Hằng số Catalan

Trong toán học và tổ hợp, hằng số Catalan , đặt tên theo nhà toán học Eugène Charles Catalan, được định nghĩa là

:G = \beta(2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \frac{1}{9^2} - \cdots

trong đó là hàm beta Dirichlet. Giá trị của nó là khoảng

:…}}

Hiện vẫn chưa biết liệu là số vô tỷ hay không, chưa nói đến tính siêu việt của nó.

Chuỗi tương tự nhưng có vẻ phức tạp hơn
: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)^3} = \frac{1}{1^3} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \frac{1}{9^3} - \cdots

có thể được tính bằng chính xác

Đẳng thức tích phân
Một số đồng nhất thức liên quan đến tích phân xác định bao gồm

:\begin{align}
G &= \iint_{[0,1]^2} \! \frac{1}{1+x^2 y^2} \,dx\, dy \\[3pt]
G &= \int_0^1\int_0^{1-x} \frac{1}{1 -x^2-y^2} \,dy\,dx \\[3pt]
G &= \int_1^\infty \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \\[3pt]
G &= -\int_0^1 \frac{\ln t}{1 + t^2} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^\frac{\pi}{4} \frac{t}{\sin t \cos t} \,dt \\[3pt]
G &= \tfrac14 \int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2} \frac{t}{\sin t} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^\frac{\pi}{4} \ln \cot t \,dt \\[3pt]
G &= -\int_0^\frac{\pi}{4} \ln \tan t \,dt \\[3pt]
G &= \tfrac12 \int_0^\frac{\pi}{2} \ln (\sec t +\tan t) \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^1 \frac{\arccos t}{\sqrt{1+t^2}} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^1 \frac{\operatorname{arsinh} t}{\sqrt{1-t^2}} \,dt \\[3pt]
G &= \int_0^\infty \arctan e^{-t} \,dt \\[3pt]
G &= \tfrac12 \int_0^\infty \frac{t}{\cosh t} \,dt \\[3pt]
G &= \frac{\pi}{2} \int_1^\infty \frac{(t^4-6t^2+1)\ln\ln t}{(1+t^2)^3} \,dt \\[3pt]
G &= 1 + \lim_{\alpha\to{1^-}}\!\left\{\int_0^{\alpha}\!\frac{(1+6t^2+t^4)\arctan{t}}{t(1-t^2)^2}\, dt
+ 2\operatorname{arctanh}{\alpha} - \frac{\pi\alpha}{1-\alpha^2} \right\} \\[3pt]
G &= 1 - \frac18 \iint_{\mathbb{R}^2}\!\!\frac{x\sin(2xy/\pi)}{\,(x^2+\pi^2)\cosh x\sinh y\,} \,dxdy
\end{align}

trong đó ba công thức cuối liên quan đến tích phân Malmsten.

Nếu là tích phân elliptic đầy đủ loại I, với là môđun elliptic, thì
: G = \tfrac12 \int_0^1 \mathrm{K}(k)\,dk.

Với hàm gamma
:\begin{align}
G &= \frac{\pi}{4} \int_0^1 \Gamma\left(1+\frac{x}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{x}{2}\right)\,dx \\
&= \frac{\pi}{2} \int_0^\frac12\Gamma(1+y)\Gamma(1-y)\,dy.\end{align}

Tích phân
: G = \operatorname{Ti}_2(1)=\int_0^1 \frac{\arctan t}{t}\,dt

là một hàm số đặc biệt, gọi là tích phân hàm tan nghịch, và được nghiên cứu đặc biệt bởi Srinivasa Ramanujan.

Ứng dụng
Hằng số xuất hiện trong tổ hợp, cũng như các giá trị của hàm polygamma thứ hai (còn gọi là hàm trigamma):

:\begin{align} \psi_1 \left(\tfrac14\right) &= \pi^2 + 8G \\
\psi_1 \left(\tfrac34\right) &= \pi^2 - 8G. \end{align}

Simon Plouffe đưa ra một tập hợp vô hạn các đẳng thức giữa hàm trigamma, và hằng số Catalan; chúng được biểu diễn thành các đường đi trên một đồ thị.

