Hàm ngược

Trong toán học, hàm ngược của hàm (hay còn gọi là nghịch đảo của ) là hàm hoàn tác lại tính toán của hàm . Nghịch đảo chỉ tồn tại khi và chỉ khi là song ánh, và nếu nó tồn tại thì nghịch đảo đó được ký hiệu là f^{-1} .

Cho hàm f\colon X\to Y, nghịch đảo f^{-1}\colon Y\to X được mô tả như sau: hàm gửi mỗi phần tử y\in Y sang duy nhất một phần tử x\in X sao cho .

Lấy ví dụ, xét hàm thực trả về giá trị thực sau: . Ta có thể hiểu là hàm số nhân giá trị đầu vào với 3 rồi trừ đi 4 khỏi kết quả. Để lấy về giá trị gốc từ kết quả, ta làm ngược lại bằng cách thêm 4 vào đầu vào rồi chia kết quả cho 3. Khi đó nghịch đảo của là hàm f^{-1}\colon \R\to\R được định nghĩa bởi: f^{-1}(y) = \frac{y+4}{3} .

Định nghĩa

Gọi là hàm số mà miền của nó là tập , và đối miền của nó là tập . Khi đó, được gọi là khả nghịch nếu tồn tại hàm từ sang sao cho g(f(x))=x với mọi x\in X và f(g(y))=y với mọi y\in Y.

Nếu khả nghịch, thì chỉ có duy nhất một hàm thoả mãn tính chất. Hàm được gọi là nghịch đảo (hay hàm ngược) của , và thường được ký hiệu là , ký hiệu này được giới thiệu bởi John Frederick William Herschel trong 1813.

Thật vậy, để giữ và dùng chung ký hiệu này, một số tác giả người Anh đã viết các biểu thức như để ký hiệu hàm ngược của hàm sin cho (thực ra là nghịch đảo riêng phần; xem dưới).Song, nhiều tác giả khác nhận thấy các biểu thức này dễ nhầm lẫn với nghịch đảo phép nhân của , mặc dù có thể ký hiệu là . Hàm ngược này được gọi là căn bậc hai (dương) và được ký hiệu là x\mapsto\sqrt x.

Một số hàm ngược khác
Bảng sau cho một số ví dụ về hàm ngược của một số hàm số:
}
|
|-
| align="center" | }} (tức là )
| align="center" | }} (tức là )
|
|-
| align="center" |
| align="center" | \sqrt y (tức là )
| Chỉ khi
|-
| align="center" |
| align="center" | \sqrt[3]y (i.e. )
|
|-
| align="center" |
| align="center" | \sqrt[p]y (i.e. )
| nếu là số chẵn; số nguyên
|-
| align="center" |
| align="center" |
|
|-
| align="center" |
| align="center" |
|
|-
| align="center" |
| align="center" |
|
|-
| align="center" |
| align="center" |
| và
|-
| align="center" |
| align="center" |
| và
|-
| align="center" | Các hàm lượng giác
| align="center" | Các hàm lượng giác ngược
| một số giới hạn (xem bảng dưới)
|-
| align="center" | Các hàm hyperbol
| align="center" | Các hàm hyperbol ngược
| một số giới hạn
|}

Công thức hàm ngược
Nhiều hàm số đưa bởi công thức đại số có công thức cho hàm ngược của nó. Lý do là bởi f^{-1} của hàm khả nghịch f\colon\R\to\R có mô tả sau

: f^{-1}(y)=(\text{phần tử duy nhất }x\in \R\text{ sao cho }f(x)=y).

Điều này giúp cho ta có thể xác định nhiều công thức khả nghịch. Lấy ví dụ, nếu là hàm

: f(x) = (2x + 8)^3

thì để tìm f^{-1}(y) cho số thực , ta cần tìm duy nhất một giá trị sao cho . Hay nói cách khác, ta cần giải phương trình sau:

: \begin{align}
y & = (2x+8)^3 \\
\sqrt[3]{y} & = 2x + 8 \\
\sqrt[3]{y} - 8 & = 2x \\
\dfrac{\sqrt[3]{y} - 8}{2} & = x .
\end{align}

Do đó, hàm ngược có công thức sau

: f^{-1}(y) = \frac{\sqrt[3]{y} - 8} 2.

Đôi khi, hàm ngược có thể sẽ không có công thức dạng đóng. Lấy ví dụ, nếu là hàm số

: f(x) = x - \sin x ,

thì là song ánh và do đó có hàm ngược . Công thức cho hàm số này được biểu diễn như sau:

: f^{-1}(y) =
\sum_{n=1}^\infty
\frac{y^{n/3}}{n!} \lim_{ \theta \to 0} \left(
\frac{\mathrm{d}^{\,n-1}}{\mathrm{d} \theta^{\,n-1}} \left(
\frac \theta { \sqrt[3]{ \theta - \sin( \theta )} } \right)^n
\right).

Các tính chất
Bởi hàm số là một dạng đặc biệt của quan hệ hai ngôi, nhiều tính chất của hàm ngược có liên hệ với quan hệ ngược.

Tính duy nhất
Nếu tồn tại hàm ngược với hàm , thì hàm đó là duy nhất.

Tính đối xứng
Có đối xứng giữa hàm và nghịch đảo của nó là hàm khả nghịch với miền và đối miền , thì nghịch đảo của nó có miền và ảnh , và nghịch đảo của là hàm gốc . Viết bằng ký hiệu cho hàm và như sau,
:\left(f^{-1}\right)^{-1} = f.

Nghịch đảo của hợp hàm là
:(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}.
Để ý rằng thứ tự của và được đổi cho nhau; để lấy ngược lại sau bởi , trước hết ta phải tính nghịch đảo , rồi mới đến .

Lấy ví dụ, gọi và . Khi đó hợp là hàm số đầu tiên nhân với ba rồi thêm năm,

: (g \circ f)(x) = 3x + 5.

Để đảo ngược quá trình, ta cần phải trừ 5 trước rồi mới chia 3,

: (g \circ f)^{-1}(x) = \tfrac13(x - 5).

Hàm tự nghịch đảo
Nếu là tập hợp, thì hàm đồng nhất trên là chính nghịch đảo của hàm đó:

: {\operatorname{id}_X}^{-1} = \operatorname{id}_X.

Tổng quá hơn, hàm bằng với nghịch đảo của nó, khi và chỉ khi hợp hàm i bằng với . Các hàm như thế được gọi là phép chập.

Đồ thị của hàm ngược

Nếu khả nghịch, đồ thị của hàm ngược của hàm

: y = f^{-1}(x)

tương tự với đồ thị của hàm

: x = f(y) .

Hàm này tương tự với hàm định nghĩa đồ thị của , chỉ có điều vai trò của đã bị đổi cho nhau been. Do đó, đồ thị của có thể thu được đồ thị của bằng cách đổi chỗ trục và trục . Điều này tương đương với phản xạ đồ thị qua đường
.

Nghịch đảo và đạo hàm
Định lý hàm ngược phát biểu rằng hàm liên tục khả nghịch trên miền giá trị (ảnh) khi và chỉ khi nó đơn điệu (tức là không có cực trị. Lấy ví dụ, hàm

: f(x) = x^3 + x

khả nghịch, vì đạo hàm
luôn dương.

Nếu hàm khả vi trên khoảng và với mỗi , thì nghịch đảo khả vi trên . Nếu , đạo hàm của hàm ngược được đưa bởi định lý hàm ngược,

: \left(f^{-1}\right)^\prime (y) = \frac{1}{f'\left(x \right)}.

Sử dụng ký hiệu Leibniz, công thức trên viết lại thành:

: \frac{dx}{dy} = \frac{1}{dy / dx}.

Kết quả này cũng có thể lấy được từ quy tắc hàm hợp.

Định lý hàm ngược có thể tổng quát hoá cho các hàm nhiều biến. Chính xác hơn, các hàm nhiều biến khả nghịch trong lân cận của điểm khi ma trận Jacobi của tại là ma trận khả nghịch. Trong trường hợp này, ma trận Jacobi của tại là ma trận nghịch đảo của ma trận Jacobi của tại .

Các ví dụ trong đời thực
Gọi hàm số đổi nhiệt độ trong thang độ Celsius sang nhiệt độ trong thang độ Fahrenheit, F = f(C) = \tfrac95 C + 32 ; Hàm ngược của nó đổi nhiệt độ Fahrenheit về độ Celsius, C = f^{-1}(F) = \tfrac59 (F - 32) , bởi
\begin{align}
f^{-1} (f(C)) = {} & f^{-1}\left( \tfrac95 C + 32 \right) = \tfrac59 \left( (\tfrac95 C + 32 ) - 32 \right) = C, \\
& \text{với mọi giá trị của } C, \text{ và } \\[6pt]
f\left(f^{-1}(F)\right) = {} & f\left(\tfrac59 (F - 32)\right) = \tfrac95 \left(\tfrac59 (F - 32)\right) + 32 = F, \\
& \text{với mọi giá trị của } F.
\end{align}

Giả sử gán mỗi đứa trẻ trong gia đình năm sinh của nó. Một hàm ngược nào đó của sẽ nhận đầu vào là năm sinh và đầu ra là đứa trẻ sinh năm đó. Tuy nhiên, nếu trong gia đình trong một năm có hai trẻ được sinh ra (ví dụ như sinh đôi, sinh ba, ...) thì giá trị của hàm số không thể biết được khi đầu vào là năm có nhiều hơn một đứa trẻ được sinh ra. Tương tự như vậy, nếu trong một năm mà không có đứa trẻ nào sinh ra, thì cũng không thể biết được giá trị hàm số. Tuy nhiên, nếu ta chỉ giới hạn về những năm có trẻ được sinh ra và giả sử rằng mỗi trẻ được sinh ra vào một năm khác nhau, thì chúng ta có hàm. Ví dụ chẳng hạn, \begin{align}
f(\text{Allan})&=2005 , \quad & f(\text{Brad})&=2007 , \quad & f(\text{Cary})&=2001 \\
f^{-1}(2005)&=\text{Allan} , \quad & f^{-1}(2007)&=\text{Brad} , \quad & f^{-1}(2001)&=\text{Cary}
\end{align}

Công thức tính độ pH của dung dịch là . Trong rất nhiều trường hợp, ta cần tính nồng độ axit từ độ pH. Khi đó, ta sẽ dùng hàm ngược .

Nghịch đảo riêng phần

Xem thêm
Định lý nghịch đảo Lagrange, tìm khai triển Taylor của hàm nghịch đảo của hàm giải tích
Nguyên hàm của hàm ngược
Biến đổi Fourier ngược
Tính toán ngược được

Chú thích

Tham khảo

}}

Thư mục





}}


Đọc thêm





Liên kết ngoài