Tans bestaan die kwantum topologie navorsingsgroep uit die volgende lede:
Dr Bruce Bartlett (Stellenbosch)
Gerrit Goosen (Stellenbocsh, North-West University)
Die laaste twee dekades of so het 'n merkwaardige herlewing gesien in die interaksie tussen suiwer wiksunde en teoretiese fisika. Vir wiskunde het dit gelei na 'n instroming van nuwe en diepgaande idees. Alhoewel hierdie idees, gesien vanaf 'n tradisionele wiskundige perspektief, vreemd en selfs bisarre lyk, het hulle hul nuttigheid reeds bewys.
Meer spesifiek is dit die impak van idees vanaf kwantum veld teorie op meetkunde wat die mees hulpvaardigste is; dit het die nuwe veld "kwantum topologie" op die been gebring, wat probeer om hierdie idees te verstaan en binne 'n samehangende wiskundige raamwerk te plaas. Die hoof tema is om die fisikus se kragtige "padintegraal" te probeer verstaan, en om die resulterende strukture te gebruik om nuwe invariante van meetkundige voorwerpe soos knope en variëteite.
Hierdie poging trek inspirasie van verskeie dele van moderne wiskunde soos hoër kategorie teorie, homotopie teorie, en representasie teorie.
Om 'n idee te kry waaroor "kwantum topologie" regtig gaan, beskou die volgende twee knope:
Is dit moontlik om die linkerste knoop (bekend as die "linkerhandse trefoil") op 'n kontinu manier te vervorm sodar dit lyk soos die regterkantste knoop (bekend as die "regterhandse trefoil"). Ons mag die string kontinu rondskyf en vervorm, solank ons nie twee stringe "deur mekaar" beweeg nie.
Dalk as ons die linker knoop net "omdraai"? Nee – probeer self, dit lyk nie soos die regterkant nie.
Ons vermoed dus dat die knope nie dieselfde is nie. Maar, hoe kan ons dit bewys?
Wel, een manier is om die sogenaamde Jones polinoom van elke knoop te bereken.
In 1984 het Jones 'n nuwe manier ontdek om 'n polinoom met elke knoop te assosiëer, op sodanige manier dat, indien twee knope se polinome nie dieselfde is nie, dan is dit onmoontlik om die een knoop te vervorm om soos die ander een te lyk!
Na berekeninge blyk dit dat die Jones polinoom van die "linkerhandse trefoil"
-1/t^4 + 1/t^3 + 1/t
is, terwyl die Jones polinoom van die "regterhandse trefoil"
t + t^3 – t^4
is. Aangesien die polinoom nie dieselfde is nie, kan die knope dus nie van die een tot die ander vervorm word nie!
Om meer hiervan te leer, probeer die volgende bronne:
Sossinsky, Mathematics with a twist. Introductory book about knots and some of the quantum invariants. For the lay reader, contains a few errors but extremely readable.
John Baez, Quantum gravity lecture notes.
Atiyah, The geometry and physics of knots, Lezioni Lincee (1990). Book by Atiyah explaining Witten's quantum field theory formulation of the Jones polynomial in terms of Chern-Simons theory.
Jones, The Jones polynomial. Quick introduction to the Jones polynomial from Vaughan Jones himself.
Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial. Original paper by Witten outlining a geometric explanation for the Jones polynomial in terms of quantum field theory. Still very readable and a good introduction to the subject.
Bruce Bartlett, Categorical aspects of topological quantum field theories. A Masters thesis of mine which gave a rough outline of topological quantum field theory from the higher-categories angle.