Gradiënt by 'n punt
You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 11) » Gradiënt by 'n punt
Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)
Navigation Table of Contents Exponente
Huidige en toekomstige waardes
Vind i en n
Nominale en effektiewe rentekoerse
Oplos van kwadratiese vergelykings
Die kwadratiese formule
Die vind van die vergelyking
Oplossing van Kwadratiese Ongelykhede
Hiperboliese funksies en grafieke
Eksponensiële funksies en grafieke
Grafieke van trigonometriese funksies
Standaardafwyking en variansie
Grafiese voorstelling van data
Die verspreiding van die data
Misbruik van statistieke
Tags are descriptors added by lens makers to help label content, attaching a vocabulary that is meaningful in the context of the lens.This content is ...Affiliated with (What does "Affiliated with" mean?)This content is either by members of the organizations listed or about topics related to the organizations listed. Click each link to see a list of all content affiliated with the organization.FETWisk Tags11th Afrikaans Exercises Content This module and collection are included inLens: Siyavula: Wiskunde (Gr 10 - 12)By: SiyavulaModule Review Status: ApprovedCollection Review Status: Approved
Inside Collection: Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 11)
Based on: Gradient at a Point by Rory Adams, Free High School Science Texts Project, Sarah Blyth, Heather Williams InleidingIn Graad 10 het ons die idee van gemiddelde gradiënt ondersoek and gesien dat die gradiënt van sommige funksies verskillend is by verskillende intervalle. In Graad 11 kyk ons verder na die idee van gemiddelde gradiënt, en stel die idee van 'n gradiënt van 'n kurwe by 'n punt bekend. Gemiddelde GradiëntOns het gesien dat die gemiddelde gradiënt tussen twee punte op 'n kurwe die gradiënt is van die reguitlyn wat deur twee punte gaan.
Figuur 1: The gemiddelde gradiënt tussen twee punte op 'n kurwe is die gradiënt van die reguitlyn wat deur die twee punte gaan. Wat gebeur met die gradiënt as ons die posisie van een punt vasstel en die tweede punt nader aan die vaste punt beweeg?
Ondersoek: Gradiënt by 'n Enkele Punt op 'n Kurwe Die kurwe gewys is gedefineër deur y=-2x2-5y=-2x2-5. Punt B is vasgestel by koördinate (0, -5). Die posisie van punt A wissel. Voltooi die tabel hieronder deur die yy-koördinate van punt A te bereken vir die gegewe xx-koördinate. Bereken dan die gemiddelde gradiënt tussen punte A en B.
Wat gebeur met die gemiddelde gradiënt soos A in die rigting van B beweeg?
Wat gebreur met die gemiddelde gradieënt soos A wegbeweeg van B?
Wat is die gemiddelde gradiënt wanneer A oorvleuel met B?
In figuur 3 verander die gradiënt van die reguitlyn wat deur punte A en C gaan soos A nader beweeg aan C. By die punt wat A en C oorvleuel gaan die reguitlyn slegs deur een punt op die kurwe. So 'n lyn is bekend as 'n raaklyn aan die kurwe. Figuur 3: Die gradiënt van die reguitlyn tussen A en C verander soos die punt A between langs die kurwe na C toe. Daar
kom 'n punt wat A en C oorvleuel (soos gewys in (c)). By daardie punt is die lyn 'n raaklyn aan die kurwe.(a) (b) (c) (d) Ons stel dan die idee bekend van 'n gradiënt by 'n enkele punt op 'n kurwe. Die gradiënt by 'n punt op 'n kurwe is eenvoudig die gradiënt van die raaklyn aan die kurwe by die gegewe punt. Exercise 1: Gemiddelde Gradiënt
Kry die gemiddelde gradiënt tussen twee punte P(a;g(a))(a;g(a)) en Q(a+h;g(a+h))(a+h;g(a+h)) op die kurwe g(x)=x2g(x)=x2. Kry dan die gemiddelde gradiënt tussen P(2;g(2))(2;g(2)) en Q(4;g(4))(4;g(4)). Laastens, verduidelik wat gebeur met die gemiddelde gradiënt soos P nader beweeg aan Q. SolutionStap 1. Benoem die xx-koördinate: x
Stap 2. Bepaal die yy -koördinate: Deur die funksie g(x)=x2g(x)=x2 te gebruik, kry ons:
Stap 3. Bereken die gemiddelde gradiënt: y
Die gemiddelde gradiënt tussen P(a;g(a))(a;g(a)) en Q(a+h;g(a+h))(a+h;g(a+h)) op die kurwe g(x)=x2g(x)=x2 is 2a+h2a+h.
Stap 4. Bereken die gemiddelde gradiënt tussen P(2;g(2))(2;g(2)) en Q(4;g(4))(4;g(4)) : Ons kan die resultaat in vergelyking 5 gebruik, maar ons sal moet bepaal wat aa en hh is. Ons doen dit deur te kyk na die definisies van P en Q. Die xx-koërdinaat van P is aa en die xx-koördinaat van Q is a+ha+h. Daarom as ons aanneem dat a=2a=2 en a+h=4a+h=4, dan is h=2h=2.
Dan is die gemiddelde gradiënt
Stap 5. Soos P nader beweeg aan Q... : soos punt P nader beweeg aan punt Q, word hh kleiner. Dit beteken dat die gemiddelde gradiënt ook kleiner word. As die punt Q oorvleuel met die punt P, is h=0h=0 en die gemiddelde gradiënt word gegee deur 2a2a.
Ons sien nou dat ons die vergelyking kan skryf om die gemiddelde gradiënt op 'n effens anderse manier
te bereken. As ons 'n kurwe het gedefineer deur f(x)f(x), dan vir twee punte P en Q met P(a;f(a))(a;f(a)) en Q(a+h;f(a+h))(a+h;f(a+h)), word die gemiddelde gradiënt tussen P en Q gegee deur f(x)f(x):
(7)Hierdie resultaat is belangrik om die gradiënt te bereken by 'n punt op 'n kurwe en dit sal in groter detail ondersoek word in Graad 12. Hoofstukoefeninge
Bepaal die gemiddelde gradiënt van die kurwe f(x)=x(x+3)f(x)=x(x+3) tussen x=Â5x=Â5 en x=Â3x=Â3.
Sê nou wat jy kan aflei oor die funksie ff tussen x=Â5x=Â5 en x=Â3x=Â3.
A(1;3) is 'n punt op f(x)=3x2f(x)=3x2.
Bepaal die gradiënt van die kurwe by punt A.
Bepaal nou die vergelyking van die raaklyn by A.
Bepaal die gemiddelde gradiënt tussen x=-2x=-2 en x=1x=1.
Bepaal die gradiënt van die kurwe van ff waar x=2x=2.
« Previous module in collection Eksponensiële funksies en grafieke
Collection home: Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 11)
Next module in collection » Veelhoeke
This work is licensed by Free High School Science Texts Project under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Free High School Science Texts Project on Jul 30, 2011 8:47 am -0500. Add to a lens