Hình chỏm cầu

Trong hình học không gian, hình chỏm cầu, hình vòm cầu, hay hình đới cầu có một đáy là một phần của hình cầu bị chia bởi một mặt phẳng. Nếu mặt phẳng đi qua tâm của hình cầu, lúc này chiều cao của chỏm cầu bằng bán kính của hình cầu, và hình chỏm cầu thu về một bán cầu.

Thể tích và diện tích bề mặt

Nếu bán kính của đáy chỏm cầu bằng a, và chiều cao bằng h, thì thể tích của hình chỏm cầu bằng

:V = \frac{\pi h}{6} (3a^2 + h^2)

và diện tích phần mặt cong (hay vòm) của chỏm cầu bằng

: V = V^{(1)}-V^{(2)},

với

:V^{(1)} = \frac{4\pi}{3}r_1^3 +\frac{4\pi}{3}r_2^3

là tổng thể tích của hai hình cầu riêng rẽ, và

:V^{(2)} = \frac{\pi h_1^2}{3}(3r_1-h_1)+\frac{\pi h_2^2}{3}(3r_2-h_2)

là tổng thể tích của hai chỏm cầu hình thành bởi đoạn giao giữa hai hình cầu. Nếu d là khoảng cách giữa hai tâm hình cầu, bằng cách loại bỏ các biến h_1 và h_2 thu được

:V^{(2)} = \frac{\pi}{12d}(r_1+r_2-d)^2 \left(d^2+2d(r_1+r_2)-3(r_1-r_2)^2 \right)&nbsp;.

Diện tích đường tròn bị chặn bởi các đường tròn vĩ độ

Diện tích của bề mặt bị chặn bởi hai đường tròn vĩ độ (hay mặt đới cầu) bằng hiệu số diện tích của hai chỏm cầu tương ứng với hai đường tròn này. Với hình cầu bán kính r, và cho trước các vĩ độ \phi_1 và \phi_2, diện tích của mặt đới cầu bằng

:A=2 \pi r^2 |\sin \phi_1 - \sin \phi_2|

Ví dụ, giả sử Trái Đất là một hình cầu có bán kính 6371&nbsp;km, diện tích bề mặt của bắc cực (phía bắc của vòng Bắc Cực, tại vĩ độ 66,56&deg; thời điểm tháng 8 năm 2016) là 2&middot;6371&sup2;|sin 90&deg; &minus; sin 66.56&deg;| = 21,04 triệu km&sup2;, hay 0.5&middot;|sin 90&deg; &minus; sin 66.56&deg;| = 4,125% tổng diện tích bề mặt của Trái Đất.

Tổng quát hóa

Tạo thành từ những hình khối khác
Vòm phỏng cầu (spheroidal dome) thu được bằng cách chia một hình phỏng cầu sao cho hình vòm thu được có tính chất đối xứng tròn (circular symmetry) (hay nó có một trục tròn xoay), ví dụ như hình vòm elipsoid nhận được từ ellipsoid.

Siêu chỏm cầu

Tổng quát hơn, thể tích n-chiều của một siêu chỏm cầu với chiều cao h và bán kính r trong không gian Euclid n-chiều cho bởi
:V = \frac{\pi ^ {\frac{n-1}{2}}\, r^{n}}{\,\Gamma \left (\frac{n+1}{2} \right)} \int\limits_{0}^{\arccos\left(\frac{r-h}{r}\right)}\sin^n (t) \,\mathrm{d}t
với hàm gamma \Gamma cho bởi \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t .

Công thức biểu diễn cho V có thể viết dưới dạng thể tích của khối cầu n chiều đơn vị C_{n}={\scriptstyle \pi^{n/2}/\Gamma[1+\frac{n}{2}]} và hàm siêu hình học (hypergeometric function) {}_{2}F_{1} hoặc hàm beta chính quy hóa không đầy đủ (regularized incomplete beta function) I_x(a,b) như sau
:V = C_{n} \, r^{n} \left(\frac{1}{2}\, - \,\frac{r-h}{r} \,\frac{\Gamma[1+\frac{n}{2}]}{\sqrt{\pi}\,\Gamma[\frac{n+1}{2}]}
{\,\,}_{2}F_{1}\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1-n}{2};\tfrac{3}{2};\left(\tfrac{r-h}{r}\right)^{2}\right)\right)
=\frac{1}{2}C_{n} \, r^n I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n+1}{2}, \frac{1}{2} \right),

và công thức diện thích A có thể biểu diễn theo số hạng của diện tích khối cầu n chiều đơn vị A_{n}={\scriptstyle 2\pi^{n/2}/\Gamma[\frac{n}{2}]} như
:A =\frac{1}{2}A_{n} \, r^{n-1} I_{(2rh-h^2)/r^2} \left(\frac{n-1}{2}, \frac{1}{2} \right),
với \scriptstyle 0\le h\le r .

Trước đó trong (1986, USSR Academ. Press) công thức sau đã được suy ra:
A=A_n p_ { n-2 } (q), V=C_n p_n (q) , với
q= 1-h/r (0 \le q \le 1), p_n (q) =(1-G_n(q)/G_n(1))/2 ,

G _n(q)= \int \limits_{0}^{q} (1-t^2) ^ { (n-1) /2 } dt .

Trường hợp số lẻ n=2k+1:

G_n(q) = \sum_{i=0}^k (-1) ^i \binom k i \frac {q^{2i+1}} {2i+1} .

Tiệm cận

Như được chứng minh trong bài báo rằng, nếu n \to \infty và q\sqrt n = \text{const.}, thì p_n (q) \to 1- F({q \sqrt n}) với F() là tích phân của phân phối chuẩn.

Một cách tính định lượng hơn của biểu diễn trên, như nêu trong với giá trị chặn
A/A_n = n^{\Theta(1)} \cdot [(2-h/r)h/r]^{n/2}
được dẫn ra.
Đối với chỏm cầu rất lớn (nghĩa là khi (1-h/r)^4\cdot n = O(1) khi n\to \infty), giá trị chặn thu gọn thành n^{\Theta(1)} \cdot e^{-(1-h/r)^2n/2} .

Xem thêm

Hình viên phân (circular segment) — tương tự trong 2 chiều
Góc khối
Hình đới cầu (spherical segment)
Hình quạt cầu (spherical sector)
Hình chêm cầu (spherical wedge)
Hình vòng đai cầu trụ (hình giới hạn bởi hình cầu và hình trụ), (spherical ring)

Thảm khảo

Thư mục








Liên kết ngoài

Derivation and some additional formulas.
Online calculator for spherical cap volume and area .
Summary of spherical formulas.