Bổ đề Euclid

Trong lý thuyết số, bổ đề Euclid là một bổ đề nắm một thuộc tính cơ bản của số nguyên tố, đó là: mặc dù tên gọi đó phù hợp hơn với định lý về điều kiện cạnh-góc-cạnh dùng để chứng minh các tam giác là đồng dạng.|group=note}}Bổ đề Euclid — Nếu một số nguyên tố là ước của tích của hai số nguyên và , thì phải chia được hết bởi tối thiểu một trong các số nguyên và .Ví dụ, nếu 19}}, 133}}, 143}}, thì 133 &times; 143 19019}}, và vì tích này chia hết cho 19, theo bổ đề thì một trong hai hoặc cả hai số 133 hoặc 143 cũng phải chia hết cho 19. Thật vậy, 19 × 7}}.

Vốn dĩ, nếu điều kiện của bổ đề không được thỏa mãn, chẳng hạn như nếu là một hợp số, kết quả sẽ có thể là đúng hoặc sai. Ví dụ, trong trường hợp 10}}, 4}}, 15}}, hợp số 10 chia hết tích 4 &times; 15 60}}, nhưng 10 không chia hết 4 hay 15.

Tính chất này cần thiết cho chứng minh của định lý cơ bản của số học. Nó được dùng để định nghĩa phần tử nguyên tố, một tổng quát hóa của số nguyên tố cho các vành giao hoán bất kỳ. Bổ đề Euclid cho thấy rằng đối với tập số nguyên các phần tử tối giản cũng là phần tử nguyên tố. Chứng minh định lý sử dụng quy nạp nên nó không áp dụng với tất cả các miền nguyên.

Công thức
Lấy p là một số nguyên tố và giả thiết rằng p chia hết (hay "đo được") tích của hai số nguyên a và b. (Trong cách viết ký hiệu, điều này được viết là p \mid ab. Mệnh đề phủ định của nó, p không chia hết ab được viết là p \nmid ab.) Vậy thì p \mid a hoặc p \mid b (hoặc cả hai). Các phát biểu tương đương bao gồm:

Nếu p \nmid a và p \nmid b, thì p \nmid ab.
Nếu p \nmid a và p \mid ab, thì p \mid b.

Bổ đề Euclid có thể được tổng quát hóa từ cho các số nguyên tố tới cho bất kỳ số nguyên nào:Định lý — Nếu n \mid ab, và n nguyên tố cùng nhau với a, thì n \mid b.Đây là một tổng quát hóa bởi vì nếu n cũng là số nguyên tố thì hoặc là

n \mid a; hoặc là
n nguyên tố cùng nhau với a. Trong khả năng thứ hai này, n \nmid a vì vậy n \mid b.

Lịch sử
Bổ đề xuất hiện lần đầu dưới dạng mệnh đề số 30 trong Quyển VII của bộ Cơ sở của Euclid. Nó được kèm trong trên thực tế tất cả cuốn sách viết về lý thuyết số cơ bản.

Sự tổng quát hóa của bổ đề lên với mọi số nguyên xuất hiện trong sách giáo khoa Nouveaux Elémens de Mathématiques của Jean Prestet năm 1681.

Trong chuyên luận Disquisitiones Arithmeticae của Carl Friedrich Gauss, phát biểu của bổ đề là Định đề 14 của Euclid (Mục 2), mà ông sử dụng để chứng minh sự duy nhất của phân tích các thừa số nguyên tố của một số nguyên (Định lý 16), thừa nhận sự tồn tại là "hiển nhiên." Từ sự tồn tại và tính duy nhất này, sau đó, ông suy ra tổng quát hóa của bổ đề từ số nguyên tố thành số nguyên. với bổ đề Gauss về thặng dư bậc hai.

Chứng minh

Chứng minh bằng bổ đề Bézout
Chứng minh thông thường liên quan tới một bổ đề khác được gọi là bổ đề Bézout,|group=note}}
; Mệnh đề 20
: Các số bé nhất trong số những số có cùng tỉ lệ với chúng đo được những số có cùng tỉ lệ bằng cùng một số lần — càng lớn thì càng lớn và càng ít thì càng ít. |group=note}}
; Mệnh đề 21
: Các số nguyên tố cùng nhau là các số nhỏ nhất trong số những số có cùng tỉ lệ với chúng.|group=note}}
; Mệnh đề 29
: Bất kỳ số nguyên tố nào cũng là số nguyên tố cùng với một số bất kỳ mà nó không đo được.|group=note}}
; Mệnh đề 30
: Nếu hai số, bằng cách nhân với nhau, tạo ra một tích và với bất kỳ số nguyên tố nào đo được tích đó, thì nó cũng đo được một trong các số ban đầu.|group=note}}
; Chứng minh của mệnh đề 30
: Nếu c là số nguyên tố, đo được ab, thì c đo được a hoặc b.Giả sử c không đo được a.Do đó c, a nguyên tố cùng nhau. ［VII. 29］Giả sử ab＝mc.Do đó c: a ＝ b : m. ［VII. 19］Do đó theo［VII. 20, 21］b＝nc, với n là một số nguyên.Do đó c đo được b.Tương tự, nếu c không đo được b thì c đo được a.Do đó c là số đo được một số hoặc số kia trong hai số a, b.QED.

Xem thêm

Bổ đề Bézout
Thuật toán Euclide
Định lý cơ bản của số học
Phần tử tối giản
Phần tử nguyên tố
Số nguyên tố

Chú thích

Ghi chú

Trích dẫn

Tham khảo

.
- vol. 2





.

.
.

Liên kết ngoài