You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 11) » Die vind van die vergelyking
Based on: Solving quadratic equations: finding the equation by Free High School Science Texts Project Hoe om 'n Vergelyking te kry as sy Wortels bekend isOns het reeds genoem dat die wortels van 'n kwadratiese vergelyking die oplossing of antwoorde is wat jy kry deur die kwadratiese vergelyking op te los. Deur terug te werk vanaf die antwoorde, sal jy 'n vergelyking kry.
Exercise 1: Kry 'n vergelyking wanneer wortels gegee is
Kry 'n vergelyking met wortels 13 en -5. SolutionStap 1. Skryf neer as die produk van twee hakies: Die stap voor die oplossings gegee word sou wees:
Stap 2. Verwyder hakies deur uit te vermenigvuldig: x
Daar is natuurlik ander moontlike vergelykings ook wat gekry word as elke term aan elke
kant van die gelyk aan teken met 'n konstante vermenigvuldig word.
Exercise 2: Breukwortels Kry 'n vergelyking met wortels -32-32 en 4 SolutionStap 1. Produk van twee hakies : Let op dat as x=-32x=-32 dan 2x+3=02x+3=0
Stap 2. Verwyder hakies : Die vergelyking is:
Teorie van Kwadratiese Vergelykings - GevorderdHierdie afdeling is nie in die leerplan nie, maar dit gee mens 'n goeie begrip van party van die oplossings van die kwadratiese vergelykings.
Wat is die Diskriminant van 'n Kwadratiese Vergelyking?Beskou 'n algemene kwadratiese funksie in die form f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c. Die diskriminant word gedefinieer as:
(5)Hierdie is die uitdrukking onder die vierkantswortel in die formule vir die wortels van die funksie. Ons het reeds gesien dat of die wortels bestaan ​​of nie daarvan afhang of die faktor ΔΔ negatief of positief is nie.
Die Aard van die WortelsReal Roots (Δ≥0Δ≥0)Beskou Δ≥0Δ≥0 vir 'n kwadratiese funksie in die vorm f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c. In hierdie geval is daar oplossing vir die vergelyking f(x)=0f(x)=0 gegee deur die formule
(6)As die uitdrukking onder die vierkantswortel nie-negatief is, dan bestaan die vierkantswortel. Hierdie is die wortels van die funksie f(x)f(x).Die verskillende moontlikhede word opgesom in die figuur hieronder.Figuur 1
Gelyke Wortels (Δ=0Δ=0)As Δ=0Δ=0, dan is die wortels gelyk, en vanaf die formule word dit gegee deur
(7)Ongelyke Wortels (Δ>0Δ>0)Daar sal 2 ongelyke wortels wees as Δ>0Δ>0. Die wortels van f(x)f(x) is rationaal as ΔΔ 'n volmaakte vierkant ('n getal wat die vierkant van 'n rasionale getal is) is. Die rede is dat in hierdie geval ΔΔ rasionaal is. Anders, as ΔΔ nie 'n volmaakte vierkant is nie, dan is the wortels irrasionaal.Imaginêre Wortels (Δ<0Δ<0)As Δ<0Δ<0, dan bevat die oplossing van f(x)=ax2+bx+c=0f(x)=ax2+bx+c=0 die vierkantswortels van 'n negatiewe getal en daarom is daar geen reële oplossings nie. Ons sê daarom dat die wortels van f(x)f(x) imaginêr is (die grafiek van die funksie f(x)f(x) sny nie die xx-as nie).
Figuur 2Khan academy video on quadratics - 4Teorie van Kwadrate - gevorderde oefeningeVanaf ou vraestelle [IEB, Nov. 2001, HG] Gegee: x2+bx-2+k(x2+3x+2)=0(k≠-1)x2+bx-2+k(x2+3x+2)=0(k≠-1)Wys dat die diskriminant gegee word deur
Δ=k2+6bk+b2+8Δ=k2+6bk+b2+8(8) As b=0b=0, bespreek die aard van die wortels van die vergelyking.
As b=2b=2, kry die waarde(s) van kk waarvoor die wortels gelyk is.
