In wiskunde gaan topologie (van die Griekse woorde τόπος , 'plek, plek' en λόγος , 'studie') oor die eienskappe van 'n geometriese voorwerp wat onder aanhoudende vervormings bewaar word , soos rek , draai , verfrommel en buig ; dit wil sê sonder om gate toe te maak, gate oop te maak, te skeur, te plak of deur homself te gaan.
Möbius-stroke , wat net een oppervlak en een rand het, is 'n soort voorwerp wat in topologie bestudeer word.
'N Topologiese ruimte is 'n stel met 'n struktuur wat 'n topologie genoem word , wat die definisie van deurlopende vervorming van subruimtes en, meer algemeen, allerhande kontinuïteit moontlik maak . Euklidiese ruimtes en, meer algemeen, metrieke ruimtes is voorbeelde van 'n topologiese ruimte, aangesien enige afstand of metriek 'n topologie definieer. Die vervormings wat in topologie beskou word, is homeomorfismes en homotopieë . 'N Eienskap wat onveranderlik is onder sulke vervormings is 'n topologiese eienskap . Basiese voorbeelde van topologiese eienskappe is: die dimensie , wat die onderskeid tussen 'n lyn en 'n oppervlak moontlik maak ; kompaktheid , wat die onderskeid tussen 'n lyn en 'n sirkel moontlik maak; verbondenheid , wat dit moontlik maak om 'n sirkel te onderskei van twee nie-kruisende sirkels.
Die idees onderliggend aan topologie gaan terug na Gottfried Leibniz , wat in die 17de eeu die geometria situs en analyse situs voorgestel het . Leonhard Euler se Seven Bridges of Königsberg- probleem en veelvlakformule is ongetwyfeld die eerste stellings van die veld. Die term topologie is in die 19de eeu deur Johann Benedict Listing bekendgestel , hoewel die idee van 'n topologiese ruimte eers in die eerste dekades van die 20ste eeu ontwikkel is.
'N Driedimensionele uitbeelding van 'n verdikte trefoil-knoop , die eenvoudigste nie- triviale knoop
Die motiverende insig agter topologie is dat sommige meetkundige probleme nie afhang van die presiese vorm van die betrokke voorwerpe nie, maar eerder van die manier waarop dit saamgestel is. Die vierkant en die sirkel het byvoorbeeld baie eienskappe gemeen: dit is albei eendimensionele voorwerpe (vanuit 'n topologiese oogpunt) en beide skei die vlak in twee dele, die deel binne en die deel buite.
In een van die eerste referate in topologie het Leonhard Euler getoon dat dit onmoontlik was om 'n roete deur die stad Königsberg (nou Kaliningrad ) te vind wat presies een keer oor sy sewe brûe sou gaan. Hierdie resultaat was nie afhanklik van die lengtes van die brûe of van hul afstand tot mekaar nie, maar slegs van verbindingseienskappe: watter brûe verbind met watter eilande of rivieroewers. Hierdie probleem met die sewe brûe van Königsberg het gelei tot die tak van die wiskunde wat bekend staan ​​as grafiekteorie .
'N Deurlopende vervorming ('n soort homeomorfisme) van 'n beker in 'n doughnut (torus) en 'n koei in 'n bol
Die harige balstelling van algebraïese topologie sê ook dat 'mens die hare nie plat op 'n harige bal kan kam sonder om 'n cowlick te skep nie .' Hierdie feit is vir die meeste mense onmiddellik oortuigend, alhoewel hulle miskien nie die meer formele stelling van die stelling herken nie, is daar geen onafwykende deurlopende raakvlakveld op die sfeer nie. Soos met die Bridges of Königsberg , hang die resultaat nie af van die vorm van die sfeer nie; dit is van toepassing op enige vorm van gladde vlekke, solank dit geen gate het nie.
Om te gaan met hierdie probleme wat nie staatmaak op die presiese vorm van die voorwerpe, moet 'n mens duidelik oor presies wat eiendomme hierdie probleme wees nie staatmaak op. Uit hierdie behoefte ontstaan ​​die idee van homeomorfisme. Die onmoontlikheid om elke brug net een keer oor te steek, is van toepassing op enige reëling van brûe wat homeomorf is vir diegene in Königsberg, en die harige balstelling is van toepassing op alle ruimtes wat homomorf is in 'n sfeer.
