বর্তমানে বিনিময় বৈশিষ্ট্য অতিপরিচিত ও গণিতবিদ্যার বিভিন্ন শাখার ভিত্তি হিসেবে ব্যবহার করা হয়
বিনিময় শব্দটি প্রথম পাওয়া যায় সালে ফ্রাঙ্কো সারভইস এর একটি আত্মজীবনীতে
e oe seoe oeso eos সেই সময় তিনি যে ফাংশনটির জন্য বিনিময় শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন সেটিই এখন নিনিময় ফাংশন নামে পরিচিত
শব্দটি দুটি ফ্রেঞ্চ শব্দ থেকে এসেছে একটি হল কমিউটার যার অর্থ প্রতিষ্ঠাপিত করা বা স্থান পরিবর্তন এবং এর বিভক্তি হিসেবে আছে অ্টিযাভ যার অর্থ কোন কিছু করার প্রবণতা অতএব এদের মিলিত অর্থ হল প্রতিষ্ঠাপন বা স্থান পরিবর্তনের প্রবণতা
সালে এই শব্দটি ইংরেজিতে যুক্ত হয় ট্রাঞ্জেকশন অফ দা রয়্যাল সোসাইটি অফ এডিনবার্গ ডুঙ্কান ফ্রাকুহারসন গ্রিজোরি নিবন্ধটিকে অন দা রিয়াল ন্যাচার অফ সিম্বোলিক অ্যালজেব্রা নামে সালে প্রকাশিত করার সময় এটি ব্যবহার করে
ট্রুথফাংশনের প্রস্তাবিত যুক্তি হল বিনিময়ooe e বা বিনিময় যোগ্যতা দুটি গ্রহণযোগ্য প্রতিস্থাপন নিয়মকে বোঝায়
এই নিয়মগুলো যুক্তিগত প্রমানের ক্ষেত্রে যুক্তিগত রাশির মধ্যে সমতুল্য চলকদের পক্ষান্তরিত করার অনুমতি দেয়
নিয়ম গুলো হলঃ এবং যেখানে o হল একটি মেটালজিক্যাল সিম্বল যা যা কোন প্রমানের প্রতিস্থাপনকে প্রতিনিধিত্ব করে
বিনিময় যোগ্যতা হল ট্রুথ ফাংশনের সমতুল্য যুক্তির কিছু যুক্তিগত সংযোজন
নিচের যুক্তিগত সাম্যতাগুলো যা প্রদর্শন করে তা হল বিনিময় যোগ্যতার নির্দিষ্ট সংযোগকারীর জন্য কিছু বৈশিষ্ট্যঃ গ্রুপ বা সেট তত্ত্বে অনেক বীজগাণিতিক কাঠামোকে বিনিময় যোগ্য বলা হয় যখন কোন নির্দিষ্ট অপেরান্ড বিনিময় বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করে
গণিতবিদ্যার উচু শাখাগুল যেমন বিশ্লেষণ এবং e eরৈখিক বীজগণিতে বিনিময় যোগ্যতা সুপরিচিত অপারেশনগুলোর যেমন বাস্তব ও জটিল সংখ্যার যোগ এবং গুণন প্রমানের জন্য প্রায়শই ব্যবহার করা হয় বা বা নিখুঁতভাবে অনুমান করা হয়
e যৌথতা বৈশিষ্ট্যটি বিনিময় বিশিষ্টের সাথে ঘনিষ্ঠ ভাবে সম্পর্কিত
কোন একটি এক্সপ্রেশনের যৌথতা বৈশিষ্ট্য হল কোন অপেরাটরের একই অবস্থানে দুই বা ততোধিক ঘটনা যার অপেরাশনের ক্রম তার ফলকে প্রভাবিত করে না যতক্ষণ পর্যন্ত না তাদের পদের ক্রমের পরিবর্তন হয়
অপরদিকে বিনিময় বিশিষ্টের ক্ষেত্রে পদের ক্রমের পরিবর্তন ফলকে প্রভাবিত করে না
দৈনন্দিন জীবনে যে সব বিনিময় বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা হয় তার বেশির ভাগই যৌথতা
