Norma nº 11/2002

Aprova o Roteiro de Técnicas de Amostragem para Auditorias.

 PORTARIA Nº 11, DE 15 MARÇO DE 2002. Aprova o Roteiro de Técnicas de Amostragem para Auditorias.            O SECRETÁRIO-GERAL DE CONTROLE EXTERNO DO TRIBUNAL DE CONTAS DA UNIÃO, no uso da competência que lhe confere o artigo 10, inciso II, da Resolução n.º 140, de 13 de dezembro de 2000, resolve:          Art. 1º Fica aprovado o Roteiro de Técnicas de Amostragem para Auditorias, com vistas a subsidiar a atuação dos servidores deste Tribunal em trabalhos de auditoria.          Art. 2º Compete à Secretaria Adjunta de Fiscalização - Adfis divulgar o Roteiro aprovado por esta Portaria, mantê-lo atualizado, bem como esclarecer dúvidas e receber sugestões para o seu aperfeiçoamento.          Art. 3º Esta Portaria entra em vigor na data de sua publicação. LUCIANO CARLOS BATISTA  Publicada no BTCU-Especial nº 19, de 25 de março de 2002 

[    TRIBUNAL DE CONTAS DA UNIÃO     Secretaria-Geral de Controle Externo     Secretaria-Adjunta de Fiscalização     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM     PARA AUDITORIAS     ADFIS/SEGECEX     2002     TRIBUNAL DE CONTAS DA UNIÃO     Negócio     Controle externo da administração pública e da gestão dos recursos públicos federais.     Missão     Assegurar a efetiva e regular gestão dos recursos públicos, em benefício da sociedade.     Visão     Ser instituição de excelência no controle e contribuir para o aperfeiçoamento da     administração pública.     MINISTROS     Humberto Guimarães Souto, Presidente     Antonio Valmir Campelo Bezerra, Vice-Presidente     Marcos Vinicios Rodrigues Vilaça     Iram de Almeida Saraiva     Adylson Motta     Walton Alencar Rodrigues     Guilherme Gracindo Soares Palmeira     Ubiratan Diniz Aguiar     Benjamin Zymler     MINISTROS-SUBSTITUTOS     Lincoln Magalhães da Rocha     Augusto Sherman Cavalcanti     Marcos Bemquerer Costa     MINISTÉRIO PÚBLICO     Lucas Rocha Furtado, Procurador-Geral     Jatir Batista da Cunha, Subprocurador-Geral     Paulo Soares Bugarin, Subprocurador-Geral     Ubaldo Alves Caldas, Subprocurador-Geral     Maria Alzira Ferreira, Procuradora     Marinus Eduardo Vries Marsico, Procurador     Cristina Machado da Costa e Silva, Procuradora     TRIBUNAL DE CONTAS DA UNIÃO     Secretaria-Geral de Controle Externo     Secretaria-Adjunta de Fiscalização     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM     PARA AUDITORIAS     Brasília, março de 2002.     Tribunal de Contas da União     Internet: http://www.tcu.gov.br     SAFS Q. 04 Lt. 01     70.042-900 - Brasília (DF)     Secretário-Geral de Controle Externo:     Luciano Carlos Batista     Secretário-Adjunto de Fiscalização:     Cláudio Souza Castello Branco     Analistas de Finanças e Controle Externo - Área de Controle Externo:     Carlos Alexandre Amorim Rocha (Semag - Redação)     Fábio Henrique Granja e Barros (Secob - Revisão)     Flávio Marcos Godoy Krecke (Semag - Revisão)     Marcelo Cardoso Soares (Seprog - Revisão)     Márcio Emmanuel Pacheco (Secex-RJ - Revisão)     Paula de Biase Damasceno (Secex-RJ - Revisão)     657.63 Brasil. Tribunal de Contas da União.     B823t Técnicas de amostragem para     auditorias / Tribunal de Contas da União.     -- Brasília : TCU, Secretaria-Adjunta de     Fiscalização, 2002.     149 p.     1. Auditoria I. Título.     Ficha Catalográfica elaborada pela Divisão de Documentação do TCU.     APRESENTAÇÃO     Este documento complementa orientações constantes do Manual de Auditoria de     Natureza Operacional desta Corte. As técnicas ora tratadas procuram orientar as equipes de     auditoria sobre os conceitos e procedimentos elementares requeridos pelas amostragens     probabilísticas, bem como sobre os benefícios que elas podem proporcionar.     É nítida a importância do presente trabalho, pois já se observa uma demanda por     técnicas de amostragem nas avaliações de programas públicos, nas fiscalizações de obras e     na obtenção de subsídios para os pareceres anuais sobre as contas prestadas pelo Presidente     da República.     No intuito de tornar mais claros e acessíveis os temas abordados, este documento     contém vários exemplos e, quando possível, as rotinas do Microsoft Excel que permitem     obter os resultados desejados.     Ademais, convém frisar que este trabalho não apenas descreve as técnicas de     amostragem mais tradicionais (i.e., aleatória simples, estratificada e por conglomerados),     empregadas em diversos campos do conhecimento, como também resume uma técnica     específica para auditorias contábil-financeiras, qual seja: a amostragem por unidade     monetária.     Dessa forma, acreditamos que o presente documento contribuirá para tornar mais     efetiva a atuação do TCU, aprimorando a sua capacidade para apurar tempestivamente os     resultados e as eventuais falhas sistemáticas presentes na administração pública federal.     Naturalmente, é de suma importância a apresentação de críticas e sugestões por     todos que utilizarem este documento, pois somente isso permitirá o seu aperfeiçoamento. O     tópico "Folha de Sugestões", incluído no final desta brochura, explica como e a quem enviar     quaisquer comentários.     Finalmente, na condição de Secretário-Geral de Controle Externo, parabenizo os     dirigentes e servidores cujo esforço resultou na materialização do presente trabalho.     Luciano Carlos Batista     Secretário-Geral de Controle Externo     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     iv     SUMÁRIO     LISTA DE FIGURAS...................................................................................................... vii     LISTA DE TABELAS.......................................................................................................ix     LISTA DE EXEMPLOS ....................................................................................................x     INTRODUÇÃO ................................................................................................................11     1. CONCEITOS BÁSICOS..............................................................................................15     1.1. Inferência Estatística............................................................................................... 15     1.2. Principais Tipos de Amostragem Probabilística...................................................... 16     1.2.1. Introdução à Amostragem Aleatória Simples................................................. 16     1.2.2. Introdução à Amostragem Aleatória Estratificada.......................................... 17     1.2.3. Introdução à Amostragem Aleatória por Conglomerados............................... 18     1.3. Plano Amostral....................................................................................................... 19     2. PROPRIEDADES DOS DADOS NUMÉRICOS ........................................................21     2.1. Medidas de Tendência Central................................................................................ 21     2.2. Medidas de Variação .............................................................................................. 23     2.3. Relação entre a Média e a Mediana ........................................................................ 25     3. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.................................................................27     3.1. Modelos de Distribuição Discreta........................................................................... 27     3.1.1. Distribuição Binomial ................................................................................... 28     3.1.2. Distribuição Hipergeométrica........................................................................ 30     3.1.3. Distribuição Binomial Negativa .................................................................... 31     3.1.4. Distribuição de Poisson................................................................................. 31     3.2. Modelos de Distribuição Contínua.......................................................................... 33     3.2.1. Distribuição Normal...................................................................................... 34     3.2.2. Distribuição Exponencial .............................................................................. 39     4. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS................................................................................41     4.1. Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais............................................ 41     4.2. Distribuição de Probabilidades das Proporções Amostrais...................................... 47     4.3. Amostragem em Populações Finitas ....................................................................... 48     5. ESTIMAÇÃO ...............................................................................................................49     5.1. Estimativa do Intervalo da Média com s Conhecido............................................... 50     5.2. Estimativa do Intervalo da Média com s Desconhecido.......................................... 52     5.3. Estimativa do tipo "Bootstrapping" ........................................................................ 55     5.4. Estimativa do Intervalo para Proporções................................................................. 55     5.5. Determinação do Tamanho da Amostra .................................................................. 57     5.5.1. Médias .......................................................................................................... 57     5.5.2. Proporções .................................................................................................... 58     5.6. Amostragem em Populações Finitas ....................................................................... 60     5.7. Estimativa do Intervalo para Totais......................................................................... 61     5.8. Estimativa do Intervalo para Diferenças ................................................................. 62     vi     6. VARIANTES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES..................................65     6.1. Amostragem Aleatória Estratificada ....................................................................... 65     6.1.1. Estimação de Médias, Totais e Proporções na AAE ....................................... 65     6.1.2. Determinação do Tamanho da Amostra na AAE............................................ 68     6.2. Amostragem Aleatória por Conglomerados ............................................................ 69     6.2.1. Estimação de Médias, Totais e Proporções na AAC....................................... 69     6.2.2. Determinação do Tamanho da Amostra na AAC............................................ 72     7. AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA.....................................................73     7.1. Metodologia da Amostragem por Unidade Monetária............................................. 75     7.2. Aplicação da Amostragem por Unidade Monetária................................................. 80     8. TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM....................................................................83     8.1. Efeitos da Não-Resposta......................................................................................... 84     8.2. Métodos de Redução da Não-Resposta................................................................... 87     8.2.1. Call-Backs..................................................................................................... 88     8.2.2. Subamostras.................................................................................................. 89     8.3. Métodos de Compensação da Não-Resposta........................................................... 90     ANEXO I: ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL...........................................................93     ANEXO II: DISTRIBUIÇÕES NORMAL PADRÃO & "t" DE STUDENT..............107     ANEXO III: BREVIÁRIO DE FÓRMULAS................................................................117     ANEXO IV: FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGENS POR UNIDADE     MONETÁRIA .........................................................................................................127     ANEXO V: APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UNIDADE     MONETÁRIA .........................................................................................................111     GLOSSÁRIO..................................................................................................................137     BIBLIOGRAFIA............................................................................................................141     FOLHA DE SUGESTÕES.............................................................................................143     vii     LISTA DE FIGURAS     1.1. Amostragem Aleatória Simples....................................................................................16     1.2. Amostragem Aleatória Estratificada ............................................................................17     1.3. Amostragem Aleatória por Conglomerados .................................................................18     2.1. Propriedades dos Dados Numéricos.............................................................................21     2.2. Relação entre a Média, a Mediana e a Moda................................................................25     3.1. Exemplo de Distribuição Discreta de Probabilidades ...................................................27     3.2. Distribuição Binomial com n = 5 e p = 0,5...................................................................29     3.3. Distribuição Binomial com n = 5 e p = 0,1...................................................................30     3.4. Distribuição de Poisson com l = 0,5............................................................................32     3.5. Distribuição de Poisson com l = 6...............................................................................33     3.6. Função Densidade de Probabilidades...........................................................................33     3.7. Probabilidade de Variáveis Aleatórias Contínuas.........................................................34     3.8. Distribuição Normal ....................................................................................................35     3.9. Efeitos de Variações em s e m (sA > sB e mC > mB)......................................................36     3.10. Padronização da Distribuição Normal........................................................................37     3.11. Obtenção de Probabilidades [P (Z) ] Dado um Valor Normal Padronizado (Z).............38     3.12. Obtenção de um Valor Normal Padronizado (Z) Dada uma Probabilidade     [P (Z) ] ..........................................................................................................................38     3.13. Distribuição Exponencial...........................................................................................40     4.1. Medida Não-Viesada ...................................................................................................42     4.2. Medida Eficiente .........................................................................................................42     4.3. Medida Consistente .....................................................................................................43     4.4. Exemplo de Distribuição de Médias Amostrais............................................................43     4.5. Exemplo do Impacto de n em Amostras Extraídas de Populações Distribuídas     Normalmente...............................................................................................................44     4.6. Teorema do Limite Central ..........................................................................................46     4.7. Aplicação do Teorema do Limite Central.....................................................................46     4.8. Distribuição de Proporções Amostrais .........................................................................47     5.1. Elementos de uma Estimativa Probabilística................................................................49     5.2. Intervalos de Confiança das Médias Amostrais............................................................50     viii     5.3. Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais Conhecendo-se o Desvio-     Padrão Populacional....................................................................................................51     5.4. Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais Desconhecendo-se o     Desvio-Padrão Populacional........................................................................................53     5.5. Aplicação da Tabela "t" de Student..............................................................................54     8.1. Tipos de Erro em Amostragem ....................................................................................84     A.1. Dados Hipotéticos.......................................................................................................95     A.2. Geração de Estatísticas Descritivas .............................................................................95     A.3. Estatísticas Descritivas Geradas..................................................................................96     A.4. Agrupamento de Dados (Etapa 1 de 4)........................................................................97     A.5. Agrupamento de Dados (Etapa 2 de 4)........................................................................97     A.6. Agrupamento de Dados (Etapa 3 de 4)........................................................................98     A.7. Agrupamento de Dados (Etapa 4 de 4)........................................................................98     A.8. Dados Agrupados........................................................................................................98     A.9. Seleção de Amostras Aleatórias Simples com Reposição..........................................100     A.10. Amostra Aleatória Simples Selecionada..................................................................100     A.11. Estimação do Intervalo de Confiança para Médias com Desvio-Padrão     Conhecido .................................................................................................................101     A.12. Intervalo de Confiança Estimado.............................................................................101     ix     LISTA DE TABELAS     3.1. Aplicações da Distribuição Binomial ...........................................................................29     5.1. Tamanho da Amostra para Vários Erros Amostrais e Proporções de "Sucesso"     (Z = 1,96) ....................................................................................................................59     6.1. Resumo dos Dados Coletados na Aplicação da Amostragem por     Conglomerados ...........................................................................................................70     7.1. Índices de Confiabilidade para Várias Quantidades Previstas de Erros e Níveis     de Confiança ...............................................................................................................73     7.2. Índice de Confiabilidade para Vários Erros Observados na Amostra............................75     7.3. Seleção dos Elementos Amostrais................................................................................78     7.4. Fatores de Ampliação do Intervalo de Precisão ( ) FAP     j ..................................................80     7.5. Diferenças Observadas na Amostra..............................................................................81     8.1. Intervalos de Confiança para Várias Proporções de "Sucesso" e Índices de Não-     Resposta (Z = 1,96 e n = 1.000)...................................................................................86     8.2. Tamanho da Amostra para Vários Erros Amostrais e Índices de Não-Resposta     (Z = 1,96 e p = 0,5)......................................................................................................87     8.3. Eficácia de Três Tentativas de Contato ........................................................................88     A.1. Obtenção da Amplitude Semi-Interquartílica e da Meia Amplitude Semi-     Interquartílica..............................................................................................................99     A.2. Estimação de Intervalos de Confiança.......................................................................102     A.3. Determinação do Tamanho da Amostra ....................................................................103     A.4. Estimação do Intervalo de Confiança para Totais......................................................104     A.5. Estimação do Intervalo de Confiança para Diferenças...............................................105     x     LISTA DE EXEMPLOS     3.1. Aplicação da Distribuição de Poisson ..........................................................................32     3.2. Aplicação da Distribuição Exponencial........................................................................39     4.1. Aplicação da Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais............................45     4.2. Aplicação da Distribuição de Probabilidades das Proporções Amostrais......................48     5.1. Aplicação da Estimativa do Intervalo da Médias com s Conhecido.............................52     5.2. Aplicação da Estimativa do Intervalo para Médias com s Desconhecido.....................54     5.3. Aplicação da Estimativa do Intervalo para Proporções.................................................56     5.5. Cálculo do Tamanho da Amostra para Estimar Duas Proporções .................................58     5.6. Cálculo do Tamanho da Amostra para Estimar n-Proporções.......................................59     5.7. Cálculo Simplificado do Tamanho da Amostra para Estimar n-Proporções..................60     5.8. Aplicação da Estimativa do Intervalo para Totais ........................................................62     5.9. Aplicação da Estimativa do Intervalo para Diferenças .................................................63     6.1. Aplicação da Estimativa de Médias na Amostragem Estratificada ...............................66     6.2. Aplicação da Estimativa de Totais na Amostragem Estratificada .................................67     6.3. Aplicação da Estimativa de Médias e Proporções na Amostragem por     Conglomerados ...........................................................................................................70     7.1. Cálculo do Índice de Confiabilidade ............................................................................74     7.2. Aplicação da Tabela de Índices de Confiabilidade .......................................................75     7.3. Cálculo do Tamanho da Amostra na AUM...................................................................77     7.4. Seleção dos Elementos Amostrais na AUM..................................................................77     8.1. Cálculo da Quantidade de Questionários......................................................................90     INTRODUÇÃO     É cada vez mais comum o uso de técnicas de amostragem pelos órgãos     brasileiros de controle das finanças públicas, merecendo destaque os esforços da Secretaria     Federal de Controle - SFC. A adoção dessas técnicas pelos órgãos em questão é uma     decorrência do processo de reforma do Estado, no qual, sem prejuízo das várias formas de     controle jurídico, observa-se uma demanda crescente por controles gerenciais, preocupados     com a tempestiva apuração de resultados e com a identificação de falhas sistemáticas que,     independentemente de envolverem ou não práticas ilícitas, possam requerer a adoção, em     tempo hábil, de medidas corretivas de natureza político-administrativa.     No âmbito do TCU, há uma tendência em favor do uso dessas técnicas de     amostragem em avaliações de programas públicos, em fiscalizações de obras e até mesmo     na obtenção de subsídios para os pareceres anuais sobre as contas prestadas pelo Presidente     da República. Dessa forma, o presente documento deve ser compreendido como uma     complementação do Manual de Auditoria de Natureza Operacional.     Este trabalho tem como objetivo permitir que os AFCEs-CE tomem contato com     os principais conceitos e métodos empregados pelas modernas técnicas de amostragem, para     que possam estruturar melhor os trabalhos de campo cujo propósito seja determinar, p. ex.,     se os cadastros ou sistemas de controle das unidades jurisdicionadas são confiáveis, se as     políticas públicas federais estão alcançando os resultados que lhe deram origem ou se as     eventuais insuficiências de desempenho são aleatórias ou sistemáticas.     Isso não significa, entretanto, que este documento bastará para que os membros     do corpo técnico do TCU se tornem especialistas em amostragem - uma disciplina por     demais vasta e que, por ser eminentemente aplicada, precisa lidar com uma grande     variedade de situações concretas. Na verdade, raramente os cadastros apresentam o mesmo     grau de confiabilidade. É igualmente pouco comum que as populações apresentem o mesmo     nível de dispersão ou o mesmo índice de não-respondentes recalcitrantes. Esses fatores     geram diferenças entre os estimadores empregados pelos estudos amostrais, tornando-os, de     certa forma, únicos.     Com este trabalho, pretende-se que os AFCEs-CE possam cumprir as tarefas     mais simples e, ante situações mais complexas, formular questões que possam ser     respondidas com objetividade por especialistas em atividade no próprio TCU ou em outras     entidades, públicas ou privadas. Os interessados em se aprofundar um pouco mais nesse     tema deverão recorrer a textos especializados, tais como as obras "Curso de Estatística",     "Estatística Aplicada à Administração" e, em especial, "Elementary Survey Sampling" (vide     o tópico "Bibliografia").     Ressalte-se que, para que este documento fosse o mais útil possível para os     membros do corpo técnico, os cinco primeiros capítulos baseiam-se em rotinas do Microsoft     Excel, pertencente à plataforma de softwares do TCU. A principal fonte para esses capítulos     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     12     foi a versão de 1997 da obra "Statistics for Managers Using Microsoft Excel". Cabe     registrar o nosso agradecimento a um dos seus autores, Prof.º David M. Levine, da City     University of New York, por nos ter permitido acessar o material didático derivado desse     livro, especialmente as apresentações do Microsoft PowerPoint preparadas pelo Prof.º John     McGill.     O presente trabalho representa o resultado de seis anos de iniciativas individuais,     de treinamentos promovidos pela Assessoria de Relações Internacionais (Arint) e pelo     Instituto Serzedello Corrêa (ISC), e de recursos alocados pela extinta Secretaria de     Auditoria e Inspeções (Saudi) e pelas atuais Secretaria-Adjunta de Fiscalização (Adfis),     Secretaria de Macroavaliação Governamental (Semag), Secretaria de Controle Externo no     Estado do Rio de Janeiro (Secex-RJ), Secretaria de Fiscalização de Obras e Patrimônio da     União (Secob) e Secretaria de Fiscalização e Avaliação de Programas de Governo (Seprog).     As fases do trabalho foram:     ∙ participação no "TCU Auditing Seminar", ministrado, em novembro de 1995,     pelos auditores Roger Adams e Richard Regal, da Association of Certified     Chartered Accountants, com 60 horas de duração;     ∙ manutenção de contatos com auditores da Inspetoria-Geral do Departamento     da Defesa dos EUA, como parte do curso "Executive Development Program     in Performance Management", ministrado, em junho de 1996, pelo Virginia     Polytechnic Institute and State University e pela Fundação Getúlio Vargas,     com o auxílio da National Academy of Public Adminstration;     ∙ participação no curso "Estatística Aplicada e Noções de Amostragem",     ministrado, em maio de 1997, pelo Prof.º George von Borries, com 20 horas     de duração;     ∙ participação na disciplina "Delineamento e Análise de Amostras" do     mestrado em Estatística da Universidade de Brasília, ministrada no 2º     semestre de 1997;     ∙ elaboração deste documento no período de setembro de 1998 a março de     1999;     ∙ organização do módulo "Técnicas de Amostragem", ministrado em abril de     1999, com 15 horas de duração, do curso "Introdução à Auditoria" do     Programa de Formação de 1999 para AFCEs-CE;     ∙ revisão de uma versão preliminar deste documento pelos participantes do     módulo citado acima, o que permitiu a supressão de várias imprecisões;     ∙ participação, em decorrência de convênio firmado pelo TCU e pela     Embaixada Britânica em março de 1998, na disciplina "Estatística" do     mestrado em Economia da London School of Economics and Political     Science, ministrada em setembro de 1999;     ∙ complementação deste trabalho em março de 2001;     ∙ revisão final no âmbito da Adfis e por servidores designados pelo     Memorando-Circular nº 029 - Adfis, de 15/05/2001, no período de abril a     julho de 2001;     ∙ participação no curso "Técnicas de Amostragem com o Auxílio do Software     SAS", ministrado, em junho de 1997, pela Prof.ª Édina Shisue Miazaki, com     36 horas de duração;     INTRODUÇÃO     13     ∙ finalização deste trabalho em setembro de 2001, incorporando-se quase todas     as sugestões apresentadas pelos revisores.1     Inegavelmente, trata-se de um período de maturação longo. A publicação de um     documento como este, entretanto, somente tem sentido quando há uma demanda nítida por     esse tipo de trabalho, como é o caso atualmente.     O texto é composto por oito capítulos:     a) o primeiro discorre sobre alguns conceitos básicos que devem ser fixados     desde o primeiro instante;     b) o segundo revê e exemplifica as propriedades dos dados numéricos;     c) o terceiro trata dos modelos de distribuição de probabilidade;     d) o quarto aborda as propriedades das distribuições amostrais;     e) o quinto discute os problemas e técnicas elementares de estimação, os quais     se confundem com a amostragem aleatória simples;     f) o sexto estende os conceitos do capítulo anterior, discorrendo sobre as     versões básicas das amostragens aleatórias estratificada e por     conglomerados;     g) o sétimo discute as características da amostragem por unidade monetária,     empregada em auditorias contábil-financeiras;     h) o oitavo, por fim, trata dos erros em amostragem, em especial do problema     da não-resposta.     