ওয়ালফ্রাম যৌক্তিক চিহ্ন ব্যবহার করে গোল্ডবাখের অনুমান এভাবে লেখা যায় oseeseeeesoeso যে সব সংখ্যাকে দুটি বেজোড় মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে প্রকাশ করা যায় তাদের গোল্ডবাখ সংখ্যা বলে
কাজে গোল্ডবাখের অনুমানকে এভাবেও বিবৃত করা যায় এর থেকে বড় সকল জোড় পূর্ণ সংখ্যাই গোল্ডবাখ সংখ্যা
কোনো জোড় সংখ্যাকে টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল দ্বারা প্রকাশ করলে সেটাকে বলা হয় সংখ্যাটির গোল্ডবাখ বিভাজক ইংরেজিতে o o
যেমনঃ বা ক কে যত সংখ্যক উপায়ে টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যায় সেটা নিচে দেখানো হলো oeso সালের জুন জার্মান গণিতবিদ গোল্ডবাখ তার বন্ধু গণিতবিদ লেওনার্ড ইউলারকে চিঠি লিখেন যেখানে তিনি বলেন পরে তিনি য় আরেকটি অনুমান প্রস্তাবনা করেন চিঠির মার্জিনের পাশেঃ গোল্ডবাখ কে মৌলিক সংখ্যা হিসাবে ধরেছিলেন যেটা এখন আর গণিতে ধরা হয়না
দুটি অনুমানকেই এখন একই ধরা হয়
মার্জিনের পাশের অনুমানের আধুনিক সংস্করণ হলো ইউলার সালের জুন চিঠির উত্তর দেন এবং গোল্ডবাখকে পূর্বে তাদের মধ্যকার কথপোকথনকে মনে করিয়ে দেন যখন গোল্ডবাখ তার প্রথম অনুমানের কথা বলেছিলেনঃ ইউলার তার চিঠিতে বলেনঃ শক্তিশালী অনুমানটি প্রমাণ করা সম্ভব হলে দুর্বলটি প্রমান হয়ে যাবে
কারণ হল যদি এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায় তাহলে সংখ্যাটির সাথে মৌলিক যোগ করে আমরা বলতে পারি এর চেয়ে বড় যেকোন বিজোড় সংখ্যাকে টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়
হার্ডি এবং লিটলউড অনুমান করেন ছোট সংখ্যার জন্য সরাসরি গোল্ডবাখের অনুমান পরীক্ষা করা যায়
নিলস পিপিন সালে পর্যন্ত সংখ্যার জন্য অনুমানের সত্যতা যাচাই করেন s e ose e e ooose oess s
অলিভিয়েরা ই সিলভা কম্পিউটারের সাহায্যে পর্যন্ত সংখ্যার জন্য সঠিকতা যাচাই করেছেন
os e e eee অ্যাসিট্যামাইড অ্যাসিটিক অ্যাসিডের অ্যামাইড
এটি সাদা স্ফটিকাকারে পাওয়া যায়
এটিকে দ্রাবক ও প্লাস্টিকীকারক হিসেবে ও অনেক জৈব সংশ্লেষ প্রক্রিয়ায় ব্যবহার করা হয়
অ্যাসিটানিলাইড অ্যাসিড অ্যামাইডের ফিনাইল জাতক
এটি পূর্বে এনফেনিলাসিটামাইড অ্যাসিটানিল বা অ্যাসিটানিলিড নামে পরিচিত ছিল
এটি সাদা দানাদার পদার্থ এবং ঔষধশিল্পে জ্বর উপশমের জন্য অ্যান্টিফেব্রিন হিসেবে ব্যবহৃত হয়
অ্যাসিটিক অ্যানহাইড্রিডের সাথে অ্যানিলাইনের বিক্রিয়ার দ্বারা অ্যাসিটানিলাইড প্রস্তত করা হয় শতমূলী সব্জি হিসাবে ব্যবহৃত একবীজপত্রী উদ্ভিদ
