Polymorphism in C - CodeProject 11,112,793 members (70,253 online)
Alok Gupta Last Visit: 31-Dec-99 19:00 Last Update: 26-Dec-14 0:58Refresh12 Next » Faktorisering en breke
You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS] » Faktorisering en breke
Navigation Table of Contents Funksies en grafieke
Inleiding en kernbegrippe
Die reguit lyn
Inleiding en enkelvoudige rente
Benadering van Wortelgetalle
Irrasionale Getalle en Afronding
Produkte en faktore
Inleiding en herhaling
Vergelykings en ongelykhede
Strategie vir die vergelykings op te los en op los van lineêre vergelykings
Lineaire gelyktydige vergelykings
Reguit lyn en parabool
Waarskynlikheid: deel 1
Waarskynlikheid: deel 2
Basiese beginsels van meetkunde
Punte, lyne en hoeke
Vierhoeke en poligone
Bewyse en vermoedens
Die trig funksies en 2D probleme
Die trig funksies vir enige hoek en toepassings
Grafieke van die trig funksies
Cartesiese vlak en die afstand tussen twee punte
Middelpunt van 'n lyn
Opsomming en oefininge
Opsomming van data
Vooroordele, foute en misbruik
Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.This content is ...Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.FETWisk Tags10th Afrikaans Exercises Content This module and collection are included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)By: SiyavulaModule Review Status: ApprovedCollection Review Status: Approved
Inside Collection: Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS]
Faktorisering van Kwadratiese UitdrukkingsFigure 1Khan Akademie video oor die faktorisering van kwadratiese uitdrukkingsFaktorisering kan gesien word as die omgekeerde proses van die berekening van die produk van faktore. Om 'n kwadratiese uitdrukking te faktoriseer, is dit dus nodig om die faktore te vind wat, wanneer hulle met mekaar vermenigvuldig word, gelyk sal wees aan die oorspronklike kwadratiese uitdrukking.
Beskou 'n kwadratiese uitdrukking van die vorm: ax2+bxax2+bx . Ons kan sien hier is xx is 'n gemeenskaplike faktor in beide terme. Dus, ax2+bxax2+bx faktoriseer tot x(ax+b)x(ax+b). Byvoorbeeld, 8y2+4y8y2+4y faktoriseer tot 4y(2y+1)4y(2y+1).'n Ander tipe kwadratiese uitdrukking bestaan uit die verskil tussen kwadrate. Ons weet dat:
(1)Dit is waar vir enige waardes van aa en bb, en, nog belangriker, aangesien die twee uitdrukkings aan mekaar gelyk (ekwivalent) is, kan ons skryf:
(2)Dit beteken dat wanneer ons enige kwadratiese uitdrukking wat bestaan uit die verskil tussen twee kwadrate teëkom, ons onmiddellik die faktore kan neerskryf. Exercise 1: Verskil van Kwadrate Vind die faktore van 9x2-259x2-25.
SolutionStep 1. Ondersoek die kwadratiese uitdrukking : Ons sien die kwadratiese uitdrukking is die verskil tussen twee vierkante omdat:
Step 2. Skryf die uitdrukking as die verskil tussen twee kwadrate : 9
Step 3. Skryf die faktore neer : (
Step 4. Skryf die finale antwoord neer : Die faktore van 9x2-259x2-25 is (3x-5)(3x+5)(3x-5)(3x+5). [
Hierdie soort kwadratiese uitdrukking is eenvoudig om te faktoriseer. Nie baie kwadratiese uitdrukkings val egter in hierdie kategorie nie, en gevolglik het ons 'n meer algemene metode nodig vir kwadrate soos x2-x-2x2-x-2 .
Ons kan leer hoe om kwadrate te faktoriseer deur twee binomiale met mekaar te vermenigvuldig en so 'n kwadratiese uitdrukking te kry. Byvoorbeeld, (x+2)(x+3)(x+2)(x+3) vermenigvuldig uit as:
(7)Ons kan sien dat die x2x2 term in die kwadratiese uitdrukking die produk is van die xx-terme in elke hakie. Soortgelyk, die 6 in die kwadratiese uitdrukking is die produk van 2 en 3 in die hakies. Gevolglik is die middelterm die som van die twee terme.
