E (số)

(số)}}

Số là một hằng số toán học có giá trị gần bằng 2,71828 và là cơ số của logarit tự nhiên và hàm mũ. Số này đôi khi còn được gọi là số Euler theo tên của nhà toán học người Thụy Sĩ Leonhard Euler, tuy nhiên cách gọi này có thể gây nhầm lẫn với các số trong dãy số Euler hoặc hằng số Euler–Mascheroni, một hằng số khác ký hiệu là . Ngoài ra cũng có thể được gọi là hằng số Napier theo tên của nhà toán học người Scotland, John Napier. Hằng số được nhà toán học người Thụy Sĩ Jacob Bernoulli khám phá lần đầu tiên khi nghiên cứu về lãi kép.

Số có tầm quan trọng lớn trong toán học cùng với số 0, 1, Pi| và Đơn vị ảo|. Cả năm số này cùng xuất hiện trong phương trình đồng nhất thức Euler và đóng vai trò trọng tâm, xuyên suốt trên khắp lĩnh vực toán học. Tương tự như hằng số , là một số vô tỉ (không thể biểu diễn thành tỉ số giữa hai số nguyên) và là số siêu việt (không phải là nghiệm của một phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ).
.
}}

Định nghĩa
Số là giới hạn
:\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac 1n\right)^n,
một biểu thức xuất hiện trong tính toán lãi kép.

là tổng của chuỗi vô hạn
:e = \sum\limits_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{1\cdot 2\cdot 3} + \cdots.

là số dương duy nhất sao cho đồ thị hàm số có hệ số góc bằng 1 tại .

Ta có e=\exp(1), trong đó \exp là hàm mũ (tự nhiên), hàm số duy nhất bằng với đạo hàm của chính nó và thỏa mãn phương trình \exp(0)=1. Do đó, cũng chính là cơ số của logarit tự nhiên, hàm ngược của hàm mũ tự nhiên.

Số còn được đặc trưng bởi tích phân
:\int_1^e \frac {dx}x =1.

có một số cách biểu diễn khác nữa; xem thêm trong mục .

Lịch sử
Số được liên hệ lần đầu tiên vào năm 1618 ở bảng phụ lục trong công trình của John Napier về logarit, nhưng bảng đó lại không nhắc đến trực tiếp về hằng số mà chỉ liệt kê danh sách giá trị của logarit cơ số . Bảng này được cho là do William Oughtred biên soạn. Đến năm 1661, Christiaan Huygens đã nghiên cứu cách tính logarit bằng phương pháp hình học và tính toán ra được một số giống với logarit cơ số 10 của , nhưng ông không xem là đại lượng đáng quan tâm.

Jacob Bernoulli lần đầu tiên giới thiệu hằng số vào năm 1683 để giải quyết bài toán tính lãi kép liên tục. Trong lời giải của ông, xuất hiện dưới dạng giới hạn

: \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n,

trong đó là số chu kỳ tính lãi kép trong một năm (ví dụ, nếu tính lãi hằng tháng).

Ký hiệu đầu tiên được sử dụng cho hằng số là chữ trong thư của Gottfried Leibniz gửi Christiaan Huygens vào năm 1690 và 1691.

Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ làm ký hiệu cho hằng số vào khoảng năm 1727 hoặc 1728 trong một bài báo không được xuất bản về sức nổ của súng thần công, cũng như trong thư gửi Christian Goldbach vào ngày 25 tháng 11 năm 1731. Chữ lần đầu hiện diện ở một tác phẩm đã xuất bản trong cuốn Mechanica (1736) của Euler. Không rõ lý do mà Euler chọn chữ cái là gì. Dù một số nhà nghiên cứu sử dụng chữ trong những năm tiếp theo, nhưng chữ có độ phổ biến cao hơn và dần trở thành tiêu chuẩn về sau này.

Euler là người đã chứng tỏ là tổng của chuỗi vô hạn
:e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \cdots ,
với là giai thừa của .

Ứng dụng

Lãi kép

Jacob Bernoulli lần đầu tiên tìm ra hằng số vào năm 1683 khi nghiên cứu một bài toán về lãi kép: Ở đây là một số thực bằng với lãi suất phần trăm hằng năm, theo đó với lãi suất 5% thì .

:\Pr[k~\mbox{lần thắng trên}~n] = \binom{n}{k} \left(\frac{1}{n}\right)^k\left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n-k}.

Đặc biệt, xác suất để người chơi không thắng lần nào () là

: \Pr[0~\mbox{lần thắng trên}~n] = \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n}.

Giới hạn của biểu thức trên khi tiến về vô cực là .

