বাস্তব সংখ্যার হাইপাররিয়াল ব্যাপ্তিতে এর সাথে বাস্তব ফাংশন এর কোন বাস্তব বিন্দু এ অন্তরজ অতিক্ষুদ্র এর জন্য ভাগফল এর so হিসেবে সঙ্গায়িত যেখানে
এখানে এর ee eeso বা হাইপাররিয়াল ব্যাপ্তি এখনও কেই প্রকাশ করে
এখানে অন্তরজের অন্তিত্ব থাকে যদি so ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র মানের উপর অনির্ভরশীল হয়
বর্গ ফাংশন তে অন্তরীকরনযোগ্য এবং এখানে এর অন্তরজ এই ফলাফলটি শূন্য এর নিকটবর্তী হওয়ার জন্য এর পার্থক্য ভাগফল নির্ণেয়ের মাধ্যমে নির্ণীত হয়ঃ ভাগফলের সংজ্ঞা অণুযায়ী সর্বশেষ রাশিটির মান হয় যখন এবং অনির্ণেয় যখন
যাইহোক সীমার সংজ্ঞা বলে পার্থক্য ভাগফল তে সংজ্ঞায়িত হওয়ার দরকার হয় না
সীমা হল শূন্যের কাছাকাছি যাওয়ার ফলাফল যা বোঝায় মানটি এর কাছে পৌঁছায় যখন খুব ক্ষুদ্র হয়ঃ অতএব বর্গ ফাংশনটির লেখিত্রের বিন্দুতে ঢালের মান এবং তাই তে অন্তরজ আরো সাধারণভাবে একটি অনুরূপ হিসাব দেখায় যে তে বর্গ ফাংশনটির অন্তরজ যদি বিন্দুতে অন্তরীকরনযোগ্য হয় তবে কে অবশ্যই বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হতে হবে
উদাহরণস্বরূপ একটি বিন্দু নিই এবং ধরি হল একটি ধাপে বিচ্ছিন্ন ফাংশন যা একটি মান প্রদান করবে
এর মান এর চেয়ে ছোট হলে প্রদান করে এবং এর মান এর চেয়ে বড় বা সমান হলে একটি ভিন্ন মান প্রদান করে
তাই তে এর কোন অন্তরজ থাকতে পারে না
যদি ঋনাত্নক হয় তবে হয় ধাপের নিম্ন অংশ তাই থেকে বিন্দুগামী ছেদক রেখা খুব খাড়া হবে অর্থাৎ শূন্যের কাছে পৌছালে ঢাল অসীমের কাছে পৌছায়
আবার যদি ধনাত্নক হয় তবে হবে ধাপের উচু অংশ তাই ও এর ছেদবিন্দুগামী রেখার ঢান শূন্য
ফলে ছেদক রেখার ঢাল কোনো একক ঢালের নিকটবর্তী হয় না তাই পার্থক্য ভাগফলের সীমার কোন অস্তিত্ত নেই
এমনকি কোন ফাংশন একটি বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হওয়া সত্তেও সেখানে অন্তরীকরনযোগ্য নাও হতে পারে
উদাহরণস্বরূপ পরম মান ফাংশন বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন কিন্তু অনতরীকরনযোগ্য নয়
যদি ধনাত্নক হয় তবে থেকে এ ছেদকারী রেখার ঢাল হবে কিন্তু যদি ঋনাত্নক হয় তবে থেকে এ ছেদকারী রেখার ঢাল হবে ঋনাত্নক
এটা লেখচিত্রে তে গীড়া অথবা শিখর মনে হবে
এমনকি একটি ফাংশনের লেখচিত্র সুষম হলেও যেখানে এর স্পর্শক উলম্ব সেখানে তা অন্তরীকরন্যোগ্য নয়
উদাহরণস্বরূপ ফাংশন তে অন্তরীকরনযোগ্য নয়
