verder in.

173

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

cm breed

16

Marcia heeft 50 spekjes en 100 dropveters.
Ze maakt snoepzakjes.
In elk zakje komen 2 spekjes en 3 dropveters.
Hoeveel van die zakjes kan Marcia in totaal maken?
			 zakjes

De gemiddelde leerling heeft een goede beheersing van de eerste 10 voorbeeldopgaven,
voorbeeldopgave 11 tot en met 13 worden nagenoeg goed beheerst. De voorbeeldopgaven 14
tot en met 22 worden door de gemiddelde leerling matig beheerst. De voorbeeldopgaven 17 en
21 gaan wederom over het gebruik van verhoudingentaal; 30 van de 600 is 1 op de ... kinderen
en 30 van de 40 leden zijn meisjes, dus 1 van de ... leden is een jongen. Deze voorbeeldopgaven
blijken moeilijker te zijn dan de hierboven besproken voorbeeldopgaven waarin verhoudingen­
taal werd gebruikt. De gemiddelde leerling heeft een matige beheersing van deze voorbeeld­
opgaven. Ook de voorbeeldopgaven 18 en 20 worden matig beheerst. In deze voorbeeldopgaven
wordt leerlingen gevraagd met behulp van een schaalbeschrijving (‘Het raam is in werkelijkheid
210 cm breed’ en ‘In werkelijkheid is de pop 65 cm lang’) te berekenen hoeveel centimeter de
hoogte is en op welke schaal de pop is getekend. In voorbeeldopgave 19 wordt verhoudingen­
taal gebruikt in de vorm van 4 : 3. De gemiddelde leerling zal van 10 van dergelijke opgaven er
gemiddeld 6 à 7 goed beantwoorden.
Voorbeeldopgaven 17-22 Verhoudingen

17 Op de Mariaschool zitten 600 kinderen.

18

30 kinderen gaan met de bus naar school.
Vul in.
Dat is 1 op de

kinderen.

Dit raam is op schaal getekend.
Het raam is in werkelijkheid 210 cm breed.
Hoeveel cm is de hoogte in werkelijkheid?
			 cm

174

PPON

19	De verhouding aardbeien-suiker bij het maken van

21 De ponyclub heeft 40 leden, waarvan 30 meisjes.

jam is 4 : 3.
	Als je 8 kg aardbeien gebruikt hoeveel suiker moet
daar dan bij?

Vul in.
1 van de

leden is een jongen.

			 kg
22	De politie controleert 48 fietsen. 5 van elke 8 fietsen
hebben geen licht.
20

Hoeveel van die 48 fietsen hebben wel licht?
			

In de speelgoedfolder is de pop 5 cm lang.
In werkelijkheid is de pop 65 cm lang.
Op welke schaal is de pop in de folder getekend?
Schaal 1 op

De percentiel-75 leerling beheerst de voorbeeldopgaven 1 tot en met 22 goed, voorbeeldopgave
23 nagenoeg goed en de voorbeeldopgaven 24 tot en met 30 matig. In voorbeeldopgave 22
wordt leerlingen gevraagd hoeveel fietsen verlichting hebben, gegeven het feit dat van
48 fietsen er 5 van elke 8 geen licht hebben. Deze voorbeeldopgave wordt door deze leerlingen
goed beheerst. Ook het 40 keer verkleinen van een toren van 60 meter (voorbeeldopgave 23)
wordt door deze leerlingen nagenoeg goed beheerst. 46% van alle leerlingen die deze opgave
gemaakt heeft, geeft het correcte antwoord 1,5 meter. 13% geeft als antwoord 20, dit is het
verschil tussen de twee getallen in de opgave 60 en 40. 6% geeft als antwoord 15 meter, 5%
geeft als antwoord 2 meter. In de voorbeeldopgaven 24 tot en met 30 moeten verhoudings­
redeneringen gebruikt worden als:
• 48 000 kaartjes zijn verkocht. 2 van de 3 kaartjes zijn in Nederland verkocht, dat zijn ....
kaartjes (voorbeeldopgave 24);
• 212 gram oploskoffie is 1 kopje. 200 gram oploskoffie is .... kopjes koffie (voorbeeldopgave 25);
• 1 liter is 15 km. 12 000 km is .... liter (voorbeeldopgave 26);
• 3 tegels is 8 bakstenen. 66 tegels is ... bakstenen (voorbeeldopgave 28);
• 1 bal is 5 euro en 4 halen is 3 betalen. 24 ballen is .... euro (voorbeeldopgave 29);
• 10 delen verf is 1 deel water. 5 liter verf is ... liter water (voorbeeldopgave 30).
Deze verhoudingsopgaven worden door de percentiel-75 leerling matig beheerst.

175

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 23-30 Verhoudingen

23	In Madurodam is de Oosterkerktoren in het klein

27

nagebouwd.
Hij is 40 keer verkleind.
In werkelijkheid is hij 60 meter hoog.
Hoe hoog is hij in Madurodam?
			 m

24	Voor de voetbalwedstrijd Nederland-Denemarken zijn
48 000 kaartjes verkocht. Van elke 3 kaartjes zijn er 2
in Nederland verkocht.
Hoeveel kaartjes zijn in Nederland verkocht?
	Tien kinderen gaan naar de film. Ze maken gebruik
			 kaartjes

van de korting en delen de kosten.
Hoeveel moet ieder nu betalen?

25 In een potje oploskoffie zit 200 gram.

	Met 2 12 gram oploskoffie kun je 1 kopje koffie maken.

€

28	Vader maakt een tegelpaadje van tegels en
bakstenen.
	Elke keer als hij 3 tegels legt, legt hij er aan één kant
8 bakstenen tegenaan.
Het paadje wordt 66 tegels lang.

	Hoeveel kopjes koffie kun je hoogstens maken met
1 potje oploskoffie?
			 kopjes koffie

26 Per jaar rijden wij in onze auto 12 000 km.
	De auto loopt 1 op 15, dat wil zeggen op 1 liter
benzine rijdt hij 15 km.
Hoeveel liter benzine verbruiken wij per jaar?
			 liter
Hoeveel bakstenen heeft hij nodig?
			 bakstenen

176

PPON

29

30

Sportvereniging Rood-Zwart koopt 24 ballen.

Koos voegt water toe volgens het voorschrift.

Hoeveel euro moet de vereniging betalen?

Hij gebruikt de hele bus verf.
Hoeveel liter water voegt hij toe?

			 euro
			 liter

De percentiel-90 leerling beheerst alle voorbeeldopgaven goed met uitzondering van
voorbeeldopgave 30, welke matig wordt beheerst. Voorbeeldopgave 27 wordt door de
percentiel-75 leerling matig en door de percentiel-90 leerling goed beheerst. In deze
voorbeeldopgave wordt dezelfde afbeelding gebruikt als in voorbeeldopgave 4 (1 kaartje € 5,-,
3 kaartjes voor de prijs van 2). Voorbeeldopgave 27 is echter aanzienlijk moeilijker dan
voorbeeldopgave 4. In voorbeeldopgave 4 wordt een eenvoudige berekening gevraagd (totaal­
prijs van 9 kaartjes), terwijl in voorbeeldopgave 27 een complexe berekening wordt gevraagd:
leerlingen moeten de totaalprijs voor 10 kaartjes berekenen: 3 x de prijs van 2 kaartjes
(9 kaartjes is € 30 euro) + 1 los kaartje (€ 5) = € 35. Vervolgens moeten ze berekenen hoeveel elk
kind per persoon moet betalen (€ 35 : 10 = € 3,50).

177

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Verhoudingen

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

178

PPON

27

28

29

30

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

vw
o

GT
hav
o

BB

isje

Geslacht

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

179

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Verhoudingen
-

Toepassingsopgave waarbij bepaald moet worden hoeveel water toegevoegd moet worden bij 5 liter muurverf, wanneer 1 deel water toegevoegd moet worden
op 10 delen verf (opgave 30)

-

Toepassingsopgave waarbij berekend moet worden hoeveel een sportvereniging moet betalen voor 24 ballen, waarvoor de aanbieding geldt 4 halen, 3 betalen (opgave 29)
Toepassingsopgave waarbij op basis van een patroon in het tegelwerk bepaald moet worden hoeveel stenen er nodig zijn (opgave 28)
Complexe toepassingsopgave waarin onder meer gerekend moet worden met de aanbieding 3 voor de prijs van 2 (opgave 27)
Toepassingsopgave waarbij berekend moet worden hoeveel liter benzine per jaar verbruikt wordt, wanneer gegeven is dat de auto 1 op 15 loopt en
12 000 km per jaar rijdt (opgave 26)
Toepassingsopgave waarbij uitgerekend moet worden hoe vaak 2 ----21 in 200 past (opgave 25)
Toepassingsopgave waarbij bepaald moet worden hoe hoog een toren van 60 meter wordt, wanneer deze 40 keer verkleind wordt (opgave 23)
Verhoudingentaal omzetten naar werkelijke aantallen, 48 000 kaartjes zijn verkocht, van elke 3 zijn er 2 in Nederland verkocht, hoeveel kaartjes zijn dat? (opgave 24)

-

-

Verhoudingentaal omzetten naar werkelijke aantallen, zoals 5 van elke 8 fietsen hebben licht, hoeveel van de 48 fietsen heeft geen licht (opgave 22),
verhoudingentaal 4:3 naar aantallen (opgave 19)
Beschrijvingen met aantallen omzetten naar beschrijvingen in verhoudingentaal, zoals 40 leden, waarvan 30 meisjes, 1 van de ____ is jongen (opgave 21) en
30 van de 600 is 1 op de ___ (opgave 17)
Bepalen op welke schaal iets getekend is, als de lengte op een tekening en in de werkelijkheid gegeven zijn (opgave 20)
De ontbrekende afmeting bepalen van een raam op schaal van 5 cm bij 7 cm die in werkelijkheid 210 cm breed is (opgave 18)

-

Complexe opgave waarbij procenten- en verhoudingentaal gecombineerd moeten worden (opgave 12)

-

Toepassingsopgave waarbij berekend moet worden hoeveel zakjes gemaakt kunnen worden van 50 spekjes en 100 dropveters bij een verhouding van 2 spekjes en
3 dropveters (opgave 16)
De ontbrekende afmeting bepalen van een foto van 15 cm bij 10 cm die vergroot wordt tot 90 cm bij ___ cm (opgave 15)
Omzetten van gegevens uit een cirkeldiagram naar verhoudingentaal (opgave 14)
Beschrijvingen met aantallen omzetten naar beschrijvingen in verhoudingentaal, 24 van de 26 is ___ op de 3 (opgave 13)
Op basis van de verhouding werkelijke aantallen geven (opgave 11)

-

Toepassingsopgave waarbij berekend moet worden hoeveel 5 kg vlees kost, wanneer gegeven is dat 3 kg vlees 45 euro kost (opgave 10)
Beschrijvingen met aantallen omzetten naar beschrijvingen in verhoudingentaal, 500 van de 2500 is 1 op de ___ (opgave 9)
Een percentage omzetten naar een globale verhouding (opgave 8)
Beschrijvingen met aantallen omzetten naar beschrijvingen in verhoudingentaal, 30 van de 120 is 1 op de 5, 4 op de 5, 1 op de 4 of 3 op de 4 (opgave 7)
Toepassingsopgave waar op basis van een recept voor 4 personen, de benodigdheden voor 10 personen bepaald moet worden (opgave 6)
Vanuit verhoudingentaal aantallen afleiden, 1 op de 10 mensen van 3000 (opgave 5)

-

Toepassingsopgave waarbij berekend moet worden hoeveel 9 kaartjes kosten wanneer de aanbieding 3 kaartjes halen is 2 betalen geldt (opgave 4)

-

Opgave waarbij de relatie tussen 80 en 40 moet worden doorzien (opgave 3)
Opgave waarbij de relatie tussen 80 en 4 moet worden doorzien (opgave 2)

-

Eenvoudige voorbeeldopgave zoals 15 pannenkoeken is 2 eieren -> 45 pannenkoeken is _____ eieren (opgave 1)

-

© Cito

10

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

180

PPON

Verschillen tussen 2011 en 2004
Het vaardigheidsniveau van de leerlingen bij het onderwerp Verhoudingen is tussen 2004 en
2011 nauwelijks toegenomen. Het niveau dat in 2004 door 75% van de leerlingen beheerst
werd, wordt in 2011 door 77% beheerst. Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen
werd behaald, wordt in 2011 door 52% behaald.
Verschillen tussen leerlingen
Leerlingen met verschillende formatiegewichten hebben een verschillend vaardigheidsniveau.
0.0-leerlingen scoren het hoogst, gevolgd door de 0.3-leerlingen en daarna de 1.2-leerlingen.
De gemiddelde leerling met formatiegewicht 1.2 functioneert op het gebied van verhoudingen
op hetzelfde niveau als de percentiel-25 leerling.
Het vaardigheidsniveau van jongens ligt een fractie hoger dan dat van meisjes.
De onderscheiden doorstroomniveaus vertonen de te verwachten progressie in vaardigheid.
Vergelijken we de gemiddelde BB-leerling met de gemiddelde vwo-leerling, dan zien we dat de
gemiddelde BB-leerling de eerste voorbeeldopgave nagenoeg beheerst terwijl de gemiddelde
vwo-leerling de eerste 24 voorbeeldopgaven beheerst.
Tabel 6.1

Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Verhoudingen
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

247

50

2011

250

50

0.0

255

48

0.3

230

50

1.2

211

49

Jongens

258

49

Meisjes

241

49

BB

172

34

KB

204

34

GT

232

34

havo

265

33

vwo

302

33

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

181

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Tabel 6.2

Verhoudingen: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011

2004

2011

75%

77%

50%

52%

Tabel 6.3	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Verhoudingen
Opgaven die de gemiddelde leerling:
Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

-

1 tot en met 3

4 tot en met 30

KB

1

2 tot en met 8

9 tot en met 30

GT

1 tot en met 4

5 tot en met 19

20 tot en met 30

havo

1 tot en met 16

17 tot en met 27

28 tot en met 30

vwo

1 tot en met 24

25 tot en met 30

-

6.2

Breuken

Inhoud
Bij dit onderwerp gaat het om basiskennis en elementaire begrippen die nodig zijn om met
breuken en gemengde getallen te kunnen werken en om het kunnen toepassen van die kennis
bij het opereren (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) met breuken en gemengde
getallen. De breuken en gemengde getallen die in de opgaven voorkomen hebben een hoge
gebruikswaarde. De opgaven zijn vrijwel geheel beperkt tot opgaven die concreet voorstelbaar
zijn en zaken die leerlingen in het dagelijks leven kunnen tegenkomen. Het gaat bij de opgaven
vooral om het inzichtelijk kunnen oplossen en niet om een grote vaardigheid in het opereren
met allerhande soorten breuken en ook niet om het hanteren van regels zoals: ‘delen is
vermenigvuldigen met het omgekeerde’.
In de opgaven van dit onderwerp komen verschillende aspecten van breuken aan de orde, zoals:
• de deel-geheel relatie: 34 als 3 van de 4 delen van een geheel ( 34 taart)
• de breuk als meetgetal: bijvoorbeeld in 34 meter, 34 liter;
• de breuk als operator: 34 als deel van een aantal ( 34 van de Nederlanders);
• de breuk als uitkomst van een deling;
• de breuk als getal op de getallenlijn (zowel precies als globaal);
• de breuk als verhouding, bijvoorbeeld 3 van de 4 Nederlanders is 34 deel van de Nederlanders.
In de opgaven komen een aantal elementaire operaties voor zoals:
• aanvullen;
• vergelijken van de grootte van breuken;
• omzetten van breuken in kommagetallen, zowel precies als globaal schattend;
• vereenvoudigen ( 68 = 4. ) en compliceren ( 34 = 8. );
• breuken als 25
4 als gemengd getal schrijven;
• optellen en aftrekken van gelijknamige en ongelijknamige breuken;
• vermenigvuldigen en delen, waarbij een of meer breuken of gemengde getallen gebruikt
worden.

182

PPON

Bij vermenigvuldigen komen aan de orde:
• een geheel getal vermenigvuldigen met een breuk of omgekeerd of een deel van een aantal
nemen
• ( 13 deel van 150 euro), waarbij al dan niet afgerond moet worden;
• een breuk met een breuk vermenigvuldigen of een deel van een deel nemen ( 12 deel van
1
2 liter)
Bij delen komen aan de orde:
• een breuk delen door een geheel getal ( 12 : 2);
• een breuk of gemengd getal delen door een breuk (bepalen hoeveel 115 : 14 is in een situatie
waarbij bijvoorbeeld gevraagd wordt hoeveel pakjes van 14 liter je moet kopen als je 115 liter
slagroom nodig hebt);
• een geheel getal delen door een breuk of gemengd getal (100 : 212 ).
Bij een aantal opgaven moeten meerdere bewerkingen uitgevoerd worden, bijvoorbeeld
combinaties van optellen en aftrekken. Soms zijn de getallen waarmee uiteindelijk gerekend
moet worden niet rechtstreeks gegeven, maar moeten ze afgeleid worden uit de context.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling heeft een redelijk goede beheersing van de eerste voorbeeldopgave.
De voorbeeldopgaven 2 tot en met 9 worden door deze leerlingen matig tot onvoldoende
beheerst. De eerste voorbeeldopgave is een driekeuzeopgave waarin leerlingen moeten kiezen
in welke kan de grootste hoeveelheid antivries zit. Op elke kan staat in breuken aangegeven
hoeveel liter antivries en hoeveel liter water er in zit. Deze leerlingen hebben een matige
beheersing van het beschrijven en visualiseren van breuken en het positioneren en vergelijken
van breuken als het gaat om:
• vergelijken van 4 cirkeldiagrammen (voorbeeldopgave 3);
• het positioneren van 14 op de getallenlijn (voorbeeldopgave 5);
• het in breuken beschrijven van één miljard mensen uit China op 5 miljard mensen op de
wereld (voorbeeldopgave 7).
Daarnaast hebben deze leerlingen een matige beheersing van de voorbeeldopgave 2, een
herleidingsopgave, waarin ze 300 van de 1200 kinderen als een breuk moeten beschrijven.
De volgende opgaven die handig opgelost kunnen worden, worden eveneens matig beheerst:
• 34 deel van 200 plaatsen (voorbeeldopgave 4);

183

•

1
4 deel van 400 blokken (voorbeeldopgave 6);

•

3 1
8 + 4 = (voorbeeldopgave 8); en

•

3
8 deel van € 16 (voorbeeldopgave 9).

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 1-9 Breuken

1

5

In welke kan zit de meeste antivries?

Waar ligt 14 op de getallenlijn?
Zet daar een pijltje bij.

6
2	1200 kinderen van groep zeven en acht moesten
zeggen of ze graag in de achtbaan gaan. 300 kinderen
houden daar niet van.
Wat is juist?
1
A	
16 deel van de kinderen houdt niet van de

achtbaan.

1
B	
12 deel van de kinderen houdt niet van de

Marja bouwt dit huis. Ze heeft 34 deel af.

achtbaan.

1
C	
4 deel van de kinderen houdt niet van de

Hoeveel blokken heeft ze nog nodig?

1
D	
3 deel van de kinderen houdt niet van de

			 blokken

achtbaan.
achtbaan.

7	Op de hele wereld wonen ongeveer 5 miljard mensen.
3	In Nijmegen zijn 2000 auto’s gecontroleerd.

Eén miljard van de mensen woont in China.

In 500 auto’s zaten twee of meer personen.

Dat is ongeveer .... deel van de wereldbevolking.

Welke van deze tekeningen hoort bij deze controle?

2 of meer

1 pers.

2 of meer

A
1 pers.

1 pers.

8

3 1
+ =
8 4

9

C

1 pers.

2 of meer

2 of meer

B

D

4	In de concertzaal is van de 200 plaatsen 34 deel

gereserveerd voor mensen met een abonnement.

	Een hele vierkante pizza kost € 16. Heleen koopt drie
stukken van deze pizza.
Hoeveel moet ze betalen?

Hoeveel plaatsen zijn dat?
€
			 plaatsen

184

PPON

De percentiel-25 leerling beheerst de eerste zes voorbeeldopgaven redelijk goed tot goed en de
voorbeeldopgaven 7 tot en met 15, 17 en 18 matig. Voorbeeldopgave 16 wordt door deze
leerlingen nog niet beheerst. In voorbeeldopgave 10 moeten leerlingen aflezen in welke
6
liter melk zit. Deze leerlingen beheersen dit type opgaven matig.
maatbeker 10
Voorbeeldopgaven 11 tot en met 14 zijn herleidingsopgaven over:
• het vereenvoudigen van 19
4 in helen en de resterende breuk (voorbeeldopgave 11);
• 4 van de 28 omzetten naar een breuk (voorbeeldopgave 12);
• 25 liter melk omzetten naar een decimaalgetal (voorbeeldopgave 13);
?
• het vereenvoudigen van 24
36 naar 3 (voorbeeldopgave 14).
82% van de leerlingen die voorbeeldopgave 14 gemaakt heeft, geeft het correcte antwoord 23 .
4% van de leerlingen geeft als antwoord 13. Ook geeft 2% als antwoord 12, dit is het getal
waardoor gedeeld moet worden.
Voorbeeldopgave 15 is een bewerkingsopgave. In deze opgave moeten leerlingen eerst 14 deel
van € 100 000,- berekenen om vervolgens te berekenen hoeveel 15 deel van € 25 000,- is.
De percentiel-25 leerling beheerst deze toepassingsopgave matig. Het correcte antwoord 5000
wordt door 73% van alle leerlingen die deze opgave gemaakt hebben gegeven. De grootte van
het getal maakt deze opgave lastig. 5% van de leerlingen geeft als antwoord 500, 3% geeft als
antwoord 50 000. Ook het uitrekenen van 56 – 23 = (voorbeeldopgave 17) en 56 – 12 = (voorbeeld­
opgave 18) wordt door deze leerlingen matig beheerst. In voorbeeldopgave 16 wordt leerlingen
impliciet gevraagd om 34 liter druivensap op te tellen bij 212 liter appelsap. Deze voorbeeldopgave
is nog te moeilijk voor de percentiel-25 leerling.
Voorbeeldopgaven 10-17 Breuken
6
10 Voor een saus heeft Marian 10
liter melk nodig.
6
In welk maatglas zit 10
liter melk?

13 25 liter melk is evenveel als
A

0,25 liter melk

B

0,1 liter melk

C

0,2 liter melk

D

0,4 liter melk

E

0,5 liter melk

F

2,5 liter melk

14

	Welk getal moet staan op de plaats van het
11 Helen eruit halen.

9
= ...
14

vraagteken?
			

12	In groep 8 van de Regenboogschool dragen 4 van de
28 kinderen een bril.
Welk deel van de kinderen draagt een bril?
..
. deel

185

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

15

16	Voor het kinderfeest maakt Femke dubbeldrank van
druivensap en appelsap.

	Ze gebruikt 34 liter druivensap en 2 12 liter appelsap.
Hoeveel liter dubbeldrank maakt Femke?
			 liter

17

5 2
– =
6 3

	4 opa’s hebben samen € 100 000,- gewonnen.

Iedere opa krijgt 14 deel. Opa Loran geeft zijn deel aan
zijn kleinzonen. Ieder krijgt 15 deel.

Hoeveel euro krijgt elke kleinzoon?
€

De gemiddelde leerling heeft een goede beheersing van de voorbeeldopgaven 1 tot en met 13,
een redelijk goede beheersing van de voorbeeldopgaven 14 en 15 en een matige beheersing
van voorbeeldopgaven 16 tot en met 23. Ook voorbeeldopgave 26 wordt door deze leerlingen
matig beheerst. De eerste 18 voorbeeldopgaven zijn hierboven besproken. Voorbeeldopgaven
19, 20 en 22 zijn opgaven waarin leerlingen 1 – 23 + 16 = (voorbeeldopgave 19); 1 + 14 + 14 + 18 =
(voorbeeldopgave 20); en een halve liter wijn gedeeld door 4 glaasjes is
liter per glas
(voorbeeld­opgave 22) moeten berekenen. Van de leerlingen die voorbeeld­opgave 19 hebben
gemaakt, geeft 66% het goede antwoord 16; 13 wordt door 6% van de leerlingen als antwoord
gegeven en 46 door 4%. De gemiddelde leerling heeft een matige beheersing van deze voorbeeld­
(voorbeeldopgave 21) en
opgaven. Ook de complexere bewerkingen 34 uur is € 36, 12 uur is €
425 – 245 = (voorbeeldopgave 23) worden door de gemiddelde leerling matig beheerst.
Voorbeeldopgaven 18-23 Breuken

18

5 1
– =
6 2

19

2
1
3 deel stemt ‘nee’. 6 deel stemt ‘ja’.

Welk deel van de bewoners heeft geen mening?
..
.. deel

186

PPON

21	De fietsenmaker is 34 uur bezig geweest met de fiets

20

van Els. Zij moet 36 euro arbeidsloon betalen. Met de
fiets van Tineke is de fietsenmaker een half uur bezig
geweest.
Hoeveel euro moet Tineke aan arbeidsloon betalen?
€

Hoeveel liter slagroom is dit in totaal?

22	Peter verdeelt een halve liter wijn eerlijk over vier
glaasjes.
Hoeveel liter wijn zit dan in elk glas?

			 liter

			 liter

23

425 – 245 =

De percentiel-75 leerling beheerst voorbeeldopgaven 1 tot en met 22 goed, de voorbeeld­
opgaven 23, 24 en 25 redelijk goed en voorbeeldopgaven 26 tot en met 29 matig. De voorbeeld­
opgaven 24 tot en met 26 zijn toepassings-/bewerkingsopgaven. De voorbeeldopgaven 24
( 25 x 45 =) en 25 (1 – 25 + 13 =) worden door de percentiel-75 leerling redelijk goed beheerst.
Voorbeeldopgave 26 ( 45 deel van 220 meter) is iets moeilijker en wordt door deze leerlingen
matig beheerst. Van 10 vergelijkbare opgaven zouden deze leerlingen er gemiddeld 7 goed
beantwoorden. Van alle leerlingen die deze opgave gemaakt hebben geeft 50% het correcte
antwoord 176. 8% van de leerlingen geeft het antwoord 200 en 7% van de leerlingen geeft als
antwoord 180. Het antwoord 44, 15 deel, wordt door 5% van de leerlingen gegeven.
Voorbeeldopgaven 27, 29 en 30 zijn herleidingsopgaven. Voorbeeldopgave 27 (40% van € 100,- en
daar 35 deel van) en voorbeeldopgave 29 (leerlingen moeten uit 5 breuken en kommagetallen
kiezen welke twee gelijk zijn) worden door deze leerlingen matig beheerst. Herleidingsopgave
30 ( 13 deel van een kwart van de taart is ...
... van de hele taart) wordt door deze leerlingen nog niet
beheerst.
Voorbeeldopgaven 24-30 Breuken

24

2
x 45 =
5

26

25 Een grote lading zand moet vervoerd worden.

	Vrachtwagen A laadt 25 deel van de totale lading in
één keer.

	Vrachtwagen B laadt 13 deel van de totale lading in
één keer.

	De lengte van deze brug wordt 220 meter. De brug is
voor 45 deel af.

Hoeveel meter is de brug nu lang?

Welk deel van het zand blijft liggen?
			 meter
			 deel

187

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

27	Jasper kreeg vorig jaar € 100,- zakgeld. Hij zette

hiervan 40% op zijn spaarrekening, 25 deel gebruikte

29 Welke twee getallen hebben dezelfde waarde?
150
200

hij voor cd’s en van de rest heeft hij cadeaus gekocht.
Voor hoeveel euro heeft Jasper cadeaus gekocht?

0,075

0,750

7 12

20
25

			 en
€
30
28

	Dit stuk van de taart is nog over. Jolijn, Laura en Bea
Martijn maakt volgens dit recept vruchtendrank.

krijgen hiervan elk 13 deel.

Hoeveel liter maakt Martijn in totaal?

Welk deel van de hele taart krijgt elk kind?

			 liter

			 deel

De percentiel-90 leerling beheerst voorbeeldopgave 30 wel matig. Deze leerling heeft een
goede beheersing van de eerste 28 voorbeeldopgaven en een redelijk goede beheersing van
voorbeeldopgave 29. In voorbeeldopgave 28 moeten leerlingen handig uitrekenen hoeveel liter
vruchtendrank 34 liter, 34 liter, 23 liter en 12 liter samen is. De percentiel-75 leerling beheerst deze
opgave matig, de percentiel-90 leerling heeft een goede beheersing van deze voorbeeldopgave.
Verschillen tussen 2011 en 2004
De gemiddelde vaardigheid van de leerlingen op het gebied van Breuken is tussen 2004 en 2011
licht gedaald. Eenzelfde kleine daling was te zien in de vergelijking tussen 1997 en 2004.
Het niveau dat in 2004 door 75% van de leerlingen beheerst werd, wordt in 2011 door 73%
beheerst. Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen werd behaald, wordt in 2011 door
47% behaald.

