Định lý Pascal

Định lý Pascal (còn được biết đến với tên định lý lục giác huyền bí) là một định lý trong hình học phẳng đặt theo tên nhà toán học người Pháp là Blaise Pascal. Nội dung định lý khẳng định rằng cho sáu điểm bất kỳ ABCDEF trên một conic (ví dụ elip, parabol hoặc hyperbol) khi đó giao điểm của các cặp cạnh đối diện thẳng hàng. Đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal.

Chứng minh

Có nhiều cách chứng minh cho định lý này, ví dụ chứng minh bằng cách sử dụng định lý Ceva, định lý Menelaus, sử dụng số phức, hoặc bằng các phương pháp tọa độ.

Kết quả liên quan
Định lý Kirman: Đường thẳng Pascal của các lục giác ABFDCE, AEFBDC và ABDFEC đồng quy. Điểm đồng quy này gọi là điểm Kirman, tổng cộng có 60 điểm Kirman, trong đó có 3 điểm Kirman và một điểm Steiner nằm trên một đường thẳng, đường thẳng này gọi là đường thẳng Cayley
Định lý Steiner: Đường thẳng Pascal của các lục giác ABCDEF, ADEBCF và ADCFEB đồng quy. Điểm đồng quy này gọi là điểm Steiner, tổng cộng có 20 điểm Steiner, trong đó có 1 điểm Steiner và ba điểm Kirman nằm trên một đường thẳng, đường thẳng này gọi là đường thẳng Caley
Điểm Salmon: Tổng cộng có 20 đường thẳng Caley, bốn đường thẳng Caley sẽ đồng quy tại một điểm gọi là điểm Salmon. Mỗi một điểm Salmon lại đối ngẫu với một đường thẳng gọi là đường thẳng Plücker.

Mở rộng và suy biến
Mở rộng
Định lý Cayley–Bacharach: Cho hai đường bậc ba và trong mặt phẳng xạ ảnh gặp nhau tại 9 điểm, tất cả chín điểm này đều nằm trong trường đóng đại số. Khi đó tất cả các đường bậc ba đi qua 8 điểm thì cũng đi qua điểm thứ 9.

Suy biến

Định lý Pappus: Trường hợp đường conic suy biến thành hai đường thằng thì định lý Pascal trở thành định lý Pappus.
Trường hợp lục giác suy biến thành ngũ giác: Cho ngũ giác ABCDF nội tiếp một đường conic, M là giao điểm của tiếp tuyến của đường conic tại A giao và đường thẳng DF, N là giao điểm của đường thẳng AB giao với đường thẳng CD, P là giao điểm của đường thẳng BF và đường thẳng AC. Thì M,N,P thẳng hàng.
Trường hợp lục giác suy biến thành tứ giác: Cho tứ giác ABCD nằm trên một đường conic, M là giao điểm của tiếp tuyến của đường conic tại A và tiếp tuyến đường conic tại B. N là giao điểm của AC và BD, P là giao điểm của AD và BC, thì M,N,P thẳng hàng.
Trường hợp lục giác suy biến thành tam giác: Cho tam giác ABC tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A,B,C cắt các cạnh BC,CA,AB lần lượt tại A_1,B_1,C_1 khi đó A_1,B_1,C_1 thẳng hàng.

Tính chất của lục giác và đường thẳng Pascal

Cho lục giác ABCDEF, gọi G= AB \cap DE, H = AF \cap CD , K = EF \cap CB như hình vẽ đầu tiên. Khi đó sáu đỉnh của lục giác nội tiếp một đường conic nếu và chỉ nếu G, H, K thẳng hàng. Hai điều kiện đó tương đương với một hệ thức sau đây:

:::::\frac{\overline{GB}}{\overline{GA}} \times \frac{\overline{HA}}{\overline{HF}} \times \frac{\overline{KF}}{\overline{KE}} \times\frac{\overline{GE}}{\overline{GD}} \times \frac{\overline{HD}}{\overline{HC}} \times \frac{\overline{KC}}{\overline{KB}}=1.

Xem thêm

Định lý Desargues
Định lý Brianchon
Định lý Cayley–Bacharach
Định lý Pappus

Chú thích

Tham khảo














Liên kết ngoài
Interactive demo of Pascal's theorem (Java required) tại Cut-The-Knot
60 Pascal Lines (Java required) tại Cut-The-Knot
The Complete Pascal Figure Graphically Presented by J. Chris Fisher and Norma Fuller (University of Regina)
Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes (PDF; 891&nbsp;kB), Uni Darmstadt, S. 29-35.