Chuyển động học

Chuyển động học là một nhánh của cơ học cổ điển, có mục đích mô tả chuyển động của các điểm, vật thể và hệ vật trong khi bỏ qua nguyên nhân dẫn đến các chuyển động đó. Chuyển động học là một lĩnh vực nghiên cứu, thường được gọi là "hình học của chuyển động" và đôi khi được xem là một nhánh của toán học. Vấn đề về chuyển động học được phát sinh bằng việc mô tả lại hình dạng của hệ và khai báo các điều kiện ban đầu của bất kỳ giá trị đã biết nào về vị trí, vận tốc và/hoặc gia tốc các điểm trong hệ. Sau đó, sử dụng các lập luận từ hình học, vị trí, vecto và gia tốc của phần chưa biết trong hệ để xác định nó. Nghiên cứu về cách lực tác dụng lên các cơ quan nằm trong động học, chứ không phải chuyển động học. Để biết thêm thông tin, xem động học.

Chuyển động học được sử dụng trong vật lý thiên văn để mô tả sự chuyển động của các thiên thể và hệ thiên thể, trong kỹ thuật cơ khí, robot học và cơ sinh học để mô tả chuyển động của những hệ thống gồm nhiều bộ phận (hệ thống đa liên kết) chẳng hạn như một động cơ, một cánh tay robot hoặc bộ xương của cơ thể con người.

Các phép biến đổi hình học, còn được gọi là các phép biến đổi bảo toàn, được sử dụng để mô tả chuyển động của các thành phần trong hệ thống cơ khí, đơn giản hóa đạo hàm của các phương trình chuyển động. Chúng cũng là trung tâm của phân tích động lực học.

Phân tích chuyển động là quá trình đo lường các đại lượng chuyển động dùng để mô tả chuyển động. Trong kỹ thuật, ví dụ, phân tích chuyển động học có thể được sử dụng để tìm phạm vi chuyển động cho một máy móc đã cho trước, và ngược lại, sử dụng tổng hợp động học để thiết kế một máy móc để đáp ứng phạm vi quỹ đạo cần thiết. Ngoài ra, chuyển động học còn áp dụng hình học đại số để nghiên cứu hiệu suất cơ khí của một hệ cơ khí hay của máy móc.

Nguồn gốc thuật ngữ
Thuật ngữ "kinematic" là từ tiếng Anh của cinématique của A.M. Ampère, đã được ông đặt ra từ tiếng Hy Lạp cổ đại kinema ("độ dời, quỹ đạo"), bản thân nó đã bắt nguồn từ kinein ("chuyển động").

"Kinematic" và "cinématique" có liên quan đến từ cinéma trong tiếng Pháp, nhưng không từ nào bắt nguồn trực tiếp từ nó. Tuy nhiên, người ta đã lan truyền một từ gốc chung, như cinéma xuất phát từ dạng rút gọn của cinématographe, "máy chiếu hình ảnh chuyển động và máy ảnh," từ này cũng được chuyển thể từ tiếng Hy Lạp và cũng là từ viết bằng tiếng Hy Lạp.
Chuyển động học của quỹ đạo một chất điểm trong một trục tham chiếu không xoay

Chuyển động học của chất điểm là nghiên cứu quỹ đạo của một chất điểm. Vị trí của một chất điểm được định nghĩa là vectơ tọa độ từ gốc của một trục tọa độ đến chất điểm đó. Ví dụ, xét một toà tháp cao 50 m ở phía Nam căn nhà của bạn và đặt gốc toạ độ là nhà bạn đang sống, sao cho phía Đông là trục x, và phía Bắc chỉ trục y, thì vecto toạ độ của đáy toà tháp là r = (0, −50, 0). Nếu toà tháp cao 50&nbsp;m, thì vecto toạ độ của đỉnh tháp là r = (0, −50, 50).

Ở trường hợp tổng quát nhất, một hệ tọa độ ba chiều được sử dụng để xác định vị trí của một chất điểm. Tuy nhiên, nếu chất điểm được cố định chỉ di chuyển trong một mặt phẳng thì chỉ cần sử dụng hệ trục toạ độ hai chiều. Tất cả các quan sát trong vật lý đều chưa hoàn chỉnh nếu những quan sát được mô tả không được gắn vào trục tham chiếu.

