Căn bậc hai của 2

của một tam giác vuông có hai cạnh đáy bằng 1.]]

Căn bậc hai của 2, hay lũy thừa 1/2 của 2, được viết là }} hoặc }}}}, là số đại số dương sao cho khi nhân với chính nó, cho ta số 2. Đúng hơn, nó được gọi là căn bậc hai số học của 2 để phân biệt với số đối của nó có tính chất tương tự.

Trong hình học, căn bậc hai của 2 là độ dài đường chéo của một hình vuông với cạnh dài 1 đơn vị; xuất phát từ định lý Pythagoras. Nó có lẽ là số vô tỉ được biết đến đầu tiên.

Một số hữu tỉ xấp xỉ với căn bậc hai của hai với mẫu số nhỏ vừa phải là phân số (≈ 1.4142857).

Dãy trong OEIS gồm các chữ số trong biểu diễn thập phân của căn bậc hai của 2, đến 65 chữ số thập phân:

:...

Lịch sử
với ghi chú. Ngoài việc cho thấy căn bậc hai của 2 trong hệ lục thập phân (), bản đất sét này cũng cho một ví dụ nếu một cạnh của hình vuông là 30 thì đường chéo là . Trong hệ lục thập phân 30 có thể là = , còn xấp xỉ bằng 0.7071065.]]
Bảng đất sét Babylon YBC 7289 (khoảng 1800–1600 TCN) cho một xấp xỉ của }} trong bốn chữ số lục thập phân, , đúng đến khoảng sáu chữ số thập phân, và là xấp xỉ lục thập phân tốt nhất của }} dùng 4 chữ số:
:1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = \frac{305470}{216000} = 1.41421\overline{296}.

Một xấp xỉ sơ khai khác xuất hiện trong văn kiện toán học của Ấn Độ cổ đại, quyển Sulbasutras (khoảng 800–200 BC) như sau: Tăng độ dài [của cạnh] bằng một phần ba chính nó và một phần tư của một phần ba và giảm đi một phần ba mươi tư của một phần tư đó. Tức là,
:1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \times 4} - \frac{1}{3 \times4 \times 34} = \frac{577}{408} = 1.41421\overline{56862745098039}.

Các môn đồ của Pythagoras phát hiện rằng đường chéo của hình vuông và cạnh của nó là không thể so được, hay theo ngôn ngữ hiện đại, căn bậc hai của 2 là một số vô tỉ. Không nhiều điều được biết rõ về thời gian hay tình cảnh của khám phá này, nhưng cái tên thường được nhắc đến là Hippasus của Metapontum. Các môn đồ Pythagoras xem tính vô tỉ của căn bậc hai của 2 là một bí mật, và theo lời kể, Hippasus đã bị giết vì tiết lộ nó. Căn bậc hai của 2 đôi khi còn được gọi là số Pythagoras hay hằng số Pythagoras, như trong .

Thuật toán tính toán

Có một số thuật toán để xấp xỉ }}, thường là dưới dạng tỉ số của hai số nguyên hoặc một số thập phân. Thuật toán phổ biến nhất cho việc này, được dùng làm cơ sở trong nhiều máy tính và máy tính bỏ túi, là phương pháp Babylon, một trong những phương pháp tính căn bậc hai. Thuật toán này như sau:

Đầu tiên, đoán một số > 0}} bất kì. Sau đó, dùng số vừa đoán, tính từng số hạng theo công thức truy hồi sau:
:a_{n+1} = \frac{a_n + \frac{2}{a_n}}{2}=\frac{a_n}{2}+\frac{1}{a_n}.

Càng nhiều lần thực hiện phép tính trên (tức là càng nhiều lần lặp lại và số "" càng lớn), cho ta xấp xỉ càng tốt của căn bậc hai của 2. Mỗi lần tính cho ta khoảng gấp đôi số chữ số đúng. Bắt đầu với 1}} những số tiếp theo là
= 1.5
= 1.416...
= 1.414215...
= 1.4142135623746...

Giá trị của }} được tính đến 137.438.953.444 chữ số thập phân bởi đội của Yasumasa Kanada năm 1997. Tháng 2 năm 2006, kỉ lục cho việc tính }} bị phá vỡ sử dụng một chiếc máy tính cá nhân. Shigeru Kondo tính 1 nghìn tỷ chữ số thập phân của căn bậc hai của 2 trong năm 2010. Trong số các hằng số toán học với biểu diễn thập phân cần nhiều tài nguyên tính toán, chỉ có pi| là được tính chính xác hơn.
Những tính toán như vậy chủ yếu là để kiểm tra bằng thực nghiệm xem những số đó có phải là bình thường hay không.

Xấp xỉ hữu tỉ
Một xấp xỉ hữu tỉ đơn giản (≈ 1.4142857) thường được sử dụng. Mặc dù có mẫu số chỉ là 70, độ sai lệch của nó với giá trị đúng là ít hơn (khoảng ). Do nó là một giản phân của biểu diễn liên phân số của căn bậc hai của 2, bất kì xấp xỉ hữu tỉ nào gần hơn phải có mẫu số không bé hơn 169, do (≈ 1.4142012) là giản phân tiếp theo với sai số khoảng .

