Hoeveel syfers van Pi het die ou Egiptenare geken? - Geskiedenis Podcasts - 2021
Van 'Rhind Papyrus' van 1600 vC weet ons dat die Egiptenare 'n skatting vir pi gehad het, naamlik 3,16, wat beteken dat hulle slegs 2 syfers van pi ken. Volgens hierdie artikel het hulle meer syfers geken, ten minste 4 syfers van pi. Omstreeks 200 vC het Archimedes die pi tot 22/7 geraam, wat 3 syfers van pi is. Dit dui aan dat die Egiptenare meer as 2000 jaar voor Archimedes meer syfers geken het, maar dit is nie vir my duidelik hoeveel syfers hulle eintlik ken nie.
Die eertydse Egiptenare in die tyd van die Rhind Papyrus het nie eintlik die idee van Pi gehad nie. Die metode wat hulle beskryf het om die oppervlakte van 'n sirkel te vind, was om dit binne 'n vierkant in te skryf en die verhouding van 64/81 toe te pas op die oppervlakte binne die vierkant. Ons weet egter vandag dat dit wiskundig gelykstaande is aan die gebruik van 'n Pi van 256/81. Dit is 'n hare kleiner as 3.1605, wat op Wikipedia se tydlynbladsye gelyk is aan een desimale plek.
Die eertydse Babiloniërs en Indiërs het ongeveer dieselfde tyd hul eie heuristiek gehad, wat uitgewerk het op 'n Pi van 3 + 1/8 en 25/8, of 3,125 (presies). Dit was 'n bietjie nader, maar ook akkuraat tot slegs een desimale plek. Niemand anders het wyd 'n aansienlik beter skatting opgestel tot Archimedes se 2 desimale plekke byna 2000 jaar later nie.
Die koerant wat u gekoppel het, maak verskeie bespiegelinge en ekstrapoleer daaruit. Ek wil nie vir die man 'n kort rukkie gee nie: dit is 'n paar fassinerende bespiegelinge. Ek vind die idee dat die piramide -bouers om 'n rolwiel rol om die vier hoeke uit te trek, veral oortuigend. Maar op die basis is die vraestel net baie persoonlike bespiegeling en wiskundige pret, gebou op 'n kern van historiese en wiskundige feite. Dit is natuurlik heel moontlik gebruik Pi sonder om dit te weet; dit is presies wat ons trilwielgebruikers sou doen.
Daar was 'n Egiptoloog wat al in 1940 beweer het dat die Egiptenare ook 22/7 gebruik, maar dit blyk nie vandag algemeen aanvaar te word nie. Ek is nie seker hoe nou sy argumente pas by die koerant wat jy gekoppel het nie.
Die laaste syfer van Pi
[Dit is 'n rowwe weergawe van my TEDxNYED -toespraak, gelewer op 6 Maart 2010 in New York by die Collegiate School. TEDxNYED was 'n heeldagse konferensie en ondersoek die rol van nuwe media en tegnologie in die vorming van die toekoms van onderwys. " Vir 'n meta-post oor die ervaring van 'n TED (x) praatjie, lees asseblief "Academic Theatre (Refleksies oor TED & amp TEDxNYED). " Wat ek eintlik by TEDxNYED gesê en gedoen het, het afgewyk van hierdie transkripsie. Ek sal die video plaas as dit beskikbaar is.]
Ek wil jou 'n verhaal vertel oor 'n vergete gebied van opvoeding en kennis. Dit is 'n waarskuwende verhaal, 'n gelykenis van wat gebeur as die wêreld verander, as tradisie uitgedaag word.
Tot relatief onlangs in die mensegeskiedenis was pi die baie gesogte oplossing vir die wat lankal die 'regstelling' of 'kwadratuur' van die sirkel genoem is, en fyn woorde is makliker gesimboliseer deur die diagram in hierdie skyfie. Hoe kan u die sirkel omskep in die bedekte vierkant? Een kant van die vierkant sou 'n kwart van pi wees as die deursnee van die sirkel 1 is.
Pi was duisende jare lank 'n gesogte nommer, vol magiese eienskappe. Generasies geleerdes het dit hardnekkig nagestreef, en beskou dit dikwels as die enigste van meetkunde.
Dit is 'n ander pi -pi soos ons moderne mense dit ken:
Wel, nie alles nie, soos ek seker weet. Dit is net die eerste ongeveer 200 syfers. Die getal strek tot in ewigheid. Ek hoop dat u nie verwag het dat ek die werklike laaste syfer van pi sou onthul nie. Want daar is nie een nie. Vreemd, ne?
Pi was nie altyd so vreemd nie. Die ou Egiptenare het beter geweet deur die verhouding tussen die omtrek en die deursnee van 'n sirkel van 4 op 3 tot die 4de krag te koppel. Dit is aansienlik meer definitief en dus baie meer verstandig.
Archimedes het van beter geweet en ingegaan op die waarde van pi tussen 'n paar baie noue breuke.
As u 'n Bybelse letterkundige is, lyk dit asof pi 3 is, aangesien die Bybel 30 el duidelik beskryf as 'n sirkel met 'n deursnee van 10 el.
En die oplossings het bly kom. Van antieke wiskundiges en filosowe, tot middeleeuse geleerdes, tot die Renaissance en die Verligting. Almal was in staat om - met genoeg moeite - die presiese waarde vir pi te vind. Die vierkant van die sirkel was 'n poging van genie in 'n antieke wetenskap wat eeue gelede perfek deur Euclid beskryf is.
Maar iets het radikaal verander in die agtiende eeu, net na die boek aan die regterkant deur Joubert de la Rue. 'N Paar wiskundiges het die knaende gevoel dat pi nie 'n perfekte oplossing as 'n magiese breuk het nie, ernstiger begin neem. Dit het miskien nie 'n laaste syfer nie. Hierdie kritieke getal in die middel van wiskunde kan in werklikheid irrasioneel wees. Een wiskundige het pi begin herbegryp.
En daar is hy: die dapper Switserse Duitse wiskundige Johann Heinrich Lambert:
Hy was natuurlik die seun van 'n kleremaker en was meestal self-geleerd in wiskunde. Sy briljante werk in die 1760's het getoon dat π/4 nie 'n rasionele getal kan wees nie - jy kon nooit presies die waarde van die een kant van die vierkant uitvind nie - en dus was die pi ook irrasioneel. Na Lambert het wiskundehandboeke die saak as opgelos verklaar.
Dit is reg, probleem opgelos …
Behalwe …. sirkel-kwadraat het voortgegaan. Die wêreld van wiskunde het verander met die ontdekkings van die agtiende eeu, maar op een of ander manier het die boodskap nie by baie mense uitgekom nie. John Parker, aan die linkerkant, het my persoonlike gunsteling oplossing gekry: pi is presies 20612/6561. Sommige sirkelvierkante, soos James Smith aan die regterkant, bespot Lambert se bewys as die werk van 'n dilettant.
Dinge het toe getuig tussen die nuwe wiskundiges en diegene wat vasgehou het aan die vorige visie van pi. Die verslag van hierdie oorlogvoering is net so insiggewend as humoristies. In die 1860's en 70's het James Smith Augustus De Morgan, 'n wiskundige professor in Londen, aangeneem in 'n reeks kort pamflette, wat die Victoriaanse ekwivalent van Twitter was.
Maar dit is nie verbasend dat die kastele van professore in wiskunde die sirkelvaders nie gestuit het nie. Hulle oplossings het voortgegaan, selfs in die lig van kritiek, selfs nadat pi transcendentaal getoon is, wat beteken dat dit nie eens die wortel van 'n ander getal of vergelyking kan wees nie. My gunsteling boek uit die begin van die twintigste eeu het hierdie ondertitel op die voorblad gehad: Die groot probleem wat die grootste filosowe en die helderste verstand van antieke en moderne tye verbyster het, is nou opgelos deur 'n nederige Amerikaanse burger van die stad Brooklyn. "
Dit is nou maklik om te lag vir hierdie verkeerde sirkelplekke, veral as hulle van Brooklyn af kom. Maar as u die vierkante ernstig lees en ophou om daaroor na te dink, verskil hulle nie van u of ek nie. Selfs in ons weettye hou ons almal vol met dinge wat ander lankal as absurd of passé laat vaar het.
Die geskiedenis vertel ons dat mense, helaas, nie baie goed is om die nuwe te sien nie, maar dat hulle ten alle koste baie goed is in die behoud van die verlede. Dit geld veral in die onderwys: Euclid's Elemente, wat meer as 2 000 jaar gelede geskryf is, was nog steeds 'n standaard wiskundehandboek tot in die 19de eeu, ondanks groot wiskundige vooruitgang.
Dit is dus die moeite werd om te stilstaan ​​om na te dink oor die laaste syfer van pi. Waarom het soveel mense voortgegaan om pi na te streef soos dit tradisioneel ontwerp is, en waarom het hulle die nuwe wiskunde weerstaan?