Vecto vị trí của chất điểm là một vecto được vẽ từ gốc toạ độ đến chất điểm đó. Nó thể hiện cả khoảng cách điểm và hướng từ chất điểm đến gốc toạ độ. Trong hệ trục 3 chiều, vị trí của điểm P có thể được viết ở dạng
: \mathbf{P} = (x_P,y_P,z_P) = x_P\hat{\imath} + y_P\hat{\jmath} + z_P\hat{k},
với x_P, y_P và z_P thuộc hệ tọa độ Descartes và \hat{\imath}, \hat{\jmath} và \hat{k} là vecto đơn vị lần lượt dọc theo các trục toạ độ x, y và z. Độ lớn của vector vị trí \left|\mathbf{P}\right| cho ta khoảng cách giữa \mathbf{P} và gốc toạ độ.
: |\mathbf{P}| = \sqrt{x_P^{\ 2} + y_P^{\ 2} + z_P^{\ 2}}.
Các cosin chỉ hướng của vector vị trí cung cấp một thước đo định lượng của hướng.
Lưu ý quan trọng rằng vecto vị trí của một chất điểm không phải là duy nhất. Vector vị trí của một chất điểm đã cho khác nhau so với các trục tham chiếu khác nhau.

Quỹ đạo của chất điểm là một hàm vecto theo thời gian, \mathbf{P}(t), xác định đường cong được vẽ ra bởi một chất điểm chuyển động, được cho bởi
: \mathbf{P}(t) = x_P(t)\hat{\imath} + y_P(t)\hat{\jmath} +z_P(t) \hat{k},
với toạ độ xP, yP và zP là các hàm phụ thuộc thời gian.

Vận tốc và tốc độ
Vận tốc của chất điểm là đại lượng vecto mô tả hướng và độ lớn chuyển động của chất điểm. Về mặt toán học, tốc độ thay đổi của vectơ vị trí của một chất điểm, liên quan đến thời gian là vận tốc của chất điểm đó. Xét tỉ số được hình thành bằng cách chia khoảng cách hai vị trí của một chất điểm cho khoảng thời gian. Tỉ số này được gọi là vận tốc trung bình trong khoảng thời gian đó và được định nghĩa dạng
Vận tốc=độ dời/thời gian thực hiện
: \overline{\mathbf{V}} = \frac {\Delta \mathbf{P}}{\Delta t} \,
với ΔP là hiệu của vecto vị trí trong khoảng thời gian Δt.

Giới hạn khoảng thời gian Δt trở nên càng nhỏ, vận tốc trung bình trở thành đạo hàm theo thời gian của vector vị trí,
: \mathbf{V} = \lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta\mathbf{P}}{\Delta t} = \frac {d \mathbf{P}}{d t}=\dot{\mathbf{P}} = \dot{x}_p\hat{\imath}+\dot{y}_P\hat{\jmath}+\dot{z}_P\hat{k}.
Do đó, vận tốc là thương của sự thay đổi vị trí của một chất điểm với thời gian thực hiện thay đổi, và dấu chấm biểu thị đạo hàm của các hàm x, y và z theo thời gian. Ngoài ra, vận tốc còn là tiếp tuyến với quỹ đạo của chất điểm ở mọi vị trí của chất điểm dọc theo đường đi của nó. Lưu ý rằng trong hệ quy chiếu không xoay, đạo hàm của các trục toạ độ không được xem là hướng của nó và độ lớn không thay đổi.

Tốc độ của một vật là độ lớn |V| của vận tốc. Nó là một đại lượng vô hướng:
: |\mathbf{V}| = |\dot{\mathbf{P}} | = \frac {d s}{d t},
với s là chiều dài cung được đo dọc theo quỹ đạo của chất điểm. Chiều dài cung này là sự di chuyển của một chất điểm theo thời gian là một lượng không giảm. Do đó, ds/dt không âm, qua đó thể hiện rằng vận tốc cũng không âm.