Em todos os capítulos, recorreu-se a exemplos no intuito de tornar mais claros os     temas tratados. A bibliografia, por sua vez, foi dividida em "principal" e "complementar"     para que os leitores tenham mais opções para consulta, ainda que somente o primeiro grupo     tenha sido ostensivamente consultado.       1 Naturalmente, compete ao redator a responsabilidade pelas falhas remanescentes.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     14     1. CONCEITOS BÁSICOS     Em auditoria, as técnicas de amostragem visam coletar e avaliar evidências     numéricas das entidades administrativas no intuito de determinar e relatar o grau de     adequação das informações obtidas a critérios previamente definidos. Isso se deve à     natureza antieconômica das auditorias que pretendam investigar todo o universo visado.     As técnicas em questão, por se basearem em princípios estatísticos     demonstráveis, apresentam as seguintes vantagens:     a) o tamanho da amostra e o erro amostral podem ser estimados prévia e     objetivamente;     b) as amostragens conduzidas por auditores diferentes podem ser combinadas;     c) os censos, além de serem demorados, podem conter mais erros não-amostrais     do que as amostras;     d) os resultados amostrais são objetivos e, por extensão, defensáveis;     e) os resultados da auditoria podem ser avaliados com segurança e extrapolados     para toda a população.     1.1. Inferência Estatística     A crescente demanda por dados numéricos observada ao longo da história está     estreitamente relacionada com o desenvolvimento da estatística descritiva.     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:     OPÇÃO "FERRAMENTAS/ANÁLISE DE DADOS..." (VIDE FIGURAS A.1 - A.3,     ANEXO I ) Þ gera estatísticas descritivas de um conjunto de observações.     Modernamente, porém, é graças ao desenvolvimento da inferência estatística,     partindo de extensões da teoria da probabilidade, que a estatística passou a ser amplamente     empregada por todo tipo de pesquisa.     A relevância dos métodos de inferência estatística deve-se ao fato de que as     técnicas de amostragem tornaram-se indispensáveis, pois o crescimento populacional tornou     excessivamente onerosa, demorada e complexa a coleta de dados sobre toda a população.     Decisões relacionadas com as características da população devem se basear em informações     extraídas de amostras, com a teoria da probabilidade fornecendo o elo entre ambas mediante     a definição da probabilidade de que os resultados amostrais espelhem os parâmetros     populacionais.     Convém frisar que, para que a análise estatística seja útil ao processo de tomada     de decisão, os dados coletados devem ser apropriados, ou seja, livres de vieses,     ambigüidades ou outros tipos de erro, pois essas deficiências dificilmente poderão ser     compensadas, mesmo pelos mais modernos métodos estatísticos.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     16     1.2. Principais Tipos de Amostragem Probabilística     Há dois tipos de amostragens: não-probabilísticas e probabilísticas. As     amostras por quotas e por julgamento do pesquisador são não-probabilísticas, enquanto que     as amostras aleatórias simples, estratificadas e por conglomerados são probabilísticas,     uma vez que seus elementos são selecionados com base em probabilidades conhecidas. Em     estudos numéricos, somente as amostragens probabilísticas permitem a correta     generalização para a população dos resultados amostrais.     Nas amostras probabilísticas, as inferências podem ser formuladas por     intermédio de estimadores simples, do tipo razão ou do tipo regressão. Os primeiros se     baseiam unicamente nos dados referentes à variável acerca da qual se deseja gerar     inferências, enquanto que os outros também recorrem a variáveis auxiliares, supostamente     relacionados com o fenômeno estudado. Este documento, contudo, somente tratará de     estimadores simples, pois os demais envolvem um nível maior de sofisticação matemática.     1.2.1. Introdução à Amostragem Aleatória Simples     Embora a amostragem aleatória simples não seja, necessariamente, a estratégia     amostral mais eficiente e econômica, ela funciona como base para as estratégias mais     sofisticadas. As suas principais características constam da Figura 1.1.     Figura 1.1: Amostragem Aleatória Simples     Estou 95%     confiante     que mm está     entre 40 e 60.     Média, mm, é     desconhecida     População Amostra Aleatória     Média     ``X = 50     Amostra     ☺☺     ☺☺     ☺☺☺☺     ☺☺ ☺☺☺☺     ☺     ☺     ☺ ☺     Conclusão     Ilustração     Propriedades     n Cada elemento     da população     tem a mesma     chance de ser     selecionado.     n Admite o uso de     tabelas de números     aleatórios ou     sistemas não-     viesados de sorteio.     n A seleção de um     elemento não     interfere na     seleção dos     demais.     Fonte: McGill, 1997.     O elemento-chave de qualquer estratégia amostral é a obtenção e manutenção de     um cadastro atualizado (i.e., sistema de referência ou, na língua inglesa, "frame") de todos     CONCEITOS BÁSICOS     17     os itens ou indivíduos que compõem a população da qual será extraída a amostra (i.e.,     população-alvo). Caso alguns grupos de itens ou indivíduos não sejam adequadamente     contemplados pelo cadastro, a população-alvo e a verdadeira população diferirão. Dessa     forma, as estimativas geradas pelas amostras aleatórias serão válidas para a população-alvo,     mas viesadas para a verdadeira população.     As amostras aleatórias podem ser selecionadas com ou sem reposição de     populações finitas ou infinitas. O método empregado deve ser indicado claramente, pois as     equações usadas nas inferências estatísticas variam com os métodos. Convém notar que as     amostragens aleatórias simples com reposição de populações finitas e sem reposição de     populações infinitas geram estimadores cujas equações são idênticas.     1.2.2. Introdução à Amostragem Aleatória Estratificada     Quando os elementos da população puderem ser agrupados em conjuntos     homogêneos (i.e., estratos), pode-se utilizar a amostragem aleatória estratificada,     selecionando-se uma amostra para cada estrato. Os tamanhos das amostras e as estatísticas     estimadas são independentes. Ao se combinar as estimativas de cada estrato, obtém-se uma     estimação para toda a população.     Na estratificação da população, cada elemento deve constar de um único estrato,     ou seja, os estratos não podem possuir interseções, enquanto que o conjunto de elementos de     um estrato deve ser o mais homogêneo possível em relação à característica que se pretende     examinar, como ilustrado pela Figura 1.2.     Figura 1.2: Amostragem Aleatória Estratificada     n Dividir a população     em subgrupos:     l mutuamente     excludentes;     l exaustivos;     l com ao menos uma     característica     relevante em comum.     n Selecionar uma     amostra aleatória de     cada subgrupo.     Todos os     Universitários     Não-Residentes Residentes     Amostra     Fonte: McGill, 1997.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     18     A amostragem estratificada apresenta as seguintes vantagens:     a) com relação à amostra aleatória simples, supondo-se que haja um acréscimo     no volume de informação acerca da população em decorrência da     estratificação (p. ex., o desvio-padrão observado em cada um dos estratos é     substancialmente inferior ao desvio-padrão do conjunto da população):     ∙ obter precisão semelhante com uma amostra total menor;     ∙ obter maior precisão com uma amostra total igual;     b) obter estimativas para cada estrato, se essas estimativas forem úteis;     c) dar maior atenção a certos grupos dentro da população que têm uma     propensão muito alta ou muito baixa a apresentar a característica examinada.     A estratificação pode ser útil também se os custos de auditoria são diferentes para     cada estrato (p. ex., entrevistas de contato direto em alguns casos e questionários enviados     pelo correio em outros).     1.2.3. Introdução à Amostragem Aleatória por Conglomerados     Quando os elementos da população podem ser agrupados em conjuntos     semelhantes, mas internamente heterogêneos (i.e., conglomerados), pode-se usar a     amostragem aleatória por conglomerados. Nessa técnica, as amostras são obtidas por meio     não da seleção aleatória de alguns de seus elementos, mas sim de alguns dos conglomerados     que a compõem. Uma vez selecionados os conglomerados, todos os seus elementos são     examinados para que as estatísticas desejadas sejam obtidas, como ilustrado pela Figura 1.3.     Figura 1.3: Amostragem Aleatória por Conglomerados     n Dividir a população em     conglomerados.     l Se os trabalhadores são os     elementos amostrais,     então as companhias são     os conglomerados.     n Selecionar conglome-     rados aleatoriamente.     n Pesquisar todos os     trabalhadores do     conglomerado     selecionado ou uma     amostra aleatória deles.     Conglomerados     (Companhias)     Amostra     (Trabalhadores das     Companhias Selecionadas     Fonte: McGill, 1997.     CONCEITOS BÁSICOS     19     Quando os conglomerados são compostos por uma grande quantidade de     elementos, entretanto, pode-se estimar as estatísticas referentes a cada conglomerados por     meio da amostragem aleatória simples. Essa técnica é denominada de amostragem     aleatória por conglomerados em dois estágios, que também não será examinada neste     documento em função do nível de sofisticação matemática.     1.3. Plano Amostral     O ponto de partida de toda amostra é o plano amostral, o qual documenta os     passos e os procedimentos envolvidos na utilização de técnicas de amostragem, devendo     envolver as etapas definidas a seguir:     a) estipular os objetivos do uso de técnicas de amostragem, explicando-se o     porquê da não-utilização de um censo;     b) definir os elementos da população, ou seja, os indivíduos ou objetos acerca     dos quais serão feitas estimativas;     c) definir o tamanho da população, recorrendo-se, se necessário, a estimativas;     d) examinar o cadastro da população ou, caso não esteja disponível, a descrição     dos itens relevantes para a seleção;     e) descrever a técnica de amostragem a ser utilizada e justificar a escolha;     f) descrever os procedimentos seguidos na execução do trabalho;     g) estabelecer o nível de confiança;     h) determinar o tamanho da amostra e a precisão desejada, o que     freqüentemente requer uma amostra preliminar;     i) escolher as técnicas de coleta, armazenamento e análise dos dados.     O maior ou menor sucesso dos estudos amostrais, independentemente do seu     tipo, costuma guardar relação direta com a melhor ou pior observância dessas etapas.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     20     2. PROPRIEDADES DOS DADOS NUMÉRICOS     Em geral, os pesquisadores procuram desenvolver instrumentos destinados a     obter respostas objetivas para perguntas acerca de vários tipos de fenômenos ou     características (i.e., variáveis aleatórias). Os dados coletados representam manifestações     das variáveis aleatórias, podendo diferir de resposta para resposta. Essas manifestações     podem ser: categóricas ou numéricas.     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:     OPÇÃO "DADOS/RELATÓRIO DE TABELA DINÂMICA" (VIDE FIGURAS A.1 & A.4     - A.8, ANEXO I) Þ gera estatísticas agrupadas por uma variável categórica.     Com relação aos dados numéricos, as suas principais propriedades, ilustradas     pela Figura 2.1, são: tendência central, variação e forma.     Figura 2.1: Propriedades dos Dados Numéricos     Tendência Central     (Posição)     Variação     (Dispersão)     Forma     Fonte: McGill, 1997.     2.1. Medidas de Tendência Central     As medidas de tendência central são média aritmética, mediana, moda, meia     amplitude e meia-amplitude semi-interquartílica, que podem ser definidas da seguinte     maneira:     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     22     a) Média Aritmética Populacional (m) e Amostral ( X ): dado um conjunto de n     observações X1, X2, X3, ..., Xn, m ou X é definida pelo somatório do valor de     todas as observações dividido por n, ou seja:2     ∙ N     X     N     XXXX     N     i     i     N     å     ==++++=m 1321 ... ;     ∙ n     X     n     XXXXX     n     i     i     n     å     ==++++= 1321 ... .     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: =MÉDIA (núm1;núm2;...).     b) Mediana (Md): dada uma seqüência ordenada de n observações X1, X2, X3, ...,     Xn, Md é definida pelo valor que divide a seqüência em dois conjuntos com a     mesma quantidade de observações. Caso n seja ímpar, a mediana é dada pelo     valor correspondente à ÷ø     öçè     æ +     2     1n -ésima posição da seqüência. Caso n seja par,     a mediana é dada pela média dos valores correspondentes às ÷ø     öçè     æ     2     n e ÷ø     öçè     æ +12     n -     ésimas posições.     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: =MED (núm1;núm2;...).     c) Moda (Mo): dado um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn, Mo é     definida pelo (s) valor (es) mais freqüente (s) entre todas as observações.     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: =MODO (núm1;núm2;...).     d) Meia Amplitude (Ma): dado um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn,     Ma é definida pela média do menor e maior valores observados, ou seja:     2     máximomínimo XXMa += .     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:     = (MÁXIMO (núm1;núm2;...) +MÍNIMO (núm1;núm2;...) ) /2.     e) Meia Amplitude Semi-Interquartílica (Mq): dada uma seqüência ordenada de     n observações X1, X2, X3, ..., Xn, Mq é definida pela média dos valores     correspondentes ao primeiro e terceiro quartis (Q1 e Q3) 3, ou seja:     2     31 QQMq += .       2 Caso toda a população seja abrangida pelas observações, n deve ser substituído por N.     3 O segundo quartil (Q2) corresponde à mediana (Md).     PROPRIEDADES DOS DADOS NUMÉRICOS     23     ∙ O primeiro quartil (Q1) é definido pelo valor correspondente à ÷     ø     öç     è     æ +     4     1n -     ésima posição da seqüência, o qual separa os primeiros 25% das     observações dos 75% restantes.     ∙ O terceiro quartil (Q3) é definido pelo valor correspondente à úû     ù     êë     é ÷ø     öçè     æ +     4     1.3 n -     ésima posição da seqüência, o qual separa os primeiros 75% das     observações dos 25% restantes.     ∙ Se (n+1) não for múltiplo de 4, as equações ÷ø     öçè     æ +     4     1n e úû     ù     êë     é ÷ø     öçè     æ +     4     1.3 n não     gerarão números inteiros. Nesse caso, há três possibilidades:     i. caso n seja múltiplo de 4, o quartil desejado será dado pela posição     imediatamente inferior ao número obtido;     ii. caso (n+2) seja múltiplo de 4, o quartil desejado será dado pela     posição imediatamente superior ao número obtido;     iii. caso (n+3) seja múltiplo de 4, o quartil desejado será dado pela média     dos valores correspondentes às ÷     ø     öç     è     æ ­     4     1n e ÷     ø     öç     è     æ +     4     3n -ésimas posições.     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.1, ANEXO I.     2.2. Medidas de Variação     Já as medidas de variação são amplitude, amplitude semi-interquartílica,     variância, desvio-padrão e coeficiente de variação, que são definidas como indicado     abaixo:     a) Amplitude (At): dado um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn, At é     definida pela diferença entre o maior e menor valores observados, ou seja:     mínimomáximot XXA ­= .     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:     = (MÁXIMO (núm1;núm2;...) -MÍNIMO (núm1;núm2;...) ).     b) Amplitude Semi-Interquartílica (Dq): dado um conjunto de n observações X1,     X2, X3, ..., Xn, Dq é definida pela diferença entre o terceiro e o primeiro     quartis, ou seja: 13 QQDq ­= .     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.1, ANEXO I.     c) Variância Populacional (s2) e Amostral (S2): dado um conjunto contendo n     observações X1, X2, X3, ..., Xn, s2 e S2 correspondem ao somatório do     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     24     quadrado da diferença entre cada observação e a média (m ou X ) dividido,     respectivamente, por N (observações abrangem toda a população) ou por     (n-1) (observações abrangem apenas uma amostra), ou seja:     ∙ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     N     NX     N     X     N     XXXX     N     i     i     N     i     i     N     åå     ==     m­     =     m­     =m­++m­+m­+m­=s 1     22     1     2     22     3     2     2     2     12     .... .     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: =VARP (núm1;núm2;...).     ∙ ( ) ( ) ( ) ( )     ( )     ( )     ( ) ( ) 1     .     11     ... 1     22     1     2     22     3     2     2     2     12     ­     ­     =­     ­     =­     ­++­+­+­=     åå     ==     n     XnX     n     XX     n     XXXXXXXXS     n     i     i     n     i     i     n .     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: =VAR (núm1;núm2;...).     d) Desvio-Padrão Populacional (s) e Amostral (S): dado um conjunto contendo     n observações X1, X2, X3, ..., Xn, s e S correspondem, respectivamente, à raiz     quadrada da variância populacional (s2) e amostral (S2), ou seja: 4     ∙ N     NX     N     i     iå     =     m­     =s=s 1     22     2     .     .     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: = DESVPADP (núm1;núm2;...).     ∙ ( ) 1     .     1     22     2     ­     ­     ==     å     =     n     XnX     SS     n     i     i     .     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: = DESVPAD (núm1;núm2;...).     e) Coeficiente de Variação (CV): dado um conjunto de n observações X1, X2, X3,     ..., Xn, CV mede a variação relativa das observações em torno da média (m ou     X ): %100.÷÷     ø     ö     çç     è     æ     m     s=alpopulacionCV ou %100.÷     ø     öç     è     æ=     X     SCVamostral .     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:     = (DESVPADP (núm1;núm2;...) /MÉDIA (núm1;núm2;...) ) Þ CVpopulacional.     = (DESVPAD (núm1;núm2;...) /MÉDIA (núm1;núm2;...) ) Þ CVamostral.       4 O desvio-padrão e a variância têm como objetivo medir a distribuição das n observações em torno da média. Quanto     mais próximas de zero, maior a concentração.     PROPRIEDADES DOS DADOS NUMÉRICOS     25     2.3. Relação entre a Média e a Mediana     A curva de freqüência de um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn pode     exibir uma forma simétrica, assimétrica à direita ou assimétrica à esquerda. Isso pode ser     constatado comparando-se a média (m ou X ) e a mediana (Md). Nesse caso, há três     possibilidades:     a) m ou X > Md Þ forma assimétrica à direita (mais de 50% das observações     concentra-se à esquerda da média);     b) m ou X = Md Þ forma simétrica (a média separa os primeiros 50% das     observações dos 50% restantes);     c) m ou X < Md Þ forma assimétrica à esquerda (mais de 50% das     observações concentra-se à direita da média).     Convém notar que a análise anterior pode ser estendida às modas, como mostra a     Figura 2.2.     Figura 2.2: Relação entre a Média, a Mediana e a Moda     Right-SkewedLeft-Skewed Symmetric     Mean = Median = ModeMean Median Mode Mode Median Mean     Fonte: McGill, 1997.     Assimétrico à Esquerda Simétrico Assimétrico à Direita     Média Mediana Moda Média = Mediana = Moda Moda Mediana Média     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     26     3. DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE     As variáveis aleatórias numéricas podem ser descritas por intermédio de     distribuições de probabilidades, as quais devem contemplar todas as possíveis     manifestações do fenômeno examinado e as respectivas probabilidades ou freqüências     relativas. Esses dados são obtidos por meio de cadastros, os quais se classificam em:     a) teóricos, gerados por modelos matemáticos que representem, com graus     variados de sucesso, os fenômenos examinados;     b) empíricos, elaborados com base nas freqüências efetivamente observadas;     c) subjetivos, que reflitam as convicções do pesquisador acerca das freqüências.     O primeiro tipo de cadastro permite definir funções de distribuição de     probabilidades, com bases nas quais são calculadas com precisão a probabilidade de     ocorrência de qualquer possível manifestação da variável aleatória. Por essa razão, somente     esse tipo de cadastro será analisado neste documento.     Os modelos de distribuição de probabilidade apresentam características     específicas conforme as variáveis aleatórias numéricas sejam discretas ou contínuas.     3.1. Modelos de Distribuição Discreta     Um exemplo clássico de distribuição discreta corresponde ao resultado do     arremesso de duas moedas, como mostrado na Figura 3.1.     Figura 3.1: Exemplo de Distribuição Discreta de Probabilidades     Distribuição de Probabilidades     Valores, Xi Probabilidades, P (Xi)     0 1/4 = 0,25     1 2/4 = 0,50     2 1/4 = 0,25     Experimento: arremessar duas moedas e contar     a quantidade de coroas.     Qtde de     Coroas     f (Xi) Con-     tagem     P (Xi)     0 1 0,25     1 2 0,50     2 1 0,250,00     0,25     0,50     0 1 2     X     P (X)     Cadastro: { (0; 0,25), (1, 0,50), (2, 0,25) }     Gráfico     Tabela     Fonte: McGill, 1997.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     28     Os modelos de distribuição discreta mais importantes são: a binomial, a     hipergeométrica, a binomial negativa e a de Poisson.     3.1.1. Distribuição Binomial     As principais propriedades da distribuição binomial são:     a) as amostras podem ser selecionadas a partir de populações infinitas sem     reposição ou finitas com reposição;     b) as observações selecionadas podem ser classificadas em uma de duas     categorias mutuamente excludentes e coletivamente exaustivas, usualmente     chamadas "sucesso" e "fracasso";     c) as probabilidades de que uma observação seja classificada um "sucesso" (p)     ou um "fracasso" (1-p) são constantes e complementares;     d) as observações são mutuamente independentes.     A variável aleatória discreta ou o fenômeno estudado que segue uma distribuição     binomial é a que trata da quantidade de "sucessos" observados em uma amostra.     Conhecendo-se a quantidade n de observações contidas na amostra e a probabilidade p de     "sucesso", a distribuição binomial é representada pela seguinte equação:     ( ) ( ) ( ) ( ) 44 344 2143421     particular em     seqüênciauma de adeprobabilid     seqüências     possíveis de quantidade     1..!!.     ! XnX ppXnX     nXP ­­­= .     Onde: P (X) = probabilidade de que sejam observados X "sucessos", dados n e p;     X = quantidade de "sucessos" na amostra {X Î ½ 0 £ X £ n};     n = tamanho da amostra;     p = probabilidade de "sucesso";     (1-p) = probabilidade de "fracasso".     USANDO MICROSOFT EXCEL:     =DISTRBINOM (núm_s;tentativas;probabilidade_s;cumulativo).     Onde: núm_s = X;     tentativas = n;     probabilidade = p;     cumulativo =      î     í     ì     =     =     sucessos"." de prob. acalcular para FALSO     ;sucessos"" menosou de prob. acalcular para VERDADEIRO     X     X     A distribuição binomial apresenta inúmeras aplicações, como mostra a Tabela     3.1.     DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE     29     Tabela 3.1: Aplicações da Distribuição Binomial     Gênero Aplicações X n p P (X)     Jogos de Azar     Probabilidade de que, em 20 tentativas, 15     ou mais resultados da roleta sejam     vermelhos?     > 14 20 0,50 0,021     Controle de     Qualidade     Probabilidade de que, em uma amostra de     20 pneus, nenhum seja defeituoso dado     que 8% de todos os pneus sejam     defeituosos?     20 20 0,92 0,189     Educação     Probabilidade de que um aluno seja     aprovado em um exame com 10 questões,     cada questão com quatro opções, caso o     aluno tente adivinhar todas as questões?     > 4 10 0,25 0,078     Finanças     Probabilidade de que o valor de uma ação     aumente por 10 dias consecutivos dado     que os preços das ações efetivamente     oscilem aleatoriamente?     10 10 0,50 0,001     A função binomial de distribuição de probabilidades é simétrica quando p = 0,5 e     assimétrica quando p ¹ 0,5. Quanto mais próximo p for de 0,5 e quanto maior for n, menor     será o viés, como mostrado nas Figuras 3.2 e 3.3.     Figura 3.2: Distribuição Binomial com n = 5 e p = 0,5     0,00     0,10     0,20     0,30     0,40     0 1 2 3 4 5 X     P (X)     Fonte: McGill, 1997.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     30     Figura 3.3: Distribuição Binomial com n = 5 e p = 0,1     0,00     0,20     0,40     0,60     0 1 2 3 4 5     X     P (X)     Fonte: McGill, 1997.     A média e o seu desvio-padrão são obtidos, respectivamente, por meio das     seguintes equações:     a) Média: m = E (X) = n.p;     b) Desvio-padrão: ( ) ppn ­=s 1.. .     3.1.2. Distribuição Hipergeométrica     A distribuição hipergeométrica, a exemplo da distribuição binomial, trata da     quantidade de "sucessos" observados em uma amostra com n observações. A diferença entre     ambas reside no método de seleção empregado. Enquanto que na binomial as observações     são selecionadas com reposição de populações finitas ou sem reposição de populações     infinitas, na hipergeométrica as observações são selecionadas sem reposição de     populações finitas. Portanto, a probabilidade p de "sucesso" nesse caso não é constante. A     equação da distribuição em questão é:     ( ) ( )     ( )     ( ) ( ) ( ) [ ]     ( ) ÷÷     ø     ö     çç     è     æ     ÷÷     ø     ö     çç     è     æ     ­     ­     ÷÷     ø     ö     çç     è     æ     =     ­     ­­­­     ­     ­=     n     N     Xn     AN     X     A     nNn     N     XnANXn     AN     XAX     A     XP     .     !!.     !     !!.     !.!!.     !     .     Onde: P (X) = probabilidade de que sejam observados X "sucessos", dados n e p;     A = quantidade de "sucessos" na população {X Î ½ 0 £ X £ N};     X = quantidade de "sucessos" na amostra {X Î ½ 0 £ X £ Min[n, A]};     n = tamanho da amostra;     N = tamanho da população.     DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE     31     USANDO MICROSOFT EXCEL:     =DIST.HIPERGEOM (exemplo_s;exemplo_núm;população_s;núm_população).     Onde: exemplo_s = X;     exemplo_núm = n;     população_s = A;     núm_população = N.     3.1.3. Distribuição Binomial Negativa     A distribuição binomial negativa é usada para determinar a probabilidade de     ocorrência de uma certa quantidade de "fracassos" antes que outra quantidade de sucessos     ocorra. A sua equação é:     ( ) ( )     ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) XnXXnX ppX     nppXnX     nnP ­­ ­÷÷     ø     ö     çç     è     æ     ­     ­=­­­­­     ­= 1..1     11..!11!.1     !1 .     USANDO MICROSOFT EXCEL: =DIST.BIN.NEG (núm_f;núm_s;probabilidade_s).     Onde: núm_f = (n - X);     núm_s = X;     probabilidade_s = p.     3.1.4. Distribuição de Poisson     Há um processo de Poisson quando eventos discretos podem ser observados em     uma área de oportunidade (i.e., um intervalo contínuo de tempo, de superfície, de     comprimento, etc.) de tal modo que, se essa área for suficientemente reduzida, o seguinte     ocorrerá:     a) a probabilidade de que seja observado um único "sucesso" é estável;     b) a probabilidade de que mais de um "sucesso" seja observado é nula;     c) a probabilidade de ocorrência de um "sucesso" em qualquer intervalo é     estatisticamente independente da probabilidade observada nos demais     intervalos.     A equação correspondente é:     ( ) !     .     X     eXP     Xl=     l­     .     Onde: P (X) = probabilidade de que sejam observados X "sucessos", dado l;     X = quantidade de "sucessos" por unidade da área de oportunidade;     l = quantidade esperada de "sucessos";     e = 2,71828.5       5 Número de Euler, base do sistema de logaritmos neperianos.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     32     USANDO MICROSOFT EXCEL: =POISSON (X;média;cumulativo).     Onde: média = l;     cumulativo =      î     í     ì     =     =     sucessos"." de adeprobabilida calcular para FALSO     ;sucessos"" menos ou de adeprobabilida calcular para VERDADEIRO     X     X     O Exemplo 3.1 ilustra uma das possíveis aplicações da distribuição de Poisson.     Exemplo 3.1: Aplicação da Distribuição de Poisson     Suponha-se um banco que atende 180 clientes em um período de 1 hora. Toda chegada de um     cliente é um evento discreto em um determinado instante de um intervalo contínuo de tempo.     Partindo-se o período de 1 hora em 3.600 intervalos de 1 segundo, tem-se:     a) a quantidade esperada (ou média) de clientes atendidos por segundo é 0,05;     b) a probabilidade de que mais de um cliente seja atendido em um dado segundo é quase nula;     c) o atendimento de um cliente em um dado segundo não afeta o atendimento dos demais clientes     nos demais segundos.     As Figuras 3.4 e 3.5, a seu tempo, mostram os efeitos do parâmetro l sobre o     formato do gráfico da distribuição de probabilidades.     Figura 3.4: Distribuição de Poisson com l = 0,5     0,00     0,20     0,40     0,60     0 1 2 3 4 5 X     P (X)     Fonte: McGill, 1997.     DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE     33     Figura 3.5: Distribuição de Poisson com l = 6     0,00     0,05     0,10     0,15     0,20     0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X     P (X)     Fonte: McGill, 1997.     Convém notar que a distribuição de Poisson não apenas representa vários     fenômenos (p. ex., telefonemas recebidos em uma manhã, acidentes de trânsito observados     em uma semana, greves havidas em um ano, etc.), como também pode funcionar como uma     aproximação da distribuição binomial quando n for grande e p pequeno, com (n.p) £ 7.     Nesse caso, tem-se: l = n.p.     3.2. Modelos de Distribuição Contínua     A representação matemática da distribuição de uma variável aleatória contínua é     denominada função densidade de probabilidades (FDP), cuja equação-geral e principais     características constam da Figura 3.6.     Figura 3.6: Função Densidade de Probabilidades     n Equação que define os     valores, X, e a FDP, f (X).     