Không gian định chuẩn

Cùng với khái niệm không gian mêtric, không gian định chuẩn cũng đóng vai trò rất quan trọng trong giải tích nói chung và topo nói riêng.
Sơ lược về không gian định chuẩn
Định nghĩa
Cho E là không gian vectơ trên trường số D và ánh xạ \left\Vert. \right\Vert: E \to \mathbb{R}

Ta nói \left\Vert. \right\Vert là chuẩn trên E nếu nó thỏa 3 tính chất sau:
:(1).||x||\geq0\quad x\in E;,
: (2).||x||=0\Leftrightarrow x=\mathbf{0} nếu x là 1 vector.
:(3).||kx||=|k|.||x||;\quad\forall x\in E,k\in\mathbb{R}
:(4).||x+y||\leq||x||+||y||,\quad\forall x,y\in E

Nếu \left\Vert. \right\Vert là chuẩn trên E, ta nói (E,\left\Vert. \right\Vert) là không gian vecto định chuẩn (còn đọc tắt là không gian định chuẩn).

Ta có thể định nghĩa chuẩn bằng công thức: \left\Vert x \right\Vert:= \sup_{x\in E, \left\vert x \right\vert=1} \left \{|x_i|\right\} và có thể hiểu phép định chuẩn như là vi phân độ dài của vector x.

Một số ví dụ về chuẩn
Không gian \R^2 với các metric:
:d_1(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|
:d_2(x,y) = [(x_1 - y_1)2 + (x_2 - y_2)2]1/2
:d_{\infty}(x,y) = max \{|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2| \}
lần lượt có các chuẩn tương ứng sau:

::\left\Vert x-y \right\Vert _1 = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|
::\left\Vert x-y \right\Vert _2 = [(x_1 - y_1)2 + (x_2 - y_2)2]1/2
::\left\Vert x-y \right\Vert _{\infty} = max \{|x_1 - y_1|, |x_2 - y_2| \}

Không gian các hàm số mũ p khả tích trên khoảng [0,1] với chuẩn \left\Vert \right\Vert _p sau;
Khi p=1;

: \|f\|_p = \left(\int_0^1 |f(t)| dt\right)
Khi 1 ;

: \|f\|_p = \left(\int_0^1 |f(t)|^p dt\right)^{1/p}
Khi p = \infty ;

: \|f\|_p = \inf \lbrace{ \lambda: |f(x)|\leq \lambda \qquad h.k.n \rbrace}

Không gian các hàm liên tục f từ \mathbb{R}^m vào \mathbb{R}^n và khả tích với chuẩn \left\Vert \right\Vert sau;

Khi n=1;

: \|f\| = \left(\int_0^1 |f(t)| dt\right)
Khi 1 ;

: \|f\| = \left(\int_0^1 \sum_{k=1}^n(f_{k}(t))^2 dt\right)^{1/2}

Khi n = \infty ;

: \|f\|= \sup \lbrace{ |f_{k}(x)|: x\in \mathbb{R}^m, k\in \mathbb{N} \rbrace}
Trong đó
:: x=(x_1,...,x_m), f=(f_1(x),...,f_n(x))
::\lbrace{f_i(x) \rbrace}_{1\leq i \leq n}: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R},
::x_i \in \mathbb{R}, \qquad \forall i \in \overline{1,..,m}

Cấu trúc tô-pô
Một không gian định chuẩn được trang bị một cấu trúc tô-pô với một cơ sở là tập hợp các quả cầu mở. Các khái niệm tô-pô (như đóng, mở, trù mật,...) có thể được diễn đạt theo ngôn ngữ của không gian định chuẩn.

Tính chất

Một không gian định chuẩn là một không gian tô-pô liên thông, Hausdorff, không compact.
Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều là một không gian compact địa phương.

Các định nghĩa, định lý liên quan khác
Không gian định chuẩn sinh với chuẩn sinh bởi metric
Cho (E,d(.,.)) là không gian mêtric, ta nói chuẩn \left\Vert \right\Vert tạo bởi metric d(.,.) tức là:

::\left\Vert x-y \right\Vert = d(x,y),\qquad \forall x,y \in E

Do đó, không gian định chuẩn cũng có cơ sở trên không gian tôpô dưới dạng họ các quả cầu mở như trên với chuẩn là các metric tương ứng.

Quả cầu mở, quả cầu đóng
Cho \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) là không gian định chuẩn; a\in E và r>0.

B(a,r)=\left\{ x\in E:\left\Vert x-a\right\Vert

B'(a,r)=\left\{ x\in E:\left\Vert x-a\right\Vert \leq r\right\}
:: Khi đó ta gọi B(a,r) và B'(a,r) lần lượt là các quả cầu mở và quả cầu đóng tâm a bán kính r trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right)

Tập mở, tập đóng, tập bị chặn, trù mật
Cho \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) là không gian định chuẩn; a\in E và A \subset E.

Ta nói:

A là tập mở trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) nếu có họ các quả cầu mở \lbrace{ B(a_i,r_i) \rbrace}_{i\in I} trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) sao cho:
::: A=\cup_{i \in I}B(a_i,r_i) .

A là tập đóng trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) nếu E - A là tập mở trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right).

A là tập bị chặn trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) nếu có quả cầu đóng B'(a_i,r_i) trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) sao cho:
::: A \subset B'(a_i,r_i) .

A là tập trù mật trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) nếu cl(A) = E

Liên tục
Cho A là tập con trong không gian định chuẩn \left(E,\left\Vert \right\Vert_{E} \right)
x\in A và
f: A\rightarrow\left(F,\left\Vert.\right\Vert _{F}\right).

Ta nói:

f liên tục tại x nếu \forall \epsilon >0, \exists \delta >0 sao cho \left\Vert f\left(x\right)-f\left(y\right)\right\Vert ,\qquad \forall y\in A, y\in B(x,\delta)

f liên tục trên A nếu f liên tục tại mọi y \in A

Ngoài ra ta còn có định nghĩa liên tục qua khái niệm tập mở như sau:

f liên tục trên A nếu và chỉ nếu với mọi tập mở V trong F có tập mở U trong E sao cho
::f^{-1}(V)=A \cap U

Dãy hội tụ, Cauchy
Cho (E, ||.||) là không gian định chuẩn; f là ánh xạ từ tập các số nguyên dương vào E.

Đặt x_n=f(n); \forall n \in \mathbb{N} và cho a \in E.

Khi đó \lbrace{x_n \rbrace} là dãy trong \left(E,\left\Vert \right\Vert \right).

Dãy \lbrace x_n{ \rbrace} là dãy hội tụ về a trong E nếu và chỉ nếu:
:\forall \epsilon > 0 , ta tìm được N (\epsilon) \in \mathbb{N} sao cho \left\Vert x_n - a \right\Vert N (\epsilon)

Lúc đó, a là giới hạn của dãy \lbrace{x_n \rbrace} .

Dãy \lbrace x_n{ \rbrace} là dãy Cauchy trong E nếu và chỉ nếu:
:\forall \epsilon > 0 , ta tìm được N (\epsilon) \in \mathbb{N} sao cho \left\Vert x_n - x_m \right\Vert m> N (\epsilon)

Nếu dãy \lbrace x_n{ \rbrace} là dãy hội tụ trong E thì nó sẽ Cauchy trong E.

Nếu mọi dãy \lbrace x_n{ \rbrace} Cauchy đều hội tụ trong không gian định chuẩn \left(E,\left\Vert \right\Vert \right) thì E là không gian Banach.

Ví dụ:

Dãy \lbrace{ \frac{1}{n}: n \in \mathbb{Z}^{+}\rbrace} trong \mathbb{R} \0 là dãy Cauchy nhưng không hội tụ trong \mathbb{R}\ 0 với không gian định chuẩn \left(\mathbb{R},\left\Vert \right\Vert \right) (\left\Vert x-y \right\Vert = |x-y|).

Chuẩn tương đương
Tương tự như metric tương đương trên không gian metric, ta cũng có khái niệm chuẩn tương đương như sau:
Cho 2 chuẩn \left\Vert.\right\Vert _{1},\left\Vert.\right\Vert _{2} trên cùng không gian vectơ E.

Ta nói 2 chuẩn này là tương đương nếu tồn tại \alpha, \beta >0 sao cho:
:: \alpha\left\Vert u\right\Vert _{1}\leq\left\Vert u\right\Vert _{2}\leq\beta\left\Vert u\right\Vert _{1}
với mọi u \in E

Ví dụ
Với các chuẩn sau trên \mathbb{R}^{n} sau:
:: \left\Vert x\right\Vert _{2}=\left(\overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}x_{k}^{2}\right)^{1/2}
:: \left\Vert x\right\Vert _{1}=\overset{n}{\underset{k=1}{\sum}}\left|x_{k}\right|
:: \left\Vert x\right\Vert _{\infty}=\underset{k=1,2,...,n}{\max}\left|x_{k}\right|

trong đó x=(x_1,...,x_n)\in \mathbb{R}^{n} . Ta có:
:: \left\Vert x\right\Vert _{\infty}\leq\left\Vert x\right\Vert _{2}\leq\left\Vert x\right\Vert _{1}\leq n\left\Vert x\right\Vert _{\infty}

Phạm trù các không gian định chuẩn
Các ánh xạ quan trọng nhất giữa hai không gian định chuẩn là các ánh xạ tuyến tính liên tục. Tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục giữa hai không gian định chuẩn E và F được ký hiệu là \mathcal{L}(E,F). Không gian định chuẩn cùng với các ánh xạ tuyến tính liên tục lập thành một phạm trù.

Ta cũng có phạm trù các không gian Banach (là một phạm trù con đầy của phạm trù các không gian định chuẩn).

Xem thêm
Không gian metric
Không gian Banach
Không gian tích vô hướng

Chú thích

Tham khảo
Đặng Đức Trọng, Đinh Ngọc Thanh, Phạm Hoàng Quân, Giáo trình giải tích 2, Nhà xuất bản Đại học quốc gia Tp.HCM, 2008
Dương Minh Đức, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học quốc gia TP HCM, 2005
Huỳnh Quang Vũ (2012). Lecture notes on Topology . Ho Chi Minh city University of Science