Finansiële wiskunde - Graad 10
You are here: Home » Content » Finansiële wiskunde - Graad 10
Module by: Liezel du Toit, Free High School Science Texts Project. E-mail the authors
Based on: Finance - Grade 10 by Rory Adams, Heather Williams, Free High School Science Texts Project InleidingAs jy ooit in 'n televisie vasvra-program vasval met 'n wiskunde vraag, sal jy heel waarskynlik wens jy het onthou hoeveel ewe priemgetalle daar tussen 1 en 100 is ter wille van die R1 000 000. Wie wil dan nou nie 'n miljoenêr wees nie?
Welkom die by die Graad 10 hoofstuk oor Finansiële wiskunde! Ons gaan wiskundige vaardighede gebruik wat jy heel waarskynlik nou gaan nodig kry en ook op jou pad na die aankoop van jou eerste privaat vliegtuig.
As jy die tegnieke in hierdie hoofstuk bemeester, sal jy verstaan wat saamgestelde rente is, en hoe dit jou fortuin kan uitroei as jy kredietkaart skuld het, of hoe jy miljoene kan maak as jy jou swaar verdiende geld suksesvol belê. Jy sal ook verstaan wat die effek is van veranderende wisselkoerse, en die gevolg daarvan op die geld wat jy het om te spandeer tydens jou oorsese vakansie!
Voordat ons wisselkoerse bespreek, is dit nodig om te besef dat die meeste lande 'n desimale geldstelsel gebruik. Dit beteken dat lande 'n geldstelsel gebruik wat met magte van tien werk, bv in Suid-Afrika het ons 100 (10 tot die mag 2) sent in 'n rand. In Amerika is daar 100 sent in 'n dollar. 'n Ander manier om dit te sê, is dat die land 'n basis geldeenheid het en 'n sub-eenheid wat 'n mag van 10 van die basis geldeenheid is. Dit beteken dat as ons die effek van wisselkoerse ignoreer, kan ons eintlik rande met dollars vervang of rande met ponde.
Buitelandse Wisselkoerse Is $500 ("500 US Dollar") per persoon per nag 'n goeie tarief vir 'n hotel in New York? Die eerste vraag wat jy moet vra is “Hoeveel is dit werd in Rand?". 'n Vinnige oproep na die plaaslike bank of 'n navraag op die Internet (by voorbeeld by http://www.x-rates.com/) vir die Dollar/Rand wisselkoers gaan vir jou 'n basis gee om die prys te oorweeg.
'n Buitelandse wisselkoers is die prys van een land se geldeenheid in terme van 'n ander land se geldeenheid.
By voorbeeld, 'n wisselkoers van R6,18/US Dollars beteken dat $1 vir jou R6,18 sal kos. Met ander woorde, as jy $1 het, kan jy dit verkoop vir - of as jy $1 wil hê sal jy R6,18 daarvoor moet betaal.Wat bepaal wisselkoerse, en watter faktore laat wisselkoerse verander? En hoe beïnvloed dit jou? Hierdie afdeling kyk na die antwoorde op hierdie vrae.
Hoeveel is is R1 regtig werd?Ons kan die prys van 'n geldeenheid in terme van enige ander geldeenheid uitdruk, by voorbeeld, ons kan die Japanese jen uitdruk in terme van die Indiese rupee. Die VSA dollar (USD), Britse pond (GBP) en die Euro (EUR) is die mees algemene mark standaarde. Jy sal oplet dat die finansiële nuus verslag doen van die Suid-Afrikaanse wisselkoers in terme van hierdie drie groot geldeenhede.
Tabel 1: Afkortings en simbole vir 'n paar algemene geldeenhede.
Dus die Suid-Afrikaanse Rand, aangedui deur ZAR, kan op 'n sekere dag aangegee word as as 6,07040 ZAR per USD (i.e. $1,00 kos R6,07040), of 12,2374 ZAR per GBP. Dus as ek $1 000 wil spandeer tydens 'n vakansie in die VSA, sal dit my R6 070,40 kos; en as ek £1 000 wil hê vir 'n naweek in London, sal dit my R12 237,40 kos.Dit lyk vanselfsprekend, maar kon ons kyk hoe hierdie getalle bereken is:
Die koers word gegee as ZAR per USD, of ZAR/USD sodat $1,00 'n bedrag van R6,0704 kan koop. Dus, ons moet met 1 000 vermenigvuldig om die aantal Rand per $1 000 te bepaal.Wiskundig beskou,
(1)soos verwag is.Gestel jy het R10 000 gespaar as sakgeld vir dieselfde vakansie en jy wil dit gebruik om VSA dollars (USD) te koop? Hoeveel USD kan jy hiervoor kry? Die koers is in ZAR/USD maar ons wil weet hoeveel USD ons kan kry vir ons Suid-Afrikaanse rand (ZAR). Dit is maklik. Ons weet hoeveel $1,00 kos in terme van Rand.
