Chuỗi lũy thừa hình thức

Trong toán học, một chuỗi lũy thừa hình thức là một sự khái quát của đa thức, trong đó số các số hạng có thể là vô hạn mà không có yêu cầu nào về sự hội tụ.

Vành các chuỗi lũy thừa hình thức
Vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến X với hệ số trong vành giao hoán R được ký hiệu là RX.

Cấu trúc vành
Một phần tử của RX có thể được coi như một phần tử của R^\N. Ta định nghĩa phép cộng

: (a_n)_{n\in\N} + (b_n)_{n\in\N} = \left(a_n + b_n \right)_{n\in\N}

và phép nhân

: (a_n)_{n\in\N} \times (b_n)_{n\in\N} = \left(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right)_{\!n\in\N}.

Phép nhân này khác với phép nhân từng số hạng. Nó được gọi là tích Cauchy của hai chuỗi hệ số, và là một loại tích chập rời rạc. Với các phép toán này, R^\N trở thành một vành giao hoán với phần tử không (0,0,0,\ldots) và đơn vị (1,0,0,\ldots).

Cấu trúc tô pô
Theo qui ước

: (a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots) = \sum_{i=0}^\infty a_i X^i, \qquad (1)

một cấu trúc tô-pô trên vành các chuỗi lũy thừa hình thức được xác định bởi một cấu trúc tô-pô trên R^\N. Có nhiều định nghĩa tương đương.

Chúng ta có thể gán cho R^\N tô pô tích, với mỗi bản sao của R mang tô pô rời rạc.
Ta cũng có thể gán cho nó tô-pô cảm sinh từ metric sau. Khoảng cách hai chuỗi phân biệt (a_n), (b_n) \in R^{\N}, được định nghĩa là

:: d((a_n), (b_n)) = 2^{-k},
: với k là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho a_k\neq b_k.

Ví dụ
Lưu ý rằng trong \RX giới hạn

: \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{X}{n}\right)^{\!n}

không tồn tại, vì vậy, nó không hội tụ tới

: \exp(X)\ =\ \sum_{n\in\N}\frac{X^n}{n!}.

Các phép toán khác

Lũy thừa
Với một số tự nhiên n ta có

: \left(\sum_{k=0}^\infty a_k X^k \right)^{\!n} =\, \sum_{m=0}^\infty c_m X^m,

trong đó

: \begin{align}
c_0 &= a_0^n,\\
c_m &= \frac{1}{m a_0} \sum_{k=1}^m (kn - m+k) a_{k} c_{m-k}, \ \ \ m \geq 1.
\end{align}

Nghịch đảo
Chuỗi

: A = \sum_{n=0}^\infty a_n X^n \in RX

là khả nghịch trong RX hệ số hằng a_0 là khả nghịch. Chuỗi nghịch đảo B có thể được tính qua công thức đệ quy tường minh

: \begin{align}
b_0 &= \frac{1}{a_0},\\
b_n &= -\frac{1}{a_0} \sum_{i=1}^n a_i b_{n-i}, \ \ \ n \geq 1.
\end{align}

Một trường hợp đặc biệt là công thức chuỗi cấp số nhân được thỏa mãn trong RX:

: (1 - X)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty X^n.

Hợp
Cho hai chuỗi lũy thừa hình thức

: f(X) = \sum_{n=1}^\infty a_n X^n = a_1 X + a_2 X^2 + \cdots
: g(X) = \sum_{n=0}^\infty b_n X^n = b_0 + b_1 X + b_2 X^2 + \cdots,

ta có thể định nghĩa phép hợp

: g(f(X)) = \sum_{n=0}^\infty b_n (f(X))^n = \sum_{n=0}^\infty c_n X^n,

với

: c_n:=\sum_{k\in\N, |j|=n} b_k a_{j_1} a_{j_2} \cdots a_{j_k}.

Tổng này được lấy trên tất cả các cặp (k,j) với k\in\N và j\in\N_+^k sao cho |j|:=j_1+\cdots+j_k=n.

Đạo hàm hình thức
Cho một chuỗi lũy thừa hình thức

: f = \sum_{n\geq 0} a_n X^n \in RX,

ta có thể xác định đạo hàm hình thức của nó, ký hiệu là Df hoặc f' , bởi

: Df = f' = \sum_{n \geq 1} a_n n X^{n-1}.

Tính chất

Tính chất đại số của vành các chuỗi lũy thừa hình thức

Tính chất tô pô
Không gian metric (RX, d) là hoàn chỉnh

Vành RX là compact khi và chỉ khi R là hữu hạn.

Tham khảo


Nicolas Bourbaki: Đại số, IV, §4. Springer-Verlag 1988.

Đọc thêm

W. Kuich. Springer, Berlin, 1997,
Droste, M., & Kuich, W. (2009).