You are here: Home » Content » Meetkunde - Graad 10 [CAPS]
Based on: Geometry - Grade 10 [CAPS] by Rory Adams, Free High School Science Texts Project, Mark Horner, Heather Williams InleidingMeetkunde (Grieks: geo = aarde, metria = meet) het ontstaan as die veld van kennis van ruimtelike verbande. Dit was een van die twee velde van pre-moderne wiskunde. Die ander veld was die studie van getalle. In die moderne tyd het meetkundige begrippe baie kompleks en abstrak geraak en is dit skaars herkenbaar as 'n uitvloeisel van vroëe meetkunde.Navorsingsprojek: Die geskiedenis van MeetkundeWerk in pare of groepe en bestudeer die geskiedenis van die onstaan van meetkunde. Beskryf die verskillende stadiums van ontwikkeling en hoe meetkunde later gebruik is deur mense om hul lewens te verbeter. Die lys van stadiums moet dien as 'n riglyn en hoef slegs die minimum vereistes te beskryf.Antieke Indiese meetkunde (c. 3000 - 500 V.C.)
VierhoekeIn hierdie afdeling sal ons kyk na die eienskappe van sekere spesiale vierhoeke. Ons sal dan hierdie eienskappe gebruik om meetkundige probleme op te los. Dit is belangrik om daarop te let dat alhoewel al die eienskappe van 'n figuur gegee word, benodig ons net sekere unieke eienskappe van die vierhoek om te bewys dat dit wel daardie spesifieke vierhoek is. Byvoorbeeld, as ons 'n vierhoek het met twee pare sye parallel, dan is daardie vierhoek 'n parallelogram. Ons kan dan die ander eienskappe van die vierhoek aflei deur ons kennis van parallelle lyne en driehoeke te gebruik.
Trapesium'n Trapesium is 'n vierhoek met een paar teenoorstaande sye parallel. Dit word soms ook 'n trapesoïd genoem. 'n Spesiale tipe trapesium is die gelykbenige trapesium, waar een paar teenoorstaande sye parallel is en die ander paar sye ewe lank is. Die hoeke aan die eindpunte van elke parallelle sy is ewe groot. 'n Gelykbenige trapesium het een lyn van simmetrie en sy hoeklyne is ewe lank.
Figuur 1: Voorbeelde van trapesiumsParallelogram'n Trapesium met beide pare teenoorstaande sye parallel, word 'n parallelogram genoem. 'n Opsomming van die eienskappe van 'n parallelogram is:Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
Figuur 2: 'n Voorbeeld van 'n parallelogramReghoek'n Reghoek is 'n parallelogram met al vier hoeke ewe groot en gelyk aan 90∘90∘. 'n Opsomming van die eienskappe van 'n reghoek is:Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
Figuur 3: Voorbeeld van 'n reghoekRombus / Ruit'n Rombus (ruit) is 'n parallelogram waarvan al vier sye ewe lank is. 'n Opsomming van die eienskappe van 'n rombus is:Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
Figuur 4: 'n Voorbeeld van 'n ruit, 'n parallelogram met al vier sye ewe lankVierkant'n Vierkant is 'n rombus met al vier sye ewe lank en al vier hoeke gelyk aan 90∘∘.'n Opsomming van die eienskappe van 'n vierkant:Beide pare teenoorstaande sye is parallel.
Figuur 5: 'n Voorbeeld van 'n vierkant - 'n rombus met al die hoeke gelyk aan 90∘∘Vlieër'n Vlieër is 'n vierhoek met twee pare aangrensende sye ewe lank.'n Oposmming van die eienskappe van 'n vlieër is:Twee pare aangrensende sye is ewe lank.
