Bất đẳng thức Weitzenböck

của một tam giác bất kỳ, theo bất đẳng thức Weitzenböck, luôn không vượt quá ]]
nhỏ hơn 120° thì 3 \Delta = S \leq 3 \Delta_a+\Delta_b+\Delta_c, với S là diện tích của phần tô màu bên trong các tam giác ABE, BCG và CAD.]]

Bất đẳng thức Weitzenböck là một bất đẳng thức hình học do Roland Weitzenböck (1885 - 1955), một nhà toán học người Áo tìm ra và chứng minh.

Phát biểu
Với một tam giác bất kỳ có số đo ba cạnh là a, b, c, và diện tích \Delta, ta có:

: a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}\, \Delta.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác đó là tam giác đều, tức là a = b = c.

Bất đẳng thức Weitzenböck được tổng quát hóa bởi bất đẳng thức Pedoe cho hai tam giác bất kỳ, trong khi bất đẳng thức Hadwiger–Finsler là bất đẳng thức chặt chẽ hơn.

Chứng minh
Phương pháp hình học
Biến đổi cả hai vế của bất đẳng thức qua một số bước, ta có:

: \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}c^2 \geq 3\, \Delta.

Nhận thấy rằng từng hạng tử của vế trái phép biến đổi là diện tích của từng tam giác có số đo a, b, c. Ký hiệu từng hạng từ này lần lượt là \Delta_a, \Delta_b và \Delta_c, ta có:

: \Delta_a + \Delta_b + \Delta_c \geq 3\, \Delta.

Với tam giác ABC có số đo các góc nhỏ hơn 120^\circ, luôn tồn tại điểm Fermat P chia tam giác ABC thành 3 tam giác PAB, PBC và PCA (sau đây gọi là tam giác đỉnh P). Trên các tam giác đều có diện tích \Delta_a, \Delta_b và \Delta_c, lần lượt đặt các tam giác bằng với các tam giác đỉnh P trên sao cho cạnh có độ dài bằng độ dài cạnh của tam giác ABC đặt trùng với cạnh của tam giác đều. Khi đó, ta nhận thấy mỗi tam giác đều có diện tích lớn hơn 3 lần diện tích tam giác đỉnh P. Cộng các vế cùng dấu, ta có điều phải chứng minh.

Với tam giác ABC có số đo một góc lớn hơn hoặc bằng 120^\circ (không mất tính tổng quát, giả sử góc đó là góc C), về phía ngoài tam giác này dựng một tam giác đều có cạnh AB. Lần lượt đặt các tam giác bằng với tam giác ABC sao cho cạnh có độ dài AB đặt trùng với cạnh của tam giác đều này. Khi đó diện tích của tam giác đều này lớn hơn 3 lần diện tích tam giác ABC. Hiển nhiên ta có điều phải chứng minh.

Phương pháp đại số
Đây từng là một câu hỏi trong đề thi Olympic Toán học Quốc tế năm 1961. Lời giải của nhiều cách trong số đó dùng đến công thức Heron trong tam giác:

:
\begin{align}
\Delta & {} =\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)} \\[4pt]
& {} =\frac{1}{4}\sqrt{2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}.
\end{align}

Cách 1
Hiệu hai vế của bất đẳng thức Weitzenböck (lấy vế trái trừ vế phải) là diện tích của tam giác Napoleon trong, luôn là một số không âm:

:\frac{\sqrt{3}}{24}(a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3}\Delta)

Cách 2
Ta luôn có

:
\begin{align}
{} & (a^2 - b^2)^2 + (b^2 - c^2)^2 + (c^2 - a^2)^2 \geq 0 \\[5pt]
{} \iff & 2(a^4+b^4+c^4) - 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2) \geq 0 \\[5pt]
{} \iff & \frac{4(a^4+b^4+c^4)}{3} \geq \frac{4(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)}{3} \\[5pt]
{} \iff & \frac{(a^4+b^4+c^4) + 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)}{3} \geq 2(a^2 b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4) \\[5pt]
{} \iff & \frac{(a^2 + b^2 + c^2)^2}{3} \geq (4\Delta)^2
\end{align}

Lấy căn bậc hai số học của hai vế, ta có điều phải chứng minh.

Cách 3
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân, ta có:

:
\begin{align}
& & (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 & \geq & & 0 \\
\iff & & 2a^2+2b^2+2c^2 & \geq & & 2ab+2bc+2ac \\
\iff & & 3(a^2+b^2+c^2) & \geq & & (a + b + c)^2 \\
\iff & & a^2+b^2+c^2 & \geq & & \sqrt{3(a+b+c)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3} \\
\Rightarrow & & a^2+b^2+c^2 & \geq & & \sqrt{3 (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\
\iff & & a^2+b^2+c^2 & \geq & & 4 \sqrt3 \Delta.
\end{align}

Cách 4

Đặt x=\cot A, c=\cot A+\cot B>0. Khi đó tổng S=\cot A+\cot B+\cot C=c+\frac{1-x(c-x)}{c} và cS=c^2-xc+x^2+1=\left(x-\frac{c}{2}\right)^2+\left(\frac{c\sqrt{3}}{2}-1\right)^2+c\sqrt{3}\ge c\sqrt{3} nên S\ge\sqrt{3}. Lại có \cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}, do đó S=\frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta}.

Chú thích

Tham khảo
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, , pp. 84-86
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Geometric Proofs of the Weitzenböck and Hadwiger–Finsler Inequalities. Mathematics Magazine, Vol. 81, No. 3 (Jun., 2008), pp.&nbsp;216–219 (JSTOR)
D. M. Batinetu-Giurgiu, Nicusor Minculete, Nevulai Stanciu: Some geometric inequalities of Ionescu-Weitzebböck type. International Journal of Geometry, Vol. 2 (2013), No. 1, April
D. M. Batinetu-Giurgiu, Nevulai Stanciu: The inequality Ionescu - Weitzenböck. MateInfo.ro, April 2013, (online copy)
Daniel Pedoe: On Some Geometrical Inequalities. The Mathematical Gazette, Vol. 26, No. 272 (Dec., 1942), pp. 202-208 (JSTOR)
Roland Weitzenböck: Über eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie. Mathematische Zeitschrift, Volume 5, 1919, pp. 137-146 (online copy at Göttinger Digitalisierungszentrum)
Dragutin Svrtan, Darko Veljan: Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities. Forum Geometricorum, Volume 12, 2012, pp. 197–209 (online copy)
Mihaly Bencze, Nicusor Minculete, Ovidiu T. Pop: New inequalities for the triangle. Octogon Mathematical Magazine, Vol. 17, No.1, April 2009, pp. 70-89 (online copy )

Liên kết ngoài

"Weitzenböck's Inequality," một công cụ trực quan của Jay Warendorff - Wolfram Demonstrations Project.