যেহেতে আমরা পূর্ণ অন্তরজে কে শূন্যের কাছাকাছি ধরে নিয়েছি তাই অবশ্যই একটি রৈখিক অণুমান হবে
এক চলকের ক্ষেত্রে অন্তরজ প্রকৃতপক্ষে পার্থক্য ভাগফলের লিমিট দ্বারা সূচিত সর্বোচ্চ রৈখিক অণুমান
যদিও পার্থক্য ভাগফল উচ্চ মাত্রার ক্ষেত্রে কাজ করতে পারে না কারণ স্বাভাবিকভাবে ভেক্টরকে ভাগ করা সম্ভব না
বিশেষ করে পার্থক্য ভাগফলের হর ও লব একই ভেক্টর ক্ষেত্র না
ভেক্টর স্থানঃ লবটি কোডোমেইন এ অবসস্থান করে যখন হরটি ডোমেইন এ
উপরন্তু অন্তরজটি একটি রৈখিক রূপান্তর লব ও হর উভয় থেকে বস্তুর একটি ভিন্ন ধরনের হয়
সুনির্দিষ্ট ধারণা করতে হল একটি রৈখিক রূপান্তর এই সমস্যা মিটানোর জন্য প্রয়োজন একপরিবর্তনশীল চলকের অন্তরজের জন্য একটি ভিন্ন সূত্র মানানো
যদি হয় তাহলে অন্তরজের স্বাভাবিক সংজ্ঞা নিক্ষুতভাবে দেখাতে পারে যে তে এর অন্তরজ একটি অনন্য সংখ্যা যেমন একইভাবে কারণ ফাংশনটির সীমার শূন্যের কাছে পৌছায় যদি ও কেবল যদি পরমমানের সীমা শূন্যের কাছে পৌছায়
এই সর্বশেষ সূত্রটি পরম মান প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে অনেক পরিবর্তনশীল চলকের পরিস্থিতির উপযোগী করা যেতে পারে
এর তে পূর্ণ অন্তরজের সংজ্ঞা হল মৌলিক রৈখিক রূপান্তর যেন যেখানে হল এ একটি ভেক্টর তাই হরে পরমমান হল এর জন্য আদর্শ দৈর্ঘ্য
যদিও এ একটি ভেক্টর এবং লবে পরমমান হল এ আদর্শ দৈর্ঘ্য
যদি বিন্দুতে শুরু কোন ভেক্টর হয় তবে কে বলা হয় এর দ্বারা এর so এবং কখনো একে লিখা হয়
যদি তে পূর্ণ অন্তরজ থাকে তবে এর তে সকল আংশিক অন্তরজ ও দিকবর্তী অন্তরজ থাকে এবং যেকোন এর জন্য হল এর দিকে এর দিকবর্তী অন্তরজ
যদি আমরা কে স্থানাংক ব্যাবস্থার ফাংশনে লিখি তবে তাহলে পূর্ণ অন্তরজকে ম্যাট্রিক্স হিসেবে আংশিক অন্তরজ দিয়ে প্রকাশ করা যাবে
এবং এই ম্যাট্রিক্স কে বলা হয় এর তে জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স
পূর্ণ অন্তরজ এর অস্তিত্ত অন্যান্য আংশিক অন্তরজের অস্তিত্তের চেয়ে শক্তিশালী কিন্তু যদি আংশিক অন্তরজ থাকে এবং তা অবিচ্ছিন্ন হয় তাহলে জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স অণুযায়ী পূর্ণ অন্তরজ বিদ্যমান থাকে ও এর উপর ধারাবাহিকভাবে নির্ভর করে
পূর্ণ অন্তরজের সংজ্ঞা এক চলকের অন্তরজের সংজ্ঞাকেও অন্তর্ভুক্ত করে
তা হল যফি কোন বাস্তব চলক ও বাস্তব মানের ফাংশন হয় তবে পূর্ন অন্তরজ বিদ্যমান থাকবে যদি ও কেবল যদি স্বাভাবিক অন্তরজ বিদ্যমান থাকে
জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স ম্যাট্রিক্সে হ্রাস করা হয় যার শুধুমাত্র একটি ভুক্তি হল
এই ম্যাট্রিক্স এর মান যে শূন্যের কাছাকাছি তা প্রকাশ করে অন্যভাবে এই বিবৃতি চলকের মান পরিবর্তন পর্যন্ত যে এই ফাংশন o হল এর তে সর্বোচ্চ রৈখিক অণুমান
একটি ফাংশনের পূর্ণ অন্তরজ একপরিবর্তনশীল চলকের ক্ষেত্রে একই ভাবে আরেকটি ফাংশন দেয় না
একটি বহুচলকের ফাংশনের পূর্ণ অন্তরজ একটি একক পরিবর্তনশীল ফাংশনের ডেরিভেটিভ চেয়ে অনেক বেশি কিছু তথ্য ধারণ করে
এর পরিবর্তে পূর্ণ অন্তরজ টার্গেটের স্পর্শকগুচ্ছ উৎস থেকে একটি ফাংশন দেয়
দ্বিতীয় তৃতীয় ও উচ্চতরমাত্রার পূর্ণ অন্তরজের স্বাভাবিক এনালগ একটি রৈখিক রূপান্তর নয় ও স্পর্শকগুচ্ছে কোন ফাংশন নয় এবং বারবার পূর্ণ অন্তরজ গ্রহণ করে নির্নীত হয় না
উচ্চমাত্রার অন্তরজের এনালগকে জেট বলে যা কোন রৈখিক রূপান্তর হতে পারে না কারণ উচ্চমাত্রার অন্তরজ সূক্ষ জ্যামিতিক তথ্য প্রদান করে যেমন অবতলতা যা ভেক্টর হিসেবে রৈখিক তথ্য ও শর্তাবলী দ্বারা বর্ণনা করা যাবে না
স্পর্শকগুচ্ছের ওপর এটা ফাংশন হতে পারে না কারণ স্পর্শকগুচ্ছের শুধুমাত্র বেস স্থান ও দিকবর্তী অন্তরজের জন্য সুযোগ আছে
কারণ জেট উচ্চমাত্রার তথ্য ধারণ করে তারা স্থানাংকে অতিরিক্ত আর্গুমেন্ট নিয়ে কোন দিকে উচ্চমাত্রার পরবর্তন নির্দেশ করে
এই অতিরিক্ত স্থানাঙ্ক দ্বারা নির্ধারিত স্থানকে জেট গুচ্ছ বলা হয়
একটি ফাংশনের পূর্ণ অন্তরজ ও আংশিক অন্তরজের মধ্যে সম্পর্ক হল ফাংশনটির তম জেট ও বা তার চেয়ে কম মাত্রার আংশিক অন্তরজের সম্পর্কের মত
বারবার পূর্ণ অন্তরজ গ্রহণ করে কেউ এর বিশেষ e অন্তরজের উচ্চতর সংস্করণ গ্রহণ করতে পারে
তম পূর্ণ অন্তরজকে একটি ম্যাপ হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যা এ একটি বিন্দু নেয় এবং o এ রৈখিক ক্ষেত্রে একটি উপাদান নির্ধারণ করে এর কোন একটি বিন্দুতে সর্বোচ্চ একটি সুনির্দিষ্ট অর্থে রৈখিক অণুমান
তির্যকক্রস ম্যাপ দ্বারা রচনার মাধ্যমে একটি সাধারণ টেলর সিরিজ হিসাবে কাজ শুরু হতে পারে যেখানে ধ্রুব ফাংশন হিসেবে সংজ্ঞায়িত রৈখিক রূপান্তর হিসেবে হল ভেক্টরের উপাংশ এবং এবং হল ও এদের উপাংশ
অন্তরজের ধারণাকে অনান্য ক্ষেত্রে বর্ধিত করা যেতে পারে
সাধারণ যোগসূত্রটি হল কোন ফাংশনের কোন বিন্দুতে অন্তরজ সেই বিন্দুতে ফাংশনটির রৈখিন আনুমান হিসাবে কাজ করে
ব্রডার লিশলম নুটজন অক্টোবর মার্চ নরওয়ের একজন ব্যবসায়ী রাজনীতিক এবং সমাজসেবী ছিলেন
