Nguồn gốc của các phương trình Navier–Stokes

Mục đích của bài viết này là làm nổi bật những điểm quan trọng về nguồn gốc của các phương trình Navier–Stokes cũng như các ứng dụng và việc xây dựng công thức cho các loại chất lưu khác nhau.

Giả định cơ bản

Các phương trình Navier - Stokes được dựa trên giả định rằng các chất lưu, ở quy mô quan tâm, là một thể liên tục, nói cách khác tức là chất lưu không tạo thành từ các hạt rời rạc mà là một chất liên tục. Một giả định cần thiết nữa đó là tất cả các trường quan tâm như áp suất, vận tốc dòng chảy, mật độ, và nhiệt đô đều có thể lấy vi phân được, ít nhất cũng là vi phân yếu.

Các phương trình được bắt nguồn từ các nguyên tắc cơ bản về tính liên tục của khối lượng, động lượng, và năng lượng. Đối với vấn đề này, đôi khi cần phải xem xét một thể tích hữu hạn bất kỳ, được gọi là khối thể tích kiểm tra, thông qua đó những nguyên tắc này có thể được áp dụng. Khối thể tích hữu hạn được thể hiện bằng \Omega và bề mặt bao nó là \partial \Omega. Khối thể tích kiểm tra có thể đứng yên trong không gian hoặc chuyển động cùng với chất lưu.

Đạo hàm hữu hình

Những thay đổi về thuộc tính của một chất lưu chuyển động có thể được đo bằng hai cách khác nhau. Người ta có thể đo lường một thuộc tính nào đó bằng cách thực hiện các phép đo tại một điểm cố định trong không gian khi các phần tử của chất lưu đi qua, hoặc bằng cách đi theo một phần tử chất lưu dọc theo đường dòng của nó. Đạo hàm của một trường (vận tốc, áp suất,..) đối với một vị trí cố định trong không gian được gọi là đạo hàm Euler trong khi đạo hàm đi theo một phần tử chất lưu chuyển động được gọi là đạo hàm bình lưu (advective) hoặc đạo hàm hữu hình ("Lagrangian" ).

Đạo hàm hữu hình được định nghĩa là toán tử phi tuyến:
:\frac{D}{Dt} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla

trong đó \mathbf{u} là vận tốc dòng chảy. Số hạng đầu tiên ở phía bên tay phải của phương trình là đạo hàm Euler thường (tức là đạo hàm trên một hệ quy chiếu cố định, đại diện cho những thay đổi tại một điểm theo thời gian) trong khi số hạng thứ hai đại diện cho sự thay đổi của một đại lượng theo vị trí (xem bình lưu). Đạo hàm "đặc biệt" này chính là đạo hàm thường của một hàm nhiều biến dọc theo một đường đi của chuyển động chất lưu; nó có thể được rút ra thông qua việc áp dụng quy tắc chuỗi (chain rule), trong đó sự thay đổi của tất cả các biến độc lập được kiểm tra dọc theo đường đi của chuyển động chất lưu (tức là đạo hàm toàn phần).

Ví dụ, việc đo lường sự thay đổi về tốc độ gió trong khí quyển có thể được thực hiện với sự giúp đỡ của một máy đo gió tại một trạm thời tiết hoặc bằng cách quan sát sự chuyển động của một khí cầu thời tiết. Máy đo gió trong trường hợp đầu tiên đo vận tốc của tất cả các phần tử chuyển động đi qua một điểm cố định trong không gian, trong khi ở trường hợp thứ hai thiết bị sẽ đo lường sự thay đổi vận tốc khi nó di chuyển với luồng gió.

