In algebra , wat 'n wye afdeling van wiskunde is , is abstrakte algebra (soms moderne algebra genoem ) die bestudering van algebraïese strukture . Algebraïese strukture sluit groepe , ringe , velde , modules , vektorruimtes , tralies en algebras in . Die term abstrakte algebra is in die vroeë 20ste eeu geskep om hierdie studiegebied van die ander dele van algebra te onderskei.
Die permutasies van Rubik's Cube vorm 'n groep , 'n fundamentele konsep binne abstrakte algebra.
Algebraïese strukture, met die gepaardgaande homomorfismes , vorm wiskundige kategorieë . Kategorieteorie is 'n formalisme wat 'n eenvormige manier toelaat om eienskappe en konstruksies wat soortgelyk is vir verskillende strukture uit te druk.
Universele algebra is 'n verwante onderwerp wat soorte algebraïese strukture as enkele voorwerpe bestudeer. Die struktuur van groepe is byvoorbeeld 'n enkele voorwerp in universele algebra, wat verskillende groepe genoem word .
Soos in ander dele van die wiskunde het konkrete probleme en voorbeelde belangrike rolle gespeel in die ontwikkeling van abstrakte algebra. Teen die einde van die negentiende eeu het baie - miskien die meeste - van hierdie probleme op een of ander manier verband gehou met die teorie van algebraïese vergelykings. Belangrikste temas sluit in:
Oplossing van stelsels lineêre vergelykings , wat gelei het tot lineêre algebra
Pogings om formules te vind vir oplossings van algemene polinoomvergelykings van hoër graad wat gelei het tot die ontdekking van groepe as abstrakte manifestasies van simmetrie
Rekenkundige ondersoeke van kwadratiese en hoër graadvorms en diofantiese vergelykings , wat direk die opvattings van 'n ring en ideaal voortbring .
Verskeie handboeke in abstrakte algebra begin met aksiomatiese definisies van verskillende algebraïese strukture en bepaal die eienskappe daarvan. Dit skep 'n wanindruk dat in algebra-aksiomas eerste gekom het en daarna as motivering en as basis vir verdere studie gedien het. Die ware volgorde van historiese ontwikkeling was byna presies die teenoorgestelde. Die hiperkomplekse getalle van die negentiende eeu het byvoorbeeld kinematiese en fisiese motiverings gehad, maar dit het begrip uitgedaag. Die meeste teorieë wat nou as dele van algebra erken word, het begin as versamelings van uiteenlopende feite uit verskillende vertakkings van die wiskunde, 'n gemeenskaplike tema gekry wat gedien het as 'n kern waaromheen verskillende resultate gegroepeer is en uiteindelik verenig is op grond van 'n gemeenskaplike stel konsepte. 'N Argetipiese voorbeeld van hierdie progressiewe sintese kan gesien word in die geskiedenis van die groepteorie . [ aanhaling nodig ]
Daar was verskeie drade in die vroeë ontwikkeling van groepteorie, in moderne taal wat losweg ooreenstem met getalleteorie , vergelykingsteorie en meetkunde .
Leonhard Euler beskou algebraïese bewerkings op getalle modulo as 'n heelgetal - rekenkundige rekenkundige - in sy veralgemening van die klein stelling van Fermat . Hierdie ondersoeke is baie verder gevoer deur Carl Friedrich Gauss , wat die struktuur van vermenigvuldigende groepe residue oorweeg het en baie eienskappe van sikliese en meer algemene abeliese groepe wat op hierdie manier ontstaan, vasgestel het. In sy ondersoeke na die samestelling van binêre kwadratiese vorms het Gauss die assosiatiewe wet vir die samestelling van vorms eksplisiet gestel , maar hy lyk soos Euler voor hom meer geïnteresseerd in konkrete resultate as in die algemene teorie. In 1870 het Leopold Kronecker 'n definisie gegee van 'n abeliese groep in die konteks van ideale klasgroepe van 'n getalveld, wat Gauss se werk veralgemeen; maar dit blyk dat hy sy definisie nie met vorige werk oor groepe, veral permutasiegroepe, verbind het nie. In oorweging van dieselfde vraag het Heinrich M. Weber in 1882 die verband besef en 'n soortgelyke definisie gegee wat betrekking het op die kansellasie-eiendom, maar die bestaan ​​van die omgekeerde element , wat voldoende was in sy konteks (eindige groepe), weggelaat . [ aanhaling nodig ]
Permutasies is deur Joseph-Louis Lagrange bestudeer in sy 1770-referaat Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Gedagtes oor die algebraïese oplossing van vergelykings) gewy aan oplossings van algebraïese vergelykings, waarin hy Lagrange-resolusies bekendgestel het . Lagrange se doel was om te verstaan ​​waarom vergelykings van die derde en vierde graad formules vir oplossings toelaat, en hy het geïdentifiseer as sleutelvoorwerpe permutasies van die wortels. 'N Belangrike nuwe stap wat Lagrange in hierdie artikel gedoen het, was die abstrakte beskouing van die wortels, dws as simbole en nie as getalle nie. Hy het egter nie die samestelling van permutasies oorweeg nie. Die eerste uitgawe van Edward Waring se Meditationes Algebraicae ( Meditations on Algebra ) verskyn in dieselfde jaar met 'n uitgebreide weergawe wat in 1782 gepubliseer is. Waring bewys die fundamentele stelling van simmetriese polinome , en het veral die verband tussen die wortels van 'n kwartiese vergelyking en die resolvente kubieke daarvan. Mémoire sur la résolution des équations ( Memoire oor die oplossing van vergelykings ) van Alexandre Vandermonde (1771) het die teorie van simmetriese funksies vanuit 'n effens ander hoek ontwikkel, maar soos Lagrange, met die doel om die oplosbaarheid van algebraïese vergelykings te verstaan.