পুঁথির মালার মত গাঁটযুক্ত সঞ্চয়ী গুচ্ছমূলবিশিষ্ট তাই নাম শতমূলী
গোল্ডবাখ দুর্বল অনুমান এর আরো কয়েকটা নাম আছে বিজোড় গোল্ডবাখ অনুমান ত্রয়ী গোল্ডবাখ সমস্যা মৌলিক সমস্যা
অনুমানটি এভাবে বলা যায় অনুমানটিকে দুর্বল বলার কারণ হল দুইটি মৌলিক সংখ্যা সংক্রান্ত গোল্ডবাখ অনুমানটি যদি প্রমাণ করা যায তাহলে এই অনুমানটি আপনা থেকেই প্রমাণ হয়ে যাবে
কারণ হল যদি এর চেয়ে বড় যেকোন জোড় সংখ্যাকে টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায় তাহলে সংখ্যাটির সাথে মৌলিক যোগ করে আমরা বলতে পারি এর চেয়ে বড় যেকোন বিজোড় সংখ্যাকে টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল আকারে লেখা যায়
গোল্ডবাখ দুর্বল অনুমান প্রমাণ করা সম্ভব হয়নি তবে অনেকে খুব কাছাকাছি গিয়েছেন
সালে হার্ডি এবং লিটলউড সাধারণ রিম্যান হাইপোথিসিস ব্যবহার করে দেখিয়েছেন যথেষ্ট বড় বিজোড় সংখ্যার জন্য দুর্বল অনুমানটি সত্য
ইভাব ম্যাতেভিচ ভিনোগ্রাডভ ee oo রিম্যান হাইপোথিসিস এর উপর নির্ভরশীলতা বাদ দিয়ে দিয়েছেন এবং সরাসরি দেখিয়েছেন যথেষ্ট বড় বিজোড় সংখ্যার জন্য দুর্বল অনুমানটি সত্য
তার ছাত্র বোরেজদিন দেখিয়েছেন যথেষ্ট বড় সংখ্যাএটায় টি অঙ্ক আছেবর্তমান প্রযুক্তি ব্যবহার করে এর নিচের প্রতিটি সংখ্যা যাচাই করা সম্ভব নয়
সালে লিউ মিংচিটহংকং বিশ্ববিদ্যালয় এবং ওয়্যাং টিয়েনজে উচ্চসীমাটিকে এ নামিয়ে আনেন
কম্পিউটার দিয়ে এখন পর্যন্ত পর্যন্ত সংখ্যা যাচাই করা সম্ভব হয়েছেos e e eee
সালে অলিভিয়ার রেমার দেখান এর বড় প্রতিটি জোড় পূর্ণসংখ্যাকে সর্বোচ্চ টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে দেখানো যায়
লেসযাক কিনাইকি রিম্যান হাইপোথিসিস ব্যবহার করে দেখান প্রতিটি বিজোড় পূর্ণসংখ্যাকে সর্বোচ্চ টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যায়
টেরেন্স টাও এটা প্রমাণ করেন রিম্যান হাইপোথিসিস ছাড়া
সাধারণীকৃত তারকাউচ্চতা সমস্যা আনুষ্ঠানিক ভাষা তত্ত্বo e eoএর একটি সমস্যা
একে এভাবে বর্ণনা করা যায় লুথার কোলাজ সালে কোলাজ অনুমান টি প্রস্তাব করেন
এতে প্রশ্ন করা হয়েছে একটা নির্দিষ্ট অনুক্রম কি সবসময় একই ভাবে শেষ হবে কিনা অনুক্রমটির প্রথম সংখ্যাটি যাই হোক না কেন
পল এরডশ এই অনুমানটি সম্পর্কে বলেছেন এ ধরনের সমস্যার জন্য গণিত এখনো প্রস্তুত হয় নি তিনি ডলার ঘোষণা করেছেন এই সমস্যাটির জন্য