তার জন্ম ট্রন্ডহেইমের এক অন্যতম ধনী ব্যবসায়ী পরিবারে
পরে তিনি ইংল্যান্ড গমন করেন এবং ইংরেজি ভাষা এবং সাহিত্যের প্রতি অনুরক্ত হয়ে পড়েন
ব্যবসায়িক পরিমন্ডলে বেড়ে ওঠা সত্ত্বেও রাজনীতি এবং শিল্পসংস্কৃতির দিকে ছিলো তার বিপুল আগ্রহ
সে জন্যেই তার বাবার পারিবারিক ব্যবসা প্রতিষ্ঠানের বৈদেশিক যোগাযোগ বিভাগের দায়িত্বে থাকলেও সেদিকে তার খুব বেশি আগ্রহ ছিলো না
ইংল্যান্ডে থাকাকালীন তার লর্ড বায়রনের সাথে বন্ধুত্ত্ব হয় এবং তৎকালীন ইংলিশ জাতীয় সংস্কার আন্দোলন দ্বারা প্রভাবিত হন
মৃত্যুর আগে তিনি তার সমগ্র লাইব্রেরি এবং বেশ কিছু শিল্পকর্ম রয়্যাল নরওয়েজিয়ান সোসাইটি অফ সায়েন্স এন্ড লেটারসকে উইল করে দিয়ে যান
নুটজন সরট্রন্ডেলাগএর ট্রন্ডহেইমে জন্মগ্রহণ করেন
বিশিষ্ট ব্যবসায়ী হান্স কার্ল নুটজন ও ক্যারেন নুটজনের ছয় সন্তানের মধ্যে তিনি ছিলেন সর্বকনিষ্ঠ
e o নুটজনের বাবার জন্ম জার্মানিতে
ব্যবসায়ী হিসেবে উন্নতির লক্ষ্যে তিনি নরওয়ে চলে আসেন
s o তার ব্যবসা অচিরেই ফুলেফেপে ওঠে এবং নুটজন পরিবার ট্রন্ডহেইমের শিল্পী ও লেখকদের জন্যে এক নির্ভরতায় পরিনত হয়
শৈশব ট্রেন্ডহেইমে কাটালেও সালে ব্রডার নুটজন জার্মানির ফ্লেন্সবার্গে চলে যান
সেখানে তিনি তার বাবার চাচার সাথে থাকতেন
se তারপর তিনি আবার ট্রন্ডহেইমে ফিরে আসেন এবং বাবার অধীনে ব্যবসা শেখা শুরু করেন
oe o এরপরে তিনি ব্যবসা শেখার জন্যে ফ্রান্সের বিভিন্ন জায়গা সফর করেন
সেখানে তার সাথে পরিচয় হয় ড্যানিশ কবি ও নাট্যকার অ্যাডাম ওয়েহলেন্সশ্লাগারের সাথে
নাঁতেতে তার বোনের বাড়িতে কিছুদিন থেকে তিনি চলে যান ইংল্যান্ড
সেখানে দেখা হয় কবি লর্ড বায়রন এবং জাতীয় সংস্কার আন্দোলনের অন্যান্য নেতৃবৃন্দের সাথে
ইংল্যান্ড থাকতেই ইংরেজি ভাষা সাহিত্য ও সংস্কৃতি তার খুব মনে ধরে যায়
এরপর ইতালি ভ্রমণের সময় তার সাথে দেখা হয় ড্যানিশআইসল্যান্ডিক ভাস্কর বার্টেল থরভালসেনের সাথে
তিনি নুটজন এবং তার পরিবারের বাকি সবার আবক্ষ ছবি এঁকে দেন
সালের বসন্তে ব্রডার আর তার ভাই জরগেন নরওেয়র স্বাধীনতার পক্ষে ইংরেজ জনগনের সমর্থন আদায়ের প্রচেষ্টায় কার্স্টেন অ্যাঙ্কারকে সাহায্য করেন
নরওয়ের আইনসভা স্টোরটিংএর প্রতিনিধি দলের সদস্য হিসেবে ঐ বছরই শরৎকালে নুটজন তার বাবার সাথে স্টকহোম গমন করেন
সেখান থেকে ফেরার পর তার বাবার প্রতিষ্ঠান হান্স নুটজন এন্ড কোংএ তাকে বৈদেশিক বিভাগের দায়িত্ব দেয়া হয়
