Mô hình Black–Scholes

Mô hình Black–Scholes hay Mô hình Black–Scholes–Merton là một mô hình toán học ứng dụng để định giá một số sản phẩm tài chính mà tiêu biểu là quyền chọn kiểu châu Âu. Mô hình được đưa ra bởi Fischer Black và Myron Scholes trong bài báo năm 1973, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", xuất bản trong Journal of Political Economy.

Công thức Black - Scholes

Công thức Black - Scholes được dùng để định giá quyền chọn châu Âu.

Giá của quyền chọn mua với các tham biến Black - Scholes là:

: C(t,S) = Se^{-\delta(T-t)}N(d_1) - Ke^{-r(T - t)}N(d_2) \,

:: d_1 = \frac{\ln(\frac{S}{K}) + (r - \delta + \frac{\sigma^2}{2})(T - t)}{\sigma\sqrt{T - t}}

:: d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T - t}.

Giá của quyền chọn bán là:

: P(t,S) = Ke^{-r(T-t)}N(-d_2) - SN(-d_1). \

Với:
N(•) là hàm phân bổ tích lũy của phân phối chuẩn N(0, 1)
T - t là thời gian còn lại đến kì hạn.
S là giá giao ngay (spot price) của tài sản gốc.
K là giá điểm (strike price).
r là lãi suất không rủi ro.
\sigma là biến động giá của tài sản gốc
\delta cổ tức được trả và tái đầu tư ngay lập tức vào cổ phiếu.

Phương trình Black Scholes cho quyền chọn kiểu châu Âu

Phương trình Black Scholes là một phương trình đạo hàm riêng trong đó miêu tả sự phụ thuộc của giá một sản phẩm phái sinh theo thời gian và theo sản phẩm sản phẩm nền(underlying asset). Phương trình như sau

:\frac{\partial V}{\partial t}(t,S)+ r S\frac{\partial V}{\partial S}(t,S)+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{S}^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{S}^{2}}}(t,S)-rV(t,S)=0 trên miền S \in \left[ 0,+\infty \right), t\in \left[ 0,T \right].
với ràng buộc payofff của sản phẩm phái sinh tại thời điểm đáo hạn T là
:V(T,S)=\Phi(S)
ví dụ
::\Phi(S)=(S-K)_+ khi sản phẩm phái sinh là quyền chọn mua hoặc
::\Phi(S)=(K-S)_+ trong trường hợp sản phẩm phái sinh là quyền chọn bán.

Phương trình Black Scholes cho quyền chọn kiểu châu Mỹ

\left\{ \begin{align}
& \min \left(\frac{\partial V}{\partial t}(t,S)+rS\frac{\partial V}{\partial S}(t,S)+\frac{1}{2}{{\sigma }^{2}}{{S}^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{S}^{2}}}(t,S)-rV(t,S), V(t,S)-\Phi (S) \right)=0, S\in \left[ 0,+\infty \right),t\in \left[ 0,T \right] \\
& V(T,S)=\Phi (S) \\
\end{align} \right.

Mô phỏng Monte Carlo
Lược đồ \theta

Ước lượng các tham số của mô hình

Tham khảo

Tham khảo chính
(Black and Scholes' original paper.)


Các khía cạnh lịch sử và xã hội





Liên kết ngoài
Discussion of the model
The Black–Scholes Model, global-derivatives.com
Options pricing using the Black-Scholes Model , Investment Analysts Society of Southern Africa
Black, Merton, and Scholes: Their work and its consequences , by Ajay Shah
A Study of Option Pricing Models, Prof. Kevin Rubash
Black-Scholes in English, risklatte.com
The Black–Scholes Option Pricing Model, optiontutor
Inside Wall Street's Black Hole by Michael Lewis, March 2008 Issue of portfolio.com
Whither Black-Scholes? by Pablo Triana, April 2008 Issue of Forbes.com
Mispriced risk tests market faith in a prized formula April 2008 Financial Times
Black–Scholes Model & Binomial Model, OptionTradingpedia.com

Cách thiết lập phương trình và lời giải
The risk neutrality derivation of the Black-Scholes Equation, quantnotes.com
Arbitrage-free pricing derivation of the Black-Scholes Equation, quantnotes.com, or an alternative treatment , Prof. Thayer Watkins
Solving the Black-Scholes Equation, quantnotes.com
Solution of the Black–Scholes Equation Using the Green's Function, Prof. Dennis Silverman
Solution via risk neutral pricing or via the PDE approach using Fourier transforms (includes discussion of other option types), Simon Leger
Step-by-step derivation of delta from the Black-Scholes equation (site also contains step-by-step derivations of some of the other greeks), quantnotes.com
Step-by-step solution of the Black-Scholes PDE , planetmath.org.

Thử nghiệm mô hình
Anomalies in option pricing: the Black–Scholes model revisited , New England Economic Review, March-April, 1996
Why We Have Never Used the Black-Scholes-Merton Option Pricing Formula, Nassim Taleb và Espen Haug
The illusions of dynamic replication , Emanuel Derman và Nassim Taleb

Mã máy tính

Sourcecode
Black–Scholes in Multiple Languages, espenhaug.com
VBA sourcecode for Black Scholes and Greeks, global-derivatives.com
Excel
Option Pricing Spreadsheet with documented VBA, OptionTradingTips.com
Excel spreadsheet with VBA sourcecode , quantnotes.com
Excel implementation and tutorial , researchkitchen.co.uk
Real Time
Black-Scholes tutorial based on graphic simulations, Jerry Marlow
Surface Plots of Black-Scholes Greeks, Chris Murray
Real-time calculator of Call and Put Option prices when the underlying follows a Mean-Reverting Geometric Brownian Motion , by Razvan Pascalau, Univ. of Alabama
Black & Scholes calculator, with profitability of some operations, epx.com.br

Historical
The Sveriges Riksbank (Bank of Sweden) Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel for 1997
Trillion Dollar Bet—Companion Web site to a Nova episode originally broadcast on 8 tháng 2 năm 2000. "The film tells the fascinating story of the invention of the Black-Scholes Formula, a mathematical Holy Grail that forever altered the world of finance and earned its creators the 1997 Nobel Prize in Economics."
BBC Horizon A TV-programme on the so-called Midas formula and the bankruptcy of Long-Term Capital Management (LTCM)
BBC Horizon - The Midas Formula (1999). Documentary available at Stage6.