n Propriedades:     f (X)     a b X     b X a Xf     dxXf     b     a     ££³     =ò     ,0) (     1) (     (Área sob a curva)     Valor     (Valor, FDP)     FDP     Fonte: McGill, 1997.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     34     Quando um fenômeno contínuo (p. ex., altura, peso ou tempo) é representado por     um modelo matemático, a probabilidade de que os valores da variável aleatória     correspondente pertençam a um dado intervalo pode ser calculada, como mostra a     Figura 3.7, porém a exata probabilidade de um valor específico é nula.     Figura 3.7: Probabilidade de Variáveis Aleatórias     Contínuas     f (X)     c d     X     Fonte: McGill, 1997.     Os modelos de distribuição contínua mais importantes são: a normal e a     exponencial.     3.2.1. Distribuição Normal     Entre os modelos de distribuição contínua, a mais utilizada é a distribuição     normal, uma vez que:     a) inúmeros fenômenos contínuos parecem seguir essa distribuição;     b) essa distribuição pode funcionar como uma aproximação de várias     distribuições discretas de probabilidade;     c) essa distribuição funciona como a base da inferência estatística clássica em     decorrência da sua relação com o Teorema do Limite Central.     Essa distribuição possui as propriedades teóricas indicadas a seguir, ilustradas     pela Figura 3.8:     a) o formato é simétrico, semelhante a um sino;     b) as medidas de tendência central (média, mediana, moda, meia amplitude e     meia amplitude semi-interquartílica) são iguais;     c) o intervalo semi-interquartílico, compreendendo a 50% das observações,     corresponde ao intervalo úû     ù     êë     é s+ms­m .3     2;.3     2 ;     d) a amplitude da variável aleatória representada é infinita     {X Î ½ ­¥ £ X £ +¥}.     dxXfdXcP d     cò=££ ) () (     Probabilidade = Área sob a curva     DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE     35     Figura 3.8: Distribuição Normal     X     f (X) n Na forma de "sino"     e simétrica     n Média, mediana,     moda são iguais     n 'Dispersão Média' é     1,33.ss     n Variável aleatória     tem amplitude     infinita     Média     Mediana     Moda     Fonte: McGill, 1997.     Na prática, a função de distribuição de probabilidades de muitos fenômenos     observados apenas se assemelha à distribuição normal. Isso ocorre quando a distribuição de     probabilidades da população é aproximadamente normal ou quando a amostra selecionada     não contém as características teóricas esperadas. Dessa forma, freqüentemente tem-se:     a) polígonos quase simétricos;     b) medidas de tendência central ligeiramente diferentes;     c) intervalo semi-interquartílico ligeiramente diferente do intervalo     úû     ù     êë     é s+ms­m .3     2;.3     2 ;     d) amplitude finita, geralmente correspondendo ao intervalo [ ]s+ms­m .3;.3 .6     No presente contexto, a FDP é definida pela seguinte equação:       6 Uma restrição comum é a não observação de valores negativos.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     36     ( )     2     .2     1     2     .     ..2     1 ÷     ø     öç     è     æ     s     m­­     sp     =     X     eXf     Onde: p = 3,14159;7     e = nº de Euler;     X = variável aleatória;     m = média populacional;     s = desvio-padrão populacional.     USANDO MICROSOFT EXCEL:     =DIST.NORM (x;média;desv_padrão;cumulativo) Þ calcula a probabilidade de que sejam     observados valores menores do que X.     Onde: média = m;     desvio-padrão = s;     cumulativo =      î     í     ì     =     =     massa. de ãodistribuiç de função FALSO     ;cumulativa ãodistribuiç de função VERDADEIRO     =INV.NORM (probabilidade;média;desv_padrão) Þ calcula o valor X correspondente a uma     dada probabilidade acumulada.     Como e e p são constantes matemáticas, a FDP [f (X) ] depende unicamente da     média e do desvio-padrão populacionais (m e s). Cada combinação desses parâmetros gera     uma distribuição de probabilidade distinta, como mostrado pela Figura 3.9.     Figura 3.9: Efeitos de Variações em ss e mm (ssA > ssB e     mmC > mmB)     X     f (X)     CA     B     Fonte: McGill, 1997.     No intuito de tornar desnecessário o uso da equação exposta acima e em face da     impossibilidade de que se elaborem infinitas tabelas de probabilidades, a variável aleatória     (X) deve ser normalizada, ou seja, convertida em uma variável aleatória normal     padronizada (Z) mediante a seguinte transformação, ilustrada pela Figura 3.10:       7 p radianos = 180 graus.     mmA = mmB mmC     DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE     37     s     m­= XZ .     USANDO MICROSOFT EXCEL: =PADRONIZAR (x;média;desv_padrão).     Figura 3.10: Padronização da Distribuição Normal     Xmm     ss     Distribuição     Normal     mm = 0     ss  = 1     Z     Z X== ­­ mm     ss Distribuição Normal     Padronizada     Uma tabela para CADA     combinação de mm e ss     Uma ÚNICA tabela     Fonte: McGill, 1997.     A nova variável tem média nula (m = 0), desvio-padrão unitário (s = 1) e FDP     definida pela seguinte equação:     ( )     2.     2     1     .     .2     1 Z     eZf     ­     p     = .     USANDO MICROSOFT EXCEL:     =DIST.NORMP (z) Þ calcula a probabilidade de que sejam observados valores menores do     que Z.     =INV.NORMP (z) Þ calcula o valor Z correspondente a uma dada probabilidade     acumulada.     Portanto, todo conjunto de dados distribuídos normalmente pode ser     transformado de tal modo que as probabilidades correspondentes podem ser obtidas a partir     da tabela da distribuição normal padronizada (vide Anexo II), como ilustrado pelas Figuras     3.11 e 3.12.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     38     Figura 3.11: Obtenção de Probabilidades [P (Z) ] Dado um Valor Normal     Padronizado (Z)     Zmm= 0     ss = 1     .12     Z 0,00 0,01     0,0 0,0000 0,0040 0,0080     0,0398 0,0438     0,2 0,0793 0,0832 0,0871     0,3 0,1179 0,1217 0,1255     0,0478     0,02     0,1 0,0478     Tabela da Distribuição     Normal Padrão (Trecho)     Probabilidades     Área sombreada     superdimensionada     Qual é o valor de P (Z)     dado Z = 0,1217?     Fonte: McGill, 1997.     Figura 3.12: Obtenção de um Valor Normal Padronizado (Z) Dada uma     Probabilidade [P (Z) ]     Zmm = 0     ss = 1     .31     Z 0,00 0,2     0,0 0,0000 0,0040 0,0080     0,1 0,0398 0,0438 0,0478     0,2 0,0793 0,0832 0,0871     0,1179 0,1255     0,1217 0,01     0,3 0,1217     Tabela da Distribuição     Normal Padrão (Trecho)     Qual é o valor de Z dado     P (Z) = 0,1217?     Área sombreada     superdimensionada     Fonte: McGill, 1997.     mm = 0 0,31     ss = 1     0,12     DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE     39     Convém notar que o valor de uma observação selecionada aleatoriamente tem,     em toda distribuição normal, uma probabilidade de 68,26% de estar contido no intervalo     [ ]s+ms­m ; e de 99,73% de estar contido no intervalo [ ]s+ms­m .3;.3 .     3.2.2. Distribuição Exponencial     A distribuição exponencial é amplamente utilizada em teoria das filas para     estimar o período de tempo entre dois "sucessos" (p. ex., chegadas, partidas,     atendimentos, etc.). O seu comportamento é definido por um único parâmetro: a quantidade     média de "sucessos" por unidade de tempo (l). A probabilidade de que o período de tempo     entre dois "sucessos" seja igual ou menor a um valor X é dada pela seguinte equação:     ( ) XeXP .1 sucessos"" entre intervalo l­­=£ .     USANDO MICROSOFT EXCEL:     =DISTEXPON (x;lambda;cumulativo).     Onde: lambda = l;     cumulativo =      î     í     ì     =     =     ade.probabilid de densidade de função FALSO     ;cumulativa ãodistribuiç de função VERDADEIRO     O Exemplo 3.2 ilustra uma típica aplicação da distribuição exponencial.     Exemplo 3.2: Aplicação da Distribuição Exponencial     Suponha-se um banco que atende, em média, 20 clientes por hora. Qual é a probabilidade de que o     intervalo entre dois atendimentos seja, no máximo, de 6 minutos ou 0,1 hora?     Dados l = 20 e X = 0,1, tem-se: ( ) .8647,011,0 sucessos"" entre intervalo 1,0.20 =­=£ ­eP Portanto,     há uma probabilidade de 86,47% de que o próximo atendimento ocorrerá dentro de 6 minutos.     A Figura 3.13, por sua vez, mostra os efeitos do parâmetro l sobre o formato do     gráfico da distribuição exponencial.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     40     Figura 3.13: Distribuição Exponencial     n Descreve intervalos     de tempo ou     distância entre     eventos     n Função Densidade     n Parâmetros     X     f (X)     f x e x ( ) == ­­1     ll     ll     mm ll ss ll== ==,      ll = 2,0     ll = 0,5     x     f (x     a     laex ­=) (     laeaxP ­­=£ 1) (     Probabilidades     Distribuição Exponencial     Fonte: McGill, 1997.     4. DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS     As análises de dados têm como um de seus principais objetivos o uso de     estatísticas como a média e a proporção amostrais para estimar os parâmetros populacionais     correspondentes. Desse modo, uma pesquisa sobre intenção de voto tem nos resultados     amostrais apenas uma forma de obter estimativas acerca das intenções de todos os eleitores,     enquanto que uma auditoria financeira poderá usar a média amostral para estimar o valor     total de todas as operações constantes de um cadastro.     Do ponto de vista prático, uma única amostra com uma quantidade     predeterminada de observações é extraída da população com o auxílio de um gerador de     números aleatórios, que pode ser tanto uma tabela preparada previamente, como uma rotina     de computador.     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:     ∙ OPÇÃO "FERRAMENTAS/ANÁLISE DE DADOS..." (FIGURAS A.1, A.9 & A.10,     ANEXO I) Þ seleciona uma amostra aleatória simples com reposição;     ∙ =ALEATÓRIOENTRE (inferior;superior) Þ gera um número entre os valores mínimo     (inferior) e máximo (superior) especificados, admitindo repetições;     ∙ =ALEATÓRIO Þ gera um número distribuído uniformemente no intervalo [0; 1[.     Do ponto de vista teórico, contudo, a estimação de parâmetros populacionais por     meio de estatísticas amostrais deveria envolver o exame de todas as possíveis amostras. Se     esse exame fosse efetivamente feito, a distribuição dos resultados obtidos corresponderia à     distribuição amostral. Note-se que a quantidade de possíveis amostras corresponde:     a) no caso de amostras com reposição, ao total de arranjos com repetição de N,     n a n: n     nN N=, AR ;     b) no caso de amostras sem reposição, ao total de combinações de N, n a n:     ( )!!.     !C , nNn     N     nN ­     = .     USANDO MICROSOFT EXCEL: =COMBIN (núm;núm_escolhido).     Onde: núm = N;     núm_escolhido = n.     4.1. Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais     A medida de tendência central mais amplamente usada é a média aritmética. No     caso de populações cuja distribuição de probabilidades seja normal, a média apresenta as     seguintes propriedades matemáticas, ilustradas pelas Figuras 4.1, 4.2 e 4.3:     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     42     a) não-viesada: a média de todas as possíveis médias amostrais ( m     X     m     i     iå     =1 , onde m     é dado por ARN, n, no caso de amostras com reposição, ou por CN, n, no caso de     amostras sem reposição) é igual à média populacional (m);8     Figura 4.1: Medida Não-Viesada     ``X     f ( ``X)     CA     Fonte: McGill, 1997.     b) eficiente: comparando-se amostras, constata-se que a média é a medida de     tendência central mais estável, proporcionando, em geral, as melhores     estimativas para a média populacional;     Figura 4.2: Medida Eficiente     ``X     f ( ``X)     A     B     Fonte: McGill, 1997.     c) consistente: aumentando-se o tamanho da amostra, observa-se uma redução     na variação das médias amostrais em torno da média populacional.       8 Assim, ainda que não se conheça o quanto uma dada média amostral aproxima-se da média populacional, sabe-se, ao     menos, que a média de todas as possíveis médias amostrais é igual à média populacional.     mm     Não-Viesado     mm     Distribuição da     Média Amostral     Distribuição da     Mediana Amostral     Viesado     DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS     43     Figura 4.3: Medida Consistente     ``X     f ( ``X)     A     B     Fonte: McGill, 1997.     Cabe frisar que a Lei dos Grandes Números faz com que as médias amostrais     apresentem uma menor variância do que as observações contidas na população.     Efetivamente, os efeitos da eventual seleção de valores extremos para as amostras são     compensados pelo próprio cálculo da média, como mostra a Figura 4.4.     Figura 4.4: Exemplo de Distribuição de Médias Amostrais     1ª 2ª Observação     Obs. 1 2 3 4     1 1;1 1;2 1;3 1;4     2 2;1 2;2 2;3 2;4     3 3;1 3;2 3;3 3;4     4 4;1 4;2 4;3 4;4     1ª 2ª Observação     Obs. 1 2 3 4     1 1,0 1,5 2,0 2,5     2 1,5 2,0 2,5 3,0     3 2,0 2,5 3,0 3,5     4 2,5 3,0 3,5 4,0     População: {1; 2; 3; 4}     (amostra com reposição)     16 Médias Amostrais16 Amostras     0,00     0,10     0,20     0,30     1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 `X     P (``X)     0,00     0,10     0,20     0,30     1 2 3 4     P (X)     População Distribuição Amostral     5,2=xm 79,0=xs12,1=s5,2=m     Fonte: McGill, 1997.     Ressalte-se que quanto maior for o tamanho da amostra, menores são os efeitos     da seleção de valores extremos. Estatisticamente, esse fenômeno é expresso pelo desvio-     padrão da média amostral, denominado de erro-padrão da média ( Xs ). Nas amostras com     reposição, o erro-padrão é definido pela seguinte equação:     Amostra de     Tamanho Grande     mm     Amostra de     Tamanho Pequeno     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     44     nX     ss = .     Portanto, o erro-padrão da média ( Xs ) diminui à medida que cresce o tamanho     da amostra (n), como mostrado pela Figura 4.5.     Figura 4.5: Exemplo do Impacto de n em Amostras Extraídas de     Populações Distribuídas Normalmente     Tendência Central:     Dispersão:     mm = 50     ss  = 10     X     Distribuição Populacional     Distribuições Amostrais     (amostragens com reposição)     ss ss     x n==     mm mmx ==     mmX = 50- X     n =16     ss``X = 2,5     n = 4     ss``X = 5     Fonte: McGill, 1997.     Assim, nas amostras com reposição extraídas de populações normalmente     distribuídas, com média m e desvio-padrão s, tem-se que as distribuições de probabilidades     das médias amostrais também são, para todo n, normais, com média Xm = m e erro-padrão     Xs . Além do mais, quanto maior n, maior a concentração das médias amostrais ( iX ) em     torno da média populacional (m).     O Exemplo 4.1 ilustra uma das possíveis aplicações da distribuição de     probabilidades das médias amostrais.     DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS     45     Exemplo 4.1: Aplicação da Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais     Suponha-se que uma máquina empacotadora de caixas de cereais tenha sido configurada de tal     modo que as quantidades depositadas nas caixas sejam normalmente distribuídas, com média de     368 g e desvio-padrão de 15 g. Caso seja selecionada uma amostra de 25 das milhares de caixas     empacotadas diariamente, qual é a probabilidade de que a média amostral fique entre 365 e 368 g?     Como a população é normalmente distribuída, tem-se que:     00,1     25     15     368365 ­=­=­=­=     n     XXZ     X     X     s     m     s     m .     A área sob a curva normal padronizada no intervalo [-1; 0] é igual a 0,3413. Portanto, 34,13% de     todas as possíveis amostras de 25 caixas têm médias amostrais de 365 a 368 g.     O percentual calculado acima não deve ser confundido com a probabilidade de que um item     qualquer da população tenha de 365 a 368 g. Essa probabilidade deve ser obtida da seguinte     maneira:     20,015     368365 ­=­=­= s     mXZ .     A área sob a curva normal padronizada no intervalo [-0,2; 0] é igual a 0,0793. Portanto, apenas     7,93% das caixas têm uma massa esperada de 365 a 368 g. Dessa forma, as médias amostrais estão     mais concentradas em torno da média populacional do que as massas de cada caixa. Isso se deve ao     próprio método de cálculo da média, que atenua os efeitos dos valores extremos.     Quando não houver razões para crer que a população examinada é distribuída     normalmente, deve-se recorrer ao Teorema do Limite Central. Segundo esse teorema, como     mostram as Figuras 4.6 e 4.7, quando o tamanho da amostra é suficientemente grande, a     distribuição das probabilidades das médias amostrais aproxima-se de uma distribuição     normal. Isso ocorre independentemente da forma da distribuição da população. Como regra     geral, tem-se que amostras com trinta ou mais elementos apresentam distribuições das     médias amostrais que assemelham-se a distribuições normais. O teorema em questão,     contudo, pode ser usado em amostras ainda menores caso algumas características da     população sejam conhecidas. No caso de populações com distribuições quase simétricas, p.     ex., pode-se utilizar amostras com quinze elementos.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     46     Figura 4.6: Teorema do Limite Central     X     a distribuição     amostral     aproxima-se de     uma normal.     À medida que o     tamanho da     amostra se     torna suficien-     temente grande     (³³ 30) ...     Fonte: McGill, 1997.     Figura 4.7: Aplicação do Teorema do Limite Central     mm = 50     ss  = 10     X     Tendência Central     Dispersão     l Amostragem com     reposição     Distribuição Populacional     Distribuição Amostral     ss ss     x n==     mm mmx ==     mmX = 50- X     n =30     ss``X = 1,8     n = 4     ss``X = 5     Fonte: McGill, 1997.     DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS     47     4.2. Distribuição de Probabilidades das Proporções Amostrais     Nas variáveis categóricas compostas por itens que podem ser classificados como     tendo ou não uma dada característica, os dois possíveis resultados podem ser associados,     respectivamente, aos valores "1" e "0". Nesse caso, a média de uma amostra ( X ) de     tamanho n é definida pela razão entre a soma dos valores "1's" e "0's" constantes da     amostra e o seu tamanho. Isso corresponde à proporção dos elementos da amostra, ou     proporção amostral (ps), que contém a característica examinada, também chamada de     "sucesso", ou seja:     n     XpX s ==Þ amostrada tamanho     sucessos de qtde .     Dessa forma, a proporção amostral (ps) está necessariamente contida no intervalo     [0, 1]. O erro-padrão da proporção ( sps ), por sua vez, é definido pela seguinte equação:     ( )     n     pp     sp     ­= 1.s .     A distribuição de probabilidades das proporções amostrais, por fim, segue a     distribuição binomial. Essa distribuição, entretanto, aproxima-se de uma distribuição     normal quando (n.p) e [n. (1-p) ] são superiores ou iguais a cinco.     Figura 4.8: Distribuição de Proporções Amostrais     n Aproximação por     uma distribuição     normal     l n·p ³³ 5     l n· (1 - p) ³³ 5     n Média:     n Erro-padrão:     mm P p==     Distribuição Amostral     0,0     0,1     0,2     0,3     0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0     Ps     P (Ps)     ( )     n     pp     P     ­×= 1s , onde p = proporção populacional.     Fonte: McGill, 1997.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     48     Exemplo 4.2: Aplicação da Distribuição de Probabilidades das Proporções Amostrais     Suponha-se um banco no qual se saiba que 40% de todos os correntistas têm várias contas. Caso     seja selecionada uma amostra de 200 correntistas, qual é a probabilidade de que a proporção     amostral de correntistas com várias contas fique entre 0,40 e 0,43?     Como (n.p) = (200.0,4) = 80 e [n. (1-p) ] = [200. (1-0,40) ] = 120, então a distribuição de     probabilidades da proporção amostral é semelhante a uma distribuição normal. Assim, tem-se que:     ( ) ( ) 87,0     200     40,01.40,0     40,043,0     1.     =     ­     ­=     ­     ­=Þ­=­=     n     pp     ppZ     n     XXZ s     X     X     s     m     s     m .     A área sob a curva normal padronizada no intervalo [0; 0,87] é igual a 0,3078. Portanto, é de     30,78% a probabilidade de que, em uma amostra com 200 correntistas, de 40 a 43% deles tenham     várias contas.     4.3. Amostragem em Populações Finitas     O Teorema do Limite Central e os erros-padrão da média e da proporção     baseiam-se na premissa de que as amostras são selecionadas com reposição, porém, em     geral, as pesquisas não apenas são conduzidas sem reposição, como envolvem uma     porcentagem significativa da população. Assim, quando N     n é superior a 0,05, deve-se     usar um Fator de Correção para Populações Finitas (CPF) no cálculo dos erros-     padrão da média e da proporção. Esse fator é definido pela equação indicada a seguir:     1­     ­= N     nNCPF .     Dessa forma, as equações referentes aos erros-padrão da média e da proporção     passam a ser, respectivamente:     1. ­     ­= N     nN     nX     ss e ( )     1.1.     ­     ­­= N     nN     n     pp     sps .     Como o fator em questão é, em geral, inferior a 1, os erros-padrão corrigidos são     menores do que os não-corrigidos, o que é coerente com o fato de que a amostra abrange     uma fração significativa da população.     5. ESTIMAÇÃO     Como ilustrado pela Figura 5.1, há dois tipos principais de estimativa: a pontual e     a do intervalo. A estimativa pontual eqüivale a um único valor, usado como estimativa do     parâmetro populacional. A média e a variância amostrais ( X e S2) são, respectivamente,     estimativas pontuais da média e da variância populacionais (m e s2).     Como, contudo, as estatísticas amostrais variam de amostra para amostra, é     importante que se leve em consideração a distribuição amostral de probabilidades, o que é     feito mediante a estimativa do intervalo, que deve conter o parâmetro populacional.     Ademais, associado ao intervalo estimado há uma probabilidade, ou nível de confiança, de     que seja um dos intervalos que efetivamente contêm o parâmetro populacional.     Figura 5.1: Elementos de uma Estimativa Probabilística     Intervalo de     Confiança     Estatística Amostral     (Estimativa pontual)     Limite de     Confiança Inferior     Limite de     Confiança Superior     Probabilidade de que o Intervalo Estimado seja um     dos Intervalos que Contêm o Parâmetro     Populacional     Fonte: McGill, 1997.     A Figura 5.2 mostra como as estimativas dos intervalos de confiança     associadas às médias amostrais variam conforme diferentes níveis de confiança, obtidos a     partir da tabela da distribuição normal padronizada.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     50     Figura 5.2: Intervalos de Confiança das Médias Amostrais     90% Amostras     95% Amostras     99% Amostras     mm+1.65ss``x mm+2.58ss``x     ssx     _     ``X     mm+1.96ss``x     mm-2.58ss``x mm-1.65ss``x     mm-1.96ss``x     mm     ``X  = mm ± Zss``x     Fonte: McGill, 1997.     5.1. Estimativa do Intervalo da Média com ss Conhecido     No capítulo anterior, verificou-se que o percentual de médias amostrais contidas     em qualquer intervalo centrado na média populacional pode ser obtido a partir do Teorema     do Limite Central ou de informações disponíveis acerca da distribuição da população. O     presente item fará o contrário: com base nos resultados de uma única amostra, serão     extraídas conclusões sobre a população.     Do ponto de vista prático, a média populacional (m) não é conhecida. Dessa     forma, quando o desvio-padrão (ss) é sabido, em vez do intervalo     ú     û     ù     ê     ë     é     ÷÷     ø     ö     çç     è     æ s+m÷÷     ø     ö     çç     è     æ s­m     n     Z     n     Z .;. , tem-se o intervalo ú     û     ù     ê     ë     é     ÷÷     ø     ö     çç     è     æ s+÷÷     ø     ö     çç     è     æ s­     n     ZX     n     ZX .;. , com (1 - a) % das     médias amostrais ( mX ), com o valor (1 - a) correspondendo ao dobro da área sob a curva     da distribuição normal padronizada contida no intervalo [0; Z]9, a qual é simétrica em     relação à área contida no intervalo [-Z; 0].       9 Z = valor crítico da distribuição normal padronizada associado à metade do complemento do nível de confiança     desejado, ou seja: ( )     2     1 a­ .     ESTIMAÇÃO     51     Considerando-se, para um dado n e um dado a, todas as possíveis médias     amostrais e os respectivos intervalos de confiança, tem-se que (1 - a) % desses intervalos     contêm a média populacional, como mostrado pela Figura 5.3.     Figura 5.3: Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais     Conhecendo-se o Desvio-Padrão Populacional     mm``x = mm     1 - a a aa/2aa/2     X     _     ssx     _Distribuição     da Média     Amostral     Grande Qtde de Intervalos     Intervalos     estendem-se     de `X - Zs`X     a`X + Zs`X     (1 - a) % dos     intervalos     contêm m.     a% não     contêm m.     Fonte: McGill, 1997.     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:     OPÇÃO "FERRAMENTAS/ANÁLISE DE DADOS..." (VIDE FIGURAS A.1, A11 &     A.12, ANEXO I ) Þ gera estimativa do intervalo de confiança com s conhecido.     Assim, um intervalo de confiança de 95% (a = 5% e Z = 1,96) significa que o     parâmetro populacional está contido em 95% de todos os possíveis intervalos, para um dado     n. Dessa forma, ainda que não se tenha certeza de que um dado intervalo de confiança,     obtido a partir de uma amostra específica, contenha o parâmetro desejado, sabe-se que essa     condição é satisfeita por 95% de todas as amostras de tamanho n.     Destaque-se que, para um dado n, maior o nível de confiança desejado, maior o     intervalo em torno da média amostral, tonando a estimativa obtida menos precisa e, por     extensão, menos útil.     Uma possível aplicação das estimativas em questão encontra-se ilustrada no     Exemplo 5.1.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     52     Exemplo 5.1: Aplicação da Estimativa do Intervalo da Médias com ss Conhecido     Suponha-se uma fábrica de folhas de papel, cuja produção é normalmente distribuída, com     comprimento esperado de 28 cm e desvio-padrão conhecido de 0,05 cm. Caso seja selecionada uma     amostra de 100 folhas e a média obtida tenha sido de 27,995 cm, qual é a estimativa do intervalo da     média para um nível de confiança de 95%?     Como a população é normalmente distribuída, tem-se que:     ( ) 96,1025,02     95,01     2 =Þ=­=a Z ;     005,28985,2701,0995,27     100     05,0.96,1995,27. £m£Þ±=÷÷     ø     ö     çç     è     æ±=÷÷     ø     ö     çç     è     æ s±     n     ZX .     Portanto, a amostra selecionada indica que o intervalo [27,985; 28,005] contém a média     populacional, com 95% de nível de confiança de que esse seja um dos intervalos que efetivamente     contêm o parâmetro desejado.     Concluindo, como o comprimento esperado está contido no intervalo estimado, a hipótese de que a     fábrica está operando corretamente é aceita. Esse procedimento corresponde a um Teste de     Hipótese, no qual a Hipótese Nula (H0) eqüivale à aceitação do valor esperado, enquanto que a     Hipótese Alternativa (H1) eqüivale à rejeição. Se, neste exemplo, o cumprimento esperado     estivesse aquém ou além do intervalo estimado, aceitar-se-ia a hipótese alternativa, com risco de 5%     de que se estivesse rejeitando um processo de fabricação correto.10     5.2. Estimativa do Intervalo da Média com ss Desconhecido     Assim como a média populacional costuma ser desconhecida, o desvio-padrão     também é, em geral, não-conhecido. Dessa forma, o intervalo de confiança deve ser     estimado com base na média e no desvio-padrão amostrais. Para tanto, deve-se recorrer não     à distribuição normal, mas sim à distribuição de "t" de Student (vide Anexo II).     No caso de populações distribuídas normalmente, as probabilidades da estatística     ( ) úû     ù     êë     é m­     n     SX seguem uma distribuição "t" de Student com (n-1) graus de liberdade (g.l.).     Aparentemente, a distribuição "t" de Student e a distribuição normal são     semelhantes - ambas são simétricas e têm forma de sino. A área definida pela primeira     curva, contudo, é menor no centro e maior nas extremidades do que no caso da segunda. À       10 Há dois tipos de erro inerentes ao processo de teste de significância. Há um risco de que H0 seja julgada falsa ainda     que seja verdadeira. A probabilidade de que se cometa esse erro, conhecido como erro do Tipo I, é igual ao nível de     significância do teste (i.e., a). Também há o risco de que H0 seja julgada verdadeira embora seja falsa. A     probabilidade de que se cometa esse erro, conhecido como erro do Tipo II, é definido pelo símbolo b.     ESTIMAÇÃO     53     medida que aumentam os graus de liberdade (g.l.) 11, porém essa diferença diminui, como     mostrado pela Figura 5.4.     Figura 5.4: Distribuição de Probabilidades das Médias Amostrais     Desconhecendo-se o Desvio-Padrão Populacional     Z     t0     t (g.l. = 5)     Distribuição     Normal     t (g.l. = 13)     Distribuições t     (curva do tipo     "sino" achatadas,     com caudas     simétricas)     Fonte: McGill, 1997.     Como o grau de liberdade (g.l.) da estatística desejada é obtido a partir do     tamanho da amostra, tem-se que, para n superior ou igual a 120, as distribuições normal     e "t" de Student são eqüivalentes.     Na prática, como mostra a Figura 5.5, desde que a amostra seja numerosa o     suficiente e desde que a população não seja muito viesada, a distribuição "t" de Student     pode ser usada na estimação do intervalo de confiança, bastando substituir a estatística Z     pela estatística tn-1, ou seja:     ÷     ø     öç     è     æ+££÷     ø     öç     è     æ­ ­­ n     StX     n     StX nn .. 11 m .12     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.2, ANEXO I, COLUNAS "C"     E "D" ATÉ A LINHA 13.       11 Medida que exprime a quantidade de observações independentes de uma variável. Assim, dada uma amostra com n     observações X1, X2, X3, ..., Xn e média X , somente (n-1) observações podem assumir quaisquer valores sem que a     restrição definida por X seja violada.     12 tn-1 = valor crítico da distribuição "t" de Student com (n-1) graus de liberdade associado ao complemento do nível de     confiança desejado.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     54     Figura 5.5: Aplicação da Tabela "t" de Student     Área da Cauda     à Direita     g.l. 0,25 0,10 0,05     1 1,000 3,078 6,314     2 0,817 1,886 2,920     3 0,765 1,638 2,353     t0     Assumindo-se:     n = 3;     g.l.= n - 1 = 2;     aa = 0,10;     aa/2 = 0,05.     2,920Valores "t"     aa / 2     0,05     Fonte: McGill, 1997.     Nota: Diferentemente da distribuição "t" de Student exibida no Anexo II, a figura acima     refere-se a um teste unicaudal.     Uma possível aplicação das estimativas em questão encontra-se ilustrada no     Exemplo 5.2.     Exemplo 5.2: Aplicação da Estimativa do Intervalo para Médias com ss Desconhecido     No exemplo anterior, desconhecendo-se o desvio-padrão populacional, qual é o novo valor crítico?     Dados que a população é normalmente distribuída, o nível de confiança desejado é de 95% e a     amostra tem 100 observações, e como o desvio-padrão populacional é desconhecido e     n < 120, tem-se que:     ( )     984,1     05,095,01     9911001     05,0;99 =Þ     ïþ     ïý     ü     =­=     =­=­     t     n     a     .13     O novo valor crítico é um pouco superior ao valor anterior: 1,984 em vez de 1,96. O uso da mesma     medida para o desvio-padrão resultaria em um intervalo de confiança um pouco maior no presente     exemplo. Ou seja, a nova estimativa é menos precisa que a anterior em decorrência da menor     disponibilidade de informações.       13 O uso de a no presente exemplo e de ÷ø     öçè     æ     2     a no anterior deve-se ao modo como os percentuais de cada tabela são     apresentados.     ESTIMAÇÃO     55     5.3. Estimativa do tipo "Bootstrapping"     Embora as estimativas de intervalos de confiança sejam amplamente utilizados     para fazer inferências acerca dos parâmetros populacionais, as hipóteses subjacentes a essas     estimativas nem sempre correspondem à realidade. Os intervalos calculados acima, p. ex.,     baseiam-se na hipótese de que as amostras são extraídas de populações normalmente     distribuídas. Ainda que os intervalos de confiança não sejam muito sensíveis a pequenos     relaxamentos dessa hipótese, a presença de um substancial nível de não-normalidade na     população, especialmente quando o tamanho da amostra é pequeno, pode gerar intervalos     imprecisos para a média.     Um modo de contornar o problema citado acima é a estimação do tipo     "bootstrapping". Esse método envolve a seleção sem reposição de uma amostra inicial de     tamanho n, a qual é recombinada com reposição de 100 a 1.000 vezes, dependendo da     capacidade de processamento do computador empregado, para que seja obtida uma     distribuição das médias amostrais sem que se recorra a hipóteses acerca da distribuição     populacional.     Primeiro, forma-se com as médias calculadas uma seqüência ordenada de     observações. Em seguida, a seqüência é segmentada conforme o nível de confiança     desejado. Caso seja de 95%, p. ex., deve-se identificar as observações que separam os     primeiros e os últimos 2,5% das observações dos 95% restantes, concentrados em torno da     mediana das médias amostrais. Por fim, os valores associados às observações identificadas     definem a estimativa do intervalo de confiança.     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:     ∙ seleção de uma amostra de tamanho n sem reposição Þ gerar uma amostra de tamanho     j > n com reposição (vide Figuras A.1, A.9 & A.10, Anexo I), aproveitando-se as n-     primeiras observações distintas;     ∙ seleção, a partir da amostra inicial, de 100 a 1.000 amostras de tamanho n com     reposição (vide Figuras A.1, A.9 & A.10, Anexo I);     ∙ calcular a média amostral de cada amostra Þ =MÉDIA (núm1;núm2;...);     ∙ ordenar as médias amostrais Þ usar a opção "DADOS/CLASSIFICAR";     ∙ identificar os percentis desejados Þ ajustar as fórmulas das células "B4" e "B5" e os     textos correspondentes da Tabela A.1, Anexo I.     5.4. Estimativa do Intervalo para Proporções     A exemplo da média, também pode-se estimar um intervalo de confiança para a     proporção de um conjunto de observações que satisfaz uma dada condição. Como visto     anteriormente, quando (n.p) e [n. (1 - p) ] são superiores ou iguais a 5, a distribuição     binomial assemelha-se à distribuição normal. Nesse caso, o intervalo de confiança é     definido da seguinte maneira:     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     56     ( ) ( )     n     ppZppn     ppZp ss     s     ss     s     ­+££­­ 1..1.. ;     Onde: ps = proporção amostral;     Z = valor crítico da distribuição normal padronizada associado à metade do     complemento do nível de confiança;     n = tamanho da amostra;     p = proporção populacional.     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.2, ANEXO I, COLUNAS "E"     E "F" ATÉ A LINHA 13.     O Exemplo 5.3 ilustra uma das possíveis aplicações da estimativa de intervalos     de confiança para proporções.     Exemplo 5.3: Aplicação da Estimativa do Intervalo para Proporções     Suponha-se uma editora que deseje conhecer a proporção de revistas distribuídas com defeito (p.     ex., páginas duplicadas ou suprimidas). Caso seja selecionada uma amostra de 200 revistas, 35 das     quais defeituosas (ps = 17,5%), qual é a estimativa do intervalo da proporção para um nível de     confiança de 90%?     Como (n.ps) = 35 e [n. (1 - ps) ] = 165, tem-se que:     ( ) 645,105,02     9,01     2 =Þ=­=a Z ;     ( ) 2192,01308,00442,0175,0200     825,0.175,0.645,1175,01.. ££Þ±=±=­± pn     ppZp ss     s .     Portanto, a amostra selecionada indica que de 13,08% a 21,92% das revistas são distribuídas com     defeito, com 90% de nível de confiança de que o intervalo [0,1308; 0,2192] seja um dos intervalos     que efetivamente contêm o parâmetro desejado. Note-se que quanto menor o nível de confiança,     menor o intervalo estimado. Dessa forma, a confiança e a precisão das estimativas variam     inversamente.     Para uma dada combinação de n e a, os intervalos de confiança estimados para     proporções, necessariamente envolvendo variáveis categóricas, costumam ser maiores,     ou menos precisos, do que os intervalos estimados para variáveis contínuas. Enquanto     que no primeiro tipo de estimativa as observações são agrupadas em uma quantidade finita     de categorias, no segundo, as observações são mais variadas, agregando mais informação à     estimativa.     ESTIMAÇÃO     57     5.5. Determinação do Tamanho da Amostra     Nos exemplos examinados anteriormente, o tamanho da amostra foi fixado     arbitrariamente, independentemente da extensão do intervalo de confiança. Na prática, a     determinação do tamanho apropriado da amostra é um procedimento complexo, envolvendo     restrições quanto ao tempo, aos dados e aos recursos financeiros disponíveis e quanto à     facilidade de seleção das observações. O acesso a dados coletados por pesquisas     anteriores ou por testes-piloto, em especial, permite uma melhor alocação dos recursos     disponíveis.     Independentemente das restrições existentes, todavia, as propriedades     matemáticas dos estimadores continuam valendo. Dessa forma, o tamanho da amostra tido     como exeqüível pode não permitir inferências tão confiáveis ou tão precisas quanto se     deseja. Isso, porém, não necessariamente significa que a amostragem pretendida é     irrelevante, pois os dados coletados podem fornecer tanto conclusões preliminares, como     indicações valiosas para futuras pesquisas.     5.5.1. Médias     Do ponto de vista estritamente matemático, o tamanho da amostra para estimar a     média é obtido por meio da seguinte transformação:     ( ) 2     22 .     m­     =Þm­=     X     SZn     n     S     XZ o     o     , com So = estimativa inicial do desvio-padrão.     Definindo-se o erro amostral (e) como a diferença entre as médias amostral e     populacional ( X - m), tem-se, ainda:     2     22 .     e     SZn o= , a ser aproximado para o valor inteiro imediatamente superior quando contiver     casas decimais.     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.3, ANEXO I, COLUNAS "A"     E "B" ATÉ A LINHA 08.     Portanto, dados o nível desejado de confiança, o erro amostral admitido14 e     uma estimativa inicial do desvio-padrão, fixada a partir de pesquisas anteriores, de pré-     testes ou de consultas a especialistas15, obtém-se o tamanho apropriado da amostra.     Destaque-se que esses valores preliminares não devem ser confundidos com os resultados     da pesquisa amostral, pois as estimativas obtidas podem não ser referendadas pelos dados     coletados. Assim, as expectativas quanto ao nível de confiança e ao erro amostral podem ser       14 O erro amostral admitido corresponde a maior diferença entre as médias amostral e populacional tida como     insignificante em face do propósito da pesquisa que estiver sendo conduzida.     15 Alternativamente, caso haja razões para crer que a população examinada é normalmente distribuída, a estimativa     inicial do desvio-padrão pode ser dada por ÷ø     öçè     æ     6     1 da amplitude (At @ 6.s nas populações normalmente distribuídas).     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     58     reformuladas, para melhor ou para pior, à luz do desvio-padrão amostral efetivamente     calculado.     5.5.2. Proporções     A exemplo do que foi feito acima, na estimação de proporções o tamanho da     amostra é dado pela seguinte transformação:     ( )     ( )     ( ) 2     2 1..     1. pp     ppZn     n     pp     ppZ     s     oo     oo     s     ­     ­=Þ     ­     ­= , com po = estimativa inicial da proporção de     "sucessos".     Definindo-se o erro amostral (e) como a diferença entre as proporções amostral     e populacional (ps - p), tem-se, ainda:     ( )     2     2 1..     e     ppZn oo ­= , a ser aproximado para o valor inteiro imediatamente superior quando     contiver casas decimais.     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.3, ANEXO I, COLUNAS "C"     E "D" ATÉ A LINHA 08.     Geralmente, a estimativa inicial da proporção de "sucessos" é fixada a partir de     dados coletados previamente. Caso, porém, não haja dados disponíveis, pode-se recorrer ao     valor de p no qual ocorre o máximo da função f (p) = p. (1 - p).16 Consequentemente, a     estimativa mais conservadora para a proporção de "sucessos" é 0,5. Esse valor define, para     cada nível de confiança, a maior amostra exigida por pesquisas amostrais com apenas duas     categorias, como pode ser observado no Exemplo 5.5.     Exemplo 5.5: Cálculo do Tamanho da Amostra para Estimar Duas Proporções     Suponha-se uma campanha eleitoral com vários candidatos. Qual deve ser o tamanho da amostra     para que se possa obter, com 95% de nível de confiança e 3% de margem de erro, as intenções de     votos em um dos candidatos?     Com (1 - a) = 0,95 e e = 0,03, fazendo-se po = 0,5 e agrupando-se os votos nulos e em branco e as     intenções de voto nos demais candidatos em uma única categoria, tem-se:     ( ) \=Þ=­=÷     ø     öç     è     æ a 96,1025,02     95,01     2 Z ( ) ( ) 068.111,067.1     03,0     5,01.5,0.96,11..     2     2     2     2     @=­=­=     e     ppZn oo .     Portanto, na ausência de mais informações, são necessárias 1.068 entrevistas para que seja obtida a     proporção desejada.       16 f (p) = p. (1 - p) = p - p2 Þ      ( )     ( )     ï     ï     î     ïï     í     ì     Þ­=     =Þ=­=     máximo. ponto um é *22     2     ;     2     1*0*.21     p     dp     pfd     pp     dp     pdf     ESTIMAÇÃO     59     A Tabela 5.1 sintetiza vários tamanhos de amostra para estimar proporções, dado     um nível de confiança de 95% (Z = 1,96):     Tabela 5.1: Tamanho da Amostra para Vários Erros Amostrais e     Proporções de "Sucesso" (Z = 1,96)     (em %)     Erro Amostral Admitido (e) Estimativa     Inicial de p (p0) 0,15 0,10 0,05 0,03     5 n.d. n.d. n.d. 203     10 n.d. n.d. 139 385     15 n.d. 49 196 545     20 28 62 246 683     30 36 81 323 897     40 41 93 369 1.025     50 43 97 385 1.068     Nota: "n.d." corresponde a "não definido", pois (n.p) é inferior a 5.     Nas amostragens com mais de duas categorias, os pesquisadores terão,     necessariamente, de definir estimativas iniciais para as k-proporções desejadas, não havendo     uma hipótese mais conservadora para cada tipo de "sucesso". Com base nas estimativas     iniciais, os pesquisadores deverão calcular (k-1) tamanhos de amostra conforme mostrado     anteriormente, somando-os em seguida para obter o tamanho total. Esse procedimento acha-     se ilustrado no Exemplo 5.6.     Exemplo 5.6: Cálculo do Tamanho da Amostra para Estimar n-Proporções     Suponha-se uma campanha eleitoral com três candidatos. Qual deve ser o tamanho da amostra para     que se possa obter, com 95% de nível de confiança e 3% de margem de erro, as intenções de votos     em cada candidato, bem como as proporções de votos nulos e em branco? Com base nas pesquisas     realizadas anteriormente, as estimativas iniciais para as intenções de voto nos três candidatos são     p1 = 0,40, p2 = 0,30 e p3 = 0,15, e que os votos nulos e em branco são, respectivamente, p4 = 0,10 e     p5 = 0,05.     Com (1 - a) = 0,95, e = 0,03 e tratando-se os votos nulos como resíduo, tem-se:     a) p1 = 0,40 Þ q1 = (p2 + p3 + p4 + p5) = 0,60 Þ n1 = 1.025;     b) p2 = 0,30 Þ q2 = (p1 + p3 + p4 + p5) = 0,70 Þ n2 = 897;     c) p3 = 0,15 Þ q1 = (p1 + p2 + p4 + p5) = 0,85 Þ n3 = 545;     d) p5 = 0,05 Þ q1 = (p1 + p2 + p3 + p4) = 0,95 Þ n5 = 203;     e) n = n1 + n2 + n3 + n5 = 2.670.     Portanto, em princípio, são necessárias 2.670 entrevistas para que sejam obtidas as cinco proporções     desejadas. Convém frisar que as proporções obtidas podem ou não coincidir com as     estimativas definidas inicialmente. Dessa forma, é fundamental que o nível de confiança e os     amostrais sejam recalculados à luz dos novos resultados. Isso poderá ou não gerar estimativas     mais precisas e/ou confiáveis do que aquelas pretendidas.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     60     O método ilustrado acima mais do que duplicou o tamanho original da amostra.     Um modo menos oneroso de obter resultados igualmente válidos é o uso da seguinte     simplificação (SOUZA, 1990, p. 43):     2     2 25,0.'     e     Zn = , com Z' correspondendo ao valor crítico da distribuição normal padronizada     associado à metade do complemento do nível de confiança desejado, ajustado     conforme a quantidade de categorias examinadas, ou seja:     ( )     2     11     2     1     1     úû     ù     êë     é ­­     =÷     ø     öç     è     æ     ÷     ø     öç     è     æ     ­kay Þ Z', com k correspondendo à quantidade de categorias.17     O Exemplo 5.7 ilustra a simplificação descrita acima.     Exemplo 5.7: Cálculo Simplificado do Tamanho da Amostra para Estimar n-Proporções     No exemplo anterior, utilizando-se a simplificação sugerida, qual deve ser o tamanho da amostra     para que se possa obter, com 95% de nível de confiança e 3% de margem de erro, as intenções de     votos em cada candidato, bem como as proporções de votos nulos e em branco?     Com (1 - a) = 0,95, e = 0,03 e k = 5, tem-se:     ( ) ( )     49,2'0065,02     95,01     2     11     2     15     1     1     1     =Þ=     úû     ù     êë     é ­     =     úû     ù     êë     é ­­     =÷     ø     öç     è     æ     ÷     ø     öç     è     æ     ­÷     ø     öç     è     æ     ­     z     kay ;     723.125,722.1     03,0     25,0.49,225,0.'     2     2     2     2     @===     e     Zn .     Portanto, são necessárias 1.723 entrevistas para que sejam obtidas as cinco proporções desejadas.     Pode-se, contudo, diminuir o tamanho da amostra por meio de técnicas mais complexas (p. ex.,     amostragens estratificadas, por conglomerados ou com estimadores do tipo "razão" ou do tipo     "regressão"), as quais exigem uma maior quantidade de informações acerca da população.     5.6. Amostragem em Populações Finitas     Nas amostragens sem reposição e com N inferior ou igual a (20.n), os     intervalos de confiança e os tamanhos apropriados das amostras devem ser ajustados pelo     CPF (vide Item 4.3).     Os intervalos de confiança ajustados são:       17 a = y para k = 2.     ESTIMAÇÃO     61     a) estimação da média:     ∙ com desvio-padrão conhecido:     ú     ú     û     ù     ê     ê     ë     é     ÷÷     ø     ö     çç     è     æ     ­     ­     ÷÷     ø     ö     çç     è     æ s+÷÷     ø     ö     çç     è     æ     ­     ­     ÷÷     ø     ö     çç     è     æ s­ 1..;1.. N     nN     n     ZXN     nN     n     ZX ;     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.2, ANEXO I, COLUNAS "A"     E "B" A PARTIR DA LINHA 14.     ∙ com desvio-padrão desconhecido:     ú     ú     û     ù     ê     ê     ë     é     ÷÷     ø     ö     çç     è     æ     ­     ­÷     ø     öç     è     æ+÷÷     ø     ö     çç     è     æ     ­     ­÷     ø     öç     è     æ­ ­­ 1..;1.. 11 N     nN     n     StXN     nN     n     StX nn ;     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.2, ANEXO I, COLUNAS "C"     E "D" A PARTIR DA LINHA 14.     b) estimação da proporção:     ( ) ( )     ú     ú     û     ù     ê     ê     ë     é     ÷÷     ø     ö     çç     è     æ     ­     ­­+÷÷     ø     ö     çç     è     æ     ­     ­­­     1.1..;1.1.. N     nN     n     ppZpN     nN     n     ppZp ss     s     ss     s .     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.2, ANEXO I, COLUNAS "E"     E "F" A PARTIR DA LINHA 14.     Já os tamanhos ajustados das amostras (nCPF), na estimação tanto de médias,     como de proporções, são:     ( ) 1     .     ­+= Nn     NnnCPF , com n correspondendo ao tamanho não-ajustado.     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.3, ANEXO I, A PARTIR DA     LINHA 09.     5.7. Estimativa do Intervalo para Totais     O total (T) é obtido multiplicando-se a média amostral pelo tamanho da     população, ou seja:     XNT .= .     O respectivo intervalo de confiança, por sua vez, é:     ú     ú     û     ù     ê     ê     ë     é     ÷÷     ø     ö     çç     è     æ     ­     ­÷     ø     öç     è     æ+÷÷     ø     ö     çç     è     æ     ­     ­÷     ø     öç     è     æ­ ­­ 1....;1.... 11 N     nN     n     StNXNN     nN     n     StNXN nn .     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     62     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.4, ANEXO I.     Uma das possíveis aplicações da presente modalidade de estimativa encontra-se     ilustrada no Exemplo 5.8.     Exemplo 5.8: Aplicação da Estimativa do Intervalo para Totais     Suponha-se um arquivo contendo 5.000 ordens bancárias, normalmente distribuídas, mas cujos     montante e desvio-padrão não são conhecidos. Uma amostra de 100 ordens gerou os seguintes     resultados: X = R$ 1.076,39 e S = R$ 273, 62. Qual é o montante estimado das ordens e respectivo     intervalo, para um nível de confiança de 95%?     Dado que N > (20.n) e n < 120, tem-se que:     950.381.5) 39,076.1). (000.5 (. === XNT .     ( )     984,1     05,095,01     9911001     05,0;99 =Þ     ïþ     ïý     ü     =­=     =­=­     t     n     a     .     ( ) ( ) ( ) ( ) Þ±=±=÷     ø     öç     è     æ± ­ ) 04,431.271 () 950.381.5 (     100     62,273.984,1.000.539,076.1.000.5... 1 n     StNXN n     Þ 5.110.518,96 £ T £ 5.653.381,04.     Portanto, a estimativa pontual para o montante é de R$ 5.381.950,00, enquanto que o intervalo     estimado para o nível de confiança desejado, é [R$ 5.110.518,96;     R$ 5.653.381,04].     5.8. Estimativa do Intervalo para Diferenças     A estimação da diferença é empregada quando se crê que os registros referentes a     um conjunto de itens contêm erros, cujo montante deseja-se conhecer. Essa técnica, comum     em trabalhos de auditoria, envolve os seguintes procedimentos:     a) seleção de uma amostra de tamanho apropriado;     b) cálculo da diferença amostral média ( D ) entre o valor observado do item e o     valor constante do registro, ou seja:     n     D     D     n     i     iå     == 1 , com Di = (Xi, observado - Xi, registrado);     c) cálculo do desvio-padrão (SD) amostral das diferenças, ou seja:     ESTIMAÇÃO     63     1     .     1     22     ­     ­     =     å     =     n     DnD     S     n     i     i     D ;     d) estimativa do intervalo de confiança da diferença total, ou seja:     ú     ú     û     ù     ê     ê     ë     é     ÷÷     ø     ö     çç     è     æ     ­     ­÷     ø     öç     è     æ+÷÷     ø     ö     çç     è     æ     ­     ­÷     ø     öç     è     æ­ ­­ 1....;1.... 11 N     nN     n     StNDNN     nN     n     StNDN d     n     D     n .     UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: VIDE TABELA A.5, ANEXO I.     Uma aplicação possível da estimativa do intervalo para diferenças encontra-se     ilustrada no Exemplo 5.9.     Exemplo 5.9: Aplicação da Estimativa do Intervalo para Diferenças     Suponha-se um cadastro contendo 5.000 ordens bancárias, normalmente distribuídas, mas cujo     desvio-padrão não é conhecido. Uma amostra de 100 ordens identificou 14 ordens cujos valores     diferiam dos valores constantes do cadastro. Qual é o montante estimado das diferenças e o     respectivo intervalo para um nível de confiança de 95%?     A amostragem revelou as seguintes diferenças (Di): R$ 75,41, R$ 38,97, R$108,54, - R$ 37,18, R$     62,75, R$ 118,32, - R$ 88,84, R$ 127,74, R$ 55,42, R$ 39,03, R$ 29,41, R$ 47,99, R$ 28,73 e R$     84,05.     9034,6100     100     1 ==     å     =i     iD     D e 23,271100     9034,6.100     100     1     22     =­     ­     =     å     =i     i     D     D     S .     Dado que N > (20.n) e n < 120, tem-se que:     517.34. =DN .     ( )     984,1     05,095,01     9911001     05,0;99 =Þ     ïþ     ïý     ü     =­=     =­=­     t     n     a     .     ( ) ( ) ( ) ( ) Þ±=±=÷     ø     öç     è     æ± ­ ) 16,012.27 () 517.34 (     100     23,27.984,1.000.59034,6.000.5... 1 n     StNDN D     n     Þ 61.529,16. 7.504,84 ££ DN .     Portanto, a estimativa pontual para o montante da diferença é de R$ 34.517,00, enquanto que o     intervalo estimado, para o nível de confiança desejado, é [R$ 7.504,84;     R$ 61.529,16].     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     64     6. VARIANTES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES     Os conceitos enunciados no capítulo anterior referem-se às amostras aleatórias     simples (vide item 1.2.1.). Por conseguinte, essa modalidade de amostragem confunde-se     com os próprios fundamentos da inferência estatística. As demais modalidades representam     desenvolvimentos da amostragem aleatória simples destinados a capturar, com maior     precisão e menor custo, as características relevantes da população. Os próximos itens     abordarão dois desses desenvolvimentos: as amostragens aleatórias estratificada (AAE) e     por conglomerados (AAC).18     6.1. Amostragem Aleatória Estratificada     Caso os membros da equipe de auditoria acreditem que haja uma estreita relação     entre o objeto do trabalho e uma dada característica da população ou julguem que um     subgrupo específico da população é particularmente interessante para os propósitos da     investigação, convém recorrer à amostragem estratificada, na qual a população é dividida     em k-estratos mutuamente excludentes e exaustivos, selecionando-se uma amostra aleatória     simples de cada estrato (vide item 1.2.2).     Note-se que se os k-estratos da população contêm N1, N2, ..., Nk elementos, então:     N1 + N2 + ... + Nk = N     Da mesma forma, se as k-amostras têm tamanhos n1, n2, ..., nk, o tamanho total da     amostra (n) é:     n1 + n2 + ... + nk = n     6.1.1. Estimação de Médias, Totais e Proporções na AAE     As médias populacionais dos k-estratos são denotadas por meio dos símbolos m1,     m2, ..., mk, enquanto que os símbolos kXXX ...,,, 21 correspondem às k-médias amostrais.     Considerando-se o j-ésimo estrato, tem-se que jX , obtido a partir de uma amostra aleatória     simples, é um estimador não-viesado de mj.     A variância do estimador da média amostral do estrato em questão ( 2     jX     S ), por sua     vez, é definida pela seguinte equação:     j     jj     j     j     N     nN     n     SS     jX     ­= .     2     2 , com 2     jS = estimativa da variância populacional do j-ésimo estrato.       18 As equações expostas neste capítulo e no capítulo anterior estão sintetizadas no Anexo III.     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     66     Uma vez apuradas as k-médias amostrais, a estimação da média populacional     geral ( AEX ) é imediata:     å     =     =     k     j     jjAE XN     N     X     1     ..1 , com AE = "amostragem estratificada".     Considerando-se que as amostras selecionadas em cada estrato são mutuamente     independentes, tem-se que a estimativa não-viesada da variância do estimador da média     populacional geral ( 2     AEX     S ) é:     å     =     =     k     j     Xj jAEX     .SN.     N     S     1     22     2     2 1 .     Para n superior ou igual a 120, o intervalo de confiança da média populacional     geral verdadeira (m), para Z dado pelo a desejado, é: [ ]AEXAE SZX .± .     O Exemplo 6.1 ilustra algumas da principais propriedades da amostragem     estratificada.     Exemplo 6.1: Aplicação da Estimativa de Médias na Amostragem Estratificada     O Ministério do Trabalho e Emprego oferece cursos de requalificação profissional em 155 locais na     região sul: 60 no Rio Grande do Sul, 50 no Paraná e 45 em Santa Catarina. O ministério cogita     acrescentar mais um curso ao rol já disponível. No intuito de estimar quanto seria a demanda     mensal média por local pelo novo curso, procedeu-se ao acréscimo cogitado em 12 locais no Rio     Grande do Sul, 10 no Paraná e 9 em Santa Catarina, selecionados aleatoriamente.     Ao longo de um mês, apurou-se, com base nas quantidades de pessoas que se inscreveram no novo     curso, os seguintes resultados amostrais (i.e., média e desvio-padrão):     a) 2,21=RSX e 8,12=RSS ;     b) 3,13=PRX e 4,11=PRS ;     c) 1,26=SCX e 2,9=SCS .     Para que a demanda mensal média por local seja obtida, note-se, primeiramente, que:     a) NRS = 60 e nRS = 12;     b) NPR = 50 e nPR = 10;     c) NSC = 45 e nSC = 9;     d) N = 155 e n = 31.     A estimativa da média populacional é:     1,20     155     1,26.453.13.502,21.60..     155     1 3     1     =++== å     =j     jjAE XNX ; com j = RS, PR e SC.     Continua     VARIANTES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES     67     Continuação     As variâncias dos estimadores da média de cada estrato, por sua vez, são:     a) ( ) 923,1060     1260.12     8,12.     22     2 =­=­=     RS     RSRS     RS     RS     N     nN     n     SS     RSX     ;     b) ( ) 397,1050     1050.10     4,11.     22     2 =­=­=     PR     PRPR     PR     PR     N     nN     n     SS     PRX     ;     c) ( ) 524,745     945.9     2,9.     22     2 =­=­=     SC     SCSC     SC     SC     N     nN     n     SS     SCX     .     Com essas variâncias, já se poderia definir os intervalos de confiança das médias dos estratos. No     entanto, o intervalo desejado refere-se à média geral. Para isso, é preciso calcular AEXS , ou seja:     83,1155     524,7.45397,10.50923,10.60     155     1     2     2223     1     22     2     2 =++=== å     =j     XjX jAEXAE     .SN.SS .     Ademais, para a = 95% e n = 31 (n < 120), tem-se t30; 0,05 = 2,04. Assim, o intervalo de confiança da     média geral é:     [20,10 ­ 2,04.1,83 < m < 20,10 + 2.04.1,83] = [16,37 < m < 23,83].     Dessa forma, pode-se afirmar, com um nível de confiança de 95%, que a demanda mensal média     por local pelo novo curso está compreendida no intervalo [16,37; 23,83].     Como o valor total de uma população é dado pela multiplicação da quantidade de     elementos que a compõem pelo seu valor médio, bastam algumas transformações para que     se obtenha o intervalo de confiança correspondente. A estimativa pontual, a variância do     estimador e o intervalo desejado, para n superior ou igual a 120, são definidos pelas     seguintes equações:     a) å     =     =     k     j     jjAE XNXN     1     .. ;     b) å     =     =     k     j     Xj jAEX     .SNSN     1     2222 . ;     c) [ ]AEXAE SNZXN ... ± .     No Exemplo 6.2, as novas equações são aplicadas ao exemplo anterior.     Exemplo 6.2: Aplicação da Estimativa de Totais na Amostragem Estratificada     No exemplo anterior, a demanda total pelo novo curso geraria, para a = 95% e n = 31     (t30; 0,05 = 2,04), o seguinte intervalo de confiança:     [155.20,10 ­ 2,04.155.1,83 < N.m < 155.20,10 + 2.04.155.1,83] = [2536,85 < N.m < 3694,15].     TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS     68     No que se refere à estimação de intervalos para proporções populacionais, a     estimativa pontual, a variância do estimador e o intervalo de confiança correspondente, para     n superior ou igual a 120, são assim definidos:     a) å     =     =     k     j     jjAE pN     N     p     1     ^^     ..1 , com jp     ^     = proporção amostral de "sucessos" do j-ésimo estrato;     b) å     =     =     k     j pj     jAEp     .SN     N     S     1     22     2     2     ^^     .1 , com ( )     j     jj     j     jj     p N     nN     n     pp     S     j     ­     ­     ÷ø     öçè     æ ­     = .     1     1.     ^^     2     ^ ;     c) úû     ù     êë     é ±     AEpAE SZp ^.     ^     .     6.1.2. Determinação do Tamanho da Amostra na AAE     Uma vez que a amostragem estratificada pode ser entendida como uma     combinação de amostras aleatórias simples, o cálculo do tamanho da amostra de cada     estrato deve observar as equações definidas no capítulo anterior. Convém frisar, porém,     que as equipes de auditoria não precisam utilizar o mesmo nível de confiança (a) e o     mesmo erro amostral (e) em todos os estratos. Esses parâmetros poderão variar     conforme a maior ou menor importância de cada estrato para o trabalho proposto.     Assim, uma pesquisa que deseje apurar a opinião de toda população sobre certo tema, mas     que esteja particularmente interessada na opinião de um grupo étnico ou profissional     específico, poderá atribuir a esse grupo um maior nível de confiança e/ou um menor erro     amostral no momento do cálculo do tamanho da amostra.     Importa notar, contudo, que a variância do estimador da média amostral de cada     estrato é sensível ao tamanho da amostra. Dessa forma, supondo-se tudo mais constante,     quanto menor o tamanho da amostra, maior a variância em questão, o que pode gerar     problemas na fase de agregação. Portanto, as equipes de auditoria devem tomar cuidado     para que os estratos menos importantes não fiquem demasiadamente     subrepresentados no estudo amostral, pois isso comprometeria a generalização dos     resultados obtidos para toda a população.     