Số Fermat

Số Fermat là một khái niệm trong toán học, mang tên nhà toán học Pháp Pierre de Fermat, người đầu tiên đưa ra khái niệm này. Nó là một số nguyên dương có dạng
:F_{n} = 2^{2^n} + 1.

với n là số nguyên không âm.
Nếu một số Fermat là một số nguyên tố thì nó được gọi là số nguyên tố Fermat.

Tính chất cơ bản
Số Fermat thỏa mãn các hệ thức truy hồi sau

F_n = (F_n - 1)^2 + 1

F_n = F_0..F_{n-1}+2

,với n \ge 1 , và

F_n = F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}F_0..F_{n-2}

F_n = F_{n-1}^2 - 2 (F_{n-2}-1)^2

với n \ge 2 . Mỗi hệ thức trên có thể chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Trong đó từ hệ thức thứ hai ta có thể suy ra Giả thuyết Goldbach rằng không có 2 số Fermat phân biệt mà ước chung của chúng lớn hơn 1. Để kiểm tra điều này, giả sử 0 &le; i &lt; j và Fi với Fj có chung 1 ước số a > 1. Khi đó a là ước của F_0..F_{j-1} và F_j, suy ra a cũng phải là ước của 2, mà a lớn hơn 1 nên a bằng 2. Điều này mâu thuẫn bởi mọi số Fermat là số lẻ.

Đồng thời như một kết quả tất yếu, ta tìm được cách chứng minh khác cho sự vô hạn của số nguyên tố. Với mỗi Fn, chọn một ước nguyên tố pn thì dãy {pn} tạo thành một dãy chứa vô hạn các số nguyên tố phân biệt.

Các tính chất khác
Không có số Fermat có thể biểu diễn thành hiệu của 2 lũy thừa bậc p với p là số nguyên tố lẻ.
Ngoại trừ F0 và F1, các số Fermat đều kết thúc bằng số 7.
Tổng của các nghịch đảo của các số Fermat là số vô tỉ.

Các giá trị đầu tiên

Lịch sử
Khi nghiên cứu các số có dạng 22n + 1, Fermat đã tính ra được với n = 0, 1, 2, 3, 4 thì số có dạng trên là số nguyên tố, từ đó ông đưa ra dự đoán các số có dạng như trên đều là số nguyên tố. Từ đó các số có dạng thức như trên được gọi là số Fermat.

Tuy nhiên đến năm 1732, Euler đã phủ định dự đoán trên bằng cách chứng minh F5 là hợp số.

Phân tích ra thừa số nguyên tố
Bằng cách biểu thị:
:641 = 5 \times 2^7 + 1 = 2^4 + 5^4

Euler đã suy ra: 5 \times 2^7 \equiv -1\pmod{641}, dẫn đến 5^4 \times 2^{28} \equiv (-1)^4 \equiv 1\pmod{641}. Mặt khác 5^4 \equiv -2^4\pmod{641} nên suy ra -2^{32} \equiv 1\pmod{641}. Vậy F5 chia hết cho 641.

Euler cũng đã chứng minh được mọi ước nguyên tố của Fn đều có dạng k2n + 2 + 1.

Đến nay người ta vẫn chưa tìm ra nổi thêm số Fermat nào nguyên tố nữa, trong khi đã có hơn 70 hợp số của số Fermat đã được kiểm chứng.

Một trong những cách phân tích có uy tín nhất hiện nay là phân tích Fn ra tổng hai bình phương (chúng có dạng 4k + 1, hoàn toàn làm được). Phân tích cơ bản nhất là:
:F_n = \left (2^{2^{n-1}} \right)^2 + 1^2.

Nếu như tồn tại một cách biểu diễn khác, giả dụ Fn = x2 + y2 (với x > y) thì tính kết quả của:
:\gcd (x + 2^{2^{n-1}} \times y,F_n).

Ví dụ:
F5 = 62 2642 + 20 4492, dẫn đến:
:\gcd (62.264 + 2^{2^4} \times 20.449,F_5) = 641.
F6 = 4 046 803 2562 + 1 438 793 7592, dẫn đến:
:\gcd (4.046.803.256 + 2^{2^5} \times 1.438.793.759,F_6) = 274.177.

Nhờ đó người ta đã phân tích ra thừa số nguyên tố của các số từ F5 đến F11, thậm chí còn tìm ra ước nguyên tố của các số lớn hơn thế nữa.

Ví dụ:
F1945 = 221945 + 1 có khoảng 9,5929 × 10584 chữ số, nhờ phép phân tích trên tìm ra được ước số của nó là 5 × 21947 + 1 ≈ 6,3734 × 10586.
F2 478 782 = 222 478 782 + 1 có khoảng 1,6343 × 10746 187 chữ số, nhờ phép phân tích trên tìm ra được ước số của nó là 3 × 22 478 785 + 1 ≈ 1,3029 × 10746 189, đây là hợp số Fermat lớn nhất đã biết từ trước đến nay.

Tính chất liên quan đến ước số
Ta có thể tính gần đúng số chữ số của chúng bằng hệ thức gần đúng:
:D(n,b) = \lfloor \log_{b}\left(2^{2^{\overset{n}{}}}+1\right)+1 \rfloor = \lfloor 2^{n}\,\log_{b}2+1 \rfloor
Nếu 2m + 1 là nguyên tố thì m là một lũy thừa của 2.
Ước nguyên tố của Fn luôn có dạng k2n + 2 + 1, với k > 2.

Ứng dụng trong dựng đa giác đều

Tham khảo

Liên kết ngoài

Chris Caldwell, The Prime Glossary: Fermat number at The Prime Pages.
Luigi Morelli, History of Fermat Numbers
John Cosgrave, Unification of Mersenne and Fermat Numbers
Wilfrid Keller, Prime Factors of Fermat Numbers




Yves Gallot, Generalized Fermat Prime Search
Mark S. Manasse, Complete factorization of the ninth Fermat number (original announcement)
Peyton Hayslette, Largest Known Generalized Fermat Prime Announcement