Vuông góc

Trong hình học sơ cấp, tính chất vuông góc là mối quan hệ giữa hai đường thẳng mà tạo thành một góc vuông (90 độ). Tính chất này cũng được mở rộng cho các đối tượng hình học khác.

Một đường thẳng được nói là vuông góc một đường thẳng khác nếu và chỉ nếu hai đường thẳng cắt nhau ở góc vuông. Cụ thể hơn, nếu đường thằng thứ nhất vuông góc với đường thẳng thứ hai nếu (1) hai đường thẳng cắt nhau; và (2) và tại giao điểm góc bẹt trên một phía của đường thẳng thứ nhất bị cắt bởi đường thẳng thứ hai thành hai góc tương đẳng. Tính vuông góc thể hiện tính đối xứng, có nghĩa là nếu đường thẳng thứ nhất vuông góc với đường thẳng thứ hai, thì đường thẳng thứ hai cũng vuông góc với đường thẳng thứ nhất. Vì lý do này, ta có thể nói hai đường thẳng vuông góc với nhau mà không cần xác định thứ tự ưu tiên.

Tính chất vuông góc có thể dễ dàng mở rộng ra cho đối với các đoạn thẳng và tia. Ví dụ, một đoạn thẳng \overline{AB} vuông góc với đoạn thẳng \overline{CD} nếu, khi mỗi đoạn thẳng được mở rộng kéo dài về hai phía để tạo thành một đường thẳng, hai đường thẳng kết quả này tự động tuân theo định nghĩa vuông góc ở trên. Bằng ký hiệu, \overline{AB} \perp \overline{CD} có nghĩa là đoạn thẳng AB vuông góc với đoạn thẳng CD. Điểm B còn được gọi là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng CD]]Từ chân thường được sử dụng thường xuyên đi kèm với khái niệm vuông góc. Cách sử dụng này được minh họa trong hình vẽ ở trên, và phần chú giải của hình. Hình vẽ có hướng bất kỳ. Và chân đường vuông góc không nhất thiết phải nằm ở đáy. Chân đường vuông góc còn được gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng.

Đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu của đường xiên
Trong tất cả các đoạn thẳng kẻ từ 1 điểm nằm ngoài một đường thẳng và cắt đường thẳng đó, đoạn vuông góc là đoạn thẳng ngắn nhất và duy nhất. Các đoạn thẳng còn lại được gọi là đường xiên.

Đoạn thẳng giới hạn bởi chân đường vuông góc và giao điểm của đường xiên với đường thẳng được gọi là hình chiếu của đường xiên lên đường thẳng đó.

Trong các đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó:

Đường xiên lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) thì có hình chiếu lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) và ngược lại
2 đường xiên bằng nhau thì có hình chiếu bằng nhau và ngược lại

Quan hệ vuông góc trong không gian

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng đó

Nếu đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau trong cùng một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng chứa 2 đường thẳng đó.

Có 1 và chỉ 1 đường thẳng đi qua 1 điểm nằm ngoài mặt phẳng và vuông góc với mặt phẳng đó.

Có 1 và chỉ 1 mặt phẳng đi qua 1 điểm nằm ngoài đường thẳng và vuông góc với đường thẳng đó.

Phép chiếu vuông góc
Cho đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P). Phép chiếu song song theo phương của (d) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Kết quả của phép chiếu vuông góc được gọi hình chiếu vuông góc.

Quy ước: nếu nói phép chiếu (hoặc hình chiếu) mà không nói gì thêm, ta xem như đó là phép chiếu (hoặc hình chiếu) vuông góc.

Đường thẳng vuông góc trong không gian
Trong không gian, 2 đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

Cho đường thẳng (a) không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng (d)\subset(P), khi đó(a)\perp(b)\Leftrightarrow(a)\perp(b') với (b') là hình chiếu của (a) lên (P)

2 mặt phẳng vuông góc

Điều kiện để 2 mặt phẳng vuông góc
Điều kiện cần và đủ để 2 mặt phẳng vuông góc là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

Tính chất
2 mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm ở 1 trong 2 mặt phẳng vuông góc với giao tuyến của 2 mặt phẳng đó thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia.

2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì đường thẳng đi qua một điểm trong mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q) thì sẽ luôn nằm trong (P)

2 mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của 2 mặt phẳng đó sẽ vuông góc với mặt phẳng thứ 3.

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng không vuông góc với đường thẳng đó.

Xem thêm
Thành phần pháp tuyến và tiếp tuyến
Pháp tuyến

Tham khảo

Thư mục


Phan Đức Chính và đồng nghiệp, Sách giáo khoa Toán 7 - tập 1, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
Phan Đức Chính và đồng nghiệp, Sách giáo khoa Toán 7 - tập 2, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
Trần Văn Hạo và đồng nghiệp, Sách giáo khoa Hình học 11, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam
Đoàn Quỳnh và đồng nghiệp, Sách giáo khoa Hình học 11 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam

Liên kết ngoài

Definition: perpendicular with interactive animation.
How to draw a perpendicular bisector of a line with compass and straight edge (animated demonstration).
How to draw a perpendicular at the endpoint of a ray with compass and straight edge (animated demonstration).