Dink 'n oomblik na oor die onderskeid tussen die ou en die nuwe pi. Die ou was perfek, eenvoudig, geordend, goddelik die nuwe, oënskynlik onnauwkeurige, prosaïese, chaotiese, menslike. Die verhaal van pi is dus die verhaal en die sielkunde van wat gebeur as die komplekse en nuwe probeer om die eenvoudige en tradisionele in te haal.
Dit gebeur oral om ons in die digitale era. Ons vervang wat as perfek en bestel beskou is, met die skynbaar onnauwkeurige en chaotiese.
Kyk byvoorbeeld wat in die afgelope dekade gebeur het met Wikipedia en die angs oor die lot van die tradisionele ensiklopedie.
Of koerante in die lig van nuwe vorme van joernalistiek, soos blogging. 'N Voormalige bofbalstatistikus, Nate Silver van FiveThirtyEight.com, kan dapper besluit om verkiesings en ekonomie beter te ontleed as die meeste koerante? Ja inderdaad.
Nou wil hierdie gehoor, aan die regterkant van hierdie skerms, net so gemeen wees as Augustus De Morgan vir diegene wat nog aan die linkerkant is. Ons wil dalk moderne sirkelplekke agterlaat, en sommige sal ongetwyfeld agterbly. Maar vir die meerderheid wat onrustig is en tussen oud en nuut vasgevang is, het ons ander metodes nodig om hulle te oortuig en die status quo te verander. Die geskiedenis vertel ons dat dit nie genoeg is om te sê dat mense blind is vir die toekoms nie. Ons moet presies wys wat die swakhede van die ou is …
En ons moet wys hoe die nuwe werk beter as die ou.
Dit is baie handig om pi korrek te ken tot die 10de syfer as u die bewegings van hemelliggame akkuraat voorspel, probeer om James Smith se 3 1/8 te gebruik om die boog van 'n planeet of maan op te spoor. Vir sommige fisika is dit van kritieke belang om pi akkuraat te ken tot die 40ste syfer.
Boonop is hierdie moderne pi miskien vreemd, maar die vreemdheid daarvan het nuwe moontlikhede vir navorsing en denke oopgemaak wat net so intellektueel uitdagend en lonend was as om die sirkel te vierkantig. Die transendentale aard van pi het wiskundiges laat nadink oor oneindige rye breuke en het 'n impak op die chaosteorie gehad. In die rekenaarwetenskap het algoritmes ontwikkel om 'n miljard of biljoen syfers pi so vinnig as moontlik te bereik. En as u nog steeds wil hê dat 'n onopgeloste probleem oplos, kyk of u kan uitvind of pi 'n 'normale getal' genoem word, waar die verdeling van die syfers 0-9 eenvormig is …
…of daar is in plaas daarvan 'n oorwig van agt. Dit is nou 'n moeilike probleem wat verband hou met werklike kwessies in moderne wiskunde. Daar is dus nog probleme wat opgelos moet word, meer gevorderde probleme. Wiskunde eindig nie met die einde van die ou pi nie - dit beweeg net in nuwe, meer interessante rigtings.
Maar om daardie punt te bereik, moes wiskundiges op 'n begryplike manier wys hoe die nuwe pi 'n nuwe orde skep.
Die bekendste benaderings tot π wat voor die gewone era was, was akkuraat tot twee desimale plekke; dit is veral verbeter in die Chinese wiskunde, veral in die middel van die eerste millennium, tot 'n akkuraatheid van sewe desimale plekke. Hierna is geen verdere vordering gemaak tot in die laat Middeleeue nie.
Sommige egiptoloë  het beweer dat die ou Egiptenare 'n benadering van π gebruik het as 22 ⁄ 7 = 3,142857 (ongeveer 0,04% te hoog) van so vroeg as die Ou Koninkryk.  Hierdie bewering het skeptisisme ondervind.  
Teen die 5de eeu nC was π bekend by ongeveer sewe syfers in Chinese wiskunde en ongeveer vyf syfers in die Indiese wiskunde. Bykans 'n millennium is daar geen verdere vordering gemaak nie, totdat die 14de eeu, toe die Indiese wiskundige en sterrekundige Madhava van Sangamagrama, stigter van die Kerala -skool vir sterrekunde en wiskunde, die oneindige reeks vir π, nou bekend as die Madhava - Leibniz -reeks, ontdek   en het twee metodes gegee om die waarde van π te bereken. Een van hierdie metodes is om 'n vinnig konvergerende reeks te verkry deur die oorspronklike oneindige reeks π te transformeer. Deur dit te doen, het hy die oneindige reeks gekry
en gebruik die eerste 21 terme om 'n benadering van π korrek tot 11 desimale plekke as 3.141 592 653 59 te bereken.
Die ander metode wat hy gebruik het, was om 'n res term by die oorspronklike reeks van π te voeg. Hy gebruik die res term
Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), 'n Persiese sterrekundige en wiskundige, het in 1424 2 π tot 9 seksagesimale syfers korrek bereken.  Hierdie syfer is gelykstaande aan 17 desimale syfers as
Hy het hierdie akkuraatheid bereik deur die omtrek van 'n gewone veelhoek met 3 × 2 28 sye te bereken. 
In die tweede helfte van die 16de eeu het die Franse wiskundige François Viète 'n oneindige produk ontdek wat konvergeer op π, bekend as Viète se formule.
Die Duits-Nederlandse wiskundige Ludolph van Ceulen (ongeveer 1600) het die eerste 35 desimale plekke van π bereken met 'n 2 62 -gon. Hy was so trots op hierdie prestasie dat hy dit op sy grafsteen laat inskryf het. 
In Cyclometricus (1621), het Willebrord Snellius getoon dat die omtrek van die ingeskrewe veelhoek twee keer so vinnig bymekaarkom as die omtrek van die ooreenstemmende omskrewe veelhoek. Dit is bewys deur Christiaan Huygens in 1654. Snellius was in staat om sewe syfers van π uit 'n veelhoek met 96 kante te verkry. 
In 1789 het die Sloveense wiskundige Jurij Vega die eerste 140 desimale plekke vir π bereken, waarvan die eerste 126 korrek was  en die wêreldrekord vir 52 jaar gehou tot 1841, toe William Rutherford 208 desimale plekke bereken het, waarvan die eerste 152 was korrek. Vega het die formule van John Machin verbeter vanaf 1706 en sy metode word vandag nog genoem. [ aanhaling nodig ]
Die grootte van so 'n presisie (152 desimale plekke) kan in konteks geplaas word deur die feit dat die omtrek van die grootste bekende voorwerp, die waarneembare heelal, bereken kan word vanaf sy deursnee (93 miljard ligjare) tot 'n presisie van minder as een Planck -lengte (op 1,6162 × 10-35 meter, die kortste eenheid van lengte wat werklike betekenis het) deur π uit te druk tot slegs 62 desimale plekke. 
Die Engelse amateur -wiskundige William Shanks, 'n man met onafhanklike middele, het meer as 15 jaar lank π tot 607 desimale plekke bereken. Dit is in 1873 bereik, met die eerste 527 plekke reg.  Hy sou die hele oggend nuwe syfers bereken en die hele middag daarna die oggend se werk nagaan. Dit was die langste uitbreiding van π tot die koms van die elektroniese digitale rekenaar, driekwart-eeu later. [ aanhaling nodig ]
In 1910 het die Indiese wiskundige Srinivasa Ramanujan verskeie vinnig saamgestelde oneindige reekse π gevind, insluitend
wat 'n verdere agt desimale plekke van π met elke term in die reeks bereken. Sy reeks is nou die basis vir die vinnigste algoritmes wat tans gebruik word om π te bereken. Sien ook die reeks Ramanujan – Sato.
Vanaf die middel van die 20ste eeu is alle berekeninge van π met behulp van sakrekenaars of rekenaars gedoen.
In 1944 het D. F. Ferguson met behulp van 'n meganiese lessenaarrekenaar bevind dat William Shanks 'n fout gemaak het in die 528ste desimale plek, en dat alle daaropvolgende syfers verkeerd was.
