Thứ tự toàn phần

Trong toán học, thứ tự toàn phần hay thứ tự tuyến tính là thứ tự riêng phần mà mọi hai phần tử đều so sánh được với nhau. Nghĩa là, nó là quan hệ hai ngôi \leq trên tập hợp X thoả mãn các điều kiện sau với mọi a, b và c thuộc X:

a \leq a (phản xạ).
Nếu a \leq b và b \leq c thì a \leq c (bắc cầu).
Nếu a \leq b và b \leq a thì a = b (phản đối xứng).
a \leq b hay b \leq a (liên thông mạnh, hay còn gọi là tính toàn phần).

Tính phản xạ (1.) sẽ suy ra ngay từ tính chất (4.), nhưng vẫn thường được viết rõ ra bởi nhiều tác giả để chỉ mối quan hệ với thứ tự riêng phần.

Tập hợp đi cùng thứ tự toàn phần được gọi là tập sắp (có) thứ tự toàn phần; thuật ngữ tập sắp thứ tự đơn lẻ, tập sắp thứ tự tuyến tính, hay loset cũng được dùng tuỳ thuộc vào tác giả. Thuật ngữ xích thường nhắc đến tập con sắp thứ tự toàn phần của tập sắp thứ tự một phần.

Mở rộng của thứ tự riêng phần cho trước thành thứ tự toàn phần được gọi là mở rộng tuyến tính của thứ tự riêng phần đó.

Thứ tự toàn phần nghiêm ngặt và không nghiêm ngặt

trên tập hợp X là thứ tự riêng phần nghiêm ngặt trên tập X trong đó mọi hai phần tử phân biệt đều so sánh được với nhau. Nghĩa là, thứ tự toàn phần là quan hệ ngôi trên tập hợp X, thoả mãn các điều kiện sau với mọi a, b và c thuộc X:

Không a (hoàn toàn không phản xạ).
Nếu a thì không b (bất đối xứng).
Nếu a và b thì a (bắc cầu).
Nếu a \neq b, thì a hoặc b (Tính liên thông).

Tính bất đối xứng suy ra từ tính bắc cầu và tính hoàn toàn không phản xạ; Ngược lại, tính hoàn toàn không phản xạ thu về được từ tính bất đối xứng.

Mỗi thứ tự toàn phần (không nghiêm ngặt) \leq có thứ tự toàn phần nghiêm ngặt tương ứng , được gọi là thứ tự nghiêm ngặt ứng với \leq, có thể định nghĩa theo một trong hai cách tương đương sau:
a nếu a \leq b và a \neq b (rút gọn phản xạ).
a nếu không b \leq a (tức là là bù của quan hệ ngược của \leq).

Ngược lại, bao đóng phản xạ của thứ tự toàn phần nghiêm ngặt là thứ tự toàn phần không nghiêm ngặt.

Ví dụ

Mọi tập con của tập sắp thứ tự toàn phần là tập sắp thứ tự toàn phần do thu hẹp thứ tự trên .
Thứ tự duy nhất trên tập rỗng , là thứ tự toàn phần.
Tập các số đếm hoặc tập các số thứ tự, (và mạnh hơn, tập này có thứ tự tốt).
Nếu là tập hợp tuỳ ý và là hàm đơn ánh từ đến tập sắp thứ tự toàn phần, thì cảm sinh thứ tự toàn phần trên bằng cách định nghĩa khi và chỉ khi .
Thứ tự từ điển trên tích Đề-các của họ các tập sắp thứ tự toàn phần, và được sắp chỉ số theo thứ tự tốt, thì chính nó là thứ tự toàn phần.
Tập các số thực được sắp theo thứ tự thông thường "nhỏ hơn hoặc bằng" (≤) hoặc "lớn hơn hoặc bằng" (≥) là tập sắp thứ tự toàn phần. Bởi mọi tập con của tập sắp thứ tự toàn phần cũng sắp thứ tự toàn phần, nên các tập như số tự nhiên, số nguyên và số hữu tỉ đều có thứ tự toàn phần. Mỗi tập này đều có thể chứng minh là "ví dụ ban đầu" duy nhất (xê xích đẳng cấu thứ tự) của tập thứ tự toàn phần cho một số tính chất, (ở đây, thứ tự toàn phần là ban đầu cho một tính chất nếu như có tính chất đó thì có đẳng cấu thứ tự từ sang tập con của ):
Tập các số tự nhiên lập thành tập sắp thứ tự toàn phần ban đầu không có cận trên.
Tập các số nguyên lập thành tập sắp thứ tự toàn phần ban đầu không có cận trên hay cận dưới.
Tập các số hữu tỉ lập thành tập sắp thứ tự toàn phần ban đầu có tính trù mật trong các số thực. Hơn nữa, rút gọn phản xạ \{a\vee b, a\wedge b\} = \{a, b\} for all a, b.

Ta viết a ≤ b khi và chỉ khi a = a\wedge b. Do đó tập sắp thứ tự toàn phần là dàn phân phối.

