You are here: Home » Content » Wiskunde Graad 9 » Sommige vierhoeke en hul kenmerke
[LU 3.4] Hier kry jy met sommige baie belangrike vierhoeke te doen. Ons moet hul kenmerke ken, want hulle kom oral om ons voor in die natuur, maar veral in mensgemaakte voorwerpe.
Ons begin egter eers met die woord vierhoek. Dit beskryf ‘n plat figuur met vier reguit sye en dus vier hoeke. Ons gaan die sye bestudeer (dikwels in teenoorstaande pare); die binnehoeke (ook dikwels in pare); die diagonale (of hoeklyne), en simmetrie–lyne. Let op vir nuwe terme en maak seker dat jy hulle goed begryp voordat jy voortgaan.
1. Simmetrie-lyne Jy is alreeds goed bekend met die vierhoek wat ons ‘n vierkant noem.
Is daar ‘n spesiale woord vir die stippellyn in een van die vlieërs in die skets?
Het ek goeie werk gelewer in hierdie deel?
2. Sylengtes Figuur 7
Bestudeer nou al die verskillende weergawes van die ses soorte vierhoeke. Meet die sye so akkuraat as moontlik om uit te vind of daar sye is met gelyke lengtes, en merk hulle op die sketse. In hierdie parallelogram is die teenoorstaande sye gelyk, want hulle is gemerk met die klein strepies.
- Is ‘n ruit net ‘n parallelogram met vier gelyke sye?
3. Ewewydige sye Soos jy sekerlik weet, bly ewewydige lyne altyd ewe ver van mekaar af. Dit beteken dat hulle nooit ontmoet nie, al maak jy hulle ook hoe lank. Hulle hoef nie ewe lank te wees nie. Jy weet reeds hoe om ewewydige lyne met klein pyltjies aan te dui.
Nou moet jy ewewydige lyne soek in al jou vierhoeke – dalk moet jy ‘n bietjie meetwerk doen. Dis nie maklik nie, maar as jy konsentreer en metodies te werk gaan, sal jy vorder. Merk dié wat jy vind.
- As jy net een sy van enige trapesium kon verander, sou jy dit ‘n parallelogram kon maak? Hoe moet jy die sy verander?
Dit is maklik om die binnehoeke met jou gradeboog te meet. Skryf die groottes in op elke skets en soek dan gelyke hoeke en regte hoeke. Merk die gelyke hoeke soos in die skets van die parallelogram hier langsaan.
- Tel die binnehoekgroottes van elke vierhoek bymekaar en skryf die antwoord langs die vierhoek. Verbaas die antwoord jou?
Diagonale of hoeklyne word van een hoek na die teenoorstaande hoek getrek. Teken al die hoeklyne van al die vierhoeke (partykeer sal hulle saamval met die simmetrie–lyne).
Meet die hoeklyne om uit te vind in watter vierhoeke die hoeklyne gelyke lengtes het. Merk dié wat eenders is, soos jy gelyke sye gemerk het.
Gebruik jou gradeboog en meet noukeurig teen watter hoek die hoeklyne mekaar kruis, en skryf die waardes in op die sketse. Let op waar hierdie hoeke 90° is.
Die hoeklyne verdeel ook die binnehoeke. Meet hierdie hoeke wat so gevorm word, skryf die waardes in, en soek daardie gevalle waar die hoeklyne die binnehoeke presies halveer.
6. Tabelleer jou bevindings:
Voltooi die volgende tabel (om jou resultate op te som) van al die eienskappe van elke vierkant wat jy ondersoek het.
Maak seker dat jou waarnemings vir alle weergawes van dieselfde vorm geld. Byvoorbeeld, een trapesium het dalk gelyke hoeklyne, maar geld dit vir alle trapesiums? As jy vind dat ‘n ruit twee gelyke hoeklyne het, is die regte naam daarvoor wel “ruit”?
Hierdie tabel is vol nuttige inligting. Maak seker al die inskrywings is korrek, en hou dit vir die volgende oefeninge.
