নির্দিষ্ট করে বললে জটিল সংখ্যাগুলির জন্য অন্যান্য ফিল্ডের মধ্যে আছে বাস্তব সংখ্যা এবং মূলদ সংখ্যাগুলি
যখন প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা কে জটিল সংখ্যা আকারে প্রকাশ করা হয় তখন বাস্তব সংখ্যার ফিল্ড জটিল সংখ্যার ফিল্ড এর একটি উপফিল্ড গঠন করে
জটিল সংখ্যার সার্বিক সেট কে বীজগাণিতিক সংখ্যাসমূহের টপোগাণিতিক আবদ্ধতা হিসেবে অথবা এর বীজগাণিতিক আবদ্ধতা হিসেবে দেখানো যেতে পারে
নিচে উভয়েরই বর্ণনা দেওয়া হল
জটিল সংখ্যা কে দেখা যেতে পারে একটি দ্বিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থার উপর একটি অবস্থান ভেক্টর হিসেবে
এই দ্বিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থাকে কে বলা হয় জটিল সমতল বা কম্পলেক্স প্লেন অথবা জেনরবার্ট আরগ্যান্ড এর নামানুসারে আরগ্যান্ড সমতল see
একটা জটিল সংখ্যা কে তাই কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় একটা বিন্দু হিসেবে ভাবা যায়
কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থায় জটিল সংখ্যাটির e হচ্ছে অক্ষ এবং একই ভাবে হচ্ছে অক্ষ
একটি জটিল সংখ্যাকে এভাবে কার্তেসীয় আকারে প্রকাশ করা কে বলা হয় সংখ্যাটির কার্টেসিয়ান আকৃতি বা রেক্টাঙ্গুলার ফর্ম বা অ্যালজেব্রিক ফর্ম
একটি জটিল সংখ্যা এর পরম মান বা মডুলাস বা মান হিসাব করা হয় o দ্বারা
পরম মানের তিনটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল এখানে এবং যেকোন জটিল সংখ্যা
এখান থেকে আমরা পাই o এবং o আমরা যদি জটিল সমতলে দূরত্ব কে এভাবে সংজ্ঞায়িত করি যে o তাহলে জটিল সংখ্যার সেটটা একটা মেট্রিক স্পেস এ পরিণত হয় এবং তখন আমরা লিমিট বা সীমা এবং কন্টিনিউয়িসিটি কে সংজ্ঞায়িত করতে পারি
একটি জটিল সংখ্যা এর অনুবন্ধী জটিল হচ্ছে যেটাকে o বা o দ্বারা প্রকাশ করা হয়
চিত্র হতে আমরা দেখি o হচ্ছে অক্ষের সাপেক্ষে রিফ্লেকশন বা প্রতিবিম্ব তাইo এবং o উভয়ই বাস্তব সংখ্যা
জটিল সংখ্যা এবং তাদের অনুবন্ধী নিয়ে বেশ কিছু মজার অভেদ বা সূত্র আছে
শেষের সূত্রটি বিশেষ ভাবে ব্যবহৃত হয় যখন কে কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেটে দেওয়া থাকে
জটিল সংখ্যার যোগ গুণ এবং অনুবন্ধীকরণ অপারেশন গুলো সাধারণ জ্যামিতিক ব্যাখ্যা মেনে চলে
এই জ্যামিতিক ইন্টারপ্রিটেশন এর সাহায্যে জ্যামিতিক সমস্যা কে অ্যালজেব্রিকএখানে অ্যালজেব্রা শব্দটি প্রচলিত বীজগণিত থেকে একটু আলাদা সমস্যায় পরিবর্তন করা যায় এবং একই ভাবে অ্যালজেব্রিক সমস্যাকে জ্যামিতিক সমস্যায় হিসেবে দেখা এবং সমাধান করা যায়
