সবচেয়ে পরিচিত উদাহরন সাধারন ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান এ কঠিন বস্তুর সীমা থেকে উৎপন্ন হয় যেমন গোলক
পৃষ্ঠতলের সঠিক সংজ্ঞা এর অনুষঙ্গের উপর নির্ভর করে
সাধারনত বীজগণিতীয় জ্যামিতিতে পৃষ্ঠতল নিজেকে ছাড়িয়ে যেতে পারে যেখানে টপোলজী ও অন্তর্জলীয় জ্যামিতির ক্ষেত্রে এটা হয়না
পৃষ্ঠতল হল দ্বিমাত্রিক স্থানঃ যার মানে হল পৃষ্ঠের উপরের ছুটন্ত কোন বিন্দু শুধু দুটি দিকে যাবে
অন্য কথায় প্রত্যেক বিন্দুতে স্থানাঙ্ক স্থাকবে যাতে দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সংজ্ঞা দেয়া যাবে
উদাহরনস্বরুপ পৃথিবীর পৃষ্ঠতল দ্বিমাত্রিক স্থানের সদৃশ হয় যা অক্ষ ও দ্রাঘিমা নিয়ে গঠিত যা দ্বিমাত্রিক স্থানাংকের জোগাড় দেয়
পৃষ্ঠতলের এই ধারণা পদার্থবিদ্যা প্রকৌশল কম্পিউটার গ্রাফিক্স এবং আরো অনেক ক্ষেত্রেই ব্যবহৃত হয়
উদাহরনস্বরুপ উড়োজাহাজ এ বায়ুগতিবিদ্যার ধর্ম জানার জন্যে এটি ব্যবহৃত হয় বাতাসের পৃষ্টতল বরাবর প্রবাহ এক্ষেত্রে বিবেচনায়না আ হনায়
পৃষ্ঠতল বলতে এমন একটি টপোলজিক্যাল স্থান বোঝায় যার প্রত্যেক বিন্দু ইউক্লীডীয় প্লেন এর কিছু উন্মুক্ত সাবসেট এর প্রতি একটি উন্মুক্ত নিকটস্থ হোমিওমরফিক হয়
এমন নৈকট্যতা এই হোমিওমরফিকতাকে স্থানাঙ্ক তালিকাও বলা হয়
এই তালিকার মাধ্যমে ইউক্লীডীয় সমতলের প্রমিত স্থানাঙ্ক নিকটস্থ উত্তরাধিকারী পায়
এসব স্থানাঙ্ককে স্থানিক স্থানাঙ্ক বলে
আর তল বর্ণনাকারী হোমিওমরফিজম স্থানিক ইউক্লিডীয় হবে
এই বিষয়ের বেশীরভাগ লেখনীতে মনে করা হয় প্রত্যক্ষভাবে বা পরোক্ষভাবে যে টপোলজিক্যাল স্থান হিসেবে তল অশুন্য দ্বিতীয়বার গনণাযোগ্য এবং হাউসডর্ফ
এটাও মনে করা হয় যে যে তলগুলো সম্পর্কিত
এই নিবন্ধের বাকী অংশে ধরা হবে যদি নির্দিষ্ট করে দেয়া না থাকে যে তল অশুন্য হাউজডর্ফ দ্বিতীয় গনণাযোগ্য ও সংযুক্ত
আরও সাধারনভাবে একটি সীমিত তল একটি হাউসডর্ফ টপলজিক্যাল স্থান যার প্রত্যেকটা বিন্দুর উন্মুক্ত নৈকট্য আছে যা তে এর কিছু উন্মুক্ত সাবসেটের প্রতি হোমিওমরফিক
উপরের অর্ধেক তলের সীমা অক্ষ
এই তালিকার মাধ্যমে তলের অক্ষে একটি বিন্দু ম্যাপ করা যেতে পারে যাকে সীমাবিন্দু বলা যায়
এসব বিন্দুর সমষ্টিকে ঐ তলের সীমা বলা হয় যা এক ম্যানিফোল্ড হওয়া প্রয়োজন তার মানে বদ্ধ বাকের সমষ্টি
অপরপক্ষে অক্ষের ঠিক উপরে আকা বিন্দুকে অভ্যন্তরীন বিন্দু বলা যায়
আর সেই বিন্দুগুলোর সমষ্টিকে অভ্যন্তরীন বলে যা সবসময় অশুন্য হয়
বদ্ধ চাকতি সীমাসহ তলের সাধারণ উদাহরন
তল শব্দটি ব্যবহৃত হয় সীমাহীন তল বোঝাতে
নির্দিষ্টভাবে যে তলের সীমা শুন্য তাকে আমরা সাধারনভাবে তল বলে জানি
শুন্য সীমার তল যদি নিশ্ছিদ্র হয় তা বদ্ধ তল হয়
দ্বিমাত্রিক গোলক দ্বিমাত্রিক টোরাস এবং সত্যিকার প্রক্ষিপ্ত সমতল বদ্ধ তলের উদাহরণ
মবিয়াস ট্রিপ এমন একটি তল যার ঘড়ির কাটার দিকের ঘূর্ণন ও তার বিপরীতে ঘূর্ণন স্থানীয়ভাবে আলাদা করা যায় কিন্তু বিশ্বব্যাপী নয়
সাধারনভাবে তল উদীয়মান বলা যায় যদি এটি মবিয়াস স্ট্রিপের হোমিওমরফিক নকল ধারন না করেসজ্ঞানে এর দুটি পার্শ্ব থাকতে হবে
উদাহরনস্বরুপ গোলক আর টোরাস উদীয়মান কিন্তু প্রক্ষিপ্ত সমতল নয় কারন তারা মবিয়াস ট্রিপের হোমিওমরফিক হয়
ব্যবকলন ও বীজগানিতীক জ্যামিতিতে তলের টপোলজিতে আলাদা গঠন বসানো হয়
এই গঠন মসৃণ যা একে তল থেকে ব্যবকলনীয় ম্যাপ পর্যন্ত সংজ্ঞায়িত করে রিম্যানিয়ান ম্যাট্রিক যা একে তলের উপর দৈর্ঘ্য ও কোন সংজ্ঞায়িত করে জটিল যা একে তল থেকে হোমিওমরফিক ম্যাপ পর্যন্ত সংজ্ঞায়িত করে অথবা বিজগানিতীয় গঠন যার ফলে সিঙ্গুলারিটি খোজা যায় যেমন চূড়া ও অন্তঃচ্ছেদ যা শুধু টপোলজির মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা যায়না হতে পারে
ঐতিহাসিকভাবে তলকে ইউক্লীডীয় স্পেসের সাবস্পেস হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হত
প্রায়শই সেসব তল কিছু নিশ্চিত ফাংশানের শুন্যের কেন্দ্রবিন্দু ছিল যা সাধারনত পলিনোমিয়াল ফাংশান
এরকম সংজ্ঞা থেকে ভাবা হত তল বিশাল কোন স্পেসের একটা অংশ যাকে বাহ্যিক বলা হত
আগের অংশে তলকে কিছু নির্ধারিত ধর্মের টপোলজিকাল স্পেস বলা হয় যার নাম হাউসডর্ফ ও স্থানীয়ভাবে ইউক্লীডীয়
এই টপোলজিক্যাল স্পেসকে অন্য স্পেসের সাবস্পেস ভাবা হয়না
এই হিসেবে বলা যায় উপরের সংজ্ঞাটি অভ্যন্তরীন
একটি তল অভ্যন্তরীন হলে তার ইউক্লীডীয় স্পেসের সাবস্পেস হওয়ার প্রয়োজন নেই
একটি তলকে অভ্যন্তরীনভাবে তল বলা গেলে তাকে বাহ্যিকভাবে তল নাও বলা যেতে পারে
যাই হোক হুইটনি এম্বেডিং তত্ত্ব বলে সকল তলই ইউক্লীডীয় স্পেসে হোমিওমরফিকভাবে স্থাপিত হয় আসলে এ
বাহ্যিক ও অভ্যন্তরীন উভয় চেষ্টাই সাম্যাবস্থা মনে হয়
আসলে যেকোন নিশ্ছিদ্র তল যা উদীয়মান বা সীমা আছে তা তে স্থাপন করা যায় অপরদিকে নিশ্ছিদ্র অনুদীয়মান সীমাহীন প্রক্ষিপ্ত সমতল তে স্থাপন করা যায়না
