নিউটন সকল কে o দ্বারা ও সকল কে o এবং তারপর অন্তরীকরণের সূত্র ব্যবহার করে o এর সমাধান নির্ণয় করে অন্তরজ নির্ণয় করেছিলেনo একটি উদাহরণ হলঃ o o ব্যবহার করে আমরা পাই o এবং o তাহলে o নিউটন অবিচ্ছিন্ন গতিকে গাণিতিক পরিমাণে বর্নণা করেছিলেন
তিনি বলেছিলেন এই গতি ও একটি রেখা একই ভাবে চিন্তা করা যেতে পারে
তিনি এই পরিমাণকে সংজ্ঞায়িত করেন ও একে ফ্লুয়েন্ট নাম দেন
তিনি এই পরিমাণের পরিবর্তন কে হার নাম গিয়েছিল
নিউটন একে ফ্লুয়েন্টঅনর্গল এর হার বলেন এবং তিনি o ব্যবহার করে তা প্রকাশ করেন
যদি ফ্লুয়েন্ট দ্বারা সূচিত হয় তবে নিউটন প্রথম হারকেফ্ল্যাক্সিওনকে o দ্বারা দ্বিতীয় হারকেফ্ল্যাক্সিওনকে o দ্বারা এভাবে
অন্তরজের জন্য আধুনিক প্রতীকের সাথে এটা সামজ্জস্যপূর্ণ
স্বাধীন চলক সময় এর সাপেক্ষে চলক এর হার বা বেগ o অন্যভাবে সময় এর সাপেক্ষে এর অন্তরজ o নিউটন o কে ফ্লুয়েন্টেরহারের ভ্রামক বলেছিলেন
ফ্লুয়েন্টের ভ্রামক অসীম ছোট ছোট অংশ উপস্থাপন করে যার দ্বারা একটি ফ্লুয়েন্টে অল্প সময়সীমার মধ্যে বৃদ্ধি পায়
তিনি একবার নিজেকে o দ্বারা ভাগ করার অনুমতি দেন যদিও o শূন্যের মত আচরণ করবে না কারণ এটা ভাগকে অবৈধ করে ফেলে
এবং নিউটন সিদ্ধান্ত নিলেন বেন যুক্ত সকল পদ মুক্ত করাই যযাযথ
অয়লারের প্রতীক একটি অন্তরীকরণ অপারেটর ব্যবহার করে যা কোন ফাংশন এর প্রথম অন্তরজ নির্ণয় করতে ব্যবহার করা হয়
দ্বিতীয় অন্তরজকে দ্বারা এবং তম অন্তরজকে দ্বারা প্রকাশ করা হয়
যদি কোন নির্ভরশীল চলক হয় তবে প্রায়ই এর সাথে নিম্নলিখিত যুক্ত করে স্বাধীন চলক প্রকাশ করা হয়
তাহলে অয়লারের প্রতীককে লেখা হয় যদিও নিম্নলিখিত চলক প্রায়ই বর্জন করা হয় যখন চলক বোঝা যায়
উদাহরণস্বরূপ যখন কোন রাশিতে একটিমাত্র চলক উপস্থিত থাকে
রৈখিক ব্যবকলনীয় সমীকরন শুরু ও সমাধান করার জন্য অয়লারের প্রতীক কার্যকরী
একটি ফাংশনের অন্তরজ মূলনিয়মেসংজ্ঞা থেকে পার্থক্য ভাগফল বিবেচনা করে এবং তার সীমা হিসাবের দ্বারা নির্ণয় করা যায়
বাস্তবে কয়েকটি সহজ ফাংশনের অন্তরজ জানা থাকলে জটিল ফাংশনের অন্তরজ নির্ণেয়ের নিয়ম ব্যবহার করে আরো সহজে অনান্য ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় করা যায়
বেশিরভাগ ফাংশনের অন্তরজ নির্ণেয়ের জন্য কিছু সাধারণ ফাংশনের অন্তরজ দরকার পরে
এই অসম্পূর্ণ তালিকায় এক চলকের সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত কিছু ফাংশনের অন্তরজ দেওয়া হল