যেমন একটা একটা সম ভুজ তৈরির জ্যামিতিক সমস্যা কে অ্যালজেব্রিক্যালি এই সমীকরণের সাহায্যে বিশ্লেষণ করা সম্ভব
যেখানে সমীকরণের সমাধান গুলো সেই ভুজের শীর্ষ বিন্দুগুলো কে প্রতিনিধিত্ব করে
এই কার্তেসীয় প্রকাশকে পোলার আকৃতিতেও প্রকাশ করা হয়
এর আনুসাঙ্গিক পোলার স্থানাংকটি যেটাকে বলা হয় পরম মান বা মডুলাস এবং যেটাকে বলা হয় এর আর্গুমেন্ট অথবা কোণ যদি হয় তখন এর যেকোনো মানের জন্যই একই বিন্দু নির্দেশ করে
এক্ষেত্রে একটা অনন্য প্রকাশ ইউনিক রিপ্রেজেন্টেশন পাওয়ার জন্য
যদি > হয় তখন আর্গুমেন্ট মডুলো অনন্যইউনিক হয়
অর্থাৎ যদি যেকোনো দুইটি জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট এর পার্থক্য এর গুণিতক হয় তখন তাদেরকে ইকুইভ্যালেন্ট বা সমতুল্য ধরা হয়
অনন্য পাওয়ার জন্য এর মানকে অনেক সময় অর্থাৎ < ব্যবধিতে আবদ্ধ করা হয়
তখন এই আর্গুমেন্ট কে মুখ্য আর্গুমেন্ট বলে
এভাবে কোনো জটিল সংখ্যাকে তার পোলার স্থানাংকে প্রকাশ করলে তাকে বলা পোলার আকৃতি বলা হয়
এই ফর্মুলা থেকে প্রাপ্ত এর মান ব্যবধিতে আবদ্ধ
যেখানে এর ঋণাত্মক মানের জন্য ও ঋণাত্মক
যদি শুধু মাত্র ব্যবধির ধনাত্মক সংখ্যা প্রয়োজন হয়
তখন সূত্র থেকে প্রাপ্ত এই এর মানের সাথে যোগ করে নিতে হবে
পোলার আকৃতিতে সাধারণত প্রকাশ করা হয় আকারে
এটাকে বলা হয় ত্রিকোণমিতিক আকৃতি কখনো কখনোs দ্বারা os s বোঝানো হয় তখন লেখা হয় s অয়লারস ফর্মুলা বা অয়লারের সূত্র ব্যবহার করে জটিল সংখ্যার আরেকটা সুন্দর প্রকাশ হচ্ছে যেটাকে বলা হয় এক্সপনেনশিয়াল আকৃতি কার্তেসীয় আকৃতির চেয়ে পোলার আকৃতির এই অপারেশনসমূহ অনেক বেশি সহজ
ত্রিকোণমিতির সূত্রসমূহ ব্যবহার করে দেখানো যায় যেঃ এবং পূর্ণ সংখ্যার ঘাতের জন্য দ্য মরগানের সূত্র অনুসারে আমরা পাই যেখান থেকে পাওয়া যায় দুইটি জটিল সংখ্যার যোগ কোনো ভেক্টর সমতলে দুইটি ভেক্টরের যোগের মতোই
আর দুইটি জটিল সংখ্যার গুণকে দেখা যেতে পারে একই সাথে প্রয়োগ করা একটা রোটেশন বা ঘূর্ণন এবং স্ট্রেচিং বা বিবর্ধনের মত
দিয়ে গুণ করাকে দেখা যেতে পারে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে একটা ডিগ্রি রেডিয়ান ঘূর্ণন হিসাবে
তাই জ্যামিতিকভাবে দেখলে সমীকরণের অর্থ হলো দুইটা ডিগ্রি ঘূর্ণন অর্থাৎ একটা ডিগ্রি রেডিয়ান ঘূর্ণন এমনকি এই হিসাবে কে জ্যামিতিক ভাবে দেখা যেতে পারে দুইটা ডিগ্রি ঘূর্ণন হিসাবে
