Định lý trục quay vuông góc

Định lý trục quay vuông góc hay còn gọi là Perpendicular Axis Theorem, hay là Plane Figure Theorem, là định lý dùng để tìm mômen quán tính của một vật thể đối với trục Z, dựa trên mômen quán tính đã có của vật thể đó đối với trục quay X and Y, hay ngược lại (xem ví dụ ứng dụng).

Nội dung
Mômen quán tính của một vật tấm phẳng (a plane) đối với trục Z vuông góc với mặt phẳng, sẽ bằng tổng của 2 mômen quán tính của vật phẳng đó đối với trục quay X và Y cùng giao nhau với trục quay Z ở một điểm chung O.

Định lý này được sử dụng cùng với Định lý trục quay song song và Định lý trục quay kéo dài để tính toán mômen quán tính cực của các vật thể với nhiều hình dạng khác nhau.

Công thức

Phương trình của Định lý này rất đơn giản (xem Hình 1):

:I_z = I_x + I_y

Nếu vật phẳng có tính đối xứng quay (xem ví dụ 1 phần ứng dụng), tức là: I_x = I_y
thì công thức trên sẽ trở thành:
:I_z = 2I_x = 2I_y

Chứng minh

Trong hệ tọa độ Descartes, (xem Hình 2) mômen quán tính của vật phẳng đối với trục quay z là

:I_{z} = \int r^2\,dm = \int (x^2 + y^2) \,dm = \int x^2\,dm + \int y^2\,dm = I_{y} + I_{x}

Trong phương trình trên, chúng ta đã áp dụng định lý Pythagore: r^2 = x^2 + y^2

Ứng dụng

Ví dụ 1: Mômen quán tính của một vật hình đĩa thẳng đứng (xem Hình 3) đối với trục quay x, hay trục quay y, có thể dễ dàng tìm được bằng cách áp dụng định lý trục quay vuông góc như sau:

Như chúng ta đã biết, mômen quán tính của vật đĩa (a disk) đó đối với trục quay z là:
:I_{\text{disk}}^{z} = \frac{1}{2} mR^2

Bởi vì tính đối xứng quay theo trục x và y:
:I_x = I_y

Theo định lý trục quay vuông góc:
:I_z = I_x + I_y = 2 I_y

Do đó:
:I_{\text{disk}}^{x} = I_{\text{disk}}^{y} = \frac{1}{2} I_{\text{disk}}^{z} = \frac{1}{4} mR^2

Ví dụ 2: Mômen quán tính của một chiếc vòng thẳng đứng (xem Hình 4) đối với trục quay x, hay trục quay y, có thể dễ dàng tìm được bằng cách áp dụng định lý trục quay vuông góc như sau:

Như chúng ta đã biết, mômen quán tính của chiếc vòng đó (a ring) đối với trục quay z là:
:I_{\text{ring}}^{z} = \frac{1}{2} m\left(R_{1}^{2} + R_{2}^{2}\right)

Bởi vì tính đối xứng quay theo trục x và y:
:I_x = I_y

Theo định lý trục vuông góc (perpendicular axis theorem):
:I_z = I_x + I_y = 2 I_y

Do đó:
:I_{\text{ring}}^{x} = I_{\text{ring}}^{y} = \frac{1}{2} I_{\text{ring}}^{z} = \frac{1}{4} m\left(R_{1}^{2} + R_{2}^{2}\right)

Ví dụ 3: Mômen quán tính của một chiếc vòng mỏng thẳng đứng (xem Hình 5) đối với trục quay x, hay trục quay y, có thể dễ dàng tìm được bằng cách áp dụng định lý trục quay vuông góc như sau:

Như chúng ta đã biết, mômen quán tính của chiếc vòng mỏng đó (a hoop) đối với trục quay z là:
:I_{\text{hoop}}^{z} = mR^2

Bởi vì tính đối xứng quay theo trục x và y:
:I_x = I_y

Theo định lý trục vuông góc (perpendicular axis theorem):
:I_z = I_x + I_y = 2 I_y

Do đó:
:I_{\text{hoop}}^{x} = I_{\text{hoop}}^{y} = \frac{1}{2} I_{\text{hoop}}^{z} = \frac{1}{2} mR^2

Ví dụ 4: Mômen quán tính của một vật hình chữ nhật (a rectangular, xem Hình 6) với khối lượng m, chiều rộng a và chiều dài b đối với trục quay z (xem Hình 6), sẽ được tính bởi công thức sau đây.

:I_{\text{rect}}^{z} = \frac{1}{12} m(a^2 + b^2)
Công thức này có thể được chứng minh một cách dễ dàng bằng cách sử dụng Định lý trục quay kéo dài trên vật thể hình gậy (a rod) như sau:
Nếu kéo dài một cây gậy với khối lượng m và chiều dài a theo hướng trục x với một khoảng cách b, sẽ tạo thành một vật thể hình chữ nhật với 2 cạnh a,b và khối lượng m.
:I_{\text{rect}}^{x} = I_{\text{rod}}^{x} = \frac{1}{12} ma^2
Tương tự, nếu kéo dài cây gậy với khối lượng m và chiều dài b theo hướng trục y với một khoảng cách a, sẽ tạo thành một vật thể hình chữ nhật, giống hệt hình chữ nhật trước, có 2 cạnh a,b và khối lượng m.
:I_{\text{rect}}^{y} = I_{\text{rod}}^{y} = \frac{1}{12} mb^2
Áp dụng Đinh lý trục quay vuông góc: I_z = I_x + I_y (Perpendicular Axis Theorem), chúng ta sẽ có công thức:
:I_{\text{rect}}^{z} = I_{\text{rect}}^{x} + I_{\text{rect}}^{y} = \frac{1}{12} ma^2 + \frac{1}{12} mb^2 = \frac{1}{12} m(a^2 + b^2)

Ví dụ 5: Mômen quán tính của một vật hình ống (a cylinder) đối với trục quay thẳng đứng xuyên qua đường kính của nó (xem Hình 7) có thể dễ dàng tìm được bằng cách áp dụng định lý trục quay vuông góc và nguyên lý chồng chất của mômen quán tính như sau:

Như chúng ta đã biết, mômen quán tính của vật ống đó đối với trục quay z (áp dụng định lý trục quay vuông góc - xem ví dụ 1) là:

I_{\text{cylinder}}^{z} = \frac{1}{4} m R^{2}
\quad \text{(bởi vì } I_{\text{cylinder}}^{x} = \frac{1}{2} m R^{2} \text{)}

Hơn nữa, chúng ta cũng biết là mômen quán tính của cây gậy (vật ống đó) với chiều dài L (a rod) đối với trục quay z là:
:I_{\text{cylinder}}^{z} = \frac{1}{12} mL^2
Theo nguyên lý chồng chất của mômen quán tính (superposition of moment of inertia), chúng ta sẽ có:

:I_{\text{cylinder}}^{z} = \frac{1}{4} mR^2 + \frac{1}{12} mL^2

Xem thêm
Định lý trục quay song song
Định lý kéo dài
Mômen quán tính

Tham khảo