Tô pô đại số

Tôpô đại số là một nhánh của toán học sử dụng các công cụ của đại số để nghiên cứu các không gian tôpô.

Phương pháp bất biến đại số
Mục đích là xem xét các không gian tôpô và phân loại chúng. Ngày nay, phương pháp cơ bản của tô pô đại số là nghiên cứu các không gian thông qua các bất biến đại số bằng cách ánh xạ chúng thành các đối tượng đại số, ví dụ các nhóm, sau đó xem xét cấu trúc các đối tượng đó để suy ra tính chất đồng phôi của các không gian. Điều này cho phép chuyển các phát biểu về không gian tô pô thành các phát biểu về nhóm làm cho bài toán trở nên dễ chứng minh hơn.

Theo hướng này có hai phương pháp chính là thông qua các nhóm cơ bản, hay tổng quát hơn là lý thuyết đồng luân, và thông qua các nhóm đồng điều và đối đồng điều. Nhóm cơ bản cho ta những thông tin cơ bản về cấu trúc của không gian tôpô, nhưng chúng thường là không Abel và khó để làm việc.

Trái lại, các nhóm đồng điều và đối đồng điều là Abel và trong nhiều trường hợp quan trọng là hữu hạn sinh. Các nhóm Abel hữu hạn sinh đã được phân loại đầy đủ và dễ làm việc hơn.

Các kết quả của lý thuyết đồng điều

Một số kết quả suy ra trực tiếp khi làm việc với các nhóm Abel hữu hạn sinh. Hạng tự do của nhóm đồng điều thứ n của phức đơn hình bằng số Betti thứ n, do đó ta có thể sử dụng nhóm đồng điều của phức đơn hình để tính đặc trưng Euler-Poincaré của nó. Một ví dụ khác là nhóm đối đồng điều nguyên chiều cao nhất của một đa tạp đóng cho biết tính định hướng được của đa tạp đó: nhóm này hoặc đẳng cấu với nhóm các số nguyên hoặc bằng 0, tương ứng với việc đa tạp định hướng được hay không. Vì vậy các nhóm đồng điều của không gian tôpô chứa rất nhiều thông tin không gian đó.

Ngoài đồng điều đơn hình chỉ định nghĩa cho các phức đơn hình, người ta còn sử dụng cấu trúc khả vi của đa tạp trơn qua đối đồng điều de Rham, đối đồng điều Čech hoặc đối đồng điều bó để nghiên cứu tính giải được của phương trình vi phân xác định trên đa tạp. De Rham đã chỉ ra rằng tất những hướng tiếp cận này có quan hệ với nhau, và với một đa tạp định hướng, đóng, các số Betti định nghĩa trong đồng điều đơn hình cũng bằng các số Betti định nghĩa trong đối đồng điều de Rham.

Quan hệ với lý thuyết phạm trù

Nói chung, tất cả các xây dựng trong tôpô đại số đều có tính chất hàm tử. Các nhóm cơ bản, đồng điều, đối đồng điều không chỉ là các bất biến (theo nghĩa hai không gian tôpô đồng phôi thì có các nhóm liên kết đẳng cấu) của không gian tôpô nền, một ánh xạ liên tục giữa các không gian còn cảm sinh một đồng cấu giữa các nhóm liên kết. Những đồng cấu này có thể dùng để chỉ ra sự không tồn tại (hoặc sâu sắc hơn, chỉ ra sự tồn tại) của các ánh xạ.

Ứng dụng của tôpô đại số
Các ứng dụng cổ điển của tôpô đại số:
Định lý đường cong Jordan: Mọi đường cong đóng trong R^2 đều chia R^2 thành đúng 2 thành phần liên thông nhận nó là biên. Tổng quát hơn, một tập con X của R^n mà đồng phôi với S^(n-1) thì sẽ chia R^n thành đúng 2 phần liên thông cùng nhận X làm biên.
Định lý điểm bất động Brouwer: mọi ánh xạ liên tục từ một n-đĩa đơn vị vào chính nó có một điểm bất động.
Mặt cầu n chiều có một trường vectơ đơn vị không triệt tiêu tại bất kì điểm nào nếu và chỉ nếu n là lẻ.
Định lý Borsuk-Ulam: mọi xánh xạ liên tục từ mặt cầu n chiều vào không gian Euclide n chiều đều đồng nhất ít nhất hai điểm đối nhau.
Nhóm con tuỳ ý của một nhóm tự do cũng là nhóm tự do. Kết quả này khá thú vị bởi vì phát biểu là thuần tuý đại số nhưng chứng minh đơn giản nhất dựa trên tôpô. Nghĩa là mọi nhóm tự do G có thể được xem như nhóm cơ bản của một đồ thị X. Định lý chính về không gian phủ nói rằng mọi nhóm con H của G là nhóm cơ bản của một không gian phủ Y nào đó của X; nhưng mọi Y như vậy lại là một đồ thị. Vì vậy nhóm cơ bản H của nó là tự do.
Bài toán mở nổi tiếng nhất trong tôpô đại số là giả thuyết Poincaré. Bài toán này được xem là đã được giải quyết bởi Grigori Perelman.
Trong lý thuyết đồng luân còn nhiều điều bí ẩn, nổi tiếng nhất là việc mô tả chính xác các nhóm đồng luân của mặt cầu.

Tham khảo

Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage.
C. R. F. Maunder, Algebraic Topology (1970) Van Nostrand Reinhold, London ISBN 0-486-69131-4.

Xem thêm
Lý thuyết đồng luân
Lý thuyết đồng điều

Liên kết ngoài