In die vroeë jare van die rekenaar is 'n uitbreiding van π tot 100 000 desimale plekke : 78 bereken deur die Maryland-wiskundige Daniel Shanks (geen verband met bogenoemde William Shanks) en sy span by die United States Naval Research Laboratory in Washington, DC In 1961 gebruik Shanks en sy span twee verskillende kragreekse om die syfers van π te bereken. Vir die een was dit bekend dat enige fout 'n effens hoë waarde sou lewer, en vir die ander een was dit bekend dat enige fout 'n effens lae waarde sou oplewer. En dus, solank die twee reekse dieselfde syfers lewer, was daar 'n baie groot vertroue dat dit korrek was. Die eerste 100 265 syfers van π is in 1962 gepubliseer. : 80–99 Die skrywers het uiteengesit wat nodig sou wees om π tot 1 miljoen desimale plekke te bereken en tot die gevolgtrekking gekom dat die taak verder was as die tegnologie van daardie dag, maar in vyf tot sewe jaar. : 78
In 1989 bereken die Chudnovsky -broers π tot meer as 1 miljard desimale plekke op die superrekenaar IBM 3090 met behulp van die volgende variasie van Ramanujan se oneindige reeks π:
Rekords is sedertdien almal uitgevoer met behulp van die Chudnovsky -algoritme. In 1999 het Yasumasa Kanada en sy span aan die Universiteit van Tokio π tot meer as 200 miljard desimale plekke op die superrekenaar HITACHI SR8000/MPP (128 nodes) bereken deur 'n ander variasie van Ramanujan se oneindige reeks π te gebruik. In November 2002 gebruik Yasumasa Kanada en 'n span van 9 ander die Hitachi SR8000, 'n 64-node superrekenaar met 1 terabyte hoofgeheue, om π te bereken tot ongeveer 1,24 biljoen syfers in ongeveer 600 uur (25 dae). In Oktober 2005 het hulle beweer dat hulle dit op 1,24 biljoen plekke bereken het. 
In Augustus 2009 het 'n Japannese superrekenaar, die T2K Open Supercomputer, die vorige rekord meer as verdubbel deur π tot ongeveer 2,6 biljoen syfers in ongeveer 73 uur en 36 minute te bereken.
In Desember 2009 het Fabrice Bellard 'n tuisrekenaar gebruik om 2.7 triljoen desimale syfers van π te bereken. Berekeninge is uitgevoer in basis 2 (binêre), daarna is die resultaat omgeskakel na basis 10 (desimaal). Die berekening-, omskakelings- en verifikasiestappe het 'n totaal van 131 dae geneem. 
In Augustus 2010 het Shigeru Kondo die y-cruncher van Alexander Yee gebruik om 5 biljoen syfers π te bereken. Dit was die wêreldrekord vir enige berekening, maar dit is aansienlik uitgevoer op 'n tuisrekenaar wat deur Kondo gebou is.  Die berekening is tussen 4 Mei en 3 Augustus gedoen, met die primêre en sekondêre verifikasies onderskeidelik 64 en 66 uur. 
In Oktober 2011 het Shigeru Kondo sy eie rekord gebreek deur tien biljoen (10 13) en vyftig syfers met dieselfde metode te bereken, maar met beter hardeware.  
In Desember 2013 het Kondo vir 'n tweede keer sy eie rekord gebreek toe hy 12,1 biljoen syfers π bereken het. 
In Oktober 2014 gebruik Sandon Van Ness, onder die skuilnaam "houkouonchi", y-cruncher om 13,3 biljoen syfers van π te bereken. 
In November 2016 het Peter Trueb en sy borge op y-cruncher bereken en 22,4 biljoen syfers π (22 459 157 718 361 (π e × 10 12) volledig geverifieer).  Die berekening het (met drie onderbrekings) 105 dae geneem om te voltooi,  die beperking van verdere uitbreiding was hoofsaaklik stoorplek. 
In Maart 2019 het Emma Haruka Iwao, 'n werknemer by Google, 31,4 biljoen syfers pi met y-cruncher en Google Cloud-masjiene bereken. Dit het 121 dae geneem om te voltooi. 
In Januarie 2020 kondig Timothy Mullican die berekening van 50 biljoen syfers oor 303 dae aan.  
Van 'n paar noemenswaardige betekenis is wetlike of historiese tekste na bewering 'definieer π' om 'n rasionele waarde te hê, soos die 'Indiana Pi Bill' van 1897, wat lui "die verhouding tussen die deursnee en omtrek is vyf-vierde tot vier" (wat sou impliseer " π = 3.2 ") en 'n gedeelte in die Hebreeuse Bybel wat dit impliseer π = 3 .
Indiana bill Wysig
Die sogenaamde "Indiana Pi Bill" van 1897 word dikwels gekenmerk as 'n poging om die waarde van Pi te "wetgewing". Die wetsontwerp handel eerder oor 'n beweerde oplossing vir die probleem van meetkunde "die sirkel vierkantig". 
Toegepaste Bybelse waarde Wysig
Daar word soms beweer dat die Hebreeuse Bybel impliseer dat "π gelyk is aan drie", gebaseer op 'n gedeelte in 1 Konings 7:23 en 2 Kronieke 4: 2 wat metings gee vir die ronde wasbak voor die tempel in Jerusalem met 'n deursnee van 10 el en 'n omtrek van 30 el.
Die kwessie word bespreek in die Talmoed en in die rabbynse literatuur.  Onder die vele verduidelikings en opmerkings is die volgende:
verduidelik dit in syne Mishnat ha-Middot (die vroegste bekende Hebreeuse teks oor meetkunde, ongeveer 150 nC) deur te sê dat die deursnee gemeet is vanaf die buite rand terwyl die omtrek langs die innerlik rand. Hierdie interpretasie impliseer 'n rand van ongeveer 0,225 el (of as 'n 18-duim ", ongeveer 4 duim) of een en 'n derde" handbreedte "dik is (vgl. NKJV en NKJV). verklaar (ongeveer 1168 CE) dat π slegs ongeveer bekend kan word, dus is die waarde 3 as akkuraat genoeg vir godsdienstige doeleindes gegee. Dit word deur sommige  beskou as die vroegste bewering dat π irrasioneel is.
Nog 'n rabbynse verduideliking [deur wie?] [jaar nodig] roep gematria op: In NKJV verskyn die woord wat met 'meetlyn' vertaal word in die Hebreeuse teks KAVEH קַוה, maar elders word die woord meestal KAV קַו gespel. Die verhouding tussen die numeriese waardes van hierdie Hebreeuse spellings is
111 /106. As die vermeende waarde van 3 met hierdie verhouding vermenigvuldig word, kry 'n mens
333 ⁄ 106 = 3.141509433. - gee 4 korrekte desimale syfers, wat binne is
1 /10 000 van die werklike waarde van π.
Daar is nog 'n debat oor hierdie gedeelte in die Bybelwetenskap. [ mislukte verifikasie ]   Baie rekonstruksies van die wasbak toon 'n breër rand (of uitlopende lip) wat 'n paar duim na buite uitstrek om by die beskrywing in NKJV te pas  In die daaropvolgende verse word die rand beskryf as "'n handbreedte dik en sy rand is gemaak soos 'n rand van 'n beker, soos die blom van 'n lelie: dit het drie duisend baddens ontvang en gehou" van die rand, byvoorbeeld 'n Lilium -blom of 'n Teekoppie.
Veelhoek benadering tot 'n sirkel Bewerk
Archimedes, in sy Meting van 'n sirkel, het die eerste algoritme vir die berekening van π geskep op grond van die idee dat die omtrek van enige (konvekse) veelhoek wat in 'n sirkel ingeskryf is, kleiner is as die omtrek van die sirkel, wat op sy beurt minder is as die omtrek van 'n omskrewe veelhoek . Hy begin met ingeskrewe en omskrewe gereelde seshoeke, waarvan die omtrek maklik bepaal kan word. Daarna wys hy hoe om die omtrek van gereelde veelhoeke van twee keer soveel sye wat in dieselfde sirkel ingeskryf en omskryf is, te bereken. Dit is 'n rekursiewe prosedure wat vandag soos volg beskryf sal word: Laat blk en Blk dui die omtrek van gereelde veelhoeke van k sye wat onderskeidelik omtrent dieselfde sirkel ingeskryf en omskryf is. Dan,
Archimedes gebruik dit om agtereenvolgens te bereken Bl12, bl12, Bl24, bl24, Bl48, bl48, Bl96 en bl96 .  Deur hierdie laaste waardes te verkry, verkry hy
Dit is nie bekend waarom Archimedes by 'n 96-kantige veelhoek gestop het nie; dit verg net geduld om die berekeninge uit te brei. Reier berig in syne Metrica (ongeveer 60 nC) dat Archimedes die berekening in 'n nou verlore boek voortgesit het, maar dan 'n verkeerde waarde aan hom toeskryf. 
Archimedes gebruik geen trigonometrie in hierdie berekening nie, en die moeilikheid om die metode toe te pas, lê in die verkryging van goeie benaderings vir die betrokke vierkantswortels. Trigonometrie, in die vorm van 'n tabel met akkoordlengtes in 'n sirkel, is waarskynlik deur Claudius Ptolemeus van Alexandrië gebruik om die waarde van π in die Almagest (omstreeks 150 nC). 
Die vordering met die benadering van π (as die metodes bekend is) is gemaak deur die aantal sye van die veelhoeke wat in die berekening gebruik word, te vergroot. 'N Trigonometriese verbetering deur Willebrord Snell (1621) behaal beter perke van 'n paar perke wat deur die veelhoekmetode verkry word. Meer akkurate resultate is dus verkry uit veelhoeke met minder sye.  Viète se formule, gepubliseer deur François Viète in 1593, is afgelei deur Viète met 'n nou verwante veelhoekige metode, maar met oppervlaktes eerder as omtrek van veelhoeke waarvan die getal sye twee magte is. 