Dus, hoe gebruik ons hierdie inligting om die kwadratiese uitdrukking te faktoriseer?Kom ons begin faktoriseer x2+5x+6x2+5x+6  en sien of ons kan besluit op sekere algemene reëls. Eerstens, skryf twee hakies neer met 'n xx in elke hakie en los spasie vir die oorblywende terme.
(8)Besluit nou op die faktore van 6. Aangesien 6 'n positiewe getal is, sal dit wees:Table 1
Faktore van 6
Vervolgens het ons nou vier moontlikhede:Table 2
Vervolgens vermenigvuldig ons elke stel hakies uit om te sien watter stel gee vir die regte middelterm.Table 3
Ons kan sien dat Opsie 3, (x+2)(x+3), die korrekte oplossing is. Die proses van faktorisering is hoofsaaklik 'n proses van opsies identifiseer en evalueer, maar daar is inligting wat die proses kan vergemaklik.
Metode: Faktorisering van Kwadratiese UitdrukkingsEerstens, haal enige gemeenskaplike faktore van die koëffisïente uit om 'n uitdrukking te kry van die vorm ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0 waar aa, bb en cc geen gemene faktore het nie en aa positief is.
Skryf twee hakies neer met 'n xx in elke hakie en plek vir die oorblywende terme.
(x)(x)(x)(x)(9) Skryf 'n stel faktore neer vir aa en cc.
Skryf 'n stel opsies neer vir die moontlike faktore is van die kwadratiese term deur die faktore van aa en cc te gebruik.
Brei al die opsies uit om te sien watter stel vir jou die korrekte antwoord gee. Daar is sekere wenke wat jy in gedagte kan hou:
As cc positief is, moet albei die faktore van cc positief of albei negatief wees. Die faktore is beide negatief indien bb negatief is, en beide positief indien bb positief is. As cc negatief is, beteken dit slegs een van die faktore van cc is negatief, en die ander een is positief.
Wanneer jy 'n antwoord gekry het, brei weer jou hakies uit net om te toets of dit reg uitwerk.
Exercise 2: Faktorisering van 'n Kwadratiese Uitdrukking
Vind die faktore van 3x2+2x-13x2+2x-1. SolutionStep 1. Kontroleer of die kwadratiese uitdrukking in die vorm ax2+bx+cax2+bx+c is met aa positief. : Die kwadraat is in die regte vorm.
Step 2. Skryf twee hakies neer met 'n xx in elke hakie en spasie vir die oorblywende terme. : (
Skryf die stel faktore neer van aa en cc.
Die moontlike faktore van aa is: (1,3).
The moontlike faktore van cc is: (-1,1) of (1,-1).
Skryf die groep opsies neer van die moontlike faktore van die kwadratiese uitdrukking aa en cc.
Daar is twee moontlike oplossings.
Step 3. Kontroleer jou antwoord : (
Step 4. Skryf die finale antwoord neer : Die faktore van 3x2+2x-13x2+2x-1 is (x+1)(x+1) en (3x-1)(3x-1).
Faktorisering van 'n Kwadratiese DrietermFaktoriseer die volgende:
Table 5(a) x2+8x+15x2+8x+15 (b) x2+10x+24x2+10x+24 (c) x2+9x+8x2+9x+8 (d) x2+9x+14x2+9x+14 (e) x2+15x+36x2+15x+36 (f) x2+12x+36x2+12x+36 Kliek hier vir die oplossing Ontbind die volgende in faktore:
x2-2x-15x2-2x-15 x2+2x-3x2+2x-3 x2+2x-8x2+2x-8 x2+x-20x2+x-20 x2-x-20x2-x-20
Kliek hier vir die oplossing
Vind die faktore van die volgende drieterme:
2x2+11x+52x2+11x+5 3x2+19x+63x2+19x+6 6x2+7x+26x2+7x+2 12x2+8x+112x2+8x+1 8x2+6x+18x2+6x+1
Faktoriseer die volgende drieterme:
3x2+17x-63x2+17x-6 7x2-6x-17x2-6x-1 8x2-6x+18x2-6x+1 2x2-5x-32x2-5x-3
Faktorisering deur Groepering'n Verdere metode van faktorisering gebruik gemeenskaplike faktore. Ons weet dat die faktore van 3x+33x+3 , 3 en (x+1)(x+1) is. Soortelyk is die faktore van 2x2+2x2x2+2x , 2x2x en (x+1)(x+1). Gevolglik het ons 'n uitdrukking:
(12)wat ons kan faktoriseer as:
(13)Nou kan ons sien daar is 'n ander gemene faktor: x+1x+1. Gevolglik kan ons nou skryf:
(14)Ons kry dit deur die x+1x+1 'uit te haal' (uit te deel) en te sien wat oorbly. Ons het +2x+2x uit die eerste term en +3+3 uit die tweede term. Dit word genoem faktorisering deur groepering.Exercise 3: Faktorisering deur Groepering Vind die faktore van 7x+14y+bx+2by7x+14y+bx+2by deur groepering SolutionStep 1. Bepaal of daar faktore is wat gemeenskaplik is aan al die terme : Daar is geen algemene gemeenskaplike faktore nie.