Figuur 6: 'n Voorbeeld van 'n vlieërReghoeke is 'n spesiale geval ('n deelversameling) van die parallelogramme. Reghoeke is parallelogramme met alle hoeke regte hoeke. Vierkante is 'n spesiale geval (deelversameling) van die reghoeke. Vierkante is reghoeke met al vier sye ewe lank. So, alle vierkante is parallelogramme en reghoeke. As jy gevra word om te bewys dat 'n vierhoek 'n parallelogram is, is dit genoeg om aan te toon dat beide pare teenoorstaande sye parallel is. Maar, as jy gevra word om te bewys dat 'n vierhoek 'n vierkant is, dan moet jy ook wys dat al die hoeke regte hoeke is en dat al die sye ewe lank is. VeelhoekeVeelhoeke is oral rondom ons. 'n Stopteken het die vorm van 'n agthoek, m.a.w 'n agthoekige veelhoek. Die heuningkoek van 'n bynes bestaan uit heksagonale selle. Die oppervlak van 'n tafel is dikwels 'n reghoek.In hierdie afdeling sal jy leer van gelykvormige veelhoeke.Gelykvormigheid tussen VeelhoekeBespreking: Gelykvormige DriehoekeGebruik die diagram om die tabel in te vul en antwoord die vrae wat daarna volg.Tabel 1
As twee veelhoeke gelykvormig is, is die een 'n vergroting van die ander. Dit beteken dat twee veelhoeke dieselfde grootte hoeke sal hê en hulle sye sal in verhouding wees tot mekaar.|||||| is die simbool wat gebruik word om gelykvormigheid aan te dui.Definition 1: Gelykvormige Veelhoeke
hulle ooreenstemmende hoeke ewe groot is, en hulle ooreenstemmende sye eweredig is (die verhouding van die sylengtes gelyk is.)
Exercise 1: Gelykvormigheid van Poligone Bewys dat die volgende twee veelhoeke gelykvormig is.
Stap 2. Ooreenstemmende hoeke: Die hoeke en hul groottes word gegee, so ons kan bewys dat hulle ewe groot is.
Lang sye, groot reghoek se waardes oor die klein reghoek se waardes:
Die verhouding van die ooreenstemmende sye is gelyk (=2 in hierdie geval).
leidraad: Alle vierkante is gelykvormig.Exercise 2: Gelykvormigheid van Veelhoeke As twee vyfhoeke ABCDE en GHJKL gelykvormig is, bepaal die lengtes van die sye en die groottes van die hoeke wat met letters gemerk is:
Stap 3. Besluit hoe om die probleem te benader: Die ooreenstemmende hoeke is ewe groot en daar is dus geen berekening nodig nie. Daar word aan ons 'n paar sye DCDC en KJKJ gegee wat ooreenstemmend is. DCKJ=4,53=1,5DCKJ=4,53=1,5 so ons weet dat al die sye van KJHGLKJHGL 1,5 keer kleiner is as die sylengtes van ABCDEABCDE.
Figuur 10Kliek hier vir die oplossing Vind die hoeke en lengtes wat met letters gemerk is in die volgende
Figuur 11Kliek hier vir die oplossing
Neem in oorweging hoe die figure in hierdie boek gedefinieer is en watter alternatiewe definisies daar bestaan. Byvoorbeeld, 'n driehoek is 'n driesydige poligoon of 'n driehoek is 'n figuur met drie sye en drie hoeke. Driehoeke kan geklassifiseer word volgende hulle sye of volgens hulle hoeke. Kan mens ook vierhoeke op hierdie manier klassifiseer? Watter ander name is daar vir hierdie figure? Byvoorbeeld, vierhoeke kan ook genoem word tetragone.
Bewyse en Vermoedens in MeetkundeJy het gesien hoe om meetkunde en die eienskappe van poligone te gebruik om die onbekende lengtes van sye en die groottes van hoeke van verskeie vierhoeke en poligone te vind. Ons gaan nou hierdie werk uitbrei om sommige van die eienskappe te bewys en probleme op te los. 'n Vermoede is 'n wiskundige se manier om te se: "Ek glo dit is waar, maar ek het geen bewys nie". Die volgende uitgewerkte voorbeelde sal help om dit duideliker te maak.
Exercise 3: Bewyse - 1Gegee vierhoek ABCD, met AB∥CDAB∥CD en AD∥BCAD∥BC, bewys dat B
SolutionStap 1. Trek 'n diagram: Ons maak die volgende skets en trek die diagonale.