188

PPON

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Breuken
-

Complexere toepassingsopgave waarbij bepaald moet worden welk deel van de gehele pizza ----31 deel van een kwart pizza is (opgave 30)

-

150
-------= 0,750 (opgave 29)
Moeilijkere omzettingen van breuken naar kommagetallen, zoals 200

-

Optelopgave waarbij vier ongelijknamige breuken opgeteld moeten worden, ----43 + ----43 + ----23 + ----21 = (opgave 28)
Complexe opgave waarin breuken en procenten gecombineerd moeten worden (opgave 27)

-

Complexe toepassingsopgave waarbij 1 – ----25 – ----31 berekend moet worden (opgave 25)
Kale vermenigvuldigopgave, zoals ----25 x 45 (opgave 24)

-

Complexe toepassingsopgave waarbij 220 x ----45 = berekend moet worden (opgave 26)
Aftrekken van breuken waarbij ook helen ingewisseld moeten worden, zoals 4 ----25 – 2 ----25 = (opgave 23)

-

Deelopgave waarbij een halve liter verdeeld moet worden over vier glazen (opgave 22)
Complexe toepassingsopgave waarbij ----43 uur is € 36, ----21 uur is € ____ (opgave 21)
Toepassingsopgave waarbij bepaald moet worden ----23 + ----61 + ... = 1 (opgave 19)
Toepassingsopgave waarbij ongelijknamige breuken opgeteld moeten worden, zoals ----43 + 2----21 = (opgave 16) en 1 + ----41 + ----41 + ----81 = (opgave 20)

-

Kale aftrekopgave met ongelijknamige breuken zoals ----65 – ----23 = (opgave 17) en ----65 – ----21 = (opgave 18)

-

Toepassingsopgave waarbij eerst ----41 deel en vervolgens ----51 deel van 100 000 euro bepaald moet worden (opgave 15)
?
24 ---Vereenvoudigen -----36 = 3 (opgave 14)

-

Breuken omzetten in kommagetal, ----25 deel is 0,… (opgave 13)
Werkelijke aantallen in breukentaal, 4 van de 28 draagt een bril, welk deel draagt geen bril (opgave 12)
19 = (opgave 11)
Vereenvoudigen -----4
6
Aflezen in welke kan -----10 liter water zit (opgave 10)

-

Met behulp van een afbeelding bepalen hoeveel ----83 deel van 16 euro is (opgave 9)
Ongelijknamige breuken optellen ----83 + ----41 = (opgave 8)
Werkelijke aantallen omzetten in breukentaal, 1 miljard van 5 miljard is -----...... (opgave 7)
Toepassingsopgave waarbij berekend moet worden hoeveel ----41 deel van 400 is (opgave 6)

-

Aangeven waar ----41 ligt op de getallenlijn (opgave 5)
Eenvoudige opgave waarbij ----43 deel van 200 berekend moet worden (opgave 4)
Werkelijke aantallen omzetten in breukentaal, 300 van de 1200 kinderen is (opgave 2) of een cirkelgrafiek (opgave 3)
Opgave waarbij de grootste breuk gekozen moet worden (opgave 1)
© Cito

10

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

189

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Breuken

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

190

PPON

27

28

29

30

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

191

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Verschillen tussen leerlingen
Het verschil tussen de 0.3- en 1.2-leerling is relatief klein en er is voor beide groepen sprake van
een relatief grote afstand met de 0.0-leerlingen. Een gemiddelde 1.2-leerling beheerst de eerste
5 voorbeeldopgaven van het onderwerp Breuken goed, terwijl een gemiddelde 0.0-leerling de
eerste 13 voorbeeldopgaven goed beheerst.
De gemiddelde vaardigheid van jongens is hoger dan de gemiddelde vaardigheid van meisjes.
Afhankelijk van het doorstroomniveau hebben leerlingen duidelijk onderscheidbare vaardigheids­
niveaus. Vergelijken we de gemiddelde BB-leerling met de gemiddelde GT- en vwo-leerling,
dan zien we dat de gemiddelde BB-leerling geen van de voorbeeldopgaven beheerst, de
gemiddelde GT-leerling de eerste 9 opgaven beheerst, terwijl de gemiddelde vwo-leerling de
eerste 25 voorbeeldopgaven beheerst.
Tabel 6.4

Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Breuken
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

254

50

2011

250

50

0.0

255

48

0.3

223

50

1.2

214

49

Jongens

257

50

Meisjes

243

49

BB

170

33

KB

203

34

GT

235

33

havo

264

33

vwo

300

33

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 6.5

192

Breuken: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011

2004

2011

75%

73%

50%

47%

PPON

Tabel 6.6	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Breuken
Opgaven die de gemiddelde leerling:
Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

-

1 tot en met 3, 5 en 6

4, 7 tot en met 30

KB

1

1 tot en met 11, 13 en 14

12, 15 tot en met 30

GT

1 tot en met 9

10 tot en met 21

22 tot en met 30

havo

1 tot en met 18

19 tot en met 28

29 en 30

vwo

1 tot en met 25

26 tot en met 30

6.3

Procenten

Inhoud
Bij dit onderwerp staat het begrijpen van wat procenten zijn centraal. Een percentage moet
worden begrepen als een verhouding of als een vergelijking van twee of meer grootheden,
waarbij één van de grootheden op 100% gesteld wordt. Essentiële onderdelen van dit
onderwerp zijn:
• inzien dat het geheel 100% is;
• aangeven met behulp van procenten hoe groot een bepaald deel in vergelijking met een
geheel is (zowel precies als globaal schattend);
• de relatie tussen procenten enerzijds en verhoudingen, breuken en kommagetallen
anderzijds;
• Die relatie komt in de opgaven voor bij
-- het vervangen van een percentage door een breuk;
-- het omzetten van een percentage in een vermenigvuldigingsfactor
(bijvoorbeeld 200% → 2 x; 75% → 34 x of 0,75 x);
-- het omzetten van een percentage in een verhouding: 75% → 3 van de 4.
	Bij de opgaven moeten zowel exacte omzettingen gemaakt worden als omzettingen die
globaal schattend van aard zijn (bijvoorbeeld: 49 van de 101 is ongeveer 50%).
• het kunnen gebruiken van percentages in allerlei reële contexten. Daarbij staan niet alleen
centraal het begrip van en de vaardigheid in het rekenen met percentages, maar ook kennis
van begrippen en afspraken in bepaalde sectoren. Daarnaast is bij tal van opgaven het
doorzien van verschillende contexten vereist. We komen onder andere situaties tegen:
-- waarbij iets bijkomt of afgaat, zoals btw, korting, stijging, daling, toename,
prijsverlagingen en dergelijke;
-- met renteberekeningen;
-- met winst en verlies.
Bij een aantal opgaven is het toepassen van de standaardprocedure, waarbij eerst 1%
uitgerekend wordt, een goede strategie, maar bij veel opgaven van dit onderwerp moeten de
leerlingen handig en inzichtelijk rekenen. Het zonder meer toepassen van de
standaardprocedure is dan niet efficiënt. Leerlingen kunnen in die situaties beter strategieën
volgen waarbij bijvoorbeeld:
• het percentage wordt omgezet naar een breuk;
• gebruik wordt gemaakt van verhoudingen;
• de opgave in gedeelten wordt uitgerekend. Dit laatste is vaak een efficiënte strategie bij
percentages boven de 100%.

193

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst de voorbeeldopgaven 1 en 2 goed. De voorbeeldopgaven 3 en
5 worden door deze leerlingen matig beheerst. Voorbeeldopgave 4 en alle overige voorbeeld­
opgaven worden door de percentiel-10 leerling nog niet beheerst. De eerste voorbeeldopgave is
een beschrijvings- en visualiseeropgave waarin leerlingen het ontbrekende getal moeten
bepalen op basis van hun kennis dat polyamide en katoen samen 100% moeten vormen.
Deze voorbeeldopgave wordt door de percentiel-10 leerling goed beheerst. Voorbeeldopgave 2
wordt eveneens goed beheerst. In deze voorbeeldopgave worden leerlingen gevraagd te
berekenen hoeveel een trui van € 90,- met 50% korting kost. Voorbeeldopgave 3 is vergelijkbaar
met voorbeeldopgave 2: hoeveel is 25% van de 240 deelnemers. Deze voorbeeldopgave is echter
een stuk moeilijker voor de percentiel-10 leerling en wordt matig beheerst. Voorbeeldopgave 5
wordt door deze leerlingen ook matig beheerst. In deze voorbeeldopgaven wordt de leerlingen
gevraagd om uit een cirkeldiagram af te lezen hoeveel procent van de ondervraagden minder
vlees zou willen eten ( 34 deel van de cirkel is gelijk aan 75%). Voorbeeldopgave 4 wordt door
deze leerlingen nog niet beheerst. In deze voorbeeldopgaven moeten leerlingen een verhouding
(100 van de 400 bezoekers) omzetten naar
% van de bezoekers.
Voorbeeldopgaven 1-5 Procenten

1

4	100 van de 400 bezoekers van de rommelmarkt zijn
ouder dan 50 jaar.
Hoeveel procent van de bezoekers is dat?
			 %

5

Zou u minder vlees willen eten?

Deze sokken bestaan uit polyamide en katoen.
Hoeveel procent moet bij katoen staan?
			 %

2	Patrick koopt een trui van € 90,- en krijgt 50% korting.
Hoeveel moet hij betalen?
	Hoeveel procent van de ondervraagden zou wel
€

minder vlees willen eten?
			 %

3	Bij een wandeltocht zijn 240 deelnemers. 25% neemt
deel aan de tocht van 10 km.
Hoeveel zijn dat er?
			

194

PPON

De percentiel-25 leerling heeft een goede beheersing van de eerste drie voorbeeldopgaven en
een matige beheersing van voorbeeldopgaven 4 tot en met 11. Voorbeeldopgaven 6, 9 en 10
zijn toepassingsopgaven. In voorbeeldopgave 6 wordt leerlingen gevraagd te berekenen hoeveel
euro een spel goedkoper is in de ene winkel dan in de andere (€ 70,- versus 10% korting op € 80,). 84% van de leerlingen die deze opgave gemaakt hebben, geeft het goede antwoord:
2 euro. 6% van de leerlingen geeft als antwoord 10 euro, dit is het verschil tussen de twee
spellen zónder de korting. 2% geeft als antwoord 8 euro; dit is de korting die gegeven wordt op
het spel in winkel 2. Voorbeeldopgave 10 is vergelijkbaar met voorbeeldopgave 6; leerlingen
moeten berekenen hoeveel een racket van € 200,- met 5% korting kost. Beide toepassings­
opgaven worden door de percentiel-25 leerling matig beheerst. Voorbeeldopgave 9 is ook een
toepassingssopgave, die door deze leerlingen matig wordt beheerst. Leerlingen moeten
berekenen hoeveel een tent van € 240,- met 25% korting kost. Het gaat om dezelfde getallen
als bij voorbeeldopgave 3 maar in die opgave moeten leerlingen 25% uitrekenen van 240.
De getallen in deze voorbeeldopgave lenen zich meer voor een berekening uit het hoofd dan in
voorbeeldopgave 10. Voorbeeldopgaven 7 en 8 zijn opgaven waarin leerlingen breuken of
verhoudingen om moeten rekenen naar procenten: 20% van de steentjes is geel, 14 deel rood
en
% is blauw (voorbeeldopgave 7) en 49 van de 207 leerlingen is ongeveer
%
(voorbeeldopgave 8, meerkeuzevraag). Voorbeeldopgave 11 is een visualisatieopgave waarbij
20 vakjes gegeven zijn en leerlingen 15% van de vakjes moeten inkleuren. Ook de voorbeeld­
opgaven 7, 8 en 11 worden door de percentiel-25 leerling matig beheerst.
Voorbeeldopgaven 6-11 Procenten

6

8	Op basisschool de Klaproos bespelen 49 van de
207 leerlingen een muziekinstrument.
	Ongeveer hoeveel procent van de leerlingen bespeelt
een muziekinstrument?

	Hoeveel is het spel in de ene winkel goedkoper dan in

A

25%		C

50%

B

33% 		D

100%

de andere winkel?
€

7

9

In een doos zitten gekleurde steentjes.

	20% van de steentjes is geel, 14 deel rood en de rest is
blauw.

Hoeveel procent van de steentjes is blauw?
			 %
Jonne koopt deze tent.
Hoeveel euro moet hij betalen?
€

195

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

10

11

Kleur 15% van deze figuur.

Mariska koopt dit racket.
Ze krijgt 5% kassakorting.
Hoeveel moet ze dan betalen?
€

De gemiddelde leerling beheerst de eerste 10 voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgave 11
en 12 redelijk goed. Voorbeeldopgaven 13 tot en met 26, met uitzondering van
voorbeeldopgave 22 worden matig beheerst. Deze opgaven gaan over:
• een half procent van € 500,- (voorbeeldopgave 12);
• 15% korting van € 600,- (voorbeeldopgave 13);
• 12,5% van 16 000 (voorbeeldopgave 14);
• € 40,- per broek, 25% korting op de tweede broek, hoeveel kosten twee broeken samen
(voorbeeldopgave 15);
(voorbeeldopgave 16);
• 500% van € 80,- is €
• Hoeveel procent rente heeft Michiel gekregen als hij € 120,- spaart en € 126,- heeft als de
rente is bijgeschreven (voorbeeldopgave 17);
• 4,8% van 500 ml is
ml (voorbeeldopgave 18);
• 2% van 1424 voertuigen is
voertuigen (voorbeeldopgave 20);
• 52 van de 200 is
% (voorbeeldopgave 21);
• 10% van € 45 aftrekken, en vervolgens bepalen hoeveel euro Jessica terugkrijgt als ze met
€ 50,- betaalt (voorbeeldopgave 24).
• Het berekenen van 100% op basis van de huidige prijs (€ 15,-) en de grootte van de korting
(25%, voorbeeldopgave 25);
• Het berekenen van 100% op basis van de prijs (150 cent per liter) + 2% (voorbeeldopgave 26).
Voorbeeldopgave 22 is ook een toepassingsopgave (90 000 van 150 000 is
%), maar deze
wordt door de gemiddelde leerling nog onvoldoende beheerst. Van alle leerlingen die deze
opgave gemaakt hebben geeft 51% van de leerlingen het goede antwoord: 60%. Van de
leerlingen denkt 10% dat 90 000 34 deel van 15 000 is, en geeft het antwoord 75%. 5% van de
leerlingen geeft als antwoord 65%, en 4% van de leerlingen geeft als antwoord 40%.
In voorbeeldopgaven 19 en 23 moeten leerlingen breuken- en verhoudingentaal omzetten naar
percentages: 3 keer zo veel loofbomen als naaldbomen is
% loofbomen (voorbeeldopgave 19)
en 1 op de 8 kinderen is
% (voorbeeldopgave 23). Beide voorbeeldopgaven worden door de
gemiddelde leerling matig beheerst.

196

PPON

Voorbeeldopgaven 12-26 Procenten

12 Hoeveel is een half procent van € 500,- ?

17	Michel heeft een jaar lang € 120,- op zijn spaarbank­
boekje staan. De bank schrijft de rente bij na een jaar.
Dan staat er € 126,- op Michels boekje.

€

Hoeveel procent rente heeft de bank gegeven?
13

			 %

18

In deze melkdrank zit 4,8% appelsap.
Hoeveel milliliter is dat ongeveer?
A

5 ml		

C

50 ml

B

25 ml		

D

250 ml

Hoeveel moet je nu voor deze fiets betalen?
€

19	Bij het aanleggen van een bos worden 3 keer zoveel
loofbomen als naaldbomen geplant.
Hoeveel procent bestaat dan uit loofbomen?

14 Hoeveel is 12,5% van 16 000?
			 %
			
20
15

	Van ongeveer hoeveel voertuigen werd de snelheid
gemeten?
A

Kim koopt 2 broeken in de aanbieding.

700

B

3000

C

70 000

D

140 000

Hoeveel euro moet ze in totaal betalen?
€

21	Martijn heeft 200 vragenlijsten verstuurd.
52 vragenlijsten kwamen ingevuld terug.
Hoeveel procent is dat?

16 500% van € 80,- is €
			 %

197

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

22	In Cassië wonen ongeveer 150 000 mensen.

25

AUTOWASSTRAAT DE BOER
Deze maand

Ongeveer 90 000 daarvan zijn man.
	Ongeveer hoeveel procent van de inwoners van Cassië

25% KORTING

is man?

Hogedruk voorwas, schuimwassen, onderkant wassen
hardwax powerplus, extra drogen, ruitendoekje
NU voor maar

			 procent

€ 15,	Hoeveel kost deze behandeling normaal in de

23 In de wijk Overmaars staan 4 scholen.

autowasstraat De Boer?

	1 op de 8 kinderen gaat naar basisschool de Piramide.
Hoeveel procent is dat?

€

			 %
26
24

Benzineprijs
Een liter benzine kost nu 150 cent per liter. Vorige week was
de prijs 2% hoger

Hoeveel cent kostte een liter benzine vorige week?
			 cent

	Jessica koopt deze broek van 45 euro. Ze krijgt 10%
korting.
Ze betaalt met 50 euro.
Hoeveel krijgt Jessica terug?
€

De percentiel-75 leerling heeft een goede beheersing van de eerste 20 voorbeeldopgaven, een
redelijk goede beheersing van de voorbeeldopgaven 21 tot en met 23 en een matige beheersing
van voorbeeldopgaven 24 tot en met 28. De eerste 26 voorbeeldopgaven zijn hierboven
besproken. Zowel voorbeeldopgave 27 als 28 zijn toepassingsopgaven, die door deze leerlingen
matig worden beheerst. In voorbeeldopgave 27 wordt leerlingen gevraagd te berekenen
hoeveel van de 2 miljoen poststukken niet binnen één dag worden bezorgd als 95% wel binnen
één dag wordt bezorgd. In voorbeeldopgave 28 moeten leerlingen berekenen hoeveel weken
Carla € 5,- heeft gespaard om een draagbare radio te kopen die € 89,95 kostte en nu 10% is
afgeprijsd. Carla moet net iets meer dan 16 weken sparen (16,191). Van alle leerlingen die deze
opgave gemaakt hebben, geeft 37% het goede antwoord: 17 weken. Het antwoord 16 weken
wordt door 27% van de leerlingen gegeven. Van de leerlingen geeft 3% het antwoord 18.
Deze leerlingen hebben de 10% korting niet van de prijs afgehaald.

198

PPON

Voorbeeldopgaven 27 en 28 Procenten

27	In Nederland worden iedere dag 2 miljoen

28

poststukken verzonden.
	95% van deze poststukken wordt binnen één dag
bezorgd.
	Hoeveel poststukken worden niet binnen één dag
bezorgd?
			 poststukken

	Carla spaart iedere week € 5,- voor deze draagbare
radio. Deze week krijgt ze 10% korting en kan ze de
radio kopen.
Hoeveel weken heeft ze gespaard?
			 weken

De percentiel-90 leerling heeft een goede beheersing van de eerste 27 voorbeeldopgaven en
een matige beheersing van voorbeeldopgaven 28 tot en met 30. Voorbeeldopgave 29 is een
toepassingsopgave waarin leerlingen gevraagd wordt te berekenen hoeveel procent bezoekers
er minder naar het pretpark zijn gekomen dan verwacht (13 200 in plaats van 15 000). Deze
voorbeeldopgave wordt door de percentiel-90 leerling matig beheerst. In voorbeeldopgave 30
moeten leerlingen de breuk 42
60 omzetten in een percentage. Dit wordt door deze leerlingen
eveneens matig beheerst.
Voorbeeldopgaven 29 en 30 Procenten

29	Een pretpark verwachtte op een zaterdag 15 000
bezoekers. Er kwamen er die dag 13 200.
	Hoeveel procent bleef het aantal bezoekers beneden

30 Schrijf 42
60 als percentage.
			

de verwachting?
			 %

199

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Procenten

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

200

PPON

27

28

29

30

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

201

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Procenten
-

42
Omzetten van een complexe breuk in een percentage, -----60 is _____% (opgave 30)
Moeilijke complexe opgave waarbij een percentage berekend moet worden (opgave 29)

-

Complexe opgave waarbij berekend moet worden hoeveel weken gespaard moet worden wanneer de cd-speler 10% goedkoper is en 5 euro per week
gespaard wordt (opgave 28)

-

Opgave waarbij berekend moet worden hoeveel procent van de post niet bezorgd wordt wanneer 95% van 2 miljoen wél bezorgd wordt (opgave 27)
Uitrekenen hoeveel procent 90 000 van de 150 000 is (opgave 22)

-

Complexe opgave waarbij bepaald moet worden hoeveel het bedrag vorige week was wanneer gegeven is dat het bedrag toen 2% hoger lag dan 150 cent (opgave 26)
Complexe opgave waarbij bepaald moet worden hoeveel het normale bedrag is wanneer het bedrag met 25% korting 15 euro is (opgave 25)
Complexe toepassingsopgave waarbij het wisselgeld berekend moet worden wanneer een broek met 45% korting gekocht en met 50 euro betaald wordt (opgave 24)

-

Verhoudingentaal omzetten in procenten, 1 op de 8 is ____% (opgave 23)
Uitrekenen hoeveel procent 52 van de 200 is (opgave 21)

-

Opgaven waarbij globaal gerekend moet worden zoals 4,8 procent van 500 ml (opgave 18) en 2% = 1424 dan is 100% = …. (opgave 20)
Beredeneren hoeveel procent loofbomen er zijn wanneer er 3 keer zoveel loofbomen als naaldbomen zijn (opgave 19)
Complexe toepassingsopgaven zoals opgave 15 waarbij berekend moet worden hoeveel twee broeken kosten wanneer op de tweede broek 25% korting gegeven
wordt en opgave 17 waarbij berekend moet worden hoeveel procent rente verkregen is wanneer het saldo van 120 euro naar 126 euro is gegaan
Opgaven waarbij een percentage van een geheel berekend moet worden, zoals een half procent van 500 euro is (opgave 12), wat een fiets kost wanneer 15% korting
gegeven wordt (opgave 13), wat 12,5% van 50 000 is (opgave 14) en wat 500% van 80 euro is (opgave 16)

-

-

Visualisatieopgave waarbij 20 vakjes gegeven zijn en 15% ingekleurd moet worden (opgave 11)

-

Uitrekenen wat 5% van 200 euro is (opgave 10)
Uitrekenen wat betaald moet worden wanneer 25% korting gegeven wordt op 240 euro is (opgave 9)
Opgave waarbij aangegeven moet worden hoeveel procent 100 van de 400 is (opgave 4) of hoeveel procent ongeveer 49 van de 207 is (opgave 8)
Toepassingsopgave met eenvoudig percentage en eenvoudige breuk waarbij de leerlingen moeten weten dat het geheel 100% is, 20% + ____ + ____ = 100% (opgave 7)
Toepassingsopgave waarbij het verschil in prijs berekend moet worden tussen twee spellen, waarvan de ene met 10% korting verkocht wordt (opgave 6)

-

Aflezen cirkelgrafiek en een segment hiervan omzetten in een percentage (opgave 5)

-

Uitrekenen wat 25% van 240 is (opgave 3)

-

Uitrekenen wat 50% van een bedrag is (opgave 2)
Weten dat het geheel 100% is en dat kunnen toepassen in eenvoudige situaties (opgave 1)
© Cito

10

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

202

PPON

Verschillen tussen 2011 en 2004
Op het gebied van Procenten is een positieve tendens te zien. Net als in de periodes tussen 1992
en 1997 en 1997 en 2004 is een lichte vooruitgang tussen 2004 en 2011 te zien. Het niveau
dat in 2004 door 75% van de leerlingen beheerst werd, wordt in 2011 door 78% beheerst.
Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen werd behaald, wordt in 2011 door 53%
behaald.
Verschillen tussen leerlingen
Het verschil in de gemiddelde vaardigheid tussen de 0.3-leerling en 1.2-leerling is klein.
Het vaardigheidsniveau van de 1.2-leerling op het gebied van procenten is hoger dan het
vaardigheidsniveau van de 0.3-leerling. De relatieve afstand ten opzichte van de 0.0-leerling is
voor beide groepen groot. De 0.0-leerling beheerst de eerste 11 opgaven goed, terwijl de 0.3- en
1.2-leerling de eerste 3 opgaven goed beheersen.
Jongens hebben een hoger vaardigheidsniveau dan meisjes. Het verschil tussen jongens en
meisjes is bij het onderwerp Procenten groter dan bij de onderwerpen Verhoudingen en Breuken.
Met de onderscheiden doorstroomniveaus worden de verschillen in vaardigheden tussen
leerlingen eind groep 8 duidelijk geïllustreerd. De gemiddelde score (172) van een BB-leerling
ligt ruim onder het gemiddelde van de populatie (250). Een leerling met de score van een
gemiddelde BB-leerling beheerst alleen de eerste voorbeeldopgave goed en de tweede en derde
voorbeeldopgave matig. Het verschil in gemiddelde vaardigheid tussen de BB-leerling en de
KB-leerling en tussen de KB-leerling en de GT-leerling is bij de onderwerpen Verhoudingen en
Breuken ongeveer 30. Het verschil tussen de BB-leerling en KB-leerling is bij het onderwerp
Procenten wat groter, 37 punten. Het verschil tussen de KB- en GT-leerling is daarentegen wat
kleiner, 23 punten. De gemiddelde score van een vwo-leerling ligt met 297 ruim boven het
gemiddelde. Een leerling met deze score beheerst de eerste 25 voorbeeldopgaven goed en
voorbeeldopgave 26 tot en met 30 matig.

203

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Tabel 6.7

Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Procenten
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

246

51

2011

250

50

0.0

254

49

0.3

222

50

1.2

232

49

Jongens

259

49

Meisjes

241

49

BB

172

36

KB

209

35

GT

232

35

havo

266

35

vwo

297

35

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 6.8

Procenten: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011

2004

2011

75%

78%

50%

53%

Tabel 6.9	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Procenten
Opgaven die de gemiddelde leerling:

204

Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

1

2 en 3

4 tot en met 30

KB

1 en 2

3 tot en met 11

12 tot en met 30

GT

1 tot en met 5

6 tot en met 15, 18 en 19

16, 17, 20 tot en met 30

havo

1 tot en met 14

15 tot en met 27

28, 29 en 30

vwo

1 tot en met 25

26 tot en met 30

-

PPON

7 Meten en meetkunde

7
Meten en meetkunde

7 Meten en meetkunde
In dit hoofdstuk beschrijven we de resultaten van leerlingen op het
domein Meten en meetkunde. Het centrale thema in de domein
betreft het meetaspect in haar verschillende vormen.
7.1

Meten: lengte

Inhoud
Bij het onderwerp Meten: lengte gaat het om basiskennis en begrip van lengte en lengtematen,
het uitvoeren van herleidingen en het kunnen toepassen van deze kennis en inzichten in tal van
situaties. Essentiële onderdelen zijn:
• vergelijken van voorwerpen, afstanden e.d. op het aspect lengte;
• lengte meten en aflezen van het meetresultaat op liniaal en meetlint;
• bepalen van de lengte door afpassen van een (gedeelte van een) schaallijn op een gegeven
afstand;
• bepalen van de lengte of afstand op basis van een gegeven schaal;
• bepalen van de schaal op basis van de werkelijke afstand en de lengte op een tekening of
kaart;
• interpreteren van lengteaanduidingen op (bouw)tekeningen en gegevens op bijvoorbeeld
kilometertellers;
• kiezen van de juiste maat in een gegeven context;
• uitvoeren van herleidingen met veel voorkomende lengtematen;
• berekenen van omtrek van onder andere rechthoeken, rechthoekige figuren en benaderen
van de omtrek van grillige figuren;
• toepassen door het oplossen van vraagstukken waarbij onder andere herleidingen met
lengtematen uitgevoerd worden.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst de eerste twee voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgaven
3, 4 en 7 matig. In voorbeeldopgave 1 moeten leerlingen meten hoe groot het getekende
penseel is en vervolgens uitrekenen hoe groot dit in werkelijkheid zou zijn (5 x 6 = 30 cm). In de
tweede voorbeeldopgave moeten leerlingen laten zien dat ze enige notie hebben van
grootheden door de maat van een spijker te bepalen. De duim in de tekening kunnen de
leerlingen gebruiken als referentie om te bepalen of een spijker 1,5 mm, cm, m of km is. 91%
van de leerlingen die deze voorbeeldopgave heeft gemaakt, geeft het correcte antwoord: cm.
6% van de leerlingen geeft het antwoord mm.
De percentiel 10-leerlingen hebben een matige beheersing van het omzetten van kilometers
naar meters en omgekeerd, zoals in voorbeeldopgaven 3 en 4. In voorbeeldopgave 3 moeten
leerlingen berekenen hoeveel meter weg er nog vernieuwd moet worden door het verschil
tussen 2 km en 1600 meter te berekenen. In voorbeeldopgave 4 moeten leerlingen 0,6 km
omzetten naar meters. Ten slotte hebben deze leerlingen een matige beheersing van voorbeeld­
opgave 7 waarin wordt gevraagd uit te rekenen hoeveel hekjes van 2 cm er rondom het
achtzijdige terras (elke zijde is 4 cm) van het speelgoedhuis van Elvira geplaatst kunnen worden.