Trong tôpô ít chiều, hằng số Catalan là bội của thể tích của một khối bát diện hyperbolic lý tưởng.

Nó cũng xuất hiện trong phân phối sec hyperbolic.

Liên hệ với những hàm số khác
Hằng số Catalan xuất hiện thường xuyên trong những hàm Clausen, tích phân tan nghịch, tích phân sin nghịch, hàm Barnes, cũng như tích phân và chuỗi hội tụ của những hàm này.

Một ví dụ cụ thể, bằng cách biểu diễn tích phân tan ngược theo hàm Clausen, sau đó biểu diễn các hàm Clausen theo hàm Barnes, ta được hệ thức sau đây (xem thêm hàm Clausen):

:G=4\pi \log\left(\frac{ G\left(\frac{3}{8}\right) G\left(\frac{7}{8}\right) }{ G\left(\frac{1}{8}\right) G\left(\frac{5}{8}\right) } \right) +4 \pi \log \left(\frac{ \Gamma\left(\frac{3}{8}\right) }{ \Gamma\left(\frac{1}{8}\right) } \right) +\frac{\pi}{2} \log \left(\frac{1+\sqrt{2} }{2 \left(2-\sqrt{2}\right)} \right).

Nếu ta định nghĩa siêu việt Lerch (liên quan đến hàm zeta Lerch) là

:\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac { z^n} {(n+\alpha)^s},

thì

: G = \tfrac{1}{4}\Phi\left(-1, 2, \tfrac{1}{2}\right).

Chuỗi hội tụ nhanh
Hai công thức sau gồm những chuỗi hội tụ nhanh, phù hợp để tính giá trị của hằng số này:
: \begin{align}
G & = 3 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}}
\left(-\frac{1}{2(8n+2)^2}+\frac{1}{2^2(8n+3)^2}-\frac{1}{2^3(8n+5)^2}+\frac{1}{2^3(8n+6)^2}-\frac{1}{2^4(8n+7)^2}+\frac{1}{2(8n+1)^2}\right)- \\
& \qquad -2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{12n}}
\left(\frac{1}{2^4(8n+2)^2}+\frac{1}{2^6(8n+3)^2}-\frac{1}{2^9(8n+5)^2}-\frac{1}{2^{10} (8n+6)^2}-\frac{1}{2^{12} (8n+7)^2}+\frac{1}{2^3(8n+1)^2}\right)
\end{align}

và

:G = \frac{\pi}{8}\log\left(2 + \sqrt{3}\right) + \frac{3}{8}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^2 \binom{2n}{n}}.

Nền tảng lý thuyết cho hai chuỗi trên được đặt ra bởi Broadhurst, cho công thức thứ nhất, và Ramanujan, cho công thức thứ hai. Một thuật toán để tính nhanh hằng số Catalan được xây dựng bởi E. Karatsuba.

Chữ số đã biết
Số chữ số đã tính được của hằng số Catalan ngày càng tăng trong những thập kỷ gần đây, nhờ vào hiệu năng của máy tính và cải thiện trong thuận toán.

Xem thê
Các giá trị cụ thể của hàm zeta Riemann
Hằng số toán học

Tham khảo

Liên kết ngoài
Victor Adamchik, 33 representations for Catalan's constant (undated)

(Provides over one hundred different identities).
Simon Plouffe, A few identities with Catalan constant and Pi^2 , (1999) (Provides a graphical interpretation of the relations)

Catalan constant: Generalized power series at the Wolfram Functions Site
Greg Fee, Catalan's Constant (Ramanujan's Formula) (1996) (Provides the first 300,000 digits of Catalan's constant.).





Catalan's Constant &mdash; from Wolfram MathWorld
Catalan's Constant (Ramanujan's Formula)
catalan's constant &mdash; www.cs.cmu.edu