Die laaste groot poging om π volgens hierdie metode te bereken, is uitgevoer deur Grienberger in 1630 wat 39 desimale plekke van π bereken het met behulp van Snell se verfyning. 
Masjienagtige formule Wysig
Vir vinnige berekeninge kan u formules soos Machin's gebruik:
saam met die uitbreiding van die Taylor -reeks van die funksie arctan (x). Hierdie formule word die maklikste geverifieer met behulp van polêre koördinate van komplekse getalle, wat die volgende produseer:
( = <239, 13 2> is 'n oplossing vir die Pell -vergelyking x 2 −2 y 2 = −1.)
Hierdie formules staan ​​bekend as Masjienagtige formules. Die spesifieke formule van Machin is tot in die rekenaartyd gebruik om rekordgetalle van syfers van π,  te bereken, maar meer onlangs is ook ander soortgelyke formules gebruik.
Shanks en sy span het byvoorbeeld in 1961 die volgende masjienagtige formule gebruik om die eerste 100,000 syfers van π te bereken: 
en hulle het 'n ander masjienagtige formule gebruik,
Die rekord van Desember 2002 deur Yasumasa Kanada van die Universiteit van Tokio was 1,241,100,000,000 syfers. Die volgende masjienagtige formules is hiervoor gebruik:
Ander klassieke formules Redigeer
Ander formules wat gebruik is om ramings van π te bereken, sluit in:
Newton / Euler -konvergensetransformasie: 
waar (2k + 1) !! dui die produk aan van die onewe heelgetalle tot 2k + 1.
Ramanujan se werk is die basis vir die Chudnovsky -algoritme, die vinnigste algoritmes wat teen die begin van die millennium gebruik is om π te bereken.
Moderne algoritmes Wysig
Uiters lang desimale uitbreidings van π word tipies bereken met iteratiewe formules soos die Gauss -Legendre -algoritme en Borwein se algoritme. Laasgenoemde, wat in 1985 deur Jonathan en Peter Borwein gevind is, kom baie vinnig saam:
yk + 1 = (1 - f (yk)) / (1 + f (yk)), ak + 1 = ak (1 + yk + 1) 4 - 2 2 k + 3 yk + 1 (1 + yk + 1 + yk + 1 2) < displaystyle y_= (1-f (y_))/(1+f (y_))
waar f (y) = (1-y 4) 1/4 < displaystyle f (y) = (1-y^<4>)^<1/4 >>, die volgorde 1 / ak < displaystyle 1 / a_> konvergeer kwartaal tot π, wat ongeveer 100 syfers in drie stappe gee en meer as 'n triljoen syfers na 20 stappe. Dit is egter bekend dat die gebruik van 'n algoritme soos die Chudnovsky -algoritme (wat lineêr konvergeer) vinniger is as hierdie iteratiewe formules.
Hierdie benaderings het soveel syfers dat dit nie meer prakties is nie, behalwe om nuwe superrekenaars te toets.  Eienskappe soos die potensiële normaliteit van π sal altyd afhang van die oneindige string syfers aan die einde, nie van enige eindige berekening nie.
Diverse benaderings Redigeer
Histories is basis 60 vir berekeninge gebruik. In hierdie basis kan π benader word tot agt (desimale) beduidende syfers met die getal 38,29,4460, wat is
(Die volgende seksagesimale syfer is 0, wat veroorsaak dat afkapping hier 'n relatief goeie benadering lewer.)
Daarbenewens kan die volgende uitdrukkings gebruik word om π te skat:
akkuraat tot drie syfers:
akkuraat tot vier syfers:
akkuraat tot vier syfers (of vyf belangrike syfers):
'n benadering deur Ramanujan, akkuraat tot 4 syfers (of vyf belangrike syfers):
akkuraat tot vyf syfers:
akkuraat tot ses syfers :
akkuraat tot sewe syfers:
akkuraat tot nege syfers:
akkuraat tot tien syfers:
akkuraat tot tien syfers (of elf belangrike syfers):
akkuraat tot 18 syfers:
akkuraat tot 30 desimale plekke:
akkuraat tot 52 desimale plekke:
akkuraat tot 161 desimale plekke:
Die voortgesette breukvoorstelling van π kan gebruik word om opeenvolgende beste rasionele benaderings te genereer. Hierdie benaderings is die beste moontlike rasionele benaderings van π relatief tot die grootte van hul noemers. Hier is 'n lys van die eerste dertien hiervan:  
Som 'n sirkel se area op Redigeer
Pi kan uit 'n sirkel verkry word as die radius en oppervlakte daarvan bekend is met behulp van die verwantskap:
As 'n sirkel met radius r word geteken met sy middelpunt by die punt (0, 0), enige punt waarvan die afstand van die oorsprong minder is as r sal binne die sirkel val. Die Pythagorese stelling gee die afstand van enige punt ( x , y ) na die sentrum:
Wiskundige "grafiekpapier" word gevorm deur 'n 1 × 1 vierkant in die middel van elke sel voor te stel ( x , y ), waar x en y is heelgetalle tussen - r en r. Vierkante waarvan die middelpunt binne of presies op die grens van die sirkel geleë is, kan dan getel word deur te toets of dit vir elke sel ( x , y ),
Die totale aantal selle wat aan daardie toestand voldoen, benader dus die oppervlakte van die sirkel, wat dan gebruik kan word om 'n benadering van π te bereken. Nader benaderings kan verkry word deur groter waardes van r te gebruik.
Wiskundig kan hierdie formule geskryf word:
Met ander woorde, begin deur 'n waarde vir r te kies. Oorweeg alle selle ( x , y ) waarin beide x en y is heelgetalle tussen - r en r. Begin by 0, voeg 1 by vir elke sel wie se afstand tot die oorsprong (0,0) kleiner as of gelyk aan is r . As u klaar is, deel die som, wat die oppervlakte van 'n sirkel met radius r voorstel, met r 2 om die benadering van π te vind. As r byvoorbeeld 5 is, dan is die selle wat oorweeg word:
benadering van π
Net so behels die meer komplekse benaderings van π wat hieronder gegee word, herhaalde berekeninge van een of ander aard, wat toenemende en nader benaderings oplewer met toenemende aantal berekenings.
Vervolg breuke Wysig
Behalwe die eenvoudige voortgesette breukvoorstelling [3 7, 15, 1, 292, 1, 1,. ], wat geen waarneembare patroon vertoon nie, het π baie algemene voortgesette breukvoorstellings wat gegenereer word deur 'n eenvoudige reël, insluitend hierdie twee.
(Ander voorstellings is beskikbaar op The Wolfram Functions Site.)
Gregory – Leibniz -reeks Redigeer
is die kragreeks vir arctan (x) wat spesialiseer in x = 1. Dit kom te stadig saam om van praktiese belang te wees. Die kragreeks konvergeer egter baie vinniger vir kleiner waardes van x < displaystyle x>, wat lei tot formules waar π < displaystyle pi> ontstaan ​​as die som van klein hoeke met rasionele raaklyne, bekend as Machin-agtige formules.
Wetende dat 4 arctan 1 = π, kan die formule vereenvoudig word om te kry:
met 'n konvergensie sodat elke bykomende 10 terme ten minste nog drie syfers oplewer.
Alternatiewelik kan die volgende eenvoudige uitbreidingsreeks van die arctangent -funksie gebruik word
Let op 'n gelyksydige driehoek en let daarop
met 'n konvergensie sodat elke bykomende vyf terme ten minste nog drie syfers oplewer.
Die Salamin – Brent -algoritme wysig
Die Bailey -Borwein -Plouffe -formule (BBP) vir die berekening van π is in 1995 deur Simon Plouffe ontdek. Met behulp van basis 16 wiskunde, kan die formule 'n spesifieke syfer van π bereken - die heksadesimale waarde van die syfer teruggee - sonder om die tussenliggende syfers te bereken (ekstraksie van syfers). 
In 1996 het Simon Plouffe 'n algoritme afgelei om die n de desimale syfer van π te onttrek (met behulp van basis 10 wiskunde om 'n basis 10 syfer te onttrek), en dit kan gedoen word met 'n verbeterde spoed van O(n 3 (aanteken n) 3) tyd. Die algoritme benodig feitlik geen geheue vir die stoor van 'n skikking of matriks nie, sodat die een-miljoenste syfer van π met 'n sakrekenaar bereken kan word.  Dit sou egter nogal vervelig en onprakties wees om dit te doen.
Die berekensnelheid van Plouffe se formule is verbeter na O(n 2) deur Fabrice Bellard, wat 'n alternatiewe formule (alhoewel slegs in basis 2 wiskunde) afgelei het vir die berekening van π. 
