নূন্যতম পৃষ্ঠ এর বিভিন্ন সমতুল্য ভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় তথ্যটি জ তারা সমতুল্য ভাবে স্পষ্ট করে কিভাবে নূন্যতম পৃষ্ঠ তত্ব গণিতের বিভিন্ন নিয়মের মধ্যে লুকিয়ে আছে বিশেষত ডিফারেন্সিয়াল জিওমেট্রি পরিবর্তনশীল সমাকলন সম্ভাব্য তত্ত্ব জটিলতা বিশ্লেষণ গাণিতিক পদার্থবিদ্যা
বিঃদ্রঃ এই বৈশিষ্ট্য আঞ্চলিক সেখানে আরও পৃষ্ঠতল থাকতে পারে যেগুলো নূন্যতম এলাকা অনুরূপ বিশ্বব্যাপী পরিধির সাথে
এই সংজ্ঞা টি দ্বিমাত্রিক নূন্যতম পৃষ্ঠের উদাহরণ স্বরূপ যেমন জিওডেসিক্স
ইয়ংল্যাপলাস সমীকরণ অনুসারে সাবান জল পর্দার বক্রতা দুই পাশের চাপের পার্থক্যের সমানুপাতিক যদি এটা শূন্য হয় পর্দার গড় বক্রতা শূন্য
চিহ্নিত যে এই সংজ্ঞা অনুসারে গোলাকার বুদবুদ গুলি নূন্যতম পৃষ্ঠ নয়
যখন মোট এলাকা নূন্যতম করে অভ্যন্তরীণ আয়তন এর উপর বাধা সৃষ্টি করে যাদের একটি ধনাত্মক চাপ থাকে
এই সংজ্ঞা টির সরাসরি ইঙ্গিত হলো যে পৃষ্ঠের উপর সকল বিন্দু হলো জিন বিন্দু সমান এবং বিপরীত মুখ্য বক্রতার সাথে
সালে এই সংজ্ঞার মধ্যে আংশিক অবকলন সমীকরণ খুঁজে পান ল্যাগরাঞ্জ e ss e oee eoe o eee es e es es oes ees ees see es এবং সালে জেন ব্যাপ্টিস্ট মিউশনিয়ের আবিষ্কার করেন যে এটা অদৃশ্য গড় বক্রতাকে ইঙ্গিত করে
ese oe s oe es ses s s s s esee এই সংজ্ঞাটি ন্যূনতম পৃষ্ঠকে হার্মনিক অপেক্ষক এবং সম্বাভ্য তত্ত্ব এর সাথে মিলিত করে
এই সংজ্ঞাটির একটি সরাসরি ইঙ্গিত এবং সুরেলা অপেক্ষকের সর্বচ্চ নীতি হলো যে এর মধ্যে কোনো সম্পুর্ন নিবিড় নূন্যতম পৃষ্ঠ নেই
এই সংজ্ঞা অনুসারে গড় বক্রতা হলো গঠন কার্যের গমনপথের অর্ধেক যা গাউস মাপের অমৌলিকের সাথে যুক্ত
যদি অভিক্ষিপ্ত গাউস মানচিত্র কসিরিম্যান সমীকরণ মেনে চলে তাহলে গমনপথ অদৃশ্য হবে অথবা এর প্রত্যেক বিন্দু নাভিসংক্রান্ত হবে যে ক্ষেত্রে এটি গোলকের অংশ
আঞ্চলিক নূন্যতম এলাকা এবং পরিবর্তন সংক্রান্ত সংজ্ঞাগুলি এর চেয়ে অনান্য রিমান মানিফল্ড নূন্যতম পৃষ্ঠকে অনুমতি দেয়
নুন্যতম পৃষ্ঠ তত্ব ল্যাগরাঞ্জ এর দ্বারা শুরু হয়েছিল যিনি সালে একটি প্রদত্ত বদ্ধ কনট্যুর জুড়ে বিস্তৃত অন্ততপক্ষে এলাকার পৃষ্ঠের সন্ধানের বৈচিত্রগত সমস্যাটি বিবেচনা করেন
সমাধানটির জন্য তিনি ইউলারল্যাগরাঞ্জ সমীকরণ এর উদ্ভাবন করেছিলেন তিনি প্লেনের বাইরে কোন সমাধান খুঁজে পেতে সফল হননি
সালে জিন ব্যাপটিস্ট মেরী মিউশনিয়ের আবিষ্কার করেন যে হেলিকইড এবং ক্যাটেনইড এই সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে এবং অবকলন সমীকরণটি পৃষ্ঠের গড় বক্রতার দ্বিগুন শেষ হয় শূন্য গড় বক্রতা পৃষ্ঠগুলি হলো হ্রাসমান এলাকা
