তিনি গণিতের ইতিহাসে একজন বহুপ্রজ ব্যক্তিত্ব ছাপানো হলে তার রচনাবলী যার কিনা বেশিরভাগই ভিত্তিস্বরূপ কাজ প্রায় থেকে টি কোয়ার্টো ভলিউম দখল করবে
অয়লারের নাম বহুসংখ্যক বিষয়ের সাথে যুক্ত
অয়লার নিজের লেখা বিপুল পরিমাণ ও সুপ্রচারিত পাঠ্যপুস্তকে বেশ কিছু নতুন প্রতীকের প্রচলন ও জনপ্রিয়করণ করেন
এর মধ্যে সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য হল তিনি প্রথম ফাংশনের ধারণা প্রচলন করেন এবং চিহ্ন দ্বারা কে এর ফাংশন রূপে প্রকাশ করেন
তিনি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন প্রকাশের আধুনিক রীতিটিরও প্রচলন করেন e দ্বারা স্বাভাবিক লগারিদমের ভিত্তি যা বর্তমানে অয়লারের সংখ্যা হিসাবেও পরিচিত গ্রিক বর্ণ দ্বারা যোগফল এবং দ্বারা কাল্পনিক সংখ্যা প্রকাশের প্রচলন করেন
গ্রিক বর্ণ দ্বারা বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত প্রকাশের রীতিটিও তিনি জনপ্রিয় করে তোলেন তবে এ প্রতীকটি তার আবিষ্কৃত নয়
ইনফিনিটসিমাল ক্যালকুলাসের গড়ে ওঠা ছিল শতকের গাণিতিক গবেষণার অগ্রদূত এবং বের্নুলিরাযারা ছিলেন অয়লারের পারিবারিক বন্ধুএ ক্ষেত্রে গবেষণার পথিকৃৎ ছিলেন
তাদের প্রভাবেই ক্যালকুলাস অধ্যয়ন অয়লারের কাজের কেন্দ্রবিন্দুতে পরিণত হয়
যদিও অয়লারের সব প্রমাণই আধুনিক গাণিতিক কড়াকড়ির মানদন্ডে উত্তীর্ণ হয়নি তথাপি তার ধারণা থেকে অসাধারণ অগ্রগতি সাধিত হয়েছে
অয়লার বিশ্লেষণে খ্যাতিমান হয়ে আছেন তার শক্তিধারার পুনঃপুনঃ ব্যবহার এবং অগ্রগতি সাধনের মাধ্যমে যেমন বিশেষভাবে উল্লেখযোগ্য অয়লার e এবং বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশানের শক্তি ধারায় বিস্তৃতি সরাসরি প্রমাণ করেছিলেন নিউটন এবং লিবনিজ থেকে এর পরোক্ষ প্রমাণ করেছিলেন
শক্তি ধারার সাহসী ব্যবহারের মাধ্যমে তিনি সালে বিখ্যাত ব্যাসেল সমস্যা সমাধান করতে সক্ষম হন সালে তিনি এর আরো বিস্তারিত একটি প্রমাণ প্রদান করেন অয়লার বিশ্লেষণী প্রমাণে সূচকীয় ফাংশন এবং লগারিদমের ব্যবহারের সূচনা করেন
তিনি শক্তি ধারার ব্যবহার করে বহুবিধ লগারিদমীয় ফাংশন আবিষ্কার করেন এবং সফলভাবে ঋণাত্মক ও জটিল সংখ্যার লগারিদম সজ্ঞায়িত করেন যা লগারিদমের গাণিতিক ব্যবহারে বহুগুণ বাড়িয়ে দেয়
এছাড়া তিনি জটিল সংখ্যার সূচকীয় ফাংশনকে সজ্ঞাবদ্ধ করেন এবং এর সাথে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সম্পর্ক আবিষ্কার করেন