Baie ander uitdrukkings vir π is ontwikkel en gepubliseer deur die Indiese wiskundige Srinivasa Ramanujan. Hy werk 'n aantal jare saam met wiskundige Godfrey Harold Hardy in Engeland.
Uiters lang desimale uitbreidings van π word tipies bereken met die Gauss -Legendre -algoritme en Borwein se algoritme, die Salamin -Brent -algoritme, wat in 1976 uitgevind is, is ook gebruik.
In 1997 publiseer David H. Bailey, Peter Borwein en Simon Plouffe 'n referaat (Bailey, 1997) oor 'n nuwe formule vir π as 'n oneindige reeks:
Hierdie formule stel 'n mens in staat om die kdie binêre of heksadesimale syfer van π, sonder om die voorafgaande te bereken k - 1 syfers. Bailey se webwerf  bevat die afleiding sowel as implementerings in verskillende programmeertale. Die PiHex -projek het 64 bisse om die kwadriljoenste bit van π bereken (wat 0 blyk te wees).
Dit kom buitengewoon vinnig saam. Ramanujan se werk is die basis vir die vinnigste algoritmes wat teen die begin van die millennium gebruik is om π te bereken.
In 1988 vind David Chudnovsky en Gregory Chudnovsky 'n nog vinniger konvergerende reeks (die Chudnovsky-algoritme):
Die snelheid van verskillende algoritmes vir die berekening van pi tot n korrekte syfers word hieronder in dalende volgorde van asimptotiese kompleksiteit getoon. M (n) is die kompleksiteit van die vermenigvuldigingsalgoritme wat gebruik word.
Tydskompleksiteit of spoed
Chudnovsky algoritme 1988 O (n log ⁡ (n) 3) < displaystyle O (n log (n)^<3>)> 
Gauss -Legendre -algoritme 1975 O (M (n) log ⁡ (n)) < displaystyle O (M (n) log (n))> 
Binêre verdeling van die arctan -reeks in die formule van Machin O (M (n) (log ⁡ n) 2) < displaystyle O (M (n) ( log n)^<2>)> 
Leibniz formule vir π 1300's Sublinêre konvergensie. Vyf miljard terme vir 10 korrekte desimale plekke
Pi Hex Edit
Pi Hex was 'n projek om drie spesifieke binêre syfers van π te bereken met behulp van 'n verspreide netwerk van honderde rekenaars. In 2000, na twee jaar, het die projek die vyf triljoenste (5*10 12), die veertig biljoenste en die kwadriljoenste (10 15) bisse klaar bereken. Al drie van hulle was 0.
Deur die jare is daar verskeie programme geskryf om π tot baie syfers op persoonlike rekenaars te bereken.
Algemene doel Redigeer
Die meeste rekenaaralgebra -stelsels kan π en ander algemene wiskundige konstantes bereken tot die gewenste presisie.
Funksies vir die berekening van π word ook in baie algemene biblioteke ingesluit vir willekeurige presisie-rekenkunde, byvoorbeeld Klasbiblioteek vir Getalle, MPFR en SymPy.
Spesiale doel Redigeer
Programme wat ontwerp is om π te bereken, het moontlik beter prestasie as wiskundige sagteware vir algemene doeleindes. Hulle implementeer gewoonlik kontrolepunte en doeltreffende skyfwisseling om uiters langdurige en geheue-duur berekeninge te vergemaklik.
Hoeveel syfers van Pi moet u onthou om spesiaal te wees
Dit is vandag Pi -dag en elke dag, 14 Maart, volg die eerste drie syfers van pi (3.14). En hierdie jaar is rsquos Pi -dag 'n spesiale dag: Aangesien & mdash in die VSA en mdash die datum as 14/03/15 voorgestel word, het ons die eerste vyf syfers van pi op die kalender.
Dit is nuus vir sommige mense. As dit kom by hoeveel syfers van pi -mense uit hul kop weet, weet die meerderheid slegs 3.14. Wat goed is! Tensy u 'n brug bou, is dit die meeste wat u regtig moet weet.
Ek het SurveyMonkey Audience gevra om 'n meningspeiling te plaas om te sien hoe ver mense die oneindige syfers van pi kan kry. Van 941 respondente het 836 probeer om die syfers na die desimale punt te noem. Dit is hoe ver hulle gekom het:
VLAK VAN PRESISIE
PERSENTASIE VAN RESPONDENTE
As u by die eerste 3 na die desimale punt kan kom, kry u die top 5 persent van die pi -memorise. Ek het die mense wat so ver gekom het, gevra om aan te hou, en die meeste tik kort daarna uit.
Die grootste daling het gekom na & ldquo3.14, & rdquo, aangesien respondente wat so ver gekom het, slegs ongeveer 52 persent van die tyd tot & ldquo3.141 & rdquo gekom het.
NASA -werknemers kan waarskynlik net die eerste ses syfers na die desimale punt ken. Ons het ook sakrekenaars vir wanneer ons nog 'n paar syfers nodig het, TI-89's vir wanneer die sakrekenaars onvoldoende is en Wolfram Alpha vir wanneer ons die sakrekenaars verminder tot 'n rokerige, gesmelte gemors.
Miskien na die langverwagte apokalips, sal die ouens by die Large Hadron Collider bly wees van die ou wat tienduisende pi -syfers gememoriseer het, maar vir eers het hy 'n vreemde stokperdjie. Om pi te ken, is streng 'n performatiewe daad, soos mense wat hul SAT -telling of die persentasie voltooiing van die hoërskool gereed stel.
Hoeveel syfers van Pi het die ou Egiptenare geken? - Geskiedenis
Pi is 'n naam wat gegee word aan die verhouding van die omtrek van 'n sirkel tot die deursnee. Dit beteken dat u vir elke sirkel die omtrek (die afstand rondom die sirkel) deur die deursnee kan deel en altyd presies dieselfde getal kan kry. Dit maak nie saak hoe groot of klein die sirkel is nie, Pi bly dieselfde. Pi word gereeld geskryf met behulp van die simbool en word uitgespreek & quotpie & quot, net soos die nagereg.
'N Kort geskiedenis van Pi
Antieke beskawings het geweet dat daar 'n vaste verhouding tussen omtrek en deursnee is wat ongeveer gelyk is aan drie. Die Grieke het die proses verfyn en Archimedes word toegeskryf aan die eerste teoretiese berekening van Pi.
In 1761 bewys Lambert dat Pi irrasioneel was, dit wil sê dat dit nie as 'n verhouding van heelgetalle getel kan word nie.
In 1882 bewys Lindeman dat Pi transendentaal is, dit wil sê dat Pi nie die wortel is van enige algebraïese vergelyking met rasionele koëffisiënte nie. Hierdie ontdekking het bewys dat u nie 'n sirkel kan kwadraat nie, wat 'n probleem was wat baie wiskundiges tot op daardie tydstip beset het. (Meer inligting oor die vierkant van die sirkel.)
Hoeveel syfers is daar? Hou dit ooit op?
Omdat bekend is dat Pi 'n irrasionale getal is, beteken dit dat die syfers nooit op 'n bekende manier eindig of herhaal nie.Maar die berekening van die syfers van Pi is 'n fassinasie vir wiskundiges deur die geskiedenis. Sommige het hul lewens deurgegee om die syfers van Pi te bereken, maar tot rekenaars is minder as 1 000 syfers bereken. In 1949 het 'n rekenaar 2 000 syfers bereken en die wedloop was aan. Miljoene syfers is bereken, met die rekord (vanaf September 1999) deur 'n superrekenaar aan die Universiteit van Tokio wat 206,158,430,000 syfers bereken het. (eerste 1 000 syfers)
Meer inligting oor die geskiedenis van Pi kan gevind word in die Mac Tutor Math History -argiewe.
Benadering van Pi
Archimedes het bereken dat Pi tussen was 3 10/71 en 3 1/7 (ook geskryf 223/71
Pi bly steeds 'n bekoring van baie mense regoor die wêreld. As u belangstel om meer te wete te kom, is daar baie webwerwe wat toegewy is aan die nommer Pi. Daar is webwerwe wat duisende, miljoene of miljarde syfers, pi -klubs, pi -musiek, mense wat syfers bereken, mense wat syfers memoriseer, Pi -eksperimente en meer aanbied. Kyk na hierdie Yahoo -bladsy vir 'n volledige lys.
'N Cool Pi -eksperiment
Een van die interessantste maniere om meer oor Pi te leer, is om self pi -eksperimente te doen. Hier word 'n bekende genoem Buffon se naald.
In Buffon's Needle -eksperiment kan u 'n naald op 'n uitgevoerde vel papier laat val. As u byhou hoeveel keer die naald op 'n lyn beland, blyk dit dat dit direk verband hou met die waarde van Pi.
