কানাডিয়ান ফুটবল লিগে ক্রসওভাররুল নিয়ম প্রবর্তনের পর পশ্চিমাঞ্চলের দলগুলোর উপর অভিযোগ আছে যে তারা মৌসুমের শেষ দিকে গিয়ে ইচ্ছে করে হেরেছে
এতে তারা পয়েন্ট টেবিলে কিছুটা নেমে গেছে বটে তবে প্লে অফ ও পরবর্তী রাউন্ডে সহজ প্রতিপক্ষও নিশ্চিত হয়েছে
এই অভিযোগ অবশ্য প্রমাণিত নয়
ইদানিং কানাডিয়ান ফুটবল লিগে পূর্বাঞ্চলের দলগুলোকে দুর্বল মনে করা হয়
সালের শীতকালীন অলিম্পিকের আইস হকি প্রতিযোগিতায়ও ইচ্ছে করে ম্যাচ হারের একটি সম্ভাব্য উদাহরণ আছে
যেখানে পুল বির শেষ ম্যাচে মুখোমুখি হয়েছিলো সুইডেন ও স্লোভাকিয়া
দুই দলের জন্যই ওই ম্যাচটি ছিলো গ্রুপ পর্বের শেষ ম্যাচ
ম্যাচের পর সুইডেনের কোচ বেনগট্যাক গুসটাফসন জনসম্মুখেই স্লোভাকিয়ার বিপক্ষে হারের কারণ বলেছিলেন
ওই ম্যাচটি জিতলে কোয়ার্টার ফাইনালে তাদের প্রতিপক্ষ হতো কানাডা যারা সালে সোনাজয়ী অথবা চেক প্রজাতন্ত্র যারা সালের সোনাজয়ী
সুইডের কোচ এই দলের একটিকে কলেরা অন্যটিকে গ্লাগ রোগের সঙ্গে তুলনা করেছিলেন
তার এমন মন্তব্যই প্রমাণ করে যে স্লোভাকিয়ার বিপক্ষে ইচ্ছে করেই হেরেছিলো সুইডেন
মজার ব্যাপার হলো পুল বির শেষ ম্যাচে হারের পরও পরে সুইডেনই সালের শীতকালীন অলিম্পিকের আইস হকিতে সোনা জিতে
সালের টাইগার কাপে যা একটি আন্তর্জাতিক ফুটবল টুর্নামেন্ট যেখানে দক্ষিণপূর্ব এশিয়ার কয়েকটি দেশ খেলেছে যেখানে একটি ম্যাচে দুই দলকেই হারার চেষ্টা করতে দেখা গেছে
আট দেশের টুর্নামেন্টটিতে দুইভাগে চারটি করে দল খেলে
সেখানে প্রতিটি গ্রুপের শীর্ষ দুই দলের সেমিফাইনালে যাওয়ার নিয়ম ছিলো
সেমিফাইনালে এক গ্রুপের চ্যাম্পিয়নের খেলার কথা ছিলো অন্য গ্রুপের রানার্স আপের বিপক্ষে
প্রথম গ্রুপে চ্যাম্পিয়ন হয় সিঙ্গাপুর আর দ্বিতীয় হয় ভিয়েতনাম
অর্থাৎ দ্বিতীয় গ্রুপের চ্যাম্পিয়নকে স্বাগতিক ভিয়েতনামের বিপক্ষে খেলার জন্য ভিয়েতনামের রাজধানী হ্যানোইয়ে আসার প্রয়োজন পড়ে
ম্যাচটি হওয়ার কথা ছিলো ভিয়েতনামের জাতীয় দিবসে
আর দ্বিতীয় গ্রুপের রানার্স আপের খেলার কথা ছিলো হো চি মিন সিটিতে সিঙ্গাপুরের বিপক্ষে
এই যখন পরিস্থিতি দ্বিতীয় গ্রুপের চ্যাম্পিয়ন হতে চাইছিলো না থাইল্যান্ড ও ইন্দোনেশিয়া
ফলে সেমিফাইনাল নিশ্চিতের পর গ্রুপের শেষ ম্যাচে দুই পরস্পরের বিপক্ষে হারের চিন্তা নিয়ে মাঠে নামে
খেলা শুরুর পর কোনো দলই গোল করার কোনো চেষ্টা করেনি
এক পর্যায়ে ইন্দোনেশিয়ার ডিফেন্ডার মোর্শিদ ইফেন্দি আত্মঘাতী গোল করে দেন
মজার ব্যাপার হলো এ সময় তাকে ঠেকাতে চেষ্টা করে থাইল্যান্ডের খেলোয়াড়রা
এই ম্যাচের জন্য দুই দলকেই হাজার ডলার করে জরিমানা করা হয় এবং মোর্শিদ ইফেন্দিকে সারা জীবনের জন্য আন্তর্জাতিক ফুটবলে নিষিদ্ধ করা হয়