কিন্তু বিনিময়যোগ্যতা পরোক্ষভাবে যৌথতা নয়
তার একটি বিপরিতউদাহরণ হল একটি ফাংশন যা পরিষ্কারভাবে বিনিময় যোগ্য ও এর স্থান পরিবর্তনে ফলের মধ্যে কোন আসবে না কিন্তু এটি যৌথতাযোগ্য নয় যেহেতু উদাহরণস্বরূপ o o কমুটেটিভে ননএসোসিয়েটিভ মাগমস এ ধরনের আরও উদাহরণ খুজে পাওয়া যেতে পারে
যখন কোন বিনিময়যোগ্য অপেরাটরকে বাইনারি ফাংশনে লেখা হয় তখন যে ফাংশনটি পাওয়া যায় তা লাইনটি মেনে চলে
ধরি যদি একটি সংযোজন ফাংশন একটি বিনিময়যোগ্য অপেরাশন হয় তবে একটি প্রতিসাম্য ফাংশন
যা ডানপাশের ছবিটিতে দ্যাখা যাচ্ছে
সম্পর্কের ক্ষেত্রে প্রতিসাম্যতার সম্পর্ক অনেকটা বিনিময় অপেরাশনের মত
এখানে যদি এর সম্পর্কটি প্রতিসাম্য হয় তবে o স্রডিঞ্জার এর প্রতিয়মান করা কোয়ান্টাম ম্যাকানিক্সে বাস্তব চলককে লিনিয়ার অপেরাটর দ্বারা প্রকাশ করা হয় যেমন দ্বারা গুণ এবং o
o o এদের গুণন অপেরাটর বলে এর সংযোজনকে বিবেচনা করলে একমাত্রিক তরঙ্গ ফাংশন o এর মধ্যে এই দুটি অপেরাটরকে যেভাবে দেখা যাচ্ছে সেভাবে বিনিময় করা যাবে নাঃ হেইজেরবারগ এর অনিশ্চয়তা নীতি অনুসারে যদি দুটি অপেরাটরকে একজোড়া চলক দ্বারা প্রকাশ করা হয় যা বিনিময় করা যায় না তবে চলক জোড়া পরস্পর পরস্পরের পরিপুরক
তার মানে হল তাদের মান একসাথে বের করা যাবে না এবং তা নিখুঁতভাবে জানা যাবে না
উদাহরণস্বরূপ কোন একটি কণার অক্ষে অবস্থান ও রৈখিক ভরবেগ যথাক্রমে o ও o দ্বারা প্রকাশ করা হয় এখানে o হল সংখিপ্ত প্লাঙ্ক ধ্রুবক
এই উদাহরণটি o বাদে বাকীদের জন্য প্রযোজ্য তার যদি অপেরাটরটি বিনিময় করা না যায় এবং তার বাস্তব অর্থ হল যেকোনো দিকে তার অবস্থান ও রৈখিক ভরবেগ পরস্পর পরস্পরের পরিপুরক
ফাইভ সেকেন্ডস অব সামার কখনো কখনো হিসেবে সংক্ষিপ্ত নামেও ডাকা হয় হল একটি অষ্ট্রেলিয়ার নিউ সাউথ ওয়েলস রাজ্যের সিডনি শহর থেকে আগত পপ রক ব্যান্ড যেটি সালে গঠিত হয়
ব্যান্ড দলটি প্রথমে মূলত জনপ্রিয় ভিডিও পরিসেবা ভিত্তিক মার্কিন জনপ্রিয় ওয়েবসাইট ইউটিউবএর দ্বারা খ্যাতি অর্জন করেন এবং তারা মূলত এবং সালের প্রথম ভাগের সময়কাল থেকে বিভিন্ন সঙ্গীত শিল্পী এবং গান কভার করে তাদের ভিডিও আপলোড করতো
তারা তখনকার জনপ্রিয় বিশ্ববিখ্যাত ইংরেজআইরিশ পপ ব্যান্ড ওয়ান ডিরেকশনএর সাথে তাদের টেইক মি হোম ট্যুর শীর্ষক সফরে তাদের সাথে সফরকালে তারা আন্তর্জাতিকভাবে জনপ্রিয়তা পেয়ে যায়