Phương trình tính liên tục
Phương trình Navier - Stokes là một phương trình tính liên tục đặc biệt. Một phương trình tính liên tục có thể được rút ra từ các nguyên tắc bảo tồn:

Khối lượng
Động lượng
Năng lượng

Điều này được thực hiện thông qua định lý vận chuyển Reynolds, một quan hệ giải pháp tích phân nói rằng tổng của những thay đổi của một thuộc tính cụ thể nào đó (gọi nó là φ) của một khối thể tích kiểm tra \Omega phải bằng với những gì đã giảm (hoặc tăng) thông qua các mặt biên của khối thể tích kiểm tra cộng với những gì được tạo ra hoặc mất đi do các nguồn phát (source) và giếng thu (sink) bên trong khối thể tích kiểm tra. Điều này được thể hiện bằng các phương trình tính liên tục ở dạng tích phân dưới đây:
:\frac{d}{dt}\int_{\Omega} \phi \ dV = -\int_{\partial\Omega} \phi \mathbf{u\cdot n} \ dA - \int_{\Omega} s \ dV

trong đó u là vận tốc dòng chảy của chất lưu và s đại diện cho các nguồn phát và giếng thu trong dòng chảy, giếng thu sẽ mang dấu dương, còn nguồn phát mang dấu âm. Nhớ lại rằng \Omega đại diện cho khối thể tích kiểm tra và \partial \Omega đại diện cho bề mặt bao quanh của nó.

Định lý phân kỳ có thể được áp dụng cho tích phân bề mặt, để thay đổi tích phân bề mặt thành tích phân thể tích:

:\frac{d}{d t} \int_{\Omega} \phi \ dV = -\int_{\Omega} \nabla \cdot (\phi \mathbf u) \ dV - \int_{\Omega} s \ dV.

Áp dụng quy tắc Leibniz vào tích phân bên trái và sau đó kết hợp tất cả các tích phân:

:\int_{\Omega} \frac{\partial \phi}{\partial t} \ dV = - \int_{\Omega}\nabla \cdot (\phi\mathbf u) \ dV - \int_{\Omega} s \ dV
\qquad \Rightarrow \qquad
\int_{\Omega} \left(\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot (\phi\mathbf u) + s\ \right) dV = 0.

Tích phân này phải bằng không đối với bất kỳ khối thể tích kiểm tra bất kỳ; điều này chỉ có thể đúng nếu hàm bị tích bằng không, do đó:

:\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot (\phi \mathbf u) + s = 0.

Từ mối quan hệ quý giá này (một phương trình tính liên tục rất đặc trưng), ba khái niệm quan trọng có thể được viết một cách ngắn gọn: sự bảo toàn khối lượng, bảo toàn động lượng và bảo toàn năng lượng. Tính đúng đắn (validity) vẫn được duy trì nếu φ là một vector, trong trường hợp đó phép nhân vector vector trong số hạng thứ hai sẽ là một phép nhân dyad.

Phương trình động lượng

Một phương trình động lượng nói chung sẽ được rút ra khi mối quan hệ bảo toàn được áp dụng cho động lượng. Nếu thuộc tính φ đang được xét đến là thông lượng khối lượng (hay còn gọi là mật độ động lượng), tức là sản phẩm của mật độ khối lượng và vận tốc dòng chảy \rho \mathbf u, bằng cách thay thế trong phương trình liên tục tổng quát:

:\frac{\partial}{\partial t}(\rho \mathbf u) + \nabla \cdot (\rho \mathbf u \mathbf u) + \mathbf{s} = 0

trong đó \mathbf u \mathbf u là một phép nhân dyad, một trường hợp đặc biệt của phép nhân tensor, nó cũng cho kết quả là một tensor bậc hai; toán tử (div) của một tensor bậc hai lại là một vector (tensor bậc một).