Stap 2. Skryf neer wat is gegee en wat word gevra: Gegee: AB∥CDAB∥CD en AD∥BCAD∥BC. Ons moet bewys A=CA=C en B=DB=D. In formele wiskundetaal sê ons dat ons gevra word om te bewys (RTP='requested to prove'): B
C. Stap 3. Los die probleem op: B
Proofs - 2 4In parallelogram ABCD, is die halveerlyne van die hoeke (AW, BX, CY en DZ) gekonstrueer:
SolutionStap 1. Skryf neer wat gegee is en wat jy gevra word om te bewys: Gegee: AB=CDAB=CD, AD=BCAD=BC, AB∥CDAB∥CD, AD∥BCAD∥BC, A
. Bewys MNOP is 'n parallelogram. Stap 2. Los die probleem op: In ▵ADW and
M(16)∴∴ MNOP is 'n parallelogram (beide pare teenoorstaande ∠∠'e ==, daarom is beide pare teenoorstaande sye ook parallel)
waarskuwing: Dit is baie belangrik om daarop te let dat 'n enkele teen-voorbeeld genoeg is om 'n vermoede verkeerd te bewys. Selfs 'n menigte ondersteunende voorbeelde is nog steeds geen bewys nie!
MetingArea (Oppervlakte) van PoligoneArea van driehoek: 12×12× basis ×× loodregte hoogte
Figuur 14 Area van trapesium: 12×12× (som van ∥∥ (parallelle) sye) ×× loodregte hoogte
Figuur 15 Area van parallelogram en rombus: basis ×× loodregte hoogte
Figuur 16 Area van reghoek: lengte ×× breedte
Figuur 17 Area van vierkant: sylengte ×× sylengte Figuur 18 Area van sirkel: ππ x radius22Figuur 19Figuur 20Khan Akademie video oor area en omtrekFiguur 21Khan Akademie video oor area van 'n sirkelExercise 5: Berekening van area
SolutionStap 1. Vind die hoogte: Ons moet eers vir BE, die loodregte hoogte van die parallelogram vind. Ons kan Pythagoras gebruik om dit te doen: BE2
4(17) Stap 2. Pas die formule toe: Ons pas die formule vir die area van 'n parallelogram toe om die berekening te doen:
Poligone Sê of die bewering WAAR of VALS is in elk van die gevalle hieronder. Indien die bewering vals is, gee 'n teen-voorbeeld om dit te staaf:
Kliek hier vir die oplossing Vind die areas vir elk van die gegewe figure. Onthou area word gemeet in vierkante eenhede (cm22, m22, mm22).
Figuur 23Kliek hier vir die oplossing
Reghoekige Prismas en SilindersIn hierdie afdeling leer ons hoe om die oppervlakarea (buite-oppervlakte) en volume van reghoekige prismas en silinders te bereken. 'n Reghoekige prisma is 'n veelhoek wat uitgerek word in 'n kolom sodat die hoogte van die kolom reghoekig tot sy basis is. 'n Vierkantige prisma het 'n vierkantige basis en 'n driehoekige prisma het 'n driehoekige basis.Figuur 24: Voorbeelde van 'n vierkantige prisma, 'n driehoekige prisma en 'n silinderDit is eenvoudig om die oppervlakarea en volume van prismas te bereken.OppervlakareaDie term oppervlakarea verwys na die totale area van die oppervlak aan die buitekant van die prisma. Dit is makliker om te verstaan as 'n mens aan die prisma dink as 'n soliede voorwerp.As jy die prismas in figuur 24 bestudeer, sal jy sien dat die boonste syvlak van die prisma 'n eenvoudige veelhoek is. Die driehoekige prisma het twee syvlakke wat driehoekig is en drie syvlakke wat reghoekig is. Om die oppervlakarea van 'n prisma te bereken moet die oppervlak van elke syvlak bereken word en bymekaar getel word. 'n Silinder bestaan uit twee sirkelvormige syvlakke en 'n reghoekige kolom.Oppervlakarea van Prismas
Bereken die area van elke syvlak en tel die areas bymekaar om die oppervlakarea van die prisma te bereken. Bepaal eers wat die regte vorm is van elke syvlak en bereken dan die area van daardie syvlak. Die oppervlakarea van die prisma is gelyk aan die som van die oppervlakareas van al die syvlakke.Bespreking: OppervlakareasIn pare, bestudeer die volgende prismas saam met die diagram wat langs elke prisma vertoon word en verduidelik watter oppervlakareas elke prisma het. Verduidelik vir jou maat hoe elke diagram verband hou met die gepaardgaande prisma.Figuur 25
Aktiwiteit: OppervlakareaSoek 'n prentjie of neem 'n foto van 'n gebou wat nie 'n eenvoudig gedefinieërde vorm het nie (byvoorbeeld een wat nie net 'n reghoek is nie). Soek vir 'n kasteel met torings of 'n huis met gewels of 'n stoep. Veronderstel jy moet die buitekant van die gebou verf. Hoeveel verf sal jy benodig? Dink aan dit wat jy geleer het omtrent oppervlakarea van poligone. Kan jy reëlmatige poligone in jou prent/foto vind en hulle gebruik om die oppervlakarea te bereken?