সালের প্রথম দিকে তারা তাদের জনপ্রিয় সি লুকস সো পারফেক্ট এককটি তাদের আত্বপ্রকাশকারী একক হিসেবে প্রকাশ করেন যেটি অষ্ট্রেলিয়া নিউজিল্যান্ড আয়ারল্যান্ড এবং যুক্তরাষ্ট্রের তালিকায় সবার উপরে উঠে আসে
তাদের নিজেস্বশিরোনামিক স্টুডিও অ্যালবামটি প্রকাশ পায় সালের জুন মাসে যেটি টি দেশের সেরা অ্যালবামের তালিকায় সবার উপরে উঠে আসে এবং একে অনুসরণ করে লাইভসোস শিরোনামিক এক সরাসরি অ্যালবামও প্রকাশ করা হয়
সালের অক্টোবর মাসে ব্যান্ড দলটি তাদের দ্বিতীয় অ্যালবাম সাউন্ডস গুড ফিলস গুড প্রকাশ করে এবং একে অনুসরণ করে হাউ ডিড উই এন্ড অাপ হিয়ার নামক একটি সরাসরি প্রামান্যচিত্রমূলক একটি ডিভিডি প্রকাশ করে
ফাইভ সেকেন্ডস অব সামারের কার্যক্রম শুরু হয় সালে যখন লুক হেমিংস মিচেল ক্লিফোর্ড এবং কলাম উড যারা সবাই অষ্ট্রেলিয়ার সিডনি শহরের রিভারস্টোন শহরতলীতে অবস্থিত নরওয়েস্ট ক্রিস্টিয়ান কলেজএ পড়াশোনা শুরু করেন তখন তারা সবাই একসাথে বিভিন্ন জনপ্রিয় গানের কভার করে হেমিংসের ইউটিউব চ্যানেলে আপলোড করতেন
হেমিংসের আপলোড করা প্রথম ভিডিওটি ছিল জনপ্রিয় মার্কিন গায়কগীতিকার মাইক পোসসনারএর প্লিস ডোন্ড গোএর কভার যেটি সালের রা ফেব্রুয়ারী ইউটিউবএ পোষ্ট করা হয়েছিল
তাদের করা জনপ্রিয় মার্কিন গায়ক ক্রিস ব্রাউনএর নেক্সট ট্যু ইউ গানটির কভারটি ইউটিউবে বারেরও বেশি দেখা হয়ে যায়
সালের ডিসেম্বর মাসে তাদের সাথে ড্রামার এস্টন ইরউইন যোগদান করেন এবং ব্যান্ডদলটিতে চার জনের জোট সম্পন্ন হয়ে যায়
ব্যান্ডটি জনপ্রিয় মুখ্য রেকর্ড লেবেল এবং সঙ্গীত প্রকাশনা সংস্থা সমূহের দৃষ্টি আকর্ষন করতে সক্ষম হয় এবং সনি এটিভি মিউজিক পাবলিশিং নামক জনপ্রিয় সঙ্গীত প্রকাশনা সংস্থার সাথে তারা তাদের সঙ্গীত প্রকাশনার জন্য এক চুক্তিতে আবদ্ধ হন
একদিকে জনপ্রিয় সামাজিক যোগাযোগমাধ্যম ভিত্তিক ওয়েবসাইট ফেইসবুক এবং টুইটারএ কোন ধরনের প্রচার না করা সত্বেও তাদের আনপ্লাগড শীর্ষক প্রথম প্রকাশ যা একটি ইপি বা ছোট অ্যালবাম অ্যাপলের সেরা অ্যালবামের তালিকা আইটিুন্স চার্ট এর অষ্ট্রেলিয়ার তালিকায় সেরা নম্বর অবস্থানে উঠে আসে এছাড়াও নিউজিল্যান্ড এবং সুইডেনএ সেরা নম্বরে উঠে আসে
আবারো তাদের অান্তর্জাতিক অসুসারীর সংখ্যা উল্লেখযোগ্য হারে বাড়তে থাকে যখন তখনকার জনপ্রিয় ইংরেজআইরিশ ব্যান্ডদল ওয়ান ডিরেকশনএর সদস্য লুয়িস টমলিনসন তাদের করা গটা গেট আউট নামক গানটির ইউটিউব ভিডিওর লিংক সবার উদ্দেশ্যে পোষ্ট করেন সেখানে তিনি ব্যক্ত করেন তিনি সময় যাবৎ ফাইব সেকেন্ডস অব সামারের একজন ভক্ত হয়ে হয়ে গেছেন