206

PPON

Voorbeeldopgaven 1-7 Meten: lengte

1

5

1 cm op de kaart is in werkelijkheid 10 km.
De afstand tussen 2 plaatsen op de kaart is 4,5 cm.
Hoeveel km is die afstand in werkelijkheid?

Gebruik je liniaal.

			 km

In werkelijkheid is deze penseel 6 keer zo lang.
	Hoeveel centimeter lang is de penseel in
6

werkelijkheid?
			 centimeter

2

	Auto’s die hoger zijn dan 3,1 meter kunnen niet onder
de tunnel door.
Hoeveel cm is 3,1 meter?
Vul in.
			 cm
Deze spijker is 1,5

lang
7

3	Van een stuk weg van 2 km wordt het wegdek
vernieuwd.
1600 meter is al klaar.
Hoeveel meter moet nog?
			 m

4

	Dit is het speelgoedhuis van Elvira. Ze wil hekjes van
m

,6 k

d0
tran

s

2 cm rond het terras zetten.
Hoeveel hekjes heeft ze nodig?
			 hekjes

Hoeveel meter is het nog tot het strand?
			 meter

207

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De percentiel-25 leerling beheerst de eerste drie voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgaven
4 tot en met 7 en 9 matig. Deze leerlingen hebben een matige beheersing van opgaven waarin
gebruikgemaakt moet worden van een schaal (voorbeeldopgave 5) of waarbij de schaal moet
worden bepaald (voorbeeldopgave 9). Voorbeeldopgave 1 beheersen de percentiel 25-leerlingen
wel goed hierbij moeten leerlingen ook een schaal gebruiken, echter de formulering in deze
voorbeeldopgave is minder formeel dan in de voorbeeldopgaven 5 en 9. In voorbeeldopgave 6
wordt leerlingen gevraagd hoeveel centimeter 3,1 meter is. Deze leerlingen beheersen deze
voorbeeldopgave matig. Voorbeeldopgave 8 lijkt qua vorm op voorbeeldopgave 3. Leerlingen
moeten in deze voorbeeldopgaven berekenen hoeveel meter van de weg of spoorlijn nog
aangelegd moet worden. Voorbeeldopgave 8 is echter nog te moeilijk voor de percentiel-25
leerling, in tegenstelling tot voorbeeldopgave 3. Het aftrekken van een kwart kilometer van
1 km vinden deze leerlingen moeilijker dan 2 km min 1600 meter. 69% van alle leerlingen die
voorbeeldopgave 8 gemaakt heeft, geeft het correcte antwoord: 750 meter, 10% van de
leerlingen geeft als antwoord 75 en 5% geeft als antwoord 7500. Deze leerlingen hebben nog
geen notie van het aantal meters in een kilometer. 2% van de leerlingen geeft als antwoord
0,75. Deze leerlingen hebben het antwoord waarschijnlijk gegeven in kilometers in plaats van in
meters.
Voorbeeldopgaven 8 en 9 Meten: lengte

8

De trammaatschappij moet 1 km spoorlijn vervangen.

9

Een kwart kilometer is al aangelegd.
	Hoeveel meter spoorlijn moet nog vervangen
worden?
			 meter

Gebruik je liniaal.
Wat is de schaal van deze plattegrond?
1 cm is in werkelijkheid

meter

De gemiddelde leerling beheerst de eerste zeven opgaven goed en de voorbeeldopgaven 8 tot
en met 12 matig. Deze leerlingen hebben een matige beheersing van het omrekenen van cm
naar mm zoals in voorbeeldopgave 10. In voorbeeldopgave 11 moeten leerlingen op basis
van een schaallijn met behulp van een liniaal de afstand van een wandelroute bepalen.
Deze voorbeeldopgave is redelijk moeilijk omdat leerlingen moeten rekenen met een schaal
1 cm = 200 m en moeten antwoorden in kilometers. De gemiddelde leerling heeft een matige
beheersing van deze relatief complexe vorm van de schaallijn. Daarnaast wordt voorbeeld­
opgave 12 ook matig beheerst. In deze opgave moeten leerlingen 2,2 m aftrekken van
389 centimeter om te bepalen hoeveel centimeter het bed van de muur af staat. 57% van alle
leerlingen die voorbeeldopgave 12 gemaakt heeft, geeft het goede antwoord: 169. 13% van de
leerlingen geeft het antwoord in meters, namelijk 1,69. 1% van de leerlingen trekt 2,2 af van
389 en komt op het antwoord 386,8.

208

PPON

Voorbeeldopgaven 10-12 Meten: lengte
10 Een balk is 6 12 cm dik.

12

Hoeveel mm is dat?

			 mm

11 Eikenwandeling
	De kamer van Jan is 389 cm lang. Zijn bed is 2,2 m
lang.
	Hoeveel centimeter ruimte is over tussen het bed en
de muur?
			 cm

Chantal en Esther lopen deze wandeling.
Hoeveel km is deze wandeling in werkelijkheid?
			 km

De percentiel-75 leerling beheerst voorbeeldopgave 1 tot en met 10 goed en 11 tot en met 14
matig. De eerste twaalf voorbeeldopgaven zijn hierboven besproken. In voorbeeldopgave 13
moeten leerlingen wederom gebruikmaken van een liniaal om te bepalen hoeveel kilometer een
afstand in cm in werkelijkheid is. In deze voorbeeldopgave is de schaallijn echter niet letterlijk
weergegeven, zoals in voorbeeldopgave 11 wel het geval is. Van leerlingen wordt verwacht dat
ze in deze opgave de schaal uit de afbeelding kunnen afleiden door de verhouding te bepalen.
De percentiel-75 leerling beheerst deze voorbeeldopgave matig. In voorbeeldopgave 14 wordt
de kilometerteller van Jim weergegeven. De stand staat op 99,6 km. Aan leerlingen wordt
gevraagd wat de stand op de kilometerteller is als Jim 1500 meter fietst. In deze opgave moeten
leerlingen meters omrekenen naar kilometers en vervolgens een optelling met overschrijding
van het honderdtal maken (99,6 km + 1,5 km).

209

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 13 en 14 Meten: lengte

13

14

Gebruik je liniaal.
Van de paddenstoel naar Bula is het 10 km.

Jim fietst naar zijn vriend. Dat is precies 1500 meter.

Hoeveel km is het van de paddenstoel naar Fela?

Wat staat er dan op zijn kilometerteller?

			 km

			 km

De percentiel-90 leerling heeft een goede beheersing van de eerste dertien voorbeeldopgaven
en een matige beheersing van voorbeeldopgaven 14 tot en met 17. Voorbeeldopgave 18 ligt
buiten het vaardigheidsbereik van deze leerlingen. In voorbeeldopgave 15 moeten leerlingen uit
een tabel aflezen in welke plaats er anderhalve centimeter regen is gevallen. De hoeveelheid
regen in de tabel is in milliliters weergegeven. De percentiel-90 leerling beheerst dit matig. Uit
deze moeilijke opgaven kunnen we constateren dat meten met lengtematen moeilijker wordt
naarmate er meer ingewikkelde bewerkings- en/of verhoudingsvraagstukken bij aan de orde
komen. Voorbeeldopgave 16 is hetzelfde type opgave als voorbeeldopgave 1. Leerlingen moeten
opmeten en berekenen hoe groot het insect in werkelijkheid is. Het insect is echter groter
getekend dan in werkelijkheid, terwijl in voorbeeldopgave 1 het penseel kleiner is getekend dan
in werkelijkheid. In voorbeeldopgave 1 moeten leerlingen dus vermenigvuldigen en in
voorbeeld­opgave 16 moeten leerlingen 3 cm delen door 30. Voorbeeldopgave 16 is aanzienlijk
moeilijker dan voorbeeldopgave 1 en wordt door de percentiel-90 matig beheerst. In
voorbeeldopgave 17 moeten leerlingen 4 bij 3,5 meter met een schaal van 1 : 50 omzetten naar
centimeters. Ook deze opgave wordt door deze leerlingen matig beheerst. Voorbeeldopgave 18
is de moeilijkste voorbeeldopgave op deze schaal en wordt door de percentiel-90 leerling nog
niet beheerst. In deze opgave moeten leerlingen berekenen hoeveel planken van 10,5 cm nodig
zijn om een plafond van 4,5 meter te bedekken.

210

PPON

Voorbeeldopgaven 15-18 Meten: lengte

15

17	De kamer van Meryem is 4 bij 3,5 meter. Ze maakt een

het weer van 10 januari
plaats

windrichting
en snelheid max. min.
mm
weertype meters/sec. temp. temp. neerslag

1 Amsterdam
2 De Bilt
3 Deelen
4 Eelde
5 Eindhoven
6 Den Helder
7 Rotterdam
8 Twente
9 Vlissingen
10 Maasstricht

regen
regen
motregen
regen
regen
regen
regen
regen

o2
zo 2
zo 3
z2
zo 2
o2
o2
o2
w7
zw 5

8
8
8
7
8
8
8
8
10
11

9
9
8
9
9
8
9
10
8
9

1,4
2,0
1,6
2,0
6,9
0,4
4,7
0,1
14,7
12,3

plattegrond van haar kamer op een schaal van 1:50.
Hoe groot is de kamer op de tekening?
			 cm bij

cm

18

	In welke plaats is er ongeveer anderhalve centimeter
regen gevallen?
In ________________

16 Gebruik je liniaal

	Op een plafond van 4,5 meter breed worden planken
getimmerd met een breedte van 10,5 cm.
Hoeveel planken heb je nodig?
			 planken

	De lengte van dit insect is 30 keer zo groot getekend
als de lengte in werkelijkheid is.
Hoe lang is dit insect in werkelijkheid?
			 cm

211

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Meten: lengte

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

212

PPON

15

16

17

18

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

213

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Meten: lengte
-

Toepassingsopgave waarbij bepaald moet worden hoeveel planken van 10,5 cm passen in 4,5 meter (opgave 18)

-

Toepassingsopgaven met schaal zoals opgave 16 waarbij aangegeven moet worden hoe lang het insect in werkelijkheid is als het op de afbeelding 30 keer zo groot is
getekend als in werkelijkheid en opgave 17 waarbij bepaald moet worden hoe groot een kamer van 4 bij 3,5 meter is wanneer de schaal 1:50 is
Aangeven dat 14,7 mm ongeveer anderhalve cm is (opgave 15)

-

Toepassingsopgave waarbij een afstand in meters opgeteld moet worden bij een afstand als kommagetal in kilometers (opgave 14)

-

Schaalopgave waarbij de afstand tot een plaats bepaald moet worden waarbij de schaal moet worden afgeleid uit de afbeelding (opgave 13)

-

Toepassingsopgaven, zoals opgave 12 waarbij 2,2 meter afgetrokken moet worden van 389 cm (opgave 12)
Opgaven waarbij met een liniaal gemeten moet worden hoe vaak de schaallijn past op een lengte en waarbij tevens een omzetting van meter naar kilometer
gemaakt moet worden (opgave 11)

-

Omzettingen van cm naar mm, als 6 ----21 cm = ___ mm (opgave 10)
Omzetting van kilometeraanduiding naar meters waarbij een kwart kilometer afgetrokken moet worden van 1 kilometer (opgave 8)

-

Bepalen van de schaal op basis van een plattegrond waarin de afmetingen in werkelijkheid zijn gegeven (opgave 9)

-

Opgaven waarbij meters omgezet moeten worden, waarbij het getal in meters een kommagetal is (opgave 6)
Bepalen wat de werkelijke lengte is wanneer de schaal gegeven wordt en de afstand op de kaart (opgave 5)

-

Toepassingen waarin leerlingen op basis van een plattegrond moeten bepalen hoeveel hekjes van 2 cm om een achtzijdig terras (elke zijde is 4 cm) geplaatst
moeten worden (opgave 7)
Interpreteren van kilometeraanduidingen met kommagetal op paddenstoelen en wegwijzers zoals bij 0,6 km = ___ m (opgave 4)

-

Omzettingen van kilometer naar meter maken en deze kennis kunnen toepassen (opgave 3)

-

Notie hebben van de lengte van een spijker met een duim als referentiemaat (opgave 2)
Opgave waarbij lengte opgemeten moet worden met liniaal en vastgesteld moet worden hoe lang de penseel in werkelijkheid is, wanneer deze 6 x zo groot is (opgave 1)
© Cito

10

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

214

PPON

Verschillen tussen 2011 en 2004
In het gemiddelde vaardigheidsniveau bij het onderwerp Meten: lengte is een klein verschil
opgetreden vergeleken met de vorige peiling. De licht negatieve trend waarover gesproken
werd in 2004, zet zich ook in 2011 voort. Het niveau dat in 2004 door 75% van de leerlingen
beheerst werd, wordt in 2011 door 72% van de leerlingen beheerst. Het niveau dat in 2004 door
50% van de leerlingen werd behaald, wordt in 2011 door 46% behaald.
Verschillen tussen leerlingen
De posities van de vaardigheidsverdelingen van de 0.0-, 0.3- en de 1.2-leerling liggen ver uiteen,
maar ongeveer even ver van elkaar verwijderd. De gemiddelde 0.0-leerling heeft een
vaardigheid van 256. Dat is ongeveer gelijk aan het gemiddelde van de populatie (zie tabel 7.1).
De gemiddelde 0.3-leerling heeft een vaardigheid van 228. Dat is boven het gemiddelde van de
percentiel-25 leerling. De gemiddelde 1.2-leerling heeft een vaardigheid van 198, dat is boven
het gemiddelde van de percentiel-10 leerling.
Jongens presteren beter dan meisjes en er zijn grote verschillen tussen leerlingen van
verschillende doorstroomniveaus te zien. De gemiddelde BB-leerling functioneert onder het
niveau van de percentiel-10 leerling, de gemiddelde havo-leerling functioneert boven het
niveau van de gemiddelde leerling, maar onder het niveau van de percentiel-75 leerling, de
gemiddelde vwo-leerling functioneert boven het niveau van deze percentiel-75 leerling, maar
onder het niveau van de percentiel-90 leerling.
Tabel 7.1

Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Meten: lengte
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

255

50

2011

250

50

0.0

256

48

0.3

228

49

1.2

198

48

Jongens

262

48

Meisjes

237

48

BB

172

35

KB

201

34

GT

232

34

havo

264

33

vwo

301

33

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

215

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Tabel 7.2

Meten: lengte: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011

2004

2011

75%

72%

50%

46%

Tabel 7.3	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Meten: lengte
Opgaven die de gemiddelde leerling:
Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

BB

1 en 2

KB

1, 2 en 3

4 tot en met 7, 9

8, 10 tot en met 18

GT

1 tot en met 4

5 tot en met 9

10 tot en met 18

3

onvoldoende beheerst
4 tot en met 18

havo

1 tot en met 7

8 tot en met 12

13 tot en met 18

vwo

1 tot en met 10

11 tot en met 15

16 tot en met 18

7.2

Meten: oppervlakte

Inhoud
Bij het onderwerp Meten: oppervlakte gaat het om basiskennis en begrip van oppervlakte, het
bepalen en berekenen van oppervlakte en het kunnen toepassen van deze kennis en inzichten in
tal van situaties. Essentiële onderdelen bij dit onderwerp zijn:
• vergelijken op het aspect oppervlakte. Bij een aantal van de opgaven worden onder andere
roosters als achtergrond gebruikt om de vergelijking te vergemakkelijken en berekeningen
overbodig te maken;
• bepalen van de oppervlakte door af te passen met een gegeven ongestandaardiseerde maat;
• kiezen van de juiste maat in een gegeven situatie;
• precies en schattend berekenen van de oppervlakte van rechthoekige figuren en van
driehoek of parallellogram via omvormen en met behulp van de formule lengte x breedte;
• uitvoeren van herleidingen met veel voorkomende oppervlaktematen;
• toepassingen van oppervlaktemetingen.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling heeft een matige beheersing van de eerste voorbeeldopgave, de
andere voorbeeldopgaven liggen buiten zijn bereik. Voorbeeldopgave 1 is een meerkeuze­
opgave. In deze opgave moeten leerlingen laten zien dat ze notie hebben van oppervlaktematen
door in te schatten of de tuin van Monika 0,3 m2, 3 m2, 30 m2 of 300 m2 is. De leerlingen kunnen
deze schatting maken op basis van de afbeelding van Monika die in haar tuin op een badlaken
ligt te zonnen.

216

PPON

Voorbeeldopgave 1 Meten: oppervlakte

1

Monika ligt in haar tuin te zonnen.
Wat is ongeveer de oppervlakte van haar tuin?
A

0,3 m2		

C

30 m2

B

3 m2		

D

300 m2

Ook de percentiel-25 leerling beheerst de eerste voorbeeldopgave matig. Deze leerlingen
hebben daarnaast ook een matige beheersing van voorbeeldopgaven 2, 3 en 6. In voorbeeld­
opgaven 2 en 3 gaat het om het toepassen (voorbeeldopgave 2) en het herkennen (voorbeeld­
opgave 3) van de formule voor het berekenen van de oppervlakte. In voorbeeld­opgave 2 moeten
leerlingen de formule voor oppervlakte gebruiken en 12 x 6 uitrekenen. 78% van alle leerlingen
die voorbeeldopgave 2 hebben gemaakt geeft het correcte antwoord: 72. Het antwoord 18
wordt door 8% van de leerlingen gegeven. Deze leerlingen hebben geen notie van de formule
voor oppervlakte, ze hebben 12 en 6 opgeteld. 2% van de leerlingen heeft de omtrek van de tuin
berekend, deze leerlingen geven het antwoord 36. In voorbeeldopgave 4 moeten leerlingen het
kind kiezen dat de oppervlakte berekent. Ook voorbeeldopgave 6 wordt door deze leerlingen
matig beheerst. In deze opgave zijn in een vierkant 16 hokjes van 1 x 1 cm afgebeeld. Leerlingen
moeten de oppervlakte van het grijze figuur in het vierkant te bepalen.
Voorbeeldopgaven 4 en 5 zijn voor de percentiel-25 leerling nog te moeilijk.

217

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 2-6 Meten: oppervlakte

2	Een stadstuin is ongeveer 12 meter lang en 6 meter

5

breed.
Hoeveel m2 is dat?
			 m2

3

60 cm

	Hoeveel m2 vloerbedekking heb je ongeveer nodig
voor deze slaapkamer?
Zet een rondje.
90 cm

Welk kind berekent de oppervlakte?

A

15 m2 		

C

20 m2

B

18 m 		

D

24 m2

6

2

1 cm
1 cm

A

	Hoeveel cm2 groot is de oppervlakte van het grijze
4

figuur?
			 cm2

Gebruik je liniaal.
	Hoe groot is de oppervlakte van de woonkamer in
vierkante meters?
			 m2

218

PPON

De gemiddelde leerling beheerst de eerste twee voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgave 3
nagenoeg goed. Voorbeeldopgaven 4 tot en met 6, 10, 11 en 13 worden door deze leerlingen
matig beheerst. Voorbeeldopgaven 4, 5 en 10 zijn opgaven waarin leerlingen de oppervlakte
moeten berekenen door het toepassen van complexere bewerkingen. In voorbeeldopgave 4
gaat het om het berekenen van de oppervlakte door gebruik te maken van een schaallijn en een
liniaal. Het schatten van de oppervlakte (3,95 x 5,98 is ongeveer …) wordt in meerkeuzevorm in
voorbeeldopgave 5 gevraagd. Voorbeeldopgave 10 is complexer dan de voorbeeldopgaven 4 en
5 omdat leerlingen de oppervlakte van een deel van de badkamermuur moeten berekenen, dan
de oppervlakte van een tegel moeten bepalen en uiteindelijk moeten berekenen hoeveel tegels
er nodig zijn om dat deel van de muur te betegelen. Ondanks de complexiteit van
voorbeeldopgave 10 wordt deze toch, net als 4 en 5, door de gemiddelde leerling matig
beheerst. Voorbeeldopgaven 7 tot en met 9 en 12 zijn voor de gemiddelde leerling echter nog te
moeilijk. In voorbeeldopgave 11 moeten leerlingen de oppervlakte berekenen door deze met de
maat van de foto’s af te passen. Ook deze voorbeeldopgave wordt door de gemiddelde leerling
matig beheerst. Hetzelfde geldt voor voorbeeldopgave 13, die vergelijkbaar is met
voorbeeldopgave 6. Opnieuw is een rechthoek met hokjes van 1 cm2 weergegeven waarvan een
aantal hokjes (deels) is gearceerd. Leerlingen wordt gevraagd om de oppervlakte van het figuur
berekenen. Deze voorbeeldopgave is moeilijker dan voorbeeldopgave 6. Dat komt mogelijk door
het feit dat de gearceerde figuur in deze voorbeeldopgave uit twee driehoeken in plaats van uit
één driehoek bestaat.
Voorbeeldopgaven 7-13 Meten: oppervlakte

7

9

Op een rol zit 2 meter pakpapier.
	Hoeveel stukken van 25 cm bij 25 cm kan ik in totaal
uit 1 rol knippen?
Rens maakt een basketbalveld in zijn tuin.
			 stukken

	Hoeveel vierkante meter groot wordt het
basketbalveld?

8

			 m2

60 m
10 m

	Dit stuk grond wordt in 3 even grote schooltuinen
verdeeld.
Wat is de oppervlakte van elke schooltuin?
			 m2

219

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

10

12

4m

8m

	Twee wanden in de badkamer worden betegeld tot
1,25 meter hoogte.
Hoeveel tegels zijn daarvoor nodig?
	Op dit grasveldje komt een tuinhuisje van 3 meter
lang en 3 meter breed.

			 tegels

Hoeveel m2 grasveld blijft dan nog over?
11

			 m2

13

	Hoeveel foto’s van 10 cm bij 15 cm kan de fotograaf
in totaal op dit bord plakken?
			 foto’s

Wat is de oppervlakte van de gestippelde figuur?
			 cm2

De percentiel-75 leerling heeft een goede beheersing van voorbeeldopgave 1 tot en met 4, deze
leerlingen beheersen de opgaven 6 en 7 nagenoeg goed. De voorbeeldopgaven 8 tot en met 13,
15 en 17 worden matig beheerst. In voorbeeldopgave 7 moeten leerlingen berekenen hoeveel
stukken van 25 x 25 cm uit een rol van 50 centimeter breed en 2 meter lang geknipt kunnen
worden. Deze opgave valt onder het afpassen van oppervlakte met behulp van gegeven maten
en wordt door deze leerlingen nagenoeg goed beheerst. Voorbeeldopgave 8 en 9 zijn
voorbeelden van complexere toepassingen van het berekenen van oppervlakte. In voorbeeld­

220

PPON

opgave 8 wordt aan leerlingen gevraagd te berekenen hoe groot de oppervlakte van één
schooltuin is als de totale tuin (60 x 10 m) wordt verdeeld in 3 gelijke stukken. In voorbeeld­
opgave 9 is een tekening gegeven van de tuin van Rens. Leerlingen moeten de oppervlakte van
het basketbalveld berekenen door gebruik te maken van de lengte en breedte van de totale tuin
en de breedte van de grasstroken die om het basketbalveld heen liggen. Van alle leerlingen die
voorbeeldopgave 9 hebben gemaakt, geeft 38% het correcte antwoord: 60. Van de leerlingen
geeft 9% de oppervlakte van de gehele tuin, namelijk 120 m2. 4% geeft het antwoord 30 m2.
Dit is het oppervlakte van het stuk gras in de tuin. 2% van de leerlingen geeft 16 als antwoord.
Deze leerlingen hebben waarschijnlijk wel berekend wat de lengte (10 meter) en de breedte
(6 meter) van het veld is, maar hebben deze getallen opgeteld. Zowel voorbeeldopgave 8 als 9
worden door de percentiel-75 leerling matig beheerst.
Voorbeeld­opgaven 10, 11 en 13 zijn in de voorgaande paragraaf al besproken. In voorbeeld­
opgave 12 moeten leerlingen berekenen hoeveel m2 van een grasveld van 4 bij 8 meter overblijft
wanneer er een tuinhuisje van 3 bij 3 meter op wordt geplaatst. Deze leerlingen hebben een
matige beheersing van deze voorbeeld­opgave. 45% van alle leerlingen die deze opgave gemaakt
heeft, geeft 23 als goed antwoord. 11% van de leerlingen geeft 5 als antwoord, dit is de lengte
van het grasveld dat nog overblijft (8 meter minus 5 meter). 6% van de leerlingen geeft het
antwoord 6, mogelijk hebben deze leerlingen de berekening (4 + 8) – (3 + 3) gedaan. 3% van de
leerlingen geeft het antwoord 12. Dit is het verschil tussen de omtrek van de tuin en de omtrek
van het tuinhuisje. Het berekenen van hoeveel tapijttegels van 50 bij 50 cm in een klaslokaal
van 9 bij 6 meter passen wordt door deze leerlingen nog niet beheerst (voorbeeldopgave 14).
Dit is een voorbeeldopgave waarin leerlingen moeten afpassen met gegeven maten en
daarnaast met een combinatie van maten in meters en centimeters moeten kunnen rekenen.
Hierdoor is voorbeeldopgave 14 moeilijker dan voorbeeldopgave 11, waarin het alleen om
afpassen van oppervlakte gaat en leerlingen niet met een combinatie van twee maten hoeven
te rekenen. Voorbeeldopgave 15 is een toepassings­opgave die door deze leerlingen matig wordt
beheerst. Leerlingen moeten in deze opgave berekenen hoeveel Corine in totaal voor de
vloertegels van € 20,- per m2 moet betalen als zij een kamer van 3,81 bij 3,19 m gaat betegelen.
Leerlingen mogen het antwoord, zoals in voorbeeldopgave 5, bij benadering berekenen en uit
vier antwoordalternatieven kiezen. Voorbeeldopgave 5 is echter gemakkelijker omdat het in die
opgave enkel gaat om het schatten van de oppervlakte. In voorbeeldopgave 15 is een extra
bewerking nodig om te bepalen hoeveel tegels van 20 euro Corine nodig heeft. Voorbeeld­
opgave 16 is voor de percentiel-75 leerling nog te moeilijk. In deze opgave is een tuin van 10 bij
16 meter verdeeld in 4 (ongelijke) delen en moeten de leerlingen de oppervlakte van het deel
waar de groenten staan berekenen. Hierbij kunnen leerlingen de lengte en breedte van de totale
tuin en de hulplijntjes in de afbeelding gebruiken. De hulplijntjes dienen als het ware als een
schaallijn en verdelen de tuin in gelijke stroken, een stukje tussen twee hulplijntjes is gelijk aan
2 meter. Voorbeeldopgave 17 wordt door deze leerlingen matig beheerst en gaat over het
mm2).
herleiden van oppervlaktematen (1 cm2 =

221

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 14-17 Meten: oppervlakte

14

16

9m

klaslokaal

6m

Hoeveel m2 van de tuin wordt voor groente gebruikt?

50 cm
50 cm

	Op de vloer van het klaslokaal worden tapijttegels

			 m2

gelegd.
Hoeveel tapijttegels van 50 cm bij 50 cm zijn nodig?
17
			 tegels
1 cm2 =

mm2

15

	Corine krijgt nieuwe vloertegels op haar kamer.
Haar kamer is 3,81 bij 3,19 meter.
Hoeveel kosten de vloertegels ongeveer in totaal?
A

€ 140,-		

C

€ 240,-

B

€ 180,-		

D

€ 280,-

De percentiel-90 leerling beheerst de eerste 12 voorbeeldopgaven goed, voorbeeldopgave 13
nagenoeg goed en voorbeeldopgave 14 tot en met 17 matig. Voorbeeldopgave 18 is aanzienlijk
moeilijker dan alle andere voorbeeldopgaven van deze schaal en wordt zelfs door de percentiel-90
leerlingen nog niet beheerst. In deze voorbeeldopgave moeten leerlingen, zoals in voorbeeld­
opgave 17, een oppervlaktemaat herleiden (van cm2 naar m2). De moeilijkheid van deze opgave
is wellicht te wijten aan de richting van de herleiding; in voorbeeldopgave 17 moeten leerlingen
cm2 omrekenen naar een kleinere eenheid: mm2 (1 vermenigvuldigen met 100) en in voorbeeld­
opgave 18 moeten leerlingen cm2 omrekenen naar een grotere eenheid: m2 (400 delen door
10 000 of 0,20 x 0,20).

222

PPON

Voorbeeldopgave 18 Meten: oppervlakte

18

De oppervlakte van een tegel is 400 cm2.
Hoeveel m2 is dat?
			 m2

Verschillen tussen 2011 en 2004
Het vaardigheidsniveau op het onderwerp Meten: oppervlakte is tussen 2004 en 2011
nauwelijks toegenomen. Tussen 1997 en 2004 zijn in de vorige peiling minieme verschillen
gevonden. Het niveau dat in 2004 door 75% van de leerlingen beheerst werd, wordt in 2011
door 77% van de leerlingen beheerst. Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen werd
behaald, wordt in 2011 door 51% behaald.
Verschillen tussen l­eerlingen
Het vaardigheidsniveau van 0.0-leerlingen ligt op een relatief grote afstand ten opzichte van het
vaardigheidsniveau van de 0.3- en 1.2-leerling. De 0.3-leerling functioneert op het gebied van
Meten: oppervlakte op hetzelfde niveau als de percentiel-25 leerling. Het vaardigheidsniveau
van de 1.2-leerling ligt hoger, deze groep leerlingen is op dit onderwerp meer vaardig dan de
0.3-leerling. Net als in voorgaande peilingsonderzoeken is bij dit onderwerp geobserveerd dat
jongens een hoger vaardigheidsniveau hebben dan meisjes, de verschillen zijn echter niet groot.
Jongens hebben een gemiddeld vaardigheidsniveau van 255, zij functioneren hoger dan het
gemiddelde van de populatie (250, zie tabel 7.4). Meisjes hebben een gemiddeld vaardigheids­
niveau van 246, dit is lager dan het populatiegemiddelde.
Voor de leerlingen die doorstromen naar BB, KB of GT zijn de opgaven van het onderwerp
Meten: oppervlakte tamelijk complex. Net als bij het onderwerp Meten: lengte is hier te zien
dat de gemiddelde BB-leerling onder het niveau van de percentiel-10 leerling functioneert.
Het verschil in vaardigheidsniveau tussen de gemiddelde leerling met doorstroomadvies KB en
de gemiddelde leerling met doorstroomadvies GT is relatief klein, slechts 10 vaardigheids­
punten. De gemiddelde havo-leerling functioneert boven het niveau van de gemiddelde leerling,
maar onder het niveau van de percentiel-75 leerling. De gemiddelde vwo-leerling functioneert
46 punten hoger dan de gemiddelde havo-leerling. De gemiddelde vwo-leerling functioneert
hiermee boven het niveau van deze percentiel-75 leerling, maar onder het niveau van de
percentiel-90 leerling.

223

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Meten: oppervlakte

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

224

PPON

15

16

17

18

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

225

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Meten: oppervlakte
-

Herleiding waarbij aangegeven moet worden hoeveel m2 400 cm2 is (opgave 18)

-

Toepassingsopgave waarbij leerlingen eerst de afmetingen van het gevraagde stuk moeten bepalen alvorens de oppervlakte berekend kan worden (opgave 16)
Bepalen hoeveel tapijttegels van 50 cm bij 50 cm nodig zijn voor een ruimte van 9 meter bij 6 meter (opgave 14)

-

Basisherleiding waarbij aangegeven moet worden hoeveel mm2 er in een cm2 passen (opgave 17)
Toepassingsopgave waarbij de leerlingen moeten berekenen hoeveel euro de vloertegels voor de kamer van Corine kosten gegeven dat de
kamer 3,81 bij 3,19 meter is en de vloertegels € 20 per m2 kosten (opgave 15)

-

Toepassingsopgaven zoals opgave 9 waarbij de oppervlakte van het deel van de tuin berekend moet worden waar een basketbalveld gemaakt is en opgave 12 waarbij
bepaald moet worden hoeveel vierkante meter overblijft wanneer een deel van de tuin bebouwd wordt
Een stuk grond van 60 meter bij 10 meter in 3 even grote stukken verdelen en aangeven hoe groot de oppervlakte van zo’n stuk is (opgave 8)
In gedachte afpassen met een gegeven maat in een situatie waarbij aangegeven moet worden hoeveel stukken papier van 25 cm bij 25 cm geknipt kunnen worden uit
een rol van 2 m bij 50 cm (opgave 7)

-

-

Bepalen hoeveel foto’s geplakt kunnen worden op een bepaalde oppervlakte (opgave 11)
Bepalen hoeveel tegels nodig zijn voor een bepaalde oppervlakte (opgave 10)

-

Berekenen hoeveel m2 de oppervlakte ongeveer is van een kamer van 5,98 m bij 3,95 m (opgave 5)

-

Vaststellen met behulp van een liniaal op basis van een schaallijn wat de afmetingen van de woonkamer zijn en vervolgens de oppervlakte berekenen (opgave 4)

-

Meerkeuzeopgave waarbij de leerlingen moeten herkennen welk kind de oppervlakte berekent van de poster (opgave 3)

-

Berekenen wat de oppervlakte is, met behulp van de formule voor oppervlakte, van een tuin van 12 meter bij 6 meter (opgave 2)

-

Opgave waarbij notie van oppervlakte gevraagd wordt, leerlingen moeten aangeven hoeveel m2 de oppervlakte van een tuin is (opgave 1)

© Cito

10

In dit schema zijn de slecht discriminerende opgaven 6 en 13 niet meegenomen.

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

226

PPON

Tabel 7.4

Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Meten: oppervlakte
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

248

52

2011

250

50

0.0

255

48

0.3

216

50

1.2

224

49

Jongens

255

50

Meisjes

246

50

BB

182

35

KB

214

34

GT

224

34

havo

260

34

vwo

306

34

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 7.5

Meten: oppervlakte: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011

2004

2011

75%

77%

50%

51%

Tabel 7.6	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Meten: oppervlakte
Opgaven die de gemiddelde leerling:

227

Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

-

1

2 tot en met 18

KB

-

1 tot en met 3

4 tot en met 18

GT

-

1 tot en met 6

7 tot en met 18

havo

1 en 2

3 tot en met 8, 10 tot en met 13

9, 14 tot en met 18

vwo

1 tot en met 9

10 tot en met 17

18

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

7.3

Meten: inhoud

Inhoud
Bij dit onderwerp gaat het om basiskennis en begrip van inhoud en inhoudsmaten, het
uitvoeren van herleidingen en het kunnen toepassen van deze kennis en inzichten in tal van
situaties. Essentiële onderdelen van de schaal zijn:
• vergelijken op het aspect inhoud;
• aflezen van de inhoud op een schaalverdeling zoals bij maatbekers;
• bepalen van de inhoud door een object (bijvoorbeeld een blokje) als natuurlijke maat te
gebruiken;
• berekenen van de inhoud met behulp van de formule lengte x breedte x hoogte;
• kiezen van de juiste maat (l, dl, cl en ml) in een gegeven context;
• uitvoeren van herleidingen met veel voorkomende inhoudsmaten (ml, cl, dl, l en cm3, dm3, m3);
• vergelijken van inhoudsaanduidingen;
• oplossen van vraagstukjes door onder andere gebruik te maken van notie van inhoudsmaten,
het maken van berekeningen en herleidingen.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst van de schaal Meten: inhoud geen enkele voorbeeldopgave
goed. Deze leerling heeft een matige beheersing van voorbeeldopgaven 2 en 3. Het berekenen
hoeveel glazen van 250 ml gevuld kunnen worden met 3 liter melk (voorbeeldopgave 2) wordt
door deze leerlingen matig beheerst. Ook het aflezen van de inhoud met behulp van hulplijnen
beheerst deze leerling matig (voorbeeldopgave 3). De eerste voorbeeldopgave is vergelijkbaar
met voorbeeldopgave 2. In deze opgave moeten leerlingen uitrekenen hoeveel glazen van 25 cl
ze met 1,5 liter kunnen vullen. Deze voorbeeldopgave is echter te moeilijk voor de percentiel-10
leerling.
Voorbeeldopgaven 1-3 Meten: inhoud

1

3

25 cl

Renske schenkt in één glas 25 cl. Ze heeft 1,5 liter cola.
Hoeveel glazen kan ze in totaal vullen?
Hoeveel liter olie zit er in deze kan?
			 glazen
			 liter
2

In elke beker wordt 250 ml melk gedaan.

	Hoeveel bekers kan men in totaal vullen met 3 liter
melk?
			 bekers

228

PPON

De percentiel-25 leerling beheerst voorbeeldopgave 1 wel matig, evenals voorbeeldopgaven 2,
3 en 7. Voorbeeldopgave 7 is een meerkeuzeopgave waarin leerlingen gevraagd wordt hoeveel
sap ongeveer in het afgebeelde glas zit. De leerlingen konden uit vier alternatieven kiezen
(20 ml, 20 cl, 20 dl of 20 l).
Voorbeeldopgaven 4-7 Meten: inhoud

4

6

	Hoeveel dobbelstenen van 1 cm bij 1 cm bij 1 cm
kunnen in totaal in dit kistje?
Hoeveel liter olijfolie is dit samen?
			 dobbelstenen
			 liter
7
5

Hoeveel sap zit er ongeveer in dit glas?
	De binnenmaten van een doosje zijn: 5 cm bij 3 cm bij
2 cm.
	Hoeveel blokjes van één kubieke centimeter kunnen

A

20 ml		

C

20 dl

B

20 cl		

D

20 l

in dit doosje?
			 blokjes

De gemiddelde leerling beheerst de eerste twee voorbeeldopgaven nagenoeg goed en
voorbeeldopgaven 3 tot en met 9 matig. In voorbeeldopgave 4 wordt leerlingen gevraagd
hoeveel liter 0,75 liter en 50 centiliter samen is. 71% van alle leerlingen die deze opgave maakt,
geeft het goede antwoord, 1,25 liter. 14% van de leerlingen geeft het antwoord 0,8 liter.
Deze leerlingen gaan er waarschijnlijk van uit dat 50 centiliter gelijk is aan 0,05 liter.
De gemiddelde leerling zal van 10 van dergelijke opgaven gemiddeld 6 à 7 opgaven juist
beantwoorden. Hetzelfde geldt voor voorbeeldopgave 5. In deze voorbeeldopgave moeten
leerlingen de inhoud van een doos van 2 x 3 x 5 cm berekenen door te bepalen hoeveel blokjes
van 1 kubieke centimeter in het doosje passen. Voorbeeldopgave 6 is vergelijkbaar met
voorbeeldopgave 5: leerlingen moeten berekenen hoeveel dobbelstenen van 1 bij 1 cm in een
kistje van 5 bij 5 cm passen. Het verschil tussen deze opgaven is dat bij voorbeeldopgave 6
gebruikgemaakt wordt van afpassen met natuurlijke maten (zoals de afmetingen van een
dobbelsteen). Voor de gemiddelde leerling is voorbeeldopgave 6 moeilijker dan voorbeeld­opgave 5; van 10 vergelijkbare opgaven zullen deze leerlingen er gemiddeld 5 à 6 goed
beantwoorden in plaats van gemiddeld 6 à 7 zoals bij voorbeeldopgave 5. Voorbeeldopgave 7 is
hierboven besproken. Voorbeeldopgave 8 is een meerkeuzeopgave waarbij leerlingen moeten

229

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

kiezen waar de meeste melk in zit: 33 cl, 0,3 l, 250 ml of 2 dl. De gemiddelde leerling heeft zo’n
50% kans om deze opgave goed te beantwoorden. Ook bij voorbeeldopgave 9 hebben deze
leerlingen 50% kans om de opgave op te lossen. In deze opgave moeten leerlingen berekenen
hoeveel kopjes van 114 dl nodig zijn voor 0,5 liter melk.
Voorbeeldopgaven 8 en 9 Meten: inhoud

8

Waar zit de meeste melk in?

9

Kies uit A, B, C of D.

Recept voor
pannenkoeken
300 gr bloem
0,5 l melk
15 gr gist
75 gr slaolie
zout

Roeland maakt pannenkoeken volgens dit recept.
Hoeveel kopjes melk heeft hij nodig voor het beslag?
(In 1 kopje gaat ongeveer 1 14 dl.)
Ongeveer

kopjes

De percentiel-75 leerling heeft een goede beheersing van voorbeeldopgave 1 tot en met 6 en
een matige beheersing van voorbeeldopgave 7 tot en met 10 en 17. Voorbeeldopgave 10 is een
toepassingsopgave waarbij leerlingen de inhoud van een aquarium moeten berekenen in cm3
en vervolgens moeten berekenen hoeveel dm3 dit is om te kunnen bepalen hoeveel liter water
er in het aquarium zit. Deze voorbeeldopgave wordt door deze leerlingen matig beheerst. 42%
van alle leerlingen die deze opgave gemaakt heeft, geeft het goede antwoord: 40. Bij het
omrekenen van cm3 naar liters worden veel fouten gemaakt. In de opgave wordt gegeven dat
1 liter gelijk is aan 1 dm3. 5% geeft het antwoord in cm3: 40 000, 12% geeft als antwoord 4 en 8%
geeft als antwoord 400. 6% van de leerlingen geeft als antwoord 11. Vermoedelijk hebben deze
leerlingen de maten omgezet in dm en deze getallen opgeteld in plaats van vermenigvuldigd.
Voorbeeldopgaven 10 tot en met 17 Meten: inhoud

10

230

PPON

11

Het aquarium zit vol met water.

In de vijver zit 4 m3 water.

Hoeveel water is dat?

Hoeveel liter water is dat?

			 liter

			 liter

12

15

	De tank is vol. Boer Pietersen giet water van de tank
over in de drinkbak, tot hij vol is.
Hoeveel liter water zit daarna nog in de tank?
			 liter
Hoeveel pakjes boter passen in de doos?
13

			 pakjes

16
	Twee bakjes hebben dezelfde vorm. De maten
verschillen:
kleine bakje

3dm

grote bakje

lengte

20 cm

40 cm

breedte

20 cm

40 cm

hoogte

20 cm

40 cm

10dm

5dm

Het water in het aquarium staat 30 cm hoog.
	Hoeveel liter water moet Sandra erbij doen zodat het

	Het kleine bakje wordt tot aan de rand gevuld met

water 40 cm hoog staat?

water. Daarna gooien we het leeg in de grote bak.
	Hoeveel van die kleine bakjes water moet je in die

A

5 liter		

D

50 liter

grote bak gieten om de grote bak tot de rand toe te

B

10 liter		

E

500 liter

vullen?

C

40 liter

			 kleine bakjes
17
14

	Erik heeft een zwembad in zijn tuin van 7 meter lang
en 4 meter breed. Het water in het zwembad staat
50 cm hoog.
1 m3 gedroogd kersenhout kost € 4000,-.

Hoeveel m3 water zit in totaal in het zwembad?

Hoeveel euro kost 1 dm3 gedroogd kersenhout dan?
			 m3
€ 			

231

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De percentiel-90 leerling beheerst de eerste tien voorbeeldopgaven goed of nagenoeg goed.
Voorbeeldopgaven 11 tot en met 17 worden matig beheerst. In de elfde voorbeeldopgave
moeten leerlingen inhoudsmaten herleiden. Specifiek wordt gevraagd hoeveel liter water er in
4m3 past. Deze leerlingen beheersen deze opgave matig. Voorbeeldopgaven 12 tot en met 17
zijn toepassingsopgaven waarin met behulp van de inhoudsformule (l x b x h) de inhoud van
verschillende voorwerpen berekend moet worden. Deze voorbeeldopgaven worden alle vijf
matig beheerst. Voorbeeldopgave 13 kan ook opgelost worden door gebruik te maken van de
inhoudsformule, maar ook door inzicht. Wanneer de leerling ziet dat het kleine bakje 8 keer in
de grote past is een berekening maken overbodig. Voorbeeldopgave 18 is ook een toepassings­
opgave, maar wordt door de percentiel-90 leerling nog niet beheerst. Dit komt waarschijnlijk
doordat de formule l x b x h drie keer moeten worden toegepast om dat elk derde van het
zwembad een andere diepte heeft. De percentiel-10, -25 en -50 leerling hebben nog geen
beheersing van de formule l x b x h, zoals gevraagd in voorbeeldopgaven 10 en 12 tot en met
18. De percentiel-75 heeft een matige beheersing van de formule en de percentiel-90 leerling
heeft iets meer kans om dergelijke opgaven goed te maken, maar heeft ook een matige
beheersing van de l x b x h formule (voorbeeldopgaven 10 en 12 tot en met 17).
Voorbeeldopgave 18 Meten: inhoud

18

Hoeveel m3 water gaat er in dit zwembad?
			 m3

Verschillen tussen 2011 en 2004
De licht negatieve trend die zichtbaar was tussen 1992 en 2004 zet niet door in de periode
2004 – 2011. Het niveau verbetert evenwel ook niet. Het niveau dat in 2004 door 75% van de
leerlingen beheerst werd, wordt in 2011 eveneens door 75% van de leerlingen beheerst.
Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen werd behaald, wordt in 2011 door 49%
behaald.
Verschillen tussen leerlingen
Het vaardigheidsniveau op het onderwerp Meten: inhoud is gelijk gebleven. Er is geen verschil
tussen de 0.3- en 1.2-leerling. Voor beide groepen is sprake van een relatief grote afwijking van
de 0.0-leerlingen. Een gemiddelde 1.2-leerling heeft een vaardigheidsniveau van 217, een
gemiddelde 0.0-leerling heeft een vaardigheid van 255 (zie tabel 7.7).
Net als bij de onderwerpen Meten: lengte, Meten: oppervlakte en Meten: gewicht (zie
paragraaf 7.4) is het vaardigheidsniveau van jongens gemiddeld hoger dan het vaardigheids­
niveau van meisjes.

232

PPON

De onderscheiden doorstroomniveaus vertonen de te verwachten progressie in vaardigheid.
Vergelijken we de gemiddelde BB-leerling met de gemiddelde vwo-leerling, dan is te zien dat
de gemiddelde BB-leerling geen van de voorbeeldopgaven beheerst terwijl de gemiddelde
vwo-leerling de eerste zeven voorbeeldopgaven beheerst.
Tabel 7.7

Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Meten: inhoud
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

251

51

2011

250

50

0.0

255

48

0.3

218

49

1.2

217

49

Jongens

256

49

Meisjes

243

49

BB

174

34

KB

209

34

GT

228

34

havo

257

33

vwo

304

33

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 7.8

Meten: inhoud: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011

2004

2011

75%

75%

50%

49%

Tabel 7.9	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Meten: inhoud
Opgaven die de gemiddelde leerling:

233

Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

-

2

1, 3 tot en met 18

KB

-

1 tot en met 3

4 tot en met 18

GT

-

1 tot en met 5

6 tot en met 18

havo

1

2 tot en met 9

10 tot en met 18

vwo

1 tot en met 7

8 tot en met 15

16 tot en met 18

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Meten: inhoud

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

234

PPON

15

16

17

18

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

vw
o

GT
hav
o

BB

isje

Geslacht

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

235

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Meten: inhoud
-

Toepassingsopgave met ingewikkelde inhoudsberekening (opgave 18)

-

Toepassingsopgave waarbij de inhoud van een zwembad bepaald moet worden in m3, (7m x 4m x 50 cm) (opgave 17)
Toepassingsopgave waarbij de relatie tussen dm3 en liter van belang is (opgave 16)

-

Toepassingsopgave waarbij bepaald moet worden hoeveel rechthoekige pakjes boter in een rechthoekige doos passen, waarbij de maten in cm zijn gegeven (opgave 15)
Toepassen van herleidingen als 1 m3 = ___ dm3 (opgave 14)
Toepassingsopgaven waarbij berekend moet worden hoe vaak een kleine kubus past in de grote kubus, waarbij de maten in cm zijn gegeven (opgave 13)

-

Toepassingsopgave van liters naar m3 (opgave 12)
Omzettingen van het kubieke systeem naar het litersysteem, waarbij aangegeven moet worden hoeveel water 4 m3 is (opgave 11)
Opgave waarbij met behulp van lxbxh de inhoud van een aquarium bepaald moet worden, waarbij een omzetting nodig is van cm3, naar dm3, naar liters (opgave 10)

-

Toepassingsopgave met kommagetallen en breuken waarbij de herleiding 10 dl = 1 liter van belang is (opgave 9)
Vergelijken van inhoudsaanduidingen met cl, liter, ml en dl (opgave 8)
Notie van de inhoud van een limonadeglas (opgave 7)

-

De inhoud berekenen door te bepalen hoeveel blokjes van 1 cm bij 1 cm bij 1 cm passen in een kistje van 5 cm bij 5 cm bij 5 cm (opgave 6)
De inhoud berekenen door te bepalen hoeveel blokjes van 1 cm3 in een doosje kunnen van 5 cm bij 3 cm bij 2 cm (opgave 5)
Opgave waarbij kennis van de herleiding 1 liter is gelijk aan 100 cl moet worden toegepast (opgave 4)

-

Herleidingen kunnen uitvoeren en dit kunnen toepassen (opgave 1)

-

Aflezen hoeveel liter er in een kan zit (opgave 3)
Opgave waarbij kennis van de herleiding 1 liter is gelijk aan 1000 milliliter moet worden toegepast (opgave 2)
© Cito

10

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

236

PPON

7.4

Meten: gewicht

Inhoud
Bij dit onderwerp gaat het om basiskennis en begrip van gewicht en gewichtsmaten, het
uitvoeren van herleidingen en het kunnen toepassen van de verworven kennis en inzichten in
tal van situaties. Essentiële onderdelen van dit onderwerp zijn:
• vergelijken op het aspect gewicht. Hierbij spelen weeginstrumenten (veren die meer of
minder uitgerekt worden, balansweegschalen) een belangrijke rol;
• globaal en precies aflezen van resultaten van wegingen op weeginstrumenten;
• kennis en inzicht in de opbouw van het maatsysteem door bijvoorbeeld het uitvoeren van
herleidingen met veel voorkomende weegmaten (kg, g, mg);
• kiezen van de juiste maat in een gegeven context;
• oplossen van vraagstukjes waarbij onder andere weegresultaten afgelezen en herleidingen
uitgevoerd moeten worden.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst voorbeeldopgave 1 goed en voorbeeldopgave 2 redelijk goed.
Voorbeeldopgave 3 en 4 worden door deze leerlingen matig beheerst. Deze leerlingen hebben
een (redelijk) goede beheersing van het herleiden van weegmaten zoals gevraagd in voorbeeld­
opgaven 1 en 2. In voorbeeldopgave 3 wordt gevraagd hoeveel gram een halve kilo is en in
voorbeeldopgave 4 wordt gevraagd hoeveel 1987 gram ongeveer in kilo’s is. Beide voorbeeld­
opgaven worden door de percentiel-10 leerling matig beheerst.
Voorbeeldopgaven 1-4 Meten: gewicht

1

3

Bea weegt bij haar geboorte 3567 gram.
Dat is ongeveer:

	Moeder gebruikte bij het maken van jam de helft van
dit pak.

A

0,3 kg en 500 gram

B

3 kg en 500 gram

C

35 kg en 50 gram

D

35 kg en 500 gram

Hoeveel gram is dat?
			 gram

4

1987 gram is bijna

2

Hoeveel weegt dit brood?
800

237

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

kg

De percentiel-25 leerling beheerst de eerste drie voorbeeldopgaven goed, voorbeeldopgave 4
nagenoeg goed en voorbeeldopgaven 5, 6 en 9 matig. Voorbeeldopgaven 5 en 6 zijn
toepassingsopgaven waarin geld en gewicht worden gecombineerd bij het berekenen van de
prijs per kilogram of van de totaalprijs op basis van de prijs per kilogram. Deze leerlingen
hebben een matige beheersing van dit soort opgaven. Van alle leerlingen die voorbeeldopgave 6
gemaakt hebben, geeft 75% het correcte antwoord: 10 euro. 5% geeft als antwoord 5 euro.
Deze leerlingen hebben waarschijnlijk het aantal pakken berekend, maar dit niet
vermenigvuldigd met 2 euro. Met voorbeeldopgave 9 wordt getoetst of leerlingen het gewicht
in gram kunnen aflezen en kunnen noteren in kg. Deze voorbeeldopgave wordt eveneens matig
beheerst. Zoals in voorbeeldopgave 9 wordt ook in voorbeeldopgaven 7 en 8 de notie en het
gebruik van weegmaten getoetst. Deze twee voorbeeldopgaven worden door de percentiel-25
leerling echter nog niet beheerst.
Voorbeeldopgaven 5-9 Meten: gewicht

5

7

Hoeveel kost deze kaas per kilo?
	Hoeveel gram wegen de appels op de weegschaal in
totaal?

€

			 gram
6
8

Han koopt 2 12 kg van deze hondenkoekjes.

Een emmer muurverf weegt ongeveer
A

30 gram.

B

300 gram.

C

3000 gram.

9

Hoeveel euro moet hij in totaal betalen?
€

Hoeveel kg weegt Gijs ongeveer?
			 kg

238

PPON

De gemiddelde leerling heeft een goede beheersing van voorbeeldopgave 1 tot en met 6.
Voorbeeldopgaven 7 tot en met 10 en 12 en 13 worden door deze leerlingen matig beheerst.
De eerste negen voorbeeldopgaven zijn hierboven besproken. In voorbeeldopgave 10 moeten
leerlingen uitrekenen hoeveel gram koffie in een doos met 24 pakken koffie van 250 gram zit.
De gemiddelde leerling beheerst deze toepassingsopgave matig. Toepassings­opgave 11 wordt
daarentegen nog niet beheerst. In deze voorbeeldopgave moeten leerlingen berekenen hoeveel
1 pak drop in grammen weegt op basis van het gegeven dat 20 pakken drop 10 kg wegen.
Voorbeeldopgaven 12 en 13 gaan over de notie en gebruik van weegmaten. Leerlingen moeten in
voorbeeldopgave 12 aflezen en beredeneren welke doos het zwaarst is en in voorbeeldopgave 13
moeten leerlingen het gewicht van 2,4 kg op een weegschaal aflezen, waarbij de schaal­
verdeling tussen 2 hele kilogrammen in 5 tussenstreepjes verdeeld is zonder aanduiding.
Beide voorbeeldopgaven worden door de gemiddelde leerling matig beheerst. Van alle
leerlingen die opgave 13 hebben gemaakt, geeft 59% het correcte antwoord. 19% leest 2,2 kg
af, 4% leest 2,5 kg af en 4% leest 2,25 kg af.
Voorbeeldopgaven 10-13 Meten: gewicht

10

12

In elk pak koffie uit deze doos zit 250 gram.

	Als ik bij doos I een gewicht van 1 kilogram zet en bij

Hoeveel kilogram koffie zit er in deze doos?

doos II een gewicht van 100 gram is de balans in
evenwicht.
Welke doos is het zwaarst?

			 kg

A
11

doos I

B

doos II

C

Doos I en II zijn even zwaar.

13
Hoeveel gram weegt 1 pak drop?
			 gram

Hoeveel kilogram weegt dit pakje?
			 ,

239

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

kg

De percentiel-75 leerling beheerst de eerste tien voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgave
11 tot en met 17 matig. Toepassingsopgaven waarbij grammen en kilogrammen moeten
worden omgerekend en gebruikt in het berekenen van het gewicht van gelijke delen of het
totaal gewicht worden door de percentiel-75 leerling matig beheerst (voorbeeldopgaven 14, 16
en 17). In voorbeeldopgave 15 is een weegschaal weergegeven en moeten leerlingen aflezen
hoeveel kilogram het ei weegt. Op de weegschaal staat een gewicht van 2 kg en een gewicht
van 50 gram. De moeilijkheid bij deze opgave is 2 kilo en 50 gram te herschrijven in
kilogrammen: 2,05 kg. Deze leerlingen beheersen deze voorbeeldopgave matig.
Voorbeeldopgaven 14-17 Meten: gewicht
14 2 12 kg kaas wordt in 10 gelijke stukken verdeeld.
Hoeveel moet ieder stuk wegen?

16

			 gram

15

	In een pak gaat 400 gram hagelslag. In de fabriek
worden op één dag 5000 pakken gevuld.
Hoeveel kg hagelslag is dat samen?
In de dierentuin wordt dit ei gewogen.

			 kg

Hoeveel kg weegt dit ei?
			 kg

17	Peter wil niet meer dan 10 kg in zijn rugzak
meenemen. Hij neemt in ieder geval een regenpak
mee van 550 gram en een lunchpakket van 440 gram.
	Hoeveel gram bagage kan Peter nog meenemen in
zijn rugzak?
			 gram

De percentiel-90 leerling beheerst de voorbeeldopgaven 1 tot en met 15 goed en voorbeeld­
opgaven 16 en 17 matig. Voorbeeldopgave 18 ligt buiten het vaardigheidsbereik van deze
leerlingen. Ook deze voorbeeldopgave is een toepassingsopgave waarin leerlingen gevraagd
wordt te berekenen hoeveel dagen twee cavia’s kunnen eten van 2,5 kg voer als ze beide 25 g
per dag eten.

