আক্ষরিক অর্থে আমরা যখন জটিল সংখ্যার কাল্পনিক একক o কে o হিসাবে দেখি তখন সহজেই একটা সমীকরণে পৌছতে পারি
এই সমীকরণ ও শিক্ষার্থীদের কাছে জটিল সংখ্যাকে জটিল বা অবাস্তব মনে হবার আরেকটা কারণ
o অপারেশন টি শুধু মাত্র তখনই ডিস্ট্রিবিউটিভ যখন এবং ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা
এই ভুল থেকে বাঁচার জন্য গাউস কর্তৃক প্রস্তাবিত পন্থা হচ্ছে বর্গমূল এর মধ্যে ঋনাত্মক সংখ্যা এসে গেলেই প্রথমেই সেটাকে o আকারে লিখে নেওয়া যাতে পরবর্তীতে বর্গমূল চিহ্নের মধ্যে ঋনাত্মক চিহ্নের কোনো অপারেশন না হয়
কোনো বাস্তব সংখ্যার কাল্পনিক ঘাত অয়লার এর তত্ত্ব অনুযায়ী বের করা যায়
তত্ত্ব টি নিম্নরূপ o বাস্তব এবং কাল্পনিক শব্দ দুটি অর্থবহ ছিল যখন জটিল সংখ্যাকে শুধু বাস্তব সংখ্যা সংক্রান্ত হিসাবে সাহায্যকারী ধারণা হিসাবে ব্যবহার করা হতো
যেখানে শুধু বাস্তব অংশ আক্ষরিক অর্থে বাস্তব জগৎএর প্রতিনিধিত্ব করত
পরবর্তীকালে বিশেষ করে কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের আবিষ্কারের পরে দেখা যায় যে বাস্তব সংখ্যার প্রতি প্রকৃতির কোনো অতিরিক্ত প্রীতি নেই
বরং অনেক বাস্তব ঘটনাই গাণিতিকভাবে বর্ণনার সময় জটিল সংখ্যা অত্যাবশ্যক হয়ে পড়ে
ফলে জটিল সংখ্যার সেই কাল্পনিক অংশ বাস্তব অংশের মতই ভৌত বাস্তবতা নিয়ে হাজির হয়
নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বে প্রায়ই ভৌত ব্যবস্থাকে লাপ্লাস রূপান্তরের মাধ্যমে সময় ডোমেইন থেকে ফ্রিকোএন্সি ডোমেনএ নিয়ে যাওয়া হয়
এর পর সেই ব্যবস্থার পোল এবং জিরো কে জটিল সমতলে বিশ্লেষণ করা হয়
রুট লোকাস নাইকুইস্ট প্লট এবং নিকোল প্লট এইসব বিশ্লেষণী পদ্ধতিতে জটিল সমতলকে ব্যবহার করা হয়
যেমন রুট লোকাস পদ্ধতিতে পোল এবং জিরো সমুহ জটিল সমতলের বাম অর্ধতল নাকি ডান অর্ধতলে অবস্থিত তা বিশেষ ভাবে গুরুত্বপূর্ণ অর্থাৎ রুট এর বাস্তব অংশ শুন্য অপেক্ষা বড় নাকি ছোট
যদি কোন সিস্টেমের পোল সমুহ কোন সিস্টেমের জিরো যদি ডান অর্ধতলে থাকে তাহলে সিস্টেমটি ননমিনিমাম ফেজ সিস্টেম
সিগন্যাল বিশ্লেষণ এবং অন্য আরো কিছু ক্ষেত্রে জটিল সংখ্যাকে পর্যায়বত্ত ভাবে পরিবর্তনশীল সিগন্যাল এর গাণিতিক প্রকাশে ব্যবহার করা হয়
সাইন এবং কোসাইন দ্বারা প্রকাশিতকোনো কোন বাস্তব ফাংশন যার প্রকাশে জটিল ফাংশন ব্যবহৃত হয় এবং সেখানে জটিল ফাংশনের বাস্তব অংশ সেই সিস্টেমের ভৌত পরমাপ সমূহ প্রকাশ করে
যেমন নির্দিষ্ট কম্পাঙ্কের একটা সাইন তরঙ্গের জটিল প্রকাশে পরম মান দ্বারা বিস্তার এবং আর্গুমেন্ট দ্বারা ফেজ বা দশা নির্দেশিত হয়
যেখানে হচ্ছে সেই সাইন তরঙ্গের জটিল সংখ্যায় প্রকাশিত রূপ
ফুরিয়ার বিশ্লেষণে সময় কোনো সিগন্যালকে যেটা বাস্তব সংখ্যার একটি ফাংশন আকারে প্রকাশিত অনেকগুলো পর্যায়বৃত্ত ফাংশনের সমষ্টি আকারে প্রকাশ করতে জটিল সংখ্যার ফাংশন ব্যবহৃত হয়
এক্ষেত্রে ব্যবহৃত পর্যায়বৃত্ত ফাংশনগুলি এই আকারের
দ্বারা কৌণিক গতি বোঝানো হয় এবং জটিল সংখ্যা পূর্বে বর্ণিত পদ্ধতিতে একই সাথে বিস্তার এবং দশা উভয়কেই ধারণ করে
তড়িৎ প্রকৌশলে পরিবর্তনশীল বিভব এবং তড়িৎ প্রবাহের বিশ্লেষণে ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ব্যবহৃত হয়
রোধ ধারক এবং আবেশক কে জটিল সংখ্যার সাহায্যে কম্পাঙ্কনির্ভর একটা একীভূত রাশিতে প্রকাশ করা হয়
যাকে আমরা বলি ইম্পিডেন্স যেহেতু দ্বারা পরিবর্তী প্রবাহ প্রকাশ করে সেহেতু তড়িৎ প্রকৌশলি এবং পদার্থ বিজ্ঞানীগণ অনেক সময় কাল্পনিক একক কে লিখে প্রকাশ করে থাকে
ইম্পিডেন্সের সাহায্যে পরিবর্তী প্রবাহ এবং বিভবের বিশ্লেষণে ব্যবহৃত এই গাণিতিক প্রক্রিয়াকে ব বলা হয় ফেজর ক্যালকুল্যাস
এই পদ্ধতিকে সম্প্রসারিত করে ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং এবং ডিজিটাল ইমেজ প্রসেসিং এ প্রয়োগ করা হয়
যেখানে সিগন্যাল ট্রান্সমিট কম্প্রেস এবং পুনরুদ্ধারে ফুরিয়ার বিশ্লেষন এবং বিশ্লেষণ বিশ্লেষন ব্যবহৃত হয়
ফলিত গণিতে অনেক বাস্তব সংখ্যার ফাংশনের ইম্প্রোপার ইন্টিগ্রাল বের করার জন্য জটিল সংখ্যার ফাংশন ব্যবহৃত হয়
এ ধরনের বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে
দেখুন কন্টুর ইন্টিগ্রেশন জটিল সংখ্যার ফিল্ড কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের গাণিতিক সূত্রায়নের সাথে ওতপ্রোত ভাবে জড়িত
যেখানে সাধারণত জটিল সংখ্যা ভিত্তিক হিলবার্ট স্পেস কে অন্তর্নিহিত গাণিতিক সংগঠন হিসাবে ব্যবহার করা হয়
কোয়ান্টাম মেকানিক্সের মূল ভিত্তি তথা শ্রডিনজার সমীকরণ এবং হাইজেনবার্গের মেট্রিক্স মেকানিক্স জটিল সংখ্যার সাহায্যে গঠিত
বিশেষ আপেক্ষিকতা এবং সাধারণ আপেক্ষিকতাতে স্পেসটাইম বা স্থানকালএর মেট্রিকসংক্রান্ত কিছু সমীকরণ অনেক সরল হয়ে যায় যদি সময় কে কাল্পনিক সংখ্যার চলক হিসাবে প্রকাশ করা হয় ক্লাসিক্যাল রিলেটিভিটিতে এধরণের ব্যবহার তেমন না থকলেও কোয়ান্টাম ফিল্ড থিওরিতে এটা অত্যাবশ্যক
আপেক্ষিকতায় ব্যবহৃত স্পিনর সেটা টেন্সর এর একটা সাধারণীকৃত রূপ এর জন্যেও জটিল সংখ্যা অত্যাবশ্যক
