Claudio Abbado was die seun van die violis en komponis Michelangelo Abbado, en die broer van die musikant Marcello Abbado (gebore in 1926). Sy vader, 'n professionele violis en 'n professor by die Giuseppe Verdi Konservatorium, was sy eerste klavieronderwyser. Sy moeder was ook 'n kundige pianis. Marcello Abbado het later 'n konsertpianis en onderwyser by die Rossini Konservatoria in Pesaro geword. Sy suster het ook musiektalent getoon, maar na haar huwelik besluit om nie 'n musikale loopbaan na te streef nie. Sy ander broer het later 'n suksesvolle argitek geword.
Abbado se jeug was deel van die Duitse besetting van Milaan. Gedurende dié tyd het Abbado se moeder 'n tyd lank in die tronk spandeer omdat sy huisvesting aan 'n Joodse kind voorsien het. Claudio self is bekend daarvoor dat hy 'n bekende staaltjie gehad het oor hoe hy, toe hy slegs twaalf jaar oud was, bo-op 'n plaaslike muur wat die aandag van die Gestapo getrek het, geskryf het "Viva Bartók" en hulle die boosdoener laat soek het. Sy musikale belangstellings het gedurende die tyd ook ontwikkel, met sy bywoning van uitvoerings by La Scala, sowel as orkesrepetisies in Milaan gelei deur dirigente soos Arturo Toscanini en Wilhelm Furtwängler.
In 1958 het Abbado sy dirigentbuiging in Trieste gemaak. Daardie somer het hy die Internasionale Serge Koussevitsky Kompetisie vir dirigente gewen tydens die Tanglewood Musiekfees, wat 'n aantal operaverskynings in Italië tot gevolg gehad het. In 1959 het hy sy eerste opera, The Love for Three Oranges, in Trieste gedirigeer. Hy het in 1960 sy buiging as dirigent by La Scala gemaak. In 1963 het hy die Dimitri Mitropoulos-prys vir dirigente gewen, wat hom toegelaat het om vir vyf maande saam met die New York Filharmoniese Orkes as 'n assistent-dirigent vir Bernstein te werk. Abbado het sy professionele New York Filharmoniese Orkesbuiging op 7 April 1963 gemaak. 'n 1965 verskyning by die RIAS-fees in Berlyn het gelei tot 'n uitnodiging van Herbert von Karajan na die Salzburg-fees die volgende jaar ten einde saam met die Weense Filharmoniese Orkes te werk. In 1965 het Abbado sy Britse buiging met die Hallé Orkes gemaak, gevolg in 1966 deur sy Londen Simfonieorkes (LSO) debuut.
In 1976 het hy die La Scala-geselskap na die VSA geneem vir sy Amerikaanse buiging in Washington, D.C. vir die 200-jarige vieringe van totstandkoming van die VSA. In 1982 was hy die stigter van die Filarmonica della Scala vir die uitvoering van orkestrale repertoire deur die huisorkes-in-konsert. Abbado het tot 1986 betrokke gebly by La Scala.
Op 7 Oktober 1968 het Abbado sy debuut in die Metropolitaanse Opera met Don Carlo gemaak. Hy het sedert 1971 meer uitgebreid met die Weense Filharmoniese Orkes (WFO) saamgewerk, wat twee verskynings in onderskeidelik 1988 en 1991 as dirigent van die orkes se Nuwejaarskonsert ingesluit het. Hy was 'n ontvanger van beide die Filharmoniese Ring en die Goue Nicolai-medalje van die Weense Filharmoniese orkes.
Abbado het die eerste keer in Desember 1966 die Berlynse Filharmoniese Orkes gedirigeer. In die laat-1980's is daar verwag dat hy dalk musikale direkteur van die New York Filharmoniese orkes sou word. Hy is egter, na drie-en-dertig verskynings as gasdirigent in 1989 deur die Berlynse Filharmoniese Orkes as hul hoofdirigent en musikale direkteur in opvolging van Herbert von Karajan verkies. Gedurende sy Berlynse tyd het hy toegesien dat daar meer kontemporêre musiek in die orkes se programmering ingesluit word. In 1992 was hy medestigter van 'Berlin Encounters', 'n kamermusiekfees. In 1994 het hy artistieke direkteur van die Salzburgse Paasfees geword. In 1998 het hy sy vertrek van die Berlynse Filharmoniese Orkes aangekondig na die verstryking van sy kontrak in 2002. Hy is voor sy vertrek in 2000 met maagkanker gediagnoseer, welke gelei het tot die kansellering van 'n aantal optredes met die orkes. Gevolglike mediese behandeling het tot die verwydering van 'n deel van sy spysverteringskanaal gelei, en hy het in 2001 alle dirigeeraktiwiteite vir drie maande opgeskort.
Abbado het, behalwe vir 'n wye reeks romantiese musiek wat hy opgeneem en uitgevoer het, 'n besonderse affiniteit gehad met die musiek van Mahler, wie se simfonieë hy verskeie kere opgeneem het. Ten spyte hiervan, kon hy nooit daarin slaag om 'n volledige siklus met 'n enkele orkes te voltooi nie: in 'n mengsel van ateljee- en konsertvrystellings, het hy Simfonieë 1 tot 2 en 5 tot 7 in Chicago, Simfonieë 2 tot 4, 9 en die Adagio van Simfonie No. 10 in Wene, Simfonieë 1 en 3 tot 9 in Berlyn, en Simfonieë 1 tot 7 en 9 in Lucerne, opgeneem. 'n Beplande uitvoering van Mahler se Agste Simfonie in Lucerne (die beoogde hoogtepunt van sy uitvoering van die simfonieë in Lucerne) moes as gevolg van sy swak gesondheid gekanselleer word. Die simfonie is uiteindelik in 2016 onder Riccardo Chailly uitgevoer en opgeneem as eerbewys aan Abbado.
"...dit is onontbeerlik dat 'n mens die partituur tot op die letter moet ken en dat jy bekend moet wees met die lewe, werke en die gehele era van die komponis. Ek voel meer verseker sonder 'n partituur. Kommunikasie met die orkes is makliker daarsonder."