Ultraproducts and Los's Theorem: A Category-Theoretic Analysis
Chimes, Mark Jonathan (2017-03)
AFRIKAANSE OPSOMMING : Ultraprodukte is 'n belangrike konstruksie in modelteorie, veral in hul toepassings in algebra. Gegewe 'n reeks strukture van 'n sekere tipe, is 'n ultraproduk van hierdie reeks 'n enkele struktuur wat, op 'n manier, die belangrikste aspekte van die reeks bevat, waar "belangrik" hier gedefinie¨er word met betrekking tot 'n versameling reekse wat 'n ultrafilter genoem word. Hierdie ultrafilter verteenwoordig watter subreekse deur die ultraproduk as "groot" beskou word. Dit is 'n gevolgtrekking van Lo´s se Stelling, dit wil sˆe, 'n eersteorde stelling is waar met betrekking tot die ultraproduk as, en slegs as, daar 'n "groot" subreeks (van die hoofreeks) bestaan sodat die stelling waar is met betrekking tot elke struktuur in di´e subreeks. In hierdie tesis word ultraprodukte uit die standarde model-teoretiese oogpunt behandel, sowel as uit die oogpunt van kategorie teorie. Potentie¨ele probleme met die kategorie-teoretiese ultraproduk word uitgelig, maar dit word geargumenteer dat hul nie so 'n groot probleem veroorsaak as wat dit blyk nie. 'n Algmene weergawe van Lo´s se stelling is bewys vir alle kategorie¨e. D´ıt maak gebruik van die konsep van injektiwiteit van 'n (kompakte) boom. Die bedoeling hiervan is om die waarheid van 'n eerste-orde stelling (onder 'n gegewe toedeling van veranderlikes) te veralgemeen. Hierdie idee ly tot 'n metode om liggame in die kategorie van groepe uit te lig, sowel as 'n nuwe bewys dat elke ultraproduk van liggame weer self 'n liggaam is. Hierdie bewys neem heeltemaal in die kategorie van groepe plaas (tesame met die funktor wat die kategorie van liggame in die kategorie van groepe insluit). Laastens, word dit angevoer dat die reeks van alle (kategorie-teoretiese) ultraprodukte van 'n gegewe reeks bestaan uit die "codigtheids monade" van die funktor wat die kategorie van eindige reekse insluit in die kategorie van oneindige reekse. Hierdie is dan 'n oortuiging dat ultraprodukte redelik natuurlik bestaan, ten minste uit die oogpunt van kategorie-teorie.
Please refer to this item in SUNScholar by using the following persistent URL: http://hdl.handle.net/10019.1/101202