ল্যাগরাঞ্জ সমীকরণকে বিস্তৃত করে সালে গস্পর্ড মঞ্জ এবং লেজেন্দ্রে সমাধান পৃষ্ঠের বিবরণ সূত্র উদ্ভুত করেছিলেন
সালে যখন হেইনরিচ চার্ক সফলভাবে এইগুলিকে ব্যাবহার করেন তার পৃষ্ঠ উদ্ভাবনের জন্য পকৃতপক্ষে এইগুলিকে অব্যবহারযোগ্য হিসাবে গন্য কইরা হতো
সালে ক্যাটালান প্রমান করেন যে শুধুমাত্র হেলিকইড হলো সরলরেখাঁকিত ক্ষুদ্র পৃষ্ঠ
অগ্রগতি সেই শতাব্দীর মাঝ পর্যন্ত সুন্দরভাবে বিলম্বিত ছিল যখন জটিল পদ্ধতিতে ব্যরলিং সমস্যা সমাধান করা হয়েছিল
নূন্যতম পৃষ্ঠের প্রথম স্বর্ণযুগ সূত্রপাত হয়
সালে সচবর্জ নিয়মিত চতুর্ভুজের জন্য প্লাটিউ সমস্যার সমাধান খুঁজে পান এবং সালে সাধারণ চতুর্ভুজের জন্য তার পর্যায়কালীন পৃষ্ঠ পরিবার নির্মাণের অনুমতি দেয় জটিল পদ্ধতি ব্যবহার করে
বেইএরস্ত্রাস এবং এননেপের আরও কিছু দরকারি বিবরণ সূত্রের উন্নীত করেছিলেন নূন্যতম পৃষ্ঠের সাথে দৃঢভাবে জটিলতা বিশ্লেষণ এবং হার্মোনিক অপেক্ষক
আরও গুরুত্বপূর্ণ অবদানগুলি এসেছিল বেল্টরামি বননেট দারবৌক্স লিয়ে রেইমান সেরেট এবং উইনগার্টেন এর কাছে থেকে
এবং সালের মাঝখানে নূন্যতম পৃষ্ঠ তত্ব পুনরায় সক্রিয় হয় এখন প্রধান উদ্দেশ্য ছিল ননপ্যারামেট্রিক নূন্যতম পৃষ্ঠ
জেএসসি ডাগ্লাস এবং টিবর রাডো এর দ্বারা প্লাটিউ সমস্যার সম্পুর্ন সমাধান ছিল প্রধান ধারাবাহিকতার ধাপ
নির্দিষ্ট মোট বক্রতার সম্পূর্ণ নূন্যতম পৃষ্ঠের উপর বের্নস্টাইন সমস্যা এবং রবার্ট অস্সেরমান এর কার্য ছিলো গুরুত্বপূর্ণ
এক কারণ হলো সিলসো কোস্টা দ্বারা সালে আবিষ্কৃত একটি আবিষ্কার যা এই ধারণাটি প্রত্যাখ্যান করে যে বিমান ক্যাটেনইড এবং হেলিকোইডটি একেবারে সম্পূর্ণ সংমিশ্রিত ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের এর সীমিত টপোলজিক্যাল প্রকার
পুরানো পারামেট্রিক পদ্ধতি ব্যবহার করে এটি নতুন কাজ অনুপ্রাণিত না শুধুমাত্র কিন্তু গ্রামীণ সমস্যা সমাধান করার জন্য গবেষিত পৃষ্ঠাসমূহ এবং সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলির দৃশ্যমান করার জন্য কম্পিউটার গ্রাফিক্সের গুরুত্ব প্রদর্শন করা হয়েছে যখন পৃষ্ঠ প্যাচ নির্ধারণে যৌথ পৃষ্ঠের পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় যা একটি বৃহত্তর সমান্ত্রীয় পৃষ্ঠে একত্রিত হতে পারে একটি এমবেডেড পৃষ্ঠ উৎপাদন কিছু নির্দিষ্ট পরামিতি সংখ্যাগতভাবে মিলিত হতে হবে