Gia tốc
Vecto vận tốc có thể thay đổi hướng hay độ lớn hay cả hai cùng lúc. Do đó, gia tốc là tốc độ thay đổi độ lớn của vector vận tốc cộng với tốc độ thay đổi hướng của vector vận tốc đó. Giống với việc dựa vào vị trí của chất điểm để xác định vận tốc của nó, ta cũng có thể dựa vào vecto vận tốc để xác định vecto gia tốc. Gia tốc của một chất điểm là vector được xác định bởi tốc độ thay đổi của vector vận tốc. Gia tốc trung bình của một chất điểm được định nghĩa bởi công thức.
: \overline{\mathbf{A}} = \frac {\Delta \mathbf{V}}{\Delta t} \,
với ΔV là hiệu vecto vận tốc và Δt là khoảng thời gian.

Gia tốc của chất điểm là giới hạn của gia tốc trung bình khi khoảng thời gian tiến tới 0, là một phép đạo hàm theo thời gian,
:Phương trình 1) \mathbf{A} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \mathbf{V}}{\Delta t} = \frac {d \mathbf{V}}{d t} = \dot{\mathbf{V}} = \dot{v}_x\hat{\imath}+\dot{v}_y\hat{\jmath}+\dot{v}_z\hat{k}
hay

: \mathbf{A} = \ddot{\mathbf{P}} = \ddot{x}_p\hat{\imath}+\ddot{y}_P\hat{\jmath}+\ddot{z}_P\hat{k}
Do đó, gia tốc là đạo hàm bậc nhất của vecto vận tốc và là đạo hàm bậc hai của vecto vị trí của chất điểm. Lưu ý rằng trong hệ quy chiếu không xoay, đạo hàm của các trục toạ độ không được xem là hướng của nó và độ lớn không thay đổi.

Độ lớn của gia tốc của một vật là độ lớn |A| của vecto gia tốc của nó. Nó là một đại lượng vô hướng:
: |\mathbf{A}| = |\dot{\mathbf{V}} | = \frac {d v}{d t},

Vecto vị trí tương đối
Một vecto vị trí tương đối là một vectơ xác định vị trí của một điểm tương ứng với một điểm khác. Đó là sự khác biệt về vị trí của hai điểm.
Vị trí tương đối của một điểm A tương đối so với điểm B khác hiểu đơn giản là sự chênh lệch giữa các vị trí của chúng

\mathbf{P}_{A/B} = \mathbf{P}_{A} - \mathbf{P}_{B}

đó là sự chênh lệch giữa các vectơ thành phần vị trí của chúng.

Nếu điểm A có các vị trí thành phần
\mathbf{P}_{A} = \left(X_{A}, Y_{A}, Z_{A} \right)

Nếu điểm B có các vị trí thành phần
\mathbf{P}_{B} = \left(X_{B}, Y_{B}, Z_{B} \right)

thì vị trí của điểm A so với điểm B là sự chênh lệch giữa các thành phần của chúng:
\mathbf{P}_{A/B} = \mathbf{P}_{A} - \mathbf{P}_{B} = \left(X_{A} - X_{B}, Y_{A} - Y_{B}, Z_{A} - Z_{B} \right)

Vận tốc tương đối

Vận tốc của một chất điểm tương đối so với chất điểm khác hiểu đơn giản là sự chênh lệch giữa vận tốc của chúng

\mathbf{V}_{A/B} = \mathbf{V}_{A} - \mathbf{V}_{B}

và là hiệu của các thành phần của vecto vận tốc.

Nếu điểm A có các thành phần vecto vận tốc
\mathbf{V}_{A} = \left(V_{A_{x}}, V_{A_{y}}, V_{A_{z}} \right)

và điểm B có các thành phần vecto vận tốc
\mathbf{V}_{B} = \left(V_{B_{x}}, V_{B_{y}}, V_{B_{z}} \right)

thì vận tốc tương đối của điểm A so với điểm B là hiệu các thành phần của chúng:
\mathbf{V}_{A/B} = \mathbf{V}_{A} - \mathbf{V}_{B} = \left(V_{A_{x}}-V_{B_{x}}, V_{A_{y}}-V_{B_{y}}, V_{A_{z}}-V_{B_{z}} \right)

Ngoài ra, kết quả tương tự này có thể thu được bằng cách tính toán đạo hàm thời gian của vector vị trí tương đối RB/A.

