Dao động

Dao động là sự lặp đi lặp lại nhiều lần một trạng thái của một vật nào đó. Trong cơ học, dao động là chuyển động có giới hạn trong không gian, lặp đi lặp lại nhiều lần quanh vị trí cân bằng. Dao động cơ học là một biến thiên liên tục giữa động năng và thế năng

Một ví dụ về dao động cơ học là con lắc đồng hồ. Vị trí cân bằng trong ví dụ này là khi con lắc đứng im không chạy.

Một dao động được nghiên cứu nhiều trong cơ học là dao động tuần hoàn, tức là dao động lặp đi lặp lại như cũ quanh vị trí cân bằng sau những khoảng thời gian bằng nhau. Khoảng thời gian ngắn nhất mà vật lặp lại vị trí cũ được gọi là chu kì của dao động. Mọi dao động tuần hoàn đều có thể được biểu diễn thành chuỗi Fourier của các dao động điều hoà có tần số cơ bản khác nhau.

Dao động sóng cơ động
Dao động lò xo lên xuống
:50px
: -F_g = F_y
: -m g = ky
: g = -\frac{k}{m}y
: \frac{d^2}{dt^2}y = -\frac{k}{m} y
: y = A \sin (\omega t)
:\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

Dao động lò xo qua lại
:F_a = -F_x
:m a = -kx
: a = -\frac{k}{m}x
: \frac{d^2}{dt^2}x = -\frac{k}{m} x
: x = A \sin (\omega t)
:\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}

Dao động con lắc đong đưa
:
:-mg = l \theta
:g = -\frac{l}{m} \theta
:\frac{d^2}{dt^2} \theta = -\frac{l}{g} \theta
:\theta = A \sin \omega t
:\omega = \sqrt{\frac{l}{g}}

Dao động sóng điện
Dao động sóng điện được tìm thấy trong mạch điện RLC nối tiếp
:

Với R ≠ 0
Ở Trạng Thái Cân Bằng
:v_L+v_C+v_R=0
: L\frac{di}{dt} + \frac{1}{C} \int V dt + iR = 0
: \frac{d^2i}{dt} + \frac{R}{L} \frac{di}{dt} + \frac{1}{LC} i= 0
: \frac{d^2i}{dt} = - 2 \alpha \frac{di}{dt} - \beta i
: \beta = \frac{1}{T} = \frac{1}{LC}
: \alpha = \beta \gamma = \frac{R}{2L}
: T=LC
: \gamma=RC

Phương trìnhh trên có nghiệm như sau
Một nghiệm thực . \alpha = \beta . i = Ae^{-\alpha t}
Hai nghiệm thực . \alpha > \beta . i = Ae^{(-\alpha \pm \lambda)t} = A(\alpha)e^{\lambda t} + A(\alpha)e^{-\lambda t}
Hai nghiệm phức . \alpha . i = Ae^{(-\alpha \pm j \omega)t} = A(\alpha) \sin \omega t

Voi
:: A(\alpha)=Ae^{-\alpha t}
:: \omega = \sqrt{\beta-\alpha}
:: \lambda = \sqrt{\alpha-\beta}
::\beta=\frac{1}{T}=\frac{1}{LC}
::\alpha=\gamma \beta
::\gamma=RC
::T=LC

Ở Trạng Thái Đồng Bộ
:Z_C+Z_L=0
:Z_t=Z_C + Z_L + Z_R=R

Tu tren.
:Z_C = -Z_L
::\omega_o=\pm j \sqrt{\frac{1}{T}}
::T=LC

:i(\omega=0)=0
:i(\omega=\omega_o)=\frac{v}{R}
:i(\omega=00)=0

===Với R = 0===
:
:v_L+v_C=0
:L\frac{di}{dt} + \frac{1}{C} \int v dt = 0
:\frac{d^2i}{dt} + \frac{1}{T} = 0
:\frac{d^2i}{dt} = - \frac{1}{T}
:i(t) = e^{\sqrt{-\frac{1}{T}} t} = e^{\pm j \sqrt{\frac{1}{T}} t} = e^{\pm j \omega t} = A \sin \omega t
:\omega = \sqrt{\frac{1}{T}}
:T = LC
:

