Kwadraatsvoltooiing By OpenStax | Jobilize.com
Ons het gesien dat die vergelyking in die vorm:
bekend is as die verskil in vierkante en kan as volg gefaktoriseer word:
( a x - b ) ( a x + b ) .
Hierdie eenvoudige faktorisering lei na 'n ander tegniek om kwadratiese vergelykings op te los wat bekend staan ​​as kwadraatsvoltooiing .
Ons wys met 'n eenvoudige voorbeeld, deur te probeer om vir x op te los in:
x 2 - 2 x - 1 = 0 .
Ons kan nie maklik faktore van hierdie term vind nie, maar die eerste twee terme lyk soortgelyk aan die eerste twee terme van die volmaakte vierkant:
( x - 1 ) 2 = x 2 - 2 x + 1 .
Ons kan egter kul en 'n volmaakte vierkant skep deur 2 aan beide kante van die vergelyking te voeg.
x 2 - 2 x - 1 = 0 x 2 - 2 x - 1 + 2 = 0 + 2 x 2 - 2 x + 1 = 2 ( x - 1 ) 2 = 2 ( x - 1 ) 2 - 2 = 0
Ons weet dat:
2 = ( 2 ) 2
wat beteken dat:
( x - 1 ) 2 - 2
is 'n verskil van vierkante. Ons kan dus skryf:
( x - 1 ) 2 - 2 = [ ( x - 1 ) - 2 ] [ ( x - 1 ) + 2 ] = 0 .
Die oplossing vir x 2 - 2 x - 1 = 0 is dus:
( x - 1 ) - 2 = 0
( x - 1 ) + 2 = 0 .
Dit beteken x = 1 + 2 of x = 1 - 2 . Hierdie voorbeeld toon die gebruik van kwadraatsvoltooiing om 'n kwadratiese vergelyking op te los.
Metode: los kwadratiese vergelykings op deur kwadraatsvoltooing
Skryf die vergelyking in die vorm a x 2 + b x + c = 0 . bv. x 2 + 2 x - 3 = 0
Neem die konstante oor na die regterkant van die vergelyking. Bv. x 2 + 2 x = 3
Indien nodig stel die koëffisiënt van x 2 = 1, deur te deel deur die bestaande koëffisiënt.
Neem die helfte van die koëffisiënt van die x -term, kwadreer dit en voeg dit aan beide kante van die vergelyking. Bv. in x 2 + 2 x = 3 , die helfte van die koëffisiënt van die x -term is 1 en 1 2 = 1 . Daarom voeg ons 1 aan albei kante by om x 2 + 2 x + 1 = 3 + 1 te kry.
Skryf die linkerkant as 'n volkome vierkant: ( x + 1 ) 2 - 4 = 0
Jy moet dan in staat wees om die vergelyking in terme van die verskil in vierkante te faktoriseer en dan vir x op te los: ( x + 1 - 2 ) ( x + 1 + 2 ) = 0
x 2 - 10 x - 11 = 0
Skryf die vergelyking in die vorm a x 2 + b x + c = 0
Neem die konstante oor na die regterkant van die vergelyking
x 2 - 10 x = 11
Kyk dat die koëffisiënt van die term x 2 1 is
Die koëffisiënt van die term x 2 is 1.
Neem die helfte van die koëffisiënt van die x -term, kwadreer dit en voeg dit aan beide kante van die vergelyking
Die koëffisiënt van die term x is -10. Helfte van die koëffisiënt van die term x sal wees ( - 10 ) 2 = - 5 en die kwadraat sal wees ( - 5 ) 2 = 25 . Dus:
x 2 - 10 x + 25 = 11 + 25
Skryf die linkerkant as 'n volkome vierkant
( x - 5 ) 2 - 36 = 0
Faktoriseer die vergelyking as die verskil in vierkante
[ ( x - 5 ) + 6 ] [ ( x - 5 ) - 6 ] = 0
Los die onbekende waarde op
[ x + 1 ] [ x - 11 ] = 0 ∴ x = - 1 of x = 11
2 x 2 - 8 x - 16 = 0
2 x 2 - 8 x = 16
Kyk dat die koëffisiënt van die term x 2 1 is.
Die koëffisiënt van die term x 2 is 2. Deel dus beide kante deur 2:
x 2 - 4 x = 8
Die koëffisiënt van die term x is -4; ( - 4 ) 2 = - 2 en ( - 2 ) 2 = 4 . Dus:
x 2 - 4 x + 4 = 8 + 4
( x - 2 ) 2 - 12 = 0
[ ( x - 2 ) + 12 ] [ ( x - 2 ) - 12 ] = 0
[ x - 2 + 12 ] [ x - 2 - 12 ] = 0 ∴ x = 2 - 12 or x = 2 + 12
Die laaste drie stappe kan ook op 'n ander manier gedoen word
Laat die linkerkant as 'n volkome vierkant geskryf
( x - 2 ) 2 = 12
Kry die vierkantswortel aan beide kante van die vergelyking
x - 2 = ± 12
Los op vir x
Dus x = 2 - 12 of x = 2 + 12
Khan academy video on solving quadratics - 1
Los die volgende vergelykings op deur kwadraatsvoltooiing:
x 2 + 10 x - 2 = 0
x 2 + 4 x + 3 = 0
x 2 + 8 x - 5 = 0
2 x 2 + 12 x + 4 = 0
x 2 + 5 x + 9 = 0
x 2 + 16 x + 10 = 0
3 x 2 + 6 x - 2 = 0
z 2 + 8 z - 6 = 0
2 z 2 - 11 z = 0
5 + 4 z - z 2 = 0
Faktorisering Online Chapter