240

PPON

Voorbeeldopgave 18 Meten: gewicht

18	Daniëls cavia’s Bruinwoet en Witwoet krijgen allebei
25 gram voer per dag. Daniëls vader heeft een zak
voer van 2,5 kilogram gekocht.
	Hoeveel dagen kunnen Bruinwoet en Witwoet
hiervan eten?
			 dagen

Verschillen tussen 2011 en 2004
De lichte stijging van de vaardigheid die zichtbaar werd in de laatste drie peilingen zien we ook
in deze peiling. Het vaardigheidsniveau op het onderwerp Meten: gewicht is tussen 2004 en
2011 licht toegenomen. Het niveau dat in 2004 door 75% van de leerlingen beheerst werd,
wordt in 2011 door 78% van de leerlingen beheerst. Het niveau dat in 2004 door 50% van de
leerlingen werd behaald, wordt in 2011 door 54% behaald.
Verschillen tussen leerlingen
De afstand tussen de 0.3-leerling en 1.2-leerling is klein. Het gemiddelde vaardigheidsniveau
van de 1.2-leerling (218) is lager dan het vaardigheidsniveau van de 0.3-leerling (224). De
relatieve afstand ten opzichte van de 0.0-leerling is voor beide groepen groot. Een gemiddelde
0.0-leerling heeft een vaardigheid van 254.
Jongens scoren op dit onderwerp beter dan meisjes. Het verschil is aanzienlijk. De gemiddelde
jongen scoort op het niveau van de gemiddelde leerling die naar de havo doorstroomt.
Het gemiddelde meisje scoort op het niveau van de gemiddelde leerling die naar vmbo-GT
doorstroomt.
De vijf onderscheiden doorstroomniveaus laten verschillen in vaardigheid zien. Het verschil
tussen de BB-leerling en KB-leerling is groter dan bij bijvoorbeeld Meten: inhoud. De gemiddelde
BB-leerling functioneert onder het niveau van de percentiel-10 leerling, terwijl de gemiddelde
KB-leerling op het niveau van de percentiel-25 leerling functioneert. Deze gemiddelde KBleerling beheerst de eerste drie voorbeeldopgaven goed en 4, 5, 6 en 9 matig. De gemiddelde
vwo-leerling beheerst de eerste tien voorbeeldopgaven goed, voorbeeldopgave 11 tot en met 17
matig en voorbeeldopgave 18 nog niet.

241

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Meten: gewicht

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

242

PPON

15

16

17

18

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

243

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Meten: gewicht
-

Toepassingsopgave waarbij een omzetting van kg naar gram of van gram naar kg moet worden gemaakt en diverse berekeningen moeten
worden uitgevoerd (opgave 18)

-

Toepassingsopgave waarbij een omzetting van kg naar gram of van gram naar kg moet worden gemaakt en diverse berekeningen moeten
worden uitgevoerd (opgave 17)
Opgave waarbij bepaald moet worden hoeveel kilogram 5000 x 400 gram is (opgave 16)

-

-

Opgave waarbij aangegeven moet worden hoeveel 2 kg en 50 gram samen is (opgave 15)
Opgave waarbij het gewicht van 2----21 kg kaas in 10 gelijke stukken verdeeld moet worden (opgave 14)
Toepassingsopgave waarbij de prijs per kg gegeven is en waarbij uitgerekend moet worden hoeveel de inhoud van een doos weegt en
hoeveel pakken er in zitten (opgave 11)

-

Toepassingsopgave waarbij aangegeven moet worden hoeveel kg koffie in een doos met 4 rijen van 5 pakken van 250 gram zit (opgave 10)

-

Notie van het gewicht van een emmer muurverf in grammen (opgave 8)
Aangeven dat het gewicht van 1,5 kg dat van een weegschaal kan worden afgelezen evenveel is als 1500 gram (opgave 7)

-

Van aanduidingen in grammen kunnen aangeven hoeveel kg dat ongeveer is (opgave 9)

-

Toepassingsopgave waarbij berekend moet worden hoeveel euro 2----21 kg hondenkoekjes kosten, wanneer 500 gram 2 euro kost (opgave 6)
Toepassingsopgave waarbij op basis van het gegeven 400 gram kost € 6 de prijs per kilo berekend moet worden (opgave 5)

-

Van aanduidingen in grammen kunnen aangeven hoeveel kg dat ongeveer is (opgave 4)

-

Weten dat 1 kg evenveel is als 100 gram en dit kunnen toepassen (opgave 3)
De maten gram en kg gepast kunnen gebruiken door het kiezen van de juiste maat in een gegeven situatie zoals bij: een brood weegt 800 ___ (opgave 2)

-

Herleiden van grammen naar kilogram, 3567 gram is ongeveer ___ (opgave 1)

© Cito

10

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

244

PPON

Tabel 7.10 Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Meten: gewicht
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

245

50

2011

250

50

0.0

254

48

0.3

224

50

1.2

218

50

Jongens

260

49

Meisjes

240

49

BB

169

35

KB

214

35

GT

237

35

havo

260

34

vwo

302

34

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 7.11 Meten: gewicht : 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011
2004

2011

75%

78%

50%

54%

Tabel 7.12	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Meten: gewicht
Opgaven die de gemiddelde leerling:

245

Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

-

1 tot en met 4

5 tot en met 18

KB

1 tot en met 3

4, 5, 6 en 9

7, 8, 10 tot en met 18

GT

1 tot en met 4

5 tot en met 9

10 tot en met 18

havo

1 tot en met 6

7 tot en net 10

11 tot en met 18

vwo

1 tot en met 10

11 tot en met 17

18

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

7.5

Meten: toepassingen

Inhoud
Bij het onderwerp Meten: toepassingen moeten de leerlingen complexere meetproblemen
oplossen. Bij een aantal opgaven moeten ze aangeven wat je in een bepaalde situatie moet
weten of berekenen: de lengte, de omtrek, de oppervlakte, de inhoud of het gewicht. Bij een
aantal andere opgaven gaat het om samengestelde grootheden als kg/m2, verbruik of snelheid.
Soms komen in de opgaven meerdere maten voor en moeten meerdere bewerkingen uitgevoerd
worden of is er een relatie met een ander inhoudelijk terrein, zoals bijvoorbeeld breuken.
De diversiteit van vaardigheden waarop met de opgaven van dit onderwerp een beroep wordt
gedaan, maakt het niet goed mogelijk op basis van de relatieve moeilijkheidsgraad van de
opgaven een ontwikkelingslijn te definiëren.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst de eerste voorbeeldopgave, die veel gemakkelijker is dan
de overige voorbeeldopgaven, goed. Deze leerlingen beheersen voorbeeldopgave 2 matig.
In voorbeeldopgave 1 moeten leerlingen de rechthoek kiezen waaruit zij een driehoek kunnen
zagen waarvan de rechte zijden 40 en 60 cm zijn. Dit is zelfs voor de percentiel-10 leerling een
gemakkelijke opgave. De tweede voorbeeldopgave gaat over welke maat je moet weten als je
een vijver gaat vullen met water. Net als voorbeeldopgave 1 is dit een meerkeuzeopgave.
Deze voorbeeldopgave wordt door de percentiel-10 leerlingen matig beheerst.
Voorbeeldopgaven 1 en 2 Meten: toepassingen

1	Peter heeft een stuk plaat van onderstaande afmeting
nodig.

2

Je wilt weten hoeveel water er in de vijver gaat.
Wat moet je dan weten?
A

Uit welke plaat kan hij die zagen?

de lengte

B

de omtrek

C

de oppervlakte

D

de inhoud

De percentiel-25 leerling heeft een goede beheersing van de eerste twee voorbeeldopgaven.
Voorbeeldopgaven 3 tot en met 7, met uitzondering van voorbeeldopgave 5, worden door deze
leerlingen matig beheerst. In voorbeeldopgave 3 wordt leerlingen gevraagd de oppervlakte van
de vleeswarenafdeling te berekenen op basis van de totale oppervlakte van de winkel en met
behulp van de tekening waaruit leerlingen kunnen afleiden dat de vleeswarenafdeling 18 deel
van de totale oppervlakte is. In voorbeeldopgave 4 is een bouwwerk van 18 blokjes van 1 cm3
weergegeven. Aan leerlingen is gevraagd hoe hoog de toren (in cm) wordt als alle blokjes op
elkaar worden gestapeld. Zowel voorbeeldopgave 3 als 4 worden door deze leerlingen matig
beheerst. Het berekenen van de gemiddelde snelheid per uur (voorbeeldopgave 5) is voor deze
leerlingen nog te moeilijk. Van het totaal aantal leerlingen dat deze opgave gemaakt heeft,
geeft 64% het goede antwoord: 18 km per uur. 4% van de leerlingen geeft als antwoord 16 km

246

PPON

per uur. Deze leerlingen berekenen waarschijnlijk dat er nog een derde van de tijd bij moet om
60 minuten te krijgen en tellen vervolgens een derde van 12 erbij op. 3% van de leerlingen geeft
het antwoord 30 km per uur. Zij zijn waarschijnlijk uitgegaan van 100 minuten in een uur.
In voorbeeldopgave 6 moeten leerlingen uitrekenen hoeveel euro Jasper moet betalen voor
112 uur parkeren wanneer het parkeren 30 cent per 10 minuten kost. Voorbeeldopgave 7 is een
opgave waarin leerlingen moeten laten zien dat ze begrijpen dat voor het bepalen van de
hoeveelheid verf voor het verven van een schutting je de oppervlakte moet weten.
Voorbeeldopgaven 3-7 Meten: toepassingen

3

5

Plattegrond van een winkel

	De totale oppervlakte van de winkel is 800 m2.

John fietst 12 km in 40 minuten.

	Hoeveel ruimte neemt de afdeling “vleeswaren” in

Hoeveel is zijn gemiddelde snelheid per uur?

beslag?
			 km / uur
			 m2
6
4

Deze figuur is gebouwd met blokjes van 1 cm .
3

Jasper wil 1 15 uur parkeren.

Hoeveel moet hij betalen?

	Hoe hoog wordt de toren als je alle blokjes op elkaar
stapelt?

€

			 cm
7	Je wilt weten of er genoeg verf is om een schutting te
verven.
Wat moet je dan van die schutting weten?

247

A

alleen de lengte

B

alleen de hoogte

C

de omtrek

D

de oppervlakte

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De gemiddelde leerling beheerst de eerste drie voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgave 4
redelijk goed. Voorbeeldopgaven 5 tot en met 10 worden door de gemiddelde leerling matig
beheerst. De eerste zeven voorbeeldopgaven zijn hiervoor besproken. In voorbeeldopgave 8
moeten leerlingen uitrekenen hoeveel liter in totaal in 12 flesjes van 30 cl zit. Leerlingen hebben
moeite met de grootheid centiliters. 52% van het totaal aantal leerlingen dat deze opgave
gemaakt heeft, komt tot het goede antwoord 3,6 liter. 7% van de leerlingen berekent 12 flesjes
x 30 cl en komt tot het antwoord 360. Eveneens 7% geeft als antwoord 36. Deze leerlingen zijn
er ten onrechte van uitgegaan dat 1 liter gelijk is aan 10 cl. De gemiddelde leerlingen beheersen
deze voorbeeldopgave en opgave 7 matig. Het berekenen van het aantal meters vloerbedekking
op basis van de oppervlakte van de kamer en de breedte van de rol met vloerbedekking wordt
door deze leerlingen ook matig beheerst (voorbeeldopgave 9). Dit geldt ook voor voorbeeld­
opgave 10 waarin leerlingen moeten berekenen hoeveel meter bij hoeveel meter vloerbedekking
ze overhouden na het stofferen van de kamer in de afbeelding.
Voorbeeldopgaven 8-10 Meten: toepassingen

8

10 Plattegrond huiskamer

4m

4m
6m

	Vivian koopt dit volle krat met flesjes Tasty. In elk
flesje zit 30 cl.
Hoeveel liter zit in alle flesjes samen?

3m

			 liter

	Dorien koopt een stuk vloerbedekking van 6 meter bij
4 meter.
9

	Dit stuk vloerbedekking is te groot voor de huiskamer.
Wat zijn de afmetingen van het stuk dat overblijft?
			 m bij

	De oppervlakte van deze kamer is 24 m2. Hanna gaat
vloerbedekking leggen van 2 meter breed.
Hoeveel meter vloerbedekking heeft Hanna nodig?
			 m

248

PPON

m

De percentiel-75 leerling beheerst voorbeeldopgaven 1 tot en met 6 goed en voorbeeldopgave 7
en 8 nagenoeg goed, voorbeeldopgaven 9 tot en met 13 worden matig beheerst. Het rekenen
met tijd en afstand, waarbij de snelheid in het aantal km per uur moet worden berekend, wordt
door deze leerlingen matig beheerst (voorbeeldopgaven 11 en 12). Voorbeeldopgave 13 is een
meerkeuzeopgave waarin leerlingen wordt gevraagd te berekenen hoeveel m2 Koen nog moet
verven als hij 15 deel van een muur van 500 cm bij 250 cm heeft geverfd. De percentiel-75
leerling beheerst deze voorbeeldopgave matig.
Voorbeeldopgaven 11-13 Meten: toepassingen

11

13

	De wielrenner heeft 3 uur en 45 minuten gereden met

	Koen is deze wand aan het verven. Hij heeft ongeveer

een gemiddelde snelheid van 32 km per uur.
Hoe lang was de hele wedstrijd?
			 km

1
5 van deze wand gedaan.

Hoeveel m2 ongeveer moet Koen nog verven?
A

2,5 m2		

C

10 m2

B

4 m2		

D

12,5 m2

12

Nathalie en Anis vertrekken gelijk.
Nathalie rijdt met de auto 90 km per uur.
	Anis rijdt dezelfde route met een snelheid van 100 km
per uur.
Na een half uur is Anis verder dan Nathalie.
Hoeveel km verder?
			 km

De percentiel-90 leerling beheerst de eerste 13 voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgaven
14 tot en met 16 matig. Voorbeeldopgaven 14 en 15 zijn voorbeeldopgaven waarin leerlingen
op een relatief complexe manier wordt gevraagd de omtrek te berekenen. Beide voorbeeld­
opgaven worden door deze leerlingen matig beheerst. In voorbeeldopgave 16 moeten
leerlingen met behulp van het aantal meters en de snelheid in km/uur de duur van een ritje in
minuten berekenen. Slechts 30% van het totaal aantal leerlingen dat deze opgave gemaakt
heeft, komt tot het goede antwoord: 2 minuten. 12% van de leerlingen geeft het antwoord
3 minuten, 9% van de leerlingen geeft het antwoord 4 minuten. Ook deze voorbeeldopgave
wordt door de percentiel-90 leerling nog matig beheerst.

249

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 14-16 Meten: toepassingen

14

16

	Op de tekening is te zien dat op enige afstand van de
vijver een hek komt te staan.
Hoe lang wordt het hek?

	De achtbaan is 2000 meter lang. Het wagentje gaat
120 km per uur. Tijdens het ritje ga je 2 keer rond.
Hoeveel minuten duurt een ritje?

			 meter
			 minuten
15 Petra heeft een vierkant tuintje van 25 m2.
Hoe groot is de omtrek?
			 m

Verschillen tussen 2011 en 2004
Het vaardigheidsniveau bij het onderwerp Meten: toepassingen is in de periode 2004-2011 licht
toegenomen. Het niveau dat in 2004 door 75% van de leerlingen beheerst werd, wordt in 2011
door een groter percentage van de leerlingen beheerst, namelijk 81%. Het niveau dat in 2004
door 50% van de leerlingen werd behaald, wordt in 2011 door 58% behaald.
Verschillen tussen leerlingen
Het verschil tussen de 0.3- en 1.2-leerling is relatief klein en er is voor beide groepen een relatief
grote afstand met de 0.0-leerlingen. Zowel de gemiddelde 0.3-leerling als de gemiddelde
1.2-leerling beheerst de eerste twee voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgave 3 tot en met 7
matig. De gemiddelde 0.0-leerling beheerst de eerste drie voorbeeldopgaven goed en voorbeeld­
opgave 4 tot en met 10 matig.
Het vaardigheidsniveau van jongens is iets hoger dan dat van meisjes.
De vijf onderscheiden doorstroomniveaus laten de te verwachten verschillen in vaardigheid
zien. De gemiddelde BB-leerling functioneert op dit onderwerp iets lager dan de percentiel-10
leerling, de gemiddelde KB-leerling functioneert hoger dan de percentiel-10 leerling, maar lager
dan de percentiel-25 leerling. De gemiddelde GT-leerling functioneert met een score van 233
lager dan het populatiegemiddelde (250, zie tabel 7.13), terwijl de gemiddelde havo-leerling
met een score van 264 hoger functioneert. De gemiddelde vwo-leerling functioneert met een
score van 300 hoger dan het niveau van de percentiel-75 leerling (286).

250

PPON

Tabel 7.13	Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Meten:
toepassingen
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

240

51

2011

250

50

0.0

255

49

0.3

225

50

1.2

219

49

Jongens

257

50

Meisjes

243

49

BB

178

34

KB

201

33

GT

233

33

havo

264

33

vwo

300

33

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 7.14 Meten: toepassingen: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011
2004

2011

75%

81%

50%

58%

Tabel 7.15	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Meten: toepassingen
Opgaven die de gemiddelde leerling:

251

Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

1

2

3 tot en met 16

KB

1

2 en 3

4 tot en met 16

GT

1 en 2

3 tot en met 7

8 tot en met 16

havo

1 tot en met 3

4 tot en met 10

11 tot en met 16

vwo

1 tot en met 8

9 tot en met 14

15 en 16

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Meten: toepassingen

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

252

PPON

13

14

15

16

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

253

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

7.6

Meetkunde

Inhoud
Bij Meetkunde gaat het om elementaire noties en begrippen waarmee de ruimte meetkundig
geordend, beschreven en verklaard kan worden. In de opgaven wordt een beroep gedaan op de
vaardigheid ‘ruimtelijk redeneren’. Dat gebeurt aan de hand van bouwsels, bouwplaten,
plattegronden, kaarten, foto’s en gegevens over plaats, richting, afstand en schaal. Daarnaast
zijn er enkele opgaven die het verklaren van schaduwbeelden als onderwerp hebben. Ook voor
dit onderwerp geldt dat het niet goed mogelijk is een ontwikkelingslijn te construeren op basis
van de relatieve moeilijkheidsgraad van de opgaven omdat de opgaven inhoudelijk gezien een
beroep doen op een breed scala aan ruimtelijke inzichten.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst geen enkele voorbeeldopgave goed. De eerste drie voorbeeld­
opgaven en voorbeeldopgave 5 worden door deze leerlingen matig beheerst. De eerste twee
voorbeeldopgaven gaan over het draaien en spiegelen van figuren. In voorbeeldopgave 1
moeten de leerlingen bepalen hoeveel L-vormige figuren geknipt kunnen worden uit het
gegeven figuur. Van alle leerlingen die deze opgave gemaakt hebben geeft 87% het correcte
antwoord, 4. Van de leerlingen geeft 3% als antwoord 3 en eveneens 3% geeft als antwoord 5.
In voorbeeldopgave 3 moeten leerlingen aan de hand van een kaart bepalen in welke
windrichting de markt ten opzichte van Jos ligt. Voorbeeldopgave 5 is een opgave waarin
leerlingen het perspectief van een foto moeten verplaatsen. Deze voorbeeld­opgave wordt door
deze leerlingen eveneens matig beheerst. Voorbeeldopgave 4 is van dezelfde categorie als
voorbeeldopgave 5. In deze opgave moeten leerlingen de juiste uitslag bij een kubus vinden.
Deze voorbeeldopgave is voor de percentiel-10 leerling echter nog te moeilijk.
Voorbeeldopgaven 1-5 Meetkunde

1

2

Spiegelen.
Maak de figuur aan de rechterkant af.

	Mieke knipt zoveel mogelijk van deze figuurtjes uit de
grote figuur.
Hoeveel figuurtjes knipt zij?
			 figuurtjes

254

PPON

spiegelas

4

3

A

C

B

D

Jos bevindt zich in het gebied A1.
Hij wil via de kortste weg naar de markt.
In welke richting ligt de markt ten opzichte van Jos?

	Deze kubus is voor de helft wit en voor de andere
helft grijs.

A

in noordelijke richting

Van welke bouwplaat is deze kubus gemaakt?

B

in noordoostelijke richting

Zet een rondje.

C

in oostelijke richting

D

in zuidoostelijke richting

E

in zuidelijke richting

5

Jelle stond achter dit huis en maakte een foto.
Welke foto heeft Jelle gemaakt?

De percentiel-25 leerling heeft een redelijk goede tot goede beheersing van de eerste drie
voorbeeldopgaven en een matige beheersing van voorbeeldopgaven 4 tot en met 8. Voorbeeld­
opgaven 6 en 8 zijn vergelijkbaar met voorbeeldopgave 5, in alle drie de voorbeeld­opgaven gaat
het om de relatie tussen een kubus en de uitslag van een kubus. Deze drie voorbeeldopgaven
worden door deze leerlingen matig beheerst. Ook voorbeeldopgave 7 gaat om de interpretatie
van een uitslag, in dit geval moeten leerlingen aan de hand van de uitslag van een huis bepalen
hoeveel ramen de achterkant van het huis heeft. Van alle leerlingen die deze opgave gemaakt
hebben, geeft 71% het goede antwoord, 3; 9% van de leerlingen geeft 10 als antwoord, dit is het
totaal aantal ramen van het hele huis. 8% van de leerlingen geeft als antwoord 4, dit is het
aantal ramen aan de zijkant van het huis. Deze voorbeeldopgave wordt eveneens door de
percentiel-25 leerling matig beheerst.

255

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 6-8 Meetkunde

6

Tegenover het dier op de doos staat wat het eet.

7

papegaai - pinda
aap - banaan
pinguïn - vis

Dit is een bouwplaat van een huis.
Hoeveel ramen zitten aan de achterkant van het huis?
	Zet een P waar de pinda moet staan, een B waar de

			 ramen

banaan moet staan en een V waar de vis moet staan.
8

Klaas vouwt deze kubus in elkaar.
Hij legt hem neer met het zwarte vlakje onder.
Welke vrucht komt boven?
			

De gemiddelde leerling beheerst de eerste acht voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgave 9
matig. De eerste 8 voorbeeldopgaven zijn hierboven besproken en worden door de gemiddelde
leerling goed beheerst. Voorbeeldopgave 9 is een opgave waarin leerlingen moeten bepalen
vanaf welke kant een abstract figuur is gefotografeerd. Deze voorbeeldopgave wordt door deze
leerlingen matig beheerst.
De percentiel-75 leerling heeft een goede beheersing van voorbeeldopgaven 1 tot en met 9.
Voor deze leerlingen is voorbeeldopgave 10 te moeilijk. Deze voorbeeldopgave is de moeilijkste
van de schaal en wordt zelfs door de percentiel-90 leerling matig beheerst. Bij voorbeeldopgave
10 moeten de leerlingen de juiste stempelafdruk bij de stempel kiezen, dit is net als de eerste
twee voorbeeldopgaven 1 en 2 een opgave waarbij gespiegeld en gedraaid moest worden, maar
deze is aanzienlijk moeilijker dan de eerste twee voorbeeldopgaven, omdat er drie verschillende
figuren in samenhang bekeken moeten worden waarbij zowel spiegelbeeld als draaiing
meespeelt. Hij wordt door de percentiel-90 leerling slechts matig beheerst. Van tien met deze
voorbeeldopgave vergelijkbare opgaven zou deze leerling er gemiddeld zes goed beantwoorden.

256

PPON

Voorbeeldopgaven 9 en 10 Meetkunde

10

9

Welk plaatje is met deze stempel gemaakt?
Van de grote figuur is een foto gemaakt.
Van welke kant is de foto gemaakt?

Verschillen tussen leerlingen
De opgaven die in 2004 bij het onderwerp Meetkunde aan de leerlingen voorgelegd zijn, wijken
sterk af van de opgaven die in 2011 aan de leerlingen voorgelegd zijn. Om deze reden is het niet
verantwoord om een jaarvergelijking te maken.
Er is geen verschil tussen de 0.3- en 1.2-leerlingen. Voor beide groepen is er sprake van een
relatieve afwijking ten opzicht van de 0.0-leerlingen. De gemiddelde 0.3- en 1.2-leerlingen
hebben eenzelfde vaardigheidsniveau als de percentiel-25 leerling uit de groep met 0.0-leerlingen.
De verschillen tussen jongens en meisjes zijn minimaal.
De onderscheiden doorstroomniveaus vertonen de te verwachten progressie in vaardigheid.
Vergelijken we de gemiddelde BB-leerling met de gemiddelde vwo-leerling, dan zien we dat de
BB-leerling alleen de eerste voorbeeldopgave beheerst, terwijl de vwo-leerling de eerste negen
voorbeeldopgaven beheerst.

257

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Meetkunde

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

258

PPON

9

10

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

s
isje

KB

s
gen

me

jon

1. 2

0.3

Percentiel

0.0

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

259

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Tabel 7.16 Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Meetkunde
Gemiddelde score

Standaardafwijking

250

50

0.0

254

49

0.3

224

50

1.2

224

50

Jongens

253

50

Meisjes

247

50

BB

201

43

KB

219

43

GT

236

43

havo

262

43

vwo

286

43

Afnamejaar
2004
2011
Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 7.17	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Meetkunde
Opgaven die de gemiddelde leerling:
Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

1

2 tot en met 5

6 tot en met 10

KB

1 en 2

3 tot en met 8

9 en 10

GT

1 tot en met 4

5 tot en met 9

10

havo

1 tot en met 8

9

10

vwo

1 tot en met 9

-

10

7.7

Tijd

Inhoud
Bij dit onderwerp gaat het om het rekenen met tijd in voor kinderen alledaagse situaties. In een
aantal opgaven wordt het rekenen met tijd gecombineerd met andere grootheden zoals
afstand, lengte en geld. Vaak moeten daarbij herleidingen uitgevoerd worden. De opgaven van
deze schaal zijn allemaal toepassingsopgaven. Het aflezen van de kalender en klok als zodanig
komt niet voor. Wel wordt bij een aantal opgaven een beroep gedaan op kennis van de kalender
en van analoge en digitale tijdsaanduidingen.

260

PPON

Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling heeft een goede beheersing van voorbeeldopgave 1 en een matige
beheersing van voorbeeldopgave 2. Het doorrekenen met dagen op de kalender wordt door
deze leerlingen goed beheerst (voorbeeldopgave 1). Voorbeeldopgave 2 is een stuk moeilijker
dan voorbeeldopgave 1. In deze opgave moeten leerlingen aan de hand van een stukje uit een
televisiegids berekenen hoelang een programma duurt. In de televisiegids zijn de tijden in
24-uurs-notatie weergegeven.
Voorbeeldopgaven 1 en 2 Tijd

1

2

Het is vandaag 3 mei. Janet is over 21 dagen jarig.
Op welke dag en datum is Janet jarig?
Hoe lang duurt het programma ‘Lopende zaken’?
			 dag

mei
			 minuten

De percentiel-25 leerling beheerst voorbeeldopgaven 1 en 2 goed en voorbeeldopgaven 3 tot en
met 7, met uitzondering van voorbeeldopgave 5 en 6, matig. In voorbeeldopgave 3 moeten
leerlingen berekenen hoeveel ballen in een ballenmachine moeten zitten als de machine
10 minuten lang elke 10 seconde een bal werpt. Het berekenen van het verschil in seconden
tussen 8 minuten en 55 seconden en 9 minuten en 15 seconden wordt ook matig beheerst
(voorbeeldopgave 4). 67% van alle leerlingen die deze opgave gemaakt heeft geeft het
correcte antwoord, 20 seconden. 7% van de leerlingen komt tot het antwoord 60 seconden.
Deze leerlingen zijn er waarschijnlijk vanuit gegaan dat er 100 seconden in een minuut gaan.
5% van de leerlingen geeft het antwoord 100 seconden. Dit antwoord krijg je wanneer je
45 seconden (60-15 seconden) opgeteld bij 55 seconden. Ook voorbeeldopgave 5 gaat over het
berekenen van het verschil tussen twee tijden (18.54 en kwart voor 8) en wordt eveneens matig
beheerst. Er is een kans van ongeveer 50 procent dat een percentiel-25 leerling weet dat een
etmaal gelijk is aan 24 uur (voorbeeldopgave 7). 69% van alle leerlingen die deze opgave
gemaakt hebben, heeft als antwoord 24 uur gegeven. 12% van de leerlingen geeft als antwoord
12 uur, 4% van de leerlingen denkt dat een etmaal 6 uur duurt. Het berekenen van de datum die
twee weken na 27 januari volgt is voor deze leerlingen nog te moeilijk (voorbeeldopgave 6).

