Thí nghiệm Schiehallion

Thí nghiệm Schiehallion là một thí nghiệm ở thế kỷ 18 nhằm xác định khối lượng riêng trung bình của Trái Đất. Được tài trợ bởi Hội Hoàng gia Luân Đôn, thí nghiệm thực hiện vào mùa hè năm 1774 quanh ngọn núi Schiehallion, Perthshire của Scotland. Mục tiêu của nó là đo độ lệch rất nhỏ của con lắc dưới ảnh hưởng của lực hấp dẫn bởi quả núi gần đó. Schiehallion được đánh giá là một vị trí thích hợp sau một cuộc khảo sát các ngọn núi của Anh, nhờ sự đơn lập và hình dáng gần như đối xứng của nó. Một trong những nguyên nhân thực hiện thí nghiệm đó là có những ghi chú bất thường trong cuộc khảo sát ranh giới Mason–Dixon.

Trước đấy thí nghiệm đã từng được đề xuất, nhưng bị Isaac Newton bác bỏ bởi vì dựa theo kết quả tính toán từ định luật vạn vật hấp dẫn độ lệch thu được sẽ rất nhỏ. Tuy nhiên, một đội các nhà khoa học, nổi bật là Nevil Maskelyne thuộc Hội Thiên văn Hoàng gia Luân Đôn, đã thuyết phục mọi người đó là hiệu ứng có thể đo được và thúc đẩy tiến hành thí nghiệm. Góc lệch của con lắc phụ thuộc tương đối vào mật độ và thể tích của Trái Đất cũng như ngọn núi: nếu mật độ và thể tích của núi Schiehallion có thể đánh giá được từ cuộc khảo sát trắc địa, thì ông có thể tính ra khối lượng riêng của Trái Đất. Một khi biết giá trị này, thì khối lượng riêng xấp xỉ của các hành tinh, các vệ tinh của chúng, và Mặt Trời mà trước đó chỉ biết dưới các tỉ số tương đối, sẽ có thể tính ra gần chính xác. Thêm một lợi ích khác, khái niệm đường đồng mức, dẫn ra một cách đơn giản từ quá trình khảo sát núi, về sau trở thành kỹ thuật tiêu chuẩn trong ngành bản đồ học.

Bối cảnh
Con lắc đặt trong trường hấp dẫn đều sẽ treo theo phương thẳng đứng. Tuy nhiên, nếu có một khối lượng đủ lớn ở gần như một quả núi, lực hút hấp dẫn của nó sẽ kéo đầu con lắc lệch khỏi phương thẳng đứng một chút. Sự thay đổi phương gióng của trục con lắc so với một vật tham chiếu&mdash;chẳng hạn ngôi sao ở xa&mdash;có thể đo được khi đặt con lắc trên hai phía của quả núi. Nếu khối lượng của quả núi được xác định một cách độc lập từ thể tích và ước lượng mật độ trung bình của đá chứa trong nó, thì các giá trị này cho phép ngoại suy ra được mật độ trung bình của Trái Đất, và do vậy khối lượng của Trái Đất.

Isaac Newton đã xét đến hiệu ứng này trong cuốn Principia, Ông viết, hiệu ứng hấp dẫn chỉ đáng kể ở phạm vi hành tinh. Sự bi quan của Newton là hơi thái quá: mặc dù tính toán của ông cho kết quả độ lệch nhỏ hơn 2&nbsp;phút góc (đối với một ngọn núi lý tưởng hóa cao 3 dặm), góc lệch này mặc dù rất nhỏ, nhưng vẫn nằm trong khả năng phát hiện của các dụng cụ trong thời của ông.

Thí nghiệm kiểm tra ý tưởng của Newton không những cung cấp bằng chứng ủng hộ cho định luật vạn vật hấp dẫn của ông, mà còn cho phép ước lượng khối lượng và mật độ của Trái Đất. Do thời đấy khối lượng các thiên thể chỉ được cho thông qua các tỉ số tương đối, khối lượng của Trái Đất sẽ cung cấp giá trị gần chính xác cho khối lượng của các hành tinh khác, các vệ tinh tự nhiên của chúng và cho khối lượng của Mặt Trời. Dữ liệu đo được cũng có khả năng xác định ra hằng số hấp dẫn&nbsp;, mặc dù đây không phải là mục đích chính của những người làm thí nghiệm này; giá trị tham khảo cho hằng số không xuất hiện trong các tư liệu khoa học cho tới gần một trăm năm sau.

