Phương trình

Phương trình là một biểu thức toán học có chứa các biến số và phép toán, trong đó người ta tìm các giá trị của biến để đẳng thức trở thành đúng. Phương trình thường có dấu bằng (=), biểu thị sự bằng nhau giữa hai biểu thức. Mục tiêu của việc giải phương trình là xác định các giá trị của biến (còn gọi là ẩn số) sao cho phương trình có nghiệm. Phương trình được ứng dụng rộng rãi trong toán học, khoa học, kỹ thuật và kinh tế.

của Robert Recorde (1557).]]

Trong các ngôn ngữ khác nhau, khái niệm “phương trình” có thể mang nghĩa khác nhau. Ví dụ, trong tiếng Pháp, équation chỉ đẳng thức có chứa một hoặc nhiều biến; trong tiếng Anh, equation có thể chỉ bất kỳ đẳng thức nào.

Có hai loại phương trình cơ bản:
Đồng nhất thức: đúng với mọi giá trị của biến.
Phương trình có điều kiện: chỉ đúng với một số giá trị nhất định của biến, hoặc có thể vô nghiệm.

Một phương trình được viết dưới dạng hai biểu thức nối với nhau bằng dấu bằng. Biểu thức bên trái gọi là “vế trái”, còn biểu thức bên phải gọi là “vế phải”.

Các loại phương trình
Phương trình đại số: hai vế là các biểu thức đại số. Ví dụ: Ax^2 + Bx + C = y, trong đó , là ẩn số, còn A, B, C là tham số.
Phương trình tuyến tính: dạng ax + b = 0, với và là tham số.
Phương trình đa thức: dạng P(x) = 0, trong đó P(x) là một đa thức.
Phương trình Diophantos: hệ số và nghiệm là các số nguyên, thuộc lĩnh vực lý thuyết số.
Phương trình vi phân: liên quan đến một hoặc nhiều hàm số và đạo hàm của chúng, được dùng để mô hình hóa các quá trình biến thiên trong vật lý, hóa học, sinh học và kinh tế.
Phương trình vi phân từng phần: dạng đặc biệt của phương trình vi phân, trong đó hàm phụ thuộc nhiều biến độc lập.

Trong hình học, phương trình được dùng để mô tả các hình dạng. Các phương trình ẩn hoặc phương trình tham số có vô số nghiệm, qua đó người ta nghiên cứu tính chất của hình thay vì liệt kê nghiệm. Đây là cơ sở của hình học đại số.

Lịch sử
Ký hiệu "=" được phát minh năm 1557 bởi Robert Recorde, người cho rằng không có gì “bằng nhau” hơn hai đường thẳng song song có cùng độ dài. Ví dụ,

\begin{cases}
\begin{align}
x&=\cos t\\
y&=\sin t
\end{align}
\end{cases}

Là phương trình tham số của đường tròn đơn vị, trong đó t là tham số. Cùng với nhau, những phương trình này được gọi là biểu diễn tham số của đường cong.

Khái niệm về phương trình tham số đã được tổng quát hóa cho các bề mặt, đa tạp và các dạng đại số có số chiều cao hơn, với số lượng tham số bằng thứ nguyên của đa tạp hoặc đa dạng, và số phương trình bằng thứ nguyên của không gian trong đó đa tạp hoặc đa dạng được xem xét (đối với đường cong, kích thước là một và một tham số được sử dụng, đối với bề mặt có kích thước hai và hai tham số, v.v...).

Lý thuyết số

Phương trình Diophantos
Phương trình Diophantos là một phương trình đa thức trong hai hay nhiều ẩn số mà chỉ cần quan tâm đến các nghiệm là các số nguyên (một nghiệm số nguyên là một nghiệm mà tất cả các ẩn số là các số nguyên). Phương trình Diophantos tuyến tính là một phương trình giữa hai tổng đơn thức bậc không hoặc bậc nhất. Một ví dụ về phương trình Diophantos tuyến tính là c}}, trong đó a, b và c là các hằng số. Phương trình Diophantine hàm mũ là một phương trình mà số mũ của các số hạng của phương trình có thể là ẩn số.

Các bài toán Diophantos có ít phương trình hơn các biến chưa biết và liên quan đến việc tìm số nguyên cho kết quả chính xác cho tất cả các phương trình. Trong ngôn ngữ kỹ thuật hơn, các nghiệm này xác định một đường cong đại số, bề mặt đại số hoặc đối tượng tổng quát hơn, và hỏi về các điểm lưới trên đó.

Từ Đi-ô-phăng dùng để chỉ nhà toán học Hy Lạp ở thế kỷ thứ III, Diophantus ở Alexandria, người đã nghiên cứu các phương trình như vậy và là một trong những nhà toán học đầu tiên đưa chủ nghĩa ký hiệu vào đại số. Nghiên cứu toán học về các vấn đề Đi-ô-phăng mà Đi-ô-phăng khởi xướng hiện nay được gọi là giải tích Diophanos.

Số đại số và số siêu việt
Số đại số là một số mà là nghiệm của một phương trình đa thức khác 0 một biến với các hệ số hữu tỉ (hoặc tương đương - bằng cách xóa các mẫu số - với các hệ số nguyên). Các số như pi(\pi) hay e không phải là đại số mà được gọi là số siêu việt. Hầu hết tất cả các số thực và số phức đều là các số siêu việt.

Hình học đại số
Hình học đại số là một nhánh của toán học, nghiên cứu một cách cổ điển các nghiệm của phương trình đa thức. Hình học đại số hiện đại dựa trên các kỹ thuật trừu tượng hơn của đại số trừu tượng, đặc biệt là đại số giao hoán, với ngôn ngữ và các vấn đề của hình học.

Đối tượng nghiên cứu cơ bản của hình học đại số là các dạng đại số, là các biểu hiện hình học của các nghiệm của hệ phương trình đa thức. Ví dụ về các lớp đa dạng đại số được nghiên cứu nhiều nhất là: đường cong đại số phẳng, bao gồm đường thẳng, đường tròn, parabol, hình elip, hypebol, đường cong hình khối như đường cong elliptic và đường cong tứ phương như hình chanh, và hình bầu dục Cassini. Một điểm của mặt phẳng thuộc một đường cong đại số nếu tọa độ của nó thỏa mãn một phương trình đa thức đã cho. Các câu hỏi cơ bản liên quan đến việc nghiên cứu các điểm quan tâm đặc biệt như điểm kỳ dị, điểm uốn và điểm ở vô cùng. Các câu hỏi nâng cao hơn liên quan đến cấu trúc liên kết của đường cong và quan hệ giữa các đường cong được cho bởi các phương trình khác nhau.

Phương trình vi phân
, phát sinh khi giải một phương trình vi phân nhất định]]
Phương trình vi phân là một phương trình toán học liên hệ một số hàm với các đạo hàm của nó. Trong các ứng dụng, các hàm thường đại diện cho các đại lượng vật lý, các đạo hàm đại diện cho tốc độ thay đổi của chúng và phương trình xác định mối quan hệ giữa hai hàm. Bởi vì các mối quan hệ như vậy là rất phổ biến, phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong nhiều ngành bao gồm vật lý, kỹ thuật, kinh tế,sinh học và y học

Trong toán học thuần túy, phương trình vi phân được nghiên cứu từ nhiều khía cạnh khác nhau, chủ yếu quan tâm đến nghiệm của chúng - tập các hàm thỏa mãn phương trình. Chỉ những phương trình vi phân đơn giản nhất mới có thể giải được bằng công thức tường minh; tuy nhiên, một số tính chất của nghiệm của một phương trình vi phân đã cho có thể được xác định mà không cần tìm dạng chính xác của chúng.

Nếu không có công thức riêng cho giải pháp, thì lời giải có thể được tính gần đúng về mặt số học bằng máy tính. Lý thuyết hệ động lực tập trung vào phân tích định tính các hệ được mô tả bằng phương trình vi phân, trong khi nhiều phương pháp số đã được phát triển để xác định các nghiệm với một mức độ chính xác nhất định.

Phương trình vi phân thường
Một phương trình vi phân thông thường hoặc ODE là một phương trình chứa một hàm của một biến độc lập và các đạo hàm của nó. Thuật ngữ " thông thường " được sử dụng trái ngược với thuật ngữ phương trình vi phân riêng phần, có thể liên quan đến nhiều hơn một biến độc lập.

Phương trình vi phân tuyến tính, có các nghiệm có thể được thêm và nhân với hệ số, được xác định và hiểu rõ, đồng thời thu được các nghiệm dạng đóng chính xác. Ngược lại, các ODE thiếu các giải pháp cộng là phi tuyến tính và việc giải chúng phức tạp hơn nhiều, vì người ta hiếm khi có thể biểu diễn chúng bằng các hàm cơ bản ở dạng đóng: Thay vào đó, các giải pháp chính xác và giải tích của ODE ở dạng chuỗi hoặc tích phân. Các phương pháp đồ thị và số, được áp dụng bằng tay hoặc bằng máy tính, có thể ước tính các giải pháp của ODE và có thể mang lại thông tin hữu ích, thường chỉ đủ trong trường hợp không có các nghiệm số tích phân chính xác.

Phương trình vi phân riêng phần
Phương trình đạo hàm riêng hoặc PDE là một phương trình vi phân có chứa các hàm nhiều biến chưa biết và các đạo hàm riêng của chúng. (Điều này trái ngược với các phương trình vi phân thông thường, xử lý các hàm của một biến duy nhất và các đạo hàm của chúng). PDE được sử dụng để xây dựng các vấn đề liên quan đến các hàm của một số biến và được giải quyết bằng tay hoặc được sử dụng để tạo ra một mô hình máy tính có liên quan.

PDE có thể được sử dụng để mô tả một loạt các hiện tượng như âm thanh, nhiệt, tĩnh điện, điện động lực học, dòng chất lỏng, độ đàn hồi, hoặc cơ học lượng tử. Các hiện tượng vật lý có vẻ khác biệt này có thể được hình thức hóa tương tự về mặt PDE. Cũng giống như phương trình vi phân thông thường thường mô hình hệ động lực một chiều, phương trình đạo hàm riêng thường mô hình hệ thống nhiều chiều. PDE tìm thấy tổng quát của chúng trong các phương trình vi phân riêng ngẫu nhiên.

Các loại phương trình
Các phương trình có thể được phân loại theo các loại hoạt động và số lượng liên quan. Các loại quan trọng bao gồm:

Phương trình đại số hay đa thức phương trình là một phương trình mà trong đó cả hai bên đều đa thức . Đây là những phân loại tiếp theo theo bậc:
Phương trình tuyến tính hay phương trình bậc một
Phương trình bậc hai
Phương trình bậc ba
Phương trình bậc bốn
Phương trình bậc từ 5 trở lên
Phương trình Diophantos là một phương trình mà ẩn số bắt buộc phải là số nguyên.
Phương trình siêu nghiệm là một phương trình liên quan đến một hàm siêu việt của những cái chưa biết của nó.
Phương trình tham số là một phương trình mà các giải pháp được tìm kiếm như các hàm của một số biến khác, được gọi là các tham số xuất hiện trong các phương trình.
Phương trình lượng giác là một phương trình chứa các hàm số lượng giác.
Phương trình hàm là một phương trình trong đó các ẩn số là các hàm số chứ không phải là các số đơn giản.
Phương trình vi phân là một phương trình hàm biểu diễn mối quan hệ giữa các hàm số chưa biết và đạo hàm của nó.
Phương trình tích phân là một phương trình hàm biểu diễn mối quan hệ giữa các hàm số chưa biết và nguyên hàm của nó.
Phương trình vi phân phân cực là một phương trình hàm biểu diễn mối quan hệ giữa cả đạo hàm và nguyên hàm của các hàm số chưa biết.

Xem thêm
Phương trình Pythagoras
Bất phương trình
Phương trình đại số
Phương trình tuyến tính
Phương trình vi phân
Phương trình tích phân

Ghi chú

Tham khảo