যেকোন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার জন্য নিচের অপারেশন দুইটি বিবেচনা করা যাক গাণিতিক ভাষায় বলতে গেলে একটা ফাংশন এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এখন এই অপারেশনটি পুনরাবৃত্তি করে একটা অনুক্রম তৈরি করা যাক
অনুক্রমটির প্রথম সংখ্যা যেকোন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
কোলাজ অনুমান যা বলছে তা হল এই কার্যপ্রণালী অবশেষে এ গিয়ে পৌঁছুবে শুরুতে যে সংখ্যাই বিবেচনা করা হোক না কেন
গণিতের ভাষায় বলতে গেলে অনুমানটি মিথ্যা হলে এমন কোন সূচনা সংখ্যা পাওয়া যাবে যার জন্য এমন একটা চক্রাকার অনুক্রম পাওয়া যাবে যেখানে অনুপস্থিত অথবা অনুক্রমটি সীমাহীন ভাবে বাড়তে থাকেবে
কিন্তু এ জাতীয় কোন অনুক্রমের সন্ধান পাওয়া যায়নি
আপার্টহাইট আফ্রিকান্স ভাষায় e আপার্ট্হাইট্ অর্থাৎ পৃথকীকরণ বলতে থেকে পর্যন্ত দক্ষিণ আফ্রিকার বর্ণবৈষম্যমূলক নীতিকে বোঝানো হয়
দক্ষিণ আফ্রিকার আফ্রিকান্স ভাষায় আপার্টহাইট কথাটির অর্থ পৃথকীকরণ বা জাতিগত পার্থক্যের উপর ভিত্তি করে পৃথক আবাসন ব্যবস্থা
শ্বেতাঙ্গশাসিত সরকার এসময় আইন করে দক্ষিণ আফ্রিকার অধিবাসীদের কৃষ্ণাঙ্গ শ্বেতাঙ্গ দক্ষিণ এশীয় বর্ণসংকর ইত্যাদি বর্ণে ভাগ করে এবং মূলত অশ্বেতাঙ্গদের বাসস্থান নির্বাচনের অধিকার যাতায়াতের অধিকার বিভিন্ন রাজনৈতিক থেকে বঞ্চিত করে
সালে প্রথম এই শব্দের উৎপত্তি হয় এবং এর দশকের শুরু থেকে দক্ষিণ আফ্রিকার জাতীয় পার্টি রাজনৈতিক স্লোগানে এই শব্দটি ব্যবহার শুরু করে
তবে শব্দটির সাথে জড়িত যে নীতি তার উদ্ভব আরও আগে
সালে দক্ষিণ আফ্রিকাতে শ্বেতাঙ্গ মানুষের বসতি স্থাপন শুরুর সাথে সাথে এই নীতির প্রচলন শুরু হয়
সালে ওলন্দাজ ইস্ট ইন্ডিয়া কোম্পানি দক্ষিণ আফ্রিকায় কেপ টাউন শহর প্রতিষ্ঠার মাধ্যমে কেপ কলোনি স্থাপন করেছিল
সালে ব্রিটিশরা কেপ কলোনি দখল করে নেয়
ব্রিটিশরা মূলত দীর্ঘ সমুদ্রযাত্রার বিরতির জন্য বিশ্রাম ও দাস ব্যবসার উদ্দেশ্যে এ এলাকা দখল করে এবং স্থায়ীভাবে বসতিতে উৎসাহ পায়
বুয়র শব্দটা ডাচ এর মানে চাষি
তারা কথা বলত আফ্রিকানা ভাষায় ডাচ ও জার্মানিক ভাষা মিলে আফ্রিকান্স ভাষা টি তৈরি হয়েছিল
পরে তারা কেপ কলোনি থেকে ব্রিটিশদের চাপে চলে যায় ও দক্ষিণ আফ্রিকার উত্তরাঞ্চলে একটি বুয়র রিপাবলিক গড়ে তোলার চেষ্টা করে
সালে দক্ষিণ আফ্রিকার খনিতে হীরে ও সালে স্বর্ণ পাওয়া যায়
এসব মূল্যবান সম্পদের সন্ধানে বহিরাগত বাড়তে থাকে