(2)Soos ons kan sien, is die finale antwoord die omgekeerde van die ZAR/USD koers. Dus, vir R10 000 sal ons kry:
(3)Ons kan ons antwoord as volg kontroleer:
(4)Ses van een en 'n halfdosyn van die anderOns het dus twee verskillende maniere om dieselfde wisselkoers uit te druk: Rand per Dollar (ZAR/USD) en Dollar per Rand (USD/ZAR). Albei wisselkoerse beteken dieselfde en druk die waarde van een geldeenheid uit in terme van 'n ander geldeenheid. Jy kan maklik van die een na die ander een werk - hulle is omgekeerdes van mekaar.Aaangesien die Suid-AFrikaanse rand ons binnelandse (of tuis) geldeenheid is, noem ons die ZAR/USD koers 'n “direkte" koers, en ons noem die USD/ZAR koers 'n “indirekte" koers.In die algemeen kan gesê word: 'n direkte koers is 'n wisselkoers waar die eenheid van die binnelandse geldeenheid uitgedruk word per eenheid van die buitelandse geldeenheid, i.e. , Binnelandse Geldeenheid Buitelandse Geldeenheid Binnelandse Geldeenheid Buitelandse Geldeenheid Die Rand wisselkoerse wat ons in die media sien, word gewoonlik uitgedruk as direkte koerse, by voorbeeld jy sal sien:
Tabel 2: Voorbeelde van wisselkoerse
Wisselkoers 1 USD
Die wisselkoers is die prys van elkeen van die Buitelandse Geldeenhede (USD, GBP en EUR) in terme van ons binnelandse geldeenheid, Rand.'n Indirekte wisselkoers is 'n wisselkoers waar die eenheid van die buitelandse geldeenheid uitgedruk word in terme van eenhede van die binnelandse geldeenheid, i.e. Buitelandse Geldeenheid Binnelandse Geldeenheid Buitelandse Geldeenheid Binnelandse Geldeenheid .Die omskrywing van wisselkoerse as direk of indirek hang af van watter geldeenheid die binnelandse geldeenheid is. Die binnelandse geldeenheid vir 'n Amerikaanse belegger sal Dollars (USD) wees - wat vir die Suid-Afrikaanse belegger 'n buitelandse geldeenheid is. Dus direktekoerse, vanuit die oogpunt van die Amerikaanse belegger (USD/ZAR), is dieselfde as die indirekte koers uit die oogpunt van die Suid-Afrikaanse belegger.
TerminologieAangesien wisselkoerse eintlik die prys van geld is, beteken 'n verandering in wisselkoers dat die prys of die waarde van die geldeenheid verander het. Die prys van petrol verander gedurig, so ook die prys van goud en geldeenhede se prys beweeg ook gedurig op en af.
Wat beteken dit as die Rand wisselkoers verander van bv R6,71 per USD na R6,50 per USD? Wel,dit beteken dat $1 nou slegs R6,50 sal kos in plaas van R6,71. Die Dollar is nou goedkoper om te koop, en ons kan sê die Dollar het depresieer (of verswak) teenoor die Rand. Of ons kan sê dat die Rand appresieer (of verstewig) het teenoor die Dollar.Gestel ons kyk na indirekte wisselkoerse en die wisselkoers verander van $0,149 per ZAR (=16,7116,71) na $0,1538 per ZAR (=16,5016,50).Nou kan ons sien dat die R1,00 wat aan die begin $0,149 gekos het, aan die einde $0,1538 kos. Die Rand het duurder geword (in terme van Dollar), en weer kan ons sê dat die Rand appresieer het.Ons sal tot dieselfde gevolgtrekking kom, ongeag watter wisselkoers gebruik word.
In die algemeen,Direkte wisselkoerse: die binnelandse geldeenheid sal appresieer (depresieer) as die wisselkoers daal (styg)
Indirekte wisselkoerse: die binnelandse geldeenheid sal appresieeer depresieer) as die wisselkoers styg (daal)
Soos met alles in hierdie hoofstuk is dit belangrik om nie hierdie formules te probeer memoriseer nie - dit gaan net lei tot verwarring. Dink oor wat jy het en wat jy wil hê - en dit behoort heel duidelik te wees hoe om die regte antwoord te kry.
Bespreking : Buitelandse WisselkoerseBespreek in groepe van 5:Wat moet ons weet van wisselkoerse?
Wat gebeur as een land se geldeenheid drasties in waarde verminder teenoor 'n ander land se geldeenheid?
Wanneer sal jy wisselkoerse gebruik?
Tussen Geldeenheid WisselkoerseOns weet dat wisselkoerse die waarde van een geldeenheid uitdruk in terme van 'n ander geldeenheid, en ons kan wisselkoerse teenoor enige ander geldeenheid uitdruk. Die Rand wisselkoers wat ons in die media sien, word gewoonlik uitgedruk teenoor die belangrikste geldeenhede, USD, GBP en EUR.Gestel by voorbeeld, die Rand wisselkoers word gegee as 6,71 ZAR/USD en 12,71 ZAR/GBP. Vertel dit vir ons enige iets in verband met die wisselkoers tussen USD en GBP?Wel, ek weet dat as $1 vir my R6,71 kan koop, dan is die Britse pond (GBP) sterker as die Dollar (USD) want jy gaan meer Rande vir een eenheid van die geldeenheid kry. Ons kan dus die USD/GBP wisselkoers as volg bereken:Voordat ons enige getalle gebruik, hoe kan ek die USD/GBP wisselkoers kry uit die ZAR/USD en ZAR/GBP wisselkoerse?Wel,
(5)Let op dat die ZAR in die teller kanselleer met die ZAR in die noemer, en dat ons oorbly met die USD/GBP wisselkoers.Alhoewel ons nie die USD/ZAR wisselkoers weet nie, weet ons dat dit net die omgekeerde is van die ZAR/USD wisselkoers.
