Quy hoạch động

Trong ngành khoa học máy tính, quy hoạch động (tiếng Anh: dynamic programming) là một phương pháp giảm thời gian chạy của các thuật toán thể hiện các tính chất của các bài toán con gối nhau (overlapping subproblem) và cấu trúc con tối ưu (optimal substructure).

Nhà toán học Richard Bellman đã phát minh phương pháp quy hoạch động vào năm 1953. Ngành này đã được thành lập như là một chủ đề về kỹ nghệ và phân tích hệ thống đã được tổ chức IEEE thừa nhận.

Tổng quan

Cấu trúc con tối ưu có nghĩa là các lời giải tối ưu cho các bài toán con có thể được sử dụng để tìm các lời giải tối ưu cho bài toán toàn cục. Ví dụ, đường đi ngắn nhất tới một đỉnh trong một đồ thị có thể được tìm thấy bằng cách: trước hết tính đường đi ngắn nhất tới đích từ tất cả các đỉnh kề nó, rồi dùng kết quả này để chọn đường đi toàn cục tốt nhất, như trong hình 1. Nói chung, ta có thể giải một bài toán với cấu trúc con tối ưu bằng một quy trình ba bước:
Chia bài toán thành các bài toán con nhỏ hơn.
Giải các bài toán này một cách tối ưu bằng cách sử dụng đệ quy quy trình ba bước này.
Sử dụng các kết quả tối ưu đó để xây dựng một lời giải tối ưu cho bài toán ban đầu.
Các bài toán con được giải bằng cách chia chúng thành các bài toán nhỏ hơn, và cứ tiếp tục như thế, cho đến khi ta đến được trường hợp đơn giản dễ tìm lời giải.

mà là một đồ thị có hướng phi chu trình mô tả quan hệ giữa các bài toán con gối nhau.]]
Nói rằng một bài toán có các bài toán con trùng nhau có nghĩa là mỗi bài toán con đó được sử dụng để giải nhiều bài toán lớn hơn khác nhau. Ví dụ, trong dãy Fibonacci, F3 = F1 + F2 và F4 = F2 + F3 — khi tính mỗi số đều phải tính F2. Vì tính F5 cần đến cả F3 và F4, một cách tính F5 một cách ngây thơ có thể sẽ phải tính F2 hai lần hoặc nhiều hơn. Điều này áp dụng mỗi khi có mặt các bài toán con gối nhau: một cách tiếp cận ngây thơ có thể tốn thời gian tính toán lại lời giải tối ưu cho các bài toán con mà nó đã giải.

Để tránh việc đó, ta lưu trữ lời giải của các bài toán con đã giải. Do vậy, nếu sau này ta cần giải lại chính bài toán đó, ta có thể lấy và sử dụng kết quả đã được tính toán. Hướng tiếp cận này được gọi là lưu trữ (trong tiếng Anh được gọi là memoization, không phải memorization, dù từ này cũng hợp nghĩa). Nếu ta chắc chắn rằng một lời giải nào đó không còn cần thiết nữa, ta có thể xóa nó đi để tiết kiệm không gian bộ nhớ. Trong một số trường hợp, ta còn có thể tính lời giải cho các bài toán con mà ta biết trước rằng sẽ cần đến.

Tóm lại, quy hoạch động sử dụng:
Các bài toán con gối nhau
Cấu trúc con tối ưu
Memoization

Quy hoạch động thường dùng một trong hai cách tiếp cận:
top-down (Từ trên xuống): Bài toán được chia thành các bài toán con, các bài toán con này được giải và lời giải được ghi nhớ để phòng trường hợp cần dùng lại chúng. Đây là đệ quy và lưu trữ được kết hợp với nhau.
bottom-up (Từ dưới lên): Tất cả các bài toán con có thể cần đến đều được giải trước, sau đó được dùng để xây dựng lời giải cho các bài toán lớn hơn. Cách tiếp cận này hơi tốt hơn về không gian bộ nhớ dùng cho ngăn xếp và số lời gọi hàm. Tuy nhiên, đôi khi việc xác định tất cả các bài toán con cần thiết cho việc giải quyết bài toán cho trước không được trực giác lắm.