যেকোন বাস্তব সংখ্যা এর জন্যে অয়লারের সূত্রানুসারে জটিল সূচকীয় ফাংশন নিম্নলিখিত শর্তটি মেনে চলে উপরিউক্ত সূত্রটির একটি বিশেষ ক্ষেত্র হল অয়লারের অভেদ যাকে রিচার্ড ফাইনম্যান গণিতের আকর্ষনীয়তম সমীকরণ হিসেবে মন্তব্য করেছেন কারণ এতে একই সঙ্গে যোগ গুণন সূচকীয় এবং সমতা চিহ্ন ব্যবহৃত হয়েছে এবং সাথে গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধ্রুবক e এবং ব্যবহৃত হয়েছে
সালে ম্যাথেমেটিকাল ইনটেলিজেন্সারের পাঠকেরা এটিকে সর্বকালের সবচেয়ে সুন্দর গাণিতিক সমীকরণ হিসাবে ভোটের মাধ্যমে নির্বাচিত করে
অয়লার সেই নির্বাচনের সেরা পাঁচটি সমীকরণের তিনটির সাথেই যুক্ত ছিলেন
ee so দ্য ময়ভার সূত্র অয়লারের সূত্রের সরাসরি উপজাত
এ ছাড়াও অয়লার উচ্চতর তুরীয় ফাংশনের ধারণাটি বিস্তৃত করেন গামা ফাংশন আবিষ্কার করে এবং চতুর্ঘাত সমীকরণ সমাধানের একটি নতুন পন্থা তৈরি করেন
তিনি জটিল সীমা বিশিষ্ট সমাকলন করবারও একটি উপায় আবিষ্কার করেন যা আধুনিক কমপ্লেক্স এনালিসিসের পথ প্রদর্শন করে
তার আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ অবদান ছিল বৈচিত্রের ক্যালকুলাস যার একটি বিখ্যাত ফলাফল অয়লার লাগ্রাঞ্জ সমীকরণ
অয়লার বিশ্লেষণী পদ্ধতির ব্যবহারের মাধ্যমে সংখ্যাতাত্তিক সমস্যা সমাধানের পথ দেখান
এর মাধ্যমে তিনি গণিতের দুটি ভিন্ন শাখা একত্রিত করেন এবং বিশ্লেষণী সংখ্যা তত্ত্ব নামক একটি নতুন শাখার সূচনা করেন
এ নতুন শাখাটির ভিত্তি তৈরি করবার সময় অয়লার অধিজ্যামিতিক ধারা ধারা অধিবৃত্তীয় ত্রিকোণমিতিক ধারা এবং অবিরত ভগ্নাংশের বিশ্লেষণী তত্ত্বের সূচনা করেন
উদাহরণ হিসেবে বলা যায় মৌলিক সংখ্যার অসীমতা প্রমাণ করেন হারমনিক ধারার অপসারিতা ব্যবহার করে এবং তিনি মৌলিক সংখ্যার বণ্টন অনুধাবনের লক্ষ্যে বিশ্লেষণী পদ্ধতি ব্যবহার করেন
অয়লারের এ কাজের ওপর ভিত্তি করে গড়ে ওঠে মৌলিক সংখ্যা তত্ত্ব
সংখ্যাতত্ত্বে অয়লারের আকর্ষণের কারণ ছিলেন ক্রিস্টিয়ান গোল্ডবাখ তার সাংক্ত পিতেরবুর্গে একাডেমির সুহৃদ
সংখ্যাতত্ত্বে অয়লারের প্রাথমিক অনেক কাজেরই ভিত্তি ছিল সংখ্যাতত্ত্বের আরেক দিকপাল পিয়ে দ্য ফার্মার কাজ
অয়লার ফার্মার কিছু কাজকে বিস্তৃত করেন এবং কিছু অনুমান ভুল প্রমাণিত করেন
অয়লার মৌলিক সংখ্যার বণ্টনের প্রকৃতির সাথে বিশ্লেষণের যোগসূত্র স্থাপন করেন
তিনি প্রমাণ করেন যে মৌলিক সংখ্যার বিপরীতকের যোগফল অপসারী হয়
এটি প্রমাণ করতে গিয়ে তিনি রিম্যান জিটা ফাংশন ও মৌলিক সংখ্যার মাঝে সম্বন্ধ খুঁজে পান যা রিম্যান জিটা ফাংশনের অয়লার উৎপাদক সূত্র নামে পরিচিত
