Analitiese Meetkunde - Graad 10 [CAPS]
You are here: Home » Content » Analitiese Meetkunde - Graad 10 [CAPS]
Based on: Analytical Geometry - Grade 10 [CAPS] by Free High School Science Texts Project InleidingAnalitiese meetkunde, ook bekend as
Afstand tussen Twee PunteAs ons die koördinate van die hoekpunte van 'n figuur het, dan kan ons die figuur op die Cartesiese vlak teken. Byvoorbeeld, neem die vierhoek ABCD met koördinate A(1,1), B(1,3), C(3,3) en D(1,3) en stel dit voor op die Cartesiese vlak. Dit word getoon in figuur 1. Figuur 1: Vierhoek ABCD voorgestel op die Cartesiese vlak
Afstand tussen Twee PunteEen van die eenvoudigste dinge wat met analitiese meetkunde bereken kan word, is die afstand tussen twee punte. Afstand is a getal wat beskryf hoe ver twee punte van mekaar is. Byvoorbeeld, punt PP het (2,1)(2,1) as koördinate en punt QQ het (-2,-2)(-2,-2) as koördinate. Hoe ver is die punte PP en QQ van mekaar? In die figuur beteken dit, hoe lank is die stippellyn?Figuur 2In die figuur kan gesien word dat lyn PRPR 3 eenhede lank is en lyn QRQR 4 eenhede. ▵PQR▵PQR het 'n regte hoek RR. Dus kan die lengte van sy PQPQ bereken word deur Stelling van Pythagoras te gebruik:
(1)Die lengte van PQPQ is gelyk aan die afstand tussen punte PP en QQ.As 'n veralgemening van die idee, neem aan dat AA enige punt is met (x1;y1)(x1;y1) as koördinate en BB is enige ander punt met (x2;y2)(x2;y2) as koördinate.Figuur 3Die formule vir die berekening van die afstand tussen twee punte word as volg afgelei. Die afstand tussen twee punte AA en BB is die lengte van die lyn ABAB. Volgens die Stelling van Pythagoras, word die lengte van ABAB gegee deur:
(5)Khan Akademie video oor die afstandformuleFiguur 4Khan Akademie video oor die afstandformule
Berekening van die Gradiënt van 'n LynDie gradiënt van 'n lyn beskryf hoe steil die lyn is, hoe groot die helling van die lyn is. In die figuur hieronder is lyn PTPT se helling die grootste. Lyn PSPS is minder steil as PTPT maar is steiler as PRPR, en die lyn PRPR is steiler as PQPQ.Figuur 5Die gradiënt van die lyn word gedefinieer as
punt AA met koördinate (x1;y1)(x1;y1) en punt BB met koördinate (x2;y2)(x2;y2).Figuur 6Gradiënt=y2-y1x2-x1=y2-y1x2-x1Ons kan gradiënt gebruik om te bepaal of twee lyne parallel is aan mekaar of loodreg is op mekaar. As die lyne parallel is (figuur 7a) sal hulle dieselfde gradiënt hê, byvoorbeeld mAB=mCDmAB=mCD. As hulle loodreg is op mekaar, (figuur 7b) dan sal: -1mAB=mCD-1mAB=mCD
Byvoorbeeld, die gradiënt van die lyn tussen punt PP en QQ, met koördinate (2;1) en (-2;-2) (figuur 2) is:
(6)Die volgende video bied 'n opsomming van die gradiënt van 'n lyn.
Figuur 8Gradiënt van 'n lyn
Middelpunt van 'n LynstukSoms is dit nuttig om die koördinate van 'n lyn se middel of middelpunt te hê. Byvoorbeeld: wat is die middelpunt van die lynstuk tussen punt PP met koördinate (2;1)(2;1) en punt QQ met koördinate (-2;-2)(-2;-2)?Die koördinate van die middelpunt van 'n lyn tussen enige twee punte AA en BB met koördinate (x1;y1)(x1;y1) en (x2;y2)(x2;y2), word as volg bereken. Gestel die middelpunt van ABAB is die punt SS met koördinate (X;Y)(X;Y). Die doel is om te bereken XX en YY in terme van (x1;y1)(x1;y1) en (x2;y2)(x2;y2).Figuur 9
(7)Dus die koördinate van (SS), die middelpunt van die lyn tussen punt PP met koördinate (2;1)(2;1) en punt QQ met koördinate (-2;-2)(-2;-2), is:
is by (
(8)Dit kan bewys word dat die afstande vanaf die eindpunte na die middelpunt gelyk is. Die koördinate van die middelpunt SS is (0;-0,5)(0;-0,5).
(10)Daar kan gesien word dat PS=QSPS=QS soos verwag is.Figuur 10Die volgende video verskaf 'n opsomming oor die berekening van die middelpunt van 'n lyn.
Figuur 11Khan Akademie video oor die middelpunt van 'n lynOpsommingFigure kan voorgestel word op die Cartesiese vlak Die formule om die afstand tussen twee punte te vind: Afstand=(x1-x2)2+(y1-y2)2Afstand=(x1-x2)2+(y1-y2)2(11) Die formule om die gradiënt van 'n lyn te vind: Gradiënt=y2-y1x2-x1Gradiënt=y2-y1x2-x1(12) Die formule om die middelpunt van die lyn tussen twee punte te vind: S
As twee lyne parallel is, sal hulle dieselfde gradiënt hê: mAB=mCDmAB=mCD. As twee lyne loodreg is op mekaar, dan het ons: -1mAB=mCD-1mAB=mCDKoördinaatmeetkunde In die gegewe diagram is die hoekpunte van 'n veelhoek F(2;0), G(1;5), H(3;7) en I(7;2).
Wat is die lengtes van die sye van FGHI?
Kliek hier vir die oplossing 'n Veelhoek ABCD met hoekpunte A(3;2), B(1;7), C(4;5) en D(1;3) word gegee.
Kliek hier vir die oplossing ABCD is 'n veelhoek met hoekpunte A(0;3), B(4;3), C(5;-1) en D(-1;-1).
Wys dat die hoeklyne AC en BD mekaar nie halveer nie.
Kliek hier vir die oplossing P, Q, R en S is die punte (-2;0), (2;3), (5;3) en (-3;-3) onderskeidelik.
Watter tipe veelhoek is PQRS? Gee redes vir jou antwoord.
EFGH is 'n parallelogram met hoekpunte E(-1;2), F(-2;-1) en G(2;0). Vind die koördinate van H deur gebruik te maak van die feit dat die hoeklyne van 'n parallelogram mekaar halveer.Kliek hier vir die oplossing
This work is licensed by Free High School Science Texts Project under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Free High School Science Texts Project on Jun 17, 2011 9:47 am -0500. Add to a lens