Xấp xỉ hữu tỉ , từ bước thứ bốn trong phương pháp Babylon ở trên bắt đầu với 1}}, có sai số khoảng : bình phương của nó là …

Kỉ lục
Đây là bảng những kỉ lục gần đây trong việc tính các chữ số của }} 1012 1.000.000.000.000).}}

Chứng minh tính vô tỉ
Một chứng minh ngắn về tính vô tỉ của }} sử dụng định lý nghiệm hữu tỉ, phát biểu rằng nếu là một đa thức monic với hệ số nguyên, thì bất kì nghiệm hữu tỉ nào của cũng là một số nguyên. Áp dụng định lý cho đa thức − 2}}, ta suy ra }} hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Vì \left|\sqrt2 - \frac{a}{b}\right| = \frac{b^2\left(\sqrt{2}+\frac{a}{b}\right)} \ge \frac{1}{b^2\left(\sqrt2 + \frac{a}{b}\right)} \ge \frac{1}{3b^2},

bất đẳng thức cuối đúng do ta giả sử ≤ 3 − }} (nếu không thì hiệu trên hiển nhiên lớn hơn > 0}}). Bất đẳng thức này cho ta chặn dưới }}}} của hiệu − }}}}, từ đó dẫn đến chứng minh tính vô tỉ trực tiếp mà không cần giả sử phản chứng. Chứng minh này chỉ ra rằng tồn tại một khoảng cách giữa }} và bất kỳ số hữu tỉ nào.

Tính chất của căn bậc hai của 2
Một nửa của }}, đồng thời cũng là nghịch đảo của }}, xấp xỉ bằng , là một giá trị thường gặp trong hình học và lượng giác vì vectơ đơn vị tạo góc 45° với các trục thì có tọa độ
:\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Số này thỏa mãn
:\tfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos 45^{\circ} = \sin 45^{\circ}.

Một giá trị có liên quan là tỷ lệ bạc. Hai số dương có tỷ lệ bạc nếu
: \! \frac{2a+b}{a}=\frac{a}{b}=\delta_S .
Bằng cách biến đổi về phương trình bậc hai, ta có thể giải được }}.

}} có thể được biểu diễn theo đơn vị ảo chỉ sử dụng căn bậc hai và các phép toán số học:
:\frac{\sqrt{i}+i \sqrt{i}}{i}\text{ and }\frac{\sqrt{-i}-i \sqrt{-i}}{-i}
nếu ký hiệu căn bậc hai được định nghĩa hợp lý cho số phức và .

}} cũng là số thực duy nhất khác mà tetration vô hạn lần bằng với bình phương của nó. Một cách phát biểu chặt chẽ như sau: nếu với số thực ta định nghĩa c}} và c'x'n}} với , thì giới hạn của khi (nếu tồn tại) gọi là . Khi ấy }} là số duy nhất thỏa c2}}. Hay nói cách khác:
:\sqrt{2}^ {(\sqrt{2}^ {(\sqrt{2}^ {(\ \cdot^ {\cdot^ \cdot)))}}}} = 2.

}} cũng xuất hiện trong công thức Viète cho :
: 2^m\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}} \to \pi\text{ khi }m \to \infty
với dấu căn và đúng một dấu trừ.

Ngoài ra, }} còn xuất hiện trong nhiều hằng số lượng giác:
:\begin{align}
\sin\frac{\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{3\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}} &\quad
\sin\frac{11\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}} \\[6pt]
\sin\frac{\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} &\quad
\sin\frac{7\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{3\pi}{8} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2}} \\[6pt]
\sin\frac{3\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{\pi}{4} &= \tfrac12\sqrt{2} &\quad
\sin\frac{13\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}}} \\[6pt]
\sin\frac{\pi}{8} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2}} &\quad
\sin\frac{9\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{7\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \\[6pt]
\sin\frac{5\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}} &\quad
\sin\frac{5\pi}{16} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2}}} &\quad
\sin\frac{15\pi}{32} &= \tfrac12\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}
\end{align}

Hiện vẫn chưa biết liệu }} có phải là số chuẩn, một tính chất mạnh hơn tính vô tỉ, nhưng phân tích thống kê biểu diễn của nó trong hệ nhị phân cho thấy có khả năng nó chuẩn trong hệ cơ số hai.