যেখানে যেকোন বাস্তব সংখ্যা তাহলে যেকানে এই ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত
উদাহরণস্বরূপ যদি o হয় তাহলে এবং অন্তরজ ফাংশন কেবলমাত্র এর ধনাত্মক মানের জন্য সংজ্ঞায়িত
এর জন্য নয় যখন এই নিয়ম এটাই বোঝায় যে এর জন্য এর মান যা সবসময় ধ্রুব নিয়ম নীচে বিবৃত অনেক ক্ষেত্রে দেখা যায় অন্তরজ নির্ণেয়ের সময় নিউটনের পার্থক্য ভাগফলের সরাসরি ব্যবহার জটিল সীমার জন্য এড়ানো হয়
সবচেয়ে সাধারণ নিয়ম কিছু হল যেকোন ফাংশন ও এর জন্য o বিশেষ ক্ষেত্রে এই সূত্র o আসলে অন্তর্ভুক্ত করে যখন o একটি ধ্রুবক কেননা ধুবক সূত্র অনুসারে o ফাংশন এর অন্তরজ এখানে দ্বিতীয় পদটি চেইন সূত্র ব্যবহার করে ও তৃতীয় পদটি গুণের সূত্র ব্যবহার করে নির্ণয় করা হয়েছিল
s ও e e এবং ধ্রুবপদ এর জানা অন্তরজকেও ব্যবহার করা হয়েছিল
বাস্তব চলকের কোন সদিক মানের ফাংশন বাস্তব সংখ্যাকে ভেক্টরসদিক ক্ষেত্র এ পাঠায়
একটা সদিক মানের ফাংশন তার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ফাংশন এ বিভক্ত হতে পারে পারে যেখানে
স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ফাংশনগুলো বাস্তব মানের ফাংশন তাই অন্তরজের উপরের সংজ্ঞাগুলো এখানে কাজ করে
এর অন্তরজকে এর স্পর্শক ভেক্টর বলা হয় যার স্থানাঙ্ক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ফাংশনের অন্তরজ
তা হলঃ একইভাবে যদি সীমা বিদ্যমান থাকে
লবের বিয়োগফল স্কেলার বিয়োগ নয় তা ভেক্টর বিয়োগ
যদি যেকোন বিন্দু তে এর অন্তরজ থাকে তবে হবে একটি সদিক মানের ফাংশন
যদি e e এর ভিত্তিতে আদর্শ হয় তবে কে লিখা যায় e e
যদি আমারা ধরে নিই যে একটি সদিক মানের ফাংশন যোগাশ্রয়ী ধর্ম মেনে চলে তাহলে এর অন্তরজ অবশ্যই হবে কারণ প্রতিটি মূল ভেক্টর একটি ধ্রুবক
এই সিদ্ধান্ত দরকারি উদাহরণস্বরূপ যদি সময় এর সাপেক্ষে কণার অবস্থান ভেক্টর হলে এর অন্তরজ সময় তে বেগ ভেক্টর
মনে কর এমন একটি ফাংশন যা একাধিক চলকের উপর নির্ভর করেযেমন কে একটি চলক দ্বারা সূচিত করে অন্য একটি চলকের ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারেঃ ের পত্যেকটি মান একটি ফাংশন তৈরি করে যা একটি বাস্তব সংখ্যার ফাংশন
s so e eesse s e oess eee e o se o se osos তা হল যদি এর কোন মান নেওয়া হয় তবে নামে একটি ফাংশন তৈরি করে যা কে দ্বারা প্রকাশ করেঃ রাশিটিতে কোন চলক নয় তা একটি ধ্রুবক তাই শুধুমাত্র এক বাস্তব চলকের একটি ফাংশন
