এসব পদ্ধতির মধ্যে অয়লারিয়ান বৃত্ত বলা যায় এমন একটি পদ্ধতিই শুধু সর্বজনীন গ্রহণযোগ্যতা লাভ করেছে লুইস ক্যারল চার্লস ডজসন তার বই সিম্বলিক লজিকএর সালে প্রকাশিত চতুর্থ সংস্করণে শিক্ষকদের উদ্দেশ্যে লিখিত একটি পরিশিষ্টে রেখচিত্রের ভেন পদ্ধতি তথা রেখাচিত্রের অয়লার পদ্ধতি অন্তর্ভুক্ত করেছিলেন
পরবর্তীতে ক্লারেন্স ইরভিং লুইস সালে তার অ্যা সার্ভে অফ সিম্বলিক লজিক গ্রন্থে ভেন রেখাচিত্র শব্দটি ব্যবহার করেন
ভেন রেখাচিত্রের সাথে অষ্টাদশ শতকে লিওনার্ড অয়লার উদ্ভাবিত অয়লার রেখাচিত্রএর অনেক মিল আছে
s ee so o e eoo o o s o e o e e এ প্রসঙ্গে এমই ব্যারন উল্লেখ করেছিলেন অয়লারের পূর্বেই লিবনিজ সপ্তদশ শতকে একই ধরনের কিছু রেখাচিত্র তৈরি করেছিলেনযদিও এর বেশিরভাগ অপ্রকাশিত থেকে গিয়েছিল
এছাড়াও তিনি লক্ষ্য করেনআরও পূর্বেত্রয়োদশ শতাব্দিতে রামন লুলও অয়লারের মত রেখাচিত্র তৈরি করেছিলেন
বিংশ শতাব্দিতে ভেন রেখাচিত্রের আরও উন্নতি সাধন করা হয়
ডি ডব্লিউ হেন্ডারসন সালে দেখিয়েছিলেন যে একটি ভেন রেখাচিত্রের গুণ ঘূর্ণন প্রতিসাম্য থাকার অর্থ হল একটি মৌলিক সংখ্যা
তিনি আরও দেখান এ ধরনের প্রতিসম ভেন রেখাচিত্র থাকতে পারে যখন এর মান বা হয়
সালে পিটার হ্যামবার্গার র জন্য প্রতিসম ভেন রেখচিত্র বের করেন এবং সালে গ্রিগস কিলান ও স্যাভ্যাজ দেখান যে অন্য সকল মৌলিক সংখ্যার জন্যও প্রতিসম ভেন রেখাচিত্র আছে
এভাবেই দেখা যায় ঘূর্ণন প্রতিসম ভেন রেখাচিত্র থাকতে পারে যদি ও কেবল যদি মৌলিক সংখ্যা হয়
সালে নব্য গণিত আন্দোলনের অংশ হিসেবে সেট তত্ত্বের নির্দেশনায় ভেন রেখাচিত্র ও অয়লার রেখাচিত্র অন্তর্ভুক্ত হয়
এরপর থেকে এ দুইটি রেখাচিত্র অন্যান্য শাস্ত্রের পাঠ্যক্রম ও অধ্যয়নে গৃহীত হয়েছে
ভেন রেখাচিত্র একই সমতলে অবস্থিত কয়েকটি সাধারণআবদ্ধ বক্ররেখা নিয়ে গঠিত হয়
লুইসের মতে এসব রেখাচিত্রের মূলনীতি হল নির্দিষ্ট এলাকা দিয়ে প্রকাশিত শ্রেণী বা সেটগুলোর একে অন্যের সাথে এমন সম্পর্ক থাকবে যেন এসব শ্রেণীর মধ্যে সকল যৌক্তিক সম্পর্ক একই রেখাচিত্র দিয়ে সূচিত করা যায়
যার মানে রেখাচিত্রটিতে প্রাথমিক অবস্থায় শ্রেণীগুলোর মধ্যে যে কোন সম্ভাব্য স্থাপনের সুযোগ থাকে এবং ওই নির্দিষ্ট এলাকাটি ফাঁকা নাকি ফাঁকা না তার ওপর ভিত্তি করে প্রকৃত বা সম্ভাব্য সম্পর্ক ঠিক করা হয়
ভেন রেখাচিত্র সাধারণত কয়েকটি বৃত্তের অধিক্রমণ দ্বারা গঠিত হয়