যদি একটি জটিল সংখ্যা হয় এবং যদি একটা ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হয় তখন কোনো জটিল সংখ্যা যদি এই সমীকরণ সিদ্ধ করে তাহলে কে বলা হয় এর তম মূল
যদি হয় তাহলে তার ঠিক টি ভিন্ন ভিন্ন তম মূল থাকবে
এই তম মূল গুো কে পাওয়া যাবে যদি আমরা কে লিখি o হিসাবে যেখানে > হচ্ছে বাস্তব সংখ্যা তখন এর মূ মূলসমুহের সেট হচ্ছে যেখানে o দ্বারা বাস্তব সংখ্যা এর প্রচলিত তম ধনাত্মক মূল কে বোঝানো হয়
যদি হয় তখন এর তম মূল হয় শুধু মাত্র
যেখানে তম মূল হিসাবে এই এর মাল্টিপ্লিসিটি ধরা হয়
জটিল সংখ্যার সেটকে সংজ্ঞায়িত করা যায় এভাবে এখান থেকে আমরা সহজেই দেখি যে o যখন ঐতিহাসিকভাবে দেখলে জটিল সংখ্যার থিওরি ডেভেলপড হয়েছে বাস্তব সংখ্যার বেশ পরে
আমরা আগেই দেখেছি o এই ধরনের সমীকরণের সমাধান করতে গিয়ে এই জটিল বা কাল্পনিক সংখ্যার উৎপত্তি
যেখানে একটি সমাধান হিসেবে o কে ধরা হয় যেন o হয়
এই o হলো আমাদের পরিচিত কাল্পনিক একক যার সাহায্যে গণিতের থিওরিসমূহ বাস্তব সংখ্যার সেট থেকে জটিল সংখ্যার সেটে উন্নীত হয়
জটিল সংখ্যা সম্পর্কে প্রথম অস্বচ্ছতার সূচনা হয় এর নামকরণ থেকে
ইংরেজি বা বাংলা সব ভাষায় এই সংখ্যার পরিভাষা হচ্ছে কম্পলেক্স ইমাজিনারি অবাস্তব কাল্পনিক এবং সর্বোপরি জটিল সংখ্যা
নাম শুনেই শিক্ষার্থীদের মনে সন্দেহপ্রবণতার সৃষ্টি হওয়া স্বাভাবিক
একজন শিক্ষার্থী যখন প্রথম যোগ বা বিয়োগ শেখে তখন পরিচিত হয় ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার সাথে
তখনও পর্যন্ত সে জানে যে ছোট সংখ্যা থেকে বড় সংখ্যা বিয়োগ করা সম্ভব নয়
তার সামনে উদাহরণ হিসেবে দেখানো হয় একটি ব্যাগে বলের সংখ্যার বা একছড়া কলায় কলার সংখ্যা
এরপর যখন সে পাটিগণিত শেখে তখন পরিচিত হয় ভগ্নাংশের সাথে
তখন সে এই ভগ্নাংশ বা দশমিক সংখ্যা কে কল্পনা করতে পারে অতিক্রান্ত দূরত্ব বা অন্যান্য উদাহরণ দিয়ে
যেমন হয়তো একজন লোক কিমি দূরত্ব অতিক্রম করেছে
এর পর বীজগণিত শেখার সময় যখন তার প্রথম পরিচয় হয় ঋণাত্মক সংখ্যার সাথে
এই সংখ্যাকে সে প্রথমে একটু সন্দেহপ্রবণ দৃষ্টিতে দেখে
কারণে এই সংখ্যার বাস্তব উদাহরণ সৃষ্টি করা সহজসাধ্য নয়
তার পরে একক সময় সে হয়ত এটা বুঝতে সেখে ঋণ এর ধারণা থেকে
যেমন আমার কাছে কেউ টাকা পায় সেসময় আমার কাছে আর কোনো টাকা না থাকার অর্থ হলো ওই মুহূর্তে আমি টাকার মালিক
কিন্তু এরপর উচ্চতর গণিত শিখতে গিয়ে সে যখন পরিচিত হয় জটিল সংখ্যার সাথে তখন তার পক্ষে এরকম বাস্তব উদাহরণ খুঁজে বের করা মুশকিল হয়ে যায়