261

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 3-6 Tijd

3	Op de tennisbaan staat een ballenmachine die iedere

5

10 seconden een tennisbal werpt.
	Hoeveel ballen moeten in deze machine gedaan
worden om 10 minuten te kunnen oefenen?
			 ballen

4	Johan heeft de 5 km geschaatst in 8 minuten en

De theatervoorstelling begint om kwart voor acht.

55 seconden.

Over hoeveel minuten is dat?

	Vorig jaar reed hij deze afstand in 9 minuten en
15 seconden.

			 minuten

Hoeveel seconden is hij nu sneller?
6

			 seconden

27
jan
Over 2 weken moet Jona naar de tandarts.
Op welke datum moet Jona naar de tandarts?
			

De gemiddelde leerling heeft een goede beheersing van de eerste drie voorbeeldopgaven en
een matige beheersing van voorbeeldopgaven 4 tot en met 8. Voorbeeldopgave 8 is net als
voorbeeld­opgave 1 en 6 een kalenderopgave. In deze voorbeeldopgave moeten leerlingen
uitrekenen op welke datum Eva thuiskomt als ze op 24 december vertrekt en de tweede
donderdag in januari weer thuiskomt. Deze opgave is complexer dan voorbeeldopgave 1 en 6,
doordat er over het jaar heen gerekend moet worden en de kalender deels zichtbaar is.
Voorbeeldopgave 7 Tijd

7

De levering is binnen

262

PPON

uur.

De percentiel-75 leerling beheerst de eerste zes voorbeeldopgaven goed, voorbeeldopgave 7
nagenoeg goed en voorbeeldopgaven 8 tot en met 13 matig. Deze leerlingen hebben een betere
beheersing van rekenen met de kalender dan de gemiddelde leerling. In voorbeeldopgave 13
moeten leerlingen berekenen welke datum 3 weken na 21 november volgt. Het berekenen van
de duur van een televisieprogramma of film wordt door de percentiel-75 leerling matig
(voorbeeldopgave 9) tot goed (voorbeeldopgave 2) beheerst. In voorbeeldopgave 10 moeten
leerlingen uitrekenen na hoeveel uur en hoeveel minuten een dagkaart voor de parkeergarage
goedkoper is dan wanneer het tarief per 20 minuten wordt betaald. In voorbeeldopgave 11
moeten leerlingen bepalen hoeveel een abonnement op een tijdschrift per kwartaal voordeliger
is dan wanneer het elke week los gekocht wordt. De leerlingen moeten om deze opgave op te
lossen notie hebben van het aantal weken in een kwartaal. Deze opgave wordt door deze
leerlingen matig beheerst. Dat geldt eveneens voor het aflezen van vertrektijden uit een tabel
(voorbeeldopgave 12).
Voorbeeldopgaven 8-13 Tijd

8

10

Bram parkeert zijn auto op deze parkeerplaats.
Na hoeveel tijd is de dagkaart voordeliger?
Wanneer Bram langer dan
	Eva gaat op wintersport. Ze gaat op 24 december

uur en

minuten parkeert.

weg. Op de tweede donderdag in januari komt ze
weer thuis.
Welke datum is het dan?

11 Een tijdschrift kost per week € 1,-.
Per kwartaal kost het € 12,-.

			 januari

Peter betaalt per kwartaal.
Hoeveel is dat na een jaar voordeliger?

9

21.25
22.00
22.20
23.05

De oude stad (deel 1)
Rondom 10
De oude stad (slot)
Spelprogramma

€

	De film ‘De oude stad’ wordt in 2 gedeeltes
uitgezonden.
	Het eerste gedeelte begint om 21.25 uur en het
tweede gedeelte begint om 22.20 uur.
	Hoeveel minuten duurt de film ‘De oude stad’ in
totaal?
			 minuten

263

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

12

13	Het is 21 november. Marieke is over precies drie
weken jarig.

Kerkrade

Op welke datum is Marieke jarig?

Spekholzerheide
NEDERLAND

			

DUITSLAND
Simpelveld

v. Simpelveld
v. Spekholzerheide
a. Kerkrade
v. Kerkrade
v. Spekholzerheide
a. Simpelveld

09.45
10.05
10.25
10.35
10.45

11.15
11.25
11.35
11.55
12.05
12.15

12.45
12.55
13.05
13.25
13.35
13.45

14.15
14.25
14.35
14.55
15.05
15.15

15.45
15.55
16.05
16.25
16.45

	Moniek en Jasper willen met de stoomtrein van
Kerkrade naar Simpelveld. Het is vijf voor één.
Over hoeveel minuten vertrekt de trein?
			 minuten

De percentiel-90 leerling beheerst voorbeeldopgaven 1 tot en met 8 goed, opgave 9 en 10
redelijk goed en voorbeeldopgave 11 tot en met 15 matig. De eerste dertien voorbeeldopgaven
zijn hierboven besproken. Het berekenen van het aantal uur dat een museum per week geopend
is, wordt door deze leerlingen matig beheerst (voorbeeldopgave 14). Slechts 33% van alle
leerlingen die deze opgave gemaakt heeft, komt tot het juiste antwoord van 43 uur. Een groter
percentage van de leerlingen geeft het antwoord 15 uur, namelijk 42%. Deze leerlingen
hebben de openingstijden van dinsdag tot en met zaterdag slechts één keer meegenomen.
Van 10 vergelijkbare opgaven zullen de percentiel-90 leerlingen gemiddeld 5 à 6 opgaven goed
beantwoorden. Dit geldt ook voor voorbeeldopgave 15 waarin leerlingen gevraagd wordt in
hoeveel seconden Simon de afstand heeft gezwommen. Leerlingen moeten in deze opgave het
verschil tussen de totaaltijd en de tijden van 3 andere kinderen uitrekenen.

264

PPON

Voorbeeldopgaven 14-15 Tijd

14 Openingstijden museum

15

maandag

14.00 - 17.00

dinsdag t/m zaterdag

10.00 - 17.00

zondag

12.00 - 17.00

Hoeveel uur is het museum per week geopend?
De tussentijden van een estafetteploeg zijn:
			 uur

De totaaltijd was 1 minuut en 47,97 seconde.
	In hoeveel seconden heeft Simon de afstand
gezwommen?
In

seconden

Verschillen tussen 2011 en 2004
Er is een klein verschil in vaardigheidsniveau op het onderwerp Tijd tussen de leerlingen uit het
onderzoek van 2011 en van 2004, ten gunste van 2011. Het niveau dat in 2004 door 75% van de
leerlingen beheerst werd, wordt in 2011 door een groter percentage van de leerlingen beheerst,
namelijk 81%. Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen werd behaald, wordt in 2011
door 57% behaald.
Verschillen tussen leerlingen
De afstand tussen de 0.3-leerling en de 1.2-leerling is klein. Tegen de verwachting in is het
vaardigheidsniveau van de 1.2-leerling op het onderwerp Tijd hoger dan het vaardigheidsniveau
van de 0.3-leerling.
We zien dat jongens een iets hoger vaardigheidsniveau hebben dan meisjes; de verschillen zijn
niet groot. Jongens hebben een gemiddeld vaardigheidsniveau van 256, zij functioneren hoger
dan het gemiddelde van de populatie (250). Meisjes hebben een gemiddeld vaardigheidsniveau
van 244, dit is lager dan het populatiegemiddelde (zie ook tabel 7.18).
De gemiddelde score van een BB-leerling ligt met 181 een fractie onder het niveau van de
percentiel-10 leerling (184). Een leerling met deze score beheerst de eerste twee voorbeeld­
opgaven matig. De gemiddelde score van een vwo-leerling ligt met 301 ruim boven het niveau
van de percentiel-75 leerling (286). Een leerling met deze score beheerst de eerste zes
voorbeeld­opgaven goed en de resterende voorbeeld­opgaven matig.

265

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Tijd

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

266

PPON

12

13

14

15

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

267

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Tijd
-

Toepassingsopgave waarbij een totaaltijd als 1 minuut en 47,97 seconde uiteengelegd moet worden in 4 tijden:
27,18 seconde + 28,02 seconde + 26,90 seconde + _?_ (opgave 15)
Toepassingsopgave waarbij het totaal aantal uren bepaald moet worden in een tabel, met 24-uurs aanduiding (opgave 14)

-

In gedachte kunnen bepalen welke datum 3 weken verder ligt, zonder dat hierbij een (deel van een) kalender gegeven is (opgave 13)
Toepassingsopgave waarbij notie van het aantal weken dat een kwartaal duurt noodzakelijk is (opgave 11)

-

Toepassingsopgave waarbij de tijd afgelezen moet worden uit een tabel en het verschil bepaald moet worden met een gegeven tijd (opgave 12)
Toepassingsopgave waarbij herleidingen van uren naar minuten moeten worden toegepast (opgave 10)
Uit een programmaoverzicht kunnen aflezen hoelang een film, die uit twee delen bestaat, duurt (opgave 9)

-

Op een kalender gegevens kunnen aflezen en in gedachten kunnen bepalen op welke dag de tweede donderdag van de volgende maand is (opgave 8)

-

In gedachte kunnen bepalen welke datum twee weken verder ligt, zonder dat hierbij een (deel van een) kalender gegeven is (opgave 6)

-

Toepassingsopgave waarbij het verschil bepaalt moet worden tussen een decimale tijd en een tijd in woorden beschreven (opgave 5)
Het verschil bepalen tussen twee tijden: 8 minuten en 55 seconden én 9 minuten en 15 seconden (opgave 4)

-

Opgave waarbij bepaald moet worden hoe vaak 10 seconden passen in 10 minuten (opgave 3)

-

Uit een programmaoverzicht kunnen lezen van hoe laat tot hoe laat een programma duurt en kunnen bepalen hoeveel minuten dat programma duurt (opgave 2)

-

Met behulp van een kalender kunnen bepalen welke datum 21 dagen verder ligt (opgave 1)
© Cito

10

In dit schema is de slecht discriminerende opgave 7 niet meegenomen.

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

268

PPON

Tabel 7.18 Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Tijd
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

242

52

2011

250

50

0.0

254

49

0.3

218

49

1.2

231

49

Jongens

256

50

Meisjes

244

49

BB

181

34

KB

201

34

GT

228

34

havo

265

33

vwo

301

33

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 7.19 Tijd: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011
2004

2011

75%

81%

50%

57%

Tabel 7.20 Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp Tijd
Opgaven die de gemiddelde leerling:

269

Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

-

1 en 2

3 tot en met 15

KB

1

2 en 7

3 tot en met 6, 8 tot en met 15

GT

1 en 2

3 tot en met 7

8 tot en met 15

havo

1 tot en met 3

4 tot en met 9

10 tot en met 15

vwo

1 tot en met 6

7 tot en met 15

-

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

7.8

Geld

Inhoud
Bij het onderwerp Geld gaat het om toepassingsgericht rekenen met geld waarbij specifieke
handelingen met munten en bankbiljetten uitgevoerd moeten worden, zoals:
• de totale waarde bepalen van munten en bankbiljetten;
• gepast betalen;
• bankbiljetten en munten inwisselen;
• aangeven welke munten en bankbiljetten men terugkrijgt;
• bijpassen om terugkrijgen te vergemakkelijken.
Daarnaast komen opgaven voor waarbij
• afgerond moet worden;
• bedragen naar andere valuta omgerekend worden.
Bij dit onderwerp worden relaties gelegd met andere rekengebieden zoals hoofdrekenen, het
uitvoeren van bewerkingen met uitrekenpapier, kommagetallen, meten en verhoudingen.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling heeft een goede beheersing van voorbeeldopgave 1 en een matige
beheersing van voorbeeldopgaven 2 en 3. De eerste drie voorbeeldopgaven gaan over het
terugkrijgen van geld. In de eerste voorbeeldopgave moeten leerlingen berekenen hoeveel de
twee munten waard zijn die Pascal terugkrijgt als hij een jas van € 86 koopt, met € 100 betaalt
en twee briefjes van € 5 terugkrijgt. Voorbeeldopgaven 2 en 3 zijn duidelijk moeilijkere opgaven
in deze categorie. In de tweede voorbeeldopgave moeten leerlingen berekenen hoeveel euro
Ernst terugkrijgt als hij met een briefje van € 10 en een briefje van € 5 een dartbord van € 12,95
koopt. Het correcte antwoord, € 2,05, wordt gegeven door 82% van alle leerlingen die deze
opgave gemaakt hebben. 6% van de leerlingen heeft een rekenfout gemaakt en geeft als
antwoord € 3,05. 3% van de leerlingen geeft als antwoord 2 euro, mogelijk hebben deze
leerlingen gecompenseerd en zijn ze vergeten de 5 cent weer bij hun antwoord op te tellen.
In voorbeeldopgave 3 wordt leerlingen gevraagd hoeveel Halil nog bij moet betalen als hij
€ 11,17 moet afrekenen, met € 20 betaald en de winkelier hem een briefje van 10 euro wil
teruggeven. De percentiel-10 leerling heeft nog geen beheersing van het omwisselen van geld.
Voorbeeldopgaven 1-3 Geld

1

2

	Pascal koopt deze jas. Hij betaalt met een briefje van
€ 100,-. Hij krijgt 2 briefjes van 5 euro terug en
2 gelijke munten.

van 10 euro en een briefje van 5 euro.

Welke 2 munten zijn dat?

Hoeveel euro krijgt Ernst terug?

2 munten van

270

PPON

	Ernst koopt dit dartbord. Hij betaalt met een briefje

euro

€

3	Halil moet € 11,17 betalen. Hij betaalt met een briefje
van 20 euro. De winkelier wil 10 euro teruggeven.
Hoeveel moet hij nog vragen aan Halil?
€

De percentiel-25 leerling beheerst de eerste twee voorbeeldopgaven goed en voorbeeldopgaven
3 tot en met 6 matig. Voorbeeldopgaven 1 tot en met 3 zijn hierboven besproken. Voorbeeld­
opgaven 4 tot en met 6 gaan over het omwisselen van geld:
• Hoeveel munten van 20 eurocent passen er in 80 euro? (voorbeeldopgave 4);
• Hoeveel munten van 50 cent passen er in 2 briefjes van 5 euro en een briefje van 10 euro?
(voorbeeldopgave 5);
• Hoeveel munten van 1 euro kun je krijgen voor 120 munten van 5 cent? (voorbeeldopgave 6).
Van alle leerlingen die voorbeeldopgave 6 gemaakt hebben, geeft 69% het goed antwoord,
6 euro. 8% van de leerlingen heeft moeite met het omrekenen van centen naar euro’s en geeft
het antwoord 60 euro. De percentiel-25 leerling heeft een matige beheersing van het
omwisselen van geld.
Voorbeeldopgaven 4-6 Geld

4

5

	Bij de binnenspeeltuin wisselt moeder 2 briefjes van
5 euro en een briefje van 10 euro voor muntjes van
50 cent.
Hoeveel muntjes van 50 cent krijgt ze in totaal terug?
	In de spaarpijp zitten alleen munten van 20 eurocent.

			 muntjes van 50 cent

In totaal zijn de munten 80 euro waard.
	Hoeveel munten van 20 eurocent zitten dan in de
spaarpijp?
			 munten

271

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

6

	In de spaarpot zitten 120 munten van 5 cent.
Erwin wisselt de munten om in munten van 1 euro.
Hoeveel munten van 1 euro krijgt hij dan?
			 munten van 1 euro

De gemiddelde leerling heeft een matig tot goede beheersing van het omwisselen van geld
zoals in de hiervoor beschreven opgaven wordt gevraagd.
De gemiddelde leerling beheerst voorbeeldopgaven 1 tot en met 4 goed en opgave 5 nagenoeg
goed. Voorbeeldopgaven 6 tot en met 9 worden door de gemiddelde leerling matig beheerst.
In voorbeeldopgave 7 moeten leerlingen berekenen hoeveel eurocent Ronald terug moet krijgen
als hij € 10,52 moet afrekenen en betaalt met 11 euro en 2 cent. De gemiddelde leerling heeft
een matige beheersing van deze voorbeeldopgave. Van 10 van met voorbeeldopgave 7
vergelijkbare opgaven zullen deze leerlingen er gemiddeld 6 à 7 goed beantwoorden. In
voorbeeldopgave 8 wordt een complexere berekening gevraagd en moeten leerlingen globaal
berekenen hoeveel euro een jas van 300 kalidollar kost als 1 euro gelijk is aan 1,49 kalidollar.
Deze voorbeeldopgave wordt door de gemiddelde leerling matig beheerst. Voorbeeldopgave 9
is, net als voorbeeldopgave 6, een omwisselopgave die door de gemiddelde leerling matig wordt
beheerst. In voorbeeldopgave 9 moeten leerlingen 1 munt van 2 euro en 3 munten van 20 cent
omwisselen in munten van 5 cent. Van alle leerlingen die deze opgave gemaakt hebben, geeft
58% het goede antwoord: 52 muntjes. 9% van de leerlingen geeft als antwoord 32 muntjes.
Deze leerlingen zijn er waarschijnlijk vanuit gegaan dat 1 munt van 2 euro ingewisseld wordt
voor 20 muntjes van 5 cent. Vier procent van de leerlingen geeft het antwoord 44 muntjes.
Deze leerlingen hebben waarschijnlijk gerekend met maar 1 muntje van 20 cent in plaats van
met 3 muntjes.

272

PPON

Voorbeeldopgaven 7-9 Geld

7

8

	Ronald betaalt 11 euro. De winkelier vraagt er 2 cent
bij.
Hoeveel moet Ronald dan terug krijgen?

	Pieter is op vakantie op het eiland Kali. In Kali wordt
betaald met de Kalidollar. Pieter koopt een jas van
300 Kalidollar.

			 cent

Hoeveel euro kost de jas ongeveer?
A

100 euro		

C

450 euro

B

200 euro		

D

150 euro

9	In de kopieermachine passen alleen muntjes van
5 cent. Lot heeft 1 munt van 2 euro en 3 munten van
20 cent. Bij de kassa wisselt Lot de munten voor
muntjes van 5 cent.
Hoeveel muntjes van 5 cent krijgt ze dan?
			 muntjes

De percentiel-75 leerling heeft een goede beheersing van de eerste zeven voorbeeldopgaven,
een redelijk goede beheersing van voorbeeldopgave 8 en een matige beheersing van voorbeeld­
opgaven 9 tot en met 11. De eerste negen voorbeeldopgaven zijn hierboven besproken.
Voorbeeldopgave 10 is, net als voorbeeldopgave 7 een opgave waarin leerlingen moeten
berekenen hoeveel geld de persoon terugkrijgt. Voorbeeldopgave 7 wordt door de percentiel-75
leerling goed beheerst, terwijl voorbeeldopgave 10 matig wordt beheerst. In beide opgaven
gaat het om het bepalen hoeveel iemand terugkrijgt als hem of haar wordt gevraagd iets extra’s
bij te leggen (bijvoorbeeld een muntje van 5 cent). De berekening in voorbeeldopgave 10 blijkt
wat betreft getallen (€ 47,55 betalen met een briefje van 50 euro en een muntje van 5 cent)
moeilijker te zijn dan voorbeeldopgave 7 (€ 11,52 betalen met 11 euro en een muntje van
2 cent). In voorbeeldopgave 11 wordt een complexe berekening gevraagd. Leerlingen moeten
berekenen welke 4 munten Koos terugkrijgt als hij een brood van € 1,10 en beleg van € 2,55
koopt, 4 statiegeldflessen van € 0,25 inlevert en betaalt met € 5. De percentiel-75 leerling heeft
een matige beheersing van deze voorbeeldopgave.

273

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 10-12 Geld

10

12

	Jos betaalt met een briefje van 50 euro en een munt
van 5 cent.
Hoeveel krijgt Jos dan terug?
€

11

	Jurgen is op vakantie in Noorwegen. 100 Noorse
kronen zijn 13 euro waard. Jurgen koopt dit
Vikingschip voor 198 kronen.
Hoeveel kost het Vikingschip in euro’s?
			 euro

	Koos krijgt € 5,- mee voor deze boodschappen.
Hij levert 4 lege flessen in.
Hij krijgt 4 munten terug.
Welke? Vul in.
1 munt van

euro en

1 munt van

cent en

1 munt van

cent en

1 munt van

cent.

De percentiel-90 leerling beheerst deze complexe toepassingsopgave al wel goed. De laatste
voorbeeldopgave (12) is ook een complexe toepassingsopgave en wordt door de percentiel-90
leerling matig beheerst. In voorbeeldopgave 12 moeten leerlingen berekenen hoeveel een
Vikingschip van 198 kronen in euro kost als 100 Noorse kronen 13 euro waard zijn.

274

PPON

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Geld
-

Opgave waarbij een bedrag in andere valuta omgerekend moet worden in euro’s, 198 kronen is ____ euro, wanneer 100 kronen 13 euro waard is (opgave 12)

-

Complexe opgave waarbij onder andere berekend moet worden hoeveel betaald moet worden, hoeveel men terugkrijgt en welke munten dat zijn (opgave 11)
Opgave waarbij bepaald moet worden hoeveel teruggegeven wordt, wanneer € 47,55 betaald moet worden en 5 cent bijgelegd wordt (opgave 10)

-

Opgave waarbij muntgeld omgewisseld met worden in muntjes van 5 cent (opgave 9)
Opgave waarbij een bedrag in andere valuta globaal omgerekend moet worden in euro’s, 300 kalidollar is ongeveer ____ euro, wanneer 1 euro
is 1,49 kalidollar (opgave 8)

-

Opgave waarbij bepaald moet worden hoeveel teruggegeven wordt, wanneer € 10,52 betaald moet worden en 2 cent bijgelegd wordt (opgave 7)

-

Opgave waarbij 120 munten van 5 cent ingewisseld moet worden voor munten van 1 euro (opgave 6)
Opgave waarbij een aantal briefjes ingewisseld moet worden voor munten van 50 cent (opgave 5)

-

Opgave waarbij aangegeven moet worden hoeveel munten van 20 cent je krijgt voor een bedrag van 80 euro (opgave 4)

-

Opgave waarbij de leerlingen moeten bepalen wat handig is om bij te geven, zodat de winkelier een biljet van 10 euro kan teruggeven (opgave 3)

-

Opgave waarbij berekend moet worden hoeveel euro teruggegeven wordt, wanneer € 12,95 betaald wordt met een briefje van 10 euro en een briefje
van 5 euro (opgave 2)

-

Opgave waarbij berekend moet worden hoeveel munten van 2 euro teruggegeven worden, wanneer gegeven is hoeveel euro een jas kost en met welke
biljetten betaald wordt (opgave 1)
© Cito

10

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

275

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Geld

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

276

PPON

9

10

11

12

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

277

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Verschillen tussen 2011 en 2004
Het vaardigheidsniveau van de leerlingen met betrekking tot het onderwerp Geld is nagenoeg
gelijk gebleven in de periode 2004-2011. Het niveau dat in 2004 door 75% van de leerlingen
beheerst werd, wordt in 2011 door 73% beheerst. Het niveau dat in 2004 door 50% van de
leerlingen werd behaald, wordt in 2011 door 48% behaald.
Verschillen tussen leerlingen
De posities van de vaardigheidsverdelingen van de 0.3-leerling en 1.2-leerling liggen dicht bij
elkaar. Het vaardigheidsniveau van de 0.3-leerling is een fractie hoger dan het vaardigheids­
niveau van de 1.2-leerling. De relatieve afstand tot de 0.0-leerling is relatief groot.
Net als in 2004 zien we dat jongens een hoger vaardigheidsniveau hebben dan meisjes.
De onderscheiden doorstroomniveaus vertonen de te verwachten progressie in vaardigheid.
Vergelijken we de gemiddelde BB-leerling met de gemiddelde vwo-leerling, dan zien we dat de
gemiddelde BB-leerling alleen de eerste voorbeeldopgave goed beheerst terwijl de gemiddelde
vwo-leerling de eerste acht voorbeeldopgaven goed beheerst.
Tabel 7.21 Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Geld
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

252

49

2011

250

50

0.0

255

48

0.3

224

50

1.2

210

49

Jongens

255

50

Meisjes

246

50

BB

182

35

KB

209

36

GT

234

35

havo

269

35

vwo

298

35

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 7.22 Geld: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011

278

2004

2011

75%

73%

50%

48%

PPON

Tabel 7.23 Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp Geld
Opgaven die de gemiddelde leerling:

279

Doorstroomkenmerk

goed beheerst

matig beheerst

onvoldoende beheerst

BB

1

2 en 3

4 tot en met 12

KB

1

2 tot en met 6

7 tot en met 12

GT

1 en 2

3 tot en met 8

9 tot en met 12

havo

1 tot en met 6

7 tot en met 10

11 en 12

vwo

1 tot en met 8

9 tot en met 11

12

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

280

PPON

8 Verbanden

8
Verbanden

8 Verbanden
In dit hoofdstuk beschrijven we de resultaten van het peilings­
onderzoek voor het onderwerp Verbanden. In deze peiling is ervoor
gekozen dezelfde onderverdeling in subdomeinen te hanteren als bij
de referentieniveaus. Vandaar dat een apart hoofdstuk aan het
subdomein Verbanden wordt gewijd. Dit subdomein bestaat uit
twee deelonderwerpen Tabellen en grafieken en Patronen die samen
het onderwerp Verbanden vormen.
8.1

Verbanden

Inhoud
De opgaven bij het onderwerp Verbanden bestaan voor een groot gedeelte uit het type opgaven van het in
2004 voor het eerst opgenomen onderwerp Tabellen en grafieken. De verzameling opgaven is voor dit
peilingsonderzoek uitgebreid met opgaven over voortzetting van patronen. Aangezien de verzameling voor
een groot deel uit opgaven bestaat van het onderwerp Tabellen en grafieken is het verantwoord om een
vergelijking over de tijd te maken tussen Tabellen en grafieken en Verbanden.
Tabellen en grafieken komen ook bij andere rekenonderwerpen regelmatig voor, zoals bij Breuken en
Procenten. Daar worden met behulp van tabellen en grafieken gegevens op een overzichtelijke manier
gepresenteerd, maar ligt de nadruk op het betreffende onderwerp. De tabellen- en grafiekenopgaven die bij
het onderwerp Verbanden zijn opgenomen gaan expliciet over de vaardigheid van het lezen van tabellen en
grafieken en het opereren op basis van gegevens uit tabellen en grafieken.
Tabellen en grafieken worden in het nieuws en in schoolboeken frequent gebruikt om kwantitatieve
gegevens op een compacte en overzichtelijke manier weer te geven. De grafieken die daarbij ingezet worden
zijn zeer divers van vorm. De meest voorkomende zijn beeldgrafieken, staafgrafieken, lijngrafieken en
cirkelgrafieken. De tabelvormen zijn vooral enkelvoudige kruistabellen. Bij een aantal opgaven moet de
leerling informatie uit een tabel of grafiek aflezen en met behulp van die informatie een berekening
uitvoeren. Maar ook komen opgaven voor waarbij de leerling een trend in de gegevens moet onderkennen
of een conclusie moet trekken door gegevens met elkaar in verband te brengen. In een enkele opgave wordt
van de leerling gevraagd te interpoleren of te extrapoleren.
Bij het deelonderwerp Patronen gaat het om het voortzetten van patronen. Dit kunnen getalsmatige
patronen zijn, maar ook in symbolen. Een voorbeeld van een opgave waarbij een getalsmatig patroon
ontdekt moet worden is bijvoorbeeld: Er zijn drie gelijke flatblokken. In het eerste flatblok bevinden zich de
woningen met de huisnummers 17 tot en met 53, in het tweede flatblok de woningen met de huisnummers
55 tot en met 91. Welke woningen bevinden zich in het derde flatblok? Een voorbeeld van het voortzetten
van patronen van symbolen is een tegelpatroon met verschillende kleuren tegels dat voortgezet moet
worden.
Wat leerlingen kunnen
De percentiel-10 leerling beheerst de eerste drie voorbeeldopgaven goed en de voorbeeldopgaven 4 tot en
met 8 matig. In de gemakkelijkste voorbeeldopgave van de schaal Verbanden moeten leerlingen de

282

PPON

informatie uit twee tabellen met elkaar combineren en aflezen op welke dag Sem moet koken.
De leerlingen hoeven hier niet bij te rekenen. Deze voorbeeldopgave wordt door de
percentiel-10 leerling goed beheerst. Dit geldt eveneens voor voorbeeldopgave 2 waarin
leerlingen moeten aflezen in welk jaar het aantal verkochte auto’s is verdubbeld ten opzicht van
het jaar daarvoor. Ook voorbeeld­opgave 3 wordt door deze leerlingen goed beheerst. In deze
meerkeuzeopgave moeten leerlingen het verband zien tussen de seizoenen en de hoeveelheid
zonnebrandolie die per maand wordt verkocht. De vierde voorbeeldopgave wordt door deze
leerlingen matig beheerst. Leerlingen moeten in deze opgave uit een cirkeldiagram aflezen op
welke twee scholen samen ongeveer 34 deel van het aantal leerlingen uit de wijk zitten.
Voorbeeldopgave 5 gaat om het aflezen van aantallen uit een beeldgrafiek en wordt door de
percentiel-10 leerling matig beheerst. In voorbeeldopgaven 6 en 7 moeten leerlingen tabellen
aflezen. Meer specifiek wordt leerlingen in voorbeeldopgave 6 gevraagd uit een lesrooster af te
lezen tijdens welk vak Thomas naar de tandarts gaat en in voorbeeldopgave 7 moeten
leerlingen de prijs en inhoud van vier verschillende shampoomerken vergelijken om te bepalen
welke in verhouding het goedkoopst is. Zowel voorbeeldopgave 6 als 7 worden door deze
leerlingen matig beheerst, maar voorbeeld­opgave 7 is duidelijk moeilijker dan voorbeeldopgave
6. Wanneer deze leerlingen van zowel voorbeeldopgave 6 als 7 tien vergelijkbare opgaven
zouden maken, zouden ze van voorbeeld­opgave 6 er gemiddeld 6 à 7 goed hebben, terwijl ze er
gemiddeld van voorbeeld­opgave 7 vijf goed zouden beantwoorden. Voorbeeldopgave 8 wordt
eveneens matig beheerst. In deze voorbeeldopgave moeten leerlingen het verband tussen een
lijngrafiek en een cirkeldiagram zien om te kunnen bepalen bij welk jaar de cirkeldiagram hoort.
De percentiel-25 leerling heeft een goede beheersing van de eerste zes voorbeeldopgaven en
een matige beheersing van voorbeeldopgaven 7 tot en met 10. De eerste acht voorbeeld­
opgaven zijn hierboven besproken. Voorbeeldopgave 9 wordt door de gemiddelde leerling
matig beheerst. In deze voorbeeldopgave is in een lijngrafiek de boekenverkoop van drie
verschillende typen boeken weergegeven. Leerlingen moeten aflezen in welke maand er in
totaal de meeste boeken zijn verkocht. Voorbeeldopgave 10, waarin leerlingen uit een tabel
moeten aflezen op welke dag er in totaal het minst aantal kaarten is verkocht, wordt eveneens
matig beheerst. Van 10 met deze voorbeeldopgave vergelijkbare opgaven zal de percentiel-25
leerling er gemiddeld 5 à 6 goed beantwoorden. Van alle leerlingen die deze opgave gemaakt
hebben, heeft 72% het juiste antwoord dinsdag geantwoord. Maandag en donderdag worden
beide door 6% van de leerlingen als antwoord gegeven.