বৃত্তের ভেতরের অংশ প্রতীকী অর্থে সেটের উপাদানগুলোকে নির্দেশ করে যেখানে বৃত্তের বাইরের অংশ সেটের বাইরে থাকা উপাদানগুলোকে নির্দেশ করে
উদাহরণস্বরূপ একটি দুই সেট সংবলিত ভেন রেখাচিত্রে একটি বৃত্ত হয়তো কাঠের তৈরি তৈজসপত্রের গ্রুপকে নির্দেশ করতে পারে যেখানে আরেকটি বৃত্ত সকল টেবিল আসবাবএর সেটকে প্রকাশ করতে পারে
সেক্ষেত্রে বৃত্তদ্বয়ের অধিক্রমণকারী এলাকা বা ছেদকৃত অংশ কাঠের তৈরি সকল টেবিলের সেটকে নির্দেশ করবে
বৃত্ত ছাড়া অন্য আকৃতিগুলো ভেনের নিজস্ব উচ্চতর সেট সংবলিত রেখাচিত্রে নিচে প্রদর্শিত উপায়ে ব্যবহার করা যায়
ভেন রেখাচিত্রে সাধারণত সেটের আপেক্ষিক বা পরম আকার অংকবাচকতাএর ব্যাপারে যেমন সেটগুলো সুবিন্যস্ত রেখাচিত্র কী না সে ব্যাপারে কোন তথ্য থাকে না
ভেন রেখাচিত্র অয়লার রেখাচিত্রেরই অনুরূপ
তবে সংখ্যক উপাদান নিয়ে গঠিত ভেন রেখাচিত্রের জন্য অবশ্যই সংখ্যক প্রকল্পিতসম্ভাব্য এলাকা থাকবে যারা প্রতিটি উপাদান সেটের অন্তর্ভুক্তি বা বর্জনের সমন্বয়ে গঠিত হবে
অয়লার রেখাচিত্রে শুধু প্রদত্ত কোন প্রসঙ্গ বা পরিস্থিতির জন্য আসলেই সম্ভব এমন এলাকাগুলো অন্তর্ভুক্ত থাকে
ভেন রেখাচিত্রে কোন ছায়াময় এলাকা ফাঁকা অঞ্চল প্রকাশ করতে পারে যেখানে অয়লার রেখাচিত্রে অনুরূপ অঞ্চলটি রেখাচিত্রের মধ্যে থাকে না
উদাহরণস্বরূপ যদি একটি সেট দুগ্ধজাত পণ্য আর আরেকটি সেট পনিরকে প্রকাশ করে তাহলে ভেন রেখাচিত্রে এমন একটি এলাকা থাকবে যেখানে দুগ্ধজাত নয় এমন পনিরগুলো জায়গা করে নেবে
কিন্তু অয়লার রেখাচিত্রে ধরেই নেয়া হবে এ প্রসঙ্গে যে পনিরের কথা উল্লেখ করা হয়েছে তা দুগ্ধজাত পণ্য আর সেজন্য পনিরের জন্য নির্দিষ্ট পুরো এলাকাটি দুগ্ধজাত পণ্যের জন্য নির্দিষ্ট অঞ্চলের মধ্যেই থাকবে দুগ্ধজাত নয় এমন পনিরের জন্য কোন এলাকা থাকবে না
এর মানে দাঁড়ায় সীমানাসূচক রেখার সংখ্যা যত বাড়বে অয়লার রেখাচিত্র এর সমতুল্য ভেন রেখাচিত্রের তুলনায় তত কম জটিল দেখাবে বিশেষ করে যদি ফাঁকা নয় এমন ছেদকৃত অংশের সংখ্যা কম হয়
অয়লার ও ভেন রেখাচিত্রের মধ্যে সম্পর্ক নিম্নোলিখিত উদাহরণ দিয়ে দেখানো যায়
তিনটি সেট নেয়া হল এসকল সেটের ভেন আর অয়লার রেখাচিত্র হবে যদিও ভেন রেখাচিত্র সচরাচর দুই বা তিনটি সেটকে প্রকাশ করে কিন্তু আরও বেশি সংখ্যক সেটকে প্রকাশ করার জন্য আরও পদ্ধতি আছে
