You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 10) [CAPS] » Vierhoeke en poligone
InleidingMeetkunde (Grieks: geo = aarde, metria = meet) het ontstaan as die veld van kennis wat ruimtelike verhoudings hanteer. Dit was een van die twee velde van pre-moderne wiskunde. Die ander veld was die studie van getalle. In die moderne tyd het meetkundige begrippe baie kompleks en abstrak geraak en is dit skaars herkenbaar as ŉ uitvloeisel van vroeë meetkunde. Navorsingsprojek: Die geskiedenis van MeetkundeWerk in pare of groepe en bestudeer die geskiedenis van die onstaan van meetkunde. Beskryf die verskillende stadiums van ontwikkeling en hoe meetkunde later gebruik is deur mense om hul lewens te verbeter. Die lys van stadiums moet dien as ŉ riglyn en hoef slegs die minimum vereistes te beskryf. Antieke Indiese meetkunde (ong. 3000 - 500 V.C.)
Klassieke Griekse meetkunde (ong. 600 - 300 V.C.)
Thales en Pythagoras
Hellenistiese meetkunde (ong. 300 V.C - 500 N.C )
VierhoekeIn hierdie afdeling sal ons kyk na die eienskappe van sekere spesiale vierhoeke. Ons sal dan hierdie eienskappe gebruik om meetkundige probleme op te los. Dit is belangrik om daarop te let dat alhoewel al die eienskappe van ŉ figuur gegee word, benodig ons net sekere unieke eienskappe van die vierhoek om te bewys dat dit wel daardie spesifieke vierhoek is. Byvoorbeeld, as ons ŉ vierhoek het met twee pare parallellesye, dan is daardie vierhoek ŉ parallelogram. Ons kan dan die ander eienskappe van die vierhoek aflei deur ons kennis van parallellelyne en driehoeke te gebruik.
Trapesiumŉ Trapesium is ŉ vierhoek waarvan ten minste een paar teenoorgestelde sye parallel loop. Dit word soms ook ŉ trapesoïed genoem. ŉ Spesiale tipe trapesium is die gelykbenige trapesium, waar een paar teenoorstaande sye parallel is en die ander paar ewe lank is. Die hoeke aan die eindpunte van elke parallelle sy is ewe groot. ŉ Gelykbenige trapesium het een lyn van simmetrie en sy hoeklyne is ewe lank.
Figure 1: Voorbeelde van trapesiumsParallelogramŉ Trapesium met beide pare teenoorstaande sye parallel, word ŉ parallelogram genoem. ŉ Opsomming van die eienskappe van ŉ parallelogram is:Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
Beide pare teenoorstaande sye is ewe lank.
Beide pare teenoorstaande hoeke is ewe groot.
Beide hoeklyne/diagonale halveer mekaar (d.w.s. hulle sny mekaar in die helfte)
Figure 2: ŉ Voorbeeld van ŉ parallelogramReghoekŉ Reghoek is ŉ parallelogram met al vier hoeke ewe groot en gelyk aan 90∘90∘. ŉ Opsomming van die eienskappe van ŉ reghoek is:Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
Die hoeklyne halveer mekaar.
Die hoeklyne is ewe lank.
Alle hoekpunte is regte hoeke.
Figure 3: Voorbeeld van ŉ reghoekRombus / Ruitŉ Rombus (ruit) is ŉ parallelogram waarvan al vier sye ewe lank is. ŉ Opsomming van die eienskappe van ŉ rombus is:Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
Al vier sye is ewe lank.
Die diagonale halveer mekaar met hoeke van 90∘90∘.
Diagonale halveer die teenoorstaande hoeke.
Figure 4: ŉ Voorbeeld van ŉ ruit, ŉ parallelogram met al vier sye ewe lankVierkantŉ Vierkant is ŉ rombus met al vier sye ewe lank en al vier hoeke gelyk aan 90∘∘.ŉ Opsomming van die eienskappe van ŉ vierkant:Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
Al vier die hoeke is 90∘90∘.
Die hoeklyne halveer mekaar met hoeke van 90∘90∘.
Diagonale is ewe lank.
Diagonale halveer beide pare teenoorstaande hoeke (d.w.s. hulle is almal 45∘45∘).
Figure 5: ŉ Voorbeeld van ŉ vierkant - ŉ rombus met al die hoeke gelyk aan 90∘∘Vlieërŉ Vlieër is ŉ vierhoek met twee pare aangrensende sye ewe lank.ŉ Oposmming van die eienskappe van ŉ vlieër is:Twee pare aangrensende sye is ewe lank.
Een paar teenoorstaande hoeke (die hoeke tussen die ongelyke sye) is ewe groot.
Een diagonaal halveer die ander een en hierdie diagonaal halveer ook een paar teenoorstaande hoeke. Diagonale sny mekaar reghoekig.
Figure 6: ŉ Voorbeeld van ŉ vlieërReghoeke is ŉ spesiale geval (ŉ deelversameling) van die parallelogramme. Reghoeke is parallelogramme met alle hoeke regte hoeke. Vierkante is ŉ spesiale geval (deelversameling) van die reghoeke. Vierkante is reghoeke met al vier sye ewe lank. So, alle vierkante is parallelogramme én reghoeke. As jy gevra word om te bewys dat ŉ vierhoek ŉ parallelogram is, is dit genoeg om aan te toon dat beide pare teenoorstaande sye parallel is. Maar, as jy gevra word om te bewys dat ŉ vierhoek ŉ vierkant is, dan moet jy ook wys dat al die hoeke regte hoeke is én dat al die sye ewe lank is. VeelhoekeVeelhoeke is oral rondom ons. ŉ Stopteken het die vorm van ŉ agthoek, m.a.w. ŉ agthoekige veelhoek. Die heuningkoek van ŉ bynes bestaan uit heksagonale selle. Die oppervlak van ŉ tafel is dikwels ŉ reghoek.In hierdie afdeling sal jy leer van gelykvormige veelhoeke.Gelykvormigheid tussen VeelhoekeBespreking: Gelykvormige DriehoekeGebruik die diagram om die tabel in te vul en beantwoord die vrae wat daarop volg.Table 1
Wat kan jy sê oor jou berekening van: AB DE AB DE , BC EF BC EF , AC DF AC DF ?
