Turtle Doves Kids Hoodies | TeePublic
Turtle Doves Kids Hoodies
Browse › Turtle Doves › Kids Hoodie
Be My Valentine White Kids Hoodie
Main Tag You And Me Kids Hoodie
Xelda Jara I You and me Kids Hoodie
Cute Valentines Day: Whale You Be My Valentine Kids Hoodie Danie Strauss, Fakulteit Geesteswetenskappe, Universiteit van die Vrystaat
Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen,
soll Niemand uns vertreiben können.
(David Hilbert 1925:170)1
Practicing mathematicians, consciously or not,
subscribe to some philosophy of mathematics
(if unstudied, it is usually inconsistent).
Opgedra aan die nagedagtenis van prof. Ben de la Rosa
(30 Junie 1934 – 5 April 2008),
wat deurgaans my wiskundige studies verryk het met
diepsinnige gesprekke tot kort voor sy afsterwe
Die gegewe dat die “natuurlike” getalle op mekaar volg, dui op die potensiaal om sonder einde voortgesit te word – wat vanself sowel die oneindige as die aritmetiese tydsorde van opeenvolging ten tonele voer. Hierdie fasette is verder ontgin in die transfiniete aritmetika van Cantor. Die resultaat hiervan was onder meer dat die wiskunde as versamelingsleer aangedui is – waarmee die aard van alle vroeëre wiskunde bevraagteken word. Die status van getal word bespreek in die lig van die beperkinge van logiese optelling en die idee van ’n veelheid “eenhede”, alvorens oorgegaan word tot ’n ontleding van die aard van die getalsaspek aan die hand van gesigspunte soos getal se funksionele (modus-) aard, die modale universaliteit daarvan, die aard van modale abstrahering, die vraag of getalle God- of mensgemaak is, die gegewe dat “bestaan” nie met “sintuiglike waarneembaarheid” saamval nie, en die vraag of getal gedefinieer kan word. Die analise betrek die klassieke probleem van uniekheid en samehang, sowel as die funderende posisie van getal ten opsigte van ruimte en verskillende struktuurelemente van die ruimte wat implisiet deur getal by ruimte “geleen” word. In hierdie konteks word kernagtig aandag geskenk aan die nuwe lig wat die onderskeiding (en samehang) tussen suksessie en gelyktydigheid op die aard van oneindigheid werp. Dit word veral gemanifesteer in die wiskundige gebruik van oneindige totaliteite (as regulatiewe hipo­tese) en binne die perspektief van ’n omkering van die ontsluitingsorde tussen getal en ruimte. Wanneer dít wat deur getal by die ruimte “geleen” word nie as inherent aritme­tiese eienskappe waardeer word nie, word die sin-kern van getal “bevry” om opnuut en ongestoord kwalifiserend op te tree ten opsigte van alle getalversamelings – hetsy aangedui as “diskreet”, “dig” of “kontinu”. Binne die sfeer van getal, soos Laugwitz tereg beklemtoon, bly elke (natuurlike, heel-, rasionale en reële) getal onder die “heerskappy” van die diskrete uniek.
In antieke Griekeland is hierdie vraag bevestigend beantwoord deur die Pythagoreërs. In getal het hulle die bestaansbeginsel van alles onderken. Getal bestáán nie slegs nie; dit is die wese van wat bestaan. Dit het gelei tot hul welbekende oortuiging en grondstelling: “Alles is getal.”9 Nogtans sou die verhouding tussen ’n sy en diagonaal van ’n reëlmatige vyfhoek aanleiding gee tot die ontdekking van sogenaamde onvergelykbare groothede – ’n ontdekking wat die ordenende (vormgewende) rol van “getal” in die “kosmos” ondermyn het, bedreig deur die apeiron, die onbegrensd-oneindige. Hierdie ontdekking van irrasionale getalle was veronderstel om ’n geheim te bly, maar Hippasos, wat dit blykbaar openbaar gemaak het, is daarvan beskuldig “to have betrayed a mathematical secret” (Riedweg 2005:107).