স্টাইনার তল বয়েস তল রোমান তল এবং ক্রস ক্যাপ তে সত্যিকার প্রক্ষিপ্ত সমতলের মডেল কিন্তু শুধুমাত্র বয়েস তলই ডুবন্ত তল
এ সব মডেলই তাদের মিথস্ক্রিয়ার বিন্দুতে ঐকিক
আলেক্সান্ডার শৃঙ্গীয় গোলক ত্রি গোলকে দ্বি গোলকের উদ্দীপ্ত স্থাপত্য
অন্য স্পেসে একটি তলের জানা স্থাপনাকে বাহ্যিক তথ্য হিসেবে মানা হয়
উদাহরনস্বরুপ টোরাসকে প্রমিত পদ্ধতিতে অথবা গ্রন্থিবদ্ধ পদ্ধতিতে তে স্থাপন করা যায় চিত্রানুযায়ী
এরা হোমিওমরফিক কিন্তু আইসোটপিক নয়
তারা টপোলজিক্যালি সাম্যাবস্থায় আছে কিন্তু তাদের স্থাপনা নয়
থেকে উচ্চতর মাত্রা দিকে একটি চলমান ইনজেক্টেড ফাংশান এর চিত্রকে প্যারামেট্রিক তল বলে
এসব চিত্রকে এরকম বলার কারণ এর দিকের এবং অক্ষের চিত্র
প্যারামিটার তল টপোলজিক্যাল তল নাও হতে পারে
তলের আবর্তন বিশেষ ধরনের প্যারামিটার তল
যদি থেকে পর্যন্ত যার গ্রাডিয়েন্ট শুন্যের কাছে মসৃণ ফাংশান হয় তবে এর শুন্যের কেন্দ্রবিন্দু তলকে সংজ্ঞায়িত করে একে অন্তর্নিহিত তল বলে
অদৃশ্য হওয়া গ্রাডিয়েন্টের শর্ত যদি পতিত হয় তবে শুন্য কেন্দ্রবিন্দু একতা প্রদর্শন করে
প্রত্যেকটি বদ্ধ তল একটি জোড়সংখ্যক পার্শ্বের সজ্জিত পলিগন থেকে গঠন করা যায় যাকে তলের গাঠনিক পলিগন বলে এর কিনারার জোড় শনাক্তকরনের মাধ্যমে
উদাহরণস্বরুপ নিচের প্রত্যেক পলিগন সদৃশ লেবেলের দিক দিয়ে সাথে আটকানো যাতে করে তীরগুলো একই দিকে দেখায়
যেকোন গাঠনিক পলিগন এভাবেই লিখা যায়
যেকোন চূড়া থেকে শুরু করা হয় আর যেকোন দিকে পলিগনের পরিধি দিয়ে যাওয়া হয় যতক্ষন পর্যন্ত শুরুর চূড়ায় না ফিরে আসা যাচ্ছে
এই ট্রাভার্সালের সময় প্রত্যেক কিনারার লেবেল লিখে রাখা হয় সূচক রাখা হয় যদি কিনারার পয়েন্ট ট্রাভার্সের দিকের উল্টো হয়
উপরের চারটি মডেল হলঃ এই প্রকাশনা যা একটি তলের গাঠনিক পলিগন থেকে নেয়া হয় তা তলের যার পলিগন কিনারা জেনারেটর হিসেবে লেবেল করা থাকে গাঠনিক গ্রুপ এর ক্ষেত্রেও দেখা যায়
এটি সেইফার্টভ্যান ক্যাম্পেন তত্ত্ব এর একটি প্রভাব
পলিগনের আট দেয়া কিনারা এক বিশেষ ধরনের স্থান ভাগফল ব্যবস্থা
এই ধারণা তলের নতুন অথবা বিকল্প গঠন তৈরী করতে ব্যবহার করা যেতে পারে
দুটি তল ও যাদের দ্বারা প্রকাশ করা হয় এর সংযুক্ত সারাংশকে তাদের প্রত্যেকটি থেকে একটি চাকতি সরিয়ে এবং তাদের সীমা দিয়ে এটে যে ফল পাওয়া যায় তা থেকে নেয়া হয়
চাকতির সীমা গোলাকার হয় তাই সীমার উপাদানও গোলাকার হয়