Step 2. Bepaal of daar faktore is wat gemeenskaplik is in sommige van die terme : 7 is 'n gemene faktor van die eerste twee terme en bb is 'n gemene faktor van die tweede twee terme.
Step 3. Herskryf die uitdrukking met inagneming van die faktore : 7
Step 4. Bepaal of daar verdere gemeenskaplike faktore is : x+2yx+2y is 'n gemeenskaplike faktor.
Step 5. Herskryf die uitdrukking in faktorvorm : 7
Step 6. Skryf die finale antwoord neer : Die faktore van 7x+14y+bx+2by7x+14y+bx+2by is (7+b)(7+b) en (x+2y)(x+2y)
Figure 2Khan Akademie video oor faktorisering van 'n drieterm deur groeperingFaktorisering deur Groepering Faktoriseer deur groepering: 6x+a+2ax+36x+a+2ax+3
Kliek hier vir die oplossing Faktoriseer deur groepering: x2-6x+5x-30x2-6x+5x-30
Kliek hier vir die oplossing Faktoriseer deur groepering: 5x+10y-ax-2ay5x+10y-ax-2ay
Kliek hier vir die oplossing Faktoriseer deur groepering: a2-2a-ax+2xa2-2a-ax+2x
Kliek hier vir die oplossing Faktoriseer deur groepering: 5xy-3y+10x-65xy-3y+10x-6
Vereenvoudiging van BreukeIn sommige gevalle van die vereenvoudiging van 'n algebraïese uitdrukking, sal die uitdrukking 'n breuk wees. Byvoorbeeld,
(17)het 'n kwadraat in die teller en 'n binomiaal (kwadratiese tweeterm) in die noemer. Jy kan die verskillende metodes van faktorisering gebruik om die uitdrukking te vereenvoudig.
(18)As xx 3 is, sal die noemer, x-3x-3, 0 wees en die breuk ongedefinieer.Exercise 4: Vereenvoudiging van Breukuitdrukkings Vereenvoudig: 2x-b+x-abax2-abx2x-b+x-abax2-abx SolutionStep 1. Faktoriseer die teller en die noemer : Gebruik groepering vir die teller en uithaal van 'n gemene faktor vir die noemer in hierdie voorbeeld.
Step 2. Deel ('kanselleer') eenderse faktore uit : Die vereenvoudigde antwoord is:
Exercise 5: Vereenvoudiging van Breukuitdrukkings
Vereenvoudig:x2-x-2x2-4÷x2+xx2+2xx2-x-2x2-4÷x2+xx2+2x SolutionStep 1. Faktoriseer tellers en noemers : =
Step 2. Vermenigvuldig met die gefaktoriseerde resiprook : =
Step 3. Deel eenderse faktore uit : Die vereenvoudigde antwoord is
Vereenvoudiging van BreukeVereenvoudig:
Table 6(a) 3a153a15 (b) 2a+1042a+104 (c) 5a+20a+45a+20a+4 (d) a2-4aa-4a2-4aa-4 (e) 3a2-9a2a-63a2-9a2a-6 (f) 9a+279a+189a+279a+18 (g) 6ab+2a2b6ab+2a2b (h) 16x2y-8xy12x-616x2y-8xy12x-6 (i) 4xyp-8xp12xy4xyp-8xp12xy (j) 3a+914÷7a+21a+33a+914÷7a+21a+3 (k) a2-5a2a+10÷3a+154aa2-5a2a+10÷3a+154a (l) 3xp+4p8p÷12p23x+43xp+4p8p÷12p23x+4 (m) 162xp+4x÷6x2+8x12162xp+4x÷6x2+8x12 (n) 24a-812÷9a-3624a-812÷9a-36 (o) a2+2a5÷2a+420a2+2a5÷2a+420 (p) p2+pq7p÷8p+8q21qp2+pq7p÷8p+8q21q (q) 5ab-15b4a-12÷6b2a+b5ab-15b4a-12÷6b2a+b (r) f2a-fa2f-af2a-fa2f-aKliek hier vir die oplossing Vereenvoudig: x2-13×1x-1-12x2-13×1x-1-12