Wat op hierdie stadium duidelik geword het, is dat alhoewel elke getalsverhouding geometries voorstelbaar is, nie elke verhouding tussen twee lyne aritmeties voorgestel kan word nie. Laugwitz merk op dat dit daaruit volg dat Euklides die getalleteorie as ’n deel van die geometrie behandel het. Hy skryf: “Die verhouding tussen getalle laat ’n geometriese daarstelling toe, maar nie elke lyn-verhouding kan aritmeties voorgestel word nie. Dit fundeer die voorrang van die meetkunde bo die rekenkunde, en die konsekwensie hiervan is in die boeke van Euklides te vinde: Die teorie van getalle vorm ’n deel van die meetkunde.”10
13.1 ’n Modus van die werklikheid
Solank daar nie in alle erns ondersoek ingestel word na die aard van die verskillende aspekte of bestaanswyses van die werklikheid nie, sal die status van getal-uitsprake problematies bly. Die aspekte belig immers die “hoe” van die dinge wat ons ervaar en nie die konkrete “wat” daarvan nie. Vrae soos: hoe sterk?; hoe vinnig?; hoe groot?; en hoeveel? appelleer onderskeidelik op die fisiese, kinematiese, ruimtelike en kwantitatiewe aspekte van die werklikheid. As bestaanswyses kan hierdie aspekte ook as funksies of modaliteite aangedui word. Die funksie van konkrete dinge in hierdie (en ander) aspekte is tipies in die sin dat die konkrete alsydigheid daarvan ’n gespesifiseerde vorm in die verskillende aspekte aanneem.20
13.2 Modale universaliteit
Die universele reikwydte van modale aspekte, hul modale universaliteit, gaan die tipiese aard van enige entiteit wat bloot in die verskillende aspekte funksioneer, te bowe. Enersyds beteken dit dat die verskillende aspekte van die werklikheid alle konkrete dinge wat daarin funksioneer, medebepaal – waarmee meteens die skynbare misterie, naamlik dat aspekwette (soos getalwette, ruimtewette en bewegingswette) van krag is (geldig is) vir konkrete dinge en prosesse,21 verklaar word – en andersyds beteken dit dat geen entiteite ooit volledig opgaan in énige aspek nie.
13.3 Modale abstrahering
Hoewel verskillende dinge deur middel van entiteitsgerigte abstrahering “soortgelyk” gemaak kan word rakende hul niekwantitatiewe eienskappe, word hulle steeds van mekaar onderskei – en daarom bly hulle ’n menigvuldigheid. Dit toon aan dat, kragtens die modale universaliteit van die getalsaspek, geen enkele entiteit daaraan kan ontkom om ook in hierdie aspek (van onderskeie hoeveelheid) ’n funksie te hê nie. Frege het sy aandag gefokus op die konkrete entiteite en sodoende nagelaat om rekenskap te gee van ’n egte numeriese menigvuldigheid (diskrete kwantiteit). Soos ’n telraam dinge demonstreer, beland ons by die getalsvraag in ’n situasie waar die nie-aritmetiese eienskappe uiteindelik agterweë gelaat moet word. Dan is die vraag immers nie meer: watter kleur?; waarheen moet die blokkies geskuif (beweeg) word?; of wat is die (ruimtelike) vorm daarvan nie?, maar bloot: hoeveel blokkies is daar? – die uiteindelike getalsvraag.
13.4 Die aritmetiese orde van opeenvolging
Binne die oorspronklike sin van getal is die eerste (en enigste!) tree in die benutting van een of ander vorm van suksessie gegee.22 Selfs om die kardinaliteit van ’n gegewe aantal elemente vas te stel, moet een of ander vorm van opeenvolging benut word. Deurslaggewend vir ons getalbesef is derhalwe die aritmetiese orde van opeenvolging. Daarsonder verval die uniekheid van elke natuurlike en heelgetal. Omdat elke orde altyd korreleer met gegewens wat aan die betrokke orde onderworpe (subjek) is, sal daar altyd ’n onverbreeklike samehang tussen die aritmetiese orde van opeenvolging en bypassende aritmetiese subjekte bestaan. Die natuurlike getalle verteenwoordig die mees basiese getalsubjekte.
13.7 “Bestaan” val nie saam met “sintuiglik waarneembaar” nie
Wanneer ons die implisiete gelykstelling van “bestaan” met “sintuiglik waarneembaar” agterweë laat, open dit meteens die weg om die “objektiewe” bestaan van die verskillende werklikheidsaspekte te erken. Dit is weliswaar verkieslik om van die ontiese bestaan van die aspekte te praat, omdat die term objektief onnodige en lastige ontologiese (!) konnotasies besit.