Phân tích mạch điện LC nối tiếp ở trạng thái đồng bộ , khi điện kháng va dien the của L và C triệt tiêu
:Z_L - Z_C = 0
: V_C = - V_L

Từ trên
: Z_C = - Z_L
:: \frac{1}{j \omega_o C} = -j \omega_o L
:: \omega_o = \pm j \sqrt{\frac{1}{T}}
::T=LC
: V_C = - V_L
:: V(\theta) = A \sin(\omega_o t + 2 \pi) - A \sin(\omega_o t - 2 \pi)
Mạch điện có khả năng tạo ra Dao động Sóng Dừng của 2 điện thế V_C = -V_L giửa 2 góc 0 - 2π

===Với L = 0===
:v_C + v_R=0
:C\frac{dv}{dt} + \frac{V}{R} = 0
:\frac{dv}{dt} = - \frac{V}{RC}
:v = A e^{-\frac{t}{T}}
:T = RC

===Với C = 0===
:v_L + v_R=0
:L\frac{di}{dt} + i R = 0
:\frac{di}{dt} = - i \frac{R}{L}
:i = A e^{-\frac{t}{T}}
:T = \frac{L}{R}

Dao động sóng điện từ
:
Phương trình vector dao động điện từ
:\nabla \cdot E= 0
:\nabla \times E = -\frac{1}{T}E
:\nabla \cdot B = 0
:\nabla \times B = -\frac{1}{T}B
:T = \mu \epsilon
Phương trình và Hàm số sóng
Phương trình sóng
:\nabla^2 E= -\beta E
:\nabla^2 B= -\beta B
Hàm số sóng
: E= A \sin \omega t
: B= A \sin \omega t
: \omega=\sqrt{\beta}=\sqrt{\frac{1}{T}}= \sqrt{\frac{1}{\mu \epsilon}} = C =\lambda f
Sóng điện từ
:

Dao động sóng lượng tử
]]
Ánh sáng nói riêng, hay dao động điện từ trường nói chung, lan truyền trong không gian vừa có tính hạt và vừa có tính sóng (gọi là sóng điện từ). Khi cho ánh sáng đi qua các khe của thí nghiệm giao thoa Young, các vân giao thoa có thể được quan sát. Thí nghiệm này cho thấy tính chất sóng của ánh sáng. Tuy nhiên, khi đặt các cảm biến ánh sáng rất nhạy tại các vị trí nhận sáng, sẽ đếm được ánh sáng đi vào cảm biến từng hạt một. Các hạt của ánh sáng nói riêng, hay của sóng điện từ nói chung, gọi là photon.

Với ánh sáng, các thí nghiệm giao thoa với máy đếm hạt photon cho thấy:
:Xác suất, trong mỗi đơn vị thời gian, để tìm thấy một hạt photon, trong một vùng thể tích nhỏ quanh một điểm, tỷ lệ với cường độ ánh sáng, tức là tỷ lệ với bình phương độ lớn của điện trường của sóng điện từ trường tại điểm đó

Phương trình sóng lượng tử
Phương trình Schrödinger là một phương trình cơ bản của vật lý lượng tử mô tả sự biến đổi trạng thái lượng tử của một hệ vật lý theo thời gian, thay thế cho các định luật Newton và biến đổi Galileo trong cơ học cổ điển.

Trong cơ học lượng tử, trạng thái lượng tử của một hệ vật lý được mô tả đầy đủ nhất bởi một vector trạng thái thí dụ như hàm sóng trong không gian cấu hình, nghiệm của phương trình Schrödinger. Nghiệm của phương trình Schrödinger không chỉ mô tả các hệ nguyên tử và hạ nguyên tử (nguyên tử, phân tử, hạt nhân, điện tử và các hạt cơ bản khác) mà cả các hệ vĩ mô, thậm chí có thể là toàn bộ Vũ trụ.
Phương trình này được đặt tên theo nhà vật lý người Áo Erwin Schrödinger, người đã lần đầu tiên thiết lập nó vào năm 1926.

i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta^2 + V \right) \psi

Phương trình Schrödinger có nhiều dạng khác nhau, tùy thuộc vào các điều kiện khác nhau của hệ vật lý. Mục này nhằm mục đích giới thiệu phương trình Schrödinger cho trường hợp tổng quát và cho các trường hợp đơn giản hơn thường gặp.

