Phương trình đường thẳng

Một số khái niệm

Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ \vec{u}\neq\vec{0} và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng được xem là vectơ chỉ phương của đường thẳng. Khi đó, với k\neq0, vectơ k\vec{u} cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Vectơ \vec{n}\neq\vec{0} và có giá vuông góc với đường thẳng được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Khi đó, với k\neq0, vectơ k\vec{n} cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó

Tương quan giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có vectơ chỉ phương \vec{a}=(a,b) thì có vectơ pháp tuyến là \vec{n}=(-b,a) hay \vec{n}=(b,-a). Ngược lại, đường thẳng d có vectơ pháp tuyến \vec{n}=(a,b) thì có vectơ chỉ phương là \vec{a}=(-b,a) hay \vec{a}=(b,-a)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng d có vectơ \vec{n_1}=(A_1,B_1,C_1) và vectơ \vec{n_2}=(A_2,B_2,C_2) là 2 vectơ pháp tuyến không cùng phương thì có vectơ chỉ phương là tích có hướng giữa \vec{n_1} với \vec{n_2} hoặc giữa \vec{n_2} với \vec{n_1}.

Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng

Dạng tham số
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d đi qua điểm M(x_0,y_0) và nhận \vec{u}=(u_1,u_2) làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là\begin{cases} x=x_0+u_1 t \\ y=y_0+u_2 t \end{cases} với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t\in R ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc
Nếu u_1 \neq 0 và u_2 \neq 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc {x-x_0 \over u_1}={y-y_0 \over u_2}.

Đường thẳng song song hoặc vuông góc với các trục tọa độ thì không có phương trình chính tắc.

Dạng tổng quát
Phương trình ax+by+c=0 với a^2+b^2\neq0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng, khi đó \vec{n}=(a,b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

Các trường hợp đặc biệt
Đường thẳng by+c=0 (a=0) vuông góc với trục Oy tại điểm A(0;-{c \over b}).

Đường thẳng ax+c=0 (b=0) vuông góc với trục Ox tại điểm B(-{c \over a};0).

Đường thẳng ax+by=0 (c=0) đi qua gốc tọa độ O(0;0).

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
Đường thẳng đi qua 2 điểm A(x_0;0) (x_0\neq0) và B(0;y_0) (y_0\neq0) thì có thể được viết dưới dạng phương trình {x \over x_0}+{y \over y_0}=1.

Hệ số góc của đường thẳng
Cho đường thẳng d cắt trục Ox tại M và tia Mt là một phần của đường thẳng nằm ở nửa mặt phẳng có bờ là trục Ox mà các điểm trên nửa mặt phẳng đó có tung độ dương, khi đó tia Mt hợp với tia Mx một góc \alpha. Đặt k=\tan\alpha, khi đó k được gọi là hệ số góc của đường thẳng d.

Đường thẳng có vecto chỉ phương \vec{u}=(u_1,u_2) thì có hệ số góc k={u_2 \over u_1}.

Đường thẳng có vectơ pháp tuyến \vec{n}=(a,b) thì có hệ số góc k=-{a \over b}.

Hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau.

Hai đường thẳng vuông góc có tích 2 hệ số góc là -1.

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
Cho 2 đường thẳng: (D) Ax+By+C=0 và (d) ax+by+c=0.

(D) cắt (d) \Leftrightarrow {A \over a} \neq{B \over b} khi đó tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng là nghiệm của hệ phương trình \begin{cases} Ax+By+C=0 \\ ax+by+c=0 \end{cases}

(D) // (d)\Leftrightarrow {A \over a} ={B \over b}\neq{C\over c}

(D) \equiv (d)\LeftrightarrowA:B:C = a:b:c

Góc giữa 2 đường thẳng
Cho đường thẳng (D) và (d) cắt nhau tại điểm M. Gọi \vec{n_1}=(A_1,B_1) là vectơ pháp tuyến của (D) và \vec{n_2}=(A_2,B_2) là vectơ pháp tuyến của (d). Gọi \alpha là góc nhọn tạo bởi 2 đường thẳng, khi đó:

\cos\alpha={\left \vert \vec{n_1}.\vec{n_2} \right \vert \over\left \vert \vec{n_1} \right \vert\left \vert \vec{n_2} \right \vert }={\left\vert A_1A_2+B_1B_2 \right\vert \over \sqrt{(A_1^2+B_1^2)(A_2^2+B_2^2)}}

2 đường thẳng vuông góc thì \alpha=90^\circ.