USD USD /
USD (6)As ons nou getalle instel, kry ons:
(7)leidraad: Dit kan gebeur dat daar wisselkoerse in die alledaagse lewe is wat lyk asof die nie presies so werk soos hier verduidelik nie. Dit is gewoonlik omdat sommige finansiële instellings ander koste byvoeg by die wisselkoerse en dan verander die resultate. As jy die effek van daardie ekstra kostes sou kon verwyder, sal die getalle weer ooreenstem. Exercise 1: Tussen Geldeenheid Wisselkoerse
As $1 = R 6,40, en £1 = R11,58 wat is die $/£ wisselkoers i.e. die aantal USD per £? SolutionStap 1. Bepaal wat word gegee en wat word gevra : Die volgende word gegee:
ZAR/USD wisselkoers = R6,40
ZAR/GBP wisselkoers = R11,58
Die volgende word gevra:
Stap 2. Bepaal hoe om die probleem aan te pak : Ons weet dat:
Stap 3. Los die probleem op : USD /
Stap 4. Skryf die finale antwoord neer : $ 1,8094 kan gekoop word vir £1. [
Ondersoek : Tussen Geldeenheid Wisselkoerse - 'n Ander MetodeAs $1 = R
6,40, en £1 = R11,58 wat is die $/£ wisselkoers (i.e. die aantal US$ per £)?Oorsig oor die probleem
Jy het die $/£ wisselkoers nodig, met ander woorde hoeveel Dollar moet jy betaal vir 'n Pond. So jy het £1 nodig. Uit die gegewe inligting weet ons dat dit jou R11,58 sal kos om £1 te koop en dat $ 1 = R6,40.Gebruik hierdie inligting om:te bereken hoeveel R1 werd is in terme van $.
te bereken hoeveel R11,58 werd is in terme van $.
Kry jy dieselfde antwoord as in die uitgewerkte voorbeeld?Vir verryking: Flukturende wisselkoerseIndien almal huise wil koop in 'n sekere voorstad, sal die huispryse daar styg, want die kopers kompeteer met mekaar om die huise te koop. As daar 'n voorstad is waar al die inwoners wil weg trek, dan is daar baie verkopers en dit sal daartoe lei dat die huispryse in daardie omgewing val, want die kopers hoef nie so baie te soek om 'n gretige verkoper te kry nie.
Dit gaan alles oor vraag en aanbod - aspekte wat 'n belangrike afdeling is in die studie van Ekonomie. Jy kan in baie verskillende kontekste hieraan dink, soos by voorbeeld die versameling van seëls. As daar 'n seël is wat 'n klomp mense graag wil hê (hoë vraag) en min mense wat die seël het (lae aanbod) dan sal daardie seël baie duur wees.En as jy begin wonder waarom dit van belang is - dink aan geldeenhede. As jy London toe gaan, dan het jy Rande, maar jy moet Ponde "koop". Die wisselkoers is die prys wat jy gaan betaal om daardie Ponde te koop.
Dink aan 'n tyd wanneer daar baie Suid-Afrikaners is wat die Verenigde Koninkryk besoek, en ander Suid-Afrikaners voer goedere in uit die Verenigde Koninkryk. Dit beteken dat daar baie Rande (hoë aanvraag)is wat probeer om Ponde te koop. Ponde sal duurder begin raak (vergelyk dit met die voorbeeld oor huispryse aan die begin van hierdie afdeling as jy nie oortuig is nie), en die wisselkoers sal verander. Met ander woorde, vir R1 000 sal jy nou minder Ponde kry as wat jy sou gekry het voordat die wisselkoers verander het.'n Ander agtergrond kan handig wees om jou te help om te verstaan: dink wat sou gebeur as mense in ander lande dink dat Suid-Afrika 'n wonderlike plek is om te bly, en dat meer mense in Suid-Afrika wil belê - dalk in eiendom, besighede - of dat mense meer goedere uit Suid-Afrika begin koop. Daar is dan 'n groter vraag na Rand - en die "prys van Rand" sal styg. Met ander woorde, mense het meer Dollars, of Ponde, of Euros nodig om dieselfde hoeveelheid Rand te koop. Dit word gesien as verandering in wisselkoerse.
Alhoewel dit neerkom op vraag en aanbod, is dit interessant om te dink watter faktore die aanbod (mense wat 'n sekere geldeenheid wil "verkoop") en die vraag (mense wat probeer om 'n ander geldeenheid te "koop") sal beïnvloed. Dit word in detail behandel in die studie van Ekonomie, maar laat ons hier na 'n paar basiese aspekte kyk.
Daar is verskeie faktore wat die wisselkoers beïnvloed. Sommige het meer ekonomiese onderbou as ander:ekonomiese faktore (soos inflasiesyfers, rentekoerse, handelstekort inligting, monetêre beleid en fiskale beleid)
politieke faktore (soos 'n onseker politieke omgewing, of politieke onrus)
marksentiment en markgedrag (by voorbeeld as buitelandse wisselkoersmarkte 'n geldeenheid lees as oorwaardeer en begin om die geldeenheid te verkoop, sal dit lei tot 'n daling in die waarde van die geldeenheid - 'n selfvervullende verwagting).
