Basiese beginsels van meetkunde - Graad 10 [CAPS]
You are here: Home » Content » Basiese beginsels van meetkunde - Graad 10 [CAPS]
Based on: Geometry Basics - Grade 10 [CAPS] by Rory Adams, Free High School Science Texts Project, Mark Horner, Heather Williams InleidingDie doel van hierdie hoofstuk is om van die meetkundige en trigonometriese konsepte, wat jy al in vroeëre grade teëgekom het, te hersien. Jy moet gemaklik wees met die werk wat behandel word in die hoofstuk voor jy die Graad 10 Meetkunde Hoofstuk of die Graad 10 Trigonometrie Hoofstuk aanpak. Die hoofstuk hersien die volgende:
Punte en LyneDie twee eenvoudigste elemente in meetkunde is punte en lyne.
ŉ Punt is ŉ koördinaat wat ŉ posisie in ruimte aandui (of op ŉ getallelyn, in ŉ vlak of in ŉ drie- of meer dimensionele ruimte) en word voorgestel deur ŉ dot. Punte word gewoonlik aangedui met ŉ hoofletter. ŉ Paar voorbeelde van hoe punte aangedui word, kan gesien word in figuur 1.ŉ Lyn is ŉ stel kontinue koördinate in ŉ ruimte en kan gesien word as baie punte wat langs mekaar is. Lyne kan reguit of geboë wees, maar is altyd kontinu en dus is daar geen onderbrekings in lyne nie. Die eindpunte van lynstukke word met hoofletters aangedui. Voorbeelde van twee lyne word in figuur 1 aangetoon.
Figuur 1: Voorbeelde van ŉ paar punte (aan gedui deur PP, QQ, RR en SS ) en ŉ paar lyne (aan gedui deur BCBC en DEDE )ŉ Lyn word aangedui deur ŉ beginpunt en ŉ eindpunt. Ons noem ŉ lyn wat begin by punt AA en eindig by punt BB, ABAB. Aangsien die lyn van punt BB tot punt AA dieselfde is as as die lyn van punt AA tot die punt BB, kan ons sê dat AB=BAAB=BA.Die lengte tussen die punte AA en BB is ABAB . Dus as ons sê AB=CDAB=CD word dit bedoel dat die lengte van die lynstuk tussen AA en BB gelyk is aan die lengte tussen CC en DD.ŉ Lyn word gemeet in eenhede van lengte. ŉ Paar voorbeelde van algemene eenhede van lengte word gelys in tabel 1.
Tabel 1: ’n Paar algemene eenhede van lengte en hul afkortings
Hoekeŉ Hoek word gevorm as twee lyne in ŉ gemeenskaplike punt ontmoet. Die punt waar twee lyne ontmoet staan bekend as die hoekpunt. Hoeke word aangedui deur ŉ ^^  (genoem 'n kappie) bo 'n letter te plaas. Byvoorbeeld, in figuur 2 is daar 'n hoek by B^B^. Hoeke kan ook aangedui word met behulp van die lyn segmente waaruit die hoek bestaan. Byvoorbeeld in figuur 2 word die hoek gevorm waar die lynsegmente CBCB en BABA mekaar ontmoet. Die hoek kan dus aangedui word deur ∠CBA∠CBA of ∠ABC∠ABC . Die ∠∠ simbool dui 'n hoek in meetkunde aan.Hoeke word gemeet in grade wat aangedui word deur die volgende simbool ∘∘ (byvoorbeeld, 60∘∘).Opmerking: Hoeke kan ook gemeet word in radiale. In die hoërskool sal ons slegs grade gebruik, maar in wiskundige vakke op universiteitsvlak sal jy definitief weer radiale teëkom.
