Versindaba Hekse-sudoku Archives : Versindaba
Posts Tagged 'Hekse-sudoku'
Robert Schall. 'n Hekse-Sudoku? Die "Hexeneinmaleins" in Goethe se Faust
Die 6de toneel van Goethe se tragedie Faust speel in die Hexenküche (Heksekombuis) af. "Mefisto het Faust hierheen gebring sodat hy die towerdrank kan ontvang wat die ouerige tuissitter in 'n mooi jong man moet verander en waarmee hy binnekort 'Helena in elke wyf' sou sien." (Detering, 2009) Faust self noem hy moet "dertig jare van sy lyf af kry". Na die heks 'n pak slae van haar "heer en meester" Mefistofeles gekry het, help sy graag (versreëls 2522 – 2525):
Met liefde! Hier het ek 'n fles
waaruit ek soms my eie nadors les,
en wat ook byna nie meer stink;
ek wil u graag 'n glasie skink.
Maar soos 'n mens kan verwag, voor sy die glasie met die towerdrank kan skink, moet eers met seldsame gebare 'n sirkel getrek word, glase moet klink en die ketel moet galm, en 'n towerspreuk moet uit 'n groot boek voorgelees word (2540 – 2552):
Die Hexe mit großer Emphase fängt an aus dem Buche zu deklamieren
Die Heks begin met groot nadruk uit die boek deklameer.
Jy moet verstaan!
Uit Een maak Tien,
en Twee laat gaan,
Drie maak gelyk
dan is jy ryk.
Verloor die Vier!
Uit Vyf en Ses,
so sê die heks,
maak Sewe en Ag –
nou kan jy tel:
en Nege is Een,
en Tien is geen.
So werk die heks se syferspel!
In die vers se laaste reël verwys die heks daarna as die Hexen-Einmal-Eins (Hekse-Maaltafel), en onder die naam Hexeneinmaleins (sonder die koppeltekens) is dit algemeen in Duits bekend.
Die Hexeneinmaleins as 'n resep vir die konstruksie van 'n semi-magiese vierkant
Die drama se twee hooffigure, Faust en Mefistofeles, én 'n reeks Goethe-kenners stel dit duidelik dat die Hexeneinmaleins eintlik net 'n nonsens-vers is (daaroor later meer). Nietemin is oor die jare 'n hele verskeidenheid interpretasies van die towerspreuk van wisselende diepte en aanneemlikheid geopper (sien bv. https://de.wikipedia.org/wiki/Hexeneinmaleins). Van hierdie "verduidelikings" betrek wiskundige aspekte, en moontlik die aanvaarbaarste onder húlle het te doen met magiese vierkante. Diersche (1939) sê: "Daar behoort geen twyfel te wees nie dat 'n mens die interpretasie van die Hexeneinmaleins as 'n magiese vierkant, as 'n oplossing vir sy raaisel kan beskou […]". David Luke (1987) in 'n "explanatory note" by sy Faust-vertaling, en die Duitse wiskundige Norbert Hermann (2014) verwys ook na dié interpretasie.
In die (perfekte) 3×3 magiese vierkant
is die syfers 1 tot 9 in 'n vierkant opgestel, en wel so dat die som van die drie syfers in elke ry, in elke kolom en in albei diagonale dieselfde is, naamlik gelyk aan 15 (die sogenaamde magiese getal vir die 3×3 magiese vierkant). Terloops: die vierkant hierbo is die enigste 3×3 magiese vierkant, behalwe vir refleksies of spieëlings (ruil die eerste en derde kolom, of die eerste en derde ry, om) en rotasies (draai die vierkant met 90, 180 of 270 grade) wat niks werklik nuuts oplewer nie. As dit by 4×4 magiese vierkante kom waar die syfers 1 tot 16 georden word, is daar egter 880 unieke magiese vierkante, en daar is glo 275,305,224 verskillende 5×5 magiese vierkante.
Die heks se towerspreuk kan dan geïnterpreteer word as 'n resep vir die konstruksie van 'n 3×3 semi-magiese vierkant. 'n Mens begin deur die syfers 1 tot 9 eenvoudig in volgorde in 'n vierkant te orden:
Die heks se instruksies is dan:
Uit Een maak Tien: vervang die 1 met 'n 10
Twee laat gaan: die 2 bly staan, d.w.s. dit bly 'n 2
Drie maak gelyk: die 3 bly gelyk aan 3
Verloor die Vier: Die 4 is weg – word 'n 0
Uit Vyf en Ses maak Sewe en Ag: Die 5 en 6 word onderskeidelik 'n 7 en 'n 8
Nou kan jy tel – want die vierkant, met posisies 1 tot 6 ingevul, lyk nou so:
Die som van die drie syfers in albei rye wat reeds ingevul is, is gelyk aan 15 – siedaar, die magiese getal vir die perfekte 3×3 magiese vierkant! Om te verseker dat die som van die drie syfers in elke kolom ook gelyk aan 15 is, moet posisies 7, 8 en 9 met die syfers 5 = 15 – (10+0), 6 = 15 – (2+7) en 4 = 15 – (3+8) gevul word:
Dus, deur die heks se eerste ses instruksies te volg en dan "op te tel" om die laaste ry se syfers uit te werk, is die vierkant voltooi. Let op dat die som van die drie syfers in elke ry, in elke kolom en in die diagonaal van regs bo tot links onder gelyk is aan 15; die som van die syfers in die hoofdiagonaal (die diagonaal van links bo tot regs onder) is egter gelyk aan 21: die vierkant is dus nie 'n perfekte magiese vierkant nie maar net 'n semi-magiese vierkant.
'n Semi-magiese heks?
Dat die heks se resep net 'n semi-magiese vierkant oplewer, is natuurlik ietwat van 'n teleurstelling. Haar magie is tog seker veronderstel om perfek te werk, nie net semi-magies nie? Diersche (1939) vermoed dat die heks foute gemaak het toe sy uit die boek gelees het: "[…] dat dit [die konstruksie van die magiese vierkant] nie glad verloop nie, is gepas vir die problematiese aard van die heks en is geen rede om die interpretasie te verwerp nie."
Daar is egter nog 'n probleem, want daar is nog twee reëls in die towerspreuk wat soos instruksies klink (2550 – 2551):
Nege is Een verwys moontlik daarna dat die nege syfers nou in een vierkant georden is; of dat die 9 een van die getalle van die magiese vierkant is (Luke, 1987), al verskyn die 9 nié in die semi-magiese vierkant nie. Tien is geen kan weer beteken dat 10 nie een van die getalle van die (perfekte) magiese vierkant is nie (Luke, 1987), wat waar is, maar 10 is inderdaad een van die syfers in die heks se semi-magiese vierkant. Alles in ag genome blyk daar geen bevredigende verklaring vir hierdie twee laaste instruksies van die towerspreuk te wees wat mooi met die teorie van die resep vir 'n semi-magiese vierkant se konstruksie klop nie, wat nog te sê van 'n perfekte magiese vierkant. Op die klaarblyklike teenstrydighede lewer ook Mefistofeles kommentaar (2555 – 2558):
Ek weet, so klink die hele boek; in die verlede
het ek al baie tyd daarmee verkwis
want selfs die skreiendste teenstrydighede
bly ewe vaag, of jy 'n swaap of wysgeer is.
Aangesien die heks óf foute gemaak het óf vrede het met die "skreiendste teenstrydighede", moes die woorde Een en geen in reëls 2550 – 2551 moontlik omgekeerd verskyn het, naamlik
en Nege is geen,
en Tien is Een.
Die heks se laaste twee instruksies sou dan wees:
Nege is geen: die nege verskyn nié in die heks se semi-magiese vierkant.
Tien is Een: ons is terug, kringloop voltooi, by die towerspreuk se eerste reël: Uit Een maak Tien, dus: Tien is (gelyk aan) Een.
Ons sit nog steeds met net 'n semi-magiese vierkant, maar die laaste twee instruksies lyk moontlik nou 'n bietjie meer sinvol. Hoewel, as die omgekeerde volgorde aanvaar word (Nege is geen, // en Tien is Een), lui die towerspreuk se laaste drie reëls in Duits:
Und Neun ist keins,
Und Zehn ist Eins.
en daarmee sou hierdie volgorde op 'n ietwat onbevredigende identiese rym Eins / Eins vir die slotkoeplet uitgeloop het. Dit was waarskynlik vir die heks én vir Goethe net een te veel. Derhalwe is dalk 'n tipe rymdwang die rede vir die oënskynlik foutiewe of teenstrydige laaste twee "instruksies" in die Hexeneinmaleins.
Alles net nonsens?
Elkeen moet seker self besluit of die "verduideliking" vir die Hexeneinmaleins wat hier beskryf is oortuigend is. Faust, ten minste, is hoegenaamd nie beïndruk met die heks se gedoente en gebabbel nie. Reeds gedurende haar voorbereidings sê Faust verontwaardig vir Mefistofeles (2531 – 2535):
Nee, sê vir my, is dit jou raat?
Dié dolle snert, die wilde handgewaai,
dié lawwe, geklikste ou laai
is my te goed bekend, en lank gehaat.
waarop Mefistofeles antwoord (2536 – 2539):
Ag, lag daaroor! Dis net 'n klug;
jy is nog altyd veels te stug!
As arts moet sy 'n hokus-pokus maak
sodat die sap jou later nie versaak.
Na die heks haar towerspreuk opgesê het, verklaar Faust (2553):
Dit lyk vir my die ouvrou yl.
waarop Mefistofeles droogweg reageer (2554):
Die saak duur seker nog 'n wyl.
