You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 11) » Reduksieformule
Based on: Trigonometry: Reduction formulae (Grade 11) by Free High School Science Texts Project Reduksie FormuleEnige trigonometriese funksie wat se argument 90∘±θ90∘±θ, 180∘±θ180∘±θ, 270∘±θ270∘±θ is en 360∘±θ360∘±θ (dus -θ-θ) kan eenvoudig geskryf word in terme van θθ. Byvoorbeeld, jy kon opgemerk het dat die cosinus-grafiek identies is aan die sinus-grafiek behalwe vir 'n fase verskuiwing van 90∘90∘. Dit kan dus afgelei word dat sin(90∘+θ)=cosθsin(90∘+θ)=cosθ.Funksie waardes van 180∘±θ180∘±θOndersoek : Reduksie Formules vir Funksie Waardes van 180∘±θ180∘±θ Funksie Waardes van (180∘-θ)(180∘-θ)
In die figuur lê P en P' op die sirkel met radius 2. OP vorm 'n hoek θ=30∘θ=30∘ met die xx-as. P het dus die koördinate (3;1)(3;1). As P' die refleksie van P om die yy-as (of die lyn x=0x=0) is, gebruik simmetrie om die koördinate van P' neer te skryf.
Gee waardes vir sinθsinθ, cosθcosθ en tanθtanθ.
Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin(180∘-θ)sin(180∘-θ), cos(180∘-θ)cos(180∘-θ) en tan(180∘-θ)tan(180∘-θ).
(d): Probeer om uit die resultate 'n verhouding tussen die funksie waardes van (180∘-θ)(180∘-θ) en θθ te bepaal.
Funksie waardes van (180∘+θ)(180∘+θ)
Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin(180∘+θ)sin(180∘+θ), cos(180∘+θ)cos(180∘+θ) en tan(180∘+θ)tan(180∘+θ).
Ondersoek: Reduksie Formules vir Funksie Waardes van 360∘±θ360∘±θ Funksie waardes van (360∘-θ)(360∘-θ)
Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin(360∘-θ)sin(360∘-θ), cos(360∘-θ)cos(360∘-θ) en tan(360∘-θ)tan(360∘-θ).
Dit is moontlik om 'n hoek groter as 360∘360∘ te hê. Die hoek voltooi een omwenteling van 360∘360∘ en dan gaan dit voort om die vereiste hoek te gee. Ons kry die volgende resultate:
(1)Neem ook kennis, dat as kk enige heelgetal is, dan is
(2)Exercise 1: Basiese gebruik van 'n reduksie formule
Skryf sin293∘sin293∘ as die funksie van 'n skerphoek.
SolutionStap 1. Ons let op dat 293∘=360∘-67∘293∘=360∘-67∘ dus : sin
waar ons die feit gebruik het dat sin(360∘-θ)=-sinθsin(360∘-θ)=-sinθ. Toets, met behulp van jou sakrekenaar, dat hierdie waardes wel reg is:
Exercise 2: Meer gevorderd...
SolutionStap 1. Herskryf elke hoek as 'n skerphoek : tan
Reduksie FormulesSkryf hierdie vergelykings as 'n funksie van slegs θθ:
sin(180∘-θ)sin(180∘-θ) cos(180∘-θ)cos(180∘-θ) cos(360∘-θ)cos(360∘-θ) cos(360∘+θ)cos(360∘+θ) tan(180∘-θ)tan(180∘-θ) cos(360∘+θ)cos(360∘+θ) Skryf die volgende trig funksies as 'n funksie van' n skerphoek:
sin163∘sin163∘ cos327∘cos327∘ tan248∘tan248∘ cos213∘cos213∘ Bepaal die volgende sonder die gebruik van 'n sakrekenaar:
tan150∘.sin30∘+cos330∘tan150∘.sin30∘+cos330∘ tan300∘.cos120∘tan300∘.cos120∘ (1-cos30∘)(1-sin210∘)(1-cos30∘)(1-sin210∘) cos780∘+sin315∘.tan420∘cos780∘+sin315∘.tan420∘ Bepaal die volgende deur dit te herlei na 'n skerphoek en met behulp van spesiale hoeke. Moenie 'n sakrekenaar gebruik nie:
cos300∘cos300∘ sin135∘sin135∘ cos150∘cos150∘ tan330∘tan330∘ sin120∘sin120∘ tan2225∘tan2225∘ cos315∘cos315∘ sin2420∘sin2420∘ tan405∘tan405∘ cos1020∘cos1020∘ tan2135∘tan2135∘ 1-sin2210∘1-sin2210∘Funksie Waardes van (-θ)(-θ)Wanneer die argument van 'n trigonometriese funksie (-θ)(-θ) is kan 360∘360∘ by voeg sonder om die resultaat te verander. So vir sinus en kosinus het ons
(8)Funksie Waardes van 90∘±θ90∘±θOndersoek: Reduksie Formules vir Funksie Waardes van 90∘±θ90∘±θ Funksie waardes van (90∘-θ)(90∘-θ)
Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin(90∘-θ)sin(90∘-θ), cos(90∘-θ)cos(90∘-θ) en tan(90∘-θ)tan(90∘-θ).