Figuur 2: Hoek aangedui deur B^B^, ∠CBA∠CBA of ∠ABC∠ABCFiguur 3: Voorbeelde van hoeke. A^=E^A^=E^, al is die lyne wat die verskillende hoeke vorm van verskillende lengtesMeting van HoekeDie grootte van ŉ hoek is onafhanklik van die lengtes van die twee sye wat die hoek onderspan. Dit hang slegs af van hoe die twee lyne relatief tot mekaar geplaas word, soos aangedui in figuur 3. ŉ Hoek vorm wanneer daar geroteer word om ŉ hoekpunt. Hoe om 'n gradeboog te gebruikŉ Gradeboog is ŉ eenvoudige instrument wat gebruik word om hoeke te meet. ŉ Diagram van ŉ gradeboog word getoon in figuur 4.Figuur 4: Diagram van 'n gradeboogMetode:
Hoe om 'n gradeboog te gebruik:
Plaas die onderste lyn van die gradeboog langs een van die sye van die hoek. Die tweede lyn moet in die rigting van die afgemete skaal wys. Beweeg die gradeboog sodat die middelpunt van die gradeboog en die hoekpunt oorstem. Lees af waar die tweede lyn van die hoek die afgemete skaal kruis. Maak seker dat jy by die 0∘∘ begin lees.
Spesiale HoekeWat is die kleinste hoek wat geteken kan word? Die figuur hier onder toon aan hoe twee lyne (CACA en ABAB) ŉ hoek onderspan by die hoekpunt AA. As die lyn CACA geroteer word om die hoekpunt AA, in die rigting van lyn ABAB, dan is die kleinste hoek wat geteken kan word, die geval waar beide lyne in dieselfde rigting wys. Dit noem ons ŉ 0∘∘. Dit word aangedui in figuur 6.
As lyn CACA nou opwaarts geroteer word, kan enige ander hoek gevorm word. As lyn CACA en lyn ABAB in presies teenoorgestelde rigtings wys (soos in geval 3 in figuur 6) dan word ŉ 180∘∘ hoek onderspan.leidraad: As drie punte AA, BB en CC op ŉ reguitlyn lê, dan is die hoek wat onderspan word 180∘∘. Netso, as die hoek tussen 3 punte 180∘∘ is, dan lê die punte op ŉ reguitlyn.ŉ Hoek van 90∘∘ word ŉ regte hoek genoem. ŉ Regte hoek is die helfte van die hoek wat onderspan word deur die reguitlyn (die 180∘∘ lyn). Ons sê dus CACA is loodreg op ABAB of CA⊥ABCA⊥AB . ŉ Hoek twee maal die grootte van die hoek wat die reguitlyn onderspan is 360∘∘. ŉ Hoek van 360∘∘ is presies dieselfde as ŉ 0∘∘, hoek (behalwe vir die notasie). Ons noem dit 'n omwenteling.Figuur 7: 'n Hoek van 90∘∘ word aangedui as 'n regte hoek.Hoeke groter as 360∘∘Alle hoeke groter as 360∘∘ lyk dieselfde as hoeke wat ons alreeds teëgekom het. As jy ŉ hoek gegee word wat groter is as 360∘∘, trek 360∘∘ herhaaldelik af van die hoek, tot jy 'n antwoord kry tussen 0∘∘and 360∘∘. Hoeke wat meer as 360∘∘ is meestal vir die wiskundige gerief.leidraad: Skerphoek: 'n Hoek ≥0∘≥0∘ en <90∘<90∘.
Regtehoek : 'n Hoek gelyk aan 90∘90∘.
Stomphoek: 'n Hoek >90∘>90∘ en <180∘<180∘.
Reguitlynhoek: 'n Hoek gelyk aan 180∘∘.
Inspringende hoek: 'n Hoek >180∘>180∘ en <360∘<360∘.
Omwenteling: 'n Hoek gelyk aan 360∘360∘.
Hierdie is basies net name vir hoeke in ‘n spesifieke reeks, soos gewys in figuur 8.Figuur 8: Drie soorte hoekeWaneer jy hoeke meet, kan jy hulle met mekaar vergelyk. Byvoorbeeld, alle regte hoeke is 90∘∘, dus is alle regte hoeke is gelyk aan mekaar en ‘n stomphoek sal altyd groter wees as ‘n skerphoek.Die volgende video gee ‘n opsomming van wat jy moet weet van hoeke.