Buffon's Needle Simulation Applet (Michael J. Hurben)
Buffon's Needle (George Reese, Office for Mathematics, Science and Technology Education University of Illinois Champaign-Urbana)
Eerste 100 desimale plekke
Eerste 1000 desimale plekke
Pi, iemand? Die geheim om tienduisende syfers te memoriseer
Elke jaar vier wiskundeliefhebbers Pi -dag op 14 Maart, omdat die datum die eerste drie syfers (3.14) van pi of π beteken, die wiskundige konstante wat die verhouding van 'n sirkel se omtrek tot sy deursnee verteenwoordig. Hierdie jaar is die geleentheid nog meer spesiaal omdat die datum vir die eerste keer in 'n eeu die eerste vyf syfers van pi verteenwoordig: 3.14.15.
Pi is 'n irrasionale getal, wat beteken dat dit nie as 'n breuk uitgedruk kan word nie, en sy desimale voorstelling eindig nooit en herhaal nooit.
Daar is baie maniere om Pi -dag te vier, insluitend die inname van groot hoeveelhede van sy heerlike homofoon, pie. Maar 'n handjievol mense neem hul bewondering verder deur tienduisende syfers pi uit die geheue op te haal. [Die 9 grootste getalle wat bestaan]
In 1981 het 'n Indiese man met die naam Rajan Mahadevan 31,811 pi -syfers uit die geheue akkuraat opgesom. In 1989 het die Japanse Hideaki Tomoyori 40 000 syfers opgesom. Die huidige Guinness -wêreldrekord word gehou deur Lu Chao uit China, wat in 2005 67,890 syfers pi aangehaal het.
Ondanks hul indrukwekkende prestasies, is die meeste van hierdie mense nie gebore met buitengewone herinneringe nie, dui studies aan. Hulle het eenvoudig tegnieke aangeleer om syfers in sy gedagtes te assosieer met denkbeeldige plekke of tonele.
Vir baie van hierdie geheue -kampioene is die vermoë "om 'n groot aantal ewekansige syfers te onthou, soos pi, iets wat hulle hulself oor 'n lang tyd moet oplei," sê Eric Legge, 'n kognitiewe sielkundige aan die Universiteit van Alberta. Edmonton, Kanada.
Gaan die breinpaleis binne
Kundige pi -memoriseerders gebruik dikwels 'n strategie wat bekend staan ​​as die metode van loci, ook bekend as die 'geheue paleis' of die 'mind palace' tegniek (soos dié wat deur Benedict Cumberbatch se karakter in die BBC TV -reeks "Sherlock" gebruik word). Die metode word sedert die tyd van die ou Grieke en Romeine toegepas en behels die gebruik van ruimtelike visualisering om inligting, soos syfers, gesigte of woordelyste, te onthou.
"Dit is een van die meer effektiewe, maar tog ingewikkelde, geheue -strategieë wat daar is om groot stelle inligting te onthou," het Legge aan Live Science gesê.
Hier is hoe dit werk: U plaas u in 'n bekende omgewing, soos 'n huis, en loop deur die omgewing en plaas stukke inligting wat u op verskillende plekke wil onthou. U kan byvoorbeeld die nommer "717" in die hoek by die voordeur plaas, die nommer "919" in die wasbak, ensovoorts, het Legge gesê.
'Om die [syfers] in orde te herroep, hoef u net op dieselfde pad te loop as wat u gedoen het toe u die inligting gestoor het,' het Legge gesê. "Deur dit te doen, kan mense groot stelle inligting onthou."
Kweek, nie die natuur nie
Anders Ericsson, 'n professor in sielkunde aan die Florida State University in Tallahassee, het Lu en ander wat rekords opgestel het vir die herhaling van syfers van pi, bestudeer om uit te vind hoe hulle hierdie wonderlike prestasies van memorisering bereik het.
Soos die meeste ander pi -resitore, gebruik Lu visualiseringstegnieke om hom te help onthou. Hy het beelde soos 'n stoel, 'n koning of 'n perd toegewys aan tweesyfer-kombinasies van getalle wat wissel van "00" tot "99." Daarna het hy 'n storie opgestel met behulp van hierdie beelde, wat gekoppel is aan 'n fisiese ligging, het Ericsson gesê.
'N Paar jaar gelede het Ericsson en sy kollegas Lu, sowel as 'n groep mense van dieselfde ouderdom en opvoedingsvlak, 'n toets gegee wat hul "syferspan" en mdash met ander woorde gemeet het, hoe goed hulle 'n willekeurige volgorde kon onthou syfers teen 'n snelheid van een syfer per sekonde.
Lu se syfers was 8,83, vergeleke met 'n gemiddelde van 9,27 vir die res van die groep, volgens die studie, wat in 2009 in die Journal of Experimental Psychology gepubliseer is. Die resultate dui daarop dat Lu se vaardigheid om lang rye syfers te memoriseer, anders as sommige ander geheue -kenners wat bestudeer is, nie die gevolg was van 'n aangebore vaardigheid in die kodering van inligting nie. Dit was eerder die gevolg van jare lange oefening, het Ericsson gesê.
Beteken dit dan dat iemand tienduisende syfers van pi kan onthou?
"Daar was baie demonstrasies wat toon dat gereelde mense, met opleiding, hul prestasie dramaties kan verbeter" deur lang lyste te memoriseer, het Ericsson gesê. 'Maar ek moet eerlik wees,' het hy gesê. "As jy jou daartoe verbind om pi te memoriseer ... praat ons jare voordat jy werklik rekordvertonings kan bereik."
Die syfersisteem en rekenkundige bewerkings
Die Egiptenare, net soos die Romeine na hulle, het getalle volgens 'n desimale skema uitgedruk deur afsonderlike simbole vir 1, 10, 100, 1,000 te gebruik, en so meer het elke simbool soveel keer in die uitdrukking verskyn as die waarde wat dit verteenwoordig in die getal self. Byvoorbeeld, staan ​​vir 24. Hierdie taamlik omslagtige notasie is gebruik in die hiërogliewe skrif wat in klipopskrifte en ander formele tekste voorkom, maar in die papirusdokumente het die skrifgeleerdes 'n meer gerieflike verkorte skrif gebruik, hiëratiese skrif, waar byvoorbeeld 24 geskryf is / >.
In so 'n stelsel kom optel en aftrek daarop neer om te tel hoeveel simbole van elke soort in die numeriese uitdrukkings is en dan herskryf met die gevolglike aantal simbole. Die tekste wat oorleef, onthul nie watter, indien enige, spesiale prosedures wat die skrifgeleerdes hiervoor gebruik het nie. Maar vir vermenigvuldiging het hulle 'n metode vir opeenvolgende verdubbeling bekendgestel. Byvoorbeeld, om 28 met 11 te vermenigvuldig, maak 'n mens 'n tabel met veelvoude van 28 soos die volgende:
Die verskillende inskrywings in die eerste kolom wat saam 11 (d.w.s. 8, 2 en 1) is, word afgemerk. Die produk word dan gevind deur die veelvoude wat ooreenstem met hierdie inskrywings bymekaar te tel, dus, 224 + 56 + 28 = 308, die gewenste produk.
Om 308 deur 28 te deel, het die Egiptenare dieselfde prosedure omgekeerd toegepas. Deur dieselfde tabel as in die vermenigvuldigingsprobleem te gebruik, kan 'n mens sien dat 8 die grootste veelvoud van 28 produseer wat minder is as 308 (vir die inskrywing op 16 is reeds 448), en 8 is afgemerk. Die proses word dan herhaal, hierdie keer vir die res (84) verkry deur die inskrywing op 8 (224) van die oorspronklike nommer (308) af te trek. Dit is egter reeds kleiner as die inskrywing by 4, wat gevolglik geïgnoreer word, maar dit is groter as die inskrywing by 2 (56), wat dan afgemerk word. Die proses word weer herhaal vir die res wat verkry word deur 56 af te trek van die vorige res van 84, of 28, wat ook presies dieselfde is as die inskrywing by 1 en wat dan afgemerk word. Die inskrywings wat afgemerk is, word bymekaargetel, wat die kwosiënt oplewer: 8 + 2 + 1 = 11. (In die meeste gevalle is daar natuurlik 'n res wat minder is as die verdeler.)
Vir groter getalle kan hierdie prosedure verbeter word deur veelvoude van een van die faktore met 10, 20, ... of selfs met 'n groter orde van grootte (100, 1.000, ...) te oorweeg, soos nodig (in die Egiptiese desimale notasie is hierdie veelvoude maklik oefen). So kan 'n mens die produk van 28 by 27 vind deur die veelvoude van 28 by 1, 2, 4, 8, 10 en 20. Aangesien die inskrywings 1, 2, 4 en 20 optel tot 27, het een slegs om die ooreenstemmende veelvoude bymekaar te tel om die antwoord te vind.
