ফলে o একটি o এর জন্যে ইরিডিউসিবল এবং o এর সর্বনিম্ন পলিনমিয়াল এর ঘাত ফলে o রেডিয়ান কোণকে তিনভাগ করা সম্ভবপর নয়
কিছু বিশেষ কোণ ত্রিখন্ডিত করা সম্ভব গ্রিক পন্থায়
কোন কোণ o দেয়া থাকলে ঐ কোণের তিনগুণ কোণ o ত্রিখন্ডিত হয়
আবার কিছু অনির্মাণযোগ্য কোণ যদি দেয়া থাকে তবে তাদের ত্রিখন্ডিত করা যায় যেমন o
o কে পাঁচ গুণ করা হলে o কোণ পাওয়া যায় যা হল একটি পূর্ণ বৃত্ত ও o কোণ
সাধারণভাবে কোন প্রদত্ত পূর্ণ সংখ্যা o এর জন্যে o কোণটি ত্রিখণ্ডনীয় যদি এবং কেবল যদি o দ্বারা o বিভাজ্য না হয়
e o se es e osses e ee ee so ee o s e o কোণ ত্রিখণ্ডিত করবার একটি পন্থা হল গ্রিক পদ্ধতির কিছুটা পরিবর্তন করে দাগাংকিত রুলার ব্যবহার
আর্কিমিডিস প্রথম এ পদ্ধতির সাহায্যে কোণ তিনভাগ করেন
এই প্রমাণটি জ্যামিতির নিম্নোক্ত উপপাদ্য মেনে তৈরিকৃত ডানে ডানের চিত্রে দিকে লক্ষ করে দেখুন কোণটি বিন্দুর বাঁয়ে অবস্থিত
প্রথমত একটি রুলারে দূরত্বে দাগ কাটা আছে
রেখাটিকে বর্দ্ধিত করে কোণটিকে ছেদ করানো হয় এবং ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বৃত্ত অঙ্কণ করা হল
রুলারটিকে বিন্দুতে ধরা হল এবং তারপর সরিয়ে বিন্দুতে একটি ও বিন্দুতে একটি দাগ এমনভাবে কাটা হল যেন হয়
ত্রিভুজের দুই বাহু সমান তাই এটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ
তাহলে এবং রেখাংশ সমান দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট
এখন ত্রিভুজ এবং সমদ্বিবাহু ফলে উপপাদ্য তিন অনুযায়ী তাদের দুটি কোণ সমান
ছবিটি পুনরায় আঁকা হল এবং কোণগুলো চিহ্নিত করা হল
অনুমিতি একটি প্রদত্ত রেখা এবং এবং প্রত্যেকেই সমান দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট উপসংহার কোণ o প্রমাণ ধাপসমূহ এখন o o o প্রমাণিত
চ্যানেল বা চ্যানেল ফোর একটি যুক্তরাজ্যভিত্তিক পাবলিক সার্ভিস টেলিভিশন প্রচার কোম্পানি
সালের নভেম্বর এরা কার্যক্রম শুরু করে
যদিও অর্থনৈতিকভাবে এটি স্বাধীন তদুপরি একটি ব্যক্তি মালিকানাধীন প্রতিষ্ঠান
টেলিভিশন চ্যানেলটি মূলত চ্যানেল ফোর টেলিভিশন কর্পোরেশনের মালিকানাধীন
এই পাবলিক সংগঠনটির গোড়াপত্তন হয় সালে যা কর্মকাণ্ড শুরু করে সালে
শহরটি জিবা নদীর তীরে অবস্থিত যা আটলান্টিক মহাসাগরের দিকে প্রবাহিত হচ্ছে
o eee শহরটি পর্তুগালের মধ্যেমে বন্দর এবং বাণিজ্য মধ্য হিসেবে তে স্থাপিত করা হয়েছিল
টাইম বা টাইম ওয়ান হান্ড্রেড হচ্ছে বিশ্বব্যাপী জন প্রভাবশালী ব্যক্তির একটি তালিকা যা যুক্তরাষ্ট্রের টাইম ম্যাগাজিন প্রতি বছর প্রণয়ন করে