Buitelandse VerhandelingEk wil 'n MP3-speler koop wat £100 kos, en die huidige wisselkoers is tans £1=R14£1=R14. Ek glo die wisselkoers gaan verander na R12R12 binne 'n maand.
Hoeveel sal die MP3 speler in Rand kos as ek dit nou koop?
Hoeveel sal ek spaar as die wisselkoers daal na R12R12?
Hoeveel sal ek verloor as die wisselkoers verander na R15R15?
Click here for the solution Bestudeer die volgende tabel met wisselkoerse:
Tabel 3Land GeldeenheidWisselkoersVerenigde Koninkryk(VK)Pond(£)R14,13R14,13Amerika (VSA)Dollar ($)R7,04R7,04In Suid-Afrika is die koste van 'n nuwe Honda Civic R173400R173400. In Engeland kos dieselfde voertuig £12200£12200 en in die VSA $ 2190021900. In watter land is die voertuig die goedkoopste as jy die pryse omskakel na Suid-Afrikaanse rand ?
Sollie en Arinda is kelners in 'n Suid-Afrikaanse restaurant wat baie oorsese toeriste lok. Sollie kry 'n £6£6 fooitjie van 'n toeris en Arinda kry $ 12.
Hoeveel Suid-Afrikaanse rand het elkeen gekry?
(Tot hier nie in Caps) Stel belang in RenteAs jy R1 000 het, kan jy dit in jou beursie hou, of jy kan dit deponeer in 'n bankrekening. As dit in jou beursie bly, kan jy dit enige tyd uitgee wanneer jy wil. As die bank daarna kyk vir jou, kan hulle dit spandeer met die doel om wins te maak daaruit. Die bank "betaal" jou gewoonlik om geld te deponeer in 'n rekening om jou aan te moedig om met hulle sake te doen. Hierdie betaling is soos 'n beloning, wat vir jou die rede is om die geld liewer in die bank te los vir 'n rukkie as om die geld in jou beursie te hou.Ons noem hierdie beloning "rente".
Wanneer jy geld belê by 'n bank, sal die bank vir jou vra wat hulle met jou rente moet doen. Hulle kan die rente aan die einde van elke tyd-interval (bv maand of jaar) vir jou uitbetaal, of hulle kan die rente by die aanvangsbedrag voeg. (Dan gaan jy rente op rente verdien.)
As jy geld in 'n bankrekening deponeer, is jy eintlik besig om jou geld aan die bank te leen - en jy kan verwag om rente in ruil te kry. Net so, as jy geld leen van 'n bank (of bv van 'n afdelingswinkel of 'n motorhandelaar) kan jy verwag om rente te betaal op die lening. Dit is die prys om die geld te leen.
Die idee is eenvoudig, en tog is dit die kern van die wêreld van finansies. Boekhouers, rekenmeesters en bankiers, by voorbeeld, bestee hulle hele professionele loopbaan deur te werk met die gevolge van rente op finansiële aangeleenthede.In hierdie hoofstuk sal jy kennis maak met die begrip van finansiële wiskunde - en ook die gereedskap kry om selfs gevorderde begrippe en probleme te hanteer.leidraad: RenteDie begrippe in hierdie hoofstuk is eenvoudig - ons gaan na dieselfde idee kyk, maar vanuit baie verskillende hoeke. Die beste manier om uit hierdie hoofstuk te leer, is om al die voorbeelde te doen soos wat jy deur die hoofstuk werk. Moenie net ons woorde glo nie!
Enkelvoudige RenteDefinition 1: Enkelvoudige Rente
Enkelvoudige rente is wanneer jy rente verdien op die aanvanklike bedrag wat jy belê het. Die bank gaan aan die einde van elke tyd-interval (bv maand of jaar) die rente vir jou uitbetaal. Jy kry dus nie rente op die eerste rente wat jou belegging verdien het nie. As 'n maklike voorbeeld van enkelvoudige rente, dink hoeveel jy sal kry deur R1 000 te belê vir 1 jaar by 'n bank wat vir jou enkelvoudige rente teen 5% per jaar gee. Aan die einde van die jaar sal jy rente kry van:
(10)Dus, met 'n “aanvangsbedrag" van R1 000 aan die begin van die jaar, sal jou “eindbedrag" aan die einde van die jaar dan wees:
(11)Ons noem soms die aanvangsbedrag in finansiële wiskunde die Hoofsom ("Principal amount"), wat afgekort word as PP (R1 000 in die voorbeeld). Die rentekoers vir die tyd-interval word gewoonlik as persentasie aangedui deur ii (5% in die voorbeeld), en die bedrag aan rente verdien (in terme van Rand) word aangedui deur II (R50 in die voorbeeld).Ons sien dus dat:
(13)Dit is hoe jy enkelvoudige rente bereken. Dit is nie 'n ingewikkelde formule nie, wat ook maar goed is, want jy gaan nog baie hiervan sien!Nie slegs een termyn nieJy mag nou begin wonder:hoeveel rente sal jy verdien as jy die geld in die rekening los vir 3 maande, of
as jy dit daar los vir 3 jaar?
