Die prent illustreer hoe die ure op 'n horlosie 'n groep vorm.
In abstrakte algebra is 'n groep 'n versameling met 'n binêre operasie wat sekere aksiomas, soos onder uiteengesit, bevredig. Die versameling heelgetalle met optelling is byvoorbeeld 'n groep. Die vertakking van wiskunde wat groepe bestudeer staan bekend as groepteorie.
Dit blyk dat baie strukture wat in wiskunde ondersoek word groepe is. Dit sluit die bekende getallestelsels in, soos die heelgetallle, die rasionale getalle, die reële getalle, en die komplekse getalle onder optelling, benewens die nie-nul rasionale-, reële- en komplekse getalle onder vermenigvuldiging. Ander belangrike voorbeelde is die groep nie-singuliere matrikse onder vermenigvuldiging, en die groep omkeerbare funksies onder komposisie. Groepteorie fasiliteer die studie van die eienskappe van sulke struktuere in die algemeen.
Groepteorie word op groot skaal in wiskunde, wetenskap en ingenieurswese toegepas. Baie algebraïese strukture soos velde en vektor ruimtes kan bondig in terme van groepe gedefinieer word, en groepteorie verskaf belangrike gereedskap vir die studie van simmetrie, aangesien die simmetrieë van enige voorwerp 'n groep vorm. Groepe is dus noodsaaklike abstraksies in vertakkings van fisika wat op simmetriebeginsels berus soos relatiwiteit, kwantummeganika en deeltjie-fisika. Verder word hulle vermoë om meetkundige transformasies voor te stel in chemie, rekenaargrafika en ander velde toegepas.
2 Basiese konsepte in groepteorie
2.1 Orde van groepe en elemente
2.3 Abelse groepe
2.4 Sikliese groepe
3 Notasie vir groepe
4 Voorbeelde van Groepe
4.1 'n Abelse groep: die heelgetalle onder optelling
4.2 Nie 'n groep nie: die heelgetalle onder vermenigvuldiging
4.3 'n Abelse groep: die nie-nul rasionale getalle onder vermenigvuldiging
4.4 'n Eindige nie-albse groep: permutasies van 'n versameling
5 Eenvoudige stellings
6 Opbou van nuwe groepe uit bestaande groepe
7 Om te bewys dat 'n versameling 'n groep is
'n Groep (G, *) is 'n versameling G met 'n binêre operasie * : G × G → G (een wat aan elke geordende paar (a,b) in G 'n element in G aangedui deur a*b toeken) wat die volgende drie aksiomas bevredig:
Assosiatiwiteit: Vir alle a, b en c in G, (a * b) * c = a * (b * c).
Identiteitselement: Daar is 'n element e in G sodat vir alle a in G, e * a = a * e = a.
Inverse element: Vir elke a in G, is daar 'n element b in G sodat a * b = b * a = e, waar e die Identiteitselement is.
Deur die definisie van 'n binêre operasie is die groep geslote onder die operasie daarvan (dit wil sê, vir enige a en b in G, is die produk a * b ook in G).
Dit kan maklik aangetoon word dat elke groep oor presies een identiteitselement beskik.
Daar kan ook aangetoon word dat die inverse van 'n element uniek is, en dat die linker- en regter-inverses van 'n element dieselfde is. Sommige definisies is dus effens bondiger, deur die vervanging van die tweede en derde aksiomas met die konsep van 'n "linker- (of regter-) identiteitselement" en 'n "linker- (of regter-) inverse element."
Let ook daarop dat 'n groep (G,*) dikwels ook eenvoudig deur G aangedui word waar daar geen dubbelsinnigheid bestaan oor die soort operasie nie.
Basiese konsepte in groepteorie[wysig | wysig bron]
Orde van groepe en elemente[wysig | wysig bron]
Die orde van 'n groep G, aangedui met |G |, is die getal elemente in die versameling G. As die orde nie eindig is nie, dan is die groep 'n oneindige groep, aangedui deur |G | = ∞.
Die orde van 'n element a in 'n groep G is die mins-negatiewe heelgetal n sodat an=e, waar an n keer met dit self vermenigvuldig word.
Subgroepe[wysig | wysig bron]
'n Versameling H is 'n deelgroep van 'n groep G as dit 'n deelversameling is van G, en dit 'n groep is wat die operasie waarmee G gedefinieer is gebruik. Met ander woorde, H is 'n deelgroep van (G, *) as die beperking van * op H 'n groep operasie op H is.
As G is 'n eindige groep is, dan is H ook een. Verder deel die orde van H die orde van G.
Abelse groepe[wysig | wysig bron]
'n Groep G is 'n abelse groep (of kommutatiewe groep) as die operasie kommutatief is, dit wil sê, vir alle a, b in G, a * b = b * a. 'n Nie-abelse groep is 'n groep wat nie abels is nie. Die term "abels" is vernoem na die wiskundige Niels Abel.
Sikliese groepe[wysig | wysig bron]
'n Sikliese groep is 'n groep waarvan a