Além dessas considerações, o tamanho da amostra de cada estrato também pode     ser definido privilegiando-se os estratos com maior variância. Esse procedimento,     denominado "alocação ótima", é usado para estimar as médias, totais e proporções gerais,     sendo menos útil quando se deseja obter estimativas para cada estrato. Ademais, pressupõe     que a variância dos estratos (sj) seja conhecida.     Supondo-se uma amostra total com tamanho n, a alocação ótima estipula que as     amostras de cada estrato deverão ter os seguintes tamanhos:     a) estimação de médias: n     N     N     n k     j     jj     jj     j .     .     .     1     å     =     s     s= ;     VARIANTES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES     69     b) estimação de proporções:      ( )     ( )     n     ppN     ppN     n k     j     jjj     jjj     j .     1..     1..     1     å     =     ­     ­     = .     6.2. Amostragem Aleatória por Conglomerados     Confrontadas, p. ex., com a ausência de um cadastro completo ou confiável, ou     com os altos custos associados à realização de entrevistas de contato direto, as equipes de     auditoria podem optar pela amostragem por conglomerados. Trata-se de um procedimento     recomendável quando a população pode ser subdividida em conglomerados menores, que     sejam geograficamente compactos (p. ex., bairros ou quarteirões de uma cidade).     Nessa modalidade de amostragem, seleciona-se, primeiramente, uma amostra     aleatória simples de conglomerados. Em seguida, todos os seus membros são entrevistados.     Em outras palavras, a amostragem por conglomerados eqüivale a uma amostra aleatória     simples seguida de um censo (vide item 1.2.3).     6.2.1. Estimação de Médias, Totais e Proporções na AAC     Suponha-se que a população se divida em M conglomerados, que uma amostra     aleatória simples de m conglomerados tenha sido selecionada e que seus integrantes (N1, N2,     ..., Nm) tenham sido entrevistados. Com base nas médias e proporções amostrais dos     conglomerados escolhidos ( mXXX ...,,, 21 e mppp     ^     2     ^     1     ^     ...,,, ), tem-se que as estimativas     pontuais da média e da proporção gerais ( ACX e ACp     ^     ), as variâncias dos estimadores e os     intervalos de confiança correspondentes, para n superior ou igual a 120, são assim definidos:     a)      å     å     =     == m     j     j     m     j     jj     AC     N     XN     X     1     1     .     e      å     å     =     == m     j     j     m     j     jj     AC     N     pN     p     1     1     ^     ^     .     , com AC = "amostragem por conglomerados";     b) 2     ACX     S ou 2     2     1     2     .     ^ AC     m     j     j     .S     m     N     M     mMS     ACp     ÷÷     ø     ö     çç     è     æ     ­=     å     =     ,     Onde:     ( )     1     1     22     2     ­     ­     =     å     =     m     XX.N     S     m     j     ACjj     AC ou 1     1     2^^2     ­     ÷ø     öçè     æ ­å     =     m     pp.N     m     j     ACjj     Þ estimativa da variância     populacional;     c) [ ]ACAC XACXAC SZXSZX .. +   <­ e úû       ù       êë       é +<<­       ACAC pACpAC SZppSZp ^^ ..       ^^       .       Observe-se que, no presente contexto, as inferências podem ser feitas com uma       quantidade relativamente pequena de informações previamente disponíveis acerca da       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       70       população. Basta que a população possa ser claramente dividida em conglomerados. Sequer       o total de elementos da população precisa ser conhecido, devendo-se apenas determinar a       quantidade de elementos de cada conglomerado selecionado, o que é uma conseqüência       necessária do censo requerido pelas versões mais simples da amostragem por       conglomerados.       O Exemplo 6.3 ilustra algumas propriedades da amostragem por conglomerados.       Exemplo 6.3: Aplicação da Estimativa de Médias e Proporções na Amostragem por       Conglomerados       Uma amostra aleatória simples com 20 quarteirões é selecionada de uma área residencial com um       total de 1.000 quarteirões. Cada uma das residências dos quarteirões selecionados foi visitada no       intuito de se apurar a renda familiar. A Tabela 6.1 discrimina a renda anual média ( jX ) e a       proporção de famílias com renda anual inferior a R$ 15.000,00 ( jp       ^       ) nos quarteirões que       compuseram a amostra.       Tabela 6.1: Resumo dos Dados Coletados na Aplicação da Amostragem por       Conglomerados       Quarteirão       Selecionado (j) jX (em R$) jp       ^ Quantidade       de Domicílios (Nj)       1 26.283,00 0,1304 23       2 19.197,00 0,4516 31       3 37.911,00 0,1250 24       4 14.527,00 0,6585 41       5 16.753,00 0,5143 35       6 28.312,00 0,2692 26       7 21.646,00 0,3548 31       8 29.312,00 0,1563 32       9 31.829,00 0,1333 30       10 18.412,00 0,3846 39       11 33.893,00 0,0769 26       12 38.409,00 0,0476 21       13 43.911,00 0,0000 20       14 14.699,00 0,4375 32       15 24.921,00 0,1111 36       16 31.827,00 0,0909 33       17 34.436,00 0,0833 24       18 37.647,00 0,0400 25       19 30.026,00 0,1081 37       20 16.493,00 0,3659 41       Pede-se para que seja calculada a renda anual média e proporção de famílias com renda anual       inferior a R$ 15.000,00 de toda a área.       Primeiramente, tem-se que: M = 1000 e m = 20.       A quantidade total de domicílios é: ( ) 60741...3123       20       1       =+++=å       =j       jN .       Continua       VARIANTES DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES       71       Continuação       As estimativas pontuais da média e da proporção são:       a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00,26109       607       16493.41...19197.3126283.23       .       20       1       20       1 =+++==       å       å       =       =       j       j       j       jj       AC       N       XN       X ;       b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2521,0       607       3659,0.41...4516,0.311304,0.23       .       20       1       20       1       ^       ^       =+++==       å       å       =       =       j       j       j       jj       AC       N       pN       p .       Ademais, tem-se que:       a) 18422,45 20       607       20       2       220       1 ==       ÷÷       ø       ö       çç       è       æå       =j       jN       ;       b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0692705510019       2610916493.41...2610926283.23       120       2222       20       1       2^^2       =­++­=­       ÷ø       öçè       æ ­å       =j       ACjj pp.N       ;       c) ( ) ( ) ( ) ( ) 1547,3819       2521,03659,0.41...2521,01304,0.23       120       2222       20       1       2^^2       =­++­=­       ÷ø       öçè       æ ­å       =j       ACjj pp.N       .       Com isso, os estimadores da média e da proporção gerais apresentam os seguintes desvios-padrão:       a)        ( ) ( ) ( )       ( ) ( ) 192045,18422.1000       06927055100.980       120       20.1000       201000       20       1       22       220       1       2 ==­       ­       ÷÷       ø       ö       çç       è       æ       ­==       å       å       =       =       j       ACjj       j       j       XX.N       .       N       SS       ACXACX       ;       b) ( ) ( )       ( ) ( ) 0451,045,18422.1000       1547,38.980       120       20       .1000       201000       20       1       2^^2       220       1       2       ^^ ==­       ÷ø       öçè       æ ­       ÷÷       ø       ö       çç       è       æ       ­==       å       å       =       =       j       ACjj       j       j       p       pp.N       .       N       SS       ACpAC       .       Portanto, os intervalos de confiança da média e da proporção gerais, para a = 95% e 607       20       1       =å       =j       jN       (Z = 1,96), são:       a) [26109 ­ 1,96.1920 < m < 26109 + 1,96. 1920] = [22346 < m < 29872];       b) [0,2521 ­ 1,96.0,0451 < m < 0,2521 + 1,96. 0,0451] = [0,164 < m < 0,340].       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       72       6.2.2. Determinação do Tamanho da Amostra na AAC       Parece haver alguma semelhança entre as amostragens estratificada e por       conglomerado, pois ambas dividem a população em subgrupos. Trata-se, todavia, de uma       semelhança superficial.       Na amostragem estratificada, seleciona-se uma amostra aleatória simples de cada       estrato para que a pesquisa contenha representantes de todos os segmentos relevantes da       população.       Já na amostragem por conglomerados, o objeto da amostra aleatória simples são       os próprios subgrupos. Dessa forma, somente alguns conglomerados estarão representados       no estudo amostral. Dependendo de como forem definidos os subgrupos, os seus       elementos poderão, no que se refere às características relevantes para o trabalho, ser       muito heterogêneos externamente (i.e., os conglomerados exibem perfis muito distintos) e       homogêneos internamente (i.e., os elementos de cada conglomerado são muito parecidos).       Nesse caso, corre-se o risco de que segmentos importantes da população sejam       subrepresentados na pesquisa.       Efetivamente, quanto mais os conglomerados forem parecidos com a população       e, por extensão, entre si, menor será a quantidade de subgrupos que precisará ser incluída no       estudo amostral. Isso pode ser constatado no próprio cálculo do tamanho da amostra (m),       o qual é diretamente proporcional à magnitude da variância populacional dos       conglomerados ( 2       ACs ) ou da sua estimativa preliminar ( 2       0ACS ), como mostra a equação       exibida a seguir:       2       2       1       2       2       2       ..       . 0       AC       M       j       j       AC       S       M       N       Z       e       SM       m       ­       ÷÷       ø       ö       çç       è       æ       =       å       =       .       Convém ainda notar que essa equação requer não apenas uma estimativa de       qual seja a variância populacional, mas também uma estimativa de qual seja o tamanho       da população ÷÷       ø       ö       çç       è       æå       =       M       j       jN       1       .       Conseqüentemente, enquanto que os trabalhos de estimação expostos no       Exemplo 6.3 somente exigiram uma pequena quantidade de informações prévias acerca da       população, o cálculo do tamanho da amostra requer muito mais dados ou pressuposições.       Isso reforça a necessidade de que os estudos amostrais sejam precedidos por criteriosos       levantamentos de informações, que devem originar planos amostrais detalhados, cujas       premissas e conclusões preliminares deverão ser conferidas à luz dos dados       efetivamente coletados, devendo-se proceder, quando necessário, as modificações       requeridas quanto aos níveis de confiança esperados e aos erros amostrais admitidos.       7. AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA       Os capítulos 5 e 6 discorreram sobre as modalidades clássicas de amostragem de       variáveis (i.e., estimação de médias, totais e diferenças) e por atributo (i.e., estimação de       proporções). Nas amostragens por atributo, porém, as técnicas examinadas não são       aplicáveis aos casos nos quais as probabilidades de seleção variam, como ocorre quando as       amostras são selecionadas sem reposição de populações finitas. Nessas situações, a       distribuição de probabilidades mais apropriada é, em vez da binomial, a hipergeométrica.       Essa distribuição é empregada, p. ex., em controles de qualidade ou de aderência a critérios       preestabelecidos, nos quais os desvios em relação ao critério definido são tratados       igualmente, ainda que os valores envolvidos difiram entre si.       No controle de qualidade ou de aderência, o tamanho da amostra, para       populações com mais de quinhentos elementos, é definido pela equação:       ,,       p       Cn i a= onde: Ci, a = índice de confiabilidade;       i = quantidade prevista de erros na amostra;       a = nível de confiança;       p = proporção máxima de erros admitidos na população.       Geralmente, o índice de confiabilidade (Ci, a) é obtido a partir de quadros como o       da Tabela 7.1.       Tabela 7.1: Índices de Confiabilidade para Várias Quantidades Previstas de       Erros e Níveis de Confiança       Quantidade Prevista de Erros na Amostra (i) Nível de Confiança       (a) 0 Þ (C0, a) a 1 Þ (C1, a) b 2 Þ (C2, a) c       0,99 4,60 6,61 -       0,95 3,00 4,75 6,30       0,90 2,30 3,89 5,33       0,85 1,90 3,38 4,73       0,80 1,61 3,00 4,28       0,70 1,20 2,44 3,62       0,50 0,69 1,68 2,64       Fonte: Adams & Regal, 1995, p. 19.       Notas: (a) ( ) aa ­­= 1ln,0C Ü aproximação obtida a partir de uma distribuição hipergeométrica de       probabilidades;       (b) e (c) para amostras numerosas e populações com pequenas taxas de erros, a distribuição       hipergeométrica pode ser aproximada por meio de uma distribuição de Poisson, o que permite       obter Ci, a, mediante interpolações baseadas nas seguintes equações: ( ) 1. ,1       ,1 += ­       a       aa Ce C e       ( )       ú       ú       û       ù       ê       ê       ë       é       ++= ­ 12. ,2       2       ,2,2       a       aaa CCe C .       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       74       Como mostrado pelo Exemplo 7.1 , é imediata a generalização do cálculo de C0, a       a partir de uma distribuição hipergeométrica de probalidades ( ) Pi       H .       Exemplo 7.1: Cálculo do Índice de Confiabilidade       Qual é o índice de confiabilidade (Ci, a) associado a uma população (N) com 600 itens, 18 dos quais       contendo erros (p = 0,03), e a uma amostra (n) com 100, todos perfeitos (i = 0)?       A probabilidade ( ) H       iP de que semelhante amostra seja extraída de uma população com tais       característica é dada pela seguinte equação:       05,097,0501       483.....600       582       !600       !500!100.!482!100       !582.!18!0       !18       100       600       0100       18600.0       18       100       0 @@==       ÷ø       öçè       æ       ÷ø       öçè       æ       ­       ­÷ø       öçè       æ       =HP .       Portanto, é de aproximadamente 5% o risco de que uma amostra com 100 elementos perfeitos seja       proveniente de uma população com uma taxa de erro de 3%. Em outras palavras, pode-se afirmar,       com um nível de confiança de 95% (complemento da taxa de risco), que a população examinada       apresenta um erro máximo de 3%.       Generalizando-se:       ( ) ( ) [ ] ( )       ( ) pnpP nH       ­       ­=Þ­­=­= 1ln       1ln111 0       aa .       Como p       Cn a,0= e p @ ­ ln (1 ­ p), então C0, a = ­ ln (1 ­ a).       Utilizando-se a distribuição de Poisson ( ) Pi       P , tem-se que o índice de       confiabilidade (Ci, a) corresponde ao produto do tamanho da amostra (n) pela taxa máxima       de erros na população (p) que proporciona, para uma dada previsão sobre a quantidade de       erros amostrais (i), o nível de confiança desejado (a) na seguinte equação:       ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       ïþ       ïý       ü       ïî       ïí       ì       ú       ú       û       ù       ê       ê       ë       é       ­=       ïþ       ïý       ü       ïî       ïí       ì       ú       û       ù       ê       ë       é­=­= åå       =       ­       =       ­ i       j       Cj       i       i       j       pnj       P       i j       eC       j       epnP       i       0       ,       0       .       !       .1!       ..11       , a       aa .       Por interpolação, obtém-se Ci, a, o qual, juntamente com p, define n.       Como esses cálculos podem ser exaustivos, deve-se usar a Tabela 7.1, como       ilustrado pelo Exemplo 7.2.       AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA       75       Exemplo 7.2: Aplicação da Tabela de Índices de Confiabilidade       Em uma auditoria, pretende-se realizar um teste de conformidade. A proporção máxima de erros       admitidos para que a população examinada seja aprovada pelo teste é 2%, com nível de confiança       de 95%. Qual é o tamanho da amostra?       Com p = 0,02 e a = 0,95, e prevendo-se que:       a) a amostra não conterá erros (C0;0,95 = 3,0), tem-se: 15002,0       0,3 === p       Cn ;       b) a amostra conterá um único erro (C1;0,95 = 4,75), tem-se: 23502,0       75,4 === p       Cn .       Quando os resultados amostrais observados diferem dos resultados esperados,       especialmente quando a quantidade de erros observados na amostra é superior à quantidade       prevista, o índice de confiabilidade (Ci, a) deve ser ajustado com base na Tabela 7.2.       Tabela 7.2: Índice de Confiabilidade para Vários Erros Observados na       Amostra       Quantidade de Erros Observados na Amostra       n       0 1 2 3 4-5 6-7 > 8       15 Reduzido Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum       25 Reduzido Reduzido Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum       30 Moderado Reduzido Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum       35 Moderado Reduzido Reduzido Nenhum Nenhum Nenhum Nenhum       45-50 Elevado Moderado Reduzido Reduzido Nenhum Nenhum Nenhum       70 Elevado Elevado Moderado Reduzido Reduzido Nenhum Nenhum       80 Elevado Elevado Moderado Moderado Reduzido Reduzido Nenhum       105 Elevado Elevado Elevado Moderado Moderado Reduzido Reduzido       Fonte: Adams & Regal, 1995, p. 21.       7.1. Metodologia da Amostragem por Unidade Monetária       A Amostragem por Unidade Monetária (AUM) também é uma amostragem       por atributo baseada na distribuição hipergeométrica. Essa técnica permite estimar o       montante monetário de uma dada população. Trata-se de uma técnica geralmente       utilizada em auditorias financeiras, que têm por objetivo verificar se os registros contábeis       são fidedignos.       Diferentemente da amostragem por variáveis, a AUM não exige o prévio       conhecimento da quantidade de elementos da população e da variância dos valores que       a compõem. Essa técnica baseia-se nas seguintes informações: a proporção máxima de       erros admitidos na população (p), previamente definida pela equipe de auditoria, o índice       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       76       de confiabilidade (Ci, a), obtido a partir de testes de conformidade, e o montante constante       dos registros contábeis (M), o qual define a população da qual a amostra é extraída.       Como os elementos da população correspondem às unidades monetárias que       integram o montante, convém notar que a probabilidade de inclusão na amostra de um       dado registro diminui quando o seu valor é subestimado, sendo nula no caso de omissão.       Dessa forma, há na AUM um viés em favor dos registros superestimados ou repetidos. Outra       característica da AUM que merece menção é a premissa de que não há diferenças       superiores a 100% entre os valores registrados e observados.       O tamanho da amostra na AUM é definido pela seguinte equação:       p       Cn a,0= , com p M       M       M E A O       M       R A A P A= = ­ ­ ­       ^ ^       ;       Onde: C0, a = Fator de Precisão Básica (índice de confiabilidade supondo-se que a amostra       não contém erros);       MR = Materialidade Restrita ou Precisão Básica (diferença máxima entre os       montantes registrado e estimado supondo-se que a amostra não contém erros);       M = montante registrado;       MA = Materialidade Ampla (diferença máxima entre os montantes registrado e       estimado que não implica a impugnação do conjunto de lançamentos       contábeis);       E A       ^       = Erro Amostral Previsto [estimativa da diferença que será observada na       amostra entre os montantes registrado e estimado caso os membros da equipe       de auditoria antecipem a ocorrência de erros (i > 0) ];       AP       ^       = Estimativa da Ampliação do Intervalo de Precisão (margem de erro       suplementar arbitrada quando se prevê a ocorrência de erros na amostra);       OA = outros ajustes arbitrados pelos membros da equipe de auditoria.       Dessa forma, os membros da equipe de auditoria devem definir, inicialmente, a       Materialidade Ampla (MA). Em seguida, deve-se arbitrar os ajustes julgados necessários, os       quais devem ser subtraídos da MA, definindo a Materialidade Restrita (MR). Convém notar       que MR e p são diretamente proporcionais. Dessa forma, quanto menor for a primeira, menor       será a última, o que aumenta n. Consequentemente, os ajustes feitos ainda na fase de       planejamento devem permitir a obtenção de resultados amostrais robustos ainda que       haja pequenos desvios em relação às premissas utilizadas originalmente.       O Exemplo 7.3 ilustra como o tamanho da amostra deve ser calculado na AUM.       AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA       77       Exemplo 7.3: Cálculo do Tamanho da Amostra na AUM       Em uma auditoria, o conjunto de lançamentos contábeis examinados, totalizando R$ 2.000.000,00,       é considerado fidedigno se a diferença entre os montantes estimado e registrado não for superior a       R$ 100.000,00. Para um nível de confiança de 95%, qual é o tamanho da amostra?       Desconsiderando-se a necessidade de ajustes, tem-se:       p = =100000       2000000 0 05, .       Com i = 0 e a = 0,95 tem-se: C0;0,95 = 3,0 e n = =3 0       0 05 60,       , .       Definido o tamanho da amostra (n), procede-se à seleção dos seus elementos.       Primeiro, calcula-se o intervalo amostral (IA):       I M       nA = .       Em seguida, escolhe-se aleatoriamente uma unidade monetária compreendida em       cada um dos sucessivos intervalos amostrais. Por fim, são selecionados para análise os       registros contábeis correspondentes às unidades monetárias escolhidas,19 como mostrado no       Exemplo 7.4.       Exemplo 7.4: Seleção dos Elementos Amostrais na AUM       No exemplo tratado anteriormente, qual é o intervalo amostral? Dado um conjunto hipotético de       lançamentos contábeis, como devem ser selecionados os elementos amostrais?       Supondo-se que o sistema de controle interno é confiável e que, por conseguinte, pode-se prever que       a amostra não conterá erros, tem-se n = 60. Dessa forma:       I M       nA = = =2000000       60 33333 33, .       Selecionando-se, aleatoriamente, o valor R$ 16.000,00 como o primeiro elemento amostral e       baseando-se no rol de lançamentos indicados abaixo, a amostra é obtida da seguinte forma:       Continua          19 A probabilidade de seleção de cada registro é diretamente proporcional ao seu valor.       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       78       Continuação       Tabela 7.3: Seleção dos Elementos Amostrais       (em R$)       Item (a) Valor Registrado Valor Acumulado Unidade Monetária Selecionada (b)       1 10.000,00 10.000,00 ­       2 18.500,00 28.500,00 16.000,00       3 20.000,00 48.500,00 ­       4 6.000,00 54.500,00 49.333,00       5 6.500,00 61.000,00 ­       6 46.000,00 107.000,00 82.666,00       7 9.600,00 116.600,00 115.999,00       8 16.400,00 133.000,00 ­       9 126.750,00 259.750,00       149 332 00       182 665 00       215998 00       249 33100       . ,       . ,       . ,       . ,       ì       í       ïï       î       ï       ï       10 27.250,00 287.000,00 282.664,00       ... ... ... ...       Notas: (a) Itens da população.       (b) Neste exemplo, apenas o primeiro item da amostra foi selecionado aleatoriamente, enquanto que a       escolha dos demais ocorreu a intervalos regulares, pois isso permite uma melhor visualização de       como a amostra deve se distribuir. Esse procedimento, contudo, pode gerar resultados viesados caso       os registros apresentem flutuações cíclicas. Por essa razão, recomenda-se a seleção aleatória de um       item em cada intervalo amostral.       Convém notar que os registros com valores iguais ou superiores ao intervalo amostral são       necessariamente selecionados para a amostra. O 9º item do rol mostrado acima, p. ex., consta quatro       vezes da amostra por ser 3,8 vezes superior ao intervalo. Nesses casos, a equipe de auditoria tem       duas alternativas:       a) diminuir o nível de confiança (a) em decorrência da redução do tamanho efetivo da amostra (no       presente exemplo, supondo-se que os demais itens são inferiores a R$ 33.333,33, o tamanho       efetivo da amostra é 57);       b) examinar separadamente os itens com valores elevados, considerando-os uma única vez na       amostra e ajustando-se o intervalo amostral para os demais elementos.       A segunda alternativa é a mais adequada por não implicar redução no nível de confiança.       Uma vez selecionada e examinada a amostra, deve-se estimar a diferença entre os       montantes registrado e estimado. Esse cálculo envolve as seguintes etapas:       1ª) identificar os itens cujos valores observados diferem dos valores registrados;       2ª) calcular a diferença entre os valores observado e registrado;       3ª) agrupar as diferenças conforme sejam superiores a zero (registros       superestimados) ou inferiores a zero (registros subestimados);       AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA       79       4ª) separar as diferenças associadas a itens com valores superiores ao intervalo       amostral;       5ª) extrapolar as diferenças associadas a itens com valores inferiores ao       intervalo amostral para todo o intervalo;       6ª) colocar em ordem decrescente as diferenças associadas a itens com valores       inferiores ao intervalo amostral e obter a Ampliação do Intervalo de       Precisão (AP) quando a quantidade de erros superar as expectativas da       equipe de auditoria, de tal modo que as diferenças observadas sejam       ajustadas sem que o tamanho da amostra tenha de ser recalculado;       7ª) calcular o saldo líquido dos erros ajustados;       8ª) somar as diferenças associadas a itens com valores superiores ao saldo       líquido dos erros ajustados;       9ª) comparar as superestimações e as subestimações totais com a materialidade       preestabelecida, verificando se os demonstrativos examinados podem ou não       ser considerados fidedignos;       10ª) estudar que recomendações deverão ser feitas caso a Materialidade Ampla       (MA) preestabelecida não seja respeitada (p. ex.: determinar a correção dos       erros observados; reavaliar o nível de confiança e o tamanho da amostra       empregados; determinar aumentos nas provisões; apenas atestar a não-       fidedignidade dos demonstrativos examinados).       A Ampliação do Intervalo de Precisão (AP) é obtida multiplicando-se o Fator de       Ampliação do Intervalo de Precisão ( ) FAP       j pela extrapolação dos erros amostrais para o       intervalo amostral (IA):       ( ) ( )       A       j       AP       item       P I.registradovalor        observadovalor registradovalor .FA úû       ù       êë       é ­= ;       Onde: ( ) FAP       j = C (j+1), a ­ Cj, a ­ 1;       j = posição relativa dos erros amostrais dispostos em ordem decrescente de       grandeza;       C1º, a = C0, a .       Os Fatores de Ampliação do Intervalo de Precisão ( ) FAP       j constam da Tabela 7.4.       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       80       Tabela 7.4: Fatores de Ampliação do Intervalo de Precisão ( ) FAP       j       Nível de Confiança (a) Erros       Observados       (j) 50% 60% 70% 80% 85% 90% 95%       1º 0,00 0,11 0,24 0,38 0,48 0,59 0,75       2º 0,00 0,08 0,18 0,28 0,35 0,43 0,55       3º 0,00 0,07 0,15 0,24 0,29 0,36 0,46       4º 0,00 0,06 0,13 0,21 0,25 0,31 0,40       5º 0,00 0,06 0,12 0,19 0,23 0,28 0,36       6º 0,00 0,05 0,11 0,17 0,21 0,26 0,33       7º 0,00 0,04 0,10 0,16 0,19 0,24 0,31       8º 0,00 0,04 0,09 0,15 0,18 0,22 0,29       9º 0,00 0,04 0,09 0,14 0,17 0,21 0,27       10º 0,00 0,04 0,08 0,13 0,16 0,20 0,26       Fonte: National Audit Office, s.d., p. 6.       Todas essas etapas estão contempladas nos formulários que compõem o Anexo       IV, elaborados no intuito de auxiliar as equipes de auditoria nos muitos cálculos exigidos       pela AUM       7.2. Aplicação da Amostragem por Unidade Monetária       Verificar se um conjunto hipotético de registros contábeis são fidedignos. As       características gerais da pesquisa amostral são (vide Anexo V):       a) montante registrado (M): R$ 2.000.000,00;       b) materialidade ampla (MA): R$ 100.000,00;       c) materialidade restrita (MR): R$ 95.000,00;       d) proporção máxima de erros admitida na população (p): 0,0475;       e) quantidade prevista de erros na amostra (i): 0;       f) nível de confiança (a): 0,95;       g) índice de confiabilidade (C0;0,95), dados os itens "c" e "d": 3,00;       h) tamanho da amostra (n): 64, incluindo 5 itens examinados separadamente por       serem superiores ao intervalo amostral;       i) intervalo amostral (IA): R$ 31.250,00.       No decorrer da investigação, constatou-se entre os valores observados e       registrados as diferenças indicadas na Tabela 7.5.       AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA       81       Tabela 7.5: Diferenças Observadas na Amostra       Item # Valor Registrado Valor Observado Diferença Observação       13 43.125,00 42.625,00 500,00       Item superestimado examinado       separadamente por ser superior ao       intervalo amostral.       29 2.500,00 2.600,00 (100,00)       Item subestimado examinado no       contexto da amostra por ser inferior ao       intervalo amostral.       35 2.000,00 1.800,00 200,00       Item superestimado examinado no       contexto da amostra por ser inferior ao       intervalo amostral.       57 4.000,00 4.200,00 (200,00)       Item subestimado examinado no       contexto da amostra por ser inferior ao       intervalo amostral.       Nota: (#) Itens da amostra.       Agrupando-se os itens superestimados e subestimados, extrapolando-se para o       intervalo amostral as diferenças referentes aos itens cujos valores são inferiores ao intervalo,       calculando-se os erros globais para maior e para menor e estimando-se a diferença líquida       entre os valores registrados e observados, tem-se:       a) itens com erros para maior: 13 e 35;       b) itens com erros para menor: 29 e 57.       c) extrapolação do erro referente ao item 35 (E35):       ( ) ( ) 312531250.2000       80010002=I.registradovalor        observadovalor registradovalor =­­       A ;       d) extrapolação do erro referente ao item 29 (E29):       125031250.2500       60025002 ­=­ ;       e) extrapolação do erro referente ao item 57 (E57):       5,156231250.4000       42004000 ­=­ ;       f) impacto líquido dos erros extrapolados:       E29 + E35 + E57 = 312,5       Como há mais de um erro para menor referente a itens com valores inferiores ao       intervalo amostral, esses erros devem ser dispostos em ordem decrescente, cabendo a       primeira posição ao item 57 e a segunda ao item 29. Essa ordenação deve-se à necessidade       de se multiplicar os erros por diferentes Fatores de Ampliação do Intervalo de Precisão       ( ) FAP       j . Para um nível de confiança de 95% e uma previsão inicial de que a amostra não       conteria erros, o que faz i igual a 0 para j igual a 1, tem-se:       a) º1       APF = C1;0,95 ­ C0;0,95 ­ 1= 4,75 ­ 3,00 ­ 1 = 0,75;       b) º2       APF = C2;0,95 ­ C1;0,95 ­ 1= 6,30 ­ 4,75 ­ 1 = 0,55.       