ফাইব সেকেন্ডস অব সামার আবারো ওয়ান ডিরেকশনের কৌতহলতার বিষয় হয় দাড়ায় যখন তারা তাদের প্রথম একক আউট অব মাই লিমিট সালেন শে নভেম্বর প্রকাশ করে এবার ওয়ান ডিরেকশনের আরেক সদস্য নিয়াল হোরান উক্ত গানের ভিডিওটির লিংকটি টুইটারে টুইট করেন
ফাইভ সেকেন্ডস অব সামার সালে দ্বিতীয় অংশ অষ্ট্রেলিয়ান পপ ব্যান্ডদল এ্যামি ম্যারেডিথএর সদস্য ক্রিস্টিয়ান লা রুসো এবং জোয়েল চ্যাপম্যানএর সাথে তাদের সঙ্গীত রচনা এবং তাদের শব্দ উন্নয়ন কাজে সময় বব্যায় করেন তাদের সাথে তারা তাদের প্রকাশিত দ্বিতীয় ইপি সামহয়্যার নিউএ স্থান পাওয়া আনপ্রেডিকটেবল এবং বিসাইড ইউ নামক দুটি গান রচনা করেন
এপিটির সহপ্রযোজনার কাজ করেন জোয়েল চ্যাপম্যান
ফাইভ সেকেন্ডস অব সামার তাদের প্রথম একক আউট অব মাই লিমিট প্রকাশ করে সালের শে নভেম্বর গানটির ভিডিওটি প্রথম ঘন্টার মধ্যে এরও বেশি বার দেখা হয়ে যায়
সালের ই ফেব্রুয়ারী ব্যান্ড দলটি ওয়ান্ট ইউ ব্যাক নামে একটি একক প্রকাশ করে এবং সালের তাদের সফরসূচি ঘোষনা করে
সালের শে জানুয়ারী ফাইভ সেকেন্ডস অব সামার ঘোষণা করে যে তারা হাই অর হেই রেকর্ডস নামে তাদের নিজেস্ব একটি রেকর্ড লেবেল প্রতিষ্ঠা করতে যাচ্ছে
eee হাই অর হেই রেকর্ডসের ওয়েবসাইটে ব্যান্ড দলটি স্পষ্ট করে যে তাদের সাথে জনপ্রিয় রেকর্ড লেবেল ক্যাপিটল রেকর্ডসএর সংযোগ থাকার কারণে এইনা যে হাই অর হেই রেকর্ডস দ্বারা শুধু তারা তাদের সব সঙ্গীত প্রকাশ করবে কিন্তু তারা শুধু রেকর্ড লেবেলের তালিকা তাদের নিজেস্ব ব্যান্ডের নাম যোগ করেছে এবং এই লেবেল দ্বারা সঙ্গীত প্রকাশ করবে
o e eos ese eee সালের শে মার্চ রেকর্ড লেবেলটির সাথে উদীয়মান মার্কিন পপ রক ব্যান্ড হেই ভায়লেটএর সাথে একটি চুক্তি সম্পাদিত হয়
ফাইভ সেকেন্ডস অব সামারের সঙ্গীতের ধরনকে পপ রক so oe oe o e o eos o e e oe o oos o e o eos o e e oos o ee পপ পাঙ্ক পাওয়ার পপ এবং পপ হিসেবে হিসেবে বর্ননা করা হয়েছে
জনপ্রিয় মার্কিন ম্যাগাজিন রোলিংস্টোন ব্যান্ডদলটিকে ইমোথেকেপপ হিসেবে অাখ্যা দিয়েছে
বিশ্বের সবচেয়ে বড় সঙ্গীতের ডাটাবেজ অলমিউজিকএর লেখক এবং সঙ্গীতঙ্গ মেট কলার তাদের ধ্বনিতে দশকের পাঙ্কপপ এবং সালের বয় ব্যান্ড পপ স্মৃতিবহ সুর খুজে পেয়েছেন