এই শ্রেণিবিন্যাসকরনকে সংযুক্ত সারাংশের সাথে যুক্ত করতে হোমিওমরফিজম পর্যন্ত বদ্ধ তল সংযুক্ত সারাংশের ক্রিয়াকলাপে বিনিময় মনোয়েড গঠন করে যেমনটা করে যেকোন স্থিত মাত্রার ম্যানিফোল্ড
এর পরিচয় হল এর গোলক যেখানে প্রক্ষিপ্ত সমতল ও টরাস মনোয়েড গঠন করে একটিমাত্র সম্পর্ক যাকে এভাবেও লিখা যায়ঃ যেখানে
এই সম্পর্ককে ওয়ালথার ভন ডয়েক এর নামে ও বলা হয় যিনি একে সালে প্রমান করেন এবং এর মত করেই ট্রিপল ক্রস তলকে বলে
জ্যামিতিকভাবে টরাস সংযুক্ত সারাংশ একই তলের উভয় পার্শ্বেই হাতল যোগ করে যেখানে ক্লেইন বোতল প্রক্ষিপ্ত সমতল এর সাথে সংযুক্ত সারাংশ একই ঘূর্ণনযোগ্য তলের বিপরীত পার্শ্বে হাতল যোগ করে তল ঘূর্ণনযোগ্য নয় তাই টরাস যোগ করা আর ক্লেইন বোতল যোগ করা যা এই সম্পর্ককে বর্ণনা করে
সীমাযুক্ত সংকুচিত তল একটি বদ্ধ তল যাতে অসীম সংখ্যক গর্ত আছে
এভাবে একটি সংযুক্ত সংকুচিত তলকে সীমার উপাদান সংখ্যা ও সমানভাবে অনুরূপ বদ্ধ তলের জেনাস সীমার উপাদান সংখ্যা ঘূর্ণনযোগ্যতা ও ইউলার ক্যারেক্টারিস্টিক দিয়ে শ্রেনীবিন্যাস করা হয়
সংকুচিত তলের জেনাসকে অনুরূপ বদ্ধ তলের জেনাস দিয়ে চিহ্নিত করা হয়
এই শ্রেণিবিন্যাসকরন প্রায় বদ্ধ তলের শ্রেণিবিন্যাসকরনের মতোইঃ বদ্ধ তল থেকে একটি চাকতি সড়ালে তা একটি সংকুচিত তলে পরিনত হ্য় যার সীমার উপাদান গোলাকার আর মুক্ত চাকতি সড়ালে তা সংকুচিত তলে পরিনত হ্য় যার সীমার উপাদান সংখ্যক বিচ্ছিন্ন গোলাকার
গর্তগুলোর নির্ভুল অবস্থান অপ্রাসঙ্গিক কারণ হোমিওমরফিজম গ্রুপটি হিসেবে যেকোন মাত্রার কমপক্ষে যেকোন সংযুক্ত ম্যানিফোল্ড এ কাজ করে
বিপরীতক্রমে সংকুচিত তলের সীমা বদ্ধ ম্যানিফোল্ড এবং অতএব সীমিত সংখ্যক বৃত্তের বিচ্ছিন্নভাবে মিলিত থাকে যা ওসব বৃত্তকে চাকতি দিয়ে পূরন করে এবং বদ্ধ তল তৈরী করে
এই অনন্য সংকুচিত ঘূর্ণনযোগ্য তলকে যার জেনাস আর সীমার উপাদান তাকে বেশীরভাগ o হিসেবে চিহ্নিত করা হয়
সংকুচিত ম্যানিফোল্ডের শ্রেনিবিন্যাসের উদাহরন বলা যায় সংকুচিত রিম্যান তল এর এর শ্রেণীবিন্যাস যার মানে সংকুচিত জটিল ম্যানিফোল্ড
যেখানে প্রত্যেক জটিল ম্যানিফোল্ড ঘূর্ণনযোগ্য প্রক্ষিপ্ত সমতলের সংযুক্ত সারাংশ জটিল ম্যানিফোল্ড নয়
এভাবে সংকুচিত রিম্যান তলগুলোকে তাদের জেনাস অনুযায়ী টপোলকিক্যালভাবে চিহ্নিত করা হয়
জেনাস ম্যানিফোল্ডে গর্তের সংখ্যা গণনা করেঃ গোলকের জেনাস টরাসের ইত্যাদি
অসংকুচিত তল শ্রেনিবদ্ধ করা কষ্টসাধ্য
সহজ উদাহরন হল অসংকুচিত তল বদ্ধ ম্যানিফোল্ডকে ছিদ্র করে পাওয়া যেতে পারে
অপরপক্ষে সংকুচিত তলের উন্মুক্ত সাবসেট নিজেই অসংকুচিত তল যেমন ধরা যাক গোলকে ক্যান্টর সেট এর কমপ্লিমেন্ট যা ক্যান্টর ট্রি তল নামেও পরিচিত
যাইহোক প্রত্যেক অসংকুচিত তল সংকুচিত তলের সাবসেট হয়নাঃ দুটি ক্যাননিকাল বিপরীত উদাহরণ হল জ্যাকবের ল্যাডার ও লচ নেস মনস্টার যা অসীম জেনাসের অসংকুচিত তল
একটি অসংকুচিত তল এর অশুন্য প্রান্তের ক্ষেত্র রয়েছে যা তলের অসীমের পথে যাওয়া বর্ণনা করে
ক্ষেত্রটি সবসময়ই ক্যান্টর সেটের বদ্ধ সাবসেটের সাথে টপোলজিকভাবে সমতুল্য থাকে
এর হয় সীমিত বা গুণনযোগ্য অসীম সংখ্যক হাতলের সেইসাথে সীমিত বা গুণনযোগ্য অসীম সংখ্যক প্রক্ষিপ্ত সমতলের
যদি ও সীমিত হয় তাহলে এই দুটি সংখ্যা প্রান্তের ক্ষেত্রের টপোলজিক্যাল ধরন
যদি উভয়ই যেকোন একটি অসীম হয় তাহলে এর টপোলজিক্যাল ধরন নির্ভর করবে শুধু দুটি সংখ্যার উপরেই নয় বরং কীভাবে এরা প্রান্তের ক্ষেত্রের দিকে অগ্রসর হয়
সাধারণভাবে এর টপোলজিক্যাল ধরন এর চারটি সাবস্পেস দ্বারা নির্ণীত হয় যারা অসীম হাতল ও অসীম প্রক্ষিপ্ত সমতলের সীমাবিন্দু শুধু হাতলের সীমাবিন্দু প্রক্ষিপ্ত গোলকের সীমাবিন্দু অথবা এদের কারোই নয়
এখানে একটি টপোলজিক্যাল তল আছে যাদের যাদের গ্ণনযোগ্য ভিক্তি নেই
হয়ত সবচেয়ে সহজ উদাহরণ হল দীর্ঘ লাইনের বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রের কার্তেশীয় ফল
অন্য একটি তল যার টপোলজির জন্য কোন গণনযোগ্য ভিক্তি নেই কিন্তু এর এর অস্তিত্ব প্রমানের জন্য কোন এক্সিওম অফ চয়েস এর প্রয়োজন নেই যা হল প্রিউফার ম্যানিফোল্ড আর যা একে কেবল বাস্তব বিশ্লেষনাত্মক তল বলে দেখায়
সালে টাইবর র্যাডো প্রমান করেন যে অসংকুচিত রিম্যান তল দ্বিতীয় গণনাযোগ্য
বিপরীতে প্রিউফার তলের অস্তিত্ব প্রমান করে যে দ্বিমাত্রিক জটিল ম্যানিফোল্ড আচ্ছে যার গূণনযোগ্য ভিক্তি নেই
বদ্ধ তলের শ্রেণীবিন্যাস সাল থেকেই জানা আছে আর এখন এর কিছুসংখ্যক প্রমান আছে
টপোলজিক্যাল ও সংযুক্ত করতে সক্ষম এমন প্রমান সাধারনভাবে কঠিম ফলের উপর নির্ভর করে যা বলে প্রত্যেক সংকুচিত ম্যানিফোল্ড একটি সিমপ্লিসিয়াল জটিলতার প্রতি হোমোফোরিক হয়
শ্রেনীবিন্যাসের সবচেয়ে সাধারন প্রমান হল তাই যা প্রত্যেক ট্রায়াঙ্গুলেট করা তলকে সাধারন অবস্থা পর্যন্ত আনে