এর কিছুকাল পরে দক্ষিণ আফ্রিকার কৃষ্ণাঙ্গ আদিবাসী ব্রিটিশ শাসকশ্রেনি ও ডাচবুয়র দের মধ্যে ত্রিমূখি লড়াই আরম্ভ হয়
ফলশ্রুতিতে বিভিন্ন রাজনৈতিক দল গঠিত হয় যেমন সাদাদের ন্যাশনাল পার্টি কালোদের আফ্রিকান ন্যাশনাল কংগ্রেস
সালের নির্বাচনে সাদাদের ন্যাশনাল পার্টি জয়ী হয়
তারপর থেকে শ্বেতকায় শাসকশ্রেনি নিয়ন্ত্রন করতে থাকে অশেতাঙ্গদের
এর ফলে যে নীতি নিতে হয়তাই আপার্টহাইট বা বর্ণবৈষম্য নীতি
সমগ্র দক্ষিণ আফ্রিকাকে সাদা কালো বর্ণময় বা কালারড ও ইন্ডিয়ানএই চার ভাগে ভাগ করে ফেলা হল
আফ্রিকান ন্যাশনাল কংগ্রেসের অন্যতম নেতা নেলসন ম্যান্ডেলা বর্ণবাদ বিরোধী আন্দোলনে সক্রিয়ভাবে অংশ নেন
সালে তাঁকে দক্ষিণ আফ্রিকার বর্ণবাদী সরকার গ্রেপ্তার করে ও অন্তর্ঘাত সহ নানা অপরাধের দায়ে যাবৎজীবন কারাদণ্ড দেয়
দক্ষিণ আফ্রিকার শ্বেতাঙ্গ সরকার সে সময় একটি আইন প্রণয়ন করেছিল যেটি পাসপত্র আইন নামে পরিচিত
ওই আইনে বলা হয়েছিল কৃষ্ণাঙ্গদের সব সময় তাঁদের পরিচয়সংক্রান্ত নথিপত্র বহন করতে হবে
সালের মার্চ রাজধানী জোহানেসবার্গের থেকে কিলোমিটার দক্ষিণে শার্পভিল শহরতলির থানার বাইরে বর্ণবৈষম্য আইনের বিরুদ্ধে প্রতিবাদ জানাতে জড়ো হন কৃষ্ণাঙ্গরা
এক পর্যায়ে পুলিশ তাঁদের ওপর নির্বিচারে গুলি চালায়
নিহত হন জন ও আহত হন অন্তত জন
শার্পভিলে গণহত্যার তম বার্ষিকী সালে ভাষার প্রশ্নে কৃষ্ণাঙ্গরা ন্যাশনাল পার্টি নিয়ন্ত্রিত সরকারের বিরুদ্ধে বিক্ষোভে ফেটে পড়ে
আফ্রিকান্স ভাষাকে স্কুলের ভাষা করার ঘোষণা দিয়েছিলেন প্রধান মন্ত্রী পি ডবলিউ বোথা
ডেসমন্ড টুটু দেশের বাইরে থেকে আন্দোলনসংগ্রামের যোগ
তিনি দক্ষিণ আফ্রিকীয় পণ্য বয়কট করতে ডাক দেন এবং অবিনিয়োগ আন্দোলন শুরু করেন
যার ফলে যুক্তরাষ্ট্র ও যুক্তরাজ্য দক্ষিণ আফ্রিকায় বিনিয়োগ বন্ধ রাখে
তাঁর ডাকে কেপ টাইনের রাস্তায় হাজার মানুষ নেমে আসে এবং বিশ্বব্যাপী বর্ণবৈষম্য নীতির প্রতি প্রতিবাদ শুরু হয়
প্রচন্ড প্রতিরোধের মুখে সরকার নেলসন ম্যানডেলাকে মুক্তি দিতে বাধ্য হয়
সালের ই ফেব্রুয়ারি তিনি কারামুক্ত হন
এর পর তিনি তাঁর দলের হয়ে দক্ষিণ আফ্রিকার শ্বেতাঙ্গ সরকারের সাথে শান্তি আলোচনায় অংশ নেন
এর ফলশ্রুতিতে দক্ষিণ আফ্রিকায় বর্ণবাদের অবসান ঘটে এবং সব বর্ণের মানুষের অংশগ্রহণে সালে গণতন্ত্র প্রতিষ্ঠিত হয়
বোয়ের্স্ শব্দটি দ্বারা দক্ষিণ আফ্রিকায় বসতি স্থাপনকারী ইউরোপীয়ানদের নির্দেশ করা হয়
সালে এসকল ইউরোপীয়ানরা প্রথম দক্ষিণ আফ্রিকায় এসে পৌঁছায়