সংক্ষেপে বলা যায়ঃ একটি ফাংশন এর অন্তরজ থাকার জন্য ফাংশন কে অবিচ্ছিন্ন হতে হবে কিন্তু কেবলমাত্র একা অবিচ্ছিন্নতা ধরে রাখা যথেষ্ট নয়
বাস্তবে সর্বাধিক ফাংশনের সব বিন্দুতেই বা প্রায় প্রতিটি বিন্দুতেই অন্তরজ আছে
প্রারম্ভিক ক্যালকুলাসের ইতিহাসে অনেক গণিতবিদ ধারণা করেন যে একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশন প্রায় সব বিন্দুতেই অনতরীকরনযোগ্য
মধ্য সময়ের দিকে উদাহরণস্বরূপ একটি ফাংশন একটি মনোটোনি ফাংশন বা লিপসিজ ফাংশন হলে তা সত্য হয়
যাইহোক সালে হুইসট্রাস এমন একটি ফাংশন খুজে পান যা অবিচ্ছিন্ন কিন্তু অন্তরীকরণযোগ্য নয়
এটি হুইসট্রাস ফাংশন হিসাবে পরিচিত
সালে স্টিফান ব্যনাচ প্রমাণ করেণ যে অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের সেটের জগতে একটি ক্ষুদ্র সেট যার কিছু বিন্দুত এর একটি অন্তরজ আছে
e e ese eoe esse oeee অনানুষ্ঠানিকভাবে এটা বোঝায় যে খুব কম অবিচ্ছিন্ন ফাংশেনেরই অন্তত একটি বিন্দুতে অন্তরজ আছে
ধরি হল একটি ফাংশন যার ডোমেইনের প্রতিটি বিন্দু তে অন্তরজ আছে
কারণ যেকোন বিন্দু তে অন্তরজ এর একটি ফাংশন
ফাংশনটিকে লিখা হয় এবং একে এর অন্তরজ ফাংশন অথবা এর অন্তরজ বলা হয়
এর অন্তরজ এর ডোমেইনের অন্তর্গত সকল অন্তরজ নির্ণয় করে
কখনো কখনো অধিকাংশ বিন্দুতে অন্তরজ থাকে কিন্তু ডোমেইনের সকল বিন্দুতে নয়
বিন্দুতে ফাংশনটির মান যখন নির্ধারিত এবং অন্যথায় যখন তা অনির্ধারিত তখনো একে এর অন্তরজ বলা হয়
যদিও এটা একটা ফাংশন কিন্তু এর ডোমেইন এর ডোমেইনের চেয়ে ক্ষুদ্র
এই ধারণাক্রমে অন্তরীকরণ হল কোন ফাংশনের ফাংশনঃ অন্তরজ হল একটি অপারেটর যার ডোমেইন সকল ফাংশনের সেট যার ডোমেইনের প্রত্যেকটি বিন্দুতে অন্তরজ আছে এবং যার রেঞ্জ ফাংশনের সেট
যদি আমরা এটিকে দ্বারা প্রকাশ করি তাহলে হবে
যেহেতু হল একটি ফাংশন তাই এটি যেকোন বিন্দু তে নির্ণয় করা যাবে
তুলনা করার জন্য দ্বিগুনের ফাংশন বিবেচনা করি একটি বাস্তব সংখ্যা একটি বাস্তব মূল্যবান ফাংশনঃ এটা ইনপুট হিসেবে সংখ্যা নেয় এবং আউটপুট হিসেবে যা দেয় অপারেটর পৃথক পৃথক সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত নয়
এটি শুধুমাত্র ফাংশনের জন্য সঙ্গায়িতঃ কারণ এর আউটপুট হল একটি ফাংশন তাই এর আউটপুট যেকোন বিন্দুতে নির্নেয়
উদাহহণসরূপ যখন কে বর্গ ফাংশন এ প্রয়োগ করা হবে দিগুণের ফাংশন আউটপুট দেয় যার নাম
ফাংশনটি দ্বারা ইত্যাদি নির্ণয় করা যেতে পারে
ধরি একটি অন্তরীকরনযোগ্য ফাংশন তার অন্তরজ