Optel en Aftrek van BreukeDeur gebruik te maak van die konsepte wat ons geleer het in die vereenvoudiging van breuke, kan ons nou eenvoudige breuke optel en aftrek. Om breuke op te tel of af te trek, moet ons daarop let dat ons slegs breuke kan optel of aftrek wat dieselfde noemer het. Dus moet ons eers al die noemers herlei na dieselfde noemer en dan die bewerkings van optelling of aftrekking doen. Dit word genoem die vind van die kleinste gemeenskaplike noemer of veelvoud. Byvoorbeeld, om 1212 en 3535 op te tel, let ons op dat die kleinste gemene noemer 10 is. Dus moet ons die eerste breuk se noemer vermenigvuldig met 5 en die tweede breuk met 2 om beide se noemers te herlei na breuke met dieselfde noemer. Dit gee: 510510 en 610610. Nou kan ons die breuke optel. As ons dit doen, kry ons 11101110.Exercise 6
Vereenvoudig die volgende uitdrukking: x-2x2-4+x2x-2-x3+x-4x2-4x-2x2-4+x2x-2-x3+x-4x2-4 SolutionStep 1. Faktoriseer al die tellers en al die noemers : x-2
Step 2. Maak die noemers dieselfde : Ons maak al die noemers dieselfde sodat ons die breuke kan optel of aftrek. Die kleinste gemeenskaplike noemer is (x-2)(x+2)(x-2)(x+2).
Step 3. Skryf al die breuke as een: Aangesien al die breuke dieselfde noemer het, kan ons hulle almal skryf as een breuk met die toepaslike bewerkingstekens. x-2
Step 4. Vereenvoudig die teller: 2x2
Step 5. Skryf die finale antwoord: 2(x2
Twee interessante Wiskundige BewyseOns kan die konsepte wat ons in hierdie hoofstuk geleer het, gebruik om twee interessante wiskundige bewyse te illustreer. Die eerste bewering is dat n2+nn2+n ewe is vir alle n∈Zn∈Z. Die tweede is 'n bewys dat n3-nn3-n deelbaar is deur 6 vir alle n∈Zn∈Z. Voor ons kan toon dat hierdie twee bewerings waar is, moet ons eers kennis neem van sekere ander wiskundige reëls.
As ons 'n ewe getal vermenigvuldig met 'n onewe getal, kry ons 'n ewe getal. Net so, as ons 'n onewe getal vermenigvuldig met 'n ewe getal, kry ons 'n ewe getal. Verder is 'n ewe getal vermenigvuldig met 'n ewe getal altyd ewe, en 'n onewe getal vermenigvuldig met 'n onewe getal, onewe. Hierdie resultaat word gewys in die volgende tabel:
As ons 3 opeenvolgende getalle met mekaar vermenigvuldig, sal die antwoord altyd deelbaar wees deur 3. Dit behoort voor die handliggend te wees want as ons enige 3 opeenvolgende getalle het, sal een van hulle altyd deelbaar wees deur 3.
Nou is ons gereed om te bewys dat n2+nn2+n ewe is vir alle n∈Zn∈Z. As ons hierdie uitdrukking faktoriseer, kry ons
n(n+1)n(n+1). As nn ewe is, dan is n+1n+1 onewe. As nn onewe is, dan is n+1n+1 ewe. Aangesien ons weet dat as ons 'n ewe getal met 'n onewe getal vermenigvuldig, of 'n onewe getal met 'n ewe getal, kry ons 'n ewe getal, het ons gedemonstreer dat n2+nn2+n altyd ewe is. Probeer dit met 'n paar waardes van nn en jy sal vind dat dit waar is.