Hệ lượng tử tổng quát

Đối với một hệ lượng tử tổng quát:

::i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = \hat H \Psi(\mathbf{r},t)

trong đó
: i là đơn vị ảo
: \Psi(\mathbf{r},t) là hàm sóng, biên độ xác suất cho các cấu hình khác nhau của hệ
: \hbar là hằng số Planck thu gọn (thường được chuẩn hóa về đơn vị trong các hệ đơn vị tự nhiên)
: \hat H là toán tử Hamilton.

Trường hợp một hạt trong không gian ba chiều
Đối với một hệ gồm một hạt trong ba chiều:

::i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},\,t) = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(\mathbf{r},\,t) + V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},\,t)

trong đó
: \mathbf{r} = (x,y,z) là tọa độ của hạt trong không gian ba chiều,
: \Psi(\mathbf{r},t) là hàm sóng, biên độ xác suất để hạt có một tọa độ xác định r ở một thời điểm xác định bất kì t.
: m là khối lượng của hạt.
: V(\mathbf{r}) là thế năng không phụ thuộc thời gian của hạt ở tọa độ r.
: \nabla^2 là toán tử Laplace.

Xây dựng phương trình

Các giả thiết

:(1)Năng lượng toàn phần E của một hạt

::E = T + V = \frac{p^2}{2m}+V
:::Đây là biểu thức cổ điển cho một hạt có khối lượng m trong đó năng lượng toàn phần E là tổng của động năng, T = \frac{p^2}{2m}, và thế năng V. Xung lượng của hạt là p, hay tích của khối lượng và vận tốc. Thế năng là một hàm biến đổi theo vị trí và cũng có thể biến đổi cả theo thời gian.

:Chú ý rằng năng lượng E và xung lượng p xuất hiện trong các hệ thức sau:

:(2) Giả thuyết về lượng tử ánh sáng của Max Planck năm 1905, khẳng định rằng năng lượng của một photon tỷ lệ với tần số của sóng điện từ tương ứng:

::E = h f = {h \over 2\pi} (2\pi f) = \hbar \omega \;
:::trong đó tần số f và năng lượng E của lượng tử ánh sáng (photon) được liên hệ bởi hăng số Planck h,
:::và \omega = 2\pi f\; là tần số góc của sóng.

:(3) Giả thuyết de Broglie năm 1924, phát biểu rằng bất kì một hạt nào cũng có thể liên quan đến một sóng, được biểu diễn một cách toán học bởi hàm sóng Ψ, và xung lượng p của hạt được liên hệ với bước sóng λ của sóng liên kết bởi hệ thức:

::p = { h \over \lambda } = { h \over 2\pi } {2\pi \over \lambda} = \hbar k\;
:::trong đó \lambda\, là bước sóng và k = 2\pi / \lambda\; là hằng số sóng hay số sóng góc.

:Biểu diễn p and k như là những vector, chúng ta có
::\mathbf{p} =\hbar \mathbf{k}\;

:(4) Giả thiết rằng phương trình sóng phải là tuyến tính. Ba giả thuyết ở trên cho phép chúng ta có thể xây dựng được phương trình cho các sóng phẳng. Để kết luận rằng phương trình đó cũng đúng cho một trường hợp tổng quát bất kì đòi hỏi hàm sóng phải tuân theo nguyên lý chồng chất trạng thái.