Một số ngôn ngữ lập trình hàm, nổi tiếng nhất là Haskell, có thể tự động lưu trữ kết quả của một lời gọi hàm với một tập đối số (argument) cụ thể, để tăng tốc cách đánh giá call-by-name (cơ chế này được gọi là call-by-need). Việc này chỉ có thể đối với các hàm không có hiệu ứng phụ, tính chất này luôn luôn đúng trong ngôn ngữ Haskell nhưng ít khi đúng trong các ngôn ngữ lập trình mệnh lệnh, chẳng hạn Pascal, C, C++, Java...

Ví dụ

Dãy Fibonacci

Một cài đặt đơn giản của một hàm tính phần tử thứ n của dãy Fibonacci, trực tiếp dựa theo định nghĩa toán học. Cài đặt này thực hiện rất nhiều tính toán thừa.:

function fib(n)
if n = 0 or n = 1
return 1
else
return fib(n − 1) + fib(n − 2)

Lưu ý rằng nếu ta gọi, chẳng hạn, fib(5), ta sẽ tạo ra một cây các lời gọi hàm, trong đó các hàm của cùng một giá trị được gọi nhiều lần:
fib(5)
fib(4) + fib(3)
(fib(3) + fib(2)) + (fib(2) + fib(1))
((fib(2) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))
(((fib(1) + fib(0)) + fib(1)) + (fib(1) + fib(0))) + ((fib(1) + fib(0)) + fib(1))

Cụ thể, fib(2) được tính hai lần. Trong các ví dụ lớn hơn, sẽ có nhiều giá trị của fib, hay các bài toán con được tính lại, dẫn đến một thuật toán có thời gian lũy thừa.

Bây giờ, giả sử ta có một đối tượng ánh xạ đơn giản, nó ánh xạ mỗi giá trị của fib đã được tính tới kết quả của giá trị đó. Ta sửa đổi hàm trên như sau để sử dụng và cập nhật ánh xạ trên. Hàm thu được chỉ đòi hỏi thời gian chạy O(n) thay vì thời gian chạy luỹ thừa:

var m:= map(0 → 1, 1 → 1)
function fib(n)
if n not in keys(m)
m[n]:= fib(n − 1) + fib(n − 2)
return m[n]

Đây là cách tiếp cận từ trên xuống, do trước hết ta chia bài toán thành các bài toán nhỏ hơn, rồi giải chúng và lưu trữ các kết quả. Trong trường hợp này, ta cũng có thể giảm từ chỗ hàm sử dụng không gian tuyến tính (O(n)) xuống chỉ còn sử dụng không gian hằng bằng cách sử dụng cách tiếp cận từ dưới lên. Cách này tính các giá trị nhỏ hơn của fib trước, rồi từ đó xây dựng các giá trị lớn hơn:

function fib(n)
var previousFib:= 1, currentFib:= 1
repeat n − 1 times
var newFib:= previousFib + currentFib
previousFib:= currentFib
currentFib:= newFib
return currentFib

Phiên bản bottom-up này gần với vòng lặp mệnh lệnh đơn giản dùng cho việc tính hàm Fibonacci có trong môn học nhập môn khoa học máy tính.

Trong cả hai ví dụ trên, ta chỉ tính fib(2) một lần, rồi sử dụng nó để tính cả fib(4) và fib(3), thay vì tính nó mỗi lần cần tính fib(4) hay fib(3).