Figuur 9Khan Akademie video oor hoeke - 1
Let daarop dat vir hoërskool sal jy net grade gebruik, nie radiale soos gewys in die video nie. Radiale is ‘n ander manier om hoeke te meet. Jy sal op universiteit aan radiale voorgestel word.Spesiale Hoekpare In figuur 10, sny reguitlyne ABAB en CDCD in punt X en dit vorm vier hoeke: X1^X1^ of ∠BXD∠BXD , X2^X2^ of ∠BXC∠BXC , X3^X3^ of ∠CXA∠CXA en X4^X4^ of ∠AXD∠AXD .Figuur 10: Twee kruisende reguitlyne vorm hoeke X1^,X3^X1^,X3^ en X2^,X4^X2^,X4^.Die tabel gee ‘n opsomming van spesiale hoekpare.Tabel 2
Spesiale Hoeke Eienskap
Aangrensende hoeke deel ‘n hoekpunt en 'n gemeenskaplike sy (X1^,X2^)(X1^,X2^), (X2^,X3^)(X2^,X3^), (X3^,X4^)(X3^,X4^), (X4^,X1^)(X4^,X1^)
Lineêre paar (aangrensende hoeke op ‘n reguitlyn)
aangrensende hoeke wat gevorm word by twee snydende reguitlyne wat volgens definisie saam 180∘∘is
Teenoorstaande hoeke hoeke wat gevorm word deur 2 snydende reguitlyne wat ‘n hoekpunt deel maar nie enige sye nie X
Supplementêre hoeke 2 hoeke waarvan die som 180 is∘∘
Komplementêre hoeke 2 hoeke waarvan die som 90 is∘∘
leidraad: Die teenoorstaande/regoorstaande hoeke wat gevorm word by twee snydende lyne is gelyk. Aangrensende hoeke op ‘n reguitlyn is supplementêr.Die volgende video som op wat jy tot dusver geleer het.
Figuur 11Khan Akademie video oor hoeke - 2Parallelle Lyne wat gesny word deur Dwarslyne Twee lyne sny mekaar as hulle kruis by ‘n punt. Byvoorbeeld, by ‘n verkeerskruising sny 2 of meer strate en die snypunt van die kruising is die gemeenskaplike punt tussen die strate. Parallelle of ewewydige lyne is lyne wat nooit kruis nie. Byvoorbeeld, spoorlyne is parallel. Figuur 12
Al hierdie lyne is parallel aan mekaar. Let op die simbool vir parallelle lyne.Opmerking: Interessante Feit: ’n Gedeelte van die Australiese Nasionale Spoorlyn is van die langste parallelle lyne in die wêreld.
Langste Spoorlyn met ewewydige spore (Source: www.guinnessworldrecords.com)
’n Dwarslyn van twee of meer lyne is ‘n lyn wat hierdie lyne sny. Byvoorbeeld, in figuur 13, ABAB en CDCD is twee parallelle lyne en EFEF is ‘n dwarslyn. Ons sê AB∥CDAB∥CD. Die eienskappe van hoeke wat gevorm word by hierdie kruisende lyne word opgesom in die volgende tabel.Figuur 13: Parallelle lyne wat gekruis is by ‘n dwarslyn Tabel 3
Naam van hoek
hoeke wat binne die parallelle lyne lê
in figuur 13 a a, bb, cc en dd is binnehoeke
die woord binnehoeke beteken tussen die lyne aangrensende hoeke
die hoeke deel 'n gemeenskaplike hoekpunt en sy in figuur 13 (aa, hh) is aangrensend, asook (hh, gg); (gg, bb); (bb, aa)
hoeke wat buite die parallelle lyne lê in figuur 13 ee, ff, gg and hh is buitehoeke
die woord buitehoeke beteken aan die buitekant
die binnehoeke wat aan verskillende kante van die snylyn lê
in figuur 13 (a,ca,c) en (bb,dd) is pare van verwisselende binnehoeke, a=ca=c, b=db=d
ko-binnehoeke aan dieselfde kant
ko-binnehoeke wat aan dieselfde kant van die snylyn lê
in figuur 13 (aa,dd) en (bb,cc) is binnehoeke aan dieselfde kant van die snylyn a+d=180∘a+d=180∘, b+c=180∘b+c=180∘
die hoeke aan dieselfde kant van die snylyn en aan dieselfde kant van die parallelle lyne
in figuur 13 (a,e)(a,e), (b,f)(b,f), (c,g)(c,g) en (d,h)(d,h) is pare van ooreenkomstige hoeke a=ea=e, b=fb=f, c=gc=g, d=hd=h
Die volgende video som op wat jy tot dusver geleer het.