Kronecker beweer in 1888 dat die studie van moderne algebra begin het met hierdie eerste referaat van Vandermonde. Cauchy verklaar baie duidelik dat Vandermonde voorrang bo Lagrange gehad het vir hierdie merkwaardige idee, wat uiteindelik gelei het tot die bestudering van groepteorie. 
Paolo Ruffini was die eerste persoon wat die teorie van permutasiegroepe ontwikkel het , en soos sy voorgangers, ook in die konteks van die oplossing van algebraïese vergelykings. Sy doel was om die onmoontlikheid van 'n algebraïese oplossing vir 'n algemene algebraïese graadvergelyking van meer as vier vas te stel. Op pad na hierdie doel het hy die idee van die orde van 'n element van 'n groep, vervoeging, die kringloop van elemente van permutasiegroepe en die begrippe primitief en onprimitief bekendgestel en 'n paar belangrike stellings met betrekking tot hierdie konsepte bewys, soos
as G 'n subgroep van S 5 is waarvan die orde deur 5 deelbaar is, bevat G 'n element van orde 5.
Hy het egter klaargekom sonder om die konsep van 'n groep of selfs 'n permutasiegroep te formaliseer. Die volgende stap is geneem deur Évariste Galois in 1832, hoewel sy werk tot 1846 ongepubliseer gebly het, toe hy vir die eerste keer besin oor wat nou die sluitingseiendom van 'n groep permutasies genoem word, wat hy uitgedruk het as
as daar in so 'n groep die substitusies S en T is, dan het die substitusie ST.
Die teorie van permutasiegroepe het verder ingrypende ontwikkeling in die hande van Augustin Cauchy en Camille Jordan gekry , beide deur die bekendstelling van nuwe konsepte en hoofsaaklik 'n groot hoeveelheid resultate oor spesiale klasse permutasiegroepe en selfs enkele algemene stellings. Jordanië het onder andere 'n begrip van isomorfisme gedefinieer , steeds in die konteks van permutasiegroepe, en dit was terloops hy wat die term groep wyd gebruik het.
Die abstrakte begrip van 'n groep verskyn in 1854 vir die eerste keer in die artikels van Arthur Cayley . Cayley besef dat 'n groep nie 'n permutasiegroep (of selfs eindig ) hoef te wees nie, en eerder kan bestaan ​​uit matrikse waarvan die algebraïese eienskappe, soos vermenigvuldiging en inverses, het hy stelselmatig ondersoek in die daaropvolgende jare. Veel later sou Cayley die vraag herwin of abstrakte groepe meer algemeen was as permutasiegroepe, en vasstel dat, in werklikheid, enige groep isomorf is aan 'n groep permutasies.
Aan die einde van die 19de en die begin van die 20ste eeu het die metodologie van wiskunde verander. Abstrakte algebra het rondom die begin van die 20ste eeu ontstaan ​​onder die naam moderne algebra . Die studie daarvan was deel van die strewe na meer intellektuele noukeurigheid in wiskunde. Aanvanklik het die aannames in die klassieke algebra , waarop die hele wiskunde (en groot dele van die natuurwetenskappe ) afhang, die vorm van aksiomatiese stelsels aangeneem . Wiskundiges is nie meer tevrede met die vasstelling van eienskappe van betonvoorwerpe nie, maar begin hul aandag vestig op algemene teorie. Formele definisies van sekere algebraïese strukture het in die 19de eeu ontstaan. Resultate oor verskillende groepe permutasies word byvoorbeeld gesien as gevalle van algemene stellings wat betrekking het op 'n algemene begrip van 'n abstrakte groep . Vrae oor struktuur en klassifikasie van verskillende wiskundige voorwerpe het na vore gekom.