Tăng trưởng và phân rã theo cấp số mũ

Tăng trưởng theo cấp số nhân là quá trình gia tăng số lượng theo thời gian với tốc độ ngày càng lớn. Điều này xảy ra khi tốc độ thay đổi tức thời (hay đạo hàm) của một đại lượng theo thời gian tỉ lệ thuận với giá trị của đại lượng đó. Khi mô tả dưới dạng hàm số, đại lượng đang tăng theo cấp số nhân là một hàm lũy thừa theo thời gian mà trong đó biến đại diện cho thời gian là số mũ (trái với các loại tăng trưởng khác, ví dụ như tăng trưởng bậc hai). Nếu hằng số tỉ lệ thuận là âm thì đại lượng đó sẽ giảm dần theo thời gian và được gọi là đang phân rã theo cấp số mũ. Định luật về tăng trưởng theo cấp số nhân có thể được viết theo hai dạng biểu thức tương đương về mặt toán học sử dụng cơ số khác nhau, mà ở đây số là một cơ số thường gặp và có thể sử dụng để viết cho ngắn gọn:

:x(t) = x_0\cdot e^{kt} = x_0\cdot e^{t/\tau}.

Trong đẳng thức trên, là giá trị ban đầu của đại lượng , là hằng số tăng trưởng và là thời gian để giá trị của đại lượng tăng lên gấp lần.

Phân phối chuẩn tắc

Phân phối chuẩn với trung bình bằng 0 và độ lệch chuẩn bằng 1 được gọi là phân phối chuẩn tắc và được cho bởi hàm mật độ xác suất

: \phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} x^2}.

Ràng buộc phương sai bằng 1 (hay độ lệch chuẩn bằng 1) dẫn đến phân số trong số mũ, còn ràng buộc tổng diện tích dưới đường cong bằng 1 dẫn đến hệ số \textstyle 1/\sqrt{2\pi}. Hàm số này đối xứng quanh , tại đó nó đạt giá trị lớn nhất là \textstyle 1/\sqrt{2\pi}, đồng thời có các điểm uốn tại .

Xáo trộn

Một ứng dụng khác của , vốn cũng do Jacob Bernoulli và Pierre Raymond de Montmort khám phá một phần, nằm trong bài toán về xáo trộn hay còn gọi là bài toán trả mũ. Có vị khách được mời đến một bữa tiệc và họ phải trả mũ của mình cho quản gia. Quản gia sẽ đặt số mũ này vào hộp, mỗi hộp được ghi tên của một vị khách duy nhất. Nhưng quản gia lại không hỏi trước tên của các vị khách nên việc xếp mũ vào hộp được thực hiện một cách ngẫu nhiên. Bài toán của de Montmort là tìm xác suất để không có chiếc mũ nào được xếp vào đúng hộp. Xác suất này (ký hiệu ) là:

: p_n = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{(-1)^n}{n!} = \sum_{k = 0}^n \frac{(-1)^k}{k!}.

Khi tiến đến vô hạn thì tiệm cận về . Ngoài ra, số cách xếp mũ vào hộp để có kết quả thuận lợi cho biến cố nói trên là (làm tròn đến hàng đơn vị) với mọi số nguyên dương .

Bài toán kế hoạch tối ưu
Giá trị lớn nhất của \sqrt[x]{x} xảy ra tại . Một cách tương đương, với mọi cơ số thì giá trị lớn nhất của x^{-1}\log_b x xảy ra tại (bài toán Steiner, được đề cập bên dưới).

Tính chất trên giúp ích cho bài toán cắt một đoạn dây có độ dài thành đoạn bằng nhau. Giá trị của để tích các độ dài này lớn nhất là

:n = \left\lfloor \frac{L}{e} \right\rfloor hoặc \left\lceil \frac{L}{e} \right\rceil.

Đại lượng x^{-1}\log_b x chính là phép đo lượng thông tin trích xuất được từ một biến cố xảy ra với xác suất (xấp xỉ 36,8% khi ), vì vậy cách chia tối ưu tương tự như trên cũng hiện diện trong các bài toán kế hoạch tối ưu như bài toán thư ký.

Tiệm cận
Số xuất hiện một cách tự nhiên khi liên hệ với nhiều bài toán liên quan đến tiệm cận. Một ví dụ là công thức Stirling về tiệm cận của hàm giai thừa có sự xuất hiện của cả hai số và Pi|:
: n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.

Kéo theo đó Ý tưởng cơ bản ở đây là xét một phân hoạch của không gian xác suất thành một số hữu hạn các tập hợp đo được , với entropy là lượng thông tin thu được liên quan đến phân phối xác suất bằng cách thực hiện một phép lấy mẫu ngẫu nhiên (hay "thí nghiệm"). Entropy của phân hoạch đó là

:H(\xi) = -\sum_{i=1}^k p(A_i)\ln p(A_i).