Figuur 17Khan Akademie video oor hoeke - 3Opmerking: Euclides se Postulaat oor Parallelle Lyne. As 'n reguitlyn, wat twee ander reguitlyne kruis, twee binnehoeke vorm aan dieselfde kant van die snylyn wat saam kleiner is twee regte hoeke (180∘∘), sal die twee reguitlyne, as hulle oneindig verleng word, mekaar aan daardie kant van die snylyn ontmoet.
Hierdie postulaat kan gebruik word om baie identiteite oor hoeke wat gevorm word wanneer twee parallelle lyne deur 'n dwarslyn gesny word, te bewys.
leidraad: As twee parallelle lyne gesny word met 'n dwarslyn, is die som van die ko-binnehoeke aan dieselfde kant van die snylyn 180∘∘.
As twee parallelle lyne gesny word met 'n dwarslyn, is die verwisslelende binnehoeke ewe groot.
As twee parallelle lyne gesny word met 'n dwarslyn, is die ooreenkomstige hoeke ewe groot.
As twee lyne gesny word met 'n dwarslyn, sodat enige paar ko-binnehoeke aan dieselfde kant van die snylyn supplementêr is, dan is die twee lyne parallel.
As twee lyne gesny word met 'n dwarslyn, sodat enige paar verwisselende binnehoeke gelyk is, dan is die twee lyne parallel.
As twee lyne gesny word met 'n dwarslyn, sodat enige paar ooreenkomstige hoeke gelyk is, dan is die twee lyne parallel.
Exercise 1: Berekening van Hoeke
Vind al die onbekende hoeke in die volgende figure:
SolutionStap 1. Vind x: AB∥CDAB∥CD. So x=30°x=30° (verwisselende binnehoeke) Stap 2. Vind y: 160+y=180
y=20°(1) (ko-binnehoeke aan dieselfde kant van die snylyn)
Exercise 2: Parallelle lyne
Bepaal of daar enige parallelle lyne in die volgende figure is:
SolutionStap 1. Besluit watter lyne parallel mag wees: Lyn EF kan nie parallel wees aan AB of CD nie aangesien dit beide hierdie lyne sny. Lyne AB en CD mag parallel wees. Stap 2. Bepaal of hierdie lyne parallel is: Ons kan aantoon dat twee lyne parallel is, as ons een van die pare spesiale hoeke kan identifiseer. Ons weet dat Eˆ2=25°Eˆ2=25°(teenoorstaande hoeke). Dan let ons op dat Eˆ2=Fˆ4
=25°(2) Dus het ons aangetoon dat AB∥CDAB∥CD (ooreenkomstige hoeke ewe groot)
Hoeke Gebruik aangrensende, ooreenkomstige, verwisselende en ko-binnehoeke om al die hoeke wat benoem is met letters in die diagram hieronder, te vind:
Figuur 20Kliek hier vir die oplossing Vind al die onbekende hoeke in die figuur hieronder:
Figuur 21Kliek hier vir die oplossing Vind die waarde van xx in die figuur hieronder:
Figuur 22Kliek hier vir die oplossing Bepaal of daar pare parallelle lyne is in die volgende figure:
Figuur 24 Figuur 25Kliek hier vir die oplossing As AB parallel is aan CD en AB parallel is aan EF, bewys dat CD parallel is aan EF:
Figuur 26Kliek hier vir die oplossingDie volgende video wys sekere probleme met hulle oplossings.