সালের গ্রীষ্মকালীন অলিম্পিকে এ ধরনের প্রকৃত বা সম্ভাব্য দুটি প্রচেষ্টা লক্ষ্য করা যায়
স্থানাঙ্ক জ্যামিতিতে প্যারাবলোইড একটি দ্বিঘাত বিশিষ্ঠ তল
ইহার কেবলমাত্র একটি প্রতিসাম্য অক্ষ আছে এছাড়া আর কোনো প্রকার কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্য নেই
প্যারাবলোইড শব্দটি প্যারোবলা শব্দ থেকে এসেছে যা একটি শঙ্কুচ্ছেদের অংশ এবং প্যারোবলাও এই একই রকম প্রতিসাম্য নিয়ম মেনে চলে
সমতলিক অংশাচ্ছেদের উপর ভিত্তি করে প্যারাবলোইডকে দুই ভাগে ভাগ করা যায়
যদি সকল অংশাচ্ছেদ উপবৃত্তাকার হয় তবে তাকে উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইড বলা হয়
একই ভাবে যদি সকল অংশাচ্ছেদ পরাবৃত্তাকার হয় তখন তাকে পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইড বলা হয়
অনুরূপভাবে প্যারাবলোইড চোঙাকৃতি না হওয়ার কারণে দ্বিঘাত বিশিষ্ঠতল হিসাবে সজ্ঞায়িত করা যায় এবং এর একটি দ্বিঘাত বিশিষ্ঠ অন্তর্নিহিত সমীকরণ আছে যাকে আবার দুটি সরলরৈখিক জটিলরাশির উৎপাদক বীজ হিসাবে প্রকাশ করা যায়
যদি প্যারাবলোইডের উৎপাদক বীজগুলি বাস্তব সংখ্যা হয় তবে তাকে পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইড বলা হয় এবং যদি প্যারাবলোইডের উৎপাদক বীজ গুলি জটিল রাশি হয় তবে তাকে উপবৃত্তাকার প্যারাব বলা হয়
উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইড অনেকটা উপবৃত্তাকার বাটির মতো এবং যখন এর প্রধান অক্ষটি উলম্ব ভাবে থাকে তখন এর মান সর্ব নিম্ন হয়
কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেট পদ্ধতিতে তিনটি অক্ষ হলো এবং এই পদ্ধতিতে সমীকরণটি হলো যেখানে এবং ধ্রূবক রাশি এবং ইহা বক্রতার পরিমাপক যা যথাক্রমে ও তলকে বোঝায়
এক্ষেত্রে উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের উপরিভাগ উন্মুক্ত
পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইড হাইপার্বলয়েড সাথে বিভ্রান্তি না একটি ডাবলি রুলড সারফেস এবং দেখতে অনেকটা সাডেলএর মতো উপযুক্ত কোঅর্ডিনেট পদ্ধতিতেপরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইডর সমীকরণ হলোesse eo oo o o o e esoe oooeooo পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের অক্ষ সাপেক্ষে নিম্নাগ্শ উন্মুক্ত এবং অক্ষ সাপেক্ষে অর্থাৎ অধিবৃত্তটি উর্ধাংশ উন্মুক্ত এবং তল সাপেক্ষে নিম্নাগ্শ উন্মুক্ত
তবে অবশ্যই প্যারাবলোইড অনেকগুলি প্যারাবোলার সমষ্ঠি
তবে একটি বিশেষ পার্থক্য় আছে
পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইড অনেক পরাবৃত্তের সমষ্ঠি এবং উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইড অনেক উপবৃত্তের সমষ্ঠি