এটি প্রথম প্রকাশিত হয় সালে
বর্তমানে এটি একটি নিয়মিত বার্ষিক প্রকাশনায় পরিণত হয়েছে
এস্তা এ আ নসসা পাত্রিয়া বেম আমাদা পর্তুগিজ s oss e বাংলা এইটি আমাদের প্রিয়তম দেশ গিনিবিসাউর জাতীয় সঙ্গীত
এর কথা দিয়েছেন আমিল্কার কেব্রাল এবং সুর দিয়েছেন o e
এইটি সালে স্বাধীনতার ওপর একে অবলম্বন করা হয়েছিল
oeso এসিনিলসেন হচ্ছে একটি বিশ্বব্যাপী বাজারজাতকরণ গবেষণা সংস্থা
এটির কেন্দ্রীয় সদর দপ্তর অবস্থিত যুক্তরাষ্ট্রের নিউ ইয়র্ক সিটিতে
এছাড়া উত্তর আমেরিকার জন্য এটির আঞ্চলিক সদর দপ্তর অবস্থিত যুক্তরাষ্ট্রেরই ইলিনয়ের অঙ্গরাজ্যে
ese o সাল পর্যন্ত প্রাপ্ত তথ্য অনুসারে এই সংস্থাটি নিলসেন কোম্পানির আওতাভুক্ত
বাজারজাতকরণ ও বিক্রয় ব্যবস্থার ওপর প্রভাবমূলক তথ্যসমূহ বিক্রয় বা উৎপাদনকারী কোম্পানিগুলোর কাছে সরবরাহ করার জন্য সালে আর্থার সি নিলসেন সিনিয়র সালে শিকাগোর ইলিনয়ে এই কোম্পানিটি প্রতিষ্ঠা করেন
সাল থেকে একটি বিশ্বব্যাপী এর শাখা সম্প্রসারণ শুরু করে
বর্তমানে এটির প্রায় টিরও বেশি দেশে আন্তর্জাতিকভাবে কার্যক্রম পরিচালনা করছে
গণিতে ইউক্লিডীয় এলগরিদম হল গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক গসাগু বা গরিষ্ঠ সাধারণ উৎপাদক নির্ণয় করার জন্যে একটি কার্যকর পদ্ধতি
একে গ্রিক গণিতবিদ ইউক্লিডের নামানুসারে নামকরণ করা হয়েছে যিনি এলিমেন্টস এর এবং নং খন্ডে এর বর্ণনা করেছেন
os e e ee oos o s ees e se o e es ess oe os দুটি সংখ্যার গসাগু হল সেই বৃহত্তম সংখ্যা যা দুটি সংখ্যাকেই নিঃশেষে বিভাজ্য করে
ইউক্লিডীয় এলগরিগম এই নীতির ওপর প্রতিষ্ঠিত যে বৃহত্তর সংখ্যাটি থেকে ক্ষুদ্রতর সংখ্যাটি বিয়োগ করা হলেও তাদের গসাগু পরিবর্তিত হয় না
যেমন হল ও এর গসাগু
যেহেতু এ প্রক্রিয়ায় বৃহত্তর সংখ্যাটি ছোট হতে থাকে তাই এর পুনরাবৃত্তি অপেক্ষাকৃত ক্ষুদ্রতর সংখ্যা প্রদান করে এবং এক সময় একটি সংখ্যা শুণ্য হয়ে যায়
তখন অবশিষ্ট যে সংখ্যাটি রয়ে যায় তাই হয় সংখ্যা দুটির গসাগু
ইউক্লিডীয় এলগরিদমের ধাপসমূহ বিপরীত করে গসাগুকে প্রকৃত সংখ্যা দুটির যোগফল হিসাবে লেখা যায় যেখানে সংখ্যাদুটিকে কোন ধনাত্বক বা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়েছে উদাহরণস্বরূপ এই গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্কটি বেঁজোর অভেদ নামে পরিচিত
ইউক্লিডের এলগরিদম দক্ষতার সাথে বড় বড় সংখ্যার গসাগু নির্ণয় করতে পারে কারণ এর কখনোই ক্ষুদ্রতর পূর্ণসংখ্যাটিতে থাকা অঙ্কসংখ্যার ভিত্তিকে পাঁচ গুণের চেয়ে বেশি ধাপ প্রয়োজন পড়ে না