আরেকটি কারণ হল এইচ কার্চারের যাচাইকরণ ছিল যে সালে অ্যালান সচেন দ্বারা পরীক্ষামূলকভাবে নিখুঁত পর্যায়ক্রমিক সংক্ষিপ্ত পরিমাপের বর্ণনা করা হয়
এই পৃষ্ঠ পরিবারগুলির একটি ধনী মেনাগেরিয়ে এবং পুরানো থেকে নতুন পৃষ্ঠ আহরণ পদ্ধতি নেতৃত্ব হয়েছে উদাহরণস্বরূপ হ্যান্ডেল যুক্ত করে বা তাদের বিকৃত করে
বর্তমানে ক্ষুদ্রতম উপরিভাগের তত্ত্ব অন্যান্য পরিবর্ধনশীল জ্যামিত্যগুলির মধ্যে সর্বনিম্ন সামানিফ্লডগুলিতে বৈচিত্রপূর্ণ গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানের সাথে সম্পর্কিত যেমন ইতিবাচক ভর ধারণা পেনরোজ অনুমান এবং তিনএকাধিক জ্যামিতি উদাহরণস্বরূপ স্মিথ অনুমান পঁচানো কল্পনা থার্স্টন জিওমেট্রিজেশন কনজেকচার
ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের প্রাচীন উদাহরণগুলি হল ঊনবিংশ শতাব্দীর সোনার যুগের পৃষ্ঠতলগুলি আধুনিক পৃষ্ঠতলের অন্তর্ভুক্ত এর তুলনায় অন্য ম্যানিফোল্ডগুলিতে ন্যুনতম পৃষ্ঠতলগুলিকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেমন হাইপারবোলিক স্পেস হাইডাইমেনশনাল স্পেস বা রিমেম্যানিয়ান মানিফল্ডস
ন্যূনতম পৃষ্ঠের সংজ্ঞাটিকে সাধারণকরণবর্ধিত করা যেতে পারে ধ্রুবকগড়ঘনত্বের উপর পৃষ্ঠতল একটি ধ্রুবক গড় বক্রতার সঙ্গে যা শূন্যের সমান প্রয়োজন নেই
বিচ্ছিন্ন অবকলন জ্যামিতির মধ্যে অসংগত ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের অধ্যয়ন করা হয় ত্রিভুজগুলির সরলীকৃত কমপ্লেক্স যা তাদের আয়তক্ষেত্রের অবস্থানগুলির সামান্য পরিবর্তনগুলির নিচে তাদের এলাকাকে ছোট করে
এই ধারাবাহিকতা প্রায়ই সংখ্যাগতভাবে আনুমানিক ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের জন্য ব্যবহৃত হয় এমনকি কোনো জানা বদ্ধ সমীকরণ
ব্রাউনিয়ান গতি নুন্যতম পৃষ্ঠে কমপ্লেক্সের বিভিন্ন উপাদানের সম্ভাব্য প্রমাণের দিকে পরিচালিত করে
ন্যুনতম পৃষ্ঠতল তীব্র বৈজ্ঞানিক অধ্যয়নের একটি ক্ষেত্র হয়ে গেছে বিশেষ করে আণবিক ইঞ্জিনিয়ারিং এবং উপকরণ বিজ্ঞান এলাকায় জটিল সামগ্রীগুলির স্বসমাবেশে তাদের প্রত্যাশিত আবেদনের কারণে
সাধারণ আপেক্ষিকতায় নুন্যতম পৃষ্ঠ একটি ভূমিকা পালন করে
আপাত দিগন্ত প্রান্তিকভাবে বহিরাগত ফাঁকা পৃষ্ঠ একটি সংক্ষিপ্ত হাইফার সারফেস ব্ল্যাক হোলের তত্ত্বকে ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের এবং প্লেটোর সমস্যার সাথে যুক্ত করা
নুন্যতম পৃষ্ঠগুলি আধুনিক নকশাগণ দ্বারা ব্যাবহৃত জেনেরটিভ ডিজাইন টুলবক্স এর অংশ
আর্কিটেকচারে অনেক আগ্রহ আছে টনসিল কাঠামোর মধ্যে যেগুলি নুন্যতম পৃষ্ঠের সাথে গভীরভাবে সম্পর্কযুক্ত
