এছাড়া মূর্ধন্য ব্যাঞ্জন ও এর জন্য দুইটি প্রতীক ব্যবহার করা হয়
যদিও এদের আধুনিক ভাষায় অস্তিত্ব নাই শুধুমাত্র ঐতিহাসিক ভাবে গৃহীত শব্দে এদের অস্তিত্ব পরিলক্ষিত হয়
অঘোষ এফ্রিকেট শুদ্ধ বর্ণমালায় যুক্ত নেই কারণ এটি সিদাতসাঙ্গারা ব্যাকরণের প্রধান লেখার মধ্যে পড়ে না
তবে এটি ব্যাকরণের উদাহরণে ব্যবহৃত হয় তাই একে এলু তে স্থান দেওয়া হয়েছে
আধুনিক সিংহলী ভাষা উপস্থাপন করতে এর প্রয়োজন রয়েছে
এই সমস্ত ব্যাঞ্জনবর্ণ একটি সহজাত স্বরবর্ণ বহন করে যদি না একে অন্য কোন স্বরবর্ণ দ্বারা প্রতিস্থাপন অথবা হাল কিরিমা দ্বারা মুক্ত করা না হয়
স্বরবর্ণ দুইটি আকৃতিতে এসেছে একটি স্বাধীন আকৃতি এবং অন্যটি যুক্তকালীন আকৃতি
যখন কোন স্বরবর্ণ অন্য কোন ব্যাঞ্জনবর্ণের সাথে যুক্ত অবস্থায় না থাকে তখন এর স্বাধীন আকৃতি ব্যবহার করা হয় যেমনঃ কোন বর্ণের শুরুতে এরকম আকৃতি দেখা যায়
স্বরবর্ণের ওপর ভিত্তি করে যুক্তাবস্থায় এর আকৃতি বিভিন্ন রকমের হতে পারে
এর জন্য ব্যাঞ্জনবর্ণের উপরে এর জন্য বর্ণের নীচে এর জন্য বর্ণের সাথে e এর জন্য বর্ণের পূর্বে সংশ্লিষ্ট আকৃতি যুক্ত হয়
e এর পূর্বে ও এর পরে এই দুয়ের বিন্যাসের সাথে o এর জন্য আকৃতি চিহ্নিত হয়
যখন নিয়মিত হয় তখন এর জন্য যুক্ত ব্যাঞ্জনবর্ণ অনুসারে ভিন্ন আকৃতি ব্যবহার করতে হয়
ব্যাঞ্জনবর্ণ এর জন্য সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত প্রতীক পাশের চিত্রে দেখানো হয়েছে
কখনো এর মত আকৃতি ব্যবহার করা হয় বর্ণের নিচে ডান দিকের একদম শেষ প্রান্তে যেমনঃ তবে o এর জন্য না
এর সাথে অথবা বিন্যাসের ফলে স্বকীয় আকৃতি ব্যবহার করা হয়
eose সিংহলী ভাষায় স্বরবর্ণের যুক্ত হওয়াকে পিলি বা বলে
দিগা অর্থ দীর্ঘ কারণ এতে স্বরবর্ণের উচ্চারণ দীর্ঘ হয়
ডেকা অর্থ দুই কারণ লেখার সময় এতে দ্বিত্বতা তৈরী হয়
অনুন্নত ব্যঞ্জনবর্ণ তাদের সাধারণত প্রতিরূপের অনুরূপ
এর বাম অর্ধেক ও এর ডান অর্ধেক দিয়ে গঠন করা হয়
তিনটির ক্ষেত্রেও একই ভাবে আকার নিরূপিত হয়
s e স্বরবর্ণও একইভাবে যুক্ত করা হয়
আনুসভারাকে একে বিন্দুভা জিরো বলা হয় একটি ছোট বৃত্ত ইউনিকোড e দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং বিসর্গকে যা মিশ্র বর্ণমালার অংশও দুইটি ছোট বৃত্ত ইউনিকোড দ্বারা প্রকাশ করা হয়
সহজাত স্বরবর্ণকে হাল কিরিমা যুক্ত করে অপসারণ করা যায়
সংশ্লিষ্ট ব্যাঞ্জনবর্ণের উপর ভিত্তি করে এর আকৃতি দুই রকমের হতে পারে
পাশের চিত্রে দুইটিকেই দেখানো হয়েছে
এর প্রথমটি বেশি ব্যবহৃত হয়
দ্বিতীয়টি বর্ণের শেষে উপরের বাম কোণায় যুক্ত হয়