Dit is eintlik heel eenvoudig - en dit is waarom hulle dit noem Enkelvoudige Rente.Drie maande is 1/4 van 'n jaar, so jy sal selgs 1/4 van 'n volle jaar se rente verdien, en dit is: 1/4×(P×i)1/4×(P×i). Die eindbedrag sal dus wees:
Eindbedrag =P+1/4×(P×i)=P(1+(1/4)i) Eindbedrag =P+1/4×(P×i)=P(1+(1/4)i)(14) Vir 3 jaar, sal jy drie jaar se rente kry, en dit is: 3×(P×i)3×(P×i). Die eindbedrag aan die einde van die drie jaar tydperk sal wees:
Eindbedrag =P+3×(P×i)=P×(1+(3)i) Eindbedrag =P+3×(P×i)=P×(1+(3)i)(15)As jy mooi kyk na die ooreenkomste tussen die twee antwoorde hierbo, kan jy die resultaat veralgemeeen. As jy jou geld (PP) belê in in 'n rekening wat 'n rentekoers betaal van (ii) vir 'n tyd interval (nn ), dan sal die Eindbedrag gelyk wees aan AA :
(16)leidraad: Berekening van RenteP.a.(per annum) = per jaarExercise 2: Enkelvoudige rente
As ek R1 000 vir 3 jaar deponeer in 'n spesiale bankrekening wat 7% per jaar enkelvoudige rente gee, hoeveel geld sal ek aan die einde van hierdie tydperk hê? SolutionStap 1. Bepaal wat word gegee en wat word gevra? : Aanvangsbedrag, P=R1000P=R1000 rentekoers per tyd-interval, i=7%i=7% aantal tyd-intervalle, n=3 jaar n=3 jaar Ons moet die eindbedrag (A) bereken.
Stap 2. Besluit hoe om die probleem aan te pak : Ons weet vanuit vergelyking 16 dat:
Stap 3. Los die probleem op : A
Stap 4. Skryf die finale antwoord neer : Die eindbedrag nadat R1 000 vir 3 jaar belê is teen 'n rentekoers van 7% per jaar, is R1 210. [
Exercise 3: Bereken nn Ek deponeer R30 000 in 'n spesiale bankrekening wat enkelvoudige rente gee teen 7,5% per jaar. Vir hoeveel jaar sal ek hierdie bedrag moet belê om 'n eindbedrag van R45 000 te kry?
SolutionStap 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra : aanvangsbedrag, P=R30000P=R30000 rentekoers per tyd-interval, i=7,5%i=7,5% eindbedrag, A=R45000A=R45000
Ons moet die aantal tyd-intervalle (in hierdie geval jare) bepaal.
Stap 2. Bepaal hoe om die probleem aan te pak : Ons weet vanuit vergelyking 16 dat:
Stap 4. Skryf die finale antwoord neer : Dit sal 6 jaar en 8 maande neem vir R30 000 om 'n eindbedrag te lewer van R45 000 teen enkelvoudige rente van 7,5% per jaar. As ons die antwoord tot die naaste volle jaar moes gee, sou ons aandui dat die geld vir 7 jaar belê moet word. [
Ander Toepassings van die Formule vir Enkelvoudige RenteExercise 4: Huurkoop
Troy wil graag 'n ekstra hardeskyf vir sy skootrekenaar koop teen R2 500 soos dit op die internet adverteer word. Daar is die opsie om 'n deposito van 10% van die koopprys te betaal en dan in 'n huurkoop-ooreenkoms 24 gelyke maandelikse paaiemente te betaal waar rente bereken sal word teen 7,5% per jaar enkelvoudige rente. Bereken wat Troy se maandelikse paaiement sal wees. SolutionStap 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra : 'n Nuwe aanvangsbedrag is nodig, want die 10% deposito is kontant betaal
10% van R2 500 = R250
muwe aanvangsbalans, P=R2500-R250=R2250P=R2500-R250=R2250 rentekoers vir tyd-interval, i=7,5%i=7,5% aantal tyd-intervalle , n=2 jaar n=2 jaar Ons moet die eindbedrag (1) bepaal en dan die maandelikse paaiemente bereken.
Stap 2. Bepaal hoe om die probleem aan te pak: Ons weet vanuit vergelyking 16 dat:
Maandelikse paaiement =
Stap 4. Skryf die finale antwoord neer : Troy se maandelikse paaiement = R107,81
Baie artikels verloor waarde soos wat dit ouer word. By voorbeeld, jy betaal minder vir 'n tweedehandse motor as vir 'n nuwe motor van dieselfde model. Hoe ouer 'n motor is, hoe minder sal jy daarvoor betaal. Die vermindering in waarde oor tyd kan suiwer wees as gevolg van slytasie gedurende gebruik, maar dit kan ook wees dat, as gevolg van die ontwikkeling van nuwe tegnologie, 'n item oorbodig raak. By voorbeeld, nuwe rekenaars wat vrygestel word, dwing die waarde van die ouer rekenaars af. Die term wat ons gebruik om die afname in waarde van artikels te beskryf, is waardevermindering.Waardevermindering kan soos rente op 'n jaarlikse basis bereken word en dit word dikwels gedoen volgens 'n koers of persentasie-verandering per jaar. Dit is soos "negatiewe"rente. Die eenvoudigste manier om waardevermindering te bepaal, is om 'n konstante koers per jaar te aanvaar. Ons noem dit reglynige waardevermindering. Daar is meer ingewikkelde metodes om waardevermindering te bereken, maar ons sal nie nou daaraan aandag skenk nie.