একটি সাধারন প্রমান যা সাধারন অবস্থা বাদ দেয় তা সালে জন কনওয়ে কর্তৃক আবিষ্কৃত হয় যাকে উনি জিরো টলারেন্স প্রমাণ বলেন
একটি জ্যামিতিক প্রমান যা আরও শক্তিশালী জ্যামিতিক ফল দেয় সেটা হল ইউনিফর্মাইজেশন তত্ত্ব
এটা কেবল রিম্যান তলের ক্ষেত্রে থেকে সালের মধ্যে ফেলিক্স ক্লেইন পল কব ও হ্যানরি পইনক্যায়ার কর্তৃক প্রমানিত হয়েছিল
পলিহেড্রা যেমন ঘনক এর সীমা জ্যামিতিতে দেখা প্রথম তল
মসৃণ তল সংজ্ঞায়িত করাটাও সম্ভব যার প্রত্যেক বিন্দুর এর কিছু উন্মুক্ত সেটের প্রতি নিকট ডিফিওমরফিক হবে
এই বর্ণনার ফলে তলের ক্ষেত্রে ক্যালকুলাস ব্যবহার করার অনুমতি দেয়
দুটি মসৃণ তল ডিফিওমরফিক হবে যদি এবং কেবল যদি তারা হোমিওমরফিক হয়
এভাবেই বদ্ধ তলকে ইউলার ক্যারেক্টারিস্টিক ও ঘুর্ণনযোগ্যতা দিয়ে ডিফিওমরফিজম পর্যন্ত শ্রেণীবিন্যাস করা হয়
মসৃণ তল যা রিম্যান মেট্রিক্স দিয়ে সজ্জিত তা ব্যবকলনীয় জ্যামিতি এর মৌলিক প্রয়োজন
একটি রিম্যান মেট্রিক জিওডেসিক দূরত্ব কোন ও ক্ষেত্রফল এর ধারণা নিয়ে আসে
এটি গাউসিয়ান বক্রতার কথাও বলে যা কোন নির্দিষ্ট বিন্দুতে একটি তল কতটুকু বাকা তা নির্দেশ করে
বক্রতা দৃঢ় জ্যামিতিক ধর্ম তাতে তা তলের সাধারন ডিফিওমরফিজম দ্বারা সংরক্ষিত থাকেনা
যাই হোক বদ্ধ তলের জন্যে বিখ্যাত গাউসবনেট তত্ত্ব বলে যে সম্পূর্ন তল এর উপর গাউসিয়ান বক্রতা এর যোগজীকরন ইউলার ক্যারেক্টারিস্টিক দ্বারা নির্ণীত হয়
এই ফল তলের জ্যামিতি ও টপোলজির মধ্যকার সম্পর্কের উদাহরণ দেয়
আরেক পথে তল জ্যামিতিতে আসতে পারে জটিল ডোমেনের মধ্য দিয়ে
একটি জটিল ম্যানিফোল্ড একটি মসৃণ ঘূর্ণনযোগ্য তল যাকে রিম্যান তলও বলা হয়
যেকোন জটিল ননসিঙ্গুলার বীজগাণিতীক বক্রতা যাকে জটিল ম্যানিফোল্ড হিসেবে দেখানো হয় তা রিম্যান তল
প্রত্যেক বদ্ধ ঘূর্ণনযোগ্য তল একটি জটিল গঠন ধারন করে
বদ্ধত ঘূর্ণনযোগ্য তলের উপর জটিল গঠন তলে রিম্যান মেট্রিক্সের কনফর্মাল তুল্য শ্রেনীর অনুরূপ হয়
ইউনিফর্মাইজেশন তত্ত্ব এর একটি সংস্করন বলে যে ঘূর্ণনযোগ্য বদ্ধ তলের উপর যেকোন রিম্যানীয় মেট্রিক ধ্রুব বক্রতার অনন্য মেট্রিকের কনফর্মালভাবে তুল্য থাকে
এর ফলে টেইকমিউলার তত্ত্ব এর দিকে পৌছার একটি উপায়ের একটি শুরুর বিন্দু যা ইউলার ক্যারেক্টারিস্টিক দ্বারা পাওয়া টপোলজিকাল তলের চেয়ে রিম্যান তলের সুন্দর শ্রেনীবিন্যাস দেয়
একটি জটিল তল জটিল ম্যানিফোল্ড এবং এভাবেই একটি বাস্তব ম্যানিফোল্ড কিন্তু এই নিবন্ধের আলোকে তাকে তল বলা যায়না