এ প্রমাণটি সালে গ্যাব্রিয়েল লামি কর্তৃক সম্পন্ন হয় যা কম্পিউটেশনাল কমপ্লেক্সিটি তত্ত্বের জন্ম দেয়
ইউক্লিডীয় এলগরিদমের দক্ষতা বাড়ানোর বিভিন্ন উপায় শতকে আবিষ্কৃত হয়েছে
ইউক্লিডীয় এলগরিদম দুটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক গসাগু নির্ণয় করে
গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক হল সেই বৃহত্তম সংখ্যা যা এবং উভয়কেই নিঃশেষে ভাগ করে কোন অবশিষ্ট থাকে না
গসাগুর কিছু প্রতিশব্দের মধ্যে আছে গরিষ্ঠ সাধারণ উৎপাদক গসাউ গরিষ্ঠ সাধারণ ভাজক গসাভা ইত্যাদি
গরিষ্ঠ সাধারণ ভাজককে অনেক সময় গসাগু অথবা আরও সহজভাবে এভাবে লেখা হয় যদিও আরও কিছু গাণিতিক প্রকাশে এ প্রতীকটি ব্যবহৃত হয়
যদি গসাগু তাহলে এবং কে সহমৌলিক সংখ্যা বলা হয়
যেমন কিংবা কোনোটিই সহমৌলিক সংখ্যা নয় কারণ তাদের উভয়েরই মৌলিক উৎপাদক রয়েছে
ব্যতীত আর কোন স্বাভাবিক সংখ্যা ও কে বিভাজ্য করে না কারণ তাদের কোণ সাধারণ উৎপাদক নেই
ধরি গসাগু যেহেতু এবং উভয়েই এর গুণিতক তাদের এভাবে লেখা যেতে পারে এবং এবং এমন কোন বৃহত্তর সংখ্যা > নেই যার জন্যে এটি সত্য হতে পারে
তাই স্বাভাবিক সংখ্যা এবং অবশ্যই সহমৌলিক সংখ্যা কারণ কোন সাধারণ উৎপাদক এবং কে ভাগ করলে তা এর মান বৃহত্তর করবে তাই অন্য যেকোন সংখ্যা যা এবং উভয়কেই ভাগ করে তা অবশ্যই কেও বিভাজ্য করবে
তাই এবং এর গরিষ্ঠ সাধারণ উৎপাদক হল তাদের এমন একটি সাধারণ উৎপাদক যা তাদের অন্য যে কোন সাধারণ উৎপাদক দ্বারা বিভাজ্য
eee ধরি গসাগু যেহেতু এবং উভয়েই এর গুণিতক তাদের এভাবে লেখা যেতে পারে এবং এবং এমন কোন বৃহত্তর সংখ্যা > নেই যার জন্যে এটি সত্য হতে পারে
তাই স্বাভাবিক সংখ্যা এবং অবশ্যই সহমৌলিক সংখ্যা কারণ কোন সাধারণ উৎপাদক এবং কে ভাগ করলে তা এর মান বৃহত্তর করবে তাই অন্য যেকোন সংখ্যা যা এবং উভয়কেই ভাগ করে তা অবশ্যই কেও বিভাজ্য করবে
তাই এবং এর গরিষ্ঠ সাধারণ উৎপাদক হল তাদের এমন একটি সাধারণ উৎপাদক যা তাদের অন্য যে কোন সাধারণ উৎপাদক দ্বারা বিভাজ্য
গসাগু এভাবে দৃশ্যায়িত করা যেতে পারে
ধরা যাক একটি আয়তাকার ক্ষেত্র বাই এবং যেকোন সাধারণ উৎপাদক যা এবং উভয়কেই নিঃশেষে ভাগ করে
ফলে আয়তটির বাহুগুলোকে দৈর্ঘের বিভিন্ন অংশে ভাগ করা যেতে পারে যা আয়তটিকে দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট বর্গাকার ছকে ভাগ করে
সর্বোচ্চ সাধারণ উৎপাদক হল এর সর্বোচ্চ মান যার জন্যে এরূপ বিভাজন সম্ভব