Trong trường hợp vận tốc gần bằng vận tốc ánh sáng c (thường trong khoảng 95%), một dạng khác của vận tốc tương đối được gọi là tốc độ nhanh, phụ thuộc vào tỷ lệ giữa V và c, được sử dụng trong thuyết tương đối hẹp.

Gia tốc tương đối

Gia tốc tương đối của điểm C với điểm B khác hiệu đơn giản là sự chênh lệch gia tốc giữa chúng

\mathbf{A}_{C/B} = \mathbf{A}_{C} - \mathbf{A}_{B}

và là sự chênh lệch của các vecto gia tốc thành phần.

Nếu điểm C có các gia tốc thành phần
\mathbf{A}_{C} = \left(A_{C_{x}}, A_{C_{y}}, A_{C_{z}} \right)

và điểm B có các gia tốc thành phần
\mathbf{A}_{B} = \left(A_{B_{x}}, A_{B_{y}}, A_{B_{z}} \right)

thì gia tốc tương đối của điểm C so với điểm B là hiệu giữa các gia tốc thành phần:
\mathbf{A}_{C/B} = \mathbf{A}_{C} - \mathbf{A}_{B} = \left(A_{C_{x}} - A_{B_{x}}, A_{C_{y}} - A_{B_{y}}, A_{C_{z}} - A_{B_{z}} \right)

Ngoài ra, kết quả tương tự này có thể thu được bằng cách tính toán đạo hàm bậc hai của vectơ vị trí tương đối PB/A.

Quỹ đạo các chất điểm dưới gia tốc không đổi

Nếu gia tốc là một hằng số, phương trình vi phân Eq 1) có thể được tích phân trở thành vector gia tốc "A" của điểm "P" với hướng và độ lớn là hằng số. Một điểm như vậy được cho là chuyển động biến đổi đều. Trong trường hợp này, vận tốc V(t) và sau đó quỹ đạo P (t) của chất điểm có thể thu được bằng cách tích phân phương trình gia tốc A theo thời gian.

Giả sử rằng các điều kiện ban đầu của vị trí, \mathbf{P}_0, và vận tốc \mathbf{V}_0 tại thời điểm t=0 đã được cho trước, tích phân cấp một cho ra vận tốc của chất điểm dưới dạng một hàm theo thời gian.
: \mathbf{V}(t) = \mathbf{V}_0 + \int_0^{t} \mathbf{A} d\tau = \mathbf{V}_0 + \mathbf{A}t.

Tích phân cấp hai cho ra đường đi của nó (quỹ đạo),
: \mathbf{P}(t) = \mathbf{P}_0 + \int_0^t \mathbf{V}(\tau) d \tau = \mathbf{P}_0 + \int_0^t (\mathbf{V}_0 + \mathbf{A}\tau) d \tau = \mathbf{P}_0 + \mathbf{V}_0 t + \tfrac{1}{2} \mathbf{A} t^2.

Ngoài ra, mối quan hệ giữa độ dời, vận tốc, gia tốc và thời gian có thể được lập ra. Vì gia tốc là hằng số nên,
: \mathbf{A} = \frac{\Delta\mathbf{V}}{\Delta t} = \frac{\mathbf{V}-\mathbf{V}_0}{ t } có thể được thay thế thành phương trình trên để cho ra:

: \mathbf{P}(t) = \mathbf{P}_0 + \left(\frac{\mathbf{V} + \mathbf{V}_0}{2}\right) t.

Mối quan hệ giữa vận tốc, vị trí và gia tốc không phụ thuộc thời gian có thể được lập ra bằng cách chuyển gia tốc trung bình theo thời gian và thay thế và đơn giản hóa

: t = \frac{\mathbf{V}-\mathbf{V}_0}{ \mathbf{A} }

: (\mathbf{P} - \mathbf{P}_0) \circ \mathbf{A} = \left(\mathbf{V} - \mathbf{V}_0 \right) \circ \frac{\mathbf{V} + \mathbf{V}_0}{2} \,
với dấu ∘ biểu thị tích vô hướng, nhằm thể hiện kết quả vô hướng chứ không phải là một vecto.
: 2(\mathbf{P} - \mathbf{P}_0) \circ \mathbf{A} = |\mathbf{V}|^2 - |\mathbf{V}_0|^2.