Bàn cờ

Xét một bàn cờ hình vuông n × n và một hàm giá trị c(i, j) trả về giá trị của ô i,j (i là chỉ số hàng, j là chỉ số cột). Ví dụ: bàn cờ 5 × 5:

+---+---+---+---+---+
5 | 6 | 7 | 4 | 7 | 8 |
+---|---|---|---|---+
4 | 7 | 6 | 1 | 1 | 4 |
+---|---|---|---|---+
3 | 3 | 5 | 7 | 8 | 2 |
+---|---|---|---|---+
2 | 2 | 6 | 7 | 0 | 2 |
+---|---|---|---|---+
1 | 7 | 3 | 5 | 6 | 1 |
+---+---+---+---+---+
1 2 3 4 5

Trong ví dụ, ta có chẳng hạn c(1, 3) = 5

Giả sử ta có một quân cờ có thể xuất phát tại một ô bất kỳ tại hàng đầu tiên (hàng 1), và ta cần tìm đường đi ngắn nhất (tổng giá trị của các ô đi qua là nhỏ nhất) để tới được hàng cuối cùng (hàng n), với điều kiện quân cờ chỉ có thể tiến thẳng hoặc tiến theo đường chéo sang trái hoặc sang phải. Nghĩa là, một quân cờ tại ô (1,3) có thể nhảy sang được một trong ba ô (2,2), (2,3) và (2,4).
+---+---+---+---+---+
5 | | | | | |
+---|---|---|---|---+
4 | | | | | |
+---|---|---|---|---+
3 | | | | | |
+---|---|---|---|---+
2 | | x | x | x | |
+---|---|---|---|---+
1 | | | O | | |
+---+---+---+---+---+
1 2 3 4 5

Bài toán này thể hiện tính chất cấu trúc con tối ưu. Nghĩa là, lời giải cho bài toán lớn phụ thuộc vào lời giải cho các bài toán con. Ta định nghĩa hàm q(i, j) như sau:

:q(i, j) = chi phí tối thiểu để đến được ô (i, j)

Nếu ta có thể tìm được giá trị của hàm này tại tất cả các ô nằm trên hàng n, ta sẽ chọn lấy giá trị nhỏ nhất và lần ngược con đường đó để có được đường đi ngắn nhất.

Dễ thấy rằng q(i, j) bằng chi phí tối thiểu để đến ô bất kỳ trong ba ô nằm dưới nó (do chỉ có thể đến được (i,j) từ các ô này) cộng thêm c(i, j). Ví dụ:

+---+---+---+---+---+
5 | | | | | |
+---|---|---|---|---+
4 | | | A | | |
+---|---|---|---|---+
3 | | B | C | D | |
+---|---|---|---|---+
2 | | | | | |
+---|---|---|---|---+
1 | | | | | |
+---+---+---+---+---+
1 2 3 4 5

:q(A) = \min(q(B),\;q(C),\;q(D))\;+\;c(A)

Bây giờ, ta định nghĩa q(i, j) một cách chính thức hơn:

:q(i,j)=\left\{\begin{matrix} \infty & j = 0 \mbox{ or }j = n+1 \\ c(i, j) & i = 1 \\ \min(q(i-1, j-1), q(i-1, j), q(i-1, j+1)) + c(i,j) & \mbox{otherwise}\end{matrix}\right.

Phương trình trên rất dễ hiểu. Dòng đầu tiên là các trường hợp đặc biệt, dòng này có mục đích dọn dẹp cho tính chất đệ quy. Dòng thứ hai mô tả những gì xảy ra tại hàng đầu tiên, để ta có xuất phát điểm. Dòng thứ ba, phần đệ quy, là phần quan trọng nhất. Về cơ bản, nó giống với ví dụ A,B,C,D.

Từ định nghĩa này, ta có thể dễ dàng tạo một đoạn mã đệ quy để tính q(i, j). Trong đoạn mã giả sau, n là kích thước của bàn cờ, c(i, j) là hàm chi phí, và min() trả về giá trị nhỏ nhất của các giá trị nằm trong ngoặc:

function minCost(i, j)
if j = 0 or j = n + 1
return infinity
else if i = 1
return c(i, j)
else
return min(minCost(i-1, j-1), minCost(i-1, j), minCost(i-1, j+1)) + c(i, j)

Cần lưu ý rằng hàm này chỉ tính chi phí của đường đi chứ không phải đường đi đích thực. Ta sẽ nói đến phần đó sau.

Cũng như ví dụ về dãy Fibonacci, hàm trên chạy rất rất lâu do nó phải tốn hàng núi thời gian để tính đi tính lại các đường đi ngắn nhất. Tuy nhiên, ta có thể tính nhanh hơn rất nhiều nếu hàm trên thực hiện công việc lưu trữ các giá trị đã được tính (trong một mảng). Hoặc, ta còn có thể nhanh hơn nữa nếu tính toán theo kiểu từ dưới lên và một mảng hai chiều q[i, j]. Tại sao? Đơn giản là vì khi đó ta tính toán mỗi đường đi chỉ một lần, và ta có thể chọn cái gì cần tính toán trước.

Ta còn cần biết đường đi thực sự như thế nào. Vấn đề đó có thể được giải quyết bằng cách sử dụng một mảng nữa: "mảng nút đứng trước" p[i, j]. Mảng này lưu các dấu vết về chuyện các đường đi từ hướng nào tới. Xét đoạn mã sau:

function computeShortestPathArrays()
for x from 1 to n
q[1, x]:= c(1, x)

for y from 1 to n
q[y, 0]:= infinity
q[y, n + 1]:= infinity

for y from 2 to n
for x from 1 to n
m:= min(q[y-1, x-1], q[y-1, x], q[y-1, x+1])
q[y, x]:= m + c(y, x)
c[y, x]:= q[y, x]

if m = q[y-1, x-1]
p[y, x]:= -1
else if m = q[y-1, x]
p[y, x]:= 0
else
p[y, x]:= 1

Bây giờ, vấn đề đơn giản còn lại là xác định cực tiểu và in nó ra.

function computeShortestPath()
computeShortestPathArrays()

minIndex:= 1
min:= q[n, 1]

for i from 2 to n
if q[n, i] < min
minIndex:= i
min:= q[n, i]

printPath(n, minIndex)

function printPath(y, x)
print(x)
print("<-")

if y = 2
print(x + p[y, x])
else
printPath(y-1, x + p[y, x])

Các thuật toán sử dụng quy hoạch động
Nhiều thuật toán xử lý xâu ký tự, trong đó có bài toán dãy con chung lớn nhất.
Thuật toán CYK xác định xem một xâu cho trước có thể được sinh từ một văn phạm phi ngữ cảnh (context-free grammar) như thế nào.
The use of transposition tables and refutation tables in computer chess
Thuật toán Viterbi
Thuật toán Earley
Thuật toán Needleman-Wunsch và các thuật toán sắp chuỗi (sequence alignment) khác dùng trong Tin sinh học
Levenshtein distance (edit distance)
Thuật toán Bellman-Ford
Thuật toán Floyd: tìm đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh
Tối ưu hóa thứ tự của phép nhân ma trận theo chuỗi (chain matrix multiplication)
Thuật toán tổng tập con (subset sum)
Bài toán xếp ba lô (knapsack problem)

Liên kết ngoài
David B. Wagner. Dynamic Programming. A 1995 introductory article on dynamic programming.
Ohio State University: CIS 680: class notes on dynamic programming , by Eitan M. Gurari
A Tutorial on Dynamic programming
More DP Notes
Algorithmist's Dynamic Programming Contains more examples of Dynamic Programming.
King, Ian, 2002 (1987), "A Simple Introduction to Dynamic Programming in Macroeconomic Models. " An introduction to dynamic programming as an important tool in economic theory.
DSAP Textbook . Một tài liệu khá đầy đủ về lập trình của thầy Lê Minh Hoàng, ĐH Sư phạm HN.
Tham khảo

Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein, 2001. Introduction to Algorithms, 2nd ed. MIT Press & McGraw-Hill. ISBN 0-262-03293-7. Especially chpt. 15: 323–69.
Nancy Stokey, and Robert E. Lucas, with Edward Prescott, 1989. Recursive Methods in Economic Dynamics. Harvard Univ. Press.