283

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Voorbeeldopgaven 1-10 Verbanden

1

3	De baas van de supermarkt maakt grafieken van de
verkoop van een aantal artikelen.
	Welke grafiek hoort bij de verkoop van
zonnebrandolie?
hoeveelheid

hoeveelheid

J F M A M J J A S O N D
maanden

A

hoeveelheid

J F M A M J J A S O N D
maanden

C

hoeveelheid

	De ouders van Sem mogen op bezoek komen als Sem
moet koken.
Op welke dag is dat?
J F M A M J J A S O N D
maanden

B

Op

2

Aantal verkochte auto's van het merk "Rijgoed"
in de jaren 1999 tot en met 2003
x 10 000

4

J F M A M J J A S O N D
maanden

D

Verdeling van de kinderen over de vier
basisscholen in de wijk De Hoven

5

Legenda:
De Wissel

4

De Koppel
De Tandem
De Schakel

3

2

	Welke twee scholen hebben samen ongeveer 34 deel

1

van het aantal leerlingen in deze wijk?

0
1999

2000

2001

2002

2003
jaren

	In welk jaar is het aantal verkochte auto’s verdubbeld
ten opzichte van het jaar daarvoor?
In

284

PPON

			 en

5

Aantal uitgeleende boeken in 5 jaren

7

1999

Shampoo Clean

Soft

Fresh

Beauty

Inhoud

400 ml

300 ml

600 ml

500 ml

Prijs

€ 3,20

€ 3,-

€ 5,40

€ 3,50

	Welke shampoo is in vergelijking met de hoeveelheid
die je krijgt het goedkoopst?

2000

			
2001

8
2002

Percentage werknemers van
de fabriek 'Stalo' dat lid is
van de vakbond VKZ
(periode 1998 tot en met 2003)

Percentage werknemers van
de fabriek 'Stalo' dat lid is van
de vakbond VKZ in het jaar

50%
VKZ

40%
30%
20%

2003

10%
0%
'98

'99

'00

'01

'02

'03
jaren

	Het cirkeldiagram hoort bij één van de jaren uit de
lijngrafiek.

= 1000 boeken

Bij welk jaar hoort het cirkeldiagram?
	Hoeveel boeken werden er in 2003 meer uitgeleend
dan in 2002?
			 boeken

6

9

Het lesrooster van Thomas
tijden
ma di
08.30 - 09.20 ne aa
09.20 - 10.10 ne

du

10.20 - 11.10 wi

fr

11.10 - 12.00 wi
12.30 - 13.20 en

gy
gy

13.20 - 14.10 ge

wo
ge

do

vr
bi

en

bi

wi

wi

ne

wi
ne

aa
fr

ne
du

ne

14.20 - 15.10 du
15.10 - 16.00

gy
gy

ne = nederlands
en = engels
fr = frans
du = duits
wi = wiskunde
ge = geschiedenis
aa = aardrijkskunde
bi = biologie
gy = gymnastiek

	Thomas gaat op donderdag om 13:00 uur weg naar

A

1998		D

2001

B

1999		E

2002

C

2000		F

2003

Aantal verkochte boeken door boekhandel "Meerlezen"
in de maanden januari - juli
10000

Legenda:
sprookjesboeken

8000

stripboeken
avonturenboeken

6000
4000
2000
0
jan

feb

mrt

verkocht?
In

			

285

mei

jun

jul

	In welke maand zijn in totaal de meeste boeken

de tandarts.
Tijdens welk vak gaat hij weg?

apr

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Maandag

Dinsdag

Woensdag

Donderdag

Vrijdag

Zaterdag

Zondag

10
Zonder korting
Met korting

421
210

460
136

431
213

532
231

409
412

320
456

378
423

Rail-Runner

32

23

31

21

21

52

43

	Hier zie je een overzicht van het aantal kaarten dat is
verkocht in één week op station Westvaart.
Op welke dag is het minste aantal kaarten verkocht?
Op

De gemiddelde leerling heeft een goede beheersing van voorbeeldopgaven 1 tot en met 8.
Voorbeeldopgave 9 wordt door deze leerlingen nagenoeg goed beheerst. Voorbeeldopgaven 10
tot en met 13 worden door deze leerlingen matig beheerst. Voorbeeldopgave 11 is een opgave
waarin leerlingen uit een lijngrafiek moeten aflezen op welke datum het verschil tussen het
aantal leerlingen op twee scholen het grootst is. De gemiddelde leerling heeft een matige
beheersing van deze voorbeeldopgave. Wanneer deze leerling 10 vergelijkbare opgaven zouden
maken zou hij of zij er gemiddeld 7 juist beantwoorden. Het goede antwoord, 2007, wordt door
73% van alle leerlingen die deze opgave gemaakt hebben gegeven, het antwoord 2006 wordt
door 11% van de leerlingen gegeven. Dat is het moment waarop het leerlingaantal op de twee
scholen gelijk was. 2010 wordt door 6% van de leerlingen als antwoord gegeven, in 2010 is het
leerlingaantal op beide scholen het grootst, het verschil is echter kleiner dan in 2007.
Voorbeeldopgaven 12 en 13 gaan over het herkennen van een patroon, beide voorbeeldopgaven
worden door deze leerlingen matig beheerst.
Voorbeeldopgaven 11-13 Verbanden

11

Leerlingaantal op 2 scholen
450

Legenda:
De Boemerang

400

De Salto

12

350
300
250

Dit lijstje gaat op dezelfde manier door.

200

Hoeveel prijzen van € 25,- zijn te winnen?

150

			 prijzen

100
50

10

13

1

20

09

1

ja
1

n

ja
1

n

20

08

ja
1

n

20

07

06
ja
1

n

20

05

20
ja

1

n

20
ja

1

n

ja
1

n

20

04

0

1
1

	Op welke datum is het verschil in het aantal
leerlingen tussen beide scholen het grootst?

1

1
2

3
4

1
3

?

1
4

1

Welk getal moet in het hokje staan?
1 januari
			

286

PPON

De percentiel-75 leerling beheerst de eerste dertien voorbeeldopgaven goed en voorbeeld­
opgaven 14 en 15 matig. Voorbeeldopgave 14 is, net als de voorbeeldopgaven 12 en 13 een
opgave waarin leerlingen een patroon moeten doorzetten. In deze voorbeeldopgave betreft het
een patroon van huisnummers. Van alle leerlingen die deze opgave gemaakt hebben, geeft 54%
het goede antwoord: 93 tot en met 129. 6% van de leerlingen heeft niet opgemerkt dat het in
deze flats alleen om de oneven huisnummers gaat, deze leerlingen geven als antwoord 92 tot
en met 128. 5% van de leerlingen maakt een rekenfout en geeft als antwoord 93 tot en met 139.
Voorbeeldopgaven 14-15 Verbanden

14

15

€5

€4

€3

€2

€1

Deze flats hebben evenveel woningen.

€0

Welke woningnummers heeft de 3e flat?

jan

feb

mrt

apr

mei

juni

Legenda:
uitgaven
sparen

			 tot en met

	Marianne heeft in een grafiek bijgehouden wat ze van
haar zakgeld spaart en uitgeeft.
In welke maand werd haar zakgeld verhoogd?
In

De percentiel-90 leerling beheerst net als de percentiel-75 leerling voorbeeldopgave 14 en 15
matig. In voorbeeldopgave 15 moeten leerlingen uit een staafgrafiek aflezen in welke maand
Marianne zakgeld verhoging heeft gekregen. De percentiel-90 leerling heeft een goede
beheersing van de eerste 13 voorbeeldopgaven.
Verschillen tussen 2011 en 2004
Het vaardigheidsniveau van het onderwerp Verbanden is sterk toegenomen. In tabel 8.1 is af te
lezen dat in 2004 het gemiddelde vaardigheidsniveau 219 was, en dat in 2011 dit niveau
gestegen is tot 250. Bij de analyse van de opgaven bij het onderwerp Verbanden is nagegaan of
deze vooruitgang toe te schrijven was aan de opgaven over het deelonderwerp Patronen.
Dit bleek niet het geval te zijn. Waarschijnlijk zijn de grote verschillen toe te schrijven aan de
toegenomen aandacht in het onderwijs voor dit onderwerp. De vooruitgang is ook te zien
wanneer we kijken naar het niveau dat door 75% en 50% van de leerlingen in 2004 beheerst
werd. Het niveau dat in 2004 door 75% van de leerlingen beheerst werd, wordt namelijk in 2011
door 90% van de leerlingen beheerst. Het niveau dat in 2004 door 50% van de leerlingen werd
behaald, wordt in 2011 door 73% behaald.

287

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vaardigheidsschaal bij het onderwerp

Verbanden

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

100
© Cito

Percentiel

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Opgaven

Goed

Matig

Onvoldoende
Beheersingsniveau

288

PPON

12

13

14

15

Vaardigheidsscore

400

350

90
300
75

50

250

25
200
10

150

Jaar

Formatiegewicht

Geslacht

o

o
vw

GT

hav

BB

isje

KB

s

s

gen

me

jon

1. 2

0.3

0.0

1
201

200

Percentiel

4

100

Vaardigheidsscore

Doorstroom

BB = basisberoepsgerichte leerweg

90

KB = kaderberoepsgerichte leerweg

75

GT = gemengd/theoretische leerweg

50
25
10
Percentielaanduidingen

289

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De ontwikkeling van de vaardigheid bij het onderwerp
Verbanden
-

Opgave waarbij uit een staafgrafiek beredeneerd moet worden wanneer het zakgeld verhoogd is (opgave 15)
Opgave waarbij een getalspatroon voortgezet moet worden en bepaald moet worden welke nummers op de derde flat moeten staan (opgave 14)

-

Opgave waarbij een abstract patroon voortgezet moet worden (opgave 13)

-

Opgave waarbij een getalspatroon voortgezet moet worden, 1 x 800, 2 x 400, 4 x 200, 8 x 100, hoeveel keer 25 (opgave 12)

-

Uit een lijngrafiek met twee lijnen aflezen en berekenen in welk jaar het verschil tussen het leerlingaantal van twee scholen het groots is (opgave 11)

-

Uit een tabel met drie verschillende typen treinkaarten berekenen op welke dag de meeste kaarten verkocht zijn (opgave 10)
Uit een lijngrafiek met drie lijnen aflezen en berekenen in welke maand de meeste boeken verkocht zijn (opgave 9)

-

Opgave waarbij gegevens uit een lijngrafiek gecombineerd moeten worden met gegevens uit een cirkelgrafiek (opgave 8)
Opgave waarbij uit een tabel afgelezen moet worden en berekend moet worden welke shampoo het goedkoopst is (opgave 7)

-

Opgave waarbij uit een tabel afgelezen moet worden welke les om 13.00 bezig is (opgave 6)
Opgave waarbij uit een beeldgrafiek afgelezen moet worden hoeveel boeken meer uitgeleend zijn in 2003 dan in 2002 (opgave 5)
Opgave waarbij afgelezen moet worden welke twee scholen ----43 deel van de cirkelgrafiek vormen (opgave 4)

-

Opgave waarbij leerlingen hun kennis over de werkelijkheid moeten gebruiken bij het selecteren van de juiste staafgrafiek (opgave 3)
Opgave waarbij leerlingen uit een staafgrafiek moeten aflezen in welk jaar de verkoop verdubbeld is (opgave 2)
Opgave waarbij gegevens uit twee tabellen gecombineerd moeten worden (opgave 1)
© Cito

10

25

50

75

90

Onvoldoende beheersing
Redelijke beheersing
Goede beheersing

290

PPON

Tabel 8.1

Gemiddelde vaardigheidsscores per categorie voor het onderwerp Verbanden
Gemiddelde score

Standaardafwijking

2004

219

51

2011

250

50

0.0

255

48

0.3

225

49

1.2

213

49

Jongens

253

50

Meisjes

247

50

BB

185

36

KB

201

36

GT

231

36

havo

264

36

vwo

296

36

Afnamejaar

Formatiegewicht

Geslacht

Doorstroom

Tabel 8.2

Verbanden: 50%- en 75%-niveau in 2004 in vergelijking tot 2011

2004

2011

75%

90%

50%

73%

Verschillen tussen leerlingen
De relatieve afstand van de 0.0-leerling tot de 0.3- en 1.2-leerling is groot. De 0.0-leerling
beheerst de eerste negen voorbeeldopgaven, de 0.3-leerling de eerste 7 voorbeeldopgaven en
de 1.2-leerling de eerste zes voorbeeldopgaven. Er is nauwelijks een verschil in
vaardigheidsniveau tussen jongens en meisjes.
De onderscheiden doorstroomniveaus vertonen de te verwachten progressie in vaardigheid.
Vergelijken we de gemiddelde BB-leerling met de gemiddelde vwo-leerling, dan zien we dat de
gemiddelde BB-leerling de eerste drie voorbeeldopgaven beheerst terwijl de gemiddelde vwoleerling de eerste twaalf voorbeeldopgaven beheerst. Het verschil tussen de opeenvolgende
schooltypen is bij het onderwerp Verbanden ongeveer even groot, rond de 30. Het verschil in
gemiddelde vaardigheid van de BB-leerling en de KB-leerling vormt hierop een uitzondering, dit
is slechts 17. De niveaus van de BB-leerling en de KB-leerling op dit onderwerp liggen relatief
dicht bij elkaar.

291

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Tabel 8.3	Het leerlandschap van leerlingen naar doorstroomkenmerk voor het onderwerp
Verbanden
Opgaven die de gemiddelde leerling:

292

Doorstroomkenmerk

goed beheerst

BB

1 tot en met 3

4 tot en met 8

9 tot en met 15

KB

1 tot en met 4

5 tot en met 10

11 tot en met 15

GT

1 tot en met 7

8 tot en met 12

13 tot en met 15

havo

1 tot en met 10

11 tot en met 14

15

vwo

1 tot en met 12

13 tot en met 15

-

PPON

matig beheerst

onvoldoende beheerst

9	Verschillen tussen
leerlingen

9
Verschillen tussen leerlingen

9 Verschillen tussen leerlingen
In de hoofdstukken 4, 6, 7 en 8 zijn verschillen in prestaties tussen
groepen leerlingen gerapporteerd op basis van de geschatte
vaardigheidsverdelingen van deze groepen. In dit hoofdstuk
onderzoeken we de specifieke bijdrage van een aantal variabelen op
verschillen in prestaties tussen leerlingen. Het betreft het effect van
de variabelen formatiegewicht, stratum, geslacht, leertijd en
methode. We besluiten het hoofdstuk met een vergelijking van de
peilingen in de periode 1987-2011.
9.1

Inleiding

In de voorgaande hoofdstukken hebben we bij ieder onderwerp aandacht besteed aan
verschillen tussen groepen leerlingen op basis van de geschatte vaardigheidsverdelingen van de
onderscheiden groepen. Deze verdelingen laten de verschillen tussen groepen zien zonder dat
rekening is gehouden met de vergelijkbaarheid van de groepen. In dit hoofdstuk zijn de
verschillen tussen leerlingen en peilingsjaren beschreven waarbij rekening gehouden wordt met
de effecten van de groepssamenstelling.
In dit hoofdstuk geven we een samenvattend overzicht van de bijdrage van een aantal
variabelen op verschillen in prestaties tussen leerlingen. Hierbij wordt gecorrigeerd voor de
overige variabelen die in de analyse zijn meegenomen. We spreken van gezuiverde effecten
omdat de andere kenmerken van de leerlingen, voor zover die ons bekend zijn, constant worden
gehouden. Het verschil in vaardigheid tussen de groepen wordt statistisch getoetst en bij een
overschrijdingskans p < .05 spreken we van een significant effect. Deze toetsing geeft echter
geen informatie over de grootte van het verschil. En zeker bij grote aantallen subjecten, zoals in
peilingsonderzoek vaak het geval is, kunnen relatief kleine verschillen al gauw een significant
effect genereren. Daarom worden de verschillen gerapporteerd in termen van effectgrootten.
De effectgrootte is het quotiënt van het verschil tussen de gemiddelden en de standaard­
afwijking van de twee groepen die onderling worden vergeleken. Voor de interpretatie van de
effectgrootten volgen we in de literatuur gebruikelijke kwalificaties.
Kwalificatie van effectgrootten

294

Effectgrootte

Kwalificatie

-0,8

groot negatief effect

-0,5

matig negatief effect

-0,2

klein negatief effect

0,0

geen effect

0,2

klein positief effect

0,5

matig positief effect

0,8

groot positief effect

PPON

Er zijn voor de volgende zes variabelen (zie paragraaf 2.1) effectschattingen uitgevoerd:
• voor formatiegewicht, met de niveaus 0.0, 0.3 en 1.2;
• voor stratum, met de niveaus 1, 2 en 3;
• voor geslacht, met de niveaus jongen en meisje;
• voor leertijd, met de niveaus regulier en vertraagd;
• voor afnamejaar, met de niveaus 2004 en 2011;
• voor reken-wiskundemethoden.
De resultaten zijn afkomstig uit diverse analysereeksen. De effectschattingen voor formatie­
gewicht, stratum, geslacht, leertijd en methode zijn gebaseerd op uitsluitend de gegevens van
het peilingsonderzoek in mei/juni 2011. Het effect van afnamejaar is gebaseerd op een analyse
over de periode 2004-2011.

9.2

Het effect van formatiegewicht

Diverse factoren bepalen de omvang van de lerarenformatie op een school. Een van deze
factoren – van oudsher aangeduid als het formatiegewicht – is gerelateerd aan de sociaaleconomische achtergrond van de leerlingen. In de afbeelding Effect van formatiegewicht per
domein zijn naast de individuele effectgrootten voor de verschillende onderwerpen ook per
domein de gemiddelde effectgrootte en het bereik van de effectgrootten afgebeeld.
Effect van formatiegewicht per domein
Getallen en bewerkingen

Verhoudingen, breuken
en procenten

Meten en meetkunde

Verbanden

0,4

0,4

0,4

0,4

0,2

0,2

0,2

0,2

0

0

0

0

-0,2

-0,2

-0,2

-0,2

-0,4

-0,4

-0,4

-0,4

-0,6

-0,6

-0,6

-0,6

-0,8

-0,8

-0,8

-0,8

-1,0

-1,0

-1,0

-1,0

effectgrootte

0.3/0.0

Gemiddeld

1.2/0.0

1.2/0.3

effectgrootte

0.3/0.0

1.2/0.0

1.2/0.3

effectgrootte

0.3/0.0

1.2/0.0

1.2/0.3

effectgrootte

0.3/0.0

1.2/0.0

1.2/0.3

Spreiding

Voor alle drie de domeinen geldt dat zowel 0.3-leerlingen als 1.2-leerlingen een achterstand
hebben op 1.00-leerlingen. Voor de onderwerpen van het domein Getallen en bewerkingen
varieert de effectgrootte voor 0.3-leerlingen ten opzichte van 0.0-leerlingen tussen -0,14 en
-0,62. Met uitzondering van de onderwerpen Hoofdrekenen: optellen en aftrekken, Schattend
rekenen en Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen is de effectgrootte in alle gevallen

295

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

significant en varieert van klein tot matig. De effectgrootten zijn het grootst voor de
onderwerpen Reken­machine (-0,62), Bewerkingen: toepassingen (-0,51) en Getallen en
getalrelaties (-0,43). De gemiddelde effectgrootte voor 0.3-leerlingen ten opzichte van
0.0-leerlingen is -0,33.
Voor 1.2-leerlingen ten opzichte van 0.0-leerlingen variëren de effectgrootten in het domein
Getallen en bewerkingen tussen -0,22 en -0,66. De effectgrootten zijn het grootst voor de
onderwerpen Getallen en getalrelaties (-0,66), Rekenmachine (-0,42) en Bewerkingen:
toepassingen (-0,42). Het verschil in rekenvaardigheidsniveau ten opzichte van 0.0-leerlingen
is alleen significant bij de onderwerpen Getallen en getalrelaties en Basisoperaties:
vermenigvuldigen en delen. Ook voor 1.2-leerlingen varieert de effectgrootte van klein tot matig,
en met een gemiddelde effectgrootte van -0,38 is het verschil in rekenvaardigheids­niveau met
0.0-leerlingen wat deze onderwerpen betreft vergelijkbaar met dat van 0.3-leerlingen.
De gemiddelde effectgrootte voor 1.2-leerlingen ten opzichte van 0.3-leerlingen is -0,05. Er zijn
geen significante effecten voor 1.2-leerlingen ten opzichte van 0.3-leerlingen.
Binnen het domein Verhoudingen, breuken en procenten zijn effectgrootten berekend over drie
onderwerpen. De gemiddelde effectgrootte voor 0.3-leerlingen ten opzichte van 0.0-leerlingen
is -0,44, voor de 1.2-leerlingen geldt een gemiddelde effectgrootte van -0,37. Bij alle drie de
onderwerpen is bij de 0.3-leerlingen sprake van een significant verschil in rekenvaardigheid ten
opzichte van 0.0-leerlingen en is de effectgrootte matig te noemen. Bij de 1.2-leerlingen ten
opzichte van de 0.0-leerlingen is het effect slechts significant bij de onderwerpen Verhoudingen
en Procenten. Het onderlinge verschil tussen 0.3- en 1.2-leerlingen heeft een gemiddelde
effectgrootte van 0,07. Het verschil in rekenvaardigheidsniveau tussen 0.3- en 1.2-leerlingen is
alleen significant bij het onderwerp Procenten (0,42).
Het domein Meten en meetkunde omvat acht onderwerpen. De gemiddelde effectgrootte
van 0.3-leerlingen ten opzichte van 0.0-leerlingen is -0,53. De effectgrootte varieert van -0,44
tot -0,66 en is voor alle onderwerpen het verschil significant met de kwalificatie matig.
De verschillen zijn het grootst voor de onderwerpen Tijd (-0,66), Meten: inhoud (-0,66) en Meten:
oppervlakte (-0,62).
Voor 1.2-leerlingen geldt dat de gemiddelde afstand tot 0.0-leerlingen ongeveer gelijk is (-0,46).
Het verschil is significant bij de helft van de onderwerpen, namelijk bij Meten: lengte,
Meten: inhoud, Meten: toepassingen en Geld. De effectgrootte varieert van -0,18 tot 0,94.
Het onderlinge verschil tussen 0.3- en 1.2-leerlingen heeft een gemiddelde effectgrootte 0,06.
Het verschil in rekenvaardigheidsniveau tussen 0.3- en 1.2-leerlingen is bij geen van de
onderwerpen significant.
De achterstand van 0.3-leerlingen en 1.2-leerlingen ten opzichte van 0.0-leerlingen is op deze
onderwerpen dus vrijwel gelijk.
Het domein Verbanden omvat slechts één onderwerp. De effectgrootte van 0.3-leerlingen ten
opzichte van 0.0-leerlingen is -0,46. Voor 1.2-leerlingen geldt dat de gemiddelde afstand tot
0.0-leerlingen ongeveer gelijk is (-0,47). Het onderlinge verschil tussen 0.3- en 1.2-leerlingen
heeft een niet significante effectgrootte -0,01. De achterstand van 0.3-leerlingen en
1.2-leerlingen ten opzichte van 0.0-leerlingen is op dit onderwerp dus vrijwel gelijk.
Deze resultaten laten zich moeilijk vergelijken met die uit 2004 omdat de definities voor
formatie­gewicht ingrijpend zijn gewijzigd.

296

PPON

9.3

Het effect van stratum

Op basis van de formatiegewichten zijn schoolscores berekend en zijn de scholen ingedeeld in
drie strata, die in globale termen de samenstelling van de schoolbevolking kenmerken (zie
paragraaf 2.1). De vraag is of nu dit stratumniveau, als additionele factor op schoolniveau naast
het formatiegewicht, de rekenprestaties van leerlingen beïnvloedt.
Binnen de domeinen Verhoudingen, breuken en procenten, Meten en meetkunde en Verbanden
vinden we een licht negatief effect voor S2-scholen ten opzichte van S1-scholen. Binnen het
domein Getallen en bewerkingen is dit effect verwaarloosbaar klein. De gemiddelde
effectgrootten zijn -0,05 voor de onderwerpen in de domeinen Getallen en bewerkingen, -0,23
voor Verhoudingen, breuken en procenten, -0,21 voor Meten en meetkunde en eveneens -0,21
voor Verbanden.
Effect van stratum per domein
Getallen en bewerkingen

Verhoudingen, breuken
en procenten

Meten en meetkunde

Verbanden

0,4

0,4

0,4

0,4

0,2

0,2

0,2

0,2

0

0

0

0

-0,2

-0,2

-0,2

-0,2

-0,4

-0,4

-0,4

-0,4

-0,6

-0,6

-0,6

-0,6

-0,8

-0,8

-0,8

-0,8

-1,0

-1,0

-1,0

-1,0

effectgrootte

S2/S1

Gemiddeld

S3/S1

S3/S2

effectgrootte

S2/S1

S3/S1

S3/S2

effectgrootte

S2/S1

S3/S1

S3/S2

effectgrootte

S2/S1

S3/S1

S3/S2

Spreiding

Binnen het domein Getallen en bewerkingen zijn de effecten voor de onderwerpen Getallen en
getalrelaties (-0,28) en Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen (-0,22) significant, maar klein.
De effecten voor de andere onderwerpen zijn niet significant.
Binnen het domein Verhoudingen, breuken en procenten zijn alle effecten voor de onderwerpen
significant, maar klein, variërend van -0,19 tot -0,28.
Binnen het domein Meten en meetkunde zijn de effecten voor de onderwerpen Meten: lengte
(-0,26), Meten: oppervlakte (-0,31), Meten: inhoud (-0,24) Meten: toepassingen (-0,21) en Geld
significant, maar eveneens klein. De effecten voor de andere onderwerpen zijn niet significant.
Het effect voor het onderwerp Verbanden is eveneens significant en klein (-0,21).
Voor S3-scholen is er in het algemeen sprake van een licht tot matig negatief effect ten opzichte
van S1-scholen met gemiddelde effectgrootten van -0,34 voor de onderwerpen van het domein
Getallen en bewerkingen, -0,43 voor de onderwerpen van het domein Verhoudingen, breuken en

297

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

procenten, -0,37 voor de onderwerpen van het domein Meten en meetkunde en -0,51 voor het
onderwerp Verbanden.
Voor S3-scholen ten opzichte van S1-scholen variëren de effectgrootten in het domein Getallen
en bewerkingen tussen -0,12 en -0,56. De effectgrootten zijn het grootst voor de onderwerpen
Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen (-0,53) en Rekenmachine (-0,56). Het verschil in reken­
vaardigheidsniveau van S3-scholen ten opzichte S1-scholen is alleen niet significant bij de
onderwerpen Getallen en getalrelaties, Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen en Hoofd­
rekenen: optellen en aftrekken.
In het domein Verhoudingen, breuken en procenten variëren de effectgroottes van -0,41 tot
-0,46. De verschillen zijn voor alle drie de onderwerpen significant.
In het domein Meten en meetkunde variëren de effectgroottes van 0,01 tot -0,62. De effect­
groottes zijn het grootst voor de onderwerpen Meetkunde (-0,62) ,Geld (-0,61) en Meten:
oppervlakte (-0,59). Het verschil in rekenvaardigheidsniveau is niet significant bij de onderwerpen
Meten: inhoud, Meten: toepassingen en Tijd.
De gemiddelde effectgrootten van S3-scholen ten opzichte van S2-scholen zijn per domein
respectievelijk -0,30, -0,20 en -0,16 en -0,30. Er worden significant negatieve effecten gevonden
voor de onderwerpen Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen (-0,26), Hoofdrekenen:
vermenigvuldigen en delen (-0,41), Schattend rekenen (-0,34), Bewerkingen: optellen en aftrekken
(-0,39), Bewerken: toepassingen (-0,41), Rekenmachine (-0,49), Meetkunde (-0,49) en Verbanden
(-0,30). Voor zowel S2- als S3-scholen is er dus relatief vaak sprake van een additioneel negatief
stratumeffect ten opzichte van de beide andere strata.
Deze resultaten laten zich moeilijk vergelijken met die uit 2004 omdat de stratumdefinities
ingrijpend zijn gewijzigd naar aanleiding van de herdefinitie van formatiegewicht.

