Giới hạn của một dãy

đều n cạnh ngoại tiếp đường tròn có giới hạn bằng chu vi của đường tròn đó, tức là bằng 2\pi r. Dãy tương ứng cho các đa giác nội tiếp cũng có giới hạn tương tự.]]

Khi số nguyên n càng lớn, giá trị n\cdot \sin\bigg(\frac1{n}\bigg) trở nên gần một cách tùy ý với 1. Ta nói rằng "giới hạn của dãy số n\cdot \sin\bigg(\frac1{n}\bigg) bằng 1."

Trong toán học, giới hạn của một dãy là giá trị mà các số hạng của dãy "tiến tới". Nếu một giới hạn tồn tại, dãy được gọi là hội tụ, nếu không, dãy được gọi là phân kì. Giới hạn của một dãy số là một khái niệm quan trọng trong giải tích.
Nếu x_n = \frac{1}{n} thì x_n \to 0.
Nếu x_n = 1/n khi n chẵn, và x_n = \frac1{n^2} khi n lẻ thì x_n \to 0. (Việc x_{n+1} > x_n khi n lẻ không ảnh hưởng gì)
Với bất kì số thực nào, có thể xây dựng một dãy số hội tụ về số đó bằng cách lấy xấp xỉ thập phân. Ví dụ, dãy số 0.3, 0.33, 0.333, 0.3333, ... hội tụ về 1/3. Chú ý rằng biểu diễn thập phân 0.3333... chính là giới hạn của, xác định bởi
: 0.3333...\triangleq\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{3}{10^i}.

Tìm giới hạn của một dãy số không phải lúc nào cũng hiển nhiên. Hai ví dụ điển hình là \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac1{n}\right)^n (giới hạn có giá trị là số e) và trung bình cộng-nhân. Định lý kẹp thường hữu ích trong những trường hợp này.

Định nghĩa
Ta gọi x là giới hạn của một dãy số (x_n) nếu điều kiện sau đây được thỏa mãn:
:Với mọi số thực \varepsilon > 0, tồn tại một số tự nhiên N sao cho, với mọi số tự nhiên n \geq N, ta có |x_n - x| .
Nói cách khác, với mọi giá trị độ gần \varepsilon, các số hạng của dãy sẽ tiến gần đến giới hạn trong khoảng đó.

Dãy số (x_n) khi ấy được gọi là hội tụ về hoặc tiến tới giới hạn x, viết là x_n \to x hoặc \lim_{n\to\infty}x_n = x.

Định nghĩa trên có thể biểu diễn bằng ký hiệu:
: \forall \varepsilon > 0(\exists N \in \mathbb{N}(\forall n \in \mathbb{N}(n \geq N \implies |x_n - x|

Nếu một dãy số có tồn tại giới hạn thì đó là dãy hội tụ; ngược lại nó là dãy phân kỳ.

Minh họa

File:Folgenglieder im KOSY.svg|Ví dụ về một dãy số hội tụ về a.
File:Epsilonschlauch.svg|Bất kể giá trị \varepsilon > 0 nào ta chọn, tồn tại một số N_0, sao cho dãy số đằng sau nó nằm hoàn toàn trong "ống epsilon" (a-\varepsilon,a+\varepsilon).
File:Epsilonschlauch klein.svg|Với giá trị \varepsilon_1 > 0 nhỏ hơn, cũng tồn tại một số N_1, sao cho dãy số sau đó nằm trong phần ống epsilon (a-\varepsilon_1,a+\varepsilon_1).
File:Epsilonschlauch2.svg|Với mọi \varepsilon > 0 chỉ có hữu hạn các số hạng của dãy số nằm ngoài ống epsilon.

Tính chất
Giới hạn của dãy số có những tính chất tương tự như những phép tính số học thông thường. Nếu a_n \to a và b_n \to b thì a_n+b_n \to a+b, a_n\cdot b_n \to ab và, nếu b và tất cả b_n đều khác 0, \frac{a_n}{b_n} \to \frac{a}{b}.

Với mọi hàm số liên tục f, nếu x_n \to x thì f(x_n) \to f(x). Thực ra, bất kỳ hàm số f nào có giá trị thực liên tục khi và chỉ khi nếu nó bảo toàn giới hạn của dãy số (điều này không nhất thiết đúng với những định nghĩa tổng quát hơn của tính liên tục).

Một số tính chất quan trọng của giới hạn cho dãy số thực như sau(với điều kiện, trong mỗi đẳng thức ở dưới, giới hạn ở vế phải tồn tại).

Giới hạn của một dãy số là duy nhất.
\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n
\lim_{n\to\infty} c a_n = c \cdot \lim_{n\to\infty} a_n
\lim_{n\to\infty} (a_n \cdot b_n) = (\lim_{n\to\infty} a_n)\cdot( \lim_{n\to\infty} b_n)
\lim_{n\to\infty} \left(\frac{a_n}{b_n}\right) = \frac{\lim\limits_{n\to\infty} a_n}{\lim\limits_{n\to\infty} b_n} với điều kiện \lim_{n\to\infty} b_n \ne 0
\lim_{n\to\infty} a_n^p = \left[ \lim_{n\to\infty} a_n \right]^p
Nếu a_n \leq b_n với mọi n > N thì \lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n
(Định lý kẹp) Nếu a_n \leq c_n \leq b_n với mọi n > N, và \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = L, thì \lim_{n\to\infty} c_n = L.
Nếu một dãy số bị chặn và đơn điệu thì nó hội tụ.
Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi mọi dãy con của nó hội tụ.

