Trainingsbank - Body-Solid GFID31 | Betersport.nl
Max. belastbaar gewicht: 450 kg | Rugleuning verstelbaar: 11 posities | Klasse: Semi professioneel You are here: Home » Content » Siyavula textbooks: Wiskunde (Graad 11) » Trig identiteite
Based on: Trigonometry: Trig identities (Grade 11) by Free High School Science Texts Project Trigonometriese IdentiteiteAfleiding van Waardes vir Trigonometriese Funksies vir : 30∘30∘, 45∘45∘ and 60∘60∘Hou in gedagte dat die trigonometriese funksies slegs van toepassing is op reghoekige driehoeke. Dus kan ons waardes aflei vir trigonometriese funksies vir 30∘30∘, 45∘45∘ en 60∘60∘. Ons sal begin met 45∘45∘ omdat dit die maklikste isNeem enige reghoekige driehoek met een hoek 45∘45∘. Dus omdat een hoek gelyk is aan 90∘90∘, moet die derde hoek ook gelyk wees aan 45∘45∘. Ons het dus 'n gelyksydige reghoekige driehoek soos aan gedui in figuur 1.Figuur 1: 'n Gelyksydige reghoekige driehoekAs die twee sye gelyk is in lengte aan aa, dan kan die skuinssy hh, soos volg bereken word:
(1)Dus het ons:
(4)Ons kan iets soortgelyks probeer vir 30∘30∘ en 60∘60∘. Ons begin met 'n gelyksydige driehoek en halveer een hoek soos aangedui in figuur 2. Dit gee ons die verlangde reghoekige driehoek met een hoek gelyk aan 30∘30∘ en een hoek gelyk aan 60∘60∘.Figuur 2: 'n Gelyksydige driehoek met een hoek gehalveer.As die gelyke sye se lengte gelyk is aan aa, dan is die basis gelyk aan 12a12a en die lengte van die vertikale sy vv kan dan soos volg bereken word:
(5)Dus het ons:
Jy hoef nie hierdie identiteite te memoriseer nie as jy weet hoe om hulle af te lei.leidraad: Twee bruikbare driehoeke om te onthou.: Figuur 3
Alternatiewe definisie vir tanθtanθOns weet dat tanθtanθ soos volg gedefinieer word:
tanθ= teenoorstaande aanliggende tanθ= teenoorstaande aanliggende Dit kan soos volg geskryf word:
teenoorstaande aanliggende ×
skuinssy skuinssy =
teenoorstaande skuinssy ×
skuinssy aanliggende tan
skuinssy aanliggende (12)Maar ons weet ook dat sinθsinθ soos volg gedefinieer word:
sinθ= teenoorstaande skuinssy sinθ= teenoorstaande skuinssy en dat cosθcosθ soos volg gedefinieer word:
cosθ= aanliggende skuinssy cosθ= aanliggende skuinssy Daarom kan ons dit soos volg skryf:
skuinssy aanliggende =
(13)leidraad: tanθtanθ kan ook soos volg gedefinieer word:
tanθ=sinθcosθtanθ=sinθcosθ'n Trignometriese IdentiteitEen van die mees bruikbare resultate van die trigonometriese funksies is dat hulle verwant aan mekaar is. Ons het gesien dat tanθtanθ geskryf kan word in terme van sinθsinθ en cosθcosθ. Net so sal ons wys dat:
sin2θ+cos2θ=1sin2θ+cos2θ=1Ons begin deur te kyk na ▵ABC▵ABC,
Ons sien dat:
cosθ=ABBC.cosθ=ABBC.Volgens die stelling van Pythagoras weet ons dat:
AB2+AC2=BC2.AB2+AC2=BC2.Daarom kan ons die volgende neerskryf:
volgens Pythagoras )
(14)Exercise 1: Trigonometriese Identiteite A Vereenvoudig deur identiteite te gebruik:
SolutionStap 1. Gebruik bekende identiteite en vervang tanθtanθ : =
Stap 2. Gebruik bekende identiteite en vervang tanθtanθ : =
Exercise 2: Trigonometriese Identiteite B Bewys: 1-sinxcosx=cosx1+sinx1-sinxcosx=cosx1+sinx
SolutionStap 1. Gebruik trig identiteite : LHS =
RHS LHS =
Trigonometriese identiteite Vereenvoudig die volgende met behulp van die basiese trigonometriese identiteite:
cosθtanθcosθtanθ cos2θ.tan2θ+tan2θ.sin2θcos2θ.tan2θ+tan2θ.sin2θ 1-tan2θ.sin2θ1-tan2θ.sin2θ 1-sinθ.cosθ.tanθ1-sinθ.cosθ.tanθ 1-sin2θ1-sin2θ 1-cos2θcos2θ-cos2θ1-cos2θcos2θ-cos2θ Bewys die volgende:
1+sinθcosθ=cosθ1-sinθ1+sinθcosθ=cosθ1-sinθ sin2θ+(cosθ-tanθ)(cosθ+tanθ)=1-tan2θsin2θ+(cosθ-tanθ)(cosθ+tanθ)=1-tan2θ (2cos2θ-1)1+1(1+tan2θ)=1-tan2θ1+tan2θ(2cos2θ-1)1+1(1+tan2θ)=1-tan2θ1+tan2θ 1cosθ-cosθtan2θ1=11cosθ-cosθtan2θ1=1 2sinθcosθsinθ+cosθ=sinθ+cosθ-1sinθ+cosθ2sinθcosθsinθ+cosθ=sinθ+cosθ-1sinθ+cosθ cosθsinθ+tanθ·cosθ=1sinθcosθsinθ+tanθ·cosθ=1sinθ
« Previous module in collection Grafieke van trigonometriese funksies
Next module in collection » Reduksieformule
This work is licensed by Free High School Science Texts Project under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Free High School Science Texts Project on Jul 30, 2011 7:13 am -0500. Add to a lens