I-đê-an

Trong lý thuyết vành, một nhánh của đại số trừu tượng, i-đê-an là một khái niệm tổng quá hóa khái niệm bội số.

Định nghĩa
Đối với một vành tùy ý (R,+,\cdot), ký hiệu cho (R,+) là nhóm cộng nền của nó. Một tập hợp con I được gọi là i-đê-an trái nếu:

(I,+) là một nhóm con của (R,+),
Với mọi r \in R và x \in I, tích r x thuộc I.

Tương tự, ta có thể định nghĩa i-đê-an phải và i-đê-an hai phía.

Một i-đê-an (không có giải thích thêm) thông thường được ngầm hiểu là một i-đê-an trái hoặc một i-đê-an hai phía, tùy ngữ cảnh.

Ví dụ

Trong vành R, chính tập hợp R tạo thành một i-đê-an hai phía. Nó là i-đê-an chính (1), được gọi là i-đê-an đơn vị.
Một i-đê-an khác đơn vị được gọi là một i-đê-an đích thực (giống như là tập con đích thực).
Các số chẵn tạo thành một i-đê-an của vành các số nguyên \mathbb{Z}; nó thường được ký hiệu là 2\mathbb{Z}. Tương tự, i-đê-an các bội số của một số nguyên n được ký hiệu là n\mathbb{Z}.
Tập hợp tất cả các đa thức chia hết cho x2 + 1 là một i-đê-an chính của vành đa thức.
Tập hợp các ma trận n\times n với hàng dưới cùng bằng 0 là một i-đê-an phải của vành ma trận. Nó không phải là một i-đê-an trái.
Vành C(\mathbb{R}) các hàm liên tục f từ \mathbb{R} vào \mathbb{R} chứa i-đê-an các hàm số f sao cho f(1) = 0 (i-đê-an các hàm số triệt tiêu tại 1; đây là một i-đê-an tối đại).

Tính chất
Ta có một loạt các loại i-đê-an như sau.

I-đê-an tối đại: Một i-đê-an đích thực I được gọi là i-đê-an tối đại nếu nó không có i-đê-an đích thực nào chứa nó. Tức là, tồn tại một và chỉ một i-đê-an chứa I: i-đê-an đơn vị. Nó là một phần tử tối đại trong lớp các i-đê-an đích thực (với thứ tự cảm sinh bởi quan hệ bao hàm). Lớp này khác rỗng bởi luôn tồn tại một i-đê-an đích thực: i-đê-an (0). Theo bổ đề Zorn, tồn tại ít nhất một i-đê-an tối đại trong một vành (ta xây dựng chặn trên bằng phép hợp).
I-đê-an tối tiểu: Một i-đê-an là tối tiểu nếu nó khác i-đê-an (0) và nó chỉ chứa duy nhất i-đê-an (0) (và chính nó).
I-đê-an nguyên tố.
I-đê-an gốc hoặc i-đê-an bán nguyên tố.
I-đê-an sơ cấp.
I-đê-an chính
I-đê-an hữu hạn sinh.
I-đê-an nguyên thủy.
I-đê-an bất khả quy.
I-đê-an chính quy.
I-đê-an lũy linh đơn: một i-đê-an là lũy linh đơn nếu mỗi phần tử của nó là lũy linh.
I-đê-an lũy linh: một i-đê-an là lũy linh nếu một lũy thừa hữu hạn của nó bằng 0.

Một i-đê-an của một vành R được trang bị một cấu trúc R-mô-đun tự nhiên.

Phép toán i-đê-an
Tổng và tích của các i-đê-an được định nghĩa như sau

: \mathfrak{a}+\mathfrak{b}:=\{a+b \mid a \in \mathfrak{a} \mbox{ và } b \in \mathfrak{b}\},
:\mathfrak{a} \mathfrak{b}:=\{a_1b_1+ \dots + a_nb_n \mid a_i \in \mathfrak{a} \text{ và } b_i \in \mathfrak{b}, i=1, 2, \dots, n; \text{ với } n=1, 2, \dots\},

Ví dụ
Trong \mathbb{Z} ta có

: (n)\cap(m) = \operatorname{bcnn}(n,m)\mathbb{Z}

Đặt R = \mathbb{C}[x,y,z,w] và I = (z, w),\text{ }J = (x+z,y+w),\text{ }K = (x+z, w). Thế thì,

I + J = (z,w, x+z, y+w) = (x, y, z, w) và I + K = (z, w, x + z)
IJ = (z(x + z), z(y + w), w(x + z), w(y + w))= (z^2 + xz, zy + wz, wx + wz, wy + w^2)
IK = (xz + z^2, zw, xw + zw, w^2)
I \cap J = IJ trong khi I \cap K = (w, xz + z^2) \neq IK

Xem thêm

Số học mô-đun
Định lý đẳng cấu Noether
Định lý i-đê-an nguyên tố Boolean
Lý thuyết i-đê-an
I-đê-an (lý thuyết thứ tự)
Định chuẩn i-đê-an
Phân tách các i-đê-an nguyên tố trong phần mở rộng Galois
Bó i-đê-an

Tham khảo

Atiyah, M. F. và Macdonald, I.G., Introduction to Commutative Algebra, 1969, ISBN 0-201-00361-9
Lang, Serge (2005), Undergraduate Algebra (tái bản lần thứ ba), Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-22025-3