Chứng minh e là số vô tỉ

là số vô tỉ}}
Số được Jacob Bernoulli giới thiệu lần đầu vào năm 1683. Hơn nửa thế kỷ sau, Leonhard Euler, người từng là học trò của Johann Bernoulli (em trai Jacob), đã chứng minh rằng là số vô tỉ, nghĩa là nó không thể được biểu thị dưới dạng thương số của hai số nguyên.

Chứng minh của Euler
Euler đã chấp bút lập luận chứng minh là số vô tỉ lần đầu tiên vào năm 1737 (nhưng phải đến bảy năm sau thì toàn văn của chứng minh mới được xuất bản). Ông đã xác định được biểu diễn của dưới dạng liên phân số là

:e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, \ldots, 2n, 1, 1, \ldots].

Liên phân số này là vô hạn và mọi số hữu tỉ đều có biểu diễn liên phân số hữu hạn nên là số vô tỉ. Đẳng thức ở trên có một cách chứng minh ngắn gọn hơn. Vì liên phân số của không có tính tuần hoàn nên kết quả trên cũng dẫn đến không phải là nghiệm của một đa thức bậc hai với hệ số hữu tỉ; đặc biệt, là số vô tỉ.

Chứng minh của Fourier
Cách chứng minh được biết đến nhiều nhất là chứng minh phản chứng của Joseph Fourier, được xây dựng dựa trên đẳng thức

: e = \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!}.

Ban đầu được giả sử là một số hữu tỉ có dạng }}. Ý tưởng trong chứng minh này là phân tích hiệu số (sau đây ký hiệu là ) giữa biểu diễn của dưới dạng chuỗi và tổng từng phần thứ của chuỗi đó. Khi chọn hệ số nhân là giai thừa của thì cả phân số }} và tổng từng phần thứ đều trở thành số nguyên, vì vậy phải là một số nguyên dương. Tuy nhiên, tính chất hội tụ nhanh của khai triển chuỗi dẫn đến nhỏ hơn 1. Từ mâu thuẫn này ta suy ra là số vô tỉ.

Dưới đây chúng ta đi vào chi tiết. Giả sử là số hữu tỉ, khi đó tồn tại hai số nguyên dương và sao cho }}. Đặt

: x = b!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right).

Thay }} vào biểu thức bên trên ta được

: x = b!\left (\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right) = a(b - 1)! - \sum_{n = 0}^{b} \frac{b!}{n!}.

Số hạng đầu tiên là số nguyên và mọi phân số trong tổng thực chất cũng là số nguyên vì ta luôn có . Do đó là số nguyên.

Bây giờ ta chứng minh . Thay khai triển chuỗi của vào biểu thức định nghĩa , ta có

: x = b!\left(\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right) = \sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!}>0,

vì tất cả các số hạng đều dương.

Với mọi số hạng thỏa mãn ta có xấp xỉ cận trên

: \frac{b!}{n!} =\frac1{(b + 1)(b + 2) \cdots \big(b + (n - b)\big)} \le \frac1{(b + 1)^{n-b}}.

Bất đẳng thức này là nghiêm ngặt với mọi . Thay chỉ số lấy tổng thành n – b}} và áp dụng công thức cho chuỗi hình học vô hạn, ta có

:x =\sum_{n = b + 1}^\infty \frac{b!}{n!}

Do đó .

Vì không có số nguyên nào nằm giữa 0 và 1 nên giả thiết phản chứng là sai. Vậy là số vô tỉ.

Chứng minh khác
Một cách chứng minh khác có thể được suy ra từ chứng minh ở trên từ việc nhận thấy

: (b + 1)x =
1 + \frac1{b + 2} + \frac1{(b + 2)(b + 3)} + \cdots

suy ra . Bất đẳng thức này rõ ràng không thể xảy ra do và là số nguyên dương.

Một cách chứng minh khác nữa đến từ đẳng thức

: \frac{1}{e} = e^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}.

Đặt

: s_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^{k}}{k!}.

Khi đó

: e^{-1} - s_{2n-1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{k!} - \sum_{k=0}^{2n-1} \frac{(-1)^{k}}{k!}

suy ra

: 0

với mọi số nguyên dương .

Nhận thấy (2n - 1)!s_{2n-1} luôn là số nguyên. Giả sử e^{-1} là số hữu tỉ, tức e^{-1} = p/q với
p, q nguyên tố cùng nhau và q \neq 0. Ta có thể chọn n sao cho (2n - 1)!e^{-1} là số nguyên, hay n \geq (q + 1)/2, dẫn đến hiệu số giữa (2n - 1)!e^{-1} và (2n - 1)!s_{2n-1} là một số nguyên. Tuy nhiên điều này không thể xảy ra do mâu thuẫn với bất đẳng thức ở trên. Vậy e^{-1} là số vô tỉ, dẫn đến e là số vô tỉ.

Khái quát hóa
Năm 1840, Liouville đã lần lượt xuất bản hai chứng minh rằng là số vô tỉ và không phải là nghiệm của một đa thức bậc hai với hệ số hữu tỉ (dẫn đến là số vô tỉ). Hai chứng minh của ông gần giống với chứng minh của Fourier về tính vô tỉ của số . Đến năm 1891, Hurwitz giải thích rằng có thể chứng minh không phải là nghiệm của một đa thức bậc ba với hệ số hữu tỉ (hay là số vô tỉ) bằng ý tưởng tương tự. Tổng quát hơn, là số vô tỉ với là số hữu tỉ khác 0 bất kỳ.

Charles Hermite vào năm 1873 đã chứng minh và mọi số với là số đại số khác 0 đều là số siêu việt, có nghĩa là chúng không phải là nghiệm của bất kỳ đa thức nào với hệ số hữu tỉ.

Xem thêm
Định nghĩa đặc trưng của hàm mũ
Số siêu việt, bao gồm phần chứng minh là số siêu việt
Định lý Lindemann–Weierstrass
Chứng minh là số vô tỉ

Tham khảo