Biểu diễn chuỗi
Hệ thức sin }}}}, cùng với các biểu diễn tích vô hạn của sin và cosin cho ta
:\frac{1}{\sqrt 2} = \prod_{k=0}^\infty \left(1-\frac{1}{(4k+2)^2}\right) =
\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{36}\right)\left(1-\frac{1}{100}\right) \cdots
và
:\sqrt{2} =\prod_{k=0}^\infty\frac{(4k+2)^2}{(4k+1)(4k+3)} =
\left(\frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3}\right)\left(\frac{6 \cdot 6}{5 \cdot 7}\right)\left(\frac{10 \cdot 10}{9 \cdot 11}\right)\left(\frac{14 \cdot 14}{13 \cdot 15}\right) \cdots
hoặc tương đương,
:\sqrt{2} =\prod_{k=0}^\infty\left(1+\frac{1}{4k+1}\right)\left(1-\frac{1}{4k+3}\right)=
\left(1+\frac{1}{1}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{7}\right) \cdots.

Ngoài ra ta có thể dùng chuỗi Taylor của các hàm lượng giác. Ví dụ, chuỗi Taylor cho }} cho ta
:\frac{1}{\sqrt{2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{4}\right)^{2k}}{(2k)!}.
Chuỗi Taylor cho }} với 1}} cùng với giai thừa kép cho ta

:\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1} \frac{(2k-3)!!}{(2k)!!} =
1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2\cdot4} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} - \frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6\cdot8} + \cdots.

Sử dụng biến đổi Euler để đẩy nhanh tốc độ hội tụ của dãy, ta được

:\sqrt{2} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(2k+1)!}{2^{3k+1}(k!)^2 } = \frac{1}{2} +\frac{3}{8} + \frac{15}{64} + \frac{35}{256} + \frac{315}{4096} + \frac{693}{16384} + \cdots.

Một công thức dạng BBP cho }} vẫn chưa được tìm ra, tuy nhiên đã có những công thức dạng BBP cho }} và ln(1+)}}.

có thể biểu diễn bằng phân số Ai Cập, với mẫu số bằng các số hạng thứ }} của một dãy hồi quy tuyến tính giống dãy Fibonacci. Đặt

:\sqrt{2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{a_{2^n}}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{204}+\frac{1}{235416}+\dots \right)

Liên phân số

Căn bậc hai của 2 có biểu diễn bằng liên phân số sau:
: \!\ \sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}}.

Những giản phân đầu tiên là: , , , , , , , }}. Giản phân }} cách }} một khoảng gần bằng }}}} và giản phân tiếp theo là }}.

Bình phương lồng nhau
Biểu thức sau đây hội tụ về :
:\begin{align} \sqrt{2}
&=\tfrac{3}{2} - 2 \left( \tfrac{1}{4}- \left( \tfrac{1}{4}-\left( \tfrac{1}{4}- \left( \tfrac{1}{4}- \cdots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2\\
&=\tfrac{3}{2} - 4 \left( \tfrac{1}{8}+ \left( \tfrac{1}{8}+\left( \tfrac{1}{8}+ \left( \tfrac{1}{8}+ \cdots \right)^2 \right)^2 \right)^2 \right)^2.
\end{align}

Hằng số liên quan
Nghịch đảo của căn bậc hai của 2 (căn bậc hai của ) là một hằng số thường dùng.

:\frac1{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = 0.70710\,67811\,86547\,52440\,08443\,62104\,84903\,928...

Khổ giấy
Năm 1786, giáo sư vật lý người Đức Georg Lichtenberg Hiện nay, tỉ lệ khung hình (xấp xỉ) của khổ giấy theo tiêu chuẩn ISO 216 (A4, A0, vân vân) là 1:}}.

Chứng minh:
Gọi S = cạnh ngắn và L = cạnh dài của tờ giấy, với
:R = \frac{L}{S} = \sqrt{2} theo ISO 216.
Gọi R' = \frac{L'}{S'} là tỉ số của một nửa tờ giấy thì
:R' = \frac{S}{L/2} = \frac{2S}{L} = \frac{2}{(L/S)} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} = R.

Xem thêm
Căn bậc hai của 3
Căn bậc hai của 5
Tỷ lệ bạc, }}
Căn bậc hai của 2 hình thành trong quan hệ giữa các f-stop của thấu kính máy ảnh, dẫn đến tỉ lệ diện tích giữa hai khẩu độ liên tiếp là 2.
Hằng số Gelfond–Schneider, }}.
Công thức Viète cho pi

Ghi chú

Tham khảo
.

Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
.
.
}}
| volume = 130
| year = 1967
| jstor = 2344040}}.
.

Liên kết ngoài
}}
| title = Numbers, Constants and Computation
| url = http://numbers.computation.free.fr/Constants/Sqrt2/sqrt2.html
| year = 2001}}.

Căn bậc hai của Hai đến 5 triệu chữ số bởi Jerry Bonnell và Robert J. Nemiroff. Tháng 5, 1994.
Căn bậc hai của 2 là vô tỉ, một tuyển tập các chứng minh
}} of Two|url=http://www.numberphile.com/videos/root2.html|work=Numberphile|publisher=Brady Haran|author2=Bowley, Roger|ngày truy cập=2019-12-19|archive-date = ngày 22 tháng 5 năm 2017 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170522023427/http://www.numberphile.com/videos/root2.html|url-status=dead}}