Oppervlakareas Bereken die oppervlakarea van elk van die volgende:
Figuur 26Kliek hier vir die oplossing As 'n liter verf nodig is vir 'n area van 2m22m2, bereken hoeveel verf die verwer nodig het om die volgende areas te verf:
'n Reghoekige swembad met binnewande en bodem met die volgende afmetings: 4m×3m×2,5m4m×3m×2,5m
'n Sirkelvormige opgaardam waarvan die bodem 'n middellyn het van 4m4m en met 'n diepte van 2,5m2,5mFiguur 27Kliek hier vir die oplossingVolumeDie volume van 'n reghoekige prisma word bereken deur
prisma met 'n sylengte van aa en 'n hoogte van hh is die volume a×a×h=a2ha×a×h=a2h.Volume van 'n Prisma
Bereken die volume van 'n prisma deur eers die area van die basis te bereken en dan te vermenigvuldig met die hoogte van die prisma.Exercise 6
Vind die oppervlakarea en volume van 'n vierkantige prisma met hoogte 4cm4cm and basislengte 3cm3cm.
SolutionStap 1. Vind die oppervlakarea: Ons gebruik die formule vir die oppervlakarea van 'n prisma:
(19) Stap 2. Vind die volume: Om die volume van die prisma te bereken, vermenigvuldig ons die area van die basis met die hoogte:
Volume Skryf die formule vir die berekening van elk van die volgende prismas se volumes neer:
Figuur 29Kliek hier vir die oplossing Bereken die volgende volumes:
Figuur 30Kliek hier vir die oplossing 'n Kubus is 'n spesiale prisma waarvan al die
sye gelyk is. Dit beteken dat elke syvlak 'n vierkant is. 'n
met 'n sylengte van aa, 'n oppervlakte het van 6a26a2 en 'n volume van a3a3.
Figuur 31Kliek hier vir die oplossingHoe verander die oppervlakarea as een van die afmetings vermenigvuldig word met 'n konstante. Byvoorbeeld, hoe verander die oppervlakarea van 'n reghoekige prisma as die hoogte deur 2 gedeel word? Figuur 32: Reghoekige prismasFiguur 33: Reghoekige prismas 2Exercise 7: Verander die afmetings van 'n prisma
Vergroot al die sye van die prisma met 'n konstante faktor van xx, waar x>1x>1. Bereken die volume en die oppervlakarea van die vergrote prisma as 'n funksie van die faktor xx en die oorspronklike volume.
Soortgelyk aan die geval hierbo, dink nou aan 'n geval waar 0<x<10<x<1. Bereken vervolgens die verkleiningsfaktor in die volume en die oppervlakarea.
Die oppervlakarea van die prisma word beskryf deur:
Stap 2. Eweredige (proporsionele) verandering: As al die sye van die prisma eweredig (dus, in dieselfde verhouding) verander sal die nuwe sye as volg beskryf kan word:
Stap 3. Interpreteer bostaande resultate: Ons vind hierbo dat die nuwe volume beskryf word deur:
Weereens, omdat x>1x>1, sal die oppervlakarea vergroot met 'n faktor van x2x2. Oppervlakareas wat tweedimensioneel is, vermeerder met die kwadraat van die faktor maar driedimensionele volumes vermeerder met die derde mag van die faktor.
vermenigvuldig word met 'n konstante, is dit soos om die
oorspronklike volume met die derdemag van dieselfde konstante te vermenigvuldig.