উদাহরণ হিসাবে বলা যায় একটি বাই আয়তক্ষেত্রকে এ সব ভাগে ভাগ করা যেতে পারে বাই বর্গ বাই বর্গ বাই বর্গ বাই বর্গ অথবা বাই বর্গ তাই হল এবং এর গসাগু
একটি বাই আয়তক্ষেত্রকে বাই বর্গাকার ক্ষেত্রে ভাগ করা চলে যেখানে একটি ধারে দুটি বর্গ এবং অপর ধারে টি বর্গ থাকে
দুটি সংখ্যা ও এর গসাগুকে তাদের সাধারণ মৌলিক উৎপাদক দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে
oee উদাহরণস্বরূপ কে এভাবে উৎপাদকে বিশ্লেষিত করা যায় এবং কে এবং এর গসাগু হল যা তাদের সাধারণ উৎপাদকের গুণফল
যদি দুটি সংখ্যার কোন সাধারণ মৌলিক উৎপাদক না থাকে তখন তাদের গসাগু হয় তারা সহমৌলিক হয়
ইউক্লিডীয় এলগরিদমের সুবিধাহল এখানে গসাগু নির্ণয় করার জন্যে উৎপাদক হিসেব করার প্রয়োজন পড়ে না
oee বড় বড় পূর্ণ সংখ্যার উৎপাদকে বিশ্লেষণ এতটাই কঠিন সমস্যা হিসেবে বিবেচিত যে অনেক আধুনিক ক্রিপ্টোগ্রাফি সিস্টেম এর ওপর ভিত্তি করে তৈরি করা
oee গসাগুর আরও একটু সূক্ষ্ম সংজ্ঞা উচ্চতর গণিতে সহায়ক হয় বিশেষ করে বলয় তত্ত্বে
দুটি সংখ্যা ও এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক একই সাথে তাদের ক্ষুদ্রতম পূর্ণসাংখ্যিক গুণিতক অর্থাৎ আকারের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যেখানে এবং হল পূর্ণসংখ্যা
এ থেকে বলা যায় এবং এর সকল পূর্ণ সাংখ্যিক গুণিতকের সেট জাতীয় সকল সংখ্যা এর পূর্ণ সাংখ্যিক গুণিতকের সেটের সমান
আধুনিক গাণিতিক পরিভাষায় এবং দ্বারা তৈরিকৃত আদর্শ হল হতে উৎপন্ন প্রধান ধারণা
গসাগুর এই সংজ্ঞার সাথে অন্যান্য সংজ্ঞার সমতুল্যতার বর্ণনা নিম্নে প্রদত্ত হল
তিন বা ততোধিক সংখ্যার গসাগু হল তাদের মধ্যে থাকা সাধারণ মৌলিক উৎপাদকের গুণফল যা সংখ্যা গুলো জোড়ায় জোড়ায় নিয়ে প্রাপ্ত গসাগুর সমান
ইউক্লিডীয় এলগরিদমের সহজ পদ্ধতিটি শুধুমাত্র বিয়োগ এবং তুলনা করে বর্ণনা করা হয়
এক জোড়া ধনাত্নক সংখ্যা থেকে নতুন এক জোড়া ধনাত্নক সংখ্যা উৎপাদন করা হয় যাদের একটি মূল সংখ্যাগুলোর পার্থক্য এবং অন্যটি মূল সংখ্যাগুলোর ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি
যতক্ষণ পর্যন্ত সংখ্যা দুটো সমান না হয় ততক্ষণ পর্যন্ত এই প্রক্রিয়া চলতে থাকে এবং এই সংখ্যাটিই মূল সংখ্যা দুটোর গসাগু
এক্ষেত্রে একটি সংখ্যা যদি অন্য সংখ্যা হতে অনেক ছোট হয় তবে বড় সংখ্যাটি ছোট সংখ্যাটির সমান কিংবা ছোট হতে এই প্রক্রিয়াটি অনেকবার চলে
ইউক্লিডীয় এলগরিদমের প্রচলিত পদ্ধতিটি অনেকবার বিয়োগ করার বদলে ভাগশেষ ব্যবহার করে থাকে