Hierdie prosesse het in die hele wiskunde plaasgevind, maar het veral in algebra uitgespreek. Formele definisie deur primitiewe bewerkings en aksiomas is voorgestel vir baie basiese algebraïese strukture, soos groepe , ringe en velde . Daarom het dinge soos groepteorie en ringteorie hul plek in suiwer wiskunde geneem . Die algebraïese ondersoeke van Ernst Steinitz oor algemene velde en van kommutatiewe en daarna algemene ringe deur David Hilbert , Emil Artin en Emmy Noether , wat voortbou op die werk van Ernst Kummer , Leopold Kronecker en Richard Dedekind , wat ideale in kommutatiewe ringe oorweeg het, en van Georg Frobenius en Issai Schur , met betrekking tot die voorstellingsteorie van groepe, het abstrakte algebra kom definieer. Hierdie ontwikkelinge van die laaste kwart van die 19de eeu en die eerste kwart van die 20ste eeu is stelselmatig blootgelê in Bartel van der Waerden se Moderne Algebra , die tweedelige monografie wat in 1930–31 uitgegee is, wat die betekenis van die wiskundige wêreld vir altyd verander het. die woord algebra van die vergelykingsteorie tot die teorie van algebraïese strukture .
Deur verskillende hoeveelhede detail te onttrek, het wiskundiges verskillende algebraïese strukture omskryf wat op baie gebiede van wiskunde gebruik word. Byna alle bestudeerde stelsels is byvoorbeeld versamelings waarop die stellings van versamelingsteorie van toepassing is. Die versamelings waarop 'n sekere binêre bewerking gedefinieër is, vorm magmas waarop die begrippe rakende magmas, sowel as die betreffende versamelings, van toepassing is. Ons kan addisionele beperkings op die algebraïese struktuur voeg, soos assosiatiwiteit (om semigroepe te vorm ); identiteit en omgekeerde (om groepe te vorm ); en ander meer komplekse strukture. Met addisionele struktuur kan meer stellings bewys word, maar die algemeenheid word verminder. Die "hiërargie" van algebraïese voorwerpe (in terme van algemeenheid) skep 'n hiërargie van die ooreenstemmende teorieë: byvoorbeeld, kan die stellings van die groepteorie gebruik word as 'n ring bestudeer word (algebraïese voorwerpe met twee aksies met sekere aksiomas) is 'n groep oor een van sy bedrywighede. Oor die algemeen is daar 'n balans tussen die hoeveelheid algemeenheid en die rykdom van die teorie: meer algemene strukture het gewoonlik minder nie- stellings en minder toepassings.
Voorbeelde van algebraïese strukture met 'n enkele binêre bewerking is:
Voorbeelde van verskeie operasies sluit in:
Algebra oor 'n veld
As gevolg van die algemeenheid word abstrakte algebra in baie velde van wiskunde en wetenskap gebruik. Byvoorbeeld, algebraïese topologie gebruik algebraïese voorwerpe om studie topologieë. Die vermoede van Poincaré , wat in 2003 bewys is, beweer dat die fundamentele groep van 'n spruitstuk, wat inligting oor verbondenheid codeer, gebruik kan word om te bepaal of 'n spruitstuk 'n sfeer is of nie. Algebraïese getalleteorie bestudeer verskillende getalringe wat die versameling heelgetalle veralgemeen. Andrew Wiles het die laaste stelling van Fermat met behulp van algebraïese getalleteorie bewys .
In die fisika word groepe gebruik om simmetriebewerkings voor te stel, en die gebruik van groepteorie kan differensiaalvergelykings vereenvoudig. In die meetteorie kan die vereiste van plaaslike simmetrie gebruik word om die vergelykings wat 'n stelsel beskryf, af te lei. Die groepe wat daardie simmetrieë beskryf, is leuengroepe , en die bestudering van leiegroepe en lie-algebras onthul baie oor die fisiese stelsel; byvoorbeeld, die aantal kragdraers in 'n teorie is gelyk aan die dimensie van die Lie-algebra, en hierdie bosone is in wisselwerking met die krag wat hulle bemiddel as die Lie-algebra nie-baba is. 
Lys van publikasies in abstrakte algebra
^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Alexandre-Théophile Vandermonde" , MacTutor Wiskunde-argief , Universiteit van St Andrews
Allenby, RBJT (1991), Rings, Fields and Groups , Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-340-54440-2
Burris, Stanley N .; Sankappanavar, HP (1999) , ' n kursus in universele algebra
Gilbert, Jimmie; Gilbert, Linda (2005), Elements of Modern Algebra , Thomson Brooks / Cole, ISBN 978-0-534-40264-8
Sethuraman, BA (1996), Rings, Fields, Vector Spaces, and Group Theory: An Introduction to Abstract Algebra via Geometric Constructibility , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94848-5
Whitehead, C. (2002), Gids tot abstrakte algebra (2de uitg.), Houndmills: Palgrave, ISBN 978-0-333-79447-0
W. Keith Nicholson (2012) Inleiding tot abstrakte algebra , 4de uitgawe, John Wiley & SonsISBN 978-1-118-13535-8 .
John R. Durbin (1992) Moderne algebra: 'n inleiding , John Wiley & Sons
Charles C. Pinter (1990)  ' n Boek van abstrakte algebra , tweede uitgawe, van die Universiteit van Maryland
This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Abstract_algebra" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to [email protected]