Thứ tự toàn phần hữu hạn

Lý thuyết phạm trù

Tập sắp thứ tự toàn phần lập thành phạm trù con đủ (full subcategory) của phạm trù của các tập hợp sắp thứ tự riêng phần, trong đó cấu xạ là các ánh xạ bảo toàn thứ tự, tức là ánh xạ f sao cho nếu a ≤ b thì f(a) ≤ f(b).

Song ánh giữa hai tập sắp thứ tự toàn phần mà bảo toàn thứ tự thì được gọi là đẳng cấu trong phạm trù này.

Tô pô thứ tự

Cho bất kỳ tập hợp sắp thứ tự toàn phần X, ta có thể định nghĩa các khoảng mở (a, b) = {x : a là lớn hơn, thì ta sẽ nhắc tới tô pô thứ tự trên N cảm sinh bởi (trong trường hợp này chúng là một, nhưng trong tổng quát thì sẽ không luôn như thế).

Tô pô thứ tự cảm sinh bởi thứ tự toàn phần có thể chứng minh là không gian chuẩn tắc.

Tính đầy đủ

Tập sắp thứ tự toàn phần được gọi là đầy đủ nếu mọi tập con không rỗng có cận trên thì sẽ có cận trên nhỏ nhất. Ví dụ chẳng hạn, tập các số thực R đầy đủ nhưng tập các số hữu tỉ Q thì không. Bên cạnh đó, một số khái niệm của tính đầy đủ không còn đúng khi bị thu hẹp tập hợp. Ví dụ chẳng hạn, trên tập các số thực có một tính chất của quan hệ ≤ là mọi tập con không rỗng S của R có cận trên thuộc R sẽ có cận trên nhỏ nhất (hay còn gọi là supremum) thuộc R. Tuy nhiên đối với số hữu tỉ, giá trị supremum không nhất phải là số hữu tỉ, do đó tính chất này không còn đúng khi thu hẹp quan hệ ≤ về các số hữu tỉ.

Có một số kết quả liên hệ tính chất của tô pô thứ tự với tính đầy đủ của X:
Nếu tô pô thứ tự trên X có tính liên thông, thì X đầy đủ.
X liên thông dưới tô pô thứ tự khi và chỉ khi nó đầy đủ và không có khe hở (gap) nào trong X (khe hở tức là cho hai điểm a và b thuộc X với a (A_1,\le_1) và (A_2,\le_2), có thứ tự tự nhiên \le_+ trên tập A_1\cup A_2, được gọi là tổng của hai thứ tự và đôi khi được ký ký hiệu là A_1+A_2:
: Cho x,y\in A_1\cup A_2, x\le_+ y đúng khi và chỉ khi một trong ba điều kiện sau được thoả mãn:
: x,y\in A_1 và x\le_1 y
: x,y\in A_2 và x\le_2 y
: x\in A_1 và y\in A_2
Theo trực giác, có nghĩa là các phần tử của tập thứ hai nằm trên các phần tử của tập thứ nhất.

Tổng quát hơn, nếu (I,\le) là tập chỉ số sắp thứ tự toàn phần, và với mỗi i\in I, cấu trúc (A_i,\le_i) có thứ tự tuyến tính, và các A_i không giao nhau đôi nhau, thì thứ tự toàn phần tự nhiên trên \bigcup_i A_i được định nghĩa bởi
: Cho x,y\in \bigcup_{i\in I} A_i, x\le y đúng khi:
: Tồn tại i\in I với x\le_i y
: hoặc tồn tại i thuộc I với x\in A_i, y\in A_j

Tính quyết định được
Lý thuyết logic bậc nhất của các thứ tự toàn phần có tính quyết định được, tức là có thuật toán quyết định xem liệu một mệnh đề bậc nhất có đúng cho mọi thứ tự toàn phần. Sử dụng tính dẫn xuất được trong S2S, lý thuyết monadic bậc hai của các thứ tự toàn phần đếm được cũng quyết định được.

Tích Đề-các của các thứ tự toàn phần

Theo sức tăng dần (tức là giảm dần số cặp đi), ba trong số các thứ tự khả thi trên tích Đề-các của hai tập sắp thứ tự toàn phần là:
Thứ tự từ điển: (a,b) ≤ (c,d) khi và chỉ khi a n, mỗi trong số này sẽ biến không gian thành không gian vectơ được sắp.

Hàm thực n biến định nghĩa trên tập con của Rn sẽ đồng thời định nghĩa thứ tự yếu nghiêm ngặt và tiền thứ tự toàn phần tương ứng trên tập con đó.

Số các quan hệ thứ tự toàn phần
Số các quan hệ thứ tự toàn phần trên tập chứa n phần tử nằm trong dãy số sau

Các cấu trúc có liên quan
}}
Quan hệ hai ngôi có tính phản đối xứng, bắc cầu và phản xạ (nhưng không nhất thiết phải toàn phần) là quan hệ thứ tự riêng phần.

Nhóm khi đi kèm thứ tự toàn phần thì được gọi là nhóm sắp thứ tự toàn phần.

Xem thêm









Chú thích

Tham khảo




George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co.

John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988.



Liên kết ngoài