Độc lập đại số

Trong đại số trừu tượng, tập hợp con S của một trường L được gọi là độc lập đại số trên trường con K nếu các phần tử của S không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức phi tầm thường nào với hệ số thuộc K.

Đặc biệt, tập hợp một phần tử \{\alpha\} độc lập đại số trên K khi và chỉ khi \alpha là phần tử siêu việt trên K. Tổng quát, mọi phần tử của một tập hợp S độc lập đại số trên K phải là phần tử siêu việt trên K cũng như mọi mở rộng trường trên K được tạo sinh bởi các phần tử còn lại của S.

Ví dụ
Hai số thực \sqrt{\pi} và 2\pi+1 là số siêu việt do chúng không phải là nghiệm của bất kỳ đa thức phi tầm thường nào với các hệ số đều là số hữu tỉ. Vì vậy, hai tập hợp \{\sqrt{\pi}\} và \{2\pi+1\} độc lập đại số trên trường số hữu tỉ.

Tuy nhiên, tập hợp \{ \sqrt{\pi}, 2\pi+1 \} không độc lập đại số trên trường số hữu tỉ \mathbb{Q} vì đa thức phi tầm thường
:P(x,y)=2x^2-y+1
có giá trị bằng 0 khi x=\sqrt{\pi} và y=2\pi+1.

Tính độc lập đại số của một số hằng số đã biết
Dù Pi| và e (số)| đều là số siêu việt nhưng không rõ tập hợp \{ \pi , e \} có độc lập đại số trên \mathbb{Q} hay không. Thậm chí, việc số \pi+e có phải là số vô tỉ hay không cũng chưa có lời giải. Vào năm 1996, Nesterenko đã chứng minh:

Các số \pi, e^\pi và \Gamma(1/4) (với \Gamma là hàm gamma) độc lập đại số trên \mathbb{Q}.
Các số \pi, e^{\pi\sqrt{3}} và \Gamma(1/3) độc lập đại số trên \mathbb{Q}.
Hai số \pi và e^{\pi\sqrt{n}} độc lập đại số trên \mathbb{Q} với mọi số nguyên dương n.

Các kết quả và vấn đề mở
Định lý Lindemann–Weierstrass thường được áp dụng để chứng tỏ có một số tập hợp độc lập đại số trên \mathbb{Q}. Định lý phát biểu rằng nếu \alpha_1,\ldots,\alpha_n là các số đại số độc lập tuyến tính trên \mathbb{Q} thì e^{\alpha_1},\ldots,e^{\alpha_n} độc lập đại số trên \mathbb{Q}.

Giả thuyết Schanuel nếu được chứng minh thành công sẽ thiết lập tính chất độc lập đại số của nhiều số, trong đó có và :

:Cho \{z_1,...,z_n\} là tập hợp gồm n số phức độc lập tuyến tính trên \mathbb Q. Mở rộng trường \mathbb Q (z_1,...,z_n,e^{z_1},...,e^{z_n}) có bậc siêu việt nhỏ nhất là n trên \mathbb Q.

Matroid đại số

Cho một mở rộng trường L/K phi đại số, ta có thể áp dụng bổ đề Zorn để chứng minh rằng luôn luôn tồn tại một tập con độc lập đại số lớn nhất của L trên K. Ngoài ra, mọi tập con độc lập đại số lớn nhất đều có lực lượng bằng nhau và lực lượng đó chính là bậc siêu việt của mở rộng trường.

Với mọi tập hợp hữu hạn S chứa những phần tử thuộc L, các tập con độc lập đại số của S cùng thỏa mãn những tiên đề xác định các tập hợp độc lập của một matroid. Trong matroid này, hạng của một tập hợp là bậc siêu việt của tập đó và flat được tạo sinh bởi một tập hợp T là giao giữa L với trường K[T]. Một matroid có thể tạo sinh được theo cách này được gọi là matroid đại số. Hiện không có mô tả đặc trưng tốt nào về matroid đại số được biết đến, nhưng người ta cũng đã biết có một số matroid nhất định là phi đại số, trong đó matroid Vámos là bé nhất.

Nhiều matroid hữu hạn có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận trên một trường K mà trong đó các phần tử matroid tương ứng với các cột của ma trận. Một tập hợp phần tử khi đó được gọi là độc lập nếu tập hợp các cột tương ứng là độc lập tuyến tính. Mọi matroid có biểu diễn tuyến tính dạng này cũng có thể được biểu diễn dưới dạng matroid đại số bằng cách chọn một biến vô định cho mỗi dòng của ma trận và lấy các hệ số ma trận bên trong mỗi cột để gán một tổ hợp tuyến tính các phần tử siêu việt này cho mỗi phần tử matroid. Điều ngược lại là sai: không phải mọi matroid đại số đều có biểu diễn tuyến tính.

Xem thêm
Độc lập tuyến tính
Số siêu việt
Định lý Lindemann–Weierstrass
Giả thuyết Schanuel

Tham khảo

Liên kết ngoài