Sien die voorbeeld in figuur 32.
Right Piramides, Regte Kegels (Keëls / Konusse), Sfere'n Piramide is 'n soliede geometriese figuur met 'n poligoonbasis wat verbind is aan die toppunt waar die syvlakke ontmoet. Twee voorbeelde van piramides word getoon in die linkerkantste en middelste figure in Item 6. Die regterkantste figuur het 'n toppunt wat verbind is aan die sirkelvormige basis en hierdie tipe soliede geometriese figuur word 'n kegel genoem. Kegels is soortgelyk aan piramides behalwe dat hulle basisse sirkels is in plaas van poligone. Figuur 35: Voorbeelde van 'n vierkantige piramide, 'n driehoekige piramide en 'n kegelOppervlakarea van 'n Piramide
Figuur 36Khan Akademie video oor die volume van soliede geometriese figureDie oppervlakarea van 'n piramide word bereken deur die areas van die onderskeie vlakke bymekaar te tel. Exercise 8: Oppervlakarea As 'n kegel 'n hoogte het van hh en 'n basis met radius rr, toon dat die oppervlakarea gegee word deur πr2+πrr2+h2πr2+πrr2+h2. SolutionStap 1. Maak 'n skets van die figuur : Figuur 37
Stap 2. Identifiseer die vlakke wat die kegel uitmaak : Die kegel het twee vlakke: die basis en die wand. Die basis is 'n sirkel met radius rr en die wand kan ontvou word tot 'n sektor van 'n sirkel.
Die geboë vlak kan opgesny word in 'n klomp smal driehoekies waarvan die hoogte, wat byna gelyk is aan aa, die skuinshoogte genoem word. Die som van die areas van hierdie driehoekies is 12×12×basis××hoogte (van 'n klein driehoekie) = 12×2πr×a=πra12×2πr×a=πra
Stap 3. Bereken aa : aa kan bereken word met die Stelling van Pythagoras. Dus: a
Stap 4. Bereken die area van die sirkelvormige basis : A
Stap 5. Bereken die area van die geboë wand : A
Stap 6. Berken die oppervlakarea A : A
Volume van 'n Piramide: Die volume van 'n piramide word gevind deur:
(28)waar AA die area van die basis is en hh die hoogte is.'n Kegel is soos 'n piramide, daarom word die formule vir die volume van 'n kegel gegee deur:
(29)'n Vierkantige piramide se volume:
(30)waar aa die sylengte van die vierkantige basis is.Exercise 9: Volume van 'n Piramide Wat is die volume van 'n vierkantige piramide, 3cm hoog met 'n sylengte van 2cm?
SolutionStap 1. Bepaal die korrekte formule : Die volume van 'n piramide is
waar AA die area van die basis en hh die hoogte van die piramide is. Vir 'n vierkantige basis beteken dit
waar aa die sylengte van die vierkantige basas is.
Ons aanvaar die volgende formules vir die volume en oppervlakarea (buite-oppervlakte) van 'n sfeer (bal). Oppervlakarea
'n Driehoekige piramide word bo-op 'n driehoekige prisma geplaas. Die prisma het 'n gelyksydige driehoek met 'n sylengte van 20 cm as basis en 'n hoogte van 42 cm. Die piramide is 12 cm hoog. Vind die totale volume van die voorwerp. Vind die area van elke vlak van die piramide. Vind die totale oppervlakarea van die voorwerp.
SolutionStap 1. Vind die volume van die driehoekige prisma: Ons gebruik die formule vir die volume van 'n reghoekige prisma:
(35) Stap 2. Vind die volume van 'n driehoekige piramide: Ons gebruik die formule vir die volume van 'n driehoekige piramide:
(36) Stap 3. Vind die volume: Ons sien dat ons doodeenvoudig die volumes van elk van die twee soliede liggame kan bymekaartel. Dan kry ons: 17640+5880=2352017640+5880=23520. Dit is die antwoord van a. Stap 4. Vind die area van die vlakke van die piramide: Ons sien daar is vier driehoeke wat die piramide uitmaak. Dus die area van elke vlak is:
Dit is die antwoord van vraag b.
Stap 5. Vind die oppervlakarea van die piramide: Die totale area is 4×420=16804×420=1680 Stap 6. Vind die area van die prisma: Die oppervlakarea van die prisma is:
Stap 7. Vind die totale oppervlakarea: Om die totale oppervlakarea te bereken, moet ons die area van een vlak (die basis) van die piramide aftrek van die oppervlakarea van die prisma. Dit gee die totale oppervlakarea as:
1120-420+1680-420=19601120-420+1680-420=1960 Dit is die antwoord van vraag c.
Oppervlakarea en Volume Bereken die volumes en oppervlakareas van die volgende soliede liggame: (*Wenk vir (e): vind die loodregte hoogte met behulp van die Stelling van Pythagoras.)
Figuur 41Kliek hier vir die oplossing Water bedek ongeveer 71% van die aardoppervlakte. As die benaderde radius van die aarde 6378 km is, wat is die totale landoppervlakte (d.w.s. land wat nie bedek is met water nie)?Kliek hier vir die oplossing
Transformasies: nie in CAPSIn hierdie afdeling gaan jy leer oor die verandering wat die koördinate van 'n punt ondergaan wanneer die punt horisontaal of vertikaal op die Cartesiese vlak skuif. Jy gaan ook leer wat met die koördinate van 'n punt gebeur wanneer dit reflekteer word in die xx-as, yy-as en die lyn y=xy=x.Translasie van 'n PuntWaneer 'n voorwerp langs 'n reguitlyn beweeg word, sê ons dit word getransleer. Wat gebeur met die koördinate van 'n punt wat horisontaal of vertikaal getransleer word?Bespreking : Vertikale Translasie van 'n PuntVoltooi die tabel deur die koördinate van die punte soos op die figuur in te vul.
Wat sal gebeur met die koördinate van punt A indien dit verskuif word na die posisie van punt G?Wanneer 'n punt vertikaal op- of afgeskuif word op die Cartesiese vlak, bly die xx-koördinaat van die punt dieselfde, maar die yy-koördinaat verander met die aantal eenhede wat die punt op- of afgeskuif is.Byvoorbeeld: in Item 19 word punt A 4 eenhede opwaarts geskuif na die posisie gemerk deur G. Die nuwe xx-koördinaat van punt A is dieselfde (xx=1), maar die nuwe yy-koördinaat het 4 eenhede geskuif in die positiewe yy-rigting en word yy=-2+4=2. Die nuwe koördinate van punt A is gevolglik G(1;2). Soortgelyk, vir punt B wat 5 eenhede afgeskuif word, bly die xx-koördinaat dieselfde (x=-2,5x=-2,5), maar die yy-koördinaat het 5 eenhede in die negatiewe yy-rigting geskuif. Die nuwe yy-koördinaat is dus yy=2,5 -5=-2,5.Figuur 43: Punt A het 4 eenhede opgeskuif tot by G. Punt B het 5 eenhede afgeskuif tot by H.leidraad: Wanneer 'n punt opgeskuif word, word die nuwe yy-koördinaat verkry deur die translasie eenhede by die ou yy-koördinaat by te tel. Wanneer 'n punt afgeskuif word, word die nuwe yy-koördinaat verkry deur die translasie eenhede van die ou yy-koördinaat af te trek.Bespreking: Horisontale Translasie van 'n PuntVoltooi die tabel deur al die koördinate wat in die figuur aangedui word, in te vul.