ফলে এক চলকের একটি ফাংশনের জন্য অন্তরজের সংজ্ঞা প্রযোজ্যঃ উপরের পদ্ধতি একটি কোনো এর জন্য করা যেতে পারে একটি ফাংশন মধ্যে অন্তরজ একত্রিতকরনের মাধ্যমে তা এর দিক পরিবর্তন বর্ণনা করে একটি ফাংশন দেয় এটা এর সাপেক্ষে এর আংশিক অন্তরজ
এখানে একটি বৃত্তাকার কে আংশিক অন্তরজের প্রতীক বলা হয়
কে থেকে আলাদা করতে একে e e অথবা উচ্চারণ করা হয়
সাধারণভাবে কোন ফাংশন এর দিকে বিন্দুতে আংশিক অন্তরজঃ উপরের পার্থক্য ভাগফলে বাদে সকল চলক নির্দিষ্ট
এই নির্দিষ্ট মান ফাংশনটিকে এক চলকে পরিণত করে
এবং সংজ্ঞানুসারে অন্যভাবে উপরের এক চলকের ফাংশনে সূচক বাছাই করাটি কেবলমাত্র একটি উদাহরণ
এই রাশিটি আরো বোঝায় যে আংশিক অন্তরজ এক চলকের অন্তরজের হিসাবকে কমিয়ে দেয়
বিভিন্ন ভেরিয়েবল ইউক্লিডিয়ান স্কেলার মানের একটি ফাংশনের একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ ইউক্লিডিয়ান ক্ষেত্র যেমন অথবা এ
এক্ষেত্রে এর একটি আংশিক অন্তরজ আছে যা এর সাপেক্ষে
এই ভেক্টরটিকে তে এর গ্রেডিয়েন্ট বলে
যদি ডোমেইনের সকল বিন্দুতে অন্তরীকরন্যোগ্য হয় তবে এর গ্রেডিয়েন্ট হবে একটি সদিক মানের ফাংশন যা বিন্দুতে
ফলে গ্রেডিয়েন্ট একটি ভেক্টর ফিল্ড নির্ধারণ করে যদি এর জন্য বাস্তব মানের কোন ফাংশন হয় তবে এর আংশিক অন্তরজ এর স্থানাংকের অক্ষের দিকে পরিবর্তন পরিমাপ করে
উদাহরণস্বরূপ যদি ও এর ফাংশন হয় তাহলে এর আংশিক অন্তরজ এর অক্ষ ও অক্ষের দিকে পরিবর্তন নির্ণয় করে
তারা তবে সরাসরি যেমন তির্যক রেখা ধরে অন্য কোন দিকে পরিমাপ করবেন না
এটি দিকবর্তী অন্তরজ ব্যবহার করে মাপা হয়
এটি একটি ভেক্টর তৈরি করে এর দিকে একটি বিন্দু এ এর দিকবর্তী অন্তরজ হল লিমিট কিছু ক্ষেত্রে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য্য পরিবর্তন করার পর দিকবর্তী অন্তরজ নির্ণয় করা সহজতর হয়
প্রায়ই এটি একটি ইউনিট ভেক্টরের অভিমুখে একটি দিকবর্তী অন্তরজ নির্ণয়ের জন্য প্রায়ই করা হয়
এটা কিভাবে কাজ করে তা বোঝার জন্য ধরি
পার্থক্য ভাগফলে করলে পার্থক্য ভাগফল হয় এটা হল এর সাপেক্ষে বা দিকে এর দিকবর্তী অন্তরজের জন্য পার্থক্য ভাগফল ও এর গুণফল
উপরন্তু শূন্যের কাছাঁকাভহির জন্য সীমা ও শূন্যের কাছাকাছির জয় সীমা নেওয়া একই কথা কারণ ও একে অপরকে গুণ করে
এই বৈশিষ্ট্যের জন্য দিকবর্তী অন্তরজকে প্রায়ই শুধুমাত্র একক ভেক্টরের জন্য বিবেচনা করা হয়
যদি এর সকল আংশিক অন্তরজ বিদ্যমান থাকে তবে তা এ অবিচ্ছিন্ন তাই তারা এই সূত্র দিয়ে এর দিকে এর দিকবর্তী অন্তরজ নির্ণয় করেঃ এটি পূর্ণ অন্তরজের সংজ্ঞার একটি ফল