এর অন্তরজকে যদি থাকে লিখা হয় এবং একে এর দ্বিতীয় অন্তরজ পড়া হয়
অনুরূপভাবে দ্বিতীয় অন্তরজের অন্তরজকে লিখা হয় এবং একে এর তৃতীয় অন্তরজ বলা হয়
পরযায়ক্রমে কেউ তম অন্তরজের অন্তরজ বা তম অন্তরজকে সংজ্ঞায়িত করতে পারে
এই পর্যায়ক্রমিক অন্তরীকরণকে উচ্চমাত্রার অন্তরজ বলা হয়
তম অন্তরজকে মাত্রার অন্তরজও বলা হয়
যদি সময় এর সাপেক্ষে অবস্থান বোঝায় তবে এর উচ্চমাত্রার অন্তরজের বাহ্যিক ব্যাখ্যা থাকে
এর দ্বিতীয় অন্তরজ হল বেগ এর অন্তরজ এবং সংজ্ঞানুসারে যা ত্বরণ
এর তৃতীয় অন্তরজ জার্ক এবং চতুর্থ অন্তরজ জাউন্স হিসেবে সংজ্ঞায়িত
উদাহরণসরূপ কোন ফাংশন এর অন্তরজ থাকবে না যদি তা অবিচ্ছিন্ন না হয়
একইভাবে এর অন্তরজ থাকলেও এর দ্বিতীয় অন্তরজ নাও থাকতে পারে
বলা যায় হল একটি অনতরীকরনযোগ্য ফাংশন এবং যার অন্তরজ হল হল দিগুণের পরমমান ফাংশন এবং এর শূন্য বিন্দুতে কোন অন্তরজ নেই
একই উদাহরণ থেকে দেখা যায় যেকোন অঋনাত্নক পূর্ণসংখ্যা এর জন্য তম অন্তরজ থাকলেও তম অন্তরজ নেই
একটি ফাংশনের পর্যন্ত অন্তরজ থাকলে একে বার অন্তরীকরনযোগ্য বলা হয়
উপরন্তু যদি তম অন্তরজ অবিচ্ছিন্ন হয় তবে ফাংশনটিকে অন্তরীকরণযোগ্য শ্রেণী বলা হয়
এটি তম অন্তরজ থাকার চেয়ে শক্তিশালী শর্ত
অসীমসংখ্যক অন্তরজ আছে এমন একটি ফাংশনকে অসীমসংখ্যকবার অন্তরীকরণযোগ্য বা সুষম বলা হয়
বাস্তব লাইনে সব বহুপদী ফাংশন অসীমবার অন্তরীকরণযোগ্য হয়
যদি মাত্রার একটি বহুপদীকে বার অন্তরীকরণ করা হয় তবে আদর্শ বিধি দ্বারা তারপর এটা একটি ধ্রুব ফাংশনে পরিণত হয়
তার পরবর্তী অন্তরজ সকল সকলে শূন্য হয়
বিশেষ করে তারা বিদ্যমান তাই বহুপদীরা সুষম ফাংশন হয়
কোন ফাংশন এর বিন্দুতে অন্তরজ এর কাছাকাছি অণুমানের একটি বহুপদী ফাংশন প্রদান করে
উদাহরণস্বরূপ যদি দুবার অন্তরীকরনযোগ্য হয় তাহলে ধারণাক্রমে যদি অসীমসংখ্যকবার অন্তরীকরযোগ্য হয় তবে এটা হল এর আশপাশে এর জন্য এর মানের জন্য টেইলরের ধারার শুরুর অংশ
oso একটি ফাংশনের একটি বিন্দুতে দ্বিতীয় অন্তরজ চিহ্ন পরিবর্তন করলে সেটাকে আনতি বিন্দু বলা হয়
একটি আনতি বিন্দুতে এর এর জন্য দ্বিতীয় অন্তরজ শূন্য হতে পারে বা এটা আনতি বিন্দু তে এর অস্তিত্ব প্রকাশে ব্যর্থ হতে পারে
একটি আনতি মুহূর্তে একটি উত্তল ফাংশন ফাংশন অবতল ফাংশনে রূপ নিতে পারে
গটফ্রিড লিবনিজের দ্বারা প্রবর্তিত অন্তরজের প্রতীক সবচেয়ে পূরাতন গুলোর একটি
এটি এখনো সাধারণত ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় যখন সমীকরণকে স্বাধীন ও নিরভরশীল চলকের সম্পর্করূপে দেখা হয়