Exercise 5: Waardevermindering
Sewe jaar gelede het Tjad se tromstel R12 500 gekos. Dit is nou R2 300 werd. Teen watter koers het reglynige waardevermindering plaasgevind? SolutionStap 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra : aanvangsbedrag, P=R12500P=R12500 aantal tyd-intervalle, n=7 jaar n=7 jaar eindbedrag, A=R2300A=R2300
Ons moet die koers bepaal waarteen waardevermindering plaasgevind het ii).
Dus, vir waardevermindering sal die formule verander word na:
Stap 4. Skryf die finale antwoord neer : Dus die koers van waardevermindering is 11,66%11,66% per jaar
Enkelvoudige Rente 'n Bedrag van R3 500 word belê in 'n spaarrekening wat enkelvoudige rente betaal teen 'n koers van 7.5% p.a. Bereken die eindbedrag na 2 jaar.
Bereken die enkelvoudige rente in die volgende probleme:
'n Lening van R300 teen 'n koers van 8% vir 1 jaar.
'n Belegging van R225 teen 'n koers van 12,5% per jaar vir 6 jaar.
Ek het 'n deposito van R5 000 in die bank gemaak. Sestien jaar later was die eindbedrag van hierdie belegging R18 000. Teen watter koers is die geld belê indien enkelvoudige rente bereken is?
Bongani koop 'n eetkamertafel van R8 500 op huurkoop. Hy moet enkelvoudige rente van 17,5% per jaar betaal oor 3 jaar.
Hoeveel sal Bongani in totaal betaal?
Hoeveel rente betaal hy?
Wat is sy maandelikse paaiement?
Saamgestelde RenteOnm die begrip van saamgestelde rente te verduidelik, word die volgende voorbeeld bespreek:Exercise 6: Gebruik Enkelvoudige Rente om Saamgestelde Rente te verstaan
Ek deponeer R1 000 in 'n spesiale bankrekening wat enkelvoudige rente van 7% per jaar betaal. Gestel ek onttrek al die geld uit die rekening aan die einde van die eerste jaar; en dan neem ek die aanvangsbedrag sowel as die rente van die eerste jaar en deponeer dit weer in dieselfde rekening aan die begin van die tweede jaar. Dan onttrek ek alles aan die einde van die tweede jaar, en deponeer alles weer aan die begin van die volgende jaar? En dan onttrek ek al die geld aan die einde van 3 jaar? SolutionStap 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra : aanvangsbedrag, P=R1000P=R1000 rentekoers per interval, i=7%i=7% aantal tyd-intervalle , 1 jaar 1 jaar per keer, vir 3 jaar
Ons moet bepaal wat die eindbedrag aan die einde van drie jaar sal wees.
Stap 2. Bepaal hoe om die probleem aan te pak : Ons weet reeds dat:
Stap 3. Bepaal die eindbedrag aan die einde van die eerste jaar : A
Stap 4. Bepaal die eindbedrag aan die einde van die tweede jaar : Aan die einde van die eerste jaar het ons al die geld onttrek en dit weer belê aan die begin van die tweede jaar. Die aanvangsbedrag vir die tweede jaar is dus R1070R1070, want dit was die eindbedrag aan die einde van die eerste jaar.
Stap 5. Bepaal die eindbedrag aan die einde van die derde jaar : Aan die einde van die tweede jaar het ons al die geld onttrek en dit weer belê aan die begin van die derde jaar. Die aanvangsbedrag vir die derde jaar is dus R1144,90R1144,90, want dit was die eindbedrag na die tweede jaar.
Stap 6. Skryf die finale antwoord neer : Die eindbedrag op 'n belegging van R1 000 nadat al die geld aan die einde van 'n jaar onttrek is en weer belê is vir die volgende jaar vir 'n tydperk van 3 jaar teen 'n koers van 7% per jaar is R1 225,04. [
In die twee uitgewerkte voorbeelde waar enkelvoudige rente gebruik id (Exercise 2 and Exercise 6), het ons basies die selfde probleem, want PP=R1 000, ii=7% per jaar en nn= 3 jaar vir albei probleme.Die verskil is dat in die tweede voorbeeld het ons geëindig met R1 225,04 wat R1 210 meer is as in die eerste voorbeeld. Wat het verander?In die eerste voorbeeld het ek elke jaar R70 verdien - dieselfde bedrag in die eerste, tweede en derde jaar. In die tweede voorbeeld, toe ek die geld onttrek en weer belê het, het ek eintlik in die tweede jaar rente verdien op die rente (R70) van die eerste jaar. (En in die derde jaar het ek rente op rente op rente verdien!)
Hierdie voorbeeld gee 'n weergawe van wat elke dag in die wêreld gebeur en dit staan bekend as saamgestelde rente. Dit is die begrip wat onderliggend is aan omtrent alles wat ons doen - ons sal dit dus vervolgens goed bestudeer.
Definition 2: Saamgestelde rente Saamgestelde rente is die rente wat betaalbaar is op die aanvangsbedrag ("Principal amount") sowel as die opgeloopte rente. Saamgestelde rente is egter 'n swaard wat na twee kante toe sny: wonderlik as jy rente verdien op geld wat jy belê het, maar baie erger as jy rente moet betaal op geld wat jy geleen het!
