Đường đi (lý thuyết đồ thị)

Một đường đi trong G là một dãy luân phiên các đỉnh và cạnh:
x_\text{1} u_\text{1} x_\text{2} u_\text{2}...x_\text{m-1} u_\text{m-1} x_\text{m} (x_\text{i} là đỉnh và u_\text{i} là cạnh). Trong đồ thị thỏa mãn điều kiện u_\text{i} liên kết với cặp đỉnh (x_\text{i}, x_\text{i+1}), nghĩa là:
u_\text{i} liên kết với (x_\text{i}, x_\text{i+1}) nếu đồ thị có hướng.
u_\text{i} liên kết với (x_\text{i}, x_\text{i+1}) nếu đồ thị vô hướng.

Khi đó ta gọi x_\text{1} là đỉnh đầu và x_\text{m} là đỉnh cuối của đường đi.
Ví dụ
Xét đồ thị G (7 đỉnh) vô hướng sau:

Dãy các đỉnh: 1 e2 4 e10 5 là một đường đi
Đỉnh đầu: 1
Đỉnh cuối: 5
Dãy các đỉnh: 4 e10 5 e9 3 e12 7 là một đường đi
Đỉnh đầu: 4
Đỉnh cuối: 7

Dây chuyền

Cho đồ thị G=(X, U).
Một dây chuyền trong đồ thị (G) là một dãy luân phiên các đỉnh và cạnh:

x1 u1 x2 u2... xm-1 um-11 xm (xi là đỉnh và ui là cạnh)

Trong đồ thị thỏa mãn điều kiện ui, liên kết với cập đỉnh (xi, xi+1) không phân biệt thứ tự nghĩa là:

ui =(xi, xi+1) hay ui = (xi+1, xi) nếu đồ thị có hướng,
ui = {xi, (xi+1)} nếu đồ thị vô hướng.

Khi đó ta gọi x1 là đỉnh đầu và xm là đỉnh cuối của dây chuyền.

Tính chất "đơn" và "sơ cấp" của đường đi và dây chuyền trong đồ thị

Tính chất "đơn" của dây chuyền hay đường đi yêu cầu không có cạnh nào xuất hiện hai lần trong dây chuyền hay đường đi đó.
Tính chất "sơ cấp" (hay cũng gọi là "thứ cấp") yêu cầu không có đỉnh nào xuất hiện hai lần.

Chu trình và Mạch

Một chu trình trong đồ thị là một dây chuyền đơn mà có đỉnh đầu trùng đỉnh cuối, tức la dây chuyền có dạng: x1 u1 x2 u2… xm-1 um-1 xm um x1

sao cho các cạnh u1, u2,…,um đôi một khác nhau.

Một mạch trong đồ thị là một đường đi đơn mà có đỉnh đầu trùng đỉnh cuối, tức là đường đi có dạng: x1 u1 x2 u2… xm-1 um-1 xm um x1

sao cho các cạnh u1, u2,…,um đôi một khác nhau. Từ các định nghĩa trên, ta có các khái niệm sau đây thường được dùng trong lý thuyết đồ thị:

Dây chuyền sơ cấp

Dây chuyền sơ cấp là dây chuyền không có đỉnh lập lại.

Đường đi sơ cấp

Đường đi sơ cấp là đường đi không có đỉnh lập lại.

Chu trình sơ cấp

Chu trình sơ cấp là đường đi không có đỉnh lập lại (ngoại trừ đỉnh đầu và đỉnh cuối).

Mạch sơ cấp

Mạch sơ cấp là mạch không có đỉnh lập lại (ngoại trừ đỉnh đầu và đỉnh cuối).

Ghi Chú
Trong trường hợp đồ thị vô hướng thì:

Hai khái niệm dây chuyền và đường đi là như nhau,
Hai khái niệm chu trình và mạch là như nhau.
Do đó chúng ta cũng dùng thuật ngữ đường đi cho đồ thị vô hướng. đôi khi một mạch trong đồ thị có hướng cũng được gọi là một " chu trình có hướng ", hay một đường đi trong đồ thị có hướng cũng được gọi là " đường đi có hướng" để nhấn mạnh.

Khi các cạnh hoàn toàn được hiểu rõ (chẳng hạn như trong một đồ thị vô hướng không có cạnh song song) thì:

Một dây chuyền x1 u1 x2 u2…xn-1 un-1 xn có thể viết gọn là x1 x2…xn-1 xn.
Một chu trình x1 u1 x2 u2…xn-1 un-1 xn có thể viết gọn là x1 x2…xn-1 xn.

Đọc thêm

lý thuyết đồ thị
Đồ thị có hướng
Đồ thị vô hướng
Thuật ngữ lý thuyết đồ thị
Dây chuyền

Tham khảo

Trần Đan Thư - Dương Anh Đức, Giáo trình lý thuyết đồ thị, Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh - Nhà xuất bản. ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh

Liên kết ngoài

Sách trực tuyến về Lý thuyết đồ thị
Hướng dẫn về lý thuyết đồ thị
Bài giảng của một môn học về các thuật toán đồ thị
Minh họa hoạt hình về các thuật toán đồ thị
Lần bước thuật toán để tìm hiểu.
Tóm tắt các trang minh họa thuật toán
Dữ liệu test chuẩn cho các bài toán đồ thị con đầy đủ lớn nhất (Maximum Clique), tập con độc lập lớn nhất (Maximum Independent Set), phủ đỉnh nhỏ nhất (Minimum Vertex Cover) và tô màu đỉnh (Vertex Coloring)
Sưu tập ảnh số 1: một số mạng lưới thực
Sưu tập ảnh số 1: một số mạng lưới thực
Sưu tập các liên kết về đồ thị
Các tạp chí lý thuyết đồ thị
Sách về lý thuyết đồ thị