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       82       O Ampliação do Intervalo de Precisão (AP) é obtido multiplicando-se os FAP       j       pelas extrapolações dos erros referentes a itens com valores inferiores ao intervalo       amostral20 e somando-se os valores referentes a cada tipo de erro:       a) 35       PA = E35. º1       APF = 3125.0,75 = 2343,75 (AP para os itens superestimados);       b) 57       PA = E57. º1       APF = ­ 1562,5.0,75 = ­ 1171,87;       c) 29       PA = E29. º2       APF = ­ 1250.0,55 = ­ 687,50;       d) 29       PA + 57       PA = ­ 1859,37 (AP para os itens subestimados).       Acumulando-se os erros amostrais, a materialidade restrita e a ampliação do       intervalo de precisão para erros superestimados e subestimados, tem-se:       a) erros para maior:       (E29 + E35 + E57) + E13 + MR + 35       PA = 312,5 + 500 + 95000 + 2343,75 =       98156,25;       b) erros para menor:       ( ) ( ) [ ]5729       573529 PPR AAMEEE +++++­ = ­ 312,5 + 95000 + 1859,37=       96546,87.       Como a materialidade ampla é superior aos dois valores calculados acima,       conclui-se que os lançamentos contábeis examinados são, com 95% de certeza, fidedignos,       não apresentando uma diferença superior a 5%.       Convém notar que o uso de uma materialidade restrita de R$ 95.000,00, ao       aumentar o tamanho da amostra de 60 para 64 elementos, permitiu a obtenção de       estimativas robustas embora tenham sido observados 4 erros na amostra.          20 É importante lembrar que os itens superestimados e subestimados devem ser tratadas separadamente. Dessa forma, os       erros para maior e para menor mais expressivos são multiplicados pela FAPI1.       8. TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM       Os métodos de estimação apresentados anteriormente assumem que algum tipo       de amostragem probabilística está sendo empregado e que os valores obtidos representam os       valores corretos de todos os elementos amostrais selecionados. Nesse caso, os erros de       estimação decorrem unicamente da variação randômica presente quando se examina, em vez       de toda população N, um subconjunto n desta (i.e., erros amostrais aleatórios).       Esses pressupostos são respeitados por pesquisas de campo simples, com       instrumentos de medida precisos e execução cuidadosa. As pesquisas complexas, porém,       especialmente aquelas que envolvem mensurações de difícil obtenção, estão sujeitas a mais       três tipos de erro:       a) Erro na definição da população: Não inclusão no cadastro de alguns       grupos de itens ou indivíduos, introduzindo um viés seleção da amostra.       b) Erro de mensuração: Ambigüidades presentes nas respostas coletadas em       decorrência da formulação de perguntas imprecisas, da influência do       entrevistador sobre o entrevistado ou da falta de rigor do respondente. Essas       deficiências podem ser minimizadas tomando-se cuidado na elaboração dos       formulários, treinando-se adequadamente os entrevistadores, examinando-se       os dados atentamente, conferindo-se as respostas atípicas, e selecionando-se,       aleatoriamente, alguns respondente no intuito de atestar a validade das       respostas obtidas.       c) Não-resposta: Falha na coleta de dados sobre todos os itens ou indivíduos       selecionados para a amostra. Como os pesquisadores não podem assumir, em       geral, que os respondentes e os não-respondentes são semelhantes, esses       últimos devem, após algum tempo, ser novamente consultados no intuito de       obter respostas apropriadas. Após relacionar os novos resultados com os       resultados obtidos originalmente, os pesquisadores procurarão gerar       estimativas válidas sobre a população.       A Figura 8.1 mostra como os quatro tipos de erro podem afetar a amostragem.       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       84       Figura 8.1: Tipos de Erro em Amostragem       População       (Ex.: estudantes)       Espaço Amostral       (Ex.: estudantes       na lista telefônica)       Amostra Planejada       (Ex.: estudantes       selecionados)       Amostra       Efetiva       Erro na Definição da       População       Erro Amostral       Não-Resposta e Er-       ro de Mensuração       Fonte: McGill, 1997.       Os erros na definição da população e de mensuração, e os erros devidos a não-       resposta demandam modificações na teoria padrão de amostragem destinadas, que permitam       uma melhor alocação dos recursos disponíveis, de modo que:       a) haja um equilíbrio entre os esforços empreendidos em favor da redução dos       erros amostrais aleatórios e da redução dos demais tipos de erros;       b) sejam obtidos métodos de cálculo dos erros-padrão e dos intervalos de       confiança que permaneçam válidos.       Os itens subseqüentes tratarão do problema da não-resposta por ser aquele que       melhor admite tratamento matemático.       8.1. Efeitos da Não-Resposta       No estudo da não-resposta, é conveniente que a população seja concebida como       pertencendo a dois estratos: o primeiro contendo todas os elementos que poderiam ser       medidos se fossem selecionados para a amostra; e o segundo contendo os demais elementos,       cuja medida não seria obtida.       O tamanho relativo dos dois estratos depende do método de coleta de dados       empregado. Uma pesquisa de campo com até três tentativas de contato de cada elemento       amostral, supervisionada por pessoas especialmente persuasivas, terá menos não-respostas       do que uma pesquisa com uma única tentativa de contato.       Naturalmente, as amostras não proporcionam informações sobre o estrato       composto pelas não-respostas. Isso não é um problema quando se pode assumir que os dois       estratos apresentam as mesmas características. Freqüentemente, porém, não é esse o caso.       Dessa forma, as estimativas obtidas podem ser viesadas. Na média amostral, p. ex., o viés é       definido pela seguinte equação:       TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM       85       ( ) nrrnrr XXN       NXXViés ­=­= . ,       Onde: X = média amostral correta mas não-conhecida;       rX = média dos elementos amostrais efetivamente medidos;       nrX = média dos elementos amostrais não-medidos;       N = tamanho da população;       nrN = tamanho do estrato contendo elementos que não podem ser medidos.       Como nrX não pode ser estimada a partir dos elementos amostrais examinados, a       extensão do viés só pode ser definido mediante informações obtidas em outras fontes.       Nas variáveis contínuas, os limites que podem ser imputados com certeza aos       vieses são tão amplos que não têm valor prático. Portanto, no presente contexto, quando a       proporção de não-respondentes é elevada, os intervalos de confiança não podem ser       estimados com precisão, a não ser por meio de aproximações não-corroboradas pelos dados       disponíveis.       Já nas amostragens que visam estimar uma proporção, o problema anterior não é       tão crítico, pois no estrato composto pelas não-respostas a proporção desejada situa-se,       necessariamente, no intervalo [0; 1]. Conhecendo-se N       N nr a partir de pesquisas realizadas       anteriormente, os limites inferior (pinf) e superior (psup) do intervalo de confiança são:       a) ( ) ú       û       ù       ê       ë       é ­­=       r       rr       r       r       n       ppZpN       Np 1...inf , com pnr = 0;21       b) ( )       N       N       n       ppZpN       Np r       r       rr       r       r +ú       û       ù       ê       ë       é ­+= 1...sup , com pnr = 1.22       Quanto maior o índice de não-resposta ÷       ø       öç       è       æ       N       N nr , maior a amplitude do intervalo       [pinf; psup], tornando cada vez mais imprecisa a estimativa. A Tabela 8.1 mostra os intervalos       de confiança, com um nível de confiança de 95% (Z = 1,96) e uma amostra com mil       elementos (n = 1.000), para várias proporções de "sucesso" e índices de não-resposta.          21 ( ) 01... =       ïþ       ïý       ü       ïî       ïí       ì       ú       ú       û       ù       ê       ê       ë       é ­­       nr       nrnr       nr       nr       n       ppZpN       N .       22 ( ) 11.. =       ú       ú       û       ù       ê       ê       ë       é ­+       nr       nrnr       nr n       ppZp .       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       86       Tabela 8.1: Intervalos de Confiança para Várias Proporções de "Sucesso" e       Índices de Não-Resposta (Z = 1,96 e n = 1.000)       (em %)       pr       ÷       ø       öç       è       æ       N       N nr       5 10 20 50       0 [3,6; 6,4] [8,1; 11,9] [17,5; 22,5] [46,9; 53,1]       5 [3,4; 11,1] [7,7; 16,3] [16,6; 26,4] [44,5; 55,5]       10 [3,2; 15,8] [7,2; 20,8] [15,6; 30,4] [42,1; 57,9]       15 [3,0; 20,5] [6,8; 25,2] [14,7; 34,3] [39,6; 60,4]       20 [2,9; 25,2] [6,4; 29,7] [13,9; 38,2] [37,4; 62,8]       Fonte: Cochrane, 1977, p. 362.       Para tornar mais claro o impacto do índice de não-resposta sobre o intervalo de       confiança, convém calcular qual seria o tamanho da amostra para um dado intervalo       supondo-se um índice nulo de não-resposta. O intervalo grifado em negrito na Tabela 8.1, p.       ex., corresponde a um erro amostral (e) igual a 0,055 (i.e., metade da extensão do intervalo       indicado). Com Z = 1,96 e p = 0,5, tem-se que a amostra poderia ser, na ausência de não-       resposta:       3205,3175,0.5,0.055,0       96,1 2       @=÷       ø       öç       è       æ=n .       Portanto, um índice de não-resposta de apenas 5% exigiu, para um dado intervalo       de confiança, uma amostra três vezes superior a que seria idealmente necessária (i.e., uma       amostra com 320 elementos em vez dos 1.000 elementos retratados na Tabela 8.1). Isso       reforça a idéia de que uma parte substancial dos recursos empregados na amostragem deve       ter como objetivo a redução do índice de não-resposta.       Quando N       N nr não é conhecido, como ocorre geralmente, um estimativa       conservadora do intervalo de confiança pode ser obtido da seguinte maneira:       a) ( )       n       ppZpp rr       r       ­­= 1..inf , com pnr = 0;       b) n       n       npn       np       Zn       npp       nr       r       nr       r       nr       r       úû       ù       êë       é ÷       ø       öç       è       æ +­÷       ø       öç       è       æ +       +÷       ø       öç       è       æ +=       1.       .sup , com pnr = 1 e nnr = qtde de       não-respostas na amostra.       Sabendo-se que a pesquisa de campo conterá não-respostas, o tamanho       apropriado da amostra, dado p igual a 0,5 e N       N nr conhecido, é definido pela seguinte       equação:       TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM       87       1       ..       25,0.'       2       ­       ÷       ø       öç       è       æ ­       =       N       N       N       Nee       Zn       rnr       .23       A Tabela 8.2 ilustra o efeito da não-resposta sobre o tamanho da amostra, para       um nível de confiança de 95% (Z = 1,96) e uma proporção de "sucessos" de 50% (p = 0,5).       Tabela 8.2: Tamanho da Amostra para Vários Erros Amostrais e Índices de       Não-Resposta (Z = 1,96 e p = 0,5)       (em %)       Erro Amostral Admitido (e)       ÷       ø       öç       è       æ       N       N nr       20 15 10 5       0 24 42 96 384       2 27 50 122 653       4 31 60 166 2.000       6 36 75 255 n.d.       8 43 99 521 n.d.       10 53 142 n.d. n.d.       15 112 n.d. n.d. n.d.       Fonte: Cochrane, 1977, p. 363.       Nota: "n.d." corresponde a "não definido", pois n < 0 ou n ® ± ¥.       Percebe-se, mais uma vez, que altos índices de não-resposta tornam inviável ou       extremamente onerosa a obtenção de estimativas precisas.       8.2. Métodos de Redução da Não-Resposta       No que tange à não-resposta, há quatro tipos de elementos amostrais:       1º) não-incluídos na amostra (p. ex., cadastro incompleto) ou não-visitados (p.       ex., dificuldade de acesso);       2º) incapazes ou avessos a fornecer a informação desejada;       3º) não-encontrados;       4º) pertencentes ao "núcleo rígido" de pessoas avessas ou incapazes de fornecer       a informação desejada ou, ainda, que não possam ser encontradas,       independentemente dos esforços que sejam feitos nesse sentido.24       A identificação e subseqüente redução do primeiro grupo de não-respondentes       não é simples. Sugere-se a comparação com os cadastros utilizados e os resultados gerados       por outras pesquisas, bem como a realização de pesquisas amostrais destinadas a verificar       quão completos são os cadastros disponíveis.          23 n' = (n - 1) para Nnr = 0 Þ a diferença entre ambos deve-se a aproximações feitas durante a obtenção da nova       equação. (Cochrane, 1977, p. 363)       24 O viés introduzido por essas elementos não pode ser reduzido       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       88       A diminuição do segundo grupo, por sua vez, envolve a cuidadosa elaboração do       questionário, cujas perguntas não podem ser ambíguas ou conter termos de difícil       compreensão. É importante que o questionário seja testado previamente junto à população       visada pela pesquisa para que os eventuais problemas seja identificados oportunamente.25       Já a redução do terceiro grupo exige o correto escalonamento das entrevistas,       bem como mais de uma tentativa de contato mediante call-backs ou subamostras.       8.2.1. Call-Backs       Nas pesquisas domiciliares que envolvam entrevistas com adultos específicos,       selecionados aleatoriamente, os solteiros ou chefes de família devem, p. ex., ser contatados       em dias ou horários não-comerciais. Naturalmente, as pesquisas domiciliares cujas       perguntas podem ser respondidas por qualquer adulto presente são menos afetadas por esse       tipo de problema.       Quanto à quantidade de call-backs, ela deve ser definida à luz dos resultados       desejados, dos meios disponíveis e das dificuldades enfrentadas por pesquisas similares.       Como indicação preliminar da eficácia de cada rodada de entrevistas, Cochrane propõe o       seguinte quadro:       Tabela 8.3: Eficácia de Três Tentativas de Contato       (em %)       Elementos Amostrais ContatadosTipo de       Respondente 1ª Tentativa 2ª Tentativa 3ª Tentativa       Não-Resposta Total       Adulto Qualquer 70 17 8 5 100       Adulto Específico 37 32 23 8 100       Fonte: Cochrane, 1977, p. 365.       É nítida a diferença entre as pesquisas cujas questões podem ser respondidas por       qualquer adulto e as pesquisas que devem ser respondidas por adultos específicos,       selecionados aleatoriamente, cujos altos índices de "sucesso" nas duas últimas tentativas são       uma decorrência das informações obtidas na primeira tentativa acerca dos hábitos dos       respondentes visados.       Convém notar que, em termos relativos, as rodadas de entrevistas tornam-se,       progressivamente, mais onerosas com a queda na quantidade de locais que podem ser       visitados pelos entrevistadores por unidade de área (p. ex., km2) ou de tempo (p. ex., h), o       que limita a quantidade de tentativas de contato que serão feitas.          25 Na formulação de perguntas embaraçosas (p. ex., referentes à prática de atos ilegais) pode-se usar a técnica de       respostas randômicas, na qual o entrevistado responde "sim" ou "não" a uma de duas perguntas, selecionada       aleatoriamente, sem que o entrevistador conheça a pergunta que está sendo respondida. Como, contudo, a distribuição       de probabilidades das perguntas apresentadas é conhecida, a proporção dos entrevistados que apresentam a       característica visada pela pesquisa pode ser estimada pelo entrevistador. (Cochrane, 1977, p. 392-5)       TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM       89       8.2.2. Subamostras       Ainda sobre os elementos amostrais não-encontrados, em vez de tentar contatar       todos os não-respondentes, os pesquisadores podem selecionar aleatoriamente uma       subamostra, extrapolando os resultados obtidos para todo grupo. O presente procedimento       eqüivale a uma amostragem estratificada em dois estágios, sendo amplamente usado em       pesquisas pelo correio, nas quais alguns elementos amostrais que não devolveram o       questionário são entrevistados pessoalmente. Em geral, a menor precisão dos resultados       amostrais obtidos nesse caso só se justificam quando os custos dos call-backs são muito       elevados.       A média amostral é não-viesada quando todos os elementos da subamostra       respondem às perguntas feitas pelos entrevistadores. A média é definida pela seguinte       equação:       n       n       X       nX       X r       n       j       j       nr       n       i       i       r       r       2,       1       1,       1       2,       1,       .       å       å =       =       +       = ,       Onde: X = média amostral;       n = tamanho da amostra;       nr,1 = quantidade de respondentes na primeira tentativa;       Xi = valores obtidos na primeira tentativa;       nnr,1 = quantidade de não-respondentes na primeira tentativa;       nr,2 = tamanho da subamostra (nr,2 É nnr,1);       Xj = valores obtidos a partir da subamostra.       A variância da média amostral, necessária para que se calcule o intervalo de       confiança, é obtida como mostrado abaixo:       ( )       Nnn       SNnnS       Nn       nNS       r       nrrnr       X ..       ...       . 2,       2       21,2,1,22 ­+÷       ø       öç       è       æ ­= ,26       Onde: 2       XS = variância da média amostral;       N = tamanho da população;       S2 = variância dos elementos amostrais;       Nnr,1 = tamanho do estrato contendo elementos que podem ser medidos na primeira       tentativa;       2       2S = variância dos elementos da subamostra.          26 A razão ÷÷       ø       ö       çç       è       æ       N       N nr 1, pode ser aproximada por meio da razão ÷÷       ø       ö       çç       è       æ       n       nnr 1, .       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       90       Por fim, a determinação do tamanho apropriado da amostra no presente contexto       depende dos valores desejados para a variância média amostral e a razão entre nnr,1 e nr,2:       [ ]2       2       2       2,       1,1,2       2       2       .       1..       SSN       n       n       N       NSSN       n       X       r       nrnr       +       ú       ú       û       ù       ê       ê       ë       é       ÷÷       ø       ö       çç       è       æ       ­÷÷       ø       ö       çç       è       æ+       = .       O Exemplo 8.1 ilustra como o tamanho da amostra pode ser calculado na       presença de não-respostas.       Exemplo 8.1: Cálculo da Quantidade de Questionários       Uma pesquisa amostral é feita pelo correio, estimando-se em 50% a taxa de resposta. A precisão       desejada eqüivale àquela que seria obtida por uma amostra aleatória simples de 1.000 questionários       se não houvesse não-resposta e 31 dos não-respondentes devem ser entrevistados pessoalmente.       Pede-se a quantidade de questionários que deve ser enviada.       Inicialmente, tem-se que:       a) a taxa estimada de não-resposta: N       N nr 1, = 0,5;       b) o tamanho da amostra quando não há não-resposta: n* = 1.000;       c) a razão entre a quantidade de não-respondentes e o tamanho da subamostra:        2,       1,       r       nr       n       n = 3.       d) a variância desejada: 000.1*       22       2 S       n       SS X == .       Supondo-se que os elementos amostrais e da subamostra apresentam variâncias idênticas e que a       população é muito numerosa, tem-se que:       ( ) [ ] 200013.5,01.1000       11.       2       2,       1,1,2       =­+=ú       ú       û       ù       ê       ê       ë       é       ÷÷       ø       ö       çç       è       æ       ­÷÷       ø       ö       çç       è       æ+       =       X       r       nrnr       S       n       n       N       NS       n .       Consequentemente, 2.000 questionários deverão ser distribuídos, estimando-se que 1.000 dos quais       não serão respondidos. Dessa forma, a subamostra envolverá 334 entrevistas pessoais.       8.3. Métodos de Compensação da Não-Resposta       Ainda que os call-backs ou as subamostras sejam sucedidos, é improvável que a       não-resposta seja suprimida totalmente. Assim, é comum que se recorra a alguns métodos       que buscam compensar esse tipo de problema com base nas características conhecidas dos       respondentes e dos não-respondentes. Os principais métodos são:       TIPOS DE ERRO EM AMOSTRAGEM       91       a) pós-estratificação: criação de estratos com base nas informações coletadas       na pesquisa amostral, distribuindo-se os não-respondentes pelos estratos que       melhor reflitam as suas características conhecidas;       b) substituição da não-resposta: após a pós-estratificação, as não-respostas       são substituídas por respostas selecionadas aleatória ou sistematicamente (p.       ex., pela resposta imediatamente anterior) no âmbito do estrato       correspondente;       c) substituição dos não-respondentes: ao longo do trabalho de campo, os não-       respondentes são substituídos por elementos da população tidos como       semelhantes;       d) utilização de dados complementares: as não-respostas podem ser ajustadas       por meio de informações coletadas em censos ou estudos amostrais       realizados anteriormente;       e) ponderação ou substituição baseada nos call-backs: as tentativas de call-       back podem permitir que se façam inferências acerca das características dos       não-respondentes recalcitrantes;       Caso haja indícios de que os não-respondentes recalcitrantes e os respondentes       apresentam distribuições de freqüência similares (p. ex., os indícios proporcionados por uma       ou mais tentativas de call-back), as equipes de auditoria ainda têm a opção de não fazer       qualquer compensação.       É sumamente importante que as equipes sejam bastante criteriosas no uso das       opções relacionadas acima, certificando-se de que as substituições ou ponderações       efetuadas sejam efetivamente compatíveis com as características conhecidas dos não-       respondentes. A não-observação desse princípio certamente introduzirá vieses nas       estimativas que comprometerão as conclusões do trabalho. Dessa forma, os relatórios de       auditoria deverão explicitar porque e como as eventuais compensações (ou não-       compensações) foram feitas.       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       92       ANEXO I       ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       94       ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL       95       Figura A.1: Dados Hipotéticos       Figura A.2: Geração de Estatísticas Descritivas       Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       96       Figura A.3: Estatísticas Descritivas Geradas       Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.       Observações:       a) Erro-Padrão:        n       SS X = .       UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL:       = (DESVPAD (núm1;núm2;...) /RAIZ (CONT.NÚM (núm1;núm2;...) ) ).       b) Assimetria:       i. e > 0 Þ curva de freqüência de um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn é       assimétrica à direita;       ii. e = 0 Þ curva de freqüência de um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn é       simétrica;       iii. e < 0 Þ curva de freqüência de um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn é       assimétrica à esquerda.       UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: =DISTORÇÃO (núm1;núm2;...).       ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL       97       c) Curtose:       i. k > 0 Þ curva de freqüência de um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn é       mais achatada do que a distribuição normal;       ii. k = 0 Þ curva de freqüência de um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn é tão       achatada quanto a distribuição normal;       iii. k < 0 Þ curva de freqüência de um conjunto de n observações X1, X2, X3, ..., Xn é       menos achatada quanto a distribuição normal.       UTILIZANDO O MICROSOFT EXCEL: =CURT (núm1;núm2;...).       Figura A.4: Agrupamento de Dados (Etapa 1 de 4)       Figura A.5: Agrupamento de Dados (Etapa 2 de 4)       Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       98       Figura A.6: Agrupamento de Dados (Etapa 3 de 4)       Figura A.7: Agrupamento de Dados (Etapa 4 de 4)       Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.       Figura A.8: Dados Agrupados       Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.       ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL       99       Tabela A.1: Obtenção da Amplitude Semi-Interquartílica e da Meia Amplitude       Semi-Interquartílica       A B       1       CÁLCULO AUTOMÁTICO DA AMPLITUDE SEMI-INTERQUARTÍLICA       E DA MEIA AMPLITUDE SEMI-INTERQUARTÍLICA #       2       3 POSIÇÃO INICIAL       4 Primeiro Quartil: = (CONT.NÚM (valor1;valor2;...) +1) /4       5 Terceiro Quartil: = (3* (CONT.NÚM (valor1;valor2;...) +1) ) /4       6       7 PARA O PRIMEIRO QUARTIL       8       =SE (A8="utilize a posição inicial:"; ARREDMULTB (B4;1);       ARRED (B4;0) )       9       =SE (B4=INT (B4);"utilize a posição inicial:";       SE (B4=TETO (B4;0,5);"utilize as seguintes       posições:"; "arredonde para a seguinte       posição:") ) =SE (A8="utilize a posição inicial:"; TETO (B4;1); "")       10 =MENOR (valor1;valor2;...;B8)       11       =SE (A8="utilize a posição inicial:"; "valores       das posições indicadas:"; "valor da posição       indicada:") =SE (A8="utilize a posição inicial:";       MENOR (valor1;valor2;...); "")       12       13 PARA O TERCEIRO QUARTIL       14       =SE (A14="utilize a posição       inicial:";ARREDMULTB (B5;1);ARRED (B5;0) )       15       =SE (B5=INT (B5);"utilize a posição inicial:";       SE (B5=TETO (B5;0,5);"utilize as seguintes       posições:"; "arredonde para a seguinte       posição:") ) =SE (A14="utilize a posição inicial:"; TETO (B5;1); "")       16 =MENOR (valor1;valor2;...;B14)       17       =SE (A14="utilize a posição inicial:";       "valores das posições indicadas:"; "valor da       posição indicada:") =SE (A14="utilize a posição inicial:";       MENOR (valor1;valor2;...;"") )       18       19 CONCLUSÃO       20 Primeiro Quartil: =SE (A8="utilize a posição inicial:"; (B10+B11) /2;B10)       21 Terceiro Quartil: =SE (A14="utilize a posição inicial:"; (B16+B17) /2;B16)       22 Amplitude Semi-Interquartílica = (B20+B21)       23 Meia Amplitude Semi-Interquartílica = (B22) /2       Nota: (#) os comandos do tipo "valor#" correspondem a valores extraídos de outras planilhas ou inseridos pelos       pesquisadores.       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       100       Figura A.9: Seleção de Amostras Aleatórias       Simples com Reposição       Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.       Figura A.10: Amostra Aleatória Simples Selecionada       Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.       ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL       101       Figura A.11: Estimação do Intervalo de Confiança para       Médias com Desvio-Padrão Conhecido       Nota: referente aos dados constantes da Figura A.1.       Figura A.12: Intervalo de Confiança Estimado       Notas: (a) o valor obtido corresponde à metade do intervalo de confiança estimado em torno       da média amostral;       (b) referente aos dados constantes da Figura A.1.       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       102       Tabela A.2: Estimação de Intervalos de Confiança       A B C D E F       1 ESTIMAÇÃO DE INTERVALOS DE CONFIANÇA (a)       2 Média (com ss conhecido) Média (com ss desconhecido) Proporção       3 n valor1 n valor6 n valor11       4 Média Amostral valor2 Média Amostral valor7 "Sucessos" valor12       5       Desvio-Padrão       Populacional valor3       Desvio-Padrão       Amostral valor8 "Fracassos" =F3-F4       6       Nível de       Confiança (b) valor4       Nível de       Confiança valor9       Nível de       Confiança (b) valor13       7       8 Erro-Padrão =B5/RAIZ (B3) Erro-Padrão =D5/RAIZ (D3)       Proporção       Amostral =F4/F3       9 Z       =INV.NORMP       (0,5+ (B6/2) ) g.l. = (D3-1) Z       =INV.NORMP       (0,5+ (F6/2) )       10 t       =INVT       (1-D6;D9) Erro-Padrão       =RAIZ       (F8* (1-F8) /F3)       11       Meio Intervalo       de Confiança       =INT.CONFIANÇA       (1-B6;B5;B3)       Meio Intervalo       de Confiança =D10*D8       Meio Intervalo       de Confiança =F9*F10       12 Limite Inferior =B4-B11 Limite Inferior =D4-D11 Limite Inferior =F8-F11       13 Limite Superior =B4+B11 Limite Superior =D4+D11 Limite Superior =F8+F11       14 Ajuste para Populações Finitas       15 N valor5 N valor10 N valor14       16 CPF       =RAIZ       ( (B15-B3) / (B15-1) ) CPF       =RAIZ       ( (D15-D3) / (D15-1) ) CPF       =RAIZ       ( (F15-F3) / (F15-1) )       17       Meio Inter. de       Conf. Ajustado =B11*B16       Meio Inter. de       Conf. Ajustado =D11*D16       Meio Inter. de       Conf. Ajustado =F11*F16       18       Limite Inferior       Ajustado =B4-B17       Limite Inferior       Ajustado =D4-D17       Limite Inferior       Ajustado =F8-F17       19       Limite Superior       Ajustado =B4+B17       Limite Superior       Ajustado =D4+D17       Limite Superior       Ajustado =F8+F17       Notas: (a) os comandos do tipo "valor#" correspondem a valores extraídos de outras planilhas ou inseridos pelos       pesquisadores;       (b) o nível de confiança deve ser informado na sua forma decimal.       ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL       103       Tabela A.3: Determinação do Tamanho da Amostra       A B C D       1 DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA (a)       2 Média Proporção       3       Nível de Confiança       Desejado (b) valor1       Nível de Confiança       Desejado (b) valor5       4       Estimativa Inicial do       Desvio-Padrão valor2       Estimativa Inicial do       Desvio-Padrão valor6       5 Erro Amostral Admitido valor3 Erro Amostral Admitido valor7       6 Z       =INV.NORMP       (0,5+ (B3/2) ) Z       =INV.NORMP       (0,5+ (D3/2) )       7 Tamanho da Amostra = ((B6*B4) /B5) ^2 Tamanho da Amostra = (D6^2*D4* (1-       D4) ) /D5^2       8 Amostra Requerida       =ARREDONDAR.PARA.       