Laat ons 'n formule ontwikkel vir saamgestelde rente op dieselfde manier as wat ons 'n formule ontwikkel het vir enkelvoudige rente.
Indien ons aanvangsbedrag PP is en ons het 'n rentekoers van ii per jaar, dan sal die eindbedrag aan die einde van die eerste jaar gelyk wees aan:
Eindbedrag na 1 jaar =
(30)Dit is dieselfde as enkelvoudige rente, want dit strek net oor een tyd-interval ('n jaar in hierdie geval). As ons die geld dan onttrek en weer belê vir nog 'n jaar - soos wat ons in die uitgewerkte voorbeeld hierbo gedoen het - sal die eindbedrag aan die einde van die tweede jaar as volg wees:
Eindbedrag na 2
(31)As ons hierdie geld onttrek en weer vir vir nog 'n jaar belê, sal die eindbedrag wees:
Eindbedrag na 3
(32)Ons kan sien dat die eksponent van die term (1+i)(1+i) gelyk is aan die aantal tyd-intervalle (jare in hierdie voorbeeld.) Dus, Eindbedrag na n
tyd-intervalle (bv. jare) =
Eindbedrag na n
(33)'n Periode is die samestelling van 'n aantal kortesDit is maklik om te bewys dat hierdie formule wel werk, selfs wanneer nn 'n breuk van 'n jaar is. Byvoorbeeld: Kom ons bele die geld vir 1 maand, dan vir 4 maande en dan vir 7 maande.
Eindsaldo na 1
Eindsaldo na 5
maand bele met 4
maande oor =
Eindsaldo na 12
maande bele met 7
(34)wat dieselfde is as om die geld vir 'n jaar te beleKyk nou versigtig na die lang vergelyking hierbo. Dit is nie so ingewikkeld soos wat dit lyk nie! Al wat ons doen is om die aanvanklike bedrag (PP) te neem en net 1 maand se rente by te voeg. Dan neem ons daardie nuwe saldo en voeg 'n verdere 4 maande se rente by. Dan neem ons die saldo na al 5 maande en voeg 7 maande se rente by. Kyk weer daarna en let op hoe maklik dit eintlik is!Lyk die finale formule bekend? Reg - dit is dieselfde resultaat as wanneer die geld vir een volle jaar bele word.PP . Dit is presies wat ons verwag, want:1 maand + 4 maande + 7 maande = 12 maande,wat 'n jaar is. Kan jy dit sien? Moenie aanbeweeg todat jy hierdie gedeelte verstaan nie.Die Krag van Saamgestelde RenteOm te sien hoe belangrik "rente op rente" is, sal ons kyk na die verskil in die eindbedrae van geld wat teen enkelvoudige rente belê is en geld wat teen saamgestelde rente belê is. Beskou 'n bedrag van R10 000 wat jy vir 10 jaar moet belê en aanvaar dat jy rente kan verdien teen 9% per jaar. Wat sal die waarde van die belegging wees na 10 jaar?
Die eindbedrag indien die geld enkelvoudige rente verdien het:
(35)Die eindbedrag indien die geld saamgestelde rente verdien het:
(36)Die volgende keer wanneer iemand praat oor die “magic" van saamgestelde rente gaan jy nie net verstaan wat die persoon bedoel nie - jy gaan in staat wees om dit wiskundige te bewys!
Weer eens, hou in gedagte dat dit goeie nuus en slegte nuus is. As jy rente verdien op geld wat jy belê het, sal saamgestelde rente daartoe lei dat die bedrag eksponensieel vermeerder. Maar, as jy geld geleen het, sal daardie bedrag ook eksponensieel groei.
Exercise 7: Uitneem van 'n Lening
Mnr Lowe wil 'n lening van R350 000 uitneem. Hy wil in totaal nie meer as R625 000 terugbetaal aan die lening nie. Bereken vir watter tydperk hy die lening moet uitneem indien 'n rentekoers van 13% per jaar aangebied word. SolutionStap 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra : aanvangsbedrag, P=R350000P=R350000 eindbedrag, A=R625000A=R625000 rentekoers per tyd-interval, i=13% per jaar i=13% per jaar Ons moet die tydsduur van die lening bepaal(nn).
Stap 2. Besluit hoe om die probleem aan te pak : Ons weet vanuit vergelyking 33 dat:
Ons moet vir n bepaaln bepaal.
Daarom verander ons die formule na:
en dan bepaal ons nn deur te probeer en te tref.
Stap 4. Skryf die finale antwoord neer : Mnr Lowe moet die lening vir vier jaar uitneem
Ander Toepassings van Saamgestelde GroeiExercise 8: Bevolkingsgroei
Suid-Afrika se bevolking neem toe teen 2,5% per jaar. Indien die huidige bevolking 43 miljoen mense is, hoeveel meer mense sal daar oor twee jaar in Suid-Afrika wees? SolutionStap 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra : aanvangstotaal , P=43000000P=43000000 aantal tyd-intervalle , n=2 jaar n=2 jaar groeikoers , i=2,5% per jaar i=2,5% per jaar Ons moet die eindtotaal bepaal(AA).
