Độ cong

Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong, mặt cong hay không gian Riemann nói chung.

Độ cong của một đường cong

Định nghĩa
Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong R là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong \kappa chính là nghịch đảo của bán kính cong R.
:\kappa = \frac{1}{R}
Gọi ds là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và d\phi là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:
:\kappa = \frac{d\phi}{ds}

Tính độ cong của một đường cong phẳng
Trong hệ tọa độ Descartes
:Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes
Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số
\begin{cases}
x = x(t) \\
y = y(t)
\end{cases}
, từ phần trên ta có định nghĩa:
:\kappa = \frac{d\phi}{ds}
= \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\dfrac{ds}{dt}}
= \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\sqrt{\left (\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left (\dfrac{dy}{dt}\right)^2}}
= \dfrac{\dfrac{d\phi}{dt}}{\sqrt{{x'}^2 + {y'}^2}}
d\phi là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa \phi là góc tiếp tuyến của đường cong.
:\tan \phi = \dfrac{dy}{dx}
= \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}
= \dfrac{y'}{x'}
Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số t ta được:
:\frac{d}{dt}(\tan \phi)
= \left (1 + {\tan}^2 \phi \right)\frac{d\phi}{dt}
= \dfrac{x'y - y'x}{{x'}^2}
\Leftrightarrow \frac{d\phi}{dt}
= \frac{1}{1 + {\tan}^2 \phi}\dfrac{x'y - y'x}{{x'}^2}
= \frac{1}{1 + {\left (\dfrac{y'}{x'}\right)^2 }}\dfrac{x'y - y'x}{{x'}^2}
= \dfrac{x'y - y'x}{{x'}^2+{y'}^2}

Kết hợp các kết quả thu được ta có:
:\kappa = \dfrac{x'y - y'x}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}
Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số y = f(x) thì độ cong được tính như sau:
:\kappa = \dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left [1+\left (\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right ]^{3/2}}

Trong hệ tọa độ cực
:Xem thêm: Hệ tọa độ cực
Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số r = r(\theta) thì độ cong được tính như sau:
:\kappa = \dfrac{r^2 + 2\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2 - r\dfrac{d^2r}{d\theta^2}}{\left [r^2+\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2\right ]^{3/2}}

Ví dụ
Đường thẳng
Đường thẳng
\begin{cases}
x = t \\
y = at + b
\end{cases}
hay y = ax + b sẽ có độ cong được tính như sau:
:x' = 1,\quad x = 0,\quad y' = a, \quad y = 0,\quad \dfrac{dy}{dx} = a, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2} = 0
Áp dụng công thức ta có:
:\kappa = \dfrac{x'y - y'x}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}
= \dfrac{1\cdot 0 - a\cdot 0}{\left ({1}^2+{a}^2\right)^{3/2}} = 0

hay công thức:
:\kappa = \dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left [1+\left (\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{0}{\left [1+a^2\right ]^{3/2}} = 0
Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

Đường tròn
Đường tròn
\begin{cases}
x = R\cos t \\
y = R\sin t
\end{cases}
hay r = R sẽ có độ cong được tính như sau:
:x' = -R\sin t,\quad x = -R\cos t,\quad y' = R\cos t, \quad y = -R\sin t,\quad \dfrac{dr}{d\theta} = 0, \quad \dfrac{d^2r}{d\theta^2} = 0
Áp dụng công thức ta có:
:\kappa = \dfrac{x'y - y'x}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}
= \dfrac{(-R\sin t)\cdot (-R\sin t) - (R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left [{(-R\sin t)}^2+{(R\cos t)}^2\right ]^{3/2}} = \frac{1}{R}

hay công thức:
:\kappa = \dfrac{r^2 + 2\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2 - r\dfrac{d^2r}{d\theta^2}}{\left [r^2+\left (\dfrac{dr}{d\theta}\right)^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{R^2 + 2\cdot 0^2 - R\cdot 0}{\left [R^2+0^2\right ]^{3/2}} = \frac{1}{R}

Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.
Các đường khác
Đường parabol y = ax^2 sẽ có độ cong được tính như sau:
:\dfrac{dy}{dx} = 2ax, \quad \dfrac{d^2y}{dx^2} = 2a
Áp dụng công thức ta có:
:\kappa = \dfrac{\dfrac{d^2y}{dx^2}}{\left [1+\left (\dfrac{dy}{dx}\right)^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{2a}{\left [1+(2ax)^2\right ]^{3/2}}
= \dfrac{2a}{\left (1+4a^2x^2\right)^{3/2}}
Đường ellipse
\begin{cases}
x = a\cos t \\
y = b\sin t
\end{cases}
sẽ có độ cong được tính như sau:
:x' = -a\sin t,\quad x = -a\cos t,\quad y' = b\cos t, \quad y = -b\sin t
Áp dụng công thức ta có:
:\kappa = \dfrac{x'y - y'x}{\left ({x'}^2+{y'}^2\right)^{3/2}}
= \dfrac{(-a\sin t)\cdot (-b\sin t) - (b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left [{(-a\sin t)}^2+{(b\cos t)}^2\right ]^{3/2}}
::= \frac{ab}{\left [\left (\dfrac{ay}{b}\right)^2+\left (\dfrac{bx}{a}\right)^2\right ]^{3/2}}
= \frac{ab}{\left [a^2\left (1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)+\dfrac{b^2}{a^2}x^2\right ]^{3/2}}
::= \frac{ab}{\left [a^2 - \left (1 - \dfrac{b^2}{a^2}\right)x^2\right ]^{3/2}}
= \frac{ab}{\left (a^2 - e^2x^2\right)^{3/2}}

với e=\sqrt{1 - \dfrac{b^2}{a^2}} là tâm sai của ellipse.

Độ cong của một đường cong ghềnh
Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes
\begin{cases}
x = x(t) \\
y = y(t) \\
z = z(t)
\end{cases}
được tính theo công thức
:\kappa=\frac{\sqrt{(zy'-yz')^2+(xz'-zx')^2+(yx'-xy')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}}

Độ cong của một mặt cong

Độ cong Gauss

Độ cong trung bình

Độ cong của một không gian

Tenxơ độ cong Riemann

Tenxơ độ cong Ricci

Xem thêm
Bán kính cong
Đa tạp Riemann
Hệ tọa độ Descartes
Hệ tọa độ cực
Hình học vi phân

Tham khảo
John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds