Hội tụ (không gian tôpô)

Khái niệm hội tụ trong toán học có thể được sử dụng trong các không gian Euclid (chẳng hạn xem định nghĩa (ε, δ) của giới hạn), các không gian metric, ví dụ như \mathbb{R} , \mathbb{R}^2 , các không gian hàm hay các không gian tô pô. Với các không gian metric, ta có sự tương đương giữa hai phát biểu sau:

Một ánh xạ f là liên tục theo nghĩa tô pô.
Với mọi điểm x trong X, và với mọi dãy trong X hội tụ tới x, tạo ảnh của dãy này bởi f hội tụ tới f(x). (tính chất này cũng được gọi là liên tục theo nghĩa dãy).

Đối với các không gian tô pô tổng quát, ta có 1 suy ra 2, nhưng điều ngược lại không đúng. (trong một số trường hợp, chẳng hạn như với các không gian đếm được bậc nhất, ta có 2 suy ra 1). Do đó, người ta đã xây dựng khái niệm hội tụ của lưới nhằm đạt được một tính chất tương đương với tính liên tục của ánh xạ.

Bài viết sau khảo sát lại các khái niệm về sự hội tụ, tính liên tục và mối quan hệ giữa chúng.

Sự hội tụ của một hàm số

Giả sử f là hàm số thực, c là hằng số. Ký hiệu \lim_{x \rightarrow c}f(x)=L có nghĩa là f(x) tiến gần đến L khi x tiến gần về c. Có thể đọc là "Giới hạn của hàm f khi x tiến gần đến c là L ".

Lưu ý: Hàm f(x) có thể không cần xác định tại c

Định nghĩa trên được Augustin Louis Cauchy sáng kiến vào năm 1821. Sau đó, Karl Weierstrass đã hình thức hóa bằng cách định nghĩa theo (\epsilon, \delta) như sau:

Hàm số f hội tụ về L nếu \forall \epsilon \geq 0, \exist \delta_\epsilon \geq 0 sao cho |f(x)-L|\leq \epsilon; \; \forall x \in \{y:\; |y-c|
Ví dụ
Cho f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

Thì f(1) không xác định, khi cho x tiến gần về 1 thì f(x) tiến gần về 2:

Do đó, f(x) có thể tiến gần đến giới hạn của 2 ngay khi x gần đến 1.

Mặt khác, \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 2

Nó cũng có thể được tính theo phương pháp đại số, khi \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = x+1 với mọi số thực x\neq 1.

Vì x+1 liên tục theo x tại 1 nên có thể thay x=1 để được \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = 1+1 = 2.

Thêm giới hạn tại những điểm hữu hạn, hàm có thể có những giới hạn vô hạn. Ví dụ, xét
:f(x) = {2x-1 \over x}

f(100) = 1.9900
f(1000) = 1.9990
f(10000)= 1.99990

Khi x thật sự lớn, giá trị của f(x) tiến về 2. Trong trường hợp này, giới hạn của f(x) khi x tiến đến vô cùng là 2. Ký hiệu trong toán học,

: \lim_{x \to \infty} \frac{2x-1}{x} = 2.

Sự hội tụ của một dãy

]]
Trong không gian tôpô X, dãy (x_1,x_2,...) hội tụ về x nếu với mỗi lân cận mở U của x thì có một số nguyên dương N sao cho x_n \in U \; \forall n \geq N. Khi đó x là điểm giới hạn của dãy (x_1,x_2,...) và viết
\lim_{n \rightarrow \infty}x_n=x
Ví dụ
Nếu x_n = c với c là hằng số thì x_n \to c.
Nếu x_n = 1/n thì x_n \to 0.
Nếu x_n = 1/n khi n chẵn và x_n = 1/n^2 khi n lẻ thì x_n \to 0.
Tính chất
Nếu a_n \to a và b_n \to b thì a_n+b_n \to a+b, a_nb_n \to ab.
Giới hạn của một dãy là duy nhất
\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n
\lim_{n\to\infty} c a_n = c \lim_{n\to\infty} a_n
\lim_{n\to\infty} (a_n b_n) = (\lim_{n\to\infty} a_n)(\lim_{n\to\infty} b_n)
\lim_{n\to\infty} \frac{a_n} {b_n} = \frac{ \lim_{n\to\infty} a_n}{ \lim_{n\to\infty} b_n} với \lim_{n\to\infty} b_n \ne 0
\lim_{n\to\infty} a_n^p = \left[ \lim_{n\to\infty} a_n \right]^p
Nếu a_n \leq b_n với mọi n lớn hơn N thì \lim_{n\to\infty} a_n \leq \lim_{n\to\infty} b_n

Sự hội tụ của một lưới
Lưới (x_i) được gọi là hội tụ về x \in X ( X là một không gian tôpô)nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại một chỉ số i \in I ( I là tập có hướng) sao cho \forall j \geq i thì x_j \in U . Điểm x được gọi là điểm giới hạn của lưới \{ x_i \}_i \in I và thường viết x_i \longrightarrow x.
Tập có hướng
Tập có hướng là một tập có thứ tự I sao cho: Với 2 phần tử i, j \in I, luôn có phần tử k \in I lớn hơn hoặc bằng của hai phần tử i, j. Ký hiệu: \forall i,j \in I, \exist k \in I, k \geq i và k \geq j

Lưới
Lưới (còn được gọi là dãy tổng quát) là một ánh xạ đi từ một tập có hướng vào trong một không gian. Nói cách khác, một lưới trên không gian X (với tập chỉ số là tập có hướng I) là một ánh xạ x: I \longrightarrow X . Ta viết x_i=x(i) và ký hiệu lưới (x_i)_{i\in I} . Ký hiệu \{ x_i \}_i \in I cũng thường được sử dụng.
Ví dụ
Tập số tự nhiên \mathbb{N} với quan hệ thứ tự (\leq) là một tập có hướng.
Cho X là một không gian tôpô và x \in X. Lấy I là họ các lân cận mở của x. Định nghĩa trên tập I: U \leq V \Longleftrightarrow U \supset V. Lúc đó I trở thành tập có có hướng.
Những lưới có tập chỉ số I= \mathbb{N} với thứ tự thông thường là một dãy.
Sự hội tụ của những lưới có tập chỉ số I= \mathbb{N} với thứ tự thông thường là sự hội tụ của dãy.
Lấy X= \{ x_1, x_2, x_3 \} với tôpô \{ \varnothing, X, \{ x_1, x_3 \}, \{ x_2, x_3 \}, \{ x_3 \} \} . Lưới (x_3) hội tụ về x_1, x_2 và x_3. Lưới (x_1, x_2) hội tụ về x_2.
Các phát biểu liên quan đến hội tụ trong không gian tôpô
Điểm x \in X được gọi là điểm giới hạn của tập con A \subset X \Longleftrightarrow có một lưới trong A- \{x\} hội tụ về x.
:
Cho X,Y là hai không gian tôpô. Ánh xạf: X\longrightarrow Y liên tục tại x \Longleftrightarrow Nếu một lưới n hội tụ về x thì lưới f \circ n hội tụ về f(x).
:
Nếu X là không gian Hausdorff thì mọi lưới trong X có nhiều nhất một điểm giới hạn.
:
Không gian mêtric là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy đều có dãy con hội tụ.
Đọc thêm
Dãy Cauchy
Không gian Banach
Không gian compact
Không gian mêtric
Lưới (toán học)

Tham khảo