কিছু বহুপদীর মূল এর সাহায্যে উদাহরণ দেওয়া হলেও সেগুলো সন্তোষজনক মনে হয় না
উপরন্তু সংখ্যাটির নাম জটিল সংখ্যা যার আবার একটা কাল্পনিক অথবা অবাস্তব অংশ আছে
নামকরণ থেকে প্রাপ্ত এই বিভ্রান্তিকর তথ্যের জন্য তার পক্ষে জটিল সংখ্যাকে একটা সংখ্যা হিসেবে ইমেজ বা কল্পনা করা কঠিন বেশিরভা আসলে সকল সংখ্যাই কাল্পনিক আমাদের অতিপরিচিত সংখ্যা বা o এরা সবই আমাদের মনের কল্পনা o e s ose s e eso o এসব সংখ্যাকে আমরা কল্পনা করে নিয়েছি আমাদের বাস্তব জীবনের বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য এবং পর্যবেক্ষণের সাহায্যে নিশ্চিত হয়েছি যে আদর্শ অবস্থায় আমাদের গাণিতিক সমাধান গুলো ব্যবহারিক সমস্যার সমাধান হিসেবেও কাজ করে
এ বিষয়ে মনে করা যেতে পারে যে সব ধরনের গণিতের সূচনাই হয় কিছু স্বীকার্যের উপর ভিত্তি করে
যে স্বীকার্যগুলো আমরা প্রমাণ ছাড়াই মেনে নিইআসলে প্রমাণ সম্ভব নয়
শুধু এই পর্যবেক্ষণ থেকে যে তারা বাস্তব সমস্যার সমাধানে কার্যকরী এবং স্ববিরোধী নয়
আমাদের পরিচিত বাস্তব সংখ্যা গুলিকে যেমন আমরা ব্যবহার করি বীজগণিতপাটিগণিতের সাহায্যে আমাদের বাস্তব জগৎ এর সমস্যা সমাধান এর জন্য
তেমনি আমরা জটিল সংখ্যাকেও ব্যবহার করি কোয়ান্টাম মেকানিক্স কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানদুইটি সম্পর্কিত কিন্তু আলাদা বিষয় কোয়ান্টাম ইলেক্ট্রো ডাইনামিক্স ছাড়াও উচ্চতর গণিত বা বিজ্ঞানের এমন হাজার ক্ষেত্রে যেখানে গাণিতিক সমীকরণ বা রাশিগুলো আমাদের বাস্তব জগৎ এর বিভিন্ন ঘটনা পরিমাপ এবং রাশিমালা নির্দেশ করে
আসলে বীজগণিত শেখার শুরুতে একজন শিক্ষার্থী যেমন প্রশ্ন করে o এই সমীকরণের বাস্তব অর্থ কি এর সাথে কে যোগ করে কি লাভ বা কি কোনো সংখ্যা হতে পারে তেমনই জটিল সংখ্যা নাম শুনে এবং o আর o এ ধরনের তখন পর্যন্ত তার গাণিতিক ধারণা অনুযায়ী প্রথাবিবিরুদ্ধ সমীকরণ দেখে এবং এদের নাম জটিল অবাস্তব এসব দেখে সে নিজেও এটাকে অবাস্তব ভাবতে শুরু করে
জটিল সংখ্যা শিক্ষার প্রাথমিক বাধা এটাই
অতএব জটিল সংখ্যা ঠিক ততটাই জটিল বা কাল্পনিক বা বাস্তব যতটা জটিল বা কাল্পনিক বা বাস্তব অন্য আর সব সংখ্যা
তাই জটিল সংখ্যা কাল্পনিক অংশ এসব নাম কে শাব্দিক অর্থে না নিয়ে জটিল সংখ্যা সম্পর্কে যে সঠিক চিত্রটা আমরা পেতে পারি তা হোল
জটিল সংখ্যাও আরেক ধরনের সংখ্যা যেটা আর সব সংখ্যার মতোই শুধু তাদের হিসাবের নিয়ম একটু আলাদা
অনেক গুরুত্বপূর্ণ ও বাস্তব সমস্যা সমাধানের জন্য জটিল সংখ্যা অপরিহার্য অর্থাৎ জটিল সংখ্যা অবাস্তব সংখ্যা নয়