এট আনির্দেশ করে যে দিকবরতী অন্তরজ তে রৈখিক
একই সংজ্ঞা কাজ করে যখন এর মানের একটি ফাংশন হয়
উপরের সংজ্ঞাটি ভেক্টরের প্রত্যেক উপাংশে প্রয়োগ করা হয়
এক্ষেত্রে দিকবর্তী অন্তরজটি এর ভেক্টর হয়
যখন একটি ফাংশন থেকে এর উপসেট হয় তখন নির্দিষ্ট দিকে এর দিকবর্তী অন্তরজ হয় এর সেই দিকে সেই বিন্দুতে এর সর্বোচ্চ রৈখিক অণুমান
কিন্তু যখন > হয় তখন কোন একক দিকবর্তী অন্তরজই এর বৈশিষ্টের পূর্ণ ছবি দিতে পারে না
পূর্ণ অন্তরজ একবারেই সকল দিক বিবেচনা করে এর বৈশিষ্টের পূর্ণ ছবি দিতে পারে
এটা বিন্দুতে শুরু এমন কোন ভেক্টর জন্য রৈখিক অণুমানের সূত্র খাটে
এক চলকের অন্তরজের মত ধরা হয় যার ফলে ত্রুটি যথাসম্ভব ক্ষুদ্র হয়
যদি এবং একই হয় তাহলে অন্তরজ হবে একটি সংখ্যা ও রাশি হবে দুটি সংখ্যার গুনফল
কিন্তু উচ্চতরমাত্রার জন্য কে একটি সংখ্যা হওয়া অসম্ভব
যদি তা একটি সংখ্যা হয় তবে এর একটি ভেক্টর হবে ফলে অনান্য পদগুলি এ ভেক্টর হবে এবং যার কারণে সূত্রটি কোন কাজ করবে না
রৈখিক অণুমানের সূত্রটিকে কাজ করতে হলে কে অবশ্যই ফাংশন হতে হবে যা থেকে এ ভেক্টর পাঠাবে এবং অবশ্যই বিন্দুতে নির্ণীত ফাংশন বোঝাবে
এটা কি ধরনের ফাংশন তা নির্ধারণ করার জন্য লক্ষ্য করুন যে রৈখিক অণুমানের সূত্রকে লেখা যায় লক্ষ্য করুন যদি আমারা একটি ভেক্টর নিই তবে কে দ্বারা প্রতিস্থাপন করার মাধ্যমে এই আনুমানিক সমীকরণ আরেকটি আনুমানিক সমীকরণ নির্ণয় করে
এটা কে এবং কে দ্বারা উভয়কেই প্রতিস্থাপন করার মধ্যমে তৃতীয় আনুমানিক সমীকরণ নির্ণয় করে
নতুন সমীকরণ দুটি বিয়োগ করে আমারা পাই যদি আমরা ধরি খুব ছোট এবং অন্তরজ তে ক্রমাগত পরিবর্তনশীল তাহলে প্রায় এর সমান এবং ডানপক্ষ প্রায় শূন্যের কাছাকাছি
বাম্পক্ষকে রৈখিক অণুমানের সূত্র কে দিয়ে প্রতিস্থাপম করে ভিন্নভাবে লেখা যেতে পারে
রৈখিক অণুমানের সূত্র বোঝায়ঃ এটা বোঝায় যে হল ভেক্টর ক্ষেত্র থেকে এর এর মধ্যে একটি রৈখিক রূপান্তর
বস্তুত এই অণুমানে ভুল পরিমাপ দ্বারা সুনির্দিষ্ট মান নির্ণয় করা সম্ভব
ধরি যে রৈখিক অণুমানের ভুল একটি ধ্রুবক ও এর দ্বারা নির্দিষ্ট হয় যেখানে ধ্রুবকটি এর উপর অনির্ভর্শীল কিন্তু এর উপর পর্যায়ক্রমে নির্ভর্শীল
তাহলে একটি উপযুক্ত ভুল সংক্রান্ত পদ যুক্ত করার পর উপরের সব অণুমানের আসন্ন সমতাগুলো অসমতায় রূপ নেয়
বিশেষ করে হল ক্ষুদ্র ত্রুটির জন্য একটি রৈখিক অণুমান
সীমাতে ও শূন্যের কাছে পৌছালে এতী অবশ্যই একটি রৈখিক অণুমান হবে