এর ইউলার ক্যারেক্টারিস্টিক সোমান্ড এর ইউলার ক্যারেক্টারিস্টিক এর উপাদানগুলোর যোগফল বিয়োগ দুইঃ গোলক সংযুক্ত সারাংশ এর একটি অভিন্ন উপাদান যার মানে দাড়ায়
এর কারণ একটি চাকতি সরানো মানে আরেকটি চাকতির থেকে যাওয়া যা থেকে সরানো চাকতি প্রতিস্থাপন করে
টরাস এর সাথে সংযুক্ত সারাংশকে অন্য সামেন্ড এ হাতল যুক্ত করার কারণ হিসেবে বর্ণিত হয়েছে
যদি ঘূর্ণনযোগ্য হয় তাহলে ও হবে
এই সংযুক্ত সারাংশ মিশে যেতে পারে তাই তলের সীমিত সমষ্টির সংযুক্ত সারাংশ ঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত আছে
দুটি প্রক্ষিপ্ত সমতলের সংযুক্ত সারাংশ হল ক্লেইন বোতল
এদের সংযুক্ত সারাংশ হল প্রক্ষিপ্ত সমতল ও টরাসের সংযুক্ত সারাংশের সাথে হোমিওমরফিক ফর্মুলাটি হলঃ
এভাবে তিনটি প্রক্ষিপ্ত সমতলের সংযুক্ত সারাংশ প্রক্ষিপ্ত সমতল ও টরাসের সংযুক্ত সারাংশের সাথে হোমিওমরফিক
প্রক্ষিপ্ত সমতলের সাথে জরিত সংযুক্ত সারাংশ অঘূর্ণনীয় হয়
বদ্ধ তল এমন একতি তল যা দৃঢ় ও সীমাহীন
উদাহরনঃ গোলক টরাস ও ক্লেইন বোতল এর মত স্থান
খোলা তলের উদাহরন হলঃ চাকতি যা একটি ছিদ্রযুক্ত গোলক বেলন যা দুটি ছিদ্রযুক্ত গোলক এবং মবিয়াস ট্রিপ
যেকোন বদ্ধ ম্যানিফোল্ড এ ইউক্লীডীয় স্থানে একটি তল স্থাপিত থাকে যা পরম্পরাসূত্রে পাওয়া ইউক্লীডীয় টপোলজি এর সাপেক্ষে বদ্ধ থাকে সেটা বদ্ধ তল নাও হতে পারে উদাহরনস্বরুপ o এ স্থাপিত চাকতি যা সীমা ধারন করে এমন একটি তল যা টপোলজিকভাবে বদ্ধ কিন্তু বদ্ধ তল নয়
বদ্ধ তলের শ্রেণীবিন্যাস বর্ণনা করে যে যেকোন সংযুক্ত বদ্ধ তল নিচের তিনটির কিছু সদস্যের সাথে হোমিওমরফিক হয়ঃ প্রথম দুই পরিবারের তল ঘূর্ণনযোগ্য
গোলক নিয়ে এই দুই পরিবারকে টরির সংযুক্ত সারাংশ হিসেবে যোগ করা উপযুক্ত হবে
গোলক ও তলের ইউলার ক্যারেক্টারিস্টিক যথাক্রমে ও এবং সাধারণভাবে সংযুক্ত সারাংশ হল
প্রক্ষিপ্ত সমতলের ইউলার ক্যারেক্টারিস্টিক হয় এবং সাধারণভাবে এর সংযুক্ত সারাংশ হল
এর মানে দাড়ায় বদ্ধ তল নির্ণিত থাকে হোমিওমরফিজম পর্যন্ত দুটি তথ্য দ্বারাঃ ইউলার ক্যারেক্টারিস্টিক ও এর ঘূর্ননযোগ্যতা
অন্য কথায় ইউলার ক্যারেক্টারিস্টিক এবং ঘূর্ণনযোগ্যতা হোমিওমরফিজম পর্যন্ত পুরোপরি শ্রেণিবদ্ধ
বহুসংখ্যক সংযুক্ত উপাদানযুক্ত বদ্ধ তল তাদের প্রত্যেক সংযুক্ত উপাদানের শ্রেণী দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ থাকে এবং তা থেকে ধারণা করা হয় যে তল সংযুক্ত