পদ্যে রচিত একটি পাটিগণিতের সমস্যা এ রকম চৌবাচ্চা ছিল এক প্রকাণ্ড বিশাল দুই নলে জল আসে সকালবিকাল এক নলে পূর্ণ হতে বিশ মিনিট লাগে অন্য নলে পূর্ণ হয় না আধা ঘণ্টার আগে চৌবাচ্চা পূর্ণের সময় করোগো নির্ণন দুই নল খুলে দিলে লাগে কতক্ষণ
আনন্দবাজার পত্রিকা পাটীগণিত গণিতের একটি শাখা
প্রাচীন কাল থেকে মানুষ নানান রকমের হিসাবনিকাশ করেছে বিভিন্ন পদ্ধতিতে
পাটীগণিত সেসব পদ্ধতির মধ্যে অন্যতম
প্রাচীন কালের অনেক মণীষী পাটিগণিতের উৎকর্ষ সাধন করে
তাদের মধ্যে পিথাগোরাস গ্যালিলিও মহাবীর রামানুজন প্রমুখ উল্লেখযোগ্য
ভারতীয় উপমহাদেশের বিশিষ্ট গণিতবিদ ছিলেন যাদব চন্দ্র চক্রবর্তী যিনি সচারচর যাদব বাবু নামে অভিহিত ছিলেন
ব্রিটিশ সরকার তাকে গণিত সম্রাট উপাধি দিয়েছিল
সালে তিনি প্রকাশ করেন গণিতশাস্ত্রের অন্যতম শ্রেষ্ঠ বই e
এটি সাধারণ্যে যাদবের পাটিগণিত হিসেবে পরিচিতি লাভ করে
এটি বিভিন্ন ভাষায় অনূদিত হয় এবং বিভিন্ন দেশে পাঠ্যপুস্তক হিসেবে গৃহীত হয়
প্রথম আলো জ্যামিতি গণিতের একটি শাখা যেখানে আকার ও আকৃতি এবং এতদসম্পর্কিত বিভিন্ন আঙ্গিকের পারস্পরিক সম্পর্ক নিয়ে গবেষণা করা হয়
জ্যামিতিকে স্থান বা জগতের বিজ্ঞান হিসেবে গণ্য করা যায়
পাটীগণিতে যেমন গণনা সংক্রান্ত আমাদের বিভিন্ন অভিজ্ঞতা নিয়ে আলোচনা করা হয় তেমনি জ্যামিতিতে স্থান বা জগৎ নিয়ে আমাদের অভিজ্ঞতার বর্ণনা ও ব্যাখ্যা দেয়া হয়
প্রাথমিক জ্যামিতিকে কাজে লাগিয়ে দ্বিমাত্রিক বিভিন্ন আকারের ক্ষেত্রফল ও পরিসীমা এবং ত্রিমাত্রিক বস্তুসমূহের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় করা সম্ভব
এই অসংজ্ঞায়িত ধারণাগুলির মধ্যে সবচেয়ে পরিচিত হল বিন্দু রেখা ও তলের ধারণা
এই মৌলিক ধারণাগুলি আমাদের প্রাত্যহিক জীবনের অভিজ্ঞতা থেকে উদ্ভূত
একটি বস্তু কোথায় এই প্রশ্নের উত্তরে আমাদেরকে একটি নির্দিষ্ট স্থির অবস্থানের কথা চিন্তা করতে হয়
বিন্দু পদটি দিয়ে আমাদের এই স্বজ্ঞাভিত্তিক e স্থির নির্দিষ্ট অবস্থানের ধারণাকেই নির্দেশ করা হয়
অনেক ভৌত বস্তুই বিন্দুর ধারণা নির্দশ করে
যেমন কোন ব্লক আকৃতির বস্তুর কোণা পেন্সিলের ডগা কিংবা কাগজের উপর ফুটকি
এই জিনিসগুলিকে বিন্দু নামক মানসিক বিমূর্ত ধারণাটির বাস্তব মূর্ত প্রতিরূপ বা মডেল হিসেবে গণ্য করা হয়
একইভাবে একটি টানটান সুতা টেবিলের ধার পতাকাবাহী দণ্ড ইত্যাদি পরপর সাজানো অনেকগুলি বিন্দুকে নির্দেশ করে
