Hạt nhân (đại số tuyến tính)

Trong toán học, hạt nhân (kernel) của một ánh xạ tuyến tính, còn gọi là hạch hay không gian vô hiệu (null space), là không gian vectơ con của nguồn được ánh xạ tới vectơ không. Tức là, cho một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vectơ và , hạt nhân của được định nghĩa là không gian vectơ con gồm các phần tử trong sao cho , trong đó là vectơ không trong , hay dưới dạng ký hiệu:

: \ker(L) = \left\{ \mathbf{v} \in V \mid L(\mathbf{v})=\mathbf{0} \right\} .

Các tính chất

Hạt nhân của L là không gian con của tập nguồnV .

Nếu là một không gian tích trong, không gian thương có thể được xác định là phần bù trực giao của trong . Đây là sự tổng quát hóa cho toán tử tuyến tính của không gian hàng, hay đối ảnh của một ma trận.

Áp dụng với mô đun
Khái niệm hạt nhân cũng có thể áp dụng được đối với các đồng cấu mô đun, là các tổng quát hóa của không gian vectơ khi các vô hướng là phần tử của một vành, thay vì là một trường. Tập nguồn của ánh xạ là một mô đun, và hạt nhân tạo nên một mô đun con. Ở đây, khái niệm về hạng và số vô hiệu không nhất thiết áp dụng được.

Trong giải tích hàm
Nếu V và W là các không gian vectơ tô pô sao cho W hữu hạn chiều thì một toán tử tuyến tính L:&nbsp;V&nbsp;→&nbsp;W là liên tục khi và chỉ khi hạt nhân của L là một không gian con đóng của V.

Biểu diễn dưới dạng phép nhân ma trận
Xét một biến đổi tuyến tính được biểu diễn bởi một ma trận A cỡ m × n với các hệ số trên một trường K (thường là \mathbb{R} hoặc \mathbb{C}), tức là tác động lên các vectơ cột x với n thành phần trên K. Hạt nhân của ánh xạ này là tập hợp các nghiệm của phương trình , với 0 được hiểu là vectơ không. Số chiều của hạt nhân của A được gọi là số vô hiệu của A. Dạng thức hóa như sau:

: \operatorname{N}(A)=\operatorname{Null}(A)=\operatorname{ker}(A) = \left\{ \mathbf{x}\in K^n | A\mathbf{x} = \mathbf{0} \right\}.

Phương trình ma trận trên là tương đương với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:

: A\mathbf{x}=\mathbf{0} \;\;\Leftrightarrow\;\;
\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& 0 \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& 0 \\
\vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && &&& \;\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \;\cdots\; + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& 0\text{.} \\
\end{alignat}

Vì thế hạt nhân của A là chính là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên.

Các tính chất của không gian con
Hạt nhân của một ma trận A cỡ trên một trường K là không gian con của Kn. Tức là, hạt nhân của A hay tập Null(A) có ba tính chất sau:

Null(A) luôn chứa vectơ không, vì .
Nếu và , thì . Điều này là do tính phân phối của phép nhân ma trận đối với phép cộng.
Nếu và c là một vô hướng , thì vì .

Không gian hàng của một ma trận
Tích Ax có thể được viết dưới dạng tích vô hướng của các vectơ như sau:

: A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{x} \end{bmatrix}.

Ở đây a1,..., am chỉ các hàng của ma trận A. Suy ra rằng x thuộc hạt nhân của A khi và chỉ khi x trực giao (hay vuông góc) với từng vectơ hàng của A (vì trực giao được định nghĩa là có tích vô hướng bằng 0).

Không gian hàng, hay đối ảnh của ma trận A là span của các vectơ hàng của A. Bằng lập luận như trên, hạt nhân của A là phần bù trực giao của không gian hàng. Tức là, một vectơ x thuộc hạt nhân của A, khi và chỉ khi nó vuông góc với từng vectơ trong không gian hàng của A.

Số chiều của không gian hàng của A được gọi là hạng của A, còn số chiều của hạt nhân của A được gọi là số vô hiệu của A. Các đại lượng này được liên hệ bởi định lý hạng và số vô hiệu

: \operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n.

Phép khử Gauss không hoạt động chính xác đối với dấu phẩy động, ngay cả với ma trận hạng đầy đủ và đã được điều kiện; vì nó gây ra các lỗi làm tròn quá lớn để có một kết quả có nghĩa. Bởi vì tính toán hạt nhân của ma trận là một trường hợp đặc biệt của giải hệ tuyến tính thuần nhất, ta có thể sử dụng các thuật toán thay thế được thiết kế chuyên biệt để giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất. Một phần mềm hiện đại cho mục đích này là thư viện Lapack.

Xem thêm

Hạt nhân (đại số)
Tập không
Hệ phương trình tuyến tính
Không gian hàng và cột
Tối giản hàng
Không gian vectơ
Không gian con tuyến tính
Toán tử tuyến tính
Không gian hàm

Chú thích và tham khảo

Tham khảo sách










Liên kết ngoài


Khan Academy, Introduction to the Null Space of a Matrix