:\mathbf u \frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho \frac{\partial \mathbf u}{\partial t} + \mathbf u \mathbf u \cdot \nabla \rho +
\rho \mathbf u \cdot \nabla \mathbf u + \rho \mathbf u \nabla \cdot \mathbf u = \mathbf{s}

Lưu ý rằng gradient của một vector là một trường hợp đặc biệt của đạo hàm hiệp biến, và cho kết quả là các tensor bậc hai;

\delta_{ij} là Kronecker delta. μ và λ là các hằng số tỉ lệ gắn với giả định rằng ứng suất phụ thuộc vào biến dạng một cách tuyến tính; μ được gọi là hệ số đầu tiên của độ nhớt (thường được gọi đơn giản là "độ nhớt") và λ là hệ số thứ hai của độ nhớt (liên quan đến độ nhớt toàn khối (bulk viscosity)). Giá trị của λ tạo ra hiệu ứng nhớt gắn liền với sự thay đổi thể tích, nhưng nó rất khó xác định được giá trị này, thậm chí nó có giá trị âm hay dương cũng rất khó để chắc chắn tuyệt đối. Ngay cả trong dòng chảy nén được, các số hạng có chứa λ là thường bị bỏ qua; Tuy nhiên thỉnh thoảng nó có thể quan trọng ngay cả trong dòng chảy gần như không nén được và là một vấn đề tranh cãi. Khi dùng giá trị khác không, giá trị xấp xỉ phổ biến nhất của nó là λ&nbsp;≈&nbsp;-&nbsp;⅔&nbsp;μ.

Thay \tau_{ij} vào phương trình bảo tồn động lượng sẽ được các phương trình Navier - Stokes, mô tả một chất lưu Newton nén được:

:\rho \left(\frac{\partial \mathbf u}{\partial t} + \mathbf u \cdot \nabla \mathbf u\right) =
-\nabla p + \nabla \cdot \left(\mu (\nabla \mathbf u + (\nabla \mathbf u)^T)\right) + \nabla \left(- \frac{2\mu}{3}\nabla \cdot \mathbf u\right)
+ \rho \mathbf{g}

trong đó, chuyển vị đã được sử dụng. Lực khối được chia thành mật độ và gia tốc bên ngoài, nghĩa là \mathbf{f} = \rho \mathbf{g}. Phương trình tính liên tục khối lượng tương ứng là:

:\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf u) = 0

Ngoài phương trình này, một phương trình trạng thái và một phương trình bảo tồn năng lượng là cần thiết. Phương trình trạng thái nào được sử dụng còn tùy thuộc vào từng trường hợp (thường là định luật khí lý tưởng), sự bảo toàn năng lượng sẽ như sau:

:\rho \frac{D h}{D t} = \frac{D p}{D t} + \nabla \cdot (k \nabla T) + \Phi

Ở đây, h là enthalpy, T là nhiệt độ, và \Phi là một hàm đại diện cho sự tiêu tán năng lượng do hiệu ứng nhớt:

:\Phi = \mu \left(2\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2 + 2\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2 + 2\left(\frac{\partial w}{\partial z}\right)^2 + \left(\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}\right)^2 + \left(\frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z}\right)^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}\right)^2\right) + \lambda (\nabla \cdot \mathbf u)^2

Với một phương trình trạng thái tốt và các hàm số thích hợp đại diện cho sự phụ thuộc của các tham số (như là độ nhớt) vào các biến, hệ thống các phương trình này dường như mô hình hóa đúng động lực học của tất cả các loại chất khí đã được biết đến và hầu hết các chất lỏng.

Chất lưu Newton không nén được
Đối với trường hợp đặc biệt (nhưng rất phổ biến) của dòng chảy không nén được, các phương trình động lượng được đơn giản hóa đáng kể.  Dưới các giả định sau:
Độ nhớt \mu bây giờ sẽ là một hằng số
Hiệu ứng độ nhớt thứ hai \lambda = 0
Phương trình tính liên tục khối lượng được đơn giản hóa \nabla \cdot \mathbf u = 0
sau đó nhìn vào các số hạng nhớt của phương trình động lượng theo phương x như là một ví dụ, chúng ta có:
:\begin{align}
&\frac{\partial}{\partial x}\left(2 \mu \frac{\partial u}{\partial x} + \lambda \nabla \cdot \mathbf u\right) +
\frac{\partial}{\partial y}\left(\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}\right)\right) +
\frac{\partial}{\partial z}\left(\mu\left(\frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}\right)\right) \\ \\
& =
2 \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +
\mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \mu \frac{\partial^2 v}{\partial y \, \partial x} +
\mu \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} + \mu \frac{\partial^2 w}{\partial z \, \partial x} \\ \\
& =
\mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} +
\mu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} +
\mu \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} +
\mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \mu \frac{\partial^2 v}{\partial y \, \partial x} + \mu \frac{\partial^2 w}{\partial z \, \partial x} \\ \\
& = \mu \nabla^2 u + \mu \frac{\partial}{\partial x} \cancelto{0}{\left(\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z}\right)} = \mu \nabla^2 u
\end{align}\,
Tương tự đối với các hướng động lượng y and z chúng ta có \mu \nabla^2 v and \mu \nabla^2 w.