একই অবস্থা জটিল সংখ্যার চেয়ে আলাদা ক্ষেত্রের উপরে বিজগাণিতীক বক্রতার দেয়া সংজ্ঞাও না আবার বাস্তব সংখ্যার চেয়ে আলাদা ক্ষেত্রের উপরে বিজগাণিতীক বক্রতার দেয়া সংজ্ঞাও না
শচীন খুরানা হলেন একজন ভারতীয় টেলিভিশন অভিনেতা
o e o e s oe soe o eo ee e oe ee o e se e s o e eee o seosess পীর ফজলুর রহমান জন্ম জানুয়ারি হলেন বাংলাদেশের একজন প্রখ্যাত রাজনীতিবিদ ও নং সুনামগঞ্জ আসন থেকে নির্বাচিত জাতীয় সংসদ সদস্য
তিনি সালের জানুয়ারি তারিখে অনুষ্ঠিত দশম জাতীয় সংসদ নির্বাচনে একজন সংসদ সদস্য হিসাবে নির্বাচিত হন
পীর ফজলুর রহমান সালের জানুয়ারি তৎকালীন পূর্ব পাকিস্তানের সিলেট জেলার সুনামগঞ্জে জন্মগ্রহণ করেন
তার পিতার নাম মোহাম্মদ রইছ আলী পীর ও মাতা সৈয়দা রাহিমা খানম
জয়া সেনগুপ্ত হলেন বাংলাদেশের একজন প্রখ্যাত রাজনীতিবিদ ও নং সুনামগঞ্জ আসন থেকে নির্বাচিত জাতীয় সংসদ সদস্য
সালের জানুয়ারি তারিখে অনুষ্ঠিত দশম জাতীয় সংসদ নির্বাচনে তার স্বামী সুরঞ্জিত সেনগুপ্ত এই আসন থেকে সংসদ সদস্য হিসাবে নির্বাচিত হওয়ার পর সালের ফেব্রুয়ারি মৃত্যুবরণ করলে ঐ বছরেরই মার্চ অনুষ্ঠিত উপনির্বাচনে তিনি সংসদ সদস্য হিসাবে নির্বাচিত হন
প্রখ্যাত রাজনীতিবিদ সুরঞ্জিত সেনগুপ্ত তার স্বামী
পেনিকি রাশিয়া লেনিনগ্রাদ অঞ্চল একটি গ্রাম
এটি লোমোনোসভ থেকে প্রায় কিলোমিটার দূরে অবস্থিত
এই স্থান থেকে সবচেয়ে নিকটবর্তী উপসাগর কিলোমিটার দূরে
আমেরিন্দীয় একটি প্রকল্পিত উচ্চ স্তরের ভাষা যা সালে জোসেফ গ্রিনবার্গ দ্বারা প্রস্তাবিত এবং তাঁর ছাত্র মরিট রুহেলেন দ্বারা সম্প্রসারিত রূপ
eee e e e e গ্রিনবার্গ প্রস্তাব করেন যে আমেরিকার সমস্ত আদিবাসী ভাষা তিনটি ভাষা শ্রেণীর অন্তর্গত পূর্বে প্রতিষ্ঠিত এস্কিমোআলেউট নাদিনে এবং অন্যান্য সকল ভাষা অন্যথায় বিশেষজ্ঞরা দ্বারা শ্রেণীভুক্ত ডজন খানিক স্বাধীন ভাষা গোষ্ঠী যেমন আমেরিন্দীয়
সালে আমেরিকার ভাষা নামক গ্রন্থে বেশ কয়েকটি পদ্ধতিগত ত্রুটির কারণে তিনি এই ভাষাগুলির মধ্যে যে সম্পর্ক প্রস্তাব করেছিলেন তা বেশিরভাগ ঐতিহাসিক ভাষাবিদগণের দ্বারা প্রতারণা হিসাবে প্রত্যাখ্যাত হয়েছে
e ose e e e e so o o ose আমেরিন্দীয় শব্দটি কখনও কখনও আমেরিকার বিভিন্ন আদিবাসী ভাষাকে বিস্তৃতভাবে উল্লেখ করার জন্য ব্যবহার করা হয় যা দ্বারা বোঝা যায় যে এ ভাষাগুলো বংশগতভাবে একই গ্রুপের অর্ন্তগত