Giản đồ-k Bondi

Giản đồ Bondi với hệ số k (Bondi k-calculus) là một phương pháp giảng dạy thuyết tương đối hẹp được phổ biến bởi Giáo sư Sir Hermann Bondi, và vẫn thường được dùng trong các lớp vật lý bậc đại học và cao đẳng.

Sự hữu dụng của giản đồ k là ở tính đơn giản của nó. Nó thậm chí đã được sử dụng thành công để phổ biến về thuyết tương đối hẹp cho trẻ em cũng như trong các giáo trình đại cương về thuyết tương đối.

Nhiều cách dẫn dắt lý thuyết tương đối bắt đầu với khái niệm vận tốc và rút ra phép biến đổi Lorentz. Các khái niệm khác như sự giãn nở thời gian, sự co ngắn chiều dài, quan hệ đồng thời tương đối, lời giải thích cho nghịch lý sinh đôi và hiệu ứng Doppler tương đối tính sau đó đều được rút ra từ phép biến đổi Lorentz, tất cả đều là các hàm của vận tốc.

Bondi, trong cuốn sách của ông Relativity and Common Sense, xuất bản lần đầu năm 1964 và dựa trên các bài viết xuất bản trong tạp chí The Illustrated London News năm 1962, đã trình bày cách dẫn dắt đi ngược thứ tự trên. Ông bắt đầu với cái ông gọi là "một tỉ số quan trọng" được kí hiệu bởi chữ k (thật ra nó chính là hệ số Doppler xuyên tâm). Từ đây ông giải thích nghịch lý sinh đôi, và quan hệ đồng thời tương đối, sự giãn nở thời gian và co ngắn chiều dài, tất cả đều dựa vào k. Phải đến sau đó trong tác phẩm ông mới đưa ra một mối liên hệ giữa vận tốc và hệ số cơ bản k. Phép biến đổi Lorentz xuất hiện ở tận phần cuối của sách.

Lịch sử
Phương pháp giản đồ k đã được sử dụng từ trước bởi E. A. Milne vào năm 1935. Milne sử dụng chữ s để ký hiệu một hệ số Doppler không đổi, nhưng cũng xét một trường hợp tổng quát liên quan tới chuyển động phi quán tính (và vì thế với hệ số Doppler biến thiên). Bondi sử dụng chữ cái k thay vì s và đơn giản hóa cách trình bày (chỉ đối với hằng số k), và giới thiệu cái tên "k-calculus".

Hệ số k Bondi
không-thời gian để định nghĩa hệ số k

]]
Xét hai quan sát viên quán tính, Alice và Bob, chuyển động trực tiếp ra xa nhau với vận tốc tương đối không đổi. Alice gửi đi tín hiệu là một tia sáng xanh tới Bob sau mỗi khoảng thời gian T giây đo bởi đồng hồ của cô. Vì Alice và Bob cách nhau một khoảng cách nên sẽ có một khoảng thời gian trễ giữa lúc Alice gửi tín hiệu và lúc Bob nhận được nó. Hơn nữa, khoảng cách này tăng đều với tỉ lệ không đổi, vì thế thời gian trễ cũng tăng. Điều này có nghĩa là các khoảng thời gian giữa những lúc Bob nhận được các tín hiệu, được đo bởi đồng hồ của anh ta, là lớn hơn T giây, ta đặt khoảng đó là kT giây với một hằng số k > 1 nào đó. Còn trong trường hợp ngược lại Alice và Bob chuyển động trực tiếp tiến gần nhau, thì lập luận tương tự nhưng ta sẽ có k trong trường hợp này.

Bondi mô tả k là một "tỉ số cơ bản", và các tác giả khác từ đó đã gọi nó là "hệ số k của Bondi".

Bây giờ ta giả sử cứ khi nào Bob nhận được một tia sáng xanh từ Alice anh ta ngay tức thì gửi đi tia sáng đỏ của mình tới Dave, sau mỗi khoảng kT giây (đo bởi đồng hồ của Bob). Theo tiên đề II của Einstein thì tốc độ của ánh sáng là không phụ thuộc sự chuyển động của nguồn phát ra nó, dẫn đến tia sáng xanh của Alice và tia sáng đỏ của Bob đều đi cùng một tốc độ, không tia nào vượt qua tia nào, và vì thế đều đến Dave cùng một lúc. Vì thế Dave cũng sẽ nhận được một tia đỏ từ Bob sau mỗi khoảng thời gian T giây đo bởi đồng hồ của Dave, mà tia lại được phát bởi Bob mỗi kT giây theo đồng hồ của Bob. Điều này dẫn đến hệ số k từ Bob sang Dave là 1/k.

Vận tốc và phép đo radar
trái|nhỏ|Sơ đồ không-thời gian cho các đại lượng radar

Trong phương pháp giản đồ-k, các khoảng cách được đo bằng radar. Một quan sát viên gửi một xung radar tới mục tiêu và nhận được tiếng vọng từ nó. Xung radar (di chuyển với tốc độ ánh sáng c) chuyển động được một tổng quãng đường cả đi và về bằng hai lần khoảng cách đến mục tiêu, và trong khoảng thời gian T_2 - T_1, với T_1 và T_2 là các thời gian đo được bởi đồng hồ của người quan sát khi phát và nhận được xung radar. Điều này dẫn đến khoảng cách tới mục tiêu là

: x_A = \tfrac{1}{2} c(T_2-T_1).