Wat kan jy sê oor A^A^ en D^D^?
Wat kan jy sê oor B^B^ en E^E^?
Wat kan jy sê oor C^C^ en F^F^?
As twee veelhoeke gelykvormig is, is die een ŉ vergroting van die ander. Dit beteken dat die veelhoeke dieselfde grootte hoeke sal hê en dat hulle sye in verhouding tot mekaar sal wees.Die simbool wat ons gebruik om gelykvormigheid aan te dui is ||||||.Definition 1: Gelykvormige Veelhoeke
Twee veelhoeke is gelykvormig as:
hulle ooreenstemmende hoeke ewe groot is, én hulle ooreenstemmende sye eweredig is (die verhouding van die sylengtes gelyk is.)
Exercise 1: Gelykvormigheid van Veelhoeke Bewys dat die volgende twee veelhoeke gelykvormig is.
SolutionStep 1. Bepaal wat gevra word: Daar word gevra om te bewys dat ŉ paar veelhoeke gelykvormig is. Ons kan dit doen deur te bewys dat die verhouding van ooreenstemmende sye gelyk is en dat die ooreenstemmende hoeke ewe groot is.
Step 2. Ooreenstemmende hoeke: Die hoeke en hul groottes word gegee, so ons kan bewys dat hulle ewe groot is.
Step 3. Bewys dat die ooreenstemmende hoeke ewe groot is: Al die hoeke is 90∘∘ groot en
Step 4. Bewys dat die ooreenstemmende sye in dieselfde verhouding is: Eerstens moet ons kyk watter sye ooreenstem. Die reghoeke het twee lang sye wat gelyk is en twee kort sye wat gelyk is. Ons moet die verhoudings van die lang sye van die twee reghoeke vergelyk en ons moet die verhoudings van die kort sye vergelyk.
Lang sye, groot reghoek se waardes op die klein reghoek se waardes:
Kort sye, groot reghoek se waardes op die klein reghoek se waardes:
Die verhouding van die ooreenstemmende sye is gelyk, twee in hierdie geval.
Step 5. Finale antwoord: Die ooreenstemmende hoeke is ewe groot en die
verhoudings van die ooreenstemmende sye is gelyk, dus is die
veelhoeke ABCD en EFGH gelykvormig.
Tip: Alle vierkante is gelykvormig.Exercise 2: Gelykvormigheid van Veelhoeke As twee vyfhoeke ABCDE en GHJKL gelykvormig is, bepaal die lengtes van die sye en die groottes van die hoeke wat met letters gemerk is:
SolutionStep 1. Bepaal wat is gegee: Daar word aan ons gegee dat ABCDE en GHJKL gelykvormig is. Dit beteken dat:
Step 2. Bepaal wat is gevra: Daar word gevra om te bepaal
lengtes: aa, bb, cc en dd, en
hoeke: ee, ff and gg.
Step 3. Besluit hoe om die probleem te benader: Die ooreenstemmende hoeke is ewe groot en daar is dus geen berekening nodig nie. Daar word aan ons ŉ paar sye DCDC en KJKJ gegee wat ooreenstemmend is. DCKJ=4,53=1,5DCKJ=4,53=1,5 so ons weet dat al die sye van KJHGLKJHGL 1,5 keer kleiner is as die sylengtes van ABCDEABCDE.
Step 4. Bereken lengtes: a
Step 5. Bereken hoeke: e
Step 6. Skryf die finale antwoord neer: a
Gelykvormigheid van Gelyksydige DriehoekeWerk in pare en toon dat alle gelyksydige driehoeke gelykvormig is.Veelhoeke gemengVind die onbekende waardes in elke geval. Gee redes.
Figure 10Kliek hier vir die oplossing Vind die hoeke en lengtes wat met letters gemerk is in die volgende
Figure 11Kliek hier vir die oplossing
Ondersoek: Definieer PoligoneOndersoek verskillende maniere om poligone te definieer. Jy behoort spesiale aandag te gee aan die volgende poligone:
Gelykbenige driehoeke, gelyksydige driehoeke, reghoekige driehoeke Vlieërs, parallelogramme, reghoeke, rombusse, vierkante, trapesiums
Neem in oorweging hoe die figure in hierdie boek gedefinieer is en watter alternatiewe definisies daar bestaan. Byvoorbeeld, ŉ driehoek is ŉ driesydige poligoon of ŉ driehoek is ŉ figuur met drie sye en drie hoeke. Driehoeke kan geklassifiseer word volgende hulle sye of volgens hulle hoeke. Kan mens ook vierhoeke op hierdie manier klassifiseer? Watter ander name is daar vir hierdie figure? Byvoorbeeld, vierhoeke kan ook genoem word tetragone.
« Previous module in collection Poligone
Next module in collection » Bewyse en vermoedens
This work is licensed by Free High School Science Texts Project under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Free High School Science Texts Project on Aug 4, 2011 6:50 am +0000. Add to a lens