Giải pháp trên là chìa khóa để rút ra các phương trình Navier - Stokes từ phương trình của chuyển động trong động lực học chất lưu khi mật độ và độ nhớt là các hằng số.

Chất lưu phi Newton

Một chất lưu phi Newton là một chất lưu có các thuộc tính dòng chảy không giống (theo bất kỳ cách nào) với các chất lưu Newton. Sự khác nhau phổ biến nhất đó là độ nhớt của chất lưu phi Newton không độc lập với tốc độ cắt hoặc lịch sử tốc độ cắt. Tuy nhiên, có một số chất lưu phi Newton có độ nhớt độc lập với lực cắt, điều này dù sao cũng cho thấy sự khác nhau trong ứng suất pháp hoặc các ứng xử phi Newton khác. Nhiều dung dịch muối và polyme nóng chảy là chất lưu phi Newton, ví dụ như nhiều chất thường thấy như nước sốt cà chua, sữa trứng, kem đánh răng, huyền phù tinh bột, sơn, máu, và dầu gội. Trong một chất lưu Newton, mối quan hệ giữa ứng suất cắt và tốc độ cắt là tuyến tính, đi qua gốc tọa độ, hằng số tỉ lệ là hệ số độ nhớt. Trong một chất lưu phi Newton, mối quan hệ giữa ứng suất cắt và tốc độ cắt khác với chất lưu Newton, và thậm chí còn phụ thuộc thời gian. Nghiên cứu về các chất lưu phi Newton thường được gọi là lưu biến học (rheology). Một vài ví dụ được đưa ra ở đây.

Chất lưu Bingham

Trong các chất lưu Bingham, tình hình có khác đôi chút:

:
\frac{\partial u}{\partial y} = \left\{
\begin{matrix}
0 &, \quad \tau

Đây là những chất lưu có khả năng chịu lực cắt ở một mức độ nào đó trước khi chúng bắt đầu chảy. Những ví dụ phổ biến là kem đánh răng và đất sét.

Chất lưu tuân theo luật mũ

Một chất lưu tuân theo luật mũ là một chất lưu được lý tưởng hóa rằng ứng suất cắt \tau, được cho bởi công thức:

:\tau = K \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^n

Dạng công thức này rất hữu ích cho việc xấp xỉ hóa tất cả các loại chất lưu nói chung, bao gồm cả chất lưu trượt dính mỏng (như sơn nhựa mủ) và chất lưu trượt đọng dày (như hỗn hợp nước tinh bột).

Xây dựng công thức hàm dòng

Trong phân tích một dòng chảy, thường mong muốn giảm số lượng các phương trình hoặc số lượng các biến cần xử lý, hoặc cả hai. Các phương trình Navier - Stokes cho chất lưu không nén được và phương trình tính liên tục khối lượng (bốn phương trình với bốn ẩn số) có thể, trên thực tế, được giảm thành một phương trình duy nhất với một biến phụ thuộc duy nhất trong không gian 2 chiều 2D, hoặc một phương trình vector trong không gian 3 chiều 3D. Điều này được thực hiện bởi hai phép tính vector:

:\nabla \times (\nabla \phi) = 0

:\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0

đối với trường vô hướng có thể lấy vi phân bất kỳ \phi and vector \mathbf{A}. Đồng nhất thức đầu tiên ngụ ý rằng bất kỳ số hạng nào trong phương trình Navier – Stokes, mà số hạng đó có thể được biểu diễn như là gradient của một trường vô hướng, sẽ biến mất khi toán tử curl của phương trình được thực hiện. Thông thường, áp suất p và gia tốc bên ngoài g sẽ bị loại bỏ, cho kết quả như sau (điều này đúng trong 2D cũng như 3D):

:\nabla \times \left(\frac{\partial \mathbf u}{\partial t} + \mathbf u \cdot \nabla \mathbf u\right) = \nu \nabla \times (\nabla^2 \mathbf u)

giả định rằng tất cả các lực khối có thể được mô tả như là các gradient của một trường vô hướng nào đó (ví dụ, điều này đúng cho lực hấp dẫn), và đã thực hiện phép chia mật độ để nhớt độ nhớt trở thành độ nhớt động học.

Đồng nhất thức vector tính toán thứ hai ở trên nói rằng toán tử div của toán tử curl của một trường vector là bằng không. Bởi vì phương trình tính liên tục khối lượng (cho chất lưu không nén được) đã chỉ rõ div của vận tốc dòng chảy là bằng không, chúng ta có thể thay thế vận tốc dòng chảy bằng curl của vector \vec \psi nào đó để phương trình tính liên tục khối lượng luôn được thỏa mãn:
:\nabla \cdot \mathbf u = 0 \quad \Rightarrow \quad \nabla \cdot (\nabla \times \vec \psi) = 0 \quad \Rightarrow \quad 0 = 0

Vì vậy, miễn là vận tốc dòng chảy được thể hiện thông qua \mathbf u = \nabla \times \vec \psi, phương trình tính liên tục khối lượng sẽ được thỏa mãn vô điều kiện. Với biến vector phụ thuộc mới này, phương trình Navier-Stokes (với curl được lấy như trên) sẽ trở thành một phương trình vector bậc bốn duy nhất, không còn chứa biến áp suất chưa biết và không còn phụ thuộc vào một phương trình tính liên tục khối lượng riêng biệt:

:\nabla \times \left(\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \vec \psi) + (\nabla \times \vec \psi) \cdot \nabla (\nabla \times \vec \psi)\right) = \nu \nabla \times (\nabla^2 (\nabla \times \vec \psi))

Ngoài việc chứa đạo hàm bậc bốn, phương trình này là khá phức tạp, và do đó không phổ biến. Lưu ý rằng nếu phép lấy vi phân chéo (cross differentiation) bị loại bỏ, kết quả sẽ là một phương trình véc tơ bậc ba có chứa một trường vector chưa biết (gradient của áp suất), trường này có thể được xác định từ cùng các điều kiện biên như các điều kiện biên áp dụng đối với phương trình bậc bốn nói trên.

Dòng chảy hai chiều trong hệ tọa độ trực giao

Tiện ích thực sự của việc xây dựng công thức này được nhìn thấy rõ khi dòng chảy là dòng chảy hai chiều trong tự nhiên và phương trình được viết trong một hệ tọa độ trực giao tổng quát, hay nói cách khác, một hệ tọa độ mà các vectơ cơ sở trực giao với nhau. Lưu ý rằng điều này không có nghĩa là chỉ giới hạn áp dụng trọng hệ tọa độ Descartes, trên thực tế hầu hết các hệ tọa độ phổ biến đều là các hệ tọa độ trực giao, bao gồm cả những hệ tọa độ quen thuộc như hệ tọa độ trụ và các hệ tọa độ ít phổ biến hơn như hệ tọa độ hình xuyến toroidal.