অয়লার নিউটনের অভেদ ফার্মার ছোট্ট উপপাদ্য ফার্মার দুই বর্গের সমষ্টির উপপাদ্য প্রমাণ করেন এবং লাগ্রাঞ্জের চার বর্গ তত্ত্বে উল্লেখযোগ্য ভূমিকা রাখেন
তিনি টশিয়েন্ট ফাংশন উদ্ভাবন করেন যা হল কোন পূর্ণসংখ্যা এর সমান বা তার চাইতে ছোট এবং এর সাথে সহমৌলিক এমন সংখ্যার সংখ্যা
এই ফাংশনের বিশেষত্ব ব্যবহার করে তিনি ফার্মার ছোট্ট উপপাদ্যের সাধারণীকরণ করেন যা বর্তমানে অয়লারের তত্ত্ব নামে সুবিদিত
তিনি নিখুঁত সংখ্যার গবেষণায় নতুন মাত্রা যোগ করেন গণিতের যে বিষয়টি ইউক্লিডের সময় থেকেই গণিতবিদদের বিশেষ আকর্ষণের বস্তু
তাছাড়া অয়লার মৌলিক সংখ্যা তত্ত্ব উন্নয়নে ভূমিকা রাখেন এবং বর্গীয় বিপরীততার নিয়মটি অনুমান করেন
এ দুটি ধারণা সংখ্যাতত্ত্বের ভিত্তিরূপ তত্ত্ব হিসাবে বিবেচিত এবং তার এই ধারণা পরবর্তী সময়ে গাউসের কাজের পথ প্রশস্ত করে
সালে অয়লার কনিসবার্গের সাতটি সেতুর সমস্যাটি সমাধান করেন
প্রুসিয়ার অন্তর্গত কনিসবার্গ শহরটি ছিল প্রেজেল নদীর তীরে এবং সেখানকার দুটি বৃহৎ দ্বীপ সাতটি সেতুর মাধ্যমে সংযুক্ত ছিল
সমস্যাটি ছিল এরকম যে সাতটি সেতুর প্রত্যেকটি ঠিক একবার ব্যবহার করে শুরুর অবস্থানে ফেরত আসা সম্ভব কিনা
তা সম্ভব নয় কারণ তা অয়লার বর্তনী তৈরি করে না
এ সমাধানটিকে গ্রাফ তত্ত্বের প্রথম উপপাদ্য বিবেচনা করা হয় বিশেষত সমতলীয় গ্রাফ তত্ত্বের
অয়লার যেকোন উত্তল বহতলকের শীর্ষ ধার এবং তলের মধ্যে একটি সম্পর্কসূচক সমীকরণ আবিষ্কার করেন যা সমতলীয় গ্রাফের ক্ষেত্রেও সত্য
সমীকরণটির ধ্রুবকটি তার গ্রাফের অয়লার বিশেষত্ব নামে পরিচিত যা বস্তুটির গণের সাথে সম্পৃক্ত
কশি এবং লা ইলিয়ের এ সমীকরণটির সাধারণীকরণ করেন যা টপোলজি নামক গণিতের একটি নতুন শাখার সূচনা করে
অয়লারের শ্রেষ্ঠ সাফল্যের অন্যতম ছিল বাস্তব জগতের নানান সমস্যার বিশ্লেষণী সমাধান প্রদান এবং বের্নুলি সংখ্যা ফুরিয়ার ধারা ভেন চিত্র অয়লার সংখ্যা ধ্রুবক e এবং অবিরত ভগ্নাংশ এবং সমাকলনের অসংখ্য প্রয়োগ বর্ণনা
তিনি লিবনিজের ডিফারেন্সিয়াল ক্যালকুলাসের সঙ্গে নিউটনের ফ্লাক্সিয়ন পদ্ধতির গাঁটছড়া বাঁধেন এবং বাস্তব সমস্যার সমাধানের ক্যালকুলাস ব্যবহারের বিভিন্ন সহায়ক কৌশল আবিষ্কার করেন
তিনি ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ ব্যবহারেরও পথিকৃৎ বিশেষ করে অয়লারমাসকেরনির ধ্রুবকের উদ্ভাবন অয়লারের সঙ্গীতে গাণিতিক ধারণার ব্যবহারের খেয়ালী শখ ছিল
