In die wiskunde is die afgeleide van 'n funksie by 'n punt die helling van die raaklyn aan die grafiek van die funksie op die punt. Die woord 'afgeleide' is hier om die waarheid te sê 'n afgekorte term vir die begrip 'afgeleide waarde'. Dit is 'n waarde wat afgelei is uit die oorspronklike funksie. Bepaling van die afgeleide van 'n funksie word differensieer genoem.
As die afgeleide van 'n funksie f vir alle punte in die domein van f gedefinieer is, word die daardeur bepaalde funksie die afgeleide funksie of kortweg die afgeleide genoem. Die afgeleide van 'n funksie f word dikwels genoteer as f' ("f-aksent") of as . Die konsep van 'n afgeleide is in die 17de eeu byna tegelykertyd deur Isaac Newton en Gottfried Leibniz uitgevind.
3 Afgeleide van funksie
3.1 Teoretiese afleiding
3.2 Verwante afgeleides
4 Hoërorde afgeleides
'n Fietsryer ry langs 'n reguit pad. Die afstand wat hy afgelê het in die tyd t sedert hy begin ry het, noem ons s(t). Hoe vinnig het hy op die tydstip t0 gery? Sy snelheid kan bepaal word deur te kyk watter afstand hy afgelê het in die tyd Δt ná die tydstip t0. Hierdie afstand is:
Sy gemiddelde snelheid in hierdie periode was dus:
Hoe kleiner ons die periode Δt neem, hoe meer benader die gemiddelde snelheid die snelheid v(t0) op die tydstip t0. Die snelheid is die limiet vir Δt na 0 en word die afgeleide van s(t) na t genoem:
Laat f: R→R 'n kontinue funksie wees. Ons beskou 'n lyn deur twee naby mekaar liggende punte op die Grafiek van f: die punt (x, f(x)) en die punt (x + Δx, f(x + Δx)). Die verskil tussen die x-koördinate van hierdie punte is Δx en die verskil tussen hun y-koördinate is Δf = Δy = f(x + Δx) - f(x). Die helling van die lyn deur hierdie twee punte is
As die limiet van hierdie uitdrukking vir Δx→0 bestaan, is die afgeleide van f in x gedefinieer as hierdie limiet:
As hierdie limiet bestaan, noem ons f differensieerbaar in x.
'n gelykwaardige definisie, wat eenvoudiger veralgemeen kan word na funksies van meer veraderlikes, is die volgende: Laat x0 'n reëele getal wees. As daar 'n reëele getal a en 'n funksie h bestaan sodat vir alle x geld
en bowendien h(x) / x naar 0 gaan as x→0, dan is a die afgeleide van f in x0.
Afgeleide van funksie[wysig]
afgeleide van afgeleide van Ons kan skryf as , en daar die produkreël toepas: . Verder weet ons dat