You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS] » Eksponensiale
Siyavula: WiskundeThis module is included inLens: Siyavula Textbooks WiskundeBy: Free High School Science Texts Project
Module by: Carl Scheffler, Free High School Science Texts Project, Wiehan Agenbag. E-mail the authors
Based on: Exponentials by Rory Adams, Free High School Science Texts Project, Mark Horner, Heather Williams InleidingIn hierdie hoofstuk sal jy leer van 'n eenvoudiger manier om uitdrukkings soos 2×2×2×22×2×2×2 te skryf. Dit staan bekend as eksponensiaalnotasie.
DefinisieEksponensiaalnotasie is 'n kort manier om te skryf dat 'n getal meermale met homself vermenigvuldig word. Byvoorbeeld, eerder as om te skryf 5×5×55×5×5, gebruik ons 5353 om aan te dui dat die getal 5 drie maal met homself vermenigvuldig word en 'n mens sê "5 tot die mag 3". Soortgelyk is 5252 dieselfde as 5×55×5 en 3535 is 3×3×3×3×33×3×3×3×3. Laat ons beter definieer hoe om eksponensiaalnotasie te gebruik.Definition 1: Eksponensiaalnotasie
Eksponensiaalnotasie verwys na 'n getal wat geskryf word as
waar nn 'n heelgetal is en aa enige reële getal is. Ons noem aa die grondtal en nn die eksponent.
aa tot die mag nn is
(2)Dit wil sê, aa word nn keer met homself vermenigvuldig.Ons kan ook 'n negatiewe eksponent, -n-n, gebruik. In hierdie geval
(3)leidraad: EksponenteIndien nn 'n ewe getal is, sal anan altyd 'n positiewe getal wees vir enige reële getal aa, behalwe 00. Byvoorbeeld, hoewel -2-2 negatief is, is beide (-2)2=-2×-2=4(-2)2=-2×-2=4 en (-2)-2=1-2×-2=14(-2)-2=1-2×-2=14 positief.Figuur 1Khan Academy video oor eksponente 1 (in Engels)Figuur 2Khan Academy video oor eksponente 2 (in Engels)
EksponentwetteDaar is heelwat eksponentwette wat ons kan gebruik om getalle met eksponente te vereenvoudig. Sommige van hierdie wette het ons reeds in vorige grade teëgekom, maar ons sal die volledige lys hier sien en elke wet verduidelik, sodat jy hulle kan verstaan en nie bloot memoriseer nie.
(4)Eksponente, Wet 1: a0=1a0=1Volgens die definisie van eksponensiaalnotasie is a
(5)Byvoorbeeld, x0=1x0=1 en (1000000)0=1(1000000)0=1Toepassing van Wet 1: a0=1,(a≠0)a0=1,(a≠0) 16
Eksponente, Wet 2: am×an=am+nam×an=am+nFiguur 3Khan Academy video oor eksponente 3 (in Engels)Die definisie van eksponensiaalnotasie wys dat
(7)Opmerking: Interessante feit : Hierdie eenvoudige wet is die rede waarom eksponente oorspronklik geskep is. Voor die dae van rekenaars moes vermenigvuldiging met potlood en papier gedoen word. Dit vat baie lank om vermenigvuldiging te doen, maar dit is vinnig en eenvoudig om getalle bymekaar te tel. Hierdie eksponentwet wys dat dit moontlik is om twee getalle te vermenigvuldig deur hulle eksponente bymekaar te tel (indien hulle dieselfde grondtal het). Hierdie ontdekking het wiskundiges baie tyd gespaar, wat hulle toe kon gebruik om iets meer produktiefs te doen. Toepassing van Wet 2: am×an=am+nam×an=am+n x
[Neem kennis dat die grondtal (2) dieselfde bly.]