Hàm số chỉ lượng entropy đóng góp bởi một phần tử bất kỳ của phân hoạch . Hàm này đạt giá trị lớn nhất khi . Điều này tức là lượng entropy đóng góp từ biến cố sẽ đạt lớn nhất khi , còn các kết quả có khả năng xảy ra lớn hơn hoặc bé hơn sẽ đóng góp ít hơn vào tổng entropy.

Tính chất
Vi tích phân

Cơ sở chủ yếu cho sự ra đời của số (nhất là trong vi tích phân) là từ các phép tính vi phân và tích phân với hàm mũ và logarit. Tổng quát, hàm mũ a'x}}}} có đạo hàm được cho bởi giới hạn:

: \begin{align}
\frac{d}{dx}a^x
&= \lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{a^x a^h - a^x}{h} \\
&= a^x \cdot \left(\lim_{h\to 0}\frac{a^h - 1}{h}\right).
\end{align}

Giới hạn trong ngoặc ở bên phải không phụ thuộc vào biến và có giá trị chính là logarit cơ số của . Vì vậy, khi đặt giá trị của bằng thì giới hạn trên bằng , từ đó ta suy ra đồng nhất thức đơn giản sau:

: \frac{d}{dx}e^x = e^x.

Vì vậy, hàm mũ cơ số rất phù hợp để làm việc với vi tích phân. Lựa chọn số thay vì bất kỳ số nào khác làm cơ số của hàm mũ giúp các phép tính liên quan đến đạo hàm trở nên dễ dàng hơn nhiều.

Một cách tiếp cận khác đến từ việc xét đạo hàm của logarit cơ số () với :

:e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.

Khi thay 1}} thì ta có định nghĩa của dưới dạng tổng của một chuỗi vô hạn.

Hàm logarit tự nhiên có thể định nghĩa là tích phân của từ 1 đến , còn hàm mũ có thể định nghĩa là hàm ngược của logarit tự nhiên. Số là giá trị của hàm mũ tại 1}}, hay nói tương đương là số sao cho logarit tự nhiên bằng 1. Theo đó, là số thực dương duy nhất sao cho
:\int_1^e \frac{1}{t} \, dt = 1.

Vì là hàm số duy nhất (xê xích một phép nhân hằng số ) bằng với đạo hàm của chính nó,

:\frac{d}{dx}Ke^x = Ke^x,

nên hàm số này cũng có nguyên hàm bằng chính nó:

:\int Ke^x\,dx = Ke^x + C .

Một cách tương đương, họ các hàm số

:y(x) = Ke^x

với là số thực hay số phức bất kỳ, là toàn bộ nghiệm của phương trình vi phân

:y' = y .

Bất đẳng thức

là số thực duy nhất thỏa mãn
: \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x
với mọi số dương }}.

Đồng thời, ta cũng có bất đẳng thức
: e^x \ge x + 1
với mọi số thực , và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 0}}. Hơn nữa, là cơ số duy nhất của hàm mũ để bất đẳng thức đúng với mọi . Đó là một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Bernoulli.

Hàm tựa mũ

Bài toán Steiner yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số
: f(x) = x^\frac{1}{x}.
Giá trị lớn nhất này đạt được tại e}}. (Ta có thể kiểm chứng rằng đạo hàm của bằng 0 chỉ ở giá trị này của .) Để chứng minh, từ bất đẳng thức ở trên, đặt (x – e)/e}} rồi rút gọn thì ta có . Do đó với mọi số dương .

Tương tự, 1/e}} là điểm sao cho hàm số

: f(x) = x^x

đạt giá trị nhỏ nhất.

Tetration vô hạn

: x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}}} hay {^\infty}x

hội tụ khi và chỉ khi (nằm giữa 0,06599 và 1,4447). Kết quả này được chứng minh từ một định lý của Leonhard Euler.

Lý thuyết số
Số thực là một số vô tỉ. Euler chứng minh được điều này bằng cách cho thấy liên phân số của số có thể được mở rộng ra vô hạn. (Xem thêm cách chứng minh của Fourier.) Hơn nữa, theo định lý Lindemann–Weierstrass thì là một số siêu việt, có nghĩa là nó không phải là nghiệm của bất kỳ phương trình đa thức khác không với hệ số hữu tỉ. Charles Hermite chứng minh được tính chất này vào năm 1873. Số là một trong số ít các số siêu việt mà người ta đã biết giá trị chính xác của độ đo tính vô tỉ ( 2}}).

Một bài toán chưa có lời giải cho đến nay là liệu hai số và có độc lập về mặt đại số hay không. Việc giải quyết bài toán này phụ thuộc vào giả thuyết Schanuel, một phát biểu tổng quát hóa của định lý Lindemann–Weierstrass hiện vẫn chưa được chứng minh.