Figuur 27Khan Akademie video oor hoeke - 4
PoligoneAs jy 'n aantal lyne verbind sodat die eindpunt van die eerste lyn die beginpunt van die laaste lyn ontmoet, kry jy 'n poligoon. Elke lyn wat deel van die poligoon uitmaak, staan bekend as 'n sy. 'n Poligoon het binnehoeke - dit is die hoeke aan die binnekant van die poligoon. Poligone het net soveel sye as binnehoeke. As 'n poligoon se sye ewe lank is en sy hoeke ewe groot is, noem ons dit 'n reëlmatige poligoon. Voorbeelde van poligone word getoon infiguur 28.
Figuur 28: Voorbeelde van poligone. Hulle is almal reëlmatig, behalwe die gemerk met *.Driehoeke'n Driehoek is 'n drie-sydige poligoon. Daar is verskeie soorte driehoeke: ongelyksydig, gelyksydig, gelykbenig, reghoekig, skerphoekig, stomphoekig. Die eienskappe van hierdie driehoeke is opgesom in tabel 4.Tabel 4: Tipes Driehoeke
Al 3 sye is ewe lank (aangedui met die kort strepies wat getrek is deur die gelyke sye) en al 3 die hoeke is ewe groot.
Twee sye is ewe lank. Die hoeke teenoor die gelyke sye is ewe groot.
Hierdie driehoek het een regte hoek. Die sy teenoor hierdie hoek word genoem die skuinssy.
Alle sye en alle hoeke is van verskillende lengtes/groottes.
As die hoekpunte van 'n driehoek benoem word met A, B en C - dan praat ons van ▵ABC▵ABC.Eienskappe van Driehoeke Ondersoek : Som van die hoeke van 'n driehoek Trek 'n driehoek van enige grootte of vorm op 'n vel papier.
Sny dit uit en benoem die hoeke A^A^, B^B^ en C^C^ aan beide kante van die papier.
Trek stippellyne soos aangetoon en sny langs hierdie lyne om 3 stukke papier te kry.
Plaas die 3 stukke teen jou liniaal soos aangetoon om te sien dat A^+B^+C^=180∘A^+B^+C^=180∘Figuur 33Figuur 34
leidraad: Die som van die hoeke van 'n driehoek is 180∘∘.Figuur 35: In enige driehoek, ∠A+∠B+∠C=180∘∠A+∠B+∠C=180∘leidraad: 'n Buitehoek van 'n driehoek is gelyk aan die som van die twee teenoorstaande binnehoeke. 'n Buitehoek word gevorm deur een van die sye te verleng.Figuur 36: In enige driehoek is enige buitehoek gelyk aan die som van die 2 teenoorstaande binnehoeke.Kongruente DriehoekeTabel 5
As die skuinssy en een ander sy van een reghoekige driehoek gelyk is aan die skuinssy en ooreenkomstige ander sy van 'n tweede driehoek, dan is die driehoeke kongruent.
As die 3 sye van 'n driehoek net so lank is soos die ooreenkomstige 3 sye van 'n ander driehoek, dan is die 2 driehoeke kongruent.
As 2 sye en die ingeslote hoek van een driehoek net so groot is soos 2 sye en die ingeslote hoek van 'n ander driehoek, dan is die 2 driehoeke kongruent. Figuur 39
As 1 sy en 2 hoeke van 'n driehoek net so groot is as die ooreenkomstige sy en 2 hoeke van 'n ander driehoek, dan is die 2 driehoeke kongruent.
Gelykvormige DriehoekeTabel 6
As 3 hoeke van een driehoek gelyk is aan die 3 hoeke van 'n ander driehoek is die driehoeke gelykvormig. Figuur 41
As al 3 sye van 'n driehoek eweredig is aan die ooreenstemmende 3 sye van 'n ander driehoek, dan is die 2 driehoeke gelykvormig.
Die Stelling van PythagorasFiguur 43
As ▵▵ABC 'n reghoekige driehoek is (B^=90∘B^=90∘) dan
As b2=a2+c2b2=a2+c2, dan is
▵▵ABC 'n reghoekige driehoek (B^=90∘B^=90∘).
