Koördinatestelsel - Wikipedia
Die Cartesiese koördinatestelsel.
In wiskunde en toepassing is 'n koördinatestelsel, of koördinaatstelsel, 'n stelsel om 'n tupel van getalle aan elk van die punte in 'n n-dimensionele ruimte toe te ken. "Getalle" beteken in baie gevalle reële getalle, maar kan ook, afhangende van die konteks, komplekse getalle of elemente van een of ander ander veld beteken. Indien die ruimte of variëteit gekrom is, mag dit nie moontlik wees om 'n konsekwente koördinatestelsel vir die hele ruimte verskaf. In die geval word 'n versameling van koördinatestelsels, wat kaarte genoem word, gebruik om 'n atlas saam te stel wat die hele ruimte dek.
As die ruimte een of ander addisionele algebraïese struktuur het, sal die koördinate ook onder ringe of groepe transformeer; 'n besonder beroemde voorbeeld in die geval is die Lie groepe.
Alhoewel enige spesifieke koördinatestelsel nuttig is vir numeriese berekeninge in 'n gegewe ruimte, word die ruimte beskou as iets wat onafhanklik van enige besonder koördinaat keuse bestaan. Volgens konvensie is die oorsprong van die koördinatestelsel in Cartesiese koördinate die punt (0, 0, …, 0), wat aan enige punt in die Euklidiese ruimte toegeken kan word.
In sommige koördinatestelsel word sommige punte geassosieer met veelvuldige koördinaat tupels, b.v. die oorsprong in die poolkoördinatestelsel: r = 0 maar θ kan enige hoek wees.
3 Stelsels wat algemeen gebruik word
4 Sterrekundige stelsels
5 Minder algemene koördinatestelsels
'n Voorbeeld van 'n koördinatestelsel is om 'n punt P in die Euklidiese ruimte Rn te beskryf met 'n n-tupel
P = (r1, …, rn)
van reële getalle
r1, …, rn.
Hierdie getalle r1, …, rn word diekoördinate van die punt P genoem.
As 'n deelversameling S van 'n Euklidiese ruimte word kontinu afgebeeld op 'n ander topologiese ruimte, dit definieer koördinate in die afbeelding van S. Dit kan 'n parametrisering van die afbeelding genoem word aangesien dit getalle toeken aan die punte. Die ooreenkoms is uniek slegs as die afbeelding bijektief is.
Die stelsel waarvolgens lengte – en breedtegraad aan geografiese liggings toegeken word is 'n koördinatestelsel. In die geval is die parametrisering nie uniek by die Noord- en Suidpole.
Transformasies[wysig | wysig bron]
'n Koördinaattransformasie is 'n omskakeling van een stelsel na 'n ander, om die selfde stelsel te beskryf.
Twee koördinaattransformasies kan met elke bijeksie van die ruimte na ditself geassosieer word:
sodat die nuwe koördinate van die afbeelding van elke punt dieselfde is as die ou koördinate van die oorspronklike punt (die formules vir die afbeelding is die omgekeerde van die van die koördinaattransformasie)
sodat die ou koördinate van die afbeelding van elke punt dieselfde is as die nuwe koördinate van die oorspronklike punt (die formules vir die afbeelding is die as die van die koördinaattransformasie)
Byvoorbeeld, in 1D, as die afbeelding 'n translasie van 3 na regs is, skuif die eerste die oorsprong van 0 na 3, sodat die koördinaat van elke punt 3 minder word, terwyl die tweede die oorsprong van 0 na -3 skuif, sodat die koördinaat van elke punt 3 meer word.
Stelsels wat algemeen gebruik word[wysig | wysig bron]
Van die koördinatestelsels sluit in: