You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS] » Die trig funksies en 2D probleme
Definisies van die Trigonometriese FunksiesOns is bekend met funksies in die vorm f( x)f( x), waar ff die funksie en xx die veranderlike is. Byvoorbeeld:
(1)Die basis van trigonometrie is die trigonometriese funksies. Daar is drie basiese trigonometriese funksies:sinus
Dit word afgekort na:sin
Hierdie funksies word gedefinieer vanaf 'n reghoekige driehoek, 'n driehoek waar een interne hoek 90∘∘ is.Beskou 'n reghoekige driehoek.
In die reghoekige driehoek verwys ons na die lengtes van die drie sye volgens hulle geplasing in verhouding tot die hoek θθ. Die teenoorstaande sy vanaf die regte hoek word die skuinssy genoem, die sy aan die oorkant van θθ word die teenoorstande sy genoem, en die sy langs θθ word die aangrensende sy genoem. Let daarop dat die keuse van 'n nie-90-graad binnehoek arbitrêr is. Jy kan enige binnehoek kies en dan die aangrensende en teenoorgestelde sye dienooreenkomstig definieer. Die skuinssy bly egter dieselfde ongeag na watter interne hoek jy verwys.Ons definieer die trigonometriese funksies as volg:
(2)Hierdie funksies gee die verwantskap tussuen die sylengtes en die binnehoeke van 'n reghoekige driehoek.Note: Die trigonometriese verhoudings is onafhanklik van die lengte van die driehoek se sye en is slegs afhanklik van die hoeke. Dit is waarom ons die verhoudings as funksies van die hoeke kan beskou.Een manier om die definisies te memoriseer is om die volgende Engelse geheuehulpmiddel te gebruik wat dit miskien makliker maak om te onthou:
djacent Jy mag ook hoor mense sê Soh Cah Toa. Dit is net 'n ander manier om die trigonometriese funksies te onthou.Tip: Die definisies van teenoorstaande, aangrensende en skuinssye is slegs van toepassing wanneer jy besig is met 'n reghoekige driehoeke! Maak altyd seker jou driehoek het 'n regte hoek voordat jy dit gebruik, anders sal jy die verkeerde antwoord kry. Ons sal in Graad 11 maniere vind om met ons kennis van reghoekige driehoeke die trigonometrie van nie-reghoekige driehoeke te hanteer.Ondersoek: Definisies van Trigonometriese Funksies In elk van die volgende driehoeke, sê watter van aa, bb en cc die skuinssy, die teenoorstaande sy en die aangrensende sy van die driehoek is met betrekking tot die gemerkte hoek.
Figure 2 Voltooi elk van die volgende. Die eerste een is vir jou gedoen:
Figure 3a)sinA^= teenoorstaande sy skuinssy =CBACb)cosA^=c)tanA^=a)sinA^= teenoorstaande sy skuinssy =CBACb)cosA^=c)tanA^=(3)d)sinC^=e)cosC^=f)tanC^=d)sinC^=e)cosC^=f)tanC^=(4) Voltooi elk van die volgende sonder 'n sakrekenaar:
Figure 4sin60=cos30=tan60=sin60=cos30=tan60=(5)Figure 5sin45=cos45=tan45=sin45=cos45=tan45=(6)Vir die meeste hoeke θθ is dit baie moeilik om die waardes van sinθsinθ, cosθcosθ en tanθtanθ te bereken. 'n Mens moet gewoonlik 'n sakrekenaar gebruik om dit te doen. Ons het egter in die bogenoemde aktiwiteit gesien ons kan hierdie waardes vir 'n paar spesiale hoeke uitwerk. Sommige van hierdie hoeke is gelys in die tabel hieronder, saam met die waardes van die trigonometriese funksies van hierdie hoeke. Onthou dat die lengtes van die sye van 'n reghoekige driehoek Pythagoras se stelling moet gehoorsaam. Die vierkant van die skuinssy (oorkant die 90 grade hoek) is gelyk aan die som van die vierkante van die ander twee sye.Table 2
Hierdie waardes is nuttig om 'n probleem waar trigonometriese funksies betrokke is op te los sonder om 'n sakrekenaar te gebruik.Exercise 1: Die berekening van lengtes
Kry die lengte van x in die volgende driehoek.