একটি বিখ্যাত উদাহরণ হল ফ্রেই অট্ট এর অলিম্পিয়াপার্ক ইন মুনিচ সাবান সারফেস দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়ে
শিল্প বিশ্বের মধ্যে রবার্ট ইংমন রবার্ট লংহুরস্ট এবং চার্লস ও পেরি এর ভাস্কর্যের মধ্যে ন্যূনতম পৃষ্ঠতলের ব্যাপকভাবে অনুসন্ধান করা হয়েছে
দিনাজপুর ঈদগাহ ময়দান এশিয়া মহাদেশের সর্ববৃহৎ এ ঈদগাহ মিনার যা দিনাজপুর সদর থানায় অবস্থিত একটি ধর্মীয় স্থাপনা
এটি দিনাজপুর জেলার গোরএশহীদ বড় ময়দান এর পশ্চিম প্রান্তে প্রায় একর জমিতে অবস্থিত বাংলাদেশ তথা উপমহাদেশের সর্ববৃহৎ ঈদগাহ ময়দান
ঈদগাহ মাঠের দুপাশে মুসল্লিদের জন্য তৈরি করা হচ্ছে চলাচলের জন্য রাস্তা ও এর পাশে ওযুর ব্যবস্থা
ঈদের জামাত আদায় করার জন্য দিনাজপুর গোরএ শহীদ বড় ময়দানে নির্মাণ করা হচ্ছে ঈদগাহ মিনার
গম্বুজ বিশিষ্ট এ বিশাল মিনারে লাখ মুসল্লি এক সঙ্গে ঈদের নামাজ আদায় করতে পারবেন
ঈদগাহ মিনারটির প্রধান গম্বুজের মেহেরাব উচ্চতা ফুট ও লম্বায় রয়েছে ফুট
এর মধ্যে নির্মাণ করা হবে টি আর্চ
ওই ঈদগাহ মিনারের সৌন্দর্য বাড়াতে প্রতিটি গম্বুজে সংযোগ করা হবে বৈদ্যুতিক বাতি
এতে রাতের বেলায় আলোকিত হয়ে উঠবে মিনারটি
দিনাজপুর জেলা পরিষদের অর্থায়নে ও তত্ত্বাবধায়নে এশিয়ার সবচেয়ে বড় এ ঈদগাহ মিনারটি নির্মাণে প্রায় কোটি টাকা ব্যয় হবে
দ্রুতগতিতে মিনার নির্মাণ কাজ এগিয়ে চলছে বলে জানান ঠিকাদার প্রতিষ্ঠানের কর্মকর্তা রতন
দিনাজপুর জেলা পরিষদের উপসহকারী প্রকৌশলী জাকিউল আলম জানান এশিয়ার সর্ববৃহৎ ঈদগাহ মিনার নির্মাণে কোটি লাখ টাকা বরাদ্দ পাওয়া গেছে
সুষ্ঠু ও সুন্দরভাবে কাজ সম্পন্ন করতে ইতোমধ্যে নেওয়া হয়েছে যথাযথ ব্যবস্থা
ওই ঈদগাহে দেশ ছাড়াও পৃথিবীর বিভিন্ন দেশ থেকে মুসল্লিরা ঈদের নামাজ আদায় করতে আসবেন
লাখো মুসল্লির সমাগম হওয়ায় এ ঈদগাহের আশপাশে আতর তজবিপাঞ্জাবি জায়নামাজসহ বিভিন্ন সামগ্রীর দোকান গড়ে উঠবে
এছাড়াও গড়ে উঠবে বিভিন্ন নতুন নতুন বাণিজ্যিক প্রতিষ্ঠান
দূরদুরান্ত থেকে আগত মুসল্লিদের থাকার জন্য নির্মাণ করা হবে উন্নত মানের আবাসিক হোটেল
বাণিজ্যের পাশাপাশি স্থানীয় কয়েক হাজার বেকারের কর্মসংস্থানের সুযোগ হবে
মুঘল রীতি নির্মাণ চলাকালীন ছবি আন্দামানি ভাষা হল এক জোড়া ভাষা নিয়ে গঠিত একটি ভাষা এই জোড়াটি হল আন্দামান দ্বীপপুঞ্জের আন্দামানি নেগ্রিট বা আন্দামানি আদিবাসী দ্বারা কথিত গ্রেট আন্দামানিজ ভাষা এবং ওগান ভাষা
এই ভাষার অন্তর্গত অন্য একটি ভাষা হল সেন্টিনেলেস ভাষা