Định lý Đào về sáu tâm đường tròn

Định lý Đào về sáu tâm đường tròn còn có tên đầy đủ là định lý Đào về sáu tâm đường tròn kết hợp với một lục giác nội tiếp một định lý trong lĩnh vưc hình học phẳng nói về mối quan hệ đồng quy của ba đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua tâm của hai đường tròn ngoại tiếp tam giác trong cấu trúc hình học liên quan tới một lục giác nội tiếp. Nội dung định lý như sau:

Cho một lục giác nội tiếp, khi đó đường thẳng nối tâm của các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác đối diện mà các tam giác này tạo bởi một cạnh của lục giác và giao điểm của đường thẳng kéo dài của hai cạnh liền kề của cạnh đó sẽ đồng quy.

Giới thiệu
Đào Thanh Oai đề xuất một vấn đề về hình học trên trang Cut-The-Knot với tiêu đề là Another seven circles theorem, tiếng Việt: Định lý khác về bảy đường tròn, vào năm 2013. Sau đó gần một năm (năm 2014), định lý được Nikolaos Dergiades, nhà nghiên cứu toán học người Hy Lạp và một học sinh tại Đài Loan là Telv Cohl công bố với hai chứng minh độc lập.

Theo lời giới thiệu khi công bố trên bài báo của Nikolaos Dergiades tại tạp chí Forum Geometricorum của khoa toán đại học Florida Atlantic: "Định lý Đào về sáu tâm đường tròn được cho là một định lý đẹp

Trong Bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác một trường hợp đặc biệt của định lý Đào được thể hiện qua điểm X_{3649}. Trường hợp này được phát biểu như sau: Gọi A'B'C' là tam giác bàn đạp ứng với tâm nội tiếp của tam giác ABC khi đó tam giác tạo bởi tâm ba đường tròn ngoại tiếp các tam giác AB'C', BC'A', CA'B' sẽ thấu xạ với tam giác A'B'C' tại điểm X_{3649}. Điểm này chính là điểm Kosnita của tam giác A'B'C'.

Một số chứng minh

Mặc dù phương pháp tọa độ tỉ cự cho kết quả rất dài nhưng các chứng minh cho định lý này cũng khá ngắn gọn. Bài báo của Nikolaos Dergiades sử dụng phương pháp số phức để chứng minh định lý Đào, Một số chứng minh khác đưa ra bởi hai người Việt Nam là Nguyễn Minh Hà và Nguyễn Tiến Dũng vào năm 2017, có thể xem tại đây.

Một phiên bản của định lý Đào đưa ra bởi Nguyễn Ngọc Giang nếu thay đường tròn bởi đường conic có thể xem tại đây.

Một số vấn đề liên quan


Tâm đẳng phương của ba đường tròn (O_{123}), (O_{345}), (O_{561}) trùng với tâm đẳng phương của ba đường tròn (O_{234}), (O_{456}), (O_{612})
Sáu đường tròn (P_{12}P_{23}P_{24}), (P_{24}P_{34}P_{35}), (P_{35}P_{45}P_{46}), (P_{46}P_{56}P_{51}), (P_{51}P_{61}P_{62}), (P_{62}P_{12}P_{13}) có chung tâm đẳng phương.
Hai tam giác O_{123}O_{345}O_{561} và P_{24}P_{46}P_{62} là trực giao với nhau.
Nếu ba cặp đường chéo chính P_{12}P_{45}, P_{34}P_{61}, P_{56}P_{23} đồng quy thì sáu tâm đường tròn O_{123}, O_{234}, O_{345}, O_{456}, O_{561}, O_{612} nằm trên một đường conic.
Nếu ba cặp đường chéo chính P_{12}P_{45}, P_{34}P_{61}, P_{56}P_{23} đồng quy. Khi đó sáu đường tròn (O_{123}), (O_{234}), (O_{345}), (O_{456}), (O_{561}), (O_{612}) có chung một tâm đẳng phương.
Nếu ba cặp đường chéo chínhP_{12}P_{45}, P_{34}P_{61}, P_{56}P_{23} đồng quy. Khi đó P'_{12}, P'_{23}, P'_{34}, P'_{45}, P'_{56}, P'_{61} nằm trên một đường tròn.

Trường hợp đặc biệt

Trường hợp lục giác suy biến thành tam giác định lý Đào về sáu tâm đường tròn sẽ trực tiếp suy biến thành định lý Kosnita. Định lý Kosnita phát biểu như sau: Cho tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp, O_a, O_b, O_c là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC, OCA, OAB thì AO_a, BO_b, CO_c đồng quy.

Xem thêm
Định lý Desargues
Định lý Kosnita
Định lý Đào (conic)
Định lý tám đường tròn

Chú thích

Liên kết ngoài
Hình vẽ động của Định lý Đào về sáu tâm đường tròn kết hợp với một lục giác nội tiếp, geogebratube.
Các kết quả đã công bố trên tạp chí, Dao's blog
Contact Triangle at MathWorld