Có phỏng đoán cho rằng là số bình thường, có nghĩa là khi được biểu diễn trên bất kỳ hệ đếm cơ số nào thì các chữ số có thể có trong hệ đếm đó được phân phối đều (xuất hiện với xác suất bằng nhau trong bất kỳ dãy số nào với độ dài cho trước). Một phỏng đoán khác cho rằng không thể được biểu diễn dưới dạng tích phân của một hàm số đại số trên tập xác định đại số (hằng số có tính chất này).

Số phức
Hàm mũ có thể được viết thành chuỗi Taylor

: e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

Vì tính chất hội tụ với mọi giá trị phức của nên chuỗi trên có thể được sử dụng để mở rộng khái niệm của hàm số cho số phức. Kết hợp với chuỗi Taylor cho và , ta suy ra được công thức Euler đúng với mọi số phức : Từ đồng nhất thức trên, ta cũng suy ra trong nhánh đơn trị chính của logarit,

Biểu diễn

Số có thể được biểu diễn theo nhiều cách khác nhau, dưới dạng chuỗi vô hạn, tích vô hạn, liên phân số hay giới hạn của một dãy. Ngoài giới hạn và chuỗi đã cho ở trên, còn có dạng liên phân số

:
e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1,..., 1, 2n, 1,...]


hoặc được viết thành

:e = 2 +
\cfrac{1}
{1 + \cfrac{1}
{2 + \cfrac{1}
{1 + \cfrac{1}
{1 + \cfrac{1}
{4 + \cfrac{1}
{1 + \cfrac{1}
{1 + \ddots}
}
}
}
}
}
}
.

Tích vô hạn sau có giá trị bằng :

Số chữ số đã biết
Số chữ số đã biết của đã tăng lên đáng kể từ khi máy tính được phát minh do sự gia tăng hiệu suất máy tính và nhiều cải tiến về thuật toán.

Từ khoảng năm 2010, sự ra đời của máy tính để bàn hiện đại tốc độ cao đã làm tăng tính khả thi của quá trình tính toán hàng nghìn tỷ chữ số của trong một khoảng thời gian chấp nhận được. Tính đến ngày 24 tháng 12 năm 2023, đã được tính đến 35 nghìn tỷ chữ số thập phân.

Tính toán chữ số
Một cách để tìm các chữ số của là thông qua chuỗi Một ví dụ khác là hồ sơ IPO của Google năm 2004, trong đó công ty đặt mục tiêu huy động được đúng 2.718.281.828 đô la Mỹ, tức là tỷ đô la làm tròn đến hàng đơn vị.

Google cũng đã từng làm một biển quảng cáo đặt tại trung tâm thung lũng Silicon và sau đó tại Cambridge, Massachusetts, Seattle, Washington và Austin, Texas, trong đó ghi "{first 10-digit prime found in consecutive digits of }.com" (tạm dịch "{số nguyên tố có 10 chữ số đầu tiên trong dãy chữ số liên tiếp của }.com"). Số nguyên tố có 10 chữ số đầu tiên trong là 7427466391, bắt đầu từ chữ số thứ 99. Khi giải được bài toán và truy cập vào website được quảng cáo (hiện không còn tồn tại) thì người giải được dẫn đến một bài toán khó hơn là tìm số thứ năm trong dãy số 7182818284, 8182845904, 8747135266, 7427466391. Dãy số này bao gồm các số có 10 chữ số thuộc dãy chữ số liên tiếp của có tổng các chữ số bằng 49. Số thứ năm cần tìm trong dãy là 5966290435, bắt đầu từ chữ số thứ 127. Sau khi giải bài toán thứ hai thì người truy cập được dẫn đến trang web Google Labs để có cơ hội nộp sơ yếu lý lịch.

Phiên bản chính thức cuối cùng của trình thông dịch Python 2 là 2.7.18, một mã số phiên bản gần giống nhất với giá trị xấp xỉ của .

Xem thêm
Pi

Tham khảo

Đọc thêm
: The Story of a Number |date=2009 |publisher=Nhà xuất bản Đại học Princeton |isbn=978-0-691-05854-2 |editor-last=Maor |editor-first=Eli |series=Princeton science library |location=Princeton, New Jersey}}
: The Master of All |url=http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Chauvenet/mccartin.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20150205182344/http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Chauvenet/mccartin.pdf |archive-date=2015-02-05 |url-status=dead |journal=The Mathematical Intelligencer |volume=28 |issue=2 |pages=10–21 |doi=10.1007/bf02987150 |issn=0343-6993 |s2cid=123033482}}

Liên kết ngoài

Số ' tới 1 triệu chữ số thập phân và 2 và 5 triệu chữ số thập phân
Approximations trên Wolfram MathWorld
Earliest Uses of Symbols for Constants. Cập nhật ngày 23 tháng 6 năm 2017
"The story of " của Robin Wilson tại Đại học Gresham ngày 28 tháng 2 năm 2007
Search Engine (tìm kiếm 2 tỷ chữ số trong , và )