Tìm ngọn núi thích hợp

Chimborazo, 1738
Hai nhà thiên văn học người Pháp Pierre Bouguer và Charles Marie de La Condamine là những người đầu tiên thực hiện thí nghiệm kiểu này, khi họ đo lường góc lệch con lắc tại núi Chimborazo cao 6268 mét ở Ecuador vào năm 1738. Đoàn của họ rời Pháp đến Nam Mỹ vào năm 1735 để đo độ dài cung kinh tuyến chắn bởi một độ vĩ tuyến gần đường xích đạo, và họ đã có cơ hội để đo độ lệch góc này. Vào tháng 12 năm 1738, trong điều kiện địa hình và thời tiết khắc nghiệt, họ đã thực hiện hai thí nghiệm tại các độ cao 4680 và 4340&nbsp;m. Bouguer viết trong một bài năm 1749 rằng họ đã đo được góc lệch 8 giây cung, nhưng ông đã đánh giá thấp sự quan trọng của kết quả này, và gợi ý rằng kết quả tốt hơn có thể thực hiện trong những điều kiện dễ dàng hơn ở Anh hay Pháp. Ông cho rằng thí nghiệm "sẽ là vinh dự cho quốc gia nơi nó được thực hiện" Ủy ban gửi nhà thiên văn và khảo sát địa hình Charles Mason để tìm một địa điểm thích hợp cho thí nghiệm. Họ cũng mua thêm một máy kinh vĩ và xích Gunter để khảo sát núi, một cặp áp kế để đo độ cao. Điều kiện thời tiết thường không thuận lợi do ảnh hưởng của mưa và sương mù. Tuy nhiên, từ trạm quan sát phía nam, ông đã thực hiện được 76 lần đo đối với 34 sao trong cùng một hướng và sau đó là 93 lần đo đối với 39 sao theo hướng khác. Từ trạm phía bắc, ông thực hiện được 68 lần đo đối với 32 sao và 100 lần đo đối với 37 sao.

Maskelyne đăng kết quả sơ bộ của ông trong tạp chí Philosophical Transactions of the Royal Society của Hội Hoàng gia năm 1775, Do độ lệch đo được bằng một nửa giá trị này, ông cho rằng khối lượng riêng trung bình của Trái Đất xấp xỉ gấp hai lần so với của núi Schiehallion. Giá trị chính xác hơn phải đợi tới khi đoàn khảo sát địa hình và địa chất kết thúc nhiệm vụ của họ. Hội Hoàng gia đã trao cho Maskelyne Huy chương Copley năm 1775 nhờ thí nghiệm này; nhà tiểu sử Chalmers sau này viết rằng "Nếu có còn bất kỳ nghi ngờ nào về tính đúng đắn của lý thuyết Newton, thì bây giờ chúng sẽ bị loại bỏ hoàn toàn".

Khảo sát
Công việc của đội khảo sát đã bị cản trở lớn bởi sự khắc nghiệt của thời tiết, và phải tới tận năm 1776 họ mới hoàn thành nhiệm vụ.
|- style="background:white; text-align:center;"
||Mặt Trời || style="text-align: center;"|1.100 || style="text-align: center;"|1.408
|- style="background: white;"
|style="text-align: center;"|Sao Thủy || style="text-align: center;"|9.200 || style="text-align: center;"|5.427
|- style="background:white; text-align:center;"
||Sao Kim || style="text-align: center;"|5.800 || style="text-align: center;"|5.204
|- style="background:white; text-align:center;"
||Trái Đất || style="text-align: center;"|4.500 || style="text-align: center;"|5.515
|- style="background:white; text-align:center;"
||Mặt Trăng || style="text-align: center;"|3.100 || style="text-align: center;"|3.340
|- style="background:white; text-align:center;"
||Sao Hỏa || style="text-align: center;"|3.300 || style="text-align: center;"|3.934
|- style="background:white; text-align:center;"
||Sao Mộc || style="text-align: center;"|1.100 || style="text-align: center;"|1.326
|- style="background:white; text-align:center;"
||Sao Thổ || style="text-align: center;"|&nbsp;&nbsp;410 || style="text-align: center;"|&nbsp;&nbsp;687
|}
Hutton đã phải tính lực hút hấp dẫn của từng lăng trụ đối với các lăng trụ khác trong lưới phân chia của ông, một quá trình đòi hỏi nhiều công sức như quá trình khảo sát. Nhiệm vụ này chiếm mất hai năm của ông trước khi ông có thể công bố kết quả, một bài báo dài khoảng một trăm trang trình bày trước Hội Hoàng gia năm 1778. Ông tìm thấy rằng sức hút của Trái Đất đối với quả lắc bằng 9.933 lần sức hút tổng cộng của ngọn núi khi nó nằm ở trạm phía bắc và phía nam, nếu như mật độ của Trái Đất và núi Schiehallion là như nhau. Do góc lệch thực tế bằng 11,6″ hàm ý một tỷ số 17.804:1 sau khi tính đến ảnh hưởng của vĩ độ lên lực hấp dẫn, ông cho rằng mật độ trung bình của Trái Đất bằng \tfrac{17.804}{9.933}, hay khoảng \tfrac{9}{5} của núi.