Exercise 3: Driehoeke
In die volgende figure, bepaal of die 2 driehoeke kongruent is en gebruik dan die resultaat om die onbekendes te vind.
SolutionStap 1. Bewys kongruensie: DEˆC=BAˆC=55°DEˆC=BAˆC=55° (som van die hoeke van 'n driehoek is 180°180°
(3) Stap 2. Vind die onbekende veranderlikes: Ons gebruik Pythagoras om x te bereken: CE
y=35°y=35° (hoeke in 'n driehoek)
z=5z=5 (kongruente driehoeke, AC=CEAC=CE)
Driehoeke Bereken die onbekende veranderlikes in elk van die volgende figure. Alle lengtes is in mm.
Figuur 45Kliek hier vir die oplossing Bepaal of elk van die volgende pare driehoeke kongruent is of nie. Gee redes vir jou antwoorde. As daar nie genoeg inliging is om 'n besluit te neem nie, sê hoekom.
Figuur 46Kliek hier vir die oplossingVierhoeke'n Vierhoek is 'n geslote vier-sydige figuur. Daar is 'n aantal spesiale vierhoeke (trapesium, parallelogram, vlieër, rombus, reghoek, vierkant) waaroor jy later sal leer in Geometry. Ander poligoneDaar is baie ander poligone waarvan sommige gegee word in die tabel hieronder.Tabel 7: Tabel van sommige poligone en hulle aantal sye
Figuur 47: Voorbeelde van poligoneHoeke van Reëlmatige PoligoneJy kan die grootte van die binnehoek van 'n reëlmatige poligoon as volg bereken:
(5)waar nn die aantal sye is en A^A^ enige hoek is.Exercise 4
Vind die grootte van die binnehoeke van 'n reëlmatige oktogoon.
SolutionStap 1. Skryf die aantal sye van 'n oktogoon neer: 'n Oktogoon het 8 sye.
Stap 2. Gebruik die formule: A
OpsommingMaak seker dat jy weet wat die volgende terme beteken: vierhoeke, hoekpunte, sye, hoeke, parallelle lyne, loodregte lyne, diagonale/hoeklyne, halveerlyne en snylyne. Die eienskappe van driehoeke is bespreek. Kongruensie en gelykvormigheid van driehoeke is belangrike konsepte. Hoeke kan geklassifiseer word as skerp, reghoekig, stomp, gestrek, refleks of omwenteling. Die Stelling van Pythagoras word gebruik om die lengtes van die sye van reghoekige driehoeke te bereken. Hoeke: Skerphoek: 'n Hoek tussen 0∘0∘ en 90∘90∘ Regte hoek: 'n Hoek van 90∘90∘ Stomphoek: 'n Hoek tussen 90∘90∘ en 180∘180∘ Gestrekte hoek: 'n Hoek van 180∘180∘ Reflekse hoek: 'n Hoek tussen 180∘180∘ en 360∘360∘ Omwenteling: 'n Hoek van 360∘360∘ Hoeke het verskillende eienskappe en spesiale name daarvoor. Daar is verskeie tipes driehoeke: gelyksydig, gelykbenig, reghoekig, skerphoekig. Die hoeke van 'n driehoek is saam 180∘.180∘.OefeningeVind al die pare parallelle lyne in die volgende figure en gee redes in elke geval.
Kliek hier vir die oplossing Vind hoeke aa, bb, cc en dd gee redes in elke geval.
Figuur 51 Figuur 52 Figuur 53
Identifiseer watter van die volgende pare driehoeke is kongruent en gee redes.
Figuur 54 Figuur 55 Figuur 56 Figuur 57
Probleem met 'n UitdagingToon aan dat die som van die drie hoeke van 'n driekhoek gelyk is aan 180 ∘∘ deur gebruik te maak van die skets hieronder. Lyn DEDE is parallel aan BCBC.
Figuur 58Kliek hier vir die oplossing
This work is licensed by Free High School Science Texts Project under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Free High School Science Texts Project on Jun 17, 2011 9:52 am -0500. Add to a lens