সালে তিনি ee oe eoe se রচনা করেন এই আশায় যে একসময় সঙ্গীততত্ত্ব একসময় গণিতের মাঝে স্থান করে নেবে
কিন্তু তার এই বিশেষ কাজটি সেভাবে জনপ্রিয়তা পায়নি এবং এ সম্বন্ধে বলা হত এটি সঙ্গীতশিল্পীদের জন্যে একটু বেশি গাণিতিক আর গণিতবিদদের জন্যে একটু বেশি সুরেলা
অয়লার বের্নুলির সাথে যৌথভাবে অয়লারবের্নুলি বিম সমীকরণ তৈরি করেন যা প্রকৌশলবিদ্যার একটি ভিত্তিপ্রস্তর হিসেবে বিবেচিত
অয়লার চিরায়ত বলবিদ্যা এবং জ্যোতির্বিদ্যায়ও তার প্রতিভার পরিচয় রাখেন
জ্যোতির্বিদ্যায় তার কাজের স্বীকৃতি হিসেবে তার ক্যারিয়ারজুড়ে বেশ কয়েকটি প্যারিস একাডেমি পুরস্কারে ভূষিত হন
তার অর্জনের মধ্যে রয়েছে ধূমকেতু ও অন্যান্য মহাকাশীয় বস্তুর কক্ষপথের নিখুঁত হিসাব ধূমকেতুর আচরণ উপলব্ধিকরণ এবং সূর্যের প্যারালাক্স হিসাবকরণ
লঙ্গিটিউড সারণী তৈরিতেও তার করা গণনার অবদান রয়েছে
ose o o o e o e o তদুপরি অয়লার অপটিক্সে গুরুত্বপূর্ণ অবদান রাখেন
তিনি তার অপটিকস গ্রন্থে নিউটনের কণা তত্ত্বের সাথে দ্বিমত পোষণ করেন যা ছিল সে সময়ের প্রতিষ্ঠিত একটি তত্ত্ব
তার সালে উপস্থাপিত প্রবন্ধ ক্রিস্টিয়ান হাইগেনের আলোর তরঙ্গ সংক্রান্ত মতবাদটি প্রতিষ্ঠিত করতে সাহায্য করে যা আলোর কোয়ান্টাম তত্ত্বের প্রচলনের পূর্ব পর্যন্ত প্রভাবশালী ছিল
তিনি বদ্ধ রেখার মাধ্যমে সাইলোজিস্টিক কারণ নির্ণয় তত্ত্বের জন্যেও খ্যাত
এ ধরনের চিত্রকে তার নামানুসারে অয়লার চিত্র বলা হয়
o oe o e so eeoe o o s e e ee e o o e e ssoo o o অয়লার এবং তার বন্ধু দানিয়েল বের্নুলি ছিলেন লিবনিজের একক সত্ত্বা এবং ক্রিস্টিয়ান উলফের দর্শনের পরিপন্থী
অয়লার দৃঢ়ভাবে বিশ্বাস করতেন জ্ঞান সঠিক পরিমাণগত নিয়মের ওপর ভিত্তি করে প্রতিষ্ঠিত যে মতবাদ একক সত্ত্বা তত্ত্ব ও উলফীয় বিজ্ঞানে অনুপস্থিত ছিল
অয়লারের ধর্মীয় বিশ্বাসও হয়তো তার মতবাদটি অপছন্দ করায় ভূমিকা রেখেছিল তিনি এমনকি উলফের মতবাদকে পৌত্তলিক ও নাস্তিকতাবাদ হিসাবেও চিহ্নিত করেন
অয়লারের ধর্মবিশ্বাসের অনেকটুকুই তার জার্মান রাজকুমারীকে লেখা পত্রগুচ্ছ এবং তার আগের একটি রচনা e e e e ee e e e eese মুক্তচিন্তাবিদদের অভিযোগের জবাবে স্বর্গীয় উদ্ভাসনের আত্মরক্ষা থেকে ধারণা করতে পারা যায়
এসব রচনা থেকে বোঝা যায় অয়লার ছিলেন একজন পুরোদস্তুর ধর্মভীরু খ্রিস্টান
ধর্মনিরপেক্ষ দার্শনিকদের সাথে ধর্ম বিষয়ে অয়লারের বিতর্ক সম্বন্ধে একটি বিখ্যাত হাস্যরসাত্মক গল্প প্রচলিত আছে যা অয়লারের দ্বিতীয় দফায় সাংক্ত পিতেরবুর্গ বাসের সময় ঘটেছিল