SolutionStep 1. Stel vas watter trigonometriese funksie jy benodig: In hierdie geval werk ons met 'n hoek van 50∘50∘, die teenoorstaande sy en die skuinssy.
Dus moet jysinsingebruik.
Step 2. Herrangskik die vergelyking om xx op te los : ⇒
Step 3. Gebruik jou sakrekenaar om die antwoord te kry : Gebruik die sin-knoppie op jou sakrekenaar.
Exercise 2: Die berekening van hoeke Vind die waarde van θθ in die volgende driehoek.
SolutionStep 1. Stel vas watter trigonometriese funksie jy benodig : In hierdie geval het jy die teenoorstaande sy en die skuinssy ten opsigte van die hoek θθ.
Dus moet jytantangebruik.
Step 2. Bereken die breuk as 'n desimale getal : tan
Step 3. Gebruik jou sakrekenaar om die hoek te kry : Omdat jy die hoek wil kry,
op jou sakrekenaar.
Moenie vergeet om jou sakrekenaar na 'degree' modus te stel nie!
In die vorige voorbeeld het ons tan-1tan-1 gebruik. Dit is eenvoudig die inverse van die tan-funksie. Sin en cos het ook inverses. Al wat dit beteken, is dat ons die hoek wil vind wat die uitdrukking waar maak. Die volgende video gee 'n opsomming van wat jy tot dusver geleer het.
Figure 8Khan Akademie video oor trigonometrie - 1Figure 9Khan Akademie video oor trigonometrie - 2Hoe om Sylengtes te kryKry die lengtes van die sye wat met letters gemerk is. Gee die antwoorde korrek tot 2 desimale plekke.Figure 10
Figure 11Kliek hier vir die oplossing.
Twee-dimensionele ProblemeOns kan die trigonometriese funksies gebruik om probleme in twee dimensies wat reghoekige driehoeke bevat, op te los. As jy byvoorbeeld een van die hoeke van 'n vierhoek wil kry, kan jy 'n reghoekige driehoek konstrueer en die trigonometriese funksies gebruik om die hoek te bereken. Dit sal duideliker word namate jy deur die voorbeelde werk.
ABCD is 'n trapesium met AB=4cmAB=4cm, CD=6cmCD=6cm, BC=5cmBC=5cm en AD=5cmAD=5cm. Punt E op die diagonaal AC verdeel die diagonaal sodat AE=3cmAE=3cm. Kry A
SolutionStep 1. Maak 'n skets: Ons maak 'n skets en konstrueer reghoekige driehoeke om ons te help om die probleem visueel voor te stel.
Figure 12 Step 2. Bepaal hoe om die probleem op te los: Ons sal driehoeke ABE en BEC gebruik om die twee hoeke te bereken wat ons dan kan optel om die gevraagde hoek te kry. Step 3. Bepaal watter trigonometriese funksies om te gebruik: Ons gebruik sin vir beide driehoeke aangesien ons die skuinssye en die teenoorstaande sye het. Step 4. Los die probleem op: In driehoek ABE kry ons:
Ons gebruik die Stelling van Pythagoras en kry EC=4,4cmEC=4,4cm.
In driehoek BEC kry ons:
(14) Step 5. Skryf die finale antwoord neer: Ons tel die twee hoeke saam en kry 48,59∘+61,64∘=110,23∘48,59∘+61,64∘=110,23∘
« Previous module in collection Inleiding en kernbegrippe
Next module in collection » Die trig funksies vir enige hoek en toepassings
This work is licensed by Free High School Science Texts Project under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Free High School Science Texts Project on Aug 4, 2011 7:57 am -0500. Add to a lens