2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì \alpha=0^\circ.

Cách tính trên cũng đúng khi sử dụng vectơ chỉ phương.

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và M(x_0,y_0)\not\in(d), khoảng cách từ điểm M đến (d) được tính theo công thức d(M,d)={\frac{\left\vert ax_0+by_0+c \right\vert}{\sqrt{a^2+b^2}}}

Vị trí của 2 điểm đối với đường thẳng
Cho đường thẳng (d) ax+by+c=0 và 2 điểm M(x_M,y_M), N(x_N,y_N) không nằm trên (d). Xét các biểu thức m=ax_M+by_M+c và n=ax_N+by_N+c, khi đó M và N nằm cùng phía với (d) khi m và n cùng dấu, khác phía khi m và n trái dấu.
Phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng tham số
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M(x_0,y_0,z_0) và nhận \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) làm vectơ chỉ phương. Khi đó phương trình tham số của d là \begin{cases} x=x_0+u_1 t \\ y=y_0+u_2 t \\ z=z_0+u_3 t \end{cases} với t được gọi là tham số. Với mỗi giá trị t\in R ta được một điểm thuộc đường thẳng.

Dạng chính tắc
Nếu cả u_1, u_2, u_3 đều khác 0, từ phương trình tham số ta khử tham số t, ta được phương trình chính tắc: {x-x_0 \over u_1}={y-y_0 \over u_2}={z-z_0 \over u_3}

Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
Cho đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) và (d') có vectơ chỉ phương \vec{u'}=(u'_1,u'_2,u'_3). Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x',y',z') là một điểm nằm trên (d'). Ta có:

(d)\equiv(d') \Leftrightarrow [\vec{u},\vec{u'}]=[\vec{u},\vec{MM'}]=\vec{0}

(d)//(d') \Leftrightarrow [\vec{u},\vec{u'}]=\vec{0} và [\vec{u},\vec{MM'}] \neq \vec{0}

(d) cắt (d') \Leftrightarrow \begin{cases} [\vec{u};\vec{u'}]\neq\vec{0} \\ \vec{MM'}.[\vec{u};\vec{u'}] =0 \end{cases}

(d) và (d') chéo nhau \Leftrightarrow\vec{MM'}.[\vec{u};\vec{u'}] \neq 0

Khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Cho đường thẳng (d) đi qua điểm M_0 và có vectơ chỉ phương \vec{u}. Khoảng cách từ điểm M đến (d) là d[M,(d)]={\left \vert [\vec{M_0M},\vec{u}] \right \vert \over \left\vert \vec{u} \right\vert}

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau
Cho 2 đường thẳng chéo nhau (d) và (d'). Đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) và đường thẳng (d') có vectơ chỉ phương \vec{u'}=(u'_1,u'_2,u'_3). Gọi M(x,y,z) là một điểm nằm trên (d) và M'(x',y',z') là một điểm nằm trên (d'). Khi đó khoảng cách giữa (d) và (d') là

d[(d),(d')]={\left\vert [\vec{u},\vec{u'}].\vec{MM'} \right\vert \over \left \vert [\vec{u},\vec{u'}] \right \vert}

Xem thêm
Đường thẳng

Liên kết ngoài

Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10
Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 10 Nâng cao
Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12
Nhà xuất bản giáo dục - Bộ giáo dục và đào tạo - Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao

__KHÔNG_MỤC_LỤC__