Funksie waardes van (90∘+θ)(90∘+θ)
Deur gebruik te maak van die koördinate van P' bepaal: sin(90∘+θ)sin(90∘+θ), cos(90∘+θ)cos(90∘+θ) en tan(90∘+θ)tan(90∘+θ).
Komplementêre hoeke is positiewe skerphoeke wat gelyk is aan 90∘90∘. Bv. 20∘20∘ en 70∘70∘ is komplimentere hoeke.Sinus en kosinus staan ​​bekend as ko-funksies. Twee funksies word ko-funksies genoem indien f(A)=g(B)f(A)=g(B) whenever A+B=90∘A+B=90∘ (m.a.w. AA en BB is komplimentere hoeke). Die ander trig ko-funksies is secans en cosecans, en die tangens en cotangens.Die funksie waarde van 'n hoek is gelyk aan die ko-funksie van sy komplement (die ko-ko-reël).Dus het ons vir sinus en kosinus as
(9)Exercise 3: Ko-Ko-reël Skryf elk van die volgende in terme van 40∘40∘ deur gebruik te maak van sin(90∘-θ)=cosθsin(90∘-θ)=cosθ en cos(90∘-θ)=sinθcos(90∘-θ)=sinθ.
SolutionStap 1. Ons gebruik wat ons sover geleer het: : cos
Funksie Waardes van (θ-90∘)(θ-90∘)sin(θ-90∘)=-cosθsin(θ-90∘)=-cosθ and cos(θ-90∘)=sinθcos(θ-90∘)=sinθ.Hierdie resultate kan as volg bewys word:
(10)en so ook vir cos(θ-90∘)=sinθcos(θ-90∘)=sinθOpsommingDie volgende opsomming kan gemaak wordTabel 1
tweede kwadrant (180∘-θ)(180∘-θ) or (90∘+θ)(90∘+θ)
eerste kwadrant (θ)(θ) or (90∘-θ)(90∘-θ)
alle trig funksies is positief
derde kwadrant (180∘+θ)(180∘+θ)
vierde kwadrant (360∘-θ)(360∘-θ)
leidraad: Hierdie reduksie formules geld vir enige hoek θθ. Vir gerief, werk ons gewoonlik met θθ asof dit 'n skerphoek is, m.a.w. 0∘<θ<90∘0∘<θ<90∘.
By die bepaling van die funksie waardes van 180∘±θ180∘±θ, 360∘±θ360∘±θ and -θ-θ verander die funksies nooit.
By die bepaling van die funksie waardes van 90∘±θ90∘±θ and θ-90∘θ-90∘ verander die funksies na sy ko-funksies (ko-ko-reel).
Funksie Waardes van (270∘±θ)(270∘±θ) Hoeke in die derde en vierde kwadrante kan geskryf word as 270∘±θ270∘±θ met θθ 'n skerphoek. Soortgelyke reëls as bogenoemde is van toepassing. Ons kryTabel 2
derde kwadrant (270∘-θ)(270∘-θ)
vierde kwadrant (270∘+θ)(270∘+θ)
« Previous module in collection Trig identiteite
Next module in collection » Standaardafwyking en variansie
This work is licensed by Free High School Science Texts Project under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Free High School Science Texts Project on Jul 30, 2011 8:12 am +0000. Add to a lens