Hơn nữa, vì tốc độ ánh sáng là như nhau ở cả hai hướng nên thời điểm mà xung radar tới mục tiêu, đo bởi người quan sát, phải là chính giữa các thời điểm phát và nhận, tức là

: v=\frac{x_A}{t_A} = \frac{\tfrac{1}{2} c(k^2-1) T_1}{\tfrac{1}{2} (k^2+1) T_1} = c \frac{k^2-1}{k^2+1} = c \frac{k-k^{-1}}{k+k^{-1}}.

Phương trình này mô tả vận tốc là một hàm của hệ số k Bondi. Có thể giải k ra để có k là hàm của v:

: k = \sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}}.

Tổng hợp vận tốc
nhỏ|Sơ đồ không-thời gian biểu thị sự tổng hợp hệ số k

Xét ba quan sát viên quán tính Alice, Bob và Ed, luôn duy trì thứ tự trên trong không-thời gian và chuyển động với các tốc độ khác nhau dọc theo cùng một đường thẳng. Ở mục này, ký hiệu k_{AB} sẽ được dùng để chỉ hệ số k từ Alice tới Bob (và tương tự, đối với các cặp quan sát viên khác).

Như trên, khi Alice phát đi một tia sáng xanh tới Bob và Ed mỗi thời gian T đo bởi đồng hồ của cô, sau đó Bob nhận được sau mỗi k_{AB} T giây đo bởi đồng hồ của anh ta, rồi Ed sau mỗi k_{AE} T đo bởi đồng hồ của Ed.

Bây giờ giả thiết rằng mỗi khi Bob nhận được một tia sáng xanh từ Alice anh ta ngay tức thì gửi tia sáng đỏ của mình tới Ed, cứ mỗi k_{AB} T giây bởi đồng hồ của Bob, vậy Ed nhận được một tia đỏ từ Bob sau mỗi k_{BE} (k_{AB} T) giây bởi đồng hồ của Ed. Tiên đề thứ hai của Einstein phát biểu rằng tốc độ ánh sáng không phụ thuộc vào chuyển động của nguồn, dẫn đến tia sáng xanh của Alice và tia sáng đỏ của Bob đều chuyển động với tốc độ như nhau, không vượt nhau, và vì vậy đều tới Ed ở cùng một thời điểm. Vì thế, trong hệ quy chiếu của Ed, khoảng thời gian nhận tia đỏ k_{BE} (k_{AB} T) và khoảng thời gian nhận tia xanh k_{AE} T phải bằng nhau. Vì thế quy tắc tổng hợp các hệ số k là một phép nhân đơn giản:

: k_{AE}=k_{AB} k_{BE}.

Cuối cùng, bằng cách thế

: k_{AB}=\sqrt{\frac{1+v_{AB}/c}{1-v_{AB}/c}}, \, k_{BE}=\sqrt{\frac{1+v_{BE}/c}{1-v_{BE}/c}}, \, v_{AE}=c \frac{k_{AE}^2-1}{k_{AE}^2+1}

ta có công thức cộng vận tốc tương đối tính

: c^2 t_A^2-x_A^2=c^2 t_B^2-x_B^2.

Điều này thiết lập rằng đại lượng c^2 t^2-x^2 là bất biến: nó có giá trị như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính và được gọi là khoảng bất biến.

Biến đổi Lorentz
Hai phương trình của k ở mục trên có thể giải ra dưới dạng hệ phương trình để thu được:

: ct_B=\tfrac{1}{2} (k+k^{-1}) ct_A - \tfrac{1}{2} (k-k^{-1}) x_A
: x_B=\tfrac{1}{2} (k+k^{-1}) x_A - \tfrac{1}{2} (k-k^{-1}) ct_A

Các phương trình này chính là biến đổi Lorentz được biểu diễn bằng các số hạng của hệ số k Bondi thay vì các số hạng của vận tốc. Bằng cách thế vào

: k=\sqrt{\frac{1+v/c}{1-v/c}},

ta thu được dạng truyền thống của biến đổi Lorentz.

: \varphi = \log_e k, \, k = e^\varphi,

và vì vậy

: v = c \frac{k-k^{-1}}{k+k^{-1}} = c \tanh \varphi.

Dạng hệ số k của biến đổi Lorentz trở thành

: ct_B = ct_A \cosh \varphi - x_A \sinh \varphi
: x_B = x_A \cosh \varphi - ct_A \sinh \varphi

Từ quy tắc tổng hợp của k là phép nhân, k_{AE}=k_{AB} k_{BE}, ta rút ra quy tắc tổng hợp của rapidity là phép cộng:

: \varphi_{AE} = \varphi_{AB} + \varphi_{BE}.

Tham khảo

Liên kết ngoài

Review of Bondi k-Calculus