John Playfair thực hiện cuộc khảo sát lần thứ hai ở núi Schiehallion vào năm 1811; trên cơ sở suy nghĩ lại tầng đá của nó, ông tìm ra kết quả mật độ trung bình Trái Đất từ 4.560 tới , mặc dù sau này Hutton nhiều tuổi hơn đã ra sức bảo vệ kết quả ban đầu của ông trong một bài báo năm 1821 trước Hội Hoàng gia. Tính toán của Playfair cho giá trị gần với giá trị hiện nay, nhưng vẫn còn quá thấp và kém quan trọng hơn so với phương pháp của Cavendish từ vài năm trước.

, địa điểm thực hiện thí nghiệm năm 1856 bởi Henry James]]
Thí nghiệm Schiehallion được lặp lại vào năm 1856 bởi tướng Henry James, người chỉ huy Cơ quan vẽ bản đồ quốc gia khi đó (Ordnance Survey), ông đã sử dụng đồi Arthur's Seat ở trung Edinburgh. Với nguồn lực từ cơ quan mà ông chỉ huy, James đã mở rộng cuộc khảo sát địa hình ra tới bán kính 21&nbsp;km, đưa nhóm của ông tới tận biên giới của Midlothian. Ông thu được kết quả vào khoảng . tương ứng với mật độ trung bình vào khoảng .

Việc thực hiện kiểm tra lại dữ liệu hiện đại về địa vật lý cho phép tính tới các nhân tố mà đội năm 1774 không thể đưa vào. Với khả năng mô hình hóa địa hình bằng kỹ thuật số trong bán kính 120&nbsp;km, cũng như hiểu biết về địa chất của núi Schiehallion được mở rộng đáng kể, và với sự trợ giúp của máy tính, một báo cáo năm 2007 cho kết quả mật độ trung bình của Trái Đất bằng . Khi so với giá trị hiện đại , có thể đánh giá được tính chính xác từ những quan sát thiên văn học của Maskelyne.

Cơ sở toán học và vật lý

Xét biểu đồ lực ở bên phải, với góc lệch đã được vẽ phóng đại. Việc phân tích được làm đơn giản khi xét lực hút chỉ bởi một phía của ngọn núi. Quả dọi khối lượng&nbsp; nằm ở khoảng cách&nbsp; từ khối tâm của quả núi có khối lượng&nbsp; và mật độ trung bình&nbsp;. Dây dọi bị lệch một góc nhỏ&nbsp; do lực hút hấp dẫn&nbsp; hướng về điểm và bởi trọng lượng&nbsp; của nó hướng về tâm Trái Đất. Vectơ tổng của và tạo ra sức căng&nbsp; đối với sợi dây. Trái Đất có khối lượng &nbsp;, bán kính&nbsp; và mật độ&nbsp;.

Hai lực hấp dẫn tác động lên quả lắc được tính theo định luật hấp dẫn của Newton:

:
F = \frac {G m M_M} {d^2},\quad W = \frac {G m M_E} {r_E^2}

Với là hằng số hấp dẫn Newton. và bị triệt tiêu khi lấy tỉ số chia cho :

:
\frac {F} {W}
= \frac {(G m M_M) / d^2} {(G m M_E) / r_E^2}
= \frac {M_M}{M_E} {\left(\frac {r_E}{d} \right)}^2
= \frac {\rho_M} {\rho_E} \frac {V_M} {V_E} {\left(\frac {r_E}{d} \right)}^2

Với và lần lượt là thể tích của núi và Trái Đất. Trong điều kiện cân bằng tĩnh, thành phần theo phương ngang và đứng của sức căng dây&nbsp; liên hệ với lực hấp dẫn và góc lệch&nbsp;:

:
W = T \cos \theta,\quad F = T \sin \theta

Thay thế vào :

:
\tan \theta
= \frac {F} {W}
= \frac {\rho_M}{\rho_E} \frac {V_M}{V_E} {\left(\frac {r_E}{d} \right)}^2

Do , , và đều đã biết, và và đo được từ thí nghiệm và khảo sát, khi đó giá trị của tỉ số&nbsp; bằng:

:
\frac {\rho_E}{\rho_M} = \frac {V_M}{V_E} {\left(\frac {r_E}{d} \right)}^2 \frac {1}{\tan \theta}

Chú thích

a. Khi đó thuộc về Viceroyalty của Peru. Các tư liệu thời đó gọi là 'Đoàn thám hiểm Peru'.
b. Mason, cùng với Jeremiah Dixon, trước đó đánh dấu ranh giới Mason–Dixon phân chia miền bắc và miền nam Hoa Kỳ.
c. Những trạm này đã bị phá hủy, nhưng dấu tích của chúng vẫn còn tìm thấy ở sườn núi.
d. Đây là một khám phá lại: Edmond Halley từng vẽ ra các đường từ trường biến đổi bằng nhau (isogon) vào năm 1701, và Nicholas Cruquius vẽ các đường độ sâu bằng nhau (isobath) vào năm 1727.
e. Giá trị xuất hiện trong công bố của Cavendish. Tuy nhiên ông đã có sai số: phép đo của ông thực sự cho giá trị ; một lỗi mà sau này Francis Baily nêu ra vào năm 1821.
f. Thể tích của Trái Đất bằng .

Tham khảo