Om te demonstreer dat n3-nn3-n deelbaar is deur 6 vir alle n∈Zn∈Z, let ons eerstens op dat die faktore van 6, 3 en 2 is. Dus, as ons wys dat n3-nn3-n deelbaar is deur beide 3 en 2, dan het ons aangetoon dat dit ook deelbaar is deur 6! As ons die uitdrukking faktoriseer, kry ons n(n+1)(n-1)n(n+1)(n-1). Nou sien ons dat as ons drie opeenvolgende getalle met mekaar vermenigvuldig, dan neem ons nn en tel dan 1 by of trek 1 af. Dit gee ons die twee getalle weerskante van nn. Byvoorbeeld, as n=4n=4, dan n+1=5n+1=5 en n-1=3n-1=3. Maar ons weet dat as ons drie opeenvolgende getalle met mekaar vermenigvuldig, is die antwoord altyd deelbaar deur 3. Dus het ons gedemonstreer dat n3-nn3-n altyd deelbaar is deur 3. Deur aan te toon dat dit deelbaar is deur 2, kan ons ook bewys dat dit ewe is. Ons het gewys dat n2+nn2+n altyd ewe is. Nou moet ons herroep wat ons gesê het oor die vermenigvuldiging van ewe en onewe getalle. Aangesien die een getal altyd ewe is en die ander een ewe of onewe kan wees, sal die resultaat van die vermenigvuldiging van hierdie getalle, altyd ewe wees. Dus het ons gedemonstreer dat n3-nn3-n deelbaar is deur 6 vir alle n∈Zn∈Z.
Opsomming'n Binomiaal is 'n wiskundige uitdrukking met twee terme. Die produk van twee identiese binomiale staan bekend as die vierkant of kwadraat van die binomiaal. Die verskil tussen twee kwadrate kry ons wanneer ons vermenigvuldig
Faktorisering is die teenoorgestelde van die uitbreiding van hakies. Ons kan gemeenskaplike faktore of die verskil tussen twee kwadrate gebruik om ons te help om uitdrukkings te faktoriseer. Die distributiewe wet (
) help ons om 'n binomiaal en 'n trinomiaal te vermenigvuldig. Die som van derdemagte is: (
en die verskil van derdemagte is: x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2) Om 'n kwadratiese drieterm te faktoriseer, moet ons die twee binomiale vind wat met mekaar vermenigvuldig is om die kwadratiese drieterm te gee. Ons kan ook 'n drieterm faktoriseer deur groepering. Dit is wanneer ons 'n gemene faktor vind in elke term van die drieterm, dit uithaal en sien wat oorbly. Ons kan breuke vereenvoudig deur gebruik te maak van die metodes wat ons gebruik het om uitdrukkings mee te faktoriseer. Breuke kan bymekaargetel of van mekaar afgetrek word. Om dit te kan doen, moet al die breuke dieselfde noemers hê.Einde van die Hoofstuk OefeningeFaktoriseer:
a2-9a2-9 m2-36m2-36 9b2-819b2-81 16b6-25a216b6-25a2 m2-(1/9)m2-(1/9) 5-5a2b65-5a2b6 16ba4-81b16ba4-81b a2-10a+25a2-10a+25 16b2+56b+4916b2+56b+49 2a2-12ab+18b22a2-12ab+18b2 -4b2-144b8+48b5-4b2-144b8+48b5Kliek hier vir die oplossing Faktoriseer volkome: (16−x4)(16−x4) 7x2−14x+7xy−14y7x2−14x+7xy−14y
−3(1−p2)+p+1−3(1−p2)+p+1Kliek hier vir die oplossing
Vereenvoudig die volgende:
(a-2)2-a(a+4)(a-2)2-a(a+4) (5a-4b)(25a2+20ab+16b2)(5a-4b)(25a2+20ab+16b2) (2m-3)(4m2+9)(2m+3)(2m-3)(4m2+9)(2m+3) (a+2b-c)(a+2b+c)(a+2b-c)(a+2b+c)Kliek hier vir die oplossing
p2-q2p÷p+qp2-pqp2-q2p÷p+qp2-pq 2x+x2-2x32x+x2-2x3Kliek hier vir die oplossing
Wys dat (2x-1)2-(x-3)2(2x-1)2-(x-3)2 vereenvoudig kan word tot (x+2)(3x-4)(x+2)(3x-4)
Bepaal wat moet by x2-x+4x2-x+4 getel word sodat dit gelyk is aan (x+2)2(x+2)2
« Previous module in collection Meer produkte
Collection home: Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS]
Next module in collection » Strategie vir die vergelykings op te los en op los van lineêre vergelykings
This work is licensed by Free High School Science Texts Project under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Free High School Science Texts Project on Aug 4, 2011 7:12 am +0000. Add to a lens