Wanneer 'n punt horisontaal links of regs op die Cartesiese vlak verskuif word, bly die yy-koördinaat van die punt dieselfde, maar die xx-koördinaat verander met die aantal eenhede wat die punt links of regs geskuif word.Byvoorbeeld, in Item 20 word punt A 4 eenhede regs geskuif na G. Die nuwe yy-koördinaat van punt A is dieselfde (yy=1), maar die nuwe xx-koördinaat is 4 eenhede in die positiewe xx-rigting geskuif en word xx=-2+4=2. Die nuwe koördinaat van punt A by G is dus (2;1). Soortgelyk, vir punt B wat 5 eenhede links geskuif word, bly die yy-koördinaat dieselfde (y=-2,5y=-2,5), maar die xx-koördinaat word 5 eenhede in die negatiewe xx-rigting geskuif. Die nuwe xx-koördinaat is dus xx=2,5 -5=-2,5. Die nuwe koördinate van punt B by H is dus (-2,5;1).Figuur 45: Punt A skuif 4 eenhede regs na posisie G. Punt B skuif 5 eenhede links na posisie H.leidraad: Wanneer 'n punt regs geskuif word, word die nuwe xx-koördinaat verkry deur die translasie-eenhede by die oorspronklike xx-koördinaat by te tel. Wanneer 'n punt na links geskuif word, word die nuwe xx-koördinaat verkry deur die translasie-eenhede van die oorspronklike xx-koördinaat af te trek.Refleksie van 'n PuntWanneer jy voor 'n spieël staan, is die afstand tussen jou en die spieël gelyk aan die afstand tussen jou refleksie en die spieël.(dd) Figuur 46
Ons kan dieselfde idee toepas op 'n punt wat reflekteer word in die xx-as, die yy-as en die lyn y=xy=x.Refleksie in die xx-asWanneer 'n punt reflekteer word in die xx-as, moet die refleksie dieselfde afstand onder die xx-as wees as wat die punt bo die xx-as is en vice-versa, asof dit 'n spieelbeeld is.Figuur 47: Punte A en B word reflekteer in die xx-as. Die oorspronklike punte word aangedui deur •• en die gereflekteerde punte word aangedui deur ∘∘.leidraad: Wanneer 'n punt reflekteer word in die xx-as, verander slegs die yy-koördinaat van die punt.Exercise 11: Refleksie in die xx-as Bepaal die koördinate van die refleksie van punt P in die xx-as. Die koördinate van P is (5;10). SolutionStap 1. Bepaal wat gegee is en wat gevra word : Ons het die koördinate (5;10) van punt P en moet die koördinate van die refleksie van die punt in die xx-as kry.
Vir 'n refleksie in die xx-as, bly die xx-koördinaat onveranderd. Daarom is xx=5.
Refleksie in die yy-asAs 'n punt reflekteer word in die yy-as, moet die refleksie dieselfde afstand links en regs van die yy-as wees.Figuur 48: Punte A en B word reflekteer in die yy-as. Die oorspronklike punte word aangedui deur •• en die gereflekteerde punte word aangedui met ∘∘.leidraad: Wanneer 'n punt reflekteer word in die yy-as, verander net die xx-koördinaat van die punt. Die yy-koördinaat bly dieselfde.Exercise 12: Refleksie in die yy-as Bepaal die koördinate van die refleksie van punt Q (15;5) in die yy-as. SolutionStap 1. Bepaal wat gegee en wat gevra is : Ons het punt Q (15;5) en moet die koördinate van die refleksie daarvan in die yy-as kry.
Refleksie in die lyn y=xy=xDie laaste tipe refleksie wat ons gaan behandel, is refleksie in die lyn y=xy=x.Gevallestudie : Refleksie van 'n punt in die lyn y=xy=x Figuur 49
Wat kan jy aflei omtrent die koördinate van die punte wat reflekteer word in die lyn y=xy=x? Die xx- en yy- koördinate van punte wat in die lyn y=xy=x reflekteer word, ruil net om. Dit beteken dat die xx-koördinaat van die oorspronklike punt, die yy-koördinaat van die nuwe punt word. Soortgelyk word die yy-koördinaat van die oorspronklike punt, die xx-koördinaat van die nuwe punt word.Figuur 50: Punte A en B word reflekteer in die lyn y=xy=x. Die oorspronklike punte word aangedui met •• en die reflekteerde punte word aangedui met ∘∘.leidraad: Die xx- en yy- koördinate van die gereflekteerde punte in die lyn y=xy=x word dus omgeruil.Exercise 13: Refleksie in die lyn y=xy=x Bepaal die koördinate van die refleksie van punt R (-5;5) in die lyn y=xy=x. SolutionStap 1. Bepaal wat is gegee en wat word gevra : Ons het punt R (-5;5) en moet die refleksie daarvan in die lyn y=xy=x bepaal.
Stap 2. Besluit hoe jy die probleem gaan benader : Die xx-koördinaat van die gereflekteerde punt is die yy-koördinaat van die oorspronklike punt. Daarom is xx=5.