নিচে যেমনটি দেখানো হয়েছে একে অপরকে ছেদ করে এমন চারটি গোলোক উচ্চতর ক্রমের ভেন রেখাচিত্র গঠন করেছে যার সরল প্রতিসমতা রয়েছে এবং দৃশ্যত উপস্থাপন করা যায়
টি ছেদকৃত অংশ একটি ট্যাসেরাক্ট বা যথাক্রমে ঘর সংবলিত কোষ নির্দেশ করে
বেশি সংখ্যক সেটের জন্য রেখাচিত্রে প্রতিসমতার খানিকটা হ্রাস অনিবার্য হয়ে ওঠে
ভেন বেশি সংখ্যক সেটকে প্রকাশ করে এমন নিজেদের মধ্যে মার্জিতপ্রতিসম চিত্র খুঁজে বের করতে আগ্রহী ছিলেন আর তাই তিনি উপবৃত্ত নিচে দেখুন ব্যবহার করে একটি চার সেট সংবলিত মার্জিত রেখাচিত্র উদ্ভাবন করেন
তিনি যে কোন সংখ্যক সেটের জন্য ভেন রেখাচিত্রের কাঠামোও প্রণয়ন করেন যাতে তিন বৃত্ত সংবলিত রেখাচিত্র থেকে শুরু করে সেটের সীমানা নির্দেশ করে এমন প্রতিটি ক্রমিক বক্ররেখা পূর্বোক্তটির সাথে সন্নিবেশিত হয়
এন্থনি উইলিয়াম ফেয়ারব্যাংক এডওয়ার্ডস একটি গোলক পৃষ্ঠ টুকরো করে করে অধিক সংখ্যক সেটের জন্য ভেন রেখাচিত্র তৈরি করেন যা এডওয়ার্ডসভেন রেখাচিত্র হিসেবে পরিচিতি লাভ করে
উদাহরণস্বরূপ সমকোণে তিনটি গোলার্ধ ও নিয়ে তিনটি সেটকে সহজেই প্রকাশ করা যায়
এরপর নিরক্ষরেখার উপরনিচ বরাবর উঠবে আর নামবে এমন একটি টেনিস বলের খাঁজের মত একটি বক্ররেখা নিয়ে চতুর্থ সেটটি প্রকাশ করা যায়
এরপর ফলাফল সেটটিকে প্রদর্শিত উপায়ে ক্রমবর্ধমান খাঁজসংবলিত দাঁতওয়ালা চাকার মত রেখাচিত্র দিয়ে প্রকাশ করার জন্য কোন সমতলে অভিক্ষিপ্ত করা যায়
ভেনের স্মরণে রঙিন কাচের জানালা ডিজাইন করার সময় এ সকল রেখাচিত্র উদ্ভাবিত হয়েছিল
এডওয়ার্ডসভেন রেখাচিত্রটি টপোলজিগত ভাবে ব্রাংকো গ্রুনবাউম প্রণীত রেখাচিত্রের অনুরূপ যাতে ক্রমবর্ধমান পার্শ্বসংখ্যা সংবলিত একে অপরকে ছেদকৃত বহুভুজকে ভিত্তি করে গঠিত হয়
এরা অধিঘনকএর দ্বিমাত্রিক প্রকাশও বটে
হেনরি জন স্টিফেন স্মিথ সাইন বক্ররেখা দিয়ে অনুরূপ সেট সংবলিত রেখাচিত্র প্রণয়ন করেন যাতে এক গুচ্ছ সমীকরণ ব্যবহার করা হয় চার্লস লুটউইজ ডজসন যিনি লুইস ক্যারোল নামেও পরিচিত ক্যারোল স্কয়ার নামের একটি পাঁচ সেটের রেখাচিত্র উদ্ভাবন করেছিলেন
ভেন রেখাচিত্র o o ইত্যাদি প্রতিজ্ঞার জন্য সত্য সারণি নির্দেশ করে যেখানে ভেন রেখাচিত্রের প্রতিটি এলাকা সত্য সারণির একেকটি সারিকে প্রকাশ করে
এ ধরনের ভেন রেখাচিত্রকে জনসন রেখাচিত্র বলা হয়
সেটগুলোকে জন এফ র্যানডলফ প্রণীত আররেখাচিত্র দিয়েও প্রকাশ করা যায়
মাল্টিমোড অপটিক্যাল ফাইবার একটি ধরনের অপটিক্যাল ফাইবার যা বেশিরভাগ সময় একটি বাড়ির ভিতরে বা ক্যাম্পাসে সংযোগ স্থাপনের জন্য ব্যবহৃত হয়