মিশ্র বর্ণমালা শুদ্ধ বর্ণমালার একটি সুপারসেট
এখানে উষ্ম ধ্বনী মূর্ধন্য ও শিষ ধ্বনীর জন্য বর্ণ রয়েছে যদিও আধুনিক সিংহলী ভাষায় উচ্চারিত হয় না
তবে এই সমস্ত বর্ণ দিয়ে অন্য ভাষার শব্দ লেখার জন্য দরকার যেমনঃ সংস্কৃত থেকে ধার করা নেওয়া শব্দ এবং পালি বা ইংরেজী থেকেও
অতিরিক্ত বর্ণের ব্যবহার আসলে সম্মানের প্রশ্নের সাথে জড়িত
ধ্বনিতাত্বিক দৃষ্টিতে এসব ব্যবহারে কোন উপকারীতা নেই
এদের পরিবর্তে শুদ্ধ বর্ণমালার বর্ণ ব্যবহার করা যায়
মিশ্র উষ্ম ধ্বনীর জন্য শুদ্ধ প্রতিরূপ দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যায়
মিশ্র মূর্ধন্য ও লিকুইড ধ্বনীর জন্য শুদ্ধ করোনাল ধ্বনী ব্যবহার করা যায়
শিষ ধ্বনীরes পরিবর্তে শুদ্ধ কোন বর্ণ ব্যবহার করা যায় না
মিশ্র বর্ণমালায় অতিরিক্ত টি যুক্তবর্ন আছে
এর মধ্যে দুইটি সন্ধিস্বরধ্বনি বেশি প্রচলিত
সংস্কৃত থেকে আসা শব্দে এই বর্ণগুলো পাওয়া যায় না বললেই চলে
e মিশ্র কে শুদ্ধ বা দিয়েও লেখা যায় যা প্রকৃত উচ্চারণের উপর নির্ভর করে
একে শুদ্ধ দিয়ে লেখা যায়
e মিশ্র ও কে শুদ্ধ ও দিয়ে লেখা যায়
এটা সমস্যাযুক্ত নয় তবে দ্বিতীয়টি অত্যন্ত অপ্রতুল
ইংরেজী বর্ণমালার বর্ণের ক্ষেত্রে তাদের কমবেশি মুক্ত নাম থাকে
যেমনঃ বর্ণের নাম এম ও বর্ণের নাম বি
সিংহলী ভাষার ক্ষেত্রে বর্ণের নামকরণের সময় তাদের উচ্চারণের সাথে ইয়ান্না যুক্ত হয়
s e বর্ণের নাম হবে আয়ান্না এর নাম কায়ান্না এর নাম কেয়ান্না ইত্যাদি
হাল কিরিমা যুক্ত বর্ণের ক্ষেত্রে অতিরিক্ত আ যুক্ত হয়
নামকরণের আরেকটা নিয়ম হলো দমিত স্বরবর্ণযুক্ত বর্ণের পূর্বে আল যুক্ত করে পড়া
অতিরিক্ত মিশ্র বর্ণকে শুদ্ধ থেকে পৃথক করা যায় না বলে উপরোক্ত পদ্ধতিতে নামকরণে অগ্রসর হলে দ্বিধা সৃষ্টি হয়
সাধারণত মিশ্র বর্ণের নামের ক্ষেত্রে দুইটি শুদ্ধ বর্ণের মিলিত উচ্চারণ করতে হয়
প্রথমটি শব্দ নির্দেশ করে ও দ্বিতীয়টি আকৃতি
যেমনঃ উষ্ম বর্ণ এর নাম বায়ানু কায়ান্না
কায়ান্না দ্বারা শব্দ বুঝায় ও কায়ানু দ্বারা এর আকৃতি
মিশ্র বর্ণে আসার অন্য একটি পদ্ধতি হলো উষ্ম ধ্বনীর ক্ষেত্রে মহাপ্রাণ মহাপ্রাণ কায়ান্না ও মূর্ধন্য এর ক্ষেত্রে মূর্ধযা মূর্ধযা লায়ান্না ব্যবহার করা
প্রতীকের নির্দিষ্ট সং হতি বিশেষ বন্ধনী তৈরী করে
ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে কোন বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যে চতুর্ভুজ একটি বৃত্তের অন্তঃস্থ চার বাহুর দৈর্ঘ্য প্রদত্ত থাকলে ব্রহ্মগুপ্তের সূত্র ব্যবহার করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়
