Dao động tử điều hòa

của cơ học cổ điển (A–B), và theo Schrödinger phương trình của cơ học lượng tử (C–H). Trong A–B, các hạt (đại diện như một bóng gắn vào một lò xo) dao động lại. Ở C–H, một số giải pháp cho các Phương trình Schrödinger được thể hiện, nơi trục ngang là vị trí dọc thực sự là một phần (màu xanh) hay tưởng tượng một phần (đỏ) của hàm sóng. C, D, E, F, nhưng không G, H, được năng lượng eigenstates. H là một mạch lạc nước—một trạng thái lượng tử thành cổ điển quỹ đạo.]]
Các dao động tử điều hòa là lượng tử cơ học tương tự của các dao động điều hòa trong lĩnh vực Vật lý. Bởi vì một tùy ý tiềm năng thường có thể được coi như là một sự hài hòa tiềm năng tại khu vực của một ổn định điểm cân bằng, đó là một trong những quan trọng nhất mẫu hệ thống ở cơ học lượng tử. Hơn nữa, một trong số ít lượng tử-hệ thống cơ khí mà một tính toán chính xác, được phân tích giải pháp được biết đến.

Một chiều dao động tử điều hòa

Hamilton và Năng lượng trạng thái riêng

Các Hamilton của hạt là:

Công thức như sau

: \hat H = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} k {\hat x}^2 = \frac{{\hat p}^2}{2m} + \frac{1}{2} m \omega^2 {\hat x}^2\, ,

Một người có thể viết thời gian độc lập phương trình Schrödinger,

:: \hat H \left| \psi \right\rangle = E \left| \psi \right\rangle ~,

Các hàm Hn là các đa thức Hermite,

: H_n(z)=(-1)^n~ e^{z^2}\frac{d^n}{dz^n}\left(e^{-z^2}\right).

Tương ứng năng lượng được

: E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right)=(2 n + 1) {\hbar \over 2} \omega~.

Phương pháp Toán tử bậc thang

Các toán tử bậc thang, được phát triển bởi Paul Dirac, cho phép tìm lời giải cho vấn đề năng lượng với giá trị riêng mà trực tiếp giải quyết các phương trình vi phân. Đó là khái quát cho một công thức phức tạp, đặc biệt là trong lĩnh vực lượng tử lý thuyết. Sau này, chúng tôi xác định khai thác và dạng liên hợp của nó ,

: \begin{align}
a &=\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right) \\
a^\dagger &=\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)
\end{align}

Dẫn tới một biểu thức hữu dụng như sau \hat{x} and \hat{p},

: \begin{align}
\hat x &= \sqrt{\frac{\hbar}{2}\frac{1}{m\omega}}(a^\dagger + a) \\
\hat p &= i\sqrt{\frac{\hbar}{2}m\omega}(a^\dagger - a) ~.
\end{align}

Toán tử không phải là một toán tử Hermitian, vì nó và dạng liên hợp không đồng nhất. Năng lượng của các trạng thái riêng sinh ra bởi tác dụng của các toán tử bậc thang lên các trạng thái riêng này.

\begin{align}
a^\dagger|n\rangle &= \sqrt{n + 1} | n + 1\rangle \\
a|n\rangle &= \sqrt{n} | n - 1\rangle.
\end{align}

Một số đại lượng
Chu kỳ dao động T là khoảng thời gian để thực hiện 1 dao động toàn phần.

Tần số dao động f là số dao động toàn phần có thể thực hiện trong 1 giây.

Chu kỳ và tần số của dao động là nghịch đảo của nhau. Ta có Tf=1

Ly độ của dao động điều hòa
Ly độ của dao động điều hòa được biểu diễn bởi phương trình x=A\cos(\omega t+\varphi) trong đó

A là biên độ dao động
\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T} là tần số góc của dao động
\varphi là pha ban đầu của dao động

Tham khảo

Liên kết ngoài
Điều Hòa Lượng Tử Dao Động
Lý do cho lựa chọn thang khai thác
Sống 3D cường độ âm mưu của lượng dao động điều hòa
Hướng và hãm lượng dao động điều hòa (bài giảng của nhiên "quang học lượng tử trong các mạch điện")