Intuïtief is twee ruimtes homeomorf as die een in die ander kan vervorm word sonder om te sny of te plak. 'N Tradisionele grap is dat 'n topoloog nie 'n koffiebeker van 'n doughnut kan onderskei nie, aangesien 'n voldoende buigbare doughnut na 'n koffiebeker kan hervorm word deur 'n kuiltjie te skep en dit geleidelik te vergroot, terwyl die gat in 'n handvatsel krimp. 
Homeomorfisme kan beskou word as die mees basiese topologiese ekwivalensie . 'N Ander is homotopie-ekwivalensie . Dit is moeiliker om te beskryf sonder om tegnies te raak, maar die wesenlike idee is dat twee voorwerpe gelykstaande is aan homotopie as hulle albei die gevolg is van die "squishing" van groter voorwerpe.
Gelykwaardigheidsklasse van die Latynse alfabet in die sans-serif-lettertipe
'N Inleidende oefening is om die hoofletters van die Engelse alfabet te klassifiseer volgens homeomorfisme en homotopie-ekwivalensie. Die resultaat hang af van die lettertipe wat gebruik word, en of die strepe waaruit die letters bestaan, 'n mate van dikte het of dat dit ideale krommes is sonder dikte. Die figure hier gebruik die sans-serif Myriad- lettertipe en word aanvaar dat dit bestaan ​​uit ideale kurwes sonder dikte. Homotopie-ekwivalensie is 'n growwer verhouding as homeomorfisme; 'n ekwivalensieklas vir homotopie kan verskillende klasse vir homeomorfisme bevat. Die eenvoudige geval van homotopie-ekwivalensie hierbo beskryf, kan hier gebruik word om aan te toon dat twee letters homotopie-ekwivalent is. O pas byvoorbeeld in P en die stert van die P kan na die 'gat'-gedeelte gepers word.
geen gate wat ooreenstem met C, G, I, J, L, M, N, S, U, V, W en Z nie;
geen gate en drie sterte wat ooreenstem met E, F, T en Y nie;
geen gate en vier sterte wat ooreenstem met X nie;
een gat en geen stert wat ooreenstem met D en O nie;
een gat en een stert wat ooreenstem met P en Q;
een gat en twee sterte wat ooreenstem met A en R;
twee gate en geen stert wat met B ooreenstem nie; en
'n staaf met vier sterte wat ooreenstem met H en K; die "balk" op die K is amper te kort om te sien.
Homotopieklasse is groter, want die sterte kan tot op 'n punt gepers word. Hulle is:
twee gate, en
geen gate nie.
Om die letters korrek te klassifiseer, moet ons aantoon dat twee letters in dieselfde klas gelykstaande is en twee letters in verskillende klasse nie gelykstaande is nie. In die geval van homeomorfisme, kan dit gedoen word deur punte te kies en aan te dui dat dit verwyder word, wat die letters anders koppel. X en Y is byvoorbeeld nie homeomorf nie, want die verwydering van die middelpunt van die X laat vier stukke agter; ongeag watter punt in Y ooreenstem met hierdie punt, die verwydering daarvan kan hoogstens drie stukke agterlaat. Die geval van homotopie-ekwivalensie is moeiliker en vereis 'n meer uitgebreide argument wat toon dat 'n algebraïese invariant, soos die fundamentele groep , verskil in die sogenaamde verskillende klasse.
Brief topologie het praktiese relevansie in stensil tipografie . Byvoorbeeld, opschepperij is font stensils gemaak van een verbind stuk materiaal.
Die Seven Bridges of Königsberg was 'n probleem wat Euler opgelos het.
Topologie, as 'n goed gedefinieerde wiskundige dissipline, het sy oorsprong in die vroeë deel van die twintigste eeu, maar enkele geïsoleerde resultate kan enkele eeue teruggevoer word.  Hieronder tel sekere vrae in die meetkunde wat deur Leonhard Euler ondersoek is . Sy 1736-artikel oor die Seven Bridges of Königsberg word beskou as een van die eerste praktiese toepassings van topologie.  Op 14 November 1750 skryf Euler aan 'n vriend dat hy die belangrikheid van die rande van 'n veelvlak besef het . Dit het gelei tot sy veelvlakformule , V - E + F = 2 (waar V , E en F onderskeidelik die aantal hoekpunte, rande en vlakke van die veelvlak aandui). Sommige owerhede beskou hierdie analise as die eerste stelling wat die geboorte van topologie aandui. 
