Hàm hyperbolic ngược

\scriptstyle x^2\ -\ y^2\ =\ 1 ở điểm \scriptstyle (\cosh\,a,\,\sinh\,a), khi \scriptstyle a gấp hai lần diện tích giữa tia, đường hyperbol, và trục \scriptstyle x]]

Trong toán học, hàm hyperbolic ngược hay hàm hyperbolic nghịch đảo là hàm ngược của hàm hyperbolic.

Cho một giá trị của hàm hyperbolic, ta được một hàm hyperbolic ngược tương ứng với một góc hyperbolic tương ứng. Độ lớn góc hyperbolic tương ứng sẽ bằng diện tích của vùng hyperbolic tương ứng của một đường hyperbol , hoặc gấp hai lần diện tích của vùng tương ứng của đường hyperbola đơn vị , khi mà góc tròn gấp hai lần diện tích của hình quạt tròn của đường tròn đơn vị. Nhiều tác giả đã gọi hàm hyperbolic ngược là "hàm diện tích" để nhận ra góc hyperbolic.

Chuyển đổi

:
\ln x = \operatorname{artanh} \left( \frac{x^2-1}{x^2+1}\right)
= \operatorname{arsinh} \left( \frac{x^2-1}{2 x}\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac{x^2+1}{2 x}\right)

:
\operatorname{artanh} x
= \operatorname{arsinh} \left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)

:
\operatorname{arsinh} x
= \operatorname{artanh} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)
= \pm \operatorname{arcosh} \left( \sqrt{1+x^2}\right)

:
\operatorname{arcosh} x
= \left| \operatorname{arsinh} \left( \sqrt{x^2-1}\right) \right|
= \left| \operatorname{artanh} \left( \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}
\right) \right|

Đạo hàm

:
\begin{align}
\frac{d}{dx} \operatorname{arsinh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \text{ với mọi số thực } x\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcosh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \text{ với mọi số thực } x>1\\
\frac{d}{dx} \operatorname{artanh} x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \text{ với mọi số thực } |x|1\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arsech} x & {}= \frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}, \text{ với mọi số thực } x \in (0,1)\\
\frac{d}{dx} \operatorname{arcsch} x & {}= \frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}, \text{ với mọi số thực } x\text{, ngoại trừ } 0\\
\end{align}

Ví dụ vi phân: cho θ = arsinh x, vậy (khi sinh2 θ = (sinh θ)2):
:\frac{d\,\operatorname{arsinh} x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.

Khai triển biểu thức

Biểu thức sau đây có thể được khai triển:

:\begin{align}\operatorname{arsinh} x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} \pm\cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {2n+1} , \qquad \left| x \right|

:\begin{align}\operatorname{arcosh} x & = \ln(2x) - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\
& = \ln(2x) - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {2n} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}

:\begin{align}\operatorname{artanh} x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {2n+1} , \qquad \left| x \right|

:\begin{align}\operatorname{arcsch} x = \operatorname{arsinh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} \pm\cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {2n+1} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}

:\begin{align}\operatorname{arsech} x = \operatorname{arcosh} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\
& = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n} , \qquad 0

:\begin{align}\operatorname{arcoth} x = \operatorname{artanh} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {2n+1} , \qquad \left| x \right| > 1 \end{align}
Khai triển tiệm cận cho hàm arsinh x được cho bởi

:\operatorname{arsinh} x = \ln(2x) + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac{{\left( {2n - 1} \right)!!}}{{2n\left( {2n} \right)!!}}} \frac{1}{{x^{2n} }}

Biểu thị đồ họa

{{multiple image
| perrow = 3
| align = center
| width = 200
| footer = Hàm hyperbolic ngược trong trục z trong mặt phẳng phức: màu trên mỗi mặt phẳng biểu hiện một giá trị phức của hàm tương ứng ở điểm đó
| image1 = Complex ArcSinh.jpg
| image2 = Complex ArcCosh.jpg
| image3 = Complex ArcTanh.jpg
| image4 = Complex ArcCoth.jpg
| image5 = Complex ArcSech.jpg
| image6 = Complex ArcCsch.jpg
| alt1 = Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
| alt2 = Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
| alt3 = Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
| alt4 = Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
| alt5 = Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
| alt6 = Square representing central portion of the complex z-plane painted in psychedelic colours
| caption1 = \operatorname{arsinh}(z)
| caption2 = \operatorname{arcosh}(z)
| caption3 = \operatorname{artanh}(z)
| caption4 = \operatorname{arcoth}(z)
| caption5 = \operatorname{arsech}(z)
| caption6 = \operatorname{arcsch}(z)
}}

Xem thêm
Danh sách tích phân với hàm hyperbolic ngược

Tham khảo

}}
Herbert Busemann and Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, page 207, Academic Press.

Liên kết ngoài

Hàm hyperbolic ngược tại MathWorld