Định lý Euclid–Euler

Định lý Euclid–Euler là một định lý trong lý thuyết số liên hệ số hoàn thiện với số nguyên tố Mersenne. Định lý này phát biểu rằng một số chẵn là số hoàn thiện khi và chỉ khi nó có dạng , trong đó là số nguyên tố. Nó được đặt tên theo hai nhà toán học Euclid và Leonhard Euler, là hai người đã lần lượt chứng minh được phần "khi" và "chỉ khi" của định lý.

Có giả thuyết cho rằng có vô số số nguyên tố Mersenne. Mặc dù vẫn chưa rõ giả thuyết này có chính xác hay không, nhưng theo định lý Euclid–Euler, nó tương đương với giả thuyết rằng có vô số số hoàn thiện chẵn. Tuy nhiên, cũng chưa rõ có tồn tại một số hoàn thiện lẻ hay không.

Phát biểu và ví dụ
Số hoàn thiện là một số tự nhiên có giá trị bằng tổng các ước thật sự của nó (ước thực sự của một số được định nghĩa là những số nhỏ hơn nó và chia hết nó, với số dư bằng không). Ví dụ, các ước thật sự của 6 là 1, 2 và 3, và ba số trên có tổng bằng 6, nên 6 là số hoàn thiện.

Số nguyên tố Mersenne là số nguyên tố có dạng , nhỏ hơn 1 đơn vị so với lũy thừa của 2. Để một số dạng này là số nguyên tố thì phải là số nguyên tố, nhưng không phải mọi số nguyên tố áp vào công thức trên đều cho giá trị là số nguyên tố Mersenne. Chẳng hạn, là số nguyên tố Mersenne, nhưng thì không phải.

Định lý Euclid–Euler phát biểu rằng một số tự nhiên chẵn là số hoàn thiện khi và chỉ khi nó có dạng với là số nguyên tố Mersenne.

Hơn một thiên niên kỷ sau Euclid, Alhazen khoảng năm 1000 sau Công nguyên đưa ra giả thuyết rằng mọi số hoàn thiện chẵn đều có dạng với là số nguyên tố, nhưng ông không thể chứng minh được giả thuyết đó. Phải đến thế kỷ 18, hơn 2000 năm sau Euclid, Leonhard Euler mới chứng minh được rằng công thức luôn cho giá trị là số hoàn thiện chẵn. Như vậy, tồn tại mối liên hệ một–một giữa số hoàn thiện chẵn và số nguyên tố Mersenne; mỗi số nguyên tố Mersenne cho một số hoàn thiện chẵn tương ứng, và ngược lại. Từ sau chứng minh của Euler, nhiều nhà toán học đã xuất bản các cách chứng minh khác cho định lý Euclid–Euler như Victor-Amédée Lebesgue, Robert Daniel Carmichael, Leonard Eugene Dickson, John Knopfmacher và Wayne L. McDaniel. Đặc biệt, chứng minh của Dickson đã được nhắc đến phổ biến trong sách giáo khoa.

Định lý này nằm trong danh sách web "top 100 định lý toán học", có từ năm 1999, mà về sau được Freek Wiedijk sử dụng làm kiểm chuẩn để kiểm tra độ mạnh của các trình hỗ trợ chứng minh định lý khác nhau. Tính đến năm 2021, phần chứng minh của định lý Euclid–Euler đã được định hình tại 5 trên 10 trình hỗ trợ mà Wiedijk theo dõi.

Chứng minh
Chứng minh của Euler là một chứng minh ngắn

Điều kiện cần
Ngược lại, giả sử tồn tại một số hoàn thiện chẵn được phân tích một phần dưới dạng , với là số lẻ. Để là số hoàn thiện thì tổng các ước của nó phải bằng hai lần số đó:{{NumBlk|:|2^{k+1}x = \sigma(2^k x) = (2^{k+1} - 1)\sigma(x).|∗}}Thừa số lẻ ở vế phải của (∗) có giá trị nhỏ nhất là 3, và nó phải là ước của , thừa số lẻ duy nhất ở vế trái, nên là một ước thật sự của . Chia cả hai vế của (∗) cho thừa số chung và xem xét các ước số và đã biết của , ta được

{{Block indent|2^{k+1}y = \sigma(x) = x + y + {}các ước số khác{} = 2^{k+1}y + {}các ước số khác.|left=1.6}}

Để đẳng thức trên đúng thì không thể tồn tại một ước số nào khác. Do đó, phải bằng , và phải là một số nguyên tố dạng .

Tham khảo