Chiều dài thực

Độ dài riêng hoặc độ dài nghỉ là độ dài của một vật thể trong hệ quy chiếu đứng yên của vật thể đó.

Việc đo lường độ dài trong thuyết tương đối phức tạp hơn so với trong cơ học cổ điển. Trong cơ học cổ điển, độ dài được đo dựa trên giả định rằng các vị trí của tất cả các điểm liên quan được đo đồng thời. Nhưng trong thuyết tương đối, khái niệm tính đồng thời phụ thuộc vào người quan sát.

Một thuật ngữ khác, khoảng cách riêng, cung cấp một đại lượng không đổi mà giá trị của nó giống nhau đối với mọi người quan sát.

Khoảng cách riêng tương tự như thời gian riêng. Điểm khác biệt là khoảng cách riêng được định nghĩa giữa hai sự kiện cách nhau trong không gian (hoặc dọc theo một đường không-thời gian không gian), trong khi thời gian riêng được định nghĩa giữa hai sự kiện cách nhau trong thời gian (hoặc dọc theo một đường không-thời gian thời gian).

Độ dài riêng hoặc độ dài nghỉ
Độ dài riêng Trong hệ quy chiếu cụ thể đó, khoảng cách được tính bởi

\Delta\sigma=\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2} ,

trong đó:

Δx, Δy và Δz là các khoảng cách khác biệt theo tọa độ tuyến tính và tọa độ không gian ba chiều.
Định nghĩa này cũng có thể được áp dụng tương đương với bất kỳ hệ quy chiếu quán tính nào (mà không cần các sự kiện đồng thời trong hệ quy chiếu đó) bằng

\Delta\sigma = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 - c^2 \Delta t^2},

trong đó:

Δt là khoảng cách theo tọa độ thời gian giữa hai sự kiện, và
c là tốc độ ánh sáng.
Hai công thức này là tương đương nhờ tính bất biến của khoảng cách không-thời gian, và vì Δt = 0 chính xác khi hai sự kiện là đồng thời trong hệ quy chiếu đã cho.

Hai sự kiện cách nhau trong không gian khi và chỉ khi công thức trên cho một giá trị thực, không bằng 0 cho Δσ.

Khoảng cách riêng dọc theo một đường cong
Công thức trên về khoảng cách riêng giữa hai sự kiện giả định rằng không-thời gian trong đó hai sự kiện xảy ra là phẳng. Do đó, công thức trên nói chung không thể được sử dụng trong thuyết tương đối rộng, nơi không-thời gian cong được xét đến. Tuy nhiên, có thể định nghĩa khoảng cách riêng dọc theo một đường cong trong bất kỳ không-thời gian nào, dù phẳng hay cong. Trong một không-thời gian phẳng, khoảng cách riêng giữa hai sự kiện là khoảng cách riêng dọc theo một đường thẳng giữa hai sự kiện đó. Trong một không-thời gian cong, có thể có nhiều hơn một đường thẳng (địa tuyến) giữa hai sự kiện, vì vậy khoảng cách riêng dọc theo một đường thẳng giữa hai sự kiện sẽ không xác định duy nhất khoảng cách riêng giữa hai sự kiện đó.

Dọc theo một đường cong bất kỳ mang tính không gian P, khoảng cách riêng được tính bằng tích phân đường trong ký pháp tensor như sau:

L = c \int_P \sqrt{-g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu} ,

trong đó:

gμν là tensor metric cho không-thời gian hiện tại và hệ tọa độ được ánh xạ, và
dxμ là sự khác biệt tọa độ giữa các sự kiện lân cận dọc theo đường cong P.
Trong phương trình trên, tensor metric được giả định sử dụng +−−− chữ ký metric, và được chuẩn hóa để trả về thời gian thay vì khoảng cách. Dấu "−" trong phương trình nên được bỏ qua nếu tensor metric sử dụng chữ ký metric −+++. Ngoài ra, c cũng nên được bỏ qua nếu tensor metric được chuẩn hóa để sử dụng một khoảng cách hoặc sử dụng đơn vị hình học.

Xem thêm
Khoảng cách bất biến
Thời gian riêng
Khoảng cách đồng chuyển động
Tính tương đối của tính đồng thời

Tham khảo