Dấu chấm có thể được thay thế bằng cosin của góc \alpha tạo bởi các vecto và tích của các vecto, trong trường hợp này:
: 2 |\mathbf{P} - \mathbf{P}_0| \cdot |\mathbf{A}| \cdot \cos \alpha = |\mathbf{V}|^2 - |\mathbf{V}_0|^2.

Trong trường hợp gia tốc luôn cùng hướng chuyển động, góc (\alpha) giữa các vecto bằng 0, vì \cos 0 = 1, nên
: |\mathbf{V}|^2= |\mathbf{V}_0|^2 + 2 |\mathbf{A}| \cdot |\mathbf{P}-\mathbf{P}_0|.
Điều này có thể được đơn giản hóa bằng cách sử dụng ký hiệu cho độ lớn của vectơ ||\mathbf{A}||=a, ||\mathbf{V}||=v, ||\mathbf{P}-\mathbf{P}_0||=\Delta x với \Delta x có thể là bất kỳ đường cong tròn nào được vẽ ra khi gia tốc tiếp tuyến liên tục chạy dọc theo quỹ đạo đó, vì thế
: v^2= v_0^2 + 2a \cdot \Delta x.
Điều này rút gọn phương trình tham số chuyển động của chất điểm thành mối quan hệ trong trục toạ độ Descartes của tốc độ so với vị trí. Mối quan hệ này rất hữu ích khi không xác định được thời gian. Ta cũng biết rằng \Delta x = \int(v)dt hay \Delta x là diện tích dưới biểu đồ a, v, t . Ta có thể tìm \Delta x bằng cách cộng phần diện tích ở trên và phần diện tích bên dưới. Phần diện tích bên dưới là một hình chữ nhật, và diện tích hình chữ nhật bằng A \cdot B với A là chiều rộng và B là chiều cao. Trong trường hợp này A = t và B = v_0 (lưu ý rằng A ở đây có gia tốc khác nhau a). Điều này có nghĩa là diện tích phần dưới bằng tv_0. Bây giờ hãy tìm diện tích phần trên (một hình tam giác). Diện tích tam giác bằng \frac{1}{2} BH với B là cạnh đáy và H là chiều cao. Trong trường hợp này, B = t & H = at hay A = \frac{1}{2} BH = \frac{1}{2} att = \frac{1}{2} at^2 = \frac{at^2}{2}. Cộng các kết quả tv_0 và \frac{at^2}{2} ta được kết quả của biểu thức \Delta x là biểu thức \Delta x = tv_0 + \frac{at^2}{2}. Biểu thức này rất hữu dụng khi vận tốc cuối cùng v chưa được xác định.

Quỹ đạo chất điểm trong toạ độ cực hình trụ

Để thuận tiện, người ta thường xây dựng quỹ đạo của một chất điểm P(t) = (X(t), Y(t) và Z(t)) bằng cách sử dụng tọa độ cực trong mặt phẳng X–Y. Trong trường hợp này, vận tốc và gia tốc của nó ở một dạng thuận tiện.

Nhớ lại rằng quỹ đạo của một chất điểm P được xác định bởi vector tọa độ P của nó được đo trong một khung tham chiếu cố định F. Khi chất điểm di chuyển, vector tọa độ P(t) dọc theo quỹ đạo của nó, đó là một đường cong trong không gian, được cho bởi:
: \textbf{P}(t) = X(t)\hat{\imath} + Y(t)\hat{\jmath} + Z(t)\hat{k},
với i, j và k lần lượt là vecto đơn vị dọc theo các trục X, Y và Z của khung tham chiếu F.

Xét một chất điểm P chỉ di chuyển trên bề mặt của hình trụ tròn R(t)=hằng số, có thể căn chỉnh trục Z của khung cố định F với trục của hình trụ. Khi đó, góc θ quanh trục này trong mặt phẳng X–Y có thể được sử dụng để xác định quỹ đạo như sau,
: \textbf{P}(t) = R\cos\theta(t)\hat{\imath} + R\sin\theta(t)\hat{\jmath} + Z(t)\hat{k}.

Các tọa độ hình trụ cho P(t) có thể được đơn giản hóa bằng cách đưa vào các vector đơn vị xuyên tâm và tiếp tuyến,
: \textbf{e}_r = \cos\theta(t)\hat{\imath} + \sin\theta(t)\hat{\jmath}, \quad \textbf{e}_{\theta} = -\sin\theta(t)\hat{\imath} + \cos\theta(t)\hat{\jmath}.
và đạo hàm thời gian của chúng từ phép tính cơ bản:
: \frac{d}{dt}\textbf{e}_r = \dot\textbf{e}_r = \dot{\theta}\textbf{e}_{\theta}
: \frac{d}{dt}\dot\textbf{e}_r = \ddot\textbf{e}_r = \ddot{\theta}\textbf{e}_{\theta} - \dot{\theta}\textbf{e}_r

: \frac{d}{dt}\textbf{e}_{\theta} = \dot\textbf{e}_{\theta} = -\dot{\theta}\textbf{e}_r
: \frac{d}{dt}\dot\textbf{e}_{\theta} = \ddot\textbf{e}_{\theta} = -\ddot{\theta}\textbf{e}_r - \dot{\theta}^2\textbf{e}_{\theta} .

Với quy ước này, P(t) có dạng,
: \textbf{P}(t) = R\textbf{e}_r + Z(t)\hat{k},
với R là hằng số trong trường hợp chất điểm chuyển động chỉ trên bề mặt của hình trụ có bán kính R.

Nói chung, quỹ đạo P(t) không bị ràng buộc nằm trên một hình trụ tròn, do đó bán kính R thay đổi theo thời gian và quỹ đạo của chất điểm trong tọa độ cực hình trụ trở thành:
: \textbf{P}(t) = R(t)\textbf{e}_r + Z(t)\hat{k}.
Trong đó R, theta và Z có thể là các hàm có thể thay đổi liên tục theo thời gian và ký hiệu hàm bị giảm cho đơn giản. Vecto vận tốc VP là đạo hàm theo thời gian của quỹ đạo P(t), cho ra: \textbf{V}_P = \frac{d}{dt} (R\textbf{e}_r + Z\hat{k}) = \dot{R}\textbf{e}_r +R\dot\textbf{e}_r + \dot{Z}\hat{k} = \dot{R}\textbf{e}_r + R\dot{\theta}\textbf{e}_{\theta} + \dot{Z}\hat{k} .

Tương tự, gia tốc AP là đạo hàm theo thời gian của vận tốc VP, được cho bởi:
: \textbf{A}_P = \frac{d}{dt} (\dot{R}\textbf{e}_r + R\dot{\theta}\textbf{e}_{\theta} + \dot{Z}\hat{k}) = (\ddot{R} - R\dot{\theta}^2) \textbf{e}_r + (R\ddot{\theta} + 2\dot{R}\dot{\theta})\textbf{e}_{\theta} + \ddot{Z}\hat{k}.

Thuật ngữ -R\dot{\theta}^2 \textbf{e}_r diễn tả diễn tả tâm đường cong tại một điểm trên quỹ đạo, thường được gọi là gia tốc tâm. Thuật ngữ 2\dot{R}\dot{\theta}\textbf{e}_{\theta} được gọi là gia tốc Coriolis.

Bán kính không đổi
Nếu quỹ đạo của hạt bị giới hạn nằm trên một hình trụ tròn, thì bán kính R là không đổi và các vectơ vận tốc và gia tốc đơn giản hóa. Vận tốc của VP là đạo hàm thời gian của quỹ đạo P(t):
: \textbf{V}_P = \frac{d}{dt}(R\textbf{e}_r + Z\hat{k}) = R\dot{\theta}\textbf{e}_{\theta} + \dot{Z}\hat{k}.

Khi đó, vectơ gia tốc trở thành:
: \textbf{A}_P = \frac{d}{dt}(R\dot{\theta}\textbf{e}_{\theta} + \dot{Z}\hat{k}) = - R\dot{\theta}^2\textbf{e}_r + R\ddot{\theta}\textbf{e}_{\theta} + \ddot{Z}\hat{k}.

