Định nghĩa (ε, δ) của giới hạn

Trong giải tích, định nghĩa (\epsilon,\delta) của giới hạn (định nghĩa giới hạn bằng ký tự epsilon–delta) là một phát biểu chặt chẽ cho khái niệm của giới hạn. Khái niệm này xuất phát từ Augustin-Louis Cauchy, tuy không định nghĩa (\epsilon,\delta) trong quyển Cours d'Analyse của mình, nhưng thỉnh thoảng dùng phép lập luận bằng (\epsilon,\delta) trong các chứng minh của mình. Định nghĩa chặt chẽ đầu tiên được đưa bởi Bernard Bolzano năm 1817, và phát biểu hoàn chỉnh hiện đại do Karl Weierstrass đưa ra. Nó làm chặt chẽ định nghĩa không chính thức sau: hàm số f(x) tiến tới giá trị L khi biến số x tiến tới giá trị c, nếu f(x) có thể ở gần L tùy ý như mong muốn khi đưa x đủ gần đến c.

Lịch sử
Mặc dù người Hy Lạp cổ đại từng xem xét các quá trình giới hạn, như là phương pháp Babylon, nhiều khả năng họ không có khái niệm giới hạn giống như ngày nay. Nhu cầu cho khái niệm giới hạn xuất hiện trong thế kỷ 17 khi Pierre de Fermat cố tìm độ dốc của đường tiếp tuyến tại một điểm của một hàm số như là . Sử dụng một đại lượng khác không nhưng gần bằng không , Fermat đã tính độ dốc bằng cách sau:

:
\begin{align}
D & = \frac{f(x+E)-f(x)}{E} \\
& = \frac{(x+E)^2-x^2}{E}\\
& = \frac{x^2+2xE+E^2-x^2}{E} \\
& = \frac{2xE+E^2}{E} = 2x+E = 2x.
\end{align}

Điểm then chốt cho phép tính trên là do khác không nên ta có thể chia cho , nhưng do gần bằng không, cũng giống như . Đại lượng như được gọi là infinitesimal (vô cùng bé). Tuy nhiên, các nhà toán học thời đó không thể định nghĩa chặt chẽ một đại lượng với tính chất của như trên, nhưng các nhà toán học vận thường dùng các đại lượng vô cùng bé như thế và có vẻ vẫn cho ra kết quả đúng.

Vấn đề này lại xuất hiện sau đó trong việc phát triển bộ môn giải tích do những tính toán như của Fermat được dùng để tính đạo hàm. Isaac Newton lần đầu phát triển giải tích bằng một đại lượng vô cùng bé gọi là fluxion. Ông phát triển chúng với ý tưởng về một "khoảng khắc vô cùng ngắn..." Tuy nhiên, Newton sau đó từ bỏ fluxion mà thay vào đó là một lý thuyết về tỉ số gần giống với định nghĩa hiện đại của giới hạn. Gottfried Wilhelm Leibniz xây dựng một infinitesimal và cố gắng làm nó chặt chẽ, nhưng vẫn bị một số nhà toán học và triết học nghi ngờ.

Augustin-Louis Cauchy đưa ra định nghĩa của giới hạn bằng một khái niệm đơn giản hơn mà ông gọi là một "đại lượng biến thiên". Ông chưa bao giờ đưa ra định nghĩa epsilon–delta cho giới hạn (Grabiner 1981), tuy nhiên một số chứng minh của ông chứa dấu hiệu của phương pháp này. Liệu cách tiếp cận của ông có thể coi là tiền đề cho Weierstrass là một vấn đề được tranh cãi; Grabiner cho là có, trong khi Schubring (2005) thì nghĩ là không. Đại lượng vô cùng bé trở nên không cần thiết và thay vào đó là giới hạn:

:
\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Tuy nhiên định nghĩa này không hẳn là không có vấn đề, dù nó loại bỏ đại lượng vô cùng bé, nhưng lại cần việc xây dựng số thực của bởi Richard Dedekind. Đại lượng vô cùng bé cũng không hẳn bị lãng quên, chúng vẫn có chỗ đứng trong toán học nhờ vào sự hình thành của các tập số siêu thực (hyperreal number) hay số kỳ quái (surreal number). Hơn nữa, ta có thể xây dựng giải tích một cách chặt chẽ bằng những đại lượng này và chúng được dùng trong những tình huống khác.

Phát biểu không chính thức
Một định nghĩa không chính quy (tức là, theo trực cảm hay tạm thời) là một "hàm số tiếp cận giới hạn gần (bằng ký hiệu, \lim_{x \to a}f(x) = L \, ) nếu ta có thể làm gần tùy ý bằng cách cho đủ gần, nhưng không bằng, ."

Khi ta nói hai đại lượng gần nhau (như là và hay hay ) ý chỉ hiệu (hay khoảng cách) giữa chúng là nhỏ. Trong trường hợp , , , và là các số thực, hiệu hay khoảng cách giữa hai số là giá trị tuyệt đối của hiệu hai số đó. Do đó, khi ta nói gần với nghĩa là }} nhỏ. Tương tự, khi ta nói gần , nghĩa là }} nhỏ.

Khi ta nói có thể làm gần tùy ý, nghĩa là với mọi khoảng cách lớn hơn 0, ta có thể làm khoảng cách giữa và nhỏ hơn Định nghĩa tổng quát là:

: Giả sử được định nghĩa trên tập con của không gian mêtric với mêtric là và đi vào không gian mêtric với mêtric . Gọi là một điểm giới hạn của và là một điểm trong . Khi đó ta nói
:: \lim_{x\to c}f(x) = L
:nếu với mọi , tồn tại một số sao cho với mọi , nếu thì

Cụ thể, mêtric của tập số thực là }}, do đó định nghĩa trên là trường hợp tổng quát cho định nghĩa đầu tiên với hàm số thực.

Phát biểu phủ định

Phủ định của định nghĩa trên cho không gian mêtric là như sau:

: Giả sử được định nghĩa trên tập con của không gian mêtric với mêtric là và đi vào không gian mêtric với mêtric . Gọi là một điểm giới hạn của và là một điểm trong . Khi đó ta nói
:: \lim_{x\to c}f(x) \neq L
: nếu tồn tại một sao cho với mọi thì tồn tại một sao cho và

Ta nói \lim_{x\to c}f(x) không tồn tại nếu với mọi L\in Y, \lim_{x\to c}f(x) \neq L .

Trong trường hợp số thực, ta chỉ cần thay d_X(x,y) = d_Y(x,y)= |x-y|.

Phát biểu cho giới hạn ở vô cùng
Phát biểu chính xác trong trường hợp giới hạn ở vô cùng như sau:

Vậy ta có |x+a| = |x-a + 2a| \leq |x-a| + |2a|.

Suy ra

: |x+a|

Do đó, nếu ta giả sử thêm
: |x-a|

thì

:|x^2-a^2|

Tóm lại, ta chỉ cần đặt
: \delta = \min{\left(1,\frac{\varepsilon}{2|a| +1}\right)}.

Khi ấy, nếu
\begin{align}
|x^2-a^2| = |x-a||x+a| &

Như vậy, ta đã tìm được một số sao cho nếu \lim_{x\to a} x^2 = a^2
với mọi số thực

Ví dụ 3
Ta sẽ chứng minh tính chất sau của giới hạn

: \lim_{x \to a} f(x) + g(x) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x),
với điều kiện các giới hạn ở vế phải tồn tại. Đặt \lim_{x \to a} f(x) = F và \lim_{x \to a} g(x) = G.

Cố định số . Ta cần tìm số sao cho nếu \begin{align}
|x-a|

Ta có thể chọn . Khi ấy, nếu \begin{align}
|f(x)+g(x)-F-G| &\leq |f(x)-F| + |g(x)-G|\\
&\leq \frac{1}{2}\varepsilon + \frac{1}{2}\varepsilon\\
&= \varepsilon.
\end{align}

Như vậy đã chọn thỏa yêu cầu của giới hạn, ta có điều phải chứng minh.

Xem thêm
Giới hạn của hàm số
Hàm số liên tục
Giới hạn của dãy
Danh sách các chủ đề giải tích

Tham khảo

Đọc thêm