Eksponente, Wet 3: a-n=1an,a≠0a-n=1an,a≠0Die definisie van eksponensiaalnotasie vir 'n negatiewe eksponent wys dat
(8)Dit beteken dat 'n minus teken in die eksponent 'n alternatiewe manier
is om aan te dui dat die hele eksponensiaal gedeel eerder as
vermenigvuldig moet word.Byvoorbeeld,
(9) Toepassing van Wet 3: a-n=1an,a≠0a-n=1an,a≠0 2
Eksponente, Wet 4: am÷an=am-nam÷an=am-nMet Wet 3 het ons reeds besef dat 'n minusteken 'n manier is om te
wys dat die eksponensiaal gedeel eerder as vermenigvuldig moet
word. Wet 4 is basies 'n meer algemene manier om dieselfde stelling te
maak. Ons verkry hierdie wet deur Wet 3 aan beide kante met amam te
vermenigvuldig en dan Wet 2 te gebruik.
(11)Figuur 4Khan Academy video oor eksponente 4 (in Engels)Toepassing van Wet 4: am÷an=am-nam÷an=am-n
Eksponente, Wet 5: (ab)n=anbn(ab)n=anbnDie volgorde waarin twee getalle
vermenigvuldig word, is onbelangrik. Dus,
(13)Toepassing van Wet 5: (ab)n=anbn(ab)n=anbn (
Eksponente, Wet 6: (am)n=amn(am)n=amnDit is moontlik om die eksponensiaal van 'n eksponensiaal te bereken. Die eksponensiaal van 'n getal is 'n reële getal. So, selfs al klink die eerste sin ingewikkeld, beteken dit bloot dat 'n mens die eksponensiaal van 'n getal bereken en dan die eksponensiaal van die resultaat bereken.
(15)Toepassing van Wet 6: (am)n=amn(am)n=amn (
Exercise 1: Vereenvoudig die eksponente Vereenvoudig: 52x-1·9x-2152x-352x-1·9x-2152x-3 SolutionStap 1. Faktoriseer al die grondtalle in priemfaktore: =
Stap 2. Tel die eksponente van ooreenstemmende grondtalle bymekaar,
volgens Wette 2 en 4: =
Stap 3. Skryf die vereenvoudigde antwoord met positiewe eksponente: =
Ondersoek: Eksponensiale Skryf die korrekte antwoord in the Antwoord kolom. Die beskikbare
antwoorde is: 3232, 1, -1-1, -13-13, 8. Antwoorde mag herhaal word.Tabel 1
Die volgende video gee 'n voorbeeld van hoe om sommige van die
konsepte wat in hierdie hoofstuk gedek is, te gebruik.
Figuur 5Khan Academy video oor eksponente 5 (in Engels)
HoofstukoefeningeVereenvoudig so ver as moontlik.
(-2x) 4(-2x) 4
Vereenvoudig sonder om 'n sakrekenaar te gebruik. Skryf antwoorde met positiewe eksponente.
3x-3(3x)23x-3(3x)2 5x0+8-2-(12)-2·1x5x0+8-2-(12)-2·1x 5b-35b+15b-35b+1
Vereenvoudig en wys alle stappe.
2a-2.3a+36a2a-2.3a+36a a2m+n+pam+n+p·ama2m+n+pam+n+p·am 3n·9n-327n-13n·9n-327n-1 (2x2ay-b)3(2x2ay-b)3 23x-1·8x+142x-223x-1·8x+142x-2 62x·112x222x-1·32x62x·112x222x-1·32x
Vereenvoudig sonder om 'n sakrekenaar te gebruik.
(-3)-3·(-3)2(-3)-4(-3)-3·(-3)2(-3)-4 (3-1+2-1)-1(3-1+2-1)-1 9n-1·273-2n812-n9n-1·273-2n812-n 23n+2·8n-343n-223n+2·8n-343n-2
« Previous module in collection Rasionale getalle
Next module in collection » Benadering van Wortelgetalle
This work is licensed by Carl Scheffler and Free High School Science Texts Project under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Free High School Science Texts Project on Jun 13, 2011 3:19 pm -0500. Add to a lens