Số tự mãn

Trong lý thuyết số, số tự mãn (cũng biết với tên số tuyệt hảo bất biến (Perfect and PluPerfect Digital Invariants - PPDI), là một số mà có tổng của từng chữ số mũ n (n >= 2) bằng chính nó. Định nghĩa này dựa vào hệ số b của nó, ví dụ: b = 10 cho Hệ thập phân hoặc b = 2 cho Hệ nhị phân.

Định nghĩa
Định nghĩa của số tự mãn dựa vào hệ thập phân n&nbsp;=&nbsp;d'k'd'k-1...d1 của một số tự nhiên n
:n&nbsp;=&nbsp;d'k·10k-1&nbsp;+&nbsp;d'k-1·10k-2&nbsp;+&nbsp;...&nbsp;+&nbsp;d2·10&nbsp;+&nbsp;d1,
với k của chữ số d'i thỏa 0&nbsp;≤&nbsp;d'i&nbsp;≤&nbsp;9. Một số n được gọi là số tự mãn khi thỏa điều kiện
:n&nbsp;=&nbsp;d'k'k&nbsp;+&nbsp;d'k-1k&nbsp;+&nbsp;...&nbsp;+&nbsp;d2k&nbsp;+&nbsp;d1k.
Ví dụ: chữ số thập phân 3 chữ số là 153 là số tự mãn vì 153&nbsp;=&nbsp;13&nbsp;+&nbsp;53&nbsp;+&nbsp;33.

Số tự mãn cũng có thể được định nghĩa dựa vào hệ số b của số tự nhiên thay vì b = 10. Hệ số b thể hiện số tự nhiên n được định nghĩa
:n&nbsp;=&nbsp;d'k'b'k-1&nbsp;+&nbsp;d'k-1b'k-2&nbsp;+&nbsp;...&nbsp;+&nbsp;d2b&nbsp;+&nbsp;d1,
với hệ số b của chữ số d'i thỏa điều kiện 0&nbsp;≤&nbsp;di&nbsp;≤&nbsp;b-1.
Ví dụ: số 17 (thập phân) là số tự mãn cho hệ số b&nbsp;=&nbsp;3. Hệ tam phân của nó là 122, vì 17&nbsp;=&nbsp;1·32&nbsp;+&nbsp;2·3&nbsp;+&nbsp;2&nbsp;, và nó thỏa 17&nbsp;=&nbsp;13&nbsp;+&nbsp;23&nbsp;+&nbsp;23.

Nếu ràng buộc số mũ phải bằng số lượng chữ số, trường hợp có thể xảy ra một số m khác với k
:n&nbsp;=&nbsp;d'k'm&nbsp;+&nbsp;d'k-1m&nbsp;+&nbsp;...&nbsp;+&nbsp;d2m&nbsp;+&nbsp;d1m,
thì n được gọi là số tuyệt hảo bất biến hoặc PDI. Ví dụ, số thập phân 4150 có bốn chữ số thập phân và là tổng của mũ năm của các chữ số thập phân
:4150&nbsp;=&nbsp;45&nbsp;+&nbsp;15&nbsp;+&nbsp;55&nbsp;+&nbsp;05,
nên nó là số tuyệt hảo bất biến không phải là số tự mãn.

Trong "A Mathematician's Apology", G. H. Hardy viết:

:Chỉ có, sau khi thống nhất, là tổng bậc ba của mỗi chữ số của nó:
::153=1^3+5^3+3^3
::370=3^3+7^3+0^3
:: 371=3^3+7^3+1^3
::407=4^3+0^3+7^3.
:These are odd facts, very suitable for puzzle columns and likely to amuse amateurs, but there is nothing in them which appeals to the mathematician.

Số tự mãn ở một số hệ số
Trình tự của số tự mãn "hệ 10" bắt đầu:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474...

Trình tự của số tự mãn "hệ 12" bắt đầu:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, 25, A5, 577, 668, A83

Trình tự của số tự mãn "hệ 3" bắt đầu:
0, 1, 2, 12, 22, 122

Trình tự của số tự mãn "hệ 4" bắt đầu:
0, 1, 2, 3, 130, 131, 203, 223, 313

Số lượng số tự mãn trong một hệ số là có hạn, số tối đa có thể của mũ thứ k của k chữ số trong hệ số b là

:k(b-1)^k\,,

và nếu k đủ lớn thì

:k(b-1)^k

trong trường hợp không có số tự mãn hệ số b có thể có k chữ số hoặc nhiều hơn. Thiết lập b bằng 10 thể hiện thấy số tự mãn lớn nhất trong hệ số 10 phải nhỏ hơn 1060.

Chỉ có 88 số tự mãn ở hệ số 10, với những số lớn nhất là

:115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401

với 39 chữ số.

Không giống số tự mãn, không có giới hạn lớn nhất có thể xác định cho kích thước của số tuyệt hảo bất biến trong một hệ số và không có cách biết được số tuyệt hảo bất biến cho một hệ số bất kì có hạn hay vô hạn.

Khái niệm liên quan

Ghi chú

Tham khảo

, Mathematics on Vacation, Thomas Nelson & Sons Ltd. 1966, pages 163-175.
Rose, Colin (2005), Radical narcissistic numbers, Journal of Recreational Mathematics, 33(4), 2004-2005, pages 250-254.
Perfect Digital Invariants by Walter Schneider
On a curious property of 3435 by Daan van Berkel

Liên kết ngoài
Digital Invariants
Armstrong Numbers
Armstrong numbers between 1-999 calculator