[IEB, Nov. 2002, HG] Wys dat k2x2+2=kx-x2k2x2+2=kx-x2 nie-reële wortels het vir alle reele waardes van kk.
[IEB, Nov. 2003, HG] Die vergelyking x2+12x=3kx2+2x2+12x=3kx2+2 het reële wortels.
Kry die grootste heeltallige waarde van kk.
Kry een rasionale waarde van kk waarvoor die bostaande vergelyking rasionale wortels het.
[IEB, Nov. 2003, HG] In die kwadratiese vergelyking px2+qx+r=0px2+qx+r=0 is pp, qq en rr positiewe reële getalle en vorm 'n meetkundige ry. Bespreek die aard van die wortels.
k=x2-42x-5 met x≠52k=x2-42x-5 met x≠52(9)Kry 'n waarde van kk waarvoor die wortels gelyk is.
Kry 'n heelgetal kk waarvoor die wortels van die vergelyking rasionaal en ongelyk is.
Bewys dat die wortels van die vergelyking x2-(a+b)x+ab-p2=0x2-(a+b)x+ab-p2=0 reëel is vir alle reële waardes van aa, bb en pp.
[IEB, Nov. 2005, HG] As bb en cc slegs die waardes 1, 2 of 3 kan aanneem, bepaal alle pare (b;cb;c) sodat x2+bx+c=0x2+bx+c=0 reële wortels het.
HoofstukoefeningeLos op: x2-x-1=0x2-x-1=0 (Gee jou antwoord korrek tot twee desimale plekke.)
Los op: 16(x+1)=x2(x+1)16(x+1)=x2(x+1) Los op: y2+3+12y2+3=7y2+3+12y2+3=7 (Wenk: Stel y2+3=ky2+3=k. Los eerste vir kk op and gebruik die antwoord om yy op te los.)
Los op vir xx: 2x4-5x2-12=02x4-5x2-12=0 Los op vir xx:
x(x-9)+14=0x(x-9)+14=0 x2-x=3x2-x=3 (Wys jou antwoord korrek tot EEN desimale plek.)
x+2=6xx+2=6x (korrek tot twee desimale plekke)
1x+1+2xx-1=11x+1+2xx-1=1 Los op vir xx deur kwadraatsvoltooiing: x2-px-4=0x2-px-4=0 Die vergelyking ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 het wortelsx=23x=23 en x=-4x=-4. Kry een stel moontlike waardes vir aa, bb en cc.
Die twee wortels van die vergelyking 4x2+px-9=04x2+px-9=0 verskil met 5. Bereken die waarde van pp.
'n Vergelyking van die vorm x2+bx+c=0x2+bx+c=0 word geskryf op die bord. Saskia en Sven skryf dit verkeerd af. Saskia het 'n fout in die konstante term en kry die oplossings -4 en 2.
Sven het 'n fout in die koëffisiënt van xx en kry die oplossings 1 en -15. Bepaal die korrekte vergelyking wat op die bord was. Bjorn kom in 'n oorsese handboek af op die volgende formule om die kwadratiese vergelyking ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 op te los.
x=2c-b±b2-4acx=2c-b±b2-4ac(10) Gebruik hierdie formule om die volgende vergelyking op te los:
2x2+x-3=02x2+x-3=0(11) Los die vergelyking weer op, die keer deur faktorisering, om te sien of die formule werk vir hierdie vergelyking.
Bjorn probeer om hierdie formule af te lei om te bewys dat dit altyd werk, maar sit na 'n paar stappe vas. Hieronder is sy poging: ax2+bx+c
0 Deel deurx2 waar x?0
0 Herrangskik 1x2+bcx+ac
0 Deel deur c waar c?0
-ac Trek ac af van beide kante
... Sit vasax2+bx+c
... Sit vas(12)
« Previous module in collection Die kwadratiese formule
Next module in collection » Oplossing van Kwadratiese Ongelykhede
This work is licensed by Free High School Science Texts Project under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Free High School Science Texts Project on Jul 30, 2011 6:10 am -0500. Add to a lens