Berekenings wat breuke behels, word uitgevoer onder die beperking tot eenheidsonderdele (dit wil sê breuke wat in moderne notasie met 1 as teller geskryf is). Om die resultaat van die deel van 4 deur 7 byvoorbeeld uit te druk, wat in die moderne notasie eenvoudig 4/7 is, het die skrifgeleerde 1/2 + 1/14 geskryf. Die prosedure vir die vind van kwosiënte in hierdie vorm strek slegs die gewone metode vir die verdeling van heelgetalle uit, waar u nou die inskrywings vir 2/3, 1/3, 1/6, ens., En 1/2, 1/4, 1/8, ens., Totdat die ooreenstemmende veelvoude van die verdelersom tot die dividend. (Die skrifgeleerdes bevat 2/3, kan gesien word, alhoewel dit nie 'n eenheidsbreuk is nie.) In die praktyk kan die prosedure soms baie ingewikkeld raak (byvoorbeeld, die waarde vir 2/29 word in die Rhind -papirus aangegee as 1/ 24 + 1/58 + 1/174 + 1/232) en kan op verskillende maniere uitgewerk word (dieselfde 2/29 kan byvoorbeeld gevind word as 1/15 + 1/435 of as 1/16 + 1/ 232 + 1/464, ens.). 'N Aansienlike deel van die papirustekste word aan tabelle gewy om die vind van sulke eenheidsbreukwaardes te vergemaklik.
Hierdie elementêre bewerkings is alles wat u nodig het om die rekenkundige probleme op die papirus op te los. Byvoorbeeld, 'om 6 brode tussen 10 mans te verdeel' (Rhind papyrus, probleem 3), verdeel 'n mens net om die antwoord 1/2 + 1/10 te kry. In een groep probleme word 'n interessante truuk gebruik: ''n Hoeveelheid (aha) en sy sewende saam maak 19 - wat is dit? " (Rhind papyrus, probleem 24). Hier veronderstel ons eers dat die hoeveelheid 7 is: sedert 1 1 /7 daarvan word 8, nie 19 nie, een neem 19/8 (dit wil sê 2 + 1/4 + 1/8), en sy veelvoud met 7 (16 + 1/2 + 1/8) word die vereiste antwoord. Hierdie tipe prosedure (soms die metode van 'valse posisie' of 'valse aanname' genoem) is bekend in baie ander rekenkundige tradisies (byvoorbeeld die Chinese, Hindoe, Moslem en Renaissance -Europese), hoewel dit blykbaar geen direkte verband het nie aan die Egiptenaar.
10 000 syfers van Pi wat vir mense geformateer is
Die vreugde van seksagesimale dryfpunt-rekenkunde
Verlede maand het ek geskryf oor die hype rondom 'n nuwe artikel oor die veel bestudeerde tablet Plimpton 322. Hierdie antieke Mesopotamiese tablet, wat die afgelope paar dekades in baie akademiese artikels onderwerp is, bevat kolomme getalle wat verband hou met regte driehoeke, maar ons weet nie presies hoe of hoekom die tafel geskep is nie.
In my pos kritiseer ek die publisiteitsvideo wat die navorsers gemaak het om die publikasie te vergesel. Ek was veral geïrriteerd oor die vreemde opmerkings wat een van die navorsers gemaak het oor die relatiewe nut van basis 60, of seksagesimaal, teenoor die basis 10, of desimale, stelsel wat ons vandag gebruik.
Om duidelik te wees, basis 60 het 'n groot voordeel bo basis 10: 60 is deelbaar met 3, en 10 is nie rsquot nie. Dit is maklik om die breuke 1/2, 1/4 en 1/5 in basis 10 te skryf: hulle onderskeidelik 0,5, 0,25 en 0,2. Maar 1/3 is 0.3333 & hellip. Sy desimale voorstelling eindig nie. Dit is regtig nie 'n te groot probleem vir ons nie, want ons voel gemaklik om getalle as desimale of breuke voor te stel. Maar die Babiloniese getallestelsel verteenwoordig nie breuke in terme van tellers en noemers soos ons dit doen nie. Hulle gebruik slegs die seksagesimale vorm, wat net soos ons net desimale gebruik in plaas van getalle as breuke te skryf. In seksagesimaal het 1/3 'n maklike voorstelling as. Dit is 20/60, wat as .20 in 'n seksagesimale stelsel geskryf kan word. (Dit is nie presies so geskryf deur eertydse Mesopotamiërs omdat hulle nie 'n ekwivalent van 'n desimale punt gehad het nie. Ons kom later daarna terug.)
Hoe meer priemfaktore, hoe beter om getalle maklik voor te stel met behulp van 'n posisionele getallestelsel soos basis 10 of 60, maar die ekstra faktore kos 'n prys. In basis 10 hoef ons slegs 10 syfers te leer. Basis 30, die kleinste basis wat deelbaar is deur 2, 3 en 5 (60 het 'n ekstra faktor van 2 wat nie 'n groot verskil kan maak in hoe maklik dit is om getalle voor te stel nie), benodig 30 verskillende syfers. As ons breuke soos 1/7 met 'n analoog voorstelling wil skryf, moet ons heeltemal na die basis 210 spring. Om met soveel syfers te werk, word baie vinnig omslagtig.
Breuke waarvan die noemers slegs faktore 2 en 5 het, het eindige desimale voorstellings. Base 12 sou ook redelik gerieflik wees. Dit het prima faktore van 2 en 3, en dit is redelik maklik om tot 12 op u vingers te tel met die kneukels van een hand in plaas van die individuele vingers. (Een van my wiskundegeskiedenisstudente het 'n plasing geskryf waarin hy argumenteer vir 'n basis 12 of dosyn getallestelsel.) Met basis 12 verloor ons die vermoë om 1/5 of 1/10 maklik voor te stel. Maar 30 of 60, die kleinste basisse wat die primêre faktore 2, 3 en 5 toelaat, is vreeslik groot. Dit is 'n afruil. Persoonlik is die idee om 30 of 60 verskillende syfers by te hou, selfs al is dit redelik vanselfsprekend, soos die Babiloniese syfers, te veel vir my, so ek bly by 10 of 12. Maar gaan voort seksagesimaal as dit jou ding is.
Base 60 het beslis die grootste voordeel bo basis 10, maar ek was geïrriteerd oor die manier waarop Mansfield die voordeel in die reklamevideo wat hulle saam met die koerant gemaak het, oorskat. Hier is wat ek verlede maand daaroor geskryf het:
Miskien is die nut van verskillende soorte trig -tabelle 'n opinie, maar die UNSW -video bevat ook 'n paar onwaarhede oor akkuraatheid in basis 60 teenoor die basis 10 -stelsel wat ons nou gebruik. Rondom die 1:10 -punt, sê Mansfield, & ldquo Ons tel in basis 10, wat slegs twee presiese breuke het: 1/2, wat 0,5 is, en 1/5. & rdquo My eerste beswaar is dat enige breuk presies is. Die getal 1/3 is presies 1/3. Mansfield maak dit duidelik dat wat hy bedoel met 1/3 nie 'n presiese breuk is nie, dat dit 'n oneindige (0.333 & hellip) het eerder as 'n eindige desimaal. Maar wat van 1/4? Dit is 0,25, wat eindig, en Mansfield beskou dit nie as 'n presiese breuk nie. En wat van 1/10 of 2/5? Dit kan 0.1 en 0.4 geskryf word, wat redelik presies lyk.
As hy die vele & ldquoexact breuke & rdquo wat in basis 60 beskikbaar is, prysenswaardig toegepas word, pas hy nie dieselfde standaarde toe nie. In basis 60 sou 1/8 7/60+30/3600 geskryf word, wat dieselfde idee is as om 0,25, of 2/10+5/100, vir 1/4 in basis 10 te skryf. Waarom is 1/8 presies in basis 60, maar 1/4 nie presies in basis 10 nie?
Ek gaan nie my berig hier herhaal nie, maar ek wil een punt verduidelik. 'N Paar mense wat hierdie kritiek op die video gekritiseer het, dink die getalle wat ek daar genoem het, is net toevallige getalle wat in die eter in die video dryf. Hulle & rsquore nie! Omdat Mansfield nie verduidelik het wat die getalle beteken nie, lyk dit dalk lukraak, maar in werklikheid beteken die uitdrukking 1/8 = 7.30 iets. Ek het my studente 'n bietjie met rekenkunde 60 laat werk toe ek wiskundegeskiedenis geleer het, en ek het dadelik die pare herken wat hy vertoon het as & ldquoreciprocalpare & rdquo in basis 60. Die spykerskrif ekwivalent van die vergelyking 1/8 = 7.30 sou betekenisvol gewees het vir 'n wiskundig opgeleide persoon in 1800 vC.