Die groot Duitse Goethe-kenner Albrecht Schöne lewer die volgende kommentaar oor die Hexeneinmaleins: "Met 'n terugverwysing na okkulte geskrifte van die Laat Middeleeue en die Renaissance, na die Kabbalistiese syfermistiek of na magiese vierkante … het mense keer op keer probeer om te ontraaisel wat tog ongetwyfeld as nonsens, as 'n sinlose […] karikatuur van sulke towerlere en raaiselspreuke bedoel is." Volgens Schöne het Goethe self sy tydgenote se probeerslae om sin uit hierdie onsin op te delf, bespot (Schöne, 2017b). Ook die ander groot moderne Goethe-kenner, Ulrich Gaier, noem dat Goethe nie veel van die pogings gedink het om die raaisel te ontraaisel nie, maar gaan dan aan om waarskynlik die heel diepsinnigste interpretasie ooit vir die Hexeneinmaleins te lewer. Dit is veels te diep om hier verder daarop in te gaan behalwe om te noem dat Gaier van mening is dat die Hexeneinmaleins as "politiese allegorie" gesien kan word, en hy verwys na die veranderings in stemgetalle in die Franse Nasionale Vergadering na die Franse Revolusie (Gaier, 1999).
Vir Gero von Wilpert is die Hexeneinmaleins bloot 'n "brabbel-snert-gedig", 'n satire oor hokus-pokus en abrakadabra waarmee Goethe die tipies Duitse verlange om betekenis in elke stukkie snert te sien, mislei. Dus is dit 'n "Goethe-vers waarmee jy jou straffeloos kan vermaak sonder om dit te verstaan: briljante snert" (von Wilpert, 2007).
Les bes skryf Heinrich Detering: "Die Hexeneinmaleins is verreweg nie die enigste gedig- of lied-insetsel in Goethe se wêreldgedig nie, nie eers die enigste in die komies-operatiese Hexenküche self nie. Maar min [van hierdie insetsels] het die interpretasiedrang van 'n Goethe-ontsyfer-sindikaat so kragtig geprikkel soos hierdie een. Vir twee eeue het professionele filoloë en entoesiastiese dilettante met die hekseverse klippe gekou. Hulle verhaal lees soos 'n les oor 'n Goethe-interpretasie wat betroubaar altyd die diepsinnigheid van die teks gesoek het waar dit die minste te vinde was" (Detering, 2009). Hierdie ontsyfer-sindikaat doen presies waarteen Mefistofeles in 'n kommentaar oor die heks se manewales waarsku (2565 – 2566):
Gewoonlik glo die mens, solank hy woorde hoor,
die boel bargoens moet hom ook iets te denke gee.
Hiermee bevestig die duiwel, en dié keer moet 'n mens sy woorde miskien nie verwerp nie, dat die hele towerspreuk en daarmee alle pogings vir sy verduideliking in elk geval bloot onsin is, 'n boel bargoens of koeterwaals. Ook hierdie artikel is dan onsinnig, behalwe dat dit twee dinge doen: eerstens staaf dit Von Wilpert se stelling oor "die tipies Duitse verlange om betekenis in elke stukkie snert te sien"; tweedens maak dit die skrywer 'n lid van Detering se "ontsyfer-sindikaat … [wat] diepsinnigheid [soek] waar dit die minste te vinde [is]."
Die towerdrank werk
Onsinnige "brabbel-snert-gedig" of te nie, op die ou end werk die towerspreuk en -drank uitstekend: in die toneel wat direk op die Hexenküche volg, ontmoet Faust die bloedjong Margarete – daar is twyfel of sy hoegenaamd veertien jaar oud is – en al duur die ontmoeting net 'n paar sekondes, is hy onmiddellik dolverlief op die meisie en wil haar nog dieselfde nag in die bed kry. Hoewel dit toe 'n bietjie langer vat om die snuifie te reël as wat Faust graag wil hê, blyk dit tog gou dat Margarete beïndruk is met die heer "van hoë stand" wat sy ontmoet het, ook sy raak mettertyd verlief, en die drama neem sy onvermydelike, treurige verloop.
Detering H (2009). Aus Eins mach Zehn? Und Zwei lass gehn? In: Frankfurter Allgemeine Sonntagszeitung, 26. April 2009 (bl. 56)
*Diersche M (1939). Das Hexeneinmaleins im Faust als magische Figur. In: Reclams Universum, Bd. 55 (bl. 1531 – 1533)
Gaier U (1999). Johann Wolfgang Goethe: Faust-Dichtungen. Band 2: Kommentar I. Stuttgart: Reclam (bl. 313 – 314)
*Hermann N (2014). Mathematik und Gott und die Welt. Berlyn en Heidelberg: Springer-Verlag (bl. 11 – 13)
Luke D (1987). Faust. A new translation. Oxford: Oxford University Press (bl. 160)
Schöne A (redakteur) (2017a). Johann Wolfgang Goethe: Faust. Texte (2de druk 2019). Berlyn: Deutscher Klassiker Verlag (bl. 109)
Schöne A (2017b). Johann Wolfgang Goethe. Faust. Kommentare (2de druk 2019). Berlyn: Deutscher Klassiker Verlag (bl. 287 – 288)
*Von Wilpert G (2007). Die 101 wichtigsten Fragen: Goethe. München: Beck (bl.164)
Die met * gemerkte bronne word aangehaal soos in https://de.wikipedia.org/wiki/Hexeneinmaleins gedokumenteer (besoek 22 Februarie 2022).
Die Duitse teks van die Hexeneinmaleins kom uit Schöne (2017a); alle Afrikaanse vertalings uit Faust deur die outeur.