যখন হয় তখন একটি অধিবৃত্তকে তার অক্ষের সাপেক্ষে ঘোরালে উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইড তৈরী হয়
নানা ধরনের অধিগোলাকার আয়না বা এন্টেনা দেখতে অনেকটা অধিগোলাকের মতো
বদ্ধ জলভূমির উপরিভাগও অধিগোলাকার এই ধর্মকে কাজে লাগিয়ে লিকুইড মিরর টেলিস্কোপ তৈরী করা হয়
এই ধরনের প্যারাবলোইডকে অনেক সময় বৃত্তাকার প্যারাবলোইড ও বলা হয়
প্যারাবলোইডের উপরিস্থ কোনো বিন্দু থেকে যদি একটি একক নিঃসারী বিন্দু থাকে এবং সেখান থেকে নিঃসৃত রশ্মি প্রতিফলনের পর সমান্তরাল হয় তবে সেই বিন্দু টিকে ফোকাস বলা হয়
বিপরীত ভাবে যদি সমান্তরাল রশ্মি অধিগোলাকার প্রতিফলকে আপতিত হয় তবে সেটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে মিলিত হয় এবং সেই বিন্দুটিই হলো ফোকাস
বিস্তারিত জানতে পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইড একটি ডাবলি রুল্ড সারফেস এটি দুটি গোত্রের স্কিউ লাইন নিয়ে গঠিত
প্রত্যেকটি গোত্রের সরলরেখাগুলি একটি সাধারণ তলের সমান্তরাল কিন্তু একে অপরের সাথে সমান্তরাল না সেই কারণে পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইড একটি কোনইড
এই ধর্মগুলি পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের সনাক্তকরণ বৈশিষ্ট্য একটি পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইড একটি সরলরেখার সমান্তরাল সরলরেখা গুচ্ছ দ্বারা তৈরী হতে পারে যেখানে সব কটি সরলরেখা একটি সাধারণ তলের সমান্তরাল এবং একটি তলের সাথে দুটি নির্দিষ্ট স্কিউ লাইনকে ছেদ করে
পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের এই বিশেষ ধর্মটি একটি ঢালাই বুঝতে সাহায্য করে এবং আধুনিক স্থাপত্যয় এর ব্যবহার প্রচুর
বহুল বিক্রিত মুখরোচক প্রিঙ্গেলস নামক আলুভাজা পরাবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের কর্তিত অংশ
এই বিশেষ আকারটি আলুভাজা গুলোকে চোঙাকার পাত্রে রাখতে সাহায্য করে এবং এই আকারের ফলে ভেঙ্গে যায়ও কম
উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের সামতলিক অংশাচ্ছেদের সমীকরণ হলো এই সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত বিভিন্ন ক্ষেত্র অবশ্যই অনেকগুলি বৃত্তের ঘূর্ণিনই যেকোনো একটি উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইড তৈরি করে
এই কথাটি সত্য হলেও সাধারণত ক্ষেত্রে এটি অবিশ্যিক নয়
আরো জানতে বৃত্তাকার অংশাচ্ছেদ দেখুন দ্রষ্টব্যঃ একটি উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইডই প্রক্ষিপ্ত ভাবে একটি গোলকের সমতুল্য
পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডের সামতলিক অংশাচ্ছেদের সমীকরণ হলো এই সমীকরণ থেকে প্রাপ্ত বিভিন্ন ক্ষেত্র o o দ্রষ্টব্যঃ যেকোনো পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইড হলো একটি রুলড সারফেস সরলরেখা সমন্বিত কিন্তু পরিমার্জনশীল তল
