9.1 Bewyse en vermoedens, Meetkunde, By OpenStax | Jobilize LLC
9.1 Bewyse en vermoedens
Bewyse en vermoedens in meetkunde
Jy het gesien hoe om meetkunde en die eienskappe van poligone te gebruik om die onbekende lengtes van sye en die groottes van hoeke van verskeie vierhoeke en poligone te vind. Ons gaan nou hierdie werk uitbrei om sommige van die eienskappe te bewys en probleme op te los. ŉ Vermoede is ŉ wiskundige se manier om te se: "Ek glo dit is waar, maar ek het geen bewys nie". Die volgende uitgewerkte voorbeelde sal help om dit duideliker te maak.
Gegee vierhoek ABCD, met A B ∥ C D en A D ∥ B C , bewys dat B A ^ D = B C ^ A en A B ^ C = A D ^ C .
Trek ŉ diagram Ons maak die volgende skets en trek die diagonale.
Skryf neer wat is gegee en wat word gevra Gegee: A B ∥ C D en A D ∥ B C . Ons moet bewys A = C en B = D . In formele wiskundetaal sê ons dat ons gevra word om te bewys (RTP='requested to prove'): B A ^ D = B C ^ A en A B ^ C = A D ^ C .
B A ^ C = A C ^ D ( verwisselende binnehoeke ) D A ^ C = B C ^ A ( verwisselende binnehoeke ) B A ^ D = B C ^ A
Net so vind ons dat:
A B ^ C = A D ^ C
In parallelogram ABCD, is die halveerlyne van die hoeke (AW, BX, CY en DZ) gekonstrueer:
Dit word ook gegee dat AB = CD , AD = BC , AB ∥ CD , AD ∥ BC , A ^ = C ^ , en B ^ = D ^ . Bewys dat MNOP parallelogram is.
Skryf neer wat gegee is en wat jy gevra word om te bewys Gegee: AB = CD , AD = BC , AB ∥ CD , AD ∥ BC , A ^ = C ^ , and B ^ = D ^ . Bewys MNOP is ŉ parallelogram.
In ▵ ADW and ▵ CBY D A ^ W = B C ^ Y ( gegee ) A D ^ C = A B ^ C ( gegee ) AD = BC (gegee) ∴ ▵ ADW = ▵ CBY (HHS) ∴ DW = BY
In ▵ ABX and ▵ CDZ D C ^ Z = B A ^ X ( gegee ) Z D ^ C = X B ^ A ( gegee ) DC = AB (gegee) ∴ ▵ ABX ≡ ▵ CDZ (HHS) ∴ AX = CZ
In ▵ XAM and ▵ ZCO X A ^ M = Z C ^ O ( gegee ) A X ^ M = C Z ^ O ( reeds bewys ) AX = CZ (reeds bewys) ∴ ▵ XAM ≡ ▵ COZ (HHS) ∴ A O ^ C = A M ^ X
A M ^ X = P M ^ N (regoorstaande hoeke) C O ^ Z = N O ^ P (regoorstaande hoeke) ∴ P M ^ N = N O ^ P
In ▵ BYN and ▵ DWP Y B ^ N = W D ^ P ( gegee ) B Y ^ N = W D ^ P ( reeds bewys ) DW = BY (reeds bewys) ∴ ▵ YBN ≡ ▵ WDP (AAS) ∴ B N ^ Y = D P ^ W
D P ^ W = M P ^ O (regoorstaande hoeke) B N ^ Y = O N ^ M (regoorstaande hoeke) ∴ M P ^ O = O N ^ M
∴ MNOP is ŉ parallelogram (beide pare teenoorstaande ∠ 'e = , daarom is beide pare teenoorstaande sye ook parallel)
Dit is baie belangrik om daarop te let dat ŉ enkele teen-voorbeeld genoeg is om ŉ vermoede verkeerd te bewys. Selfs ŉ menigte ondersteunende voorbeelde is nog steeds geen bewys nie!