Alle sye gelyk
2 pare teenoorstaande sye gelyk
2 pare aanliggende sye gelyk
2 pare ewewydige sye
Slegs 1 paar ewewydige sye
Geen ewewydige sye
Alle binnehoeke gelyk
2 pare teenoorstaande binnehoeke gelyk
Slegs 1 paar teenoorstaande hoeke gelyk
Hoeklyne altyd gelyk
Hoeklyne loodreg op mekaar
Beide hoeklyne halveer binnehoeke
Slegs een hoeklyn halveer binnehoeke
Beide hoeklyne halveer oppervlakte van vierhoek
Slegs een hoeklyn halveer oppervlakte
Hoeklyne halveer mekaar
In hierdie leereenheid kom heelwat nuwe terme by. Party leerders sal reeds die woorde begryp, ander sal moet bygebring word. Wees waaksaam – baie woorde wat in algemene gebruik is, het dikwels ‘n meer beperkte gebruik in ‘n wiskundige konteks. Benadering
Daar word van die leerders verwag om te doen sodat hulle werklik kan begryp wat die vierhoeke behels. Moedig hulle aan om te eksperimenteer totdat hulle die eienskappe goed verstaan. Op hierdie stadium kan hulle begin om ‘n samevatting van meetkundige grondbeginsels op te bou vir eie gebruik in die senior fase.
Baie leerders vind ruimtelike konsepte moeilik – hulle het dalk ekstra hulp nodig by basiese werk soos die noukeurige meet van lynlengtes en hoeke. Dis ‘n goeie rede om meer aandag aan hierdie aspekte te wy, in plaas daarvan om dit te ignoreer. Dit is tog belangrike lewensvaardighede. Maak seker dat daar ‘n paar ekstra bruikbare liniale en gradeboë in die klas is.
Die diagramblaaie kan gekopieer word, sodat elke leerder toegang het tot soveel as hy benodig om werklik die stryd aan te sê met probleemoplossing in meetkunde. Die basis wat nou gelê word, sal groot gevolge hê in die senior fase.
1.2 Die stippellyn in die ruit is NIE ‘n simmetrie-lyn nie – ‘n mens kan net die figuur langs die lyn vou om dit te bevestig.
1.4 Daar is verbasend min verskille tussen die reghoek en die vierkant. As ons later ‘n tabel maak, sal dit duidelik daaruit blyk.
1.5 ‘n Mens moet versigtig wees dat leerders nie aanneem dat trapesiums simmetries moet wees nie. Maak ook seker dat hulle nie onder die algemene vals indruk verkeer dat ewewydige lyne dieselfde lengte moet hê nie.
1.6 Die stippellyn in die vlieër is eintlik ‘n hoeklyn – dit is ongewoon dat hoeklyne buite die figuur lê. Dit is nie ‘n simmetrie-lyn nie, inderwaarheid stem dit ooreen met die “kort” hoeklyn van die ander vlieër. Hier langsaan is ‘n vlieër waar die kort hoeklyn ook die simmetrie-lyn is.
2. Ja, ‘n ruit IS ‘n parallelogram.
3. ‘n Baie interessante vraag – die ooglopende antwoord is om een van die nie-ewewydige sye parallel aan die teenoorstaande sy te maak. MAAR die gevolg daarvan is dat die lengte van een van die ewewydige sye dan verander. Dus, twee sye sal moet verander.
4. Herinner die leerders aan die stelling dat ko-binnehoeke by ewewydige lyne supplementêr is. Wys gerus die leerders weer dat ‘n vierhoek in twee driehoeke verdeel kan word om te bewys dat die som van die binnehoeke van enige vierhoek 360° is. Benewens die eienskappe van die hoeklyne van die vierhoeke, is hulle van belang aangesien hulle vierhoeke in driehoeke verdeel – en die leerders ken reeds baie tegnieke om op driehoeke toe te pas.
Wanneer leerders die tabel invul, moet hulle dit eers in potlood doen – hulle sal sekerlik nie perfekte antwoorde hê nie, maar as hulle klaar is moet hulle in besit wees van ‘n korrekte en bruikbare instrument.
Die oefening om vierhoeke te vergelyk het nie net een stel korrekte antwoorde ten doel nie; vierhoeke is baie aanpasbaar. Die eintlike waarde in die oefening is dat leerders moet gewoond word om hulle antwoorde te motiveer met die doel om ‘n aanhoorder te oortuig. Die beste rol vir die opvoeder is om gedurig te vra, “Waarom sê jy so?”, en om die groeplede aan te moedig om nie stellings van mekaar te aanvaar sonder verduidelik en motivering nie. Hierdie vaardigheid (om in staat te wees om jou bewerings te staaf) is algemeen van toepassing en van belang. In ander boeke word die definisies van vierhoeke dalk in ander volgordes gegee. Hier is niks mee fout nie. Op hierdie stadium kan die leerders ‘n taak gegee word om die uitgeknipte vierhoeke in ‘n struktuur van verwantskappe te plaas, en in te plak.
« Previous module in collection Konteks en terminologie van waarskynlikheidsleer
Next module in collection » Vergelyking van vierhoeke ten opsigte van verskille en ooreenkomste
This work is licensed by Siyavula Uploaders under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Siyavula Uploaders on Aug 21, 2009 10:59 am +0000. Add to a lens