এই কোম্পানীর মালিক ছিলেন আরও দুজন
হান্সের ভাই ক্রিশ্চিয়ান এবং ভগ্নীপতি লরেঞ্জ জোহানসেন
e oe ose কিন্তু এসব ব্যবসায়িক কারবার তার মোটেও ভালো লাগতো না
তার নিজের ভাষায় ব্যবসা আমার চরম অপছন্দ
তবে সাহিত্যচর্চা করতে আমার কোনো ক্লান্তি লাগে না
স্টোরটিংয়ের প্রতিনিধি দলের একজন অতিরিক্ত সদস্য হওয়ায় তাকে একবার সংসদেও কাজ দেয়া হয়
সংবিধান প্রণয়ন কমিটির সচিব হিসেবে দায়িত্ব পালন করেন তিনি
পর্যন্ত তিনি ছিলেন নরজেস ব্যাঙ্কের তত্ত্বাবধায়ক কমিটির সদস্য
সালে তিনি রয়্যাল নরওয়েজিয়ান সোসাইটি অফ সায়েন্স এন্ড লেটারসের সদস্য হন এবং থেকে পর্যন্ত এর সম্পাদকের দায়িত্বে ছিলেন
নরওয়ে জুড়ে শিক্ষার আলো ছড়িয়ে দেওয়ার সুপ্ত বাসনা থেকেই তিনি ইংল্যান্ডে নিজের পরিচিতিকে কাজে লাগিয়ে প্রচুর বই এবং জার্নাল আনানোর ব্যবস্থা করেন
এছাড়াও তিনি তার সমস্ত বইয়ের সংগ্রহ এবং থরভালসেন এর খোদাই করা পাঁচটি ভাস্কর্য সেখানে দান করে দেন
তবে তার শর্ত ছিলো ছিলো একটাই
সেটা হলো এগুলো আর কখনোই রাজধানীতে পাঠানো যাবে না
se ese নুটজন অবিবাহিত অবস্থাতেই মার্চ সালে ট্রন্ডহেইমেই মারা যান
ভার ফ্রু চার্চে তাকে সমাহিত কয়া হয়
এই গীর্জাতেই তাকে খ্রিস্ট ধর্মে দীক্ষা দেয়া হয়েছিল
মৃত্যুর আগে তিনি তার সমস্ত লেখা এবং চিঠিপত্র পুড়িয়ে ফেলেন
এমনকি লর্ড বায়রনের সাথে যেসব লেখালেখি করেছিলেন সেসবও
তাই কিছু অনুবাদ আর মাসিক পত্রিকায় প্রকাশিত কিছু নিবন্ধ ছাড়া তার আর কোনো লেখাই উদ্ধার করা সম্ভব হয়নি
se একজন জীবনীকার তা সম্পর্কে বলেনঃ মি নুটজন ছিলেন ট্রন্ডহেইমের বিশিষ্ট ব্যাংকার
তিনি কিছুদিন ইংল্যান্ড থাকেন তার মধ্যে উত্তরের স্থানীয়দের মত অতিথিপরায়ন কোমলতা আগে থেকেই ছিল এবং একজন সুশিক্ষিত ব্যক্তির মতোই নিজের মধ্যে একজন ইংলিশ ভদ্রলোকের মার্জিত আচরণও সন্নিবেশিত করতে পেরেছিলেন
শো বিজনেস অর্থ প্রদর্শন ব্যবসা বা প্রদর্শন বাণিজ্য যাকে অনেকসময় সংক্ষেপে শো বিজ so বা শোবিজ so বলে ডাকা হয় থেকে তা হল সকল প্রকারের বিনোদন বিশেষ করে লাইট এন্টারটেইনমেন্ট অর্থাৎ অডিওভিজুয়াল বা শ্রবণদর্শন বিনোদনের একটি সাধারণ পারিভাষিক নাম
o s o এই শব্দটি বাণিজ্যিক ব্যক্তিবর্গ ব্যবস্থাপক প্রতিনিধি নির্মাতা এবং পরিবেশক থেকে শুরু করে সৃজনশীল উপকরণ শিল্পী অভিনেতা লেখক সঙ্গীতশিল্পী এবং কলাকুশলী পর্যন্ত সকল প্রকারের বিনোদনমূলক বাণিজ্যিক উৎপাদনশিল্পের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়