যদি কিছু কিছু সাংখ্যিক ও বীজগাণিতিক সমীকরণ দিয়ে বিন্দু রেখা এবং অন্যান্য জ্যামিতিক আকৃতি নির্দেশ করা যায় এই উপলব্ধি থেকেই বিশ্লেষণী জ্যামিতির জন্ম
অক্ষ ও স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে সমীকরণগুলির চিত্রলেখ অঙ্কনের মাধ্যমে বিন্দু রেখা ও অন্যান্য আকৃতি নির্দেশ করা সম্ভব
যেমন লম্বভাবে অবস্থিত দুইটি অক্ষ থেকে দূরত্ব নির্দেশ করে কোন একটি বিন্দুর অবস্থান চিহ্নিত করা সম্ভব
যদি কোন বিন্দু অক্ষ থেকে একক দূরে এবং অক্ষ থেকে একক দূরে অবস্থিত হয় তবে এটির অবস্থান এই সমীকরণ দুইটি দিয়ে নির্দেশ করা সম্ভব
একইভাবে একটি সরলরেখাকে সবসময় আকারের একটি সমীকরণ দিয়ে নির্দেশ করা যায়
বৃত্ত উপবৃত্ত কোণীয় ছেদ ও অন্যান্য আকৃতির জন্য আরও জটিল সমীকরণ আছে
বিশ্লেষণী জ্যামিতিতে দুই ধরনের সমস্যা খুবই সাধারণ
প্রথম ধরনের সমস্যাতে কতগুলি বিন্দুর জ্যামিতিক বিবরণ দেয়া থাকে এবং সেখান থেকে এই বিন্দুগুলিকে সিদ্ধ করে এমন বীজগাণিতিক সমীকরণ করতে হয়
দ্বিতীয় ধরনের সমস্যা এর বিপরীত প্রদত্ত বীজগাণিতিক সমীকরণ থেকে এমন কোন বিন্দু সমাহার বের করতে হয় যেগুলি একটি জ্যামিতিক বিবৃতি মেনে চলে
উদাহরণস্বরূপ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র ও অক্ষের ছেদবিন্দু তথা মূলবিন্দুতে অবস্থিত সেটির সমস্ত বিন্দু সমীকরণ মেনে চলবে
এই ধরনের সমীকরণ ব্যবহার করে জ্যামিতিক অন্যান্য সমস্যা যেমন কোন কোণ বা রেখাংশের সমদ্বিখণ্ডক বের করা বা কোন রেখার নির্দিষ্ট বিন্দুতে লম্ব আঁকা তিনটি প্রদত্ত অসমরেখ বিন্দুর মধ্য দিয়ে বৃত্ত আঁকা ইত্যাদি সম্পাদন করা যায়
একইভাবে তিনটি অক্ষ ব্যবহার করে ত্রিমাত্রিক জগতে বিন্দু রেখা ও অন্যান্য চিত্র নির্দেশ করা সম্ভব
এক্ষেত্রে তৃতীয় অক্ষ বা অক্ষটি পর দুইটি অক্ষের উপর লম্বভাবে অবস্থিত থাকে
গণিতের উন্নয়নে বিশ্লেষণী জ্যামিতি মূল্যবান ভূমিকা রাখে
এটি সংখ্যার সম্পর্ক তথা বিশ্লেষণী গণিতের সাথে জ্যামিতি তথা স্থানিক সম্পর্কের যোগসূত্র স্থাপন করে
বিশ্লেষণী জ্যামিতির কৌশলগুলি সংখ্যা ও বীজগাণিতিক এক্সপ্রেশনের জ্যামিতিক উপস্থাপন সম্ভব করে
ফলে ক্যালকুলাস ফাংশনের তত্ত্ব ও উচ্চতর গণিতের অন্যান্য সমস্যা নতুন আলোকে দেখার সুযোগ হয়
বিশ্লেষণী জ্যামিতি ছাড়া অইউক্লিডীয় জ্যামিতি ও তিনের অধিক মাত্রার জ্যামিতির আলোচনা সম্ভবপর হত না
জার্মান গণিতবিদ কার্ল ফ্রিড্রিশ গাউস ভূমি জরিপ ও প্রভূমিতি eoes সংক্রান্ত ব্যাবহারিক সমস্যার সমাধান করতে গিয়ে অন্তরক জ্যামিতি শাখা শুরু করেন
এতে তিনি অন্তরক ক্যালকুলাস ব্যবহার করে বক্ররেখা ও বক্রতলসমূহের স্বকীয় বৈশিষ্ট্যগুলি চিহ্নিত করেন