Stap 4. Skryf die finale antwoord neer : Daar sal oor twee jaar 45176875-43000000=217687545176875-43000000=2176875 meer mense wees in Suid-Afrika.
Exercise 9: Saamgestelde vermindering
'n Swembad word behandel vir die opbou van alge. Aanvanklik was 50m250m2 van die swembad bedek met alge. Met elke dag van behandeling, verminder die alge met 5%. Bepaal die grootte van die oppervlakte van die swembad wat met alge bedek is na 30 dae van behandeling.
SolutionStap 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra : aanvangs-oppervlakte, P=50m2P=50m2 aantal tyd-intervalle , n=30 dae n=30 dae koers van vermindering, i=5% per dag i=5% per dag Ons moet die oppervlakte bepaal wat aan die einde bedek is(AA).
Maar ons werk met saamgestelde vermindering so ons kan die volgende formule gebruik:
Stap 4. Skryf die finale antwoord neer : Die grootte van die oppervlakte wat bedek is met alge na 30 dae is 10,73m210,73m2
Saamgestelde Rente'n Bedrag van R3 500 word belê in 'n spaarrekening wat saamgestelde rente verdien teen 7,5% per jaar. Bereken die bedrag wat opgebou is in die rekening na verloop van 2 jaar.
Klik hier vir die antwoord
Die gemiddelde inflasiekoers vir die afgelope aantal jaar is 7,3% per jaar en jou water- en elektrisiteitsrekening is gemiddeld R1 425. Bereken wat jy kan verwag om te betaal oor 6 jaar.
Shrek wil geld belê teen 11% per jaar saamgestelde rente. Hoeveel geld (tot die naaste rand) moet hy belê indien hy oor vyf jaar 'n bedrag van R100 000 wil hê?
Opsomming'n Buitelandse wisselkoers is die prys van een geldeenheid in terme van 'n ander. Daar is twee soorte rente: enkelvoudige rente en saamgetelde rente. Die volgende tabel verduidelik die simbole wat in die formules vir enkelvoudige sowel as saamgestelde rente gebruik word.
Aanvangsbedrag ("Principal amount") (die bedrag geld aan die begin van die transaksie)
Eindbedrag ("Accumulated amount") die bedrag geld aan die einde van die transaksie)
rentekoers per tyd-interval n
aantal tyd-intervalle (bv. jare, maande, dae) Vir enkelvoudige rente gebruik ons:
(45) Vir saamgestelde rente gebruik ons:
(46)leidraad: Die volgende drie videos gee 'n opsomming oor hoe om rente te bereken. Let daarop dat hoewel die voorbeelde met Dollars gedoen word, ons die feit kan gebruik dat die Dollar 'n desimale geldeenheid is net soos die Rand. (Ignoreer die wisselkoers.) Dit is wat in die sub-titels gedoen is.
Figuur 1Khan akademie video oor rente - 1Figuur 2Khan akademie video oor rente - 2Let Wel: Aan die einde van hierdie video word die reël van 72 genoem. Jy sal nie hierdie reël gebruik nie, maar sal liewer die probeer en tref metode gebruik om die gevraagde probleem op te los.
Figuur 3Khan akademie video oor rente - 3
End van Hoofstuk Oefening Jy is met vakansie in Europa. Die hotel vra 200 Euro per nag. Hoeveel Rand het jy nodig om die hotelrekening te betaal as die wisselkoers 1 Euro = R9,20 is?
Bereken hoeveel rente jy sal verdien as jy R500 vir 1 jaar belê teen die volgende rentekoerse:
6,85% enkelvoudige rente.
4,00% saamgestelde rente.
Bianca het R1 450 om vir 3 jaar te belê. Bank A bied 'n spaarrekening aan wat enkelvoudige rente betaal teen 'n koers van 11% per annum. Bank B bied 'n spaarrekening aan wat saamgestelde rente betaal teen 'n koers van 10,5% per annum. Watter bank gaan vir Bianca die spaarrekening gee met die grootste opgeloopte bedrag aan die einde van die 3 jaar?
Hoeveel enkelvoudige rente is betaalbaar op 'n lening van R2 000 vir 'n jaar indien die rentekoers 10% per jaar is?
Hoeveel saamgestelde rente is betaalbaar op 'n lening van R2 000 vir 'n jaar indien die rentekoers 10% per jaar is?
Watter soort rente sal jy verkies as jy die lener is?
Watter soort rente sal jy verkies as jy die bankier is?
Bereken die saamgestelde rente vir die volgende probleme:
'n Lening van R2 000 vir 2 jaar teen 5% per jaar.
'n Belegging van R1 500 vir 3 jaar teen 6% per jaar.
'n Lening van R800 vir l jaar teen 16% per jaar.
As die wisselkoers vir 100 Jen = R6,2287 en 1 Australiese dollar (AUD) = R5,1094 , bepaal die wisselkoers tussen die Australiese dollar en die Japanese jen.
Bonnie het 'n stoof gekoop vir R3 750. Na drie jaar het sy dit klaar betaal, asook die R956,25 huurkoop koste. Bereken die koers waarteen enkelvoudige rente bereken is.
This work is licensed by Liezel du Toit and Free High School Science Texts Project under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Free High School Science Texts Project on Jun 13, 2011 2:39 pm -0500. Add to a lens