Chuyển động tròn

Một trường hợp đặc biệt của quỹ đạo hạt trên một hình trụ tròn xảy ra khi không có chuyển động dọc theo trục Z

: \textbf{P}(t) = R\textbf{e}_r + Z_0\hat{k},
trong đó R và Z0 là hằng số. Trong trường hợp này, vận tốc VP được đưa ra bởi:
: \textbf{V}_P = \frac{d}{dt}(R\textbf{e}_r + Z_0\hat{k}) = R\dot{\theta}\textbf{e}_{\theta} =R\omega\textbf{e}_{\theta},
trong đó
: \omega = \dot{\theta},
là vận tốc góc của vectơ đơn vị xung quanh trục z của hình trụ.

Gia tốc AP của hạt P được tính bởi công thức:
: \textbf{A}_P = \frac{d}{dt}(R\dot{\theta}\textbf{e}_{\theta}) = - R\dot{\theta}^2\textbf{e}_r + R\ddot{\theta}\textbf{e}_{\theta}.

Kí hiệu
: a_r = - R\dot{\theta}^2, \quad a_{\theta} = R\ddot{\theta},
được gọi, tương ứng, là các thành phần xuyên tâm và tiếp tuyến của gia tốc.

Ký hiệu cho vận tốc góc và gia tốc góc thường được định nghĩa là:
: \omega = \dot{\theta}, \quad \alpha = \ddot{\theta},
nên các thành phần gia tốc xuyên tâm và tiếp tuyến cho các quỹ đạo tròn cũng được viết là:
: a_r = - R\omega^2, \quad a_{\theta} = R\alpha.

Chuyển động
Khi dùng một lực để đẩy quả bóng, quả bóng sẽ di chuyển từ vị trí đứng yên đến vị trí mới. Sự di chuyển của trái bóng được gọi là chuyển động. Vậy, lực tương tác với vật làm cho vật di chuyển từ vị trí này đến vị trí khác tạo ra chuyển động.

Tính tương đối
Vận tốc của cùng một chuyển động có thể có những giá trị khác nhau đối với những quan sát viên khác nhau. Do đó, vận tốc có tính tương đối. Ví dụ, một vật chuyển động (có vận tốc khác không) so với vật khác nhưng lại đứng yên (có vận tốc bằng không) so với chính mình.

Để đo giá trị của vận tốc, người ta gắn với mỗi quan sát viên nói trên một hệ trục tọa độ để xác định vị trí trong không gian và một đồng hồ để xác định thời gian. Hệ trục tọa độ và đồng hồ được gọi là hệ quy chiếu. Các quan sát viên khác nhau có thể có hệ quy chiếu khác nhau và quan sát thấy các vận tốc khác nhau của cùng một vật thể đang chuyển động. Như vậy, vận tốc của chuyển động phụ thuộc vào hệ quy chiếu tại đó vị trí và thời gian được ghi nhận.

Cộng vận tốc trong Cơ học cổ điển
Như đã nói ở trên, vận tốc có tính tương đối và, do đó, có thể nhận các giá trị khác nhau đối với các hệ quy chiếu khác nhau. Để "chuyển đổi" vận tốc từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác, người ta sử dụng phép cộng vận tốc.

Trong Cơ học cổ điển, công thức cộng vận tốc đơn giản là phép cộng véctơ được thể hiện như sau:

:\vec v_{AB} = \vec v_{AC} + \vec v_{CB}

Trong đó:
\vec v_{AB} là vận tốc của A đối với B
\vec v_{AC} là vận tốc của A đối với C
\vec v_{CB} là vận tốc của C đối với B

Như vậy, vận tốc của một vật A đối với hệ quy chiếu B bằng vận tốc của A đối với một hệ quy chiếu trung gian C cộng với vận tốc của hệ quy chiếu trung gian đó đối với hệ quy chiếu B.

Thuyết tương đối hẹp

Trong thuyết tương đối hẹp, vận tốc được mở rộng ra thành vận tốc-4 trong không-thời gian. Nó là đạo hàm theo thời gian của véctơ vị trí-4:
:U^a:= \frac{dx^a}{d \tau}= \frac{dx^a}{dt}\frac{dt}{d \tau}= \left(\gamma c, \gamma \mathbf{u} \right)
với u là véctơ vận tốc trong không gian ba chiều thông thường
:u^i = \frac{dx^i}{dt}
và i&nbsp;=&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3. Chú ý rằng:
: U^a U_a = -c^2 \,

Chú thích