উদাহরণস্বরূপ তিনি গাণিতিকভাবে দেখান যে একটি বেলনের স্বকীয় বক্রতা ও একটি সমতলের স্বকীয় বক্রতা একই কেননা একটি ফাঁপা বেলনকে অক্ষ বরাবর কেটে চ্যাপ্টা করলে এটি একটি সমতলে পরিণত হয় কিন্তু গোলকের ক্ষেত্রে রূপবিকার না করে এটি করা যায় না
ইউক্লিডের পঞ্চম স্বতঃসিদ্ধ বলে যে কোন প্রদত্ত রেখার বহিঃস্থ একটি বিন্দু দীয়ে ঐ রেখার সমান্তরাল কেবল একটি রেখা আঁকা সম্ভব এবং এই সমান্তরাল রেখা কখনোই প্রদত্ত রেখাটিকে স্পর্শ করবে না অসীম পর্যন্ত সমান্তরালে চলতে থাকবে
শ শতকের শুরুর দিকে জার্মান গণীতবিদ কার্ল ফ্রিড্রিশ গাউস রুশ গণিতবিদ নিকলাই ইভানভিচ লোবাচেভ্স্কি এবং হাঙ্গেরীয় গণিতবিদ ইয়ানোশ বলিয়ই একে অপরের থেকে স্বাধীনভাবে দেখান যে এমন একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ জ্যামিতিক ব্যবস্থা গঠন করা সম্ভব যেখানে ইউক্লিডের এই পঞ্চম স্বতঃসিদ্ধটিকে অন্য একটি স্বতঃসিদ্ধ দিয়ে প্রতিস্থাপন করা সম্ভব যেটি বলে যে কোন প্রদত্ত রেখার বহিঃস্থ কোন বিন্দু দিয়ে রেখাটির সমান্তরাল অসীম সংখ্যক রেখা আঁকা সম্ভব
পরবর্তীতে সালে জার্মান গণিতবিদ গেয়র্গ ফ্রিড্রিশ বের্নহার্ট রিমান দেখান যে আরেকটি জ্যামিতিক ব্যবস্থা গঠন করা সম্ভব যেখানে এরকম কোন সমান্তরাল রেখাই আঁকা সম্ভব নয়
উপরের দুই ধরনের অইউক্লিডীয় জ্যামিতির বিস্তারিত বিবরণ বেশ জটিল তবে দুটিকেই সহজ মডেলের মাধ্যমে দেখানো সম্ভব
বলিয়াইলোবাচেভ্স্কি জ্যামিতিতে যাকে অনেক সময় অধিবৃত্তীয় জ্যামিতিও বলা হয় এমন একটি জ্যামিতিক ব্যবস্থা আলোচনা করা হয় যার সমস্ত বিন্দু একটি বৃত্তের মধ্যে সীমাবদ্ধ এবং যার সমস্ত সম্ভাব্য রেখা বৃত্তটির জ্যা
যেহেতু সংজ্ঞা অনুসারে দুইটি সমান্তরাল রেখাকে যতই প্রসারিত করা হোক না কেন এর কখনোই মিলবে না এবং অধিবৃত্তীয় জ্যামিতিতে যেহেতু রেখাগুলি বৃত্তের ধারের বাইরে প্রসারিত করা সম্ভব নয় সে কারণে যেকোন রেখার সমান্তরাল অসীম সংখ্যক রেখা রেখাটির বহিঃস্থ বিন্দু দিয়ে আঁকা সম্ভব
একইভাবে রিমানীয় বা উপবৃত্তীয় অইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে জ্যামিতিক বিশ্ব বা জগত একটি বিশাল গোলকের পৃষ্ঠ যেখানে সব সরলরেখা একেকটি বৃহত্তম বৃত্ত
এই জ্যামিতিতে এক জোড়া সমান্তরাল রেখা আঁকা অসম্ভব
অপেক্ষাকৃত কম দূরত্বের জন্য অর্থাৎ আমাদের প্রাত্যহিক অভিজ্ঞতার ক্ষেত্রে ইউক্লিডীয় ও অইউক্লিডীয় জ্যামিতির মধ্যে কোন পার্থক্য নেই