Phương trình cho sóng phẳng đơn sắc

Schrödinger đã có một cách nhìn sâu sắc, vào cuối năm 1925, đó là phải biểu diễn pha của một sóng phẳng như là một thừa số pha phức:
::\Psi(\mathbf{x},t) = Ae^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}- \omega t)}

và nhận ra rằng vì
:: \frac{\partial}{\partial t} \Psi = -i\omega \Psi
nên
:: E \Psi = \hbar \omega \Psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi
và tương tự vì
:: \frac{\partial}{\partial x} \Psi = i k_x \Psi
và
:: \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi = - k_x^2 \Psi
chúng ta tìm ra:
:: p_x^2 \Psi = (\hbar k_x)^2 \Psi = -\hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi
do đó, đối với sóng phẳng, ta được:
:: p^2 \Psi = (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) \Psi = -\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) \Psi = -\hbar^2\nabla^2 \Psi
Và bằng cách thế những biểu thức cho năng lượng và xung lượng này vào công thức cổ điển E = \frac{p^2}{2m}+V chúng ta thu được phương trình nổi tiếng của Schrödinger cho trường hợp một hạt trong không gian ba chiều với sự có mặt của một trường thế năng V:

::i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + V\Psi

Phương trình này đã được tổng quát hóa thành một tiên đề của cơ học lượng tử, nghĩa là coi nó là đúng cho mọi trường hợp mà không thể chứng minh được bằng lý thuyết mà chỉ có thể kiểm chứng bằng thực nghiệm. Phương trình Schrödinger đã đưa ra được nhiều tiên đoán phù hợp với thực tế và được kiểm định là đúng cho vô số trường hợp khác nhau.

Hàm số sóng lượng tử
Từ các phương trình Maxwell mô tả điện từ trường, có thể giải ra được một nghiệm của điện từ trường lan truyền trong chân không theo hàm số sau, gọi là sóng phẳng:
:\Psi(\mathbf{r},t) = e^{\frac{i}{\hbar} ({pr+ Et})} = e^{\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}.\mathbf{r} }e^{-\frac{i}{\hbar}Et }
Ở đây,
: \Psi là điện trường hoặc từ trường,
: r là véc tơ vị trí,
: t là thời gian,
: i là đơn vị ảo,
: \hbar là hằng số Planck rút gọn (bằng hằng số Planck chia cho 2\pi),
: p là véc tơ động lượng hạt photon đang lan truyền trong chân không,
: E là năng lượng của hạt photon đang lan truyền trong chân không.

Từ biểu thức trên, có thể thấy sóng ánh sáng nói riêng, hay dao động điện từ trường nói chung, tuần hoàn trong không gian theo bước sóng:
:\lambda = \frac{h}= \frac{h}{p}
Sóng ánh sáng nói riêng, hay dao động điện từ trường nói chung, tuần hoàn theo thời gian với chu kỳ:
:T = \frac{h}{E}
hay tần số:
:f = \frac{E}{h}

Phương trình và hàm số dao động sóng tổng quát
Mọi Dao động đều có thể biểu diễn bằng một phương trình Sóng dao động vi phân bậc hai có nghiệm là hàm số Sóng sin như sau

Phương trình Dao động sóng
:\frac{d^2f(t)}{dt^2} + \beta f(t) = 0
:\frac{d^2f(t)}{dt^2} = - \beta f(t)
Hàm số Dao động sóng
:f(t) = A Sin \omega t
:\omega = \sqrt{\beta}

Dao động tắt dần - điều hoà - cưỡng bức
Dao động có biên độ giảm dần theo thời gian được gọi là dao động tắt dần. Nguyên nhân làm tắt dần dao động là do lực ma sát và lực cản của môi trường.

Dao động được duy trì bằng cách giữ cho biên độ dao động không đổi mà không làm thay đổi chu kỳ dao động riêng được gọi là dao động duy trì

Dao động chịu tác dụng của ngoại lực cưỡng bức tuần hoàn được gọi là dao động cưỡng bức. Dao động cưỡng bức có biên độ không đổi và có tần số bằng tần số của lực cưỡng bức.

Xem thêm
Dao động điều hoà
Hiện tượng phách
Hệ thống động lực
Thông tin phản hồi
Tần số
Rung động

Tham khảo

Liên kết ngoài