Stap 3. Skryf die finale antwoord neer: Die koördinate van die reflekteerde punt is (5;-5). [
Reëls vir Translasie'n Vinnige manier om 'n translasie te skryf is deur die 'translasiereël' te gebruik. Byvoorbeeld (x;y)→(x+a;y+b)(x;y)→(x+a;y+b) beteken: transleer punt (x;y) deur dit a eenhede horisontaal en b eenhede vertikaal te skuif.As ons dus die punt (1;2) volgens die reël (x;y)→(x+3;y-1)(x;y)→(x+3;y-1) transleer, word dit (4;1). Ons het 3 eenhede regs en 1 eenheid af geskuif.Translasie van 'n GebiedOm 'n gebied te transleer, moet ons elke punt in die gebied transleer.Voorbeeld
Bespreking : TransformasiereëlsWerk in pare en besluit watter item in kolom 1 pas by die beskrywing in kolom 2.Tabel 5
Kliek hier vir die oplossing In die diagram is B, C en D beelde van poligoon A. In elke geval is die transformasie wat toegepas is om die beeld te verkry, 'n refleksie en 'n translasie van A. Skryf die letter neer van elke beeld en beskryf die transformasie toegepas op A ten einde die beeld te verkry.
Figuur 54 Gebruik jou afmetings en bepaal die volgende (in cm22, afgerond tot 2 desimale):
OpsommingDie eienskappe van vlieërs, rombusse, parallelogamme, vierkante, reghoeke en trapesiums is ondersoek. Al hierdie vorme word vierhoeke genoem. Jy behoort die formules te ken vir die oppervlakarea van reghoekige en driehoekige prismas sowel as silinders. Die volume van 'n regte prisma is bereken deur area van die basis te vermenigvuldig met die loodregte hoogte. Dus vir 'n vierkantige prisma met sylengte aa en hoogte hh is die volume a×a×h=a2ha×a×h=a2h. Gelykvormigheid van poligone: Twee poligone is gelykvormig as:hulle ooreenkomstige hoeke gelyk is die lengtes van die sye eweredig is Alle vierkante is gelykvormig.Finale oefeningeDeur die reëls te gebruik wat verskaf is, identifiseer elke tipe transformasie en teken die vorms.
Figuur 55 (x;y)→→(x-4;y)
Figuur 56 (x;y)→→(y;x)
Figuur 57 (x;y)→→(-x;-y)
Figuur 58Kliek hier vir die oplossing PQRS is 'n veelhoek met hoekpunte P(0; −3) ; Q(−2;5) ; R(3;2) en S(3;–2) in die Cartesiese-vlak.
Bepaal die lengte van QR. Bepaal die helling van PS. Bepaal die middelpunt van PR. Is PQRS 'n parallelogram? Gee redes vir jou antwoord. Kliek hier vir die oplossing A(–2;3) en B(2;6) is punte in die Cartesiese-vlak. C(a;b) is die middelpunt van AB. Bereken die waardes van a en b.Kliek hier vir die oplossing
Skets driehoek ABC in die Cartesiese vlak. Wys dat ABC 'n gelykbenige driehoek is. Bepaal die koordinate van M, die middelpunt van AC. Bepaal die helling van AB. Wys dat die volgende punte saamlynig is: A, B en D(7;-1).Kliek hier vir die oplossing
Figuur 59Wat is die vergelyking van die lyn AB? Bereken die lengte van AB. A’ is die beeld van A en B’ is die beeld van B. Beide hierdie beelde is verkry uit die transformasie: (x;y)→→(x-4;y-1). Gee die koördinate van beide A’ en B’. Bepaal die vergelyking van A’B’. Bereken die lengte van A’B’. Kan jy met sekerheid bevestig dat AA'B'B 'n parallelogram is? Regverdig jou antwoord. Kliek hier vir die oplossing Die hoekpunte van driehoek PQR het koordinate soos in die diagram.
This work is licensed by Free High School Science Texts Project under a Creative Commons Attribution License (CC-BY 3.0), and is an Open Educational Resource. Last edited by Free High School Science Texts Project on Jun 17, 2011 9:57 am -0500. Add to a lens