Những tính chất trên được sử dụng rất nhiều để chứng minh giới hạn mà không cần sử dụng định nghĩa cồng kềnh trên. Chẳng hạn, một khi chứng minh được \frac{1}{n} \to 0 ta dễ dàng chứng minh được \frac{a}{b+\frac{c}{n}} \to \frac{a}{b}, (b \ne 0), sử dụng những tính chất trên.

Giới hạn vô cùng

Một dãy số (x_n) được gọi là tiến tới vô cùng, viết là x_n \to \infty hay \lim_{n\to\infty}x_n = \infty nếu, với mọi K, tồn tại N sao cho với mọi n \geq N thì x_n > K; tức là các số hạng của dãy dần lớn hơn bất kì K cố định nào. Tương tự, x_n \to -\infty nếu, với mọi K, tồn tại N sao cho với mọi n \geq N thì x_n . Nếu một dãy số tiến tới cộng hoặc trừ vô cùng thì nó phân kỳ (tuy nhiên, một chuỗi phân kỳ có thể không tiến tới cộng hay trừ vô cùng: ví dụ như dãy số x_n=(-1)^n).

Không gian metric

Định nghĩa

Một điểm x trong không gian metric (X, d) là giới hạn của dãy (x_n) nếu, với mọi \varepsilon > 0, tồn tại N sao cho với mọi n \geq N, d(x_n, x) . Định nghĩa này trở thành định nghĩa cho số thực khi X = \mathbb{R} và d(x, y) = |x-y|.

Tính chất

Với hàm số liên tục f bất kỳ, nếu x_n \to x thì f(x_n) \to f(x). Thực chất, hàm số f liên tục khi và chỉ khi nó bảo toàn giới hạn của dãy số.

Giới hạn của dãy số, nếu tồn tại, là duy nhất, do những điểm khác nhau cách nhau một khoảng dương. Nếu dãy số có hai giới hạn khác nhau, với \varepsilon nhỏ hơn một nửa khoảng cách giữa chúng, các số hạng của dãy không thể cách mỗi giới hạn một khoảng đều bé hơn \varepsilon.

Không gian tôpô

Định nghĩa

Một điểm x trong không gian tôpô (X, \tau) là giới hạn của dãy số (xn) nếu, với mọi lân cận U của x, tồn tại N sao cho, với mọi n \geq N, x_n \in U. Định nghĩa này trở thành định nghĩa cho không gian metric nếu (X, d) là một không gian metric và \tau là tôpô tạo ra bởi d.

Giới hạn của một dãy các điểm \left(x_n:n\in \mathbb{N}\right)\; trong không gian tôpô T là một trường hợp đặc biệt của giới hạn của một hàm số: tập xác định là \mathbb{N} trong không gian \mathbb{N} \cup \lbrace +\infty \rbrace với tôpô cảm sinh của tập số thực mở rộng, miền giá trị là T, và đối số n tiến tới +\infty, ở đây là một điểm giới hạn của \mathbb{N}.

Tính chất

Nếu X là một không gian Hausdorff thì giới hạn của dãy số là duy nhất nếu chúng tồn tại. Tuy nhiên điều này không đúng trong tổng quát; cụ thể, nếu x và y là không thể phân biệt tôpô (tức chúng có cùng lân cận), bất kỳ chuỗi nào hội tụ đến x cũng phải hội tụ đến y và ngược lại.

Dãy Cauchy

mọi dãy Cauchy hội tụ về một giới hạn.]]

Một dãy Cauchy là một dãy có các số hạng trở nên gần nhau một cách tùy ý, sau khi bỏ qua những số hạng đầu. Dãy Cauchy có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các dãy trong không gian metric, và cụ thể là trong giải tích thực. Một kết quả đặc biệt quan trong giải tích thực là tiêu chuẩn Cauchy về tính hội tụ của dãy số: một dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là một dãy Cauchy. Kết quả này vẫn đúng trong những không gian metric đầy đủ khác.

Định nghĩa cho số siêu thực
Định nghĩa của giới hạn cho số siêu thực cụ thể hóa cảm nhận rằng với số thứ tự "rất lớn", số hạng tương ứng "rất gần" với giới hạn. Chính xác hơn, một dãy số thực (x_n) hội tụ về L nếu với mọi số siêu nguyên vô hạn H, số hạng x_H gần vô hạn với L, tức là hiệu x_H-L nhỏ vô cùng. Nói cách khác, L là phần chuẩn của x_H:

: L = {\rm st}(x_H).\,

Do đó, giới hạn có thể được định nghĩa bằng công thức

:\lim_{n \to \infty} x_n= {\rm st}(x_H),

và giới hạn tồn tại khi và chỉ khi vế phải không phụ thuộc vào cách chọn một số H vô cùng.

Xem thêm
Giới hạn của một hàm số
Giới hạn của một lưới
Định lý Bolzano–Weierstrass

Ghi chú

Chứng minh

Tham khảo
Courant, Richard (1961). "Differential and Integral Calculus Volume I", Blackie & Son, Glasgow.
Frank Morley và James Harkness A treatise on the theory of functions (New York: Macmillan, 1893)

Liên kết ngoài

Lịch sử giải tích, bao gồm cả giới hạn