তবে মহাজাগতিক দূরত্ব এবং আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যা যেমন আপেক্ষিকতার সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য ইউক্লিডীয় জ্যামিতির চেয়ে অইউক্লিডীয় জ্যামিতি পর্যবেক্ষণকৃত ঘটনাবলির আরও সুক্ষ্ম ও সঠিক ব্যাখ্যা দিতে পারে
উদাহরণস্বরূপ আলবার্ট আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতা তত্ত্ব বক্রতলের একটি রিমানীয় জ্যামিতির উপর ভিত্তি করে প্রস্তাবিত
বিভিন্ন জ্যামিতিক বস্তু ও এদের অভিক্ষেপের মধ্যে সম্পর্ক আলোচনা করতে গিয়ে শ শতকে জ্যামিতির আরেকটি শাখা শুরু হয়
উদাহরণ হিসেবে বলা যায় কনিকগুলিকে অভিক্ষেপের মাধ্যমে একটি থেকে আরেকটিতে রূপান্তরিত করা যায়
কোন ফ্ল্যাশলাইটকে দেয়ালের সাথে লম্বভাবে ধরলে বৃত্তাকার আলোকপট্টি ফেলে কিন্তু কোণ করে হেলিয়ে ধরলে দেয়ালে উপবৃত্তাকার আলোকপট্টির সৃষ্টি হয়
অভিক্ষেপী রূপান্তরের পরেও জ্যামিতিক চিত্রের কিছু কিছু ধর্ম অপরিবর্তনশীল থাকে
এই অপরিবর্তনশীল ধর্মগুলি কী তাই অভিক্ষেপী জ্যামিতির বিভিন্ন উপপাদ্যের আলোচ্য
অভিক্ষেপী ও বিশ্লেষণী জ্যামিতির উন্নয়ন গণিতবিদদেরকে তিনের বেশি মাত্রার জগতের জ্যামিতি অধ্যয়নে উৎসাহী করে
অনেকে মনে করেন এ ধরনের বহুমাত্রিক জগৎ নিয়ে চিন্তা করা খুব কঠিন
কিন্তু আসলে গণিতবিদেরা এগুলি আরও সহজ উপায়ে কল্পনা করেন
ভৌত বিশ্বের যেকোন বিন্দুর অবস্থান তিনটি অক্ষের সাধারণত ও অক্ষ নামে পরিচিত সাপেক্ষে নির্দেশ করা সম্ভব
ভৌত বিশ্বের স্থান বিষয়ক জ্যামিতি তাই ত্রিমাত্রিক
এই ত্রিমাত্রিক জগতের প্রতিটি বিন্দুকে কল্পনায় যদি একটি গোলক দিয়ে প্রতিস্থাপিত করে নেওয়া হয় তবে এটি একটি চতুর্মাত্রিক জগতে পরিণত হয়
কেননা তখন প্রতিটি বিন্দুগোলকের অবস্থান নির্দেশ করার জন্য চারটি নির্দেশক লাগবে গোলকের কেন্দ্র নির্দেশকারী ও স্থানাংক এবং গোলকটির ব্যাসার্ধের দৈর্ঘ্য
একইভাবে দ্বিমাত্রিক জগৎ দিয়ে একটি ত্রিমাত্রিক জগতকে উপস্থাপন করা সম্ভব
এক্ষেত্রে দ্বিমাত্রিক জগতের প্রতিটি বিন্দুকে একটি বৃত্ত দিয়ে প্রতিস্থাপিত করা হয় এবং ত্রিমাত্রিক জগতের তিনটি মাত্রা হল বৃত্তের কেন্দ্র নির্দেশক দুইটি স্থানাংক এবং এর ব্যাসার্ধ
তিনের বেশি মাত্রার জগৎ নিয়ে জ্যামিতিক ধারণাগুলি ভৌত বিজ্ঞানে বিশেষ করে আপেক্ষিকতা তত্ত্বের উন্নয়নে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে
চার বা তার বেশি মাত্রার জগতের সুষম জ্যামিতিক বস্তুগুলির অধ্যয়নে বিশ্লেষণী জ্যামিতির পদ্ধতিও প্রয়োগ করা হয়