Dòng chảy Stokes

Dòng chảy Stokes (được đặt theo tên của George Gabriel Stokes), còn có tên là dòng chảy từ từ hoặc chuyển động từ từ, là một loại dòng chảy chất lưu trong đó lực quán tính bình lưu rất nhỏ so với lực nhớt. Dòng chảy Stokes có số Reynolds rất thấp, tức là\textit{Re} \ll 1. Đây là một trường hợp điển hình của các dòng chảy chất lưu với vận tốc rất chậm, độ nhớt rất lớn, hoặc quy mô chiều dài của dòng chảy rất nhỏ. Ban đầu dòng chảy từ từ được nghiên cứu để tìm hiểu về lý thuyết bôi trơn. Trong tự nhiên loại dòng chảy này có thể được quan sát thấy khi vi sinh vật và tinh trùng bơi trong môi trường chất lưu chứa chúng và trong dòng chảy của dung nham. Trong công nghệ, dòng chảy Stokes xảy ra trong dòng chảy của các loại sơn, thiết bị MEMS, và dòng chảy của polymer nhớt thông thường.

Các phương trình của chuyển động của dòng chảy Stokes, được gọi là các phương trình Stokes, và chúng là sự tuyến tính hóa của các phương trình Navier-Stokes, do đó có thể được giải bằng một số phương pháp nổi tiếng áp dụng cho phương trình vi phân tuyến tính. Hàm Green sơ cấp cho dòng Stokes được gọi là Stokeslet, đại diện cho một dòng chảy Stokes dưới tác dụng của một lực tập trung đơn nhất. Từ các đạo hàm của nó (Stokeslet) có thể tìm được những lời giải cơ sở khác.

Lời giải cơ sở của bài toán một lực tập trung tác dụng lên một dòng chảy Stokes ổn định được nhà khoa học đoạt giải Nobel Hendrik Lorentz tìm ra vào năm 1896. Lời giải này hiện nay được biết đến với cái tên Stokeslet, mặc dù Stokes không bao giờ biết về nó. Tên Stokeslet do Hancock đặt ra năm 1953. Các lời giải cơ sở dạng khép kín cho các dòng chảy Stokes và Oseeen không ổn định tổng quát hóa tương ứng với chuyển động quay và tịnh tiến phụ thuộc thời gian bất kỳ đã được tìm ra cho các chất lưu Newton và chất lưu vi cực (micropolar).

Các phương trình Stokes
Phương trình chuyển động của dòng chảy Stokes được rút ra bằng cách tuyến tính hóa các phương trình Navier - Stokes ở trạng thái ổn định. Lực quán tính được giả định là không đáng kể so với lực nhớt, và do đó có thể loại bỏ các số hạng liên quan đến quán tính của cân bằng động lượng trong các phương trình Navier - Stokes làm giảm cân bằng động lượng trong các phương trình Navier Stokes thành cân bằng lực trong các phương trình Stokes: và \scriptstyle \mathbf{f} một lực khối tác dụng lên dòng chảy đang xét. Các phương trình Stokes đầy đủ cũng bao gồm một phương trình cho bảo toàn khối lượng, thường được viết dưới dạng:

: \frac{d\rho}{dt} + \rho\nabla\cdot\mathbf{u} = 0

Trong đó \scriptstyle \rho là mật độ chất lưu và \scriptstyle \mathbf{u} là vận tốc chất lưu. Để có được các phương trình chuyển động cho dòng chảy không nén được, giả định rằng mật độ \scriptstyle \rho là một hằng số.

Ngoài ra, đôi khi người ta có thể xem xét các phương trình Stokes không ổn định, trong đó số hạng \scriptstyle \rho \frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} được thêm vào phía bên tay trái của phương trình cân bằng động lượng.

Chứng minh tính thuận nghịch thời gian

Phương pháp Taylor-Couette có thể tạo ra dòng chảy tầng bằng cách sử dụng hai trụ đồng tâm di chuyển qua nhau theo đường xoắn ốc biểu kiến.

Dòng chảy không nén được của các chất lưu Newton

Trong trường hợp thông thường đối với chất lưu Newton không nén được, các phương trình Stokes có dạng (được vector hóa):

: \begin{align} \mu \nabla^2 \mathbf{u} -\boldsymbol{\nabla}p + \mathbf{f} &= 0 \\
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{u}&=0 \end{align}

Trong đó \scriptstyle \mathbf{u} là vận tốc của chất lưu, \scriptstyle \boldsymbol{\nabla} p là gradient của áp suất, \scriptstyle \mu là độ nhớt động lực, và \scriptstyle \mathbf{f} là một lực khối tác dụng lên chất lưu. Đây là các phương trình tuyến tính đối với vận tốc và áp suất, và do đó có thể tận dụng lợi thế của một loạt các phương pháp giải phương trình vi phân tuyến tính.
|}

Phương pháp hàm Green: Stokeslet
Sự tuyến tính của các phương trình Stokes trong trường hợp chất lưu Newton không nén được có nghĩa là tồn tại hàm Green, \mathbb{J}(\mathbf{r}). Hàm Green được tìm thấy bằng cách giải các phương trình Stokes với số hạng lực được thay thế bằng một lực tập trung tại gốc tọa độ và các điều kiện biên biến mất (bằng không) ở vô cùng:

: \begin{align} \mu \nabla^2 \mathbf{u} -\boldsymbol{\nabla}p &=- \mathbf{F}\cdot\mathbf{\delta}(\mathbf{r})\\
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{u}&=0 \\
|\mathbf{u}|, p &\to 0 \quad \mbox{as} \quad r\to\infty \end{align}

trong đó \mathbf{\delta}(\mathbf{r}) là hàm Dirac delta, và \mathbf{F}\cdot\delta(\mathbf{r}) đại diện cho một lực tập trung tại gốc tọa độ. Lời giải cho áp suất p và vận tốc u với |u| và p biến mất ở vô cùng như sau:

Các định luật Faxén
Các định luật Faxén là những quan hệ trực tiếp biểu diễn các moment đa cực về dòng chảy bao quanh và các đạo hàm của nó. Được phát triển đầu tiên bởi Hilding Faxén để tính toán lực, \mathbf{F}, và moment xoắn, \mathbf{T} trên một khối cầu, chúng có dạng như sau:

:\begin{align} \mathbf{F} &= 6\pi\mu a \left(1 + \frac{a^2}{6}\nabla^2 \right) \mathbf{v}^{\infty}(\mathbf{x})|_{x=0} - 6\pi\mu a \mathbf{U} \\
\mathbf{T} &= 8\pi\mu a^3(\mathbf{\Omega}^{\infty}(\mathbf{x}) - \mathbf{\omega})|_{x=0} \end{align}

trong đó \mu là độ nhớt động lực, a là bán kính phần tử, \mathbf{v}^{\infty}là dòng chảy bao quanh, \mathbf{U} là tốc độ phần tử, \mathbf{\Omega}^{\infty} là vận tốc góc của dòng chảy, và \mathbf{\omega} là vận tốc góc của phần tử.

Các định luật của Faxén có thể được tổng quát hóa để mô tả các moment của các hình dạng khác không phải hình cầu, chẳng hạn như ellipsoid, các vật thể dạng cầu, và các giọt (chất lưu) hình cầu.

Đọc thêm

Tham khảo

Ockendon, H. & Ockendon J. R. (1995) Viscous Flow, Cambridge University Press. ISBN 0-521-45881-1.

Liên kết ngoài
Video demonstration of time-reversibility of Stokes flow by UNM Physics and Astronomy