যদি কোন বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের চার বাহুর দৈর্ঘ্য হয় তাহলে ব্রহ্মগুপ্তের সূত্রানুসারে সেই চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল হবে যেখানে s হল চতুর্ভুজটির অর্ধপরিসীমা এই সূত্রটি হল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার হেরনের সূত্রের সাধারণ রূপ
কারণ একটি চতুর্ভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য শূন্য হলে সেটি ত্রিভুজে পরিণত হয়
এই ধারণা থেকে থেকে ধরি চতুর্থ বাহুটির দৈর্ঘ্য শূন্য হল
তাহলে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজটি একটি বৃত্তস্থ ত্রিভুজে সকল ত্রিভুজই বৃত্তস্থ রূপান্তরিত হবে এবং ব্রহ্মগুপ্তের সূত্রটি হেরনের সূত্র প্রমাণ করবে
যদি পরিবৃত্তের অর্ধপরিসীমা ব্যবহৃত না হয় তাহলে সূত্রটি হবে এই সূত্রটির আরও একটি রূপ হল ডানদিকে অঙ্কিত চিত্রটির সাহায্যে ব্রহ্মগুপ্তের সূত্রটি প্রমাণ করা হবে
এখানে o চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল হল o এবং o কর্ণ দ্বারা বিভিক্ত দুটি ত্রিভুজ o এবং o এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টি চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফলের সমান
কিন্তু যেহেতু বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ তাই o ত্রিভুজ o এবং o এর সাধারণ বাহু o এর উপর কোসাইনের সূত্র প্রয়োগ করে পাই o যেহেতু কোণ o এবং o সম্পূরক কোণ বসিয়ে পাই ক্ষেত্রফলের সমীকরণে এই সমীকরণটি বসিয়ে পাই সমীকরণের ডানপক্ষটি দুটি বর্গের বিয়োগফল
সেজন্য এটিকে o আকারে ভেঙে পাওয়া যায় প্রথম বন্ধনী তুলে দিয়ে সমীকরণটিকে সাজালে পাওয়া যায় এবার অর্ধপরিসীমার রাশি o সমীকরণে বসিয়ে পাওয়া যায় উভয়পক্ষকে বর্গমূল করলে নিন্মলিখিত সমীকরণটি পাওয়া যায় বৃত্তস্থ নয় এমন চতুর্ভুজে বিপরীতমুখী দুটি কোন জানা থাকলে ব্রহ্মগুপ্তের সূত্রের বর্ধিত রূপ প্রয়োগ করে পাওয়া যায় যেখানে হল দুটি বিপরীতমুখী কোণের সমষ্টির অর্ধেক
এখনো যেকোনো দুটি বিপরীতমুখী কোন ধরলেই হবে কারণ যদি অপর দুটি বিপরীতমুখী কোন নেওয়া হয় তাহলে তাদের সমষ্টির অর্ধেক হল o এখন o সুতরাং o এই সাধারণ সমীকরণটি ব্রেটস্নাইডারের সূত্র নামে পরিচিত
কোনো বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীতমুখী কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ o হয়
সুতরাং কোণদ্বয়ের সমষ্টির অর্ধেক হবে এক সমকোণ o
অতএব সুতরাং এটি থেকে ব্রহ্মগুপ্তের সমীকরণে আসা যায়
এটির থেকে আরও জানা যায় যে চার বাহুর দৈর্ঘ্য প্রদত্ত থাকলে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল সর্বোচ্চ হয়