Vận tốc dòng chảy 3D được thể hiện như sau (lưu ý rằng các cuộc thảo luận vẫn còn tiếp tục cho đến tận bây giờ):
:\mathbf u = u_1 \mathbf e_1 + u_2 \mathbf e_2 + u_3 \mathbf e_3

Trong đó \mathbf e_i là các vectơ cơ sở, không nhất thiết phải là hằng số và không nhất thiết phải được chuẩn hóa, và u_i là các thành phần vận tốc dòng chảy; chúng ta hãy cho các tọa độ của không gian là: (x_1, x_2, x_3).

Bây giờ giả sử rằng dòng chảy là 2D. Điều này không có nghĩa là dòng chảy phải ở trên một mặt phẳng, mà nó có nghĩa là thành phần của vận tốc dòng chảy theo một hướng là bằng không và các thành phần vận tốc còn lại không phụ thuộc vào hướng đó. Trong trường hợp đó (lấy thành phần thứ 3 bằng không):
:\mathbf u = u_1 \mathbf e_1 + u_2 \mathbf e_2

:\frac{\partial u_1}{\partial x_3} = \frac{\partial u_2}{\partial x_3} = 0

Hàm vector \vec \psi vẫn được xác định thông qua:

:\mathbf u = \nabla \times \vec \psi

nhưng điều này phải được đơn giản hóa theo một cách nào đó bởi vì dòng chảy được giả định là 2D. Nếu hệ tọa độ được giả định là hệ tọa độ trực giao, curl có dạng khá đơn giản, và phương trình trên được diễn giải trở thành:

:u_1 \mathbf e_1 + u_2 \mathbf e_2 =
\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}}
\left[
\frac{\partial}{\partial x_{2}} \left(h_{3} \psi_{3} \right) -
\frac{\partial}{\partial x_{3}} \left(h_{2} \psi_{2} \right)
\right] +
\frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}}
\left[
\frac{\partial}{\partial x_{3}} \left(h_{1} \psi_{1} \right) -
\frac{\partial}{\partial x_{1}} \left(h_{3} \psi_{3} \right)
\right] +
\frac{\mathbf{e}_{3}}{h_{1} h_{2}}
\left[
\frac{\partial}{\partial x_{1}} \left(h_{2} \psi_{2} \right) -
\frac{\partial}{\partial x_{2}} \left(h_{1} \psi_{1} \right)
\right]

Kiểm tra phương trình này cho thấy rằng chúng ta có thể coi \psi_1 = \psi_2 = 0 để duy trì dấu bằng mà không mất tính tổng quát, do đó:

:u_1 \mathbf e_1 + u_2 \mathbf e_2 =
\frac{\mathbf{e}_{1}}{h_{2} h_{3}} \frac{\partial}{\partial x_{2}} \left(h_{3} \psi_{3} \right)
- \frac{\mathbf{e}_{2}}{h_{3} h_{1}} \frac{\partial}{\partial x_{1}} \left(h_{3} \psi_{3} \right)

chỗ quan trọng ở đây là việc chỉ còn lại một thành phần của \vec \psi,  do đó dòng 2D sẽ trở thành một bài toán chỉ với một biến phụ thuộc. Phương trình Navier-Stokes được lấy vi phân chéo trở thành hai phương trình 0 = 0 và một phương trình có ý nghĩa.

Thành phần còn lại \psi_3 = \psi được gọi là hàm dòng. Phương trình cho \psi bây giờ có thể đơn giản hóa bởi vì một loạt các đại lượng sẽ bằng không, ví dụ:
:
\nabla \cdot \vec \psi = \frac{1}{h_{1} h_{2} h_{3}} \frac{\partial}{\partial x_3} \left(\psi h_1 h_2\right) = 0

nếu các hệ số tỉ lệ h_1 and h_2 cũng là độc lập với x_3. Ngoài ra, từ định nghĩa của vector Laplacian

:
\nabla \times (\nabla \times \vec \psi) = \nabla(\nabla \cdot \vec \psi) - \nabla^2 \vec \psi = -\nabla^2 \vec \psi

Thay phương trình Navier-Stokes đã được lấy vi phân chéo bằng hai phương trình trên và một loạt các đồng nhất thức cuối cùng sẽ được phương trình vô hướng 1 chiều 1D của hàm dòng:

:
\frac{\partial}{\partial t}(\nabla^2 \psi)
+ (\nabla \times \vec \psi) \cdot \nabla(\nabla^2 \psi) = \nu \nabla^4 \psi

trong đó \nabla^4 là toán tử lưỡng điều hòa (biharmonic operator). Điều này là rất hữu ích vì nó là một phương trình vô hướng tự bao hàm đơn nhất (single self-contained scalar equation) mô tả cả bảo toàn động lượng và bảo toàn khối lượng trong không gian 2 chiều. Sự khác biệt duy nhất mà phương trình vi phân từng phần này cần so với các phương trình khác là các điều kiện ban đầu và các điều kiện biên.

:

Các giả định cho phương trình hàm dòng được liệt kê dưới đây:

Dòng chảy là không nén được và là dòng chảy chất lưu Newton.
Các trục tọa độ là trực giao.
Dòng chảy là 2 chiều: u_3 = \frac{\partial u_1}{\partial x_3} = \frac{\partial u_2}{\partial x_3} = 0
Hai hệ số tỉ lệ đầu tiên của hệ trục tọa độ độc lập với trục tọa độ còn lại: \frac{\partial h_1}{\partial x_3} = \frac{\partial h_2}{\partial x_3} = 0, nếu không thì sẽ có thêm các số hạng khác xuất hiện.

Hàm dòng có một số đặc tính hữu ích:

Bởi vì -\nabla^2 \vec \psi = \nabla \times (\nabla \times \vec \psi) = \nabla \times \mathbf u, độ xoáy của dòng chảy ngược dấu với Laplacian của hàm dòng.
Các đường cong biểu diễn hàm dòng được gọi là các đường dòng

Tensor ứng suất
Nguồn gốc của phương trình Navier - Stokes gắn liền với việc xem xét các lực tác dụng lên các phần tử chất lưu, vì vậy một đại lượng gọi là tensor ứng suất xuất hiện một cách tự nhiên trong phương trình động lượng Cauchy. Nhưng bởi vì việc thực hiện toán tử div đối với tensor này, thông thường chỉ viết ra phương trình đã được đơn giản hóa hoàn toàn, cho nên sự xuất hiện ban đầu của tensor ứng suất sẽ biến mất.

Tuy nhiên, tensor ứng suất vẫn có một số ứng dụng quan trọng, đặc biệt là trong việc xây dựng công thức của các điều kiện biên tại các mặt biên của chất lưu. Nhắc lại rằng \sigma = -\pi I + \boldsymbol \tau, đối với một chất lưu Newton, tensor ứng suất là:
:
\sigma_{ij} = -p\delta_{ij}+ \mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) + \delta_{ij} \lambda \nabla \cdot \mathbf u.

Nếu chất lưu được giả định là không nén được, tensor được đơn giản hoá đáng kể. Ví dụ, trong hệ Descartes 3 chiều:

:
\begin{align}

\sigma &=
-\begin{pmatrix}
p&0&0\\
0&p&0\\
0&0&p
\end{pmatrix} +

\mu \begin{pmatrix}
2 \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial x}} & \displaystyle{\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x}} &\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x}} \\
\displaystyle{\frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}} & 2 \displaystyle{\frac{\partial v}{\partial y}} & \displaystyle{\frac{\partial v}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial y}} \\
\displaystyle{\frac{\partial w}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial z}} & \displaystyle{\frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z}} & 2\displaystyle{\frac{\partial w}{\partial z}}
\end{pmatrix} \\

&= -p I + \mu (\nabla \mathbf u + (\nabla \mathbf u)^T) = -p I + 2 \mu e\\

\end{align}

e là tensor tốc độ biến dạng, theo định nghĩa:

:e_{ij} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right).

Nguồn tham khảo

Đọc thêm

Surface Tension Module , by John W. M. Bush, at MIT OCW.
Galdi, An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations: Steady-State Problems. Springer 2011