Verdere bydraes is gelewer deur Augustin-Louis Cauchy , Ludwig Schläfli , Johann Benedict Listing , Bernhard Riemann en Enrico Betti .  Listing het die term "Topologie" in Vorstudien zur Topologie , wat in sy moedertaal Duits geskryf is, in 1847 bekendgestel , nadat hy die woord tien jaar lank in korrespondensie gebruik het voordat dit die eerste keer in druk verskyn.  Die Engelse vorm "topologie" is in 1883 in Listing se doodsberig in die tydskrif Nature gebruik om 'kwalitatiewe meetkunde te onderskei van die gewone meetkunde waarin kwantitatiewe verhoudings hoofsaaklik behandel word'. 
Hul werk is reggestel, gekonsolideer en grootliks uitgebrei deur Henri Poincaré . In 1895 publiseer hy sy baanbrekende artikel oor Analyse Situs , waarin die konsepte bekendgestel word wat nou bekend staan ​​as homotopie en homologie , wat nou as deel van algebraïese topologie beskou word . 
Topologiese kenmerke van geslote tweespruitjies 
Bol 2 Orienteerbaar 1 0 1 geen
Torus 0 Orienteerbaar 1 2 1 geen
2-gat torus −2 Orienteerbaar 1 4 1 geen
g- gat torus ( genus g ) 2 - 2 g Orienteerbaar 1 2 g 1 geen
Projektiewe vlak 1 Nie-oriënteerbaar 1 0 0 2
Klein bottel 0 Nie-oriënteerbaar 1 1 0 2
Sfeer met c dwarsdoppies ( c > 0 ) 2 - c Nie-oriënteerbaar 1 c - 1 0 2
2-spruitstuk met g gate
en c dwarsdoppies ( c > 0 ) 2 - (2 g + c ) Nie-oriënteerbaar 1 (2 g + c ) - 1 0 2
Vereniging van die werk op funksie ruimtes van Georg Cantor , Vito Volterra , Cesare Arzelà , Jacques Hadamard , Giulio Ascoli en ander, Maurice Fréchet het die metrieke ruimte in 1906.  'n metrieke ruimte word nou beskou as 'n spesiale geval van 'n algemene topologiese ruimte , met enige gegewe topologiese ruimte wat moontlik aanleiding kan gee tot baie verskillende metrieke ruimtes. In 1914 het Felix Hausdorff die term "topologiese ruimte" geskep en die definisie gegee vir wat nou 'n Hausdorff-ruimte genoem word .  Tans is 'n topologiese ruimte 'n geringe veralgemening van Hausdorff-ruimtes, wat in 1922 deur Kazimierz Kuratowski gegee is . 
Moderne topologie hang sterk af van die ideë van versamelingsteorie, ontwikkel deur Georg Cantor in die latere deel van die 19de eeu. Benewens die vasstelling van die basiese idees van die versamelingsteorie, beskou Cantor puntstelle in die Euklidiese ruimte as deel van sy studie van Fourier-reekse . Vir verdere ontwikkeling, sien puntetopologie en algebraïese topologie.
Topologieë op stelle
Die term topologie verwys ook na 'n spesifieke wiskundige idee wat sentraal staan ​​in die gebied van wiskunde wat topologie genoem word. Informeel vertel 'n topologie hoe elemente van 'n versameling ruimtelik met mekaar verband hou. Dieselfde stel kan verskillende topologieë hê. Die regte lyn , die komplekse vlak en die Cantor-stel kan byvoorbeeld as dieselfde versameling met verskillende topologieë beskou word.
Laat X formeel 'n versameling wees en laat τ 'n familie van onderstelle van X wees . Dan word τ 'n topologie op X genoem as:
Beide die leë versameling en X is elemente van τ .
Enige vereniging van elemente van τ is 'n element van τ .
Enige kruising van eindig baie elemente van τ is 'n element van τ .
As τ 'n topologie op X is , word die paar ( X , τ ) 'n topologiese ruimte genoem. Die notasie X τ kan gebruik word om 'n versameling X met die spesifieke topologie τ aan te dui . Per definisie is elke topologie 'n π- stelsel .
Die lede van τ word oop versamelings in X genoem . Daar word gesê dat ' n deelversameling van X gesluit is as die komplement in τ is (dit wil sê die komplement is oop). 'N Onderversameling van X kan oop, toe wees, beide ('n clopen-stel ), of nie een nie. Die leë versameling en X self is altyd gesluit en oop. 'N Oop deelversameling van X wat 'n punt x bevat, word 'n omgewing van x genoem .
Deurlopende funksies en homeomorfismes
'N Funksie of kaart van een topologiese ruimte na 'n ander word kontinu genoem as die omgekeerde beeld van 'n oop stel oop is. As die funksie die reële getalle toewys aan die reële getalle (albei spasies met die standaardtopologie), dan is hierdie definisie van kontinu gelyk aan die definisie van kontinu in die calculus . As 'n kontinue funksie is een-tot-een en op , en as die inverse van die funksie is ook deurlopende, dan is die funksie is 'n Homeomorfisme genoem en die domein van die funksie word gesê dat homeomorphic wees om die reeks. 'N Ander manier om dit te sê, is dat die funksie 'n natuurlike uitbreiding tot die topologie het. As twee ruimtes homeomorf is, het hulle identiese topologiese eienskappe en word dit as topologies dieselfde beskou. Die kubus en die sfeer is homeomorf, net soos die koffiebeker en die oliebol. Maar die sirkel is nie homeomorf vir die oliebol nie.
Alhoewel topologiese ruimtes uiters gevarieerd en eksoties kan wees, fokus baie gebiede op topologie op die meer bekende klas ruimtes, bekend as menigvuldig. 'N Verdeelstuk is 'n topologiese ruimte wat lyk soos die Euklidiese ruimte naby elke punt. Meer presies, elke punt van 'n n- dimensionele manifold het 'n omgewing wat homeomorf is aan die Euklidiese ruimte van dimensie n . Lyne en sirkels , maar nie figuurtjies nie , is eendimensionele spruitstukke. Tweedimensionele manifolds word ook oppervlaktes genoem , alhoewel nie alle oppervlaktes manifolds is nie. Voorbeelde hiervan is die vlak , die sfeer en die torus, wat almal gerealiseer kan word sonder selfkruising in drie dimensies, en die Klein-bottel en die werklike projeksievlak , wat nie kan doen nie (dit wil sê al hul besef is oppervlaktes wat nie veelvuldig is nie) .
Algemene topologie is die tak van topologie wat handel oor die basiese definisies en konstruksies van die setteoretiese strukture.   Dit is die grondslag van die meeste ander takke van topologie, insluitend differensiële topologie, geometriese topologie en algebraïese topologie. 'N Ander naam vir algemene topologie is puntestel-topologie.
Die basiese doel van die studie is topologiese ruimtes , wat versamelings is wat toegerus is met 'n topologie , dit wil sê 'n familie van onderversameling , genaamd oop versameling , wat gesluit word onder eindige kruisings en (eindige of oneindige) vakbonde . Die fundamentele konsepte van topologie, soos kontinuïteit , kompaktheid en verbondenheid , kan gedefinieer word in terme van oop versamelings. Intuïtief neem deurlopende funksies nabygeleë punte na nabygeleë punte. Kompakte stelle is die wat bedek kan word deur baie stelle van willekeurige klein grootte. Verbinde stelle is stelle wat nie in twee stukke verdeel kan word nie. Die woorde daar naby , willekeurig klein en ver van mekaar kan almal presies gemaak word deur oop stelle te gebruik. Verskeie topologieë kan in 'n gegewe ruimte gedefinieer word. Die verandering van 'n topologie bestaan ​​uit die verandering van die versameling oop stelle. Dit verander watter funksies deurlopend is en watter onderstelle kompak of verbind is.
Metrieke ruimtes is 'n belangrike klas topologiese ruimtes waar die afstand tussen twee punte gedefinieer word deur 'n funksie wat 'n maatstaf genoem word . In 'n metrieke ruimte is 'n oop stel 'n unie van oop skywe, waar 'n oop skyf met die radius r op x gesentreer is die versameling van alle punte waarvan die afstand tot x kleiner is as r . Baie algemene ruimtes is topologiese ruimtes waarvan die topologie deur 'n maatstaf gedefinieer kan word. Dit is die geval van die reële lyn , die komplekse vlak , reële en komplekse vektorruimtes en Euklidiese ruimtes . Met 'n maatstaf word baie bewyse vereenvoudig.
Algebraïese topologie is 'n tak van wiskunde wat instrumente van algebra gebruik om topologiese ruimtes te bestudeer.  Die basiese doel is om algebraïese invariërs te vind wat topologiese ruimtes klassifiseer tot by homeomorfisme, hoewel dit meestal die meeste klassifiseer tot homotopie-ekwivalensie.
Die belangrikste van hierdie invariërs is homotopiegroepe , homologie en kohomologie .
Alhoewel algebraïese topologie hoofsaaklik algebra gebruik om topologiese probleme te bestudeer, is dit soms ook moontlik om topologie te gebruik om algebraïese probleme op te los. Algebraïese topologie, byvoorbeeld, bied 'n maklike bewys dat enige subgroep van 'n vrye groep weer 'n vrye groep is.
Differensiële topologie is die veld wat handel oor verskillende funksies op onderskeibare spruitstukke .  Dit is nou verwant aan differensiële meetkunde en vorm saam die meetkundige teorie van onderskeibare spruitstukke.
Meer spesifiek neem differensiële topologie die eienskappe en strukture in ag wat slegs 'n gladde struktuur op 'n spruitstuk moet definieer. Gladde manifolds is "sagter" as manifolds met ekstra geometriese strukture, wat kan belemmer vir sekere soorte ekwivalensies en vervormings wat in die differensiële topologie voorkom. Byvoorbeeld, volume en Riemanniaanse kromming is invariante wat verskillende geometriese strukture op dieselfde gladde spruitstuk kan onderskei - dit wil sê dat 'n mens sekere spruitstukke glad kan 'plat', maar dit kan die ruimte verdraai en die kromming of volume beïnvloed.
Geometriese topologie is 'n tak van topologie wat hoofsaaklik fokus op lae-dimensionele spruitstukke (dit wil sê ruimtes van dimensies 2, 3 en 4) en hul interaksie met meetkunde, maar dit bevat ook 'n mate van hoër-dimensionele topologie.  Enkele voorbeelde van onderwerpe in geometriese topologie is oriëntasie , ontbindings hanteer , plaaslike vlakheid , verfrommeling en die planêre en hoër-dimensionele Schönflies-stelling .
Laedimensionele topologie is sterk meetkundig, soos weerspieël in die uniformiseringstelling in 2 dimensies - elke oppervlak gee 'n konstante krommingsmetriek toe; meetkundig, het dit een van drie moontlike meetkundes: positiewe kromming / bolvormige, nul kromming / plat en negatiewe kromming / hiperbolies - en die vermoede van geometriisasie (nou stelling) in 3 dimensies - elke 3-verdeelstuk kan in stukke gesny word, elk van wat een van die agt moontlike meetkunde het.
2-dimensionele topologie kan bestudeer word as komplekse meetkunde in een veranderlike ( Riemann oppervlak is kompleks kurwes) - deur die uniformisering stelling elke konforme klas van statistieke is gelykstaande aan 'n unieke kompleks een, en 4-dimensionele topologie kan bestudeer vanuit die punt van siening van komplekse meetkunde in twee veranderlikes (komplekse oppervlaktes), hoewel nie elke 4-verdeelstuk 'n komplekse struktuur erken nie.
Soms moet 'n mens die gereedskap van topologie gebruik, maar 'n "stel punte" is nie beskikbaar nie. In sinlose topologie beskou ons eerder die rooster van oop versamelings as die basiese begrip van die teorie,  terwyl Grothendieck-topologieë strukture is wat gedefinieër word volgens arbitrêre kategorieë wat die definisie van gerwe op daardie kategorieë toelaat , en daarmee die definisie van algemene kohomologieteorieë. . 
Topologie is gebruik om verskillende biologiese stelsels te bestudeer, insluitend molekules en nanostruktuur (bv. Membraanvoorwerpe  ). In die besonder is kringtopologie en knoopteorie breedvoerig toegepas om die topologie van gevoude proteïene en nukleïensure te klassifiseer en te vergelyk. Kringtopologie klassifiseer gevoude molekulêre kettings op grond van die paarwyse rangskikking van hul binnekettingkontakte en kettingkruisings. Knoopteorie , 'n tak van topologie, word in die biologie gebruik om die effekte van sekere ensieme op DNA te bestudeer. Hierdie ensieme sny, draai en verbind die DNA weer, wat knope veroorsaak met waarneembare effekte soos stadiger elektroforese .  Topologie word ook in evolusionêre biologie gebruik om die verband tussen fenotipe en genotipe voor te stel .  Fenotipiese vorms wat heel anders voorkom, kan deur slegs 'n paar mutasies geskei word, afhangende van hoe genetiese veranderinge verander word aan fenotipiese veranderinge tydens ontwikkeling. In neurowetenskap is topologiese hoeveelhede soos die Euler-eienskap en die Betti-getal gebruik om die kompleksiteit van aktiwiteitspatrone in neurale netwerke te meet.
Topologiese data-analise gebruik tegnieke uit algebraïese topologie om die grootskaalse struktuur van 'n versameling te bepaal (byvoorbeeld om vas te stel of 'n wolk van punte bolvormig of toroidaal is ). Die belangrikste metode wat deur topologiese data-analise gebruik word, is om:
Vervang 'n stel datapunte deur 'n familie van eenvoudige komplekse , geïndekseer deur 'n nabyheidsparameter.
Analiseer hierdie topologiese komplekse via algebraïese topologie - spesifiek via die teorie van aanhoudende homologie . 
Kodeer die aanhoudende homologie van 'n datastel in die vorm van 'n geparameteriseerde weergawe van 'n Betti-nommer , wat 'n strepieskode genoem word. 
Verskeie vertakkings van semantiek van die programmeertaal , soos domeinteorie , word geformaliseer deur middel van topologie. In hierdie konteks tipeer Steve Vickers , voortgebou op die werk van Samson Abramsky en Michael B. Smyth , topologiese ruimtes as Booleaanse of Heyting-algebras bo oop versamelings, wat gekenmerk word as 'n beslissende (ekwivalente, eindelik waarneembare) eienskap. 
Topologie is relevant vir fisika in gebiede soos kondisies , (22) kwantumveldteorie en fisiese kosmologie .
Die topologiese afhanklikheid van meganiese eienskappe in vaste stowwe is van belang in dissiplines van meganiese ingenieurswese en materiaalwetenskap . Elektriese en meganiese eienskappe hang af van die rangskikking en netwerkstrukture van molekules en elementêre eenhede in materiale.  Die druksterkte van verfrommelde topologieë word bestudeer in pogings om die hoë gewigsterkte van sulke strukture wat meestal leë ruimte is, te verstaan.  Topologie is van verdere betekenis in Kontakmeganika, waar die afhanklikheid van styfheid en wrywing van die dimensionaliteit van oppervlakstrukture die onderwerp van belang is by toepassings in meerliggaamfisika.
'N Topologiese kwantumveldteorie (of topologiese veldteorie of TQFT) is 'n kwantumveldteorie wat topologiese invariërs bereken .
Alhoewel TQFT's deur fisici uitgevind is, is dit ook van wiskundige belang, aangesien dit onder andere verband hou met knoopteorie , die teorie van vier-veelvoudige algebraïese topologie en die teorie van modulêre ruimtes in algebraïese meetkunde. Donaldson , Jones , Witten en Kontsevich het almal Fields-medaljes verower vir werk wat verband hou met topologiese veldteorie.
Die topologiese klassifikasie van Calabi – Yau-spruitstukke het belangrike implikasies in die stringteorie , aangesien verskillende spruitstukke verskillende soorte snare kan onderhou. 
In die kosmologie kan topologie gebruik word om die algehele vorm van die heelal te beskryf.  Hierdie navorsingsgebied staan ​​algemeen bekend as ruimtetydtopologie .
Die moontlike posisies van 'n robot kan beskryf word deur 'n spruitstuk wat konfigurasieruimte genoem word .  Op die gebied van bewegingsbeplanning vind 'n mens paaie tussen twee punte in konfigurasieruimte. Hierdie paaie verteenwoordig 'n beweging van die gewrigte van die robot en ander dele in die gewenste posisie. 
Verwarde legkaarte is gebaseer op topologiese aspekte van die legkaart se vorms en komponente.   
Om 'n deurlopende verbinding van stukke in 'n modulêre konstruksie te skep, is dit nodig om 'n ononderbroke baan te skep in 'n volgorde wat elke stuk omring en elke rand net een keer deurkruis. Hierdie proses is 'n toepassing van die Euleriaanse weg . 
Kenmerke van die kategorie topologiese ruimtes
Lys van algebraïese topologie-onderwerpe
Lys van voorbeelde in algemene topologie
Lys van algemene topologie-onderwerpe
Lys van topologie-onderwerpe
Publikasies in topologie
^ Hubbard, John H .; West, Beverly H. (1995). Differensiaalvergelykings: 'n dinamiese stelselbenadering. Deel II: Hoër-dimensionele stelsels . Tekste in Toegepaste Wiskunde. 18 . Springer. bl. 204. ISBN 978-0-387-94377-0.
^ a b Croom 1989 , p. 7
^ Richeson 2008 , p. 63; Aleksandrov 1969 , p. 204
^ Tait, Peter Guthrie (1 Februarie 1883). "Johann Benedict Listing (doodsberig)" . Natuur . 27 (692): 316–317. Bibcode : 1883Natur..27..316P . doi : 10.1038 / 027316a0 .
^ Fréchet, Maurice (1906). Sur quelques punte du calcul fonctionnel . PhD-verhandeling . OCLC 8897542 .
^ Munkres, James R. Topologie. Vol. 2. Bo-saalrivier: Prentice Hall, 2000.
^ Allen Hatcher, Algebraïese topologie. (2002) Cambridge University Press, xii + 544 pp. ISBN 0-521-79160-X , 0-521-79540-0 .
^ Lee, John M. (2006). Inleiding tot gladde spruitstukke . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
^ RB Sher en RJ Daverman (2002), Handboek vir meetkundige topologie , Noord-Holland. ISBN 0-444-82432-4
^ Johnstone, Peter T. (1983). "Die punt van sinnelose topologie" . Bulletin van die Amerikaanse Wiskundige Vereniging . 8 (1): 41–53. doi : 10.1090 / s0273-0979-1983-15080-2 .
^ Artin, Michael (1962). Grothendieck topologieë . Cambridge, MA: Harvard Universiteit, Departement Wiskunde. Zbl 0208.48701 .
^ Lipied Nanotegnologie, Int. J. Mol. Sci. 2013, 14 (2), 4242-4282 ;
^ Adams, Colin (2004). Die knoopboek: 'n elementêre inleiding tot die wiskundige teorie van knope . Amerikaanse Wiskundige Vereniging. ISBN 978-0-8218-3678-1.
^ Stadler, Bärbel MR; Stadler, Peter F .; Wagner, Günter P .; Fontana, Walter (2001). "Die topologie van die moontlike: formele ruimtes onderliggende patrone van evolusionêre verandering". Tydskrif vir Teoretiese Biologie . 213 (2): 241–274. CiteSeerX 10.1.1.63.7808 . doi : 10.1006 / jtbi.2001.2423 . PMID 11894994 .
^ a b Gunnar Carlsson (April 2009). "Topologie en data" (PDF) . Bulletin van die Amerikaanse Wiskundige Vereniging . Nuwe reeks. 46 (2): 255–308. doi : 10.1090 / S0273-0979-09-01249-X .
^ Vickers, Steve (1996). Topologie via logika . Cambridge-traktate in teoretiese rekenaarwetenskap. Cambridge University Press. ISBN 9780521576512.
^ "Die Nobelprys vir Fisika 2016" . Nobel-stigting. 4 Oktober 2016 . Besoek op 12 Oktober 2016 .
^ Stephenson, C .; et., al. (2017). "Topologiese eienskappe van 'n selfgemonteerde elektriese netwerk via 'n initiële berekening" . Sci. Rep . 7 : 41621. Bibcode : 2017NatSR ... 741621S . doi : 10.1038 / srep41621 . PMC 5290745 . PMID 28155863 .
^ Cambou, Anne Dominique; Narayanan, Menon (2011). "Driedimensionele struktuur van 'n vel verfrommel tot 'n bal" . Verrigtinge van die Nasionale Akademie vir Wetenskappe . 108 (36): 14741–14745. arXiv : 1203.5826 . Bibcode : 2011PNAS..10814741C . doi : 10.1073 / pnas.1019192108 . PMC 3169141 . PMID 21873249 .
^ Yau, S. & Nadis, S .; The Shape of Inner Space , Basic Books, 2010.
^ The Shape of Space: How to Visualize Surfaces and Three-dimensional Manifolds 2nd ed (Marcel Dekker, 1985, ISBN 0-8247-7437-X )
^ John J. Craig, Introduction to Robotics: Mechanics and Control , 3rd Ed. Prentice-Hall, 2004
^ Farber, Michael (2008). Uitnodiging vir Topologiese robotika . Europese Wiskundige Vereniging. ISBN 9783037190548.
^ Horak, Mathew (2006). "Ontknoping van topologiese raaisels met behulp van knoopteorie". Wiskundetydskrif . 79 (5): 368–375. doi : 10.2307 / 27642974 . JSTOR 27642974 . .
^ http://sma.epfl.ch/Notes.pdf A Topological Puzzle, Inta Bertuccioni, Desember 2003.
^ https://www.futilitycloset.com/the-figure-8-puzzle The Figure Eight Puzzle, Science and Math, Junie 2012.
^ Eckman, Edie (2012). Verbind die vorms gehekelde motiewe: kreatiewe tegnieke om motiewe van alle vorms saam te voeg . Storey Publishing. ISBN 9781603429733.
Aleksandrov, PS (1969) , "Hoofstuk XVIII Topologie", in Aleksandrov, AD; Kolmogorov, AN; Lavrent'ev, MA (reds.), Wiskunde / die inhoud daarvan, metodes en betekenis (2de uitg.), The MIT Press
Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology , Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2
Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology , Princeton University Press
Ryszard Engelking , Algemene Topologie , Heldermann Verlag, Sigma-reeks in suiwer wiskunde, Desember 1989, ISBN 3-88538-006-4 .
Bourbaki ; Elemente van wiskunde: algemene topologie , Addison – Wesley (1966).
Breitenberger, E. (2006). "Johann Benedict Listing". In James, IM (red.). Geskiedenis van Topologie . Noord-Holland. ISBN 978-0-444-82375-5.
Kelley, John L. (1975). Algemene Topologie . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90125-1.
Brown, Ronald (2006). Topologie en groepoïede . Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4. (Gee 'n goed gemotiveerde, geometriese weergawe van algemene topologie, en toon die gebruik van groepoïede in die bespreking van Van Kampen se stelling , om ruimtes en wentelruimtes te dek .)
Wacław Sierpiński , Algemene Topologie , Dover-publikasies, 2000, ISBN 0-486-41148-6
Pickover, Clifford A. (2006). The Möbius Strip: Dr. August Möbius se wonderlike band in wiskunde, speletjies, letterkunde, kuns, tegnologie en kosmologie . Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1. (Bied 'n gewilde inleiding tot topologie en meetkunde)
Gemignani, Michael C. (1990) , Elementary Topology (2de uitg.), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1
"Topologie, algemeen" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 
Elementêre topologie: 'n eerste kursus Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
Topologie by Curlie
Die Topologiese Dieretuin by The Geometry Centre .
Topologie- kursuslesings Aisling McCluskey en Brian McMaster, Topologie-atlas.
Moskou 1935: Topologie in die rigting van Amerika , 'n historiese opstel van Hassler Whitney .
This page is based on the copyrighted Wikipedia article "/wiki/Topology" (Authors); it is used under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License. You may redistribute it, verbatim or modified, providing that you comply with the terms of the CC-BY-SA. Cookie-policy To contact us: mail to [email protected]