ডিফারেন্সিয়াল ইকুয়েশনের সমাধানের সময় সাধারণত প্রথমে ক্যারেক্ট্যারিস্টিক ইকুয়েশনের জটিল মূল গুলো নির্ণয় এবং এর পরে পুরো সিস্টেম কে e আকারের বেস ফাংশনের সাপেক্ষে সমাধান করা হয়
ফ্লুইড ডাইনামিক্সে জটিল সংখ্যার ফাংশন দ্বারা দ্বিমাত্রিক পোটেনশিয়াল ফ্লো প্রকাশ করা হয়
কিছু কিছু ফ্র্যাক্টাল জটিল সমতলে প্লট করা হয়
যেমন ম্যান্ডেলব্রট সেট এবং জুলিয়া সেট ইত্যাদি
ধনাত্মক সংখ্যা ঋণাত্মক সংখ্যা এবং শূন্য সবই বাস্তব সংখ্যা ইংরেজি e e
অর্থাৎ যে সকল সংখ্যাকে সংখ্যারেখার মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় তাদেরকে বাস্তব সংখ্যা বলে
এর বিপরীতে আর এক ধরনের সংখ্যা আছে যাদের বলা হয় অবাস্তব সংখ্যা
বাস্তব এবং অবাস্তব অংশযুক্ত সংখ্যাকে বলে জটিল সংখ্যা যা জটিল সংখ্যাতলের oe e e উপর যেকোন বিন্দু
এই তলে বাস্তব সংখ্যা রেখার e s সঙ্গে অবাস্তব সংখ্যা রেখা s লম্বভাবে অবস্থিত
ধনাত্মক সংখ্যা হলো থেকে বড় সকল সংখ্যা
এটি ভগ্নাংশ ও হতে পারে
ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে ছোটো সকল সংখ্যা
সহ সকল ধনাত্মক সংখ্যা হল অঋণাত্মক সংখ্যা
বাস্তব সংখ্যাকে দুই শ্রেণীতে ভাগ করা যায় যে সকল স্বীকার্যসমূহের উপরে বাস্তব সংখ্যা ধারণাটি প্রতিষ্ঠিত সেগুলি হচ্ছেঃ মূলদ সংখ্যা হচ্ছে সেই সকল বাস্তব সংখ্যা যাদের o আকারে প্রকাশ করা যায়
যেখানে এবং উভয় পূর্ণ সংখ্যা এবং
যেকোন পূর্ণ সংখ্যা একটি মূলদ সংখ্যা
মূলদ সংখ্যাকে দশমিক আকারেও প্রকাশ করা যায় এবং তা হয় সসীম ঘর দশমিক যেমন অথবা পৌনঃপুনিকee দশমিক যেমন
সব পূর্ণসংখ্যাই মূলদ সংখ্যা কারণ o যদি একটি পূর্ণসংখ্যা হয় তবে o সুতরাং o কে দুই পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যাচ্ছে
অর্থাৎ o ইত্যাদি সবই মূলদ সংখ্যা
কিন্তু এছাড়াও সব ভগ্নাংশগুলিও যেমন o o o o ইত্যাদি মূলদ সংখ্যা
যে সব বাস্তব সংখ্যা মূলদ সংখ্যা নয় অর্থাৎ যাদেরকে দুইটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হিসেবে প্রকাশ করা যায় না তাদেরকে বলা হয় অমূলদ সংখ্যা
অমূলদ সংখ্যা যে বাস্তব সংখ্যাকে দুটি পূর্ণ সংখ্যার অনুপাতে প্রকাশ করা যায় না তাকে অমূলদ সংখ্যা বলে
অমূলদ সংখ্যাকে দশমিকএ প্রকাশ করার চেষ্টা করলে দশমিকের পর যত ঘর অবধিই দেখা হবে কোন পৌনঃপুনিকতাeee দেখা যাবেনা
শুধু দশমিক সংখ্যা পদ্ধতি নয় যে কোনো সংখ্যা পদ্ধতির জন্যই যেমন দ্বিনিধানি সংখ্যা পদ্ধতি এই কথাটি খাটবে
এটাও দেখাও যায় যে যে কোনো সংখ্যা যা সঠিক ভাবে কোনো ধনাত্বক সংখ্যার তম ঘাত নয় তার তম মূল অমূলদ সংখ্যা হবে
