Hàm zeta Riemann

{{Thông tin hàm số toán học|domain=\Complex\setminus\{1\}|codomain=\Complex|image=File:Riemann-Zeta-Func.png|zero=-\frac{1}{2}|plusinf=1|vr1=2|f1=\frac{\pi^2}{6}|vr2=-1|f2=-{1\over12}|vr3=-2|f3=0}}

Hàm zeta Riemann hoặc hàm zeta Euler-Riemann, , là một hàm số một biến phức, là kết quả thác triển giải tích của chuỗi Dirichlet

: \zeta(s) =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}

Chuỗi này hội tụ khi phần thực của lớn hơn 1. Thác triển giải tích tối đại của nó được xác định trên toàn bộ mặt phẳng phức trừ điểm 1. Hàm zeta Riemann đóng vai trò then chốt trong lý thuyết số giải tích và có các ứng dụng trong vật lý, lý thuyết xác suất và thống kê ứng dụng.

Định nghĩa

Hàm zeta Riemann là một hàm số một biến phức σ + i t}}.

Đối với trường hợp đặc biệt \,\mathfrak{Re}(s) \equiv \sigma > 1\,, hàm zeta có thể được biểu thị bằng tích phân sau:

: \zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^\infty \frac{x ^ {s-1}}{e ^ x - 1} \, \mathrm{d}\,x \quad \text{ với } \quad \mathfrak{Re}(s) \equiv \sigma > 1

trong đó

: \Gamma(s) = \int_0^\infty x^{s-1}\,e^{-x} \, \mathrm{d}\,x

là hàm gamma.

Trong trường hợp , tích phân trên luôn hội tụ, và có thể được đơn giản hóa bằng chuỗi vô hạn:

: \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots \quad \text{ với } \quad \sigma \equiv \mathfrak{Re}(s) > 1\,.

Hàm zeta Riemann được định nghĩa là thác triển giải tích của hàm trên.

Với 1}}, chuỗi trên là chuỗi điều hòa phân kỳ và

: \lim_{s \to 1}~(s - 1)\,\zeta(s) = 1\,.

Như vậy hàm zeta Riemann là một hàm phân hình trên toàn bộ mặt phẳng phức với một cực đơn tại 1}} có thặng dư bằng 1.

Giá trị cụ thể
Với mọi số nguyên dương chẵn :

: \zeta(2n) = \frac{(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}

trong đó là số Bernoulli thứ .

Thông qua thác triển giải tích, người ta có thể chỉ ra rằng:

\zeta(-1) = -\tfrac{1}{12}
\zeta(0) = -\tfrac{1}{2};
\zeta(1) = 1 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} + \cdots = \infty;
\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.64493 40668 48226 43647;\!&nbsp;
\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} \approx 1.08232 32337 11138 19152;&nbsp;

:: Giá trị này xuất hiện khi tích phân định luật Planck để rút ra định luật Stefan-Boltzmann trong vật lý.

Công thức tích Euler
Liên hệ giữa hàm zeta và số nguyên tố được phát hiện bởi Euler, người đã chứng minh đồng nhất thức

: \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} = \prod_{p \text{ nguyên tố}} \frac{1}{1-p^{-s}},

:

Phương trình hàm Riemann
Hàm zeta thỏa mãn phương trình hàm sau đây:

: \zeta(s) = 2^s\pi^{s-1}\ \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\ \Gamma(1-s)\ \zeta(1-s),

trong đó là hàm gamma.

Không điểm, đường tới hạn và giả thuyết Riemann

Phương trình hàm Riemann cho thấy hàm zeta Riemann có các không điểm tại . Chúng được gọi là không điểm tầm thường. Chúng tầm thường theo nghĩa sự tồn tại của chúng tương đối dễ chứng minh, ví dụ, từ }} bằng 0 trong phương trình hàm (lưu ý rằng các không điểm dương của hàm sin bị triệt tiêu bởi các cực điểm của hàm gamma).

Người ta biết rằng bất kỳ không điểm không tầm thường nào đều nằm trong dải mở {{Math|{s ∈ ℂ: 0 }}}, được gọi là dải tới hạn. Giả thuyết Riemann, được coi là một trong những vấn đề chưa được giải quyết lớn nhất trong toán học, khẳng định rằng bất kỳ không điểm không tầm thường nào đều thỏa mãn }}. Trong lý thuyết về hàm zeta Riemann, tập }}} &nbsp; được gọi là đường tới hạn.

Ghi chú

Tham khảo

Apostol, T. M. (2010), "Zeta and Related Functions", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248



Has an English translation of Riemann's paper.
et ses conséquences arithmétiques|url=|journal=Bulletin de la Société Mathématique de France|volume=14|issue=|pages=199–220|doi=10.24033/bsmf.545|doi-access=free}}

-Reihe|journal=Math. Z.|volume=32|pages=458–464|doi=10.1007/BF01194645|mr=1545177}} (Globally convergent series expression.)







. In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).





Liên kết ngoài


Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld — an explanation with a more mathematical approach
Tables of selected zeros
Prime Numbers Get Hitched A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers.
X-Ray of the Zeta Function Visually oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary.
Formulas and identities for the Riemann Zeta function functions.wolfram.com
Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers, section 23.2 of Abramowitz and Stegun

Mellin transform and the functional equation of the Riemann Zeta function—Computational examples of Mellin transform methods involving the Riemann Zeta Function