9.4

Het effect van geslacht

Uit de vergelijking van de rekenprestaties van meisjes en jongens blijkt bij twee onderwerpen
een klein tot matig positief effect te bestaan in het voordeel van meisjes. Dit betreft de
onderwerpen Bewerkingen: optellen en aftrekken (0,38) en Bewerkingen: vermenigvuldigen en
delen (0,12). Het verschil voor dit laatste onderwerp is echter niet significant. In alle overige
gevallen is er sprake van een significant negatief effect variërend van -0,06 tot -0,62 voor het
domein Getallen en bewerkingen, van -0,33 tot -0,39 voor het domein Verhoudingen, breuken en
procenten, -0,14 tot -0,59 voor het domein Meten en meetkunde en -0,6 voor het onderwerp
Verbanden. De rekenprestaties van meisjes zijn dus minder goed dan die van jongens, behalve
bij het onderwerp Bewerkingen: optellen en aftrekken. De verschillen tussen jongens en meisjes
op de onderwerpen Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen, Bewerkingen: toepassingen en
Zakrekenmachine zijn in deze peiling niet significant. In 2004 werd een licht positieve trend
gevonden ten opzichte van de meisjes voor alle onderwerpen Bewerkingen. De verschillen
tussen jongens en meisjes bij het onderwerp Schattend rekenen zijn groter geworden. Voor de
overige onderwerpen in dit domein geldt dat de gemiddelde afstand tussen jongens en meisjes
vrijwel gelijk is gebleven.
Ook binnen het domein Verhoudingen, breuken en procenten is de afstand tussen jongens en
meisjes ten opzichte van 2004 nauwelijks veranderd.
Binnen het domein Meten en meetkunde lijkt de licht positieve tendens te stabiliseren: de
gemiddelde effectgrootte is nu -0,32 terwijl deze in 2004 -0,30 bedroeg. Bij de meeste
onderwerpen is er sprake van een significant negatief effect. Uitzondering is het onderwerp
Meetkunde (-0,14).

298

PPON

Effect van geslacht per domein
Getallen en
bewerkingen

Verhoudingen,
breuken en procenten

Meten en meetkunde

Verbanden

0,4

0,4

0,4

0,4

0,2

0,2

0,2

0,2

0

0

0

0

-0,2

-0,2

-0,2

-0,2

-0,4

-0,4

-0,4

-0,4

-0,6

-0,6

-0,6

-0,6

-0,8

-0,8

-0,8

-0,8

-1,0

-1,0

-1,0

-1,0

effectgrootte

m/j

Gemiddeld

9.5

effectgrootte

m/j

effectgrootte

m/j

effectgrootte

m/j

Spreiding

Het effect van leertijd

Op grond van hun leeftijd zijn de leerlingen in jaargroep 8 verdeeld in reguliere en vertraagde
leerlingen. De reguliere leerlingen zijn vooral de leerlingen die gelet op hun leeftijd thuishoren
in jaargroep 8, maar ook leerlingen in jaargroep 8 die jonger zijn, worden tot deze categorie
gerekend. De andere leerlingen hebben om welke reden dan ook in hun schoolloopbaan al enige
vertraging opgelopen.
Geconstateerd moet worden dat er onveranderlijk sprake is van een significant en matig
negatief effect voor de vertraagde leerlingen ten opzichte van hun jongere groepsgenoten.
De gemiddelde effectgrootten zijn -0,66 voor het domein Getallen en bewerkingen, -0,66 voor
het domein Verhoudingen, breuken en procenten, -0,64 voor het domein Meten en meetkunde en
-0,55 voor het domein Verbanden. Vergeleken met 2004 is de afstand tussen vertraagde en
reguliere leerlingen nauwelijks veranderd.

299

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Effect van leertijd per domein
Getallen en
bewerkingen

Verhoudingen,
breuken en procenten

Meten en meetkunde

Verbanden

0,4

0,4

0,4

0,4

0,2

0,2

0,2

0,2

0

0

0

0

-0,2

-0,2

-0,2

-0,2

-0,4

-0,4

-0,4

-0,4

-0,6

-0,6

-0,6

-0,6

-0,8

-0,8

-0,8

-0,8

-1,0

-1,0

-1,0

-1,0

effectgrootte

Gemiddeld

9.6

effectgrootte

vertr/reg

effectgrootte

vertr/reg

vertr/reg

effectgrootte

vertr/reg

Spreiding

Het effect van de reken-wiskundemethode

In de vorige balans is geen vergelijking van lesmethoden opgenomen, omdat ten tijde van het
peilingsonderzoek veel scholen wisselden van methode.
In deze peiling is een vergelijking gemaakt tussen de vier rekenmethoden die het meest frequent
(>10%) gebruikt worden in jaargroep 8 (zie tabel 3.3 in hoofdstuk 3). Het gaat om De wereld in
getallen, Pluspunt, Rekenrijk en Alles telt (zie tabel 9.2).
Tabel 9.2	Gemiddeld aantal waarnemingen per onderwerp voor vier reken-wiskundemethoden met minimum en
maximum aantal per domein
Getallen en bewerkingen

Breuken, verhoudingen en

Meten en meetkunde

Verbanden

procenten
gem.

min.

max

gem.

min.

max

gem.

min.

max

gem.

min.

max

De wereld in getallen

481

259

815

665

564

744

489

440

535

599

599

599

Pluspunt

386

243

706

544

475

599

393

372

408

231

231

231

Rekenrijk

157

89

290

209

184

231

150

134

161

196

196

196

Alles telt

123

85

216

177

148

196

124

117

136

215

215

215

In de afbeeldingen op de volgende pagina’s zijn per onderwerp de effectgrootten van de
methodes ten opzichte van De wereld in getallen afgebeeld. Het onderlinge verschil tussen de
andere methoden is daaruit afleidbaar. De methoden die significant afwijken van de beste
methode zijn vetgedrukt.

300

PPON

De belangrijkste conclusie is dat in het domein Getallen en bewerkingen de verschillen tussen de
methoden matig groot zijn. Bij Basisoperaties: optellen en aftrekken en Basisoperaties: optellen
en aftrekken worden met de methode De wereld in getallen significant betere prestaties behaald
dan met de andere drie methodes. Op de onderwerpen Hoofdrekenen: optellen en aftrekken,
Bewerkingen: optellen en aftrekken en Bewerkingen toepassingen verschilt De wereld in getallen
in positieve zin met de zwakste methode op deze onderwerpen Rekenrijk. Op het onderwerp
Rekenmachine is Rekenrijk echter de sterkste methode, maar de verschillen met de andere
methodes zijn niet significant. Op het onderwerp Schattend rekenen liggen de methodes Alles
telt, De wereld in getallen en Rekenrijk dicht bij elkaar. Pluspunt wijkt in negatieve zin af van de
beste methode op dit onderwerp, Alles telt.
In het domein Verhoudingen, breuken en procenten zien we dat er op het onderwerp Breuken
nauwelijks verschil is tussen de methoden. Op het onderwerp Verhoudingen zien we een klein
negatief effect voor de methode Alles telt ten opzichte van De wereld in getallen. Op het
onderwerp Procenten zijn de verschillen tussen De wereld in getallen en de andere methoden
significant en matig groot.
In het domein Verbanden zijn de verschillen tussen de methodes klein en niet significant.

301

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vergelijking van methoden voor het domein Getallen en bewerkingen
Onderwerpen
1

Getallen en getalrelaties

2

Basisoperaties: optellen en aftrekken

3

Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen

4

Hoofdrekenen: optellen en aftrekken

5

Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen

6

Schattend rekenen

7

Bewerkingen: optellen en aftrekken

8

Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen

9

Bewerkingen: toepassingen

10

Rekenmachine

De wereld in getallen

0,4

0,4

0,3

0,3

0,2

0,2

0,1

0,1

0

0

-0,1

-0,1

-0,2

-0,2

-0,3

-0,3

-0,4

-0,4

-0,5

-0,5

Pluspunt
Rekenrijk
Alles Telt
Is significant verschil met beste
methode voor dat onderwerp

1

302

PPON

2

3

4

5

6

7

8

9

10

De vergelijking van methoden voor het domein
Verhoudingen, breuken en procenten
Onderwerpen
11

Verhoudingen

12

Breuken

13

Procenten

De wereld in getallen

0,4

0,4

0,3

0,3

0,2

0,2

0,1

0,1

0

0

-0,1

-0,1

-0,2

-0,2

-0,3

-0,3

-0,4

-0,4

-0,5

-0,5

Pluspunt
Rekenrijk
Alles Telt
Is significant verschil met beste
methode voor dat onderwerp

11

303

12

13

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

De vergelijking van methoden voor het domein Meten en meetkunde
Onderwerpen
14

Meten: lengte

15

Meten: oppervlakte

16

Meten: inhoud

17

Meten: gewicht

18

Meten: toepassingen

19

Meetkunde

20 Tijd
21

0,4

0,4

0,3

0,3

0,2

0,2

0,1

0,1

0

0

-0,1

-0,1

-0,2

-0,2

-0,3

-0,3

-0,4

-0,4

-0,5

-0,5

Geld

De wereld in getallen
Pluspunt
Rekenrijk
Alles Telt
Is significant verschil met beste
methode voor dat onderwerp

14

304

PPON

15

16

17

18

19

20

21

De vergelijking van methoden
voor het domein Verbanden
Onderwerpen
22

Verbanden

De wereld in getallen

0,4

0,4

0,3

0,3

0,2

0,2

0,1

0,1

0

0

-0,1

-0,1

-0,2

-0,2

-0,3

-0,3

-0,4

-0,4

-0,5

-0,5

Pluspunt
Rekenrijk
Alles Telt

22

305

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

9.7

Het effect van afnamejaar

In de hoofdstukken 4, 6, 7 en 8 is op basis van de geschatte vaardigheidsverdelingen
gerapporteerd over verschillen in vaardigheid van de leerlingpopulaties in de peilingsjaren 2004
en 2011. Voor het onderwerp Meetkunde was dit niet mogelijk omdat de opgaven die in 2004
aan de leerlingen voorgelegd zijn, sterk afwijken van de opgaven die in 2011 aan de leerlingen
voorgelegd zijn.
Eerdere peilingen zijn buiten beschouwing gelaten, dit heeft te maken met de stabiliteit van de
opgaven in een opgavenverzameling. Het onderwijs verandert in de loop van de jaren en een
logisch gevolg daarvan is dat eigenschappen van opgaven veranderen. Naarmate de periode
waarover vergelijkingen worden gemaakt groter wordt, wordt de kans op instabiliteit van
opgaven groter en zijn zij minder of niet meer geschikt voor de onderlinge vergelijking.
De consequentie is dan dat opgaven bij de analyses verwijderd zouden moeten worden.
Toch is juist een vergelijking over een wat langere periode interessant. Daarom presenteren we
waar mogelijk naast de vergelijking over de periode 2004-2011 ook de vergelijking over de
periode 1987-1997 en 1992-2004.
De afbeeldingen op de volgende pagina’s laten per domein het effect van afnamejaar zien voor
de verschillende onderwerpen. In de afbeeldingen is in principe het jaar 1987 op nul gezet.
Afgebeeld is dan het verloop van de effectgrootte over de perioden 1987-1997, 1992-2004 en
2004-2011, waarbij de effectgrootte van 1992 in de tweede analyse gelijk is gesteld aan de
effectgrootte uit de eerste analyse en de effectgrootte van 2004 in de derde analyse aan de
effectgrootte uit de tweede analyses. Dat geeft een doorlopend beeld van de jaareffecten over
de periode 1987-2011. Merk op dat de analyse over de periode 1992-1997 in beide periodes
voorkomt. We verwachten in beide periodes dus een vergelijkbaar effect.
Bij een aantal onderwerpen is een analyse over de periode 1987-1997 niet mogelijk en in dat
geval zijn de jaareffecten over de periode 1992-2004 gepresenteerd, waarbij 1992 op nul is
gesteld. Bij het onderwerp Geld is in de vorige balans geen jaarvergelijking gepresenteerd, in
verband met de komst van de euro. Een jaarvergelijking was nu wel mogelijk. Hierbij is 2004 op
nul gesteld.
Jaareffecten in het domein Getallen en bewerkingen
De jaareffecten voor de onderwerpen in dit domein blijken onderling uiterst tegengesteld te
zijn. Naast positieve ontwikkelingen worden ook negatieve tendensen gevonden. We beschrijven
de effecten per onderwerp.
1 Getallen en getalrelaties
	In de periode 1987-2004 was er sprake van een sterk positief jaareffect voor het onderwerp
Getallen en getalrelaties. In de periode 2004-1011 is een zeer lichte daling te zien.
De vaardigheid van de leerlingen in het doorzien van de getalstructuur en van de relaties
tussen getallen is nagenoeg gelijk gebleven.
2 Basisoperaties: optellen en aftrekken
	Voor de periode 1992-2004 werd een licht positief effect gevonden. Het effect voor de
periode 2004-2011 is een verwaarloosbaar klein negatief effect.

306

PPON

3 Basisoperaties: vermenigvuldigen en delen
	Na een negatieve tendens over de periode 1992-1997 was een lichte positieve ombuiging
zichtbaar over de periode 1997-2004. In de periode 2004-2011 keert dit zich weer in een
verwaarloosbaar klein negatief effect.
	In hun totaliteit zijn de effecten op het gebied van de basisoperaties klein. Het is niet
onwaarschijnlijk dat dit mede wordt veroorzaakt door het basale karakter van dit onderwerp
waardoor relatief veel opgaven door de meeste leerlingen goed worden beheerst en er dus
sprake is van een plafondeffect.
4 Hoofdrekenen: optellen en aftrekken
	Over de totale periode 1987-2004 was een duidelijk positieve ontwikkeling te zien die echter
vooral is gerealiseerd in de periode 1987-1997. Voor dit onderwerp is nauwelijks verschil met
2004 zichtbaar. De minimale vooruitgang die geboekt is tussen 2004 en 2011 is niet
significant.
5 Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen
	Zoals de figuur laat zien is er tussen 1987 en 2004 nauwelijks verandering opgetreden in de
vaardigheid van de leerlingen op dit onderwerp. Ook tussen 2004 en 2011 is het positieve
effect zeer minimaal.
6 Schattend rekenen
	Het positieve effect voor het onderwerp Schattend rekenen dat zichtbaar was in de 19872004 zet zich door in de periode 2004-2011. Over deze periode is een lichte toename te zien.
7 Bewerkingen: optellen en aftrekken
	Het duidelijk negatieve effect van afnamejaar over de periode 1987-2004 zet door in de
periode 2004-2011. Het effect is echter minimaal.
8 Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen
	De rekenvaardigheid van leerlingen met betrekking tot dit onderwerp is sinds 2004 sterk
achteruit gegaan, het niveau is in de periode 2004-2011 echter gelijk gebleven.
9 Samengestelde bewerkingen
	De ontwikkeling van de vaardigheid bij dit onderwerpen was in de periode 1987-2004
vergelijkbaar met die op de voorgaande twee onderwerpen. Echter is de negatieve trend over
de periode 2004-2011 omgebogen naar een licht positief effect.
10 Rekenen met de zakrekenmachine
	We zien een licht positieve tendens over met name de periode 1992-1997 die zich tussen
1997 en 2004 min of meer heeft gestabiliseerd, om tussen 2004 en 2011 weer matig te
stijgen.

307

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Effectgrootten voor afnamejaar over de periode 1987 - 2011 voor het domein
Getallen en bewerkingen (1)
1

2

3

4

5

6

1,2

1,2

1

1

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2

0

0

-0,2

-0,2

-0,4

-0,4

-0,6

-0,6

Effect- ’87 ’92 ’97 ’04 ’11
grootte

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

1987 - 1997

1 Getallen en getalrelaties

1992 - 2004

2 Basisautomatismen: optellen en aftrekken

2004 - 2011

3 Basisautomatismen: vermenigvuldigen en delen
4 Hoofdrekenen: optellen en aftrekken
5 Hoofdrekenen: vermenigvuldigen en delen
6 Schattend rekeken

308

PPON

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

Effectgrootten voor afnamejaar over de periode 1987 - 2011 voor het domein
Getallen en bewerkingen (2)

7

8

9

10

0,4

0,4

0,2

0,2

0

0

-0,2

-0,2

-0,4

-0,4

-0,6

-0,6

-0,8

-0,8

-1,0

-1,0

-1,2

-1,2

-1,4

-1,4

Effect- ’87 ’92 ’97 ’04 ’11
grootte

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

1987 - 1997

7 Bewerkingen: optellen en aftrekken

1992 - 2004

8 Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen

2004 - 2011

9 Samengestelde bewerkingen
10 Rekenen met de zakrekenmaschine

309

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Effectgrootten voor afnamejaar over de periode 1987 - 2011 voor het domein
Verhoudingen, breuken en procenten

11

12

13

1

1

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2

0

0

-0,2

-0,2

-0,4

-0,4

-0,6

-0,6

-0,8

-0,8

Effect- ’87 ’92 ’97 ’04 ’11
grootte

310

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

1987 - 1997

11 Verhoudingen

1992 - 2004

12 Breuken

2004 - 2011

13 Procenten

PPON

Jaareffecten in het domein Verhoudingen, breuken en procenten
De jaareffecten voor de onderwerpen uit dit domein laten nauwelijks verschillen tussen 2004 en
2011. Hieronder worden de effecten per onderwerp besproken.
11 Verhoudingen
	De figuur laat zien dat er wat dit onderwerp betreft nauwelijks sprake is van enige
ontwikkeling. Een licht positieve tendens is waargenomen over de periode 1987-1997, over
1997-2004 zien we weer een lichte achteruitgang en over de periode 2004-2011 weer een
zeer minimale, niet significante vooruitgang.
12 Breuken
	Het beeld omtrent de vaardigheid in het kunnen omgaan met breuken is in de periode 19872004 gelijk aan dat van het onderwerp Verhoudingen, in de periode 2004-2011 is echter
sprake van een lichte achteruitgang op dit onderwerp.
13 Procenten
	De continu positieve ontwikkeling die zichtbaar was vanaf 1987 is in de periode 2004-2011
gestabiliseerd. De vooruitgang is niet significant.

311

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Jaareffecten in het domein Meten
De jaareffecten voor de onderwerpen uit dit domein laten, net als in het domein Verhoudingen,
breuken en procenten, nauwelijks verschillen zien tussen 2004 en 2011. Zoals besproken in de
inleiding van deze paragraaf is van het onderwerp Meetkunde is geen jaareffect berekend.
Hieronder worden de effecten per onderwerp besproken. Zie voor de grafieken pagina 314 en 315.
14 Meten: lengte
	De licht negatieve tendens die zichtbaar was in de periode 1987-2004 zet door in de periode
2004-2011. Het negatieve effect blijft verwaarloosbaar klein, maar is wel significant.
15 Meten: oppervlakte
	Tussen 2004 en 2011 is net als tussen 1992 en 2004 geen verandering van enige betekenis
opgetreden in het vaardigheidsniveau van de leerlingen over de jaren heen.
16 Meten: inhoud
	Ook voor dit onderwerp geldt dat er over de totale periode 1987-2011 geen veranderingen
van betekenis zijn opgetreden in het vaardigheidsniveau van de leerlingen. Na een lichte
stijging over de periode 1987-1992 zien we vanaf 1992 een lichte daling die doorzet in de
periode 2004-2011, zonder effecten van betekenis.
17 Meten: gewicht
	Bij het onderwerp Meten: gewicht wordt wel een duidelijk positief effect over de totale
periode 1987-2011 geschat. Het effect over de periode 2004-2011 is verwaarloosbaar klein.
18 Meten: toepassingen
	De negatieve trend die zichtbaar was in de periode 1987-2004, buigt zich om in een lichte
stijging in de periode 2004-2011. Het effect is significant, maar klein.
19 Meetkunde
	In de periode 1987-2004 bewegen de effecten van afnamejaar voor het onderwerp
Meetkunde bewegen zich rond de nullijn. Voor de periode 2004-2011 is geen effect berekend.
20 Tijd
	Nadat er zich over de periode 1987-1997 een licht positieve trend aftekende voor het
onderwerp Tijd, gevolgd door een negatief effect over de periode 1997-2004, is tussen
2004-2011 weer een zeer klein positief effect gevonden.
21 Geld
	In de periode 2004-2011 is het vaardigheidsniveau op het onderwerp Geld nauwelijks
veranderd. Het negatieve effect is verwaarloosbaar en niet significant.
Jaareffecten in het domein Verbanden
22 Verbanden (voorheen Tabellen en grafieken)
	Dit onderwerp heette in de vorige balans Tabellen en grafieken. Door de ontwikkelingen rond
de referentieniveaus is dit onderwerp uitgebreid met enkele opgaven over patronen
(zie hoofdstuk 8). Desalniettemin meten het grootste deel van de opgaven dezelfde
vaardigheid als in 2004. Daarom is een jaarvergelijking verantwoord. In de periode 19982004 was er sprake is van een verwaarloosbaar klein positief effect. In de periode 2004-2011
is een duidelijk positief effect te zien

312

PPON

Samenvatting
Voor zover er over de periode 2004-2011 veranderingen zijn waar te nemen in de reken­
vaardigheid van de leerlingen, zijn dat vooral kleine veranderingen, met uitzondering van het
onderwerp Verbanden (voorheen Tabellen en grafieken).
De veranderingen die binnen het domein Getallen en bewerkingen zichtbaar zijn, geven geen
eenduidig beeld, op de meeste onderwerpen zien we lichte vooruitgang of achteruitgang.
We zien dat de negatieve trend op het gebied van de bewerkingen zich bij het onderwerp
Bewerkingen: optellen en aftrekken doorzet, echter de achteruitgang is zeer klein. Bij het
onderwerp Bewerkingen: vermenigvuldigen en delen stabiliseert de vaardigheid zich en bij het
onderwerp Bewerkingen: toepassingen zien we een zeer lichte stijging.
De belangrijkste vooruitgang die is opgetreden in de periode 2004-2011 is bij het onderwerp
Verbanden. Een mogelijke verklaring hiervoor is de toegenomen belangstelling voor dit gebied,
ten gevolge van de aandacht voor de referentieniveaus. Eigenlijk zijn hiermee de belangrijkste
ontwikkelingen op het gebied van de rekenvaardigheid van leerlingen geschetst. Zowel binnen
het domein Meten en meetkunde als binnen het domein Verhoudingen, breuken en procenten is
op een enkele uitzondering na nauwelijks enige vooruitgang of achteruitgang geconstateerd.

313

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Effectgrootten voor afnamejaar over de periode 1987 - 2011 voor het domein
Meten en meetkunde en het domein Verbanden
14

15

16

17

18

19

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

’87 ’92 ’97 ’04 ’1

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8
Effect- ’87 ’92 ’97 ’04 ’11
grootte
1987 - 1997

14 Meten: lengte

1992 - 2004

15 Meten: oppervlakte

2004 - 2011

16 Meten: inhoud
17 Meten: gewicht
18 Meten: toepassingen
19 Meetkunde
20 Tijd
21 Geld
22 Verbanden

314

PPON

18

92 ’97 ’04 ’11

19

20

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

315

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

22

21

’87 ’92 ’97 ’04 ’11

1

1

0,8

0,8

0,6

0,6

0,4

0,4

0,2

0,2

0

0

-0,2

-0,2

-0,4

-0,4

-0,6

-0,6

-0,8

-0,8
’87 ’92 ’97 ’04 ’11

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

316

PPON

Literatuur

Literatuur

Literatuur
Bokhove, J., Schoot, F. van der & Eggen, Th. (1996). Balans van het rekenonderwijs aan het einde
van de basisschool 2. Uitkomsten van de tweede peiling rekenen/wiskunde einde basisonderwijs.
PPON-reeks nr. 8a. Arnhem: Cito.
Expertgroep doorlopende leerlijnen (2008). Over de drempels met rekenen. Consolideren,
onderhouden, gebruiken en verdiepen. Enschede: z.u.
Fagginger Auer, M. F. & Scheltens, F. (2012). Oplossingsstrategieën voor deel- en
vermenigvuldigopgaven in groep 8. In: M. van Zanten (ed.). Opbrengstgericht onderwijs –
rekenen! – wiskunde? (pp. 137-150). Utrecht: z.u.
Fosnot, C. & Dolk, M. L. A. M. (2002). Het leerlandschap (1). In: Panama-Post. Tijdschrift voor
nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 21 (2), pp. 29 – 37.
Heuvel-Panhuizen, M., van den, Buys, K. & Treffers, A. (eds.) (2000). Jonge kinderen leren rekenen.
Tussendoelen annex leerlijnen. Hele getallen. Bovenbouw basisschool. Groningen: WoltersNoordhoff.
Hop, M. (red.) (2012). Balans van het reken-wiskundeonderwijs halverwege de basisschool 5.
PPON-reeks nr. 47. Arnhem: Cito.
Janssen, J., Schoot, F. van der & Hemker, B. (2005). Balans van het rekenwiskundeonderwijs aan
het einde van de basisschool 4. PPON-reeks nr. 32. Arnhem: Cito.
Janssen, J., Schoot, F. van der, Hemker, B. & Verhelst, N. (1999). Balans van het rekenwiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 3. Uitkomsten van de derde peiling in 1997.
PPON-reeks nr. 13. Arnhem: Cito.
Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen (1993). Besluit kerndoelen basisonderwijs.
’s Gravenhage: z.u.
Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen. (1993a). Besluit wijzigingen
formatiebesluit WBO 1992. Staatsblad van het koninkrijk der Nederlanden, 608.
Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen. (1998). Kerndoelen basisonderwijs 1998.
Over de relatie tussen de algemene doelen en de kerndoeln per vak. ’s Gravenhage: Sdu
Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen (2004). Voorstel herziene kerndoelen
basisonderwijs.
Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen (2008). Kerndoelen Primair Onderwijs.
’s Gravenhage: z.u.
Netelenbos, T. (1995). De school als lerende organisatie. Den Haag, Sdu.
Verhelst, N.D., C.A.W. Glas & H.H.F.M. Verstralen (1993). OPLM: One Parameter Logistic Model.
Computer program and manual. Arnhem: Cito

318

PPON

Verschaffel, L., Greer, B., & De Corte, E. (2007). Whole number concepts and operations. In: F.K.
Lester (Ed.) Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 559-565).
Greenwich, CT: Information Age Publishing.
Wijnstra, J.M. (red.) (1998). Balans van het rekenonderwijs in de basisschool. Uitkomsten van de
eerste rekenpeiling medio en einde basisonderwijs. PPON-reeks nr. 1. Arnhem, Cito.

319

Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

320

PPON

Primair onderwijs

Primair onderwijs | Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau

Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau
Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het

Balans van het reken-wiskundeonderwijs
aan het einde van de basisschool 5

einde van de basisschool 5
PPON-reeks nummer 51

Klantenservice
T (026) 352 11 11
F (026) 352 11 35
klantenservice@cito.nl

Fotografie: Ron Steemers

PPON 51 | Balans van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 5

Cito
Amsterdamseweg 13
Postbus 1034
6801 MG Arnhem
Telefoon (026) 352 11 11
Fax (026) 352 13 56
Internet www.cito.nl

PPON-reeks nummer 51