আরো দেখাও যায় যে যে কোনো সংখ্যা যা সঠিক ভাবে কোনো মূলদ সংখ্যার তম ঘাত নয় তার তম মূল অমূলদ সংখ্যা হবে
কয়েকটি অমূলদ সংখ্যার উদাহরণ হল o o o এবং o অনেক সময় বলা হয় যে o কিন্তু সেটা o এর আসন্নীকৃত মান
প্রচীন গ্রিসে পিথাগোরাস সম্পর্কিত অমুলদ সংখার ইতিহাসটি বেশ রোমাঞ্চকর
হিপ্পসাস নামক পিথাগোরাসের শিষ্য o আবিস্কার করেন
হিপ্পসাস পিথাগোরাসের সদ্য আবিস্কৃত সমকোণী ত্রিভুজের সূত্র ব্যবহার করে দুই বাহুর দৈর্ঘ্য একক ধরে অতিভুজ বের করতে গিয়ে একটা গোল বাধিয়ে ফেলেন
তিনি কিছুতেই অতিভুজ হিসাবে যে o পেয়েছেন তার মান আর হিসাব করতে পারছিলেন না
পরে বুঝলেন যে এটা আর সব অন্য মুলদ সংখ্যার মত নয় যাদের দুইটি পুর্ণ সংখ্যার ভাগফল আকারে লেখা সম্ভব
পরবর্তিতে আরো এরকম সংখ্যা আবিস্কৃত হয়
আর গণিতবিদেরা এদের নাম দেন অমুলদ সংখ্যা
শ্রীনিবাস রামানুজন বলেছিলেন যে o এর মান যতো খুশি ততো ঘর
অতি সুপরিচিত একটি অমুলদ সংখ্যা হচ্ছে অভিকর্ষজ ত্বরণ s তুরীয় সংখ্যাইংরেজি see e ও বীজগাণিতিক সংখ্যাইংরেজি e e অমূলদ সংখ্যা যে সকল বস্তু নিয়ে সেট গঠিত তাদেরকে ঐ সেটের উপাদান ee বা সদস্য ee বলা হয়
সব কিছু অর্থাৎ মানুষ পশুপাখি জীবজড় দোষগুণ সংখ্যা বর্ণমালা ইত্যাদি সেটের উপাদান হতে পারে
কোন সেট গঠন করতে হলে অবশ্যম্ভাবী যে শর্ত পূরণ করতে হয় তা হলো যে কোন বস্তু সেটটির সদস্য কি না তা কোন দ্ব্যর্থতা ছাড়া নিরূপণ করা যাবে
আধুনিক হাতিয়ার হিসেবে সেট এর ব্যবহার ব্যাপক
জার্মান গণিতবিদ জর্জ ক্যান্টন সেট সর্ম্পকে প্রথম ধারণা ব্যাখ্যা করেন
তিনি অসীম সেটের ধারণা প্রদান করেন সেটের উপাদানগুলোকে সাধারণত কমা দ্বারা আলাদা করা হয়
সেট প্রকাশের জন্য ইংরেজি বড় হাতের অক্ষর ব্যবহার করা হয়
আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ ব্যাপার হল সেট প্রকাশের জন্য সবসময় দ্বিতীয় বন্ধনী ব্যবহার করা
সেটের সংজ্ঞা বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় সেট হবার জন্য দুটো শর্ত পালন করতে হয়
শর্ত দুটি হচ্ছেসুনির্দিষ্টতা ও সুসংজ্ঞায়িত হওয়া
আমরা এখন দুটো শর্ত বিস্তারিত আলোচনা করব
প্রথমে সেট হবার জন্য উপাদানগুলো সুনির্দিষ্ট হতে হবে
অর্থাৎ উপাদানগুলোর মাঝে কোন না কোন মিল থাকতে হবে
উপরের উদাহরণে সবাই ইংরেজি বর্ণমালার অক্ষর
দ্বিতীয় শর্তটি অধিকতর গুরুত্বপূর্ণসুসংজ্ঞায়িত হওয়া
সেটের সংজ্ঞায় এমন কোন বর্ণনা ব্যবহার করা যাবে না যা নিয়ে কোন প্রকার মতভেদ থাকতে পারে যা একটু পরে আলোচিত হবে
সেটকে সাধারণত দুটি উপায়ে প্রকাশ করা যায়