CIMA (B7;0) Amostra Requerida       =ARREDONDAR.PARA.       CIMA (D7;0)       9 Ajuste para Populações Finitas       10 N valor4 N valor8       11 n = (B7*B10) / (B7+B10-1) n = (D7*D10) / (D7+D10-1)       12 Amostra Requerida       Ajustada       =ARREDONDAR.PARA.       CIMA (B11;0)       Amostra Requerida       Ajustada       =ARREDONDAR.PARA.       CIMA (D11;0)       Notas: (a) os comandos do tipo "valor#" correspondem a valores extraídos de outras planilhas ou inseridos pelos       pesquisadores;       (b) o nível de confiança deve ser informado na sua forma decimal.       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       104       Tabela A.4: Estimação do Intervalo de Confiança para Totais       A B       1 ESTIMAÇÃO DO INTERVALO DE CONFIANÇA PARA TOTAIS (a)       2       3 n valor1       4 Média Amostral valor2       5 Desvio-Padrão Amostral valor3       6 Nível de Confiança (b) valor4       7 N valor5       8 Total =B7*B4       9 CPF =RAIZ ((B7-B3) / (B7-1) )       10 Erro-Padrão = (B7*B5*B9) /RAIZ (B3)       11 g.l. =B3-1       12 t =INVT (1-B6;B11)       13 Meio Intervalo de Confiança Ajustado =B12*B10       14 Limite Inferior Ajustado =B8-B13       15 Limite Superior Ajustado =B8+B13       Notas: (a) os comandos do tipo "valor#" correspondem a valores extraídos de outras planilhas ou inseridos pelos       pesquisadores;       (b) o nível de confiança deve ser informado na sua forma decimal.       ROTINAS DO MICROSOFT EXCEL       105       Tabela A.5: Estimação do Intervalo de Confiança para Diferenças       A B C D E F       1 ESTIMAÇÃO DO INTERVALO DE CONFIANÇA PARA DIFERENÇAS (a)       2 Diferenças (b)       Quadrado dos       Desvios das Obs.       com Diferença       3 valor1       Somatório das       Diferenças       =SOMA       (A3:A16) = (A3-$C$6) ^2       Som. do Quad.       dos Desv. das       Obs. com Dif.       =SOMA       (D3:D16)       4 valor2       Contagem das       Diferenças       =CONT.VALORES       (A3:A16) = (A4-$C$6) ^2       Produto da Dif.       Média pela Qtde.       de Obs. sem Dif. =C7* (-C6) ^2       5 valor3 n valor15 = (A5-$C$6) ^2       Somatório dos       Desvios =F3+F4       6 valor4 Diferença Média =C3/C5 = (A6-$C$6) ^2 g.l. =C4-1       7 valor5       Qtde de Obs.       sem Diferença =C5-C4 = (A7-$C$6) ^2 Variância =F5/F6       8 valor6 = (A8-$C$6) ^2 Desvio-Padrão =RAIZ (F7)       9 valor7 = (A9-$C$6) ^2       10 valor8 = (A10-$C$6) ^2 Nível de Conf. (c) valor16       11 valor9 = (A11-$C$6) ^2 N valor 17       12 valor10 = (A12-$C$6) ^2 Diferença Total =F11*C6       13 valor11 = (A13-$C$6) ^2 CPF       =RAIZ       ( (F11-C5) / (F11-1) )       14 valor12 = (A14-$C$6) ^2 Erro-Padrão       = (F11*F8*F13) /       RAIZ (C5)       15 valor13 = (A15-$C$6) ^2 g.l. =C5-1       16 valor14 = (A16-$C$6) ^2 t       =INVT       (1-F10;F15)       17       Meio Intervalo       de Conf. Ajust. =F16*F14       18 Limite Inferior       Ajustado =F12-F17       19 Limite Superior       Ajustado =F12+F17       Notas: (a) os comandos do tipo "valor#" correspondem a valores extraídos de outras planilhas ou inseridos pelos       pesquisadores;       (b) por hipótese, foram observadas catorze diferenças entre os valores constantes do cadastro e os valores observados;       (c) o nível de confiança deve ser informado na sua forma decimal.       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       106       ANEXO II       DISTRIBUIÇÕES NORMAL PADRÃO &       "t" DE STUDENT       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       108       DISTRIBUIÇÕES NORMAL PADRÃO E "t" DE STUDENT       109       ÁREAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO       USANDO MICROSOFT EXCEL: =DIST.NORMP (z).       Onde: DIST.NORMP (z) = ÷       ø       öç       è       æ a­       2       1       Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09       0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359       0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753       0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141       0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517       0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879       0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224       0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549       0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852       0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133       0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389       1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621       1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830       1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015       1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177       1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319       1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441       1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545       1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633       1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706       1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767       2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817       2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857       2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890       2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916       2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936       2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952       2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964       2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974       2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981       2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986       3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990       3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993       3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995       3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997       3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998       3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998       3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999       3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999       3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999       3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       110       DISTRIBUIÇÃO "t" DE STUDENT BI-CAUDAL       USANDO MICROSOFT EXCEL: =INVT (probabilidade;graus de liberdade).       Onde: probabilidade de que se cometa o erro do Tipo I = a;       graus de liberdade = g.l.       a       g.l. 0,2000 0,1000 0,0500 0,0200 0,0100 0,0050 0,0020 0,0010       1 3,0777 6,3137 12,7062 31,8210 63,6559 127,3211 318,2888 636,5776       2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9645 9,9250 14,0892 22,3285 31,5998       3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8408 7,4532 10,2143 12,9244       4 1,5332 2,1318 2,7765 3,7469 4,6041 5,5975 7,1729 8,6101       5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 4,7733 5,8935 6,8685       6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 4,3168 5,2075 5,9587       7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9979 3,4995 4,0294 4,7853 5,4081       8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 3,8325 4,5008 5,0414       9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 3,6896 4,2969 4,7809       10 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 3,5814 4,1437 4,5868       11 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 3,4966 4,0248 4,4369       12 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 3,4284 3,9296 4,3178       13 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 3,3725 3,8520 4,2209       14 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 3,3257 3,7874 4,1403       15 1,3406 1,7531 2,1315 2,6025 2,9467 3,2860 3,7329 4,0728       16 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 3,2520 3,6861 4,0149       17 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,2224 3,6458 3,9651       18 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,1966 3,6105 3,9217       19 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 3,1737 3,5793 3,8833       20 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 3,1534 3,5518 3,8496       21 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,1352 3,5271 3,8193       22 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,1188 3,5050 3,7922       23 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,1040 3,4850 3,7676       24 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7970 3,0905 3,4668 3,7454       25 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,0782 3,4502 3,7251       26 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 3,0669 3,4350 3,7067       27 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,0565 3,4210 3,6895       28 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 3,0470 3,4082 3,6739       29 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 3,0380 3,3963 3,6595       30 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 3,0298 3,3852 3,6460       40 1,3031 1,6839 2,0211 2,4233 2,7045 2,9712 3,3069 3,5510       60 1,2958 1,6706 2,0003 2,3901 2,6603 2,9146 3,2317 3,4602       120 1,2886 1,6576 1,9799 2,3578 2,6174 2,8599 3,1595 3,3734       +¥ 1,2816 1,6449 1,9600 2,3264 2,5758 2,8070 3,0902 3,2905       Nota: Para a = 0,05, as estatísticas "t" de Student, com g.l. = +¥, e Z são iguais a 1,96.       ANEXO III       BREVIÁRIO DE FÓRMULAS       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       112       BREVIÁRIO DE FÓRMULAS       113       AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES       I. Utilidade:       A população forma um todo indissociável em relação ao objeto da pesquisa e os custos       do trabalho de campo não são elevados Þ p. ex., no caso de uma pesquisa que pretenda       estimar a proporção de beneficiários do crédito educativo que conseguem completar o       curso superior, cujos questionários sejam remetidos pelo correio e cujo preenchimento       seja compulsório (ou seja, a taxa de não-resposta é assumida baixa), é possível que a       estratificação por curso, gênero ou localidade, entre outras possibilidades, não seja       relevante, pois os fatores determinantes do sucesso ou insucesso seriam comuns a todos       os possíveis subconjuntos.       II. Estimativa do Intervalo:       Ä da Média:       ∙ com s conhecido e população infinita: vide item 5.1       ú       û       ù       ê       ë       é       ÷÷       ø       ö       çç       è       æ s+÷÷       ø       ö       çç       è       æ s­       n       ZX       n       ZX .;. ;       ∙ com s desconhecido e população infinita: vide item 5.2       ú       û       ù       ê       ë       é       ÷÷       ø       ö       çç       è       æ+÷÷       ø       ö       çç       è       æ­ ­­ n       StX       n       StX nn .;. 11 ;       ∙ com s conhecido e população finita: vide item 5.6       ú       ú       û       ù       ê       ê       ë       é       ÷÷       ø       ö       çç       è       æ       ­       ­       ÷÷       ø       ö       çç       è       æ s+÷÷       ø       ö       çç       è       æ       ­       ­       ÷÷       ø       ö       çç       è       æ s­ 1..;1.. N       nN       n       ZXN       nN       n       ZX ;       ∙ com s desconhecido e população finita: vide item 5.6       ú       ú       û       ù       ê       ê       ë       é       ÷÷       ø       ö       çç       è       æ       ­       ­÷       ø       öç       è       æ+÷÷       ø       ö       çç       è       æ       ­       ­÷       ø       öç       è       æ­ ­­ 1..;1.. 11 N       nN       n       StXN       nN       n       StX nn ;       Ä para Proporções:       ∙ população infinita: vide item 5.4       ( ) ( )       ú       ú       û       ù       ê       ê       ë       é ­+­­       n       ppZp       n       ppZp ss       s       ss       s       1..;1.. ;       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       114       ∙ população finita: vide item 5.6       ( ) ( )       ú       ú       û       ù       ê       ê       ë       é       ÷÷       ø       ö       çç       è       æ       ­       ­­+÷÷       ø       ö       çç       è       æ       ­       ­­­       1.1..;1.1.. N       nN       n       ppZpN       nN       n       ppZp ss       s       ss       s ;       Ä do Total (com s desconhecido e população finita): vide item 5.7       ú       ú       û       ù       ê       ê       ë       é       ÷÷       ø       ö       çç       è       æ       ­       ­÷       ø       öç       è       æ+÷÷       ø       ö       çç       è       æ       ­       ­÷       ø       öç       è       æ­ ­­ 1....;1.... 11 N       nN       n       StNXNN       nN       n       StNXN nn ;       ∙ para Diferenças (com s desconhecido e população finita): vide item 5.8       ú       ú       û       ù       ê       ê       ë       é       ÷÷       ø       ö       çç       è       æ       ­       ­÷       ø       öç       è       æ+÷÷       ø       ö       çç       è       æ       ­       ­÷       ø       öç       è       æ­ ­­ 1....;1.... 11 N       nN       n       StNDNN       nN       n       StNDN d       n       D       n , com n       D       D       n       i       iå       == 1 e       1       .       1       22       ­       ­       =       å       =       n       DnD       S       n       i       i       D ;       III. Determinação do Tamanho da Amostra:       Ä com População Infinita:       ∙ para médias: vide item 5.5.1       2       22 .       e       SZn o= ;       ∙ para duas proporções: vide item 5.5.2       ( )       2       2 1..       e       ppZn oo ­= ;       ∙ para n-proporções: vide item 5.5.2       2       2 25,0.'       e       Zn = , com Z' dado por        ( )       2       11       2       1       1       úû       ù       êë       é ­­       =÷       ø       öç       è       æ       ÷       ø       öç       è       æ       ­kay ;       Ä com População Finita: vide item 5.6       ( ) 1       .       ­+= Nn       NnnCPF .       BREVIÁRIO DE FÓRMULAS       115       AMOSTRAGEM ALEATÓRIA ESTRATIFICADA       I. Utilidade:       A população contém estratos que têm relação com o objeto da pesquisa Þ p. ex., no       caso de uma pesquisa que pretenda estimar a remuneração média, cinco anos após a       formatura, dos graduandos da Universidade de Brasília, é provável que a estratificação       por curso seja relevante, uma vez que alguns são mais demandados ou agregam mais       valor econômico do que outros; a presente modalidade de amostragem evitaria o risco       de que alguns cursos fossem sub ou super-representados, o que geraria estimativas       pontuais distantes do parâmetro, ainda que o intervalo de confiança continuasse válido.       II. Estimativa do Intervalo: vide item 6.1.1       Ä da Média (com tn-1 aproximado por Z):       [ ]AEXAE SZX .± , com å       =       =       k       j       jjAE XN       N       X       1       ..1 , å       =       =       k       j       Xj jAEX       .SN.       N       S       1       22       2       2 1 e        j       jj       j       j       N       nN       n       SS       jX       ­= .       2       2 ;       Ä para Proporções:       úû       ù       êë       é ±       AEpAE SZp ^.       ^       , com å       =       =       k       j       jjAE pN       N       p       1       ^^       ..1 , å       =       =       k       j pj       jAEp       .SN       N       S       1       22       2       2       ^^       .1 e       ( )       j       jj       j       jj       p N       nN       n       pp       S       j       ­       ­       ÷ø       öçè       æ ­       = .       1       1.       ^^       2       ^ ;       Ä do Total (com tn-1 aproximado por Z):       [ ]AEXAE SNZXN ... ± , com å       =       =       k       j       jjAE XNXN       1       .. e å       =       =       k       j       Xj jAEX       .SNSN       1       2222 . ;       III. Alocação Ótima por Estrato do Tamanho da Amostra: vide item 6.1.2       Ä Para Médias (com sj conhecido):       n       N       N       n k       j       jj       jj       j .       .       .       1       å       =       s       s= ;       Ä Para Duas Proporções (com pj conhecido):       ( )       ( )       n       ppN       ppN       n k       j       jjj       jjj       j .       1..       1..       1       å       =       ­       ­       = .       TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS       116       AMOSTRAGEM ALEATÓRIA POR CONGLOMERADOS - UM ÚNICO ESTÁGIO       I. Utilidade:       A população é formada por subconjuntos semelhantes e os custos do trabalho de campo       são elevados Þ p. ex., no caso de uma pesquisa que pretenda estimar a produtividade       média dos assentamentos criados pelo Ministério do Desenvolvimento Agrário, é       possível que os assentamentos possam ser agrupados em conjuntos geograficamente       compactos, mas suficientemente diversificados internamente para que os conjuntos       examinados possam ser tratados, a um custo menor, como representativos de toda       população.       II. Estimativa do Intervalo: vide item 6.2.1       Ä da Média (com tn-1 aproximado por Z):       [ ]ACAC XACXAC SZXSZX .. +       <­ , com          å         å         =         == m         j         j         m         j         jj         AC         N         XN         X         1         1         .         , 2         2         1         2         .         AC         m         j         j         .S         m         N         M         mMS         ACX         ÷÷         ø         ö         çç         è         æ         ­=         å         =         e         ( )         1         1         22         2         ­         ­         =         å         =         m         XX.N         S         m         j         ACjj         AC ;         Ä para Proporções:         úû         ù         êë         é +<<­         ACAC pACpAC SZppSZp ^^ ..         ^^         , com          å         å         =         == m         j         j         m         j         jj         AC         N         pN         p         1         1         ^         ^         .         , 2         2         1         2         .         ^ AC         m         j         j         .S         m         N         M         mMS         ACp         ÷÷         ø         ö         çç         è         æ         ­=         å         =         e         1         1         2^^2         2         ­         ÷ø         öçè         æ ­         =         å         =         m         pp.N         S         m         j         ACjj         AC ;         III. Determinação da Quantidade de Conglomerados da Amostra: vide item 6.2.2         2         2         1         2         2         2         ..         . 0         AC         M         j         j         AC         S         M         N         Z         e         SM         m         ­         ÷÷         ø         ö         çç         è         æ         =         å         =         .         ANEXO IV         FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGENS         POR UNIDADE MONETÁRIA         TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS         118         FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGENS POR UNIDADE MONETÁRIA         119         Tribunal de Contas da União         Secretaria-Geral de Controle Externo         AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         FORMULÁRIO 1         Objeto (s) da Auditoria: UG:         TC:         Objeto da Amostragem: Período de:         ∙ Abrangência: __/__/____ - __/__/____.         ∙ Realização: __/__/____ - __/__/____.             Plano Amostral         Preparado por: Matrícula: Data: __/__/____.         Revisto por: Matrícula: Data: __/__/____.             PRECISÃO AMOSTRAL E AJUSTES ESTIMADOS                 Erro Tolerável/Materialidade Ampla:              Materialidade Restrita:              Ajustes Arbitrados:             Erro Amostral Previsto:          Estimativa da Ampliação do Intervalo de Precisão:          Outros Ajustes:          Ajuste Total:              Erro Máximo Admitido:              Notas (premissas, precedentes ou ressalvas pertinentes):                                                      TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS         120         Tribunal de Contas da União         Secretaria-Geral de Controle Externo         AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         FORMULÁRIO 2A         Objeto (s) da Auditoria: UG:         TC:         Objeto da Amostragem: Período de:         ∙ Abrangência: __/__/____ - __/__/____.         ∙ Realização: __/__/____ - __/__/____.             Plano Amostral         Preparado por: Matrícula: Data: __/__/____.         Revisto por: Matrícula: Data: __/__/____.             DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA                 População (compras, salários,         estoques, etc.)              (1) Materialidade Restrita          (2) Montante Registrado          (3) Índice de Confiabilidade (R)          (4) Tamanho da Amostra         [ (2). (3) / (1) ]          (5) Intervalo Amostral         [ (2) / (4) ]              Notas (inclusões e expurgos pertinentes):                                                          FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGENS POR UNIDADE MONETÁRIA         121         Tribunal de Contas da União         Secretaria-Geral de Controle Externo         AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         FORMULÁRIO 2B         Objeto (s) da Auditoria: UG:         TC:         Objeto da Amostragem: Período de:         ∙ Abrangência: __/__/____ - __/__/____.         ∙ Realização: __/__/____ - __/__/____.             Plano Amostral         Preparado por: Matrícula: Data: __/__/____.         Revisto por: Matrícula: Data: __/__/____.             DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA                 População (compras, salários, estoques, etc.)              (1) Materialidade Restrita          (2) Montante Registrado          (3) Índice de Confiabilidade no (R)          (4) Tamanho da Amostra         [ (2). (3) / (1) ]          (5) Intervalo Amostral         [ (2) / (4) ]              Notas (inclusões e expurgos pertinentes):                                                          TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS         122         Tribunal de Contas da União         Secretaria-Geral de Controle Externo         AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         FORMULÁRIO 3         Objeto (s) da Auditoria: UG:         TC:         Objeto da Amostragem: Período de:         ∙ Abrangência: __/__/____ - __/__/____.         ∙ Realização: __/__/____ - __/__/____.             Plano Amostral         Preparado por: Matrícula: Data: __/__/____.         Revisto por: Matrícula: Data: __/__/____.             ESTIMATIVA DO ERRO AMOSTRAL MÁXIMO                 Valor Erro          Item Registrado         (A)         Auditado         (B)         Valor         (C) = [ (A) -         (B) ]         Proporção         (D) =[ (C) / (A) ]         Ordem         (1º, 2º, etc.)         Projetado         [ (Intervalo         Amostral). (D) ]             Registros         superestimados         referentes a itens com         valores inferiores ao         do intervalo amostral                                             Registros         subestimados         referentes a itens com         valores inferiores ao         do intervalo amostral                                                 Erro Líquido Observado na Amostra              Erro Líquido Extrapolado para a População                      FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGENS POR UNIDADE MONETÁRIA         123             Tribunal de Contas da União         Secretaria-Geral de Controle Externo         AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         FORMULÁRIO 4         Objeto (s) da Auditoria: UG:         TC:         Objeto da Amostragem: Período de:         ∙ Abrangência: __/__/____ - __/__/____.         ∙ Realização: __/__/____ - __/__/____.             Plano Amostral         Preparado por: Matrícula: Data: __/__/____.         Revisto por: Matrícula: Data: __/__/____.             ITENS CRÍTICOS OU COM VALORES ELEVADOS                 Valor          Item Registrado         (A)         Auditado         (B)         Erro         (C) = [ (A) -         (B) ]             Itens críticos ou com valores superiores ao intervalo         amostral         A) Superestimados         B) Subestimados         (utilizar formulários distintos para valores superestimados e         subestimados)                                                                                             Erro Total                  TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS         124         Tribunal de Contas da União         Secretaria-Geral de Controle Externo         AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         FORMULÁRIO 5         Objeto (s) da Auditoria: UG:         TC:         Objeto da Amostragem: Período de:         ∙ Abrangência: __/__/____ - __/__/____.         ∙ Realização: __/__/____ - __/__/____.             Plano Amostral         Preparado por: Matrícula: Data: __/__/____.         Revisto por: Matrícula: Data: __/__/____.             AMPLIAÇÃO DO INTERVALO DE PRECISÃO - AIP                 Ordem         (1º, 2º, etc.)         Fator AIP         (A)         Proporção         (B)         AIP         [ (Intervalo         Amostral. (A). (B) ]             Registros         C) Superestimados         D) Subestimados         (utilizar formulários distintos para valores         superestimados e subestimados)                                                                                                 AIP Total                  FORMULÁRIOS PARA AMOSTRAGENS POR UNIDADE MONETÁRIA         125         Tribunal de Contas da União         Secretaria-Geral de Controle Externo         AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         FORMULÁRIO 6         Objeto (s) da Auditoria: UG:         TC:         Objeto da Amostragem: Período de:         ∙ Abrangência: __/__/____ - __/__/____.         ∙ Realização: __/__/____ - __/__/____.             Plano Amostral         Preparado por: Matrícula: Data: __/__/____.         Revisto por: Matrícula: Data: __/__/____.             ERRO E PRECISÃO TOTAIS                 Superestimados Subestimados          Erro Provável         (Formulários 3 & 4)                                 Materialidade Restrita         (Formulário 2)                             Ampliação do Intervalo de Precisão         (Formulário 5)                                     Limite Superior dos Erros (1)              Materialidade Ampla (2)              Diferença [ (2) - (1) ]              Diferença Aceitável? Sim Não Sim Não                  TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS         126             ANEXO V         APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM         POR UNIDADE MONETÁRIA         TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS         128         APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         129         Tribunal de Contas da União         Secretaria-Geral de Controle Externo         AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         FORMULÁRIO 1         Objeto (s) da Auditoria: XYZ UG: ?????         TC: ???.???/1999-?         Objeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de:         ∙ Abrangência: 01/01/1997 - 31/12/1998.         ∙ Realização: 25/01/1999 - 01/03/1999.             Plano Amostral         Preparado por: UVW Matrícula: ????-? Data: 15/12/1998.         Revisto por: RST Matrícula: ????-? Data: 20/01/1999.             PRECISÃO AMOSTRAL E AJUSTES ESTIMADOS                 Erro Tolerável/Materialidade Ampla: 100.000,00              Materialidade Restrita: 95.000,00              Ajustes Arbitrados:             Erro Amostral Previsto: ­          Estimativa da Ampliação do Intervalo de Precisão: ­          Outros Ajustes: 5.000,00          Ajuste Total: 5.000,00              Erro Máximo Admitido: 100.000,00              Notas (premissas, precedentes ou ressalvas pertinentes):          A) Materialidade Ampla: maior diferença entre os montantes registrado e estimado admitido pela          equipe de auditoria ou pelo órgão encarregado da auditoria;          B) Materialidade Restrita: diferença entre a materialidade ampla e os ajustes arbitrados pela          equipe de auditoria;          C) Ajustes Arbitrados: maior diferença entre os montantes registrado e estimado indicada pelos          resultados amostrais; seus componentes (erro amostral previsto, estimativa da ampliação do          intervalo de precisão e outros ajustes) são arbitrados pela equipe de auditoria com base em          trabalhos anteriores ou de proporções fixadas pelo órgão encarregada da auditoria (no presente          exemplo: 0,25% do montante registrado).                  TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS         130         Tribunal de Contas da União         Secretaria-Geral de Controle Externo         AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         FORMULÁRIO 2         Objeto (s) da Auditoria: XYZ UG: ?????         TC: ???.???/1999-?         Objeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de:         ∙ Abrangência: 01/01/1997 - 31/12/1998.         ∙ Realização: 25/01/1999 - 01/03/1999.             Plano Amostral         Preparado por: UVW Matrícula: ????-? Data: 15/12/1998.         Revisto por: RST Matrícula: ????-? Data: 20/01/1999.             DETERMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA                 População (compras, salários, estoques, etc.) COMPRAS              (1) Materialidade Restrita 95.000,00          (2) Montante Registrado 2.000.000,00          (3) Índice de Confiabilidade 3,00          (4) Tamanho da Amostra         [ (2). (3) / (1) ] 64          (5) Intervalo Amostral         [ (2) / (4) ] 31.250,00              Notas (inclusões e expurgos pertinentes):          O montante registrado abrange 500 operações de compra. Os valores de cinco delas são superiores          ao intervalo amostral.                                                  APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         131         Tribunal de Contas da União         Secretaria-Geral de Controle Externo         AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         FORMULÁRIO 3         Objeto (s) da Auditoria: XYZ UG: ?????         TC: ???.???/1999-?         Objeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de:         ∙ Abrangência: 01/01/1997 - 31/12/1998.         ∙ Realização: 25/01/1999 - 01/03/1999.             Plano Amostral         Preparado por: UVW Matrícula: ????-? Data: 15/12/1998.         Revisto por: RST Matrícula: ????-? Data: 20/01/1999.             ESTIMATIVA DO ERRO AMOSTRAL MÁXIMO                 Valor Erro          Item Registrado         (A)         Auditado         (B)         Valor         (C) = [ (A) -         (B) ]         Proporção         (D) =[ (C) / (A) ]         Ordem         (1º, 2º, etc.)         Extrapolação         [ (Intervalo         Amostral). (D) ]             Registros         superestimados         referentes a itens         com valores         inferiores ao do         intervalo amostral         35                                     2.000,00 1.800,00 200,00 0,10 1º 3.125,00          Registros         subestimados         referentes a itens         com valores         inferiores ao do         intervalo amostral         29             57                             2.500,00             4.000,00         2.600,00             4.200,00         (100,00)             (200,00)         0,04             0,05         2º             1º         (1.250,00)             (1.562,50)                 Erro Líquido Observado na Amostra (100,00)              Erro Líquido Extrapolado para a População 312,50                      TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS         132             Tribunal de Contas da União         Secretaria-Geral de Controle Externo         AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         FORMULÁRIO 4         Objeto (s) da Auditoria: XYZ UG: ?????         TC: ???.???/1999-?         Objeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de:         ∙ Abrangência: 01/01/1997 - 31/12/1998.         ∙ Realização: 25/01/1999 - 01/03/1999.             Plano Amostral         Preparado por: UVW Matrícula: ????-? Data: 15/12/1998.         Revisto por: RST Matrícula: ????-? Data: 20/01/1999.             ITENS CRÍTICOS OU COM VALORES ELEVADOS                 Valor          Item Registrado         (A)         Auditado         (B)         Erro         (C) = [ (A) -         (B) ]             Itens críticos ou com valores superiores ao intervalo         amostral         E) Superestimados         F) Subestimados         (utilizar formulários distintos para valores superestimados e         subestimados)         13                                                                                 43.125,00 42.625,00 500,00              Erro Total 500,00                  APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         133         Tribunal de Contas da União         Secretaria-Geral de Controle Externo         AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         FORMULÁRIO 5         Objeto (s) da Auditoria: XYZ UG: ?????         TC: ???.???/1999-?         Objeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de:         ∙ Abrangência: 01/01/1997 - 31/12/1998.         ∙ Realização: 25/01/1999 - 01/03/1999.             Plano Amostral         Preparado por: UVW Matrícula: ????-? Data: 15/12/1998.         Revisto por: RST Matrícula: ????-? Data: 20/01/1999.             AMPLIAÇÃO DO INTERVALO DE PRECISÃO - AIP                 Ordem         (1º, 2º, etc.)         Fator AIP         (A)         Proporção         (B)         AIP         [ (Intervalo         Amostral. (A). (B) ]             Registros         G) Superestimados         H) Subestimados         (utilizar formulários distintos para valores         superestimados e subestimados)         1º                                                                                     0,75 0,10 2.343,75              AIP Total 2.343,75                  TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS         134         Tribunal de Contas da União         Secretaria-Geral de Controle Externo         AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         FORMULÁRIO 5         Objeto (s) da Auditoria: XYZ UG: ?????         TC: ???.???/1999-?         Objeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de:         ∙ Abrangência: 01/01/1997 - 31/12/1998.         ∙ Realização: 25/01/1999 - 01/03/1999.             Plano Amostral         Preparado por: UVW Matrícula: ????-? Data: 15/12/1998.         Revisto por: RST Matrícula: ????-? Data: 20/01/1999.             AMPLIAÇÃO DO INTERVALO DE PRECISÃO - AIP                 Ordem         (1º, 2º, etc.)         Fator AIP         (A)         Proporção         (B)         AIP         [ (Intervalo         Amostral. (A). (B) ]             Registros         I) Superestimados         J) Subestimados         (utilizar formulários distintos para valores         superestimados e subestimados)         1º             2º                                                                             0,75             0,55         0,05             0,04         (1.171,87)             (687,50)                 AIP Total (1.859,37)                  APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         135         Tribunal de Contas da União         Secretaria-Geral de Controle Externo         AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA         FORMULÁRIO 6         Objeto (s) da Auditoria: XYZ UG: ?????         TC: ???.???/1999-?         Objeto da Amostragem: CADASTRO DE COMPRAS Período de:         ∙ Abrangência: 01/01/1997 - 31/12/1998.         ∙ Realização: 25/01/1999 - 01/03/1999.             Plano Amostral         Preparado por: UVW Matrícula: ????-? Data: 15/12/1998.         Revisto por: RST Matrícula: ????-? Data: 20/01/1999.             ERRO E PRECISÃO TOTAIS                 Superestimados Subestimados          Erro Provável         (Formulários 3 & 4)         312,50             500,00                 312,50          Materialidade Restrita         (Formulário 2)         95.000,00                     (95.000,00)          Ampliação do Intervalo de Precisão         (Formulário 5)         2.343,75                         (1.859,37)              Limite Superior dos Erros (1) 98.156,25 (96.546,87)              Materialidade Ampla (2) 100.000,00 (100.000,00)              Diferença [ (2) - (1) ] 1.843,75 (3.453,13)              Diferença Aceitável? Sim Não Sim Não                  TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS         136         GLOSSÁRIO         AMOSTRA: subconjunto de elementos da população selecionado para análise; a         quantidade de elementos da amostra (i. e., tamanho da amostra) é usualmente denotada         como n, enquanto que a quantidade de elementos da população é geralmente denotada como         N.         AMOSTRA ALEATÓRIA: amostra cujos elementos são selecionados aleatoriamente,         podendo-se computar a probabilidade de que uma amostra em particular seja obtida; a         seleção pode ser com ou sem reposição, ou seja, os elementos podem ser selecionados         simultaneamente ou um por vez, devolvendo-se à população, após cada seleção, o elemento         selecionado; no caso da seleção com reposição, elementos da população podem integrar a         amostra mais de uma vez.         APROXIMAÇÃO PELA NORMAL: mensuração aproximada das áreas sob um         histograma (i. e., plotagem da distribuição de freqüências relativas de uma variável         aleatória) por meio das áreas correspondentes definidas pela curva normal, após a         transformação dos valores originais em unidades-padrão; diversas distribuições de         probabilidades podem ser aproximadas por intermédio da distribuição normal (p. ex.: no         intervalo [9,5; 17,5], a área definida pelo histograma de uma distribuição binomial com         n = 50 e p = 0,3 é igual a 0,742; no caso da distribuição normal, esse intervalo corresponde a         ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ]772,0;697,13,01.3,0.503,0.505,17;3,01.3,0.503,0.505,9 ­=­­­­ , ao qual está         associado uma área igual a 0,735 - apenas um pouco inferior ao valor correto, portanto;         convém notar que a aproximação será tão melhor quanto maior for n e mais próximo de 0,5         for p).         CORREÇÃO PARA POPULAÇÕES FINITAS: no caso de amostragens sem reposição,         os erros-padrão dos totais e das médias amostrais dependem da fração da população incluída         na amostra - maior a fração, menor o erro-padrão; o erro-padrão nas amostragens sem         reposição é inferior ao erro-padrão nas amostragens com reposição, com a diferença         correspondendo ao fator de correção para populações finitas (CPF), qual seja,         ( ) ( ) [ ]1­­ NnN - com n = 1, as duas modalidades de amostragem são equivalentes, o que         torna os erros-padrão iguais (CPF = 1), enquanto que, com n = N, a amostra selecionada         sem reposição confunde-se com a própria população, de modo que as estimativas são iguais         aos parâmetros, não havendo qualquer variação, ou seja, o erro-padrão é igual a zero         (CPF = 0).         DADOS: informações numéricas relevantes para a tomada de decisão em um contexto         específico.         DEFINIÇÃO OPERACIONAL: atribuição de um significado a um conceito ou variável         que possa ser entendido por todos.         DISTRIBUIÇÃO: modo como se distribuem as freqüências relativas dos valores         associados a um conjunto de observações.         TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS         138         DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA DE PROBABILIDADES: modo como se acumulam,         para cada possível resultado xi da variável aleatória X, as observações cujos valores sejam         iguais ou inferiores [P (X £ xi) ]; a distribuição é igual a zero para valores suficientemente         baixos e igual a um para valores suficientemente altos; o gráfico correspondente cresce         monotonicamente - se x1 < x2, então P (X £ x1) £ P (X £ x2).         DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL: distribuição das estimativas geradas por amostras         aleatórias.         DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES: especificação da probabilidade de que uma         variável aleatória X assuma cada um dos seus possíveis resultados xi, no caso de variáveis         discretas [P (X = xi) ], ou de que esteja compreendida em qualquer intervalo [x1; x2] do         segmento de possíveis resultados, no caso de variáveis contínuas [P (x1 < X < x2) ].         DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES UNIFORME: todos os possíveis resultados         da variável aleatória têm a mesma probabilidade de ocorrer.         DISTRIBUIÇÃO NORMAL: uma variável aleatória X, com média m e desvio-padrão s, é         normalmente distribuída [X ~ N (m, s2) ] se ( ) [ ]21P xXx          < , para x1 < x2, corresponder à           área sob a curva normal compreendida no intervalo [x1; x2]; caso m e s sejam iguais a zero e           a um, respectivamente, tem-se que X apresenta uma distribuição normal padronizada, ou           seja, X ~ N (0, 1).           ELEMENTO: componente de um conjunto de dados.           ERRO ALEATÓRIO: erro que, ao contrário do viés, afeta as estimativas de forma           diferente a cada medição; comporta-se como um número selecionado, aleatoriamente e com           reposição, de um conjunto de valores cuja média é igual a zero.           ESPAÇO OU CADASTRO AMOSTRAL: conjunto de dados a partir do qual a amostra é           selecionada; idealmente, o cadastro contém toda a população acerca da qual se deseja fazer           inferências.           ESPAÇO DOS POSSÍVEIS RESULTADOS: conjunto de todos os possíveis resultados           de um experimento aleatório (i.e., experimento cujo resultado, em uma única tentativa, não           pode ser previsto com exatidão, mas cujas freqüências relativas de longo prazo, para           sucessivas repetições, são previsíveis).           ESTATÍSTICA: medida estimada a partir de uma amostra que exprime uma característica           da população.           ESTATÍSTICA DESCRITIVA: métodos de coleta, apresentação e caracterização de um           conjunto de dados que permitam descrever apropriadamente vários dos seus aspectos.           ESTIMADOR: regra cujo objetivo seja gerar, a partir de amostras aleatórias, estimativas           acerca dos parâmetros (p. ex., a média amostral x é um estimador da média populacional           m); é uma variável aleatória, pois seus resultados dependem das amostras que forem           selecionadas; idealmente, não deve ser viesado e a sua variância deve ser pequena, podendo-           se avaliá-lo por meio do erro-médio quadrático (EMQ) 27, o qual é igual ao valor esperado do           quadrado da diferença entre o estimador (p. ex., x ) e o parâmetro (p. ex., m), ou seja,                27 "Mean Square Error" (MSE), na língua inglesa.           EXEMPLO DA APLICAÇÃO DA AMOSTRAGEM POR UNIDADE MONETÁRIA           139           ( ) ( ) [ ]å           =           m­=           k           j           j kxxEMQ           1           2 , com k igual à quantidade de estimativas (i.e., o EMQ é uma           medida da acurácia do estimador e também pode ser expresso da seguinte maneira:           EMQ ( x ) = [viés ( x ) ]2 + [erro-padrão ( x ) ]2).           EVENTO: subconjunto do espaço de possíveis resultados que contenha resultados           efetivamente observados (p. ex., se A é um subconjunto do espaço de possíveis resultados           de uma variável aleatória, então A é um evento caso o resultado efetivamente observado           pertença a A).           FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES: representação matemática da           distribuição de uma variável aleatória discreta.           FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE: função matemática cuja área sob a           curva correspondente define as probabilidades de que os resultados de uma variável           aleatória contínua estejam compreendidos em intervalos do segmento de possíveis           resultados - para toda variável aleatória X, há uma função densidade de probabilidade f (X)           tal que P (x1 < X < x2), para x1 < x2, corresponda à área compreendida no intervalo [x1; x2].           INFERÊNCIA ESTATÍSTICA: métodos que permitem estimar características de uma           população ou tomar decisões com base em resultados amostrais.           INTERVALO DE CONFIANÇA: intervalo aleatório cuja probalidade de que contenha o           verdadeiro valor do parâmetro é conhecida.           LEI DOS GRANDES NÚMEROS: no caso de repetições sucessivas e independentes de           experimentos aleatórios, com igual probabilidade p de sucesso, a probabilidade amostral            ^           p           será tão mais próxima de p quanto maior for a quantidade de repetições; a probabilidade de           que a diferença entre            ^           p e p seja maior do que um valor positivo e converge para zero à           medida que a quantidade de repetições tende ao infinito.           MODELO: representação estilizada de um fenômeno.           MODELO MATEMÁTICO: representação matemática de um fenômeno.           NÃO-RESPOSTA: diferença entre a quantidade de consultas feitas (p. ex., questionários           enviados, telefonemas feitos, etc.) e a quantidade de consultas respondidas (p. ex.,           questionários devolvidos, telefonemas atendidos, etc.).           NÍVEL DE CONFIANÇA: probabilidade de que o intervalo de confiança contenha o           verdadeiro valor do parâmetro.           PARÂMETRO: propriedade numérica de uma população, como a sua média.           POPULAÇÃO OU UNIVERSO: conjunto de elementos visado por uma pesquisa, os quais           podem ser épocas, lugares, objetos, pessoas, procedimentos, etc.           TAXA DE NÃO-RESPOSTA: razão entre as quantidades de consultas não-respondidas e           de consultas feitas; caso essa taxa seja alta, a pesquisa conterá um viés de não-resposta           elevado.           TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS           140           TIPOS DE AMOSTRAGEM: as técnicas de amostragem podem ser classificadas de           várias maneiras, quais sejam:           a) quanto à divisão em estratos: estratificada ou não-estratificada;           b) quanto à quantidade de estágios: um estágio ou mais de um;           c) quanto à unidade amostral: um elemento ou um conglomerado;           d) quanto ao processo de seleção das unidades amostrais: aleatória ou sistemática;           e) quanto às probabilidades de seleção das unidades amostrais: probabilidades iguais ou           desiguais.           UNIDADE AMOSTRAL: unidade fundamental de uma amostra.           VALOR ESPERADO OU ESPERANÇA MATEMÁTICA: limite de longo prazo da           média dos resultados observados em repetições sucessivas e independentes de experimentos           aleatórios; no caso de variáveis discretas, esse limite corresponde à média dos possíveis           resultados, ponderados pela respectiva freqüência relativa; o valor esperado de uma variável           aleatória X é denotado como E (X).           VARIÁVEL: valor ou categoria que possa diferir de observação para observação.           VARIÁVEL ALEATÓRIA: atribuição de valores aos possíveis resultados de um           experimento aleatório (p. ex., no arremesso de três moedas, a quantidade de "caras" que           podem ser observadas é uma variável aleatória, atribuindo-se o valor "0" ao resultado           {coroa, coroa, coroa}, o valor "1" aos resultados {coroa, coroa, cara}, {coroa, cara, coroa} e           {cara, coroa, coroa}, o valor "2" aos resultados {coroa, cara, cara}, {cara, coroa, cara} e           {cara, cara, coroa} e o valor três ao resultado {cara, cara, cara}).           VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA: variável numérica cujo conjunto de possíveis           resultados é incontável (p. ex., altura exata, idade exata, incluindo frações de segundo,           temperatura, etc.).           VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA: variável numérica cujo conjunto de possíveis           resultados é contável (p. ex., variáveis cujos possíveis resultados são um subconjunto dos           números inteiros, tais como: idades arredondadas para o valor inteiro mais próximo,           números das cédulas de identidade, tamanhos das famílias, etc.).           VARIÁVEL CATEGÓRICA OU ATRIBUTO: variável cujos resultados correspondam a           categorias, tais como: {alto, baixo}, {feminino, masculino}, {vermelho, verde, azul},           {Amazonas, Ceará, Goiás e São Paulo}, etc.           VIÉS: diferença sistemática, deliberada ou não, entre as estimativas e o parâmetro (p. ex.:           uma pessoa que sempre se pese estando vestida obterá medidas sistematicamente superiores           ao seu peso correto, introduzindo um viés "para cima" nas estimativas).           VIÉS DA NÃO-RESPOSTA: viés decorrente de diferenças existentes entre os           respondentes e os não-respondentes em aspectos relevantes para a pesquisa (p. ex., uma           pesquisa por telefone que deseje estimar a duração média da jornada de trabalho poderia,           inadvertidamente, ignorar as pessoas que trabalham até mais tarde, o que introduziria um           viés "para baixo" nas estimativas).           BIBLIOGRAFIA           ∙ Principal           ADAMS, Roger; REGAL, Richard. TCU Auditing Seminar Programme. Brasília, 1995.           (Mimeo.)           BERNSTEIN, Peter. Against the Gods: the remarkable story of risk. Nova Iorque : John           Wiley & Sons, 1996.           BOLFARINE, Heleno; BUSSAB, Wilton O. Elementos de Amostragem. Belo Horizonte,           1994. (11º Simpósio Nacional de Probabilidade e Estatística. Mimeo.)           BORRIES, George F. Estatística Aplicada e Noções de Amostragem. Brasília, 1997.           (Mimeo.)           COCHRAN, William. 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(McGraw-Hill Accounting Series.)           COMMISSION on Audit. Comprehensive Audit Manual on COA - Sampling-Card           Methodology: concepts and application guidelines. Manila, 1985.           EFRON, Bradley. The Jackknife, the Bootstrap and Other Resampling Plans.           Philadelphia : Society for Industrial and Applied Mathematics, 1982. (Regional           Conference Series in Applied Mathematics.)           GENERAL Accounting Office. Using Statistical Sampling. Washington, 1992.           GOVERNMENT Auditing Training Institute. Statistical Sampling Using Computer           Applications. Washington, 1995.           HORVITZ, D. G. "Some Design Issues in Sample Surveys". In: NAMBOODIRI, N.           Krishnan (Org.). Survey Sampling and Measurement. Nova Iorque : Academic           Press, 1978, p. 3-11.           LANPHIER, C. Michael; BAILAR, Barbara A. "A Survey of Surveys: some sampling           frame problems". In: NAMBOODIRI, N. Krishnan (Org.). Survey Sampling and           Measurement. Nova Iorque : Academic Press, 1978, p. 67-85.           LOYNES, R. A Critical Review of Monetary Sampling and the Stringer Bound.           Sheffield : University of Sheffield, 1994.           MURTHY, M. N. "Use of Sample Surveys in National Planning in Developing Countries".           In: NAMBOODIRI, N. Krishnan (Org.). Survey Sampling and Measurement. Nova           Iorque : Academic Press, 1978, p. 231-53.           MURTHY, M. N.; RAO, T. J. "Systematic Sampling with Illustrative Examples". In:           KRISHNAIAH, P. R.; RAO, C. R. (Org.). Handbook of Statistics, v. 6. Amsterdã :           Elsevier Science, 1988, p. 147-85.           NATIONAL Audit Office. Collecting, Analysing and Presenting Data: how software           can help. Londres, 1996.           __________. Financial Audit Planning. Londres, s.d. (Mimeo.)           RAO, Poduri S. R. S. "Ratio and Regression Estimators". In: KRISHNAIAH, P. R.; RAO,           C. R. (Org.). Handbook of Statistics, v. 6. Amsterdã : Elsevier Science, 1988, p. 449-           68.           SNELLING, J. Use of Sampling: value for money studies. Londres : National Audit           Office, 1992.           SUDMAN, Seymour. "How Big Should a Sample Be?". In: Applied Sampling. Nova           Iorque : Academic Press, 1976, p. 85-105.           TOWS, J.; SNELLING, J. Designing and Carrying out a Survey. Londres : National           Audit Office, 1991.           FOLHA DE SUGESTÕES           O TCU preocupa-se com o constante aperfeiçoamento da qualidade de seus           manuais e orientações, buscando, para isso, ouvir a valiosa opinião do público-alvo dos           referidos trabalhos.           O questionário a seguir refere-se especificamente às Técnicas de Amostragem           para Auditorias, distribuídas a partir de março de 2002. Será muito útil para o TCU se o           leitor deste documento puder dispor de alguns minutos para responder às perguntas           constantes no referido questionário e enviá-lo pelos Correios (não é preciso selar, pois o           porte será pago pelo TCU).           Sugestões sobre este documento também podem ser enviadas das seguintes           formas:           E-mail: adfis@tcu.gov.br           Fax: (61) 316-7538           Fone: (61) 316-7311           Endereço: Tribunal de Contas da União - TCU           ADFIS           Setor de Administração Federal Sul - Lote 01           CEP: 70042-900 - Brasília-DF           TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PARA AUDITORIAS           144           Tribunal de Contas da União           Secretaria-Adjunta de Fiscalização QUESTIONÁRIO DE AVALIAÇÃO           FINALIDADE           Este questionário de avaliação tem por objetivo obter a opinião dos leitores sobre as Técnicas de Amostragem para Auditorias, com vistas ao           seu aperfeiçoamento.           Por favor, responda às questões abaixo assinalando com um "X" a alternativa mais adequada. Desde já agradecemos a sua colaboração.           1. Em que esfera do governo você trabalha?           • Federal • Estadual ou DF • Municipal           2. Em que órgão você trabalha?           • Poder Legislativo           • Poder Executivo           • Poder Judiciário           • Controle Interno           • Outro [especificar] ________________           3. Que partes das Técnicas de Amostragem para Auditorias você leu?           • Todo • Capítulos I e II [todo ou           parte]           • Capítulos III e IV [todo           ou parte]           • Capítulos V e VI [todo           ou parte]           • Capítulos VII e VIII           [todo ou parte]           4. Leia com atenção cada indicador e escolha o ponto da escala que melhor descreve a sua opinião sobre as Técnicas de Amostragem para           Auditorias. Marque com um "X" a opção que melhor representa o seu julgamento.           Concorda integralmente Concorda Indiferente Discorda Discorda integralmente           5 4 3 2 1           O manual é: 5 4 3 2 1           Fácil de ser lido • • • • •           Fácil de ser entendido • • • • •           Lógico • • • • •           Sucinto • • • • •           Completo • • • • •           Útil • • • • •           5. Como você tomou conhecimento das Técnicas de Amostragem para Auditorias?           • Quando recebeu           • Divulgação interna do TCU           • Por mensagem do SIAFI           • Pela Internet           • Pela imprensa           • Outros [especificar] _______________________           6. Como você obteve das Técnicas de Amostragem para Auditorias?           • Solicitou diretamente ao TCU • Download pela Internet • Outros [especificar] ________________           7. Apresente, a seguir, comentários e sugestões para o aprimoramento da qualidade das Técnicas de Amostragem para Auditorias. No caso de           sugestões para alteração/supressão/aditamento de itens de verificação, favor preencher o quadro anexo.                Tribunal de Contas da União           Secretaria-Adjunta de Fiscalização QUADRO DE SUGESTÕES           FINALIDADE           Este quadro de sugestões tem por objetivo obter a opinião dos leitores sobre as Técnicas de Amostragem para Auditorias, com vistas ao seu           aperfeiçoamento.           Nº do item Proposta de alteração, supressão ou aditamento Fundamentação           PTR/BSB           880/92           UP-AC/TCU           DR/BSB           CARTA - RESPOSTA           NÃO É NECESSÁRIO SELAR           O SELO SERÁ PAGO POR           TRIBUNAL DE CONTAS DA UNIÃO           70099-999 BRASÍLIA-DF           UNIDADES DA SECRETARIA DO TRIBUNAL DE CONTAS DA UNIÃO           Secretaria da Presidência Paulo Emílio Lustosa           Consultoria Jurídica José Moacir Cardoso da Costa           Instituto Serzedello Corrêa Salvatore Palumbo           Secretaria de Controle Interno Leila Fonseca dos Santos V. Ferreira           Secretaria de Planejamento e Gestão Mauro Giacobbo           Secretaria de Tecnologia da Informação Cláudio Silva da Cruz           Assessoria de Cerimonial e Relações Institucionais Erivan Carlos de Carvalho           Assessoria de Comunicação Social Francisco Raul Félix de Souza Ramos           Assessoria de Relações Internacionais Ana Beatriz Pascal Kraft           Assessoria Parlamentar Severino Lucena da Nóbrega           Secretaria-Geral das Sessões Eugênio Lisboa Vilar de Melo           Secretaria do Plenário Elenir Teodoro Gonçalves dos Santos           Secretaria-Geral de Administração Antônio José Ferreira da Trindade           Secretaria de Recursos Humanos Cláudia de Faria Castro           Secretaria de Orçamento, Finanças e Contabilidade Pedro Martins de Sousa           Secretaria de Material, Pat. e Com. Administrativa Ary Fernando Beirão           Secretaria de Engenharia e Serviços Gerais Alfredo Henrique Bauchspiess           Secretaria-Geral de Controle Externo Luciano Carlos Batista           Secretaria-Adjunta de Contas Ricardo de Mello Araújo           Secretaria-Adjunta de Fiscalização Cláudio Souza Castello Branco           Secretaria de Fiscalização de Desestatização Jorge Pereira de Macedo           Secretaria de Fiscalização de Pessoal Antonio Júlio Ferreira           Secretaria de Fiscalização de Obras e Pat. da União Cláudio Sarian Altounian           Secretaria de Fiscalização e Aval. de Prog. de Governo Marília Zinn Salvucci           Secretaria de Macroavaliação Governamental Paulo Roberto Pinheiro Dias Pereira           Secretaria de Recursos Odilon Cavallari de Oliveira           1ª Secretaria de Controle Externo Rosendo Severo dos Anjos Neto           2ª Secretaria de Controle Externo Eduardo Duailibe Murici           3ª Secretaria de Controle Externo Carlos Nivan Maia           4ª Secretaria de Controle Externo Maria do P. Socorro Teixeira Rosa           5ª Secretaria de Controle Externo Alexandre Valente Xavier           6ª Secretaria de Controle Externo Ismar Barbosa Cruz           Secretaria de Controle Externo/AC João Batista Diniz Capanema           Secretaria de Controle Externo/AL Edimilson Monteiro Batista           Secretaria de Controle Externo/AP Jorge Luiz Carvalho Lugão           Secretaria de Controle Externo/AM Helena Montenegro Valente           Secretaria de Controle Externo/BA Evilásio Magalhães Vieira           Secretaria de Controle Externo/CE Paulo Nogueira de Medeiros           Secretaria de Controle Externo/ES Raimundo Nonato Coutinho           Secretaria de Controle Externo/GO Rosângela Paniago Curado Fleury           Secretaria de Controle Externo/MA José Maria Araújo Lima           Secretaria de Controle Externo/MT Luiz Guilherme da Boamorte Silveira           Secretaria de Controle Externo/MS Mário Júnior Bertuol           Secretaria de Controle Externo/MG Élsio Geová dos Santos           Secretaria de Controle Externo/PA Octávio José Pessoa Ferreira           Secretaria de Controle Externo/PB Raimundo Nonato Soares Araújo           Secretaria de Controle Externo/PR Nazaré do Socorro G. Rosário Zuardi           Secretaria de Controle Externo/PE Ildê Ramos Rodrigues           Secretaria de Controle Externo/PI José Ulisses Rodrigues Vasconcelos           Secretaria de Controle Externo/RJ Francisco Carlos Ribeiro de Almeida           Secretaria de Controle Externo/RN Marcos Valério de Araújo           Secretaria de Controle Externo/RS Carlos Martins dos Santos           Secretaria de Controle Externo/RO Fábio Arruda de Lima           Secretaria de Controle Externo/RR Rainério Rodrigues Leite           Secretaria de Controle Externo/SC Rafael Blanco Muniz           Secretaria de Controle Externo/SP Eloi Carnovali           Secretaria de Controle Externo/SE Maria Salete Fraga Silva Palma           Secretaria de Controle Externo/TO Dion Carvalho Gomes de Sá         ]