এই ক্ষেত্রে ইহা চোঙ বা শঙ্কুর সাথে তুলনীয় যেকোনো বিন্দুতে গাউসের বক্রতা ঋণাত্মক
তাই এটি একটি সাডেল তল
একটি একক পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডের সমীকরণ হলো o ইহাকে অক্ষ বরাবর কোনে ঘূর্ণন দিলে পাওয়া যায় এবং সমীকরণ হলো o কোনো একটি পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইড প্রক্ষিপ্ত ভাবে একটি হাইপারবোলয়েড সমতুল্য
উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের পেন্সিল পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডের পেন্সিল উভয়ই অবশেষে একই তলে গিয়ে পৌঁছয় এর সমীকরণ হলো o ইটা কেবলমাত্র যা একটি অধিগোলাকার চোঙ চিত্র দেখুন উপবৃত্তাকার প্যারাবলোইডের প্যারামেট্রিক সমীকরণ হলো এর গাউসীয় বক্রতা হলো এবং গড় বক্রতা গাউসীয় বক্রতা এবং গড় বক্রতা সর্বদা ধনাত্মক মুলবিন্দুতে এদের সর্বোচ্চ মান আছে এবং মুলবিন্দু থেকে দূরবর্তী যেকোনো বিন্দুতে গেলে এর মান কমতে থাকে
তাত্বিকভাবে বলা যায় অসীম দূরত্বে এদের মান শূন্য
পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডের প্যারামেট্রিক সমীকরণ হলো এর গাউসীয় বক্রতা হলো এবং গড় বক্রতা পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডের অপেক্ষকটি হলো যদি পরাবৃত্তাকর প্যারাবলোইডটি বরাবর কোনে আবর্তিত হয় দক্ষিন হস্ত নিয়মানুসারেতবে প্রাপ্ত তলের সমীকরণ হলো এবং যদি হয় তবে সমীকরণটি সরলীকৃত হয়ে হবে পরিশেষে ধরা যাক o তাহলে আমরা দেখতে পাবো তলের অনুবন্ধী তল
ইহাকেই গুণন পদ্ধতির জ্যামিতিক উপস্থাপন ত্রিমাত্রিক নমোগ্রাফ হিসাবে মনে করা যেতে পারে
দুটি অধিবৃত্তীয় অপেক্ষক এবং পরস্পর তারঙ্গিক অনুবন্ধী যুগল এবং একত্রে একটি বৈশ্লেষিক অপেক্ষক তৈরী করে
যা অধিবৃত্তীয় অপেক্ষক এর একটি বিশ্লেষণী ধারাবাহিকতা
প্রতিসম অধিবৃত্তাকার প্রতিফলকের সমীকরণ হলো যেখানে হলো ফোকাস দৈর্ঘ্য হলো প্রতিফলোকের গভীরতা এবং হলো ব্যাসার্ধ
এরা প্রত্যেকেই একই এককে পরিমাপ করা হয়
যেকোনো দুটির মান জানা থাকলে তৃতীয়টি সমীকরণ থেকে বের করে নেওয়া যায়
প্রতিফলক তলের সাথে ব্যাস পরিমাপের পদ্ধতিটি আরো জটিল
অনেক সময় একে সরলরৈখিক ব্যাস বলা হয় এবং এটি সমতল বৃত্তাকার তলের ব্যাসের সমান
যাকে সঠিক আকারে কেটে বেঁকিয়ে প্রতিফলক তৈরী করা হয়
এর জন্য প্রয়োজনীয় পরিমাপ হলো যা এর সমতুল্য এবং o যেখানে আগের মতই অর্থ বহন করছে
ক্ষেত্রের মাপের সাথে ব্যাসের সমীকরণটি হলো o যেখানে সাধারণ লগারিদম বোঝাচ্ছে
ডিক্সের আয়তন অর্থাৎ যত পরিমান তরল ডিক্সে রাখা যাবে যদি ডিক্সটিকে পাতিয়ে রাখা হয় তা হলে o চিহ্ন গুলির অর্থ আগেই বলা হয়েহে