সাধারণত মাল্টিমোড লিংকগুলির ডাটা রেট গিগাবিটসেকেন্ডের থেকে মেগাবিটসেকেন্ডের মধ্যে মিটার ফুট দৈর্ঘ্য পর্যন্ত
মাল্টিমোড ফাইবারের একটি মোটামুটি বৃহৎ ব্যাসের কোর রয়েছে যা মাধ্যাকর্ষণ বিচ্ছুরণের কারণে একাধিক হালকা মোড প্রচারিত এবং সংক্রমণের সর্বোচ্চ দৈর্ঘ্যকে সীমাবদ্ধ করে তোলে
সিঙ্গেলমোড অপটিক্যাল ফাইবারের তুলনায় মাল্টিমোড অপটিক্যাল ফাইবারের যোগাযোগের জন্য ব্যবহূত সরঞ্জামগুলি কম ব্যয়বহুল
টাইপিকাল ট্রান্সমিশন গতি এবং দূরত্বের সীমা গিগাবাইটসেকেন্ড কিমি বিএসএসএফএক্স পর্যন্ত মেগাবিটসেকেন্ড কিমি পর্যন্ত এবং মিটার পর্যন্ত গিগাবিটসেকেন্ড
তার উচ্চ ক্ষমতা এবং নির্ভরযোগ্যতার কারণে মাল্টিমোড অপটিক্যাল ফাইবার সাধারণত বিল্ডিং এ কাঠামোগত প্রয়োগের জন্য ব্যবহৃত হয়
মানকসহনীয় স্থাপনাগুলো যেমন কেন্দ্রীয় ক্যাবলিং এবং টেলিকম ভিত্তিক ফাইবার সরবরাহকারীরা ব্যবহারকারীদের ফাইবারের দূরত্বের ক্ষমতাগুলি অর্জনের ক্ষমতা প্রদান করে প্রতিটি ফ্লোরে সক্রিয় ইলেকট্রনিক্সের পরিবর্তে টেলিকমিউনিকেশন রুমে ইলেকট্রনিক্সকে কেন্দ্রীয়করণ করার মাধ্যমে
মাল্টিমোড এবং এককমোড অপটিক্যাল ফাইবারের মধ্যে প্রধান পার্থক্যটি হল মাল্টিমোড ফাইবারের কোর অনেক বড় ব্যাসের সাধারণত মাইক্রোমিটার এর মধ্যে বহনকারী আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্য তুলনামূলক অনেক বড়
বড় কোর এবং বৃহৎ নিউম্যারিকাল অ্যাপারচারের সম্ভাবনার কারণে একক মোড ফাইবারের তুলনায় মাল্টিফাইবার ফাইবারের আলো সংগ্রহকারী ক্ষমতা বেশি
কার্যকরীভাবে বৃহত্তর আকারের কোর সংযোগস্থাপন সহজ করে এবং স্বল্পদামী ইলেকট্রনিক্স যেমন oes s এবং e e ses s যা থেকে তরঙ্গদৈর্ঘ্যতে কাজ করে টেলিকমিউনিকেশন ব্যবহৃত একক মোড ফাইবারগুলি সাধারণত বা এ কাজ করে
যাইহোক একক মোড ফাইবার তুলনায় মাল্টিমোড ফাইবারের ব্যান্ডউইথদূরত্ব গুনফল সীমা কম
কারন মাল্টিমোড ফাইবারের একক মোড ফাইবারের চেয়ে বড় কোরসাইজ রয়েছে এটি একাধিক প্রচার মোডকে সমর্থন করে তাই এটি মোডাল বিচ্ছুরণ দ্বারা সীমিত হয় কিন্তু এককমোড নয়
কখনও কখনও মাল্টিমোড ফাইবারের সাথে ব্যবহৃত আলোর উত্সগুলি তরঙ্গদৈর্ঘ্যের একটি পরিসীমা উত্পাদন করে এবং এই প্রতিটি বিভিন্ন গতিতে বিস্তারিত হয়
এই বর্ণ বিচ্ছুরণ মাল্টিমোড ফাইবার অপটিক ক্যাবলের জন্য দরকারী দৈর্ঘ্যের আরেকটি সীমা