13.8 Kan getal gedefinieer word?
Wat Gödel hier bo opgemerk het oor die sirkulêre aard van pogings om ’n versameling te definieer, is ten opsigte van getal self ewe geldig. Nie net in die logika nie, maar ook in alle wetenskaplike dissiplines vind ons ’n erkenning van primitiewe terme wat ondefinieerbaar is. Die intuïsionistiese wiskunde en ’n wiskundige soos Skolem het van meet af aan die ondefinieerbaarheid van “getal” met die eenvoudige suksessie van die natuurlike getalle verbind. In 1922 skryf Skolem onder meer (sien ook Strauss (2005a)):
Hierdie problematiek (in Engels ook aan te dui as die “coherence of irreducibles”) is nie die alleenbesit van enige wysgerige of vakwetenskaplike denkrigting nie. Let bloot op ’n onlangse werk waarin die kernelemente van die onderskeidinge wat pas verduidelik is, onmiskenbaar as kern-idees van Gödel aan die orde gestel word. Yourgrau (2005:169) verduidelik dat Gödel “insisted that to know the primitive concepts, one must not only understand their relationships to the other primitives but must grasp them on their own, by a kind of ‘intuition’”. Op die volgende bladsy voeg hy daaraan toe dat “the fundamental concepts are primitive and their meaning is not exhausted by their relationships to other concepts”. Dit is sekerlik so na as wat ’n denker kan kom aan die idees van soewereiniteit-in-eie-kring en universaliteit-in-eie-kring wat ons pas saaklik uiteengesit het! Om die idee van die struktuur van ’n aspek meer aanskoulik te maak, word die onderstaande skets ingevoeg.
15. Getal fundeer ruimte
16.1 Suksessie en gelyktydigheid: oneindigheid in ’n nuwe lig
Wat gebeur egter wanneer ons die tydsordes aan die wetsy van die getalsaspek en ruimte-aspek met mekaar in verband bring? Cantor beroep hom op Augustinus, wat reeds onderskei het tussen die suksessie van oneindigheid (toeganklik vir die menslike verstand) en God, wat elke suksessie opeens oorsien (Cantor 1987–1888; 1962:402 e.v. en Augustinus se Confessiones XI,11,13 (Augustinus 1991); De Trinitate XII,14 (Augustinus 2002)). Plotinus (1969) het in sy Enneade III/7 ewigheid aan die tydlose hede verbind en sodoende bygedra tot die uiteindelike fundering van die idee van aktuele oneindigheid in die ruimtelike orde van gelyktydigheid. Teen die einde van die 18de eeu sit Maimon hierdie tradisie voort wanneer hy die onderskeiding tussen ’n beperkte menslike gees en ’n absolute verstand benut.
16.3 Omkering van die ontsluitingsorde
Cantor self het die ontsluitingsorde omgekeer en die aktueel oneindige (opeens oneindige) as die grondslag van en basis vir die potensieel oneindige gepostuleer. Hy skryf: “So veronderstel elke potensieel oneindige, indien dit eksak wiskundig aanwendbaar wil wees, ’n aktueel oneindige” (aangehaal deur Meschkowski 1967:250). Indien hierdie ontsluitingsorde nie omgekeer word nie, kan ons saam met Lorenzen stel dat die aritmetika geen motief vir die invoering van die opeens oneindige bied nie.38
16.4 Die opeens oneindige as regulatiewe hipotese
Wanneer wiskundige denke die onontslote getalsin van die suksessief oneindige wil verdiep, is die enigste moontlikheid gegee in die regulatiewe hipotese, wat enige suksessief oneindige versameling getalle beskou as ’n oneindige totaliteit waarvan die elemente almal opeensvoorhande is.39 Hoewel Lorenzen (in sy konstruktiewe wiskunde en logika) die opeens oneindige verwerp (hy meen dit is ’n “fiksie”),40 verduidelik hy die bedoeling daarvan in besonderhede. Hy stel dat wanneer die oneindige aan “alle” verbind word, ons ’n fiksie gebruik, naamlik “the fiction, as if infinitely many numbers are given” (Lorenzen 1952:593). Gauss se protes (in ’n brief aan Schumacher op 12 Julie 1831) teen die “gebruik van ’n oneindige grootte as iets voltooids wat nooit in die wiskunde toelaatbaar is nie” (aangehaal deur Meschkowski 1972b:31), het talle wiskundiges ná hom opgesaal met die probleem dat hulle die opeens oneindige verwerp het op grond van die feit dat hulle die suksessief oneindige as maatstaf gebruik het.41 Rekenaarbewerkings is selfs beperk tot ’n eindige snit van die suksessief oneindige (Strauss 2006b). Lorenzen verduidelik die toepassing van die opeens oneindige op die reële getalle soos volg: “’n Mens stel jou veel eerder die reële getalle voor as almal opeens werklik voorhande.” Selfs elke reële getal word “self reeds so voorgestel asof die oneindig vele syfers daarvan almal opeens bestaan” (Lorenzen 1972:163).42
Ahrens, W. 1916. Mathematiker-Anekdoten. Leipzig en Berlyn: B.G. Teubner.
Augustinus, A. 1991. Confessions (vert. Henry Chadwick). Oxford: Oxford University Press.