'N Skermkiekie van die promosievideo -navorsers wat gemaak is om hul koerant oor die Babiloniese tablet Plimpton 322 te vergesel. Krediet: UNSW
Die Babiloniese getallestelsel was 'n posisionele of plekwaarde stelsel soos ons s'n. In ons desimale stelsel kan die syfer 1 een eenheid beteken as dit op sigself is, tien as dit in die tiene plaas in 'n getal soos 10 of 12, honderd as dit in die volgende plek links is, ensovoorts. In 'n posisionele basis 60-stelsel sou daar 'n een-plek, 'n sestiger-plek, 'n plek van ses-en-dertig, ensovoorts wees, eerder as dié, tiene en honderde waaraan ons gewoond was. Maar behalwe dit, werk die stelsel op dieselfde manier as ons s'n. Dit is in teenstelling met byvoorbeeld Romeinse syfers, waar ek een beteken, X tien, C beteken honderd, ensovoorts. Die Babiloniese stelsel is dus 'n bietjie makliker vir ons om mee te werk as die Romeinse stelsel.
Maar daar is 'n wending: die Babiloniese stelsel het ten minste aan die begin nie 'n nul gebruik nie. (Ek het oor hierdie eienaardigheid geskryf toe ek in 2014 met wiskundegeskiedenis begin leer het.) Ons gebruik nul as 'n plekhouer, hetsy in die middel van 'n getal, soos in die getal 101, of aan die begin (0.001) of einde (1,000) dui die grootte aan van die getal waaroor ons praat. Antieke Mesopotamiërs het dit nie gedoen nie, alhoewel hulle 'n bietjie ruimte gelaat het vir leë syfers in die middel van 'n getal waar ons die nul in 101 sou skryf. Hulle het aangeneem dat die konteks die volgorde van grootte duidelik sou maak. In ons getallestelsel sou dit wees soos om 1 te skryf en as dit duidelik sou wees of dit een, tien, een tiende, honderd of 'n ander getal beteken wat ons slegs met die syfers een en nul sou skryf.
Dit klink verwarrend, en dit het tot 'n paar foute gelei, maar ons maak ook dom foute op grond van hoe ons getalle skryf: die syfers 6 en 0, of 1 en 7, lyk byvoorbeeld dieselfde in sommige mense se handskrif. Ons laat selfs soms 'n grootte orde weg as dit in konteks verstaan ​​word. Mense praat oor iets eet met 100 kalorieë, wat regtig 100 kilokalorieë beteken. Eiendomsadvertensies sê soms dinge soos & ldquo Huise uit die $ 100's & rdquo (in voorstede in Texas toe ek 'n kind was) of & ldquoUnits uit die $ 500's & rdquo (in groot stede vandag). As u met 'n paar honderd dollar opdaag en dink dat u 'n huiseienaar terugkom, sal u baie jammer wees dat u nie die stilswyende en ldquothousand aan die einde van die getalle verstaan ​​het nie.
Vandag verteenwoordig en manipuleer rekenaars getalle oor die algemeen met behulp van rekenkundige dryfpunte, wat u aan wetenskaplike notasie kan herinner. Een stel syfers dui die syfers in die getal aan en die ander stel dui die volgorde van grootte aan. Op hierdie manier verg dit basies dieselfde hoeveelheid geheue om die nommer 12 as die nommer 12,000,000 te stoor.Alhoewel die Babiloniese stelsel nie so groot soos 'n moderne rekenaar aangedui het nie, is die ooreenkomste genoeg vir sommige mense om dit as 'n seksagesimale dryfpunt te noem.
Die feit dat 1 een, sestig, ses-en-dertighonderd of ander magte van 60 in die Babiloniese getallestelsel kan aandui, het gelei tot 'n ander manier van dink oor verdeeldheid. As hulle met 'n getal moes deel, sou hulle vermenigvuldig met 'n & ldquoreciprocal & rdquo van die getal. Twee getalle sou wederkerig wees as hul produk die syfer 1. Maar dit kan enigiets beteken wat geskryf is as die ekwivalent van die syfer 1 in basis 60: 1, 60, 3600, 1/60, ensovoorts. Dus vorm 4 en 15 'n wedersydse paar in basis 60 omdat 4 & tye15 60 is. So ook 3 en 20, 5 en 12, en vele ander kombinasies. (Hierdie pare voel dalk bekend: daar is 15 minute in 'n kwartier, 20 in 'n derde, ensovoorts. Ek beskou dit graag as vestigiale seksagesimisme.) Wederkerige tabelle bevat ook meer ingewikkelde wederkerige pare: 8 en 7,30 9 en 6,40 1,21 en 44,26,40. (Vandag plaas ons gewoonlik kommas tussen seksagesimale syfers as ons dit met ons Hindoe-Arabiese desimale skryf om dubbelsinnigheid te vermy. 7,30 beteken dat een plek 'n 7 het en een 'n 30. Die volgorde van grootte hang nog steeds af van die konteks. )
Aanvanklik het stellings soos 1/4 = 15 en 1/8 = 7,30 vir my en my studente onnatuurlik gevoel, maar ek dink dit kan 'n bietjie help om dit na basis 10 te vertaal. Toe ek 'n kind was, het ek 'n wonderlike feit ontdek: in plaas daarvan om met 5 te vermenigvuldig, wat vir my moeilik was, kon ek deur 2 deel, wat vir my maklik was, en vermenigvuldig met 10. Ek het nie so daaraan gedink nie. Ek het meer daaraan gedink as & ldquodivide met 2 en dan die nommer die regte grootte gemaak. , wat kan lyk soos 'n nul wegneem of 'n desimale punt na links skuif)! Ek het ook gevind dat ek met 50 kan vermenigvuldig deur dieselfde truuk te gebruik en nog 'n 0 by te voeg.
Ek was baie tevrede met hierdie klein truuks, maar het dit nooit vir my onderwysers gesê nie, want ek was seker ek bedrieg. As ek gevang word, sal ek moet leer hoe om te vermenigvuldig of te deel met 5. Die afgryse! Ek weet nou hoekom my truuks gewerk het en dat hulle nie bedrieg het nie. Ek gebruik die feit dat 5 en 2 desimale wisselpunte is. Trouens, dit is goed om getalle op 'n maklike manier uitmekaar te skei om rekenkunde makliker te maak. Toe ek die Babyloniese basis 60-stelsel die eerste keer teëkom, herken ek die 5-2-truuk as 'n basis 10-weergawe van seksagesimale en ldquoreciprocale pare. verskillende maniere om dit voor te stel, kan studente (en nie-studente) help om ons getalbesef te ontwikkel en pret te hê.
Vir meer inligting oor die Babiloniese getallestelsel:
'N Inleiding tot Babiloniese syfers van die MacTutor -wiskundegeskiedeniswebwerf
Duncan J. Melville se Mesopotamiese Wiskunde -bladsy sien veral 'Spesiale onderwerpe', wat artikels bevat oor Babiloniese wedersydse pare
Die menings wat uitgespreek word, is die van die outeur (s) en is nie noodwendig die van Scientific American nie.
Begrafnis van Farao
Mummifikasie en begrafnis het 'n belangrike plek in die Egiptiese lewe beklee. Die Egiptenare het geglo die behoud van die liggaam gewaarborg die siel se voortbestaan in die hiernamaals. Die farao het sy graf begin bou kort nadat hy die troon aangeneem het. Die liggings en tipes grafte wat gebou is, het mettertyd verander en toe die hoofstad van die land verhuis het. Grafte bevat versierings van die farao se reis in die hiernamaals en tekste uit die Boek van die Dooies.
& kopie Mary Harrsch - Versierde sarkofaag
Die vroegste faraoniese grafte is die mastaba -grafte gemaak van moddersteen. Geleerdes het hierdie grafte in sommige van die oudste begraafplase naby die ou hoofstede gevind (sien hooflys hieronder). Mastabas was, soos alle ou Egiptiese begraafplase, op die westelike oewer van die Nyl, wat die doderyk was.
Piramides was uitwerkings van die mastaba -ontwerp van klip. Die eerste was die Stap piramide van Djoser wat Imhotep ontwerp het. Argitekte het die piramides beplan en 'n lykshuis en ander koninklike grafte in die kompleks ingesluit. Die Groot Piramide van Khufu in Giza is die grootste voorbeeld van hierdie tipe graf.
& kopieer DragonWoman - Pyramid Complex in Giza
Later het farao's gesien dat grafrowers by die vroeëre grafte ingebreek het, sodat hulle geheim gehou het rotsgesnyde grafte. Die gebied waar hulle hierdie grafte gebou het, word nou die Vallei van die Konings genoem. Sommige grafte bevat verskeie kamers en meer as een liniaal.
Farao's ontvang uitgebreide begrafnisse wat 'n wye verskeidenheid goedere bevat. Eers het priesters farao's begrawe met items soos klere, meubels, speletjies en juweliersware. Gedurende die negentiende dinastie het priesters hulle begin begrawe met items wat gemaak is vir die hiernamaals. 'N Voorbeeld hiervan is die klei -shabti -beeldjies wat gemaak is om die farao te dien. Priesters het kos, olie en skottelgoed in die grafte geplaas om die koning in die hiernamaals te voed.