Perspektiewe vanaf die B-latfunksies op die normaalverdeling, toegepas op die Diskrete Pulstransform | LitNet
C.H. Rohwer, Universiteit Stellenbosch
Laai die artikel in PDF-formaat af.
Die einddoel van oudio- en videokommunikasie is om deur mense gehoor en gesien te word. Die metings wat ontvang word, is om verskillende redes nie presies wat uitgestuur is nie, en die algemene gebruik is om daaraan te dink as sein plus ruis (die nimlike woord is ontleen aan hoe kortgolfradio gewoonlik klink). Tegnieke om die sein en ruis van mekaar te skei – bekend as gladstrykers wanneer ons uit die oogpunt van die sein dink, of ﬁlters wanneer ons uit die oogpunt van die ruis dink – is oor baie jare ontwikkel, in die eerste plek natuurlik vir oudiokommunikasie, wat al baie langer met ons is.
Ons ore en oë is egter fundamenteel verskillend uit ’n wiskundige oogpunt, omdat die oor lineêre prosesse gebruik (soos om toonhoogtes te onderskei) terwyl die oog nielineêre prosesse gebruik (soos om skerp rande en skielike bewegings te onderskei). Die tegnieke wat tradisioneel vir oudioﬁlters gebruik word, werk nie so goed wanneer dit sonder meer ingespan word om videosein van videoruis te onderskei nie.
Die probleem word nog erger wanneer die sein afkomstig is van meetprosesse in die ﬁsika wat tot op die randjie van die meetbare strek, daar waar kwantummeganiese effekte ’n rol speel en Heisenberg se onsekerheidsbeginsel nie verwaarloos kan word nie, soos byvoorbeeld by Raman-spektroskopie, waar lasers gebruik word om individuele molekules waar te neem.
Vir die ontwerp van ﬁlters is dit nodig om wiskundige modelle vir sein sowel as ruis te bou. Die model vir die sein het gewoonlik ’n interpretasie binne die spesiﬁeke toepassing (soms eers nadat die metings getransformeer is). Die model vir die ruis is eenvoudiger: blote lukrake kontaminasie. Die geskatte ruis word verkry deur die geskatte sein van die metings af te trek, waarna die ruis se onderliggende verdeling benader kan word.
Die belangrikste teoretiese hulpmiddel, naamlik die Fouriertransform, is reeds ongeveer 200 jaar lank bekend. In die geval van oudiotransmissie bestaan hierdie transform daaruit om klanke as ’n samestelling van suiwer tone van verskillende frekwensies te beskou. Dit is ’n lineêre transform – jy kan twee stelle metings apart transformeer en dan bymekaartel, of jy kan hulle eers bymekaartel en daarna transformeer, en die antwoord bly dieselfde – en dus nie so toepaslik vir ander seine as oudioseine nie. ’n Baie kort puls gee byvoorbeeld ’n baie breë band van frekwensies, terwyl ’n baie kort band van frekwensies net verkry kan word deur tone wat lank aanhou.
’n Mens kan jou afvra hoe die data dan moet lyk as jy wil hê dit moet ’n sogenaamde eiefunksie wees, d.w.s. dat die Fouriertransform dit moet transformeer na ’n replika van sigself. Die pragtige antwoord daarop is: die normaalverdeling. Dieselfde klokvormige kromme waarvolgens eksaminatore vir die matriekeksamen jaarliks besluit of die vraestel daardie jaar op standaard was, is ook die kenmerkende vorm van ’n sein wat onveranderd deur die Fouriertransform gaan.
Die gebruiklike model vir ruis is, om onder meer hierdie rede, dat dit uit onafhanklike, identies verdeelde waarnemings uit ’n normaalverdeling bestaan.
Die normaalverdeling het twee kenmerkende parameters: gemiddeld en standaardafwyking. Die gemiddeld van ruis is per deﬁnisie nul, en dus bly standaardafwyking alleen oor as die parameter wat bepaal moet word.
Met dié dat moderne metings tot by die rand van die meetbare strek, ontstaan verskeie probleme wat dikwels ’n strategieverandering vereis. Die aanname van ruis uit ’n normaalverdeling is dikwels duidelik nietoepaslik (Raman-spektroskopie lewer byvoorbeeld dikwels reusagtige opwaartse impulse in pare en redelik gereelde groot vlakveranderings), maar daarsonder het additiewe lineêre modelle nie ’n steunbasis nie. Meer plooibaarheid word vereis as ons ’n eenvoudige gladstryker wil ontwerp om ’n beduidende sein van die verswelgende ruis te skei.
Ons kyk dus verby die Fouriertransform na transforms wat nie op kontinuïteit staatmaak nie, en na funksies met ook ’n klokvorm soos die normaalverdeling, maar nie so glad nie.
Hierdie funksies staan bekend as B-latfunksies, en is ongeveer 50 jaar gelede deur die Amerikaanse wiskundige I.J. Schoenberg gedeﬁnieer. Hulle begin by ’n vierkantpuls (oral 0 behalwe net een interval van lengte 1 waarop die funksiewaarde 1 is), daarna ’n tentfunksie (oral 0 be­halwe op twee aanliggende intervalle van lengte 1 waarop die funksie teen 45◦ van 0 na 1 en weer terug gaan), ens., totdat dit nie meer met die oog van ’n normaalverdeling onderskei kan word nie.
Die Diskrete Pulstransform (DPT) is in 2004 bekendgestel. Dit is ’n tegniek om ’n string waarnemings as ’n som van kort en lang vierkantpulse te skryf, en kan bereken word met ’n aantal berekeninge per waarneming wat nie meer word saam met die aantal waarnemings nie. (Selfs die vinnige Fouriertransform het nie daardie eienskap nie.) Ek het egter eers ’n paar jaar daarna tot die insig gekom dat die DPT as ’n diskrete Fouriertransform gesien kan word – en die skakel tussen die DPT en die normaalverdeling is die B-latfunksies.
In die aanvanklike aﬂeiding van die gebruik van die DPT om die standaardafwyking van data te skat, was daar ’n gaping. ’n Sekere stelling kon nie bewys word nie. Talle spesiale gevalle is bevestig, maar dit beteken nie dat dit altyd so moet wees nie.
Daardie gaping word in hierdie artikel toegestop.
Trefwoorde: latfunksies; normaalverdeling; standaard-afwyking; diskrete pulstransform
Klik hier om die volledige artikel in PDF af te laai.