এভাবে প্রথম অন্তরজকে প্রকাশ করা হয় এবং একটি ক্ষুদ্রাতিক্ষুদ্র ভাগফল হিসেবে ভাবা হয়
উচ্চ অন্তরজকে এই প্রতীক ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয় এরা অন্তরজ প্রক্রিয়ার একাধিক ব্যবহারের জন্য এর তম অন্তরজের এর সাপেক্ষে সংখিপ্তরূপ
লিবনিজের প্রতীকে আমরা বিন্দুতে এর অন্তরজকে দুইভাবে প্রকাশ করতে পারিঃ লিবনিজের প্রতীক অন্তরীকরণের জন্য চলককে বেছে নিতে দেয় হরে
এটা আংশিক অন্তরীকরণের জন্য বিশেষ প্রাসঙ্গিক
এটা চেইন রুলকেও মনে রাখতে সহজ করে e oo o s es o s e so s ee sse os es os os অন্তরীকরণের জন্য জোসেফলুইসল্যাগ্রাঞ্জের সবচেয়ে সাধারণ আধুনিক প্রতীককে কখনো প্রাইম প্রতীক বলা হয় হয়e oo o eeo যা প্রকাশ করতে প্রাইম ব্যবহৃত হয় তাই কোন ফাংশন এর অন্তরজ অথবা সহজভাবে দ্বারা সূচিত হয়
একইভাবে দ্বিতীয় ও তৃতীয় অন্তরজ সূচিত হয় অই বিন্দু ব্যতীত অন্তরজ ক্রম বোঝানোর জন্য কিছু লেখক শীর্ষদেশে রোমান সংখ্যাসমূহ ব্যবহার করে আবার কেউ প্রথম বন্ধনীতে সংখ্যা ব্যবহার করেঃ পরের প্রতীকটি এর তম অন্তরজ বোঝাতে কে ব্যবহার করার অনুমতি দেয়
প্রতীকটি সবচেয়ে বেশি কাজের হয় যখন অন্তরজ নিজেই একটি ফাংশন হয় এবং সেক্ষেত্রে লিবনিজের প্রতীক ব্যবহার করা কষ্টকর হতে পারে
অন্তরীকরনের জন্য নিউটনের প্রতীক কে ডট প্রতীকও বলা হয় কোন ফাংশনের নামের উপর ডট স্থাপন করার মাধ্যমে অন্তরজ প্রকাশিত হয়
যদি হয় তাহলে যথাক্রমে এর সাপেক্ষে প্রথম ও দ্বিতীয় অন্তরজ সূচিত করে
এই প্রতীকটি বিশেষভাবে সময়ের সাপেক্ষে অন্তরজের জন্য ব্যবহার করা হয় যা ফাংশনের স্বাধীন চলক হিসেবে সময়কে বোঝায়
এটা পদার্থবিজ্ঞানে ও পদার্থবিজ্ঞানের অন্তরজ সমীকরনের সাথে সম্পর্কযুক্ত গানিতিক সূত্রে ব্যপকভাবে ব্যবহৃত হয়
প্রতীকটি উচ্চ মাত্রার অন্তরজের জন্য সুলভ হয়ে ওঠে যেখানে বাস্তবে শুধুমাত্র খুব কম মাত্রার অইন্তরজেরই প্রয়োজন হয়
নিউটন ফ্লুয়েন্ট ও ফ্ল্যাক্সিওন দিয়ে ক্যালকুলাস কে ব্যাখ্যা করতে চেয়েছিলেন
তিনি বলেছিলেন প্রজম্মের হার হল জন্মের পরিবর্তনের হার যা চলকের উপর একটি ডট দ্বারা সূচিত করা হয়
তাহলে হার পরিবর্তনের হার হল দ্বিতীয় হার বা দ্বিতীয় ফ্ল্যাক্সিওন যার উপর দুইটি ডট আছে
এই পরিবর্তনগুলো চিন্তা করা হয় শূন্যের খুব কাছাকাছি মানের জন্য কিন্তু শূন্য নয়
কিন্তু আপনি যখন দুটি হারকে গুণ করবেন তখন আপনি যা পাবেন তা শূন্যের মত আচরণ করবে