একজন আমেরিকান গণিতজ্ঞ জুলিয়ান কোলিজ একটি সমীকরণ প্রমাণ করেছিলেন যেটির সাহায্যে যেকোনো কুব্জ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়
সেটি হল ooe so ees o o e e o e e e o যেখানে o এবং o হল চতুর্ভুজটির কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য
টলেমির উপপাদ্য অনুসারে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের o সুতরাং এই সমীকরণ দিয়েও ব্রহ্মগুপ্তের সূত্র প্রমাণ করা যায়
আর্কিয়ান অধিযুগ বলতে একটি ভূতাত্ত্বিক অধিযুগকে বোঝায় যা আজ থেকে আনুমানিক কোটি বছর আগে আরম্ভ হয়ে কোটি বছর আগে শেষ হয়েছিল
ভূতাত্ত্বিক সময়ের নিরিখে এটি হেডিয়ান অধিযুগের পরবর্তী এবং প্রোটেরোজোয়িক অধিযুগের পূর্ববর্তী পর্যায়
আর্কিয়ান অধিযুগেই প্রথম ভূত্বক শীতল হয়ে বিভিন্ন মহাদেশের সৃষ্টি হয়
আর্কিয়ান নামটির উৎস গ্রিক আর্কী যার অর্থ আরম্ভ বা উৎস
খ্রিঃ প্রথম প্রাচীনতম ভূতাত্ত্বিক যুগ বলে এই অধিযুগকে চিহ্নিত করা হয়েছিল
আর্কিয়ানের সময়সীমা নির্ধারণ করতে চিরাচরিত স্তরবিদ্যা বা স্ট্র্যাটিগ্রাফির পরিবর্তে ক্রোনোমেট্রি বা সময়মিতির সাহায্য নেওয়া হয়
এই অধিযুগের নিম্নসীমা হিসেবে আন্তর্জাতিক স্তরবিদ্যা কমিশন আজ থেকে কোটি বছর আগের সময়টিকে আনুষ্ঠানিক স্বীকৃতি দিয়েছে
আর্কিয়ান হল পৃথিবীর ইতিহাসের প্রধান পাঁচটি অধিযুগের মধ্যে দ্বিতীয়
আর্কিয়ানের আরম্ভে কোটি বছর আগে ভূকেন্দ্রাগত তাপের পরিমাণ ছিল বর্তমানের প্রায় তিন গুণ আর এই অধিযুগের শেষভাগে কোটি অছর আগে এই তাপপ্রবাহের মাত্রা কমে বর্তমানের দ্বিগুণে এসে দাঁড়ায়
এই অতিরিক্ত তাপ ছিল অংশত পৃথিবীর বিবৃদ্ধির সময়কার অবশিষ্ট তাপ অংশত ভূকেন্দ্রের গঠনকার্যের ফলে উৎপন্ন তাপ এবং অংশত তেজস্ক্রিয়তাজনিত তাপ
আর্কিয়ান অধিযুগের যে সমস্ত শিলা এখন পাওয়া যায় তার সিংহভাগই হয় আগ্নেয় নয়তো রূপান্তরিত শিলা
আর্কিয়ান পৃথিবীতে অগ্ন্যুৎপাত ছিল অত্যধিক
এই সময়ে গঠিত শিলার মধ্যে বিরল কোমাটাইট শিলা সমেত বিভিন্ন প্রকার আগ্নেয় শিলার নিদর্শন মেলে
অবশিষ্ট আর্কিয়ান ভূত্বকের মধ্যে মূলত গ্রানাইট জাতীয় শিলার আধিক্য দেখা যায়
এছাড়া ডায়োরাইট অ্যানর্থোসাইট ও মঞ্জোনাইট প্রভৃতি শিলার চিহ্নও আছে
অনুমান করা হয় আর্কিয়ান যুগে পৃথিবীর ভূগাঠনিক প্রক্রিয়া ছিল আজকের থেকে অনেক বেশি দ্রুত
এই অনুমানের ভিত্তি হল তৎকালীন ভূপৃষ্ঠের অধিক উত্তাপ ও ভূসংলগ্ন শিলার তজ্জনিত তরলায়ন
পরবর্তী বিভিন্ন অধিযুগের যাবতীয় ভূগাঠনিক প্রক্রিয়ার প্রভাবকে আর্কিয়ান শিলার তুলনামূলক বিরলতার অন্যতম কারণ বিবেচনা করা হয়